`1 - 33 עמ מספרים טבעיים גדולים .א
עמ' 33 - 1
א .מספרים טבעיים גדולים
רקע
פרק זה והפרק הבא אחריו עוסקים במספרים הטבעיים הגדולים ממיליון .נוסף על כך עוסקים
כאן בקצרה בספרות הרומיות .תלמידי כיתה ה' עוסקים בפעם האחרונה במספרים הטבעיים
באופן מרוכז ,ולכן חשוב להבהיר לתלמידים שעל כל המספרים הטבעיים – על הקטנים ועל
הגדולים -חלים אותם החוקים ואותם הכללים .המונח "מספר גדול" מתייחס למספר הספרות
שבמספר )יותר מ 6 -ספרות( ולא להקשר שבו משתמשים במספר ,לדוגמה 40 :הוא מספר גדול
כאשר מדובר במספר ילדים בכיתה והוא מספר קטן כאשר מדובר באגורות ,אוכלוסייה של
מיליון תושבים בארץ אינה אוכלוסייה גדולה ,אך ביחס ,לעיר בארץ זו אוכלוסייה גדולה.
מבחינה מתמטית 40 ,נחשב מספר קטן ,ומיליון נחשב מספר גדול.
קבוצת המספרים הטבעיים היא קבוצה בסיסית לבניית ה"עולם המספרי" ,לכן חשוב לתרגל
שוב ושוב את החוקים ואת הכללים בעיקר במספרים הטבעיים הגדולים ממיליון.
בפרק זה חוזרים
על פילוג מספר לפי המבנה העשרוני;
על כתיבה ועל קריאה של מספרים גדולים ועל השוואה ביניהם;
על הסדר של מספרים על ציר המספרים ועל עיגול של מספרים גדולים.
חשוב להבין שתמיד יש מספר עוקב למספר טבעי ,כלומר יש אין-סוף מספרים טבעיים .חשוב
להבין גם שהמושג "מספר עוקב" חל רק על המספרים הטבעיים .אין שבר "עוקב" לשבר!
אף-על-פי שהתלמידים עסקו מכיתה א' במספרים הטבעיים עד מיליון ,הם עשויים להתקשות
בנושא זה מכמה סיבות:
קשה לקרוא ולכתוב מספר שמורכב מהרבה ספרות ותופס הרבה מקום בכתיבה;
קשה להפעיל את חוקי הפעולות על המספרים הגדולים;
מבחינה טכנית ,קשה "לנהל מקום" לכתיבת תרגיל שיש בו מספרים גדולים.
במהלך העבודה בפרק מנסים להתגבר על הקשיים האלו.
במספרים גדולים יש שימוש רב בסטטיסטיקה ,בכלכלה ובאסטרונומיה.
אפשר לבקש מהתלמידים לחפש בעיתונים מספרים גדולים ולחבר שאלות מתאימות.
"ספרות רומיות"
הנושא "ספרות רומיות" הוא נושא חדש והוחל ללמדו בתכנית הלימודים לשנת תשס"ו .לפי
התכנית ,מומלץ ללמד את הנושא בכיתות מתקדמות.
אחד היתרונות של הוראת ספרות שונות הוא שהתלמידים מבינים טוב יותר את מבנה המספר,
כאשר הם נחשפים לאפשרויות שונות של כתיבת מספר .הם יכולים להבין שכתיבה וקריאה של
מספר מבוססות על הסכמים ,והן אינן "טבעיות" .נוסף על כך ,באמצעות לימוד זה אפשר
להבין את ההבדלים בין ספרה לבין ערך של ספרה ולבין מספר.
הקושי העיקרי של תלמידים הוא שהשיטה אינה מוכרת .הם צריכים להכיר את הספרות ואת
ערכן ולהבין את דרכי החישוב של ערך המספר .עם זאת לימוד הנושא נתפס כ"משחק" הודות
לחידוש שיש בו.
אין לדרוש שליטה בקריאה ובכתיבה של מספרים רומיים.
כל שיטה של כתיבת מספרים מבוססת על שימוש בפעולות ובמספר מוגבל של סימנים בסיסיים
)הספרות( ,שקובעים באמצעותם את ערך המספר הכתוב.
השיטה העשרונית היא שיטה של 'פוזיציה' )מקום( .היא מבוססת על שימוש בספרות ,2 , 1, 0
9........ועל פעולות כפל וחיבור ,וערך של ספרה תלוי במקומה במספר .כדי לחשב ערך של מספר
בשיטת 'פוזיציה' כופלים כל ספרה בחזקה המתאימה של הבסיס ומחברים את התוצאות.
דוגמה3054 = 3 × 1000 + 0 × 100 + 5 × 10 + 5 × 1 268 = 2 × 100 + 6 × 10 + 8 × 1 :
השיטה הרומית לכתיבת מספרים אינה שיטה של 'פוזיציה' .לכל ספרה יש ערך מסוים קבוע.
הספרה הרומית
ערך הספרה לפי השיטה העשרונית
I
1
1
V
5
X
10
L
50
C
100
D
500
M
1,000
השיטה הרומית מבוססת על פעולות חיבור וחיסור לפי החוקים המפורטים להלן:
א .כאשר כתובות שתי ספרות סמוכות שערכן שונה:
אם הספרה שערכה קטן יותר כתובה מימין לספרה שערכה גדול יותר,L X = 60
מחברים את ערך הספרות .דוגמאותX I=10+1= 11 :
אם הספרה שערכה קטן יותר כתובה משמאל לספרה שערכה גדול יותר,X L = 40
מחסרים את ערך הספרות .דוגמאותI X = 9 :
ב .לא כותבים אותה ספרה יותר משלוש פעמים .דוגמה :כותבים 40כך ,XL :ולא כך:
.XXXX
ג .כותבים לכל היותר ספרה אחת בלבד שערכה קטן יותר מהספרה שמימין לה.
לדוגמה ,כותבים 300כך ,C C C :ולא כך .C C D
ד .כדי לכפול מספר ב 1,000-מסמנים קו מעל המספר .דוגמהX :
ה .כדי לכפול מספר ב 10,000-מסמנים שני קווים מעליו .דוגמהX :
ו .מותר לחסר Iרק מ V -או מ . X -מותר לחסר Xרק מ C -או מ – .M
מומלץ להקדיש כשעתיים לנושא של ספרות רומיות.
מושגים
השיטה העשרונית ,פוזיציה )ערך המקום(ַ ,מ ְח ָלקות ,יחידות ,אלפים ,מיליונים ,מיליארדים,
עשרות ,מאות ,מספר טבעי ,ספרה ,מיליון ,מיליארד ,סדר ,סדרה ,מספר עוקב ,השוואה ,גדול,
קטן ,עיגול מספרים ,חזקה ,בסיס ,מעריך ,סימן ,ספרה ,ערך של ספרה ,ערך של מספר ,כתיבת
מספר.
מטרות
התלמידים ידעו:
א .לכתוב מספר בספרות לפי תיאורו המילולי;
ב .לקרוא מספר כתוב;
ג .לפלג מספר לפי המבנה העשרוני;
ד .לרשום את הפילוג בעזרת ֲח ָזקות של עשר;
ה .להרכיב מספר אם נתון פילוגו לפי המבנה העשרוני;
ו .לציין את ערך הספרה במספר;
ז .להשוות בין מספרים;
ח .לסדר מספרים לפי סדר עולה או יורד;
ט .לעגל מספר לפי הוראות או לפי צורך בפתרון הבעיה או להשתמש בסדר גודל של מספר
מתאים לנתונים;
י .לכתוב את הספרות הרומיות;
יא .לחשב את הערך של כל ספרה רומית לפי השיטה העשרונית;
יב .לקרוא מספר הכתוב בשיטה רומית;
יג .לכתוב בשיטה הרומית מספר הנתון בשיטה העשרונית;
יד .לכתוב בשיטה העשרונית מספר הנתון בשיטה הרומית.
2
אביזרים ואמצעי המחשה
טבלאות המבנה העשרוני לפי מחלקות :יחידות ,אלפים ,מיליונים ומיליארדים; כרטיסי מספרים
במילים ובספרות; תמונות של מבנים שמופיעים בהם מספרים בשיטה הרומית; תמונות של
שעונים עתיקים; שעונים
הטמעה
פעילויות ההטמעה הראשונות משמשות לבדיקת ידע קודם של מושגים הנדרשים בלימוד הפרק.
פעילות הטמעה ד' נועדה לשמירת הידע בגאומטריה.
א .חזרה על מספרים טבעיים ועל אפס ,קריאה וכתיבה של המספרים.
המורה כותבת על הלוח את הספרות 0 ,8 ,5 ,4 ,2ומבקשת מהתלמידים לכתוב בעזרתן את
המספר הגדול ביותר ,את המספר הקטן ביותר ,מספר המתחלק ב ,5 -מספר זוגי ,מספר
המתחלק ב) .10 -בכל ספרה משתמשים פעם אחת בלבד(.
המורה מבקשת מהתלמידים לקרוא את המספר הכתוב ולענות על השאלות" :כמה אלפים
במספר הגדול ביותר? ובקטן ביותר? כמה עשרות? כמה יחידות? איך קוראים מספר המורכב
מהספרה 2ומשישה אפסים? מהספרה 7ומחמישה אפסים?" וכן הלאה.
המורה רושמת מספר שבו 5מאות ו 3 -יחידות; 7אלפים ו 2 -יחידות.
המורה שואלת" :כמה עשרות במאה? כמה מאות באלף? כמה יחידות באלף? כמה עשרות
באלף?" וכדומה.
ב .חזרה על השוואה בין המספרים הטבעיים.
המורה כותבת על הלוח זוגות של מספרים -כמו 3,782ו 5,166 ;3,702 -ו - 5,666 -ושואלת את
התלמידים" :מי גדול יותר? מי נמצא ימינה יותר על ציר המספרים?"
התלמידים מתבקשים לספור בעשרות שלמות מ 350 -עד ; 440מ 1,000 -עד .1,100
ג .חזרה על מספר עוקב ועל מספר קודם.
אחד התלמידים אומר מספר גדול מ .1,000 -על התלמיד הבא לומר מהו המספר העוקב שלו או
המספר הקודם לו.
ד .חזרה על משולשים ועל מרובעים.
התלמידים מקבלים דף שמצוירות עליו הצורות :משולש שווה-צלעות ,משולש ישר-זווית,
טרפז שווה-שוקיים ,טרפז ישר-זווית ,מלבן .הם רושמים את האותיות של המשולשים ושל
המרובעים ועונים על שאלות כגון" :לאילו מהצורות יש זווית ישרה? באיזה מרובע כל הזוויות
ישרות? מה שמו?"
פעילויות גילוי
לעלות על הגל
מבצעים את פעילויות הגילוי המותאמות לחלק "לעלות על הגל" ,רק אם יש צורך בכך לאחר
בדיקת הידע ב"מבדק" "האם אנו מוכנים".
מספרים גדולים
פעילות א :המורה מבקשת שכל תלמיד יכתוב על הלוח המחיק או במחברת את המספר
הגדול ביותר שהוא מכיר .כדאי לדון עם התלמידים בשאלה כיצד אפשר להגיע למספר גדול
יותר.
3
פעילות ב :המורה כותבת על הלוח את המספרים 995 ,95או .9,995על התלמידים למצוא
מספר בעל מספר ספרות גדול יותר על-ידי הוספת 1מספר פעמים .לדוגמה ,אם כתוב המספר
,95על התלמידים להגיע למספר .100
דנים עם התלמידים בשאלות:
כמה צעדים נדרשו כדי להגיע למספר שהתקבל?
איך נקרא המספר החדש שהתקבל?
האם קיימים מספרים טבעיים עוקבים שהם בעלי מספר ספרות שונה?
האם קיים מספר טבעי העוקב למספר כלשהו הגדול ביותר?
האם לכל מספר טבעי קיים מספר עוקב?
האם לכל מספר טבעי קיים מספר קודם?
האם לקבוצת המספרים הטבעיים יש התחלה וסוף?
השוואה
פעילות ג :בשלב הראשון שואלים את התלמידים איזה מספר גדול יותר 8 :או 3 ;2או 22 ;13
או 909 ;19או 99999 ;1011או ) .100000רושמים את המספרים ללא הפסיק המפריד בין
המחלקות(.
בשלב השני מבקשים למצוא דרך להשוות בין המספרים האלו:
8888888888ו; 88888888 -
11110111111ו; 7777707777 -
8501349728998106457ו; 850134972869106457 -
31415926898305ו.314154268398305 -
דנים בהצעות התלמידים ומגיעים לפתרונות הנפוצים :פסיק או רווח בין מחלקות .זו
הזדמנות להבחין במבנה הקבוע של המחלקות :יחידות ,עשרות ,מאות .דוגמה :מיליון,
עשרות מיליון ,מאות מיליון .לאלף מיליון יש שם חדש ,ולכן נפתחת מחלקה חדשה.
חזקה
פעילות ד :המורה רושמת על הלוח את המספרים .100 ,25 ,125 ,64 ,27 ,16 ,9התלמידים
מתבקשים להציג כל מספר כמכפלה של גורמים שווים .אחרי שהתלמידים הציגו דרך אחת,
שואלים אם יש דרכים נוספות להצגה לפי התנאי שהוזכר,
לדוגמה. 64 = 8 × 8 ; 64 = 4 × 4 × 4 ; 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 :
שואלים את התלמידים אם הם יודעים לכתוב בדרך מקוצרת את הכפל של מספר בעצמו.
פעילות ה :אחרי שהתלמידים ייזכרו בחזקות ,מבקשים מהם להציג את המספרים ,100
100,000 ,10,000 ,1,000וכן הלאה כחזקה של .10דנים בקשר בין מספר האפסים במספר נתון
לבין מעריך החזקה) .ראו גם את ההערות לקטע השיעור בעמוד 26למטה(.
יחידת הלימוד -הקניה
פעילות א :מכינים מראש )או כפעילות מקדימה( כרטיסים של אוצר המילים הדרוש כדי
לכתוב מספרים גדולים )נספח .(1אפשר להכין כמה ערכות לעבודה בקבוצות.
המורה תוציא באקראי חמישה כרטיסים )לדוגמה ,מיליון ,עשר/ה ,שתיים/שניים ,מאות,
שלוש/ה( .על התלמידים להציע מספרים שאפשר לכתוב במילים האלה )לא חייבים להשתמש
בכל הכרטיסים( )לדוגמה ,מיליון שלוש מאות ועשר ,עשרה מיליון שלוש מאות ושתיים,
שלושה עשר מיליון .(...התלמידים יכתבו גם בספרות את המספרים הנכתבים במילים.
תלמידי כל קבוצה יציגו את הפתרונות שלהם בפני המליאה .משווים בין הפתרונות השונים.
פעילות ב :משחק המיליונים .מטרת המשחק היא לכתוב את המספר הגדול ביותר .כל תלמיד
)או קבוצת תלמידים( מסרטט שורה של שבע משבצות .מגרילים ספרה ,כותבים אותה על
הלוח ,ועל התלמידים לשבץ אותה באחת המשבצות .חוזרים על הפעולה שש פעמים .משווים
4
בין המספרים שהתקבלו ונותנים נקודה לתלמיד )או לקבוצה( שיש לו המספר הגדול ביותר.
חוזרים על המשחק .דנים באסטרטגיות אפשריות להרכבת המספר הגדול ביותר.
פעילות ג :מגרילים חמש ספרות ,וכותבים בעזרתן שני מספרים) .דוגמה :אם הוגרלו הספרות
7 ,8 ,9 ,0ו ,3 -אפשר לכתוב את המספרים 37,089ו (.78,903 -על התלמידים לכתוב
מהספרות מספרים הממוקמים בין שני המספרים )לדוגמה .(39,087 ,מספר האפשרויות תלוי
במספרים.
ספרות רומיות
פעילות ד :המורה מציגה תמונה של שעון )כמו באיור א( ושואלת:
"איך נראָה השעון בישראל לפני המצאת הספרות שאנו משתמשים בהן עכשיו?"
סביר להניח שהתלמידים יציעו את השימוש באותיות עבריות כמו באיור ב'.
יש לדון במרכיבים המשותפים לשעונים ובהבדלים ביניהם.
חשוב להבליט את ההיבט הסידורי של המספרים.
איור א
1
12
איור ב
11
2
א
ב
10
9
8
3
4
5
6
12
11
י
ט
ח
ג
ד
7
ה
ו
ז
פעילות ה :המורה מציגה תמונה או ציור של שעון עתיק כמו באיור ג ושואלת את התלמידים
אם הם כבר ראו שעון כזה.
איור ג
המורה מסבירה שהספרות המופיעות בשעון נקראות "ספרות רומיות"
X II
על התלמידים לגלות מה היו החוקים של כתיבת המספרים ברומא,
I
XI
ובמה דומים ובמה שונים הסימנים המייצגים את הספרות.
II
X
על-בסיס הדיונים בפעילות ט' המורה שואלת:
"באיזה כיוון קוראים את השעון?
IX
III
מהו הערך של כל ספרה? "
סביר להניח שאין קושי לקבוע את ערך הספרות,
VIII
אך קשה לקבוע את שיטת הכתיבה.
IV
.
שלו
הכתיבה
צורת
לבין
המספר
בפעילות זו אפשר להבחין בין ערך
VII
VI V
איך אפשר "לפענח" את הסימנים?
אם התלמידים מתקשים ,אפשר לכוון אותם על-ידי רמזים.
את הערך של אילו מבין הספרות אפשר לגלות בקלות? ) ( X , V, III ,II ,I
לפי אילו מספרים אפשר להבין אחד מהסכמי הכתיבה? )(XII , XI ,VIII ,VII ,VI
המספרים IVו IX -כתובים לפי כלל מסוים .מהו הכלל?
מהו ההבדל בין דרך הכתיבה של המספר 3לבין דרך הכתיבה של המספר ? 4
בשלב זה אפשר לנסח את כללי החיבור והחיסור.
5
פעילות ו :המורה מציגה את הסימנים שלהלן ואומרת את ערכם.
L = 50
D = 500
C = 100
M =1000
המורה נותנת לכל קבוצת תלמידים טבלה ,ובה הספרות הרומיות וערכן לפי השיטה
העשרונית.
רושמים על הלוח רשימת מספרים לפי השיטה העשרונית )בשלבים( .המורה שואלת" :איך
אפשר לכתוב את המספרים בשיטה הרומית?"
שלב א( . 1320,2235 ,1,100 ,1,000 ,632 ,531 ,130 , 110 , 30 ,24 , 23 , 15 , 13
שלב ב( .3,090 ,642 ,590 , 140 , 40 , 19 ,14
שלב ג( .1449 ,9,999 ,4,949
בדיון המורה מציגה את הכלל האחרון" :מותר לחסר Iרק מ V -או מ ,X-מותר לחסר Xרק
מ C -או מ .M-לא מחסרים ".V ,D ,Lומבקשת מהתלמידים לכתוב שוב את המספרים שלא
היו כתובים לפי כלל זה.
פעילות ז :איך כותבים מספרים גדולים מ 9,999 -בשיטה הרומית )כאשר ברשות הרומאים
רק הסימנים הנתונים(? אחרי הצעות התלמידים המורה מציגה את כלל המכפלה ב1,000 -
)שימוש בקו מעל המספר(.
התלמידים עובדים בזוגות.
א( תלמיד כותב מספר בשיטה עשרונית ,ובן-זוגו כותב אותו מספר בשיטה הרומית.
ב( תלמיד כותב מספר בשיטה הרומית ,ובן-זוגו כותב אותו מספר בשיטה העשרונית.
השיעור בספר הלימוד
האם אנו מוכנים? – תשובות:
.1ג; .2ד; .3ג; .4ד; .5ב; .6ג; .7ג; .8א; .9ד; .10ג.
בשאלות במבדק "האם אנו מוכנים" נבדק הידע בחומר הנדרש בטרם לימוד הפרק.
בשאלה 4נבדקת את הבנת המשמעות של מבנה המספר ,אם התלמידים לא למדו את הנושא,
צריך להקדיש זמן להקניה שבעמוד 3בחלק "לעלות על הגל".
לעלות על הגל
קטע שיעור ,עמוד :2המבנה העשרוני עד 999,999
בעמוד זה התלמידים חוזרים על החומר שנלמד בכיתה ד' :המספרים עד מיליון .בשלב זה
עוסקים במבנה העשרוני של המספר ,בפילוג המספר לפי השיטה העשרונית ובערכה של כל
ספרה במספר .התלמידים נעזרים בטבלה :הם רושמים בה את הפילוג של המספר למחלקות.
המחלקות נרשמות מימין לשמאל ,המחלקה הנמוכה ביותר של היחידות היא המחלקה
הראשונה ,אחריה מחלקת האלפים ,מחלקת המיליונים וכן הלאה .בכל מחלקה שלוש עמודות:
יחידות ,עשרות ,מאות .יש להקפיד על הקריאה הנכונה של העמודות :במחלקה הראשונה של
היחידות קוראים "יחידות ,עשרות ,מאות" כפי שכתוב ,אך במחלקת האלפים יש לקרוא
"אלפים ,עשרות אלפים ,מאות אלפים".
משימה מס' :1במשימה זו התלמידים נדרשים לכתוב את המספרים בספרות.
ד( 900,009ה( .800,642
א( 200,450ב( 300,879ג( 854,009
אחת הטעויות הנפוצות בקרב תלמידים היא כתיבת את המספר לפי שמיעה ,למשל20040050 ,
במקום המספר .200,450
ו 8005409במקום המספר .854,009 :השלמת טבלת המבנה העשרוני עשויה לתרום למניעת
טעיות מסוג זה.
6
משימה מס' :2התלמידים נדרשים לכתוב את המספרים במילים.
א( שלושים ושבעה אלף ,חמש מאות תשעים ושמונה.
ב( שמונים ותשעה אלף ושתיים.
ג( שבעים ותשעה אלף ושמונה.
ד( שלוש מאות חמישים וארבעה אלף ,תשע מאות שמונים ואחת.
ה( ארבע מאות חמישים ושלושה אלף ,מאה ועשרים.
ו( שמונֶה מאות ארבעים וחמישה אלף ,שש מאות שבעים ושתיים.
במשימה זו אפשר להקל על התלמידים המתקשים בעזרת קריאת המספר בקול .מומלץ לבקש
מתלמיד אחד לקרוא את המספר ומתלמיד אחר לכתוב אותו על הלוח.
משימה מס' :3התלמידים נדרשים לפלג את המספרים לפי המבנה העשרוני .הדוגמה המופיעה
במשימה יכולה להקל על התלמידים.
א( 28,606 = 2 × 10,000 + 8 × 1,000 + 6 × 100 + 0 × 10 + 6 × 1
ב( 12,860 = 1 × 10,000 + 2 × 1,000 + 8 × 100 + 6 × 10 + 0 × 1
ג(
134,985 = 1 × 100,000 + 3 × 10,000 + 4 × 1,000 + 9 × 100 + 8 × 10 + 5 × 1
ד( 394,005 = 3 × 100,000 + 9 × 10,000 + 4 × 1,000 + 5 × 1
במספרים שמופיעה בהם הספרה אפס ,אפשר לקצר את אופן הכתיבה כמודגם בסעיף ד.
קטע שיעור ,עמוד :3המבנה העשרוני )המשך(
קטע שיעור זה חשוב מאוד לפיתוח הבנה מספרית של התלמידים .אמנם זוהי גם חזרה על מה
שנלמד בכיתות קודמות ,אך תלמידים עדיין מתקשים בכך .בקטע שיעור זה לומדים לענות על
שאלות שמתחילות במילה "כמה"" :כמה יחידות במספר מסוים? כמה מאות במספר מסוים?
כמה אלפים במספר מסוים? כמה עשרות אלפים במספר מסוים?" וכן הלאה .יש להבדיל בין
ספרת המאות במספר לבין מספר )כמות( המאות במספר כולו .בדוגמה שבשיעור הספרה 7היא
ספרת המאות ,אך מספר המאות הוא .127
משימה מס' :4משימת יישום .משימה הפוכה למשימה מס' .1יש לכתוב במילים את המספר
הרשום .כתיבת מספר בטבלת המבנה העשרוני מסייעת לענות על השאלות.
א( במספר יש 4,000עשרות.
ב( במספר יש 40אלפים.
ג( במספר יש 400מאות.
משימה מס' :5בחידה "מי אני?" על התלמידים לזהות את המספר המתאים לדרישות.
משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה .אפשר לפענח כל רמז בעזרת מילוי
מיקום הספרות במבנה _ ._ _ _ 0
המספר הוא .29,709
משימה מס' :6במשימה זו נדרש ניתוח של הנתונים ברמה גבוהה .ייתכנו מספר אפשרויות
לתשובה .הדרך הקלה ביותר לפתרון המשימה היא בניית טבלת המבנה העשרוני והצבת
הספרות במקום המתאים.
דוגמה למספר המתאים לדרישות הוא .800,420במספר זה ספרת העשרות היא הקטנה
ביותר ,ספרת המאות גדולה ב 2 -מספרת העשרות ,וספרת מאות האלפים גדולה ב 4 -מספרת
המאות .במקום הספרה 0המופיעה במספר אפשר לכתוב ספרות אחרות.
חשוב להנחות את התלמידים לבחור מספר מתאים ולהשיב על השאלות המופיעות בסעיפים ב'
ו -ג בהתאם למספר שבחרו.
7
משימה מס' :7אפשר לכתוב מספרים רבים שיש בהם 25עשרות אלפים .דוגמאות;250,456 :
.250,879
קטע שיעור ,עמוד :4השוואה בין מספרים טבעיים גדולים
משווים בין מספרים בעלי אותו מספר ספרות .אחת הדרכים להשוואה היא להשוות בין
המחלקות :מחלקת האלפים ,מחלקת היחידות .יש להסביר לתלמידים שמשווים משמאל
לימין :תחילה משווים בין מחלקות האלפים ולאחר מכך )לפי הצורך( בין מחלקות היחידות.
כדאי לבצע את פעילות הגילוי ד' לפני שיעור זה.
משימה מס' :8משימת יישום -השוואה בין מספרים טבעיים .הדריכו את התלמידים לפעול
בשלבים :תחילה לבדוק מהו ערך הספרה השמאלית ביותר ,אם הערכים זהים בשני המספרים
עוברים לספרה הבאה מימין.
משימה מס' :9משימת יישום – סדר המספרים .פעלו כמו במשימה .8
משימה מס' :10במשימה זו נדרשים התלמידים להשלים מספרים בספרות מתאימות ,כך
שיתקבלו אי-שוויונות נכונים .מומלץ לדון בכיתה באפשרויות המתאימות.
ב( 15,998 > 15,996
דוגמאות :א( 2,345 < 2,387
ד( 219,390 > 209,000
ג( 12,451 > 12,450
אפשר להעמיק במשימה ולשאול :כמה תשובות נכונות אפשריות לכל סעיף?
משימה מס' :11בסדרה א' ההפרש בין כל שני איברים סמוכים בסדרה הוא .100ואילו
בסדרה ב' ההפרש בין כל שני איברים סמוכים הוא .1,000עודדו את התלמידים לבדוק מה
קבוע ומה משתנה.
משימה מס' :12משימה זו מורכבת ממספר שלבים .התלמידים נדרשים לבחור מספר ארבע
ספרתי וכן לכתוב שלוש סדרות עולות ,כך שהמספר שבחרו יהיה האיבר הראשון בסדרה.
בסעיף א' ההפרש בין המספרים הוא ,10בסדרה השנייה ההפרש בין המספרים הוא ,100
ובסדרה השלישית ההפרש בין המספרים הוא .1,000
דוגמה לסדרה4,564 ; 4,574 ; 4,584 ; 4,594 ; 4,604 ; 4,614 ; 4,624... :
המעבר מהמאה החמישית לשישית עלול להיות קשה לחלק מהתלמידים.
קטע שיעור ,עמוד 5למעלה :החזקה
חזרה על המושג " ֶחזקה" .כדאי לבצע את פעילות הגילוי ה' לפני שיעור זה.
משימה מס' :13משימת יישום -כתיבת תרגילי כפל לחזקות הנתונות.
משימה מס' :14משימת יישום -כתיבת תרגילי הכפל בצורת חזקה.
משימה מס' :15חישוב ֲחזקות.
קטע שיעור ,עמוד 5למטה :חזקות של 10
בקטע שיעור זה רושמים כחזקות של 10את המספרים המורכבים משתי הספרות 1ו) 0 -כמו
100ו .(1,000 -אחר כך מקצרים את פילוגו של המספר לפי המבנה העשרוני בעזרת חזקות של
.10כדאי לבצע את פעילות הגילוי ו' לפני שיעור זה.
משימה מס' :16השלמת השוויונות במספרים החסרים היא יישום של פילוג המספר לפי
המבנה העשרוני וכתיבת הפילוג בחזקות של .10
דוגמה25,894 = 2 × 10 4 + 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 9 × 10 1 + 4 :
8
יחידת הלימוד -הקניה
קטע שיעור ,עמוד :6מיליון
מקטע שיעור זה ואילך מתחילים להקנות את הנושא החדש :המספרים הטבעיים הגדולים.
כעת מסבירים את הנחיצות של המספר .1,000,000לטבלת המחלקות נוספה מחלקת
המיליונים ,והיחידות ,העשרות והמאות שלה נקראות כך" :מיליונים"" ,עשרות מיליונים"
ו"מאות מיליונים" .מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי א' ו -ב' לפני השיעור.
משימה מס' :1על התלמידים לרשום בספרות מספר הכתוב במילים .אחת הטעויות הנפוצות
של התלמידים היא כתיבת מספר לפי השמיעה .בהתחלה מומלץ להשתמש בטבלת המבנה
העשרוני.
משימה מס' :2משימת יישום .על התלמידים לכתוב את המספרים במילים.מומלץ לבקש
מתלמיד אחד לקרוא את המספר בקול ומתלמיד אחר לכתוב אותו על הלוח.
משימה מס' :3השלמת הסדרות בקפיצות של .1,000,000עודדו את התלמידים לחפש מה
קבוע ומה משתנה.
משימה מס' :4הקביעה "נכון" או "לא-נכון" תסתמך על ההכרה כי בכתיבת מיליון יש שישה
אפסים.
משימה מס' :5התלמידים נדרשים לכתוב את מספר הספרות שבמספר ,בלי לכתוב אותו .א( 7
ספרות ב( 8ספרות ג( 8ספרות
משימה מס' :6כדאי לעודד את התלמידים לבטא את התרגיל ואת התוצאה ולהדגיש את
המילה "מיליון" כדי "להרגיש" את הדמיון למספרים הקטנים גם בשמיעה .לדוגמה" ,שני
מיליונים ועוד שבעה מיליונים שווה לתשעה מיליונים".
משימה מס' :7במשימה זו נדרש תרגום ממילים לספרות כדי לפתור את התרגיל.
א( 2,000,000 + 4,000,000 = 6,000,000
ב( 10,000,000 + 20,000,000 = 30,000,000
משימה מס' :8משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה .אחת הדרכים למצוא
את המספר הדרוש היא לסמן תשעה קווים המסמנים את מספר הספרות במספר ולהציב את
הספרות 0או 1כמתבקש .הנה כך 100,100,100 :המספר הוא מאה מיליון ,מאה אלף ומאה.
קטע שיעור ,עמוד :8פילוג מספרים גדולים לפי המבנה העשרוני
המטרה בקטע שיעור זה הוא לחזק את פילוג המספרים הגדולים מ 1,000,000 -לפי המבנה
העשרוני.
משימה מס' :9משימת יישום.
משימה מס' :10בעזרת משימה זו אפשר לבדוק באיזו מידה הבינו התלמידים את עקרונות
המבנה העשרוני .אם התלמידים מבינים היטב מה מייצגת ספרה מסוימת במספר ומה ערכה,
לא יתעוררו להם בעיות גם בפילוג מספר לפי המבנה העשרוני שלו .לדוגמה ,במספר 2,345,689
הספרה 5מייצגת את ספרת האלפים ,כלומר ערכה .5,000
משימה מס' :11פילוג מספר לפי המחלקות ,כלומר למיליונים ,לאלפים וליחידות.
בפילוג המספר לפי מחלקות צריך לכפול את המספר שבמחלקה בכפולת 10המתאימה.
9
דוגמאות7,489,501 = 7 × 1,000,000 + 489 × 1,000 + 501 :
18,598,743 = 18 × 1,000,000 + 598 × 1,000 + 743
205,413,378 = 205 × 1,000,000 + 413 × 1,000 + 378
213,714,509 = 213 × 1,000,000 + 714 × 1,000 + 509
משימה מס' :12השלב הבא לפילוג מספר לפי המבנה העשרוני :הפילוג נעשה לפי הערך של כל
ספרה וספרה במספר .את המשימה הזו יפתרו התלמידים במחברת.
קטע שיעור ,עמוד :9אפס במבנה העשרוני
בשיעור זה עוסקים במספרים שיש בהם לפחות ספרה אחת שהיא .0לספרה אפס תפקיד חשוב
בכתיבת מספרים בשיטת ה"פוזיציה" ,מפני שבלעדיה אי-אפשר להבדיל בין המספרים,
לדוגמה ,בין 65לבין .605יש קושי מסוים להבין מה מייצגת הספרה 0במספר ,מהו ערכה
וכמה ,למשל ,עשרות אלפים במספר .לכן יש לוודא שהתלמידים מבינים את העניין .בדוגמה
שבשיעור :הספרה 0המודגשת מייצגת את ספרת עשרות האלפים ,וערכה הוא 0עשרות אלפים,
אבל במספר זה יש 650עשרות אלפים.
כמו-כן ,מושם דגש על כתיבת הפילוג המקובל של המספר :אם במספר יש אפסים ,לא כותבים
מכפלות של הספרה 0בערך שלה ,מפני שהמכפלה היא .0כדאי שהתלמידים יפלגו את המספר
הנתון בקטע השיעור ,לפי ערכן של ספרותיו ,כדי שייווכחו שאין צורך בכתיבת המכפלות
שהוזכרו לעיל.
משימה מס' :13הפילוג של המספר נעשה לפי ערכן של הספרות ,שאחת מהן היא .0
משימה מס' :14משימת יישום.
משימה מס' :15התלמידים נדרשים למצוא את המספר לפי הפילוג הנתון.
מומלץ לבצע את המשימה בעל-פה.
ד( 50,703,070
ג( 8,506,200
ב( 79,854
א( 7,985
ז( 1,992,406,300
ו( 789,235,782
ה( 575,345
קטע שיעור ,עמוד :10מספר עוקב
קטע שיעור זה חשוב מאוד כדי להבין שיש אין-סוף מספרים טבעיים .כל מספר טבעי ,פרט ל-
,1מתקבל מהמספר הקודם לו על-ידי הוספה של .1לכן אם התלמידים רושמים מספר טבעי
כלשהו שהוא "הגדול ביותר" שהם מכירים ,יש להסביר להם שלכל מספר אפשר להוסיף ,1וכך
יהיה מספר גדול יותר :המספר העוקב לו .כל המספרים הטבעיים מתקבלים מהוספה של 1
כמספר הפעמים הנדרש .הדוגמאות המובאות כאן הן מספרים עוקבים בעלי מספר ספרות
אַחד המספרים האלה מורכב מהספרה 9בלבד ,והאחר הוא המספר העוקב שלו .המספר
שונהַ .
השני תמיד יהיה מורכב מהספרות 1ו 0 -בלבד.
משימה מס' :16משימת יישום – כתיבת המספר העוקב למספר הנתון.
משימה מס' :17משימת יישום – כתיבת המספר הקודם למספר הנתון.
משימה מס' :18משימת יישום .משלימים סדרות עולות ויורדות של מספרים עוקבים.
קטע שיעור ,עמוד :11מיליון ומיליארד
בקטע השיעור מובאת בעיה שבפתרונה מגיעים למספר מיליארד .כמובן ,אפשר להגיע למספר
מיליארד בדרכים אחרות ,למשל ,מיליארד הוא המספר העוקב ל .999,999,999 -במספר
מיליארד יש 10ספרות ,לפיכך נוספה לטבלה מחלקת המיליארדים ,ובה יש מיליארדים,
עשרות מיליארדים ומאות מיליארדים.
10
משימה מס' :19תרגול נוסף של כתיבת המספרים בספרות.
משימה מס' :20התלמידים ייווכחו לדעת כי במספר מיליון יש שבע ספרות ואילו במספר
מיליארד יש עשר ספרות.
משימה מס' :21תרגול נוסף של כתיבת המספרים במילים.
משימה מס' :22אם ממשיכים את סדרת המספרים ,מגיעים למיליארד.
משימה מס' :23תרגול של כתיבת מספרים שונים בעלי עשר ספרות.
משימה מס' :24על התלמידים לענות על השאלה :כמה מיליונים יש בכל מספר? א( 1מיליון
ב( 10מיליונים ג( 72מיליון ד( 3749מיליון
קטע שיעור ,עמוד :12מיליארדים
קטע שיעור זה דומה לקטע השיעור של "לעלות על הגל" בעמוד ,3אך הפעם עוסקים בשאלה
"כמה" במספרים שיש בהם גם מחלקת מיליארדים .גם כאן חשוב להבחין בין ערך הספרה
לבין מספר )כמות( יחידות מסוימות .בדוגמה שבשיעור הספרה 8מייצגת את ספרת המיליונים,
וערכה ;8,000,000ובמספר זה יש 21,508מיליונים.
משימה מס' :25משימת יישום .כתיבת המספרים במילים ,כולל מיליארדים.
משימה מס' :26תרגום ממילים לספרות.
משימה מס' :27ישנן אפשרויות שונות לכתיבת מספר לפי תנאי המשימה .רצוי לדון בדרכי
הפתרון ובתשובות שהתקבלו .אפשר גם לבקש למצוא מספר אחר באותם האילוצים.
מתלמידים מתקדמים אפשר לבקש גם למצוא את כל הפתרונות.
משימה מס' :28השלמת סדרות המספרים מחזקת את הכרת המספרים הגדולים ואת הבנת
הסדר שלהם.
קטע שיעור ,עמוד :13השוואה בין מספרים
השוואה בין מספרים טבעיים גדולים בעלי מספר ספרות זהה ושונה .מומלץ לבצע את פעילויות
הגילוי ג' ו -ד' לפני השיעור .אחת הדרכים להשוות בין מספרים במספר ספרות שונה היא
להיעזר במחלקות :מחלקת האלפים ,מחלקת היחידות .יש להסב את תשומת לב התלמידים
לכך שמשווים משמאל לימין ,כלומר תחילה משווים בין המחלקות השמאליות ביותר ,כמו
המיליארדים ,אחר-כך )לפי הצורך( בין מחלקות המיליונים ,האלפים והיחידות .אפשר גם
להיעזר בטבלה כדי להשוות בין המספרים .לצורך זה רושמים באותה טבלה את המספרים לפי
המבנה העשרוני זה מתחת זה ומשווים .יש להזכיר לתלמידים איך קוראים וכותבים נכון את
סימן האי-שוויון "גדול"" ,קטן".
משימה מס' :29משימת יישום – סדר המספרים בסדר יורד.
משימה מס' :30כתיבת מספר גדול מהמספר הנתון בכל אחד מהאי-שוויונות.
משימה מס' :31השלמת מספרים בספרות המתאימות מעודדת דיון .מומלץ לדון עם
התלמידים בפתרונות ,באסטרטגיה למציאת הפתרונות בשני הסעיפים האחרונים )קביעת
המספר הגדול או קביעת המספר הקטן ( ובמספר הפתרונות.
משימה מס' :32ההשוואה בין המספרים מהווה יישום נוסף של הכרת המספרים הגדולים.
11
משימה מס' :33משימה זו מורכבת משני חלקים .בחלק הימני נדרשים התלמידים להשלים
מספר כך שיתקבל אי-שוויון נכון .בחלק השמאלי התלמידים נדרשים להמציא את הספרה
החסרה .החלק הימני קל יותר לתלמידים .דונו בחלק השני כמו במשימה .31
משימה מס' :34א( משימת יישום של סדר מספרים גדולים מהגדול לקטן.
ב( במספרי התושבים במדינות שלוש הספרות האחרונות הן .000הסיבה לכך היא שהנתונים
הם מספרים המעוגלים עד לאלפים.
משימה מס' :35מומלץ לדון עם תלמידי הכיתה במשימה הזו .משימה זו עלולה להיות קשה
לחלק מתלמידי הכיתה בעיקר באי-שוויונות שבהם אי-אפשר להוסיף מספר כך שיתקבל אי-
שוויון נכון )כמו בסעיף א'( .שימו לב שבסעיף ד' אין חשיבות למספרים החסרים .האי-שוויון
מתקיים תמיד.
קטע שיעור ,עמוד :15עיגול מספרים
עיגול מספרים גדולים .כאשר עוסקים במספרים גדולים ,לעתים קרובות נחוץ "לעגל" אותם.
משימה מס' :36מומלץ לדון עם התלמידים באופן בו מעגלים מספרים :עיגול המספרים
למיליונים או למאות אלפים .דוגמה :נעגל את 125,374,395למיליונים ונקבל;125,000,000 :
אם נעגל אותו המספר למאות אלפים ,נקבל.125,400,000 :
כדאי לחזור עם התלמידים על הדרך שבה מעגלים מספרים.
משימה מס' :37משימת יישום של עיגול אותו המספר לרבבות ,למיליונים ולאלפים.
א( 13,895,741 ≈ 14,000,000עיגול לרבבות
ב( 13,895,741 ≈ 13,900,000עיגול למיליונים
ג( 13,895,741 ≈ 13,896,000עיגול לאלפים.
משימה מס' :38אחד המושגים הנקשר עם עיגול מספרים הוא סדר גודל של מספר.
משימה מס' :39משימת יישום .מבחינים בין עיגול לאלפים ,עיגול למאות אלפים ,עיגול
למיליונים ועיגול למיליארדים.
משימה מס' :40משימת יישום הכוללת עיגול המספרים הנתונים לאלפים וכן קביעת מיקום
המספר לפי סדר הגודל שלו.
משימה מס' :41התלמידים נדרשים לעגל את המספרים לעשרות אלפים ולמחלקה הגדולה
ביותר.
משימה מס' :42משימת יישום – עיגול המספרים למיליארדים.
קטע שיעור ,עמוד :17כתיבת מספר בעזרת חזקות של 10
שימוש בחזקות של 10לצורך פילוג המספרים הגדולים .מומלץ לבצע לפני השיעור את פעילות
הגילוי ה' .יש להדגיש את הקשר בין מספר האפסים במספר לבין מעריך החזקה שבסיסה .10
ייתכן שתלמידים יכתבו בבסיס החזקה 1במקום .10במקרה זה יש לבקש מהתלמידים
להעלות בחזקה את המספר שהם כתבו .לדוגמה ,תלמיד רשם 1,000,000כ .16 -מבקשים ממנוּ
לחשב .חשוב שהוא ירשום כך .16= 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 :קל לראות שהתוצאה שונה ממיליון.
חשוב גם שהתלמידים ידונו בדרך לתקן את הטעות ,וכך הם יגיעו לתשובה הנכונה.
12
משימה מס' :43משימת יישום .בסעיפים ג'-ה' התלמידים יכתבו תחילה את המספרים
באמצעות ספרות מתאימות ואחר כך באמצעות כתיב חזקות.
סעיף ב :אם בכיתה כבר דנו בשאלה זו ,התלמידים לא ייתקלו בקשיים במשימה .אם הדיון לא
נערך בעבר ,זהו הזמן לדון בשאלה.
משימה מס' :44פילוג המספר לפי המבנה העשרוני נעשה באמצעות חזקות .הקושי העיקרי
הוא בהתאמה בין מיקום הספרה לבין ערכה כשמדובר במספרים גדולים .מומלץ להרגיל את
התלמידים לזכור כעובדת-יסוד ,שמיליון הוא .106כך פילוג המספר יהיה קל יותר.
משימה מס' :45מעבר מפילוג המספר לפי חזקות של 10לכתיבת מספר ללא חזקות.
התלמידים צריכים לשים לב שבפילוג הראשון ) (7,230,140אין 103ושספרת היחידות היא .0
פענוח המספר השני 25,465,789קשה יותר .עובדת-יסוד נוספת :מיליארד הוא .109
משימה מס' :46פילוג המספר נעשה בהתאם להוראות בטבלה.
במשימה מסוכמות הדרכים לפילוג מספר לפי מבנה עשרוני.
קטע שיעור ,עמוד :18ספרות רומיות
השיטה הרומית לכתיבת מספרים הייתה בשימוש יותר מאלפיים שנה.
כדי להחיות את הנושא אפשר לבקש מהתלמידים לחפש בבית שעונים שיש בהם ספרות
רומיות ,להתבונן בסביבה הקרובה להם או לחפש במחשב בניינים שכתובות בהם ספרות
רומיות ,ליצור ספרות בעזרת קיסמים וכן לענות על חידות או לבנות אותם.
לדוגמה ,איך אפשר לחלק 12ל 2 -ולקבל ) 7אם כותבים את המספר 12בספרות רומיות XII
ומחלקים את המספר בקו אופקי באמצע ,מקבלים במונה (VII
פעילות נוספת עם קסמים :איך אפשר להפוך את 8ל 13 -בעזרת שינוי מקומו של קיסם אחד
בלבד? או אפשר לעבור מ 6= 5+1 -ל 11= 10+ 1 -בעזרת שינוי מקום של שני קיסמים בלבד?
משימה מס' :47כתיבה של עשרת המספרים הראשונים ושל הכפולות של . 10
משימה מס' :48כתיבה של מספרים שונים וחישוב ערך המספר בעזרת פירוט השימוש
בפעולות .דוגמהXLIX =50-10+10-1 = 49 :
משימה מס' :49כותבים בשיטה העשרונית מספרים שונים הכתובים בשיטה הרומית.
משימה מס' :50כותבים בשיטה הרומית מספרים שונים הכתובים בשיטה העשרונית.
משימה מס' :51אחד ההסברים של השימוש בכפולות של חמש הוא שלאדם חמש אצבעות .יש
מקורות הטוענים שהשיטה נוצרה מתוך סימנים מוסכמים באמצעות הידיים כדי להעביר
מסרים בין לגיונות של הצבא .אצבע,שתיים ,שלוש ,,,,ארבע אצבעות צמודות ואגודל מפוסקת
יוצרים ,Vשתי זרועות מוצלבות יוצרות .X
מה למדנו? עמוד :20
משימה מס' :52כתיבת מספר גדול במילים ובחזקות .1,080,000,000=1 × 109+8 × 107 .העיגול
למיליארדים הוא 1מיליארד קילומטר .אפשר להרחיב את הנושא ולשאול מהו המרחק
שעובר האור ביום ,בשבוע ,בחודש ,בשנה.
משימה מס' :53מיקום מספרים גדולים על הציר.אפשר לבצע את המשימה על-ידי "ציר
המספרים חי" :שני תלמידים מייצגים את 10,000,000ואת ,11,000,000ותלמידים אחרים
13
בעלי כרטיסי מספרים נתונים או אחרים ממקמים את עצמם על הציר .התלמידים האחרים
בודקים את המיקום הנכון.
ממשיכים בתרגול ,עמודים :29 – 21
התרגול המופיע בחלק זה מיועד לשיעורי -בית וכן לתרגול נוסף לאחר לימוד הפרק.
משימה מס' :1משימת תרגול של כתיבת המספרים בספרות.
משימה מס' :2משימת תרגול של סדר מספרים .האיור המתקבל הוא איור של דג.
משימה מס' :3המספר המתקבל לאחר הוספת שני אפסים הוא .145,000המספר במילים:
מאה ארבעים וחמש אלף .ספרת המאות אלפים של המספר היא .1
משימה מס' :4משימת יישום של פילוג המספר לפי המבנה העשרוני .התלמידים נדרשים
להשלים את פילוג המספר או את המספר לפי הפילוג הנתון .בשורה השלישית הפילוג הוא לפי
המחלקות ,ובשורה הרביעית יש להוסיף גם את המספר עצמו לפי הפילוג הנבחר .יש עשרה
מספרים אפשריים ,לכן מומלץ לדון בכך.
משימה מס' :5משימת תרגול של חיבור. 15,600 + 1,000 = 16,600 .
משימה מס' :6משימת תרגול של סדר המספרים הנתונים מהקטן לגדול וההיפך.אפשר
להנחות את התלמידים להתבונן תחילה במחלקה הגדולה ביותר במספרים הנתונים .במקרה
זה היא מחלקת האלפים .ההשוואה בין המספרים תיעשה כעת לפי המספר התלת ספרתי.
דוגמה 202,020 :קטן מ 210,210 -כי .202 < 210
משימה מס' :7פנקסי חשבוניות מתחילים בדרך כלל ב 001 -ומסתיימים בכפולה של ,25של
50או של .100
משימה מס' :8משימת תרגול של כתיבת מספרים לפי הוראות נתונות .ערך הספרה 4שונה
ממספר למספר .א( במספר 4,000יש שלושה אפסים .ב( במספר 40,000יש ארבעה אפסים.
ד( במספר 400,000יש חמישה אפסים .ה( במספר 4,000,000יש שישה אפסים.
משימה מס' :9משימת תרגול של חזקות .חזקה היא כתיב מקוצר של כפל של אותו גורם.
משימה מס' :10השלמת השוויונות היא למעשה השלמה המעריכים בחזקות של 10לפי
המבנה העשרוני .משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה .הנחו את התלמידים
להיעזר בטבלת המבנה העשרוני.
4
3
א( 74,539 = 7 × 10 + 4 × 10 + 5 × 10 2 + 3 × 10 1 + 9 × 10 0
ב( 134,002 = 1 × 10 5 + 3 × 10 4 + 4 × 10 3 + 2 × 10 0
ג(
3,080 = 3 × 10 3 + 8 × 10 1
משימה מס' :11משימת תרגול של כתיבת מספרים גדולים בספרות.
משימה מס' :12משימת תרגול של כתיבת מספרים גדולים במילים.
משימה מס' :13משימת תרגול של מציאת מיקום המספר על ציר המספרים .ההפרש בין כל
שתי שנתות מייצג מיליון.
14
משימה מס' :14השאלות מהסוג :כמה אלפים במספר או כמה מיליונים במספר עלולה ליצור
קושי אצל התלמידים .כדאי לחזור על ההבדל בין השאלה" :מהי ספרת המיליונים במספר?"
לעומת "כמה מיליונים במספר?"
המספר הנתון הוא75,495,306 :
ב( במספר יש 754מאות אלפים.
א( במספר הנתון יש 75מיליונים.
ד( במספר יש 7,549רבבות.
ג( במספר יש 754,953מאות.
משימה מס' :15את הסדרה הראשונה ה"יורדת" משלימים בקפיצות של .10,000,000את
הסדרה השנייה ה"עולה" משלימים בקפיצות של .100,000תלמידים אחדים עלולים להתקשות
בקפיצה מ 900,000 -ל.1,000,000 -
משימה מס' :16אפשר לפענח כל רמז בעזרת מילוי מיקום הספרות במבנה34,__3__,__3__ :
התנאי הנוסף במשימה זו הוא שספרת המיליונים קטנה מספרת היחידות .ישנן אפשרויות
שונות למספר המתאים לפתרון החידה.
אפשרות ב34 ,138 ,139 -
דוגמאות :אפשרות א .34 ,135 ,135 -
ב( במספר יש 7מאות מיליונים.
משימה מס' :17א( במספר הנתון יש 797מיליונים.
ג( 797,476אלפים במספר .ד( 797,476 × 1,000 + 758
ה( אם נעגל את המספר הנתון למאות מיליונים נקבל.800,000,000 :
משימה מס' :18א( לא נכון; ב( נכון;
ג( לא נכון; ד( נכון; ה( לא נכון.
משימה מס' :19במשימה זו נדרשים התלמידים להשלים את המספר הקטן ביותר ,את
המספר הגדול ביותר ואת כמות המספרים בעלי אותו מספר ספרות.
כדי למצוא את הכמות המתאימה מחשבים את ההפרש בין המספר הגדול ביותר למספר הקטן
ביותר ,ומוסיפים 1להפרש.
להלן הטבלה המלאה:
המספר הקטן ביותר המספר הגדול ביותר כמות המספרים בעלי
מספר הספרות
אותו מספר ספרות
במספר
90
99
10
2
900
999
100
3
9,000
9,999
1,000
4
90,000
99,999
10,000
5
900,000
999,999
100,000
6
משימה מס' :20משימת תרגול של השלמת הספרות של המספר הנתון בטבלת המבנה
העשרוני.
משימה מס' :21משימת תרגול של מה מייצגת הספרה 3בכל אחד מהמספרים .דוגמה:
במספר 53,059,471הספרה 3מייצגת את ספרת העשרות מיליונים ,כלומר .30,000,000
משימה מס' :22משימת תרגול של פילוג המספרים הנתונים לפי המבנה העשרוני.
דוגמה:
7,489,501 = 7 × 1,000,000 + 4 × 100,000 + 8 × 10,000 + 9 × 1,000 + 5 × 100 + 0 × 10 + 1
משימה מס' :23משימת תרגול של פילוג המספרים הנתונים למחלקות.
דוגמה5,123,456 = 5 × 1,000,000 + 123 × 1,000 + 456 :
15
משימה מס' :24משימת תרגול פתוחה של פילוג המספר בדרך כלשהי.
משימה מס' :25משימת תרגול של מציאת המספר הקודם והמספר העוקב של מספר נתון.
דוגמה.98,998 ; 98,999 ; 99,000 :
משימה מס' :26משימת תרגול של השלמת סדרות של מספרים טבעיים גדולים.
משימה מס' :27משימת תרגול נוספת של השלמת סדרות נתונות.
דוגמה.40,000,000 ; 42,000,000 ; 44,000,000 ; 46,000,000 :
משימה מס' :28משימה זו מזמנת דיון .שני התלמידים עיגלו את המספר 2,592,000נכון.
יעקב עיגל למיליונים ואילו דוד עיגל למאות אלפים .צריך לשים לב לעיגול המספרים .יש
עיגולים מוצדקים יותר בעיקר כאשר מדובר בערכים מדעיים .העיגול ל 3,000,000 -בקירוב
יוצר טעות של כ ,15% -יחסית זה הרבה לעומת העיגול למאות אלפים.
משימה מס' :29משימת תרגול של חזקות של .10
דוגמה10 × 10 × 10 = 10 3 = 1,000 :
משימה מס' :30משימה זו משלבת בין עיגול המספרים לעשרות אלפים ולכתיבת המספרים
כחזקות של .10
4
דוגמה :בלגיה – המספר10,259,000 ≈ 10,260,000 = 1,026 × 10 :
משימה מס' :31משימת תרגול של כתיבת המספרים בשיטה הרומית.
דוגמאות :נכתוב את המספר 69כך.LXIX :
משימה מס' :32משימת תרגול של חישוב ערך המספרים.
חישוב ערך המספר בשיטה
המספר בשיטה הרומית
העשרונית
2 × 10 + 5 + 1
XXVI
50 − 10 + 1
XLI
) 100 + ( 50 − 10
CXL
2 × 100 + ( 50 − 10 ) + 3
CCXLIII
) 500 + 2 × 100 + ( 100 − 10
DCCXC
( 1,000 + 100 + 10 ) × 1,000
MCX
ערך המספר בשיטה
העשרונית
26
41
140
243
790
1,110,000
משימה מס' :33משימת תרגול של חיבור וחיסור מספרים טבעיים וכתיבת התוצאה בשיטה
הרומית.
דוגמאות :א( 100 + 30 + 5 = 135בשיטה הרומית.CXXXV :
ב( 200 − 10 + 3 = 193בשיטה הרומית.CXCIII :
משימה מס' :34משימת תרגול של השלמת ספרות רומיות כך שיתקבלו שוויונות נכונים.
.CCC = 300 XL = 40 XCV = 95
להלן הפתרונותIX = 9 LX = 60 XI =11 :
משימה מס' :35משימת שעשוע עם קיסמים או עם גפרורים.
את התרגיל 7 + 1 = 8 :נכתוב בשיטה הרומית כך.VII + I = VIII :
16
משימה מס' :36משימת תרגול של כתיבת המספר 300,000בשיטה הרומית בשתי דרכים.
דרך ב'CCC :
CCD
דרך א':
משימה מס' :37נתון המספר .MDCLVI :ערך המספר הנתון הוא .1,656כדי לקבל מספר
הקטן ב 200 -מהמספר המקורי יש לשנות את מיקומה של האות Dבמספר .המיקום החדש
יהיה בין האות Cלאות Lהנה כך.MCDLVI :
משימה מס' :38נתון המספר .CXLVIII :ערך המספר הנתון הוא .148 :כדי לקבל מספר
הגדול יותר ב 20 -מהמספר הנתון יש לשנות את מיקומה של האות Xבמספר .המיקום החדש
יהיה בין האות Lלאות ,Vהנה כך.CLXVIII :
משימה מס' :39משימת תרגול של פתרון תרגילי חיבור הכתובים בספרות רומיות.
התרגילים הנתונים במשימה הם:
א( 3,294 + 1,797 = 5,091
ב( 2,394 + 897 = 3,291
משימה מס' :40משימת תרגול של החוקים והכללים לכתיבת ספרות רומיות.
התלמידים נדרשים לגלות את הטעות ולתקן אותה .כדאי להפנות את התלמידים לחוקים
ולכללים הכתובים בקטע השיעור שבעמוד .18
דוגמה :הטעות בסעיף א' מוסברת בחוק ג' :כותבים לכל היותר ספרה אחת בלבד שערכה קטן
יותר מהספרה שמימין לה .בסעיף א' הספרה Xהמייצגת 10מופיעה פעמיים לפני הספרה C
המייצגת .100כותבים את המספר 86כך.LXXXVI :
שאלות מילוליות ,עמוד 30
השאלות המילוליות המופיעות בפרק עוסקות במספרים הגדולים.
משימה מס' :1אם מספר הצ'ק הראשון מסתיים ב ,940 -אז מספר הצ'ק השני מסתיים ב-
.941כדי להגיע מהצ'ק השני לשמיני צריך להוסיף 6ומקבלים .947
949הוא טעות טיפוסית של תלמידים שמוסיפים 8ל.1-
הצ'ק העשירי יסתיים ב 949 -כי מתחילים ב .940 -שגיאה אופיינית של תלמידים היא להוסיף
.10זו הסיבה שמספרי פנקסי הקבלות והצ'קים מתחילים במספרים שספרת היחידות היא 1
כדי שתהיה התאמה בין ספרת היחידות ומיקומו של הצ'ק בפנקס.
ד( 5,755,349
א( 1,375,941ב( 1,375,946ג( 1,375,949
משימה מס' :2משימה זו עוסקת בכתיבת מספרים לפי תנאים נתונים ולפי דרישות נתונות.
א( .7,540ב( 75 × 10 4 = 750,000ג( 57 × 10 4 = 570,000
משימה מס' :3משימה זו דומה למשימה הקודמת .הדרישות אחרות.
דוגמה :לסעיף ב' יתאים המספר36 × 10 5 = 3,600,000 :
משימה מס' :4משימה זו דומה לשתי המשימות הקודמות .הדרישות הן אחרות לבניית
המספרים .דוגמה :לסעיף א' יתאים המספר. 7 × 10 6 = 7,000,000 :
17
יישומי מדע ,עמוד 31
במדע האסטרונומיה יש צורך בשימוש במספרים הגדולים .החלק המדעי של הפרק עוסק
במספרים גדולים ביקום.
כוכב הוא כדור פלזמה גדול מאוד ,אשר בניגוד לכוכב לכת ,מפיק קרינה משל עצמו ופולט
אותה לחלל .מקורה של האנרגיה הנוצרת בכוכבים הוא בהיתוך גרעיני ,והיא נפלטת לחלל
בצורת קרינה אלקטרומגנטית וחלקיקי נייטרינו.
משימה מס' :1במשימה זו נדרשים התלמידים לכתוב את המרחק מהשמש בחזקות של .10
דוגמה57,900,000 = 579 × 10 5 :
משימה מס' :2במשימה זו נדרשים התלמידים לכתוב את שמות הכוכבים לפי מרחקם
מהשמש .להלן סדר הכוכבים :חמה ,נוגה ,הארץ ,מאדים ,צדק ,שבתאי ,אורנוס ,נפטון ופלוטו.
משימה מס' :3במשימה זו נדרשים התלמידים לסדר את שמות הכוכבים לפי הקוטר שלהם.
להלן סדר הכוכבים מהקוטר הקטן ביותר ועד הגדול ביותר:
פלוטו ,חמה ,מאדים ,נוגה ,הארץ ,נפטון ,אורנוס ,שבתאי ,צדק.
העשרה ,עמוד 32
משימות ההעשרה המופיעות בעמוד זה מיועדות לתלמידים מתקדמים .אם כי ,כל אחד
מתלמידי הכיתה יכול לנסות לפתור את המשימות.
משימה מס' :1
במשימה זו נדרשים התלמידים לכתוב בעזרת הספרות הנתונות מספרים בעלי חמש ספרות שש
ספרות שבע ספרות וכדומה.
אפשר לבנות מספרים ללא פעולות חשבון ואפשר לבנות מספרים עם פעולות חשבון.
שתי הדרכים יוצגו להלן:
3
דוגמה למספר בעל שבע ספרות42×50 = 3,150,000 :
2
דוגמה למספר בעל שמונה ספרות30 ×503 = 67,500,000 :
דוגמה למספר בעל עשר ספרות32×504× 25= 3,000,000,000 :
מספר הספרות במספר
5ספרות
6ספרות
7ספרות
8ספרות
9ספרות
10ספרות
המספר הקטן ביותר
20,345
200,345
2,002,345
20,023,345
200,233,445
2,002,334,455
המספר הגדול ביותר
54,320
554,320
5,544,320
55,443,320
554,433,220
5,544,332,200
משימה מס' :2משימת תרגול של פילוג המספר לפי מחלקות .הרישום הוא בעזרת חזקות של
.10
משימה מס' :3משימת תרגול של כתיבת מספר גדול במילים וכן עיגול המספר למיליונים.
18
אנו שולטים בחומר ,עמוד 33
חזרה על הנושאים :פעולות חשבון וסדר פעולות חשבון ,סימני התחלקות ובעיות מילוליות.
משימה מס' :1משימת תרגול של סדר פעולות החשבון.
משימה מס' :2מספר מתחלק ב 3 -אם סכום ספרותיו מתחלק ב .3 -הספרה החסרה היא 2או
5או .8
משימה מס' :3מספר מתחלק ב 5 -אם ספרת היחידות שלו היא 0או .5
הספרה החסרה היא 0או .5
משימה מס' :4א( המספר 12,345מתחלק ב 3 -וב.5 -
ב( המספר 7,890מתחלק ב ,2 -ב ,3 -ב ,5 -ב 6 -וב.10 -
משימה מס' :5מספר זוגי יכול להתחלק ב .3 -לדוגמה המספר .12מספר זה מתחלק גם ב.6 -
משימה מס' :6א( ספרת היחידות של המכפלה הנתונה היא .4
ב( מספרת היחידות של המכפלה הנתונה היא .8
משימה מס' :7התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא. ( 5 + 4 ) × 6 = 9 × 6 = 54 :
יואל קנה 54בקבוקי משקה.
משימה מס' :8התרגיל המתאים לפתרון השאלה המילולית הוא:
( 6,000 − 1,500 ) :9 = 4,500 :9 = 500
תשובה :אריאל שילם בכל אחד מהתשלומים .₪ 500
משימה מס' :9משימת תרגול של ארבע פעולות החשבון.
19
נספח לפעילות גילוי א' להקניה
אַחת
ָ
ארבע
שלוש
ארבעה
)ארבעת(
תשע
שלושה
)שלושת(
שמונֶה
שתיים
)שתי(
שניים
) ְשנֵי(
שבע
ֶא ַחד
אַחד(
) ַ
שש
תשעה
) ִת ְש ַעת(
שמונָה
)שמונַת(
שבעה
) ִש ְב ַעת(
שישה
) ֵש ֶשת(
חמישים
ארבעים
שלושים
עשרים
מאות
תשעים
שמונים
שבעים
שישים
אלפים
אלפיים
אלף
מאתיים
מאה
ו
מיליארדים
מיליארד
מיליונים
מיליון
ו
ו
ו
ו
ו
אפס
חמש
חמישה
) ֲח ֵמ ֶשת(
עשר
עשרה
)עשרת(
20
ז' להקניה-'נספח לפעילויות גילוי ד
I
I
I
I
I
II
II
II
II
II
III
III
III
III
III
V
V
V
V
V
X
X
X
X
X
L
L
L
L
L
C
C
C
C
C
M
M
M
M
M
I
I
I
I
I
21
11
12
1
10
2
9
L = 50
3
4
8
7
יא
6
יב
5
C = 100
א
י
ב
ט
ג
ד
ח
ז
ו
ה
D = 500
XI
X II
I
II
X
IX
III
VIII
VII
M = 1000
IV
VI
V
I
V
X
C
D
M
22
L
ב .חיבור ,חיסור וכפל במספרים טבעיים גדולים
עמ' 67 - 34
רקע
פרק זה עוסק בפעולות חשבון במספרים הטבעיים ,פרט לחילוק .הדגש הוא על פעולות
במספרים הטבעיים הגדולים .למעשה ,התלמידים חוזרים על חיבור ,על חיסור ועל כפל של
מספרים טבעיים ומעמיקים את הידע שלהם במספרים בעלי מספר ספרות גדול .יש להסב את
תשומת לב התלמידים לכך שאותם הכללים ואותם החוקים חלים על כל המספרים הטבעיים,
גם אם המספר הוא גדול.
השוני המשמעותי בביצוע פעולות במספרים הגדולים בא לידי ביטוי בכך שלעתים קרובות
מעגלים את המספרים הגדולים לפני הפעולה ,ולעתים מעגלים את תוצאה .הסיבה לכך היא
שברוב המקרים אין משמעות לתוצאה מדויקת ,אלא לקירוב של התוצאה ,לדוגמה ,בשאלות
הקשורות לסטטיסטיקה.
העיסוק במספרים הטבעיים באופן מרוכז מסתיים בפרק זה ובפרק ד' – חילוק מספרים
טבעיים .ולכן חשוב לחזור על חוקי הפעולות :חוקים הקשורים לאפס ולאחת ,חוק החילוף של
כפל וחיבור ,חוק הקיבוץ של כפל וחיבור וחוק הפילוג של כפל לפני חיבור או חיסור .מומלץ
לחזור על חוקים אלה בתרגול בעל-פה או בכתב גם במשך שנת הלימודים )דרך פעילויות
הטמעה ,לדוגמה( ,כדי שהתלמידים לא ישכחו אותם .בכל נושא אחר הקשור למספרים -לאו
דווקא הטבעיים -נשענים על ידע של חוקי הפעולות ושל כללי הפעולות )סוגריים קודמים לכול,
כפל וחילוק קודמים לחיבור ולחיסור וכדומה(.
הטעות הנפוצה ביותר בחיבור ובחיסור של מספרים גדולים בטור נובע מכתיבה לא נכונה של
הספרות המתאימות זו מתחת זו.
שימוש באומדן מאפשר לקבל סדר גודל של התוצאה ובכך למנוע טעות זו.
כמו כן ,שיטות שונות לחישוב מאפשרות בדיקה של החישוב באחת מהשיטות.
כאשר מופיע 0בגורם של מכפלה ,נפוצות טעויות חישוב רבים .שימוש באומדן התוצאה
ובשיטות בדיקה מאפשרים לתקן חלק גדול מהטעויות.
לכן מומלץ לעודד את התלמידים לבצע בדיקות לפני קביעת התוצאה הסופית של תרגיל.
מושגים
אומדן ,קירוב התוצאה ,חוק החילוף ,חוק הקיבוץ ,חוק הפילוג ,חיבור ,חיסור ,כפל ,פילוג
המספר ,דרכי חישוב ,חישוב בטור.
מטרות
התלמידים ידעו:
א .לבצע פעולות חיבור ,חיסור וכפל במספרים מקורבים;
ב .לבצע פעולות חיבור ,חיסור וכפל במספרים מדויקים;
ג .לבצע פעולות בדרך הנדרשת או בדרך הנוחה להם;
ד .לבצע פעולות באלפים ,במיליונים וכדומה;
ה .לבצע פעולות חיבור ,חיסור וכפל בטור במספרים גדולים;
ו .להשתמש בחוקי הפעולות להקלת החישובים.
אביזרים ואמצעי המחשה
טבלאות המבנה העשרוני ,ציר המספרים.
23
הטמעה
לנוכח החשיבות הרבה של המיומנויות הנדרשות ,פעילויות הטמעה המוצעות בפרק מהוות
הכנה לפרק.
א .חזרה על כפל מספרים טבעיים ,עלחוקים של 0ושל 1ועל חוקי הפעולות.
פתרו את התרגילים בדרך הנוחה לכם50 × 121 × 4 ,50 × 121 × 2 ,25 × 1,237 × 4 .
המכפלה של המספרים 25ו 248 -שווה ל .6,200 -מהי המכפלה של המספרים 248ו?25 -
מהו הסכום של 2,435ו ?0 -מהו ההפרש ביניהם? מהי מכפלתם?
מהי תוצאת החילוק של 0ב468:1=? 468:468=? ?24 -
רשמו ) 0או שני אפסים או שלושה אפסים( בצד ימין של המספר .2,598פי כמה גדל המספר?
יוסי מחק ) 0או שני אפסים ,שלושה אפסים( מהמספר .256,000פי כמה קטן המספר?
ב .חזרה על חיבור "חכם" )או השלמה למספר "עגול"(.
פתרו את התרגילים בדרך הנוחה לכם ,והסבירו כיצד כדאי לחשב את הסכום בדרך המהירה
ביותר.
5+9,999+9,999+9,999
6+997+998+999
9+998+998+998
12+99,999+99,999
ג .חזרה על חיסור "חכם" )או השלמה למספר "עגול"(.
פתרו את התרגילים בדרך הנוחה לכם ,והסבירו כיצד כדאי לחסר בדרך המהירה ביותר.
2,984-5,632
88-777
289-2,341
98-555
פעילויות גילוי
פעילות א :משחק קבוצתי .חברי הקבוצה מתבקשים למצוא שני מספרים )בעלי מספר ספרות
זהה( המשלימים זה את זה ל) 100 -כלומר שסכומם שווה ל ,(100 -ל ,1,000 -ל.10,000 -
פעילות ב :כמו בפעילות א' ,אבל הפעם למספרים יש מספר ספרות שונה.
פעילות ג :משחק קבוצה מול קבוצה .אחד התלמידים מקבוצה אחת מגריל מספר עד ,10,000
ועל תלמידי הקבוצה השנייה למצוא את המספר המשלים אותו ל.10,000 -
פעילות ד :משחק קבוצה מול קבוצה .אחד התלמידים מקבוצה אחת מגריל מספר עד .10,000
על חברי הקבוצה השנייה למצוא מספר בעל מספר ספרות שונה ,שאם יחברו אותו למספר
הראשון ,יתקבל מספר שווה ל 10,000 -או קרוב ל 10,000 -במידת האפשר .אם אפשר להוסיף
מספר נוסף בעל מספר ספרות שונה מהמספר הקודם ,חברי הקבוצה הבאה ממשיכים להוסיף,
וכך ממשיכים ,עד שלמספר שצריך להוסיפו יש אותו מספר ספרות כמו המספר הקודם.
.45 (6דוגמה נוספת(2 ;9,000 (1 :
דוגמה;1,000 (5 ;999 (4 ;5,000 (3 ;999 (2 ;1,957 (1 :
.81 (5 ;9 (4 ;10 (3 ;900
פעילות ה :הילדים יושבים בקבוצות של שישה במעגל .ראש הקבוצה מקבל שני דפים כמו אלו
המוצגים כאן בנספח) .המספרים הצבועים באפור הם לשם הדגמה(.
24
דף א'
דף ב'
מספר דו-ספרתי התחלתי25 :
מספר דו-ספרתי התחלתי25 :
הציבו בתרגילים את המספר
ההתחלתי ,ופתרו את התרגילים.
הציבו בתרגילים מספרים לפי ההוראות,
ופתרו את התרגילים.
התרגיל
התוצאה
הציבו בשורה הראשונה
את המספר ההתחלתי.
הציבו בכל שורה מספר הגדול פי 10
מהמספר שהוצב בשורה הקודמת ,ופתרו
את התרגיל.
התרגיל
=25
=25
=25
=25
=25
התוצאה
10 x
100 x
1,000 x
10,000 x
100,000 x
250
2,500
25,000
250,000
2,500,000
250
2,500
25,000
250,000
2,500,000
= 25 x 10
= 250 x 10
= 2,500 x 10
= 25,000 x 10
= 250,000 x 10
ראש הקבוצה בוחר מספר דו-ספרתי כלשהו וכותב אותו על כל אחד מהדפים במשבצת:
"מספר דו-ספרתי התחלתי" .דף אחד הוא מוסר לתלמיד היושב מימינו ,ודף שני הוא מוסר
לתלמיד היושב משמאלו .כל אחד מהתלמידים שקיבל דף מבצע פעילות אחת )כפל ב 10 -או
כפל בחזקות של (10ומעביר את הדף הלאה .תלמידי הקבוצות האחרות ממלאים את הטור
השמאלי של דף ב' .בטור זה יתקבלו הכפולות ב 10 -ובחזקותיו )בדומה לטור הימני בדף א'(.
במליאה דנים במסקנות ומנסחים דרך להכפלת מספר טבעי בחזקות של .10
שאלות אפשריות לפני הדיון ולאחריו על-בסיס דוגמה כיתתית:
פי כמה גדל המספר אחרי הוספת אפסים מימינו?
פי כמה קטן המספר הנתון מהמספר המתקבל?
באיזה מספר כפלנו את המספר הנתון כדי לקבל את המספר החדש?
מהו הקשר בין מספר האפסים שנוספו למספר המתקבל ,לבין מספר האפסים במספר שכפלנו
בו?
לדוגמה ,אם המספר הנתון הוא ,25ורשמנו בצדו הימני שני אפסים ,התקבל המספר .2,500
תשובות צפויות לשאלות שלעיל:
המספר 25גדל פי .100
המספר 25קטן פי 100מהמספר שהתקבל.
את המספר הנתון כפלנו ב.100 -
מספר האפסים ב 100 -שווה למספר האפסים שהוספנו ל 25 -בצדו הימני.
חשוב לבצע כמה תרגילים ולהגיע למסקנה חד-משמעית ,הקשורה לשאלה האחרונה.
פעילות ו :משחק המכשולים במחשב .בכל קבוצה בוחרים שני מספרים בין 10,000לבין
,100,000שהם כפולות של .10לאחר מכן המורה מסבירה את המשחק:
המספר הקטן שנבחר בקבוצה הוא הניקוד ההתחלתי של המשחק ,והמספר הגדול הוא
המספר הסופי .על הקבוצה לתאר על שקף או על בריסטול תהליך משחק המתאים לניקוד לפי
כללי המשחק :כל קפיצה מעל מכשול מזכה את הקבוצה ב 1,000 -נקודות; הצלת בעל-חיים
מזכה ב 10,000 -נקודות; וקטיפת פרח מפחיתה 10נקודות.
בדיון ַמציגים את המשחקים ,ודנים באפשרויות השונות לחישוב.
פעילות ז :על הלוח כתובים תרגילים .על התלמידים לפתור אותם בעל-פה בדרך הנוחה ביותר.
36 × 25
168 × 25
308 × 3
203 × 7
25
524 × 4
97 × 13
198 × 17
משתמשים בחוק הפילוג:
308 × 3 = ( 300 + 8 ) × 3 = 300 × 3 + 8 × 3 = 900 + 24 = 924
97 × 13 = ( 100 − 3 ) × 13 = 100 × 13 − 3 × 13 = 1300 − 39 = 1261
)אפשר לבחור חלק מהתרגילים או להוסיף תרגילים דומים .יש לדון בדרכים להקלת
החישובים בעזרת העובדות . 5 × 2 = 10;25 × 4 = 100;125 × 8 = 1000 :כלומר כדי לכפול ב25 -
כדאי לכפול ב 100 -ואת התוצאה לחלק ב .4 -כמובן רצוי שהתלמידים "ימציאו" עובדות אלו
בעצמם .יש לעודד אותם להשתמש בחוקי הכפל -חילוף ,קיבוץ ופילוג -לפי הצורך(.
השיעור בספר הלימוד
האם אנו מוכנים? – תשובות:
.1ב; .2א; .3ג; .4ד; .5ב; .6ב; .7ג; .8ד; .9א; .10א.
)ראו טעויות נפוצות ברקע(.
לעלות על הגל
קטע שיעור ,עמוד :35דרכים שונות לחיבור
בקטע שיעור זה חוזרים על דרכים שונות לחיבור מספרים שנלמדו בשנים הקודמות .רוב הזמן
בחירת דרך יעילה של חישוב היא אחת ההוכחות להבנה מספרית.
הדרך היעילה ביותר נבחרת על-פי המחוברים ,לכן יש לעודד את התלמידים לנמק את בחירתם.
משימות מס' : 1-3התלמידים מתבקשים לפתור תרגילים דרך פילוג המחוברים או דרך עיגול
אחד מהם .עם זאת אין לפסול שימוש בדרכים אחרות.
משימה מס' :4חזרה על חיבור במאונך.
משימה מס' :5משימה זו דורשת מהתלמידים השלמה של ספרות חסרות במחוברים .אפשר
להנחות את התלמידים למצוא את הספרה החסרה על ידי שאילת שאלות מהסוג" :כמה חסר
כדי להגיע ל"?13 -
משימה מס' :6ייצוג של תרגיל אותו מתבקשים התלמידים לגלות על-ידי סימני הפעולה
המלווים כל חץ.
משימה מס' :7שאלה מילולית פשוטה.
משימה מס' :8הצגת סכום על ציר המספרים.התלמידים יכולים לייצג את התרגיל כמו
במשימה .6בייצוג זה אין צורך לשמור על קנה-מידה.
משימה מס' :9משימת יישום על-ידי שאלה מילולית .התלמידים יכולים להשתמש בשיטת
חישוב הנראית להם אך במקרה זה שימוש בעיגול מספרים יעיל יותר.
משימה מס' :10שאלה מילולית פשוטה .דונו עם התלמידים בדרך שהם ַמציעים.
במקרה זה שימוש בעיגול מספרים יעיל יותר.
משימה מס' :11שאלה מילולית שנדרש בה ייצוג .המילה "חזרה" עלולה להוביל כמה
תלמידים לבצע פעולת חיסור במקום פעולת חיבור.
התלמידים נדרשים לייצג את הנתונים שבשאלה על ישר המספרים .להלן דוגמה לייצוג:
153ק"מ
75ק"מ
חיפה
רחובות
15326ק"מ
באר-שבע
קטע שיעור ,עמוד :38חיבור של עשרות שלמות ,של מאות שלמות ושל אלפים שלמים
אַחד המחוברים הוא 1,000 ,100 ,10או .10,000במקרים כאלה קל
חזרה על חיבור ,כאשר ַ
לחשב את התוצאה ,וכדאי לעודד את התלמידים לבצע את החישובים בעל-פה.
משימות מס' :13-12כדאי לבצע את המשימה בעל-פה .יש לזהות את הספרה המתאימה
לחיבור.
משימה מס' :14ניתוח טעות נפוצה :קריאה שגויה של מאות ושל אלפים.
משימה מס' :15משימת יישום .דונו עם התלמידים בדרך שלהם.
קטע שיעור ,עמוד :39דרכים שונות לחיסור
בקטע שיעור זה חוזרים על שתי דרכים שונות לחיסור מספרים שנלמדו בשנים הקודמות .ברוב
המקרים בחירת דרך יעילה של חישוב היא אחת ההוכחות להבנה מספרית.
קטע שיעור זה שם דגש על הדרך של עיגול המחסר .אם העיגול נעשה כלפי מעלה ברור כי
החסרנו מהמחוסר יותר מידי ועלינו להוסיף להפרש את החסר.
בחירת הדרך היעילה לפתרון תלויה במספרים הנתונים בתרגיל .דוגמה :כאשר המחסר קרוב
למספר "עגול" ,כדאי לעגל אותו.
מומלץ לעודד את התלמידים לנמק את דרך בחירתם .רוב התלמידים נוטים לבחור בחיסור
בטור.
משימות מס' :18-16משימות יישום.
קטע שיעור ,עמוד :40חיסור של עשרות שלמות ,של מאות שלמות ושל אלפים שלמים
חזרה על חיסור כאשר המחסר הוא כפולה של ,10של ,100של 1,000או של .10,000במקרים
כאלה קל לחשב את התוצאה ,וכדאי לעודד את התלמידים לבצע את החישובים בעל-פה.
משימות מס' :20-19משימות יישום .כדאי לבצע את המשימות בעל-פה .יש לזהות את הספרה
המתאימה לחיסור.
משימה מס' :21משימת יישום על-ידי שאלה מילולית.
משימה מס' :22משימה הפוכה למשימה הקודמת .דונו עם התלמידים ב"סיפור" שלהם.
משימה מס' :24על התלמידים לשים לב לסימן הפעולה.
משימה מס' :25טעות נפוצה נובעת מהזזת של ספרה במבנה העשרוני.
משימה מס' :26שאלה פתוחה לפיתוח הבנה מספרית עלי-ידי זהויות חיבור וחיסור.
בשני התרגילים הראשונים על התלמידים לגלות מהו ההפרש של שני מספרים שאינם ידועים
ובשני התרגילים האחרונים עליהם לגלות מהו סדר הגודל של תוצאות הפעולות הנדרשות.
דוגמאות :כדי לקבל בתרגיל השני תוצאה השווה ל ,2,509 -יש צורך להוסיף ) 9למשל .(11-2
כדי לקבל בתרגיל השלישי מספר גדול מ ,4,000 -אפשר לבחור כל מספר הקטן מ) 680 -כולל
המספר .(0דונו עם התלמידים על המספרים שבחרו.
משימה מס' :27פיתוח הבנה מספרית עלי-ידי מתן ייצוג של תרגיל .על התלמידים לכתוב את
התרגיל.
27
משימה מס' :28שאלה מילולית מלווה בקריאת טבלה ובהשלמתה.
כדי למלא את הטור האחרון על התלמידים לחשב את ההפרש בין המספרים הנמצאים באותה
שורה בין הטורים 2000ו .1998 -וכדי למלא את השורה האחרונה יש לסכם את המספרים
שבכל טור.
קטע שיעור ,עמוד :42דרכים לחישוב כפל:
בקטע שיעור זה מוצגות ארבע דרכי חישוב של כפל .בחירת הדרך היעילה לחישוב היא אחת
ההוכחות להבנה מספרית.
הדרך היעילה ביותר תלויה במספרים שבתרגיל ,לכן יש לעודד את התלמידים לנמק את
בחירתם.
משימות מס' :31-29משימות יישום.
משימה מס' :32פיתוח הבנה מספרית על-ידי משוואות כפל .ברוב התרגילים אחד מהגורמים
הוא כפולה של .10
משימה מס' :33משימת יישום על-ידי שאלה מילולית .כל סעיף מהווה שאלה חד שלבית.
משימה מס' :34משימת יישום .דוגמה לחישוב:
30 × 99 = 30 × 100 – 30 = 3000–30= 2970
משימה מס' :35משימת יישום .דונו עם התלמידים בדרך שלהם.
דוגמה לחישוב781 × 11 = 781 × 10 + 781 = 7,810 + 700 + 81 = 8500 + 91 = 8591 :
קטע שיעור ,עמוד :44דרכים לחישוב כפל :חוקים
בקטע שיעור זה מוצגות דרכי חישוב של תרגילי כפל על-ידי שימוש ישיר בחוקי הפעולות.
באחת הדרכים המבוססת על חוק הפילוג ,מפלגים את שני הגורמים .דרך זו חשובה באלגברה
בחטיבת הביניים .פעולה זו מסובכת כאשר כותבים את השלבים במאוזן ,אך הכתיבה בטבלה
הופכת אותה לנוחה מאוד ,כי אין צורך לזכור העברות של מכפלות שבאלגוריתם המקובל.
תלמידים שנחשפו לדרך זו מעדיפים להשתמש בה.
משימות מס' : 38-36משימות יישום.
משימות מס' :42-39משימות יישום של שימוש בטבלה .בדרך זו לא נדרשות העברות של
מכפלות ,לכן היא מונעת טעויות חישוב.
משימה מס' :43משימת יישום.
יחידת הלימוד -הקניה
קטע שיעור ,עמוד :46כפולות של 10בחיבור ובחיסור
קטע שיעור זה דומה לקטע השיעור של "לעלות על הגל" בעמ' .42גם כאן לומדים על פעולות
חיבור וחיסור של מספרים טבעיים גדולים ,כאשר הספרות האחרונות של אחד המחוברים או
של המחסר הן אפסים .ההבדל בין השיעורים הוא בסדר הגודל של המספרים :כאן המספרים
הם גדולים יותר .יש להדגיש לתלמידים את שינוי הספרה המתאימה )בהתאם לחיבור או
לחיסור( גם באופן המילולי .דוגמה :מחסרים ,400,000אומרים במילים" :ארבע מאות אלף"
ומדגישים את ספרת מאות האלפים .אפשר גם להקיף את הספרה הנדרשת ,וכך להקל על
התלמידים את פתרון התרגיל.
28
משימה מס' :1משימת יישום .יש להדריך את התלמידים להדגיש במספר הראשון של כל
תרגיל את הספרה ש"מחסרים ממנה" או "מוסיפים לה".
משימה מס' :2ב( יואל מצא שני אוצרות ,כלומר הרוויח 20,000נקודות ,והוא עבר שלושה
מכשולים ,כלומר הרוויח 3,000נקודות .על ציר המספרים צריך לצייר שני צעדים )בעזרת
חצים( ,שכל אחד מייצג ,10,000ושלושה צעדים שכל אחד מייצג .1,000
ג( רצוי לדון במשימה זו .התשובות האפשריות 9 :מכשולים ו 2 -אוצרות 19 ,מכשולים ואוצר
אחד 29 ,מכשולים.
משימה מס' :3פיתוח הבנה מספרית על-ידי משוואת חיבור בצורה של חידה.
קטע שיעור ,עמוד :47
בקטע שיעור זה לומדים להקל את החישובים על-ידי חיבור או חיסור במחלקות .במקרה זה
שני המספרים מסתיימים במספר מסוים של אפסים .המחלקה שהחישוב נעשה בה ,נבחרת לפי
המספר שיש לו פחות אפסים בסוף .דוגמה :אם צריך לחבר 1,250,000ו 23,000 -מחברים
באלפים ,כלומר די לחבר 23אלף ועוד 1,250אלף .מקבלים 1,273אלף שהם .1,273,000
משימה מס' :4משימת יישום.
משימה מס' :5שאלה מילולית.
משימה מס' :6א( החישוב במיליונים ;453+1,786=2,239 :ב( תוצאת החיבור.2,239,000 :
משימה מס' " :7תרגום מספר כתוב במלל למספר כתוב בספרות".
קטע שיעור ,עמוד :48אומדן תוצאה של פעולת חיבור
הנושא שבקטע זה חשוב מאוד כאשר עוסקים במספרים גדולים .במציאות -בעיתון,
בסטטיסטיקה וכדומה – כאשר המספרים גדולים ,לא משתמשים במספרים המדויקים ,אלא
במספרים מעוגלים .את המספרים מעגלים לאלפים ,למיליונים ,למיליארדים ,לעשרות
מיליארדים וכדומה ,לפי הנתונים .למשל בערב ראש השנה פורסם הנתון הבא :יש 7,465,500
תושבים בישראל .במקרה הצורך יש לחזור על עיגול המספרים.
משימה מס' :8התאמת מספר למספר המעוגל למיליונים .בחקר נתונים התלמידים יידרשו
לעגל נתונים כדי להציגם בדיאגראמות עמודות .משימה זו מכינה אותם לכך .הפתרון" :כל
הכבוד".
משימה מס' :9משימת יישום .התשובה :ג(.
משימות מס' :11-10משימות יישום.
משימה מס' :12שאלה מילולית זו מסייעת לפיתוח הבנה מספרית על-ידי מציאת אפשרויות
לפילוג המספר . 40,000,000
קטע שיעור ,עמוד :50סכום של מספרים גדולים
ישנן שתי דרכים עיקריות לחישובים הנעשים במספרים גדולים .דרך אחת היא חישוב מדויק
)לדוגמה ,חיבור בטור או במחשבון( ,דרך שנייה היא עיגול המחוברים ,והסכום המתקבל הוא
קירוב של התוצאה המדויקת .דרכים אלו משלימות זו את זו ,כי אפשר לבדוק תוצאת חישוב
מדויק על-ידי אומדן .בדיקה זו נותנת ,כמובן ,סדר גודל בלבד ,וחשוב גם לא לטעות בה ,אך
באמצעותה התלמידים רוכשים ביטחון בפתרון התרגיל .שימו לב ,שלא כל חישוב אפשר לבצע
29
במחשבון ,בעיקר אם המספרים גדולים ,מפני שמסך המחשבון מוגבל ל 8 -ספרות )במחשבון
פשוט( או ל 10 -ספרות בלבד )במחשבון מדעי(.
משימה מס' :13משימת יישום.
משימה מס' :14תרגיל ב' הוא תרגיל פתוח ,ויש לו אין-סוף פתרונות .תרגיל א' הוא ,למעשה,
משוואת חיסור שיש למצוא בה מחוסר ,והדבר עשוי להיות קשה לתלמידים .רצוי לדון
במשימה זו ולשוחח עם התלמידים על דרכים שונות לפתרון התרגילים.
קטע שיעור ,עמוד :51הפרש של מספרים גדולים
כמו בתרגילי חיבור גם בפתרון תרגילי חיסור מדובר בשתי דרכים עיקריות – חישוב מדויק
וחישוב באומדן .ראו גם הערות לקטע השיעור הקודם.
משימה מס' :15משימת יישום.
משימה מס' :16שאלה מילולית דו-שלבית .אפשר לחסר כל תשלום בנפרד או לחבר את
התשלומים הראשונים ולחסר את התוצאה ממחיר הדירה.
משימה מס' :17משימה זו לקוחה מחיי היום-יום ,ואפשר לראות בעזרתה עד כמה חשוב
לדעת לבצע פעולות במספרים גדולים .את כל החישובים במשימה יש לבצע בדיוק.
עקב הפסקת חשמל נותרו מיליוני לקוחות ללא חשמל .מספרם מופיע בעמודה הראשונה.
בעמודה השנייה מדובר על מספר הלקוחות שנותרו עדיין ללא חשמל ביום ראשון.
קטע שיעור ,עמוד :52כפל בכפולות של 10
בקטע שיעור זה לומדים פעולת כפל בעשרות שלמות במספרים גדולים .מומלץ לבצע את
פעילות הגילוי ג' לפני שיעור זה .להלן הפעילות :משחק קבוצה מול קבוצה .אחד התלמידים
מקבוצה אחת מגריל מספר עד ,10,000ועל תלמידי הקבוצה השנייה למצוא את המספר
המשלים אותו ל.10,000 -
משימה מס' :18משימת יישום.
משימה מס' 9,000,000 :19עלי ורד.
משימה מס' :20שאלה מילולית 116,000 :מטר .כדי להבהיר מהו מספר גדול של מטרים,
כדאי לבקש מהתלמידים להמיר אותו לערכים של קילומטרים 116 :ק''מ.
משימה מס' :21משימת יישום על-ידי שאלה מילולית.
משימה מס' : 22פיתוח הבנה מספרית על-ידי משוואות כפל.
קטע שיעור ,עמוד :53חוק הפילוג של כפל מעל חיבור וחיסור
בקטע שיעור זה לומדים דרכים לביצוע פעולת כפל של מספרים גדולים .בכל אחת מהדרכים
מפלגים את אחד הגורמים או את שניהם לפי מחלקות או לפי נוחות ,ומשתמשים בחוקי הכפל
כגון :חוק החילוף ,חוק הקיבוץ וחוק הפילוג .חשוב לאמוד את התוצאה .כדי שתלמידים יבינו
כיצד משתמשים בחוק הפילוג של הכפל ,מומלץ להרחיב בהסברים מילוליים שיקלו להבין את
הרעיון הפשוט :הכפל הוא חיבור חוזר.
משימה מס' :23התלמידים יכולים לבצע חישובים בדרך הנוחה להם .מומלץ לדון בקצרה
בסיבות לבחירת הדרך.
30
משימה מס' :24שאלה מילולית דו-שלבית.
משימה מס' :25שימוש בטבלה לחישוב מכפלה.
קטע שיעור ,עמוד :54כפל בטור :מספרים תלת-ספרתיים
בקטע שיעור זה מוצג האלגוריתם של כפל בטור של מספר תלת-ספרתי במספר תלת-ספרתי.
במסגרות מפורטים החישובים .בשלב זה הוחלט לרשום את האפסים של העשרות ושל המאות
כדי לחזק את הבנת האלגוריתם.
משימות מס' :28-26משימות יישום.
על מנת לבדוק את סבירות התוצאה מומלץ לבקש מהתלמידים לעגל את שני הגורמים לעשרות
או למאות שלמות ,כאשר עיגול אחד "מאזן" את האחר .דוגמה37 × 273 ≅ 40× 250 :
451×344≅ 500×300
קטע שיעור ,עמוד :55כפל בטור :מספרים תלת-ספרתיים )המשך(
בקטע שיעור זה מוצג האלגוריתם של כפל בטור של מספר תלת-ספרתי במספר תלת-ספרתי,
והפעם ה 0 -הוא ספרת העשרות של הגורם המכפיל .נותרו "עקבות" של האפסים של העשרות
ושל המאות כדי לחזק את הבנת האלגוריתם.
משימה מס' : 29משימת יישום.
משימה מס' :30פיתוח הבנה מספרית על-ידי כפל בספרות חסרות.
תרגילי הכפל המתאימים הם :א( 315 × 72 = 22,680ב( 439 × 125 = 54,875
משימה מס' :31השאלה המילולית נותנת תחושה שלמספרים גדולים יש משמעות .הפעם
הקישור הוא לילד עצמו דרך גילו.
מה למדנו? עמוד :56סיכום הנלמד בפרק.
התלמידים למדו דרכים שונות לחיבור ,חיסור וכפל של מספרים גדולים וכן שימוש בעיגול
מספרים הן כדי לבצע חישובים והן כדי לבדוק חישובים .אומדן תוצאה הוא אחד הכלים
הטובים לבדיקת תוצאה.
משימה מס' :32שאלה מילולית שהנתונים בה מוצגים בטבלה.
במשימה מסכמים את הנלמד :כפל מספרים גדולים ,עיגול מספרים וחישוב סכומם.
ממשיכים בתרגול ,עמודים 63 – 57
משימה מס' :1משימת תרגול של חיבור בטור.
משימה מס' :2משימה זו מזמנת שיח על המושגים :מחובר ,סכום ,מחוסר ,מחסר והפרש.
א( המספר החסר מתקבל בעזרת תרגיל חיסור. 1,000 − 235 = 765 :
ב( כדי למצוא את המחסר יש לבצע את תרגיל החיסור2,000 − 225 = 1,775 :
משימה מס' :3משימת תרגול של השלמת מחובר או מחסר.
משימה מס' :4משימה פתוחה בה נדרשים התלמידים לכתוב ביטויים נכונים בעזרת
המספרים הנתונים.
דוגמאות :א( 1000 + 500 > 480 + 120
ב( 2900 − 1000 > 500 − 480
ג( 2900 − 120 > 500 + 480
ד( 2900 + 1000 − 120 > 480 + 500
31
משימה מס' :5משימה פתוחה בה התלמידים קובעים את מחיר הרהיט .אפשר לעודד את
התלמידים לעשות סקר מחירים ולבדוק עלויות של רהיטים במקומות שונים.
הרעיון להגיע לסכום של .₪ 16,000
להלן דוגמה :שולחן לסלון 2,500 -ש"ח ,ארון ילדים 5,000 -ש"ח ,כורסה 3,000 -ש"ח ,מיטה
זוגית ,שידות וקומודה – ₪ 5,500מגיעים ל 16,000-ש"ח.
משימה מס' :6משימת תרגול של הצגת התרגילים על צירי המספרים.
משימה מס' :7במשימה זו שני חלקים .תחילה מתבקשים התלמידים לפתור את תרגיל
החיבור בדרך הנוחה להם וכן למצוא שני תרגילי חיבור בעלי אותו הסכום.
סכום המחוברים הוא .10,000
משימה מס' :8משימת תרגול של חיבור בטור.
משימה מס' :9משימת תרגול של חיסור בטור.
משימה מס' :10משימת תרגול של גדול ב -או קטן ב .-א( .5,015
ב( .50,050ג( 4,995
משימה מס' :11אפשר לשאול שאלות נוספות כגון" :מהו הערך של הספרה ?5בכמה הגדילו
את ספרת עשרות האלפים? בכמה גדל המספר הנתון?"
משימה מס' :12במשימה זו נדרשים התלמידים לכתוב את המספרים החסרים בפילוג
המחוברים.
4,000 + 500 + 70 + 3 + 5,000 + 400 + 20 + 7 = 10,000
התרגיל הוא4,573 + 5,427 = 10,000 :
משימה מס' :13פירוק כל אחד מהמחוברים ייעשה מתחת לכל אחד מהמחוברים.
12,370 + 6,208 = 18,578
= 12,000 + 6000
דוגמה:
= 300 + 200
70 + 8
משימה מס' :14תרגילי חיבור וחיסור מוצגים בטבלה .התלמידים צריכים לשים לב לסימן
שבעמודה השמאלית.
משימה מס' :15דיירי הבניין יצטרכו לשלם .₪ 22,850
א(
התרגיל
המתאים
לפתרון
השאלה
המילולית
הוא:
משימה מס' :16
63,900 − 58,900 = 5,000
ב( ההפרש בין המחירים בסוף העונה נותר .₪ 5,000
ג( ההפרש בין שני מספרים אינו משתנה אם מחסרים אותו המספרים מהמחוסר ומהמחסר.
משימה מס' :17משימת תרגול של כפל ב 1000 ,100 ,10וכדומה.
משימה מס' :18שאלה מילולית רב שלבית .א( בבית הספר "נרקיסים" 420תלמידים .ב( בבית
הספר "אירוסים" 540תלמידים .ג( בבית הספר אירוסים יש יותר תלמידים .ד( בשני בתי
הספר יחד יש 960תלמידים.
32
משימה מס' :19משימה זו מעודדת שיח ותובנה מספרית.
דוגמה :ב( אם מגדילים את אחד הגורמים פי ,10המכפלה גדולה פי 30 × 37 = 1110 .10
ד( אם אחד הגורמים קטן ב ,1 -המכפלה קטנה בהתאם לגורם השני 3 × 36 = 108 .המכפלה
קנה ב.3 -
משימה מס' :20שאלה מילולית מחיי היום –היום המפתחת צרכנות נבונה .
משימה מס' :21שאלה מילולית רב שלבית .לאסף יש 2,401אריזות בשמים.
התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא7 × 7 × 7 × 7 = 2,401 :
משימה מס' :22משימת תרגול של חישובים בעל-פה .אחת דרכים היעילות לחישובים בעל-פה
היא שימוש בחוק החילוף ובחוק הקיבוץ ליצירת מכפלות "עגולות".
דוגמאות5 × 23 × 4 = 5 × 4 × 23 = 20 × 23 = 460 :
2 × 672 × 5 = 2 × 5 × 672 = 10 × 672 = 6720
משימה מס' :23שאלה מילולית .א( בבית הספר "ויצמן" 420תלמידים.
ב( בבית הספר "רבין" 525תלמידים.
משימה מס' :24משימת תרגול של כפל מספרים גדולים.
משימה מס' :25שאלה מילולית פתוחה .ייתכנו מספר אפשרויות לתשובה .התלמידים
צריכים להבין מנתוני השאלה שמספר התשלומים צריך להיות גדול מ 7 -וקטן מ24 -
תשלומים.
להלן שתי אפשרויות לפתרון:
דרך תשלומים א' 10 :תשלומים .כל תשלום .₪ 700
דרך תשלומים ב' 20 :תשלומים .כל תשלום .₪ 350
משימה מס' :26משימת תרגול בצורת תשבץ .משימה זו ניתן לתת לתלמידים במסגרת של
תחרות קבוצתית.
שאלות מילוליות ,עמוד 64
משימות מס' :2-1בשאלות אלה יש לתכנן מראש את דרך הפתרון ולעבוד בשיטתיות.
היסטוריה ,עמוד 65
תרבות המאיה ,שהייתה מפותחת מאוד ,התקיימה עד המאה ה 16 -ונעלמה .מבנה המספר
בתרבות זו דומה למבנה העשרוני )כולל ה ,(0 -אך הבסיס היה ) 20מסיבות הקשורות ללוח
השנה ,20×20=400 :שזהו קירוב של מספר ימי השנה( ,וכן הכתיבה התבצעה במאונך ,מלמטה
למעלה .כדי לחשב ערך של מספר כזה כופלים כל ספרה בערכה ).( ...8,000 ,400 ,20 ,1
משימה מס' :1כתיבת הספרות היא המשך של הטבלה שבקטע השיעור.
משימה מס' :2המספר הכתוב בשיטת המאיה הוא.2,882,383 :
3 + 11 × 20 + 6 × 360 + 3 × 144,000 + 1 × 2,880,000 = 3 + 220 + 2,160 + 2,880,000 = 2,882,383
33
העשרה ,עמוד 66
משימה מס' :1הצגת שיטת החיסור הצרפתית המבוססת על תכונת החיסור" :אם מוסיפים
אותו מספר למחוסר ולמחסר ,ההפרש אינו משתנה .
משימה מס' :2יישום השיטה .
אנו שולטים בחומר ,עמוד 67
חזרה על קריאת נתונים בטבלה ועל הזזה.
נספח לפעילות גילוי ה'
מספר דו-ספרתי התחלתי_______:
הציבו בתרגילים את המספר
ההתחלתי ,ופתרו את התרגילים.
התרגיל
מספר דו-ספרתי התחלתי______ :
הציבו בתרגילים מספרים לפי ההוראות,
ופתרו את התרגילים.
התרגיל
התוצאה
הציבו בשורה הראשונה
את המספר ההתחלתי.
הציבו בכל שורה מספר הגדול פי
עשרה מהמספר שהוצב בשורה
הקודמת ,ופתרו את התרגילים.
= ___ x 10
= ___ x 10
= ___ x 10
= ___ x 10
= ___ x 10
התוצאה
=___ 10 x
=___ 100 x
=___ 1,000 x
=___10,000 x
=___ 100,000 x
מספר דו-ספרתי התחלתי___:
הציבו בתרגילים את המספר
ההתחלתי ,ופתרו את התרגילים.
התרגיל
מספר דו-ספרתי התחלתי___ :
הציבו בתרגילים מספרים לפי ההוראות,
ופתרו את התרגילים.
התרגיל
התוצאה
הציבו בשורה הראשונה
את המספר ההתחלתי.
הציבו בכל שורה מספר הגדול פי
10מהמספר שהוצב בשורה
הקודמת ,ופתרו את התרגילים.
= ___ x 10
= ___ x 10
= ___ x 10
= ___ x 10
= ___ x 10
התוצאה
=___ 10 x
=___ 100 x
=___ 1,000 x
=___10,000 x
=___ 100,000 x
34
עמ' 109 - 68
ג .זוויות
רקע
התלמידים הכירו את המושג "זווית" בכיתה ג' ,כאשר השוו בין זוויות ,מיינו זוויות לסוגים
שונים -חדה ,ישרה ,קהה ושטוחה -וראו גם זוויות במצולע .המטרות הלימודיות העיקריות
של הפרק הנוכחי הן להכיר זוויות גדולות מ 1800 -וללמד את התלמידים למדוד זוויות מסוגים
שונים .חשוב לציין שעד כה התלמידים לא עסקו במדידת זוויות ,וכעת הם יכירו לראשונה מד-
זווית וימדדו את הזוויות .כמו-כן יודגם אחד היישומים של המושג "זווית" במקצוע גאוגרפיה
)שושנת הרוחות( .המושג "זווית" יורחב בפרק זה ל"זווית בין ישרים" ,ל"זווית בין קטעים",
ל"זווית בין קרן לבין קטע" וכדומה ,וכן לסוגים נוספים של זוויות" :זווית נישאה"" ,זווית של
סיבוב שלם"" ,זווית של ."00בפרק זה מסכמים את הנושא "זוויות" ,לפי תכנית הלימודים.
אַחד המושגים הגאומטריים הקשים ביותר להוראה מסיבות
יש לציין שהמושג "זווית" הוא ַ
שונות .להלן כמה מהן:
באופן רשמי יש למושג "זווית" כמה הגדרות ,ביניהן "זווית בין קרניים"" ,זווית מפתח"
ו"זווית סיבוב" .התלמידים למדו את התיאור" :זווית נוצרת על-ידי שתי קרניים שיש להן
התחלה משותפת ".מתיאור זה קשה להבין מהי זווית ,לכן יש להסביר לתלמידים שזווית היא
ה" ִמ ְפ ָתח" בין שתי הקרניים .
שתי קרניים יוצרות שתי זוויות )שסכומן .(3600אם כל אחת משתי הזוויות אינה שווה ל-
,1800אחת מהן היא זווית הקטנה מזווית שטוחה ,והשנייה היא זווית נישאה )גדולה מזווית
שטוחה וקטנה מזווית של סיבוב שלם( .לכן מתעוררת בעיה נוספת :מסבירים לתלמידים
שזווית היא " ִמ ְפ ָתח" בין הקרניים .קשה להסביר מה זה "בין הקרניים" כשהזווית נישאה.
התלמידים לומדים שזווית נוצרת בין קרניים .לכן לא ברור לתלמידים אם זווית שנוצרת בין
קווים אחרים היא אכן זווית .לכן מומלץ שימוש במונח הכללי "שוק של זווית".
אחת מההשלכות של הקושי הקודם היא הבנת המושג "זווית במצולע".
אם נשאל" :בשעה 11מחוג הדקות מצביע על המספר .12באיזו זווית יסתובב מחוג הדקות
כעבור 10דקות?" ,נראה שיש כאן מושג חדש" :זווית הסיבוב" .במושג זה אין שתי שוקיים,
אלא שוק אחת קבועה ,והשוק השנייה מסתובבת סביב הנקודה המשותפת .השוק יכולה
להסתובב עד אין-סוף פעמים וליצור זוויות גדולות מ ,3600 -אם תעשה יותר מסיבוב אחד.
מדידת זווית ובניית זווית במידה נתונה הן מקור נוסף של קשיים .אם אחת מהשוקיים קטנה
מרדיוס מד-הזווית ,התלמידים אינם יודעים למקם את מד-הזווית ולמדוד את הזווית.
קושי נוסף הקשור למדידת זווית :תלמידים חושבים שזוויות שקטנות ממעלה אחת אינן
קיימות.
יש תלמידים שסבורים שזווית קיימת רק במצולעים ,ואין לה קיום עצמאי ,מה שיוצר קשיים
בהגדרת חוצה זווית מאוחר יותר.
הפרק כתוב ובנוי בהתחשבות בבעיות שהועלו .תחילה מתוארת הזווית :הזווית נוצרת על-ידי
שתי קרניים שיש להן התחלה משותפת .מיד לאחר ההגדרה מובאים תרגילים של זיהוי זוויות
בסרטוטים לחיזוק הבנת ההגדרה .בשלב זה יש להקפיד שהתלמידים יזהו זוויות על-פי
ההגדרה ,כלומר אם אין שתי קרניים שיש להן התחלה משותפת ,אין זווית .כאשר התלמידים
מסרטטים זוויות ,הדריכו אותם ששוקי הזוויות יהיו קרניים .אחר-כך מתחילים להרחיב את
המושג "הזווית" :מגדירים את הזווית בין שני קטעים ,ומראים בסרטוטים זווית בין קטע לבין
קרן ,בין שני ישרים וכדומה .מרגע זה מסתמכים על האינטואיציות של התלמידים בהבנת
המושג "זווית" .כעת אפשר גם לזהות את הזווית במצולע.
טעויות נפוצות:
התלמידים אינם מקבלים כזווית זווית "קטנה מדי" .דוגמה:
התלמידים מקבלים כזווית צורה שאחת ה"שוקיים" שלה איננה חלק מישר )קטע או קרן(.
דוגמה :
)במתמטיקה מגדירים זווית גם בין קווים עקומים ,אך אין עוסקים בכך בבית הספר היסודי(.
35
לאחר שהתלמידים עסקו בזיהוי ובבנייה 1של זוויות בצורה מספקת ,עוברים למיון זוויות.
בשלב זה לומדים על זווית נישאה ,על זווית שטוחה ועל זווית של סיבוב שלם .נעזרים במושג
"זווית סיבוב" )השעון מייצג בצורה טובה מאוד את המושג( בלי להגדיר אותו ,אלא נשענים על
האינטואיציות של התלמידים .לפי הצורך אפשר לתאר את המושג בעל-פה ולהשתמש בו ,ולא
כדאי להקשות בהגדרה הרשמית .בשיעורים על מדידת זוויות מסבירים לתלמידים מהי מעלה,
כיצד בנוי מד-זווית ,וכיצד למדוד זוויות גדולות מ ,1800 -ומקשרים בין מידת הזווית לבין שמה
לפי המיון .לדוגמה ,מידתה של זווית קהה היא יותר מ 900 -ופחות מ.1800 -
הפרק מתאים לתכנית הלימודים .מומלץ להקדיש לפרק כ 7 -שעות לימוד.
מושגים
זווית ,זווית בין קטעים ,זווית המצולע ,מיון ,סוגי הזוויות ,זווית ישרה ,זווית שטוחה ,זווית
חדה ,זווית קהה ,זווית נישאה ,זווית של סיבוב שלם ,מידת זווית ,מדידת זווית ,מעלה ,מד-
זווית רגיל ,מד-זווית עגול.
מטרות
התלמידים ידעו:
א .לזהות זווית בין שתי קרניים;
ב .לסרטט זוויות שונות ללא אילוצים;
ג .לזהות זוויות בסרטוט מורכב;
ד .לסרטט זווית בהתחשבות באילוצים ,לדוגמה לסרטט זווית כאשר אחת משוקיה נתונה;
ה .למיין זוויות לסוגים שונים בהשוואה לזווית ישרה ובהשוואה לזווית שטוחה;
ו .למדוד זווית בעזרת מד-זווית במעלות שלמות;
ז .לאמור את מידתה של זווית נתונה;
ח .למיין זוויות לסוגים שונים לפי מידתן במעלות;
ט .לזהות ולמדוד זוויות במצולע;
י .לחשב מידה של זווית נישאה במעלות;
יא .לזהות זווית ישרה בעזרת זווית ישרה אחרת או בעזרת משולש סרטוט;
יב .לסרטט זווית בעזרת מד-זווית לפי מידתה הנתונה במעלות;
יג .לסרטט בערך זווית שמידתה היא מספר נתון של מעלות )ללא שימוש במד-זווית(.
אביזרים ואמצעי המחשה
מד-זווית רגיל ,סרגל ,עיפרון ,סרטוטים של זוויות שונות.
אביזרי "חשבון :"10מד-זווית עגול.
הטמעה
א .חזרה על קווים שונים
על הלוח מצוירים קווים מסוגים שונים :ישרים ,קרניים ,קטעים ,קווים שבורים ,קווים
לא שבורים וקווים מעורבים )מורכבים מחלקי קווים ישרים ולא-ישרים יחד( .התלמידים
מתבקשים למיין את הקווים לשני סוגים .דוגמה למיון לשתי קבוצות :קבוצה של קווים
ישרים ,קטעים או קווים שבורים; וקבוצה של קווים שאין בהם אף חלק של ישר )אפשר
לקרוא להם עקומים( ושל קווים מעורבים )מורכבים מחלקי ישר ועקומים יחד( .משימה
1במילה בנייה )לבנות( משתמשים כמילה נרדפת למילה סרטוט )לסרטט(.
36
נוספת :למצוא בין הקווים המסורטטים קרניים ,קטעים וישרים .חשוב לחזור עם
התלמידים על שמות הקווים ועל ההסכמים לסרטוטם .שימו לב :קיימים ייצוגים שונים
של קווים שאפשר להיתקל בהם בספרים שונים .בספר הלימוד "חשבון "10מקובלים
ההסכמים האלה:
ישר:
קרן :
קטע :
או :
דוגמאות לקווים:
ב .חזרה על זווית ישרה
התלמידים מתבקשים לזהות זווית ישרה בציור מורכב ולהסביר כיצד אפשר לוודא
שהזווית ישרה .הבדיקה נעשית על-ידי משולש סרטוט או על-ידי כל זווית ישרה אחרת כמו
זווית של ספר או של דף או זווית שהתקבלה מקיפולי הנייר .להלן דוגמה לסרטוט מורכב.
זהו קדקוד של
זווית ישרה
ג .חזרה על חיבור ועל חיסור של מספרים.
על הלוח כתובים תרגילי חיבור ותרגילי חיסור שונים ,ועל התלמידים לפתור אותם בעל-
פה.
דוגמאות, 75 + 75 = ? , 30 + 45 + 60 = ? , 180 − 46 = ? , 150 + 35 = ? , 58 + 42 = ? :
? = . 150 − 70מטרת התרגול היא הכנה לחישוב מידות של זוויות.
37
פעילויות גילוי
פעילות א :השוואה בין זוויות.
התלמידים מקבלים דף שמסורטטים בו זוויות שונות .כמו-כן הם מקבלים אוסף של זוויות
גזורות ,החופפות לזוויות המסורטטות ,או דף נוסף ,הזהה לדף של הזוויות לגזירה .עליהם
לפתח שיטה להשוואה בין זוויות .בהשוואה עונים על השאלות" :איזו זווית גדולה יותר?",
"איזו זווית קטנה יותר?"" ,האם הזוויות שוות?" .דרכי ההשוואה בין הזוויות :השוואה ישירה
כאשר מניחים זוויות זו על-גבי זו ,כך שהזוויות מתלכדות בשוק אחת ,וחוקרים את המיקום
היחסי לשוק השנייה של הזוויות; השוואה בעזרת מתווך כמו זווית ישרה )משווים בין זווית
חדה או זווית קהה לבין זווית ישרה(; השוואה בעזרת מדידה )משתמשים במד-זווית(; השוואה
בעזרת חישוב של מידות הזוויות .סביר להניח שבפעילות זו יפתחו התלמידים דרך להשוואה
ישירה בין זוויות על-ידי הנחה .להלן דוגמאות לזוויות שעל הדף:
פעילות ב :בניית זווית ישרה על-ידי קיפולי נייר
התלמידים מקבלים פיסת נייר ומתבקשים לבנות זווית ישרה על-ידי קיפולי נייר בלבד.
הפעילות נעשית אם תלמידי הכיתה לא עסקו בה בכיתות הקודמות .חשוב שלדפים
שהתלמידים מקבלים לא יהיו פינות ישרות .מומלץ לשמור את הזווית לבדיקות של זוויות
בהמשך .דוגמאות לקיפול:
קיפול I
קיפול II
פעילות ג :חקירת מד-זווית רגיל.
התלמידים מקבלים מד-זווית רגיל ומתבקשים להסביר כיצד מודדים בעזרתו זוויות.
פעילות ד :חקירת מד-זווית עגול.
התלמידים מתבקשים להסביר כיצד מודדים זוויות בעזרת מד-זווית עגול .דנים ביתרונות
ובחסרונות של מד-זווית עגול )עד (3600לעומת מד-זווית רגיל )עד .(1800
פעילות ה :התלמידים מקבלים דף שמסורטטות בו זוויות שמידותיהן 00עד ,3600ומתבקשים
למיין אותן לסוגים שונים .דנים בדרכי המיון .מטרת הפעילות :למיין את הזוויות לזוויות
חדות ,קהות ,ישרות ,נישאות ,שטוחות ,זוויות של סיבוב שלם ) (3600וזוויות של .00שימו לב:
בציור אי-אפשר להבדיל בין זווית של 3600לבין זווית של .00אם לא צוין אחרת ,מקובל
להתאים לזווית מידה קטנה יותר ,כלומר .00
38
השיעור בספר הלימוד
האם אנו מוכנים? – תשובות:
.1ב; .2ג; .3ד; . 4ב; .5א; .6ד.
לעלות על הגל
קטע שיעור ,עמוד :69זוויות
בשיעור זה מזכירים לתלמידים את המושג "זווית" .כפי שהוסבר ברקע לפרק זה ,המושג
"זווית" קשה לתפיסה ולהפנמה על-ידי התלמידים .התלמידים מכירים את המושג באופן
אינטואיטיבי ועסקו בו בכיתות קודמות :בכיתה ב' הם הכירו זווית ישרה ,ובכיתה ג' הם עסקו
בזוויות שונות ,ובין היתר בזווית במצולע .כעת ילמדו התלמידים על המושג באופן שיטתי
יותר .בשיעור זה מתוארת זווית כפי שמקובל בבית הספר היסודי .שימו לב שבהגדרה זו
משתמשים במילה קרניים ,ולא במילה קטעים ,לכן חשוב שהתלמידים יזהו זווית כשתי
קרניים שיש להן התחלה משותפת .בהמשך ,כאשר המושג "זווית" מורחב ,רואים שזווית
נוצרת גם על-ידי שני קטעים )כמו זווית במצולע( .בשיעור זה יראו התלמידים גם כיצד מסמנים
זווית בסרטוט .כעת הזוויות קטנות מזווית שטוחה או שוות לה ,אך חשוב להרגיל את
התלמידים לסמן זווית בקשת ,כדי שבשלב הלמידה על זווית נישאה ידעו באיזו זווית מדובר.
הקפידו על סימון זוויות לא-שוות במספר קשתות שונה.
משימה מס' :1א( בכל הזוויות יש שתי קרניים )שוקיים( וקדקוד .ב( דונו עם התלמידים
בנימוקים שלהם לגבי הסרטוטים שאינם זוויות.
משימה מס' :2א' ,ד' ו -ז' הם איורים של זוויות .באיור ו' מסורטט משולש ,ולא זווית.
משימה מס' :3בדיקה של הבנת המושגים .קדקודים ושוקי זווית .חשוב להסביר את האבחנה
הזהה שבין קרניים לבין שוקי זווית ,מאחר ששוקיים במשולש אינן קרניים.
משימה מס' :4משימה פתוחה.
משימה מס' :5כל שתי קרניים שבסרטוט יוצרות זווית .בסרטוט שלוש קרניים ,והן יוצרות
שלוש זוויות) .בשלב זה מדובר רק בזוויות קטנות מזווית שטוחה(.
משימה מס' :6התלמידים יסרטטו זוויות כרצונם.
קטע שיעור ,עמוד :71זוויות שוות
בשיעור זה עוסקים בזוויות שוות .חשוב שהתלמידים יעבדו בנייר שקוף ,יעתיקו אליו את
הזווית הנבדקת ויניחו אותו על הזווית השנייה .הדריכו את התלמידים כיצד להניח זוויות זו
על-גבי זו באופן נכון ,כי תלמידים רבים טועים בהנחה .נוסף על-כך ,חשוב לדון בעניין "אורך
הקרניים" ,כי תלמידים נוטים לחשוב בטעות ש"אורך הקרניים" משפיע על מידת הזווית.
במקרה הצורך רצוי לחזור על הדגמת הזווית כ" ִמ ְפ ָתח" .אפשר להראות ִמ ְפ ָתח בין שתי רגליים
של מחוגה ,בין שני עפרונות או בין שני מחוגים של שעון מחוגים .הסבו את תשומת לבם של
התלמידים שאין משמעות למושג "אורך הקרניים" ,כי אורך הקרניים אינו מוגבל )הן אין-
סופיות( .אמנם יש אורכים שונים של קטעי קרניים בציור שנעשה ,אך תמיד אפשר להמשיך את
הקטעים האלה.
משימה מס' :7הדריכו את התלמידים להעתיק את הזווית שבמסגרת על דף שקוף .עודדו את
התלמידים למצוא את הזווית השווה לזווית א' ,תחילה על-סמך ראייה בלבד ,כי חשוב שהם
יפתחו את הראייה החזותית וכן ישתמשו בהיגיון )שלילת זוויות( .זוויות ג' ו -ה' שוות לזווית
הנתונה.
39
משימה מס' :8הזווית הנדרשת בין המחוגים היא .1200על התלמידים לקבוע את מיקום מחוג
השעות ולאחר מכן את מיקום מחוג הדקות ) 4קפיצות של 5דקות( ולאחר מכן את מיקום
מחוג השניות .לא נדרש פה דיוק של מיקום המחוגים) .לדוגמה ,בשעה 1220ו 40 -שניות מחוג
השעות אינו בדיוק מול (.12
משימה מס' :9דונו עם התלמידים בדרכי ההשוואה ,ובקשו מהם להדגים כיצד השוו .זוויות
ג' ו -ו' שוות .זוויות א' ו -ד' שוות .זוויות ה' ו -ח' שוות .זוויות ב' ו -ז' שוות.
משימה מס' :10שימו לב שמחוגי השעון אינם קרניים ,ובכל זאת אפשר לומר שהם יוצרים
זווית .אם התלמידים יעירו על העניין או יתקשו בו ,הציעו להם להמשיך את הקטעים
)המחוגים( לקרניים או לתאר את זה בדמיון .זווית יכולה להימצא גם בין שני קטעים בעלי
קדקוד משותף כמו במצולעים .בשעות 4:00ו 8:00 -הזוויות בין המחוגים שוות.
משימה מס' :11השוואה חזותית בין זוויות.
קטע שיעור ,עמוד :73זווית שטוחה ,זווית ישרה
בשיעור זה עוסקים במושגים "זווית שטוחה" ו"זווית ישרה" .בכיתות ב' ו -ג' התלמידים בנו
זווית ישרה על-ידי קיפולי נייר .אם התלמידים אינם יודעים לבנות זווית ישרה על-ידי קיפול,
נכון לעשות זאת כעת .שוחחו עם התלמידים גם על משולש סרטוט ועל הזווית הישרה שיש בו.
גם את הזווית השטוחה התלמידים הכירו בכיתה ג' ,אך ייתכן שהיא מוכרת להם פחות .מושג
זה אינו קשה להבנה .מחוגי השעון בשעה 6:00ממחישים את הזווית השטוחה .דונו עם
התלמידים בשאלה אם ישר הוא זווית שטוחה .התשובה היא "לא" ,כי זווית שטוחה היא
קודם כול זווית ,ולכן חייבות להיות בה שתי קרניים בעלות התחלה משותפת .כאשר נסמן
נקודה על הישר ,תיווצר זווית שטוחה .שימו לב שאפשר לדבר על שתי זוויות שטוחות משני צדי
הישר ,ולכן מסמנים אחת מהן בקשת .אך גם אם הזווית אינה מסומנת בקשת ,היא קיימת.
משימה מס' :12עודדו את תלמידים לסרטט זוויות שטוחות במצבים שונים במישור .כל
הזוויות השטוחות שוות זו לזו .אפשר לבדוק זאת על-ידי העתקה של אחת מהן על שקף והנחתן
זו על-גבי זו.
משימה מס' :13עודדו את התלמידים לסרטט זוויות ישרות במצבים שונים על המישור ,ולא
רק במצב אופקי או אנכי ביחס לשולי דפים.
אפשר לדון בשאלה אם הזוויות הישרות שהתלמידים סרטטו שוות זו לזו .אפשר לוודא זאת
על-ידי הנחת זוויות זו על-גבי זו .התלמידים יוכלו לנמק זאת כאשר ידעו את מידת הזווית.
משימה מס' :14זוויות א' ,ב' ו -ד' הן זוויות ישרות .אפשר לבדוק זאת בעזרת זווית ישרה של
משולש סרטוט או בכל זווית ישרה אחרת כמו פינה של דף מלבני.
משימה מס' :15השעה 3:00או .9:00
משימה מס' :16מיומנות זו של בניית זווית ישרה חשובה מאוד .אמנם אין חשיבות לכלי
שבונים בעזרתו את הזווית הישרה )חשוב שבכלי תהיה הזווית הישרה( ,אך לעתים קרובות
מבצעים את הבנייה בעזרת משולש סרטוט ,לכן מובאת כאן גם דוגמה לשימוש בו .כאשר שוק
אחת נתונה ,אפשר לבנות שתי זוויות ישרות )משני צדי השוק הנתונה(.
משימה מס' :17זיהוי חזותי של זוויות ישרות.
משימה מס' :18זיהוי חזותי של זוויות שטוחות .שימו לב שכל שתי קרניים היוצרות ישר,
יוצרות שתי זוויות שטוחות.
40
משימה מס' :19סרטוט זוויות ישרות בעלות אותו קדקוד .עודדו שימוש במשולש סרטוט.
משימה מס' :20זיהוי חזותי של זוויות ישרות ושל זוויות שטוחות .כל אחת מהנקודות
המסומנות היא קדקוד של ארבע הזוויות השטוחות .לכן יש בסרטוט 20זוויות שטוחות.
משימות מס' :22-21פיתוח מיומנות סרטוט.
משימה מס' :23זיהוי חזותי של זווית ישרה ושל זוויות שוות.התלמידים יכולים להשתמש
בנייר שקוף כדי להשוות בין הזוויות )אין צורך למדוד אותן( .שימו לב שגם הזוויות המסומנות
בסרטוט שוות.
משימה מס' :24
העיגול מתחלק לארבעה חלקים שווים על-ידי שני ישרים )או קטעים שהם רדיוסים( המאונכים
זה לזה .בין שני הישרים נוצרת זווית ישרה .לכן מספיק להעביר ישר אחד העובר דרך מרכז
העיגול )הקוטר( ולבנות את הזווית הישרה בעזרת משולש סרטוט ,כך שמרכז העיגול יהיה
קדקוד הזווית ,ולהמשיך את הישר לצד השני .דרך אחרת היא קיפול נייר כפי שבנינו זווית
ישרה קודם לכן .קווי הקיפול הם קווי החלוקה ,והם נחתכים בזווית ישרה .פורסים את הדף
ומדגישים את הקווים בעיפרון .שימו לב :את המושג "עיגול" התלמידים הכירו בכיתה ב' ,אך
הם עדיין אינם מכירים את המושגים "רדיוס" ו"קוטר" .יש אין-סוף דרכים לחלוקה לאו
דווקא בכיוון "מאונך-מאוזן".
קטע שיעור ,עמוד :76מציאת הזווית הגדולה או הקטנה בין שתי זוויות
בשיעור זה חוזרים על זוויות קהות וחדות ועל השוואה בין זוויות .זווית קהה וזווית חדה
מוגדרות ביחס לזווית ישרה ולזווית שטוחה .קיימים שני שלבים להשוואה בין זוויות ,כמו בכל
השוואה:
שלב א( האם הזוויות שוות או שונות? שלב ב( מהי הזווית הגדולה ביותר?
עד כה למדו התלמידים להבחין בין זוויות שוות ושאינן שוות .כעת הם יוכלו לדעת איזו זווית
מבין הזוויות שאינן שוות ,קטנה יותר.
משימה מס' :25הזווית השטוחה גדולה יותר ,כי הזווית המסומנת היא חלק מהזווית
השטוחה.
משימה מס' :26משימת יישום של זיהוי זוויות.
משימה מס' :27במשימה זו מודגשת החשיבות של המילים "תמיד" ו"לפעמים" .זווית חדה
תמיד קטנה מזווית קהה.
משימה מס' :28יש בציורים הרבה זוויות .על התלמידים לעבוד בשיטתיות .מובאת דוגמה
לסימון הזוויות שבמצולעים הלבנים בצד ימין של גג הבית.
משימות מס' :30-29משימות יישום :זיהוי זוויות.
41
קטע שיעור ,עמוד :78זווית בין קטעים ,זווית במצולע
בשיעור זה מרחיבים את המושג "זווית" .עד כה הוגדרה זווית בין קרניים בלבד ,וכעת היא
מוגדרת גם בין שני קטעים ,בין קטע לקרן ובין שני ישרים) .אפשר לתאר את הקרניים
המתאימות בדמיון או בפועל (.הרחבת המושג בצורה זו תעזור בהבנת המושג "זווית במצולע",
כי זווית במצולע נוצרת על-ידי צלעות המצולע ,שהן קטעים.
משימה מס' :31ארבע הזוויות של הריבוע וארבע הזוויות המתקבלות בחיתוך של שני
האלכסונים הן כולן זוויות ישרות.
משימה מס' :32ישנן שש עשרה זוויות ישרות בסרטוט זה ,קצתן זוויות של המצולע וקצתן
זוויות הנמצאות מחוץ למצולע.
משימה מס' :33זיהוי זוויות.
יחידת הלימוד -הקניה
קטע שיעור ,עמוד :79סימון זוויות באותיות לועזיות
בשיעור זה עוסקים בסימון זוויות על-ידי אותיות לועזיות .אמנם התלמידים של כיתה ה' עדיין
לומדים בבית הספר היסודי ואינם חייבים להשתמש באותיות לועזיות לסימון כלשהו ,אך
כהכנה לחטיבת הביניים וכרכישת שפה משותפת בין התלמידים הוחלט להקדיש זמן לנושא של
סימון זוויות .הנושא אינו קל לתלמידים הצעירים ,אך שליטה בסימון והבנתו יקלו על
התלמידים בהמשך לימודיהם .בשיעור מוסברות שלוש דרכים לסימון ,המקובלות בבית-הספר,
והתלמידים יוכלו להשתמש בדרך הנוחה להם והמתאימה למשימה מסוימת .אם התלמידים
מתקשים בסימון זוויות או בקריאה ובכתיבה של האותיות ,אין להתעכב על לימוד הנושא ,הם
יבינו עם הזמן .אפשר גם לא לדרוש מתלמידים מתקשים לסמן כמקובל.
משימה מס' :1משימת יישום.
משימה מס' :2משימת יישום .יש שמונֶה זוויות חדות .עלול להתעורר קושי בכתיבת הזוויות
בעזרת אותיות לועזיות .נדגיש כי האות האמצעית מייצגת את קדקוד הזווית.
דוגמה ∠BAO :היא זווית חדה.
ישנן זוויות שניתן לכתוב אותן בשתי דרכים שונות .דוגמה :אפשר לכתוב את הזווית ∠OCD
גם כך. ∠ACD :
משימה מס' :3ההשוואה נעשית על-ידי הנחת הזוויות זו על-גבי זו .בציור האמצעי אפשר
להגיע למסקנה כי זווית קהה גדולה מזווית ישרה לפי הגדרה וללא השוואה בפועל.
משימה מס' :4משימת יישום לכתיבת הזווית בשתי דרכים :בעזרת אות אחת או בעזרת שלוש
אותיות .דוגמה לשני סימונים ∠NMK :או . ∠M
∠TSYאו ∠EOF , ∠Sאו . ∠Oאין חשיבות לכיוון הזווית ∠NMK = ∠KMN
משימה מס' :5תרגול בקריאת זווית.
משימה מס' :6במשימה זו מקנים לתלמידים את המושג "חוצה זווית" בהגדרה אופרטיבית.
כלומר התלמידים בונים את חוצה הזווית בעזרת קיפול נייר .הדגישו לתלמידים שחוצה זווית
הוא קרן .קרן זו יוצאת מקדקוד הזווית ומחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות .חוצה זווית
הוא למעשה קו סימטריה של הזווית .שוחחו עם התלמידים על כך שבמתמטיקה משמעות
המושג "חוצה" היא "חלוקה לשני חלקים שווים" ,ולכן היא שונה ממשמעות המילה בחיי
היום-יום.
42
משימה מס' :7הזווית ABCהיא זווית שטוחה .אפשר לקרוא לזווית זו גם .CBAכדאי
להדגיש לתלמידים את שתי האפשרויות לסימון אותה זווית.
קטע שיעור ,עמוד :81מדידת זווית
עד כה התלמידים לא עסקו במדידת זוויות .בבית הספר היסודי מודדים את הזוויות ביחידות
מידה הנקראות מעלות .בשיעור זה מוסבר מה מקורה של מעלה אחת .כמו בכל מדידה אחרת
מדידת זווית במעלות פירושה לקבוע כמה פעמים זווית של מעלה אחת "נכנסת" בזווית
הנמדדת .חשוב ללמד את התלמידים את הסימון של המעלות ולהדגיש להם שכאשר כותבים
את תוצאת המדידה של זווית ,חייבים לציין "מעלות" ,כפי שבמדידת אורכים מציינים
"סנטימטרים" .יש לציין שזווית אינה חייבת להימדד במעלות שלמות ,אלא במעלות ובחלקי
מעלות או בפחות ממעלה ,לכן בשיעור זה התלמידים יכירו את היחידות למדידת זוויות
הקטנות ממעלה ,כמו דקה ושנייה .במעלה 60דקות ובדקה 60שניות .השמות דומים לשמות
של הזמן ,כי יש להן מקור משותף באסטרונומיה .התלמידים אינם צריכים לדעת את סימון
היחידות האלה .שימו לב :מידות אלו למדידת זוויות אינן מידות עשרוניות ,כלומר אינן
מבוססות על המבנה העשרוני.
משימה מס' :8כעת התלמידים יכולים למיין את הזוויות לארבעה סוגים :חדות ,קהות,
ישרות ושטוחות .לכן המידות הנתונות במשימה מתאימות למיון זה .כל זווית שמידתה קטנה
מ 900 -היא זווית חדה ,זווית שמידתה 900היא זווית ישרה ,זווית שמידתה בין 900לבין 1800
היא זווית קהה ,וזווית שמידתה 1800היא זווית שטוחה.
משימה מס' :9סרטוט ב' ,כי רק בו מסורטטת זווית חדה.
משימה מס' :10משימת יישום.
משימה מס' :11במשימה זו מקשרים בין הנושא הנלמד לבין ידע קודם על שברים .על
התלמידים למצוא שבר ממספר מעלות נתון .לדוגמה ,חצי מזווית שטוחה הוא זווית של ,900כי
מידתה של זווית שטוחה היא 1800וחצי מ 180 -שווה ל .90 -חשוב לדון עם התלמידים בפתרון
של כל סעיף .אפשר לעבוד במשימה זו על שני רבדים :ברובד של מידות הזוויות ,שישית של 180
היא 30או ברובד השברים כמו בדוגמה המופיעה בקטע השיעור .השאלות המתאימות לכל הן
מהו גורם ההרחבה? באיזה מספר כופלים את 6כדי לקבל ?180
1
1
של זווית ישרה היא זווית שמידתה 10מעלות .מקבלים את התוצאה כך 90:9 :או כך 9
× 90
9
משימה מס' :12משימה הפוכה למשימה הקודמת וקשה יותר .אפשר להקל את פתרונה על-
ידי שאלות מרמזות כמו "כמה פעמים ' 30נכנס' ב ."?180 -התשובה היא ,6ולכן זווית שמידתה
300היא שישית מזווית שמידתה ,1800כלומר זווית של 300מהווה שישית מזווית שטוחה.
משימה מס' :13המשימה דומה למשימה הקודמת ,אך הפעם השלם הוא זווית ישרה ).(900
משימה מס' :14שילוב של קריאה וסימון של זוויות ומדידת זוויות.
משימה מס' :15אין צורך לחשב את סכום הזוויות ,כי הוא שווה ל.1800 -
קטע שיעור ,עמוד :83מד-זווית
בשיעור זה לומדים להשתמש במד-זווית למדידת זוויות .חשוב שכל התלמידים יצטיידו במדי-
זווית .חשוב גם שבכיתה יהיה מד-זווית להדגמה ולעבודה על הלוח .התלמידים צריכים
להתבונן במד-הזווית שלהם ולהבין כיצד הוא בנוי .מד-הזווית שמוצג בשיעור הוא מד-זווית
רגיל ,והוא השימושי ביותר .הוא מאפשר למדוד כל זווית שמידתה בין 00לבין .1800מיומנות זו
43
של מדידה בעזרת מד-זווית חשובה לתלמידים ,אך נדרש זמן להפנמתה .חשוב להדריך את
התלמידים להניח את מד-הזווית בצורה נכונה כפי שהוסבר בשיעור ,כך ששוק אחת של הזווית
הנמדדת תעבור דרך ה 00 -במד-הזווית ,וקדקוד הזווית יתלכד עם מרכז מד-הזווית .בדרך כלל
לא מתעוררות בעיות בשלב זה ,אך בשלב הבא כבר יכולה להתעורר בעיה כי צריך להקפיד שגם
השוק השנייה של הזווית תהיה מתחת למד-הזווית ,ולא מחוצה לו .לכן צריך ללמד את
התלמידים לסובב את מד-הזווית בהתאם להימצאות הזווית במישור .לעתים קרובות על מד-
הזווית מסומנות במקביל שתי סקלות של מעלות מ 0 -עד :180אחת מהן מתחילה משמאל
והשנייה מתחילה מימין .הדבר נעשה כדי להקל את מדידת הזוויות במצבים שונים במישור.
נוסף על מד-הזווית המוצג בשיעור יש גם מד-זווית עגול המאפשר למדוד את הזוויות מ 00 -עד
.3600את מד-הזווית הזה יכירו התלמידים בהמשך ,כאשר ילמדו על זוויות גדולות מזווית
שטוחה.
משימה מס' :16משימת יישום.
משימה מס' :17חשוב שהתלמידים יפתחו ראייה חזותית ויכולת לזהות קודם כול את סוג
הזווית ולהסיק מסקנות לגבי מידתה .לדוגמה ,אם הזווית המסורטטת חדה ,מידתה לא יכולה
להיות ) 950הפעלת היגיון( .חשוב גם לדעת שצריך להתאים מידה גדולה יותר לזווית גדולה
יותר )שיפוט לפי ראייה ובדיקת ההשערה( .מיומנות נוספת חשובה מאוד היא לאמוד את מידת
הזווית .לאחר ההערכה של סוג הזווית )קהה או חדה( נעזרים בנקודות ייחוס :זווית ישרה
)האם זווית נתונה קרובה לזווית ישרה או רחוקה ממנה?( ,זווית שטוחה )האם הזווית הקהה
הנתונה קרובה לזווית שטוחה או רחוקה ממנה?( .נקודות ייחוס נוספות :זווית של 450היא
חצי מזווית ישרה ,זווית של 1350היא באמצע בין זווית ישרה לבין זווית שטוחה וכדומה .אם
הייתה טעות באומדן ,יש לבדוק את הסיבה לטעות :הבדיקה תאפשר לפתח את המיומנויות
שהוזכרו לעיל ,החשובות ללימודים בהמשך וכן בחיי היום-יום.
משימה מס' :18על התלמידים למדוד את הזוויות הנתונות בעזרת מד-זווית .בסעיפים א' ,ה',
ו' ו -ז' המדידה היא קלה יחסית ,כי "כיוון" הזוויות הוא נוח להנחה נכונה של מד-הזווית.
לעומת זאת בסעיפים ב' ,ג' ,ד' ו -ח' כיוון הזוויות מקשה את הנחת מד-הזווית ,ולכן כדאי
להציע לתלמידים לסובב את מד-הזווית ולאחר מכן לוודא שהם מניחים נכון .אם אין במד-
הזווית שתי סקאלות של מעלות )ראו הסבר לקטע השיעור לעיל( ,יש לדון עם התלמידים
בשאלה" :מה לעשות?" אחד הפתרונות הוא להתחיל את החישוב ב ,1800 -כאילו זה האפס,
ולמנות את השנתות עד שמגיעים לשנת שמעל השוק השנייה של הזווית .המספר שיתקבל
במנייה הוא מידת הזווית במעלות )ולא מה שכתוב על מד-הזווית!(.
משימה מס' :19קריאה ישירה במד-זווית.
משימות מס' :20ציון טעות נפוצה של הנחת מד-זווית על הזווית הנמדדת.
משימות מס' :21בשלב הראשון אומדים את גודל הזוויות ומסדרים אותן .בשלב השני מודדים
אותן ומוודאים שהן בסדר הנכון.
קטע שיעור ,עמוד :86בניית זווית שמידתה נתונה
לאחר שהתלמידים למדו למדוד זוויות בעזרת מד-הזווית ,הם לומדים לבנות זווית לפי מידתה
הנתונה .בשיעור זה בונים זוויות שמידתן עד .1800הבנייה נעשית לפי השלבים המתוארים
בקטע השיעור .הקשיים שיכולים להתעורר נובעים בעיקר מהימצאות הזווית במישור ,כי בה
תלויה הנחתו של מד-הזווית )ראו הערות לקטע השיעור הקודם( .כמו במיומנות של מדידת
הזווית גם במיומנות זו נדרש זמן להפנמה.
משימות מס' :22סרטוט זווית שמידתה נתונה.
44
משימות מס' :23מדידה וסרטוט של זווית.
משימות מס' :25 - 24על התלמידים לבנות זוויות לפי מידתן הנתונה בהתחשבות באילוץ
הנתון ,כלומר שוק אחת של הזווית נתונה ,ואין להזיז אותה למקום אחר .דונו עם התלמידים
בדרכי הפתרון ,וחזרו אתם על הנחתו של מד-הזווית במידת הצורך .שימו לב :אם שוק אחת
של הזווית נתונה ,יש שתי אפשרויות לבניית הזווית משני צדי השוק הנתונה )פרט לזווית
שטוחה שלבנייתה יש אפשרות אחת בלבד(.
משימות מס' :27 - 26במשימות אלו עוסקים בסכום ובהפרש של זוויות .את המשימות אפשר
לפתור ללא מדידה ,אך חשוב לבדוק את התשובות על-ידי מדידה.
משימות מס' :28מומלץ לתת משימה זו כשיעורי בית .התלמידים יכירו מד-זווית עגול על-ידי
בנייתו .כמו במד-זווית רגיל גם במד-זווית זה יש למקם שוק אחת של זווית מול שנת ה00 -
ומידת הזווית תהיה מול השנת השנייה .בבניית זווית מסרטטים תחילה שוק אחת ,מניחים
עליה את מד-הזווית החל משנת ה ,00 -מסמנים את המידה הרצויה ,ומסרטטים את השוק
השנייה.
משימות מס' :29התלמידים יכולים לחשב את הזווית בלי מדידה ולבדוק את תשובתם על-ידי
מדידות .כל זווית בת . 36 0
קטע שיעור ,עמוד :89מיון זויות
בשיעור זה ממיינים את כל הזוויות שמידותיהן מ 00 -עד .3600כדי להמחיש את העניין נעזרים
בשעון מחוגים .להמחשת זוויות מ 00 -עד 1800אפשר להסתפק בשעון הרגיל שיש בו שני
מחוגים ,ולדבר על הזווית בין שני המחוגים .אבל זווית בין שני המחוגים תמיד קטנה מזווית
שטוחה או שווה לה ,ולכן הוחלט "לקלקל" את השעון ולהותיר בו מחוג אחד בלבד )שהוא
ממשיך להסתובב( כדי לייצג זוויות גדולות מזווית שטוחה .למעשה ,עד כה דובר ב"זווית
סיבוב" בלי לקרוא למושג בשמו .לדעת המחברים ,זוהי דרך טבעית ומוחשית להבנת המושגים
"זווית נישאה" ו"זווית של סיבוב שלם" .בהמשך תהיה ההתייחסות לזווית נישאה בדרך רגילה
כאל זווית שמידתה גדולה מ 1800 -וקטנה מ .3600 -שימו לב גם לזווית של .00היא מוזכרת כדי
למיין את כל הזוויות הקיימות .אמנם התלמידים כבר נתקלו בה כאשר עסקו במדידת הזוויות,
אך עדיין ייתכן קושי בהבנת זווית זו .שתי הקרניים מתלכדות ,ובפועל רואים קרן אחת .אי-
אפשר להבחין בין זווית של סיבוב שלם לבין זווית של 00בסרטוט שבו לא סומנה בקשת הזווית
בת ,3600ולכן כשמסרטטים שתי קרניים מתלכדות ,הזווית היא תמיד .00בנוסף על-כך ,הזווית
הזו אינה זווית חדה ,ולכן זווית חדה היא זווית הגדולה מ 00 -וקטנה מ.900 -
משימה מס' :30מדידת זווית נישאה .אי-אפשר למדוד אותה במד-זווית רגיל ,כי בו אפשר
למדוד זוויות שמידתן מ 00 -עד 1800בלבד .לכן צריך למצוא דרכים אחרות לפתרון המשימה.
אחת הדרכים היא לחשב זווית נישאה דרך זווית של סיבוב שלם .שתי קרניים בעלות התחלה
משותפת יוצרות שתי זוויות :אחת מהן זווית נישאה )כמובן ,אם השנייה אינה זווית שטוחה(.
הסכום של הזווית הנישאות והזווית השנייה הוא .3600התלמידים יוכלו למדוד את הזוויות
השונות מהזוויות הנישאות ,ולחסר את תוצאת המדידה מ .3600 -כך יקבלו את מידת הזווית
הנישאה.
משימה מס' :31אין צורך במדידה.
משימה מס' :32משימת יישום.
משימה מס' :33סרטוט זווית לפי ציון סוג הזווית.
משימה מס' :34זיהוי חזותי של סוגי זוויות.
45
משימה מס' :35אומדן זוויות כאשר נתונות זוויות "ייחוס" .
משימה מס' :36פיתוח הבנה גאומטרית על-ידי דרישה של הסקת מסקנות.
משימה מס' :37הבנת ההבדל בין שימוש במד-זווית עגול לבין שימוש במד-זווית רגיל.
משימה מס' :38מדידת זוויות.
קטע שיעור ,עמוד :92מידות הזויות במצולע
בשיעור זה לומדים על זוויות במצולע .הנושא מוכר לתלמידים מכיתה ג' ,והחידוש הוא מדידת
הזוויות במצולע ,כולל זווית נישאה )אם יש( .הדגישו לתלמידים ,שמסמנים זוויות שוות
במידתן באותו מספר קשתות )או בסימון זהה אחר כלשהו( ,ואילו זוויות השונות במידתן
מסמנים במספר קשתות שונה )או בסימונים שונים אחרים( .שימו לב :סכום הזוויות בכל
מרובע הוא .3600יש להתחשב בכך אם מחברים שאלות להשלמת זוויות במרובע ,אך
התלמידים לא חייבים לדעת זאת.
משימה מס' :39סכום הזוויות במשולש הוא .1800התלמידים לא חייבים לזכור זאת ,והם
מגיעים למסקנות רק דרך פעילות מעשית )מדידה(.
משימה מס' :40למשימה זו אין-סוף פתרונות נכונים .כדאי לדון עם התלמידים בדוגמאות
שלהם.
משימה מס' :41דונו עם התלמידים בדרכים למציאת המידה של הזווית הנישאה.
משימה מס' :42התלמידים מודדים את הזוויות ,וייתכנו סטיות בין תוצאות המדידה ,כי
מדידות אינן מדויקות תמיד .אפשר לקבל כל תשובה כנכונה ,אם ההבדלים סבירים )עד .(50
המורה יכולה לבדוק בצורה עקיפה :סכום הזוויות במשולש שווה ל ,1800 -וסכום הזוויות
במרובע שווה ל.3600 -
משימה מס' :43משימה זהה למשימה הקודמת בשינוי מצולעים.
קטע שיעור ,עמוד :94שושנת הרוחות
בשיעור זה נעשית היכרות עם שושנת הרוחות ושימושיה .שושנת הרוחות היא אחד היישומים
הרבים של המושג "זווית" במדע ובחיי היום-יום .ידיעת שושנת הרוחות היא חלק מהתרבות
האנושית ,והשימוש בה נחוץ לכל אדם .תחילה התלמידים מכירים את ארבעת הכיוונים
הראשיים :צפון ,דרום ,מזרח ומערב .חשוב לציין שמקובל לסרטט מפות ,כך שהכיוון צפון
כלפי מעלה )אלא אם כן צוין אחרת( .אפשר לשלב לימוד על המצפן .אפשר גם לבקש
מתלמידים המתעניינים בנושא או מתלמידים מתקדמים למצוא מידע על שושנת הרוחות
במקורות מידע שונים ולהרצות על כך בשיעור.
משימה מס' :44א( ;900ב( ;900ג( ;900ד( ;1800ה( ;1350ו( .450
משימה מס' :45משימת יישום.
משימה מס' :46מיועדת לתרום לתחום ידיעת הארץ על-ידי הסתכלות במפה וזיהוי מיקום
יחסי של יישובים.
משימה מס' :47שימוש בכיוונים ,צפון-דרום ומזרח-מערב למציאת יחסי כיוון בין יבשות ובין
ירושלים ליבשות.במקרה של אי-ודאות המליצו לתלמידים לקבוע את הכיוון היחסי בין
46
היבשות על-ידי סימון של ערים מרכזיות ביבשת או סימון של מדינות ביבשת .כדוגמת :קהיר
בצפון אפריקה ,ניו-יורק בצפון אמריקה ,אסיה נמצה בצפון-מזרח אפריקה.
משימה מס' :48משימת יישום.
מה למדנו? עמוד :96סיכום הנלמד בפרק.
בפרק זה למדו התלמידים על הזוויות :סוגי זוויות ,מדידה ,זוויות במצולע ,סימון זוויות ואף
יישום בחיי היום יום לזוויות.
ממשיכים בתרגול ,עמודים 106 - 97
משימה מס' :1משימת תרגול של זיהוי זווית מבין צורות מסורטטות.
משימה מס' :2משימת תרגול של סרטוט שלוש זוויות בעלות קדקוד משותף.
משימה מס' :3אם מונים את הזוויות בכיוון ההפוך של השעון ,כל קרן היא שוק של שש
זוויות )כל סיבוב שלם(.
אפשר להפוך את המשימה הזו למשימת חקר כמו "כמה זוויות חדות יש באיור?"" ,כמה זוויות
קהות יש באיור?" "וכמה זוויות נישאות יש באיור?".
אם נסמן כל קרן באות אפשר לבנות טבלה כמו זה.
הקרן השניה
הקרן
הראשונה
A
B
C
D
E
F
A
סיבוב שלם
נ
נ
נ
ק
ח
B
חדה
סיבוב שלם
נ
נ
שטוחה
ק
C
קהה
ח
סיבוב שלם
נ
נ
ק
D
ק
ק
ח
סיבוב שלם
נ
נ
E
שטוחה
ש
ק
ח
סיבוב שלם
נ
F
נ
נ
נ
ק
ח
סיבוב שלם
משימה מס' :4משימה זו צריך לבצע בעזרת סרגל .נקודת החיתוך של הישרים היא קדקוד
הזווית.
משימה מס' :5משימה זו דורשת מהתלמידים להמשיך את הסרטוט כך שבסעיף א' תתקבל
זווית ובסעיף ב' לא תתקבל זווית .דוגמה לזווית וללא זווית:
משימה מס' :6באיור שמונה זוויות.
משימה מס' :7משימת תרגול של זיהוי זווית בתוך איור.
להלן הטבלה המלאה:
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
3
3
2
3
3
3
2
3
2
2
47
5
3
4
2
3
3
2
3
1
3
משימה מס' :8במשימה זו נדרשים התלמידים לבדוק אילו זוויות שוות לזווית א' .הנחו את
התלמידים להשתמש בדף שקוף כדי להעתיק את זווית א' על גבי הדף ולהשוות בין הזויות.
זווית ב' וזווית ז' שוות לזווית א' .זווית ג' קטנה במעט מזווית א'.
משימה מס' :9משימת השוואה .סימון של כל זוג זוויות שוות יעשה בצבע אחר.
משימה מס' :10א( משימת סרטוט של מחוגים לפי השעה הנתונה.
ב( הזוויות בין המחוגים שוות בשעון א' ובשעון ב' .הזווית בת . 90 0
ג( הזוויות בין המחוגים זונות בשעון ג' ובשעון ד'.
משימה מס' :11משימת זיהוי של שלוש זוויות ישרות וזווית שטוחה.
משימה מס' :12משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה .משימה זו מומלץ
לעשות במליאה.
0
0
זווית AOBהיא זווית שטוחה .זווית זו בת . 180זווית KOMבת . 80נמצא את ההפרש בין
הזוויות ונקבל . 100 0כעת נחלק את ההפרש לשניים ונקבל שכל אחת מהזוויות המסומנות בת
. 50 0
משימה מס' :13משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה .אחת הדרכים לפתרון
משימה מסוג זה היא לסמן את הנתונים על הסרטוט.
0
זווית AOBשווה לסכום הזוויות הנתונות∠AOB = ∠AOC + ∠COB = 75 + 6 0 = 810 .
משימה מס' :14משימה זו עוסקת בדרך לא-פורמלית בזוויות קדקודיות ובזוויות צמודות.
שני ישרים נחתכים יוצרים ארבע זוויות .שני זוגות של זוויות קדקודיות וארבעה זוגות של
זוויות צמודות.
0
זוויות קדקודיות שוות זו לזו וסכום זוויות צמודות הוא . 180
4
3
∠2 = ∠4
, ∠1 = ∠3
1
2
∠1 + ∠2 = 180 0
משימה מס' :15משימת סרטוט זו תעשה ללא מד-זווית .סרטוט הזוויות יעשה בקירוב תוך
שימוש בידע הקודם לגבי סוג הזווית ,מידתה וצורתה )גודל המפתח בין הקרניים(.
משימה מס' :16משימה זו עוסקת במושג חוצה-זווית .חוצה-זווית היא קרן המחלקת זווית
לשתי זוויות שוות.
דוגמה :נתון ∠ABC = 120 0 :הקרן Bdהיא חוצה -זווית.
∠ABD = 60 0 ; ∠DBC = 60 0
משימה מס' :17משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה .חישוב הזוויות ייעשה
על סמך העובדה שסכום זוויות צמודות הוא . 180 0
משימה מס' :18הסכום של כל שש הזוויות הוא . 360 0
משימה מס' :19משימת יישום של שימוש בכיווני שושנת הרוחות להתמצאות במרחב .יעקב
הגיע לנקודת ההתחלה.
משימה מס' :20במרובע סכום הזוויות הוא . 360 0לכן מידת הזווית החסרה היא . 40 0
48
משימה מס' :21משימה זו עוסקת בחקירת הזווית בין מחוגי השעון בשעות מסוימות.
1
5
או
משימה מס' :22א( חמש דקות מהוות
12
60
ב( מחוג הדקות מסתובב בחמש דקות בזווית של .300
ג( מחוג הדקות מסתובב ב 25 -דקות בזווית של .1500
ד( בחצי שעה מחוג הדקות מסתובב בזווית של . 180 0
מהשעה.
1
משימה מס' :23א( שעה אחת מהווה
12
ב( במשך שעה מחוג השעות יסתובב . 30 0
ג( בחצי שעה מחוג השעות יסתובב . 180 0
1
ד( דקה אחת מהווה
משעה אחת.
60
ה( מחוג הדקות מסתובב בדקה אחת בזווית של .60
מ 12 -שעות.
משימה מס' :24א( 10דקות .ב( שעתיים.
משימה מס' :25חוצה -זווית של זווית שטוחה יוצר שתי זוויות ישרות שוות.
משימה מס' :26כל הזוויות הישרות שוות בגודלן.
משימה מס' :27משימת תרגול של מידות של זוויות חדות וזוויות קהות.
כדאי להזכיר לתלמידים :זווית חדה קטנה מ . 90 0 -זווית קהה גדולה מ 90 -וקטנה מ-
. 180 0
0
משימה מס' :28כל הזוויות השטוחות שוות בגודלן.
משימה מס' :29אמדן זוויות .מבין חמש הזוויות המסורטטות רק זווית אחת יכולה להיות בת
. 130 0
משימה מס' :30משימת סרטוט של זווית קהה וזווית חדה בעלות קדקוד משותף.
משימה מס' :31משימת סרטוט זו דורשת סרטוט של זווית שווה לזווית הנתונה.
משימה מס' :32הזוויות מסורטטות כך שחוצה -הזווית של זווית O 1בכיוון מאוזן וחוצה-
הזווית של זווית O 2בכיוון מאונך ,כך שהסרטוטים אינם מורכבים .הזווית הנוצרת בין חוצי-
הזוויות היא זווית ישרה.
משימה מס' :33חלוקת הזווית הנתונה לשתי זוויות שוות יכולה להיעשות בעזרת סרטוט של
חוצה-זווית.
משימה מס' :34כאשר מחלקים זווית שטוחה לשש זוויות .כל זווית בת . 30 0
49
משימה מס' :35משימת תרגול של מיון זוויות לפי סוגים וכן תרגול של כתיבת זוויות בעזרת
אותיות לועזיות.
משימה מס' :36משימת תרגול של זיהוי סוג הזווית וסימון האותיות במקום המתאים.
הדגישו לתלמידים שהאות האמצעית מציינת את קדקוד הזווית.
P
משימה מס' :37להלן סימון הקדקודים המתאים למשימה.
ב( זווית ONMהיא זווית קהה.
זווית OPNהיא זווית קהה.
N
M
O
יישומים באמנות ,עמוד 107
התלמידים לומדים שבהגדלה או בהקטנה של צורה )או ציור( באופן פרופורציוני אורכי
הקטעים משתנים ,אך מידות הזוויות אינן משתנות .זו תכונה של דמיון צורות )שתילמד
בחטיבת הביניים(.
העשרה ,עמוד 108
מומלץ להציע לכל התלמידים לסרטט את הציור לפי ההוראות ולצבוע אותו.
אנו שולטים בחומר ,עמוד 109
חזרה על יחידות מידה בעזרת שאלות מילוליות ,חזרה על פתרון תרגילי חיבור וכפל בטור ,וכן
חזרה על הקשר בין פעולות הפוכות.
50
עמ' 136 -110
ד .חילוק מספרים טבעיים
רקע
פרק זה מסיים את הנושא פעולות במספרים טבעיים גדולים .בפעולות חיבור ,חיסור וכפל
במספרים טבעיים גדולים עסקו התלמידים בפרק ג' ,וכאן נוספת פעולת החילוק .אין הבדל בין
ביצוע פעולת החילוק במספרים טבעיים גדולים לבין ביצועה במספרים טבעיים קטנים יותר.
הקושי הוא בעיקר בגודל המספרים ובאורך אלגוריתם החילוק .
קיימים שני סוגי חילוק:החילוק האוקלידי והחילוק הכללי.
א .החילוק האוקלידי הוא בתחום המספרים הטבעיים ,הוא חילוק עם שארית )השארית
יכולה להיות .(0אלה הם מרכיביו:
• המחולק )המספר שמחלקים אותו( הוא מספר טבעי;
• המחלק )המספר שמחלקים בו( הוא מספר טבעי )לא מחלקים ב ,0 -אך 0אינו מספר
טבעי ,לכן אין צורך לציין "שונה מ;("0 -
• מספר הפעמים שהמחלק "נכנס" במחולק )מספר טבעי או " ,(0המנה השלמה") .לא
נרחיב בשימוש במונח זה אך נשתמש בו בהתחלת הפרק כדי לקבוע את סדר הגודל של
התוצאה;(.
• השארית ,שהיא מספר קטנה מהמחלק) .כאשר השארית היא 0המחולק הוא כפולה של
המחלק(.
הערה :הביטוי "ללא שארית" אינו מדויק לגמרי .הכוונה היא שהשארית היא .0
)שארית a . a : b = c (rהיא המחולק b ,היא המחלק c ,היא המנה השלמה ו r -היא
השארית השוויון המבטא את החילוק הזה הוא . a = b × c + r
)כמובן ,התלמידים אינם עוסקים בשוויונות באותיות(.
ב .החילוק הכללי הוא בתחום המספרים הממשיים .אלה הם מרכיביו:
• המחולק )המספר שמחלקים אותו( הוא מספר ממשי;
• המחלק )המספר שמחלקים בו( הוא מספר ממשי שונה מ;0 -
• תוצאת החילוק ,כלומר המנה ,היא מספר ממשי.
a :b = cאם aהיא המחולק b ,היא המחלק ו c -היא המנה .השוויון המתאים לחלק זה הוא
.a = b×c
לפי שוויונות אלה אפשר לראות שחילוק הוא פעולה הפוכה לכפל.
ההבדל בין שני סוגי החילוק הוא סוג התוצאה :בחילוק האוקלידי התוצאה היא ביטוי שאיננו
מספר ,לדוגמה 26" ,לחלק ל 8 -הם 3ושארית ;"2ואילו בחילוק הכללי התוצאה היא מספר,
1
לדוגמה 26" ,לחלק ל 8 -הם שלוש ורבע ) ."( 3
4
כשמדובר בחילוק "ללא שארית" ) או כאשר השארית היא ,(0שני סוגי החילוק מתלכדים ,אך
המושג "חילוק עם שארית" קיים רק במספרים טבעיים .בדוגמה 26:8התוצאה היא הביטוי 3
ושארית .2המספר 3מציין את מספר הפעמים שהמחלק "נכנס" במחולק .מאחר שאין שם
מתאים בעברית ,בעברית המספר נקרא כאן "מנה שלמה" )אחרי התייעצות עם פרופסור
עזריאל לוי( כדי לשמור על עקביות עם החילוק הכללי ,שבו התוצאה נקראת "מנה".
1
בחילוק " 26לחלק ל "8 -הקשר בין התוצאה 3ושארית 2לבין התוצאה שלוש ורבע ) ( 3הוא
4
1
שבחילוק הכללי מחלקים גם את השארית במחלק ) 2הוא של .(8
4
ההבחנה בין שני סוגי החילוק חשובה ,כי מלמדים את שניהם בכיתה ה' :החילוק האוקלידי
בפרק הנוכחי והחילוק הכללי במסגרת השבר כמנה.
51
בחילוק עם שארית חשוב להדגיש שהשארית חייבת להיות קטנה מהמחלק.
הפרק בנוי מכמה חלקים .בחלק "לעלות על הגל" חוזרים על הערכת סדר גודל של התוצאות
ועל כמה דרכי חישוב )חילוק באמצעות חיסור חוזר ,באמצעות חוק הפילוג ובאמצעות חילוק
ארוך(.
ביחידת הלימוד )הקניה( מוצגות דרכי חישוב במספרים מסוימים ,ומוצג חילוק ארוך כאשר
המחלק הוא מספר טבעי דו-ספרתי שספרת היחידות שלו קטנה מ ,6 -בהתאם לתכנית
הלימודים.
לפיתוח הבנה בספרים חשוב מאוד לדון בכיתה ב"כפל חכם" וב"חילוק חכם" ,כאשר אחד
הגורמים או המחלק הוא אחד מהמספרים ) 4 ,(100:4=) 25 ,(10:2=) 5אפשר לחלק ב 2 -ועוד
פעם ב (2 -וכדומה .רצוי לבצע כמה מהחישובים בעל-פה ,ועל המורה לעודד את התלמידים
לחפש דרכים משלהם בחישובים אלה )למשל על-ידי פעילויות גילוי( ,ולא להכריח אותם לחשב
רק בדרך אחת .באופן דומה לעתים ב"חישוב" השארית לא נדרש חילוק ,ולכן יכולה להתחזק
ההבנה המספרית )חילוק ב ,2 -ב 10 -ואפילו ב.(5 -
לפי תכנית הלימודים ,לנושא חילוק מומלץ להקדיש חמש שעות לימוד.
מושגים
חילוק ,תוצאה של חילוק ,שארית ,מחולק ,מחלק ,מנה,מנה שלמה ,כפולה ,אומדן התוצאה.
מטרות
התלמידים ידעו:
א .לחשב "בראש" חילוק של כפולות של ,10של 100ושל ,1,000ב ,10 -ב 100 -וב;1,000 -
ב .לחלק כפולות של 10בעשרות שלמות כשיש שארית וכשאין שארית;
ג .לחלק כל מספר בעשרות שלמות כשיש שארית;
ד .לחשב אומדן של תוצאת חילוק במספר דו-ספרתי )סדר גודל של המנה(;
ה .לבצע חילוק ארוך כשהמחלק הוא מספר חד-ספרתי או דו-ספרתי ,כשאין 0בתוצאה וכשיש
0בתוצאה.
אביזרים ואמצעי המחשה
כרטיסים שכתובות עליהם המילים :מחולק ,מחלק ,תוצאה ,שארית ,כרטיסי מספרים.
הטמעה
א .חזרה על משולשים ועל מרובעים.
מסרטטים על הלוח ריבוע ומלבן .מבקשים מהתלמידים לסיים את המשפט:
"משולש שווה-שוקיים הוא משולש שבו…" )הגדרה(,
"משולש שווה-צלעות הוא משולש שבו…" ,
"משולש ישר-זווית הוא משולש שבו…",
"משולש חד-זוויות הוא משולש שבו…",
"לריבוע יש … זוויות …",
"למלבן יש … זוויות …",
"הריבוע והמלבן נבדלים זה מזה ב…" )לציין תכונות שונות של המלבן ושל הריבוע(,
" התכונות המשותפות לריבוע ולמלבן הן…".
52
ב .חזרה על ייצוגים שונים של שבר.
מהו השבר שמיוצג בכל ציור? )אפשר לסרטט את הציורים על הלוח או לחלק דפים שהציורים
מופיעים בהם (.יש לסכם עם התלמידים שהחלק הצבוע הוא שמייצג את השבר ,ולא החלק
הלבן.
ציורים אפשריים:
•
•
•
•
•
ג .חזרה על סדר פעולות ועל חוקי פעולות.
חשבו בדרך הנוחה לכם. 12 × 3 + 2 , 47 × 11 , 355 + 406 − 55 , 5 × 34 × 2 , 10,001 × 9 :
ד .חזרה על חילוק עם שארית )במספרים טבעיים קטנים(.
ידוע ש . 12 × 3 + 2 = 38 -מהי תוצאת החילוק של 38ב 38 ?12 -ב ?3 -מהי השארית בכל אחד
מהמקרים האלה? )חישובים לו יבוצעו ללא פתרון של תרגיל(.
ה .חזרה על הכפלה ב 10 -וב.100 -
כותבים על הלוח את תרגילי הכפל שלהלן .כל תלמיד מציין בתורו אם המכפלה שווה ל1,800 -
או לא.
60×30
6×300
18×10×10
100×6×3
10×6×30
10×3×60
10×180
18×2×50
100×60×3
8×200
90×20
10×5×36
100×18
10×9×2
3×10×6
90×200
ו .חזרה על חילוק וכפל כפעולות הפוכות.
.1על הלוח רשום השוויון . 25 × 8 = 200 :מבקשים מהתלמידים לכתוב את כל השוויונות
הנובעים מהשוויון שלעיל .דוגמה. 200 :8 = 25 :
.2ידוע כי . 654 × 321 = 209,934מהי תוצאת החילוק של 209,934ב) ?321 -על התלמידים
לענות ללא חישוב(.
.3ידוע כי = ×☺ .השלימו את השוויונות. =__:__ ; ×☺=___ ;☺=__: :
אפשר להוסיף עוד שוויונות להשלמה.
פעילויות גילוי
פעילות א :מספרים סיפור )בעיה( .התלמידים יבצעו את החישובים בראש") .כל כלי הכתיבה
נעלמו מהעולם!"( .רוצים לסדר 84ספרים שווה בשווה בארבע קופסאות .כמה ספרים בכל
קופסה? רוצים לסדר את הספרים בשבע קופסאות שווה בשווה .כמה ספרים בכל קופסה?
רוצים לסדר את הספרים בשלוש קופסאות שווה בשווה .כמה ספרים בכל קופסה? רוצים לסדר
את הספרים בשש קופסאות שווה בשווה .כמה ספרים בכל קופסה?" 84 .הוא מספר המתחלק
ב ,3 -ב ,4 -ב 6 -וב .7 -בפעילות התלמידים אמורים לפלג את המספר המתאים למחלק ),80+4
.(60+24 ,70+14
פעילות ב :חוזרים על פעילות א' במספרים גדולים יותר ,כגון ...840 ,600 ,540
53
פעילות ג :התלמידים כבר למדו את משמעות החילוק ,לכן הפעם מטרת הפעילות היא לגלות
דרכים שונות לביצוע הפעולה .כדאי לעבוד בצורה של תחרות בין קבוצות .מתחילים בדוגמה
במליאה ,כדי שהתלמידים יבינו את השאלה ,לאחר מכן זוגות או קבוצות מציעים זה לזה
אתגרים מהסוג שהוצג במליאה .דוגמה לשאלה למליאה :הקנגורו קופץ בקפיצות של עשרה
מטרים .כמה קפיצות נדרשות לו כדי לעבור בדיוק 100מ' 500 ,מ' 340 ,מ' 3,790 ,מ'17,670 ,
מ'? )אילוץ :המרחק הוא כפולה של .(10כשעובדים בזוגות או בקבוצות ,עובדים באותם
אילוצים :צוות אחד קובע את המרחק ,והאחר אומר את התשובה ,ומחליפים תפקידים.
פעילות ד :חוזרים על סיפור הקנגורו ,אך הפעם הקפיצות של הקנגורו הן כפולות של עשרה
מטרים.
פעילות ה :מספרים לתלמידים סיפור )בעיית מצב( :רונית אמרה שללא חישוב היא יודעת
להגיד מה התוצאה ומה השארית ,כאשר מחלקים מספר טבעי כלשהו ב .10 -חוה אמרה:
"בבקשה ,מהי השארית בחילוק של 10,021ב ."?10 -להפתעתה ,רונית השיבה מיד1,002" :
ושארית ."1חוה בדקה במחשבון ,וגילתה שרונית צדקה .חוה נתנה לרונית עוד כמה תרגילים,
ורונית אף פעם לא טעתה.
נסו לגלות כיצד יכלה רונית לומר תשובה נכונה .נסו לחלק ב 10 -כמה מספרים דו-ספרתיים,
תלת-ספרתיים או גדולים יותר ,ושערו מהי הדרך לחישוב מהיר של המנה והשארית.
פעילות ו :חוזרים על סיפור הקנגורו )הקנגורו קופץ בקפיצות של עשרה מטרים( ,אך הפעם הוא
צריך להגיע קרוב ביותר למטרה בלי לעבור אותה ,והמרחק למטרה הוא במספר טבעי כלשהו.
פעילות ז :המשך לפעילות ד' :על הקנגורו להגיע קרוב ביותר למטרה בלי לעבור אותה ,אך
הפעם הוא קופץ בקפיצות של 20מטר .המרחק למטרה הוא מספר טבעי ,בתחילה כפולה של 20
ואחר-כך מספר כלשהו.
פעילות ח :בעיות מצב לחילוק ב :50 -מסלול המרוץ לשבלולים הוא מעגל שהיקפו 50ס"מ.
השבלול צריך לעבור מרחק שהוא כפולה של .(..1,500 ,700 ,300) 100בכל פעם שהשבלול עובר
את קו ההתחלה ,מצלצל פעמון .כמה פעמים מצלצל הפעמון? במליאה דנים בדרכים לבצע
חילוק "חכם".
בוחרים אחת מהפעילויות ד' ו -ה' ,ומשנים את המרחק ואת גודל הקפיצות או את היקף
המסלול ואת המרחק כדי להגיע לאפיון של מצבי חילוק.
פעילות ט :הצעות לתחרות חידות:
הציעו דרכים שונות כיצד לכפול ב ,5 -ב ,25 -ב ,125 -ב ,20 -ב 50 -וב .16 -הביאו דוגמאות )בכל
מספר דנים בנפרד(.
מרים חילקה מספר ב 4 -וקיבלה שארית .1הציעו כמה דוגמאות של מספרים אפשריים .מה
מספר האפשרויות? מה יכולה להיות השארית כאשר מחלקים מספר טבעי ב ?4 -יוסי חילק
מספר ב 4 -וקיבל שארית .5האם הדבר אפשרי?
הקטינו פי שמונָה את המכפלה של המספרים 24ו .32 -הציעו דרכים שונות למציאת התוצאה.
הקטינו פי תשעה את המכפלה של המספרים 63ו .45 -הציעו דרכים שונות למציאת התוצאה.
השיעור בספר הלימוד
האם אנו מוכנים? – תשובות:
.1א; .2ג; .3ד; .4ב; .5ד;
.6ד;
54
.7ג;
.8ב;
.9א;
.10ג.
בדיקת ידע קודם בנושאים האלה :חילוק בתחום לוח הכפל )שאלות ,(4-1משמעות החילוק
)שאלות ,(6-5חילוק ב) ,10 -שאלה ,(7כפולות של 10ושל )100שאלות ,(9-8פירוק מספר
לגורמים )שאלה (.10
לעלות על הגל
קטע שיעור ,עמ' :111חילוק בתחום לוח הכפל
בשיעור זה חוזרים על המהות של פעולת החילוק בתחום לוח הכפל )השארית היא 0או שונה
מ.(0-
חשוב לציין שמדובר בחילוק אוקלידי של מספרים טבעיים כי בהמשך יכירו התלמידים את
השבר כמנה במובן הכללי .
משימה מס' :1משימת יישום .מומלץ לבצע את המשימה בעל-פה.
משימה מס' :2חילוק בתחום לוח הכפל )השארית שונה מ .(0-אפשר לבצע אותה בעל-פה.
משימה מס' :3יש תלמידים שלא יבינו את המשמעות של "שארית "0בסעיף ג' .אפשר
להסביר שהשארית היא מספר קטן מהמחלק ,ובמקרה זה 0אינו שונה ממספרים אחרים.
אפשר לומר גם שבדרך כלל לא יודעים מראש מהי השארית.
קטע שיעור ,עמוד :112אומדן בחילוק
מזכירים כיצד לבצע אומדן של תוצאת החילוק ,כלומר באילו גבולות תימצא התוצאה.
תוחמים את התוצאה על-ידי מציאת שתי כפולות ידועות של המחלק ,הקרובות למחולק )בדרך
כלל עשרות שלמות ,שהן כפולות של המחלק( .כאן המספרים התוחמים הם 420ו .480 -פעולה
זו מובילה לסדר גודל בתוצאה .התיחום מבוסס על תכונה אינטואיטיבית של החילוק :במחולק
קבוע ,ככל שהמחלק גדול יותר התוצאה גדולה יותר.
משימה מס' :4הערכת סדר גודל של התוצאה .המחולק 3,240נמצא בין 750לבין ,7,500לכן
תוצאת החילוק היא מספר דו-ספרתי )בין 10ל.(100 -
משימה מס' :5אין צורך לחשב את התוצאה ,אלא למצוא סדר גודל "גס" )מספר דו-ספרתי,
תלת-ספרתי.(...קובעים אומדן גס בעזרת כפולות של 10ומספר ספרות במחולק :כופלים את
המחלק ב ,10 -אחר-כך ב 100 -וכן הלאה לפי הצורך .כאשר המחולק "נופל" בין שתי הכפולות
של ,10נקבע האומדן הגס .למשל אומדן גס של תוצאת החילוק573:3 :
3×100 = 300ו 3×1,000 = 3,000 -לכן התוצאה נמצאת בין 100לבין 1,000כלומר התוצאה
תהיה תלת-ספרתי.
משימות מס' :7-6תיחום של תוצאת חילוק על-ידי שימוש בעובדות יסוד )לוח הכפל וכפל ב-
.(10
משימה מס' :8משימה הדומה למשימה 4אך הפעם מובאת שאלה מילולית.
קטע שיעור ,עמוד :114חילוק דרך חיסור חוזר
יש לקבוע את סדר הגודל של התוצאה בשלבים :תחילה בודקים מה יהיה מספר הספרות
שבמנה ,ואחר-כך תוחמים את התוצאה בתיחום גס פחות .כעת מוצגת אחת מדרכי החילוק:
חיסור חוזר .ילדים קטנים משתמשים בשיטה זו כדי לחלק כמויות שווה בשווה .מפלגים
בשלבים את המחולק כסכום של כפולות "עגולות" של המחלק ,ובכל שלב מחלקים כל מחולק
במחלק התוצאה היא סכום פעולות אלה.
55
בדוגמה שבשיעור מחפשים תחילה מספר "עגול" שהוא כפולה של המחלק ,קרוב למחולק וקטן
ממנוּ )המספר ( 400< 529 ) 400ומחלקים אותו ב .(4 -לכן יש 100תפוזים בכל ארגז .מחסרים
400מהמחולק ,וחוזרים על התהליך עד שמתקבלת שארית קטנה מהמחלק) .בשיעור השארית
היא (.1
משימות מס' :10 - 9שאלות מילוליות הדומות לשאלה שבשיעור .מומלץ לדון בדרכי החישוב.
קטע שיעור ,עמוד :115חיסור בעזרת פילוג המחולק
מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי א' ו -ב' לפני השיעור.
בשיעור זה חוזרים על חילוק בעזרת פילוג המחולק .כמו בכל חישוב מומלץ להשתמש באומדן
כדי להעריך את התוצאה .הפעם הפילוג אינו בשלבים ,אך מההתחלה .חילוק בעזרת פילוג
המחולק נוח מאוד לחישוב "בראש" .נדרשת כאן ראיית המחולק כמספר שאפשר לפלג בצורה
"נוחה" בהתאם למחולק ,וכך מתפתחת הבנה מספרית.
משימה מס' :11משימת יישום .מומלץ לבקש מהתלמידים לבצע את החישובים "בראש" לפני
הכתיבה.
משימה מס' :12יישום של השיעור בשאלה מילולית והכנה לחילוק ארוך.
משימה מס' :13דונו עם התלמידים בדרך החישוב שלהם.
קטע שיעור ,עמוד :116חילוק ארוך
בשיעור זה חוזרים על ביצוע חילוק ארוך .כמו בשיעור הקודם רצוי תחילה לאמוד את התוצאה
ולהגדיר כמה ספרות במנה ,כדי למנוע שגיאות.
משימה מס' :16-14משימות יישום )בחלקם שיעורי בית(
יחידת הלימוד -הקניה
קטע שיעור ,עמוד :118חילוק ב10 -
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ג' לפני השיעור.
בקטע שיעור זה מרחיבים את החילוק של כפולות של 10ב ,10 -המוכר לתלמידים מהכיתות
הקודמות ,למספרים גדולים.
משימה מס' :1משימת יישום .מומלץ לבצע את המשימה בעל-פה.
משימה מס' :2במשימה זו מוודאים שהתלמידים הבינו את הכלל "להשמיט "0בצורה הנכונה
)זהו 0בספרת היחידות( :במספר שבתרגיל יש שני אפסים במקומות שונים במספר ,כלומר
הערך שלהם שונה.
משימה מס' :3יישום חילוק ב 10 -במספרים גדולים ובמשוואות של חילוק .במשימה
מעודדים את התלמידים להשתמש בכפל ובחילוק כפעולות הפוכות.
משימה מס' :4שאלה מילולית .שימוש חוזר בחילוק ב.10-
קטע שיעור ,עמוד :119חילוק בעשרות שלמות
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ד' לפני השיעור.
בשיעור זה מוצגת עוד שיטת חישוב "בראש" :חילוק בכפולות של .10בדוגמה שבשיעור
מחלקים ב .30 -הערה :אומרים "מחלקים במספר" ו"מחלקים לקבוצות".
56
משימה מס' :5משימת יישום .מומלץ לבצע את המשימה בעל פה.
משימה מס' :6משימת יישום בצורה של שאלה מילולית.
משימה מס' :7התלמידים יכולים להשתמש בהוספה חוזרת של ,30למלא את השורה
הראשונה ,להעלות את הגורם השני ב 1-ולמלא את השורה השנייה.
משימה מס' : 8שאלה מילולית .יש לקרוא את השאלה "עד הסוף") .התנאי מופיע בסוף
השאלה(.
משימה מס' :9שאלה מילולית ברמה גבוה יותר .השארית ) (10נובעת מכך ש 27-אינו מספר
זוגי.
קטע שיעור ,עמוד :120חילוק ב 10-עם שארית
לפני השיעור מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ה' .בקטע שיעור זה לומדים חילוק של מספרים
טבעיים ב 10 -עם שארית )המחולק הוא מספר שיסתיים בכל ספרה פרט ל .(0 -בעזרת פעילות
הגילוי אפשר להניח שהשארית שווה בדיוק לספרת היחידות .כמו קודם לכן גם בשיעור זה
הלמידה נעשית על-ידי פתרון שאלה מילולית.
משימות מס' :11 - 10משימות יישום .מומלץ לבקש מהתלמידים לבצע את החישובים
"בראש" לפני הכתיבה .אפשר לבצע את המשימות גם בעל-פה.
משימה מס' :12משוואות חילוק .המשימה יכולה להיות קשה לתלמידים בכיתה ,מפני
שהשאלה היא הפוכה :יש לחשב את המחולק ,אם ידועים המחלק ,התוצאה והשארית.
התלמידים צריכים להשתמש בתוצאות של השורה הראשונה ולהוסיף את השארית.
דוגמה ,420 : 10 = 42 :לכן )שארית 426 : 10 = 42 ( 6
משימה מס' :13הכללה של המשימה הקודמת.
קטע שיעור ,עמוד :121חילוק בעשרות שלמות עם שארית
לפני השיעור מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ז'.
בשיעור זה מוצג פתרון לחילוק של מספר שלם בכפולות של 10באמצעות תיחום בין כפולות של
המחלק .בשיטה זו נדרשת שליטה בכמה עובדות יסוד של כפל במספרים גדולים )הטמעה ה'(,
ונדרשת מיומנות הכפלה בכפולות של .10בדוגמה שבשיעור מחלקים 535ב.20 -
עובדות היסוד הנדרשות הן .25×20=500 ; 30×20=600
ספרת היחידות של 535שונה מ ,0 -לכן המספר אינו מתחלק ב 20-בלי שארית .חשוב להדגיש
שוב את החשיבות של האומדן ,שאפשר לדעת בעזרתו את מספר הספרות במנה ,וכך פתרון
הבעיה קל יותר.
לפי רמת הכיתה אפשר להציע שיטה "מתוחכמת" יותר )שאינה מוצגת בשיעור( ,המבוססת על
מיומנות חילוק בעשרות שלמות:
א( כותבים 0במקום ספרת היחידות במחולק;
ב( בודקים אם מספר זה מתחלק במחלק .אם כן ,מבצעים את החילוק ,אם לא ,מחפשים את
הכפולה של המחלק הקרובה ביותר למחולק וקטנה ממנוּ ,מבצעים את החילוק ומחשבים
את השארית .דוגמה ? = .529:30המספר 520אינו כפולה של ,30כי הוא אינו מתחלק ב;3 -
510מתחלק ב ,(510 :30=17) 30 -והתשובה היא 17ושארית .26
משימה מס' :14חוזרים על השיטה שבשיעור ,אך מאחר שכותבים סדרת כפולה של ,20אין
צורך להיזכר בעובדות יסוד.
משימה מס' :15משימת יישום .הפעם יש צורך בידיעת עובדות יסוד.
57
משימה מס' :16משימת יישום .לפני החילוק מומלץ לשאול" :מה יכולה להיות השארית?"
משימה מס' :17בניית סדרה של כפולות המחלק בסדר גודל המחולק ,תיחום המחולק בין שני
איברי הסדרה ומציאת המנה השלמה והשארית .בשונה ממשימה ,14מבקשים להשלים את
השוויונות המתאימים לחילוק.
משימה מס' :18הפעלת השיטה של המשימה הקודמת על ציר המספרים .התלמידים מפרטים
את דרכי החישוב.
משימה מס' :19אפשר לבצע את המשימות גם בעל-פה בעזרת ציר המספרים שבמשימה .18
משימה מס' :20בכל התרגילים השארית היא ספרת היחידות.
משימה מס' :21משוואות חילוק .המשימה דומה למשימה .12
קטע שיעור ,עמוד :123איך מחלקים ב?50-
לפני השיעור מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ח' .בשיעור זה מוצגת אחת הדרכים לחלק ב50 -
ללא שארית :מחלקים ב 100 -וכופלים ב .2 -הדרך הזו טובה אם המחולק הוא כפולה של .100
אם המחולק אינו מסתיים בשני אפסים ,לא מוכרחים לשמור על הסדר :אפשר לכפול ב2 -
ואחר-כך לחלק ב .100 -לדוגמה.250 : 50 = 250 × 2 : 100 ,
משימה מס' :22חזרה על חילוק ב ,10 -ב 100 -ו-ב.1,000 -
משימה מס' :23במשימה מודגש הקשר בין חילוק לבין כפל כפעולות הפוכות.
משימה מס' :24משימת יישום.
משימה מס' :25מומלץ לדון בדרכי הפתרונות .בפתרון המשוואות מפעילים "חשיבה הפוכה".
א .מחשבים את המכפלה ) 30×20=600כפל וחילוק הם פעולות הפוכות ,לכן .(600:20=30
נדרשת תוצאה )מנה( גדולה מ ,30 -לכן צריך לבחור מספר הגדול מהמחולק .600
ב .כל מספר קטן מ 600-הוא פתרון נכון.
ג .איזה מספר כפול 100שווה ?2,400תשובה .(2,400:24=100) 24 :נדרשת תוצאה )מנה(
קטנה מ ,100 -צריך להגדיל את המחלק .24כל מספר גדול מ 24-הוא פתרון נכון.
ד .3,000:300=10 .נדרשת תוצאה )מנה( קטנה מ ,10 -צריך להקטין את המחלק .300
כל מספר קטן מ 300 -הוא פתרון נכון.
ה .כל מספר קטן מ 42,530 -הוא פתרון נכון.
ו .כל מספר גדול מ 680 -הוא פתרון נכון.
ז .כל מספר גדול מ 2,000 -הוא פתרון נכון.
ח.1,800 .
ט .כל מספר גדול מ 120 -הוא פתרון נכון.
י .כל מספר קטן מ 1,159 -הוא פתרון נכון.
יא .כל מספר קטן מ 700 -הוא פתרון נכון.
יב .כל מספר קטן מ 2,300 -הוא פתרון נכון.
משימה מס' :26יישום השיטה של החילוק ב 50-לחילוק ב. 25 -
משימה מס' :27יישום השיטה שבמשימה הקודמת.
58
משימה מס' :28משימת יישום ,מוצגת דרך לבדיקת התוצאה על-ידי תכונות החילוק :קשר
בין מנות של מספרים שונים כאשר המחלק קבוע.
משימה מס' :29משימת יישום .מומלץ לבצע את המשימה בעל-פה.
קטע שיעור ,עמוד :125חילוק במספר דו-ספרתי
בקטע שיעור זה לומדים לבצע חילוק ארוך במספר דו-ספרתי .חשוב להסביר לתלמידים שלפני
ביצוע חילוק ארוך יש להגדיר על-ידי אומדן כמה ספרות יהיו במנה ,מפני שזה מונע שגיאות
רבות .יש לציין שברוב המקרים שימוש במחשבון אינו עוזר בחילוק אוקלידי.
משימה מס' :30משימת יישום.
ב
א
343
257
המנה
ד
253
ג
167
ה
156
ו
131
ז
121
משימות מס' :31משימת יישום על-ידי שאלה מילולית 112).ספרים בכל ספרייה(
קטע שיעור ,עמוד :126חילוק ארוך במספר דו-ספרתי
בשיעור זה מחלקים מספר במספר דו-ספרתי ,ויש שארית ,ואחת הספרות בתוצאה היא .0
השאלה המילולית היא דוגמה לצורך בחילוק מספר במספר דו-ספרתי עם שארית .את החילוק
מבצעים באותה דרך של חילוק ארוך .חשוב לוודא שהתלמידים מבינים את החשיבות של ה0 -
בתוצאה .האומדן עוזר מאוד שלא "לפספס" את ה .0 -התלמידים צריכים גם לדעת "לקרוא"
את התוצאה של חילוק ארוך :איפה כתובה התוצאה ואיפה כתובה השארית .חשוב גם להדריך
את התלמידים לבדוק את הפתרון על-ידי כתיבת השוויון :שארית +מחלק × תוצאה =
מחולק.
משימה מס' :32משימת יישום בצורת שאלה מילולית.
א( דורון ימלא 204קופסאות ביצים.
ב( נותרות שתי ביצים.
משימה מס' :33
המנה השלמה
השארית
א
209
3
ב
305
4
ג
102
15
ד
107
35
קטע שיעור ,עמוד :127חילוק ארוך :סיכום
שיעור זה הוא סיכום הנושא חילוק ארוך .חוזרים על חשיבות האומדן.
משימה מס' :34כאמור ,חשוב מאוד שהתלמידים ידעו "לשבץ" את התוצאה -את המחלק,
את המחולק ואת השארית -במקומות הנכונים של השוויון .במשימה זו מוודאים שהתלמידים
מבינים זאת.
משימה מס' :35במשימה זו אפשר לראות שלעתים אותו תרגיל בדיקה מתאים לשני תרגילי
חילוק .הדבר נכון כאשר השארית קטנה משתי התוצאות האפשריות.
בתרגיל הנתון 22קטן מ 27 -וקטן מ.39 -
דוגמה של חילוק כשהדבר אינו מתקיים:
)שארית .265:35=7 (20הבדיקה המתאימה היא . 265 = 35 × 7 + 20תרגיל זה אינו מתאים
לחילוק ,265:7כי השארית 20גדולה מ.7 -
59
מה למדנו? עמוד :128סיכום הנלמד בפרק:
אומדן תוצאת חילוק ,דרכי חילוק בחזקות של ,10בכפולות של ,10ב ,25-דרכי חילוק
ואלגוריתם החילוק הארוך.
משימה מס' :36מחיר כרית הוא ,₪ 134מחיר שמיכת נוצות הוא ₪ 510ומחיר מערכת
מצעים הוא .₪ 150
ממשיכים בתרגול ,עמודים 132 - 129
משימה מס' :1משקל הרסק בכל צנצנת הוא 200גרם.
משימה מס' 43 :2אנשים הוזמנו למסיבה.
משימה מס' :3משימת תרגול של חילוק )לוח הכפל(.
משימה מס' :4משימת תרגול של חילוק עם שארית.
משימה מס' :5מחירה של כל סלסילה במכולת הוא .₪ 14מחירה של כל סלסילה בחנות הוא
.₪ 15במכולת מוכרים את הסלסילות הזולות ביותר.
משימה מס' :6התלמידים יכולים לפלג את המספרים באופנים שונים.
דוגמה 342 : 3 = 330 : 3 + 12:3 = 110 + 4 =114או
342 : 3 = 300 : 3 + 30 : 3 + 12 :3 = 100+10+4
משימה מס' :7להלן הטבלה המלאה:
שארית
בדיקת
תרגיל
השארית
1
1<9
)82:9 = 9(1
1
1<5
)156:5 = 31(1
0
0<10
1080:10 = 108
3
3<10
)903:10 = 90(3
מנה שלמה
מחלק
מחולק
9
31
108
90
9
5
10
10
82
156
1080
903
משימה מס' :8תרגילי החילוק המתאימים לתרגיל הנתון הם:
תרגיל ) :1שארית 600:85 = 7 (5
תרגיל ) :2שארית 600:7 = 85 (5
משימה מס' :9המספר שלי הוא ) .31שארית 31:7 = 4 (3
משימה מס' :10מיקום הכפולות של 7על ציר המספרים יכול לסייע במציאת המנה של תרגילי
החילוק שבהמשך.
משימה מס' :11משימת תרגול של חילוק ארוך.
ב
א
90
המנה השלמה 186
ג
99
ד
195
ה
1637
משימה מס' :12משימת תרגול של חילוק ב .10 -השארית היא ספרת היחידות של המחולק.
משימה מס' :13התלמידים יכולים להשתמש בתכונת החילוק ב :10-השארית היא ספרת
היחידות.
60
משימות 16-14מהוות דוגמה לתהליך הקניית הבנה מתמטית:
א( גילוי תכונה על-ידי סיפור או דוגמה; ב( הפעלת התכונה "בכיוון ההפוך"; ג( ניסוח כלל.
משימה מס' :14משימת יישום של חילוק ב 10 -בצורת שאלה מילולית.
יאיר מילא 17שקיות מלאות ושקית נוספת שיש בה שתי סוכריות .צריך לדבר עם התלמידים
על השארית .מה עושים איתה?
משימה מס' :15המספר הוא .1,233אפשר לבקש מהתלמידים לנסח שאלות דומות משלהם
ולבדוק זה את זה.
משימה מס' :16דוגמה למספר .234 :המנה השלמה המתקבלת מחלוקת המספר ב 10 -היא
.23השארית היא .4התרגיל המתאים לתבנית הוא234 = 23 × 10 + 4 :
משימה מס' :17כשמחלקים כפולה של 10ב ,20 -אפשר לחלק את המחלק ב 10 -ואת התוצאה
ב .2 -
דוגמה500 : 20 = ( 500 : 10 ) : 2 = 50 : 2 = 25 :
משימה מס' :18משימת תרגול של השלמת ביטויים לפי הדוגמה.
משימה מס' :19פיתוח הבנה מספרית .קיימים 15מספרים שכאשר מחלקים אותם ב15 -
מקבלים אותה מנה שלמה ושארית שונה .דוגמה :מנה שלמה של חילוק כל המספרים מ 15-עד
29היא ,1והשארית היא מ 0 -עד ) .14שארית 15 :15 = 1( 0עד ) 14שארית .29 :15 = 1( 14
ב( =15×8 + 14
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
×
15
150
165
180
195
210
225
240
255
270
285
300
דוגמאות לשימוש בטבלה
232 = 15×15 + 7
170 = 15×11 + 5
214 = 15×14 + 4
משימה מס' :20א( להלן הטבלה המלאה:
20
300
19
285
18
270
17
255
16
240
15
225
14
210
13
195
12
180
11
165
10
150
ב( בסעיף זה ניתן להיעזר בטבלה שהושלמה בסעיף א'.
דוגמאות) 214 = 15 × 14 + 4 :שארית .214:15 = 14 (4
משימה מס' :21שאלה מילולית .להלן התרגיל המתאים לפתרון52 × 10 + 5 = 525 :
שאלות מילוליות ,עמוד 133
משימה מס' :1יובל יצרה 9שרשרות.
משימה מס' :2הראל קרא בכם יום 48עמודים.
משימה מס' :3המחיר של כל דף הוא 9אגורות.
משימה מס' :4המספר שבחרתי הוא .104
61
×
15
משימה מס' :5בכל חודש נולדים בישראל בין 11,000ילדים ל 12,000 -ילדים.
משימה מס' :6להדס יש 3 × 15 + 10 = 45 + 10 = 55 .₪ 55
היסטוריה ,עמוד 134
שיטת החילוק במצרים העתיקה .כמו הכפל המצרי ,גם בחילוק מתבססים על שימוש במכפלה
של המחלק בחזקות של .2
דוגמה נוספת לחילוק בשיטת מצרים העתיקה1,235 : 34 = ? :
כופלים את המחלק בחזקות של 2עד שמגיעים למספר גדול מהמחולק.
מכפלה
< 1235
34
68
136
272
544
1,088
2,176
המחלק
34
34
34
34
34
34
34
×
×
×
×
×
×
×
כופלים את
המחלק ב:
1
2
4
8
16
32
64
התוצאה גדולה מ 32-וקטנה מ.64 -
147 .1,235-1,088 = 147גדול מ .34 -בעזרת הטבלה רואים ש , 147 = 4 × 34 + 11 -לכן
התוצאה היא )שארית 1,235 : 34 = 36 (11כי .36= 32+4
העשרה ,עמוד 135
משימה מס' :1יישום של משימה 19שב"ממשיכים בתרגול" למספרים גדולים יותר.
א( אפשר להגדיל את המספר מ 1-עד .(130 - 70) .60
ב( לדוגמה.24:5 , 18:5 ,
ג( 48 , 40 , 32 ,24 , 16 ,8
משימה מס' :2הכנה למשימה הבאה .המזון יספיק ל 15 -ימים.
משימה מס' :3שימוש חוזר בדרכי חילוק .הכמות היומית ל 5-פילים היא 1,500ק"ג.
)שארית 45,300 : 1500 = 30 (300
משימה מס' :4היבט נוסף של החילוק .התשובה היא מספר שלם ללא שארית )כל התלמידים
נוסעים( .התשובה 21 :אוטובוסים.
משימה מס' 125 :5טונות.
אנו שולטים בחומר ,עמוד 136
התלמידים חוזרים על פעולת הכפל ,על העתקות איזומטריות )העתקות שוות-אורך( -שיקוף,
סיבוב והזזה -ועל צורות סימטריות.
62
עמ' 183 - 137
ה .משמעויות השבר
רקע
בחלק של "לעלות על הגל" מובא סיכום של מה שלמדו התלמידים בכיתות הקודמות בנושא
שברים .התלמידים הכירו בעבר משמעויות שונות וייצוגים שונים של השבר וביצעו פעולות
שונות בשברים ,כגון השלם כשבר ,חיבור וחיסור של שברים בעלי אותו מכנה ,כפל של שבר
בשלם ועוד.
הם למדו גם על משמעות השברים הגדולים מ ,1 -הכתובים בצורת שבר או בצורת מספר
מעורב.
החזרה ארוכה במיוחד כדי לבסס את הנלמד .לכן אם התלמידים שולטים בחומר ,אפשר לעבור
ישירות לחלק "הקניה".
ב"הקניה" נלמד הנושא השבר כמנה ,שהוא הקשר בין פעולת החילוק לבין השבר כתוצאה של
פעולת חילוק .דרך המושג חלק של כמות ,שהוא למעשה ביטוי של כפל ,יובן גם הקשר בין
2
2
2
שברים לבין פעולת הכפל .דוגמה :של 15הם × 15או × . 15
3
3
3
2 2
2
בהצגת ה"שרשרת" = × 15 = 15 × -של – 15ידעו התלמידים לחשב את התוצאה של
3 3
3
2
התרגיל , × 15שהם אינם ַמכירים עדיין .יש לציין שחוק החילוף חל בכפל שברים על-פי
3
הסכם.
נוסף על-כך ,מובאות בפרק שאלות מילוליות פשוטות בנושא זה ,הכוללות את כל סוגי
השברים :שברים "אמתיים" )בין 0ל ,(1 -שברים גדולים מ 1 -ומספרים מעורבים .בפתרון
שאלות מילוליות מודגשת חשיבות הקשר בין הבעיה לבין התשובה.
לאורך כל הפרק התלמידים עוסקים בשלושה היבטים הקשורים זה לזה :ייצוג של שבר ,תרגיל
מספרי והסבר מילולי לביצוע פעולה.
לפי תכנית הלימודים ,מומלץ להקדיש לנושא שברים כ 6 -שעות לימוד.
מושגים
שבר ,שבר גדול מ ,1-מספר מעורב ,מנה ,שארית ,השבר כמנה ,שברים על ציר המספרים ,חלק
של שלם.
מטרות
התלמידים ידעו:
א .לכתוב תוצאה של פעולת חילוק בצורת שבר;
ב .לכתוב שבר כפעולת חילוק;
ג .לפתור שאלות מילוליות פשוטות הקשורות לחילוק של מספר טבעי במספר טבעי אחר;
ד .לשער אם צורת התשובה )שבר או מנה עם שארית( שהתקבלה מתאימה לבעיה;
ה .להפוך שבר גדול מ 1 -למספר מעורב ולהפך;
ו .לכתוב מספר טבעי בצורת שבר בעל מכנה נדרש;
ז .לסדר שברים על ישר המספרים.
63
אביזרים ואמצעי המחשה
רצועות מלבניות ,עיגולים מחולקים לחלקים שווים ,קלפים.
אביזרי "חשבון :"10עיגולים נשלפים של שברים ,שברים במלבנים )שקף צבעוני( ,תצרפים
)פאזלים( ,מד-מטר שברים ,שקף משבצות ,רצועות.
הטמעה
א .חזרה על השלמת שבר לשלם.
1 4 6 2 2 1
רושמים על הלוח שברים , , , , , :וכדומה .מבקשים מהתלמידים למצוא את זוגות
3 6 7 3 6 7
השברים המשלימים זה את זה ל.1 -
ב .חזרה על מצולעים.
התלמידים מקבלים דפים שמצוירים עליהם מצולעים שונים .על התלמידים למצוא
.1מצולעים שונים )לא חופפים( שיש להם צלעות שוות;
.2מצולעים שצלעותיהם שוות וזוויותיהם שוות.
פעילויות גילוי
פעילויות לחלק "לעלות על הגל"
פעילות א :שבר יסודי
כל תלמיד שולף באקראי אחד מהעיגולים הנשלפים וכותב על הלוח המחיק את השבר היסודי
המתאים .חברי הקבוצה בודקים זה את שבריו של זה.
פעילות ב :התלמידים מציירים על שקף המשבצות צורה בעלת שטח של 24משבצות) .אפשר
לבקש מכולם לצייר מלבן (.על כל אחד מחברי הקבוצה לצבוע בצורה שצייר שבר יסודי אחד,
כך שכל השברים היסודיים יהיו שונים.
פעילות ג :חיבור שברים בעלי אותו מכנה.
כל תלמיד שולף באקראי אחד מהעיגולים הנשלפים ומסמן או צובע בשני צבעים מספר חלקים.
הוא כותב על הלוח המחיק תרגיל המתאים לסימון או צביעה שלו .חברי הקבוצה בודקים זה
את תרגיליו של זה.
פעילות ד :שבר כחלק של כמות.
בא"ב העברי 27אותיות ,כולל האותיות הסופיות .כל תלמיד כותב איזה חלק מהא"ב העברי
מהווה השם שלו .חברי הקבוצה בודקים זה את תשובתו של זה.
64
פעילות ה :הפיכת מספר טבעי לשלם
המורה כותבת על הלוח מספר שלם הקטן מ .10 -התלמידים כותבים על הלוח המחיק שבר
השווה לשלם .דנים בתשובות השונות.
פעילות ו :כפל שלם בשבר
12
המורה כותבת על הלוח את השבר
7
שאחד מהגורמים הוא מספר שלם .דנים בתשובות השונות.
.התלמידים כותבים על הלוח המחיק תרגיל כפל ,כך
פעילויות ליחידת הלימוד -הקניה
פעילות א :מתחלקים לקבוצות ,בכל קבוצה 5 ,4 ,3 ,2או 6תלמידים .המורה מחלקת לכל
קבוצה שתי רצועות באורך זהה )כ 12 -ס"מ( ,המייצגות חפיסות שוקולד .המשימה :לחלק את
"חפיסות השוקולד" לחלקים שווים לכל ילדי הקבוצה .חברי כל קבוצה מציירים על הרצועות
בצבעים שונים את החלק שקיבל כל ילד )בקבוצה של שני ילדים כל אחד יקבל חפיסה אחת,
2
בקבוצה של שלושה ילדים כל אחד יקבל של חפיסה וכן הלאה( .דנים בדרכי החלוקה.
3
פעילות ב :נציג מכל קבוצה מציג לכיתה את החפיסות מפעילות א' ,התלמידים מציעים דרכים
לכתוב את החלוקות בצורה מתמטית ,וכותבים את הצעותיהם על הלוח.
פעילות ג :חוזרים על פעילויות א' ו -ב' ,אך הפעם מחלקים שלוש רצועות לכל קבוצה.
פעילות ד :חוזרים על פעילויות א ו -ב .הפעם מחלקים תשע רצועות לכל קבוצה.
פעילות ה :זוג תלמידים בוחר שבר )לא שלם( הנמצא בין 0לבין .50על תלמידי הכיתה לומר
מהם המספרים הטבעיים העוקבים שהשבר נמצא ביניהם .השיטה :שואלים שאלות שמותר
לענות עליהן "כן" או "לא" .אפשר להיעזר בציר המספרים .בשלב זה אין הגבלה במספר
השאלות.
פעילות ו :כמו בפעילות ה' ,אבל הפעם מספר השאלות מוגבל לעשר.
פעילות ז :כמו פעילות ה' ,אך הפעם השבר נמצא בין 0ל.100 -
פעילות ח :המורה מחלקת לכל קבוצה חבילת כרטיסים הממוספרים מ 0 -עד ,9ומחלקת
כרטיס של מילה שונה לכל קבוצה :אוטובוסים ,פיצות ,קמח ,מים ,בד ,חפיסות שוקולד,
כלבים ,עוגות ,תפוזים .בכל קבוצה מגרילים ספרות ,מרכיבים מהן מספר דו-ספרתי ומספר
חד-ספרתי ורושמים אותם על דף .חברי הקבוצה יכתבו שתי בעיות חילוק בעזרת הנתונים
)המספרים והמילה שקיבלו( וירשמו את שם הקבוצה על הדף.
פעילות ט :כל קבוצה מקבלת עשרים חפצים זהים מסוג אחד )מקלות ,ריבועי מנייה וכדומה(,
שנים עשר חפצים זהים מסוג אחר )עיגולים ,קלפים וכדומה( ושתי קוביות משחק .זורקים את
הקוביות ומגדירים בעזרתן שבר קטן מאחת או שווה לאחת .על הקבוצה לייצג את השבר
בעזרת קבוצת החפצים המתאימה .רושמים על דף תוצאות של חמש זריקות של הקוביות.
רושמים על הלוח את התרגילים.
65
פעילות י :כל קבוצה מקבלת עשר רצועות זהות מנייר -כל רצועה מורכבת משלושה חלקים
שווים -וכן דף שמצוירות בו עשר רצועות מחוברות ,כמו בציור להלן .כל רצועה מייצגת יחידה
2
או חפיסת שוקולד .על חברי הקבוצה לחשב בשתי דרכים שונות מ.10 -
3
כל רצועה מייצגת יחידה
פעילות יא :כל קבוצה מקבלת עשר רצועות זהות מנייר -כל רצועה מורכבת מארבעה חלקים
שווים -וכן דף שמצוירות עליו עשר רצועות מחוברות .כל רצועה מייצגת יחידה או חפיסת
3
שוקולד .על חברי הקבוצה לחשב בשתי דרכים שונות מ .10 -בדיון מסכם מדגישים שהביטוי
4
2
2
"שבר כחלק מכמות" ) של (5שקול לביטוי "הכפלת הכמות בשבר" ).( × 5
3
3
השיעור בספר הלימוד
האם אנו מוכנים? – תשובות:
.4ד;
.3ב;
.1ג; .2ד;
.5א;
.6ד;
.7א;
.8ג;
. 9ד.
משימה מס' :2השלם הוא האליפסה .הצורה הזו עלולה ליצור קושי אצל התלמידים .החלקים
אינם שווים בגודלם ,ולכן אי-אפשר לדעת מהו השבר המתאים לחלק הצבוע.
לעלות על הגל
קטע שיעור ,עמ' :138השבר
חזרה על ייצוג השבר -כתיבתו וקריאתו.
משימה מס' :1משימת יישום.
משימה מס' :2משימה הפוכה .התלמידים נדרשים לייצג שבר נתון.
משימה מס' :3משימה מחיי היום יום.
משימות מס' :5-4הדגשת המקור של השם מונה.
משימה מס' :6שאלה פתוחה .דונו עם התלמידים בפתרונותיהם.
קטע שיעור ,עמ' :140השבר היסודי
חשוב להראות לתלמידים שלכל שלם מתאימים אין-סוף שברים יסודיים.
כתיבת השבר כסכום של שברים יסודיים היא הכנה לכפל שלם בשבר.
משימה מס' :7משימת יישום .אפשר לחלק אותה רצועה לחלקים שונים באין-סוף אופנים.
66
משימה מס' :8על התלמידים למתוח קו מהשבר לאיור המייצג אותו .מטרת המשימה היא
1
להבחין בין ייצוג מתאים לבין ייצוג לא-מתאים לשבר .דוגמה :המשולש מתאים לשבר ,
2
1
ואילו העיגול שצבוע בו חלק קטן מחצי אינו מתאים לשבר .
2
משימה מס' :9שאלה פתוחה הכוללת ייצוג גרפי .דונו עם התלמידים בפתרונותיהם.
משימה מס' :10משימה זו מכילה מס' שלבים שיסייעו לתלמידים להבין את משמעות השבר,
את אופן ייצוגו ואת חלוקתו .במשימה זו החשיבה היצירתית .חלוקת השלם לחלקים שווים
יכולה להיעשות בדרכים שונות .דוגמה :אפשר לחלק את המשושה לשני חלקים שווים מקדקוד
לקדקוד או מאמצע צלע לאמצע צלע.
באותו אופן אפשר לחלק את המלבן לארבעה חלקים שווים באופנים שונים .להלן דוגמאות
לחלוקת המלבן לארבעה חלקים שווים .
משימה מס' :11משימה פתוחה .על התלמידים לייצג שבר יסודי ושבר שאינו יסודי באמצעות
חלוקת המשושה .התלמידים רשאים לחלק את המשושים למספר חלקים כרצונם.
משימה מס' :12התלמידים נדרשים לייצג כל אחד מהשברים כסכום של שברים יסודיים.
עודדו את התלמידים לייצג שבר נתון כסכום של שברים יסודיים בעלי מכנים שונים מזה של
השבר הנתון.
3 1 1 1
3
3 1 1
= +
או כך:
דוגמאות :אפשר לייצג את השבר כך= + + :
5 2 10
5 5 5 5
5
4 1 1
4 1 1 1 1
4
= +
או כך:
אפשר לייצג את השבר כך= + + + :
7 2 14
7 7 7 7 7
7
6
6 2 1 1
6 1 1 1 1 1 1
או כך= = + :
אפשר לייצג את השבר כך= + + + + + :
9 3 2 6
9 9 9 9 9 9 9
9
קטע שיעור ,עמ' :142השוואה בין שברים בעלי אותו מכנה
בשיעור זה חוזרים על השוואה בין שברים בעלי אותו מכנה.
משימה מס' :13משימת יישום.
משימה מס' :14משימה פתוחה .בכל אחד מהסעיפים על התלמידים לייצג את השבר הנתון
באמצעות צביעת חלקים בשלם ,לבחור שבר אחר ולסמן את כיוון האי-שוויון בהתאם לשבר
המשלים שיבחרו .דוגמה :בסעיף א' התלמידים נדרשים לצבוע בריבוע השמאלי שבעה חלקים
בהתאם לשבר הנתון ,ובריבוע הימני לצבוע יותר משבעה חלקים או פחות משבעה חלקים
כרצונם .דונו בפתרונות האפשריים.
משימה מס' :15משימה פתוחה .התלמידים נדרשים לבחור שני שברים בעלי מכנים שווים,
לכתוב את סימן האי-שוויון המתאים ביניהם ולייצג אותם בעזרת איור מתאים.
67
משימה מס' :16שאלה מילולית .דרשו מהתלמידים לכתוב תשובה מילולית ואי שוויון
4 3
המתאים לתשובה כמודגם בזאת :מתן קיבל חלק גדול יותר> .
7 7
משימה מס' :17משימה פתוחה .דונו עם התלמידים בפתרונותיהם .בסעיף א' התלמידים
3
2
1
4
ו. -
נדרשים לכתוב שברים הקטנים מ , -בעלי אותו מכנה, :
9
9
9
9
4
בסעיף ב' עליהם למצוא שברים אחרים הקטנים מ. -
9
3 1
4
ועוד.
,
,
דוגמאות לשברים:
11 7 10
4
דונו עם התלמידים בשאלה :כמה שברים קטנים מ? -
9
קטע שיעור ,עמ' :143חיבור שברים בעלי אותו מכנה
כאן חוזרים על חיבור שברים בעלי אותו מכנה .כדאי שהתלמידים יפתרו תחילה כל תרגיל
בעזרת ייצוג גרפי ,אחר-כך הם יכתבו את ההסבר המילולי ואת השבר המתאים.
2 6 4 12 2
+ +
=
משימה מס' :18משימת יישום .א( =
18 18 18 18 3
3
4
7 1
+
=
ב( =
14 14 14 2
משימה מס' :19משימת יישום של חיבור שברים בעלי מכנים שווים .תלמידים מתקשים,
יכולים להיעזר בצביעת המשבצות ולייצג את התרגילים בצורה גרפית.
משימה מס' :20שאלה מילולית .כדאי לייצג אותה בייצוגים שונים .התרגיל המתאים לפתרון
6
2 4 6
השאלה המילולית הוא = +תשובה :קובי ויוני אכלו מחפיסת השוקולד.
7
7 7 7
משימה מס' :21חיבור של שברים בעלי אותו מכנה.
משימה מס' :22התאמת ייצוג לביטוי .הייצוג המתאים הוא הייצוג בסעיף א' .הייצוג לא
שגרתי.
משימה מס' :23חיבור של שלושה שברים בעלי מכנה זהה.
11
8
8 2
6 2
4
ה(
ג(
ד( =
ב( =
א( = 1
18
12 3
9 3
4
11
11
ו(
13
10
ז( = 1
10
11
ח(
14
משימה מס' :24תרגול של התאמת שבר לייצוג נתון מחיי היום-יום וכן תרגול של חיבור
שברים בעלי מכנים שווים.
1 3 4 1
1 1 2 1
2 5 7
א(
ג( = = +
ב( = = +
= +
8 8 8 2
8 8 8 4
8 8 8
משימה מס' :25התלמידים נדרשים לפתור תרגיל חיבור של שברים בעלי מכנים שווים ולייצג
את המחוברים בעיגולים המסורטטים.
68
קטע שיעור ,עמ' :145שבר כחלק מכמות
לפני השיעור מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ד' של "לעלות על הגל" ואת פעילות הגילוי ט' של
ההקניה .בשיעור זה חוזרים על המושג שבר כחלק מכמות .מושג זה מבוסס על המשמעות של
השבר שהתלמידים כבר הכירו :המכנה מציין לכמה חלקים שווים חולק השלם ,והמונה מציין
כמה חלקים יש לקחת .כלומר אפשר לפתור כל שאלה הקשורה למציאת חלק מכמות ,בעזרת
חילוק במכנה וכפל במונה ,וכך אפשר להגיע לתשובה הנכונה .לדוגמה ,את פתרון השאלה
שבקטע השיעור אפשר להסביר כך :מחלקים את השלם )שהוא שבע קוביות( לשבעה חלקים
1
שווים ,ולוקחים מהם שלושה חלקים .כל חלק ) ( הוא קובייה אחת ,לכן בשלושה חלקים יש
7
שלוש קוביות .בכל השאלות בנושא זה יש לוודא שהתלמידים מבינים נכון מהו השלם .אפשר
לעשות זאת על-ידי שאלה מכוונת.
חשוב להראות לתלמידים ששבר של שלם ושבר של כמות הם אותו מושג .במקרה הראשון
השלם הוא רציף ,ובשני הוא בדיד.
משימה מס' :26משימת יישום .חשוב לציין כי השלם הוא מספר כל הצורות המסורטטות בכל
מסגרת.
משימה מס' :27משימת יישום .על התלמידים לכתוב את השבר המתאים למספר הפריטים
הצבועים.
10
4
ב(
משימה מס' :28התשובה היא ,למעשה ,הנתון בשינוי ניסוח .א(
12
5
משימה מס' :29משימה זו לחיזוק הקשר בין מספרים לבין ייצוגים ולבין השימוש בהם בחיי
היום-יום.
דוגמה לשאלה מילולית :בארגז המשחקים 12כדורים צבעוניים ,מהם שלושה כדורים
אדומים ,חמישה כדורים צהובים וארבעה כדורים כחולים .איזה חלק מהכדורים הם בצבע
אדום?
קטע שיעור ,עמ' :146שבר כחלק מכמות )המשך(
השיעור מבוסס על השיעור הקודם .כאשר ידוע איזו כמות מייצג שבר יסודי ,אפשר לדעת את
הערך של כל שבר בעל אותו מכנה.
משימה מס' :30משימת יישום .החלוקה לחלקים שווים )קבוצות( כבר נעשתה ,והתלמידים
נדרשים לצבוע את מספר הקבוצות לפי המונה ,לספור כמה צורות הם צבעו ,ולכתוב את
המספר במקום המתאים.
משימה מס' :31כדי לענות על כל שאלה המובאת בתרגיל ,על התלמידים לחלק מספר שלם
נתון במכנה ולכפול את התוצאה במונה .תלמידים שעדיין מתקשים בפתרון כזה ,יכולים
להיעזר בציור מתאים.
משימה מס' :32חישוב של הכמות המתאימה לשבר יסודי.
משימה מס' :33שאלה מילולית .הנתונים בשאלה זו הם השבר וערכו .חסרה הכמות השלמה.
אם שלוש גולות מהוות רבע מהכמות ,הכמות הכללית היא 12גולות .הייצוג מסייע לתלמידים
לראות את הכמות השלמה.
משימה מס' :34מציאת חלק של כמות נעשית באמצעות ייצוג של חלוקת הכמות לקבוצות
שוות.
69
משימה מס' :35דונו בכיתה בשאלה אם משקל המלפפון שווה למשקל הדלעת .כמובן,
התשובה שלילית אם כך ,חמישית ממשקל המלפפון אינה שווה לחמישית ממשקל הדלעת.
משימה מס' :36שאלה מילולית .בשאלה זו נדרשים שלושה תרגילים שונים למציאת הפתרון
המלא .תשובה :בסל יש חמישה כדורים אדומים 12 ,כדורים כחולים ו 13 -כדורים כחולים.
קטע שיעור ,עמ' :148השלם כשבר
בשיעור זה חוזרים על השלם ועל ייצוגיו השונים.
משימה מס' :37משימת יישום.
משימה מס' :38בעזרת משימה זו יוכלו התלמידים להבין את משמעות השלם כשבר.
משימה מס' :39משימת יישום :השלמה של שוויונות .כאן מתחזקת ההבנה של ייצוג השלם
1 1 1 1 1 1 1
כשבר6 × = + + + + + = 1 .
6 6 6 6 6 6 6
1 1 1 1
3× = + + = 1
3 3 3 3
משימה מס' :40ייצוג השלם כאשר נתון חלק ממנוּ -השבר היסודי .השלם הוא כמות .משימה
זו עלולה להיות קשה לתלמידים בכיתה .הסבירו לתלמידים כי אם מצויר רבע מהכמות
הכללית ,הכמות השלמה גדולה פי ארבעה מזו המצוירת.
דוגמה :בסעיף א' מצוירים שני דובדבנים .השלם הוא שמונה דובדבנים.
משימה מס' :41בסעיף א' ניתנת שאלה פתוחה לסיכום נושא השלם כשבר .בסעיף ב' מתחזקת
ההבנה של הכפלת השבר במספר החלקים המתאים ליצירת השלם.
קטע שיעור ,עמ' : 149השלמה ל1 -
בקטע שיעור זה חוזרים על השלמת שלם בשבר מתאים .למעשה ,פותרים את המשוואה:
+ ? = 1שבר נתון.
משימה מס' :42על התלמידים למצוא את המחובר .אפשר להיעזר באיורים מתאימים לפי
הצורך .אם מתעורר קושי ,יש להדריך את התלמידים לרשום את המספר 1כשבר שהמכנה שלו
4 3 1
הוא המכנה של השבר שמשלימים לשלם ,והמונה שלו שווה למכנה .דוגמה. 1 = = + :
4 4 4
משימה מס' :43סעיפים ב' ,ג' ,ה' ו -ו' הם סגורים .קיים מחובר אחד המתאים לשוויון.
בסעיפים א' ו -ד' יש אפשרויות שונות לפתרון .לדוגמה בסעיף א'
1 3 6 10
1
2 7 10
ואפשרות כזו , + + = = 1 :וקיימות
יש אפשרות כזו+ + = = 1 :
10 10 10 10
10 10 10 10
אפשרויות נוספות.
משימה מס' :44במשימה זו קיים שימוש בצביעת חלקים מתוך השלם כאמצעי לייצוג חיבור
של שני שברים ,כאשר מחובר אחד מייצג את החלקים הצבועים ,והמחובר האחר מייצג את
החלקים שאינם צבועים .בסעיף א' עוברים מייצוג לתרגיל .ובסעיף ב' עוברים מתרגיל לייצוג.
70
קטע שיעור ,עמ' :150הפיכת מספר טבעי לשבר
בשיעור מוזכר שאפשר לכתוב כשבר כל מספר טבעי :המכנה יכול להיות כל מספר טבעי,
והמונה של השבר הוא המכפלה של המספר הטבעי במכנה.
משימה מס' :45משימת יישום .הכנה להפיכת מספר טבעי כלשהו לשבר .מציאת מספר
השישיות בשלם אחד מכינה את התלמידים למציאת מספר השישיות בשני שלמים או בשלושה.
משימה מס' :46משימת תרגול .הפיכת מספר טבעי לשבר .על התלמידים למצוא את המונה.
18 24 30 36
= = = =6
דוגמה :א(
3
4
5
6
במשימה זו יתרגלו התלמידים את לוח הכפל.
משימה מס' :47משימת תרגול .הפיכת מספר טבעי לשבר .על התלמידים למצוא את המכנה.
משימה מס' :48התלמידים נדרשים לגלות מתוך מס' שברים איזה שבר הוא שלם.
משימה מס' :49משימה פתוחה .מומלץ לדון בה בכיתה.
קטע שיעור ,עמוד :151כפל שלם בשבר
בשיעור זה חוזרים על כפל שבר בשלם בשיטה של חיבור חוזר .גם כאן התלמידים יסבירו את
הפתרון בייצוג ובמלל.
משימה מס' :50משימת יישום .כפל שלם בשבר ,המוגדר על-ידי חיבור חוזר .אפשרו
לתלמידים לפתור את התרגילים כרצונם.
משימה מס' :51משימת יישום .כפל שלם בשבר .אפשרו לתלמידים לפתור את התרגילים
כרצונם.
משימה מס' :52ייצוג וכתיבה של כפל שלם בשבר.
משימה מס' :53משימת יישום בצורת שאלה מילולית .יש לכתוב תרגיל כפל של שלם בשבר,
אך לפתור את השאלה בעזרת תרגיל כפל או חיבור כך:
2 2 4
2 2× 2 4
= × ; 2תרגיל חיבור. + = :
תרגיל כפל= :
5 5 5
5
5
5
משימה מס' :54משימת יישום בצורת שאלה מילולית .התרגיל המתאים לפתרון הוא
3 4 × 3 12
= ×.4
= =3
4
4
4
משימה מס' :55מומלץ לדון בבעיות של התלמידים ולוודא שהן מתאימות לנושא.
קטע שיעור ,עמוד :152שברים גדולים מ :1 -מספרים מעורבים
יש להדגיש לתלמידים שכל שבר גדול מ 1 -אפשר להפוך למספר מעורב ,ולהפך :כל מספר
מעורב אפשר לרשום בצורת שבר.
כאן חוזרים על חיבור שברים בעלי אותו מכנה .כדאי שהתלמידים יפתרו תחילה כל תרגיל
בעזרת ייצוג גרפי ,אחר-כך יכתבו את ההסבר המילולי ואת השבר המתאים.
יש להסב את תשומת לב התלמידים לכך שמספר מעורב הוא בעצם כתיבה מקוצרת של
הסכום :שלם +השבר עצמו.
71
משימה מס' :56זיהוי שברים גדולים מ.1 -
משימה מס' :57משימת יישום :הפיכת מספר מעורב לשבר גדול מ.1 -
משימה מס' :58משימת יישום :הפיכת שבר גדול מ 1 -למספר מעורב.
משימה מס' :59מומלץ לחלק את הכיתה לארבע קבוצות ,כל קבוצה תכתוב שברים לכל אחד
מהסעיפים ולאחר מכן נציג מכל קבוצה יפרט את הדוגמאות שקבוצתו הציעה .אחר כך ישוו
התלמידים בין תשובותיהם לבין התשובות שנתקבלו בקבוצות האחרות.
יחידת הלימוד -הקניה
קטע שיעור ,עמוד :153השבר כמנה
בשיעור זה לומדים שאפשר להציג כל שבר כתוצאת פעולת חילוק ,כלומר כמנה .בשיטה זו
למונה יש תפקיד של מחולק ,למכנה יש תפקיד של מחלק ,וקו השבר מייצג את סימן החילוק ).(:
משימות מס' :2 - 1משימות יישום הפוכות.
משימה מס' :3התלמידים לייצג כל אחד מהתרגילים בצורה גרפית.
משימה מס' :4התלמידים נדרשים לכתוב תרגיל מתאים ולצבוע חלק לפי הנתונים.
קטע שיעור ,עמוד :154השבר כמנה )המשך(
בקטע שיעור זה לומדים את אחת הדרכים לחלק כמה שלמים -ולא רק שלם אחד -במספר
2
טבעי אחר .בדוגמה שבשיעור מחלקים 2ל ,3 -ומקבלים .
3
משימה מס' :5התלמידים נדרשים לחלק את העוגות בעזרת תרגיל מתאים כמו בדוגמה.
משימות מס' :7 - 6חיזוק ההבנה של השוויון המספרי בין שבר לבין חילוק.
קטע שיעור ,עמוד :155השבר כמנה )המשך(
גם כאן לומדים שיטה לחלק כמה שלמים במספר טבעי אחר ,אך הפעם התוצאה היא מספר
מעורב ,כלומר מספר גדול משלם .לפחות בהתחלה חשוב לייצג את הפתרון.
משימה מס' :8א( חשוב לדון באופן קבלת התשובה .ידיעת סדר הגודל של התשובה )יותר
מפיתה כי יש יותר פיתות מחברים( היא מרכיב חשוב בפתרון בעיות.
משימה מס' :9התאמה בין ייצוגים שונים של אותו מספר :כשבר ,כמנה של תרגיל חילוק
12
2
וכמספר מעורב.( = 12 : 5 = 2 ) .
5
5
משימה מס' :10התאמת תרגיל חילוק ושבר לייצוג גרפי.
משימה מס' :11פתרון תרגילי חילוק שתוצאתם שבר או מספר מעורב.
משימה מס' :12שאלה מילולית .על התלמידים לכתוב תרגיל חילוק שמנתו שווה למספר
מעורב.
5
1
1
התרגיל המתאים לפתרון הוא 5 :2 = = 2התשובה:כל ילדה קיבלה 2שקלים.
2
2
2
72
משימה מס' :13במשימה זו נדרשת כתיבה של שאלה מילולית המתאימה לתרגיל הנתון.
פעילות זו מעודדת יצירתיות ומקוריות .רצוי לעודד את התלמידים לכתוב כמה שאלות
מילוליות המתאימות לתרגיל.
משימה מס' :14דונו באופן חלוקת שתי העוגות לשלושת החברים .מומלץ לשאול את
התלמידים איך הם היו ממליצים לחלק את העוגות .לאחר מכן הראו להם את הדרך המוצעת
1
בספר .כל ילד קיבל עוגה.
3
משימה מס' :15על התלמידים לחלק שלוש עוגות לארבעה תלמידים בשתי דרכים שונות .כל
3
ילד יקבל מהעוגה.
4
להלן הצעות שונות לחלוקה:
דרך א' :מחלקים כל עוגה לארבעה חלקים שווים .כל ילד יקבל חתיכה מכל עוגה.
ד
ג
ב
א
ב
א
ד
ג
ד
ג
ב
א
דרך ב' :מחלקים כל עוגה לארבעה חלקים שווים .סה"כ יש 12חלקים .כל ילד יקבל שלושה
חלקים כמודגם להלן:
א
א
ב
א
ב
ג
ב
ג
ד
ג
ד
ד
משימה מס' :16התלמידים נדרשים לייצג על ציר המספרים כל אחד מהשברים הגדולים מ.1 -
זוהי דרך נוספת להראות את הפיכת השבר הגדול מ 1 -למספר מעורב.
קטע שיעור ,עמוד :157שבר ומספר שלם
גם מספר שלם כלשהו אפשר להציג כשבר וכתוצאה של פעולת חילוק .כעת לומדים לעשות
זאת.
משימה מס' :17משימת יישום .מומלץ לבקש מהתלמידים לבטא בעל-פה את השוויון" :חמש
עשרה חלקי שלוש שווה לחמישה עשר שלישים ושווה לחמש".
משימות מס' :18התלמידים נדרשים למצוא את המונה בשבר ,כך שהשבר יהיה שווה למספר
הנתון .כדי לעשות זאת צריך לכפול את המכנה הנתון במספר השלם.
20 28 32 400
דוגמה:
= = = =4
5
7
4 100
משימה מס' :19התלמידים נדרשים למצוא את המכנה בשבר ,כך שהשבר יהיה שווה למספר
הנתון .כדי לעשות זאת צריך לחלק את המונה הנתון במספר השלם.
9 12 15 21
= = = = .3
דוגמה:
3 4 5 7
73
משימה מס' :20על התלמידים למצוא את המונה או את המכנה בשבר בהתאם למספרים
24 16 40 48
= = =8
=
הנדרשים .דוגמה:
3
2
5
6
משימה מס' :21במשימה נדרש חשיבה הפוכה .בשתים עשרה עוגות יש 48רבעים ,לכן
השתתפו במסיבה 48אנשים.
קטע שיעור ,עמוד :158השבר כמנה )הפיכת שבר גדול מ 1 -למספר מעורב(
גם כאן לומדים לפתור שאלות מילוליות בחילוק ,והתוצאה היא מספר מעורב ,אך המספרים
גדלים.
משימה מס' :22התלמידים יציגו את הנתונים בצורה גרפית ויכתבו תרגיל מתאים.
משימה מס' :23משימת יישום הדומה למשימה .11
משימה מס' :24במשימה זו הופכים שבר גדול מ 1 -למספר מעורב.
קטע שיעור ,עמוד :159הפיכת מספר מעורב לשבר
בשיעור זה לומדים להפוך מספר מעורב לשבר גדול מ .1 -אפשר ללוות את ההסבר בציורים
מתאימים כמו בקטע השיעור הקודם.
משימה מס' :25משימת יישום .התלמידים יכולים לצייר לפי צורך.
משימה מס' :26דונו בכיתה בייצוג של שני הילדים .שני הייצוגים נכונים .בייצוג של יובל
9
1
רואים את הקשר בין השבר הגדול מ 1 -לבין המספר המעורב השווה לו. = 2 .
4
4
משימה מס' :27התלמידים נדרשים לסרטט שני קטעים שאורכם 4ס"מ .על קטע אחד יש
2
לייצג את המספר המעורב , 3ואילו על הקטע האחר יש לייצג את השבר השווה למספר
5
17
.
המעורב הנתון ,כלומר לייצג את השבר
5
2 17
= .3
השוויון המתאים למשימה זו הוא
5 5
משימה מס' :28משימת ישום.
קטע שיעור ,עמוד :160שאלות מילוליות בשברים
שיעור זה חשוב בעיקר לפיתוח ההבנה המספרית .על-פי המחקר ,רבים מתלמידי כיתה ה' אינם
שמים לב למשמעות התשובה בשאלות מילוליות .הם מבצעים פעולות נכונות הנדרשות לפתרון
הבעיה ,אך רושמים את התשובה ללא שום תלות בהקשר .לדוגמה ,הם יכולים לקבל כתשובה
נכונה שני אוטובוסים וחצי או שליש תלמיד וכדומה .בשיעור זה לומדים להתייחס להקשר
להגיע לפיו לתשובה הנכונה .ההתייחסות למשמעות התוצאה חשובה בכל בעיה מילולית.
משימה מס' :29משימה שנדרש בה היגיון .נדרשות ארבע תבניות .התבנית האחרונה אינה
מלאה.
74
משימה מס' :30מומלץ לעודד את התלמידים לחבר בעיה משלהם ,המתאימה לכל סוגי
השאלות המובאות במשימה.
משימה מס' :31דונו במקרים שבהם החלוקה אפשרית מבחינה מעשית ומציאותית ,ובמקרים
שאין אפשרות חלוקה .בשאלה זו מדובר בחלוקת 33שקים של קמח בין ארבעה ָלקוחות.
מבחינה מעשית ,אפשר לחלק שק של קמח לארבעה חלקים ,וכל אחד יקבל רבע שק ,נוסף
שמונת השקים שקיבל .יש לזה גם פתרון מעשי – נותנים לכל לקוח אריזה לרבע מכמות הקמח.
במקרה של תקליטורים ,לדוגמה ,אי-אפשר לחלק תקליטור לארבעה חלקים .לכן אילו היו
מחלקים תקליטורים ,התשובה הייתה :כל אחד יקבל שמונה תקליטורים וייוותר תקליטור
אחד.
משימה מס' :34 - 32שאלות מילוליות .התלמידים נדרשים להסיק מסקנות מספריות מתוך
הנתונים.
דוגמה" :משימה מס' 32
ב( המכנה של השבר הוא ,4ולכן השלם מחולק ל 4 -קבוצות.
א( השלם הוא 12ילדים.
1
ג( כל קבוצה היא מהשלם ,והיא מכילה 3ילדים.
4
ד( המונה של השבר המייצג את הבנים הוא .3בסך הכול יש 9בנים3 × 3 = 9 .
3
לכן מ 12 -ילדים הם 9בנים .תשובה :בכיתה יש 9בנים.
4
קטע שיעור ,עמוד :162השוואת שברים ל1 -
אפשר לחלק כל מספר טבעי בכל מספר טבעי אחר .שבר היא תוצאה של מנה .בשיעור מראים
שאפשר לדעת אם המנה גדולה מ 1-או קטנה מ 1-או שווה ל ,1-על-ידי השוואת ערכי המונה
וערכי המכנה .כאשר מרחיבים את תחום המספרים ,יש להסביר כי אפשר לחלק 0במספר
כלשהו ,פרט לעצמו ,אך אי-אפשר לחלק מספר ב.0 -
משימה מס' :35משימת יישום.
משימה מס' :36במשימה זו מחפשים שני מספרים עוקבים שהשבר הנתון נמצא ביניהם.
משימה מס' :37התלמידים נדרשים לסדר את השברים בסדר עולה.
משימה מס' :38התלמידים נדרשים למצוא את הטבלה ולהוסיף שלושה שברים שונים בכל
עמודה .כך תחודד ההבחנה בין סוגי השברים השונים.
קטע שיעור ,עמוד :163שברים על ציר המספרים
בשיעור זה לומדים לסדר את השברים על ציר המספרים.
משימה מס' :39במשימה זו שני צירי מספרים .בציר המספרים הראשון כל קטע יחידה
מחולק לשני חלקים שווים .השברים המיוצגים בציר זה הם בעלי המכנה .2
בציר השני כל קטע יחידה מחולק לחמישה חלקים שווים .השברים המיוצגים בציר זה הם
חמישיות.
משימה מס' :40מיקום השברים על ציר המספרים מאפשר לקבוע בנקל איזה מבין השברים
גדול יותר.
משימה מס' :41משימת יישום לחיזוק ההבנה של מיקום השברים על ציר המספרים.
75
משימה מס' :42על תלמידים למקם את האותיות על ציר המספרים .אם התלמידים
מתקשים ,מומלץ שהם יהפכו תחילה לשברים ורק אח"כ ימקמו את האותיות על ציר
המספרים.
משימה מס' :43משימה מחיי היום-יום .הסרגל כאן מדומה לציר המספרים .בסעיף הרביעי
כל תלמידים נדרשים לבחור שבר כרצונם ולסמנו על הסרגל.
משימה מס' :44על התלמידים לסרטט ציר מספרים ,ועליו לסמן את השברים הנתונים.
קטע שיעור ,עמוד :165כפל וחלק של כמות
כפי שמוסבר ברקע ,הזהות בין "חלק של כמות" לבין פעולת כפל של שבר בכמות היא אחת
מהעובדות החשובות בהבנת השברים .בשיעור זה מוצגת עובדה זו בצורת חזותית.
משימה מס' :45משימת יישום.
משימה מס' :46משימת יישום .בדוגמה מפורטים כל השלבים של התהליך המתואר ברקע.
משימה מס' :47שאלה מילולית העוסקת במציאת חלק של כמות.
3
3 × 90 270
= × 90
=
א( ביום א' השתמשה טלי ב 54 -ברגים= 54 .
5
5
5
1
90
ב( ביום ב' היא השתמשה ב 15 -ברגים× 90 = = 15 .
6
6
ג( בקופסה נותרו 21ברגים90 − ( 54 + 15 ) = 90 − 69 = 21 .
משימה מס' :48שאלה מילולית העוסקת במציאת חלק של כמות.
תשובה :נותרו 34עוגות120 − ( 36 + 50 ) = 120 − 86 = 34 .
משימות מס' :50 - 49משימות תרגול :כפל שלם בשבר .אפשרו לתלמידים לפתור את
התרגילים בדרך שיבחרו.
משימה מס' :51שאלה מילולית .בשאלה זו מוצג השבר במילים ,והתלמידים נדרשים לגלות
את השבר מתוכן השאלה.
משימה מס' :52במשימה זו ישנן שלוש משימות בדרגות קושי שונות ,מהקל אל הקשה.
4
הכוונה היא שבכל מלבן התלמידים יצבעו מסך כל המשבצות שבמלבן.
9
במלבן המחולק ל 9 -משבצות ,על התלמידים לצבוע 4משבצות.
במלבן המחולק ל 18 -משבצות ,על התלמידים לצבוע 8משבצות.
במלבן המחולק ל 27 -משבצות ,על התלמידים לצבוע 12משבצות.
משימה מס' :53התלמידים נדרשים לקבוע מהו הסימון המתאים.
משימה מס' :54שאלה מילולית זו עוסקת במציאת חלק מכמות.
מירב פתרה ביום הראשון 12משימות .ביום השני היא פתרה 24משימות .נותרו לה לפתור עוד
12משימות ,שהן רבע מסך כל המשימות.
76
מה למדנו? עמוד :167סיכום הנלמד
משימה מס' :55משימת סיכום .התלמידים נדרשים לשים לב לאופנים שונים של כתיבת
השבר ולהשוות בניהם.
משימה מס' :56שימו לב ,הציורים הנתונים הם החלק מהשלם כלומר הם מייצגים שבר.
התלמידים צריכים להמשיך את הציור כדי שיהיה שלם.
ממשיכים בתרגול ,עמודים 179 - 168
משימה מס' :1העברה בין שני ייצוגים ,משבר לציור.
משימה מס' :2בסעיף א' -יש לצבוע בהתאם לשבר .בסעיף ב' -יש לכתוב את השבר בהתאם
לחלק הצבוע.
משימה מס' :3על התלמידים לשים לב שהשלם יכול להיות בכל צורה ,ולחלק את השלם לפי
השברים.
משימה מס' :4חזרה על שברים יסודיים.
משימה מס' :5התלמידים נדרשים למצוא לאותו שלם ארבעה שברים יסודיים שונים ולכתוב
בכל מלבן שבר יסודי שונה.
משימה מס' :6על התלמידים לחלק כל שבר לשברים יסודיים.
משימה מס' :7שילוב בין גאומטריה לשברים .השברים הנתונים מיוצגים בריבוע המסורטט
על-ידי התלמידים.
משימה מס' :8במשימה זו מוצגים לתלמידים קטעים באורכים שונים ,ועליהם לשים לב
לגודל של כל קטע ולחלק שקטע מסוים מהווה מקטע אחר.
משימה מס' :9התלמידים נדרשים לבחור כרצונם ארבעה שברים יסודיים שונים המתאימים
למלבנים המוצגים ,ולכתוב את השבר היסודי המתאים.
משימה מס' :10על התלמידים למלא את הטבלה לפי הנתונים.
משימה מס' :11התלמידים נדרשים לחשב חלק מכמות נתונה .הציורים יכולים לעזור להם
להגיע לחישוב.
משימה מס' :12משימה פתוחה .כל שבר שהמונה שלו גדול מ 1 -אפשר לייצג על-ידי סכום של
שברים יסודיים .יש אין-סוף אפשרויות.
משימה מס' :13בשני הסעיפים הראשונים התלמידים נדרשים לצבוע חלקים ,אך בסעיף ג'
עליהם לגלות איזה שטח בסה"כ הם צבעו .בסעיף ד' עליהם לכתוב תרגיל מתאים לשלושת
הסעיפים יחד.
משימה מס' :14התלמידים נדרשים לבצע תרגילי חיבור וחיסור של שברים ולהגיע לשברים
הנתונים .אפשר לחלק את התלמידים לקבוצות ולבקש מכל קבוצה להגיע לתוצאה מסויימת
על-ידי חיבור וחיסור של שברים.
77
משימה מס' :15על התלמידים לפתור תרגילים בעלי מכנה זהה.
2
משימה מס' :16על התלמידים לצבוע מספר צורות שהן
3
מכלל הצורות שבכל סעיף.
משימה מס' :17על התלמידים לצייר שישה עשר עיגולים ולצבוע ארבעה עיגולים שהם רבע
מכלל העיגולים.
כמו-כן עליהם לצייר במחברת שמונה עשר משולשים ולצבוע שלושה משולשים ,שהם שישית
מכלל המשולשים .מספר העיגולים הצבועים גדול ממספר המשולשים הצבועים.
1
1
אפשר לדרוש מהתלמידים לכתוב אי-שוויון מתאים× 16 > × 18 :
6
4
משימה מס' :18חזרה על השבר כשלם.
משימה מס' :19על התלמידים למצוא את המספר החסר .אפשר לבצע זאת על-ידי הכפלה או
להיעזר בציור.
משימה מס' :20התלמידים נדרשים לקבוע אם המשפט נכון או לא-נכון .המליצו לתלמידים
מתקשים להשתמש בציור.
משימה מס' :21בסעיף א' על התלמידים לרשום את השבר המתאים לחלק המלא במבחנות,
ואילו בסעיף ב' עליהם למלא את המבחנות לפי השברים הנתונים.
משימה מס' :22התלמידים מתבקשים לכתוב את התרגיל כשבר ולבצע פעולת חיבור
שתוצאתו תהיה השבר הנתון כשבר מעורב.
משימה מס' :23התלמידים נדרשים לכתוב את התרגיל כשבר ולבצע בו פעולת חיבור
שתוצאתו תהיה שווה לשבר .את השבר יש לפרק ולכתוב כתרגיל שלחיבור מספר השלמים
והשבר הפשוט.
משימה מס' :24חזרה על אופן כתיבת השבר ,וכתיבת תרגיל מתאים לשבר.
משימה מס' :25התלמידים נדרשים להציג את השברים על ציר המספרים ולסמן את השבר.
משימה מס' :26בסעיף א' התלמידים נדרשים למלא את כל שבעת המכלים באופן שווה.
בסעיף ב' עליהם לכתוב את הנתונים מהפנקס כשבר מעורב.
משימה מס' :27על התלמידים למצוא את המנה ואת השארית ולכתוב את מספר הבגטים
הדרושים להכנת הכריכים.
25 24 1
1
דוגמה) :שארית25 :6 = 4( 1
= + =4
6
6 6
6
1
תשובה :להכנת כריכים של טונה נדרשים 4בגטים.
6
משימה מס' :28משימה זו הפוכה מהמשימה הקודמת .כעת על התלמידים למצוא את מספר
הכריכים ,כאשר נתון בכמה בגטים משתמשים לכל סוג כריך .כדי למצוא את מספר הכריכים
יש לכפול ב.6 -
להלן הפתרון המלא של הטבלה:
78
סוג הכריך
גבינה צהובה
טונה
חביתה
ירקות
ריבה
מספר הבגטים
3
2
6
1
4
6
5
3
6
4
2
6
2
5
6
חישוב
2 × 6 + 3 = 15
תשובה
15כריכים
4 × 6 + 1 = 25
25כריכים
3 × 6 + 5 = 23
23כריכים
2 × 6 + 4 = 16
16כריכים
5 × 6 + 2 = 32
32כריכים
משימה מס' :29משימה מילולית מחיי היום-יום.
משימה מס' :30התלמידים נדרשים למצוא את המונה או המכנה החסר בשבר בהתאם לנדרש
מהם .שימו לב ,כי ייתכנו מספר אפשרויות בכל סעיף .עודדו את התלמידים למצוא את רובן.
20 20 20 20
דוגמאות למספרים שלמים:
,
,
,
10 5
4
2
20 20 20 20
,
,
,
דוגמאות למספרים לא-שלמים:
35 40
8
7
משימה מס' :31כעת על התלמידים לשים לב להבדלים הקטנים :האם השבר מיצג מספר גדול
או קטן מ.1-
משימה מס' :32על התלמידים להחליט אם השבר גדול מ ,1 -קטן מ 1 -או שווה ל.1 -
משימה מס' :33משימת יישום .התלמידים נדרשים למצוא את החסר כך שהאי-שוויון יהיה
נכון.
משימה מס' :34משימת יישום .התלמידים צריכים להשלים את ציר המספרים .במשבצות
העליונות יש למלא שברים מעורבים.
משימה מס' :35חידוד ההבחנה בין שבר קטן מ ,1 -שבר השווה ל 1 -ושבר גדול מ.1 -
משימה מס' :36התלמידים צריכים למלא את המשורה לפי השבר הנתון.
משימה מס' :37התלמידים נדרשים לבצע פעולות כפל בשבר הנדרש .בסוף התרגיל עליהם
להסיק מסקנות של שארית בעזרת חישוב.
משימה מס' :38שאלה מילולית העוסקת במציאת חלק מכמות .להלן פתרון השאלה:
למיכל 60בולים מאמריקה 105 ,בולים מאירופה ו 45 -בולים מישראל .למיכל יש 165בולים
מחוץ לארץ.
משימה מס' :39שאלה מילולית העוסקת במציאת חלק של כמות.
2
2 × 9 18
= ×9
א( אלונה מכרה 6עוגות= = 6 .
3
3
3
79
1
ב( נותרה לאלונה
3
מעוגת השוקולד.
שאלות מילוליות ,עמוד 180
משימות מס' :4-1במשימות אלו התלמידים מתרגלים כתיבה נכונה של התוצאה במילים.
חשוב שהתלמידים יכתבו את כל הדרך לפתרון.
משימה מס' :5שאלה מילולית זו עוסקת בחילוק עם שארית .א( בכל שורה עשרה ריבועי
שוקולד.
הודיה אכלה ארבעה ריבועי שוקולד .זוהי השארית המתקבלת מביצוע תרגיל החילוק:
)שארית 54 :5 = 10 ( 4
משימה מס' :6משימה מחיי היום-יום העוסקת בזמן :מספר דקות בשעה או בחלקיה.
בחצי שעה יש 30דקות ובשעה וחצי יש 90דקות.
השבועות בחודש מרס שבו 31ימים ,לעומת
משימה מס' :7משימה זו עוסקת בחישוב מספר ָ
חודש פברואר שבו 28ימים או 29ימים אחת לארבע שנים.
היסטוריה ,עמוד 181
הקשר בין מוזיקה לבין מתמטיקה הוא קשר עתיק יומין .לפי האגדה ,הפילוסוף היווני אפלטון
גילה אותו כשהוא שמע כמה פטישים מכים ביחד ורק במצבים מסוימים הייתה הרמוניה ,אז
הוא גילה כי במצבים אלה יחסי המשקל בין הפטישים מובעים במספרים שלמים .כמעט כל
הצלילים המוזיקליים מבוססים על שברים.
משימות מס' :2-1התלמידים נדרשים למקם את השברים במקום המתאים בקטע.
העשרה ,עמוד 182
משימה מס' :1התלמידים צריכים לשים לב לחלקים .אפשר לחלק את כל השטח לריבועים
שווים וכך להסיק מהו גודל השטח בשברים.
משימה מס' :2משימה זו משלבת בין גאומטריה ושברים.
להלן הדגם של הגן:
אנו שולטים בחומר ,עמוד 183
חזרה על הנושאים :ארבע פעולות חשבון ,השוואה בין ביטויים מספריים ,סדר המספרים,
שאלות מילוליות ,ישרים מאונכים וישרים מקבילים.
80
עמ' 239 - 184
ו .מרובעים
רקע
הפרק הנוכחי הוא הפרק הראשון מבין שני הפרקים העוסקים בנושא מרובעים .בפרק זה
חוזרים על מושגים בסיסיים ,כמו "מאוּנכוּת"" ,מקבילוּת"" ,זוויות" ו"סימטריה" ,ומתמקדים
בתכונות של כל אחד מהמרובעים האלה :מקבילית ,מלבן ,מעוין וריבוע .הפרק השני עוסק
בקשרי ההכלה של משפחת המקביליות ,במרובעים נוספים -הטרפז והדלתון -וכן בקשרי
ההכלה במשפחת המרובעים כולה.
לאורך כל שנות הלימוד בבית הספר עסקו התלמידים במרובעים שונים .בכיתה ד' הם הכירו
את קשרי ההכלה בין הריבוע למלבן ,והם למדו על סוגים נוספים של מרובעים .הדגש הושם על
פיתוח הזיכרון החזותי שלהם ,על המראה החזותי של המרובעים ,על זיהוים ,על בנייתם
מחומרים מוחשיים ועל הכרת שמותיהם )לא זכירת השמות( .התלמידים לא חקרו את
תכונותיהם של המרובעים באופן שיטתי ולא עסקו בקשרי ההכלה בין מרובעים שונים )פרט
לקשר בין ריבוע לבין מלבן(.
הנוכחי היא לחקור בעיון את כל המרובעים השייכים למשפחת
ְ
המטרה העיקרית של הפרק
המקביליות -המקבילית עצמה וכן המקביליות המיוחדות -לנתח את התכונות של הצלעות,
של הזוויות ושל האלכסונים במרובעים הללו ,לחקור את סוגי הסימטריה שיש לכל סוג מרובע
וכך ולהכין את התלמידים להפנמה של קשרי ההכלה בין המרובעים השונים.
אמנם הדעה הרווחת היא שהנושא קל ללימוד ,אך הדבר אינו כך .תלמידים מתקשים בנושא
בעיקר בגלל ריבוי המושגים הנלמדים וכמות המידע שעליהם ללמוד ולהבין.
ישנם תלמידים שעדיין אינם "בשלים" לנימוקים פורמליים ,ולכן חשוב להצטייד באביזרים
מסוגים שונים ,המתאימים לנושא.
כידוע ,אפשר לבחור באחת מהתכונות של כל אחד מהמרובעים כהגדרה ,והתכונות האחרות
נובעות מההגדרה והופכות להיות מאפיינים של המרובע ,ואת המאפיינים האלה יש להוכיח
)בהוכחות פורמליות יעסקו התלמידים בכיתות גבוהות יותר (.בכיתה ה' רוב הנימוקים הם
עדיין ברמה קונקרטית ומוחשית.
הוחלט להשתמש במערכת ההגדרות שבספר מהשיקולים האלה:
א .כידוע ,אפשר להגדיר כל סוג של מרובעים בהגדרות שונות הקשורות זו בזו .דוגמה" :מלבן
הוא מקבילית בעלת זווית ישרה" .כאן נבחרה מערכת של הגדרות שאינן קשורות זו בזו.
כלומר בהגדרה של מרובע מסוים לא מוזכרים קשרי ההכלה בינו לבין מרובעים אחרים.
דוגמה" :מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות".
ב .ההגדרות שנבחרו קלות להבנה בקרב התלמידים הצעירים.
ג .אפשר להדגים את כל ההגדרות ולבדוק אם התכונה שצוינה בהגדרה מתקיימת במרובע.
לדוגמה ,המקבילית מוגדרת כך" :מרובע שכל שתי צלעות נגדיות שלו שוות זו לזו" .קל
לבנות מקבילית לפי הגדרה זו ,לדוגמה ,בעזרת ארבע רצועות או ארבעה קשים בשני גדלים
שונים .כמו-כן אפשר לבדוק בקלות אם מרובע הוא מקבילית ,על-ידי השוואה בין אורכי
הצלעות הנגדיות של המרובע .מיומנות זו נרכשה כבר בכיתות הקודמות .לו נבחרה
ההגדרה של המקבילית" :מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות מקבילות" ,היה קשה יותר
לבנות אותה )כיצד לבנות שני קטעים מקבילים?(.
ראוי לציין ,שפרק זה בנוי בצורה של חקירה .תחילה התלמידים חוקרים בעצמם את התכונות
של המרובע ,ובשיעור ההקניה הם נחשפים לתכונות המרובע .לאחר השיעור התלמידים
מתרגלים ומיישמים את תכונות המרובע שהכירו.
הפרק מתאים לתכנית הלימודים .מומלץ להקדיש לו כ 6 -שעות לימוד.
מושגים
מצולע ,מרובע ,קדקוד ,צלע ,זווית במצולע ,אלכסון ,מאונכוּת ,מקבילוּת ,שוויון צלעות ,צלעות
סמוכות ,צלעות נגדיות ,שוויון זוויות ,זווית ישרה ,זוויות נגדיות ,זוויות סמוכות ,קדקודים
סמוכים ,קדקודים נגדיים ,מיון ,תכונה ,הגדרה ,מרובע מיוחד ,מרובע כלשהו ,מקבילית,
81
דלתון ,טרפז ,מלבן ,מעוין ,ריבוע ,סימטריה שיקופית ,קו סימטריה ,סימטריה סיבובית ,מרכז
סימטריה ,זווית הסיבוב.
מטרות
התלמידים ידעו:
א .לזהות את הקדקודים ,את הצלעות ,את הזוויות ואת האלכסונים של מרובע נתון;
ב .לסמן מרובע על-ידי אותיות לועזיות ולקרוא את שמו באותיות;
ג .לזהות מרובעים מיוחדים ומרובעים לא-מיוחדים ולשיים אותם;
ד .למיין מרובעים לסוגים שונים לפי תכונה מסוימת;
ה .להגדיר בהגדרה מילולית את המרובעים האלה :מקבילית ,מלבן ,מעוין וריבוע;
ו .לסרטט מרובעים ללא אילוצים ולפי אילוצים נתונים;
ז .לזהות מרובעים בסרטוט מורכב;
ח .לתאר תכונות של צלעות ,של זוויות ושל אלכסונים במרובע;
ט .לבדוק אם מרובע הוא סימטרי ואיזה סוג סימטריה יש לו;
י .למצוא את קווי הסימטריה ואת מרכז הסיבוב של מרובעים שיש בהם סימטריה מתאימה.
אביזרים ואמצעי המחשה
גפרורים ,קיסמים ,מרובעים מסורטטים גזורים ,מרובעים מוכנים ,מד-זווית רגיל ,סרגל,
עיפרון ,סרטוטים של מרובעים שונים ,סרטוטים בנספח לפרק ,משולשים חופפים מוכנים או
גזורים מסוגים שונים ,דף פרגמנט )או דף שקוף אחר(.
אביזרי "חשבון :"10רצועות ,מד-זווית עגול.
הטמעה
א .חזרה על המצולעים ועל המושגים הקשורים בהם ,כגון "קדקוד"" ,צלע"" ,זווית",
"אלכסון".
מומלץ לעבוד בקבוצות או בזוגות .אפשר לבצע את הפעילות בשלבים בשיעורים השונים.
מסרטטים על הלוח סרטוטים שונים ,וביניהם קווים פתוחים וסגורים) .אפשר לחלק
לתלמידים דפים שבהם הסרטוטים (.בשלב הראשון התלמידים מתבקשים לזהות את
המצולעים מבין הסרטוטים ולנמק מדוע כל סרטוט הוא מצולע או אינו מצולע.
לפניכם דוגמאות לצורות שונות) .שימו לב שאחת ה"צורות" איננה מצולע ,אלא סרטוט של
קובייה(.
הציורים המוגדלים נמצאים בנספח למדריך זה.
בשלב השני על התלמידים לבחור מצולע אחד ולסמן בו את הקדקודים ,לתת לו שם )מרובע,
מחומש וכדומה( ,לזהות בו צלעות וזוויות ולסרטט אלכסון אחד לפחות לפי בחירתם.
82
דנים עם התלמידים במיקום האלכסונים במצולע .מבקשים לצייר אלכסון במצולע לא-קמור
)לא מזכירים את המושג ,כי התלמידים אינם מכירים אותו(.
להלן דוגמה לשני מצולעים שאחד מאלכסוניהם נמצא מחוץ למצולע.
ב .חזרה על מאונכוּת ועל מקבילוּת.
התלמידים מתבקשים לזהות זוג ישרים שיש ביניהם זווית ישרה ,ולהסביר כיצד מוודאים
שהזווית ישרה .הבדיקה נעשית על-ידי משולש סרטוט או על-ידי כל זווית ישרה אחרת כמו
זווית של דף או זווית שמתקבלת מקיפולי נייר .שואלים את התלמידים כיצד נקראים ישרים
אלו .אם לא מתקבלת התשובה "ישרים מאונכים" ,מזכירים לתלמידים מושג זה ומשוחחים
ִאתם על משמעותו .לאחר מכן מבקשים מהתלמידים למצוא ישרים מקבילים מבין ישרים
מסורטטים .דנים בדרכים לבדיקת המקבילוּת של הישרים :אפשר להיעזר בהזזה ,אפשר
לקחת שני סרגלים גדולים ולהניח אותם לאורך הישרים הנבדקים ולראות בעין אם הם
מקבילים ,או לראות אם הם מאונכים לישר אחד אחר )דרך זו היא ברמה גבוהה יותר( .להלן
דוגמה לסרטוט.
ציור מוגדל נמצא בנספח למדריך זה.
הערה :את הישרים אפשר לסמן באות לועזית קטנה או לצבוע בצבעים שונים.
ג .חזרה על שיקוף ,על סיבוב ,על סימטריה שיקופית ועל סימטריה סיבובית.
על התלמידים לסרטט שיקוף של צורות נתונות ביחס לישר נתון; לסובב צורה נתונה בסיבוב
של 1800או של 900סביב נקודת סיבוב נתונה; למצוא קווי סימטריה לצורה נתונה )סימטריה
שיקופית( ולמצוא את נקודת הסיבוב )מרכז הסיבוב( של צורה נתונה ,כך שבסיבוב הקטן
מסיבוב שלם הצורה מתלכדת עם עצמה .מטרת התרגיל היא להתכונן לחקירת סימטריה
במרובעים .רצוי לעבוד בדפים ,אך אפשר גם לבצע מספר משימות על הלוח.
דוגמאות לצורות שצריך לסרטט שיקוף שלהן או לסובב אותן:
קו השיקוף
נקודת
הסיבוב
תשובות:
סיבוב ב1800 -
סיבוב ב900 -
לפי כיוון השעון
דוגמאות לצורות
סימטריות:
83
שיקוף
סימטריה סיבובית,
– Oמרכז הסימטריה
סימטריה שיקופית,
שני קווי סימטריה
סימטריה שיקופית,
קו סימטריה אחד
O
סימטריה שיקופית,
חמישה קווי סימטריה.
סימטריה סיבובית ,נקודת חיתוך של
קווי הסימטריה היא מרכז הסימטריה.
סימטריה שיקופית,
אין-סוף קווי סימטריה.
סימטריה סיבובית ,נקודת חיתוך של
קווי הסימטריה היא מרכז הסימטריה.
פעילויות גילוי
פעילות א :מיון מרובעים) .פעילות קבוצתית(
התלמידים מקבלים כחמישה עשר מרובעים שונים )לפחות שניים מכל סוג( :מרובעים סתמיים
)קמורים ולא-קמורים( ,מקביליות ,ריבועים ,מלבנים ,מעוינים ,טרפזים ,דלתונים )קמורים
ולא-קמורים( .אין אומרים את שמות המרובעים בתחילת הפעילות .התלמידים מתבקשים
למיין את המרובעים לשתי קבוצות ולתאר את הקריטריון )תכונה( למיון.
מטרת הפעילות היא להגיע למיון מרובעים לסוגים שונים ולהתכונן להבנת קשרי ההכלה בין
סוגים שונים של מרובעים.
תחילה ייעשה המיון באופן חופשי .סביר להניח שיהיו תלמידים שיחלקו את המרובעים לפי סוג
מיוחד של מרובעים לעומת כל יתר המרובעים .דוגמה לתכונה זו היא "שני זוגות של צלעות
נגדיות שוות" .חשוב לציין שבקבוצת המקביליות יהיו גם מעוינים ,מלבנים וריבועים ,כך שכבר
בשלב זה יוכלו התלמידים לראות את כל משפחת המקביליות ולקבל מושג ראשוני על קשרי
ההכלה בין המרובעים.
לפיכך חשוב להקפיד שכל המרובעים ימוינו באופן נכון ,משום שאם למשל ,מלבן לא יושם
בקבוצת המקביליות ,התלמידים לא יקשרו אותו לתכונה שהוזכרה .אם התלמידים לא בוחרים
אף תכונה שמביאה למיון הרצוי ,יש לעזור להם על-ידי שאלות מהסוג" :האם תוכלו למצוא
תכונה אחרת למיון?"" ,האם תוכלו למצוא תכונה של צלעות למיון של המרובעים?"" ,אילו
תכונות של צלעות אתם מכירים?"" ,אילו תכונות של זוויות אתם מכירים?" .אם התלמידים
עדיין אינם מגיעים למיון הרצוי ,אפשר להדגים להם תכונה ולבקש למיין את המרובעים לפי
תכונה זו.
שימו לב לתלמידים צריכים להיות כלים לבדיקת התכונה .כלומר צלעות משווים בעזרת רצועה
)לא חייבים למדוד בדיוק( או בעזרת סרגל )אם רוצים למדוד( .צריך לבדוק כל מרובע )אם יש
ספק( ,אך לעתים אפשר להסתפק בטביעת עין )לדוגמה ,ברור שהצלעות אינן שוות( .זווית ישרה
בודקים על-ידי זווית ישרה כלשהי .שוויון זוויות אפשר לבדוק על-ידי העתקת זווית אחת על דף
שקוף או על-ידי מדידה במד-זווית.
להלן דוגמאות למרובעים ולקריטריונים למיון לקבוצות מרובעים מיוחדים.
הציורים המוגדלים נמצאים בנספח למדריך זה.
84
קריטריונים )תכונות( למיון:
א" .שתי צלעות מקבילות" :בקבוצה ללא שם מיוחד יהיו טרפזים ,מקביליות ,מלבנים,
ריבועים ,מעוינים; בקבוצה השנייה יהיו מרובעים סתמיים ודלתונים לא-מיוחדים.
ב" .שני זוגות של צלעות מקבילות" :בקבוצה אחת יהיו מקביליות ,כולל מלבנים ,ריבועים
ומעוינים; בקבוצה השנייה יהיו מרובעים סתמיים ,דלתונים לא-מיוחדים וטרפזים.
ג" .שני זוגות של צלעות נגדיות שוות" :בקבוצה אחת יהיו מקביליות ,כולל מלבנים ,ריבועים
ומעוינים; בקבוצה השנייה יהיו מרובעים סתמיים ,דלתונים לא-מיוחדים וטרפזים .מעניין
שבמיון לפי קריטריונים שונים בסעיפים ב' ו -ג' מקבלים אותן הקבוצות.
ד" .כל הצלעות שוות זו לזו" :בקבוצה אחת יהיו מעוינים ,כולל ריבועים; בקבוצה השנייה
יהיו מרובעים סתמיים ,דלתונים לא-מיוחדים ,טרפזים ,מקביליות לא-מיוחדות ומלבנים
לא-מיוחדים.
ה" .כל הזוויות ישרות" :בקבוצה אחת יהיו מלבנים ,כולל ריבועים; בקבוצה השנייה יהיו
מרובעים סתמיים ,דלתונים לא-מיוחדים ,טרפזים ,מקביליות לא-מיוחדות ומעוינים לא-
מיוחדים.
ו" .למרובע יש רק קו סימטריה אחד" :בקבוצה אחת יהיו דלתונים לא-מיוחדים וטרפזים
שווי-שוקיים; בקבוצה השנייה יהיו מרובעים סתמיים ,מקביליות ,טרפזים שאינם שווי-
שוקיים ,מעוינים ,מלבנים וריבועים.
ז" .למרובע יש סימטריה סיבובית" :בקבוצה אחת יהיו מקביליות ,כולל מלבנים ,מעוינים
וריבועים; בקבוצה השנייה יהיו מרובעים סתמיים ,דלתונים לא-מיוחדים וטרפזים .כדאי
להשוות בין הקבוצות ב' ו -ג'(.
הערות:
• סביר להניח שרוב התלמידים לא יבחרו בתכונות ו' ו-ז' למיון.
• אפשר להסתפק בחלק מהמיונים .מה שחשוב הוא שהתלמידים יבינו שבחירת תכונה
מייחדת חלק מהמרובעים ,וכך מתקבלים מרובעים מיוחדים .פעילות זו תעזור גם בהבנת
קשרי ההכלה בהמשך.
פעילות ב :חקירת סימטריה במרובעים.
התלמידים מקבלים מרובעים גזורים ומתבקשים לבדוק אם כל מרובע הוא סימטרי .בודקים
סימטריה שיקופית על-ידי קיפול .אם שני חלקי המרובע שהתקבלו בקיפול מתלכדים ,למרובע
יש סימטריה שיקופית ,וקו הקיפול הוא קו הסימטריה.
להלן המרובעים שיש להם סימטריה שיקופית ,ומספר קווי הסימטריה שלהם.
הערה :קו סימטריה הוא ישר.
דלתון -קו
סימטריה אחד
מעוין -שני
קווי סימטריה
ריבוע -ארבעה
קווי סימטריה
טרפז שווה-שוקיים -
קו סימטריה אחד
85
מלבן -שני
קווי סימטריה
כדי לבדוק אם קימת סימטריה סיבובית ,מעתיקים את המרובע הנבדק על דף שקוף ומסובבים
את ההעתק סביב נקודת )מרכז( הסיבוב .לצורה יש סימטריה סיבובית אם במהלך סיבוב שלם
ההעתק מתלכד עם המקור לפחות פעם אחת ,פרט לסיבוב שלם ופרט לסיבוב של .00
להלן המרובעים שיש להם סימטריה סיבובית ,וזוויות הסיבוב האפשריות ,פרט לסיבוב שלם.
מקבילית
)סיבוב של (1800
מעוין
)סיבוב של (1800
מלבן
)סיבוב של (1800
ריבוע )סיבובים של ,900
של 1800ושל (2700
שימו לב :מרכז הסימטריה של המרובע הוא נקודת החיתוך של אלכסוניו .אם לצורה יש
סימטריה שיקופית ,מרכז הסימטריה הסיבובית הוא נקודת החיתוך של קווי הסימטריה.
פעילות ג :מרובעים ואלכסוניהם.
התלמידים מקבלים דף שמצוירים בו מרובעים שונים .התלמידים מתבקשים לסרטט ולתאר
את האלכסונים של כל מרובע :שווים או אינם שווים באורכם ,מאונכים או אינם מאונכים זה
לזה ,חוצים זה את זה ,רק אחד חוצה את האחר ,חוצים את זוויות המרובע.
מותר להשתמש בכלים שונים להשוואה בין האורכים או בין הזוויות ,כגון במשולש סרטוט
)לבדיקת זווית ישרה( או בכל זווית ישרה אחרת ,בסרגל או ברצועה וכן במד-זווית.
בתום הפעילות דנים בדרכי ההשוואה ובמסקנות של התלמידים .דיון נוסף הוא במושג
המתמטי "חוצה" ובשימושו בחיי היום-יום .יש להדגיש שבמתמטיקה )בניגוד לחיי היום-יום(
המילה "חוצים" מתייחסת לשני חלקים שווים.
לפניכם דוגמאות למרובעים.
הציורים מוגדלים נמצאים בנספח למדריך זה.
שימו לב שהאלכסונים במרובע זה
מאונכים זה לזה ושווים זה לזה ,והוא
אינו מרובע מיוחד .חשוב להראות
לתלמידים את הדוגמה.
פעילות ד :מרובעים ואלכסוניהם )פעילות הפוכה לפעילות הקודמת(.
התלמידים מקבלים דף שמסורטטים בו זוגות של קטעים שהם אלכסונים של מרובע .עליהם
לתאר את זוגות הקטעים הנתונים )האלכסונים( :שווים או אינם שווים באורכם ,מאונכים או
אינם מאונכים זה לזה ,חוצים זה את זה או רק אחד חוצה את האחר .כמו-כן עליהם לסרטט
מרובע מתאים ולתאר את סוגו )מקבילית ,דלתון וכדומה(.
להלן דוגמאות לזוגות של קטעים) .חשוב להקפיד על מיקום הקטעים במישור ,וחשוב לסרטט
אפשרויות שונות ככל האפשר(.
הציורים נמצאים בהגדלה
בנספח למדריך זה.
86
השיעור בספר הלימוד
האם אנו מוכנים? – תשובות:
.4ג;
.3ג;
.1א; .2ג;
.6ב.
.5ב;
לעלות על הגל
קטע שיעור ,עמוד :185ישרים מאונכים
בשיעור זה חוזרים על המושג "ישרים מאונכים"" :ישרים הנחתכים בזווית של ."900חשוב
לחזור על סימון המאונכות בסרטוט ובכתיבה ולהראות לתלמידים שימושים נוספים למושג
ֶכת לקרן.
"מאונכוּת" :קטע מאונך לקטע ,קטע מאונך לישר ,קטע מאונך לקרן ,קרן מאונ ֶ
בספרות מוגדרים קטעים מאונכים באופנים שונים .ב"חשבון "10קטעים מאונכים הם כל שני
קטעים הנמצאים על ישרים מאונכים ,גם אם הקטעים אינם נחתכים .כך יימנעו בעיות
בהגדרת המושג "גובה במשולש קהה-זווית" .באופן דומה מגדירים גם קרן וקטע מאונכים
וכדומה .הזכירו לתלמידים כיצד בודקים מאונכוּת )בעזרת זווית ישרה( .בעזרת משולש סרטוט
בונים גם ישרים מאונכים .הקפידו על סרטוט נכון של ישרים ושל קרניים .ב"חשבון "10מקובל
לסרטט ישר בקווקו בשני קצותיו וקרן בקווקו בקצה אחד כדי להדגיש את האין-סופיות של
הישר משני צדדיו ושל הקרן בצד אחד.
משימה מס' :1בסעיפים א' ו -ד' הישרים מאונכים זה לזה.
משימה מס' :2משימת יישום .הישרים המאונכים לישר הנתון מופיעים מימין לשמאל בסדר
הבא :הראשון ,השלישי ,החמישי ,השמיני והעשירי.
משימה מס' :3עודדו את התלמידים להשתמש בכלי סרטוט ,לדוגמה במשולש סרטוט.
משימה מס' :4זוגות של קטעים מאונכים :א' ו -ג' ,ה' ו -ו' ,ו' ו -ז' ,ח' ו -ה' )נוסף על הדוגמה(.
משימה מס' :5משימת יישום .גם כאן הקפידו על שימוש בכלי סרטוט לסרטוט קטעים ,כי
קטע הוא חלק של ישר ,ולא של קו אחר כלשהו.
משימה מס' :6יש לעודד את התלמידים להשתמש במשולש סרטוט.
משימה מס' :7במשימה הקודמת קיימות אין-סוף אפשרויות .כאשר קובעים נקודה מחוץ
לישר ,נותרת רק אפשרות אחת .תכונה זו נובעת מאקסיומת אוקלידס.
משימה מס' :8זיהוי זוויות ישרות .התלמידים צריכים להבין שהסימון הוא תוספת לזווית,
ולא חלק ממנה .יש שני זוגות של צלעות מאונכות DC ⊥CB :ו.AB ⊥CB -
משימה מס' :9הרחבה של השיעור .גם קרן יכולה להיות מאונכות גם לקרן אחרת .יש אין-
סוף קרניים מאונכות לקרן נתונה.
קטע שיעור ,עמוד :187ישרים מקבילים
בשיעור זה חוזרים על המושג "ישרים מקבילים" .הזכירו לתלמידים דרכים לבדיקת מקבילוּת
של ישרים :בעזרת הזזה ,בעזרת קטע המאונך לשני הישרים וגם בטביעת עין .כמו במאונכוּת
גם במקבילוּת מרחיבים את התחום :ישר מקביל לקטע ,קטע מקביל לקטע ,קטע מקביל לקרן,
קרן מקבילה לקרן .די שקווים אלו יהיו על ישרים מקבילים.
משימה מס' :10בסעיפים ב' ו -ד' הישרים הם מקבילים.
87
משימה מס' :11לסרטוט ישרים מקבילים אפשר להיעזר ברשתות הנתונות ובהזזה.
משימה מס' :12אפשר לציין מקבילוּת בעזרת הסימן || .שימו לב :מאונכוּת יכולה להתקיים
בין שני ישרים בלבד או בין שני קטעים בלבד וכדומה .לעומת זאת מקבילוּת יכולה להתקיים
בין יותר משני ישרים או קטעים וכדומה .לדוגמה ,בתרגיל זה שתי קבוצות של קטעים
המקבילים זה לזה :ב || ג || ה || ז; א || ד || ו || ח.
משימות מס' :14-13פיתוח מיומנות סרטוט.
קטע שיעור ,עמוד :189מרובע
בשיעור זה חוזרים על המושג "מרובע" ועל המושגים הקשורים לו" :קדקודים"" ,זוויות"
ו"צלעות" .התלמידים נוטים לחשוב בטעות שקדקודים הקרובים זה לזה הם קדקודים
סמוכים ,ואלה שרחוקים זה מזה הם נגדיים .הדבר אינו תמיד נכון ,כי רק קדקודים שהם
הקצוות של אותה צלע ,הם קדקודים סמוכים .דוגמה :קדקודים Bו D -הם קדקודים נגדיים,
B
ואילו Bו C -הם קדקודים סמוכיםC .
D
A
משימות מס' :17 - 15משימות יישום.
משימה מס' :18משימת יישום .ב( במרובע כל קדקוד סמוך לשני קדקודים ,וכל זווית סמוכה
לשתי זוויות ,לכן יש שני פתרונות לכל שאלה :הזוויות Aו C -סמוכות לזווית ,Bוהצלעות
BCו AD-סמוכות לצלע ABד( במרובע קיימים ארבעה זוגות של צלעות סמוכות.
משימה מס' :19אפשר לסרטט אין-סוף מרובעים כאשר צלע אחת נתונה.
משימה מס' :20זיהוי קדקודים סמוכים ונגדיים ,זוויות סמוכות ונגדיות וצלעות סמוכות
ונגדיות .יש להזכיר ש"נגדיות" קיימת רק במרובעים.
משימה מס' :21הטעות הנפוצה היא לומר שיש רק שני זוגות של זוויות סמוכות או של צלעות
סמוכות ,בשעה שיש ארבעה זוגות כאלה לזוויות ,לקדקודים ולצלעות.
משימה מס' :22פיתוח מיומנות סרטוט לפי תנאים.
ב( לפי התנאים יש שתי אפשרויות לכל אחת מהנקודות C, F, Aו.D -
C D
FA
E
F
D
A
F
A
E
B
C
DC
B
קטע שיעור ,עמוד :192זוויות במרובע
בשיעור זה חוזרים על המושג "זווית במרובע" ,שהוא מקרה פרטי של המושג "זווית במצולע",
ועל סוגיהן האפשריים של הזוויות במרובע.
משימה מס' :23בסעיף א' יכול להיות מרובע שיש לו שתיים או ארבע זוויות ישרות ,כי אם
במרובע יש שלוש זוויות ישרות ,גם הזווית הרביעית היא ישרה ,ולכן המרובע הוא מלבן או
88
ריבוע .בסעיף ב' ייתכן מרובע שיש בו שתי זוויות ישרות בלבד ,ובזה סעיף זה שונה מהסעיף
הקודם.
משימה מס' :24משימת יישום .התלמידים יכתבו במשבצות את שמות הזוויות המתאימות
לכותרת.
משימה מס' :26פיתוח מיומנות סרטוט באילוץ אחד .יש אין-סוף אפשרויות.
קטע שיעור ,עמוד :193אלכסונים במרובע
בשיעור זה חוזרים על המושג "אלכסון" .הראו לתלמידים שהאלכסון של מרובע יכול להיות
בתוך המרובע או מחוצה לו .הדגישו והדגימו גם מקרים של אלכסון בכיוון שאינו מתאים
לאינטואיציות :מאוזן או מאונך ביחס לשולי הדף .הזכירו לתלמידים שהמושג "אלכסון"
במתמטיקה שונה מהמושג "אלכסון" בחיי היום-יום.
משימה מס' :27משימת יישום .חשוב לוודא שבכל מרובע יסורטטו שני אלכסונים.
משימה מס' :28משימת יישום .דונו עם התלמידים באלכסון במישור :הוא קטע המחבר בין
שני הקדקודים הנגדיים של המרובע ,והוא יכול להיות בכיוון "מאונך"" ,מאוזן" או "נטוי".
קטע שיעור ,עמוד :194סימטריה
בשיעור זה חוזרים על המושגים "סימטריה שיקופית" ו"סימטריה סיבובית" של צורה.
במתמטיקה מבחינים גם ב"סימטריית הזזה" ,אך לא בבית הספר היסודי .התלמידים הכירו
את המושגים בשנים קודמות ,וחשוב לחזור עליהם ,כי בהמשך הפרק הם יצטרכו לחקור את
הסימטריות של המרובעים .הזכירו לתלמידים כיצד בודקים אם לצורה יש "סימטריה
שיקופית" או "סימטריה סיבובית" .התלמידים הצעירים מבצעים בדיקה אופרטיבית שאינה
פורמלית .את ה"סימטריה השיקופית" אפשר לבדוק על-ידי קיפול הצורה לאורך ישר הנבחר
כקו סימטריה )כשם שבודקים שיקוף בקיפול לאורך קו השיקוף( .אם שני חלקי הצורה
המקופלת מתלכדים זה עם זה )מכסים בדיוק זה את זה( ,לצורה יש סימטריה שיקופית ,וקו
הקיפול הוא קו הסימטריה .יש צורות שאין להן סימטריה שיקופית ,יש צורות שיש להן קו
סימטריה אחד או יותר ,וקיימות צורות )לדוגמה ,עיגול( שיש להן אין-סוף קווי סימטריה.
שימו לב שגם אם ישר מחלק צורה לשני חלקים חופפים )זהים( ,הישר אינו בהכרח קו
סימטריה )לדוגמה ,הישר העובר דרך האלכסון במקבילית לא-מיוחדת אינו קו סימטריה ,אף-
על-פי שהוא מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים( .את ה"סימטריה הסיבובית"
בודקים אופרטיבית על-ידי העתקת הצורה הנתונה לדף שקוף וסיבובו של ההעתק סביב
הנקודה שנבחרה להיות נקודת )מרכז( הסיבוב .כדי לבצע את הסיבוב מניחים את ההעתק על
הצורה הנתונה כך שהמקור וההעתק יתלכדו ,ונועצים קלות )בעזרת עיפרון או סיכה( את שתי
הצורות יחד במרכז הסיבוב .לאחר מכן מסובבים את ההעתק .אם במהלך סיבוב שלם )(3600
ההעתק התלכד עם הצורה הנתונה לפחות פעם אחת )פרט לסיבוב השלם( ,לצורה יש סימטריה
סיבובית ,והנקודה שהסיבוב נעשה סביבה היא נקודת )מרכז( הסימטריה .הסבו את תשומת
לבם של התלמידים ,שאם הם הגיעו למסקנה שלצורה אין סימטריה ,על-סמך קיפול או סיבוב
שהם עשו ,ייתכן שהם אינם צודקים .ייתכן שהישר הנבחר על-ידי התלמידים כקו סימטריה,
אינו קו סימטריה ,וקיים ישר אחר שהוא קו סימטריה .לדוגמה ,התלמידים סוברים בטעות
שאלכסון של מלבן הוא קו סימטריה .בקיפול הם מגלים שזה לא נכון ,ומגיעים למסקנה שגויה
שלמלבן אין סימטריה שיקופית .הדבר אינו נכון ,כי קווי הסימטריה של המלבן הם הישרים
העוברים דרך אמצעי הצלעות הנגדיות שלו .דבר דומה יכול לקרות גם בסימטריה הסיבובית.
כאן יש להקפיד גם על הדיוק האפשרי בהעתקה ובביצוע של הסיבוב .לפני ביצוע פעילויות
מעשיות חשוב להתבונן בצורה ולשער אם היא סימטרית .התבוננות כזו מפתחת לתלמידים
כושר ראייה מרחבית ,שהוא אחת המטרות בלימודי הגאומטריה בבית הספר היסודי.
89
משימה מס' :29משימת יישום .את התשובות בודקים על-ידי קיפול הצורות המוגדלות
שגוזרים מהנספח.
משימה מס' :30לתלמידים הזקוקים לכך יש לאפשר לבדוק את השערתם על-ידי קיפול .הם
יוכלו לגזור את הצורות מהנספח שבסוף הספר ולקפל אותן .דוגמאות לתשובות :למשולש
שווה-צלעות שלושה קווי סימטריה ,למשושה משוכלל שישה קווי סימטריה ,למשושה לא-
משוכלל שני קווי סימטריה .התלמידים יוכלו לבדוק את שוויון הצלעות.
משימה מס' :31התלמידים יגזרו את הצורות מהדף השקוף שבמארז האביזרים ויבדקו את
הסימטריה הסיבובית על-ידי סיבוב ההעתק סביב הנקודה המסומנת .אם התלמידים לא רכשו
את מארז האביזרים ,עליהם להעתיק את הצורות לדף שקוף ולגזור אותן .מיומנות של בדיקה
כזו חשובה לתלמידים ,אך הם עשויים להיתקל בבעיות מוטוריות ,ולכן יידרש זמן לביצוע
המשימה.
משימה מס' :32חשוב שהתלמידים ישערו תחילה מה התשובה ,ולאחר מכן הם יבדקו את
השערתם בעזרת דף שקוף .אם התלמידים מתקשים במציאת נקודה שיכולה לשמש כמרכז
הסיבוב ,עודדו אותם לחפש את מרכז הסיבוב ב"אמצע" הצורה.
משימה מס' :33אם למרובע יש סימטריה סיבובית ,מרכז הסימטריה הוא נקודת החיתוך של
האלכסונים.
יחידת הלימוד -הקניה
קטע שיעור ,עמוד :196מיון מרובעים
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א' לפני השיעור .בשיעור זה עוסקים במיון מרובעים .זוהי
תחילת הדרך להבנת הקשרים בין המרובעים השונים במשפחת המרובעים .אם התלמידים
יבינו את העקרונות של מיון המרובעים לקבוצות שונות ,הם יפנימו בקלות את קשרי ההכלה
במשפחת המרובעים .במיונים שנעשים לפי תכונה אחת )או שתי תכונות יחד( ,מתקבלות
קבוצות הכוללות מרובעים מסוגים שונים ,שמתקיימת בהם התכונה הנבחרת .בדרך זו אפשר
להבין כבר בשיעור זה שמלבן הוא מקבילית ,כי לדוגמה ,מלבן יהיה בקבוצה של המרובעים
שמתקיימת בהם התכונה "שני זוגות של צלעות נגדיות שוות" ,והמרובעים שמתקיימת בהם
התכונה הזו הם מקביליות .חשוב להדגיש שאי-אפשר להשיג את מטרת השיעור ללא ביצוע
פעילות הגילוי א' או כל פעילות אחרת הדומה להם .התלמידים חייבים "לחוות" התלבטויות
משלהם בעניין ולהשתתף בתהליך של גילויים מסוגים שונים) .ראו גם הסבר לפעילות הגילוי
א'(.
משימה מס' :1שימו לב שאין מגדירים את הקבוצה בשם .אם יהיו תלמידים שיקראו לקבוצה
מעוינים ,יש לקבל זאת ,כי הדבר נכון ,אך מטרת המשימה היא לראות את כל המרובעים
השייכים לקבוצה גם ללא השם המיוחד שלהם ,כגון מעוינים וריבועים.
משימה מס' :2התכונה הנתונה למיון במשימה זו מובילה לחלוקת המרובעים לשתי קבוצות:
קבוצת המקביליות ויתר המרובעים .בשלב זה מותר לא לתת שם למרובעים בקבוצה ,אלא רק
לשייך לקבוצה את המרובעים המתאימים .אם המיון נעשה נכון ,בקבוצה שמתקיימת בה
התכונה יהיו מקביליות ,מעוינים ,מלבנים וריבועים.
משימה מס' :3התכונה :למרובע יש צלעות מקבילות )אפשר גם לנסח אחרת( .דונו עם
התלמידים בתכונה זו .יש תלמידים שיגידו "בקבוצה שבימין לכל מרובע שתי זוויות שוות" ,
אך קיים מרובע כזה גם בקבוצה שבשמאל.
90
משימה מס' :4התכונה :כל הצלעות במרובע שוות באורכן ,וכל הזוויות ישרות )כל הזוויות
שוות(.
קטע שיעור ,עמוד :198מרובעים מיוחדים
בשיעור זה מוצגות דרכים למיון מרובעים לשתי קבוצות :מרובעים מיוחדים ומרובעים שאינם
מיוחדים .לכל מרובע מיוחד יש תכונות מיוחדות ושם מיוחד .שימו לב :גם למרובעים הלא-
מיוחדים יכולות להיות תכונות מיוחדות ,אך עדיין לא נותנים להם שם מיוחד .לדוגמה,
למרובע שאין לו שם מיוחד יכולים להיות שני אלכסונים שווים ומאונכים זה לזה .במקרים
כאלה יעסקו התלמידים בהמשך הפרק.
משימה מס' :5משימת יישום.
משימה מס' :6במשימה זו ממשיכים למיין את המרובעים ,אך הפעם על התלמידים לציין את
שמות כל המרובעים שיש להם התכונה הנבדקת .א( מעוין וריבוע; ב( מקבילית ,מעוין ,מלבן
וריבוע; ג( מקבילית ,מעוין ,מלבן וריבוע; ד( דלתון ,מעוין וריבוע .הערות :תכונות שונות
שמוצגות בסעיפים ב' ו -ג' הן הגדרות לאותה קבוצה של מרובעים :מקביליות .כלומר כל אחת
מהתכונות הללו יכולה להיות הגדרה של מקבילית .תכונות כאלה נקראות "הגדרות שקולות"
)אין מגדירים לתלמידים את המושג הזה( .בסעיף ד' הסבירו לתלמידים את המושג "זוגות
נפרדים" :בכל זוג הצלעות לא חוזרות על עצמן .לדוגמה ,במרובע שבסרטוט שני זוגות של
צלעות סמוכות שוות זו לזו ) ,(AB = BC, BC = CDאך הזוגות אינם נפרדים .בדלתון ובמעוין
יש זוגות כאלה.
C
D
A
B
משימה מס' : 7א( הכנה למשימה הבאה.
ב( ו -ג( זיהוי שם של מצולע לפי תכונה.
משימה מס' 8א( המרובעים שמתקיימת בהן תכונה זו הם מקבילית ,מעוין ,מלבן וריבוע.
ב( יש תלמידים המתקשים לסרטט מרובע לא מיוחד.
משימה מס' :9פיתוח מיומנות סרטוט.
משימה מס' :10משימה דומה לקודמת ,אך הפעם יש לזהות את המשולשים שנוצרו.
משימה מס' :11חקירת התכונות של צלעות מקבילית .התלמידים בודקים שוויון של צלעות
נגדיות במקבילית על-ידי מדידה.
משימה מס' :12בדיקת מקבילוּת של צלעות נגדיות במקבילית.
משימה מס' :13חקירת תכונות הזוויות במקבילית :הזוויות הנגדיות בה שוות במידתן,
וסכום כל שתי זוויות סמוכות הוא .1800התלמידים בודקים את התכונות על-ידי מדידה
וחישוב .אם התלמידים אינם מגיעים ל) 1800 -לא תמיד המדידה מדויקת( ,יש לבקש מהם
לחזור על המדידה ולוודא שמדדו נכון .דונו עם התלמידים בתוצאות המדידה שלהם.
משימה מס' :14פיתוח מיומנות סרטוט של אלכסונים במקבילית.
91
משימה מס' :15חקירת תכונות האלכסונים של מקבילית שאינה מיוחדת .התלמידים אמורים
להגיע למסקנה שהאלכסונים חוצים זה את זה .אם התלמידים אינם מגיעים למסקנה זו ,בקשו
מהם למדוד שוב את הקטעים .דונו עם התלמידים בתוצאות המדידה שלהם .דונו עם
התלמידים במשמעות המושג "חוצה" ובהבדלים בין משמעות המושג במתמטיקה ולבין
משמעותו בחיי היום-יום .במתמטיקה "חוצה" פירושו "מחלק לחלקים שווים" .בחיי היום-יום
יש למילה "לחצות" שימושים שונים שאינם קשורים לאמצע ,לדוגמה ,לחצות כביש.
משימה מס' :16למקבילית אין סימטריה שיקופית.
משימה מס' :17למקבילית יש סימטריה סיבובית .מרכז הסימטריה הוא נקודת חיתוך
האלכסונים .המקבילית "מתלכדת עם עצמה" פעמיים במהלך סיבוב שלם :בסיבוב ב1800 -
ובסיבוב ב.3600 -
קטע שיעור ,עמוד :202תכונות המקבילית
בשיעור זה מסכמים את תכונות המקבילית ,שנחקרו קודם לכן.
משימה מס' :18משימת יישום.
משימה מס' :19משימת יישום.
משימה מס' :20תכונות המקבילית .אין מודדים את הקטעים או את הזוויות.
משימה מס' :21אי-אפשר לבנות מקבילית ,כי במקבילית יש שני זוגות של צלעות נגדיות
השוות זו לזו באורכן.
משימה מס' :22יש אין-סוף אפשרויות לתשובה נכונה .לדוגמה ,שתי צלעות נגדיות באורך 1
ס"מ ושתי הצלעות הנגדיות האחרות באורך 2ס"מ.
משימה מס' 4 :23ס"מ ו 3 -ס"מ.
משימה מס' :24משימת יישום.
משימה מס' :25פיתוח מיומנות סרטוט.
משימה מס' :26מתקבל מעוין.
משימה מס' :27הכוונה היא למקבילית שאינה מיוחדת .התשובה בסעיפים א' ,ב' ,ד' ו -ה'
היא "לא נכון" .בסעיף ג' התשובה היא "נכון".
משימה מס' :28א( מקבילית שכל זוויותיה שוות זו לזו היא מלבן או ריבוע )כמקרה פרטי(;
ב( מקבילית שכל צלעותיה שוות זו לזו היא מעוין או ריבוע )כמקרה פרטי(.
משימה מס' :29קיימות אין-סוף אפשרויות להשלמה .אם התלמידים מתקשים ,הציעו להם
להיעזר במשבצות המסורטטות.
משימה מס' :30פיתוח הבנה גאומטרית .יש לעודד את התלמידים לנסח את הנימוק למשל כך
"לכל מרובע ארבע צלעות ,לכל מקבילית ארבע צלעות ,לכן כל מקבילית הוא מרובע".
משימה מס' :31לא ,כי במידות הנתונות אין שני זוגות של צלעות שוות.
92
משימה מס' :32יש אין-סוף אפשרויות נכונות .אחת האפשרויות 1 :ס"מ ו 3 -ס"מ.
משימה מס' :33במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה ,לכן המידות הן 4ס"מ ו 5 -ס"מ.
משימה מס' :34משימת סרטוט המבוססת על התרגיל הקודם.
משימה מס' :35פיתוח כתיבה מדעית של תכונות .השימוש באותיות לטיניות עלול להיות
קשה לכמה תלמידים.
משימה מס' :36פיתוח מיומנות מדידה.
משימה מס' :37מעוין או ריבוע.
משימות מס' :43 - 38במשימות אלו חוקרים את תכונות המעוין .החקירה נעשית בדומה
לחקירת המקבילית )משימות מס' .(17 - 11
במשימה מס' 38בודקים שוויון צלעות;
במשימה מס' 39בודקים שוויון זוויות נגדיות ומחשבים את הסכום של כל שתי זוויות
סמוכות; במשימה מס' 40מוודאים שהאלכסונים חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה;
במשימה מס' 41מגיעים למסקנה שלמעוין יש סימטריה שיקופית ושני קווי הסימטריה עוברים
דרך אלכסוניו;
במשימה מס' 42בודקים סימטריה סיבובית ,מרכז הסימטריה הוא נקודת חיתוך האלכסונים;
במשימה מס' 43מגלים שכל אלכסון במעוין הוא חוצה-הזוויות הנגדיות שהוא עובר דרכן.
קטע שיעור ,עמוד :208תכונות המעוין
בשיעור זה מסכמים את תכונות המעוין ,שנחקרו קודם לכן.
משימה מס' :44משימת יישום.
משימה מס' :45דונו עם התלמידים בשאלה כיצד לסרטט מעוין על דף משבצות לפי התכונות
שנלמדו.
משימה מס' :46פיתוח הבנה גאומטרית .יש לעודד את התלמידים לנסח את הנימוק למשל
כך" :לכל מרובע ארבע צלעות ,כל מעוין הוא בעל ארבע צלעות ,לכן כל מקבילית הוא מרובע".
לכל מעוין ארבע צלעות שוות ,יש מרובעים שאין להם ארבע צלעות שוות ,לכן לא כל מרובע
הוא מעוין.
משימה מס' :47משימת יישום .בסעיפים א' -ב' התשובה היא "לא" .בסעיף ג' התשובה היא
"כן" .בסעיף ד' יש טעות במידת הזוויות הנגדיות :הן צריכות להיות שוות .בסעיפים ה' ו -ו'
אי-אפשר לבנות מעוינים ,כי סכום כל שתי זוויות סמוכות צריך להיות .1800לפיכך אם הזוויות
חדות ,הסכום קטן מ ;1800 -ואם הזוויות קהות ,הסכום גדול מ .1800 -בסעיף ז' מתקבל ריבוע
שהוא מקרה פרטי של מעוין.
משימה מס' :48אפשר להיעזר בתכונת האלכסונים של מעוין :הם חוצים זה את זה ומאונכים
זה לזה .תחילה אפשר לסרטט אלכסון אחד ולמצוא את אמצעו )על-ידי סרגל או קיפול( ,לאחר
מכן לסרטט אלכסון שני שיחצה את הראשון ויהיה מאונך לו .האלכסונים אינם שווים )אם הם
יהיו שווים ,נקבל רק ריבוע( .בסוף מחברים את קצותיהם של האלכסונים בקטעים שהם
צלעות המעוין.
משימה מס' :49אלכסוני המעוין חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה .בעזרת תכונות אלו
מסרטטים את המעוינים שבמשימה.
93
משימה מס' :50פיתוח מיומנות סרטוט.
משימה מס' :51א( השוואה בין תכונות המעוין לבין תכונות המקבילית .למעוין יש כל תכונות
המקבילית ,אך לא כל תכונות המעוין קיימות במקבילית .התכונות המשותפות הן תכונות
המקבילית .ב( סיכום תכונות המקבילית והמעוין בעזרת טבלה .על-סמך ההשוואה בין
התכונות מגיעים למסקנה שכל מעוין הוא מקבילית ,אך לא כל מקבילית היא מעוין .כלומר
מעוין הוא מקבילית מיוחדת.
משימה מס' :52אפשר לבנות מעוין משני משולשים שווי-שוקיים זהים )חופפים( או מארבעה
משולשים ישרי-זווית חופפים.
משימה מס' :53פיתוח מיומנות סרטוט .התשובות במשימה זו ניתנות על-סמך המשימה
הקודמת.
משימה מס' :54פיתוח מיומנות סרטוט.
משימה מס' :55פיתוח מיומנות לסרטוט מעוין בעזרת הדרכה.
משימה מס' :56פיתוח מיומנות סרטוט.
משימה מס' :57אם גוזרים את המעוין לפי אחד האלכסונים מקבלים שני משולשים שווי-
שוקיים .אם מחלקים את המעוין לארבעה משולשים חופפים ,מתקבלים ארבעה משולשים
ישרי-זווית.
משימה מס' :58פיתוח כתיבה מדעית של תכונות .השימוש באותיות לטיניות עלול להיות
קשה לכמה תלמידים.
משימות מס' :63 - 59חקירת תכונות המלבן .החקירה נעשית בדומה לחקירות של מקבילית
)משימות (17 - 11ושל מעוין )משימות (.43 -38
משימה מס' 59בודקים שוויון של צלעות נגדיות;
במשימה מס' 60בודקים את זוויות המלבן;
במשימה מס' 61מוודאים שהאלכסונים חוצים זה את זה ושווים זה לזה;
במשימה מס' 62מגיעים למסקנה שלמלבן יש סימטריה שיקופית ושני קווי הסימטריה שלו
עוברים דרך אמצעי הצלעות הנגדיות;
במשימה מס' 63בודקים סימטריה סיבובית ,מרכז הסימטריה הוא נקודת חיתוך האלכסונים.
אפשר לוותר על כמה מהתרגילים ולבקש מהתלמידים לכתוב את כל תכונות המלבן שהם
מכירים ,כי הם למדו על המלבן בעיון בכיתה ד'.
משימה מס' :64פיתוח הבנה גאומטרית .רק ההיגדים א' ו-ג נכונים.
קטע שיעור ,עמוד :214תכונות המלבן
סיכום תכונות המלבן ,שנחקרו קודם לכן.
משימה מס' :65משימת יישום.
משימה מס' :66הבנייה מבוססת על הגדרת המלבן :כל הזוויות ישרות .יש אין-סוף פתרונות
נכונים.
משימה מס' :67בסעיפים א' ו -ב' אפשר לבנות מלבן ,ובסעיף ג' אי-אפשר לבנות מלבן ,כי
האלכסונים במלבן שווים באורכם.
94
משימה מס' :68השוואה בין תכונות המקבילית לבין תכונות המלבן .מגיעים למסקנה שכל
מלבן הוא מקבילית ,אך לא כל מקבילית היא מלבן.
משימה מס' :69מתחילים את הסרטוט באלכסון השני שאורכו שווה לאורך האלכסון הנתון.
האלכסונים חוצים זה את זה .יש אין-סוף פתרונות נכונים.
משימה מס' :70פיתוח מיומנות סרטוט וניתוח הסרטוט.
משימה מס' :71פיתוח מיומנות סרטוט וניתוח הסרטוט.
משימה מס' :72לא ,כי למשולש שווה צלעות זוויות של ,600ואי-אפשר לקבל זווית ישרה
בשום הצמדה של המשולשים .אפשר לבנות מעוין ,שמידות הזוויות בו יהיו 600ו.1200 -
משימה מס' :73מתקבל ריבוע.
משימה מס' :74דוגמה למלבן ,ארבע זוויותיו שוות.
משימה מס' :75פיתוח מיומנות סרטוט
משימה מס' :76התלמידים מכירים היטב את הריבוע ומסוגלים להיזכר בכל התכונות שלו,
שנלמדו בשנים קודמות .לכן פעילות זו שונה מאופן החקירות הקודמות.
משימה מס' :77תכונה נוספת של אלכסוני הריבוע :האלכסונים מאונכים זה לזה.
משימה מס' :78לריבוע יש סימטריה שיקופית .יש לו ארבעה קווי סימטריה :שני קווי
סימטריה עוברים דרך האלכסונים ,ושני קווי סימטריה עוברים דרך אמצעי הצלעות הנגדיות.
משימה מס' :79לריבוע יש סימטריה סיבובית .מרכז הסימטריה הוא נקודת מפגש
האלכסונים.
משימה מס' :80בדיקת תכונה נוספת של אלכסוני הריבוע – הם חוצים את זוויותיו הנגדיות,
שהאלכסונים עוברים דרכן.
קטע שיעור ,עמוד :218תכונות הריבוע
סיכום תכונות הריבוע ,שנחקרו קודם לכן.
משימות מס' :82 - 81משימות יישום.
משימה מס' :83סרטוט ריבוע על-סמך תכונות הצלעות והזוויות :כל הצלעות שוות ,וכל
הזוויות ישרות.
משימה מס' :84משימת יישום.
משימה מס' :85חקירת סימטריוּת בריבוע.
משימה מס' :86פיתוח מיומנות סרטוט.
משימה מס' :87פיתוח מיומנות מדידה.
משימה מס' :88פיתוח הבנה גאומטרית .דונו עם התלמידים בהסברים שלהם.
95
ומגיעים למסקנה שכל ריבוע
משימה מס' :89משווים בין תכונות הריבוע לבין תכונות המלבן ַ
הוא מלבן ,אך לא כל מלבן הוא ריבוע.
משימה מס' :90פיתוח הבנה גאומטרית .התלמידים נדרשים לנתח מה משותף לריבוע
ולמלבן ,אך לא לכל מקבילית .למקבילית לא-מיוחדת אין זוויות ישרות.
משימה מס' :91משווים בין תכונות הריבוע לבין תכונות המעוין ומגיעים למסקנה שכל ריבוע
הוא מעוין ,אך לא כל מעוין הוא ריבוע.
משימה מס' :92פיתוח הבנה גאומטרית .למקבילית לא-מיוחדת ולמלבן לא-מיוחד אין
צלעות שוות.
משימה מס' :93התשובה לשאלות א' ,ג' ,ד' ,ט' ו -י' היא "נכון" .התשובה ליתר השאלות היא
"לא-נכון".
משימה מס' :94פיתוח מיומנות סרטוט .מתקבל ריבוע.
מה למדנו? עמוד 222
סיכום מה שנלמד בפרק.
ממשיכים בתרגול ,עמודים 235 - 223
משימה מס' :1משימת תרגול של זיהוי זוויות ישרות .למעשה זיהוי הזוויות הישרות מוביל
לזיהויים של הישרים המאונכים זה לזה.
משימה מס' :2משימת תרגול של זיהוי ישר המאונך לישר הנתון .הישר הראשון משמאל
מאונך לישר השחור.
משימה מס' :3משימת תרגול של סרטוט ישר המאונך לישר הנתון.
משימה מס' :4משימת תרגול של סרטוט ישר המאונך לישר הנתון ועובר דרך נקודה נתונה.
משימה מס' :5משימת תרגול של סרטוט שלושה קטעים המאונכים לקטע הנתון.
משימה מס' :6פיתוח מיומנות סרטוט של מחומש שבו יש שלושה זוגות של לצלעות
המאונכות זו לזו .להלן דוגמה למחומש:
משימה מס' :7משימת בנייה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה .הנחו את
התלמידים להשתמש במשולש סרטוט.
משימה מס' :8קטעים א' ג' ה' ו -ז' מקבילים זה לזה.
כמו כן גם קטעים ב' ,ד' ,ו' ו -ח' מקבילים זה לזה.
משימה מס' :9שני ישרים המאונכים לאותו הישר מקבילים זה לזה.
משימה מס' :10משימת תרגול של זיהוי ישרים מקבילים וכתיבתם בצורה פורמלית.
דוגמהd f :
96
משימה מס' :11אפשר לסרטט אינסוף ישרים מקבילים לישר הנתון.
משימה מס' :12פיתוח מיומנות סרטוט במחברת.
משימה מס' :13אם מבצעים את הבנייה בדיוק ,הקטעים CEו DF -יהיו מקבילים זה לזה.
הערה :התלמידים לומדים בצורה אינטואיטיבית את אחד מהיישומים של משפט תאלס.
משימה מס' :14במרובעים א ו -ב הצלעות ABו CD -הן צלעות נגדיות.
משימה מס' :15משימת תרגול של סימון אותיות במקום המתאים לפי התנאים המבוקשים.
A
B
דוגמה:
D
C
משימה מס' :16א( בסרטוט חמישה מרובעים שונים :מרובע ,ABCDמרובע ,BCEFמרובע
,FEDCמרובע EDACומרובע .AFED
ב( משימת תרגול של הבחנה בין קדקודים נגדיים לקדקודים סמוכים.
משימה מס' :17א( הצלע הנגדית לצלע EFהיא .HG
ב( הצלעות הסמוכות לצלע EFהן EHו.FG -
ג( הזווית הנגדית ל ∠E -היא . ∠G
ד( הזוויות הסמוכות ל ∠F -הן ∠Eו. ∠G -
משימה מס' :18פיתוח מיומנות סרטוט במחברת לפי תנאים.
משימה מס' :19משימת תרגול בנושר סוגי זוויות.
משימה מס' :20משימת תרגול של סרטוט אלכסונים במרובע.
משימה מס' :21א( כן ,ב( לא
ג( כן
ד( לא ה( לא.
משימה מס' :22קו סימטריה במרובע לא חייב להיות אלכסון .דוגמה לכך ניתן לראות במלבן.
שני קווי הסימטריה שלו אינם אלכסונים.
משימה מס' :23התלמידים יכולים למיין את המצולעים כראות עיניהם .אחת הדרכים למיון
היא לפי מספר הצלעות של המצולעים.
משימה מס' :24משימת תרגול של זיהוי שמות המרובעים המיוחדים.
משימה מס' :25המשימה קשה עקב האילוצים .א( יכולים להתקבל מלבן ,ריבוע ,טרפז שווה-
שוקיים או מרובע כלשהו שהאלכסונים בו שווים .מלבן או ריבוע מתקבלים רק כאשר
האלכסונים השווים חוצים זה את זה .הצעה להשלמה :תחילה מסרטטים את האלכסונים
ולאחר מכן מחברים בין קצותיהם ב( מלבן או ריבוע ג( מקבילית ,מלבן ,מעוין או ריבוע .הצעה
97
לסרטוט :תחילה בונים קטע מקביל ושווה לקטע הנתון ,לדוגמה בעזרת הזזה של שתי משבצות
למטה ואחת ימינה.
משימה מס' :26הזדמנות לחזור על קשרי ההכלה של המרובעים .המילה המתקבלת היא
"יפה".
משימה מס' :27בסרטוט 7מקביליות )שני הקירות של הבית הם מלבן וריבוע
הגג הוא מקבילית ,הדלת -ריבוע ושלושת החלונות -ריבועים(.
משימה מס' :28משימה זו מזמנת חזרה על תכונות הזוויות במקבילית.
משימה מס' :29משימה זו מזמנת חזרה על תכונות הזוויות והצלעות במקבילית.
משימה מס' :30מקבילית שאחת מזוויותיה היא ישרה היא מלבן .שכן שאר הזוויות גם הן
ישרות )נובע מתכונות הזוויות במקבילית(.
משימה מס' :31מקבילית ששתי צלעות סמוכות שלה שוות היא מעוין) .נובע מתכונות הצלעות
של המקבילית(.
משימה מס' :32משימת סרטוט של מקבילית לפי נתונים.
משימה מס' :33משימת סרטוט של מקבילית ,כאשר אחת מצלעותיה מסורטט.
משימה מס' :34המרובע שהתקבל הוא אכן מקבילית .למקבילית יש שם נוסף והוא מעוין.
משימה מס' :35משימת תרגול של תכונות הזוויות במקבילית .הזוויות הנגדיות שוות זו לזו.
סכום כל שתי זוויות נגדיות במקבילית הוא . 180 0
משימה מס' :36משימה זו מזמנת דיון למציאת שיטה לחישוב מספר המקביליות באיור.
ממספרים את הצורות "הקטנות" על ידי מספרים או אותיות ורושמים בצורה שיטתית את
המקביליות המורכבות מאחת ,שתיים או שלוש מקביליות.
A B C
במקרה זה ABC , BC , AB ,C ,B , A :
במקרה של ארבע מקביליות.ABCD,BCD,ABC ,CD ,BC ,AB ,D ,C ,B ,A :
D
C
B
A
משימה מס' :37פיתוח מיומנות סרטוט של מקבילית כאשר נתונים אורכי צלעותיה ומידות
זוויותיה.
משימה מס' :38בקשו מהתלמידים לסמן תחילה את הצורות ולאחר-מכן לצבוע אותן.
משימה מס' :39משימת יישום של תכונות צלעות המעוין .הצלעות במעוין שוות זו לזו
באורכן.
משימה מס' :40משימת תרגול של סרטוט מעוין.
משימה מס' :41א( נכון ב( לא נכון
ג( נכון
ד( לא נכון.
משימה מס' :42אם מחברים את אמצעי הצלעות של המעוין בזה אחר זה ,מתקבל מלבן.
98
משימה מס' :43ארבעת קדקודי המעוין נמצאים ביחס לדף בכיוון צפון ,דרום ,מזרח ומערב.
התלמידים יכולים לעבוד בשיטה שבה מוחקים נקודות שבוודאות לא יכולות לשמש כקדקודי
המעוין) .למשל שלוש נקודות הסמוכות מאוד זו לזו(.
משימה מס' :44המשולש המסורטט הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים .המשולש מהווה
רבע מהמעוין.
משימה מס' :45משימת תרגול של תכונות צלעות המלבן .הצלעות הנגדיות במלבן שוות
באורכן.
משימה מס' :46אלכסון במלבן מחלק את המלבן לשני משולשים ישרי-זווית.
משימה מס' :47משימת סרטוט של מלבנים כאשר נתון אחד אלכסוניו.
משימה מס' :48א( מקבילית; ב( מעוין; ג( מלבן.
משימה מס' :49המרובע לא יכול להיות מלבן ,מקבילית או מעוין.
משימה מס' :50יש שתי אפשרויות :א( האלכסונים באורכים של 6ס"מ ו 4 -ס"מ ,וכל אלכסון
מתחלק לשני קטעים שווים באורכם על-ידי נקודת מפגש האלכסונים .האלכסונים חוצים זה
את זה אך אינם שווים זה לזה ,לכן מתקבלת מקבילית .אם האלכסונים גם מאונכים זה לזה,
מתקבל מעוין.
ב( אורכי האלכסונים הם 5ס"מ ו 5 -ס"מ ,וכל אלכסון מתחלק לשני קטעים שאורכם 3ס"מ ו-
2ס"מ .במקרה זה המרובע הוא טרפז שווה-שוקיים) .האלכסונים שווים באורכם ומתחלקים
ביחס שווה על-ידי נקודת המפגש (.התלמידים עדיין לא למדו על הטרפז בעיון ,אך הם יוכלו
לסרטט את המרובע ולראות שהוא טרפז .חשוב שהתלמידים ימצאו גם את מקרה ב'.
ג( אורכי האלכסונים הם 6ס"מ ו 4 -ס"מ או 5ס"מ ו 5 -ס"מ .ד( אי-אפשר לקבל מלבן ,כי אם
האלכסונים שווים ,הם אינם חוצים זה את זה; ואם הם חוצים זה את זה ,הם אינם שווים.
משימה מס' :51א( אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה ,המרובע הוא מקבילית.
ב( אם במרובע האלכסונים מאונכים זה לזה וחוצים זה את זה ,המרובע הוא מעוין.
ג( אם במרובע האלכסונים שווים זה לזה וחוצים זה את זה ,המרובע הוא מלבן.
משימה מס' :52הקטע DBהוא אלכסון במלבן .האלכסון אינו חוצה את זוויות המלבן.
משימה מס' :53משימת תרגול של סרטוט ריבוע כאשר נתון אחד מצלעותיו.
משימה מס' :54למלבן ,למעוין למקבילית ולריבוע יש סימטריה סיבובית.
המרובעים שבסרטוט מתלכדים עם המרובעים המקוריים בסיבוב שלם כדלהלן:
למלבן ,למקבילית ולמעוין :פעמיים ולריבוע ארבע פעמים.
משימה מס' :55משימת תרגול של סרטוט ריבוע ,כאשר נתון אלכסון הריבוע.
משימה מס' :56משימה הקושרת בין אמנות )שימוש בצבעים שונים( לגאומטריה.
משימה מס' :57דוגמה לשלבי הבנייה .כדי לסרטט את המקבילית ,מסרטטים אנך עזר לצלע
המלבן באורך כלשהו ומעבירים קטע שאורכו כאורך צלע המלבן והוא מאונך לאנך העזר.
מחברים בין הקדקודים .כדי לבנות את המעוין ,משני הקדקודים ה"פנויים" של המקבילית
מסרטטים שני קטעים המאונכים זה לזה באורך כלשהו )חצי של כל אלכסון( ,ממשיכים כל
קטע באורך שווה ומחברים בין הנקודות .מציירים ריבוע כך שהצורות האחרות יהיו זו.
99
משימה מס' :58משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה .במשימה נדרש סרטוט
של ריבוע ומעוין ומלבן שונים כך שהקטע המסורטט הוא אלכסון המשותף לשלושת
המרובעים.
שאלות מילוליות ,עמוד 236
מומלץ לבצע את הפעילות בכיתה.
א( אורך הצלע של הריבוע הוא 9ס"מ.
ב( אורך הצלע של המעוין הוא 9ס"מ.
ג( המידות האפשריות של המלבנים הם:
מלבן א' – צלע א 12 :ס"מ צלע ב' 6 :ס"מ.
מלבן ב' :צלע א 10 :ס"מ צלע ב' 8 :ס"מ.
ד( המידות האפשריות של הטרפז הן 4 :ס"מ 4 ,ס"מ 4 ,ס"מ ו 6 -ס"מ.
ה( המידות האפשריות לצלעות המקבילית דומות למידות האפשריות של המלבן.
העשרה ,עמוד 237
1
משימה :1א( משולש ECGמהווה
16
1
של הריבוע )החלק הצבוע(.
דוגמה ל-
32
מהריבוע.
1
דוגמה ל-
64
של הריבוע )החלק הצבוע(.
יישומי מדע ,עמוד 238
הרחבה והעמקה של הידע בנושא שנלמד ,עיסוק בדיאגרמת וֶון ,שאפשר לתאר בעזרתה קשרי
הכלה בין קבוצות שונות.
100
משימה מס' :1
המכוניות של טל
מכוניות
מרוץ
משימה מס' :2
מרובעים
מקביליות
משימה מס' :3
מלבנים
ריבועים
משימה מס' :4
הספרייה של שרה
ספרי לימוד
ספרי
הרפתקאות
ספרים
אחרים
אנו שולטים בחומר ,עמוד 239
חזרה על חומר שנלמד קודם :חזקות ,ארבע פעולות החשבון ,חיבור של עשרות שלמות למספר
ועוד.
101
עמ' 265 - 240
ז .שברים שווים ,הרחבה וצמצום
רקע
הפרק עוסק בשברים שווים ,בהרחבת שברים ובצמצום שברים .נושאים אלה הם החשובים
מכל הנושאים הקשורים לשברים .יש להם חשיבות רבה להבנה ולפעולה נכונה בשברים
ובמספרים עשרוניים וגם השפעה על לימוד אלגברה בשנים הבאות .הדבר החשוב ביותר
שהתלמידים אמורים להבין הוא שעל-ידי צמצום שבר או הרחבתו מתקבל שבר הכתוב
במספרים אחרים )מונה ומכנה( ,אך השבר החדש שווה לשבר המקורי .במילים אחרות ,לכל
שבר יש אין-סוף ייצוגים שונים.
תלמידי כיתה ה' אינם נדרשים לדעת לצמצם שבר בשלב אחד ,אלא בכמה צעדים לפי יכולתם.
כדאי שהתלמידים המתקדמים יתנסו בצמצום בשלב אחד בלבד ויגיעו למחלק המשותף הגדול
ביותר למונה ולמכנה.
תלמידים )בעיקר הצעירים( נוטים לחשוב בטעות שפעולות צמצום והרחבה הן פעולות של כפל
שבר בשלם ,אך אלה שני דברים שונים לגמרי .למניעת טעות זו יש להדגיש לאורך כל
הפעילויות והמשימות ,שכופלים )או מחלקים( את המונה ואת המכנה באותו מספר שלם )פרט
ל .(0 -לעומת זאת בכפל שבר בשלם כופלים רק את המונה במספר השלם.
מושגים
שברים שווים ,ייצוגים שונים של שברים ,הרחבה ,צמצום ,גורם ההרחבה ,גורם הצמצום,
מחלקים ,כפולות ,מחלק משותף ,המחלק המשותף הגדול ביותר ,מספר פריק ,מספר ראשוני,
שבר מצומצם.
מטרות
התלמידים ידעו:
א .להרחיב שבר;
ב .לכתוב את גורם ההרחבה;
ג .לצמצם שבר;
ד .לכתוב את גורם הצמצום;
ה .לכתוב ייצוגים שונים לשבר;
ו .להשוות בין שברים בעזרת צמצום או הרחבה;
ז .לייצג שבר ושבר מורחב;
ח .לייצג שבר ושבר מצומצם;
ט .לרשום שבר מצומצם כשלם;
י .לחבר ולחסר שברים ולצמצם את התוצאה.
אביזרים ואמצעי המחשה
"קיר שברים" ,שברים על צירי המספרים ,ריבועים לחלוקה.
אביזרי "חשבון :"10עיגולים נשלפים של שברים ,עיגולים בפרגמנט ,שברים בעיגולים
)שקף צבעוני( ,שברים במלבנים )שקף צבעוני(.
מומלץ לבקש מהתלמידים לשמור את החלקים הנשלפים במעטפות נפרדות.
102
הטמעה
א .חזרה על מספר ומחלקיו.
על הלוח רשומים מספרים פריקים וראשוניים 19 ,5 ,75 ,39 ,48 ,25 ,16 :וכדומה .מבקשים
מהתלמידים למצוא מחלקים לכל מספר .אפשר לבקש מהתלמידים לחלק את המחלקים של
כל מספר לזוגות ,שהמכפלה שלהם היא המספר .לדוגמה ,הזוגות של המספר 75יהיו 3ו,25 -
5ו 1 ,15 -ו .75 -לפעמים נקבל מספר שבאחד מן הפירוקים שלו נקבל שני גורמים שווים
)לדוגמה .(16=4 × 4 ,במקרה זה המספר המקורי הוא הריבוע של הגורם הכפול.
ב .חזרה על מחלקים משותפים.
על הלוח רשומים זוגות של מספרים שונים .המורה מבקשת מהתלמידים למצוא מחלקים
משותפים .דוגמה לזוג מספרים 35 :ו.49 -
ג .חזרה על שטח המלבן.
על הלוח מצוירים שני מלבנים המרוצפים בריבועי יחידה .המורה שואלת את התלמידים מהו
שטחו של כל אחד ממלבנים אלה ומה היקפו.
א
ב
חשוב להזכיר שיחידת השטח בכל אחד מהסרטוטים היא הריבוע המתאים:
.
,ובמלבן ב' זהו הריבוע:
במלבן א' זהו הריבוע:
את ההיקף מודדים ביחידות אורך ,ובמקרה שלנו היחידה היא צלע של ריבוע.
פעילויות גילוי
פעילות א :מציירים על לוח מחיק עיגול אחד .על התלמידים לחלק את העיגול לשלושה חלקים
שווים )תחילה עליהם לסמן את קווי החלוקה( ,לצבוע שני חלקים מתוך השלושה ולרשום את
השבר שהתקבל בעקבות חלוקת העיגול וצביעת החלקים .אחר-כך עליהם לחלק שוב את
העיגול בחלוקה אחרת במספר שונה ,כך שיוכלו לייצג בצורה אחרת את השבר) .חלק מקווי
החלוקה החדשה יתלכדו עם קווי החלוקה הראשונה (.שוב עליהם לרשום לכמה חלקים חילקו
את העיגול הפעם ,כמה חלקים צבועים בחלוקה זו ,ומהו השבר המתאים) .לדוגמה ,אם
החלוקה היא לחמישה חלקים ,קווי החלוקה אינם מתלכדים .פירושו של דבר שהמשימה לא
בוצעה כראוי (.החלוקה יכולה להיות ל 6 -או ל 9 -או ל 12 -או ל 15 -וכן הלאה )כלומר בכפולות
של .(3בדיון במליאה יעלו השאלות האלה" :האם השברים שרשמתם שווים או שונים? מדוע?
כיצד אפשר ליצור שברים שווים בעזרת חלוקת העיגול? כמה שברים כאלה נוכל ליצור?" אפשר
לארגן תחרות בין קבוצות )לפי יכולת התלמידים ,אפשר להתחיל בשליש(.
חוזרים על הפעילות במלבן על-גבי דף משבצות.
103
פעילות ב :משתמשים בעיגולים שבשקף הצבעוני .כל עיגול מצויר בריבוע שקוף .גוזרים את
הריבועים .על התלמידים למצוא עיגולים שחלק מקווי החלוקה בהם מתלכדים )יותר מקו
אחד(.
התלמידים יכתבו מספר מסקנות על התלכדות העיגולים.
פעילות ג :התלמידים מתבקשים לחלק ריבוע ל 16 -חלקים שווים .דנים בדרכים שונות
לחלוקה) .לפי יכולת התלמידים ,אפשר לתת ריבוע מחולק ל 16 -ריבועים או ל 16 -מלבנים(.
מבקשים מהתלמידים לצבוע ארבעה חלקים שווים ולרשום שבר מתאים .על התלמידים למצוא
חלוקה לפחות חלקים ,כך שאפשר יהיה לתת שם לחלק הצבוע )כך שכל קווי החלוקה החדשה
יתלכדו עם חלק מקווי החלוקה הראשונה( .התלמידים רושמים לכמה חלקים חילקו את
הריבוע ,כמה חלקים צבועים בחלוקה זו ,ומהו השבר המתאים) .לדוגמה ,אם החלוקה היא
לחמישה חלקים ,קווי החלוקה אינם מתלכדים ,וזה אומר שהחלוקה לא בוצעה נכון(.
החלוקה יכולה להיות ל 8 -או ל 4 -חלקים שווים.
שואלים את התלמידים אם השברים הרשומים שווים ,ומדוע.
מבקשים לגלות כיצד אפשר ליצור שברים שווים לשבר נתון בעזרת חלוקת הריבוע) .אפשר
להשתמש בשבר ארבע חלקי שש עשרה (.מבקשים לגלות כמה שברים כאלה אפשר ליצור.
פעילות ד :תלמיד ראשון בוחר שני מספרים קטנים מ) 20 -לדוגמה 7ו (12 -תלמיד שני כותב
7
בעזרתם שבר קטן מ) 1 -לדוגמה,
( .תלמיד שלישי כותב תבנית של שבר שהמונה שלו אינו
12
?
( תלמיד רביעי צריך
ידוע ,והמכנה הוא כפולה של המכנה של השבר הראשון )לדוגמה,
24
לגלות את המונה ,כך ששני השברים יהיו שווים .חוזרים על הפעילות ארבע פעמים ,ומחליפים
תפקידים.
אפשר לנהל פעילות זו במליאה.
פעילות ה :כמו פעילות ד' ,אבל הפעם התלמיד השלישי כותב תבנית של שבר שהמכנה שלו אינו
14
ידוע ,והמונה הוא כפולה של המונה של השבר הראשון )לדוגמה,
( .התלמיד הרביעי צריך
?
לגלות את המכנה ,כך ששני השברים יהיו שווים .חוזרים על הפעילות ארבע פעמים ,ומחליפים
תפקידים.
פעילות ו :כמו פעילות ד' ,אבל הפעם התלמיד השני כותב שבר שווה ל.1 -
פעילות ז :כמו פעילות ה' ,אבל הפעם התלמיד השני כותב שבר גדול מ.1 -
פעילות ח :תלמיד ראשון בוחר שני מספרים כך שאחד המספרים הוא כפולה של האחר
6
)לדוגמה 18 ,ו .(6 -תלמיד שני כותב בעזרתם שבר "אמתי" )קטן מ) (1 -לדוגמה,
( .תלמיד
18
שלישי כותב תבנית של שבר שהמונה שלו אינו ידוע ,והמכנה שלו הוא מחלק של המכנה של
?
השבר הראשון )לדוגמה .( ,התלמיד הרביעי צריך לגלות את המונה ,כך ששני השברים יהיו
9
שווים .חוזרים על הפעילות ארבע פעמים ,ומחליפים תפקידים.
אפשר לנהל פעילות זו במליאה.
פעילות ט :כמו פעילות ח' ,אבל הפעם לשני המספרים יהיו שני מחלקים משותפים )לדוגמה12 ,
ו.(18 -
104
פעילות י :כמו פעילות ח' ,אבל הפעם יהיו שני מספרים כלשהם) .לעתים לתלמיד השלישי
ולתלמיד הרביעי לא יהיה פתרון מלבד השבר עצמו ,לדוגמה 5 ,ו(.7 -
5 6 4 15
וכדומה .התלמידים מתבקשים
,
, ,
פעילות יא :על הלוח רשומים שברים:
20 18 6 10
למצוא את המחלקים של המונה ושל המכנה ומתוכם למצוא את המחלקים המשותפים של
המונה ושל המכנה.
השיעור בספר הלימוד
האם אנו מוכנים? – תשובות:
.1ג; .2ד; .3א; .4ג; .5ד; .6ג; .7ב; .8ד.
לעלות על הגל
קטע שיעור ,עמוד :241סימני התחלקות
חזרה על סימני התחלקות במספרים ,9 ,5 ,3 ,2ו ,10 -שהתלמידים כבר מכירים מכיתה ד'.
משימות מס' :2 - 1התלמידים מתבקשים להבחין במספרים שמתחלקים ב ,2 -ב ,3 -ב ,5 -ב-
,9ב.10 -
משימה מס' :3מומלץ לעבוד בקבוצות ,כך שכל קבוצה תפתור את סעיף א' או ב' בלבד ולאחר
דיון משותף יענו כולם על סעיף ג'.
משימה מס' :4משימה הפוכה .התלמידים מתבקשים למצוא את המספרים שמתחלקים ב.10-
משימה מס' :5חזרה על השיעור .התלמיד מיישם את נושא השיעור.
משימה מס' :6חזרה על השיעור .התלמידים יפנימו את הכללים של המספרים המתחלקים ב-
.3
משימה מס' :7אפשר לחלק את הכיתה לקבוצות .תחילה התלמידים צריכים לזהות וליישם
את הכללים של המספרים המתחלקים ב 2-ושל המספרים המתחלקים ב ,3-ובסעיף האחרון-ב-
.9
קטע שיעור ,עמוד :243מספר ראשוני ומספר פריק
חזרה על המושגים "מספר ראשוני" ו"מספר פריק" .מדובר רק במספרים הטבעיים .חשוב
להדגיש את הייחודיות של המספר :1הוא אינו פריק ואינו ראשוני.
משימה מס' :8התלמידים מתבקשים לזהות את המספרים הראשונים שבטבלה.
משימה מס' :9במשימה הזו אפשר להיעזר מלוח המאה שבמשימה .8
משימה מס' :10התלמידים נדרשים לבדוק את הכללים :אם המספר מתחלק ב ,2 -ב ,3 -ב5 -
או במספרים הראשוניים הקטנים מ.119 -
משימה מס' :11מציאת כל המספרים הראשוניים.
105
קטע שיעור ,עמוד :244פירוק לגורמים
בקטע זה חוזרים על פירוק לגורמים של מספרים שונים ועל המושגים הקשורים לכך .יש
להדגיש בפני התלמידים שלכל מספר טבעי יש בוודאות שני גורמים :הוא עצמו ו.1 -
משימה מס' :12מציאת כל הגורמים של המספר הנתון.
משימה מס' :13מציאת כל הגורמים של המספר .60
באמצעות מציאת כל הגורמים של המספר 36התלמיד לומד את המילה " ְמ ַח ֵלק".
משימה מס' :15התלמידים נדרשים לפרק כל אחד מהמספרים הנתונים לשני גורמים שווים.
המספרים הנתונים נקראים מספרים ריבועיים .אלו מספרים המתקבלים ממכפלת מספר
בעצמו .זהו למעשה המשותף לכל המספרים האלה.
משימה מס' :16במשימה זו נדרשים התלמידים לרשום את כל הגורמים של המספר .48
. 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
משימה מס' :17פעילות הפוכה לבדיקה אם מספר הוא מספר ראשוני או פריק .אפשר לבנות
מספר מאותו גורם ,לדוגמה .7x7=49סך הכול יש 15אפשרויות לבניית מספרים שונים.
משימה מס' :18מציאת כל הגורמים של מספר .משימה זו היא הכנה לצמצום שברים
ולמציאת מכנה משותף .יש לשים לב שלמילוי משימה זו נדרש יותר זמן ממשימות אחרות.
משימה מס' :19יישום של משימה מס' .18
משימה מס' :20התלמידים נדרשים למצוא את המחלקים של מספר נתון ואת התכונות של
המספרים הזוגיים והאי-זוגיים.
המספר הנתון
12
15
21
16
25
36
54
64
81
המחלקים של המספר הנתון
12 ,6 ,4 ,3 ,2 ,1
15 ,5 ,3 ,1
21 ,7 ,3 ,1
16 ,8 ,4 ,2 ,1
25 ,5 ,1
36 ,18 ,12 ,9 ,6 ,4 ,3 ,2 ,1
54 ,27 ,18 ,3 ,2 ,1
64 ,32 ,16 ,8 ,4 ,2 ,1
81 ,27 ,9 ,3 ,1
מספר המחלקים
6
4
4
5
3
9
6
7
5
ב( מספר המחלקים זוגי במספרים 21 ,15 ,12ו.54 -
ג( מספר המחלקים אי-זוגי במספרים 64 ,36 ,25 ,16 :ו.81 -
ד( התכונה המשותפת למספרים שיש להם מספר מחלקים אי-זוגי היא שאלו מספרים ריבועיים
המתקבלים ממכפלת מספר בעצמו .במילים אחרות ,השורש הריבועי שלהם הוא מספר שלם.
ה( דוגמה למספר ריבועי נוסף שיש לו מספר מחלקים אי-זוגי :המספר .49המחלקים שלו הם:
7 ,1ו .49 -סה"כ שלושה מחלקים.
משימה מס' :21מציאה של כל הגורמים של מספר נתון.
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
106
יחידת הלימוד -הקניה
קטע שיעור ,עמוד :247שברים שווים
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א' לפני השיעור .בשיעור זה לומדים מהם "שברים שווים".
המושג מוצג בייצוג של מלבן .הבנה זו הכרחית למושגים "הרחבה וצמצום של השבר" .הדגישו
לתלמידים שאפשר להציג כל שבר באין-סוף ייצוגים שונים.
משימה מס' :1התלמידים מתבקשים למצוא מס' שמות שונים של אותו ייצוג שטח.
משימה מס' :2משימה דומה למשימה הקודמת ,אבל השבר שונה.
משימה מס' :3מציאת שמות שונים של שבר נתון.
משימה מס' :4מציאת שמות שונים של שבר בייצוג קטעים.
משימה מס' :5מומלץ לבצע משימה זו בקבוצות ולראות בייצוג את האפשרויות השונות של
ייצוג אותו שבר.
משימה מס' :6התלמידים לומדים להבין את המושג "שבר" באמצעות ייצוג שטחים.
משימה מס' :7במשימה זו אפשר כבר להניח שהתלמידים מבינים מהו השבר.
קטע שיעור ,עמוד :249הרחבה של שברים
חשוב להדגיש לתלמידים שהרחבה של שבר איננה כפל שבר בשלם .כאשר כופלים שבר בשלם,
כופלים את המונה בלבד ,והמכנה אינו משתנה .כאשר מרחיבים שבר ,כופלים באותו מספר
שלם )פרט ל 0 -ול (1 -גם את המונה וגם את המכנה ,ושניהם משתנים )גדלים פי גורם הרחבה(.
הרחבת שבר היא דרך אחת להציג שבר בייצוגים שונים ,ויש אין-סוף אפשרויות להרחבת
השבר.
משימה מס' :8משימת יישום .מחפשים שבר מורחב.
משימה מס' :9משימת יישום .מחפשים גורם הרחבה.
משימה מס' :10תחילה על התלמיד למצוא את גורם ההרחבה ולאחר מכן להשלים את השבר
המורחב.
משימה מס' :11קשר בין ייצוגים שונים של השבר לצורך השוואה.
קטע שיעור ,עמוד :250צמצום של שברים
בשיעור זה לומדים פעולה הפוכה להרחבת שבר -צמצום שבר .גם כאשר מצמצמים את השבר,
מקבלים שבר השווה לשבר נתון ,והפעם מחלקים את המונה ואת המכנה באותו מספר שלם
)פרט ל 0 -ול .(1 -בניגוד להרחבת שבר ,שתמיד אפשר לבצע ,הצמצום לא תמיד אפשרי .שבר
שאי-אפשר לצמצמו נקרא "שבר מצומצם" .יש להדגיש שפעולת צמצום אינה פעולת חילוק של
השבר במספר שלם.
משימה מס' :12משימת יישום .מחפשים שבר מצומצם.
משימה מס' :13משימת יישום .מחפשים את גורם הצמצום.
107
משימה מס' :14תחילה על התלמידים למצוא את גורם הצמצום ולאחר מכן להשלים את
החסר בשבר המצומצם.
משימה מס' :15ייצוג של צמצום השבר בקטעים.
משימה מס' :16על התלמידים להגיע לשבר המצומצם.
12 3
5 1
4 2
ג( =
ב( =
=
א(
20 5
15 3
6 3
16 8
=
ד(
30 15
קטע שיעור ,עמוד :251שבר מצומצם
בשיעור זה לומדים את המושג "שבר מצומצם" ,כלומר שבר שאי-אפשר לצמצמו.
משימה מס' :17משימה זו מורכבת משולשה שלבים :בשלב הראשון התלמידים נדרשים
למיין את השברים לשלוש קבוצות .מיון השברים נעשה כך שבכל קבוצה יהיו שברים שווי-ערך.
בשלב השני התלמידים נדרשים למצוא שם לכל קבוצה .השם הזה הוא למעשה השבר
המצומצם.
ובשלב השלישי התלמידים נדרשים לייצג את השבר המצומצם בעזרת חלוקת המלבן לחלקים
שווים וצביעת אחד החלקים כנדרש.
1
קבוצה א':
4
5
25
2
,
,
20 100 8
,
12 17
,
48 68
2
קבוצה ב':
3
40
60
,
20 12
,
30 18
ייצוג א'
,
ייצוג ב'
5
קבוצה ג':
7
66
99
15 40
,
21 56
,
20 100
,
28 140
ייצוג ג'
משימה מס' :18התלמידים מתבקשים לחלק את השברים לשתי קבוצות זרות לפי השבר
המצומצם ,ולפיו יינתן שם הקבוצה.
קטע שיעור ,עמוד :252צמצום בשלבים
בקטע שיעור זה לומדים לצמצם שבר בשלבים .צמצום השבר עד הסוף אפשרי בצעד אחד בלבד
)בעזרת חילוק המונה והמכנה במחלק המשותף הגדול ביותר( או בכמה צעדים ,זה אחר זה,
כאשר בכל פעם מצמצמים במחלק המשותף שמוצאים באותו רגע.
בדוגמה השנייה מצמצמים בשלבים שברים הבנויים ממספרים גדולים יותר ,כאשר קשה
למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר למונה ולמכנה ,ולכן מומלץ לצמצם עד הסוף
בשלבים.
משימה מס' :19משימת יישום ,שלבי הצמצום מפורטים.
משימה מס' :20התלמידים נדרשים לצמצם את השברים הנתונים .בסעיף א' הצמצום נעשה
בשלבים ,ואילו בסעיף ב' הצמצום נעשה בשלב אחד בלבד.
108
130 65 13
1
דוגמה לצמצום במספר שלבים= = = 3 :
40 20 4
4
12 2
דוגמה לצמצום בשלב אחד= :
30 5
.
משימה מס' :21על התלמידים לצמצם את השברים כך שיוכלו לחלק לקבוצות.
משימה מס' :22מייצגים את השבר בייצוג קטעים.
משימה מס' :23מציאת הגורם החסר בסעיף א' מסייעת בצמצום השברים הנתונים בסעיף ב'.
280 28 14
= =
דוגמה:
500 50 25
משימה מס' :24המטרה של משימה זו היא לצמצם את השברים הנתונים בסעיף ה'.
סעיפים א'-ד' מסייעים במציאת המחלקים המשותפים לשני המספרים 24ו.36 -
א( המחלקים של 24הם .24 ,12 ,8 ,6 ,4 ,3 ,2 ,1
ב( המחלקים של 36הם .36 ,18 ,12 ,6 ,3 ,2 ,1
ג( המחלקים המשותפים ל 24 -ול 36 -הם ,6 ,3 ,2 ,1ו.12 -
ד( המחלק המשותף הגדול ביותר של 24ושל 36הוא .12
ה( צמצום השברים ייעשה על-ידי חלוקת המונה והמכנה ב.12 -
36 3
1
24 24 : 12 2
= =1
באותו אופן:
=
=
24 2
2
36 36 : 12 3
קטע שיעור ,עמוד :254צמצום תוצאה של תרגיל
כאן לומדים להגיע לשבר מצומצם כאשר השבר הוא תוצאה של פעולות חיבור וחיסור.
משימה מס' :25משימת יישום .מצמצמים תוצאה של תרגיל דרך פעולת חיבור.
משימה מס' :26יישום השיעור בשאלה מילולית.
משימה מס' :27משימת יישום של פעולת חיסור.
משימה מס' :28משימת יישום של צמצום תוצאת התרגיל דרך פעולת חיבור וחיסור.
משימה מס' :29משימת יישום .צמצום תוצאה של תרגיל מורכב.
משימה מס' :30משימת יישום בצורה של שאלה מילולית.
קטע שיעור ,עמוד :255צמצום שבר הגדול מ1 -
לומדים לצמצם שבר גדול מ 1 -או את החלק שהוא שבר במספר מעורב.
משימה מס' :31משימת יישום.
משימה מס' :32משימת יישום בצורה של שאלה מילולית.
משימה מס' :33משימת יישום .חיפוש שתי דרכים שונות.
109
קטע שיעור ,עמוד :256השלם כשבר
1
השלם כשבר .לעתים כאשר שבר מצטמצם עד הסוף ,מתקבל שבר מצומצם
1
שבר שבו המכנה שווה ל ,1 -ואז השבר הוא שלם השווה למונה .ייתכן שלתלמידים יהיה קשה
1
להבין את השוויון , = 1והם ישכחו לרשום 1בסוף התרגיל.
1
משימה מס' :34משימת יישום של מציאת השלם בשבר.
שהוא ;1או
משימה מס' :35משימת יישום של ייצוג השלם כשבר.
משימה מס' :36משימות יישום.
משימה מס' :37על התלמידים למצוא את המונה החסר .למעשה ,הם אמורים לפתור משוואה
פשוטה .אפשר להיעזר בכתיבת התוצאה -השלם ) 3או - (8כשבר שהמכנה שלו נתון ) 5או .(10
משימה מס' :38תחילה על התלמידים לצמצם את השבר ולאחר מכן לייצוג את השברים על
ציר המספרים.
משימה מס' :39משימת יישום בצורה של שאלה מילולית.
משימה מס' :40משימת יישום בצורה של שאלה מילולית.
משימה מס' :41חיפוש של שבר שלם במספר שלם נתון .התלמידים יכולים להיעזר בדוגמה
שמיוצגת בתרגיל.
משימה מס' :42חיפוש של שבר שלם במספר שלם נתון .התלמיד יכול להיעזר בדוגמה של
ייצוג שטח של השבר.
מה למדנו ,עמוד :258סיכום הנלמד
משימה מס' :43חזרה על תרגול של צמצום תוצאה של תרגיל דרך פעולת חיבור וחיסור.
משימה מס' :44שאלה מילולית שנדרש בה ייצוג )בציור או על ציר המספרים(.
ממשיכים בתרגול ,עמודים 261 - 259
משימה מס' :1חזרה על הנושא "סימני התחלקות".
להלן פתרון המשימה.
5
3
2
מתחלק ב...
57
2
2
30
24
2
16
2
2
27
2
2
60
110
9
2
2
2
2
2
10
2
2
2
2
משימה מס' :2משימת יישום למציאת המספרים הראשוניים בין 0ל .40 -ישנם שנים עשר
מספרים ראשוניים בין 0ל.37 ,31 ,29 ,23 ,19 ,17 ,13 ,11 ,7 ,5 ,3 ,2 :40 -
כדאי להזכיר לתלמידים שהמספר 1אינו ראשוני ואינו פריק.
משימה מס' :3המספרים 36ו 60 -הם מספרים פריקים שיש להם מספר מחלקים גדול.
36 = 1 × 36 = 2 × 18 = 3 × 12 = 4 × 9 = 6 × 6
60 = 1 × 60 = 2 × 30 = 3 × 20 = 4 × 15 = 5 × 12 = 6 × 10
משימה מס' :4משימת יישום .יש להסב את תשומת לב התלמידים לכך שאפשר לפרק מספר
לגורמים בכמה צורות.
משימה מס' :5השלמת סדרות מספרים מסייעת לתרגול כפולות של מספר נתון .הכפולות של
המספרים 17 ,13ו 19 -אינן מוכרות לתלמידים.
דוגמה.13 ,26 ,39 ,53 ,65 ,78 ,91 ,104 ,117 :
משימה מס' :6משימה זו מורכבת משני שלבים .תחילה נדרש לזהות אם המספר ראשוני או
פריק ואח"כ לפרק את המספר לגורמים .המספר 187אינו ראשוני. 187 = 11 × 17 .
משימה מס' :7הייצוג המובא מקל את ההבנה כי לשבר יש שמות שונים.
משימה מס' :8משימת יישום של הרחבת שברים.
משימה מס' :9התלמידים נדרשים למצוא את גורם ההרחבה ואת השבר המורחב.
משימה מס' :10לכל אחד מהשברים הנתונים יש לכתוב שלושה שברים שווים.
2 4
6
8
= = = .
דוגמה:
9 18 27 36
משימה מס' :11משימת יישום נוספת של הרחבה או של צמצום שברים.
משימה מס' :12כדי לפתור את המשימה הזו יצטרכו התלמידים תחילה לצמצם כל שבר נתון
"עד הסוף" ולוודא שמתקבל אותו שבר מצומצם .כלומר כל שבר נתון הוא שבר מורחב של
השבר המצומצם שיירשם בעיגול .לאחר מכן מחפשים שברים אחרים השווים לשבר
המצומצם .המשימה מורכבת ,ולכן היא עלולה להיות קשה לחלק מהתלמידים בכיתה.
משימה מס' :13משימת תרגול של חיסור שברים בעלי אותו מכנה וכן צמצום שברים.
משימה מס' :14במשימה זו נעשה קשר בין תחום המתמטיקה לבין תחום המוסיקה .צורת
התו מגדירה את משך הזמן שיש לנגן את הצליל.
התו השלם שנראה כאליפסה נטויה נקרא "ארבעה רבעים".
התו המייצג חצי או שני רבעים נראה כישר המשיק לאפילסה ריקה.
הרבע מיוצג על-ידי ישר המשיק לאליפסה מלאה.
השמינית מיוצגת על-ידי אליפסה מלאה ודגלון על הישר האנכי .וכן הלאה.
התלמידים נדרשים לסרטט את התווים המתאימים לתרגילי החיבור שיכתבו.
שאלות מילוליות ,עמוד 262
משימה מס' :1השאלה המילולית מורכבת ממספר סעיפים .הציעו לתלמידים לסמן את
הנתונים בשלושה צבעים שונים כמספר העוגות.
111
א(
ב(
ג(
ד(
1
9 3
מעוגת התפוחים אכלו = .נותר
4
12 4
1
6 3
מעוגת השוקולד אכלו = .נותר מעוגת השוקולד.
4
8 4
1
18 3
מעוגת הגבינה אכלו = .נותר מעוגת הגבינה.
4
24 4
3
משלוש העוגות נאכל אותו החלק .
4
מעוגת התפוחים.
משימה מס' :2בשאלה מילולית זו נדרש צמצום של הסכום כדי למצוא את הפתרון של סעיף
3 5 8 2
2
.
מהמסלול.
ב' .התלמידים עברו במשך יומיים
= = +
12 12 12 3
3
1
אהרון צדק .אכן נותר להם לעבור מהמסלול.
3
2 1
משימה מס' :3שאלה מילולית זו עוסקת בהשוואה בין שברים= .
8 4
אותה הכמות.
לכן מיכל ושי שתו
יישומי מדע ,עמוד 263
התלמידים לומדים את השיטה שפותחה על-ידי הבבלים לקביעת מועד החודש .במשימות
הקשורות לתחום זה התלמידים נדרשים לכתוב את המחלקים של 60את המחלקים של 240
וכן לכתוב את החלק מהירח המלא המיוצג על-ידי שבר ,ולצמצמו.
יום
מספר
החלקים
חלק
מהירח
המלא
שבר
מצומצם
יום
מספר
החלקים
חלק
מהירח
המלא
שבר
מצומצם
1
5
2
10
3
20
4
40
5
80
6
96
15 14 13 12 11 10
9
8
7
240 224 208 192 176 160 144 128 112
5
240
10
240
20
240
40
240
80
240
96
240
112
240
128
240
144
240
160
240
176
240
192
240
208
240
224
240
240
240
1
48
1
24
1
12
1
6
1
3
2
5
7
15
8
15
3
5
2
3
11
15
4
5
13
15
14
15
1
16
224
17
208
22 21 20 19 18
128 144 160 176 192
23
112
24
96
25
80
26
40
27
20
28
10
29
5
30
0
224
240
208
240
192
240
176
240
160
240
144
240
128
240
112
240
96
240
80
240
40
240
20
240
10
240
5
240
0
240
14
15
13
15
4
5
11
15
2
3
3
5
8
15
7
15
2
5
1
3
1
6
1
12
1
24
1
48
0
112
העשרה ,עמוד 264
צמצום שברים על-ידי פירוק לגורמים ראשוניים.
משימה מס' :1משימת יישום של פירוק המונה והמכנה לגורמים ראשוניים לצורך צמצום
שברים.
השבר
המונה
פירוק המונה
המכנה
פירוק המכנה
15
25
24
32
24
60
55
99
15
5× 3
25
5× 3
המחלק
המשותף
הגדול
ביותר
5
32
2× 2× 2× 2× 2
8
24
2× 2× 2× 3
60
2× 2× 3× 5
12
55
11× 5
99
11 × 3 × 3
11
24
2× 2× 2× 3
השבר
המצומצם
3
5
3
4
2
5
5
9
משימה מס' :2
הפתרון המתאים לשאלה המילולית הוא ריבועים שאורך צלעם 11מ' .שימו לב ,במציאות אין
ריבועים בגודל זה.
אנו שולטים בחומר ,עמוד 265
חזרה על פעולות החשבון כפל וחילוק וכן על חישוב של שטח מלבן.
113
עמ' 285 - 266
ח .השוואה בין שברים
רקע
עד כה למדו התלמידים להשוות בין שברים בעלי אותו מכנה ,וכעת הם ילמדו להשוות בין
שברים כלשהם .יש דרכים שונות להשוות בין שברים .הדרך הכללית ה"עובדת" בכל מצבי
ההשוואה בין שברים בעלי מכנים שונים היא הרחבה או צמצום של השברים לפי הצורך עד
לקבלת מכנה משותף .אמנם בדרך זו מגיעים תמיד לפתרון נכון בהשוואה בין שברים ,אולם לא
תמיד היא "חסכונית" ,לכן חשוב שלתלמידים יהיו אינטואיציות להשתמש גם בדרכים
אחרות :השוואה לחצי או השלמה לשלם ,השוואה בין שברים בעלי אותו מונה ועוד .דרכים
אלו נלמדות בפרק הנוכחי .לפחות בהתחלה חשוב לייצג את השברים המיועדים להשוואה כדי
לבחור את דרך ההשוואה.
לפי תכנית הלימודים ,מומלץ להקדיש לנושא זה 6שעות.
מושגים
השוואה ,מונה ,מכנה ,מכנה משותף ,השלמה לשלם ,הרחבה וצמצום
מטרות
התלמידים ידעו:
א .להשוות בין שברים בעלי אותו מכנה;
ב .להשוות בין שברים בעלי אותו מונה;
ג .להשוות בין שברים בעזרת השוואה לחצי;
ד .להשוות בין שברים בעזרת השלמה ל;1-
ה .להשוות בין שברים ביחס לשלם;
ו .להשוות בין שברים על-ידי הבאתם למכנה משותף.
אביזרים ואמצעי המחשה
"קיר השברים" ,שברים על צירי המספרים ,קלפים שמופיעים עליהם המספרים מ 0 -עד .9
אביזרי "חשבון :"10עיגולים נשלפים של שברים ,עיגולים בפרגמנט ,שברים במלבנים )שקף
צבעוני(.
הטמעה
א .חזרה על הרחבת שברים ועל צמצום שברים.
המורה רושמת על הלוח שברים ומבקשת מהתלמידים לצמצם אותם .דוגמאות לשברים:
2 15 3 6
. , , ,
4 30 9 18
5 5 1
וכדומה ומבקשת מהתלמידים להרחיבם ,כך
המורה רושמת על הלוח שברים , ,
12 8 6
שהמכנה המשותף שלהם יהיה .24
114
ב .חזרה על כפולות משותפות.
המורה רושמת על הלוח קבוצות מספרים .התלמידים נדרשים למצוא להם כפולות משותפות.
6 ,4 ;8 ,4 ;4 ,3 ,2 ;20 ,5 ,4 ;5 ,4 ;6 ,3 ,2 ;3 ,2וכדומה.
ג .חזרה על המחלק הגדול ביותר של המספרים.
המורה רושמת על הלוח קבוצות מספרים ומבקשת מהתלמידים למצוא את המחלק הגדול
ביותר של המספרים בכל קבוצה 25 ,15 ;6 ,4 ;8 ,4 ;20 ,5 ;5 ,4 ;3 ,2 :וכדומה.
ד .חזרה על היקף המצולע.
המורה מציירת על הלוח מצולעים שונים וכותבת לידם את אורכי צלעותיהם .לחילופין אפשר
לחלק לתלמידים דף שמצוירים עליו מצולעים כאלה .על התלמידים לחשב את היקף
המצולעים .המורה אומרת לתלמידים את שם המצולע .אם יש לו שם מיוחד ,היא כותבת לצדו
את שמו וחוזרת על תכונות המרובעים המיוחדים )דוגמה :כל צלעות הריבוע שוות באורכן(.
מצולעים לדוגמה:
מלבן
ריבוע
5ס''מ
4מ'
3ס''מ
3ס''מ
5ס''מ
3ס''מ
1ס''מ
3ס''מ
טרפז
1ס''מ
1ס''מ
7ס''מ
4ס''מ
5ס''מ
1ס''מ
1ס''מ
4ס''מ
מקבילית
8ס''מ
7ס''מ
4ס''מ
פעילויות גילוי
1
פעילות א :המורה מבקשת מהתלמידים לכתוב שמות שונים ל-
2
1
המונה לבין המכנה של השבר .רואים שבכל השברים השווים ל , -המונה הוא חצי מהמכנה.
2
1
1
אחר-כך דנים בשמות השונים של )המונה הוא שליש של המכנה( ,של וכן הלאה.
4
3
.בודקים מה הקשר בין
115
פעילות ב :המורה מבקשת מהתלמידים לומר עשרה מספרים קטנים מ 20 -ורושמת אותם על
הלוח .על הקבוצות להרכיב בעזרת המספרים זוגות של שברים שווים.
דנים בדרך להרכבת הזוגות ובהצדקת התוצאות.
שברים על הציר
פעילות ג :מכינים מראש חבל בין שני כיסאות ,החבל ייצג את ציר המספרים ,בעזרת אטבי
כביסה ייתלו קלפים של מספרים .בקצה השמאלי תולים את הקלף " "0ובקצה הימני את
הקלף .1בכל קבוצה עשרה תלמידים .הם מקבלים שלוש חבילות קלפים ,ובכל חבילה קלפים
ממוספרים מ 1 -עד .9כל תלמיד בקבוצה שולף שני קלפים ,יוצר מהם שבר קטן מ 1 -וכותב
אותו על קלף .כל תלמידי הקבוצה ממקמים את הקלפים שלהם על הציר ,ויתר תלמידי הכיתה
בודקים אם המיקום נכון .כותבים על הלוח את דרך ההשוואה של התלמיד ועוברים לתלמיד
הבא .אם התלמידים לא מיקמו את השברים נכון ,משאירים בצד את הקלפים ועוברים
לתלמידים אחרים) .כל השברים קטנים מ ,1 -לכמה מהם יש אותו מונה או מכנה ,לפיכך
לתלמידים יש כלים להשוות .נותרים בצד המקרים הבעייתיים :שברים שהמונים והמכנים
שלהם שונים(.
פעילות ד :בודקים שוב אם אפשר למקם על הציר את הקלפים שנותרו בצד ,בעזרת הדרכים
הרשומות על הלוח.
פעילות ה :אם נותרו קלפים ,כל קבוצה תקבל קלף ותחפש דרך למקם אותו .דנים בנושא.
פעילות ו :אם כל הקלפים מוקמו בפעילות ב' ,המורה תציע שבר "בעייתי" לכל הקבוצות .דנים
ומסכמים.
פעילות ז :חוזרים על פעילות א' ,אך הפעם התלמידים יוצרים שברים גדולים מ.1 -
פעילות ח :עבודה בזוגות" :מלחמת שברים" .כל תלמיד כותב חמישה שברים על חמישה
פתקים ,בלי שבן-זוגו יראה מה כתב .מהלך המשחק :התלמידים מגלים ביחד פתק אחד ,ובעל
השבר הגדול לוקח את שני הפתקים .אפשר גם שבעל השבר הקטן ייקח את שני הפתקים ,או
שתלמיד א' יניח קלף ותלמיד ב' יבחר מבין הפתקים שלו שבר גדול/קטן יותר.
פעילות ט :דיון סופי .התלמידים נשאלים על דרכי ההשוואה בין שברים שונים בעלי אותו מכנה
4
7
4
7
3
)
( ,בעלי אותו המונה ) ו-
( ,בעלי מכנים קרובים )אחד כפולה של האחר :ו-
ו-
7
18
9
15
15
4
3
4
( ובעלי מכנים זרים ) ו .( -הם מתבקשים לייצג את הפתרון שלהם בשיטה משלהם
7
5
9
ולהראות אותו לתלמידים אחרים .על התלמידים האחרים לבדוק את נכונות הייצוג .דנים
בדרכי ההשוואה.
7 8 6 2 1
פעילות י :המורה רושמת על הלוח שברים ומספרים מעורבים, , , 5 , 4 :
8 5 7 3 3
מהתלמידים למצוא דרך לסדר אותם מהקטן ביותר לגדול .דנים בדרכי ההשוואה בין השברים.
,ומבקשת
116
השיעור בספר הלימוד
קטע שיעור ,עמ' :266השוואה בין שברים :הרחבת אחד השברים
לפני השיעור מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א' .בשיעור זה לומדים להשוות בין שברים ,כאשר
מכנה של שבר אחד הוא כפולה של מכנה השבר האחר .לשם כך מוציאים לשני השברים את
המכנה משותף ,ובמקרה זה המכנה המשותף הוא המכנה הגדול מבין השניים.
משימה מס' :1משימת יישום .השוואה בין שברים בעלי אותו מכנה .וכן מציאת מונה חסר
בשבר.
משימה מס' :2משימת יישום.מציאת גורם ההרחבה.
משימה מס' :3משימת יישום .השוואה בשלבים :המכנים מאותה משפחה.
קטע שיעור ,עמ' :267השוואה בין שברים ,הרחבת שני השברים
התלמידים לומדים להשוות בין שברים בעלי מכנים זרים ,כלומר כאשר הם אינם כפולה זה של
זה .במקרה זה צריך להרחיב כל שבר עד לקבלת מכנה משותף לכל השברים.
משימה מס' :4השוואה בשלבים .המכנים של השברים זרים זה לזה.
משימה מס' :5משימת יישום .במשימה זו מפורטים שלבים לפתרון משימות של השוואה בין
שברים.
משימה מס' :6משימה פתוחה .בסעיפים א' ו -ג' דונו עם התלמידים בפתרונם .שימו לב,
1 9
<
בסעיף ב' ישנו פתרון אחד בלבד.
3 15
משימה מס' :7התלמידים רואים שהמכנה המשותף בין שברים אינו יחיד.
משימה מס' :8שאלה מילולית.
משימה מס' :9משימת יישום .המשימה כוללת תרגילים של השוואה בין סוגים שונים של
שברים )בעלי מכנים מ"אותה משפחה" ובעלי מכנים זרים(.
משימה מס' :10דונו עם התלמידים בעמדתם.
קטע שיעור ,עמ' :269השוואה בין שברים בעלי אותו מונה
אפשר להשוות בין כל שני שברים על-ידי הבאה למכנה משותף .עם זאת חשוב להדגיש שלעתים
אפשר להקל את ההשוואה ,למשל ,להשוות בין שברים בעלי אותו מונה .חשוב להדגיש
לתלמידים שבשברים בעלי אותו מונה ,ככל שהמכנה גדול יותר ,כך השבר קטן יותר .מאחר
שהיחס הפוך ,עלול להתעורר קושי אצל תלמידים ,ולכן יש לאפשר להם להשוות בדרך השוואה
הנוחה להם.
משימה מס' :11התלמידים פותרים את התרגילים לפי ייצוגם של השברים.
משימה מס' :12משימת יישום :השוואה בין שברים בעלי מונים שווים.
משימה מס' :13על התלמידים למצוא את המכנה באחד מהשברים .במקרה של אי-שוויון ישנן
אפשרויות שונות למציאת המכנה.
117
משימה מס' :14סידור שישה שברים בעלי אותו מונה ,מהקטן ביותר עד לגדול ביותר.
משימה מס' :15משימה שיש בה כתיבה והשוואה של שברים לפי ייצוג והשלמת ייצוג לפי
שברים נתונים.
משימה מס' :16משימת יישום :השוואה בין שברים יסודיים.
משימה מס' :17על התלמידים למצוא מכנה מתאים ,כך שהאי-שוויון יתקיים.
משימה מס' :18ייתכן שהמשימה תהיה קשה לתלמידים בגלל מורכבותה :התלמידים צריכים
למצוא שבר הנמצא בין השברים הנתונים .במשימה כלולים שברים בעלי אותו מונה או בעלי
אותו מכנה ,בסעיף ב' מופיעים שברים בעלי מונים שונים ומכנים שונים.
בכל הסעיפים יש מספר רב של תשובות נכונות ,מפני שבין כל שני שברים יש אין-סוף שברים
אחרים.
קטע שיעור ,עמוד :271השוואה בין שברים בעזרת השוואתם לחצי
דרך נוספת להשוות בין שברים היא שימוש בחצי .שוב מדובר בזוגות שברים שקל להשוות בינם
לבין חצי ,כלומר שבר אחד גדול מחצי ושבר אחר קטן מחצי.
1
משימה מס' :19משימת יישום :משווים בין השברים הנתונים לבין
2
משימה מס' :20משימת יישום.
.
משימה מס' :21מציאת שברים השווים לחצי והכנה למשימה הבאה.
משימה מס' :22משימת יישום .תוצאות המשימה הקודמת יכולות לסייע לתלמידים בפתרון
משימה זו.
קטע שיעור ,עמוד :272השוואה בין שברים בעזרת השלמה לשלם
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ב' לפני השיעור .דרך נוספת להשוות בין השברים היא לבדוק מי
קרוב יותר לשלם .מובן שדרך זו טובה כאשר קל להשוות בין השברים לבין שלם .משלימים את
השברים הנתונים לשלם ,ומשווים בין ההשלמות .השבר הקרוב יותר לשלם הוא גם הגדול
יותר.
משימה מס' :23משימת יישום וגם דרך מפורטת להשוואה בעזרת השלמה לשלם.
משימה מס' :24ההפרש בין שלם לבין שברים שמשווים ביניהם על-ידי השוואה לשלם ,אינו
תמיד שבר יסודי ,אלא עשויים להיות הפרשים בעלי אותו מונה.
7
11
2
2
7
11
לדוגמה ,בהשוואה בין
< .
ו , -לכן
לבין ההפרשים הם
9
13
9
13
9
13
משימות מס' :26-25השוואה בעזרת פעולת השלמה לשלם ,בדרך של ייצוג.
קטע שיעור ,עמוד :273השוואה בין שברים בעזרת השוואה לשלם
משווים בין כל שבר לבין שלם )ה ;(1 -ואם שבר אחד גדול מ ,1 -והשבר האחר קטן מ ,1 -קל
להשוות בין השברים .גם כאשר נתונים שברים גדולים מ ,1 -אפשר לחשב את מספר השלמים
שבהם וכך להשוות.
118
משימה מס' :27משימת יישום.
משימה מס' :28זיהוי שברים גדולים מ.1 -
משימה מס' :29משימה פתוחה .על התלמידים לכתוב שני שברים גדולים מ 1 -ושני שברים
קטנים מ .1 -דונו עם התלמידים בפתרונם.
קטע שיעור ,עמוד :274השוואה בין שברים גדולים מ1 -
השוואה בין מספרים גדולים מ .1 -חשוב לעודד את התלמידים לבדוק תחילה את מספר
השלמים שבכל שבר.
משימה מס' :30משימת יישום.
משימה מס' :31משימה פתוחה :בכל שלב על התלמידים למצוא שבר גדול מהקודם וקטן
מהבא .דונו עם התלמידים בפתרונם.
משימה מס' :32משימת יישום .מומלץ לבצע אותה בעל פה.
.
משימה מס' :33סידור שברים במספרים "קשים" יותר.
משימה מס' :34בכל שלב על התלמידים למצוא שבר גדול מהקודם וקטן מהבא אחריו .דונו
עם התלמידים בפתרונם.
קטע שיעור ,עמוד :275השוואה בין מספרים מעורבים
בהשוואה בין מספרים מעורבים המקרה היחיד הדורש תשומת לב הוא כאשר החלק השלם
זהה בכל שבר .ההשוואה נעשית בין החלק השברי של כל שבר.
משימה מס' :35משימת יישום .השוואה בין מספרים מעורבים או בין שבר לבין מספר מעורב.
משימה מס' :36מומלץ לבקש מתלמידים שיסבירו מדוע כתבו את הסימן שכתבו .זו הזדמנות
לחשוף סיבות לא-נכונות לתשובה נכונה .דוגמה לסיבה לא-נכונה בסעיף ג'" :השברים מורכבים
מאותן ספרות ,לכן הם שווים".
משימה מס' :37משימה להעמקת ההבנה המספרית .על התלמידים לשלב כללי השוואה בין
שברים בעלי אותו מונה ולהשלים אי-שוויונות .דונו עם התלמידים בפתרונם.
משימה מס' :38השוואה בין שברים בדרך גאומטרית.
משימה מס' :39סיכום כל הדרכים שנלמדו עד כה להשוואה בין שברים .התלמידים פותרים
כל תרגיל בדרך הנוחה להם.
משימה מס' :40התלמידים נדרשים לעבור משבר אחד לשבר גדול יותר .התלמידים יכולים
להשתמש בכל דרכי ההשוואה שלמדו.
משימה מס' :41משימה פתוחה .דונו עם התלמידים בפתרונם.
119
משימה מס' :42סיכום כל הדרכים שנלמדו עד כה להשוואה בין שברים ,כדי לסדר בסדר יורד
שישה שברים.
משימה מס' :43שאלה מילולית ,משימה פתוחה .דונו עם התלמידים בפתרונם.
מה למדנו ,עמוד :277סיכום הנלמד
משימה מס' :44משימת יישום :השוואה בין שברים מסוגים שונים.
ממשיכים בתרגול ,עמודים 281 - 278
משימה מס' :1מוצאים את גורם ההרחבה בעזרת המכנים הנתונים בשני השברים ,ולאחר מכן
מוצאים את המונה החסר באחד השברים.
משימה מס' :2משימת יישום של השוואה בין שברים.
משימה מס' :3ההשוואה בין השברים הנתונים נעשית בשלבים .המכנה המשותף הקטן ביותר
של 4ושל 7הוא .28נרחיב את שני השברים לפי המכנה המשותף שמצאנו:
3 21
4 16
21 16
> .
נשווה בין השברים המורחבים:
=
=
28 28
4 28
7 28
3 4
כעת נשווה בין השברים הנתונים. > :
4 7
משימה מס' :4השוואה בין שני שברים הנתונים בתוך שאלה מילולית.
3 15
3 12
=
ו-
=
המכנה המשותף הקטן ביותר ל 4 -ול 5 -הוא .20
4 20
5 20
3
3
השבר גדול מהשבר .ההשוואה בין השברים יכולה להיעשות גם בדרכים אחרות.
5
4
משימה מס' :5שאלה מילולית העוסקת במרחק .ההשוואה בין השברים יכולה להיעשות
בשלבים ,כמודגם במשימות הקודמות.
משימה מס' .:6בסעיפים השונים יש להשוות בין סוגים שונים של שברים )בעלי מכנים
מ"אותה משפחה" ובעלי מכנים זרים(.
משימה מס' :7כדי לסדר את השברים מהקטן לגדול ,יש להשוות בין השברים.
בשלושת הסעיפים מופיעים שברים בעלי אותו המונה.
משימה מס' :8משימת תרגול להשוואה בין שברים שונים.
משימה מס' :9משימה פתוחה .בכל אחד מהאי-שוויונות יש להוסיף שבר מתאים או מספר
שברים.
2 3 4 5 2
4 6 8
1 1 1
,
,
< < < <
< <
להלן פתרונות אפשריים< < :
10 10 10 10 3
10 10 10
5 4 3
120
משימה מס' :10ישר המספרים הוא אחד מהכלים החשובים להשוואה בין שברים .על-פי
המיקום של המספר על ישר המספרים אפשר להבחין איזה שבר גדול יותר .ככל שהמספר נמצא
5
3
ימינה על ישר המספרים ,הוא גדול יותר .השבר נמצא ימינה ביחס לשבר .
5
7
משימה מס' :11משימת תרגול :השוואה בין שברים בעלי מונים שווים או בעלי מכנים שווים.
משימה מס' :12ההשוואה בין השברים הנתונים בכל סעיף נעשית בעזרת ההשוואה לחצי.
משימה מס' :13משימת תרגול :השוואה בין שברים מסוגים שונים.
משימה מס' :14משימת תרגול של השוואה בין מספרים מעורבים .בכל הסעיפים מופיעים
מספרים מעורבים המורכבים ממספרים שלמים שווים .ההשוואה אם כך נעשית בין השברים.
משימה מס' :15שילוב בין שברים לגאומטריה בעזרת הטנגרם .על התלמידים "לפרק" את
הטנגרם למשולשים קטנים )חצי מהיחידה(.
1
1
שטח ג 1 :שטח:
שטח ב2 :
שטח א2 :
שטח ז1 :
שטח ו:
2
2
משימה מס' :16משימת תרגול נוספת של השוואה בין שברים.
משימה מס' :17שילוב בין הגאומטריה לשברים.
1
הפתרונות של המשימה הזו :א( החלק הצבוע הוא
4
1
1
מהשלם.
ב( החלק הצבוע הוא מהשלם .ג( החלק הצבוע הוא
12
8
3
3
ד( החלק הצבוע הוא מהשלם .ה( החלק הצבוע הוא מהשלם.
8
4
3
ו( השבר הוא השבר הגדול ביותר מבין כל השברים המתאימים לפתרונות בסעיפים א'-ה'.
4
מהשלם.
משימה מס' :18ההשוואה בין האגפים תיעשה רק לאחר חישוב התרגילים .במשימה זו
חוזרים על חיבור ,על חיסור ועל כפל בשברים.
1 3 8
7 5
1
2 3 2
1× < +
,
×− > 2
דוגמאות לפתרונות, 5 × = + :
7 7 7
8 8
9
10 5 5
שאלות מילוליות ,עמוד 282
התלמידים נחשפו בעבר לשאלות מילוליות דומות ,אולם עמוד זה כולל שאלות מילוליות
שהנתונים המספריים בהם אינם מופיעים בספרות ,אלא במילים .תלמידים עלולים להתקשות
בזיהוי הנתונים המספריים.
7
שאלה מס' :1א( יפה אכלה חתיכה גדולה יותר מעוגת השוקולד .ב( נותרו
8
9
מעוגת הגבינה.
ג( נותרו
10
121
מעוגת השוקולד.
משימה מס' :2רישום הנתונים יכול לסייע בפתרון השאלה ביתר קלות.
3 2
> לכן אילנה עברה חלק ארוך יותר מהמסלול.
א(
4 3
1
1
ב( נותר לאילנה מהמסלול .ג( נותר ליונה מהמסלול .ד( ליונה נותר חלק ארוך יותר
3
4
1
1
מהמסלול ,כי גדול מ. -
4
3
5
6
משימה מס' :3א( יוסי צבע חלק גדול יותר של הקיר ,שכן גדול מ-
6
7
1
1
ד( נותר ליוסי מהקיר.
נותר ליגאל מהקיר.
ג(
7
6
1 1
ה( ליגאל נותר חלק גדול יותר לצביעה. > .
6 7
.
היסטוריה ,עמוד 283
בחלק זה מובאת דרך למציאת המכנה המשותף הקטן ביותר .לפי תכנית הלימודים ,התלמידים
אינם צריכים לדעת למצוא אותו ,אך רצוי שתלמידים מתקדמים ידעו כיצד לפעול בדרך
"חסכונית" .אחת הדרכים למציאת המכנה המשותף הקטן ביותר היא למצוא את הכפולה
המשותפת הקטנה ביותר של שני המכנים .את הכפולה המשותפת המינימלית )כמ"מ( אפשר
למצוא כך:
.1רושמים כל אחד מן המכנים כמכפלה של גורמים ראשוניים.
.2מקיפים את כל הגורמים המשותפים לשני המכנים.
.3יוצרים את המכפלה של כל הגורמים המשותפים ,כשכל אחד מהם מופיע במכפלה פעם
אחת ,כפול כל הגורמים שאינם משותפים.
יש לשים לב שאם יש גורם ראשוני שמופיע באחד המכנים יותר מפעם אחת – יש להתחשב בו
לפי מספר הפעמים שהוא מופיע.
משימה מס' :1הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של 15ושל 65היא .195
65 = 13 × 5ו 15 = 3 × 5 -היא . 13 × 3 × 5 = 195
משימה מס' :2הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של 12ושל 18היא .36
7
13
גדול יותר מהשבר
משימה מס' :3השבר
12
18
13 26
,
=
השברים לשברים בעלי מכנים שווים.
18 36
.אחת הדרכים להסבר היא להרחיב את שני
7 21
=
12 36
,
משימה מס' :4הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של 24ושל 6היא ,24ולא .48
העשרה ,עמוד 284
ההסברים של המשימה הראשונה מובילים לפתרון המשימה השנייה(420) .
122
26 21
>
36 36
אנו שולטים בחומר ,עמוד 285
חזרה על מיומנויות חישוב :כתיבת מספרים בספרות ובמילים;
משוואות בחיבור )הסכום הוא מספר באלפים שלמים(;
כפל וחילוק ב) 2 -בלי שימוש במונח "חוק הפילוג לחילוק" כדי למנוע הכללה לא נכונה כמו
158:2=100:2+50:2+8:2אבל 65:12אינו שווה ל.(65:4+ 65:3 -
123
עמ' 307 - 286
ט .חיבור וחיסור שברים
רקע
בפרק זה ממשיכים התלמידים להעמיק את ידיעותיהם בנושא "חיבור וחיסור שברים" .תחילה
הם לומדים חיבור וחיסור של שברים מ"אותה המשפחה" -מכנה של שבר אחד הוא כפולה של
המכנה של שבר אחר -אחר-כך לומדים חיבור וחיסור של שברים באופן כללי.
אפשר לחבר ולחסר שברים באופנים שונים .קודם כול ,יש לזהות את השברים ואת מכניהם.
המכנים יכולים להיות מ"אותה משפחה" )כמו 4ו ,(8 -קרובים )כמו 8ו (12 -או זרים )כמו 4ו-
.(17הדרך המקובלת למציאת מכנה משותף כדי לחבר ולחסר שברים היא להכפיל את המכנים.
בהכר ַח המכנה המשותף הקטן ביותר .קשה למצוא את המכנה המשותף
ֵ
מכנה משותף אינו
הקטן ביותר ,לכן בתכנית הלימודים התלמידים אינם נדרשים למצוא את המכנה המשותף
הקטן ביותר ,אלא הם יכולים למצוא מכנה משותף בדרך פשוטה ובטוחה :הכפלת המכנים.
הדבר נעשה כדי למנוע תסכול בלימודי המתמטיקה.
לעתים מכפלת המכנים אינה כדאית למציאת המכנה המשותף הקטן ביותר ,לכן משתמשים
בדרכים אחרות למציאתו .תלמידים הלומדים למצוא מכנה משותף רק על-ידי מכפלת
המכנים ,עלולים להיתקל בקושי בלימוד אלגברה בחטיבות העליונות.
אחת הדרכים היעילות למציאת מכנה משותף לשברים נתונים היא לפרק כל אחד מהמכנים
לגורמים.
לפי תכנית הלימודים ,יש להקדיש לנושא כ 5 -שעות.
מושגים
מכנה משותף ,חיבור שברים ,חיסור שברים ,שברים מ"אותה משפחה" ,שברים "קרובים",
שברים זרים ,מכפלת מכנים ,פירוק לגורמים.
מטרות
התלמידים ידעו:
א .למצוא מכנה משותף לשברים על-ידי הכפלת המכנים;
ב .למצוא מכנה משותף כאשר אחד המכנים הוא כפולה של מכנה אחר )או של מכנים
אחרים(;
ג .לחבר ולחסר שברים;
ד .למצוא כמות המתאימה לשבר נתון;
ה .לפתור בעיות מילוליות פשוטות הקשורות לנושא.
אביזרים ואמצעי המחשה
קיר השברים ,מלבנים חופפים מסורטטים על דף ,כרטיסים ממוספרים מ 1 -עד ,9עיגולים
ריקים ,דף משובץ.
אביזרי "חשבון :"10שברים בעיגולים )עיגולים מחולקים לחלקים שווים( ,שברים במלבנים,
מד-מטר ,מד-מטר שברים ,מד-מטר מספרים עשרוניים
הטמעה
א .חזרה על ייצוגים שונים של השבר.
כל אחד מהתלמידים מקבל דף משבצות שמסורטטים עליו ריבועים :ריבוע שאורך צלעו 10
משבצות ,ריבוע שאורך צלעו 20משבצות ,וריבוע שאורך צלעו 5משבצות .התלמידים נדרשים
להציג עשירית מכל ריבוע ולתאר את תהליך הבנייה .בריבוע של 5 × 5הייצוג של עשירית אינו
מספר שלם של משבצות .דנים בדרכי הפתרון.
124
שאלות לדיון :האם יש כמה פתרונות?
חשוב להזכיר שהתשובה שלהם צריכה להיות מספר של משבצות או של שטח מתאים ,ולא
המיקום.
ב .חזרה על ייצוגים שונים של השבר.
התלמידים מקבלים דף משבצות שמסורטטים עליו ריבועים :ריבוע שאורך צלעו 10משבצות,
ריבוע שאורך צלעו 20משבצות ,וריבוע שאורך צלעו 5משבצות .התלמידים נדרשים להציג חצי
מכל ריבוע ,רבע ממנו או חמישית ממנו ולתאר את תהליך הבנייה.
בריבוע של 5×5הייצוג של חצי ושל רבע ממנוּ אינו מספר שלם של משבצות .דנים בדרכי
הפתרון.
שאלה נוספת לדיון :האם יש כמה פתרונות?
ג .חזרה על חיבור ועל חיסור של שברים בעלי אותו המכנה.
על הלוח כתובים תרגילים של חיבור שברים ושל חיסור שברים ,ועל התלמידים לפתור אותם.
הפתרון( חוזרים על הכללים לחיבור ולחיסור של שברים בעלי אותו המכנה.
במהלך הדיון )או ְ
12 5 4 4 12 1 2 1 4 5 15 1 5 2
. − , − , −
, − , + , +
דוגמאות לתרגילים, + :
6 6 6 6 13 13 3 3 7 7 16 16 8 8
1
3
4 3
.8
+
דוגמאות לתרגילים שיש בהם מספרים מעורבים, 3 − :
100 100 5 5
ד .חזרה על מיומנויות :הפיכת שבר גדול מ 1-למספר מעורב ולהפך.
על הלוח כתובים מספרים מעורבים ושלמים ,ועל התלמידים למצוא שבר גדול מ 1 -השווה
הפתרון( חוזרים על הכלל.
למספר הנתון .במהלך הדיון )או ְ
1
5
5
2
דוגמאות לשברים.1 , 1 , 4 , 12 , 5 ,8 :
3
2
6
5
על הלוח כתובים שברים גדולים מ , 1-ועל התלמידים למצוא מספר מעורב השווה לשבר הנתון.
הפתרון( חוזרים על הכלל.
במהלך הדיון )או ְ
3 6 8 15 101
. , , , ,
דוגמאות לשברים:
2 6 3 5 100
פעילויות גילוי
פעילות א :על הלוח או על דף המחולק לכל קבוצה או לזוג תלמידים ,מצוירים ציורים של
פיצות/עוגות/קירות .מספרים לתלמידים את הסיפור שלהלן בהתאם לנושא הציורים" :משה
אוכל/צובע שני שלישים מעוגה/מקיר ,ודני אוכל/צובע שישית מעוגה/מקיר" .על התלמידים
לייצג מה אכלו/צבעו משה ודני ביחד .חשוב לחזור על כך שהמכנה הוא כינוי ,ושמחברים רק
דברים בעלי אותו כינוי.
פעילות ב :כל קבוצה מקבלת מספר דפים לבנים או שקפים ,המייצגים עוגה .על חברי הקבוצה
לייצג מצב דומה על-פי בחירתם .עורכים דיון מסכם.
פעילות ג :מרוץ שליחים .על הרצפה מציירים בגיר "מסלול ריצה" שאורכו שמונֶה משבצות.
דבּקות "התחלה" ו"סוף" מציינות את כיוון המסלול .במשבצת השלישית מההתחלה
ִמ ָ
ממקמים שני חפצים או שני ציורים המייצגים רצים ב"מרוץ שליחים" ,אחד כבר רץ והשני
מקבל את ה"מקל" כדי להמשיך .שואלים את התלמידים" :איזה חלק מהמסלול עברו
1
הרצים?"" ,הרץ השני צריך לעבור
מהמסלול .לאיזו נקודה הוא יגיע?" דנים בפתרונות.
2
125
3 1
כותבים על הלוח את התרגיל . + = ? :משאירים את "מסלול הריצה" לפעילות ה') .בכל
8 2
הפעילויות עד פעילות ז' כותבים על הלוח את התרגילים המתאימים(.
7
2
פעילות ד :חוזרים על פעילות ג' במסלול של עשר משבצות ובמספרים ,ו-
10
5
ה"מסלול" לפעילות ה'.
.משאירים את
פעילות ה :שואלים את התלמידים" :בפעילות ב' ו -ג' רץ שלישי היה צריך לסיים את המסלול.
איזה חלק של המסלול נותר לו לעבור?" כותבים על הלוח את התרגיל המתאים.
פעילות ו :מבקשים מהקבוצות לתכנן "מרוץ" אחר )אורך מסלול אחר ,שברים שונים( ולכתוב
על דף או על שקף את התרגילים המתאימים ולהציג אותם בפני המליאה .דנים בדרכים לפתרון
הבעיות.
פעילויות ז :תלמיד אחד קובע את אורך המסלול ,ושני תלמידים אחרים קובעים את החלק של
כל אחד מה"רצים" .הפעם כל רץ ממוקם במשבצת שונה ,ויש אילוץ אחד :מכנה של שבר אחד
אינו הכפולה של המכנה האחר .חוזרים על פעילות ג' במספרים שבחרו הילדים.
הערה :לעתים יעבור ה"רץ" השני את קו הסיום של המסלול .יש לכתוב את התרגילים על הלוח
בצד ,או לשאול כמה הוא רץ מעבר לקו הסיום .חוזרים על פעילות ה' במספרים שהילדים
בוחרים.
פעילות ח :הפעילות מיועדת לעבודה בקבוצות של שלושה תלמידים .עובדים במלבנים
החופפים שנמצאים בנספח שבספר לתלמיד.
לפני תחילת הפעילות כל התלמידים כותבים על קלף שבר קטן מ ,1 -בלי שהאחרים יראו אותו.
מספרים סיפור מסגרת :כל מלבן הוא שדה אבטיחים .התלמידים קוטפים ביחד את
האבטיחים .השבר שכתב כל תלמיד על הקלף ,הוא החלק של כל תלמיד מתוך השדה .חברי
הקבוצה כותבים תרגיל לחישוב החלק שהם קטפו בו בסך הכול .החישוב ייבדק על-ידי תלמידי
קבוצה אחרת או במליאה.
1 1 1 2 1 4 7
עורכים דיון מסכם בכתיבת שרשרת תרגילים .דוגמה+ + = + + = :
4 8 2 8 8 8 8
פעילות ט :בכל קבוצה שולפים באקראי ארבעה כרטיסי ספרות )מחבילת הספרות (9 - 1
ומרכיבים בעזרתם שני שברים קטנים מ .1 -על חברי הקבוצה לחבר את השברים.
בכל קבוצה שולפים באקראי ארבעה כרטיסי ספרות )מחבילת הספרות (9 - 1ומרכיבים
בעזרתם שני שברים גדולים מ .1 -על חברי הקבוצה לחבר את השברים.
בכל קבוצה שולפים באקראי ארבעה כרטיסי ספרות )מחבילת הספרות (9 - 1ומרכיבים
בעזרתם שני שברים גדולים מ .1 -על חברי הקבוצה לכתוב את השברים כמספרים מעורבים
ולחבר אותם.
פעילות י :התלמידים עובדים בדף שמסורטטים בו עיגולים חופפים) .הדף מופיע בנספח שבספר
1
7
לתלמיד (.כל קבוצת התלמידים מקבלת תרגיל חיבור. 2 + 4 :
4
8
על התלמידים לחשב את הסכום בעזרת ייצוג העיגולים בלבד .דנים בתשובות ובדרכי הפתרון.
פעילות יא :בכל קבוצה שולפים באקראי ארבעה כרטיסי ספרות )מחבילת הספרות (9 - 1
ומרכיבים בעזרתם שני שברים קטנים מ .1 -על חברי הקבוצה להשוות בין השברים ,לכתוב
תרגיל חיסור מתאים ולחשב את התוצאה.
126
בכל קבוצה שולפים באקראי ארבעה כרטיסי ספרות )מחבילת הספרות (9 - 1ומרכיבים
בעזרתם שני שברים גדולים מ .1 -על חברי הקבוצה להשוות בין השברים ,לכתוב תרגיל חיסור
מתאים ולחשב את התוצאה.
בכל קבוצה שולפים באקראי ארבעה כרטיסי ספרות )מחבילת הספרות (9 - 1ומרכיבים
בעזרתם שני שברים גדולים מ .1 -על חברי הקבוצה לכתוב את השברים כמספרים מעורבים,
להשוות בין השברים ,לכתוב תרגיל חיסור מתאים ולחשב את התוצאה.
פעילות יב :התלמידים עובדים בדף שמסורטטים בו עיגולים חופפים) .אפשר להשתמש בדף של
פעילות י'(.
1
7
כל קבוצה מקבלת תרגיל חיסור . 4 − 2 :על התלמידים לחשב את ההפרש בעזרת ייצוג
4
8
העיגולים בלבד .דנים בתשובות ובדרכי הפתרון.
השיעור בספר הלימוד
הערה :בפרק הזה אין חלק "לעלות על הגל" ,כלומר הפרק מתחיל בהקניית החומר החדש.
קטע שיעור ,עמוד :286חיבור שברים מ"אותה משפחה"
שברים נקראים מ"אותה משפחה" כאשר מכנה אחד הוא כפולה של המכנה האחר .במקרה זה
המכנה הגדול ביותר יכול לשמש מכנה משותף .התלמידים נדרשים למצוא את המכנה שהוא
כפולה של המכנים האחרים ,ולבחור אותו כמכנה משותף .לאחר מכן יש להרחיב את השברים
האחרים למכנה זה ולבצע את החיבור.
משימה מס' :1משימת יישום.
משימות מס' :2משימת יישום בצורה של בעיה מילולית.
משימות מס' :3משימת יישום בצורה של שאלה מילולית בלי ייצוג.
משימות מס' :4סדרה של משימות מדורגות .בהתחלה נתון ייצוג ובהמשך על התלמידים
לייצג את הנתונים.
משימות מס' :5שאלה מילולית.
קטע שיעור ,עמוד :288חיסור שברים מ"אותה משפחה"
יש להדגיש לתלמידים שכמו בחיבור אפשר לחסר רק שברים בעלי אותו מכנה ,ולכן יש למצוא
מכנה משותף לשני שברים נתונים .במקרה זה המכנה המשותף לשני השברים הוא המכנה
הגדול ביניהם ,והוא גם המכנה המשותף הקטן ביותר.
משימה מס' :6משימת יישום.
משימה מס' :7משימת יישום בצורה של שאלה מילולית.
משימה מס' :8שאלה מילולית מדורגת.
קטע שיעור ,עמוד :289חיבור שברים
בשיעור זה מחברים שברים בעלי מכנים "זרים" ,כלומר אין להם מחלקים משותפים פרט ל.1 -
את המכנה המשותף מוצאים על-ידי הכפלת המכנים .במקרה זה המכנה המשותף שמתקבל
הוא גם המכנה המשותף הקטן ביותר.
127
אם למכנים יש מחלקים משותפים ,המכנה המשותף שמתקבל על-ידי כפל ,לא יהיה המכנה
הקטן ביותר.
משימה מס' :9משימת יישום.
משימה מס' :10משימת יישום :שאלה מילולית עם ייצוג.
משימות מס' :13 - 11שאלות מילוליות חד-שלביות .מומלץ לבקש מהתלמידים לייצג אותם.
משימה מס' :14משימת יישום.
משימה מס' :15שאלה מילולית דו-שלבית .תחילה נדרשים לחבר את שני השברים הנתונים
1
2
ו -ואחר כך לבצע פעולת חיסור כמודגם להלן:
4
3
2 1 8 3 11
= + = +
3 4 12 12 12
11 1
= 1−
12 12
קטע שיעור ,עמוד :291חיסור שברים
בשיעור זה לומדים חיסור שברים במקרה כללי .המכנים הם זרים ,ואת המכנה המשותף
מוצאים על-ידי הכפלת המכנים.
משימה מס' :16משימת יישום.
קטע שיעור ,עמוד :291
כעת לומדים להציג את התוצאה בצורה של שבר מצומצם או בצורת מספר מעורב.
משימות מס' :17התלמידים רואים כי קיימות אפשרויות שונות למכנה משותף .במקרה זה 12
הוא המכנה המשותף הקטן ביותר.
משימות מס' :19 - 18שאלות מילוליות.
קטע שיעור ,עמוד :292תרגילי שרשרת :לחיבור וחיסור של שברים
בשיעור זה לומדים חיבור וחיסור של שברים כאשר יש יותר משני שברים ,כלומר פותרים
תרגילי שרשרת בשברים .השיטה למצוא מכנה משותף היא להכפיל את המכנים .כדאי להסב
את תשומת לב התלמידים לדרך למציאת גורם הרחבה לכל שבר.
משימה מס' :20יש להסב את תשומת לב התלמידים לסדר פעולות חשבון :כאשר בתרגיל
שרשרת הפעולות הן חיבור וחיסור בלבד ,ואין בתרגיל זה סוגריים ,מבצעים את הפעולות
משמאל לימין בזו אחר זו .ישנם תלמידים החושבים בטעות שחיבור קודם לחיסור.
משימה מס' :21שאלות מילוליות.סעיף א' מהווה דוגמה לסעיף ב'.
משימה מס' :22שאלה מילולית דו-שלבית.
משימה מס' :23דונו עם התלמידים ב"סיפור" שלהם.
128
קטע שיעור ,עמוד :293מכנה משותף קטן יותר בתרגילי שרשרת
ממשיכים ללמוד כיצד פותרים תרגילי שרשרת בשברים ,אך הפעם השברים הם מ"אותה
משפחה" .כדאי שהמכנה המשותף יהיה המכנה המשותף הקטן ביותר ,שהוא כפולה של מכנים
אחרים בשרשרת.
משימה מס' :24על התלמידים לבדוק את נכונות פתרון התרגיל שבשיעור ,בדרך שלמדו
בשיעור הקודם :מציאת מכנה משותף על-ידי הכפלת המכנים.
משימה מס' :25משימת יישום .כל השברים מ"אותה משפחה".
משימה מס' :26משימה זו מורכבת משני סעיפים .נדרשת כאן מיומנות של הבנת הנקרא,
והתלמידים צריכים לזהות אילו פעולות נדרשות לפתרון השאלה המילולית.
בשני הסעיפים נדרשות שתי פעולות :חיבור וחיסור.
בסעיף א' אפשר למצוא את החלק מילדי הכיתה שנותרו בחוג הקרטה ,באמצעות שני תרגילים
)חיבור וחיסור( או באמצעות תרגיל שרשרת אחד כמודגם להלן:
1 1 1 3 2 1 5 1 4 2
= = + − = + − = −
2 3 6 6 6 6 6 6 6 3
2
תשובה :בחוג הקרטה נותרו מילדי הכיתה.
3
בסעיף ב' אפשר למצוא את החלק מילדי הכיתה שנותרו בחוג הסקסופון ,באמצעות תרגילים
)חיבור וחיסור ,או באמצעות תרגיל שרשרת אחד ,כמודגם להלן:
10 2 1 10 6 7 16 7 9 3
= = + − = + − = −
21 7 3 21 21 21 21 21 21 7
3
תשובה:
7
מילדי הכיתה נותרו בחוג הסקסופון.
קטע שיעור ,עמוד :294חיבור מספרים מעורבים
בשיעור זה לומדים חיבור של מספרים מעורבים .ישנן שתי דרכים עיקריות לחיבור מספרים
מעורבים (1 :כתיבת מספרים מעורבים כשברים בעלי אותו מכנה וחישוב הסכום; (2חישוב של
סכום השלמים בנפרד ושל סכום החלקים השבריים של המחוברים .יש להדגיש לתלמידים
שבסוף פתרון התרגיל יש לרשום את התוצאה כמספר מעורב ,ולא כשבר .בחיבור החלקים
השבריים מתקבל שבר קטן מ ,1 -כלומר זהו חיבור ללא המרה .בחירת דרך החישוב תלויה
בעיקר במספרים שבתרגילים.
משימה מס' :27משימת יישום .התרגיל המתאים לפתרון השאלה המילולית מופיע במשימה.
התלמידים נדרשים לפתור את התרגיל בשתי הדרכים שנלמדו בקטע השיעור.
דרך א' :חיבור שלמים בנפרד ושברים בנפרד
4
3
2
3 2
9 10
19
1 +2 =1+2+ + =3+ + =3+ =4
5
3
5 3
15 15
15
15
דרך ב :חיבור שברים
3
2 8 8 24 40 64
4
= 1 +2 = + = +
=4
5
3 5 3 15 15 15
15
משימה מס' :28משימת יישום .על התלמידים לצמצם את החלק של השבר.
129
משימה מס' :29משימת יישום בצורה של בעיה מילולית .התלמידים נדרשים לחבר שני
מספרים מעורבים פשוטים .את המספרים הנתונים בבעיה אפשר לחבר גם בעל-פה.
תשובה :נועם וקרן קטפו 8שורות של תפוזים.
משימה מס' :30שאלה מילולית זו עוסקת בחיבור.
1
1
1 2
3
התרגיל המתאים לפתרון השאלה המילולית הוא . 2 + 1 = 3 + + = 3
4
2
4 4
4
3
סינדרלה ניקתה את הבית במשך 3שעות.
4
קטע שיעור ,עמוד :295חיסור שבר משלם
זהו שלב מקדים לחיסור מספרים מעורבים .יש להרגיל את התלמידים לכתוב את השלם כשבר
שהמונה והמכנה שלו שווים למכנה של המחסר .המטרה היא שבשלב מאוחר יותר יוכלו
התלמידים לחשב בעל-פה.
משימה מס' :31משימת יישום .כבר בשלב זה יהיו תלמידים שלא ירשמו את ה 1 -בצורת שבר
שהמונה שלו שווה למכנה שלו ,אלא יבצעו את פעולת החיסור בעל-פה .יש לעודד דרך זו ומדי
פעם לבקש מהתלמידים הסבר לתשובה .אם תלמידים מתקשים בביצוע החיסור בעל-פה ,כדאי
לעודד אותם לפתור בדרך מפורטת ,כדי לוודא שהם אמנם מבינים את התהליך.
משימה מס' :32תרגיל זה מורכב יותר ועלול להיות קשה לתלמידים בכיתה .למעשה ,על
פתרון אחד לפחות לאי-שוויון .כדי להקל על
התלמידים לפתור את המשוואה או למצוא ְ
התלמידים )במידת הצורך( אפשר להציע להם לייצג את התרגיל.
1
1
4
.
כדי לקבל בחיסור מספר גדול מ -צריך לחסר מ 1 -מספר הקטן מ , -לדוגמה
10
5
5
2
1
4
כדי שיתקבל מספר קטן מ -צריך לחסר מספר הגדול מ , -לדוגמה .
5
5
5
משימה מס' :33משימת יישום בצורה של שאל מילולית .שלבי הפתרון מפורטים.
משימה מס' :34משימת יישום בצורה של שאלה מילולית בלי פירוט של שלבי הפתרון.
קטע שיעור ,עמוד :296חיסור שבר ממספר שלם
שתי דרכים לחיסור שבר ממספר שלם מובאות בשיעור .שימו לב שבדרך ב' מפרקים את 3ל2 -
ול ,1 -ומ 1 -מחסרים את השבר הנתון.
5−3
5 3
התרגיל הוא
.2+ − = 2+
5
5 5
מבחינת סדר הפעולות יש לבצע פעולות משמאל לימין ,וכאן הן בוצעו מימין לשמאל .כלומר
פעולת החיסור קדמה לפעולת החיבור .אין בכך בעיה ,מפני שמבחינה אלגברית:
) . a + b − c = a + (b − cאם תתעורר שאלה ,יש לדון בה עם התלמידים -לא בשפה אלגברית,
כמובן ,אלא אפשר להסביר את הדבר בעזרת ייצוג )לדוגמה ,בעיגולים(.
משימה מס' :35משימת יישום.
משימה מס' :36פתרון משוואות כאשר יש למצוא מחסר .המשימה עלולה להיות קשה
לתלמידים בכיתה .כדאי לדון בדרכים לפתרון המשוואה .במקרה הצורך אפשר להיעזר
בייצוגים.
130
1 1
משימה מס' :37בשאלה מילולית זו על התלמידים לפתור את התרגיל . 3 − 1 −חשוב
3 2
להסב את תשומת לב התלמידים לכך שסדר הפעולות הוא משמאל לימין בלבד .יהיו תלמידים
1 1
שיחשבו תחילה בכמה קופסאות השתמשו ,כלומר יפתרו את התרגיל = 1 +ולאחר מכן
3 2
5
יבצעו את החיסור = . 3 − 1גם זו דרך נכונה .דרכים אלו שקולות ,מפני ששתיהן מבוססות על
6
הנוסחה האלגברית. a − b − c = a − (b + c) :
1
משימה מס' :38בשאלה מילולית זו על התלמידים לפתור את התרגיל = . 4 − 2
4
קטע שיעור ,עמוד :297חיסור מספרים מעורבים
בשיעור זה לומדים חיסור מספרים מעורבים ללא המרה .בשיעור מובאות שתי דרכים לביצוע
חיסור זה .גם כעת כותבים את התשובה בצורה של מספר מעורב.
ישנם שני מקרים מיוחדים שאינם מופיעים בשיעור בספר ,אך הם מופיעים בתרגילים(1 :
תוצאה שהיא מספר שלם; (2אחד האיברים הוא שבר קטן מ.1 -
משימות מס' :39משימות יישום .עודדו את התלמידים לכתוב את שלבי החישוב.
משימות מס' :40שאלות מילוליות .שני הסעיפים הראשונים מהווים יישום השיעור .התרגיל
3
1
המתאים לסעיף השלישי הוא המשוואה , __ − 2 = 1כלומר התלמידים צריכים לחשב
4
7
1
3
. 1 + 2הקשר עם חיי היום-יום עוזר להבין את המשימה.
7
4
קטע שיעור ,עמוד :298חיסור מספרים מעורבים )המשך(
בשיעור זה לומדים חיסור מספרים מעורבים בהמרה .דרך א' היא המשך הדרך הנלמדת בלי
המרה ,אך היא עשויה להיות קשה לתלמידים בכיתה .דרך ב' אינטואיטיבית פחות וקלה יותר.
יש לאפשר פתרון תרגילים מסוג זה בדרך הנוחה לתלמידים.
משימה מס' :41משימת יישום .מומלץ לציון בדרכי הפתרון.
1
1
1
משימה מס' :42התרגיל שמתאים לבעיה מילולית זו הוא = ) . 20 − (2 + 3 + 4 + 4
2
5
2
משימה מס' :43דרך א'
1
1
11
2
9
בבוקר השני
= −1 = 1+ −1
10
5
10 10 10
9
7
1
16
2
14
2
+5 −2 =5 −2 =3 = 4
בבוקר השלישי
10
10
5
10
10
10
5
2
1 11 22
דרך ב'
= = 2
5 5 10
7 57
=
10 10
5
1 6 12
= = 1
5 5 10
1 21
=
10 10
2
9 57 22 44
4
2
21 12 9
בבוקר השלישי
בבוקר השני
+
−
=
=4 =4
−
=
10 10 10 10
10
5
10 10 10
131
מה למדנו? עמוד :299סיכום הנלמד
משימה מס' :44שלם אחד צבוע באדום ,חצי מהשלם צבוע בירוק ,חצי נוסף צבוע בכחול ,רבע
צבוע בכתום ,ורבע נוסף צבוע בסגול.
ממשיכים בתרגול ,עמודים 303 -300
משימה מס' :1חיבור שברים שמכניהם מאותה "משפחה" .מכנה אחד הוא כפולה של המכנה
4 2 8
2 10 5
האחר .דוגמה :א( = = + = +
9 18 18 18 18 9
משימה מס' :2חיסור שברים שמכניהם מאותה "משפחה" .דוגמה:
11 2 11 4 7 1
= = − = −
14 7 14 14 14 2
משימה מס' :3חיבור שברים.
משימה מס' :4שאלה מילולית.
7 1 14 9 5
= − = −
התרגיל המתאים לפתרון הוא תרגיל חיסור:
9 2 18 18 18
משימה מס' :5שאלה מילולית דו-שלבית .אפשר לפתור את השאלה המילולית בעזרת שני
להלן:
כמודגם
אחד
שרשרת
תרגיל
בעזרת
או
נפרדים
תרגילים
1 1
3 4
5
= ) .1−( + ) = 1− ( +
4 3
12 12 12
משימה מס' :6תרגילי שרשרת של חיבור וחיסור.
1 1 4 10 5 24 29
= . − + = − +
דוגמה לפתרון תרגיל:
3 6 5 30 30 30 30
משימה מס' :7חיבור מספרים מעורבים.
משימה מס' :8בשאלה מילולית זו קושרים את עולם האגדות לחיבור מספרים מעורבים.
הפתרון לשאלה זו :היפהפייה הנרדמת ישנה 100שנה.
5
3 5
10 9 5
24
42 + 56 + = 98 + + + = 98 + = 98 + 2 = 100
6
4 12
12 12 12
12
משימה מס' :9בשאלה מילולית זו קושרים שוב את עולם האגדות לחיבור שברים.
5
התשובה לשאלה המילולית :כיפה אדומה מגיעה מביתה לבית סבתה במשך 50דקות שהן
6
1 1 2 3 5
השעה .התרגיל המתאים לפתרון הוא = . + = +
3 2 6 6 6
משימה מס' :10שאלה מילולית זו מורכבת ממספר שלבים .התרגילים הנדרשים לפתרון
שאלה זו הם תרגילי חיסור של שבר מ.1 -
132
משימה מס' :11חיסור שבר ממספר שלם.
משימה מס' :12חיבור וחיסור של מספרים מעורבים.
משימה מס' :13חיבור וחיסור של שברים.
להלן הפתרון:
1
2
2
3
5
5
4
5
1
3
5
2
2
5
1
משימה מס' :14שאלה מילולית המורכבת ממספר סעיפים .ארבעה תרגילים מתאימים
לפתרון השאלה.
5
7
2
21
16
5
א(
4בקבוקים של צבע אדום.
5 − 1 = 5 − 1 = 4ייוותרו לתמיר
24
8
3
24
24
24
2
4
2
12
10
2
4 − 1 = 4 − 1 = 3ייוותרו לתמיר 3בקבוקים של צבע צהוב.
15
5
3
15
15
15
5
3
2
9
8
1
3 − 1 = 3 − 1 = 2ייוותרו לתמיר
24
4
3
12
12
12
ב( שימו לב ,בשונה מהסעיף הקודם התרגיל המתאים לפתרון הוא תרגיל חיבור.
1
2
3
4
7
1
1
. 1 + 1 = 1 + 1 = 2 + = 3תשובה :היו לו 3בקבוקים של צבע ירוק.
6
2
3
6
6
6
6
4בקבוקים של צבע כחול.
משימה מס' :15חיבור וחיסור של שברים ומספרים מעורבים.
1
משימה מס' :16בריבוע הקסם סכום המספרים בכל טור ,בכל שורה ובכל אלכסון הוא
4
2 5 1 8 5 2 15
3
1
. + + = + + = =1 =1
3 12 6 12 12 12 12
12
4
להלן הריבוע המלא:
1
3
3
4
1
6
1
4
2
3
5
12
1
12
7
12
1
2
133
.1
משימה מס' :17השבר בכל מלבן הוא סכום השברים הרשומים במלבנים שמתחתיו .להלן
התשובות המתאימות למשימה זו.
7
3
4
7
4
9
4
5
4
1
5
4
3
4
1
2
שאלות מילוליות ,עמוד 304
משימה מס' :1משימה זו מתייחסת למשולש של לייבניץ המתואר בקטע השיעור.
משימה מס' :2שאלה מילולית.
5
אימא הכינה 1ליטרים של מיץ.
12
7
ליטרים של מים כדי להפחית את המתיקות של המיץ.
היא הוסיפה
12
הפתרון .אורן סידר 45
ְ
משימה מס' :3המשימה מורכבת ,וכדאי לדון עם התלמידים בשלבּי
2
קופסאות )נותרו 540ביצים ,כי 60ביצים נשברו( .ביום ראשון הוא מכר 30קופסאות ) (,
3
וסכום המכירות היה 270ש''ח ) .( 9 × 30ביום שני הוא מכר 15קופסאות )יתר הקופסאות(,
וסכום המכירות היה 120ש''ח ) .( 8 × 15בסך הכול הרוויחו בחנות 90ש''ח ביומיים
) ).( 300 − (270 + 120אם צריך ,יש להסב את תשומת לב התלמידים לכך שעליהם לחזור
לתחילת הבעיה כאשר הם עונים על השאלה האחרונה.
134
היסטוריה ,עמוד 305
בקטע ההיסטורי התלמידים לומדים על השברים המצריים ,כלומר שברים שהמונה שלהם הוא
.1למצרים היו כללים שונים .למשל ,הם העדיפו לכתוב שבר באמצעות שני שברים יסודיים
מאשר בשלושה.
2 1 1
2
. = +
דוגמה :את השבר הם כתבו כך:
5 3 15
5
3
קיימות דרכים שונות לייצוג שבר כסכום של שברים יסודיים .לדוגמה ,נייצג את השבר בשתי
5
דרכים.
3 1 1 1 2
3 1 1
דרך א':
דרך ב' )המבוססת על ( = + +
= +
5 3 15 5 5
5 2 10
2 1 1
7 1 1 1
5 1 1
, = +
, = + +
, = +
משימה מס' :1
5 15 3
9 2 9 6
8 2 8
4 1 1 3 1 1
3 1 1
. = + , = +
, = +
9 3 9 8 8 4
5 2 10
4 1 1 1
משימה מס' :2א( . = + +
5 2 5 10
7 1 1
ב( = +
12 2 12
משימה מס' : 3חיסור שברים בתוך כדי שימוש בשברים מצריים .התלמידים נדרשים לייצג
את המחוסר כסכום של שברים יסודיים.
3 1 1 1 1 1
4 1 1 1 1 1 1 1
= − = + −
− = + + − = +
10 5 5 10 5 10
5 2 2 5 10 2 5 10
העשרה ,עמוד 306
משימת ההעשרה עוסקת בסדרה של שברים.
1
א( המספר הקבוע הוא .כדי למצוא את המספר הקבוע מספיק לחשב את ההפרש בין שני
6
שברים סמוכים.
ב( השלמת הסדרה:
1
1 11
8
7 13 31 6
.
30 5 30 15 10 15 30 5
37
כסכום של כל זוג שברים.
ג( אם נחבר את השברים כמתבקש ,נקבל את השבר
30
ד( משימה פתוחה .על התלמידים לכתוב סדרת שברים הבנויה על-פי אותו הכלל.
ה( התלמידים נדרשים לבדוק את סכום זוגות השברים לגבי סדרת השברים שבנו.
ו( אם נחבר את השבר הראשון עם השבר החמישי או את השבר השני עם השבר הרביעי,
11
.מספר זה גדול פי שניים מהשבר השלישי.
נקבל את הסכום
15
אנו שולטים בחומר ,עמוד 307
חזרה על הנושאים שנלמדו בעבר :חזקות ,חישוב שטח ריבוע וחישוב נפח של קובייה.
135
עמ' 334 - 308
י .מרובעים )המשך(
רקע
בפרק זה ממשיכים לחקור את משפחת המרובעים .בפרק ז' התחילו התלמידים להכיר את
הנושא ,חזרו על המושגים הבסיסיים -כמו "מאוּנכוּת"" ,מקבילוּת"" ,זוויות" ו"סימטריה" -
והתמקדו בחקירת התכונות של מקבילית ,של מלבן ,של מעוין ושל ריבוע.
הנוכחי עוסקים בקשרי ההכלה במשפחת המקביליות ובמרובעים נוספים -הטרפז
ְ
בפרק
והדלתון -וכן בקשרי ההכלה במשפחת המרובעים כולה .סדר הצגת הנושאים בפרק זה:
תחילה חוקרים את קשרי ההכלה במשפחת המקביליות עד להגעה לתרשים המקובל ,לאחר
מכן לומדים על הדלתון ועל הטרפז כדי להשלים את הידע על משפחת המרובעים ,ולבסוף
חוקרים את קשרי ההכלה בין סוגים שונים של מרובעים במשפחת המרובעים .הלימוד בכל
חלק נעשה בצורה שיטתית ומבוסס על חקירות רבות הנעשות על-ידי התלמידים .כדי להבין
את קשרי ההכלה דרושות יכולות של חשיבה לוגית ,ראיית כל הצורות העומדות בתנאי נתון
)לדוגמה ,בין המקביליות יש גם מלבנים( ,הסקת מסקנות ,הבנת המושג "הגדרה" ועוד .בפרק
זה התלמידים מפתחים את כל היכולות הללו וגם כישורים נוספים.
תלמידים עלולים להיתקל בקשיים רבים במהלך הלימוד בפרק זה .מומלץ לעודד אותם לעבוד
בחומרי המחשה ,לדוגמה לבנות מרובעים וגם משפחות של מרובעים בעזרת רצועות .ההמחשה
יכולה לסייע להשגת מטרה לימודית .בפרק זה התלמידים יצטרכו להפעיל את שיקול דעתם
במקרים רבים ,לדון בהם ולנמק את מסקנותיהם .מודגש כי אין לדרוש מהתלמידים של כיתה
ה' את הנימוקים הפורמליים ,אלא אפשר להיות גמישים בנושא ההסברים המתקבלים על-
ידיהם .יש תלמידים שינמקו בעזרת חומרי המחשה ,יש שיפעילו את ההיגיון ,ויש שישלבו בין
שתי הדרכים .חשוב לקבל את הנימוקים לפי רמת התלמידים ,אם הם אינם שגויים.
הפרק מתאים לתכנית הלימודים .מומלץ להקדיש לו כ 5 -שעות לימוד.
מושגים
מצולע ,מרובע ,קדקוד ,צלע ,זווית במצולע ,אלכסון ,מאונכוּת ,מקבילוּת ,שוויון צלעות ,צלעות
סמוכות ,צלעות נגדיות ,שוויון זוויות ,זווית ישרה ,זוויות נגדיות ,זוויות סמוכות ,קדקודים
סמוכים ,קדקודים נגדיים; סימטריה שיקופית ,קו סימטריה ,סימטריה סיבובית ,מרכז
סימטריה ,זווית הסיבוב; מיון ,תכונה ,הגדרה ,מרובע כלשהו ,מרובע מיוחד ,מקבילית ,דלתון,
טרפז ,מלבן ,מעוין ,ריבוע ,קשרי הכלה ,משפחת המקביליות ,משפחת המרובעים.
מטרות
התלמידים ידעו:
א .לזהות את הקדקודים ,את הצלעות ,את הזוויות ואת האלכסונים של מרובע נתון;
ב .לסמן מרובע על-ידי אותיות לועזיות ולקרוא את שמו באותיות;
ג .לזהות מרובעים מיוחדים ומרובעים לא-מיוחדים ולשיים אותם;
ד .למיין מרובעים לסוגים שונים לפי תכונה מסוימת;
ה .להגדיר בהגדרה מילולית את המרובעים האלה :מקבילית ,מלבן ,מעוין ,ריבוע ,דלתון
וטרפז;
ו .לסרטט מרובעים ללא אילוצים ובאילוצים נתונים;
ז .לזהות מרובעים בסרטוט מורכב;
ח .לתאר תכונות של צלעות ,של זוויות ושל אלכסונים במרובע;
ט .לבדוק אם מרובע הוא סימטרי ,ומה סוג הסימטריה שלו;
י .למצוא את קווי הסימטריה ואת מרכז הסיבוב במרובעים שיש בהם סימטריה
מתאימה;
יא .למיין מרובעים למקביליות וללא-מקביליות ולנמק את המיון;
יב .לציין את סוגי המרובעים השייכים למשפחת המקביליות;
136
יג.
יד.
טו.
טז.
יז.
לייצג את קשרי ההכלה במשפחת המקביליות בעזרת תרשים;
לציין את סוגי המרובעים השייכים למשפחת הדלתונים;
למיין טרפזים למיוחדים וללא-מיוחדים;
להסביר את קשרי ההכלה במשפחת המרובעים;
לייצג את קשרי ההכלה בעזרת תרשים.
אביזרים ואמצעי המחשה
גפרורים ,קיסמים ,רצועות ,מרובעים מסורטטים גזורים ,מרובעים מוכנים ,מד-זווית רגיל,
סרגל ,עיפרון ,סרטוטים של מרובעים שונים ,משולשים חופפים מוכנים או גזורים מסוגים
שונים ,דף פרגמנט )או דף שקוף אחר(.
אביזרי "חשבון :"10רצועות ,מד-זווית עגול ,לוח מחיק ,שקף משבצות.
הטמעה
חזרה על מקבילית ,על מעוין ,על מלבן ועל ריבוע.
על הלוח מצוירים )בדיוק האפשרי( ארבעה מרובעים :מלבן לא-מיוחד ,ריבוע ,מעוין לא-מיוחד
ומקבילית לא-מיוחדת .המרובעים מסומנים באותיות מ -א' עד ד' .התלמידים מתבקשים לתת
שם לכל מרובע כך שהשם יכלול את כל התכונות של המרובע .לדוגמה ,למלבן אפשר לקרוא גם
ְ
מקבילית )את זה ילמדו בפרק
הנוכחי ,אך ייתכן שחלק מהתלמידים כבר יודעים זאת( ,אבל
השם "מקבילית" לא מתאר את התכונה הייחודית של המלבן )כל הזוויות ישרות( ,ולכן השם
שצריך לתת הוא "מלבן".
אפשר לבקש מהתלמידים לכתוב את רשימת השמות על הלוח המחיק ,וכך תוכלו לבדוק את
תשובות כל התלמידים בו-זמנית .חשוב גם לבקש מהתלמידים לנמק בעל-פה את בחירת השם.
פעילויות גילוי
פעילות א :מיון מרובעים למקביליות וללא-מקביליות) .פעילות קבוצתית(.
התלמידים מקבלים כחמישה-עשר מרובעים שונים )לפחות שניים מכל סוג( :מרובעים סתמיים
)קמורים ולא-קמורים( ,מקביליות ,ריבועים ,מלבנים ,מעוינים ,טרפזים ,דלתונים )קמורים
ולא-קמורים( .אין אומרים להם את שמות המרובעים.
התלמידים מתבקשים למיין את המרובעים לשתי קבוצות -למקביליות וללא-מקביליות -
ולתאר לפי איזו תכונה הם בחרו מקביליות .מטרת הפעילות היא הכנה להבנת קשרי ההכלה
בין המרובעים במשפחת המקביליות.
שימו לב שלתלמידים צריכים להיות כלים לבדיקת התכונה .משווים בין צלעות בעזרת רצועה
)לא חייבים למדוד בדיוק( או בעזרת סרגל )אם רוצים למדוד( .צריך לבדוק כל מרובע )אם יש
ספק( ,אך לעתים אפשר להסתפק בטביעת עין )לדוגמה ,ברור שהצלעות אינן שוות( .כדי לדעת
את זווית היא ישרה ,נעזרים בזווית ישרה כלשהי .שוויון זוויות אפשר לבדוק על-ידי העתקת
זווית אחת על דף שקוף או על-ידי מדידה במד-זווית.
להלן דוגמאות לאוסף המרובעים.
הציורים המוגדלים נמצאים בנספח לפרק במדריך זה.
137
פעילות ב :חקירת התכונות המשותפות למרובעים במשפחת המקביליות.
התלמידים מתבוננים בסוגי מקביליות ,כגון מקבילית לא-מיוחדת ,מלבן לא-מיוחד ,מעוין לא-
מיוחד וריבוע .אפשר להיעזר באוסף מרובעים מוכנים ,גזורים או מסורטטים על דף .על
התלמידים למצוא את מרב התכונות המשותפות של כל המרובעים שלעיל .התכונות הן תכונות
הצלעות ,תכונות של זוויות ,תכונות של אלכסונים ,תכונות של סימטריה.
בפעילות זו יראו התלמידים שכל התכונות המשותפות לכל המרובעים ממשפחת המקביליות,
הן תכונות של מקבילית.
דוגמאות לתכונות המשותפות להמרובעים ממשפחת המקביליות :שני זוגות של צלעות נגדיות
שוות זו לזו ,שני זוגות של צלעות מקבילות זו לזו; שני זוגות של זוויות נגדיות שוות זו לזו;
סכום כל שתי זוויות סמוכות שווה ל) 1800 -סביר שהתלמידים לא יכירו תכונה זו ,ואין צורך
ללמדה(; האלכסונים חוצים זה את זה; לכולם יש סימטריה סיבובית.
פעילות ג :חקירת תכונות ייחודיות של מרובעים במשפחת המקביליות.
התלמידים מתבוננים באוסף המרובעים מפעילות הגילוי ב' ומתבקשים לכתוב לפחות תכונה
אחת ייחודית לכל מרובע ,כלומר שאינה קיימת בסוגים אחרים של מרובעים )מקבילית לא-
מיוחדת ,מלבן לא-מיוחד ,מעוין לא-מיוחד וריבוע( .דנים בהצעות התלמידים .מטרת הפעילות
היא להצדיק את השם המיוחד לכל המרובעים שלעיל.
דוגמאות לתכונות :מלבן – כל הזוויות ישרות )או רק שני קווי סימטריה העוברים דרך אמצעי
הצלעות הנגדיות(; מעוין – כל הצלעות שוות )או רק שני קווי סימטריה העוברים דרך
הקדקודים הנגדיים(; ריבוע – ארבעה קווי סימטריה; מקבילית – אין לה קווי סימטריה כלל.
פעילות ד :בניית תרשימים לתיאור קשרי ההכלה במשפחת המקביליות.
התלמידים מתבקשים לתאר את קשרי ההכלה במשפחת המקביליות בעזרת עץ .כותרתו של
העץ היא שם המרובע המאחד את כל הסוגים האחרים ,ותחתיתו היא שם המרובע "המיוחד
ביותר" ביניהם .את העבודה אפשר לגוון בציור אמתי של עץ ובעזרת מרובעים גזורים או
מוכנים )או בנויים מרצועות( .דנים בתרשימים המוצעים .מטרת הפעילות היא להגיע לתרשים
כמו בעמ' .174להלן דוגמה ל"עץ המקביליות":
לאחר שהתלמידים בונים את העץ ,הם מתבקשים
להוסיף חצים מלמעלה למטה ולהסביר מה הם מציינים.
פעילות ה :חקירת תכונות הדלתון.
בשלב הראשון התלמידים מתבקשים לקחת שתי רצועות בשני גדלים שונים :שתי רצועות
השוות באורכן ושתי רצועות אחרות שוות באורכן .עליהם לבנות מרובעים שונים בעזרת
רצועות אלה ולצייר אותם על דף .דנים במרובעים שנבנו.
מהרצועות שתוארו לעיל אפשר לבנות מקבילית )רצועות שוות מייצגות צלעות נגדיות( ודלתון
)רצועות שוות מייצגות צלעות סמוכות( .הדלתון יכול להיות קמור ולא-קמור )את המושגים
"קמור" ו"לא-קמור" אין מלמדים את תלמידים(.
שואלים את התלמידים אם הם ַמכירים חפצים
שצורתם דלתון )לדוגמה ,עפיפון(.
138
בשלב השני מבקשים מהתלמידים להתבונן בדלתונים מצוירים או מוכנים ולחקור את תכונות
הדלתון :צלעות )שוות ,מקבילות( ,זוויות )שוות( ,אלכסונים )נחצים ,שווים ,מאונכים(,
סימטריה )סיבובית ,שיקופית( .התלמידים בודקים את התכונות בעזרת כלים מתאימים )סרגל
או פס נייר ,מד-זווית או דף שקוף ,זווית ישרה ,מראה או קיפול(.
דנים בתכונות שנמצאות.
כך מציירים בעזרת רצועות:
פעילות ו :דלתונים מיוחדים.
מבקשים מהתלמידים לבנות מרובעים שונים מארבע רצועות זהות .דנים בסוגי המרובעים
שנבנו )ריבוע או מעוין( .דנים בשאלה אם ריבוע ומעוין הם דלתונים) .כן ,כי הם מתאימים
להגדרה של דלתון (.מטרת הפעילות היא להגיע לקשרי הכלה בין דלתונים שונים.
פעילות ז :טרפז.
מבקשים מהתלמידים לבנות מרובע מארבע רצועות שונות באורכן) .רוב התלמידים יבנו מרובע
לא-מיוחד (.לאחר מכן מבקשים מהם להזיז את הרצועות בלי לפרק אותן ,כך שיהיו במרובע
שתי צלעות מקבילות .שואלים" :מהו שם המרובע?" )טרפז (.התלמידים מכירים את הצורה
מהגיל הרך .מבקשים מהתלמידים לסרטט את הטרפז בעזרת הרצועות ולהגדיר במילים מהו
הטרפז .דנים בהצעות .מגדירים את השוקיים ואת הבסיסים של הטרפז .בקשו מהתלמידים לא
לפרק את הרצועות .אחר-כך יבנו התלמידים טרפז מארבע רצועות בשלושה גדלים ,כך ששתי
רצועות יהיו באורך שווה .הטרפז שמתקבל הוא טרפז שווה-שוקיים .גם את הטרפז הזה
מציירים ,ולא מפרקים את הרצועות .בהמשך התלמידים מתבקשים לבחור רצועות מתאימות
ולבנות טרפז ישר-זווית )בטרפז כזה יש שתי זוויות ישרות( .מציירים גם טרפז זה ,ולא מפרקים
את הרצועות .מתבוננים בכל שלושת הטרפזים ודנים בשאלה אם טרפז הוא מקבילית מיוחדת.
)לא ,כי למקבילית שני זוגות של צלעות מקבילות ,ולטרפז זוג אחד בלבד (.שואלים אם טרפז
הוא דלתון) .לא (.שואלים אם טרפז הוא מלבן ,מעוין ,ריבוע .ולהפך :האם מעוין יכול להיות
טרפז? האם דלתון יכול להיות טרפז? וכדומה .מטרת הפעילות היא להגיע למסקנה כי טרפז
הוא סוג נוסף של מרובע מיוחד ,והוא אינו שייך לשום סוג שהכרנו עד כה.
פעילות ח :בניית תרשימים לתיאור קשרי ההכלה במשפחת המרובעים.
פעילות זו מתבצעת בדומה לפעילות הגילוי ג' ,אך הפעם מדובר בכל סוגי המרובעים.
מטרת הפעילות היא לתאר את קשרי ההכלה בין המרובעים על-ידי תרשים) .ראו תרשימים
מתאימים בעמ' 181ובעמ' 182בספר הלימוד (.חשוב לדון בהצעות התלמידים.
השיעור בספר הלימוד
הערה :פרק זה הוא המשך של פרק ז' ,ולכן אין בו עמודים של "לעלות על הגל".
יחידת הלימוד -הקניה
קטע שיעור ,עמוד :308מקביליות ולא-מקביליות
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א' לפני השיעור .בשיעור זה עוסקים במיון המרובעים
למקביליות וללא-מקביליות .השיעור הוא הכנה להבנה של קשרי ההכלה במשפחת
המקביליות .חשוב לדון עם התלמידים בתכונה שממיינים לפיה .חשוב גם למיין בפועל כדי
לאפשר לתלמידים להתלבט.
משימה מס' :1א( שמות המרובעים בקבוצת המקביליות הם :מקבילית ,מלבן ,מעוין וריבוע.
ב-ד( המלבן ,המעוין והריבוע הם מקביליות כי יש להם שני זוגות של צלעות נגדיות שוות
באורכן.
139
ה( בקבוצה השנייה המרובעים אינם מקביליות כי לכל המרובעים בקבוצה זו אין שני זוגות של
צלעות נגדיות שוות באורכן .יש לצפות שהתלמידים ישיבו על השאלות הללו לפי רמתם ובשפה
שלהם .יש לקבל כל הסבר נכון שיינתן על ידי התלמידים ועונה על קריטריון המיון") ,שני זוגות
של צלעות נגדיות שוות( .כאמור ,אפשר לבחור באחת מהתכונות של המקבילית כהגדרה,
והתכונות האחרות הנובעות מההגדרה ישמשו כמאפיינים של המקבילית .תכונות המקבילית
הן :שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות ,שני זוגות של זוויות נגדיות שוות ,אלכסונים חוצים
זה את זה וסכום כל זוג זוויות סמוכות הוא . 180 0התכונות דורשות הוכחה.
התלמידים יוכיחו משפטים באופן פורמאלי בכיתות הגבוהות יותר .בכיתה ה' הנימוקים יהיו
ברמה קונקרטית מוחשית.
משימה מס' :2פיתוח מיומנות סרטוט.
משימה מס' :3מיון לפי הגדרת המעוין ,בדומה למיון לפי הגדרת המקבילית בקטע השיעור
בעמוד בנוגע למקבילית.
משימה מס' :4התלמידים מתבקשים להצדיק את המיון שלהם כמו במשימה .1
משימות מס' :8-5פיתוח ההבנה גאומטריה על-ידי שימוש בתכונות.
קטע שיעור ,עמוד :310משפחת המקביליות
מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי ב' ו -ג' לפני השיעור .בשיעור זה מסכמים את התכונות
המשותפות למקבילית ,למלבן ,למעוין ולריבוע .כל התכונות האלה מייחדות את משפחת
המקביליות .עם זאת לכל אחד מהמרובעים שלעיל יש תכונות מיוחדות שונות ממרובעים
אחרים בקבוצה .חשוב לדון עם התלמידים בקשרים בין המקביליות ולהקדיש זמן להפנמת
קשרים אלה.
משימה מס' :9סרטוט מקביליות ולא-מקביליות ללא אילוצים נוספים.
משימה מס' :10הסבר אפשרי :לריבוע יש כל תכונות המקבילית ,לכן הוא מקבילית .עם זאת
יש לו תכונות מיוחדות משלו ,לכן הוא מקבילית מיוחדת.
משימה מס' :11חשוב לדון בתכונות המובאות על-ידי התלמידים ,ולערוך רשימה של תכונות
מיוחדות של מעוין .דוגמאות לתכונות :האלכסונים מאונכים זה לזה ,כל הצלעות שוות
באורכן.
משימות מס' :13-12פיתוח מיומנות סרטוט וכן זיהוי תכונות של מרובעים מיוחדים.
משימות מס' :16-14פיתוח מיומנות סרטוט ופיתוח ההבנה בגאומטריה על-ידי ניתוח תכונות
האלכסונים של המלבן ושל המקבילית ושל המעוין )מה דומה? ומה שונה?(
משימה מס' :17פיתוח מיומנות סרטוט.
משימה מס' :19-18פיתוח מיומנות סרטוט ופיתוח ההבנה בגאומטריה על-ידי שימוש
בתכונות המקביליות השונות.
משימה מס' :20ייתכן שיהיה צורך להזכיר לתלמידים )למשל על-ידי מראה( .מהו קו סימטריה
של צורה סימטרית :אם נקפל את הצורה לאורך הקו ,שני חלקי הצורה הנמצאים משני צדי
הישר יתלכדו .לכן לריבוע ארבעה קווי סימטריה ,למלבן ולמעוין שני קווי סימטריה.
למקבילית אין קווי סימטריה.
140
משימה מס' :21במשימה זו נדרשים התלמידים לחשב את זוויות המקבילית.
חישוב הזויות ייעשה תוך הסתמכות על תכונות המקבילית :זוויות נגדיות שוות זו לזו וכן
סכום כל זוג זוויות סמוכות הוא . 180 0
קטע שיעור ,עמוד :313משפחת המקביליות )המשך(
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ד' לפני השיעור .בשיעור בונים תרשים לתיאור קשרי ההכלה
בין המקביליות .תלמידים בכיתה ה' מתקשים להבין את התרשים המקובל ,ונדרשים הסברים
פוּתח כדי להקל את הבנת הקשרים .התרשים מפורט יותר
רבים .ה"תרשים המיוחד" ַ
מהתרשים המקובל .המטרה של בניית התרשים היא להבין את מיון המרובעים שבו למרובעים
מיוחדים ולא-מיוחדים .את כל המקביליות אפשר למיין למקביליות מיוחדות )יש להן שם
מיוחד( ולמקביליות שאינן מיוחדות .ממיון זה מגיעים למלבנים ולמעוינים .את כל המלבנים
אפשר למיין למלבנים מיוחדים )יש להם שם מיוחד( ולמלבנים שאינם מיוחדים .את כל
המעוינים אפשר למיין למעוינים מיוחדים )יש להם שם מיוחד( ולמעוינים שאינם מיוחדים .כך
מגיעים לריבוע .כאשר התלמידים מבינים את עקרון החלוקה שתוארה לעיל ,הם יסתדרו גם
בתרשים הרגיל שאינו מפורט כמו העץ.
משימה מס' :22עדיין ייתכן שתלמידים אינם מבינים את משמעות החצים בתרשים ,כי
הנושא הוא קשה .לכן המשימה מסומנת כמשימת אתגר.
משימה מס' :23משימה חווייתית .יש לדון עם התלמידים במספר המרובעים מכל סוג ולהגיע
למסקנה שאם לא מציינים שמדובר במרובע שאינו מיוחד ,יש למצוא את כל המרובעים ,כולל
את המיוחדים .לדוגמה ,סביר להניח שיהיו תלמידים שיכתבו שצבעו מלבן אחד בלבד .אבל
למעשה ,יש בציור שישה מלבנים )חמישה ריבועים ומלבן שאינו מיוחד(.
משימה מס' :24למעשה ,בונים כאן דיאגרמות וֶון שבהן מקובל לתאר את קשרי ההכלה.
)דיאגרמות וון הן כלי לפיתוח לוגיקה ,אך הנושא אינו בתכנית הלימודים( .דיאגרמות אלה
עוזרות בלהבנה עמוקה יותר של קשרי ההכלה .יש לדון עם התלמידים בהצעות שיינתנו .חשוב
שכל התלמידים יתנסו בבניית דיאגרמות וון פשוטות אלה .להלן התשובות.
מקביליות
מקביליות
מעוינים
מלבנים
מלבנים
מעוינים
ריבועים
ריבועים
תשובה אפשרית לסעיף ב'.
מקביליות
מעוינים
ריבועים
משימה מס' :25א( נכון .ב' ו -ג' אינם נכונים .צריך להחליף את המילים בכל סעיף.
קטע שיעור ,עמוד :315הדלתון
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ה' לפני השיעור .בשיעור מלמדים את התלמידים על מרובע
נוסף :דלתון .התלמידים מכירים את הדלתון בצורה חזותית ,והם יכולים לקרוא לו בשמו.
חשוב להציג בפני התלמידים גם דלתון שאינו קמור) .המושג "קמור" אינו מוכר לתלמידים,
ואין ללמדו (.החידוש בשיעור הוא חקירת התכונות של דלתון .שימו לב שאין כוונה ללמד את
כל תכונות הדלתון )הם ילמדו אותן בחטיבת הביניים( ,אלא להכיר את הדלתון כדי לקבל
תמונה שלמה של כל סוגי המרובעים ולעסוק בהמשך בקשרי ההכלה ביניהם.
141
הערה נוספת :ההגדרה המילולית של דלתון קשה במיוחד ,ואין לדרוש מהתלמידים את
ניסוחה ,אלא להסביר בסגנון שלהם ,לזהות אותו ולבנות דלתונים שונים .יש להסביר
לתלמידים את המילה "נפרדים" בהגדרה .הכוונה היא שאין מתייחסים לזוגות של צלעות ,אם
יש לזוגות האלה צלע משותפת .לדוגמה ,אם למרובע יש שלוש צלעות שוות והרביעית שונה
באורכה ,המרובע אינו דלתון ,כי שני זוגות )א' ו -ב' ,א' ו -ג'( של צלעות שוות אינם נפרדים.
א
ב
ג
משימה מס' :26המשימה דומה לפעילות הגילוי ה' .אם התלמידים ביצעו את הפעילות ,אין
צורך בבנייה חוזרת .חשוב לדון בדמיון ובשוני בין מקבילית לבין דלתון שאינו מעוין ואינו
ריבוע .בדלתון כזה הצלעות הנגדיות אינן שוות ואינן מקבילות.
משימה מס' :27חקירת תכונות הצלעות והזוויות של הדלתונים .חשוב להצטייד במד-זווית.
שימו לב לשני הדלתונים המובאים במשימה :קמור ולא-קמור .חשוב שהתלמידים יבדקו את
התכונות בשני הסוגים של הדלתון.
כדי שלא יהיה עומס של למידת מושגים ,לא מומלץ להקנות לתלמידים מושגים כמו "זוויות
ראשיות" או "זוויות משניות".
משימה מס' :28פיתוח מיומנות סרטוט .התלמידים מגלים שבדלתון יש שני אלכסונים ,ורק
אחד מהם חוצה את האחר.
משימה מס' :29פיתוח מיומנות סרטוט ופיתוח הבנה בגאומטריה על-ידי שימוש בתכונות
הדלתון.
משימה מס' :30יישום תכונות המרובעים למידות זוויות וצלעות .התלמידים צריכים לכתוב
את המידות החסרות על-סמך התכונות שהם למדו על הדלתון )שוויון זוויות ,שוויון צלעות
וכדומה( .לתלמידים בגיל זה עדיין קשה להסתפק בנתונים הכתובים ,והם מרגישים צורך
למדוד .אין כאן כוונה למדידה ,אך הנתונים הם אמיתיים.
משימה מס' :31במשימה זו חוקרים סימטריה בדלתון ומפתחים הבנה בגאומטריה.
התלמידים יכולים לבדוק אם בדלתון יש סימטריה שיקופית או סיבובית בכל דרך שיחפצו בה.
מומלץ לגזור דלתון מנייר ולקפלו בכיוונים שונים כדי לבדוק את הסימטריה השיקופית.
המסקנה :לדלתון יש סימטריה שקופית ,קו הסימטריה הוא ישר העובר דרך הקדקודים של
הזוויות שאינן שוות בגודלן )או דרך האלכסון הראשי( .לדלתון שאינו מיוחד אין סימטריה
סיבובית .אפשר לבדוק זאת בעזרת דף שקוף.
משימה מס' :32משימה זו היא יישום של המשימה הקודמת.
משימה מס' :33פיתוח מיומנות סרטוט באילוץ .הסרטוט מבוסס על תכונות האלכסונים של
דלתון )הם מאונכים זה לזה ,ואחד מהם חוצה את האחר( .דונו עם התלמידים בהצעות שלהם
להשלים את הדלתון .יש אין-סוף אפשרויות לסרטט דלתון נכון.
משימה מס' :34פיתוח הבנה גאומטרית על-ידי בניית דלתון ממשולשים.
קטע שיעור ,עמוד :318דלתונים מיוחדים
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ו' לפני השיעור .בשיעור זה עוסקים בקשרי ההכלה בין דלתון,
ומגיעים למסקנה שמעוין וריבוע הם דלתונים מיוחדים .הציור בצבעים שבקטע
מעוין וריבועַ ,
השיעור מקל את מציאת "שני זוגות נפרדים של צלעות שוות" במעוין ובריבוע.
142
משימה מס' :35משימת יישום בעניין הגדרת הדלתון .גם אם התלמידים מזהים את
הדלתונים בעין ,חשוב שינמקו את בחירתם לפי הגדרת הדלתון )כמובן ,אם רמת התלמידים
מאפשרת זאת(.
משימה מס' :36סרטוט דלתונים ולא-דלתונים ללא אילוצים נוספים .הדריכו את התלמידים
לסרטט ,כך שקדקודי הדלתונים יהיו בנקודות הרשת.
משימה מס' :37מטרת השאלות במשימה זו היא להגיע למסקנה כי דלתון לא-מיוחד אינו
מקבילית ,וגם ההפך הוא נכון :מקבילית שאינה מיוחדת ,אינה דלתון .חשוב לדון בעניין.
משימה מס' :38מקבלים מעוין או ריבוע
משימות מס' :40-39פיתוח הבנה גאומטרית על-ידי נימוקים המבוססים על בנייה.
משימה מס' :41משימה הדומה למשימה ,24אך הפעם בונים את דיאגרמת וון המייצגת
דלתונים.
דלתונים
מעוינים
ריבועים
קטע שיעור ,עמוד :320הטרפז
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ז' לפני השיעור .בשיעור עוסקים בסוג נוסף של מרובע :הטרפז.
גם את הטרפז התלמידים מכירים מהגיל הרך ויודעים לשיים אותו .יש להציג את הטרפזים
השונים במצבים שונים במישור ,לאו דווקאכ-טיפוס .התלמידים לומדים גם לזהות בסיסים
ושוקיים בטרפז .התלמידים יכירו שני טרפזים מיוחדים :טרפז שווה-שוקיים וטרפז ישר-
זווית .לפי תכנית הלימודים ,אין ללמד טרפז באופן שיטתי ,זהו נושא של חטיבת הביניים )גם
טרפז שווה-שוקיים ותכונותיו( .עם זאת אפשר להראות לתלמידים את התכונות של טרפז
שווה-שוקיים -כמו סימטריה ,שוויון של השוקיים ושוויון של זוויות הבסיס -אך אין לדרוש
מהם לדעת את תכונות אלה ותכונות נוספות .טרפז הוא מרובע מיוחד ,והוא אינו שייך לקבוצה
של המרובעים המיוחדים שהכרנו עד כה.
משימה מס' :42משימת יישום.
משימה מס' :43על התלמידים לסרטט טרפזים לפי האילוצים .יש אין-סוף דרכים נכונות
להשלמת הטרפזים .שימו לב ,אפשר גם להמשיך את הצלעות המסורטטות.
משימה מס' :44השוואה בין דלתון לבין טרפז .שני המרובעים האלה אינם מקביליות.
המסקנה שהתלמידים מגיעים אליה היא שהטרפז אינו דלתון ושהדלתון אינו טרפז .הדמיון
ביניהם מתבטא בכך ששניהם מרובעים ,כלומר לכל אחד יש ארבעה קדקודים ,ארבע צלעות
וארבע זוויות .לכל אחד יש שני אלכסונים.
משימה מס' :45דונו עם התלמידים .במשמעות של "דומה" ושל "שונה".
משימה מס' :46פיתוח מיומנות סרטוט.
143
משימה מס' :47חקירת הטרפז שווה-השוקיים.
קטע שיעור ,עמוד :322משפחת המרובעים
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ח' לפני השיעור .בשיעור מתוארים קשרי ההכלה בין כל סוגי
המרובעים על-ידי "עץ המרובעים" בדומה לעץ המקביליות שתואר קודם לכן .תרשים ייחודי
זה נעשה כדי שהתלמידים יבינו כי אפשר למיין מרובעים מכל סוג למרובעים מיוחדים ושאינם
מיוחדים ו"לרדת" בעץ עד הריבוע שהוא המרובע "המיוחד ביותר" .כאשר התלמידים יבינו את
הרעיון הזה ,הם יוכלו לבנות עץ כזה בעצמם .המושג החדש בשיעור זה הוא "מרובע כלשהו"
)מרובע שאינו מיוחד ,ואין לו שם נוסף(.
משימה מס' :48בהתבוננות בעץ המרובעים התלמידים ימלאו את הפריטים האלה :א(
מרובעים מיוחדים ומרובעים שאינם מיוחדים; ב( מקביליות ,דלתונים וטרפזים )סדר ההופעה
אינו חשוב(; ג( ריבועים הם מרובעים מיוחדים וגם דלתונים מיוחדים וגם מקביליות מיוחדות
וגם מלבנים מיוחדים וגם מעוינים מיוחדים; ד( ...יותר.
משימה מס' :49פיתוח הבנה גאומטרית על-ידי חקירה יחסי הכללה .א( נכון ב( לא נכון
ג( נכון ד( נכון
קטע שיעור ,עמוד :323משפחת המרובעים )המשך(
בניית התרשים המקובל לתיאור קשרי ההכלה בין כל סוגי המרובעים .תרשים זה ייקלט טוב
יותר אחרי שהתלמידים יבינו את הרעיון של עץ המרובעים מהשיעור הקודם .תרשים זה קצר
יותר ,כי אין בו פירוט כמו בעץ ,לכן חשוב לדון בעץ המרובעים הקודם .שימו לב :טרפז ,דלתון
ומקבילית נמצאים באותו גובה )באותו קו מאוזן( כדי להראות שמעמדם שווה .מלבן ומעוין
נמצאים באותו הגובה ,אך מתחת למלבן ולדלתון .באותו הגובה של המלבן ושל המעוין
נמצאים גם טרפזים מיוחדים ,אך אין לכך ערך מיוחד .ריבוע הוא המרובע הנמוך ביותר ,כי
הוא המיוחד ביותר.
הערה :יש הבונים את התרשים בכיוון ההפוך מן המוצע בפרק זה .כלומר הריבוע למעלה,
המקבילית למטה ,והחצים בכיוון ההפוך .לא כדאי לסבך את התלמידים בתרשימים שונים,
שכן גם כך יש להם עומס מושגים.
משימה מס' :50סיכום ניתוח התרשים שבקטע השיעור .התשובות האפשריות הנכונות:
א( לריבוע יש מרב התכונות המיוחדות; ב( אין חץ המקשר בין הטרפזים לבין המקביליות;
ג( מלבן ,ריבוע ומעוין; ד( כן ,רואים את זה בתרשים אם יורדים לפי החיצים מהמרובע לריבוע;
ה( לא ,לפי התרשים יש מעל לריבוע הרבה מרובעים שאינם ריבוע ,החצים החד-כיווניים
מראים את זה .
ו( לא ,לדוגמה ,למקבילית יש תכונה מיוחדת שאין למרובע כלשהו :שני זוגות של צלעות
מקבילות זו לזו.
משימה מס' :51פיתוח מיומנות סרטוט ופיתוח הבנה גאומטרית על-ידי שימוש בתכונות של
מרובעים מיוחדים.
משימה מס' :52פיתוח מיומנות סרטוט ופיתוח הבנה גאומטרית על-ידי סרטוט וזיהוי של
מרובעים מיוחדים דרך תכנותם .
משימה מס' :53הטענות בסעיפים א' ,ב' ,ד' ,ח' ו-ט' – נכונות .הטענות בסעיפים ג' ,ה' ,ו' ו-ז'
אינן נכונות.
משימה מס' :54סיכום קשרי הכללה בטבלה מפתח דרכי היגיון :כל Aהוא Bכי ל A -יש כל
התכונות של .B
144
סוג המרובע
ריבועים
מעוינים
מלבנים
מקבליות
דלתונים
שם המרובע
ריבוע
מלבן
מעוין
מקבילית
דלתון
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
משימה מס' :55בכל אחד מהמרובעים המיוחדים יש קשר בין אחד האלכסונים שלו וסוג
המשולשים הנוצרים.
משימה מס' :56יישום המשימה הקודמת דרך עשייה בפועל.
א( משני משולשים ישרי-זווית חופפים אפשר לבנות מקבילית ומלבן .אם המשולשים הם גם
שווי-שוקיים אזי אפשר לבנות גם ריבוע.
ב( משני משולשים שווי-שוקיים אפשר לבנות מקבילית ומעוין .אם המשולשים הם גם ישרי-
זווית אזי אפשר לבנות גם ריבוע.
ג( משני משולשים שווי-שוקיים וקהי-זווית אפשר לבנות מקבילית ומעוין.
ד( משני משולשים שווי-צלעות אפשר לבנות מעוין.
מה למדנו? עמוד :326
סיכום הנלמד בפרק.
ממשיכים בתרגול ,עמודים 330 - 327
משימה מס' :1משימת תרגול של סרטוט דלתון כך שהקטע הנתון הוא אחת מצלעות הדלתון.
משימה מס' :2משימת תרגול של השלמת סרטוט של דלתון.
משימה מס' :3האלכסון המחבר את קדקודי הזוויות השוות בדלתון מחלק את הדלתון לשני
משולשים שווי-שוקיים.
משימה מס' :4אחת הדרכים לסרטט אלכסון על דף חלק היא לסרטט שני קטעים המאונכים
זה לזה כך שאחד הקטעים חוצה את האחר .הדלתון ייווצר מחיבור קצות הקטעים.
משימה מס' :5הטענה של דקלה מזמנת שיח עם התלמידים על קשרי הכלה נוספים בין
הדלתון למקבילית .המעוין והריבוע הם גם מקביליות וגם דלתונים.
משימה מס' :6א( דלתון שכל צלעותיו שוות נקרא מעוין.
ב( דלתון ששתי זוויות סמוכות שלו הן ישרות ,נקרא ריבוע.
משימה מס' :7משימת תרגול של זיהוי דלתונים מבין מרובעים מסורטטים .ישנם ארבעה
דלתונים.
משימה מס' :8בסרטוט שבעה דלתונים :ריבוע במרכז ,שני מעוינים ,שני דלתונים שאינם
מעוינים ושני דלתונים שאינם קמורים.
משימה מס' :9משימת תרגול של סרטוט ריבוע .הריבוע הוא דלתון מיוחד.
145
משימה מס' :10השלמת הנתונים החסרים בכל אחד מהאיורים תסתמך על תכונות הדלתון.
בדלתון שני זוגות נפרדים של צלעות סמוכות שוות זו לזו .בדלתון זוג זוויות נגדיות שוות.
משימה מס' :11מספיק להוסיף את המילה "דלתון" מעל המילה "מעוין" בתרשים השמאלי
ולחבר בחץ בין המילים .דלתון מעוין.
משימה מס' :12הטענות בסעיפים א' ,ב' ,ד' ,ה' ,ז' ,ח' ו-י' – נכונות .הטענות בסעיפים ג' ,ו' ו-
ט' אינן נכונות.
משימה מס' :13להלן דוגמה למרובע שאינו מיוחד ואלכסוניו מאונכים זה לזה:
מתחילים בסרטוט האלכסונים .במרובע זה שני האלכסונים שונים באורכם ומאונכים זה לזה.
משימה מס' :14בריבוע ,במעוין ובדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה.
משימה מס' :15להלן דוגמה למרובע שאינו מיוחד ואלכסוניו שווים זה לזה:
משימה :16בריבוע ובמלבן האלכסונים שווים זה לזה .כמו כן בטרפז שווה-שוקיים )שאינו קל
לתפיסה( .התלמידים יכולים לצייר קטעים שווים נחתכים לאו דווקא חוצים זה את זה ולחקור
את האפשרויות השונות.
משימה מס' :17משימת תרגול של יצירת תרשים של משפחת המרובעים.
שאלות מילוליות ,עמוד 331
משימה מס' :1א( טרפז ישר-זווית .ב( מעוין או ריבוע.
ג( מלבן או דלתון.
משימה מס' :2א( כן ,מלבן שכל צלעותיו שוות נקרא ריבוע.
ב( כן ,מקבילית שכל צלעותיה שוות נקראת מעוין.
ג( כן ,טרפז שווה-שוקיים.
ד( כן ,טרפז שווה-שוקיים.
משימה מס' :3א( כל מקבילית היא מרובע .ב( כל מלבן הוא מקבילית.
ג( כל ריבוע הוא גם מלבן וגם מעוין .ד( כל טרפז הוא מרובע.
ה( כל דלתון הוא מרובע .ו( כל מעוין הוא מקבילית.
יישומי מדע ,עמוד 332
הרחבה והעמקה של הידע בנושא שנלמד ,עיסוק בדיאגרמת וֶון ,שאפשר לתאר בעזרתה קשרי
הכלה בין קבוצות שונות.
משימה מס' :1
מרובעים
טרפזים
משימה מס' :2
מקביליות
מקביליות
מעוינים
ריבועים
146
משימה מס' :3
מכוניות מכוניות מכוניות
מרוץ ירוקות
מרוץ
ירוקות
משימה :4להלן תאור הקשרים במשפחת המרובעים על-ידי דיאגרמת וון.
מרובעים
דלתונים
מקביליות
מעוינים
ריבועים
מלבנים
טרפזים
העשרה ,עמוד 333
על התלמידים לנתח מבנה של ציור ולסרטט אותו מחדש בשלבים .כל המשימה מבוססות על
העובדה ששתי נקודות מגדירות ישר .בסרטוט ב( נקודת החיתוך של DGו AB -היא הנקודה
.Hנקודת החיתוך של BGו CD -היא הנקודה . E
אנו שולטים בחומר ,עמוד 334
חזרה על סימני התחלקות ועל מספרים ראשוניים ופריקים ועל מחלקים של מספר.
147
עמ' 381 - 335
יא .מספרים עשרוניים
רקע
בפרק זה מתחילים להקנות לתלמידים את הנושא "מספרים עשרוניים" ,אחד הנושאים
המרכזיים החשובים להבנת נושאים רבים אחרים במתמטיקה ובמדעים אחרים .משתמשים
במספרים עשרוניים גם בחיי היום-יום בתחומים רבים כגון מסחר )מחירים ,משקל ,רישום
מרכיבי מזון ל 100 -גרם וכדומה( ,כלכלה )מדד( ,ספורט )למשל ממוצע קליעות(.
אנו משתמשים במונח "מספרים עשרוניים" ,ולא במונח "שברים עשרוניים" ,כי הכוונה
בכתיבה העשרונית היא לאפשר את ביצוע כל הפעולות במספרים אלה באותן דרכים שמבצעים
את הפעולות במספרים טבעיים ,בניגוד לדרכי החישוב בשברים ,שהן מסובכות הרבה יותר.
קיימות שתי גישות להוראת המספרים העשרוניים:
החזקות השליליות של - 10
ב .הרחבת המבנה העשרוני "מימין" ליחידה ) ֲ
1
1
.( 100 = 102 , 10 = 101 , 1 = 100 , 0.1 = = 10 −1 ,מובן ששיטה זו אינה
= 10 −2......
10
100
מתאימה לרמה של התלמידים ,לכן מלמדים את התלמידים בעזרת שברים יסודיים בעלי
1
1
מכנה שהוא ֶחזקה של ...... ) :10
= .( 0.1 = , 0.01
10
100
ב .שימוש במדידות אורך ומשקל וכן במטבעות כסף .גישה זו נראית "ידידותית" יותר ,אך
בגלל מיעוט השימוש ביחידות מסוימות )דצימטר ,דציליטר ,דציגרם (...נגרמות טעויות
רבות ,בעיקר בהמרה מיחידה ליחידה ,לכן נבחרה גישה משולבת.
לאורך כל הפרקים העוסקים במספרים העשרוניים ,הידע שהתלמידים רכשו מהסביבה ,מוצג
בדרך-כלל כיישום של ההיבט המתמטי .בעזרת דוגמה מחיי היום-יום )מעלות חום שמראה
מדחום ספרתי( מראים לתלמידים בפעם הראשונה את המספר העשרוני בליווי ההסבר כיצד
נבנה המספר )חלק שלם ,חלק שברי ונקודה עשרונית( .לאחר מכן מלמדים אותם בהדרגה על
עשירית ועל המספרים העשרוניים המורכבים מהחלק השלם ומעשיריות בלבד )החלק השברי(.
מדגימים את העשירית בייצוגים שונים; אחר-כך מדגימים את המאית ואת המספרים
העשרוניים המורכבים מהחלק השלם ,מעשיריות וממאיות בלבד )החלק השברי(.
בפרק זה מתייחסים גם למספרים עשרוניים שווים )עד מאיות ,לדוגמה ,(0.30=0.3לתיחום
ולסידור של מספרים על ציר המספרים .התלמידים נחשפים לכתיבה ולקריאה של המספרים
העשרוניים )בשמות שונים( .בחלק של הפרק העוסק במספרים עשרוניים בחיי היום-יום,
מובאות דוגמאות של כסף )שקלים ואגורות( ושל מדידות אורך )מ' – ס"מ – מ"מ(.
חשוב שהתלמידים יבינו שהמספרים העשרוניים הם צורת כתיבה של המספרים השלמים
)לדוגמה (3.00=3 ,ושל השברים שהם למדו עד כה.
הכתיבה של סכומי הכספים בעזרת נקודה עשרונית )לדוגמה (₪ 25.99 ,אינה מקרית ,אלא
מבוססת על כך שבשקל אחד יש 100אגורות ₪ 25.99 .פירושו " 25שלמים ו 99 -מאיות".
בלשון היום-יום אומרים 25" :שקלים ו 99 -אגורות" .באופן דומה עוסקים גם במדידות:
מילימטר הוא עשירית של סנטימטר ,וסנטימטר הוא מאית של המטר.
בעיות שעלולות להתעורר בנושא זה מפורטות ברקע לפרק י"ד.
מומלץ להקדיש ללימוד פרק זה כ 6 -שעות.
מושגים
מספר עשרוני ,עשירית ,מאית ,החלק השלם של המספר ,החלק השברי ,נקודה עשרונית.
148
מטרות
התלמידים ידעו:
א .לכתוב מספרים עשרוניים עד מאיות;
ב .לבטא ולכתוב במילים את המספרים העשרוניים עד מאיות )צורות שונות(;
ג .לתרגם את המספר העשרוני הכתוב במילים ,לשפה המתמטית )כתיבה בספרות(;
ד .לייצג מספרים עשרוניים בייצוגים שונים;
ה .למקם מספרים עשרוניים על ציר המספרים;
ו .לזות מספרים עשרוניים שווים ולכתוב מספר עשרוני השווה למספר עשרוני נתון;
ז .לכתוב סכומי כסף שונים בעזרת מספרים עשרוניים;
ח .לכתוב אורכים בסנטימטרים בעזרת מספרים עשרוניים ולבטא אותם במילים;
ט .לכתוב אורכים במטרים בעזרת מספרים עשרוניים ולבטא אותם במילים.
אביזרים ואמצעי המחשה
שטרות ומטבעות של כסף ,מודעות מעיתונים ,פרסומות מעיתונים ,דף חשבון של קנייה.
משבּצות.
ְ
אביזרי "חשבון :"10מד-מטר שברים ,מד-מטר מספרים עשרוניים ,שקף
הטמעה
א .חזרה על המרת יחידות אורך )המספרים הטבעיים(.
על הלוח כתוב השוויון 10 :מ''מ = 1ס''מ 100 ,ס"מ = 1מ' .על התלמידים לענות על השאלות:
כמה מילימטרים ב 2 -ס''מ? ב 5 -ס''מ? ב 10 -ס''מ? ב 100 -ס''מ? ב 1,000,000 -ס''מ?;
כמה סנטימטרים הם 20מ''מ? 40מ''מ? 100מ''מ? 1,000מ''מ?; כמה ס"מ ב 2 -מ'? ב 20 -מ'?
ב 100 -מ'?; כמה מ' הם 10,000ס"מ?
הערה :חשוב לקרוא כל שאלה בקול רם ,ולא להסתפק בכתיבתה על הלוח .דוגמה" :כמה
סנטימטרים הם 20מילימטר?"
ב .חזרה על המחלקים של מספרים ,שהם ֲחזקות של .10
על הלוח רשומים המספרים .10,000 ,1,000 ,100 ,10התלמידים מתבקשים למצוא את
המחלקים של כל אחד מהמספרים הללו.
ג .חזרה על כפולות משותפות.
התלמידים מתבקשים למצוא מספרים שהכפולות המשותפות שלהם הן .1,000 ,100 ,10
ד .חזרה על הרחבה ועל צמצום של שברים.
על הלוח רשומים שברים )"פשוטים"( ,ועל התלמידים להרחיב או לצמצם אותם לפי ההוראות.
5600 56
3
3000 300 500
180
2
= = ,
=
,
,
דוגמה:
.
= =
= = ,
=
=
100 10 1 1000 100 10 100
1000
100 1 10
ה .חזרה על מבנה עשרוני של מספרים שלמים.
על הלוח כתוב המספר .2,005,489התלמידים מתבקשים לקרוא את המספר ולענות על
השאלות :מהי ספרת היחידות במספר? מהי ספרת האלפים במספר? מהי ספרת מאות
האלפים? כמה מיליונים במספר זה? כמה אלפים במספר זה? כמה עשרות במספר זה? כמה
מאות אלפים במספר זה? וכדומה.
149
פעילויות גילוי
פעילות א :פעילות הכנה ל"מספרים עשרוניים על ציר המספרים" .הכיני מראש רצועה באורך
של כ 50 -ס"מ .רצועה זו תשמש קטע היחידה.
לאורך כל הלוח מסורטט ציר המספרים ,ומסומנים בו שלושה מספרים 1 ,0 :ו.2 -
0
1
2
מראים את קטע היחידה )הרצועה( ,ומבקשים מהתלמידים מתבקשים למצוא דרך לסמן את
המספרים 3ו 4 -באופן מדויק על ציר המספרים.
המטרה היא לעורר את הצורך בשימוש בקטע היחידה) .התלמידים לוקחים את הרצועה,
מניחים אותה על הציר ומסמנים את המספרים(.
3
2
0
1
פעילות ב :מומלץ לעבוד בזוגות .חשוב שכל סימון ייעשה בעיפרון ,ולא בעט.
כל זוג מקבל רצועה שאורכה כשני מטרים )אפשר להשתמש בגלילים של מכונת חישוב או בצד
הלא-כתוב של שני מדי המטר שבמארז האביזרים( ,ורצועה קטנה שאורכה כחמישה
סנטימטרים.
1
מטרות הפעילות היא לקשר בין עשירית לבין ,1בין
לבין 0.1על ציר המספרים.
10
0
הפעם הרצועה הקטנה היא עשירית של היחידה .התלמידים מתבקשים לסמן את המספר 1על
הרצועה הגדולה ,כאשר מותר להשתמש ברצועה הקטנה בלבד.
טעות נפוצה של התלמידים בביצוע פעילות זו היא לסמן ֶשנֶת אחת בלבד על הרצועה הגדולה
ולטעון שהם כבר הגיעו ל .1 -חשוב לדון בעניין השנתות ולציין שכדי לקבוע יחידה על ציר
המספרים דרושות שתי נקודות.
מבקשים מהתלמידים לסמן גם את שלבּי הביניים )אם היו להם(.
בתום ביצוע פעילות זו יהיה לתלמידים ציר מספרים ,ובו יחולקו קטע היחידה מ 0 -עד 1
לעשרה חלקים שווים.
0
1
1
מציינים לתלמידים שמוסכם ש= 0.1 -
10
פעילות ג :דנים בשאלות כיצד אפשר לסמן על הציר את נקודות הביניים ,ומה אפשר לכתוב על
הרצועה .סביר להניח שהתלמידים יעלו את הרעיון לסמן שברים )"פשוטים"( ,ולא יציעו את
האפשרות לכתוב מספרים עשרוניים 0.3 ,0.2 ,0.1 :וכן הלאה .דנים בשתי האפשרויות לסימון,
שהוזכרו לעיל :שברים )"פשוטים"( ומספרים עשרוניים.
.
150
פעילות ד :פעילות זו נעשית בעזרת אחת הרצועות הגדולות )כמו בפעילויות הקודמות( .כל
קבוצה מתבקשת לבחור מספר טבעי מ 1 -עד ) 9כולל( ולכתוב אותו במקום המספר 0על
הרצועה .במקום המספר 1שהיה כתוב על הרצועה ,יכתבו התלמידים את המספר העוקב
למספר הנבחר .בין שני השלמים האלה מסומנת נקודה ,והתלמידים מתבקשים לשיים אותה.
דנים עם התלמידים באפשרויות שונות לסימון הנקודה ובנוחות של הסימון על-ידי מספרים
עשרוניים לעומת המספרים המעורבים .לדוגמה ,אם התלמידים בחרו את המספר 3וכתבו
אותו במקום ,0במקום 1יהיה כתוב המספר .4הנקודה שהייתה מסומנת באחת הפעילויות כ-
7
0.7תהיה 3.7או . 3בדיון מקשרים בין החלק השברי במספר מעורב לבין החלק הקטן מ1 -
10
במספר העשרוני.
פעילות ה :לאחר סימון אחת עשרה שנתות על הרצועה הגדולה יתבקשו התלמידים לסמן על
הרצועה הגדולה את המספר .0.7
שאלות נוספות שנשאלות :כיצד אפשר לסמן את המספר ?2.1 ?1.3וכדומה.
3
1
דנים עם התלמידים בכך ש-
1.3 = 1 +וש2.1 = 2 + -
10
10
פעילות ו :כל תלמיד מצייר בדף משובץ )בשקף המשבצות( שני ריבועים שכל אחד מהם מחולק
לעשרה חלקים שווים ,וצובע מספר חלקים כרצונו .לאחר הצביעה אומרים שכל ריבוע הוא
השלם ,ומבקשים לכתוב כשבר וכמספר עשרוני איזה חלק מהריבוע מהווים החלקים הצבועים.
פעילות ז :כל תלמיד מצייר בדף משובץ )בשקף המשבצות( ריבוע המחולק למאה חלקים
שווים ,וצובע חלק אחד .שואלים" :איזה חלק מהשלם מהווה המשבצת הצבועה? איך אפשר
1
.
לכתוב את החלק כמספר עשרוני?" מציינים לתלמידים שמוסכם ש= 0.01 -
100
פעילות ח :מומלץ לבצע את הפעילות בזוגות .כל זוג מצייר בדף משובץ )בשקף המשבצות(
ריבוע המחולק למאה חלקים שווים ,וצובע מספר חלקים כרצונו .לאחר הצביעה מבקשים
לכתוב כשבר וכמספר עשרוני איזה חלק מהריבוע מהווים החלקים הצבועים .סביר להניח
43
שהתלמידים לא יתקשו לכתוב שבר ,לדוגמה,
.חוזרים על הסכם הכתיבה ,וכותבים
100
43
.
= 0.43
100
פעילות ט :על התלמידים לבחור שבר קטן מ ,1-שמכנהו ,100לפרוס את מד-מטר השברים,
לחפש את השבר ולכתוב בלוח מחיק את המספר העשרוני השווה לו .בודקים את התשובה על-
ידי פריסת מד-מטר המספרים העשרוניים והצמדת שני הצירים זה מתחת זה ) 0מתחת ל,0 -
10מתחת ל 10 -וכן הלאה(.
פעילות י :כל תלמיד מצייר בדף משובץ )בשקף המשבצות( שני ריבועים שכל אחד מהם מחולק
למאה חלקים שווים ,וצובע מספר חלקים כרצונו .לאחר הצביעה אומרים שכל ריבוע הוא
השלם ,ומבקשים לכתוב כשבר וכמספר עשרוני איזה חלק מהריבוע מהווים החלקים הצבועים.
מבקשים מהתלמידים שצבעו יותר משלם אחד ,להציע צורת כתיבה בשיטה העשרונית לתיאור
החלק שצבעו.
פעילות יא :משתמשים בטבלה של המבנה העשרוני .חמישה תלמידים אומרים מספרים
עשרוניים ,המורה כותבת את המספרים על הלוח .מבקשים מהתלמידים לכתוב אותם בטבלת
151
המבנה העשרוני .בדיון שואלים" :מהי ספרת היחידות ,העשיריות ,המאיות בכל מספר? מהו
מיקומן של ספרות אלה בטבלת המבנה העשרוני? מהו ערכה של כל ספרה במספר "?23.45
פעילות יב :מבקשים מהתלמידים לכתוב מחירים של פריטים שהם קנו השבוע )לחמנייה,
שוקו ,מסטיק וכדומה( .דנים במשמעות של המספרים האלה.
פעילות יג :התלמידים מקבלים מודעת פרסומת מהעיתון או עלון פרסום שרשומים בו מחירים
של מוצרי מזון שונים .עליהם להקיף בעיגול את החלק השברי של כל מספר עשרוני בדף.
פעילות יד :מטרת הפעילות היא שהתלמידים יבינו את הקשר בין המושג "שלם" במבנה
העשרוני לבין המושג "יחידה" במדידות .מבקשים מהתלמידים למדוד את האורך ואת הרוחב
של הספר "חשבון "10ולכתוב את תוצאת המדידה כשבר וכמספר עשרוני .בדיון שואלים:
"מהו השלם? מהי היחידה?".
לאחר מכן מודדים בעזרת מד-המטר חפצים שונים בכיתה )שולחנות ,ארון ,אורך הלוח(...
וכותבים את המידות כמספרים עשרוניים .בכל פעם מציינים מהי היחידה ,מהו החלק השלם
ומהו החלק השברי.
פעילות טו :כל תלמיד מצייר בדף משובץ )בשקף המשבצות( ריבוע המחולק למאה חלקים
שווים ,וצובע מספר שורות או עמודות שלמות ,לדוגמה ,ארבע שורות .לאחר הצביעה אומרים
שכל ריבוע הוא השלם ,ומבקשים לכתוב כמספר עשרוני איזה חלק מהריבוע מהווים החלקים
הצבועים .התלמידים יתווכחו אם צריך לכתוב 0.4או .0.40אם התלמידים אינם מעלים אחת
4
40
מהאפשרויות ,המורה מציגה אותה .מגיעים למסקנה שמאחר ש-
= ,אפשר להגיד ש-
10 100
.0.4=0.40
פעילות טז :התלמידים מתבקשים לגזור פרסומות של מוצרים או קטלוגים של מוצרים.
בוחרים מוצר ומשווים בין המחירים בפרסומים שונים .דנים בדרכי ההשוואה.
השיעור בספר הלימוד
בדיקת ידע קודם בנושאים האלה :ערך של ספרה )שאלות ,(1 ,2 ,5הבחנה בין ערך הספרה
ומספר עשרות ,מאות ...במספר) ,שאלות , (4-3שברים בעלי מכנה של חזקות של .10
האם אנו מוכנים? – תשובות:
.1ב; .2ג; .3ג; .4ב;
.5ב;
.6ב;
.7ב;
.8ב;
.9ד;
.10ד.
לעלות על הגל
קטע שיעור ,עמוד :336המבנה העשרוני
חזרה על משמעות כתיבת מספרים טבעיים לפי המבנה העשרוני ,ובעיקר חזרה על ערך הספרה
לפי מיקומה.
משימה מס' :1משימת יישום .כתיבת מספרים נתונים מספרות למילים.
משימה מס' :2משימת יישום .כתיבת מספרים נתונים ממילים לספרות .פעולה הפוכה
מהמשימה הקודמת.
משימה מס' :3משימת יישום .על התלמידים לייצג את מיקומה של הספרה 3במספר ולקבוע
את ערכה במספר.
152
משימה מס' :4משימת יישום .ייצוג מספר בטבלה של המבנה העשרוני.
משימה מס' :5מומלץ להיעזר בחשבונייה או בטבלה של המבנה העשרוני .בתחילת המשימה
על התלמידים לייצג את המספר בחשבונייה או בטבלה ולאחר מכן לחפש את הערך של המספר
.105
משימה מס' :6משימת אתגר .מומלץ לדון בתרגיל בכיתה.
קטע שיעור ,עמוד :338פילוג המספר על-פי המבנה העשרוני
בשיעור זה חוזרים על פילוג המספר לפי המבנה העשרוני.
משימה מס' :7על התלמידים לפלג מספר לפי המבנה העשרוני או להרכיב מספר לפי התיאור
שלו .יש לדון עם התלמידים בפתרון של סעיף ו' ,מפני שריבוי האפסים במספר זה עשוי
להקשות על התלמידים בכתיבת המספר הנכון.400,508 :
משימה מס' :8על התלמידים להרכיב מספרים מהספרות הנתונות לפי האילוצים הנתונים.
דונו עם התלמידים בדרכי הפתרון ובאפשרויות השונות של הרכבת המספרים.
א( מספר המאות הגדול ביותר )לפי תנאי המשימה( הוא .87ספרת העשרות וספרת היחידות
אינן משפיעות על נכונות התשובה ,לכן ישנן אפשרויות שונות ,לדוגמה 8,765 ,או 8,712וכדומה.
ב( מספר העשרות הקטן ביותר )לפי תנאי המשימה( הוא ,10מפני שהמספר אינו יכול להתחיל
ב .0 -ספרת היחידות היא לפי בחירת התלמידים .דוגמאות.104 ,103 :
ג( התשובה.864 :
ד( התשובה.1,357 :
קטע שיעור ,עמוד :339עשירית ,מאית ואלפית
מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי א' ו -ב' לפני השיעור.
בשיעור זה חוזרים על השברים עשירית ,מאית ואלפית ועל הקשרים ביניהם .מטרת התזכורת
של השברים שמכניהם 1,000 ,100 ,10בלבד ,היא הכנה להקניית המספרים העשרוניים.
הוחלט לכלול חזרה זו ביחידת ההקניה כ"פתיח" טבעי להמשך הפרק.
משימה מס' :9משימת יישום .בסעיפים ב' ,ד' ו-ו' על התלמידים להכפיל את מספר העשיריות
ב.3-
משימה מס' :10על התלמידים להשלים את החסר על-פי הקשרים בין יחידות ,עשיריות,
מאיות ואלפיות .התרגיל עשוי להיות קשה לתלמידים ,לכן מומלץ לדון בדרכי הפתרון .לדוגמה,
8,100
,וכך קל לראות שמספר זה
אפשר לרשום את המספר 8,100מאיות בצורת שבר כך:
100
שווה ל 81 -שלמים.
משימה מס' :11על התלמידים להשוות בין השברים השונים )מכני השברים תמיד 100 ,10או
.(1,000ההשוואה נעשית בעזרת צמצום שברים או הרחבתם למכנה משותף.
משימה מס' :12על התלמידים להרחיב את השבר ולמצוא שמות המתאימים לו.
משימה מס' :13על התלמידים לכתוב בספרות את השברים המיוצגים על-ידי חלק של שטח
ריבוע המחולק ל 100 -חלקים שווים.
משימה מס' :14שאלה מילולית זו משלבת הבנת הנקרא ,ייצוג שברים כמו במשימה 13
)פעולה הפוכה( והשוואה בין שברים.
153
משימה מס' :15שאלה מילולית על השבר כחלק של כמות .על התלמידים "לתרגם" לצורת
שבר את החלק מהכדורים שהם בצבע מסוים .למשל החלק של הכדורים שהם בצבע כחול הוא
40
.בסעיף ד' עליהם למצוא את השבר המצומצם של כל אחד מהצבעים.
100
יחידת הלימוד -הקניה
קטע שיעור ,עמוד :341מספרים עשרוניים
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ג' לפני השיעור.
בשיעור זה מלמדים את המבנה של המספר העשרוני בעזרת דוגמה מחיי הים-יום :מידות
החום שמראים שני מדחומים .חשוב להדגיש שהמשותף למספרים העשרוניים הוא המבנה
שלהם :החלק השלם ,החלק השברי והנקודה העשרונית המבדילה בין חלקים אלו .שימו לב
שבהתחלה המספרים העשרוניים מכילים עשיריות בלבד.
משימה מס' :1משימת יישום .יש לכתוב את המספר המתאים בכל מדחום )כמו בשיעור(:
מספר עשרוני )למדחום הדיגיטלי( ומספר מעורב )למדחום הכספית( .במדחום הכספית אפשר
לראות גם שבר וגם מספר עשרוני ,אבל במדחום דיגיטלי רואים רק מספר עשרוני.
אמנם התלמידים יכולים לכתוב מספר באותה צורה ,ויש לקבל את התשובה כנכונה .לדוגמה,
6
6
בסעיף א' אפשר לכתוב פעמיים 36.6או פעמיים
. 36כדאי לעודד את
36או 36.6ו-
10
10
התלמידים לכתוב את המספר בשתי צורות שונות.
משימה מס' :2שימוש במונחים החדשים" :החלק השלם" ו"החלק השברי".
משימה מס' :3משימה שצריך לדון בה בכיתה .יש תלמידים הרואים במספר העשרוני שני
מספרים שונים .טעות זו מובילה לטעויות נוספות בהשוואה בין מספרים ובפעולות החשבון
במספרים עשרוניים.
משימה מס' :4משימת יישום .התלמידים לומדים להבחין בין החלק השלם לבין החלק
השברי במספר העשרוני.
משימה מס' :5מציאת מספרים טבעיים ועשרוניים על פי שלוש ספרות נתונות .מומלץ להזכיר
לתלמידים שהספרה 0אינה יכולה להיות הראשונה משמאל במספר טבעי או בחלק השלם של
מספר עשרוני )למשל 01.2 :או 012אינן תשובות מקובלות (.הספרה 0יכולה להופיע בכל מקום
אחר במספרים העשרוניים .בין המספרים האפשריים.1.20 , 0.12 , 2.01 ,1.02 :
משימה מס' :6במשימה מוצעות כמה אפשרויות ,לכן מומלץ לחלק את הכיתה לקבוצות ,כך
שכל קבוצה תעבוד לפי אחד מהסעיפים.
קטע שיעור ,עמוד :343עשיריות
מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי ד' -ו' לפני השיעור.
בשיעור זה לומדים את הקשר בין השברים )ה"פשוטים"( לבין המספרים העשרוניים .בשלב זה
עוסקים בשברים שמכניהם 10בלבד ,כלומר כל השברים הם עשיריות .כל שבר שמכנהו ,10
אפשר לרשום כמספר עשרוני ,ואחרי הנקודה ספרה אחת בלבד .הסבו את תשומת לבם של
התלמידים לעיקרון של המבנה העשרוני :אפשר לרשום "בשורה אחת" גם את המספרים הלא-
טבעיים כך :כשם שעוברים מיחידות לעשרות על-ידי הכפלת היחידה ב) 10 -וכך "זזים"
1
שמאלה( ,אפשר לעבור מיחידות לעשיריות על-ידי חילוק ב) 10 -או כפל ב-
( ,וכך "זזים"
10
ימינה .בהמשך רואים שאפשר "ללכת" עד אין-סוף מקומות שמאלה וגם ימינה ביחס לנקודה
154
העשרונית .כלומר במבנה של מספרים עשרוניים יש "סימטריה" מסוימת בין החלק השלם לבין
החלק השברי ביחס ליחידות.
בציר המספרים מומחש ששבר ומספר עשרוני הם דרכי כתיבה של אותו מספר.
משימה מס' :7על התלמידים להתאים את השבר ואת המספר העשרוני השווה לו ,לייצוג נתון,
כאשר השלם הוא העיגול .הזכירו לתלמידים שמתייחסים לחלק הצבוע .מעגל הוא ייצוג
שברים המוכר לתלמידים מכיתה ג' ,אך בתרגיל זה -כמו בתרגיל הבא -משתמשים באותו
ייצוג לתיאור מונחים שונים )"שבר" ו"מספר עשרוני"( .כך מתחזק הקשר בין המונחים.
משימה מס' :8הצגת מספר עשרוני כאשר השלם הוא מלבן המחולק לחלקים שווים .בייצוג
זה מתחילים להבין )בעזרת מספרים עשרוניים גדולים מ ,(1 -ש"שבר כחלק משלם" ו"שבר
כחלק מכמות" הם מושג אחד.
משימה מס' :9כתיבת מספר מעורב כמספר עשרוני ולהפך .החלק השברי שבמספר העשרוני
שווה למונה של השבר שמכנהו .10
משימה מס' :10המספר כתוב במילים ,ויש לכתוב אותו בספרות.
משימה מס' :11משימה הפוכה למשימה הקודמת :כאן כותבים במילים את המספר הנתון.
הערה :לפי האקדמיה ללשון ,כאשר המספר אינו מיוחס לשם עצם מסוים מותר לומר "שלוש
עשרה נקודה שמונֶה" או "שלוש עשרה ושמונֶה עשיריות".
משימה מס' :12יש להציב את הספרות של המספרים הנתונים בטבלה של המבנה העשרוני
המורחב )נוספה עמודת העשיריות(.
משימה מס' :13על התלמידים למקם מספר עשרוני על הציר.
משימה מס' :14המשימה דומה למשימה .13שימו לב שאורך היחידה שונה בכל ציר.
קטע שיעור ,עמוד :345מאיות
מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי ז' – י' לפני השיעור.
בשיעור זה לומדים על מספרים עשרוניים המכילים עשיריות ומאיות בלבד ,ועל הקשר בין
מספרים עשרוניים אלה לבין שברים )המכנה 100בלבד( .לפי אותו העיקרון של המבנה
העשרוני" ,זזים" עוד מקום ימינה )שני מקומות מהיחידות( בעזרת חילוק היחידה ב.100 -
המקום של המאיות סימטרי למקום המאות ביחס ליחידות.
משימה מס' :15התלמידים רושמים בספרות מספר עשרוני הכתוב במילים.
משימה מס' :16משימה הפוכה :התלמידים רושמים במילים מספר עשרוני הכתוב בספרות.
)ראו הערה למשימה (.11
משימה מס' :17יש להציב את הספרות של המספרים הנתונים בטבלה של המבנה העשרוני
המורחב )נוספה עמודת המאיות(.
משימה מס' :18יש להסב את תשומת לב התלמידים שבכל סעיף נתון שלם אחר )מלבן ,ריבוע,
מאה כדורים( ,וכל שלם מחולק למאה חלקים שווים .ייתכן שהתלמידים ירצו להיווכח במספר
החלקים ויספרו אותם .המטרה של התרגיל היא שהתלמידים יקשרו בין ייצוג ,שבר ,מספר
עשרוני וכתיבתו במילים .גם כאן מתייחסים לחלק הצבוע של השלם.
155
משימה מס' :19סדר המספרים על ציר המספרים .בכל הזדמנות חשוב להדגיש לתלמידים
שמספרים טבעיים ,שברים וגם מספרים עשרוניים הם כולם מספרים ,וכל אחד מהם נמצא על
ציר המספרים .יש לדון עם התלמידים בשמות שונים של אותה הנקודה על ציר המספרים ,כמו
0.2ו.0.20 -
משימה מס' :20מציגים לתלמידים מהו מספר עשרוני ומהו מספר עשירי של החלק השברי.
קטע שיעור ,עמוד :347אלפיות
מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי ה' ,ו' ו -ז' לפני השיעור.
בשיעור זה לומדים על אלפיות במספר העשרוני .כמו במספרים הטבעיים הגדולים גם
במספרים עשרוניים ,ככל שיש יותר ספרות במספר ,כך מתרבים הקשיים של התלמידים.
משימה מס' :21משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה בשל המלל הרב שבה.
ייתכן גם שתלמידים יתקשו לתאר בדיוק כיצד מורכבת הקובייה הגדולה מהקוביות הקטנות.
לכן חשוב לדון בפתרון המשימה ובמקרה הצורך להדגים לתלמידים את הקובייה )לדוגמה,
בקוביית דינס( .כדי לבצע את המשימה התלמידים צריכים להבין שלמעטפת הקובייה ארבע
פאות ,לכן 120קוביות קטנות צבועות.
לאחר שהתלמידים הבינו שכל קובייה קטנה היא אלפית של הקובייה הגדולה ,התשובה לסעיף
ד' קלה ) 120אלפיות או 12מאיות(
משימה מס' :22במשימה זו עוסקים בשמות שונים למספר העשרוני )כלומר באופנים שונים
של פילוג מספרים עשרוניים לפי המבנה העשרוני(.
משימה מס' :23התלמידים מתבקשים לפלג את המספרים העשרוניים הנתונים.
משימה מס' " :24תרגום" של השבר למספר עשרוני.
משימה מס' :25במשימה זו עוסקים בסדר המספרים על ציר המספרים ,כאשר המספרים
החסרים הם מספרים עשרוניים הכוללים גם אלפיות .משימה זו דומה למשימה ,13אך קשה
יותר ,כי מנייה באלפיות איננה טבעית .לדוגמה ,המספר שאחרי 0.099הוא המספר .0.100
אפשר להסביר לתלמידים ,המספר שבא אחרי 99אלפיות הוא 100אלפיות.
משימה מס' :26חזרה להבנת המושגים מאיות ועשיריות.
משימה מס' :27ייצוג מספר נתון על ציר המספרים שמיוצגות בו עשיריות ,מאיות וגם
אלפיות.בכל שלב מדמיינים זכוכית מגדלת על קטע של הציר .כל קטע מוגדל מחולק לעשרה
קטעים שווים .ההגדלה מאפשרת "לראות" את מיקום המספרים הנמצאים בין קצות הקטע.
משימה מס' :28משימה זו דומה למשימה ,27אך במשימה זו קטע היחידה מחולק לעשר
עשיריות .התלמידים צריכים למקם את רוב המספרים הנתונים בין שתי שנתות .לדוגמה,
המספר 10.57נמצא בין 10.5לבין .10.6-בציר המסורטט אי אפשר לייצג את המספר .9.02
קטע שיעור ,עמוד :350פילוג מספר עשרוני
מומלץ לבצע לפני השיעור את פעילויות הגילוי א' ו -ב'.
בשיעור זה לומדים לפלג מספר עשרוני המורכב מעשיריות וממאיות ,לפי המבנה העשרוני.
חשוב להדגיש לתלמידים שלאותו מספר עשרוני ישנם שמות שונים בדומה לשמות שונים של
שברים .לדוגמה ,את המספר 0.24אפשר לקרוא כך 24" :מאיות" או כך 2" :עשיריות ו4 -
מאיות" .שמות אלו מתאימים למבנה העשרוני.
156
משימה מס' :29במשימה זו על התלמידים לכתוב מספר עשרוני ושבר לפי הייצוג הנתון
ולכתוב את המספר במילים לפי בחירתם )בעזרת מאיות בלבד או בעזרת עשיריות ומאיות(.
משימה מס' :30משימת יישום.
משימה מס' :31על התלמידים לייצג את המספר העשרוני בריבוע ,כאשר הריבוע מייצג את
השלם.
משימה מס' :32משימת יישום .במשימה זו יש לפלג מספר עשרוני נתון לפי המבנה העשרוני.
משימה מס' :33משימה זו מבוססת על הקשר בין המאית לבין העשירית .על התלמידים
לכתוב את מספר העשיריות או את מספר המאיות החסרים.
משימה מס' :34במשימה זו כותבים במילים את המספר העשרוני הרשום בספרות .דוגמה:
א( - 4.538ארבעה שלמים ,חמש עשיריות ,שלוש מאיות ושמונה אלפיות.
קטע שיעור ,עמוד :352מספרים עשרוניים במבנה העשרוני
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי י"א לפני השיעור.
הבנת קטע שיעור זה חשובה להבנת המבנה העשרוני כולו .בקטע השיעור מוסברים הסיבה
והעיקרון בכתיבת מספרים ,ובעיקר בכתיבת שברים כמספרים עשרוניים .הסיבה :הרחבת
המבנה העשרוני מימין ליחידה .העיקרון :ערך כל ספרה מוכפל ב ,10 -ב ,100 -ב ...1,000 -לפי
מיקומה משמאל ליחידות ,וערך כל ספרה מחולק ב ,10 -ב ,100 -ב ...1,000 -לפי מיקומה מימין
1
1
ליחידות .לפיכך משתמשים בחוק ההעברה:
קטנה מ 1 -פי עשרה , = 0.1 ,לכן 0.1קטן
10
10
מ 1 -פי עשרה.
משימה מס' :35משימת יישום :על התלמידים לזהות את ערך הספרה 4בכל מספר נתון.
משימה מס' :36משימה דומה למשימה הקודמת ,אך הפעם מדובר במספר עשרוני ללא החלק
השברי.
משימה מס' :37משימה מורכבת .התלמידים צריכים לייצג את המספרים העשרוניים בטבלה
של המבנה העשרוני המורחב וכן לכתוב את המספר העשרוני המתאים.
משימה מס' :38משימת יישום .יש לשים לב לדמיון בין המונחים "ספרת העשרות" ו"ספרת
העשיריות".
משימה מס' :39משימה פתוחה .מבחינים בין הספרות השונות במספר ,ומבחינים בין החלק
השלם של המספר לחלק השברי שלו .דוגמה למספר המתאים למשימה:
במספר 450.54ספרת היחידות היא ,0ספרת העשרות שווה לספרת העשיריות ,וספרת המאות
שווה לספרת המאיות.
משימה מס' :40במשימה זו אפשר להיעזר בטבלה של המבנה העשרוני המורחב הנמצאת
בשקית האביזרים .צריך למקם את הנקודה לפי ההנחיה שבכל סעיף.
משימה מס' :41משימה פתוחה .דונו במשימה זו עם התלמידים .על התלמידים לכתוב שלושה
מספרים שונים שהספרה 5מופיע בהם בכל פעם במקום אחר.
דוגמאות למספרים מתאימים.1.045 ,1.054 , 1.53 :
157
משימה מס' :42על התלמידים לפלג את המספרים הנתונים.
1
1
1
× 370.428 = 3 × 100 + 7 × 10 + 4 × + 2
×+ 8
א(
10
100
1000
1
1
1
ב(
× 41.052 = 4 × 10 + 1 × 1 + 0 × + 5
×+ 2
10
100
1000
1
1
1
× 0.478 = 0 × 1 + 4 × + 7
×+ 8
ג(
10
100
1000
1
1
1
× 140.278 = 1 × 100 + 4 × 10 + 2 × + 7
×+ 8
ד(
10
100
1000
משימה מס' :43יש למצוא את המספר העשרוני בכל סעיף .בכל סעיף מוצג המספר באופן
שונה )שבר בסעיף ז' ,פילוג בסעיף י' וכדומה(
משימה מס' :44על התלמידים לכתוב את ארבעת המספרים הנתונים לפי הדרכים הנתונות.
53
5
3
4.53 = 4 + 0.53 = 4 +
=4+ +
דוגמה= 4 × 1 + 5 × 0.1 + 3 × 0.01 :
100
10 100
משימה מס' :45משימה זו דומה למשימה .40סימון הנקודה במקום המתאים מחזק את
הבנת המבנה העשרוני של המספר.
קטע שיעור ,עמוד :355מספרים עשרוניים שווים
אם רושמים או מוחקים את האפסים בסוף של החלק השברי ,ערך המספר העשרוני אינו
משתנה .שימו לב ,זה בניגוד למספרים הטבעיים ,שבהם כתיבה או מחיקה של אפסים בסוף
מספר מגדילה את ערך המספר או מקטינה אותו.
משימה מס' :46משימת יישום .יש למצוא את המספרים העשרוניים השווים לייצוג השטח.
משימה מס' :47השוואה בין מספרים עשרוניים נתונים .אפשר להיעזר בחשבונייה.
משימה מס' :48התלמידים נדרשים למצוא מספרים עשרוניים שווים בכל אחת מהשורות.
דוגמה0.7 = 0.70 = 0.700 :
כדי לסייע לתלמידים למצוא את המספרים העשרוניים השווים ,אפשר לשאול אותם מה
מייצגות הספרות השונות מ ,0 -בכל אחד מהמספרים הנתונים.
משימה מס' :49התלמידים מתבקשים למצוא איזה מספר יוצא-דופן בין המספרים הנתונים.
המספר שהוא יוצא דופן ,אינו שווה למספרים האחרים .אם התלמידים מעלים כמה אפשרויות
שונות לתשובה ,יש לדון אתם בהן.
משימה מס' :50משימת יישום .בכל סעיף כותבים מספר עשרוני השווה למספר נתון.
משימה מס' :51כדי להשלים את הביטויים מומלץ להשתמש בטבלה של המבנה העשרוני
שנמצאת בשקית האביזרים.
משימה מס' :52משימה לחיזוק ההבנה המספרית .יש למקם את המספרים בציר מספרים
המחולק לעשיריות.
158
קטע שיעור ,עמוד :357השוואה בין מספרים עשרוניים )סיכום(
מומלץ לבצע לפני השיעור את פעילות הגילוי ח'.
בשיעור מסכמים את דרכי ההשוואה בין שני מספרים עשרוניים כלשהם .כדי להקל את
ההשוואה מומלץ להשתמש בטבלה של המבנה העשרוני ,לרשום בהתאם מספרים שצריך
להשוות ביניהם ,ולבצע את תהליך ההשוואה .אין צורך בפירוט של החלק השלם מסיבות
שהוזכרו קודם לכן .חשוב להדגיש שהתהליך הוא סופי ,וצריך להפסיקו בשלב מסוים )אחרי
שמוצאים שוני בשלמים או בעשיריות או במאיות( ,ואין משווים בין יתר הספרות של החלק
השברי כלל .חשוב להרשות לתלמידים שימוש בטבלה באופן חופשי )לפי הצורך(.
משימה מס' :53השוואה בין מספרים עשרוניים על ידי ציר המספרים.
משימה מס' :54לביצוע המשימה נדרשים כמה שלבים :א( חישוב מספר השנתות ) (12שיש
לסרטט על הציר; ב( חלוקת הציר וסרטוט השנתות; ג( כתיבת המספרים.
משימה מס' :55זיהוי וסידור של מספרים עשרוניים על הציר.
משימה מס' :56התלמידים נדרשים לסדר מספרים עשרוניים .ציר המספרים יכול להיות כלי
עזר.
משימה מס' :57התלמידים מתבקשים לנמק מדוע הם כתבו את סימן ההשוואה גדול ,קטן או
שווה.
משימה מס' :58השוואה בין מספרים עשרוניים.
משימה מס' :59משימה יישומית מחיי היום-יום .נדרש ניתוח השוואתי בין מחירים הכתובים
כמספר עשרוני.
משימה מס' :60משימת יישום .הדריכו את התלמידים לסמן את המקום שבו הם עוצרים את
תהליך ההשוואה .שימו לב שאין צורך להשוות בין כל הספרות.
משימה מס' :61התלמידים מתבקשים למצוא מספר בין שני מספרים עשרוניים נתונים.
אפשר להיעזר בציר המספרים .חשוב שהתלמידים יגיעו למסקנה שבין כל שני מספרים
עשרוניים תמיד אפשר למצוא מספר השונה מהמספרים האלו .התרגיל עלול להיות קשה
לתלמידים בכיתה ,מפני שיש בו שני אילוצים לקביעת המספר .ישנן אפשרויות שונות לתשובה
הנכונה ,וחשוב לדון עם התלמידים באפשרויות השונות .בשני הסעיפים המסומנים בנורה,
התלמידים יכולים לכתוב את שני המספרים הנתונים באלפיות ,כלומר להוסיף 0בסוף החלק
השברי של המספר העשרוני ,וזה עוזר למצוא את התשובה.3.420 < ____< 3.430 :
משימה מס' :62כדי לסדר את המספרים מהקטן לגדול ,יש לזהות מהי הספרה הזהה ומה
מיקומה במספר.
משימה מס' :63על התלמידים למצוא את המספר הקטן ביותר ואת המספר הגדול ביותר
מבין המספרים הנתונים.
משימה מס' :64א( התלמידים נדרשים להקיף את המספר הקרוב ביותר ל.1 -
ב( יש למקם מספר עשרוני בין מספרים טבעיים עוקבים ללא עזר בציר המספרים.
משימה מס' :65התלמידים נדרשים להשוות בין השברים העשרוניים בהתאם לכללים
ולכתוב את הסימון המתאים.
159
קטע שיעור ,עמוד :361מספרים עשרוניים בחיי היום-יום :כסף )שקלים ,אגורות(
מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי י"ב ו -י"ג לפני השיעור .בשיעור זה לומדים התלמידים לכתוב
בשיטה העשרונית מספרים שהם סכומי כסף בשקלים חדשים ,לדוגמה 30.40 ,ש''ח .התלמידים
נתקלים ברישום מחירים בצורה זו יום-יום.
כמו בכל מספר עשרוני גם במספרים עשרוניים ,שהם סכומי כסף ,הנקודה העשרונית מבדילה
בין החלק השלם לבין החלק השברי של המספר ,אך במקרה זה יש לנקודה משמעות נוספת:
היא מפרידה בין השקלים לבין האגורות ,השקלים כתובים משמאל לנקודה )החלק השלם(,
והאגורות מימין לה )החלק השברי(.
בקטע השיעור נלמד גם הקשר בין שקלים לבין אגורות ,ומוצגים הקיצורים בכתיבה) ₪ :ש''ח(
ואג' .מומלץ לדון עם התלמידים בקשר בין הכתיבה בשיטה העשרונית לבין כתיבת סכומי כסף
בשיטה עשרונית :אגורה היא מאית של שקל ,לכן יש בכל מספר חלק שלם )השקלים( ועשיריות
ומאיות ,כלומר בשיטה העשרונית יש התאמה מלאה בין המתמטיקה לבין הכסף.
משימה מס' :66משימת יישום .התלמידים מתרגלים כתיבת מחירים במילים .יש להדגיש את
השימוש הנכון בכתיבת המספרים במילים :כתיבה בצורת זכר כאשר מדובר בשקלים ,וכתיבה
בצורת נקבה כאשר מדובר באגורות .חשוב גם שהתלמידים יבטאו נכון את המילים .אם מספר
השקלים הוא ,0אפשר לכתוב רק את מספר האגורות .דוגמה 0.80 :ש''ח -שמונים אגורות.
משימה מס' :67משימה הפוכה למשימה הקודמת :התלמידים רושמים בספרות מספר הכתוב
במילים.
משימה מס' :68זיהוי הסכומים לפי ייצוג הכסף.
משימה מס' :69המרה מייצוג מספרי לייצוג מטבעות ושטרות .יש לסעיף א כמה פתרונות.
משימה מס' :70השוואה בין מספרים עשרוניים בשאלה מחיי היום -יום.
התלמידים נדרשים להעריך אילו מוצרים הם יכולים לקנות בסכום הכסף הנתון.
משימות מס' :72 - 71תרגול בכתיבת מס' נתון במילים בצ'ק.
משימה מס' :73השוואה בין שני סכומי כסף.
משימה מס' :74ישנן דרכים שונות האפשריות לתשלום במטבעות.
קטע שיעור ,עמוד :364מספרים עשרוניים בחיי היום-יום :אורך
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי י"ד לפני השיעור.
בשיעור הקודם למדו התלמידים שמספרים עשרוניים מייצגים כסף בשקלים ובאגורות .כעת
הם ילמדו שהמספרים העשרוניים מייצגים מידות שונות בסנטימטרים ובמילימטרים או
במטרים ובסנטימטרים .בשיעור לומדים את הקשר בין ס''מ למ''מ )מילימטר הוא עשירית של
הסנטימטר( וגם בין מ' לס"מ )סנטימטר הוא מאית של המטר(.
כאשר מספר עשרוני מבטא את האורך בסנטימטרים ,הנקודה העשרונית מבדילה בין ס"מ
)בחלק השלם של המספר העשרוני( למ"מ )בחלק השברי של המספר העשרוני( .כאן מקובל
שאחרי הנקודה ישנה ספרה אחת בלבד )בשל הקשר בין ס''מ למ''מ(.
כאשר מספר עשרוני מבטא את האורך במטרים ,הנקודה העשרונית מבדילה בין מ' )בחלק
השלם של המספר העשרוני( לס"מ )בחלק השברי של המספר העשרוני( .כאן מקובל שאחרי
הנקודה ישנן שתי ספרות בלבד )בשל הקשר בין מ' לס''מ(.
שימו לב :המבנה העשרוני של המספר העשרוני הוא תמיד אותו מבנה ,כלומר יש בו החלק
השלם והחלק השברי .אך כאשר מדובר באורכים ,לחלקים הללו יכולים להיות תפקידים
שונים :לעתים החלק השלם יכול להיות סנטימטרים ,ולעתים הסנטימטרים הם בחלק השברי
160
של המספר) .בכסף יש לחלקים תמיד אותו תפקיד :השקלים הם החלק השלם ,והאגורות הן
החלק השברי (.כדי למנוע טעויות בעניין מובאות בשיעור זה מידות שונות אלה.
משימה מס' :75משימת יישום .התלמידים מתרגלים כתיבת אורכים במילים .יש להדגיש את
השימוש הנכון בכתיבת המספרים במילים :כתיבה בצורת זכר לכל האורכים .חשוב גם
שהתלמידים יבטאו נכון את המילים .אם החלק השלם הוא ,0אפשר לכתוב רק את המספר
המתאים לחלק השברי ,ואת הכינוי .דוגמה 0.17 :מ' – שבעה עשר סנטימטר.
משימה מס' :76משימה הפוכה למשימה הקודמת :התלמידים רושמים בספרות מספר הכתוב
במילים ,המבטא את האורך.
משימות מס' :79 - 77השוואה בין הגבהים הנתונים ביחידות אורך )סנטימטרים
ומילימטרים(.
קטע שיעור ,עמ' :366מספרים עשרוניים בחיי היום-יום :משקל
בשיעור זה מראים לתלמידים שימוש נוסף במספרים עשרוניים בחיי היום-יום :כתיבת משקל
של חפצים שונים .המספר העשרוני במקרה זה מורכב מהחלק השלם בקילוגרמים ומהחלק
השברי בגרמים .בקילוגרם אחד 1,000גרם ,לכן 1גרם הוא אלפית של הקילוגרם .כל המספרים
בקילוגרמים ,המבטאים משקל ,חייבים להיכתב )בשלב זה( ,כך שאחרי הנקודה )בצד ימין(
שלוש ספרות בדיוק )גרמים( .הנושא יכול לעורר קושי מסוים ,כי התלמידים מכירים פחות
יחידות משקל מאשר יחידות כסף ויחידות אורך ,וכי השימוש באלפיות קשה יותר משימוש
במאיות או בעשיריות .בעיה נוספת באה לידי ביטוי בכתיבה של המספר ,כאשר צריך לכתוב 0
באחד המקומות של החלק השברי )אחרי הנקודה( .לדוגמה 3.025 ,ק"ג פירושו 3ק''ג ו 25 -גר';
50ק"ג ו 99 -גר' רושמים 50.099 :ק"ג.
משימות מס' :82 - 80משימות יישום :ביטוי מספרים עשרוניים ביחידות משקל )ק"ג
וגרמים(.
משימה מס' :83דירוג משקלים מהקל אל הכבד בק"ג.
משימה מס' :84דירוג משקלים מהקל אל הכבד בגרמים.
משימה מס' :85השוואה בין משקלים של אביזרים שונים.
משימה מס' :86יש להשוות בין משקלים )באותה יחידה או ביחידות שונות( ולקבוע את
הסימן המתאים.
מה למדנו? עמוד 368
חזרה על הנושאים שנלמדו בפרק זה :מהות המספרים העשרוניים ,מספרים עשרוניים שווים,
השימוש במספרים עשרוניים בחיי היום-יום :כסף ואורכים.
משימה מס' :87דרכים שונות לנמק השוואה בין גדלים של מספר עשרוני.
ממשיכים בתרגול ,עמודים 377 – 369
משימה מס' :1משימת תרגול :השלמת טבלה של המבנה העשרוני לפי המספרים הנתונים.
משימה מס' :2המספר 75יגדל ב 630 -אם נכתוב את הספרה 0בין הספרות 5ו.7 -
משימה מס' :3משימת תרגול :מיקום מספרים על ציר המספרים.
161
משימה מס' :4משימת תרגול:
. 9,054 = 9000 + 50 + 4 = 9,000 + 54
פילוג
המספר
באופנים
שונים.
לדוגמה,
משימה מס' :5משימת תרגול :כתיבת מספר תלת-ספרתי שכל ספרותיו שוות .המספרים
המתאימים הם .999 ,888 ,777 ,666 ,555 ,444 ,333 ,222 ,111
משימה מס' :6א( ישנם תשעה מספרים שונים בעלי חמש ספרות ,המסתיימים ב .3456 -הנה
הם.9,3456 ; 8,3456 ; 7,3456 ; 6,3456 ; 5,3456 ; 4,3456 ; 3,3456 ; 2,3456 ; 1,3456 :
ב( ישנם עשרה מספרים שונים בעלי חמש ספרות ,המתחילים ב .3456 -שימו לב :אפשר לכתוב
את הספרה 0במקום של היחידות) .זאת בניגוד לסעיף א' ,שבו אין משמעות לספרה 0משמאל
למספר(.
משימה מס' :7משימת תרגול :השלמת משפטים .דוגמה 6 :שלמים שווים ל 60 -עשיריות.
37 30
7
3
7
=
+
= +
משימה מס' :8פילוג השבר .דוגמה:
100 100 100 10 100
משימה מס' :9משימת תרגול :פילוג המספרים העשרוניים הנתונים.
דוגמה. 0.31 = 0.3 + 0.01 :
משימה מס' :10ב 38 -מאיות יש 3עשיריות .לפי הפילוג. 0.38 = 0.3 + 0.08 :
משימה מס' :11משימת תרגול :כתיבת המספר העשרוני המתאים לייצוג בספרות ובמילים.
משימה מס' :12משימת תרגול :כתיבת מספר עשרוני במילים .דוגמה – 3.48 :שלושה שלמים
וארבעים ושמונה מאיות.
משימה מס' :13משימת תרגול :כתיבת מספרים עשרוניים בספרות.
א( 4.2ב( 0.08ג( 1.17ד( 11.1ה( 3.8ו( 0.4
משימה מס' :14א( 50מאיות הן 0.5ב( 7עשיריות הן 70מאיות.
ג( 3מאיות הן 0עשיריות ושלוש מאיות .ד( 2מאיות הן 0עשיריות ו 2 -מאיות.
ה( 72מאיות הן 7עשיריות ו 2 -מאיות.
משימה מס' :15משימת תרגול :השלמת הטבלה של המבנה העשרוני המורחב.
משימה מס' :16משימת תרגול :כתיבת מספר עשרוני מתאים.
א( 0.25ב( 0.28ג( 0.98 0.39ה( 0.55ו( 0.52
משימה מס' :17משימת תרגול :משמעות ערך הספרה במספר .לדוגמה ,ערך הספרה 9במספר
20.91הוא ,0.9כלומר עשיריות .
משימה מס' :18משימת תרגול :סדר המספרים.
0.0315 , 0.034 , 0.043 , 0.104 , 0.24 , 0.243 , 0.3 , 0.43
משימה מס' :19משימת תרגול :מספר עשרוני ושבר המתאימים לייצוג.
162
משימה מס' :20משימה זו הפוכה למשימה הקודמת .צביעת החלק מתוך השלם תיעשה
בהתאם לשבר הנתון או בהתאם למספר העשרוני.
משימה מס' :21משימת תרגול :השוואה בין מספרים עשרוניים.
משימה מס' :22משימת תרגול :התאמה בין מספר עשרוני לשבר השווה לו.
45
28
= 0.045
= , 0.28
דוגמאות:
1000
100
משימה מס' :23משימת תרגול :השוואה בין מספרים עשרוניים.
דוגמאות0.80 > 0.08 ; 0.08 < 0.9 :
משימה מס' :24על התלמידים למצוא מספרים שלמים עוקבים שהמספר העשרוני הנתון
נמצא ביניהם .דוגמאות. 109 < 109.61 < 110 , 1 < 0.09 < 2 :
משימה מס' :25התיחום של המספר העשרוני הנתון מסייע במציאת מיקומו על ציר
המספרים.
משימה מס' :26המספר 6.5נמצא בין 6ל.7 -
משימה מס' :27המספרים 23.8 , 23.1ו 23.9 -נמצאים בין 23ל.24 -
משימה מס' :28רק המספר 50.5נמצא בין 50ל.55 -
משימה מס' :29התלמידים נדרשים למצוא את המספר שאינו שווה למספרים האחרים .א(
5.03ב( 7.540ג.1.680 9
משימה מס' :30באיור המסורטט 100עיגולים המסורטטים בעשר שורות .בכל שורה עשרה
עיגולים .התלמידים צריכים להשתמש בשלושה צבעים שונים 20 :עיגולים בצבע אחד2 ,
עיגולים בצבע שני ועוד 20עיגולים בצבע שלישי.
משימה מס' :31משימת תרגול נוספת של מיקום מספרים עשרוניים על ציר המספרים .ישנם
ארבעה מספרים שאי-אפשר למקם אותם על החלק המסומן על הציר.
משימה מס' :32מיקום הנקודה העשרונית ייעשה לפי ערך הספרה.
דוגמה :במספר 3.459ערך הספרה 4הוא עשיריות.
במספר 3,459ערך הספרה 4הוא מאות.
משימה מס' :33משימת תרגול נוספת של ערך הספרה במספר.
משימה מס' :34משימה פתוחה .על התלמידים לכתוב שלושה מספרים המתאימים לדרישות.
דוגמה.57.86 :
משימה מס' :35משימת תרגול :כתיבת מספר בדרכים שונות.
משימה מס' :36שאלה מילולית זו עוסקת בקליעה למטרה.
שימו לב :הניקוד נקבע לפי מיקום החץ בלוח המטרה.
על התלמידים לזהות את המיקום של פגיעת החץ ,ובהתאם למיקום לקבוע את הניקוד.
משימה זו קשורה לנושא "תיחום של המספרים עשרוניים" .דוגמה 0.25 :נמצא בין 0.2לבין
.0.3
163
תוצאות הקליעה במרחק
שם
במטרים
שלב ג
שלב ב
שלב א
0.18
0.15
0.28
דניאל
0.32
0.25
0.10
אסתר
0.17
0.12
0.43
יוני
דניאל ניצח במשחק.
ניקוד
שלב א
10
20
0
שלב ב
20
10
20
סה"כ
נקודות
שלב ג
20
5
20
דירוג
1
3
2
50
35
40
משימה מס' :37שאלה מילולית העוסקת בתחרות קפיצה לגובה .להלן הטבלה המלאה:
שם הקופץ
אהרון
נועם
יואל
רון
רמי
הקפיצה
הראשונה
1.60מ'
1.69מ'
1.70מ'
1.80מ'
1.68מ'
הקפיצה
השנייה
1.75מ'
1.60מ'
1.82מ'
1.74מ'
1.72מ'
הקפיצה
השלישית
1.72מ'
1.68מ'
1.74מ'
1.79מ'
1.77מ'
הקפיצה
הטובה ביותר
1.75
1.69
1.82
1.80
1.77
דירוג
4
5
1
2
3
שאלות מילוליות ,עמוד 378
משימה מס' :1שאלה מילולית זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה ,כי היא מכילה
מספר רב של נתונים .חתיכת הבשר שמשקלה 3.050ק"ג היא הכבדה ביותר ,אולם זו אינה חתיכת
הבשר הדרושה לה ,אלא חתיכת הבשר שמשקלה 2.500ק"ג.
אריזת הזיתים במשקל 0.800ק"ג היא המתאימה יותר.
משימה מס' :2יורם קיבל את הפנקס שמחירו ,₪ 3.70אור קיבלה את קופסת התכשיטים
שמחירה ,₪ 8.10רבקה קיבלה את הבובה שמחירה ,₪ 6.30דינה קיבלה את העיפרון הצבעוני
שמחירו ,₪ 5.80וראובן קיבל את המכונית שמחירה .₪ 4.40
משימה מס' :3להדס יש .₪ 8.10המטבעות שיש לה הם אלה :שני מטבעות של ,₪ 2ארבעה
מטבעות של ₪ 1ומטבע נוסף של 10אגורות ,סה"כ שבעה מטבעות.
ישנן אפשרויות נוספות לקבלת ₪ 8.10בשבעה מטבעות.
5שקלים
2שקלים
שקל
חצי שקל
10אגורות
ערך המטבע
1
1
4
1
3
1
2
1
משימה מס' :4מידות הדף במילימטרים הן 210מ"מ ו 297 -מ"מ.
היסטוריה ,עמוד 379
בחלק ההיסטורי מיוצגות הכמויות הקטנות בעזרת הוויטמינים .במספרים העשרוניים
הרשומים כאן יש בחלק השברי של המספר עד חמש ספרות.
העשרה ,עמוד 380
משימה מס' :1א( להלן שמות הילדים מימין לשמאל בטבלה :אילן ,בועז ,גדעון ,דבורה
ויהודית.
164
ב(
ג(
ד(
ה(
הקפיצה הטובה ביותר של גדעון היא בשלב הראשון.
התוצאה הנמוכה ביותר של אילן הושגה בשלב השלישי .הוא קפץ למרחק של 5.12מ'.
ההישגים של דבורה השתפרו משלב לשלב.
ההישגים של בועז הלכו ופחתו מהשלב הראשון ועד השלב השלישי.
משימה מס' :2אפשר לכתוב אפשרויות שונות של סכומים בעזרת המטבעות.
הסכומים האפשריים הם בין 10אג' ל.₪ 2 -
משימה מס' :3במשימה זו על מהתלמידים לחפש מספר אפשרויות המתאימות לדרישות.
דוגמה למספר מתאים .46.714 :סכום הספרות הוא .22
אנו שולטים בחומר ,עמוד 381
חזרה על הנושאים :השוואה בין מספרים טבעיים גדולים ,כתיבתם בעזרת ֲחזקות של ,10דרכי
כפל של מספרים טבעיים וחילוק ב 3 -ובכפולות של עשר.
165
עמ' 404 - 382
יב .גבהים
רקע
הפרק עוסק בנושא גבהים במשולש ,במקבילית ובגובה בטרפז .המושג "גובה" הוא אחד
המושגים החשובים ביותר בגאומטריה" .גובה במשולש" הוא אחד מארבעת הקטעים המוכרים
במשולש .הקטעים האחרים הם תיכון ,חוצה זווית ואנך אמצעי לצלע .המושגים "גובה
במשולש" ו"גובה במקבילית" הם המושגים הבסיסיים לחישובי שטחים של מצולעים.
לתלמידי כיתה ה' "גובה" הוא מושג חדש ,ולכן בראש ובראשונה ,עליהם להפנים את משמעותו
על-ידי זיהויו ובנייתו במשולשים ובמקביליות שונים.
הפרק בנוי כך שתחילה מלמדים את המושג "גובה במשולש" .הפעם אין הפרדה בין סוגי
המשולשים ,אלא מדגימים גבהים במשולשים מסוג כלשהו )כלומר במשולש חד-זוויות ,ישר-
זווית וקהה-זווית( .היתרון בכך הוא שמראים כי דרך הבנייה והזיהוי של גובה זהה בכל
המשולשים .עדיין יש קושי מסוים בבניית גובה במשולש ישר-זווית ובמשולש קהה-זווית ,ועל
המורה להדריך את התלמידים כיצד להתגבר על קושי זה .אחת הדרכים היא לבצע את
התהליך של הבנייה בהדרגה .כמו-כן תלמידים עשויים לחשוב בטעות ,שבמשולש או במקבילית
קיים רק גובה אחד ,ולא שלושה גבהים.
דרכים למניעת הטעויות:
.1חשוב ללמד את התלמידים לראות יחד את קדקוד המשולש ואת הצלע שמול הקדקוד
הזה במשולשים מסוגים שונים .בהתחלה אפשר להיעזר בצביעה של הקדקוד ושל הצלע
שממולו באותו צבע .תלמידים מתקשים יכולים להיעזר בצביעה במהלך כל הפרק" .צלע
שמול הקדקוד" היא צלע במשולש ,שהקדקוד הנבחר אינו שייך אליה.
.2רצוי ללמד את התלמידים לסרטט את הגובה כאנך מנקודה )מהקדקוד( לישר שהצלע
מונחת עליו .שימו לב :שני קטעים מאונכים זה לזה אם הם מונחים על ישרים מאונכים.
קטעים מאונכים לא בהכרח נפגשים .לכן ברור מדוע גובה שנמצא מחוץ למשולש קהה-
זווית מאונך לצלע ,אף-על-פי שבפועל הגובה והצלע אינם נפגשים.
.3יש לתרגל הרבה זיהוי ובנייה של גבהים במשולשים מסוגים שונים .ככל שהתלמידים
מתאמנים יותר ,כך הם מצליחים יותר .במקרה של גובה הטענה רלוונטית מאוד.
בבניית גובה במקבילית ישנם אותם קשיים כמו במשולש וגם קשיים נוספים:
.1מול כל קדקוד של מקבילית נמצאות שתי צלעות ,מפני שהקדקוד אינו שייך לשתי הצלעות
הסמוכות .לכן כאשר מסרטטים גובה ,יש לציין לאיזו צלע צריך לסרטט אותו ,או לסרטט
שני גבהים שונים לשתי הצלעות שמול הקדקוד הנבחר.
.2ישנם קשיים מסוימים בסרטוט גבהים במקביליות המיוחדות -כמו במלבן ובריבוע -בהן
הגבהים מתלכדים עם הצלעות.
במעוין הסרטוט הוא כמו במקבילית לא-מיוחדת ,אך כל הגבהים בו שווים באורכם .לימוד
הגובה בטרפז מיועד לתלמידים מתקדמים ,מפני שעומס המושגים בפרק עלול להפריע
בהפנמתם.
שימו לב! גובה קיים במשולש ,במקבילית ובטרפז בלבד ,ולא במרובע או בכל מצולע אחר.
לפי תכנית הלימודים ,מומלץ להקדיש לנושא זה כ 4 -שעות לימוד.
מושגים
משולש ,מקבילית ,ישרים מאונכים ,קטעים מאונכים ,קדקוד ,צלע מול קדקוד ,המשך של
הצלע ,גובה במשולש ,גובה במקבילית ,טרפז ,גובה בטרפז )לתלמידים מתקדמים(.
מטרות
התלמידים ידעו:
א .לזהות במשולש את הצלע שמול הקדקוד הנבחר או להפך :את הקדקוד שמול הצלע
הנבחרת;
ב .לקבוע אם קטע נתון במשולש הוא גובה;
166
ג .לסרטט גבהים מכל קדקוד במשולש חד-זוויות;
ד .לסרטט גבהים מכל קדקוד במשולש ישר-זווית ובמשולש קהה-זווית;
ה .לזהות במשולש את הגובה על-פי הקדקוד שהוא יוצא ממנו ועל-פי מיקומו במשולש :בתוך
המשולש ,מחוץ למשולש או או מתלכד עם הצלע;
ו .לסמן את נקודת המפגש של הגבהים ולקבוע את מיקומה ביחס למשולש;
ז .לבנות את נקודת המפגש של כל שלושת הגבהים במשולש;
ח .לזהות במקבילית את הצלעות שמול הקדקוד הנבחר או להפך :את הקדקודים שמול הצלע
הנבחרת;
ט .לקבוע אם קטע נתון במקבילית הוא גובה;
י .לסרטט גבהים במקבילית מכל קדקוד;
יא .כי במקבילית ישנם שמו ָנה גבהים שונים בשני גדלים שונים;
יב .כי ארבעה גבהים נמצאים בתוך המקבילית וארבעת האחרים נמצאים מחוצה לה;
יג .לסרטט גבהים במקביליות מיוחדות כמו מעוין ,מלבן וריבוע;
יד .להבדיל בין אורכי הגבהים במקביליות המיוחדות :במעוין ובריבוע כל הגבהים הם באותו
אורך ,ובמקבילית ובמלבן הגבהים הם בשני אורכים שונים;
טו .לסרטט גובה בטרפז )לתלמידים מתקדמים(.
אביזרים ואמצעי המחשה
משולש סרטוט ,סרגל ,סרטוטים מוגדלים של משולשים מסוגים שונים.
אביזרי "חשבון :"10לוח מחיק ,שקף משבצות.
הטמעה
א .חזרה על חיבור ועל חיסור שברים בעלי אותו מכנה.
על הלוח רשומים תרגילים כאלה:
1 1
2 1
4 2
51 11
= +
−
=
= , −
= , +
,
2 2
3 3
7 7
100 100
על התלמידים לפתור את התרגילים בעל-פה .מומלץ להיעזר בלוח המחיק.
ב .חזרה על שבר כמנה.
מספרים סיפור-מסגרת שבו יצטרכו התלמידים לחלק מספר טבעי במספר טבעי ,ותוצאה
תהיה שבר .דוגמאות:
א( יעל חילקה שווה בשווה שתי נקניקיות בין ארבעת חתוליה .כמה נקניקיות קיבל כל חתול?
ב( אימא חילקה שווה בשווה שלושה תפוזים בין שתי בנותיה .איזה חלק קיבלה כל בת?
ג .חזרה על מאונכוּת של ישרים ושל קטעים.
התלמידים מקבלים דף שמסורטטים בו ישרים שונים .על התלמידים לזהות
את הישרים המאונכים לישר מודגש.
167
התלמידים מקבלים דף שמסורטטים בו קטעים שונים.
על התלמידים למצוא את כל הזוגות של הקטעים המאונכים זה לזה.
פעילויות גילוי
פעילות א :התלמידים מקבלים דף שמסורטט בו משולש חד-זוויות )או שהתלמידים מסרטטים
אותו בעצמם( .חשוב שהמשולש המסורטט יהיה גדול יחסית לדף .על התלמידים לבחור צלע
ולבנות אליה אנך מהקדקוד שמולה על-ידי קיפולי נייר בלבד .לאחר מכן עליהם לחזור על
התהליך בקדקודים אחרים .אם מקפלים נכון ,שלושת האנכים יעברו דרך נקודה משותפת.
פעילות ב :כל קבוצה מקבלת דף שמסורטטים בו משולשים ,שניים מכל סוג :חד-זוויות ,קהה-
זווית וישר-זווית .תלמידי הקבוצה צובעים צלע וקדקוד )לאו דווקא זה מול זה( באחד
המשולשים ,ועל תלמידי הקבוצה האחרת לשער אם אפשר להעביר את הגובה מקדקוד זה
לצלע זו .אם כן ,עליהם לצייר אותו בערך.
פעילות ג :כל קבוצה מקבלת דף שמסורטטים בו משולשים ,שניים מכל סוג :חד-זוויות ,קהה-
זווית וישר-זווית .על תלמידי הקבוצה לבחור ולצבוע קדקוד אחד .על תלמידי הקבוצה האחרת
לשער כיצד יעבור גובה מקדקוד זה :בתוך המשולש ,מחוצה לו או על הצלע עצמה .אפשר לבקש
מהתלמידים לבחור צלע במשולש ולצבוע אותה.
פעילות ד :קבוצת תלמידים מקבלת דף שמסורטט בו הסרטוט הזה:
A
•
B
על התלמידים לסרטט שני משולשים ,שהקטע ABיהיה גובה שלהם.
פעילות ה :קבוצת תלמידים מקבלת דף שמסורטט בו הסרטוט הזה:
D
B
על התלמידים לסרטט שני משולשים ,שהקטע BDיהיה צלע שלהם ,ואחד הקדקודים יהיה על
הישר המסורטט .מה אפשר להגיד על הגבהים לצלע BDבכל משולש?
168
פעילות ו :מחלקים את תלמידי הכיתה לקבוצות .כל קבוצה מקבלת דף שמסורטט בו הסרטוט
הזה:
מבקשים מתלמידי קבוצה אחת לסרטט משולש שאחד הקדקודים שלו נמצא על ישר אחד ושני
הקדקודים האחרים על ישר אחר .תלמידי קבוצה שנייה יתבקשו לסרטט משולש אחר ,שאחד
הגבהים שלו שווה באורכו לאחד הגבהים של המשולש הנתון .תלמידי קבוצה שלישית יסרטטו
משולש קהה-זווית שאחד הגבהים שלו שווה באורכו לאחד הגבהים של שני המשולשים
המסורטטים .תלמידי קבוצה רביעית יסרטטו משולש ישר-זווית באותם האילוצים.
אפשר להרחיב את השאלה ולבקש לסרטט משולש באותם אילוצים ולהוסיף אילוץ :אחד
הקדקודים יתלכד עם אחד הקדקודים של אחד המשולשים המסורטטים.
בדיון כל הקבוצות מציגות את התוצאות.
פעילות ז :כל קבוצה מקבלת דף שמסורטטים בו מקבילית ,מעוין ,מלבן וריבוע )גדולים
יחסית( .על חברי הקבוצה לשער כמה גבהים יש בכל אחד מהמרובעים הנ''ל ,וכמה מהם שונים
באורכם .השאלה נשאלת לפי סדר הלימוד של המרובעים )קודם כול מקבילית ואחר-כך יתר
המרובעים בהדרגה(.
פעילות ח :התלמידים מקבלים דף שמסורטט בו משולש קהה-זווית )או שהתלמידים
מסרטטים אותו בעצמם( .המשולש המסורטט יהיה גדול יחסית לדף .על התלמידים לבנות
במשולש גובה אחד על-ידי קיפולי נייר בלבד .לאחר שהגובה בנוי ,על התלמידים לבנות באותו
סרטוט שני גבהים נוספים בעזרת קיפולי נייר בלבד .אם מקפלים נכון ,מתקבלים שלושה
גבהים שיש להמשכם נקודה משותפת מחוץ למשולש.
פעילות ט :כמו פעילות ח' ,אך הפעם מסורטט משולש ישר-זווית.
השיעור בספר הלימוד
הערה :בפרק הזה אין חלק "לעלות על הגל" ,כלומר הפרק מתחיל בהקניית החומר החדש.
קטע שיעור ,עמוד :382גובה במשולש
בקטע שיעור זה נלמד לראשונה המושג "גובה במשולש" .בדרך כלל את הגדרת הגובה מנסחים
במשפט אחד ,אך עקב המורכבות של המושג נדרש פירוש מסוים .כדי להקל על התלמידים
בהבנת המושג וכדי לתת כלים לבנייה ולבדיקה מידיים ,נוסחה ההגדרה בצורה אחרת בעזרת
הסעיפים א' – ג' .עדיין חשוב להסביר לתלמידים את ההגדרה ולעבוד בה בשלבים .קודם כול,
על התלמידים להבין כי גובה במשולש הוא קטע .יש תלמידים שאינם שמים לב לכך ומזהים כל
ישר העובר דרך קדקוד ומאונך לצלע שמולו ,כגובה במשולש.
אחר-כך מתארים את הקטע ,כלומר יש לציין היכן נמצאים קצות הקטע .קטע זה יוצא מאחד
הקדקודים של המשולש ,והקצה השני שלו נמצא על הצלע שמול הקדקוד הזה או על המשכה.
שימו לב שעדיין לא ברור באיזה מקום בדיוק נמצא הקצה השני .לכן יש לציין היכן נמצא קטע
זה ביחס לצלע שמעבירים אליה את הגובה .קטע זה מאונך לצלע זו .כך מתקבל קטע אחד
ויחיד שקוראים לו גובה במשולש.
להלן כמה מושגים שיש לפרשם ולתרגל אותם במיוחד.
א( צלע מול קדקוד או קדקוד מול צלע.
169
"צלע מול קדקוד" היא צלע שהקדקוד הזה אינו שייך אליה .בדרך כלל ,התלמידים מוצאים
בקלות צלע מול קדקוד במשולש חד-זוויות ,אך במשולשים מסוגים אחרים יש תלמידים
שמתקשים .לדוגמה ,קשה להבחין בכך שהצלע CBהיא מול הקדקוד .A
לכן מומלץ לצבוע את הקדקוד ואת הצלע שמולו בצבע זהה ,כל עוד התלמידים זקוקים לכך .
A
B
C
ב( קטעים מאונכים.
קטעים מאונכים הם שני קטעים שמונחים על ישרים מאונכים .הקטעים אינם חייבים להיפגש.
לדוגמה ,הקטעים שכאן מאונכים זה לזה.
קשה להבחין בכך ,כי הדבר מנוגד לאינטואיציה .בניגוד לקטעים ,ישרים מאונכים תמיד
נחתכים.
ג( המשך של צלע.
הצלע היא קטע ,כלומר היא חלק מישר .אפשר להמשיך את הקטע ולצייר את הישר שהקטע
הוא חלק ממנוּ .בפועל ממשיכים את הקטע "קצת" ,כך שהגובה יגיע אל הישר ,ואין צורך
לסרטט ישר עד לשולי הדף .בספר הלימוד מודגם משולש קהה-זווית ,כאשר הגובה מהקדקוד
של הזווית החדה מגיע אל המשכה של הצלע.
חשוב להדריך את התלמידים ולאמן אותם בסרטוט אנך לישר מנקודה הנתונה מחוץ לישר.
שימו לב ,בשלב זה אין מבחינים בין סוגי המשולשים )חד-זוויות ,קהה-זווית או ישר-זווית(,
אלא מלמדים את התלמידים את המושג "גובה" במשולש ,ולכן יש לגוון בדוגמאות של
משולשים מכל שלושת הסוגים .סביר להניח שהפעילות בכל המשולשים בו-זמנית תוביל
להבנת עמוקה יותר של המושג.
משימה מס' :1הקניית המושג "צלע מול קדוקוד".
משימה מס' :2המשימה עוסקת בהפנמת הקשר בין קדקוד לבין הצלע שמולו .חשוב שלפחות
בתחילת הלמידה כל התלמידים ידגישו את הקדקוד ואת הצלע שמולו ,לפני שהם מסרטטים
את הגובה.
משימה מס' :3על התלמידים לזהות את הקטעים המאונכים לצלע .ACהם צבועים בכחול.
הבדיקה נעשית על-ידי זווית ישרה של משולש סרטוט )או בעזרת זווית שהתקבלה בקיפולי
נייר( .חשוב לוודא שכל התלמידים רכשו את המיומנות של בדיקת מאונכות ,כי זה חשוב
להפנמת המושג "גובה".
משימה מס' :4התלמידים נדרשים לסמן את הקצוות של כל קטע באותיות לועזיות ולקבוע
אילו מבין הקטעים אינם גבהים .הנימוק יתבסס על שלושת התנאים של גובה במשולש.
משימה מס' :5א( בכל משולש שלושה קדקודים .ב( השימוש בצבעים מסייע להתאים כל
קדקוד במשולש לצלע שמולו.
ג( בכל משולש יש שלושה זוגות של "קדקוד וצלע שמולו".
ד( התלמידים נדרשים לזהות את הזוגות ולרשום אותם בעזרת אותיות לועזיות כמודגם להלן.:
במשולש :ABCמול הקדקוד Bנמצאת הצלע ;AC
170
מול הקדקוד Aנמצאת הצלע ;BC
מול הקדקוד Cנמצאת הצלע .AB
משימה מס' :6על התלמידים לזהות את הצלע שגובה נתון יורד אליה .במשולש קהה-זווית
חשוב לצבוע רק את הצלע ,ולא את המשכה .במשולש ישר-זווית צריך לצבוע את הניצב השני.
שני מקרים אלה קשים לתלמידים .זיהוי כזה הוא שלב חשוב להפנמת המושג "גובה במשולש".
שימו לב לשימוש במילים הנכונות" :הצלע שהגובה יורד אליה".
משימה מס' :7זיהוי גובה במשולש .על התלמידים לבדוק היכן נמצאים שני הקצוות של
הקטע )בקדקוד ובצלע שמולו או בהמשכה( ,ואם הקטע מאונך לצלע זו )בודקים בעזרת זווית
ישרה כלשהי ,למשל בעזרת משולש סרטוט( .בסעיפים א' ,ב' ,ג' ו -ח' הקטע המודגש הוא
הגובה .ביתר הסרטוטים הקטע המודגש אינו גובה.
משימה מס' :8זיהוי גובה במשולש.
משימה מס' :9זיהוי וסרטוט שלגבהים במשולשים השונים.
קטע שיעור ,עמוד :385כיצד מסרטטים גובה במשולש?
לאחר שהתלמידים זיהו גובה במשולש ,הם לומדים לסרטט את הגובה בעזרת משולש סרטוט.
להפנמת המושג חשוב לדעת גם לזהות את הגובה וגם לבנות אותו ,לכן חשוב מאוד שכל
התלמידים יבצעו את הבנייה .תחילה בוחרים את הקדקוד ומדגישים אותו .ייתכן שהתלמידים
יצטרכו להדגיש את הצלע ועל-פיה לבחור את הקדקוד שמולה -הכול תלוי בניסוח המשימה.
בשלב זה אין מבחינים בין סוגי המשולשים ,אלא מלמדים להחזיק את המשולש בצורה הנכונה
ולסרטט במשולש כלשהו את הקטע הנדרש בצורה הנכונה .סביר להניח כי בדרך זו התלמידים
יקלטו טוב יותר את המושג ,ולא תהיה להם הפתעה בהמשך ,כי גובה יכול להימצא במקומות
שונים ביחס למשולש )בתוכו ,על היקפו או מחוצה לו(.
הערה :בשלב זה של הלמידה אין מסמנים את הגובה באות hקטנה ) (highכפי שנהוג ,כדי לא
להעמיס על התלמידים.
מומלץ להרבות בתרגול מדפי התרגול לפרק זה.
משימה מס' :10במשימה זו חושפים את התלמידים לטעויות אופייניות בסרטוט גובה .חשוב
לדון עם התלמידים בכל סרטוט ,לשאול אותם מדוע הם חושבים כי הנחת המשולש נכונה או
לא ,ולבקש מהם להניח את המשולש בצורה הנכונה .חשוב לוודא כי כל התלמידים הבינו כיצד
מניחים את משולש הסרטוט) .הפנו אותם לסרטוט הנכון בקטע השיעור(.
משימה מס' :11במשימה זו התלמידים מסרטטים גובה בפעם הראשונה .בדרך כלל סרטוט
גובה בתוך המשולש קל יותר מסרטוט של המקרים האחרים .כלומר קל לסרטט כל גובה
במשולש חד-זוויות ואת הגובה היוצא מקדקוד של זווית קהה )משולש קהה-זווית( או מקדקוד
של זווית ישרה )משולש ישר-זווית( .במשולש קהה-הזווית המסומן בנורה יש להמשיך את
הצלע הכחולה ,כי הגובה מגיע אל המשכה של הצלע.
משימה מס' :12זהו מקרה קל ,כי הגובה נמצא בתוך המשולש.
משימה מס' :13המשבצות מקלות את הסרטוטים .כל המשולשים הם קהי-זווית .במשולש
הימני הגובה עובר בתוך המשולש ,ביתר המשולשים יש להמשיך את הצלע שמול הקדקוד ,כי
הגובה עובר מחוץ למשולש.
משימה מס' :14דיון בדרכי ביצוע המשימה יקל על התלמידים ,ובזכותו עשויה לגדול כמות
התלמידים שיוכלו להתמודד עם המשימה.
171
משימה מס' :15בסרטוט המופיע במשימה ,הקטע BDהוא גובה במשולש .ABCבמשימה יש
לסרטט משולש אחר ,כך שהקטע BDיהיה גובה במשולש האחר .אפשר לסרטט משולש
שהגובה שלו יוצא מהקדקוד Bומגיע לקטע אחר המייצג את הצלע ,ACכמודגם באיור א'.
כמו-כן אפשר שהגובה יצא מהקדקוד Dלעבר צלע שאחד מקדקודיה הוא ,Bכמודגם באיור
ב'.
איור ב'
איור א'
B
B
A
A
D
C
D
משימה מס' :16התלמידים כבר עסקו בזיהוי הגובה ובבנייתו .כעת הם בשלים לפן נוסף של
המושג .בשלושת התרגילים הבאים יעסקו התלמידים בחקירת גבהים בסוגים שונים של
משולשים .החקירה מתחילה במשולש חד-זוויות )קל יותר מבחינת המושג "גובה"( .קודם כול,
חוקרים כמה גבהים יש במשולש .המסקנה :יש שלושה גבהים ,כי יש שלושה קדקודים ,ומכל
קדקוד יורד גובה לצלע מתאימה) .ראו גם משימה (.3חשוב לסרטט את כל שלושת הגבהים
בדיוק האפשרי כדי לראות את הנקודה המשותפת של כל הגבהים )בתוך המשולש( .אפשר
לחלק בין התלמידים דפים של סרטוט משולש חד-זוויות בהגדלה וכך להגיע לדיוק.
משימה מס' :17המשך החקירה .כעת חוקרים גבהים במשולש קהה-זווית .מקרה זה עלול
לעורר קושי אצל התלמידים .אפשר להגדיל את המשולש ולסרטט אותו על דף נפרד ,אך יש
לוודא שהנקודה המשותפת של הישרים שהגבהים מונחים עליהם ,נמצאת על הדף ,ולא מחוצה
לו .גם כאן יש שלושה גבהים ,וצריך להמשיך את שתי הצלעות המתאימות כדי לבנות את
הגבהים שיורדים ֲאליהן .שני גבהים נמצאים מחוץ למשולש ,והשלישי נמצא בתוכו ,לכן יש
נקודה משותפת להמשכם של הגבהים מחוץ למשולש.
משימה מס' :18המשך החקירה .כעת חוקרים גבהים במשולש ישר-זווית .גם מקרה זה עלול
לעורר קושי אצל התלמידים .אפשר להגדיל את המשולש ולסרטט אותו על דף נפרד .גם כאן יש
שלושה גבהים .שני גבהים מתלכדים עם הניצבים ,והשלישי עובר בתוך המשולש )הגובה ליתר(.
הנקודה המשותפת היא קדקוד הזווית הישרה של המשולש .הזכירו לתלמידים את המושגים
"ניצב" ו"יתר" ,כי הם מקלים את ההסברים.
קטע שיעור ,עמוד :388סיכום חקירת גבהים במשולש
שיעור זה הוא סיכום החקירה שהתלמידים ביצעו במשימות .13 - 11חשוב לשוחח עם
התלמידים על הממצאים המובאים בשיעור ,ולהתבונן יחד בסרטוטים הנכונים שמדגימים את
המסקנות .ייתכן שהתלמידים עדיין אינם מדייקים בבנייה ,ולכן לא יבינו מהי הנקודה
המשותפת של שלושת הגבהים במשולש.
משימה מס' :19על התלמידים לסרטט את שלושת הגבהים של המשולש .יש כאן חזרה על
סוגי המשולשים :משולש חד-זוויות ,משולש ישר-זווית ומשולש קהה-זווית .הנקודה
המשותפת לשלושת הגבהים עשויה להיות אמצעי לבדיקת הסרטוט של הגבהים .אם הגבהים
סורטטו כנדרש ,התלמידים יוכלו לראות כי הנקודה המשותפת לשלושת הגבים במשולש חד-
זוויות נמצאת בתוך המשולש; במשולש ישר -זווית היא נמצאת על המשולש; ובמשולש קהה-
זווית היא נמצאת מחוצה לו.
172
משימה מס' :20משימה זו עוסקת במשולש מיוחד :משולש שווה-צלעות .במשולש זה שלושת
הגבהים שווים באורכם ,והם נמצאים בתוך המשולש.
א( על התלמידים לזהות את נקודת המפגש של הגבהים במשולש.
ב( על התלמידים להתאים את הגבהים לצלעות המתאימות.
ג( התלמידים נדרשים לבדוק אם הגבהים שווים או שונים באורכם .אפשר לדון בנושא זה
בכיתה.
משימה מס' :21פיתוח מיומנות סרטוט :סרטוט משולש בעל גובה נתון .אפשר להנחות את
התלמידים לסרטט קטע באורך כלשהו ,המאונך לקטע הנתון ויוצא מאחד מקצותיו.
משימה מס' :22פיתוח של מיומנות סרטוט של משולשים לפי התנאי הנתון .סרטוט שלושה
משולשים ביחס לקטע נתון עלול להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה.
באיור שלפניכם מודגם פתרון אפשרי למשימה.
A
D
C
B
E
אפשר לבקש מאחד התלמידים לסרטט את המשולשים על הלוח ,לסמן את הקדקודים
באותיות לועזיות ולכתוב לגבי כל משולש את ההיגדים האלה:
במשולש ADEהקטע ABהוא גובה לצלע ;ED
במשולש AECהקטע ABהוא גובה לצלע ; EC
במשולש ABDהקטע ABהוא גובה לצלע ..BD
משימה מס' :23גבהים בטרפז .הטרפז שכאן מחולק לשני משולשים .התלמידים נדרשים
לסרטט שני גבהים לצלע המשותפת – האלכסון של הטרפז .התלמידים רואים לראשונ ,כי
לצלע אחת ייתכנו שני גבהים ,בשני כיוונים .למעשה נוצרים שני גבהים מקבילים ,מאחר
ששניהם ניצבים לאותה הצלע.
משימה מס' :24מיומנויות של גזירה וקיפולי נייר .הנחו את התלמידים לסרטט את המשולש
בעזרת סרגל .הדגישו את חשיבות הדיוק בגזירה.
קטע שיעור ,עמוד :390גובה במקבילית
בשיעור זה לומדים על גובה במקבילית .גם את המושג הזה יש ללמד בשלבים ,כלומר לצבוע
את הקדקוד ואת הצלע שמולו ואחר-כך להעביר את הקטע המאונך לצלע זו .יש לשים לב
שקצות הקטע יהיו במקומות הנכונים ,כלומר אחד מתלכד עם הקדקוד ואחד על הצלע
המתאימה או על המשכה .יש להסב את תשומת לבם של התלמידים לכך שלקדקוד אחד
במקבילית מתאימות שתי הצלעות שמולו ,ושלכל צלע אפשר לסרטט גובה אחר; ולהפך :לכל
צלע מתאימים שני הקדקודים שמולה ,ולצלע זו אפשר לסרטט גובה מכל אחד מהקדקודים
הללו .במקבילית שמו ָנה גבהים בשני אורכים שונים.
משימה מס' :25תרגול של דרכי הסימון במקבילית ושל זיהוי צלעות וקדקודים.
משימה מס' :26על התלמידים לזהות גובה במקבילית לפי השלבים בהגדרה.
משימה מס' :27זיהוי צלעות "מול" קדקודים במקבילית.
משימה מס' :28הבנה שבמקבילית שני גבהים שונים באורכם.
173
משימה מס' :29סימון הגבהים במקבילית.
משימה מס' :30כדאי לדון בשאלה אם אחד מאלכסוני המקבילית יכול להיות גובה
במקבילית .התשובה היא כן.
משימה מס' :31סרטוט מקבילית כאשר נתון גובה.
קטע שיעור ,עמוד :392כיצד מסרטטים גובה במקבילית?
בשיעור זה לומדים לבנות גובה במקבילית בעזרת כלים גאומטריים ,לדוגמה בעזרת משולש
סרטוט .חשוב להדריך ולהרגיל את התלמידים להדגיש תחילה את הקדקוד ואת הצלע שמולו
ולאחר מכן להניח את המשולש כמו בציור בקטע השיעור .מניחים ניצב אחד של משולש
הסרטוט על הצלע שהגובה יורד אליה ,כך שהניצב השני עובר דרך הקדקוד שהגובה יורד ממנוּ.
מסרטטים את הגובה לאורך ניצב זה.
משימה מס' :32רשת משבצות עוזרת בסרטוטים ,לכן אם מוסיפים תרגול בנושא ,מומלץ
לבצע את הסרטוטים על דף משבצות .קל יותר לסרטט את הגובה לצלע .EKסרטוט הגובה
השני לצלע PKעלול להיות קשה לתלמידים עקב אי-שליטה בהנחה נכונה של משולש הסרטוט.
משימה מס' :33סרטוט שני גבהים שונים במקבילית.
אַחד הגבהים מחוץ למקבילית.
משימה מס' :34סרטוט שני גבהים במקבילית ,כאשר ַ
משימה מס' :35במקבילית ארבעה קדקודים .מול כל קדקוד נמצאות שתי צלעות .מכל
קדקוד אפשר לסרטט שני גבהים .בכל מקבילית אפשר לסרטט שמונה גבהים בסך הכול .אפשר
למיין את הגבהים לשתי קבוצות המייצגות שני גבהים שונים באורכם במקבילית .אם
התלמידים מתקשים בסרטוט של כל הגבהים ,אפשר לבקש מהם לסרטט רק ארבעה )במקרה
זה יש ארבעה גבהים בכיוון ה"אנכי"(.
מטרת המשימה הזו היא להדגיש שבמקבילית יש שני גבהים שונים ויש לעיתים גבהים שאינם
עוברים בתוך המקבילית.
משימה מס' :36יש אין-סוף פתרונות נכונים .הקטעים אינם חייבים לצאת מהקדקודים של
המקבילית .להלן דוגמה לקטע כזה )בצבע אפור(.
במשימה זו תוכלו להזכיר לתלמידים כי כל קטע כזה מראה את המרחק בין שני ישרים
מקבילים.
כל הקטעים שווים באורכם .כידוע ,המרחק בין שני ישרים מקבילים הוא קבוע.
משימה מס' :37סרטוט מקבילית כאשר נתונים שני גבהים הקשורים לצלעות מקבילות.
קטע שיעור ,עמוד :394גובה במעוין
בשיעור זה לומדים על גובה במעוין .גבהים במעוין נבדלים מהגבהים במקבילית לא-מיוחדת,
בכך שבמעוין כל שמונת הגבהים הם שווי-אורך .בתוך כדי פתרון המשימות אפשר לבקש
מהתלמידים המתקדמים לנמק זאת .אחת הדרכים היא להשתמש בסימטריה שיקופית שיש
במעוין .התלמידים יכולים גם להגיע למסקנה זו על-ידי קיפולי נייר.
משימה מס' :38אפשר להשוות בין האורכים בעזרת רצועת נייר או על-ידי מדידה בסרגל.
משימה מס' :39זיהוי גבהים במעוין.
174
משימה מס' :40על התלמידים לסרטט גבהים במעוין ולהשוות ביניהם.
משימה מס' :41תלמידים שיתקשו בסרטוט של כל הגבהים במעוין ,יוכלו להסתפק בסרטוט
פחות גבהים .אבל חשוב שכל התלמידים יתרגלו בניית גובה מקדקוד של זווית קהה ומקדקוד
של זווית חדה.
קטע שיעור ,עמוד :395גובה במלבן ובריבוע
השיעור עוסק במושגים "גובה במלבן" ו"גובה בריבוע" .ייתכן קושי בהבנת המושגים ,מפני
שכל הגבהים במרובעים אלו מתלכדים עם הצלעות .אם הקושי מתעורר ,כדאי להזכיר
לתלמידים שגם במשולש ישר-זווית שני גבהים מתלכדים עם צלעותיו .חשוב גם להדגיש
שחייבים להתקיים כל התנאים של הגובה .במרובעים אלו יש רק ארבעה גבהים שונים ,כי כמה
מהגבהים מתלכדים זה עם זה .כמובן ,אורכי הגבהים שווים לאורכי הצלעות שהגבהים
מתלכדים אתן.
משימה מס' :42הייחודיות היא הזוויות הישרות במלבן ובריבוע.
משימה מס' :43אין באמת צורך בסרטוט ,כי הגובה הוא הצלע השנייה.
משימות מס' :46 – 44משימות יישום.
מה למדנו ,עמוד :396סיכום הנלמד
בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד :במשימה הראשונה סיכום על הגבהים במשולש ,במשימה
השנייה חוזרים על סרטוט הגבהים במקבילית ובמעוין.
משימה מס' :47משימה זו עוסקת בגבהים במשולש.
משימה מס' :48תרגול וחזרה על סרטוט של גבהים במעוין ובמקבילית.
ממשיכים בתרגול ,עמודים 400 - 397
משימה מס' :1זיהוי של קדקוד במשולש והצלע שמול הקדקוד.
משימה מס' :2זיהוי של גובה במשולש מתוך מספר קטעים מסורטטים.
משימה מס' :3סרטוט גובה במשולשים מסוגים שונים.
משימה מס' :4סרטוט גובה במשולש מקדקוד נתון.
משימות מס' :6 -5סרטוט משולשים .מספיק לסרטט קטע המאונך לקטע הנתון וחותך אותו,
ולבחור עליו שתי נקודות.
משימה מס' :7במשולש ישר זווית כל ניצב הוא גובה לניצב השני ,לכן כדי לסרטט את
המשולשים הנדרשים ,די לחבר את קצות הקטעים.
משימה מס' :8דוגמאות לתשובות.
ב
ג
175
ד
משימה מס' :9א( על התלמידים לסרטט את שלושת הגבהים בכל משולש.
ב( משולש א' :משולש ישר-זווית – הגבהים נפגשים על היקף המשולש.
משולש ב' :משולש חד-זוויות – הגבהים נפגשים בתוך המשולש.
משולש ג' :משולש קהה -זווית – הגבהים נפגשים מחוץ למשולש.
משימה מס' :10סרטוט גבהים במקבילית נתונה.
משימה מס' :11סרטוט גבהים במקבילית .התלמידים מגלים כי הגובה היוצא מקדקוד K
לצלע MPשווה באורכו לאחד הגבהים שסרטטו קודם לכן.
משימה מס' :12הקטע EFשווה באורכו לארבעה גבהים במקבילית.
משימה מס' :13כדאי לדון בשאלה כמה מקביליות אפשר לסרטט כך שהקטע הנתון יהיה
גובה של כל אחת מהן.
משימה מס' :14משימה מורכבת ,לכן היא יכולה להיות קשה לתלמידים בכיתה .בסרטוט יש
תשעה מלבנים .הקטע EOהוא גובה לצלע GOבמלבן ,AEOGוהוא גובה לצלע OHבמלבן
.EOHBהקטע GHהוא גובה לצלע BHבמלבן ,GHBAוהוא גובה לצלע HCבמלבן .GHCD
משימה מס' :15משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה.
B
להלן סרטוט מתאים לפתרון המשימה:
A
O
C
D
שימו לב :הקטע היוצא מהקדקוד Dהוא גובה במשולש AODוכן גובה במשולש .CODמדובר
בגובה אחד המשותף לשני המשולשים ויוצא מהקדקוד .D
שאלות מילוליות ,עמוד 401
משימה מס' :1הקדקוד Cהוא נקודת המפגש של הישר המאונך ל H -ב H -ו -הישר המאונך
ל MB -ב .B -שימו לב ,אפשר גם לסרטט את הגובה השלישי דרך נקודת המפגש של שני
הגבהים ואליו תתחברנה שתי הצלעות.
משימה מס' :2זיהוי קטע המהווה מרחק בין שני ישרים.
משימה מס' :3פיתוח מיומנות סרטוט של מקבילית ,של מעוין ,של מלבן ושל ריבוע.
משימה מס' :4הריבוע הוא מקבילית שבה כל הגבהים שווים באורכם.
המלבן הוא מקבילית שיש לה שני גבהים בשני אורכים שונים ,וכל הגבהים הם צלעותיה.
יישומים באמנות ,עמוד 402
התלמידים ילמדו כיצד משתמשים באמנות בגבהים של מעוין ושל מקבילית כדי לקבל
אפקטים חזותיים מיוחדים.
176
העשרה ,עמוד :403גובה בטרפז
השיעור עוסק במושג "גובה בטרפז" .נושא זה מיועד לתלמידים המתקדמים אך אין מניעה
שכל תלמידי הכיתה ילמדו את הנושא ,שכן קל לזהות גבהים בטרפז ,מאחר שיש רק ארבעה
גבהים מקבילים ושווים באורכם.
לימוד הנושא "גובה בטרפז" מסיים ,למעשה ,את ההיכרות עם המושג "גובה" )במובן של
צורות מישוריות(.
משימה מס' :1משימת יישום של סרטוט גבהים בטרפז.
משימה מס' :2בסרטוט הטרפזים אפשר להיעזר במשבצות המסומנות כרקע .למשימה אין-
סוף פתרונות שונים.
משימה מס' :3במשימה זו נתונים שני קטעים המאונכים זה לזה .התלמידים נדרשים לסרטט
טרפז כך שקטע אחד יהיה גובה בטרפז ,והקטע האחר יהיה בסיס הטרפז .כל אין-סוף
הטרפזים המתקבלים הם ישרי-זווית.
אנו שולטים בחומר ,עמוד 404
בעמוד זה חוזרים על חוק הפילוג של הכפל מעל החיבור ושל הכפל מעל החיסור וכן על דרכי
חישוב של כפל וחילוק.
177
יג .שברים ,מספרים עשרוניים ואחוזים
עמ' 446 - 405
רקע
בפרקים ט' ו -י"א למדו התלמידים על המבנה העשרוני של המספרים העשרוניים וראו
דוגמאות לשימוש בהם בחיי היום-יום ,הם למדו כיצד להשוות בין מספרים עשרוניים וכן
לסדר אותם על ישר המספרים.
בפרק הנוכחי עוסקים בקשר שבין השבר ,המספר העשרוני והאחוז .העיסוק העיקרי בפרק זה
הוא במעבר משבר למספר עשרוני ולהפך ובסידור של כל השברים והמספרים העשרוניים על
ציר המספרים.
התלמידים עלולים להתקשות ולשגות במעבר משבר למספר עשרוני ,לדוגמה יש הכותבים נכון
1
1
וכותבים לפי היקש שגוי . = 0.6
= 0.1
6
10
הנושא "אחוזים" הוא נושא חדש בתכנית הלימודים .לפי עקרון הספירליות ,התלמידים
נחשפים לנושא בכיתה ה' ,ובכיתה ו' הם יעמיקו וירחיבו את ההבנה בנושא .תוספת זו
מאפשרת לקשר בין שלוש צורות הכתיבה של המספרים :שברים ,מספרים עשרוניים ואחוזים.
לעתים קרובות נתקלים בחיי היום-יום בשברים שהמכנה שלהם הוא ,100כלומר במאיות.
37
המאית קיבלה שם מיוחד -אחוז .את האחוז נוהגים לסמן בסימן 37% .%הם
)שלושים
100
ושבע מאיות(.
) 123%מאה עשרים ושלושה אחוז( הם מאה עשרים ושלוש מאיות שהן שלם ועשרים ושלוש
123
23
מאיות.
.
=1
100
100
המושג "אחוז" הפך לאחד המושגים השימושיים ביותר בחיינו ,בעיקר בנושאים כספיים
)קניות ,מכירות ,הנחות ,בנקים וכדומה( .משתמשים באחוזים בעיקר לתיאור חלק של כמות.
לכן נוהגים לומר " 50%מהכדורים" ,אך אין נוהגים לומר " 50%של המטר".
1
הסימן %הוא קיצור ל " × 0.01 " -ול" -
× " .כלומר במקום לכתוב " 5מאיות" כך:
100
5
או כך ,0.05 :אפשר לכתוב .5%למרות זאת המונחים "שבר שמכנהו "100ו"מספר
100
עשרוני" אינם זהים לגמרי למונח "אחוזים" .שבר או מספר עשרוני הם מספרים שאינם חייבים
להיות מלווים בכינוי ,ואילו כשמשתמשים במונח "אחוז" ,נדרשת תמיד הגדרה של שלם.
אפשר לומר ,כי השימוש ב"אחוזים" יכול לבוא במקום "שבר" או "מספר עשרוני" המבטאים
"חלק מתוך כמות" .לדוגמה ,במקום לכתוב 0.57מהתפוזים כותבים 57%מהתפוזים .למעשה,
אפשר לכתוב כל מספר עשרוני כאחוז ,לדוגמה ,1.854 = 185.4% ,אך לא תמיד יש בכך טעם.
חשוב שהתלמידים ידעו את כל ההשלכות הנובעות מכך שאחוז הוא שם אחר למאית .כך הם
יוכלו לעבור מאחוז לשבר או מאחוז למספר עשרוני בצורה קלה ,וכן לעבור משבר לאחוז או
ממספר עשרוני לאחוז .שליטתם בנושא אחוזים תהיה מרבית.
מומלץ להקדיש לנושא "אחוזים" כשלוש שעות.
לפי תכנית הלימודים במתמטיקה ,מומלץ להקדיש לפרק זה כ 7 -שעות לימוד.
מושגים
מספר עשרוני ,שבר ,חזקה של ,10מספר עשרוני סופי ,מחזורי ,לא-מחזורי ,מחלקים ,כפולות,
אחוז ,מאית ,שבר ,ייצוג האחוז ,ערך האחוז.
178
מטרות
התלמידים ידעו:
א .לכתוב כל שבר כמספר עשרוני;
ב .לכתוב כל שבר שמכנהו חזקת ,10כמספר עשרוני )בעזרת מבנה עשרוני(;
ג .לכתוב מספר שלם כמספר עשרוני;
ד .לכתוב מספר מעורב ,שהמכנה של החלק השברי שלו הוא חזקת ,10כמספר עשרוני;
ה .להפוך שבר למספר עשרוני כאשר המכנה של השבר הוא מכפלת גורמים שהם חזקות של 2
וחזקות של 5בלבד;
ו .להפוך למספר עשרוני שבר שמכנהו שונה ממכפלת הגורמים שהם חזקות של 2או של ,5
בעזרת חילוק המונה במכנה;
ז .להפוך כל שבר למספר עשרוני על-ידי חילוק מונה במכנה;
ח .להשוות בין שבר לבין מספר עשרוני;
ט .לסדר את השברים ואת המספרים העשרוניים על ציר המספרים.
י .להגדיר שהאחוז הוא שם אחר למאית;
יא .לקרוא את האחוזים הכתובים בספרות;
יב .לכתוב את האחוז כשבר שמכנהו ;100
יג .לכתוב את האחוז כשבר מצומצם;
יד .לכתוב את האחוז כמספר עשרוני;
טו .לייצג אחוז מכמות נתונה על-ידי ייצוגים שונים.
אביזרים ואמצעי המחשה
נייר מילימטרי ,כרטיסיות שכתובים עליהן מספרים עשרוניים ,טבלת המבנה העשרוני ,דפים
שרשומים עליהם שברים ומספרים עשרוניים ,עיגולים ,ריבועים ,מלבנים ,דפים שמצוירים
עליהם ציורים של חפצים בכמויות שונות.
אביזרי "חשבון :"10רצועות ,מד-מטר מספרים עשרוניים ,מד-מטר שברים ,שקף משבצות
הטמעה
א .חזרה על המיומנויות :פירוק של מספר טבעי לגורמים.
על הלוח רשומים מספרים 120 ,100 ,45 ,17 ,15 ,12 ,10 :וכדומה .על התלמידים לפרק את
המספרים לגורמים ,כלומר לכתוב אותם בצורת מכפלה כך. 120 = 12× 10 :
ב .חזרה על המיומנויות :פירוק מספר טבעי לגורמים ראשוניים.
על הלוח רשומים אותם המספרים מסעיף א' 120 ,100 ,45 ,17 ,15 ,12 ,10 :וכדומה .על
התלמידים לפרק את המספרים לגורמים ראשוניים ,כלומר לכתוב אותם בצורת מכפלה כך:
. 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5אפשר לבקש מהתלמידים )בהתאם לרמתם( לכתוב את המכפלה
בעזרת חזקות. 120 = 2 3 × 3 × 5 :
ג .חזרה על המיומנויות :פירוק מספר טבעי לגורמים הראשוניים 2ו.5 -
בין אותם המספרים שרשומים על הלוח - 120 ,100 ,45 ,17 ,15 ,12 ,10 -התלמידים צריכים
למצוא מספרים שהפירוק שלהם הוא מכפלת ֲחזקות של המספרים הראשוניים 2ו 5 -בלבד.
179
ד .חזרה על המיומנויות :מציאת גורם כך שיתקבל מספר שהוא חזקה של .10
על הלוח רשומים מספרים ,לדוגמה . 12 ,8 ,13 ,4 ,3 ,5 ,2 :התלמידים מתבקשים למצוא מספר
טבעי ,שתוצאת הכפלתו באחד המספרים הנתונים תהיה 100 ,10או .1,000לדוגמה. 8 × ? = 10 ,
אין מספר טבעי מתאים . 8 × ? = 100 .אין מספר טבעי מתאים . 8 × ? = 1000 .המספר המתאים
הוא ) 125אפשר להיעזר במחשבון( .ישנם מספרים שאם נכפיל אותם בגורם אחר ,לעולם לא
יתקבל מספר שהוא חזקה של ) .10לדוגמה .(3 :בהתאם לרמת התלמידים אפשר לדון בשאלה
מתי הדבר אפשרי.
ה .חזרה על המיומנויות :מספרים עשרוניים על ציר המספרים.
על הלוח רשומים המספרים 0.2ו .0.3-התלמידים מתבקשים למצוא מספר כלשהו ביניהם.
פעילויות גילוי
פעילות א :התלמידים מתבקשים למצוא דרך לגלות ללא חישוב מהו מספר הספרות בחלק
השברי של מספר עשרוני סופי ,השווה לשבר שמכנהו חזקה של .10דנים בהשערותיהם של
התלמידים .דוגמאות:
24
:בחלק השברי של מספר עשרוני סופי מתאים יהיו שתי ספרות.
100
8
:בחלק השברי של מספר עשרוני סופי מתאים יהיו שתי ספרות.
100
8
:בחלק השברי של מספר עשרוני סופי מתאים יהיו שלוש ספרות.
1,000
80
:בחלק השברי של מספר עשרוני סופי מתאים יהיו שלוש ספרות או שתיים )אם
1,000
מצמצמים(.
35
:בחלק השברי של מספר עשרוני סופי מתאים יהיו ארבע ספרות.
10,000
אפשר לבקש מהתלמידים לתת דוגמאות שונות של שברים )חזקת 10במכנה( ולבדוק את
השערתם.
פעילות ב :התלמידים מקבלים דף שרשומים בו שברים שונים .מבקשים מהם לשער אילו
שברים אפשר להפוך למספרים עשרוניים סופיים ,ואילו שברים אי אפשר להפוך למספרים
עשרוניים סופיים .דנים בהצעות התלמידים .מבקשים מהתלמידים לתת דוגמה לשבר שאפשר
להפוך אותו למספר עשרוני סופי.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
דוגמאות לשברים:
. , , , , , , , ,
2 3 4 5 6 7 8 9 10
פעילות ג :בפעילות זו משתמשים במחשבון .התלמידים מקבלים דף שרשומים עליו שברים
שונים .עליהם למצוא דרך לרשום כל שבר כמספר עשרוני .דנים בהצעות של התלמידים .דנים
בסוגים של המספרים העשרוניים שהתקבלו )סופיים ,אין-סופיים ,מחזוריים( .דוגמאות
1 1 1 1 1 1 1 1 1
לשברים. , , , , , , , , :
2 3 4 5 6 7 8 9 10
פעילות ד :התלמידים מקבלים דף שרשומים עליו מספרים עשרוניים ,שברים ומספרים
מעורבים .מבקשים מהתלמידים לסדר אותם על ישר המספרים.
דוגמאות למספרים )אפשר להסתפק בחלק מהרשימה(:
180
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
,1 , 2.5 , 2 , 2 ,2
0 , 0.1 , , 0.2 , , 0.3 , , 0.4 , , 0.6 , , 0.7 , , 0.8 , , 0.9 ,
2
3
4
5
7
8
9
10
2 3
פעילות ה :אחוזים בחיי היום-יום.
מבקשים מהתלמידים לחפש בעיתונים היומיים או השבועיים או במדורי הפרסום למיניהם
מודעות פרסום של הנחות הניתנות ברכישת מוצרים שונים .התלמידים מתבקשים להעתיק את
המודעות או להביא אותן לכיתה .דנים במה שכתוב במודעות .דוגמאות למודעות" :סוף עונה!
הנחה של 50%על כל ְפּריט" .מבקשים מהתלמידים לקרוא את המודעה בקול רם .שואלים את
התלמידים :מה משמעות הכתוב? מה פירוש " 50%הנחה על כל ְפּריט"?
מטרת הפעילות היא להראות את השימוש באחוזים בחיי היום-יום ולגלות את חשיבות הנושא.
בתום הדיון מגיעים למושג "אחוז" ולהגדרתו.
פעילות ו :ייצוג האחוז ) (1%כחלק משלם או כחלק של כמות.
התלמידים מקבלים דפים חלקים ומתבקשים לייצג אחוז אחד ) (1%בדרך כלשהי .בשלב זה
הפעילות היא חופשית לגמרי ,כלומר על התלמידים לבחור ייצוג לשלם ,לחלק אותו ל100 -
חלקים שווים ולצבוע חלק אחד שהוא מאית ) .(1%בשלב הבא מחלקים לתלמידים דפים
שמצוירים בהם שלמים שונים :עיגול ,ריבוע ,מלבן ,מספר עיגולים ,מספר חפצים .התלמידים
מתבקשים לסמן בכל מקרה 1%מהצורה ולאחר מכן כמות אחרת המיוצגת על-ידי אחוז אחר,
לדוגמה 100% ,50% ,20% ,או 5%וכדומה .דנים בדרכי הפתרון.
פעילות ז :ייצוג אחוזים כחלק משלם או כחלק מכמות.
מחלקים לתלמידים דפים שמצוירים בהם שלמים שונים .השלם יכול להיות עיגול ,מלבן,
ריבוע 10 ,כדורים 100 ,משבצות .מבקשים מהילדים לסמן בכל אחד מהשלמים את החלק
המייצג ,50%אחר-כך .20% ,25%דנים בשאלה" :מה מייצג "?50% ,100%חשוב לקשר בין
אחוז לשבר כמו חצי ורבע.
פעילות ח :המעבר מאחוז לשבר.
התלמידים מתבקשים למצוא דרך לרשום את האחוזים,125% ,75% ,5% ,0.5% ,12.5% :
500% ,300% ,150%כשבר )או כמספר שלם( ,אם ידוע כי 25%הם רבע 10% ,הם עשירית1% ,
הוא מאית 100% ,הם .1
פעילות ט :המעבר מאחוז למספר עשרוני.
התלמידים מתבקשים למצוא דרך לרשום את האחוזים,125% ,75% ,5% ,0.5% ,12.5% :
500% ,300% ,150%כמספר עשרוני ,אם ידוע כי .1=100% ,0.1=10% ,0.25=25%
השיעור בספר הלימוד
האם אנו מוכנים? – תשובות:
.1ד; .2ג; .3ג; .4ג; .5ג; .6א( נכון ,ב( נכון ,ג( לא נכון ,ד( לא נכון; .7א; .8ד.
לעלות על הגל
קטע שיעור ,עמוד :406המחלקים של ,10של 100ושל 1,000
בשיעור זה חוזרים על המושג "מחלק" של מספר טבעי ,ומתמקדים במחלקים של ,10של ,100
ושל .1,000השיעור חשוב מפני שמספרים עשרוניים מבוססים על ֲחזקות של .10כאשר עוברים
משבר למספר עשרוני וצריך להרחיב את השבר כך שמכנהו יהיה 100 ,10או ,1,000משתמשים
בפירוק לגורמים ,ולכן על התלמידים לדעת להשתמש במושגים "מחלקים" ו"כפולות".
המילים "מחלקים" ו"כפולות" שמורות למספרים שלמים ,ואילו במילה "גורם" אפשר
להשתמש בכל כפל .לדוגמה ,בתרגיל 3.4 × 5.8 = 19.72המספרים 3.4ו 5.8 -הם גורמים ואינם
181
מחלקים של .19.72טעות רווחת היא השימוש במילה "גורמים" כשהכוונה היא למושג
"מחלקים".
משימה מס' :1משימת יישום .בסעיף ב' המספרים המוקפים בשלושה צבעים הם ,2 ,5 ,1ו-
.10יש להדגיש לתלמידים שרק מספרים אלו הם המחלקים גם של ,10גם של 100וגם של
.1,000בסעיף ג' ישנן דרכים שונות לפירוק לגורמים של . 1,000
משימה מס' :2זיהוי כפולות של .10
משימה מס' :3שימוש במושג "מחלק" במצבים פשוטים.
משימה מס' :4התלמידים נדרשים לחבר בין המספרים שמכפלתם היא .100
משימה מס' :5התלמידים נדרשים למצוא את המחלקים של 1,000על-ידי כתיבת התרגיל
המתאים של המכפלות.
קטע שיעור ,עמוד :408הקשר בין כפל לבין חילוק
בשיעור זה חוזרים על הפעולות כפל וחילוק כפעולות הפוכות .בדוגמאות מתמקדים במספרים
100 ,10ו 1,000 -ובמחלקים שלהם .כדאי להוסיף שאלות ודוגמאות במספרים אחרים .חשוב
לא רק לתת דוגמאות באופן ישיר כמו בשיעור ,אלא גם לשאול את התלמידים" :באיזה מספר
צריך לכפול את 40כדי לקבל "?1,000בתשובה התלמידים יכולים להיעזר במחלקים של ,1,000
שלמדו בשיעור הראשון.
משימה מס' :6משימת יישום .אם התלמידים מתקשים במציאת הפתרון בעמודה הימנית
ביותר )התרגילים הם משוואות( ,אפשר להדריך אותם בעזרת שאלות כמו השאלות שהודגמו
לעיל" :במה צריך לחלק את 100כדי לקבל ."?25
משימה מס' :7משימת יישום.
משימה מס' :8חקירת מחלקים של .100אפשר לדון במשימה זו בכיתה ולהציע דרכים
לפתרון.
קטע שיעור ,עמוד :409צמצום והרחבה של שברים
בשיעור זה חוזרים על שמות שונים של שברים ,על צמצום שברים ועל הרחבתם.
משימה מס' :9משימת יישום :פעולות צמצום והרחבה של שברים .מתרגלים שברים
שמכניהם 100 ,10או .1,000
משימה מס' :10משימת יישום :מציאת שברים שווים.
משימה מס' :11משימת יישום :השלמת שבר במונה או במכנה ,כאשר יש שני שברים שווים.
משימה מס' :12התלמידים נדרשים למצוא שברים ששווים לשבר הנתון ,ולכתוב את גורם
הצמצום או ההרחבה.
משימה מס' :13משימה מילולית .על התלמידים למצוא את המספרים החסרים בהתאם
לנתונים בשאלה.
182
קטע שיעור ,עמוד :411סכום שברים בעלי אותו מכנה
בשיעור זה חוזרים על פירוק השבר למחוברים שונים .תחילה מציגים את השבר הנתון )שוב
מדובר במכנים 100 ,10ו (1,000 -כסכום של שברים בעלי אותו מכנה .את המונה מפרקים לפי
המבנה העשרוני .דוגמה .524=500+20+4 :לאחר מכן אם אפשר ,מצמצמים כל שבר שהתקבל,
ומגיעים לסכום המחוברים :מספר שלם )יכול להיות שווה ל ,(0 -שבר שמכנהו ,10שבר
אַחד המכנים לא נמצא בסכום הסופי )לדוגמה,
שמכנהו ,100שבר שמכנהו ,1,000וכדומה .אם ַ
אין שבר שמכנהו ,(100זה משום שהמונה שלו הוא ,0ואין כותבים אותו בסכום.
משימה מס' :14משימת יישום .כדי לחבר מספר שברים לשבר אחד יש לכתוב את כל
המחוברים כשברים בעלי אותו מכנה.
2
3
4
1000 200
30
4
1234
דוגמה :ח(
1+ +
+
=
+
+
+
=
10 100 1000 1000 1000 1000 1000 1000
משימה מס' :15במשימה זו מופיעים שברים גדולים מ .1 -על התלמידים לכתוב את השברים
הנתונים כסכום של שברים בעלי אותו מכנה ואחר-כך לצמצם אותם.
56 50 6
3
3
דוגמאות= + = 5 + = 5 :
10 10 10
5
5
505 500 5
1
=
+
= 5+
100 100 100
20
קטע שיעור ,עמוד :412מספרים עשרוניים
חזרה על המבנה העשרוני של מספרים עשרונים .ההסברים נובעים בטבלת מבנה העשרוני.
משימה מס' :16חזרה על ערך הספרה במספר.
משימה מס' :17מציאת ערך של ספרה במספר נתון.
משימה מס' :18התלמידים צריכים להשוות בין מספרים עשרוניים.
יחידת הלימוד -הקניה
קטע שיעור ,עמוד :413מעבר משבר למספר עשרוני
בשיעור זה לומדים לעבור משבר למספר עשרוני ,כאשר המכנה של השבר הוא 1,000 ,100 ,10
וכדומה .התלמידים יודעים לכתוב כמספר עשרוני שבר בעל מכנה .10הם גם יודעים לכתוב
כמספר עשרוני שבר שהמונה שלו הוא מספר חד-ספרתי ומכנהו .100מציגים שבר נתון כסכום
שברים בעלי אותו מכנה ,מצמצמים )אם אפשר( ,ומקבלים פילוג של השבר הנתון לפי המבנה
העשרוני) .נכון יותר לומר שמפלגים את המונה לפי המבנה העשרוני (.חשוב שהתלמידים יגיעו
למסקנה שכל שבר בעל מכנה 100 ,10או 1,000וכדומה אפשר לרשום כמספר עשרוני .אם אי-
אפשר לצמצם שבר ב ,10 -ב 100 -ב 1,000 -וכדומה ,מספר הספרות אחרי הנקודה העשרונית
)בחלק השברי( יהיה כמספר האפסים שבמכנה.
משימה מס' :1משימת יישום .חשוב לחזור על הקריאה הנכונה של המספרים העשרוניים.
משימה מס' :2משימת יישום .בשברים אחדים מספר הספרות במונה קטן ממספר האפסים
99
במכנה ,כמו
.כאשר כותבים מספר כזה כמספר עשרוני ,יש לזכור שמספר הספרות
1,000
בחלק השברי שווה למספר האפסים שבמכנה ,ולכן רושמים את האפסים לפני הספרות השונות
מ ,0 -כמו ) 0.099אפס אחד אחרי הנקודה העשרונית( .כדי למנוע טעויות מסוג זה כדאי להגיד
183
בקול רם את המספר במילים )אלפית( ,וכך יהיה ברור כמה ספרות לכתוב .אם תלמידים טעו
וכתבו ,0.1כדאי שהם יקראו את המספר בקול רם )אפס שלמים ועשירית( ,ומיד הם יבינו
שטעו.
משימה מס' :3משימת יישום .בסעיף ב' על התלמידים לענות על השאלות הנוספות המצביעות
על ההבנה במספרים.
משימה מס' " :4תרגום" השבר לשבר עשרוני.
משימה מס' :5על התלמידים "להתאים" שבר למספר עשרוני השווה לו.
משימה מס' :6משימה הקשורה לחיי היום-יום .על התלמידים לכתוב מחירים בעזרת
מספרים עשרוניים.
משימה מס' :7דרכים שונות להבחין בין מספר עשרוני לבין שבר.
משימה מס' :8במשימה זו משווים בין מספרים :מספר עשרוני ושבר .התלמידים רושמים את
השבר כמספר עשרוני ואחר-כך משווים בינו לבין המספר העשרוני .ייתכן שתלמידים ישוו בין
המספרים ללא ההעברה )לדוגמה ,על-סמך קריאה(.
קטע שיעור ,עמוד :416מספרים שלמים כמספרים עשרוניים
בשיעור זה לומדים לכתוב מספרים שלמים כמספרים עשרוניים בעזרת השימוש באחד
התחומים שבו למספרים שלמים ולמספרים עשרוניים יש אותו מעמד :הכסף .יש אין-סוף
מספרים עשרוניים השווים למספר שלם נתון .כולם מתקבלים על-ידי כתיבת אפסים מימין
לנקודה העשרונית .אפשר לבקש מהתלמידים לגשת למרכול השכונתי כדי לערוך רשימה של
מוצרים שונים ומחיריהם ,ולהביא את הרשימה לכיתה.
משימה מס' :9משימת יישום :השוואה בין מספרים הכתובים באותן ספרות.
משימה מס' :10משימת יישום .מספרים שווים ל 0.6 -מתקבלים על-ידי כתיבת אפסים אחרי
הספרה .6
משימה מס' :11משימת יישום .המספרים השווים ל 0.8 -מתקבלים על-ידי כתיבת אפסים
אחרי הספרה .8המספרים השווים ל 5.55 -מתקבלים על-ידי כתיבת אפסים אחרי חמש מאיות
)בצד ימין של המספר( .דוגמאות למספרים.5.55000 ,5.5500 ,5.550 ;0.8000 ,0.800 ,0.80 :
משימה מס' :12סדר מספרים עשרוניים.
משימה מס' :13משימה בצורת שאלת מילולית .השוואה בין מספרים עשרוניים.
משימה מס' :14התלמידים נדרשים להקיף בצבעים שונים את המספרים בהתאם לגודל
המספר.
משימה מס' :15על התלמידים למצוא את המספר הגדול ביותר בכל סדרה ,אודות הספרות
הזהות.
קטע שיעור ,עמוד :418מעבר משבר גדול מ 1 -למספר עשרוני )המשך(
בשיעור זה לומדים לרשום כמספר עשרוני שבר גדול מ ,1 -שמכנהו 10או .100ההעברה
מבוססת על אותם עקרונות העברה משבר קטן מ 1 -למספר עשרוני .וכמו-כן ממשיכים ללמוד
על כתית שבר גדול מ 1 -כמספר עשרוני .גם הפעם מדובר בשברים שמכניהם 1,000 ,100 ,10
184
וכדומה ,אך כאן מראים את הקשר בין שבר ,מספר עשרוני ,וערך הספרות במבנה העשרוני.
למניעת טעויות כדאי להשתמש בטבלת פילוג המספר לפי המבנה העשרוני ולקרוא את השברים
בקול רם.
משימה מס' :17כתיבת שברים כמספרים עשרוניים על-ידי פילוג המונה לפי המבנה העשרוני.
משימות מס' 16ו :18 -משימות יישום.
משימה מס' :19כאן על התלמידים למצוא את החסר בהתאם :מספר עשרוני ,שבר או מונה.
משימה מס' :20משימה פתוחה .כדאי לדון בה עם תלמידי הכיתה .על התלמידים לבחור שני
שברים כרצונם ,בעלי מכנה 10או חזקות של 10ולהפוך כל אחד מהשברים למספר עשרוני.
3
15
= 0.003 ,
דוגמאות= 0.15 :
1000
100
משימה מס' :21במשימה זו מחפשים מספרים שווים בין שברים ומספרים מעורבים לבין
מספרים עשרוניים.
משימה מס' :22השלמת שוויונות .מטרת המשימה היא לתרגל הפיכת שבר למספר עשרוני.
45 40 5
5
דוגמה= + = 4 + = 4.5 :
10 10 10
10
משימה מס' :23על התלמידים להפוך את המספרים העשרוניים הנתונים לסכום של שלם
82
91.82 = 91 +
ושבר .דוגמה ,בסעיף ג':
100
משימה מס' :24יש לכתוב לכל שבר את השבר העשרוני המתאים ולהקיף את השבר הגדול
ביותר.
קטע שיעור ,עמוד :421מעבר משבר למספר עשרוני
בשיעור זה לומדים להפוך שברים מסוימים למספרים עשרוניים .ההעברה נעשית על-ידי
הרחבה או צמצום של השבר הנתון לשבר שמכנהו 1,000 ,100 ,10או כל חזקה אחרת של .10
לתלמידים מראים דוגמאות של השברים שמכניהם הם ,50 ,40 ,25 ,20 ,16 ,8 ,5 ,4 ,2וכדומה.
אפשר לדון עם התלמידים המתקדמים בשאלה מתי הדבר אפשרי ,ולהגיע למסקנה :כאשר
אפשר לפרק את המכנה לגורמים שהם חזקות של 2ושל 5בלבד ,אפשר להרחיב את השבר
לשבר שהמכנה שלו הוא חזקה של ,10ולהפוך אותו למספר עשרוני סופי .כדאי להראות
1 125
=
לתלמידים הפיכת שבר שמכנהו 8למספר עשרוני .דוגמה= 0.125 :
8 1000
3 6
משימה מס' :25משימת יישום .דוגמה להשלמה. = = 0.6 :
5 10
משימה מס' :26כתיבת שברים ומספרים עשרוניים שווים על ציר המספרים .אפשר להשתמש
במד-מטר השברים ובמד-מטר המספרים העשרוניים שבאביזרים.
משימה מס' :27השוואה בין שברים בעזרת כתיבתם כמספרים עשרוניים.
משימה מס' :28אפשר להציע לתלמידים להפוך את כל השברים לשברים עשרוניים וכדי
שיוכלו למצוא את השונה.
185
משימה מס' :29סידור שברים שהם מספרים עשרוניים ,מהקטן לגדול.
משימה מס' :30השלמת שמות שונים של שבר.
קטע שיעור ,עמוד :423מעבר ממספר עשרוני לשבר
השיטה לכתיבת מספר כשבר הונהגה כ 3000 -שנה לפני השיטה לכתיבת מספרים עשרוניים.
לפי פפירוס ריינד )אחמס( שנכתב ב 1600 -לפנה"ס המצרים השתמשו בשברים כבר ב2000 -
לפני הספירה .השיטה העשרונית הומצאה רק במאה השישית על-ידי ההודים והופצה על ידי
הערבים במאה ה .9 -אפשר למצוא בכתבים מוסלמיים מספרים עשרוניים אף-על-פי שהשיטה
העשרונית הפכה לנחלת הכלל רק במאה ה.15 -
חשוב לדעת להפוך שבר למספר עשרוני וגם להפוך מספר עשרוני לשבר .את ההעברה משבר
למספר עשרוני למדו התלמידים בשיעורים הקודמים .בשיעור זה לומדים לבצע את ההעברה
ממספר עשרוני לשבר .אם תלמידים מתקשים בכתיבת מספר עשרוני כשבר ,יש לבקש מהם
2
.למעשה ,ההעברה
לומר את המספר במילים .לדוגמה" ,אפס שלמים ושתי עשיריות" הם
10
1
כבר נעשתה .אמנם רצוי לצמצם את השבר )אם אפשר( ,ובמקרה שלנו מתקבל ,אך די
5
2
שהתלמידים המתקשים יגיעו ל-
.כדאי שהתלמידים המתקדמים ידעו בעל-פה מקרים
10
3
1
1
= 0.125וכדומה .ידע זה מקל עליהם לפתור שאלות
= ,0.75
שכיחים כגון = ,0.5
8
4
2
מורכבות ויקל עליהם בנושא אחוזים .בכל מקרה ,התלמידים יזכרו את המקרים האלה אם
יתרגלו הרבה.
משימה מס' :31תרגול וחזרה על העברה ממספר עשרוני לשבר ומשבר למספר עשרוני בתוך
כדי כתיבת המספר העשרוני במילים.
דוגמאות מתוך הטבלה:
שבר מצומצם
שבר
המספר העשרוני במילים
המספר העשרוני
שלושים שלמים ועשירית
30.1
1
1
30
30
10
10
ארבע עשיריות
0.4
4
2
5
10
עשרים וחמש מאיות
0.25
1
25
0.250
מאתיים וחמישים אלפיות
2.8
שני שלמים ושמונֶה עשיריות
305.01
שלוש מאות וחמישה שלמים ומאית
1.4
שלם וארבע עשיריות
6.055
שישה שלמים וחמישים וחמש אלפיות
186
100
250
1000
8
2
10
1
305
100
4
1
10
55
6
1000
4
1
4
4
2
5
1
305
100
4
1
10
11
6
200
0.025
עשרים וחמש אלפיות
25
1000
1
40
משימה מס' :32על התלמידים למצוא מספרים שווים הכתובים גם כשבר וגם כמספר עשרוני.
1 4 5
דוגמה למספרים שווים= = = 0.5 = 0.50 :
2 8 10
משימה מס' :33משימת יישום.
משימה מס' :34במשימה זו חושפים את התלמידים לטעויות נפוצות הקורות בהפיכת מספר
עשרוני לשבר ,כגון :התייחסות למונה בלבד או חשיבה שהמכנה של כל שבר הוא 10וכדומה.
יש לדון עם התלמידים בשגיאות שבמשימה ובתיקוניהן.
משימה " :35תרגום" של שברים למספרים עשרונים ולהפך על ציר המספרים.
קטע שיעור ,עמוד :425האחוז
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א' לפני השיעור .בשיעור זה לומדים את המושג "אחוז",
מגדירים אותו )ראו גם ברקע לפרק זה( ומקשרים בינו לבין שבר .חשוב שהתלמידים ידעו
להפוך את האחוזים לשברים .הדגישו לתלמידים ששתי צורות הקריאה של האחוזים " -עשרים
אחוז" או "עשרים אחוזים" -הן נכונות.אבל כאשר מספר האחוזים הוא 10או קטן מ ,10-יש
לומר אחוזים .לשל ,יש לומר "חמישה אחוזים" ,ולא "חמישה אחוז" .הבהירו לתלמידים
שאפשר לקרוא כל שבר שמכנהו ,100כשבר או כאחוז.
משימה מס' :36משימה לחידוד הקשר בין השפה המדוברת לבין משמעות האחוז
במתמטיקה.
משימה מס' :37המשימה פשוטה כיוון שכל השברים הם מאיות.
משימה מס' :38משימה הפוכה לקודמת .התלמידים מתבקשים להפוך את האחוזים למאיות.
משימה מס' :39על התלמידים להרחיב את השבר הנתון למכנה 100ולרשום אותו כאחוז.
משימה מס' :40שימוש במונח "שיעור" במקום במונח "אחוז" בשפה המדוברת.
משימה מס' :41התלמידים נדרשים להפוך את האחוזים לשברים עשרוניים מצומצמים ככל
האפשר.
משימה מס' :42במשימה זו על התלמידים להשלים את החסר בבעיות המילוליות.
משימה מס' :43שאלה מילולית :חישוב כמות מתאימה לאחוז נתון.
קטע שיעור ,עמוד :427ייצוג האחוז
בשיעור מובא הייצוג הראשון של האחוז .האחוז הוא שבר שמכנהו ,100לכן הייצוג הטבעי
ביותר הוא הצגת השלם כריבוע או כמלבן המחולק ל 100 -חלקים שווים ,וצביעת מספר
חלקים כערך האחוז.
משימה מס' :44התלמידים מתבקשים לצבוע מספר משבצות המתאים לנתון .בכל אחד
מהסעיפים שבמשימה השלם מיוצג על-ידי 100משבצות .אם נצבע את כל המשבצות ,נקבל
100%של המשבצות.
187
משימה מס' :45משימה הפוכה למשימה הקודמת :קריאת ייצוג.
משימה מס' :46חיזוק הקשר בין אחוז לבין שבר דרך הייצוג המשותף.
משימה מס' :47הדגשת הקשר בין שברים לבין האחוזים 75% ,25% ,50% , 100% :ו.60 % -
משימה מס' " :48תרגום" מייצוג לשבר ולאחוז.
קטע שיעור ,עמוד :429אחוז ומספר עשרוני
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ה' לפני השיעור .בשיעור זה התלמידים לומדים להפוך אחוז
למספר עשרוני דרך החלפת הסימן " "%במכפלה
1
34
1
ב-
× .34
=
.דוגמה= 34% :
100 100
100
משימה מס' :49התלמידים מתבקשים לחזור על דרך ההעברה מאחוז למספר עשרוני
שבשיעור .לפי רמת הכיתה אפשר לדלג על שלבּים.
מומלץ לפתור את משימות מס' 52-50במליאה .כל תלמיד פותר תרגיל ,ודנים בדרכי הפתרון.
משימה מס' :50על התלמידים לרשום כל שבר כאחוז וכמספר עשרוני.
משימה מס' :51על התלמידים לרשום את המספרים העשרוניים כאחוזים .
משימה מס' :52הרחבה של משימה 49למספרים עשרוניים.
משימה מס' :53חיזוק הקשר בין אחוז ,שבר ומספר עשרוני באמצעות ייצוג .הפעם הצורה
אינה מחולקת ל 100 -חלקים זהים .הייצוג קרוב יותר לייצוג של שברים שהתלמידים מכירים
מכיתה ד'.
המלבן הוא השלם .כל מלבן מחולק ל 12 -חלקים חופפים .התלמידים יצבעו בסעיף א'
שמשבצות ובסעיף ב' שלוש משבצות.
משימה מס' :54חיזוק הקשר בין שבר לבין אחוז דרך ייצוג וחישוב של אחוז כחלק משלם,
כאשר השלם הוא כמות של חפצים .עשרים הכדורים הם השלם.
משימה מס' :55על התלמידים לכתוב את השברים כמספרים עשרוניים ולסדר אותם על ציר
המספרים.
משימה מס' :56חיזוק הקשר בין השבר ,האחוז והמספר העשרוני .התלמידים נדרשים
להשלים את הטבלה במספרים מתאימים.
דוגמה:
שבר
מספר עשרוני
אחוז
0.32
32%
32
8
=
100 25
0.48
48%
32
8
=
100 25
0.38
38%
38 19
=
100 50
188
משימה מס' :57חישוב כמות המתאימה לאחוז נתון.
משימה מס' :58שאלה מילולית .שבה התלמידים נדרשים לבצע העברה למספר עשרוני
ולאחוזים.
משימה מס' :59התלמידים נדרשים לצבוע באותו הצבע חלקים של ציור ,שערכם שווה.
מה למדנו? עמ' :432סיכום הנלמד
משימה מס' :60משימת סיכום .התלמידים נדרשים לצייר ציור המורכב מ 100 -משבצות,
לצבוע כל חלק בצבע שונה לפי הנתונים בטבלה ,ולהשלים את הטבלה.
ממשיכים בתרגול ,עמודים 442 - 433
משימה מס' :1תרגילי חילוק ש המחולק בהם הוא 100 ,10או .1,000
משימה מס' :2משימה פתוחה .בקשו מהתלמידים למצוא מחלקים שאינם מופיעים במשימה
.1
משימה מס' :3על התלמידים לכתוב את המספרים שבמנורה ,אלו הם המחלקים של .1,000
משימה מס' :4משימת שעשוע .התלמידים נדרשים למצוא דרך על-ידי חישוב המכפלות.
משימה מס' :5על התלמידים למצוא את כל המחלקים של מספר נתון לפי מספר הגורמים
הראשוניים .למעשה ,יש למצוא את כל הצירופים האפשריים השונים של שני גורמים ,שלושה
גורמים ,ארבעה גורמים וכן הלאה.
לדוגמה ,נמצא את המחלקים של המספר .100
המחלקים של המספר 100
הגורמים הראשוניים
מספר הגורמים
2
2
גורם 1
5
5
4
שני גורמים
2× 2
10
2× 5
25
5× 5
20
שלושה גורמים
2× 2× 5
50
2× 5× 5
100
ארבעה גורמים
2× 2× 5× 5
משימה מס' :6הרחבת שבר וייצוגו בעזרת צביעת חלקים מתוך השלם.
משימה מס' :7הרחבת שברים בגורם ההרחבה .3
משימה מס' :8הרחבת שברים בגורם ההרחבה .4
משימה מס' :9צמצום שברים בגורם הצמצום .2
משימה מס' :10צמצום שברים בגורם הצמצום .3
משימה מס' :11כאן נדרשת מהתלמידים מספר מיומנויות .תחילה עליהם לכתוב את המספר
העשרוני הנתון כשבר או להפך .כמו-כן הם נדרשים לכתוב את השבר במילים ולכתוב את
הספרות המתאימות בטבלת המבנה העשרוני.
189
להלן הטבלה המלאה:
השבר במילים
השבר
572
1000
48
100
52
100
415
23
1000
88
100
403
23
1000
2
10
10
חמש מאות שבעים
ושתיים אלפיות
המספר
העשרוני
0.572
אלפיות
מאיות
2
עשיריות יחידות
עשרות
7
5
0
ארבעים ושמונֶה
מאיות
0.48
8
4
0
חמישים ושתיים
מאיות
0.52
2
5
0
שלושה שלמים
וארבע מאות וחמש
עשרה אלפיות
88מאיות או 8
עשיריות ו 8 -מאיות
3.415
1
4
3
8
8
0
0
4
3
2
2
0
1
עשרים ושלושה
שלמים וארבע
מאות ושלוש
אלפיות
עשרה שלמים ושתי
עשיריות
5
0.88
23.403
3
10.2
משימה מס' :12השימוש במספרים עשרוניים בחיי היום-יום :כסף .התלמידים נדרשים
למצוא תחילה את מספר המטבעות שקיבל כל ילד .הנחו את התלמידים לפתור את המשימה
בעזרת טבלה כמודגם כאן.
מס' מטבעות
מס' מטבעות
מס' מטבעות
הסכום
שם הילד/ה
של אגורה
של 10אג'
של שקל 1
שקיבל/ה
5
9
1
₪ 1.95
רינת
0
5
4
₪ 4.50
יובל
0
6
1
₪ 1.6
חגית
3
0
2
2.03ש"ח
אורי
יובל קיבל את המספר הגדול ביותר של מטבעות של שקל .1
רינת קיבלה את המספר הגדול ביותר של מטבעות של 10אג'.
רינת קיבלה את המספר הגדול ביותר של מטבעות של אגורה .1
משימה מס' :13כתיבת השברים הנתונים כמספרים עשרוניים.
משימה מס' :14כתיבת המספרים העשרוניים הנתונים כשברים.
משימה מס' :15מציאת מספרים הכתובים כמספר עשרוני ,כמספר מעורב וכשבר גדול מ.1 -
פתרון נכון יוביל את התלמידים למציאת הביטוי" :כל הכבוד" .כל אחת מהאותיות תופיע על
נקודת ההצטלבות של שני ישרים .הנחו את התלמידים להשתמש בסרגל לסימון הישרים.
משימה מס' :16על התלמידים לכתוב את השברים כמספרים עשרוניים .צמצום או הרחבה
של השבר יסייעו לתלמידים במשימה.
7 35
12 2
28 4
= = 3.5 ,
= = 0.2
,
דוגמאות= = 0.4 :
2 10
60 10
70 10
190
משימה מס' :17התלמידים נדרשים למצוא את המספר היוצא דופן .התשובות הנכונות :א(
74
1
5
ד(
ג(
ב(
0.3
8
100
6
משימה מס' :18כתיבת מספר עשרוני במילים.
משימה מס' :19מציאת מספרים שווים .לארבעה מספרים עשרוניים מתאימים שני שברים:
0.20 ,0.50 ,0.250ו .0.40 -למספר העשרוני 0.750מתאים שבר אחד בלבד .וכן למספר העשרוני
0.1250מתאים שבר אחד בלבד.
משימה מס' :20על התלמידים להקיף באותו הצבע שמות שונים לאותו המספר .הפתרונות:
1
125
=
אפס שלמים ומאה עשרים וחמש אלפיות = = 0.125
8 1000
5
1
שנים עשר שלמים וחמש עשיריות = . 12 = 12 = 12.5
2
10
1
25
1 =1
שלם אחד ועשרים וחמש מאיות = = 1.25
4
100
משימה מס' :21כתיבת מספר עשרוני במילים ובספרות והפיכתו למספר מעורב ולהפך.
3
75
דוגמה = 1.75 :שלם אחד ושבעים וחמש מאיות =
1 =1
4
100
משימה מס' :22התאמת מספר עשרוני לשבר השווה לו.
משימה מס' :23על התלמידים לפלג כל אחד מהמספרים העשרוניים לסכום של מספר שלם
51
9.51 = 9 +
ושבר שמכנהו 10או .100דוגמה:
100
משימה מס' :24הפיכת אחוז לשבר.
משימה מס' :25הפיכת שבר לאחוז.
משימה מס' :26כתיבת שבר ואחוז המתאימים לייצוג.
הפתרונות:
סעיף
השבר
האחוז
א
1
2
50%
ב
30 3
=
100 10
30%
ג
43
100
43%
ד
3
10
30%
ה
ו
ז
4 2
=
10 5
40%
4 2
=
10 5
40%
6 3
=
10 5
60%
משימה מס' :27הפיכת שבר לאחוז .התלמידים יכולים להסתייע בהרחבת השברים הנתונים
3 60
= .
לשברים שהמכנה שלהם הוא .דוגמה= 60% :
5 100
191
משימה מס' :28משימה פתוחה .התלמידים יצבעו חלק מהשלם כרצונם ויכתבו את השבר
ואת האחוז המתאימים .האיור מורכב מ 25 -מלבנים.
משימה מס' :29האיור מורכב משלושה סוגים של מלבנים .באיור יש 20מלבנים עם עיגולים,
40מלבנים עם פסים ו 40 -מלבנים עם משבצות.
להלן הטבלה המלאה:
אחוז
מספר עשרוני
שבר
הדגם
40%
0.4
פסים
40 2
=
100 5
20%
0.2
עיגולים
20 1
=
100 5
40%
0.4
משבצות שחור לבן
40 2
=
100 5
משימה מס' :30כתיבת שמות שונים לאותו המספר כשבר ,כמספר עשרוני וכאחוז .משולב
כאן ייצוג.
משימה מס' :31על התלמידים לרשום מספרים עשרוניים שונים באמצעות הספרות 0 ,1ו,2 -
כאשר כל ספרה מופיעה פעם אחת בלבד.
קיימות שש אפשרויות בסך הכול2.10 ,2.01 ,0.21 ,0.12 ,1.20 ,1.02 :
משימה מס' :32כתיבת מספר עשרוני כאחוז.
שאלות מילוליות ,עמוד 443
משימה מס' :1א( הסכום שייתרם בקנייה של חנה הוא .₪ 15
ב( הסכום שייתרם בקנייה של חנה ויובל יחד הוא .₪ 38
משימה מס' :2בשעה הראשונה הם עברו חמישה קילומטרים המהווים שליש מאורך המסלול,
בשעה השנייה הם עברו חמישה קילומטרים המהווים חצי מהדרך שנותרה להם )שימו לב
לנתון 0.5 :מהדרך שנותרה – כלומר עשרה קילומטרים( .נותרו להם עוד חמישה קילומטרים עד
סיום המסלול.
משימה מס' :3א( 0.25מ 240 -הם .60ביום הראשון הקלדנית הקלידה 60עמודים.
ב( נותר לה להקליד 0.75מהספר.
2 40
= .
משימה מס' :4השטח הצבוע בדף שווה = 0.4
5 100
משימה מס' 25% :5מהסוכריות הו בצבע אדום 50% ,מהסוכריות הן בצבע ירוק10% ,
מהסוכריות הן בצבע צהוב ,ו 15% -מהסוכריות הן בצבע תכלת.
היסטוריה ,עמוד 444
בקטע ההיסטורי לומדים על סדרת פיבונצ'י ועל "יחס הזהב" הנקרא גם "חתך הזהב".
כדאי לדעת :פיבונצ'י גילה את הסדרה כפתרון לחידה על התרבות ארנבים.
192
אם זוג ארנבים מתחילים להמליט זוג חדש כל חודש ,אבל צריכים לחכות חודש אחרי הלידה
עד לתחילת ההמלטות ,כמה ארנבים יהיו אחרי 12חודשים? אפשר להציג לתלמידים את
הבעיה ואת פתרונה באמצעות טבלה ,דיאגרמה ,סרטוט או רישום.
בחודש הראשון יש זוג אחד חדש ,בחודש השני יש עדיין זוג אחד שממתין חודש .בחודש
השלישי הזוג ממליט ולכן יש כעת יש שני זוגות .בחודש הרביעי -זוג זה ממליט והזוג שנולד,
ממתין חודש ויש סה"כ שלושה זוגות ,וכך ממשיכים ומגיעים לחמישה ,לשמונה וכך הלאה.
להלן הטבלה המתאימה:
מס'
החודשים
מס'
הזוגות
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
אפשר לבקש מהתלמידים לחפש באינטרנט דוגמאות ל"חתך הזהב" בטבע .מומלץ להראות
דוגמאות של בניינים ,של ציורים ,של צמחים ושל פרחים המתנהגים בהתאם לסדרה.
במשימה המופיעה בעמוד זה התלמידים נדרשים להשלים את מספר הגולות לכל ילד וכן
למצוא את תוצאת החילוק של מספר במספר הקודם לו .אפשר לדון עם התלמידים בתוצאת
החילוק .מספר זה מצוין כ"יחס הזהב".
העשרה ,עמוד 445
משימה מס' :1כתיבת מספרים עשרונים על-ידי שימוש במילים.
53
דוגמה :שמונָה שלמים ,חמש עשיריות ושלוש מאיות 8.53 .והשבר:
100
.8
משימה מס' :2על התלמידים לצבוע את מערך המשבצות שלפניהם לפי הנתונים שבשאלה.
הלוח מכיל 120משבצות הצבועות כדלקמן:
40משבצות אדומות המהוות שליש מסך כל המשבצות;
30משבצות כחולות המהוות 0.25מסך כל המשבצות;
24משבצות צהובות המהוות 0.2מסך כל המשבצות;
26משבצות ירוקות.
להלן פתרון מתאים לנתוני השאלה:
משימה מס' :3כאן קושרים בין החלק השברי במספר המעורב לבין החלק השברי במספר
12
2
12 24
ג( השארית של חלוקת 12ב 5 -היא .2
העשרוני .א( = 2 +
ב( = = 2.4
5
5
5 10
ד( התוצאה של חלוקת 12ב 5 -בעזרת המחשבון היא .2.4
12 = 2 × 5 + 2
ה( תוצאת החילוק של התרגיל 12:5שווה למספר העשרוני .2.4
2 4
ו( החלק השברי במספר המעורב שווה לחלק השברי במספר העשרוני. = = 0.4 .
5 10
193
אנו שולטים בחומר ,עמוד 446
בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרקים הקודמים ,כגון פתרון שאלות מילוליות ,הרחבה
וצמצום של שברים.
משימה מס' :1א( התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא
30 × 70 + 25 × 50 + 12 × 30 = 2100 + 1250 + 360 = 3710
תשובה :ביום א' הסכום שהיה בקופה הוא .₪ 3,710
ב( התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא
[3630 − ( 32 × 70 + 18 × 30 )] : 50 = [3630 − ( 2240 + 540 )] : 50 = 850 : 50 = 17
ביום ב' נמכרו 17כרטיסים לאזור ב'.
ג( בשאלה זו ישנם מספר פתרונות אפשריים .להלן שלושה פתרונות אפשריים:
מס' אפשרות
א
ב
ג
אזור א ₪ 70 -
25כרטיסים
25כרטיסים
25כרטיסים
אזור ב' ₪ 50 -
19כרטיסים
16כרטיסים
13כרטיסים
אזור ג' ₪ 30-
5כרטיסים
10כרטיסים
15כרטיסים
משימה מס' :2כאן נעשה קשר בין גאומטריה לבין שאלות כדאיוּת.
א( כדי לחשב את מחיר החוט יש לפעול לפי השלבים האלה:
נמצא את אורך החוט הנחוץ לגידור 96 :מ'4 × ( 5 + 8 + 5 + 6 ) = 4 × 24 = 96 .
נכפול את אורך החוט במחירו למטר3 × 96 = 288 .₪ 288 :
ב( כדי למצוא איזו אפשרות זולה יותר ,נחשב את עלות החוט מהסוג החלש יותר.
5 × ( 5 + 8 + 5 + 6 ) = 5 × 24 = 120
1
נכפול את אורך החוט במחיר החדש ,ונחשב את העלות של החוט2 × 120 = 300 :
2
. 300 > 288לכן ,אפשרות א' זולה יותר.
משימה מס' :3הרחבת שברים.
משימה מס' :4צמצום שברים.
194
יד .חיבור וחיסור של מספרים עשרוניים
עמ' 478 - 447
רקע
פרק זה מוקדש ללימוד חיבור וחיסור של מספרים עשרוניים .מומלץ לעודד את התלמידים
לחבר או לחסר מספרים עשרוניים במקרים פשוטים בעל-פה .דוגמאות, 2 − 0.7 = ? :
? = . 0.43 + 0.2
התלמידים ילמדו בפרק זה לחבר או לחסר במאונך .יש להקפיד על כתיבת יחידות מתחת
ליחידות ,עשיריות מתחת לעשיריות וכדומה .נהוג לומר בקיצור כך "יש לכתוב את הנקודה
העשרונית מתחת לנקודה העשרונית" .אמנם אפשר לבסס את כללי החיבור והחיסור על מעבר
לשבר ,אך אפשר להתבסס ישירות על שיטת הכתיבה העשרונית.
מבחינה אלגוריתמית חיבור וחיסור של מספרים עשרוניים הם כמו חיבור וחיסור של מספרים
טבעיים .לפיכך החלק "לעלות על הגל" עוסק בחיבור ובחיסור של מספרים טבעיים.
הדמיון וההבדלים בין מספרים טבעיים לבין מספרים עשרוניים הם מקור לטעויות רבות.
• ההבדל המשמעותי ביותר בין מספרים טבעיים לבין מספרים עשרוניים הוא שבניגוד
למספר טבעי ,למספר עשרוני שאינו טבעי ,אין מספר עוקב .כאשר לא מבינים את
ההבדל הזה יש טעויות בחישוב ובכתיבה.
• קשה להבין שבין שני מספרים עשרוניים יש אין-סוף מספרים עשרוניים.
• תלמידים רבים חושבים שמספר עשרוני מורכב משני מספרים שונים והוא אינו מספר
אחד המורכב משני חלקים .בפעולות הם מתייחסים לכל "מספר" בנפרד ומחברים את
החלקים השלמים מצד אחד ואת החלקים של השברים מהצד השני .לדוגמה ,הם כותבים
ש .(8+35=43 ,4+2=6) 2.35 + 4.8 = 6.43 :כשמפרטים את דרכי החישוב אפשר לחזור
מספר פעמים על מהות הפעולות ועל המספרים העשרוניים ולהקטין את הסיכוי לטעויות.
• בניגוד לחיבור של מספרים שלמים -שברוב המקרים אפשר לבדוק את החישוב בעזרת
קירוב התוצאה -ההפרש בין חישוב מדויק של סכום שני מספרים עשרוניים לבין הקירוב
ליחידות תמיד קטן מ 1 -או שווה ל) 1 -אף ,2אם מעגלים בטעות את שני המספרים
באותה צורה( ,ולכן האומדן אינו כלי יעיל לבדיקת החישוב .לדוגמה1.49 + 2.98 = 3.47 ,
אך . 1.49 + 2.98 ≈ 1 + 3תלמידים שיכתבו 1.49 + 2.98 = 3.147לא יגלו את הטעות.
בדיקה במחשבון יעילה יותר ,ויש לעודד את התלמידים לבצעה.
• בחיסור מספרים עשרוניים מתעוררים קשיים דומים לקשיים של חיסור מספרים שלמים
וכן קשיים נוספים .דוגמאות) 3.2 − 1.9 = ? :חיסור עם המרה(; = ) 3.02 − 1.9חיסור עם
המרה ומ) 2.5 − 1.78 = ? ;(0 -חיסור ממקום "ריק"( .תרגילי החיסור יוצגו בפני
התלמידים בהדרגה ,כפי שנעשה במספרים הטבעיים.
מומלץ להרגיל את התלמידים לבדוק את פתרונותיהם על -ידי פתירת תרגיל חיבור
"הפוך".
מומלץ להקדיש לנושא כ 8 -שעות לימוד.
מושגים
מספר עשרוני ,פעולות חיבור וחיסור של מספרים עשרוניים ,המרה ,עיגול מספר עשרוני ,נקודה
עשרונית מתחת לנקודה עשרונית ,הנחה ,התייקרות.
מטרות
התלמידים ידעו:
א .לעגל מספרים עשרוניים לשלם הקרוב לפי המוסכמות של עיגול מספרים;
ב .לעגל מספרים עשרוניים לעשירית הקרובה לפי המוסכמות של עיגול מספרים;
ג .לחבר שני מספרים עשרוניים;
195
ד .להשתמש באלגוריתם של חיבור מספרים עשרוניים כדי למצוא סכום של עד ארבעה
מחוברים;
ה .לחסר מספרים עשרוניים;
ו .לחסר מספר עשרוני ממספר שלם;
אביזרים ואמצעי המחשה
טבלת המבנה העשרוני ,קבלה לאחר קנייה במרכול.
אביזרי "חשבון :"10מד-מטר של מספרים עשרוניים.
הטמעה
א .חזרה על חיבור של ,10של 100ושל 1,000
מבקשים מאחד התלמידים לומר מספר תלת-ספרתי ,והתלמידים בשורה או בקבוצה מוסיפים
בתורם 100 ,10או ,1,000לפי החלטת המורה.
ב .חזרה על חיסור של ,10של 100ושל .1,000
כמו בפעילות א' ,אך בפעולת חיסור.
ג .חזרה על "חישובים בראש".
המורה בוחרת מספר )כפולות של ,5של 10או של (25ומציעה סדרה של כחמש פעולות.
התלמידים אינם כותבים ,אלא מבצעים את החישובים "בראש" .לדוגמה ,מתחילים ב75 -
"ועוד " ,"100פחות " ,"25ועוד " ,"200ועוד " ,"120פחות ."20בסוף התרגיל חוזרים אחורה,
ושואלים אילו פעולות נדרשו.
ד .חזרה על "חצי של".
אחד מהתלמידים אומר מספר .השכן שלו מחשב את החצי של המספר ,גם אם המספר אינו
זוגי.
פעילויות גילוי
פעילות א :פעילות לקבוצות .מספר ימים לפני השיעור מתבקשים התלמידים לבדוק בחנות
כלשהי מחירים של מוצרים )לחם ,חלב ,סוכרייה (...על-פי רשימה שאפשר להכין בקבוצה.
בשיעור תהיה רשימה לכל קבוצה או רשימה אחידה לכל הכיתה .המורה אומרת מספר שלם
)אחרי בדיקה של סדר גודל המספרים הרשומים( ושואלת" :לפי הרשימות ,מחירו של איזה
מוצר הוא בערך שלושה שקלים? ארבעה שקלים?" בדיון בודקים מתי מעגלים ל 3 -ומתי ל.4 -
פעילות ב :בכל קבוצה תלוש קנייה של 10שקלים או של 50שקלים לפי סדר גודל המחירים
שברשימה .על התלמידים להעריך בתוך זמן קצר )למשל ,שלוש דקות( אילו מוצרים הם יכולים
לקנות ,ולהצדיק את ההערכה.
פעילות ג :כותבים על הלוח תרגילים.
דוגמאות:
3 1
?= +
4 2
? = 0.75 + 0.5
התלמידים מתבקשים להעריך את סדר הגודל של התוצאה.
בדיון שואלים" :באילו מספרים ההערכה קלה יותר? למה?"
196
4
25
+
?=
10 100
? = 0.4 + 0.25
פעילות ד :התלמידים מתבקשים להציע שיטות לחיבור מספרים עשרוניים )לפי מה שהם
זוכרים משנים קודמות או לפי דעתם( .בודקים את השיטות בעזרת התרגילים שבפעילויות
א'-ג' או בעזרת תרגילים אחרים .אחרי הדיון רושמים את השיטות על הלוח.
פעילות ה :התלמידים בכל קבוצה מכינים "רשימת קניות" )או משתמשים בבחירה של
פעילות ב'( ומחשבים בדיוק את הסכום שעליהם לשלם .רושמים את ההצעות על הלוח ,ואם
אלגוריתם הסכום אינו מופיע ,מציעים אותו.
פעילות ו :התלמידים בכל קבוצה משלמים אחד מהסכומים באמצעות שטר כסף מסוים,
ועליהם להציע דרך לחישוב העודף .רושמים את ההצעות על הלוח ,ואם אלגוריתם ההפרש
אינו מופיע ,מציעים אותו.
פעילות ז :מספר ימים לפני השיעור התלמידים מתבקשים להיכנס לחנות כלשהי שיש בה
מוצרים במבצע ,ולערוך רשימה של הנתונים האלה :מחיר המוצר לפני ההנחה )בשקלים(,
ההנחה שניתנה למוצר זה )בשקלים( ,או המחיר אחרי ההנחה .על התלמידים לחשב את
המחיר הסופי של המוצר או את סכום ההנחה שניתנה ,בהתאם לנתונים .שאלת דיון (1 :כיצד
אפשר לענות על השאלות האלה? (2האם אפשר לדעת מה היה מחיר המוצר לפני ההנחה,
ואילו נתונים דרושים כדי לענות על שאלה זו?.
פעילות ח :התלמידים מתבקשים לאסוף נתונים על ההתייקרות של המוצרים בחנויות שונות.
יש להדריך את התלמידים שאם בחנות כתובה ההנחה באחוזים ,עליהם לשאול את המוכר
מהי ההנחה בשקלים .אם אין מוצרים שהתייקרו ,התלמידים מתבקשים לחבר משימה
כלשהי בנושא זה ולהגיש אותה לקבוצה .הדיון כמו בפעילות הגילוי הקודמת.
פעילות ט :רושמים על הלוח מספר עשרוני )לדוגמה .(45.67 ,תחילה על התלמידים להעריך
כמה שלבּים נדרשים כדי להגיע למספר הקטן מ 48 -אבל הקרוב לו ביותר ,כאשר בכל שלב
מוסיפים .0.1אחר-כך כל אחד מהתלמידים מוסיף בתורו .0.1זו הזדמנות לחזור על סדר
המספרים העשרוניים.
פעילות י :שאלה מילולית :בשנת 1980החליטוּ שרי הממשלה להחליף את עשר לירות בשקל
אחד .על התלמידים להציע מחירים בלירות ומחירים מתאימים בשקלים ולהפך.
פעילות יא :שאלה מילולית :בשנת .1985החליטוּ שרי הממשלה להחליף את 100השקלים
בשקל חדש אחד .על התלמידים להציע מחירים בשקלים ישנים ומחירים מתאימים בשקלים
החדשים ולהפך.
השיעור בספר הלימוד
האם אנו מוכנים? תשובות:
.1ד; .2ג; .3א; . 4ב;
.5א;
.6ג;
.7ב;
.8ד;
.9ד;
.10א.
לעלות על הגל
קטע שיעור ,עמוד :448חיבור בטור
בשיעור זה חוזרים על החיבור בטור .יש להזכיר לתלמידים את הכללים לכתיבת מספרים בטור
בחיבור .חשוב להזכיר לתלמידים גם כיצד לבדוק את תוצאת החיבור על-ידי קירוב.
משימה מס' :1משימת יישום.
197
משימה מס' :2אומדן של סכום.
קטע שיעור ,עמוד :449חיסור בטור
בשיעור זה חוזרים על חיסור בטור .יש להזכיר לתלמידים את הכללים לכתיבת מספרים בטור
בחיסור.
משימה מס' :3משימת יישום.
משימה מס' :4משוואות חיבור וחיסור.
קטע שיעור ,עמוד :450עיגול מספרים
בשיעור זה חוזרים על עקרונות של עיגול מספרים גדולים.
משימות מס' :6 - 5חזרה על משמעות הספרה במספרים גדולים דרך שינוי אחת מהספרות.
משימה מס' :7עיגול המספרים ועיגול סכום המספרים.
המטרה היא לחלק ההבנה שסכום העיגולים של מספרים שווה לעיגול הסכום.
א( סכום המספרים הוא .29,326אם נעגל את התוצאה לאלפים ,נקבל .29,000
ב( נעגל כל אחד מהמספרים לאלף הקרוב ,ונקבל:
עיגול המספר לאלפים
המספר
6,000
6,463
3,000
3,009
2,000
1,986
4,000
4,274
6,000
5,730
8,000
7,864
29,000
הסכום
יחידת הלימוד -הקניה
קטע שיעור ,עמוד :451עיגול מספרים עשרוניים למספרים שלמים
בשיעור זה לומדים לעגל מספרים עשרוניים ,שבחלק השברי שלהם יש רק עשיריות ,למספרים
שלמים .הכלל הוא כמו במספרים שלמים ,כלומר אם ספרת העשיריות קטנה מ ,5 -מעגלים
כלפי מטה )השלם הקודם( ,ואם ספרת העשיריות גדולה מ 5 -או שווה ל ,5 -מעגלים כלפי מעלה
)השלם הבא(.
משימה מס' :1התלמידים נדרשים לתחום כל מספר עשרוני בין שני מספרים שלמים .לאחר
מכן הם נדרשים לעגל את המספר העשרוני למספר שלם לפי הכלל שלמדו בשיעור.
משימה מס' : :2עיגול מספרים עשרוניים למספרים שלמים בנושא של מידות של אורכי
צלעות במצולע .זו הזדמנות טובה לחזור על סימון של צלעות בדרך המקובלת.
משימה מס' :3זיהוי מספר עשרוני על ציר המספרים.
משימה מס' :4תיחום מספרים עשרוניים בין מספרים שלמים עוקבים וכן עיגול המספרים
למספרים שלמים.
5.3קרוב יותר ל 5 -וגדול מ.5 -
דוגמה5 < 5.3 < 6 :
198
משימה מס' :5חיבור מספרים עשרוניים על-ידי עיגולם לשלמים.
דוגמה8.99 + 2.99 ≈ 9 + 3 ≈ 12 :
משימה מס' :6שאלה מילולית ליישום עיגול מספרים עשרוניים.
קטע שיעור ,עמוד :453עיגול לעשיריות
בשיעור זה לומדים לעגל מספרים עשרוניים לעשיריות .עיגול מספרים עשרוניים לעשיריות
נעשה לפי אותם הכללים של עיגול מספרים )ביחס לספרה 5של המאיות( .ההבדל בין עיגול
מספרים שלמים לבין עיגול מספרים עשרוניים בא לידי ביטוי בכך שבעיגול מספרים עשרוניים
מספר הספרות ֵ
קטן ,ואילו בעיגול מספרים שלמים מספר הספרות במספר אינו משתנה בהכרח.
דוגמה :נעגל לעשיריות את המספר 5.37ונקבל.5.4 :
באותו אופן ,אם נעגל לעשיריות כל אחד מהמספרים 5.35 :או 5.36או 5.38או ,5.59נקבל
.5.4
כמו-כן אם נעגל לעשיריות את המספרים 5.41 :או 5.42או 5.43או ,5.44נקבל .5.4
התלמידים עלולים להתקשות בעיגול של מספרים עשרוניים לעשיריות לדוגמה ,את המספרים
5.03 ,5.02 ,5.01 ,4.99 ,4.98 ,4.97 ,4.96או 5.04מעגלים לעשיריות כך .5.0 :במספרים ,4.95
4.99 ,4.98 ,4.97 ,4.96ספרת המאיות גדולה מ 5 -או שווה ל ,5 -ולכן יש לעגל כלפי מעלה ,ולכן
המספר שמתקבל הוא .5.0אין לרשום את המספר השלם ,5מפני שהעיגול הוא לעשיריות,
כלומר ספרת העשיריות צריכה להופיע .כך נעשה במספרים ,5.04 ,5.03 ,5.02 ,5.01אך הפעם
מעגלים כלפי מטה.
משימות מס' :8 - 7תרגול בעיגול מספרים עשרוניים לעשיריות.
משימה מס' :9משימת יישום .לפי האמור לעיל. 21.01 ≈ 21.0 , 25.99 ≈ 26.0 , 3.02 ≈ 3.0 ,
קטע שיעור ,עמוד :454שקלים ואגורות
בשיעור זה התלמידים מעגלים סכומים של כסף בקניות ובתשלומים .כדאי לשוחח עם
התלמידים על אגורה אחת )ולהראות להם אותה ,אם יש אפשרות( ועל ביטול מטבע זה) .לפי
רמת הכיתה אפשר לספר על הסיבות לביטול (.בגלל ביטול המטבע של אגורה אחת מעגלים ל5 -
אגורות .אפשר לייצג זאת כך:
9אג' 8אג' 7אג' 6אג'
10אג'
4אג' 3אג' 2אג' 1אג'
5אג'
מעגלים ל 10 -אג'
0אג'
מעגלים ל 0 -אג'
מעגלים ל 5 -אג'
משימה מס' :10משימת יישום.
משימות מס' :12 - 11במשימות אלה על התלמידים לעגל את המחיר לשלמים )לשקלים(,
לעשירית השקל ול 5 -אגורות )מאיות שקל( .לעיגול המחירים לעשיריות יש משמעות בחיי
היום-יום ,כי לעתים קרובות המוכרים אינם דורשים תשלום 5אגורות ,אלא מעגלים את
המחיר לעשירית השקל.
199
קטע שיעור ,עמוד :455חיבור מספרים עשרוניים )בלי המרה(
קטע שיעור זה מוקדש ללימוד של חיבור מספרים עשרוניים ללא המרה .ישנן דרכים שונות
לפתרון תרגילי חיבור :דרך אחת מבוססת על מעבר לשבר "פשוט"; ודרך אחרת מבוססת על
שיטת הכתיבה העשרונית .כלומר אפשר לחבר את המספרים העשרוניים באלגוריתם של חיבור
בטור ,שהוא דומה לאלגוריתם של חיבור מספרים שלמים .הסיבה לכך היא שתמיד אפשר
לכתוב מספר עשרוני )שאינו שלם( כמספר שלם שיחידתו היא היחידה הימנית במספר המקורי.
לדוגמה 7.12 ,שווה ל 712 -מאיות .כאשר רוצים לחבר שני מספרים עשרוניים ,מבטאים אותם
באותה היחידה )רושמים אפסים מימין למספר לפי הצורך .לדוגמה 21.8 ,שווה ל 218 -עשיריות
או ל 2180 -מאיות .חיבור המספרים 7.12ו 21.8 -זהה לחיבור המספרים 712ו.2180 -
בשיעור זה לומדים התלמידים גם לאמוד את התוצאה על-ידי עיגול המחוברים למספרים
שלמים .חישוב בקירוב נותן סדר גודל של הסכום המדויק .אם התלמידים טועים בהערכה ,הם
יכולים לדעת שצריך לתקן את החישוב .יש להדריך את התלמידים לכתוב סימן "שוויון
בקירוב" כאשר הם רושמים את עיגול המספר ,וסימן שוויון מדויק כאשר הם מחברים את
התוצאות בדיוק .דוגמאות3.4 + 4.3 ≈ 3 + 4 = 7 :
משימה מס' :13משימת יישום .התלמידים נדרשים לפתור תרגילי חיבור בשתי השיטות
שנלמדו בשיעור :על-ידי מעבר לשבר ה"פשוט" ועל-ידי חיבור בטור המבוסס על שיטת הכתיבה
העשרונית.
משימה מס' :14תרגול של הפיכת מספרים עשרוניים לשברים.
משימה מס' :15משימה הפוכה" :תרגום" משברים למספרים עשרוניים.
משימה מס' :16קירוב לסכום מספרים עשרוניים.
משימה מס' :17התלמידים נדרשים לאמוד תחילה את התוצאה ואחר-כך לחשב בטור את
תרגילי החיבור שלפניהם .אומדן התוצאה נעשה על-ידי עיגול המספרים העשרוניים למספרים
שלמים.
משימה מס' :18משימת יישום .התלמידים יפתרו את תרגילי החיבור בדרך הנוחה להם.
משימה מס' :19במשימה זו משולבות מספר מיומנויות :מילוי טבלה ,עיגול מספרים
עשרוניים למספרים שלמים ,חישוב תוצאת החיבור בקירוב וכן חישוב מדויק .הטבלה המלאה
תיראה כך:
המחובר
הראשון
8.12
18.01
5.1
0.2
המחובר עיגול המחובר
הראשון לשלמים
השני
8
5.72
18
2.09
5
7.85
0
0.42
עיגול המחובר
השני לשלמים
6
2
8
0
הסכום
בקירוב
14
20
13
0
הסכום
המדויק
13.84
20.1
12.95
0.62
משימה מס' :20במשימה זו נדרשת רמת הפשטה גבוהה ,ולכן משימה זו עלולה להיות קשה
לחלק מתלמידי הכיתה .כדי להבין את המשימה מומלץ לרשום על-גבי הלוח מספר דוגמאות
ולהראות שההפרש בין הסכום בקירוב לבין הסכום המדויק אינו גדול מ .1 -אפשר להיעזר גם
בטבלה שבמשימה הקודמת .בטבלה רואים שההפרש אינו גדול מ .1 -עיגול של מספר עשרוני
למספר שלם )ליחידות( לא יכול להיות גדול ביותר מ 0.5 -או קטן ביותר מ 0.5 -מהמספר
המקורי .לפיכך אם מחברים שני מספרים עשרוניים ,ההפרש בין סכום המספרים המעוגלים
לבין הסכום המדויק לא יהיה יותר מ ,1 -שכן .1=0.5+0.5
200
; 1.49 + 2.98 ≈ 1 + 3 = 4ההפרש בין הסכום
דוגמה ; 1.49 + 2.98 = 3.47 :קירוב התרגיל:
המקורב לסכום המדויק קטן מ .1-אם מעגלים את שני המספרים )בטעות( לשלם הקרוב
העליון ) 2ו ,(3 -ההפרש קטן מ.2 -
קטע שיעור ,עמוד :458חיסור מספרים עשרוניים )בלי המרה(
קטע שיעור זה מוקדש ללימוד של חיסור מספרים עשרוניים ללא המרה .בדומה לחיבור ,גם
חיסור מספרים עשרוניים דומה לחיסור של מספרים טבעיים.
יש להדגיש לתלמידים את המיקום של הנקודות העשרוניות בכתיבת תרגיל חיסור בטור:
נקודה מתחת לנקודה .בחיסור של המספרים השלמים "מיישרים לימין" ,ואילו בחיסור
המספרים העשרוניים שיטה זו אינה מתאימה .לכן חשוב מאוד לוודא כל הזמן שהיחידות
המתאימות רשומת זו מתחת זו ,והנקודות העשרוניות זו מתחת זו ,ורק אחר-כך מחסרים כמו
מספרים שלמים.
משימה מס' :21משימת יישום .התלמידים נדרשים לכתוב תחילה כל תרגיל חיסור במאונך
ואחר -כך לפתור אותו .תרגול כתיבת התרגילים במאונך חשוב מאוד.
משימה מס' :22פתרון של שאלה מילולית שנדרש בה תרגיל חיסור של מספרים עשרוניים.
התרגיל המתאים לפתרון הוא ? = . 3.78 − 2.05התלמידים יוכלו לפתור את התרגיל בכל דרך
הנוחה להם.
משימה מס' :23פיתוח הבנה מספרית .פותרים תרגילים בטור ,וצריך להשלים את המספרים
בספרות חסרות בהתאם לתנאים.
משימה מס' :24שאלה מילולית.
התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא 2.875 − 1.725 = 1.15
התשובה המתאימה משקל המים הוא 1.15ק"ג.
קטע שיעור ,עמוד :459חיבור בטור של מספרים עשרוניים הקטנים מ1 -
קטע שיעור זה מוקדש ללימוד חיבור של מספרים עשרוניים הקטנים מ .1 -עד כה פתרו
התלמידים תרגילי חיבור של שני מספרים עשרוניים .כעת הם יחברו יותר משני מחוברים .נוסף
על כך ,תתבצע המרה .מומלץ לחזור על המרה בחיבור של מספרים טבעיים.
משימה מס' :25משימת יישום של חיבור שני מספרים עשרוניים קטנים מ ,1 -למעט בסעיף ד'
שיש בו שלושה מחוברים0.4 + 0.31 + 0.9 = 1.61 .
משימה מס' :26סכום של שני מספרים קטנים מ 1 -הוא תמיד קטן מ .2 -באותו אופן סכום
של שלושה מספרים קטנים מ 1 -הוא תמיד קטן מ.3 -
משימה מס' :27פיתוח הבנה מספרית .משוואות חיבור.
קטע שיעור ,עמוד :460חיבור מספרים עשרוניים )עם המרה(
שיעור זה מוקדש ללימוד של חיבור מספרים עשרוניים עם המרה.
משימות מס' :29 - 28משימות יישום של חיבור מספרים עשרוניים עם המרה.
משימה מס' :30על התלמידים לעלות בפירמידה מהבסיס לפסגה .המספר בעיגול העליון הוא
.10
משימה מס' :31התלמידים נדרשים למצוא את הספרות החסרות בתרגילי החיבור הנתונים.
201
משימה מס' :32בכל סעיף על התלמידים לחבר שלושה מספרים עשרוניים ולבדוק את
התשובה בעזרת קירוב התוצאה.
משימות מס' :35 - 33תרגול חיבור של מספרים עשרוניים.
קטע שיעור ,עמוד :463חיסור מספר עשרוני ממספר טבעי
בשיעור זה לומדים לחסר בטור מספר עשרוני ממספר טבעי .חשוב להבהיר לתלמידים את אופן
הכתיבה של המספרים זה מתחת זה :החלקים השלמים זה מתחת זה ,הנקודות העשרוניות זו
מתחת זו .להקלת החישובים כדאי לכתוב עוד אפסים אחרי הנקודה העשרונית כדי לאזן את
מספר הספרות של החלקים של השברים .לדוגמה . 10 − 5.3 = 10.0 − 5.3 = ,רק עכשיו כדאי
לרשום את השברים זה מתחת זה )עשיריות מתחת לעשיריות וכדומה( .כך יפחתו הטעויות
הנפוצות אצל התלמידים.
משימה מס' :36משימת יישום .התרגילים כבר רשומים בטור ,לכן יש להדריך את התלמידים
לכתוב במספר השלם נקודה עשרונית ואפס ולאחר מכן לחסר.
משימה מס' :37שאלה מילולית שנדרש בה תרגיל חיסור .התרגיל המתאים לפתרון השאלה
הוא . 1 − 0.92 = 0.08
משימה מס' :38תרגול פעולות חיסור של מספרים עשרוניים ממספרים שלמים.
משימה מס' :39משוואות חיבור .הסכום הוא מספר "עגול".
משימה מס' :40פיתוח הבנה מספרית .משוואות חיבור באופן מילולי.
משימה מס' :41פעולות חיסור של מספר עשרוני ממספר שלם בשלבים.
קטע שיעור ,עמוד :465חיסור מספרים עשרוניים בטור )עם המרה(
שיעור זה מוקדש לחיסור של שני מספרים עשרוניים עם המרה.
מחסרים מספרים עשרוניים כשם שמחסרים מספרים טבעיים עם המרה .כתיבת המספרים
העשרוניים במאונך בצורה הנכונה משמעותית מאוד בפתרון התרגילים.
משימה מס' :42משימת יישום של חיסור מספר עשרוני ממספר טבעי.
משימה מס' :43תרגילי חיסור של מספרים עשרוניים.
משימה מס' :44במשימה זו מיוצג תרגיל חיסור על ציר המספרים .התרגיל המוצג על ישר
המספרים הוא . 32 − 10.7 = 21.3
משימה מס' :45במשימה זו עוסקים בסדרות עולות ויורדות של המספרים העשרוניים .כאשר
משלימים את הסדרה ,מתבוננים היטב במספרים הנתונים בסדרה ומנתחים את המצב.
בסדרות במשימה זו קיימים כללים מסוימים המתבטאים בהוספה )או בהפחתה( של מספר
קבוע לאיברים של הסדרה ,כלומר כדי לקבל את האיבר הבא מוסיפים )או מפחיתים( מספר
עשרוני קבוע למספר הקודם .בסעיף א' תמיד מוסיפים .0.3כאשר יודעים את המספר הקבוע,
קל להשלים את הסדרה ,לכן חשוב לדון עם התלמידים במציאת הכלל )או החוקיות( .אפשר גם
לדון בכך בקבוצה ואחר-כך לרשום את הכלל ולהמשיך בחיפוש האיברים החסרים .את כל
החישובים יבצעו התלמידים במחברתם בדרך הנוחה להם .יש לעודד את התלמידים לחשב
בעל-פה ומדי פעם לשאול אותם כיצד הם חישבו.
משימה מס' :46שתי שאלות מילוליות ליישום העיקרון של חיסור מספר עשרוני ממספר שלם.
202
משימה מס' :47קירוב הפרש מספרים עשרוניים.
קטע שיעור ,עמוד :467הנחה והתייקרות
מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי א' ו -ב' לפני השיעור .בשיעור זה עוסקים במספרים עשרוניים
בחיי היום-יום ,והפעם :הנחות והתייקרויות של מוצרים שונים .יש לדון עם התלמידים באוצר
המילים השייך להנחות )"פחת"" ,להפחית"" ,בהנחה של" "המחיר ירד" וכדומה( ולהתייקרות
)"להעלות"" ,עלה"" ,להתייקר"" ,התייקרות" וכדומה(.
משימה מס' :48פתרון של שאלה מילולית מחיי היום -יום שנדרשת בה פעולת חיסור .התרגיל
המתאים לפתרון הוא . 16.50 − 4.99 = 11.51כדאי לדון עם התלמידים בכך שאין משתמשים
באגורה אחת ,ולכן המחיר לאחר ההנחה הוא .₪ 11.5
משימות מס' :51 - 49משימות יישום .שאלות מילוליות העוסקות בהנחה ובהתייקרות.
משימה מס' :52עיגול של מספרים עשרוניים .כל אחת מהבנות עיגלה בצורה שונה .שוש עיגלה
את המספרים העשרוניים למספרים שלמים ,ואילו שרונה עיגלה את המספרים העשרוניים
לעשיריות .לכן נוצר פער בין החישובים של הבנות.
משימות מס' :55 - 53שאלות מילוליות מחיי היום-יום .יש לחבר או לחסר מספרים עשרוניים
ולעגל אותם.
מה למדנו ,עמוד :469
משימה מס' :56במשימה זו מופיע ריבוע קסם .בריבוע הקסם סכום המספרים בכל שורה,
בכל טור ובכל אלכסון זהה .סכום המספרים בכל שורה הוא .1.5סכום המספרים בכל ריבוע
הקסם הוא .4.5
הריבוע המלא:
0.6
0.7
0.2
0.1
0.5
0.9
0.8
0.3
0.4
משימה מס' :57משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה .השלמת הסדרה
שבסעיף ב' מצריכה מעבר משבר למספר עשרוני.
ממשיכים בתרגול ,עמודים 474 – 470
משימה מס' :1משימת תרגול של חיבור מספרים שלמים בתוך כדי שימוש באומדן.
משימה מס' :2משימת תרגול של חיבור וחיסור של מספרים שלמים.
משימה מס' :3משימת תרגול של חיסור בטור של מספרים שלמים.
משימה מס' :4משימה זו אינה משימת חיבור פשוטה של מספרים עשרוניים .במשימה זו יש
להפוך מספר עשרוני למספרים מעורבים ,לחבר מספרים מעורבים בעלי מכנים שונים ,ולהפוך
את התוצאה למספר עשרוני.
81
1
81
10
91
5.81 + 14.1 = 5
+ 14 = 5 + 14 +
+
= 19
דוגמה= 19.91 :
100
10
100 100
100
משימה מס' :5משימת תרגול של חיבור מספרים עשרוניים בטור.
203
משימה מס' :6שאלה מילולית זו עלולה ליצור קושי אצל התלמידים .המילים המופיעות
בשאלה כמו "מכר" ובעיקר "הפסיד" עלולות להוביל את התלמידים לחשוב שהפתרון המתאים
לשאלה זו הוא תרגיל חיסור .התרגיל המתאים לפתרון השאלה הוא . 50 + 4.40 = 54.4
תשובה :עודד קנה את התקליטור ב.₪ 54.4 -
משימה מס' :7משימת תרגול של חיסור מספרים עשרוניים בטור.
משימה מס' :8משקל הבקבוק הוא 0.1ק"ג.
משימה מס' :9משימת תרגול של חיבור מספרים עשרוניים.
משימה מס' :10תוצאת התרגיל היא .4.5
0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7 + 0.8 + 0.9 = 4.5
משימה מס' :11משימת תרגול של חיבור מספרים עשרוניים.
משימה מס' :12שימוש בחוק החילוף ובחוק הקיבוץ .ההשלמה לשלמים יכולה לסייע בפתרון
התרגיל ביתר קלות .כדאי לדון בדרכי הפתרון .דוגמאות:
10.3 + 5.7 + 2.2 = ( 10.3 + 5.7 ) + 2.2 = 16 + 2.2 = 18.2
משימה מס' :13משימת תרגול של חיבור מספרים עשרוניים בטור )שלושה מחוברים(.
משימה מס' :14משימת תרגול של חיסור מספר עשרוני ממספר שלם.
דוגמאות453 − 0.4 = 452.6 , 8 − 0.2 = 7.8 :
משימה מס' :15במשימה זו מפתחים דרכי פתרון של תרגילי חיסור .הדרך המוצגת במשימה
זו היא חיסור של החלק השלם של המחסר ואחר-כך חיסור של החלק השברי שלו.
דוגמאות19 − 3.8 = 19 − 3 − 0.8 = 16 − 0.8 = 15.2 :
100 − 5.8 = 100 − 5 − 0.8 = 95 − 0.8 = 94.2
משימה מס' :16שאלה מילולית בנושא גבהים לשם תרגול בהשוואה בין מספרים עשרוניים,
וכן חיבור וחיסור של מספרים עשרוניים.
א( שמות הילדים מהגבוה לנמוך :ליאור ,עידן ,דור ולירז
ב( ליאור גבוה מעידן ב 0.13 -מ'.
ג( ליאור גבוה מדור ב 0.27 -מ'.
ד( עידן גבוה מדור ב 0.14 -מ'.
ה( סכום הגבהים של הילדים הוא 5.83מ'.
משימה מס' :17השלמת סדרות עולות או יורדות לפי הפרש נתון.
דוגמה :ההפרש הוא 0.05
סדרה עולה3.45 , 3.5 , 3.55 , 3.6 , 3.65 , 3.7 :
סדרה יורדת3.45 , 3.4 , 3.35 , 3.3 , 3.25 , 3.2 :
משימה מס' :18משימה פתוחה .השלמת התרגילים במחוברים מתאימים תיעשה כרצון
התלמידים .דוגמה3.8 + 1.9 + 4.3 = 10 :
משימה מס' :19שאלה מילולית לתרגול דרכי פתרון שונות .אפשר לפתור אותה בעזרת תרגילי
חילוק ) 57.2 : 11 = 5.2או ,( 62.4 :12 = 5.2ואפשר בעזרת תרגיל חיסור. 62.4 − 57.2 = 5.2 :
204
שימו לב :התלמידים יכולים להציע לפתור את השאלה בעזרת תרגיל חילוק ,אף-על-פי שטרם
למדו זאת .הנחו את התלמידים לחפש דרך אחרת המוכרת להם.
תשובה :מחירה של עוגה יחידה הוא .₪ 5.2
משימה מס' :20שאלה מילולית זו עלולה להטעות את התלמידים .המילה "הנחה" עלולה
להוביל את התלמידים לתרגיל חיסור .כדי למצוא את המחיר של המברשת לפני ההנחה יש
לבצע חיבור 9.60 + 2.39 = 11.99 :מחיר המברשת לפני ההנחה היה .₪ 11.99
משימה :21חזרה על הנושא היקף של משולש שווה-שוקיים באמצעות שימוש בחיבור
ובחיסור של מספרים עשרוניים.
כדי למצוא את אורך הצלע ACנחשב32 − ( 4.8 + 13.6 ) = 32 − 18.4 = 13.6 :
אורך הצלע ACשווה לאורך הצלע .BCלכן המשולש הוא משולש שווה-שוקיים.
שאלות מילוליות ,עמוד 475
משימה מס' :1התרגיל המתאים לפתרון הוא 43.2 + 47.9 = 91.1
מילא 91.1ליטר דלק בסך הכול.
תשובה :יוחאי ֵ
משימה מס' :2התרגיל המתאים לפתרון הוא 53.5 + 30 − 12 = 71.5
תשובה :לרונית יש .₪ 71.5
משימה מס' :3התרגיל המתאים לפתרון הוא 49.40 + 99.99 + 14.79 = 164.18
תשובה :אסתר שילמה ₪ 164.18תמורת הבגדים.
משימה מס' :4התרגיל המתאים לפתרון הוא 50.40 − 31.90 = 18.50
תשובה :מחיר המחברת הוא .₪ 18.50
משימה מס' :5שימוש באומדן ובעיגול מספרים עשרוניים ליחידות או לעשיריות.
נועם חישב את האומדן של ההיקף לפי עיגול המספרים ליחידות ,כלומר הוא חישב כך:
4 × 2.5 + 2 × 3.7 + 2 × 3.4 ≈ 4 × 3 + 2 × 4 + 2 × 3 = 12 + 8 + 6 = 26
אוהד חישב את האומדן של ההיקף לפי עיגול לחמש עשיריות ,כלומר הוא חישב כך:
4 × 2.5 + 2 × 3.7 + 2 × 3.4 ≈ 4 × 2.5 + 2 × 4 + 2 × 3.5 = 10 + 8 + 7 = 25
התוצאה של אוהד קרובה יותר להיקף המדויק ,שהוא 24.2ס"מ.
היסטוריה ,עמוד 476
חלק זה מוקדש להיסטוריה של המבנה העשרוני .התלמידים לומדים שיטה נוספת של כתיבת
מספר עשרוני ,השיטה של סימון סטבין.
העשרה ,עמוד 477
השיעור עוסק בעיגול מספרים למיליונים .בחיי היום-יום נוהגים להשתמש בעיגול מספרים
כאשר מציגים נתונים סטטיסטיים.
דוגמה :אם אומרים שיש 292,807,745תושבים,כותבים שיש 292.8מיליון תושבים.
אנו שולטים בחומר ,עמוד 478
חזרה על המיומנויות :שבר כחלק מכמות ,חיבור וחיסור בשברים ,ישרים מאונכים וגבהים
במשולש.
205
עמ' 517 - 479
טו .שטחים
רקע
הנושא שטחים שייך לתחום המדידות .התלמידים עסקו במדידת שטחים בכיתה ב' ,כאשר
למדו על דרכי ההשוואה בין שטחים ,ובכיתה ד' כאשר למדו למדוד שטח ביחידות שטח
מוסכמות ומקובלות וחישבו שטח מלבן.
בפרק זה חוזרים על המושגים "שטח" ו"היקף" ,על דרכי ההשוואה בין שטחי צורות ועל
מדידת שטח ביחידות מידה שרירותיות וביחידות מידה מקובלות .אך בכך ימשיכו התלמידים
להכיר פנים נוספים של המושג ולעסוק במדידות שטחים ביחידות שטח מוסכמות ,יכירו את
נוסחאות השטח של מלבן ושל ריבוע ,הכתובות באותיות לועזיות ,ויחשבו שטחי מקביליות
בעזרת נוסחה מתאימה .כמו-כן הם ילמדו לחשב שטחים של משולשים כלשהם )ישרי-זווית,
חדי-זוויות וקהי-זווית( וימשיכו בחישובי שטחים ביחידות שטח מוסכמות שונות ובחישובים
של שטחי צורות מורכבות .את שטח המשולש מחשבים תחילה בעזרת השלמתו למלבן,
ובהמשך ַמגיעים לנוסחת שטח המשולש .בפרק עוסקים בשלוש דרכים לחישוב שטח המשולש
לפי צלע והגובה לצלע זו ,כאשר אורכיהם נתונים.
זו הפעם הראשונה שהתלמידים מתבקשים להשתמש בנוסחאות ,לכן ייתכן שהם יתקשו
בהבנתן.
הקושי העיקרי נובע מכלליות הנוסחה ,כי בשימוש בנוסחה יש להבין את המושג "הצבה",
שהתלמידים עדיין אינם מכירים .לכן חשוב שהתלמידים ידעו לומר במילים את הכלל לחישוב
השטח של מלבן ,של ריבוע ושל מקבילית.
רישום הנוסחה בעזרת אותיות לועזיות מהווה קושי נוסף.
בנושא שטח ומדידתו :כמו ביתר נושאי המדידות :יש להבחין בין השוואה בין שטחים לבין
מדידת שטח .קיימות דרכים שונות להשוואה בין שטחים ,כגון :השוואה ישירה ,השוואה דרך
מתווך ,השוואה בעזרת פירוק והרכבה והשוואה בעזרת מדידה .אפשר למדוד שטחים ביחידות
שרירותיות )כמו משולש המשמש כיחידת שטח( או ביחידות מוסכמות )סמ''ר ,מ''ר ,ממ"ר,
דצמ"ר ,קמ"ר( .לעתים קרובות אין אפשרות למדוד שטח בדרך ישירה ,ולכן מודדים שטח
בדרך עקיפה ,כלומר מחשבים אותו בעזרת נוסחאות.
חשוב לדעת לחשב שטחים של צורות שונות -כמו מלבן ,ריבוע ,משולש ,מקבילית ,טרפז ועיגול
לפתרון בעיות שונות במתמטיקה וכן לפתרון בעיות בחיי היום-יום )לדוגמה ,לחשב שטח שלדירה כדי לרצף אותה(.
הערה :למילה "שטח" שתי משמעויות:
א( שטח פיזי ,שהוא חלק של משטח המוגבל על-ידי קו סגור;
ב( "מידת שטח" -מספר יחידות שטח הכלולות בשטח.
לפי תכנית הלימודים ,מומלץ להקדיש לנושא מדידות שטחים כ 9 -שעות לימוד .בתכנית
הלימודים מומלץ לעסוק בחישוב שטח טרפז בכיתות מתקדמות ,לכן מובא הנושא של שטח
טרפז כהעשרה.
מושגים
שטח ,היקף ,אורך ,השוואה ישירה ,השוואה בעזרת מתווך ,מדידה ,יחידת מידה ,מלבן ,ריבוע,
יחידת שטח שרירותית ,יחידת שטח מוסכמת ,סמ"ר ,מ"ר ,ממ"ר ,דצמ"ר ,קמ"ר ,דונם,
נוסחה ,שטח מקבילית ,שטח משולש ,שטח מלבן ,שטח ריבוע ,שטח טרפז.
מטרות
התלמידים ידעו:
א .להשוות בין שטחים של צורות שונות בהשוואה ישירה ,בעזרת פירוק והרכבה ובעזרת
מדידה;
ב .לבחור את הדרך המתאימה להשוואה בין שטחים של צורות;
ג .למדוד שטח בעזרת יחידות שטח שונות )שרירותיות( בדיוק או בקירוב;
206
ד.
ה.
ו.
ז.
ח.
ט.
י.
יא.
יב.
למדוד שטח ביחידות שטח מקובלות ומוסכמות כמו סמ''ר ,מ"ר ,ממ"ר ,דצמ"ר ,קמ"ר;
להגדיר יחידת שטח מקובלת כשטח הריבוע המתאים )לדוגמה 1 ,סמ"ר הוא שטח של
ריבוע שאורך צלעו 1ס"מ(;
לחשב שטח מלבן שידועים אורכי צלעותיו ,בעזרת הנוסחה )בהתאם לתחום המספרים(;
לחשב שטח ריבוע שידוע אורך צלעו;
לחשב שטח מקבילית כאשר ידועים אורכי הצלע שלה והגובה לצלע זו;
לבנות מלבן ששטחו שווה לשטח מקבילית נתונה;
לחשב שטחים של צורות מורכבות בעזרת פירוק לצורות שקל לחשב את שטחיהן;
לחשב שטחים של מלבן ושל מקבילית ביחידות שטח מקובלות שונות ) ממ"ר ,סמ''ר ,מ"ר,
דצמ"ר ,קמ"ר(;
לחשב שטח משולש ישר-זווית כאשר נתונים אורכי ניצביו;
יג .לחשב שטח משולש לפי הנוסחה - S) S = a × h :מידת השטח - a ,אורך צלע המשולש- h ,
2
אורך הגובה לצלע ;(a
יד .לבנות מלבן עזר לחישוב שטח המשולש ,כלומר לבנות מלבן ששטחו גדול פי שניים משטח
המשולש הנתון;
טו .לחשב שטח משולש בשלוש דרכים ,כאשר נתונים אורכי שלוש צלעותיו ואורכי שלושת
הגבהים של המשולש;
טז .לחשב שטח של צורה מורכבת על-ידי חיבור השטחים של הצורות שהתקבלו בפירוק הצורה
לצורות שקל לחשב את שטחן.
אביזרים ואמצעי המחשה
סרטוטים של מקביליות ,נייר מילימטרי ,דף משובץ ,טנגרם ,רצועת קרטון ,סרגל מסומן,
ריבועים למנייה בכמות מספקת ,מספריים ,משולש סרטוט ,משולשים שונים מסורטטים על דף
)נמצא בנספח שבספר הלימוד(.
אביזרי "חשבון :"10לוח מחיק ,שקף משבצות של 1סמ"ר.
הטמעה
א .חזרה על השוואה בין אורכים.
התלמידים מקבלים דף שמסורטטים עליו 5 - 4קטעים בגדלים שונים .הקטעים מסומנים
באותיות א ,ב ,ג ,ד ,ה .על התלמידים להשוות בין אורכי הקטעים ולמצוא את הגדול ביותר
ואת הקטן ביותר .דנים בדרכי ההשוואה.
הפתרון האפשריות .דוגמאות לדרכי השוואה בין
ְ
בתום הפעילות חשוב לסכם את דרכי
אורכים :ראייה ,השוואה ישירה ,מתווך כמו פס קרטון או חבל ,סרגל מדידה.
דוגמאות לקטעים:
ה
ג
ד
א
ב
ב .חזרה על יחידות אורך.
על התלמידים להשלים שוויונות הרשומים על הלוח ,לדוגמה:
10ס''מ = 100 ,_____ 1ס''מ = ____ ,_____ 1מ"מ = 1ס''מ
207
1ק"מ = _____ מ' 1 ,מ' = _____ .
אפשר גם לשאול שאלות מתאימות ,לדוגמה" :כמה מילימטרים בסנטימטר אחד?"
ג .חזרה על ריבוע של מספר שלם.
.1על הלוח רשומים מספרים שלמים) 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 :כותבים את כל המספרים או
את חלקם ,אך לא לפי הסדר( .על התלמידים לומר מהו הריבוע של כל מספר .דוגמה:
"שלוש בריבוע שווה ל "9 -או .32 = 9הערה :אם התלמידים אינם מכירים את המושג
"מספר בריבוע" יש לומר "מספר בחזקת שתיים" או "מספר כפול עצמו".
.2על הלוח רשומים המספרים) 49 ,36 ,64 ,81 ,1 ,25 ,100 ,16 ,9 ,4 :או חלק מהם( .על
התלמידים למצוא מספר ,שכשכופלים אותו בעצמו ,התוצאה היא מספר מהרשימה.
לדוגמה 8 ,כפול 8שווה ל .64-התלמידים יכולים להיעזר במחשבון או בלוח הכפל.
ד .חזרה על לוח הכפל.
חשוב לחזור על לוח הכפל בדרך כלשהי כדי להקל את חישובי השטחים של מלבן ושל ריבוע.
לדוגמה ,תרגילים ישירים , 8 × 7 = ? :וגם חילוק במסגרת לוח הכפל. 72 : 9 = ? :
ה .חזרה על "פי כמה גדול? פי כמה קטן?"
התלמידים מתבקשים לענות על שאלות כאלה:
• אורך קטע 2ס"מ .הגדילו את הקטע פי שלושה .מהו אורך הקטע החדש?
• לאהרון שבעה שקלים .לדוד פי חמישה שקלים יותר מאהרון .כמה שקלים יש לדוד?
• גובהו של ילד בן 3.5שנים הוא בערך 100ס"מ .גובהו של תינוק שרק נולד הוא בערך 50
ס"מ .פי כמה קטן גובהו של תינוק מגובה של ילד?
• פי כמה גדול המספר 56מהמספר ?8פי כמה קטן המספר 8מהמספר ?56
• הקטינו את המספר 81פי תשעה .מהו המספר שהתקבל?
• חילקו את מכפלת המספרים 6ו 4 -ב .8 -מהו המספר שהתקבל? פי כמה קטן המספר
שהתקבל מ?24 -
פעילויות גילוי
לכל הפעילויות דרושים מספריים וכלי סרטוט כמו סרגל ועיפרון מחודד.
דרכי השוואה בין שטחים
פעילות א :התלמידים מקבלים אוסף של צורות גזורות )מבריסטול או מקרטון( .על
התלמידים למצוא דרכים להשוואה בין שטחי הצורות ,כלומר למצוא תשובה לאחת
השאלות" :למי יש שטח גדול יותר? למי יש שטח קטן יותר? האם לשתי הצורות יש אותו
שטח?"
אפשר להשוות בין השטחים בדרכים שונות .ראשית ,מנסים להשוות בין שטחי הצורות
בהשוואה ישירה ,כלומר על-ידי הנחת צורה אחת על צורה אחרת .רק אם שתי הצורות
מכסות זו את זו בדיוק ,השטחים הם שווים .בכל מקרה אחר השטחים אינם שווים .אם אי-
אפשר או קשה להשוות בין שטחי הצורות ,משתמשים בדרכים אחרות ,כמו פירוק הצורות
והרכבתן מחדש ,או על-ידי מדידה ביחידות שטח שרירותיות או מוסכמות .רצוי שבאוסף
הצורות יהיו גם צורות שאי-אפשר להשוות ביניהן על-ידי השוואה ישירה.
דוגמה לאוסף צורות:
208
פעילות ב :התלמידים משתמשים באוסף הצורות של המשחק "טנגרם" שמופיע בנספח
שבספר לתלמיד .על התלמידים למדוד כל אחד מהחלקים על-ידי היחידה הקטנה ביותר של
הטנגרם )המשולש הקטן( .התלמידים מקבלים גם דף שמצוירים עליו ציורים שונים
המורכבים מחלקי הטנגרם )כדאי שהציורים יהיו בגודל אמתי בהתאם לגודל החלקים( .על
התלמידים להשוות בין שטחי הציורים.
דוגמאות לצורות מחלקי טנגרם:
טנגרם
7
6
4
5
3
2
1
הצורות מורכבות מחלקים אלו:
מאפיינים של מלבן
פעילות ג :התלמידים עובדים בקבוצות .כל קבוצה מקבלת כ 70 -ריבועי מנייה .בכל קבוצה
בונים ארבעה מלבנים בעלי שטח שונה וכותבים תיאור של כל מלבן בלי לצייר אותו .מבקשים
מיתר התלמידים לצייר על הלוח המחיק שלהם את המלבנים לפי התיאורים שמקריאים
נציגי הקבוצות.
בדיון מתמקדים בניתוח של התיאורים .חשוב שהתלמידים יסיקו כי מלבן מאופיין על-ידי
צלעותיו.
הבהרת הקשר בין היקף המלבן לבין שטחו
פעילות ד :בכל קבוצה בונים שני מלבנים שונים ,וכל מלבן בנוי מ 24 -ריבועי מנייה.
התלמידים כותבים תיאור של כל מלבן בלי לצייר אותו.
מבקשים מיתר התלמידים לצייר על הלוח המחיק שלהם את המלבנים לפי התיאורים
שמקריאים נציגי הקבוצות .אפשר להזמין תלמיד לצייר גם על לוח הכיתה.
בדיון מתמקדים בשלוש שאלות :מה משותף לכל המלבנים ובמה הם שונים? האם יש
אפשרויות נוספות לבניית מלבנים לפי התנאים הנתונים? כיצד תוארו המלבנים?
חשוב שהתלמידים יגיעו למסקנה כי למלבנים בעלי אותו שטח יכול להיות מראה שונה,
כלומר אורכי הצלעות שלהם שונים .מומלץ גם לשוחח עם התלמידים על היקפיהם של
המלבנים ששטחם 24ריבועי מנייה .התלמידים יגיעו למסקנה כי היקפיהם שונים ,אף-על-פי
ששטחיהם שונים.
פעילות ה :בפעילות זו עובדים בשקף משבצות או בדף משובץ .התלמידים מתבקשים לבנות
)או לסרטט( מלבנים שונים שהיקפם 24ס"מ .שואלים את התלמידים" :מהו השטח של כל
אחד מהמלבנים?" חשוב שהם יבנו גם ריבוע .שואלים" :לאיזה מלבן מבין כל המלבנים שנבנו
יש השטח הגדול ביותר?" חשוב להגיע למסקנה שמבין כל המלבנים שהיקפם 24סמ"ר,
209
הריבוע הוא המלבן ששטחו הגדול ביותר .במקרה זה אורך צלע הריבוע הוא 6ס"מ ,ושטחו
36סמ"ר.
פעילות ו :בפעילות זו עובדים בשקף משבצות או בדף משובץ .התלמידים מתבקשים לבנות
)לסרטט( מלבנים שונים ששטחם 36סמ"ר .דנים באפשרויות שונות לבניית מלבנים .האם
אפשר לבנות גם ריבוע? מהן האפשרויות לבניית מלבנים? סביר להניח שהתלמידים ישתמשו
במספרים הטבעיים בלבד .שימו לב ,שקיימות אין-סוף אפשרויות לבניית מלבנים ,אך מספר
האפשרויות מוגבל אם אורכי הצלעות הם מספרים טבעיים.
דנים בשאלה" :לאיזה מלבן יש ההיקף הקטן ביותר?" חשוב להגיע למסקנה )שחלקה
מבוססת על תוצאות הבנייה וחלקה על אינטואיציה( כי בין כל המלבנים בעלי שטח של 36
סמ"ר לריבוע יש ההיקף הקטן ביותר.
במקרה זה אורך הצלע של ריבוע ששטחו 36סמ"ר ,הוא 6ס"מ ,והיקפו 24ס"מ( 4 × 6 = 24 ) .
שטח מקבילית
פעילות ז :לכל קבוצה סרגל ,מספריים ודף משבצות )דף א'( שמצוירות עליו מקביליות שונות,
כל מקבילית מצוירת פעמיים .חברי הקבוצות יציעו דרכים לחישוב שטח המקביליות.
התלמידים מתבקשים לעבוד במקבילית אחת בין שתי המקביליות הזהות ולשמור את
הפתרון.
השנייה לבדיקת ְ
אם הפתרון של שימוש במלבן אינו עולה ,מחלקים דף עזר )דף ב'( שמצוירים עליו מלבנים
העוזרים בחישוב.
דנים בשאלה :כיצד בונים מלבן שיעזור בחישוב השטח של המקבילית?
דוגמאות לדפים:
דף א'
210
דף ב'
פעילות ח :שואלים את התלמידים כיצד יסבירו בטלפון לחבריהם איך מחשבים שטח של
מקבילית.
יש להניח שיהיו תלמידים שיחזרו על השימוש במלבן ,ויהיו כאלה שישתמשו במכפלה של
צלע המקבילית בגובה לצלע הזו .דנים בהצעות של התלמידים ומבררים איזו דרך הם הבינו
טוב יותר.
פעילות ט :על הדף ציור של מקבילית .אורך אחת הצלעות שמונָה סנטימטרים ואורך הגובה
לצלע זו שלושה סנטימטרים ,אורך הצלע השנייה ארבעה סנטימטרים .התלמידים מתבקשים
לחפש דרך לחשב את אורך הגובה לצלע השנייה של המקבילית .בדיון המסכם חוזרים על שתי
הדרכים לחישוב שטח מקבילית.
פעילות י :מבקשים מכל קבוצה לצייר על דף משבצות מקביליות שונות בעלות צלע משותפת,
ואורך הגובה לצלע זו שווה בכולן .אחת המקביליות צריכה להיות מלבן.
לאחר הצגת הפתרונות שואלים :האם לכל המקביליות יש שטח שווה? תלמידי כל קבוצה
מתבקשים להצדיק את תשובתם.
שטח של משולש ישר-זווית
פעילות יא :כל אחד מהתלמידים מקבל מלבן חלק כלשהו )דף ,דפים של פנקס וכדומה(.
המלבנים אינם חייבים להיות חופפים .מבקשים מהתלמידים לבנות משולש ישר-זווית
ששט חו שווה למחצית שטח המלבן הנתון.
סביר להניח כי יהיו תלמידים שיקפלו את המלבן לאורך האלכסון )איור .(1שואלים :כיצד
יודעים כי שטח המשולש הוא חצי משטח המלבן? תשובה אפשרית :אלכסון מחלק את המלבן
לשני משולשים חופפים )זהים( ,לכן שטח משולש אחד הוא מחצית משטח המלבן .אפשר גם
לנמק על-ידי גזירת המשולשים והנחתם זה על-גבי זה ,כך שיתלכדו.
איור 1
211
פעילות יב :התלמידים מקבלים דף שמסורטט בו משולש ישר-זווית )מופיע בנספח שבספר
הלימוד( .מבקשים מהתלמידים למצוא את שטחו ולהגדיר אילו אורכים צריך לדעת כדי
למצוא את שטחו .אם התלמידים מתקשים ,אפשר להציע להם שתי אפשרויות:
א( לסרטט בדף משובץ את המשולש וכך למצוא את שטחו;
ב( להיעזר בתוצאות הפעילות הקודמת )פעילות הגילוי א'( ,ובעזרת הקשר בין שטח המשולש
ישר-הזווית לבין המלבן למצוא את שטח המשולש הנתון.
העבודה כאן צריכה להיות הפוכה :מתחילים במשולש הנתון ,ולכן משלימים אותו למלבן
)הסרטוט כמו באיור .(1פעילות הגילוי א' יכולה לסייע בפיתוח חשיבה כזו .מההשלמה עולה
שצריך לדעת את אורכי הניצבים של המשולש )אורכי צלעות המלבן שיושלם(.
שטח של משולש כלשהו
פעילות יג :התלמידים מתבקשים לחלק מלבן נתון לשני מצולעים שווי-שטח )דוגמה באיור
.(1לאחר מכן מוסיפים אילוץ :אחד מהמצולעים יהיה משולש )דוגמה באיור .(2לאחר מכן
מוסיפים אילוץ :אחד מהמצולעים יהיה משולש שאינו משולש ישר-זווית )דוגמאות באיורים
3ו .(4 -אם התלמידים אינם מגיעים ְ
לפתרון הדומה לאיורים 3או , 4מראים להם ציור כזה
ללא גובה של המשולש ,ושואלים מה הם חושבים על שטח המשולש לעומת שטח המלבן .רצוי
להגיע למסקנה כי גם שטחם של משולשים אלו הוא מחצית של שטח המלבן .הנימוק ייעשה
על-ידי התבוננות בשני המשולשים ישרי-הזווית ,ששטח של כל אחד מהם הוא מחצית משטח
המלבן המתאים .אם התלמידים עדיין אינם מבינים זאת ,יש לעבור לפעילות אחרת.
איור 1
איור 3
איור 2
איור 4
פעילות יד :התלמידים משתמשים בדף שמסורטט בו משולש חד-זוויות )מופיע בנספח
שבספר הלימוד( .על התלמידים למצוא דרך לחישוב שטחו.
אם התלמידים מתקשים במציאת השטח ,רומזים להם כי אפשר לחלק את המשולש לצורות
שהם יודעים לחשב את שטחיהן )שני משולשים ישרי-זווית( .אפשר גם להשלים את המשולש
למלבן ,וכאן אפשר לחזור על הפעילות הקודמת.
פעילות טו :התלמידים משתמשים בדף שמסורטטים בו שני משולשים שונים מכל סוג:
משולשים חדי-זוויות ,קהי-זווית וישרי-זווית )מופיעים בנספח שבספר הלימוד( .על
התלמידים לבנות מלבנים העוזרים לחשב את שטחי המשולשים ,ולציין מהו הקשר בין צלעות
המלבן לבין קטעים מסוימים במשולש )צלע וגובה(.
פעילות טז :על הלוח מצויר משולש גדול שמסורטט בו אחד מהגבהים .התלמידים מתבקשים
לצייר משולש שווה-שטח למשולש הנתון) .הבעיה מוצגת על-גבי הלוח כדי למנוע מדידות וכדי
להתרכז בכך שמספיק לצייר משולש בעל צלע משותפת שהגובה לצלע זו הוא באותו אורך(.
דנים במספר הפתרונות האפשרי )אין-סוף פתרונות( .הפעילות היא הקדמה לתרגילים שבעמ'
.300
שטח של טרפז
פעילות יז :הפעילות מיועדת לתלמידים מתקדמים .התלמידים מקבלים סרטוט של טרפז
ומתבקשים למצוא דרך לחישוב שטחו .עליהם גם לקבוע אילו אורכים נדרשים כדי לחשב את
שטח הטרפז.
212
השיעור בספר הלימוד
האם אנו מוכנים? – תשובות:
.1א; .2ב; .3ב; .4ג;
.5א;
.6ד.
לעלות על הגל
קטע שיעור ,עמוד :480שטח והיקף
חזרה על המושגים "שטח" ו"היקף" .למושגים אלו שתי משמעויות .היקף הוא הקו עצמו וגם
אורך הקו .שטח הוא המקום המוגבל על-ידי קו סגור שאפשר לצבוע אותו ,וגם מידה .בשיעור
חוזרים על המשמעות הראשונה של המושגים .בדרך כלל ברור מההקשר באיזו משמעות של
המושגים מדובר.
משימה מס' :1משימת יישום .שטח יש לצורות א' ,ג' ,ד' ,ה' ,ז'.
משימה מס' :2משימה זו מורכבת ממספר שלבים :מדידת אורכי צלעות המצולע וחישוב
היקף המצולע .משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה בשל מורכבותה.
משימה מס' :3התלמידים נדרשים לבנות מחוט צורה שהיא קו סגור וקו פתוח .בדיון במליאה
מומלץ לדבר על כך שלצורה פתוחה אין שטח.
קטע שיעור ,עמוד :481השוואה ישירה בין שטחי הצורות
חזרה על השוואה ישירה בין שטחי הצורות .בדרך השוואה זו התלמידים עסקו בכיתות ב' ו -ד'.
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי א' לפני השיעור.
משימה מס' :4משימת יישום .אפשר להשוות בין השטחים של הצורות המובאות בתרגיל
בדרך ישירה .חשוב גם להעריך את הסדר בטביעת עין וכן להשוות בין השטחים על-ידי העתקת
הצורות על -גבי דף שקוף .להלן שטחי הצורות בסדר עולה :ד ,ג' ,ה' ,א' ,ב'.
משימה מס' :5משימה זו מתבצעת בעל-פה .התלמידים נדרשים להשיב על השאלה כיצד
משווים בין שטחי צורות בהשוואה ישירה.
משימה מס' :6במשימה זו נדרשת מיומנות של גזירה ,ותתבצע השוואה בין שטחי הצורות על-
ידי השוואה ישירה.
משימה מס' :7מומלץ להשתמש במשימה זו בחלקי הטנגרם המופיעים בנספח .ביצירה של
צורות שונות מאותם חלקים מתקבלות צורות בעלות אותו השטח.
קטע שיעור ,עמוד :482השוואה בין שטחי צורות על-ידי פירוק והרכבה
לפני השיעור מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ב' .בשיעור זה חוזרים על השוואה בין שטחים
בעזרת פירוק והרכבה מחדש .דרך זו מבוססת על העיקרון :צורות המורכבות מאותם
החלקים ,הן שוות-שטח .התלמידים עסקו בנושא שטחים בכיתות ב' ו ד' ,ולכן סביר להניח
שהם זוכרים את דרכי ההשוואה בין שטחים שונים .בכל זאת רצוי לחזור )בפעילות הגילוי( על
דרכי ההשוואה בין השטחים כדי לוודא כי התלמידים מגיעים למסקנה שלא תמיד אפשר
להשוות בין שטחים בהשוואה ישירה ,ולכן יש לפתח דרכי השוואה אחרות ובכל פעם לבחור
את הדרך המתאימה ביותר להשוואה .ההרכבות מחלקי טנגרם כמו בפעילות הגילוי ב' יעזרו
בהבנת דרך השוואה זו .שימו לב כי בהמשך משתמשים בדרך זו לקבלת נוסחאות לחישוב שטח
של מקבילית ,של משולש ושל טרפז.
213
משימה מס' :8בטנגרם יש שבע צורות שונות ,קצתן שוות-שטח .חשוב שהתלמידים יסבירו
מדוע שטחי הצורות שהם הרכיבו ,שונים זה מזה.
משימה מס' :9לצורה ב' יש השטח הקטן ביותר.
משימה מס' :10התלמידים נדרשים לסדר את הצורות לפי שטחן בסדר יורד .לשם כך הם
יכולים להיעזר בדף שקוף כדי להעתיק את הצורות ולהשוות ביניהן.
סדר הצורות לפי שטחן מהגדול ביותר לקטן ביותר :ב ,א ,ד+ו ,ה ,ג.
משימה מס' :11משימה זו מורכבת ממספר שלבים ועלולה להיות קשה לחלק מתלמידי
הכיתה .קיימות דרכים שונות לפתרון המשימה .אחת הדרכים היא סרטוט הצורות על-גבי דף
שקוף מספר פעמים ויצירת הצורות בפועל .דרך נוספת לפתרון המשימה היא למצוא את שטח
הצורות המסורטטות ,כאשר יחידת השטח היא משבצת )כהכנה לשיעור הבא(.
שטח המעוין הוא 12משבצות .שטח המשולש הוא 8משבצות .שטח המלבן הוא 8משבצות.
שטח הריבוע הוא 16משבצות .שטח הטרפז הוא 25משבצות.
שטח המקבילית הוא 15משבצות.
איתי בנה צורה ששטחה 105משבצות .סלע בנה צורה ששטחה 108משבצות .שאול בנה צורה
ששטחה 96משבצות .עמנואל בנה צורה ששטחה 84משבצות .דוד בנה צורה ששטחה 96
משבצות.
א( סלע בנה את הצורה ששטחה הגדול ביותר 108 :משבצות5 × 16 + 2 × 8 + 12 = 108 .
ב( עמנואל בנה צורה ששטחה הקטן ביותר 84 :משבצות12 + 8 + 8 + 16 + 25 + 15 = 84 .
ג( שאול ודוד בנו צורות ששטחן שווה 96 :משבצות.
ד( משימה פתוחה .כל תלמיד צריך לבנות צורה בהתאם לדרישות.
ה( אפשר לבנות את הצורה המתבקשת מהצורות משולש ומלבן או מהצורות ריבוע ומלבן או
מהצורות ריבוע ומשולש.
קטע שיעור ,עמוד :484מדידת שטחים
חזרה על מדידת שטחים ביחידות מידה .בעזרת יחידת השטח שנבחרה מרצפים כל צורה
שמודדים את שטחה ,וסופרים כמה יחידות שטח מכסות אותה .חשוב לבחור ביחידת שטח ,כך
שלא יהיה "חלל" בצורות המכוסות על-ידיה .שוחחו עם התלמידים על תכונות השטח וכללי
המדידה ביחידות מידה שבשיעור .מומלץ להדגים את הכללים בדוגמאות נגדיות כדי
שהתלמידים יבינו את המושג "מדידת שטח ביחידות מידה" .לדוגמה ,מציירים על הלוח
משולש ומכסים אותו בעזרת שישה עיגולים חופפים המשמשים יחידות שטח .האם ייתכן
ששטח הצורה שווה ל 6 -עיגולים? )לא ,כי יש חלל בין העיגולים ,עיגול לא יכול לשמש יחידת
שטח במקרה זה(.
שימו לב כי בשלב זה יחידות השטח הן יחידות שרירותיות) .כל אחד יכול לבחור ביחידה
שבעיניו מתאימה(.
משימה מס' :12משימת יישום .חשוב לדון עם התלמידים בדרכי מניית המשבצות.
א( 11משבצות .קל לחשב את השטח כי הצורה מכוסה על-ידי משבצות שלמות .ב( 12משבצות
שלמות ושני חצאי משבצת ,בסך הכול 13משבצות; ג( תחילה מונים משבצות שלמות ) ,(9לאחר
מכן מונים חצאי משבצות )ארבעה חצאים ,כלומר 2משבצות( ,ולבסוף מחשבים את השטח
הנותר .אם התלמידים מתקשים בחישוב שטח זה ,הדריכו אותם להתבונן במלבנים
שהמשולשים שנותרו בהם הם חצאים של המלבנים האלו .שטח המשולש שמשמאל הוא
מחצית של שתי משבצות ,כלומר משבצת אחת .שטח המשולש שלמטה הוא מחצית של שלוש
1
1
משבצות ,כלומר 1משבצות .התשובה :שטח הצורה 13משבצות .ד( את הצורה הזו אי-
2
2
214
אפשר לכסות על-ידי משבצות שלמות .אפשר לחלק את הצורה למשולשים ישרי-זווית ,כאשר
1
כל משולש כזה הוא חצי ממלבן המורכב ממשבצות שלמות .התשובה 6 :משבצות.
2
משימה מס' :13משימה פתוחה .ייתכנו צורות שונות ,אך כדאי לעודד את התלמידים לצייר
גם צורות שאינן מכוסות על-ידי משבצות שלמות.
משימה מס' :14במשימה רואים את המוגבלות של יחידות שטח שרירותיות ,ועולה הצורך
ביחידות שטח מוסכמות .אי-אפשר להשוות בין השטחים ,כי לא ידוע אם בשני המקרים מדובר
באותה יחידת שטח או ביחידות שטח שונות.
משימה מס' :15במשימת יישום זו יש לחשב את היקף שולחן העבודה של התלמיד וכן את
שטח השולחן בעזרת דף A4המשמש במקרה זה כיחידת שטח.
משימה מס' :16מומלץ להעתיק את הריבוע על גבי דף שקוף ,לגזור אותו ולהניח אותו בכל
פעם על הצורה הנתונה בכל אחד מהסעיפים .בחישוב יחידות השטח של הטבעת אפשר להנחות
את התלמידים למצוא את שטח העיגול ולחסר את "החור" של הטבעת.
משימה מס' :17כאן נדרשת מיומנות של סרטוט מצולעים לפי שטח נתון .יחידת השטח היא
משבצת של מחברת.
קטע שיעור ,עמוד :486מדידת שטחים ביחידות שטח מוסכמות
בוּע.
בוּע ומטר ָר ַ
חזרה על מדידת שטחים ביחידות שטח מוסכמות :סנטימטר ָר ַ
יחידות אלו -כמו רוב היחידות המוסכמות האחרות -מוגדרות כשטח ריבוע שאורך צלעו הוא
יחידת אורך מתאימה )סנטימטר לסמ"ר ,מטר למ"ר( .יש לעודד את התלמידים לבטא את
ההגדרות של סמ"ר ושל מ"ר במילים ,כדי להקל עליהם בהתמודדות עם יחידות מוסכמות
נוספות שילמדו בהמשך.
משימה מס' :18במשימה זו תתחזק אצל התלמידים ההבחנה בין יחידות המידה השונות.
יחידות האורך הן מ"מ ,ס"מ ,מ' ,ק"מ.
יחידות השטח הן סמ"ר ,מ"ר.
היחידות הלא-מוקפות בצבע הן יחידות משקל ויחידות נפח.
התלמידים לומדים כי היקף צורה נמדד ביחידות אורך ,ואילו שטח של צורה נמדד ביחידות
שטח.
משימה מס' :19משימת יישום .א( 24סמ"ר .ב( 25מ"ר .חשוב להקפיד על ציון יחידת שטח.
משימה מס' :20משימת יישום .המשימה דומה למשימה ,6אך הפעם הצורות הן לאו דווקא
מצולעים ,ולכן יש חשיבות לאומדן.
משימה מס' :21מומלץ לדון בכיתה בדוגמאות לשטחים הנמדדים במטרים ְרבועים ,כמו שטח
של חדר או שטח של בית מגורים .דוגמאות לשטחים הנמדדים בסנטימטרים ְרבועים הם
שטחים של תמונות ,של מפות ,של תצלומים ועוד.
משימה מס' :22שטח צורה א' שווה ל 12 -סמ"ר.
משימה מס' :23זה המקום להזכיר לתלמידים כיצד מחשבים שטח פנים של תיבה .שטח
הפנים של תיבה הוא סכום שטחי פאות התיבה .נדגיש כי לתיבה שלושה זוגות של פאות
מקבילות וחופפות.
לכן שטח פנים התיבה הוא 94סמ"ר2 × 12 + 2 × 20 + 2 × 15 = 24 + 40 + 30 = 94 .
215
משימה מס' :24מומלץ לבצע את המשימה בכיתה .יש להכין מראש בריסטול ששטחו 1מ"ר.
אפשר לדון עם התלמידים בדרכים השונות למדידת שטחים של מקומות גדולים.
משימה מס' :25במשימה זו נדרש חישוב פשוט. 40 − 20 − 7 = 13 .
שטח חדר השינה הוא 13מ"ר.
יחידת הלימוד -הקניה
קטע שיעור ,עמוד :488נוסחאות שטח של מלבן ושל ריבוע
התלמידים יודעים לחשב שטח של מלבן ושל ריבוע משנים קודמות .החידוש בשיעור זה הוא
כתיבת נוסחאות לחישוב שטח על-ידי אותיות לועזיות .השימוש בנוסחאות עלול להוות קושי
לתלמידים ,כי עליהם להבין את המושג "הצבה" ,כלומר להבין כי האות היא סמל ,ובמקומה
אפשר להציב מספר .בכל חישוב שטח יש להציב מספר לפי נתוני המשימה .כדי להתגבר על
הקושי יש להסביר את הנוסחאות באופן מילולי .אם יש תלמידים שמתקשים בכתיבת
נוסחאות ובהבנתן ,כדאי לאפשר להם להשתמש בהסברים המילוליים בלבד .המטרה העיקרית
היא לדעת לחשב את השטחים ,ולא לכתוב נוסחאות .יש להסב את תשומת לבם של התלמידים
לכיוון הנכון של קריאת הנוסחאות והשוויונות :משמאל לימין.
משימה מס' :1משימת יישום פשוטה .חישוב שטחי המלבנים ייעשה בשלב הראשון על-ידי
מניית המשבצות ואח"כ על-ידי חישוב.
משימה מס' :2משימת יישום .חשוב מאוד לצייר מלבנים לפי הנתונים .כתיבת הנוסחה
חשובה פחות .שימו לב שכאשר מבצעים את החישוב בעזרת תרגיל ,אין כותבים את יחידות
המידה ,אלא עוסקים במספרים בלבד .חשוב לבדוק אם האורכים נתונים באותה יחידת אורך.
יש לציין בתשובה את יחידות השטח.
משימה מס' :3משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה ,כי היא כוללת מספר
שלבים עד לפתרון :תחילה יש לחשב את שטח הפאות ואחר-כך למצוא את שטח הפנים של
התיבה.
שטחי הפאות של התיבה הנתונה הם 20סמ"ר 15 ,סמ"ר ו 12 -סמ"ר.
שטח הפנים של התיבה יחושב כך2 × 20 + 2 × 15 + 2 × 12 = 40 + 30 + 24 = 94 :
משימה מס' :4גם משימה זו מורכבת ולכן עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה .שטח
הפנים של קובייה שאורך צלעה שווה ל 8 -מ' ,הוא 384מ"ר.
כדאי להזכיר לתלמידים כי בקובייה יש שש פאות ריבועיות שוות שטח.
משימה מס' :5משימת יישום של שימוש בנוסחה לחישוב שטח המלבן.
משימה מס' :6כאן נדרשת מהתלמידים חשיבה הפוכה .נתון שטח המלבן ,ועליהם למצוא את
אורכי צלעות המלבן .קיימות מספר אפשרויות למלבנים ששטחם 24סמ"ר .להלן האפשרויות
לאורכי צלעות המלבן :א( 6ס"מ ו 4 -ס"מ ,ב( 8ס"מ ו 3 -ס"מ ,ג( 12ס"מ ו 2 -ס"מ ,ד( 24
ס"מ ו 1 -ס"מ.
משימה מס' :7אפשר לבצע את החישובים בעל-פה ולוודא שהאורכים נתונים באותה יחידת
אורך .אין לכתוב יחידות מידה בעמודת ביצוע תרגיל כפל .יש לכתוב את יחידת השטח בעמודת
שטח המלבן.
משימה מס' :8הטבלה תושלם בתוך כדי חישוב של שטח המלבנים לפי הנתונים.
216
קטע שיעור ,עמוד :490יחידות שטח מוסכמות )המשך(
בשיעור לומדים על יחידות שטח מוסכמות נוסף למטר ָרבוע ועל סנטימטר ָרבוע .כמו קודם לכן
גם כעת יש לעודד את התלמידים לבטא את ההגדרה של כל יחידה במילים ,כדי להקל עליהם
את ההתמודדות עם מושגים רבים שנלמדים בשיעור .כמו-כן חשוב שהתלמידים יבינו כי חייבת
להיות התאמה בין יחידות האורך של שתי הצלעות ,בינן לבין עצמן ובינן לבין יחידת השטח.
לדוגמה ,אם אורכי הצלעות הם בס"מ ,השטח יהיה בסמ"ר .אין לחשב שטח מלבן ללא המרה
מתאימה ,אם אורך צלע אחת נתון במטרים ואורך הצלע האחרת נתון בסנטימטרים.
משימה מס' :9אפשר להיעזר בהגדרות שבשיעור כדי להשלים את המשפטים.
משימה מס' :10נדרש חישוב לפי הגדרה של 1מ' 1 .מ"ר הוא שטח ריבוע שאורך צלעו 1מ'.
מחשבים שטח ריבוע על-ידי הכפלת אורך צלע בעצמו .ידוע כי אורך הצלע 100ס"מ ) 1מ'( ,ולכן
יש לכפול 100כפול 100ומקבלים 10,000סמ"ר .כלומר ב 1 -מ"ר יש 10,000סמ"ר10,000 .
סמ"ר = 1מ"ר .הערה :אפשר לכתוב את נוסחת שטח הריבוע באותיות ,אך הדבר אינו חשוב
במשימה זו.
משימה מס' :11מומלץ לדון עם התלמידים ביחידת השטח המתאימה לכל אחד מהגדלים
הנמדדים .דוגמאות :בול יכול להימדד גם בסמ"ר וגם בממ"ר .וילון יכול להימדד גם במ"ר וגם
בסמ"ר .היחידה דצמ"ר היא יחידת שטח שיכולה להתאים לשטיח בחדר מגורים ,אבל לא
נוהגים להשתמש ביחידה זו בחיי היום-יום.
משימה מס' :12א( 100ממ"ר; ב( יש להמיר את אחת מיחידות האורך ,כך שהיחידות יהיו
זהות .לדוגמה 5 ,דצ"מ הם 50ס"מ ,לכן שטח המלבן שווה ל 250 -סמ"ר.
משימה מס' :13תרגול של כתיבה מקוצרת של יחידות השטח :קמ"ר ,מ"ר ,דצמ"ר ,סמ"ר
וממ"ר.
משימה מס' :14משימה זו מורכבת ממספר שלבים :סרטוט ריבוע שאורך צלעו 1דצ"מ.
חישוב שטח הריבוע ,המרה של יחידת האורך הנתונה לסנטימטרים וחישוב של שטח הריבוע
ביחידת השטח סמ"ר.
משימה מס' :15רוחב השולחן הוא 5דצ"מ.
משימה מס' :16שטח השדה הוא 10,000מ"ר ,שהם 10דונם .זה המקום להזכיר לתלמידים
שדונם שווה ל 1,000 -מ"ר.
משימה מס' :17קיימות אפשרויות שונות לאורכי צלעות מלבן ששטחו 1,000קמ"ר.
או 250ק"מ ו 4 -ק"מ.
דוגמאות 20 :ק"מ ו 50 -ק"מ.
משימה מס' :18ב 1 -קמ"ר יש 1,000,000מ"ר.
הסבר 1 :קמ"ר = 1ק"מ × 1ק"מ 1 .ק"מ = 1,000מ'. 1,000 × 1,000 = 1,000,000 .
משימה מס' :19משימה זו מהווה הכנה להבנת הדרך לחישוב שטח המקבילית.
קטע שיעור ,עמוד :492שטח המקבילית
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ז' לפני ההקניה .לפני שמלמדים את נוסחת שטח המקבילית,
מראים בשיעור דרך לחישוב שטח המקבילית .חשוב שהתלמידים יפנימו את המושג "מלבן-
עזר" וידעו כיצד מתקבל "מלבן-עזר" ממקבילית כלשהי .אם התלמידים השלימו את משימה
,7יהיה להם קל יותר להבין את השיעור.
שימו לב" ,מלבן-עזר" אינו מושג מתמטי ,והשימוש בו הוא למטרות לימודיות בלבד.
217
משימה מס' :20משימת יישום של השיעור והכנה להבנת הנוסחה של שטח המקבילית.
התלמידים מודדים גובה וצלע של מקבילית ומשווים ביניהם לבין אורכי צלעות המלבן .ייתכן
שהתלמידים יקבלו תוצאות שונות )אך קרובות( עקב שימוש בכלי מדידה שונים .יש לשוחח על
כך עם התלמידים.
משימה מס' :21שטח המלבן שבסרטוט הוא 35משבצות .שטח המקבילית שבסרטוט הוא 25
משבצות .את שטח המקבילית אפשר למצוא בעזרת "מלבן העזר".
משימה מס' :22התלמידים נדרשים למצוא מקביליות שוות שטח .להלן זוגות המקביליות
שהן שוות-שטח :מקביליות ג +י ) 6משבצות( .מקבילית ב +א ) 12משבצות(
מקבילית ז +ט ) 30משבצות( מקבילית ד+ו ) 40משבצות( .מקבילית ח+ה ) 8משבצות(.
משימה מס' :23במשימה זו נדרשת מיומנות של סרטוט מקביליות ,כאשר הקטע המסורטט
הוא הגובה של המקבילית .יש להסביר לתלמידים שהקטע המסורטט אינו אחת מצלעות
הכר ַח ששטחי המקביליות יהיו שווים.
המקבילית .אין ֵ
משימה מס' :24משימה זו שונה מקודמתה בכך שבמשימה זו נתונים הגובה של המקבילית
ואחת מצלעותיה .המקביליות שיסרטטו התלמידים יהיו שוות-שטח.
משימה מס' :25שטח המלבן הנתון הוא 12משבצות .הנחו את התלמידים לסרטט מקביליות
שונות ששטח כל אחת מהן הוא 12משבצות.
קטע שיעור ,עמוד :494חישוב שטח המקבילית
כעת מחשבים את שטח מקבילית לפי נוסחה .כדי להגיע לנוסחה נעזרים במלבן .אם התלמידים
טרם ביצעו את פעילות הגילוי ז' ,חשוב לבצע אותה לפני ההקניה .יש לדרוש מהתלמידים לומר
את הדרך לחישוב שטח המקבילית לפי הנוסחה במילים )"אורך הצלע כפול אורך הגובה לצלע
זו" או "צלע כפול גובה לצלע זו"( .יש להסביר לתלמידים שבגאומטריה האות hהיא האות
המקובלת לסימון גובה )במקבילית ,במשולש ,בטרפז( .חשוב להרבות בתרגול כדי שהתלמידים
יוכלו להשתמש בנוסחה בצורה אוטומטית.
משימה מס' :26משימת יישום .יש להדריך את התלמידים לבדוק כמה דברים כאשר מחפשים
שטח של מקבילית .קודם כול ,יש לבדוק אם הנתונים הם אורך צלע ואורך הגובה לצלע זו .אם
נתון גובה לצלע אחרת ,ואין נתונים נוספים ,אי-אפשר לחשב את שטח המקבילית .שנית ,יש
לוודא ששני האורכים נתונים באותה יחידת אורך .אם לא ,יש לבצע המרה מתאימה .ולבסוף,
אם נתונים יותר משני אורכים )כמו בסעיף ד'( ,יש לבחור את שני האורכים המתאימים לחישוב
שטח המקבילית .בסעיף ד' נתונים אורך הצלע ) 6ס"מ( ואורך הגובה ) 4ס"מ( .חשוב גם להזכיר
לתלמידים את תכונות הצלעות של המקבילית :הצלעות הנגדיות של המקבילית שוות באורכן.
משימה מס' :27משימת יישום חישובית .התלמידים נדרשים לחשב את שטח המקבילית
בהתאם לנתונים .חשוב לשוחח עם התלמידים על בחירת יחידת השטח המתאימה לנתונים.
ד( 13.5ממ"ר
א( 60מ"ר ב( 21דצמ"ר ג( 60מ"ר
משימה מס' :28בסרטוט המקבילית ,התלמידים צריכים להבין כי אם נתון שאורך אחת
מצלעות המקבילית הוא 4ס"מ ,הגובה של המקבילית צריך להיות 6ס"מ ,ולא אורך צלע
המקבילית.
משימה מס' :29חשוב לבנות מקבילית לפי שטחה .יש דרכים שונות לביצוע המשימה ,וגם
קיימות אין-סוף אפשרויות למקביליות שונות שוות-שטח .אפשר לסרטט תחילה מלבן ששטחו
שווה לשטח המקבילית ,וממנו להגיע למקבילית .אפשר לסרטט גובה וצלע שהגובה יורד אליה,
218
המתאימים לשטח הנתון .כמובן ,אם האורכים הם מספרים שלמים ,יש ארבע אפשרויות
לגובה ולצלע 1 :ס"מ ו 10 -ס"מ; 10ס"מ ו 1 -ס"מ; 5ס"מ ו 2 -ס"מ; 2ס"מ ו 5 -ס"מ .בסעיף
ב' נוסף על השטח יש אילוץ של אורך הצלע.
משימה מס' :30במשימה זו מתחזקת את ההבנה כי אפשר לחשב את שטח המקבילית בשני
אופנים .במקרה זה שטח המקבילית הוא 18סמ"ר( 9 × 2 = 6 × 3 = 18 ) .
משימה מס' :31אם שטח המקבילית הוא 15סמ"ר ואורך אחת מצלעותיה הוא 5ס"מ ,אורך
הגובה לצלע זו הוא 3ס"מ.
משימה מס' :32אם אורך אחד הגבהים של המקבילית הוא 4דצ"מ ושטח המקבילית הוא 28
דצמ"ר ,אורך צלע המקבילית הוא 7ס"מ.
משימה מס' :33לפי הנתונים שבסרטוט ,אורך הגובה במקבילית הוא 3ס"מ.
משימה מס' :34כדי למצוא את אורך הגדר התלמידים צריכים לחשוב על מספר כפול עצמו,
שהמכפלה היא .49במילים אחרות ,נחפש את השורש הריבועי של 49ונקבל .7
משימה מס' :35שתי הדרכים הנכונות הן א' ו -ד' .דונו עם התלמידים בכל ההצעות שבתרגיל.
תלמידים נוטים לכפול מספרים ללא ביקורת ,וכאן מובאות כל האפשרויות .בזכות התלבטויות
בעניין יבינו התלמידים טוב יותר את הנושא .הסבירו לתלמידים שאת הסימון h ′קוראים
" ֵאיץ' ָתג" .זהו אחד הסימונים המקובלים לגובה השני של המקבילית.
קטע שיעור ,עמוד :496שטח משולש ישר-זווית
לפני השיעור מומלץ לבצע את פעילות הגילוי י"א .בשיעור זה לומדים לחשב שטח של משולש
ישר-זווית ,כאשר מידות הניצבים ידועות .חישוב השטח אינו קשה ,והוא מתאים לרמת
התלמידים של כיתה ה' .באופן כללי ,כדי למצוא נוסחאות לחישובי שטחים של משולשים
שונים מתבססים על השלמת המשולש לצורה ששטחה ידוע .כדי לחשב שטח של משולש ישר-
זווית ,משתמשים בשטח של מלבן .חשוב שהתלמידים ידעו לומר את הנוסחה במילים ,ולא רק
לכתוב אותה .גם כאן תלמידים עלולים להתקשות בשימוש באותיות שבנוסחה ,אך הם יכולים
לפתור משימות על-ידי חישוב של מספרים בלי להיעזר בנוסחה הכללית.
משימה מס' :36משימת יישום .על התלמידים לבנות את המלבן כפי שהוא בנוי בשיעור .שימו
לב כי בכל סעיף יש רק מלבן-עזר יחיד ,כי שתי צלעותיו הן הניצבים של המשולש .יש להדריך
את התלמידים להשתמש במשולש סרטוט כדי לבנות את הזווית הישרה של המלבן .אפשר גם
להיעזר ברשת משבצות.
משימה מס' :37משימת יישום .התלמידים יבחרו את הדרך לחישוב השטח )בעזרת מלבן או
בעזרת הנוסחה( ,אך בכל מקרה עליהם לסרטט מלבן-עזר .חשוב לשים לב ליחידות השטח
בתשובות של התלמידים) .שטח המשולש מימין 324ממ"ר; שטח המשולש משמאל 3סמ"ר(.
משימה מס' :38משימת יישום .התלמידים יכולים להשתמש בנוסחה באופן ישיר או לבנות
תחילה את המלבן ואחר-כך לחשב את שטח המשולש כמו בשיעור .את שתי הדרכים יש לקבל
כנכונות.
משימה מס' :39במשימה זו ידועים שטח המשולש ישר-הזווית ואורך ניצב אחד שלו .על
התלמידים לחשב את אורך הניצב השני .אם כופלים את השטח ב ,2 -מקבלים את שטח מלבן-
העזר שמידותיו הן האורכים של ניצבי המשולש ישר-הזווית ,לכן כופלים את השטח ב2 -
ומחלקים את התוצאה באורך הניצב הנתון .דונו עם התלמידים בשאלה מדוע צריך לכפול את
219
השטח הנתון ב .2 -כדי למנוע את הקשיים העשויים להתעורר בפתרון השאלה מומלץ לבצע את
פעילות ההטמעה א'.
משימה מס' :40שטח כל אחד מהמשולשים הוא חצי משטח הריבוע ,מפני שאלכסון הריבוע
מחלק אותו לשני משולשים ישרי-זווית חופפים .לכן שטחם שווה ל 18 -סמ"ר.
משימה מס' :41לכל שלוש הצורות שהתקבלו כתוצאה מחלוקת המלבן לשני חלקים חופפים,
יש אותו שטח .יש לדון בכך עם התלמידים .אפשר להרחיב את השאלה ולבקש מהתלמידים
למצוא חלוקות נוספות של המלבן לשני חלקים חופפים ולהגיע למסקנה ששטח המשולש ישר-
הזווית שווה לשטח כל אחת מהצורות האלה .דוגמה לחלוקה נוספת:
)ראו גם איור 1לעיל והסברים בפעילות הגילוי ג'(.
משימה מס' :42משימה זו משמשת כהכנה לחישוב שטח של משולש כלשהו .גם בשיעור הבא
תהיה הדרך לחישוב השטח כמו בשלבים שבסעיפים א' -ד'.
א( שטח המשולש ABCשווה לסכום של שטחי המשולשים ישרי-הזווית .אפשר לכתוב את
3× 4
4×5
( .שטח המשולש ABCהוא 16סמ"ר.
()+
התרגיל) = 16 :
2
2
התלמידים יכולים ,כמובן ,לכתוב את אופן החישוב בצורה שונה מהכתוב כאן .אין לדרוש מהם
לכתוב תרגיל זה.
ב( שטח המלבן הגדול שווה לסכום של שטחי המלבנים הקטנים ,כלומר 12סמ"ר ועוד 20
סמ"ר שווה ל 32 -סמ"ר.
ג( כאן נוצר המשולש ABCשהוא חלק מהמלבן הגדול .את שטח המשולש 16) ABCסמ"ר(
אפשר לחשב כסכום השטחים של שני המשולשים ישרי-הזווית או כחצי משטח המלבן.
ד( שטח המשולש ABCקטן פי שניים משטח המלבן הגדול.
קטע שיעור ,עמוד :498שטח המשולש
לפני השיעור מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי י"ב ו -י"ג .בשיעור זה לומדים לחשב שטח של
משולש כלשהו .בחישוב זה מסתמכים על השטחים הידועים של מלבן ושל משולש ישר-זווית.
כדי לא לסרבל את ה"הוכחה" הוחלט לוותר על שימוש פורמלי בסימון )האותיות(.
השימוש בצבעים בסרטוטים מאפשר לתלמידים להתבסס על ראייתם המרחבית.
כמו תמיד ,חשוב שהתלמידים יאמרו במילים את הפעולות שהם מבצעים ,ולא רק יכתבו
מספרים ונוסחאות .חשוב לתרגל שימוש בנוסחה באופן ישיר במשולשים שונים ,כדי
שהתלמידים יפנימו את הנושא.
משימה מס' :43משימת יישום .בכל אחד מהמשולשים נתונים צלע וגובה לצלע זו .הקטע
והמספר שהוא המידה הנתונה ,צבועים באותו הצבע .המקרים המורכבים יותר הם במשולש
ישר-זווית ובמשולש קהה-זווית.
משימה מס' :44משימת יישום .על התלמידים להשלים כל משולש למלבן כמו בשיעור .ישנן
דרכים שונות להשלמה ,וחשוב לדון עם התלמידים בכך שכל מלבני-העזר לאותו משולש הם
שווי-שטח ,כיוון שהשטח של כל מלבן כזה שווה לפעמיים שטח המשולש .דוגמה להשלמת
משולש בסעיף ג' ,שאינו אב-טיפוס במישור:
משימה מס' :45משימת יישום .הגובה לצלע ABהוא ,למעשה ,אחת מצלעות המלבן.
משימה מס' :46על התלמידים לבנות גובה ,לבצע מדידות נחוצות ולחשב את שטח המשולש.
220
משימה מס' :47במשימה זו יש אין-סוף אפשרויות לפתרון .כל המלבנים הנתונים הם חופפים,
ושטחי כל המשולשים שהתלמידים יבנו יהיו שווים לחצי משטח המלבן ,לכן גם הם יהיו
שווים .חשוב לדון עם התלמידים באפשרות לבניית משולשים נוספים כאלה .כדי לסרטט את
המשולש לפי האילוצים שבמשימה בוחרים צלע אחת של המלבן ,והיא תהיה צלע של המשולש;
הקדקוד שמול צלע זו יהיה על צלע המלבן הנגדית .דוגמאות:
משימה מס' :48שטחי המלבנים שווים ,מפני ששטחו של כל מלבן שווה לפעמיים שטח
המשולש; ושטחי המשולשים שווים ,כי המשולשים חופפים.
משימה מס' :49על התלמידים לסרטט גובה לצלע מסוימת .התלמידים למדו לסרטט גבהים
בפרק י"ג "גבהים".
משימה מס' :50על התלמידים להתאים נוסחה כללית של שטח משולש למקרה פרטי של
משולש ישר זוית .במשולש ישר-זווית כל ניצב הוא גובה לניצב השני ,לכן שני הניסוחים
לחישוב שטחו של המשולש הם נכונים .כלומר גם את המשולש ישר-הזווית אפשר לראות
כמתאים למקרה הכללי.
משימה מס' :51משימה חישובית .על התלמידים למנות את מספר המשבצות .שטחי
המשולשים המסורטטים הם כדלקמן :א( 28יחידות שטח .ב( 24יחידות שטח.
ו( 30יחידות שטח.
ה( 30יחידות שטח.
ג( 32יחידות שטח ד( 12יחידות שטח
משימה מס' :52במשימה זו התלמידים מוודאים שאם הם בנו מלבן בעל שטח מסוים ,הם
יכולים לבנות משולש ששטחו שווה לחצי משטח המלבן או קטן משטח זה או גדול משטח זה.
A
D
B
C
:Bמשולש ששטחו 9משבצות
:Dמשולש ששטחו יותר מ 9-משבצות
: Aמלבן ששטחו 18משבצות
:Cמשולש ששטחו פחות מ 9-משבצות
קטע שיעור ,עמוד :501חישוב שטח משולש
בשיעור זה התלמידים לומדים לחשב שטח של משולש בשלוש דרכים .בכל משולש שלוש
צלעות ,ולכל צלע יש גובה מתאים .לפיכך יש שלוש דרכים לחישוב שטח של משולש.
התלמידים יכולים לראות זאת בעזרת בניית שלושה מלבנים שונים )על כל צלע בונים מלבן
אחר( ,העוזרים לחשב את שטח המשולש .אין מסבירים כאן מדוע כל דרך מתאימה לחישוב
השטח ,מפני שקשה לבנות מלבן מתאים למשולש קהה-זווית על צלע הסמוכה לזווית הקהה.
עם זאת כדאי לשוחח על כך עם התלמידים המתקדמים ולבקש מהם לבנות שלושה מלבנים על
צלעות של משולש קהה-זווית כמו המשולש ABCשבסרטוט וגם להסביר מדוע שטח המשולש
C
K
D
221
F
B
A
הוא חצי משטח המלבן .ADKBבמקרה זה מחסרים בין שטחים ,ולא מחברים אותם כמו
קודם לכן.
להלן הסבר אפשרי :מעבירים גובה CFלצלע ABשל המשולש .ABC
מציבים את הנקודה ,Kכך שאורך הקטע BKשווה לגובה ,CFוהוא מאונך לקטע .AB
לכן KCFBהוא מלבן .
• שטח המשולש ABCשווה לשטח המשולש ACFפחות שטח המשולש ;BCF
• שטח המשולש ACFשווה לחצי משטח המלבן ;ADCF
• שטח המשולש CBFשווה לחצי משטח המלבן ;KCFB
• שטח המלבן ADKBשווה לשטח המלבן ADCFפחות שטח המלבן ;KCFB
לכן שטח המשולש ACBשווה לחצי שטח המלבן .ADKB
משימה מס' :53משימת יישום.
משימה מס' :54על התלמידים לזהות את הגובה של כל צלע .יש להדריך אותם לבחור בגובה
ובצלע מתאימים לחישוב שטח המשולש .כמובן ,כאן התשובה הראשונה היא הנכונה.
משימה מס' :55משימה מורכבת .על התלמידים לחשב את שטח המשולש הצהוב ואת אורך
הצלע האדומה.
גובה × צלע
.
נמצא את שטח המשולש לפי הנוסחה .שטח =
2
2 × 20
בסעיף א' שטח המשולש הצהוב הוא 20סמ"ר = 20
2
נמצא כעת את אורך הצלע האדומה בעזרת הנוסחה לחישוב שטח המשולש.
? × 10
= 20
2
שווה ל "?40 -התשובה ברורה.4 :
לפיכך אורך הצלע האדומה הוא 4ס"מ.
אפשר לשוחח עם התלמידים על דרך החישוב הזו :מכפלת אורך הגובה בצלע שהגובה יורד
אליה אינו משתנה בחישוב השטח בדרכים שונות ,לכן 20× 2 = 40כעת מחלקים 40ב.10 -
כלומר אין צורך בחישוב השטח בפועל.
בסעיף ב' החישובים דומים .התשובה היא 4ס"מ.
אפשר לדון עם התלמידים בכך שכאשר כופלים אורך של צלע באורך הגובה לצלע זו ,המכפלות
שוות ,כלומר h) a × h a = b × h b = c × h cהוא גובה לצלע מסוימת() .כמובן ,אין צורך לכתוב
הפתרון יהיה קל יותר .בסעיף א'(2 . 20× 2 = 40 ( 1 :
ְ
לתלמידים את השוויונות האלה (.כעת
. 40 :10 = 4בסעיף ב' , 6 × 8 = 12 × ? :כלומר ? × . ? = 4 , 48 = 12
.אם מחצית המכפלה שווה ל ,20 -המכפלה שווה ל .40 -כעת נשאל" :מה כפול 10
משימה מס' :56אפשר לבצע את החישוב בעזרת המשבצות.
משימות מס' :58-57השטחים שווים ,כיוון שלמשולשים אלה אותה הצלע ,ואורך הגובה לצלע
זו זהה .לתלמידים יהיה קל יותר לבצע את המשימות ,אם הם ביצעו את פעילות הגילוי ו'.
משימה מס' :59כדי ששטח המשולש יהיה גדול פי שניים משטח המשולש הנתון ,מספיק
להגדיל את אחת מצלעותיו פי שניים בלי לשנות את אורך הגובה לצלע זו .דרך אחרת היא
222
להגדיל את אחד הגבהים של המשולש הנתון פי שניים בלי לשנות את אורך הצלע שהגובה יורד
אליה.
במשימה אפשר...
א( להגדיל את הצלע האופקית פי שניים ,היא תהיה באורך 10משבצות ,והגובה אליה יוסיף
להיות באורך שתי משבצות;
ב( להגדיל את הגובה לצלע האופקית פי שניים ,והוא יהיה באורך ארבע משבצות ,ואורך הצלע
סרטוט ב' F
האופקית יוסיף להיות חמש משבצות.
סרטוט א' B
C
A
E
G
כמובן ,יש דרכים נוספות לפתרון המשימה .בסרטוט א' למשולש ABCשטח כפול משטח
המשולש האפור .המשולש התקבל על-ידי הגדלת הצלע פי שניים .בסרטוט ב' המשולש EFG
התקבל על-ידי הגדלת הגובה פי ,2שטחו גדול פי 2משטח המשולש האפור.
משימה מס' :60השלמת הנוסחאות לחישוב שטח המשולש מהווה חזרה נוספת על השיעור
וחיזוק הנלמד .השימוש באותיות לועזיות יכול להקשות על חלק מתלמידי הכיתה .אין צורך
לדרוש מהם את הרישום הפורמלי.
משימה מס' :61למשולש השמאלי שטח גדול יותר כי אורך הצלע הוא 4משבצות לעומת
הגובה של המשולש הימני ,שאורכו 3משבצות בלבד.
משימה מס' :62ב( אלכסונים של מעוין מחלקים אותו לארבעה משולשים ישרי-זווית חופפים,
שאורכי ניצביהם 3ס''מ ו 4 -ס''מ .לכן שטח המעוין ) 24סמ''ר( גדול פי ארבעה משטח
המשולש .יש לדון עם התלמידים בתכונות המעוין ,הנחוצות לפתרון המשימה ,כגון:
האלכסונים חוצים זה את זה ,האלכסונים מאונכים זה לזה.
משימה מס' :63למשולש ולמקבילית גובה באורך 4ס"מ .שטח הטרפז ) 52סמ"ר( שווה
לסכום של שטח המשולש ) 16סמ"ר( וְ המקבילית ) 36סמ"ר(.
משימה מס' :64התלמידים נדרשים לסרטט משולש ששטחו קטן פי שניים משטח המשולש
המסורטט .התלמידים יכולים לסרטט משולש בעל אותו גובה נתון ) 7משבצות( ולקטין את
אורך הצלע ל 2 -משבצות בלבד.
מה למדנו? עמוד 504
בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק.
ממשיכים בתרגול ,עמודים 513 - 505
משימה מס' :1משימת תרגול של הבחנה בין היקף לבין שטח.
משימה מס' :2משימת תרגול של סרטוט צורה בעלת היקף נתון וחישוב שטח הצורה .אפשר
לדון עם התלמידים בכך שצורות בעלות אותו היקף יכולות להיות צורות בעלות שטחים שונים.
להלן דוגמה לשתי צורות שהיקפן 16יחידות אורך ,ושטחן שונה.
צורה א':
צורה ב':
שטח צורה א' הוא 7יחידות שטח ,ושטח צורה ב' הוא 9יחידות שטח.
223
משימה מס' :3יחידת השטח הנתונה היא המשולש ישר-הזוית הנתון.
שטח צורה א' הוא כ 30 -יחידות שטח .שטח צורה ב' הוא 36יחידות שטח.
שטח צורה ג' הוא כ 24 -יחידות שטח.
משימה מס' :4משימת תרגול של סרטוט צורות שונות בעלות אותו השטח.
דוגמה לשתי צורות שונות
ששטחן 24יחידות-שטח.
המשבצת היא יחידת השטח.
משימה מס' :5משימת תרגול לבית .התלמידים נדרשים לאמוד את שטח התקרה של החדר
שלהם ולחשב את השטח .כדאי לדון בכיתה בכל דרכי החישוב השונות.
משימה מס' :6אם מגדילים את אחת מצלעות המלבן פי שניים ,ואורך הצלע השנייה לא שונה,
שטח המלבן גדל פי שניים.
משימה מס' :7א( שטח המלבן המקורי הוא 8סמ"ר2 × 4 = 6 .
שטח המלבן החדש שסרטטה לאה הוא 14סמ"ר 2 × 7 = 14 .לפיכך שטח המלבן גדל ב6 -
סמ"ר.
ב( אורכי הצלעות של המלבן של רותי הם 12ס"מ ו 2 -ס"מ .אם כך ,שטח המלבן של רותי הוא
24סמ"ר2 × 12 = 24 .
ג( שטח המלבן של רותי גדול ב 16 -סמ"ר משטח המלבן המקורי וגדול פי שלושה משטח המלבן
המקורי.
משימה מס' :8התלמידים נדרשים לחשב את שטח הסמלים המוצעים.
3 × 6 18
=
השטח של המשולש ישר הזווית הוא 9סמ"ר= 9 .
2
2
השטח של הסמל המוצע בהצעה א' הוא 54סמ"ר .הסמל מכיל שישה משולשים ישרי זווית.
השטח של הסמל בהצעה ב' הוא 36סמ"ר .הסמל מכיל ארבעה משולשים.
משימה מס' :9כל המידות נתונות בסנטימטרים ,לכן השטח יתקבל בסנטימטרים רבועים.
אפשר להמיר את המידות למטרים רבועים ,אך התשובה תהיה מספר שאינו שלם .שטח הקיר
פחות שטח הארון הוא 22,000סמ"ר .שטח הקיר פחות השטח המיועד לציור על קיר בצורת
מקבילית הוא 62,000סמ"ר .שטח הקיר פחות שטח הדלת הוא 73,500סמ"ר .שטח הקיר
פחות שטח החלון המלבני הוא 77,000סמ"ר .שטח הקירות לצביעה הוא 234,500סמ"ר ,שהם
בערך 23מ"ר .מומלץ לאפשר לתלמידים להשתמש במחשבון.
משימה מס' :10משימת תרגול של חישוב שטח פנים של קובייה .בקובייה שש פאות ,ולכן
שטח הפנים של הקובייה הוא 384מ"ר6 × 64 = 384 .
משימה מס' :11על התלמידים לחשב את אורכי הגבהים של המקבילית כאשר נתונים שטח
המקבילית ואורכי צלעותיה.
ניעזר בנוסחה למציאת שטח המקבילית .שטח המקבילית שווה למכפלת הצלע בגובה היורד
אליה.
א( אורך הגובה היורד אל הצלע שאורכה 5ס"מ הוא 8ס"מ5 × ? = 40 .
אורך הגובה היורד אל הצלע שאורכה 10ס"מ הוא 4ס"מ10 × ? = 40 .
ב( המרחק בין הצלעות הוא הגובה היורד אל הצלע שאורכה 6ס"מ .כלומר המרחק הוא 4
ס"מ6 × ? = 24 .
224
משימה מס' :12א( אורכו של כל מלבן הוא 6ס"מ.
ב( רוחב המלבן הוא 3ס"מ .זהו ,למעשה ,גם אורך הצלע של הריבוע הקטן .שטח הריבוע
OHCFהוא 9סמ"ר.
ג( השטח של כל מלבן הוא 18סמ"ר.
ד( הקטע ABמורכב מאורך צלע הריבוע הגדול ומרוחב המלבן .אורך הצלע ABהוא 9ס"מ.
ה( אורך הקטע BCמורכב מאורך המלבן ומאורך הצלע של הריבוע הקטן .אורך הצלע BC
הוא 9ס"מ.
ו( המרובע ABCDהוא ריבוע ,כי כל צלעותיו שוות באורכן.
ז( אפשר לחשב את השטח של הריבוע ABCDבמספר דרכים.
דרך :1שטח הריבוע שווה למכפלת אורכי צלעות הריבוע9 × 9 = 81 .
דרך :2שטח הריבוע שווה לסכום השטחים של שני הריבועים ושני המלבנים.
36 + 18 + 18 + 9 = 81
משימה מס' :13משימת תרגול של חישוב שטח המשולש על-ידי השלמתו למלבן.
דוגמאות:
12
שטח מלבן ב הוא 12יחידות שטח ( 2 × 6 ) .שטח משולש א הוא 6יחידות שטח= 6 .
2
20
שטח מלבן ד הוא 20יחידות שטח ( 4 × 5 ) .שטח משולש א הוא 10יחידות שטח= 10 .
2
משימה מס' :14שטח המשולש שווה למחצית שטח הריבוע .המשולש ששטחו הגדול ביותר
הוא זה שאורך כל אחד מניצביו הוא 6ס"מ.
משימה מס' :15אפשר להבין משימה זו בשני אופנים (1 :אילנית יכולה לצבוע גגות ששטחם
פחות מ 15 -מ' ,כלומר היא יכולה לבחור גג אחד מבין ארבעת הגגות ,שכן שטח כל אחד
מארבעת הגגות הוא פחות מ 15 -מ"ר;
(2אילנית תצבע גגות שסכום שטחיהם הוא 15מ"ר ,ואם כך ,גגות א' ו -ב' מתאימים לכך.
כל אחת מדרכי הפתרון אפשרית ,ובלבד שהתלמידים יסבירו את דרך חשיבתם .המטרה
במשימה זו היא לתרגל חישוב של שטח משולש .התרגול מתבצע בשני האופנים שהוצגו לעיל.
משימה מס' :16משימת תרגול של חישוב שטחי משולשים והשוואה ביניהם.
3 × 7 21
3 × 9 27
= s2
= s1
חישוב= = 10.5 :
א( חישוב= = 13.5 :
2
2
2
2
2 × 6 12
3 × 4 12
= s2
= s1
חישוב= = 6 :
ב( חישוב= = 6 :
2
2
2
2
3 × 12 36
4 × 8 32
= s2
חישוב= = 18 :
= s1
ג( חישוב= = 8 :
2
2
2
2
6 × 5 30
4 × 7 28
= s2
= s1
חישוב= = 15 :
ד( חישוב= = 14 :
2
2
2
2
s 2 < s1
s 2 = s1
s 2 > s1
s 2 > s1
משימה מס' :17התלמידים נדרשים לסרטט מלבן עזר ,כך שהצלע המודגשת תהיה אחת
מצלעות המלבן .הנחו את התלמידים להשתמש במשולש סרטוט.
משימה מס' :18הגג בעל השטח הקטן הוא זה שאורך בסיסו הוא הקטן ביותר ,כלומר גג ג'.
225
משימה מס' :19משימת תרגול נוספת של חישוב שטחי משולשים .יחידת השטח היא משבצת.
שטח משולש א' הוא 6יחידות שטח .שטח משולש ב' הוא 12יחידות שטח .שטח משולש ג' הוא
5יחידות שטח .שטח משולש ד' הוא 6יחידות שטח .שטח משולש ה' הוא 10יחידות שטח.
משימה מס' :20משימת תרגול של חישוב שטחי משולשים והשוואה ביניהם.
2 × 5 10
2 × 5 10
= s1
= s2
חישוב= = 5 :
א( חישוב= = 5 :
2
2
2
2
3 × 5 15
ב( חישוב= = 7.5 :
2
2
3 × 6 18
ג( חישוב= = 9 :
2
2
ד( חישוב:
= s2
= s2
3 × 6 18
=
=9
2
2
= s2
s1 = s 2
חישוב:
4 × 4 16
= =8
2
2
= s1
s1 > s 2
חישוב:
2 × 7 14
= =7
2
2
= s1
s1 < s 2
חישוב:
3 × 4 12
= =6
2
2
= s1
s1 < s 2
משימה מס' :21משימת תרגול :זיהוי משולשים שווי-שוקיים ומשולשים ישרי-זווית .וכן
חישוב שטחי המשולשים.יש להסב את תשומת לבם של התלמידים לנתונים המסומנים בציור.
משימה מס' :22על התלמידים לסרטט גגות ,כך ששטח הגגות יהיה בסדר עולה .גג מס' 4
יהיה הגבוה ביותר מבין הגגות.
משימה מס' :23משימת תרגול של חישוב שטחים של מלבן ,של משולש ,של ריבוע ושל
מקבילית.
משימה מס' :24עיסוק באמנות .מומלץ לדון עם התלמידים בשאלה :האם לכל המשולשים יש
אותו שטח? הכיצד?
משימה מס' :25על התלמידים להסביר מדוע לשני המשולשים יש אותו השטח .משולש 2הוא
משולש ישר-זווית ,ומשולש 1הוא משולש קהה-זווית .הניצב המאוזן של המשולש ישר-הזווית
הוא הגובה של משולש 2וגם את הגובה של משולש .1
משימה מס' :26משימת תרגול של חישוב שטחי משולשים.
משימה מס' :27משימת סרטוט של ריבוע וחישוב שטחים של משולשים.
שאלות מילוליות ,עמוד 514
משימה מס' :1כדי למצוא את שטח נייר הדבק הדרוש לערן ,צריך לחשב ,למעשה ,את שטח
הפנים של התיבה .שטחי פאות התיבה הם 32סמ"ר 40 ,סמ"ר ו 80 -סמ"ר.
שטח הפנים של התיבה הוא 304סמ"ר.
מאחר שערן אינו רוצה להדביק את המכסה ,נחסר מהתוצאה שקיבלנו את השטח 80סמ"ר,
ונקבל 224 :סמ"ר.
226
משימה מס' :2שטח השדה הוא 144מ"ר ) .( 18 × 8השטח ששתול בו דשא הוא 72מ"ר
) .( 144 :2השטח ששתולים בו פרחים הוא 48מ"ר.
המידות האפשריות של ארגז החול :אורכי הניצבים של המשולש הם 3מ' ו 8-מ' ,כי שטח
הארגז הוא 12מ"ר.
חלוקה אפשרית של השדה:
אתר
משחקים
פרחים
דשא
8מ'
חול
6מ'
3מ'
9מ'
אורך חוט הברזל הנדרש הוא 147מ' .אפשר לחשב את היקף המלבן ,לחסר 3ולכפול ב ,3 -כי
מקיפים שלוש פעמים .אפשר לכתוב את החישוב על-ידי תרגיל אחד כך:
. (18 × 2 + 8 × 2 − 3) × 3 = 49 × 3 = 147
משימה :3אורך הצלע של הריבוע הוא 8מ' .שטח הריבוע הפנימי הוא 32מ"ר.
משימה :4שטח נייר הכסף הוא ,למעשה ,המעטפת של המנסרה המשולשת .במילים אחרות,
יש לחשב את שטח הפנים של המנסרה המשולשת ,שהוא סכום השטחים של שלושה מלבנים
חופפים ושל שני משולשים חופפים )שהם בסיסי המנסרה(.
שטח כל מלבן הוא 60סמ"ר ) ; ( 12 × 5שטח שלושה מלבנים כאלה הוא 180סמ"ר;
6× 4
שטח כל משולש הוא 12סמ"ר )
(; שטח שני משולשים כאלה הוא 24סמ"ר.
2
שטח הפנים של המנסרה הוא 204סמ"ר ,וזה שטח נייר הכסף הנדרש.
היסטוריה ,עמוד 515
החלק ההיסטורי בפרק זה עוסק בסוקרטס ,אשר לימד כיצד לבנות ריבוע ששטחו גדול פי
שניים משטחו של ריבוע נתון.
הכפלת שטח ריבוע על-ידי בנייה בלבד ,ללא חישוב של אורך צלע הריבוע החדש .הבנייה נעשית
על-ידי גזירה והרכבה ובעזרת הסיפור ההיסטורי הידוע .נוסף על המושגים שהתלמידים הכירו
בפרק ,הם עוסקים כאן במושגים "גדול פי "...ו"-צלע – אלכסון" .כדי לצייר בשיטה זו ריבוע
ששטחו 18סמ''ר ,יש לבנות שני ריבועים ששטח כל אחד מהם הוא 9סמ''ר ,לחלק כל אחד
לשני משולשים בעזרת האלכסון ולפעול כמו בסיפור.
העשרה ,עמוד 516
כאן עוסקים בחישוב שטח טרפז ,ומודגמת דרך אחת )פחות שגרתית( לחישוב שטח הטרפז.
אפשר לחלק את הטרפז לשני משולשים ישרי-זווית ומלבן או למקבילית ומשולש ולמצוא את
שטח הטרפז גם בדרכים אלו .מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ז' לפני השיעור.
תלמידים מתקדמים יכולים לפעול על-פי ההוכחה המתוארת בחלק העליון של העמוד.
אנו שולטים בחומר ,עמוד 517
בעמוד זה חוזרים על מספרים עשרוניים ,על אומדן תוצאות של פעולות חיבור וחיסור ,על ציר
המספרים ,על השוואה בין שברים ועל היקף המלבן.
227
עמ' 545 - 518
טז .חקר נתונים
רקע
אפשר לייצג נתונים בצורות גרפיות שונות כמו מערכת צירים )גרף( ,דיאגרמות ,דיאגרמות
עמודות כפולות ,טבלאות .על פי רוב ,כלים אלה מאפשרים להציג מספר רב של נתונים ולעבד
אותם ,ולכן אפשר לחקור באמצעותם תופעות רבות .סטטיסטיקה היא המדע של חקירות אלה,
ועיבוד נתונים הוא נושא מרכזי בסטטיסטיקה .נושא המחקר הוא המשתנה שמכיל ערכים
שונים .דוגמה :בחקירת מזג האוויר נושא המחקר הוא כמות הגשמים בזמנים שונים .הערכים
של המשתנה יכולים להיות שנים ,חודשים או ימים .הנתונים הם כמויות הגשמים היורדים
בשנה ,בחודש וביום) .המושגים המופיעים כאן ,אינם מיועדים לתלמידים בכיתה ה'(.
הוראת עיבוד נתונים אינה תלויה כל-כך בגיל הלומד ,אלא דורשת הקניה של מיומנויות ,ולפי
הניסיון והמחקרים ,אי-אפשר לדלג על שלבּים בלימוד .בכיתה א' מלמדים את השימוש בטבלה
דו-ממדית וברשתות )המוביל לדיאגרמות ולגרפים( כבסיס לנושא עיבוד נתונים ,שהוא חלק
מהנושא הכללי "חקר נתונים" .הפרק מתחיל בהרחבת הידע הקודם )אוצר המילים המדעי
הנוגע למערכת צירים ,לשיעורים של נקודות ולצורת הכתיבה של זוגות סדורים(.
ההמשך מוקדש לבניית גרפים ודיאגרמות ולקריאת כל מרכיביהם :טווח הנתונים ,בחירת
היחידה ,ייצוג תופעות שהמספרים בהן גדולים במיוחד.
בתהליך של איסוף נתונים )הקודם לתהליך של הצגת הנתונים( דרוש ידע של מושגים וכן ,יש
לשלוט במיומנויות -כגון מיון ,תכונות ,קריאה וכתיבה של רשימות ושל טבלאות -שנלמדו
בכיתות א'-ד'.
להלן פירוט חלקי של התכנים ושל המיומנויות ,הקשורים לטבלאות ולמערכת צירים.
דרך
טבלאות
תכנים
תכונות
מיון
נתונים מספריים
קשר לבעיות מילוליות
מיקום
סדר מספרים
רשתות
מערכות
צירים
דיאגרמות הבנת הסכמה
חקר תופעות שסידור הנתונים שלהן אינו חשוב,
הסקת מסקנות
דיאגרמות קריאה בו-זמנית של שתי סדרות של נתונים
הקשורים במרכיב אחד )שטח ואוכלוסייה של
עמודות
ארצות ,סדרות נתונים בזמנים שונים(...
כפולות
העברת נתונים מטבלה למערכת-צירים ולהפך
גרפים
חקר תופעות שסידור הנתונים שלהן חשוב
הסקת מסקנות
מיומנויות
הבנת הנקרא
קריאה בהצלבה
קריאה מימין לשמאל ומשמאל
לימין
ארגון נתונים
מוטוריקה
איסוף נתונים
השוואה בין נתונים
הסקת מסקנות
הכנה למיקום
קריאה בהצלבה
כתיבה בהצלבה
הכנה לבניית דיאגרמות וגרפים
בנייה וקריאה של דיאגרמות
ייצוג של יותר מתופעה אחת על
אותוֹ אמצעי ייצוג
הכנה לבנייה ולקריאה של גרפים
מוטוריקה
הבנת הנקרא
נוסף על פירוט המאפיינים המתמטיים הנ"ל ,מקור הנתונים ואיסוף הנתונים משתנים
ו"מתרחקים" מהילד עם הגיל) .כלומר מקור הנתונים עובר מהסביבה הקרובה שלֹ הילד
לסביבה הרחוקה שלו (.למשל ,בכיתה ב' מקור הנתונים היה בילד עצמו )שמות ,צבע עיניים,
228
שיער ,משקפיים ,לבוש(; בכיתות ג'-ד' מקור הנתונים היה בעיסוקים שונים של הילד ,בכושר
שכלו )טעמים ותחביבים( ובסביבה הקרובה )משפחות ,בעלי חיים ,שכונה(; ובכיתות ה'-ו'
עוברים לנתונים תקשורתיים הקשורים לעיר ,לארץ או לעולם )מזג האוויר ,אוכלוסייה,
כלכלה(.
לפי תכנית הלימודים ,הוראת עיבוד נתונים מורכבת משני חלקים :ייצוג נתונים שהוא הנושא
של פרק זה ,וחישובים הקשורים לנתונים )הממדים שכיח ,ממוצע ,חציון( שהם הנושא של פרק
י"ט שבו משלבים ייצוגים וחישובים.
מומלץ להקדיש לנושא כ 6 -שעות.
הערה :כדי לא להבהיל את התלמידים משתמשים כאן במונחים "שיעור אופקי" ו"שיעור
אנכי" במקום שיעור ה x -ושיעור ה.y -
מושגים
מערכת צירים ,ראשית הצירים ,הציר האופקי והציר האנכי ,שיעורי נקודות ,זוג ָסדור ,טבלה,
נתונים ,יחידה ,גרף ,רשתות ,דיאגרמת עמודות ,דיאגרמת עמודות כפולות ,טווח הנתונים,
איסוף נתונים וארגון נתונים.
מטרות
התלמידים ידעו:
א .לקרוא שיעורים של נקודה על מערכת צירים ,כולל שיעורים שליליים;
ב .למקם נקודות על מערכת צירים לפי שיעורים נתונים;
ג .לבנות גרף לפי נתונים בטבלה;
ד .לבחור יחידה על מערכת צירים ,שתתאים לנתונים;
ה .להציג נתונים על מערכת צירים;
ו .לבנות דיאגרמת עמודות המייצגת את הנתונים;
ז .לקרוא דיאגרמה;
ח .לבנות דיאגרמת עמודות כפולות;
ט .לקרוא דיאגרמת עמודות כפולות;
אביזרים ואמצעי המחשה
מערכת צירים ,נייר מילימטרי ,דף משובץ
אביזרי "חשבון :"10שקף משבצות ,רצועות
הטמעה
א .חזרה על סדר פעולות החשבון כשיש כפל.
הפתרון.
.1רושמים על הלוח תרגיל מהסוג .5 × 4+3 :דנים בדרכי ְ
הפתרון ובחשיבות הסוגריים.
.2רושמים על הלוח תרגיל מהסוג .5 × (4+3) :דנים בדרכי ְ
הפתרון ומדגישים שהכפל קודם
.3רושמים על הלוח תרגיל מהסוג .5+4 × 3 :דנים בדרכי ְ
לחיבור ולחיסור.
הפתרון ובקדימות הסוגריים.
.4רושמים על הלוח תרגיל מהסוג .(5+4) × 3 :דנים בדרכי ְ
ב .חזרה על סדר פעולות החשבון כשיש חילוק.
הפתרון.
.1רושמים על הלוח תרגיל מהסוג .20:4+1 :דנים בדרכי ְ
229
הפתרון ובחשיבות הסוגריים.
.2רושמים על הלוח תרגיל מהסוג .20:(4+1) :דנים בדרכי ְ
הפתרון ובקדימות החילוק קודם
ְ
.3רושמים על הלוח תרגיל מהסוג .5+20:5 :דנים בדרכי
לחיבור ולחיסור.
הפתרון ובקדימות הסוגריים.
.4רושמים על הלוח תרגיל מהסוג .20:(5+5) :דנים בדרכי ְ
ג .חזרה על סדר פעולות החשבון.
רושמים על הלוח תרגילים ,מבקשים מהתלמידים להעתיק את התרגילים למחברת ולפתור
אותם.
4 × 2+4 × 5 3 × 4-10:2
24:6-2 15-5:5+1
24:(6-2) 3 × 4-10:2
)12-(3+5
12-3+5
)5 × (3+2
5 × 3+2
4+6 × 3-2
15-5:5+1
4+6 × 3-2
)10-(4 × 2
22+5 × 2
40-4 × 4+5
2+24:4+5
40-4 × 4+5
10-4 × 2
)22+(5 × 2
15-5:
+1=15
2+
:4+5=13
2+24:4+5
2 × 2+4 × 5
3 × 4-
:2=7
-4 × 4+5=29
4 × 2+
× 5=28
4+6 ×
-2=20
הפתרון ומדגישים שהכפל והחילוק קודמים לחיבור ולחיסור.
דנים בדרכי ְ
ד .חזרה על חיבור ועל חיסור של אלפים שלמים ,של מאות שלמות ושל עשרות שלמות.
בוחרים מספר בין 0ל .100 -כל תלמיד בתורו מוסיף לו .100לדוגמה ,התלמיד הראשון אומר
,56השני ,156השלישי ,256וכן הלאה ,עד למחצית מתלמידי הכתה .המחצית השנייה של
תלמידי הכיתה יבנו סדרה יורדת )מהמספר שהגיעה אליו המחצית הראשונה( בקפיצות של .10
אחר-כך בוחרים מספר בין 100ל ,999 -ומוסיפים בכל פעם 1,000עד למחצית מתלמידי
הכיתה ,המחצית השנייה של הכיתה תבנה סדרה יורדת בקפיצות של .100
ה .חזרה על התכונות של משפחת המרובעים.
.1מציירים מעוין ושואלים על התכונות של הצלעות הנגדיות ,של הזוויות הנגדיות ושל
האלכסונים .רושמים את מידת אחת הזוויות ומבקשים מהתלמידים לחשב את המידות של
יתר הזוויות של המעוין.
.2מציירים ריבוע ושואלים על התכונות של הצלעות הנגדיות ,של הזוויות הנגדיות ושל
האלכסונים .רושמים מידה של חצי אלכסון ומבקשים מהתלמידים לחשב את מידת
האלכסון .מראים שריבוע הוא מלבן מיוחד או מעוין מיוחד.
.3מציירים דלתון וטרפז ושואלים על התכונות של הצלעות הנגדיות ,של הזוויות הנגדיות ושל
האלכסונים.
.4מציירים את אילן היוחסין של משפחת המרובעים ,ומבקשים מהתלמידים למלא אותו.
דנים בתשובות.
.5משחק "מה יש לי בראש" :המורה או אחד התלמידים אומרים שם של מרובע כלשהו,
תלמידי הכיתה מתבקשים לגלות אותו על-ידי סדרת שאלות שהתשובות עליהן הן רק "כן"
או "לא".
פעילויות גילוי
מערכת צירים
פעילויות הגילוי הראשונות מיועדות לכיתות שהתלמידים בהן למדו על מערכת הצירים בעבר.
עובדים בדפי משבצות.
230
פעילות א :מציירים על הלוח רשת נקודות) .הרשת כוללת את הצירים (.מציינים שלוש
נקודות A :באמצע הרשת )כגון B ,(4,5על ציר ה) x -כגון (0,3ו C -על ציר ה) y -כגון .(4,0
מבקשים מהתלמידים לרשום את המיקום של שלוש הנקודות .דנים בתשובות .מומלץ לרשום
על הלוח את התשובות הנכונות.
מציירים על הרשת נקודה נוספת Dב ,(6,2) -ושואלים" :איזו נקודה גבוהה יותר?" אחר-כך
שואלים" :האם יכולנו לדעת את התשובה בלי הציור?" דנים בהצעות התלמידים .חוזרים על
התהליך בנקודה הנמוכה ,בנקודה הימנית ובנקודה השמאלית ביותר.
פעילות ב :מספרים את הסיפור על מנהטן שבקטע השיעור הראשון .המרצפות שבכיתה
יכולות לשמש כמערכת צירים) .מציירים את הצירים בגיר (.התלמידים עובדים בזוגות :אחד
כותב על פתק את מקום הפגישה על-פי שני מספרים ,נותן את הפתק לבן זוגו ,ובן הזוג ניגש
למקום המתאים .רק לאחר מכן התלמיד ניגש לנקודה שהוא עצמו רשם בפתק .בודקים אם
הם ייפגשו או לא .הטעות הנפוצה היא שלא לוקחים בחשבון את סדר המספרים הרשומים.
חשוב לציין את המושג "זוג ָסדור" להדגשת החשיבות של סדר המספרים בשיעורי נקודה
מסוימת.
שימוש במערכת צירים בחקר נתונים
אחד החידושים לתלמידים שלמדו את הנושא ,הוא העיסוק ביחידות של הצירים והערכת
אמתיים",
המידה של הדיוק ,הנחוצה לפי טיב הנתונים .חידוש אחר הוא הצגת נתונים " ִ
המאפשרים לתלמידים ליישם את השלמתו בשיעורים ,בנושאים קרובים ללבם.
בשיעור זה מומלץ להשתמש בנייר מילימטרי .רוב הנתונים בפרק הם מספרים גדולים.
פעילות ג :פעילות הגילוי הראשונה ,שמקורה בספר של כיתה ד' ,מיועדת לכיתות שבהן לא
נלמד בעבר הנושא "מערכת צירים" .עובדים בדפי משבצות .מחלקים לתלמידים גרף "לבן" –
ללא הטבלאות .שואלים" :מה מייצג הגרף?"" ,מה חסר כדי לדעת?" כאשר מגיעים למסקנה
שחסרות הכותרות והגדרת הנתונים של הצירים ,מחלקים לכל קבוצה טבלה אחת) .אפשר
לחלק את תלמידי הכיתה לארבע קבוצות (.על כל קבוצה למלא א .את הכותרת של הגרף; ב.
את כותרות הצירים; ו -ג .את המספרים על הצירים בהתאם לטבלה.
בכל שלב כדאי להראות על הלוח את המקום של כתיבת הכותרות ולהתחיל לכתוב את
המספרים הראשונים על הצירים.
שעה
מס' מבקרים
שנה
מס' עולים
8
20
9
30
10
30
11
10
12
20
13
40
14
45
15
45
16
35
17
30
1,995 1,990 1,985 1,980 1,975 1,970 1,965 1,960 1,955 1,950
600 700 1,900 900 800 400 200 600 600 400
231
פעילות ד :מציגים לתלמידים את הנתונים שבקטע השיעור שבעמ' 284או .286חלק
מהקבוצות מקבלות דף A4משובץ )או שקף המשבצות שבמארז האביזרים( ,וחלק אחר
מקבל חצי מדף A4משובץ .מבקשים לתכנן את הגרף המתאים )בלי לבנות אותו( .דנים
במרכיבים של התכנון :טווח הנתונים ,גובה הדף ,המרחק בין העמודות ,ובעיקר בשאלה" :מהי
היחידה על הציר האנכי?" ,ומגיעים למסקנה שאורך היחידה נקבע לפי דף הייצוג.
פעילות ה :בניית גרף .לפני השיעור מבקשים מהתלמידים לחפש נתונים על משקלים ,על
שיאים ספורטיביים ,על בחירות ,על משקל או על מאפיינים שונים של חיות לפי בחירתם.
התלמידים בכל קבוצה בוחרים נושא ומתבקשים להציג אותו במערכת צירים .אם לא בוצעה
פעילות א' ,אפשר להשתמש באחת מהטבלאות כחומר בסיסי.
פעילות ו :קריאת גרף .מבקשים מהתלמידים להביא קטעי עיתונים שיש בהם גרפים.
התלמידים בכל קבוצה בוחרים גרף" ,חוקרים" אותו כמה דקות ומספרים לחברי המליאה
מה תמצית הגרף :במה מדובר ,מהם הנתונים ,מהם הנתונים הקיצוניים וכדומה.
פעילות ז :בניית דיאגרמה .מוצעת טבלה המייצגת את מספר שעות השמש ב 18 -הימים
הראשונים של חודש חורפי מסוים בשנה מסוימת .מבקשים מכל זוג תלמידים להציג את
הנתונים במערכת צירים .דנים בתשובות .יש להקפיד על הכותרת של הטבלה ועל הכותרות
של הצירים.
18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
יום
מס' שעות השמש 6 5 0 0 3 4 9 8 6 5 2 1 1 0 3 3 4 3
גרף או דיאגרמה?
פעילות ח :כל קבוצה מקבלת את הטבלה שלהלן ,המייצגת את המחיר של כדורי טניס כתלות
במספר הכדורים הנקנים.
3
1
5
2
4
לפי
על התלמידים לבנות
כדורים
כדור
כדורים
כדורים
כדורים
בחירתם גרף או דיאגרמה
18
6
25
12
20
כדי לייצג את הנתונים
שבטבלה.
דנים ביתרונות של כל ייצוג ,ובפרט בחשיבות של סדר הערכים בציר האופקי בגרף ,במשמעות
החיבור בין הנקודות בגרף ,ובקושי בפירוש הנתונים בדיאגרמה לעומת הגרף.
פעילות ט :על חברי הקבוצה לבנות טבלה דמיונית שתתאים לייצג את נתוניה בדיאגרמה,
וטבלה דמיונית שתתאים לייצג את נתוניה בגרף .על חברי הקבוצה לנמק את קביעותיהם.
פעילות י :דיאגרמת עמודות כפולות.
דוּח של חשבון חשמל או של חשבון מים,
מבקשים מהתלמידים להביא לשיעור מתמטיקה ַ
שנשלח לבתיהם לתשלום .בדוחות אלו מופיעה דיאגרמת עמודות כפולות המייצגת את נתוני
הצריכה האישיים בבית בשנה מסוימת לעומת השנה שעברה .עליהם לנתח את הדיאגרמה
ולהסביר מה רואים בה .דנים בנתונים שאספו התלמידים מתוך הדיאגרמה .בתוך כדי דיון
מתבקשים התלמידים לענות על שאלות כגון" :מהי הכותרת של הדיאגרמה?"" ,מהם שמות
הצירים?"" ,מה מראה עמודה אחת של דיאגרמה?"" ,מה מראות שתי העמודות זו ליד זו?"
וכן הלאה .שאלה נוספת שאפשר לדון בה" :באילו מקרים ,לדעתכם ,כדאי להציג את הנתונים
בדיאגרמה אחת?" בתום הדיון במליאה חשוב להגיע למסקנה שכדאי להשתמש בדיאגרמת
עמודות כפולות ,כאשר רוצים להשוות בין נתונים מקבילים.
דוגמאות לשימוש בדיאגרמת עמודות כפולות :אם רוצים לראות התפתחות של תופעה לאורך
זמן )צריכת המים בכל חודש לאורך השנתיים האחרונות(; או רוצים להשוות בין נתונים
במקומות שונים )צבע העיניים של התלמידים בכיתות ה' 1ו -ה' .(2למעשה ,אפשר גם להשוות
232
בין תופעות שונות שקשורות לאותם האנשים )או לאותן ארצות( .צריך רק לבדוק אם יש טעם
להשוות בין שני הדברים ולהכניס את הנתונים לדיאגרמת עמודות כפולות.
פעילות יא :ביצוע מחקר ורישום נתונים בדיאגרמת עמודות.
התלמידים מתבקשים לערוך מחקר קטן בכיתות מקבילות בנושא שיבחרו ,ולהציג את תוצאות
המחקר בדיאגרמה .שואלים במחקר שתי שאלות כדי להשתמש בנתונים בשתי דרכים:
דרך א :השוואה בין מספר התשובות לאותה שאלה בכיתות שונות ;
דרך ב :בדיקת הקשר בין מספר תשובות לשתי השאלות באותה כיתה.
דוגמה :כל תלמיד עונה על שתי השאלות" :מהו מקצוע הלימוד האהוב עליך ביותר?"; "האם
אתה קורא יותר מספר בחודש?"
דוגמה לנושא המחקר :הקשר בין מקצועות הלימוד האהובים ביותר על התלמידים; או
המקצוע שהם מתכוונים לבחור בעתיד כאשר יסיימו את לימודיהם בבית הספר ,לבין מספר
הספרים וכדומה.
כדאי לחלק לכל התלמידים דף שבו רשימת השמות של תלמידי הכיתה ומקום לתשובות
לשאלות החקירה.
אחת מהשיטות לאיסוף נתונים היא שימוש בטבלה מסוג זה:
עברית
תנ"ך
מתמטיקה היסטוריה
ספורט
גאוגרפיה
המקצוע
מספר
הפעמים
שהנתון
מופיע
סיכום
7
1
3
5
10
8
מרכזים את מספר התשובות בטבלה.
דוגמה :בכיתה ה 1שמונָה תלמידים אוהבים עברית ,מתוכם 5קוראים יותר מספר
בחודש.
השאלה הראשונה :מהו מקצוע הלימוד האהוב עליך ביותר?
מתמטיקה היסטוריה גאוגרפיה
תנ"ך
עברית
המקצוע
מספר
8
התשובות
בכיתה ה1
מספר
11
התשובות
בכיתה ה2
השאלה השנייה :האם אתה קורא יותר מספר כל חודש?
כן לא כן לא כן לא כן לא
מספר
3
5
התשובות
בכיתה ה1
מספר
4
7
התשובות
בכיתה ה2
כן
לא
ספורט
כן
לא
מטרת הפעילות היא להציג את תוצאות המחקר בדיאגרמת עמודות כפולות ולראות
הפתרון ,בשמות הצירים ,בחשיבות המקרא,
ְ
את הצורך בהצגה כזו .דנים בדרכי
בכותרת הדיאגרמה ובייצוג עצמו.
233
ה1
18
ה2
16
14
12
10
8
6
4
2
ספורט
גאוגרפיה
היסטוריה
מתמטיקה
תנ"ך
עברית
השיעור בספר הלימוד
לעלות על הגל
קטע שיעור ,עמוד :518מערכת צירים
הדוגמה של מנהטן מבהירה את החשיבות של הסדר בזוג ָסדור .אחר-כך מובא אוצר המילים
המתמטי הקשור למערכת צירים .הדבר נראה קשה בהתחלה ,אבל מקל את התקשורת
בהמשך.
קיימות מערכות צירים שהצירים בהן אינם מאונכים זה לזה ,ואפילו מערכות בעלות יותר
משני צירים .בפרק זה עוסקים רק במערכת צירים הנקראת "מערכת צירים קרטזית" על-שמו
הלטיני של דקארט )רנאטוס קרטזיוס( שהמציא אותה.
רנה דקרט ) (1596 - 1650היה פילוסוף ומתמטיקאי צרפתי.
בספרו "הגאומטריה" העלה דקרט את הרעיון ,שכל זוג מספרים יכול לקבוע נקודה מסוימת
במישור ,ולהיפך ,אפשר לאפיין כל נקודה במשור על ידי שני מספרים .ברמה הבסיסית מורכבת
מערכת צירים קרטזית במישור מורכבת משני ישרים מאונכים זה לזה.
בספרו "השיח על שיטה") (1637הוא מציע שיטה המאפשרת למנוע שגיאות חשיבה ולבנות
מחדש את יסודות הידע – בספר זה מופיע המשפט המפורסם" ,אני חושב משמע אני קיים"
והוא העיקרון הראשון עליו התבסס כדי לבנות את שיטתו.
משימה מס' :1משימת יישום .כתיבת שיעורי נקודה.
משימה מס' :2משימת יישום .קריאת שיעורים של נקודות נתונות ,כתיבת שיעורים ,שימוש
באוצר המילים.
משימה מס' :3משימה לקישור בין גאומטריה )תכונות המלבן( לבין מערכת צירים.
משימה מס' :4א( במערכת הצירים המסורטטת ישנה נקודה אחת בלבד שהשיעור האופקי
שלה הוא .6נקודה זו היא הנקודה .D
234
ב( במערכת הצירים המסורטטת ישנן שלוש נקודות שהשיעור האופקי שלהן הוא :6הנקודה ,C
הנקודה Dוהנקודה .I
ג( בנקודות D ,Gו B -השיעור האופקי שווה לשיעור האנכי.
ד( 9הוא השיעור האופקי של הנקודה 3 .Fהוא השיעור האנכי של הנקודה .H
ה( הנקודות שהשיעור האופקי שלהן קטן מ 6 -הן .C ,H ,B ,A
הנקודות שהשיעור האנכי שלהן גדול מ 5 -הן I ,D ,Cו.G -
משימה מס' :5על התלמידים לסמן את הנקודות ששיעוריהן נתונים .כל ארבע נקודות יוצרות
מלבן .לאחר סרטוט המלבנים אפשר לראות בנקל את טווח השיעורים האופקיים והאנכיים
של המלבנים.
קטע שיעור ,עמוד :520בניית גרף
חזרה על השלבּים למיקום הנקודות לפי נתונים בטבלה ,כולל ציון של קביעת היחידות .ההבדל
בין הנלמד בכיתות הקודמות לבין הנלמד עכשיו הוא שהנתונים הם מספרים עשרוניים.
משימה מס' :6משימת יישום של כל שלב :בניית גרף לפי נתונים בטבלה ,קריאת נתון בטבלה,
פירוט בנייה בפועל ,כתיבת שיעורים של נקודה.
משימה מס' :7במשימה זו נדרשת מיומנות של קריאת נתונים והצבתם בתוך מערכת הצירים.
התלמידים נדרשים לקשר בין הגיל של כל אחת מהדמויות במשפחה לבין גובהה.
משימה מס' :8הגרף מתאר את מרחק הבלימה ביחס למהירות הנסיעה .ככל שמהירות
הנסיעה גדולה יותר כך מרחק הבלימה גדול יותר.
שיעורי הנקודה Mהם.(100,100) :
קטע שיעור ,עמ' :522קריאת גרף
חזרה על מיומנות של קריאת גרף .תלמידים מתקשים להבין מה מייצגת נקודה על הגרף על-פי
השיעורים שלה .בשלב הראשון הם לומדים לקשר בין נקודה לבין השיעורים שלה ,ובשלב השני
אומרים מה המשמעות של כל שיעור .כדאי לחזור על הדוגמה שבשיעור בנקודות נוספות.
משימה מס' :9משימת יישום .א( הטמפרטורה בשעה 12:00הייתה . 7 0 c
ב( בשעה 6:00בבוקר הטמפרטורה הייתה , 2 0 cובשעה 18:00הייתה הטמפרטורה . 30 c
ג( הזוג הסדור מייצג :בשעה 24:00הייתה הטמפרטורה . 0 0 c
ד( הזוג הסדור ) (0,6מייצג :בשעה 12בלילה הייתה הטמפרטורה . 6 0 c
ה( בשעה 20:00ובשעה 24:00הייתה הטמפרטורה 0מעלות צלזיוס .בשעה 8:00 ,4:00ו-
18:00הייתה הטמפרטורה 3מעלות צלזיוס.
משימה מס' :10משימת יישום נוספת של קריאת גרף.
א( לפני ההפסקה הראשונה עברה הרכבת מרחק של 150ק"מ במשך חצי שעה.
ב( הרכבת עברה 250ק"מ במשך שעה.
ג( אחרי ההפסקה השנייה עברה הרכבת 150ק"מ במשך חצי שעה.
ד( ההפסקה הראשונה הייתה בין 8:30ל ,8:45 -וההפסקה השנייה הייתה בין 9:45ל.10:00 -
ה( בסעיף זה נדרשים התלמידים לסרטט גרף ישר המתאר את נסיעתה של רכבת המשא.
הרכבות תיפגשנה בשעה .9:00
קטע שיעור ,עמוד :524גרף ודיאגרמה
שיעור זה זהה לשיעור האחרון של הספר של כיתה ג' .בינתיים התלמידים מכירים טוב יותר
את הנושא ,לכן אפשר לנהל דיונים מנומקים יותר.
235
השאלה מתי להשתמש בדיאגרמה ומתי להשתמש בגרף ,אינה נהירה גם למבוגרים רבים.
בשיעור מובאות שתי טבלאות ,שתיהן קשורות לנתונים אודות אותו ילד .במקרה אחד נוח
לייצג את הנתונים בגרף ,ובמקרה השני -בדיאגרמה .השיעור יובן הרבה יותר לאחר ביצוע
פעילויות הגילוי.
אפשר לנסח כלל :משתמשים בגרף אם יש חשיבות לסדר הנתונים המיוצגים על הציר האופקי.
משימה מס' :11בזמן שחוזרים על קריאת הנתונים בטבלה או בגרף שבשיעור ,מבקשים
מהתלמידים לחפש נתון נוסף שאינו מופיע בפירוש )עליית המשקל של אדיר(.
משימה מס' :12יישום של השיעור .אפשר להסביר שיש חשיבות לסדר הימים בשבוע ,וכן
שהטמפרטורה היום קשורה לטמפרטורה אתמול ,לכן הייצוג המתאים הוא גרף.
משימה מס' :13כדאי להאריך את הדיון בתשובות התלמידים .הייצוג המתאים ביותר הוא
הגרף ,מהסיבות שהוסברו לעיל.
משימה מס' :14במשימה זו הייצוג המתאים הוא דיאגרמת מקלות ,שכן אין כל חשיבות
לסדר המאכלים האהובים ,ולכן לא תהיה כל משמעות לחיבור בין נקודות בגרף.
משימה מס' :15חזרה על קריאה ועל הבנה של גרף ושל דיאגרמה .מטרת השאלה "כמה
ילדים אוכלים לחם בארוחת בוקר?" היא להרחיב את מרחב השאלות שאפשר לענות עליהן
ובעיקר להשתמש בהכללה )לחם הוא מרכיב משותף לכמה סוגי מאכלים(.
יחידת הלימוד -הקניה
קטע שיעור ,עמוד :526הצגת נתונים :בחירת יחידה
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ב' לפני השיעור.
בכיתה ד' למדו התלמידים לבנות דיאגרמות .בשיעור הזה מודגשת בחירת היחידה ,ומובע
באופן מילולי הקשר בין אורך היחידה לבין מה שהיא מייצגת )סנטימטר אחד מייצג 10
מילימטרים( .התלמידים לומדים גם שלעתים בהעברת נתונים לדיאגרמה "אובד" הדיוק של
הנתונים.
משימה מס' :1משימה שהיא "חקירה" של הדוגמה שבשיעור .הנתונים של השנה הבאה
מאפשרים לחקור אם יש קשר קבוע בין משקעים בשנה גשומה מאוד לבין המשקעים בשנה
שאחריה.
משימה מס' :2הנתונים הם מספרים גדולים .על התלמידים לבחור אורך של יחידה מתאימה
על-סמך טווח הנתונים והמקום שברשותם במערכת .אין חשיבות למיקום של כל ארץ על הציר
האופקי ,התלמידים יכולים למקם את העמודות במקום כלשהו על הציר האופקי וברווחים
לאו דווקא שווים בין העמודות .הרווחים השווים הם עניין של אסתטיקה.
אין חשיבות לסדר של כל ארץ על הציר האופקי ,אך רצוי לבחור סדר כלשהו )סדר א"ב ,סדר
גודל השטחים( .בבחירה השנייה מובא מידע נוסף על הנתונים שבטבלה.
משימה מס' :3א( כל משבצת על הציר האופקי מייצגת זמן על 10דקות.
ב( כל משבצות על הציר האנכי מייצגת 2ק"מ.
ג( נוסע העולה לרכבת בנתניה מגיע לחיפה – מרכז בתוך 53דקות.
משימה מס' :4משימה פתוחה .מומלץ לבצע את הסקר במהלך השיעור בכיתה ולהציג את
תוצאות הסקר על-גבי הדיאגראמות.
236
קטע שיעור ,עמוד :529ייצוג של סדרות שונות של נתונים בדיאגרמה אחת :דיאגרמת עמודות
כפולות
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ו' לפני השיעור .בשיעור זה התלמידים לומדים לייצג את
תוצאות החקירה בדיאגרמת עמודות כפולות .בדיאגרמת עמודות רגילה על הציר האופקי
מסמנים את ערכי המשתנה )הארצות( ,ובציר האנכי מסמנים את ערך הנתונים .בדיאגרמת
עמודות כפולות הציר האנכי משותף לייצוג נתונים הקשורים לשתי תופעות דומות )אוכלוסייה
בשנת 1991ואוכלוסייה בשנת 2001באותן ארצות( .אפשר לראות שלכל ארץ מתאימות שתי
עמודות )אחת לכל שנה( ,ושהייצוג מאפשר לבצע בו-זמנית הצגת נתונים והשוואה בין תופעות.
לכל שנה מתאים צבע משלה ,ובמקרא רואים את ההתאמה .חשוב להדגיש שדיאגרמה זו
מסובכת יותר מדיאגרמה רגילה ,ולכן חשוב לכתוב מקרא במקרה הצורך )כפי שכתוב בשיעור
מימין לדיאגרמה(.
דונו עם התלמידים בשאלה מתי כדאי להשתמש בדיאגרמת עמודות כפולות )ההסברים
בפעילויות הגילוי המתאימות(.
אמתיים ,והמספרים גדולים .הוחלט לחשוף את התלמידים
הערה :במשימות הבאות הנתונים ִ
לחקירות אלה ,כי בחיי היום-יום קיימים הרבה מצבים כאלה ,אך לתלמידים אין הזדמנויות
להיחשף אליהם ולחקור אותם .בתקשורת מופיעות טבלאות ודיאגרמות שהמספרים בהן
מעוגלים או כתובים ביחידות ,כגון אלפי תושבים.
משימה מס' :5בדיקת מיומנות של קריאת טבלה.
משימה מס' :6סדרת שאלות הקשורות לקריאת הנתונים שבשיעור .שאלות אלה הן דוגמה של
שימוש הייצוגים הגרפיים .מומלץ לציין כתשובה לסעיף ח' ,שידיעת ההפרש בין מספר
התושבים בין השנים הנתונות אינה מספיקה כדי לדעת את השינוי .בהפרש אין מידה על סדר
גודל השינוי .כמו-כן צריך לציין באיזה כיוון חושב ההפרש) .בהונגריה מספר התושבים פחת
בשנת (.2000
משימה מס' :7חזרה על עיגול מספרים לאלפים.
משימה מס' " :8מיני חקירה" בנושא הגעת תיירים לארץ .התלמידים מתבקשים לסרטט
במחברת דיאגרמת עמודות כפולות המתאימה לטבלת הנתונים.
משימה מס' :9מספר הילדים במשפחה מוצג בדיאגרמת עמודות כפולות .משווים בין שני בתי
ספר.
7יותר מ 7 -סה"כ
6
5
4
3
2
1
66
1
3
3
3
22
15
8
11
בגין
66
4
3
10
11
20
9
9
רבין
א( מספר המשפחות בכל אחד מבתי הספר הוא .66
ב( אפשר להשוות בין הנתונים בשני בתי הספר.
ג( בביה"ס בגין יש 22משפחות של ארבעה ילדים ,ואילו בביה"ס רבין יש 11משפחות שלהן
ארבעה ילדים.
ד( בביה"ס רבין יש יותר משפחות של שני ילדים.
ה( 9משפחות מתוך 66משפחות בבית הספר "רבין" יש להן ילד אחד במשפחה.
9
3
מכלל המשפחות שהשתתפו בסקר בבית הספר "רבין".
=
הן מהוות :
66 22
ו( בביה"ס "בגין" יש 32משפחות שלהן יותר משולשה ילדים.
ז( בביה"ס "בגין" יש 19משפחות שלהן פחות משלושה ילדים.
237
ח( כאשר עורכים סקר בבית ספר ,ברור כי בכל משפחה יש לפחות ילד אחד) .הרי הוא עונה על
הסקר(.
קטע שיעור ,עמוד :532דיאגרמת עמודות כפולות – ייצוג מספרים גדולים
השיעור בנוי בדגם של השיעורים הקודמים לו ,אך הפעם מודגש איבוד המידע הנובע מסדר
גודל המספרים ,ומוסבר שבייצוג גרפי אפשר להתרשם מהתופעות ולהבינן ,גם אם הוא אינו
מדויק.
משימה מס' :10משימה לעידוד חשיבה על הגורמים המשפיעים על ההחלטות השונות לגבי
עיבוד נתונים )אורך היחידה ,מה מייצגים ,גודל הדיאגרמה(.
משימה מס' :11שאלות הקשורות לקריאת הנתונים שבשיעור .מהשאלות רואים שלמרות
האי-דיוק אפשר לחקור תופעות.
משימה מס' :12הסעיפים במשימה זהים לאלה של המשימות הקודמות ,אך עלול להיווצר
קושי משום שהנתונים הם כמויות המיוצגות על-ידי מספרים עשרוניים שהיחידה בהם היא
אלפים ) 10.4אלפי נוסעים הם 10,400נוסעים(.
משימה מס' :13במשימה זו משלבים בין דמוגרפיה לבין סטטיסטיקה – חקר נתונים.
מה למדנו? עמוד 535
בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק.
משימה מס' :14סימון הנקודות במערכת הצירים הנתונה יתבצע על-פי רוחב הבניינים
וגובהם .השיעור האופקי מייצג את רוחב הבניין ,ואילו השיעור האנכי מייצג את גובה הבניין.
ממשיכים בתרגול ,עמודים 541 - 536
משימה מס' :1סימון נקודות על מערכת צירים וכתיבת שיעורי הנקודות הנתונות.
שיעורי הנקודות.C (4 ,1) D (5 ,8) E (9 ,3 ) :
משימה מס' :2בנייה של טבלת ערכים היא בעצם אחד השלבים החשובים לפני סרטוט גרף
מתאים.
משימה מס' :3סרטוט של ארבעה גרפים על אותה מערכת צירים יכול לשמש אותנו בהשוואה
בין נתונים.
משימה מס' :4על התלמידים לבנות דיאגרמות שונות .בכל אחת מהן עליהם לבחור את
היחידות המתאימות .זו הזדמנות טובה לחזור על יחידות מידה וכן לדבר על טווח מספרים
המתאים לנתונים.
משימה מס' :5משימת תרגול נוספת לבניית דיאגרמת עמודות כפולות .הנתונים ייאספו
מתלמידי הכיתה.
משימה מס' :6קריאת נתונים מתוך טבלה.
משימה מס' :7משימה זו מורכבת ממספר שלבים :התלמידים מתבקשים להשלים את
הטבלה ,לחשב את סך כל התלמידים בכל אחת מהעמודות בטבלה ,להציג את תוצאות הסקר
238
בדיאגרמת עמודות כפולות ,לציין מה מייצג כל אחד מהצירים ולשאול שאלות העוסקות
בסקר.
אמתיים .זו הזדמנות טובה לשוחח
משימה מס' :8הנתונים המובאים במשימה זו הם נתונים ִ
עם התלמידים על המצבים ועל המקומות שבהם אנו נתקלים בדיאגראמות ובגרפים .ולשאול
לשם מה הם נחוצים בחיי היום-יום.
שאלות מילוליות ,עמוד 542
משימה מס' :1דיאגרמת המקלות מייצגת את מספר הילדים לפי חודשי הלידה שלהם.
א( 20תלמידים נולדו בחודש כסלו.
ב( בחודשים תשרי ואייר נולדו 15תלמידים.
ג( בחודש סיוון מספר התלמידים הוא הגדול ביותר.
ד( בחודש תמוז לא נולדו ילדים.
ה( בשכבה יש 125תלמידים.
ו( בחודשים ניסן וחשוון נולדו אותו מספר ילדים ,כמו-כן בחודשים אייר ותשרי נולדו אותו
מספר ילדים.
משימה מס' :2משימה נוספת לחיזוק המיומנות של קריאת נתונים במערכת צירים .בשונה
מגרפים מופיעות כאן נקודות במערכת צירים.
יישומי מדע ,עמוד 543
בשיעור מוסבר הקשר בין מערכת צירים לבין שיעורים של מקומות על כדור הארץ.
קווי האורך וקווי הרוחב מסייעים לאתר מקום על-פני כדור הארץ בעזרת שיעורים בדומה
לזוגות סדורים של מספרים על מערכת צירים.
העשרה ,עמוד 544
בחלק זה מופיעה מפת ארץ ישראל על גבי מערכת צירים .איתור מיקומן של הערים במפה
מהווה תרגול נוסף של מציאת שיעורי נקודות במערכת צירים.
א( העיר ירושלים מיוצגת במפה על-ידי נקודה ששיעוריה הם ).(16 ,28
ב( העיר תל-אביב מיוצגת במפה על-ידי נקודה ששיעוריה הם ).(11.5 ,32.5
ג( העיר אילת מיוצגת במפה על-ידי נקודה ששיעוריה הם ).(13 ,0.5
ד( קרוב לנקודה ) (13 ,37נמצאת העיר חדרה.
ה( העיר שנמצאת בנקודה ) (10 ,29היא אשדוד.
אנו שולטים בחומר ,עמוד 545
חלק זה מוקדש לתרגול בנושא יחידות זמן -שניות ,דקות ושעות – וכן בהמרה של יחידות זמן
ובהשוואה ביניהן.
239
עמ' 579 - 546
יז .ממוצע
רקע
במושג "ממוצע" משתמשים בתחומים רבים של החיים )כלכלה ,תחבורה ,סטטיסטיקה(.
הממוצע הוא אחד מהמדדים המרכזיים לאפיון קבוצת נתונים .מדדים מרכזיים נוספים הם
השכיח והחציון ,וכולם הם חלק מהנושא "חקר נתונים" .המדדים המרכזיים נלמדים אחרי
הפרק "חקר נתונים" ,שמוצגות בו הדרכים לייצוג הנתונים ,נושא המוכר יותר לתלמידים .לכן
בכמה תרגילים בפרק נדרש ייצוג של הנתונים נוסף על מציאת המדדים המרכזיים.
המשתנים הנחקרים יכולים להיות כמותיים או איכותיים .משתנים כמותיים הם משתנים
בעלי ערכים מספריים כמו גיל ,מספר ילדים וציונים ,ומשתנים איכותיים הם משתנים כגון
צבע העיניים ,ארץ לידה ,סוגי ֵפרות ועוד.
בכיתה ד' למדו התלמידים על הממוצע במספרים הטבעיים ,ורובם יודעים בצורה
אינטואיטיבית מהו ממוצע של ציונים ומהו נתון שכיח ,גם אם הם אינם מכירים את המונחים
עצמם.
לפי תכנית הלימודים של כיתה ה' ,יש ללמד את המושגים "שכיח" ו"ממוצע" ואת המושג
"שכיחות יחסית" הקשור לשכיח .את ה"חציון" מומלץ ללמד בכיתות מתקדמות.
שכיחות יחסית של נתון היא מספר המבטא "משקל" של נתון בסדרת נתונים .כדי לחשב את
השכיחות היחסית של נתון מחלקים את מספר הפעמים שהנתון מופיע )השכיחות של הנתון(
במספר הכולל של הנתונים .לכן השכיחות היחסית היא מספר הקטן מ 1-או שווה ל) 1-אם כל
הנתונים זהים( .גם אם הנתונים הם איכותיים ,אפשר לחשב את השכיחות היחסית של נתון.
להלן כמה הערות לגבי הממוצע:
• הממוצע הוא מספר ,לכן הוא קיים רק כאשר ערכי הנתונים הם מספרים.
• הממוצע שווה לסכום של ערכי הנתונים חלקי מספר הנתונים.
• כאשר מחליפים כל נתון בממוצע ,סכום הנתונים אינו משתנה.
• הממוצע אינו תמיד מספר "מציאותי" ,ולעתים הוא מספר ה"מתנגש" עם ה"שכל הישר".
הדוגמה המפורסמת ביותר לכך היא שהממוצע של מספר הילדים במשפחה הוא מספר לא
שלם.
• הממוצע הוא מדד מרכזי :ממוצע של ערכים שונים יהיה תמיד גדול מהערך הקטן ביותר
שבנתונים וקטן מהערך הגדול ביותר שבהם.
עם זאת כאשר קיימים נתונים קיצוניים מאוד ,הממוצע אינו מאפיין את קבוצת הנתונים
בצורה טובה ,ולכן הוא אינו מתקבל בקלות כמדד מרכזי .לדוגמה ,כאשר קיימות מעט
משכורות גבוהות מאוד לעומת הרבה משכורות נמוכות ,הממוצע של עלות השכר מעוות את
המציאות .במקרים אלה השכיח הוא מדד מרכזי טוב יותר .מקור המילה "שכיח" הוא ארמית.
שכיח = מצוי.
חישוב הממוצע על-פי ההגדרה )סכום ערכי הנתונים לחלק במספר הנתונים( אינו תמיד היעיל
והמהיר ביותר .ישנן דרכים נוספות למציאת ממוצע שלא בדרך נוסחה ,למשל כאשר מוצגים
נתונים מספריים שאפשר לראות בהם "סימטריה" ביחס לערך מסוים.
ערך הממוצע משתנה אם מוסיפים לנתונים ערך השונה מהממוצע.
גם החציון הוא מדד מרכזי .הוא הנתון ה"אמצעי" .מספר הנתונים הגדולים ממנוּ שווה
למספר הנתונים הקטנים ממנוּ .כאשר מספר הנתונים הוא זוגי ,מחשבים את הממוצע של שני
הנתונים ה"אמצעיים" )אם הם מספרים(.
חשוב לדון עם התלמידים בהבדלים שבין הממוצע ,השכיח והחציון.
א .השכיח ,אם הוא קיים ,הוא תמיד אחד מהנתונים.
ב .המשתנה יכול להיות כמותי או איכותי .לעומת זאת הממוצע קיים רק כאשר הנתונים הם
כמותיים.
ג .השכיח הוא אחד הנתונים בהתפלגות.
ד .החציון הוא אחד הנתונים ,כאשר מספר נתונים אי-זוגיים ,או אם מספר הנתונים זוגי
החציון "נופל" בין שני נתונים שווים.
240
ה .תמיד אפשר לחשב את הממוצע של ערכים מספריים .לעתים יש בהתפלגות נתונים יותר
משכיח אחד .אם יש מספר גדול יותר של משתנים בעלי אותה שכיחות ,אין שכיח.
ו .החציון קיים רק אם יש אפשרות לסדר את הנתונים בסדר עולה או יורד,
לדוגמה :מספרים ,רשימה של ילדים או ארצות לפי שמות.
ז .בכל התפלגות נתונים חשוב להציג את שלושת המדדים ,שכן לכל אחד מהם יש ייחודיות
וחשיבות במצבים שונים של התפלגות הנתונים.
לפי תכנית הלימודים ,מומלץ להקדיש לנושא ה"ממוצע" כ 5-4 -שעות לימוד.
הערה :הנושא "חציון" מופיע בתכנית של כיתה ו' לכל התלמידים.
מושגים
שכיח ,שכיחות ,שכיחות יחסית ,ממוצע ,מדד מרכזי ,סטיות ,נתונים
ַ
נתון ,מספר נתונים,
קיצוניים ,סדרה ,חציון.
מטרות
התלמידים ידעו:
א .להגדיר את המושג "שכיח";
ב .לחשב שכיחות יחסית של נתון;
ג .למצוא את השכיח של סדרת מספרים;
ד" .לאזן" ערכים של נתונים כדי לחשב את הממוצע;
ה .לחשב ממוצע של נתונים שלמים ועשרוניים בעזרת מחשבון;
ו .שהממוצע אינו חייב להיות ערך "מציאותי";
ז .להסביר למה הממוצע גדול מהערך הקטן ביותר וקטן מהערך הגדול ביותר של הנתונים;
ח .להבחין בין שכיח לבין ממוצע;
ט .להשוות בין שכיח לבין ממוצע.
אביזרים ואמצעי המחשה
רצועות באורכים שונים ,חפצים בצבעים שונים ,צורות פלא ,כרטיסי מספרים ,דיאגרמת
מלבנים.
אביזרי "חשבון :"10שקף מצולעים משוכללים
הטמעה
א .חזרה על כפל ב.5 -
על הלוח סדרת מספרים ...400 ,2,000 ,200 ,10.4 ,6.4 ,2.8 ,0.8 ,1.2 ,13 ,21 ,42 ,26 ,18 :כל
אחד מהתלמידים צריך לכפול במהירות את המספר ב) 5 -להכפיל ב 10-ולחלק ב 2-או לחלק ב-
2ולהכפיל ב 10או בכל שיטה אחרת(.
ב .חזרה על כפל ב.25 -
על הלוח סדרת מספרים ... 400 ,2,000 ,200 ,120 ,3.6 ,2.8 ,1.2 ,0.80 ,0.20 ,40 ,20 ,16 :כל אחד
מהתלמידים צריך לכפול את המספר ב) 25 -להכפיל ב 100 -ולחלק ב 4 -או לחלק ב 4 -ולהכפיל
ב 100 -או בכל שיטה אחרת(.
241
פעילויות גילוי
פעילות א :השכיח
כותבים על הלוח את שמות התלמידים.
מבקשים מהתלמידים לחקור סדרה זו .כמה פעמים כל שם מופיע? מהו השם השכיח? איזה
חלק מהרשימה "תופס" כל שם? מהי האות הראשונה של כל שם? כמה פעמים מופיעה כל
אות? האם יש אות שכיחה יותר? זאת הזדמנות להסביר את המילים שכיח ,שכיחה ושכיחות.
תלמידים נוטים לחשוב ש"שכיח" הוא "לא נפוץ" ,משום שהם מקשרים את המילה למילה
"נשכח" .חשוב להדגיש שפירוש המילה "שכיח" הוא "נפוץ".
פעילות ב :השכיח
כל אחד מהתלמידים בודק את רשימת הציונים שקיבל במחצית הראשונה ,ומציין איזה ציון
הוא קיבל מרב הפעמים .מומלץ לבצע את הפעילות כפעילות יחידנית כדי לא להעליב תלמידים
שקיבלו ציון נמוך .מבקשים מהתלמידים להציע שם לציון זה) .התלמידים שכבר למדו על
השכיח בחקר נתונים בכיתות ג'-ד' ,עשויים לזכור את המושג המקובל "שכיח" (.מציגים את
המונח המקובל" :שכיח" .שואלים" :האם הוגן לתת את השכיח כציון מחצית?" מבקשים
לנמק )אפשר על-ידי דוגמה :תלמיד קיבל שלוש פעמים ,5פעמיים ,6פעם אחת 7ופעמיים :10
ברור שלא הוגן לתת לו כציון מחצית את הציון ,5שהוא השכיח(.
פעילות ג :הכנה לשכיחות היחסית
מחלקים בצורה אקראית לכל קבוצה 24צורות פלא או 24צורות שונות )ריבועים ,משולשים,
עיגולים -ראו נספח( .מבקשים מהילדים לבנות טבלה כמו זו המובנית כאן.
הצורה
מספר הפעמים
a
שהצורה מופיעה
החלק של השורה
a
הצורות
ביחס לסך כל
N
)(N
פעילות ד :הכנה לשכיחות היחסית
כל תלמיד בוחר ספר ומתוכו טקסט של חמש שורות ,ממלא את טבלת השכיחויות של האותיות
שבנספח ומשווה בין התוצאות לבין סדר האותיות במקלדת מחשב.
זו הזדמנות לתת שם לחלק ש"תופסת כל אות" :השכיחות היחסית שלה.
אפשר גם להסביר ששכיחויות אלה מאפיינות שפה.
פעילות ה :מציגים לתלמידים שאלה" :אחד התלמידים קיבל במבחנים בחשבון את הציונים:
90 ,70 ,70ו .90 -איזה ציון כדאי לתת לו?" דנים בהצעות .מבקשים לנמק את ההצעות .אם אף
אחד לא העלה את הנימוק שבספר בעמ' ,307מציגים אותו.
פעילות ו :פעילות זו תבוצע לאחר הצגת נושא הממוצע .מבקשים מכל תלמיד לחשב את
הממוצע שלו במחצית הראשונה) .אפשר להיעזר במחשבון ,ויהיה צורך "לעגל" תוצאות כאשר
מתקבל מספר מהסוג 75.333...:או (.88.666...מוודאים שהתלמידים קיבלו מספרים סבירים.
)לדוגמה ,לא ייתכן ממוצע גדול מ (!100 -מבקשים מכל תלמיד לציין אם הציון שהתקבל גדול
יותר או קטן יותר מהשכיח ,וכן אם לדעתו ,הוגן יותר לתת כציון מחצית את ציון הממוצע.
דנים בצורך לתת "ציון אחד" כמייצג הישגים.
פעילות ז :סיפור המעשה הוא שסער ערך מסע רגלי והלך בסך הכול 350ק"מ בעשרה ימים.
השאלה היא כמה ק"מ הלך סער בממוצע בכל יום .דנים בתשובות .דנים במשמעות של
הממוצע במקרה זה .האם ייתכן שסער לא הלך כלל ביום מסוים? האם ייתכן שהלך יותר מ70 -
ק"מ ביום מסוים?
242
פעילות ח :בכל קבוצה רושמים כמה אחים ואחיות יש לכל אחד מחברי הקבוצה ,ומחשבים את
ממוצע הילדים במשפחה בקבוצה .מן הסתם בקבוצות רבות הממוצע של מספר הילדים
במשפחה אינו מספר שלם .דנים במשמעות של התוצאה ובחשיבותה אף-על-פי שהיא נראית
חסרת משמעות .קשה לילדים להבין את המשמעות של "רבע ילד" או "חצי ילד" ,לכן כדאי
לומר שהממוצע אינו חייב להיות אחד הערכים שבהם חישבו את הממוצע .חשוב להסביר
לילדים שאינם מבינים את פשר התשובה ,שמספר זה אינו מציין את המציאות אלא "כאילו".
מבקשים מהתלמידים לרשום את הנתונים לקראת פעילות ח.
פעילות ט :רושמים על הלוח סדרת מספרים כגון .7 ,2.9 ,8.3 ,6 ,5.8 ,4 :על התלמידים להסביר
בלי לחשב ,למה לא ייתכן שהממוצע יהיה 2.9או .8.3שואלים :האם הממוצע יכול להיות קטן
מ ?2.9 -גדול מ ?8.3 -בדיון מגיעים לכלל שערך הממוצע נמצא בין הערכים הקיצוניים של
הנתונים .מבקשים מהתלמידים בכל קבוצה לבדוק את הכלל על-ידי הנתונים של פעילות ה'.
פעילות י :מציאת חציון.
בוחרים תשעה תלמידים בכיתה ומבקשים מהם לעמוד בשורה לפי הגובה שלהם.
מיהו הילד שב"אמצע" השורה? שואלים באיזוֹ מידה גובה הילד מאפיין את השורה.
אפשר גם להציג מספר זוגי של ערכים ולהדגים שהחציון הוא שני הערכים באמצע או הממוצע
שלהם.
פעילות יא :כותבים על הלוח סדרה של מספרים) .בשלב זה כמות המספרים תהיה מספר אי-
זוגי(.
מבקשים מהתלמידים לסדר את המספרים בסדר עולה ולמצוא את המספר שנמצא במקום
האמצעי ,כלומר מספר שמימינו ומשמאלו אותה כמות מספרים.
לאחר מציאת המספר אמרו כי זהו החציון .דוגמה .158 ,100 ,79 ,11 ,8 ,4 ,3 :המספר 11הוא
החציון .לעומת זאת אם נחשב את ממוצע המספרים נראה כי הממוצע הוא כ 51.8) .51.8 -אינו
אחד מהנתונים(.
בסדרת המספרים ,4 ,4 ,4 ,3 ,3 ,3 ,3 ,3 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0
6 ,5המספר המסומן ) (2הוא החציון .זהו אחד מהנתונים.
השיעור בספר הלימוד
קטע שיעור ,עמוד :546השכיח
בשיעור מוצג אוצר המילים המקובל בחקר נתונים :נתונים ,שכיחות ,שכיח .חשוב שהתלמידים
יבינו מהם הנתונים.
משימה מס' :1קריאת הנתונים שבשיעור :מציאת השכיח.
משימה מס' :2משימת יישום.
סעיף ב :בשבוע השני שני נתונים הם השכיח ) 84ו.(98-
בסעיף ג' התלמידים נשאלים האם "חכם" שהשכיח יהיה הזמנת עיתונים יומית .מומלץ לדון
בנושא בכיתה ולבקש נימוקים .אם רוני מזמין יותר מדי ,ייוותרו לו עיתונים ,ואם הוא מזמין
פחות מדי הוא מפסיד מכירות.
משימה מס' :3משימת יישום למציאת השכיח .מספר ה"שלשות" השכיח הוא .3
משימה מס' :4משימת יישום למציאת השכיח מתוך טבלת נתונים .מספר הצלחות השבורות
השכיח הוא .2
243
משימה מס' :5התלמידים נדרשים למצוא את השכיח בכל אחת משלוש הקטגוריות מתוך
האיורים .מספר העיניים השכיח הוא .3מספר הרגליים השכיח הוא ,4ומספר הידיים השכיח
הוא .2
משימה מס' :6התלמידים נדרשים תחילה לערוך טבלה של השכיחות של הנתונים וכן למצוא
את צבע העיניים השכיח.
להלן דוגמה לטבלה המתאימה לנתונים.
צבע עיניים
מספר הילדים
ירוק
2
כחול
4
חום
6
צבע העיניים השכיח הוא חום.
קטע שיעור ,עמוד :548שכיחות יחסית
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ג' ,לפני השיעור.
בשיעור מוסבר מהי שכיחות יחסית .חשוב שהתלמידים יבינו ששכיחות יחסית היא מספר
המראה את ה"משקל" של כל נתון .
משימה מס' :7חזרה על מיומנויות של קריאת טבלת נתונים והמרת שברים למספרים
עשרוניים .מומלץ לדון עם התלמידים בשאלה מה "מדבר" ֲאליהם יותר :השכיחות היחסית
הנתונה בשברים או השכיחות היחסית הנתונה במספרים עשרוניים.
משימה מס' :8תשובה א :לפי ההגדרה ,השכיחות היחסית של נתון אינה יכולה להיות מספר
גדול מ.1 -
משימה מס' :9קריאת טבלה ,חישוב שכיחות יחסית ובניית דיאגרמה .כך התלמידים נחשפים
לדרכים שונות של ייצוג נתונים.
משימה מס' :10משימה הדומה לפעילות גילוי ג' .הטקסט הוא "התקווה".
46 23
=
משימה מס' :11א( השכיחות היחסית של ילודת הבנים היא
100 50
54 27
ב( השכיחות היחסית של ילודת הבנות היא
.
=
100 50
.
משימה מס' :12כדאי לדון בנושאים :שכיח ,שכיחות ושכיחות יחסית.
נתונים במחקר אינם חייבים להיות מספרים .גם השכיח לא חייב להיות מספר ,אולם
השכיחות חייבת להיות מספר .שכיחות של נתון היא מספר הפעמים שהנתון מופיע .שכיחות
יחסית היא המנה המתקבלת מחלוקת שכיחות הנתון במספר הנתונים הכללי.
משימה מס' :13התלמידים נדרשים לאמוד תחילה את השכיחות היחסית של התיירים
שהגיעו דרך אילת .אם נעגל 15,500ל ,16,000 -נמצא כי 8000מתוך 16,000הם חצי.
8000 16
.
=
ב( השכיחות היחסית של התיירים שהגיעו דרך אילת היא
15500 31
7500 15
.
=
השכיחות היחסית של התיירים שהגיעו דרך ירדן היא
15500 31
244
משימה מס' :14על מהתלמידים לאמוד את השכיחות היחסית של כל אחד מהנתונים .כדאי
לדון בנושא השוואה בין שברים.
3
11
דרך היבשה מתאימה ל-
ודרך שדות התעופה מתאימה ל-
,דרך הים מתאימה ל-
1000
100
88
.
100
קטע שיעור ,עמוד :551הממוצע
בעזרת הדרך המוצגת אפשר להבין אינטואיטיבית מהו ממוצע :מעבירים נקודות מציון לציון,
כך שהתלמיד "כאילו" קיבל אותו ציון בכל אחד מהמבחנים.
משימות מס' :16-15משימות יישום .מבקשים מהתלמידים לפעול לפי הדרך המוצגת בשיעור.
משימה מס' :17התלמידים מתבקשים לבנות את הדיאגרמה במחברת ולפעול לפי הדרך
המוצגת בשיעור.
קטע שיעור ,עמוד :552הממוצע )המשך(
מוצגת דרך החישוב של הממוצע כאשר יש בסך הכול שלושה ציונים .בהמשך יובאו דוגמאות
במספר שונה של נתונים בסדרה .ההסבר הניתן הוא כללי ואינו ייחודי למקרה המוצג .בשיעור
מראים את שלבּי החישוב של הממוצע .חשוב לציין שהממוצע הוא מספר ,ולעתים ערך
הממוצע שווה לערך אחד הנתונים .תוצאה של חישוב קיימת רק אם לנתונים יש ערכים
מספריים.
משימה מס' :18משימת יישום .שגיאה נפוצה היא חלוקה לשתיים .מומלץ לדון בכך בכיתה,
להראות שמקבלים ציון גדול מכל אחד מהציונים ולשאול אם הדבר הגיוני.
משימת מס' :19משימת יישום נוספת .אפשר לדון בשאלה באיזו מידה הממוצע משקף את
הישגיו של כל תלמיד.
משימה מס' :20משימה זו נועדה גם לחזק את מיומנות הקריאה של טבלה וגם להדגיש את
שני סוגי הנתונים :הציונים של כל תלמיד בשורות ,והציונים לכל מבחן בטורים.
משימה מס' :21התלמידים יכולים לחשב את הממוצע בעזרת איזון או חישוב.
קטע שיעור,עמוד :553תכונות הממוצע
שיעור ראשון בסדרת שיעורים על תכונות הממוצע.
בשיעור זה מציגים את משמעות הממוצע :אם מחליפים כל נתון בממוצע ,סכום הנתונים אינוֹ
משתנה .על תכונה זו מבוססות כמה דרכים לחישוב הממוצע.
משימה מס' :22במשימה הנתונים אינם מופעים בטבלה ,ונדרשים מאמצים ומיומנויות של
הבנת הנקרא יותר מאשר בתרגילים שהנתונים בהם מופעים בדיאגרמה או בטבלה .כמו-כן
משווים בין שכיח לבין ממוצע.
משימה מס' :23משימת יישום להשוואה בין שכיח לבין ממוצע.
סעיף א :הממוצע .108
סעיף ג :השכיח אינו משתנה ,אך הממוצע משתנה.
סעיף ד :הממוצע החדש קטן יותר.
245
משימה מס' :24א( כדי לאמוד את הממוצע של מספר הפטריות שקטף כל ילד ,התלמידים
צריכים לדעת כי הממוצע יהיה מספר גדול מ 12 -וקטן מ .20 -הם יכולים לשער שהממוצע
הוא 15או .16ממוצע הפטריות שקטף כל ילד הוא . ( 15 + 12 + 20 + 13 ) :4 = 60 :4 = 15 .15
ג( אם מחליפים כל נתון בממוצע ,המספר הכולל של הפטריות אינו משתנה.
משימה מס' :25משימה זו מורכבת ממספר שלבים :התלמידים מתבקשים למלא את הטבלה
לפי הדיאגרמה ,לחשב את סכום הגבהים כדי למצוא את הממוצע ולהשיב על שאלה.
הג'ירפה
הגובה
א
5.1מ'
ג
4.2מ'
ב
2.8מ'
ד
3.6מ'
ה
4.3מ'
סכום הגבהים הוא 20מ' .ממוצע הגבהים הוא 4מ'.
אם מחליפים כל נתון בממוצע ,סכום הנתונים החדשים שווה לסכום הגבהים שמצאנו בסעיף
ב'.
משימה מס' :26השיטה של שירה מבוססת על חוק הקיבוץ בחיבור ,המאפשר לקבץ נתונים
זהים .כאשר משתמשים בחוק זה ,מבליטים את "המשקל של כל נתון" ומונעים טעויות חישוב
כאשר מחשבים סכומים חלקיים.
קטע שיעור,עמוד :555תכונות הממוצע :ייצוג וחישוב
השיעור קשה במיוחד ,ומומלץ לוותר עליו בכיתות חלשות .עם זאת לפי תכנית הלימודים,
נדרש ללמד אותו .התכונה המוצגת היא הביסוס המתמטי לכך ששיטת ה"איזון" מאפשרת
לייצג את הממוצע .חשוב לציין שאין חשיבות לאורך של בסיסי המלבנים ,אלא רק למספר
הבסיסים.
כדי להקל את ההבנה הוחלט להשתמש במלבנים בעלי אותו בסיס ,כך שמספר יחידות האורך
של מלבן האיזון הוא כפול ממספר הנתונים או שווה לו.
משימה מס' :27התלמידים מתבקשים לבצע את השלבּים המוצגים בשיעור ,כאשר המלבנים
המקוריים נתונים.
קטע שיעור ,עמוד :556תכונות הממוצע :הממוצע אינו תמיד מספר שלם
גם אם הנתונים הם מספרים שלמים ,הממוצע אינו חייב להיות מספר שלם .התלמידים עדיין
לא למדו את החילוק הארוך שבו המנה היא מספר עשרוני ,לכן נעשה שימוש בשברים.
משימות מס' :28-20שימוש בחישוב הממוצע בחיי היום-יום.
משימה מס' :31משימת יישום פשוטה לחישוב הממוצע.
1
1
( 2 + 3 + 0 + 5 + 1 + 2) :6 = 13 :6 = 2שוקי אוכל בממוצע 2חטיפי שוקולד ביום.
3
3
משימה מס' :32א( בכל קומה 64.2חנויות בממוצע .ב( בכל חנות יש 1.5עובדים בממוצע.
שימו לב התשובות מעוגלות לעשיריות.
משימה מס' :33אם נחשב את ממוצע החלונות בכל דירה ,נגלה כי הממוצע הוא מספר לא-
שלם .זו דוגמה נוספת לכך שהממוצע אינו תמיד מספר שלם .חישוב הממוצע של מספר
2
החלונות בכל דירה יתבצע כך. ( 10 + 18 + 7 ) : 3 = 35 : 3 = 11 :
3
246
משימה מס' :34מומלץ להנחות את התלמידים להשתמש במחשבון לחישובים .כדי לחשב את
ממוצע התפוחים שקטף כל ילד בכל כיתה ,נחלק את מספר התפוחים שנקטפו בכל כיתה
במספר התלמידים בכיתה.
הכיתה
מס'
הילדים
מס'
התפוחים
ממוצע
התפוחים
שקטף כל
ילד
א
30
ב
35
ג
25
ד
30
ה
24
ו
32
סה"כ
176
618
521
750
492
600
654
3,635
20.6
14.9
30
16.4
25
20.4
20.7
ממוצע התפוחים שקטף כל ילד מבית הספר הוא .20.7
קטע שיעור ,עמוד :558חישוב הממוצע "ללא נתונים"
מומלץ לבצע תחילה את פעילות הגילוי ו' .מפתיע שאפשר לחשב ממוצע גם כאשר אין בידינו כל
הנתונים .במקרה שבשיעור די לדעת כמה קילומטרים עברו המטיילים בסך הכול ובמשך כמה
ימים ,כדי לחשב כמה הם עברו בממוצע ביום .כדי להקל על התלמידים אפשר להביא מספר
דוגמאות המתאימות לנתונים המובאים .דוגמאות:
• 60 ,20 ,30 ,80 ,20 ,90 ,40 ,60
• 35,10 ,105 ,0 ,100 ,50 ,50 ,50
• .50 ,50 ,50 ,50 ,50 ,50 ,50 ,50
אפשר לבקש מהם להמציא סדרות אחרות לאותו סכום ולאותו ממוצע .חשוב לציין שאם אחד
מהנתונים הוא ,0הוא נחשב כנתון במספר הנתונים ,לכן בדוגמה שלעיל יש לחלק את הסכום
ב ,8 -ולא ב .7 -בדוגמה השלישית לממוצע ולשכיח אותו ערך.
משימות מס' :36 -35משימות יישום.
משימה מס' :37הממוצע שווה לסכום הנתונים לחלק במספר הנתונים .כפל וחילוק הם
פעולות הפוכות ,לכן סכום הנתונים הוא המכפלה של הממוצע במספר הנתונים.
ממוצע = ,5מספר הנתונים = ,8לכן מספר העוגות הוא .40
משימה מס' :38הילל צודק.כל ילד מכיתה ה' הרוויח בממוצע 8גולות ,ואילו כל ילד מכיתה
אחרת הרוויח בממוצע 9גולות.
הכר ַח שבכל מדף יהיה אותו מספר ספרים .ממוצע
משימה מס' :39לפי נתוני השאלה ,אין ֵ
הספרים שהיא סידרה על כל מדף הוא 60ספרים.
קטע שיעור ,עמוד :559תכונות הממוצע – הממוצע אינו תמיד מספר "מציאותי"
מומלץ לבצע תחילה את פעילות הגילוי ז' .מפתיע שממוצע יכול להיות מספר חסר משמעות
ממשית .בדוגמה שבשיעור הממוצע של מספר הילדים במשפחה הוא ,3.25והרי ברור שאין
"רבע ילד" .למרות זאת יש לממוצע חשיבות רבה ,ואי-אפשר לוותר על "החלק שאחרי
הנקודה" בנתון הקשור לגידול באוכלוסייה .יש הבדל גדול בין מדינה שממוצע הילדים בה הוא
2.2למשפחה ,לבין מדינה שבה הממוצע הוא 2.8או יותר.
247
משימה מס' :40הסעיפים א-ו הם יישום של השיעור בשני אופנים שונים )ממוצע ילדים
למשפחה בבניין וממוצע ילדים לבניין או לשכונה( .הממוצע השכונתי או ממוצע בבניין הוא
ממוצע ילדים למשפחה ,אבל אפשר לחשב אותו ברמה של כל בניין או ברמה של כל הבניינים.
משימה מס' :41שילוב הנושאים "עיגול מספרים גדולים" ו"ממוצע" .במשימה נעשה שימוש
באותם הנתונים למטרות שונות.
משימה מס' :42הקושי הוא להבין שלא כל הילדים משחקים באותו מספר חיות ,אך אפשר
לדעת את מספר החיות הממוצע שיש לכל ילד .במשימה רואים שהממוצע תלוי בשני נתונים:
גודל כל קבוצה ומספר החיות של כל קבוצה.
משימה מס' :43א( ארבעה ילדים בממוצע לכל אחד מהילדים של יהושע ובת-שבע.
) . ( 28 :7 = 4ב( 2.9ילידים בממוצע לכל אחד מהנכדים(86 : 28 ≈ 2.9) .
קטע שיעור ,עמוד :561תכונות הממוצע – ערך ביניים
מומלץ לבצע תחילה את פעילות הגילוי ח' .בשיעור מוסבר למה הממוצע של ערכים שונים
תמיד גדול מהערך הקטן ביותר של הנתונים וקטן מהערך הגדול ביותר שלהם.
משימות מס' :45-44משימות יישום לחיזוק ההסבר שבשיעור.
קטע שיעור ,עמוד :562אומדן הממוצע
הממוצע מתקבל על-ידי חישוב ,לכן כמו בכל חישוב אפשר לאמוד אותוֹ .בשיעור מובאות
דרכים לקביעת אומדן של ממוצע ,הקשורות לתכונות הממוצע ולמשמעותו .מובן שקיימות
דרכים אחרות ,כמו עיגול הנתונים ועוד.
משימה מס' :46על התלמידים להציג בדיאגרמה את הנתונים המופיעים בקטע השיעור
ולסרטט קו שייצג אמדן של ממוצע.
משימה מס' :47הממוצע הוא בין 30ל ,41 -קרוב יותר ל.30 -התלמידים יאמדו כרצונם את
הממוצע ויחשבו אותו כך(3 + 12 + 21 + 30 + 41 + 50 + 60) : 7 = 31 :
משימה מס' :48התלמידים מתבקשים לבצע את האומדנים שבשיעור.
א( הנתונים לפי סדר.24 ,31 ,37 ,38 ,40 :
ב( לפי השיטה של עמית ,מחשבים את הממוצע של המשקל המועט ביותר והמשקל הרב
24 + 40 64
ביותר .כלומר אמדן הממוצע הוא = = 32 .32
2
2
ג( תחום הממוצע לפי השיטות של רועי ואריאל הוא כזה :הממוצע גדול מ 31 -וקטן מ.37 -
ד( הממוצע המדויק הוא 34ק"ג אפרסקים.
24 + 31 + 37 + 38 + 40
.
ה( החישוב המתאים הוא= 34 :
5
ו( ההישג של דוד ) 35ק"ג( גדול מהממוצע ,לכן הוא מעלה את הממוצע של הקבוצה.
משימה מס' :49המשימה דומה למשימה ,29אך הפעם התלמידים למדו שיטות אחרות של
אומדן הממוצע ויכולים להשתמש בהן.
248
משימה מס' :50כדאי לדון בכיתה במרכיבי המשימה .התלמידים נדרשים לקרוא ולאתר
נתונים מתוך הטקסט .התלמידים המתקשים עלולים להתקשות באיתור הנתונים .א(בסך הכול
יש שישה זרים.
ב( בסך הכול יש 48פרחים3 × 7 + 2 × 5 + 17 = 48 .
ג( ממוצע הפרחים בכל זר הוא 8פרחים.
ה( המספר הכולל של הפרחים גדל ב.8 -
ד( המספר הכולל של הזרים גדל ב.1 -
ו( במקרה זה הממוצע לא השתנה ,כי נוסף זר של שמונה פרחים ,שזה הממוצע.
ז( במקרה זה השתנה הממוצע וגדל ,כי נוסף זר של מספר פרחים גדול יותר מהממוצע.
משימה מס' :51משימה זו מורכבת ועלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה .עודדו דיון
בקבוצה או במליאה .א( ממוצע הנקודות של חברי קבוצה א' הוא 46נקודות.
ב( לאחר ההוספה הממוצע גדל ב 56) .10 -נקודות(.
ג( ממוצע הנקודות של חברי קבוצה ב' הוא 25נקודות.
ד( ממוצע הנקודות של חברי הקבוצה לאחר ההוספה הוא 55נקודות .ה( קבוצה א' ניצחה.
מומלץ לנסח את התכונה של הממוצע עם כל תלמידי הכיתה :הממוצע גדל באותו מספר שנוסף
לכל אחד מהנתונים ,או קטן באותו מספר שבו החסירו כל אחד מהנתונים.
ח( ממוצע הנקודות יקטן ב ,10 -אם מפחיתים לכל חבר 10נקודות.
קטע שיעור ,עמוד :565החציון
בתכנית הלימודים מומלץ ללמד את נושא החציון בכיתות המתקדמות .ה"חציון" הוא מושג
אינטואיטיבי הרבה יותר מה"ממוצע" .בעיני התלמידים ,זהו האמצע .חשוב לציין שהחציון
הוא נתון ,ואפשר למצוא אותו בכל פעם שמסדרים את הנתונים בסדר עולה או יורד )מספרים,
א-ב( .לעומת זאת הממוצע הוא מספר ,תוצאה של חישוב .כאשר מספר הנתונים הוא אי-זוגי,
אין כל קושי למצוא את החציון .הבעיה מתעוררת כאשר מספר הנתונים הוא זוגי .במקרה זה
יש לחשב את הממוצע של הנתונים ה"אמצעיים".
משימה מס' " :52מיני חקירה" על הממוצע ועל החציון.
א( הממוצע של מספר הסלים בסדרה הראשונה הוא בערך .6.2
ב( הממוצע גדול מהחציון של הסדרה6.2 > 6 .
ג( הממוצע של מספר הסלים בסדרה השנייה הוא .6.4
ד( החציון בסדרה השנייה הוא ממוצע המספרים 6ו ,7 -כלומר .6.5אם כך ,הממוצע קטן
מהחציון.
משימה מס' :53חזרה על מה שנלמד עד כה )שכיחות ,שכיחות יחסית ,ממוצע ,חציון(
על-ידי "מיני חקירה" של סדרת נתונים גדולה במיוחד.
משימה מס' :54חישוב שכיח ,ממוצע וחציון בסדרות של מספרים נטולי כל "סיפור".
משימות מס' " :57-55חידוד" התכונות של המדדים המרכזיים.
משימה מס' :55לא .יש לעודד את התלמידים למצוא סדרה של ציונים מתאימים.
משימה מס' :56כן .יש לעודד את התלמידים למצוא סדרה של ציונים מתאימים.
משימה מס' :57לא .יש לעודד את התלמידים למצוא סדרה של ציונים מתאימים.
משימה מס' :58תשובה ד .כאשר מוסיפים נתון אחד לסדרת נתונים ,הממוצע ,השכיח
בהכר ַח.
ֵ
והחציון אינם משתנים
דוגמה :נתונים 11הציונים האלה.,5 ,6 ,7 ,7 ,7 ,7 ,7 ,8 ,9 ,9 ,10 :
249
השכיח הוא ,7החציון הוא ,7הממוצע הוא .7.5
אם נוסיף את הציון ,7.5אף אחד מהמדדים לא ישתנה.
משימה מס' :59תשובה ג .אם מספר הנתונים הוא אי-זוגי ,החציון הוא אחד מהנתונים.
מה למדנו? עמוד 567
בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק.
ג( מספר הפעימות בממוצע הוא .54ד( על התלמידים
משימה מס' :60א( 53ב( ד
למדוד את מספר פעימות הלב שלהם בדקה ולהשוות אותו עם זה של חבריהם.
ממשיכים בתרגול ,עמודים 575 - 568
משימה מס' :1משימת תרגול אינטגרטיבית הכוללת את המושגים :שכיחות ,שכיח ,שכיחות
יחסית ודיאגרמת עמודות.
משימה מס' :2משימת תרגול נוספת לשכיחות ולשכיחות יחסית.
משימה מס' :3משימה זו עוסקת בחישוב ממוצע ובהשוואה בין נתונים.
משימה מס' :4בניית דיאגרמת עמדות על סמך הנתונים וחישוב ממוצע הציונים.
משימה מס' :5משימה זו דומה למשימה 5שבעמ' ,540אולם כעת התלמידים נדרשים לחשב
את ממוצע התכונות של החייזרים.
התכונה
הממוצע
מספר עיניים
3
מספר רגליים
3
מספר ידיים
2.3
משימה מס' :6א( הזמן הממוצע באימון הראשון הוא 10דקות .הזמן הממוצע באימון השני
הוא 10דקות .התלמידים לא השתפרו .ב( כדאי לבחור בשרית ,שהיא המהירה ביותר ,והיא
האטי ביותר הוא אסף.
אף שיפרה את זמן הריצה שלה .ג( הילד ִ
משימה מס' :7תרגול נוסף של בניית דיאגרמת עמודות וחישוב ממוצע.
משימה מס' :8השיטה של דניאלה מבוססת על תכונת נוספת של הממוצע :אם מחסרים אותו
מספר מכל נתון ,הממוצע מוקטן במספר זה.
התלמידים מכירים תכונה דומה :אם מוסיפים אותו מספר לכל נתון ,הממוצע מוגדל במספר
זה .לכן אפשר לחשב את הממוצע של המספרים המוקטנים ולהוסיף בסוף את המספר
לממוצע.
משימה מס' :9במשימה זו עולה השאלה" :האם הממוצע משקף את הציונים של
התלמידים?" דונו בכך עם התלמידים.
א( ממוצע הציונים של עינב הוא ,73ממוצע הציונים של ענת הוא ,72ממוצע הציונים של גלית
הוא .73
ב( הציון הממוצע לעתים משקף את העבודה של התלמידים ולעתים אינו עושה זאת כראוי.
ממוצע הציונים של שלוש הבנות זהה כמעט לחלוטין .אולם אפשר לראות בטבלת הציונים
250
את ההתקדמות של עינב במהלך השנה ,לעומת זאת רואים את ההידרדרות של ענת במהלך
השנה ואת ציוניה הקבועים של גלית.
ג( ישנם שיקולים רבים במתן ציון לתלמיד בסוף השנה .מומלץ לדון עם התלמידים
בשיקולים ולומר להם שהשיקולים אינם חד משמעיים כי חסר מידע על התלמידים .ישנם
מורים המתייחסים רק לציונים האחרונים ,ישנם מורים המתייחסים אף לנסיבות
האישיות של התלמידים בעת מתן הציון הסופי.
משימה מס' :10חישוב הממוצע נעשה על-ידי חלוקת מספר הצעצועים במספר
הילדים 135 : 30 = 4.5 .כל ילד אסף בממוצע 4.5צעצועים.
משימה מס' :11המחיר הממוצע חייב להיות בין ₪ 5.20לבין .₪ 9.15
משימה מס' :12תכונות הממוצע כמדד ביניים.
משימה מס' :13ג( אחד מהציונים גדול מ ,90 -אחד קטן מ 90 -או שניהם שווים ל.90 -
משימה מס' :14משימה זו עוסקת באומדן של ממוצע ,בתכונות הממוצע ובחישוב.
משימה מס' :15משימת תרגול נוספת לחישוב הממוצע.
משימה מס' :16משימה זו כוללת את המושגים :שכיח ,ממוצע וחציון.
משימה מס' :17משימה זו כוללת את המושגים :שכיח ,ממוצע וחציון.
משימה מס' :18משימה פתוחה ,שנדרשים בה חשיבה והבנה של הממוצע ,החציון והשכיח.
משימה מס' :19א( מספר השתילים השכיח הוא .40ב( ממוצע השתילים ביום הוא .40
החציון של הנתונים הוא .40
ד( אם הגנן יכין ביום נוסף 40שתילים ,אף אחד מהנתונים לא ישתנה.
משימה מס' :20א( הממוצע של אורך האצבעות של ורד הוא 6.4ס"מ.
ב( האורך השכיח הוא 7ס"מ.
ג( החציון הוא 7ס"מ.
משימה מס' :21התלמידים צריכים לדעת שהממוצע צריך להיות גדול מ 107 -ס"מ וקטן מ-
154ס"מ .ממוצע הגבהים הוא 127ס"מ.
החציון של הגבהים הוא 120ס"מ.
משימה מס' :22א( השם הפרטי השכיח הוא רון )מופיע פעמיים( .ב( החציון של שמות
המשפחה הוא ויצמן .ג( אין ממוצע לנתונים שאינם כמותיים.
משימה מס' :23הממוצע של המספרים הוא .20הנתון השכיח הוא .12
משימה מס' :24א( זמן ההגעה של יואל מהבית לבית הספר הוא 11דקות.
ב( יואל יעבור מרחק של קילומטר במשך 22דקות ,וזאת בתנאי שמהירותו קבועה.
משימה מס' :25משימה פתוחה .התלמידים יחשבו את מספר החפצים הממוצע בקלמר של
שלושה חברים.
251
שאלות מילוליות ,עמוד 576
משימה מס' :1דוגמה 148 :ס"מ 145 ,ס"מ 151 ,ס"מ
משימה מס' :2דוגמה 200 :גרם 200 ,גרם 300 ,גרם 300 ,גרם
משימה מס' :3אם הממוצע של אביה הוא ,90צריך להיות לפחות עוד ציון מעל 90כדי לאזן
את .85
סכום הציונים הוא .450אם מחסרים את סכום שני הציונים הראשונים ,מקבלים
. 450 − 185 = 265זהו הסכום שהיא צריכה לקבל בשלושת המבחנים האחרים.
קיימות אפשרויות רבות ,כמו .95 ,85 ,85 :או 90 ,90ו.85 -
משימה מס' :4א( 51.5קילוגרם .ב( 1.5קילוגרם.
היסטוריה ,עמוד 577
ממוצע של נתונים בסטטיסטיקה נקרא "מדד מרכזי" ,כי בעזרתו אפשר להעריך סדר גודל של
נתונים.
המילה "סטטיסטיקה" באיטלקית פירושה "מדע של מדינה" ,כלומר מדע של קבלת החלטות.
התלמידים לומדים כי כבר בתקופת התנ"ך נערכו מפקדים לבני ישראל מספר פעמים לצורך
ארגון.
העשרה ,עמוד 578
משימה מס' :1א( ממוצע הציונים בכיתה ה' הוא .85ב( ממוצע הציונים בכיתה ה 2הוא .79
ג( הציון השכיח בכיתה ה 1הוא .100ד( הציון השכיח בכיתה ה 2הוא 75ו.80 -
ו( אם מידת הצלחתה של כיתה נקבעת לפי ממוצע הציונים שלה ,כיתה ה 1טובה יותר.
משימות מס' :3-2במשימות אלו רואים שכאשר קיימים נתונים קיצוניים בסדרה ,הממוצע
אינו מדד מרכזי מייצג.
אנו שולטים בחומר ,עמוד 579
חזרה על מספרים עשרוניים -המבנה העשרוני ,מיקום המספר על ציר המספרים ,השוואה בין
מספרים עשרוניים -וכן על היקף ועל שטח של מלבן.
252
נספח לפעילות הגילוי ג'
253
נספח לפעילות הגילוי ד'
טבלת שכיחות האותיות
ב
א
ד
ג
ו
ה
ח
ז
ט
י
כ
השכיחות
השכיחות היחסית בשברים
מ
ל
ס
נ
פ
ע
ק
צ
השכיחות
השכיחות היחסית בשברים
סדר אותיות העבריות במקלדת המחשב
ם
פ
ף
ך
ץ
ו
ן
ל
ת
ט
ח
צ
א
י
מ
ע
נ
ק
ר
כ
ה
254
ג
ב
ד ש
ס
ז
ר
ש
ת
עמ' 603 - 580
יח .פעילויות חקירה
רקע
במסגרת פעילויות נוספות ושאלות אינטגרטיביות נדרש בתכנית הלימודים לעודד הבנת כללים
על-ידי יצירה ועל-ידי חקר של סדרות ולוחות מספרים והכללה של מבנה או חוקיות של תהליך.
זו ההזדמנות לחשוף את התלמידים לכמה שיטות חקירה של נושאים מתמטיים מעניינים
שרוב הזמן אינם כלולים בתכניות לימודים .בפרק מובאות חקירות מפורסמות ובעיות לא-
שגרתיות.
הפרק אינו שגרתי ,לכן מבנה הפרק שונה מהפרקים האחרים .בהתחלה התלמידים מתבקשים
להתמודד עם חמש משימות חקירה של סדרות בעלות מאפיינים דומים.
הפעם בשיעור מסכמים את התהליכים שהתלמידים עברו בחקירות אלה .בהמשך מובאים
סוגי בעיות לא-שגרתיות ודרכי ייצוג שונות.
המטרה היא שהתלמידים יוכלו להתמודד עם בעיות לא-שגרתיות ועם בעיות אתגר במהלך
לימודי ההמשך במתמטיקה וכן עם בעיות בכלל .כמו-כן ,הם יוכלו להתמודד בעתיד עם בעיות
מסוג זה במבחנים או בתחרויות .נוסף על כך ,בחלק מהמשימות אפשר לפתח מרכיבים של
חשיבה אלגברית.
הפרק בנוי לפי הרעיונות של ג'ורג פויה ) (POLYAבספרו "כיצד פותרים?" ) HOW TO
,(SOLVE ITובו ארבעה שלבים לפתרון בעיות.
הפרק כולו מכיל פעילויות גילוי .מומלץ להימנע מ"ללמד" את הפרק ,אלא להשתמש
במשימות כפעילויות אתגר או כמשימות ל"מוקד מתמטי כיתתי".
מושגים
נתונים ,סדרת נתונים ,מקום בסדרה ,שיטות חקר ,ייצוג ,שיטתיות ,מסקנה ,הוכחה.
מטרות
התלמידים ידעו:
א .לבצע חקירה בשלבּים בשאלות של חיפוש חוקיות;
ב .לייצג את הבעיה;
ג .לבצע סדרה של דוגמאות;
ד .להעלות השערה הנוגעת לחוקיות;
ה .לבדוק את ההשערות;
ו .לפתור בעיות שרשרת פשוטות;
ז .למצוא דגם של ריצוף.
אביזרים ואמצעי המחשה
טבלאות ,ריבועי מנייה ,חפצים בצבעים שונים ,צורות פלא.
השיעור בספר הלימוד
קטע שיעור ,עמוד :580
פתרון כדי
שלוש המשימות הראשונות קשורות זו לזו .לתשע המשימות הראשונות יש אותו ְ
להראות שבעזרת שינוי בהצגת בעיה אפשר ליצור מצב הנראה כבעיה חדשה לגמרי.
משימה מס' :1התלמידים חוקרים את הסדרה המפורסמת :סכום מספרים טבעיים עוקבים.
כל מספר מיוצג כגוף המורכב מקוביות .בשלב זה התלמידים מתבקשים לגלות מספר קוביות
בגוף ,כאשר ידוע מספר הקוביות בגוף הקודם לוֹ בסדרה .בסעיף ה' מובאת טבלה כדי לעזור
לתלמידים לקבל מושג מה יכול להיות הכלל.
255
משימה מס' :2הפעם הסדרה החדשה נתונה בתוך טבלה ,והתלמידים מגלים בעזרתה מהם
המרכיבים החשובים בבעיה .בסעיפים השונים מכוונים את התלמידים.
משימה מס' :3במשימה זו מקשרים בין המשימות הקודמות .איבר בסדרה Bגדול פי שניים
מהאיבר בסדרה Aבעל אותו מספר סידורי .בסדרה Bהתלמידים גילו קשר מתמטי בין מספר
הגוף בסדרה )סדרו( לבין מספר הקוביות שבגוף :המספר הסידורי הוא גובה התיבה ,אורך
התיבה הוא המספר הבא ,ומספר הקוביות הוא המכפלה של שני המספרים .לדוגמה ,מספר
הקוביות בגוף מספר 10בסדרה Bהוא 10 ) 10 × 11 = 110הוא המספר הסידורי או הגובה של
)n × (n + 1
.
הגוף 11 ,הוא המספר הבא בסדרה או האורך של הגוף( .הכלל של סדרה Aהוא
2
משימה מס' :4חקירת מספר נקודות באבנים של משחק דומינו .במשימה זו יש לתלמידים
אפשרות לבדוק את תשובתם על-ידי מניית האבנים במשחק דומינו רגיל .הייצוג הוא מוחשי,
ומומלץ לכוון את התלמידים לכתוב את זוגות המספרים המופעים על האבנים בלי לצייר את
האבנים .הכלל הוא הכלל של סדרה .A
20 × 21
12 × 13
ב( = 210
משימה מס' :5הרחבה של משימה מס' . 4א ( = 78
2
2
משימות מס' :7-6חקירת מספרים זוגיים או אי-זוגיים מסודרים בטבלה בעלת שמונה
טורים .מטרת החקירה היא לאפיין את המספרים שבכל טור.
קטע שיעור ,עמוד :584בעיות חקירה
השלבּים המובאים בשיעור הם השלבּים שבספרו של פויה ) ,(POLYAוהם מנוסחים בפשטות.
קיימות דרכים אחרות לחקירה מתמטית ,אך היתרונות של דרך זו הם בעבודה השיטתית.
משימה מס' :8התלמידים יגיעו לפתּרון בדרך של פרדריק גאוס ) .(GAUSSבטבלה מוצגת
דרך החשיבה של גאוס .בשיטה של גאוס פותרים את הסדרה – Aסכום המספרים הטבעיים.
סדרה Bהיא סכום המספרים הזוגיים ,והיא מתקבלת על-ידי השלמת המשולשים של סדרה A
למלבנים על-ידי הנחת הקוביות הפוך .שוב מתקבל לפי גאוס איבר ראשון +איבר אחרון כפול
מחצית מספר האיברים .הסכום המתקבל גדול פי שניים מסכום המספרים הטבעיים.
מדוע? כי מחברים מספרים הגדולים פי שניים מהמספרים Aהסמוכים 2 :במקום 4 ,1במקום
2וכך הלאה.
משימה מס' :9הדלקת נרות חנוכה היא דוגמה נוספת של אותה בעיה .שימו לב ,כי בהדלקת
הנרות משתמשים בשמש .ביום הראשון ,ומדליקים ,למעשה ,שני נרות .ביום השני מדליקים
שלושה נרות וכן הלאה .ביום המאה מדליקים 101נרות .כלומר מס' הנרות הוא 100יותר מ-
.5,050
משימה מס' :10גם הבעיה של "לחיצת הידיים" היא דוגמה נוספת של אותה בעיה .מומלץ
להציע לתלמידים להמחיש את הבעיה.
פתרון :הפעם הבעיה היא של מספר האלכסונים במצולע.
משימה מס' :11שוב אותו ְ
משימה מס' :12הסדרה מייצגת את סכום Nמספרים האי-זוגיים העוקבים כשמתחילים מ-
.1כמו במשימה מס' 1כל מספר אי-זוגי חדש מיוצג על-ידי הוספת מספר קוביות מתאים לגוף
המורכב מקוביות .התהליך דומה לתהליך של החקירות הקודמות .
הסכום של Nהמספרים האי-זוגיים העוקבים שווה ל.N2 -
256
הקושי בסדרה זו הוא להבחין בכל שלב בין מספר הגוף או מקומו בסדר ) (Nהמראה מספר
מספרים אי-זוגיים עוקבים ,לבין המספר האי-זוגי האחרון בסדרה .לדוגמה ,כאשר ,N=4
הסכום הוא . 1+3+5+7 = 16 = 42
משימה מס' :13חקירה של מלבנים והקשר ביניהם .התלמידים יכולים לצייר סדרה של
מלבנים ששטחם 4סמ"ר 8 ,סמ"ר 12 ,סמ"ר 16 ,סמ"ר וכן הלאה.
במקרה זה הקשר בין מספר הציור לבין שטח המלבן הוא ששטח המלבן שווה למכפלת מספר
הציור ב.4 -
משימה מס' :14חקירת שברים מסודרים בטבלה בעלת ארבע עמודות .מטרת החקירה היא
לאפיין את השברים המופיעים בכל עמודה.
להלן הטבלה המלאה
טור ד'
טור ג'
טור ב'
טור א'
שורה 1
1
3
1
1
2
4
4
שורה 2
2
3
1
1
1
1
1
4
2
4
שורה 3
3
3
1
1
2
2
2
2
4
4
שורה 4
4
3
1
1
3
3
3
4
2
4
1
א( ההפרש בין כל שני איברים סמוכים בשורה הוא .
4
ב( ההפרש בין כל שני איברים סמוכים בטור הוא .1
3
ג( בשורה 20בטור ג' יהיה המספר . 19
4
ד( בשורה 78בטור ד' יהיה המספר .78
ה( המספר המתאים בטור ד' מתאים למספר השורה.
1
ו( המספר המתאים בטור ב' קטן ב -ממספר השורה.
2
1
ז( המספר המעורב 9לא יופיע בטבלה .מדובר במספרים שלמים בלבד או במספרים
9
מעורבים ,שהמכנה שלהם הוא 4או .2
3
1
ח( המספר 12שווה למספר , 12וזה מופיע בשורה 13בטור ב'.
2
6
5
1
ט( המספר 32שווה למספר , 32וזה מופיע בשורה 33בטור א'.
20
4
י( בטור ב' לא יכול להופיע מספר טבעי.
יא( בטור ד' יופיעו מספרי השורות שהם מספרים שלמים חיוביים בלבד.
קטע שיעור ,עמוד :588בעיות שרשרת
כפתרון אריתמטי של משוואות באלגברה.
בשיעור מוצגת השיטה הידועה ְ
א( מציגים את הנעלמים בצורה גרפית או ציורית ומוצאים את ה"מפתח" .בבעיה שבשיעור
ה"מפתח" הוא הסוכרייה.
ב( מחליפים במשוואות את ה"מפתח" בערכו.
257
ג( פותרים את המשוואות הפשוטות שהתקבלו בעזרת פעולות הפוכות )חיבור-חיסור ,כפל-
חילוק( .התרגום המילולי של הפעולה יכול להיות" :היו לי 23שקלים ,וכעת יש לי מוצרים
ו 2-שקלים ,מהו מחיר המוצרים?" .התלמידים למדו לפתור בעיות מסוג זה כבר בכיתה
ב'.
ד( שלב זה הוא השלב החדש .התרגום המילולי של הפרשי השורות יכול להיות "שילמתי 21
שקלים תמורת קבוצת מוצרים ובקבוק .מחיר המוצרים הוא 16שקל .מהו מחיר
הבקבוק?"
ה( ההמשך הוא הפעלה מחדש של השלבּים ב' ו-ג'.
משימה מס' :15בעיית שרשרת הדומה לבעיה שבשיעור .מחירו של משחק הוא ₪ 26ומחירו
של ספר הוא .₪ 24
משימה מס' :16בעיית שרשרת שבה ה"מפתח" הוא הגובה של המגדל השלישי )תיבה אדומה
אחת ותיבה כחולה אחת( .מומלץ לעודד את התלמידים להחליף בכל שלב את הייצוגים בערכם.
גובה התיבה הכחולה הוא 10ס"מ; גובה התיבה הירוקה הוא 4ס"מ; גובה התיבה האדומה
הוא 5ס"מ.
משימה מס' :17בעיית שרשרת מסוג חדש .הבעיה מוכרת בגרסאות שונות :אכילת תפוחים,
חלוקת אוצר וכדומה .בסוג זה של בעיות על התלמידים להתחיל מהסוף להתחלה .גם כאן
נעשה שימוש בכפל ובחילוק כפעולות הפוכות .כשמיכל הגיעה ,נותרו 2מגשים לסדר ,כי מיכל
סידרה חצי מהמגשים ,ולנועה נותר בסוף מגש אחד .התשובה :סידרו ביחד 32מגשים.
מיכל1:
יהודית4 :
שיראל16 :
נועה1 :
אודיה2 :
אנאל8 :
משימות מס' :19-18משימות יישום בצורת בעיות מילוליות.
משימה מס' :20חקירה קלסית של קשר בין סידור שולחנות לבין מספר אנשים היושבים
סביבם.
קטע שיעור ,עמוד :591
אפשר לבצע חקירות גם בגאומטריה .התנאי ליצירת דגם )סכום הזוויות סביב קדקוד הוא
(3600יכול להיות נושא לחקירה בפני עצמו.
פתרון:
משימה מס' :21בניית ריצוף .דוגמה של ְ
משימה מס' :22לא ,כי סכום הזוויות אינו .3600
משימות מס' :24 - 23מציאת דגמים .הדגמים במשימה :16
קטע שיעור ,עמוד :592בעיות הוכחה
בשיעור מובאת דוגמה של הוכחה ראשונית קצרה המתאימה לידע של תלמידים בכיתה ה'.
משימה מס' :25את כל הכפולות של 5אפשר לכתוב כסכום )כל המחוברים שווים ל,(5-
את כל הכפולות של ) 2כל המספרים הזוגיים( אפשר לכתוב כסכום )כל המחוברים שווים ל,(2-
וְ אפשר לכתוב כל מספר אי-זוגי ככפולה של 5ועוד 2או ככפולה של 5ועוד .4
258
משימה מס' :26כדי לפתור את התרגיל על התלמידים
• לחקור את לוח הכפל ולהשתמש במאפיינים של לוחות של מספרים שונים )לדוגמה ,בלוחות
של 5 ,0ו 6-מופיעות מכפלות של גורמים זהים ,כך שספרת היחידות של המכפלה שווה
לגורם) .דוגמה.( 6 × 6 = 36 :
• להשתמש בהיגיון "מה יקרה אם ;"...
• להשתמש בניסוי וטעייה בצורה שיטתית ,לדוגמה ,לבדוק מכפלות בסדר קבוע.
התשובה. 36 × 76 = 2,736 :
משימה מס' :27הפעלת היגיון ושיטתיות.
אחת השיטות לפתרון משימות מסוג זה היא בעזרת טבלה.
תנ"ך
פיזיקה
מתמטיקה
שם המורה
גד
2
2
3
דן
2
2
2
נתן
3
3
2
עברית
3
2
2
אנגלית
2
3
2
היסטוריה
2
3
2
הסבר:
המורה לפיזיקה אינו דן או גד ,לכן המורה לפיזיקה הוא נתן; המורה המבוגר הוא דן ,שאינו
מלמד תנ"ך ,מתמטיקה ,פיזיקה או עברית ,לכן הוא מלמד אנגלית והיסטוריה; גד ,המורה
למתמטיקה ,הוא הצעיר ביותר שמלמד גם עברית.
נתן מלמד תנ"ך ופיזיקה.
משימה מס' :28הוכחה מוחשית לכך שסכום הזוויות במשולש הוא .1800
משימה מס' :29חקירה המובילה את התלמידים למציאת הנוסחה של סכום הזוויות במרובע.
משימה מס' :30חקירת "ריבועים" בלוח הכפל .גילוי העובדה המעניינת שמכפלות המספרים
באלכסון שוות.
מה למדנו? עמוד :595סיכום הנלמד בפרק.
משימה מס' :31תחילה נחשב את מספר המשחקים שיורם ויתר עליהם .יורם ויתר על ,6 ,4 ,2
8משחקים שהם 20משחקים בסך הכול .אילו יורם שיחק בכל יום אותו מספר משחקים כמו
ביום ראשון ,הוא היה משחק 60משחקים.
לכן ביום ראשון הוא שיחק 12משחקים.
ממשיכים בתרגול ,עמודים 601 - 596
משימה מס' :1א( הציור השמיני יהיה מגן-דוד .ב( הציור התשיעי יהיה תפוח .הציור ה12 -
יהיה מגן-דוד ולא לב .לפי החוקיות של הסדרה .ד( הציור ה 15 -לא יהיה תפוח ,אלא לב .ה(
יניב צודק ה-מגן-דוד נמצא בציור שמספרו הוא כפולות של .4ו( ציור 80יהיה מגן-דוד )כי 80
הוא כפולה של .4כל אחד מהציורים מופיע כל ארבעה ציורים.
משימה מס' :2משימה פתוחה .התלמידים רשאים לצייר סדרת ציורים שבה שלושה ציורים
שונים ברצף.
משימה מס' :3א( הציור החמישי מורכב משבעה ריבועים .ב( הציור השמיני יהיה מלבן.
המלבן נמצא בכל מקום בו מספר האיור הוא מספר זוגי .ג( עומר צודק .ד( מספר הריבועים
שבמלבן גדול ב 2 -ממספר הציור .ה( שטח הצורה 5יחידות שטח .ו( שטח הצורה בציור 5
הוא 7יחידות שטח .ז( 12יחידות שטח .ח( כן ,שטח הציור יהיה 82יחידות שטח .ט( שטח
הציור גדול ב 2 -ממספר הציור .י( אם מספר הציור זוגי ,השטח המתקבל הוא שטח של מלבן.
259
יב( אם מספר הציור הוא אי-זוגי ,וגם השטח הוא אי-זוגי .יג( לא יכול להיות מלבן ששטחו
מספר אי-זוגי.
משימה מס' :4משימה זו עוסקת בחוקיות .כל מדרגה נבנית בעזרת שלושה גפרורים.
משימה מס' :5משימה זו עוסקת בחוקיות .סכום הכסף שאבא נותן לנועם גדול פי שניים
מהסכום שניתן לו יום קודם לכן.
משימה מס' :6כל אחד מהילדים קיבל סכום כסף בהתאם לגילו .אימא נתנה לילדיה סכום
כסף הגדול פי שניים מגילם .אבא נתן לילדיו סכום כסף הגדול פי שלושה מגילם .סבא נתן
לנכדיו סכום כסף הגדול פי ארבעה מגילם.
משימה מס' :7התלמידים נדרשים למצוא את מספר הספרים של שרה.
לשרה יש 32ספרי בישול 64 ,ספרי הרפתקאות ו 128 -ספרי היסטוריה .בסך הכול יש לה 224
ספרים.
משימה מס' :8התלמידים נדרשים לחשב את שטח המצולע לפי נוסחה נתונה.
התלמידים צריכים למנות את מספר נקודות השריג על היקף המצולע וכן את מספר נקודות
השריג בתוך הרשת ,להציב את הנתונים בנוסחה ולמצוא את השטח.
a = 13ו b = 53 -נציב בנוסחה ונקבל13 :2 + 53 − 1 = 6.5 + 53 − 1 = 58.1 :
משימות מס' 9ו :10 -משימות אלו עוסקות בחוקיות בסדרות של מספרים.
העשרה ,עמוד 602
משימה מס' :1התלמידים נדרשים לפענח את תרגיל הכפל המיוצג על ידי צורות.
תרגיל הכפל המתאים הוא . 102 × 16 = 1632
משימה מס' :2אחת הטענות של המתמטיקאי לגראנז' היא :שכל מספר טבעי אפשר לרשום
כסכום של ארבעה ריבועים .סכום של שניים או שלושה אינו אפשר בכל המספרים ,אלא לסוג
מסוים 17 .אפשר לרשום כ ,1 + 16 -אבל 16אי-אפשר לרשום כסכום של שני ריבועים .אפשר
להציג את השערת גולדבך שלא ההוכחה ,שכל מספר זוגי גדול מ .2 -אפשר לכתוב כסכום של
שני מספרים ראשוניים.
אנו שולטים בחומר ,עמוד 603
חזרה על הנושאים :גובה במקבילית ,היקף ושטח של מקבילית ,פעולות חיבור וחיסור
במספרים עשרוניים ובשברים.
260
עמ' 629 - 604
יט .מצולעים וריצופים
רקע
בפרק זה מקנים לתלמידים שלושה נושאים הקשורים זה לזה :חפיפה ,מצולעים משוכללים
וריצוף.
בחלק הראשון של הפרק יכירו התלמידים את המושג "צורות חופפות" .מושג זה הכרחי לבנייה
ולחקירה של ריצופים .גם הנושא חפיפה מרכזי בגאומטריה בחטיבת הביניים ,אך המושגים
נלמדים בצורה פורמלית .בפרק הנוכחי ניתנת לתלמידים הזדמנות יחידה להפנים את המושג
באופן אינטואיטיבי ,לעבוד באביזרים מוחשיים ובכך ליצור בסיס ללימודים בחטיבת הביניים.
המטרות העיקריות של חלק זה:
yפיתוח של אינטואיציות ושל ראייה מרחבית;
yפיתוח כושר הבחנה בין צורות חופפות לבין צורות שאינן חופפות;
yהבנת הקשר בין המושגים "חפיפה" ו"העתקות איזומטריות" )שיקוף ,סיבוב ,הזזה או
צירופיהם(.
התלמידים למדו על צורות חופפות בשנים קודמות ,אך קראו להן "צורות זהות" .גם כעת אין
מגדירים בדיוק את המושג "חפיפה" ,אלא מתארים אותו בהגדרה אופרטיבית" :מניחים
צורות זו על-גבי זו ובודקים אם הן מכסות זו את זו בדיוק" .מובן שמילים כמו "לכסות",
"לכסות בדיוק"" ,לשים" ו"-להניח" אינן מילים מדויקות במובן המתמטי .בגאומטריה
אוקלידית הייתה בעיה להגדיר את המושג "חפיפה" בצורה מדויקת ,והמתמטיקאים הצליחו
לפתור אותה רק במאה ה ,17 -כאשר קישרו בין גאומטריה אוקלידית לבין הטרנספורמציות
האיזומטריות )הפונקציות( ,והגדירו את החפיפה )כפי שמגדירים אותה גם היום במתמטיקה(
כך" :שתי צורות במישור נקראות חופפות אם קיימת טרנספורמציה איזומטרית שבה צורה
אחת מועתקת לצורה אחרת" .כמובן ,הגדרה זו היא ברמה גבוהה מדי ,והיא אינה מיועדת
לתלמידי כיתה ה' .המושג "צורות חופפות" קשור לשיקוף ,לסיבוב ולהזזה ,שבעזרתם אפשר
להניח צורות זו על-גבי זו ,כך שמרכיבים מתאימים בצורות יתלכדו זה עם זה .גם הנושא ריצוף
בנוי על קשר זה ,ולכן לומדים על "חפיפה" ועל "טרנספורמציות איזומטריות" בתחילת הפרק.
חשוב שלאורך כל השיעורים בנושא יצטיידו התלמידים בדפים שקופים )כמו נייר פרגמנט( ,כדי
שיוכלו להעתיק צורות ולהניח את ההעתק על הצורה הנבדקת .חשוב לשוחח עם התלמידים על
השוני בין המושג המתמטי "חפיפה" לבין המושג "חפיפה" בחיי היום-יום )כמו לחפוף את
הראש( .זה יעזור להם בהפנמת המושג המתמטי.
בחלק השני של הפרק עוסקים ב"מצולעים משוכללים" ,כיוון שבהמשך לומדים על ריצופים
במצולעים משוכללים .כדי שהתלמידים יבינו את המושג "מצולע משוכלל" ,צריך להרבות
בשאלות כאלה" :מדוע מלבן אינו מצולע משוכלל? האם מתומן שכל צלעותיו שוות באורכן
בהכר ַח מצולע משוכלל? מדוע ריבוע הוא מצולע משוכלל?" .מומלץ גם לבנות מצולעים
ֵ
הוא
משוכללים מגפרורים ,מקיסמים ,מרצועות או מחפצים אחרים מתאימים .חשוב שהתלמידים
יפתחו את האינטואיציות לגבי המראה של מצולע משוכלל.
בחלק השלישי והאחרון של הפרק מלמדים את התלמידים על המושג "ריצוף" .לאחר למידת
המושג יעסקו התלמידים בריצופים שונים ממצולעים משוכללים ויחקרו אילו ריצופים
אפשריים ,ומהם התנאים הדרושים כדי שריצוף יתקיים .הנושא הוא יישום של המושג "חפיפת
מצולעים" .התלמידים לומדים לבנות ריצופים על-בסיס מצולעים משוכללים ובונים ריצופים
פשוטים בעצמם .אפשר לקשט את הכיתה בריצופים שהתלמידים יבנו.
לפי תכנית הלימודים ,מומלץ להקדיש לנושא כ 6 -שעות לימוד.
מושגים
חפיפה ,צורות חופפות ,מצולעים חופפים ,צלעות מתאימות ,זוויות מתאימות ,קדקודים
מתאימים ,מצולע משוכלל ,מצולעים משוכללים חופפים ,ריצוף ,ריצוף במצולע משוכלל אחד,
ריצוף בשני מצולעים משוכללים.
261
מטרות
התלמידים ידעו:
א .לבדוק אם שתי צורות הן חופפות ,על-ידי הנחת צורה אחת על האחרת בפועל;
ב .לזהות צלעות מתאימות וזוויות מתאימות במצולעים חופפים;
ג .לזהות צלעות שוות וזוויות שוות במצולעים חופפים;
ד .להבחין בין צורות חופפות לבין צורות שאינן חופפות;
ה .להגדיר מצולע משוכלל;
ו .לזהות מצולעים משוכללים מבין מצולעים נתונים על-ידי בדיקה של שוויון צלעות ושל
שוויון זוויות;
ז .להסביר מדוע מצולע נתון הוא משוכלל או מדוע הוא אינו משוכלל;
ח .להבחין בין ריצוף לבין לא-ריצוף;
ט .למצוא דגם של ריצוף נתון;
י .להגדיר את התנאים לרצף שטח ע"י מצולעים משוכללים;
יא .לבנות ריצופים פשוטים על-בסיס מצולע משוכלל.
אביזרים ואמצעי המחשה
דפים שבהם סרטוטים של מצולעים ושל צורות אחרות )ראו פעילויות הטמעה וגילוי( ,נייר
מילימטרי ,שקף ,נייר משבצות ,צורות פלא ,צורות גזורות מבריסטול.
אביזרי "חשבון :"10מצולעים משוכללים בשקף ,רצועות ,שקף משבצות ,לוח מחיק.
הטמעה
א .חזרה על מצולעים.
התלמידים מקבלים דף שבו סרטוט המופיע ארבע פעמים .על התלמידים לצבוע בסרטוט א'
שני משולשים ושני מרובעים ,בסרטוט ב' מחומש ומשושה ,בסרטוט ג' משובע ובסרטוט ד'
מתומן) .הסרטוט בנספח לפרק זה(.
ב .חזרה על חיבור שברים בעלי אותו מכנה.
כותבים על הלוח שברים בעלי אותו מכנה .מבקשים מהתלמידים לחשב את הסכום של שני
7 2 1 3 4 5
שברים ,של שלושה שברים או של כל השברים .שברים לדוגמה. , , , , , :
5 5 5 5 5 5
ג .חזרה על כפל שבר בשלם.
כותבים על הלוח שברים ומספר שלם .מבקשים מהתלמידים לכפול כל שבר במספר השלם.
1 3 4
דוגמאות , , :והמספר השלם .2
2 7 9
ד .חזרה על שטח הריבוע.
מחלקים לתלמידים דף או מסרטטים על הלוח ריבועים המחולקים לריבועים חופפים קטנים
יותר .מבקשים מהתלמידים לחשב את שטחו של כל ריבוע גדול .באחד הריבועים הקטנים נתון
אורך הצלע )לדוגמה 5 ,יחידות אורך( .דוגמאות לריבועים:
262
פעילויות גילוי
פעילות א :התלמידים מקבלים אוסף של צורות גזורות שביניהן גם מצולעים .בין הצורות ישנן
צורות חופפות .רצוי שבין הצורות יהיו צורות "כמעט זהות" .מבקשים מהתלמידים למצוא
צורות זהות )כלומר חופפות ,אף-על-פי שהמושג "חפיפה" עדיין אינו מוכר לתלמידים( .דנים
בדרכי החיפוש )לדוגמה ,על-ידי ראייה או על-ידי הנחת צורה אחת על-גבי צורה אחרת( .את
אוסף הצורות אפשר להרכיב מצורות פלא ,לגזור אותן מבריסטול או מקרטון וכדומה.
אפשר להיעזר באוסף הצורות המופיע בנספח לפרק זה.
פעילות ב :התלמידים מקבלים דף שמצוירות בו צורות חופפות ולא-חופפות ,ודף שקוף.
התלמידים בוחרים שתי צורות לפי רצונם ומנסים לשכנע את התלמידים האחרים ששתי
הצורות הנבחרות הן חופפות או לא חופפות .אין לגזור את הצורות) .דרך אפשרית לבדיקה היא
העתקה על דף שקוף והנחת ההעתק על הצורה השנייה(.
פעילות ג :התלמידים מקבלים אותו אוסף צורות כמו בפעילות הקודמת או חלק ממנוּ :הם
מתבקשים לבחור זוג מצולעים חופפים ולבדוק אם במצולעים אלה ישנן צלעות שוות וזוויות
הפתרון.
שוות .דנים בדרכי ְ
פעילות ד :במארז האביזרים ישנו שקף של מצולעים משוכללים )לגזירה( בכמות מספקת
לפעילות זו.
התלמידים מקבלים אוסף מצולעים משוכללים )או גוזרים אותם מהדף( :ריבועים ,משושים,
משולשים ,מחומשים ,מתומנים .כל מצולע מופיע לפחות שבע פעמים .רצוי לצבוע מצולעים
מסוגים שונים בצבעים שונים .לכל המצולעים צלעות שוות באורכן .בשלב הראשון על
התלמידים ליצור ריצוף מעניין כרצונם .דנים במספר המצולעים המשוכללים שבדגם הריצוף.
בשלב השני מבקשים מהתלמידים ליצור ריצוף ,כאשר בדגם יש מצולע משוכלל אחד בלבד,
ולשער באילו מצולעים אפשר לרצף כך ובאילו מצולעים אי-אפשר לרצף ,ומדוע .דנים בריצופים
שהתקבלו ,בהשערות שהועלו ובנימוקים של התלמידים.
השיעור בספר הלימוד
בפרק זה אין "לעלות על הגל" ,אלא מתחילים בהקניית נושא חדש.
קטע שיעור ,עמוד :604צורות חופפות
מומלץ לבצע את פעילויות הגילוי א' ו -ב' לפני השיעור .בשיעור זה לומדים את המושג "צורות
חופפות" .חשוב להרגיל את התלמידים לבדוק חפיפה על-ידי העתקה של צורה אחת והנחת
הצורה המועתקת על הצורה המקורית )אם אין אפשרות להניח שתי צורות זו על זו בפועל(.
הדריכו את התלמידים כיצד לסובב את ההעתק )הזכירו את המושג "סיבוב"( ,כיצד להפוך
אותו )הופכים לצד השני כמו בשיקוף( ,וכיצד להזיז אותו )לפי הגדרת ההזזה( ,כך ששתי
263
הצורות יתלכדו ,כלומר יכסו זו את זו בדיוק .חשוב גם לעודד את התלמידים לשער אם צורות
נתונות הן חופפות ,ורק אחר-כך לבדוק את השערתם.
משימה מס' :1משימת יישום .בדיקה אם הצורות שבשיעור חופפות
משימה מס' :2משימת יישום .חשוב להשתמש בדף שקוף .אם תלמידים מוותרים על הבדיקה
וטוענים שהם רואים ששתי הצורות הנבדקות אינן חופפות ,בקשו מהם להסביר מדוע הצורות
אינן חופפות .דוגמה להסבר בסעיף א' – משושה אינו יכול להיות חופף למתומן ,כי מספר
הצלעות שלהם שונה.
משימה מס' :3על התלמידים לזהות את הצורות החופפות לריבוע הנתון )יש תשעה ריבועים
כאלה( ,וגם צורות אחרות החופפות זו לזו) .העשן מורכב משלוש אליפסות החופפות זו לזו; שני
החלונות הגדולים ,שהם גם ריבועים ,חופפים זה לזה; הדלת מורכבת משני מלבנים חופפים;
בגג הבית ארבעה ריבועים קטנים חופפים; וגם שני העיגולים הקטנים המשמשים ידיות של
הדלת הם חופפים (.חשוב שהתלמידים יבדקו את השערותיהם על-ידי העתקה של צורה אחת
מהצורות הנבדקות על דף שקוף והנחתה על הצורות האחרות.
משימה מס' :4התלמידים בודקים את חוק ההעברה )הטרנזיטיביות( של החפיפה .כלומר אם
צורה אחת חופפת לצורה שנייה והצורה השנייה חופפת לצורה שלישית ,הצורה הראשונה
חופפת לצורה השלישית .במשימה הזו צורה א' חופפת לצורה ב' ,והצורה של גד חופפת לצורה
ב' ,לפיכך צורה א' והצורה של גד חופפות .אכן מנסחים את החוק לתלמידים ,אלא התלמידים
בודקים אותו בדרך מוחשית בלבד ,כלומר בעזרת העתקה לדף שקוף.
משימה מס' :5צורות א ו -ג חופפות לצורה הממוסגרת.
משימות מס' :7 - 6פיתוח מיומנות ההעתקה.
משימה מס' :8זיהוי צורות חופפות.
משימה מס' :9פיתוח מיומנות העתקה בדרגה גבוהה יותר.
קטע שיעור ,עמוד :607מצולעים חופפים :צלעות מתאימות וזוויות מתאימות
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ג' לפני השיעור .בקטע זה התלמידים לומדים על הצלעות
המתאימות ,על הזוויות המתאימות ועל הקדקודים המתאימים במצולעים חופפים .מרכיבים
מתאימים במצולעים חופפים הם מרכיבים שמתלכדים כאשר המצולעים החופפים מכסים זה
את זה .צלעות מתאימות במצולעים חופפים שוות באורכן ,וזוויות מתאימות במצולעים
חופפים שוות בגודלן ,כי הן מתלכדות .ישנן שתי מטרות בשיעור זה (1 :ללמד את התלמידים
כיצד בודקים אילו צלעות ואילו זוויות מתאימות במצולעים חופפים )על-ידי הנחה של צורה
על-גבי צורה(; (2וגם לפתח ראייה מרחבית ,כלומר להתבונן ולהבין מהם המרכיבים
המתאימים.
כדאי להרגיל את התלמידים לצבוע באותו צבע צלעות מתאימות ,זוויות מתאימות או
קדקודים מתאימים ,כדי שיוכלו לזהות בקלות את מרכיבי המצולעים החופפים .הרגל זה יקנה
לתלמידים מיומנות חשובה לקראת לימוד משפטי החפיפה בחטיבת הביניים.
משימה מס' :10במשימה זו מראים שאם צורה מסוימת אינה חופפת לאחת משתי צורות
חופפות ,היא אינה חופפת גם לצורה השנייה מהצורות החופפות .התלמידים בודקים זאת
בעזרת העתקה לדף שקוף.
משימה מס' :11המעוין שסרטט דניאל זהה לריבוע שבסרטוט .כלומר אם צורות הן חופפות,
הן זהות בכל מרכיביהן .דבר זה בא לידי ביטוי במצולעים בשוויון של צלעות מתאימות ,של
264
זוויות מתאימות ושל קטעים אחרים ,כמו גבהים מתאימים במשולשים או אלכסונים
מתאימים במרובעים .לכן במעוין שסרטט דניאל מידתה של כל זווית היא ,900כלומר הוא
סרטט ריבוע.
משימה מס' :12משימת יישום .כדי לבצע את המשימה ללא שגיאות מומלץ להעתיק את אחד
המצולעים הנבדקים לדף שקוף ,לסמן אותיות ולהניח את המצולע הנבדק על המצולע המקורי.
כך התלמידים יראו את ההתאמה.
קטע שיעור ,עמוד :608צלעות ,זוויות וחפיפה של מצולעים
בקטע השיעור הקודם ובמשימות שבוצעו למדו התלמידים שבמצולעים חופפים הצלעות
המתאימות שוות זו לזו באורכן ,והזוויות המתאימות שוות זו לזו במידתן .כעת לומדים
שההפך אינו נכון :במלבן ובמקבילית הצלעות אמנם שוות זו לזו בהתאמה ,אולם המרובעים
אינם חופפים .כמו-כן בשני המחומשים שבסרטוט הזוויות שוות במידתן ,אך המחומשים אינם
חופפים .יש לציין אפוא כי במשולשים מספיק שוויון של שלוש צלעות בהתאמה כדי שהם יהיו
חופפים ,אך הדבר אינו כך במצולעים האחרים שאינם משוכללים.
במצולעים משוכללים כמו ריבוע ,מחומש משוכלל ועוד -שוויון הצלעות מספיק כדי לקבוע
חפיפה.
משימה מס' :13חזרה על תכונות המלבן ,המעוין והריבוע כדי להשתמש בהן בהמשך.
משימה מס' :14התלמידים יכולים לסרטט ריבוע ומלבן שאינו ריבוע .אפשר לסרטט גם שני
מלבנים בגדלים שונים.
משימה מס' :15בשני ריבועים שאינם חופפים אורכי הצלעות שונים .אפשר לסרטט במחברת.
משימה מס' :16אפשר ששתי הצורות יהיו ריבועים חופפים ,כי ריבוע הוא מעוין מיוחד.
אפשרות אחרת היא שהצורות לא יהיו חופפות ,וזאת אם מציירים מעוין לא-מיוחד שצלעותיו
שוות לצלעות הריבוע.
קטע שיעור ,עמוד :609שיקוף ,סיבוב ,הזזה וחפיפה
בשיעור זה מראים את הקשר בין ההעתקות האיזומטריות לבין החפיפה :כלומר אם שתי
צורות מתקבלות זו מזו על-ידי שיקוף או סיבוב או הזזה או צירופיהם ,הצורות חופפות .גם
ההפך הוא נכון :אם שתי צורות חופפות ,קיימת העתקה איזומטרית שמעתיקים בעזרתה את
אחת הצורות על הצורה האחרת )בכיתה ה' לא עוסקים בדבר( .לא צוינה בספר האפשרות של
צירופי העתקות איזומטריות כדי לא להעמיס על התלמידים.
משימה מס' :17בדיקה של חפיפת הצורות שבשיעור.
משימה מס' :18הצורה שהיא האות מועתקת בשיקוף ברצף שש-עשרה פעמים .אפשר
לראות ששימוש בשיקוף בלבד מוביל להעתקה נוספת שהיא הזזה .לדוגמה ,האות הראשונה
משמאל והאות השלישית משמאל באותה שורה מתקבלות זו מזו על-ידי ההזזה .אפשר להגיע
למסקנה המעניינת ,שתוצאת הצירוף של שני שיקופים יכולה להיות הזזה .אם נתבונן בצורה
הראשונה משמאל למעלה ובצורה ה"נוגעת" בה למטה "באלכסון" )הצורה השנייה משמאל
למטה( ,נראה ששתי הצורות האלו התקבלו זו מזו על-ידי סיבוב בזווית שטוחה ) .(1800גם כאן
היה צירוף של שני השיקופים ,אך הפעם הוא הוביל לסיבוב.
משימה מס' :19זיהוי הזזה ,סיבוב ושיקוף.
265
קטע שיעור ,עמוד :610מצולעים משוכללים
בשיעור זה התלמידים לומדים על מצולעים משוכללים .שימו לב :כדי שהמצולע יהיה משוכלל,
שני התנאים )שוויון צלעות ושוויון זוויות( צריכים להתקיים בו-זמנית .בתרגילים שבחלק זה
של הפרק חשוב לשאול שאלות כאלה" :מדוע מצולע זה משוכלל /אינו משוכלל?" ,ולא
להסתפק רק בתשובות "כן" או "לא".
משימה מס' :20משימת יישום .במשימה זו ובהמשך יש שימוש רב בסימון של צלעות שוות,
של צלעות לא-שוות ,של זוויות שוות ושל זוויות לא שוות .יש להזכיר לתלמידים את משמעות
הסימנים.
משימה מס' :21משימת יישום.
משימה מס' :22לצורך חקירת ריצופים בהמשך ,עוסקים במשימה זו במידה של זוויות
במצולעים משוכללים .התלמידים אינם מכירים את הנוסחאות לחישוב סכום הזוויות במצולע,
ולכן הסכומים של הזוויות במצולעים משוכללים נתונים .כדי לחשב את המידה של כל אחת
מהזוויות במצולע משוכלל צריך לחלק את הסכום של כל הזוויות במספר זוויות המצולע )כי כל
הזוויות שוות במידתן(.
משימה מס' :23על התלמידים לנמק מדוע כל אחד מהמצולעים הנתונים אינו משוכלל.
משימה מס' :24אפשר להשתמש בארבע רצועות או בכמות אחרת .לדוגמה ,אפשר לבנות
מרובע משוכלל )ריבוע( בעזרת 8רצועות .אפשר להשתמש בגפרורים ,בקיסמים או בכל אביזר
אחר המתאים לבנייה .אפשר לבנות ריבוע גם משני גפרורים )כל צלע היא חצי גפרור( .דונו עם
התלמידים בהצעותיהם.
משימה מס' :25רונית אינה צודקת .ישנם אלכסונים מסוגים שונים.
אמנם בריבוע שני האלכסונים שווים באורכם ,אך אם נתבונן באלכסונים במחומש ,נראה כי יש
הבדל בין אלכסונים היוצאים מאותו קדקוד ומתחברים לקדקודים נגדיים שונים.
D
A
הדבר בולט יותר במשושה משוכלל )כמודגם בציור( .האלכסונים ABוCD -
של המשושה יוצרים שתי צלעות נגדיות של מלבן .ABCD
בתוך המלבן יש שני אלכסונים נוספים של המשושה ,שהם גם אלכסוני המלבן.
אלכסונים אלה שונים באורכם מצלעות המלבן.
משימה מס' :26פאות הקובייה הן ריבועים ,כלומר מרובעים משוכללים.
B
C
משימה מס' :27המרובע הוא ריבוע שאורך צלעו 2ס"מ.
משימה מס' :28בבית-הספר היסודי התלמידים אינם עוסקים בבניות באופן מסודר ,אך הם
בונים לעתים לפי אילוצים נתונים .כדי לבנות משולש שווה-צלעות )משולש משוכלל( שאורך
צלעו 2ס"מ ,מסרטטים קטע שאורכו 2ס"מ ,לוקחים מד-זווית ובונים זווית של ,600כך
שהקטע המסורטט יהיה על אחת משוקי הזווית .על השוק השנייה מקצים קטע באורך 2ס"מ
)קדקוד הזווית הוא הקצה של הקטע השני( .מחברים בקטע את קצות הקטעים המסורטטים
שעדיין אינם מחוברים .מתקבל משולש משוכלל .הבדיקה :מודדים את כל הזוויות )המידה של
כל זווית היא (600ומודדים את כל הצלעות )הן צריכות להיות באורך 2ס"מ(.
אפשר לבנות גם בעזרת מחוגה :מסרטטים צלע שאורכה 2ס"מ ,ובכל קצה של הקטע מניחים
מחוגה ומעבירים שתי קשתות בפתיחה של 2ס"מ .נקודת המפגש של הקשתות היא הקדקוד
השלישי של המשולש.
266
משימה מס' :29במשימה זו משולבות מספר מיומנויות ונראה גיוון בדרך ההוראה .זוהי
עבודה עצמית הכוללת גזירה ובנייה של משולשים ,עבודה בקבוצות או במליאה לדיון ולהסקת
מסקנות.
התלמידים נדרשים לגזור מהנספח את המשולשים השונים ולבנות בעזרתם מצולעים
משוכללים.
להלן דוגמאות למצולעים משוכללים שאפשר לבנות מהמשולשים הנתונים.
אפשר לבנות ריבוע בעזרת שני משולשים ישרי-זווית ושווי-שוקיים או בעזרת ארבעה משולשים
או כך:
כאלה כך:
אפשר לבנות משולש שווה-צלעות בעזרת ארבעה משולשים שווי-צלעות .כך:
כמו-כן אפשר לבנות מחומשים ומתומנים .להלן הדוגמאות:
קטע שיעור ,עמוד :613ריצוף
מומלץ לבצע את פעילות הגילוי ד' לפני השיעור .בשיעור זה מתחילים ללמוד את הנושא ריצוף.
המושג "ריצוף" מבוסס על המושג "חפיפה" .יש להדגיש לתלמידים שלושה עקרונות של
ריצופים :א( כל ריצוף מורכב מדגם מסוים החוזר על עצמו )דגם זה יכול להיות צורה אחת או
כמה צורות(; ב( כל ריצוף בנוי מהדגם על-ידי סיבוב או על-ידי הזזה או על-ידי שיקוף; ג(
בריצוף אין מרווחים בין הדגמים ,ואין כיסוי חלקי של הדגמים.
בנושא זה שני סוגים עיקריים של משימות (1 :בניית ריצוף לפי דגם נתון; (2ומציאת דגם
בריצוף נתון.
משימה מס' :30הריצוף הפשוט ביותר הוא בדף משבצות .הדגם הוא ריבוע )המשבצת( .לכל
דגם צמודים שמונָה דגמים .ג( כן.
משימות מס' :33 - 31על בסיס רשת משבצות אפשר ליצור מגוון דגמים .חמישה מהם נתונים
במשימות אלו .הציעו לתלמידים לצבוע את הריצופים כרצונם.
משימה מס' :34אפשר לקבל ריצוף בריבועים או במלבנים על-ידי כל אחת משלוש ההעתקות
האיזומטריות .ריצוף במקביליות או במעוינים יכול להתקבל על-ידי שיקוף )סרטוט (1או על-
ידי הזזה )סרטוט .(2בריצוף במעוינים אפשר למצוא גם סיבוב וגם הזזה .בריצוף במקביליות
יש גם דגמים שהתקבלו זה מזה בהזזה ,אך אין בו סיבוב )סרטוט .(1ריצוף במשולשים או
באחת מהצורות שבמשימה 31מתקבל על-ידי שיקוף ,ויש דגמים המתקבלים זה מזה על-ידי
הזזה או על-ידי סיבוב.
שימו לב :הריצוף במעוינים ,כמו בסרטוט 1באמצע ,יכול להתקבל אם המידות של זוויות
המעוין הן 1200ו.600 -
סרטוט 2
סרטוט 1
267
משימה מס' :35זיהוי ריצוף .א .נכון .ב .לא-נכון .ג .נכון .ד .נכון .ה .לא-נכון ו .נכון.
משימה מס' :36פיתוח מיומנות ציור.
קטע שיעור ,עמוד :616ריצוף במצולעים משוכללים
בשיעור זה לומדים ריצוף במצולעים משוכללים .אפשר לרצף שטח כאשר הדגם בנוי ממצולע
משוכלל אחד או מכמה מצולעים משוכללים.
משימה מס' :37כן .במשימה זו ובמשימות הבאות התלמידים מתנסים תחילה בבניית ריצוף
)בעזרת מצולעים משוכללים גזורים או מוכנים( ולאחר מכן מציירים אותו.
משימה מס' :38התלמידים מתחילים לחקור את האפשרויות לבניית ריצופים ,וכעת הם בונים
את ששת הריצופים הנחקרים .בתום בנייה וציור מגיעים למסקנה שאפשר לרצף שטח
במשולשים משוכללים חופפים ,במרובעים משוכללים חופפים או במשושים משוכללים
חופפים.
משימה מס' :39ממשיכים בחקירה .א( אפשר להשתמש בתוצאות ממשימה .16ג( סכום
הזוויות סביב כל קדקוד הוא ) 3600סיבוב שלם( .ד( מספר הדגמים סביב אותו קדקוד שווה ל-
3600חלקי מידת הזווית של המצולע המשוכלל.
משימה מס' :40התלמידים סיימו את החקירה במשימות הקודמות ,וכעת עליהם לענות על
השאלות לפי מסקנותיהם .ז( ריצוף השטח אפשרי במשולשים משוכללים חופפים ,במרובעים
משוכללים חופפים או במשושים משוכללים חופפים.
קטע שיעור ,עמוד :618יצירת ריצוף
בשיעור זה מלמדים את התלמידים לבנות דגם לריצוף על בסיס מצולע משוכלל )בשיעור זה
ריבוע( ולרצף את השטח בעזרתו .בניית הדגם נעשית בשלבּים המפורטים בשיעור .זוהי עבודה
יצירתית ,ולתלמידים ניתנת אפשרות לפתח כישורים ולהראות את כשרונם ביצירת דגמים
לריצוף .תוכלו לקשט את הכיתה בעבודות התלמידים.
משימה מס' :41אפשרות לדגם:
משימה מס' :42משימת יישום.
משימה מס' :43פעילות "חופשית".
מה למדנו? עמוד :619
בעמוד זה חוזרים על החומר שנלמד בפרק .שימו לב כי התנאי של שוויון צלעות של מצולעים
אינו מספיק לחפיפת המצולעים ,פרט למשולשים.
ממשיכים בתרגול ,עמודים 625 - 620
משימה מס' :1משימת תרגול של זיהוי של זוגות צורות חופפות.
א( חופפות ,ב( לא חופפות .ג( חופפות ד( לא חופפות .ה( חופפות ו( חופפות.
הנחו את התלמידים להיעזר בהעתקת אחת הצורות על דף שקוף.
משימה מס' :2משימת תרגול של ציור צורה חופפת לזו הנתונה .אפשר להנחות את התלמידים
להיעזר בדף שקוף להעתקה או בנייר העתקה מיוחד.
משימה מס' :3משימת תרגול של זיהוי צלעות מתאימות במרובעים חופפים.
268
הצלעות ADו EH -הן צלעות מתאימות.
הצלע BCוהצלע FGהן צלעות מתאימות.
הצלע ABמתאימה לצלע .EF
הצלע CDמתאימה לצלע .HG
הצלעות ADו HE -מתאימות ,ולכן הן שוות באורכן.
משימה מס' :4א( הפעלת הזזה ,שיקוף וסיבוב על הספרה 9הכתובה בשתי צורות שונות.
ב( אפשר לקבל את הספרה 6על-ידי סיבוב.
משימה מס' :5אי אפשר לבנות מעושר משוכלל שהמידה של אחת מזוויותיו היא 1550
ומידתן של יתר תשע הזוויות היא . 1350הדגישו במשימה זו ,שבמצולע משוכלל כל הזוויות
שוות בגודלן.
משימה מס' :6אי-אפשר לבנות מתומן משוכלל שאורך אחת מצלעותיו הוא 2מ' ויתר הצלעות
אורכן 2ס"מ .הדגישו במשימה זו ,שבמצולע משוכלל כל הצלעות שוות באורכן.
משימה מס' :7רוני אינו צודק .אלכסונים שווים אינם מהווים תנאי לקיומו של מצולע
משוכלל.
אכן במלבן האלכסונים שווים באורכם ,אולם לא כל צלעות המלבן שוות באורכן.
משימה מס' :8משימת סרטוט של משושה משוכלל שאורך צלעו 2ס"מ .הנחו את התלמידים
להיעזר בסרגל ובמד-זווית.
משימה מס' :9משימה זו עלולה להיות קשה לחלק מתלמידי הכיתה .התלמידים נדרשים
לסרטט משולש משוכלל בעזרת המשושה המשוכלל הנתון.
אם נסרטט במשושה המשוכלל שני אלכסונים ,נקבל שני משולשים משוכללים.
הנה כך:
משימה מס' :10משימת סרטוט של מגן-דוד הבנוי משני משולשים שווי-צלעות חופפים.
משימה מס' :11בריצוף על-ידי ריבועים ומשושים משוכללים חסרים משולשים שווי-צלעות.
משימה מס' :12משימת תרגול של השלמת ריצוף לפי דגם נתון.
משימה מס' :13אפשר ליצור אין-סוף דגמים לריצוף .אחת הדרכים ליצירת דגם היא לצייר
מלבן ,לגזור ממנו חלק בצד אחד ולהעביר את החלק הגזור לצד השני.
משימה מס' :14משימת תרגול נוספת לריצוף בעזרת ריבועים המחולקים לשני משולשים
ישרי-זווית ושווי-שוקיים.
269
משימה מס' :15כדי לרצף שטח במשושים משוכללים נדרשים שלושה משושים סביב כל
קדקוד .בכל קדקוד סכום הזוויות הוא . 3600
משימה מס' :16המשושה מאפשר שימוש במעט דונג ליצירת מרחב אחסון מרבי .הדבורים
מחפשות את הצורה החסכונית ביותר ,שתהיה בעלת הנפח הגדול ביותר האפשרי ,ותתאים
לאחסון הזחלים.
גוף הכוורת מורכב מפאונים הדבוקים זה לזה .בסיס כל פאון הוא משושה משוכלל ,כך שכל
הפאונים יחד מרכיבים גוף שהוא "ריצוף מרחבי".
הצד השני של כל פאון נסגר על-ידי שלושה מעוינים היוצרים "גג" .המידות של הזוויות בכל
מעוין הן 10928ו. 70 32 -
משימה מס' :17משימת תרגול של ריצוף משטח בעזרת שלושה מצולעים שונים.
משימה מס' :18משימת תרגול נוספת של ריצוף לפי דגם נתון.
משימה מס' :19משימת תרגול נוספת של ריצוף על רשת של נקודות לפי דגם נתון.
משימה מס' :20התלמידים נדרשים למצוא את הדגם ולהשלים בעזרתו את הריצוף על רשת
נקודות.
משימה מס' :21א( אם משושה משוכלל נבנֶה בעזרת שישה משולשים משוכללים שאורך הצלע
של המשולש הוא שני ס"מ' היקף המשושה הוא 12ס"מ6 × 2 = 12 .
משימה מס' :22התלמידים נדרשים לצייר צורות לפי ההוראות.
בסעיף א' הצורה המתקבלת היא תמונת השיקוף של הספרה .5
בסעיף ב' הצורה המתקבלת היא תמונת הזזה של הספרה ,5ארבעה צעדים ימינה וצעד אחד
למטה.
סעיף א'
סעיף ב'
בסעיף ד' הצורה היא תמונת הסיבוב סביב הנקודה Oבזווית של . 180 0
כמו בסעיף ב' אין שינוי כיוון.
משימה מס' :23א( בריצוף מצולעים סכום הזוויות בכל קדקוד הוא . 360 0
בריצוף א' סכום הזוויות הוא . 2 × 90 + 3 × 60 = 180 + 180 = 360 . 3600
270
סעיף ג'
שאלות מילוליות ,עמוד 626
משימה מס' :1הקישוט של מיכל מורכב כולו מלבבות חופפים זה לזה .כל הצורות שבקישוט
חופפות לצורה שבשבלונה.
משימה מס' :2משימה פתוחה .התלמידים נדרשים לבחור שבלונה של אות כלשהי ולצייר
אותה ארבע פעמים .האותיות המתקבלות זו מזו בהעתקה חופפות זו לזו.
משימה מס' :3לאחר העתקת הציור על גבי דף שקוף והעתקתו מחדש נוצרת צורות חופפות.
משימה מס' :4משימה פתוחה .על התלמידים לפתח בעצמם שיטה לסרטוט צורות חופפות.
קיימות שיטות שונות לסרטוט צורות חופפות ,חלקן מוכרות יותר וחלקן פחות .דוגמה :שימוש
בעזרת חותמות ,שימוש בנייר העתקה וכדומה.
יישומים באמנות ,עמוד 627
הריצוף נפוץ מאוד באמנות ,וכאן מוזכרים ריצופים של ֶא ֶשר וגם ריצופים בארכיטקטורה.
אפשר לבקש מתלמידים שיביעו עניין בנושא ,להכין הרצאה קצרה על אשר ) ,(ESHERאמן
שיצר ריצופים מקוריים מיוחדים ,ולהדגים את יצירותיו בהרצאה.
משימה מס' :1ריצוף זה נעשה בדגם המורכב מארבעה מצולעים משוכללים :משושה ,משולש
ושני ריבועים חופפים) .שימו לב שצלעות כל המצולעים שוות באורכן (.אם התלמידים
מתקשים ,יש להדריך אותם להכין את הצורות )משושה משוכלל ,משולש משוכלל וריבוע(
מקרטון או מבריסטול ולהיעזר בהן לסרטוט הריצוף.
משימה מס' :2הדגם במשימה זו בנוי על בסיס משושה .התלמידים צריכים לזהות את הדגם
ואת שלבּי הבנייה שלוֹ.
271
העשרה ,עמוד 628
משימה מס' :1פירוט הדרכים ליצירת ריצוף על-ידי גזירת חלק מציור בצד אחד של מקבילית
והעברתו לצד השני.
משימה מס' :2משימת ישום.
משימה מס' :3משימת ישום.
אנו שולטים בחומר ,עמוד 629
התלמידים חוזרים על הנושאים :הפיכת שבר למספר עשרוני ,תיחום ,שטח והיקף של משולש.
נספח להטמעה א'
ב
א
ד
ג
272
נספח לפעילות הגילוי א'
273
© Copyright 2024