‫פרק ‪15‬‬ ‫שאלת ‪ P‬לעומת ‪NP‬‬ ‫כפי שהזכרנו בתחילת הקורס )וכפי שאולי שמעתם בהקשרים אחרים(‪ ,‬אחת השאלות הפתוחות המרכזיות בתיאוריה‬ ‫של מדעי המחשב )ויש שיאמרו – השאלה החשובה ביותר(‪ ,‬היא השאלה לגבי היחס בין המחלקות ‪ P‬ו־‪ ,NP‬שהגדרנו‬ ‫לעיל‪ .‬בהתבוננות פשוטה‪ ,‬קל לראות שמתקיימת ההכלה ‪ ,P ⊆ NP‬כיוון שכל מ"ט דטרמיניסטית היא בעצמה גם‬ ‫מ"ט ל"ד‪ .‬מכאן‪ ,‬שאין יתרון )מבחינת זמן החישוב( למודל הדטרמיניסטי על פני המודל הל"ד; השאלה המעניינת‬ ‫היא‪ ,‬אם כן‪ ,‬האם היחס בין המחלקות הוא הכלה ממש או שוויון‪ .‬למעשה‪ ,‬אנו רוצים לדעת‬ ‫האם יש למ"ט ל"ד יש יתרון משמעותי בזמן החישוב יחסית למ"ט דטר'? בפרט‪ ,‬האם ישנן שפות שניתן‬ ‫להכריע באופן ל"ד בזמן פולינומי‪ ,‬אך לא ניתן להכריע אותן בזמן פולינומי בצורה דטרמיניסטית?‬ ‫ראשית‪ ,‬נבהיר שלשאלה זו יש משמעות מעשית רבה‪ :‬מצד אחד‪ ,‬ישנן בעיות חשובות רבות )אנו נראה כמה מהן‬ ‫בחלק זה של הקורס( שידועים עבורם אלגוריתם ל"ד יעילים‪ ,‬אך לא ידועים אלגוריתמים דטרמיניסטיים יעילים‬ ‫הפותרים אותן; מצד שני‪ ,‬אין בידינו היום מכונות שמסוגלות לבצע בפועל חישובים ל"ד‪ 1 .‬בהנתן מצב זה‪ ,‬שוויון בין‬ ‫המחלקות יבטיח לנו שניתן לפתור בעיות חשובות רבות בזמן יעיל; מצד שני‪ ,‬משמעותו של אי־שוויון בין המחלקות‬ ‫היא שללא פריצת דרך קונספטואלית שתאפשר חישוב ל"ד מעשי‪ ,‬ישנן בעיות חשובות רבות שלא נוכל לפתור‬ ‫בצורה יעילה‪2 .‬‬ ‫בנוסף‪ ,‬נעיר שבניגוד להבדל בין מודל עם סרט אחד למודל עם כמה סרטים‪ ,‬למשל‪ ,‬שם יכולנו להראות שהבדל‬ ‫זמן הריצה הוא פולינומי לכל היותר‪ ,‬החסם שמתקבל מהוכחת השקילות )בכוח החישוב( בין מ"ט דטר' למ"ט ל"ד‬ ‫הוא אקספוננציאלי‪ .‬המשמעות היא ששאלת היעילות אינה עניין "קטנוני" של "חוסר סבלנות לחכות שהמחשב‬ ‫יסיים"‪ :‬כדי להדגים זאת‪ ,‬נניח שיש לנו קלט באורך ‪ 400‬ביטים‪ .‬אלגוריתם הרץ בזמן ‪ n3‬יסיים בתוך ‪64,000,000‬‬ ‫צעדים )כלומר‪ ,‬על מחשב מודרני יסיים את הריצה בזמן שאינו עולה על מספר דקות(; לעומת זאת‪ ,‬אם האלגוריתם‬ ‫דורש זמן של ‪ ,2n‬מספר הצעדים הנדרשים הוא מספר בן כ־‪ 120‬ספרות עשרוניות‪ ,‬מה שאומר שגם על המחשב‬ ‫המהיר ביותר היום‪ ,‬אלגוריתם כזה ידרוש מספר שנים בן למעלה מ־‪ 100‬ספרות‪ .‬נעיר שקלט בן ‪ 400‬ביטים אינו‬ ‫נחשב לקלט ארוך במיוחד; זהו גודל של קובץ בן ‪ 50‬בתים בסך הכל‪.‬‬ ‫‪15.1‬‬ ‫איפיון נוסף של המחלקה ‪NP‬‬ ‫בנוסף לניסוח של שאלת ‪ P‬לעומת ‪ NP‬כשאלה העוסקת בהבדל בין מודלים חישוביים‪ ,‬ניתן להציג את השאלה גם‬ ‫באופן שונה‪ .‬לשם כך‪ ,‬אנו נציג איפיון נוסף של המחלקה ‪ ;NP‬נתחיל בלהגדיר מחלקה חדשה‪ ,‬אותה נסמן ב־ ‪,NP0‬‬ ‫‪1‬בשנים האחרונות ישנה התעניינות במודל חישוב קוונטי‪ ,‬הפועל בצורה הנראית דומה למודל הל"ד‪ .‬עם זאת‪ ,‬לא ברור האם כל‬ ‫אלגוריתם ל"ד ניתן למימוש ע"י מחשב קוונטי‪ ,‬ובנוסף‪ ,‬נראה שמבחינה פיזיקלית ישנם קשיים משמעותיים בפיתוח של מחשב כזה בעל יותר‬ ‫מכמה ביטים של זכרון‪ .‬לכן נראה שגם אם פיתוח מחשב קוונטי שיוכל לשמש לצרכים מעשיים הוא אפשרי‪ ,‬זהו אינו פתרון שצפוי להיות‬ ‫בר־ישום בעתיד הקרוב‪.‬‬ ‫‪2‬עם זאת‪ ,‬אין להסיק מכך שהמצב בו ‪ P = NP‬הוא "טוב" והמצב בו ‪ P 6= NP‬הוא "רע"‪ ,‬שכן ליחס בין המחלקות ישנן גם השלכות‬ ‫אחרות‪ .‬למשל‪ ,‬במצב בו ‪ P = NP‬לא תיתכן הצפנה בטוחה )לפחות מבחינה תיאורטית(!‬ ‫ולאחר מכן נראה שמחלקה זו זהה‪ ,‬למעשה‪ ,‬למחלקה ‪.NP‬‬ ‫הגדרה ‪ .15.1‬נגדיר את המחלקה ‪ NP0‬באופן הבא‪ .‬שפה ‪ L‬תהיה שייכת ל־ ‪ N P 0‬אם קיים אלגוריתם דטרמיניסטי‬ ‫‪ A‬ושלושה קבועים ‪ b, c, d ∈ N‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪ .1‬עבור כל זוג מחרוזות ‪ ,x, y‬הרצת )‪ A(x, y‬מסתיימת בתוך ‪ O |(x, y)|d‬צעדים ומחזירה תשובה )‪ 0‬או ‪.(1‬‬ ‫‪ .2‬לכל ‪ x ∈ L‬קיימת מחרוזת ‪ y‬כך ש־‪ |y| ≤ |x|c + b‬וכן ‪.A(x, y) = 1‬‬ ‫∈ ‪ x‬ולכל מחרוזת ‪.A(x, y) = 0 ,y‬‬ ‫‪ .3‬לכל ‪/ L‬‬ ‫כלומר‪ ,‬עבור ‪ L‬קיים יחס בינארי חסום פולינומית ‪ RL‬שניתן להכרעה בזמן פולינומי‪ ,‬ומקיים‪:‬‬ ‫‪x ∈ L ⇔ ∃y : (x, y) ∈ RL‬‬ ‫‪∀x :‬‬ ‫דרך אחדת להציג את ההגדרה היא לומר ש־ ‪ L ∈ NP0‬אם יש לה את התכונה הבאה‪ :‬ישנו "אלגוריתם בדיקה"‪,‬‬ ‫שבהנתן קלט ו"עדות" )או "הוכחה"( קצרה לגבי שייכותו לשפה‪ ,‬מאפשר לבדוק בזמן יעיל האם הקלט באמת שייך‬ ‫לשפה או לא‪ .‬עבור כל קלט בשפה יש עדות )קצרה – באורך פולינומי יחסית לקלט( שתגרום לאלגוריתם להשתכנע‬ ‫שהקלט אכן בשפה‪ ,‬ואילו עבור קלטים שאינם בשפה‪ ,‬שום עדות אינה משכנעת את האלגוריתם‪.‬‬ ‫נוכיח כעת‪ ,‬כי המחלקה ‪ NP0‬שהגדרנו זהה‪ ,‬למעשה‪ ,‬למחלקה ‪ NP‬שהגדרתה מבוססת על חישוב ל"ד‪.‬‬ ‫משפט ‪.NP0 = NP .15.2‬‬ ‫הוכחה‪ .‬אנו נדרשים להראות שוויון בין קבוצות; לכן נראה הכלה דו כיוונית‪.‬‬ ‫)⊆( תהי ‪ ,L ∈ NP0‬אזי קיים אלגוריתם ‪ A‬ובנוסף קבועים ‪ b, c, d‬כמובטח בהגדרה‪ .‬נבנה אלגוריתם ל"ד ‪B‬‬ ‫שיכריע את ‪ L‬בזמן פולינומי‪.‬‬ ‫)‪:B(x‬‬ ‫‪ .1‬נחש באופן ל"ד מחרוזת ‪ y‬בעלת לא יותר מאשר ‪ |x|c + b‬תוים‪.‬‬ ‫‪ .2‬הרץ את )‪ A(x, y‬והחזר את תשובתו‪.‬‬ ‫ראשית‪ ,‬נשים לב שאלגוריתם זה אכן מסיים בזמן פולינומי‪" :‬ניחוש" ‪ y‬בשלב )‪ (1‬דורש ‪c‬‬ ‫צעדים‪ .‬כעת‬ ‫‪ O(|x| ) c·d‬‬ ‫‬ ‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬ ‫|‪.O (|x| ) = O |x‬‬ ‫מתקיים ש־) ‪ ,|(x, y)| = O(|x|c‬ולכן זמן הריצה של ‪ A‬בשלב )‪ (2‬הוא לא יותר מאשר‬ ‫הואיל ו־‪ c, d‬הם קבועים‪ ,‬זהו זמן פולינומי‪ .‬בנוסף‪ ,‬מובן ש־‪ B‬מכריע נכונה את ‪3 .L‬‬ ‫)⊇( תהי ‪ ,L ∈ N P‬אזי קיים אלגוריתם ל"ד ‪ B‬שמכריע את ‪ L‬כך שכל חישוב שלו על קלט ‪ x‬עוצר תוך לכל היותר‬ ‫‪ |x|c + b‬צעדים‪ ,‬עבור קבועים ‪ b, c‬כלשהם‪ 4 .‬כמו כן‪ ,‬נשים לב שאת סדרת הבחירות הל"ד שמבצע האלגוריתם‬ ‫ניתן לייצג בעזרת מחרוזת‪ .‬נגדיר אלגוריתם דטרמיניסטי שיפעל באופן הבא‪:‬‬ ‫)‪:A(x, y‬‬ ‫‪ .1‬הרץ את האלגוריתם הל"ד ‪ B‬על הקלט ‪ ,x‬כאשר הבחירות הל"ד נקבעות ע"י ‪.y‬‬ ‫‪ .2‬החזר את התשובה שהתקבלה‪.‬‬ ‫מובן שזהו אלגוריתם דטרמיניסטי )שכן יש לנו שיטה קבועה כיצד בוחרים בכל מקום שישנה יותר מאפשרות אחת(‬ ‫ושהוא רץ בזמן פולינומי‪ .‬בנוסף‪ ,‬על פי הגדרת ‪ ,B‬אם ‪ x ∈ L‬אזי קיימת סדרת בחירות )באורך פולינומי ביחס‬ ‫ל־‪ (x‬ל"ד שתוביל לקבלה; לכן קיים ‪ y‬באורך פולינומי שיהווה "עדות" שתגרום לריצה )‪ A(x, y‬לקבל‪ .‬באותו אופן‪,‬‬ ‫∈ ‪ x‬לא קיים ‪ y‬כך ש־‪.A(x, y) = 1‬‬ ‫מובן שעבור ‪/ L‬‬ ‫‪3‬מדוע?‬ ‫‪4‬מדוע ניתן להבטיח שפונקציית זמן הריצה היא מהצורה הנ"ל?‬ ‫דוגמא ‪ .15.3‬השפה ‪ SAT‬היא השפה הבאה‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ φ‬היא נוסחא בוליאנית בצורת ‪ CNF‬שקיימת עבורה השמת אמת מספקת | ‪SAT = φ‬‬ ‫)נזכיר שנוסחא בוליאנית בצורת ‪ CNF‬היא נוסחא המורכבת מפסוקיות שכל אחת מהן מכילה ליטרלים וביניהם‬ ‫"או" כאשר בין הפסוקיות ישנו הקשר "וגם"‪ (.‬למשל‪ ,‬הנוסחא ) ‪ (x1 ∨ x2 ) ∧ (x1 ∨ x2‬היא ספיקה‪ ,‬כיוון שכל אחת‬ ‫מן ההשמות ‪ x1 = 1, x2 = 0‬ו־‪ x1 = 0, x2 = 1‬מספקת אותה‪.‬‬ ‫קל לראות ש־‪ :SAT ∈ NP‬על פי ההגדרה הראשונה של ‪ ,NP‬ניתן לבנות אלגוריתם ש"מנחש" באופן ל"ד‬ ‫השמה עבור הנוסחא הנתונה ומקבל אם"ם ההשמה שניחש אכן מספקת את הנוסחא‪ .‬אם נרצה להראות שייכות‬ ‫ל־‪ NP‬על פי ההגדרה השניה‪ ,‬נוכל להגדיר את היחס הטבעי הבא‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ y‬הוא וקטור שמהווה השמת אמת מספקת עבור ‪; RSAT = (φ, y) | φ‬‬ ‫קל לראות שהיחס ניתן להכרעה בזמן פולינומי )פשוט ע"י הצבה ובדיקה( ובנוסף שלכל ‪ φ ∈ SAT‬ישנו ‪ y‬מתאים‬ ‫∈ ‪ φ‬אין ‪ y‬כזה‪ .‬אנו עוד נדון בבעיה ‪ ;SAT‬בשלב זה נעיר כי‬ ‫)ואורכו פולינומי יחסית ל־|‪ (|φ‬בעוד שלאף ‪/ SAT‬‬ ‫לא ידוע האם קיים אלגוריתם דטרמיניסטי המכריע אותה בזמן פולינומי‪.‬‬ ‫קיבלנו‪ ,‬אם כן‪ ,‬שאת בעיית ‪ P‬לעומת ‪ NP‬ניתן להציג גם בצורה נוספת‪ P :‬היא קבוצת כל הבעיות שניתן‬ ‫לפתור בזמן פולינומי‪ ,‬בעוד ש־‪ NP‬היא קבוצת כל הבעיות שלכל קלט שהתשובה עליו "כן" ישנה הוכחה קצרה‬ ‫שניתן לבדוק בזמן יעיל לכך שזו אכן התשובה‪ .‬מכאן‪ ,‬שאת השאלה האם ‪ P = NP‬ניתן לנסח גם כ־‬ ‫האם כל שפה שניתן לבדוק עבורה "הוכחות שייכות" של קלטים בצורה יעילה‪ ,‬ניתן גם להכריע בזמן‬ ‫יעיל? האם "בדיקת נכונות" ומציאת תשובה הן בעיות קלות באותה המידה?‬ ‫‪15.2‬‬ ‫המחלקה ‪co-NP‬‬ ‫נשים לב שבניגוד לאלגוריתמים דטרמיניסטיים‪ ,‬החלפת מצבי הקבלה והדחיה באלגוריתם הכרעה ל"ד אינה יוצרת‬ ‫אלגוריתם ל"ד להכרעת השפה המשלימה‪ 5 .‬גם על פי ההגדרה השניה שנתנו למחלקה ‪ ,NP‬קיום הוכחה קצרה‬ ‫לשייכות של כל קלט בשפה אינה מחייבת גם קיום הוכחת "אי־שייכות" קצרה עבור קלטים שאינם בשפה‪ .‬כדוגמא‪,‬‬ ‫ניתן להתבונן שוב בשפה ‪ :SAT‬כדי להוכיח שקלט שייך לשפה‪ ,‬מספיק להראות עבורו השמה מספקת )שהיא‬ ‫קצרה וניתנת לבדיקה יעילה(‪ ,‬אך כיצד ניתן להוכיח בצורה יעילה שנוסחא אינה ניתנת לסיפוק?‬ ‫הואיל ואנו לא יודעים להוכיח כי לכל שפה ‪ L ∈ NP‬גם ‪ ,L ∈ NP‬אנו מגדירים עבור שפות אלו מחלקה‬ ‫נפרדת‪ ,‬שהשאלה לגבי זהותה ל־‪ NP‬עדיין פתוחה‪ .‬מחלקה זו נקראת ‪ ,6 co-NP‬ומכילה כל שפה ‪ L‬המקיימת‬ ‫‪7 .L ∈ NP‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ניתן להבחין ש־‪ P ⊆ co-NP‬וכמו כן מובן שאם מתקיים השוויון ‪ P = NP‬מתקיים גם ‪ .co-NP = NP‬גרירה‬ ‫זו אינה נכונה בכיוון השני‪ :‬יתכן שיתקיים אי־השוויון ‪ P 6= NP‬וגם השוויון ‪.co-NP = NP‬‬ ‫‪5‬מדוע?‬ ‫‪6‬הקידומת ‪ co‬מציינת את תחילת המילה ‪ – complement‬משלים‪.‬‬ ‫‪7‬חשוב לשים לב ש־‪!co-NP 6= NP‬‬ ‫‪8‬מדוע?‬