‫תרגיל בנושא‪:‬‬
‫עקומות במישור – הצגות פרמטריות ואחרות; ההבדלים בין ההצגות; משיק‪ ,‬נורמל‪ ,‬אורך‪ ,‬עקמומיות;‬
‫תבניות ריבועיות‬
‫תזכורת‪:‬‬
‫‪http://www-math.mit.edu/18.013A/HTML/chapter05/section03.html#LinesInSpace‬‬
‫הצגה פרמטרית של ישרים במרחב‬
‫‪ http://www-math.mit.edu/18.013A/HTML/tools/tools15.html‬הצגה פרמטרית של מישורים‬
‫במרחב‬
‫‪ http://mathworld.wolfram.com/TangentPlane.html‬מישור משיק‬
‫‪http://mathworld.wolfram.com/NormalVector.html‬‬
‫‪.1‬‬
‫א‪ .‬בהצגה הפרמטרית של קו ישר במישור או במרחב – מהי המשמעות של הפרמטר?‬
‫ב‪ .‬האם הצגה זו תלויה בבחירת מערכת צירים במישור או במרחב?‬
‫‪.2‬‬
‫קו ישר מיוצג במערכת צירים )‪ (x, y‬על ידי המשוואה ‪.ax + by + c=0‬‬
‫מהקורס של הנדסת המרחב ידוע שכל שתי נקודות מגדירות קו ישר אחד ויחיד‪ .‬שתי נקודות במישר‬
‫מאפשרות לרשום שתי משוואות למציאת המקדמים ‪ a, b, c‬במשוואת הישר‪ .‬על כן‪ ,‬מתקבלת מערכת‬
‫שתי משוואות בשלושה נעלמים (שהם המקדמים ‪ ,)a, b, c‬לה יכול להיות אין סוף פתרונות‪ .‬האם יש‬
‫סתירה בין ההצגה האלגברית של קו ישר לבין מושג הקו הישר המוכר מהנדסת המישור?‬
‫‪.3‬‬
‫א‪ .‬האם העקומה שהצגתו הפרמטרית היא ‪ x=t, y=sin t‬היא קו רגולרי? העלו השערה על סמך מראה‬
‫העקומה וגם תנו נימוק אנליטי‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם העקומה שהצגתו הפרמטרית היא | ‪ x=t, y=|sin t‬היא קו רגולרי? הסבירו את תשובתכם גם‬
‫על סמך מראה העקומה וגם בדרך אנליטית‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫א‪ .‬רשמו הצגה פרמטרית לקו המחבר בין שני הולכי רגל (שאלה ‪ 8‬תרגיל ‪ .)1‬מהי המשמעות של‬
‫הפרמטר בהצגה?‬
‫ב‪ .‬האם קו זה הוא קו רגולרי?‬
‫‪.5‬‬
‫א‪ .‬רשמו הצגה פרמטרית למסלול הנקודה ‪ A‬על הסולם (שאלה ‪ 7‬תרגיל ‪ .)1‬מהי המשמעות של‬
‫הפרמטר?‬
‫ב‪ .‬האם קו זה הוא קו רגולרי?‬
‫‪.6‬‬
‫האם ייתכן שלעקומה רגולרית תהיה נקודה ובה יותר ממשיק אחד לעקומה? אם לא ‪ -‬הסבירו מדוע‪.‬‬
‫אם כן – אילו תנאים צריכה לקיים ההצגה הפרמטרית של הקו על מנת שזה לא יקרה?‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה עקומה שהצגתה הפרמטרית היא ‪.)a>0( x=t5-at3, y=t2‬‬
‫א‪ .‬האם עקומה זו רגולרית בכל נקודה? אם לא – מהן הנקודות הסינגולריות שלה?‬
‫ב‪ .‬מצאו את הערך של ‪ a‬כך שהנקודה )‪ (0, a‬תהיה נקודה רגולרית של העקומה ובה המשיק לעקומה‬
‫משמש גם נורמל אליה‪ .‬הסבירו כיצד זה קורה‪.‬‬
‫סמ' א תשס"ט‬
‫תרגיל מס' ‪ 3‬בקורס "גיאומטריה"‬
‫פרופ' י‪ .‬קנאי דר' מ‪ .‬ברבש‬
‫‪1‬‬
‫‪.8‬‬
‫אפיציקלואידה )‪ (epicycloid‬היא עקומה הנוצרת כמסלול של נקודה כלשהי על מעגל שמחוגו ‪b‬‬
‫המתגלגל ללא החלקה לאורך מעגל שמחוגו ‪ a‬מחוץ למעגל זה (ראו‪ ,‬למשל‪ ,‬את האתר‬
‫‪ http://mathworld.wolfram.com/Epicycloid.html‬ובו גם ההצגה הפרמטרית וההצגה הקוטבית‬
‫של אפיציקלואידה)‪.‬‬
‫אפיטרוכואידה (‪ ,)Epitrochoid‬או אפיציקלואידה מקוצרת או מוארכת‪ ,‬היא עקומה המתקבלת‬
‫באופן דומה‪ ,‬אך הנקודה אשר "מציירת" אותה נמצאת לא על המעגל עצמו‪ ,‬אלא על המחוג שלו או‬
‫על המשכו‪ .‬בהתאם לכך‪,‬מתקבלת אפיציקלואידה מקוצרת או מוארכת‪ ,‬בהתאמה (ראו‪ ,‬למשל‪ ,‬את‬
‫האתר ‪ http://mathworld.wolfram.com/Epitrochoid.html‬ובו גם ההצגה הפרמטרית של עקומות‬
‫אלה)‪.‬‬
‫א‪ .‬שערו לפי המראה של האפיציקלואידה האם זהו קו רגולרי‪ ,‬ולאחר מכן בדקו את השערתכם באופן‬
‫אנליטי‪.‬‬
‫ב‪ .‬שערו לפי המראה של האפיטרוכואידה האם זהו קו רגולרי‪ ,‬ולאחר מכן בדקו את השערתכם באופן‬
‫אנליטי‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראו כיצד מופיעות נקודות סינגולריות על אפיטרוכואידה כאשר ‪( hb‬ראו את הסימונים‬
‫באתרים לעיל)‪.‬‬
‫ד‪ .‬במה תלוי מספר נקודות סינגולריות של האפיציקלואידה? האם ייתכן שמספר זה יהיה אינסופי?‬
‫תנו תשובה מנומקת‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫האם ייתכן שקו רגולרי חסום יהיה בעל אורך אין סופי? אם לא – הסבירו מדוע‪ .‬אם כן – חשבו על‬
‫דוגמה (ולו בצורה אינטואיטיבית‪ ,‬אם אתם מתקשים למצוא ביטוי אנליטי כלשהו לעקומה זו)‪.‬‬
‫‪ .11‬עקומה נתונה על ידי הצגה פרמטרית‬
‫) ‪x  cos   (1  e ‬‬
‫) ‪y  sin   (1  e ‬‬
‫‪ .‬רשמו את הפרמטריזציה של עקומה זו‬
‫לפי האורך מהנקודה המתאימה ל‪( =0 -‬אין צורך לבצע את החישוב)‪ ,‬וכן את הנוסחאות לנורמל‬
‫ולמשיק לעקומה ולעקמומיות שלה בנקודה כלשהי‪ .‬מצאו את גבולות הביטויים שקיבלתם כאשר‬
‫‪. ‬‬
‫‪ .11‬חשבו שוב על השאלה מס' ‪.9‬‬
‫‪ .12‬אחת הדרכים להגדיר אליפסה היא על ידי ההצגה הפרמטרית שלה‪.(a b) x=acost, y=bsint :‬‬
‫א‪ .‬שערו כיצד תיראה הסקיצה של עקמומיות האליפסה כגרף הפונקציה של ‪ t‬בגבולות בין ‪ 1‬ל‪.2 -‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את נקודות הקיצון של עקמומיות האליפסה‪ ,‬וכן את המשיק ואת הנורמל לאליפסה ואת‬
‫הערכים של העקמומיות בנקודות אלה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כיצד תבדקו שקבילתם ביטוי נכון לעקמומיות של אליפסה?‬
‫ד‪ .‬בדקו האם השערתכם ב – (א) עונה לחישוביכם ב‪( -‬ב)‪.‬‬
‫‪ .13‬שערו כיצד ייראה גרף פונקצית העקמומיות של סינוסואידה (גרף הפונקציה ‪ .)y=sin x‬הערה‪ :‬בחרו‬
‫פרמטריזציה ‪. 0t2 ,x=t, y=sin t‬‬
‫סמ' א תשס"ט‬
‫תרגיל מס' ‪ 3‬בקורס "גיאומטריה"‬
‫פרופ' י‪ .‬קנאי דר' מ‪ .‬ברבש‬
‫‪2‬‬
‫‪ .14‬עקומת השרשרת היא עקומה שקיבלה את שמה מהצורה ששרשרת התלויה בקצותיה מקבלת תחת‬
‫כוח הכובד (כאשר המרחק בין קצוות השרשרת קטן מאורכה)‪ .‬קדקודה הוא הנקודה הנמוכה ביותר‬
‫(לשם פשטות נניח שקצות השרשרת נמצאים באותו גובה)‪.‬‬
‫‪xt‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫ההצגה הפרמטרית של עקומת השרשרת היא‬
‫‪‬‬
‫‪a a‬‬
‫‪a‬‬
‫) ‪y  (e  e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬במה‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬תלוי הערך של הפרמטר ‪?a‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את הנוסחאות לאורך העקומה מקדקודה עד לנקודה כלשהי וכן את הנוסחה לנורמל‬
‫לעקומה בנקודה כלשהי‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראו כי שיפוע המשיק לעקומה בכל נקודה זו פרופורציונלי לאורכה בין קדקודה לנקודה זו‪.‬‬
‫‪ .15‬מיינו את העקומות שהמשוואות שלהן רשומות כאן‪ ,‬והביאו לצורה הקנונית פרבולה אחת‪ ,‬היפרבולה‬
‫אחת ואליפסה אחת (או מעגל אחד) מאלה שאינן מוצגות בצורה הקנונית‪:‬‬
‫א‪4x 2  9y 2  6x  12y  10  0 .‬‬
‫ב‪4x2  y2  6x  12y  10  0 .‬‬
‫‪113‬‬
‫‪4x 2  y 2  6x  12y ‬‬
‫ג‪ 0 .‬‬
‫‪4‬‬
‫ד‪4x2  4y2  6x  12y  10  0 .‬‬
‫ה‪4x2  4y2  6x  12y  10  0 .‬‬
‫ו‪4x2  4y2  6x  12y  10  0 .‬‬
‫ז‪4x2  4y2  6x  2y  10  0 .‬‬
‫ח‪4y2  6x  12y  10  0 .‬‬
‫ט‪6x 2  12y 2  0 .‬‬
‫י‪6x2  12y2  10  0 .‬‬
‫יא‪6x 2  12y 2  10  0 .‬‬
‫יב‪6x 2  12y  10  0 .‬‬
‫יג‪6x 2  12y 2  10  0 .‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .16‬איזו עקומה מתקבלת מההצגה הפרמטרית ‪, y  b tan t‬‬
‫‪cos t‬‬
‫סמ' א תשס"ט‬
‫‪?x ‬‬
‫תרגיל מס' ‪ 3‬בקורס "גיאומטריה"‬
‫פרופ' י‪ .‬קנאי דר' מ‪ .‬ברבש‬
‫‪3‬‬