‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫פרק ‪ – 3‬יחסים בינאריים‬ ‫פרק זה מהווה המשך ישיר של הפרק הקודם – מבוא לתורת הקבוצות‪.‬‬ ‫הוא עוסק בהגדרת המושג‪ :‬יחס בינארי – יחס המוגדר בין שתי קבוצות‪,‬‬ ‫בסקירת תכונותיו וסוגיו השונים‪.‬‬ ‫נציין (ונראה זאת בהמשך) כי המושג יחס בינארי מהווה הכללה של מושג יסודי‬ ‫אחר במתמטיקה ‪ -‬פונקציה (המוגדרת אף היא בין שתי קבוצות)‪.‬‬ ‫הגדרה‪ ,‬יצוג ותכונות יסודיות‬ ‫‪‬‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות כלשהן‪ R .‬הוא יחס בינארי מקבוצה ‪ A‬לקבוצה ‪B‬‬ ‫אם"ם ‪. R  A  B‬‬ ‫‪‬‬ ‫תהי ‪ A‬קבוצה כלשהי‪ R .‬הוא יחס בינארי מעל קבוצה ‪ A‬אם"ם ‪ R‬הוא יחס‬ ‫מקבוצה ‪ A‬לעצמה‪ ,‬משמע‪. R  A  A :‬‬ ‫הערה‪ :‬מכאן ואילך נשמיט את המילה 'בינארי' ונאמר רק יחס‪ ,‬כאשר הכוונה‬ ‫היא כמובן ליחס בינארי‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫בהינתן קבוצות ‪ A‬ו‪ B -‬כלשהן‪ ,‬מוגדרים היחסים (המיוחדים) הבאים‬ ‫מ‪ A -‬ל‪:B -‬‬ ‫□ היחס הריק ‪)   A  B (  -‬‬ ‫□ היחס המלא ‪) A  B  A  B ( A  B -‬‬ ‫אם ‪ , A  B‬אז ניתן להגדיר גם את היחס המיוחד הבא (מעל ‪:)A‬‬ ‫□ יחס הזהות ‪) IA  A  A ( Id A  IA :  a,a  : a  A -‬‬ ‫דוגמאות‪ :‬תהיינה ‪ A  1,2,3 , B  4,5‬שתי קבוצות‪.‬‬ ‫‪ A  B ,  , S1  1, 4 ,  2, 4 ,  3,5 , R1  1,4  ,  2,5 o‬הם יחסים‬ ‫מ‪ A -‬ל‪.B -‬‬ ‫‪, R 2   4,1 , 5,2  o‬‬ ‫‪ B  A ,  , S2   4,1 ,  4, 2 ,  5,3‬הם יחסים‬ ‫מ‪ B -‬ל‪.A -‬‬ ‫‪ V   , T  1,4  ,  2,3 ,  3,5 o‬אינם יחסים מ‪ A -‬ל‪ B -‬ואף אינם יחסים מ‪-‬‬ ‫‪ B‬ל‪.A -‬‬ ‫‪33‬‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫‪o‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫‪ R  1,1 ,  2,1 ,  3, 2 ‬הוא יחס מעל ‪( A‬מ‪ A -‬ל‪.)A -‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ S  1,1 , 1, 2  , 1,3 ,  2, 2  ,  2,3 , 3,3‬הוא יחס מעל ‪( A‬מ‪ A -‬ל‪ ,)A -‬אשר‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ U  1, 2  , 1,3 ,  2,3‬הוא יחס מעל ‪( A‬מ‪ A -‬ל‪ ,)A -‬אשר ניתן להגדרה‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ ‬הוא יחס מעל ‪( A‬וגם מעל ‪.)B‬‬ ‫‪ A  A  1,1 , 1, 2  , 1,3 ,  2,1 ,  2, 2  ,  2,3 , 3,1 , 3, 2  , 3,3 ‬הוא היחס‬ ‫ניתן להגדרה באופן הבא‪( S   a, b   A  A : a  b :‬היחס ‪ ‬מעל ‪.)A‬‬ ‫באופן הבא‪( U   a, b   A  A : a  b :‬היחס ‪ ‬מעל ‪.)A‬‬ ‫המלא מעל ‪.A‬‬ ‫‪ B  B   4, 4  ,  4,5 ,  5, 4  , 5,5 o‬הוא היחס המלא מעל ‪.B‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ IA  1,1 ,  2, 2  , 3,3‬הוא יחס הזהות מעל ‪.A‬‬ ‫‪ IB   4, 4  ,  5,5‬הוא יחס הזהות מעל ‪.B‬‬ ‫את עובדת היות ‪ a‬נמצא ביחס ‪( R‬נתון) עם ‪ ,b‬נסמן‪ a, b  R :‬או ‪ aRb‬או‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪.    R‬‬ ‫‪b‬‬ ‫דוגמא‪ :‬בהינתן‪ A  1,2,3 , B  4,5 :‬שתי קבוצות ו‪ R -‬יחס מ‪ A -‬ל‪:B -‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ , R  1, 4 , 1,5 ,  2,5‬הרי ש‪ .    R , 1R4 , 1, 4   R :‬כמו כן‪, 1,3  R :‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪112 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪.R ‬‬ ‫‪ .    R , 1R 3‬בנוסף‪ ,‬ניתן לרשום את ‪ R‬גם באופן המפורש הבא‪ :‬‬ ‫‪ 455 ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫יחס ניתן ליצוג בשני אופנים עיקריים‪:‬‬ ‫‪ ‬גרף מכוון – הזוג ‪ G   V, E ‬נקרא‪ :‬גרף מכוון‪ ,‬אם"ם ‪V  ‬‬ ‫היא קבוצה סופית ו‪ E -‬היא קבוצה של זוגות סדורים‪ ,‬אשר‬ ‫איבריהם נמצאים ב‪ ;V -‬מבחינה גיאומטרית‪ ,‬ייצוג יחס (בינארי)‬ ‫בין שתי קבוצות כגרף מכוון מכיל אוסף של קודקודים (איברי‬ ‫הקבוצות ביניהן מוגדר היחס) וקשתות (חיצים מכוונים המייצגים‬ ‫את הזוגות הסדורים השייכים ליחס)‪.‬‬ ‫‪ ‬מטריצת סמיכויות בינארית – מטריצה‪/‬טבלה מלבנית בה ערכו של‬ ‫כל איבר הוא ‪ 0‬או ‪ ;1‬הערך ‪ 1‬מייצג את שייכותו של הזוג הסדור‬ ‫(המתאים לאיבר בטבלה) ליחס‪ ,‬בעוד הערך ‪ 0‬מייצג את אי‪-‬שייכותו של‬ ‫הזוג הסדור (המתאים לאיבר בטבלה) ליחס; אם היחס הוא מעל קבוצה‬ ‫(‪ A‬כלשהי) אז המטריצה ריבועית‪.‬‬ ‫‪34‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫דוגמאות‪ :‬תהיינה ‪ A  1,2,3 , B  4,5‬שתי קבוצות‪.‬‬ ‫‪ o‬נייצג את היחס‪ R  1,4  ,  2,4  ,  3,5 :‬מ‪ A -‬ל‪ B -‬בשני האופנים הנ"ל‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ o‬גם את היחס‪ S  1,1 , 1,2  ,  2,1 ,  2,3 :‬מעל ‪ A‬נייצג בשני האופנים הנ"ל‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪35‬‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫‪‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫יהי ‪ R‬יחס מקבוצה ‪ A‬לקבוצה ‪.B‬‬ ‫נגדיר את תחום היחס ‪ R‬כקבוצת כל הרכיבים הראשונים בזוגות הסדורים‬ ‫ביחס (נסמנו‪ ,) Domain  R  :‬ואת טווח היחס ‪ R‬כקבוצת כל הרכיבים‬ ‫השניים בזוגות הסדורים ביחס (נסמנו‪.) Range  R  :‬‬ ‫בלשון תורת הקבוצות נגדיר זאת באופן הבא‪:‬‬ ‫‪Domain  R  : a  A :  b  B : aRb ‬‬ ‫‪Range  R  : b  B :  a  A : aRb ‬‬ ‫דוגמא‪ :‬תהיינה ‪ A  1, 2,3 , B  4,5,6‬שתי קבוצות‪ .‬נגדיר את היחס הבא‪:‬‬ ‫‪ R  1,4  ,  2,5‬מ‪ A -‬ל‪ .B -‬מתקיים‪. Domain  R   1,2 , Range  R   4,5 :‬‬ ‫הערה‪ :‬עבור יחס ‪ R‬כלשהו מעל קבוצה ‪ A‬נתונה מתקיים‪:‬‬ ‫‪. Range R   B , Domain R   A‬‬ ‫הגדרת יחס (בינארי) בין שתי קבוצות כתת‪-‬קבוצה של המכפלה הקרטזית‬ ‫שלהן מאפשרת להתייחס ליחסים (בינאריים) כאל קבוצות‪.‬‬ ‫באופן זה ניתן להגדיר בין שני יחסים יחסי זרות‪ ,‬שוויון‪ ,‬הכלה והכלה ממש‪ ,‬כמו‬ ‫גם את הפעולות היסודיות‪ :‬איחוד‪ ,‬חיתוך‪ ,‬הפרש‪ ,‬הפרש סימטרי ומשלים‪ ,‬בדיוק‬ ‫כפי שהוגדרו בין שתי קבוצות‪.‬‬ ‫היחס ההפוך‬ ‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ R‬יחס מקבוצה ‪ A‬לקבוצה ‪( B‬לרבות המקרה‪.) A  B :‬‬ ‫נגדיר את היחס ההפוך ל‪ ,R -‬שיסומן ‪ , R 1‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‪. R 1 :  b, a   B  A :  a, b  R   b, a  B A : aRb‬‬ ‫באופן שקול נגדיר‪( a  Ab  B :  a, b  R   b, a  R1 :‬או בסימול אחר‪:‬‬ ‫‪.) a  Ab  B: aRb  bR 1a‬‬ ‫דוגמאות‪ :‬תהי ‪. A  1,2,3‬‬ ‫‪1122 ‬‬ ‫‪ R  1,1 , 1, 2  ,  2,1 ,  2,3  ‬המוגדר מעל ‪A‬‬ ‫‪ o‬היחס ההפוך ליחס‪ :‬‬ ‫‪1213 ‬‬ ‫‪1213 ‬‬ ‫‪. R 1  1,1 ,  2,1 , 1, 2  ,  3, 2   ‬‬ ‫הוא‪ :‬‬ ‫‪1122 ‬‬ ‫‪ o‬היחס ההפוך ליחס הריק מעל ‪ A‬הוא היחס הריק עצמו‪. 1   :‬‬ ‫‪ o‬היחס ההפוך ליחס המלא מעל ‪ A‬הוא היחס המלא עצמו‪.  A  A   A  A :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪36‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫‪123 ‬‬ ‫‪. IA 1  I A  ‬‬ ‫‪ o‬היחס ההפוך ליחס הזהות מעל ‪ A‬הוא יחס הזהות עצמו‪ :‬‬ ‫‪123 ‬‬ ‫בהנתן יצוג של היחס ‪ R‬כגרף מכוון או כמטריצת סמיכויות בינארית‪ ,‬היצוג של‬ ‫היחס ההפוך‪ , R 1 ,‬מתקבל מהם ע"י היפוך הקשתות (החיצים המכוונים) בגרף‬ ‫המכוון של ‪ R‬וע"י החלפת שורות מטריצת הסמיכויות הבינארית של ‪R‬‬ ‫בעמודותיה‪.‬‬ ‫‪1122‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ S  ‬מעל ‪.A‬‬ ‫דוגמא‪ :‬נתבונן בשתי צורות היצוג של היחס‪ :‬‬ ‫‪1213 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1213 ‬‬ ‫‪ S1  ‬ושתי צורות היצוג שלו הן‪:‬‬ ‫היחס ההפוך ל‪ S -‬הוא‪ :‬‬ ‫‪1122 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪37‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫תכונות היחס ההפוך‪:‬‬ ‫נסקור עתה מספר תכונות של היחס ההפוך‪.‬‬ ‫נוכיח תכונות אלה באחת משיטות ההוכחה בה נקטנו (בפרק הקודם) כשהוכחנו‬ ‫טענות לגבי קבוצות‪ ,‬שכן הגדרת יחס (בינארי) בין שתי קבוצות כתת‪-‬קבוצה‬ ‫של המכפלה הקרטזית שלהן מאפשרת להתייחס ליחסים (בינאריים) כאל‬ ‫קבוצות‪.‬‬ ‫יהיו ‪ R‬ו‪ S -‬יחסים כלשהם מקבוצה ‪( A‬נתונה) לקבוצה ‪( B‬נתונה)‪.‬‬ ‫א‪ R .‬‬ ‫‪R ‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬צ"ל כי‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כלשהו‪ .‬נראה כי‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .   a, b   A  B :  a, b   R   a, b    R 1 ‬יהי‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ a, b   A  B‬‬ ‫‪ .  a, b   R   a, b    R 1 ‬אכן‪:‬‬ ‫‪a, b    R 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪definition‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪.  a, b   R R 1 definition  b, a   R 1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫□‬ ‫‪ ‬‬ ‫ב‪Domain R 1  Range  R   Range R 1  Domain  R  .‬‬ ‫(הוכחה ‪ -‬עפ"י הגדרות‪ :‬תחום‪ ,‬טווח והגדרת היחס ההפוך‪).‬‬ ‫ג‪R  S  R 1  S1 .‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח בנפרד כל כוון בתכונה‪.‬‬ ‫‪ : ‬נתון‪ R  S :‬וצ"ל כי‪ . R 1  S1 :‬כלומר‪ ,‬צ"ל ש‪:‬‬ ‫‪ .   a, b   A  B:  a, b   R 1   a, b   S1‬יהי ‪  a, b   A  B‬כלשהו‪ .‬נראה כי‪:‬‬ ‫‪ .  a, b   R 1   a, b   S1‬אכן‪:‬‬ ‫‪ R R S  b,a   S   a, b   S1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ a, b   R 1   b,a    R 1 ‬‬ ‫‪ : ‬נתון‪ R 1  S1 :‬וצ"ל כי‪ . R  S :‬כלומר‪ ,‬צ"ל ש‪:‬‬ ‫‪ .   a, b   A  B:  a, b   R   a, b   S‬יהי ‪  a, b   A  B‬כלשהו‪ .‬נראה כי‪:‬‬ ‫‪ .  a, b   R   a, b   S‬אכן‪:‬‬ ‫‪.  a, b   R   b,a   R 1 R 1 S1  b,a   S1   a, b   S1   S‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪38‬‬ ‫□‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫ד‪.‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫‪R  S1  R 1  S1‬‬ ‫את תכונה זו נוכיח תוך שימוש בסימון‪ aRb :‬במקום בסימון‪ ,  a, b   R :‬בו‬ ‫השתמשנו בהוכחות התכונות עד כה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬צ"ל כי‪ . a  Ab  B : a  R  S b  a R 1  S1 b :‬יהיו ‪a  A , b  B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫כלשהם‪ .‬נראה כי‪ . a  R  S b  a R 1  S1 b :‬אכן‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a  R  S b  R S 1 definition b  R  S a  definition bRa  bSa  R 1 , S1 definitions aR 1b  aS1b ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ definition a R  S1 b‬‬ ‫□‬ ‫‪R  S1  R 1  S1‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫(הוכחה – תרגיל)‬ ‫כפל יחסים‬ ‫מעבר לפעולות היסודיות בין קבוצות (איחוד‪ ,‬חיתוך‪ ,‬הפרש‪ ,‬הפרש‬ ‫סימטרי ומשלים) המוגדרות בין שני יחסים‪ ,‬ניתן להגדיר ביניהם גם‬ ‫פעולת כפל‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ R‬יחס מקבוצה ‪ A‬לקבוצה ‪ B‬ויהי ‪ S‬יחס מקבוצה ‪ B‬לקבוצה‬ ‫‪ .C‬נגדיר‪. R  S  RS:  a, c  A  C :  b  B :  a, b  R   b, c  S :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫באופן שקול נגדיר‪a  Ac  C: aRSc  b  B: aRb  bSc :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫(או בסימול אחר‪.) a  Ac  C :    RS  b  B :    R     S :‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c ‬‬ ‫‪39‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫ תשע"ג‬1 ‫מתמטיקה בדידה‬ :‫דוגמאות‬ . C  x, y,z, w , B  a, b, c, d , A  1,2,3 :‫ תהיינה‬o 1123   aac d  .R   , S  :‫ כך ש‬,C -‫ ל‬B -‫ יחס מ‬S -‫ ו‬B -‫ ל‬A -‫ יחס מ‬R ‫יהיו‬  acdb   xyxw  1  a  1         a  x   x  1  a  1        112   a  y   y   :‫ כי‬, RS   1  c  1   xyw         c  x   x   2  d   2         d  w   w  . C  p,q, r, s, t , B  1,2,3,4,5,6,7 , A  a, b, c, d, e :‫ תהיינה‬o  aa bbd  1223345  .R   , S  :C -‫ ל‬B -‫ יחס מ‬S -‫ ו‬B -‫ ל‬A -‫ יחס מ‬R ‫יהיו‬  23172   ppt q tpp   a aabdd  RS     SR    pqt pp t  .‫ פעולת כפל יחסים אינה פעולה חילופית‬:‫מסקנה‬ . C  p,q, r, s, t , B  1,2,3,4,5,6,7 , A  a, b, c, d, e :‫ תהיינה‬o . R  A  B , S  B  C :C -‫ ל‬B -‫ יחס מ‬S -‫ ו‬B -‫ ל‬A -‫ יחס מ‬R ‫יהיו‬ RS  A  C  SR   . C  p,q, r, s, t , B  1,2,3,4,5,6,7 , A  a, b, c, d, e :‫ תהיינה‬o  ab   37  . R    , S    :C -‫ ל‬B -‫ יחס מ‬S -‫ ו‬B -‫ ל‬A -‫ יחס מ‬R ‫יהיו‬  21   pq  RS    SR  1233  23aa  .R   , S   :A ‫ יחסים מעל‬S -‫ ו‬R ‫ ויהיו‬A  1,2,3, a ‫ תהי‬o  2a1a   a21a  12233   3a    SR    RS    a1a1a   a2 40 ‫רפאל ברכאן‬ ‫ תשע"ג‬1 ‫מתמטיקה בדידה‬ ‫ באופן‬R ‫ נגדיר חזקה (טבעית) של היחס‬.‫ נתונה‬A ‫ יחס מעל קבוצה‬R ‫ יהי‬ , n 1 R . n  : R n :  n 1 :‫הבא‬ R  R , n  1  1234    :A ‫ יחס מעל‬R ‫ ויהי‬A  1,2,3,4 ‫ תהי‬:‫דוגמא‬ . R    4223  :‫נשים לב כי‬ 1234  1234  1234  1234  1234  1234  2 , R3  R 2  R      ,R  R R       3222   4223   2222   4223   4223   3222  1234  1234  1234  3 . R 4  R3  R     R  2222   4223   2222  3 2 .R -‫ ו‬R ,R :‫ הן‬R ‫ניתן להוכיח כי החזקות השונות של‬ :‫תכונות כפל יחסים‬ .‫ נתונה‬A ‫ יחסים מעל קבוצה‬W ,T ,S ,R ‫יהיו‬ R  R   .‫א‬ RS1  S1R 1 .‫ב‬ ).‫ (כפל יחסים אינו חילופי – הוכחה בעמוד הקודם‬RS  SR .‫ג‬ RST  RST  .‫ד‬ ).‫(כפל יחסים הוא קיבוצי‬ ‫ נראה‬.‫ כלשהם‬a,d  A ‫ יהיו‬. a,d  A : a  RS Td  aR ST  d :‫ צ"ל כי‬:‫הוכחה‬ :‫ אכן‬. a  RS Td  aR ST  d :‫כי‬ a  RS Td  c  A : a  RS c  cTd  c  A :  b  A : aRb  bSc   cTd  □  c, b  A :  aRb  bSc   cTd  c, b  A : aRb   bSc  cTd    b  A : aRb   c  A : bSc  cTd   b  A : aRb  b ST  d  aR ST  d RI A  I A R  R .‫ה‬ R S  T  RS  RT .‫ו‬ RS  T  RS  RT .‫ז‬ R  S  RT  ST  TR  TS .‫ח‬ 41 ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫ט‪R  S  T  W  RT  SW .‬‬ ‫הוכחה‪ :‬צ"ל כי‪ . a,c  A : aRTc  aSWc :‬יהיו ‪ a,c  A‬כלשהם‪ .‬נראה כי‪:‬‬ ‫‪ . aRTc  aSWc‬אכן‪:‬‬ ‫‪aRTc  b  A : aRb  bTc R STW b  A : aSb  bWc  aSWc‬‬ ‫□‬ ‫סווג יחסים‬ ‫יהי ‪ R‬יחס מעל קבוצה ‪ A‬נתונה‪.‬‬ ‫‪ .1‬יחס רפלקסיבי‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫הגדרות (שקולות)‪:‬‬ ‫□ ‪ R‬יחס רפלקסיבי אם"ם‪. a  A : aRa :‬‬ ‫□ ‪ R‬יחס רפלקסיבי אם"ם‪. I A  R :‬‬ ‫‪ ‬משמעות היצוג‪ :‬בגרף מכוון המייצג יחס רפלקסיבי תהיה לולאה בכל‬ ‫קודקוד; במטריצת סמיכויות בינארית של יחס רפלקסיבי האלכסון‬ ‫הראשי כולו ‪1‬ים‪.‬‬ ‫‪ ‬תכונות יסודיות‪:‬‬ ‫‪R  R2 ‬‬ ‫‪n  : R  R n ‬‬ ‫דוגמאות‪ :‬תהי ‪. A  1, 2,3‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬הם רפלקסיביים‪:‬‬ ‫‪1231 ‬‬ ‫‪123121322 ‬‬ ‫‪123 ‬‬ ‫‪.R ‬‬ ‫‪ , AA  ‬‬ ‫‪ , IA  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1232 ‬‬ ‫‪123213133 ‬‬ ‫‪123 ‬‬ ‫היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬אינם רפלקסיביים‪:‬‬ ‫‪13 ‬‬ ‫‪122 ‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪.S    , T  ‬‬ ‫‪ , W  , ‬‬ ‫‪ 21‬‬ ‫‪123 ‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪ .2‬יחס אנטי‪-‬רפלקסיבי‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫הגדרות (שקולות)‪:‬‬ ‫‪. a  A : aRa‬‬ ‫□ ‪ R‬יחס אנטי‪-‬רפלקסיבי אם"ם‪ :‬‬ ‫□ ‪ R‬יחס אנטי‪-‬רפלקסיבי אם"ם‪. R  I A   :‬‬ ‫‪ ‬משמעות היצוג‪ :‬גרף מכוון המייצג יחס אנטי‪-‬רפלקסיבי הוא נטול‬ ‫לולאות; במטריצת סמיכויות בינארית של יחס אנטי‪-‬רפלקסיבי האלכסון‬ ‫הראשי כולו ‪0‬ים‪.‬‬ ‫‪42‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫דוגמאות‪ :‬תהי ‪. A  1, 2,3‬‬ ‫‪ o‬היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬הם אנטי‪-‬רפלקסיביים‪:‬‬ ‫‪132 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪.R  ‬‬ ‫‪ , S  , ‬‬ ‫‪ 223 ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ o‬היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬אינם אנטי‪-‬רפלקסיביים‪:‬‬ ‫‪1232 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪.T  ‬‬ ‫‪ , W ‬‬ ‫‪1231 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫הערה‪ :‬יחס יכול להיות לא רפלקסיבי ולא אנטי‪-‬רפלקסיבי (‪ W‬בדוגמא‬ ‫האחרונה)‪.‬‬ ‫‪ .3‬יחס סמטרי‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫הגדרות (שקולות)‪:‬‬ ‫□ ‪ R‬יחס סמטרי אם"ם‪. a, b  A : aRb  bRa :‬‬ ‫□ ‪ R‬יחס סמטרי אם"ם‪. R  R 1 :‬‬ ‫‪ ‬משמעות היצוג‪ :‬גרף מכוון של יחס סמטרי הוא נטול קשתות חד‪-‬כווניות‬ ‫(חיצים חד‪-‬כווניים); מטריצת סמיכויות בינארית של יחס סמטרי סמטרית‬ ‫ביחס לאלכסון הראשי שלה‪.‬‬ ‫‪ ‬תכונות יסודיות‪:‬‬ ‫‪ R ‬סמטרי אם"ם ‪ R‬סמטרי‪.‬‬ ‫‪ ‬בהנתן ש‪ R -‬ו‪ S -‬סמטריים (מעל ‪ RS ,)A‬סמטרי אם"ם‪.RS=SR :‬‬ ‫‪ ‬לכל יחס ‪ R  R 1 , R  R 1 :R‬הם יחסים סמטריים‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫דוגמאות‪ :‬תהי ‪. A  1, 2,3‬‬ ‫‪ o‬היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬הם סמטריים‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪123 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪.R   , S‬‬ ‫‪ , T    , A  A ,  , IA‬‬ ‫‪ 21‬‬ ‫‪ 213 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ o‬היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬אינם סמטריים‪:‬‬ ‫‪11 ‬‬ ‫‪11 ‬‬ ‫‪1232 ‬‬ ‫‪.W   , X   , Y ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 23 ‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪1233 ‬‬ ‫הערה‪ :‬אין תלות בין התכונות רפלקסיביות‪/‬אנטי‪-‬רפלקסיביות וסמטריות‪.‬‬ ‫‪43‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫‪ .4‬יחס אנטי‪-‬סמטרי (חלש)‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫הגדרות (שקולות)‪:‬‬ ‫□ ‪ R‬יחס אנטי‪-‬סמטרי (חלש) אם"ם‪. a, b  A : aRb  bRa  a  b :‬‬ ‫□ ‪ R‬יחס אנטי‪-‬סמטרי (חלש) אם"ם‪. R  R 1  I A :‬‬ ‫‪ ‬משמעות היצוג‪ :‬גרף מכוון של יחס אנטי‪-‬סמטרי הוא נטול חיצים דו‪-‬‬ ‫כווניים (יתכן ויכיל לולאות)‪.‬‬ ‫דוגמאות‪ :‬תהי ‪. A  1, 2,3‬‬ ‫‪ o‬היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬הם אנטי‪-‬סמטריים‪:‬‬ ‫‪11 ‬‬ ‫‪13 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪. R    , S    , T    ,  , IA‬‬ ‫‪ 23 ‬‬ ‫‪ 23 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ o‬היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬אינם אנטי‪-‬סמטריים‪:‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪123 ‬‬ ‫‪123 ‬‬ ‫‪.W   , X ‬‬ ‫‪ , Y‬‬ ‫‪ , AA‬‬ ‫‪ 21‬‬ ‫‪132 ‬‬ ‫‪ 232 ‬‬ ‫הערה‪ :‬אין תלות בין התכונות‪ :‬רפלקסיביות‪/‬אנטי‪-‬רפלקסיביות‪ ,‬סמטריות‬ ‫ואנטי‪-‬סמטריות‪.‬‬ ‫‪ .5‬יחס טרנזיטיבי‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫הגדרות (שקולות)‪:‬‬ ‫□ ‪ R‬יחס טרנזיטיבי אם"ם‪. a, b,c  A : aRb  bRc  aRc :‬‬ ‫□ ‪ R‬יחס טרנזיטיבי אם"ם‪. R 2  R :‬‬ ‫‪ ‬תכונות יסודיות‪:‬‬ ‫‪n  : R n1  R n ‬‬ ‫דוגמאות‪ :‬תהי ‪. A  1, 2,3‬‬ ‫‪ o‬היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬הם טרנזיטיביים‪:‬‬ ‫‪121‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪11 ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪.R ‬‬ ‫‪ , S    , T    , W    ,  , A  A , IA‬‬ ‫‪ 233 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 23 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ o‬היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬אינם טרנזיטיביים‪:‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪123 ‬‬ ‫‪12323 ‬‬ ‫‪.X   , Y ‬‬ ‫‪ , Z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 21‬‬ ‫‪ 213 ‬‬ ‫‪12331 ‬‬ ‫הערה‪ :‬אין תלות בין התכונות‪ :‬רפלקסיביות‪/‬אנטי‪-‬רפלקסיביות‪ ,‬סמטריות‪,‬‬ ‫אנטי‪-‬סמטריות וטרנזיטיביות‪.‬‬ ‫‪44‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫דוגמאות נוספות‪ :‬תהי ‪ A  ‬קבוצה כלשהי ויהי ‪ R‬יחס מעליה‪.‬‬ ‫‪( R   o‬היחס הריק מעל ‪ )A‬הוא יחס אנטי‪-‬רפלקסיבי‪ ,‬סמטרי‪ ,‬אנטי‪-‬סמטרי‬ ‫וטרנזיטיבי‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪( R  A  A‬היחס המלא מעל ‪ )A‬הוא יחס רפלקסיבי‪ ,‬סמטרי וטרנזיטיבי‪.‬‬ ‫‪( R  I A o‬יחס הזהות מעל ‪ )A‬הוא יחס רפלקסיבי‪ ,‬סמטרי‪ ,‬אנטי‪-‬סמטרי‬ ‫וטרנזיטיבי‪.‬‬ ‫‪ o‬תהי‬ ‫‪ , A ‬נגדיר‪: a  b :‬‬ ‫‪( R :  a, b   ‬או באופן שקול‪:‬‬ ‫‪ R .) a, b  A : aRb  a  b‬הוא יחס רפלקסיבי‪ ,‬אנטי‪-‬סמטרי וטרנזיטיבי‬ ‫מעל ‪.A‬‬ ‫‪ o‬תהי‬ ‫‪ , A ‬נגדיר‪: a  b :‬‬ ‫‪( R :  a, b   ‬או באופן שקול‪:‬‬ ‫‪ R .) a, b  A : aRb  a  b‬הוא יחס אנטי‪-‬רפלקסיבי‪ ,‬אנטי‪-‬סמטרי‬ ‫וטרנזיטיבי מעל ‪.A‬‬ ‫‪ o‬נגדיר יחס ‪ R‬מעל ‪ P  A ‬באופן הבא‪R : X, Y : X, Y  P(A)  X  Y :‬‬ ‫(או באופן שקול‪ R .) X, Y  P(A) : XRY  X  Y :‬הוא יחס רפלקסיבי‪,‬‬ ‫אנטי‪-‬סמטרי וטרנזיטיבי מעל ‪. P  A ‬‬ ‫‪ o‬נגדיר יחס ‪ R‬מעל ‪ P  A ‬באופן הבא‪R : X, Y : X, Y  P(A)  X  Y :‬‬ ‫(או באופן שקול‪ R .) X, Y  P(A) : XRY  X  Y :‬הוא יחס אנטי‪-‬‬ ‫רפלקסיבי‪ ,‬אנטי‪-‬סמטרי וטרנזיטיבי מעל ‪. P  A ‬‬ ‫‪ o‬תהי ‪ ‬קבוצת כל האותיות האנגליות הקטנות ( ‪ .)   a, b,c,..., z‬נסמן ב‪-‬‬ ‫‪  ‬את קבוצת כל המילים‪/‬המחרוזות הסופיות הלא ריקות המורכבות מאיברי‬ ‫‪( ‬למשל‪ .) abc  , zw  , c  :‬תהי ‪ ‬מחרוזת‪/‬מילה כלשהי ב‪  -‬‬ ‫( ‪ .)  ‬נסמן ב‪  -‬את אורך המחרוזת‪/‬המילה ‪( ‬היינו‪ ,‬מספר האותיות‬ ‫בה)‪ .‬נגדיר יחס ‪ R‬מעל ‪  ‬באופן הבא‪. ,  : R     :‬‬ ‫(במילים‪ :‬שתי מחרוזות‪/‬מילים מ‪   -‬נמצאות ביחס ‪ R‬זו עם זו אם"ם אורכיהן‬ ‫שווים‪).‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R‬הוא יחס רפלקסיבי‪ ,‬סמטרי וטרנזיטיבי מעל ‪. ‬‬ ‫‪45‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ , A  ‬לא יתכן כי קיים יחס ‪ R‬מעל ‪ A‬שהוא גם רפלקסיבי וגם‬ ‫אנטי‪-‬רפלקסיבי‪( .‬במילים אחרות‪ ,‬אם ‪ R‬יחס מעל ‪ A‬שהוא גם רפלקסיבי וגם‬ ‫אנטי‪-‬רפלקסיבי‪ ,‬אז בהכרח ‪). A  ‬‬ ‫הוכחה‪ :‬עפ"י ההגדרות ‪ -‬לא יתכן שאם ‪ , A  ‬אז מתקיים‪:‬‬ ‫‪a  A :  a, a   R R reflexive  a  A :  a, a  R R anti reflexive x:P xx:Q x x:P x  Q x‬‬ ‫□‬ ‫‪ a  A :  a, a   R   a, a   R   a  A : F  A  F‬‬ ‫טענה‪ :‬יהי ‪ R‬יחס כלשהו מעל ‪ R .A‬סמטרי ואנטי‪-‬סמטרי אם"ם‪. R  I A :‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ : ‬נתון כי ‪ R‬סמטרי ואנטי‪-‬סמטרי וצ"ל כי‪ . R  I A :‬כלומר‪ ,‬צ"ל כי‪:‬‬ ‫‪ . a, b  A : aRb  aIA b‬יהיו ‪ a, b  A‬כלשהם‪ .‬אכן‪:‬‬ ‫‪. aRb R symmetric bRa aRb‬‬ ‫‪ a  b  aIA b‬‬ ‫‪R anti symmetric‬‬ ‫‪ : ‬נתון כי‪ R  I A :‬וצ"ל כי ‪ R‬יחס סמטרי ואנטי‪-‬סמטרי‪ .‬עפ"י תכונות היחס‬ ‫ההפוך ( ‪ ) S  T  S1  T1‬מתקיים‪. R  IA  R 1  IA 1  IA :‬‬ ‫מחד נקבל‪ , R  IA  R 1  IA IA properties R  R 1 :‬ולכן ‪ R‬יחס סמטרי‪.‬‬ ‫מאידך נקבל‪ , R  IA  R 1  IA  R  R 1  IA :‬ולכן ‪ R‬יחס אנטי‪-‬סמטרי‪.‬‬ ‫□‬ ‫סגור של יחס ביחס לתכונה מסוימת שלו‬ ‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ R‬יחס מעל קבוצה ‪ A‬כלשהי‪ .‬יחס ‪( S‬מעל ‪ )A‬הוא הסְ גֹור של ‪R‬‬ ‫ביחס לתכונה מסוימת (כגון‪ :‬רפלקסיביות‪ ,‬סמטריות וכדומה) אם"ם מתקיימים‬ ‫התנאים הבאים‪:‬‬ ‫א‪R  S .‬‬ ‫ב‪ S .‬מקיים את התכונה הנ"ל (רפלקסיביות‪ ,‬סמטריות וכדומה);‬ ‫ג‪ S .‬מוכל בכל יחס אחר המכיל את ‪ R‬והמקיים את התכונה הנ"ל‪.‬‬ ‫‪11 ‬‬ ‫דוגמאות‪ :‬תהי ‪ A  1,2,3‬ויהי ‪ R   ‬יחס מעל ‪.A‬‬ ‫‪ 23 ‬‬ ‫‪11123 ‬‬ ‫‪ , S1  ‬שכן הוא מקיים‬ ‫‪ o‬הסגור הרפלקסיבי של ‪ R‬מעל ‪ A‬הוא היחס‪ :‬‬ ‫‪ 23123 ‬‬ ‫את התנאים א'‪-‬ג' דלעיל‪.‬‬ ‫‪1123 ‬‬ ‫‪ , S2  ‬שכן הוא מקיים את‬ ‫‪ o‬הסגור הסמטרי של ‪ R‬מעל ‪ A‬הוא היחס‪ :‬‬ ‫‪ 2311‬‬ ‫התנאים א'‪-‬ג' דלעיל‪.‬‬ ‫‪46‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫הערה‪ :‬אם ‪ R‬הוא יחס מעל קבוצה ‪ A‬כלשהי‪ ,‬המקיים תכונה מסוימת‪ ,‬אז הוא‬ ‫הסגור של עצמו עבור אותה תכונה‪.‬‬ ‫‪123 ‬‬ ‫‪ R  ‬יחס מעליה‪ ,‬הרי שהסגור הרפלקסיבי‬ ‫למשל‪ ,‬בהינתן ‪ A  1,2,3‬ו‪ -‬‬ ‫‪123 ‬‬ ‫של ‪ R‬הוא ‪ R‬עצמו‪.‬‬ ‫יחסי שקילות‬ ‫הגדרות ודוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫יהי ‪ R‬יחס מעל קבוצה ‪ R . A  ‬הוא יחס שקילות מעל ‪ A‬אם"ם ‪ R‬הוא‬ ‫רפלקסיבי‪ ,‬סמטרי וטרנזיטיבי‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪ o‬תהי ‪ . A  1, 2,3‬היחסים הבאים הם יחסי שקילות מעל ‪:A‬‬ ‫‪123 ‬‬ ‫‪12312 ‬‬ ‫‪12313 ‬‬ ‫‪ 12323 ‬‬ ‫‪.R ‬‬ ‫‪ , S‬‬ ‫‪ , T‬‬ ‫‪ , U‬‬ ‫‪ , V  AA‬‬ ‫‪123 ‬‬ ‫‪12321 ‬‬ ‫‪12331 ‬‬ ‫‪ 12332 ‬‬ ‫‪ o‬עבור קבוצה ‪ A  ‬כלשהי‪ ,‬היחס המלא ויחס הזהות ( ‪ ) IA , A  A‬הם יחסי‬ ‫שקילות מעל ‪.A‬‬ ‫□ יחס המודולו‪ n-‬מעל ‪:‬‬ ‫באופן הבא‪ :‬לכל ‪ a , a, b ‬נמצא‬ ‫יהי ‪ n ‬כלשהו‪ .‬נגדיר יחס ‪ R‬מעל‬ ‫ביחס ‪ R‬עם ‪ b‬אם"ם ל‪ a -‬ול‪ b -‬יש את אותה שארית חלוקה ב‪ .n -‬נהוג לסמן‬ ‫ולהגדיר זאת באופן הבא‪ a, b  : aRb  a  mod n   b :‬או באופן הבא‪:‬‬ ‫‪. a, b  : aRb  a n b‬‬ ‫נראה כי ‪ R‬הוא אכן יחס שקילות מעל ‪.‬‬ ‫רפלקסיביות מתקיימת‪ ,‬שכן לכל ‪ : a ‬ל‪ a -‬יש את אותה שארית חלוקה‬ ‫ב‪ n -‬כמו לעצמו ( ‪.) aRa‬‬ ‫סמטריות מתקיימת‪ ,‬שכן לכל ‪ : a, b ‬אם ל‪ a -‬יש את אותה שארית חלוקה‬ ‫ב‪ n -‬כמו של‪ ,b -‬אז ל‪ b -‬יש את אותה שארית חלוקה ב‪ n -‬כמו של‪a -‬‬ ‫( ‪.) aRb  bRa‬‬ ‫טרנזיטיביות מתקיימת‪ ,‬שכן לכל ‪ : a, b,c ‬אם ל‪ a -‬יש את אותה שארית‬ ‫חלוקה ב‪ n -‬כמו של‪ b -‬ול‪ b -‬יש את אותה שארית חלוקה כמו של‪ ,c -‬אז ל‪-‬‬ ‫‪ a‬יש את אותה שארית חלוקה ב‪ n -‬כמו של‪.) aRb  bRc  aRc ( c -‬‬ ‫‪47‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫‪2R4  2  mod 2   4  2 2 4‬‬ ‫‪3R5  3  mod 2   5  3  2 5‬‬ ‫עבור ‪ n  2‬מתקיים‪ ,‬למשל‪:‬‬ ‫‪21R124  21  mod 2   124  21  2 124‬‬ ‫(שאריות החלוקה ב‪ 2 -‬הן ‪ 0‬ו‪ 1 -‬בלבד‪).‬‬ ‫‪3R6  3  mod 3  6  3 3 6‬‬ ‫עבור ‪ n  3‬מתקיים‪ ,‬למשל‪4R7  4  mod 3  7  4 3 7 :‬‬ ‫‪5R8  5  mod 3  8  5 3 8‬‬ ‫(שאריות החלוקה ב‪ 3 -‬הן ‪ 1 ,0‬ו‪ 2 -‬בלבד‪).‬‬ ‫‪‬‬ ‫תהי ‪ . A  ‬חלוקה של ‪ A‬היא קבוצת תת‪-‬קבוצות לא ריקות של ‪ A‬הזרות זו‬ ‫לזו בזוגות (משמע‪ ,‬כל שתי תת‪-‬קבוצות זרות זו לזו)‪ ,‬ואשר איחודן הוא ‪.A‬‬ ‫דוגמא‪ :‬חלוקות של הקבוצה ‪ A  1,2,3‬הן‪:‬‬ ‫‪1,2,3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1, 2,3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1,3,2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2,3,1 ‬‬ ‫‪1, 2,3 ‬‬ ‫הערה‪ :‬לכל קבוצה ‪ A  ‬קיימות שתי חלוקות טריוויאליות‪. a : a  A , A :‬‬ ‫יהי ‪ R‬יחס שקילות מעל ‪. A  ‬‬ ‫□‬ ‫מחלקת השקילות של ‪ a  A‬ביחס ‪ R‬מוגדרת כקבוצת כל איברי ‪A‬‬ ‫הנמצאים ביחס ‪ R‬עם ‪ ,a‬ומסומנת באופן הבא‪. a R : b  A : aRb :‬‬ ‫□‬ ‫קבוצת המנה של היחס ‪ R‬מוגדרת כקבוצת כל מחלקות השקילות של‬ ‫היחס ‪ R‬מעל ‪ ,A‬ומסומנת באופן הבא‪. A : a R : a  A :‬‬ ‫‪R‬‬ ‫□‬ ‫‪ A‬היא קבוצה סופית‪ ,‬מגדירים את האינדקס של יחס השקילות ‪R‬‬ ‫אם‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ . A‬אחרת‪ ,‬אומרים כי האינדקס של יחס השקילות ‪ R‬הוא אינסופי‪.‬‬ ‫כ‪-‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪48‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ 12312 ‬‬ ‫‪ R  ‬הוא‪ ,‬כאמור לעיל‪ ,‬יחס שקילות מעל ‪. A  1,2,3‬‬ ‫היחס ‪‬‬ ‫‪ 12321 ‬‬ ‫נחשב ונמצא את כל מחלקות השקילות של יחס זה‪ ,‬את קבוצת המנה ואת‬ ‫‪‬‬ ‫‪1R  1, 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2R  1, 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫האינדקס שלו‪:‬‬ ‫‪3R  3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A R  1R ,  2R , 3R  1R , 3R  1, 2 , 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A 2‬‬ ‫‪ R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫חלוקה של ‪" A‬המתאימה" ליחס זה‪. 1R , 3R  1, 2 , 3 :‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪123 ‬‬ ‫‪ R  IA  ‬הוא‪ ,‬כאמור לעיל‪ ,‬יחס שקילות מעל ‪. A  1,2,3‬‬ ‫היחס ‪‬‬ ‫‪123 ‬‬ ‫נחשב ונמצא את כל מחלקות השקילות של יחס זה‪ ,‬את קבוצת המנה ואת‬ ‫‪‬‬ ‫‪1R  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2R  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫האינדקס שלו‪:‬‬ ‫‪3R  3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A R  1R ,  2R , 3R  1 , 2 , 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A 3‬‬ ‫‪ R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫חלוקה של ‪" A‬המתאימה" ליחס זה‪. 1R ,  2R , 3R  1 , 2 , 3 :‬‬ ‫הוא יחס‬ ‫‪ o‬יהי ‪ n ‬כלשהו‪ .‬כאמור לעיל‪ ,‬היחס מודולו ‪ )  n ( n‬מעל‬ ‫שקילות (מעל )‪ .‬עבור המקרה‪ , n  3 :‬נחשב ונמצא את כל מחלקות‬ ‫השקילות של יחס זה‪ ,‬את קבוצת המנה ואת האינדקס שלו‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 03  ..., 9, 6, 3, 0,3, 6,9,...  3k : k  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪13  ..., 8, 5, 2,1, 4, 7,...  3k  1: k  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 23  ..., 7, 4, 1, 2,5,8,...  3k  2 : k  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  0 , 1 ,  2  3k : k   , 3k  1: k   , 3k  2 : k  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R  3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪‬‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫חלוקה של‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫"המתאימה" ליחס זה‪:‬‬ ‫‪,3k  1: k   ,3k  2 : k   ‬‬ ‫שימו לב!‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 , 1 ,  2  3k : k ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪.‬‬ ‫שימו לב! בהינתן יחס שקילות ‪ R‬מעל קבוצה ‪ , A  ‬הרי שקבוצת המנה‬ ‫היא‪ ,‬למעשה‪ ,‬החלוקה של ‪ ,A‬המושרית ע"י היחס ‪.R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪A‬‬ ‫משפט ‪ :1‬תהי ‪ . A  ‬חלוקה של ‪ A‬משרה יחס שקילות ‪ R‬מעל ‪.A‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ P‬חלוקה נתונה של ‪( A‬לתת‪-‬קבוצות לא ריקות‪ ,‬זרות בזוגות‪ ,‬אשר‬ ‫איחודן הוא ‪ ).A‬נגדיר את ‪ R‬באופן הבא‪ :‬לכל ‪ a , a, b  A‬ו‪ b -‬נמצאים ביחס ‪,R‬‬ ‫אם"ם הם נמצאים באותה תת‪-‬קבוצה בחלוקה (‪ )P‬של ‪ .A‬נוכיח כי ‪ R‬יחס‬ ‫שקילות מעל ‪ R .A‬רפלקסיבי‪ ,‬שכן כל איבר ב‪ A -‬נמצא עם עצמו באותה תת‪-‬‬ ‫קבוצה בחלוקה של ‪ R .A‬סמטרי‪ ,‬שכן לכל ‪ : a, b  A‬אם ‪ a‬נמצא עם ‪ b‬באותה‬ ‫תת‪-‬קבוצה בחלוקה של ‪ ,A‬אז גם ‪ b‬נמצא עם ‪ a‬באותה תת‪-‬קבוצה בחלוקה של‬ ‫‪ R .A‬טרנזיטיבי‪ ,‬שכן לכל ‪ : a, b,c  A‬אם ‪ a‬נמצא עם ‪ b‬באותה תת‪-‬קבוצה‬ ‫בחלוקה של ‪ ,A‬ואם ‪ b‬נמצא עם ‪ c‬באותה תת‪-‬קבוצה בחלוקה של ‪ ,A‬אז גם ‪a‬‬ ‫נמצא עם ‪ c‬באותה תת‪-‬קבוצה בחלוקה של ‪ .A‬מכאן‪ R ,‬יחס שקילות מעל ‪ .A‬‬ ‫משפט ‪( 2‬המשפט ההפוך)‪ :‬תהי ‪ A  ‬ויהי ‪ R‬יחס שקילות מעל ‪.A‬‬ ‫‪ R‬משרה חלוקה של ‪.A‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נראה כי מחלקות השקילות של ‪ R‬הן תת‪-‬קבוצות היוצרות חלוקה של‬ ‫‪ .A‬במילים אחרות‪ ,‬קבוצת המנה ‪ A‬היא החלוקה של ‪ ,A‬המושרית ע"י יחס‬ ‫‪R‬‬ ‫השקילות ‪ .R‬לשם כך יש להוכיח כי מחלקות השקילות של ‪ R‬אינן ריקות‪ ,‬זרות‬ ‫בזוגות ואיחודן הוא ‪ .A‬אכן‪:‬‬ ‫א‪ .‬ל‪ R -‬אין מחלקות שקילות ריקות לאור תכונת הרפלקסיביות שלו‪ ,‬שכן‪:‬‬ ‫‪. a  A : aRa  a  A : a  a R  a  A : a R  ‬‬ ‫ב‪ .‬איחוד כל מחלקות השקילות של ‪ R‬הוא ‪( A‬מכסה את ‪ ,)A‬לאור תכונת‬ ‫הרפלקסיביות של ‪ ,R‬שכן‪. a  A : aRa  a  A : a  a R  a R  A :‬‬ ‫‪aA‬‬ ‫ג‪ .‬מחלקות השקילות של ‪ R‬זרות זו לזו בזוגות או מתלכדות זו עם זו‪.‬‬ ‫נוכיח זאת ע"י כך שנראה שאם שתי מחלקות שקילות כלשהן של ‪R‬‬ ‫אינן זרות‪ ,‬הרי שהן מתלכדות‪ .‬תהיינה‪ ,‬אפוא‪ a R ,  bR ,‬שתי‬ ‫מחלקות שקילות כלשהן של ‪ .R‬נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪   c  A : c  a R   bR  c  aR  c  bR  cRa  cRb ‬‬ ‫‪a R   bR‬‬ ‫‪R is symmetric aRc  cRb  R is transitive aRb  R is symmetric bRa  *‬‬ ‫נראה עתה כי מתחייב ש‪ , a R  bR :‬באמצעות הכלה דו‪-‬כוונית‪ .‬כלומר‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫נראה כי‪. x  A : x  a R  x   bR  x  bR  x  a R :‬‬ ‫‪50‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫יהי ‪ x  A‬כלשהו‪ .‬אכן‪:‬‬ ‫‪bRx symmetry xRb  x  b R‬‬ ‫‪x  a R  xRa symmetry aRx * bRa , aRx‬‬ ‫‪bRa aRx transitivity bRx‬‬ ‫יהי ‪ x  A‬כלשהו‪ .‬אכן‪xRa  x  a R :‬‬ ‫‪x   bR  xRb * bRa , xRb‬‬ ‫‪xRb  bRa transitivity xRa‬‬ ‫מכאן שמחלקות השקילות של ‪ R‬הן אכן תת‪-‬קבוצות היוצרות חלוקה של ‪.A‬‬ ‫במילים אחרות‪ ,‬קבוצת המנה ‪ A‬היא החלוקה של ‪ ,A‬המושרית ע"י יחס‬ ‫‪R‬‬ ‫השקילות ‪.R‬‬ ‫‪‬‬ ‫יחסי סדר‬ ‫הגדרות ודוגמאות‪:‬‬ ‫יהי ‪ R‬יחס מעל קבוצה ‪. A  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R‬הוא יחס סדר חלקי (יס"ח) מעל ‪ A‬אם"ם ‪ R‬רפלקסיבי‪ ,‬אנטי‪-‬סמטרי‬ ‫וטרנזיטיבי‪ .‬הזוג הסדור ‪  A, R ‬נקרא‪ :‬קבוצה סדורה חלקית (קס"ח)‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫הוא רפלקסיבי (שכן‪ ,) z  : z  z :‬אנטי‪-‬סמטרי (שכן‪:‬‬ ‫‪ o‬היחס ‪ ‬מעל‬ ‫‪ ) z, w  : z  w  w  z  z  w‬וטרנזיטיבי (שכן‪:‬‬ ‫‪ ,) z, w, t  : z  w  w  t  z  t‬ולכן יס"ח מעל ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫מכאן שהקבוצה ‪,  ‬‬ ‫היא קס"ח‪.‬‬ ‫הוא רפלקסיבי (שכן‪ ,) n  : n | n :‬אנטי‪-‬סמטרי (שכן‪:‬‬ ‫‪ o‬היחס | מעל‬ ‫‪ ) m, n  : m | n  n | m  m  n‬וטרנזיטיבי (שכן‪:‬‬ ‫‪ ,) m, n, p  : m | n  n | p  m | p‬ולכן יס"ח מעל ‪.‬‬ ‫מכאן שהקבוצה ‪,|‬‬ ‫‪‬‬ ‫היא קס"ח‪.‬‬ ‫‪ o‬היחס ‪ ‬מעל ‪ P  A ‬הוא רפלקסיבי (שכן‪ ,) B  P  A  : B  B :‬אנטי‪-‬סמטרי‬ ‫(שכן‪ ) B,C  P  A  : B  C  C  B  B  C :‬וטרנזיטיבי (שכן‪:‬‬ ‫‪ ,) B,C, D  P  A  : B  C  C  D  B  D‬ולכן יס"ח מעל ‪. P  A ‬‬ ‫מכאן שהקבוצה ‪  P  A  ,  ‬היא קס"ח‪.‬‬ ‫‪51‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫יצוג יחס סדר חלקי (יס"ח) באמצעות דיאגרמת הסה‪:‬‬ ‫מקובל לייצג קס"ח סופית ‪  A, R ‬באמצעות גרף הנקרא‪ :‬דיאגרמת הסה‪,‬‬ ‫והנבנה עפ"י העקרונות הבאים‪:‬‬ ‫‪ ‬קודקודי הגרף הם איברי ‪.A‬‬ ‫‪ ‬הגם שהגרף לרוב אינו מכיל קשתות (צלעות מכוונות‪ ,‬חיצים)‪ ,‬התנועה בו‬ ‫מכוונת – בד"כ "מלמטה כלפי מעלה"‪.‬‬ ‫‪ ‬לכל ‪ a : a, b  A‬מחובר במסלול (אוסף של צלע אחת או יותר) ל‪b -‬‬ ‫"שמעליו" אם"ם ‪( . aRb‬אומרים גם במקרה זה כי ‪ b‬מכסה את ‪).a‬‬ ‫‪ ‬הגרף אינו מכיל לולאות (ולכן תכונת הרפלקסיביות של היחס ‪ R‬אינה באה‬ ‫לידי ביטוי בו)‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪ o‬תהי ‪ A‬קבוצת כל המחלקים הטבעיים של המספר ‪:60‬‬ ‫‪ , A=1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60‬ונגדיר מעליה את היחס מחלק את (|)‪.‬‬ ‫‪  A,|‬קס"ח (שכן‬ ‫‪ A ‬והוכחנו לעיל כי ‪,|‬‬ ‫ניתן לייצגה באמצעות דיאגרמת הסה הבאה‪:‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪‬‬ ‫היא קס"ח)‪.‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫‪ o‬תהי ‪ A  1, 2,3‬ונתבונן בדיאגרמת הסה המייצגת את הקס"ח ‪:  P  A  ,  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫תהי ‪  A, R ‬קס"ח‪ .‬איבר ‪ ) M  A ( m  A‬נקרא‪ :‬מינימלי (מקסימלי) ב‪-‬‬ ‫‪  A, R ‬אם"ם‪.) a  A : MRa  a  M ( a  A : aRm  a  m :‬‬ ‫הערה‪ :‬בדיאגרמת הסה של קס"ח סופית איבר מינימלי יאופיין כאיבר הנמצא‬ ‫בתחתית הדיאגרמה – כזה שיוצאות ממנו צלעות‪ ,‬אך לא נכנסות אליו צלעות‬ ‫(‪ 1‬בדיאגרמה העליונה ו‪  -‬בדיאגרמה התחתונה בעמוד זה)‪ ,‬בעוד שאיבר‬ ‫מקסימלי יאופיין כאיבר הנמצא בראש הדיאגרמה – כזה שנכנסות אליו צלעות‪,‬‬ ‫אך לא יוצאות ממנו צלעות (‪ 60‬בדיאגרמה העליונה ו‪ 1, 2,3 -‬בדיאגרמה‬ ‫התחתונה בעמוד זה)‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬בקס"ח יתכן אחד משלושת המקרים הבאים‪:‬‬ ‫‪ )1‬קיים איבר מינימלי (מקסימלי) יחיד‪.‬‬ ‫‪ )2‬קיים יותר מאיבר מינימלי (מקסימלי) אחד‪.‬‬ ‫‪ )3‬לא קיים איבר מינימלי (מקסימלי)‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪o‬‬ ‫בקס"ח ‪1, 2,3, 4,|‬‬ ‫יש איבר מינימלי יחיד – ‪ ,1‬אבל אין איבר מקסימלי‬ ‫יחיד‪ ,‬שכן יש בה שני איברים מקסימליים – ‪.4 ,3‬‬ ‫‪ o‬בקס"ח ‪: z  0 ,  ‬‬ ‫‪z ‬‬ ‫יש איבר מקסימלי יחיד – ‪ ,0‬אבל אין איבר מינימלי‬ ‫יחיד ואף לא איבר מינימלי‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫בקס"ח ‪,1,2,1, 2, ‬‬ ‫יש איבר מינימלי יחיד ‪ ,  -‬ויש איבר‬ ‫מקסימלי יחיד ‪. 1, 2 -‬‬ ‫‪53‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫‪ o‬תהי ‪ P‬קבוצת המספרים הראשוניים‪ .‬בקס"ח ‪  P,|‬יש אינסוף איברים‬ ‫מינימליים ואינסוף איברים מקסימליים‪ ,‬ולכן אין בה איבר מינימלי יחיד ואין‬ ‫בה איבר מקסימלי יחיד‪.‬‬ ‫‪ o‬בקס"ח‬ ‫‪2,3, 4,|‬‬ ‫בקס"ח ‪,  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫אין איבר מינימלי יחיד ואין איבר מקסימלי יחיד‪ .‬גם‬ ‫אין איבר מינימלי יחיד ואין איבר מקסימלי יחיד‪.‬‬ ‫‪ R‬הוא יחס סדר מלא (יס"מ) מעל ‪ A‬אם"ם הוא יחס סדר חלקי (יס"ח)‬ ‫המקיים‪ . a, b  A : aRb  bRa :‬הזוג הסדור ‪  A, R ‬נקרא‪ :‬קבוצה סדורה‬ ‫בסדר מלא (קס"מ)‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪ o‬היחס ‪ ‬הוא יחס סדר מלא (יס"מ) מעל ‪ ,‬שכן הוא יס"ח מעליה ומתקיים‪:‬‬ ‫‪ . z, w  : z  w  w  z‬מכאן‪ ,‬הקבוצה ‪  ,  ‬היא קס"מ‪.‬‬ ‫‪ o‬הקבוצה ‪,|‬‬ ‫‪‬‬ ‫אינה קס"מ‪ ,‬שכן היחס | אינו יס"מ מעל‬ ‫‪ ,‬שהרי‪:‬‬ ‫‪ , m, n  : m | n  n | m  m, n  : m | n  n | m‬למשל‪. m  2 , n  3 :‬‬ ‫הערה‪ :‬קס"מ סופית מיוצגת ע"י דיאגרמת הסה כרשימה לינארית (סדרה‪/‬טור‬ ‫של איברים‪ ,‬אשר בין כל איבר לאיבר שמעליו יש צלע אחת)‪ ,‬למשל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫תהי ‪  A, R ‬קס"ח‪  A, R  .‬מקיימת את תנאי‪/‬עקרון המינימליות‬ ‫(קמ"מ) אם"ם בכל ‪   B  A‬יש לפחות איבר מינימלי אחד‪.‬‬ ‫דוגמאות‪,| :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,  ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  P  A  ,  ,‬הן קבוצות המקיימות את‬ ‫תנאי‪/‬עקרון המינימליות (קמ"מ)‪ ,‬שכן בכל תת‪-‬קבוצה לא ריקה שלהן יש‬ ‫איבר מינימלי‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬הקבוצה ‪  ,  ‬אינה קמ"מ‪ ,‬שכן ‪ ‬ואין‬ ‫בה איבר מינימלי עפ"י היחס ‪. ‬‬ ‫‪54‬‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫‪‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫תהי ‪  A, R ‬קס"ח‪  A, R  .‬היא קבוצה סדורה היטב (קס"ה) אם"ם בכל‬ ‫‪   B  A‬יש איבר מינימלי יחיד‪.‬‬ ‫דוגמאות‪,   :‬‬ ‫‪,1 ,1, 2 ,1, 2,3 , , ‬‬ ‫הן קבוצות סדורות היטב (קס"ה)‪,‬‬ ‫שכן בכל תת‪-‬קבוצה לא ריקה שלהן יש איבר מינימלי יחיד‪ .‬לעומת זאת‪,‬‬ ‫הקבוצה ‪  ,|‬אינה קס"ה‪ ,‬שכן בתת‪-‬הקבוצה‪ 2,3  :‬אין איבר מינימלי‬ ‫יחיד עפ"י היחס | ( ‪.) 2 | 3  3 | 2‬‬ ‫הערה‪ :‬עפ"י ההגדרות דלעיל‪ ,‬אם ‪  A, R ‬קס"ה (בכל תת‪-‬קבוצה לא ריקה‬ ‫שלה יש איבר מינימלי יחיד)‪ ,‬הרי שהיא לבטח קמ"מ (בכל תת‪-‬קבוצה לא ריקה‬ ‫שלה יש לפחות איבר מינימלי אחד)‪ ,‬אך לא להיפך‪.‬‬ ‫תכונות יסודיות‪:‬‬ ‫‪ ‬בקס"ח יתכנו מספר איברים מינימליים‪/‬מקסימליים‪ ,‬כאשר איבר בקס"ח‬ ‫יכול להיות מינימלי ומקסימלי בו‪-‬זמנית‪( .‬דוגמא‪) 2,3, 4,5,6 ,| :‬‬ ‫‪ ‬בקס"מ יש לכל היותר איבר מינימלי‪/‬מקסימלי אחד‪.‬‬ ‫(דוגמאות‪)  ,   ,  ,   :‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ A, R ‬קס"ח‪ A, R  .‬היא קס"ה אם"ם היא קס"מ וקמ"מ‪.‬‬ ‫(ללא הוכחה)‬ ‫תרשים מסכם‪:‬‬ ‫קס"ח ‪ ‬קמ"מ ‪ ‬קס"ה ‪ ‬קס"מ ‪ ‬קס"ח‬ ‫קס"מ‪+‬קמ"מ‬ ‫‪55‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫שרשראות ואנטי‪-‬שרשראות‬ ‫תהי ‪ A, R ‬קס"ח ותהיינה‪. B, C  A :‬‬ ‫‪‬‬ ‫נאמר ש‪ B -‬היא שרשרת ב‪ A, R  -‬אם"ם‪. x, y  B : xRy  yRx :‬‬ ‫‪ o‬שרשראות‪ ,‬לדוגמא‪ ,‬בקס"ח‬ ‫‪1, 2,3, 4,5,6,7,8,|‬‬ ‫הן‪:‬‬ ‫‪. 1, 2, 4,8 , 1, 4,8 , 1,3,6 , 2,8 , 3,6 , 3 , 5 , ‬‬ ‫‪ ‬שרשראות באות לידי ביטוי בדיאגרמת הסה של קס"ח סופית כ"תת‪-‬רשימות‬ ‫ליניאריות" בדיאגרמה (סדרות איברים אשר בין כל איבר לאיבר שמעליו יש‬ ‫צלע אחת)‪ .‬למשל‪ 1, 2, 4 , 1,3,6,12 :‬הן שרשראות בקס"ח המתוארת ע"י‬ ‫דיאגרמת הסה הבאה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫נאמר ש‪ C -‬היא אנטי‪-‬שרשרת ב‪ A, R  -‬אם"ם‪:‬‬ ‫‪. x, y  C : x  y  xRy  yRx‬‬ ‫‪ o‬אנטי‪-‬שרשראות‪ ,‬לדוגמא‪ ,‬בקס"ח‬ ‫‪1, 2,3, 4,5,6,7,8,|‬‬ ‫הן‪:‬‬ ‫‪. 2,3,5,7 , 5,6,7,8 , 3,8 , 2,3 , 1 , 5 , ‬‬ ‫‪ ‬אנטי‪-‬שרשראות באות לידי ביטוי בדיאגרמת הסה של קס"ח סופית כקבוצות‬ ‫איברים שאף שניים מהם אינם מחוברים באמצעות צלע אחת‪ .‬למשל‪:‬‬ ‫‪ 6,10,15 , 4,6,10,15‬הן אנטי‪-‬שרשראות בקס"ח המתוארת ע"י דיאגרמת‬ ‫הסה הבאה‪:‬‬ ‫‪56‬‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫‪‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫בהינתן ‪ A, R ‬קס"ח סופית‪ ,‬האורך של הקס"ח (מסומן‪ ) lA  :‬מוגדר‬ ‫כמספר האיברים בשרשרת הארוכה ביותר בה‪.‬‬ ‫‪ o‬למשל‪ ,‬אם נסמן‪ , A : 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 :‬ונתייחס לקס"ח ‪ ,  A,|‬הרי ש‪:‬‬ ‫‪ , l  A   4‬שכן אורך השרשרת הארוכה ביותר בקס"ח זו‪ , 1, 2, 4,8 ,‬הוא ‪.4‬‬ ‫‪‬‬ ‫בהינתן ‪ A, R ‬קס"ח סופית‪ ,‬הרוחב של הקס"ח (מסומן‪ ) w A  :‬מוגדר‬ ‫כמספר האיברים באנטי‪-‬השרשרת הארוכה ביותר בה‪.‬‬ ‫‪ o‬למשל‪ ,‬אם נסמן‪ , A : 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 :‬ונתייחס לקס"ח ‪ ,  A,|‬הרי ש‪:‬‬ ‫‪ , w  A   5‬שכן אורך השרשרת הארוכה ביותר בקס"ח זו‪ ,‬למשל‪:‬‬ ‫‪ 5,6,7,8,9‬ויש יותר מאחת כזו‪ ,‬הוא ‪.5‬‬ ‫תכונות יסודיות‪:‬‬ ‫תהי ‪ A, R ‬קס"ח‪.‬‬ ‫‪ ‬אוסף האיברים המינימליים ב‪ A, R  -‬הוא אנטי‪-‬שרשרת בה‪.‬‬ ‫‪ ‬אוסף האיברים המקסימליים ב‪ A, R  -‬הוא אנטי‪-‬שרשרת בה‪.‬‬ ‫‪ ‬יש חלוקה של ‪ A‬ל‪ lA  -‬אנטי‪-‬שרשראות אך אין ל‪ A -‬חלוקה למספר קטן‬ ‫מזה של אנטי‪-‬שרשראות‪( .‬תזכורת‪ :‬חלוקה של קבוצה ‪ A‬היא משפחה של‬ ‫תת‪-‬קבוצות של ‪ A‬שאינן ריקות‪ ,‬זרות בזוגות ושאיחודן הוא ‪).A‬‬ ‫‪ ‬יש חלוקה של ‪ A‬ל‪ w A  -‬שרשראות אך אין ל‪ A -‬חלוקה למספר קטן מזה‬ ‫של שרשראות‪.‬‬ ‫‪57‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫קבוצות סדורות חלקית – דוגמאות מתקדמות‬ ‫‪o‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ , cart ‬‬ ‫‪ , cart ‬‬ ‫ ‪  a, b  ,  c,d    :  a, b  cart  c,d   a  c  b  d‬‬‫קס"ח‪ ,‬לא קס"מ (שכן‪,)  2,3 cart  3, 2    3, 2  cart  2,3 :‬‬ ‫לא קס"ה (שכן אינה קס"מ)‪ ,‬קמ"מ ; יש איבר מינימלי יחיד ( ‪,) 1,1‬‬ ‫אין איברים מקסימליים‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ , lex ‬‬ ‫‪ , lex ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:  a, b  lex  c,d   a  c   a  c  b  d  -‬‬ ‫‪  a, b  ,  c,d   ‬‬ ‫קס"ח‪ ,‬קס"מ‪ ,‬קס"ה‪ ,‬קמ"מ ; יש איבר מינימלי יחיד ( ‪ ,) 1,1‬אין‬ ‫איברים מקסימליים‪.‬‬ ‫‪ o‬יחס הרישא בין סדרות (סימון‪ – )  prefix :‬תהי ‪ ‬קבוצת כל האותיות‬ ‫האנגליות הקטנות ( ‪ .)   a, b,c,..., z‬נסמן ב‪   -‬את קבוצת כל‬ ‫המילים‪/‬המחרוזות הסופיות הלא ריקות המורכבות מאיברי ‪( ‬למשל‪:‬‬ ‫‪ .) abc  , zw  , c ‬נסמן‪ , a : a1a 2 ...a m , b : b1b2 ...bn :‬כאשר‪:‬‬ ‫‪, ai ,bj ‬‬ ‫‪( i, j‬אינדקסים) ‪ a, b  ,‬כך ש‪:‬‬ ‫‪ mn‬‬ ‫‪.  m, n ‬‬ ‫נגדיר‪. a : a1a 2a 3...a m prefix b : b1b2b3...bn i  m : a i  bi :‬‬ ‫‪   , prefix ‬קס"ח‪ ,‬לא קס"מ (שכן‪ ,‬למשל‪,) ab prefix ac  ac prefix ab :‬‬ ‫לא קס"ה (שכן אינה קס"מ)‪ ,‬קמ"מ ; איברים מינימליים – סדרות (מחרוזות)‬ ‫בנות איבר אחד (אות אחת)‪ ,‬אין איברים מקסימליים‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫יחס מילוני (לקסיקוגרפי) בין סדרות (סימון‪– )  lex :‬‬ ‫תהי ‪ ‬קבוצת כל הספרות בבסיס הדצימלי ( ‪ .)   0,1, 2,...,9‬נסמן ב‪ -‬‬ ‫‪‬‬ ‫את קבוצת כל הסדרות‪/‬המחרוזות הסופיות הלא ריקות המורכבות מאיברי ‪‬‬ ‫(למשל‪ .) 012  , 65  , 7  :‬נסמן‪, a : a1a 2 ...a m , b : b1b2 ...bn :‬‬ ‫כאשר‪, a i , b j   :‬‬ ‫‪( i, j‬אינדקסים) ו‪ . a, b  -‬נאמר כי‪:‬‬ ‫‪ a : a 1a 2 ...a m  lex b : b1b 2 ...b n‬אם"ם מתקיים לפחות אחד מהתנאים הבאים‪:‬‬ ‫‪ a ‬היא רישא של ‪( b‬כלומר ‪;) a  prefix b -‬‬ ‫‪ ‬ל‪ a -‬ול‪ b -‬רישא באורך זהה – ‪ 0 ( k‬‬ ‫‪ ,) k ‬אבל‪. a k 1  b k 1 :‬‬ ‫‪   , lex ‬קס"ח‪ ,‬קס"מ‪ ,‬לא קס"ה‪ ,‬לא קמ"מ ; יש איבר מינימלי יחיד (‪,)0‬‬ ‫אין איברים מקסימליים‪.‬‬ ‫‪58‬‬