‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫פרק ‪ – 5‬מבוא לתורת הגרפים‬ ‫גרפים כלליים ‪ -‬הגדרות ותכונות בסיסיות‬ ‫מרכיבי הגרף ‪ -‬תהי ‪ V  ‬קבוצה סופית‪.‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫הזוג ‪ G   V, E ‬נקרא‪ :‬גרף לא מכוון‪ ,‬אם"ם ‪ E‬היא קבוצה של זוגות לא‬ ‫‪.2‬‬ ‫סדורים‪ ,‬אשר איבריהם נמצאים ב‪.V -‬‬ ‫הזוג ‪ G   V, E ‬נקרא‪ :‬גרף מכוון‪ ,‬אם"ם ‪ E‬היא קבוצה של זוגות סדורים‪,‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫אשר איבריהם נמצאים ב‪.V -‬‬ ‫איברי ‪ V‬נקראים‪ :‬קודקודים או צמתים‪.‬‬ ‫איברי ‪ E‬נקראים‪ :‬צלעות (בגרף לא מכוון) או קשתות (בגרף מכוון)‪.‬‬ ‫צלע בין הקודקודים ‪ u‬ו‪ v -‬תסומן‪ u, v :‬וקשת בין הקודקודים ‪ u‬ו‪v -‬‬ ‫תסומן‪.  u, v  :‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫גרף הינו בלתי תלוי בצורתו הגיאומטרית‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪G1   V1, E1  , V1  1,2,3,4,5,6 , E1  1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪G2   V2 , E2  , V2  1,2,3,4 , E2  1,2  , 1,3 , 3,2  , 3,4  , 4,3‬‬ ‫‪‬‬ ‫הגרפים הבאים זהים‪:‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫מכאן ואילך נעסוק רק בגרפים לא מכוונים‪.‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫אם ‪ V‬מכילה ‪ n‬איברים‪ ,‬נאמר שהגרף הוא מסדר ‪.n‬‬ ‫לולאה בגרף ‪ G   V, E ‬היא צלע מהצורה‪ u, u :‬כאשר‪ , u  V :‬כלומר –‬ ‫צלע מהקודקוד ‪ u‬לעצמו‪.‬‬ ‫פסאודו‪-‬גרף או מולטי‪-‬גרף הוא גרף בו יש לולאות או ריבוי צלעות‬ ‫(כלומר ‪ -‬כמה צלעות בין זוג קודקודים)‪.‬‬ ‫גרף פשוט הוא גרף לא מכוון נטול לולאות וללא ריבוי צלעות‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫הגרף דלהלן הוא גרף מסדר ‪ ,4‬שכן יש לו ‪ 4‬קודקודים‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמא לפסאודו‪-‬גרף‪/‬מולטי‪-‬גרף‪:‬‬ ‫דרגות של קודקודים וסוגים נפוצים של גרפים ‪ -‬מכאן ואילך נעסוק רק‬ ‫בגרפים פשוטים‪.‬‬ ‫‪ .11‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף‪ .‬נאמר ששני קודקודים‪ u, v  V :‬שכנים או סמוכים‪,‬‬ ‫אם"ם קיימת צלע המחברת ביניהם‪ ,‬כלומר – אם ‪ . u, v  E‬במקרה זה‬ ‫נאמר גם כי הצלע ‪ u, v‬חלה בקודקודים‪.v ,u :‬‬ ‫‪ .11‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף‪ .‬הדרגה או הערכיות של קודקוד ‪ v  V‬היא מספר‬ ‫הצלעות החלות ב‪ ,v -‬והיא מסומנת ע"י‪ degree(v) :‬או )‪.d(v‬‬ ‫‪ .12‬אם ‪ ,degree(v)=0‬הקודקוד ‪ v‬נקרא‪ :‬מבודד‪.‬‬ ‫‪ .13‬עבור גרף מכוון‪ ,‬נגדיר את דרגת הכניסה של ‪( v  V‬סימון‪)indegree(v) :‬‬ ‫כמספר הקשתות הנכנסות אל ‪ v‬ואת דרגת היציאה של ‪v  V‬‬ ‫(סימון‪ )outdegree(v) :‬כמספר הקשתות היוצאות מ‪.v -‬‬ ‫נשים לב כי‪. v  V : in deg ree v  out deg ree v  deg ree v :‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪G1   V1, E1  , V1  1,2,3,4,5,6 , E1  1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6‬‬ ‫דרגת‪/‬ערכיות הקודקוד ‪ 1‬היא ‪ .2‬לקודקוד ‪ 6‬יש שכן אחד בלבד –‬ ‫קודקוד ‪ .4‬הצלע ‪ 2,5‬חלה בקודקודים‪.5 ,2 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪G2   V2 , E2  , V2  1,2,3,4 , E2  1,2  , 1,3 , 3,2  , 3,4  , 4,3‬‬ ‫דרגת הקודקוד ‪ 1‬היא ‪ ,2‬כאשר דרגת הכניסה שלו היא ‪ 0‬ודרגת היציאה שלו‬ ‫היא ‪ .2‬דרגת הקודקוד ‪ 3‬היא ‪ ,4‬כאשר דרגת הכניסה שלו היא ‪ 2‬ודרגת‬ ‫היציאה שלו היא ‪.2‬‬ ‫‪ .14‬למת לחיצות הידיים‪ :‬בגרף ‪ G   V, E ‬מתקיים‪.  d  v   2 E :‬‬ ‫הוכחה‪ d  v  :‬סופר את הצלעות החלות ב‪.v -‬‬ ‫‪ d  v‬‬ ‫‪vV‬‬ ‫סופר את הצלעות‬ ‫‪vV‬‬ ‫שחלות בכל קודקודי הגרף‪ .‬מאחר וכל צלע חלה בשני קודקודים שונים‪/‬זרים‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫הרי ש‪  d  v  -‬סופר כל צלע פעמיים‪ .‬מכאן‪.  d  v   2 E :‬‬ ‫‪vV‬‬ ‫‪vV‬‬ ‫‪ .15‬מסקנה‪ :‬בגרף ‪ G   V, E ‬יש מספר זוגי של קודקודים שדרגתם אי‪-‬זוגית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬על דרך השלילה – נניח בשלילה כי המסקנה אינה נכונה‪ ,‬כלומר –‬ ‫בגרף ‪ G‬יש מספר אי‪-‬זוגי של קודקודים שדרגתם אי‪-‬זוגית‪ .‬סכום דרגות כל‬ ‫קודקודים אלו הוא מספר אי‪-‬זוגי‪ .‬סכום דרגות שאר קודקודי הגרף ‪ G‬הוא‬ ‫מספר זוגי‪ ,‬ולכן סכום הדרגות הכולל בגרף יהיה מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬בסתירה‬ ‫‪‬‬ ‫ללמת לחיצות הידיים‪.‬‬ ‫‪ .16‬הגרף הריק הוא גרף נטול צלעות‪ .‬גרף ריק מסדר ‪ n‬מסומן‪. N n :‬‬ ‫‪ .17‬גרף שבו מופיעות כל הצלעות האפשריות נקרא‪ :‬גרף שלם‪.‬‬ ‫גרף שלם מסדר ‪ n‬מסומן‪( . K n :‬הוא נקרא גם‪ :‬קליקה מסדר ‪ n‬או ‪-n‬‬ ‫קליקה‪).‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫)‪n (n  1‬‬ ‫‪ .18‬מספר הצלעות בגרף ‪ K n‬הוא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הוכחה‪ :‬משיקולים קומבינטוריים – מספר הצלעות בגרף שווה למספר‬ ‫הזוגות הלא סדורים של קודקודים‪ ,‬אשר ניתן לבחור מתוך קבוצה בת ‪n‬‬ ‫‪ n  n  n  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.  ‬‬ ‫קודקודים‪ ,‬והוא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫גרף ריק מסדר ‪: N 5 - 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫גרף שלם מסדר ‪: K 5 - 5‬‬ ‫‪.19‬‬ ‫יהי ‪ G   V, E ‬גרף ותהי ‪ . S  V‬נאמר ש‪ S -‬קבוצה בלתי תלויה של‬ ‫קודקודים או אנטי‪-‬קליקה אם"ם‪( u, v  S: u, v  E :‬כלומר ‪ -‬אין צלעות‬ ‫בין הקודקודים ב‪.)S -‬‬ ‫‪ .21‬גרף המעגל מסדר ‪ ,n‬המסומן ע"י‪ , C n :‬הוא גרף בעל ‪ n‬קודקודים‪:‬‬ ‫‪ V  0,1, 2,..., n  1‬ו‪ n -‬צלעות‪. E  i,i  1 mod n : i  0,1, 2,..., n  1 :‬‬ ‫‪ .21‬גרף המסלול מסדר ‪ ,n‬המסומן ע"י‪ , Pn :‬הוא גרף בעל ‪ n‬קודקודים‪:‬‬ ‫‪ V  1, 2,3,..., n‬ו‪ n  1 -‬צלעות‪. E  i,i  1 : i  1, 2,3,..., n  1 :‬‬ ‫‪ .22‬גרף הקוביה ה‪ n -‬מימדית‪ ,‬המסומן ע"י‪ , Q n :‬הוא גרף שקבוצת קודקודיו‬ ‫היא אוסף כל הסדרות הבינאריות באורך ‪ ,n‬אשר בין כל ‪ 1‬סדרות השונות‬ ‫בדיוק בקואורדינטה אחת יש צלע מחברת‪.‬‬ ‫‪ .23‬בגרף ‪ Q n‬יש ‪ 2n‬קודקודים ו‪ n  2n 1 -‬צלעות‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מספר הקודקודים בגרף הוא כמספר הסדרות הבינאריות באורך ‪- n‬‬ ‫‪ . 2n‬דרגת כל קודקוד היא ‪ ,n‬ולכן סכום דרגות כל קודקודי הגרף הוא‪. n  2n :‬‬ ‫‪n  2n‬‬ ‫עפ"י למת לחיצות הידיים‪ ,‬מספר הצלעות בגרף הוא‪ n  2n 1 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪G1   V1, E1  , V1  1,2,3,4,5,6 , E1  1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6‬‬ ‫‪ S1  1,4 , S2  1,3 , S3  1,3,6‬הן אנטי‪-‬קליקות לדוגמא ב‪. G1 -‬‬ ‫בגרף ‪ K n‬אין אנטי‪-‬קליקות (לא ריקות)‪( .‬הוא נקרא גם‪ ,‬כזכור‪ :‬קליקה מסדר‬ ‫‪ n‬או‪-n :‬קליקה‪).‬‬ ‫בגרף ‪ N n‬כל תת‪-‬קבוצה של קודקודי הגרף היא אנטי‪-‬קליקה‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫גרף המעגל מסדר ‪: C5 - 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫גרף המסלול מסדר ‪: P5 - 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫גרף הקוביה התלת‪-‬מימדית ‪: Q3 -‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪ .24‬גרף ‪ G‬נקרא‪-d :‬רגולרי‪ ,‬אם"ם דרגת כל קודקודיו היא ‪.d‬‬ ‫‪dn‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .25‬מספר הצלעות בגרף ‪-d‬רגולרי מסדר ‪ n‬הוא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף ‪-d‬רגולרי מסדר ‪ .n‬עפ"י למת לחיצות הידיים‪:‬‬ ‫‪dn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪vV‬‬ ‫‪vV‬‬ ‫‪ .26‬מסקנה‪ :‬לא קיים גרף רגולרי מסדר אי‪-‬זוגי שדרגת הרגולריות שלו היא אי‪-‬‬ ‫זוגית‪( .‬למשל‪ :‬לא קיים גרף ‪-1‬רגולרי מסדר ‪)... ,9 ,7 ,1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬על דרך השלילה – נניח שהמסקנה אינה נכונה‪ ,‬כלומר – קיים גרף‬ ‫כזה‪ .‬נסמן ב‪ d -‬את דרגת הרגולריות של הגרף וב‪ n -‬את הסדר שלו‪ .‬נשים‬ ‫‪dn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ - 2 | d  2 | n  2 | d  n  E ‬סתירה!‬ ‫לב כי‪ :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .27‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף‪ .‬הגרף המשלים של ‪ ,G‬המסומן‪ , G  V, E :‬מכיל את‬ ‫‪. 2 E   d  v   d  d  n  E ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫כל קודקודי ‪ G‬כך שלכל שני קודקודים ‪ , u, v  V‬הם שכנים ב‪ G -‬אם"ם הם‬ ‫אינם שכנים ב‪( .G -‬במילים אחרות‪ ,‬אם ‪ G‬מסדר ‪ ,n‬הרי ש‪" G -‬משלים"‬ ‫אותו ל‪). K n -‬‬ ‫‪ .28‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף ויהי ‪ v  V‬קודקוד כלשהו‪ .‬הגרף‪ G \ v :‬הוא הגרף‬ ‫המתקבל מ‪ G -‬ע"י הסרת הקודקוד ‪ v‬וכל הצלעות החלות בו‪ .‬אם ‪ , S  V‬אז‬ ‫‪ G \ S‬הוא הגרף המתקבל מ‪ G -‬ע"י הסרת כל הקודקודים ב‪ S -‬והצלעות‬ ‫החלות בהם‪ .‬באופן דומה‪ ,‬אם ‪ e  E‬צלע כלשהי‪ ,‬אז ‪ G \ e‬הוא הגרף‬ ‫המתקבל מ‪ G -‬ע"י הסרת הצלע ‪( e‬ללא הקודקודים בהם היא חלה)‪.‬‬ ‫‪ .29‬הגרף ‪ G '   V' , E' ‬נקרא‪ :‬תת‪-‬גרף של ‪ , G   V, E ‬אם"ם‪:‬‬ ‫א‪E'  E , V'  V .‬‬ ‫ב‪( u, v  E' : u, v  V' .‬כלומר – הצלעות ב‪ E ' -‬נפרשות ע"י הקודקודים‬ ‫ב‪). V ' -‬‬ ‫‪ .31‬תת‪-‬גרף '‪ G‬של ‪ G‬נקרא‪ :‬תת‪-‬גרף פורש‪ ,‬אם"ם‪. V  V' :‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫גרף ‪-2‬רגולרי מסדר ‪( 4‬מצולע‪/‬מעגל ‪:) C4 -‬‬ ‫‪‬‬ ‫גרף ‪-3‬רגולרי מסדר ‪( 8‬גרף הקוביה התלת‪-‬מימדית ‪:) Q3 -‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪‬‬ ‫גרף ‪-3‬רגולרי מסדר ‪( 10‬גרף פטרסן – ‪:)Petersen's graph‬‬ ‫‪‬‬ ‫גרף ‪( G‬צלעותיו מודגמות בקוים מלאים) והגרף המשלים שלו ‪( G -‬צלעותיו‬ ‫מודגמות בקוים מרוסקים)‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמא לתת‪-‬גרף (מימין) שאינו פורש את הגרף (משמאל)‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמאות לתת‪-‬גרפים פורשים של הגרף השלם מסדר ‪:) K 4 ( 4‬‬ ‫‪117‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫תרגיל בית מס' ‪ - 13‬מבוא לתורת הגרפים ‪ -‬גרפים כלליים‬ ‫ הגדרות ותכונות בסיסיות‬‫הערה‪ :‬השאלות דלהלן מתייחסות לגרפים פשוטים‪ ,‬אלא אם כן מצוין אחרת‬ ‫בגוף השאלה‪.‬‬ ‫‪ .1‬השלימו או סמנו נכון‪/‬לא נכון‪:‬‬ ‫א‪ .‬בגרף ‪ K n‬סכום דרגות כל הקודקודים הוא __________‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כל מצולע הוא גרף _____‪-‬רגולרי‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הגרף ‪ C n‬הוא גרף _____‪-‬רגולרי‪.‬‬ ‫ד‪ .‬הגרף ‪ Pn‬הוא גרף רגולרי‪[ .‬נכון‪/‬לא נכון]‬ ‫ה‪ .‬הגרף ‪ Q n‬הוא גרף _____‪-‬רגולרי‪.‬‬ ‫ו‪ .‬הגרף ‪ N n‬הוא גרף _____‪-‬רגולרי‪.‬‬ ‫ז‪ .‬לכל ‪ N n : n ‬הוא תת‪-‬גרף פורש של ‪[ . K n‬נכון‪/‬לא נכון]‬ ‫ח‪ .‬לכל ‪ C n : n ‬הוא תת‪-‬גרף פורש של ‪[ . K n‬נכון‪/‬לא נכון]‬ ‫ט‪ .‬לכל ‪ Pn : n ‬הוא תת‪-‬גרף פורש של ‪[ . K n‬נכון‪/‬לא נכון]‬ ‫י‪ .‬כל גרף ‪-3‬רגולרי הוא משולש‪[ .‬נכון‪/‬לא נכון]‬ ‫‪ .2‬יהי ‪ G‬גרף המכיל ‪ 11‬צלעות‪ .‬ידוע כי לשלושה מקודקודיו ערכיות ‪ 1‬ולכל‬ ‫השאר – ערכיות ‪ .1‬מהו הסדר של ‪? G‬‬ ‫‪ .3‬יהי ‪ G‬גרף מסדר ‪ n‬המכיל ‪ n  4‬צלעות ואשר ערכיות כל קודקוד בו היא‬ ‫לפחות ‪ .1‬הוכיחו כי‪. n  8 :‬‬ ‫‪ .4‬הוכיחו‪/‬הפריכו כי‪:‬‬ ‫א‪ .‬בגרף מסדר ‪ n‬לא יתכן שסכום דרגות כל קודקודיו יהיה‪. n  n :‬‬ ‫ב‪ .‬קיים גרף מסדר ‪ 2n  1‬שהוא ‪ 2n  1‬רגולרי‪.‬‬ ‫ג‪ .‬קיים גרף מסדר ‪ 1‬שדרגות קודקודיו הן‪.1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 :‬‬ ‫ד‪ .‬קיים גרף מסדר ‪ 1‬שדרגות קודקודיו הן‪.1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 :‬‬ ‫ה‪ .‬קיים גרף מסדר ‪ 1‬שדרגות קודקודיו הן‪.1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 :‬‬ ‫ו‪ .‬קיים גרף מסדר ‪ 1‬שדרגות קודקודיו הן‪.7 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .5‬הוכיחו‪/‬הפריכו כי‪:‬‬ ‫א‪ .‬לא יתכן כי בקבוצה של ‪ 9‬אנשים כל אדם מכיר בדיוק ‪ 1‬אנשים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בכל גרף מסדר גדול או שווה ל‪ 1 -‬יש לפחות ‪ 1‬קודקודים בעלי אותה‬ ‫ערכיות‪.‬‬ ‫‪ .6‬א‪ .‬מהו מספר האנטי‪-‬קליקות בגודל ‪ 2‬בגרף ‪ ? C n‬נמקו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מהו גודלה של האנטי‪-‬קליקה הגדולה ביותר בגרף ‪ ? Pn‬נמקו‪.‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪ .7‬גרף פטרסן (‪ )Petersen's graph‬הוא גרף פשוט המוגדר באופן הבא‪:‬‬ ‫תהי ‪ A  0,1, 2,3, 4‬קבוצה; לכל זוג איברים מ‪ A -‬מתאים קודקוד בגרף;‬ ‫כל שני קודקודים ‪ u, v‬בגרף מחוברים ע"י צלע אם"ם הם מתאימים לזוגות‬ ‫זרים של איברי ‪.A‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את‪ :‬סדר הגרף‪ ,‬מספר צלעותיו‪ ,‬דרגת כל קודקוד בו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬האם הגרף רגולרי ? אם כן‪ ,‬מהי דרגת הרגולריות שלו ?‬ ‫ג‪ .‬שרטטו את הגרף‪ .‬האם יש בגרף משולשים ו‪/‬או מרובעים ?‬ ‫ד‪ .‬יהי ‪ v‬קודקוד כלשהו בגרף פטרסן‪ .‬צאו ממנו והתקדמו בכל פעם לקודקוד‬ ‫שכן‪ ,‬מבלי לסגת מיד לקודקוד ממנו הגעתם‪ .‬כמה צעדים לפחות עליכם‬ ‫לצעוד בגרף על‪-‬מנת להגיע חזרה לקודקוד המוצא ‪? v‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪119‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫מסלולים‪ ,‬מעגלים‪ ,‬יערות ועצים‬ ‫מסלולים‪ ,‬מעגלים ומרחקים ‪ -‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף פשוט‪.‬‬ ‫‪ .31‬סדרה של קודקודים‪  v0 , v1 ,..., vp  :‬כך ש‪ , i  0,1,..., p  1: vi , vi 1  E :‬וכך‬ ‫שכל הצלעות‪ vi , vi 1 :‬שונות זו מזו‪ ,‬נקראת‪ :‬מסלול או מסילה‪.‬‬ ‫אם ‪ , v 0  v p‬אז המסלול נקרא‪ :‬מעגל‪.‬‬ ‫אם כל הקודקודים לאורך המסלול שונים זה מזה המסלול נקרא‪ :‬פשוט‪.‬‬ ‫אם כל הקודקודים לאורך המעגל שונים זה מזה (פרט‪ ,‬כמובן‪ ,‬לקודקוד‬ ‫ההתחלה והסיום) המעגל נקרא‪ :‬פשוט‪.‬‬ ‫‪ .32‬אורך המסלול ‪  v0 , v1 ,..., vp ‬הוא ‪ ,p‬כלומר – אורך מסלול בגרף שווה‬ ‫למספר הצלעות לאורכו‪ .‬מסלול (מסילה) באורך ‪ 0‬מוגדר כסדרת‬ ‫קודקודים בגרף‪ ,‬המכילה קודקוד אחד בלבד‪.‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫כל הנאמר להלן מתייחס לגרף הבא‪:‬‬ ‫‪G1   V1, E1  , V1  1,2,3,4,5,6 , E1  1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6‬‬ ‫‪‬‬ ‫מסלולים‪/‬מסילות לדוגמא ב‪: G1 -‬‬ ‫‪.  3,4  , 1,5,2,3 , 1,2,3,4,6  , 6,4,5,1,2,3  , 6,4,5, 1,2,3,4 ‬‬ ‫‪  6,1, 2 ,  6, 4,6 ,  3, 4,5, 2,1,5, 4‬אינם מסלולים (מסילות) ב‪. G1 -‬‬ ‫בסדרת הקודקודים הראשונה (משמאל)‪  6,1, 2  :‬אין צלע מחברת בין‬ ‫הקודקודים‪ .1 ,6 :‬בשתי סדרות הקודקודים האחרות‪ ,‬לא כל הצלעות שונות‪.‬‬ ‫כך‪ ,‬למשל‪ ,‬בסדרה‪  3, 4,5, 2,1,5, 4 :‬הצלע‪ 4,5 :‬מופיעה יותר מפעם אחת‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫(שתי הסדרות האחרונות לפעמים מכונות בשם‪ :‬הילוכים‪).‬‬ ‫מסלולים פשוטים לדוגמא ב‪. 1,5 , 1,5,2,3 , 1,2,3,4,6  , 6,4,5,1,2,3  : G1 -‬‬ ‫מסלולים ב‪ G1 -‬שאינם פשוטים הם‪ ,‬למשל‪. 1,5, 4,3, 2,5 ,  5, 4,3, 2,5 :‬‬ ‫מביניהם רק ‪  5,4,3,2,5‬הוא מעגל פשוט ב‪ 1,5, 4,3, 2,5 , G1 -‬כלל אינו‬ ‫מעגל‪ .‬במידה וב‪ G1 -‬גם הקודקודים ‪ 3‬ו‪ 5 -‬היו שכנים (כלומר‪ ,‬היה מתקיים‬ ‫שגם‪ ,) 3,5 E1 :‬הרי שסדרת הקודקודים‪ 1,5, 4,3,5, 2,1 :‬מהווה מעגל שאינו‬ ‫‪‬‬ ‫פשוט (שהוא גם‪ ,‬כמובן‪ ,‬מסלול שאינו פשוט)‪.‬‬ ‫אורכי המסלולים‪  5 ,  4,5,1, 2,3, 4 ,  6, 4,5,1, 2,3, 4 ,  6, 4,5,1, 2,3 :‬ב‪ G1 -‬הם‪:‬‬ ‫‪ 0 ,5 ,6 ,5‬בהתאמה‪.‬‬ ‫‪110‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪ .33‬יהיו ‪ u, v  V‬שני קודקודים‪ .‬המרחק ביניהם ב‪ ,G -‬המסומן‪ , d  u, v  :‬מוגדר‬ ‫כאורך המסלול הקצר ביותר ביניהם‪ .‬אם אין מסלול בין ‪ u‬ל‪ v -‬בגרף ‪,G‬‬ ‫מגדירים‪. d  u, v    :‬‬ ‫‪ .34‬הקוטר של ‪ G‬הוא המרחק המירבי בגרף בין זוג קודקודים כלשהם‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪G1   V1, E1  , V1  1,2,3,4,5,6 , E1  1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6‬‬ ‫‪ ; d 1,3 1,2,3 2 , d 1,6  1,5,4,6 3 , d 1,2   1 , d  4,4   0‬קוטר הגרף ‪ G1‬הוא ‪3‬‬ ‫(בדקו)‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪G2   V2 , E2  , V2  A,C, D, E , E 2  A,C, D, E‬‬ ‫‪ ; d  A, D  d  C, D  d  A, E  d  C, E   , d  A,C   1  d  D, E ‬קוטר‬ ‫הגרף ‪ G 2‬הוא ‪( ‬בדקו)‪.‬‬ ‫‪ .35‬יהיו ‪ u, v, w  V‬קודקודים כלשהם‪ .‬פונקצית המרחק בין קודקודים נקראת‪:‬‬ ‫מטריקה‪ ,‬שכן היא מקיימת את התכונות הבאות‪:‬‬ ‫א‪ d  u, v   0 .‬ו‪u  v  d  u, v   0 -‬‬ ‫ב‪d  u, v   d  v, u  .‬‬ ‫ג‪ .‬אי‪-‬שוויון המשולש‪d  u, v   d  v, w   d  u, w  :‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תכונות‪ :‬א'‪ ,‬ב' ברורות מעצם הגדרת המושג‪ :‬מסלול בין שני‬ ‫קודקודים (‪ u‬ו‪ )v -‬בגרף‪ .‬לצורך הוכחת תכונה ג' (אי‪-‬שוויון המשולש)‪ ,‬נבחין‬ ‫בין שני מקרים‪:‬‬ ‫‪ o‬אין מסלול בין ‪ u‬לבין ‪ v‬בגרף או אין מסלול בין ‪ v‬לבין ‪ w‬בגרף –‬ ‫‪. d  u, v     d  v, w     d  u, v   d  v, w     d  u, w ‬‬ ‫‪ o‬יש מסלול בין ‪ u‬לבין ‪ v‬בגרף ויש מסלול בין ‪ v‬לבין ‪ w‬בגרף – יש מסלול‬ ‫בין ‪ u‬לבין ‪ w‬בגרף‪ ,‬העובר דרך ‪ ,v‬אולם יתכן שיש מסלול אחר בין ‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫לבין ‪ w‬בגרף‪ ,‬קצר יותר‪ ,‬אשר אינו עובר דרך ‪.v‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪ .36‬גרף נקרא‪ :‬קשיר‪ ,‬אם"ם יש בו מסלול בין כל זוג קודקודים‪.‬‬ ‫כל הקודקודים בגרף‪ ,‬אשר בין כל שניים מהם יש מסלול‪ ,‬נמצאים באותו‬ ‫רכיב קשירות‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪G1   V1, E1  , V1  1,2,3,4,5,6 , E1  1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6‬‬ ‫‪ G1‬הוא גרף קשיר – כל הקודקודים בו נמצאים באותו רכיב קשירות‪ .‬יש לו‬ ‫רכיב קשירות אחד בלבד‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪G2   V2 , E2  , V2  A,C, D, E , E 2  A,C, D, E‬‬ ‫‪ G 2‬אינו גרף קשיר – יש לו שני רכיבי קשירות‪. A,C , D, E :‬‬ ‫‪ .37‬בכל גרף פשוט יש חלוקה של קודקודיו לרכיבי קשירות‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף פשוט כלשהו‪ .‬נגדיר מעל ‪ V‬את היחס הבא‪:‬‬ ‫‪v 2  there exists a path from v1 to v 2‬‬ ‫‪ . v1, v 2  V : v1‬מספיק להראות כי‬ ‫יחס זה הוא יחס שקילות מעל ‪ ,V‬שכן (כזכור) כל יחס שקילות משרה‬ ‫חלוקה של הקבוצה מעליה הוא מוגדר‪.‬‬ ‫‪ , v  V : v‬שכן לכל קודקוד ‪ v  V‬יש‬ ‫רפלקסיביות מתקיימת‪ ,‬כלומר‪v :‬‬ ‫מסלול באורך ‪ 0‬ממנו לעצמו‪ .  v, v  :‬סמטריות מתקיימת‪ ,‬כלומר‪:‬‬ ‫‪v2  v2‬‬ ‫‪v1‬‬ ‫‪ , v1 , v 2  V : v1‬שכן מאחר ו‪ G -‬אינו מכוון (פשוט)‪ ,‬הרי‬ ‫שקיום מסלול מ‪ v1 -‬ל‪ v 2 -‬מחייב קיום מסלול מ‪ v 2 -‬ל‪( . v1 -‬באופן מפורש ‪-‬‬ ‫אם קיים ב‪ G -‬המסלול‪  v1, v11, v12 , v13 ,..., v1n 1, v1n , v 2  :‬הרי שקיים ב‪ G -‬גם‬ ‫המסלול‪ ).  v 2 , v1n , v1n1,..., v12 , v11 , v1  :‬טרנזיטיביות מתקיימת‪ ,‬כלומר‪:‬‬ ‫‪v2  v2‬‬ ‫‪v3  v1‬‬ ‫‪v3‬‬ ‫‪ , v1, v 2 , v3  V : v1‬שכן קיום מסלולים ב‪ G -‬מ‪-‬‬ ‫‪ v1‬ל‪ v 2 -‬ומ‪ v 2 -‬ל‪ v 3 -‬מחייב קיום מסלול ב‪ G -‬מ‪ v1 -‬ל‪( . v 3 -‬שימו לב כי‬ ‫אם ‪ ‬הוא מסלול ב‪ G -‬מ‪ v1 -‬ל‪ v 2 -‬ו‪  -‬הוא מסלול ב‪ G -‬מ‪ v 2 -‬ל‪ , v 3 -‬אין‬ ‫כל הכרח כי ההילוך הנוצר משרשור ‪ ‬ל‪   :  -‬יהווה מסלול מ‪ v1 -‬ל‪-‬‬ ‫‪ , v 3‬שכן יתכן שלא כל הצלעות בהילוך זה שונות זו מזו‪.‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫יחד עם זאת‪ ,‬כפי שתוכיחו להלן בשאלה ‪ 2‬בתרגיל בית מס' ‪ ,9‬ניתן "לייצר"‬ ‫מהילוך זה מסלול ואפילו מסלול פשוט מ‪ v1 -‬ל‪ v 3 -‬ב‪ .G -‬למשל‪ ,‬בגרף ‪G1‬‬ ‫שבעמוד הקודם‪ ,‬שרשור המסלול מ‪ 4 -‬ל‪  4,5, 2 :2 -‬למסלול מ‪ 1 -‬ל‪:4 -‬‬ ‫‪ 1,5,4 ‬יוצר הילוך‪:‬‬ ‫‪ 4,5, 2  1,5, 4,5, 2‬‬ ‫‪ 1,5, 4‬שאינו מסלול מ‪ 1 -‬ל‪.2 -‬‬ ‫עם זאת‪ ,‬ניתן "לייצר" ממנו מסלול מ‪ 1 -‬ל‪). 1,5,2  :2 -‬‬ ‫‪ .38‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף כך ש‪, E  m  0 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . V  n ‬אם ‪ , m  n 1‬אז יש‬ ‫ב‪ G -‬לפחות ‪ n  m‬רכיבי קשירות‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על מספר הצלעות ‪. m   0 -‬‬ ‫בסיס האינדוקציה – ‪ :m=0‬בגרף נטול צלעות (ריק) מסדר ‪ ,n‬יש‪n  0  n :‬‬ ‫רכיבי קשירות‪ ,‬כלומר – בגרף ריק מסדר ‪ n‬יש אכן לפחות ‪ n‬רכיבי קשירות‪.‬‬ ‫שלב האינדוקציה‪ :‬נניח נכונות ל‪ ) m  0 ( m -‬ונראה נכונות ל‪. m  1 -‬‬ ‫יהי ‪ G‬גרף מסדר ‪ n‬עם ‪ m  1‬צלעות ותהי ‪ e‬צלע כלשהי ב‪ .G -‬בגרף ‪, G \ e‬‬ ‫המתקבל מ‪ G -‬ע"י הסרת הצלע ‪ ,e‬יש ‪ m‬צלעות ולכן יש בו‪ ,‬עפ"י הנחת‬ ‫האינדוקציה‪ ,‬לפחות ‪ n  m‬רכיבי קשירות‪ .‬נוסיף עתה את הצלע ‪ e‬לגרף‬ ‫‪ G \ e‬לקבלת הגרף ‪ .G‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬ ‫‪ o‬הצלע ‪ e‬מחברת בין שני קודקודים הנמצאים באותו רכיב קשירות של‬ ‫‪ - G \ e‬הוספתה לא שינתה את מספר רכיבי הקשירות (שהיו ב‪-‬‬ ‫‪ ,) G \ e‬ולכן גם ב‪ G -‬יש לפחות ‪ n  m‬רכיבי קשירות; מאחר ו‪:‬‬ ‫‪ , n   m  1  n  m‬הרי שנכון גם לומר כי יש ב‪ G -‬לפחות ‪n   m  1‬‬ ‫רכיבי קשירות‪.‬‬ ‫‪ o‬הצלע ‪ e‬מחברת שני רכיבי קשירות שונים של ‪ - G \ e‬הוספתה מפחיתה‬ ‫ב‪ 1 -‬את מספר רכיבי הקשירות‪ ,‬ולכן יש עתה ב‪ G -‬לפחות ‪n   m  1‬‬ ‫( ‪ ) n  m  1  n   m  1‬רכיבי קשירות‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .39‬מסקנה‪ :‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף קשיר‪ .‬מתקיים בו‪. E  V  1 :‬‬ ‫הוכחה‪ :‬על דרך השלילה – נניח בשלילה כי המשפט אינו נכון‪ ,‬כלומר – ‪G‬‬ ‫קשיר ומתקיים בו‪ . E  V  1 :‬נסמן‪ . V  n , E  m :‬מספר הצלעות‬ ‫המירבי ב‪ G -‬הוא ‪ ,) m  n  1 ( n  2‬אלא שעפ"י המשפט האחרון‪ ,‬בגרף‬ ‫מסדר ‪ n‬בעל לכל היותר ‪ n  2‬צלעות יש לפחות ‪ n   n  2   2‬רכיבי‬ ‫קשירות‪ ,‬ולכן אינו קשיר ‪ -‬בסתירה להיות ‪ G‬קשיר‪.‬‬ ‫‪ .41‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף קשיר‪ ,‬כך ש‪ V  3 :‬ו‪ . E  V -‬יש ב‪ G -‬מעגל‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נסמן‪, m  n  3 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . V  n , E  m , m, n ‬ההוכחה היא‬ ‫באינדוקציה על מספר קודקודי הגרף – ‪. n  3‬‬ ‫בסיס האינדוקציה – ‪ :n=3‬עבור ‪ 3  n  m‬יש רק גרף (פשוט) אחד כזה – ‪C3‬‬ ‫(משולש)‪ ,‬המכיל כמובן מעגל (הוא עצמו)‪.‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫שלב האינדוקציה‪ :‬נניח נכונות ל‪ ) n  3 ( n -‬ונראה נכונות ל‪. n  1 -‬‬ ‫יהי ‪ G‬גרף (קשיר) מסדר ‪ n  1‬כך ש‪ . m  n  1  4 :‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬ ‫‪ - v  V : d  v   1 o‬נתבונן בגרף‪ , G \ v :‬המתקבל מ‪ G -‬ע"י הסרת‬ ‫הקודקוד ‪ v‬הנ"ל והצלע החלה בו; ב‪ G \ v -‬יש ‪ n‬קודקודים ו‪m  1 -‬‬ ‫צלעות (כי‪ ;) d  v   1 :‬מתקיים‪ , m  n  1  4  m  1  n  3 :‬ולכן עפ"י‬ ‫הנחת האינדוקציה יש ב‪ G \ v -‬מעגל‪ ,‬שהוא כמובן גם מעגל ב‪.G -‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ - v  V : d  v   2‬יהי ‪ v0  V‬קודקוד כלשהו ב‪ ;G -‬נתחיל לעבור על ‪,G‬‬ ‫החל מקודקוד זה‪ ,‬מבלי לסגת מיידית לצלע ממנה הגענו זה עתה; מכיוון‬ ‫שדרגת כל קודקוד ב‪ G -‬היא לפחות ‪ ,2‬הרי שלא נגיע למבוי סתום;‬ ‫מאחר והגרף הוא סופי‪ ,‬הרי שבאיזשהו שלב נגיע לקודקוד בגרף בו כבר‬ ‫‪‬‬ ‫ביקרנו‪ ,‬מה שמוכיח קיום מעגל ב‪.G -‬‬ ‫‪ .41‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף קשיר ותהי ‪ e  E‬צלע בו‪ .‬הגרף ‪ G \ e‬קשיר אם"ם‬ ‫הצלע ‪ e‬שייכת למעגל פשוט כלשהו ב‪.G -‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח בנפרד כל כוון של הטענה‪.‬‬ ‫‪ : ‬תהי ‪  x, y  V  e  x, y‬צלע כלשהי בגרף ‪ .G‬עפ"י הנתון‪G \ e ,‬‬ ‫קשיר ולכן קיים מסלול פשוט מ‪ x -‬ל‪ y -‬בו (הוכחה – שאלה ‪ 2‬להלן בתרגיל‬ ‫בית מס' ‪ .)9‬אם נוסיף לגרף ‪ G \ e‬את הצלע ‪ ,e‬נקבל עתה מעגל פשוט‬ ‫בגרף ‪ ,G‬הכולל את ‪.e‬‬ ‫‪ : ‬יהי ‪ C‬מעגל פשוט בגרף ‪ ,G‬הכולל את הצלע ‪ . e  x, y‬נוכיח ש‪-‬‬ ‫‪ G \ e‬קשיר‪ ,‬כלומר – נראה שבין כל שני קודקודים ב‪ G \ e -‬יש מסלול‪.‬‬ ‫יהיו ‪ u, v  V‬קודקודים כלשהם ב‪ . G \ e -‬מאחר ו‪ G -‬קשיר‪ ,‬הרי שיש‬ ‫מסלול בין ‪ u‬לבין ‪ v‬ב‪ .G -‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬ ‫‪ o‬מסלול זה אינו כולל את ‪ – e‬זהו גם מסלול ביניהם ב‪ - G \ e -‬סיימנו‪.‬‬ ‫‪ o‬מסלול זה כולל את ‪ – e‬נחליף את הצעד מ‪ x -‬ל‪ y -‬במסלול זה‪ ,‬שנעשה‬ ‫דרך הצלע ‪ ,e‬במעגל שמוביל מ‪ x -‬ל‪( y -‬ואשר קיים עפ"י הנתון)‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫בכל מקרה‪ ,‬נקבל ש‪ G \ e -‬קשיר‪.‬‬ ‫יערות ועצים‬ ‫‪ .42‬גרף פשוט (לא מכוון) אשר אינו מכיל מעגלים נקרא‪ :‬יער‪.‬‬ ‫‪ .43‬יער קשיר נקרא‪ :‬עץ‪( .‬במילים אחרות‪ ,‬עץ הוא גרף פשוט‪/‬לא מכוון‪ ,‬קשיר‪,‬‬ ‫אשר אינו מכיל מעגלים‪ ).‬עץ מסדר ‪( n‬בעל ‪ n‬קודקודים) מסומן‪. Tn :‬‬ ‫‪ .44‬קודקוד בעץ שדרגתו ‪ 1‬נקרא‪ :‬עלה‪.‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪G2   V2 , E2  , V2  A,C, D, E , E 2  A,C, D, E‬‬ ‫‪ G 2‬הוא יער – יש לו שני רכיבי קשירות‪ ,‬אשר כל אחד מהם מהווה עץ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪G1   V1, E1  , V1  1,2,3,4,5,6 , E1  1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6‬‬ ‫‪ G1‬אינו יער (ובפרט אינו עץ)‪ ,‬שכן הוא מכיל מעגל‪/‬ים‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫הגרף הבא הוא עץ (מסדר ‪:)7‬‬ ‫הקודקודים‪ 7 ,5 ,3 ,1 :‬הם עלים בעץ הנ"ל‪.‬‬ ‫‪ .45‬כל עץ מסדר ‪ n  2‬מכיל עלה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נצא מקודקוד כלשהו בעץ ונלך לאורך מסלול היוצא ממנו‪ ,‬מבלי‬ ‫לסגת אל הצלע האחרונה ממנה הגענו‪ .‬מספר הקודקודים בעץ הוא סופי‪,‬‬ ‫ואיננו מבקרים באותו קודקוד פעמיים‪ ,‬שכן עץ הוא חסר מעגלים וגם איננו‬ ‫נסוגים (בהתאם לאמור לעיל)‪ .‬לכן‪ ,‬בדרך זו נגיע בהכרח לקודקוד שממנו‬ ‫איננו יכולים להתקדם עוד – דרגתו של קודקוד כזה היא בהכרח ‪ ,1‬משמע‬ ‫‪‬‬ ‫זהו עלה‪.‬‬ ‫‪ .46‬בעץ מסדר ‪ n‬יש ‪ n  1‬צלעות‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ T‬עץ מסדר ‪ .n‬אם ‪ ,n=1‬הרי שיש בו‪ 1  1  0 :‬צלעות‪ .‬אם ‪,n=2‬‬ ‫הרי שיש בו‪ 2  1  1 :‬צלעות‪ .‬יהי ‪ T‬עץ מסדר ‪ n  3‬שלו ‪ m‬צלעות‪ .‬מצד‬ ‫אחד‪ T ,‬עץ ולכן גרף קשיר ‪ -‬עפ"י מסקנה ‪ 39‬לעיל‪ . m  n  1 :‬מצד שני‪ ,‬אם‬ ‫‪ , m  n  3‬הרי שעפ"י משפט ‪ 41‬מתחייב שב‪ T -‬יש מעגל‪ ,‬בסתירה להיותו‬ ‫עץ‪ .‬לכן‪ ,‬בהכרח‪ . m  n  1 :‬קיבלנו ש‪ . m  n 1  m  n 1  m  n 1 :‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫עצים מושרשים‪:‬‬ ‫‪.74‬‬ ‫‪.74‬‬ ‫‪.74‬‬ ‫‪.55‬‬ ‫‪.51‬‬ ‫‪.52‬‬ ‫‪.53‬‬ ‫עץ מושרש הוא עץ בו יש קודקוד אחד מיוחד (מתוייג) הנקרא‪ :‬שורש העץ‪.‬‬ ‫יהי ‪ T‬עץ מושרש עם שורש ‪ u‬ויהי ‪ v  u‬קודקוד כלשהו ב‪ .T -‬כל קודקוד‬ ‫(אחר) ‪ w‬הנמצא במסלול המחבר את ‪ u‬ל‪ v -‬נקרא‪ :‬אב קדמון של ‪.v‬‬ ‫‪ v‬נקרא‪ :‬צאצא של כל קודקוד ‪ w‬כזה הנמצא באותו מסלול‪.‬‬ ‫הקודקוד הנמצא "מיד לפני" ‪ v‬במסלול נקרא‪ :‬ההורה (או האב) של ‪ v‬ואילו‬ ‫‪ v‬נקרא‪ :‬ילד (או בן) שלו‪.‬‬ ‫השורש הוא הקודקוד היחיד ללא הורה (אב)‪.‬‬ ‫קודקוד נטול ילדים (בנים) נקרא‪ :‬עלה‪ .‬קודקוד שאינו עלה נקרא‪ :‬קודקוד‬ ‫פנימי‪.‬‬ ‫דרגת קודקוד היא מספר הילדים (הבנים) שלו‪.‬‬ ‫עומק קודקוד הוא אורך המסלול מהשורש אליו‪.‬‬ ‫גובה העץ הוא אורך המסלול הארוך ביותר מהשורש לעלה כלשהו בעץ‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫נתון העץ הבא‪:‬‬ ‫אם נתייחס לקודקוד ‪ 4‬כאל שורש העץ‪ ,‬הרי שנקבל עץ מושרש‪ .‬העלים בו הם‬ ‫הקודקודים‪ .7 ,5 ,3 ,1 :‬שאר הקודקודים בעץ הם קודקודים פנימיים‪.‬‬ ‫נתבונן למשל במסלול ‪ 4 :  4,6,7 ‬הוא אב קדמון של ‪ 7‬ו‪ 7 -‬הוא צאצא של ‪4 ,4‬‬ ‫הוא ההורה (האב) של ‪ 6‬ו‪ 6 -‬הוא ילד (בן) של ‪.4‬‬ ‫הדרגה של הקודקוד ‪ 2‬היא ‪ ,2‬שכן יש לו ‪ 2‬ילדים (‪ 1‬ו‪ .)3 -‬הדרגה של‬ ‫הקודקוד ‪ 1‬היא ‪ ,0‬שכן הוא עלה (נטול ילדים)‪ .‬הדרגה של השורש ‪ 4‬היא ‪.3‬‬ ‫עומק הקודקוד ‪ 7‬הוא ‪( 2‬מרחקו לשורש ‪ ,)4‬עומק הקודקוד ‪ 6‬הוא ‪ 1‬וגובה העץ‬ ‫הוא ‪( 2‬אורך המסלול הארוך ביותר מהשורש ‪ 4‬לעלה כלשהו בעץ)‪.‬‬ ‫‪111‬‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫נתון העץ הבא‪:‬‬ ‫שורש העץ הוא הקודקוד ‪ .8‬לעץ ‪ 9‬עלים‪ .‬דרגת הקודקוד ‪ 10‬היא ‪ .3‬עומק‬ ‫הקודקוד ‪ 16‬הוא ‪ .3‬גובה העץ הוא ‪.4‬‬ ‫‪ .54‬עצים נפוצים‪:‬‬ ‫עץ ‪K‬י הוא עץ בו דרגת כל קודקוד היא לכל היותר ‪ 0 ( K‬‬ ‫‪.) K ‬‬ ‫עץ בינארי הוא עץ בו דרגת כל קודקוד היא לכל היותר ‪.2‬‬ ‫עץ ‪K‬י מלא הוא עץ בו כל קודקוד הוא עלה או שדרגתו ‪.K‬‬ ‫עץ בינארי מלא הוא עץ בו כל קודקוד הוא עלה או שדרגתו ‪.2‬‬ ‫עץ ‪K‬י שלם הוא עץ בו כל העלים הם באותו עומק ולכל הקודקודים‬ ‫הפנימיים דרגה ‪.K‬‬ ‫עץ בינארי שלם הוא עץ בו כל העלים הם באותו עומק ולכל הקודקודים‬ ‫הפנימיים דרגה ‪.2‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמא לעץ בינארי‪:‬‬ ‫זהו עץ שאינו עץ בינארי מלא או שלם (דרגת הקודקוד הפנימי ‪ G‬היא ‪.)1‬‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמא לעץ בינארי מלא‪:‬‬ ‫כל קודקוד בו הוא עלה או שדרגתו ‪.2‬‬ ‫‪117‬‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫דוגמא לעץ בינארי שלם‪:‬‬ ‫לכל העלים אותו עומק ולכל קודקוד פנימי דרגה ‪.2‬‬ ‫‪kh 1‬‬ ‫‪ .55‬בעץ ‪K‬י שלם בגובה ‪ ,h‬מספר הקודקודים הפנימיים הוא‪:‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪k h 1  1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫העלים הוא‪ k h :‬ומספר הקודקודים הכולל הוא‪:‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫(הוכחה – תרגיל‪ ,‬באינדוקציה ו‪/‬או עפ"י נוסחאות האיבר הכללי והסכום של‬ ‫סדרה הנדסית)‬ ‫‪ ,‬מספר‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫פתרונות לדוגמא של תרגילים במבוא לתורת הגרפים‬ ‫תרגיל‪ :‬יהי ‪ G  V, E ‬גרף פשוט‪ .‬הוכיחו כי הטענות דלהלן שקולות זו לזו‪.‬‬ ‫(‪ G )1‬הוא עץ (גרף פשוט‪/‬בלתי מכוון‪ ,‬קשיר‪ ,‬נטול מעגלים)‪.‬‬ ‫(‪ )2‬בין כל שני קודקודים ב‪ G -‬קיים מסלול פשוט יחיד‪.‬‬ ‫(‪ G )3‬קשיר ומינימלי בתכונה זו‪ ,‬כלומר ‪ -‬אם נסיר צלע כלשהי מ‪ ,E -‬הגרף‬ ‫שיתקבל לא יהיה קשיר‪.‬‬ ‫(‪ G )4‬קשיר ומתקיים‪. E  V  1 :‬‬ ‫(‪ G )5‬נטול מעגלים ומתקיים‪. E  V  1 :‬‬ ‫(‪ G )6‬נטול מעגלים ומקסימלי בתכונה זו‪ ,‬כלומר – אם נוסיף ל‪ E -‬צלע‬ ‫כלשהי‪ ,‬הגרף שיתקבל יכיל מעגל‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬נראה כי‪. (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  (1) :‬‬ ‫)‪ : (1)  (2‬יהיו‪ u, v  V :‬קודקודים כלשהם ב‪ .G -‬מאחר ו‪ G -‬עץ‪ ,‬הרי שהוא קשיר‪,‬‬ ‫ולכן בהכרח קיים מסלול (פשוט) בין ‪ u‬לבין ‪ .v‬כדי להראות כי מסלול זה יחיד‪,‬‬ ‫נניח בשלילה כי ‪ u‬ו‪ v -‬מחוברים ע"י שני מסלולים פשוטים שונים‪ . p1 , p 2 :‬יהי‬ ‫‪ w  V‬הקודקוד בו מתפצלים שני מסלולים אלה לראשונה‪ ,‬ויהי ‪ z  V‬הקודקוד‬ ‫הראשון בו מתלכדים שני מסלולים אלה מחדש‪( .‬כלומר‪ w ,‬הוא הקודקוד הראשון‬ ‫השייך ל‪ p 1 -‬וגם ל‪ p 2 -‬ואילו ‪ z‬הוא הקודקוד הראשון אחרי ‪ w‬השייך ל‪ p 1 -‬וגם ל‪-‬‬ ‫‪ .) p 2‬יהי '‪ p‬תת‪-‬המסלול של ‪ p 1‬מ‪ w -‬ועד ‪ z‬ויהי ' '‪ p‬תת‪-‬המסלול של ‪ p 2‬מ‪ w -‬ועד‬ ‫‪ .z‬למסלולים‪ p' , p' ' :‬אין קודקודים משותפים‪ ,‬מלבד קודקוד ההתחלה (‪ )w‬וקודקוד‬ ‫הסיום (‪ .)z‬לפיכך‪ ,‬אם נשרשר את '‪ p‬עם "המסלול ההפוך" ל‪ , p' ' -‬נקבל מעגל –‬ ‫סתירה להיות ‪ G‬עץ (גרף פשוט‪/‬בלתי מכוון‪ ,‬קשיר‪ ,‬נטול מעגלים)‪.‬‬ ‫)‪ : (2)  (3‬אם כל שני קודקודים ב‪ G -‬מחוברים ע"י מסלול פשוט יחיד‪ ,‬אזי ‪G‬‬ ‫בהכרח קשיר (עפ"י הגדרה)‪ .‬נותר להראות כי הוא מינימלי בתכונה זו (קשירות)‪.‬‬ ‫תהי ‪ u, v E‬צלע כלשהי ב‪ .G -‬צלע זו מהווה מסלול מ‪ u -‬ל‪ .v -‬עפ"י הנתון‬ ‫(תכונה ‪ ,)2‬צלע זו מהווה את המסלול היחיד מ‪ u -‬ל‪ ,v -‬ולכן אם נסלקה מ‪ G -‬לא‬ ‫יהיה מסלול מ‪ u -‬ל‪ v -‬וכך ‪ G‬יהפוך להיות בלתי קשיר‪ .‬לכן‪ G ,‬מינימלי בתכונת‬ ‫הקשירות‪.‬‬ ‫)‪ : (3)  (4‬מקיומה של תכונה ‪ 3‬נובע באופן ישיר כי ‪ G‬קשיר‪ .‬עפ"י מסקנה ‪39‬‬ ‫לעיל‪ ,‬ידוע כי‪ . E  V  1 :‬מספיק להוכיח‪ ,‬אפוא‪ ,‬כי‪ . E  V  1 :‬נוכיח זאת‬ ‫באינדוקציה שלמה (מלאה) על‬ ‫‪. V  n‬‬ ‫בסיסי האינדוקציה‪ :‬עבור גרפים קשירים בהם‪ , V  2 , V  1 :‬ברור כי הם‬ ‫מכילים ‪ V  1‬צלעות (‪ 0‬ו‪ 1 -‬בהתאמה)‪.‬‬ ‫‪119‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫שלב האינדוקציה‪ :‬נניח נכונות לכל ‪ 2  V  n‬ונראה נכונות ל‪. V  n  1 -‬‬ ‫יהי ‪ G‬גרף מסדר ‪ . n  1‬הוצאתה של צלע כלשהי מ‪ G -‬תחלקו לשני רכיבי‬ ‫קשירות‪ ,‬כאשר כל רכיב קשירות מקיים את תכונה ‪ – 3‬מינימלי בקשירותו (אחרת‬ ‫– ‪ G‬עצמו לא היה מקיים אותה)‪ .‬עפ"י הנחת האינדוקציה‪ ,‬מספר הצלעות בשני‬ ‫רכיבי קשירות אלה הוא לכל היותר ‪ . V  2‬נחזיר עתה את הצלע שהוצאנו ונקבל‬ ‫שמספר הצלעות ב‪ G -‬הוא לכל היותר‪ , V  2  1  V  1 :‬משמע‪. E  V  1 :‬‬ ‫)‪ : (4)  (5‬נניח כי ‪ G‬הוא גרף קשיר מסדר ‪ n‬המקיים‪ . E  V  1 :‬עלינו להראות‬ ‫כי ‪ G‬אינו מכיל מעגלים‪ .‬נניח בשלילה כי ‪ G‬מכיל מעגל המורכב מ‪ k -‬קודקודים‪:‬‬ ‫‪ . v1 , v 2 ,..., v k‬יהי ‪ G k  Vk , E k ‬תת‪-‬הגרף של ‪ G‬המורכב ממעגל זה‪ .‬נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪ . Vk  E k  k‬אם ‪ , k  V  n‬אז חייב להיות קודקוד ‪ , v k 1  V \ Vk‬הסמוך (שכן)‬ ‫לקודקוד מסויים ( ‪ ) v i‬במעגל הנ"ל‪ ,‬שכן ‪ G‬קשיר‪ .‬נגדיר את ‪G k 1  Vk 1 , E k 1 ‬‬ ‫כתת‪-‬גרף של ‪ ,G‬אשר בו‪ . E k 1  E k  v i , v k 1  , Vk 1  Vk  v k 1  :‬נשים לב‬ ‫כי‪ . Vk 1  E k 1  k  1 :‬אם ‪ , k  1  V  n‬ניתן להמשיך בדרך זו ולהגדיר את‬ ‫‪ G k  2‬וכן הלאה‪ ,‬עד שנקבל לבסוף את תת‪-‬הגרף ‪ , G n  Vn , E n ‬אשר בו‪:‬‬ ‫‪ . E n  Vn  V  n , Vn  V‬מכיוון ו‪ G n -‬הוא תת‪-‬גרף של ‪ ,G‬הרי ש‪, E n  E :‬‬ ‫ולכן‪( E  V :‬כי‪ ,) E n  V  E :‬בסתירה לנתון (להנחה) כי‪. E  V  1 :‬‬ ‫)‪ : (5)  (6‬נראה תחילה כי‪. (5)  (1)  (2) :‬‬ ‫נניח כי ‪ G‬אינו מכיל מעגלים ומקיים‪ . E  V  1 :‬יהי ‪ k‬מספר רכיבי הקשירות של‬ ‫‪ .G‬עפ"י הגדרה‪ ,‬כל רכיב קשירות כזה הוא עץ‪ ,‬ומאחר ו‪ , (1)  (5) :‬הרי שסכום‬ ‫כל הצלעות בכל רכיבי הקשירות של ‪ G‬הוא‪ . V  k :‬מכאן‪ ,‬נובע בהכרח ש‪:‬‬ ‫‪ , k  1‬ולכן ‪ G‬הוא עץ (גרף פשוט‪/‬בלתי מכוון‪ ,‬קשיר‪ ,‬נטול מעגלים)‪ .‬מאחר ו‪:‬‬ ‫)‪ , (1)  (2‬הרי שכל שני קודקודים ב‪ G -‬מחוברים ע"י מסלול פשוט יחיד‪ ,‬ולכן‬ ‫הוספת צלע כלשהי ל‪ G -‬תיצור בהכרח מעגל (בדקו)‪.‬‬ ‫)‪ : (6)  (1‬נניח ש‪ G -‬אינו מכיל מעגלים ואם נוסיף לו צלע כלשהי‪ ,‬נקבל מעגל‪.‬‬ ‫מספיק להוכיח כי ‪ G‬קשיר‪ .‬יהיו ‪ u, v  V‬כלשהם‪ .‬מספיק להראות כי קיים ביניהם‬ ‫מסלול (פשוט)‪ .‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬ ‫‪ ‬אם ‪ u‬ו‪ v -‬שכנים‪ ,‬סיימנו (יש מסלול‪/‬צלע ב‪ G -‬בין ‪ u‬לבין ‪.)v‬‬ ‫‪ ‬אם ‪ u‬ו‪ v -‬אינם שכנים‪ ,‬הרי שהוספת הצלע ‪ u, v‬תיצור מעגל‪ ,‬שבו כל‬ ‫הצלעות מלבד ‪ u, v‬שייכות ל‪( E -‬ל‪ ;)G -‬לכן‪ ,‬קיים מסלול (פשוט) ב‪ G -‬בין‬ ‫‪ u‬ל‪.v -‬‬ ‫□‬ ‫מכאן ש‪ G -‬קשיר‪.‬‬ ‫‪110‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫תרגיל בית מס' ‪ – 17‬מבוא לתורת הגרפים ‪ -‬מסלולים‪,‬‬ ‫מעגלים‪ ,‬יערות ועצים‬ ‫הערה‪ :‬השאלות דלהלן מתייחסות לגרפים פשוטים‪ ,‬אלא אם כן מצוין אחרת‬ ‫בגוף השאלה‪.‬‬ ‫‪ .1‬השלימו‪:‬‬ ‫א‪ .‬קוטרו של הגרף ‪ K n‬הוא ______‪.‬‬ ‫ב‪ .‬קוטרו של הגרף ‪ N n‬הוא ______‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הקוטר המירבי של גרף קשיר מסדר ‪ n‬הוא ______‪.‬‬ ‫ד‪ .‬המספר המינימלי של צלעות בגרף קשיר מסדר ‪ n‬הוא ______‪.‬‬ ‫ה‪ .‬קוטרו של הגרף ‪ C n‬הוא ______‪.‬‬ ‫ו‪ .‬קוטרו של הגרף ‪ Pn‬הוא ______‪.‬‬ ‫ז‪ .‬קוטרו של הגרף ‪ Q n‬הוא ______‪.‬‬ ‫ח‪ .‬מספר רכיבי הקשירות בגרף ‪ K n‬הוא ______‪.‬‬ ‫ט‪ .‬מספר‬ ‫י‪ .‬מספר‬ ‫יא‪ .‬מספר‬ ‫יב‪ .‬מספר‬ ‫רכיבי‬ ‫רכיבי‬ ‫רכיבי‬ ‫רכיבי‬ ‫הקשירות‬ ‫הקשירות‬ ‫הקשירות‬ ‫הקשירות‬ ‫בגרף‬ ‫בגרף‬ ‫בגרף‬ ‫בגרף‬ ‫‪ N n‬הוא ______‪.‬‬ ‫‪ C n‬הוא ______‪.‬‬ ‫‪ Pn‬הוא ______‪.‬‬ ‫‪ Q n‬הוא ______‪.‬‬ ‫‪ .2‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף ויהיו ‪ u, v  V‬קודקודים בו‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכיחו כי אם קיים הילוך (שאינו בהכרח מסלול) בין ‪ u‬לבין ‪ ,v‬הרי שקיים‬ ‫מסלול בין ‪ u‬לבין ‪.v‬‬ ‫ב‪ .‬הוכיחו כי אם קיים מסלול בין ‪ u‬לבין ‪ ,v‬הרי שקיים מסלול פשוט בין ‪u‬‬ ‫לבין ‪.v‬‬ ‫ג‪ .‬הסיקו‪ ,‬על‪-‬סמך סעיף ב'‪ ,‬כי ‪ G   V, E ‬גרף קשיר אם"ם לכל ‪u, v  V‬‬ ‫יש מסלול פשוט בין ‪ u‬לבין ‪.v‬‬ ‫‪ .3‬נתון גרף מסדר ‪ 100‬שלכל קודקוד בו לפחות ‪ 50‬שכנים‪ .‬הוכיחו כי‪:‬‬ ‫ב‪ .‬יש בגרף מעגל (פשוט) באורך ‪.4‬‬ ‫א‪ .‬הגרף קשיר‪.‬‬ ‫‪ .4‬הוכיחו כי לכל גרף ‪ G‬מתקיים‪ G :‬קשיר או ‪( G‬הגרף המשלים של ‪ )G‬קשיר‪.‬‬ ‫‪ .5‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף קשיר ותהי ‪ .   S  V‬הוכיחו כי קיים קודקוד ‪ u  S‬כך‬ ‫שיש ל‪ u -‬שכן ב‪.S -‬‬ ‫‪ .6‬נתון יער ‪ ,F‬המכיל ‪ n‬קודקודים ו‪ k -‬רכיבי קשירות‪ .‬כמה צלעות ב‪ ? F -‬נמקו‪.‬‬ ‫‪ .7‬הוכיחו כי אם מסירים מעץ (מסדר גדול או שווה ל‪ )2 -‬עלה ואת הצלע שחלה‬ ‫בו‪ ,‬מתקבל עץ‪.‬‬ ‫‪ .8‬הוכיחו באינדוקציה כי בכל עץ מסדר ‪ n‬יש ‪ n  1‬צלעות‪.‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪ .9‬הוכיחו כי גרף קשיר מסדר ‪ n‬בעל ‪ n  1‬צלעות הוא עץ‪( .‬שימו לב! טענה זו‬ ‫"הפוכה" לטענה שבשאלה ‪ 8‬לעיל‪).‬‬ ‫‪ .11‬יהי ‪ T‬עץ‪ .‬נבנה גרף חדש ע"י הוספת קודקוד נוסף ‪ x‬וחיבור ‪ x‬לקודקוד אחד‬ ‫בדיוק ב‪ .T -‬הוכיחו כי הגרף החדש שמתקבל מפעולה זו אף הוא עץ‪.‬‬ ‫‪ .11‬הוכיחו כי בכל עץ מסדר גדול או שווה ל‪ 2 -‬יש לפחות ‪ 2‬עלים‪.‬‬ ‫‪ .12‬יהיו ‪ T1  V, E1  , T2  V, E 2 ‬שני עצים‪ .‬הוכיחו כי קיים קודקוד ב‪ ,V -‬אשר סכום‬ ‫דרגותיו בשני העצים הנ"ל הוא לכל היותר ‪.3‬‬ ‫‪ .13‬נתון עץ בינארי שלם בגובה ‪ .h‬השלימו‪:‬‬ ‫א‪ .‬מספר העלים בו הוא ______‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מספר הקודקודים בו הוא ______‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מספר הצלעות בו הוא ______‪.‬‬ ‫‪ .14‬יהי ‪ G‬גרף‪ .‬נגדיר‪ :‬עץ פורש ב‪ G -‬הוא תת‪-‬גרף פורש של ‪ G‬שהוא עץ‪.‬‬ ‫הוכיחו כי ‪ G‬קשיר אם"ם יש לו עץ פורש‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫גרפים דו‪-‬צדדיים וזיווגים בגרפים‬ ‫גרפים דו‪-‬צדדיים – נמשיך ונעסוק להלן בגרפים פשוטים‪.‬‬ ‫‪ .56‬גרף ‪ G   V, E ‬נקרא‪ :‬דו‪-‬צדדי‪ ,‬אם"ם ניתן לחלק את קבוצת קודקודי הגרף‬ ‫‪ V‬לשתי תת‪-‬קבוצות זרות‪ , V1  V2   , V  V1  V2 :‬כך שכל הצלעות‬ ‫בגרף (אם ישנן) הן בין הקודקודים ב‪ V1 -‬לבין הקודקודים ב‪. V2 -‬‬ ‫סימון‪. G   V1 , V2 , E  :‬‬ ‫‪ .57‬גרף דו‪-‬צדדי ‪ G   V1 , V2 , E ‬נקרא‪ :‬שלם‪ ,‬אם"ם הוא מכיל את כל הצלעות‬ ‫האפשריות בין ‪ V1‬לבין ‪ . V2‬אם ‪ , V1  m , V2  n‬אז מסמנים את הגרף‬ ‫הדו‪-‬צדדי השלם ע"י‪. K m ,n :‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫גרף דו‪-‬צדדי ‪: G   U, V, E ‬‬ ‫‪‬‬ ‫גרף דו‪-‬צדדי נוסף‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫גרף דו‪-‬צדדי שלם – ‪: K 3,4‬‬ ‫‪ .58‬בגרף ‪ K m ,n‬יש ‪ m  n‬צלעות‪.‬‬ ‫‪ .59‬אם ‪ G   V1 , V2 , E ‬הוא גרף דו‪-‬צדדי רגולרי (שאינו ריק)‪ ,‬אז‪. V1  V2 :‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח ש‪ G -‬הוא ‪-d‬רגולרי ( ‪ .) d  0‬מכאן‪ ,‬מתחייב ש‪:‬‬ ‫‪. E  d  V1  d  V2  V1  V2‬‬ ‫‪111‬‬ ‫‪‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪ .61‬גרף הוא דו‪-‬צדדי אם"ם כל המעגלים בו (לאו דווקא הפשוטים) הם באורך‬ ‫זוגי‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח בנפרד כל כוון של המשפט‪.‬‬ ‫‪ : ‬יהי ‪ G   V1 , V2 , E ‬גרף דו‪-‬צדדי‪ .‬במידה ואין בגרף מעגלים‪ ,‬הרי‬ ‫שהמשפט (בכוון זה) מתקיים באופן ריק‪ .‬נניח‪ ,‬אפוא‪ ,‬שהגרף מכיל מעגלים‬ ‫ונתבונן במעגל כלשהו בגרף‪ .‬יהי ‪ v1  V1‬קודקוד במעגל זה‪ .‬נצא ממנו‬ ‫ונתחיל לטייל על‪-‬גבי המעגל‪ .‬כל צלע במעגל‪ ,‬בה אנו מבקרים‪ ,‬מעבירה‬ ‫אותנו לצידו האחר של הגרף‪ .‬לכן‪ ,‬על‪-‬מנת שיהיה ניתן לחזור לקודקוד ממנו‬ ‫התחלנו את המסע ( ‪ ) v1‬ולסגור את המעגל‪ ,‬מתחייב שיהיה במעגל זה‬ ‫מספר זוגי של צלעות‪.‬‬ ‫‪ : ‬יהי ‪ G '   V, E ‬גרף אשר כל המעגלים בו הם באורך זוגי‪ .‬לצורך‬ ‫פשטות‪ ,‬נניח כי ' ‪ G‬קשיר (אחרת ‪ -‬נוכיח את כוון זה של המשפט עבור כל‬ ‫רכיב קשירות בו בנפרד)‪ .‬יהי ‪ w  V‬קודקוד כלשהו ב‪ . G ' -‬נגדיר את ‪V1 , V2‬‬ ‫באופן הבא‪ . V2  u  V : 2 | d  u, w  , V1  v  V : 2 | d  v, w  :‬מעצם‬ ‫ההגדרה ברור כי‪( V  V1  V2 , V1  V2   :‬כלומר ‪ V1 , V2 -‬הן חלוקה של‬ ‫‪ .)V‬נותר להראות כי ‪ G '   V1 , V2 , E ‬הוא אכן גרף דו‪-‬צדדי‪ ,‬כלומר – אין‬ ‫צלעות בין קודקודים ב‪ V1 -‬ואין צלעות בין קודקודים ב‪ . V2 -‬נראה כי אין‬ ‫צלע בין שני קודקודים ב‪( . V1 -‬ההוכחה עבור שני קודקודים מ‪V2 -‬‬ ‫אנלוגית‪ ).‬נניח בשלילה כי קיימת צלע ‪ u, v‬בין שני קודקודים‪. u, v  V1 :‬‬ ‫לאור הנחה זו‪ ,‬המסלול הקצר ביותר מ‪ w -‬ל‪ u -‬והמסלול הקצר ביותר מ‪w -‬‬ ‫ל‪ ,v -‬יחד עם הצלע ‪ u, v‬יוצרים מעגל (לאו דווקא פשוט) שאורכו אי‪-‬זוגי‪,‬‬ ‫בסתירה לנתון‪ .‬לכן‪ G '   V1 , V2 , E  ,‬הוא אכן גרף דו‪-‬צדדי‪.‬‬ ‫‪111‬‬ ‫‪‬‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫◊‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫זיווגים בגרפים (פשוטים)‬ ‫‪ .61‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף (פשוט)‪ .‬זיווג ב‪ G -‬הוא קבוצה ‪ M  E‬של צלעות‪ ,‬אשר‬ ‫לאף שתיים מהן אין קודקוד משותף‪ .‬אם ‪ , u, v  M‬נאמר שהקודקודים ‪u‬‬ ‫ו‪ v -‬מזווגים ע"י הזיווג ‪.M‬‬ ‫‪ .62‬הזיווג ‪ M‬נקרא‪ :‬זיווג מושלם אם"ם כל קודקודי הגרף משתתפים בזיווג‪.‬‬ ‫‪ .63‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף (פשוט) ותהי ‪ . S  V‬נסמן ב‪   S -‬את קבוצת השכנים‬ ‫של הקודקודים ב‪.S -‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫בגרף זה זיווג ‪ ,M‬למשל‪ ,‬הוא קבוצת הצלעות האנכיות‪ ,‬המקשרות ‪ 3‬קודקודים‬ ‫בקבוצת הקודקודים העליונה עם ‪ 3‬הקודקודים שממולם בקבוצת הקודקודים‬ ‫התחתונה‪ M .‬אינו זיווג מושלם‪ .‬יתרה מזו‪ ,‬בגרף זה אין (בנמצא) זיווג מושלם‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫בגרף זה ‪ M  a,1,b,4, d,2‬הוא זיווג שאינו מושלם‪ .‬גם בגרף זה אין‬ ‫(בנמצא) זיווג מושלם‪ .‬נשים לב כי‪.  a,c,d  1, 2 ,  a, b  1,3, 4 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫בגרף להלן יש זיווג מושלם‪:‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪ .47‬משפט החתונה של ‪( Hall‬תנאי מספיק והכרחי לקיום זיווג מושלם‬ ‫בגרף דו‪-‬צדדי)‪:‬‬ ‫בגרף דו‪-‬צדדי ‪ , G   V1 , V2 , E ‬המקיים‪ , V1  V2 :‬יש זיווג מושלם אם"ם‪:‬‬ ‫‪. S  V1 :  S  S‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ G   V1 , V2 , E ‬גרף דו‪-‬צדדי‪ ,‬המקיים‪ . V1  V2 :‬צ"ל את‬ ‫הכרחיות ומספיקות התנאי‪ S  V1 :   S  S :‬לקיום זיווג מושלם בגרף‪.‬‬ ‫ברור כי במידה והתנאי אינו מתקיים‪ ,‬כלומר‪( S  V1 :   S  S :‬קיימת‬ ‫קבוצת קודקודים מ‪ V1 -‬שאוסף כל שכניהם ב‪ V2 -‬קטן ממספרם)‪ ,‬לא ניתן‬ ‫לזווג באופן מושלם את קודקודי ‪ V1‬לקודקודי ‪ . V2‬במילים אחרות‪ ,‬אם נתון‬ ‫כי יש זיווג מושלם ב‪ G -‬ובהנתן ‪ S  V1‬כלשהי‪ ,‬הרי שלכל קודקוד ‪ v  S‬יש‬ ‫קודקוד ‪ u  V2‬המזווג לו‪ ,‬ולכן מתחייב ש‪ .  S  S :‬בזה הוכחנו את‬ ‫הכרחיות התנאי (של ‪.)Hall‬‬ ‫נעבור עתה להוכיח את מספיקותו‪ .‬נניח ש‪ S  V1 :  S  S -‬ונראה שיש‬ ‫זיווג מושלם ‪ M‬ב‪ .G -‬נוכיח זאת באינדוקציה מלאה (שלמה) על‬ ‫‪n  V1 ‬‬ ‫(מספר קודקודי ‪ .) V1‬בסיס האינדוקציה – ‪ :n=1‬אם ‪ V1  V2  1‬והתנאי‬ ‫מתקיים‪ ,‬הרי ש‪ G -‬מכיל שני קודקודים וצלע המחברת ביניהם‪ ,‬ולכן בהכרח‬ ‫יש בו זיווג מושלם‪.‬‬ ‫שלב האינדוקציה‪ :‬נניח נכונות לכל ‪ 1  k  V1  n‬ונראה נכונות עבור‬ ‫‪ . V1  n  1‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ - S  V1 :  S  S  1‬יהי ‪ v  V1‬כלשהו‪ .‬לאור ההנחה‪ ,‬יש ל‪ v -‬זה‬ ‫לפחות שני שכנים (ב‪ .) V2 -‬יהי ‪ u  V2‬אחד מהם‪ .‬הצלע ‪ v, u‬תהווה‬ ‫מרכיב בזיווג המושלם שנמצא להלן ב‪ .G -‬נסמן‪ G '  G \ u, v :‬וב‪-‬‬ ‫‪  '  S‬את קבוצת השכנים של קודקודי ‪ S‬בגרף ' ‪ . G‬נשים לב כי ב‪G ' -‬‬ ‫מתקיים עתה‪ . S  V1 \ v :  '  S  S :‬עפ"י ה"א ( ‪ ,) V1 \ v  n‬יש ב‪-‬‬ ‫' ‪ G‬זיווג מושלם‪ .‬נוסיף לזיווג מושלם זה את הצלע ‪ v, u‬ונקבל זיווג‬ ‫‪‬‬ ‫מושלם ב‪.G -‬‬ ‫‪ - S  V1 :  S  S‬נגדיר את תת‪-‬הגרף הבא של ‪:G‬‬ ‫‪ , GS  S,  S , ES ‬כאשר ‪ E S‬היא קבוצת כל הצלעות בין קודקודי ‪S‬‬ ‫לקודקודי ‪ G S .   S‬מקיים את התנאי של ‪( Hall‬כי ‪ G‬מקיים אותו)‪,‬‬ ‫ומאחר ומספר הקודקודים בו קטן מזה שב‪( G -‬שכן‪ ,) S  V1 :‬הרי‬ ‫שעפ"י ה"א יש ב‪ G S -‬זיווג מושלם‪ .‬נסמנו ב‪ . M s -‬נתבונן עתה בגרף '' ‪, G‬‬ ‫המוגדר באופן הבא‪ , G ''  G \  S    S  :‬כלומר ‪-‬‬ ‫‪ . G ''   V1 \ S, V2 \  S , E '' ‬תהי ‪ H  V1 \ S‬כלשהי‪ .‬נסמן ב‪  ''  H  -‬את‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫קבוצת השכנים של קודקודי ‪ H‬בגרף '' ‪ . G‬נשים לב כי מתקיים‪:‬‬ ‫‪ ,  ''  H   H‬אחרת – אם ‪ ,  ''  H   H‬הרי שב‪ G -‬היה מתקיים‪:‬‬ ‫‪,   H  S   HS '' H S  ''  H    S    '' H   H H  S  HS H  S‬‬ ‫‪ '' H S‬‬ ‫‪ S   S‬‬ ‫בסתירה לקיום תנאי ‪ Hall‬ב‪ G -‬עבור קבוצת הקודקודים‪ . H  S  V1 :‬לכן‪,‬‬ ‫גם הגרף '' ‪ G‬מקיים את תנאי ‪ Hall‬ועפ"י ה"א יש בו זיווג מושלם – נסמנו‪:‬‬ ‫'' ‪ . M‬לבסוף‪ ,‬קיים זיווג מושלם ‪ M‬בגרף (המקורי) ‪. M  MS  M '' :G‬‬ ‫‪‬‬ ‫בכל אחד משני המקרים הללו קיבלנו זיווג מושלם ‪ M‬בגרף ‪.G‬‬ ‫‪ .65‬מסקנה‪ :‬אם ‪ G   V1 , V2 , E ‬הוא גרף דו‪-‬צדדי רגולרי‪ ,‬אז יש בו זיווג מושלם‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נסמן את דרגת הרגולריות של ‪ G‬ב‪ .d -‬תהי ‪ S  V1‬קבוצת קודקודים‬ ‫כלשהי ב‪ ,G -‬תהי ‪ E S‬קבוצת כל הצלעות החלות ב‪ S -‬ותהי ‪ E S‬קבוצת כל‬ ‫הצלעות החלות ב‪ G .   S -‬הוא ‪-d‬רגולרי‪ ,‬ולכן‪, ES  d  S :‬‬ ‫‪ . ES  d   S‬כל צלע שחלה בקודקוד מ‪ S -‬חלה בקודקוד מ‪,   S -‬‬ ‫ולכן‪ . ES  ES :‬מכאן נובע כי‪. ES  ES  d  S  d    S  S    S :‬‬ ‫קיבלנו‪ ,‬אפוא‪ ,‬ש‪ S  V1 : S    S :‬ועפ"י משפט ‪ ,Hall‬יש זיווג מושלם‬ ‫בגרף ‪.G‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪117‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫גרפים מישוריים וצביעה בגרפים‬ ‫גרפים (פשוטים) מישוריים‬ ‫‪ .66‬גרף (פשוט) ‪ G‬נקרא‪ :‬מישורי אם"ם ניתן לייצגו במישור מבלי שאף ‪2‬‬ ‫צלעות שלו תיחתכנה (בנקודות פנימיות‪ ,‬שאינן קודקודי הגרף)‪.‬‬ ‫‪ .67‬יהי ‪ G‬גרף מישורי‪ .‬כל אזור בהצגה שלו החסום ע"י צלעות הגרף נקרא‪:‬‬ ‫פאה‪ .‬האזור שאינו חסום ע"י צלעות הגרף נקרא‪ :‬הפאה החיצונית (או‪:‬‬ ‫הפאה האינסופית) של הגרף‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ K 3‬הוא‪ ,‬כמובן‪ ,‬גרף מישורי‪.‬‬ ‫לגרף זה ‪ 2‬פאות – אחת מהן חיצונית‪/‬אינסופית‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ K 4‬הוא גרף מישורי‪ ,‬שכן ניתן לייצגו במישור מבלי שאף ‪ 2‬צלעות שלו‬ ‫נחתכות (בנקודות פנימיות‪ ,‬שאינן קודקודי הגרף)‪.‬‬ ‫לגרף זה ‪ 4‬פאות – אחת מהן חיצונית‪/‬אינסופית‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫הגרף הבא הוא גרף מישורי‪:‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪ .68‬נוסחת אויילר‪ :‬יהי ‪ G‬גרף מישורי קשיר‪ .‬אם נסמן ב‪ n -‬את מספר קודקודיו‪,‬‬ ‫ב‪ m -‬את מספר צלעותיו וב‪ f -‬את מספר פאותיו‪ ,‬אז מתקיים‪. n  m  f  2 :‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נ ְקבע את סדר הגרף ונוכיח את הנוסחא באינדוקציה על מספר‬ ‫הצלעות של הגרף – ‪ .m‬מאחר ו‪ G -‬קשיר‪ ,‬הרי שעפ"י המסקנה מסעיף ‪39‬‬ ‫לעיל מתחייב ש‪. m  n  1 :‬‬ ‫בסיס האינדוקציה – ‪ :m=n-1‬עפ"י שאלה ‪ 9‬מתרגיל בית מס' ‪ G ,9‬הוא עץ‬ ‫ולכן הפאה היחידה בו היא הפאה החיצונית (האינסופית)‪ ,‬כלומר‪. f  1 :‬‬ ‫אכן‪ ,‬נוסחת אויילר מתקיימת כאן‪. n  m  f  n   n  1  1  2 :‬‬ ‫שלב האינדוקציה‪ :‬נניח נכונות ל‪  m  n  1 m -‬ונראה נכונות ל‪. m  1 -‬‬ ‫כלומר‪ ,‬נראה כי בגרף מסדר ‪ n‬בעל ‪ m+1‬צלעות ו‪ f -‬פאות מתקיים‪:‬‬ ‫‪ . n   m  1  f  2‬יהי ‪ G‬גרף מישורי קשיר בעל ‪ m  1  n‬צלעות ו‪ f -‬פאות‪.‬‬ ‫עפ"י משפטים מסעיפים קודמים (‪ ,)41,41‬יש ב‪ G -‬צלע ‪ e‬שהשמטתה מ‪G -‬‬ ‫אינה משנה את קשירותו‪ .‬נסמן‪ , G '  G \ e   V ', E ' :‬כאשר‪ m' ,n' :‬ו‪ f' -‬הם‬ ‫מספרי קודקודיו‪ ,‬צלעותיו ופאותיו בהתאמה‪ G ' .‬קשיר (ומישורי)‪ ,‬מסדר ‪n‬‬ ‫ומכיל ‪ m‬צלעות‪ .‬עפ"י ה"א מתקיים בו‪ . n ' m' f '  2 :‬נשים לב כי ב‪ G ' -‬יש‬ ‫‪ f  1‬פאות (כי השמטת הצלע ‪ e‬מיזגה שתי פאות בהן ‪ e‬גבלה)‪ .‬לכן‪:‬‬ ‫‪n '  n  m'  m  f '  f  1  2  n ' m' f '  n  m   f  1  2  n   m  1  f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .69‬יהי ‪ G‬גרף (פשוט) מישורי קשיר עם ‪ n  3‬קודקודים ו‪ m -‬צלעות‪ .‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪. m  3n  2‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ G‬עץ מסדר ‪ ,3‬הרי שיש בו ‪ 2‬צלעות ומתקיים‪. 2  3   3  2 :‬‬ ‫אחרת‪ ,‬נסכום את מספרי הצלעות סביב כל פאות הגרף‪ .‬מחד‪ ,‬כל צלע‬ ‫תיספר באופן זה פעמיים בדיוק‪ ,‬בין אם היא גובלת בשתי פאות ובין אם היא‬ ‫כולה נמצאת בתוך פאה אחת‪ .‬באופן כזה נקבל את הסכום‪ . 2 E :‬מאידך‪,‬‬ ‫מהיות ‪ G‬גרף פשוט (נטול לולאות וללא ריבוי צלעות) ומסדר גדול או שווה‬ ‫ל‪( 3 -‬ולכן אינו מכיל רק צלע אחת ואינו עץ מסדר ‪ ,)3‬הרי שבכל פאה בו‬ ‫גובלות לפחות ‪ 3‬צלעות‪ .‬מכאן נובע שסכום מספרי הצלעות סביב פאות‬ ‫הגרף הוא לפחות ‪ . 3 F‬לפיכך‪ ,‬נקבל כי‪:‬‬ ‫‪2 E  3 F Euler: F  2 V  E 2 E  3 2  V  E   V  n, E  m 2m  6  3n  3m ‬‬ ‫‪ m  3  n  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .71‬מסקנה‪ K 5 :‬אינו גרף מישורי‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬על דרך השלילה – נניח בשלילה ש‪ K 5 -‬הוא מישורי‪ K 5 .‬מקיים את‬ ‫‪5‬‬ ‫תנאי הטענה שבסעיף הקודם‪ ,‬מספר קודקודיו ‪ 5‬ומספר צלעותיו‪.    10 :‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫לכן‪ ,‬עפ"י טענה זו מתקיים‪ - 10  3   5  2 :‬סתירה‪.‬‬ ‫‪119‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪ .71‬בכל גרף מישורי קיים קודקוד שדרגתו היא לכל היותר ‪.1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף מישורי (מסדר גדול או שווה ל‪ ,3 -‬שכן עבור‬ ‫סדר נמוך יותר הטענה מתקיימת בבירור)‪ .‬מספיק להראות כי ממוצע דרגות‬ ‫קודקודיו קטן מ‪ ,6 -‬ולכן חייב להיות בו לפחות קודקוד אחד שדרגתו אינו‬ ‫עולה על הממוצע ולפיכך ‪ -‬קטנה מ‪( 6 -‬היינו‪ ,‬לכל היותר ‪ .)5‬ממוצע דרגות‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .‬עפ"י למת לחיצות הידיים והטענה מסעיף ‪69‬‬ ‫קודקודי ‪ G‬הוא‪ d  v  :‬‬ ‫‪V vV‬‬ ‫‪2  3  V  2 6  V  2‬‬ ‫‪2E‬‬ ‫)‪(69‬‬ ‫‪‬‬ ‫לעיל מתקיים‪ V 3 6 :‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪d v ‬‬ ‫‪vV‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫צביעה בגרפים (פשוטים)‬ ‫‪ .72‬צביעה של קודקודי גרף תיקרא‪ :‬צביעה חוקית‪ ,‬אם"ם אין בגרף קודקודים‬ ‫שכנים הצבועים באותו הצבע‪.‬‬ ‫‪ .73‬מספר הצביעה של גרף ‪ ,G‬המסומן‪ ,   G  :‬מציין את מספר הצבעים‬ ‫המינימלי הדרוש לצביעתו החוקית‪.‬‬ ‫‪ .74‬גרף ‪ G‬נקרא‪-k :‬צביע אם"ם‪.   G   k :‬‬ ‫‪.75‬‬ ‫‪. n  :   K n   n‬‬ ‫‪2 , 2 | n‬‬ ‫‪.76‬‬ ‫‪:   Cn   ‬‬ ‫‪3 , 2 | n‬‬ ‫‪ .77‬גרף הוא ‪-2‬צביע אם"ם אין בו מעגל באורך אי‪-‬זוגי‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח בנפרד כל כוון של המשפט‪.‬‬ ‫‪ : ‬אם יש בגרף מעגל באורך אי‪-‬זוגי‪ ,‬הרי שבפרט מעגל זה אינו ‪-2‬צביע‬ ‫(עפ"י הסעיף הקודם)‪ ,‬ולכן בוודאי שהגרף המכיל אותו אינו ‪-2‬צביע‪.‬‬ ‫‪ : ‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף שאין בו מעגל באורך אי‪-‬זוגי‪ .‬נניח‪ ,‬לשם הפשטות‪ ,‬כי‬ ‫‪. n ‬‬ ‫‪ G‬קשיר (אחרת – נוכיח כוון זה לכל רכיב קשירות שלו)‪ .‬יהי ‪ v  V‬קודקוד‬ ‫כלשהו ב‪ .G -‬נראה כי ניתן לצובעו ב‪ 2 -‬צבעים בלבד (באופן חוקי‪ ,‬כמובן)‪.‬‬ ‫נצבע את ‪ G‬באופן הבא‪ :‬את ‪ v‬נצבע בלבן‪ ,‬את שכניו – בשחור‪ ,‬את שכני‬ ‫שכניו שאינם צבועים – בלבן וכך הלאה‪ .‬לאור צביעה זו‪ ,‬נשים לב שאל כל‬ ‫קודקוד לבן ב‪ G -‬ניתן להגיע מ‪ v -‬במסלול באורך זוגי ואל כל קודקוד שחור‬ ‫ב‪ G -‬ניתן להגיע מ‪ v -‬במסלול באורך אי‪-‬זוגי‪ .‬באמצעות צביעה זו צבענו את‬ ‫כל קודקודי ‪ G‬ואין שני קודקודים שכנים הצבועים באותו הצבע‪ ,‬שכן אחרת –‬ ‫המסלולים מ‪ v -‬לשני קודקודים אלו בתוספת הצלע המחברת ביניהם (שכן‬ ‫הנחנו שהם שכנים) היו יוצרים מעגל באורך אי‪-‬זוגי‪ ,‬בסתירה לנתון‪ .‬לכן‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫צביעה זו היא חוקית והגרף הוא ‪-2‬צביע‪.‬‬ ‫‪110‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪ .78‬כל גרף מישורי הוא ‪-6‬צביע‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף מישורי‪ .‬נוכיח באינדוקציה על‬ ‫‪ V  n ‬שהוא‬ ‫‪-6‬צביע‪ .‬בסיס האינדוקציה – ‪ :n=1‬ברור שגרף המכיל קודקוד אחד הוא ‪-6‬‬ ‫צביע (עפ"י ההגדרה בסעיף ‪ 74‬לעיל)‪.‬‬ ‫שלב האינדוקציה‪ :‬נניח נכונות ל‪ ) n  1 ( n -‬ונראה נכונות ל‪ . n  1 -‬עפ"י‬ ‫הטענה מסעיף ‪ 71‬לעיל‪ ,‬יש קודקוד ‪ v  V‬ב‪ G -‬שדרגתו היא לכל היותר ‪.5‬‬ ‫נתבונן בגרף‪ . G '  G \ v :‬ברור כי ' ‪ G‬מישורי ושהוא מסדר ‪ .n‬עפ"י ה"א‪,‬‬ ‫' ‪-6 G‬צביע‪ .‬נוסיף עתה חזרה את הקודקוד ‪ v‬ואת הצלעות שחלו בו לקבלת‬ ‫‪ .G‬ל‪ v -‬יש לכל היותר ‪ 5‬שכנים‪ ,‬ולכן ניתן לצבוע את ‪ v‬בצבע השונה מזה‬ ‫‪‬‬ ‫של ‪ 5‬שכניו‪ .‬באופן זה נקבל ש‪ G -‬הוא ‪-6‬צביע‪.‬‬ ‫‪ .79‬כל גרף מישורי הוא ‪-5‬צביע‪.‬‬ ‫‪ .81‬כל גרף מישורי הוא ‪-4‬צביע‪.‬‬ ‫‪ .81‬יהיו ‪ . s, t ‬המספר ‪ R ‬הקטן ביותר‪ ,‬כך שבכל צביעה בשני צבעים‬ ‫(שחור ולבן) של צלעות הגרף השלם ‪ , K R‬קיים תת‪-‬גרף שלם ‪ K s‬שצבוע‬ ‫בשחור או שקיים תת‪-‬גרף שלם ‪ K t‬שצבוע בלבן‪ ,‬נקרא‪ :‬מספר רמזי‬ ‫ומסומן‪. R  s, t  :‬‬ ‫‪.82‬‬ ‫‪R  3,3  6‬‬ ‫הוכחה‪ , R  3,3  6 :‬שכן בפרק ‪ 4‬שדן בעקרון שובך היונים הוכחנו כי בכל‬ ‫קבוצה של ‪ 6‬אנשים יש ‪ 3‬אנשים שמכירים זה את זה או ‪ 3‬אנשים שאינם‬ ‫מכירים זה את זה‪ .‬באופן אנלוגי‪ ,‬אם נצבע את כל צלעות הגרף ‪ K 6‬בשחור‬ ‫או בלבן‪ ,‬נקבל בו משולש שכל צלעותיו לבנות או משולש שכל צלעותיו‬ ‫שחורות‪ .‬נותר להראות כי‪ . R  3,3  5 :‬לשם כך‪ ,‬מספיק להראות כי ניתן‬ ‫לצבוע את כל צלעות הגרף ‪ K 5‬בשחור או בלבן‪ ,‬מבלי לקבל בו משולש‬ ‫מונוכרומטי לבן או שחור (שכל צלעותיו לבנות או שחורות)‪ .‬צביעה כזו‬ ‫אפשרית‪ :‬בכל קודקוד ב‪ K 5 -‬נצבע שתיים מהצלעות היוצאות ממנו בשחור‬ ‫ואת השתיים הנותרות – בלבן‪ .‬ניתן להראות כי צביעה זו היא הצביעה‬ ‫היחידה של ‪ K 5‬בה לא מתקבל משולש מונוכרומטי (שכן אם קיים קודקוד‬ ‫ב‪ K 5 -‬ש‪ 3 -‬מצלעותיו צבועות בשחור או בלבן‪ ,‬נוכל לנקוט באותה שיטת‬ ‫הוכחה שנקטנו ב‪ K 6 -‬ולהראות כי לבטח מתקבל משולש מונוכרומטי)‪ .‬‬ ‫‪.83‬‬ ‫‪R  3,9   36 , R  3, 6   18 , R  4, 4   18 , R 3, 7   23 ,‬‬ ‫‪R  3, 4   9 , R  4,5   25 , R  3,8   28 , R 3,5   14‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫תרגיל בית מס' ‪ – 15‬מבוא לתורת הגרפים –‬ ‫גרפים דו‪-‬צדדיים‪ ,‬זיווגים בגרפים‪ ,‬גרפים מישוריים‬ ‫וצביעה בגרפים‬ ‫הערה‪ :‬השאלות דלהלן מתייחסות לגרפים פשוטים‪ ,‬אלא אם כן מצוין אחרת‬ ‫בגוף השאלה‪.‬‬ ‫‪ .1‬מהו המספר המירבי של צלעות בגרף דו‪-‬צדדי בעל ‪ n‬קודקודים ? נמקו‪.‬‬ ‫‪ .2‬הוכיחו כי אם לכל המעגלים הפשוטים בגרף אורך זוגי‪ ,‬אז גם לכל המעגלים‬ ‫הלא פשוטים בו אורך זוגי‪.‬‬ ‫‪ .3‬הסיקו על‪-‬סמך השאלה הקודמת כי גרף הוא דו‪-‬צדדי אם"ם כל המעגלים‬ ‫הפשוטים שלו הם באורך זוגי‪.‬‬ ‫‪ ◊ .4‬הוכיחו כי אם כל ‪ k‬נשים מכירות ביחד לפחות ‪ 7k‬גברים‪ ,‬אזי קיים "שידוך"‬ ‫שבו "זוכה" כל אישה ב‪ 7 -‬גברים‪.‬‬ ‫‪ ◊ .5‬הוכיחו כי אם כל ‪ k‬גברים מכירים לפחות ‪ k  3‬נשים‪ ,‬אזי קיים "שידוך"‬ ‫הממצה את כל הגברים‪ ,‬למעט לכל היותר ‪ 3‬מתוכם‪.‬‬ ‫‪ .6‬הוכיחו כי בגרף מישורי קשיר מסדר ‪ , n  3‬אשר אין בו מעגל באורך ‪ ,3‬יש‬ ‫לכל היותר ‪ 2n  4‬צלעות‪.‬‬ ‫‪ .7‬הסיקו על‪-‬סמך השאלה הקודמת כי ‪ K 3,3‬אינו מישורי‪.‬‬ ‫‪ .8‬הוכיחו כי אם הדרגה המקסימלית של קודקוד בגרף היא ‪ ,n‬אז הגרף הוא ‪-n+1‬‬ ‫צביע‪.‬‬ ‫‪ .9‬השלימו‪ :‬כל עץ הוא _____‪-‬צביע‪ .‬נמקו‪.‬‬ ‫‪ .11‬הוכיחו כי ‪ G‬הוא גרף דו‪-‬צדדי אם"ם הוא גרף ‪-2‬צביע‪.‬‬ ‫‪ .11‬נגדיר גרף ‪ G   V, E ‬שקבוצת קודקודיו היא‪ V  1, 2,3,...,100 :‬ושני‬ ‫קודקודים בו שכנים אם"ם הפרשם (בערך מוחלט) הוא ‪ 1‬או ‪.2‬‬ ‫ב‪ .‬חשבו את ‪ .   G ‬נמקו‪.‬‬ ‫א‪ .‬האם ‪ G‬מישורי ? נמקו‪.‬‬ ‫‪ .12‬הראו כי ניתן לצבוע את כל צלעות הגרף ‪ K 5‬בשחור או בלבן‪ ,‬מבלי לקבל בו‬ ‫משולש מונוכרומטי לבן או שחור (שכל צלעותיו לבנות או שחורות)‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫מסלולי‪/‬מעגלי אויילר והמילטון‬ ‫נמשיך ונעסוק להלן בגרפים פשוטים‪.‬‬ ‫בעיית הגשרים של ‪:)1735( Königsberg‬‬ ‫עיר זו בפרוסיה שכנה (ועודנה שוכנת) משני צידי נהר ה‪ Pregel -‬והכילה שני‬ ‫איים גדולים‪ ,‬אשר ‪ 7‬גשרים חיברו בין האיים וביניהם ליבשה (כמתואר‬ ‫בשרטוט)‪ .‬הבעיה שהציבו פרנסי העיר בפני לאונרד אויילר היתה‪ :‬האם ניתן‬ ‫למצוא מסלול לאורך העיר אשר יעבור על כל אחד מהגשרים הללו פעם‬ ‫אחת בדיוק‪ .‬אויילר הוכיח כי לבעיה זו אין פתרון‪.‬‬ ‫המודל הגרפי של הבעיה‪:‬‬ ‫‪ .84‬מסלול‪/‬מעגל (לא בהכרח פשוט) המבקר בכל צלע בגרף בדיוק פעם אחת‬ ‫נקרא‪ :‬מסלול‪/‬מעגל אויילר‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫בגרף הבא קיים מעגל אויילר (ולכן גם מסלול אויילר)‪:‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪‬‬ ‫בגרף הבא קיים מסלול אויילר (אך לא מעגל אויילר)‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫בגרף הבא לא קיים מסלול אויילר (ובוודאי שלא קיים בו מעגל אויילר)‪:‬‬ ‫‪ .45‬תנאי הכרחי ומספיק לקיום מעגל אויילר בגרף‪:‬‬ ‫א‪ .‬הגרף קשיר (פרט אולי לקודקודים מבודדים);‬ ‫ב‪ .‬דרגות כל הקודקודים בו זוגיות‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח תחילה את ההכרחיות של התנאי – נניח כי בגרף ‪G   V, E ‬‬ ‫קיים מעגל אויילר ונראה כי ‪ G‬קשיר (פרט אולי לקודקודים מבודדים) וכי‬ ‫לכל קודקודיו ערכיות זוגית‪ ,G .‬כאמור‪ ,‬מכיל מעגל אויילר‪ ,‬היינו – מעגל‬ ‫המכיל את כל צלעות הגרף‪ ,‬ולכן גם את כל קודקודיו‪ ,‬פרט אולי לקודקודים‬ ‫מבודדים‪ .‬לכן‪ G ,‬קשיר (פרט אולי לקודקודים מבודדים)‪ .‬יהי ‪ v  V‬קודקוד‬ ‫כלשהו בגרף‪ .‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬ ‫‪ v ‬הוא קודקוד פנימי במעגל ‪ -‬כל מעבר של המעגל דרך ‪ v‬תורם ‪2‬‬ ‫לדרגתו (צלע אחת בכניסה ל‪ v -‬וצלע אחת ביציאה ממנו); בנוסף‪ ,‬מכיוון‬ ‫והמעגל מבקר בכל צלעות הגרף פעם אחת בדיוק‪ ,‬הרי שכל הצלעות‬ ‫החלות ב‪ v -‬תיספרנה פעם אחת בדיוק; לכן‪ ,‬דרגת ‪ v‬זוגית‪.‬‬ ‫‪ v ‬הוא הקודקוד "הראשון" במעגל – היציאה "הראשונה" ממנו תורמת ‪1‬‬ ‫לדרגתו; כל פעם שחוזרים אליו ויוצאים ממנו תורמת לדרגתו ‪ ;2‬החזרה‬ ‫אליו "בסיום" תורמת ‪ 1‬לדרגתו; בסה"כ דרגת ‪ v‬זוגית‪.‬‬ ‫נוכיח עתה את המספיקות של התנאי – נתון כי ‪ G‬קשיר (פרט אולי‬ ‫לקודקודים מבודדים) ודרגת כל קודקוד בו זוגית וצריך להראות כי קיים ב‪G -‬‬ ‫מעגל אויילר‪ .‬נתאר אלגוריתם לבניית מעגל אויילר ‪ C‬בגרף הנתון (‪:)G‬‬ ‫‪ .a‬יהי ‪ u 0  V‬קודקוד כלשהו ב‪ .G -‬נבנה ב‪ G -‬מעגל ‪ , C1‬המתחיל ומסתיים‬ ‫ב‪ , u 0 -‬באופן שאינו עובר על שום צלע ב‪ G -‬יותר מפעם אחת‪:‬‬ ‫‪ . C1   u 0 , u1 , u 2 ,..., uk , u0 ‬בניה כזו של ‪ C1‬אפשרית‪ ,‬שכן בהתחילנו את‬ ‫המעגל מ‪ , u 0 -‬ערכיותו אי‪-‬זוגית‪ ,‬ובהגיענו לשכנו הראשון ‪ , u1 -‬מובטח‬ ‫לנו שנוכל "לצאת" ממנו‪ ,‬בגלל שערכיותו זוגית (נתון)‪ .‬דבר זה אמור גם‬ ‫לגבי שאר הקודקודים ב‪ u 2 , u 3 , u 4 ,..., u k : C1 -‬ובלבד שנעבור על כל צלע‬ ‫פעם אחת בדיוק‪ .‬המעגל ‪ C1‬נסגר ב‪ , u 0 -‬שנותר עד כה עם ערכיות אי‪-‬‬ ‫זוגית (ועתה ערכיותו זוגית)‪.‬‬ ‫‪111‬‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪.b‬‬ ‫‪.c‬‬ ‫‪.d‬‬ ‫‪.e‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫אם ‪ C1‬מכיל את כל צלעות ‪ ,G‬סיימנו (שכן הוא מעגל אויילר ב‪.)G -‬‬ ‫אחרת – נתבונן בתת‪-‬הגרף ‪ G1‬המתקבל מ‪ G -‬ע"י השמטת כל הצלעות‬ ‫שב‪. C1 -‬‬ ‫לתת‪-‬הגרף ‪ G1‬ולמעגל ‪ C1‬יש לפחות קודקוד אחד משותף‪ ,‬שכן ‪G‬‬ ‫קשיר‪ ,‬פרט אולי לקודקודים מבודדים‪ ,‬שאינם "משחקים תפקיד" ביצירת‬ ‫מעגל אויילר‪( .‬אחרת – אילו לא היו ל‪ G1 -‬ול‪ C1 -‬קודקודים משותפים‪G ,‬‬ ‫היה מכיל לפחות שני רכיבי קשירות ‪ G1 -‬ו‪ , C1 -‬בסתירה לנתון‪ ).‬יהי ‪u 01‬‬ ‫קודקוד משותף כלשהו ל‪ G1 -‬ול‪. C1 -‬‬ ‫דרגת כל קודקוד ב‪ G1 -‬היא זוגית (לרבות ‪ ,)0‬שכן כל קודקודי ‪ G1‬הם‬ ‫קודקודי ‪ ,G‬אשר עפ"י הנתון הם בעלי דרגה זוגית‪ ,‬והשמטת המעגל ‪C1‬‬ ‫מ‪ G -‬הקטינה את ערכיותם (אם בכלל) במספר זוגי‪ .‬לכן‪ G1 ,‬קשיר (פרט‬ ‫אולי לקודקודים מבודדים) ומכיל מעגל‪.‬‬ ‫נבנה מעגל ‪ C 2‬ב‪ , G1 -‬המתחיל ומסתיים בקודקוד ‪ , u 01‬ואשר אינו עובר‬ ‫על שום צלע ב‪ G1 -‬יותר מפעם אחת‪. C2   u 01 , u 02 , u 03 ,..., u0m , u01  :‬‬ ‫‪ .f‬נאחד את שני המעגלים‪ C 2 , C1 :‬למעגל אחד באופן הבא‪:‬‬ ‫‪ . C1  C2   u 0 , u1 ,..., u 01 , u 02 ,..., u 01 ,..., u 0 ‬אם מעגל זה מכיל את כל‬ ‫צלעות הגרף‪ ,‬סיימנו‪ .‬אחרת – נחזור על התהליך הנ"ל שוב ושוב‪ ,‬עד‬ ‫שנקבל מעגל אויילר‪ .‬מובטח שלבסוף נקבל מעגל אויילר (‪ )C‬ב‪,G -‬‬ ‫שכן‪ G :‬הוא סופי; דרגת כל קודקוד בו זוגית; לכן‪ ,‬בתת‪-‬הגרף הנותר‬ ‫מהשמטת מעגל בכל פעם‪ ,‬דרגת כל קודקוד נותרת זוגית וניתן לבנות‬ ‫‪‬‬ ‫מעגל חדש‪.‬‬ ‫‪ .86‬תנאי הכרחי ומספיק לקיום מסלול אויילר בגרף‪:‬‬ ‫א‪ .‬הגרף קשיר (פרט אולי לקודקודים מבודדים);‬ ‫ב‪ .‬דרגות כל הקודקודים‪ ,‬פרט אולי ל‪ 1 -‬בו‪ ,‬זוגיות‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬הכרחיות תנאי זה מוכחת באופן דומה מאוד להכרחיות התנאי‬ ‫שבסעיף הקודם‪ .‬בפרט‪ ,‬זוגיות הדרגה של כל הקודקודים לאורך המסלול‬ ‫נכונה בוודאות לכל קודקוד פנימי במסלול‪ .‬עם זאת‪ ,‬היא עשויה להיות לא‬ ‫נכונה עבור קודקוד ההתחלה וקודקוד הסיום במסילה (אלא אם כן זהו אותו‬ ‫קודקוד)‪ .‬נוכיח עתה את מספיקות התנאי‪ .‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף המקיים תנאי‬ ‫זה‪ .‬אם דרגות כל קודקודיו זוגיות‪ ,‬הרי שעפ"י הסעיף הקודם יש בו מעגל‬ ‫אויילר ובפרט מסלול אויילר‪ .‬אחרת ‪ -‬יהיו ‪ u, v  V‬שני קודקודים ב‪G -‬‬ ‫שדרגתם אי‪-‬זוגית‪ .‬נוסיף קודקוד חדש ‪ w‬ל‪ G -‬ונחברו לקודקודים‪.v ,u :‬‬ ‫התקבל גרף חדש – קשיר (פרט אולי לקודקודים מבודדים)‪ ,‬אשר דרגות כל‬ ‫קודקודיו זוגיות‪ .‬עפ"י הסעיף הקודם‪ ,‬קיים בו מעגל אויילר המתחיל ומסתיים‬ ‫ב‪ .u -‬נשמיט ממעגל זה את הקודקוד ‪ w‬ואת הצלעות החלות בו (שהוספנו)‬ ‫‪‬‬ ‫ונקבל מסלול אויילר המתחיל ב‪ u -‬ומסתיים ב‪.v -‬‬ ‫‪ .87‬מסלול‪/‬מעגל המבקר בכל קודקוד בגרף בדיוק פעם אחת נקרא‪:‬‬ ‫מסלול‪/‬מעגל המילטון‪.‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ – The icosian game‬המשחק הומצא בשנת ‪ 1857‬ע"י ויליאם המילטון‪,‬‬ ‫במסגרתו יש למצוא מסלול מעגלי (מעגל) לאורך צלעות דודקהדרון (גוף‬ ‫תלת‪-‬מימדי בעל ‪ 12‬פיאות‪ ,‬דמוי כדורגל)‪ ,‬כך שבכל קודקוד בו מבקרים פעם‬ ‫אחת בלבד‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫בגרף הבא קיים מעגל המילטון (ולכן גם מסלול המילטון)‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫בגרף הבא (גרף פטרסן) קיים מסלול המילטון (אך לא מעגל המילטון)‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫בגרף הבא לא קיים מסלול המילטון (וכמובן – גם לא מעגל המילטון)‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪ .44‬תנאי מספיק (של ‪ )Ore‬לקיום מעגל המילטון בגרף‪:‬‬ ‫אם בגרף ‪ G   V, E ‬מסדר ‪ n  3‬מתקיים לכל שני קודקודים‪u, v  V :‬‬ ‫שאינם שכנים‪ , d  u   d  v   n :‬אז יש בו מעגל המילטון‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נחשוב על קודקודי הגרף ‪ G   V, E ‬מסדר ‪ n‬כמייצגים ‪ n‬אנשים‬ ‫ועל צלעות הגרף כמייצגות הכרויות בין אנשים אלו‪ .‬קיום מעגל המילטון‬ ‫בגרף הנתון משול להושבת ‪ n‬אנשים סביב שולחן עגול‪ ,‬כך שכל שניים‬ ‫היושבים זה לצד זה מכירים‪ .‬מספיק כי נראה כי עבור כל סידור ישיבה של ‪n‬‬ ‫אנשים סביב שולחן עגול‪ ,‬בו לא כל שניים היושבים זה לצד זה מכירים‪ ,‬ניתן‬ ‫לשפר את סדר הישיבה באופן שיגדיל לפחות ב‪ 1 -‬את מספר ההכרויות‬ ‫לאורך המעגל‪ ,‬כך שסדרה של שיפורים אלה תוביל בסופו של דבר לסידור‬ ‫המבוקש‪ ,‬בו כל שניים היושבים זה לצד זה מכירים‪.‬‬ ‫נניח‪ ,‬אפוא‪ ,‬כי נתון הסידור המעגלי‪  v1 , v 2 ,..., vi ,..., vn , v1  :‬בו לא כל שניים‬ ‫סמוכים מכירים‪ .‬בה"כ‪ ,‬נניח כי ‪ v1‬ו‪ v n -‬אינם מכירים‪ .‬נגדיר את הקבוצות‬ ‫הבאות‪ . A : 1  i  n : vi knows vn  , B : 1  i  n : vi1 knows v1 :‬במילים –‬ ‫‪ A‬היא קבוצת אינדקסי מכרי ‪ v n‬ו‪ B -‬היא קבוצת אינדקסי מכרי ‪ . v1‬לכן‪:‬‬ ‫‪ . A  d  vn  , B  d  v1 ‬עפ"י הנתון‪ d  vn   d  v1   A  B  n :‬ועפ"י עקרון‬ ‫שובך היונים מתחייב כי‪:‬‬ ‫‪. 1 A  n  B  A  n  2  B  n  2  1  i  n : i  A  i  B‬‬ ‫כלומר – יש ‪ ) 2  i  n  1 ( v i‬שמכיר את ‪ v n‬ויש ‪ ) 1  i  n  2 ( v i1‬את ‪. v1‬‬ ‫נשנה את הסידור המעגלי המקורי באופן הבא‪:‬‬ ‫‪ .  v1 , v 2 ,..., vi , vn , vn1 ,..., vi1 , v1 ‬ביחס לסידור המקורי‪ ,‬הגדלנו בסידור זה את‬ ‫מספר ההכרויות ב‪ 2 -‬ו"הפסדנו" לכל היותר הכרות אחת – בין ‪ v i‬לבין ‪. vi 1‬‬ ‫בסה"כ גדל מספר ההכרויות סביב השולחן ב‪ .1 -‬נמשיך לפעול באופן זה‬ ‫ולהגדיל בכל סידור את מספר ההכרויות עד לקבלת הסידור המבוקש‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫האנלוגי למעגל המילטון בגרף הנתון‪.‬‬ ‫‪ .44‬מסקנה ‪ -‬תנאי מספיק לקיום מסלול המילטון בגרף‪:‬‬ ‫אם בגרף ‪ G   V, E ‬מסדר ‪ n  3‬מתקיים לכל שני קודקודים‪u, v  V :‬‬ ‫שאינם שכנים‪ , d  u   d  v  n  1 :‬אז יש בו מסלול המילטון‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוסיף ל‪ G -‬קודקוד חדש ‪ w‬ונחברו לכל קודקודיו המקוריים של ‪.G‬‬ ‫קיבלנו גרף חדש ' ‪ , G‬אשר לכל שני קודקודים‪ v ,u :‬בו שאינם שכנים (ולכן‪,‬‬ ‫גם אינם שכנים ב‪ )G -‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪dG '  u   dG '  v   dG  u   1   dG  v  1  dG  u  dG  v  2  n  1 2  n  1‬‬ ‫קיבלנו שלכל שני קודקודים שאינם שכנים ב‪ G ' -‬מתקיים שסכום דרגותיהם‬ ‫גדול מסדר הגרף ( ‪ .) n  1‬עפ"י הסעיף הקודם‪ ,‬יש ב‪ G ' -‬מעגל המילטון‪.‬‬ ‫נסיר ממעגל זה את ‪ w‬ואת כל הצלעות החלות בו ונקבל מסלול המילטון ב‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.G‬‬ ‫‪117‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪ .45‬תנאי הכרחי לקיום מעגל המילטון בגרף‪:‬‬ ‫אם ‪ G‬גרף קשיר שיש בו מעגל המילטון‪ ,‬אז מספר רכיבי הקשירות בגרף‬ ‫' ‪ , G‬המתקבל מ‪ ,G -‬ע"י השמטת ‪ ) k  ( k‬קודקודים‪ ,‬אינו עולה על ‪.k‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף ובו מעגל המילטון‪ .‬נרצה להראות כי ' ‪, G‬‬ ‫המתקבל מ‪ ,G -‬ע"י השמטת ‪ k‬הקודקודים‪ , v1 , v2 ,..., vk  V :‬מכיל לכל‬ ‫היותר ‪ k‬רכיבי קשירות‪ .‬יהי ‪ C‬מעגל המילטון בגרף ‪ C .G‬מכיל את כל‬ ‫קודקודי הגרף ‪ - G‬כל קודקוד בדיוק פעם אחת‪ .‬כל מעגל המילטון‪ ,‬מעצם‬ ‫הגדרתו‪ ,‬הוא מעגל פשוט‪ ,‬ולכן השמטת קודקוד אחד ממנו הופכת אותו‬ ‫למסלול‪ .‬השמטת שני קודקודים ממנו‪ ,‬תהפוך אותו למסלול או לשני‬ ‫מסלולים זרים‪ ,‬תלוי אם שני הקודקודים שכנים או לא בהתאמה‪ .‬לפיכך‪,‬‬ ‫השמטת הקודקודים‪ v1 , v2 ,..., vk :‬מ‪ C -‬תהפוך אותו לכל היותר ל‪k -‬‬ ‫מסלולים זרים (ובדיוק ל‪ k -‬מסלולים זרים‪ ,‬אם אין בין ‪ k‬קודקודים אלה‬ ‫שניים שהם שכנים)‪ .‬נסמן ב‪ C ' -‬את תת‪-‬הגרף של ‪ C‬שהתקבל לאחר‬ ‫השמטת ‪ k‬הקודקודים הנ"ל מ‪ .C -‬נוסיף ל‪ C ' -‬את כל הצלעות ב‪G -‬‬ ‫שמלכתחילה לא היו ב‪ ,C -‬ונקבל את ' ‪ . G‬מאחר וב‪ C ' -‬יש לכל היותר ‪k‬‬ ‫רכיבי קשירות‪ ,‬הוא הדין גם לגבי ' ‪ , G‬שכן הוספת צלעות לגרף עשויה רק‬ ‫‪‬‬ ‫להקטין את מספר רכיבי הקשירות‪.‬‬ ‫‪ .41‬התנאי המספיק של ‪ Dirac‬לקיום מעגל המילטון בגרף‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫אם ‪ G‬הוא גרף מסדר ‪ , n  3‬אשר דרגת כל קודקוד בו היא לפחות ‪ ,‬אז יש‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪ G -‬מעגל המילטון‪.‬‬ ‫‪ ‬בעיית הסוכן הנוסע (‪ )TSP - Traveling Salesperson Problem‬היא בעיה‬ ‫ידועה בתורת הגרפים ובתורת החישוביות והסיבוכיות‪ .‬הבעיה עוסקת בסוכן‬ ‫נוסע‪ ,‬אשר במסגרת תפקידו עליו לעבור בערים רבות‪ ,‬המקושרות ביניהן ברשת‬ ‫כבישים‪ ,‬כאשר יש למצוא עבורו את המסלול הקצר ביותר שיעבור בין כל‬ ‫הערים‪ .‬ניסוח הבעיה במונחי תורת הגרפים‪ :‬בהינתן גרף פשוט משוקלל‪ ,‬יש‬ ‫למצוא בו מסלול המילטוני שמשקלו הוא הקטן ביותר‪ .‬פתרון פשוט לבעיה הוא‬ ‫בדיקת כל המסלולים האפשריים‪ .‬אלא‪ ,‬שבהינתן ‪ n‬ערים‪ ,‬פתרון זה מצריך‬ ‫בדיקת סדר גודל של !‪ n‬אפשרויות‪ ,‬ולכן דרך זו הופכת מהר מאוד לבלתי‬ ‫מעשית ולבלתי יעילה‪ .‬בתורת החישוביות והסיבוכיות הוכח כי בעיה זו היא‬ ‫בעיית ‪-NP‬קשה‪ ,‬והצגתה כבעיית הכרעה ("האם קיים מסלול שאורכו פחות מ‪-‬‬ ‫‪ d‬ק"מ?") היא בעיית ‪-NP‬שלמה‪ .‬ניתן אף להוכיח כי הוספת הדרישה שבתום‬ ‫המסע יחזור הסוכן הנוסע לעיר שממנה יצא (מציאת מעגל המילטוני שמשקלו‬ ‫הוא הקטן ביותר) אינה משנה את סיבוכיות הבעיה‪.‬‬ ‫‪111‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫תרגיל בית מס' ‪ – 14‬מבוא לתורת הגרפים –‬ ‫מסלולי‪/‬מעגלי אויילר והמילטון‬ ‫הערה‪ :‬השאלות דלהלן מתייחסות לגרפים פשוטים‪ ,‬אלא אם כן מצויין אחרת‬ ‫בגוף השאלה‪.‬‬ ‫‪ .1‬תנו דוגמא לגרף המכיל‪:‬‬ ‫א‪ .‬מעגל אויילר אך לא מעגל המילטון‬ ‫ב‪ .‬מעגל המילטון אך לא מעגל אויילר‬ ‫‪ .2‬השלימו‪:‬‬ ‫א‪ .‬עבור איזה ערך של ‪ n‬יש בגרף ‪ K n‬מעגל אויילר ? ________‬ ‫ב‪ .‬עבור איזה ערך של ‪ n‬יש בגרף ‪ K n‬מעגל המילטון ? ________‬ ‫‪ .3‬השלימו‪:‬‬ ‫א‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ m‬ו‪ n -‬יש בגרף‬ ‫‪ K m,n‬מעגל אויילר ? __________‬ ‫ב‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ m‬ו‪ n -‬יש בגרף ‪ K m,n‬מעגל המילטון ? _________‬ ‫ג‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ m‬ו‪ n -‬יש בגרף ‪ K m,n‬מסלול אויילר ? __________‬ ‫ד‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ m‬ו‪ n -‬יש בגרף ‪ K m,n‬מסלול המילטון ? ________‬ ‫‪ .4‬סדרת דה‪-‬ברויין מוגדרת כסדרה בינארית מעגלית באורך ‪ , 2n‬כך‬ ‫שכל סדרה בינארית באורך ‪ n‬מופיעה כתת‪-‬סדרה שלה‪ .‬על‪-‬מנת לבנות את‬ ‫הסדרה‪ ,‬נגדיר גרף מכוון בן ‪ 2n 1‬קודקודים‪ ,‬שקודקודיו הם כל הסדרות‬ ‫הבינאריות באורך ‪ . n  1‬מכל קודקוד בגרף‪  x1 , x 2 ,..., xn 1  :‬נעביר צלע לכל‬ ‫אחד מהקודקודים‪.  x 2 , x3 ,..., xn 1 , 0 ,  x2 , x3 ,..., xn1 ,1 :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫הוכיחו כי הגרף (מסדר ‪ ) 2n 1‬המתקבל באופן הנ"ל מכיל מעגל‬ ‫אויילר‪.‬‬ ‫ציירו את הגרף המתאים למקרה‪ , n  3 :‬מצאו מעגל אויילר בו וקבעו‬ ‫באמצעותו את סדרת דה‪-‬בוריין המתאימה לו‪.‬‬ ‫ציירו את הגרף המתאים למקרה‪ , n  4 :‬מצאו מעגל אויילר בו וקבעו‬ ‫באמצעותו את סדרת דה‪-‬בוריין המתאימה לו‪.‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫הוכיחו כי באמצעות מעבר על הגרף המכוון מסדר ‪ , 2‬באופן שהדגמתם‬ ‫בסעיפים‪ :‬ב'‪ ,‬ג' לעיל‪ ,‬אכן ניתן לייצר סדרת דה‪-‬בוריין‪.‬‬ ‫‪ .5‬יהי ‪ G‬גרף מסדר‬ ‫‪ 2n‬‬ ‫‪ ,  n ‬אשר דרגות כל קודקודיו אי‪-‬זוגיות‪ .‬הוכיחו כי‬ ‫קיימים ב‪ n G -‬מסלולים שונים שכל צלע ב‪ G -‬מופיע בדיוק באחד מהם‬ ‫ובדיוק פעם אחת‪.‬‬ ‫‪ .6‬הוכיחו כי גרף קשיר‪ ,‬אשר לא כל דרגות קודקודיו זוגיות‪ ,‬ניתן לציור‬ ‫במספר משיכות קולמוס השווה למחצית מספר הקודקודים מערכיות אי‪-‬‬ ‫זוגית בו‪.‬‬ ‫‪119‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪ .7‬בכמה משיכות קולמוס ניתן לצייר מצולע בעל ‪ 100‬קודקודים עם כל‬ ‫אלכסוניו ? נמקו‪.‬‬ ‫‪ .8‬הראו כי התנאי של ‪ Ore‬אינו תנאי הכרחי לקיום מעגל המילטון בגרף‪.‬‬ ‫‪ .9‬שאלה זו עוסקת בצופן גריי‪ .‬נרצה למצוא מסלול המילטון על הקוביה ה‪-n -‬‬ ‫מימדית‪ .‬כלומר – נרצה למצוא סידור של כל ‪ 2n‬הסדרות הבינאריות‪ ,‬כך‬ ‫שבמעבר מסדרה אחת לשניה משתנה קואורדינטה אחת בלבד‪ .‬בניית‬ ‫המסלול תעשה באופן האינדוקטיבי הבא ‪ -‬נניח שמצאנו מסלול כזה בקוביה‬ ‫ה‪-n -‬מימדית‪ ,‬המסתיים בקודקוד‪/‬בסדרה‪ ;  x1 , x 2 ,..., xn  :‬במעבר לקוביה ה‪-‬‬ ‫‪- n  1‬מימדית ניקח את המסלול הקודם שמצאנו בקוביה ה‪-n -‬מימדית ונוסיף‬ ‫לכל קודקוד בו קואורדינטה ‪ 0‬במקום ה‪ n  1 -‬י‪ .‬מסלול זה יסתיים‪ ,‬אפוא‪,‬‬ ‫בקוביה ה‪- n  1 -‬מימדית בקודקוד‪ .  x1 , x 2 ,..., xn , 0 :‬עתה ניקח שוב את‬ ‫המסלול שמצאנו בקוביה ה‪-n -‬מימדית ונוסיף לכל קודקוד בו קואורדינטה ‪1‬‬ ‫במקום ה‪ n  1 -‬י‪ ,‬אלא שהפעם נעבור על מסלול זה מהסוף (המקורי שלו)‬ ‫להתחלה (המקורית שלו)‪ .‬כלומר – קודקוד ההתחלה במסלול החדש שנוצר‬ ‫יהיה‪ .  x1 , x 2 ,..., xn ,1 :‬על‪-‬מנת לחבר את שני תת‪-‬המסלולים שנוצרו בקוביה‬ ‫ה‪- n  1 -‬מימדית‪ ,‬נחבר את הקודקוד ‪  x1 , x 2 ,..., x n ,0 ‬אל הקודקוד‬ ‫‪ .  x1 , x 2 ,..., x n ,1‬מצאו מסלולי המילטון על הקוביה ה‪-n -‬מימדית‪ ,‬עבור‪:‬‬ ‫א‪n  2 .‬‬ ‫ב‪n  3 .‬‬ ‫ג‪n  4 .‬‬ ‫‪ .11‬הוכיחו כי לא ניתן לכסות לוח שחמט בגודל ‪ , m  n‬עבור ‪ m‬ו‪ n -‬אי‪-‬‬ ‫זוגיים שונים‪ ,‬באמצעות צעדי פרש‪ ,‬כאשר אסור לפרש לבקר באותה‬ ‫משבצת בלוח יותר מפעם אחת‪ ,‬ובסיום עליו לחזור למשבצת בה התחיל את‬ ‫מסעו‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪110‬‬