סדרות
סדרות §10מהי סדרה? בחיי יום-יום אנו נוהגים ְל ַמ ְס ֵפּר עצמים שונים ,כדי לציין את מקומם ואת סדר הופעתם .לדוגמהְ ,מ ַמ ְס ְפּ ִרים בתים ברחוב ,כיסאות בתאטרון ,את התור לקופת חולים ,תעודות זיהוי וכד'. בבנק ,על-פי מספר החשבון אפשר לאתר ולבדוק כמה כסף נמצא בחשבון זה. נניח שבחשבון מס 1 .נמצא סך של ,₪ a1בחשבון מס 2 .נמצא סך של ,₪ a2וכך הלאה .נרשום את הסכומים ,ונקבל סדרת מספרים: ,a1, a2, a3, …, aN כאשר Nהוא מספר כל החשבונות בבנק .כאן לכל מספר nמ 1 -עד Nמתאים מספר ,anהנמצא במקום -nי מתחילת הסדרה. מספר a1מכונה האיבר הראשון של הסדרה ,מספר - a2האיבר השני ,מספר - a3האיבר השלישי וכך הלאה. המספר - anמכונה האיבר הכללי של הסדרה ,והמספר הטבעי – nמספר האיבר. לדוגמה ,בסדרת הריבועים של מספרים טבעיים … 1, 4, 9, 16, 25, …, n2, (n + 1)2, האיבר הראשון הוא ,a1 = 1האיבר השני – ,a2 = 4שלישי – ,... ,a3 = 9האיבר הכללי הוא ,an = n2והאיבר שמספרו n + 1הוא .an+1 = (n + 1)2 - ( שימו לב! ערכו של איבר ) ,(anלאו דווקא ,שווה למספרו בסדרה ).(n ( במתמטיקה נתקלים גם בסדרות אינסופיות ,a1, a2, a3, …, an, … :לדוגמה, סדרת מספרים שלמים. אם ידועה נוסחת האיבר הכללי ,אפשר לחשב את כל איברי הסדרה ,כלומר להגדיר את הסדרה. 1 לדוגמה ,הנוסחה ) an = (n = 1, 2, 3, ...מגדירה את הסדרה n 1 1 1 1 1, , , , ..., , ... 2 3 4 n סדרה חשבונית 111 דוגמה 1 סדרת מספרים מוגדרת באמצעות נוסחת האיבר הכללי: )an = n(n – 2 ִמצאו את האיבר מספר 100של הסדרה. נציב בנוסחת האיבר הכללי :n = 100 a100 = 100(100 – 2) = 100⋅98 = 9800 דוגמה 2 סדרת מספרים מוגדרת באמצעות נוסחת האיבר הכללי: xn = 2n + 3 מצאו את מספר האיבר של הסדרה השווה ל: א( 43 ב( 50 א( על-פי הנתון , xn = 2n + 3 = 43 :מכאן נחלץ .n = 20 ,2n = 40 :n ב( על-פי הנתון , xn = 2n + 3 = 50 :מכאן נחלץ .n = 23.5 ,2n = 47 :n אולם nהוא מספר האיבר ,ולכן הוא חייב להיות שלם .אי-לכך ,בסדרה הנתונה לא נמצא איבר השווה ל.50 - לפעמים מגדירים סדרה באמצעות נוסחה המאפשרת לחשב את האיבר הכללי באמצעות כמה איברים קודמים .במקרה זה מגדירים את האיברים הקודמים ואת הכלל שלפיו מחשבים את האיבר הכללי )כלל נסיגה(. דוגמה 3 סדרת מספרים מוגדרת באמצעות כלל הנסיגה: bn+1 = bn + bn-1 והאיברים .b2 = 3 ,b1 = 1 ִמצאו את האיבר החמישי של הסדרה. נציב את נתוני הבעיה בכלל הנסיגה ,ונחשב את האיברים העוקבים האלה: b3 = b2 + b1 = 3 + 1 = 4 b4 = b3 + b2 = 4 + 3 = 7 b5 = b4 + b3 = 7 + 4 = 11 b5 = 11 סדרה חשבונית 112 תרגילים .1נתונה סדרת ריבועים של מספרים טבעיים: … 1, 4, 9, 16, 25, …, n2, (n + 1)2, א( מנו את האיברים השלישי ,השישי והאיבר הכללי )איבר מספר (nשל הסדרה; ב( מנו את מספר איבר הסדרה ,השווה ל.(n + 1)2 ,n2 ,25 ,4 : ַ .2חשבו את שלושת האיברים הראשונים של הסדרה ,על-ידי הנוסחה לאיבר הכללי: א( an = 2n + 3 n-2 ד( = an 3 ג( an = 100 - 10n2 ב( an = 1 + 3n 1 ה( = an n ו( an = - n3 .3נתונה סדרה המוגדרת על-פי הנוסחה .xn = n2 מה מספר האיבר השווה ל: א( 100 ג( ? 225 ב( 144 האם נמצאים בין איברי הסדרה המספרים ?169 ;49 ;48 .4נתונה סדרה המוגדרת על-פי הנוסחה .an = n2 -2n – 6 האם נמצא בין איברי הסדרה המספר: א( - 3 ג( 3 ב( 2 ד ( ?9 .5מצאו את ארבעת האיברים הראשונים של הסדרה המוגדרת על-ידי האיבר הראשון a1 = 2וכלל הנסיגה: א( an+1 = 3an + 1 ב( an+1 = 5 - 2an .6סדרת מספרים מוגדרת על-ידי נוסחת האיבר הכללי.an = (n – 1)(n + 4) : ִמצאו את nאם ידוע ש: א( an = 150 ב( an = 104 ִ .7מצאו את ארבעת האיברים הראשונים של הסדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה an+1 = an והאיבר הראשון.a1 = 256 : סדרה חשבונית 113 ִ .8רשמו את ששת האיברים הראשונים של הסדרה המוגדרת על-ידי האיבר הראשון a1 = 1וכלל הנסיגה: ב( )an+1 = cos(180°⋅an א( )an+1 = sin(90°⋅an .9הסדרה מוגדרת על-ידי כלל נסיגה an+2 = an2 – an+1והאיברים .a2 = 3 ,a1 = 2 ִמצאו את האיבר החמישי בסדרה. .10הסדרה מוגדרת על-ידי נוסחת האיבר הכלליִ .רשמו את האיברים שמספרם בסדרה הוא ) (n – 1) ,(n + 1ו:(n + 5) - א( an = -5n + 4 ג( an = 23n+1 ב( )an = 2(n – 10 n+2 1 ד( *an = 7 2 )( §11סדרה חשבונית 1 יש בשנה קרוב ל 365 -ימים .הערך המדויק יותר הוא 4 שנים מצטברת שגיאה בת יממה אחת. 365ימים ,לכן בכל 4 כדי לתקן את השגיאה ,מוסיפים לכל שנה רביעית יום אחד ,והשנה המוארכת מכונה שנה מעוברת. לדוגמה ,באלף השלישי השנים ... 2020 ,2016 ,2012 ,2008 ,2004יהיו שנים מעוברות. בסדרת מספרים זאת כל איבר ,החל מהאיבר השני ,גדול מהאיבר הקודם ַבּמספר .4סדרה מסוג זה מכונה סדרה חשבונית. הגדרה: סדרת מספרים … a1, a2, a3, …, an,מכונה סדרה חשבונית ,אם בכל איבריה מתקיים השוויון ,an+1 = an + dכאשר nהוא מספר האיבר בסדרה. מהנוסחה נובע ש- an+1 - an = d כלומר ,ההפרש בין האיברים הסמוכים בסדרה הוא מספר קבוע. מספר זה מכונה הפרש הסדרה החשבונית ,ובדרך כלל מסמנים אותו באות .d סדרה חשבונית 114 דוגמאות א( סדרת מספרים טבעיים 1, 2, 3, 4, …, n, … :היא סדרה חשבונית. הפרש הסדרה שווה ל.d = 1 - ב( סדרת מספרים שלמים שליליים -1, -2, -3, -4, …, -n, … :היא סדרה חשבונית .הפרש הסדרה שווה ל.d = -1 - ג( הסדרה 3, 3, 3, …, 3, … :גם היא סדרה חשבונית; הפרש הסדרה .d = 0 דוגמה 1 הראו שסדרה המוגדרת באמצעות הנוסחהan = 1.5 + 3n : היא סדרה חשבונית. עלינו להוכיח שההפרש an+1 - anהוא קבוע עבור כל האיברים )כלומר הוא אינו תלוי ב.(n - נרשום איבר שמספרו ):(n + 1 )an+1 = 1.5 + 3(n + 1 נחשב את ההפרש שבין שני איברים עוקבים: an+1 - an = 1.5 + 3(n + 1) – (1.5 + 3n) = 1.5 + 3n + 3 – 1.5 – 3n = 3 כלומר ,ההפרש dאינו תלוי ב.n - על-פי הגדרת הסדרה החשבונית אפשר לרשום: an+1 = an + d an-1 = an – d נחבר את שני השוויונים: an+1 + an-1 = 2an מכאן נקבל: an+1 + an-1 = an , n>1 2 בסדרה חשבונית ,כל איבר החל מהאיבר השני שווה לממוצע החשבוני של שני האיברים הסמוכים לו. ִמזה נובע שם הסדרה )"חשבונית"(. סדרה חשבונית 115 כאשר האיבר הראשון a1וההפרש dידועים ,אפשר לחשב את כל האיברים של הסדרה על-פי כלל הנסיגה.an+1 = an + d : בדרך זו לא קשה לחשב את מספר האיברים ראשונים של הסדרה ,אולם, לדוגמה ,חישוב האיבר a100עלול לקחת זמן רב: a2 = a1 + d, a3 = a2 + d = a1 + 2d, a4 = a3 + d = a1 + 3d, וכך הלאה. חישוב זה מראה כיצד לחשב כל איבר ללא חישובי ביניים: האיבר שמספרו nשווה לסכום האיבר הראשון ו (n – 1) -פעמים ההפרש :d an = a1 + (n – 1)d )(1 נוסחה זאת מכונה הנוסחה לאיבר-n -י של סדרה חשבונית. דוגמה ִ 2מצאו את איבר ה 100 -בסדרה חשבונית ,שבה ,a1 = -6ו.d = 4 - נשתמש בנוסחה ) (1עבור ,n = 100ונקבל: a100 = a1 + (100 – 1)⋅d = -6 + 99⋅4 = 390 דוגמה 3 מספר 99נמצא בין איברי הסדרה החשבונית … .3, 5, 7, 9, ִמצאו את מספר האיבר הזה. א( נמצא את הפרש הסדרה .d = a2 – a1 = 5 – 3 = 2 :d ב( נסמן את מספר האיבר הרצוי ב ,n -ונרשום עבורו את נוסחת האיבר הכללי: an = a1 + (n – 1)d Ö 99 = 3 + (n – 1)⋅2 Ö 99 = 3 + 2n – 2 Ö Ö 98 = 2n Ö n = 49 n = 49 דוגמה 4 בסדרה חשבונית נתון a8 = 130 :ו.a12 = 166 - ִמצאו את נוסחת האיבר הכללי. נשתמש בנוסחה ) ,(1ונרשום עבור שני האיברים הנתונים: סדרה חשבונית 116 a8 = a1 + 7d, a12 = a1 + 11d. נציב את הנתונים ונקבל מערכת משוואות לגבי a1ו:d - a1 + 7d = 130, a1 + 11d = 166. נחסיר משוואה ראשונה מהשנייה: 4d = 36 Ö d = 9. לכן: .a1 = 130 - 7d = 130 – 63 = 67 נוסחת האיבר הכללי: an = a1 + (n – 1)d = 67 + 9(n – 1) = 67 + 9n – 9 = 58 + 9n an = 9n + 58 דוגמה 5קרן הזווית מחולקת לקטעים שווים ,החל מהקודקוד. דרך קצות הקטעים מעבירים קווים מקבילים. ָהראו ,שערכי אורך הקטעים מהווים סדרה חשבונית. בטרפז שבסיסיו הם an-1ו an+1 -הקו האמצעי הוא ) anמכיוון שהוא חוצה את השוקיים של הטרפז(. an+1 + an-1 לכן ,על-פי הגדרת קו אמצעי: = an 2 מכאן מקבלים: ,2an = an-1 + an+1 או an+1 – an = an – an-1 כלומר :הפרש בין כל איבר וקודמו הוא קבוע ,מה שמתקיים רק אם סדרת האיברים היא סדרה חשבונית. תרגילים ִ .1מצאו את האיבר הראשון וההפרש בסדרה חשבונית: א( … 6, 8, 10, ב( … 7, 9, 11, ג( … 25, 21, 17, ד( … -12, -9, -6, סדרה חשבונית 117 ִ .2רשמו את חמשת האיברים הראשונים של סדרה חשבונית ,אם ידוע ש: א( a1 = 2, d = 5 ב( a1 = -3, d = 2 .3הוכיחו שהסדרה המוגדרת על-פי נוסחת האיבר הכללי היא סדרה חשבונית: א( an = 3 – 4n ב( an = -5 + 2n ג( )an = 3(n + 1 ד( )an = 2(3 – n ִ .4מצאו בסדרה חשבונית את: א( a15אם ידועיםa1 = 2, d = 3 : ב( a20אם ידועיםa1 = 3, d = 4 : ג( a18אם ידועיםa1 = -3, d = -2 : ד( a11אם ידועיםa1 = -2, d = -4 : ִ .5רשמו את נוסחת האיבר הכללי של הסדרה החשבונית: א( … 1, 6, 11, 16, ב( … 25, 21, 17, 13, ג( … -4, -6, -8, -10, ד( … 1, -4, -9, -14, .6מספר ) (-22הוא איבר של סדרה חשבונית … .44, 38, 32, ִמצאו את מספר האיבר. .7האם המספר 12נמצא בין איברי הסדרה החשבונית … ? -18, -15, -12, .8המספר 59הינו איבר הסדרה החשבונית … .1, -5, ִמצאו את מספרו .האם המספר ) (-46נמצא בין איברי הסדרה? ִ .9מצאו את הפרש הסדרה החשבונית ,אם ידועים: א( a1 = 7, a16 = 67 ב( a1 = -4, a9 = 0 .10הפרש הסדרה החשבונית שווה ל .1.5 -מצאו את a1אם ידוע ש: א( a9 = 12 ב( a7 = -4 .11מצאו את האיבר הראשון של סדרה חשבונית ,כאשר ידוע ש: א( d = -3, a11 = 20 ב( a21 = -10, a22 = -5.5 .12מצאו את נוסחת האיבר הכללי בסדרה חשבונית ,כאשר ידוע ש: א( a3 = 13, a6 = 22 ב( a2 = -7, a7 = 18 סדרה חשבונית 118 .13עבור אילו ערכים של nאיברי הסדרה החשבונית … 15, 13, 11,הם שליליים? .14בסדרה חשבונית ידוע ש.a1 = -10, d = 0.5 : עבור אילו ערכים של nמתקיים אי-השוויון ?an < 27 .15מצאו את האיבר התשיעי ואת ההפרש של הסדרה החשבונית ,אם ידוע ש: א( a8 = 126, a10 = 146 ב( a8 = -64, a10 = -50 ג( a8 = -7, a10 = 3 ד( a8 = 0.5, a10 = -2.5 .16גוף הנופל חופשי עובר בשנייה הראשונה 4.9מ' ,ובכל שנייה הבאה ב 9.8 -מ' יותר מאשר בקודמת .איזו דרך יעבור הגוף הנופל בשנייה החמישית? .17אימוני שחייה לילדים מתחילים מ 15 -דקות ביום הראשון, ומאריכים אותם ב 10 -דקות בכל אימון נוסף. לאחר כמה אימונים הם יגיעו לזמן מקסימלי של שעה ו 45 -דקות? .18הוכיחו ,שבכל סדרה חשבונית מתקיים השוויון: an + ak = an-m + ak+m מצאו את a10 + a5אם נתון ש.a7 + a8 = 30 : .19הוכיחו ,שבכל סדרה חשבונית מתקיים השוויון: an+k + an-k = an 2 מצאו את ,a10אם נתון ש. a10 + a30 = 120 : §12סכום של nאיברים ראשונים של סדרה חשבונית בעיה 1 ִמצאו את סכום כל המספרים הטבעיים מ 1 -עד .100 נרשום את הסכום המבוקש בשתי צורות אפשריות: S = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + … + 2 + 1 נחבר את שני השוויונים ,ונשנה את הסדר באגף ימין כך ,שהאיבר הראשון בשוויון העליון יתחבר לאיבר הראשון של השוויון התחתון ,וכך הלאה: סדרה חשבונית 119 101 1 2 3 99 100 = 2S = + + + + + .... + + + 100 99 98 2 1 101 101 101 101 )= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + …+ (99 + 2) + (100 + 1 100סוגריים מכיוון שהסכום בכל הסוגריים שווה ל ,101 -ומספר הסוגריים הוא ,100נקבל: 2S = 100 ⋅ 101 = 10100 והסכום המבוקש שווה ל- S = 5050 בשיטה זו השתמש תלמיד כיתה ג' בבית ספר יסודי בכפר גרמני קטן לפני כ 200 -שנה .בשיעור חשבון המורה נתן לתלמידים משימה :לחשב את סכום כל המספרים מ 1 -עד .100המורה היה בטוח שעד שהתלמידים יסיימו ,יספיק לנוח ולקרוא עיתון. להפתעתו הרבה ,הכריז אחד הילדים את התשובה תוך שניות ספורות .אותו תלמיד ,קארל פרידריך גאוס ,ילד פלא בן למשפחת איכרים ענייה ,גדל והיה ,בעידודו של אותו מורה, לאחד מגאוני המתמטיקה בכל הדורות. ַק ְרל פרידריך גאוּס )(1777 – 1855 נתבונן כעת בסדרה חשבונית כללית: … a1, a2, a3, …, an, נקרא לסכום של nהאיברים הראשונים של הסדרה ב: Sn - Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an נרשום את הסכום בסדר הפוך: Sn = an + an-1 + … + a3 + a2 + a1 על-פי הנוסחה לאיבר הכללי בסדרה חשבונית ,אפשר לרשום את שני השוויונים בדרך זו: סדרה חשבונית 120 )Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n – 1)d )Sn = an + (an – d) + (an – 2d) + … + (an – (n – 1)d נחבר את שני השוויונים ,כמו בדוגמה הקודמת: ),2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + … + (a1 + an כאשר מספר זוגות הסוגיים הוא .n לכן: ,2Sn = (a1 + an)⋅n וסכום nהאיברים הראשונים שווה ל- a1 + an *n 2 דוגמה 1 = Sn )(1 ִמצאו את הסכום של 60המספרים הזוגיים הראשונים. סדרת המספרים הטבעיים הזוגיים … 2, 4, 6, 8, …, 2n, היא סדרה חשבונית בעלת ההפרש .d = 2 מכיוון ש ,an = 2n -אזי .a60 = 120 ,a1 = 2 2 + 120 על-פי הנוסחה ) (1נמצא את הסכום המבוקש*60 = 3660 : 2 = S60 דוגמה ִ 2מצאו את הסכום ) , 38 + 35 + … + (-7אם ידוע שהמחוברים הם איבריה העוקבים של סדרה חשבונית. על-פי הנתונים: .an = -7 ,d = 35 – 38 = -3 ,a1 = 38 נשתמש בנוסחת האיבר הכללי ,an = a1 + (n – 1)dונציב בה את הנתונים: )-7 = 38 + (n – 1)⋅(-3 נפתח סוגריים ונחלץ :n -7 = 38 -3n + 3 Ö 3n = 38 + 7 + 3 Ö 3n = 48 Ö n = 16 נציב בנוסחה ) ,(1ונקבל: 38 - 7 = S16 *16 = 248 2 S = 248 סדרה חשבונית 121 דוגמה 3 כמה מספרים טבעיים עוקבים החל מ 1 -צריך לחבר ,כדי שסכומם יהיה ?153 סדרת מספרים טבעיים היא סדרה חשבונית בעלת הפרש .d = 1 על-פי הנתון.Sn = 153 ,a1 = 1 : את נוסחת הסכום של nאיברים ראשונים נרשום בצורה אחרת: a1 + an a1 + a1 + (n - 1)d 2a1 + (n - 1)d = *n = *n *n 3 2 2 2a1 + (n - 1)d *n 2 = Sn = Sn )(2 נציב את הנתונים ונקבל משוואה לגבי הנעלם :n 2*1 + (n - 1)n 2 נכפיל את שני האגפים ב ,2 -נפתח סוגריים ונקבל משוואה ריבועית: = 153 306 = 2n + (n – 1)n Ö n2 + n – 306 = 0 נפתור אותה: -1 Û 1 + 1224 -1 Û 35 = n1,2 = , 2 2 n1 = -18, n2 = 17. מכיוון שמספר האיברים אינו שלילי ,מקבלים את התשובה: n = 17 בדיחה של גאוס בשיעור חשבון בכיתה שבהּ למד גאוס ,רצה המורה להעסיק את תלמידיו במשימה ארוכת-זמן כזו ,שגם גאוס הגאון לא יוכל לסיימה במהרה .הוא שאל את סדרה חשבונית 122 התלמיד" :קרל ,אשאל אתך שתי שאלות .אם תענה נכון על הראשונה ,לא תצטרך לענות על השנייה .ובכן ,תגיד לי ,כמה מחטים על עץ האשוח שבפינה?" קרל ענה מיד" :שישים ושבע אלף חמש מאות שלושים וארבע!" "איך ספרת כל-כך מהר?" – תהה המורה. "זאת כבר שאלה שנייה ,המורה" - ,השיב התלמיד בחיוך... תרגילים ִ .1מצאו את הסכום של nהאיברים הראשונים של סדרה חשבונית ,אם נתון ש: א( a1 = 1, an = 20, n = 50 ב( a1 = 1, an = 200, n = 100 ג( a1 = -1, an = -40, n = 20 ד( a1 = 2, an = 100, n = 50 ִ .2מצאו את סכום כל המספרים הטבעיים מ 2 -עד ל.98 - ִ .3מצאו את סכום כל המספרים האי-זוגיים מ 1 -עד.133 - ִ .4מצאו את הסכום של 12האיברים הראשונים של סדרה חשבונית ,אם נתון: 1 א( a1 = -5, d = 0.5 ב( a1 = , d = -3 2 ִ .5מצאו את הסכום של nאיברים ראשונים של הסדרה החשבונית: א( … ; 9; 13; 17אם n = 11 ב( … ; -16; -10; -4אם n = 12 ִ .6מצאו את סכום הסדרה ,אם ידוע שכל המחוברים הם איברים עוקבים של סדרה חשבונית: א( 3 + 6 + 9 + … + 273 ב( )90 + 80 + 70 + … + (-60 ִ .7מצאו את הסכום של: ב( כל המספרים תלת-ספרתיים. א( כל המספרים דו-ספרתיים .8הסדרה החשבונית מוגדרת על-פי נוסחת האיבר הכללי. מצאו את , S50אם נתון: א( an = 3n + 5 ב( an = 7 + 2n .9הסדרה מוגדרת על-ידי כלל הנסיגה an+1 = an – 3והאיבר הראשון.a1 = 7 : מצאו את הסכום של תשעת האיברים הראשונים של הסדרה. סדרה חשבונית 123 .10כמה מספרים טבעיים עוקבים החל מ 3 -יש לחבר ,כדי שסכומם יהיה ?75 .11מצאו את anו d -של הסדרה החשבונית ,אם נתון: 1 5 ב( א( a1 = 10, n = 14, S14 = 1050 a1 = 2 , n = 10, S10 = 90 3 6 .12מצאו את a1ו d -של הסדרה החשבונית ,אם נתון: א( a7 = 21, S7 = 205 ב( .a11 = 92, S11 = 22 במ ְר ָבד ,שכבה על גבי שכבה ,כפי שנראה בציור. .13במחסן עצים מסדרים את הקורות ִ כמה קורות במרבד אחד ,אם בבסיסו נמצאות 12קורות? .14בסדרה חשבונית נתון ש .a3 + a9 = 8 :מצאו את .S11 ִ .15מצאו את האיבר הראשון וההפרש של הסדרה החשבונית ,כאשר נתון: S5 = 65ו.S10 = 230 - .16הוכיחו שבסדרה חשבונית מתקיים השוויון: )S12 = 3(S8 – S4 סדרה חשבונית 124 §13סדרה הנדסית על-פי האגדה ,את משחק השח-מט המציאו בהודו במאה ה V -לפנה"ס. המלך ֶש ָרם התפעל מהמשחק והחליט להעניק פרס לממציאו ,המתמטיקאי ֵס ָטא. המלך שאל את המדען ,איזה פרס היה רוצה לקבל. סטא חשב קצת ,וביקש את מה שעל פניו נראה "צנוע" למדיי :גרעין חיטה אחד על משבצת ראשונה של לוח השח-מט. המלך נדהם ונעלב" :אני עשיר וביכולתי להעניק לך פרס הולם!" – ,ואז המשיך סטא: על המשבצת השנייה שימו שני גרעינים ,על השלישית – ,4רביעית – ,8חמישית – ,16שישית – ...32די! צעק המלך .תקבל ,לבקשתך ,עבור כל משבצת מספר כפול של גרעינים לעומת המשבצת הקודמת. לך ,סטא ,משרתיי יביאו לך שק של חיטה .סטא חייך ויצא מהאולם.למחרת שאל המלך את משרתיו האם הביאו למדען המשוגע את הפרס שביקש. ואולם ,המתמטיקאים של החצר טרם השלימו את ספירת הגרעינים. גם ביום המחרת לא השלימו את הספירה .סבלנותו של המלך פגה ,הוא קרא להם ושאל אותם מדוע טרם נשלמה הספירה .התשובה הדהימה את המלך :כמות הגרעינים הייתה כה גדולה ,שבכל המחסנים בכל ארצות התבל לא הייתה בנמצא כמות כזו של גרעינים .כדי לחשב את מספר הגרעינים הנדרש ,צריך לחשב את מספרי הגרעינים על כל 64המשבצות: 1, 2, 2·2, 2·2·2, …, )(1 ניעזר ברישום המכפלות באמצעות חזקות ,ונסמן את סכום כל האיברים ב:S - S = 1+2+22+23+…+264 בקרוב נוכיח שמספר זה שווה לS = 18,446,744,073,709,551,615 - זה מספר עצום :כדי לאחסן כמות כזו של זרעים במחסן ששטח בסיסו 8×10 מ"ר ,היא תגיע לגובה של 150,000,000ק"מ -שהוא המרחק מכדור הארץ לשמש! בסדרה ) (1כל איבר שווה לאיבר הקודם כפול .2 סדרה חנדסית 125 סדרה כזאת מכונה סדרה הנדסית. הגדרה :סדרת מספרים …b1, b2, b3, …, bn, מכונה סדרה הנדסית ,אם עבור כל מספר טבעי nמתקיים כלל נסיגה bn+1 = bn·q )(2 כאשר ,bn ≠ 0ו – q -מספר איזשהו שאינו שווה לאפס. מהגדרה זו נובע ,שמנת כל שני איברים עוקבים בסדרה הנדסית היא מספר קבוע .למנה זו קוראים מנת הסדרה :q bn+1 =q bn דוגמה 1 )(3 א( הסדרה … 2, 8, 32, 128,היא סדרה הנדסית שבהּ .q = 4 8 32 128 = = =4 בדיקה: 2 8 32 ב( הסדרה … 3, 9, 27, 81,היא סדרה הנדסית שבהּ .q = 3 9 27 81 = = =3 3 9 27 בדיקה: ג( הסדרה … -3, -6, -12, -24,היא סדרה הנדסית שבהּ .q = 2 -6 -12 -24 בדיקה: = = =2 -3 -6 -12 מנת הסדרה יכולה להיות גם מספר שלילי .במקרה זה האיברים הסמוכים הם בעלי סימנים נגדיים. דוגמה 2 הסדרה … 2, -6, 18, -54,היא סדרה הנדסית בעלת המנה .q = -3 בדיקה: -6 12 -54 = = = -3 2 -6 12 מנת הסדרה יכולה להיות גם שבר .q < 1במקרה זה ,אם האיבר הראשון חיובי, כל איבר קטן מקודמו ,bn+1 = bn·q < bn :כלומר ,הסדרה היא יורדת. דוגמה לסדרה הנדסית יורדת: סדרה חנדסית 126 נתבונן במשולש שווה-צלעות ,בעל צלע של 4ס"מ. נשרטט משולש שקודקודיו הם אמצע הצלעות של המשולש הנתון .צלעותיו של המשולש החדש הם קטעים אמצעיים של המשולש המקורי ,ולכן אורך הצלע של המשולש הקטן הוא 2ס"מ. נמשיך בניות מסוג זה ,ונקבל משולשים בעלי צלעות של 1 1 ס"מ וכך הלאה. , ,1 4 2 כלומר ,אורכי הצלעות של המשולשים מהווים סדרה. 4, 2, 1, 1 , 1 , ... : 2 4 נבדוק את המנות של איברים סמוכים: 1 1 4 1 2 1 2 = = = = =q 4 2 1 1 2 2 1 =.q לכן ,הסדרה היא סדרה הנדסית יורדת בעלת מנה של 2 סדרה הנדסית יכולה להיות לא עולה ולא יורדת. דוגמה 3 א( הסדרה 7, 7, 7, 7, 7,….היא הנדסית ,המנה .q = 1 הסדרה לא עולה ולא יורדת. 1 ב( הסדרה - , 1, -12, 144, ...היא סדרה הנדסית ,המנה .q = -12 12 הסדרה לא עולה ולא יורדתZ . כדי לבדוק אם סדרה נתונה היא סדרה הנדסית ,צריך לבדוק את קיומו של התנאי ) ,(3כלומר אם מנת כל שני איברים עוקבים היא מספר קבוע. אם ידוע כלל נסיגה של הסדרה ,אפשר לחשב את כל איבריה ,לפי סדר עולה החל מ .n = 1 - דוגמה 4סדרה מוגדרת לכל nטבעי על-ידי כלל הנסיגה: א( רשמו את ארבעת האיברים הראשונים. W b1 = 4 bn+1 = bn*3 האיבר הראשון נתון .מכלל הנסיגה מסיקים שמנת הסדרה היא .q = 3 נמצא את האיבר השני .נציב בכלל הנסיגה ,b1+1 = b1·3 = 4·3 = 12 :n = 1 סדרה חנדסית 127 כלומר .b2 = 12 ,נציב b2+1 = b2·3 = 12·3 = 36 :n = 2 לכן .b3 = 36 ,נציב ,b3+1 = b3·3 = 36·3 = 108 :n = 3כלומר.b4 = 108 , תשובהZ 4, 12, 36, 108 : ב( האם סדרה הנדסית זאת עולה/קבוע /יורדת? W מכיוון שהאיבר הראשון של הסדרה הוא חיובי ) (b1 = 4והמנה היא חיובית וגדולה מ ,1 -הסדרה עולהZ . b1 = 4 דוגמה 5סדרה מוגדרת לכל nטבעי על-ידי כלל הנסיגה: bn+1 = -2*bn א( רשמו את ארבעת האיברים הראשונים. W האיבר הראשון נתון .מכלל הנסיגה מסיקים שמנת הסדרה היא .q = -2 נמצא את האיבר השני .נציב בכלל הנסיגה :n = 1 ,b1+1 = b1·(-2) = 4·(-2) = -8 כלומר .b2 = -8 ,נציב b2+1 = b2·(-2) = -8·(-2) = 16 :n = 2 לכן .b3 = 16 ,נציב ,b3+1 = b3·(-2) = 16·(-2) = -32 :n = 3כלומר.b4 = -32 , תשובהZ 4, -8, 16, -32 : ג( האם סדרה הנדסית זאת עולה/קבוע /יורדת? W מכיוון שסימני האיברים הסמוכים של הסדרה מתחלפים ,הסדרה אינה עולה, אינה יורדת ,ואינה קבועהZ . דוגמה 6סדרה מוגדרת לכל nטבעי על-ידי כלל הנסיגה: א( רשמו את ארבעת האיברים הראשונים. W b1 = 108 b bn+1 = n 3 האיבר הראשון נתון. 1 מכלל הנסיגה מסיקים שמנת הסדרה שווה ל. q = - 3 1 108 = *b2 = b1 נציב בכלל הנסיגה = 36 :n = 1 3 3 בדומה לכך מציבים n = 2ו n = 3 -ומקבלים את האיברים האלה: 1 36 1 1 = *b3 = b2 = 12, b4 = b3* = 12* = 4 3 3 3 3 איברי הסדרה הראשונים הם.108, 36, 12, 4 : מכיוון שמנת הסדרה חיובית וקטנה מאחת ,הסדרה היא יורדתZ . סדרה חנדסית 128 נוסחת האיבר הכללי באמצעות כלל נסיגה אפשר לחשב בקלות את האיברים הראשונים של סדרה, אולם חישוב איבר בעל מספר סידורי nגדול מחייב לחשב את כל האיברים שלפניו. יש דרך לחשב כל איבר ,אם ידועים האיבר הראשון ומנת הסדרה. נניח שהסדרה … b1, b2, b3, …, bn,היא סדרה הנדסית בעלת המנה .q אז ,באמצעות כלל נסיגה ) (2נקבל עבור כמה איברים ראשונים של הסדרה: b2 = b1·q b3 = b2·q = b1·q·q = b1·q2 b4 = b3·q = b1·q2·q = b1·q3 b5 = b4·q = b1·q3·q = b1·q4 n = 1: n = 2: n = 3: n = 4: מהביטויים הנ"ל אפשר להסיק שבמקרה הכללי מתקיים: bn = b1·qn-1 )(4 נוסחה זאת מאפשרת לחשב איבר -nי של סדרה הנדסית ,אם ידועים האיבר הראשון ומנת הסדרה. דוגמה 7נתונה סדרה הנדסית.1, 3, 9, 27, … : א( רשמו את נוסחת האיבר הכללי של הסדרה. Wכדי לרשום את הנוסחה ) ,(4צריך לדעת את האיבר הראשון b1ואת המנה qשל הסדרה .נסתכל בסדרה ומיד נגלה ש .b1 = 1 -מנת הסדרה qשווה ל -יחס שני b2 3 איברים סמוכים כלשהם ,למשל שני וראשון= = 3 : b1 1 לכן נוסחת האיבר הכללי של הסדרה היא: = .q Z bn = 1·3n-1 = 3n-1 ב( ִמצאו את האיבר השישי של הסדרה. Wנציב בנוסחת האיבר הכללי Z .b6 = 36-1 = 35 = 243 :n = 6 3 3 3 3 3, , , , ,... 2 4 8 16 דוגמה 8נתונה סדרה הנדסית: א( רשמו את נוסחת האיבר הכללי של הסדרה; ב( מצאו את האיבר העשירי של הסדרה. סדרה חנדסית 129 b2 3 1 Wא( מהסתכלות על הסדרה רואים ש .b1 = 3 -מנת הסדרה= : 3 = : b1 2 2 n-1 3 1 *Z bn = 3 נוסחת האיבר הכללי= n-1 : 2 2 3 3 3 = Z b10 = 10-1 = 9 ב( נציב בביטוי שקיבלנו : n = 10 512 2 2 מציאת nעל-פי bn ,b1וq - =q )( הנוסחה לאיבר הכללי מאפשרת למצוא את מספר האיבר בסדרה על-פי גודלו, האיבר הראשון ומנת הסדרה. דוגמה 9נתונים .bn = 1536 ,q = 2 ,b1 = 3 :מצאו את .n W נציב בנוסחה ) (4את הנתונים: 1536 = 3·2n-1 Ö 512 = 2n-1 מכיוון ש 512 = 29 -רושמיםZ .n = 10 ,n - 1 = 9 ,2n-1 = 29 : מציאת qעל-פי b1וbn - הנוסחא ) (4מאפשרת גם למצוא את מנת הסדרה על-פי האיבר הראשון והאיבר ה - n -י. 7 = . b7מצאו את .q דוגמה 10נתונים,b = 14 : 32 1 Wנציב בנוסחת האיבר הכללי את הנתונים: 1 1 7 1 = = 14*q6 Ö q6 = qאו Ö q = 2Y b7 = b1·q6 Ö 64 32 2 מציאת bnעל-פי bkוbm - ! אם ידועים שני איברים כלשהם של סדרה הנדסית ,אפשר למצוא כל איבר אחר של הסדרה :מציבים בנוסחת האיבר הכללי את נתוני שני האיברים הידועים, ומקבלים מערכת של שתי משוואות לגבי b1ו.q - דוגמה 11 מצאו את האיבר השמיני של סדרה הנדסית ,אם ידועים האיברים הראשון והשלישי.b3 = 18 ,b1 = 162 : Wנציב בנוסחת האיבר הכללי את הנתונים: b 18 1 1 1 3 = = = , q1 = , q2= b3 = b1·q2 Ö q b1 162 9 3 3 2 סדרה חנדסית 130 כלומר ,יש שתי סדרות המקיימות את תנאי הבעיה: 7 2 2*34 2 1 1 כאשר = , qמקבלים: == 7 = 3 *b8 = b1*q7 = 162 27 3 3 3 3 7 1 1 2*34 2 2 : Z כאשר q = - *b8 = b1*q7 = 162==- 7 =- 33 3 27 3 3 )( ) ( דוגמה 12בסדרה הנדסית עולה ,האיבר הרביעי הוא ,24 והאיבר השישי הוא ִ .96מצאו את האיבר הראשון של הסדרה. Wנרשום את נתוני הבעיה.b4 = 24, b6 = 96 : נציב נתונים בנוסחאות האיבר הכללי עבור שני האיברים: b4 = b1·q3 = 24 )(1 b6 = b1·q5 = 96 )(2 5 96 b1q = נחלק ) (2ב= q2 , q2 = 4, q1 = 2, q2 = -2 :(1) - 24 b1q3 קיימות שתי סדרות שבהן האיברים הרביעי והשישי מתאימים לנונים ,ואולם רק אחת מהן היא עולה .q = 2 :נציב ב (1) -ונמצא את :b1 תשובהZ . b1 = 3 : 24 24 24 = = =3 8 q3 23 = b1 הערה :בסדרה השנייה , b1 = 24 = -3 ,q = -2 3 )(-2 הסדרה היא: . -3, 6, -12, 24, -48, 96,...הסדרה לא עולה ולא יורדת. ! כדי לבדוק אם סדרה נתונה היא סדרה הנדסית צריך לוודא את קיומו של התנאי ) ,(3כלומר לבדוק אם מנת כל שני איברים סמוכים היא מספר קבוע. Îדוגמה 13הוכיחו שסדרה שהאיבר החופשי שלה הוא bn = 72nהיא סדרה הנדסית. bn+1 היא מספר קבוע שאינו תלוי ב.n -ניעזר בתכונות Wצריך להוכיח שהמנה bn החזקה ונחשב אותה: bn+1 72(n+1) 72n+2 2 = = 2n = 7 = 49 2n bn 7 7 המנה אינה תלויה ב ,n -לכן הסדרה היא הנדסיתZ . סדרה חנדסית 131 מציאת הסדרה עפ"י הקשרים בין איבריה דוגמה 14 נתונים :ההפרש בין האיברים השביעי והחמישי של סדרה הנדסית שווה ל ,48 -הסכום של האיברים החמישי והשישי גם הוא שווה לִ .48 -מצאו את האיבר ה 12 -של הסדרה. Wשלב א .רישום הנתונים ושימוש בנוסחת האיבר הכללי: b1·q6 - b1·q4 = 48 b7 = b1·q6, b5 = b1·q4 Ö b1·q4 + b1·q5 = 48 b5 + b6 = 48, b5 = b1·q4, b6 = b1·q5 Ö b7 – b5 = 48, נוציא גורמים משותפים מהסוגריים ,ונקבל מערכת משתי משוואות עם שני b1·q4 (q2 – 1) = 48 נעלמים b1ו:q - 4 b1·q (q + 1) = 48 שלב ב .פתרון המערכת .נשווה את אגפי שמאל: )b1·q4 (q2 – 1) = b1·q4 (q + 1 נחלק את שני האגפים ב) b1·q4 -אשר אינו שווה לאפס( ,ונקבל משוואה ריבועית: q2 – 1 = q + 1, q2 - q – 2 = 0, q1 = 2, q2 = -1. נציב q = 2במשוואה השנייה ונקבל: .b1 = 1 ,b1·16·3 = 48 ,b1·24 (2 + 1) = 48 נציב q = -1במשוואה השנייה ונקבל: )?( b1·14 (-1 + 1) = 48 , b1· 0 = 48 פתרון. למשוואה זו אין ְ לכן.q = 2 ,b1 = 1 : שלב ג .כדי למצוא את b12נשתמש בנוסחת האיבר הכללי: b12 = b1·q11 = 1·211 = 2048 Z סדרה הנדסית בדוגמאות מתחומים שונים דוגמה 15 לאחר כל מהלך של משאבת אוויר המיועדת להוצאת אוויר ממיכל, היא מוציאה 20%מהאוויר הנמצא בו .הלחץ ההתחלתי של האוויר היה 760מ"מ כספית .מה יהיה לחץ האוויר במיכל לאחר שישה מהלכים של השאיבה? סדרה חנדסית 132 Wמכיוון שלאחר כל מהלך מוציאים 20%מהאוויר ,נשארים במיכל 80%מהאוויר. אם נסמן את הלחץ ההתחלתי ב ,p1 -אז לאחר מהלך ראשון יהיה לחץ ,p2 = 0.8·p1 לאחר המהלך השני הלחץ יהיה שווה ל ,p3 = 0.8·p2 -וכך הלאה. כלומר ,לפנינו סדרה הנדסית יורדת ,אשר בה האיבר הראשון שווה לp1 = 760 - והמנה .q = 0.8הלחץ הנדרש )לאחר 6שאיבות( הוא האיבר השביעי של הסדרה: )p7 = p1·(0.8)6 ≈ 200 (mm Hg דוגמה 16משקל גרעין החיטה המונח על המשבצת הראשונה של לוח שח-מט הוא 1גרם .בכל משבצת ביקש המתמטיקאי להניח כמות חיטה הכפולה מזו שבמשבצת הסמוכה .מה כמות חיטה שתהיה במשבצת ה ?11 -ובמשבצת ה?21 - W כמויות החיטה בכל ערוגה מהוות סדרה הנדסית שבה האיבר הראשון שווה ל b1 = 1 -והמנה .q = 2 האיבר האחת-עשרה שווה ל- 10 ,b11 = b1·q = 1·210 = 1024 g ? ? .... .... כלומר יותר מקילוגרם אחד! .... ..... ..... ..... ..... במשבצת 21כמות החיטה תהיה: 20 1 20 2 3 4 5 6 7 b21 = b1·q = 1·2 = 1,048,576 g ≈ 1000 kg = 1 ton כלומר ,אם על המשבצת הראשונה נניח גרעין אחד ,אז על משבצת 11נצטרך להניח שקית של קילוגרם אחד ,ובמשבצת 21שק של טון )משקל של מכונית ממוצעת(! תרגילים ִ .1רשמו את חמשת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית ) ,(bnאם נתונים: 1 א( b1 = 6, q = 2 ב( = b1 = -16, q 2 ג( b1 = -24, q = -1.5 ד( b1 = 0.4, q = 2 .2הסדרה ) (cnהיא סדרה הנדסית שבה האיבר הראשון שווה ל c1 -והמנה .q בטאו באמצעות c1ו q -את: א ( c6 ב( c20 ג( c125 ד ( ck ה( ck+3 סדרה חנדסית 133 ו( c2k 8 .3סדרה ) (xnהיא סדרה הנדסית .מצאו: 1 א( ,x7אם 2 ג( ,x8אם x1 = 2 , q = - 2 1 ב( ,x8אם = x1 = -810, q 3 ד( ,x6אם x1 = 125, q = 0.2 = x1 = 16, q .4סדרה ) (bnהיא סדרה הנדסית .מצאו את: 2 3 א( ,bאם 2 = b1 = , qב( ,b4אם 5 3 4 3 .5מצאו את האיבר השביעי והאיבר הכללי של סדרה הנדסית: = b1 = 1.8, q א( … 2, -6, ב( … -40, -20, ג( … -0.125, 0.25, ד( … -10, 10, .6מצאו את האיבר השישי והאיבר הכללי של סדרה הנדסית: 64 32 ב( , - , ... א( … 48, 12, 9 3 ג( … -0.001, -0.01,ד( … -100, 10, B .7במשולש ABCהעבירו קטע אמצעי .A1C1 C3 C2 במשולש A1BC1העבירו קטע אמצעי ,A2C2 במשולש החדש שנוצר A2BC2העבירו קטע אמצעי A3 A2 C1 A3C3וכך הלאה. A1 ִמצאו את שטח המשולש ,A9BC9אם ידוע ששטח המשולש ABCשווה ל 768 -סמ"ר. .8 C מצאו את האיבר הראשון של סדרה הנדסית ) (bnאם ידועים: א( b6 = 3, q = 3 1 1 ב( b5 = 17 , q = -2 2 2 א( c5 = -6, c7 = -54 ב( c6 = 26, c8 = 9 .9מצאו את מנת הסדרה ההנדסית ) (cnאם ידועים: .10סדרה ) (xnהיא סדרה הנדסית .מצאו: א( ,x1אם x6 = 0.32, q = 0.2ב( ,qאם .x3 = -162, x5 = -18 .11בין המספרים 2ו 162 -רשמו שלושה מספרים כאלה ,שיחד עם המספרים הנתונים הם ייצרו סדרה הנדסית .מהם שלשת המספרים סדרה חנדסית 134 A 1 .12סדרה הנדסית ) (xnמורכבת מארבעה איברים: 4 . 2, a, b,מצאו את aו.b - .13מצאו את האיבר השישי של סדרה הנדסית ) ,(bnאם ידוע ש.b4 = 24 ,b2 = 6 - .14נתון משולש שווה-צלעות ,בעל צלע של 8ס"מ. מצלעותיו בנו משולש שני .מצלעותיו של השני בנו עוד משולש וכך הלאה .הוכיחו שהיקפי המשולים מהווים סדרה הנדסית ,ומצאו את ההיקף של המשולש השישי. Î.15נתון ריבוע שאורך צלעו שווה ל 4 -ס"מ. נקודות האמצע של צלעותיו ִהנן קודקודים של ריבוע שני .נקודות האמצע של הריבוע השני ִהנן קודקודים של ריבוע שלישי וכך הלאה .הוכיחו ששטחים של הריבועים מהווים סדרה הנדסית ,ומצאו את השטח של הריבוע השביעי. §14סכום של nאיברים ראשונים של סדרה הנדסית כיצד לחשב את מספר הגרעינים על לוח השח-מט שביקש המתמטיקאי סטא? מכיוון שמספרי הגרעינים מהווים סדרה הנדסית שבה האיבר הראשון b1 = 1והמנה ,q = 2יודעים אנחנו לחשב את מספר הגרעינים בכל משבצת. bn = b1·qn-1 = 2n-1 : אנחנו רוצים לחשב את סכום מספרי הגרעינים על כל 64המשבצות: S = 1 + 2 + 22 + 23 +…+ 263 נכפיל את שני האגפים של השוויון הזה במנת הסדרה ):(2 = 2S = 2·1 + 2·2 + 2·22 + 2·23 +…+ 2·263 = 2 + 22 + 23 + 24 +…+ 264 נחסיר ביטוי ראשון מהשני: …= )2S – S = (2 + 22 + 23 + 24 +…+ 264) – (1 + 2 + 22 + 23 +…+ 263 רואים שמהביטוי בסוגריים שמאליים תישאר רק החזקה , 264ומהשני רק ).(-1 לכן ,התוצאה היא: S = 264 – 1 סדרה חנדסית 135 זה מספר עצום :הוא גדול בהרבה מכמות החיטה שגדלה עד כה על פני כדור הארץ... נפתח כעת נוסחה לסכום של nאיברים ראשונים של סדרה הנדסית כלשהי. ֵ ניעזר באותה השיטה שבעזרתה מצאונו את הסכום :S נסמן ב Sn -את הסכום של nאיברים ראשונים של סדרה הנדסית ):(bn Sn = b1 + b2 + b3 + …+ bn נכפיל את שני האגפים ב:q - Snq = b1q + b2q + b3q + …+ bnq מכיוון ש- b1q = b2, b2q = b3, b3q = b4, …,bn-1q = bn Snq = b2 + b3 + b4 + …+ bn + bnq נקבל: נחסיר מהביטוי האחרון את הביטוי עבור :Sn = Snq - Sn = )(b2 + b3 + b4 + …+ bn + bnq) – (b1 + b2 + b3 + …+ bn = bnq – b1 נחלץ :Sn )(1 Sn(q – 1) = bnq – b1 bnq - b1 q-1 = Sn פיתחנו נוסחה לסכום של nאיברים ראשונים של סדרה הנדסית שבה המנה אינה שווה ל .1 -אם q = 1אז כל האיברים שווים לאיבר הראשון ,ו.Sn = n·b1 - אם נתונים b1ו bn) q -לא ידוע( ,נוח יותר להשתמש בצורה אחרת של נוסחת הסכום :נציב ב (1) -את הביטוי לאיבר הכללי ):(bn = b1qn-1 )b1*qn-1*q - b1 b1*qn - b1 b1(qn - 1 = = = Sn q-1 q-1 q-1 לכן: ) b 1 (q n - 1 , q×1 q-1 = Sn סדרה חנדסית 136 )(2 דוגמה ִ 1מצאו סכום של עשרת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית ),(bn 1 שבה b1 = 3ו. q = - 2 Wמכיוון שנתונים b1ו ,q -אפשר להשתמש בנוסחה ).(2 נציב נתונים בנוסחה ונקבל: 10 ( ) ) (( ) 1 1 *3 -1 b1(q10 - 1) 3* 2 - 1 1024 3 509 = S10 = = =6=5 q-1 1 1 512 512 -1 2 2 1 דוגמה 2בסדרה הנדסית נתונים מנה = q 2 וסכום של שישה איברים ראשונים.S6 = 252 : מצאו את האיבר הראשון. Wניעזר בנוסחה ) ,(2ונציב בה את הנתונים: ) מכאן נחלץ את :b1 ( 1 26 1 12 b1 1 - b *63 1 , 252 = 1 , b1 = 128 64 32 = 252 ) ( Y 252 =2b1 1- דוגמה 3סכום של nאיברים ראשונים בסדרה הנדסית שווה ל.(-93) - האיבר הראשון של הסדרה שווה ל ,(-3) -והמנה שווה ל .q = 2 -מצאו את .n Wנציב נתונים בנוסחה ):(2 מכאן מקבלים: Y n ) -3*(1 - 2 1-2 = -93 -31 = 1 – 2n, 2n = 32, 2n = 25, n = 5 דוגמה 4הסדרה … 5, 15, 45, …, 1215,היא סדרה הנדסית. מצאו את הסכום .5 + 15 + 45 + …+ 1215 Wמכיוון ש b1 = 5 -ו b2 = 15 -מסיקים ש .q = 3 -נתון גם ,bn = 1215אולם לא נתון מספר סידורי nשל האיבר האחרון .לכן נוח יותר להיעזר בנוסחה ):(1 Y bn*q - b1 1215*3 - 5 3645 - 5 = = = 1820 q-1 3-1 2 סדרה חנדסית 137 = Sn תרגילים .1מצאו סכום של nאיברים ראשונים של סדרה הנדסית אם נתון: 1 1 ב( b1 = 1, q = - , n = 4 א( b1 = , q = 2, n = 6 3 2 2 1 ד( b1 = -5, q = - , n = 5 ג( b1 = -2, q = , n = 5 3 2 ה( b1 = 6, q = 1, n = 200 ו( b1 = -4, q = 1, n = 100 .2מצאו סכום של שבעת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית: א( … 5, 10, 20, ב( … 2, 6, 18, ִ .3מצאו בסדרה הנדסית: א( b1ו ,b7 -אם נתוניםS7 = 635 ,q = 2 : ב( b1ו ,b8 -אם נתוניםS8 = 85 ,q = -2 : .4מצאו את מספר האיברים בסדרה הנדסית ,אם נתונים: א( Sn = 189, b1 = 3, q = 2 ב( Sn = 635, b1 = 5, q = 2 ג( 1 2 .5מצאו בסדרה הנדסית: Sn = 170, b1 = 256, q = -ד( Sn = -99, b1 = -9, q = -2 א( nו ,bn -אם נתוניםb1 = 7, q = 3, Sn = 847 : ב( nו ,bn -אם נתוניםb1 = 8, q = 2, Sn = 4088 : ג( nו ,q -אם נתוניםb1 = 2, bn = 1458, Sn = 2186 : ד( nו ,q -אם נתוניםb1 = 1, bn = 2401, Sn = 2801 : .6מצאו את סכום המספרים ,אם ידוע שכולם הינם איברים עוקבים של סדרה הנדסית: א( 1 + 2 + 4 + … + 128 ב( 1 + 3 + 9 + … + 243 ג( -1 + 2 – 4 + … + 128 ד( 5- 15 + 45 - … + 405 .7מצאו בסדרה הנדסית את b5ו ,S4 -אם ידוע ש- א( b2 = 15, b3 = 25 ב( b2 = 14, b4 = 686, q > 0 סדרה חנדסית 138 .8בסדרה הנדסית נתונה נוסחת האיבר הכללי: n א( ;bn = 3·2n-1מצאו את S5 ב( .9מצאו בסדרה הנדסית ,על-פי הנתונים: ) ( 12 ;bn = -2מצאו את .S6 א( ;b3 = 135 ,S3 =195מצאו b1 :וq - ב( ;b1 = 12 ,S3 = 372מצאו b3 :וq - .10מצאו בסדרה הנדסית: א( ,qאם נתונים b1 = 1 :ו;b3 + b5 = 90 - ב( ,qאם נתונים b2 = 3 :ו;b4 + b6 = 60 - ג( ,S10אם נתונים b1 – b3 = 15 :ו;b2 - b4 = 30 - ד( ,S5אם נתונים b3 – b1 = 24 :ו.b5 - b1 = 624 - .11הוכיחו שהסדרה ) (bnהיא סדרה הנדסית ,ומצאו סכום של nאיבריה הראשונים, אם נתונה נוסחת האיבר הכללי: א( bn = 0.2·5n ב( bn = 3·2n-1 ג( bn = 31+n .12מצאו סכום של nאיברים ראשונים של סדרה הנדסית: ב( …2, 22, 23, א( … 1, 3, 32, 1 1 1 ד( 1, -x, x2, …, x ≠ 1 ג( , - , , ... 2 4 8 ה( 1, x2, x4, …, x ≠ ±1ו( 1, -x3, x6, …, x ≠ ±1 .13מצאו סכום של ששת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית שבה האיבר הראשון שווה ל ,2 -והאיבר החמישי שווה ל ,162 -אם ידוע שאיברי הסדרה בעלי מספר סידורי nאי-זוגי הם חיוביים ,ואלה עם – nזוגי הם שליליים. .14מצאו סכום של שבעת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית ),(bn שבה b2 = 6ו ,b4 = 54 -אם ידוע שכל איבריה חיוביים. .15חידה מ"אלף לילה ולילה" אישה צעירה נכנסה לגן של מלך וקטפה סל תפוחים .כדי לצאת מהגן צריך לעבור דרך ארבעה שערים ,שליד כל אחד מוצב שומר .לשומר הראשון נתנה האישה חצי מהתפוחים שקטפה ,לשני – חצי ממה שנשאר .כך עשתה גם עם השומר השלישי והרביעי .לבסוף ,נשארו לה עשרה תפוחים .כמה תפוחים היא קטפה בגן? סדרה חנדסית 139 §15גדילה ודעיכה קטן(, גדל או ֵ כאשר איברי הסדרה הם הערכים של גודל מסוים המשתנה בזמן ) ֵ אנו מדברים על תופעות של גידול או דעיכה. למשל ,מפקידים בבנק כסף לשנה אחת .הבנק מבטיח להחזיר את הסכום שהפקדנו בתוספת ריבית. אם הפקדנו סך של ,₪ M0ושיעור הריבית הוא ,αאז לאחר שנה אחת נקבל סך של )M1 = M0 + M0·α = M0(1 + α )(1 בנוסחה זו M0 ,היא הכמות ההתחלתית ו M0·α -היא התוספת בתום התקופה. דוגמה 1מפקידים ₪ 1,000לשנה אחת .שיעור הריבית הוא .10% כמה כסף נקבל בתום השנה? W נרשום נתונים . M0 = 1000, α = 10% = 0.1 :נשתמש בנוסחה ):(1 )M1 = M0(1 + α) = 1000·(1 + 0.1) = 1000·1.1 = 1100 (₪ Z אם סיכמנו עם הבנק שהכסף יופקד לשנתיים ,באותה ריבית שנתית ,שתחושב בתום כל התקופה ,אז נקבל סך של - Z )M2 = M0(1 + 2α) = 1000·(1 + 2·0.1) = 1000·1.2 = 1200 (₪ ריבית מסוג זה ,המחושבת בסוף כל תקופת הפיקדון ,מכונה ריבית פשוטה. כדי לחשב אותה ,צריך לדעת את שיעור הריבית αלפרק זמן נתון )למשל ,שנה, חצי שנה ,חודש וכד'( ,וכמה פרקי זמן אלה - n -נכללים בכל התקופה. את כמות הכסף בתום כל התקופה אפשר לחשב אז על-פי הנוסחה של ריבית פשוטה: )Mn = M0(1 + nα דוגמה 2 )(2 כמה כסף יחזיר הבנק בתום תקופה של חמש שנים עבור פיקדון של בתנאי ריבית שנתית פשוטה של ?8% ֵ ₪ 1000שהופקדו W נרשום נתונים .M0 = 1000, α = 8% = 0.08, n = 5 :נשתמש בנוסחה ):(2 )M1 = M0(1 + 5α) = 1000·(1 + 5·0.08) = 1000·1.4 = 1400 (₪ ! סיכום :ריבית פשוטה מחושבת פעם אחת ,בתום כל התקופה, גם אם שיעור הריבית נתון לפי פרק הזמן הקצר מכל התקופה. סדרה חנדסית 140 ריבית ֶדריבית נבדוק ,האם הפקדה בריבית פשוטה מניבה רווח מקסימלי .נשווה שני תרחישים :באחד ,נפקיד בבנק ₪ 1000ל -חמש שנים בריבית שנתית פשוטה של ,8%המחושבת בתום כל התקופה. הבנק יחזיר לנו ,M = 1000⋅(1 + 5⋅0.08) = 1,400 ₪ כלומר הרווח שלנו יהיה .1400 – 1000 = 400 ₪ בתרחיש אחר ,נפקיד אותו סכום של ₪ 1000בריבית שנתית של 8%לשנה אחת. בתום השנה נוציא סכום של ,M1 = M0(1 +0.08) = 1000·1.08 = 1080 ₪ ונפקיד אותו שוב באותה הריבית לעוד שנה אחת. בתום השנה השנייה נקבל סכום של ,M2 = M1(1 + α) = 1080·1.08 = 1166.4 ₪ נחזור על פעולה זו עוד שלוש פעמים: בתום שנה שלישית נקבל ,M3 = M2(1 + α) = 1166.4·1.08 = 1259.7 ₪ בתום שנה רביעית נקבל ,M4 = M3(1 + α) = 1259.7·1.08 = 1360.5 ₪ ובתום שנה חמישית נקבל .M5 = M4(1 + α) = 1360.5·1.08 = 1469.3 ₪ בתנאי ריבית ֵ לסיכום ,נקבל ₪ 69.3יותר לעומת ₪ 1400שהיינו מקבלים פשוטה. שיטת חישוב זו ,שבה הריבית מחושבת בתום כל פרק הזמן שעבורו נקבעה הריבית ,והסכום החדש ישמש כקרן התחלתית ) (M0עבור התקופה הבאה ,מכונה ריבית דריבית. נפתח נוסחה לחישוב ריבית דריבית. ֵ גדל בשיעור הריבית αכל פרק נניח שהערך ההתחלתי היה שווה ל ,M0 -והוא ֵ זמן שמוגדר מראש .מה יהיה הערך הסופי Mnלאחר nפרקי זמן? בתום פרק הזמן הראשון הערך יהיה שווה ל- )M1 = M0(1 + α עבור פרק הזמן השני ,הערך הזה יהפוך להתחלתי ,לכן: M2 = M1(1 + α) = M0(1 + α)·(1 + α) = M0(1 + α)2 סדרה חנדסית 141 בדומה לכך נקבל עבור פרקי הזמן הבאים: M3 = M2(1 + α) = M0(1 + α)3 M4 = M3(1 + α) = M0(1 + α)4 ................................................. Mn = M0(1 + α)n )(3 באמצעות נוסחה זו אפשר לחשב ערך מסוג כלשהו )פיקדון כספי ,גודל אוכלוסייה ,מספר החיידקים שמתרבים ועוד( ,ששיעור הגידול שלו αנמצא ביחס ישר לגודל התחלתי. רואים ,שהערכים העוקבים של Mnיוצרים סדרה הנדסית עולה ,כאשר האיבר הראשון הוא M0והמנה היא ) .q = (1 + αכאשר ,α > 0המנה גדולה מ,1 - גדלה ,והתהליך מכונה גדילה. והסדרה עולה ,כלומר ,הכמות ההתחלתית ֵ מהנוסחה ) (3רואים שאם ידועים שלושה מארבעת הערכים Mn, M0, αו,n - אפשר למצוא את הערך הרביעי. מציאת שיעור הגדילה α דוגמה 3 חלקת יער הכילה לפני עשר שנים 15,000עצים .היום יש בחלקה 22,000עצים. שיעור גדילת מספר העצים נשאר קבוע. א( מה שיעור הגדילה השנתי? Wנרשום את הנתוניםα = ? .M10 = 22000 ,n = 10 ,M0 = 15000 : נשתמש בנוסחה ) ,Mn = M0(1 + α)n :(3ונחלץ ממנה :α n M n M Mn n n = , 1+¹ =, ¹ -1 M0 M0 M0 n = )(1+¹ נציב נתונים ונקבל תשובה: Y 22000 - 1 = 1.039 - 1 = 0.039 = 3.9% 15000 10 =¹ הערה :כדי לחשב שורש -nי אפשר להשתמש במחשבון או בתוכנת מחשב מתאימה. סדרה חנדסית 142 מציאת הכמות הסופית Mn ב( כמה עצים יהיו בחלקה בעוד עשר שנים? Wנציב בנוסחה ) (3את αשמצאנו: M20 = M10(1 + α)10 = 22000·(1 + 0.039)10 ≈ 32267 הערה :אפשר להציב בנוסחה את הכמות ההתחלתית M0 = 15000ו:n = 20 - M20 = M0(1 + α)20 = 15000·(1 + 0.039)20 ≈ 32267 דוגמה 4בנק מציע שתי תכניות חיסכון: תכנית א' ,בריבית שנתית של ,8% ותכנית ב' ,שבה הריבית היא ,16%אולם היא משולמת פעם בשנתיים. באיזו תכנית כדאי יותר להשקיע כסף ל -ארבע שנים? W נרשום את הנתונים עבור תכנית א') M0 :אינה ידועה(,α1 = 0.08 ,n = 4 , ) Maמצב חשבון בתום התקופה(. עבור תכנית ב') M0 :השווה לזו שבתכנית א'() n = 2 ,מכיוון שריבית משולמת פעם בשנתיים() Mb ,α2 = 0.16 ,מצב חשבון בתום התקופה(. נציב נתונים בנוסחה )Ma = M0(1 + α1)4 = M0·1.084 = M0·1.36 :(3 Mb = M0(1 + α2)2 = M0·1.162 = M0·1.345 רואים ,ש ,Ma > Mb -כלומר ,תכנית א' ָכדאית יותר. Z מציאת הכמות ההתחלתית M0 דוגמה 5 אוכלוסייה במדינה מסוימת גדלה כל שנה ב .1.5% -ב 1.1.2010 -נערך מפקד אוכלוסין ,והתברר כי מספר תושבי המדינה הוא 13.5מיליון. מה היה מספר התושבים במדינה 20שנים קודם? Wנרשום את הנתונים) :מיליון( .M0 = ? ,α = 0.015 ,n = 20 ,M20 = 12.5 נשתמש בנוסחה ):(3 ,Mn = M0(1 + α)nונחלץ ממנה : M0 Mn (1 + ¹) n = M0 סדרה חנדסית 143 13.5 נציב נתונים) :מיליון( = 10 20 )(1+0.015 = M0 Z מציאת n דוגמה 6בשמורת טבע סופרים את העופות הדורסים מדי שנה באותו תאריך. לפני שנה נספרו 1,093עופות. בספירה השנה נספרו 1,507עופות. אוכלוסיית העופות גדלה בשיעור קבוע. כעבור כמה שנים יהיו בשמורה 3,950עופות דורסים? W נרשום נתוניםn = ? ,Mn = 3950 ,M1 = 1507 ,n = 1 ,M0 = 1093 : נשתמש בנוסחה ):(3 ,Mn = M0(1 + α)nונחלץ ממנה : (1 + α)n Mn M0 = (1 + ¹) n רואים ,שיש שני נעלמים n :ו .α -כדי למצוא את αניעזר בקשר בין :M1 -M0 M1 M 1507 =, ¹ = 1 -1 -1= 0.379 M0 M0 1093 = 1+ ¹ M1 = M0(1 + α) Ö נציב בביטוי הקודם: 3950 Ó 3.61, 1.379n = 3.61 1093 קיבלנו משוואה שבה הנעלם ) (nהוא מעריך החזקה. n = )(1+0.379 לכן משוואה מסוג זה מכונה משוואה מעריכית. יש כמה דרכים לפתור אותה; אנחנו נשתמש בדרך הקלה ,אולם לעתים ארוכה: ניסוי וטעייה. נציב במשוואה כמה ערכים הגיוניים של ,nונראה ,איזה מהם מתאים: ברור ש .n > 1 -ננסה ,1.3793 = 2.622 :n = 3 ,1.3792 = 1.902 :n = 2 ,1.3794 = 3.612 :n = 4כלומר n = 4 ,מקיים את המשוואה. תשובה.n = 4 : Z סדרה חנדסית 144 דעיכה ישנן תופעות רבות שבהן כמות התחלתית הולכת וקטנה עם הזמן. לדוגמה :רכב חדש מאבד כל שנה שיעור מסוים מערכו; חומר רדיואקטיבי ,כמו אורניום ,מתפרק ,ומאבד כל פרק זמן מסוים חלק ממשקלו; מים הנמצאים בכלי פתוח מתאדים ומאבדים חלק ממשקלם. וקטנה ,שיעור הגדילה הופך לשלילי,α < 0 , כאשר כמות התחלתית הולכת ֵ המנה אפוא תהיה קטנה מ ,q = (1+ α) < 1 :1 -וסדרת ערכי הכמות תהיה סדרה הנדסית יורדת .תהליך כזה מכונה דעיכה. אם לרשום את שיעור הדעיכה αכמספר חיובי ,אז הנוסחה ) (3במקרה של דעיכה תקבל צורה: Mn = M0(1 - α)n )(4 כמו במקרים של גדילה ,באמצעות נוסחה זו אפשר לחשב כל אחד מהפרמטרים Mn, M0, αו ,n -אם שלושת הפרמטרים האחרים ידועים. דוגמה 7קניתי מכונית ב .₪ 125,000 -ידוע שערך המכונית יורד כל שנה ב- .15%מה יהיה ערכה של המכונית בבידוק בעוד 5שנים? Wנרשום את הנתונים ,M5 = ? .n = 5 ,α = 0.15 ,M0 = 125000 :ונציב אותם בנוסחה ):(4 )M5 = 125000·(1 – 0.15)5 = 125000·(0.85)5 = 55,463 (₪ קטנה כל חמש שעות בשיעור מסוים. דוגמה 8כמות חומר רדיואקטיבי ֵ מדי חמש שעות החל מהשעה .6:00 מדען שקל את החומר ֵ בשקילה הראשונה הייתה מסת החומר שווה ל 50 -גרם. בשעה 11:00הייתה המסה שווה ל 40 -גרם. בשקילה נוספת הייתה מסת החומר שווה ל 25.6 -גרם. באיזו שעה נערכה המדידה? Wנרשום את הנתונים.t = 5 ,M0 = 50 : סדרה חנדסית 145 Z פרק הזמן בין שתי השקילות הראשונות שווה ל ,11 – 6 = 5 -לכן ,n = 1ואפשר לרשום נתון נוסף .M1 = 40 :שקילה נוספת נערכה כעבור nפרקי זמן בני 5שעות כל אחד ,והתוצאה הייתה .Mn = 25.6 :צריך למצוא .n = ? :n נשתמש בנוסחה ) (4עבור המדידה השנייה: M1 = 40 = 50·(1 – α)1 מכאן נמצא את שיעור הדעיכה 1 – α = 0.8, α = 0.2 :α כעבור nפרקי זמן תוצאת השקילה הייתה: 25.6 = 0.512 50 קיבלנו משוואה מעריכית לגבי .nננסה לפתור אותה בשיטת ניסוי והטעיה: = Mn = 25.6 = 50·(1 – α)n = 50·0.8n Ö 0.8n )לא מתאים :גדול מדיי( n = 2: 0.82 = 0.64 )לא מתאים :קטן מדיי( n = 4: 0.84 = 0.41 !( מתאים בדיוק)n = 3: 0.82 = 0.512 ובכן ,עברו שלושה פרקי זמן של חמש שעות ,כלומר ,המדידה השלישית נערכה בשעה - 6 + 3·5 = 21 תשובה.21:00 : Z זמן מחצית החיים )או מתי מתו דינוזאורים?( בטבע יש כמה יסודות שפולטים תמיד קרינה ,וכתוצאה מכך מתפרקים :כמות קטנה ,וחלק ממנו הופך ליסוד אחר .תהליך כזה מכונה פריקה החומר המקורי ֵ רדיואקטיבית ,והחומרים נקראים רדיואקטיביים. שימושים רבים לחומרים רדיואקטיביים בארכאולוגיה ,ברפואה ,בהנדסה ובתחומים אחרים. נוח למיין חומרים רדיואקטיביים על-פי פרק הזמן שבו כמות החומר פוחתת פי- שתיים פרק זמן זה נקרא זמן מחצית החיים של החומר. אם ידוע זמן מחצית החיים ,אפשר לחשב את כמות החומר בכל רגע ,או את כמות החומר שהייתה לפני זמן מה ,או את פרק הזמן שעבר מתחילת התהליך. סדרה חנדסית 146 נסמן את זמן מחצית החיים ב .T1/2 -על-פי ההגדרה ,כמות החומר בתום פרק זמן זה שווה למחצית הכמות ההתחלתית .נציב בנוסחה ):(4 MT1/2 = M0·(1 - α) = 0.5M0 מכאן מקבלים: 1 2 כדי לדעת את כמות החומר כעבור זמן tמתחילת התהליך ,נחשב :n = 1 - α = 0.5, ¹ = 0.5 t כמות החומר ברגע זה תהיה: t T1/2 - T1/2 =n n = M0*2 -n ( 12 ) = M * 21 = M *2 0 n Mt = M0*(1 - ¹) n = M0* 1 - 0 קיבלנו את חוק הפירוק הרדיואקטיבי: t T1/2 - Mt = M0*2 או M0 t )(5 = Mt T 2 1/2 כדי לגלות גיל מאובנים משתמשים במדידת הריכוז של פחמן– 14- דוגמה 9 הסוג הלא-יציב של היסוד פחמן ,אשר זמן מחצית החיים שלו הוא 5,717שנים. נמצא שהריכוז של פחמן 14-במאובנים של דינוזאורים הוא קטן פי – 1,000 מהריכוז ביצורים חיים .מה גיל הדינוזאורים? t Wנסמן T1/2 הדינוזאורים. = - nמספר פרקי מחצית החיים בכל הזמן שעבר מאז תקופת Mt 1 בנוסחאות ) M (5מבטא את ריכוז החומר .נתון: = M0 1000 מהנוסחה ) (5מקבלים: Mt 1 1 , 2n = 1000 = = M0 1000 2n קיבלנו משוואה מעריכית לגבי .n . באמצעות מחשבון )בשיטה ניסוי וטעייה( נמצא ,210 = 1024 :כלומר,n = 10 , ו t -שווה ל 10 -פרקי זמן של מחצית החיים) :שנים( .t = 5717·10 ≈ 60,000 תשובה :הדינוזאורים מתו לפני 60,000שניםZ . סדרה חנדסית 147 הייצוג הגרפי של גדילה ודעיכה ייצוג גרפי מאפשר לראות את השתנות הכמות ַבזמן בצורה מוחשית יותר מאשר ייצוג אלגברי )באמצעות נוסחה( או ייצוג טבלאי. דוגמה 10 דוד הפקיד בבנק ₪ 1,000בריבית שנתית פשוטה של .10%כמה כסף יקבל דוד בתום שנה אחת? שנתיים? חמש שנים? שרטטו גרף של מצב החשבון כפונקציה של זמן פיקדון. Wנשתמש בנוסחה של ריבית פשוטה ) ,Mn = M0(1 + nα) :(2ונציב בה את נתוני הבעיה .α = 0.1 ,M0 = 1000 :נקבלM = 1000·(1 + 0.1n) = 1000 + 100n : הסכום כעבור שנה יהיה;M = 1100 ,n = 1 : כעבור שנתיים,M = 1200 ,n = 2 : כעבור 5שנים.M = 1500 ,n = 5 : הגרף של Mכפונקציה של nהוא קו ישר. אם להמשיך ישר לערכים גדולים יותר של ,n אפשר לדעת את הסכום גם ללא חישובZ . באופן דומה ,מהייצוג הגרפי ניתן לקבל את ערכי הפרמטרים של תהליך מורכב יותר של גדילה או דעיכה. דוגמה 11הגרף שמשמאל מתאר את ההתפרקות של יסוד רדיואקטיבי במשך עשר שנים. ידוע שתהליך ההתפרקות מתואר על-ידי פונקציה מעריכית .Mn = M0(1 - α)n א( מה משמעות הנקודה ?A ב( מה שיעור הדעיכה השנתית ?α ג( כמה חומר יישאר כעבור שבע שנים? ד( ִמצאו את שיעורי הנקודה .B סדרה חנדסית 148 Wא( רואים שהנקודה Aנמצאת על הציר האנכי ,שבו .n = 0כלומר ,הנקודה A מסמנת מצב התחלתי )Z .(M0, n = 0 ב( מהנוסחה Mn = M0(1 - α)nנובע ,שכדי למצוא αצריך לדעת Mn ,M0וn - עבור שני מצבים כלשהם .מהגרף רואים ,שאפשר להשתמש בנתוני שני המצבים, המתאימים ל n = 2 -ו.n = 5 - נרשום את הנתונים) n = 3 ,M = 262.14 ,M0 = 512 :מספר שתיים בין שני המצבים( .נציב בנוסחה: 262.144 3 262.14 = 512·(1 - α)3 Ö (1- ¹) = 512 = 0.512 מכאן נחלץ את :α 3 .α = 0.2 1 ,- ¹ = 0.512 = 0.8 Z ג( כדי לחשב כמות החומר שבע שנים מתחילת המדידות ,צריך לדעת α ,M0ו.n - אם ניקח מצב התחלתי )הנקודה ,(Aנגלה שלא ידועה הכמות ההתחלתית ,M0 לכן בתור המצב ההתחלתי ניקח מצב אחר ,שעבורו M0ידוע .ניקח את המצב המתאים לשנה החמישית ,ונסמן אותו כהתחלתי .M0 = 262.14 :מהמצב הזה ועד ל -שבע שנים מתחילת המדידות עברו n = 2שנים. נציב את כל המספרים בנוסחה ונמצא: Y )גרם( M = M0(1 - α)n = 262.14·0.82 ≈ 167.8 ד( כדי לדעת את שיעורי הנקודה ,Bנוריד ממנה אנך על ציר אופקי ,ונמצא ש- .n = 8כדי למצוא את השיעור האנכי ,נציב בנוסחה הקודמת ) n = 3בין המצבים מפריד פרק זמן של שלוש שנים( ,ונקבל: Y )גרם( MB = M0(1 - α)n = 262.14·0.83 ≈ 134.2 ריבית דריבית כל שנייה??? בדרך כלל ,בנק מחשב ריבית ומצרף אותה לקרן פעם בשנה. האם תשתנה התוצאה אם לעשות את החישוב כל חצי שנה )בריבית חצי-שנתית השווה לחצי הריבית השנתית ,כמובן(? נניח שהפקדנו ₪ 1000לריבית שנתית פשוטה של .100%בתום השנה נקבל סדרה חנדסית 149 )M = 1000·(1 + 1) = 2000 (₪ אם נפקיד את אותה הקרן M0 = 1,000לשתי תקופות של חצי שנה בריבית של ,50%נקבל בתום שנה: )M2 = 1000·(1 + 0.5)2 = 2250 (₪ אם נחלק שנה ליותר תקופות לחישוב הריבית )ויחד עם זאת נקטין באותה מידה את הריבית התקופתית( ,נקבל בהתאמה: )M3 = 1000·(1 + 0.33)3 = 2368.6 (₪ 12 1 )= 2613 (₪ M12 = 1000* 1 + 12 ……………………………………….. )M100 = 1000·(1 + 0.01)100 = 2704.8 (₪ ……………………………………….... )M1000 = 1000·(1 + 0.001)1000 = 2716.9 (₪ ) ( מהחישובים רואים שההפרש בין הסכום שהתקבל מריבית פשוטה ) 2,000ש"ח( לבין הסכומים שהתקבלו מחישובי ריבית דריבית ,היה משמעותי מאוד עבור תקופות של :חצי שנה ) ,(₪ 250שלושה חודשים ) ,(₪ 368.6חודש ).(₪ 613 אולם הקטנת תקופת הריבית פי-מאה או אפילו פי-אלף לא הגדילה את הרווח בצורה דרסטית .הגרף שלהלן מציג את התוצאות ,ומאפשר לגלות מהר )אומנם בקירוב( את הרווח מההפקדה עבור תקופות חישוב ריבית שונות. n ) ( ¹ n M = 1000* 1+ ¹=1 סדרה חנדסית 150 מהגרף רואים שחישוב על-פי ריבית שנתית פשוטה של 100%מכפיל את הקרן )נקודה Aעל הגרף(; חישוב דו-חודשי ) (n = 6מגדיל את הקרן פי 2.5 -לערך, אולם גם חלוקת התקופה ל 1,000 -לא תגרום להגדלת הקרן ביותר מפי.2.71 - במתמטיקה מתקדמת מוכיחים שבהקטנה "אינסופית" של פרקי תקופת הפיקדון הרווח היחסי המצטבר אינו גדל עד אינסוף ,אלא מתקרב למספר השווה בערך ל . 2.7183 -מספר זה מכונה מספר – ,eושימושיו במתמטיקה רבים מאוד. תרגילים .1כמה כסף יחזיר בנק למשקיעים בתום תקופת פיקדון של שנה אחת ,אם שיעור הריבית השנתית והפיקדון )בשקלים( הינם: א( M0 = 3000, α = 8% ג( M0 = 12000, α = 9.5% ב( M0 = 2500, α = 7% ד( M0 = 550, α = 6.2% .2מחירי מוצרים בסיסיים )"סל הקניות"( עולים במהלך השנה בשיעור מסוים. ִמצאו את שיעור ההתייקרות השנתית של הסל אם מחירו )בשקלים( ידוע בתחילת השנה ובסוֹפה: א( M0 = 350, M = 360.5 ג( M0 = 285, M = 327.8 ב( M0 = 370, M = 390.4 ד( M0 = 315, M = 337 בתנאי ֵ .3לצורך רכישת מכונית חדשה הבנק נתן ללקוח הלוואה על סך ₪ 45,000 ריבית שנתית פשוטה של .8%כמה כסף יצטרך להחזיר הלקוח בתום שלוש שנים? .4במעבדה סופרים את מספר החיידקים במושבה ניסיונית ,שבה הם מתרבים כל שעה בשיעור קבוע .בשעה 8:00מספר החיידקים היה ,320,000בשעה 12:00 מספרם היה .663,680מה שיעור הגדילה של מספר החיידקים בשעה? .5במדינה מסוימת ,שבה שיעור הגדילה השנתי של האוכלוסייה נשאר קבועַ ,ג ְדלה האוכלוסייה פי-שתיים בתקופה של עשר שנים .מה שיעור הגדילה השנתי של האוכלוסייה באתה המדינה? סדרה חנדסית 151 .6באיזו ריבית שנתית נלקחה ההלוואה מהבנק ,אם ידוע שכעבור חמש שנים חוּיב הלקוח להחזיר סכום הגדול ב 50% -מהקרן? .7תכנית חיסכון בבנק א' מציעה ריבית שנתית פשוטה בשיעור של 15%כעבור שלוש שנים של חיסכון; בבנק ב' מציעים תכנית לפיה ריבית שנתית בשיעור של 4.9% תחושב פעם בשנה .לקוחה רוצה להשקיע סך של ₪ 10,000למשך 6שנים .באיזה בנק הרווח של הלקוחה יהיה גבוה יותר ,ובכמה? .8אוכלוסיית מדינה מסוימת מהווה 12.5מיליון תושבים ,והיא גדלה בשיעור שנתי של .2.3%בכמה תושבים תגדל אוכלוסיית המדינה כעבור שמונה שנים? .9לרכישת מכונית פועל לקח מבנק הלוואה ל -חמש שנים ,בשיעור שנתי של .5.5% בתום התקופה גילה הפועל שהוא חייב לבנק סכום של .₪ 196,044 -כמה הלוואה לקח מהבנק? .10חברת טלפונים מציעה ללקוחות לשדרג מכשירים שברשותם לחדשים יותר, בתשלומים חודשיים קבועים של ₪ 90בהתחייבות לשלוש שנים .שיעור הריבית השנתית של ההלוואה שהחברה מציעה ,למעשה ,הוא .6.5% א .כמה כסף יחזירו הלקוחות לחברה לאורך כל התקופה? ב .מה היה מחיר המכשירים בעת הרכישה? .11ערך הדירה שרכשתי יורד כל שנה ב.5% - מחיר הדירה היה .₪ 980,000 מה יהיה ערך הדירה בעוד 15שנים? .12בנק נותן הלוואה בריבית שנתית של .9.1% כעבור כמה שנים החוב לבנק יהיה כפול מגובה ההלוואה? סדרה חנדסית 152 תשובות §10 .1 ב( 2, 5, n, n+1 .2 א( 5, 7, 9 ב( 4, 7, 10 ה( 1, ½, 1/3 ו( -1, -8, -27 .3 א( 10ב( 12ג( 15 .4 א( כן ג( לא .5 א( 2, 7, 22, 67 .6 א( 11 .7 256, 16, 4, 2 .8 א( 1, 1, 1, 1, 1, 1 ב( כן ג( 90, 60, 10ד( -1/3, 0, ד( כן ב( 2, 1, 3, -1 ב( 9 ב( 1, -1, -1, -1, -1, -1 a5 = -7 .9 .10 א( -5n – 5, -5n + 9, -5n – 21ב( 2n – 18, 2n – 22, 2n – 10 n+1 n+7 1 1 ד( ג( 23n+4, 23n-2, 23n+16 *, 7 *, 7 2 2 ) ( §11 ) ( n+3 )1 2 (*7 .3הדרכהִ :רשמו ביטוי לאיבר an+1ולהפרש ) .(an+1 – anאם ההפרש אינו תלוי ב ,n -אז הסדרה היא חשבונית. .5הדרכהַ :חשבו את הפרש הסדרה ומצאו את האיבר הראשון. .n = 12 .6 .7כן.n = 11 . .n = 11 .8לא. .9א( 5 ב( 0.5 .10א( 0 ב( -13 .11א( a1 = 50 ב( a1 = -100 .12א( an = 3n +4 ב( an = 5n – 17 n ≥ 9 .13 סדרה חנדסית 153 n < 75 .14 .15א( a9 = 136, d = 10 ב( a9 = -57, d = 7 ג( a9 = -2, d = 5 ד( a9 = -1, d = -1.5 44.1 .16מ'. 10 .17 .19 - 18הדרכה :הציבו בנוסחאות לאיבר כללי את מספרי האיברים )באותיות(, פשטו את הביטויים שיתקבלו ,ותקבלו את המבוקש. §12 .1ב( 10,050 ד( 2,550 4,850 .2 4,489 .3 .4ב( -192 .5ב( 204 .6ב( 240 .7א( 4905 ב( 494,550 .8ב( 2900 -45 .9 10 .10 5 3 = a10 = 15 , d .11ב( 6 2 a1 = -88, d = 18 .12 78 .13 44 .14 a1 = 5, d = 4 .15 הדרכה :הציבו בנוסחאות הסכום את מספרי האיברים ,פשטו את הביטוי שיתקבל ,ותקבלו את המבוקש. §13 .1ב( -16, -8, -4, -2, -1 ד( 0.4, 0.4 2 , 0.8, 0.8 2 , 1.6 סדרה חנדסית 154 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 .10 .11 .12 .13 ג( c125 = c1q124 1 10 ב( א( 4 27 3 4 ב( א( 5 27 5 1 ב( b7 = - , bn = -40* n-1 8 2 ה( ck+3 = c1qk+2 1 ד( 25 ג( -32 n ד( )b7 = -10, bn = 10*(-1 n n-1 1 )(-1 ב( = b6 b6 = -54, bn = 64 * - 3ד( , bn = n-3 1000 9 2 10 3 סמ"ר 1024 56 1 ב( א( 125 81 א( 3או -3ב( 0.6או -0.6 1 1 ב( א( 1000 או - 3 3 6, 18, 54 1 = a = 1, b 2 96 ) ( .14הדרכה :העתיקו את השרטוט למחברת; ַחשבו את הצלע של המשולש ומצאו את הקשר בין הצלעות של השניִ , משולשים סמוכים. b1 b1 0.25 .15סמ"ר. §14 ד( 275 81 .2 ג( 31 8 ב( 2186 .3 ב( b1 = -1, b8 = 128 .1 ו( -400 - .4 ב( n = 7 .5 ב( n = 9, b9 = 2048 ד( n = 4, q = 7 .6 ב( 364 ד( 305 ד( n = 5 סדרה חנדסית 155 8 b 1 b2 b1 8 4 4 .7 א( .8 א( .9 א( ב( b1 = 9, q = 5ב( b5 = 4802, S4 = 800 3 ב( 31 S5 = 93 S6 = -1 32 3 q = 3, b1 = 15או q = - , b1 = 240 4 q = 5, b3 = 300או .q = -6, b3 = 432 .10א( q = 3או q = -3 ב( q = 2או q = -2 ד( S5 = 781או S5 = 521 ג( S10 = -5115 bn+1 ; וחשבו את המנה .11הדרכה :רשמו ביטוי לאיבר שמספרו )ַ ,(n + 1 bn אם הביטוי שיתקבל אינו תלוי ב ,n -אז הסדרה היא סדרה הנדסית. n 3n n n 1 - (-1) x 1 )(-1 2 ו( .12ג( = Sn * = Sn 3 n 3 x +1 2 -364 .13 2186 .14 160 .15 §15 .1א( )M = 3240 (₪ ג( )M = 13140 (₪ .2א( α = 3% ב( )M = 2675 (₪ ד( )M = 584 (₪ ב( α = 5.5% ג( α = 15% ₪ 55,800 .3 α = 20% .4 α = 7.2% .5 α = 8.5% .6 .7בבנק ב' ,ב.₪ 100 - .8ב 2.49 -מיליון תושבים. ₪ 150,000 .9 .10א₪ 2,682 . ב.₪ 3,240 . ₪ 471,397 .11 n = 8 .12 סדרה חנדסית 156 ד( α = 7%
© Copyright 2024