סדרות חשבוניות והנדסיות

‫‪0‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫ספר המאגר לשאלון‪20853 :‬‬
‫פרק ‪1.1‬‬
‫פונקציות וגרפים‬
‫פרק ‪1.3‬‬
‫סדרות חשבונית וסדרות הנדסית‬
‫כולל פתרונות מלאים‬
‫מסודר לפי המאגר של משרד החינוך‬
‫פרק ‪1.2‬‬
‫גדילה ודעיכה‬
‫פרק ‪3.1‬‬
‫סטטיסטיקה‬
‫פרק ‪3.3‬‬
‫הסתברות‬
‫פרק ‪3.2‬‬
‫התפלגות נורמלית‬
‫פרק ‪2.1‬‬
‫טריגונומטריה במישור‪.‬‬
‫פרק ‪2.3‬‬
‫טריגונומטריה יישומים במרחב‪.‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪0‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪2‬‬
‫שאלה מספר ‪.1‬‬
‫סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי על‪-‬ידי כלל הנסיגה‪:‬‬
‫(א)‬
‫(ב)‪.‬‬
‫(ג)‪.‬‬
‫‪a1  5‬‬
‫‪‬‬
‫‪an 1  an  3‬‬
‫רשום את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫הסבר מדוע הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית עולה‪.‬‬
‫מצא את האיבר ה‪ 75 -‬בסדרה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  3‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫(א)‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫רשום את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  5‬‬
‫‪a1  5‬‬
‫‪a 2  a1  3  5  3  8‬‬
‫‪a n 1  a n  3‬‬
‫‪a3  a 2  3  8  3  11‬‬
‫‪a n 1  a n  3‬‬
‫‪a 4  a3  3  11  3  14‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪d 3‬‬
‫‪a1  5 a2  8 a3  11 a4  14‬‬
‫(ב)‪ .‬הסבר מדוע הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית עולה‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית עולה ההפרש קבוע בין האיברים הוא ‪d  3‬‬
‫(ג)‪.‬‬
‫מצא את האיבר ה‪ 05 -‬בסדרה‪.‬‬
‫‪an  a1  (n  1)  d‬‬
‫‪a57  a1  (57  1)  d‬‬
‫‪a57  5  56  3‬‬
‫תשובה‪a57  173 :‬‬
‫‪a57  173‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  5‬‬
‫‪d 3‬‬
‫? ‪a 57 ‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪a1  5 a2  8 a3  11 a4  14‬‬
‫(ב) על‪-‬פי כלל הנסיגה כל איבר גדול ב‪ 3 -‬מהאיבר הקודם לו‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪2‬‬
‫(ג) ‪a57  173‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪1‬‬
‫שאלה מספר ‪.3‬‬
‫‪a1  50‬‬
‫סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי על‪-‬ידי כלל הנסיגה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪an 1  an  2‬‬
‫רשום את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫הסבר מדוע הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית יורדת‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫מהו הפרש הסדרה?‬
‫(ג)‪.‬‬
‫חשב את הסכום של עשרת האיברים הראשונים של הסדרה‪.‬‬
‫(ד)‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫(א)‬
‫‪‬‬
‫‪d  2‬‬
‫‪11‬‬
‫‪14‬‬
‫‪18‬‬
‫‪70‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫רשום את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  50‬‬
‫‪a 2  a1  2  50  2  48‬‬
‫‪a3  a 2  2  48  2  46‬‬
‫‪a1  50‬‬
‫‪a n 1  a n  2‬‬
‫‪a n 1  a n  2‬‬
‫‪d  2‬‬
‫‪a 4  a3  2  46  2  44‬‬
‫תשובה‪a1  50 a2  48 a3  46 a4  44 :‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫הסבר מדוע הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית יורדת‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית יורדת ההפרש בין האיברים הוא ‪. d  2‬‬
‫(ג)‪.‬‬
‫מהו הפרש הסדרה?‬
‫תשובה‪ :‬ההפרש בין האיברים הוא ‪d  2‬‬
‫(ד)‪.‬‬
‫חשב את הסכום של עשרת האיברים הראשונים של הסדרה‪.‬‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪102a1  d  (10  1)‬‬
‫‪S10 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪102  50  (2)  9‬‬
‫‪S10 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S10  410‬‬
‫נתונים‬
‫‪Sn ‬‬
‫תשובה‪S10  410 :‬‬
‫‪a1  50‬‬
‫‪d  2‬‬
‫? ‪S10 ‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪( a1  50 a2  48 a3  46 a4  44‬ב) כל איבר קטן ב‪ 1 -‬מהאיבר הקודם לו‬
‫(ג) ‪( d  2‬ד) ‪S10  410‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪1‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪3‬‬
‫שאלה מספר ‪.2‬‬
‫נתונים כל המספרים התלת ספרתיים ‪.200 , 202 , 201 ,....... , 999 :‬‬
‫כמה מספרים תלת‪-‬ספרתיים קיימים?‬
‫(א)‪.‬‬
‫כמה מספרים תלת‪-‬ספרתיים מתחלקים ב‪( 7 -‬בלי שארית)?‬
‫(ב)‪.‬‬
‫כמה מספרים תלת‪-‬ספרתיים אינם מתחלקים ב‪?7 -‬‬
‫(ג)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪999‬‬
‫‪........‬‬
‫‪an‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫‪........‬‬
‫‪........‬‬
‫‪........‬‬
‫‪201‬‬
‫‪202‬‬
‫‪200‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫כמה מספרים תלת‪-‬ספרתיים קיימים ?‬
‫‪an  a1  (n  1)  d‬‬
‫‪999  100  (n  1)  1‬‬
‫‪999  100  n  1‬‬
‫‪899  n  1‬‬
‫‪n  900‬‬
‫תשובה‪n  900 :‬‬
‫כמה מספרים תלת‪-‬ספרתיים מתחלקים ב‪( 0 -‬בלי שארית)?‬
‫(ב)‪.‬‬
‫‪997‬‬
‫‪an‬‬
‫‪220‬‬
‫‪........‬‬
‫‪........‬‬
‫‪........‬‬
‫‪........‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪an  a1  (n  1)  d‬‬
‫תשובה‪n  180 :‬‬
‫(ג)‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪995  100  (n  1)  5‬‬
‫‪995  100  5n  5‬‬
‫‪895  5n  5‬‬
‫‪900  5n / : 5‬‬
‫‪n  180‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  100‬‬
‫‪a 2  101‬‬
‫‪d  a 2  a1  1‬‬
‫‪a n  999‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  5‬‬
‫‪200‬‬
‫‪207‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a2‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  100‬‬
‫‪a 2  105‬‬
‫‪d  a 2  a1  5‬‬
‫‪a n  995‬‬
‫כמה מספרים תלת‪-‬ספרתיים אינם מתחלקים ב‪? 0 -‬‬
‫‪n  900  180  720‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪( n  900‬ב) ‪( n  180‬ג) ‪n  720‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪3‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪1‬‬
‫שאלה מספר ‪.4‬‬
‫המספר התלת‪-‬ספרתי הקטן ביותר המתחלק ב‪ 5 -‬בלי שארית הוא ‪.207‬‬
‫המספר התלת‪-‬ספרתי הגדול ביותר המתחלק ב‪ 5 -‬בלי שארית הוא ‪.991‬‬
‫כמה מספרים תלת–ספרתיים מתחלקים ב‪ 5 -‬בלי שארית‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  7‬‬
‫כמה מספרים תלת–ספרתיים מתחלקים ב‪ 5 -‬בלי שארית‪.‬‬
‫‪991‬‬
‫‪an‬‬
‫‪229‬‬
‫‪........‬‬
‫‪........‬‬
‫‪........‬‬
‫‪........‬‬
‫‪an  a1  (n  1)  d‬‬
‫תשובה‪n  128 :‬‬
‫‪994  105  (n  1)  7‬‬
‫‪994  105  7 n  7‬‬
‫‪889  7 n  7‬‬
‫‪896  7 n / : 7‬‬
‫‪n  128‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪221‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪207‬‬
‫‪a1‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  105‬‬
‫‪a 2  112‬‬
‫‪d  a 2  a1  7‬‬
‫‪a n  994‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫‪n  128‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪1‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪7‬‬
‫שאלה מספר ‪.0‬‬
‫סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה החשבונית‪1 ,4 ,5 ,... :‬‬
‫הוא כסכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה החשבונית‪.01 ,44 ,45 ,.... :‬‬
‫מצאו את ‪.n‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  2‬‬
‫‪........‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  3‬‬
‫‪15‬‬
‫‪19‬‬
‫‪72‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪........‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a1‬‬
‫נתונים‬
‫נתונים‬
‫‪a1  1‬‬
‫‪a1  51‬‬
‫‪a 2  49‬‬
‫‪a2  4‬‬
‫‪d  a 2  a1  2‬‬
‫‪d  a 2  a1  3‬‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  2  51  (2)  (n  1) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  102  2n  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  104  2n‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪104  2n 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  2  1  3  (n  1) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  2  3n  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  3n  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3n  1n‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪Sn‬‬
‫‪Sn‬‬
‫‪Sn‬‬
‫‪Sn‬‬
‫‪Sn  Sn‬‬
‫‪Sn‬‬
‫‪3n 2  1n 104n  2n 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3n  1n  104n  2n 2  0‬‬
‫‪5n 2  105n  0‬‬
‫‪n(5n  105)  0‬‬
‫‪n0‬‬
‫‪5n  105  0‬‬
‫‪5n  105‬‬
‫‪n  21‬‬
‫תשובה‪n  21 :‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫‪ n  21‬איברים‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪7‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫‪Sn‬‬
‫‪Sn‬‬
‫‪Sn‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪4‬‬
‫שאלה מספר ‪.6‬‬
‫מפעל‪ ,‬המייצר חלקי חילוף למכוניות‪ ,‬ייצר בחודש הראשון (חודש ינואר) ‪ 2,000‬פריטים‪.‬‬
‫בגלל דרישות השוק‪ ,‬הגביר המפעל את הייצור בכל חודש ב‪ 200 -‬פריטים יותר מאשר בחודש הקודם‪.‬‬
‫(א)‪ .‬כמה פריטים ייצר המפעל בחודש ה‪( 21 -‬חודש דצמבר)?‬
‫(ב)‪ .‬כמה פריטים ייצר המפעל במהלך השנה (מחודש ינואר עד חודש דצמבר)?‬
‫(ג)‪ .‬הרווח הנקי מכל פריט הוא ‪ .₪ 870‬כמה הרוויח המפעל במהלך השנה ‪.‬‬
‫(מחודש ינואר עד חודש דצמבר)?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  100‬‬
‫‪2000‬‬
‫‪a12‬‬
‫‪a11‬‬
‫‪a9‬‬
‫‪a10‬‬
‫‪a7‬‬
‫‪a8‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫(א)‪ .‬כמה פריטים ייצר המפעל בחודש ה‪( 13 -‬חודש דצמבר)?‬
‫‪an  a1  (n  1)  d‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  1000‬‬
‫‪a12  a1  (12  1)  d‬‬
‫‪d  100‬‬
‫? ‪a12 ‬‬
‫‪a12  1000  11  100‬‬
‫תשובה‪a12  2,100 :‬‬
‫‪a12  2,100‬‬
‫(ב)‪ .‬כמה פריטים ייצר המפעל במהלך השנה (מחודש ינואר עד חודש דצמבר)?‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12  2  1000  100  (12  1)‬‬
‫‪S12 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S12  18,600‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫תשובה‪S12  18,600 :‬‬
‫(ג)‪ .‬הרווח הנקי מכל פריט הוא ‪ .₪ 805‬כמה הרוויח המפעל במהלך השנה ‪.‬‬
‫(מחודש ינואר עד חודש דצמבר)?‬
‫‪S12  18,600‬‬
‫‪18,600  850  15,810,000‬‬
‫תשובה‪15,810,000 :‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪a12  2,100‬‬
‫(ב) ‪S12  18,600‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫(ג) ‪₪ 15,810,000‬‬
‫‪4‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫‪a1‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪5‬‬
‫שאלה מספר ‪.5‬‬
‫במבנה עם גג משופע יש שני קירות תמיכה זהים‪.‬‬
‫כל קיר עשוי מעמודים אנכיים של צינורות ברזל (ראו סרטוט)‪.‬‬
‫גג‬
‫אורכו של העמוד הגבוה ביותר בכל אחד מהקירות הוא ‪ 8‬מטרים‪.‬‬
‫אורכו של העמוד הקצר ביותר הוא ‪ 4‬מטרים ו‪ 10 -‬ס"מ‪.‬‬
‫קיר תמיכה‬
‫אורכו של כל עמוד קצר מהקודם לו ב‪ 30 -‬ס"מ‪.‬‬
‫(א)‪ .‬כמה עמודים יש בקיר תמיכה אחד?‬
‫‪. . . .‬‬
‫(ב)‪ .‬בכמה מטרים של צינור ברזל השתמשו לבניית שני הקירות?‬
‫(ג)‪ .‬מחירו של מטר אחד צינור ברזל הוא ‪.₪ 10‬‬
‫מה המחיר ששילמו עבור צינורות הברזל לבניית שני הקירות ?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ 25‬ס"מ = ‪ 5.2‬מטר‬
‫נמיר את היחידות למטר ‪ 35‬ס"מ = ‪ 5.3‬מטר‬
‫הערה ‪:‬‬
‫(א)‪ .‬כמה עמודים יש בקיר תמיכה אחד?‬
‫‪‬‬
‫‪d  0.3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4.10‬‬
‫‪........‬‬
‫‪an‬‬
‫‪........‬‬
‫‪........‬‬
‫‪........‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫נתונים‬
‫‪an  a1  (n  1)d‬‬
‫תשובה‪n  7 :‬‬
‫‪ 5‬עמודים בקיר אחד‬
‫(ב)‪.‬‬
‫)‪6.20  8  (n  1)(0.3‬‬
‫‪ 1.8  0.3n  0.3‬‬
‫‪ 2.1  0.3n / : 0.3‬‬
‫‪n7‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a1  8‬‬
‫‪d   0 .3‬‬
‫‪a n  6.20‬‬
‫?‪n‬‬
‫בכמה מטרים של צינור ברזל השתמשו לבניית שני הקירות ?‬
‫הערה ‪ :‬כול קיר מהווה סדרה חשבונית בפני עצמה‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7  2  8  (0.3)  (7  1)‬‬
‫‪S7 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S7  49.7‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  8‬‬
‫‪d  0 .3‬‬
‫? ‪S7 ‬‬
‫סה"כ בשני הקירות ‪49.7  2  99.4‬‬
‫(ג)‪ .‬מחירו של מטר אחד צינור ברזל הוא ‪.₪ 35‬‬
‫מה המחיר ששילמו עבור צינורות הברזל לבניית שני הקירות ?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫סה"כ המחיר‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪ 5‬עמודים‬
‫‪99.4  20  1988‬‬
‫(ב) ‪ 99.1‬מ'‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫(ג) ‪₪ 2,988‬‬
‫‪5‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪8‬‬
‫שאלה מספר ‪.8‬‬
‫על שולחן מסדרים כדורים בצורת משולש באופן הבא‪:‬‬
‫בשורה הראשונה – כדור אחד‪ ,‬בשורה השנייה – ‪ 3‬כדורים‪,‬‬
‫בשורה השלישית – ‪ 7‬כדורים וכן הלאה (ראו סרטוט)‪.‬‬
‫(א)‪ .‬כמה כדורים יהיו בשורה העשירית?‬
‫(ב)‪ .‬מהו מספר הכדורים הדרוש ליצירת משולש שבו ‪ 20‬שורות?‬
‫לבניית משולש משתמשים ב‪ 189 -‬כדורים‪.‬‬
‫(ג)‪.‬‬
‫כמה שורות של כדורים יהיו במשולש זה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  2‬‬
‫‪a10‬‬
‫‪a9‬‬
‫‪a8‬‬
‫‪a7‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫(א)‪ .‬כמה כדורים יהיו בשורה העשירית ?‬
‫נתונים‬
‫‪an  a1  (n  1)d‬‬
‫‪a1  1‬‬
‫‪a10  a1  (10  1)  d‬‬
‫‪a2  3‬‬
‫‪a10  1  9  2‬‬
‫‪a10  19‬‬
‫תשובה‪a10  19 :‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫‪a3  5‬‬
‫‪d  a 2  a1  3  1  2‬‬
‫? ‪a10 ‬‬
‫מהו מספר הכדורים הדרוש ליצירת משולש שבו ‪ 15‬שורות?‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10  2  1  (2)(10  1)‬‬
‫‪S10 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S10  100‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫תשובה‪S10  100 :‬‬
‫(ג)‪.‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  1‬‬
‫‪d 2‬‬
‫? ‪S10 ‬‬
‫לבניית משולש משתמשים ב‪ 384 -‬כדורים‪ .‬כמה שורות של כדורים יהיו במשולש זה?‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  2  1  2  (n  1)‬‬
‫‪289 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪578  n  2  2n  2‬‬
‫‪578  n  2n‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫תשובה‪n  17 :‬‬
‫‪578  2n 2 / : 2‬‬
‫‪289  n 2‬‬
‫‪289  n‬‬
‫‪17  n‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪( a10  19‬ב) ‪( S10  100‬ג) ‪n  17‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪8‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪9‬‬
‫שאלה מספר ‪.4‬‬
‫אבן‪ ,‬הנופלת באופן חופשי‪ ,‬עוברת בשנייה הראשונה מרחק של ‪ 7‬מטרים‪ ,‬ובכל אחת מן השניות הבאות‬
‫היא עוברת ‪ 20‬מטרים יותר מאשר בשנייה הקודמת לה‪.‬‬
‫כדי למדוד את העומק של בור‪ ,‬שחררו אבן שנפלה באופן חופשי לתחתית הבור‪.‬‬
‫(א)‪ .‬מה המרחק שעברה האבן בשנייה החמישית?‬
‫(ב)‪ .‬האבן הגיעה לתחתית הבור כעבור ‪ 7‬שניות מתחילת הנפילה‪ .‬מה עומק הבור?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫(א)‪ .‬מה המרחק שעברה האבן בשנייה החמישית ?‬
‫‪‬‬
‫‪d  10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪an  a1  (n  1)d‬‬
‫‪a5  a1  (5  1)  d‬‬
‫‪a5  5  4  10‬‬
‫תשובה‪a5  45 :‬‬
‫‪a5  45‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  5‬‬
‫‪d  10‬‬
‫? ‪a5 ‬‬
‫(ב)‪ .‬האבן הגיעה לתחתית הבור כעבור ‪ 0‬שניות מתחילת הנפילה‪ .‬מה עומק הבור ?‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5  2  5  (10)  (5  1)‬‬
‫‪S5 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S5  125‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  5‬‬
‫‪d  10‬‬
‫? ‪S5 ‬‬
‫תשובה‪S5  125 :‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(ב) ‪S5  125‬‬
‫(א) ‪a5  45‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪9‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪20‬‬
‫שאלה מספר ‪.15‬‬
‫דני צריך לשלוח בדואר ‪ 1‬חבילות במשקלים שונים‪ .‬עלות הבולים למשלוח החבילה תלויה במשקל‬
‫החבילה‪ .‬מחירי הבולים הנ"ל יוצרים סדרה חשבונית‪ .‬מחיר הבול היקר ביותר גדול פי ‪ 3‬מהבול הזול‬
‫ביותר‪ .‬סך הכול שילם דני ‪.₪ 210‬‬
‫(א) מהו מחיר הבול הזול ביותר?‬
‫(ב)‪ .‬מהו מחיר הבול היקר ביותר?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪a3‬‬
‫(א)‬
‫‪x‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a2‬‬
‫מהו מחיר הבול הזול ביותר ?‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4  2  a1  d  (4  1)‬‬
‫‪S4 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪4  2  1x ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪120 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪240  4  2 x  2 x ‬‬
‫‪60  4 x‬‬
‫‪x  15‬‬
‫‪a1  15‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪an  a1  (n  1)d‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  x‬‬
‫‪a4  a1  (4  1)  d‬‬
‫‪a 4  3x‬‬
‫‪3 x  1x  3d‬‬
‫‪2 x  3d‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪d‬‬
‫‪3‬‬
‫‪S 4  120‬‬
‫תשובה‪a1  15 :‬‬
‫נתונים‬
‫(ב)‪ .‬מהו מחיר הבול היקר ביותר ?‬
‫‪a1  15‬‬
‫‪a 4  3  15  45‬‬
‫‪a1  x‬‬
‫‪a4  3 x‬‬
‫תשובה‪a4  45 :‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪₪ 27‬‬
‫(ב) ‪₪ 17‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪20‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪22‬‬
‫שאלה מספר ‪.11‬‬
‫אלון ונדב מתכוננים לבחינה הפסיכומטרית‪ .‬כל אחד מהם צריך ללמוד ‪ 780‬מילים חדשות‪.‬‬
‫אלון החליט שילמד מדי יום ‪ 10‬מילים‪ .‬נדב בנה תכנית עבודה כך‪ ,‬שביום הראשון ילמד ‪ 20‬מילים ומדי‬
‫יום ילמד שתי מילים יותר מאשר ביום הקודם‪.‬‬
‫(א) כמה ימים למד אלון לבחינה?‬
‫(ב)‪ .‬מי מבין השניים יסיים את לימוד המילים מוקדם יותר? נמק‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫(א)‬
‫אלון‬
‫נתונים‬
‫כמה ימים למד אלון לבחינה ?‬
‫‪S n  580‬‬
‫‪20‬‬
‫‪580‬‬
‫‪ 29‬‬
‫‪20‬‬
‫תשובה‪n  29 :‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫מי מבין השניים יסיים את לימוד המילים מוקדם יותר ? נמק‪.‬‬
‫‪ b  b2  4  a  c‬‬
‫‪2a‬‬
‫)‪ (18)  324  4(2)(1160‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪1,2‬‬
‫)‪2(2‬‬
‫‪ 18  98‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ 29‬‬
‫‪ 18  98 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪1,2‬‬
‫‪ 18  98‬‬
‫‪4‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ 20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪1,2‬‬
‫‪n  29‬‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  2  10  2  (n  1) ‬‬
‫‪580 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1160  n  20  2n  2‬‬
‫‪1160  n  18  2n‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪1160  18n  2n 2‬‬
‫‪2n 2  18n  1160  0‬‬
‫‪y  ax 2  bx  c‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪b  18‬‬
‫‪b 2  324‬‬
‫‪n  20‬‬
‫‪c  1160‬‬
‫תשובה‪n  20 :‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪ 19‬ימים‬
‫(ב) נדב יסיים את למידת המילים במשך ‪ 10‬יום‪ ,‬ולכן הוא יסיים את למידת המילים לפני אלון‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪22‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫נדב‬
‫נתונים‬
‫‪S n  580‬‬
‫‪a1  10‬‬
‫‪d 2‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪21‬‬
‫שאלה מספר ‪.13‬‬
‫ספורטאי הלך ‪ 5‬שעות רצופות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫בכל שעה עבר מרחק השווה ל‪-‬‬
‫‪5‬‬
‫מהמרחק שעבר בשעה הקודמת‪.‬‬
‫בשעה השלישית הוא עבר ‪ 1,000‬מטר‪.‬‬
‫חשב את המרחק שעבר הספורטאי בשעה הראשונה‪.‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫חשב את כל המרחק שעבר הספורטאי במשך ‪ 5‬שעות‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫פתרון ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪q : 0.8‬‬
‫‪‬‬
‫‪q  x0.8‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪a7‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a2‬‬
‫א‪ .‬חשב את המרחק שעבר הספורטאי בשעה הראשונה‪.‬‬
‫‪a n  a1  q n 1‬‬
‫נתונים‬
‫‪a 3  a1  q 2‬‬
‫‪ 0.8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪q‬‬
‫‪4000  a1  (0.8) 2‬‬
‫‪a 3  4000‬‬
‫‪4000‬‬
‫‪ a1‬‬
‫‪(0.8) 2‬‬
‫‪6250  a1‬‬
‫? ‪a1 ‬‬
‫תשובה‪a1  6250 :‬‬
‫ב‪ .‬חשב את כל המרחק שעבר הספורטאי במשך ‪ 5‬שעות‪.‬‬
‫)‪a1 (q n  1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫)‪6250(0.8 7  1‬‬
‫‪0. 8  1‬‬
‫‪S 7  24696.4‬‬
‫‪S7 ‬‬
‫תשובה‪S7  24696.4 :‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫‪ 4170‬מטר‬
‫(א)‬
‫(ב)‬
‫נתונים‬
‫‪a1  6250‬‬
‫‪ 0. 8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪n7‬‬
‫? ‪S7 ‬‬
‫‪ 11,494.1‬מטר‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪21‬‬
‫‪q‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪23‬‬
‫שאלה מספר ‪.12‬‬
‫בסדרה הנדסית עולה האיבר החמישי הוא ‪ 18‬והאיבר השביעי הוא ‪.291‬‬
‫מצאו את האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשבו את סכום שבעת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬מצאו את האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪q  x2‬‬
‫‪291‬‬
‫‪‬‬
‫‪q : 2‬‬
‫‪18‬‬
‫‪a7‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪291‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a2‬‬
‫בעזרת סדרת העזר‬
‫נחשב את המנה ‪q‬‬
‫‪a3  192‬‬
‫‪18‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a1‬‬
‫סדרה עזר‬
‫המנה ‪q‬‬
‫‪an  a1  q n 1‬‬
‫‪a3  a1  q 3 1‬‬
‫‪a1  48‬‬
‫‪192  48  q 2‬‬
‫‪192‬‬
‫‪ q2‬‬
‫‪48‬‬
‫‪q 4‬‬
‫‪q  2‬‬
‫?‪q‬‬
‫נתון שהסדרה עולה לכן יש לפסול את התשובה ‪q  2‬‬
‫ונשתמש רק ב ‪q  2‬‬
‫נציב בסדרה המקורית את הנתונים ונחשב את האיבר הראשון‪.‬‬
‫‪an  a1  q n 1‬‬
‫נתונים‬
‫‪a 5  48‬‬
‫‪a5  a1  q 5 1‬‬
‫‪a 7  192‬‬
‫‪48  a1  2 4‬‬
‫‪48‬‬
‫‪ a1‬‬
‫‪16‬‬
‫‪a1  3‬‬
‫תשובה‪a1  3 :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪q2‬‬
‫? ‪a1 ‬‬
‫חשבו את סכום שבעת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫)‪a1  (q n  1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫)‪3  (2 7  1‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪S 7  381‬‬
‫‪S7 ‬‬
‫תשובה‪S7  381 :‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪a1  3‬‬
‫נתונים‬
‫‪q2‬‬
‫‪a1  2‬‬
‫? ‪S7 ‬‬
‫(ב) ‪S7  381‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪23‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪21‬‬
‫שאלה מספר ‪.14‬‬
‫יש להכניס שלושה מספרים בין המספרים ‪ 32‬ל‪ ,194 -‬כך שתתקבל סדרה הנדסית שבה חמישה איברים‪.‬‬
‫מצאו את האיבר השני בסדרה‪ ,‬המתקבל אם היא סדרה עולה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצאו את האיבר השני בסדרה‪ ,‬המתקבל אם היא איננה סדרה עולה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪194‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪32‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪an  a1  q n 1‬‬
‫‪a5  a1  q 5 1‬‬
‫‪496  31  q 4 / : 31‬‬
‫‪q 4  16‬‬
‫נתונים‬
‫‪a5  496‬‬
‫‪a1  31‬‬
‫?‪q‬‬
‫‪q   4 16‬‬
‫‪q  2‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצאו את האיבר השני בסדרה‪ ,‬המתקבל אם היא סדרה עולה‬
‫‪‬‬
‫‪q  x2‬‬
‫‪31‬‬
‫‪62‬‬
‫‪248‬‬
‫‪496‬‬
‫‪124‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a 2  a1  q‬‬
‫)‪a 2  31  (2‬‬
‫‪a 2  62‬‬
‫תשובה‪a2  62 :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצאו את האיבר השני בסדרה‪ ,‬המתקבל אם היא איננה סדרה עולה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫)‪q  x(2‬‬
‫‪a 2  a1  q‬‬
‫‪31‬‬
‫‪ 62‬‬
‫‪ 248‬‬
‫‪496‬‬
‫‪124‬‬
‫)‪a 2  31  (2‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a 2  62‬‬
‫תשובה‪a2  62 :‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪a2  62‬‬
‫(ב) ‪a2  62‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪21‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪27‬‬
‫שאלה מספר ‪.10‬‬
‫האיבר הרביעי בסדרה הנדסית הוא ‪ .2,000‬מנת הסדרה היא ‪.7‬‬
‫חשבו את סכום שמונת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫האיבר הרביעי בסדרה הנדסית הוא ‪ .1,555‬מנת הסדרה היא ‪.0‬‬
‫חשבו את סכום שמונת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪q : 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪q  x5‬‬
‫‪2000‬‬
‫‪a8‬‬
‫‪a7‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪an  a1  q n 1‬‬
‫‪a4  a1  q 4 1‬‬
‫‪1000  a1  53 / : 53‬‬
‫‪a1  8‬‬
‫)‪a1  (q n  1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫)‪8  (58  1‬‬
‫‪5 1‬‬
‫‪S 8  781,248‬‬
‫‪S8 ‬‬
‫תשובה‪S8  781,248 :‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a2‬‬
‫נתונים‬
‫‪a 4  1000‬‬
‫‪q5‬‬
‫? ‪a1 ‬‬
‫נתונים‬
‫‪q5‬‬
‫‪a1  8‬‬
‫? ‪S8 ‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫‪S8  781,248‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪27‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪24‬‬
‫שאלה מספר ‪.16‬‬
‫בתחרות השתתפו ‪ 20‬קבוצות‪ .‬כל קבוצה זוכה בפרס בהתאם למיקומה בסיום התחרות‪.‬‬
‫הפרסים מהווים סדרה הנדסית שבה כל פרס קטן מקודמו פי ‪.1‬‬
‫הקבוצה במקום הראשון מקבלת את הפרס הגדול ביותר‪ ,‬והקבוצה במקום האחרון מקבלת את הפרס‬
‫הקטן ביותר‪.‬‬
‫קבוצת "עירוני תמר" סיימה את התחרות במקום השישי וקיבלה סכום של ‪.₪ 10,000‬‬
‫(א)‪ .‬קבוצת "צור יואב" סיימה במקום הראשון‪ .‬מהו הסכום שקיבלה?‬
‫(ב)‪ .‬קבוצת "עירוני אפרת" סיימה את התחרות במקום האחרון‪ .‬מהו הסכום שקיבלה?‬
‫(ג)‪ .‬מהו סכום הפרסים הכולל שחולק לכל הקבוצות המשתתפות בתחרות?‬
‫‪‬‬
‫‪q : 2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪q  x2‬‬
‫‪10,000‬‬
‫‪a10‬‬
‫‪a9‬‬
‫‪a8‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a7‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a2‬‬
‫(א)‪ .‬קבוצת "צור יואב" סיימה במקום הראשון‪ .‬מהו הסכום שקיבלה?‬
‫‪a n  a1  q n 1‬‬
‫כל פרס קטן מקודמו פי ‪.3‬‬
‫משמעות ‪q  0.5 :‬‬
‫‪a 6  a1  q 5‬‬
‫נתונים‬
‫‪a 6  20,000‬‬
‫‪q  0.5‬‬
‫? ‪a1 ‬‬
‫‪20,000  a1  0.5 5 / : 0.5 5‬‬
‫תשובה‪a1  640,000 :‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫‪a1  640,000‬‬
‫קבוצת "עירוני אפרת" סיימה את התחרות במקום האחרון‪.‬‬
‫‪an  a1  q n 1‬‬
‫‪a10  a1  q101‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  640,000‬‬
‫‪q  0.5‬‬
‫? ‪a10 ‬‬
‫‪a10  640,000  0.59‬‬
‫‪a10  1,250‬‬
‫תשובה‪a10  1,250 :‬‬
‫(ג)‪ .‬מהו סכום הפרסים הכולל שחולק לכל הקבוצות המשתתפות בתחרות ?‬
‫נתונים‬
‫)‪a1  (q n  1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪a1  640,000‬‬
‫‪q  0.5‬‬
‫? ‪S10 ‬‬
‫)‪640,000  (0.510  1‬‬
‫‪0.5  1‬‬
‫‪S10  1,278.750‬‬
‫‪S10 ‬‬
‫תשובה‪S10  1,278.750 :‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪a1  640,000‬‬
‫(ב) ‪a10  1,250‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫(ג) ‪S10  1,278.750‬‬
‫‪24‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪25‬‬
‫שאלה מספר ‪.15‬‬
‫ההיקפים של משולשים שווי‪-‬צלעות מהווים סדרה הנדסית עולה‪.‬‬
‫בסדרה ישנם ‪ 8‬משולשים‪.‬‬
‫אורך הצלע של המשולש הראשון הוא ‪ 1‬ס"מ‪,‬‬
‫ואורך הצלע של המשולש השני הוא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫(א)‪ .‬מהו ההיקף של המשולש השלישי בסדרה ?‬
‫(ב)‪ .‬מהי הצלע של המשולש האחרון בסדרה ?‬
‫(ג)‪ .‬מהו סכום ההיקפים של שמונת המשולשים ?‬
‫…‬
‫פתרון‪:‬‬
‫משולש שווה צלעות אורך הצלע של המשולש הראשון הוא ‪ 1‬ס"מ‪ ,‬משמעות ההיקף ‪2  3  6‬‬
‫משולש שווה צלעות אורך הצלע של המשולש השני הוא ‪ 4‬ס"מ‪ ,‬משמעות ההיקף ‪6  3  18‬‬
‫‪a2 18‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a1 6‬‬
‫‪a1  6‬‬
‫‪q‬‬
‫‪a2  18‬‬
‫‪‬‬
‫‪q  x3‬‬
‫‪a7‬‬
‫‪a8‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪28‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫(א)‪ .‬מהו ההיקף של המשולש השלישי בסדרה ?‬
‫‪a3  a2  q  18  3  54‬‬
‫תשובה‪a3  54 :‬‬
‫(ב)‪ .‬מהי הצלע של המשולש האחרון בסדרה ?‬
‫‪n 1‬‬
‫תשובה‪ :‬ההיקף של המשולש השמיני הוא‪a8  13,122 :‬‬
‫משמעות אורך הצלע של המשולש הוא ‪13,122 : 3  4,374 :‬‬
‫‪a n  a1  q‬‬
‫‪a8  a1  q 7‬‬
‫‪a8  6  3 7‬‬
‫‪a8  13,122‬‬
‫(ג)‪ .‬מהו סכום ההיקפים של שמונת המשולשים ?‬
‫)‪a1  (q n  1‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪q 1‬‬
‫נתונים‬
‫)‪6  (38  1‬‬
‫‪S8 ‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪S 8  19,680‬‬
‫‪q3‬‬
‫? ‪S8 ‬‬
‫תשובה‪S8  19,680 :‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪a3  54‬‬
‫(ב) ‪ 4,254‬ס"מ‬
‫(ג)‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪a1  6‬‬
‫‪S8  19,680‬‬
‫‪25‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪28‬‬
‫שאלה מספר ‪.18‬‬
‫כאשר מסדרים את המשכורות של ‪ 7‬עובדים בסדר עולה (מהמשכורת הנמוכה אל המשכורת הגבוהה)‪,‬‬
‫מקבלים סדרה הנדסית‪.‬‬
‫המשכורת הנמוכה ביותר היא ‪ ,₪ 1,000‬והמשכורת הגבוהה ביותר היא ‪.₪ 8,191.10‬‬
‫(א)‪ .‬חשב את מנת הסדרה ההנדסית‪.‬‬
‫(ב)‪ .‬חשב את סכום המשכורות של חמשת העובדים‪.‬‬
‫(ג)‪ .‬חשב את הממוצע של חמשת משכורות העובדים‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪q  x1.2‬‬
‫‪4,000‬‬
‫‪8,294.40‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a2‬‬
‫(א)‪ .‬חשב את מנת הסדרה ההנדסית‪.‬‬
‫נתונים‬
‫‪an  a1  q n 1‬‬
‫‪a5  a1  q 5 1‬‬
‫‪8294.40  4000  q 4 / : 4000‬‬
‫התשובה ‪ q  1.2‬נפסלה סדרה עולה‬
‫‪a1  4,000‬‬
‫‪a5  8,294.40‬‬
‫?‪q‬‬
‫‪q 4  2.0732‬‬
‫‪q   4 2.0732‬‬
‫‪q  1.2‬‬
‫תשובה‪q  1.2 :‬‬
‫(ב)‪ .‬חשב את סכום המשכורות של חמשת העובדים‪.‬‬
‫)‪a1  (q n  1‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪q 1‬‬
‫תשובה‪S5  29,766.4 :‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  4,000‬‬
‫‪q  1. 2‬‬
‫? ‪S5 ‬‬
‫)‪4000  (1.2 5  1‬‬
‫‪1.2  1‬‬
‫‪S 5  29,766.4‬‬
‫‪S5 ‬‬
‫(ג)‪ .‬חשב את הממוצע של חמשת משכורות העובדים‪.‬‬
‫תשובה‪x  5,953.28 :‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪q  1.2‬‬
‫(ב) ‪S5  29,766.4‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪S 5 29,766.4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 5,953.28‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫(ג) ‪x  5,953.28‬‬
‫‪28‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫‪29‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫שאלה מספר ‪.14‬‬
‫‪a1  5‬‬
‫סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי על‪ -‬ידי כלל הנסיגה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪an 1  an  4‬‬
‫(א)‪ .‬רשום את חמשת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫(ב)‪ .‬קבע האם הסדרה ההנדסית עולה ‪ /‬קבועה ‪ /‬יורדת‪.‬‬
‫(ג)‪ .‬חשב את סכום עשרת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫(ד)‪ .‬חשב את הממוצע של עשרת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪1280‬‬
‫‪a5‬‬
‫(א)‬
‫‪320‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪80‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪‬‬
‫‪q  x4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪20‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a2‬‬
‫רשמו את חמשת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  5‬‬
‫‪a1  5‬‬
‫‪a 2  a1  4  5  4  20‬‬
‫‪a n 1  a n  4‬‬
‫‪a 4  a3  4  80  4  320‬‬
‫‪a n 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪an‬‬
‫‪a3  a 2  4  20  4  80‬‬
‫‪a5  a 4  4  320  4  1280‬‬
‫‪q4‬‬
‫‪a1  5 a2  20 a3  80 a4  320 a5  1280‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫(ב)‪ .‬קבע האם הסדרה ההנדסית עולה ‪ /‬קבועה ‪ /‬יורדת‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬הסדרה הנתונה היא סדרה הנדסית עולה המנה בין האיברים הוא ‪q  4‬‬
‫(ג)‪ .‬חשב את סכום עשרת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫)‪a1  (q n  1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫תשובה‪S10  1,747,625 :‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫)‪5  (410  1‬‬
‫‪4 1‬‬
‫‪S10  1,747,625‬‬
‫‪S10 ‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  5‬‬
‫‪q4‬‬
‫? ‪S10 ‬‬
‫(ד)‪ .‬חשב את הממוצע של עשרת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫‪S10 1747625‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 174,762.5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫תשובה‪x  174,762.5 :‬‬
‫‪x‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪( a1  5 a2  20 a3  80 a4  320 a5  1280‬ב) הסדרה הנדסית ‪q  4‬‬
‫(ג) ‪S10  1,747,625‬‬
‫(ד) ‪x  174,762.5‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪29‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪10‬‬
‫שאלה מספר ‪.35‬‬
‫‪a1  5‬‬
‫סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי על‪ -‬ידי כלל הנסיגה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪an 1  3  an‬‬
‫(א)‪ .‬הסבר מדוע הסדרה היא סדרה הנדסית‪.‬‬
‫(ב)‪ .‬רשום את חמשת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫(ג)‪ .‬חשב את סכום שמונת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪405‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪ 135‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪45‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪‬‬
‫‪q  x4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 15‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a2‬‬
‫(א)‪ .‬הסבר מדוע הסדרה היא סדרה הנדסית‪.‬‬
‫הסדרה היא סדרה הנדסית כי כל איבר מתקבל מהקודם על‪-‬ידי הכפלה במספר הקבוע ‪q  3‬‬
‫(ב)‬
‫רשום את חמשת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫‪a1  5‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  5‬‬
‫‪a 2  a1  (3)  5  (3)  15‬‬
‫‪a n 1  3  a n‬‬
‫‪a3  a 2  (3)  15  (3)  45‬‬
‫‪a n 1‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪an‬‬
‫‪a 4  a3  (3)  45  (3)  135‬‬
‫‪a5  a 4  (3)  135  (3)  405‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪q  3‬‬
‫‪a1  5 a2  15 a3  45 a4  135 a5  405‬‬
‫(ג)‪ .‬חשב את סכום שמונת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫)‪a1  (q n  1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪a1  5‬‬
‫‪S8 ‬‬
‫)‪q  (3‬‬
‫? ‪S8 ‬‬
‫)‪5  ((3)8  1‬‬
‫‪(3)  1‬‬
‫‪S8  8200‬‬
‫תשובה‪S8  8,200 :‬‬
‫נתונים‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) הסדרה הנדסית ‪( q  3‬ב) ‪a1  5 a2  15 a3  45 a4  135 a5  405‬‬
‫(ג) ‪S8  8,200‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪10‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪12‬‬
‫שאלה מספר ‪.31‬‬
‫סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי על‪-‬ידי כלל הנסיגה‪:‬‬
‫‪a1  80‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪an‬‬
‫‪an 1  2‬‬
‫(א) ‪.‬רשום את חמשת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫(ב)‪ .‬הסבר מדוע הסדרה הנתונה היא סדרה הנדסית יורדת‪.‬‬
‫(ג)‪ .‬חשב את סכום ששת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪a5‬‬
‫(א)‬
‫‪10‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪‬‬
‫‪q  0.5‬‬
‫‪80‬‬
‫‪40‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪20‬‬
‫‪a3‬‬
‫רשמו את חמשת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫‪a1  80‬‬
‫‪a 2  a1  (0.5)  80  (0.5)  40‬‬
‫‪a3  a 2  (0.5)  40  (0.5)  20‬‬
‫‪a 4  a3  (0.5)  20  (0.5)  10‬‬
‫‪a5  a 4  (0.5)  10  (0.5)  5‬‬
‫נתונים‬
‫‪a1  80‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a n 1  n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a n 1 1‬‬
‫‪  0 .5‬‬
‫‪an‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q  0 .5‬‬
‫תשובה‪a1  80 a2  40 a3  20 a4  10 a5  5 :‬‬
‫(ב)‪ .‬הסבירו מדוע הסדרה היא סדרה הנדסית‪.‬‬
‫הסדרה היא סדרה הנדסית כי כל איבר מתקבל מהקודם על‪-‬ידי הכפלה במספר הקבוע ‪q  0.5‬‬
‫(ג)‪ .‬חשבו את סכום ששת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫)‪a1  (q n  1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫נתונים‬
‫‪S6 ‬‬
‫)‪q  (0.5‬‬
‫? ‪S6 ‬‬
‫)‪80  ((0.5) 6  1‬‬
‫‪(0.5)  1‬‬
‫‪S 6  157.5‬‬
‫‪a1  80‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪( a1  80 a2  40 a3  20 a4  10 a5  5‬ב) הסדרה הנדסית ‪q  0.5‬‬
‫(ג) ‪S10  157.5‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪12‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫‪11‬‬
‫שאלה מספר ‪.22‬‬
‫בגרף שלפניכם מתוארת סדרה הנדסית‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫‪24‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a6‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫מצא על‪-‬פי הגרף את האיבר הראשון בסדרה‪ ,‬ואת מנת הסדרה‪.‬‬
‫‪a2 2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪a1 1‬‬
‫‪q‬‬
‫‪a1  1 a2  2 a3  4 a4  8‬‬
‫תשובה‪a1  1 q  2 :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את סכום עשרת האיברים הראשונים של הסדרה‬
‫(שים לב! חלק מהאיברים אינם מופיעים בגרף‪).‬‬
‫)‪a1  (q n  1‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪q 1‬‬
‫)‪1  ((2)10  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪( 2)  1‬‬
‫‪ 1023‬‬
‫תשובה‪S10  1,023 :‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪a1  1 q  2‬‬
‫‪S10‬‬
‫‪S10‬‬
‫(ב) ‪S10  1,023‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪11‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫‪13‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫שאלה מספר ‪.23‬‬
‫בגרף שלפניכם מתוארים חמשת האיברים הראשונים של סדרה חשבונית‪.‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪20‬‬
‫‪21‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫(א)‪.‬מצאו על‪-‬פי הגרף את האיבר הראשון‬
‫בסדרה‪ ,‬ואת הפרש הסדרה‪.‬‬
‫‪a1  14 a2  10 a3  6 a4  2‬‬
‫‪d  a2  a1  10  14  4‬‬
‫‪d  4‬‬
‫תשובה‪a1  14 d  4 :‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫חשבו את סכום עשרת האיברים הראשונים של הסדרה‪.‬‬
‫תשובה‪S10  40 :‬‬
‫(ג)‪.‬‬
‫סכום של כמה איברים ראשונים בסדרה שווה ל‪? 5 -‬‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10  2  14  (4)  9‬‬
‫‪S10 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S10  40‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  2  14  (4)  (n  1)‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0  n  28  4n  4‬‬
‫‪0  n  32  4n‬‬
‫‪0n‬‬
‫‪32  4n  0‬‬
‫‪4n  32 / : 4‬‬
‫‪n8‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫תשובה‪n  8 :‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪a1  14 d  4‬‬
‫(ב) ‪S10  40‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫(ג) ‪n  8‬‬
‫‪13‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬
‫‪11‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫מעודכן לשנת תשע"ג‬
‫שאלה מספר ‪.34‬‬
‫הגרף הבא מתאר את מספר הכיסאות באולם קולנוע‪ ,‬בכל אחת מחמש השורות הראשונות באולם‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫עבור חמש השורות הראשונות‪ ,‬קבעו בכמה‬
‫כיסאות גדולה כל שורה מהשורה הקודמת לה‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫‪24‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21‬‬
‫‪20‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a1  10 a2  12 a3  14 a4  16‬‬
‫‪d  a2  a1  12  10  2‬‬
‫‪d 2‬‬
‫תשובה‪d  2 :‬‬
‫ב‪ .‬בהנחה שההפרש שמצאת בסעיף א' נשאר קבוע‪ ,‬מצאו‪ )1( :‬כמה כסאות יש בשורה ה‪?10 -‬‬
‫‪an  a1  (n  1)d‬‬
‫‪a15  a1  (15  1)  d‬‬
‫תשובה‪a15  38 :‬‬
‫‪a15  10  14  2‬‬
‫‪a15  38‬‬
‫(‪ )3‬באולם הקולנוע יש ‪ 455‬מקומות ישיבה‪ .‬מהו מספר השורות באולם?‬
‫‪ b  b2  4  a  c‬‬
‫‪2a‬‬
‫)‪ (18)  324  4(2)(800‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪1,2‬‬
‫)‪2(2‬‬
‫‪ 18  82‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ 16‬‬
‫‪ 18  82 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪1,2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 18  82‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ 25‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪1,2‬‬
‫‪n  2a1  d  (n  1)‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪n  2  10  (2)  (n  1)‬‬
‫‪400 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪800  n  20  2n  2‬‬
‫‪800  n  18  2n‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪2n 2  18n  800  0‬‬
‫‪y  ax 2  bx  c‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪b  18‬‬
‫‪b 2  324‬‬
‫תשובה‪n  16 :‬‬
‫‪c  800‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪( d  2‬ב) (‪ 24 )1( a15  38 )2‬שורות‪.‬‬
‫פרק ‪ 2.1‬סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות‬
‫‪11‬‬
‫כתב וערך ‪ :‬יוסי דהן‬