‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫תעודת זהות‪:‬‬ ‫מספר מחברת‪:‬‬ ‫סהב‬ ‫מבחן מועד א' ‪ -‬מודלים חישוביים‪ ,‬סמסטר ב' תשע"ד (‪)1024‬‬ ‫בית הספר למדעי המחשב‪ ,‬אוניברסיטת תל‪-‬אביב‬ ‫מרצים‪ :‬פרופ' ישי מנצור‪ ,‬ד"ר יפתח הייטנר‬ ‫מתרגלים‪ :‬מריאנו שיין‪ ,‬אורן זלצמן‪ ,‬יובל מוסקוביץ'‬ ‫‪18/07/14‬‬ ‫הוראות‬ ‫‪.1‬‬ ‫מומלץ לקרא את כל ההנחיות והשאלות בתחילת המבחן‪ ,‬לפני תחילת כתיבת התשובות‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫משך הבחינה – שלוש שעות‪ .‬לא תינתן כל הארכה נוספת‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫חומר עזר מותר‪ :‬שני דפי פוליו (דו צדדיים) בלבד עם שם התלמיד‪/‬ה‪.‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫יש לענות על השאלות הסגורות בטופס התשובות ועל השאלות הפתוחות במקום המיועד לכך‬ ‫בטופס השאלון (טופס זה)‪ .‬מחברות הבחינה לא ייקראו‪ ,‬וישמשו כטיוטה בלבד‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫יש למלא בכל דף של השאלון מספר ת‪.‬ז‪ .‬ומספר מחברת‪.‬‬ ‫יש למלא בטופס התשובות שם‪ ,‬מספר ת‪.‬ז ומספר גרסה‪.‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫במבחן ‪ 41‬שאלות סגורות ו‪ 5-‬שאלות פתוחות‪.‬‬ ‫א‪ .‬בנוגע לשאלות הסגורות‪:‬‬ ‫ סה"כ ‪ 23‬נקודות‪ .‬הניקוד לכל שאלה מופיע לידה מספר השאלה‪.‬‬‫ תשובה שגויה לא תזכה לנקודות‪.‬‬‫ לכל שאלה יש לסמן תשובה אחת בטופס התשובות המצורף‪.‬‬‫ יש לזכור למלא שם‪ ,‬ת‪.‬ז‪ .‬ומספר גרסה בטופס התשובות המצורף‪.‬‬‫ב‪ .‬בנוגע לשאלות הפתוחות‪:‬‬ ‫ סה"כ ‪ 70‬נקודות‪ .‬הניקוד לכל שאלה מופיע לידה מספר השאלה‪.‬‬‫ סימון "תשובה ריקה" יזכה בחלק (קטן) מהנקודות כמצוין ליד מספר השאלה‪.‬‬‫ יש לענות על השאלות במקום המיועד לכך בטופס השאלון‪.‬‬‫ יש לענות תשובות ברורות ענייניות ותמציתיות‪.‬‬‫‪.7‬‬ ‫מותר להשתמש בכל טענה שהוכחה בכיתה (בהרצאה‪ ,‬בתרגול‪ ,‬או בתרגיל בית) בתנאי שמצטטים‬ ‫אותה במדויק‪ .‬טענות אחרות (כאלה שהוכחו בספר‪ ,‬בהרצאות מהסמסטר הקודם‪ ,‬וכו') יש להוכיח‪.‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫יש להניח ‪ ,P NP‬אלא אם מצוין אחרת‪.‬‬ ‫מספר הגרסה שלך הוא‪ 1 :‬סמן זאת כרגע בטופס התשובות!‬ ‫בהצלחה!‬ ‫תעודת זהות‪:‬‬ ‫מספר מחברת‪:‬‬ ‫חלק א‪ :‬שאלות סגורות‬ ‫שאלות לדוגמא‪:‬‬ ‫בשתי השאלות הבאות ישנן סדרת טענות ולכל אחת מהן יש לקבוע אם הטענה נכונה‪ ,‬לא נכונה או‬ ‫לפעמים נכונה‪.‬‬ ‫להלן טענות לדוגמא עם הפתרונות‪:‬‬ ‫עבור השפות ‪ A‬ו‪ B-‬נתון‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫יש רדוקציה פולינומיאלית מ‪ A-‬ל‪B-‬‬ ‫בכל אחת מהשאלות הבאות מוצגת טענה לבחור ע"פ המפתח הבא‪:‬‬ ‫א‪ .‬הטענה נכונה‪ ,‬עבור כל בחירה של השפות ‪ ,C ,B ,A‬ו‪D-‬‬ ‫ב‪ .‬הטענה לא נכונה‪ ,‬עבור כל בחירה של השפות ‪ ,C ,B ,A‬ו‪D-‬‬ ‫ג‪ .‬לפעמים (בחירה של השפות ‪ ,C ,B ,A‬ו‪ ) D-‬הטענה נכונה ולפעמים הטענה אינה נכונה‪.‬‬ ‫טענה לדוגמא‪ B :‬לא ב‪ P -‬או ‪ A‬ב‪P-‬‬ ‫פתרון‪ :‬הטענה תמיד נכונה כיוון שאם ‪ B‬ב‪ P-‬אזי ‪ A‬ב‪P-‬‬ ‫טענה לדוגמא‪ B :‬ב‪ P-‬ו‪ A-‬ב‪P-‬‬ ‫פתרון‪ :‬הטענה לפעמים נכונה ולפעמים אינה נכונה כי יתכן‪:‬‬ ‫(‪ }04{=B=A )4‬והטענה נכונה‬ ‫(‪ )3‬יתכן ‪ ATM=B=A‬ולכן שניהם לא ב‪ P-‬והטענה לא נכונה‬ ‫טענה לדוגמא‪ B :‬ב‪ P-‬ו‪ A-‬אינה ב‪P-‬‬ ‫פתרון‪ :‬הטענה לא נכונה‪ :‬אם ‪ B‬ב‪ P-‬אזי גם ‪ A‬ב‪P-‬‬ ‫תעודת זהות‪:‬‬ ‫מספר מחברת‪:‬‬ ‫חלק א‪1.‬‬ ‫עבור שפות ‪ ,C ,B ,A‬ו‪ D-‬נתון‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫יש רדוקציה פולינומיאלית מ‪ A -‬ל‪B -‬‬ ‫יש רדוקציה פולינומיאלית מ‪ B -‬ל‪C -‬‬ ‫יש רדוקציה פולינומיאלית מ‪ D -‬ל‪C -‬‬ ‫בכל אחת מהשאלות הבאות מוצגת טענה‪ .‬בטופס התשובות יש לבחור ע"פ המפתח הבא‪:‬‬ ‫ג‪ .‬הטענה נכונה‪ ,‬עבור כל בחירה של השפות ‪ ,C ,B ,A‬ו‪D-‬‬ ‫ד‪ .‬הטענה לא נכונה‪ ,‬עבור כל בחירה של השפות ‪ ,C ,B ,A‬ו‪D-‬‬ ‫ה‪ .‬לפעמים (בחירה של השפות ‪ ,C ,B ,A‬ו‪ ) D-‬הטענה נכונה ולפעמים הטענה אינה נכונה‪.‬‬ ‫טענה ‪ 2( 1‬נקודות)‬ ‫‪ B‬לא ב ‪ ,co-NP‬או ‪ A‬ב ‪.P‬‬ ‫תשובה‪ :‬אולי‪ .‬יתכן ש‪ A-‬ו‪ B -‬שניהם ב‪ .P-‬יתכן ש‪ A-‬ו‪ B -‬ב‪ NP -‬ולא ב‪. P-‬‬ ‫טענה ‪ 2( 2‬נקודות)‬ ‫‪ B‬לא ב ‪ ,NP‬או ‪ A‬ב ‪.NP‬‬ ‫תשובה‪ :‬נכונה‪ B .‬ב‪ NP-‬גורר ‪ A‬ב ‪.NP‬‬ ‫טענה ‪ 2( 3‬נקודות)‬ ‫‪ C‬לא ב ‪ ,NP‬או ‪ A‬לא ‪ ,NP-hard‬או ‪.NP-complete B‬‬ ‫תשובה‪ :‬נכונה‪ C .‬ב ‪ NP‬גורר ‪ B‬ב ‪ A .NP‬היא ‪ NP-hard‬גורר ‪ B‬היא ‪.NP-hard‬‬ ‫טענה ‪ 2( 4‬נקודות)‬ ‫‪ C‬ב ‪ RE‬ולא ב‪ R -‬ו‪.NP-complete D -‬‬ ‫תשובה‪ :‬אולי‪ .‬יש בחירה של שפה ב ‪ RE‬ולא ב‪ R -‬עבורה יש רדוקציה פולינומיאלית מ ‪.SAT‬‬ ‫טענה ‪ 2( 5‬נקודות)‬ ‫‪ C‬היא ‪ co-NP‬ו‪ D -‬ב‪ RE -‬ולא ב‪.R -‬‬ ‫תשובה‪ :‬לא נכונה‪ .‬לשפה ב‪ RE -‬ולא ב‪ R -‬אין רדוקציה פולינומיאלית לשפה ב ‪.R‬‬ ‫תעודת זהות‪:‬‬ ‫מספר מחברת‪:‬‬ ‫חלק א‪2.‬‬ ‫עבור שפות ‪ D ,C ,B ,A‬ו‪ E-‬נתון‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫יש רדוקצית מיפויי מ‪ A -‬ל‪B -‬‬ ‫יש רדוקצית מיפויי מ‪ B -‬ל‪D -‬‬ ‫יש רדוקצית מיפויי מ‪ A -‬ל‪C -‬‬ ‫יש רדוקצית מיפויי מ‪ C -‬ל‪D -‬‬ ‫‪ E‬ב ‪RE‬‬ ‫בכל אחת מהשאלות הבאות מוצגת טענה‪ .‬בטופס התשובות יש לבחור ע"פ המפתח הבא‪:‬‬ ‫א‪ .‬הטענה נכונה‪ ,‬עבור כל בחירה של השפות ‪ D,C ,B ,A‬ו‪E-‬‬ ‫ב‪ .‬הטענה לא נכונה‪ ,‬עבור כל בחירה של השפות ‪ D,C ,B ,A‬ו‪E-‬‬ ‫ג‪ .‬לפעמים (בחירה של השפות ‪ D ,C ,B ,A‬ו‪ )E-‬הטענה נכונה ולפעמים הטענה אינה נכונה‬ ‫טענה ‪ 2( 6‬נקודות)‬ ‫‪ D‬לא ב ‪ NP‬או ‪ A‬ב‪R -‬‬ ‫תשובה א‪ :‬הטענה נכונה‪ .‬אם ‪ D‬ב ‪ NP‬אז בפרט ב ‪ R‬ולכן (מהרדוקציה) גם ‪A‬‬ ‫טענה ‪ 2( 7‬נקודות)‬ ‫‪ A‬לא ב ‪ RE-Complete‬או יש רדוקצית מיפויי מ‪ E -‬ל‪D -‬‬ ‫תשובה א‪ :‬הטענה נכונה‪ .‬אם ‪ A‬ב ‪ RE-Complete‬יש רדוקצית מיפויי מ‪ E -‬ל‪ A -‬ומשרשור רדוקציות גם ל ‪D‬‬ ‫טענה ‪ 2( 8‬נקודות)‬ ‫‪ A‬לא ב ‪ RE‬או ‪ B‬ב ‪R‬‬ ‫תשובה ג‪ :‬הטענה לפעמים נכונה‪ .‬עבור ‪ A_TM=B=A‬הטענה נכונה ועבור ‪ notA_TM=B=A‬הטענה אינה נכונה‬ ‫טענה ‪ 2( 9‬נקודות)‬ ‫לא קיים אנומרטור ל ‪ C‬או קיים אנומרטור מונוטוני ל ‪A‬‬ ‫תשובה ג‪ :‬הטענה לפעמים נכונה‪ .‬עבור ‪ notA_TM=C=A‬הטענה נכונה ועבור ‪ A_TM=C=A‬הטענה אינה נכונה‬ ‫טענה ‪ 2( 11‬נקודות)‬ ‫‪ B‬ב ‪ C ,RE‬ב ‪ ,CORE‬ו ‪ A‬ב ‪RE-Complete‬‬ ‫תשובה ב‪ :‬הטענה לא נכונה‪.‬‬ ‫אם ‪ B‬ב ‪ C ,RE‬ב ‪ CORE‬אז ‪ A‬ב ‪ RE‬וגם ב ‪ CoRE‬כלומר ב ‪ R‬אך אם כל לא יכול להיות ב ‪RE-Complete‬‬ ‫תעודת זהות‪:‬‬ ‫מספר מחברת‪:‬‬ ‫חלק א‪3.‬‬ ‫בכל אחת מן השאלות הבאות נתונות שתי שפות ‪ .L1, L2‬סמן עבור כל שאלה‪:‬‬ ‫א‪ .‬אם מתקיים‬ ‫ב‪ .‬אם מתקיים‬ ‫ג‪ .‬אם מתקיים‬ ‫ד‪ .‬אם לא מתקיים אף אחד מהסעיפים הנ"ל‬ ‫טענה ‪ 3( 11‬נקודות)‬ ‫‪ ,‬כאשר ‪ G‬הינו דקדוק חסר הקשר אשר מתואר ע"י כללי הגזירה הבאים‪:‬‬ ‫‪A->0A1 | ε‬‬ ‫‪B->1B0 | ε‬‬ ‫תשובה ‪ :‬א‬ ‫‪n n+m m‬‬ ‫‪n 2n n‬‬ ‫} ‪L2 = {0 1 0 } – L1= {0 1 0‬‬ ‫‪S-> AB‬‬ ‫עבור ‪ n=m‬מתקיים ‪L1 = L2‬‬ ‫טענה ‪ 3( 12‬נקודות)‬ ‫)‪ , = L(G‬כאשר ‪ G‬הינו דקדוק חסר הקשר אשר מתואר ע"י כללי הגזירה הבאים‪:‬‬ ‫‪S-> 11S2 | 2S11 | 121S | ε‬‬ ‫‪,‬‬ ‫תשובה ‪ :‬א‬ ‫בהפרש ‪443344‬‬ ‫טענה ‪ 3( 13‬נקודות)‬ ‫)‪ = L(G‬כאשר ‪ G‬הינו דקדוק חסר הקשר אשר מתואר ע"י כללי הגזירה הבאים‪:‬‬ ‫‪S->0S1 | 00S1 | 000S1 | ε‬‬ ‫כאשר ‪ R‬הינו הביטוי הרגולרי‪R=(( 0 + 00 + 000)1)* :‬‬ ‫)‪= L(R‬‬ ‫תשובה ‪ :‬ד‬ ‫המילה ‪ 0044‬ב ‪ L1‬אך אינה ב ‪L2‬‬ ‫המילה ‪ 0404‬ב ‪ L2‬אך אינה ב ‪L1‬‬ ‫טענה ‪ 3( 14‬נקודות)‬ ‫}*‪ , = h (L) ∩ {0*1‬כאשר‬ ‫‪ L‬הינה השפה })‪ L = {w: #a(w) + #b(w) = #c(w‬מעל הא"ב ‪a,b,c‬‬ ‫‪ h‬הינו ההומומורפיזם ‪h(b) = 0 h(c) = 1‬‬ ‫)‪= L(G‬‬ ‫‪h(a) = 0‬‬ ‫}‪h:{a,b,c} -> {0,1‬‬ ‫‪ ,‬כאשר ‪ G‬הינו דקדוק חסר הקשר אשר מתואר ע"י כללי הגזירה הבאים‪:‬‬ ‫‪S->0S1 | ε‬‬ ‫תשובה ‪ :‬ג‬ ‫‪n n‬‬ ‫} ‪L1 = L2 = {0 1‬‬ ‫תעודת זהות‪:‬‬ ‫מספר מחברת‪:‬‬ ‫חלק ב‪ :‬שאלות פתוחות‬ ‫שאלה ‪ 21( 1‬נקודות)‪.‬‬ ‫אינני עונה על השאלה (תשובה ריקה)‬ ‫(‪ 5‬נקודות)‬ ‫בעיית צביעה בארבע צבעים ‪:4Col‬‬ ‫צביעה של גרף לא מכוון )‪ G = (V,E‬ב ‪ 1‬צבעים היא פונקציה‬ ‫‪.‬‬ ‫המקיימת‬ ‫כלומר‪ ,‬כל זוג קודקודים המחוברים בקשת צבועים בצבעים שונים‪.‬‬ ‫הוכח כי‬ ‫היא ‪:NP-complete‬‬ ‫הוכח כי ‪ 4Col‬היא ב‪ 3( NP‬נק)‬ ‫העד ‪ c‬הוא צביעה חוקית (פונקצית הצביעה שהיא פולינומי בגודל הגרף)‪ .‬בהינתן ‪ c‬ו )‪ G = (V,E‬ניתן‬ ‫לבדוק בזמן פולינומי ע"י מעבר על קשתות הגרף שהצביעה מקיימת את התנאי‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪ .3‬הראה רדוקציה פולינומיאלית משפה ‪ NP-complete‬ל ‪ 41( 4Col‬נק)‬ ‫‪ .a‬הרדוקציה‪:‬‬ ‫נראה רדוקציה מ ‪ .3-col‬בהינתן מופע )‪ G = (V, E‬של ‪ 3-col‬פונקצית הרדוקציה ‪ f‬תחזיר‬ ‫‪ .‬כלומר פונקצית‬ ‫כך ש‬ ‫את הגרף‬ ‫הרדוקציה תחזיר את אותו הגרף בתוספת של קודקוד אחד המחובר לכל שאר הקודקודים‬ ‫בגרף‪.‬‬ ‫‪.b‬‬ ‫הוכחת נכונות הרדוקציה‪:‬‬ ‫צ"ל‬ ‫‪ ,‬כלומר קיימת צביעה חוקית ‪ c‬של ‪ G‬ב‪ 2-‬צבעים‪ .‬נראה שקיימת‬ ‫כיוון ‪:4‬‬ ‫)‪ c'(v) = c(v‬ואת '‪ v‬נצבע ב‪( 1 -‬צבע חדש)‪ .‬לכל‬ ‫צביעה חוקית '‪ c‬ל '‪ G‬ב‪ 1-‬צבעים‪ .‬לכל קודקוד‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ ,‬כי ‪ c‬צביעה חוקית‪ .‬ולכל‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ .‬תהי '‪ c‬צביעה חוקית ל '‪ G‬ב‪1-‬‬ ‫‪ ,‬נראה ש‬ ‫כיוון ‪:3‬‬ ‫‪ .‬כיוון ש ‪ c'(v') = 4‬וקיימת‬ ‫צבעים‪ .‬בה"כ נניח ש ‪ c'(v') = 4‬ונגדיר צביעה ‪ c‬ל ‪ c(v) =c'(v) :G‬לכל‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ .‬בנוסף לכל‬ ‫לכל‬ ‫‪ ,‬בהכרח מתקיים‬ ‫קשת }'‪ {v,v‬לכל‬ ‫ולכן הצביעה ‪ c‬היא צביעה חוקית ל ‪ G‬ב‪ 2-‬צבעים‪.‬‬ ‫תעודת זהות‪:‬‬ ‫מספר מחברת‪:‬‬ ‫שאלה ‪ 21( 2‬נקודות)‪.‬‬ ‫אינני עונה על השאלה (תשובה ריקה)‬ ‫(‪ 5‬נקודות)‬ ‫נתונה השפה הבאה‪:‬‬ ‫הראה שהשפה‬ ‫אינה ב‪ RE -‬על ידי רדוקציה מבעית האי‪-‬עצירה‬ ‫הרדוקציה‪:‬‬ ‫בהנתן ‪ <M>,w‬נבנה מכונה ’‪. M‬‬ ‫על קלט ‪ x‬מכונה ’‪ M‬תריץ את ‪ M‬על ‪ w‬במשך |‪ |x‬צעדים‪ .‬אם ‪ M‬לא עצרה אזי ’‪ M‬מקבלת את ‪x‬‬ ‫נכונות הרדוקציה‬ ‫אם ‪ M‬לא עוצרת על ‪ w‬אזי ’‪ M‬תקבל את כל המילים ולכן ’‪ M‬בשפה ‪L2‬‬ ‫אם ‪ M‬עוצרת על ‪ w‬אזי השפה )’‪ L(M‬היא סופית ולכן לא ב‪L2 -‬‬ ‫תעודת זהות‪:‬‬ ‫מספר מחברת‪:‬‬ ‫שאלה ‪ 11( 3‬נקודות)‪.‬‬ ‫אינני עונה על השאלה (תשובה ריקה)‬ ‫(‪ 2‬נקודות)‬ ‫בהינתן שפה ‪ L‬נגדיר את השפה‬ ‫כלומר‪ ,‬השפה )‪ min(L‬מכילה את כל המילים בשפה שלא מכילות ‪ prefix‬בשפה‪.‬‬ ‫א) עבור *‪ ,L = (01)*10‬תן ביטוי רגולרי לשפה )‪ 1( min(L‬נק')‬ ‫‪R = (01)*1‬‬ ‫ב) עבור האוטומט ‪ A‬הבא‪ ,‬האם השפה ))‪ min(L(A‬רגולרית?אם כן‪ ,‬תן ביטוי רגולרי המתאר אותה‪ .‬אם‬ ‫לא‪ ,‬הסבר בקצרה למה לא (‪ 6‬נק')‪.‬‬ ‫השפה הינה רגולרית והביטוי הרגולרי שמבטא אותה הינו‪R =0 0*1 + 1 1*0 :‬‬ ‫__________________________________________________________________‬ ‫__________________________________________________________________‬ ‫__________________________________________________________________‬ ‫__________________________________________________________________‬ ‫__________________________________________________________________‬ ‫תעודת זהות‪:‬‬ ‫מספר מחברת‪:‬‬ ‫שאלה ‪ 11( 4‬נקודות)‪.‬‬ ‫אינני עונה על השאלה (תשובה ריקה)‬ ‫(‪ 2‬נקודות)‬ ‫בעיית ה‪:Set-Packing -‬‬ ‫קלט‪ :‬רשימה >‪ <S1…,Sn,k‬כאשר ‪ k‬מספר טבעי ו‪ ,Si -‬לכל ‪ ,i‬היא קבוצה של מספרים טבעיים‪.‬‬ ‫)‪,‬‬ ‫בגודל ‪( ,k‬‬ ‫שאלה‪ :‬האם קיימת תת‪-‬קבוצה‬ ‫‪.‬‬ ‫מתקיים‬ ‫כך שלכל‬ ‫(במילים‪ ,‬קיימת תת‪-‬קבוצה בגודל ‪ k‬של ‪ ,S1…,Sn‬כך שכל שתי קבוצות בה זרות)‪.‬‬ ‫הוכח ש ‪ Set-Packing‬היא ‪:NPC‬‬ ‫‪ .2‬הוכח כי ‪ Set-Packing‬היא ב‪ 4( NP‬נק)‬ ‫נראה קיום מוודא פולנומיאלי ל‪.Set-Packing-‬‬ ‫בגדל ‪ k‬של קבוצות זרות ברשימה‪.‬‬ ‫העד הוא רשימה‬ ‫והקבוצות המצויינות ב‪ -‬זרות‪.‬‬ ‫‪,‬‬ ‫המוודא בודק שהרשימה תקינה‪= k :‬‬ ‫קל לראות שהמוודא עובד נכון ורץ בזמן פולינומיאלי בגדל הרשימה ) >‪)<S1…,Sn,k‬‬ ‫‪ .1‬הראה רדוקציה פולינומיאלית מ ‪ Independent-Set‬ל ‪ 9( Set-Packing‬נק)‬ ‫‪ .a‬הרדוקציה‪:‬‬ ‫בהנתן גרף לא מכוון )‪ G= (V = {1,..,n},E‬ומספר ‪ ,k‬הרדוקציה פולטת רשימה >‪, <S1…,Sn,k‬‬ ‫עבור ‪ m‬מיפוי‬ ‫כאשר לכל ‪ i‬ב }‪ , {1,..,n‬מתקיים‪:‬‬ ‫ל ‪( N‬למשל‪.)m(k,j) = j*n + j :‬‬ ‫חח"ע כלשהוא של‬ ‫כלומר‪ Si ,‬מכילה קידוד של כל הקשתות הנוגעות בצמת ‪.i‬‬ ‫‪.b‬‬ ‫הוכחת נכונות הרדוקציה‪:‬‬ ‫קל לראות שהרדוקציה רצה בזמן פולינומי ונשאר להראות ש ‪ G‬מכיל ‪ IS‬בגדל ‪ ,k‬אםם‬ ‫>‪ <S1…,Sn,k‬ב ‪.Set-Packing‬‬ ‫‪ G .i‬מכיל ‪ IS‬בגדל ‪ .k‬נניח ש‪ T -‬קבוצה ב"ת ב‪ .G-‬אזי נבחר את ה‪ Si-‬כך ש‪ i-‬ב‪.T-‬‬ ‫כיון ש‪ T-‬היא קבוצה ב"ת אזי אין חיתוך בין ה‪ Si-‬שנבחרו‬ ‫‪ <S1…,Sn,k> .ii‬ב ‪ .Set-Packing‬נניח ש‪ T-‬היא תת‪-‬הקבוצה‪ .‬אזי ‪ T‬היא קבוצה ב"ת‬ ‫ב‪.G-‬‬ ‫‪.‬‬ ‫תעודת זהות‪:‬‬ ‫מספר מחברת‪:‬‬ ‫שאלה ‪ 11( 5‬נקודות)‪.‬‬ ‫אינני עונה על השאלה (תשובה ריקה)‬ ‫הוכח שאם ‪ NP = P‬אזי כל שפה‬ ‫מתקיים עבור ו ‪.‬‬ ‫(‪ 2‬נקודות)‬ ‫‪ ,‬פרט ל‬ ‫ו‬ ‫היא ‪ .NPC‬הסבר מדוע הדבר אינו‬ ‫כך ש ‪ B‬אינה השפה הריקה ואינה ‪ .‬כלומר קיימים ‪ x‬ו ‪ y‬כך ש‬ ‫‪,‬ו‬ ‫תהי‬ ‫בהינתן מופע ‪ w‬ל ‪ ,A‬פונקצית הרדוקציה ‪ f‬מ‪ A -‬ל‪ B -‬תבדוק בזמן פולינומי (כי ‪ )P = NP‬אם‬ ‫‪.‬‬ ‫) הפלט הוא ‪ .y‬כלומר‪ ,‬מתקיים‬ ‫פלט הרדוקציה יהיה ‪ x‬ואם לא (‬ ‫‪,‬ו‬ ‫ל‬ ‫כיוון שרדוקציה מ ‪ A‬ל ‪ B‬צריכה למפות‬ ‫הדבר אינו מתקיים עבור ו‬ ‫‪.‬‬ ‫לא קיים‬ ‫ועבור‬ ‫לא קיים‬ ‫אך עבור‬ ‫ו‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .‬אם כן‪,‬‬ ‫ל‬ ‫‪.‬‬