הנדסית סדרה - WordPress.com
2 - מתמטיקה בהישג יד סדרה הנדסית 2, 6, 18, 54, 162, ... 100, 20 , 4, 0.8, 0.16, ... a1 = 2 , q = 3 a1 = 100 , q = 0.2 a n=a1 • q n−1 n a1 q −1 S n= q−1 www.heisegyad.co.il מתמטיקה בהישג יד 2 - סדרה הנדסית דודו גולדשטיין חוקי החזקה כפל ,חילוק ,חזקה של חזקה ןכו © 1כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 2 - דודו גולדשטיין סדרה הנדסית הגדרת הסדרה ההנדסית 1 ,2 ,4 ,8 ,16 ,... נתבונן בסדרת המספרים הבאה: מהו לדעתכם המספר הבא בסדרה ? תשובה :ניתן להבחין שכל איבר בסדרה גדול פי 2 -מקודמו ולכן האיבר הבא הוא .32 סדרה שבה קיימת מנה קבועה בין כל שני איברים סמוכים ,נקראת סדרה הנדסית. המנה הקבועה מסומנת באות – . qבסדרה שלמעלה q = 2 התבוננו בסדרות ההנדסיות הבאות .מצאו בכל אחת מהן ,את המספר הבא ואת מנת הסדרה :q - ___ = q ____ (6) 100, 20, 4, 0.8, ___ = q ____ (1) 2, 6, 18, 54, ___ = q ____ (7) 88, 44, 22, 11, ___ = q ____ (2) 1, 10, 100, ___ = q ____ (8) 81, -27, 9, -3, ___ = q ____ (3) 5, 10, 20, 40, ___ = q ____ (9) 3, 3, 3, 3, 3, ___ = q ____ (4) -2, 4, -8, 16, ___ = q ____ (10) -1, 1, -1, 1, ___ = q ____ (5) 3, -9, 27, -81, מחקו בקו את הסדרות שאינן הנדסיות: 4, 4, 4, 4, 4 5, 10, 20, 40, 80 200, 20, 2, 0.2, 0.02 2, 4, 8, 16, 22 0.4, 0.8, 0.12, 0.22, 0.44 2, -4, 8, -16, 32 500, 100, 20, 4, 0.6 20, 40, 80, 150, 300 תשובות: 0.2 , 0.16 (6 , -3 , 243 (5 , -2 , -32 (4 , 2 , 80 (3 , 10 , 1,000 (2 , 3 , 162 (1 -1 , -1 (10 , 1 , 3 (9 , -1/3 , 1 (8 , 0.5 , 5.5 (7 © 2כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 2 - דודו גולדשטיין סדרה הנדסית נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית לפניכם סדרת מספרים: 64 32 16 8 4 a5 a4 a3 a2 a1 מנת הסדרה היאq = 2 : נשים לב לאופן בניית סדרת המספרים: a2 = 4•2 = 8 , a3 = 4•22 = 16 , a4 = 4•23 = 32 , a5 = 4•24 = 64 מכאן מתקבלת נוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית: an = a1 • qn-1 את האיבר השישי בסדרה שלעיל ,נחשב בשתי שיטות: ) (1לפי הגדרת הסדרה ההנדסית האיבר השישי גדול פי 2מהאיבר החמישי: ) (2לפי נוסחת האיבר הכללי: a6 = 64•2 = 128 a6 = 4•25 = 128 פתרו את התרגיל משמאל בהתאם לדוגמה מימין האיבר הראשון בסדרה הנדסית הוא 2ומנת הסדרה .3 ב .מהו האיבר השמיני בסדרה ? א .מהו האיבר החמישי בסדרה ? פתרון לפי הגדרת הסדרה ההנדסית: 2, 6, 18, 54, 162 פתרון לפי נוסחת האיבר הכללי: an = a1•qn-1 a5 = 2•34 = 162 תרגול: ) (1מצא את האיבר השביעי בכל אחת מהסדרות ההנדסיות הבאות: q = -2 ) a1 = 3 ,ד( q=3 ) a1 = 2 ,א( q = -3 ) a1 = 5 ,ה( q = 10 ) a1 = 8 ,ב( q = 0.4 ) a1 = 1,000,000 ,ו( q = 0.2 ) a1 = 5,000 ,ג( תשובות: 1א( 1 , 1,458ב( 1 , 8,000,000ג( 1 , 0.32ד( 1 , 192ה( 1 , 3,645ו( 4,096 © 3כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 2 - סדרה הנדסית ) (2האיבר הראשון בסדרה הנדסית הוא 2ומנת הסדרה .5 דודו גולדשטיין an = a1•qn-1 א .מהו האיבר הרביעי בסדרה ? ב .מהו האיבר השביעי בסדרה ? ) (3בסדרה הנדסית שמנתה , 3האיבר הראשון הוא . -2 א .מהו האיבר החמישי בסדרה ? ב .מהו האיבר השביעי בסדרה ? ) (4תלמיד פתר ביום הראשון ללימודים 5תרגילים .בכל יום שעבר הוא הגדיל את כמות התרגילים שפתר פי .2כמה תרגילים פתר ביום ה 4 -ללימודים ? ) (5מר פטפטני שנהג לומר בכל יום 10,000משפטים ,קיבל טיפול מדיטציה שהפחיתה את כמות המשפטים שאמר ביום ,פי 10בכל שבוע .כמה משפטים ליום אמר מר פטפטני לאחר 3שבועות של טיפול ? ) (6בסדרה הנדסית האיבר השלישי הוא 9ומנת הסדרה היא .3 רשמו את חמשת האיברים הראשונים בסדרה זו. ) (7בסדרה הנדסית שמנתה , 0.5האיבר השלישי הוא .4 רשמו את חמשת האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית. תשובות: (2א 250 .ב (3 , 31,250 .א -162 .ב 40 (4 , -1,458 .תרגילים 100 (5 ,משפטים 16 , 8 , 4 , 2 , 1 (7 , 1 , 3 , 9 , 27 , 81 (6 © 4כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 2 - דודו גולדשטיין סדרה הנדסית סדרות הנדסיות שמנתם היא בבסיס :10 101 = 10 10-1 = 0.1 העזרו במחשבון ופתרו: _____________ = 102 _____________ = 10-2 _____________ = 103 _____________ = 10-3 _____________ = 104 _____________ = 10-4 _____________ = 105 _____________ = 10-5 _____________ = 106 _____________ = 10-6 השלימו את הטבלה הבאה בהתאם לדוגמה בשורה הראשונה: a6 a5 107 a4 106 a3 105 a2 104 a1 103 102 10 10 100 10,000 0.1 106 q = 0.01 1011 10 0.01 0.0001 q 0.00001 q = 102 107 q = 10-1 0.1 1 תזכורת: 100 10 2 10• 10= 10 =10 השלימו את הטבלה הבאה בהתאם לדוגמה בשורה הראשונה: a6 1000 10 a5 a4 100 10 1000 a2 a3 100 a1 10 10 q 10 3 4 10 90 10 10 10 9 10 20 10 2 10 © 5כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 2 - דודו גולדשטיין סדרה הנדסית an = a1•qn-1 פתרו את התרגיל משמאל בהתאם לדוגמה מימין: האיבר הרביעי בסדרה הנדסית הוא 8ומנת האיבר החמישי בסדרה הנדסית הוא 162 הסדרה .2מהו האיבר הראשון בסדרה ? ומנת הסדרה .3מהו האיבר הראשון בסדרה ? נתון: נתוןq = _____ , a5 = ______ d : q = 2 , a4 = 8 דרושa1 = ? : דרושa1 = ? : הצבת הנתונים בנוסחה an = a1•qn-1 : a4 = a1•23 8 = a1 • 8 /:8 a1 = 1 תרגול: ) (1האיבר החמישי בסדרה הנדסית הוא 48ומנת הסדרה .2 ב .מהו האיבר השביעי בסדרה ? א .מהו האיבר הראשון בסדרה ? ) (2בסדרה הנדסית שמנתה ,4האיבר הרביעי הוא .320 א .מהו האיבר הראשון בסדרה ? ב .מהו האיבר החמישי בסדרה ? ) (3בסדרה הנדסית שמנתה 0.1האיבר החמישי הוא .1 א .מהו האיבר הראשון בסדרה ? ב .מהו האיבר השישי בסדרה ? ) (4במירוץ אופניים עבר יבגני ,בכל שעה 0.8מהמרחק שעבר בשעה הקודמת .בשעה החמישית למירוץ עבר יבגני 12,288מטר. כמה ק"מ עבר יבגני בשעה הראשונה למירוץ ? תשובות (1א 3 .ב (2 , 192 .א 5 .ב (3 , 1,280 .א 10,000 .ב 30 (4 , 0.1 .ק"מ © 6כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 2 - דודו גולדשטיין סדרה הנדסית an = a1•qn-1 פתרו את התרגיל משמאל בהתאם לדוגמה מימין. האיבר השני בסדרה הנדסית הוא 2והאיבר האיבר השלישי בסדרה הנדסית הוא 18והאיבר השישי הוא .32 החמישי הוא .162 מצאו את האיבר הראשון בסדרה ואת מנתה. מצאו את האיבר הראשון בסדרה ואת מנתה. נתוןa6 = 32 , a2 = 2 : נתון: דרושa1 = ? , q = ? m : דרוש: הצבת שני הנתונים בנוסחה: 32 = a1•q5 >==< 2 = a1•q1 >==< a2 = a1•q1 q=2 >==< הצבת הפתרון במשוואה: ?=, q ? = a1 an = a1•qn-1 a6 = a1•q5 חילוק אגפי שתי המשוואות: _____ = a5 = ____ , a3 5 32 a1 • q = 2 a1 • q 1 16 = q4 2 = a1•q1 2 = a1• 2 / :2 <==> a1 = 1 תרגול: ) (1האיבר החמישי בסדרה הנדסית הוא 3,125והאיבר השני הוא .25 א .מהי מנת הסדרה ? ב .מהו האיבר הראשון בסדרה ? ) (2האיבר השביעי בסדרה הנדסית הוא 320והאיבר השלישי הוא .20 א .מהי מנת הסדרה ? ב .מהו האיבר הראשון בסדרה ? ) (3האיבר הרביעי בסדרה הנדסית הוא 1,000והאיבר השלישי הוא . 100 א .מהי מנת הסדרה ? ב .מהו האיבר הראשון בסדרה ? תשובות: (1א 5 .ב (2 , 5 .א 2 .ב (3 , 5 .א 10 .ב1 . © 7כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . סדרה הנדסית מתמטיקה בהישג יד 2 - דודו גולדשטיין פתרו את התרגיל משמאל בהתאם לדוגמה מימין. נתונה סדרה הנדסית: נתונה סדרה הנדסית: a1 = 3 , a2 = 6 , a3 = 12 , ... dג a1 = 2 , a2 = 6 , a3 = 18 , ... dג האיבר האחרון בסדרה זו הוא. 384 : האיבר האחרון בסדרה זו הוא. 1,458 : כמה איברים בסדרה ?ג כמה איברים בסדרה ?ג נתון , an = 384 , a1 = 3 :דרושn = ? : נתון , an = ____ , a1 = ___ :דרושn = ? : נחשב את : q q = 6:3 = 2 הצבת הנתונים בנוסחה: an = a1•qn-1 © 8כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . סדרה הנדסית מתמטיקה בהישג יד 2 - דודו גולדשטיין נתונה סדרה הנדסית: נתונה סדרה הנדסית: a1 = 3 , a2 = 6 , a3 = 12 , ... dג a1 = 2 , a2 = 6 , a3 = 18 , ... dג האיבר האחרון בסדרה זו הוא. 384 : האיבר האחרון בסדרה זו הוא. 1,458 : כמה איברים בסדרה ?ג כמה איברים בסדרה ?ג 384 = 3•2n-1 /:3 128 = 2n-1 <==> 7 = n-1 27 = 2n-1 8=n תרגול: (1בסדרה הנדסית נתוןa1 = 10 , a2 = 100 , a3 = 1,000 , ... d :ג א .חשבו את מנת הסדרה q - ב .נתון שהאיבר האחרון בסדרה הוא .1,000,000,000כמה איברים בסדרה זו ? ) (2בסדרה הנדסית נתוןa1 = 10-3 , a2 = 10-1 , a3 = 10 , ... d :ג א .חשבו את מנת הסדרה q - ב .כמה איברים בסדרה ,אם ידוע שהאיבר האחרון הוא ? 107 ) (3בסדרה הנדסית נתוןa1 = 3•10-7 , a2 = 9•10-6 , a3 = 27•10-5, ... d :ג א .חשבו את מנת הסדרה – q ב .כמה איברים בסדרה ,אם ידוע שהאיבר האחרון הוא ? 729•10-2 תשובות: (1א 10 .ב 100 (2 , 9 .ב (3 , 11 .א 30 .ב6 . שטח והיקף של כיכרות נתונות שלוש כיכרות. © 9כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 2 - היקף כיכר נמדדת לפי נוסחת היקף המעגל: שטח כיכר נמדדת לפי נוסחת שטח המעגל: סדרה הנדסית דודו גולדשטיין p = 2πr S = π2r © 10כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 2 - דודו גולדשטיין סדרה הנדסית נוסחת סכום האיברים בסדרה הנדסית נתונה סדרה הנדסית בעלת עשרה איברים1 , 2 , 4 , 8 ,16 , 32 , 64 ,128 , 256 , 512 : S = 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512 = 1,023 סכום איברי הסדרה הוא: סכום איברים של סדרה הנדסית ,ניתן לחשב גם באמצעות הנוסחה: הנתוניםa1 = 1 , q = 2 , n = 10 : n a1 q −1 =S n q−1 10 12 −1 1023 =S 10 = =1023 2−1 1 הצבה בנוסחה: פתרו את התרגיל משמאל בהתאם לדוגמה מימין. האיבר הראשון בסדרה הנדסית הוא 2ומנת הסדרה .3 מהו סכום 10האיברים הראשונים בסדרה ? a1 = 2 , q = 3 נתון: דרוש: נתון: ? = S10 הצבת הנתונים בנוסחה: מהו סכום 8האיברים הראשונים בסדרה ? דרוש: n a1 q −1 =S n q−1 10 23 −1 118096 = =59048 3−1 2 =S 10 תרגול: ) (1האיבר הראשון בסדרה הנדסית הוא 2ומנת הסדרה .5מהו סכום שמונת איברים הסדרה ? ) (2בסדרה הנדסית יורדת שמנתה היא , 0.4האיבר הראשון הוא . 100,000 אם ידוע שיש בסדרה זו 6איברים ,מהו סכום איבריה ? ) (3מהו סכום 8האיברים הראשונים בסדרה הנדסית שאיברה הראשון 1,000ומנתה ? 0.1 ) (4בסדרה הנדסית יורדת האיבר הראשון הוא 104ומנתה . 0.01מהו סכום ארבעת איברי הסדרה ? תשובות: 10,101.001 (4 , 1,111.1 (3 , 165,984 (2 , 195,312 (1 © 11כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . סדרה הנדסית מתמטיקה בהישג יד 2 - דודו גולדשטיין סדרה הנדסית שאינה עולה ואינה יורדת נתבונן בסדרה ההנדסית הבאה25 , -50 , 100 , -200 , 400 , -800 : מנת הסדרה היאq = -2 : כאשר מנת הסדרה היא שלילית ,הסדרה לא עולה ולא יורדת תרגול: ) (1בין שני המספרים 27ו 3 -ניתן להכניס מספר כך שתיווצר סדרה הנדסית. א .מהו המספר אם הסדרה עולה ? ב .מהו המספר אם הסדרה אינה עולה ? ) (2מהו המספר שניתן להכניס בין שני המספרים -1ו , - 16 -כך שתיווצר סדרה הנדסית. ) (3האיבר הראשון בסדרה הנדסית שאינה עולה ואינה יורדת הוא .-5מהו האיבר השישי בסדרה זו אם נתון שמנתה היא ? -2 ) (4בין המספר -2והמספר -162הכניסו שלושה מספרים כך שהתקבלה סדרה הנדסית. א .מהו האיבר הרביעי בסדרה ,אם הסדרה היא עולה ? ב .מהו האיבר הרביעי בסדרה ,אם הסדרה אינה עולה ואינה יורדת ? ) (5בין המספר 1והמספר 16הכניסו שלושה מספרים כך שהתקבלה סדרה הנדסית. א .מהו האיבר השני בסדרה ,אם הסדרה היא עולה ? ב .מהו האיבר השני בסדרה ,אם הסדרה איננה עולה ? תשובות: (1א 9 .ב (4 , 160 (3 , 4 (2 , -9 .א 54 .ב (5 , -54 .א 2 .ב-2 . © 12כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . סדרה הנדסית מתמטיקה בהישג יד 2 - דודו גולדשטיין תרגול מסכם – סדרה הנדסית ) (1בסדרה הנדסית ידוע שהאיבר החמישי הוא 1,792ושמנת הסדרה היא .4 מהו סכום ששת האיברים הראשונים בסדרה ? ) (2במשחה צליחת הכנרת ,שחה רומן בכל שעה מרחק השווה ל 0.7 -מהמרחק ששחה בשעה הקודמת .בשעה השניה למשחה ,שחה רומן 2,524מטרים. א .מהו המרחק ששחה רומן בשעת המשחה הראשונה ? ב .מהו אורך המשחה כולו ,אם ידוע שרומן שחה בדיוק 5שעות עד לסיומו ? ) (3בסדרה הנדסית ידוע שהאיבר השלישי הוא 20והאיבר החמישי .80 א .מהו האיבר הראשון בסדרה ? ב .מהו סכום שמונת האיברים הראשונים בסדרה ? ) (4בסדרה הנדסית ידוע שהאיבר הרביעי הוא 10-3ואיבר העשירי הוא .103 א .מהי מנת הסדרה ? ב .מהו האיבר ה 11 -בסדרה ? ) (5בין המספר 25והמספר 2,025יש להכניס שלושה מספרים כך שתתקבל סדרה הנדסית בת חמישה איברים. א .מהו האיבר הרביעי בסדרה ,אם הסדרה היא עולה ? ב .מהו האיבר הרביעי בסדרה ,אם הסדרה איננה עולה ? ) (6בסדרה הנדסית ידוע שa7 = 3•10-12 : א .מהי מנת הסדרה ? ) (7נתונה סדרה הנדסית: , a8 = 9•10-13 ב .מהו האיבר השישי בסדרה ? 10, 10,10 10 ,... א .מהו האיבר ה 12 -בסדרה ? ב .מהו מקומו של האיבר ? 1012 תשובות: (2 , 9,555 (1א 3,606 .ב (3 , 10,000 .א 5 .ב (4 , 1,275 .א 10 .ב1010 . (5א 675 .ב (6 , -675 .א 0.3 .ב (7 , 10-11 .א 1,000,000 .ב24 . © 13כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 2 - סדרה הנדסית דודו גולדשטיין ) (8נתונה סדרה הנדסיתa1 = 10-8 , a2 = 10-6 , a3 = 10-4 , ... : א .מצאו נוסחה המבטאת את האיבר הכללי anשל הסדרה. ב .כמה איברים בסדרה זו אם ידוע שהאיבר האחרון הוא ? 1010 ) (9בעקבות המלצות משרד התחבורה להקמת כיכרות בצמתים ,החליטה מועצת עריית "תפארת" לבנות 4כיכרות תנועה באופן הבא :קוטר הכיכר הראשונה יהיה 4מטר והקוטר של כל כיכר תהיה גדולה פי 1.5מהכיכר שלפניה. א .היקף כל כיכר משובצת באבנים משולבות .האם היקפי הכיכרות הם סידרה הנדסית ? אם כן רישמו את האיבר הראשון ואת מנת הסדרה .אם לא ,הסבירו מדוע. ב .השטח של כל כיכר משמש מצא לדשא מלאכותי החוסך במים .האם שטחי הכיכרות הם סידרה הנדסית ? אם כן רישמו את האיבר הראשון ואת מנת הסדרה .אם לא הסבירו מדוע. תשובות: (8א an = 102n-10.ב (9 , 10 .א a1 = 4π q = 1.5 .ב .לא סדרה הנדסית © 14כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il .
© Copyright 2024