פרק מספר 4 : סדרה חשבונית

‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫‪0‬‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫פתרונות ספר המאגר לשאלון‪.10853 :‬‬
‫פרק ‪3.3‬‬
‫משוואות‪ ,‬גרפים של ישרים ופרבולות‬
‫פרק ‪3.1‬‬
‫שינוי נושא בנוסחה‬
‫פרק ‪3.1‬‬
‫בעיות מילוליות‬
‫פרק ‪3.1‬‬
‫קריאת גרפים ובניית גרפים‬
‫פרק ‪3.0‬‬
‫גאומטריה אנליטית‬
‫פרק ‪3.1‬‬
‫סדרות‬
‫כולל פתרונות מלאים‬
‫מסודר לפי המאגר של משרד החינוך‬
‫פרק ‪1‬‬
‫סטטיסטיקה והסתברות‬
‫פרק ‪1‬‬
‫טריגונומטריה‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫‪0‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪6‬‬
‫שאלה מספר ‪.3‬‬
‫נתונה סדרה חשבונית … ‪ . 66, 61, 61 ,‬סכום איברי הסדרה הוא ‪. 116‬‬
‫כמה איברים בסדרה ?‬
‫‪........‬‬
‫‪an‬‬
‫‪........‬‬
‫‪........‬‬
‫‪........‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  3‬‬
‫‪61‬‬
‫‪61‬‬
‫‪66‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫כמה איברים בסדרה ?‬
‫‪a1  11‬‬
‫‪d  a 2  a1  3‬‬
‫‪S n  861‬‬
‫?‪n‬‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  2  11  3  (n  1)‬‬
‫‪861 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1722  n22  3n  3‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪1722  19n  3n 2‬‬
‫‪3n 2  19n  1722  0‬‬
‫)‪ 19  361  4(3)(1722‬‬
‫)‪2  (3‬‬
‫‪ 19  145 21‬‬
‫‪ 27.33‬‬
‫‪6‬‬
‫‪n1, 2 ‬‬
‫‪n1, 2 ‬‬
‫תשובה ‪ :‬בסדרה ‪ 13‬איברים‬
‫תשובה סופית‪ :‬מאגר ‪1 /‬‬
‫‪ 13‬איברים‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫‪6‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪2‬‬
‫שאלה מספר ‪.1‬‬
‫בסדרה חשבונית ‪ 60‬איברים‪ .‬סכום איברי הסדרה הוא ‪. 260‬‬
‫האיבר הראשון בסדרה הוא ‪. 3‬‬
‫מצא את הפרש הסדרה‪.‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫מצא את האיבר התשיעי בסדרה‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a9‬‬
‫‪a10‬‬
‫‪a8‬‬
‫‪a7‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫מצא את הפרש הסדרה‪.‬‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10  2  3  d  (10  1)‬‬
‫‪210 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪420  10  6  9d ‬‬
‫‪42  6  9d‬‬
‫‪36  9d‬‬
‫‪4d‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫תשובה‪d  4 :‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫‪a1  3‬‬
‫‪n  10‬‬
‫‪S 10  210‬‬
‫?‪d ‬‬
‫מצא את האיבר התשיעי בסדרה‪.‬‬
‫‪a n  a1  (n  1)d‬‬
‫‪a1  3‬‬
‫‪a 9  3  (9  1)4‬‬
‫‪d 4‬‬
‫‪n9‬‬
‫? ‪a9 ‬‬
‫‪a 9  35‬‬
‫תשובה‪a9  35 :‬‬
‫תשובה סופית‪ :‬מאגר ‪2 /‬‬
‫( א ) ‪ ( d  4‬ב ) ‪a9  35‬‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫‪2‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫‪a1‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪3‬‬
‫שאלה מספר ‪.1‬‬
‫בסדרה חשבונית ‪ 63‬איברים ‪ .‬סכום איברי הסדרה הוא ‪ .356‬הפרש הסדרה הוא ‪.2.5‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫‪a13‬‬
‫מצא את האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫מצא את האיבר האחרון בסדרה‪.‬‬
‫‪a12‬‬
‫‪a11‬‬
‫‪a10‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  2.5‬‬
‫‪a9‬‬
‫‪a7‬‬
‫‪a8‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫פתרון‬
‫(א)‪.‬‬
‫מצא את האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪13  2a1  2.5  (13  1)‬‬
‫‪351 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪702  132a1  30‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪d  2.5‬‬
‫‪n  13‬‬
‫‪S13  351‬‬
‫? ‪a1 ‬‬
‫‪54  2a1  30‬‬
‫‪24  2a1‬‬
‫תשובה‪a1  12 :‬‬
‫‪12  a1‬‬
‫(ב)‪ .‬מצא את האיבר האחרון בסדרה‪.‬‬
‫‪a n  a1  (n  1)d‬‬
‫‪a1  12‬‬
‫‪a13  12  (13  1)2.5‬‬
‫‪d  2 .5‬‬
‫‪n  13‬‬
‫? ‪a13 ‬‬
‫‪a13  42‬‬
‫תשובה‪a13  42 :‬‬
‫תשובה סופית‪ :‬מאגר ‪3 /‬‬
‫(א) ‪a1  12‬‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫(ב) ‪a13  42‬‬
‫‪3‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪1‬‬
‫שאלה מספר ‪.1‬‬
‫בסדרה חשבונית ‪ 20‬איברים‪ .‬האיבר השלישי בסדרה הוא ‪ . 1‬הפרש הסדרה הוא ‪.3‬‬
‫(א)‪ .‬מצא את האיבר השישה – עשר בסדרה‪.‬‬
‫(ב)‪ .‬מצא את האיבר העשרים בסדרה‪.‬‬
‫(ג)‪ .‬חשב את סכום חמשת האיברים האחרונים בסדרה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  3 d  3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a10‬‬
‫‪a9‬‬
‫‪a8‬‬
‫‪a7‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a 20‬‬
‫‪a19‬‬
‫‪a18‬‬
‫‪a17‬‬
‫‪a16‬‬
‫‪a15‬‬
‫‪a14‬‬
‫‪a13‬‬
‫‪a12‬‬
‫‪a11‬‬
‫פתרון‬
‫(א)‪ .‬מצא את האיבר השישה – עשר בסדרה‪.‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫לפני שפותרים את השאלה יש לחשב את ‪a1‬‬
‫‪8  a1  (3  1)3‬‬
‫‪d 3‬‬
‫‪n3‬‬
‫‪a3  8‬‬
‫‪2  a1‬‬
‫? ‪a1 ‬‬
‫‪a n  a1  (n  1)d‬‬
‫‪8  a1  6‬‬
‫תשובה‪a1  2 :‬‬
‫מצא את האיבר השישה – עשר בסדרה‪.‬‬
‫תשובה‪a16  47 :‬‬
‫‪a n  a1  (n  1)d‬‬
‫‪a1  2‬‬
‫‪a16  2  (16  1)3‬‬
‫‪d 3‬‬
‫‪n  16‬‬
‫? ‪a16 ‬‬
‫‪a16  47‬‬
‫(ב)‪ .‬מצא את האיבר העשרים בסדרה‪.‬‬
‫‪a1  2‬‬
‫‪a n  a1  (n  1)d‬‬
‫‪d 3‬‬
‫‪n  20‬‬
‫? ‪a 20 ‬‬
‫‪a 20  2  (20  1)3‬‬
‫תשובה‪a20  59 :‬‬
‫‪a 20  59‬‬
‫ג‪ .‬חשב את סכום חמשת האיברים האחרונים בסדרה‪.‬‬
‫לא ניתן לחשב עם הנוסחה הסכום של הראשונים לכן נחשב את האיברים ונחבר ביניהם‬
‫תשובה‪S  265 :‬‬
‫‪55‬‬
‫‪51‬‬
‫‪53‬‬
‫‪50‬‬
‫‪11‬‬
‫‪a 20‬‬
‫‪a19‬‬
‫‪a18‬‬
‫‪a17‬‬
‫‪a16‬‬
‫‪S  59  56  53  50  47  265‬‬
‫תשובה סופית‪ :‬מאגר ‪4 /‬‬
‫( א ) ‪ ( a16  47‬ב ) ‪a20  59‬‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫( ג ) ‪S  265‬‬
‫‪1‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪5‬‬
‫שאלה מספר ‪.0‬‬
‫בסדרה חשבונית האיבר השלישי הוא ‪ , 5‬והאיבר החמישי הוא ‪. 5‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫(ג)‪.‬‬
‫מצא את הפרש הסדרה ‪.‬‬
‫מצא את האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫בסדרה זו ‪ 65‬איברים‪ .‬חשב את סכום איברי הסדרה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫(א)‪.‬‬
‫אפשרות נוספת לפתרון‪:‬‬
‫מצא את הפרש הסדרה ‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  4d  9‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1  2d  5 \ 1‬‬
‫‪a3  5‬‬
‫‪a1  (3  1)d  5‬‬
‫‪a1  4d  9‬‬
‫‪a1  2d  5‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1  5‬‬
‫תשובה‪d  2 :‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪5‬‬
‫בעזרת סדרת העזר‬
‫נחשב את ההפרש ‪d‬‬
‫‪a3  9‬‬
‫‪a1  4d  9‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪2d  4‬‬
‫‪d 2‬‬
‫‪a1  (5  1)d  9‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ a1  2d  5‬‬
‫‪a5  9‬‬
‫‪5‬‬
‫?‪d ‬‬
‫מצא את האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫‪a1‬‬
‫ההפרש ‪d‬‬
‫‪a n  a1  (n  1)d‬‬
‫‪a3  a1  2d‬‬
‫‪9  5  2d‬‬
‫‪4  2d / : 2‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪a1  2d  5‬‬
‫‪d 2‬‬
‫‪a1  2  2  5‬‬
‫‪a1  4  5‬‬
‫‪a1  1‬‬
‫תשובה‪a1  1 :‬‬
‫(ג)‪.‬‬
‫בסדרה זו ‪ 31‬איברים‪ .‬חשב את סכום איברי הסדרה‪.‬‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪19  2  1  2  (19  1)‬‬
‫‪S19 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S19  361‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫תשובה‪S19  361 :‬‬
‫תשובה סופית מאגר ‪: 5 /‬‬
‫(א) ‪( d  2‬ב) ‪a1  1‬‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫(ג) ‪S19  361‬‬
‫‪5‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫‪a1‬‬
‫‪1‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫שאלה מספר ‪.1‬‬
‫בסדרה חשבונית סכום האיברים השלישי והשישי הוא ‪. 25‬‬
‫האיבר החמישי הוא ‪. 61‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫מצא את האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫חשב את הסכום של חמשת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫מצא את האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫נתונים‬
‫‪2a1  7 d  25‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1  4d  14 \ 2‬‬
‫‪2a1  7 d  25‬‬
‫‪a 3  a 6  25‬‬
‫‪a1  2d  a1  5d  25‬‬
‫‪2a1  7d  25‬‬
‫‪ 2a1  8d  28‬‬
‫‪ 1d  3‬‬
‫‪d 3‬‬
‫‪a 5  14‬‬
‫‪a1  4d  14‬‬
‫‪a1  4d  14‬‬
‫‪d 3‬‬
‫‪a1  4  3  14‬‬
‫‪a1  12  14‬‬
‫‪a1  2‬‬
‫תשובה‪a1  2 :‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫חשב את הסכום של חמשת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5  2  2  3  (5  1)‬‬
‫‪S5 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S 5  40‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫תשובה‪S5  40 :‬‬
‫תשובה סופית ‪ :‬מאגר ‪6 /‬‬
‫( א ) ‪a1  2‬‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫(ב)‬
‫‪S5  40‬‬
‫‪1‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪1‬‬
‫שאלה מספר ‪.7‬‬
‫נתונה סדרה חשבונית שבה ‪, a3 = 11 :‬‬
‫‪d =-1‬‬
‫(א)‪ .‬חשב את ‪. a1‬‬
‫(ב)‪ .‬מחברים זה לזה את איברי הסדרה‪ ,‬החל מהאיבר הראשון ‪,‬‬
‫כמה איברים יש לחבר‪ ,‬כדי שהסכום שיתקבל יהיה ‪? 120‬‬
‫מצא את כל הפתרונות האפשריים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  4‬‬
‫‪11‬‬
‫‪an‬‬
‫‪........‬‬
‫‪........‬‬
‫‪........‬‬
‫פתרון‬
‫(א)‪ .‬חשב את ‪. a1‬‬
‫‪........‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a3  48‬‬
‫‪a n  a1  (n  1)  d‬‬
‫)‪48  a1  (3  1)(4‬‬
‫‪48  a1  8‬‬
‫‪56  a1‬‬
‫תשובה‪a1  56 :‬‬
‫(ב)‪ .‬מחברים זה לזה את איברי הסדרה‪ ,‬החל מהאיבר הראשון ‪,‬‬
‫כמה איברים יש לחבר‪ ,‬כדי שהסכום שיתקבל יהיה ‪? 115‬‬
‫מצא את כל הפתרונות האפשריים‪.‬‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  2  56  (4)  (n  1)‬‬
‫‪420 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪840  n  112  4n  4‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪840  116n  4n 2‬‬
‫‪ 4n 2  116n  840  0‬‬
‫)‪ 116  13456  4(4)(840‬‬
‫)‪2  (4‬‬
‫‪n1, 2 ‬‬
‫‪ 116  4 14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪8‬‬
‫‪n1, 2 ‬‬
‫תשובה‪n1  14 n2  15 :‬‬
‫תשובה סופית ‪ :‬מאגר ‪7 /‬‬
‫(א) ‪a1  56‬‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫(ב) ‪n1  14 n2  15‬‬
‫‪1‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪1‬‬
‫שאלה מספר ‪.8‬‬
‫בסדרה חשבונית האיבר הרביעי גדול פי ‪ 3‬מהאיבר הראשון‪,‬‬
‫והאיבר השביעי גדול ב ‪ 60 -‬מהאיבר השני‪.‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫(ב)‬
‫מצא את ‪ a1‬ו ‪.d -‬‬
‫מהו סכום ‪ 10‬האיברים הראשונים בסדרה זו ?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫מצא את ‪ a1‬ו ‪.d -‬‬
‫‪a 7  10  a 2‬‬
‫‪a1  6d  10  a1  1d‬‬
‫‪5d  10‬‬
‫‪d 2‬‬
‫‪a 4  3  a1‬‬
‫‪a1  3d  3a1‬‬
‫‪3  2  2a1‬‬
‫‪6  2a1‬‬
‫‪3  a1‬‬
‫תשובה‪a1  3 d  2 :‬‬
‫(ב)‬
‫מהו סכום ‪ 15‬האיברים הראשונים בסדרה זו ?‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪60  2  3  2  (60  1)‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3720‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪S 60‬‬
‫‪S 60‬‬
‫תשובה‪S60  3720 :‬‬
‫תשובה סופית ‪ :‬מאגר ‪8 /‬‬
‫(א)‬
‫‪a1  3 d  2‬‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫(ב) ‪S60  3720‬‬
‫‪1‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫‪5‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫שאלה מספר ‪.1‬‬
‫בסדרה חשבונית האיבר העשירי גדול פי ‪ 3‬מהאיבר הרביעי‪.‬‬
‫סכום מאה האיברים הראשונים הוא ‪.5500‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫מצא את ‪ a1‬ו ‪.d -‬‬
‫חשב את האיבר החמישי בסדרה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫(א)‪.‬‬
‫מצא את ‪ a1‬ו ‪.d -‬‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪100  2  0  d  (100  1)‬‬
‫‪9900 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9900  1000  99d ‬‬
‫‪19800  9900d‬‬
‫‪19800  9900d‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪a10  3  a 4‬‬
‫) ‪a1  9d  3(a1  3d‬‬
‫‪a1  9d  3a1  9d‬‬
‫‪ 2a1  0‬‬
‫‪a1  0‬‬
‫תשובה‪d  2 :‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫‪a1  0‬‬
‫חשב את האיבר החמישי בסדרה‪.‬‬
‫‪a 5  a1  4d‬‬
‫‪a5  0  4  2‬‬
‫‪a5  8‬‬
‫תשובה‪a5  8 :‬‬
‫תשובה סופית ‪ :‬מאגר ‪9 /‬‬
‫(א) ‪d  2‬‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫‪a1  0‬‬
‫(ב) ‪a5  8‬‬
‫‪5‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪60‬‬
‫שאלה מספר ‪.35‬‬
‫נתונים המספרים ‪ 21‬ו‪. 15 -‬‬
‫הכנס בין שני מספרים אלה חמישה מספרים נוספים כך‪ ,‬שכל שבעת המספרים יהוו סדרה חשבונית‪.‬‬
‫פתרון‬
‫‪‬‬
‫‪d  7‬‬
‫‪15‬‬
‫‪12‬‬
‫‪55‬‬
‫‪11‬‬
‫‪16‬‬
‫‪31‬‬
‫‪21‬‬
‫‪a7‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫הכנס בין שני מספרים אלה חמישה מספרים נוספים כך‪ ,‬שכל שבעת המספרים יהוו סדרה חשבונית‪.‬‬
‫‪a n  a1  (n  1)d‬‬
‫‪a1  27‬‬
‫‪69  27  (7  1)d‬‬
‫‪69  27  6d‬‬
‫‪42  6d‬‬
‫‪7d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪n7‬‬
‫‪a 7  69‬‬
‫תשובה סופית‪ :‬מאגר ‪10 /‬‬
‫‪27 , 34 , 41 , 48 , 55 , 62 , 69‬‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫‪60‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪66‬‬
‫שאלה מספר ‪.33‬‬
‫המשכורת של פועל בחודש הראשון הייתה ‪ 3500‬שקלים לחודש‪.‬‬
‫בכל חודש עלתה משכורתו ב – ‪ 50‬שקלים‪.‬‬
‫מה הייתה משכורתו של הפועל בחודש ה – ‪ 62‬לעבודתו ?‬
‫כמה השתכר הפועל במשך ‪ 62‬החודשים הראשונים לעבודתו ?‬
‫(א)‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  50‬‬
‫‪3500‬‬
‫‪a12‬‬
‫‪a11‬‬
‫‪a10‬‬
‫‪a9‬‬
‫‪a8‬‬
‫‪a7‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫פתרון‬
‫(א)‪.‬‬
‫מה הייתה משכורתו של הפועל בחודש ה – ‪ 31‬לעבודתו ?‬
‫‪a n  a1  (n  1)d‬‬
‫‪a1  3500‬‬
‫‪a12  3500  (12  1)50‬‬
‫‪d  50‬‬
‫‪n  12‬‬
‫? ‪a12 ‬‬
‫‪a12  4050‬‬
‫תשובה‪a12  4,050 :‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫כמה השתכר הפועל במשך ‪ 31‬החודשים הראשונים לעבודתו ?‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12  2  3500  50  (12  1)‬‬
‫‪S12 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S12  45300‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪a1  3500‬‬
‫‪d  50‬‬
‫‪n  12‬‬
‫? ‪S 12 ‬‬
‫תשובה‪S12  45,300 :‬‬
‫תשובה סופית ‪ :‬מאגר ‪11/‬‬
‫(א) ‪( a12  4,050‬ב) ‪S12  45,300‬‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫‪66‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪62‬‬
‫שאלה מספר ‪.31‬‬
‫באולם יש ‪ 65‬שורות של כיסאות‪ .‬בשורה הראשונה יש ‪ 62‬כיסאות‪,‬‬
‫ומספר הכיסאות בכל שורה גדול ב – ‪ 2‬ממספר הכיסאות שבשורה שלפניה‪.‬‬
‫כמה כיסאות יש באולם ?‬
‫‪‬‬
‫‪d  2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a10‬‬
‫‪a9‬‬
‫‪a7‬‬
‫‪a8‬‬
‫‪a15‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a14‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a13‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a12‬‬
‫‪62‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a11‬‬
‫פתרון‬
‫כמה כיסאות יש באולם ?‬
‫‪n‬‬
‫‪2a1  (n  1)d ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪15‬‬
‫‪S15  2  12  (15  1)2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S15  390‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪a1  12‬‬
‫‪d 2‬‬
‫‪n  15‬‬
‫? ‪S 15 ‬‬
‫תשובה סופית ‪ :‬מאגר ‪12 /‬‬
‫‪S15  390‬‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫‪62‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫‪a1‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪63‬‬
‫שאלה מספר ‪.31‬‬
‫דוד התאמן למרוץ אופניים‪ .‬ביום הראשון רכב ‪ 25‬ק"מ‪,‬‬
‫ובכל יום רכב ‪ 1‬ק"מ יותר מביום הקודם לו‪.‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫כמה ק"מ רכב דוד ביום העשירי ?‬
‫כמה ק"מ רכב דוד במשך עשרת הימים הראשונים לאימונו?‬
‫‪‬‬
‫‪d  4‬‬
‫‪25‬‬
‫‪a10‬‬
‫‪a9‬‬
‫‪a7‬‬
‫‪a8‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫פתרון‬
‫(א)‪.‬‬
‫כמה ק"מ רכב דוד ביום העשירי ?‬
‫‪a n  a1  (n  1)d‬‬
‫‪a1  25‬‬
‫‪a10  25  (10  1)4‬‬
‫‪d 4‬‬
‫‪n  10‬‬
‫? ‪a10 ‬‬
‫‪a10  61‬‬
‫תשובה‪a10  61 :‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫כמה ק"מ רכב דוד במשך עשרת הימים הראשונים לאימונו?‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10  2  25  4  (10  1)‬‬
‫‪S10 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S10  430‬‬
‫‪a1  25‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪d 4‬‬
‫‪n  10‬‬
‫? ‪S 10 ‬‬
‫תשובה‪S10  430 :‬‬
‫תשובה סופית ‪ :‬מאגר ‪13 /‬‬
‫(א) ‪( a10  61‬ב) ‪S10  430‬‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫‪63‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫‪a1‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪61‬‬
‫שאלה מספר ‪.31‬‬
‫דנה חסכה כסף לטיול‪ .‬בשבוע הראשון חסכה ‪ 1‬שקלים‪,‬‬
‫ובכל שבוע חסכה ‪ 5‬שקלים יותר משבוע שקדם לו‪.‬‬
‫דנה הצליחה לחסוך ‪ 611‬שקלים‪ .‬כמה שבועות חסכה דנה ?‬
‫‪‬‬
‫‪d  5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫‪........‬‬
‫‪........‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫כמה שבועות חסכה דנה ?‬
‫‪a1  6‬‬
‫‪d 5‬‬
‫‪S n  147‬‬
‫‪........‬‬
‫‪........‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  2  6  5  (n  1)‬‬
‫‪147 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪294  n12  5n  5‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪294  7 n  5n 2‬‬
‫‪5n 2  7 n  294  0‬‬
‫תשובה‪n  7 :‬‬
‫)‪ 7  49  4(5)(294‬‬
‫)‪2  (5‬‬
‫‪n1, 2 ‬‬
‫‪ 7  77 7‬‬
‫‪ 7 .7‬‬
‫‪10‬‬
‫‪n1, 2 ‬‬
‫תשובה סופית ‪ :‬מאגר ‪14 /‬‬
‫‪ 7‬שבועות‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫‪61‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪65‬‬
‫שאלה מספר ‪.30‬‬
‫נתונה סדרה חשבונית שבה‪a1  3 , d  5 . :‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫(ג)‪.‬‬
‫פתרון‬
‫(א)‪.‬‬
‫רשום לפי הסדר את ששת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫בסדרה זו נמחקו האיבר השני‪ ,‬הרביעי‪ ,‬השישי וכך הלאה (כל איבר במקום זוגי)‪.‬‬
‫חשב את סכום ‪ 600‬האיברים הראשונים שלא נמחקו בסדרה‪.‬‬
‫חשב את סכום ‪ 600‬האיברים הראשונים שנמחקו בסדרה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  5‬‬
‫רשום לפי הסדר את ששת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪23‬‬
‫‪61‬‬
‫‪63‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫תשובה‪3 , 8 , 8 , 13 , 18 , 23 , 28 :‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫בסדרה זו נמחקו האיבר השני‪ ,‬הרביעי‪ ,‬השישי וכך הלאה (כל איבר במקום זוגי)‪.‬‬
‫חשב את סכום ‪ 355‬האיברים הראשונים שלא נמחקו בסדרה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  10‬‬
‫‪21‬‬
‫‪23‬‬
‫‪61‬‬
‫‪63‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a1  3 a 2  8 a3  13 a 4  18 a5 23 a6  28‬‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪100  2  3  10  (100  1)‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 49800‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫תשובה‪S100  49,800 :‬‬
‫(ג)‪.‬‬
‫‪S100‬‬
‫‪S100‬‬
‫חשב את סכום ‪ 355‬האיברים הראשונים שנמחקו בסדרה‪.‬‬
‫‪d  10‬‬
‫‪n  100‬‬
‫? ‪S 100 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  10‬‬
‫‪21‬‬
‫‪23‬‬
‫‪61‬‬
‫‪63‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪100  2  8  10  (100  1)‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 50300‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫תשובה‪S100  50,300 :‬‬
‫‪a1  3‬‬
‫‪S100‬‬
‫‪S100‬‬
‫‪a1  8‬‬
‫‪d  10‬‬
‫‪n  100‬‬
‫? ‪S 100 ‬‬
‫תשובה סופית ‪ :‬מאגר ‪15 /‬‬
‫(א)‬
‫‪( 3 , 8 , 8 , 13 , 18 , 23 , 28‬ב) ‪( S100  49,800‬ג) ‪S100  50,300‬‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫‪65‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪61‬‬
‫שאלה מספר ‪.31‬‬
‫סולם עם ‪ 60‬שלבים בנוי כך שכל שלב בסולם קצר ב‪ 1 -‬ס"מ מהשלב שמתחתיו‪.‬‬
‫אורך השלב התחתון ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫(א)‪ .‬חשב את אורך השלב החמישי מלמטה‪.‬‬
‫(ב)‪ .‬חשב את אורך השלב החמישי מלמעלה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  4‬‬
‫‪10‬‬
‫‪a10‬‬
‫‪a9‬‬
‫‪a8‬‬
‫‪a7‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫פתרון‬
‫(א)‪ .‬חשב את אורך השלב החמישי מלמטה‪.‬‬
‫‪a n  a1  (n  1)d‬‬
‫‪a1  60‬‬
‫‪a 5  60  (5  1)  4‬‬
‫‪d  4‬‬
‫‪n5‬‬
‫‪a 5  69‬‬
‫‪a 5  44‬‬
‫תשובה‪a5  44 :‬‬
‫(ב)‪ .‬חשב את אורך השלב החמישי מלמעלה‪.‬‬
‫‪a6  44  4  40‬‬
‫תשובה‪a6  40 :‬‬
‫תשובה סופית ‪ :‬מאגר ‪16 /‬‬
‫(א)‪( a5  44 .‬ב) ‪a6  40 .‬‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫‪61‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫‪a1‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪61‬‬
‫שאלה מספר ‪.37‬‬
‫סולם עם ‪ 61‬שלבים‪ ,‬שבו אורך השלב התחתון ‪ 11‬ס"מ‪,‬‬
‫בנוי כך שכל שלב בסולם קצר מהשלב שמתחתיו במידה קבועה‪.‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫(ג)‪.‬‬
‫(ד)‪.‬‬
‫האם יתכן שכל שלב בסולם קצר מהשלב שמתחתיו ב‪ 6.2 -‬ס"מ‪ .‬נמק‬
‫האם יתכן שכל שלב בסולם קצר מהשלב שמתחתיו ב‪ 3.1 -‬ס"מ‪ .‬נמק‬
‫האם יתכן שכל שלב בסולם קצר מהשלב שמתחתיו ב‪ 5.3 -‬ס"מ‪ .‬נמק‬
‫האם יתכן שכל שלב בסולם קצר מהשלב שמתחתיו ב‪ 1.1 -‬ס"מ‪ .‬נמק‬
‫פתרון‬
‫(א)‪ .‬האם יתכן שכל שלב בסולם קצר מהשלב שמתחתיו ב‪ 3.1 -‬ס"מ‪ .‬נמק‬
‫תשובה‪ :‬כן‬
‫‪a n  a1  (n  1)d‬‬
‫‪a1  78‬‬
‫)‪a16  78  (16  1)(1.2‬‬
‫‪d  1 .2‬‬
‫‪n  16‬‬
‫? ‪a16 ‬‬
‫‪a16  60‬‬
‫‪a16  60‬‬
‫כן‬
‫(ב)‪ .‬האם יתכן שכל שלב בסולם קצר מהשלב שמתחתיו ב‪ 1.1 -‬ס"מ‪ .‬נמק‬
‫‪a n  a1  (n  1)d‬‬
‫‪a1  78‬‬
‫)‪a16  78  (16  1)(3.4‬‬
‫‪d   3 .4‬‬
‫‪n  16‬‬
‫? ‪a16 ‬‬
‫‪a16  27‬‬
‫תשובה‪ :‬כן‬
‫‪a16  27‬‬
‫כן‬
‫(ג)‪ .‬האם יתכן שכל שלב בסולם קצר מהשלב שמתחתיו ב‪ 0.1 -‬ס"מ‪ .‬נמק‬
‫תשובה‪ :‬לא‬
‫‪a n  a1  (n  1)d‬‬
‫‪a1  78‬‬
‫)‪a16  78  (16  1)(5.3‬‬
‫‪d   5 .3‬‬
‫‪n  16‬‬
‫? ‪a16 ‬‬
‫‪a16  1.5‬‬
‫‪a16  1.5‬‬
‫לא‬
‫(ד)‪ .‬האם יתכן שכל שלב בסולם קצר מהשלב שמתחתיו ב‪ 7.1 -‬ס"מ‪ .‬נמק‬
‫תשובה‪ :‬לא‬
‫‪a16  33‬‬
‫‪a n  a1  (n  1)d‬‬
‫‪a1  78‬‬
‫)‪a16  78  (16  1)(7.4‬‬
‫‪d   7 .4‬‬
‫‪n  16‬‬
‫? ‪a16 ‬‬
‫‪a16  33‬‬
‫לא‬
‫תשובה סופית ‪ :‬מאגר ‪17 /‬‬
‫(א)‪ .‬כן ‪a16  60‬‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫(ב)‪ .‬כן ‪( a16  27‬ג)‪ .‬לא‬
‫‪61‬‬
‫‪a16  1.5‬‬
‫(ד)‪ : .‬לא ‪a16  33‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫‪61‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫שאלה מספר ‪.38‬‬
‫סולם עם ‪ 16‬שלבים‪ ,‬בנוי כך שכל שלב קצר מהשלב שמתחתיו ב – ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫סכום אורכי כל השלבים בסולם הוא ‪ 1‬מטרים ו‪ 11 -‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את אורכו של השלב התחתון בסולם‪.‬‬
‫פתרון‬
‫חשב את אורכו של השלב התחתון בסולם‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪16  2a1  (5)  (16  1)‬‬
‫‪864 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1728  162a1  75‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫? ‪a1 ‬‬
‫‪d  5‬‬
‫‪n  16‬‬
‫‪S16  864‬‬
‫‪108  2a1  75‬‬
‫‪183  2a1‬‬
‫‪91.5  a1‬‬
‫תשובה סופית ‪ :‬מאגר ‪18 /‬‬
‫‪a1  91.5‬‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫‪61‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪65‬‬
‫שאלה מספר ‪.31‬‬
‫דינה ורינה הכינו לוח של שברים לחדר מתמטיקה‪ .‬הטבלה המוצגת מתארת את ‪ 1‬הטורים הראשונים ואת‬
‫‪ 1‬השורות הראשונות בלוח השברים‪ .‬המספרים במשבצות נרשמו על‪-‬פי חוקיות מסוימת‪.‬‬
‫כאשר דינה ורינה סיימו את עבודתן‪ ,‬נשפכה פחית שתייה על לוח השברים ונמחקו מספרים בארבע‬
‫משבצות‪.‬‬
‫(א)‪ .‬רשום בלוח את המספרים שנמחקו‪ .‬נמק‪.‬‬
‫(ב)‪ .‬איזה מספר יהיה כתוב במשבצת ה‪ 61 -‬בטור הראשון ? נמק‬
‫(ג)‪ .‬איזה מספר יהיה כתוב במשבצתה‪ 61 -‬בשורה הראשונה ? הסבר‪.‬‬
‫(ד)‪ .‬מהו סכום ‪ 60‬המספרים הראשונים בטור השישי ? נמק‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬רשום בלוח את המספרים שנמחקו‪ .‬נמק‪ .‬המספרים החסרים‪:‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫בטור ‪ : 3‬ההפרש הוא ‪ d  14‬לכן המספר הוא ‪2 12‬‬
‫בטור ‪ : 1‬ההפרש הוא ‪ d  14‬לכן המספר הוא ‪2 34‬‬
‫בטור ‪ : 1‬ההפרש הוא ‪ d  14‬לכן המספר הוא ‪5 14‬‬
‫בטור ‪ : 1‬ההפרש הוא ‪ d  14‬לכן המספר הוא ‪4 34‬‬
‫(ב)‪ .‬איזה מספר יהיה כתוב‬
‫‪a n  a1  (n  1)d‬‬
‫במשבצת ה‪ 37 -‬בטור הראשון ? נמק‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a17  4  (17  1) 4‬‬
‫‪a17  4 14‬‬
‫תשובה‪a17  4 14 :‬‬
‫(ג)‪.‬‬
‫איזה מספר יהיה כתוב‬
‫במשבצת ה‪ 37 -‬בשורה הראשונה ? הסבר‪.‬‬
‫‪a n  a1  (n  1)d‬‬
‫‪a17  14  (17  1) 34‬‬
‫תשובה‪a17  12 14 :‬‬
‫(ד)‪.‬‬
‫‪a17  12 14‬‬
‫מהו סכום ‪ 35‬המספרים הראשונים בטור השישי ? נמק‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10  2  4  14 (10  1)‬‬
‫‪S10 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S10  51 14‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪d‬‬
‫‪n  17‬‬
‫? ‪a17 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a1 ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪n  17‬‬
‫? ‪a17 ‬‬
‫‪a1  4‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫תשובה‪S10  51 14 :‬‬
‫‪a1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪d‬‬
‫‪n  10‬‬
‫? ‪S10 ‬‬
‫תשובה סופית ‪ :‬מאגר ‪19 /‬‬
‫(א)‬
‫(ב)‬
‫טור ‪ ; 2 12 :3‬טור ‪ ; 2 :1‬טור ‪ ; 5 :1‬טור ‪:1‬‬
‫(ד) ‪S10  51 14‬‬
‫(ג) ‪a17  12 14‬‬
‫‪a17  4 14‬‬
‫פרק ‪ : 6.1‬סדרות‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪65‬‬
‫‪4‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬