‫פרק ‪ – 12‬האינטגרל הקווי‬ ‫הצגה פרמטרית של עקומה 𝑐 במישור ובמרחב‪:‬‬ ‫𝑡 𝑦 ‪ 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 ,‬כאשר 𝐼 ∈ 𝑡‬ ‫כאשר 𝑐 עקומה מישורית‪ ,‬נתאר אותה ע"י הפרמטריזציה‬ ‫𝑡 𝑧 ‪ 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 ,‬כאשר 𝐼 ∈ 𝑡‬ ‫כאשר 𝑐 עקומה מרחבית‪ ,‬נתאר אותה ע"י הפרמטריזציה‬ ‫בצורה גרפית‪ ,‬מתאימים לכל נקודה 𝑡 בקטע 𝐼 נקודה על העקומה המישורית או המרחבית 𝑐‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫פרמטריזציה זו מוגדרת כאשר‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪≠ 0,0‬‬ ‫הוקטור‬ ‫‪t‬‬ ‫𝑡 ‪ 𝑥′‬ו‪-‬‬ ‫𝑡 ‪ 𝑦′‬פונקציות רציפות בקטע 𝐼‬ ‫𝑡 ‪ 𝑟′ 𝑡 = 𝑥′ 𝑡 , 𝑦′‬לכל 𝐼 ∈ 𝑡‪.‬‬ ‫𝑡 𝑦 ‪ 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 ,‬ומוגדר ע"י‪:‬‬ ‫𝑡 ‪ 𝑟′‬הוא וקטור משיק לעקומה 𝑐 בנקודה‬ ‫‪y‬‬ ‫‪c‬‬ ‫𝑡 𝑟 ‪𝑟 𝑡 + ∆𝑡 −‬‬ ‫𝑟∆‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪∆𝑡→0‬‬ ‫𝑡∆ ‪∆𝑡→0‬‬ ‫𝑡∆‬ ‫‪= lim‬‬ ‫𝑡‬ ‫‪Δr‬‬ ‫‪𝑟′‬‬ ‫)‪r(t+Δt‬‬ ‫)‪r(t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫פרמטריזציות נפוצות‪:‬‬ ‫‪ .1‬פרמטריזציה של מעגל עם מרכז‬ ‫‪0,0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ורדיוס 𝑅‪:‬‬ ‫העקומה 𝑐 נתונה ע"י‪ 𝑐: 𝑥 + 𝑦 2 = 𝑅2 :‬ולכן‪:‬‬ ‫𝑡 𝑛𝑖𝑠𝑅 ‪ 𝑟 𝑡 = 𝑅𝑐𝑜𝑠 𝑡,‬כאשר 𝜋‪.0 ≤ 𝑡 ≤ 2‬‬ ‫‪ .2‬פרמטריזציה של קטע‪:‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪P‬‬ ‫𝑄𝑡 ‪ 𝑟 𝑡 = 𝑃 + 𝑡 𝑄 − 𝑃 = 1 − 𝑡 𝑃 +‬כאשר ‪0 ≤ 𝑡 ≤ 1‬‬ ‫אם ‪ 𝑡 = 0‬נקבל את הנקודה 𝑃‬ ‫אם ‪ 𝑡 = 1‬נקבל את הנקודה 𝑄‬ ‫)‪P+t(Q-P‬‬ ‫אם ‪ 0 ≤ 𝑡 ≤ 1‬נקבל את נקודה בין 𝑃 ל‪𝑄 -‬‬ ‫‪O‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪ .3‬עקומה ‪:Helix‬‬ ‫עקומה זו מוגדרת ע"י‪:‬‬ ‫𝑡 ‪ 𝑟 𝑡 = cos 𝑡 , sin 𝑡 ,‬כאשר 𝜋 ≤ 𝑡 ≤ ‪0‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ישנם שני סוגים של אינטגרלים קווים‪ .‬השימוש בכל אחד מהסוגים תלוי בסוג הפונקציה 𝑓‬ ‫עבורה מחשבים את האינטגרל‪:‬‬ ‫‪ .1‬אינטגרל קווי מסוג ‪ – 1‬כאשר 𝑓 פונקציה פרמטרית במישור או במרחב‬ ‫‪ .2‬אינטגרל קווי מסוג ‪ - 2‬כאשר 𝑓 פונקציה וקטורית במישור או במרחב‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫אינטגרל קווי מסוג ‪1‬‬ ‫הגדרה‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬או‬ ‫אם פונקציה‬ ‫𝑡 𝑧‪𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬ ‫𝑏 ‪𝑡 ∈ 𝑎,‬‬ ‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬רציפה בעקומה 𝑐 בעלת פרמטריזציה‬ ‫בהתאמה‪ ,‬אזי האינטגרל הקווי של 𝑓 לאורך עקומה 𝑐 מוגדר ע"י‪:‬‬ ‫𝑏‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 𝑦‪𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 ,‬‬ ‫𝑏 ‪𝑡 ∈ 𝑎,‬‬ ‫או‬ ‫𝑡 ‪+ 𝑦′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪𝑥′‬‬ ‫𝑡 𝑦‪𝑓 𝑥 𝑡 ,‬‬ ‫𝑏‬ ‫= 𝑡𝑑 𝑡 ‪𝑟′‬‬ ‫𝑡 𝑦‪𝑓 𝑥 𝑡 ,‬‬ ‫𝑎‬ ‫= 𝑆𝑑 𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬ ‫𝑐‬ ‫𝑎‬ ‫או‬ ‫𝑏‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪+ 𝑧′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪+ 𝑦′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪𝑥′‬‬ ‫𝑡 𝑧‪𝑓 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬ ‫𝑏‬ ‫= 𝑡𝑑 𝑡 ‪𝑟′‬‬ ‫𝑡 𝑧‪𝑓 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬ ‫𝑎‬ ‫= 𝑆𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑎‬ ‫𝑐‬ ‫טענה‬ ‫האינטגרל הקווי לאורך עקומה 𝑐 רציפה למקוטעין שווה לסכום האינטגרלים הקוויים‬ ‫לאורך כל חלק של העקומה‪ .‬כלומר אם 𝑛𝑐 ∪ … ∪ ‪ 𝑐 = 𝑐1 ∪ 𝑐2‬אז מתקיים‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫= 𝑆𝑑 𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬ ‫𝑆𝑑 𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬ ‫𝑖 𝑐 ‪𝑖=1‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑐‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫שימושים של אינטגרל קווי מסוג ‪:1‬‬ ‫𝑡 𝑦‪𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 ,‬‬ ‫𝑏 ‪𝑡 ∈ 𝑎,‬‬ ‫‪ .1‬אורך עקומה – אורך קשת של עקומה בעלת פרמטריזציה‬ ‫𝑡 𝑧‪𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬ ‫𝑏 ‪𝑡 ∈ 𝑎,‬‬ ‫או‬ ‫מתקבל ע"י הנוסחא הבאה‪:‬‬ ‫𝑏‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫עבור עקומה במישור‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪+ 𝑦′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪𝑥′‬‬ ‫= 𝑆𝑑‬ ‫𝑎‬ ‫=𝐿‬ ‫𝑐‬ ‫𝑏‬ ‫עבור עקומה במרחב‪:‬‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪+ 𝑧′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪+ 𝑦′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪𝑥′‬‬ ‫= 𝑆𝑑‬ ‫𝑎‬ ‫𝑡 𝑦‪𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 ,‬‬ ‫𝑏 ‪𝑡 ∈ 𝑎,‬‬ ‫או‬ ‫𝑐‬ ‫𝑧 ‪ 𝜌 𝑥, 𝑦,‬מסת עקומה בעלת פרמטריזציה‬ ‫‪ .2‬מסה של עקומה – עבור פונקציית צפיפות‬ ‫𝑡 𝑧‪𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬ ‫𝑏 ‪𝑡 ∈ 𝑎,‬‬ ‫=𝐿‬ ‫מתקבל ע"י הנוסחא הבאה‪:‬‬ ‫𝑏‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫עבור עקומה במישור‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪+ 𝑦′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪𝑥′‬‬ ‫𝑡 𝑦‪𝜌 𝑥 𝑡 ,‬‬ ‫= 𝑆𝑑 𝑦 ‪𝜌 𝑥,‬‬ ‫𝑎‬ ‫=𝑀‬ ‫𝑐‬ ‫𝑏‬ ‫עבור עקומה במרחב‪:‬‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪+ 𝑧′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪+ 𝑦′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪𝑥′‬‬ ‫𝑡 𝑧‪𝜌 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬ ‫= 𝑆𝑑 𝑦 ‪𝜌 𝑥,‬‬ ‫𝑎‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=𝑀‬ ‫𝑐‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫דוגמא‬ ‫עבור העקומה‬ ‫𝑡 ‪ 𝑐: 𝑟 𝑡 = cos 𝑡 , sin 𝑡 ,‬כאשר 𝜋 ≤ 𝑡 ≤ ‪ 0‬נחשב את אורך העקומה 𝑐 ואת מסת התיל‬ ‫כאשר הצפיפות נתונה ע"י ‪.𝜌 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 𝑦 + 𝑧 3‬‬ ‫לחישוב האורך והמסה נחשב את הביטוי‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪+ 𝑧′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪+ 𝑦′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪𝑥′‬‬ ‫𝑡 ‪: 𝑟′‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑟′ 𝑡 = −sin 𝑡 , cos 𝑡 , 1‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪+ cos‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪−sin‬‬ ‫𝑡 ‪𝑟′‬‬ ‫=‬ ‫ולכן אורך העקומה הוא‪:‬‬ ‫𝑏‬ ‫𝜋‬ ‫= 𝑡𝑑‬ ‫‪2𝑑𝑡 = 𝜋 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪+ 𝑧′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪+ 𝑦′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡 ‪𝑥′‬‬ ‫= 𝑆𝑑‬ ‫‪0‬‬ ‫נחשב את הביטוי‬ ‫𝑎‬ ‫=𝐿‬ ‫𝑐‬ ‫𝑡 𝑧 ‪:𝜌 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 ,‬‬ ‫‪= 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 sin 𝑡 + 𝑡 3‬‬ ‫𝜋‬ ‫= 𝑡𝑑‪2‬‬ ‫‪𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 sin 𝑡 + 𝑡 3‬‬ ‫𝑡 𝑧‪𝜌 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬ ‫𝑏‬ ‫= 𝑡𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑧′‬‬ ‫𝑡‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡‬ ‫‪𝑦′‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡‬ ‫‪𝑥′‬‬ ‫𝑡 𝑧‪𝜌 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=𝑀‬ ‫= 𝑆𝑑 𝑦 ‪𝜌 𝑥,‬‬ ‫𝑎‬ ‫‪2 𝜋4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫𝜋‬ ‫‪𝑡3 = 2‬‬ ‫𝑐‬ ‫𝜋‬ ‫𝜋‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪𝑐𝑜𝑠 𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡 + 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑐𝑜𝑠 𝑡 sin 𝑡 + 𝑡 𝑑𝑡 = 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫תרגיל‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(1,2‬‬ ‫חשב את האינטגרל הקווי 𝑆𝑑𝑦 ‪𝑥 2‬‬ ‫𝑐‬ ‫כאשר ‪ .𝑐 = 𝑐1 ∪ 𝑐2 ∪ 𝑐3‬כאשר‪:‬‬ ‫‪c2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪(1,0‬‬ ‫‪c3‬‬ ‫‪c1‬‬ ‫)‪(0,0‬‬ ‫פתרון‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫אינטגרל קווי מסוג ‪2‬‬ ‫הגדרה‬ ‫יהיה שדה וקטורי במישור או במרחב‪:‬‬ ‫𝑦 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑔 𝑥,‬או‬ ‫𝑧 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑕 𝑥, 𝑦,‬כאשר הרכיבים של הפונקציה פונקציות רציפות‬ ‫בנקודות העקומה 𝑐‪ ,‬ו‪ 𝑐 -‬בעלת הצגה פרמטרית‬ ‫𝑡 𝑧 ‪ 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 ,‬כאשר 𝑏 ‪.𝑡 ∈ 𝑎,‬‬ ‫נגדיר את האינטגרל הקווי של 𝐹 לאורך 𝑐 ע"י‪:‬‬ ‫𝑡 ‪′‬‬ ‫=‬ ‫𝑡 ‪∙ 𝑥 ′ 𝑡 , 𝑦′ 𝑡 , 𝑧′‬‬ ‫𝑡 𝑧‪𝐹 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬ ‫𝑟∙‬ ‫=‬ ‫𝑡 𝑟 𝐹‬ ‫𝑐‬ ‫= 𝑟𝑑 ∙ 𝐹‬ ‫𝑐‬ ‫𝑐‬ ‫𝑏‬ ‫𝑡𝑑 𝑡 ‪𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 𝑥 ′ 𝑡 + 𝑔 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 𝑦 ′ 𝑡 + 𝑕 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 𝑧 ′‬‬ ‫=‬ ‫𝑎‬ ‫ניתן לסמן גם כך ‪:‬‬ ‫𝑏‬ ‫= 𝑟𝑑 ∙ 𝐹‬ ‫𝑧𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑦 + 𝑕 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑎‬ ‫𝑐‬ ‫𝑡𝑑 𝑡 ‪𝑑𝑥 = 𝑥 ′‬‬ ‫כאשר‪𝑑𝑦 = 𝑦 ′ 𝑡 𝑑𝑡 :‬‬ ‫𝑡𝑑 𝑡 ‪𝑑𝑧 = 𝑧 ′‬‬ ‫טענה‬ ‫עבור אותה עקומה 𝑐 אבל במגמה נגדית‪ ,‬האינטגרל הנגדי הוא 𝑟𝑑 ∙ 𝐹‬ ‫𝑐‬ ‫‪−‬‬ ‫שימושים של אינטגרל קווי מסוג ‪:2‬‬ ‫‪ .1‬חישוב עבודה – עבור שדה כוח 𝐹 במעבר חלקיק לאורך מסלול 𝑐 מתבצעת עבודה‬ ‫המוגדרת ע"י‪:‬‬ ‫= 𝐹 ‪Wc‬‬ ‫𝑟𝑑 ∙ 𝐹‬ ‫𝑐‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪ .1‬נחשב את האינטגרל 𝑟𝑑 ∙ 𝐹‬ ‫פרמטריזציה‬ ‫𝑐‬ ‫כאשר‬ ‫𝑦𝑥 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑧, 𝑥𝑧,‬עבור עקומה 𝑐 בעלת‬ ‫‪ 𝑟 𝑡 = 𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3‬כאשר ‪.𝑡 ∈ 0,1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6𝑡 5 𝑑𝑡 = 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= 𝑡𝑑 𝑡‪𝑡 + 2𝑡 + 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ .2‬נחשב את 𝑦𝑑𝑥 ‪𝑦𝑑𝑥 −‬‬ ‫𝑐‬ ‫‪1‬‬ ‫= 𝑡𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑡‪∙ 1,2𝑡, 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫𝑡‪𝑡 ,𝑡 ,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= 𝑟𝑑 ∙ 𝐹‬ ‫‪0‬‬ ‫לאורך עקומה 𝑐‪ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 :‬כאשר ‪ 𝑦 ≥ 0‬מהנקודה‬ ‫𝑐‬ ‫‪5,0‬‬ ‫‪. −5,0‬‬ ‫לנקודה‬ ‫העקומה 𝑐 היא חצי מעגל ולכן נבצע פרמטריזציה מעגלית‪:‬‬ ‫𝑡 ‪ 𝑟 𝑡 = 5 cos 𝑡 , 5 sin‬כאשר‬ ‫𝜋 ‪:𝑡 ∈ 0,‬‬ ‫מתקיים‪ 𝑑𝑦 = 𝑦 ′ 𝑡 𝑑𝑡 = 5 cos 𝑡 𝑑𝑡 ,𝑑𝑥 = 𝑥 ′ 𝑡 𝑑𝑡 = −5 sin 𝑡 𝑑𝑡 :‬ולכן‪:‬‬ ‫𝜋‬ ‫𝜋‪sin2 𝑡 + cos 2 𝑡 𝑑𝑡 = −25‬‬ ‫𝜋‬ ‫‪5 sin 𝑡 −5 sin 𝑡 𝑑𝑡 − 5 cos 𝑡 5 cos 𝑡 𝑑𝑡 = −25‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= 𝑦𝑑𝑥 ‪𝑦𝑑𝑥 −‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑐‬ ‫תרגיל‬ ‫חשב את האינטגרל הקווי 𝑦𝑑𝑥 ‪𝑦𝑑𝑥 −‬‬ ‫𝑐‬ ‫לאורך הישר 𝑐 המחבר את נקודה‬ ‫‪5,0‬‬ ‫לנקודה‬ ‫‪. −5,0‬‬ ‫פתרון‬ ‫‪0‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫שדה משמר‬ ‫המשפט היסודי – אי תלות במסלול‬ ‫יהיה 𝐹 שדה וקטורי‬ ‫𝑧 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑕 𝑥, 𝑦,‬כאשר‬ ‫𝑦 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑔 𝑥,‬או‬ ‫הרכיבים של הפונקציה פונקציות רציפות בתחום 𝐷 המכיל שתי נקודות 𝐴 ו‪.𝐵 -‬‬ ‫נניח כי קיימת פונקציה 𝑅 → 𝐷 ‪ 𝜙:‬כך ש‪-‬‬ ‫𝑧 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ∇𝜙 𝑥, 𝑦,‬או‬ ‫𝑦 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦 = ∇𝜙 𝑥,‬לכל‬ ‫נקודה 𝐷‪ ,‬אזי עבור כל עקומה רציפה למקוטעין 𝑐 שתחילתה בנקודה 𝐴 וסופה ב‪𝐵 -‬‬ ‫ומוכלת בתחום 𝐷 מתקיים‪:‬‬ ‫𝐴 𝜙 ‪𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = 𝜙 𝐵 −‬‬ ‫𝑐‬ ‫כלומר‪ ,‬האינטגרל הקווי אינו תלוי במסלול המחבר את הנקודות 𝐴 ו‪.𝐵 -‬‬ ‫הגדרה‬ ‫אם‬ ‫𝑧 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ∇𝜙 𝑥, 𝑦,‬או‬ ‫𝑦 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦 = ∇𝜙 𝑥,‬לכל הנקודות ב‪ ,𝐷 -‬אזי 𝐹 נקרא שדה משמר‬ ‫ולפונקציה 𝜙 קוראים פונקציית פוטנציאל של 𝐹‪.‬‬ ‫משפט‬ ‫יהיה 𝐹 שדה וקטורי‬ ‫𝑧 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑕 𝑥, 𝑦,‬כאשר‬ ‫𝑦 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑔 𝑥,‬או‬ ‫הרכיבים של הפונקציה פונקציות רציפות בתחום 𝐷‪ ,‬אזי התכונות הבאות שקולות‪:‬‬ ‫‪ 𝐹 .1‬שדה וקטורי משמר (קיימת פונקציית פוטנציאל כך ש‪)𝐹 = ∇𝜙 -‬‬ ‫‪𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = 0 .2‬‬ ‫‪𝐹 ∙ 𝑑𝑟 .3‬‬ ‫𝑐‬ ‫𝑐‬ ‫לכל עקומה סגורה רציפה למקוטעין ב‪𝐷 -‬‬ ‫אינו תלוי במסלול לכל עקומה ב‪ 𝐷 -‬המחברת את הנקודות 𝐴 ו‪.𝐵 -‬‬ ‫מבחן השדה המשמר‬ ‫‪ .1‬יהיה 𝐹 שדה וקטורי‬ ‫𝑦 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑔 𝑥,‬כאשר הרכיבים של הפונקציה בעלי נגזרות‬ ‫חלקיות רציפות מסדר ראשון בתחום 𝐷‪ 𝐹 .‬הוא שדה משמר ב‪ 𝐷 -‬אם ורק אם מתקיים‪:‬‬ ‫𝑦 ‪𝑥,‬‬ ‫𝑔𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫= 𝑦 ‪𝑥,‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫לכל ‪. 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2‬‬ ‫‪ .2‬יהיה 𝐹 שדה וקטורי‬ ‫𝑧 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑕 𝑥, 𝑦,‬כאשר הרכיבים של הפונקציה‬ ‫בעלי נגזרות חלקיות רציפות מסדר ראשון בתחום 𝐷‪ 𝐹 .‬הוא שדה משמר ב‪ 𝐷 -‬אם ורק‬ ‫אם מתקיים‪:‬‬ ‫𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑔𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫= 𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑕𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫= 𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑧𝜕‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑕𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫= 𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑔𝜕‬ ‫𝑧𝜕‬ ‫לכל ‪. 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫הגדרה – רוטור של שדה וקטורי‬ ‫𝑧 ‪𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑕 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫עבור 𝐹 שדה וקטורי‬ ‫𝑔𝜕 𝑕𝜕‬ ‫𝑕𝜕 𝑓𝜕‬ ‫𝑓𝜕 𝑔𝜕‬ ‫‪−‬‬ ‫‪𝑖+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪𝑗+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑘‬ ‫𝑧𝜕 𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕 𝑧𝜕‬ ‫𝑦𝜕 𝑥𝜕‬ ‫𝑘‬ ‫𝜕‬ ‫𝑧𝜕‬ ‫𝑧 ‪𝑕 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫=‬ ‫𝑗‬ ‫𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑧 ‪𝑔 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫𝑖‬ ‫𝜕‬ ‫= 𝐹 × ∇ = 𝐹 𝑙𝑟𝑢𝑐 = 𝐹 𝑡𝑜𝑟‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬ ‫השדה 𝐹 הוא שדה משמר כאשר הרוטור שלו מתאפס ‪𝑟𝑜𝑡 𝐹 = 0 -‬‬ ‫דוגמא‬ ‫נתון שדה‬ ‫‪ .𝐹 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 3 , 1 + 3𝑥 2 𝑦 2‬נראה כי 𝐹 שדה משמר ונמצא את פונקציית הפוטנציאל‬ ‫של השדה 𝐹 ‪.‬‬ ‫נסמן‪.𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 3 , 𝑔 𝑥, 𝑦 = 1 + 3𝑥 2 𝑦 2 :‬‬ ‫השדה 𝐹 הוא שדה משמר אם ורק אם‬ ‫מתקיים‪𝑥, 𝑦 = 6𝑥𝑦 2 :‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑦 ‪𝑥,‬‬ ‫ו‪𝑥, 𝑦 = 6𝑥𝑦 2 -‬‬ ‫𝑔𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑔𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫= 𝑦 ‪𝑥,‬‬ ‫𝑓𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫‪:‬‬ ‫‪ ,‬ולכן השדה 𝐹 שדה משמר‪.‬‬ ‫נחשב את פונקציית הפוטנציאל 𝜙‪:‬‬ ‫מתקיים‪ ∇𝜙 = 𝐹 :‬ולכן‪𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 3 :‬‬ ‫𝜙𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫נגזור את המשוואה האחרונה לפי 𝑦 ונקבל‪:‬‬ ‫𝑦 𝑐 ‪2𝑥𝑦 3 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑦 3 +‬‬ ‫𝑦 ‪𝑥, 𝑦 = 3𝑥 2 𝑦 2 + 𝑐′‬‬ ‫𝜙𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫= 𝜙‪.‬‬ ‫‪ .‬אבל ‪𝑥, 𝑦 = 1 + 3𝑥 2 𝑦 2‬‬ ‫𝜙𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫ולכן ‪ ,𝑐 ′ 𝑦 = 1‬ומכאן 𝑦 = 𝑦 𝑐‪.‬‬ ‫קיבלנו כי 𝑦 ‪ 𝜙 = 𝑥 2 𝑦 3 +‬פונקציית פוטנציאל של השדה 𝐹‪.‬‬ ‫תרגיל‬ ‫עבור השדה 𝐹 שבדגומא הנ"ל‪ ,‬חשב את האינטגרל 𝑟𝑑 ∙ 𝐹‬ ‫‪3,1‬‬ ‫‪1,4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫‪−58‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫משפט – משפט גרין‬ ‫יהי 𝐷 תחום במישור כאשר השפה שלו עקומה סגורה ורציפה למקוטעים עם מגמה הפוכה‬ ‫לכיוון השעון‪ .‬אם ל‪-‬‬ ‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬ו‪-‬‬ ‫𝑦 ‪ 𝑔 𝑥,‬יש נגזרות חלקיות רציפות מסדר ראשון ב‪,𝐷 -‬‬ ‫אזי מתקיים‪:‬‬ ‫𝑓𝜕 𝑔𝜕‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑦𝑑𝑥𝑑‬ ‫𝑦𝜕 𝑥𝜕‬ ‫= 𝑦𝑑 𝑦 ‪𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥,‬‬ ‫𝑐‬ ‫𝐷‬ ‫חישוב שטחים בעזרת משפט גרין‪:‬‬ ‫𝑦𝑑𝑥 ‪−𝑦𝑑𝑥 +‬‬ ‫𝑐‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝐷 𝑎𝑒𝑟𝐴‬ ‫דוגמא‬ ‫נחשב את האינטגרל 𝑦𝑑 ‪𝑒 𝑥 + 𝑦 3 𝑑𝑥 + cos 𝑦 + 𝑥 3‬‬ ‫𝑐‬ ‫כאשר 𝑐 היא מעגל יחי דה ‪ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1‬נגד‬ ‫כיוון השעון ‪.‬‬ ‫𝜋‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= 𝑟𝑑 ‪3𝑟 3‬‬ ‫𝜋‪2‬‬ ‫𝜃𝑑‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪𝐷: 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1‬‬ ‫=‬ ‫𝜋‪0 ≤ 𝜃 ≤ 2‬‬ ‫‪0≤𝑟≤1‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫𝑦𝑑𝑥𝑑 ‪3𝑦 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3𝑥 2‬‬ ‫𝐷‬ ‫𝑓𝜕 𝑔𝜕‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑦𝑑𝑥𝑑‬ ‫𝑦𝜕 𝑥𝜕‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪10‬‬ ‫= 𝑦𝑑 𝑦 ‪𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥,‬‬ ‫𝐷‬ ‫𝑐‬ ‫‪[email protected]‬‬