‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"א‪ ,‬מס' ‪035807‬‬ ‫‪ +‬נספח‬ ‫‪--‬‬ ‫השאלות‬ ‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬ ‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫‬ ‫פרק ראשון — גאומטריה אנליטית‪ ,‬וקטורים‪ ,‬טריגונומטריה במרחב‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מספרים מרוכבים ( ‪ 66 3‬נקודות)‬ ‫‪1‬‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-1‬לכל שאלה — ‪ 33 3‬נקודות)‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪ A‬ו– ‪ B‬הן נקודות כלשהן על‬ ‫‬ ‫הפרבולה ‪p 2 0 , y2 = 2px‬‬ ‫‬ ‫כך שהמיתר ‪ AB‬מקביל לציר ה– ‪. y‬‬ ‫‬ ‫ישר‪ ,‬המשיק לפרבולה בנקודה ‪, A‬‬ ‫‬ ‫חותך בנקודה ‪ C‬את הישר שעובר‬ ‫‬ ‫דרך הנקודה ‪ B‬ומקביל לציר ה– ‪( x‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ p‬את משוואת המקום הגאומטרי של הנקודות ‪C‬‬ ‫א‪)1( .‬‬ ‫הנוצרות באופן שתואר‪.‬‬ ‫‬ ‫(‪ )2‬סרטט במערכת צירים סקיצה של המקום הגאומטרי שאת משוואתו מצאת‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נתון כי שיעור ה– ‪ y‬של נקודה ‪ , C‬הנמצאת על המקום הגאומטרי שאת משוואתו‬ ‫מצאת‪ ,‬הוא ‪. y =-2p‬‬ ‫‬ ‫חשב במקרה זה את הזווית שבין המשיק לפרבולה‪ , CA ,‬ובין ציר ה– ‪. x‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪.1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫= ‪⋅2p‬‬ ‫א)‪.(1‬לפי הנתון‪ , y = ± 2 px ,‬ולכן‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2 2 px‬‬ ‫‪ . y ' = ±‬נסמן את שעורי הנקודה על הפרבולה‬ ‫‪p‬‬ ‫ב‪ x0 -‬וב‪ . y0 -‬משוואת המשיק לפרבולה בנקודה זאת היא ) ‪( x − x0‬‬ ‫‪y0‬‬ ‫משוואת הישר ‪ CB‬היא ‪ , y = − y0‬ולכן ישר זה חותך את המשיק בנקודה ) ‪ ( x1 , y1‬בה מתקיים ‪y1 = − y0‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ולכן ) ‪ , − y0 = y0 + ( x1 − x0‬ולכן )) ‪ . −2 y0 2 = p ( x1 − x0‬מכיוון ש‪ y0 2 = 2 px0 -‬מתקבל‬ ‫‪y0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪ , −4 px0 = p ( x1 − x0‬ולכן ‪ . −3 x0 = x1‬נביע את ‪ x0‬ואת ‪ y0‬ע"י ‪ x1‬ו‪ y1 -‬ונקבל ‪x0 = − x1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ו‪ . y0 = − y1 -‬נציב שוויונות אלו בנוסחה ‪ , y0 2 = 2 px0‬המתקיימת משום שהנקודה ) ‪ A( x0 , y0‬נמצאת על‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הפרבולה‪ ,‬ונקבל ‪ , y12 = − px1‬ולכן הנקודה ) ‪ C ( x1 , y1‬נמצאת על הפרבולה ‪. y 2 = − px‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫בכוון ההפוך‪ ,‬אם ) ‪ ( x1 , y2‬הם שעורי נקודה כלשהי על פרבולה זאת אז‪ ,‬לפי החישוב דלעיל‪ ,‬נקודה זאת‬ ‫‪1‬‬ ‫מתקבלת‪ ,‬ע"י הבניה המתוארת בתרגיל מן הנקודה ) ‪ A( x0 , y0‬הנתונה ע"י ‪ x0 = − x1‬ו‪. y0 = − y1 -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על הפרבולה ‪ y 2 = 2 px‬כי ‪. y0 2 = y12 = − px1 = − p (−3 x0 ) = 2 px0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫א)‪.(2‬‬ ‫‪. y = y0 +‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪ .‬נתון עתה כי עבור הנקודה ) ‪ C ( x1 , y1‬הנמצאת על הפרבולה ‪px‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪ y 2‬קיים ‪ , y1 = −2 p‬ולכן שעור‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p 1‬‬ ‫=‬ ‫ה‪ y -‬של הנקודה ‪ A‬הוא ‪ , y0 = − y1 = 2 p‬ושיפוע הפרבולה בנקודה זאת הוא =‬ ‫‪y0 2 p 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לכן הזוית שהמשיק יוצר עם ציר ה‪ x -‬היא ‪ arctan‬שהיא‪ ,‬במעלות‪. 26.565o ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"א‪ ,‬מס' ‪035807‬‬ ‫‪ +‬נספח‬ ‫‪-‬‬‫‪.2‬‬ ‫נתון מקבילון '‪ABCDA'B'C'D‬‬ ‫‬ ‫(גוף שכל פאותיו הן מקביליות)‪.‬‬ ‫'‪C‬‬ ‫‪K‬‬ ‫נקודה ‪ L‬היא אמצע המקצוע '‪. DD‬‬ ‫‬ ‫נקודה ‪ E‬נמצאת על המקצוע '‪BB‬‬ ‫‪'E‬‬ ‫‪. B‬‬ ‫כך ש– ‪EB = 3‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪C‬‬ ‫נתון כי המקצוע '‪ AA‬מאונך למישור ‪. AEL‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫המישור חותך את המקצוע '‪ CC‬בנקודה ‪K‬‬ ‫‬ ‫(ראה ציור)‪.‬‬ ‫‬ ‫נסמן‪AB = u :‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪AD = v‬‬ ‫'‪D‬‬ ‫‪,‬‬ ‫'‪B‬‬ ‫'‪A‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪CK = mCC' , AA' = w‬‬ ‫‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצא את הערך של ‪. m‬‬ ‫‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נתון כי ההצגה הפרמטרית של הישר '‪ CC‬היא )‪, x = (4, 5, 8) + t (1, - 1, 2‬‬ ‫הנקודה )‪ (2, - 1, 3‬נמצאת במישור ‪ , AEL‬ושיעורי הקדקוד '‪ C‬הם )‪. (x, y, 0‬‬ ‫‬ ‫מצא את מרחק הקדקוד ‪ C‬מהמישור ‪. AEL‬‬ ‫‬ ‫‪ z2 , z1‬ו– ‪ z3‬הם שלושה מספרים מרוכבים שונים הנמצאים על ישר אחד שעובר‬ ‫‪.3‬‬ ‫דרך ראשית הצירים‪ z1 .‬ו– ‪ z2‬נמצאים ברביע הראשון‪ ,‬ו– ‪ z3‬נמצא ברביע השלישי‪.‬‬ ‫נסמן )‪. z1 = r1 (cos α + i sin α‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪z -z‬‬ ‫האם המנה ‪ z1 - z3‬היא מספר ממשי‪ ,‬מספר מדומה טהור או מספר שהוא לא ממשי‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ולא מדומה טהור? נמק‪.‬‬ ‫‪z -z‬‬ ‫נתון גם כי ‪ z1‬ו– ‪ z3‬נמצאים על מעגל היחידה‪ ,‬ו– ‪. z1 - z3 = 12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את הערך המוחלט של ‪. z2‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‬ ‫‪ z 4‬הוא הצמוד של ‪. z1‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ α‬את שטח המשולש הנוצר על ידי הנקודות ‪. z 4 , z3 , z1‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪.2‬‬ ‫‪ .JJJ‬הווקטורים‪.‬‬ ‫למרחב‬ ‫כבסיס‬ ‫‪u‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‬‫ב‬ ‫ש‬ ‫נשתמ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‬‫מ‬ ‫אליה‬ ‫המוביל‬ ‫הווקטור‬ ‫נקודה ע"י‬ ‫נציג‬ ‫‪G‬‬ ‫‪ JJJ‬כל ‪JJJG‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪ AE‬ו‪ AL -‬פורשים את המרחב והפתרון מתקבל כאשר מציגים את הווקטור ‪ AK‬כצרוף לינארי שלהם‪.‬‬ ‫‪JJJG JJJG JJJG‬‬ ‫‪B'E‬‬ ‫‪1 JJJJG‬‬ ‫‪1 JJJG‬‬ ‫‪1‬‬ ‫קיים‬ ‫‪ . AL = AD + DL = v + DD ' = v + AA ' = v + w‬מכיוון ש‪= 3 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪EB‬‬ ‫‪JJJG 1 JJJG 1 JJJG 1‬‬ ‫‪JJJG JJJG JJJG‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ , BE = BB = AA ' = w‬ולכן ‪. AE = AB + BE = u + w‬‬ ‫‪4 JJJJG‬‬ ‫‪4 JJJG 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪JJJG JJJG JJJG JJJG‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫‪AK = AB + BC + CK = u + AD + mCC ' = u + v + m AA ' = u + v + mw‬‬ ‫‪JJJG JJJG‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫מכיוון שהנקודה ‪ K‬היא במישור ‪ , AL‬הווקטור ‪ AK‬הוא צרוף לינארי של ‪ AE‬ו‪ AL -‬הפורשים מישור‬ ‫זה‪ ,‬ולכן עבור ‪ r,s‬מתאימים‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫‪JJJG JJJG‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ . AK = r AE + s AL = r (u + w) + s ( v + w) = ru + sv + (r + 2 s ) w‬הצגת וקטור לפי‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫וקטורי בסיס היא יחידה‪ ,‬ולכן כאשר נשווה הצגה זאת של ‪ AK‬עם ההצגה הקודמת נקבל‪s=1 ,r=1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ו‪m = ( r + 2 s ) = -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ב‪ .‬שעורי ’‪ C‬מתקבלים בהצגה הפרמטרית )‪ (4,5,8)+t(1,-1,2‬עבור ‪ t‬מסויים‪ .‬מכיוון ששיעור ‪ z‬של ’‪C‬‬ ‫הוא ‪ 0‬קיים ‪ 8+2t=0‬ולכן ל‪ , t=-4 C’ -‬וכן ’‪ C‬היא הנקודה )‪. (0,9,0‬‬ ‫נתון שהישר ’‪ AA‬מאונך למישור ‪ AEL‬ולכן גם הישר ’‪ CC‬המקביל לו מאונך למישור זה‪ .‬לכן המרחק של‬ ‫‪ C‬מן המישור שווה לאורך הקטע ‪ CK‬ואת זה עלינו לחשב‪.‬‬ ‫מכיוון שהמשוואה הפרמטרית של הישר ’‪ CC‬היא )‪ (4,5,8)+t(1,-1,2‬וישר זה ניצב למישור ‪AEL‬‬ ‫משוואת מישור זה היא מהצורה ‪ , x-y+2z=q‬כאשר ‪ q‬הוא מספר מסויים‪.‬נתון לנו שהנקודה )‪(2,-1,3‬‬ ‫נמצאת במישור ‪ , AEL‬לכן הצבתה במשוואת מישור זה נותנת ‪ . 9=q‬הנקודה ‪ K‬נמצאת גם במישור זה וגם‬ ‫על הישר ’‪ , CC‬ולכן נמצא את שיעוריה ע"י הצבת ההצגה הפרמטרית של ’‪ CC‬במשוואת מישור זה‪ .‬נקבל‬ ‫‪ ,(4+t)-(5-t)+2(8+2t)=9‬כלומר ‪ 6t+15=9‬ולכן ‪ , t=-1‬ושעורי ‪ K‬הם לכן )‪. (4,5,8)-(1,-1,2)=(3,6,6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫לכן ‪ . KC ' = (3 − 0) 2 + (6 − 9) 2 + (6 − 0) 2 = 54 = 3 6‬מכיוון ש‪ CK = CC ' -‬לכן‬ ‫‪4‬‬ ‫‪CK = 3KC ' = 9 6‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪.3‬‬ ‫נסמן את ‪ cos α + i sin α‬בקיצור כ‪) cisα -‬הסימון המתמטי המקובל למספר זה הוא ‪.( e‬‬ ‫א‪ .‬אנו מניחים כי ‪ . r1 > 0‬מכיוון ש‪ z2 -‬ו‪ z3 -‬נמצאים על אותו ישר דרך הראשית כמו ‪ z1‬ו‪ z1 ≠ 0 -‬לכן‪,‬‬ ‫עבור מספרים ממשיים מתאימים קיים ‪ z2 = r2 cisα‬וו ‪ . z3 = r3cisα‬מכיוון ש‪ ze -‬נמצא ברביע הראשון‪,‬‬ ‫כמו ‪ , z1‬גם ‪ r2‬הוא חיובי‪ ,‬ומכיוון ש‪ z3 -‬ברביע השלישי ‪ r3‬הוא שלילי‪ .‬קיים לכן‬ ‫‪z −z‬‬ ‫‪r cisα − r3cisα (r1 − r3 )cisα r1 − r3‬‬ ‫‪ , 1 3 = 1‬ומנה זאת היא מספר ממשי חיובי כי היא מנה של‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪z2 − z3 r2 cisα − r3cisα (r2 − r3 )cisα r2 − r3‬‬ ‫שני מספרים חיוביים‪.‬‬ ‫‪iα‬‬ ‫ב‪ .‬מכיוון ש‪ z1 -‬ו‪ z3 -‬על מעגל היחידה קיים ‪ r1 = 1‬ו‪) r3 = −1 -‬כי ‪ r‬הוא‪ ,‬עד כדי הסימן‪ ,‬הערך המוחלט‬ ‫‪r −r‬‬ ‫‪r −r‬‬ ‫‪1 z1 − z3‬‬ ‫)‪1 − (−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫= ‪= 1 3 = 1 3‬‬ ‫=‬ ‫של ‪.( rcisα‬ולכן‬ ‫‪2 z2 − z3‬‬ ‫‪r2 − r3 r2 − r3 r2 − (−1) r2 − 1‬‬ ‫‪ ,‬ןלכן ‪| z2 |= r2 = 3‬‬ ‫ג‪ z3 = −cisα = − cos α − i sin α .‬ו‪ . z4 = z1 = cos α − i sin α -‬לכן הצלע ‪ z3 z1‬מקבילה לציר ה‪, x -‬‬ ‫אורכה הוא הפרש שיעורי ה‪ x -‬של הנקודות‪ ,‬שהוא ‪ , 2cos α‬והיא נמצאת בגובה של ‪ − sin α‬ביחס לציר‬ ‫ה‪ . x -‬הנקודה ‪ z1‬נמצאת בגובה של ‪ sin α‬מעל ציר ה‪ , x -‬כלומר בגובה של ‪ 2sin α‬מעל בסיס המשולש‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לכן שטח המשולש הוא ‪. ⋅ 2 cos α ⋅ 2 sin α = 2 cos α sin α = sin 2α‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"א‪ ,‬מס' ‪035807‬‬ ‫‪ +‬נספח‬ ‫‪--‬‬ ‫פרק שני — גדילה ודעיכה‪ ,‬פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות‬ ‫ ( ‪ 33 13‬נקודות)‬ ‫ענה על אחת מהשאלות ‪.5-4‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‬ ‫נתונות שלוש פונקציות‪: III , II , I ,‬‬ ‫‪III. y = ,nx + 2x - 4‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪II. y = ,nx‬‬ ‫‪I. y = - 2x + 4‬‬ ‫מצא את תחום ההגדרה של כל אחת מהפונקציות‪ ,‬ומצא את האסימפטוטות שלהן‬ ‫המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬ ‫(‪ )1‬סרטט במערכת צירים אחת סקיצה של גרף הפונקציה ‪ I‬וסקיצה של גרף‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‬ ‫הפונקציה ‪ . II‬ציין מספרים על ציר ה– ‪. x‬‬ ‫(‪ )2‬הסבר מדוע נקודת החיתוך בין הגרפים של הפונקציות ‪ I‬ו– ‪ II‬חייבת להימצא‬ ‫‬ ‫בתחום ‪. 1 1 x 1 2‬‬ ‫(‪ )1‬מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה ‪( III‬אם יש כאלה)‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫(‪ )2‬ציין בין אילו ערכי ‪ x‬שלמים ועוקבים נמצאת נקודת החיתוך של גרף‬ ‫‬ ‫הפונקציה ‪ III‬עם ציר ה– ‪ . x‬נמק‪.‬‬ ‫(‪ )3‬לגרפים שסרטטת בתת–סעיף ב (‪ ,)1‬הוסף בקו מרוסק (‪ )---‬סקיצה של‬ ‫‬ ‫ד‪.‬‬ ‫גרף הפונקציה ‪. III‬‬ ‫חשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציה ‪ , II‬על ידי הגרף של פונקציה ‪III‬‬ ‫ועל ידי הישרים ‪ x = 1.5‬ו– ‪. x = 2.5‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪.4‬‬ ‫א‪ .‬תחום ההגדרה של הפונקציה ‪ I‬הוא הישר הממשי כולו‪ ,‬של הפונקציה ‪ II‬הוא הקרן החיובית ) ∞ ‪ (0,‬ושל‬ ‫הפונקציה ‪ III‬הוא כמו זה של הפונקציה ‪. II‬‬ ‫לפונקציה ‪ I‬אין אסימפטוטות‪ ,‬כי היא מוגדרת בכל הישר הממשי‪ ,‬שואפת ל‪ −∞ -‬באינסוף ול‪ ∞ -‬במינוס‬ ‫אינסוף‪ .‬לפונקציה ‪ II‬יש אסימפטוטה אנכית ‪ x = 0‬כי היא שואפת ל‪ −∞ -‬כאשר ‪ x‬שואף ל‪ ,0-‬ואין לה‬ ‫אסימפטוטה אופקית כי היא שואפת ל‪ ∞ -‬באינסוף‪ .‬התנהגות הפונקציה ‪ III‬ליד ‪ 0‬ובאינסוף היא כמו זאת של‬ ‫הפונקציה ‪ II‬ולכן יש לה אסימפטוטה אנכית ‪ x = 0‬ואין לה אסימפטוטה אופקית‪.‬‬ ‫ב)‪.(1‬‬ ‫ב)‪ II .(2‬היא פונקציה עולה ו‪ I -‬היא פונקציה יורדת ולכן הפרשן ‪ , ln x + 2 x − 4‬שהוא הפונקציה ‪ , III‬הוא‬ ‫פונקציה עולה והוא מקבל את הערך ‪ 0‬רק פעם אחת וזה בנקודת החיתוך של הגרפים של ‪ I‬ו‪ .2-‬ערך ההפרש‬ ‫כאשר ‪ x = 1‬הוא ‪ , ln1 + 2 ⋅1 − 4 = −2‬וכאשר ‪ x = 2‬הוא ‪ , ln 2 + 2 ⋅ 2 − 4 = ln 2 > 0‬ומכיוון‬ ‫שההפרש פונקציה עולה הוא מקבל את הערך ‪ 0‬עבור ‪. 1 < x < 2‬‬ ‫ג)‪ .(1‬הפונקציה ‪ III‬עולה בכל תחומה שפי שהוסבר בתשובה לחלק ב)‪.(2‬‬ ‫ג)‪ .(2‬בתשובה ל‪-‬ב)‪ (2‬הוכחנו שהפונקציה ‪ III‬מקבלת את הערך ‪ 0‬פעם אחת בלבד‪ ,‬וזה קורה בתחום‬ ‫‪.1< x < 2‬‬ ‫ד‪ .‬קיים ) ‪ III ( x) − II ( x ) = I ( x‬ולכן השטח הנדרש הוא‬ 2.5 ∫ | III ( x) − II ( x) | dx = 1.5 2.5 ∫ | I ( x) | dx = 1.5 2 ∫ (−2 x + 4)dx + 1.5 1 ⎛ 9 ⎞ ⎛ 25 ⎞ = (−4 + 8) − ⎜ − + 6 ⎟ + ⎜ − 10 ⎟ − (4 − 8) = 2 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 2.5 ∫ (2 x − 4)dx = ⎡⎣− x 2 2 + 4 x ⎤⎦ 1.5 2 + ⎡⎣ x 2 − 4 x ⎤⎦ 2.5 2 ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"א‪ ,‬מס' ‪035807‬‬ ‫‪ +‬נספח‬ ‫‪-‬‬‫נתונה הפונקציה ‪. f (x) = (1 + x) e- x‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הראה כי ‪. f '(x) = - xe- x‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪ , f(x‬וקבע את סוגן‬ ‫‬ ‫(אם יש כאלה)‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם הצירים‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫הראה כי עבור ‪ a 2 0‬מתקיים‬ ‫ה‪.‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫‪# f (x) dx 1 e‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , f(x‬על ידי ציר ה– ‪x‬‬ ‫ועל ידי ציר ה– ‪. y‬‬ ‫(‪ )2‬הסבר מדוע עבור ‪ a 2 0‬מתקיים‬ ‫‪a‬‬ ‫‪# f (x) dx 2 e - 2‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪.5‬‬ ‫א‪ .‬לפי כללי הגזירה קיים ‪. f '( x) = 1⋅ e + (1 + x) ⋅ (−e ) = − xe‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫ב‪.‬מכיוון ש‪ e − x -‬תמיד חיובי הנגזרת מתאפסת רק כאשר ‪ . x = 0‬היא חיובית משמאל לאפס ושלילית מימין‬ ‫לאפס ולכן ‪ x = 0‬היא נקודת מקסימום‪ .‬הוכחה פחות אלגנטית היא הבאה‪ :‬הנגזרת השנייה של )‪ f(x‬היא‬ ‫‪ , − (1 ⋅ e − x + x ⋅ (−e − x ) ) = ( x − 1)e − x‬והיא מקבלת באפס את ערך השלילי ‪ , -1‬ולכן ‪ x = 0‬היא נקודת‬ ‫מקסימום‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מכיוון ש‪ e − x -‬תמיד חיובי )‪ f(x‬מתאפסת בדיוק אז כאשר ‪ , 1+x=0‬כלומר כאשר ‪ , x=-1‬ולכן יש לגרף‬ ‫נקודת חיתוך יחידה עם ציר ה‪ x -‬שהיא )‪ f (0) = (1 + 0)e −0 = 1⋅1 = 1 . (-1,0‬ולכן נקודת החיתוך עם ציר‬ ‫ה‪ y -‬היא )‪. (0,1‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪ .‬לפי א'‪ ,‬האינטגרל הלא מסויים של ‪ xe − x‬הוא‬ ‫‪a‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫⎦⎤ ‪= ⎡⎣ −2e− x − xe− x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪ . − f ( x) = −(1 + x)e− x = −e− x − xe‬לכן‬ ‫‪a‬‬ ‫⎦⎤ ‪dx = ∫ (e− x + xe− x )dx = ⎡⎣ −e − x − e − x − xe− x‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪∫ f ( x)dx = ∫ (1 + x)e‬‬ ‫‪= (−2e− a − ae − a + 2e1 − 1⋅ e1 ) = e − (2 + a)e− a < e‬‬ ‫מכיוון ש‪ a>0 -‬ולכן גם ‪. 2+a>0‬‬ ‫ו)‪ .(1‬ראינו שנקודות החיתוך עם הצירים הן )‪ (-1,0‬ו‪ (0,1) -‬ולכן השטח הוא‬ ‫‪= (−2e−0 − 0 ⋅ e− a + 2e1 − 1⋅ e1 ) = e − 2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ז)‪ .(2‬קיים‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫⎦⎤ ‪+ xe − x )dx = ⎡⎣ −2e − x − xe− x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪∫ f ( x)dx = ∫ (e‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪. ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = e − 2 + ∫ f ( x)dx‬האינטגרל הימני הוא חיובי כי הוא‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫אינטגרל של פונקציה חיובית מגבול קטן יותר לגבול גדול יותר‪ .‬לכן ‪ . ∫ f ( x)dx = > e − 2‬מי שרוצה‬ ‫‪−1‬‬ ‫להתאמץ יכול להוכיח שהאינטגרל הימני הוא חיובי כך‪:‬‬ ‫) ‪= (−2e− a − ae − a + 2e0 − 0 ⋅ e0 ) = 2 − (2 + a )e − a = (1 − e− a ) + (1 − f (a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫⎦⎤ ‪− xe − x‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪∫ f ( x)dx = ⎡⎣−2e‬‬ ‫בצד ימין‪ 1 − e − a > 1 − e0 = 0 ,‬כי ‪ e − x‬פונקציה יורדת ו‪ 1 − f ( a ) > 0 -‬כי הפונקציה )‪ f(x‬יורדת עבור‬ ‫‪ x>0‬ו‪. f(0)=1 -‬‬ ‫‪0‬‬