סדרות

‫סדרות‬
‫‪ §10‬מהי סדרה?‬
‫בחיי יום‪-‬יום אנו נוהגים ְל ַמ ְס ֵפּר עצמים שונים‪ ,‬כדי לציין את מקומם ואת סדר‬
‫הופעתם‪ .‬לדוגמה‪ְ ,‬מ ַמ ְס ְפּ ִרים בתים ברחוב‪ ,‬כיסאות בתאטרון‪ ,‬את התור לקופת‬
‫חולים‪ ,‬תעודות זיהוי וכד'‪.‬‬
‫בבנק‪ ,‬על‪-‬פי מספר החשבון אפשר לאתר ולבדוק כמה כסף נמצא בחשבון זה‪.‬‬
‫נניח שבחשבון מס‪ 1 .‬נמצא סך של ‪ ,₪ a1‬בחשבון מס‪ 2 .‬נמצא סך של ‪ ,₪ a2‬וכך‬
‫הלאה‪ .‬נרשום את הסכומים‪ ,‬ונקבל סדרת מספרים‪:‬‬
‫‪,a1, a2, a3, …, aN‬‬
‫כאשר ‪ N‬הוא מספר כל החשבונות בבנק‪ .‬כאן לכל מספר ‪ n‬מ‪ 1 -‬עד ‪ N‬מתאים‬
‫מספר ‪ ,an‬הנמצא במקום ‪-n‬י מתחילת הסדרה‪.‬‬
‫מספר ‪ a1‬מכונה האיבר הראשון של הסדרה‪ ,‬מספר ‪ - a2‬האיבר השני‪ ,‬מספר‬
‫‪ - a3‬האיבר השלישי וכך הלאה‪.‬‬
‫המספר ‪ - an‬מכונה האיבר הכללי של הסדרה‪ ,‬והמספר הטבעי ‪ – n‬מספר‬
‫האיבר‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬בסדרת הריבועים של מספרים טבעיים‬
‫… ‪1, 4, 9, 16, 25, …, n2, (n + 1)2,‬‬
‫האיבר הראשון הוא ‪ ,a1 = 1‬האיבר השני – ‪ ,a2 = 4‬שלישי – ‪ ,... ,a3 = 9‬האיבר‬
‫הכללי הוא ‪ ,an = n2‬והאיבר שמספרו ‪ n + 1‬הוא ‪.an+1 = (n + 1)2 -‬‬
‫( שימו לב! ערכו של איבר )‪ ,(an‬לאו דווקא‪ ,‬שווה למספרו בסדרה )‪.(n‬‬
‫( במתמטיקה נתקלים גם בסדרות אינסופיות‪ ,a1, a2, a3, …, an, … :‬לדוגמה‪,‬‬
‫סדרת מספרים שלמים‪.‬‬
‫אם ידועה נוסחת האיבר הכללי‪ ,‬אפשר לחשב את כל איברי הסדרה‪ ,‬כלומר‬
‫להגדיר את הסדרה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬הנוסחה )‪ an = (n = 1, 2, 3, ...‬מגדירה את הסדרה‬
‫‪n‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1, , , , ..., , ...‬‬
‫‪2 3 4‬‬
‫‪n‬‬
‫סדרה חשבונית‬
‫‪111‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫סדרת מספרים מוגדרת באמצעות נוסחת האיבר הכללי‪:‬‬
‫)‪an = n(n – 2‬‬
‫ִמצאו את האיבר מספר ‪ 100‬של הסדרה‪.‬‬
‫נציב בנוסחת האיבר הכללי ‪:n = 100‬‬
‫‪a100 = 100(100 – 2) = 100⋅98 = 9800‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫סדרת מספרים מוגדרת באמצעות נוסחת האיבר הכללי‪:‬‬
‫‪xn = 2n + 3‬‬
‫מצאו את מספר האיבר של הסדרה השווה ל‪:‬‬
‫א( ‪43‬‬
‫ב( ‪50‬‬
‫א( על‪-‬פי הנתון‪ , xn = 2n + 3 = 43 :‬מכאן נחלץ ‪.n = 20 ,2n = 40 :n‬‬
‫ב( על‪-‬פי הנתון‪ , xn = 2n + 3 = 50 :‬מכאן נחלץ ‪.n = 23.5 ,2n = 47 :n‬‬
‫אולם ‪ n‬הוא מספר האיבר‪ ,‬ולכן הוא חייב להיות שלם‪ .‬אי‪-‬לכך‪ ,‬בסדרה הנתונה‬
‫לא נמצא איבר השווה ל‪.50 -‬‬
‫לפעמים מגדירים סדרה באמצעות נוסחה המאפשרת לחשב את האיבר הכללי‬
‫באמצעות כמה איברים קודמים‪ .‬במקרה זה מגדירים את האיברים הקודמים‬
‫ואת הכלל שלפיו מחשבים את האיבר הכללי )כלל נסיגה(‪.‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫סדרת מספרים מוגדרת באמצעות כלל הנסיגה‪:‬‬
‫‪bn+1 = bn + bn-1‬‬
‫והאיברים ‪.b2 = 3 ,b1 = 1‬‬
‫ִמצאו את האיבר החמישי של הסדרה‪.‬‬
‫נציב את נתוני הבעיה בכלל הנסיגה‪ ,‬ונחשב את האיברים העוקבים האלה‪:‬‬
‫‪b3 = b2 + b1 = 3 + 1 = 4‬‬
‫‪b4 = b3 + b2 = 4 + 3 = 7‬‬
‫‪b5 = b4 + b3 = 7 + 4 = 11‬‬
‫‪b5 = 11‬‬
‫סדרה חשבונית‬
‫‪112‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬נתונה סדרת ריבועים של מספרים טבעיים‪:‬‬
‫… ‪1, 4, 9, 16, 25, …, n2, (n + 1)2,‬‬
‫א( מנו את האיברים השלישי‪ ,‬השישי והאיבר הכללי )איבר מספר ‪ (n‬של הסדרה;‬
‫ב( מנו את מספר איבר הסדרה‪ ,‬השווה ל‪.(n + 1)2 ,n2 ,25 ,4 :‬‬
‫‪ַ .2‬חשבו את שלושת האיברים הראשונים של הסדרה‪ ,‬על‪-‬ידי הנוסחה לאיבר הכללי‪:‬‬
‫א( ‪an = 2n + 3‬‬
‫‪n-2‬‬
‫ד(‬
‫= ‪an‬‬
‫‪3‬‬
‫ג( ‪an = 100 - 10n2‬‬
‫ב( ‪an = 1 + 3n‬‬
‫‪1‬‬
‫ה(‬
‫= ‪an‬‬
‫‪n‬‬
‫ו( ‪an = - n3‬‬
‫‪ .3‬נתונה סדרה המוגדרת על‪-‬פי הנוסחה ‪.xn = n2‬‬
‫מה מספר האיבר השווה ל‪:‬‬
‫א( ‪100‬‬
‫ג( ‪? 225‬‬
‫ב( ‪144‬‬
‫האם נמצאים בין איברי הסדרה המספרים ‪?169 ;49 ;48‬‬
‫‪ .4‬נתונה סדרה המוגדרת על‪-‬פי הנוסחה ‪.an = n2 -2n – 6‬‬
‫האם נמצא בין איברי הסדרה המספר‪:‬‬
‫א( ‪- 3‬‬
‫ג( ‪3‬‬
‫ב( ‪2‬‬
‫ד ( ‪?9‬‬
‫‪ .5‬מצאו את ארבעת האיברים הראשונים של הסדרה המוגדרת על‪-‬ידי‬
‫האיבר הראשון ‪ a1 = 2‬וכלל הנסיגה‪:‬‬
‫א( ‪an+1 = 3an + 1‬‬
‫ב( ‪an+1 = 5 - 2an‬‬
‫‪ .6‬סדרת מספרים מוגדרת על‪-‬ידי נוסחת האיבר הכללי‪.an = (n – 1)(n + 4) :‬‬
‫ִמצאו את ‪ n‬אם ידוע ש‪:‬‬
‫א( ‪an = 150‬‬
‫ב( ‪an = 104‬‬
‫‪ִ .7‬מצאו את ארבעת האיברים הראשונים של הסדרה המוגדרת על‪-‬ידי כלל הנסיגה‬
‫‪an+1 = an‬‬
‫והאיבר הראשון‪.a1 = 256 :‬‬
‫סדרה חשבונית‬
‫‪113‬‬
‫‪ִ .8‬רשמו את ששת האיברים הראשונים של הסדרה המוגדרת על‪-‬ידי האיבר הראשון‬
‫‪ a1 = 1‬וכלל הנסיגה‪:‬‬
‫ב( )‪an+1 = cos(180°⋅an‬‬
‫א( )‪an+1 = sin(90°⋅an‬‬
‫‪ .9‬הסדרה מוגדרת על‪-‬ידי כלל נסיגה ‪ an+2 = an2 – an+1‬והאיברים ‪.a2 = 3 ,a1 = 2‬‬
‫ִמצאו את האיבר החמישי בסדרה‪.‬‬
‫‪ .10‬הסדרה מוגדרת על‪-‬ידי נוסחת האיבר הכללי‪ִ .‬רשמו את האיברים שמספרם בסדרה‬
‫הוא )‪ (n – 1) ,(n + 1‬ו‪:(n + 5) -‬‬
‫א( ‪an = -5n + 4‬‬
‫ג( ‪an = 23n+1‬‬
‫ב( )‪an = 2(n – 10‬‬
‫‪n+2‬‬
‫‪1‬‬
‫ד(‬
‫*‪an = 7‬‬
‫‪2‬‬
‫)(‬
‫‪ §11‬סדרה חשבונית‬
‫‪1‬‬
‫יש בשנה קרוב ל‪ 365 -‬ימים‪ .‬הערך המדויק יותר הוא‬
‫‪4‬‬
‫שנים מצטברת שגיאה בת יממה אחת‪.‬‬
‫‪ 365‬ימים‪ ,‬לכן בכל ‪4‬‬
‫כדי לתקן את השגיאה‪ ,‬מוסיפים לכל שנה רביעית יום אחד‪ ,‬והשנה המוארכת‬
‫מכונה שנה מעוברת‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬באלף השלישי השנים ‪ ... 2020 ,2016 ,2012 ,2008 ,2004‬יהיו שנים‬
‫מעוברות‪.‬‬
‫בסדרת מספרים זאת כל איבר‪ ,‬החל מהאיבר השני‪ ,‬גדול מהאיבר הקודם‬
‫ַבּמספר ‪ .4‬סדרה מסוג זה מכונה סדרה חשבונית‪.‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫סדרת מספרים … ‪ a1, a2, a3, …, an,‬מכונה סדרה חשבונית‪ ,‬אם‬
‫בכל איבריה מתקיים השוויון ‪ ,an+1 = an + d‬כאשר ‪ n‬הוא מספר האיבר בסדרה‪.‬‬
‫מהנוסחה נובע ש‪-‬‬
‫‪an+1 - an = d‬‬
‫כלומר‪ ,‬ההפרש בין האיברים הסמוכים בסדרה הוא מספר קבוע‪.‬‬
‫מספר זה מכונה הפרש הסדרה החשבונית‪ ,‬ובדרך כלל מסמנים אותו באות ‪.d‬‬
‫סדרה חשבונית‬
‫‪114‬‬
‫דוגמאות‬
‫א( סדרת מספרים טבעיים‪ 1, 2, 3, 4, …, n, … :‬היא סדרה חשבונית‪.‬‬
‫הפרש הסדרה שווה ל‪.d = 1 -‬‬
‫ב( סדרת מספרים שלמים שליליים‪ -1, -2, -3, -4, …, -n, … :‬היא סדרה‬
‫חשבונית‪ .‬הפרש הסדרה שווה ל‪.d = -1 -‬‬
‫ג( הסדרה‪ 3, 3, 3, …, 3, … :‬גם היא סדרה חשבונית; הפרש הסדרה ‪.d = 0‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫הראו שסדרה המוגדרת באמצעות הנוסחה‪an = 1.5 + 3n :‬‬
‫היא סדרה חשבונית‪.‬‬
‫עלינו להוכיח שההפרש ‪ an+1 - an‬הוא קבוע עבור כל האיברים )כלומר הוא אינו‬
‫תלוי ב‪.(n -‬‬
‫נרשום איבר שמספרו )‪:(n + 1‬‬
‫)‪an+1 = 1.5 + 3(n + 1‬‬
‫נחשב את ההפרש שבין שני איברים עוקבים‪:‬‬
‫‪an+1 - an = 1.5 + 3(n + 1) – (1.5 + 3n) = 1.5 + 3n + 3 – 1.5 – 3n = 3‬‬
‫כלומר‪ ,‬ההפרש ‪ d‬אינו תלוי ב‪.n -‬‬
‫על‪-‬פי הגדרת הסדרה החשבונית אפשר לרשום‪:‬‬
‫‪an+1 = an + d‬‬
‫‪an-1 = an – d‬‬
‫נחבר את שני השוויונים‪:‬‬
‫‪an+1 + an-1 = 2an‬‬
‫מכאן נקבל‪:‬‬
‫‪an+1 + an-1‬‬
‫= ‪an‬‬
‫‪, n>1‬‬
‫‪2‬‬
‫בסדרה חשבונית‪ ,‬כל איבר החל מהאיבר השני שווה לממוצע החשבוני של שני‬
‫האיברים הסמוכים לו‪.‬‬
‫ִמזה נובע שם הסדרה )"חשבונית"(‪.‬‬
‫סדרה חשבונית‬
‫‪115‬‬
‫כאשר האיבר הראשון ‪ a1‬וההפרש ‪ d‬ידועים‪ ,‬אפשר לחשב את כל האיברים של‬
‫הסדרה על‪-‬פי כלל הנסיגה‪.an+1 = an + d :‬‬
‫בדרך זו לא קשה לחשב את מספר האיברים ראשונים של הסדרה‪ ,‬אולם‪,‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬חישוב האיבר ‪ a100‬עלול לקחת זמן רב‪:‬‬
‫‪a2 = a1 + d,‬‬
‫‪a3 = a2 + d = a1 + 2d,‬‬
‫‪a4 = a3 + d = a1 + 3d,‬‬
‫וכך הלאה‪.‬‬
‫חישוב זה מראה כיצד לחשב כל איבר ללא חישובי ביניים‪:‬‬
‫האיבר שמספרו ‪ n‬שווה לסכום האיבר הראשון ו‪ (n – 1) -‬פעמים ההפרש ‪:d‬‬
‫‪an = a1 + (n – 1)d‬‬
‫)‪(1‬‬
‫נוסחה זאת מכונה הנוסחה לאיבר‪-n -‬י של סדרה חשבונית‪.‬‬
‫דוגמה ‪ִ 2‬מצאו את איבר ה‪ 100 -‬בסדרה חשבונית‪ ,‬שבה ‪ ,a1 = -6‬ו‪.d = 4 -‬‬
‫נשתמש בנוסחה )‪ (1‬עבור ‪ ,n = 100‬ונקבל‪:‬‬
‫‪a100 = a1 + (100 – 1)⋅d = -6 + 99⋅4 = 390‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫מספר ‪ 99‬נמצא בין איברי הסדרה החשבונית … ‪.3, 5, 7, 9,‬‬
‫ִמצאו את מספר האיבר הזה‪.‬‬
‫א( נמצא את הפרש הסדרה ‪.d = a2 – a1 = 5 – 3 = 2 :d‬‬
‫ב( נסמן את מספר האיבר הרצוי ב‪ ,n -‬ונרשום עבורו את נוסחת האיבר הכללי‪:‬‬
‫‪an = a1 + (n – 1)d Ö 99 = 3 + (n – 1)⋅2 Ö 99 = 3 + 2n – 2 Ö‬‬
‫‪Ö 98 = 2n Ö n = 49‬‬
‫‪n = 49‬‬
‫דוגמה ‪4‬‬
‫בסדרה חשבונית נתון‪ a8 = 130 :‬ו‪.a12 = 166 -‬‬
‫ִמצאו את נוסחת האיבר הכללי‪.‬‬
‫נשתמש בנוסחה )‪ ,(1‬ונרשום עבור שני האיברים הנתונים‪:‬‬
‫סדרה חשבונית‬
‫‪116‬‬
‫‪a8 = a1 + 7d,‬‬
‫‪a12 = a1 + 11d.‬‬
‫נציב את הנתונים ונקבל מערכת משוואות לגבי ‪ a1‬ו‪:d -‬‬
‫‪a1 + 7d = 130,‬‬
‫‪a1 + 11d = 166.‬‬
‫נחסיר משוואה ראשונה מהשנייה‪:‬‬
‫‪4d = 36 Ö d = 9.‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪.a1 = 130 - 7d = 130 – 63 = 67‬‬
‫נוסחת האיבר הכללי‪:‬‬
‫‪an = a1 + (n – 1)d = 67 + 9(n – 1) = 67 + 9n – 9 = 58 + 9n‬‬
‫‪an = 9n + 58‬‬
‫דוגמה ‪ 5‬קרן הזווית מחולקת לקטעים שווים‪ ,‬החל מהקודקוד‪.‬‬
‫דרך קצות הקטעים מעבירים קווים מקבילים‪.‬‬
‫ָהראו‪ ,‬שערכי אורך הקטעים מהווים סדרה חשבונית‪.‬‬
‫בטרפז שבסיסיו הם ‪ an-1‬ו‪ an+1 -‬הקו האמצעי‬
‫הוא ‪) an‬מכיוון שהוא חוצה את השוקיים של‬
‫הטרפז(‪.‬‬
‫‪an+1 + an-1‬‬
‫לכן‪ ,‬על‪-‬פי הגדרת קו אמצעי‪:‬‬
‫= ‪an‬‬
‫‪2‬‬
‫מכאן מקבלים‪:‬‬
‫‪,2an = an-1 + an+1‬‬
‫או‬
‫‪an+1 – an = an – an-1‬‬
‫כלומר‪ :‬הפרש בין כל איבר וקודמו הוא קבוע‪ ,‬מה שמתקיים רק אם סדרת‬
‫האיברים היא סדרה חשבונית‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ִ .1‬מצאו את האיבר הראשון וההפרש בסדרה חשבונית‪:‬‬
‫א( … ‪6, 8, 10,‬‬
‫ב( … ‪7, 9, 11,‬‬
‫ג( … ‪25, 21, 17,‬‬
‫ד( … ‪-12, -9, -6,‬‬
‫סדרה חשבונית‬
‫‪117‬‬
‫‪ִ .2‬רשמו את חמשת האיברים הראשונים של סדרה חשבונית‪ ,‬אם ידוע ש‪:‬‬
‫א( ‪a1 = 2, d = 5‬‬
‫ב( ‪a1 = -3, d = 2‬‬
‫‪ .3‬הוכיחו שהסדרה המוגדרת על‪-‬פי נוסחת האיבר הכללי היא סדרה חשבונית‪:‬‬
‫א( ‪an = 3 – 4n‬‬
‫ב( ‪an = -5 + 2n‬‬
‫ג( )‪an = 3(n + 1‬‬
‫ד( )‪an = 2(3 – n‬‬
‫‪ִ .4‬מצאו בסדרה חשבונית את‪:‬‬
‫א( ‪ a15‬אם ידועים‪a1 = 2, d = 3 :‬‬
‫ב( ‪ a20‬אם ידועים‪a1 = 3, d = 4 :‬‬
‫ג( ‪ a18‬אם ידועים‪a1 = -3, d = -2 :‬‬
‫ד( ‪ a11‬אם ידועים‪a1 = -2, d = -4 :‬‬
‫‪ִ .5‬רשמו את נוסחת האיבר הכללי של הסדרה החשבונית‪:‬‬
‫א( … ‪1, 6, 11, 16,‬‬
‫ב( … ‪25, 21, 17, 13,‬‬
‫ג( … ‪-4, -6, -8, -10,‬‬
‫ד( … ‪1, -4, -9, -14,‬‬
‫‪ .6‬מספר )‪ (-22‬הוא איבר של סדרה חשבונית … ‪.44, 38, 32,‬‬
‫ִמצאו את מספר האיבר‪.‬‬
‫‪ .7‬האם המספר ‪ 12‬נמצא בין איברי הסדרה החשבונית … ‪? -18, -15, -12,‬‬
‫‪ .8‬המספר ‪ 59‬הינו איבר הסדרה החשבונית … ‪.1, -5,‬‬
‫ִמצאו את מספרו‪ .‬האם המספר )‪ (-46‬נמצא בין איברי הסדרה?‬
‫‪ִ .9‬מצאו את הפרש הסדרה החשבונית‪ ,‬אם ידועים‪:‬‬
‫א( ‪a1 = 7, a16 = 67‬‬
‫ב( ‪a1 = -4, a9 = 0‬‬
‫‪ .10‬הפרש הסדרה החשבונית שווה ל‪ .1.5 -‬מצאו את ‪ a1‬אם ידוע ש‪:‬‬
‫א( ‪a9 = 12‬‬
‫ב( ‪a7 = -4‬‬
‫‪ .11‬מצאו את האיבר הראשון של סדרה חשבונית‪ ,‬כאשר ידוע ש‪:‬‬
‫א( ‪d = -3, a11 = 20‬‬
‫ב( ‪a21 = -10, a22 = -5.5‬‬
‫‪ .12‬מצאו את נוסחת האיבר הכללי בסדרה חשבונית‪ ,‬כאשר ידוע ש‪:‬‬
‫א( ‪a3 = 13, a6 = 22‬‬
‫ב( ‪a2 = -7, a7 = 18‬‬
‫סדרה חשבונית‬
‫‪118‬‬
‫‪ .13‬עבור אילו ערכים של ‪ n‬איברי הסדרה החשבונית … ‪ 15, 13, 11,‬הם שליליים?‬
‫‪ .14‬בסדרה חשבונית ידוע ש‪.a1 = -10, d = 0.5 :‬‬
‫עבור אילו ערכים של ‪ n‬מתקיים אי‪-‬השוויון ‪?an < 27‬‬
‫‪ .15‬מצאו את האיבר התשיעי ואת ההפרש של הסדרה החשבונית‪ ,‬אם ידוע ש‪:‬‬
‫א( ‪a8 = 126, a10 = 146‬‬
‫ב( ‪a8 = -64, a10 = -50‬‬
‫ג( ‪a8 = -7, a10 = 3‬‬
‫ד( ‪a8 = 0.5, a10 = -2.5‬‬
‫‪ .16‬גוף הנופל חופשי עובר בשנייה הראשונה ‪ 4.9‬מ'‪ ,‬ובכל שנייה הבאה ב‪ 9.8 -‬מ' יותר‬
‫מאשר בקודמת‪ .‬איזו דרך יעבור הגוף הנופל בשנייה החמישית?‬
‫‪ .17‬אימוני שחייה לילדים מתחילים מ‪ 15 -‬דקות ביום הראשון‪,‬‬
‫ומאריכים אותם ב‪ 10 -‬דקות בכל אימון נוסף‪.‬‬
‫לאחר כמה אימונים הם יגיעו לזמן מקסימלי של שעה ו‪ 45 -‬דקות?‬
‫‪ .18‬הוכיחו‪ ,‬שבכל סדרה חשבונית מתקיים השוויון‪:‬‬
‫‪an + ak = an-m + ak+m‬‬
‫מצאו את ‪ a10 + a5‬אם נתון ש‪.a7 + a8 = 30 :‬‬
‫‪ .19‬הוכיחו‪ ,‬שבכל סדרה חשבונית מתקיים השוויון‪:‬‬
‫‪an+k + an-k‬‬
‫= ‪an‬‬
‫‪2‬‬
‫מצאו את ‪ ,a10‬אם נתון ש‪. a10 + a30 = 120 :‬‬
‫‪ §12‬סכום של ‪ n‬איברים ראשונים של סדרה חשבונית‬
‫בעיה ‪1‬‬
‫ִמצאו את סכום כל המספרים הטבעיים מ‪ 1 -‬עד ‪.100‬‬
‫נרשום את הסכום המבוקש בשתי צורות אפשריות‪:‬‬
‫‪S = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100‬‬
‫‪S = 100 + 99 + 98 + … + 2 + 1‬‬
‫נחבר את שני השוויונים‪ ,‬ונשנה את הסדר באגף ימין כך‪ ,‬שהאיבר הראשון‬
‫בשוויון העליון יתחבר לאיבר הראשון של השוויון התחתון‪ ,‬וכך הלאה‪:‬‬
‫סדרה חשבונית‬
‫‪119‬‬
‫‪101‬‬
‫‪1 2 3‬‬
‫‪99 100‬‬
‫= ‪2S = + + + + + .... + + +‬‬
‫‪100 99 98‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪101‬‬
‫‪101‬‬
‫‪101‬‬
‫‪101‬‬
‫)‪= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + …+ (99 + 2) + (100 + 1‬‬
‫‪ 100‬סוגריים‬
‫מכיוון שהסכום בכל הסוגריים שווה ל‪ ,101 -‬ומספר הסוגריים הוא ‪ ,100‬נקבל‪:‬‬
‫‪2S = 100 ⋅ 101 = 10100‬‬
‫והסכום המבוקש שווה ל‪-‬‬
‫‪S = 5050‬‬
‫בשיטה זו השתמש תלמיד כיתה ג' בבית ספר יסודי בכפר‬
‫גרמני קטן לפני כ‪ 200 -‬שנה‪ .‬בשיעור חשבון המורה נתן‬
‫לתלמידים משימה‪ :‬לחשב את סכום כל המספרים מ‪ 1 -‬עד‬
‫‪ .100‬המורה היה בטוח שעד שהתלמידים יסיימו‪ ,‬יספיק לנוח‬
‫ולקרוא עיתון‪.‬‬
‫להפתעתו הרבה‪ ,‬הכריז אחד הילדים את התשובה תוך‬
‫שניות ספורות‪ .‬אותו תלמיד‪ ,‬קארל פרידריך גאוס‪ ,‬ילד פלא בן‬
‫למשפחת איכרים ענייה‪ ,‬גדל והיה‪ ,‬בעידודו של אותו מורה‪,‬‬
‫לאחד מגאוני המתמטיקה בכל הדורות‪.‬‬
‫ַק ְרל פרידריך גאוּס‬
‫)‪(1777 – 1855‬‬
‫נתבונן כעת בסדרה חשבונית כללית‪:‬‬
‫… ‪a1, a2, a3, …, an,‬‬
‫נקרא לסכום של ‪ n‬האיברים הראשונים של הסדרה ב‪: Sn -‬‬
‫‪Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an‬‬
‫נרשום את הסכום בסדר הפוך‪:‬‬
‫‪Sn = an + an-1 + … + a3 + a2 + a1‬‬
‫על‪-‬פי הנוסחה לאיבר הכללי בסדרה חשבונית‪ ,‬אפשר לרשום את שני השוויונים‬
‫בדרך זו‪:‬‬
‫סדרה חשבונית‬
‫‪120‬‬
‫)‪Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n – 1)d‬‬
‫)‪Sn = an + (an – d) + (an – 2d) + … + (an – (n – 1)d‬‬
‫נחבר את שני השוויונים‪ ,‬כמו בדוגמה הקודמת‪:‬‬
‫)‪,2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + … + (a1 + an‬‬
‫כאשר מספר זוגות הסוגיים הוא ‪.n‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪,2Sn = (a1 + an)⋅n‬‬
‫וסכום ‪ n‬האיברים הראשונים שווה ל‪-‬‬
‫‪a1 + an‬‬
‫‪*n‬‬
‫‪2‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫)‪(1‬‬
‫ִמצאו את הסכום של ‪ 60‬המספרים הזוגיים הראשונים‪.‬‬
‫סדרת המספרים הטבעיים הזוגיים‬
‫… ‪2, 4, 6, 8, …, 2n,‬‬
‫היא סדרה חשבונית בעלת ההפרש ‪.d = 2‬‬
‫מכיוון ש‪ ,an = 2n -‬אזי ‪.a60 = 120 ,a1 = 2‬‬
‫‪2 + 120‬‬
‫על‪-‬פי הנוסחה )‪ (1‬נמצא את הסכום המבוקש‪*60 = 3660 :‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪S60‬‬
‫דוגמה ‪ִ 2‬מצאו את הסכום )‪ , 38 + 35 + … + (-7‬אם ידוע שהמחוברים הם‬
‫איבריה העוקבים של סדרה חשבונית‪.‬‬
‫על‪-‬פי הנתונים‪:‬‬
‫‪.an = -7 ,d = 35 – 38 = -3 ,a1 = 38‬‬
‫נשתמש בנוסחת האיבר הכללי ‪ ,an = a1 + (n – 1)d‬ונציב בה את הנתונים‪:‬‬
‫)‪-7 = 38 + (n – 1)⋅(-3‬‬
‫נפתח סוגריים ונחלץ ‪:n‬‬
‫‪-7 = 38 -3n + 3 Ö 3n = 38 + 7 + 3 Ö 3n = 48 Ö n = 16‬‬
‫נציב בנוסחה )‪ ,(1‬ונקבל‪:‬‬
‫‪38 - 7‬‬
‫= ‪S16‬‬
‫‪*16 = 248‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S = 248‬‬
‫סדרה חשבונית‬
‫‪121‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫כמה מספרים טבעיים עוקבים החל מ‪ 1 -‬צריך לחבר‪ ,‬כדי שסכומם‬
‫יהיה ‪?153‬‬
‫סדרת מספרים טבעיים היא סדרה חשבונית בעלת הפרש ‪.d = 1‬‬
‫על‪-‬פי הנתון‪.Sn = 153 ,a1 = 1 :‬‬
‫את נוסחת הסכום של ‪ n‬איברים ראשונים נרשום בצורה אחרת‪:‬‬
‫‪a1 + an‬‬
‫‪a1 + a1 + (n - 1)d‬‬
‫‪2a1 + (n - 1)d‬‬
‫= ‪*n‬‬
‫= ‪*n‬‬
‫‪*n‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2a1 + (n - 1)d‬‬
‫‪*n‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫)‪(2‬‬
‫נציב את הנתונים ונקבל משוואה לגבי הנעלם ‪:n‬‬
‫‪2*1 + (n - 1)n‬‬
‫‪2‬‬
‫נכפיל את שני האגפים ב‪ ,2 -‬נפתח סוגריים ונקבל משוואה ריבועית‪:‬‬
‫= ‪153‬‬
‫‪306 = 2n + (n – 1)n Ö n2 + n – 306 = 0‬‬
‫נפתור אותה‪:‬‬
‫‪-1 Û 1 + 1224 -1 Û 35‬‬
‫= ‪n1,2‬‬
‫=‬
‫‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n1 = -18, n2 = 17.‬‬
‫מכיוון שמספר האיברים אינו שלילי‪ ,‬מקבלים את התשובה‪:‬‬
‫‪n = 17‬‬
‫בדיחה של גאוס‬
‫בשיעור חשבון בכיתה שבהּ למד גאוס‪ ,‬רצה המורה להעסיק את תלמידיו‬
‫במשימה ארוכת‪-‬זמן כזו‪ ,‬שגם גאוס הגאון לא יוכל לסיימה במהרה‪ .‬הוא שאל את‬
‫סדרה חשבונית‬
‫‪122‬‬
‫התלמיד‪" :‬קרל‪ ,‬אשאל אתך שתי שאלות‪ .‬אם תענה נכון על הראשונה‪ ,‬לא תצטרך‬
‫לענות על השנייה‪ .‬ובכן‪ ,‬תגיד לי‪ ,‬כמה מחטים על עץ האשוח שבפינה?"‬
‫קרל ענה מיד‪" :‬שישים ושבע אלף חמש מאות שלושים וארבע!"‬
‫"איך ספרת כל‪-‬כך מהר?" – תהה המורה‪.‬‬
‫"זאת כבר שאלה שנייה‪ ,‬המורה"‪ - ,‬השיב התלמיד בחיוך‪...‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ִ .1‬מצאו את הסכום של ‪ n‬האיברים הראשונים של סדרה חשבונית‪ ,‬אם נתון ש‪:‬‬
‫א( ‪a1 = 1, an = 20, n = 50‬‬
‫ב( ‪a1 = 1, an = 200, n = 100‬‬
‫ג( ‪a1 = -1, an = -40, n = 20‬‬
‫ד( ‪a1 = 2, an = 100, n = 50‬‬
‫‪ִ .2‬מצאו את סכום כל המספרים הטבעיים מ‪ 2 -‬עד ל‪.98 -‬‬
‫‪ִ .3‬מצאו את סכום כל המספרים האי‪-‬זוגיים מ‪ 1 -‬עד‪.133 -‬‬
‫‪ִ .4‬מצאו את הסכום של ‪ 12‬האיברים הראשונים של סדרה חשבונית‪ ,‬אם נתון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫א( ‪a1 = -5, d = 0.5‬‬
‫ב( ‪a1 = , d = -3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ִ .5‬מצאו את הסכום של ‪ n‬איברים ראשונים של הסדרה החשבונית‪:‬‬
‫א( … ;‪ 9; 13; 17‬אם ‪n = 11‬‬
‫ב( … ;‪ -16; -10; -4‬אם ‪n = 12‬‬
‫‪ִ .6‬מצאו את סכום הסדרה‪ ,‬אם ידוע שכל המחוברים הם איברים עוקבים של סדרה‬
‫חשבונית‪:‬‬
‫א( ‪3 + 6 + 9 + … + 273‬‬
‫ב( )‪90 + 80 + 70 + … + (-60‬‬
‫‪ִ .7‬מצאו את הסכום של‪:‬‬
‫ב( כל המספרים תלת‪-‬ספרתיים‪.‬‬
‫א( כל המספרים דו‪-‬ספרתיים‬
‫‪ .8‬הסדרה החשבונית מוגדרת על‪-‬פי נוסחת האיבר הכללי‪.‬‬
‫מצאו את ‪ , S50‬אם נתון‪:‬‬
‫א( ‪an = 3n + 5‬‬
‫ב( ‪an = 7 + 2n‬‬
‫‪ .9‬הסדרה מוגדרת על‪-‬ידי כלל הנסיגה ‪ an+1 = an – 3‬והאיבר הראשון‪.a1 = 7 :‬‬
‫מצאו את הסכום של תשעת האיברים הראשונים של הסדרה‪.‬‬
‫סדרה חשבונית‬
‫‪123‬‬
‫‪ .10‬כמה מספרים טבעיים עוקבים החל מ‪ 3 -‬יש לחבר‪ ,‬כדי שסכומם יהיה ‪?75‬‬
‫‪ .11‬מצאו את ‪ an‬ו‪ d -‬של הסדרה החשבונית‪ ,‬אם נתון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫ב(‬
‫א( ‪a1 = 10, n = 14, S14 = 1050‬‬
‫‪a1 = 2 , n = 10, S10 = 90‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ .12‬מצאו את ‪ a1‬ו‪ d -‬של הסדרה החשבונית‪ ,‬אם נתון‪:‬‬
‫א( ‪a7 = 21, S7 = 205‬‬
‫ב( ‪.a11 = 92, S11 = 22‬‬
‫במ ְר ָבד‪ ,‬שכבה על גבי שכבה‪ ,‬כפי שנראה בציור‪.‬‬
‫‪ .13‬במחסן עצים מסדרים את הקורות ִ‬
‫כמה קורות במרבד אחד‪ ,‬אם בבסיסו נמצאות ‪ 12‬קורות?‬
‫‪ .14‬בסדרה חשבונית נתון ש‪ .a3 + a9 = 8 :‬מצאו את ‪.S11‬‬
‫‪ִ .15‬מצאו את האיבר הראשון וההפרש של הסדרה החשבונית‪ ,‬כאשר נתון‪:‬‬
‫‪ S5 = 65‬ו‪.S10 = 230 -‬‬
‫‪ .16‬הוכיחו שבסדרה חשבונית מתקיים השוויון‪:‬‬
‫)‪S12 = 3(S8 – S4‬‬
‫סדרה חשבונית‬
‫‪124‬‬
‫‪ §13‬סדרה הנדסית‬
‫על‪-‬פי האגדה‪ ,‬את משחק השח‪-‬מט המציאו בהודו במאה ה‪ V -‬לפנה"ס‪.‬‬
‫המלך ֶש ָרם התפעל מהמשחק והחליט להעניק פרס לממציאו‪ ,‬המתמטיקאי ֵס ָטא‪.‬‬
‫המלך שאל את המדען‪ ,‬איזה פרס היה רוצה לקבל‪.‬‬
‫סטא חשב קצת‪ ,‬וביקש את מה שעל פניו נראה‬
‫"צנוע" למדיי‪ :‬גרעין חיטה אחד על משבצת ראשונה‬
‫של לוח השח‪-‬מט‪.‬‬
‫המלך נדהם ונעלב‪" :‬אני עשיר וביכולתי להעניק לך‬
‫פרס הולם!" –‪ ,‬ואז המשיך סטא‪:‬‬
‫ על המשבצת השנייה שימו שני גרעינים‪ ,‬על השלישית – ‪ ,4‬רביעית – ‪ ,8‬חמישית –‬‫‪ ,16‬שישית – ‪ ...32‬די! צעק המלך‪ .‬תקבל ‪,‬לבקשתך‪ ,‬עבור כל משבצת מספר כפול‬
‫של גרעינים לעומת המשבצת הקודמת‪.‬‬
‫ לך‪ ,‬סטא‪ ,‬משרתיי יביאו לך שק של חיטה‪ .‬סטא חייך ויצא מהאולם‪.‬‬‫למחרת שאל המלך את משרתיו האם הביאו למדען המשוגע את הפרס שביקש‪.‬‬
‫ואולם‪ ,‬המתמטיקאים של החצר טרם השלימו את ספירת הגרעינים‪.‬‬
‫גם ביום המחרת לא השלימו את הספירה‪ .‬סבלנותו של המלך פגה‪ ,‬הוא קרא‬
‫להם ושאל אותם מדוע טרם נשלמה הספירה‪ .‬התשובה הדהימה את המלך‪ :‬כמות‬
‫הגרעינים הייתה כה גדולה‪ ,‬שבכל המחסנים בכל ארצות התבל לא הייתה בנמצא‬
‫כמות כזו של גרעינים‪ .‬כדי לחשב את מספר הגרעינים הנדרש‪ ,‬צריך לחשב את‬
‫מספרי הגרעינים על כל ‪ 64‬המשבצות‪:‬‬
‫‪1, 2, 2·2, 2·2·2, …,‬‬
‫)‪(1‬‬
‫ניעזר ברישום המכפלות באמצעות חזקות‪ ,‬ונסמן את סכום כל האיברים ב‪:S -‬‬
‫‪S = 1+2+22+23+…+264‬‬
‫בקרוב נוכיח שמספר זה שווה ל‪S = 18,446,744,073,709,551,615 -‬‬
‫זה מספר עצום‪ :‬כדי לאחסן כמות כזו של זרעים במחסן ששטח בסיסו ‪8×10‬‬
‫מ"ר‪ ,‬היא תגיע לגובה של ‪ 150,000,000‬ק"מ ‪ -‬שהוא המרחק מכדור הארץ‬
‫לשמש!‬
‫בסדרה )‪ (1‬כל איבר שווה לאיבר הקודם כפול ‪.2‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪125‬‬
‫סדרה כזאת מכונה סדרה הנדסית‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬סדרת מספרים‬
‫…‪b1, b2, b3, …, bn,‬‬
‫מכונה סדרה הנדסית‪ ,‬אם עבור כל מספר טבעי ‪ n‬מתקיים כלל נסיגה‬
‫‪bn+1 = bn·q‬‬
‫)‪(2‬‬
‫כאשר ‪ ,bn ≠ 0‬ו‪ – q -‬מספר איזשהו שאינו שווה לאפס‪.‬‬
‫מהגדרה זו נובע‪ ,‬שמנת כל שני איברים עוקבים בסדרה הנדסית היא מספר‬
‫קבוע‪ .‬למנה זו קוראים מנת הסדרה ‪:q‬‬
‫‪bn+1‬‬
‫‪=q‬‬
‫‪bn‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫)‪(3‬‬
‫א( הסדרה …‪ 2, 8, 32, 128,‬היא סדרה הנדסית שבהּ ‪.q = 4‬‬
‫‪8 32 128‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪=4‬‬
‫בדיקה‪:‬‬
‫‪2 8‬‬
‫‪32‬‬
‫ב( הסדרה …‪ 3, 9, 27, 81,‬היא סדרה הנדסית שבהּ ‪.q = 3‬‬
‫‪9 27 81‬‬
‫‪= = =3‬‬
‫‪3 9 27‬‬
‫בדיקה‪:‬‬
‫ג( הסדרה …‪ -3, -6, -12, -24,‬היא סדרה הנדסית שבהּ ‪.q = 2‬‬
‫‪-6 -12 -24‬‬
‫בדיקה‪:‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪=2‬‬
‫‪-3 -6 -12‬‬
‫מנת הסדרה יכולה להיות גם מספר שלילי‪ .‬במקרה זה האיברים הסמוכים הם‬
‫בעלי סימנים נגדיים‪.‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫הסדרה …‪ 2, -6, 18, -54,‬היא סדרה הנדסית בעלת המנה ‪.q = -3‬‬
‫בדיקה‪:‬‬
‫‪-6 12 -54‬‬
‫= =‬
‫‪= -3‬‬
‫‪2 -6 12‬‬
‫מנת הסדרה יכולה להיות גם שבר ‪ .q < 1‬במקרה זה‪ ,‬אם האיבר הראשון חיובי‪,‬‬
‫כל איבר קטן מקודמו‪ ,bn+1 = bn·q < bn :‬כלומר‪ ,‬הסדרה היא יורדת‪.‬‬
‫דוגמה לסדרה הנדסית יורדת‪:‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪126‬‬
‫נתבונן במשולש שווה‪-‬צלעות‪ ,‬בעל צלע של ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫נשרטט משולש שקודקודיו הם אמצע הצלעות של‬
‫המשולש הנתון‪ .‬צלעותיו של המשולש החדש הם‬
‫קטעים אמצעיים של המשולש המקורי‪ ,‬ולכן אורך‬
‫הצלע של המשולש הקטן הוא ‪ 2‬ס"מ‪.‬‬
‫נמשיך בניות מסוג זה‪ ,‬ונקבל משולשים בעלי‬
‫צלעות של ‪1 1‬‬
‫ס"מ וכך הלאה‪.‬‬
‫‪, ,1‬‬
‫‪4 2‬‬
‫כלומר‪ ,‬אורכי הצלעות של המשולשים מהווים סדרה‪. 4, 2, 1, 1 , 1 , ... :‬‬
‫‪2 4‬‬
‫נבדוק את המנות של איברים סמוכים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4 1‬‬
‫‪2 1 2‬‬
‫= =‬
‫=‬
‫‪= =q‬‬
‫‪4 2 1‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪.q‬‬
‫לכן‪ ,‬הסדרה היא סדרה הנדסית יורדת בעלת מנה של‬
‫‪2‬‬
‫סדרה הנדסית יכולה להיות לא עולה ולא יורדת‪.‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫א( הסדרה ‪ 7, 7, 7, 7, 7,….‬היא הנדסית‪ ,‬המנה ‪.q = 1‬‬
‫הסדרה לא עולה ולא יורדת‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ב( הסדרה ‪ - , 1, -12, 144, ...‬היא סדרה הנדסית‪ ,‬המנה ‪.q = -12‬‬
‫‪12‬‬
‫הסדרה לא עולה ולא יורדת‪Z .‬‬
‫כדי לבדוק אם סדרה נתונה היא סדרה הנדסית‪ ,‬צריך לבדוק את קיומו של‬
‫התנאי )‪ ,(3‬כלומר אם מנת כל שני איברים עוקבים היא מספר קבוע‪.‬‬
‫אם ידוע כלל נסיגה של הסדרה‪ ,‬אפשר לחשב את כל איבריה‪ ,‬לפי סדר עולה החל‬
‫מ ‪.n = 1 -‬‬
‫דוגמה ‪ 4‬סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי על‪-‬ידי כלל הנסיגה‪:‬‬
‫א( רשמו את ארבעת האיברים הראשונים‪.‬‬
‫‪W‬‬
‫‪b1 = 4‬‬
‫‪bn+1 = bn*3‬‬
‫האיבר הראשון נתון‪ .‬מכלל הנסיגה מסיקים שמנת הסדרה היא ‪.q = 3‬‬
‫נמצא את האיבר השני‪ .‬נציב בכלל הנסיגה ‪,b1+1 = b1·3 = 4·3 = 12 :n = 1‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪127‬‬
‫כלומר‪ .b2 = 12 ,‬נציב ‪b2+1 = b2·3 = 12·3 = 36 :n = 2‬‬
‫לכן‪ .b3 = 36 ,‬נציב ‪ ,b3+1 = b3·3 = 36·3 = 108 :n = 3‬כלומר‪.b4 = 108 ,‬‬
‫תשובה‪Z 4, 12, 36, 108 :‬‬
‫ב( האם סדרה הנדסית זאת עולה‪/‬קבוע‪ /‬יורדת?‬
‫‪W‬‬
‫מכיוון שהאיבר הראשון של הסדרה הוא חיובי )‪ (b1 = 4‬והמנה היא חיובית‬
‫וגדולה מ‪ ,1 -‬הסדרה עולה‪Z .‬‬
‫‪b1 = 4‬‬
‫דוגמה ‪ 5‬סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי על‪-‬ידי כלל הנסיגה‪:‬‬
‫‪bn+1 = -2*bn‬‬
‫א( רשמו את ארבעת האיברים הראשונים‪.‬‬
‫‪W‬‬
‫האיבר הראשון נתון‪ .‬מכלל הנסיגה מסיקים שמנת הסדרה היא ‪.q = -2‬‬
‫נמצא את האיבר השני‪ .‬נציב בכלל הנסיגה ‪:n = 1‬‬
‫‪,b1+1 = b1·(-2) = 4·(-2) = -8‬‬
‫כלומר‪ .b2 = -8 ,‬נציב ‪b2+1 = b2·(-2) = -8·(-2) = 16 :n = 2‬‬
‫לכן‪ .b3 = 16 ,‬נציב ‪ ,b3+1 = b3·(-2) = 16·(-2) = -32 :n = 3‬כלומר‪.b4 = -32 ,‬‬
‫תשובה‪Z 4, -8, 16, -32 :‬‬
‫ג( האם סדרה הנדסית זאת עולה‪/‬קבוע‪ /‬יורדת?‬
‫‪W‬‬
‫מכיוון שסימני האיברים הסמוכים של הסדרה מתחלפים‪ ,‬הסדרה אינה עולה‪,‬‬
‫אינה יורדת‪ ,‬ואינה קבועה‪Z .‬‬
‫דוגמה ‪ 6‬סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי על‪-‬ידי כלל הנסיגה‪:‬‬
‫א( רשמו את ארבעת האיברים הראשונים‪.‬‬
‫‪W‬‬
‫‪b1 = 108‬‬
‫‪b‬‬
‫‪bn+1 = n‬‬
‫‪3‬‬
‫האיבר הראשון נתון‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫מכלל הנסיגה מסיקים שמנת הסדרה שווה ל‪. q = -‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 108‬‬
‫= *‪b2 = b1‬‬
‫נציב בכלל הנסיגה ‪= 36 :n = 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫בדומה לכך מציבים ‪ n = 2‬ו‪ n = 3 -‬ומקבלים את האיברים האלה‪:‬‬
‫‪1 36‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= *‪b3 = b2‬‬
‫‪= 12, b4 = b3* = 12* = 4‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫איברי הסדרה הראשונים הם‪.108, 36, 12, 4 :‬‬
‫מכיוון שמנת הסדרה חיובית וקטנה מאחת‪ ,‬הסדרה היא יורדת‪Z .‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪128‬‬
‫נוסחת האיבר הכללי‬
‫באמצעות כלל נסיגה אפשר לחשב בקלות את האיברים הראשונים של סדרה‪,‬‬
‫אולם חישוב איבר בעל מספר סידורי ‪ n‬גדול מחייב לחשב את כל האיברים שלפניו‪.‬‬
‫יש דרך לחשב כל איבר‪ ,‬אם ידועים האיבר הראשון ומנת הסדרה‪.‬‬
‫נניח שהסדרה …‪ b1, b2, b3, …, bn,‬היא סדרה הנדסית בעלת המנה ‪.q‬‬
‫אז‪ ,‬באמצעות כלל נסיגה )‪ (2‬נקבל עבור כמה איברים ראשונים של הסדרה‪:‬‬
‫‪b2 = b1·q‬‬
‫‪b3 = b2·q = b1·q·q = b1·q2‬‬
‫‪b4 = b3·q = b1·q2·q = b1·q3‬‬
‫‪b5 = b4·q = b1·q3·q = b1·q4‬‬
‫‪n = 1:‬‬
‫‪n = 2:‬‬
‫‪n = 3:‬‬
‫‪n = 4:‬‬
‫מהביטויים הנ"ל אפשר להסיק שבמקרה הכללי מתקיים‪:‬‬
‫‪bn = b1·qn-1‬‬
‫)‪(4‬‬
‫נוסחה זאת מאפשרת לחשב איבר ‪ -n‬י של סדרה הנדסית‪ ,‬אם ידועים האיבר‬
‫הראשון ומנת הסדרה‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 7‬נתונה סדרה הנדסית‪.1, 3, 9, 27, … :‬‬
‫א( רשמו את נוסחת האיבר הכללי של הסדרה‪.‬‬
‫‪ W‬כדי לרשום את הנוסחה )‪ ,(4‬צריך לדעת את האיבר הראשון ‪ b1‬ואת המנה ‪ q‬של‬
‫הסדרה‪ .‬נסתכל בסדרה ומיד נגלה ש‪ .b1 = 1 -‬מנת הסדרה ‪ q‬שווה ל‪ -‬יחס שני‬
‫‪b2 3‬‬
‫איברים סמוכים כלשהם‪ ,‬למשל שני וראשון‪= = 3 :‬‬
‫‪b1 1‬‬
‫לכן נוסחת האיבר הכללי של הסדרה היא‪:‬‬
‫= ‪.q‬‬
‫‪Z bn = 1·3n-1 = 3n-1‬‬
‫ב( ִמצאו את האיבר השישי של הסדרה‪.‬‬
‫‪ W‬נציב בנוסחת האיבר הכללי ‪Z .b6 = 36-1 = 35 = 243 :n = 6‬‬
‫‪3 3 3 3‬‬
‫‪3, , , ,‬‬
‫‪,...‬‬
‫‪2 4 8 16‬‬
‫דוגמה ‪ 8‬נתונה סדרה הנדסית‪:‬‬
‫א( רשמו את נוסחת האיבר הכללי של הסדרה;‬
‫ב( מצאו את האיבר העשירי של הסדרה‪.‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪129‬‬
‫‪b2 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ W‬א( מהסתכלות על הסדרה רואים ש‪ .b1 = 3 -‬מנת הסדרה‪= : 3 = :‬‬
‫‪b1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n-1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫*‪Z bn = 3‬‬
‫נוסחת האיבר הכללי‪= n-1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪Z b10 = 10-1 = 9‬‬
‫ב( נציב בביטוי שקיבלנו ‪: n = 10‬‬
‫‪512‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מציאת ‪ n‬על‪-‬פי ‪ bn ,b1‬ו‪q -‬‬
‫=‪q‬‬
‫)(‬
‫הנוסחה לאיבר הכללי מאפשרת למצוא את מספר האיבר בסדרה על‪-‬פי גודלו‪,‬‬
‫האיבר הראשון ומנת הסדרה‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 9‬נתונים‪ .bn = 1536 ,q = 2 ,b1 = 3 :‬מצאו את ‪.n‬‬
‫‪W‬‬
‫נציב בנוסחה )‪ (4‬את הנתונים‪:‬‬
‫‪1536 = 3·2n-1 Ö 512 = 2n-1‬‬
‫מכיוון ש‪ 512 = 29 -‬רושמים‪Z .n = 10 ,n - 1 = 9 ,2n-1 = 29 :‬‬
‫מציאת ‪ q‬על‪-‬פי ‪ b1‬ו‪bn -‬‬
‫הנוסחא )‪ (4‬מאפשרת גם למצוא את מנת הסדרה על‪-‬פי האיבר הראשון והאיבר‬
‫ה ‪ - n -‬י‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫= ‪ . b7‬מצאו את ‪.q‬‬
‫דוגמה ‪ 10‬נתונים‪,b = 14 :‬‬
‫‪32 1‬‬
‫‪ W‬נציב בנוסחת האיבר הכללי את הנתונים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪= 14*q6 Ö q6‬‬
‫ = ‪ q‬או ‪Ö q = 2‬‬‫‪Y‬‬
‫‪b7 = b1·q6 Ö‬‬
‫‪64‬‬
‫‪32‬‬
‫‪2‬‬
‫מציאת ‪ bn‬על‪-‬פי ‪ bk‬ו‪bm -‬‬
‫!‬
‫אם ידועים שני איברים כלשהם של סדרה הנדסית‪ ,‬אפשר למצוא כל איבר אחר‬
‫של הסדרה‪ :‬מציבים בנוסחת האיבר הכללי את נתוני שני האיברים הידועים‪,‬‬
‫ומקבלים מערכת של שתי משוואות לגבי ‪ b1‬ו‪.q -‬‬
‫דוגמה ‪11‬‬
‫מצאו את האיבר השמיני של סדרה הנדסית‪ ,‬אם ידועים האיברים‬
‫הראשון והשלישי‪.b3 = 18 ,b1 = 162 :‬‬
‫‪ W‬נציב בנוסחת האיבר הכללי את הנתונים‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪18‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫ = ‪= , q1 = , q2‬‬‫= ‪b3 = b1·q2 Ö q‬‬
‫‪b1 162 9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪130‬‬
‫כלומר‪ ,‬יש שתי סדרות המקיימות את תנאי הבעיה‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2*34 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫כאשר = ‪ , q‬מקבלים‪:‬‬
‫=‪= 7 = 3‬‬
‫*‪b8 = b1*q7 = 162‬‬
‫‪27‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2*34‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 :‬‬
‫‪Z‬‬
‫כאשר ‪q = -‬‬
‫ *‪b8 = b1*q7 = 162‬‬‫=‪=- 7 =- 3‬‬‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪27‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫)(‬
‫) (‬
‫דוגמה ‪ 12‬בסדרה הנדסית עולה‪ ,‬האיבר הרביעי הוא ‪,24‬‬
‫והאיבר השישי הוא ‪ִ .96‬מצאו את האיבר הראשון של הסדרה‪.‬‬
‫‪ W‬נרשום את נתוני הבעיה‪.b4 = 24, b6 = 96 :‬‬
‫נציב נתונים בנוסחאות האיבר הכללי עבור שני האיברים‪:‬‬
‫‪b4 = b1·q3 = 24‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪b6 = b1·q5 = 96‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪96 b1q‬‬
‫=‬
‫נחלק )‪ (2‬ב‪= q2 , q2 = 4, q1 = 2, q2 = -2 :(1) -‬‬
‫‪24 b1q3‬‬
‫קיימות שתי סדרות שבהן האיברים הרביעי והשישי מתאימים לנונים‪ ,‬ואולם‬
‫רק אחת מהן היא עולה‪ .q = 2 :‬נציב ב‪ (1) -‬ונמצא את ‪:b1‬‬
‫תשובה‪Z . b1 = 3 :‬‬
‫‪24 24 24‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪=3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪q3 23‬‬
‫= ‪b1‬‬
‫הערה‪ :‬בסדרה השנייה ‪, b1 = 24 = -3 ,q = -2‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(-2‬‬
‫הסדרה היא‪:‬‬
‫‪ . -3, 6, -12, 24, -48, 96,...‬הסדרה לא עולה ולא יורדת‪.‬‬
‫! כדי לבדוק אם סדרה נתונה היא סדרה הנדסית צריך לוודא את קיומו של‬
‫התנאי )‪ ,(3‬כלומר לבדוק אם מנת כל שני איברים סמוכים היא מספר קבוע‪.‬‬
‫‪ Î‬דוגמה ‪ 13‬הוכיחו שסדרה שהאיבר החופשי שלה הוא ‪ bn = 72n‬היא סדרה‬
‫הנדסית‪.‬‬
‫‪bn+1‬‬
‫היא מספר קבוע שאינו תלוי ב‪.n -‬ניעזר בתכונות‬
‫‪ W‬צריך להוכיח שהמנה‬
‫‪bn‬‬
‫החזקה ונחשב אותה‪:‬‬
‫‪bn+1 72(n+1) 72n+2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪= 2n = 7 = 49‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫המנה אינה תלויה ב‪ ,n -‬לכן הסדרה היא הנדסית‪Z .‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪131‬‬
‫מציאת הסדרה עפ"י הקשרים בין איבריה‬
‫דוגמה ‪14‬‬
‫נתונים‪ :‬ההפרש בין האיברים השביעי והחמישי של סדרה הנדסית‬
‫שווה ל‪ ,48 -‬הסכום של האיברים החמישי והשישי גם הוא שווה ל‪ִ .48 -‬מצאו את‬
‫האיבר ה‪ 12 -‬של הסדרה‪.‬‬
‫‪ W‬שלב א‪ .‬רישום הנתונים ושימוש בנוסחת האיבר הכללי‪:‬‬
‫‪b1·q6 - b1·q4 = 48‬‬
‫‪b7 = b1·q6, b5 = b1·q4 Ö‬‬
‫‪b1·q4 + b1·q5 = 48‬‬
‫‪b5 + b6 = 48, b5 = b1·q4, b6 = b1·q5 Ö‬‬
‫‪b7 – b5 = 48,‬‬
‫נוציא גורמים משותפים מהסוגריים‪ ,‬ונקבל מערכת משתי משוואות עם שני‬
‫‪b1·q4 (q2 – 1) = 48‬‬
‫נעלמים ‪ b1‬ו‪:q -‬‬
‫‪4‬‬
‫‪b1·q (q + 1) = 48‬‬
‫שלב ב‪ .‬פתרון המערכת‪ .‬נשווה את אגפי שמאל‪:‬‬
‫)‪b1·q4 (q2 – 1) = b1·q4 (q + 1‬‬
‫נחלק את שני האגפים ב‪) b1·q4 -‬אשר אינו שווה לאפס(‪ ,‬ונקבל משוואה ריבועית‪:‬‬
‫‪q2 – 1 = q + 1, q2 - q – 2 = 0, q1 = 2, q2 = -1.‬‬
‫נציב ‪ q = 2‬במשוואה השנייה ונקבל‪:‬‬
‫‪.b1 = 1 ,b1·16·3 = 48 ,b1·24 (2 + 1) = 48‬‬
‫נציב ‪ q = -1‬במשוואה השנייה ונקבל‪:‬‬
‫)?( ‪b1·14 (-1 + 1) = 48 , b1· 0 = 48‬‬
‫פתרון‪.‬‬
‫למשוואה זו אין ְ‬
‫לכן‪.q = 2 ,b1 = 1 :‬‬
‫שלב ג‪ .‬כדי למצוא את ‪ b12‬נשתמש בנוסחת האיבר הכללי‪:‬‬
‫‪b12 = b1·q11 = 1·211 = 2048‬‬
‫‪Z‬‬
‫סדרה הנדסית בדוגמאות מתחומים שונים‬
‫דוגמה ‪15‬‬
‫לאחר כל מהלך של משאבת אוויר המיועדת להוצאת אוויר ממיכל‪,‬‬
‫היא מוציאה ‪ 20%‬מהאוויר הנמצא בו‪ .‬הלחץ ההתחלתי של האוויר היה ‪ 760‬מ"מ‬
‫כספית‪ .‬מה יהיה לחץ האוויר במיכל לאחר שישה מהלכים של השאיבה?‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪132‬‬
‫‪ W‬מכיוון שלאחר כל מהלך מוציאים ‪ 20%‬מהאוויר‪ ,‬נשארים במיכל ‪ 80%‬מהאוויר‪.‬‬
‫אם נסמן את הלחץ ההתחלתי ב‪ ,p1 -‬אז לאחר מהלך ראשון יהיה לחץ ‪,p2 = 0.8·p1‬‬
‫לאחר המהלך השני הלחץ יהיה שווה ל‪ ,p3 = 0.8·p2 -‬וכך הלאה‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬לפנינו סדרה הנדסית יורדת‪ ,‬אשר בה האיבר הראשון שווה ל‪p1 = 760 -‬‬
‫והמנה ‪ .q = 0.8‬הלחץ הנדרש )לאחר ‪ 6‬שאיבות( הוא האיבר השביעי של הסדרה‪:‬‬
‫)‪p7 = p1·(0.8)6 ≈ 200 (mm Hg‬‬
‫דוגמה ‪ 16‬משקל גרעין החיטה המונח על המשבצת הראשונה של לוח שח‪-‬מט הוא‬
‫‪ 1‬גרם‪ .‬בכל משבצת ביקש המתמטיקאי להניח כמות חיטה הכפולה מזו שבמשבצת‬
‫הסמוכה‪ .‬מה כמות חיטה שתהיה במשבצת ה‪ ?11 -‬ובמשבצת ה‪?21 -‬‬
‫‪W‬‬
‫כמויות החיטה בכל ערוגה מהוות סדרה הנדסית שבה‬
‫האיבר הראשון שווה ל‪ b1 = 1 -‬והמנה ‪.q = 2‬‬
‫האיבר האחת‪-‬עשרה שווה ל‪-‬‬
‫‪10‬‬
‫‪,b11 = b1·q = 1·210 = 1024 g‬‬
‫?‬
‫‪? .... ....‬‬
‫כלומר יותר מקילוגרם אחד!‬
‫‪.... ..... ..... ..... .....‬‬
‫במשבצת ‪ 21‬כמות החיטה תהיה‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫‪1‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪b21 = b1·q = 1·2 = 1,048,576 g ≈ 1000 kg = 1 ton‬‬
‫כלומר‪ ,‬אם על המשבצת הראשונה נניח גרעין אחד‪ ,‬אז על משבצת ‪ 11‬נצטרך‬
‫להניח שקית של קילוגרם אחד‪ ,‬ובמשבצת ‪ 21‬שק של טון )משקל של מכונית‬
‫ממוצעת(!‬
‫תרגילים‬
‫‪ִ .1‬רשמו את חמשת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית )‪ ,(bn‬אם נתונים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫א( ‪b1 = 6, q = 2‬‬
‫ב( = ‪b1 = -16, q‬‬
‫‪2‬‬
‫ג( ‪b1 = -24, q = -1.5‬‬
‫ד( ‪b1 = 0.4, q = 2‬‬
‫‪ .2‬הסדרה )‪ (cn‬היא סדרה הנדסית שבה האיבר הראשון שווה ל‪ c1 -‬והמנה ‪.q‬‬
‫בטאו באמצעות ‪ c1‬ו‪ q -‬את‪:‬‬
‫א ( ‪c6‬‬
‫ב( ‪c20‬‬
‫ג( ‪c125‬‬
‫ד ( ‪ck‬‬
‫ה( ‪ck+3‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪133‬‬
‫ו( ‪c2k‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .3‬סדרה )‪ (xn‬היא סדרה הנדסית‪ .‬מצאו‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫א( ‪ ,x7‬אם‬
‫‪2‬‬
‫ג( ‪ ,x8‬אם ‪x1 = 2 , q = - 2‬‬
‫‪1‬‬
‫ב( ‪ ,x8‬אם = ‪x1 = -810, q‬‬
‫‪3‬‬
‫ד( ‪ ,x6‬אם ‪x1 = 125, q = 0.2‬‬
‫= ‪x1 = 16, q‬‬
‫‪ .4‬סדרה )‪ (bn‬היא סדרה הנדסית‪ .‬מצאו את‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫א( ‪ ,b‬אם ‪2‬‬
‫= ‪ b1 = , q‬ב( ‪ ,b4‬אם‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .5‬מצאו את האיבר השביעי והאיבר הכללי של סדרה הנדסית‪:‬‬
‫= ‪b1 = 1.8, q‬‬
‫א( … ‪2, -6,‬‬
‫ב( … ‪-40, -20,‬‬
‫ג( … ‪-0.125, 0.25,‬‬
‫ד( … ‪-10, 10,‬‬
‫‪ .6‬מצאו את האיבר השישי והאיבר הכללי של סדרה הנדסית‪:‬‬
‫‪64 32‬‬
‫ב( ‪, - , ...‬‬
‫א( … ‪48, 12,‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫ג( … ‪ -0.001, -0.01,‬ד( … ‪-100, 10,‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .7‬במשולש ‪ ABC‬העבירו קטע אמצעי ‪.A1C1‬‬
‫‪C3‬‬
‫‪C2‬‬
‫במשולש ‪ A1BC1‬העבירו קטע אמצעי ‪,A2C2‬‬
‫במשולש החדש שנוצר ‪ A2BC2‬העבירו קטע אמצעי‬
‫‪A3‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪ A3C3‬וכך הלאה‪.‬‬
‫‪A1‬‬
‫ִמצאו את שטח המשולש ‪ ,A9BC9‬אם ידוע ששטח‬
‫המשולש ‪ ABC‬שווה ל‪ 768 -‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪C‬‬
‫מצאו את האיבר הראשון של סדרה הנדסית )‪ (bn‬אם ידועים‪:‬‬
‫א( ‪b6 = 3, q = 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ב( ‪b5 = 17 , q = -2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫א( ‪c5 = -6, c7 = -54‬‬
‫ב( ‪c6 = 26, c8 = 9‬‬
‫‪ .9‬מצאו את מנת הסדרה ההנדסית )‪ (cn‬אם ידועים‪:‬‬
‫‪ .10‬סדרה )‪ (xn‬היא סדרה הנדסית‪ .‬מצאו‪:‬‬
‫א( ‪ ,x1‬אם ‪ x6 = 0.32, q = 0.2‬ב( ‪ ,q‬אם ‪.x3 = -162, x5 = -18‬‬
‫‪ .11‬בין המספרים ‪ 2‬ו‪ 162 -‬רשמו שלושה מספרים כאלה‪ ,‬שיחד עם המספרים‬
‫הנתונים הם ייצרו סדרה הנדסית‪ .‬מהם שלשת המספרים‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪134‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .12‬סדרה הנדסית )‪ (xn‬מורכבת מארבעה איברים‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ . 2, a, b,‬מצאו את ‪ a‬ו‪.b -‬‬
‫‪ .13‬מצאו את האיבר השישי של סדרה הנדסית )‪ ,(bn‬אם ידוע ש‪.b4 = 24 ,b2 = 6 -‬‬
‫‪ .14‬נתון משולש שווה‪-‬צלעות‪ ,‬בעל צלע של ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫מצלעותיו בנו משולש שני‪ .‬מצלעותיו של השני בנו עוד‬
‫משולש וכך הלאה‪ .‬הוכיחו שהיקפי המשולים מהווים‬
‫סדרה הנדסית‪ ,‬ומצאו את ההיקף של המשולש השישי‪.‬‬
‫‪ Î.15‬נתון ריבוע שאורך צלעו שווה ל‪ 4 -‬ס"מ‪.‬‬
‫נקודות האמצע של צלעותיו ִהנן קודקודים של ריבוע‬
‫שני‪ .‬נקודות האמצע של הריבוע השני ִהנן קודקודים‬
‫של ריבוע שלישי וכך הלאה‪ .‬הוכיחו ששטחים של‬
‫הריבועים מהווים סדרה הנדסית ‪ ,‬ומצאו את השטח‬
‫של הריבוע השביעי‪.‬‬
‫‪ §14‬סכום של ‪ n‬איברים ראשונים של סדרה הנדסית‬
‫כיצד לחשב את מספר הגרעינים על לוח השח‪-‬מט שביקש המתמטיקאי סטא?‬
‫מכיוון שמספרי הגרעינים מהווים סדרה הנדסית שבה האיבר הראשון ‪ b1 = 1‬והמנה‬
‫‪ ,q = 2‬יודעים אנחנו לחשב את מספר הגרעינים בכל משבצת‪. bn = b1·qn-1 = 2n-1 :‬‬
‫אנחנו רוצים לחשב את סכום מספרי הגרעינים על כל ‪ 64‬המשבצות‪:‬‬
‫‪S = 1 + 2 + 22 + 23 +…+ 263‬‬
‫נכפיל את שני האגפים של השוויון הזה במנת הסדרה )‪:(2‬‬
‫= ‪2S = 2·1 + 2·2 + 2·22 + 2·23 +…+ 2·263‬‬
‫‪= 2 + 22 + 23 + 24 +…+ 264‬‬
‫נחסיר ביטוי ראשון מהשני‪:‬‬
‫…= )‪2S – S = (2 + 22 + 23 + 24 +…+ 264) – (1 + 2 + 22 + 23 +…+ 263‬‬
‫רואים שמהביטוי בסוגריים שמאליים תישאר רק החזקה ‪ , 264‬ומהשני רק )‪.(-1‬‬
‫לכן‪ ,‬התוצאה היא‪:‬‬
‫‪S = 264 – 1‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪135‬‬
‫זה מספר עצום‪ :‬הוא גדול בהרבה מכמות החיטה שגדלה עד כה על פני כדור‬
‫הארץ‪...‬‬
‫נפתח כעת נוסחה לסכום של ‪ n‬איברים ראשונים של סדרה הנדסית כלשהי‪.‬‬
‫ֵ‬
‫ניעזר באותה השיטה שבעזרתה מצאונו את הסכום ‪:S‬‬
‫נסמן ב‪ Sn -‬את הסכום של ‪ n‬איברים ראשונים של סדרה הנדסית )‪:(bn‬‬
‫‪Sn = b1 + b2 + b3 + …+ bn‬‬
‫נכפיל את שני האגפים ב‪:q -‬‬
‫‪Snq = b1q + b2q + b3q + …+ bnq‬‬
‫מכיוון ש‪-‬‬
‫‪b1q = b2, b2q = b3, b3q = b4, …,bn-1q = bn‬‬
‫‪Snq = b2 + b3 + b4 + …+ bn + bnq‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫נחסיר מהביטוי האחרון את הביטוי עבור ‪:Sn‬‬
‫= ‪Snq - Sn‬‬
‫= )‪(b2 + b3 + b4 + …+ bn + bnq) – (b1 + b2 + b3 + …+ bn‬‬
‫‪= bnq – b1‬‬
‫נחלץ ‪:Sn‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪Sn(q – 1) = bnq – b1‬‬
‫‪bnq - b1‬‬
‫‪q-1‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫פיתחנו נוסחה לסכום של ‪ n‬איברים ראשונים של סדרה הנדסית שבה המנה‬
‫אינה שווה ל‪ .1 -‬אם ‪ q = 1‬אז כל האיברים שווים לאיבר הראשון‪ ,‬ו‪.Sn = n·b1 -‬‬
‫אם נתונים ‪ b1‬ו‪ bn) q -‬לא ידוע(‪ ,‬נוח יותר להשתמש בצורה אחרת של נוסחת‬
‫הסכום‪ :‬נציב ב‪ (1) -‬את הביטוי לאיבר הכללי )‪:(bn = b1qn-1‬‬
‫)‪b1*qn-1*q - b1 b1*qn - b1 b1(qn - 1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫= ‪Sn‬‬
‫‪q-1‬‬
‫‪q-1‬‬
‫‪q-1‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫) ‪b 1 (q n - 1‬‬
‫‪, q×1‬‬
‫‪q-1‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪136‬‬
‫)‪(2‬‬
‫דוגמה ‪ִ 1‬מצאו סכום של עשרת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית )‪,(bn‬‬
‫‪1‬‬
‫שבה ‪ b1 = 3‬ו‪. q = -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ W‬מכיוון שנתונים ‪ b1‬ו‪ ,q -‬אפשר להשתמש בנוסחה )‪.(2‬‬
‫נציב נתונים בנוסחה ונקבל‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫( ) ) ((‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫*‪3‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪b1(q10 - 1) 3* 2 - 1‬‬
‫‪1024‬‬
‫‪3‬‬
‫‪509‬‬
‫= ‪S10‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪=6‬‬‫‪=5‬‬
‫‪q-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪512‬‬
‫‪512‬‬
‫‪-1‬‬
‫‬‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫דוגמה ‪ 2‬בסדרה הנדסית נתונים מנה = ‪q‬‬
‫‪2‬‬
‫וסכום של שישה איברים ראשונים‪.S6 = 252 :‬‬
‫מצאו את האיבר הראשון‪.‬‬
‫‪ W‬ניעזר בנוסחה )‪ ,(2‬ונציב בה את הנתונים‪:‬‬
‫)‬
‫מכאן נחלץ את ‪:b1‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪26‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬‫‪2‬‬
‫‪b1 1 -‬‬
‫‪b *63‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, 252 = 1‬‬
‫‪, b1 = 128‬‬
‫‪64‬‬
‫‪32‬‬
‫= ‪252‬‬
‫) (‬
‫‪Y‬‬
‫‪252 =2b1 1-‬‬
‫דוגמה ‪ 3‬סכום של ‪ n‬איברים ראשונים בסדרה הנדסית שווה ל‪.(-93) -‬‬
‫האיבר הראשון של הסדרה שווה ל‪ ,(-3) -‬והמנה שווה ל‪ .q = 2 -‬מצאו את ‪.n‬‬
‫‪ W‬נציב נתונים בנוסחה )‪:(2‬‬
‫מכאן מקבלים‪:‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪n‬‬
‫) ‪-3*(1 - 2‬‬
‫‪1-2‬‬
‫= ‪-93‬‬
‫‪-31 = 1 – 2n, 2n = 32, 2n = 25, n = 5‬‬
‫דוגמה ‪ 4‬הסדרה … ‪ 5, 15, 45, …, 1215,‬היא סדרה הנדסית‪.‬‬
‫מצאו את הסכום ‪.5 + 15 + 45 + …+ 1215‬‬
‫‪ W‬מכיוון ש‪ b1 = 5 -‬ו‪ b2 = 15 -‬מסיקים ש‪ .q = 3 -‬נתון גם ‪ ,bn = 1215‬אולם לא‬
‫נתון מספר סידורי ‪ n‬של האיבר האחרון‪ .‬לכן נוח יותר להיעזר בנוסחה )‪:(1‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪bn*q - b1 1215*3 - 5 3645 - 5‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪= 1820‬‬
‫‪q-1‬‬
‫‪3-1‬‬
‫‪2‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪137‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬מצאו סכום של ‪ n‬איברים ראשונים של סדרה הנדסית אם נתון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ב( ‪b1 = 1, q = - , n = 4‬‬
‫א( ‪b1 = , q = 2, n = 6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ד( ‪b1 = -5, q = - , n = 5‬‬
‫ג( ‪b1 = -2, q = , n = 5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ה( ‪b1 = 6, q = 1, n = 200‬‬
‫ו( ‪b1 = -4, q = 1, n = 100‬‬
‫‪ .2‬מצאו סכום של שבעת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית‪:‬‬
‫א( … ‪5, 10, 20,‬‬
‫ב( … ‪2, 6, 18,‬‬
‫‪ִ .3‬מצאו בסדרה הנדסית‪:‬‬
‫א( ‪ b1‬ו‪ ,b7 -‬אם נתונים‪S7 = 635 ,q = 2 :‬‬
‫ב( ‪ b1‬ו‪ ,b8 -‬אם נתונים‪S8 = 85 ,q = -2 :‬‬
‫‪ .4‬מצאו את מספר האיברים בסדרה הנדסית‪ ,‬אם נתונים‪:‬‬
‫א( ‪Sn = 189, b1 = 3, q = 2‬‬
‫ב( ‪Sn = 635, b1 = 5, q = 2‬‬
‫ג( ‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬מצאו בסדרה הנדסית‪:‬‬
‫‪ Sn = 170, b1 = 256, q = -‬ד( ‪Sn = -99, b1 = -9, q = -2‬‬
‫א( ‪ n‬ו‪ ,bn -‬אם נתונים‪b1 = 7, q = 3, Sn = 847 :‬‬
‫ב( ‪ n‬ו‪ ,bn -‬אם נתונים‪b1 = 8, q = 2, Sn = 4088 :‬‬
‫ג( ‪ n‬ו‪ ,q -‬אם נתונים‪b1 = 2, bn = 1458, Sn = 2186 :‬‬
‫ד( ‪ n‬ו‪ ,q -‬אם נתונים‪b1 = 1, bn = 2401, Sn = 2801 :‬‬
‫‪ .6‬מצאו את סכום המספרים‪ ,‬אם ידוע שכולם הינם איברים עוקבים של סדרה‬
‫הנדסית‪:‬‬
‫א( ‪1 + 2 + 4 + … + 128‬‬
‫ב( ‪1 + 3 + 9 + … + 243‬‬
‫ג( ‪-1 + 2 – 4 + … + 128‬‬
‫ד( ‪5- 15 + 45 - … + 405‬‬
‫‪ .7‬מצאו בסדרה הנדסית את ‪ b5‬ו‪ ,S4 -‬אם ידוע ש‪-‬‬
‫א( ‪b2 = 15, b3 = 25‬‬
‫ב( ‪b2 = 14, b4 = 686, q > 0‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪138‬‬
‫‪ .8‬בסדרה הנדסית נתונה נוסחת האיבר הכללי‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫א( ‪ ;bn = 3·2n-1‬מצאו את ‪S5‬‬
‫ב(‬
‫‪ .9‬מצאו בסדרה הנדסית‪ ,‬על‪-‬פי הנתונים‪:‬‬
‫) ‪( 12‬‬
‫‪ ;bn = -2‬מצאו את ‪.S6‬‬
‫א( ‪ ;b3 = 135 ,S3 =195‬מצאו‪ b1 :‬ו‪q -‬‬
‫ב( ‪ ;b1 = 12 ,S3 = 372‬מצאו‪ b3 :‬ו‪q -‬‬
‫‪ .10‬מצאו בסדרה הנדסית‪:‬‬
‫א( ‪ ,q‬אם נתונים‪ b1 = 1 :‬ו‪;b3 + b5 = 90 -‬‬
‫ב( ‪ ,q‬אם נתונים‪ b2 = 3 :‬ו‪;b4 + b6 = 60 -‬‬
‫ג( ‪ ,S10‬אם נתונים‪ b1 – b3 = 15 :‬ו‪;b2 - b4 = 30 -‬‬
‫ד( ‪ ,S5‬אם נתונים‪ b3 – b1 = 24 :‬ו‪.b5 - b1 = 624 -‬‬
‫‪ .11‬הוכיחו שהסדרה )‪ (bn‬היא סדרה הנדסית‪ ,‬ומצאו סכום של ‪ n‬איבריה הראשונים‪,‬‬
‫אם נתונה נוסחת האיבר הכללי‪:‬‬
‫א( ‪bn = 0.2·5n‬‬
‫ב( ‪bn = 3·2n-1‬‬
‫ג( ‪bn = 31+n‬‬
‫‪ .12‬מצאו סכום של ‪ n‬איברים ראשונים של סדרה הנדסית‪:‬‬
‫ב( …‪2, 22, 23,‬‬
‫א( … ‪1, 3, 32,‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫ד( ‪1, -x, x2, …, x ≠ 1‬‬
‫ג(‬
‫‪, - , , ...‬‬
‫‪2 4 8‬‬
‫ה( ‪ 1, x2, x4, …, x ≠ ±1‬ו( ‪1, -x3, x6, …, x ≠ ±1‬‬
‫‪ .13‬מצאו סכום של ששת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית שבה האיבר‬
‫הראשון שווה ל‪ ,2 -‬והאיבר החמישי שווה ל‪ ,162 -‬אם ידוע שאיברי הסדרה בעלי‬
‫מספר סידורי ‪ n‬אי‪-‬זוגי הם חיוביים‪ ,‬ואלה עם ‪ – n‬זוגי הם שליליים‪.‬‬
‫‪ .14‬מצאו סכום של שבעת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית )‪,(bn‬‬
‫שבה ‪ b2 = 6‬ו‪ ,b4 = 54 -‬אם ידוע שכל איבריה חיוביים‪.‬‬
‫‪ .15‬חידה מ"אלף לילה ולילה"‬
‫אישה צעירה נכנסה לגן של מלך וקטפה סל תפוחים‪ .‬כדי לצאת מהגן צריך לעבור‬
‫דרך ארבעה שערים‪ ,‬שליד כל אחד מוצב שומר‪ .‬לשומר הראשון נתנה האישה חצי‬
‫מהתפוחים שקטפה‪ ,‬לשני – חצי ממה שנשאר‪ .‬כך עשתה גם עם השומר השלישי‬
‫והרביעי‪ .‬לבסוף‪ ,‬נשארו לה עשרה תפוחים‪ .‬כמה תפוחים היא קטפה בגן?‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪139‬‬
‫‪ §15‬גדילה ודעיכה‬
‫קטן(‪,‬‬
‫גדל או ֵ‬
‫כאשר איברי הסדרה הם הערכים של גודל מסוים המשתנה בזמן ) ֵ‬
‫אנו מדברים על תופעות של גידול או דעיכה‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬מפקידים בבנק כסף לשנה אחת‪ .‬הבנק מבטיח להחזיר את הסכום‬
‫שהפקדנו בתוספת ריבית‪.‬‬
‫אם הפקדנו סך של ‪ ,₪ M0‬ושיעור הריבית הוא ‪ ,α‬אז לאחר שנה אחת נקבל‬
‫סך של‬
‫)‪M1 = M0 + M0·α = M0(1 + α‬‬
‫)‪(1‬‬
‫בנוסחה זו‪ M0 ,‬היא הכמות ההתחלתית ו‪ M0·α -‬היא התוספת בתום התקופה‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 1‬מפקידים ‪ ₪ 1,000‬לשנה אחת‪ .‬שיעור הריבית הוא ‪.10%‬‬
‫כמה כסף נקבל בתום השנה?‬
‫‪W‬‬
‫נרשום נתונים‪ . M0 = 1000, α = 10% = 0.1 :‬נשתמש בנוסחה )‪:(1‬‬
‫)‪M1 = M0(1 + α) = 1000·(1 + 0.1) = 1000·1.1 = 1100 (₪‬‬
‫‪Z‬‬
‫אם סיכמנו עם הבנק שהכסף יופקד לשנתיים‪ ,‬באותה ריבית שנתית‪ ,‬שתחושב‬
‫בתום כל התקופה‪ ,‬אז נקבל סך של ‪-‬‬
‫‪Z‬‬
‫)‪M2 = M0(1 + 2α) = 1000·(1 + 2·0.1) = 1000·1.2 = 1200 (₪‬‬
‫ריבית מסוג זה‪ ,‬המחושבת בסוף כל תקופת הפיקדון‪ ,‬מכונה ריבית פשוטה‪.‬‬
‫כדי לחשב אותה‪ ,‬צריך לדעת את שיעור הריבית ‪ α‬לפרק זמן נתון )למשל‪ ,‬שנה‪,‬‬
‫חצי שנה‪ ,‬חודש וכד'(‪ ,‬וכמה פרקי זמן אלה ‪ - n -‬נכללים בכל התקופה‪.‬‬
‫את כמות הכסף בתום כל התקופה אפשר לחשב אז על‪-‬פי הנוסחה של ריבית פשוטה‪:‬‬
‫)‪Mn = M0(1 + nα‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫)‪(2‬‬
‫כמה כסף יחזיר הבנק בתום תקופה של חמש שנים עבור פיקדון של‬
‫בתנאי ריבית שנתית פשוטה של ‪?8%‬‬
‫ֵ‬
‫‪ ₪ 1000‬שהופקדו‬
‫‪W‬‬
‫נרשום נתונים‪ .M0 = 1000, α = 8% = 0.08, n = 5 :‬נשתמש בנוסחה )‪:(2‬‬
‫)‪M1 = M0(1 + 5α) = 1000·(1 + 5·0.08) = 1000·1.4 = 1400 (₪‬‬
‫!‬
‫סיכום‪ :‬ריבית פשוטה מחושבת פעם אחת‪ ,‬בתום כל התקופה‪,‬‬
‫גם אם שיעור הריבית נתון לפי פרק הזמן הקצר מכל התקופה‪.‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪140‬‬
‫ריבית ֶדריבית‬
‫נבדוק‪ ,‬האם הפקדה בריבית פשוטה מניבה רווח מקסימלי‪ .‬נשווה שני‬
‫תרחישים‪ :‬באחד‪ ,‬נפקיד בבנק ‪ ₪ 1000‬ל‪ -‬חמש שנים בריבית שנתית פשוטה של‬
‫‪ ,8%‬המחושבת בתום כל התקופה‪.‬‬
‫הבנק יחזיר לנו ‪,M = 1000⋅(1 + 5⋅0.08) = 1,400 ₪‬‬
‫כלומר הרווח שלנו יהיה‬
‫‪.1400 – 1000 = 400 ₪‬‬
‫בתרחיש אחר‪ ,‬נפקיד אותו סכום של ‪ ₪ 1000‬בריבית שנתית של ‪ 8%‬לשנה אחת‪.‬‬
‫בתום השנה נוציא סכום של ‪,M1 = M0(1 +0.08) = 1000·1.08 = 1080 ₪‬‬
‫ונפקיד אותו שוב באותה הריבית לעוד שנה אחת‪.‬‬
‫בתום השנה השנייה נקבל סכום של ‪,M2 = M1(1 + α) = 1080·1.08 = 1166.4 ₪‬‬
‫נחזור על פעולה זו עוד שלוש פעמים‪:‬‬
‫בתום שנה שלישית נקבל ‪,M3 = M2(1 + α) = 1166.4·1.08 = 1259.7 ₪‬‬
‫בתום שנה רביעית נקבל‬
‫‪,M4 = M3(1 + α) = 1259.7·1.08 = 1360.5 ₪‬‬
‫ובתום שנה חמישית נקבל ‪.M5 = M4(1 + α) = 1360.5·1.08 = 1469.3 ₪‬‬
‫בתנאי ריבית‬
‫ֵ‬
‫לסיכום‪ ,‬נקבל ‪ ₪ 69.3‬יותר לעומת ‪ ₪ 1400‬שהיינו מקבלים‬
‫פשוטה‪.‬‬
‫שיטת חישוב זו‪ ,‬שבה הריבית מחושבת בתום כל פרק הזמן שעבורו נקבעה‬
‫הריבית‪ ,‬והסכום החדש ישמש כקרן התחלתית )‪ (M0‬עבור התקופה הבאה‪ ,‬מכונה‬
‫ריבית דריבית‪.‬‬
‫נפתח נוסחה לחישוב ריבית דריבית‪.‬‬
‫ֵ‬
‫גדל בשיעור הריבית ‪ α‬כל פרק‬
‫נניח שהערך ההתחלתי היה שווה ל‪ ,M0 -‬והוא ֵ‬
‫זמן שמוגדר מראש‪ .‬מה יהיה הערך הסופי ‪ Mn‬לאחר ‪ n‬פרקי זמן?‬
‫בתום פרק הזמן הראשון הערך יהיה שווה ל‪-‬‬
‫)‪M1 = M0(1 + α‬‬
‫עבור פרק הזמן השני‪ ,‬הערך הזה יהפוך להתחלתי‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫‪M2 = M1(1 + α) = M0(1 + α)·(1 + α) = M0(1 + α)2‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪141‬‬
‫בדומה לכך נקבל עבור פרקי הזמן הבאים‪:‬‬
‫‪M3 = M2(1 + α) = M0(1 + α)3‬‬
‫‪M4 = M3(1 + α) = M0(1 + α)4‬‬
‫‪.................................................‬‬
‫‪Mn = M0(1 + α)n‬‬
‫)‪(3‬‬
‫באמצעות נוסחה זו אפשר לחשב ערך מסוג כלשהו )פיקדון כספי‪ ,‬גודל‬
‫אוכלוסייה‪ ,‬מספר החיידקים שמתרבים ועוד(‪ ,‬ששיעור הגידול שלו ‪ α‬נמצא‬
‫ביחס ישר לגודל התחלתי‪.‬‬
‫רואים‪ ,‬שהערכים העוקבים של ‪ Mn‬יוצרים סדרה הנדסית עולה‪ ,‬כאשר האיבר‬
‫הראשון הוא ‪ M0‬והמנה היא )‪ .q = (1 + α‬כאשר ‪ ,α > 0‬המנה גדולה מ‪,1 -‬‬
‫גדלה‪ ,‬והתהליך מכונה גדילה‪.‬‬
‫והסדרה עולה‪ ,‬כלומר‪ ,‬הכמות ההתחלתית ֵ‬
‫מהנוסחה )‪ (3‬רואים שאם ידועים שלושה מארבעת הערכים ‪ Mn, M0, α‬ו‪,n -‬‬
‫אפשר למצוא את הערך הרביעי‪.‬‬
‫מציאת שיעור הגדילה ‪α‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫חלקת יער הכילה לפני עשר שנים ‪ 15,000‬עצים‪ .‬היום יש בחלקה ‪ 22,000‬עצים‪.‬‬
‫שיעור גדילת מספר העצים נשאר קבוע‪.‬‬
‫א( מה שיעור הגדילה השנתי?‬
‫‪ W‬נרשום את הנתונים‪α = ? .M10 = 22000 ,n = 10 ,M0 = 15000 :‬‬
‫נשתמש בנוסחה )‪ ,Mn = M0(1 + α)n :(3‬ונחלץ ממנה ‪:α‬‬
‫‪n M‬‬
‫‪n M‬‬
‫‪Mn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪, 1+¹‬‬
‫=‪, ¹‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪M0‬‬
‫‪M0‬‬
‫‪M0‬‬
‫‪n‬‬
‫= )‪(1+¹‬‬
‫נציב נתונים ונקבל תשובה‪:‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪22000‬‬
‫‪- 1 = 1.039 - 1 = 0.039 = 3.9%‬‬
‫‪15000‬‬
‫‪10‬‬
‫=‪¹‬‬
‫הערה‪ :‬כדי לחשב שורש ‪-n‬י אפשר להשתמש במחשבון או בתוכנת מחשב‬
‫מתאימה‪.‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪142‬‬
‫מציאת הכמות הסופית ‪Mn‬‬
‫ב( כמה עצים יהיו בחלקה בעוד עשר שנים?‬
‫‪ W‬נציב בנוסחה )‪ (3‬את ‪ α‬שמצאנו‪:‬‬
‫‪M20 = M10(1 + α)10 = 22000·(1 + 0.039)10 ≈ 32267‬‬
‫הערה‪ :‬אפשר להציב בנוסחה את הכמות ההתחלתית ‪ M0 = 15000‬ו‪:n = 20 -‬‬
‫‪M20 = M0(1 + α)20 = 15000·(1 + 0.039)20 ≈ 32267‬‬
‫דוגמה ‪ 4‬בנק מציע שתי תכניות חיסכון‪:‬‬
‫תכנית א'‪ ,‬בריבית שנתית של ‪,8%‬‬
‫ותכנית ב'‪ ,‬שבה הריבית היא ‪ ,16%‬אולם היא משולמת פעם בשנתיים‪.‬‬
‫באיזו תכנית כדאי יותר להשקיע כסף ל‪ -‬ארבע שנים?‬
‫‪W‬‬
‫נרשום את הנתונים עבור תכנית א'‪) M0 :‬אינה ידועה(‪,α1 = 0.08 ,n = 4 ,‬‬
‫‪) Ma‬מצב חשבון בתום התקופה(‪.‬‬
‫עבור תכנית ב'‪) M0 :‬השווה לזו שבתכנית א'(‪) n = 2 ,‬מכיוון שריבית משולמת‬
‫פעם בשנתיים(‪) Mb ,α2 = 0.16 ,‬מצב חשבון בתום התקופה(‪.‬‬
‫נציב נתונים בנוסחה )‪Ma = M0(1 + α1)4 = M0·1.084 = M0·1.36 :(3‬‬
‫‪Mb = M0(1 + α2)2 = M0·1.162 = M0·1.345‬‬
‫רואים‪ ,‬ש‪ ,Ma > Mb -‬כלומר‪ ,‬תכנית א' ָכדאית יותר‪.‬‬
‫‪Z‬‬
‫מציאת הכמות ההתחלתית ‪M0‬‬
‫דוגמה ‪5‬‬
‫אוכלוסייה במדינה מסוימת גדלה כל שנה ב‪ .1.5% -‬ב‪ 1.1.2010 -‬נערך‬
‫מפקד אוכלוסין‪ ,‬והתברר כי מספר תושבי המדינה הוא ‪ 13.5‬מיליון‪.‬‬
‫מה היה מספר התושבים במדינה ‪ 20‬שנים קודם?‬
‫‪ W‬נרשום את הנתונים‪) :‬מיליון( ‪.M0 = ? ,α = 0.015 ,n = 20 ,M20 = 12.5‬‬
‫נשתמש בנוסחה )‪:(3‬‬
‫‪ ,Mn = M0(1 + α)n‬ונחלץ ממנה ‪: M0‬‬
‫‪Mn‬‬
‫‪(1 + ¹) n‬‬
‫= ‪M0‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪143‬‬
‫‪13.5‬‬
‫נציב נתונים‪) :‬מיליון( ‪= 10‬‬
‫‪20‬‬
‫)‪(1+0.015‬‬
‫= ‪M0‬‬
‫‪Z‬‬
‫מציאת ‪n‬‬
‫דוגמה ‪ 6‬בשמורת טבע סופרים את העופות הדורסים מדי שנה באותו תאריך‪.‬‬
‫לפני שנה נספרו ‪ 1,093‬עופות‪.‬‬
‫בספירה השנה נספרו ‪ 1,507‬עופות‪.‬‬
‫אוכלוסיית העופות גדלה בשיעור קבוע‪.‬‬
‫כעבור כמה שנים יהיו בשמורה ‪ 3,950‬עופות דורסים?‬
‫‪W‬‬
‫נרשום נתונים‪n = ? ,Mn = 3950 ,M1 = 1507 ,n = 1 ,M0 = 1093 :‬‬
‫נשתמש בנוסחה )‪:(3‬‬
‫‪ ,Mn = M0(1 + α)n‬ונחלץ ממנה ‪: (1 + α)n‬‬
‫‪Mn‬‬
‫‪M0‬‬
‫= ‪(1 + ¹) n‬‬
‫רואים‪ ,‬שיש שני נעלמים‪ n :‬ו‪ .α -‬כדי למצוא את ‪ α‬ניעזר בקשר בין ‪:M1 -M0‬‬
‫‪M1‬‬
‫‪M‬‬
‫‪1507‬‬
‫=‪, ¹ = 1 -1‬‬
‫‪-1= 0.379‬‬
‫‪M0‬‬
‫‪M0‬‬
‫‪1093‬‬
‫= ‪1+ ¹‬‬
‫‪M1 = M0(1 + α) Ö‬‬
‫נציב בביטוי הקודם‪:‬‬
‫‪3950‬‬
‫‪Ó 3.61, 1.379n = 3.61‬‬
‫‪1093‬‬
‫קיבלנו משוואה שבה הנעלם )‪ (n‬הוא מעריך החזקה‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫= )‪(1+0.379‬‬
‫לכן משוואה מסוג זה מכונה משוואה מעריכית‪.‬‬
‫יש כמה דרכים לפתור אותה; אנחנו נשתמש בדרך הקלה‪ ,‬אולם לעתים ארוכה‪:‬‬
‫ניסוי וטעייה‪.‬‬
‫נציב במשוואה כמה ערכים הגיוניים של ‪ ,n‬ונראה‪ ,‬איזה מהם מתאים‪:‬‬
‫ברור ש‪ .n > 1 -‬ננסה ‪,1.3793 = 2.622 :n = 3 ,1.3792 = 1.902 :n = 2‬‬
‫‪ ,1.3794 = 3.612 :n = 4‬כלומר‪ n = 4 ,‬מקיים את המשוואה‪.‬‬
‫תשובה‪.n = 4 :‬‬
‫‪Z‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪144‬‬
‫דעיכה‬
‫ישנן תופעות רבות שבהן כמות התחלתית הולכת וקטנה עם הזמן‪.‬‬
‫לדוגמה‪ :‬רכב חדש מאבד כל שנה שיעור מסוים מערכו; חומר רדיואקטיבי‪ ,‬כמו‬
‫אורניום‪ ,‬מתפרק‪ ,‬ומאבד כל פרק זמן מסוים חלק ממשקלו; מים הנמצאים בכלי‬
‫פתוח מתאדים ומאבדים חלק ממשקלם‪.‬‬
‫וקטנה‪ ,‬שיעור הגדילה הופך לשלילי‪,α < 0 ,‬‬
‫כאשר כמות התחלתית הולכת ֵ‬
‫המנה אפוא תהיה קטנה מ‪ ,q = (1+ α) < 1 :1 -‬וסדרת ערכי הכמות תהיה סדרה‬
‫הנדסית יורדת‪ .‬תהליך כזה מכונה דעיכה‪.‬‬
‫אם לרשום את שיעור הדעיכה ‪ α‬כמספר חיובי‪ ,‬אז הנוסחה )‪ (3‬במקרה של‬
‫דעיכה תקבל צורה‪:‬‬
‫‪Mn = M0(1 - α)n‬‬
‫)‪(4‬‬
‫כמו במקרים של גדילה‪ ,‬באמצעות נוסחה זו אפשר לחשב כל אחד מהפרמטרים‬
‫‪ Mn, M0, α‬ו‪ ,n -‬אם שלושת הפרמטרים האחרים ידועים‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 7‬קניתי מכונית ב‪ .₪ 125,000 -‬ידוע שערך המכונית יורד כל שנה ב‪-‬‬
‫‪ .15%‬מה יהיה ערכה של המכונית בבידוק בעוד ‪ 5‬שנים?‬
‫‪ W‬נרשום את הנתונים‪ ,M5 = ? .n = 5 ,α = 0.15 ,M0 = 125000 :‬ונציב אותם‬
‫בנוסחה )‪:(4‬‬
‫)‪M5 = 125000·(1 – 0.15)5 = 125000·(0.85)5 = 55,463 (₪‬‬
‫קטנה כל חמש שעות בשיעור מסוים‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 8‬כמות חומר רדיואקטיבי ֵ‬
‫מדי חמש שעות החל מהשעה ‪.6:00‬‬
‫מדען שקל את החומר ֵ‬
‫בשקילה הראשונה הייתה מסת החומר שווה ל‪ 50 -‬גרם‪.‬‬
‫בשעה ‪ 11:00‬הייתה המסה שווה ל‪ 40 -‬גרם‪.‬‬
‫בשקילה נוספת הייתה מסת החומר שווה ל‪ 25.6 -‬גרם‪.‬‬
‫באיזו שעה נערכה המדידה?‬
‫‪ W‬נרשום את הנתונים‪.t = 5 ,M0 = 50 :‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪145‬‬
‫‪Z‬‬
‫פרק הזמן בין שתי השקילות הראשונות שווה ל‪ ,11 – 6 = 5 -‬לכן ‪ ,n = 1‬ואפשר‬
‫לרשום נתון נוסף‪ .M1 = 40 :‬שקילה נוספת נערכה כעבור ‪ n‬פרקי זמן בני ‪ 5‬שעות‬
‫כל אחד‪ ,‬והתוצאה הייתה‪ .Mn = 25.6 :‬צריך למצוא ‪.n = ? :n‬‬
‫נשתמש בנוסחה )‪ (4‬עבור המדידה השנייה‪:‬‬
‫‪M1 = 40 = 50·(1 – α)1‬‬
‫מכאן נמצא את שיעור הדעיכה ‪1 – α = 0.8, α = 0.2 :α‬‬
‫כעבור ‪ n‬פרקי זמן תוצאת השקילה הייתה‪:‬‬
‫‪25.6‬‬
‫‪= 0.512‬‬
‫‪50‬‬
‫קיבלנו משוואה מעריכית לגבי ‪ .n‬ננסה לפתור אותה בשיטת ניסוי והטעיה‪:‬‬
‫= ‪Mn = 25.6 = 50·(1 – α)n = 50·0.8n Ö 0.8n‬‬
‫)לא מתאים‪ :‬גדול מדיי( ‪n = 2: 0.82 = 0.64‬‬
‫)לא מתאים‪ :‬קטן מדיי( ‪n = 4: 0.84 = 0.41‬‬
‫!( מתאים בדיוק)‪n = 3: 0.82 = 0.512‬‬
‫ובכן‪ ,‬עברו שלושה פרקי זמן של חמש שעות‪ ,‬כלומר‪ ,‬המדידה השלישית נערכה‬
‫בשעה ‪-‬‬
‫‪6 + 3·5 = 21‬‬
‫תשובה‪.21:00 :‬‬
‫‪Z‬‬
‫זמן מחצית החיים )או מתי מתו דינוזאורים?(‬
‫בטבע יש כמה יסודות שפולטים תמיד קרינה‪ ,‬וכתוצאה מכך מתפרקים‪ :‬כמות‬
‫קטנה‪ ,‬וחלק ממנו הופך ליסוד אחר‪ .‬תהליך כזה מכונה פריקה‬
‫החומר המקורי ֵ‬
‫רדיואקטיבית‪ ,‬והחומרים נקראים רדיואקטיביים‪.‬‬
‫שימושים רבים לחומרים רדיואקטיביים בארכאולוגיה‪ ,‬ברפואה‪ ,‬בהנדסה‬
‫ובתחומים אחרים‪.‬‬
‫נוח למיין חומרים רדיואקטיביים על‪-‬פי פרק הזמן שבו כמות החומר פוחתת פי‪-‬‬
‫שתיים פרק זמן זה נקרא זמן מחצית החיים של החומר‪.‬‬
‫אם ידוע זמן מחצית החיים‪ ,‬אפשר לחשב את כמות החומר בכל רגע‪ ,‬או את‬
‫כמות החומר שהייתה לפני זמן מה‪ ,‬או את פרק הזמן שעבר מתחילת התהליך‪.‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪146‬‬
‫נסמן את זמן מחצית החיים ב‪ .T1/2 -‬על‪-‬פי ההגדרה‪ ,‬כמות החומר בתום פרק‬
‫זמן זה שווה למחצית הכמות ההתחלתית‪ .‬נציב בנוסחה )‪:(4‬‬
‫‪MT1/2 = M0·(1 - α) = 0.5M0‬‬
‫מכאן מקבלים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫כדי לדעת את כמות החומר כעבור זמן ‪ t‬מתחילת התהליך‪ ,‬נחשב ‪:n‬‬
‫= ‪1 - α = 0.5, ¹ = 0.5‬‬
‫‪t‬‬
‫כמות החומר ברגע זה תהיה‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T1/2‬‬
‫‪-‬‬
‫‪T1/2‬‬
‫=‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪= M0*2‬‬
‫‪-n‬‬
‫‪( 12 ) = M * 21 = M *2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Mt = M0*(1 - ¹) n = M0* 1 -‬‬
‫‪0‬‬
‫קיבלנו את חוק הפירוק הרדיואקטיבי‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T1/2‬‬
‫‪-‬‬
‫‪Mt = M0*2‬‬
‫או‬
‫‪M0‬‬
‫‪t‬‬
‫)‪(5‬‬
‫= ‪Mt‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2 1/2‬‬
‫כדי לגלות גיל מאובנים משתמשים במדידת הריכוז של פחמן‪– 14-‬‬
‫דוגמה ‪9‬‬
‫הסוג הלא‪-‬יציב של היסוד פחמן‪ ,‬אשר זמן מחצית החיים שלו הוא ‪ 5,717‬שנים‪.‬‬
‫נמצא שהריכוז של פחמן‪ 14-‬במאובנים של דינוזאורים הוא קטן פי – ‪1,000‬‬
‫מהריכוז ביצורים חיים‪ .‬מה גיל הדינוזאורים?‬
‫‪t‬‬
‫‪ W‬נסמן‬
‫‪T1/2‬‬
‫הדינוזאורים‪.‬‬
‫= ‪ - n‬מספר פרקי מחצית החיים בכל הזמן שעבר מאז תקופת‬
‫‪Mt‬‬
‫‪1‬‬
‫בנוסחאות )‪ M (5‬מבטא את ריכוז החומר‪ .‬נתון‪:‬‬
‫=‬
‫‪M0 1000‬‬
‫מהנוסחה )‪ (5‬מקבלים‪:‬‬
‫‪Mt‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, 2n = 1000‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪M0 1000 2n‬‬
‫קיבלנו משוואה מעריכית לגבי ‪.n‬‬
‫‪.‬‬
‫באמצעות מחשבון )בשיטה ניסוי וטעייה( נמצא‪ ,210 = 1024 :‬כלומר‪,n = 10 ,‬‬
‫ו‪ t -‬שווה ל‪ 10 -‬פרקי זמן של מחצית החיים‪) :‬שנים( ‪.t = 5717·10 ≈ 60,000‬‬
‫תשובה‪ :‬הדינוזאורים מתו לפני ‪ 60,000‬שנים‪Z .‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪147‬‬
‫הייצוג הגרפי של גדילה ודעיכה‬
‫ייצוג גרפי מאפשר לראות את השתנות הכמות ַבזמן בצורה מוחשית יותר מאשר‬
‫ייצוג אלגברי )באמצעות נוסחה( או ייצוג טבלאי‪.‬‬
‫דוגמה ‪10‬‬
‫דוד הפקיד בבנק ‪ ₪ 1,000‬בריבית שנתית פשוטה של ‪ .10%‬כמה‬
‫כסף יקבל דוד בתום שנה אחת? שנתיים? חמש שנים? שרטטו גרף של מצב החשבון‬
‫כפונקציה של זמן פיקדון‪.‬‬
‫‪ W‬נשתמש בנוסחה של ריבית פשוטה )‪ ,Mn = M0(1 + nα) :(2‬ונציב בה את נתוני‬
‫הבעיה‪ .α = 0.1 ,M0 = 1000 :‬נקבל‪M = 1000·(1 + 0.1n) = 1000 + 100n :‬‬
‫הסכום כעבור שנה יהיה‪;M = 1100 ,n = 1 :‬‬
‫כעבור שנתיים‪,M = 1200 ,n = 2 :‬‬
‫כעבור ‪ 5‬שנים‪.M = 1500 ,n = 5 :‬‬
‫הגרף של ‪ M‬כפונקציה של ‪ n‬הוא קו ישר‪.‬‬
‫אם להמשיך ישר לערכים גדולים יותר של ‪,n‬‬
‫אפשר לדעת את הסכום גם ללא חישוב‪Z .‬‬
‫באופן דומה‪ ,‬מהייצוג הגרפי ניתן לקבל את ערכי‬
‫הפרמטרים של תהליך מורכב יותר של גדילה או‬
‫דעיכה‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 11‬הגרף שמשמאל מתאר את ההתפרקות של‬
‫יסוד רדיואקטיבי במשך עשר שנים‪.‬‬
‫ידוע שתהליך ההתפרקות מתואר על‪-‬ידי פונקציה‬
‫מעריכית ‪.Mn = M0(1 - α)n‬‬
‫א( מה משמעות הנקודה ‪?A‬‬
‫ב( מה שיעור הדעיכה השנתית ‪?α‬‬
‫ג( כמה חומר יישאר כעבור שבע‬
‫שנים?‬
‫ד( ִמצאו את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪148‬‬
‫‪ W‬א( רואים שהנקודה ‪ A‬נמצאת על הציר האנכי‪ ,‬שבו ‪ .n = 0‬כלומר‪ ,‬הנקודה ‪A‬‬
‫מסמנת מצב התחלתי )‪Z .(M0, n = 0‬‬
‫ב( מהנוסחה ‪ Mn = M0(1 - α)n‬נובע‪ ,‬שכדי למצוא ‪ α‬צריך לדעת ‪ Mn ,M0‬ו‪n -‬‬
‫עבור שני מצבים כלשהם‪ .‬מהגרף רואים‪ ,‬שאפשר להשתמש בנתוני שני המצבים‪,‬‬
‫המתאימים ל‪ n = 2 -‬ו‪.n = 5 -‬‬
‫נרשום את הנתונים‪) n = 3 ,M = 262.14 ,M0 = 512 :‬מספר שתיים בין שני‬
‫המצבים(‪ .‬נציב בנוסחה‪:‬‬
‫‪262.144‬‬
‫‪3‬‬
‫‪262.14 = 512·(1 - α)3 Ö (1- ¹) = 512 = 0.512‬‬
‫מכאן נחלץ את ‪:α‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.α = 0.2 1 ,- ¹ = 0.512 = 0.8‬‬
‫‪Z‬‬
‫ג( כדי לחשב כמות החומר שבע שנים מתחילת המדידות‪ ,‬צריך לדעת ‪ α ,M0‬ו‪.n -‬‬
‫אם ניקח מצב התחלתי )הנקודה ‪ ,(A‬נגלה שלא ידועה הכמות ההתחלתית ‪,M0‬‬
‫לכן בתור המצב ההתחלתי ניקח מצב אחר‪ ,‬שעבורו ‪ M0‬ידוע‪ .‬ניקח את המצב‬
‫המתאים לשנה החמישית‪ ,‬ונסמן אותו כהתחלתי‪ .M0 = 262.14 :‬מהמצב הזה ועד‬
‫ל‪ -‬שבע שנים מתחילת המדידות עברו ‪ n = 2‬שנים‪.‬‬
‫נציב את כל המספרים בנוסחה ונמצא‪:‬‬
‫‪Y‬‬
‫)גרם( ‪M = M0(1 - α)n = 262.14·0.82 ≈ 167.8‬‬
‫ד( כדי לדעת את שיעורי הנקודה ‪ ,B‬נוריד ממנה אנך על ציר אופקי‪ ,‬ונמצא ש‪-‬‬
‫‪ .n = 8‬כדי למצוא את השיעור האנכי‪ ,‬נציב בנוסחה הקודמת ‪) n = 3‬בין המצבים‬
‫מפריד פרק זמן של שלוש שנים(‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪Y‬‬
‫)גרם( ‪MB = M0(1 - α)n = 262.14·0.83 ≈ 134.2‬‬
‫ריבית דריבית כל שנייה???‬
‫בדרך כלל‪ ,‬בנק מחשב ריבית ומצרף אותה לקרן פעם בשנה‪.‬‬
‫האם תשתנה התוצאה אם לעשות את החישוב כל חצי שנה )בריבית חצי‪-‬שנתית‬
‫השווה לחצי הריבית השנתית‪ ,‬כמובן(?‬
‫נניח שהפקדנו ‪ ₪ 1000‬לריבית שנתית פשוטה של ‪ .100%‬בתום השנה נקבל‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪149‬‬
‫)‪M = 1000·(1 + 1) = 2000 (₪‬‬
‫אם נפקיד את אותה הקרן ‪ M0 = 1,000‬לשתי תקופות של חצי שנה בריבית של‬
‫‪ ,50%‬נקבל בתום שנה‪:‬‬
‫)‪M2 = 1000·(1 + 0.5)2 = 2250 (₪‬‬
‫אם נחלק שנה ליותר תקופות לחישוב הריבית )ויחד עם זאת נקטין באותה מידה‬
‫את הריבית התקופתית(‪ ,‬נקבל בהתאמה‪:‬‬
‫)‪M3 = 1000·(1 + 0.33)3 = 2368.6 (₪‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪= 2613 (₪‬‬
‫‪M12 = 1000* 1 +‬‬
‫‪12‬‬
‫‪………………………………………..‬‬
‫)‪M100 = 1000·(1 + 0.01)100 = 2704.8 (₪‬‬
‫‪………………………………………....‬‬
‫)‪M1000 = 1000·(1 + 0.001)1000 = 2716.9 (₪‬‬
‫)‬
‫(‬
‫מהחישובים רואים שההפרש בין הסכום שהתקבל מריבית פשוטה )‪ 2,000‬ש"ח(‬
‫לבין הסכומים שהתקבלו מחישובי ריבית דריבית‪ ,‬היה משמעותי מאוד עבור‬
‫תקופות של‪ :‬חצי שנה )‪ ,(₪ 250‬שלושה חודשים )‪ ,(₪ 368.6‬חודש )‪.(₪ 613‬‬
‫אולם הקטנת תקופת הריבית פי‪-‬מאה או אפילו פי‪-‬אלף לא הגדילה את הרווח‬
‫בצורה דרסטית‪ .‬הגרף שלהלן מציג את התוצאות‪ ,‬ומאפשר לגלות מהר )אומנם‬
‫בקירוב( את הרווח מההפקדה עבור תקופות חישוב ריבית שונות‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫) (‬
‫‪¹‬‬
‫‪n‬‬
‫‪M = 1000* 1+‬‬
‫‪¹=1‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪150‬‬
‫מהגרף רואים שחישוב על‪-‬פי ריבית שנתית פשוטה של ‪ 100%‬מכפיל את הקרן‬
‫)נקודה ‪ A‬על הגרף(; חישוב דו‪-‬חודשי )‪ (n = 6‬מגדיל את הקרן פי‪ 2.5 -‬לערך‪,‬‬
‫אולם גם חלוקת התקופה ל‪ 1,000 -‬לא תגרום להגדלת הקרן ביותר מפי‪.2.71 -‬‬
‫במתמטיקה מתקדמת מוכיחים שבהקטנה "אינסופית" של פרקי תקופת‬
‫הפיקדון הרווח היחסי המצטבר אינו גדל עד אינסוף‪ ,‬אלא מתקרב למספר השווה‬
‫בערך ל‪ . 2.7183 -‬מספר זה מכונה מספר – ‪ ,e‬ושימושיו במתמטיקה רבים מאוד‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬כמה כסף יחזיר בנק למשקיעים בתום תקופת פיקדון של שנה אחת‪ ,‬אם שיעור‬
‫הריבית השנתית והפיקדון )בשקלים( הינם‪:‬‬
‫א(‬
‫‪M0 = 3000, α = 8%‬‬
‫ג( ‪M0 = 12000, α = 9.5%‬‬
‫ב( ‪M0 = 2500, α = 7%‬‬
‫ד( ‪M0 = 550, α = 6.2%‬‬
‫‪ .2‬מחירי מוצרים בסיסיים )"סל הקניות"( עולים במהלך השנה בשיעור מסוים‪.‬‬
‫ִמצאו את שיעור ההתייקרות השנתית של הסל אם מחירו )בשקלים( ידוע בתחילת‬
‫השנה ובסוֹפה‪:‬‬
‫א( ‪M0 = 350, M = 360.5‬‬
‫ג(‬
‫‪M0 = 285, M = 327.8‬‬
‫ב( ‪M0 = 370, M = 390.4‬‬
‫ד( ‪M0 = 315, M = 337‬‬
‫בתנאי‬
‫ֵ‬
‫‪ .3‬לצורך רכישת מכונית חדשה הבנק נתן ללקוח הלוואה על סך ‪₪ 45,000‬‬
‫ריבית שנתית פשוטה של ‪ .8%‬כמה כסף יצטרך להחזיר הלקוח בתום שלוש שנים?‬
‫‪ .4‬במעבדה סופרים את מספר החיידקים במושבה ניסיונית‪ ,‬שבה הם מתרבים כל‬
‫שעה בשיעור קבוע‪ .‬בשעה ‪ 8:00‬מספר החיידקים היה ‪ ,320,000‬בשעה ‪12:00‬‬
‫מספרם היה ‪ .663,680‬מה שיעור הגדילה של מספר החיידקים בשעה?‬
‫‪ .5‬במדינה מסוימת‪ ,‬שבה שיעור הגדילה השנתי של האוכלוסייה נשאר קבוע‪ַ ,‬ג ְדלה‬
‫האוכלוסייה פי‪-‬שתיים בתקופה של עשר שנים‪ .‬מה שיעור הגדילה השנתי של‬
‫האוכלוסייה באתה המדינה?‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪151‬‬
‫‪ .6‬באיזו ריבית שנתית נלקחה ההלוואה מהבנק‪ ,‬אם ידוע שכעבור חמש שנים‬
‫חוּיב הלקוח להחזיר סכום הגדול ב‪ 50% -‬מהקרן?‬
‫‪ .7‬תכנית חיסכון בבנק א' מציעה ריבית שנתית פשוטה בשיעור של ‪ 15%‬כעבור שלוש‬
‫שנים של חיסכון; בבנק ב' מציעים תכנית לפיה ריבית שנתית בשיעור של ‪4.9%‬‬
‫תחושב פעם בשנה‪ .‬לקוחה רוצה להשקיע סך של ‪ ₪ 10,000‬למשך ‪ 6‬שנים‪ .‬באיזה‬
‫בנק הרווח של הלקוחה יהיה גבוה יותר‪ ,‬ובכמה?‬
‫‪ .8‬אוכלוסיית מדינה מסוימת מהווה ‪ 12.5‬מיליון תושבים‪ ,‬והיא גדלה בשיעור שנתי‬
‫של ‪ .2.3%‬בכמה תושבים תגדל אוכלוסיית המדינה כעבור שמונה שנים?‬
‫‪ .9‬לרכישת מכונית פועל לקח מבנק הלוואה ל‪ -‬חמש שנים‪ ,‬בשיעור שנתי של ‪.5.5%‬‬
‫בתום התקופה גילה הפועל שהוא חייב לבנק סכום של‪ .₪ 196,044 -‬כמה הלוואה‬
‫לקח מהבנק?‬
‫‪ .10‬חברת טלפונים מציעה ללקוחות לשדרג מכשירים שברשותם לחדשים יותר‪,‬‬
‫בתשלומים חודשיים קבועים של ‪ ₪ 90‬בהתחייבות לשלוש שנים‪ .‬שיעור הריבית‬
‫השנתית של ההלוואה שהחברה מציעה‪ ,‬למעשה‪ ,‬הוא ‪.6.5%‬‬
‫א‪ .‬כמה כסף יחזירו הלקוחות לחברה לאורך כל התקופה?‬
‫ב‪ .‬מה היה מחיר המכשירים בעת הרכישה?‬
‫‪ .11‬ערך הדירה שרכשתי יורד כל שנה ב‪.5% -‬‬
‫מחיר הדירה היה ‪.₪ 980,000‬‬
‫מה יהיה ערך הדירה בעוד ‪ 15‬שנים?‬
‫‪ .12‬בנק נותן הלוואה בריבית שנתית של ‪.9.1%‬‬
‫כעבור כמה שנים החוב לבנק יהיה כפול מגובה ההלוואה?‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪152‬‬
‫תשובות‬
‫‪§10‬‬
‫‪.1‬‬
‫ב( ‪2, 5, n, n+1‬‬
‫‪.2‬‬
‫א( ‪5, 7, 9‬‬
‫ב( ‪4, 7, 10‬‬
‫ה( ‪1, ½, 1/3‬‬
‫ו( ‪-1, -8, -27‬‬
‫‪.3‬‬
‫א( ‪ 10‬ב( ‪ 12‬ג( ‪15‬‬
‫‪.4‬‬
‫א( כן‬
‫ג( לא‬
‫‪.5‬‬
‫א( ‪2, 7, 22, 67‬‬
‫‪.6‬‬
‫א( ‪11‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪256, 16, 4, 2‬‬
‫‪.8‬‬
‫א( ‪1, 1, 1, 1, 1, 1‬‬
‫ב( כן‬
‫ג( ‪ 90, 60, 10‬ד( ‪-1/3, 0,‬‬
‫ד( כן‬
‫ב( ‪2, 1, 3, -1‬‬
‫ב( ‪9‬‬
‫ב( ‪1, -1, -1, -1, -1, -1‬‬
‫‪a5 = -7‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪.10‬‬
‫א( ‪ -5n – 5, -5n + 9, -5n – 21‬ב( ‪2n – 18, 2n – 22, 2n – 10‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪n+7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ד(‬
‫ג( ‪23n+4, 23n-2, 23n+16‬‬
‫*‪, 7‬‬
‫*‪, 7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) (‬
‫‪§11‬‬
‫) (‬
‫‪n+3‬‬
‫)‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫(*‪7‬‬
‫‪ .3‬הדרכה‪ִ :‬רשמו ביטוי לאיבר ‪ an+1‬ולהפרש )‪ .(an+1 – an‬אם ההפרש אינו תלוי‬
‫ב‪ ,n -‬אז הסדרה היא חשבונית‪.‬‬
‫‪ .5‬הדרכה‪ַ :‬חשבו את הפרש הסדרה ומצאו את האיבר הראשון‪.‬‬
‫‪.n = 12 .6‬‬
‫‪ .7‬כן‪.n = 11 .‬‬
‫‪ .n = 11 .8‬לא‪.‬‬
‫‪ .9‬א( ‪5‬‬
‫ב( ‪0.5‬‬
‫‪ .10‬א( ‪0‬‬
‫ב( ‪-13‬‬
‫‪ .11‬א( ‪a1 = 50‬‬
‫ב( ‪a1 = -100‬‬
‫‪ .12‬א( ‪an = 3n +4‬‬
‫ב( ‪an = 5n – 17‬‬
‫‪n ≥ 9 .13‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪153‬‬
‫‪n < 75 .14‬‬
‫‪ .15‬א( ‪a9 = 136, d = 10‬‬
‫ב( ‪a9 = -57, d = 7‬‬
‫ג( ‪a9 = -2, d = 5‬‬
‫ד( ‪a9 = -1, d = -1.5‬‬
‫‪ 44.1 .16‬מ'‪.‬‬
‫‪10 .17‬‬
‫‪ .19 - 18‬הדרכה‪ :‬הציבו בנוסחאות לאיבר כללי את מספרי האיברים )באותיות(‪,‬‬
‫פשטו את הביטויים שיתקבלו‪ ,‬ותקבלו את המבוקש‪.‬‬
‫‪§12‬‬
‫‪ .1‬ב( ‪10,050‬‬
‫ד( ‪2,550‬‬
‫‪4,850 .2‬‬
‫‪4,489 .3‬‬
‫‪ .4‬ב( ‪-192‬‬
‫‪ .5‬ב( ‪204‬‬
‫‪ .6‬ב( ‪240‬‬
‫‪ .7‬א( ‪4905‬‬
‫ב( ‪494,550‬‬
‫‪ .8‬ב( ‪2900‬‬
‫‪-45 .9‬‬
‫‪10 .10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪a10 = 15 , d‬‬
‫‪ .11‬ב(‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a1 = -88, d = 18 .12‬‬
‫‪78 .13‬‬
‫‪44 .14‬‬
‫‪a1 = 5, d = 4 .15‬‬
‫הדרכה‪ :‬הציבו בנוסחאות הסכום את מספרי האיברים‪ ,‬פשטו את הביטוי‬
‫שיתקבל‪ ,‬ותקבלו את המבוקש‪.‬‬
‫‪§13‬‬
‫‪ .1‬ב( ‪-16, -8, -4, -2, -1‬‬
‫ד( ‪0.4, 0.4 2 , 0.8, 0.8 2 , 1.6‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪154‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪.10‬‬
‫‪.11‬‬
‫‪.12‬‬
‫‪.13‬‬
‫ג( ‪c125 = c1q124‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫ב(‬
‫א(‬
‫‬‫‪4‬‬
‫‪27‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫ב(‬
‫א(‬
‫‪5‬‬
‫‪27‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫ב( ‪b7 = - , bn = -40* n-1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫ה( ‪ck+3 = c1qk+2‬‬
‫‪1‬‬
‫ד(‬
‫‪25‬‬
‫ג( ‪-32‬‬
‫‪n‬‬
‫ד( )‪b7 = -10, bn = 10*(-1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n-1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(-1‬‬
‫ב(‬
‫= ‪b6‬‬
‫‪ b6 = -54, bn = 64 * - 3‬ד( ‪, bn = n-3‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫סמ"ר‬
‫‪1024‬‬
‫‪56‬‬
‫‪1‬‬
‫ב(‬
‫א(‬
‫‪125‬‬
‫‪81‬‬
‫א( ‪ 3‬או ‪ -3‬ב( ‪ 0.6‬או ‪-0.6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ב(‬
‫א( ‪1000‬‬
‫או ‪-‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6, 18, 54‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪a = 1, b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪96‬‬
‫) (‬
‫‪ .14‬הדרכה‪ :‬העתיקו את השרטוט‬
‫למחברת; ַחשבו את הצלע של המשולש‬
‫ומצאו את הקשר בין הצלעות של‬
‫השני‪ִ ,‬‬
‫משולשים סמוכים‪.‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪ 0.25 .15‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪§14‬‬
‫ד( ‪275‬‬
‫‪81‬‬
‫‪.2‬‬
‫ג( ‪31‬‬
‫‬‫‪8‬‬
‫ב( ‪2186‬‬
‫‪.3‬‬
‫ב( ‪b1 = -1, b8 = 128‬‬
‫‪.1‬‬
‫ו( ‪-400‬‬
‫‪-‬‬
‫‪.4‬‬
‫ב( ‪n = 7‬‬
‫‪.5‬‬
‫ב( ‪n = 9, b9 = 2048‬‬
‫ד( ‪n = 4, q = 7‬‬
‫‪.6‬‬
‫ב( ‪364‬‬
‫ד( ‪305‬‬
‫ד( ‪n = 5‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪155‬‬
‫‪8‬‬
‫‪b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.7‬‬
‫א(‬
‫‪.8‬‬
‫א(‬
‫‪.9‬‬
‫א(‬
‫ב(‬
‫‪ b1 = 9, q = 5‬ב( ‪b5 = 4802, S4 = 800‬‬
‫‪3‬‬
‫ב( ‪31‬‬
‫‪S5 = 93‬‬
‫‪S6 = -1‬‬
‫‪32‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ q = 3, b1 = 15‬או ‪q = - , b1 = 240‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ q = 5, b3 = 300‬או ‪.q = -6, b3 = 432‬‬
‫‪ .10‬א( ‪ q = 3‬או ‪q = -3‬‬
‫ב( ‪ q = 2‬או ‪q = -2‬‬
‫ד( ‪ S5 = 781‬או ‪S5 = 521‬‬
‫ג( ‪S10 = -5115‬‬
‫‪bn+1‬‬
‫;‬
‫וחשבו את המנה‬
‫‪ .11‬הדרכה‪ :‬רשמו ביטוי לאיבר שמספרו )‪ַ ,(n + 1‬‬
‫‪bn‬‬
‫אם הביטוי שיתקבל אינו תלוי ב‪ ,n -‬אז הסדרה היא סדרה הנדסית‪.‬‬
‫‪n 3n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1 - (-1) x‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(-1‬‬
‫‬‫‪2‬‬
‫ו(‬
‫‪ .12‬ג(‬
‫= ‪Sn‬‬
‫* = ‪Sn‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-364 .13‬‬
‫‪2186 .14‬‬
‫‪160 .15‬‬
‫‪§15‬‬
‫‪ .1‬א( )‪M = 3240 (₪‬‬
‫ג( )‪M = 13140 (₪‬‬
‫‪ .2‬א( ‪α = 3%‬‬
‫ב( )‪M = 2675 (₪‬‬
‫ד( )‪M = 584 (₪‬‬
‫ב( ‪α = 5.5%‬‬
‫ג( ‪α = 15%‬‬
‫‪₪ 55,800 .3‬‬
‫‪α = 20% .4‬‬
‫‪α = 7.2% .5‬‬
‫‪α = 8.5% .6‬‬
‫‪ .7‬בבנק ב'‪ ,‬ב‪.₪ 100 -‬‬
‫‪ .8‬ב‪ 2.49 -‬מיליון תושבים‪.‬‬
‫‪₪ 150,000 .9‬‬
‫‪ .10‬א‪₪ 2,682 .‬‬
‫ב‪.₪ 3,240 .‬‬
‫‪₪ 471,397 .11‬‬
‫‪n = 8 .12‬‬
‫סדרה חנדסית‬
‫‪156‬‬
‫ד( ‪α = 7%‬‬