1. No category

‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫פרק ‪ – 2‬מבוא לתורת הקבוצות‬
‫בפרק זה נדון במושג הקבוצה ‪ -‬המבנה הבדיד (הדיסקרטי) הבסיסי ביותר‪,‬‬
‫באמצעותו מוגדרים כל שאר המבנים הבדידים במתמטיקה‪.‬‬
‫לא נגדיר במדויק מהי קבוצה‪ ,‬למרות שניתן לעשות זאת (באמצעות ‪10‬‬
‫אקסיומות ‪ -‬אקסיומות ‪ ,)ZFC‬אלא נאמר כי קבוצה היא אוסף של איברים בעל‬
‫תכונות מסוימות‪ .‬בגישה זו נוקטת תורת הקבוצות הנאיבית‪ ,‬להבדיל מתורת‬
‫הקבוצות האקסיומטית המגדירה את מושג הקבוצה והמושגים הנלווים לה‬
‫באמצעות אקסיומות (‪.)ZFC‬‬
‫לרוב‪ ,‬אלמנטים בקבוצה‪ ,‬שיקראו מכאן ואילך‪ :‬איברים‪ ,‬חולקים ביניהם לפחות‬
‫תכונה משותפת אחת‪ .‬למשל‪ ,‬בקבוצת כל הסטודנטים בקורס מתמטיקה‬
‫בדידה ‪ 1‬לכל הסטודנטים יש לפחות תכונה משותפת אחת – היותם סטודנטים‬
‫בקורס זה‪ .‬עם זאת‪ ,‬אין הכרח כי לאיברים בקבוצה תהיה תכונה משותפת‬
‫מעבר להיותם נמצאים באותה קבוצה‪.‬‬
‫תורת הקבוצות הנאיבית – מונחים‪ ,‬סימונים‬
‫ועקרונות בסיסיים‬
‫‪‬‬
‫קבוצה היא אוסף של אלמנטים נטול סדר‪ ,‬אשר כל אחד מהם מופיע בה‬
‫פעם אחת בלבד‪ .‬כל אחד מאלמנטים אלו נקרא‪ :‬איבר (של הקבוצה)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫קבוצה מתוארת ע"י רשימה של איבריה או ע"י תכונה מאפיינת‪ ,‬אשר‬
‫בעזרתה קובעים אילו הם איבריה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫קבוצות מסומנות לרוב באותיות אנגליות גדולות‪ ,‬איברים – באותיות‬
‫אנגליות קטנות‪ .‬את העובדה שאיבר ‪ a‬נמצא בקבוצה ‪( A‬או שייך לה)‬
‫נסמן‪ . a  A :‬את העובדה שאיבר ‪ b‬אינו נמצא בקבוצה ‪( A‬או אינו שייך‬
‫לה) נסמן‪. b  A :‬‬
‫‪‬‬
‫מבחינים בין שלושה אופנים עיקריים להגדרת קבוצה‪:‬‬
‫‪ o‬רשימה של איברים בתוך צומדיים‪ ,‬למשל‪, A  1,3,5,7,9 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪D  1, 2,3, 4, 5, 6 , C   , B  1, x, , , google‬‬
‫כאמור‪ ,‬אין הכרח כי לאיברים בקבוצה (אשר יכולים להיות קבוצות בפני‬
‫עצמן) תהיה תכונה משותפת מעבר להיותם נמצאים באותה קבוצה‪.‬‬
‫‪ o‬רישום של קריטריון בתוך צומדיים‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫‪B  All natural numbers that are smaller than 1‬‬
‫‪ o‬רישום מהצורה‪ B  n  : 2  n  4 :‬או מהצורה‪| 2  n  4 :‬‬
‫‪, C  n ‬‬
‫כאשר משמעות הנקודתיים או הקו האנכי בתוך הצומדיים היא "כך ש‪."...‬‬
‫‪15‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫‪ ‬בהינתן קבוצה כלשהי‪ ,‬כל עצם (מוחשי או מופשט) הוא איבר בקבוצה‬
‫הנתונה או שאינו איבר בה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרת שוויון בין שתי קבוצות‪ :‬נאמר ששתי קבוצות הן שוות אם"ם הן‬
‫מכילות את אותם האיברים‪ .‬ברישום לוגי (תחשיב הפרדיקטים) נאמר כי‬
‫‪ A  B‬אם"ם לכל ‪. x  A  x  B :x‬‬
‫נהוג לקצר ולרשום זאת כך‪ A  B :‬אם"ם ‪. x : x  A  x  B‬‬
‫‪ ‬בקבוצה אין משמעות לסדר האיברים או לחזרות שלהם‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫‪. 1,2,3,3,2,1,2,1,2  3,2,2,1,3  1,2,3  2,3,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫קבוצה ריקה היא קבוצה נטולת איברים‪ .‬מסומנת‪  :‬או‬
‫‪‬‬
‫ניתן להבחין בין קבוצות סופיות לקבוצות אינסופיות‪.‬‬
‫קבוצה סופית היא קבוצה שמספר איבריה הוא טבעי או ‪( 0‬לרבות קבוצה‬
‫ריקה)‪ .‬קבוצה אינסופית היא קבוצה שאינה סופית‪.‬‬
‫אם ‪ A‬קבוצה סופית (לרבות קבוצה ריקה) מסמנים ב‪ A -‬את מספר‬
‫איבריה‪.‬‬
‫דוגמאות‪ 0 :‬‬
‫‪1, 2,3, 4  3 , s,@, 2  3 , 9,8  2 , 3  1 ,    ‬‬
‫יחסים בין קבוצות‬
‫מעבר ליחס הזהות (השוויון) בין שתי קבוצות‪ ,‬ניתן להגדיר עוד שלושה יחסים‬
‫ביניהן‪.‬‬
‫‪‬‬
‫קבוצה ‪ A‬נקראת‪ :‬קבוצה חלקית (או תת‪-‬קבוצה) של קבוצה ‪ B‬ואומרים‬
‫גם‪ A :‬מוכלת ב‪ B -‬אם"ם כל איבר של ‪ A‬הוא גם איבר של ‪ .B‬סימון‪A  B :‬‬
‫ברישום לוגי נאמר כי ‪ A  B‬אם"ם לכל ‪. x  A  x  B :x‬‬
‫נהוג לקצר ולרשום זאת כך‪ A  B :‬אם"ם ‪. x : x  A  x  B‬‬
‫דוגמאות‪a, b  a, b,c , a, b  a, b , a, b  a,c :‬‬
‫‪‬‬
‫קבוצה ‪ A‬נקראת‪ :‬קבוצה חלקית ממש (או תת‪-‬קבוצה ממש) של קבוצה‬
‫‪ B‬ואומרים גם‪ A :‬מוכלת ממש ב‪ B -‬אם"ם כל איבר של ‪ A‬הוא גם איבר של‬
‫‪ B‬וגם קיים איבר ב‪ B -‬שאינו איבר ב‪ .A -‬סימון‪A  B :‬‬
‫ברישום לוגי נאמר כי ‪ A  B‬אם"ם (לכל ‪ ) x  A  x  B :x‬וגם‬
‫(קיים ‪.) x  B  x  A :x‬‬
‫נהוג לקצר ולרשום זאת כך‪ A  B :‬אם"ם‬
‫‪.  x : x  A  x  B   x : x  B  x  A ‬‬
‫דוגמאות‪a, b  a, b,c , a, b  a, b , a, b  a,c :‬‬
‫‪16‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫‪‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫שתי קבוצות נקראות זרות זו לזו אם"ם אין להן אף איבר משותף‪.‬‬
‫דוגמאות‪ :‬הקבוצות‪ 1, 2 , 3, 4,5 :‬זרות זו לזו; הקבוצות‪  , 1,2,3 :‬זרות זו‬
‫לזו; הקבוצות‪ 1,2,3 , 5,3,11 :‬אינן זרות זו לזו‪.‬‬
‫למה (‪ :)Lemma‬תהי ‪ A‬קבוצה כלשהי‪ .‬מתקיים‪. a  A  a  A :‬‬
‫(ההוכחה מבוססת על הגדרות הסימונים‪ -  ,  :‬תרגיל‪).‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪1  1, 2,3  11, 2,3 o‬‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫‪2  1, 2 ,3  2 1, 2 ,3‬‬
‫‪2  1, 2 ,3  2  1, 2 ,3‬‬
‫‪a,b  a,b ,c  a,b a,b ,c‬‬
‫טענה‪ :‬תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬שתי קבוצות כלשהן‪ .‬מתקיים‪:‬‬
‫א‪A  A .‬‬
‫ב‪  A .‬‬
‫ג‪A  B  A  B  B  A .‬‬
‫ד‪A  B  A  B  A  B .‬‬
‫ה‪A  B  A  B  A  B .‬‬
‫ו‪ .‬אם ‪ , A  ‬אז ‪.   A‬‬
‫הוכחה (חלקית)‪:‬‬
‫א‪ .‬צ"ל כי‪ . x : x  A  x  A :‬יהי ‪ x  A‬כלשהו‪ .‬הפסוק‪ x  A  x  A :‬הוא‬
‫טאוטולוגיה (שכן‪ ,) p  p  p  p  T :‬ומכאן נובעת נכונות סעיף זה‬
‫בטענה‪.‬‬
‫ב‪ .‬צ"ל כי‪ . x : x   x  A :‬יהי ‪ x  A‬כלשהו‪ .‬ערך האמת של הפסוק‪:‬‬
‫‪ x   x  A‬הוא ‪( T‬שכן ערך האמת של הפסוק ‪ x ‬הוא ‪ .)F‬מכאן‬
‫ומהגדרת קשר הגרירה נובעת נכונות סעיף זה בטענה‪.‬‬
‫ג‪ .‬עפ"י הגדרות היחסים‪ :‬שוויון‪ ,‬הכלה (תרגיל)‬
‫ד‪ .‬נשים לב כי‪:‬‬
‫‪A  B  A  B   x : x  A  x  B     x : x  A  x  B    x : x  B  x  A   ‬‬
‫‪  x : x  A  x  B    F   x : x  B  x  A     x : x  A  x  B  ‬‬
‫‪  x : x  B  x  A   A  B‬‬
‫ה‪ .‬עפ"י הגדרות היחסים‪ :‬שוויון‪ ,‬הכלה והכלה ממש (תרגיל)‬
‫ו‪ .‬עפ"י סעיף ב'‪ .   A :‬עפ"י הנתון‪ . A   :‬עפ"י סעיף ד' מתחייב כי‪:‬‬
‫‪.  A‬‬
‫‪17‬‬
‫□‬
‫רפאל ברכאן‬
‫ תשע"ג‬1 ‫מתמטיקה בדידה‬
:‫דוגמאות נוספות‬
:‫ מתקיים‬, A  1,2 , B  9,10 , C  A,3,4,5,6,7,8, B :‫בהינתן‬
o
. 1 A , 1 C , A  C , 9  B , 9  C , B  C
.  ‫ לבין הקבוצה‬ ‫ יש להבחין בין הקבוצה‬
)   1 ,   0 :‫ (שכן‬   !‫שימו לב‬
:‫כמו כן‬
 
)‫ (מסקנה מסעיפים א' או ב' של הטענה לעיל‬   
)‫ (מסקנה מסעיף ד' של הטענה לעיל‬   


. 1 A , 1 A ,  A ,  A :‫ מתקיים‬, A  1,1,1, ,  :‫בהינתן‬
1  A  1 A , 1  A  1  A  1  A
1  A  1  A , 1  A  1  A  1  A
1  A  1  A , 1  A  1  A  1  A
A , AA
  A    A ,   A    A    A
  A    A ,   A    A    A
18
:‫נשים לב כי‬

‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫פרדוקס ראסל – קבוצת כל הקבוצות‬
‫הגישה בה נקטנו לעיל – תורת הקבוצות הנאיבית – טומנת בחובה קשיים‬
‫הנובעים מהיותה בלתי מדויקת‪ .‬היא מאפשרת‪ ,‬למשל‪ ,‬להגדיר קבוצות באופן‬
‫רחב מדי אשר עלול להביא לכדי פרדוקס‪.‬‬
‫עפ"י תורת הקבוצות הנאיבית אין כל מניעה להגדיר כקבוצה את קבוצת כל‬
‫הקבוצות‪ .‬אולם הגדרה זו מביאה אותנו לכדי מצב פרדוקסלי‪ ,‬שכן היא‬
‫מאפשרת לנו להגדיר כקבוצה את קבוצת כל הקבוצות המקיימות תנאי מסוים –‬
‫למשל‪ ,‬אלו שאינן איבר של עצמן (אינן שייכות לעצמן)‪.‬‬
‫הלוגיקן ראסל הגדיר את הקבוצה ‪ A‬כקבוצת כל הקבוצות ‪ B‬שאינן איבר של‬
‫עצמן‪ . A : B : B  B :‬לאור הגדרה זו אך טבעי לבדוק אם ‪ . A  A‬כאמור‪,‬‬
‫בהינתן קבוצה‪ ,‬כל עצם מוחשי או מופשט (לרבות קבוצה) הוא איבר בקבוצה‬
‫הנתונה או אינו איבר בקבוצה הנתונה (אך לא שניהם)‪ .‬נבדוק‪ ,‬אפוא‪ ,‬את שתי‬
‫האפשרויות הללו‪:‬‬
‫א‪ .‬אם ‪ , A  A‬הרי שלפי הגדרת ‪ A‬כקבוצת כל הקבוצות שאינן איבר של עצמן‬
‫(אינן שייכות לעצמן)‪ ,‬נקבל כי‪ - A  A :‬סתירה‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ , A  A‬הרי שלפי הגדרת ‪ A‬כקבוצת כל הקבוצות שאינן איבר של עצמן‬
‫(אינן שייכות לעצמן)‪ ,‬נקבל כי‪ - A  A :‬סתירה‪.‬‬
‫קיבלנו‪ ,‬אפוא‪ ,‬כי‪ - A  A    A  A   F :‬סתירה פנימית‪ ,‬פרדוקס‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬לא ניתן להגדיר קבוצה ‪ A‬כדוגמת הנ"ל ובכלל לא ניתן להגדיר קבוצה‬
‫כקבוצת כל הקבוצות‪.‬‬
‫הבעייתיות בהגדרה הנ"ל של ‪( A‬כקבוצת כל הקבוצות שאינן איבר של עצמן)‬
‫נובעת מהיותה של הגדרה זו מקיפה מדי‪.‬‬
‫בתורת הקבוצות הנאיבית נוקטים בגישה נאיבית משהו הדורשת שבכל דיון‬
‫תצוין קבוצה אוניברסלית (המסומנת ב‪ – )U -‬קבוצה שכל הקבוצות בדיון‬
‫חלקיות לה (מוכלות בה)‪ ,‬אך באופן שלא תהיה מקיפה מדי כמו בדוגמא לעיל‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬בכל דיון המערב קבוצות של מספרים ממשיים חיוביים ושליליים‪ ,‬יהיה‬
‫זה אך טבעי להגדיר את הקבוצה האוניברסלית כקבוצת המספרים הממשיים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬לרוב נתייחס לקבוצה אוניברסלית כאל קבוצה שאינה ריקה (אלא אם‬
‫יצוין מפורשות אחרת)‪.‬‬
‫לסיום‪ ,‬אנלוגיה של פרדוקס ראסל‪ ,‬משעשעת יותר וקרובה יותר למציאות‬
‫היומיומית שלנו‪ ,‬היא פרדוקס הספר‪ .‬בפרדוקס זה מסופר על עיר אחת בה יש‬
‫ספר אשר מספר את כל האנשים שאינם מספרים את עצמם ואותם בלבד‪.‬‬
‫השאלה שנשאלת היא‪ :‬מי מספר את הספר‪?...‬‬
‫‪19‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫פעולות על קבוצות‬
‫נגדיר ‪ 4‬פעולות (בינאריות) יסודיות על קבוצות‪ .‬כל הפעולות תוגדרנה‬
‫באמצעות קשרים לוגיים ותומחשנה בדיאגרמות הנקראות‪ :‬דיאגרמות ‪.Venn‬‬
‫בכל דיאגרמה מצוינות ‪ 2‬קבוצות‪ B ,A :‬המהוות תת‪-‬קבוצות של קבוצה‬
‫אוניברסלית כלשהי (נתונה)‪ ,‬המצוינת במסגרת‪.‬‬
‫‪ .1‬איחוד – הגדרה וסימון‪A  B: x : x  A  x  B :‬‬
‫המחשה‪:‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪1, 2,3  3, 4,5  1, 2,3, 4,5 , 1, 2,3  4,5, 6  1, 2,3, 4,5, 6 , 3,5  3, 4,5  3, 4,5 ,‬‬
‫‪  1,1,17  1,1,17‬‬
‫‪ .2‬חיתוך ‪ -‬הגדרה וסימון‪A  B: x : x  A  x  B :‬‬
‫המחשה‪:‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪1, 2,3, 4  3, 4,5,6  3, 4 , 1, 2,3  3,5,6  3 , 3,5  3, 4,5  3,5 , 1, 2  3, 4   ,‬‬
‫‪  1,1,17  ‬‬
‫תזכורת‪ 2 :‬קבוצות ‪ A‬ו‪ B -‬נקראות‪ :‬זרות אם"ם‪( . A  B   :‬למשל‪ ,‬הקבוצות‪:‬‬
‫‪ 1,2 , 3,4‬זרות‪ ,‬שכן‪). 1,2  3,4   :‬‬
‫‪20‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫‪ .3‬הפרש ‪ -‬הגדרה וסימון‪A \ B: x : x  A  x  B :‬‬
‫המחשה‪:‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪1, 2,3, 4 \ 3, 4,5,6  1, 2 , 1, 2,3 \ 3,5,6  1, 2 , 3,5,6 \ 1, 2,3  5,6 ,‬‬
‫‪3,5 \ 3, 4,5   , 1, 2 \ 3, 4  1, 2 ,  \ 1,1,17   , 1,1,17 \   1,1,17‬‬
‫‪ .4‬הפרש סימטרי ‪ -‬הגדרה וסימון‪AB: x : x  A  x  B :‬‬
‫המחשה‪:‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪1,‬‬
‫‪2,3,‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪3,‬‬
‫‪4,5,6‬‬
‫‪‬‬
‫‪1,‬‬
‫‪2,5,6‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1,‬‬
‫‪2,3‬‬
‫‪‬‬
‫‪3,5,6‬‬
‫‪‬‬
‫‪1,‬‬
‫‪2,5,6‬‬
‫‪,‬‬
‫‪3,5‬‬
‫‪‬‬
‫‪3,‬‬
‫‪4,5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪1, 2  3, 4  1, 2,3, 4 ,  1,1,17  1,1,17 , 1, 2  1, 2  ‬‬
‫נגדיר עתה את ‪ 4‬הפעולות (הבינאריות) היסודיות הנ"ל באמצעות טבלת אמת‪.‬‬
‫לשם כך נניח כי ‪ U‬היא קבוצה אוניברסלית נתונה וכי ‪ A‬היא קבוצה כלשהי‬
‫( ‪ .) A  U‬עבור כל ‪ , x  U‬נסמן ‪ 1‬אם ‪ – 0 , x  A‬אחרת (אם ‪.) x  A‬‬
‫תתקבל טבלת האמת הבאה‪:‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A\B‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪21‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫ניתן להגדיר גם את פעולת ההכלה בין קבוצות באמצעות טבלת אמת‪ ,‬אלא שזו‬
‫תהא טבלת אמת "מעורבת" – עמודות המתארות קבוצות תאכלסנה אפסים או‬
‫אחדים (לציון שייכות‪/‬אי‪-‬שייכות של איבר לקבוצה)‪ ,‬בעוד עמודות המתארות‬
‫פסוקים תאכלסנה ‪ T‬או ‪( F‬לציון ערכי האמת של הפסוקים)‪.‬‬
‫כזכור‪ A  B ,‬אם"ם ‪. x : x  A  x  B‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫הגדרת משלים של קבוצה (ביחס לקבוצה האוניברסלית)‪:‬‬
‫כל קבוצה מחלקת את כל העצמים האפשריים בעולם לשני אוספים זרים לזה‪.‬‬
‫לעיתים‪ ,‬נוח לצמצם את הדיון לקבוצות שכולן חלקיות לקבוצה מסוימת נתונה‪.‬‬
‫במקרה זה‪ ,‬כאמור‪ ,‬קוראים לקבוצה הנתונה‪ :‬הקבוצה האוניברסלית‪,‬‬
‫ומסמנים אותה ב‪ .U -‬לרוב‪ ,‬היא נקבעת עפ"י ההקשר‪.‬‬
‫תהיינה ‪ U‬קבוצה אוניברסלית נתונה ו‪ A  U -‬קבוצה כלשהי‪ .‬המשלים של ‪A‬‬
‫(ביחס ל‪ )U -‬הוא אוסף כל איברי ‪ U‬שאינם איברי ‪ .A‬בסימול מתמטי‪:‬‬
‫‪. Ac  A : x : x  A  x : x  U  x  A  U \ A‬‬
‫המחשה‪:‬‬
‫ניתן להתייחס למשלים של קבוצה נתונה (ביחס לקבוצה אוניברסלית נתונה)‬
‫כאל פעולה אונארית על קבוצה‪ .‬נוכל גם להגדירה באמצעות טבלת אמת‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪22‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪U  1, 2,3, 4,5 , A  2,5 , A  1,3, 4 o‬‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫‪  2, 4,6,8,10,... , A  2n 1: n    1,3,5,7,9,...‬‬
‫‪U  , A  , A  z  : z  0‬‬
‫‪U  1, 2,3, 4,5 , A  U , A  ‬‬
‫‪, A  2n : n ‬‬
‫‪U‬‬
‫‪ o‬שימו לב! לא נהוג להגדיר סדר קדימות בין פעולות בין קבוצות‪ ,‬ולכן יש‬
‫להקפיד על רישום נאות של סוגריים‪.‬‬
‫קבוצות מיוחדות ‪ -‬קטעים על‪-‬גבי הישר הממשי‬
‫הגדרות של קטעים (סופיים) וקרנות על‪-‬גבי הישר הממשי‪:‬‬
‫‪.U ‬‬
‫כמובן‪ ,‬עבור כל הקבוצות דלהלן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫קטע סופי פתוח – ‪: a  x  b‬‬
‫‪ a, b  : x ‬‬
‫‪‬‬
‫קטע סופי סגור – ‪: a  x  b‬‬
‫‪a, b : x ‬‬
‫‪‬‬
‫קטע סופי חצי פתוח חצי סגור – ‪: a  x  b‬‬
‫‪ a, b : x ‬‬
‫‪‬‬
‫קטע סופי חצי סגור חצי פתוח – ‪: a  x  b‬‬
‫‪a, b  : x ‬‬
‫‪‬‬
‫קרן פתוחה מימין – ‪: x  a‬‬
‫‪ ,a  : x ‬‬
‫‪‬‬
‫קרן סגורה מימין – ‪: x  a‬‬
‫‪ ,a  : x ‬‬
‫‪‬‬
‫קרן פתוחה משמאל – ‪: x  a‬‬
‫‪ a,   : x ‬‬
‫‪‬‬
‫קרן סגורה משמאל – ‪: x  a‬‬
‫‪a,   : x ‬‬
‫‪23‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫ תשע"ג‬1 ‫מתמטיקה בדידה‬
:‫ אז‬, A   7,3 , B  1,5 :‫נניח כי‬
A  B   7,5 
A  B  1,3
A \ B   7,1
B \ A   3,5 
AB   A \ B    B \ A    7,1   3,5 
A   , 7    3,  
B   ,1  5,  
24
‫רפאל ברכאן‬
‫ תשע"ג‬1 ‫מתמטיקה בדידה‬
‫חוקי תורת הקבוצות‬
.‫ נתונה‬U ‫ קבוצות כלשהן החלקיות לקבוצה אוניברסלית‬C ,B ,A :‫תהיינה‬
:‫ איחוד‬.1
1.1: A    A , A  A  A
1.2 : A  B  B  A , A   B  C    A  B   C
1.3 : A  A  B , B  A  B
1.4 : A  B  A  B  B
:‫ חיתוך‬.2
2.1: A     , A  A  A
2.2 : A  B  B  A , A   B  C    A  B   C
2.3 : A  B  A , A  B  B
2.4 : A  B  A  B  A
:)‫חיתוך‬-‫ חוקי פילוג (ביחס לאיחוד‬.3
3.1:  A  B  C   A  C    B  C 
3.2 :  A  B  C   A  C    B  C 
:‫ חוקי הבליעה‬.4
A   A  B  A  A   A  B 
:‫ הקבוצה האוניברסלית והמשלים‬.5
5.1: U   ,   U , A  A
5.2 : A  A  U , A  A  
:‫ הפרש‬.6
6.1: A  U \ A , A \   A
6.2 : A \ A   ,  \ A  
6.3 : A \ B  A  B
6.4 : A  B  A \ B  
6.5 : A  B    A \ B  A
:‫מורגן‬-‫ חוקי דה‬.7
7.1 : A  B  A  B
7.2 : A  B  A  B
8.1: AB   A \ B    B \ A    A  B  \  A  B 
8.2 : AB  BA , A  BC    AB  C
8.3 : A  A , AA  
25
:‫ הפרש סימטרי‬.8
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫עקרון הדואליות‪ :‬בהינתן זהות בתורת הקבוצות‪ ,‬המערבת אחת או יותר מהפעולות‪:‬‬
‫איחוד‪ ,‬חיתוך ומשלים ואפס או יותר מהקבוצות‪ ,  ,U :‬הרי שניתן לקבל ממנה זהות‬
‫אחרת‪ ,‬ע"י החלפת פעולות האיחוד והחיתוך זו בזו וע"י החלפת הקבוצות‪  ,U :‬זו בזו‬
‫(אם קיימות)‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪A   A  B  A‬‬
‫‪o‬‬
‫‪A   A  B  A‬‬
‫‪o‬‬
‫‪AB  AB‬‬
‫‪o‬‬
‫‪AU  A‬‬
‫‪A   A‬‬
‫‪o‬‬
‫‪AA  ‬‬
‫‪AA  U‬‬
‫‪AB  AB‬‬
‫‪26‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫אופני הוכחה של טענות בתורת הקבוצות‬
‫ניתן להוכיח טענות בתורת הקבוצות בשלוש שיטות הוכחה עיקריות‪:‬‬
‫א‪ .‬חלוקה למקרים (סקירת כל המקרים האפשריים) ‪ -‬באמצעות טבלת אמת‪,‬‬
‫תוך שימוש בהגדרות ובסימונים המתאימים לטבלאות אמת בתורת הקבוצות‬
‫ב‪ .‬תוך שימוש בהגדרות הפעולות והיחסים בין קבוצות – באמצעות הגדרות‬
‫ושפת הלוגיקה המתמטית; למשל‪ ,‬כדי להוכיח שוויון בין שתי קבוצות ‪ A‬ו‪B -‬‬
‫יש להראות כי‪. x : x  A  x  B :‬‬
‫ג‪ .‬תוך שימוש בחוקי תורת הקבוצות הנ"ל – "הוכחה אלגברית"‬
‫הערה‪ :‬לא תמיד יהיה זה נוח או אפשרי להוכיח טענה נתונה בכל אחת‬
‫מהשיטות הנ"ל‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫טענה‪A, B,C : A \  B  C    A \ B   A \ C  :‬‬
‫הוכחה א'‪ :‬תהיינה ‪ C ,B ,A‬קבוצות כלשהן (החלקיות לקבוצה אוניברסלית‬
‫‪ U‬נתונה)‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B  C A \ B  C A \ B‬‬
‫‪A \ B  A \ C‬‬
‫‪A\C‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫□‬
‫שתי העמודות המודגשות זהות ולכן הטענה נכונה‪.‬‬
‫הוכחה ב'‪ :‬תהיינה ‪ C ,B ,A‬קבוצות כלשהן (החלקיות לקבוצה אוניברסלית‬
‫‪ U‬נתונה)‪ .‬צריך להוכיח כי‪. x : x  A \  B  C   x   A \ B   A \ C  :‬‬
‫יהי ‪ x  U‬כלשהו‪ .‬אכן‪:‬‬
‫‪x  A   x  B  C ‬‬
‫‪x  A \  B  C   \ definition x  A  x  B  C  symbol‬‬
‫‪ definition x  A    x  B  x  C   D.M (log ic) x  A   x  B  x  C  ‬‬
‫‪ x  B   x  A  x  C   \ definition‬‬
‫‪x  A‬‬
‫‪ pp p‬‬
‫‪commutativity and associativity of ‬‬
‫‪ x   A \ B  x   A \ C   definition x   A \ B   A \ C ‬‬
‫□‬
‫‪27‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫הוכחה ג'‪ :‬תהיינה ‪ C ,B ,A‬קבוצות כלשהן (החלקיות לקבוצה אוניברסלית‬
‫‪ U‬נתונה)‪ .‬נפשט את שני האגפים באמצעות חוקי תורת הקבוצות הנ"ל‬
‫ונראה כי הם שווים‪.‬‬
‫אגף שמאל‪:‬‬
‫‪A \  B  C  6.3 A  B  C 7.1  D.M A  B  C 2.2  associativity of  A  B  C‬‬
‫‪‬‬
‫אגף ימין‪:‬‬
‫‪A BC‬‬
‫‪‬‬
‫‪ A \ B   A \ C  6.3  A  B   A  C  2.1  AAA‬‬
‫‪2.2  commutativity and associativity of ‬‬
‫שני האגפים שווים ולכן הטענה נכונה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫□‬
‫חוק דה‪-‬מורגן‪A, B: A  B  A  B :‬‬
‫הוכחה א'‪ :‬תהיינה ‪ B ,A‬קבוצות כלשהן (החלקיות לקבוצה אוניברסלית ‪U‬‬
‫נתונה)‪.‬‬
‫‪A B A B AB AB‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫שתי העמודות המודגשות זהות ולכן הטענה נכונה‪.‬‬
‫הוכחה ב'‪ :‬תהיינה ‪ B ,A‬קבוצות כלשהן (החלקיות לקבוצה אוניברסלית ‪U‬‬
‫נתונה)‪ .‬צריך להוכיח כי‪ . x : x  A  B  x  A  B :‬יהי ‪ x  U‬כלשהו‪.‬‬
‫אכן‪:‬‬
‫‪x  A  B  definition x  A  B    x  A  B    definition   x  A  x  B   D.M  logic ‬‬
‫‪x  A  x  B   definition x  A  B‬‬
‫‪definition‬‬
‫‪ xA  xB ‬‬
‫‪‬‬
‫‪28‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫‪‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫חוק פילוג‪A, B,C : A   B  C   A  B   A  C  :‬‬
‫הוכחה א'‪ :‬תהיינה ‪ C ,B ,A‬קבוצות כלשהן (החלקיות לקבוצה אוניברסלית‬
‫‪ U‬נתונה)‪.‬‬
‫‪A B C B  C A  B  C A  B‬‬
‫‪A  B  A  C‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫שתי העמודות המודגשות זהות ולכן הטענה נכונה‪.‬‬
‫הוכחה ב'‪ :‬תהיינה ‪ C ,B ,A‬קבוצות כלשהן (החלקיות לקבוצה אוניברסלית‬
‫‪ U‬נתונה)‪ .‬צריך להוכיח כי‪. x : x  A   B  C   x   A  B   A  C  :‬‬
‫יהי ‪ x  U‬כלשהו‪ .‬אכן‪:‬‬
‫‪x  A  x  B  x  C ‬‬
‫‪x  A   B  C    definition x  A  x  B  C   definition‬‬
‫‪ x  A  x  B   x  A  x  C    definition‬‬
‫‪ x   A  B   x   A  C    definition x   A  B    A  C ‬‬
‫‪distributivity (logic): p  q  r   p  q   p  r ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫טענה‪A, B: A  B  A  B  A  B :‬‬
‫ראשית‪ ,‬נזהה כי הטענה היא בעצם שקילות ולא זהות‪/‬שוויון בתורת‬
‫הקבוצות‪ ,‬כבדוגמאות הקודמות‪.‬‬
‫הוכחה א'‪ :‬תהיינה ‪ B ,A‬קבוצות כלשהן (החלקיות לקבוצה אוניברסלית ‪U‬‬
‫נתונה)‪ .‬מספיק להראות כי‪ . A  B  A  B  A  B :‬נבנה טבלת אמת‬
‫"מעורבת" (אפסים‪/‬אחדים ו‪.)F/T -‬‬
‫‪A B AB AB AB  AB‬‬
‫‪AB‬‬
‫(‪)p‬‬
‫(‪)q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫שתי העמודות המודגשות זהות‪ ,‬ולכן הפסוקים (‪ )q ,p‬שקולים זה לזה‬
‫□‬
‫והטענה נכונה‪.‬‬
‫‪29‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫ תשע"ג‬1 ‫מתמטיקה בדידה‬
U ‫ קבוצות כלשהן (החלקיות לקבוצה אוניברסלית‬B ,A ‫ תהיינה‬:'‫הוכחה ב‬
‫ נוכיח את נכונותו של‬. A  B  A  B  A  B :‫ מספיק להראות כי‬.)‫נתונה‬
.‫כל כוון בנפרד‬
:‫ ונקבל‬A : B :‫ אפוא‬,‫ נציב‬. A  B  A  B :‫ וצ"ל כי‬A  B :‫ נתון כי‬: 
A  B A:B B  B  B
 AB  AB
A  B A:B B  B  B
:‫ צ"ל כי‬,‫ כלומר‬. A  B :‫ וצ"ל כי‬A  B  A  B :‫ נתון כי‬: 
:‫ אבל מתקיים‬. x : x  A  x  B
. x : x  A  x  B pq pq  qp x :  x  A  x  B   x  B  x  A 
x  A Addition
:‫ אכן‬. x  A  x  B :‫ נוכיח תחילה כי‬.‫ כלשהו‬x  U ‫יהי‬
x  A  x  B  definition x  A  B ABAB x  A  B  definition
 x  A  x  B Simplification x  B
x  B Addition x  B  x  A  definition
:‫ אכן‬. x  B  x  A :‫נוכיח עתה כי‬
x  B  A commutativity of  x  A  B ABAB
 x  A  B  definition  x  A  x  B Simplification x  A
□
U ‫ קבוצות כלשהן (החלקיות לקבוצה אוניברסלית‬B ,A ‫ תהיינה‬:'‫הוכחה ג‬
‫ נוכיח את שני הכוונים‬. A  B  A  B  A  B :‫ מספיק להראות כי‬.)‫נתונה‬
.‫זמנית בהתבסס על הגדרות וחוקי תורת הקבוצות‬-‫בו‬
A  B  A  B   definition  A  B  A  B    A  B  A  B   A,B:AB AB
  A  B  A  B   T  A  B  A  B  , definitions  A  B  A    A  B  B  
and properties
  definition
 A  A  B  A    A  B  B  B  C:CC  T  B  A    A  B  T  
and properties
 B  A  A  B   definition A  B
□
30
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫‪‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫טענה‪A, B: A \ B  A  A  B   :‬‬
‫ראשית‪ ,‬נזהה כי הטענה היא בעצם שקילות ולא זהות‪/‬שוויון בתורת‬
‫הקבוצות‪.‬‬
‫הוכחה א'‪ :‬תהיינה ‪ B ,A‬קבוצות כלשהן (החלקיות לקבוצה אוניברסלית ‪U‬‬
‫נתונה)‪ .‬מספיק להראות כי‪ . A \ B  A  A  B   :‬נבנה טבלת אמת‬
‫"מעורבת" (אפסים‪/‬אחדים ו‪.)F/T -‬‬
‫‪A B‬‬
‫‪A\B‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪A\BA‬‬
‫‪AB  ‬‬
‫(‪)p‬‬
‫(‪)q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫שתי העמודות המודגשות זהות‪ ,‬ולכן הפסוקים (‪ )q ,p‬שקולים זה לזה‬
‫□‬
‫והטענה נכונה‪.‬‬
‫הוכחה ב'‪ :‬תהיינה ‪ B ,A‬קבוצות כלשהן (החלקיות לקבוצה אוניברסלית ‪U‬‬
‫נתונה)‪ .‬מספיק להראות כי‪ . A \ B  A  A  B   :‬נוכיח את נכונותו של‬
‫כל כוון בנפרד‪.‬‬
‫‪ : ‬נתון כי‪ A \ B  A :‬וצ"ל כי‪ . A  B   :‬נוכיח זאת על דרך השלילה –‬
‫נניח בשלילה כי‪ . A, B: A \ B  A  A  B   :‬עבור אותן ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות‬
‫ספציפיות המקיימות את הנחת השלילה מתקיים‪:‬‬
‫‪A \ B  A  A  B    A  B    x : x  A  B  x : x  A  x  B ‬‬
‫‪A A\B x : x  A \ B  x  B  x :  x  A  x  B   x  B  x : x  A ‬‬
‫‪  x  B  x  B   x : x  A  F  x : F  F‬‬
‫‪ : ‬נתון כי‪ A  B   :‬וצ"ל כי‪ . A \ B  A :‬נוכיח זאת על דרך השלילה –‬
‫נניח בשלילה כי‪ . A, B: A  B    A \ B  A :‬עבור אותן ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות‬
‫ספציפיות המקיימות את הנחת השלילה מתקיים‪:‬‬
‫‪A  B    A \ B  A  A \ B  A   x : x  A \ B  x  A  ‬‬
‫‪  x : x  A  x  A \ B   A\B A F   x : x  A  x  A \ B  ‬‬
‫‪ x : x  A  x  A \ B  x : x  A    x  A \ B  ‬‬
‫‪ x : x  A    x  A  x  B   D.M x : x  A   x  A  x  B  ‬‬
‫‪ x :  x  A  x  A    x  A  x  B   x : F   x  A  x  B  ‬‬
‫‪ x : x  A  x  B  x : x  A  B  A  B    AB F‬‬
‫□‬
‫‪31‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫ תשע"ג‬1 ‫מתמטיקה בדידה‬
‫קבוצת החזקה‬
‫ נסמן‬.)‫ נתונה‬U ‫ קבוצה כלשהי (החלקית לקבוצה אוניברסלית‬A ‫ תהי‬:‫הגדרה‬
.A ‫הקבוצות של‬-‫ אשר איבריה הם כל תת‬,A ‫ את קבוצת החזקה של‬PA  -‫ב‬
). B: B  P  A   B  A :‫ (כלומר‬. P  A  : B: B  A :‫בסימול מתמטי‬
:‫דוגמאות‬
P a, b  , a , b , a, b
P a  , a
P     
P a, b, c  , a , b , c , a, b , a, c , b, c , a, b, c
.‫ שימו לב! איברי קבוצת החזקה הם קבוצות‬o
:‫תכונות עיקריות של קבוצת החזקה‬
.‫ קבוצות כלשהן‬B -‫ ו‬A ‫תהיינה‬
 P  A   A  P  A  .‫א‬
□
.   A  A  A P A definition  P  A   A  P  A  :‫הוכחה‬
P  A    .‫ב‬
□ .  P  A   A  P  A   P  A    :‫ על סמך התכונה הקודמת‬:‫הוכחה‬
P  A  B  P  A   P  B .‫ג‬
‫ קבוצה‬C ‫ תהי‬. C : C  P  A  B  C  P  A   P  B :‫ צ"ל כי‬:‫הוכחה‬
C  P  A   P  B  definition C  P  A   C  P  B   power set definition
 properties C  A  B  power set definition C  P  A  B 
□
32
:‫ אכן‬.‫כלשהי‬
CA  CB
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫ד‪P  A   P  B  P  A  B .‬‬
‫הוכחה‪ :‬צ"ל כי‪ . C : C  P  A   P  B  C  P  A  B :‬תהי ‪ C‬קבוצה‬
‫כלשהי‪ .‬אכן‪:‬‬
‫‪C  P  A   P  B  definition C  P  A   C  P  B  power set definition C  A  C  B ‬‬
‫‪ properties C  A  B power set definition C  P  A  B ‬‬
‫□‬
‫ה‪PA \ B  PA \ PB .‬‬
‫הוכחה‪ :‬מספיק להראות כי (לכל ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות כלשהן) קיים איבר‬
‫(בקבוצה) באגף שמאל שאינו קיים (בקבוצה) באגף ימין‪ .‬אכן‪ ,‬עפ"י תכונה‬
‫□‬
‫א' לעיל‪ ,  P(A \ B) :‬אך‪.  P  A    P  B   P  A  \ P  B :‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ A‬היא קבוצה סופית בת ‪ n‬איברים ( ‪ n   0‬כלשהו)‪ ,‬אז קבוצת‬
‫החזקה שלה מכילה ‪ 2n‬איברים‪.‬‬
‫(בסימול מתמטי‪). n   0 : A  n  P  A   2 A  2n :‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ , A  ‬הרי ש‪ , P  A    :‬משמע‪. P  A   1  20  2 A :‬‬
‫תהי‪ ,‬אפוא‪ A   ,‬כך ש‪( A  n :‬‬
‫‪ n ‬כלשהו)‪ .‬נוכיח משיקולי ספירה‬
‫(שיקולים קומבינטוריים) כי‪. P  A   2n :‬‬
‫נתאים תחילה אינדקסים לאיברי ‪ ,A‬באופן הבא‪. A : a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n  :‬‬
‫לכל תת‪-‬קבוצה (קבוצה חלקית) ‪ B  A‬נתאים סידרה בינארית באורך ‪:n‬‬
‫‪ , x 1 x 2 x 3 ...x n‬באופן הבא‪ :‬לכל אינדקס ‪ 1  i  n‬נסמן‪ x i : 1 :‬אם ‪ , a i  B‬אחרת‬
‫( ‪ - ) a i  B‬נסמן‪ . x i : 0 :‬למשל‪ ,‬עפ"י התאמה זו‪ ,‬לתת‪-‬הקבוצות‪:‬‬
‫‪a1 ,  , A‬‬
‫של ‪ A‬תתאמנה הסדרות הבינאריות הבאות‪ 1000...0 , 000...0 , 111...1 :‬בהתאמה‪.‬‬
‫התאמה זו היא התאמה בזוגות – התאמה חד‪-‬חד ערכית‪ ,‬שכן היא מתאימה לכל‬
‫תת‪-‬קבוצה של ‪ A‬סידרה בינארית אחת ויחידה באורך ‪ n‬ולהיפך‪.‬‬
‫מכאן מתחייב שמספר תת‪-‬הקבוצות של ‪ A‬הוא כמספר הסדרות הבינאריות‬
‫באורך ‪ n‬שהוא (עפ"י שיקולים קומבינטוריים – עקרון המכפלה)‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . 2  2  2  ...n times...  2  2n‬קיבלנו‪ ,‬אפוא‪ ,‬כי‪ , P  A   2n :‬כנדרש‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫זוגות סדורים ומכפלה קרטזית‬
‫זוגות סדורים‬
‫כאמור‪ ,‬בקבוצה לא מוגדר סדר בין איבריה‪ ,‬כך למשל‪. a, b  b,a :‬‬
‫נרצה עתה להגדיר "קבוצה סדורה" – ישות שיש לה איברים (בדומה לקבוצה)‪,‬‬
‫אשר (בניגוד לקבוצה) מוגדר סדר בין איבריה‪ .‬נתחיל את התהליך‪ ,‬כמובן‪,‬‬
‫מישות (כזו) בת שני איברים – זוג סדור‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬זוג סדור הוא קבוצה בת שני איברים‪ ,‬המסומנת‪ ,  a, b  :‬המקיימת את‬
‫התכונה הבאה‪. a, b,c,d  U :  a, b    c,d   a  c  b  d :‬‬
‫קיום תכונה זו (הנקראת‪ :‬תכונת הזוג הסדור) מחייב שמוגדר סדר בין‬
‫האיברים ב‪ ,  a, b  -‬באופן ש‪ a -‬הוא האיבר הראשון בזוג ו‪ b -‬הוא האיבר השני‬
‫בזוג‪ .‬באופן זה מתקיים‪. a, b  U :  a, b    b,a   a  b :‬‬
‫הדוגמא הנפוצה ביותר במתמטיקה לזוג סדור (זוג שמוגדר בו סדר) היא רכיבים‬
‫(קואורדינאטות) של נקודה במישור (הממשי)‪ .‬לכל נקודה במישור יש שני‬
‫רכיבים (קואורדינאטות) – רכיב ‪ x‬ורכיב ‪ ,y‬המתקבלים ע"י הורדת אנך מהנקודה‬
‫אל ציר ה‪ x -‬ואל ציר ה‪ y -‬בהתאמה‪ .‬כך‪ ,‬למשל‪ ,‬הנקודה‪  2,3 :‬היא בעלת‬
‫הרכיבים‪ , x  2 , y  3 :‬בעוד הנקודה‪  3, 2  :‬היא בעלת הרכיבים‪. x  3 , y  2 :‬‬
‫ברור כי שתי הנקודות הללו שונות‪ ,‬כך ששני הזוגות הסדורים‪:‬‬
‫‪ 2,3 , 3, 2‬‬
‫שונים זה מזה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בהגדרה דלעיל נאמר כי זוג סדור הוא קבוצה מיוחדת – כזו המקיימת‬
‫את תכונת הזוג הסדור‪ .‬לחילופין‪ ,‬ניתן להגדיר זוג סדור ‪  a, b ‬כקבוצה בשני‬
‫האופנים הבאים‪:‬‬
‫א‪ a, b  : a,a, b .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ a, b  : a,a, b‬‬
‫ניתן להראות כי שתי הגדרות אלו שקולות להגדרה (של זוג סדור) דלעיל‪.‬‬
‫(תרגיל)‬
‫‪34‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫מכפלה קרטזית‬
‫הגדרה‪ :‬תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות כלשהן‪ .‬המכפלה הקרטזית של ‪ A‬ב‪B -‬‬
‫מסומנת ומוגדרת באופן הבא‪. A  B :  a, b  : a  A  b  B :‬‬
‫(במילים‪ :‬המכפלה הקרטזית של ‪ A‬ב‪ B -‬היא קבוצת כל הזוגות הסדורים‪ ,‬אשר‬
‫הרכיב הראשון בהם לקוח מ‪ A -‬והרכיב השני בהם לקוח מ‪).B -‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪1, 2  2,3, 4  1, 2  , 1,3 , 1, 4  ,  2, 2  ,  2,3 ,  2, 4 ‬‬
‫‪2,3, 4  1, 2   2,1 ,  3,1 ,  4,1 ,  2, 2  , 3, 2  ,  4, 2 ‬‬
‫‪1, 2  1, 2  1,1 , 1, 2  ,  2,1 ,  2, 2 ‬‬
‫‪  1, 2  1, 2    ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪  x, y  : x ‬‬
‫‪‬‬
‫בדוגמא האחרונה‪ ,‬הייצוג הגיאומטרי של הקבוצה (האינסופית) ‪‬‬
‫(המסומנת גם‪ ) 2 :‬הוא המישור הממשי (אוסף כל הנקודות במישור הממשי)‪.‬‬
‫תכונות בסיסיות‪:‬‬
‫א‪ .‬מכפלה קרטזית אינה פעולה חילופית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהיינה‪ . : 1, 2 , B : 2,3, 4 :‬מתקיים‪:‬‬
‫‪A  B  1, 2  2,3, 4  1, 2  , 1,3 , 1, 4  ,  2, 2  ,  2,3  ,  2, 4 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  A  B  B A‬‬
‫‪B  A  2,3, 4  1, 2   2,1 ,  3,1 ,  4,1 ,  2, 2  , 3, 2  ,  4, 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫□‬
‫ב‪ .‬מכפלה קרטזית אינה פעולה קיבוצית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהיינה‪ . A : 1 , B: 2 , C : 3 :‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ A  B  C  1  2  3  1, 2   3   1, 2  ,3‬‬
‫‪   A  B  C  A   B  C ‬‬
‫‪A   B  C   1  2  3  1   2,3  1,  2,3  ‬‬
‫‪‬‬
‫□‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪35‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫ג‪.‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫‪( A, B: A    B    A  B  ‬הוכחה – תרגיל)‬
‫ד‪( A, B: A    B    A  B  A  B  B  A .‬הוכחה – תרגיל)‬
‫ה‪ .‬עקרון המכפלה‪ :‬אם ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות סופיות‪ ,‬אז‪. A  B  A  B :‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות סופיות כלשהן‪ .‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬
‫‪ - A    B   )1‬בלי הגבלת הכלליות‪ ,‬נניח ש‪; A   :‬‬
‫‪A  B   B    A  B  0 ‬‬
‫‪‬‬
‫נקבל כי‪:‬‬
‫‪  AB  A  B‬‬
‫‪A  0  A  B  0 B  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ - A    B   )2‬נסמן‪; A : a1 ,a 2 ,a 3 ,...,a m  , B: b1, b2 , b3 ,..., b n  :‬‬
‫מתקיים‪ , A  m , B  n :‬כאשר‬
‫‪ m, n ‬כלשהם; נקבל כי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a1 , b1  ,  a1 , b 2  ,  a1 , b3  ,...,  a1 , b n  ,  a 2 , b1  ,  a 2 , b 2  ,  a 2 , b3  ,..., ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. AB  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪,  a 2 , b n  ,...,  a m , b1  ,  a m , b 2  ,  a m , b3  ,...,  a m , b n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מחד‪ ,‬בקבוצה ‪ A  B‬יש ‪ m  n‬איברים‪ .‬מאידך‪ . A  B  m  n :‬מתקיים‪,‬‬
‫אפוא‪ ,‬כי‪. A  B  A  B :‬‬
‫□‬
‫דוגמא‪ :‬בחדר ‪ 4‬דלתות ו‪ 8 -‬חלונות‪ .‬לחדר נכנסים דרך דלת ויוצאים דרך‬
‫חלון‪ .‬נחשב בכמה דרכים (שונות) ניתן לעשות זאת‪.‬‬
‫‪D : d : d is a door in the room  d1 , d 2 , d 3 , d 4 ‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪W : w : w is a window in the room  w1 , w 2 , w 3 ,..., w 8 ‬‬
‫קבוצת כל הדרכים בהן ניתן להיכנס לחדר דרך דלת ולצאת דרך חלון היא‪:‬‬
‫‪ . D  W   d, w  : d  D  w  W‬עפ"י עקרון המכפלה‪ ,‬מספר הדרכים הללו‬
‫הוא‪. D  W  D  W  4  8  32 :‬‬
‫‪ ‬כזכור‪ ,‬לא נהוג להגדיר סדר קדימות בין פעולות בין קבוצות (לרבות מכפלה‬
‫קרטזית)‪ ,‬ולכן יש להקפיד על רישום נאות של סוגריים‪.‬‬
‫‪36‬‬