‫בעיית הכיסוי בצמתים )‪(Vertex Cover‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪2‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫תת קבוצה ‪ U⊆V‬של צמתים בגרף לא מכוון )‪G(V,E‬‬ ‫נקראת כיסוי בצמתים אם לכל קשת ‪(u,v)∈E‬‬ ‫מתקיים ‪ u∈U‬או ‪) v∈U‬או שניהם(‬ ‫גודל הכיסוי‪ :‬מספר הצמתים בכיסוי )|‪(|U‬‬ ‫דוגמה‪ :‬כיסוי בצמתים בגודל ‪3‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪4‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪-NP‬שלמות‬ ‫רדוקציות פולינומיות‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫הוכחת ‪-NP‬שלמות של ‪VC‬‬ ‫!‬ ‫חישוביות – הרצאה ‪13‬‬ ‫תחילה נוכיח כי ‪VC∈NP‬‬ ‫נבנה מ''ט אי דטרמיניסטית פולינומית ‪ M‬עבור ‪VC‬‬ ‫המכונה ‪ M‬על קלט )‪ (G,k‬תנחש ‪ k‬צמתים מתוך צמתי ‪ G‬ותבדוק‬ ‫האם כל קשת ב‪ G-‬מכוסה ע''י ‪ k‬צמתים שניחשה‪ ,‬אם כן – המכונה‬ ‫תקבל‪ ,‬אחרת – תדחה‬ ‫המכונה פולינומית‪ :‬ניחוש צמתים )|‪ ,O(|V‬בדיקת קשתות )|‪O(|E‬‬ ‫המכונה מקבלת את ‪ VC‬כי אם קיים כיסוי בגודל ‪ k‬אז קיים‬ ‫במכונה מסלול חישוב מקבל‪ ,‬אחרת‪ ,‬אף מסלול ב‪ M-‬אינו מקבל‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫בעיית הכיסוי בצמתים )המשך(‬ ‫!‬ ‫בעיית הכיסוי בצמתים‪:‬‬ ‫!‬ ‫בהינתן גרף ‪ G‬ומספר טבעי ‪ k‬האם קיים ב‪ G-‬כיסוי‬ ‫בצמתים בגודל ‪? k‬‬ ‫! השפה ‪:VC‬‬ ‫} קיים ב‪ G-‬כיסוי בצמתים בגודל ‪VC = { (G,k) : k‬‬ ‫!‬ ‫‪3‬‬ ‫טענה‪ :‬השפה ‪ VC‬הינה ‪-NP‬שלמה‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫הוכחת ‪-NP‬שלמות של ‪) VC‬המשך(‬ ‫תיאור הרדוקציה‬ ‫! בהינתן פסוק ‪ φ‬בצורה ‪ 3-CNF‬נבנה גרף ‪ G‬באופן הבא‪:‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪6‬‬ ‫לכל משתנה ‪ xi‬של ‪ φ‬נוסיף שני צמתים ‪ xi‬ו‪ xi -‬המחוברים‬ ‫ע''י קשת‬ ‫עבור כל פסוקית ‪ Cj=lj1∨lj2∨lj3‬ב‪ ,φ-‬נוסיף ‪ 3‬צמתים ]‪,[j,1‬‬ ‫]‪ [j,2‬ו‪ [j,3] -‬אשר כולם מחוברים ביניהם בקשת‪ ,‬וכמו כן‪ ,‬כל‬ ‫צמת כזה יחובר בקשת לצומת הליטרל המתאים‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫טענה‪ φ :‬ספיק אם ורק אם ב‪ G-‬יש כיסוי בגודל ‪k‬‬ ‫‪8‬‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫‪ f‬ניתנת לחישוב בזמן פולינומי‬ ‫‪ φ‬ספיק אם ורק אם ב‪ G-‬יש כיסוי בצמתים בגודל ‪k‬‬ ‫‪5‬‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫דוגמה לבניית הרדוקציה‬ ‫) ‪φ = ( x1 ∨ x1 ∨ x2 ) ∧ ( x3 ∨ x1 ∨ x2 ) ∧ ( x2 ∨ x3 ∨ x3‬‬ ‫הבניה ניתנת לביצוע בזמן פולינומי כי מספר צמתים‬ ‫שיש לבנות הוא )|‪ O(|φ‬ומספר קשתות שיש לבנות‬ ‫הוא )‪O(|φ|2‬‬ ‫נוכיח את תקפות הרדוקציה‬ ‫כעת נוכיח כי ‪ VC‬היא שפה ‪-NP‬קשה‬ ‫נראה זאת ע''י רדוקציה פולינומית ‪3-SAT≤pVC‬‬ ‫צורת הרדוקציה‪:‬‬ ‫פסוק ‪3-CNF‬‬ ‫)‪f(φ) = (G,k‬‬ ‫התכונות הנדרשות מהרדוקציה שנבנה‪:‬‬ ‫!‬ ‫נקבע ‪ n) k=n+2m‬מספר משתנים ו‪ m-‬מספר פסוקיות(‬ ‫הוכחת נכונות הרדוקציה‬ ‫!‬ ‫הוכחת ‪-NP‬שלמות של ‪) VC‬המשך(‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪3,1‬‬ ‫‪3,2‬‬ ‫‪3,3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2,1‬‬ ‫‪2,2‬‬ ‫‪2,3‬‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪1,1‬‬ ‫‪1,2‬‬ ‫‪1,3‬‬ ‫‪k=3+2⋅3 = 9‬‬ ‫הוכחת נכונות הרדוקציה )המשך(‬ ‫!‬ ‫הוכחת נכונות הרדוקציה )המשך(‬ ‫למה ‪ U‬הוא כיסוי בצמתים ב‪? G-‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫קשתות בין ‪ xi‬ל‪ xi -‬מכוסות ע''י צמת ליטרל שקיבל ‪T‬‬ ‫מכל משולש לקחנו ‪ 2‬צמתים לכן כל הקשתות בתוך‬ ‫המשולשים מכוסות‬ ‫הקשת בין ]‪ [j,k‬לליטרל המתאים ‪ li‬מכוסה ע''י ]‪ [j,k‬אם‬ ‫הליטרל הוא ‪ F‬או ע''י ‪ li‬אם הליטרל הוא ‪T‬‬ ‫כיוון ‪:1‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫ב‪ φ-‬יש ‪ n‬משתנים לכן בהצבה מספקת עבור ‪ φ‬בדיוק ‪k‬‬ ‫ליטרלים מקבלים ערך ‪ xi) T‬או ‪ xi‬עבור כל משתנה ‪(xi‬‬ ‫נבנה כיסוי ‪ U‬ב‪ G-‬באופן הבא‪:‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫‪10‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪12‬‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫הוכחת נכונות הרדוקציה )המשך(‬ ‫מסקנה‪ :‬בכיסוי ‪ U‬בדיוק ‪ n‬צמתי ליטרלים‪ ,‬אחד עבור כל‬ ‫זוג ‪ xi ,xi‬ובדיוק ‪ 2m‬צמתי משולשים‪ 2 ,‬מכל משולש‬ ‫נבנה הצבה מספקת עבור ‪ φ‬כך שאם ‪ xi∈U‬נקבע ערך‬ ‫של ‪ xi‬ל‪ ,T-‬אחרת‪ ,‬נקבע ערך של ‪ xi‬ל‪F-‬‬ ‫למה זה נותן הצבה מספקת ?‬ ‫לכל פסוקית ‪ Cj‬יש צמת אחד שאינו בכיסוי‪ ,‬נאמר ]‪[j,k‬‬ ‫לכן הקשת בין ]‪ [j,k‬לליטרל המתאים ‪ ljk‬מכוסה ע''י צמת‬ ‫לכן הליטרל ‪ ljk‬קיבל ערך ‪ T‬והוא מספק את הפסוקית ‪Cj‬‬ ‫נוסיף ל‪ n U-‬צמתי הליטרלים שקיבלו ערך ‪T‬‬ ‫מכל שלישיה ]‪ [j,3] ,[j,2] ,[j,1‬ניקח ל‪ U-‬שני צמתים‬ ‫המתאימים לליטרלים שאינם מסופקים‬ ‫‪9‬‬ ‫הוכחת נכונות הרדוקציה )המשך(‬ ‫!‬ ‫נתון‪ φ :‬ספיק‬ ‫צ''ל‪ :‬ב‪ G-‬יש כיסוי בגודל ‪k‬‬ ‫!‬ ‫כיוון ‪:2‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪ljk‬‬ ‫‪11‬‬ ‫נתון‪ :‬ב‪ G-‬יש כיסוי בצמתים בגודל ‪k‬‬ ‫צ''ל‪ φ :‬ספיק‬ ‫יהי ‪ U‬כיסוי ב‪ G-‬בגודל ‪k=n+2m‬‬ ‫‪ U‬חייב להכיל לפחות ‪ n‬צמתי ליטרלים כי אחרת לא‬ ‫ניתן לכסות את הקשתות בין ‪ xi‬ל‪xi -‬‬ ‫‪ U‬חייב להכיל ‪ 2‬צמתים מכל משולש‪ ,‬סה''כ ‪2m‬‬ ‫צמתי משולשים כי אחרת לא ניתן לכסות קשתות‬ ‫בתוך המשולשים‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫הקשר בין ‪ VC‬ל‪IS-‬‬ ‫טענה‪ V\U :‬הוא כיסוי בצמתים ב‪ G(V,E)-‬אם ורק‬ ‫אם ‪ U‬הינה קבוצה בלתי תלויה‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫! כיוון ‪ :1‬אם ‪ V\U‬כיסוי אז ‪ U‬קבוצה בלתי תלויה‬ ‫! אם ‪ V\U‬כיסוי אז אין אף קשת ב‪ G-‬ששני קצותיה‬ ‫אינם ב‪V\U-‬‬ ‫! במילים אחרות‪ ,‬לכל ‪(u,v)∉E ,u,v∈U‬‬ ‫! מסקנה‪ U :‬קבוצה בלתי תלויה‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫‪14‬‬ ‫‪-NP‬שלמות של ‪IS‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫טענה‪ :‬השפה ‪ IS‬הינה ‪-NP‬שלמה‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪16‬‬ ‫‪ – IS∈NP‬ניתן לראות ע''י מ''ט פולינומית לא‬ ‫דטרמיניסטית אשר מנחשת ‪ k‬צמתים ובודקת אם אין קשת‬ ‫בין אף זוג מתוך הצמתים שניחשה‬ ‫‪-NP IS‬קשה ע''י רדוקציה פולינומית ‪VC≤pIS‬‬ ‫תיאור הרדוקציה‪ :‬בהינתן )‪ (G,k‬נבנה )’‪ (G,k‬כאשר‬ ‫‪k’=|V|−k‬‬ ‫נכונות הרדוקציה נובעת מהטענה הקודמת‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫בעיית הקבוצה הבלתי תלויה )‪(IS‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫הגדרה‪ :‬תת קבוצה של צמתים ‪ U⊆V‬בגרף לא מכוון‬ ‫)‪ G(V,E‬נקראת קבוצה בלתי תלויה אם לכל‬ ‫‪ u,v∈U‬מתקיים ‪(u,v)∉E‬‬ ‫בעיית הקבוצה הבלתי תלויה )‪:(Independent Set‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫בהינתן גרף ‪ G‬ומספר טבעי ‪ k‬האם קיימת ב‪ G-‬קבוצה‬ ‫בלתי תלויה בגודל ‪? k‬‬ ‫שפת ‪:IS‬‬ ‫}קיימת ב‪ G-‬קבוצה בלתי תלויה בגודל ‪IS = {(G,k) :k‬‬ ‫‪13‬‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬ ‫הקשר בין ‪ VC‬ל‪) IS-‬המשך(‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪15‬‬ ‫כיוון ‪ :2‬אם ‪ U‬קבוצה בלתי תלויה אז ‪ V\U‬כיסוי‬ ‫אם ‪ U‬קבוצה בלתי תלויה אז אין אף קשת ששני‬ ‫קצותיה ב‪U-‬‬ ‫לכן לכל קשת יש קצה שלא ב‪ U-‬כלומר ב‪V\U-‬‬ ‫מסקנה‪ V\U :‬כיסוי‬ ‫חישוביות ‪ -‬ד''ר אנה מוס‬