ל חי " 5 הכנה לבגרות תרגילים - סדרות - מתמטיקה

‫פתרונות‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגיל ‪ 8‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן ב‪ a1 -‬את האיבר הראשון ונסמן ב‪ q -‬את מנת הסדרה‪ .‬על פי הנתון מתקיים‪:‬‬
‫)∗ (‬
‫⇒‬
‫)‬
‫(‬
‫‪q10 − 1 = 33 q 5 − 1‬‬
‫⇒‬
‫)‬
‫‪−1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪) = 189‬‬
‫‪) = 33 ⋅ a ⋅ ( q‬‬
‫‪q −1‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫‪a1 ⋅ q 6 − 1‬‬
‫⇒‬
‫‪q −1‬‬
‫(‬
‫‪a1 ⋅ q10 − 1‬‬
‫‪q −1‬‬
‫⇒‬
‫‪S6 = 189‬‬
‫‪S10 = 33 ⋅ S5‬‬
‫⇒‬
‫‪q10 − 33q 5 + 32 = 0‬‬
‫נסמן ‪ q 5 = t‬ונקבל‪:‬‬
‫‪⎡q5 = 1‬‬
‫‪⎡q =1‬‬
‫‪⎡ t1 = 1‬‬
‫⎢ או ⇒‬
‫⎢ או ⇒‬
‫⇒ ‪t − 33t + 32 = 0‬‬
‫⎢ או‬
‫‪⎢⎣q 5 = 32‬‬
‫‪⎢⎣q = 2‬‬
‫‪⎣ t 2 = 32‬‬
‫נפסול את התוצאה ‪ q = 1‬כי לפי ההגדרה של סדרה הנדסית ‪ , q ≠ 1‬לפיכך ‪. q = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫נציב ‪ q = 2‬במשוואה )∗ ( ונקבל‪:‬‬
‫‪a1 = 3‬‬
‫⇒‬
‫‪) = 189‬‬
‫(‬
‫‪a1 ⋅ 2 6 − 1‬‬
‫‪2 −1‬‬
‫תרגיל ‪ 2‬פתרון‪:‬‬
‫הגוף הראשון עבר ‪ 6‬מטרים בשנייה הראשונה‪ ,‬בשנייה השנייה הוא עבר ‪ 10‬מטרים‬
‫ובשנייה השלישית הוא עבר ‪ 14‬מטרים‪ .‬המרחק שעבר הגוף כעבור ‪ n‬שניות ) ‪ - n‬טבעי(‬
‫הוא הסכום הבא‪Sn = 6 + 10 + 14 + ... :‬‬
‫נביע באמצעות ‪ n‬את המרחק שעבר הגוף‪:‬‬
‫)‪2a1 + d ( n − 1‬‬
‫)‪12 + 4 ( n − 1‬‬
‫‪⋅n‬‬
‫= ‪⇒ Sn‬‬
‫‪⋅n‬‬
‫‪⇒ Sn = ( 2n + 4 ) ⋅ n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫המרחק שעבר הגוף השני כעבור ‪ n‬שניות הוא ‪ . 38n‬שני הגופים יפגשו כעבור ‪ n‬שניות‪,‬‬
‫לפיכך מתקיים‪:‬‬
‫‪( 2n + 4 ) ⋅ n = 38n : n (n ≠ 0) ⇒ 2n + 4 = 38 ⇒ n = 17‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫‪1‬‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫פתרונות‬
‫תרגיל ‪ 3‬פתרון‪:‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬סכום שלושה איברים ראשונים בסדרה הנדסית הוא ‪ .104‬לפיכך מתקיים‪:‬‬
‫)‬
‫)∗(‬
‫(‬
‫⇒‬
‫‪a1 1 + q + q 2 = 104‬‬
‫‪a1 + a1q + a1q 2 = 104‬‬
‫נתון כי האיבר השני בסדרה הנדסית הוא האיבר החמישי בסדרה חשבונית‪ ,‬כמו כן האיבר‬
‫השלישי בסדרה הנדסית הוא האיבר ה‪ 17 -‬בסדרה חשבונית‪ .‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫⎧‬
‫)‪a1 ( q − 1‬‬
‫= ‪⎪d‬‬
‫‪4‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫‪a1 q 2 − 1‬‬
‫⎪‬
‫= ‪⎪⎩d‬‬
‫‪16‬‬
‫⇒‬
‫(‬
‫)‬
‫)‪4 ( q − 1) = ( q − 1)( q + 1‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧⎪4d = a1q − a1‬‬
‫⎨‬
‫‪2‬‬
‫‪⎪⎩16d = a1q − a1‬‬
‫⇒‬
‫)‬
‫(‬
‫‪⎧⎪a1q = a1 + 4d‬‬
‫‪⎨ 2‬‬
‫‪⎪⎩a1q = a1 + 16d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a1 ( q − 1) a1 q − 1‬‬
‫⇒‬
‫=‬
‫‪⇒ 4 ( q − 1) = q 2 − 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪( q ≠ 1) ⇒ 4 = q + 1 ⇒ q = 3‬‬
‫⇒‬
‫נציב ‪ q = 3‬במשוואה )∗ ( ונקבל‪:‬‬
‫‪a 2 = 8 ⋅ 3 = 24 ; a 3 = 8 ⋅ 32 = 72.‬‬
‫;‬
‫⇒‬
‫‪a1 = 8‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪a1 1 + 3 + 32 = 104‬‬
‫שים לב‪ ,‬ניתן למצוא את ‪ q‬בשיטה אחרת‪:‬‬
‫‪q=3‬‬
‫⇒‬
‫‪1= 1‬‬
‫‪4 q +1‬‬
‫)‪a1 ( q − 1‬‬
‫= ‪4d‬‬
‫)‪16d a1 ( q − 1)( q + 1‬‬
‫⇒‬
‫תרגיל ‪ 4‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן ב‪ a1 -‬את האיבר הראשון‪ ,‬ונסמן ב‪ q -‬את מנת הסדרה‪ .‬על פי הנתון מתקיים‪:‬‬
‫)‬
‫()‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪⎧ a1 q 2 + 1 q 2 − 1‬‬
‫‪= 200‬‬
‫)‪(1‬‬
‫⎪⎪‬
‫‪q −1‬‬
‫⎨ ⇒‬
‫⎪‬
‫‪2‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪⎪⎩a1 q − 1 = 40‬‬
‫נחלק משוואה )‪ (1‬במשוואה )‪ (2‬ונקבל‪:‬‬
‫‪⇒ q=2,q=3‬‬
‫‪⇒ q 2 − 5q + 6 = 0‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪⎧ a1 ⋅ q 4 − 1‬‬
‫‪= 200‬‬
‫⎪⎪‬
‫‪⎨ q −1‬‬
‫‪⎪ 2‬‬
‫‪⎩⎪a1q − a1 = 40‬‬
‫‪q2 + 1‬‬
‫‪=5‬‬
‫‪q −1‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪⎧⎪S4 = 200‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩⎪a 3 − a1 = 40‬‬
‫‪( )( ) = 200‬‬
‫‪40‬‬
‫)‪a ( q − 1) ( q − 1‬‬
‫‪a1 q 2 + 1 q 2 − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫אם נציב ‪ q = 2‬במשוואה )‪ (2‬ונקבל ‪ . a1 = 40‬נתון כי המספרים הם שלמים‪ ,‬לכן נפסול את‬
‫‪3‬‬
‫התוצאה ‪ . q = 2‬נציב ‪ q = 3‬במשוואה )‪ (2‬ונקבל ‪ . a1 = 5‬לפיכך המספרים הם‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫פתרונות‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫‪5 , 15 , 45 , 135‬‬
‫תרגיל ‪ 5‬פתרון‪:‬‬
‫נמצא את המשוואה הראשונה המקשרת בין ‪ a1‬ל‪: d -‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪2a1 + 11d = 34‬‬
‫⇒‬
‫‪S12 = ( 2a1 + 11d ) ⋅ 6 = 204‬‬
‫⇒‬
‫‪Sn = 2 ⎡⎣ a1 + d ( n − 1) ⎤⎦ ⋅ n‬‬
‫‪2‬‬
‫לפי הנתון‪ a 25 , a 7 , a1 ,‬הם איברים עוקבים בסדרה הנדסית‪ ,‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪12a1d − 36d 2 = 0‬‬
‫) ‪( a1 + 6d )2 = a1 ( a1 + 24d‬‬
‫⇒‬
‫‪a1 = 3d‬‬
‫)‪(2‬‬
‫⇒‬
‫‪a 7 2 = a1 ⋅ a 25‬‬
‫)‪12d ( a1 − 3d ) = 0 (d ≠ 0‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫נפתור את מערכת המשוואות )‪ (1‬ו‪: (2) -‬‬
‫‪⎪⎧d = 2‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩a1 = 6‬‬
‫‪⎧⎪2a1 + 11d = 34‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩a1 = 3d‬‬
‫⇒‬
‫נחשב את ‪: a101‬‬
‫‪a101 = 206‬‬
‫‪a101 = 6 + 2 ⋅ 100‬‬
‫⇒‬
‫‪a101 = a1 + 100d‬‬
‫⇒‬
‫תרגיל ‪ 6‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן ב‪ a1 -‬את האיבר הראשון‪ ,‬ונסמן ב‪ q -‬את מנת הסדרה‪ .‬לפי הנתון נתקיים‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪⎧ a1 ⋅ q 4 − 1‬‬
‫‪⎪⎪ q − 1 = 280‬‬
‫⎨‬
‫⎪‬
‫‪2‬‬
‫‪⎪⎩a1 ⋅ q − 1 = 56‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪⎪⎧S4 = 280‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩⎪a 3 − a1 = 56‬‬
‫⇒‬
‫נחלק משוואה )‪ (1‬במשוואה )‪ (2‬ונקבל‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪q2 + 1‬‬
‫‪=5‬‬
‫‪q −1‬‬
‫⇒‬
‫‪) =5‬‬
‫)‪− 1‬‬
‫()‬
‫‪( q − 1) ( q‬‬
‫‪− 1 q2 + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(q‬‬
‫⇒‬
‫‪q4 − 1‬‬
‫‪= 280‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( q − 1) q − 1 56‬‬
‫)‬
‫⇒‬
‫‪q 2 − 5q + 6 = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪q=2,q=3‬‬
‫נציב ‪ q = 2‬במשוואה )‪ (2‬ונקבל‪:‬‬
‫(‬
‫‪ . a1 = 56‬לכן הסדרה היא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪56 , 112 , 224 , 448‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫נציב ‪ q = 3‬במשוואה )‪ (2‬ונקבל‪ . a1 = 7 :‬מכאן שהסדרה היא‪:‬‬
‫‪7 , 21 , 63 , 189‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫‪3‬‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫פתרונות‬
‫תרגיל ‪ 7‬פתרון‪:‬‬
‫‪b k +1‬‬
‫סדרה חשבונית מקיימת‪ . a n = a1 + d ( n − 1) :‬נמצא את המנה‬
‫‪bk‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪:‬‬
‫‪a1 + dk‬‬
‫‪b k +1‬‬
‫)‪a + dk −a1 −d( k −1‬‬
‫‪= a2+d k −1 = 2 1‬‬
‫‪= 2d‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪bk‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ d‬מספר קבוע‪ ,‬לכן ‪ 2d‬הוא קבוע‪ .‬לפיכך ‪ b1 , b 2 , ... , b n‬היא סדרה הנדסית‬
‫שמנתה ‪ q = 2d‬ואיברה הראשון הוא ‪. b1 = 2a1‬‬
‫נמצא את המכפלה‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪⎡ 2a1 + d ( n −1) ⎤⎦ ⋅ n‬‬
‫‪2‬‬
‫⎣ ‪b1 , b 2 , ... , b n = 2a1 ⋅ 2a 2 ⋅ ...⋅ 2a n = 2a1 + a 2 +...+ a n = 2‬‬
‫נתון כי ‪ . d = 4 , a1 = 3‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2n +1)⋅n‬‬
‫(‪= 2‬‬
‫‪= 22n + n‬‬
‫‪⎡6 + 4( n −1)⎤⎦ ⋅ n‬‬
‫‪2‬‬
‫⎣ ‪b1 , b 2 , ... , b n = 2‬‬
‫תרגיל ‪ 8‬פתרון‪:‬‬
‫לפי הנתון ‪ a 5 , a1‬ו‪ a 29 -‬הם איברים עוקבים בסדרה הנדסית‪ .‬לכן מתקיים‪:‬‬
‫‪a12 + 8a1d + 16d 2 = a12 + 28a1d‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪4d − 5a1 = 0‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫)‪(d > 0‬‬
‫) ‪( a1 + 4d )2 = a1 ( a1 + 28d‬‬
‫‪⇒ 4d ( 4d − 5a1 ) = 0‬‬
‫‪a 5 2 = a1 ⋅ a 29‬‬
‫⇒‬
‫‪16d 2 = 20a1d‬‬
‫⇒‬
‫האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים יוצרים סדרה חשבונית שבה ‪ 14‬איברים‪ .‬האיבר הראשון‬
‫הוא ‪ a 2‬והפרשה ‪ . 2d‬נסמן ב‪ S∗ -‬את סכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪a 2 + 13d = 74‬‬
‫⇒‬
‫)‪(2‬‬
‫‪= 1036‬‬
‫‪( 2a 2 + 2d ⋅13) ⋅ 14‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a1 + 14d = 74‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪S∗ = 1036‬‬
‫‪( a1 + d ) + 13d = 74‬‬
‫⇒‬
‫נפתור את מערכת המשוואות )‪ (1‬ו‪: (2) -‬‬
‫‪a1 = 4 , d = 5‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧⎪4d − 5a1 = 0‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩a1 + 14d = 74‬‬
‫סכום האיברים הנמצאים במקומות האי‪-‬זוגיים הוא ∗‪ . S29 − S‬נחשב את הסכום‪:‬‬
‫‪S29 − S∗ = ( 2a1 + 28d ) ⋅ 29 − 1036 = ( 2 ⋅ 4 + 5 ⋅ 28 ) ⋅ 29 − 1036 = 1110‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫סכום האיברים הנמצאים במקומות האי‪-‬זוגיים הוא ‪.1110‬‬
‫‪4‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫פתרונות‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגיל ‪ 9‬פתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫נסמן ב‪ S∗n -‬את סכום ‪ n‬האיברים הראשונים הנמצאים במקומות האי‪-‬זוגיים‪,‬‬
‫כלומר ‪ . S∗n = a1 + a 3 + ... + a 2n −1‬נמצא את הסכום‪:‬‬
‫‪S∗n = 4n 2 − n‬‬
‫‪S∗n = ⎡⎣ 2a1 + 2d ( n − 1) ⎤⎦ ⋅ n = ⎡⎣ 2 ⋅ 3 + 8 ( n − 1) ⎤⎦ ⋅ n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫∗∗‪ S‬את סכום ‪ n‬האיברים הראשונים הנמצאים במקומות הזוגיים‪,‬‬
‫נסמן ב‪n -‬‬
‫∗∗‪ . S‬נמצא את הסכום‪:‬‬
‫דהיינו ‪n = a 2 + a 4 + ... + a 2n‬‬
‫‪2‬‬
‫∗∗‪S‬‬
‫‪n = −4n − 3n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫∗∗‪S‬‬
‫⎡= ‪n‬‬
‫‪⎣ 2a 2 − 2d ( n − 1) ⎤⎦ ⋅ 2 = ⎡−‬‬
‫‪⎣ 14 − 8 ( n − 1)⎤⎦ ⋅ 2‬‬
‫⇒‬
‫סכום ‪ 2n‬האיברים הראשונים הוא‪:‬‬
‫‪S2n = −4n‬‬
‫ב‪.‬‬
‫סכום הסדרה מקיים‪. S47 = S46 + a 47 :‬‬
‫⇒‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫∗∗‪S2n = S∗n + S‬‬
‫‪n = 4n − n − 4n − 3n‬‬
‫בהסתמך על סעיף א' נקבל‪:‬‬
‫‪S46 = −4 ⋅ 23 = −92‬‬
‫‪a 47 = a1 + 46d = 3 + 46 ⋅ 4 = 187‬‬
‫‪ a 47‬הוא חיובי כי הוא נמצא במקום האי‪-‬זוגי‪ .‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫‪S47 = −92 + 187 = 95‬‬
‫תרגיל ‪ 10‬פתרון‪:‬‬
‫על פי הנתון‪ ,‬האגף השמאלי הוא סדרה הנדסית אינסופית שבה ‪q = cos x , a1 = cos 2 x‬‬
‫בתחום ‪ 0 < x < π‬מתקיים ‪cos x < 1‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫)‬
‫(‬
‫‪cos 2 x = 3 1 − cos 2 x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪− 3‬‬
‫‪2‬‬
‫⎡‬
‫= ‪⎢cos x‬‬
‫⎢ או‬
‫= ‪⎢cos x‬‬
‫⎣⎢‬
‫⇒‬
‫‪x = π , x = 5π‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫ולכן זאת סדרה הנדסית אינסופית יורדת‪.‬‬
‫⇒‬
‫‪cos 2 x = 3 1 + cos x‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1 − cos x‬‬
‫‪4cos 2 x = 3‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫)‪( 0 < x < π‬‬
‫⇒‬
‫‪a1‬‬
‫‪1− q‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪cos 2 x = 3 − 3cos 2 x‬‬
‫⇒‬
‫‪⎡ x = ± π + 2πK‬‬
‫⎢‬
‫‪6‬‬
‫⎢ או‬
‫‪⎢ x = ± 5π + 2πK‬‬
‫‪6‬‬
‫⎣‬
‫⇒‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫‪5‬‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫פתרונות‬
‫תרגיל ‪ 11‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן ב‪ q -‬את מנת הסדרה ‪ . a1 , a 2 , a 3 , a 4 , ...‬לפי הנתון ‪. q < 1‬‬
‫הסדרה ‪ a12 , a 2 2 , a 32 , ...‬מקיימת‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫) ‪a k2 +1 ( a1 ⋅ q‬‬
‫‪a12 ⋅ q 2k‬‬
‫=‬
‫‪= 2 2k −2 = q 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ak‬‬
‫‪( a1 ⋅ q k −1 ) a1 ⋅ q‬‬
‫‪2‬‬
‫קיבלנו שהמנה היא מספר קבוע‪ ,‬לפיכך הסדרה היא הנדסית‪ .‬לפי הנתון ‪ q < 1‬לכן ‪q 2 < 1‬‬
‫‪a12‬‬
‫ולכן זאת סדרה יורדת‪ .‬סכום של הסדרה ‪ a12 , a 2 2 , a 32 , ...‬הוא‬
‫‪2‬‬
‫‪1− q‬‬
‫נביע את סכום הסדרה באמצעות ‪ R‬ו‪. T -‬‬
‫היות שמנת הסדרה הנתונה היא ‪ q‬ומנת הסדרה ‪ a1 , − a 2 , a 3 , − a 4 , ...‬היא ‪ −q‬מתקיים‪:‬‬
‫= ‪.S‬‬
‫‪a12‬‬
‫‪a12‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫=‬
‫‪= 1 ⋅ 1 = R ⋅T‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(1 − q )(1 + q ) 1 − q 1 + q‬‬
‫‪1− q‬‬
‫תרגיל ‪ 12‬פתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫נתבונן בהפרש ‪: a k −1 − a k‬‬
‫‪2p − ( k + 1) 2p − k 2p − k − 1 − 2p + k −1‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫קיבלנו כי ההפרש הוא מספר קבוע‪ ,‬לכן הסדרה היא חשבונית‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫= ‪a k −1 − a k‬‬
‫‪2p − 1‬‬
‫= ‪. a n = 1 , d = −1 , a 1‬‬
‫על פי הנתון וסעיף א' מתקיים‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫נביע את מספר איברי הסדרה באמצעות ‪: p‬‬
‫⇒‬
‫‪1 = 2p − 1 − n + 1‬‬
‫⇒‬
‫‪1 = 2p − 1 − 1 n − 1 ⋅p‬‬
‫) (‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫⇒‬
‫)‪a n = a1 + d ( n − 1‬‬
‫‪n = 2p − 1‬‬
‫⇒‬
‫על סמך הנתון סכום הסדרה שווה ל‪ , 29 -‬לפיכך מתקיים‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪6‬‬
‫‪2p − 1‬‬
‫‪= 29‬‬
‫‪2‬‬
‫⋅‪2‬‬
‫⇒‬
‫‪⎛ 2p − 1 1 ⎞ 2p − 1‬‬
‫‪⎜ p + p ⎟ ⋅ 2 = 29‬‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫‪p = 15‬‬
‫⇒‬
‫‪Sn = ( a1 + a n ) ⋅ n‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪2p − 1 = 29‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫פתרונות‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגיל ‪ 13‬פתרון‪:‬‬
‫לאחר שמכניסים בין כל שני איברים של הסדרה } ‪ {a n‬שלושה איברים נוספים‪ ,‬מתקבלת סדרה‬
‫הנדסית חדשה } ‪ {b n‬שבה ‪ . b5 = 3 , b1 = 1‬לפיכך מתקיים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪q=± 3‬‬
‫‪q4 = 9‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪3 = 1 ⋅ q4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪b5 = b1 ⋅ q 4‬‬
‫⇒‬
‫עבור ‪ q = 3‬נקבל‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫⎦⎤‪3 ) − 1‬‬
‫‪= 3 −1‬‬
‫‪3 −1‬‬
‫)‪3 ( 3 − 1‬‬
‫‪⋅ 3 +1‬‬
‫‪3 +1‬‬
‫) ‪40 (1 + 3‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪S8‬‬
‫⇒‬
‫(⎣⎡ ⋅ ‪) = 13‬‬
‫(‬
‫‪b1 ⋅ q8 − 1‬‬
‫‪q −1‬‬
‫)‪80 ⋅ ( 3 + 1‬‬
‫)‪3 ( 3 − 1)( 3 + 1‬‬
‫= ‪S8‬‬
‫= ‪S8‬‬
‫⇒‬
‫עבור ‪ q = − 3‬נקבל‪:‬‬
‫‪⋅ 3 −1‬‬
‫‪3 −1‬‬
‫⇒‬
‫) ‪40 (1 − 3‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪S8‬‬
‫⎡⋅‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫⎤‬
‫‪4‬‬
‫⎦‪⎣( − 3 ) − 1‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪S8‬‬
‫‪= 3 −1‬‬
‫‪− 3 −1‬‬
‫)‪−3 ( 3 + 1‬‬
‫)‪80 ⋅ ( 3 − 1‬‬
‫)‪−3 ( 3 + 1)( 3 − 1‬‬
‫⇒‬
‫= ‪S8‬‬
‫⇒‬
‫תרגיל ‪ 14‬פתרון‪:‬‬
‫בסדרה הנדסית מתקיים‪ . (m < k) a k 2 = a k −m ⋅ a k + m :‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫‪a 4 ⋅ a10 = 64‬‬
‫⇒‬
‫‪a 7 2 = 64‬‬
‫‪a 3 ⋅ a11 = 64‬‬
‫⇒‬
‫נפתור מערכת משוואות הבאה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎪⎧a 4 − 65a 4 + 64 = 0‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩⎪a10 = 65 − a 4‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪⎧⎪a 4 ⋅ ( 65 − a 4 ) = 64‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩⎪a10 = 65 − a 4‬‬
‫‪⎡a10 = 64 , a 4 = 1‬‬
‫⎢ או‬
‫‪⎢⎣a10 = 1 , a 4 = 64‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪⎧⎪a 4 ⋅ a10 = 64‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩a 4 + a10 = 65‬‬
‫‪⎡a 4 = 1‬‬
‫⎢ או‬
‫‪⎣a 4 = 64‬‬
‫⇒‬
‫עבור ‪ a10 = 64 , a 4 = 1‬מתקיים‪:‬‬
‫‪q=2‬‬
‫⇒‬
‫)‪q = ±2 (q > 0‬‬
‫⇒‬
‫‪q 6 = 64‬‬
‫⇒‬
‫‪a1q 9‬‬
‫‪= 64‬‬
‫‪a1q 3‬‬
‫⇒‬
‫‪a10‬‬
‫‪= 64‬‬
‫‪a4‬‬
‫נמצא את ‪: a1‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫‪7‬‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫פתרונות‬
‫‪a1 = 1‬‬
‫‪8‬‬
‫עבור ‪ a10 = 1 , a 4 = 64‬מתקיים‪:‬‬
‫‪q=1‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫)‪q = ± 1 (q > 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a1 = 512‬‬
‫⇒‬
‫‪q6 = 1‬‬
‫‪64‬‬
‫⇒‬
‫נמצא את ‪: a1‬‬
‫⇒‬
‫‪a 1 ⋅ 23 = 1‬‬
‫‪( ) = 64‬‬
‫‪3‬‬
‫⇒‬
‫‪a1q 9‬‬
‫‪= 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪64‬‬
‫‪a1q‬‬
‫⇒‬
‫‪a1 ⋅ 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a1q 3 = 1‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪a10‬‬
‫‪= 1‬‬
‫‪a 4 64‬‬
‫⇒‬
‫‪a1q 3 = 64‬‬
‫‪a4 = 1‬‬
‫‪a 4 = 64‬‬
‫⇒‬
‫תרגיל ‪ 15‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן ב‪ q -‬את מנת הסדרה המקורית ‪. a1 , a 2 , ... , a 2n‬‬
‫לפיכך מנת הסדרה ‪ a1 , − a 2 , a 3 , − a 4 , ... , − a 2n‬היא ‪. −q‬‬
‫נסמן ב‪ S2n -‬את סכום הסדרה המקורית ונסמן ב‪ S∗2n -‬את סכום הסדרה החדשה‪ .‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪2n‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪a1 ⋅ ⎣⎡( −q ) − 1⎦⎤ a1 ⋅ q − 1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪−q − 1‬‬
‫‪−q − 1‬‬
‫על סמך הנתון‪ , S2n = m ⋅ S∗2n ,‬לכן מתקיים‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪−q − 1‬‬
‫‪=m‬‬
‫‪q −1‬‬
‫‪q ( m + 1) = m − 1‬‬
‫⇒‬
‫‪)=m‬‬
‫‪−1‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪2n‬‬
‫∗‬
‫‪2n‬‬
‫‪) : a ⋅ (q‬‬
‫‪1‬‬
‫;‬
‫(‬
‫‪a1 ⋅ q 2n − 1‬‬
‫‪−q − 1‬‬
‫‪mq + q = m − 1‬‬
‫‪S‬‬
‫)‬
‫‪q −1‬‬
‫= ‪S2n‬‬
‫‪S2n‬‬
‫‪=m‬‬
‫‪S∗2n‬‬
‫⇒‬
‫‪q −1‬‬
‫⇒‬
‫(‬
‫‪a1 ⋅ q 2n − 1‬‬
‫‪− q − 1 = mq − m‬‬
‫⇒‬
‫‪q = m −1‬‬
‫‪m +1‬‬
‫⇒‬
‫תרגיל ‪ 16‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ , b k = b :‬לפיכך ‪ . b k + 2 = bq 2 , b k +1 = bq‬נראה כי ‪. b n + ( bq 2 ) − 2 ( bq ) > 0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪b n + ( bq 2 ) − 2 ( bq ) = b n + b n q 2n − 2b n q n = b n q 2n − 2q n + 1 = b n q n − 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪bn q n − 1 > 0‬‬
‫⇒‬
‫‪n‬‬
‫)‪(b n > 0 , q n ≠ 1‬‬
‫קיבלנו כי ‪ b nk + b nk + 2 − 2b nk +1 > 0‬ולכן ‪. b nk + b nk + 2 > 2b nk +1‬‬
‫‪8‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫פתרונות‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגיל ‪ 17‬פתרון‪:‬‬
‫לפי הנתון‪ Q = Sn ,‬ו‪ . P = S2n − Sn -‬לכן מתקיים‪:‬‬
‫‪P = S2n − 1‬‬
‫‪Q Sn‬‬
‫)‪dn ( n + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫)‪S2n = dn ( 2n + 1‬‬
‫⇒‬
‫‪P = S2n − Sn‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Sn‬‬
‫‪Sn = ⎡⎣ 2a1 + d ( n − 1) ⎤⎦ ⋅ n = ( 2d + dn − d ) ⋅ n = ( d + dn ) ⋅ n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫‪S2n = ⎡⎣ 2a1 + d ( 2n − 1) ⎤⎦ ⋅ n = ( 2d + 2dn − d ) ⋅ n = ( d + 2dn ) ⋅ n‬‬
‫⇒‬
‫נמצא את היחס המבוקש‪:‬‬
‫‪P = 3n + 1‬‬
‫‪Q n +1‬‬
‫)‪P = S2n − 1 = dn ( 2n + 1) = 2 ( 2n + 1) − 1 = 4n + 2 − ( n + 1‬‬
‫‪Q Sn‬‬
‫‪1 dn n + 1‬‬
‫‪n +1‬‬
‫‪n +1‬‬
‫) (‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫תרגיל ‪ 18‬פתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪a1‬‬
‫סכום של סדרה הנדסית אינסופית יורדת הוא‬
‫‪1− q‬‬
‫= ‪ . S‬לפי הנתון מתקיים‪:‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪1− q‬‬
‫‪a‬‬
‫‪T2 = 3‬‬
‫‪1− q‬‬
‫= ‪T1‬‬
‫‪a n +1‬‬
‫‪1− q‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Tn +1 = n + 2‬‬
‫‪1− q‬‬
‫⇒‬
‫‪T1 = a 2 + a 3 + a 4 + ...‬‬
‫⇒‬
‫‪T2 = a 3 + a 4 + a 5 + ...‬‬
‫= ‪Tn‬‬
‫‪Tn +1‬‬
‫נמצא את היחס‬
‫‪Tn‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪Tn = a n +1 + a n + 2 + ...‬‬
‫‪Tn +1 = a n + 2 + a n +3 + ...‬‬
‫‪:‬‬
‫‪Tn +1 a n + 2 a n +1 a n + 2 a n +1 ⋅ q‬‬
‫=‬
‫‪:‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪=q‬‬
‫‪Tn‬‬
‫‪1 − q 1 − q a n +1‬‬
‫‪a n +1‬‬
‫קיבלנו כי היחס הוא קבוע‪ .‬לפי הנתון ‪q < 1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫לכן‬
‫} ‪{Tn‬‬
‫היא סדרה הנדסית יורדת‪.‬‬
‫נמצא את סכום הסדרה‪:‬‬
‫‪a1q‬‬
‫‪(1 − q )2‬‬
‫=‬
‫‪a2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪(1 − q‬‬
‫=‬
‫‪a2‬‬
‫‪1− q‬‬
‫‪1− q‬‬
‫‪T1‬‬
‫=‬
‫‪1− q‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫= ‪T1 + T2 + ... + Tn + ...‬‬
‫‪9‬‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫פתרונות‬
‫תרגיל ‪ 19‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן ב‪ a1 -‬את האיבר הראשון ונסמן ב‪ d -‬את הפרש הסדרה‪.‬‬
‫⇒‬
‫)‪2a1 + d ( m − 1‬‬
‫)‪2a + d ( k − 1‬‬
‫‪⋅m − 1‬‬
‫‪⋅k = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫(‬
‫‪2a1m − 2a1k + d m 2 − m − d k 2 − k = 0‬‬
‫‪2a1 ( m − k ) + d m 2 − m − k 2 − k = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪2a1 ( m − k ) + d ⎡⎣( m − k )( m + k ) − ( m − k ) ⎤⎦ = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪2a1 ( m − k ) + ( m − k ) ⋅ d ( m + k − 1) = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪( m − k ) ⋅ ⎡⎣ 2a1 + d ( m + k − 1)⎤⎦ = 0‬‬
‫⇒‬
‫) ‪2a1 + d ( m + k − 1) = 0 ⋅ 1 ( m + k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Sm + k = 0‬‬
‫⇒‬
‫)‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫( )‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪Sm − Sk = 0‬‬
‫‪Sm = Sk‬‬
‫)‪: (m − k‬‬
‫)‪2a1 + d ( m + k − 1‬‬
‫‪⋅ (m + k) = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫(‬
‫⇒‬
‫תרגיל ‪ 20‬פתרון‪:‬‬
‫היות שהסדרה היא סדרה חשבונית‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫) ‪2 ( p + q )( q + r ) = ( p + r )( q + r ) + ( p + r )( p + q‬‬
‫⇒‬
‫) ‪2 ( p + q )( q + r ) = ( p + r )( 2q + p + r‬‬
‫⇒‬
‫‪2 pq + pr + q 2 + qr = 2pq + p 2 + pr + 2qr + pr + r 2‬‬
‫⇒‬
‫‪2q 2 + 2pq + 2pr + 2qr = p 2 + r 2 + 2pq + 2pr + 2qr‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫)‬
‫⇒‬
‫‪2q 2 = p 2 + r 2‬‬
‫‪2 = 1 + 1 ⋅ p+r p+q q+r‬‬
‫() (‬
‫) ()‬
‫‪p+r p+q q+r‬‬
‫⇒‬
‫(‬
‫כתוצאה מכך‪ ,‬המספרים ‪ r 2 , q 2 , p 2‬מהווים סדרה חשבונית‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫פתרונות‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגיל ‪ 21‬פתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪b k +1‬‬
‫לפי הנתון‪= q ,‬‬
‫‪bk‬‬
‫‪) ,‬כאשר ‪ q‬היא מנת הסדרה } ‪.( {b n‬‬
‫נתבונן ביחס ‪1 : 1‬‬
‫‪b k +1 b k‬‬
‫‪1 : 1 = bk = 1‬‬
‫‪b k +1 b k b k +1 q‬‬
‫קיבלנו שהיחס הוא מספר קבוע‪ ,‬לכן ‪ 1 , 1 , ... , 1‬היא סדרה הנדסית שמנתה ‪. 1‬‬
‫‪q‬‬
‫‪b1 b 2‬‬
‫‪bn‬‬
‫ב‪.‬‬
‫סכום הסדרה‬
‫} ‪{b n‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪b1 ⋅ q n − 1‬‬
‫‪q −1‬‬
‫= ‪ . Sn‬על סמך סעיף א' מתקיים‪:‬‬
‫‪q ⎜⎛ 1n − 1⎟⎞ n‬‬
‫‪q 1 − qn‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1 − qn‬‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫= ‪⋅ n‬‬
‫=‬
‫= ‪Tn‬‬
‫‪b1 − b1q q‬‬
‫) ‪b1 (1 − q ) ⋅ q n b1q n −1 ⋅ (1 − q‬‬
‫(‬
‫)‬
‫⇒‬
‫‪b1q‬‬
‫‪b1q‬‬
‫⋅‬
‫‪n‬‬
‫⎤‪1 ⋅ ⎡⎛ 1 ⎞ − 1‬‬
‫⎥‬
‫⎟⎠ ‪b ⎢⎝⎜ q‬‬
‫⎦‬
‫⎣ ‪Tn = 1‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1 − qn‬‬
‫) ‪b n ⋅ (1 − q‬‬
‫‪Sn‬‬
‫נמצא את היחס‬
‫‪Tn‬‬
‫⇒‬
‫= ‪Tn‬‬
‫‪:‬‬
‫‪Sn‬‬
‫‪= b1 ⋅ b n‬‬
‫‪Tn‬‬
‫⇒‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪n‬‬
‫) ‪b1 ⋅ q n − 1 b n ⋅ (1 − q‬‬
‫‪Sn b1 ⋅ q − 1‬‬
‫‪1 − qn‬‬
‫=‬
‫=‬
‫⋅‬
‫‪:‬‬
‫‪Tn‬‬
‫‪q −1‬‬
‫‪q −1‬‬
‫) ‪b n ⋅ (1 − q‬‬
‫‪1 − qn‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫‪11‬‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫פתרונות‬
‫תרגיל ‪ 22‬פתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫נסמן ב‪ d -‬את הפרש הסדרה‬
‫ונסמן ב‪ d′ -‬את הפרש הסדרה } ‪ . {b m‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫} ‪{a n‬‬
‫)‪d′ − d = 1 (1‬‬
‫‪2‬‬
‫נסמן ב‪ Sn -‬את סכום ‪ n‬האיברים הראשונים של הסדרה‬
‫⇒‬
‫‪2 + 6d = −1 + 6d′‬‬
‫‪a1 + 6d = b1 + 6d′‬‬
‫⇒‬
‫‪a 7 = b7‬‬
‫⇒‬
‫} ‪, {a n‬‬
‫נסמן ב‪ Tm -‬את סכום ‪ m‬האיברים הראשונים של הסדרה } ‪ . {b m‬לפיכך מתקיים‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪( 2 + 7d ) ⋅15‬‬
‫‪= 25‬‬
‫‪( −2 + 11d′ ) ⋅ 6 16‬‬
‫‪( 2a1 + 14d ) ⋅ 15‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= 25‬‬
‫‪2b1 + 11d′ ⋅ 6 16‬‬
‫⇒‬
‫)‬
‫(‬
‫⇒‬
‫‪S15 25‬‬
‫=‬
‫‪T12 16‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות )‪ (1‬ו‪: (2) -‬‬
‫‪d = 1.5 , d′ = 2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נמצא את מספר האיברים בכל סדרה‪:‬‬
‫‪n = 35‬‬
‫⇒‬
‫‪2 + 1.5 ( n − 1) = 53‬‬
‫⇒ ‪− 1 + 2 ( m − 1) = 31‬‬
‫‪m = 17‬‬
‫נחשב את סכום האיברים בכל סדרה‪:‬‬
‫‪a1 + d ( n − 1) = 53‬‬
‫⇒‬
‫‪a n = 53‬‬
‫‪b1 + d′ ( m − 1) = 31‬‬
‫⇒‬
‫‪b m = 31‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪S35 = 962.5‬‬
‫‪T17 = 255‬‬
‫‪12‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧d′ − d = 1‬‬
‫⎪‬
‫‪2‬‬
‫⎪‬
‫‪⎨ ( 2 + 7d ) ⋅15‬‬
‫⎪‬
‫‪= 25‬‬
‫‪⎪⎩ ( −2 + 11d′ ) ⋅ 6 16‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪a1 + a 35‬‬
‫‪⋅ 35 = 2 + 53 ⋅ 35‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b +b‬‬
‫‪T17 = 1 17 ⋅17 = −1 + 31 ⋅17‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪S35‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫פתרונות‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגיל ‪ 23‬פתרון‪:‬‬
‫נביע את ‪ a1‬באמצעות ‪: d‬‬
‫⇒‬
‫‪( a 3 − a 2 )( a 3 + a 2 ) = 16a12‬‬
‫‪d ⋅ ( 2a1 + 3d ) = 16a12‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪a 32 − a 2 2 = 16a12‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪a 32 = 16a12 + a 2 2‬‬
‫‪d ⋅ ⎡⎣( a1 + 2d ) + ( a1 + d ) ⎤⎦ = 16a12‬‬
‫⇒‬
‫‪16a12 − 2a1d − 3d 2 = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪a 1 = d , a1 = −3 d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫⇒‬
‫‪2d ± 4d 2 + 4 ⋅16 ⋅ 3d 2‬‬
‫‪a‬‬
‫=‬
‫‪( 1 )1, 2‬‬
‫‪32‬‬
‫⇒‬
‫סכומם של ארבעת האיברים האחרונים הוא‪. S16 − S12 :‬‬
‫עבור ‪ a1 = d‬נקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S16 − S12 = 56d‬‬
‫⇒‬
‫⎫‬
‫⎪‬
‫⎪⎪‬
‫⎬‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫⎭⎪‬
‫)‪2 ⋅ d + d (16 − 1‬‬
‫‪S16 = 2‬‬
‫‪⋅16 = 128d‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪2 ⋅ d + d (12 − 1‬‬
‫‪⋅12 = 72d‬‬
‫‪S12 = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫עבור ‪ a1 = −3 d‬מתקיים‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪S16 − S12 = 52.5d‬‬
‫⇒‬
‫⎫‬
‫⎪‬
‫⎪⎪‬
‫⎬‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫⎭⎪‬
‫) (‬
‫)‪2 ⋅ −3 d + d (16 − 1‬‬
‫‪8‬‬
‫= ‪S16‬‬
‫‪⋅16 = 114d‬‬
‫‪2‬‬
‫) (‬
‫)‪2 ⋅ −3 d + d (12 − 1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪⋅12 = 61.5d‬‬
‫= ‪S12‬‬
‫‪2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫‪13‬‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫פתרונות‬
‫תרגיל ‪ 24‬פתרון‪:‬‬
‫לפי הנתון ‪ , Sn = 300‬לפיכך מתקיים‪:‬‬
‫)‪2a1 + d ( n − 1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪⋅ n = 300 ⇒ ⎡⎣ 2a1 + d ( n − 1) ⎤⎦ ⋅ n = 600‬‬
‫‪2‬‬
‫סכום חמשת האיברים האחרונים הוא ‪ .195‬נשים לב לכך שבסכום זה האיבר הראשון‬
‫הוא ‪ , a n −4‬האיבר האחרון הוא ‪ a n‬ומספר האיברים הוא ‪ . 5‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫‪⎡⎣a1 + d ( n − 5 )⎤⎦ + ⎡⎣a1 + d ( n − 1) ⎤⎦ = 78‬‬
‫‪a n −4 + a n‬‬
‫‪⋅ 5 = 195 ⇒ a n −4 + a n = 78‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫‪2a1 + d ( 2n − 6 ) = 78‬‬
‫)‪(2‬‬
‫⇒‬
‫סכום שני האיברים האחרונים שווה ל‪: 90 -‬‬
‫⇒ ‪a1 + d ( n − 2 ) + a1 + d ( n − 1) = 90‬‬
‫)‪(3‬‬
‫⇒‬
‫‪a n −1 + a n = 90‬‬
‫‪2a1 + d ( 2n − 3) = 90‬‬
‫⇒‬
‫נפתור את מערכת המשוואות )‪ (2‬ו‪ . (3) -‬נחסר ממשוואה )‪ (2‬משוואה )‪: (3‬‬
‫‪d=4‬‬
‫⇒‬
‫‪− 3d = −12‬‬
‫‪⎧2a1 + d ( 2n − 6 ) = 78‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩2a1 + d ( 2n − 3) = 90‬‬
‫⇒‬
‫נציב את ‪ d = 4‬במשוואה )‪ (3‬ונביע את ‪ a1‬באמצעות ‪: n‬‬
‫‪a1 = 51 − 4n‬‬
‫⇒‬
‫‪a1 + 2 ( 2n − 3) = 45‬‬
‫⇒‬
‫‪2a1 + 4 ( 2n − 3) = 90‬‬
‫כעת‪ ,‬נציב ‪ d = 4‬ו‪ a1 = 51 − 4n -‬במשוואה )‪ (1‬ונקבל‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪2n 2 − 49n + 300 = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪⎡⎣ 2 ( 51 − 4n ) + 4 ( n − 1) ⎤⎦ ⋅ n = 600‬‬
‫‪n1 = 12 , n 2 = 12.5‬‬
‫⇒‬
‫נפסול ‪ , n = 12.5‬כי ‪ n‬מספר טבעי לפיכך ‪ . n = 12‬מכאן ש‪. a1 = 51 − 4 ⋅12 = 3 -‬‬
‫לסיכום‪ :‬האיבר הראשון בסדרה הוא ‪ , 3‬הפרשה שווה ל‪ 4 -‬ומספר האיברים הוא ‪.12‬‬
‫‪14‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫פתרונות‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגיל ‪ 25‬פתרון‪:‬‬
‫נעתיק את הסדרה בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪12 , 8 , 24 , 16 , 48 , 32 , ...‬‬
‫במקומות האי‪-‬זוגיים נמצאים המספרים הבאים‪:‬‬
‫) ‪(Ι‬‬
‫‪12 , 24 , 48 , ...‬‬
‫במקומות הזוגיים נמצאים המספרים הבאים‪:‬‬
‫)‪(ΙΙ‬‬
‫‪a 2m +1‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬הסדרה )‪ (Ι‬היא סדרה הנדסית כי ‪= c‬‬
‫‪a 2m −1‬‬
‫‪8 , 16 , 32 , ...‬‬
‫‪ ,‬כאשר ‪ c = 2‬היא מנת הסדרה‬
‫ואיברה הראשון הוא ‪.12‬‬
‫‪a 2m‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬הסדרה )‪ (ΙΙ‬היא סדרה הנדסית כי ‪= b‬‬
‫‪a 2m −2‬‬
‫‪ ,‬כאשר ‪ b = 2‬היא מנת הסדרה‬
‫ואיברה הראשון הוא ‪. 8‬‬
‫סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה )‪ (Ι‬הוא‪:‬‬
‫) ‪( n‬‬
‫‪S∗n = 12 2 − 1 = 12 2n − 1‬‬
‫‪2 −1‬‬
‫(‬
‫)‬
‫סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה )‪ (ΙΙ‬הוא‪:‬‬
‫‪8 ( 2n − 1) = 8 2n − 1‬‬
‫∗∗‪S‬‬
‫=‬
‫‪n‬‬
‫‪2 −1‬‬
‫)‬
‫נמצא את הסכום המבוקש‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫( )‬
‫(‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫∗∗‪S∗n + S‬‬
‫‪n = 12 2 − 1 + 8 2 − 1 = 20 2 − 1‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫‪15‬‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫פתרונות‬
‫תרגיל ‪ 26‬פתרון‪:‬‬
‫א‪(i ) .‬‬
‫⇒‬
‫) ‪) = (a ⋅ a q‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪⋅ q2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪) = (a‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫( )‬
‫‪a12 ⋅ a 2 2 ⋅ a 32 = ( a1 ⋅ a 2 ⋅ a 3 ) = a1 ⋅ a1q ⋅ a1q 2 = a13 ⋅ q 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪a12 ⋅ a 2 2 ⋅ a 32 = ( a1 ⋅ a 3‬‬
‫⇒‬
‫א‪(ii ) .‬‬
‫⇒‬
‫‪2‬‬
‫⎦⎤ ) ‪a12 ⋅ a 2 2 ⋅ a 32 ⋅ a 4 2 = ( a1 ⋅ a 2 ⋅ a 3 ⋅ a 4 ) = ⎡⎣( a1 ⋅ a 4 ) ⋅ ( a 2 ⋅ a 3 ) ⎤⎦ = ⎡⎣( a1 ⋅ a 4 ) ⋅ ( a1 ⋅ a 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫ב‪.‬‬
‫) ‪a12 ⋅ a 2 2 ⋅ a 32 ⋅ a 4 2 = ( a1 ⋅ a 4‬‬
‫⇒‬
‫קל לראות כי הטענה נכונה עבור ‪ . n = 2 , n = 1‬הראינו את נכונותה עבור ‪n = 4 , n = 3‬‬
‫נניח כי הטענה נכונה עבור ‪ k ) n = k‬טבעי(‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫) ‪a12 ⋅ a 2 2 ⋅ ... ⋅ a k 2 = ( a1 ⋅ a k‬‬
‫על סמך הנחת האינדוקציה נוכיח כי הטענה מתקיימת עבור ‪ , n = k + 1‬דהיינו‪:‬‬
‫‪k +1‬‬
‫) ‪a12 ⋅ a 2 2 ⋅ ... ⋅ a k 2 ⋅ a k +12 = ( a1 ⋅ a k +1‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫= ‪⋅ a12q 2k‬‬
‫‪( k −1)k‬‬
‫) ‪) ⋅ (a ⋅ a q‬‬
‫) ‪) = (a ⋅ a q‬‬
‫‪= a1 ⋅ a1 ⋅ q‬‬
‫‪k 2‬‬
‫) ‪= ( a1 ⋅ a k +1‬‬
‫‪k k +1‬‬
‫‪k +1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k −1 k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k +1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫‪a12 ⋅ a 2 2 ⋅ ... ⋅ a k 2 ⋅ a k2 +1 = ( a1 ⋅ a k ) ⋅ a k2 +1 = a1 ⋅ a1q‬‬
‫‪k‬‬
‫(‬
‫‪2 k +1‬‬
‫‪k k +1‬‬
‫‪= a1 ( ) ⋅ q ( ) = a12 ⋅ q k‬‬
‫‪2 − k + 2k‬‬
‫‪= a12k + 2 ⋅ q k‬‬
‫לסיכום‪ :‬בדקנו את נכונות הטענה עבור ‪ . n = 1, 2,3, 4‬על סמך ההנחה שהטענה נכונה עבור ‪n = k‬‬
‫) ‪ k , k ≤ n‬טבעי(‪ ,‬הוכחנו את נכונותה עבור ‪ n = k + 1‬ולכן הטענה נכונה לכל ‪ n‬טבעי‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫פתרונות‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגיל ‪ 27‬פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬לפי הנתון מתקיים‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪⎪⎧a1 + 6d = 4 ( a1 + 2d ) + 1‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩a1 + 21d = 3 ( a1 + 5d ) + 24‬‬
‫‪⋅a 3‬‬
‫‪⎪⎧a 7 = 4a 3 + 1‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩a 22 = 3a 6 + 24‬‬
‫⇒‬
‫‪a1 = 3 , d = 5‬‬
‫⇒‬
‫‪⋅a 6‬‬
‫‪⎧ a7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪⎪⎪ a 3 = 4 + a 3‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪ a 22 = 3 + 24‬‬
‫‪⎪⎩ a 6‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪⎧⎪3a1 − 2d = −1‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩2a1 − 6d = −24‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫נחשב את ‪: S25‬‬
‫‪S25 = 1575‬‬
‫ב‪.‬‬
‫⇒‬
‫)‪2 ⋅ 3 + 5 ( 25 − 1‬‬
‫‪⋅ 25‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪S25‬‬
‫)‪2a1 + d ( n − 1‬‬
‫‪⋅n‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫= ‪Sn‬‬
‫בסדרה חשבונית מתקיים‪:‬‬
‫‪m − n = −20d‬‬
‫‪n − k = 32d‬‬
‫‪k − m = −12d‬‬
‫‪k = a1 + 4d‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⎫‬
‫⎪‬
‫⎬ ‪m = a1 + 16d‬‬
‫⎪‬
‫⎭ ‪n = a1 + 36d‬‬
‫‪a 5 = a1 + 4d‬‬
‫⇒‬
‫‪a17 = a1 + 16d‬‬
‫⇒‬
‫‪a 37 = a1 + 36d‬‬
‫בסדרה הנדסית מתקיים‪:‬‬
‫‪k = b1q 4‬‬
‫⇒‬
‫‪b5 = b1q 4‬‬
‫‪m = b1q16‬‬
‫⇒‬
‫‪b17 = b1q16‬‬
‫‪n = b1q 36‬‬
‫⇒‬
‫‪b37 = b1q 36‬‬
‫מכאן נקבל‪:‬‬
‫=‬
‫) ‪) ⋅(b q‬‬
‫‪36 −12d‬‬
‫‪32d‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫‪⋅ b1q16‬‬
‫‪−20d‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪k m−n ⋅ m n −k ⋅ n k −m = b1q 4‬‬
‫‪= b1−20d q −80d ⋅ b132d q 512d ⋅ b1−12d q −432d = b1−20d +32d−12d ⋅ q −80d+512d− 432d = b0 ⋅ q 0 = 1‬‬
‫‪k m−n ⋅ m n −k ⋅ n k −m = 1‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫⇒‬
‫‪17‬‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫פתרונות‬
‫תרגיל ‪ 28‬פתרון‪:‬‬
‫נבדוק את נכונות הטענה עבור ‪: n = 3 , n = 2‬‬
‫‪1 = 1‬‬
‫‪a1a 2 a1a 2‬‬
‫⇒‬
‫‪1 = 2 −1‬‬
‫‪a1a 2 a1a 2‬‬
‫‪n = 2:‬‬
‫⎫ ‪1 + 1 = a 3 + a1 = 2a 2 = 2‬‬
‫⎪⎪ ‪a1a 2 a 2a 3 a1a 2 a 3 a1a 2 a 3 a1a 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎬ ⇒ aa =aa‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪3 −1 = 2‬‬
‫⎪‬
‫‪a1a 3 a1a 3‬‬
‫⎭⎪‬
‫הנחת האינדוקציה‪ :‬נניח כי הטענה נכונה עבור ‪ k ≥ 2 ) n = k‬טבעי(‪ ,‬דהיינו נניח כי‪:‬‬
‫‪1 + 1 + ... + 1 = k − 1‬‬
‫‪a1a 2 a 2a 3‬‬
‫‪a k −1a k a1a k‬‬
‫‪n = 3:‬‬
‫על סמך הנחת האינדוקציה נוכיח כי הטענה נכונה עבור ‪ , n = k + 1‬כלומר יש להראות כי‪:‬‬
‫‪1 + 1 + ... + 1 + 1 = k‬‬
‫‪a1a 2 a 2a 3‬‬
‫‪a k −1a k a k a k +1 a1a k +1‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫= ‪1 + 1 + ... + 1 + 1 = k − 1 + 1 = a k +1 ( k − 1) + a1‬‬
‫‪a1a 2 a 2a 3‬‬
‫‪a k −1a k a k a k +1 a1a k a k a k +1‬‬
‫‪a1a k a k +1‬‬
‫= ‪( a1 + dk )( k − 1) + a1 = ( a1 + dk ) ⋅ k − ( a1 + dk ) ⋅1 + a1 = a1k + dk 2 − dk‬‬
‫=‬
‫⎦⎤ )‪k ⋅ ( a1 + dk − d ) k ⋅ ⎡⎣a1 + d ( k − 1‬‬
‫‪ka k‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪= k‬‬
‫‪a1a k a k +1‬‬
‫‪a1a k a k +1‬‬
‫‪a1a k a k +1 a1a k +1‬‬
‫=‬
‫‪a1a k a k +1‬‬
‫‪a1a k a k +1‬‬
‫‪a1a k a k +1‬‬
‫לסיכום‪ :‬בדקנו את נכונות הטענה עבור ‪ , n = 3 , n = 2‬הראינו כי נכונות הטענה עבור ‪n = k‬‬
‫) ‪ k ≥ 2‬טבעי( גוררת את נכונותה עבור ‪ . n = k + 1‬לכן הטענה נכונה לכל ‪ n ≥ 2‬טבעי‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫פתרונות‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגיל ‪ 29‬פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬לפי הנתון מתקיים‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪b1 = a1 + a 2 + a 3 = a1 + a1q + a1q 2 = a1 1 + q + q 2‬‬
‫(‬
‫)‬
‫) ‪(1 + q + q‬‬
‫‪b 2 = a 3 + a 4 + a 5 = a 3 + a 3q + a 3q 2 = a 3 1 + q + q 2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫)‬
‫‪b 3 = a 5 + a 6 + a 7 = a 5 + a 5 q + a 5q 2 = a 5‬‬
‫(‬
‫‪b k = a 2k −1 + a 2k + a 2k +1 = a 2k −1 + a 2k −1q + a 2k −1q 2 = a 2k −1 1 + q + q 2‬‬
‫(‬
‫‪b k +1 = a 2k +1 + a 2k + 2 + a 2k +3 = a 2k +1 + a 2k +1q + a 2k +1q 2 = a 2k +1 1 + q + q 2‬‬
‫‪b k +1‬‬
‫נמצא את המנה‬
‫‪bk‬‬
‫‪:‬‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪b k +1 a 2k +1 1 + q + q‬‬
‫‪a 2k +1 a 2k −1 ⋅ q 2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪= q2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪bk‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2k −1‬‬
‫‪2k −1‬‬
‫‪a 2k −1 1 + q + q‬‬
‫לפי הנתון ‪ q < 1‬לכן ‪ . q 2 < 1‬מכאן ש‪-‬‬
‫ב‪.‬‬
‫} ‪{b n‬‬
‫היא סדרה הנדסית אינסופית יורדת‪.‬‬
‫‪b1‬‬
‫מנת הסדרה החדשה היא ‪ , q 2‬לכן סכום הסדרה החדשה הוא‬
‫‪2‬‬
‫‪1− q‬‬
‫‪a1‬‬
‫סכום הסדרה המקורית הוא‬
‫‪1− q‬‬
‫⇒‬
‫‪q 2 − 3.2q − 3.2 = 0‬‬
‫= ‪ . S‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫‪a1 + a 2 + a 3‬‬
‫‪4.2a1‬‬
‫=‬
‫‪(1 − q )(1 + q ) 1 − q‬‬
‫⇒‬
‫= ‪.T‬‬
‫⇒‬
‫) ‪1 + q + q 2 = 4.2 (1 + q‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪4.2a1‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪1− q‬‬
‫‪1− q‬‬
‫⇒‬
‫‪1‬‬
‫‪) = 4.2a‬‬
‫⇒‬
‫‪T = 4.2S‬‬
‫(‬
‫‪a1 1 + q + q 2‬‬
‫‪1+ q‬‬
‫‪q = −0.8 , q = 4‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫על סמך הנתון ‪ , q < 1‬לפיכך ‪. q = −0.8‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫‪19‬‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫פתרונות‬
‫תרגיל ‪ 30‬פתרון‪:‬‬
‫סדרה הנדסית מקיימת ‪ . a 2 2 = a1 ⋅ a 3‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪) =1‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫‪cos x = −1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos x − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫⇒‬
‫‪1 − cos 2x = 2sin 2 x‬‬
‫‪⎡cos x = −1‬‬
‫‪2‬‬
‫⎢ או‬
‫⎢‬
‫‪⎣ cos x = 1.5‬‬
‫)‪( −1 ≤ cos x ≤ 1‬‬
‫⇒‬
‫‪2‬‬
‫‪= 2sin x‬‬
‫‪1 − cos 2x‬‬
‫‪x = 2π‬‬
‫‪3‬‬
‫⇒‬
‫)‪( 0 < x < π‬‬
‫⇒‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫‪cos x − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎡cos x − 1 = −1‬‬
‫⎢‬
‫‪2‬‬
‫⎢ או‬
‫‪⎢cos x − 1 = 1‬‬
‫‪2‬‬
‫⎣‬
‫‪x = ± 2π + 2πK‬‬
‫‪3‬‬
‫(‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫על סמך סעיף א'‪ ,‬מתקיים‪ . a 3 = 2 , a 2 = −1 , a1 = 3 :‬מכאן ש‪ . q = −2 -‬נמצא את ‪: S6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S6 = 133‬‬
‫‪162‬‬
‫⇒‬
‫) (‬
‫‪6‬‬
‫⎤‪3 ⋅ ⎡ −2 − 1‬‬
‫⎥‬
‫‪a1 ⋅ q − 1‬‬
‫‪2 ⎢⎣ 3‬‬
‫⎦‬
‫= ‪S6‬‬
‫=‬
‫‪q −1‬‬
‫‪−2 − 1‬‬
‫‪3‬‬
‫)‬
‫‪6‬‬
‫(‬
‫תרגיל ‪ 31‬פתרון‪:‬‬
‫לפי הנתון‪ . S = 1.5 ⋅ Sn ,‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫‪qn = 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−2 = q n − 1‬‬
‫‪3‬‬
‫⇒‬
‫(‬
‫)‬
‫‪− 1 = 3 ⋅ qn − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫)‬
‫(‬
‫‪a1 ⋅ q n − 1‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪3‬‬
‫⋅ =‬
‫‪1− q 2‬‬
‫)‪( q − 1‬‬
‫נמצא את מכפלתם של ‪ n‬האיברים הראשונים‪:‬‬
‫=‬
‫‪1+ n −1 n −1‬‬
‫) (‬
‫‪⋅q 2‬‬
‫‪n‬‬
‫=‬
‫)‬
‫‪a1n‬‬
‫=‬
‫‪1+ 2+...+ n −1‬‬
‫‪a1 ⋅ q n‬‬
‫‪qn‬‬
‫‪⋅q‬‬
‫(= )‬
‫‪n‬‬
‫‪a1n‬‬
‫=‬
‫(‬
‫‪n −1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪a1 ⋅ a 2 ⋅ a 3 ⋅ ... ⋅ a n = a1 ⋅ a1q ⋅ a1q ⋅ ... ⋅ a1q‬‬
‫⎞‬
‫‪a ⋅ qn‬‬
‫‪⎟ = 1‬‬
‫‪n‬‬
‫⎟‬
‫⎟‬
‫‪2‬‬
‫‪q‬‬
‫⎠‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫⎛‬
‫‪⎜ a1 ⋅ q 2‬‬
‫‪⎟ =⎜ 1‬‬
‫‪⎜ q2‬‬
‫⎠‬
‫⎝‬
‫‪n −1 ⎞ n‬‬
‫‪⋅q 2‬‬
‫⎛‬
‫‪= ⎜ a1‬‬
‫⎝‬
‫)‪n ( n −1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪a1 ⋅ q 2‬‬
‫=‬
‫‪n‬‬
‫⎛‬
‫⎞‪1‬‬
‫⎟ ‪⎜ 3⋅ 3‬‬
‫‪⎠ = 1 = 3‬‬
‫⎝=‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪20‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫פתרונות‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגיל ‪ 32‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן ב‪ d -‬את הפרש הסדרה‪ .‬לפי הנתון מתקיים‪:‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪a 2 2 − a12 + a1 ⋅ a 3 − a 2 ⋅ a 3 = 0‬‬
‫‪a12 + a 2 ⋅ a 3 = a 2 2 + a1 ⋅ a 3‬‬
‫⇒‬
‫‪( a 2 − a1 )( a 2 + a1 ) + a 3 ⋅ ( a1 − a 2 ) = 0 ⇒ ( a 2 − a1 )( a 2 + a1 ) − a 3 ⋅ ( a 2 − a1 ) = 0‬‬
‫⇒ ‪( a 2 − a1 ) ( a 2 + a1 − a 3 ) = 0 ⇒ d ⋅ ( a1 + d + a1 − a1 − 2d ) = 0‬‬
‫) ‪d ⋅ ( a1 − d ) = 0 ( d ≠ 0‬‬
‫‪⇒ a1 = d‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫נמצא את ‪: S10‬‬
‫‪S10 = 55a1‬‬
‫⇒‬
‫)‪2a1 + a1 (10 − 1‬‬
‫‪⋅10‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪S10‬‬
‫)‪2a1 + d ( n − 1‬‬
‫‪⋅n‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫= ‪Sn‬‬
‫תרגיל ‪ 33‬פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬האיברים הנמצאים במקומות האי‪-‬זוגיים הם‪:‬‬
‫‪1 , ab , a 2 b 2 , a 3 b3 , ...‬‬
‫קל לראות שזאת סדרה הנדסית שבה איבר ראשון הוא ‪ 1‬ומנת הסדרה היא ‪. ab‬‬
‫נסמן ב‪ S∗n -‬את סכום של ‪ n‬האיברים הראשוניים במקומות האי‪-‬זוגיים‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫⎤‪1 ⋅ ⎡( ab ) − 1‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬
‫=‬
‫‪ab − 1‬‬
‫‪S∗n‬‬
‫האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים הם‪:‬‬
‫‪a , a 2 b , a 3b 2 , a 4 b3 , ...‬‬
‫קל לראות שזאת סדרה הנדסית שבה איבר ראשון הוא ‪ a‬ומנתה ‪. ab‬‬
‫∗∗‪ S‬את סכום של ‪ n‬האיברים הראשוניים במקומות הזוגיים‪:‬‬
‫נסמן ב‪n -‬‬
‫‪n‬‬
‫⎤‪a ⋅ ⎡( ab ) − 1‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬
‫=‬
‫‪ab − 1‬‬
‫סכום ‪ 2n‬האיברים הראשונים של הסדרה הנתונה הוא‪:‬‬
‫)‪(1 + a ) ( a n bn − 1‬‬
‫‪ab − 1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫= ‪S2n‬‬
‫⇒‬
‫)‬
‫‪−1‬‬
‫‪) + a ⋅ (a b‬‬
‫(‬
‫‪1⋅ a n bn − 1‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪ab − 1‬‬
‫‪ab − 1‬‬
‫=‬
‫∗∗‪+ S‬‬
‫‪n‬‬
‫∗∗‪S‬‬
‫‪n‬‬
‫‪S2n = S∗n‬‬
‫נתון‪ . b = 2 , a = 3 :‬יש לחשב את ‪. S12‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪( ) −1⎤⎥⎦ = 4 ( 2 −1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪S12 = 252‬‬
‫⇒‬
‫‪2 −1‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫⎡‬
‫⎣‬
‫⋅ ‪(1 + 3) ⋅ ⎢36‬‬
‫‪3 ⋅ 2 −1‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪S12‬‬
‫‪21‬‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫פתרונות‬
‫תרגיל ‪ 34‬פתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫האיבר הכללי בסדרה הוא‪:‬‬
‫נמצא את היחס‬
‫ב‪.‬‬
‫⇒‬
‫‪n +1‬‬
‫‪ , a n = b k −n +1 ⋅ c n −1‬האיבר העוקב לו הוא‪a n +1 = b k − n ⋅ c n :‬‬
‫‪:a‬‬
‫‪an‬‬
‫‪a n +1 = b k − n ⋅ c n = c‬‬
‫‪an‬‬
‫‪b k − n +1 ⋅ c n −1 b‬‬
‫קיבלנו שהיחס הוא מספר קבוע‪ ,‬לכן זו סדרה הנדסית שהמנה שלה ‪. q = c‬‬
‫‪b‬‬
‫נמצא את ‪ Sn‬כאשר ‪. b ≠ c‬‬
‫)‬
‫)(‬
‫)(‬
‫‪n‬‬
‫⎤ ‪⎡ n‬‬
‫⎡‬
‫‪⎤ b k +1 n‬‬
‫‪⋅ c − bn‬‬
‫⎥‪b k ⋅ ⎢ c − 1⎥ b k +1 ⋅ ⎢ c − 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫⎣‬
‫=⎦‬
‫⎣‬
‫‪⎦= b‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫‪c −1‬‬
‫‪c−b‬‬
‫‪c−b‬‬
‫‪b‬‬
‫(‬
‫)‬
‫ג‪.‬‬
‫כאשר ‪ b = c‬הסדרה הנתונה היא‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪a1 ⋅ q − 1‬‬
‫⇒‬
‫‪n‬‬
‫‪q −1‬‬
‫(‬
‫‪b k −n +1 ⋅ c n − b n‬‬
‫‪c−b‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫⇒‬
‫‪. b k , b k , b k , ...‬‬
‫סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה זו הוא‪:‬‬
‫‪. Sn = n ⋅ b k‬‬
‫תרגיל ‪ 35‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן ב‪ a n -‬את איברה הכללי של הסדרה )‪ . (Ι‬האיבר הראשון בסדרה זו הוא ‪ 5‬והפרשה ‪ , 3‬לכן‬
‫‪a n = 3n + 2‬‬
‫⇒‬
‫)‪a n = 5 + 3 ( n − 1‬‬
‫)‪a n = a1 + d ( n − 1‬‬
‫⇒‬
‫נסמן ב‪ b m -‬את איברה הכללי של הסדרה ) ‪ . (ΙΙ‬האיבר הראשון בסדרה הוא ‪ 6‬והפרשה ‪ , 4‬לכן‪:‬‬
‫‪b m = 4m + 2‬‬
‫)‪b m = 6 + 4 ( m − 1‬‬
‫⇒‬
‫האיברים המשותפים מקיימים ‪ , a n = b m‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫‪m= 3n‬‬
‫)∗(‬
‫‪4‬‬
‫‪ m‬ו‪ n -‬הם מספרים טבעיים‪ ,‬לכן השוויון )∗ ( מתקיים עבור ‪ - k ) n = 4k‬טבעי(‪.‬‬
‫זאת אומרת‪ ,‬לכל איבר ‪ a 4k‬בסדרה )‪ (Ι‬יש איבר זהה ‪ b3k‬בסדרה ) ‪ - k ) (ΙΙ‬טבעי(‪.‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⎫‬
‫⎪‬
‫⎬‬
‫⎭⎪‬
‫‪a 4k = 12k + 2‬‬
‫‪a 4( k +1) = 12k + 14‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪3n + 2 = 4m + 2‬‬
‫‪a 4k = 3 ⋅ 4k + 2‬‬
‫‪a 4( k +1) = 3 ⋅ 4 ( k + 1) + 2‬‬
‫‪a 4( k +1) − a 4k = (12k + 14 ) − (12k + 2 ) = 12‬‬
‫⇒‬
‫קיבלנו כי בסדרה המורכבת מהאיברים המשותפים‪ ,‬ההפרש הוא מספר קבוע ולפיכך הסדרה היא‬
‫סדרה חשבונית שהפרשה שווה ל‪.12 -‬‬
‫‪22‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫פתרונות‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגיל ‪ 36‬פתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫נסמן ב‪ d -‬את הפרש הסדרה‬
‫} ‪{a n‬‬
‫ונסמן ב‪ d′ -‬את הפרש הסדרה } ‪. {b n‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪d = 3d′‬‬
‫⇒‬
‫‪4d = 12d′‬‬
‫⇒‬
‫⎧‬
‫‪⎪a1 + 2d = b1 + 7d′‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩⎪a1 + 6d = b1 + 19d′‬‬
‫‪⎧⎪a 3 = b8‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩a 7 = b 20‬‬
‫⇒‬
‫‪a1 = b1 + d′‬‬
‫⇒‬
‫נראה כי ‪. a n = b3n −1‬‬
‫⇒‬
‫) ‪a n = a1 + d ( n − 1) = b1 + d′ + 3d′ ( n − 1) = b1 + d′ + d′ ( 3n − 3) = b1 + d′ ( 3n − 2‬‬
‫‪a n − b3n −1 = 0‬‬
‫ב‪.‬‬
‫⇒‬
‫‪a n = b3n −1‬‬
‫⇒‬
‫צ"ל‪:‬‬
‫) ‪. a1 + a 2 + a 3 + ... + a n = 1 ( b1 + b 2 + b3 + ... + b3n‬‬
‫‪3‬‬
‫נוכיח כי האגף השמאלי של השוויון‪ ,‬שווה לאגף הימני‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪b + b3n −1 + d′‬‬
‫‪b + d′ + b3n −1‬‬
‫‪b +b‬‬
‫‪a1 + a n‬‬
‫‪⋅n = 1‬‬
‫‪⋅n = 1‬‬
‫= ‪⋅ n = 1 3n ⋅ n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪a1 + a 2 + ... + a n = 1 ( b1 + b 2 + ... + b3n‬‬
‫‪3‬‬
‫⇒‬
‫)‬
‫= ‪a1 + a 2 + ... + a n‬‬
‫‪( b +2b ) ⋅ 3n = 13 ( b + b + ...b‬‬
‫‪3n‬‬
‫‪3n‬‬
‫‪2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪23‬‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫פתרונות‬
‫תרגיל ‪ 37‬פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נחשב את הפרש הסדרה‪:‬‬
‫‪d=1‬‬
‫‪3‬‬
‫לפיכך מתקיים‪:‬‬
‫)‪35 = 2 + d (100 − 1‬‬
‫⇒‬
‫)‪a n = a1 + d ( n − 1‬‬
‫⇒‬
‫= ) ‪( a + a + a + ... + a ) − ( a + a + a + ... + a‬‬
‫‪= ( a − a ) + ( a − a ) + ... + ( a − a‬‬
‫=)‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪100‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪100‬‬
‫‪2‬‬
‫‪99‬‬
‫‪2‬‬
‫‪99‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫= ) ‪= ( a1 − a 2 )( a1 + a 2 ) + ( a 3 − a 4 )( a 3 + a 4 ) + ... + ( a 99 − a100 )( a 99 + a100‬‬
‫= ) ‪= −d ( a1 + a 2 ) − d ( a 3 + a 4 ) − ... − d ( a 99 + a100 ) = −d ( a1 + a 2 + a 3 + ... + a100‬‬
‫‪a1 + a100‬‬
‫‪⋅100 = −1 ⋅ 2 + 35 ⋅ 100 = −616 23‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נפתור מערכת משוואות הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪3‬‬
‫‪⎪⎧b 2 = 216‬‬
‫‪⎨ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎪⎩5b1 + 7b 2 − b3 = −52‬‬
‫‪⎧b = 36‬‬
‫‪⎪ 3 b1‬‬
‫⎪‬
‫⇒‬
‫⎨‬
‫‪2‬‬
‫‪36‬‬
‫‪2‬‬
‫⎛‬
‫⎞‬
‫‪⎪5b −‬‬
‫‪= −304‬‬
‫⎠⎟ ‪⎪⎩ 1 ⎜⎝ b1‬‬
‫‪⇒ b1 = 2‬‬
‫) ‪( b1 > 0‬‬
‫לפיכך נקבל‪:‬‬
‫‪24‬‬
‫⋅ ‪= −d‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪= b2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(b ⋅ b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪⎪⎧b1 ⋅ b3 = 36‬‬
‫⎨ ⇒‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎩⎪5b1 − b3 = −304‬‬
‫‪⇒ b1 = ±2‬‬
‫‪⎡ b12 = 4‬‬
‫⎢ או‬
‫‪⎢ b12 = −64.8‬‬
‫⎣‬
‫⇒‬
‫‪⎪⎧b1 ⋅ b 2 ⋅ b3 = 216‬‬
‫‪⎨ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎩⎪5b1 + 7b 2 − b3 = −52‬‬
‫‪⎧⎪b 2 = 6‬‬
‫‪⎨ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎩⎪5b1 + 7 ⋅ 6 − b3 = −52‬‬
‫‪− 1296 = 0‬‬
‫‪+ 304 ⋅ b12‬‬
‫‪5b14‬‬
‫‪. b1 = 2 , b 2 = 6 , b3 = 18‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫פתרונות‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגיל ‪ 38‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן ב‪ a1 , a 2 , a 3 , a 4 -‬את ארבעת המספרים‪ .‬על פי הנתון ‪ a1 , a 2 , a 3‬מהווים סדרה‬
‫הנדסית ו‪ a 2 , a 3 , a 4 -‬מהווים סדרה חשבונית‪ .‬נניח כי ‪ q‬היא מנת הסדרה ההנדסית‬
‫ו‪ d -‬הוא הפרש הסדרה החשבונית‪ .‬נתון כי ‪ . a 2 + a 3 = 48‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫‪48 = 48 − d‬‬
‫‪q +1‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧a = 48‬‬
‫‪⎪ 2 q +1‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪a = 48 − d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎩ 2‬‬
‫)‪(1‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧⎪a 2 ( q + 1) = 48‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩2a 2 + d = 48‬‬
‫‪dq = 48q − d − 48‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧⎪a 2 + a 2q = 48‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩a 2 + ( a 2 + d ) = 48‬‬
‫)‪96 = ( 48 − d )( q + 1‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫כמו כן‪ ,‬נתון כי ‪ . a1 + a 4 = 64‬לפיכך מתקיים‪:‬‬
‫⇒‬
‫)‪(2‬‬
‫‪a 2 + a 2q + 2dq = 64q‬‬
‫‪dq = 32q − 24‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪a2‬‬
‫‪+ a 2 + 2d = 4‬‬
‫‪q‬‬
‫‪48 + 2dq = 64q‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪a1 + ( a 2 + 2d ) = 64‬‬
‫‪⎧a 2 (1 + q ) + 2dq = 64q‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫‪48‬‬
‫‪⎪a 2 = q + 1‬‬
‫⎩‬
‫⇒‬
‫נפתור את מערכת המשוואות )‪ (1‬ו‪: (2) -‬‬
‫‪d = 16q − 24‬‬
‫⇒‬
‫‪48q − d − 48 = 32q − 24‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧⎪dq = 48q − d − 48‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩dq = 32q − 24‬‬
‫נציב את ‪ d‬במשוואה )‪: (2‬‬
‫⇒‬
‫‪2q 2 − 7q + 3 = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪16q 2 − 56q + 24 = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪(16q − 24 ) ⋅ q = 32q − 24‬‬
‫‪q= 1 , q=3‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫עבור ‪ q = 1‬נקבל‪ . d = 16 ⋅ 1 − 24 = −16 :‬מכאן שהמספרים הם‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a1 = 64 , a 2 = 32 , a 3 = 16 , a 4 = 0‬‬
‫עבור ‪ q = 3‬נקבל‪:‬‬
‫‪ . d = 24‬מכאן שהמספרים הם‪:‬‬
‫‪a1 = 4 , a 2 = 12 , a 3 = 36 , a 4 = 60‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫‪25‬‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫פתרונות‬
‫תרגיל ‪ 39‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן ב‪ a 3 , a 2 , a1 -‬את שלושת המספרים ונסמן ב‪ d -‬את הפרש הסדרה‪ .‬על‪-‬פי הנתון‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧a12 + ( a1 + d ) ⋅ ( a1 + 2d ) = 64‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩( a1 + 2d )2 + a1 ⋅ ( a1 + d ) = 112‬‬
‫)∗ (‬
‫‪⎧a12 + a 2 ⋅ a 3 = 64‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫‪2‬‬
‫‪⎩⎪a 3 + a1 ⋅ a 2 = 112‬‬
‫⇒‬
‫‪2‬‬
‫‪⎧ 2‬‬
‫‪⎪2a1 + 3a1d + 2d = 64‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩2a12 + 5a1d + 4d 2 = 112‬‬
‫)∗∗ (‬
‫⇒‬
‫ניתן לפתור את המערכת הנ"ל בשיטה הבאה‪ :‬נסמן ‪ a1 = t ⋅ d‬ונציב בכל אחת מהמשוואות‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‪( 2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪⎧d 2 ⋅ 2t 2 + 3t + 2 = 64‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫‪⎪d 2 ⋅ 2t 2 + 5t + 4 = 112‬‬
‫⎩‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎧ 2 2‬‬
‫‪⎪2t d + 3td + 2d = 64‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩2t 2 d 2 + 5td 2 + 4d 2 = 112‬‬
‫⇒‬
‫נחלק משוואה )‪ (1‬במשוואה )‪:(2‬‬
‫⇒‬
‫‪6t 2 + t − 2 = 0‬‬
‫⇒‬
‫)‬
‫(‬
‫( )‬
‫‪7 2t 2 + 3t + 2 = 4 2t 2 + 5t + 4‬‬
‫‪⎡a = 1 d‬‬
‫‪⎢ 1 2‬‬
‫⎢ או‬
‫‪⎢ a 2 = −2 d‬‬
‫‪3‬‬
‫⎣‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪2t 2 + 3t + 2 = 4‬‬
‫‪2t 2 + 5t + 4 7‬‬
‫‪t1 = 1 , t 2 = − 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫⇒‬
‫נציב ‪ a1 = 1 d‬במשוואה )∗ ( ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫‪d 2 = 16‬‬
‫⇒‬
‫‪4d 2 = 64‬‬
‫‪2 ⋅ 1 d 2 + 3 ⋅ 1 d 2 + 2d 2 = 64‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫על פי הנתון הסדרה היא סדרה עולה לכן ‪ d > 0‬ולכן ‪ . d = 4‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫‪a1 = 2 , a 2 = 6 , a 3 = 10‬‬
‫כעט‪ ,‬נציב ‪ a1 = −2 d‬במשוואה )∗ ( ונקבל‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪d=6 2‬‬
‫⇒‬
‫)‪(d > 0‬‬
‫‪d 2 = 72‬‬
‫⇒‬
‫‪8 d 2 = 64‬‬
‫‪9‬‬
‫⇒‬
‫) (‬
‫‪2 ⋅ 4 d 2 + 3 ⋅ −2 d 2 + 2d 2 = 64‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫קיבלנו כי‪. a 3 = 8 2 , a 2 = 2 2 , a1 = −4 2 :‬‬
‫‪26‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫פתרונות‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגיל ‪ 40‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ . a k = b :‬לפיכך על פי הנתון‪ . a n = bq 2 , a m = bq :‬כמו כן נתון כי האיברים שייכים‬
‫לסדרה חשבונית‪ ,‬לכן מתקיים‪:‬‬
‫‪b − a1 + d‬‬
‫= ‪a k = a1 + d ( k − 1) ⇒ b = a1 + dk − d ⇒ k‬‬
‫‪d‬‬
‫‪bq − a1 + d‬‬
‫= ‪a m = a1 + d ( m − 1) ⇒ bq = a1 + dm − d ⇒ m‬‬
‫‪d‬‬
‫‪bq 2 − a1 + d‬‬
‫=‪⇒ n‬‬
‫‪d‬‬
‫נתבונן בהפרשים ‪ n − m‬ו‪: m − k -‬‬
‫‪bq = a1 + dn − d‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫)‪a n = a1 + d ( n − 1‬‬
‫)‪bq 2 − a1 + d bq − a1 + d bq 2 − bq bq ( q − 1‬‬
‫= ‪n−m‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫)‪bq − a1 + d b − a1 + d bq − b b ( q − 1‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫= ‪m−k‬‬
‫נמצא את היחס ‪: n − m‬‬
‫‪m−k‬‬
‫‪n−m =q‬‬
‫‪m−k‬‬
‫⇒‬
‫⋅ )‪n − m = bq ( q − 1) : b ( q − 1) = bq ( q − 1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪m−k‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫)‪b ( q − 1‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫‪27‬‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫פתרונות‬
‫תרגיל ‪ 41‬פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נבדוק את נכונות הטענה עבור ‪: n = 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 −1‬‬
‫=‬
‫‪a1 + a 2‬‬
‫‪a1 + a 2‬‬
‫הנחת האינדוקציה‪ :‬נניח כי הטענה נכונה עבור ‪ k ≥ 2 ) n = k‬טבעי(‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k −1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫=‬
‫‪a1 + a 2‬‬
‫‪a 2 + a3‬‬
‫‪a k −1 + a k‬‬
‫‪a1 + a k‬‬
‫על סמך הנחת האינדוקציה נוכיח כי הטענה נכונה עבור ‪ , n = k + 1‬דהיינו יש להראות כי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪a1 + a 2‬‬
‫‪a 2 + a3‬‬
‫‪a k −1 + a k‬‬
‫‪a k + a k +1‬‬
‫‪a1 + a k +1‬‬
‫הוכחה‪ :‬על פי הנחת האינדוקציה נקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k −1 +‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪a k + a k +1‬‬
‫‪a1 + a k‬‬
‫‪a k + a k +1‬‬
‫=‬
‫‪a k − a k +1‬‬
‫=‬
‫‪−d‬‬
‫=)‬
‫‪a1 + a k +1‬‬
‫)‬
‫)‬
‫‪)+‬‬
‫)‬
‫‪a k − a k +1‬‬
‫()‬
‫‪a k − a k +1‬‬
‫()‬
‫⋅‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫( )‬
‫‪a k + a k +1‬‬
‫‪a1 − a k‬‬
‫‪a1 − a k‬‬
‫)‬
‫(‬
‫()‬
‫( )‪( k − 1‬‬
‫‪a1 + a k‬‬
‫(‬
‫( )‪( k − 1‬‬
‫‪a1 − a k‬‬
‫‪a − a k +1 ( k − 1) a1 − a k‬‬
‫‪+ k‬‬
‫=‬
‫‪a1 − a k‬‬
‫‪a k − a k +1‬‬
‫)‪−d ( k − 1‬‬
‫‪a1 − a k +1‬‬
‫‪a1 + a k +1‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪a k −1 + a k‬‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫‪a1 + a 2‬‬
‫(‬
‫‪−d‬‬
‫(‬
‫‪a1 − a k‬‬
‫‪a − a k +1‬‬
‫‪a − a k +1‬‬
‫‪+ k‬‬
‫‪= 1‬‬
‫=‬
‫‪−d‬‬
‫‪−d‬‬
‫‪−d‬‬
‫) ‪a1 − ( a1 + dk‬‬
‫‪a1 − a k +1‬‬
‫‪k‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪a1 + a k +1‬‬
‫‪−d a1 + a k +1‬‬
‫‪−d a1 + a k +1‬‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫לסיכום‪ :‬בדקנו את נכונות הטענה עבור ‪ , n = 2‬הראינו כי נכונות הטענה עבור ‪n = k‬‬
‫) ‪ k‬טבעי( גוררת את נכונותה עבור ‪ . n = k + 1‬לכן הטענה נכונה לכל ‪ n ≥ 2‬טבעי‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫על סמך הנתון ‪ a n = 83 , d = 4 , a1 = 7‬נחשב את ‪: n‬‬
‫‪n = 20‬‬
‫⇒‬
‫)‪83 = 7 + 4 ( n − 1‬‬
‫לפי סעיף א' נקבל‪:‬‬
‫)‪2 ( 20 − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪38‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪= 3.23‬‬
‫‪7 + 11‬‬
‫‪11 + 15‬‬
‫‪79 + 83‬‬
‫‪7 + 83‬‬
‫‪7 + 83‬‬
‫‪28‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫פתרונות‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגיל ‪ 42‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן ב‪ d -‬את הפרש הסדרה הנתונה‪ .‬מתקיים‪. z − x = 2d , y − x = z − y = d :‬‬
‫ניעזר בנוסחה‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ a 3 − b3 = ( a − b ) a 2 + ab + b 2‬ונקבל‪:‬‬
‫‪x 3 − y3 y3 − x 3‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪−d‬‬
‫‪d‬‬
‫) ‪( x − y ) ( x 2 + xy + y 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪= x −z = z −x‬‬
‫‪−2d‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪y3 − z3 z3 − y3‬‬
‫=‬
‫‪−d‬‬
‫‪d‬‬
‫=‬
‫‪x−y‬‬
‫) ‪( x − z ) ( x 2 + xz + z 2‬‬
‫‪x−z‬‬
‫) ‪( y − z ) ( y 2 + yz + z 2‬‬
‫‪y−z‬‬
‫= ‪x + y + xy‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪x + z + xz‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪y + z + yz‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כל סדרה חשבונית מקיימת‪ a k −1 + a k +1 = 2a k :‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪3‬‬
‫‪y3 − x 3 z 3 − y3 z 3 − x 3‬‬
‫‪⎛ 3‬‬
‫⎞‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫⎟ ‪= 2⋅⎜ z − x‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫⎠ ‪⎝ 2d‬‬
‫)‬
‫( )‬
‫)‬
‫= ‪x 2 + y 2 + xy + y 2 + z 2 + yz‬‬
‫( )‬
‫( )‬
‫‪+ y 2 + xy + y 2 + z 2 + yz = 2 x 2 + z 2 + xz‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(x‬‬
‫(‬
‫⇒‬
‫מ ‪.‬ש ‪ .‬ל ‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 43‬פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נניח שבסדרה ישנם ‪ 2n − 1‬איברים‪ .‬המספר הסידורי של האיבר האמצעי הוא‪:‬‬
‫‪ , 1 + 2n − 1 = n‬כלומר ‪ a n‬הוא האיבר האמצעי‪ .‬נמצא את סכום הסדרה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪2a1 + d ( 2n − 2‬‬
‫)‪⋅ ( 2n − 1) = ⎡⎣a1 + d ( n − 1) ⎤⎦ ⋅ ( 2n − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪S2n −1 = a n ⋅ ( 2n − 1‬‬
‫= ‪S2n −1‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫מ ‪.‬ש ‪ .‬ל ‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Sk‬‬
‫לפי הנתון‪= k 2 ,‬‬
‫‪Sm m‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪ .‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫‪2a1 + d ( k − 1) k‬‬
‫=‬
‫‪2a1 + d ( m − 1) m‬‬
‫) ‪2a1 ( m − k ) = d ( m − k‬‬
‫⇒‬
‫‪⎡⎣ 2a1 + d ( k − 1) ⎤⎦ ⋅ k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Sk‬‬
‫‪2 = k‬‬
‫=‬
‫‪Sm ⎡ 2a + d m − 1 ⎤ ⋅ m m 2‬‬
‫(‬
‫‪)⎦ 2‬‬
‫‪⎣ 1‬‬
‫⇒‬
‫)‪2a1m + dm ( k − 1) = 2a1k + dk ( m − 1‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⎦⎤ )‪2a1 ( m − k ) = d ⎡⎣ k ( m − 1) − m ( k − 1‬‬
‫⇒‬
‫‪d = 2a1‬‬
‫⇒‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫‪29‬‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫פתרונות‬
‫‪ak‬‬
‫נתבונן היחס‬
‫‪am‬‬
‫‪:‬‬
‫‪ak‬‬
‫‪= 2k − 1‬‬
‫‪a m 2m − 1‬‬
‫⇒‬
‫) ‪a k a1 + d ( k − 1) a1 + 2a1 ( k − 1) a1 (1 + 2k − 2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫) ‪a m a1 + d ( m − 1) a1 + 2a1 ( m − 1) a1 (1 + 2m − 2‬‬
‫מ ‪.‬ש ‪ .‬ל ‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 44‬פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬הסדרה הנתונה מקיימת‪:‬‬
‫)‬
‫( )‬
‫( )‬
‫‪, 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 ,..., 215 , ...‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(2 ) , (2 , 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫האיברים הראשונים בכל קבוצה הם‪ . 20 , 21 , 24 , 29 , 216 , ... :‬נתבונן בסדרת‬
‫החזקות‪ . 0 , 1 , 4 , 9 , 16 , ... :‬נשים לב לכך שסדרת ההפרשים בין החזקות היא‪:‬‬
‫‪ 1 , 3 , 5 , 7 , ...‬זאת סדרה חשבונית שהפרשה ‪ . 2‬ניעזר בנוסחה‪:‬‬
‫‪ a n = a1 + S∗n −1‬כאשר ‪ a1 = 0‬ו‪ S∗n −1 -‬סכום של ‪ n − 1‬איברים בסדרה החשבונית‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪a n = 0 + n 2 − 2n + 1‬‬
‫) ‪2 ⋅1 + 2 ( n − 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⋅ ( n − 1) = ( n − 1) = n 2 − 2n + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪− 2n +1‬‬
‫קיבלנו כי ‪ . a n = n 2 − 2n + 1‬מכאן שהאיבר הראשון בקבוצה ה‪- n -‬ית הוא‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪S∗n −1‬‬
‫‪. 2n‬‬
‫מספר האיברים בקבוצות יוצר סדרה חשבונית ‪ .1 , 3 , 5 , 7 , ...‬לכן בקבוצה ה‪- n -‬ית‬
‫יש ‪ 2n − 1‬איברים‪ .‬לפי הנתון וסעיף א' הקבוצה ה‪- n -‬ית היא סדרה הנדסית שבה האיבר‬
‫הראשון הוא‬
‫⇒‬
‫‪− 2n +1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪− 2n +1‬‬
‫‪− 2n‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2n‬ומנת הסדרה היא ‪ . 2‬נמצא את סכומם של ‪ 2n − 1‬איברים‪:‬‬
‫‪)=2‬‬
‫(‬
‫‪⋅ 22n −1 − 1‬‬
‫‪− 2n +1‬‬
‫‪2 −1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2n‬‬
‫= ‪S2n −1‬‬
‫)‬
‫⇒‬
‫‪2‬‬
‫‪30‬‬
‫(‬
‫‪b1 ⋅ q 2n −1 − 1‬‬
‫)‪n −1‬‬
‫‪q −1‬‬
‫= ‪S2n −1‬‬
‫(‪S2n −1 = 2n − 2‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫פתרונות‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫‪y‬‬
‫תרגיל ‪ 45‬פתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫נסמן ב‪ A1 -‬וב‪ B1 -‬את נקודות ההשקה‬
‫‪R3‬‬
‫‪M3‬‬
‫של המעגל ‪ M1‬עם הצירים ה‪ y -‬וה‪x -‬‬
‫‪A3‬‬
‫בהתאמה‪ OA1M1B1 .‬הוא ריבוע‪ .‬לכן‬
‫‪ . OM1 = 2R1‬נסמן ב‪ A k -‬וב‪ Bk -‬את‬
‫‪R2‬‬
‫‪M2‬‬
‫נקודות ההשקה של המעגל ‪ M k‬עם‬
‫הצירים ה‪ y -‬וה‪ x -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪M1‬‬
‫‪ . OA1M1 ∼ OA 2 M 2‬לפיכך מתקיים‪:‬‬
‫‪R 2 OM1 + M1M 2‬‬
‫=‬
‫‪R1‬‬
‫‪OM1‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪R 2 OM 2‬‬
‫=‬
‫‪R1 OM1‬‬
‫⇒‬
‫‪2R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2R1‬‬
‫‪2R1‬‬
‫⎛ ‪R2‬‬
‫‪1 − 1 ⎞⎟ = 1‬‬
‫⎜‬
‫⎝ ‪R1‬‬
‫⎠‪2‬‬
‫⇒‬
‫‪R2‬‬
‫=‬
‫‪R1‬‬
‫⇒‬
‫‪B3 x‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪2R1 + R 2‬‬
‫=‬
‫‪R1‬‬
‫‪2R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪− 1 ⋅ 2 =1‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪2 R1‬‬
‫⇒‬
‫‪⋅ 2 +1‬‬
‫‪2 +1‬‬
‫‪B2‬‬
‫⎛ ‪R2‬‬
‫⎞ ‪2‬‬
‫⎜=‬
‫⎠⎟ ‪R1 ⎝ 2 − 1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪= 2+ 2‬‬
‫‪R1‬‬
‫⇒‬
‫)‬
‫‪A1‬‬
‫‪O‬‬
‫) ‪( M1M 2 = R 2‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪= 1+ 1 ⋅ 2‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪2 R1‬‬
‫⇒‬
‫⎞ ‪R 2 ⎛ 2 −1‬‬
‫‪=1‬‬
‫⎠⎟ ‪R1 ⎜⎝ 2‬‬
‫⇒‬
‫‪R2‬‬
‫=‬
‫‪R1‬‬
‫⇒‬
‫)‬
‫‪2 +1‬‬
‫⇒‬
‫‪R1‬‬
‫‪B1‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪A2‬‬
‫‪2 +1‬‬
‫()‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪2 −1‬‬
‫באופן דומה ‪ . OA 3M 3 ∼ OA1M1‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫) ‪( M 2 M3 = R 3‬‬
‫⇒‬
‫‪R3‬‬
‫‪= 2+ 2‬‬
‫‪R2‬‬
‫⇒‬
‫‪R 3 OM 2 + M 2 M 3‬‬
‫=‬
‫‪R2‬‬
‫‪OM 2‬‬
‫‪R3‬‬
‫‪R‬‬
‫‪= 1+ 1 ⋅ 3‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪2 R2‬‬
‫‪R 3 OM 3‬‬
‫=‬
‫‪R 2 OM 2‬‬
‫⇒‬
‫‪2R 2 + R 3‬‬
‫‪2R 2‬‬
‫⇒‬
‫‪R3‬‬
‫=‬
‫‪R2‬‬
‫⇒‬
‫באופן דומה ‪ . OA k +1M k +1 ∼ OA k M k‬לפיכך מתקיים‪:‬‬
‫⇒‬
‫⎞ ‪⎛ OM k = 2R k‬‬
‫⎜‬
‫⎟‬
‫⎠ ‪⎝ M k M k +1 = R k +1‬‬
‫‪R k +1‬‬
‫‪= 2+ 2‬‬
‫‪Rk‬‬
‫⇒‬
‫‪R k +1 OM k + M k M k +1‬‬
‫=‬
‫‪Rk‬‬
‫‪OM k‬‬
‫‪R k +1‬‬
‫‪R‬‬
‫‪= 1 + 1 ⋅ k +1‬‬
‫‪Rk‬‬
‫‪2 Rk‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪R k +1 OM k +1‬‬
‫=‬
‫‪Rk‬‬
‫‪OM k‬‬
‫‪R k +1‬‬
‫‪2R k + R k +1‬‬
‫=‬
‫‪Rk‬‬
‫‪2R k‬‬
‫⇒‬
‫כתוצאה מכך קיבלנו שהסדרה ‪ R1 , R 2 , ... , R n‬היא סדרה הנדסית שמנתה‪. q = 2 + 2 :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נביע את הרדיוס ‪ R 3‬באמצעות ‪: R1‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬
‫‪31‬‬
‫סדרות ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות ‪ 5‬יח"ל‬
‫פתרונות‬
‫(‬
‫)‬
‫‪R 3 = 6 + 4 2 ⋅ R1‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫)‬
‫(‬
‫‪R 3 = R1 ⋅ 2 + 2‬‬
‫‪R 3 = R1 ⋅ q 2‬‬
‫⇒‬
‫תרגיל ‪ 46‬פתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫בשורה הראשונה רשומה סדרה חשבונית שבה ‪ . d = 1 , a1 = 1‬בשורה השנייה רשומה‬
‫סדרה חשבונית שבה ‪ d = 2 , a1 = 1‬וכך הלאה‪ .‬בשורה ה‪ k -‬רשומה סדרה חשבונית‬
‫שבה ‪ d = k , a1 = 1‬ומספר האיברים הוא ‪. n‬‬
‫נביע את סכום האיברים בשורה ‪ k‬בעזרת ‪ k‬ו‪: n -‬‬
‫‪k‬‬
‫⎦⎤ ) ‪S( ) = 1 ⎡⎣ kn 2 + n ( 2 − k‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫⇒‬
‫)‬
‫)‪2 ⋅1 + k ( n − 1‬‬
‫‪k‬‬
‫= ) (‪S‬‬
‫‪⋅ n = 1 kn 2 − kn + 2n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫נתבונן בסכום האיברים בכל שורה‪ ,‬ניעזר בתוצאה של סעיף א'‪:‬‬
‫⎫‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫⎬‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫⎭⎪‬
‫כדי למצוא את סכום של כל האיברים‬
‫בטבלה‪ ,‬נחבר בנפרד את כל המקדמים‬
‫של ‪ n 2‬ושל ‪. n‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪S( ) = 1 n 2 + 1 ⋅ n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S( ) = 1 2n 2 + 0 ⋅ n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪S( ) = 1 3n 2 − 1 ⋅ n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪S( ) = 1 4n 2 − 2 ⋅ n‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪k‬‬
‫⎦⎤ ‪S( ) = 1 ⎡⎣ kn 2 + ( 2 − k ) ⋅ n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫⎦⎤ ‪S( ) = 1 ⎡⎣ n ⋅ n 2 + ( 2 − n ) ⋅ n‬‬
‫‪2‬‬
‫לפיכך מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫= ⎦⎤ ‪S( ) + ... + S( ) = 1 ⎡⎣(1 + 2 + 3 + ... + n ) ⋅ n 2 + (1 + 0 − 1 − 2 + ... + (2 − n) ) ⋅ n‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫‪= 1 ⎡⎢ 1 + n ⋅ n ⋅ n 2 + 1 + 2 − n ⋅ n ⋅ n ⎤⎥ = 1 n 3 + n 4 + 3n 2 − n 3 = 1 n 4 + 3n 2‬‬
‫‪2⎣ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪⎦ 4‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬הסכום של כל המספרים בטבלה שווה ל‪ . 351 -‬נחשב את ‪: n‬‬
‫‪1 n 4 + 3n 2 = 351 ⇒ n 4 + 3n 2 − 1404 = 0 ⇒ n 2 = 36 , n 2 = −39‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ n‬הוא מספר טבעי לכן ‪. n = 6‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫(‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות‬