‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫מבוא לאלגברה בוליאנית ומבוא לתורת הקבוצות –‬ ‫תרגול מס' ‪2‬‬ ‫‪ .1‬נוכיח‪ ,‬שלא באמצעות טבלת אמת‪ ,‬את הזהות הלוגית‪. p → ¬ ( p ∧ ¬q ) ≡ ¬ ( p ∧ ¬q ) :‬‬ ‫נפשט את אגף שמאל‪:‬‬ ‫≡ ) ) ‪p → ¬ ( p ∧ ¬q ) ≡ p → ( ¬ ( p ∧ ¬q ) ) ≡ r →s ≡¬r ∨ s ¬p ∨ ( ¬ ( p ∧ ¬q ) ) ≡ D.M ¬p ∨ ( ¬p ∨ ¬ ( ¬q‬‬ ‫‪≡¬( ¬q )≡q ¬p ∨ ( ¬p ∨ q ) ≡associativity of ∨ ( ¬p ∨ ¬p ) ∨ q ≡¬p∨¬p ≡¬p ¬p ∨ q ≡¬( ¬q )≡q ¬p ∨ ¬ ( ¬q ) ≡ D.M‬‬ ‫) ‪≡ ¬ ( p ∧ ¬q‬‬ ‫לחילופין‪ ,‬ניתן היה לעצור בשלב בו קיבלנו את הפסוק‪ , ¬p ∨ q :‬לפשט את אגף ימין‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪ , ¬ p ∧ ( ¬q ) ≡ D.M ¬p ∨ ¬ ( ¬q ) ≡¬( ¬q ) ≡q ¬p ∨ q‬ולראות כי שני האגפים זהים‪ ,‬ולכן הזהות‬ ‫אכן נכונה‪.‬‬ ‫הוכיחו את הזהויות הלוגיות הבאות‪ ,‬שלא באמצעות טבלת אמת‪:‬‬ ‫א‪p → q ≡ p ∧ ¬q → ¬p .‬‬ ‫ב‪p → q ≡ p ∧ ¬q → r ∧ ¬r .‬‬ ‫ג‪p ∧ q ∨ ¬p ∧ q ≡ q .‬‬ ‫‪ .2‬הוכיחו‪ ,‬שלא באמצעות טבלת אמת‪ ,‬כי הפסוקים הבאים הם טאוטולוגיות‪:‬‬ ‫א‪p ∨ p ∧ q ↔ p .‬‬ ‫ב‪¬ ( p ⊕ q ) ↔ ( ¬p ∨ q ) ∧ ( p ∨ ¬q ) .‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫) ‪(p → q) ∧ (q → r ) → (p → r‬‬ ‫‪ .3‬א‪ .‬פשטו באופן מירבי את הפסוקים‪:‬‬ ‫‪p → ( q → p ) → ( p → q ) → p (1‬‬ ‫)‬ ‫‪(2‬‬ ‫(‬ ‫) ‪( p ∨ q ) ∧ ( ¬ p ∧ q ) → ( p ∨ q ) ∧ ( ¬p ∨ ¬q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫ תשע"ג‬1 ‫מתמטיקה בדידה‬ :(2 '‫פתרון א‬ ( p ∨ q ) ∧ ( ¬p ∧ q ) → ( p ∨ q ) ∧ ( ¬p ∨ ¬q ) ≡ ( ( p ∨ q ) ∧ ( ¬p ∧ q ) ) → ( ( p ∨ q ) ∧ ( ¬p ∨ ¬q ) ) ≡ ≡commutativity of ∧ ( ( ¬p ∧ q ) ∧ ( p ∨ q ) ) → ( ( p ∨ q ) ∧ ( ¬p ∨ ¬q ) ) ≡generalization of distributivity ( ( ( ¬ p ∧ q ) ∧ p ) ∨ ( ( ¬ p ∧ q ) ∧ q ) ) → ( ( ( p ∨ q ) ∧ ¬ p ) ∨ ( ( p ∨ q ) ∧ ¬q ) ) ≡ ≡ ( ( ( ¬p ∧ p ) ∧ q ) ∨ ( ¬p ∧ ( q ∧ q ) ) ) → ( ( ¬p ∧ ( p ∨ q ) ) ∨ ( ¬q ∧ ( p ∨ q ) ) ) ≡ ≡ commutativity and associativity of ∧ a ∧¬a ≡ F a ∧a ≡a distributivity ( ( ( ¬p ∧ p ) ∨ ( ¬p ∧ q ) ) ∨ ( ( ¬q ∧ p ) ∨ ( ¬q ∧ q ) ) ) ≡ ≡ ( F ∨ ( ¬p ∧ q ) ) → ( ( F ∨ ( ¬p ∧ q ) ) ∨ ( ( ¬q ∧ p ) ∨ F ) ) ≡ ( ¬ p ∧ q ) → ( ( ¬p ∧ q ) ∨ ( ¬q ∧ p ) ) ≡ ≡ ( ( F ∧ q ) ∨ ( ¬p ∧ q ) ) → a ∧ F≡ F a ∧¬a ≡ F a ∨ F≡a ≡a →b ≡¬a ∨ b ¬ ( ¬p ∧ q ) ∨ ( ( ¬p ∧ q ) ∨ ( ¬q ∧ p ) ) ≡associativity of ∨ ( ¬ ( ¬p ∧ q ) ∨ ( ¬p ∧ q ) ) ∨ ( ¬q ∧ p ) ≡ ≡ ¬a ∨ a ≡ T T ∨ ( ¬ q ∧ p ) ≡ a ∨ T ≡ T T . p ∨ p ∧ q ≡ p :‫ השליטה והפילוג בלבד כי‬,‫ הוכיחו באמצעות כללי הזהות‬.‫ב‬ :‫ כי‬,‫ שלא באמצעות טבלת אמת‬,‫הפריכו‬/‫ הוכיחו‬.4 p ∨ ( q → r ) ≡ p ∨ q → p ∨ r .‫א‬ p ∧ ( q → r ) ≡ p ∧ q → p ∧ r .‫ב‬ {1}∈ {1, 2,3} .‫ג‬ {1,3, 2} ⊂ {1, 2,3} .‫ו‬ ? T ‫ לאילו מהפסוקים הבאים ערך אמת‬.5 1 ∈ {1, 2,3} .‫א‬ {1} ⊂ {1, 2,3} .‫ב‬ {1} ⊆ {1, 2,3} .‫ה‬ {1,3, 2} ⊆ {1, 2,3} .‫ד‬ ‫ כך שיתקבל‬, ∈, = , ⊆, ⊂ :‫ השלימו את הפסוקים דלהלן ע"י אחד או יותר מהסימונים‬.6 .‫בכל סעיף פסוק אמת‬ 3 _____  .‫ב‬ {3} _____ } .‫ג‬ {a, b} _____ {b,a} .‫א‬ {c,c} _____ {c} .‫ו‬ ∅ _____ {∅} .‫ה‬ ∅ _____ ∅ .‫ד‬ {3} _____ {2,3,{3}} .‫ז‬ 2 ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫‪ .7‬נתונות הקבוצות הבאות‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪b} , C {1, 2,3‬‬ ‫=‬ ‫=}‪A} , E {{a, b‬‬ ‫‪,a} , F {A, B} ,‬‬ ‫‪{a, b,c‬‬ ‫=‪} , B {a,‬‬ ‫={ ‪} , D‬‬ ‫}}‪G = {{a, b}, {a, b,c‬‬ ‫=‬ ‫‪A‬‬ ‫א‪ .‬כמה איברים יש בכל אחת מהקבוצות הנ"ל ?‬ ‫ב‪ .‬השלימו את הפסוקים דלהלן ע"י אחד מהסימנים‪, ∈, = , ⊂, A, B,C, D, E, F,G :‬‬ ‫כך שיתקבל בכל סעיף פסוק אמת‪.‬‬ ‫‪B _____ E (1‬‬ ‫‪F _____ G (3‬‬ ‫‪C = _____ (2‬‬ ‫‪_____ ∈ E (6‬‬ ‫‪B ⊂ _____ (5‬‬ ‫‪_____ ⊂ F (4‬‬ ‫‪ .8‬השלימו את הפסוקים דלהלן ע"י אחד מהסימנים‪ , ∈, ⊆, ⊂, {∅}, ∅, {0},0 :‬כך‬ ‫שיתקבל בכל סעיף פסוק אמת‪.‬‬ ‫א‪0 _____ {0} .‬‬ ‫ב‪_____ ∈ {∅} .‬‬ ‫ד‪∅ ∈ _____ .‬‬ ‫ג‪_____ ⊂ {0} .‬‬ ‫ו‪_____ ⊂ {∅} .‬‬ ‫ה‪∅ _____ ∅ .‬‬ ‫‪ .9‬רשמו באופן מפורש את הקבוצות הבאות‪:‬‬ ‫∈= ‪A‬‬ ‫= ‪x } : x2‬‬ ‫א‪4 .‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫}‬ ‫=‬ ‫}‪4‬‬ ‫=‬ ‫}‪2‬‬ ‫=‬ ‫}‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫{‬ ‫∈= ‪B‬‬ ‫‪{x  : x‬‬ ‫∈= ‪C‬‬ ‫‪{x  : x‬‬ ‫∈= ‪D‬‬ ‫‪{x  : x‬‬ ‫‪ .10‬תהי }}‬ ‫{‬ ‫{‬ ‫}‪ . A = 1, {1}, 1, {2‬נבחן את ערכי האמת של הפסוקים הבאים‪:‬‬ ‫‪2 ∈ A (1‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪{2,{1}} ⊆ A‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪(7‬‬ ‫‪{1} ⊆ A‬‬ ‫‪(8‬‬ ‫‪{1,1}∈ A‬‬ ‫‪{1,{2}}∈ A‬‬ ‫‪{1,{2}} ⊂ A‬‬ ‫‪{1,{2}} ⊆ A (3‬‬ ‫‪{{1}} ⊆ A (6‬‬ ‫פסוק ‪ 1‬שקרי מהסתכלות ישירה על איברי ‪ 3) A‬במספר(‪.‬‬ ‫פסוק ‪ 2‬טוען‪ ,‬למעשה‪ ,‬ש‪ {1} -‬הוא איבר ב‪ A -‬ושוב מהסתכלות ישירה על איברי ‪A‬‬ ‫ניתן לראות שזה נכון‪.‬‬ ‫פסוק ‪⊆ A ⇔ 1, {2} ∈ A :3‬‬ ‫פסוק ‪:4‬‬ ‫} {‬ ‫‪ , {2, {1}} ⊆ A ⇔ 2, {1} ∈ A‬אבל‪:‬‬ ‫}‪ , 1, {2‬אבל‪ {2} ∉ A :‬ולכן הפסוק שקרי‪.‬‬ ‫‪ 2 ∉ A‬ולכן הפסוק שקרי‪.‬‬ ‫פסוק ‪ 5‬אמיתי‪ ,‬מהסתכלות ישירה על איברי ‪.A‬‬ ‫פסוק ‪ {1} ⊆ A ⇔ {1} ∈ A :6‬ומאחר ו‪ , {1} ∈ A -‬הפסוק אמיתי‪.‬‬ ‫} {‬ ‫פסוק ‪ {1} ⊆ A ⇔ 1 ∈ A :7‬ומאחר ו‪ , 1 ∈ A -‬הפסוק אמיתי‪.‬‬ ‫פסוק ‪ 8‬שקרי כי פסוק ‪ 3‬שקרי‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫מבוא לאלגברה בוליאנית ומבוא לתורת הקבוצות –‬ ‫תרגיל בית מס' ‪2‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחו את הזהויות הלוגיות הבאות‪ ,‬שלא באמצעות טבלת אמת‪:‬‬ ‫א‪p ∧ ( ¬p ∨ q ) ≡ ¬ ( ¬p ∨ ¬q ) .‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪p → (p → q ) ≡ p → q‬‬ ‫‪p → (p → ((p ∨ ¬q ) → (p ∧ q ))) ≡ p → q‬‬ ‫‪( p ↔ q ) ∧ ( ( p ⊕ q ) ∨ r ) ≡ ( ¬p ∨ q ) ∧ ( p ∨ ¬q ) ∧ r‬‬ ‫‪ .2‬קבעו והוכיחו‪ ,‬שלא באמצעות טבלת אמת‪ ,‬לגבי כל אחד מהפסוקים דלהלן אם‬ ‫הוא טאוטולוגיה‪ ,‬סתירה או לא זה ולא זה‪.‬‬ ‫א‪p → p .‬‬ ‫ב‪p → (p → q ) → q .‬‬ ‫ג‪p → ((p → q ) → q ) .‬‬ ‫ד‪(p → p ) → (q ∧ ¬q ) .‬‬ ‫ה‪¬(p ∧ q ) ↔ ¬p ∨ ¬q .‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫ז‪.‬‬ ‫) ‪( p → q ) ∧ ( ¬q → ¬ p‬‬ ‫) ‪( p ∨ q ) ∧ ( ¬p ∨ r ) → ( q ∨ r‬‬ ‫‪ .3‬הוכיחו‪/‬הפריכו‪ ,‬שלא באמצעות טבלת אמת‪ ,‬כי‪:‬‬ ‫א‪p → q ∨ r ≡ ( p → q ) ∨ ( p → r ) .‬‬ ‫ב‪p → q ∧ r ≡ ( p → q ) ∧ ( p → r ) .‬‬ ‫ג‪p ⊕ q → r ≡ ( p ⊕ q ) → ( p ⊕ r ) .‬‬ ‫‪ .4‬הוכיחו באמצעות כללי הזהות‪ ,‬השליטה והפילוג בלבד כי‪. p ∧ ( p ∨ q ) ≡ p :‬‬ ‫‪ .5‬קבעו את ערך האמת של כל אחד מהפסוקים הבאים‪:‬‬ ‫א‪{1,2,1} = {1,2} .‬‬ ‫ג‪{1} = 1 .‬‬ ‫ב‪1∉ {11,2} .‬‬ ‫ו‪{1}∈ {{1}, {2}} .‬‬ ‫ד‪{{1}} = {1} .‬‬ ‫ה‪1∈ {{1}, {2}} .‬‬ ‫ט‪{1} ⊂ {{1}, {2}} .‬‬ ‫ח‪{1} ⊆ {{1}, {2}} .‬‬ ‫ז‪1 ⊆ {1} .‬‬ ‫י‪ ⊂  .‬‬ ‫יא‪ ⊆  .‬‬ ‫יד‪{1,2,1} ⊆ {3,2,1} .‬‬ ‫יג‪{1, 2,3} ⊂ } .‬‬ ‫טז‪ {1, {2}} ⊂ {1,2} .‬יז‪∅ = {∅} .‬‬ ‫יב‪} = {{1}, {2}, {3},...{n},...} .‬‬ ‫טו‪{5,7,9} ⊂ {5,5,7,5,9,9} .‬‬ ‫יח‪∅ ⊆ ∅ .‬‬ ‫יט‪∅ ⊂ ∅ .‬‬ ‫כ‪∅ ∈∅ .‬‬ ‫כא‪∅ ⊆ {4,5,6} .‬‬ ‫כב‪∅ ⊂ {4,5,6} .‬‬ ‫כג‪∅ ∈ {4,5,6} .‬‬ ‫כד‪∅ ∈ {∅} .‬‬ ‫כה‪∅ ⊂ {∅, {1}} .‬‬ ‫}‪{1}∈ {∅,1‬‬ ‫כו‪.‬‬ ‫כז‪{1} ⊆ {∅,1} .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫כט‪{∅} ⊆ {∅,{∅}} .‬‬ ‫לא‪{{1}, ∅} ⊆ {1,{∅}} .‬‬ ‫כח‪{∅} ⊂ {∅,{∅}} .‬‬ ‫ל‪{∅}∈ {∅,{∅}} .‬‬ ‫‪ .6‬תהיינה ‪ C ,B ,A‬קבוצות סופיות כלשהן )החלקיות לקבוצה אוניברסלית‬ ‫נתונה ‪ .(U‬קבעו לגבי כל אחד מהטיעונים הבאים אם הוא תקף או לא‪.‬‬ ‫בכל מקרה בו הטיעון אינו תקף‪ ,‬הראו זאת באמצעות דוגמא נגדית‪.‬‬ ‫ב‪A ⊂ B ⇒ A ⊆ B .‬‬ ‫א‪A ⊆ B ⇒ A ⊂ B .‬‬ ‫ד‪A =B ⇒ A =B .‬‬ ‫ג‪A = B ⇒ A = B .‬‬ ‫ה‪A = B ⇒ A ⊆ B .‬‬ ‫ז‪A ⊂ B ⇒ A ≠ B .‬‬ ‫ט‪A ⊆ B ⇒ ∀y ∈ B : y ∈ A .‬‬ ‫י‪.‬‬ ‫יא‪.‬‬ ‫= ‪A ⊆ B⇒ A‬‬ ‫ו‪B .‬‬ ‫ח‪A ≠ B ⇒ A ⊂ B .‬‬ ‫‪{x, y} ⊂ A ⇒ ∃z ∈ A : z ≠ x ∧ z ≠ y‬‬ ‫‪c ∈ C ⇒ {c} ⊆ C‬‬ ‫יב‪.‬‬ ‫יג‪A ⊂ B ⇒ B ⊄ A .‬‬ ‫טו‪A ⊂ B ⇒ {A} ⊆ {B} .‬‬ ‫‪c ∈ C ⇒ {c} ⊂ C‬‬ ‫יד‪B ⊂ A ⇒ A ≠ B .‬‬ ‫טז‪A ≥ 3 .‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪5‬‬ ‫⇒ ‪{a} ⊂ A ∧ {a,{a}}∈ A‬‬