‫מ''ט למשימה ספציפית מול מ''ט למשימה כללית‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪2‬‬ ‫עד כה נקטנו בגישה שלכל משימה יש לבנות מ''ט משלה שמבצעת‬ ‫את המשימה הספציפית הזו‬ ‫אך במציאות לא בונים מחשב שונה לכל תכנית שרוצים לבצע‬ ‫לחילופין‪ ,‬בונים מחשב אחד שמסוגל לבצע כל משימה כאשר‬ ‫משימות שונות מקודדות ע''י תכניות שונות שנותנים למחשב לבצע‬ ‫אי לכך‪ ,‬נרצה לבנות מכונת טיורינג למטרה כללית אשר תדע לבצע‬ ‫כל משימה המקודדת ע''י מכונת טיורינג אחרת הניתנת לה כקלט‬ ‫כדי שנוכל למסור מ''ט כקלט למ''ט אחרת‪ ,‬יש לתאר כל מ''ט בצורה‬ ‫חד משמעית ע''י מחרוזת‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪4‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫קידוד סטנדרטי של מכונת טיורינג‬ ‫מכונת טיורינג אוניברסלית‬ ‫פונקציות שאינן ניתנות לחישוב‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫קידוד סטנדרטי של מ''ט – המשך‬ ‫!‬ ‫חישוביות – הרצאה ‪6‬‬ ‫המטרה‪ :‬לייצג כל מ''ט ע''י סידרה סופית של אפסים ואחדים‬ ‫למעשה‪ ,‬נשאר לקודד רק את ‪) δ‬כל השאר נקבע בהנחות(‬ ‫יש לקודד את כל |‪ (|Q|-2)×|Γ‬כניסות של טבלת המעברים‬ ‫כאשר כל כניסה היא מהצורה )‪δ(q,σ) = (p,τ,d‬‬ ‫מ''ט ‪ M‬תקודד ע''י מחרוזת‬ ‫‪δ 1 00δ 2 00δ 3 00K 00δ (|Q|−2)×Γ 000‬‬ ‫קידוד סטנדרטי של מכונת טיורינג‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫) ‪M = (Q, q 0 , F, Σ, Γ, b/ , δ‬‬ ‫!‬ ‫נניח בלי הגבלת הכלליות‪:‬‬ ‫רווח‬ ‫כאשר כל ‪ δi‬מקודד כניסה אחת בטבלת המעברים‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫נתאים לכל מכונת טיורינג מחרוזת ייחודית המקודדת‬ ‫אותה‬ ‫הקידוד יעשה עבור מכונות טיורינג בעלות סרט אחד‪,‬‬ ‫}| ‪Q = {1,2, K, | Q‬‬ ‫}‪F = {2,3‬‬ ‫‪q0 = 1‬‬ ‫}‪Σ = {0,1} Γ = {0,1,2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫קידוד סטנדרטי של מ''ט – הערות‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫סדר קידוד המעברים אינו חשוב‬ ‫קיימת מ''ט שבודקת לגבי כל מחרוזת של אפסים ואחדים האם‬ ‫המחרוזת היא תיאור חוקי של מכונת טיורינג‬ ‫הקידוד המתואר מתאים גם עבור מ''ט לחישוב פונקציות וגם עבור‬ ‫מ''ט לזיהוי שפות‬ ‫צורת הקידוד שבחרנו אינה יחידה‪ ,‬ניתן לקודד מ''ט בדרכים אחרות‬ ‫ניתן לחשוב על כל מחרוזת בינארית כייצוג של מ''ט‬ ‫מוסכמה‪ :‬מחרוזת שאינה תיאור חוקי של מ''ט מייצגת מ''ט שעל כל‬ ‫קלט עוצרת מייד ודוחה )או עוצרת מייד עם פלט ריק(‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫‪6‬‬ ‫המשך הדוגמה‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫אם הכניסה בטבלת המעברים היא )‪ δ(q,σ) = (p,τ,d‬אזי הקידוד יהיה‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1 0 11‬‬ ‫‪K3‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪31 0 11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪31 0 11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪31 0 11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪ d‬פעמים‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪5‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪ τ +1‬פעמים‬ ‫‪ p‬פעמים‬ ‫‪ σ +1‬פעמים‬ ‫‪ q‬פעמים‬ ‫עבור תזוזה ‪ ,d=1 ,L‬עבור תזוזה ‪ ,d=2 ,R‬ועבור תזוזה ‪d=3 ,S‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬המעבר )‪ δ(3,1) = (2,0,S‬יקודד ע''י‪:‬‬ ‫‪111011011010111‬‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫הקידוד הסטנדרטי של המכונה‪:‬‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫נבנה מכונת טיורינג העוברת שלכל קלט *}‪x∈{0,1‬‬ ‫מחליפה את האפס הראשון משמאל באחד‬ ‫תיאור המכונה‪M = (Q, q 0 , F, Σ, Γ, b/ , δ ) :‬‬ ‫}‪Q = {1,2,3,4‬‬ ‫}‪F = {2,3‬‬ ‫‪101011110110110010110101101100‬‬ ‫‪101110110111011100111101011110101100‬‬ ‫‪111101101111011011001111011101101110111000‬‬ ‫‪8‬‬ ‫כל ‪ δi‬מקודד באופן הבא‪:‬‬ ‫קידוד סטנדרטי של מ''ט – דוגמה‬ ‫! פונקצית המעברים‪:‬‬ ‫)‪δ (1,0) = (4,1, R) δ (1,1) = (1,1, R) δ (1,2) = (2,2, S‬‬ ‫)‪δ (4,0) = (4,0, R) δ (4,1) = (4,1, R) δ (4,2) = (2,2, S‬‬ ‫!‬ ‫קידוד סטנדרטי של מ''ט – המשך‬ ‫‪q0 = 1‬‬ ‫}) ‪Σ = {0,1} Γ = {0,1,2( ≡ b/‬‬ ‫‪7‬‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫קידוד סטנדרטי – סימון‬ ‫הקידוד הסטנדרטי של קונפיגורציה רגעית‬ ‫!‬ ‫עבור הקונפיגורציה ‪C = α1α 2 Kα i −1qα i Kα m‬‬ ‫!‬ ‫הקידוד הסטנדרטי הוא‬ ‫!‬ ‫הקידוד הסטנדרטי של מ''ט ‪ M‬יסומן ע''י >‪<M‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1 0 11‬‬ ‫‪K3‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪31 0 K 11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪31 00 11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪31 0 11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪31 0 K 11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪31 0‬‬ ‫‪ α m +1‬פעמים‬ ‫!‬ ‫‪ α i +1‬פעמים‬ ‫‪ q‬פעמים‬ ‫‪ α i-1 +1‬פעמים‬ ‫‪ α 2 +1‬פעמים‬ ‫‪ α1 +1‬פעמים‬ ‫הקידוד הסטנדרטי של קונפיגורציה ‪ C‬יסומן ע''י >‪<C‬‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫‪10‬‬ ‫חישוב קונפיגורציה עוקבת )המשך(‬ ‫טענה‪ :‬הפונקציה ‪ NEXT‬ניתנת לחישוב ע''י מ''ט‬ ‫רעיון ההוכחה‪:‬‬ ‫! נבנה מ''ט ‪ MNEXT‬המחשבת את הפונקציה ‪NEXT‬‬ ‫! המכונה ‪ MNEXT‬תהיה בעלת שני סרטים‬ ‫! על הקלט >‪ <M><C‬המכונה ‪ MNEXT‬פועלת באופן הבא‪:‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪12‬‬ ‫מעתיקה את >‪ <C‬לסרט השני ובודקת את תקינותה של >‪<C‬‬ ‫אם >‪ <C‬אינה חוקית‪ MNEXT ,‬תיכנס ללולאה אינסופית‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫‪9‬‬ ‫חישוב קונפיגורציה עוקבת‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫בהינתן קידוד סטנדרטי של מ''ט‪ <M> ,‬וקידוד‬ ‫קונפיגורציה רגעית שלה >‪ <C‬ניתן לחשב מהי‬ ‫הקונפיגורציה העוקבת של ‪ C‬במ''ט ‪M‬‬ ‫במילים אחרות‪ ,‬נגדיר פונקציה‬ ‫>‪ <C‬לא חוקית‬ ‫או ‪ C‬סופית‬ ‫לא מוגדר‬ ‫`‪C a C‬‬ ‫>`‪<C‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪11‬‬ ‫= )>‪NEXT(<M>, <C‬‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫הפונקציה האוניברסלית‬ ‫!‬ ‫חישוב קונפיגורציה עוקבת )המשך(‬ ‫הגדרה‪ :‬הפונקציה האוניברסלית ‪ U‬הינה‪:‬‬ ‫!‬ ‫)‪U(<M>,x) = fM(x‬‬ ‫!‬ ‫הסברים‪:‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫הפונקציה ‪ U‬היא פונקציה חלקית‪ :‬אם מ''ט ‪ M‬לא עוצרת‬ ‫על קלט ‪ x‬אזי )‪ U(<M>,x‬אינה מוגדרת‬ ‫אם ‪ M‬עוצרת על ‪ x‬אזי )‪ U(<M>,x‬מוגדרת ושווה לפלט‬ ‫של ‪ M‬על ‪x‬‬ ‫‪14‬‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫המשך ההוכחה‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪16‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪13‬‬ ‫בודקת האם ‪ C‬קונפיגורציה סופית ע''י סריקת >‪ <C‬עד למיקום‬ ‫הראש )אחרי ‪ (00‬ובדיקת המצב )מצב סופי מתאים ל‪ 11-‬או ‪(111‬‬ ‫אם ‪ C‬סופית‪ MNEXT ,‬תיכנס ללולאה אינסופית‬ ‫אם ‪ C‬תקינה ולא סופית‪ ,‬תסרוק את הסרט השני כדי למצוא מצב‬ ‫נוכחי ‪ q‬והאות הנוכחית ‪a‬‬ ‫מחפשת בקידוד של >‪ <M‬בסרט הראשון את הכניסה המתאימה ל‪-‬‬ ‫)‪ δ(q,a‬ומגלה מהו המעבר הנדרש‬ ‫משנה את הקונפיגורציה הרשומה בסרט השני בהתאם למעבר‬ ‫הנדרש‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫הפונקציה האוניברסלית )המשך(‬ ‫אם הקידוד אינו חוקי אז לפי מוסכמה מדובר במ''ט שעוצרת מייד עם פלט ריק‪,‬‬ ‫אזי גם ‪ MU‬תעצור עם פלט ריק‬ ‫אם הקידוד חוקי‪,‬מפרשת את הקטע שלפני ‪ 000‬כ‪ <M>-‬ואת הקטע שאחרי כ‪x-‬‬ ‫רושמת את הקידוד של קונפיגורציה התחלתית ‪ q0x‬על הסרט השני‬ ‫כל עוד הקונפיגורציה הרשומה בסרט השני אינה סופית ‪ MU‬תחשב את‬ ‫)>‪ NEXT(<M>,<C‬בסרט השני בעזרת המכונה ‪MNEXT‬‬ ‫אם התקבלה בסרט השני קונפיגורציה סופית‪ ,‬אז ‪ MU‬תזהה את הפלט )משמאל‬ ‫ל‪ (00-‬ותעתיק אותו לסרט השלישי‬ ‫אבחנה‪ :‬אם ‪ M‬לא עוצרת על ‪ x‬אזי לא תתקבל לעולם קונפיגורציה סופית בסרט‬ ‫השני ולכן גם ‪ MU‬לא תעצור‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫משפט‪ :‬הפונקציה האוניברסלית ניתנת לחישוב‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫! נבנה מ''ט ‪ MU‬המחשבת את הפונקציה ‪U‬‬ ‫! המכונה תהיה בעלת שלושה סרטים‬ ‫! על קלט ‪ y = <M>x‬מ''ט ‪ MU‬פועלת באופן הבא‪:‬‬ ‫!‬ ‫‪15‬‬ ‫מחפשת את ‪ 000‬ובודקת האם תת מחרוזת שלפני ‪000‬‬ ‫היא קידוד חוקי של מכונת טיורינג‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫השפה האוניברסלית‬ ‫!‬ ‫הגדרה‪ :‬השפה האוניברסלית ‪ LU‬מוגדרת באופן הבא‪:‬‬ ‫}‪ M‬מקבלת את ‪LU = {(<M>,x) : x‬‬ ‫מכונת טיורינג אוניברסלית‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫הגדרה‪ :‬כל מכונת טיורינג אשר מחשבת את הפונקציה ‪U‬‬ ‫נקראת מכונת טיורינג אוניברסלית‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫ניתן להראות באופן דומה להוכחת המשפט האחרון כי‬ ‫‪ LU‬ניתנת לקבלה ) כלומר‪( LU∈RE ,‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪18‬‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫פונקציות שאינן ניתנות לחישוב‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪20‬‬ ‫בהמשך נראה דוגמאות לפונקציות שאינן ניתנות לחישוב‬ ‫לדוגמה‪ ,‬נראה ששום פונקציה מלאה שמרחיבה את‬ ‫הפונקציה האוניברסלית ‪ U‬אינה ניתנת לחישוב‬ ‫מכאן נגיע לבעיה חשובה שאינה ניתנת להכרעה‪:‬‬ ‫בעית העצירה‬ ‫תחילה נשתכנע ע''י נימוקי ספירה שישנן הרבה פונקציות‬ ‫שאינן ניתנות לחישוב )למעשה‪" ,‬רוב" הפונקציות(‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫לדוגמה‪ ,‬המכונה ‪ MU‬שתיארנו בהוכחת המשפט היא מ''ט‬ ‫אוניברסלית‬ ‫המכונה ‪ MU‬היא לא מ''ט אוניברסלית היחידה‪ ,‬יש אינסוף‬ ‫מ''ט אוניברסליות אחרות שמחשבות את אותה פונקציה ‪U‬‬ ‫מ''ט אוניברסלית מקבלת כקלט קידוד של מכונה כלשהי >‪<M‬‬ ‫וקלט ‪ x‬עבור ‪ M‬ומחזירה את הפלט של ‪ M‬על ‪) x‬אם מוגדר(‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫‪17‬‬ ‫תרגיל‬ ‫תהי ‪ MU‬מ''ט אוניברסלית‬ ‫האם הפלט של ‪ MU‬על קלט ))‪(<MU>, (<M>,x‬‬ ‫זהה לפלט של ‪ MU‬על קלט )‪? (<M>,x‬‬ ‫כן !‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪19‬‬ ‫הפלט של ‪ MU‬על )‪ (<M>,x‬הוא פלט של ‪ M‬על ‪x‬‬ ‫הפלט של ‪ MU‬על ))‪ (<MU>, (<M>,x‬הוא הפלט של‬ ‫‪ MU‬על )‪ (<M>,x‬כלומר‪ ,‬זהה ל‪1-‬‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫נימוקי ספירה )המשך(‬ ‫!‬ ‫טענה ‪:2‬‬ ‫נימוקי ספירה‬ ‫!‬ ‫ישנה התאמה חד חד ערכית מקבוצת מכונות טיורינג לקבוצת‬ ‫המחרוזות הבינאריות‬ ‫!‬ ‫! הוכחה‪:‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫!‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫הרחבה של פונקציה אוניברסלית ובעיית‬ ‫העצירה‬ ‫!‬ ‫! עבור מספר …‪ r = 0.σ1σ2σ3‬נגדיר פונקציה ‪fr‬‬ ‫באופן הבא‪ fr(xi) = σi :‬כאשר ‪ xi‬היא המחרוזת‬ ‫ה‪-i-‬ית בסדר לקסיקוגרפי קאנוני‬ ‫! קל לוודא שזוהי התאמה חד חד ערכית ועל‬ ‫נתאים לכל מ''ט מחרוזת בינארית שהיא הקידוד הסטנדרטי שלה‬ ‫‪22‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫פונקציה מלאה ‪ f‬נקראת הרחבה של פונקציה‬ ‫חלקית ‪ g‬אם עבור כל ‪ x‬עליו ‪ g‬מוגדרת מתקיים‬ ‫)‪f(x) = g(x‬‬ ‫‪21‬‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫נימוקי ספירה )המשך(‬ ‫!‬ ‫מסקנה מהטענות ‪ 1‬ו‪:2-‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫! דוגמה‪:‬‬ ‫!‬ ‫! ‪ g(x)=x/2‬אם ‪ x‬זוגי ולא מוגדרת אם ‪ x‬אי זוגי‬ ‫! ‪ f(x)=x/2‬היא ההרחבה של ‪g‬‬ ‫‪24‬‬ ‫טענה ‪:1‬‬ ‫ישנה התאמה חד חד ערכית ועל בין המספרים‬ ‫הממשיים בקטע ]‪ [0,1‬לבין פונקציות בולאניות‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫!‬ ‫‪23‬‬ ‫קבוצת הפונקציות הבולאניות אינה בת מנייה ) כי קבוצת‬ ‫הממשיים בקטע ]‪ [0,1‬אינה בת מנייה(‬ ‫קבוצת מכונות טיורינג היא בת מנייה )כי קבוצת‬ ‫המחרוזות היא בת מנייה(‬ ‫אבחנה‪ :‬קבוצת הפונקציות הניתנות לחישוב ע''י מ''ט אינה‬ ‫"גדולה" מקבוצת מכונות טיורינג ולכן בת מנייה‬ ‫מסקנה‪ :‬יש הרבה יותר פונקציות שלא ניתנות לחישוב‬ ‫מאשר פונקציות אשר ניתנות לחישוב !!!‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬