‫לכיתה הטרוגנית‬ ‫פרק ג'‬ ‫חילוק שברים פשוטים‬ ‫תוכן הענינים‬ ‫שיעור ‪ 1‬אל האחד‪82-------------------‬‬ ‫שיעור ‪ 2‬מסלולים כפליים‪89-------------‬‬ ‫שיעור ‪ 3‬חלוקה בגן הטרופי‪92-----------‬‬ ‫שיעור ‪ 4‬חלוקת מספרים‪97-------------‬‬ ‫שיעור ‪ 5‬חוקרים ופועלים‪102------------‬‬ ‫שיעור ‪ 6‬שברים בפעולה‪106-------------‬‬ ‫שיעור ‪ 7‬ריסוס בלי היסוס‪111-----------‬‬ ‫חילוק שברים פשוטים‬ ‫פרק ג'‬ ‫דרישת תוכנית הלימודים‪:‬‬ ‫}ביצוע חילוק של מספר שלם בשבר יסודי‪) .‬חילוק להכלה(‬ ‫}ביצוע חילוק של מספר שלם בשבר כלשהו‪.‬‬ ‫}ביצוע חילוק של שבר בשבר בדרך אלגוריתמית‪.‬‬ ‫}פתרון שאלות מילוליות חד שלביות ורב שלביות בכפל וחילוק של שברים פשוטים‪.‬‬ ‫}פתרון משוואות בכפל וחילוק‪.‬‬ ‫}אומדן של תוצאות תרגילי חילוק‪.‬‬ ‫}ביסוס ההבנה של יחסי גומלין בכפל וחילוק‪.‬‬ ‫}ביצוע מטלות לביסוס ידיעת סדר הפעולות וחוקי הפעולות‪.‬‬ ‫מטרות‪:‬‬ ‫}לפתור בעל פה תרגילי חילוק של שברים במקרים פשוטים‪.‬‬ ‫}ללמוד את האלגוריתם של חילוק שברים פשוטים ולבסס אותו‪.‬‬ ‫}לבסס הבנה של יחסי גומלין בין פעולות הכפל והחילוק‪.‬‬ ‫}לדון בהגדלה או הקטנה של מספר כתוצאה מחילוקו בשבר‪.‬‬ ‫}לדעת להשתמש בחוקי החשבון לצורך ביצוע חישובים בכתב ובעל פה‪.‬‬ ‫}לדעת לפתור משוואות פשוטות‪.‬‬ ‫}לטפח כישורי הערכה ואומדן‪.‬‬ ‫}להתנסות בהבנת הנקרא ובאיתור מידע רלוונטי‪.‬‬ ‫}לחשוף את התלמידים למשימות חקר גדולות‪.‬‬ ‫בתום שיעורים אלה על התלמידים‪:‬‬ ‫}לשלוט בחילוק שברים פשוטים‪.‬‬ ‫}לדעת לפתור משוואות פשוטות בכפל וחילוק של שברים פשוטים‪.‬‬ ‫}לדעת לאמוד תוצאות של ‪ 4‬פעולות חשבון בשברים פשוטים‪.‬‬ ‫}לדעת לפתור שאלות מילוליות ב‪ 4 -‬פעולות חשבון בשברים פשוטים‪.‬‬ ‫חילוק שברים ‪ -‬פרק ג'‬ ‫בהוראת הפרק חילוק שברים‪ ,‬חשוב להבין תחילה את משמעות פעולת החילוק במספרים טבעיים‪.‬‬ ‫בחילוק מספרים טבעיים מבחינים במספר משמעויות‪ .‬שתים מבין המשמעויות הן חילוק לחלקים וחילוק‬ ‫להכלה‪) .‬קימות משמעויות נוספות‪ ,‬כמו‪ :‬השוואה(‬ ‫נתון התרגיל‪ , b, a ) a : b= c :‬ו‪ c -‬הם מספרים טבעיים(‬ ‫משמעות א'‪ -‬חילוק לחלקים שווים‬ ‫נתונה איזו שהיא כמות כללית )‪ (a‬ונתון מספר הקבוצות )‪ (b‬שיש לחלק להן את הכמות הכללית‪ .‬כלומר‪,‬‬ ‫יש לחלק את הכמות הכללית ‪ a‬ל‪ b -‬קבוצות שוות בגודלן‪ .‬התוצאה )‪ (c‬מראה את גודל כל קבוצה‪.‬‬ ‫בחילוק לחלקים שווים ידוע שני דברים‪:‬‬ ‫א‪ .‬הכמות הכללית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מספר הקבוצות‪.‬‬ ‫השאלה הנשאלת‪ :‬מה יהיה גודל כל קבוצה?‬ ‫משמעות ב'‪ -‬חילוק להכלה‪.‬‬ ‫נתונה איזו שהיא כמות כללית )‪ (a‬ונתון גודל כל קבוצה )‪.(b‬‬ ‫במקרה זה נדרשים לחלק את הכמות הכללית )‪ (a‬למספר קבוצות באופן שגודל כל קבוצה יהיה ‪.b‬‬ ‫התוצאה )‪ (c‬מראה כמה קבוצות בגודל ‪ b‬תתקבלנה כתוצאה מהחילוק‪.‬‬ ‫בחילוק להכלה ידועים שני דברים‪:‬‬ ‫א‪ .‬הכמות הכללית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬גודל כל קבוצה‪.‬‬ ‫השאלה הנשאלת‪ :‬כמה קבוצות בגודל הנתון תתקבלנה?‬ ‫ניקר לדוגמה את התרגיל ‪ 8 : 4‬ונסביר את שתי המשמעויות הנ"ל‪.‬‬ ‫משמעות א'‪ -‬חילוק לחלקים שווים‪.‬‬ ‫הכמות הנתונה‪8 -‬‬ ‫מספר הקבוצות‪4 -‬‬ ‫השאלה‪ :‬מה יהיה גודל כל אחת מ‪ 4 -‬הקבוצות?‬ ‫הפתרון‪8 : 4 = 2 :‬‬ ‫התשובה‪ :‬גודל כל קבוצה הוא ‪.2‬‬ ‫נציג דוגמה של בעיה מילולית במשמעות של חילוק לחלקים שווים‪.‬‬ ‫לשלומי ‪ 8‬גולות‪ .‬הוא רוצה לחלק אותן שווה בשווה ל‪ 4 -‬חברים‪.‬‬ ‫כמה גולות יקבל כל חבר? )חילוק לחלקים שווים(‬ ‫משמעות ב'‪ -‬חילוק להכלה‬ ‫הכמות הנתונה‪8 -‬‬ ‫גודל כל קבוצה‪4 -‬‬ ‫השאלה‪ :‬כמה קבוצות של ‪ 4‬נכנסות ב‪?8 -‬‬ ‫הפתרון‪8 : 4 = 2 :‬‬ ‫התשובה‪ 2 :‬קבוצות של ‪ 4‬נכנסות ב‪.8 -‬‬ ‫נציג דוגמה של בעיה מילולית במשמעות של חילוק להכלה‪.‬‬ ‫לשלומי ‪ 8‬גולות‪ .‬הוא רוצה לחלק אותן לחבריו שווה בשווה‪ ,‬כך שכל ילד יקבל ‪ 4‬גולות‪ .‬לכמה חברים‬ ‫יספיקו הגולות? )חילוק להכלה(‬ ‫נעבור לחילוק שברים‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נתון התרגיל‪4 : = 8 :‬‬ ‫לא ניתן להציג את התרגיל במשמעות של חילוק לחלקים שווים‪ ,‬כיון שלפי משמעות זו המחלק )מספר‬ ‫הקבוצות( הוא מספר טבעי ובתרגיל זה המחלק הינו שבר‪.‬‬ ‫ניתן להציג את התרגיל במשמעות של חילוק להכלה‪ .‬לדוגמה‪:‬‬ ‫לכמה ילדים נוכל לחלק ‪ 4‬פיתות‪ ,‬אם כל ילד יקבל חצי פיתה?‬ ‫יש לציין‪ ,‬כי התוצאה שמתקבלת אינה אינטואיטיבית‪ ,‬היות והתחושה האינטואיטיבית היא שחילוק‬ ‫מקטין‪ .‬זוהי הכללת יתר מהמספרים הטבעיים הקשורה בהתייחסות לחילוק במשמעות של חילוק‬ ‫לחלקים שווים‪.‬‬ ‫אפשר לפתור את התרגיל בעזרת האלגוריתם של חילוק שברים‪) .‬כפל בהופכי של המחלק(‬ ‫‪4Χ 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ×‪=4‬‬ ‫‪=8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ניתן להסביר את פתרון התרגיל ‪= 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 4 :‬כך‪:‬‬ ‫בחילוק מספרים טבעיים חלים הכללים הבאים‪:‬‬ ‫הגדלת המחולק פי ‪ n‬מגדילה את המנה פי ‪.n‬‬ ‫הקטנת המחולק פי ‪ n‬מקטינה את המנה פי ‪. n‬‬ ‫הגדלת המחלק פי ‪ n‬מקטינה את המנה פי ‪.n‬‬ ‫הקטנת המחלק פי ‪ n‬מגדילה את המנה פי ‪.n‬‬ ‫ובהכללה‪:‬‬ ‫בתרגיל חילוק הכפלת המחולק והמחלק באותו מספר אינה משנה את התוצאה‪.‬‬ ‫)זו תכונת האינווריאנטיות של החילוק לגבי פעולת הכפל‪(.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לפי זה נוכל להסביר את התרגיל‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫בתרגיל ‪ 4 :‬המחלק הוא‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 4 :‬לפי התרגיל ‪.4 : 1‬‬ ‫וקטן פי ‪ 2‬מ‪ ,1 -‬לכן תוצאת התרגיל תהיה גדולה פי ‪ 2‬מתוצאת‬ ‫התרגיל ‪. 4 : 1‬‬ ‫נסביר זאת גם לפי הבעיה המילולית שהצגנו‪.‬‬ ‫שאלה א'‪ :‬מחלקים ‪ 4‬פיתות לילדים‪ .‬כל ילד מקבל ‪ 1‬פיתה‪ .‬לכמה ילדים יספיקו הפיתות?‬ ‫תשובה‪ :‬הפיתות יספיקו ל‪ 4 -‬ילדים‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שאלה ב'‪ :‬מחלקים ‪ 4‬פיתות לילדים‪ ,‬כל ילד מקבל‬ ‫‪2‬‬ ‫פיתה‪ .‬לכמה ילדים יספיקו הפיתות?‬ ‫תשובה‪ :‬כמות הפיתות לא השתנתה‪ ,‬אך גודל כל מנה קטן פי ‪ 2‬מגודל כל מנה בתרגיל הקודם‪ ,‬לכן מספר‬ ‫הילדים שיוכל לקבל פיתות יהיה גדול פי ‪ 2‬מאשר בשאלה הראשונה‪.‬‬ ‫לאחר שנציג בפני התלמידים מספר תרגילי חילוק כדוגמת התרגיל הנ"ל נוכל ללמד את האלגוריתם‬ ‫הסטנדרטי של חילוק שברים‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫התלמידים הבינו כי ‪= 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ , 4 :‬הם גם יודעים שתרגיל הכפל ‪ 4 × 2‬נותן מכפלה השווה למנה שבתרגיל‬ ‫החילוק‪ ,‬כך שניתן לכתוב תרגיל כפל תואם לכל תרגיל חילוק‪.‬‬ ‫כך יובן האלגוריתם הסטנדרטי של חילוק שברים בכפל בהופכי של המחלק‪.‬‬ ‫בפרק חילוק שהרים הושם דגש על אומדן הבא לסייע לעשות בקרה על התשובה המדויקת שמתקבלת‪.‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬הושם דגש רב על שינוי התפיסה של הלומדים לגבי פעולת החילוק‪.‬‬ ‫בחילוק מספרים טבעיים ידעו התלמידים כי המנה קטנה מן המחולק‪ ,‬ואילו בחילוק שברים יחשפו‬ ‫התלמידים למקרים בהם המנה גדולה מן המחולק‪.‬‬ ‫אל האחד ‪ -‬פרק ג' שיעור ‪1‬‬ ‫מספרים הופכיים‬ ‫יעדים‪:‬‬ ‫©לקשר בין מושג חדש לבין ידע קודם ולאינטואיציות של תלמידים‪.‬‬ ‫©ליצור המחשה חזותית לכפל שברים תוך הסתמכות על ידע קודם‪.‬‬ ‫©לפתח הבנה של הייצוג הגרפי למכפלת מספרים הופכיים‪.‬‬ ‫©להתנסות במציאת זוגות מספרים שמכפלתם היא ‪.1‬‬ ‫©לדעת למצוא מספר הופכי לשבר הקטן מ‪ ,1 -‬לשלם ולמספר מעורב‪.‬‬ ‫©לדעת לסמן זוגות של מספרים על ציר המספרים‪.‬‬ ‫©להבין כי לאפס אין מספר הופכי‪.‬‬ ‫©להבין כי ככל שמספר גדול יותר‪ ,‬כך קרוב ההופכי שלו אל האפס‪.‬‬ ‫מיני שיעור‪:‬‬ ‫הפעילות‬ ‫זמן משוער‬ ‫פעילות קבוצתית‬ ‫‪ 35‬דקות‬ ‫פעילות מורה‬ ‫‪ 25 - 30‬דקות‬ ‫פעילות יחידנית‬ ‫‪ 20‬דקות‬ ‫אביזרי השיעור‬ ‫צבעים‪ ,‬ניר העתקה ומספריים‪.‬‬ ‫‪ 3‬כרטיסי תרגילים‪ -‬להדגמה על הלוח‪.‬‬ ‫‪ 3‬כרטיסי מספרים‪ -‬להדגמה על הלוח‪.‬‬ ‫‪ 7‬כרטיסי מספרים‪ -‬בידי כל קבוצה‪.‬‬ ‫ציר מספרים‪ -‬להדגמה על הלוח‪.‬‬ ‫_______‬ ‫הערה‪ :‬מומלץ להקדיש ליחידת לימוד זו שני שיעורים‪.‬‬ ‫אם בוחרים ללמד את היחידה בשיעור אחד‪ ,‬יש לוותר על חלק מהפעילויות‪.‬‬ ‫על הפינג‪ -‬פונג‪:‬‬ ‫במשימות שבשיעור זה יחשפו התלמידים למושג "מספרים הופכיים"‪ ,‬ויגלו כי מכפלתם היא ‪.1‬‬ ‫שיעור זה מהווה בסיס ללימוד האלגוריתם הסטנדרטי של חילוק שברים פשוטים‪ .‬שהרי‪ ,‬דרך נוחה‬ ‫לחישוב תרגילי חילוק בשברים היא לבצע במקומם תרגילי כפל במספר הופכי‪.‬‬ ‫בפתיחת השיעור יערוך המורה פעילות פינג‪ -‬פונג קצרה לאזכור ולרענון חומר ידוע במטרה להכין את‬ ‫התלמידים לפעילות הקבוצתית‪.‬‬ ‫סעיף א'‪ :‬בפעילות זו יציג המורה ‪ 3‬מלבנים המחולקים למשבצת בגודל ‪ 1‬סמ"ר וישאל במה שווים‬ ‫המלבנים ובמה הם שונים‪ .‬התלמידים יגלו כי המלבנים שווים בשטחם‪ .‬שטח כל אחד מ‪3 -‬‬ ‫המלבנים הוא ‪ 12‬סמ"ר‪ ,‬אך לאו דווקא שווים בהיקפם‪).‬שני מלבנים זהים גם בהיקף‪ ,‬אך‬ ‫המלבן הנוסף שונה בהיקפו‪(.‬‬ ‫סעיף ב'‪ :‬בהמשך‪ ,‬יבקש המורה מהתלמידים להציע מידות למלבן ששטחו ‪ 20‬סמ"ר‪.‬‬ ‫התלמידים יציעו מלבנים כאלו שמכפלת האורך ברוחב נותנת ‪.20‬‬ ‫הצעות אפשריות‪. 4 × 5 , 2 × 10 , 1 × 20 :‬‬ ‫בסיום הפעילות יבינו התלמידים‪ ,‬כי ניתן לשרטט מלבנים שונים שלהם שטח שווה‪.‬‬ ‫על הפעילות הקבוצתית‪:‬‬ ‫בפעילות זו יכירו התלמידים ריבוע שצלעותיו מהוות ‪ 2‬יחידות אורך‪.‬‬ ‫כל יחידה מחולקת לאורכה ולרוחבה למספר חלקים שווים‪.‬‬ ‫כל יחידה מחולקת לשלישים בקווים המאוזנים ולריבועים בקווים המאונכים‪ .‬סה"כ מתקבלת יחידת‬ ‫שטח אחת המחולקת ל‪ 12 -‬חלקים שווים‪ .‬יחידה זו מופיעה בריבוע ‪ 4‬פעמים‪ ,‬שהרי מידותיו הן ‪,2× 2 :‬‬ ‫כלומר שטחו מורכב מ‪ 4 -‬יחידות שטח‪.‬‬ ‫סעיף א'‪ :‬התלמידים מתבקשים לצבוע את שטח היחידה שבשרטוט‪ 12) .‬משבצות(‬ ‫בשלב השני יש לשרטט ברקע המשבצות‪ ,‬שסביב הריבוע המרכזי מלבנים נוספים שלהם שטח‬ ‫השווה לשטח היחידה‪ .‬בנוסף‪ ,‬מתבקשים התלמידים להעתיק את המלבנים ששרטטו ולגזור‬ ‫אותם‪.‬‬ ‫סעיף ב'‪ :‬התלמידים יניחו את המלבנים שגזרו על הריבועים שלפניהם ויצבעו את המשבצות המתאימות‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫סעיף ג'‪ :‬התלמידים יכתבו תרגילי כפל המתאימים לכל אחד משטחי המלבנים שצבעו ויגלו כי בכל‬ ‫התרגילים התקבלו זוגות מספרים הופכיים‪.‬‬ ‫התרגילים המתאימים הם‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫×‬ ‫‪, × 2 ,‬‬ ‫‪ 1 × 1‬או ×‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫×‬ ‫מכפלת כל התרגילים הנ"ל היא ‪.1‬‬ ‫סעיף ד'‪ :‬בשלב זה נעשה ניסיון לנתק את התלמידים מהשרטוטים ולבדוק האם הם מבינים כי ניתן‬ ‫לבנות תרגילי כפל שמכפלתם ‪ 1‬בעזרת זוגות של מספרים הופכיים‪ .‬בתרגיל הנידון יש להשלים‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ,‬שהרי‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪× =1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫סעיף ה'‪ :‬סעיף זה מהווה המשך ישיר לסעיף הקודם‪ .‬גם בו מתבקשים התלמידים להציע את השבר‬ ‫הנוסף כך שתתקבל המכפלה ‪.1‬‬ ‫‪5 8‬‬ ‫התרגיל הוא‪× = 1 :‬‬ ‫‪8 5‬‬ ‫סעיף ו'‪ :‬בסעיף זה מציגים לתלמידים שני תרגילים נוספים‪ .‬שני התרגילים שגויים‪ ,‬ומטרתם לשרש‬ ‫טעויות נפוצות של תלמידים‪.‬‬ ‫מכפלת שני השברים הנתונים אינה ‪ 1‬אלא סכומם הוא ‪.1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪× ≠1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫השבר ההופכי של הוא‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫התרגיל הנוסף‪ :‬נתונים שני שברים שווים אשר מכפלתם‪ ,‬כמובן‪ ,‬אינה ‪.1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪×1 ≠ 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫השבר ההופכי ל‪ -‬הוא‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫סעיף ז'‪ :‬בסעיף זה יחקרו התלמידים את המהות של זוגות מספרים הופכיים ויגלו‪:‬‬ ‫‪y‬אין שני מספרים הקטנים מ‪ ,1 -‬שמכפלתם ‪.1‬‬ ‫‪y‬אין שני מספרים הגדולים מ‪ ,1 -‬שמכפלתם ‪.1‬‬ ‫‪y‬המספר ‪ 1‬הוא איבר ניטרלי בכפל‪ ,‬על כן בתרגיל כפל שרק אחד מהגורמים הוא ‪ 1‬לא יתקבל‬ ‫במכפלה המספר ‪.1‬‬ ‫‪y‬בתרגיל כפל שאחד הגורמים גדול מ‪ 1 -‬והגורם האחר קטן מאחד‪ ,‬יתכן שיתקבל במכפלה‬ ‫המספר ‪) .1‬בתנאי ששני המספרים הם הופכיים(‬ ‫סעיף ח'‪ :‬בסעיף זה יש לסמן תרגילים שמכפלתם ‪.1‬‬ ‫סעיף ט'‪ :‬בשלב זה‪ ,‬רשומים תרגילי כפל שמכפלתם ‪ .1‬יש להשלים בכל אחד מהם את הגורם החסר‪.‬‬ ‫חמשת התרגילים הנתונים מהווים דוגמאות לאפשרויות שונות בכתיבת מספרים הופכיים‪.‬‬ ‫בתרגיל ‪= 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫× ‪ 9‬יבינו התלמידים כי השבר‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫לכתוב את ה‪ 9 -‬גם כ‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הוא ההופכי למספר השלם ‪ ,9‬שהרי ניתן‬ ‫‪.‬‬ ‫בתרגיל ‪= 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫בתרגיל ‪= 1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫× יבינו התלמידים כי השבר‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫הוא השבר החסר‪.‬‬ ‫בתרגיל ‪= 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫×‪ 1‬יבינו התלמידים כי השבר‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫הוא המספר ההופכי‪ ,‬שהרי ניתן לכתוב‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫את המספר המעורב ‪ 1‬כשבר הגדול מ‪ 1 -‬כך‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫בתרגיל ‪= 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫× יבינו התלמידים כי המספר השלם ‪ 6‬הוא המספר ההופכי ל‪. -‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫× יבינו התלמידים כי המספר החסר הוא‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ,‬כלומר המספר ההופכי‬ ‫לשבר הגדול מ‪ 1 -‬הוא שבר הקטן מ‪.1 -‬‬ ‫סעיף י'‪ :‬בשלב האחרון של הפעילות הקבוצתית מתבקשים התלמידים להציע משלהם זוגות מספרים‪,‬‬ ‫שמכפלתם ‪.1‬‬ ‫על פעילות המורה‪:‬‬ ‫בפעילות הקישור יציג המורה ‪ 3‬כרטיסים על הלוח‪.‬‬ ‫בשלושת הכרטיסים תרגילי כפל שמכפלתם ‪.1‬‬ ‫סעיף א'‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫התרגיל‬ ‫‪2‬‬ ‫× ‪ 2‬מייצג זוגות מספרים הופכיים שאחד מהם הוא מספר שלם‪.‬‬ ‫‪7 2‬‬ ‫התרגיל‬ ‫‪2 7‬‬ ‫× מייצג זוגות מספרים הופכיים שאחד מהם הוא שבר הגדול מ‪ 1 -‬והגורם האחר‬ ‫הוא שבר הקטן מ‪.1 -‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫התרגיל‬ ‫‪4 5‬‬ ‫×‪ 1‬מייצג זוגות מספרים הופכיים שאחד מהם הוא מספר מעורב והגורם האחר‬ ‫הוא שבר הקטן מ‪.1 -‬‬ ‫סעיף ב'‪ :‬בשלב הבא יתן המורה כרטיס לכל קבוצה‪ .‬על הלוח יוצגו בזה אחר זה ‪ 3‬כרטיסים ועליהם‬ ‫מספרים‪ .‬התלמידים ירימו בכל פעם את הכרטיס שעליו המספר ההופכי למספר שהוצג על‬ ‫הלוח‪.‬‬ ‫‪1 5‬‬ ‫דוגמה‪ :‬בהצגת המספר ‪ 5‬ירימו התלמידים את הכרטיסים ‪,‬‬ ‫‪5 25‬‬ ‫‪.‬‬ ‫בסיום פעילות זו יסכם המורה‪ ,‬כי שני מספרים שמכפלתם ‪ 1‬נקראים מספרים הופכיים‪.‬‬ ‫סעיף ג'‪ :‬בשלב האחרון של פעילות הקישור ידגים המורה על גבי ציר מספרים את מקומם של זוגות‬ ‫מספרים הופכיים‪.‬‬ ‫במהלך הפעילות יגלו התלמידים כי כאשר אחד הגורמים קטן מ‪ 1 -‬יהיה הגורם האחר גדול‬ ‫מ‪ .1 -‬עוד יגלו התלמידים כי ככל שאחד הגורמים קרוב יותר ל‪ ,0 -‬כך גדול יותר המספר‬ ‫ההופכי לו‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫דוגמה‪ :‬המספר ההופכי ל‪ -‬הוא ‪ ,2‬לעומת זאת‪ ,‬המספר ההופכי ל‪-‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הוא ‪.8‬‬ ‫המספרים ההופכיים לכל שברי היחידה )שברים בין ‪ 0‬ל‪ 1 -‬שהמונה שלהם הוא ‪ (.1‬הם מספרים‬ ‫טבעיים‪ ,‬וכן להפך‪.‬‬ ‫על הפעילות היחידנית‪:‬‬ ‫רמת הפעילות‬ ‫פרוט הפעילות‬ ‫משימה ‪ -3‬בפעילות זו נתונים מספרים‪ .‬יש למצוא לכל אחד מהם את‬ ‫המספר ההופכי‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נתון המספר ‪ .2‬המספר ההופכי לו הוא )וכן‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שהוא שם נוסף ל‪( -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫נתון המספר ‪ .‬המספר ההופכי לו הוא )וכן‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 1‬שהוא המספר המעורב‬ ‫משימה המיועדת לכולם‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫המתאים ל‪( -‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫נתון המספר ‪ .‬המספר ההופכי לו הוא )וכן‬ ‫‪27‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫שהוא שם נוסף ל‪( -‬‬ ‫משימה ‪ -4‬נתונים שני טורים של מספרים‪ .‬יש לחבר קו בין זוגות מספרים‬ ‫שמכפלתם ‪.1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫משימה קלה‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬ו‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫משימה ‪ -5‬בפעילות זו נתונות משוואות של תרגילי כפל שמכפלתם ‪.1‬‬ ‫יש להשלים בהם את הגורם החסר‪ ,‬אם אפשר‪.‬‬ ‫בכל התרגילים יש לכתוב את המספר ההופכי לגורם הנתון‪.‬‬ ‫לתרגיל ‪= 1‬‬ ‫משימה לא כ"כ קשה‬ ‫× ‪ 0‬אין מספר מתאים‪ ,‬כיון שאפס מאפס כל מכפלה ואין‬ ‫לו מספר הופכי‪.‬‬ ‫משימה ‪ -6‬גם בפעילות זו נתונות משוואות של תרגילי כפל שמכפלתם ‪.1‬‬ ‫יש להשלים בהם את הגורם החסר‪ ,‬אם אפשר‪.‬‬ ‫משימה זו עמוסה יותר מהמשימה הקודמת ועל כן דרגת הקושי שלה‬ ‫גבוהה יותר‪ .‬במשימה זו אין מספר שמכפלתו באפס תיתן ‪.1‬‬ ‫משימה לא כ"כ קלה‬ ‫משימה ‪ -7‬בפעילות זו יש למצוא את המספרים ההופכיים למספרים‬ ‫הנתונים‪ ,‬ולסמן את מקומם‪ ,‬בערך‪ ,‬על ציר המספרים‪.‬‬ ‫התלמידים יגלו‪ ,‬כי ככל שהמספר גדול יותר‪ ,‬כך ההופכי לו קרוב יותר אל‬ ‫‪1‬‬ ‫האפס‪ .‬לדוגמה‪ :‬ההופכי ל‪ 2,000 -‬הוא‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מאשר‬ ‫‪2‬‬ ‫שהוא הופכי ל‪.2 -‬‬ ‫‪ .‬מספר זה קרוב יותר לאפס‬ ‫משימה קשה‬ ‫על שיעורי הבית‪:‬‬ ‫רמת הפעילות‬ ‫פרוט הפעילות‬ ‫משימה ‪ -1‬יש למצוא לכל מספר נתון את המספר ההופכי לו‪ ,‬כך‬ ‫שמכפלתם תהיה ‪.1‬‬ ‫‪7 5‬‬ ‫דוגמאות‪=1 :‬‬ ‫‪5 7‬‬ ‫×‬ ‫משימה לא כ"כ קשה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9× =1‬‬ ‫משימה ‪ -2‬יש להתאים כל פרפר לפרח השייך לו‪ .‬כל זוג של פרפר ופרח‬ ‫מתאימים ‪ ,‬הם מספרים שמכפלתם ‪.1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫דוגמאות‪ :‬הפרפר שעליו רשום המספר ‪ 3‬מתאים לפרח שעליו רשום‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫שהרי‪= 1 :‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪,‬‬ ‫×‪.3‬‬ ‫משימה לא כ"כ קשה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫מתאים לפרח שעליו רשום‬ ‫הפרפר שעליו רשום‬ ‫‪5‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ , 2‬שהרי‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪×2 =1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪5‬‬ ‫משימה ‪ -3‬גם בפעילות זו נתונים זוגות של תרגילי כפל‪.‬‬ ‫במקרים‪ ,‬שבהם המכפלות של שני התרגילים שוות יש לסמן את הנדנדה‬ ‫ב‪ . 9 -‬במקרים‪ ,‬שבהם מכפלות התרגילים אינן שוות יש לסמן בחץ כלפי‬ ‫מטה או בחץ כלפי מעלה‪ .‬אם בוחרים לסמן את התרגיל שמכפלתו גדולה‬ ‫יותר‪ ,‬יש לסמן לידו חץ כלפי מטה המראה את "כובד" התוצאה‪.‬‬ ‫אם בוחרים לסמן את התרגיל שמכפלתו קטנה יותר‪ ,‬יש לסמן לידו חץ‬ ‫כלפי מעלה‪ ,‬המראה כי התוצאה קטנה יותר‪.‬‬ ‫ראו דוגמה בספר לתלמיד‪.‬‬ ‫משימה ‪ -4‬יש לרשום‬ ‫שתתקבלנה טענות אמת‪.‬‬ ‫=‬ ‫או‬ ‫≠ במשבצות הריקות‪ ,‬כך‬ ‫משימה לא כ"כ קלה‬ ‫משימה המיועדת לכולם‬ ‫מסלולים כפליים ‪ -‬פרק ג' שיעור ‪2‬‬ ‫סוד מסלולי הכפל‬ ‫יעדים‪:‬‬ ‫©לחזור על כפל שברים בדרך חווייתית‪.‬‬ ‫©להכיר מסלולים כפליים שמגיעים בסופם למספר שממנו התחילו‪.‬‬ ‫©להתנסות באופן ראשוני עם בניה של מסלולי כפל‪.‬‬ ‫©לדעת לאתר מסלולים כפליים שגויים ולתקן את השגיאה‪.‬‬ ‫©להבין את הקשר שבין המסלולים הכפליים לבין כפל מספרים הופכיים‪.‬‬ ‫©לחשוב על הדרך שבעזרתה בונים מסלולים כפליים‪.‬‬ ‫מיני שיעור‪:‬‬ ‫הפעילות‬ ‫זמן משוער‬ ‫פעילות קבוצתית‬ ‫‪ 30‬דקות‬ ‫פעילות מורה‬ ‫‪ 15‬דקות‬ ‫אביזרי השיעור‬ ‫_______‬ ‫‪ 2‬כרטיסים ועליהם מסלולים כפליים‪-‬‬ ‫להדגמה על הלוח‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬הפעילות הקבוצתית שבשיעור זה מורכבת‪ ,‬על כן אין בו פעילות יחידנית‪.‬‬ ‫על הפעילות הקבוצתית‪:‬‬ ‫בשיעור הראשון שבפרק זה נחשפו התלמידים למושג "מספרים הופכיים"‪ .‬בשיעור זה מכוונים את‬ ‫התלמידים לנצל את תכונתם של המספרים ההופכיים לצורך בניית מסלולי כפל‪.‬‬ ‫מהו מסלול כפל?‬ ‫במסלול כפל בוחרים מספר‪ ,‬כופלים אותו במספר שעל החץ הסמוך לו ורושמים את המכפלה בריבוע‬ ‫המתאים‪ .‬ושוב כופלים את המכפלה שהתקבלה במספר שמעל החץ הבא וכו'‪.‬‬ ‫אם פועלים נכון‪ ,‬מגיעים בסוף המסלול למספר שבחרו‪.‬‬ ‫במהלך המשימה יבינו התלמידים כיצד קורה‪ ,‬שבכל מסלולי הכפל המוצעים בשיעור זה‪ ,‬מגיעים תמיד‬ ‫למספר שבחרו‪ .‬בנוסף‪ ,‬ידעו איך בונים מסלול מסוג זה‪.‬‬ ‫סעיפים א'‪ -‬ב'‪ :‬בשני הסעיפים הראשונים שבמשימה זו משלימים התלמידים את מסלולי הכפל‪.‬‬ ‫המספר שבראש המסלול נתון‪.‬‬ ‫סעיף ג'‪ :‬בסעיף זה מצויים שני מסלולים שווים‪ ,‬על התלמידים לבחור שני מספרים ולבדוק‪ ,‬האם‬ ‫בשני המסלולים הגיעו בחזרה למספר שבחרו‪.‬‬ ‫סעיף ד'‪ :‬בשלב זה יחקרו התלמידים מהו סוד מסלולי הכפל‪ .‬הם מגלים‪ ,‬כי מכפלת כל המספרים שעל‬ ‫החיצים היא ‪ ,1‬וכיון ש‪ 1 -‬הוא איבר ניטרלי בכפל‪ ,‬מגיעים בחזרה למספר שבחרו‪.‬‬ ‫סעיף ה'‪ :‬סעיף זה בא לבדוק‪ ,‬אם אכן הוסקה מסקנה נכונה‪.‬‬ ‫המספר האחרון במסלול צריך להיות ההופכי למכפלת כל המספרים הקודמים לו‪ .‬כלומר‪,‬‬ ‫בבניית מסלול כפל ניתן לרשום מעל החיצים כל מספר‪ ,‬בתנאי שהמספר האחרון יהיה מכפלת‬ ‫כל המספרים הקודמים לו‪.‬‬ ‫בשלב זה נתון מסלול כפלי‪ ,‬שחסר בו המספר ליד החץ האחרון‪.‬‬ ‫בקבוצות שהבינו את הרעיון שעומד מאחורי המסלולים הכפליים יגעו לרשום את המספר‬ ‫הנכון‪ .‬כדי למצוא את המספר הנכון יש לכפול את כל המספרים שליד החיצים‪.‬‬ ‫‪13 2‬‬ ‫‪1 5‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= × ×‪× ×3‬‬ ‫להלן מכפלתם‪= :‬‬ ‫‪25 3‬‬ ‫‪9 4 1080 12‬‬ ‫×‬ ‫החישוב הנ"ל נעשה בתרגיל אחד‪ .‬התלמידים‪ ,‬כנראה‪ ,‬יגיעו למכפלה הסופית בעזרת מספר‬ ‫תרגילי כפל‪.‬‬ ‫ההצעות הנתונות בספר מהוות "מסיחים" לשגיאות אפשריות של התלמידים‪.‬‬ ‫תלמידים החושבים כי ליד החץ האחרון יש לרשום מספר הופכי לשבר הרשום על החץ שלפני‬ ‫האחרון‪ ,‬יבחרו בהצעה של דוד‪.‬‬ ‫תלמידים‪ ,‬שחושבים כי ליד החץ האחרון יש לרשום את המספר שהתקבל במכפלת כל‬ ‫המספרים שעל החיצים הקודמים יבחרו בעצה של שאול‪ .‬הצעתו של יונתן היא הנכונה‪.‬‬ ‫סעיף ו'‪ :‬כסיכום לפעילות יתנסו התלמידים בבניית מסלול כפל משלהם‪ .‬תלמידים שהבינו את הרעיון‬ ‫שמסתתר מאחורי מסלולי הכפל‪ ,‬ידעו כי ליד כל החיצים ניתן לרשום כל שבר שרוצים‪ ,‬רק ליד‬ ‫החץ האחרון יש להיעצר‪ ,‬לחשב את מכפלת כל המספרים שנכתבו ליד החיצים הקודמים ואז‬ ‫לכתוב את המספר ההופכי למכפלה שהתקבלה‪ ,‬ליד החץ האחרון‪.‬‬ ‫על פעילות המורה‪:‬‬ ‫המורה יציג על הלוח שני מסלולים כפליים‪ .‬התלמידים יחליטו באיזה מהם יגיעו בחזרה למספר שבחרו‪.‬‬ ‫תשובת התלמידים תוכיח‪ ,‬אם הובן העיקרון של מסלולי הכפל‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫בבדיקת המסלולים מתברר‪ ,‬ששניהם שגויים‪ :‬בראשון יש לתקן את ה‪ 7 -‬שמעל החץ האחרון ל‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ,‬ובשני‬ ‫יש להחליף את ה‪ 3 -‬שבחץ האחרון ל‪.14 -‬‬ ‫להלן המסלול המתוקן‪:‬‬ ‫מסלול מעמ' ‪ 92‬א'‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 5 3 7‬‬ ‫×‪3‬‬ ‫‪× × =1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 4 7 5‬‬ ‫×‬ ‫הערה‪ :‬הפעילויות שנחקרו בשיעור זה נחשבות לפעילויות חקר ואינן מיועדות לעבודה יחידנית‪.‬‬ ‫על כן בשיעור זה אין עבודה יחידנית‪.‬‬ ‫על שיעורי הבית‪:‬‬ ‫פרוט הפעילות‬ ‫משימה ‪ -1‬יש לבחור מספר‪ ,‬לרשום אותו במשושה‪ ,‬ולכפול בכיוון החץ‪.‬‬ ‫אם פועלים נכון מגיעים בחזרה למספר שבחרו‪.‬‬ ‫משימה ‪ -2‬במשימה זו נתון מספר‪ ,‬יש לכפול בכיוון החץ‪ .‬אם פועלים נכון‬ ‫מגיעים בחזרה למספר שבמשושה‪.‬‬ ‫פעילות זו נחשבת לקשה יותר מהפעילות הקודמת‪ ,‬כיון שהמסלול שבה‬ ‫ארוך יותר מהמסלול שבעבודה הקודמת‪ ,‬ובנוסף‪ ,‬משולב בה תרגיל כפל‬ ‫של מספר מעורב‪.‬‬ ‫רמת הפעילות‬ ‫משימה קלה‬ ‫משימה בינונית‬ ‫משימה ‪ -3‬בפעילות זו יש להשלים את המספר שליד החץ האחר‪ .‬אפשר‬ ‫להיעזר בתרמילון המספרים הנתון‪ .‬המספר התאים הוא ‪ .2‬מספר זה הינו‬ ‫‪1‬‬ ‫הופכי ל‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שמתקבל ממכפלת כל המספרים‪ ,‬הרשומים ליד החיצים‪,‬‬ ‫משימה לא כ"כ קלה‬ ‫שלפני החץ האחרון‪.‬‬ ‫משימה ‪ -4‬למשימה זו מרחב פתרונות פתוח‪ .‬יש לבנות מסלול כפל‬ ‫המתאים למתכונת המסלולים הכפליים שנחקרו בשיעור זה‪.‬‬ ‫משימה קשה‬ ‫חלוקה בגן הטרופי ‪ -‬פרק ג' שיעור ‪3‬‬ ‫חילוק שברים פשוטים ‪ -‬בדרך גרפית ובדרך אלגוריתמית‬ ‫יעדים‪:‬‬ ‫©ליצור המחשה חזותית לחילוק שלם בשבר‪.‬‬ ‫©לתת משמעות לפעילות חילוק שלם בשבר‪.‬‬ ‫©לקשר את פעולת החילוק עם סיטואציות‪.‬‬ ‫©לעסוק בהבניה הדרגתית של הידע הקשור לפעולת חילוק שברים‪.‬‬ ‫©לפתח הבנה של יצוגים גרפיים שונים להדגמת תרגילי חילוק שברים‪.‬‬ ‫©להבין את האלגוריתם הסטנדרטי של חילוק שברים‪.‬‬ ‫©לפתח יכולת פתירת שאלות מילוליות חד שלביות כחילוק שברים‪.‬‬ ‫©לדעת לפתור בעל פה תרגילי חילוק של שלם בשבר במקרים פשוטים‪.‬‬ ‫מיני שיעור‪:‬‬ ‫הפעילות‬ ‫זמן משוער‬ ‫פעילות קבוצתית‬ ‫‪ 20‬דקות‬ ‫פעילות מורה‬ ‫‪ 10‬דקות‬ ‫פעילות יחידנית‬ ‫‪ 10‬דקות‬ ‫אביזרי השיעור‬ ‫צבעים‬ ‫‪ 4‬כרטיסי מספרים‪ -‬להדגמה על הלוח‪.‬‬ ‫‪ 8‬כרטיסי מספרים‪ -‬לחלוקה בין הקבוצות‪.‬‬ ‫על הפעילות הקבוצתית‪:‬‬ ‫משימה ‪-1‬‬ ‫בשיעור זה יפתרו התלמידים תרגילי חילוק בדרך אינטואיטיבית‪ ,‬ויבינו בהדרגה את הדרך האלגוריתמית‬ ‫לפתרון תרגילי חילוק בשברים פשוטים‪.‬‬ ‫במשימה זו בעיות מילוליות חד שלביות שלצורך פתרונן יש לכתוב תרגילי חילוק בשברים‪.‬‬ ‫בכל המקרים המחולק הוא שבר והמחלק הינו מספר שלם‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫דוגמה‪ :‬כדי למצוא איזה חלק קיבלו השפנים בכל ארוחה‪ ,‬יש לפתור את התרגיל ‪: 4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הפתרון נעשה בדרך אינטואיטיבית‪ -‬אם מחלקים ‪ 4‬שביעיות ל‪ 4 -‬חלקים שווים מתקבלת המנה‬ ‫‪7‬‬ ‫‪.‬‬ ‫השרטוטים המלווים כל אחת מהבעיות יעזרו לתלמידים לכתוב תרגיל המתאים לבעיה ולפתור אותו‪.‬‬ ‫המלבן מייצג את השלם‪ ,‬החלק המודגש מייצג את המחולק‪ ,‬ויש לחלקו למספר חלקים שווים כפי‬ ‫שמתואר בכל שאלה‪.‬‬ ‫משימה ‪-2‬‬ ‫מטרת פעילות זו היא להוביל את התלמידים למסקנה‪ ,‬כי חילוק בשבר שווה לכפל במספר הופכי‪.‬‬ ‫סעיף א'‪ :‬בפני התלמידים הוצגו זוגות של תרגילים‪ ,‬שאחד מהם הוא תרגיל כפל בשברים והאחר הוא‬ ‫תרגיל חילוק‪ .‬המספר הראשון )כלומר‪ ,‬הגורם הראשון בתרגיל הכפל והמחולק בתרגיל החילוק(‬ ‫זהה בשני התרגילים‪.‬‬ ‫לדוגמה‪:‬‬ ‫‪4 1‬‬ ‫= ×‬ ‫‪7 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪:4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫הפתרון לתרגיל הכפל יעשה בדרך אלגוריתמית‪ ,‬כפי שכבר למדו בעבר‪.‬‬ ‫הפתרון לתרגיל החילוק יעשה בדרך אינטואיטיבית‪.‬‬ ‫סעיף ב'‪ :‬בסעיף ב' ידונו התלמידים במה שווים התרגילים‪ ,‬ויגיעו להכללה‪ ,‬כי לכל זוג תרגילים‬ ‫התקבלה תוצאה שווה‪.‬‬ ‫סעיף ג'‪ :‬בשלב זה יבדקו התלמידים במה היו שונים התרגילים ויגיעו למסקנה כי המחלק בתרגיל‬ ‫החילוק הוא מספר הופכי לגורם השני‪ ,‬שבתרגיל הכפל‪.‬‬ ‫ובהכללה ניתן לומר כי מנה של שני מספרים שווה למכפלת המספר הראשון בהופכי של המספר‬ ‫השני‪.‬‬ ‫סעיף ד'‪ :‬התלמידים יתרגלו בכתיבת זוגות תרגילים הדומים לתרגילים שנחקרו בסעיפים הראשונים‪.‬‬ ‫על הפעילות הקבוצתית‪:‬‬ ‫בפעילות הקבוצתית הנוספת ידגימו התלמידים תרגילי חילוק בצירי מספרים‪.‬‬ ‫במשימה ניתנו שאלות מילוליות בחילוק שברים‪ .‬כל השאלות הן במשמעות של חילוק להכלה‪ ,‬כאשר‬ ‫המחולק הוא מספר שלם והמחלק הינו שבר‪.‬‬ ‫בשלב הראשון יש לפתור את התרגילים בדרך אינטואיטיבית ובעזרת הציור‪ ,‬ובהמשך יש לכתוב תרגיל כפל‬ ‫מתאים לכל אחד מתרגילי החילוק ולפתור בדרך האלגוריתמית‪.‬‬ ‫סעיף א'‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫יש למצוא כמה אריזות של‬ ‫‪2‬‬ ‫ק"ג הכינו מ‪ 6 -‬ק"ג תות‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫בשלב הראשון ידגימו התלמידים בשרטוט כמה אריזות של‬ ‫‪2‬‬ ‫ק"ג יש ב‪ 1 -‬ק"ג‪ .‬ההדגמה תעשה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ע"י סימון קשתות במרחקים שווים )של ( בציר המספרים‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫בשלב השני יש לכתוב תרגיל מתאים ולפתור‪= 12 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6:‬‬ ‫בתרגילים אלו יחשפו התלמידים למקרה שבו פעולת החילוק מגדילה‪ .‬בחילוק מספרים טבעיים‬ ‫ידעו התלמידים כי המנה קטנה מן המחולק‪ ,‬ואילו בחילוק שברים נחשפו התלמידים למקרים‬ ‫בהם המנה גדולה מן המחולק‪.‬‬ ‫בתרגילים מסוג זה חשובה מאוד ההדגמה שאלמלא היא היו התלמידים פועלים לפי‬ ‫‪1‬‬ ‫אינטואיציה מוטעית ופותרים‪= 3 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.6:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הדגמת התרגיל בציור "מכריחה" את התלמידים לפתור‪= 12 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫סעיף ב'‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫גם בשאלה זו יש להדגים בציר ולפתור‪= 12 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.6:‬‬ ‫‪9:‬‬ ‫סעיף ג'‪ :‬בסעיף זה יתנסו התלמידים בפתרון תרגיל חילוק כאשר המחלק הוא מספר מעורב‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫התרגיל המתאים הוא‪12 : 1 = 8 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫את המספר המעורב ניתן לרשום גם כשבר הגדול מ‪ ,1 -‬ולכן‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12 : 1 = 12 :‬‬ ‫בסיום הפעילות יש לכתוב תרגיל כפל מתאים לכל אחד מתרגילי החילוק שנכתבו בסעיפים‬ ‫הקודמים‪ .‬הפתרון יעשה בדרך אלגוריתמית‪.‬‬ ‫על פעילות המורה‪:‬‬ ‫בפעילות הקישור יעסוק המורה בהקניית האלגוריתם הסטנדרטי לפתרון תרגילי חילוק‪.‬‬ ‫על הלוח יוצגו ‪ 4‬כרטיסי מספרים‪ .‬בידי כל קבוצה ימתן כרטיס ועליו מספר‪.‬‬ ‫התלמידים יבחרו שני מספרים מהלוח כך שמנתם תהיה המספר שבידיהם‪ .‬דוגמאות‪:‬‬ ‫א‪ .‬קבוצה שבידיה כרטיס ועליו המספר ‪ 20‬תכתוב את תרגיל החילוק‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪ .‬קבוצה שבידיה כרטיס ועליו המספר‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪: 10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫תכתוב את תרגיל החילוק‪:‬‬ ‫על הפעילות היחידנית‪:‬‬ ‫רמת הפעילות‬ ‫פרוט הפעילות‬ ‫משימה ‪ -5‬בפעילות זו יש לפתור את תרגילי החילוק הנתונים‪ ,‬כדי לבסס‬ ‫את האלגוריתם הסטנדרטי לפתרון תרגילי חילוק בשברים פשוטים‪.‬‬ ‫משימה לא כ"כ קשה‬ ‫משימה ‪ -6‬גם בפעילות זו יש לפתור את תרגילי החילוק הנתונים‪ ,‬כדי‬ ‫לבסס את האלגוריתם הסטנדרטי לפתרון תרגילי חילוק בשברים פשוטים‪.‬‬ ‫משימה זו נחשבת לקשה יותר מהמשימה הקודמת‪ ,‬כיון שיש בה תרגילים‬ ‫שהמחלק שלהם הוא מספר מעורב‪.‬‬ ‫משימה לא כ"כ קלה‬ ‫משימה ‪ -7‬יש לפתור את תרגילי החילוק הנתונים‪ .‬לאחר מכן יש לחלק‬ ‫את הפתרונות לשתי קבוצות‪ ,‬כך ששתי הקבוצות תהיינה מאוזנות‪.‬‬ ‫להלן הפתרונות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10 1 10‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫×= ‪: 5‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 5 15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×= ‪: 1‬‬ ‫=‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9 10 10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 15‬‬ ‫‪3 7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫×= ‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪7 7‬‬ ‫‪7 15 15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5 4‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫×= ‪: 6‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 25 25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6 5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫×= ‪: 1‬‬ ‫ד‪= .‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3 16 2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫×=‬ ‫ו‪= .‬‬ ‫‪8 16‬‬ ‫‪8 9 3‬‬ ‫קיימת הוראה לחלק את התוצאות לשתי קבוצות שוות‪ ,‬אך אין אפשרות‬ ‫לבצע אותה בתרגילים הנתונים‪.‬‬ ‫אם רוצים לחלק לשתי קבוצות שוות‪ ,‬יש לשנות את תרגיל ד' כך‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫× = ‪: 12‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ואז מתקבלות שתי קבוצות שוות‪.‬‬ ‫בקבוצה האחת נמצאים התרגילים‪ :‬א'‪ ,‬ב'‪ ,‬ג'‪.‬‬ ‫ובקבוצה השנייה נמצאים התרגילים‪ :‬ד'‪ ,‬ה'‪ ,‬ו'‪.‬‬ ‫משימה לא כ"כ קלה‬ ‫על שיעורי הבית‪:‬‬ ‫רמת הפעילות‬ ‫פרוט הפעילות‬ ‫משימה ‪ -1‬בפעילות זו נתונים תרגילי חילוק‪ ,‬וכן הגורם הראשון בתרגיל‬ ‫הכפל השקול לכל אחד מתרגילי החילוק‪.‬‬ ‫יש להשלים את תרגילי הכפל ולפתור‪.‬‬ ‫משימה קלה‬ ‫‪1 5 1 6 6 1‬‬ ‫דוגמה‪: = × = = :‬‬ ‫‪3 6 3 5 18 3‬‬ ‫משימה ‪ -2‬בפעילות זו יש לפתור את תרגילי החילוק ולמיין אותם ל‪2 -‬‬ ‫קבוצות‪ .‬לקבוצה אחת שייכים כל התרגילים שמנתם קטנה מ‪.1 -‬‬ ‫לקבוצה השנייה שייכים כל התרגילים שמנתם גדולה מ‪.1 -‬‬ ‫לדוגמה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪9 1 9 3‬‬ ‫×= × ‪: 3 = 2‬‬ ‫= =‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪4 3 12 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪= 15 × = 24‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15 :‬‬ ‫משימה לא כ"כ קשה‬ ‫המנה קטנה מ‪.1 -‬‬ ‫המנה גדולה מ‪.1 -‬‬ ‫משימה ‪ -3‬בפעילות זו נתונים תרגילי חילוק‪ ,‬הרשומים בתוך חיצים‪ .‬כמו‬ ‫כן‪ ,‬נתונים ‪ 3‬טווחים של תוצאות אפשריות‪.‬‬ ‫יש לשער באיזה טווח תוצאה יפול כל תרגיל‪ ,‬לפתור את התרגיל‪ ,‬ולקבוע‬ ‫אם ההשערה היתה נכונה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לדוגמה‪ :‬נתון התרגיל‪: 7 :‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ההשערה‪ :‬המנה תהיה קטנה מ‪.1 -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נימוק אפשרי‪ :‬כיון שהמספר ההופכי ל‪ 7 -‬הוא‬ ‫‪7‬‬ ‫וכאשר כופלים שני‬ ‫שברים קטנים מ‪ 1 -‬מתקבלת מכפלה הקטנה מ‪.1 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 1 2‬‬ ‫הפתרון‪: 7 = × = :‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7 7 49‬‬ ‫בתחתית התרגיל נתונה טבלת בקרה‪ .‬יש להשלים בה את התרגילים‪,‬‬ ‫ההשערה לגבי כל תרגיל והנימוק להשערה‪.‬‬ ‫כתיבת הנימוק‪ ,‬מטפחת את כושר ההנמקה של התלמידים לא רק בע"פ‪ ,‬כי‬ ‫אם גם בכתב‪.‬‬ ‫משימה קשה‬ ‫חלוקת מספרים ‪ -‬פרק ג' שיעור ‪4‬‬ ‫חילוק שברים ‪ -‬פעילות העמקה‬ ‫יעדים‪:‬‬ ‫©להבין כי פעולת החילוק אינה‪ ,‬בהכרח‪ ,‬מקטינה‪.‬‬ ‫©לדון בהגדלה או הקטנה של מספר כתוצאה מחילוקו בשבר‪.‬‬ ‫©להתנסות בבניית תרגילי חילוק לפי קריטריונים‪.‬‬ ‫©לחזור על חוקי ה‪ 1 -‬בכפל וחילוק‪.‬‬ ‫©לפתח יכולת לפתור שאלות מילוליות‪.‬‬ ‫©לדעת להשלים מספרים באי שוויונים פשוטים‪.‬‬ ‫©לעסוק במשימות חקר שיש להן מרחב פתרונות פתוח‪.‬‬ ‫©לבסס את האלגוריתם של חילוק שברים פשוטים‪.‬‬ ‫מיני שיעור‪:‬‬ ‫הפעילות‬ ‫זמן משוער‬ ‫אביזרי השיעור‬ ‫_______‬ ‫פעילות קבוצתית‬ ‫‪ 15‬דקות‬ ‫פעילות מורה‬ ‫‪ 10‬דקות‬ ‫פעילות קבוצתית‬ ‫‪ 10‬דקות‬ ‫_______‬ ‫פעילות יחידנית‬ ‫‪ 10‬דקות‬ ‫_______‬ ‫‪ 2‬כרטיסים‪ -‬בידי כל קבוצה‪.‬‬ ‫‪ 5‬כרטיסי תרגילים‪ -‬להצמדה על הלוח‪.‬‬ ‫על הפעילות הקבוצתית‪:‬‬ ‫בשיעור "חלוקת מספרים" יפתרו התלמידים תרגילי חילוק ויחקרו‪ ,‬כיצד משפיע המחלק על המנה‪.‬‬ ‫לשיעור זה חשיבות מרובה‪ ,‬שכן אחת המטרות בלימוד המתמטיקה היא פיתוח החשיבה המתמטית‬ ‫והתובנה המספרית‪ .‬בנוסף ללימוד האלגוריתם ופיתוח מיומנויות חישוב‪.‬‬ ‫במשימה הראשונה נתונים שלושה מספרים‪ .‬התלמידים יכתבו את כל תרגילי החילוק שניתן לכתוב בעזרת‬ ‫שלשת המספרים‪.‬‬ ‫לפניכם התרגילים‪:‬‬ ‫ב‪1 : 15 .‬‬ ‫א‪15 : 1 .‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪:1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ו‪: 15 .‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪15 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫התלמידים יפתרו את התרגילים ויציינו‪ ,‬באילו מקרים המנה גדולה מ‪ ) .1 -‬בתרגילים‪,1: :‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪,15:‬‬ ‫‪ 15 : 1‬תתקבל מנה הגדולה מ‪(.1-‬‬ ‫בנוסף‪ ,‬יציינו התלמידים‪ ,‬לאיזה תרגיל המנה הגדולה ביותר ולאיזה תרגיל המנה הקטנה ביותר‪.‬‬ ‫התלמידים יגלו‪ ,‬כי דווקא חילוק במספר הקטן ביותר נותן את המנה הגדולה ביותר‪ ,‬ולהפך‪:‬‬ ‫חילוק במספר הגדול ביותר נותן מנה קטנה ביותר‪.‬‬ ‫להלן הפתרונות‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫המחלק קטן והמנה גדולה‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪= 24‬‬ ‫‪5‬‬ ‫המחלק גדול והמנה קטנה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= × = ‪: 15‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8 15 24‬‬ ‫× ‪15 : = 15‬‬ ‫במשימה הקבוצתית הנוספת ישלימו התלמידים את תרגילי החילוק לפי הדרישה‪.‬‬ ‫פעילות זו נשענת על המסקנות שהוסקו בפעילות הקודמת‪.‬‬ ‫סעיף א'‪ :‬התלמידים ישלימו את המחלק בתרגילי חילוק‪ ,‬שהמחולק שלהם הוא ‪.6‬‬ ‫יש לרשום ‪ 4‬תרגילים שמנתם גדולה מ‪ 6 -‬ו‪ 4 -‬תרגילים נוספים שמנתם קטנה מ‪.6 -‬‬ ‫בפעילות זו יסיקו התלמידים‪ ,‬כי כאשר המחלק קטן מ‪ ,1 -‬תתקבל מנה הגדולה מן המחלק‪.‬‬ ‫)במקרה זה המחולק הוא ‪ ,( 6‬וכאשר המחלק גדול מ‪ ,1 -‬תתקבל מנה קטנה מן המחולק‪.‬‬ ‫)במקרה זה המחולק הוא ‪.(6‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=6× =9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=6× =4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫בתרגיל זה המחלק קטן מ‪ 1 -‬והמנה גדולה מ‪6. -‬‬ ‫‪ 6 :‬בתרגיל זה המחלק גדול מ‪ 1 -‬והמנה קטנה מ‪.6 -‬‬ ‫סעיף ב'‪ :‬בסעיף זה יש לרשום שני תרגילי כפל ושני תרגילי חילוק שתוצאתם היא ‪.6‬‬ ‫התלמידים יעזרו במאגרי המספרים הנתונים‪ ,‬וישתמשו בכל תרגיל במספר אחד מהמאגר‬ ‫האחד ובמספר נוסף מהמאגר האחר‪.‬‬ ‫מותר להשתמש בכל אחד מהמספרים שבמאגרים פעם אחת בלבד‪.‬‬ ‫התלמידים יפעילו שיקול דעת בבחירת המספרים ויעזרו במסקנות שהסיקו במהלך הלימוד‪.‬‬ ‫‪ 4‬התרגילים שיש לרשום הם‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2:‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪: =6‬‬ ‫‪2 12‬‬ ‫‪1× 4 = 6‬‬ ‫על פעילות המורה‪:‬‬ ‫בפעילות הקישור יבדוק המורה אם הסיקו התלמידים מסקנות נכונות במהלך הפעילות הקבוצתית‪.‬‬ ‫יש לתת לכל קבוצה שני כרטיסים עליהם רשום‪:‬‬ ‫המנה גדולה מ‪8 -‬‬ ‫המנה קטנה מ‪8 -‬‬ ‫על הלוח יציג המורה כרטיסים ועליהם תרגילי חילוק‪.‬‬ ‫בכל תרגילי החילוק מופיע המחולק ‪ ,8‬מלבד בתרגיל אחד בו המחלק הינו ‪.8‬‬ ‫התלמידים יבדקו באילו מהתרגילים מתקבלת מנה הגדולה מ‪ 8 -‬ובאילו מהם מתקבלת מנה הקטנה מ‪.8 -‬‬ ‫על הפעילות הקבוצתית‪:‬‬ ‫בפעילות קבוצתית נוספת יעסקו התלמידים בשאלה מילולית מורכבת‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ראשית יש לקבוע מה יהיה משקל כל פרוסה‪ ,‬אם יחלקו עוגה השוקלת ‪ 4‬ק"ג ל‪ 18 -‬פרוסות השוות‬ ‫במשקלן‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9 1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫התרגיל‪= = :‬‬ ‫‪2 18 36 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×= ‪4 : 18‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תשובה‪ :‬משקל כל פרוסה הוא‬ ‫‪4‬‬ ‫ק"ג‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אם יחלקו פרוסה שמשקלה ק"ג לשני חלקים שווים וקבלו פרוסה במשקל‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ק"ג‪ ,‬שהרי‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫=‪:2‬‬ ‫=×‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫בהמשך יש למצוא כמה ק"ג בורקס יש להזמין ל‪ 18 -‬ילדים‪ ,‬אם כל אחד מהם מקבל מנה אישית‬ ‫‪1‬‬ ‫שמשקלה‬ ‫‪5‬‬ ‫ק"ג‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫התרגיל‪= 3 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫× ‪18‬‬ ‫‪3‬‬ ‫תשובה‪ :‬יש להזמין‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 3‬ק"ג בורקס‪) .‬שהם ‪ 3.600‬ק"ג(‬ ‫בשלב האחרון יש לחשב מהו משקל דברי המאפה )עוגה ‪ +‬בורקס( שאכלו כל הילדים‪ ,‬אם כל ילד אכל‬ ‫בורקס אחד ופרוסת עוגה אחת‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪1‬‬ ‫התרגיל‪= 2 + 3 = 5 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4 :2+3 = × +3‬‬ ‫חצי ממשקל העוגה )רק חלק זה נאכל(‬ ‫משקל הבורקס‬ ‫‪17‬‬ ‫תשובה‪ :‬משקל דברי המאפה שאכלו כל הילדים הוא‬ ‫‪20‬‬ ‫‪ 5‬ק"ג כלומר ‪ 5.850‬ק"ג‪.‬‬ ‫על הפעילות היחידנית‪:‬‬ ‫רמת הפעילות‬ ‫פרוט הפעילות‬ ‫משימה ‪ -5‬בפעילות זו נתונים תרגילי כפל ותרגילי חילוק‪.‬‬ ‫יש לקבוע‪ ,‬האם תתקבל תוצאה ‪ 1‬או לא‪.‬‬ ‫משימה קלה‬ ‫משימה ‪ -6‬בפעילות זו נתונים זוגות תרגילים‪ .‬יש לקבוע את סימן ההשוואה‬ ‫הנכון ביניהם‪.‬‬ ‫יש לכוון את התלמידים לקבוע את סימן ההשוואה בלי לפתור את התרגילים‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪4 8‬‬ ‫≠‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫×‪4‬‬ ‫הנימוק‪ :‬בתרגיל כפל השקול לתרגיל חילוק נתון יש לכתוב את המספר‬ ‫ההופכי של המחלק ולא של המחולק‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫משימה בינונית‬ ‫‪5 2‬‬ ‫×‬ ‫‪2 5‬‬ ‫הנימוק‪ :‬בתרגיל הכפל השקול לתרגיל החילוק הנתון‪ ,‬מופיע המספר ההופכי‬ ‫של המחלק‪.‬‬ ‫משימה ‪ -7‬במשימה זו יש להשלים את האי שוויונים הנתונים‪ ,‬כך‬ ‫שתתקבלנה טענות אמת‪ .‬לכל תרגיל נתונים ‪ 4‬מספרים‪ ,‬יש לסמן אילו מהם‬ ‫יתנו טענות אמת‪ .‬להלן הפתרונות‪:‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫> ‪:‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪< 4 .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪:1 >3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫המספר המתאים הוא‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫משימה קשה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫המספרים המתאימים הם‪7 ,2 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫המספרים המתאימים הם‪9 ,6 :‬‬ ‫על שיעורי הבית‪:‬‬ ‫פרוט הפעילות‬ ‫משימה ‪ -1‬יש לפתור את תרגילי החילוק הנתונים‪.‬‬ ‫פעילות זו תבסס את האלגוריתם הסטנדרטי לפתרון תרגילי חילוק‬ ‫בשברים‪.‬‬ ‫משימה ‪ -2‬יש לפתור את תרגילי החילוק הנתונים‪ ,‬ולהעביר קו בין תרגיל‬ ‫לבין פתרונו‪ .‬למשימה זו יש בקרה נוספת‪ :‬אם מעתיקים את האותיות‬ ‫לפי סדר התרגילים מקבלים‪" :‬פתרתם יפה"‪.‬‬ ‫רמת הפעילות‬ ‫משימה המיועדת לכולם‬ ‫משימה קלה‬ ‫משימה ‪ -3‬בפעילות זו יש להשלים מספרים בתרגילי החילוק לפי‬ ‫התוצאות הרשומות‪.‬‬ ‫‪y‬כדי לקבל מנה הקטנה מ‪ ,5 -‬יש להשלים בתרגילי החילוק‪ ,‬מחלק הקטן‬ ‫מ‪.1 -‬‬ ‫‪y‬כדי לקבל מנה הגדולה מ‪ ,5 -‬יש להשלים בתרגילי החילוק מחלק הגדול‬ ‫משימה לא כ"כ קלה‬ ‫מ‪.1 -‬‬ ‫‪y‬כדי לקבל מנה השווה ל‪ ,5 -‬יש להשלים את התרגילים כך‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪: =5‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪5:1=5‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫‪: =5‬‬ ‫‪7 7‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫משלכם‪ :‬הצעה אפשרית‪: :‬‬ ‫‪9 9‬‬ ‫משימה ‪ -4‬יש לפתור את השאלה המילולית‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫הפתרון‪> 18 : :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20 :‬‬ ‫משימה קשה‬ ‫במשמרת הראשונה מלאו ‪ 25‬בקבוקים‪ ,‬ובמשמרת השנייה מלאו ‪24‬‬ ‫בקבוקים‪.‬‬ ‫משימה ‪ -5‬יש לפתור שאלה מילולית רב שלבית‪ .‬הפתרון‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫א‪= 13 .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‪18‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪18 -13 = 4 .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מחיר האלבום ‪.₪ 13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מחיר ‪ 3‬הבולים הוא ‪.₪ 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪4 : 3 = 1 .‬‬ ‫מחיר כל בול הוא ‪.₪ 1‬‬ ‫ד‪20 : 2 = 8 .‬‬ ‫אבי קנה ‪ 8‬בולים‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫משימה קשה‬ ‫חוקרים ופועלים ‪ -‬פרק ג' שיעור ‪5‬‬ ‫ארבע פעולות חשבון בשברים ‪ -‬חקירה‬ ‫יעדים‪:‬‬ ‫©לבסס את חוקי האפס וה‪ 1 -‬בתרגילי חילוק‪.‬‬ ‫©להבין כי יש תרגילי חילוק בהם מתקבלת מנה חסרת משמעות‪.‬‬ ‫©לבסס את ההבנה של יחסי הגומלין בין פעולות הכפל והחילוק‪.‬‬ ‫©להתנסות בבניית תרגילי חילוק שיש בהם אפס או ‪.1‬‬ ‫©לדעת לקשר בין טענות לבין החוקים המתמטיים שהן מדגימות‪.‬‬ ‫©לפתח יכולת הכללה‪.‬‬ ‫©לחזור על חוקי האפס וה‪ 1 -‬בארבע פעולות חשבון‪ ,‬ולבצע מטלות המעידות על הבנתם‪.‬‬ ‫©לדעת לפתור משוואות פשוטות בכפל וחילוק שברים‪.‬‬ ‫מיני שיעור‪:‬‬ ‫הפעילות‬ ‫זמן משוער‬ ‫אביזרי השיעור‬ ‫פעילות קבוצתית‬ ‫‪ 20‬דקות‬ ‫_______‬ ‫פעילות מורה‬ ‫‪ 10‬דקות‬ ‫‪ 8‬כרטיסים כדוגמת הכרטיסים שבספר‪-‬‬ ‫להדגמה על הלוח‪.‬‬ ‫≠ בידי כל קבוצה‪.‬‬ ‫‪ 2‬כרטיסים = ו‬ ‫פעילות יחידנית‬ ‫‪ 15‬דקות‬ ‫_______‬ ‫על הפעילות הקבוצתית‪:‬‬ ‫במשימות שבשיעור זה יחקרו התלמידים את המספרים אפס ואחד בתרגילי חילוק‪ ,‬ויגלו את החוקיים‬ ‫המתמטיים של מספרים אילו בתרגילי חילוק‪.‬‬ ‫סעיף א'‪ :‬בפעילות הראשונה שבשיעור יחשפו התלמידים לתרגילי חילוק‪ ,‬שבהם האפס או ה‪1 -‬‬ ‫במחלק או במחולק‪ .‬במהלך החקירה התלמידים יסיקו‪:‬‬ ‫‪y‬אין לחלק באפס‪ .‬בחילוק באפס )כאשר האפס הוא המחלק( מתקבלת מנה חסרת משמעות‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫דוגמה‪ :‬בח"מ = ‪: 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ניתן להסביר זאת ע"י תרגיל כפל תואם‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫נניח ש ‪: 0 = 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫בבדיקה יתקבל‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‪0×0‬‬ ‫וזו טענת שקר‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫נניח ש‬ ‫=‪:0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫בבדיקה יתקבל‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‪×0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫וזו טענת שקר‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ולכן ‪: 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫הינו ביטוי חסר משמעות‪.‬‬ ‫‪y‬אפשר לחלק אפס במספר‪ .‬המנה תהיה אפס‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫דוגמה‪= 0 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0:‬‬ ‫‪y‬בתרגילי חילוק שבהם האפס הוא המחולק‪ ,‬ובתרגילי חילוק‪ ,‬שבהם ה‪ 1 -‬הוא המחלק‪-‬‬ ‫תתקבל מנה‪ ,‬השווה לאחד המספרים‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‪:1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0:‬‬ ‫סעיף ב'‪ :‬בסעיף זה יכתבו התלמידים תרגילי חילוק משלהם‪ ,‬שבהם ‪ 1‬או ‪ ,0‬ויפתרו‪.‬‬ ‫התלמידים יתנו את דעתם על תרגילים שאין לרשום כיון‪ ,‬שמתקבלת בהם מנה חסרת משמעות‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫יש להציע ‪ 8‬תרגילים שונים‪ ,‬כמו‪: 1 :‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪0:1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0:‬‬ ‫על פעילות המורה‪:‬‬ ‫בפעילות הקישור יבסס המורה את חוקי האפס והאחד בתרגילי חילוק‪.‬‬ ‫בידי כל קבוצה יהיו הכרטיסים‪= :‬‬ ‫≠‬ ‫על הלוח יוצגו כרטיסי תבניות‪.‬‬ ‫אם הטענות שבהם נכונות‪ ,‬ירימו התלמידים את הכרטיס = ‪.‬‬ ‫אם הטענות שבהם אינן נכונות‪ ,‬ירימו התלמידים את הכרטיס‬ ‫אם התקבל ביטוי חסר משמעות‪ ,‬יש להרים יד ללא כרטיס‪.‬‬ ‫≠‪. .‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫בהצגת הכרטיס‬ ‫‪1:‬‬ ‫יש להרים את הכרטיס‬ ‫המספר ‪ 1‬אינו איבר ניטרלי בחילוק‪ ,‬כאשר הוא מופיע כמחולק‪.‬‬ ‫יש להרים יד ללא כרטיס‪.‬‬ ‫בהצגת הכרטיס‬ ‫‪:0 0‬‬ ‫בחילוק באפס מתקבלת מנה חסרת משמעות‪.‬‬ ‫על הפעילות היחידנית‪:‬‬ ‫רמת הפעילות‬ ‫פרוט הפעילות‬ ‫משימה ‪ -3‬במשימה זו נתונים תרגילי כפל וחילוק )וכן תרגיל חיסור אחד(‪.‬‬ ‫יש למיין אותם ל‪ 2 -‬קבוצות‪ ,‬בקבוצה האחת יהיו התרגילים שתוצאתם ‪,1‬‬ ‫ובקבוצה האחרת יהיו תרגילים שתוצאתם ‪.0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫דוגמאות‪ 1× 0 :‬התוצאה ‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‪- 0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫משימה קלה‬ ‫התוצאה היא ‪.1‬‬ ‫משימה ‪ -4‬בפעילות זו נתונות טענות‪ ,‬חלק מהן טענות אמת וחלק מהן טענות‬ ‫שקר‪ .‬יש לסווג כל טענה למקום המתאים לה‪ .‬הטענות מכילות את חוקי‬ ‫האפס והאחד וחוקים נוספים בפעולות החשבון‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2 : 4 ≠ 4 : 2‬טענת אמת‪.‬‬ ‫משימה לא כ"כ קלה‬ ‫הסבר‪ :‬חוק החילוף אינו תקף בפעולת החילוק‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=0+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫× ‪ 0‬טענת שקר‪.‬‬ ‫הסבר‪ :‬האפס מאפס כל מכפלה בתרגילי כפל‪ ,‬אך הוא איבר ניטרלי בחיבור‪.‬‬ ‫משימה ‪ -5‬בפעילות זו רשומים חוקים מתמטיים וכן תרגילים המדגימים‬ ‫אותם‪ .‬יש לחבר קו בין כל טענה לבין התרגיל המתאים לה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫דוגמה‪ :‬הטענה‪ :‬אפס מאפס כל מכפלה מודגמת בתרגיל ‪0 = 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫משימה בינונית‬ ‫×‪2‬‬ ‫משימה ‪ -6‬בפעילות זו נתונות טענות הרשומות בהצגה מילולית‪ .‬יש לסמן ‪9‬‬ ‫רק לצד הטענות הנכונות‪ .‬דוגמאות‪:‬‬ ‫‪ 9‬בחיבור מספרים קיים חוק חילוף‪.‬‬ ‫× האפס איבר ניטרלי בחיסור‪.‬‬ ‫‪ 9‬האפס איבר ניטרלי בחיבור‪.‬‬ ‫× האפס איבר ניטרלי בחילוק‪.‬‬ ‫משימה קשה‬ ‫על שיעורי הבית‪:‬‬ ‫פרוט הפעילות‬ ‫משימה ‪ -1‬בפעילות זו נתונים תרגילים שתוצאותיהם אפס או אחד‪.‬‬ ‫יש לשייך כל תרגיל לתוצאה המתאימה לו‪.‬‬ ‫רמת הפעילות‬ ‫משימה המיועדת לכולם‬ ‫משימה ‪ -2‬בפעילות זו נתונים זוגות תרגילים‪ .‬יש להוסיף ביניהם‬ ‫= או ≠ לפי הצורך‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪) 8 +‬ע"פ חוק החילוף בחיבור‪(.‬‬ ‫‪0:3‬‬ ‫≠‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪) 0 + 3‬האפס איבר ניטרלי בחיבור אך לא בחילוק‪(.‬‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫‪1 5‬‬ ‫×‬ ‫‪6 8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫‪8 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫משימה לא כ"כ קשה‬ ‫)ע"פ חוק החילוף בכפל‪(.‬‬ ‫משימה ‪ -3‬בפעילות זו נתונות משוואות פשוטות בכפל וחילוק‪.‬‬ ‫יש להשלים בהן את המספרים החסרים‪.‬‬ ‫להלן ההשלמות הנכונות‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1:‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ההשלמה הנכונה היא‬ ‫‪7‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ההשלמה הנכונה היא ‪.0‬‬ ‫=‪:1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ההשלמה הנכונה היא‬ ‫‪5‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ההשלמה הנכונה היא ‪.0‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ההשלמה הנכונה היא‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ההשלמה הנכונה היא ‪.2‬‬ ‫משימה לא כ"כ קלה‬ ‫שברים בפעולה ‪ -‬פרק ג' שיעור ‪6‬‬ ‫‪ 4‬פעולות חשבון בשברים פשוטים ‪ -‬משימות סיכום‬ ‫יעדים‪:‬‬ ‫©לבצע מטלות המעידות על הבנת משמעות ‪ 4‬פעולות החשבון בשברים פשוטים‪.‬‬ ‫©להתנסות בבניית שברים לפי קריטריונים‪.‬‬ ‫©לטפח יכולת הערכה ואומדן‪.‬‬ ‫©לחזור על השוואת שברים‪.‬‬ ‫©לבסס ההבנה של יחסי גומלין בין פעולות החיבור והחיסור ובין פעולות הכפל והחילוק‪.‬‬ ‫©לדעת להשלים משוואות פשוטות בחיבור‪ ,‬חיסור‪ ,‬כפל וחילוק של שברים פשוטים‪.‬‬ ‫©לפתח שליטה במיומנויות חישוב של ‪ 4‬פעולות חשבון בשברים פשוטים‪.‬‬ ‫©להתנסות בהשלמת לוחות פעולה‪) .‬חיבור וכפל(‬ ‫מיני שיעור‪:‬‬ ‫הפעילות‬ ‫זמן משוער‬ ‫פעילות קבוצתית‬ ‫‪ 25‬דקות‬ ‫פעילות מורה‬ ‫‪ 10‬דקות‬ ‫פעילות קבוצתית‬ ‫‪ 10‬דקות‬ ‫אביזרי השיעור‬ ‫_______‬ ‫‪ 2‬כרטיסי מספרים כדוגמת הכרטיסים‬ ‫שבספר‪ -‬להדגמה על הלוח‪.‬‬ ‫דפים גדולים וטושים‪ -‬בידי כל קבוצה‪.‬‬ ‫_______‬ ‫על הפעילות הקבוצתית‪:‬‬ ‫המשימות בשיעור "שברים בפעולה" הינן פעילויות העמקה בארבע פעולות חשבון בשברים פשוטים‪.‬‬ ‫המטרה העיקרית שלהן היא להפעיל חשיבה מתמטית‪ .‬על כן יש לכוון את התלמידים לענות על המשימות‬ ‫בלי לבצע חישוב מדויק‪.‬‬ ‫משימה ‪-1‬‬ ‫התלמידים ירשמו אחד מסימני הפעולות )בחלק מן המקרים יש יותר מאפשרות אחת נכונה(‪,‬‬ ‫כך שתתקבלנה טענות אמת‪.‬‬ ‫כדאי לכוון את התלמידים להפעיל שיקול דעת בבחירת הפעולה‪ ,‬ולא לרשום סימן פעולה באופן אקראי‪,‬‬ ‫ולנסות לבדוק את התוצאה‪ .‬דוגמאות‪:‬‬ ‫נתון התרגיל‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נתון התרגיל‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪5 25‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫יש להשלים פעולת כפל‪.‬‬ ‫‪1 =1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫יש לשלול פעולות בלתי הגיוניות כמו חיבור‪ ,‬שהרי לא יתכן‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שהסכום של שני מספרים יהיה קטן מאחד המחוברים‪ .‬גם פעולת החיסור אינה מתאימה‪ .‬עדיין לא למדו‬ ‫לחסר מספר גדול ממספר קטן‪ .‬ההתלבטות היא בין כפל לחילוק‪ .‬במקרה זה החילוק מקטין‪ ,‬והמנה תהיה‬ ‫קטנה מהמחלק ומהמחולק‪ ,‬על כן פעולת החילוק אינה מתאימה ג"כ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫נותר להחליט כי פעולת הכפל היא הנכונה‪.‬‬ ‫‪× 1 =1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫במקרים‪ ,‬שבהם מופיע סימן אי שוויון > או <‪ ,‬תתכן יותר מאפשרות אחת נכונה‪.‬‬ ‫לדוגמה‪ :‬בתרגיל ג' ניתן להשלים ‪ 3‬פעולות שונות‪.‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אפשרות א'‪+ > 3 :‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫השלמת פעולת החיבור נותנת טענה נכונה‪.‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אפשרות ב'‪- > 3 :‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫השלמת פעולת החיסור נותנת טענה נכונה‪.‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אפשרות ג'‪: > 3 :‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫השלמת פעולת החילוק נותנת טענה נכונה‪.‬‬ ‫לעומת זאת‪ ,‬בתרגיל ד' רק פעולת החיסור מתאימה‪.‬‬ ‫משימה ‪-2‬‬ ‫פעילות זו נחשבת לפעילות חקר ונערכת כסיכום לנושא פעולות בשברים פשוטים‪.‬‬ ‫סעיפים א'‪ -‬ב'‪ :‬המשימות בסעיפים אילו משמשות כהכנה למשימות הבאות בהמשך‪.‬‬ ‫התלמידים ירשמו שברים שונים הקטנים מ‪,1-‬כלומר שברים‪,‬שבהם המונה קטן מהמכנה‪.‬‬ ‫כדי לענות על סעיף ב' יש לדרג את השברים מהגדול לקטן )או להפך( לפי סדר‪.‬‬ ‫‪y‬שני השברים הגדולים ביותר‪ -‬סכומם יהיה הגדול ביותר‪.‬‬ ‫‪y‬שני השברים הקטנים‪ -‬סכומם יהיה הקטן ביותר‪.‬‬ ‫‪y‬ההפרש בין השבר הגדול ביותר לשבר הקטן ביותר‪ -‬הוא ההפרש הגדול ביותר‪.‬‬ ‫‪y‬מכפלת שני השברים הגדולים ביותר היא המכפלה הגדולה ביותר‪.‬‬ ‫סעיף ג'‪ :‬בסעיף זה נתונה רשימת מספרים‪ .‬יש להרכיב מהם רק שברים הקטנים מ‪ 1 -‬ושונים זה מזה‪.‬‬ ‫ראשית‪ ,‬ישערו התלמידים כמה שברים כאלו יכולים להתקבל‪.‬‬ ‫התלמידים יסבירו‪ ,‬כי ניתן לרשום כ‪ 10 -‬שברים הקטנים מ‪ .1 -‬כיון שמותר לרשום רק שברים‬ ‫‪3 1‬‬ ‫שמוניהם קטנים ממכניהם ואין לרשום שברים שווים‪ ,‬כמו‪ :‬ו‬ ‫‪6 2‬‬ ‫סעיף ד'‪:‬‬ ‫‪1 1 1 2 2 3 6‬‬ ‫‪, , , , , ,‬‬ ‫השברים שיש לרשום הם‪:‬‬ ‫‪3 6 8 3 8 8 8‬‬ ‫סעיף ה'‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫השבר הגדול ביותר הוא‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫השבר הקטן ביותר הוא‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫סעיף ו'‪ :‬כדי לענות על סעיף זה יש לסדר את רשימת השברים מהקטן לגדול )או להפך( לפי סדר‪ ,‬כך‪:‬‬ ‫‪1 1 2 1 3 1 2 6‬‬ ‫> > > > > > >‬ ‫‪8 6 8 3 8 2 3 8‬‬ ‫ע"פ רשימה זו ניתן לפעול בהמשך‪:‬‬ ‫‪y‬שני השברים הגדולים ביותר‪ ,‬סכומם הוא הגדול ביותר‪.‬‬ ‫‪y‬שני השברים הקרובים ביותר זה לזה‪ ,‬הפרשם הוא הקטן ביותר‪.‬‬ ‫כדי לענות על פרט זה יש להביא את כל השברים למכנה שווה‪ ,‬כך‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪18‬‬ ‫>‬ ‫>‬ ‫>‬ ‫>‬ ‫>‬ ‫>‬ ‫>‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫לפי רשימה זו ניתן לקבוע‪ ,‬כי שני השברים שההפרש ביניהם הוא הקטן ביותר הם‪:‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪-‬‬ ‫‪6 8 24‬‬ ‫או‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪-‬‬ ‫‪8 3‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪y‬שני השברים הגדולים‪ ,‬מכפלתם היא הגדולה ביותר‪.‬‬ ‫‪6 2‬‬ ‫‪y‬שני שברים שמנתם מספר שלם‪ .‬הצעה אפשרית‪: = 3 :‬‬ ‫‪8 8‬‬ ‫‪.‬‬ ‫סעיף ז'‪ :‬בהוספת המספר ‪ 7‬יתקבלו חמישה שברים נוספים‪:‬‬ ‫‪1 2 3 6 7‬‬ ‫‪, , , ,‬‬ ‫‪7 7 7 7 8‬‬ ‫‪.‬‬ ‫יש לזכור‪ ,‬שה‪ 7 -‬אינו כפולה אף של אחד מהמספרים הנתונים‪ ,‬וע"כ לא יתקבלו שברים‬ ‫מורחבים‪.‬‬ ‫אם נוסיף ‪ 0‬לקבוצת המספרים‪ ,‬ניתן יהיה לרשום שברים שמוניהם אפס‪ ,‬אך כל השברים‬ ‫שהמונה שלהם אפס שווים לאפס‪ .‬כלומר‪ ,‬הם שווים ביניהם‪.‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬אין לרשום אפס במכנה‪ ,‬שהרי אפס במכנה יוצר ביטוי חסר משמעות‪.‬‬ ‫סעיף ח'‪ :‬יש לבדוק את שתי הקבוצות הנתונות ולהחליט‪ ,‬מאיזו קבוצה ניתן יהיה לרשום מספר גדול‬ ‫ביותר של שברים שונים‪ ,‬הקטנים מ‪.1 -‬‬ ‫מקבוצת המספרים שרשם בועז ניתן לרשום יותר שברים מאשר מקבוצת המספרים של חנן‪.‬‬ ‫בקבוצת המספרים של חנן יתקבלו גם שברים השווים ביניהם‪ .‬שברים אילו אינם עונים‬ ‫לדרישה‪.‬‬ ‫על פעילות המורה‪:‬‬ ‫בפעילות הקישור יציג המורה שתי קבוצות מספרים על הלוח וידון במליאה ברשימת השברים‪ ,‬שניתן‬ ‫לרשום מכל אחת מקבוצות המספרים‪.‬‬ ‫הדיון בסעיפים השונים יבדוק אם הוסקו מסקנות נכונות במשימה הקבוצתית‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫קבוצות המספרים הן‪:‬‬ ‫‪0,1,2,4,8‬‬ ‫‪2,3,4,6,8‬‬ ‫מקבוצה א' ניתן לרשום שברים רבים יותר הקטנים מ‪ 1 -‬ושונים זה מזה‪.‬‬ ‫הנימוק‪ :‬בקבוצה ב' מצוי המספר אפס המצמצם מאוד את מספר האפשרויות הנכונות‪.‬‬ ‫להלן פרוט השברים בכל קבוצה‪:‬‬ ‫‪2 2 2 2 3 3‬‬ ‫קבוצה א'‪:‬‬ ‫‪, , , , ,‬‬ ‫‪3 4 6 8 4 8‬‬ ‫‪0 1 1 1‬‬ ‫קבוצה ב'‪, , , :‬‬ ‫‪1 2 4 8‬‬ ‫על הפעילות הקבוצתית‪:‬‬ ‫בפעילות הקבוצתית הנוספת יעסקו התלמידים בהשלמת מספרים במשוואות פשוטות‪.‬‬ ‫המשוואות כוללות ‪ 4‬פעולות חשבון‪ ,‬והשלמתן נעשית ע"י תרגיל מתאים‪ .‬בחירת התרגיל‪ ,‬שבעזרתו‬ ‫מוצאים את הנעלם‪ ,‬נחשבת למשימה קשה‪ ,‬וע"כ הפעילות במסגרת קבוצתית ולא כפעילות יחידנית‪.‬‬ ‫חשוב להדגיש לתלמידים כי‪ ,‬בדרך כלל‪ ,‬מציאת הנעלם נעשית ע"י פעולה נגדית‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫דוגמה‪ :‬נתונה המשוואה‬ ‫‪4‬‬ ‫‪=8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫הפעולה המתאימה למציאת הנעלם היא חיסור‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪-4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫יש מקרים‪ ,‬שבהם הפעולה הנגדית אינה מתאימה למציאת הנעלם‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫דוגמה‪ :‬נתונה המשוואה ‪= 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הפעולה המתאימה למציאת הנעלם במקרה זה היא פעולת החילוק‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪:2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫על שיעורי הבית‪:‬‬ ‫פרוט הפעילות‬ ‫משימה ‪ -1‬יש לפתור את התרגילים הנתונים‪ .‬מטרת הפעילות לבסס את‬ ‫מיומנויות החישוב ב‪ 4 -‬פעולות חשבון בשברים פשוטים‪.‬‬ ‫כבקרה ימצאו התלמידים את הפתרונות במאגר הנתון‪.‬‬ ‫רמת הפעילות‬ ‫משימה המיועדת לכולם‬ ‫משימה ‪ -2‬בפעילות זו נתונים שני לוחות‪ .‬לוח חיבור ולוח כפל‪.‬‬ ‫יש להשלים את הלוחות‪.‬‬ ‫משימה לא כ"כ קשה‬ ‫משימה ‪ -3‬בפעילות זו נתונים שני לוחות‪ ,‬לוח חיבור ולוח כפל‪.‬‬ ‫יש להשלים את הלוחות‪.‬‬ ‫פעילות זו נחשבת לפעילות קשה יותר מהפעילות הקודמת‪ ,‬כיון שבחלק‬ ‫מהמקרים נתון הסכום ואחד המחוברים ויש למצוא את המחובר השני‪,‬‬ ‫ובלוח הכפל יש מקרים‪ ,‬שבהם נתונה המכפלה ויש למצוא בעזרתה‬ ‫ובעזרת הגורם הנתון את הגורם החסר‪.‬‬ ‫משימה לא כ"כ קלה‬ ‫ריסוס בלי היסוס ‪ -‬פרק ג' שיעור ‪7‬‬ ‫‪ 4‬פעולות חשבון בשברים פשוטים ‪ -‬שאלות מילוליות‬ ‫יעדים‪:‬‬ ‫©לגרות את הסקרנות והעניין ע"י שילוב נושאים אותנטיים‪.‬‬ ‫©להיחשף למשימת חקר גדולה‪.‬‬ ‫©להתנסות בהבנת הנקרא ובאיתור מידע רלוונטי‪.‬‬ ‫©לדעת לפתור שאלות מילוליות חד שלביות ורב שלביות‪.‬‬ ‫©לפתח אסטרטגיות שונות לפתרון שאלות מילוליות‪.‬‬ ‫©לטפח יכולת הנמקה‪ ,‬הצדקה והכללה‪.‬‬ ‫©לדעת להתאים ביטוי חשבוני לשאלה מילולית‪.‬‬ ‫©לחזור על מושגים כמו‪ :‬מספר ראשוני‪ ,‬מספר זוגי‪.‬‬ ‫©לפתח שליטה במיומנויות חישוב של ‪ 4‬פעולות חשבון בשברים פשוטים בדרך חווייתית‪.‬‬ ‫©להתנסות בבניית תרגילים לפי תוצאות נתונות‪.‬‬ ‫©להבין כי בין כל שני מספרים רציונליים יש אינסוף מספרים רציונליים‪.‬‬ ‫מיני שיעור‪:‬‬ ‫הפעילות‬ ‫זמן משוער‬ ‫אביזרי השיעור‬ ‫פעילות קבוצתית‬ ‫‪ 35‬דקות‬ ‫מחשבון‬ ‫פעילות מורה‬ ‫‪ 15‬דקות‬ ‫_______‬ ‫משחק‬ ‫‪ 20‬דקות‬ ‫פעילות יחידנית‬ ‫‪ 20‬דקות‬ ‫‪ 28‬קלפי משחק לגזירה מסוף הספר‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬יחידת לימוד זו מתאימה ל‪ 2 -‬שיעורים‪.‬‬ ‫אם מלמדים אותה בשיעור אחד יש לוותר על חלק מהפעילויות‪.‬‬ ‫_______‬ ‫על הפעילות הקבוצתית‪:‬‬ ‫מטרת השיעור "ריסוס בלי היסוס" היא פתרון בעיות מילוליות רב שלביות בכפל ובחילוק שברים פשוטים‪.‬‬ ‫הדרך למציאת הפתרון הסופי מובנית מאד כדי להקל על המורה לבדוק ולאתר קשיים של תלמידים‪.‬‬ ‫השלב‪ ,‬שבו מתקשה התלמיד‪ ,‬מראה מה ברור לו ומה עדיין קשה לו‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬כדאי לעודד את התלמידים להשתמש במחשבון‪ ,‬שכן המטרה העיקרית השיעור היא לבדוק‪ ,‬אם‬ ‫יודעים התלמידים‪ ,‬איזה תרגיל יש לכתוב לכל בעיה‪.‬‬ ‫משימה זו עוסקת בבעיות מגוונות בכפל שברים‪.‬‬ ‫סעיף א'‪ :‬התלמידים ימצאו שטח מלבן‪ .‬ראשית יש לאמוד את השטח ורק אח"כ לבצע תרגיל לחישוב‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שטח המלבן‪ .‬בביצוע התרגיל ‪ 34 × 14‬מתקבל פתרון‪ ,‬הגדול מ‪ 300 -‬מ"ר‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫בהמשך הסעיף על התלמידים להחליט‪ ,‬האם משטח המטע הם פחות מ‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫השטח או יותר‪,‬‬ ‫ואח"כ לבצע חישובים‪.‬‬ ‫סעיף ב'‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫בסעיף זה יחקרו התלמידים האם מספר‪ ,‬שגדול פי‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 1‬משלם נתון‪ ,‬יתן תוצאה גדולה‬ ‫מהשלם הנתון‪.‬‬ ‫בהמשך הסעיף נתנת הדעת ל"גדול ב‪ ,"-‬שפרושו חיבור‪) .‬לעומת גדול פי שמבטא כפל(‬ ‫סעיף ג'‪ :‬בסעיף זה יעסקו התלמידים במציאת החלק‪ .‬פגיעה ביותר מ‪ 50 -‬מתוך ‪ 200‬עצי הפרדס‬ ‫‪50‬‬ ‫‪1‬‬ ‫פרושה פגיעה ביותר מ‪-‬‬ ‫‪ ,‬כלומר בחלק‪ ,‬שהוא יותר מ‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪3‬‬ ‫היא‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ ,‬האפשרות היחידה שמתאימה‬ ‫‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫קטנים מ‪ -‬ו‪-‬‬ ‫ההסבר‪ :‬ו‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪8‬‬ ‫גדול משלם וכלל לא הגיוני‪.‬‬ ‫סעיף ד'‪ :‬בסעיף זה יש לחשב את היקף הגדר‪.‬‬ ‫סעיף ה'‪ :‬בסעיף זה יש לחשב כמה משתכר חגי בשעה אחת‪ ,‬לפי משכורתו היומית ומספר השעות‬ ‫שעובד כל יום‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫התרגיל המתאים הוא‪68 : 8 = 8 :‬‬ ‫סעיף ו'‪ :‬סעיף זה מיועד לקבוצות הזריזות‪ ,‬ויש בו מעין כתב חידה‪ .‬כדי למצוא את כמות התפוזים‬ ‫שאסף בני‪ ,‬יש לחשב מהסוף להתחלה‪.‬‬ ‫בצאתו מהפרדס‪ ,‬היה לבני תפוז אחד בלבד‪ .‬מזה ניתן להסיק‪ ,‬כי לפני שער היציאה היו בידיו ‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תפוזים‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נשאר לבני‪.‬‬ ‫מהם ועוד אחד נלקחו ע"י בן הדוד‪) ,‬כלומר בן הדוד קיבל ‪ 3‬תפוזים( ותפוז אחד‬ ‫‪1‬‬ ‫לפני כן היו לבני ‪ 10‬תפוזים‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מהם ועוד ‪ 1‬נתן לאהוד )החישוב הוא ‪ ,( 4 + 1 × 2 = 10‬כלומר‬ ‫אהוד קיבל ‪ ,6‬ולבני נשארו ‪ 4‬תפוזים‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫בפגישה עם השומר היו לבני ‪ 22‬תפוזים‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מהם ועוד ‪ 1‬נתן לחגי השומר‪ ,‬ו‪ 10 -‬נשארו לו‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כלומר ‪ 12‬תפוזים‪ ,‬שהם ‪, 22 × + 1‬קיבל חגי‪ ,‬ו‪ 10 -‬תפוזים נשארו לבני‪.‬‬ ‫לסיכום‪ :‬בני אסף ‪ 22‬תפוזים‪ 12 ,‬מהם נתן לחגי‪ ,‬נשארו לו ‪ 6 .10‬מהם נתן לאהוד‪ ,‬נשארו לו ‪3 ,4‬‬ ‫מהם נתן לבן הדוד‪ ,‬והוא נשאר עם תפוז אחד בלבד‪.‬‬ ‫על פעילות המורה‪:‬‬ ‫במשימת הגיבוש בודק המורה‪ ,‬אם ידעו התלמידים‪ ,‬איזה תרגיל יש לכתוב כדי לענות על הסעיפים השונים‬ ‫שבמשימה הקבוצתית‪ .‬לשם כך הוא מציג מאגר תרגילים ע"ג הלוח‪.‬‬ ‫כל קבוצה בוחרת ‪ 2‬מתוך התרגילים שבמאגר ורושמת על אילו שאלות ענתה בעזרתם‪ .‬חלק מן התרגילים‬ ‫מטעים במכוון‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫דוגמא‪ :‬א‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫× ‪ - 483‬תרגיל למציאת השטח המרוסס במטע התפוזים‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ - 34 × 14 ×1‬תרגיל למציאת שטח מטע האשכוליות‪.‬‬ ‫על המשחק‪:‬‬ ‫משחק "הרביעיה המותאמת"‬ ‫התלמידים יפתרו את התרגילים שב‪ 28 -‬הקלפים ויסווגו אותם ל‪ 7 -‬קבוצות‪.‬‬ ‫‪y‬מספר ראשוני זוגי‪ -‬כל התרגילים שתוצאתם ‪.2‬‬ ‫‪y‬מספר שהוא ניטרלי בכפל‪ -‬כל התרגילים שתוצאתם ‪.1‬‬ ‫‪y‬מספר חד ספרתי הגדול ביותר‪ -‬כל התרגילים שתוצאתם ‪.9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬שבר יחידה‪ ,‬שמכנהו מספר דו ספרתי הקטן ביותר‪ -‬כל התרגילים שתוצאתם‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬הממוצע של ‪ 0‬ו‪ – 1 -‬כל התרגילים שתוצאתם ‪.‬‬ ‫‪y‬המספר הראשון בעשרת השנייה‪ -‬כל התרגילים שתוצאתם ‪.11‬‬ ‫‪y‬מספר דו ספרתי הקטן ביותר‪ -‬כל התרגילים שתוצאתם ‪.10‬‬ ‫לאחר הסווג מתנהל משחק רביעיות כמקובל‪ .‬ראו כללים בספר‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫על הפעילות היחידנית‪:‬‬ ‫פעילות זו הינה משימת חקר וניתנת כאתגר לחזקים‪ .‬כדאי לבצע אותה‪ ,‬כאשר התלמידים עסוקים‬ ‫במשימות תרגול‪ ,‬והתלמידים החזקים סיימו את העבודות המיועדות להם‪.‬‬ ‫רמת הפעילות‬ ‫פרוט הפעילות‬ ‫משימה ‪ -4‬במשימת חקר זו יגלו התלמידים‪ ,‬כי בין כל שני מספרים‬ ‫רציונליים יש אינסוף מספרים רציונליים‪.‬‬ ‫המשימה מציגה סיטואציה של מסלול ריצה‪ ,‬שבכל שלב התקדם אכילס‪,‬‬ ‫הרץ היוני המהיר ביותר‪ ,‬קטע ממנו‪.‬‬ ‫סעיף א'‪:‬‬ ‫בשלב הראשון מוצגת הסיטואציה בתוספת שרטוט המתאר את מסלול‬ ‫הריצה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בהתקדמות חצי מהמסלול הגיע אכילס לנקודה המתאימה ל‪. -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫בהתקדמות חצי מהמסלול הנותר הגיע אכילס לנקודה המתאימה ל‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫בהתקדמות חצי מהמסלול הנותר הגיע אכילס לנקודה המתאימה ל‪-‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1 1 1 7‬‬ ‫= ‪+ +‬‬ ‫‪2 4 8 8‬‬ ‫סעיף ב'‪:‬‬ ‫בסעיף זה מתואר מסלול הריצה של אכילס‪.‬‬ ‫יש לרשום תרגיל המתאר את הדרך שעוברים בששת התחנות הראשונות‬ ‫של אכילס‪.‬‬ ‫‪1 1 1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 63‬‬ ‫= ‪+ + + + +‬‬ ‫‪2 4 8 16 32 64 64‬‬ ‫התלמידים יענו על השאלות הבאות‪:‬‬ ‫‪y‬כמה תחנות נוספות במסלולו של אכילס?‬ ‫תשובה‪ :‬אינסוף‪.‬‬ ‫‪y‬מהי התחנה הסופית?‬ ‫תשובה‪ :‬התחנה הסופית היא ‪ ,1‬אך אף פעם לא יגיעו אליה בדיוק‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬לאחר כמה תחנות יעבור אכילס עוד‬ ‫‪1024‬‬ ‫מהמסלול?‬ ‫)בספר של התלמידים נפלה שגיאה וחסרה המילה עוד‪(.‬‬ ‫משימה קשה‬ ‫פרוט הפעילות‬ ‫‪1‬‬ ‫תשובה‪ :‬לאחר ‪ 9‬תחנות יעבור אכילס עוד‬ ‫‪1024‬‬ ‫רמת הפעילות‬ ‫מהמסלול‪.‬‬ ‫‪y‬באיזה שלב יעבור ליד הנקודה ‪? 0.999‬‬ ‫‪1023‬‬ ‫תשובה‪ :‬בתחנה העשירית‪ ,‬בשלב זה יעבור‬ ‫‪1024‬‬ ‫מהמסלול‪.‬‬ ‫סעיף ג'‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נתון התרגיל‪+... :‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4+2+1+ + +‬‬ ‫התלמידים צריכים לקבוע מה יהיה הסכום של המחוברים הנ"ל‪.‬‬ ‫תשובה‪ :‬סכום המחוברים הנ"ל הוא קרוב מאוד ל‪) .8 -‬אך לא ‪ 8‬בדיוק‪,‬‬ ‫כיון שבין כל שני מספרים רציונליים ניתן לכתוב מספר רציונלי נוסף‪(.‬‬ ‫סעיף ד'‪:‬‬ ‫בסעיף זה יחקרו התלמידים מסלול ריצה אחר שבו עוברים בפעם‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הראשונה‬ ‫מהדרך ובכל פעם עוד‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫מהדרך הנותרת‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫במסלול זה התחנה הבאה אחרי‬ ‫היא‬ ‫‪256‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪.‬‬ ‫גם במסלול זה אי אפשר להגיע אל ה‪ ,1 -‬אלא קרוב מאוד אליו‪.‬‬ ‫משימה קשה‬ ‫על שיעורי הבית‪:‬‬ ‫רמת הפעילות‬ ‫פרוט הפעילות‬ ‫משימה ‪ -1‬יש לרשום‬ ‫במשבצת הריקות‪ ,‬כדי לקבל טענות נכונות‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫<‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫משימה לא כ"כ קשה‬ ‫‪5 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪8 8‬‬ ‫כדאי לעודד את התלמידים לקבוע את סימן ההשוואה בלי לפתור‪.‬‬ ‫משימה ‪ -2‬יש לרשום > ‪ < ,‬או = בין הביטויים הנתונים‪ ,‬כך שתתקבלנה‬ ‫טענות אמת‪ .‬דוגמאות‪:‬‬ ‫‪6 6‬‬ ‫‬‫‪8 16‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‬‫=‬ ‫‪4 8‬‬ ‫תרגילים אלו זהים‪ .‬יש בהם שמות שונים לאותו שבר‪.‬‬ ‫משימה לא כ"כ קלה‬ ‫כדאי לעודד את התלמידים לקבוע את סימן ההשוואה בלי לפתור את‬ ‫התרגילים‪.‬‬ ‫משימה ‪ -3‬בפעילות זו נתונות שאלות מילוליות‪.‬‬ ‫יש לכתוב תרגילים מתאימים ולענות תשובות‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫א‪ .‬התרגיל‪- 1,600 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 1,200 :‬תשובה‪ :‬נארזו ‪ 1,600‬חבילות קמח‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪ .‬התרגיל‪ 168 × 2 = 420 :‬תשובה‪ 420 :‬חבילות קמח נארזו ב‪ 2 -‬שעות‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ג‪ .‬התרגיל‪= 180 :‬‬ ‫‪7‬‬ ‫משימה קשה‬ ‫× ‪420‬‬ ‫תשובה‪ 180 :‬חבילות נשלחו למאפיית "חטבון"‪.‬‬ ‫ד‪ .‬התרגיל‪1,600 – 180 = 1,420 :‬‬ ‫תשובה‪ 1,420 :‬חבילות קמח נשארו בטחנת הקמח‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫משימה ‪ -4‬בפעילות זו נתונות ‪ 3‬תוצאות‪.2 ,6 ,7 :‬‬ ‫יש לרשום לכל אחת מהן ‪ 4‬תרגילי שברים‪.‬‬ ‫תרגיל חיבור‪ ,‬תרגיל חיסור‪ ,‬תרגיל כפל ותרגיל חילוק‪.‬‬ ‫למשימה זו מרחב פתרונות פתוח‪ .‬רצוי‪ ,‬שהמורה יבקש מכל תלמיד לכתוב‬ ‫חלק מהתרגילים שלו על דפים ולהצמידם על הלוח‪.‬‬ ‫חשוב שהמורה ידון בהצעות השונות מתוך ניסיון להגיע להכללות ולהסקת‬ ‫מסקנות‪.‬‬ ‫משימה המיועדת לכולם‬