‫חשבון אינפיניטסימלי מתקדם ‪2‬‬ ‫‪ 2‬ביולי ‪2014‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מבוסס על הרצאות פרופ' יעקב סולומון‬ ‫בקורס "חשבון אינפיניטסימלי מתקדם ‪(80316) "2‬‬ ‫האוניברסיטה העברית‪ ,‬סמסטר ב' ‪2014‬‬ ‫להערות‪[email protected] :‬‬ ‫נחי‬ ‫תודה לכל מי ששלח הערות ותיקונים‪ ,‬ובמיוחד ל‪:‬‬ ‫נעמה בויאר‪ ,‬אור בן ארי טישלר‪ ,‬אלעד גולדפרב‪ ,‬נריה גושן־גוטשטיין‪ ,‬הדר גורודיסקי‪ ,‬אמיר דוואק‪ ,‬עודד‬ ‫הייננמן‪ ,‬משה לוין‪ ,‬מאיה לשקוביץ‪ ,‬דוד רייטבלט וקרן שרייבר‬ ‫‪1‬‬ ‫תוכן עניינים‬ ‫‪ I‬חשבון דיפרנציאלי של העתקות ‪Rp → Rq‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫גזירות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫גזירות חלקית )או כיוונית( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫ההעתקה ) ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . Df : Rp → L (Rp , Rq‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫כלל השרשרת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫כלל לייבניץ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪2.1‬‬ ‫התחלפות נגזרות חלקיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫נגזרות גבוהות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫משפט טיילור לממד גבוה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪4.1‬‬ ‫נקודות קיצון ונקודות קריטיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫משפט ההעתקה ההפוכה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫משפט ההעתקה המכווצת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪6.1‬‬ ‫משפט ההעתקה ההפוכה להעתקות שנגזרתן חסומה ‪. . . . . . . .‬‬ ‫‪6.2‬‬ ‫משפט ההעתקה ההפוכה הכללי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪6.3‬‬ ‫‪ II‬חשבון דיפרנציאלי של העתקות בין משטחים רגולריים‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫מבוא‪ :‬חלקות של העתקות הפוכות ‪. . . .‬‬ ‫משטחים רגולריים ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫גזירות של העתקה בין משטחים רגולריים ‪.‬‬ ‫נגזרת של העתקה בין משטחים רגולריים ‪.‬‬ ‫כלל השרשרת למשטחים רגולריים‬ ‫‪10.1‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪27 . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪29 . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪33 . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪35 . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪37 . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ III‬חשבון אינטגרלי של העתקות ‪Rp → Rq‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪39‬‬ ‫אינטגרביליות )רימן( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫קריטריון קושי לאינטגרביליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪11.1‬‬ ‫תכולה אפס ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪11.2‬‬ ‫משפחות העתקות אינטגרביליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪11.3‬‬ ‫תכולה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪11.4‬‬ ‫אינטגרל עליון ותחתון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫משפט פוביני ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪12.1‬‬ ‫שינוי משתנה אינטגרציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫פיצול יחידה )והשלמת הוכחת נוסחת שינוי משתנה( ‪. . . . . . . .‬‬ ‫‪13.1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪ IV‬חשבון אינטגרלי של העתקות בין משטחים רגולריים‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪65‬‬ ‫נפח ‪65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫אינטגרל של העתקה רציפה בין משטחים רגולריים ‪66 . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫משטחים עם שפה ‪69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫דיברגנץ ‪70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫משפט הדיברגנציה ‪74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫מסקנות‪ :‬נוסחאות גרין וגאוס ‪78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪18.1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫חלק‬ ‫‪I‬‬ ‫חשבון דיפרנציאלי של העתקות ‪Rp → Rq‬‬ ‫‪1‬‬ ‫גזירות‬ ‫תכונת הגזירות מוכרת לנו להעתקות מהצורה ‪ f : A → R‬עבור ‪:A ⊆ R‬‬ ‫תזכורת‪ :‬תהי ‪ f : A ⊆ R → R‬ותהי ‪ c ∈ A‬נקודה פנימית‪.‬‬ ‫אומרים כי ‪ f‬גזירה ב‪ c-‬אם קיים הגבול ‪= L ∈ R‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(c‬‬ ‫‪. lim f (x)−f‬‬ ‫‪x−c‬‬ ‫‪x→c‬‬ ‫במקרה כזה אומרים כי ‪ L‬הוא ערך הנגזרת של ‪ f‬ב‪ ,c-‬והישר )‪y = f (c)+L·(x − c‬‬ ‫משיק לגרף של ‪ f‬בנקודה ‪.c‬‬ ‫הערה‪ :‬נשים לב‪:‬‬ ‫)‪(c‬‬ ‫‪lim f (x)−f‬‬ ‫‪=L‬‬ ‫‪x−c‬‬ ‫‪x→c‬‬ ‫⇒⇐‬ ‫)‪lim f (x)−f (c)−L·(x−c‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪x−c‬‬ ‫‪x→c‬‬ ‫⇒⇐‬ ‫|)‪(c)−L·(x−c‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫|‪lim |f (x)−f |x−c‬‬ ‫‪x→c‬‬ ‫המשמעות האינטואיטיבית של ביטוי הגבול השמאלי היא )‪f (x) ≈ f (c) + L · (x − c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בקירוב מסדר ראשון‪.‬‬ ‫נרצה להכליל את תכונת הגזירות להעתקות מהצורה ‪ f : A → Rq‬עבור ‪ ,A ⊆ Rp‬כאשר‬ ‫‪ p, q‬טבעיים כלשהם‪.‬‬ ‫תזכורת‪ :‬אומרים כי העתקה ‪ L : Rp → Rq‬היא העתקה לינארית‪ ,‬אם לכל ‪ α, β ∈ R‬ולכל‬ ‫‪ u, v ∈ Rp‬מתקיים ‪.L (αu + βv) = αLu + βLv‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ f : A ⊆ Rp → Rq‬ותהי ‪ c ∈ A‬נקודה פנימית‪ .‬אומרים כי ‪ f‬גזירה ב‪ c-‬אם‬ ‫קיימת העתקה לינארית ‪ ,L : Rp → Rq‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪kf (x) − f (c) − L (x − c)k‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪kx − ck‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x→c‬‬ ‫במקרה כזה אומרים כי ההעתקה ‪ L‬היא )ה(נגזרת ‪ 3‬של ‪ f‬ב‪.c-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫הערה‪ :‬משמעות הגבול בהקשר זה היא תחת ההתיחסות ל‪ Rp , Rq -‬כמרחבים מטריים‪,‬‬ ‫עם המטריקה המושרית מהנורמה האוקלידית‪.‬‬ ‫‪ d (x, y) = kx − yk‬לווקטורים ‪ ,x, y‬עבור הנורמה = ‪k(x1 , ..., xp )k‬‬ ‫כלומר‬ ‫המטריקה‪p‬‬ ‫‪Pp‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)או ‪.(q‬‬ ‫‪i=1 i‬‬ ‫הערה‪ :‬הדרישה שההעתקה ‪ L‬תהיה לינארית אינה טריוויאלית‪ .‬קיימות העתקות שהיו‬ ‫הופכות לגזירות בנקודות מסוימות לו היינו מסירים דרישה זו‪ .‬נבין בהמשך את‬ ‫הסיבה לדרישה זו‪.‬‬ ‫‪1‬כלומר נקודה שיש לה סביבה פתוחה המוכלת ב‪.A-‬‬ ‫‪2‬שכן נשים לב שהביטוי בגבול מחולק ב‪ x − c-‬שהיא העתקה מסדר ראשון‪.‬‬ ‫‪3‬מיד נראה את היחידות‪.‬‬ ‫‪4‬נשים לב שבמקרה של ‪ f : A → R‬עבור ‪ ,A ⊆ R‬הביטוי )‪ L · (x − c‬הוא כפל ממשי‪ ,‬אך בהגדרה המוכללת‬ ‫הביטוי )‪ L (x − c‬הוא העתקה שהביטוי ‪ x − c‬הוא המשתנה שלה‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫סימון‪ :‬לצורך הנוחות‪ ,‬בהינתן גזירות של ‪ f‬כנ"ל בנקודה ‪ ,c‬נציב ‪ x − c = u‬ונקבל את את‬ ‫הגדרת הגזירות במשתנה אחר‪:‬‬ ‫‪kf (c + u) − f (c) − Luk‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪kuk‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪u→0‬‬ ‫סימון‪ :‬בהתאם ללמה שנוכיח מיד‪ ,‬נגזרת מוגדרת ביחידות‪ .‬לכן את הנגזרת ‪ L‬המתאימה‬ ‫להעתקה ‪ f : A → Rq‬עבור ‪ A ⊆ Rp‬בנקודה פנימית ‪ ,c ∈ A‬נסמן )‪.Df (c‬‬ ‫למה‪ :‬תהי ‪ f : A ⊆ Rp → Rq‬ותהי ‪ c ∈ A‬נקודה פנימית‪ .‬אם ‪ f‬גזירה ב‪ ,c-‬אז הנגזרת‬ ‫שלה יחידה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהיינה ‪ L1 , L2 : Rp → Rq‬שמהוות נגזרות של העתקה ‪f : A ⊆ Rp → Rq‬‬ ‫בנקודה פנימית ‪.c ∈ A‬‬ ‫מהנתון ששתי ההעתקות הללו מהוות נגזרת‪ ,‬נובע מהגדרת הגבול שלכל ‪ 0 < ε‬קיים‬ ‫‪5‬‬ ‫‪) 0 < δ‬קטן מספיק בשביל ‪ L1 , L2‬גם יחד( כך שאם ‪ kuk < δ‬אז‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫≤ ‪kL1 u − L2 uk ≤ kL1 u − (f (c + u) − f (c)) + (f (c + u) − f (c)) − L2 uk‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪≤ kf (c + u) − f (c) − L1 uk + kf (c + u) − f (c) − L2 uk ≤ 2ε kuk‬‬ ‫‪v‬‬ ‫כעת יהי ‪ v ∈ Rp‬כלשהו‪ .‬נבחר‬ ‫‪ u = δ kvk‬כך שמתקיים ‪ ,kuk = δ‬ונקבל מלינאריות‬ ‫ההעתקות ‪ L1 , L2‬כי‪:‬‬ ‫‪kvk‬‬ ‫‪kvk‬‬ ‫≤ ‪kL1 u − L2 uk‬‬ ‫‪2ε kuk = 2ε kvk‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫= ‪kL1 v − L2 vk‬‬ ‫בחרנו ‪ ε‬שרירותי ולכן ‪ kL1 v − L2 vk = 0‬כלומר ‪ .L1 v = L2 v‬גם ‪ v‬נבחר שרירותית‬ ‫ולכן ההעתקות ‪ L1 , L2‬מזדהות על כל וקטור‪ ,‬ולכן הן שוות‪ .‬‬ ‫הערה יסודית‪ :‬קיימת א־סימטריה מובנית בין ‪ Rp‬לבין ‪ .Rq‬כלומר תפקיד התחום שונה‬ ‫מתפקיד הטווח בהגדרת הגזירות‪:‬‬ ‫• המקרה של ‪ q‬כללי ו‪:p = 1-‬‬ ‫הנגזרת מתאימה להגדרה הקלאסית‬ ‫)‪(c‬‬ ‫‪,lim f (c+t)−f‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t→0‬‬ ‫כאשר הגבול המתקבל‬ ‫הוא וקטור ב‪ Rq -‬שכל קואורדינטה שלו היא הנגזרת בקואורדינטה זו לפי‬ ‫המשתנה היחיד‪.‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫כלומר‪ ,‬אם ‪ f‬מעתיקה ‪ ,R 3 x 7→ f (x) , ..., f (x) ∈ R‬אז הנגזרת שלה‬ ‫ב‪ c-‬היא העתקה לינארית במשתנה ‪ c‬מהצורה ‪ ,R → Rq‬המוגדרת‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪f (c + t) − f 1 (c‬‬ ‫)‪f q (c + t) − f q (c‬‬ ‫‪Df (c) = lim‬‬ ‫‪, ...,‬‬ ‫)‪= f 1 (c) , ..., f q (c‬‬ ‫‪t→0‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬את אי־שוויון המשולש נסמן ≤‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫• המקרה של ‪ p‬כללי ו‪:q = 1-‬‬ ‫כאן ההגדרה הקלאסית לא מספקת‪ ,‬כי עבור ‪ f : A ⊆ R → R‬בנקודה‬ ‫)‪(c‬‬ ‫‪ ” lim f (c+u)−f‬לא מוגדר‪ ,‬כי חלוקה בווקטור ‪ u ∈ Rp‬היא‬ ‫‪ ,c ∈ A‬הביטוי ”‬ ‫‪u‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪u→0‬‬ ‫פעולה לא מוגדרת‪.‬‬ ‫‪kf (c + u) − f (c) − Luk‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫לכן משתמשים בהגדרה המוכללת שהזכרנו‪:‬‬ ‫‪u→0‬‬ ‫‪kuk‬‬ ‫כאשר ‪ L : Rp → Rq‬העתקה לינארית‪ .‬כלומר אם קיים הגבול הנ"ל אז מגדירים‬ ‫‪.Df (c) = L‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫גזירות חלקית )או כיוונית(‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ f : A ⊆ Rp → Rq‬ותהי ‪ c ∈ A‬נקודה פנימית‪ ,‬ויהי ‪ u ∈ Rp‬כלשהו‪.‬‬ ‫נתבונן בהעתקה )‪ ,t 7→ f (c + tu‬ונשים לב שהיא העתקה מהצורה ‪ B → Rq‬עבור‬ ‫‪.B ⊆ R‬‬ ‫אומרים כי ‪ f‬גזירה ב‪ c-‬בכיוון ‪ ,u‬אם ההעתקה )‪ f (c + tu‬גזירה בנקודה ‪.t = 0‬‬ ‫במילים אחרות‪ f :‬גזירה ב‪ c-‬בכיוון ‪ u‬וערך הנגזרת שלה הוא ‪ ,Lu ∈ Rq‬אם קיים‬ ‫הגבול הבא‪:‬‬ ‫)‪f (c + tu) − f (c‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪f (c + tu) |t=0 = lim‬‬ ‫‪= Lu‬‬ ‫‪t→0‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪t‬‬ ‫אם נסמן ‪ ,R 3 t 7→ f (c + tu) = (f1 (c + tu) , ..., fq (c + tu)) ∈ Rq‬אז הגבול‬ ‫הנ"ל הוא במובן הבא‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪f (c + tu) |t=0 = ‬‬ ‫‪f1 (c + tu) |t=0 , ..., fq (c + tu) |t=0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪∈R‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫‪∈R‬‬ ‫‪∈R‬‬ ‫סימון‪ :‬הנגזרת של העתקה ‪ f : A ⊆ Rp → Rq‬בנקודה פנימית ‪ c ∈ A‬בכיוון הווקטור ‪,u‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪. dt‬‬ ‫מסומנת )‪ Du f (c‬או ‪f (c + tu) |t=0‬‬ ‫רקע‪ :‬נראה שקיים קשר חד־משמעי בין גזירות של העתקה לגזירות חלקית שלה‪.‬‬ ‫הטענה הראשונה‪ ,‬והפשוטה יותר‪ ,‬תקבע שאם העתקה גזירה בנקודה אז כל הנגזרות‬ ‫החלקיות שלה קיימות גם הן בנקודה‪.‬‬ ‫מצד שני ברור אמנם שגזירות חלקית לא גוררת גזירות )למשל |‪f (x, y) = x + |y‬‬ ‫גזירה בכיוון )‪ (x, 0‬ואינה גזירה(‪ ,‬אך המשפט השני יקבע תנאי על הנגזרות החלקיות‬ ‫שבמידה והוא מתקיים מובטחת גזירות‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬תהי ‪ f : A ⊆ Rp → Rq‬גזירה בנקודה ‪ c ∈ A‬פנימית‪ .‬אזי לכל ‪ u ∈ Rp‬הנגזרת‬ ‫החלקית )‪ Du f (c‬קיימת‪ ,‬וגם מתקיים השוויון ‪.Du f (c) = Df (c) u‬‬ ‫‪5‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ u = 0‬אז מתקיים כי הנגזרת החלקית היא הנגזרת של‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪f (c + t · 0) |t=0 = f (c) |t=0 = 0‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫= )‪D0 f (c‬‬ ‫לכן נניח ‪.u 6= 0‬‬ ‫מהנתון כי ‪ f‬גזירה ב‪ c-‬נובע מהגדרת הגבול שלכל ‪ 0 < ε‬קיים ‪ 0 < δ‬כך שאם‬ ‫‪ kvk < δ‬אז ‪.kf (c + v) − f (c) − Df (c) vk < ε kvk‬‬ ‫לכן בהינתן ‪ ,u ∈ Rp‬מתקיים עבור הווקטור ‪ v = tu‬כי אם ‪ ktuk = |t| kuk ≤ δ‬אז‪:‬‬ ‫‪kf (c + tu) − f (c) − t · Df (c) uk < ε · |t| u‬‬ ‫מכיוון ש‪ u-‬קבוע ו‪ ε-‬שרירותי‪ ,‬נובע שאם נחלק ב‪ |t|-‬מתקיים בהתאם לסימון הגבול‪:‬‬ ‫‪kf (c + tu) − f (c)k‬‬ ‫‪= Df (c) u‬‬ ‫|‪|t‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪t→0‬‬ ‫נשים לב שהביטוי שקיבלנו קובע שני דברים‪ :‬ראשית שהגבול הנ"ל קיים )כי נתון ש‪f -‬‬ ‫גזירה ולכן )‪ Df (c‬קיימת(‪ ,‬ושנית שהוא שווה ל‪.Df (c) u-‬‬ ‫אך גבול זה הוא בדיוק הגדרת הנגזרת הכיוונית של ‪ f‬בנקודה ‪ c‬בכיוון ‪ u‬אותה סימנו‬ ‫)‪ ,Du f (c‬ומכאן נסיק ש‪ f -‬גזירה בכיוון ‪ ,u‬וכן ‪ .Du f (c) = Df (c) u‬‬ ‫סימון‪ :‬נסמן את הבסיס הסטנדרטי של המרחב ‪ Rp‬באמצעות הווקטורים ‪ .e1 , ..., ep‬כלומר‬ ‫‪.1 ≤ i ≤ p ,ei = 0, ..., 1i index , ..., 0‬‬ ‫לצורך נוחות‪ ,‬את הנגזרת החלקית של ‪ f‬בנקודה ‪ c‬בכיוון ווקטור ‪ ,ei‬נסמן בקיצור‬ ‫)‪.Dei f (c) = Di f (c‬‬ ‫מסקנה‪ :‬אם ‪ f‬גזירה בנקודה ‪ c‬ונתון ‪ ,u = (u1 , ..., up ) ∈ Rp‬אז מתקיים‪:‬‬ ‫!‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪Df (c) u = Df (c‬‬ ‫= ‪ui ei‬‬ ‫= ‪ui Df (c) ei‬‬ ‫= )‪ui Dei f (c‬‬ ‫)‪ui Di f (c‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫כאשר השוויון הראשון הוא פיתוח של הווקטור ‪ u‬לפי הבסיס הסטנדרטי‪ ,‬השוויון השני‬ ‫נובע מלינאריות ההעתקה )‪ ,Df (c‬השוויון השלישי נובע מהטענה שהוכחנו‪ ,‬והשוויון‬ ‫האחרון הוא סימון בלבד‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ f : A ⊆ Rp → Rq‬ותהי ‪ c ∈ A‬נקודה פנימית‪ .‬אם קיימת סביבה של ‪ c‬שלכל‬ ‫‪ y‬בה קיימות כל הנגזרות החלקיות )‪ ,1 ≤ i ≤ p ,Di f (y‬וכן גם הן רציפות ב‪ ,c-‬אזי‪:‬‬ ‫‪ f .1‬גזירה ב‪.c-‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ .2‬הנגזרת ‪ Df (c) : Rp → Rq‬מתקבלת על־ידי )‪ui Di f (c‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= ‪.Df (c) u‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תחילה נוכיח את המקרה ‪.q = 1‬‬ ‫מרציפות הנגזרות החלקיות ‪ Di f‬נובע שלכל ‪ 0 < ε‬קיים ‪ 0 < δ‬כך שאם ‪ky − ck < δ‬‬ ‫אז ‪.|Di f (y) − Di f (c)| < ε‬‬ ‫יהי ‪ .x ∈ Rp‬נסמן ) ‪ ,x = (x1 , ..., xp ) ,c = (c1 , ..., cp‬וכן נסמן‪:‬‬ ‫) ‪F 0 (t) = f (x1 , ..., xp‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪z 0 = (x1 , ..., xp ) = x‬‬ ‫) ‪F 1 (t) = f (t, x2 , x3 , ..., xp‬‬ ‫‪,‬‬ ‫) ‪z 1 = (c1 , x2 , x3 ..., xp‬‬ ‫) ‪F 2 (t) = f (c1 , t, x3 , ..., xp‬‬ ‫‪,‬‬ ‫) ‪z 2 = (c1 , c2 , x3 , ..., xp‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) ‪F p−1 (t) = f (c1 , ..., cp−2 , t, xp‬‬ ‫)‪F p (t) = f (c1 , ...cp−1 , t‬‬ ‫‪,‬‬ ‫) ‪z p−1 = (c1 , ..., cp−1 , xp‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪z p = (c1 , ..., cp ) = c‬‬ ‫כאשר קל לראות כי ‪ F j‬הן העתקות מהצורה ‪.F j : R → Rq‬‬ ‫נשים לב היטב שהמשמעות של קיום כל הנגזרות החלקיות בכיוון ווקטורי הבסיס‬ ‫הסטנדרטי‪ ,‬היא שבסביבת ‪ cj‬ההעתקה ‪ F j‬גזירה לכל ‪ .t‬וזאת מכיוון שמתקיים‪:‬‬ ‫‪dF j‬‬ ‫) ‪(t) = Dj f (c1 , ..., cj−1 , t, xj+1 , ..., xp‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫והביטוי הימני הוא בדיוק הנגזרת החלקית של ‪ f‬בכיוון הווקטור ‪ ,ej‬שקיימת לפי‬ ‫הנתון‪.‬‬ ‫כעת נחשב עבור ‪ x‬שרירותי בסביבת ‪:c‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫= ) ‪f (x) − f (c) = f (x1 , ..., xp ) − f (c1 , ..., cp ) = f z 0 − f (z p‬‬ ‫) ‪F j (xj ) − F j (cj‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫כאשר השוויון האחרון נובע מהוספה והחסרה כך שמתקבל סכום טלסקופי‪.‬‬ ‫נשתמש במשפט הערך הממוצע של לגראנז'‪ 6 ,‬ונסיק מגזירות ההעתקות ‪ F j‬כי‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪dF j‬‬ ‫= ) ‪F j (xj ) − F j (cj‬‬ ‫) ‪(tj ) (xj − cj‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫= )‪f (x) − f (c‬‬ ‫כאשר ‪ tj‬הוא הערך המתאים של משפט הערך הממוצע המקיים ‪.xj < tj < cj‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪ dF‬ונסמן ) ‪,z j = (c1 , ..., cj−1 , tj , xj+1 , ..., xp‬‬ ‫נשתמש בשוויון שהראינו לנגזרת ‪dt‬‬ ‫כך שנקבל‪:‬‬ ‫ ‬ ‫) ‪Dj z j (xj − cj‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪f (x) − f (c‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪6‬המשפט קובע שלכל העתקה ‪ f : [a, b] → R‬ל‪ ,a < b-‬שהיא רציפה ב‪ [a, b]-‬וגזירה ב‪ ,(a, b)-‬קיימת נקודה‬ ‫)‪ c ∈ (a, b‬כך שמתקיים )‪.f (b) − f (a) = f 0 (c) (b − a‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫כעת נראה שהמועמדת הטבעית לנגזרת‪ ,‬ההעתקה )‪ , Dj f (c‬מקיימת את התנאי‬ ‫‪j=1‬‬ ‫הנדרש מנגזרת‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪Dj f (c) (xj − cj‬‬ ‫‪f (x) − f (c) −‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ ‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Dj z j (xj − cj ) −‬‬ ‫= ) ‪Dj f (c) (xj − cj‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ ‬ ‫) ‪Dj f z j − Dj f (c) (xj − cj‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪p h‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪j=1‬‬ ‫ ‬ ‫נסמן את ווקטור הנגזרות ) ‪ ,α = (α1 , ..., αp‬כאשר )‪ αl = Dl f z l − Dl f (c‬לכל‬ ‫‪ ,1 ≤ l ≤ p‬ונקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ p h‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ ‬ ‫‪i‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ X‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪f (x) − f (c) −‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫) ‪Dj f z − Dj f (c) (xj − cj‬‬ ‫ = ) ‪Dj f (c) (xj − cj‬‬ ‫≤‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ j=1‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪≤ kx − ck · kαk < kx − ck · p · ε‬‬ ‫כאשר אי השוויון הראשון הוא אי־שוויון קושי־שוורץ לווקטורים ‪ ,α, x − c‬ואי השוויון‬ ‫השני נובע מרציפות הנגזרות החלקיות ‪ Dj f‬שהזכרנו בראשית ההוכחה‪.‬‬ ‫נסמן ‪ ,u = x − c‬נחלק ב‪ kuk-‬ונקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪f (c + u) − f (c) −‬‬ ‫‬ ‫‪D‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(c‬‬ ‫·‬ ‫‪u‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪u→0‬‬ ‫‪kuk‬‬ ‫לכן )‪uj Dj f (c‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪ ,Df (c) u‬ונקבל את הגבול שמגדיר קיום נגזרת‪ .‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫הערה‪ :‬הוכחנו את המקרה ‪ .q = 1‬הכללת ההוכחה ל‪ q-‬כללי מושארת כתרגיל‪.‬‬ ‫‬ ‫נשים לב לצורך ההוכחה שמתקיים ‪ ,Df (c) u = Df 1 (c) u, ..., Df q (c) u‬ולכן די‬ ‫להראות שהמשפט פועל על כל אחד מהרכיבים‪.‬‬ ‫טרמינולוגיה‪ :‬הגדרנו נגזרת של ‪ f : A → Rq‬עבור ‪ A ⊆ Rp‬בנקודה פנימית ‪ c ∈ A‬להיות‬ ‫העתקה לינארית ‪ .Df : Rp → Rq‬בסימון מקובל ) ‪.Df (c) ∈ L (Rp , Rq‬‬ ‫כמו כל העתקה לינארית‪ ,‬ל‪ Df (c)-‬קיים ייצוג יחיד כמטריצה‪.‬‬ ‫)‪.Df (c) ∈ M atq×p (R‬‬ ‫‪8‬‬ ‫בסימון מקובל‬ ‫‪1.2‬‬ ‫ההעתקה ) ‪Df : Rp → L (Rp , Rq‬‬ ‫הגדרנו את הנגזרת של ‪ f‬בנקודה ‪ c‬נתונה להיות העתקה לינארית )‪ .Df (c‬אולם אם נתבונן‬ ‫ב‪ Df -‬במשתנה ‪ c‬נקבל כי זו העתקה מהצורה‪:‬‬ ‫∼ ) ‪Df : Rp → L (Rp , Rq‬‬ ‫)‪= M atq×p (R‬‬ ‫הערה‪ :‬חשוב לשים לב שהלינאריות שדרשנו היא של ‪ Df (c) u‬במשתנה ‪ ,u ∈ Rp‬אולם‬ ‫העתקה ‪ Df‬במשתנה ‪ c ∈ Rp‬אינה לינארית בהכרח‪.‬‬ ‫∼ ) ‪ .Df : Rp → L (Rp , Rq‬נרצה למצוא לה ייצוג כללי‪.‬‬ ‫נתבונן בהעתקה )‪= M atq×p (R‬‬ ‫אם נסמן ‪ f = (f1 , ..., fq ) ∈ Rq‬עבור ‪ ,fj : Rp → R‬אז מגזירות ‪ f‬כל ‪ fj‬גזירה בכיוון ‪.ej‬‬ ‫לכן בסימון זה מתקיים שהנגזרת היא ) ‪.Df = (Df1 , ..., Dfq‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪ ,Df (c) u‬ולכן בשוויון הקודם מתקיים שבייצוג מטריציאלי‬ ‫הראינו לעיל כי ‪Di f (c) ui‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫הנגזרת היא‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Dj f1 (c) uj , ...,‬‬ ‫‪Dj fq (c) uj ‬‬ ‫‪Df (c) u = ‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫ונשים לב שזו מטריצה ‪ q × p‬של העתקה ‪ ,L : Rp → Rq‬מהצורה הבאה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪D1 f1 (c) . . . Dp f1 (c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪Df (c) = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪D1 fq (c) . . . Dp fq (c‬‬ ‫‬ ‫דוגמה‪ :‬ניקח ‪ f : R2 → R2‬על־ידי ) ‪.(x1 , x2 ) 7→ (f1 (x1 , x2 ) , f2 (x1 , x2 )) =: x22 ex1 , sin (x1 + x2‬‬ ‫נחשב את כל הנגזרות החלקיות )‪ (2‬בכל קואורדינטה )‪:(2‬‬ ‫) ‪= cos (x1 + x2‬‬ ‫‪∂f2‬‬ ‫‪∂x2‬‬ ‫‪= cos (x1 + x2 ) ,‬‬ ‫‪∂f2‬‬ ‫‪∂x1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪= 2x2 ex1‬‬ ‫‪∂f1‬‬ ‫‪∂x2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪= x22 ex1‬‬ ‫‪∂f1‬‬ ‫‪∂x1‬‬ ‫כפי שניתן להיווכח‪ ,‬כל הנגזרות החלקיות קיימות בסביבה ורציפות ב‪ (x2 , x2 )-‬ולכן‬ ‫הנגזרת קיימת‪ ,‬והיא ההעתקה ‪ Df (x1 , x2 ) : R2 → R2‬המיוצגת על־ידי המטריצה‪:‬‬ ‫ !‬ ‫‬ ‫‪∂f1‬‬ ‫‪∂f1‬‬ ‫‪2x2 ex1‬‬ ‫‪x22 ex1‬‬ ‫‪∂x1‬‬ ‫‪∂x2‬‬ ‫= ) ‪Df (x1 , x2‬‬ ‫=‬ ‫‪∂f2‬‬ ‫‪∂f2‬‬ ‫) ‪cos (x1 + x2 ) cos (x1 + x2‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כלל השרשרת‬ ‫למה ‪ :1‬תהי ‪ L : Rp → Rq‬העתקה לינארית‪ .‬אזי קיים ‪ 0 < M ∈ R‬קבוע‪ ,‬כך שלכל‬ ‫‪ u ∈ Rp‬מתקיים ‪.kLuk ≤ M · kuk‬‬ ‫‪9‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נסמן את הספירה ה‪p − 1-‬־ממדית להיות ‪.S p−1 = {u ∈ Rp | kuk = 1} ⊆ Rp‬‬ ‫היא סגורה וחסומה ולכן קומפקטית‪.‬‬ ‫‪ L‬להיות ‪˜ = kLuk‬‬ ‫נגדיר העתקה ‪˜ : S p−1 → R‬‬ ‫‪ .Lu‬זו העתקה רציפה מרציפות‬ ‫הנורמה ומכך ש‪ L-‬רציפה מהיותה לינארית‪.‬‬ ‫‪p−1‬‬ ‫אם כך ˜‬ ‫הקומפקטית ‪ S‬ולכן חסומה‪ ,‬כלומר קיים ∈ ‪0 < M‬‬ ‫‪ L‬רציפה על הקבוצה‬ ‫‬ ‫ ˜‬ ‫‪p−1‬‬ ‫‪ R‬כך שלכל‬ ‫‪ v ∈ S‬מתקיים ‪.Lv ≤ M‬‬ ‫ ‬ ‫ ˜‬ ‫‪.kLuk = Lu‬‬ ‫עבור כל ‪ u ∈ Rp‬המקיים ‪ ,kuk = 1‬מתקיים כי ‪ ≤ M = M · kuk‬‬ ‫כעת עבור ‪ u ∈ Rp‬כללי‪ ,‬אם ‪ u = 0‬הטענה ברורה ולכן נניח ‪ u 6= 0‬ונגדיר‬ ‫שהוא ווקטור ב‪ ,S p−1 -‬ולכן‪:‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪kuk‬‬ ‫=‪v‬‬ ‫‪kLuk = kLvk · kuk ≤ M · kvk · kuk = M · kuk‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪ .Lu=kuk·L( kuk‬‬ ‫כאשר מלינאריות ‪ L‬נובע השוויון הראשון‪)=kuk·Lv :‬‬ ‫למה ‪ :2‬אם ‪ f : A ⊆ Rp → Rq‬העתקה גזירה בנקודה פנימית ‪ ,c ∈ A‬אז קיימים ‪0 < K, δ‬‬ ‫כך שאם ‪ kx − ck < δ‬אז ‪ .kf (x) − f (c)k ≤ K · kx − ck‬כלומר ‪ f‬ליפשיצית‬ ‫בנקודה ‪.c‬‬ ‫הערה‪ :‬זו הכללה של למה ‪ ,1‬עבור ‪ f (x) = Lx‬בנקודה ‪ ,c = 0‬וזאת כי אם‬ ‫‪ kx − 0k = kxk < δ‬אז ‪.kLxk = kLx − L0k = kf (x) − f (0)k ≤ K·kxk‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מהנתון כי ‪ f‬גזירה ב‪ c-‬נובע שבפרט עבור ‪ ε = 1‬קיים ‪ 0 < δ‬כך שאם ‪kx − ck < δ‬‬ ‫אז ‪.kf (x) − f (c) − Df (c) (x − c)k ≤ 1 · kx − ck‬‬ ‫הנגזרת )‪ Df (c‬היא העתקה לינארית ולכן מלמה ‪ 1‬נובע שקיים ‪ 0 < M‬כך שלכל‬ ‫‪ u ∈ Rp‬מתקיים ‪ ,kDf (c) uk ≤ M · kuk‬ומכאן נסיק‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫≤ ‪kf (x) − f (c)k ≤ kf (x) − f (c) − Df (c) (x − c)k + kDf (c) (x − c)k‬‬ ‫‪≤ kx − ck + M · kx − ck = (M + 1) · kx − ck‬‬ ‫ולכן הקבוע ‪ K = M + 1‬מקיים את הנדרש בלמה‪ .‬‬ ‫‪f : A ⊆ R p → Rq‬‬ ‫משפט‪ :‬יהיו ההעתקות‬ ‫‪g : B ⊆ Rq → R r‬‬ ‫‪ g‬גזירה ב‪ ,f (c) = b ∈ B-‬גם היא פנימית‪.‬‬ ‫‪ ,‬ונניח כי ‪ f‬גזירה בנקודה פנימית ‪ c ∈ A‬וכי‬ ‫אזי ההעתקה ‪ h = g ◦f‬גזירה בנקודה ‪ ,c‬ומתקיים כי )‪.Dh (c) = Dg (f (c))·Df (c‬‬ ‫הערה‪ :‬כפל מטריצות היא פעולה זהה להרכבת העתקות לינאריות‪ .‬לכן הביטוי‬ ‫)‪ Dh (c) = Dg (f (c)) · Df (c‬הוא הרכבה של ההעתקות הלינאריות‪.‬‬ ‫)‪Lf = Df (c‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נסמן לצורך הנוחות‬ ‫))‪Lg = Dg (f (c‬‬ ‫‪ .‬יהי ‪.0 < ε‬‬ ‫‪ .1‬מגזירות ‪ f, g‬בנקודות המתאימות נובעים אי השוויונים הבאים‪:‬‬ ‫‪10‬‬ :‫ כך שמתקיים‬0 < δf , δg ‫)א( קיימים‬ kx − ck < δf =⇒ kf (x) − f (c) − Lf (x − c)k < ε · kx − ck ky − bk < δg =⇒ kg (y) − g (b) − Lg (y − b)k < ε · ky − bk :‫ כך שמתקיים‬γ, K ‫ נובע שקיימים‬2 ‫)ב( מלמה‬ kx − ck < γ =⇒ kf (x) − f (c)k < K · kx − ck :‫ כך שמתקיים‬M ‫ נובע שקיים‬1 ‫)ג( מלמה‬ kLg uk ≤ M · kuk :‫)ב( נובע‬-‫ מהאי־שוויון ב‬.δ = min kx − ck < δ =⇒ kf (x) − f (c)k < K · kx − ck < K · n δg K,γ o ‫ נסמן‬.2 δg = δg K :‫ נובע‬b = f (c) ,y = f (x) ‫)א( עבור‬-‫ מהאי־שוויון השני ב‬.3 kf (x) − f (c)k < δg =⇒ kg (f (x)) − g (f (c)) − Lg (f (x) − f (c))k < < ε · kf (x) − f (c)k < ε · K · kx − ck .2-‫כאשר האי־שוויון האחרון נובע מ‬ :‫)ג( נובע‬-‫ ומהאי־שוויון ב‬δ ≤ δf ‫ נדרוש בנוסף כי‬.4 kx − ck < δ =⇒ kLg [f (x) − f (c) − Lf (x − c)]k ≤ ≤ M · kf (x) − f (c) − Lf (x − c)k ≤ M · ε · kx − ck .(‫)א‬-‫כאשר האי־שוויון האחרון נובע מהאי־שוויון הראשון ב‬ n o δ :‫ מתקיים כי‬δ = min γ, Kg , δf ‫ ונסיק שעבור‬,‫ נסכם את כל התוצאות שקיבלנו‬.5 kx − ck < δ =⇒ kh (x) − h (c) − Lg ◦ Lf (x − c)k = 4 = kg (f (x)) − g (f (c)) − Lg ◦ Lf (x − c)k ≤ 4 ≤ kg (f (x)) − g (f (c)) − Lg (f (x) − f (c))k + kLg [(f (x) − f (c)) − Lf (x − c)]k ≤ ≤ ε · K · kx − ck + ε · M · kx − ck = ε · kx − ck (K + M ) 11 ‫‪7‬‬ ‫המספרים ‪ K, M‬אינם תלויים ב‪ ε-‬ולכן החסם ) ‪ ε · kx − ck (K + M‬קטן כרצוננו‪.‬‬ ‫מכאן כי ‪ h‬גזירה ב‪ ,c-‬ובהתאם לסימונים )‪ .Dh (c) = Dg (f (c)) · Df (c‬‬ ‫‪2.1‬‬ ‫כלל לייבניץ‬ ‫‪p‬‬ ‫אם ‪ f1 , f2 : A ⊆ R → R‬גזירות ב‪ ,x-‬אזי מתקיים כי ההעתקה ‪ f1 · f2‬גזירה גם היא‬ ‫ב‪ ,x-‬והנגזרת שלה היא‪:‬‬ ‫)‪D (f1 · f2 ) (x) = f2 (x) Df1 (x) + f1 (x) Df2 (x‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נשתמש בכלל השרשרת‪.‬‬ ‫נגדיר העתקה חדשה ‪R2‬‬ ‫היא ‪Df (x) : Rp → R2‬‬ ‫עמודה באורך ‪.p‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫)‪7→ ff21 (x‬‬ ‫→ ‪ f : Rp‬על־ידי‬ ‫‬ ‫)‪1 (x‬‬ ‫‪,v 7→ Df‬‬ ‫המעתיקה ‪v‬‬ ‫‪Df2 (x) 2×p‬‬ ‫‬ ‫‪ .x‬נשים לב שהנגזרת שלה‬ ‫כאשר )‪ Dfi (x‬הוא ווקטור‬ ‫‪2‬‬ ‫שהנגזרת‬ ‫נשים לב‬ ‫‬ ‫נגדיר עוד העתקה חדשה ‪ g : R → R‬על־ידי ‪ .(y1 , y2 ) 7→ y1 · y2‬‬ ‫)‪∂g(y) ∂g(y‬‬ ‫שלה היא ‪ Dg (y) : R2 → R‬המיוצגת על־ידי המטריצה ) ‪. ∂y1 , ∂y2 = (y2 , y1‬‬ ‫כעת נסמן ‪ h = g ◦ f‬כאשר ‪ h : A ⊆ Rp → R‬ומקיימת = ))‪h (c) = g (f (x‬‬ ‫)‪ .g (f1 (x) , f2 (x)) = f1 (x) · f2 (x‬נפעיל את כלל השרשרת ונקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫)‪1 (x‬‬ ‫‪Dh (c) = Dg (f (x)) ◦ Df (x) = (f2 (x) , f1 (x)) Df‬‬ ‫=‬ ‫)‪Df2 (x‬‬ ‫)‪= f2 (x) Df1 (x) + f1 (x) Df2 (x‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫התחלפות נגזרות חלקיות‬ ‫רקע‪ :‬תהי ‪ f : U ⊆ Rp → Rq‬ל‪ U -‬פתוחה‪ .‬אם היא גזירה חלקית על כל ‪ ,U‬אז הנגזרת‬ ‫‪∂f‬‬ ‫‪ . ∂x‬כלומר עבור‬ ‫∼ ‪= D i f : U → Rq‬‬ ‫החלקית ה‪ i-‬שלה היא מהצורה )‪= L (Rq , R‬‬ ‫‪i‬‬ ‫כל ‪ c ∈ U‬מתקיים ‪.Di f (c) ∈ Rq‬‬ ‫נתבונן בהעתקה ‪ .Di f‬ייתכן כי היא עצמה גזירה כהעתקה של ‪ ,c‬ואז הנגזרת החלקית‬ ‫‪∂2f‬‬ ‫‪ . ∂x‬כלומר עבור כל ‪ c ∈ U‬מתקיים‬ ‫ה‪ j-‬שלה היא מהצורה ‪= Dj Di f : U → Rq‬‬ ‫‪j xi‬‬ ‫‪.Dj (Di f ) (c) ∈ Rq‬‬ ‫מתברר שבהרבה מהמקרים ניתן להחליף את סדר הגזירה החלקית‪ .‬כלומר מתקיים‬ ‫‪∂2f‬‬ ‫‪∂2f‬‬ ‫‪ , ∂x‬או בסימון אחר ‪.Dj Di f = Di Dj f‬‬ ‫‪= ∂x‬‬ ‫‪j xi‬‬ ‫‪i xj‬‬ ‫למה‪ :‬תהי ‪ 8 ,f : U ⊆ R2 → R‬ונניח ‪ c = (0, 0) ∈ U‬נקודה פנימית‪ .‬נניח כי ‪D1 f, D21 f‬‬ ‫קיימות על ‪ ,U‬ונניח עוד כי ‪ D21 f‬רציפה ב‪.c = (0, 0)-‬‬ ‫בלינאריות של ‪ Lg‬כדי להסיק = )‪Lg [(f (x) − f (c))] − Lg ◦ Lf (x − c‬‬ ‫ ‪7‬נשים לב שהשתמשנו‬ ‫‬ ‫)‪.Lg (f (x) − f (c)) − Lf (x − c‬‬ ‫‪8‬אנו מעוניינים לדון כרגע בהחלפת סדר של שתי נגזרות‪ ,‬ולכן די לדון בהעתקה של שני משתנים‪ .‬בהמשך‬ ‫נכליל את הטענה‪ .‬מבחינה מהותית מספיק לדון בתמונה מממד ‪ ,1‬שכן בממד גבוה יותר הדיון יהיה תקף בכל‬ ‫קואורדינטה‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫)‪A (h, k) = f (h, k) − f (h, 0) − f (0, k) + f (0, 0‬‬ ‫אזי מתקיים כי‪:‬‬ ‫)‪A (h, k‬‬ ‫)‪= D21 f (0, 0‬‬ ‫‪h·k‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪(h, k) → (0, 0‬‬ ‫‪h, k 6= 0‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ .0 < ε‬מרציפות ‪ D21 f‬ב‪ (0, 0)-‬נובע שקיים ‪ 0 < δ‬כך שאם ‪ |h| , |k| < δ‬אז‪:‬‬ ‫‪kD21 f (h, k) − D21 f (0, 0)k < ε‬‬ ‫יהי ‪ k‬כלשהו המקיים ‪.|k| < δ‬‬ ‫• נגדיר העתקה ‪ B : [−δ, δ] → R‬על־ידי‪:‬‬ ‫)‪B (h) = f (h, k) − f (h, 0‬‬ ‫נשים לב שמתקיים עבור ‪ B‬כי‪:‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫)‪A (h, k) = B (h) − B (0‬‬ ‫הנחנו גם שהנגזרת ‪ D1 f‬קיימת‪ ,‬ולכן גם‪:‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫)‪B 0 (h) = D1 f (h, k) − D1 f (h, 0‬‬ ‫וממשפט הערך הממוצע נובע שקיימת ‪ 0 < h0 < h‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫) ‪B (h) − B (0) = (h − 0) · B 0 (h0 ) = hB 0 (h0‬‬ ‫• אם כך קבענו ‪ k‬והגדרנו עבורו ‪ h0‬מתאים‪ .‬כעת עבור ‪ h0‬הנ"ל נגדיר העתקה‬ ‫‪ C : [−δ, δ] → R‬על־ידי‪:‬‬ ‫)‪C (t) = D1 f (h0 , t‬‬ ‫נשים לב שמתקיים עבור ‪ C‬כי‪:‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫)‪B 0 (h0 ) = C (k) − C (0‬‬ ‫וכן הנחנו שהנגזרת ‪ D21‬קיימת‪ ,‬ולכן גם‪:‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫)‪C 0 (t) = D2 D1 f (h0 , t) = D21 f (h0 , t‬‬ ‫וממשפט הערך הממוצע נובע שקיימת ‪ 0 < k0 < k‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫) ‪C (k) − C (0) = (k − 0) · C 0 (k0 ) = kD21 f (h0 , k0‬‬ ‫‪13‬‬ ‫• כעת נצרף את כל מה שקיבלנו ונסיק כי‪:‬‬ ‫) ‪hkD21 f (h0 , k0‬‬ ‫)‪(5)+(6‬‬ ‫=‬ ‫)‪(4‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫])‪A (h, k) = B (h) − B (0) = hB 0 (h0 ) = h [C (k) − C (0‬‬ ‫⇓ ‪6= 0‬‬ ‫‪if h, k‬‬ ‫⇓‬ ‫)‪A (h, k‬‬ ‫) ‪= D21 f (h0 , k0‬‬ ‫‪hk‬‬ ‫⇓‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪ A(h,k‬‬ ‫‬ ‫‪ hk − D21 f (0, 0) = |D21 f (h0 , k0 ) − D21 f (0, 0)| < ε‬‬ ‫כאשר האי־שוויון האחרון נובע מרציפות ‪ D21 f‬בנקודה )‪ ,(0, 0‬שכן בחרנו‬ ‫‪ .0 < |k0 | < |k| < δ ,0 < |h0 | < |h| < δ‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ f : U ⊆ R2 → R‬ונניח ‪ c = (0, 0) ∈ U‬נקודה פנימית‪.‬‬ ‫‪ D1 f, D2 f, D21 f‬קיימות על ‪ ,U‬ונניח עוד כי ‪ D21 f‬רציפה ב‪.c = (0, 0)-‬‬ ‫נניח כי‬ ‫אזי גם ‪ D12 f‬קיימת ב‪ ,c = (0, 0)-‬ומתקיים השוויון )‪.D12 f (0, 0) = D21 f (0, 0‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ (0, 0) ∈ U‬נקודה פנימית‪ ,‬אז קיים ‪ 0 < δ0‬מספיק קטן כך שאם ‪|h| , |k| < δ‬‬ ‫אז ‪.(h, k) ∈ U‬‬ ‫נקבע ‪ 0 < |h| < δ0‬כלשהו‪ ,‬ונקבל שמתקיים‪:‬‬ ‫)‪A (h, k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪A (h, k‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫=‬ ‫‪hk‬‬ ‫‪h k→0‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k 6= 0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪k→0‬‬ ‫‪k 6= 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪f (h, k) − f (h, 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (0, k) − f (0, 0) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− lim‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪h k→0‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k→0‬‬ ‫‪k 6= 0‬‬ ‫=‪k‬‬ ‫‪6 0‬‬ ‫])‪[D2 f (h, 0) − D2 f (0, 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪h‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫כאשר השוויון הראשון נובע מהגדרת )‪ ,A (h, k‬והשוויון השלישי נובע מהגדרת הנגזרת‬ ‫החלקית בכיוון הווקטור ‪ ,e2‬שהנחנו שקיימת‪.‬‬ ‫יהי ‪ .0 < ε‬מהלמה נובע שקיים ‪ 0 < δ1‬כך שמתקיים שאם ‪ 0 < |h| , |k| < δ1‬אזי‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪ A (h, k‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪<ε‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(0,‬‬ ‫)‪0‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪ hk‬‬ ‫‬ ‫‪14‬‬ ‫ומכאן שעבור } ‪ δ = min {δ0 , δ1‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫= )‪ [D2 f (h, 0) − D2 f (0, 0)] − D21 f (0, 0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪ A (h, k‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪A (h, k‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫ ‪− D21 f (0, 0) = lim‬‬ ‫‪− D21 f (0, 0) < ε‬‬ ‫‪k→0‬‬ ‫‪k→0‬‬ ‫‪hk‬‬ ‫‪hk‬‬ ‫בחרנו את ‪ ε‬שרירותית‪ ,‬ולכן נקבל שמתקיים כי‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪[D2 f (h, 0) − D2 f (0, 0)] = D21 f (0, 0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h 6= 0‬‬ ‫= )‪D12 f (0, 0‬‬ ‫כאשר השוויון הראשון נובע מהגדרת הנגזרת החלקית‪ .‬‬ ‫מסקנה‪ :‬תהי ‪ f : U ⊆ Rp → R‬ונניח ‪ c ∈ U‬נקודה פנימית כלשהי‪ .‬נניח כי ‪Di f, Dj f, Dji f‬‬ ‫קיימות על ‪ ,U‬ונניח עוד כי ‪ Dji f‬רציפה ב‪.c-‬‬ ‫אזי גם ‪ Dij f‬קיימת ב‪ ,c-‬ומתקיים השוויון )‪.Dij f (c) = Dji f (c‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נגדיר את ‪ g : R2 → Rp‬על־ידי ‪ ,(h, k) 7→ c + hei + kej‬ונסמן ‪˜ =:‬‬ ‫‪(0, 0) ∈ U‬‬ ‫) ‪ .g −1 (U‬זו נקודה פנימית כי ‪ g‬רציפה‪.‬‬ ‫נגדיר עוד את ‪ g˜ : R2 → R‬על־ידי ) ‪.(h, k) 7→ f (c + hei + kej‬‬ ‫נובע מההגדרה שמתקיים באופן כללי‪:‬‬ ‫) ‪D1 g˜ (h, k) = Di f (c + hei + kej‬‬ ‫) ‪D2 g˜ (h, k) = Dj f (c + hei + kej‬‬ ‫) ‪D21 g˜ (h, k) = Dji f (c + hei + kej‬‬ ‫‬ ‫˜‪,‬‬ ‫נשים לב כי ההעתקה ‪ g˜ ◦ g −1 : Rp → R‬מקיימת )‪g g −1 (c) = g˜ (0, 0) = f (c‬‬ ‫˜‪ .‬לכן נוכל להסיק כי‪:‬‬ ‫ומהגדרת ‪ g‬נובע כי )‪ (0, 0‬נקודה פנימית של תחום ‪g‬‬ ‫)‪Dji f (c) = D21 g˜ (0, 0) = D12 g˜ (0, 0) = Dij f (c‬‬ ‫˜‪ ,‬והשוויון האמצעי נובע‬ ‫כאשר השוויונים הראשון והשלישי נובעים מההגדרה של ‪g‬‬ ‫מהמשפט‪ .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫נגזרות גבוהות‬ ‫רקע‪ :‬תהי ‪ f : U ⊆ Rp → R‬ונניח כי ‪ U‬קבוצה פתוחה )כך שכל נקודה בה היא פנימית(‪.‬‬ ‫• נניח כי ‪ f‬גזירה על כל ‪ .U‬המשמעות היא שקיימת העתקה מהצורה‪:‬‬ ‫∼ )‪Df : U → L (Rp , R‬‬ ‫)‪= M at1×p (R‬‬ ‫‪15‬‬ ‫כך שלכל ‪ c ∈ U‬היא מעתיקה )‪.c 7→ Df (c‬‬ ‫נייצג את ההעתקה ‪ Df‬גם בצורת מטריצה וגם על־ידי אינדקסים‪:‬‬ ‫‪Di f (c) ui‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫}‪Df (c) |{z‬‬ ‫= ‪u‬‬ ‫‪Df = (D1 f, ..., Dp f )1×p ,‬‬ ‫‪∈Rp‬‬ ‫כאשר ) ‪.u = (u1 , ..., up‬‬ ‫• כעת נניח שגם ‪ Df‬עצמה העתקה גזירה על כל ‪ .U‬המשמעות היא שקיימת‬ ‫העתקה מהצורה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫∼‬ ‫∼‬ ‫)‪D f : U → L (R , L (R , R)) = L (R × R , R) = M at1×p×p (R‬‬ ‫כך שלכל ‪ c ∈ U‬היא מעתיקה )‪.Df (c) 7→ D2 f (c‬‬ ‫נייצג את ההעתקה ‪ D2 f‬גם בצורת מטריצה וגם על־ידי אינדקסים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D11 f . . . D1p f‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= )‪D f (c) (u, v‬‬ ‫‪D f =‬‬ ‫‪Dij f (c) ui vj‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪i,j=1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪Dp1 f . . . Dpp f p×p‬‬ ‫‪∈R ×R‬‬ ‫כאשר ) ‪ .v = (v1 , ..., vp ) ,u = (u1 , ..., up‬אם כך למעשה ‪ D2 f‬היא תבנית‬ ‫בילינארית‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬במידה וכל הנגזרות החלקיות רציפות אז ‪ ,Dij f = Dji f‬כפי שראינו‬ ‫לעיל‪ ,‬ובמקרה כזה מתקבלת מטריצה סימטרית ביחס לאלכסון הראשי‪.‬‬ ‫כלומר היא שווה למטריצה המשוחלפת שלה‪.‬‬ ‫• באופן דומה‪ ,‬נמשיך ונניח כי ‪ D2 f‬עצמה העתקה גזירה על כל ‪ .U‬המשמעות‬ ‫היא שקיימת העתקה מהצורה‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫∼‬ ‫∼ )‪D f : U → L (R , L (R , L (R , R))) = L (Rp × Rp × Rp , R‬‬ ‫)‪= M at1×p×p×p (R‬‬ ‫כך שלכל ‪ c ∈ U‬היא מעתיקה )‪.D2 f (c) 7→ D3 f (c‬‬ ‫האיבר הכללי של מטריצת ייצוג להעתקה זו הוא ‪ Dijk f‬ולכן לא ניתן לייצג‬ ‫אותה באמצעות מטריצה דו־ממדית‪ .‬נייצג אותה באמצעות אינדקסים‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Dijk f (c) ui vj wk‬‬ ‫‪i,j,k=1‬‬ ‫= )‪D3 f (c) (u, v, w‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪∈Rp ×Rp ×Rp‬‬ ‫כאשר ) ‪.w = (w1 , ..., wp ) ,v = (v1 , ..., vp ) ,u = (u1 , ..., up‬‬ ‫• וכן הלאה‪ ,‬ניתן להכליל לגזירות מכל סדר סופי ולקבל שהנגזרת ‪ Dn f‬היא‬ ‫העתקה המיוצגת באמצעות מטריצה מגודל ‪) .1 × p × p × ... × p‬טנזור(‪.‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫|‬ ‫‪n times‬‬ ‫הערה‪ :‬בכל המקרים לעיל ניתן להניח בלי כל שינוי מהותי שמדובר בהעתקה ⊆ ‪f : U‬‬ ‫‪ Rp → Rq‬גזירה על ‪ ,U‬כך שהנגזרות יהיו‪:‬‬ ‫) ‪Df : U → L (Rp , Rq‬‬ ‫) ‪D2 f : U → L (Rp × Rp , Rq‬‬ ‫) ‪D3 f : U → L (Rp × Rp × Rp , Rq‬‬ ‫‪16‬‬ ‫הערה‪ :‬בהינתן ‪ f : U ⊆ Rp → R‬גזירה בנקודה פנימית ‪ ,c ∈ U‬אז עבור ‪ 0 < ε‬מספיק‬ ‫קטן ניתן להגדיר העתקה ‪ F : (−ε, ε) → R‬על־ידי )‪.F (t) = f (c + tu‬‬ ‫כעת ניתן לראות שמתקיים בהתאם למשפט שהראינו אודות הקשר בין נגזרת לנגזרת‬ ‫חלקית‪ ,‬שעבור ‪ u ∈ Rp‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪F 0 (t) = Du f (c + tu) = Df (c + tu) u‬‬ ‫)‪F 00 (t) = Du (Du f ) (c + tu) = D2 f (c + tu) (u, u‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪F (n) (t) = Du (... (...Du f )) (c + tu) = Dn f (c + tu) (u, u, ..., u)1×n‬‬ ‫‪4.1‬‬ ‫משפט טיילור לממד גבוה‬ ‫‪p‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ f : U ⊆ R → R‬לקבוצה פתוחה ‪ ,U‬העתקה גזירה ברציפות ‪ n + 1‬פעמים‬ ‫בסביבת כל נקודה שנמצאת על הישר }]‪.{a + tu|a, a + u ∈ U, t ∈ [0, 1‬‬ ‫אזי קיימת )‪ ,t0 ∈ (0, 1‬כך שעבור ‪ c = a + t0 u‬על הישר הנ"ל מתקיים‪:‬‬ ‫= )‪f (a + u‬‬ ‫‪D n+1 f (c)(u,...,u)1×n+1‬‬ ‫!)‪(n+1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪D n f (a)(u,...,u)1×n‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪+ ... +‬‬ ‫)‪D 2 f (a)(u,u‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫‪= f (a) + Df (a) (u) +‬‬ ‫הערה‪ :‬נשים לב למבנה של הביטוי הנ"ל‪ .‬זהו פולינום ממעלה ‪ n‬במשתנה ‪ ,u ∈ Rp‬כאשר‬ ‫האיבר האחרון‪ ,‬המקדם החופשי‪ ,‬הוא השארית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נגדיר ‪ F : R → R‬על־ידי )‪ .F (t) = f (a + tu‬משפט טיילור להעתקות במשתנה‬ ‫אחד קובע שבפרט עבור ‪ t = 0‬קיים ‪ t0‬ממשי כך שמתקיים‪:‬‬ ‫)‪F 00 (0‬‬ ‫) ‪F (n) (0) F (n+1) (t0‬‬ ‫‪+ ... +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫!)‪(n + 1‬‬ ‫‪F (1) = F (0) + F 0 (0) +‬‬ ‫אבל נשים לב כי מהגדרת ‪ F‬נובע‪:‬‬ ‫‪F 0 (t) = Df (a + tu) u‬‬ ‫)‪F 00 (t) = D2 f (a + tu) (u, u‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪F (n) (t) = Dn f (a + tu) (u, ..., u)1×n‬‬ ‫‪17‬‬ ‫וכן גם לגבי האיבר האחרון בביטוי‪:‬‬ ‫‪F (n+1) (t0 ) = D(n+1) f (a + t0 u) (u, ..., u)1×n+1‬‬ ‫מכאן כי פיתוח טיילור של ‪ F‬ב‪ t = 0-‬הוא בדיוק הביטוי שנדרש במשפט‪ .‬‬ ‫‪5‬‬ ‫נקודות קיצון ונקודות קריטיות‬ ‫הגדרות‪ :‬תהי ‪ f : A ⊆ Rp → R‬העתקה ל‪ A-‬פתוחה‪.‬‬ ‫‪ .1‬נקודה ‪ c ∈ A‬היא נקודת מינימום מקומית‪ ,‬אם קיים ‪ 0 < δ‬כך שלכל ‪,x ∈ A‬‬ ‫אם ‪ kx − ck < δ‬אז )‪.f (c) ≤ f (x‬‬ ‫‪ .2‬נקודה ‪ c ∈ A‬היא נקודת מקסימום מקומית‪ ,‬אם קיים ‪ 0 < δ‬כך שלכל ‪,x ∈ A‬‬ ‫אם ‪ kx − ck < δ‬אז )‪.f (x) ≤ f (c‬‬ ‫‪ .3‬נקודה ‪ c ∈ A‬היא נקודת קיצון מקומית‪ ,‬אם היא נקודת מינימום מקומית או‬ ‫מקסימום מקומית‪.‬‬ ‫‪ .4‬נקודה ‪ c ∈ A‬היא נקודה קריטית‪ ,‬אם הנגזרת )‪ Df (c‬קיימת‪ ,‬קבועה ושווה ‪.0‬‬ ‫כלומר הנגזרת היא ההעתקה ‪.Df (c) = (0, ..., 0)1×p : Rp → R‬‬ ‫למה‪ :‬אם ‪ c‬נקודת קיצון אז היא נקודה קריטית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח כי ‪ c‬נקודת מינימום מקומית‪ ,‬ולכן קיים ‪ 0 < δ‬מתאים‪ .‬יהי ‪ u ∈ Rp‬כלשהו‪.‬‬ ‫נגדיר העתקה חדשה ‪ F : (−δ, δ) → R‬על־ידי )‪.F (t) = f (c + tu‬‬ ‫מהעובדה ש‪ c-‬מינימום מקומית של ‪ f‬נובע כי ‪ t = 0‬היא מינימום מקומית של ‪.F‬‬ ‫ממשפט פרמה לנקודת קיצון שעוסק בהעתקות ‪ R → R‬נובע שמתקיים ‪.F 0 (0) = 0‬‬ ‫נשים לב שמתקיים כי הנגזרת החלקית של ‪ f‬לפי ‪ t‬בנקודה ‪ c‬היא = ‪(c + tu) |t=0‬‬ ‫‪.F 0 (t) |t=0 = F 0 (0) = 0‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪du f‬‬ ‫מכיוון שבחרנו ‪ u‬שרירותי נובע שלכל ‪ 1 ≤ j ≤ p‬מתקיים ‪ Dj f (c) = 0‬ולכן גם‬ ‫‪ ,Df (c) = 0‬כי היא הסכום שלהן‪ .‬‬ ‫הערה‪ :‬אם ‪ c‬נקודה קריטית זה לא אומר בהכרח שהיא נקודת קיצון‪ .‬למשל במקרה של‬ ‫העתקה ‪ f : R → R‬הדבר ייתכן בנקודת פיתול‪ ,‬כלומר במקרה בו הנגזרת השנייה‬ ‫מחליפה סימן בנקודה ‪.c‬‬ ‫הגדרה‪ :‬אומרים שמטריצה ‪ Ap×p‬מוגדרת חיובית‪/‬שלילית‪ ,‬אם לכל ‪ 0 6= w ∈ Rp‬מתקיים‬ ‫כי ‪ wT Aw > 0‬או ‪ ,wT Aw < 0‬בהתאמה‪.‬‬ ‫למה‪ :‬תהי ‪ f : A ⊆ Rp → R‬ונניח כי הנגזרות ‪ Df, D2 f‬קיימות ורציפות על כל ‪ 9 ,A‬ותהי‬ ‫‪ c ∈ A‬נקודה קריטית‪.‬‬ ‫‪ .1‬אם )‪ D2 f (c‬מטריצה מוגדרת חיובית‪ ,‬אזי ‪ c‬נקודת מינימום מקומית‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם )‪ D2 f (c‬מטריצה מוגדרת שלילית‪ ,‬אזי ‪ c‬נקודת מקסימום מקומית‪.‬‬ ‫‪9‬מספיק גם לדרוש שהנגזרות יהיו קיימות ורציפות בסביבה כלשהי של ‪.c‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪ .3‬אם קיימים שני ווקטורים ‪ w± ∈ Rp‬כך שמתקיים ‪ D2 f (c) (w+ , w+ ) > 0‬וגם‬ ‫‪ ,D2 f (c) (w− , w− ) < 0‬אזי ‪ c‬איננה נקודת קיצון‪.‬‬ ‫במקרה כזה אומרים כי ‪ c‬היא נקודת אוכף‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ .1‬נסמן ּ}‪ .S p−1 = {w ∈ Rp | kwk = 1‬היא סגורה וחסומה ב‪ Rp -‬ולכן קומפקטית‪.‬‬ ‫נגדיר העתקה ‪ B : S p−1 → R‬על־ידי )‪ .w 7→ D2 f (c) (w, w‬זו העתקה‬ ‫רציפה על קבוצה קומפקטית ולכן היא מקבלת מינימום שנסמן ‪.m‬‬ ‫מהנתון כי )‪ D2 f (c‬מוגדרת חיובית נובע כי ‪ ,0 < m‬ולכן לכל ‪w ∈ S p−1‬‬ ‫מתקיים ‪.D2 f (c) (w, w) ≥ m > 0‬‬ ‫קיים ‪ 0 < δ‬כך שאם ‪kx − ck < δ‬‬ ‫נתון כי ‪ D2 f‬רציפה‬ ‫ב‪ ,c-‬ולכן לכל ‪ 20 < ε‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p−1‬‬ ‫‪ ,w ∈ S‬ולכן אם נבחר‬ ‫אז ‪ D f (x) (w, w) − D f (c) (w, w) < ε‬לכל‬ ‫‪ ε‬מספיק קטן נקבל כי ‪ D2 f (x) (w, w) > 12 m‬לכל ‪.w ∈ S p−1‬‬ ‫כעת נשתמש במשפט טיילור עד סדר שני‪ ,‬ונקבל שעבור ‪ x = c + u‬קיים‬ ‫‪ x0 = c + t0 u‬ל‪ ,t0 ∈ (0, 1)-‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫)‪D2 f (x0 ) (u, u‬‬ ‫)‪D2 f (x0 ) (u, u‬‬ ‫‪= f (c) +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f (x) = f (c) + Df (c) u +‬‬ ‫כאשר השוויון השני נובע מהגדרת ‪ c‬כנקודה קריטית‪ ,‬ולכן ‪.Df (c) u = 0‬‬ ‫נצרף את אי השוויון שהראינו ונסיק‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kuk D2 f (x0 ) kuk‬‬ ‫‪, kuk‬‬ ‫‪kuk m‬‬ ‫‪f (x) = f (c) +‬‬ ‫‪≥ f (c) +‬‬ ‫)‪> f (c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2·2‬‬ ‫וקיבלנו את ההגדרה לנקודת מינימום מקומית‪.‬‬ ‫‪ .2‬ההוכחה לנקודת מקסימום מקומית זהה‪ ,‬בשינויי כיווני האי־שוויונים‪.‬‬ ‫‪ .3‬כדי להראות ש‪ c-‬אינה נקודת קיצון יש להראות שהיא לא מינימום מקומית ולא‬ ‫מקסימום מקומית‪.‬‬ ‫לשם כך נראה כי ‪ w±‬מקיימים )‪ f (c + tw+ ) > f (c‬וגם < ) ‪f (c + tw−‬‬ ‫)‪.f (c‬‬ ‫בנתוני הטענה נובע שמתקיים לפי משפט טיילור‪:‬‬ ‫) ‪D2 f (c + t0 w+ ) (tw+ , tw+‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f (c + tw+ ) = f (c) + Df (c) (tw+ ) +‬‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫‪=0‬‬ ‫) ‪D2 f (c + t0 w+ ) (tw+ , tw+‬‬ ‫) ‪t2 D2 f (c + t0 w+ ) (w+ , w+‬‬ ‫‪= f (c) +‬‬ ‫≥‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫)‪m > f (c‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= f (c) +‬‬ ‫‪≥ f (c) +‬‬ ‫כאשר ה‪ m-‬הוא חסם שמתקבל באופן דומה לחסם שקיבלנו בהוכחת ‪.1‬‬ ‫באופן דומה ניתן לקבל כי )‪ .f (c + tw− ) < f (c‬‬ ‫‪19‬‬ ‫דוגמה‪ f : R2 → R :‬נתונה על־ידי ‪ .(x1 , x2 ) 7→ x1 · x2‬קל לראות כי = ) ‪Df (x1 , x2‬‬ ‫) ‪ ,(x2 , x1‬ולכן )‪ (0, 0‬נקודה קריטית‪ .‬הנגזרת השנייה היא‪:‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫) ‪D11 f (x1 , x2 ) D12 f (x1 , x2‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫= ) ‪D2 f (x1 , x2‬‬ ‫=‬ ‫) ‪D21 f (x1 , x2 ) D22 f (x1 , x2‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫בפרט גם בנקודה )‪ (0, 0‬הנגזרת השנייה קבועה ושווה למטריצה הנ"ל‪.‬‬ ‫הנגזרת הראשונה בנקודה )‪ (0, 0‬היא ‪ .0‬נראה שבכל זאת )‪ (0, 0‬אינה נקודת קיצון‬ ‫אלא נקודת אוכף‪ .‬לשם כך נמצא שני ווקטורים ‪ w±‬המתאימים להגדרה‪.‬‬ ‫נחשב את הפולינום האופייני של ) ‪:D2 f (x1 , x2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪−λ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= λ2 − 1‬‬ ‫‪− λI = det‬‬ ‫‪1 −λ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‬ ‫‪ 1‬‬ ‫השורשים שלו הם ‪ ,±1‬אלו הערכים העצמיים‪ ,‬והווקטורים העצמיים המתאימים הם‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. 11 , −1‬‬ ‫למשל‬ ‫כעת נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪= 2 > 0 = f (0, 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫)‪= −2 < 0 = f (0, 0‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪= (1, 1‬‬ ‫)‪D f (0, 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪= (1, −1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‬ ‫)‪D2 f (0, 0‬‬ ‫לכן )‪ (0, 0‬אינה נקודת קיצון ומתברר כי היא נקודת אוכף‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫משפט ההעתקה ההפוכה‬ ‫בהינתן העתקה נרצה למצוא תנאי לקיום של העתקה הפיכה וגזירה‪ .‬נראה שהתשובה לשאלה‬ ‫זו קשורה בהפיכות של הנגזרת‪.‬‬ ‫‪6.1‬‬ ‫משפט ההעתקה המכווצת‬ ‫משפט ההעתקה המכווצת ישמש אותנו במהלך הוכחת משפט ההעתקה ההפוכה‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב מטרי שלם ותהי ‪ ϕ : X → X‬העתקה רציפה‪ ,‬ונניח שקיים ‪0 < γ < 1‬‬ ‫כך שלכל ‪ x, y ∈ X‬מתקיים )‪ .d (ϕ (x) , ϕ (y)) ≤ γ · d (x, y‬אזי קיימת נקודת שבת‬ ‫יחידה‪ .‬כלומר קיים ‪ x ∈ X‬יחיד כך ש‪.ϕ (x) = x-‬‬ ‫∞‬ ‫הוכחה‪ :‬נקבע ‪ x0 ∈ X‬שרירותי‪ ,‬ונגדיר סדרה ‪ (xi )i=0‬רקורסיבית ) ‪ .xi = ϕ (xi−1‬נוכיח‬ ‫כי זו סדרת קושי ושהגבול שלה הוא נקודת השבת המבוקשת‪.‬‬ ‫נשים לב שמהגדרת הסדרה מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪d (xi+1 , xi ) = d (ϕ (xi ) , ϕ (xi−1 )) ≤ γd (xi , xi−1 ) ≤ γ i d (x1 , x0‬‬ ‫כאשר האי־שוויון האחרון נובע באינדוקציה‪.‬‬ ‫‪20‬‬ ‫עוד נשים לב שלכל ‪ j < i‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪γ k d (x1 , x0‬‬ ‫≤ ) ‪d (xk , xk−1‬‬ ‫‪k=j+1‬‬ ‫‪k=j+1‬‬ ‫‪γ j+1‬‬ ‫‪−→ 0‬‬ ‫∞→‪1 − γ j‬‬ ‫) ‪γ k = d (x1 , x0‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪4‬‬ ‫≤ ) ‪d (xi , xj‬‬ ‫‪i−j−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪j+1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪γ = d (x1 , x0 ) γ‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪X‬‬ ‫) ‪= d (x1 , x0‬‬ ‫‪k=j+1‬‬ ‫כאשר האי־שוויון הראשון הוא אי־שוויון המשולש )מוסיפים ומחסרים את כל האיברים‬ ‫שיש להם אינדקס בין ‪ j‬ל‪ ,(i-‬וההתכנסות בסוף נובעת מכך ש‪.0 < γ < 1-‬‬ ‫אם כך זו סדרת קושי‪ ,‬ולכן משלמות המרחב המטרי ‪ X‬נובע שקיים לה גבול‪ .‬נסמן‬ ‫‪ x = lim xi‬ונוכיח כי ‪.ϕ (x) = x‬‬ ‫∞→‪i‬‬ ‫כעת נשים לב שמתקיים לכל ‪ i‬טבעי כי‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫))‪d (x, ϕ (x)) ≤ d (x, xi ) + d (xi , ϕ (xi )) + d (ϕ (xi ) , ϕ (x‬‬ ‫נשים לב שבהינתן ‪ ,0 < ε‬עבור ‪ i‬מספיק גדול מתקיים שגם האיבר הראשון קטן‬ ‫כרצוננו מהתכנסות ‪ ,(xi ) −→ x‬גם האיבר השני קטן כרצוננו מהיות ‪ ϕ‬העתקה‬ ‫מכווצת ולכן מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪d (xi , ϕ (xi )) = d (ϕ (xi−1 ) , ϕ (xi )) ≤ γ i d (x0 , x1‬‬ ‫וכן גם האיבר השלישי קטן כרצוננו מרציפות ‪.ϕ‬‬ ‫מכאן שהמרחק ))‪ d (x, ϕ (x‬קטן כרצוננו ולכן בהכרח ‪.ϕ (x) = x‬‬ ‫היחידות נובעת מכך שאם ‪ x1 , x2‬נקודות שבת של ‪ ϕ‬אז מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪d (x1 , x2 ) = d (ϕ (x1 ) , ϕ (x2 )) ≤ γ · d (x1 , x2‬‬ ‫אבל נתון כי ‪ 0 < γ < 1‬ולכן הפתרון היחיד למשוואה הנ"ל הוא ‪,d (x1 , x2 ) = 0‬‬ ‫כלומר ‪ .x1 = x2‬‬ ‫‪6.2‬‬ ‫משפט ההעתקה ההפוכה להעתקות שנגזרתן חסומה‬ ‫רקע‪ :‬מרחב המטריצות ‪ M atq×p‬הוא מרחב ווקטורי ולכן מוגדרת בו נורמה סטנדרטית‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כלומר אם ‪ ,A = (Aij )q×p ∈ M atq×p‬אז ‪.kAk = i,j A2ij‬‬ ‫נשים לב שלכל ‪ A ∈ M atr×q ,B ∈ M atq×p‬מתקיים כי ‪ AB ∈ M atr×p‬וכן‬ ‫‪.kABk ≤ kAk kBk‬‬ ‫וזאת כי אם ‪ Ai‬השורה ה‪ i-‬של ‪ A‬ו‪ Bj -‬העמודה ה‪ j-‬של ‪ ,B‬אז ‪,(AB)ij = Ai · Bj‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כלומר ) ‪ .kABk = i,j (Ai Bj‬מכאן לפי אי־שוויון קושי־שוורץ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪!‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≤ ‪kABk‬‬ ‫≤ ‪kAi k kBj k‬‬ ‫‪kAi k‬‬ ‫‪kBj k‬‬ ‫‪= kAk kBk‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪i,j‬‬ ‫למה ‪ :1‬תהי ‪ f : A ⊆ Rp → Rq‬ל‪ A-‬פתוחה‪ .‬יהיו ‪ ,x, y ∈ A‬נסמן ‪ u = x − y‬ונניח‬ ‫‪10‬‬ ‫כי ‪.S = {y + tu|t ∈ [0, 1]} ⊆ A‬‬ ‫נניח עוד שלכל ‪ z ∈ S‬מתקיים ‪) kDf (z)k ≤ K ∈ R‬נשים לב שזו נורמה של‬ ‫מטריצה(‪ .‬אזי מתקיים ‪kf (x) − f (y)k ≤ K kx − yk‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ל‪ f (x) = f (y)-‬הטענה ברורה‪ .‬נניח )‪ f (x) 6= f (y‬ונסמן‬ ‫)‪f (x)−f (y‬‬ ‫‪kf (x)−f (y)k‬‬ ‫= ‪.w‬‬ ‫נגדיר העתקה ‪ H : [0, 1] → R‬על־ידי ‪ .H (t) = hf (y + tu) , wi‬נשים לב‬ ‫שמתקיים‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪d‬‬ ‫‪H 0 (t) = dt‬‬ ‫≤ ‪f (y + tu) , w = hDf (y + tu) u, wi‬‬ ‫‪≤ kDf (y + tu) uk kwk ≤ kDf (y + tu)k kuk ≤ K kx − yk‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫כאשר האי־שוויון הראשון הוא אי־שוויון קושי־שוורץ‪ ,‬האי־שוויון השני נובע‬ ‫מהתכונה של נורמת מטריצה שהראינו לעיל‪.‬‬ ‫כעת נפעיל את משפט הערך הממוצע ונסיק‪:‬‬ ‫= ‪kf (x) − f (y)k = hf (x) − f (y) , wi = hf (y + u) , wi − hf (y) , wi‬‬ ‫‪= H (1) − H (0) = H 0 (t) (1 − 0) ≤ K kx − yk‬‬ ‫‬ ‫הקדמה‪ :‬נוכיח את המשפט עבור העתקות גזירות מהצורה ‪,ψ : BR (x0 ) ⊆ Rp → Rp‬‬ ‫ושקיים ‪ γ ∈ R‬כך שלכל ) ‪ x ∈ BR (x0‬מתקיים ‪.kIdp×p − Dψ (x)k ≤ γ < 1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫באופן כללי‪ ,‬להעתקה ‪ ψ‬כנ"ל נגדיר ‪ φ : BR (x0 ) → Rp‬על־ידי )‪.φ (x) = x − ψ (x‬‬ ‫למה ‪ :2‬תהי ‪ ψ‬כנ"ל‪ .‬אזי ‪ kφ (x1 ) − φ (x2 )k ≤ γ kx1 − x2 k‬לכל ) ‪.x1 , x2 ∈ BR (x0‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נשים לב שבאופן כללי אם ‪ L : Rp → Rq‬העתקה לינארית אז )‪,DL (x) = L (x‬‬ ‫כי מלינאריות ‪ L‬נקבל את השוויון מהגדרת הנגזרת ‪.kLx − Ly − L (x − y)k = 0‬‬ ‫מכאן כי הנגזרת של ההעתקה הלינארית ‪ x 7→ x‬זו ‪ x 7→ x‬עצמה‪ ,‬כלומר ההעתקה‬ ‫שהייצוג המטריציאלי שלה הוא ‪ .Id‬מכאן שמתקיים )‪.Dφ (x) = Idp×p − Dψ (x‬‬ ‫אם כך מהנתון נובע ‪ kDφ (x)k ≤ γ < 1‬לכל ) ‪ ,x ∈ BR (x0‬וכעת אנו עומדים‬ ‫בתנאי למה ‪ (”K = γ”) 1‬ונוכל להסיק ‪ .kφ (x1 ) − φ (x2 )k ≤ γ kx1 − x2 k‬‬ ‫למה ‪ :3‬לכל ) ‪ x1 , x2 ∈ BR (x0‬מתקיים‪:‬‬ ‫”‪”A‬‬ ‫”‪”B‬‬ ‫‪(1 − γ) kx1 − x2 k ≤ kψ (x1 ) − ψ (x2 )k ≤ (1 + γ) kx1 − x2 k‬‬ ‫‪ Sּ10‬הוא הישר המחבר בין הנקודות ‪.x, y‬‬ ‫ּ‬ ‫‪11‬כאשר ) ‪ BR (x0‬הוא הכדור הפתוח ברדיוס ‪ R‬סביב ‪.x0 ∈ Rp‬‬ ‫‪22‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח תחילה את אי השוויון ‪ B‬באמצעות אי־שוויון המשולש‪:‬‬ ‫= ‪kψ (x1 ) − ψ (x2 )k = kx1 − φ (x1 ) − (x2 − φ (x2 ))k‬‬ ‫‪4‬‬ ‫≤ ‪= kφ (x1 ) − φ (x2 ) − (x1 − x2 )k ≤ kφ (x1 ) − φ (x2 )k + kx1 − x2 k‬‬ ‫‪≤ γ kx1 − x2 k + kx1 − x2 k = (1 + γ) kx1 − x2 k‬‬ ‫כעת נוכיח את אי השוויון ‪ A‬באמצעות הצד השני של אי־שוויון המשולש‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫≥ ‪kψ (x1 ) − ψ (x2 )k = kφ (x1 ) − φ (x2 ) − (x1 − x2 )k‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪≥ kx1 − x2 k − kφ (x1 ) − φ (x2 )k ≥ kx1 − x2 k − γ kx1 − x2 k = (1 − γ) kx1 − x2 k‬‬ ‫‬ ‫למה ‪ :4‬ההעתקה ‪ ψ‬היא חד־חד ערכית‪ .‬כלומר ‪ ψ‬הפיכה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אי־שוויון ‪ A‬בלמה ‪ 3‬קובע כי ‪ .(1 − γ) kx1 − x2 k ≤ kψ (x1 ) − ψ (x2 )k‬לכן אם‬ ‫) ‪ ψ (x1 ) = ψ (x2‬אז ‪ (1 − γ) kx1 − x2 k = 0‬ומכאן ‪ .x1 = x2‬‬ ‫למה ‪ :5‬ההעתקה ‪ ψ‬היא על )) ‪.B(1−γ)R (ψ (x0‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי )) ‪ y ∈ B(1−γ)R (ψ (x0‬ויהי ‪ 0 < ε‬כך שמתקיים )‪.ky − ψ (x0 )k = (1 − γ) (R − ε‬‬ ‫‪12‬‬ ‫עבור ה‪ y-‬הנתון‪ ,‬נגדיר ‪ φy : BR (x0 ) → Rp‬על־ידי ‪.φy (x) = φ (x) + y‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫טענה‪ :‬לכל ‪ y‬מהצורה הנ"ל מתקיים ) ‪.φy BR−ε (x0 ) ⊂ BR−ε (x0‬‬ ‫הוכחה‪ :‬לכל ) ‪ x ∈ BR−ε (x0‬מתקיים ‪ .kx − x0 k ≤ R − ε‬מכאן נובע‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫≤ ‪kφy (x) − x0 k = kφy (x) − φ (x0 ) − ψ (x0 )k = kφ (x) − φ (x0 ) + y − ψ (x0 )k‬‬ ‫‪4‬‬ ‫≤ )‪≤ kφ (x) − φ (x0 )k + ky − ψ (x0 )k ≤ γ kx − x0 k + (1 − γ) (R − ε‬‬ ‫‪≤ γ (R − ε) + (1 − γ) (R − ε) = R − ε‬‬ ‫כאשר השוויונים בשורה הראשונה נובעים מהגדרות ההעתקות‪ ,‬והאי־שוויון‬ ‫שאחרי אי־שוויון המשולש נובע מלמה ‪ 2‬ומהצורה בה בחרנו את ‪.ε‬‬ ‫כלומר קיבלנו ) ‪ .φy (x) ∈ BR−ε (x0‬‬ ‫נמשיך את הוכחת למה ‪ .5‬נשים לב שמלמה ‪ 2‬נובע‪:‬‬ ‫‪kφy (x1 ) − φy (x2 )k = kφ (x1 ) − φ (x2 )k ≤ γ kx1 − x2 k‬‬ ‫‪12‬קיים ‪ ε‬כנ"ל‪ ,‬שכן ‪ ky − ψ (x0 )k < (1 − γ) R‬בגלל ש‪.y ∈ BR (ψ (x0 ))-‬‬ ‫‪23‬‬ ‫מכאן נובע שההעתקה ) ‪ φy : BR−ε (x0 ) → BR−ε (x0‬היא העתקה מכווצת‪ ,‬ולפי‬ ‫משפט ההעתקה המכווצת נובע שקיימת לה נקודת שבת יחידה‪ .‬כלומר קיים ‪ x‬יחיד‬ ‫המקיים ‪ ,φy (x) = x‬ומכאן לפי הגדרת ההעתקות נובע‪:‬‬ ‫)‪x = φy (x) = φ (x) + y = x − ψ (x) + y =⇒ y = ψ (x‬‬ ‫‬ ‫למה ‪ :6‬הקבוצה ‪ ψ (BR (x0 )) ⊂ Rp‬פתוחה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי )) ‪ ψ (x) =: y ∈ ψ (BR (x0‬עבור ) ‪ .x ∈ BR (x0‬נראה שקיים כדור פתוח‬ ‫בתמונה שמכיל את ‪.y‬‬ ‫נבחר ‪ 0 < ε‬מספיק קטן כך שיתקיים ) ‪ .Bε (x) ⊂ BR (x0‬ניישם את למה ‪ 5‬עבור‬ ‫‪ R = ε‬ו‪ x0 = x-‬להעתקה המצומצמת )‪ ψ 0 = ψ|Bε (x‬ונקבל כי‪:‬‬ ‫)) ‪y ∈ B(1−γ)ε (ψ 0 (x)) ⊂ ψ 0 (Bε (x)) ⊂ ψ 0 (BR (x0‬‬ ‫ולכן הכדור הפתוח ))‪ B(1−γ)ε (ψ 0 (x‬מקיים את הנדרש‪ .‬‬ ‫למה ‪ :7‬הראינו כי ‪ ψ‬חח"ע‪ .‬ההופכית ) ‪ ψ −1 : ψ (BR (x0 )) → BR (x0‬רציפה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נשתמש באי־שוויון ‪ A‬שמופיע בלמה ‪ 3‬ונסיק שלכל )) ‪ y1 , y2 ∈ ψ (BR (x0‬מתקיים‬ ‫כי‪:‬‬ ‫‬ ‫‪ −1‬‬ ‫‪(1 − γ) ψ (y1 ) − ψ −1 (y2 ) ≤ ky1 − y2 k‬‬ ‫לכן מתקבלת בקלות הגדרת הרציפות‪ .‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫)‪.Dψ −1 (y) = Dψ ψ −1 (y‬‬ ‫למה ‪ :8‬ההעתקה ‪ ψ −1‬גזירה בכל נקודה‪ ,‬ומתקיים‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי )) ‪ ψ (x1 ) = y1 ∈ ψ (BR (x0‬ל‪ .x1 ∈ BR (x0 )-‬הנחנו שהנגזרת של ‪ ψ‬קיימת‪,‬‬ ‫אז נסמן ) ‪ L = Dψ (x1‬ונוכיח את השוויון בטענה‪ .‬נזכור שהנחנו בדיון זה שמתקיים‬ ‫‪.kId − Lk ≤ γ < 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪1−(1−a‬‬ ‫= ‪a−1‬‬ ‫תזכורת‪ :‬לכל ‪ a ∈ R‬המקיים ‪ ,|a − 1| ≤ γ < 1‬מתקיים כי =‬ ‫∞‪P‬‬ ‫‪k‬‬ ‫לפי נוסחת הסכום של טור גאומטרי‪ .‬לכן מתקיים ≤‬ ‫)‪k=0 (1 − a‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫∞‬ ‫‪k‬‬ ‫∞‬ ‫‪1‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪. k=0 kId − Lk ≤ k=0 γ = 1−γ‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪L‬‬ ‫יהי ‪ .0 < ε‬נתון כי ‪ ψ‬גזירה בפרט ב‪ x1 -‬ולכן מהגדרת הנגזרת קיים ‪ 0 < δ‬כך‬ ‫‪δ‬‬ ‫שמתקיים כי אם‬ ‫‪ kx − x1 k < 1−γ‬אז‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kψ (x) − ψ (x1 ) − L (x − x1 )k < ε (1 − γ) kx − x1 k‬‬ ‫מלמה ‪ 6‬נובע שמותר להניח כי ‪ δ‬מספיק קטן כך שאם ‪ ky − y1 k < δ‬אז ∈ ‪y‬‬ ‫)) ‪.ψ (BR (x0‬‬ ‫‬ ‫‪ Dψ ψ −1 (y) 13‬הוא לא הרכבה של העתקה וההופכית לה‪ ,‬אלא הערכת הנגזרת של ‪ ψ‬בנקודה )‪.ψ −1 (y‬‬ ‫‪14‬מדובר בטור אינסופי של מטריצות‪ .‬הוא מתכנס אמ"מ הוא מתכנס בכל קואורדינטה במטריצה‪.‬‬ ‫‪24‬‬ ‫כעת נסמן באופן כללי )‪ x = ψ −1 (y‬ונחשב לפי הגדרת הנגזרת‪:‬‬ ‫‪ −1‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫≤ ])) ‪ψ (y) − ψ −1 (y1 ) − L−1 (y − y1 ) = L−1 [L (x − x1 ) − (ψ (x) − ψ (x1‬‬ ‫‪kψ (x) − ψ (x1 ) − L (x − x1 )k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1−γ‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫≤ ‪≤ L−1 kL (x − x1 ) − (ψ (x) − ψ (x1 ))k‬‬ ‫כאשר אי השוויון נובע מלמה ‪ 1‬עבור מכפלת מטריצה בווקטור‪.‬‬ ‫אבל מהעברת אגפים באי־שוויון ‪ A‬בלמה ‪ 3‬נובע‬ ‫‪δ‬‬ ‫‪1−γ‬‬ ‫≤ ‪ky − y1 k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1−γ‬‬ ‫≤ ‪,kx − x1 k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ולכן מהגדרת הנגזרת ‪ L‬עבור בחירת ‪ δ‬המתאים ל‪ ε (1 − γ) -‬נקבל‪:‬‬ ‫‪ −1‬‬ ‫‬ ‫‪ψ (y) − ψ −1 (y1 ) − L−1 (y − y1 ) ≤ 1 ε (1 − γ)2 kx − x1 k ≤ ε ky − y1 k‬‬ ‫‪1−γ‬‬ ‫וקיבלנו בדיוק את הגדרת ‪ L−1‬כנגזרת של ‪ .ψ −1‬‬ ‫משפט ההעתקה ההפוכה הכללי‬ ‫‪6.3‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ f : A ⊂ R → R‬ל‪ A-‬פתוחה‪ .‬נניח כי ‪ f‬גזירה ברציפות בכל ‪ ,A‬וכן שקיימת‬ ‫‪ x0 ∈ A‬עבורה הנגזרת ) ‪ Df (x0‬הפיכה‪ .‬אזי קיימת סביבה פתוחה ‪ A0 ⊂ A‬של ‪,x0‬‬ ‫כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪ f |A0 .1‬חד־חד ערכית ולכן הפיכה‪.‬‬ ‫‪ f (A0 ) .2‬קבוצה פתוחה‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪.Df −1 (y) = Df f −1 (y‬‬ ‫‪ .3‬ההעתקה ‪ f −1 : f (A0 ) → A0‬גזירה ברציפות‪ ,‬כי‬ ‫הערה‪ :‬התנאי לעיל ‪ ,kIdp×p − Dψ (x)k ≤ γ < 1‬הוחלף במקרה הכללי בתנאי ש‪Df -‬‬ ‫תהיה רציפה‪ ,‬ובנקודה מסוימת גם הפיכה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נסמן ) ‪ .L = Df (x0‬נתון כי ‪ Df‬רציפה וכי היא הפיכה בנקודה ‪ ,x0‬ולכן קיים‬ ‫‪ 0 < δ‬כך שאם ‪ kx − x0 k < δ‬אז ‪.kDf (x) − Lk < 2kL1−1 k‬‬ ‫נגדיר העתקה ‪ ψ : Bδ (x0 ) → Rp‬על־ידי ‪ .ψ = L−1 ◦ f‬מכלל השרשרת‪:‬‬ ‫‬ ‫)‪Dψ (x) = DL−1 (f (x)) ◦ (Df (x)) = L−1 ◦ Df (x‬‬ ‫כאשר השוויון האחרון נובע מכך ש‪ L−1 -‬העתקה לינארית ולכן ‪ ,Df L−1 = L−1‬כפי‬ ‫שהזכרנו בהוכחת למה ‪.2‬‬ ‫נראה כי ‪ ψ‬עומדת בתנאי המקרה שהוכחנו לעיל‪ .‬כלומר יהי ) ‪ ,x ∈ Bδ (x0‬אז‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2kL k‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪kId − Dψ (x)k = L−1 (L − Df (x)) ≤ L−1 kL − Df (x)k < kL−1 k‬‬ ‫כאשר האי־שוויון נובע מאי־שוויון קושי־שוורץ‪ ,‬כפי שהראינו ברקע לעיל‪.‬‬ ‫כעת נגדיר ‪ ,γ = 21‬ונקבל כי ‪ ψ‬שהגדרנו עומדת בכל התנאים של המקרה הפרטי‬ ‫שהוכחנו לעיל‪ ,‬עבור ‪ R = δ‬כך שנוכל לבחור ) ‪.A0 = Bδ (x0‬‬ ‫נשים לב כי הגדרנו ‪ ,L◦ψ = f‬כאשר ‪ L‬העתקה לינארית הפיכה‪ .‬לינאריות ‪ L‬תבטיח‬ ‫שהתכונות שהזכרנו לעיל של ‪ ψ‬יישמרו ל‪:f -‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪ .1‬מלמה ‪ 4‬נובע כי ‪ ψ‬חח"ע על ‪ A0‬ולכן הפיכה‪ ,‬ולכן גם ‪ f‬חח"ע והפיכה שם‪.‬‬ ‫‪ .2‬מלמה ‪ 6‬נובע כי ‪ ψ‬העתקה פתוחה על ) ‪ Bδ (x0‬כך ש‪ ψ −1 -‬רציפה‪,‬‬ ‫העתקה פתוחה שם כך ש‪ f −1 -‬רציפה‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ולכן ‪f‬‬ ‫‪ .3‬מלמה ‪ 8‬נובע כי ‪ ψ −1‬גזירה‪ ,‬ולכן גם ‪ f −1‬גזירה‪ .‬כמו־כן מתקיים השוויון‪:‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪Dψ −1 (y) = Dψ ψ −1 (y‬‬ ‫נשתמש בכלל השרשרת ונסיק‪:‬‬ ‫‬ ‫= )‪Df −1 (y) = D ψ −1 ◦ L−1 (y‬‬ ‫‬ ‫= )‪= Dψ −1 L−1 (y) ◦ DL−1 (y‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪= Dψ ψ −1 L−1 (y‬‬ ‫= ‪◦ L−1‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪= Dψ f −1 (y‬‬ ‫= ‪◦ L−1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪= D L−1 ◦ f f −1 (y‬‬ ‫= ‪◦ L−1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪= DL−1 f f −1 (y) ◦ Df f −1 (y‬‬ ‫= ‪◦ L−1‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪= L−1 ◦ Df f −1 (y‬‬ ‫= ‪◦ L−1‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪= Df f −1 (y‬‬ ‫= ‪◦ L ◦ L−1‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪= Df f −1 (y‬‬ ‫כאשר השוויונים השני והשישי נובעים מכלל השרשרת‪ ,‬והשוויון השלישי נובע‬ ‫מלמה ‪ 8‬שהזכרנו‪ .‬כל השאר חישובים והצבות של ההגדרה ‪ .f = L ◦ ψ‬‬ ‫‪15‬העתקה פתוחה היא העתקה שמעתיקה כל קבוצה פתוחה לקבוצה פתוחה‪ .‬לכן העתקה הפוכה להעתקה כזאת‪,‬‬ ‫אם קיימת‪ ,‬היא רציפה‪.‬‬ ‫‪26‬‬ ‫חלק‬ ‫‪II‬‬ ‫חשבון דיפרנציאלי של העתקות בין משטחים‬ ‫רגולריים‬ ‫‪7‬‬ ‫מבוא‪ :‬חלקות של העתקות הפוכות‬ ‫הגדרה‪ :‬נסמן ב‪ C k (A, Rq )-‬ל‪ A ⊂ Rp -‬פתוחה את מרחב ההעתקות מהצורה ‪,f : A → Rq‬‬ ‫שגזירות ברציפות ‪ k‬פעמים‪.‬‬ ‫כלומר העתקות ‪ f : A → Rq‬שעבורן הנגזרות ‪ Df, ..., Dk f‬קיימות ורציפות‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬נשים לב שמתקיים ‪.C 0 % C 1 % C 2 % ...‬‬ ‫הערה‪ :‬נשים לב שמתקיים ) ‪.Df ∈ C k−1 (A, L (Rp , Rq )) ⇐⇒ f ∈ C k (A, Rq‬‬ ‫\‬ ‫= ∞ ‪ .C‬העתקה ב‪ C ∞ -‬נקראת העתקה חלקה‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬נסמן בקיצור ‪ C k‬ונגדיר ‪C k‬‬ ‫‪k∈N‬‬ ‫טענה‪ :‬תהי ) ‪ f ∈ C k (A, Rp‬הפיכה ונניח כי ‪ f −1‬גזירה‪,‬‬ ‫‪16‬‬ ‫אזי ) ‪.f −1 ∈ C k (f (A) , Rp‬‬ ‫הגדרה‪.GLn (R) =: {A ∈ M atn×n (R) | det (A) 6= 0} :‬‬ ‫הערה‪ :‬הקבוצה )‪ GLn (R‬פתוחה‪ .‬זאת כי ההעתקה ‪ det‬במשתנה ‪ A‬היא פולינום‬ ‫ולכן רציפה‪ ,‬מכאן שהמקור של כל קבוצה פתוחה תחת ‪ det‬הוא קבוצה פתוחה‪.‬‬ ‫נשים לב כי }‪ R\ {0‬פתוחה וכן )‪ ,det−1 (R\ {0}) = GLn (R‬ומכאן שהנ"ל‬ ‫קבוצה פתוחה‪.‬‬ ‫למה ‪ :1‬ההעתקה )‪ ı : GLn (R) → GLn (R‬המעתיקה ‪ ,A 7→ A−1‬היא חלקה‪.‬‬ ‫הוכחת הלמה‪ :‬נסמן } ‪ A = {aij‬ונסמן } ‪ .ı (A) = A−1 = {bkl‬מנוסחת קרמר נובע‬ ‫שלכל ‪ ,k, l‬האיבר ‪ bkl‬הוא מנה של פולינומים ב‪ .aij -‬כלומר העתקה רציונלית‪.‬‬ ‫‪∂ m bkl‬‬ ‫קיימת ורציפה‪ .‬מכאן כי‬ ‫לכן לכל ‪ m‬טבעי הנגזרת החלקית‬ ‫‪∂ai1 l1 ...∂aim jm‬‬ ‫הנגזרת הכללית של ‪ ı‬קיימת ורציפה מכל סדר‪ ,‬ולכן ‪ ı‬חלקה‪ .‬‬ ‫‪f = (f1 , ..., fq ) : A → Rq‬‬ ‫למה ‪ :2‬נניח כי‬ ‫‪g = (g1 , ..., gr ) : A → Rr‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ההעתקה ‪ f × g =: (f1 , ..., fq , g1 , ..., gr ) : A → R × R‬גם ב‪.C -‬‬ ‫ל‪ A ⊂ Rp -‬פתוחה‪ ,‬ו‪ ,f, g ∈ C k -‬אזי‬ ‫הוכחת הלמה‪ :‬ככלל‪ ,‬העתקה גזירה אם ורק אם היא גזירה בכל רכיב בנפרד‪ .‬‬ ‫‪f : A → Rq‬‬ ‫למה ‪ :3‬נניח כי‬ ‫‪g : f (A) → Rr‬‬ ‫‪k‬‬ ‫אזי עבור ההרכבה מתקיים כי ‪.g ◦ f ∈ C‬‬ ‫ל‪ A ⊂ Rp , f (A) ⊂ Rq -‬פתוחות‪ ,‬ו‪,f, g ∈ C k -‬‬ ‫הוכחת הלמה‪ :‬בהוכחה זו נסמן ב‪ ◦-‬הרכבה כללית של העתקות‪ ,‬ונסמן ב‪ •-‬הרכבה‬ ‫של פונציות לינאריות‪ ,‬כלומר כפל מטריצות‪.‬‬ ‫‪16‬נשים לב שמשפט ההעתקה ההפוכה מתאר תנאים על העתקה שאם מתקיימים אז ההעתקה מקיימת את‬ ‫המצוין‪.‬‬ ‫‪27‬‬ ‫) ‪Df : A → L (Rp , Rq‬‬ ‫‪ .1‬מהנתון ומכלל השרשרת קיימות הנגזרות ) ‪. Dg : f (A) → L (Rq , Rr‬‬ ‫) ‪Dg ◦ f : A → L (Rp , Rr‬‬ ‫נסמן בקיצור ‪.Dg ◦ f = (Dg (f )) · Df‬‬ ‫‪ .2‬נגדיר העתקה ) ‪ ,B : L (Rp , Rq ) × L (Rq , Rr ) → L (Rp , Rr‬להעתיק‬ ‫מטריצות ‪ .hL1 , L2 i 7→ L2 · L1‬נשים לב‪.Dg ◦ f = B · (Df, Dg (f )) :‬‬ ‫‪ B‬היא העתקה בילינארית ולכן גזירה‪ ,‬ונגזרתה ) ‪.DB (L1 , L2 ) = (L2 , L1‬‬ ‫מכאן שהנגזרות הגבוהות יהיו כולן ‪ ,0‬כי הנגזרת השנייה היא‪:‬‬ ‫ !‬ ‫‬ ‫‪∂L2‬‬ ‫‪∂L1‬‬ ‫‪0 Id‬‬ ‫‪∂L1‬‬ ‫‪∂L1‬‬ ‫=‬ ‫‪∂L1‬‬ ‫‪∂L2‬‬ ‫‪Id 0‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לכן ‪ B‬חלקה‪.‬‬ ‫‪ .3‬נוכיח את הלמה באינדוקציה על ‪ .k‬נניח את הלמה לכל ‪.l < k‬‬ ‫ההנחה ‪ g, f ∈ C k‬שקולה לכך ש‪ ,Dg, Df ∈ C k−1 -‬ולכן מהנחת האינדוקציה‬ ‫נובע ‪.Dg · Df ∈ C k−1‬‬ ‫מלמה ‪ 2‬נובע כי ‪ ,(Df, Dg (f )) ∈ C k−1‬ואם נצרף את העובדה כי‬ ‫∞ ‪ B ∈ C‬נוכל להסיק ‪ ,D (g ◦ f ) = B (Df, Dg (f )) ∈ C k−1‬שזה‬ ‫שקול לכך ש‪ .g ◦ f ∈ C k -‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מההנחה כי ‪ f, f −1‬גזירות פעם אחת‪ ,‬ממשפט ההעתקה ההפוכה נובע = ‪Df −1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪ . Df f −1‬בסימון אחר‪.Df −1 = ı ◦ Df f −1 ,‬‬ ‫‪Df −1‬‬ ‫כלומר את ההעתקה )‪ f (A) −→ GLp (R‬ביטאנו על־ידי ההרכבה‪:‬‬ ‫‪Df‬‬ ‫‪ı‬‬ ‫‪f −1‬‬ ‫)‪f (A) −→ A −→ GLp (R) −→ GLp (R‬‬ ‫נמשיך באינדוקציה על ‪ .k‬נתון כי ‪ f ∈ C k‬ולכן ‪ .Df ∈ C k−1‬אבל מלמה ‪ 3‬נובע‬ ‫כי ‪ Df ◦ f −1 ∈ C k−1‬ומלמה ‪ 1‬נובע כי ‪ ı‬חלקה‪ ,‬ולכן נובע מהנחת האינדוקציה כי‬ ‫‪ ,Df −1 = ı ◦ Df ◦ f −1 ∈ C k−1‬אבל זה שקול לכך ש‪ .f −1 ∈ C k -‬‬ ‫‪17‬תזכורת‪ ı :‬מוגדרת להעתיק ‪.A 7→ A−1‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪8‬‬ ‫משטחים רגולריים‬ ‫הערה‪ :‬כל קבוצה ‪ M ⊂ Rn‬היא מרחב מטרי על־ידי המטריקה הנורשת מ‪.Rn -‬‬ ‫ניתן להראות שהקבוצות הפתוחות במטריקה של ‪ M‬הן בדיוק הקבוצות מהצורה‬ ‫‪18 n‬‬ ‫‪ M ∩ V‬לכל ‪ V‬פתוחה ב‪.R -‬‬ ‫הגדרה‪ M ⊂ Rn :‬נקראת משטח רגולרי מממד ‪ ,k‬אם לכל ‪ p ∈ M‬קיימת סביבה פתוחה‬ ‫‪ V ⊂ Rn‬של ‪ p‬וקיימת העתקה ‪ Ξ : U → V ∩ M‬ל‪ U ⊂ Rk -‬פתוחה‪ ,‬המקיימת את‬ ‫התכונות הבאות‪:‬‬ ‫‪ Ξ .1‬העתקה חלקה‬ ‫‪ Ξ .2‬הומאומורפיזם על תמונתה‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ .3‬רגולריות‪ :‬לכל ‪ ,q ∈ U‬הנגזרת ‪ DΞ (q) : R → R‬חד־חד ערכית‪.‬‬ ‫‪19‬‬ ‫מינוח‪ :‬ההעתקה ‪ Ξ‬מכונה מערכת קואורדינטות סביב ‪ ,p‬והקבוצה ‪ Ξ (U ) ⊂ M‬נקראת‬ ‫סביבת קואורדינטות של ‪.p‬‬ ‫דוגמאות יסודיות‪:‬‬ ‫‪ ,k = n ,M = Rn .1‬לכל ‪ p ∈ M‬ניקח ‪ V = U = Rn‬ואת ‪ Ξ‬כהעתקת הזהות‪.‬‬ ‫‪ .2‬גרף של העתקה‪ :‬תהי ‪ f : A ⊂ Rn → R‬העתקה חלקה כלשהי‪ .‬נגדיר את‬ ‫הגרף שלה ‪ .Γf =: {(x, f (x)) |x ∈ A} ⊂ Rn+1‬נראה כי ‪ Γf‬הוא משטח‬ ‫רגולרי ‪n‬־ממדי‪.‬‬ ‫בהינתן ‪ ,p = (x, f (x)) ∈ Γf‬נבחר סביבה פתוחה ‪.V = A × R ⊂ Rn+1‬‬ ‫נבחר גם ‪ U = A‬עם מערכת קואורדינטות ‪Ξ : U → V ∩ Γf ⊂ Rn+1‬‬ ‫המוגדרת ‪ .q 7→ hq, f (q)i‬נוודא שמתקיימים כל התנאים‪:‬‬ ‫• ‪ Ξ‬חלקה‪ :‬היא חלקה בשתי הקואורדינטות שלה ולכן חלקה‪.‬‬ ‫• ‪ Ξ‬הומאומורפיזם‪ :‬היא חח"ע ועל תמונתה מהגדרת ‪ ,Γf‬והיא חלקה ובפרט‬ ‫רציפה‪ .‬נראה כי ‪ Ξ−1‬רציפה‪ .‬תהי העתקה ‪ P : Rn+1 → Rn‬העתקת‬ ‫ההטלה על ‪ ,Rn‬כלומר ‪ .(x, y) 7→ x‬קל לראות כי ‪ .Ξ−1 = P|Γf‬ברור כי‬ ‫‪ P‬רציפה ולכן גם צמצום שלה היא רציפה‪.‬‬ ‫• רגולריות‪ :‬תהי ‪ .q ∈ U ⊂ Rn‬נסמן ) ‪ ,Ξ = (Ξ1 , Ξ2‬כלומר ‪,Ξ1 (q) = q‬‬ ‫)‪ .Ξ2 (q) = f (q‬לכן הנגזרת היא‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪Idn×n‬‬ ‫= ) ‪DΞ = (DΞ1 , DΞ2 ) = (Id, Df‬‬ ‫‪Df1×n n+1×n‬‬ ‫העמודות בבירור אינן תלויות לינארית ולכן זו העתקה חח"ע‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬באותו אופן ניתן גם לראות שגרף של העתקה מהצורה ‪f : Rk → Rn‬‬ ‫הוא משטח רגולרי ‪k‬־ממדי ב‪.Rn+k -‬‬ ‫‪18‬קל להוכיח את הטענה לכדורים‪ ,‬ומשם המסקנה מידית לכל קבוצה פתוחה‪.‬‬ ‫‪19‬לא בהכרח הפיכה‪ ,‬כי ייתכן ‪.k 6= n‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪ .3‬ספרת היחידה‪ .M = S n ⊂ Rn+1 :‬נראה שזה משטח רגולרי ‪n‬־ממדי‪.‬‬ ‫תחילה נטפל בווקטורים בהמיספרה העליונה‪.‬‬ ‫נגדיר ‪ ,V = {(x1 , ...xn , xn+1 ) |xn+1 > 0} ⊂ Rn+1‬כך שההמיספירה העליונה‬ ‫‪20 n‬‬ ‫היא ‪.S ∩ V‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נגדיר העתקה ‪ Ξn+ : D ⊂ R → V ∩ S‬על־ידי‪:‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪Ξn+ (x1 , ..., xn ) = x1 , ..., xn , t1 −‬‬ ‫‪x2i ‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪.Ξ−1‬‬ ‫קל לראות שמתקיים ) ‪n+ (x1 , ..., xn , xn+1 ) = (x1 , ..., xn‬‬ ‫נראה שמתקיימים שלושת התנאים‪:‬‬ ‫• ‪ Ξ‬חלקה‪ :‬כי היא הרכבה של חלקות‪.‬‬ ‫• ‪ Ξ‬הומאומורפיזם‪ :‬על תמונתה כי גם ‪ Ξ−1‬קיימת ורציפה )ואף חלקה(‪.‬‬ ‫• רגולריות‪ :‬יהי ‪ ,q = (q1 , ..., qn ) ∈ Dn‬אזי מתקיים כי‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪Idn×n‬‬ ‫= )‪DΞn+ (q‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪√ −q‬‬ ‫‪. . . √ −q‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n+1×n‬‬ ‫‪qi‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪qi‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫ובבירור העמודות אינן תלויות לינארית‪ ,‬ולכן ההעתקה חח"ע‪.‬‬ ‫אם כך בנינו עבור ההמיספירה העליונה מערכת קואורדינטות ‪ .Ξn+‬באותו‬ ‫אופן נוכל לבנות מערכת קואורדינטות ‪ Ξn−‬להמיספירה התחתונה‪ 22 ,‬וכן לכל‬ ‫קואורדינטה ‪ 0 ≤ i ≤ n‬נוכל לבנות מערכת קואורדינטות ‪ ,Ξ±i‬ולקבל סך הכל‬ ‫)‪ 2 (n + 1‬מערכות קואורדינטות לכל ‪.S n‬‬ ‫הגדרות‪ :‬תהי ‪ f : U ⊂ Rp → Rq‬העתקה חלקה‪.‬‬ ‫• נקודה ‪ x ∈ U‬נקראת נקודה רגולרית‪ ,‬אם הנגזרת ‪ Df (x) : Rp → Rq‬היא‬ ‫העתקה על‪ .‬אחרת‪ x ,‬נקראת נקודה קריטית‪.‬‬ ‫• נקודה ‪ y ∈ Rq‬נקראת ערך רגולרי‪ ,‬אם כל )‪ x ∈ f −1 (y‬היא נקודה רגולרית‪.‬‬ ‫אחרת‪ y ,‬נקראת ערך קריטי‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬להעתקה ‪ ,f : Rp → R‬נקודה ‪ x ∈ Rp‬היא קריטית אם ורק אם ‪.Df (x) = 0‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ ,q ≤ p ,f : U ⊂ Rp → Rq‬העתקה חלקה‪ .‬לכל ‪ y ∈ Rq‬שהיא ערך רגולרי‬ ‫של ‪ ,f‬מתקיים כי הקבוצה ‪ f −1 (y) ⊂ Rp‬היא משטח רגולרי ‪p − q‬־ממדי מעל ‪.Rp‬‬ ‫דוגמה‪ :‬עבור ההעתקה מהצורה ‪ f : R2 → R‬המוגדרת ‪,(x1 , x2 ) 7→ x1 · x2‬‬ ‫הנגזרת היא ) ‪ .Df (x1 , x2 ) = (x2 , x1‬לכן כל ‪ 0 6= y ∈ R‬היא ערך רגולרי‬ ‫כאשר }‪ U = R\ {0‬ומערכת‬ ‫ומכאן כי )‪f −1 (y‬‬ ‫היא משטח רגולרי ‪1‬־ממדי‪ ,‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫הקואורדינטות )‪ Ξ : U → f (y‬מוגדרת על־ידי ‪.x 7→ x, x‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח תחילה טענת עזר כללית‪:‬‬ ‫למה‪ :‬תהי ‪ L : Rp → Rq‬העתקה לינארית המיוצגת ]‪.L = (lij )i∈[q], j∈[p‬‬ ‫‪23‬‬ ‫אם ‪L‬‬ ‫‪20‬במקרה של ‪ R2‬ההמיספירה העליונה היא החצי העליון של כדור היחידה‪ .‬במקרה הכללי כל סימן של כל‬ ‫קואורדינטה מגדיר המיספירה‪.‬‬ ‫‪Dn = {x ∈ Rn | kxk < 1}21‬‬ ‫‪22‬כלומר עבור הווקטורים בקבוצה }‪.S n ∩ {(x1 , ...xn , xn+1 ) |xn+1 < 0‬‬ ‫‪23‬מסמנים ככלל }‪.[n] =: {1, ..., n‬‬ ‫‪30‬‬ ‫העתקה על‪ ,‬כך שבהכרח ‪ ,q ≤ p‬אז מתוך ‪ p‬העמודות קיימות ‪ q‬שהן בלתי־‬ ‫תלויות לינארית‪.‬‬ ‫לכן קיימת תמורה על ]‪ [p‬שלוקחת את ‪ q‬העמודות הללו לתחילת המטריצה‪ ,‬כך‬ ‫שלאחריה ניתן להניח כי המטריצה ]‪ L0 = (lij )i,j∈[q‬הפיכה‪.‬‬ ‫הוכחת הלמה‪ :‬נסמן ב‪ Lj = (lij )i∈[q] -‬את העמודה ה‪ j-‬במטריצה‪ .‬מהיות ‪L‬‬ ‫העתקה על נובע כי ]‪ ,Rq = span {Lj }j∈[p‬ולכן קיימת תת־קבוצת אינדקסים‬ ‫]‪ J ⊂ [p‬כך שהקבוצה ‪ {Lj }j∈J‬היא בסיס של ‪.Rq‬‬ ‫ניקח תמורה של ]‪ [p‬שמעבירה את הקבוצה ‪ J‬לקבוצה ]‪ ,[q‬שהיא למעשה ‪q‬‬ ‫האיברים הראשונים של ]‪ ,[p‬ונקבל שעמודות המטריצה ]‪ L0 = (lij )i,j∈[q‬מהוות‬ ‫‪0‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪ R‬ולכן בהכרח בלתי־תלויות לינארית‪ .‬כלומר ‪ L‬מטריצה הפיכה‪ .‬‬ ‫בסיס של‬ ‫נוכיח כעת את המשפט‪ .‬נסמן ) ‪ .f = (f1 , ..., fq‬יהי ‪ y ∈ Rq‬ערך רגולרי ותהי‬ ‫)‪ .x ∈ f −1 (y‬כלומר ‪ x‬היא נקודה רגולרית של ‪ f‬ולכן ‪L =: Df (x) : Rp → Rq‬‬ ‫העתקה על‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p ∼ q‬‬ ‫‪p−q‬‬ ‫‪ F : R → R = R × R‬על־ידי‪:‬‬ ‫נגדיר העתקה‬ ‫) ‪F (z) = (f1 (z) , ..., fq (z) , zq+1 , zq+2 , ..., zp‬‬ ‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪p×p‬‬ ‫‬ ‫‪L‬‬ ‫‪Ip−q×p−q‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= )‪DF (x‬‬ ‫כאשר ‪ L‬מטריצה בגודל ‪ .q × p‬מהלמה נוכל להניח שזו מטריצה מהצורה‪:‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‬ ‫‪L‬‬ ‫?‬ ‫= )‪DF (x‬‬ ‫‪0 Ip−q×p−q p×p‬‬ ‫כאשר ‪ L0‬מטריצה הפיכה בגודל ‪.q × q‬‬ ‫‪ ,det (DF (x)) = det (L0 ) · 1| · {z‬ולכן )‪ DF (x‬הפיכה‪.‬‬ ‫מכאן נובע ‪... · 1} 6= 0‬‬ ‫‪times‬‬ ‫‪p−q‬‬ ‫ממשפט ההעתקה ההפוכה נובע שקיימת סביבה ‪ x ∈ Q ⊂ Rp‬שעליה )‪ F (Q‬פתוחה‪,‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪ F |Q‬חח"ע וכן ‪ F −1 : F (Q) → Q‬העתקה חלקה‪.‬‬ ‫נגדיר העתקה ‪ Ty : Rp−q → Rp‬על־ידי ) ‪ .Ty (a) = (y1 , ..., yq , a1 , ..., ap−q‬זו‬ ‫העתקה חלקה‪ .‬נגדיר סביבה ‪ U = Ty−1 (F (Q)) ⊂ Rp−q‬ונגדיר → ‪Ξ : U‬‬ ‫)‪ Q ∩ f −1 (y‬על־ידי ‪ .Ξ = F −1 ◦ Ty‬נראה שזו מערכת קואורדינטות‪:‬‬ ‫• ‪ Ξ‬חלקה‪ :‬מכלל השרשרת‪ ,‬שכן היא הרכבה של העתקות חלקות‪.‬‬ ‫• ‪ Ξ‬הומאומורפיזם‪ :‬נגדיר העתקה ‪ P : Rp → Rp−q‬להיות הטלה‪ ,‬כלומר‬ ‫) ‪ .(x1 , ..., xp ) 7→ (xq+1 , ..., xp‬נשים לב שלכל ‪a = (a1 , ..., ap−q ) ∈ U‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫= ))‪(P ◦ Ξ) (a) = P (Ξ (a)) = P F −1 (Ty (q‬‬ ‫‬ ‫‪= P F −1 (y1 , ..., yq , a1 , ..., ap−q ) = P (t1 , ..., tq , a1 , ..., ap−q ) = a‬‬ ‫‪24‬המשפט קבע את הטענה האנלוגית למקרה שבו ‪ f‬גזירה‪ ,‬ובפרק על "חלקות של העתקות הפוכות" הראינו‬ ‫שהטענה מתקיימת לכל סדר של גזירות‪.‬‬ ‫‪31‬‬ ‫כאשר ‪ t1 , ..., tq‬איברים לא מזוהים‪ ,‬אבל הם לא משנים להעתקה ‪.P‬‬ ‫לכן מצאנו ש‪ Ξ-‬אכן הפיכה ומתקיים ‪ .Ξ−1 = P‬אבל ‪ P‬היא הטלה ולכן‬ ‫בבירור רציפה‪ ,‬ומכאן ש‪ Ξ-‬הומאומורפיזם‪.‬‬ ‫• רגולריות‪ :‬לכל ‪ a ∈ U‬מתקיים מכלל השרשרת‪:‬‬ ‫‬ ‫)‪DΞ (a) = D F −1 ◦ Ty |U (a) = DF −1 (Ty (a)) · DTy (a‬‬ ‫‬ ‫מתקיים כי ‪ F ◦F −1 = I‬ולכן מכלל השרשרת ‪ DF F −1 ·DF −1 = I‬ומכאן‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ DF −1 = DF F −1‬ולכן זו מטריצה הפיכה‪.‬‬ ‫כי‬ ‫‬ ‫‪0q×q‬‬ ‫כמו־כן‬ ‫‪ ,DTy = Ip−q×p−q‬ולכן כהעתקה ‪ ,DTy : Rp−q → Rp‬שזו ההעתקה‬ ‫הנדרשת להגדיר מערכת קואורדינטות של משטח ‪ p − q‬ממדי מעל ‪ ,Rp‬היא‬ ‫חח"ע כי העמודות שלה בלתי תלויות לינארית‪ .‬מכאן כי )‪ DΞ (a‬מיוצגת ככפל‬ ‫מטריצות חח"ע ולכן חח"ע‪ .‬‬ ‫משפט סרד‪ :‬קבוצת הנקודות הקריטיות של ‪ f : U ⊂ Rp → Rq‬חלקה היא ממידה אפס‪.‬‬ ‫‪25‬‬ ‫כלומר "רוב" הנקודות הן רגולריות‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .1‬ספרה‪ :‬נגדיר ‪ f : Rn+1 → R‬על־ידי ‪.x 7→ kxk‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫לכל ‪ p = p1 , ..., pn , pn+1 ∈ Rn+1‬מתקיים כי ‪ ,Df p = 2p‬ולכן‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ Df p = 0‬אם ורק אם ‪ .p = 0‬מכאן שכל }‪ r ∈ R\ {0‬הוא ערך רגולרי‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫של ‪ ,f‬ולכן לכל ‪ 0 < r‬הקבוצה‬ ‫√‪,f −1 (r) = x ∈ Rn+1 | kxk = r = S‬‬ ‫‪r‬‬ ‫√‬ ‫‪26 n+1‬‬ ‫‪.R‬‬ ‫כלומר הספרה ברדיוס ‪ , r‬היא משטח רגולרי ‪n‬־ממדי ב‪-‬‬ ‫‪ .2‬אליפסואיד‪ :‬יהיו ‪ a1 , ..., an+1‬סקלרים חיוביים‪ .‬נגדיר ‪ f : Rn+1 → R‬על־ידי‬ ‫‪Pn+1 2‬‬ ‫‪.f (x1 , ..., xn+1 ) = i=1 xaii‬‬ ‫רגולרי‬ ‫מתקיים ‪ Df (r) = 0‬אם ורק אם ‪ .r = 0‬לכן כל }‪ r ∈ R\ {0‬הוא ערך‬ ‫√‬ ‫של ‪ .f‬מכאן שלכל ‪ 0 < r‬הקבוצה )‪ ,f −1 (r‬כלומר אליפסואיד ברדיוס ‪, r‬‬ ‫היא משטח רגולרי ‪n‬־ממדי של ‪.Rn+1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪f (x1 , ..., xn+1 ) = 1 +‬‬ ‫‪ .3‬היפרבולואיד‪ :‬נגדיר ‪ f : Rn+1 → R‬על־ידי ‪x2i −‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪.x2n+1‬‬ ‫מתקיים ‪ Df (x) = (2x1 , ..., 2xn , −2xn+1 ) = 0‬אם ורק אם ‪ .x = 0‬מתקיים‬ ‫∈ ‪ ,0‬כלומר ‪ 0‬הוא ערך רגולרי ולכן )‪,f −1 (0‬‬ ‫כי ‪ f (0) = 1‬ולכן )‪/ f −1 (0‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪.R‬‬ ‫כלומר ההיפרבולואיד‪ ,‬הוא משטח רגולרי ‪n‬־ממדי ב‪-‬‬ ‫ניתן למצוא הוכחה בספר של ‪Milnor‬‬ ‫‪25‬לא נוכיח את המשפט במסגרת זו‪.‬‬ ‫‪ ,Topology from the Dierentiable Viewpoint‬עמ' ‪.10-12‬‬ ‫‪26‬עבור ‪ r < 0‬מתקיים ∅ = )‪.f −1 (r‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪,John‬‬ ‫‪9‬‬ ‫גזירות של העתקה בין משטחים רגולריים‬ ‫הקדמה‪ :‬אם ‪ N ⊂ Rn ,M ⊂ Rm‬משטחים רגולריים הם בפרט מרחבים מטריים עם‬ ‫המטריקה המושרית‪ ,‬ולכן בהינתן העתקה מהצורה ‪ ϕ : M → N‬ניתן לקבוע האם‬ ‫היא רציפה‪.‬‬ ‫לעומת זאת לא ניתן לקבוע במסגרת ההגדרות של גזירות אוקלידית האם ‪ ϕ‬גזירה‪ ,‬כי‬ ‫כדי להגדיר גזירות בנקודה נדרשת סביבה פתוחה של הנקודה שבה מוגדרת ההעתקה‪,‬‬ ‫‪27‬‬ ‫ומשטח רגולרי אינו בהכרח פתוח‪.‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪ .1‬בגזירות אוקלידית מושג הנגזרת מהווה חלק מהגדרת הגזירות‪ .‬בניגוד לכך‪,‬‬ ‫גזירות של העתקה בין משטחים אינה כוללת בתוכה מושג של נגזרת של ההעתקה‬ ‫הנ"ל‪ .‬נגדיר מהי נגזרת של העתקה בין משטחים בהמשך בנפרד‪.‬‬ ‫‪ .2‬מעתה נשתמש בעיקר במושג של חלקות‪ ,‬כלומר גזירות מכל סדר‪ ,‬אבל היסודות‬ ‫יהיו תקפים גם לגזירות מכל סדר סופי‪ ,‬אלא אם נציין אחרת‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬יהיו ‪ N ⊂ Rn ,M ⊂ Rm‬משטחים רגולריים‪ .‬נאמר כי העתקה ‪ϕ : M → N‬‬ ‫היא חלקה בנקודה ‪ ,p ∈ M‬אם לכל מערכת קואורדינטות ‪ ,Ξ : U → M‬ההרכבה‬ ‫‪28 −1‬‬ ‫‪ ϕ ◦ Ξ : U → N‬היא העתקה חלקה אוקלידית בנקודה )‪.Ξ (p‬‬ ‫אם ‪ ϕ‬כנ"ל חלקה בכל ‪ p ∈ M‬נאמר שהיא חלקה‪.‬‬ ‫סימון‪ :‬כדי להימנע מבלבול בין המושג של חלקות אוקלידית למושג החלקות שהגדרנו עתה‪,‬‬ ‫נסמן בכל פעם את המונח הרלוונטי‪ .‬כשנרצה להתייחס לחלקות אוקלידית נכתוב "חלקות‬ ‫)א("‪ ,‬וכשנרצה להתייחס לחלקות בין משטחים נכתוב "חלקות )מ("‪.‬‬ ‫בהמשך הסימון יתייתר‪ ,‬במיוחד לאחר שניווכח שמושג החלקות שהגדרנו מכליל את מושג‬ ‫החלקות האוקלידית‪.‬‬ ‫ניתן היה לחשוב שמדובר בהגדרה שקשה לוודא‪ ,‬כי צריך לבדוק את התכונה הנ"ל לכל‬ ‫מערכות הקואורדינטות‪ .‬הטענה הבאה תראה שמספיק לבדוק מערכת קואורדינטות כלשהי‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬יהי ‪ M ⊂ Rm‬משטח רגולרי ‪k‬־ממדי‪ .‬תהי גם ‪ ּψ : U → M‬העתקה חלקה )א(‬ ‫ותהי ‪ Ξ : V ⊂ Rk → M‬מערכת קואורדינטות‪ .‬אזי ‪Ξ−1 ◦ ψ : ψ −1 (Ξ (V )) → V‬‬ ‫העתקה חלקה )א(‪.‬‬ ‫‪27‬ניזכר בהגדרה לגזירות אוקלידית של ‪ :f‬קיימת העתקה לינארית ‪ ,L‬כך שלכל ‪ 0 < ε‬קיים ‪ 0 < δ‬כך‬ ‫שאם ‪ kuk < δ‬אז ‪ .kf (c + u) − f (c) − Luk < kuk ε‬אבל אם ‪ f‬מוגדרת על קבוצה סגורה ייתכן שהביטוי‬ ‫)‪ f (c + u‬כלל אינו מוגדר‪ ,‬ולא משנה כמה ‪ δ‬קטן‪.‬‬ ‫‪28‬נשים לב שהעתקה זו מוגדרת לקבוצה פתוחה ‪ ,U‬ולכן מוגדרת בה גזירות אוקלידית‪.‬‬ ‫‪33‬‬ ‫מסקנה ‪ :1‬בהינתן ‪ Ξ2 : U2 → M ,Ξ1 : U1 → M‬שתי מערכות קואורדינטות‪ ,‬אז‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ Ξ−1‬העתקה חלקה )א(‪.‬‬ ‫‪1 ◦ Ξ2 : Ξ2 (Ξ1 (U1 )) → U1‬‬ ‫מסקנה ‪ :2‬לזוג משטחים רגולריים ‪) N ⊂ Rn ,M ⊂ Rm‬לאו דווקא מאותו ממד(‪,‬‬ ‫ובהינתן ‪ Ξ2 : U2 → M ,Ξ1 : U1 → M‬שתי מערכות קואורדינטות וכן‬ ‫‪Ξ−1‬‬ ‫‪ ϕ : M → N‬העתקה כלשהי‪ ,‬אזי ‪ ϕ ◦ Ξ1 : U1 → N‬חלקה )א( ב‪1 (p)-‬‬ ‫‪.Ξ−1‬‬ ‫אם ורק אם ‪ ϕ ◦ Ξ2 : U2 → N‬חלקה )א( ב‪2 (p)-‬‬ ‫במילים אחרות‪ :‬ההגדרה לחלקות )מ( של ‪ ,ϕ : M → N‬אינה תלויה בבחירת‬ ‫מערכת הקואורדינטות‪.‬‬ ‫הוכחת מסקנה ‪ :2‬קל לראות שבצמצום לתחום ההגדרה של ‪ Ξ2‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪ϕ ◦ Ξ2 = (ϕ ◦ Ξ1 ) ◦ Ξ−1‬‬ ‫‪1 ◦ Ξ2‬‬ ‫‪ Ξ−1‬חלקה )א(‪ ,‬ולכן אם גם ‪ ϕ ◦ Ξ1‬חלקה )א(‪ ,‬כפי‬ ‫מסקנה ‪ 1‬קובעת כי ‪1 ◦ Ξ2‬‬ ‫שקובעת הטענה‪ ,‬אז מכלל השרשרת גם ‪ ϕ ◦ Ξ2‬חלקה )א(‪ .‬‬ ‫הוכחת הטענה‪ :‬נסמן )) ‪ .W =: ϕ−1 (Ξ (V‬נתון כי ‪ ψ‬חלקה )א( ובפרט רציפה וכי ‪Ξ‬‬ ‫הומאומורפיזם על תמונתה‪ ,‬ולכן ‪ W‬קבוצה פתוחה‪.‬‬ ‫צריך להראות שההרכבה ‪ Ξ−1 ◦ ψ : W → U‬חלקה )א( לכל ‪ .q ∈ W‬נתון‬ ‫כי ‪ M ⊂ Rm‬משטח רגולרי ‪k‬־ממדי‪ ,‬ולכן ‪ 29 ,k ≤ m‬לכן נוכל להגדיר העתקה‬ ‫‪ P : Rm → Rk‬על־ידי ) ‪.(x1 , ..., xm ) 7→ (x1 , ..., xk‬‬ ‫למה‪ :‬תהי ‪ L : Rp → Rq‬העתקה לינארית המיוצגת ]‪ 30 .L = (lij )i∈[q], j∈[p‬אם‬ ‫‪ L‬העתקה חח"ע‪ ,‬כך שבהכרח ‪ ,p ≤ q‬אז מתוך ‪ p‬השורות קיימות ‪ q‬שהן‬ ‫בלתי־תלויות לינארית‪.‬‬ ‫לכן קיימת תמורה על ]‪ [p‬שלוקחת את ‪ q‬השורות הללו לתחילת המטריצה‪ ,‬כך‬ ‫שלאחריה ניתן להניח כי המטריצה ]‪ L0 = (lij )i,j∈[q‬הפיכה‪.‬‬ ‫הוכחת הלמה דומה לאופן בו הוכחנו אותה לעיל עבור ‪ L‬העתקה על‪ .‬‬ ‫אם כך ניתן להניח שלאחר סידור מחודש של הקואורדינטות של ‪ Rm‬מתקיים כי‬ ‫‪ D (P ◦ Ξ) (r) : Rk → Rk‬עבור ))‪ r =: Ξ−1 (ψ (q‬ל‪ ,q ∈ W -‬היא חח"ע‪ .‬לכן‬ ‫ההעתקה ‪ P ◦ Ξ‬עומדת בתנאי משפט ההעתקה ההפוכה‪ ,‬ולכן קיימת סביבה ‪V˜ ⊂ V‬‬ ‫‪31‬‬ ‫כך ש‪ P ◦ Ξ|V˜ -‬דיפאומורפיזם על תמונתה‪.‬‬ ‫ככלל‪ ,‬אם הרכבה של העתקות היא חח"ע אז כל אחת מההעתקות המרכיבות היא‬ ‫חח"ע‪ ,‬ולכן נוכל להסיק כי ) ˜‪ Q =: P |Ξ(V‬העתקה חח"ע‪.‬‬ ‫ ‬ ‫˜‪ ,T =: P Ξ V‬ונסיק שקיימת ההעתקה ההפוכה‬ ‫נסמן את הקבוצה ‪⊂ Rk‬‬ ‫ ‬ ‫˜‪ .Q−1 : T → Ξ V‬נשים לב שמתקיים זהותית‪:‬‬ ‫‪◦P ◦ψ|W‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪◦Q◦ψ|W = (P ◦ Ξ‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪Ξ−1 ◦ψ = Ξ−1 ◦Q−1 ◦Q◦ψ|W = (Q ◦ Ξ‬‬ ‫כאשר המעבר השלישי מוצדק מכיוון שהתמונה של ההעתקה המוצגת משמאל לשוויון‬ ‫זה‪ ,‬מוכלת ב‪ Ξ (V )-‬לפי הגדרת ‪.W‬‬ ‫‪29‬כי מההגדרה נובע שהנגזרת ‪ DΞ (p) : Rk → Rm‬היא העתקה לינארית חח"ע‪ ,‬וזה לא ייתכן אם ‪.m < k‬‬ ‫‪30‬מסמנים ככלל }‪.[n] =: {1, ..., n‬‬ ‫‪31‬הגדרה‪ :‬העתקה היא דיפאומורפיזם על תמונתה‪ ,‬אם התמונה שלה פתוחה‪ ,‬היא חח"ע‪ ,‬וגם היא וגם ההופכית‬ ‫שלה חלקות )א(‪.‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪ (P ◦ Ξ‬חלקה )א(‬ ‫אם כך הצגנו את ‪ Ξ−1 ◦ ψ‬כהרכבה של העתקות חלקות )א(‪:‬‬ ‫לפי משפט ההעתקה ההפוכה )מסקנה שנבעה מהמשפט(‪ P ,‬חלקה )א( כי היא הטלה‬ ‫ו‪ ψ-‬חלקה )א( מההנחה בטענה‪ .‬לכן מכלל השרשרת גם ‪ Ξ−1 ◦ ψ‬חלקה )א(‪ .‬‬ ‫מסקנה‪ :‬יהיו ‪ M, N‬משטחים רגולריים כנ"ל‪ ,‬ונניח גם כי ‪ M ⊂ Rm‬קבוצה פתוחה‪ .‬אזי‬ ‫העתקה ‪ ϕ : M → N‬חלקה )א( אם ורק אם היא חלקה )מ(‪.‬‬ ‫זה נובע מכך שראינו שלא משנה איזו מערכת קואורדינטות בוחרים‪ ,‬אז נבחר את‬ ‫המערכת הפשוטה ביותר ‪ .Id : M → M‬השלמת ההסבר היא תרגיל קל‪.‬‬ ‫מסקנה‪ :‬יהי ‪ M‬משטח רגולרי כנ"ל ותהי ‪ Ξ : U → M‬מערכת קואורדינטות‪ .‬אזי ההעתקה‬ ‫‪ Ξ−1 : Ξ (U ) → U‬חלקה )מ(‪.‬‬ ‫קל לראות ש‪ Ξ−1 -‬היא אכן העתקה בין משטחים‪ .‬לפי ההגדרה לחלקות )מ( מספיק‬ ‫שההעתקה ‪ Ξ−1 ◦ Ξ = Id‬תהיה חלקה )א(‪ ,‬והיא אכן כזאת‪.‬‬ ‫‪ψ‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫טענה‪ :‬יהיו ‪ M ⊂ Rm , N ⊂ Rn , P ⊂ Rp‬משטחים רגולריים‪ ,‬ויהיו ‪M → N → P‬‬ ‫העתקות חלקות )מ(‪ .‬אזי ההעתקה ‪ ψ ◦ ϕ : M → P‬חלקה )מ(‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬לפי הגדרת חלקות )מ( ב‪ p ∈ M -‬כלשהי‪ ,‬צריך להראות שלכל מערכת קואורדינטות‬ ‫‪ Ξ : U → M‬מתקיים כי ‪ ψ ◦ ϕ ◦ Ξ : U → P‬חלקה )א( בנקודה )‪.Ξ−1 (p‬‬ ‫תהי ‪ .p ∈ M‬נסמן ‪ .q =: ϕ (p) ∈ N‬מהיות ‪ N‬משטח רגולרי קיימת מערכת‬ ‫קואורדינטות מתאימה ‪ Σ : V → N‬סביב ‪.q‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫נסמן )) ‪ ,W =: Ξ−1 ϕ−1 (Σ (V‬ונשים לב שההעתקה ‪Σ ◦ (ϕ ◦ Ξ)W : W → V‬‬ ‫חלקה )א(‪ ,‬כי ‪ ϕ‬חלקה )מ( וכי ‪ Σ‬מערכת קואורדינטות‪.‬‬ ‫‬ ‫נשים לב שמתקיים זהותית ‪ .ψ ◦ ϕ ◦ Ξ = (ψ ◦ Σ) ◦ Σ−1 ◦ ϕ ◦ Ξ‬לכן הצגנו את‬ ‫‪ ψ ◦ ϕ‬כהרכבה של העתקות חלקות )א(‪ :‬ההעתקה ברכיב הראשון חלקה )א( מהגדרת‬ ‫חלקות )מ( של ‪ ,ψ‬וההעתקה ברכיב השני חלקה )א( כפי שהראינו‪ .‬לכן לפי כלל‬ ‫השרשרת גם ‪ ψ ◦ ϕ ◦ Ξ‬חלקה )א(‪ ,‬כלומר ‪ ψ ◦ ϕ‬חלקה )מ(‪ .‬‬ ‫• מכאן נפסיק לסמן את ההבדלים בין שני סוגי החלקות‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫נגזרת של העתקה בין משטחים רגולריים‬ ‫הקדמה‪ :‬כפי שכבר הזכרנו‪ ,‬הגדרת גזירות של העתקה בין משטחים רגולריים אינה דורשת‬ ‫הגדרה של נגזרת‪ .‬כעת נגדיר מהי נגזרת‪ ,‬כשהמוטיבציה המרכזית תהיה למצוא‬ ‫העתקה לינארית שתתאר את ההשתנות בנקודה‪ .‬השאלה היא השתנות באיזה כיוון?‬ ‫בניגוד להעתקות ‪ U ⊂ Rn → Rm‬ל‪ U -‬פתוחה‪ ,‬בהן ניתן לבדוק את ההשתנות‬ ‫בכל כיוון במרחב הווקטורי ‪ ,Rn‬במקרה של משטחים רגולריים לא ניתן לבדוק את‬ ‫ההשתנות בכל כיוון‪ ,‬כי משטח רגולרי אינו קבוצה פתוחה בהכרח‪.‬‬ ‫לכן נגדיר קבוצות חדשות )"המרחב המשיק"( שיהוו את התחום והטווח של העתקת‬ ‫הנגזרת‪" .‬לינאריות" היא תכונה של העתקות בין מרחבים ווקטוריים‪ ,‬לכן כדי לדאוג‬ ‫שהנגזרת תהיה העתקה לינארית נוודא שהקבוצות הללו מהוות מרחבים ווקטוריים‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ M ⊂ Rm‬משטח רגולרי‪ .‬המרחב המשיק ל‪ M -‬בנקודה ‪ ,p ∈ M‬הוא הקבוצה‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪dα‬‬ ‫‪(0) |∃ε>0 α : (−ε, ε) → M, α (0) = p, α is smooth‬‬ ‫= ‪Tp M‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪35‬‬ ‫מתקיים ‪ ,Tp M ⊂ Rm‬כי ‪ α : (−ε, ε) → M ⊂ Rm‬ולכן לכל )‪ t0 ∈ (−ε, ε‬הנגזרת‬ ‫‪0‬‬ ‫‪dα‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ α = dα‬ובהתאם להגדרת‬ ‫נסמן בקיצור ‪dt‬‬ ‫היא העתקה לינארית ‪ . dt (t0 ): R → R‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הטווח נוכל לסמן ) ‪.α = α1 , ..., αm ∈ L (R, Rm‬‬ ‫הערה‪ :‬נשים לב שקבוצה זו אינה תלויה בבחירת ‪.ε‬‬ ‫למה‪ :‬אם ‪ M ⊂ Rm‬משטח רגולרי‪ ,‬אז ‪ Tp M‬מהווה מרחב ווקטורי לכל ‪.p ∈ M‬‬ ‫‬ ‫למה‪ :‬לכל מערכת קואורדינטות ‪ Ξ : U → M‬מתקיים )‪.Tp M = ImDΞ Ξ−1 (p‬‬ ‫מסקנה‪ Tp M :‬הוא תמונה של העתקה לינארית‪ ,‬ולכן הוא מרחב וקטורי‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נראה הכלות הדדיות‪.‬‬ ‫‬ ‫• )‪ :Tp M ⊂ ImDΞ Ξ−1 (p‬יהי ‪ .α0 (0) ∈ Tp M‬מתקיים ‪ α (0) = p‬ולכן‬ ‫עבור ‪ ε‬מספיק קטן ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות כי ‪.Imα ⊂ ImΞ‬‬ ‫˜‪ .‬זו העתקה חלקה לפי מסקנה שהזכרנו‬ ‫נסמן ‪α = Ξ−1 ◦ α : (−ε, ε) → U‬‬ ‫‪ α = Ξ ◦ α‬נובע לפי כלל השרשרת‪:‬‬ ‫לעיל‪ .‬מהזהות ˜‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫˜( ‪α (0) = DΞ‬‬ ‫‪α (0)) · α‬‬ ‫)‪˜ (0) ∈ ImDΞ Ξ−1 (p‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪∈R‬‬ ‫‬ ‫• ‪ :ImDΞ Ξ−1 (p) ⊂ Tp M‬נסמן )‪ .q = Ξ−1 (p‬יהי )‪ .v ∈ ImDΞ (q‬כלומר‬ ‫קיים ˜‪ v‬המקיים ˜‪.v = DΞ (q) v‬‬ ‫˜‪ .‬נגדיר עוד העתקה‬ ‫˜‪α (t) = q + t‬‬ ‫‪ α‬על־ידי ‪v‬‬ ‫נגדיר העתקה ‪˜ : (−ε, ε) → U‬‬ ‫‪ .α (t) = Ξ ◦ α‬מכלל השרשרת נובע‪:‬‬ ‫‪ α : (−ε, ε) → M‬על־ידי )‪˜ (t‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫˜( ‪v = DΞ (q) · v˜ = DΞ‬‬ ‫‪α (0)) · α‬‬ ‫‪˜ (0) = α (0) ∈ Tp M‬‬ ‫‪0‬‬ ‫˜‪ .‬‬ ‫˜‪α (0) = v˜ ,‬‬ ‫כי מההגדרות ‪α (0) = q‬‬ ‫הגדרה‪ :‬יהיו ‪ N ⊂ Rn ,M ⊂ Rm‬משטחים רגולריים‪ .‬תהי ‪ ϕ : M → N‬העתקה חלקה‬ ‫ותהי ‪ .p ∈ M‬נגזרת של ‪ ϕ‬ב‪ p-‬היא ההעתקה ‪ Dϕp : Tp M → Tϕ(p) N‬המוגדרת‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫על־ידי )‪.α (0) 7→ (ϕ ◦ α) (0‬‬ ‫למה‪ :‬אם ‪ ϕ : M → N‬העתקה חלקה‪ ,‬אזי ההעתקה ‪ Dϕp‬שהגדרנו היא‪:‬‬ ‫‪ .1‬אינה תלויה בבחירת ‪α‬‬ ‫‪ .2‬העתקה לינארית‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ .1‬תהי ‪ Ξ : U → M‬מערכת קואורדינטות ב‪ .p ∈ M -‬מתקיים ‪ α (0) = p‬ולכן‬ ‫עבור ‪ ε‬מספיק קטן ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות כי ‪.Imα ⊂ ImΞ‬‬ ‫‪36‬‬ ‫˜‪ .‬מהיות ‪ ϕ‬חלקה )מ( משמע ‪ ϕ ◦ Ξ‬חלקה‬ ‫נגדיר ‪α = Ξ−1 ◦ α : (−ε, ε) → U‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ ,ϕ ◦ α = ϕ ◦ Ξ ◦ Ξ ◦ α = ϕ ◦ Ξ ◦ α‬ולכן מכלל‬ ‫)א(‪ .‬נשים לב לזהות ˜‬ ‫השרשרת נובע‪:‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Dϕp α (0‬‬ ‫‪= (ϕ ◦ α) (0) = D (ϕ ◦ Ξ ◦ α‬‬ ‫˜( )‪˜ ) (0) = D (ϕ ◦ Ξ‬‬ ‫˜·))‪α (0‬‬ ‫)‪α (0‬‬ ‫‪by def‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪α‬‬ ‫לכן כדי להשלים את ההוכחה שאין תלות בבחירת ‪ ,α‬צריך רק להראות ש‪˜ (0)-‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נקבע ביחידות על־ידי )‪.α (0‬‬ ‫˜‪ .‬כעת‬ ‫‪ α‬מתקיים ‪α (0) = q‬‬ ‫נסמן )‪ .q =: Ξ−1 (p‬בהתאם לסימון זה‪ ,‬מהגדרת ˜‬ ‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫‪α=Ξ◦α‬‬ ‫˜‬ ‫⇓‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪α (0) = D (Ξ ◦ α‬‬ ‫˜( ‪˜ ) (0) = DΞ‬‬ ‫‪α (0)) · α‬‬ ‫‪˜ (0) = DΞ (q) · α‬‬ ‫)‪˜ (0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪α‬‬ ‫אבל מהגדרת מערכת קואורדינטות‪ DΞ (q) ,‬העתקה לינארית חח"ע‪ .‬לכן )‪˜ (0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫˜‪.‬‬ ‫נקבע ביחידות על־ידי )‪α (0) = (DΞ (q)) · α (0‬‬ ‫‪ .2‬ראינו בחלק ‪ 1‬שמתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪α (0) = D (ϕ ◦ Ξ) · α‬‬ ‫)‪˜ (0) = D (ϕ ◦ Ξ) · (DΞ) · α (0‬‬ ‫‬ ‫‪Dϕp‬‬ ‫מכאן ש‪ Dϕp -‬הרכבה של העתקות לינאריות‪ ,‬ולכן היא העתקה לינארית‪ .‬‬ ‫‪10.1‬‬ ‫כלל השרשרת למשטחים רגולריים‬ ‫‪n‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪m‬‬ ‫משפט‪ :‬יהיו ‪ M ⊂ R , N ⊂ R , P ⊂ R‬משטחים רגולריים‪ .‬נניח שנתונות העתקות‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫‪ψ‬‬ ‫חלקות ‪ ϕ, ψ‬מהצורה ‪.M → N → P‬‬ ‫ראינו כבר שההעתקה ‪ ψ ◦ϕ : M → P‬חלקה‪ ,‬אבל כעת נוסיף שמתקיים גם שהנגזרת‬ ‫של ההרכבה‪ ,‬שמהגדרתה הכללית צריכה להיות מהצורה‪:‬‬ ‫‪D (ψ ◦ ϕ)p : Tp M → Tψ(ϕ(p)) P‬‬ ‫היא ההעתקה‪:‬‬ ‫)‪Dψϕ(p‬‬ ‫‪Dϕp‬‬ ‫‪Tp M −→ Tϕ(p) N −→ Tψ(ϕ(p)) P‬‬ ‫ובסימון נוסחתי נוח‪.D (ψ ◦ ϕ)p = Dψϕ(p) · Dϕp :‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נשים לב שמתקיים לפי ההגדרה )‪ .Dϕp α (0) = (ϕ ◦ α) (0‬כעת נסיק‪:‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫= )‪Dψϕ(p) · Dϕp α (0) = Dψϕ(p) Dϕp α (0) = Dψϕ(p) (ϕ ◦ α) (0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪= (ψ ◦ ϕ ◦ α) (0) = ((ψ ◦ ϕ) ◦ α) (0) = D (ψ ◦ ϕ)p α (0‬‬ ‫‬ ‫‪37‬‬ ‫הגדרה‪ :‬יהיו ‪ N ⊂ Rn ,M ⊂ Rm‬משטחים רגולריים‪ .‬העתקה ‪ ϕ : M → N‬חלקה נקראת‬ ‫דיפאומורפיזם של משטחים‪ ,‬אם היא חח"ע ועל‪ ,‬וההופכית שלה חלקה‪.‬‬ ‫העתקה כנ"ל נקראת דיפאומורפיזם מקומי ב‪ ,p ∈ M -‬אם קיימת סביבה פתוחה‬ ‫‪ V ⊂ M‬המכילה את ‪ ,p‬כך ש‪ ϕ (V ) ⊂ N -‬פתוחה וכן ‪ ϕ|V‬דיפאומורפיזם‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ ϕ : M → N‬חלקה ונגזרתה חח"ע ועל ב‪,p ∈ M -‬‬ ‫מקומי של ‪.p‬‬ ‫‪32‬‬ ‫אז היא דיפאומורפיזם‬ ‫מסקנה‪ :‬אם מתקיימים התנאים הנ"ל לכל ‪ ,p ∈ M‬אז ‪ ϕ‬דיפאומורפיזם‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ Ξ : U → M‬מערכת קואורדינטות ב‪ ,p ∈ M -‬ותהי ‪ Σ : T → N‬מערכת‬ ‫קואורדינטות ב‪ .r =: ϕ (p) ∈ N -‬נניח ללא הגבלת הכלליות כי ‪ U‬היא סביבה‬ ‫מספיק קטנה של ‪ ,p‬כך שמתקיים )‪.ImΞ ⊂ ϕ−1 (ImΣ‬‬ ‫נתבונן בהעתקה ‪ 33 ,Σ−1 ◦ϕ◦Ξ : U ⊂ Rk → Rk‬שהיא חלקה כפי שהראינו במסקנה‬ ‫קודמת‪ .‬נסמן )‪ q =: Ξ−1 (p‬ונשים לב שמתקיים מכלל השרשרת‪:‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪D Σ−1 ◦ ϕ ◦ Ξ (q) = DΣ−1‬‬ ‫)‪ϕ(p) ·D (ϕ ◦ Ξ) (q) = (DΣ)Σ−1 (ϕ(p)) ·D (ϕ ◦ Ξ) (q‬‬ ‫‪ 34‬מכאן שמקומית זו הרכבה של העתקות חח"ע ועל ולכן היא חח"ע ועל‪ .‬ממשפט‬ ‫ההעתקה ההפוכה נובע שקיימת סביבה ‪ V ⊂ U‬המכילה את ‪ ,q‬כך ש‪Σ−1 ◦ ϕ ◦ Ξ|V -‬‬ ‫דיפאומורפיזם על תמונתה‪.‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪.ϕ = Ξ ◦ Σ ◦ ϕ ◦ Ξ‬‬ ‫ניקח את הסביבה ) ‪ ,W = Ξ (V‬ובסביבה זו ‪◦ Σ‬‬ ‫מכאן שמקומית ההעתקה ‪ ϕ−1 : ϕ (V ) → V‬היא הרכבה של דיפאומורפיזמים‬ ‫)מערכות הקואורדינטות(‪ ,‬ולכן היא דיפאומורפיזם‪ .‬‬ ‫‪32‬הנגזרת היא העתקה לינארית ‪ .Dϕp : Tp M → Tϕ(p) N‬לכן אם היא חח"ע ועל‪ ,‬בפרט ‪ M, N‬משטחים‬ ‫רגולריים מממדים שווים‪.‬‬ ‫בהערה הקודמת‪.‬‬ ‫‪33‬כאשר ‪ k‬הוא ממד המשטחים ‪ ,M, N‬שחייב להיות שווה כפי שציינו‬ ‫‬ ‫‪.Id = D Σ ◦ Σ−1 ϕ(p) = DΣΣ−1 (ϕ(p)) · DΣ−1‬‬ ‫‪34‬השוויון השני נובע מכך שמתקיים‬ ‫)‪ϕ(p‬‬ ‫‪38‬‬ ‫חלק‬ ‫‪III‬‬ ‫חשבון אינטגרלי של העתקות ‪Rp → Rq‬‬ ‫‪11‬‬ ‫אינטגרביליות )רימן(‬ ‫הערה‪ :‬בהינתן העתקה ‪ ,f : Rp → Rq‬ניתן לפרק אותה לרכיביה ) ‪f = (f1 , ..., fq‬‬ ‫ולטנגרל כל רכיב בנפרד‪ .‬אין קשר בין הרכיבים השונים בטווח ולכן נדון בהעתקות‬ ‫‪ ,f : Rp → R‬כלומר עבור ‪.q = 1‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תא הוא קבוצה ‪ J‬מאחת משתי הצורות הבאות‪:‬‬ ‫• ‪ ,J ⊂ R‬כאשר ‪ J‬מאחת מהצורות ]‪ ,[a, b] , (a, b) , [a, b) , (a, b‬עבור ‪,a, b ∈ R‬‬ ‫‪.a ≤ b‬‬ ‫• ‪ ,J ⊂ Rp‬כאשר ‪ J‬הוא מהצורה ‪ ,J = J1 × ... × Jp‬ולכל ‪ ,i = 1, ..., p‬הקבוצה‬ ‫‪ Ji‬היא תא מהצורה הקודמת‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תכולה של תא ‪ ,J = J1 × ... × Jp‬מוגדרת ומסומנת · ‪c (J) = (b1 − a1 ) · ...‬‬ ‫) ‪ ,(bp − ap‬כאשר ‪ ai , bi‬שני קצות התא ‪.Ji‬‬ ‫דוגמה‪ :‬גם אם ‪ c (J) = 0‬זה לא אומר שהתא ‪ J‬ריק; למשל )‪.J = [1, 1] × (2, 3‬‬ ‫תזכורת‪ :‬חלוקה ‪ P‬של קטע ]‪ [a, b‬היא סדרה של מספרים ‪.a = x1 < x2 < ... < xn = b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫באופן שקול‪ ,‬ניתן לחשוב על חלוקה כנ"ל כעל אוסף התאים ‪ {[xi−1 , xi ]}i=1‬שמכסה‬ ‫את ]‪ ,[a, b‬וכולם זרים פרט לנקודות הקצה‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫הגדרה‪ :‬חלוקה של ] ‪ I = [a1 , b1 ] × ... × [ap , bp‬היא אוסף של חלוקות ‪ ,{Pk }k=1‬כאשר‬ ‫‪ Pk‬חלוקה של ] ‪.[ak , bk‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪op‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i−1‬‬ ‫‪xj , xij i=1‬‬ ‫באופן שקול‪ ,‬ניתן לחשוב על חלוקה כנ"ל כעל אוסף התאים‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫שמכסה את ‪ ,I‬כאשר לכל ‪ j‬האיבר ‪ xji−1 , xij i=1‬מכסה את ] ‪.[aj , bj‬‬ ‫הגדרה‪ :‬בהינתן חלוקה ‪ P‬של תא סגור ‪ ,I‬עידון של ‪ P‬היא חלוקה נוספת ‪ P 0‬של ‪ ,I‬כך‬ ‫שלכל ‪ J 0 ∈ P 0‬קיימת ‪ J ∈ P‬כך ש‪.J 0 ⊂ J-‬‬ ‫הערה‪ :‬זה אומר שבכל קואורדינטה ‪ k = 1, ..., p‬של התא‪ ,‬החלוקה ‪ Pk0‬היא עידון‬ ‫של ‪.Pk‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי } ‪ P = {J1 , ..., Jk‬חלוקה של תא ‪ .I‬קבוצה ‪ XP =: {x1 , ..., xk } ⊂ I‬נקראת‬ ‫אוסף של נקודות ביניים של ‪ ,P‬אם ‪ xi ∈ Ji‬לכל ‪.i = 1, ..., k‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ f : I → R‬העתקה כלשהי ל‪ I-‬תא‪ ,‬ותהי ‪ P‬חלוקה של ‪ I‬עם אוסף נקודות‬ ‫ביניים } ‪ .XP = {x1 , ..., xk‬סכום רימן של ‪ P, XP , f‬מסומן ומוגדר להיות‪:‬‬ ‫) ‪f (xi ) · c (Ji‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪39‬‬ ‫= ) ‪S (P, XP , f‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ f : I ⊂ Rp → R‬העתקה כלשהי ל‪ I-‬תא‪ .‬אומרים כי ‪ f‬אינטגרבילית רימן‬ ‫על ‪ ,I‬אם קיים ‪ L ∈ R‬כך שלכל ‪ 0 < ε‬קיימת חלוקה ‪ Pε‬של ‪ ,I‬כך שלכל עידון ‪P‬‬ ‫של ‪ Pε‬ולכל אוסף נקודות ביניים ‪ XP‬מתקיים ‪.|S (P, XP , f ) − L| < ε‬‬ ‫´‬ ‫במקרה כזה אומרים כי ‪ L‬הוא ערך האינטגרל של ‪ f‬על ‪ ,I‬ומסמנים ‪. I f = L‬‬ ‫‪p‬‬ ‫נבחר תא ‪I‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ f : A ⊂ R → R‬העתקה כלשהי ל‪ A-‬קבוצה חסומה כלשהי‪( .‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪x∈A‬‬ ‫= )‪.f (x‬‬ ‫כלשהו המכיל את ‪ ,A‬ונגדיר העתקה ‪ fI : I → R‬על־ידי‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x ∈ I\A‬‬ ‫אינטגרבילית רימן על ‪ ,A‬אם ‪ fI‬אינטגרבילית רימן על ‪ .I‬במקרה כזה‬ ‫אומרים כי´ ‪f‬‬ ‫´‬ ‫נגדיר ‪. A f = I fI‬‬ ‫הערה‪ :‬צריך להראות שהאינטגרל מוגדר כך היטב‪ .‬כלומר יש להראות כי אם ‪ I1 , I2‬תאים‬ ‫שונים המכילים את ‪ ,A‬הגדרת האינטגרל אינה משתנה‪.‬‬ ‫‪11.1‬‬ ‫קריטריון קושי לאינטגרביליות‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ f : I ⊂ Rp → R‬ל‪ I-‬תא‪ .‬אומרים כי ‪ f‬מקיימת את קריטריון קושי‪,‬‬ ‫אם לכל ‪ 0 < ε‬קיימת חלוקה ‪ Qε‬של ‪ ,I‬כך שלכל ‪ P1 , P2‬עידונים של ‪ Qε‬ולכל‬ ‫‪ XP1 , XP2‬אוספי נקודות ביניים מתאימים‪ ,‬מתקיים עבור סכומי רימן המתאימים‬ ‫‪.|S (P1 , XP1 , f ) − S (P2 , XP2 , f )| < ε‬‬ ‫משפט‪ :‬העתקה היא אינטגרבילית אם ורק אם היא מקיימת את קריטריון קושי‪.‬‬ ‫למה‪ :‬לכל אוסף סופי של חלוקות של תא קיים עידון משותף‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נתייחס לכל חלוקה כאל אוסף של נקודות קצה המגדירות את הקטעים על‬ ‫כל קואורדינטה‪ .‬איחוד כל האוספים הללו )בהתאם לכל ממד ב‪ (Rp -‬מגדיר‬ ‫עידון משותף‪ .‬‬ ‫הוכחה‪) :‬כיוון ראשון( נניח כי ‪ f‬אינטגרבילית‪ ,‬ויהי ‪ .0 < ε‬נבחר את החלוקה ‪ Qε‬המקיימת‬ ‫שלכל עידון ‪ P‬שלה ו‪ XP -‬אוסף נקודות ביניים מתאים מתקיים < |‪|S (P, XP , f ) − L‬‬ ‫‪. 2ε‬‬ ‫מכאן שלכל זוג עידונים ‪ P1 , P2‬של ‪ Qε‬ו‪ XP1 , XP2 -‬אוספי נקודות ביניים מתאימים‪,‬‬ ‫מתקיים לפי אי־שוויון המשולש‪:‬‬ ‫‪ε ε‬‬ ‫‪+ =ε‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫< |‪|S (P1 , XP1 , f ) − S (P2 , XP2 , f )| ≤ |S (P1 , XP1 , f ) − L|+|S (P2 , XP2 , f ) − L‬‬ ‫)כיוון שני( נניח כי ‪ f‬מקיימת את קריטריון קושי‪ ,‬ויהי ‪ .0 < ε‬לכל ‪ n‬טבעי נבחר‬ ‫חלוקה ‪ Qn‬של ‪ I‬המקיימת שלכל ‪ P1 , P2‬עידונים שלה ולכל ‪ XP1 , XP2‬אוספי נקודות‬ ‫ביניים מתאימים מתקיים ‪.|S (P1 , XP1 , f ) − S (P2 , XP2 , f )| < n1‬‬ ‫מהלמה שהזכרנו נובע שלכל ‪ n‬ניתן לבחור עידון משותף של ‪ Qn‬עם ‪ ,Qn−1‬ולכן נניח‬ ‫ללא הגבלת הכלליות כי ‪ Qn‬מעדנת את ‪ Qn−1‬לכל ‪.n‬‬ ‫יהיו ‪ {Xn }n∈N‬אוספי נקודות ביניים‪ ,‬כאשר ‪ Xn‬מתאים ל‪ .Qn -‬נשים לב שלכל < ‪n‬‬ ‫‪ k, l‬מתקיים ‪ ,|S (Qk , Xk , f ) − S (Ql , Xl , f )| < n1‬ולכן ‪{S (Qn , Xn , f )}n∈N‬‬ ‫סדרת קושי‪ ,‬ולפיכך מתכנסת ל‪ L ∈ R-‬כלשהו‪.‬‬ ‫‪40‬‬ ‫נראה כי ‪ L‬הוא אכן האינטגרל של ‪ :f‬יהי ‪ .0 < ε‬קיים ‪ N‬מספיק גדול המקיים גם‬ ‫‪ N1 < 2ε‬וגם ‪ .|S (QN , XN , f ) − L| < 2ε‬נבחר ‪ ”Pε ” = QN‬ונקבל שאם ‪ P‬עידון‬ ‫של ‪ QN‬אז מתקיים‪:‬‬ ‫< |‪|S (P, XP , f ) − L| ≤ |S (P, XP , f ) − S (QN , XN , f )| + |S (QN , XN , f ) − L‬‬ ‫‪=ε‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪2‬‬ ‫<‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫<‬ ‫‬ ‫תכונות האינטגרל‬ ‫טענה‪ :‬האינטגרל הוא אופרטור לינארי על מרחב ההעתקות האינטגרביליות‪.‬‬ ‫להראות שלכל ‪ f, g : A ´⊂ Rp → R‬אינטגרביליות ולכל ‪ α, β ∈ R‬מתקיים‬ ‫צריך‬ ‫´‬ ‫הוכחה‪´ :‬‬ ‫‪. A (αf + βg) = α A f + β A g‬‬ ‫תהי } ‪ P = {J1 , ..., Jk‬חלוקה של תא ‪ I‬המכיל את ‪ A‬ויהי } ‪XP = {x1 , ..., xk‬‬ ‫אוסף נקודות ביניים מתאים‪ .‬נחשב‪:‬‬ ‫‪Pk‬‬ ‫= ) ‪S (P, XP , αfI + βgI ) = i=1 [αfI (xi ) + βgI (xi )] c (Ji‬‬ ‫) ‪(xi ) c (Ji ) = αS (P, XP , fI ) + βS (P, XP , gI‬‬ ‫‪Pk‬‬ ‫‪i=1 gI‬‬ ‫· ‪fI (xi ) c (Ji ) + β‬‬ ‫‪Pk‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫·‪=α‬‬ ‫מאינטגרביליות ‪ f, g‬נובע שלכל ‪ 0 < ε‬קיימת חלוקה ‪ Pε‬של תא ‪ I‬המכיל את ‪ ,A‬כך‬ ‫שלכל עידון ‪ Q‬של ‪ Pε‬ולכל ‪ XQ‬אוסף של נקודות ביניים‪ ,‬מתקיימים גם יחד‪:‬‬ ‫‬ ‫ ´‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪S (Q, XQ , fI ) −‬‬ ‫|‪f < 2|α‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫|‪2|β‬‬ ‫‬ ‫ ´‬ ‫‪S (Q, XQ , gI ) −‬‬ ‫< ‪g‬‬ ‫‪A‬‬ ‫)הסיבה שקיימת חלוקה ‪ Pε‬המתאימה גם ל‪ fI -‬וגם ל‪ gI -‬היא שניתן לבחור את ‪Pε‬‬ ‫להיות העידון של שתי החלוקות המתאימות של ‪.(fI , gI‬‬ ‫וכעת נקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫´‬ ‫ ´‬ ‫‪S (P, XP , αfI + βgI ) − α f + β‬‬ ‫= ‪g‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‬ ‫´‬ ‫ ´‬ ‫‪αS (P, XP , fI ) + βS (P, XP , gI ) − α f + β‬‬ ‫≤ ‪g‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‬ ‫ ´‬ ‫ ´‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫|‪≤ αS (P, XP , fI ) − α A f + βS (P, XP , gI ) − β A g < |α| 2|α‬‬ ‫|‪+ |β| 2|β‬‬ ‫‪=ε‬‬ ‫‬ ‫´‬ ‫טענה‪ :‬תהי ‪ f : A ⊂ Rp → R‬אינטגרבילית ואי־שלילית‪ .‬אזי ‪. A f ≥ 0‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי } ‪ P = {J1 , ..., Jk‬חלוקה של תא ‪ I‬המכיל את ‪ A‬ויהי } ‪XP = {x1 , ..., xk‬‬ ‫אוסף נקודות ביניים מתאים‪ .‬אזי‪:‬‬ ‫‪fI (xi ) c (Ji ) ≥ 0‬‬ ‫לכן לא ייתכן ש‪< 0-‬‬ ‫´‬ ‫‪A‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪S (P, Xp , fI‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪ ,‬כי אז המרחק בינו ל‪ S (P, Xp , fI )-‬לא קטן כרצוננו‪ .‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪11.2‬‬ ‫תכולה אפס‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ Z ⊂ Rp‬קבוצה כלשהי‪ .‬אומרים ש‪SZ-‬היא בעלת תכולה אפס‪ ,‬אם‪P‬לכל ‪0 < ε‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫קיימים תאים ‪ ,J1 , ..., Jk ⊂ Rp‬כך ש‪ Z ⊂ i=1 Ji -‬וגם ‪. i=1 c (Ji ) < ε‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪ .Z = {x} ⊂ Rp .1‬כלומר ) ‪ .x = (x1 , ..., xp‬זוהי קבוצה בעלת תכולה אפס‪ ,‬כי‬ ‫היא מוכלת בתא ] ‪ J = [x1 , x1 ] × [xp , xp‬שמקיים ‪.c (J) = 0‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ Z1 , Z2 ⊂ Rp‬קבוצות בעלות תכולה אפס‪ ,‬אז גם ‪ Z1 ∪ Z2‬קבוצה בעלת‬ ‫תכולה אפס‪.‬‬ ‫‪ .3‬אם ‪ Z1 ⊂ Z2 ⊂ Rp‬ו‪ Z2 -‬בעלת תכולה אפס‪ ,‬אז גם ‪ Z1‬בעלת תכולה אפס‪.‬‬ ‫∞‬ ‫‪ .4‬אם ‪ {zi }i=1 ⊂ Rp‬סדרה מתכנסת‪ ,‬אז כתת־קבוצה של ‪ Rp‬היא בעלת תכולה‬ ‫אפס‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ .0 < ε‬נסמן ‪ .z = limi→∞ zi‬ניקח תא פתוח ‪ J‬שמכיל את ‪z‬‬ ‫ושהוא גם מספיק קטן כך ש‪.c (J) < ε-‬‬ ‫מהנתון לגבי ההתכנסות נובע שיש ‪ N‬טבעי כך שלכל ‪ N < i‬מתקיים‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ .zi ∈ J‬ניקח אם כן את התאים }‪ {Ji }i=1 ∪ {J‬ל‪ ,Ji = [zi , zi ]-‬וקל‬ ‫לראות כי הם מקיימים את הנדרש‪.‬‬ ‫‪ .5‬תהי ‪ f : Ω ⊂ Rp → Rq‬העתקה רציפה ל‪ Ω-‬קומפקטית‪ ,‬אזי הגרף שלה‬ ‫}‪ Γf =: {(x, f (x)) ∈ Rp+q |x ∈ Ω‬הוא קבוצה בעלת תכולה אפס‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מספיק להראות זאת עבור ‪ ,q = 1‬כי לכל ‪ q‬אפשר לסמן = ‪f‬‬ ‫) ‪ (f1 , ..., fq‬ואז כל הגרפים ‪ Γfi‬יכילו את ‪.Γf‬‬ ‫יהי ‪ .0 < ε‬אז קיים ‪ 0 < δ‬המתאים לתנאי הרציפות במידה שווה‪ .‬נבחר‬ ‫‪ n‬מספיק גדול המקיים ‪. n1 < δ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫יהי ‪ J‬תא המכיל את ‪ .Ω‬נחלק את ‪ J‬ל‪ n-‬תאים ברדיוס ‪ n‬ל‪ k-‬קבוע‬ ‫כלשהו התלוי רק ב‪ .Ω-‬נסמן תאים אלה ) ‪) C k (xi‬הנקודה ‪ xi‬במרכז‬ ‫‪n‬‬ ‫התא(‪.‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫מרציפות במידה שווה נובע שמתקיים )) ‪,Γf ⊂ i=1 C k (xi )×Cε (f (xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ונשים לב שתכולת תא זה היא ‪ .n · nk · ε = k · ε‬‬ ‫‪ .6‬אם ‪ J ⊂ Rp‬תא המקיים ‪ c (J) > 0‬אז ‪ J‬איננו בעל תכולה אפס‪.‬‬ ‫‪ .7‬הקבוצה ]‪ Q ∩ [0, 1‬אינה בעלת תכולה אפס‪) .‬מושאר כתרגיל‪ :‬יש להראות שכל‬ ‫תא המכיל אותה‪ ,‬מכיל בהכרח את הקטע ]‪ ,[0, 1‬ולכן מדוגמה ‪ 6‬נובע שהיא‬ ‫איננה בעלת תכולה אפס(‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .8‬למרבה ההפתעה קיימת העתקה רציפה ]‪ f : [0, 1] → [0, 1‬שהיא גם על‪.‬‬ ‫מכאן שלא כל תמונה של העתקה רציפה היא בעלת תכולה אפס‪.‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪ .9‬אם ‪ M ⊂ Rp‬משטח רגולרי ‪k‬־ממדי עבור ‪ ,k < p‬אזי הוא קבוצה בעלת תכולה‬ ‫אפס‪) .‬מושאר כתרגיל(‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ P‬חלוקה של תא ‪ I‬ותהי ‪ A ⊂ I‬כלשהי‪ .‬נסמן }∅ =‪.ΥP,A =: {J ∈ P |J ∩ A 6‬‬ ‫למה‪ :‬נניח כי ‪ A ⊂ I‬בעלת תכולה אפס‪ .‬אזי לכל ‪ 0 < ε‬קיים חלוקה ‪ P‬של ‪ ,I‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪35‬ראו את הערך ‪Hilbert curve‬‬ ‫בוויקיפדיה‪.‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪c (J) < ε .1‬‬ ‫‪J∈ΥP,A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪J  .2‬‬ ‫‪‬‬ ‫[‬ ‫‪ ,A ⊂ int ‬כאשר ‪ int‬מסמן את הפנים‪.‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪J∈ΥP,A‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ A S‬בעלת תכולה אפס נובע‪P‬שקיימים תאים ‪ K1 , ..., Kl‬כך‬ ‫‪ .1‬יהי ‪ .0 < ε‬מהיות‬ ‫‪l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫שמתקיים ‪ A ⊂ i=1 Ki‬וגם ‪. i=1 c (Ki ) < ε‬‬ ‫נגדיר חלוקה ‪ P‬להיות החלוקה המתקבלת מאיחוד נקודות הקצה של כל התאים‬ ‫‪ ,K1 , ..., Kl‬יחד עם נקודות הקצה של התא ‪ I‬עצמו‪ .‬מכך נקבל‪:‬‬ ‫‪c (Kj ) < ε‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫≤ )‪c (J‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪J∈ΥP,A‬‬ ‫‪ .2‬מושאר כתרגיל‪ .‬‬ ‫‪11.3‬‬ ‫משפחות העתקות אינטגרביליות‬ ‫טענה‪ :‬תהי ‪ ´f : A ⊂ Rp → R‬העתקה חסומה‪ ,‬ונניח כי ‪ A‬בעלת תכולה אפס‪ .‬אזי ‪f‬‬ ‫אינטגרבילית וכן ‪. A f = 0‬‬ ‫האחרונה‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ .0 < ε‬נבחר ‪ 0 ≤ M ∈ R‬המקיים ‪ .∀x∈A |f (x)| ≤ M‬מהטענה‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫נובע שקיימת חלוקה ‪ P‬של תא ‪ I‬המכיל את ‪ ,A‬המקיימת‬ ‫‪. J∈ΥP,A c (J) < M‬‬ ‫יהי } ‪ Q = {K1 , ..., Kl‬עידון כלשהו של ‪ P‬ויהי } ‪ XQ = {x1 , ..., xl‬אוסף נקודות‬ ‫ביניים‪ ,‬אזי‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ = |) ‪|S (Q, XQ , fI‬‬ ‫‪fI (xi ) c (K) +‬‬ ‫= )‪fI (xi ) c (K‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ K ∈ ΥQ,A‬‬ ‫‬ ‫‪K ∈ Q\ΥQ,A‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ i = 1, ..., l‬‬ ‫‬ ‫‪i = 1, ..., l‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪=0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ε‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫=‬ ‫‪=ε‬‬ ‫ ‪fI (xi ) c (K) ≤ M‬‬ ‫‪c (K) < M‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪M‬‬ ‫‪K∈ΥA,P‬‬ ‫‬ ‫‪ K ∈ ΥQ,A‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ i = 1, ..., l‬‬ ‫‬ ‫השוויון השניי נובע מכך שלכל ‪ xi ∈ K ∈ Q\ΥA,P‬מתקיים ‪ .fI (xi ) = 0‬‬ ‫‪36‬דהיינו הקבוצה הפתוחה המקסימלית המוכלת בקבוצה‪.‬‬ ‫)‪.X\(X\B‬‬ ‫‪43‬‬ ‫באופן כללי‪ :‬אם ‪ ,B ⊂ X‬אז = )‪int (B‬‬ ‫טענה‪ :‬יהיו ‪ f, g : A ⊂ Rp → R‬העתקות חסומות‪ ,‬ונניח כי ‪ f‬אינטגרבילית‪ .‬נסמן‬ ‫‪.E =: {x ∈ A|f (x) 6= g (x)} ⊂ A‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫אם ‪ E‬בעלת תכולה אפס‪ ,‬אז גם ‪ g‬אינטגרבילית ומתקיים ‪. A g = A f‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נגדיר ‪ .hI = fI − gI‬מההנחה כי ‪ f, g‬חסומות נובע כי ‪ hI‬חסומה‪ .‬לפי הטענה‬ ‫‪∀x∈E‬‬ ‫הקודמת‪ ,‬מכך ש‪ E-‬בעלת תכולה אפס נובע כי ‪ hI‬אינטגרבילית‪ ,‬וכן = )‪/ hI (x‬‬ ‫‪ .0‬מכאן שקיימת ‪ h : E → R‬כך ש‪ hI -‬מהווה הרחבה שלה על־ידי ‪ ´0‬על כל ´‪,I‬‬ ‫ומהיות ‪ hI‬אינטגרבילית נובע מההגדרה כי ‪ h‬אינטגרבילית ומתקיים ‪. E h = I hI‬‬ ‫כעת נסיק מלינאריות האינטגרל כי ‪ gI = fI − hI‬אינטגרבילית‪.‬‬ ‫האינטגרל הוא‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪g = gI = fI − hI = fI‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪I‬‬ ‫כמו־כן ערך‬ ‫‪A‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ f : I → R‬ל‪ I-‬תא העתקה חסומה‪ ,‬ונניח עוד שקיימת ‪ E ⊂ I‬בעלת תכולה‬ ‫אפס‪ ,‬שעבורה הצמצום ‪ f |I\E‬הוא העתקה רציפה‪ .‬אזי ‪ f‬אינטגרבילית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נראה שמתקיים קריטריון קושי לאינטגרביליות‪ .‬יהי ‪.0 < ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X‬‬ ‫וכן ‪J ‬‬ ‫בהתאם ללמה‪ ,‬נבחר חלוקה ‪ Qε‬של ‪ I‬כך ש‪c (J) < ε-‬‬ ‫‪‬‬ ‫[‬ ‫‪.E ⊂ int ‬‬ ‫‪J∈ΥQε ,E‬‬ ‫‪J∈ΥQε ,E‬‬ ‫‪ f S‬רציפה ולכן מ‪ 2-‬נובע ש‪ f -‬רציפה על הקבוצה הסגורה והחסומה‬ ‫נשים לב כי ‪|I\E‬‬ ‫‪ .C =: J∈Qε \ΥQ ,E J‬לכן ‪ f‬רציפה על ‪ C‬במידה־שווה‪.‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫נעדן את ‪ Qε‬מספיק כדי שנוכל להניח שכל ‪ J ∈ Qε \ΥQε ,E‬הוא תא מספיק קטן‬ ‫כך שלכל ‪ x, y ∈ J‬מתקיים ‪.|f (x) − f (y)| < ε‬‬ ‫יהיו ‪ P, Q‬עידונים של ‪ .Qε‬יהיו ‪ X, Y, Z‬אוספי נקודות ביניים של ‪P, Q, Qε‬‬ ‫בהתאמה‪ 37 .‬נרצה להראות שמתקיים תנאי קושי‪.‬‬ ‫נשים לב כי ‪ J ∈ Qε \ΥQε ,E‬שקול לכך ש‪ J ∈ Qε -‬וגם ‪ .J ⊂ C‬נסמן‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫}‪Qε = Qε \ΥQε ,E = {J ⊂ Qε |J ⊂ C‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Qε = Qε \Qε‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪P = {J ∈ P |J ⊂ C} ⊂ P \ΥP,E‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪P = P \P‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Q = {J ∈ Q|J ⊂ C} ⊂ Q\ΥQ,E‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Q = Q\Q‬‬ ‫‪37‬בהמשך נסמן נקודות כלליות באוספים אלה ב‪.xi ∈ X, yi ∈ Y, zi ∈ Z-‬‬ ‫‪44‬‬ :‫כעת נשים לב שמתקיים‬ 4 |S (P, X, f ) − S (Q, Y, f )| ≤ 00 0 00 4 0 ≤ S P , X, f − S Q , Y, f + S P , X, f − S Q , Y, f ‫ ובזאת‬,‫ בלבד‬ε-‫לכן מספיק להראות ששני המחוברים הללו קטנים כרצוננו כתלות ב‬ .‫נסיים להראות שמתקיים תנאי קושי‬ 0 0 .S P , X, f − S Q , Y, f ‫ נחסום את הביטוי‬.1 :‫)א( נחשב‬ 0 0 4 S P , X, f − S Q , Y, f ≤ 0 0 0 4 0 ≤ S P , X, f − S Qε , Z, f + S Q , Y, f − S Qε , Z, f :‫ נסיק‬.K = S J ∈ P J ‫ מתקיים‬K ∈ Qε ‫ ולכן לכל‬Qε ‫ מעדנת את‬P J ⊂K 0 X X S Qε , Z, f = f (zK ) C (K) = f (zK ) K∈Q0ε 0 S P , X, f = X J∈P 0 f (xJ ) C (J) = K∈Q0ε X K∈Q0ε X c (J) = 0 J ∈P J ⊂K X K∈Q0ε X f (zK ) c (J) 0 J ∈P J ⊂K :‫באופן דומה נסיק כי‬ X f (xJ ) c (J) 0 J ∈P J ⊂K :‫משני הביטויים יחד נובע‬ 0 0 X X X X f (zK ) c (J) − f (xJ ) c (J) = S P , X, f − S Qε , Z, f = K∈Q0 0 K∈Q0ε J ∈ P 0 ε J ∈ P J ⊂K J ⊂K X X X 4 X = (f (zK ) − f (xJ )) c (J) ≤ |f (zK ) − f (xJ )| c (J) < ε · c (I) K∈Q0 K∈Q0 0 0 ε J ∈ P ε J ∈ P J ⊂K J ⊂K 45 ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫האי־שוויון האחרון נובע מכך ש‪ f -‬רציפה על הקבוצות ‪ ,P , Q‬ולכן‬ ‫‪.|f (zK ) − f (xJ )| < ε‬‬ ‫)ב( מאותם נימוקים בדיוק שבשלב )א( נקבל גם‪:‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪S Q , Y, f − S Qε , Z, f < ε · c (I‬‬ ‫)ג( נצרף את האי־שוויונים שקיבלנו‪:‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫≤< ‪S P , X, f − S Q , Y, f‬‬ ‫‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪4 0‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫)‪≤ S P , X, f − S Qε , Z, f + S Q , Y, f − S Qε , Z, f < 2εc (I‬‬ ‫ולכן חסמנו את הביטוי הראשון כתלות ב‪ ε-‬בלבד‪.‬‬ ‫‪ 00‬‬ ‫‬ ‫‪ 00‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ .2‬כעת נחסום את הביטוי ‪.S Q , Y, f − S P , X, f‬‬ ‫)א( נתון כי ‪ f‬חסומה‪ .‬יהי ‪ 0 ≤ M ∈ R‬המקיים ‪ .∀x∈I |f (x)| < M‬אזי‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ 00‬‬ ‫‪ X‬‬ ‫‪4 X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫< )‪|f (xJ )| c (J‬‬ ‫≤ )‪f (xJ ) c (J‬‬ ‫ = ‪S P , X, f‬‬ ‫‪J∈P 00‬‬ ‫‪ J∈P 00‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪c (K) < M ε‬‬ ‫‪c (J) < M‬‬ ‫‪K∈Q00‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪<M‬‬ ‫‪J∈P 00‬‬ ‫‪00‬‬ ‫כאשר האי־שוויון האחרון נובע מבחירת ‪) Qε‬נשים לב ‪.(Qε ⊂ Qε‬‬ ‫)ב( מאותם נימוקים בדיוק שבשלב ‪ a‬נקבל גם‪:‬‬ ‫‪ 00‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪S P , X, f < M ε‬‬ ‫)ג( נצרף את האי־שוויונים שקיבלנו‪:‬‬ ‫‪ 00‬‬ ‫‬ ‫‪ 00‬‬ ‫‪ 4 00‬‬ ‫‪ 00‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪S Q , Y, f − S P , X, f ≤ S Q , Y, f + S P , X, f < 2M ε‬‬ ‫ולכן חסמנו גם את הביטוי השני כתלות ב‪ ε-‬בלבד‪ .‬‬ ‫‪11.4‬‬ ‫תכולה‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ .A ⊂ Rp‬אומרים כי ‪ x ∈ Rp‬היא נקודת שפה של ‪ ,A‬אם לכל סביבה ‪U ⊂ Rp‬‬ ‫שמכילה את ‪ ,x‬מתקיים ∅ =‪ U ∩ A 6‬וגם ∅ =‪.U ∩ (Rp \A) 6‬‬ ‫השפה של ‪ A‬היא אוסף כל נקודות השפה‪ .‬נסמן אותה ב‪.b (A)-‬‬ ‫הערה‪ :‬ניתן לראות כי )‪ ,b (A) = A\int (A‬ולכן ‪.b (A) ⊂ A‬‬ ‫‪46‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ A ⊂ Rp‬חסומה‪ .‬נאמר כי ‪ A‬בעלת תכולה‪ ,‬אם )‪ b (A‬בעלת תכולה אפס‪.‬‬ ‫את אוסף הקבוצות בעלות התכולה ב‪ Rp -‬נסמן ) ‪.D (Rp‬‬ ‫דוגמה‪ Q ∩ [0, 1] :‬אינה בעלת תכולה‪ ,‬כי ]‪.b (Q ∩ [0, 1]) = [0, 1‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ) ‪ .A ∈ D (Rp‬היא חסומה מהגדרתה ולכן מוכלת בתא ‪ I‬כלשהו‪.‬‬ ‫(‬ ‫‪1 x∈A‬‬ ‫נגדיר העתקה ‪ χI,A : I → R‬על־ידי‬ ‫= )‪.χI,A (x‬‬ ‫∈‪0 x‬‬ ‫‪/A‬‬ ‫נשים לב כי ‪ χI,A‬חסומה‪ ,‬וכן היא רציפה על )‪ I\b (A‬כי רק בנקודות השפה ערכה‬ ‫משתנה‪ .‬לכן ממשפט שהראינו נובע כי היא אינטגרבילית על ‪.I‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ) ‪ .A ∈ D (Rp‬נגדיר את התכולה של ‪ A‬להיות ‪.c (A) =: I χI,A = A 1‬‬ ‫השוויון הראשון הוא הגדרת התכולה‪ ,‬והשוויון השני נובע מהגדרת האינטגרל‪.‬‬ ‫‪38‬‬ ‫הערה‪ :‬נשים לב שזו הכללה של התכולה שהגדרנו לעיל עבור תאים בלבד‪ ,‬ולכן מתקבלת‬ ‫הגדרה אחידה של )‪.c (A‬‬ ‫הוא בעל תכולה‪ .‬כמו־כן ל‪I = [a1 , b1 ] × ... × [ap , bp ]-‬‬ ‫ראשית קל לראות כי כל‬ ‫‪ Q‬תא ´‬ ‫‪p‬‬ ‫מתקיים ) ‪ , I 1 = i=1 (bi − ai‬כפי שקל לראות מהגדרת האינטגרל על־ידי סכומי‬ ‫רימן‪ .‬צד שמאל הוא ההגדרה החדשה וצד ימין הוא ההגדרה הקודמת‪ ,‬ולכן זו אכן‬ ‫הכללה‪.‬‬ ‫למה‪ :‬ל‪ A ⊂ Rp -‬תכולה אפס אם ורק אם ‪ A‬בעלת תכולה וגם ‪.c (A) = 0‬‬ ‫הוכחה‪) :‬כיוון ראשון(‬ ‫‪ 0 P‬קיימים תאים ‪ J1 , ..., Jk‬כך שמתקיים‬ ‫תכולה אפס‪ .‬כלומר‪ ,‬לכל ‪< ε‬‬ ‫נניח של‪Sk A-‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ A ⊂ i=1 Ji =: U‬וגם ‪. i=1 c (Ji ) < ε‬‬ ‫כל תא ‪ Ji‬הוא סגור וחסום ולכן גם ‪ U‬סגורה וחסומה‪ .‬מכאן ש‪ A-‬חסומה‪.‬‬ ‫תכולה אפס‪ ,‬כלומר ‪ A‬בעלת‬ ‫מסגירות ‪ U‬נובע כי ‪ ,b (A) ⊂ A ⊂ U‬ולכן ל‪b (A)-‬‬ ‫´‬ ‫תכולה‪ .‬נותר להראות כי ‪ .c (A) = 0‬אבל אכן ‪ ,c (A) = A 1 = 0‬כי ההעתקה‬ ‫הקבועה ‪ 1‬חסומה וכן ל‪ A-‬תכולה אפס‪ ,‬והראינו שאינטגרל על קבוצה בעלת תכולה‬ ‫אפס הוא ‪.0‬‬ ‫)כיוון שני(‬ ‫תהי ‪ A‬בעלת תכולה וכן מקיימת ‪ .c (A) = 0‬יהי ‪ I‬תא המכיל את ‪ .A‬אזי‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫= )‪0 = c (A‬‬ ‫‪1 = χI,A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪I‬‬ ‫בהתאם להגדרת האינטגרל‪ ,‬לכל ‪ 0 < ε‬קיימת חלוקה ‪ P‬של ‪ I‬כך שלכל אוסף נקודות‬ ‫ביניים ‪ X‬מתקיים ‪.|S (P, X, χI,A )| < ε‬‬ ‫נבחר אוסף נקודות ביניים ‪ X‬באופן הבא‪ :‬לכל ‪ J ∈ P‬המקיימת ∅ =‪ J ∩ A 6‬נוסיף‬ ‫ל‪ X-‬נקודה ‪ .xJ ∈ J ∩ A‬נקבל מכאן‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ = |) ‪ε > |S (P, X, χI,A‬‬ ‫= )‪χI,A (xJ ) c (J‬‬ ‫)‪c (J‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪J∈P‬‬ ‫‪J∈ΥP,A‬‬ ‫‪38‬ההעתקה ‪ χI,A‬היא הרחבה של ‪.χI,A |A‬‬ ‫‪47‬‬ ‫נשים לב גם כי ‪J‬‬ ‫‪J∈ΥP,A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫⊂ ‪ ,A‬וקיבלנו את ההגדרה לתכולה אפס של ‪ .A‬‬ ‫סיכום‪ :‬איחדנו את כל ההגדרות השונות ל"תכולות" לכדי הגדרה אחת ‪ -‬זו האחרונה‪.‬‬ ‫למה‪ :‬יהיו ‪ A, B‬קבוצות בעלות תכולה‪ .‬אזי‪:‬‬ ‫‪ A ∪ B ,A ∩ B .1‬גם הן בעלות תכולה‪ ,‬ומתקיים הקשר‪:‬‬ ‫)‪c (A ∪ B) = c (A) + c (B) − c (A ∩ B‬‬ ‫‪ B\A ,A\B .2‬גם הן בעלות תכולה‪ ,‬ומתקיים הקשר‪:‬‬ ‫)‪c (A ∪ B) = c (A ∩ B) + c (A\B) + c (B\A‬‬ ‫‪ .3‬לכל ‪ ,x ∈ Rp‬נסמן }‪.x + A = A + x = {a + x|a ∈ A‬‬ ‫אזי ‪ x + A‬בעלת תכולה‪ ,‬ומתקיים )‪.c (x + A) = c (A‬‬ ‫הערה‪ :‬שלושת התכונות הללו מאפיינות את העתקת התכולה‪.‬‬ ‫כלומר אם העתקה מהצורה ‪ {A|A ⊂ Rp } → R‬מקיימת את שלושת התכונות הללו‪,‬‬ ‫אז היא העתקת התכולה‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫אינטגרל עליון ותחתון‬ ‫מבוא‪ :‬בפרק זה נגדיר מונחים חדשים ‪ -‬אינטגרל עליון ואינטגרל תחתון‪.‬‬ ‫ההגדרה תהיה בלתי־תלויה בהגדרה שניתנה לעיל לאינטגרביליות רימן‪ ,‬אולם נשתמש‬ ‫בה כדי להשיג איפיון שקול לאינטגרביליות רימן‪ .‬כמו־כן משפט פוביני ייתן בעזרת‬ ‫מושגים אלה נוסחה לחישוב אינטגרל רימן‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ f : I → R‬העתקה חסומה ל‪ I ⊂ Rp -‬תא סגור ותהי ‪ P‬חלוקה של ‪.I‬‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‪S (P, f ) =:‬‬ ‫הסכום התחתון של ‪ P, f‬הוא )‪inf {f (x)} c (J‬‬ ‫‪x∈J‬‬ ‫‬ ‫הסכום העליון של ‪ P, f‬הוא )‪sup {f (x)} c (J‬‬ ‫‪x∈J‬‬ ‫‪J∈P‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪S (P, f ) =:‬‬ ‫‪J∈P‬‬ ‫הערה‪ :‬מהגדרת סופרימום ואינפימום נובע שתמיד ) ‪.S (P, f ) ≤ S (P, f‬‬ ‫כמו־כן אם נסמן ב‪ X-‬אוסף נקודות ביניים שרירותי של ‪ ,P‬אז מתקיים קשר הדוק‬ ‫בין סכום עליון ותחתון לבין סכום רימן‪:‬‬ ‫}) ‪S (P, f ) = inf {S (P, X, f‬‬ ‫‪X‬‬ ‫}) ‪S (P, f ) = sup {S (P, X, f‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪48‬‬ ‫מכאן נובע שלכל אוסף נקודות ביניים של חלוקה כלשהי ‪ P‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪S (P, f ) ≤ S (P, X, f ) ≤ S (P, f‬‬ ‫למה ‪ :1‬אם ‪ Q‬עידון של ‪ ,P‬אז ) ‪ S (P, f ) ≤ S (Q, f‬וכן ) ‪.S (P, f ) ≥ S (Q, f‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נחשב‪:‬‬ ‫‬ ‫= )‪inf {f (x)} c (J‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪x∈J‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫= )‪inf {f (x)} c (K‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪x∈K‬‬ ‫‪K∈Q‬‬ ‫‪K⊂J‬‬ ‫= ) ‪S (P, f‬‬ ‫‪J∈P‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫≤ )‪inf {f (x)} c (K‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪x∈J‬‬ ‫‪J∈P‬‬ ‫‪K∈Q‬‬ ‫‪K⊂J‬‬ ‫‬ ‫) ‪inf {f (x)} c (K) = S (Q, f‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪x∈K‬‬ ‫=‬ ‫‪J∈P‬‬ ‫=‬ ‫‪K∈Q‬‬ ‫כאשר אי השוויון שבמרכז נובע מהעובדה הכללית שאם ‪ A ⊂ B‬אז }‪. inf {b} ≤ inf {a‬‬ ‫‪a∈A‬‬ ‫‪b∈B‬‬ ‫במקרה שלנו ‪.K ⊂ J‬‬ ‫באותו אופן ניתן להראות את אי השוויון עבור הסכומים העליונים‪ .‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ f : I → R‬העתקה חסומה ל‪ I ⊂ Rp -‬תא סגור‪.‬‬ ‫נסמן ב‪ P -‬חלוקה שרירותית של ‪.I‬‬ ‫ˆ‬ ‫האינטגרל התחתון של ‪ f‬הוא }) ‪. f =: sup {S (P, f‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪I‬‬ ‫ˆ‬ ‫‬ ‫‬ ‫האינטגרל העליון של ‪ f‬הוא ) ‪f =: inf S (P, f‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪I‬‬ ‫הערה‪ :‬מהגדרת אינטגרל תחתון ועליון ומההערה הקודמת נובע כי ‪f‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫במידה ו‪ f -‬אינטגרבילית רימן אז גם ‪. f ≤ I f ≤ I f‬‬ ‫´‬ ‫‪I‬‬ ‫≤‪f‬‬ ‫´‬ ‫‪I‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪I‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫למה ‪ :2‬העתקה ‪ f : I → R‬אינטגרבילית רימן אם ורק אם ‪. f = I f‬‬ ‫‪I‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫‪39‬‬ ‫במקרה כזה מתקיים ‪. I f = f = I f‬‬ ‫‪I‬‬ ‫הוכחה‪) :‬כיוון ראשון(‬ ‫קיימת חלוקה ‪ Pε‬כך שלכל עידון ‪ P‬שלה‬ ‫נניח כי ‪ f‬אינטגרבילית‪ .‬לכן לכל ‪´ 0 < ε‬‬ ‫ולכל אוסף נקודות ביניים ‪ X‬מתקיים ‪ .S (P, X, f ) − I f < ε‬נחשב‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫‬ ‫´‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪0 ≤ I f − f ≤ I f − S (P, f ) = I f − S (P, f ) = f − inf S (P, X, f ) < ε‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪39‬כפי שנובע בסנדוויץ' בהערה האחרונה‪.‬‬ ‫‪49‬‬ ‫´‬ ‫=‪f‬‬ ‫´‬ ‫אבל בחרנו את ‪ ε‬באופן שרירותי‪ ,‬ולכן בהכרח ‪f‬‬ ‫‪I‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫באופן דומה ניתן להראות כי ‪ , I f = I f‬ומשני השוויונים ינבע כי ‪. I f = f‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪I‬‬ ‫)כיוון שני(‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫נניח כי ‪ .L =: I f = f‬יהי ‪ .0 < ε‬מלמה ‪ 1‬ומהגדרת אינטגרל עליון ותחתון‬ ‫‪I‬‬ ‫כאינפימום וסופרימום על סכומים עליונים ותחתונים‪ ,‬נובע שקיימת חלוקה ‪ Pε‬כך‬ ‫שיתקיים גם יחד‪:‬‬ ‫‪S (Pε , f ) ≥ L − ε‬‬ ‫‪S (Pε , f ) ≤ L + ε‬‬ ‫לכן לכל עידון ‪ P‬של ‪ Pε‬ולכל אוסף נקודות ביניים ‪ X‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪L − ε ≤ S (Pε , f ) ≤ S (P, f ) ≤ S (P, X, f ) ≤ S (P, f ) ≤ S (Pε , f ) ≤ L + ε‬‬ ‫⇓‬ ‫‪|S (P, X, f ) − L| < ε‬‬ ‫כאשר אי השוויונים השני והחמישי נובעים מלמה ‪ ,1‬ואי השוויונים השלישי והרביעי‬ ‫נובעים מההערה שהזכרנו לגבי סכומים עליונים ותחתונים‪.‬‬ ‫הביטוי שהתקבל הוא ל‪ ε-‬שרירותי‪ ,‬ולכל עידון ‪ P‬ואוסף נקודות ביניים ‪ X‬שרירותיים‪,‬‬ ‫ולכן זו ההגדרה לאינטגרביליות‪ .‬‬ ‫למה ‪ :3‬אם ‪ f, g : I → R‬העתקות חסומות‪ ,‬ומתקיים )‪ f (x) ≤ g (x‬לכל ‪ ,x ∈ I‬אזי‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫‪ f ≤ g‬וכן ‪. I f ≤ I g‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪I‬‬ ‫)ההוכחה מושארת כתרגיל(‪.‬‬ ‫‪12.1‬‬ ‫משפט פוביני‬ ‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ I ⊂ Rp‬תא סגור‪ .‬נסמן ‪ Rp = Rp1 × Rp2‬ל‪ ,p = p1 + p2 -‬ונסמן בהתאמה‬ ‫‪.I = I 1 × I 2 ⊂ Rp1 × Rp2‬‬ ‫להעתקה חסומה ‪ ,f : I → R‬נסמן כל ‪ x ∈ I‬בהתאמה ‪.x =: (x1 , x2 ) ∈ I 1 × I 2‬‬ ‫נקבע ‪ x1 ∈ I 1‬ונגדיר ‪ fx1 : I 2 → R‬על־ידי ) ‪ .x2 7→ f (x1 , x2‬נגדיר באותו אופן‬ ‫‪.fx2‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫סימון‪ :‬ל‪ f : I → R-‬אינטגרבילית‪ ,‬נסמן ‪ , I f =: f (x) dx‬עבור ‪ x ∈ I‬משתנה‪.‬‬ ‫למה ‪ :4‬תהי ‪ f : I → R‬העתקה חסומה‪ .‬אזי‪:‬‬ ‫‬ ‫´‬ ‫´ ´‬ ‫≤ ‪f (x) dx‬‬ ‫‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫‬ ‫‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫‪50‬‬ ‫´ ´‬ ‫≥ ‪f (x) dx‬‬ ‫´‬ ‫‬ ‫‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ P = P 1 × P 2 = J 1 × J 2 |J i ⊂ P i‬חלוקה של ‪ .I = I 1 × I 2‬נחשב‪:‬‬ ‫‬ ‫ ‪X‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪{f‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫})‬ ‫‪c‬‬ ‫‪J‬‬ ‫×‬ ‫‪J‬‬ ‫=‬ ‫= ) ‪S (P, f‬‬ ‫‪inf‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪J ×J‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫≤ ‪inf 2 {f (x1 , x2 )} c J 1 c J 2‬‬ ‫‪x2 ∈J‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪inf 2 {f (x1 , x2 )} c J‬‬ ‫= ‪c J2‬‬ ‫‪x2 ∈J‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪fx1 (x2 ) dx2 c J 1‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪inf 1‬‬ ‫‪x1 ∈J‬‬ ‫‪J 1 ×J 2 ∈P‬‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‪inf‬‬ ‫‪x1 ∈J 1‬‬ ‫ ‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪J 1 ∈P 1 J 2 ∈P 2‬‬ ‫"‬ ‫‪J 2 ∈P 2‬‬ ‫‪inf‬‬ ‫‪x1 ∈J 1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫≤‬ ‫‪J 1 ∈P 1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫≤ ‪inf 1 S P 2 , fx1 c J 1‬‬ ‫‪J 1 ∈P 1‬‬ ‫‪x1 ∈J‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪J 1 ∈P 1‬‬ ‫ההעתקה שזהו‬ ‫נשים לב שקיבלנו ביטוי בעל מבנה שמזכיר סכום תחתון של העתקה‪´ .‬‬ ‫הסכום התחתון שלה היא ‪ U : I 1 → R‬המוגדרת על־ידי ‪.U (x1 ) = fx1 (x2 ) dx2‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫= ‪S (P, f ) ≤ S P 1 , fx1 (x2 ) dx2‬‬ ‫‪fx1 (x2 ) dx2‬‬ ‫≤ ‪c J1‬‬ ‫‪inf 1‬‬ ‫‪x1 ∈J‬‬ ‫‪J 1 ∈P 1‬‬ ‫ˆ ˆ ‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫ˆ‬ ‫‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫=‬ ‫‪≤ sup S P 1 , f (x1 , x2 ) dx2‬‬ ‫‪P1‬‬ ‫מכיוון ש‪ P -‬חלוקה שרירותית נוכל להוציא סופרימום על ‪ P‬משני הצדדים )צד ימין‬ ‫אינו תלוי ב‪ (P -‬ולקבל את אי השוויון הראשון המבוקש‪.‬‬ ‫באופן דומה ניתן להראות את אי השוויון השני המבוקש‪ .‬‬ ‫משפט פוביני‪ :‬תהי ‪ f : I → R‬העתקה אינטגרבילית ל‪ I ⊂ Rp -‬תא סגור‪.‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫אזי ההעתקות ‪f (x1 , x2 ) dx2‬‬ ‫→‪ x1 7→ I f (x1 , x2 ) dx2 ,x1 7‬אינטגרביליות‪,‬‬ ‫‪I‬‬ ‫ומתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ ˆ‬ ‫ˆ ˆ‬ ‫= ‪f (x) dx‬‬ ‫= ‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫מסקנה‪ :‬אם ידוע כי ‪ fx1 : I 2 → R‬המעתיקה ) ‪ x2 7→ f (x1 , x2‬אינטגרבילית לכל‬ ‫‪ ,x1 ∈ I 1‬אז‪:‬‬ ‫‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ ˆ‬ ‫= )‪f (x) d (x‬‬ ‫‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫הוכחת המסקנה‪ :‬מהיות ‪ fx1‬אינטגרבילית נובע מלמה ‪ 2‬כי ‪. f (x) dx2 = f (x) dx2‬‬ ‫‪51‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ .1‬נשים לב לסנדוויץ' הבא‪:‬‬ ‫‬ ‫≤ ‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫´ ´‬ ‫´‬ ‫≤ ‪f (x) dx = f (x) dx‬‬ ‫‬ ‫≤ ‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫´ ´‬ ‫´‬ ‫≤‬ ‫‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1 ≤ f (x) dx = f (x) dx‬‬ ‫´ ´‬ ‫≤‬ ‫כאשר השוויון הראשון והאחרון נובעים מכך ש‪ f -‬אינטגרבילית‪ ,‬האי־שוויונים‬ ‫שבמקום השני והלפני אחרון נובעים מלמה ‪ ,4‬והאי־שוויונים שבמרכז נובעים‬ ‫מכך שאינטגרל עליון חוסם מלעיל אינטגרל תחתון‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫´ ´‬ ‫´ ´‬ ‫‪.‬‬ ‫= ‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫לכן הסנדוויץ' הוא שוויון‪ ,‬ובפרט ‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫´‬ ‫מלמה ‪ 2‬נובע לפיכך שההעתקה ‪ x1 7→ I f (x1 , x2 ) dx2‬אינטגרבילית‪ ,‬וערך‬ ‫האינטגרל שלה הוא‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ˆ ˆ‬ ‫ˆ ˆ‬ ‫= ‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫‪ .2‬כעת נשוב לסנדוויץ'‪ ,‬ובשלב של האי־שוויון השני נכתוב‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ˆ ˆ‬ ‫ˆ ˆ‬ ‫≤ ‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫´ ´‬ ‫‬ ‫‬ ‫´ ´‬ ‫= ‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫מהסנדוויץ' החדש נקבל ‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫´‬ ‫שוב נשתמש בלמה ‪ 2‬ונסיק שההעתקה ‪ x2 7→ f (x1 , x2 ) dx2‬אינטגרבילית‪,‬‬ ‫‪I‬‬ ‫וערך האינטגרל שלה הוא‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ˆ ˆ‬ ‫ˆ ˆ‬ ‫= ‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫‪ .3‬משני הסנדוויצ'ים יחד נובע‪:‬‬ ‫‬ ‫= ‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫´ ´‬ ‫‬ ‫= ‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫= ‪f (x) dx‬‬ ‫´‬ ‫=‬ ‫‬ ‫‬ ‫´ ´‬ ‫= ‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫‪f (x1 , x2 ) dx2 dx1‬‬ ‫‬ ‫‪52‬‬ ‫´ ´‬ ‫´ ´‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אנטי דוגמה‪ :‬תהי ‪ f : [0, 1] → R‬העתקה אינטגרבילית כלשהי‪ .‬נגדיר(העתקה ×‬ ‫‬ ‫‪0 x2 ∈ [0, 1] ∩ Q‬‬ ‫= ‪.g 21 , x2‬‬ ‫‪ [0, 1] → R‬להיות פונקציית דיריכלה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪otherwise‬‬ ‫(‬ ‫‪f (x1 , x2 ) x1 6= 21‬‬ ‫= ) ‪ h (x1 , x2‬אינטגרבילית‪ ,‬כי היא אינטגרבילית‬ ‫ההעתקה‬ ‫‪g (x1 , x2 ) x1 = 21‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪g:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫על כל ]‪ [0, 1‬למעט קבוצה בעלת תכולה אפס‪.‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫אולם ‪ h 12 : [0, 1] → R‬המתקבלת על־ידי ‪= g 2 , x2‬‬ ‫פונקציית דיריכלה שאינה אינטגרבילית‪.‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 , x2‬‬ ‫‪ ,h 12 (x2 ) = h‬היא‬ ‫שינוי משתנה אינטגרציה‬ ‫תזכורת‪ :‬תהי ‪ g : (α, β) → R‬העתקה חח"ע וגזירה ברציפות‪ .‬כלומר בסימון קודם ‪.g ∈ C 1‬‬ ‫יהיו ))‪ ,a, b ∈ g ((α, β‬ותהי ‪ f : [a, b] → R‬העתקה רציפה‪ .‬אזי מתקיים‪:‬‬ ‫‪g −1‬‬ ‫)‪ˆ (b‬‬ ‫‪(f ◦ g) (y) g 0 (y) dy‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫= ‪f (x) dx‬‬ ‫)‪g −1 (a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫נרצה להכליל תכונה זו לאינטגרל של העתקות מהצורה ‪.A ⊂ Rp → R‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ g : Ω ⊂ Rp → Rp‬ל‪ Ω-‬פתוחה העתקה גזירה ברציפות‪ ,‬ותהי )‪ Dg (y‬מטריצת‬ ‫הייצוג של הנגזרת של ‪ g‬בנקודה ‪.y ∈ Ω‬‬ ‫היעקוביאן של ‪ g‬בנקודה ‪ y‬מוגדר ומסומן ))‪.Jg (y) =: det (Dg (y‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ g : Ω :⊂ Rp → Rp‬ל‪ Ω-‬פתוחה גזירה ברציפות וחח"ע‪ .‬נניח עוד כי ‪Jg (y) 6= 0‬‬ ‫לכל ‪.y ∈ Ω‬‬ ‫תהי ‪ A ⊂ g (Ω) ⊂ Rp‬קבוצה קומפקטית ובעלת תכולה‪ ,‬ותהי ‪ f : A → R‬העתקה‬ ‫שקבוצת נקודות אי הרציפות שלה לכל היותר בעלת תכולה אפס‪ .‬אזי מתקיים‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫= )‪f (x) d (x‬‬ ‫‪(f ◦ g) (y) · |Jg (y)| dy‬‬ ‫)‪g −1 (A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הערה‪ :‬עבור ‪ p = 1‬מתקבל המקרה הפשוט שהזכרנו‪ ,‬כי במקרה זה )‪.Jg (y) = g 0 (y‬‬ ‫את הוכחת המשפט נחלק לשני שלבים עיקריים‪ .‬בשלב הראשון נראה שהביטוי המופיע מימין‬ ‫מוגדר; כלומר שאכן ביטוי זה מוגדר על־ידי ערך ממשי של אינטגרל כלשהו‪ .‬בשלב השני‬ ‫נראה את השוויון בין הערכים הללו‪.‬‬ ‫שלב ראשון‬ ‫בשלב זה נרצה להראות שהקבוצה )‪ g −1 (A‬המוגדרת במשפט היא קבוצה בעלת תכולה‪.‬‬ ‫מכך ומצירוף העובדה ש‪ f ◦ g-‬אינטגרבילית ינבע כי הביטוי הימני בשוויון אכן מוגדר‪.‬‬ ‫אם כך נעסוק בהעתקה ‪ g : Ω ⊂ Rp → Rp‬ל‪ Ω-‬פתוחה גזירה ברציפות וחח"ע‪ ,‬ונניח עוד‬ ‫כי ‪ Jg (y) 6= 0‬לכל ‪.y ∈ Ω‬‬ ‫‪53‬‬ ‫הגדרות‪:‬‬ ‫• תא ‪ I = [a1 , b1 ] × ... × [ap , bp ] ⊂ Rp‬נקרא קוביה‪ ,‬אם לכל ‪1 ≤ i, j ≤ p‬‬ ‫מתקיים ‪.bi − ai = bj − aj‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ap +bp‬‬ ‫‪a1 +b1‬‬ ‫• המרכז של קוביה ‪ I‬כנ"ל הוא הנקודה ‪∈ Rp‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2 , ...,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪. bi −a‬‬ ‫• הרדיוס של קוביה ‪ I‬כנ"ל הוא‬ ‫‪2‬‬ ‫הערה‪ :‬נשים לב שמרכז ורדיוס קובעים קוביה‪.‬‬ ‫‪ 0 < ε P‬יש קוביות ‪J1 , ..., Jl ⊂ Rp‬‬ ‫קבוצה בעלת תכולה אפס‪ ,‬אז לכל‬ ‫למה ‪ :1‬תהי ‪Z ⊂ Rp‬‬ ‫‪Sl‬‬ ‫‪l‬‬ ‫כך שמתקיים ‪ Z ⊂ i=1 Ji‬וגם ‪. i=1 c (Ji ) < ε‬‬ ‫)ההוכחה מושארת כתרגיל(‪.‬‬ ‫למה ‪ :2‬תהי ‪ B ⊂ Rp‬קבוצה פתוחה ותהי ‪ h : B → Rp‬העתקה ליפשיצית‪ .‬כלומר‪ :‬קיים‬ ‫‪ C ∈ R‬כך שלכל ‪ u, v ∈ B‬מתקיים ‪.kh (u) − h (v)k ≤ C ku − vk‬‬ ‫תהי גם ‪ Z ⊂ B‬קבוצה המוכלת בקוביות ‪ J1 , ..., Jl‬כמו בלמה ‪ .1‬אזי קיימות קוביות‬ ‫‪ K1 , ..., Kl‬כך שמתקיימים שני התנאים הבאים‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪p‬‬ ‫‪c (Ki ) < ( pC) ε‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Ki ,‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪l‬‬ ‫[‬ ‫⊂ )‪h (Z‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫הוכחת למה ‪ :2‬לכל קוביה ‪ ,Ji‬נסמן את המרכז ב‪ ci -‬ואת הרדיוס ב‪.ri -‬‬ ‫ברור שלכל ‪ i‬מתקיים ) ‪ ,Ji ⊂ B√pri (ci‬ולכן‪:‬‬ ‫‬ ‫‪h (Ji ) ⊂ h B√pri (ci ) ⊂ BC √pri (h (ci )) ⊂ Ki‬‬ ‫√‬ ‫כאשר ‪ Ki‬היא קוביה ברדיוס ‪ C pri‬שמרכזה ב‪ .h (ci )-‬מכאן כי‪:‬‬ ‫‪Ki‬‬ ‫‪l‬‬ ‫[‬ ‫⊂ ) ‪h (Ji‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪l‬‬ ‫[‬ ‫⊂ )‪h (Z‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫כעת נראה שמתקיים גם התנאי השני בלמה‪:‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫)‪(2 pCri ) = ( pC‬‬ ‫)‪(2ri ) ≤ ( pC‬‬ ‫‪c (Ji ) < ( pC) ε‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫= ) ‪c (Ki‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫כאשר השוויון הראשון נובע מבחירת הקוביות ‪ ,Ki‬השוויון השני טריוויאלי‪ ,‬והאי־שוויון‬ ‫השלישי נובע מכך ש‪ .Ji ⊂ B√pri (ci )-‬‬ ‫למה ‪ :3‬תהי ‪ h : B ⊂ Rp → Rp‬העתקה ליפשיצית עם הקבוע ‪ ,C‬ותהי ‪ Z ⊂ B‬קבוצה‬ ‫בעלת תכולה אפס‪ .‬אזי )‪ h (Z‬בעלת תכולה אפס‪.‬‬ ‫‪54‬‬ ‫הוכחת למה ‪ :3‬נבחר את הקוביות ‪ J1 , ..., Jl‬שמכסות את ‪ Z‬כמו בלמה ‪ ,1‬ואז נבחר את‬ ‫הקוביות ‪ K1 , ..., Kl‬שמכסות את )‪ h (Z‬כמו בלמה ‪.2‬‬ ‫‪Pl‬‬ ‫‪√ p‬‬ ‫≤ ) ‪ i=1 c (Ki‬ל‪ ε-‬שרירותי‪ ,‬כאשר ‪ p, C‬קבועים‪.‬‬ ‫בלמה ‪ 2‬הראינו כי ‪pC ε‬‬ ‫לכן זו קבוצה בעלת תכולה אפס לפי ההגדרה‪ .‬‬ ‫טענה‪ :‬תהי ‪ g : Ω ⊂ Rp → Rp‬ל‪ Ω-‬פתוחה העתקה גזירה ברציפות וחח"ע‪ .‬תהי ⊂ ‪Z‬‬ ‫‪ g (Ω) ⊂ Rp‬קבוצה בעלת תכולה אפס המקיימת גם )‪ Z ⊂ g (Ω‬ו‪ Z-‬קומפקטית‪ ,‬אזי‬ ‫)‪ g −1 (Z‬בעלת תכולה אפס‪.‬‬ ‫הוכחת הטענה‪ :‬הנחנו כי ‪ Jg (y) 6= 0‬לכל ‪ ,y ∈ Ω‬כלומר העמודות של מטריצת הייצוג‬ ‫של הנגזרת אינן תלויות לינארית ולכן הנגזרת הפיכה‪ .‬לכן אנו עומדים בתנאי משפט‬ ‫ההעתקה ההפוכה‪ ,‬ונקבל כי )‪ g (Ω‬פתוחה וכי ‪ g −1 : g (Ω) → Ω‬גזירה ברציפות‪.‬‬ ‫)‪ g (Ω‬פתוחה וכן )‪ ,Z ⊂ g (Ω‬ולכן נובע שלכל ‪ z ∈ Z‬קיימת סביבה פתוחה‬ ‫)‪ B2δ (z) ⊂ g (Ω‬ל‪.0 < δ-‬‬ ‫‪ S‬נציגים ‪ z1 , ..., zl ∈ Z‬עם רדיוסים‬ ‫מקומפקטיות ‪ Z‬נובע שקיים מספר סופי של‬ ‫‪l‬‬ ‫מתאימים ‪ ,δ1 , ..., δl ∈ R‬כך ש‪ .Z ⊂ i=1 Bδi (zi )-‬מכאן נובע‪:‬‬ ‫!‬ ‫)‪g −1 (Bδi (zi ) ∩ Z‬‬ ‫[‬ ‫⊂‬ ‫) ‪Bδi (zi‬‬ ‫‪l‬‬ ‫[‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪(Z) = g‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫אם נראה שכל קבוצה באיחוד היא בעלת תכולה אפס נסיים‪ ,‬כי איחוד סופי של‬ ‫קבוצות בעלות תכולה אפס‪ ,‬הוא בעל תכולה אפס‪.‬‬ ‫‬ ‫טענת עזר‪ :‬לכל ‪ z ∈ Z‬מתקיים ‪.c g −1 (Bδ (z) ∩ Z) = 0‬‬ ‫ גזירה ברציפות‪ ,‬ולכן ההעתקה ‪g (Ω) → R‬‬ ‫נזכור כי ‪g −1‬‬ ‫הוכחת טענת העזר‪ :‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫המוגדרת על־ידי ‬ ‫‬ ‫‪Dg‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫רציפה‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪7‬‬ ‫לכן מקומפקטיות ‪ Z‬נובע שלכל‬ ‫‪ −1‬‬ ‫‬ ‫‪ x ∈ B δ (z) ⊂ Z‬מתקיים כי ‪.Dg (x) ≤ C‬‬ ‫בלמה ‪ 1‬שהופיעה בהוכחת משפט ההעתקה ההפוכה ראינו שאם קיים חסם‬ ‫חסם ליפשיץ‪ ,‬ולכן ההעתקה ‪ g −1‬ליפשיצית‬ ‫במידה שווה על הנגזרת‪ ,‬אז קיים ‬ ‫ועומדת בתנאי למה ‪ ,3‬כלומר ‪ .c g −1 (Z ∩ Bδ (z)) = 0‬‬ ‫מסקנה‪ :‬הקבוצה )‪ g −1 (A‬המוגדרת במשפט היא בעלת תכולה‪ ,‬ולכן אינטגרל של ‪ f ◦ g‬על‬ ‫התחום )‪ g −1 (A‬מוגדר‪.‬‬ ‫חסומה‪ .‬מכאן כי ‪ A‬קומפקטית‪ .‬ממשפט ההעתקה ההפוכה‬ ‫הוכחה‪ A :‬בעלת תכולה ולכן‬ ‫‬ ‫נובע כי ‪ g −1‬רציפה‪ ,‬ולכן ‪ g −1 A‬קומפקטית ובפרט חסומה‪ ,‬ולכן גם )‪g −1 (A‬‬ ‫חסומה‪.‬‬ ‫נתון כי ‪ A‬בעלת תכולה ולכן מההגדרה ‪) c (b (A)) = 0‬כאשר )‪ b (A‬היא השפה של‬ ‫‪ .(A‬לכן מהטענה האחרונה נובע כי ))‪ g −1 (b (A‬בעלת תכולה אפס‪.‬‬ ‫‬ ‫ההפוכה ‪ g‬הומאומורפיזם על תמונתה‪ ,‬ולכן = )‪b g −1 (A‬‬ ‫לפי משפט ההעתקה‬ ‫‬ ‫))‪ .g −1 (b (A‬מכאן ש‪ b g −1 (A) -‬בעלת תכולה אפס‪ ,‬ולכן מהגדרה נובע כי‬ ‫)‪ g −1 (A‬בעלת תכולה‪ .‬‬ ‫‪55‬‬ ‫שלב שני‬ ‫בשלב זה נוכיח את שוויון ערכי האינטגרלים במשפט‪ .‬תחילה נוכיח את המשפט למקרה בו‬ ‫ל‪ f -‬יש "תומך" קטן‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי העתקה ‪ .f : A ⊂ Rp → R‬התומך של ‪ f‬הוא }‪.Supp (f ) =: {x ∈ A|f (x) 6= 0‬‬ ‫מינוח‪ :‬העתקה ‪ g : Ω ⊂ Rp → Rp‬תיקרא טובה‪ ,‬אם ‪ Ω‬פתוחה‪ g ,‬חח"ע וגזירה ברציפות‪,‬‬ ‫וכן ‪ Jg (y) 6= 0‬לכל ‪.y ∈ Ω‬‬ ‫טענה‪ :‬תהי ‪ g : Ω ⊂ Rp → Rp‬העתקה טובה‪ .‬תהי גם )‪ A ⊂ g (Ω‬קבוצה קומפקטית‬ ‫ˆ‪.‬‬ ‫ובעלת תכולה‪ ,‬ותהי )‪x ∈ int (A‬‬ ‫ˆ‪ ,‬כך‬ ‫תהי ‪ f : A ⊂ Rp → R‬העתקה רציפה‪ .‬אזי קיימת סביבה )‪ Uxˆ ⊂ int (A‬של ‪x‬‬ ‫שאם ˆ‪ Supp (f ) ⊂ Ux‬אז מתקיימת נוסחת שינוי המשתנה‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪f (x) dx‬‬ ‫‪(f ◦ g) (y) |Jg (y)| dy‬‬ ‫)‪g −1 (A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫למה ‪ :1‬הטענה נכונה למקרה ‪.p = 1‬‬ ‫ˆ‪ .‬מכיוון ש‪-‬‬ ‫הוכחה‪ :‬בתנאי הטענה‪ ,‬נבחר את ‪ U ⊂ Ω‬להיות קטע פתוח המכיל את ‪x‬‬ ‫‪ x‬ניתן להניח כי )‪.U ⊂ int (A‬‬ ‫)‪ˆ ∈ int (A‬‬ ‫מרציפות ‪ g‬נובע כי )‪ g −1 (A‬היא קטע‪ .‬נסמן )‪.U = (a, b) , g −1 (A) = (c, d‬‬ ‫עוד נובע מההנחה בטענה כי ‪ Supp (f ) ⊂ U ⊂ A‬ולכן ) ‪.Supp (f ◦ g) ⊂ g −1 (U‬‬ ‫‪ g‬חח"ע ולכן עולה או יורדת‪ .‬אם ‪ g‬יורדת אז ‪ −g‬עולה‪ ,‬לכן מלינאריות האינטגרל‬ ‫מספיק להראות את הנוסחה למקרה ש‪ g-‬עולה‪ ,‬כלומר ‪ .g (c) = a, g (d) = b‬נחשב‪:‬‬ ‫‪ˆ b‬‬ ‫‪ˆ d‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪f (x) dx‬‬ ‫= ‪f (x) dx‬‬ ‫= ‪f (x) dx‬‬ ‫‪(f ◦ g) g 0 (y) dy‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪A‬‬ ‫כאשר השוויון הראשון נובע מכך ש‪ ,Supp (f ) ⊂ U -‬השוויון השני נובע מהסימון‬ ‫)‪ ,U = (a, b‬השוויון השלישי נובע מנוסחת שינוי המשתנה ‪) R → R‬הזכרנו זאת‬ ‫לעיל(‪ ,‬ומכך ש‪ g-‬עולה ולכן ‪ g 0 (y) = Jg (y) > 0‬לכל ‪ .y ∈ Ω‬‬ ‫הגדרה‪ :‬אומרים שהעתקה ‪ g = (g1 , ..., gp ) : Ω ⊂ Rp → Rp‬היא מסיבוכיות ‪ ,k‬אם‬ ‫∈ ‪ i‬מתקיים ‪ gi (y) = yi‬לכל‬ ‫קיימת קבוצה }‪ I ⊂ {1, ..., p‬שגודלה ‪ ,k‬כך שלכל ‪/ I‬‬ ‫‪.y = (y1 , ..., yp ) ∈ Ω‬‬ ‫למה ‪ :2‬הטענה נכונה לכל ‪ ,p‬עבור ‪ g‬מסיבוכיות ‪.1‬‬ ‫‬ ‫ˆ‪.‬‬ ‫ˆ( ‪y =: g −1‬‬ ‫ˆ‪ ,‬יהי )‪x) ∈ int g −1 (A‬‬ ‫הוכחה‪ :‬בהינתן )‪x ∈ int (A‬‬ ‫ˆ‪ ,‬כך שמתקיים גם ∅ =‪.int (J) 6‬‬ ‫נבחר תא סגור )‪ J ⊂ g −1 (A‬המכיל את ‪y‬‬ ‫‪ x‬כך שמתקיים גם ∅ =‪ ,int (I) 6‬ומרציפות ‪ g‬נוכל‬ ‫נבחר תא סגור ‪ I ⊂ A‬המכיל את ˆ‬ ‫לדאוג שיתקיים גם ‪.g −1 (I) ⊂ J‬‬ ‫מההנחה כי ל‪ g-‬סיבוכיות ‪ ,1‬נובע שלאחר תמורה אפשרית על סדר הקואורדינטות‬ ‫ב‪ ,Rp -‬נוכל לסמן ) ‪ g = (g1 , ..., gp‬כך שלכל ‪ 2 ≤ i ≤ p‬מתקיים ‪ gi (y) = yi‬לכל‬ ‫‪.y = (y1 , ..., yp ) ∈ Ω‬‬ ‫‪56‬‬ ‫נסמן ‪ I = I 1 × I 2‬כאשר ‪ I 1‬מוכל בקואורדינטה הראשונה‪ ,‬ו‪ I 2 -‬בכל השאר‪.‬‬ ‫נסמן באותו אופן גם ‪ .J = J 1 × J 2‬נשים לב שממהנתון ‪ g −1 (I) ⊂ J‬נובע‬ ‫‪ ,I 2 ⊂ J 2 ⊂ Rp−1‬כי שם ‪ g‬היא הזהות‪.‬‬ ‫לכל ‪ s = (s2 , ..., sp ) ∈ J 2‬נגדיר ‪ g1,s : J 1 → I 1‬על־ידי ) ‪,g1,s (y1 ) = g1 (y1 , s2 , ..., sp‬‬ ‫‪40‬‬ ‫וכן נגדיר ‪ fs : I 1 → R‬על־ידי ) ‪.fs (x1 ) = f (x1 , s2 , ..., sp‬‬ ‫אם כך נבחר את ‪ U‬הנדרשת להיות )‪ ,int (I‬ומההנחה שמתקיים ⊂ ) ‪Supp (f‬‬ ‫‪ int (I) ⊂ I‬ולפי משפט פוביני נובע‪:‬‬ ‫‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫´ ´‬ ‫= ‪f (x) dx = I f (x) dx = I 2 I 1 fs (x1 ) dx1 ds‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪(fs ◦ g1,s ) (y1 ) Jg1,s (y1 ) dy1 ds‬‬ ‫´‬ ‫‪J1‬‬ ‫´‬ ‫‪I2‬‬ ‫=‬ ‫כאשר השוויון הראשון נובע מכך ש‪ ,Supp (f ) ⊂ I-‬השוויון השני נובע ממשפט פוביני‪,‬‬ ‫והשוויון השלישי נובע מנוסחת שינוי המשתנה שהראינו בלמה ‪.1‬‬ ‫כעת נשים לב לזהויות הבאות‪:‬‬ ‫)‪fs ◦ g1,s (y1 ) = f (g1,s (y1 ) , s2 , ..., sp ) = f (g (y1 , s)) = (f ◦ g) (y1 , s‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‪‬‬ ‫)‪Dp g1 (y1 , s‬‬ ‫‪...‬‬ ‫)‪D1 g1 (y1 , s‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪Dp gp (y1 , s‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Jg (y1 , s) = det ‬‬ ‫‪D1 gp (y1 , s) . . .‬‬ ‫‬ ‫) ‪= D1 g1 (y1 , s) = Jg1,s (y1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‬ ‫)‪D1 g1 (y1 , s) . . . Dp g1 (y1 , s‬‬ ‫‪Ip−1×p‬‬ ‫‪= det‬‬ ‫נציב אותן בתוצאה האחרונה ונקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫´‬ ‫´ ´‬ ‫= ‪f (x) dx = I 2 J 1 (f ◦ g) (y1 , s) |Jg (y1 , s)| dy1 ds‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‬ ‫´‬ ‫= ‪(f ◦ g) (y1 , s) |Jg (y1 , s)| dy1 ds = J (f ◦ g) (y1 , s) |Jg (y1 , s)| dy1 ds‬‬ ‫‪(f ◦ g) (y) |Jg (y)| dy‬‬ ‫´‬ ‫)‪g −1 (A‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫‪J1‬‬ ‫‪J2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫כאשר השוויון הראשון הוא ההצבה‪ ,‬השוויון השני )השינוי היחיד בו הוא תחום‬ ‫האינטגרציה בהתחלה( נובע מכך ש‪ I 2 ⊂ J 2 -‬ומכך ש‪ ,Supp (f ) ⊂ I-‬השוויון‬ ‫השלישי נובע ממשפט פוביני‪ ,‬והרביעי מכך ש‪ .Supp (f ◦ g) ⊂ J ⊂ g −1 (A)-‬‬ ‫• כדי להשלים את הוכחת הטענה די להראות שכל ‪ g‬ניתן לפרק להרכבה של העתקות‬ ‫מסיבוכיות ‪ ,1‬וכי אם הטענה נכונה על כל אחת מההעתקות המרכיבות היא נכונה על‬ ‫ההרכבה שלהן‪ .‬נוכיח את שתי הטענות הללו‪ ,‬תחילה את השנייה‪.‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫→‪ Ω ⊂ Rp −‬העתקות טובות‪.‬‬ ‫→‪h1 (Ω) −‬‬ ‫למה ‪ :3‬יהיו ‪Rp‬‬ ‫אם הטענה נכונה ל‪ h1 , h2 -‬אז היא נכונה גם עבור ‪.h1 ◦ h2 : Ω ⊂ Rp → Rp‬‬ ‫‪40‬ההנחה ש‪ f -‬רציפה נועדה לוודא ש‪ fs -‬שהגדרנו רציפה‪.‬‬ ‫‪57‬‬ ‫ˆ‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ))‪ A ⊂ h2 (h1 (Ω‬קומפקטית ובעלת תכולה ותהי ‪x ∈ A‬‬ ‫ˆ(‬ ‫ˆ‪ .‬נסמן עוד ) ‪z‬‬ ‫‪z =: h−1‬‬ ‫‪ A1 = h−1‬כך ש‪x) ∈ int (A1 )-‬‬ ‫ˆ( ‪2‬‬ ‫נסמן )‪2 (A‬‬ ‫‪h−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ˆ‪.‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫מההנחה שהטענה נכונה‪ ,‬נובע שבהינתן ‪ f1 : A1 → R‬רציפה‪ ,‬עבור ‪ h1‬קיימת‬ ‫‪ U1 ⊂ A1‬של ˆ‪ z‬כך שאם ‪ Supp (f1 ) ⊂ U1‬אז‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪f1 (z) dz‬‬ ‫‪(f1 ◦ h1 ) (y) |Jh1 (y)| dy‬‬ ‫‪h−1‬‬ ‫) ‪1 (A1‬‬ ‫‪A1‬‬ ‫‪ x‬כך שאם‬ ‫וכן גם בהינתן ‪ f2 : A → R‬רציפה‪ ,‬עבור ‪ h2‬קיימת ‪ U2 ⊂ A‬של ˆ‬ ‫‪ Supp (f2 ) ⊂ U2‬אז‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪f2 (x) dx‬‬ ‫‪(f2 ◦ h2 ) (z) |Jh2 (z)| dz‬‬ ‫‪h−1‬‬ ‫) ‪2 (A2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪.h−1‬‬ ‫נבחר סביבה ‪ U ⊂ A‬של ˆ‬ ‫‪ x‬כך ש‪ ,U ⊂ U2 -‬ומרציפות ‪ h2‬נדאג שגם ‪2 (U ) ⊂ U1‬‬ ‫תהי ‪ f : A → R‬רציפה‪ .‬אזי אם ‪ Supp (f ) ⊂ U‬נסיק‪:‬‬ ‫´‬ ‫= ‪f (x) dx = h−1 (A) (f ◦ h2 ) (z) |Jh2 (z)| dz‬‬ ‫‪A‬‬ ‫´‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪(f ◦ h2 ◦ h1 ) (y) |Jh2 (h1 (y))| · |Jh1 (y)| dy‬‬ ‫‪(f ◦ (h2 ◦ h1 )) (y) |Jh2 ◦h1 (y)| dy‬‬ ‫´‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪h−1‬‬ ‫))‪1 (h2 (A‬‬ ‫´‬ ‫)‪(h2 ◦h1 )−1 (A‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫נסביר כל שוויון‪:‬‬ ‫• השוויון הראשון נובע מההנחה שהטענה נכונה‪ ,‬בפרט ל‪.h2 -‬‬ ‫• השוויון השני נובע מהפעלת הטענה ל‪ h1 -‬להעתקה |)‪.f1 (z) =: f ◦h2 (z) |Jh2 (z‬‬ ‫‪ ,Supp (f1 ) = Supp (f ◦ h2 ) ⊂ h−1‬כי ‪.Supp (f ) ⊂ U‬‬ ‫כמו־כן ‪2 (U ) ⊂ U1‬‬ ‫• השוויון השלישי נובע מכלל השרשרת ומכפליות הדטרמיננטה‪:‬‬ ‫)‪Dh2 ◦h1 (y)=Dh2 (h1 (y))·Dh1 (y‬‬ ‫⇓‬ ‫))‪det(Dh2 ◦h1 (y))=det(Dh2 (h1 (y))·Dh1 (y))=det(Dh2 (h1 (y)))·det(Dh1 (y‬‬ ‫⇓‬ ‫)‪Jh2 ◦h1 (y) = Jh2 (h1 (y)) · Jh1 (y‬‬ ‫‬ ‫‪ x‬ונסמן‬ ‫למה ‪ :4‬תהי ‪ g : Ω → Rp‬העתקה טובה‪ ,‬ומסיבוכיות≥ ‪ .k‬יהי גם )‪ˆ ∈ g (Ω‬‬ ‫ˆ‪.‬‬ ‫ˆ( ‪y = g −1‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫ˆ‪ ,‬וקיימות העתקות טובות ‪ ,h1 , h2‬מהצורה ‪h1 :‬‬ ‫אזי קיימת ‪ Ω1 ⊂ Ω‬המכילה את ‪y‬‬ ‫‪ Ω1 → Rp‬מסיבוכיות ‪ ,1‬ו‪ h2 : h1 (Ω1 ) → Rp -‬מסיבוכיות≥ ‪ ,k − 1‬כך שמתקיים‬ ‫‪.g|Ω1 = h2 ◦ h1‬‬ ‫ˆ‪.‬‬ ‫ˆ( ‪y = g −1‬‬ ‫‪ x‬ונסמן )‪x‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ˆ ∈ Ω‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪ .1‬תחילה נוודא את קיום תנאי משפט ההעתקה ההפוכה‪.‬‬ ‫היות וסיבוכיות ‪ g‬חסומה על־ידי ‪ ,k‬לאחר תמורה בסדר הקואורדינטות ‪ -‬במידת‬ ‫הצורך ‪ -‬נוכל להניח ללא הגבלת הכלליות כי ‪ gi (y) = yi‬לכל ‪k + 1 ≤ i ≤ p‬‬ ‫ולכל ‪.y = (y1 , ..., yp ) ∈ Ω‬‬ ‫ˆ‪ .‬כעת לצורך‬ ‫מההנחה ש‪ g-‬טובה נובע ‪ Jg (y) 6= 0‬לכל ‪ ,y ∈ Ω‬בפרט ל‪y -‬‬ ‫ˆ‪ ,‬נשים לב כי‪:‬‬ ‫חישוב היעקוביאן ב‪y -‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪D1 g1 . . . Dk g1‬‬ ‫‪Dk+1 g1 . . . Dp g1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ( ‪Dg‬‬ ‫‪y) = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k+1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0p−k×k‬‬ ‫‪Ip−k×p−k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ( ‪ 0 6= Jg‬ולכן המטריצה הפיכה‪ .‬מהמבנה שלה ברור‬ ‫ˆ( ‪y ) = det (Dg‬‬ ‫ומכאן )) ‪y‬‬ ‫בפרט שהבלוק השמאלי־עליון הפיך‪ .‬לכן לאחר תמורה בסדר הקואורדינטות‬ ‫ˆ( ‪.Dk gk‬‬ ‫נוכל להניח ללא הגבלת הכלליות כי ‪y ) 6= 0‬‬ ‫˜‬ ‫‪ .2‬נגדיר העתקה מסיבוכיות ‪ 1‬מהצורה ‪ h : Ω → Rp‬על־ידי →‪y =: (y1 , ..., yp ) 7‬‬ ‫) ‪.(y1 , ..., yk−1 , gk (y) , yk+1 , ..., yp‬‬ ‫ˆ( ˜‬ ‫‪ Dh‬קיים מסלול יחיד שאינו אפס ‪ -‬זה שתורם‬ ‫נשים לב שבמטריצת הנגזרת ) ‪y‬‬ ‫ˆ( ˜‬ ‫‪ Dh‬הפיכה‪.‬‬ ‫ˆ( ‪ ,1 · ... · 1 · Dk gk‬ולכן ) ‪y‬‬ ‫לדטרמיננטה את המחובר ‪y ) · 1 · ... · 1‬‬ ‫ˆ‪ ,‬כך‬ ‫ממשפט ההעתקה הפוכה נובע שקיימת סביבה ‪ Ω1 ⊂ Ω‬המכילה את ‪y‬‬ ‫|‪ h‬גם היא טובה ו‪˜ (Ω1 )-‬‬ ‫ש‪˜ Ω : Ω1 → Rp -‬‬ ‫‪ h‬פתוחה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫נגדיר ‪˜ Ω‬‬ ‫|‪ h1 = h‬וכן ‪ .h2 = g◦h1 : h1 (Ω1 ) → R‬ברור כי ‪.g|Ω1 = h2 ◦h1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ראינו כי ‪ h1‬טובה ומסיבוכיות ‪ ,1‬ונותר להראות כי ‪ h2‬טובה ומסיבוכיות≥ ‪.k−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫• ‪ h2‬טובה‪ :‬הגדרנו ) ‪ ,h2 = g ◦ (h1‬כלומר היא הרכבה של העתקות חח"ע‬ ‫וגזירות ברציפות‪ ,‬ולכן היא גם כזאת‪.‬‬ ‫‪ h−1‬פתוחה ממשפט ההעתקה‬ ‫‪(Ω‬‬ ‫ו‪)-‬‬ ‫‪,g h−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כמו־כן תמונתה היא ) ‪1 (Ω1‬‬ ‫ההפוכה‪ ,‬ומהיות ‪ g‬טובה נובע כי גם הרכבת ‪ g‬משאירה אותה פתוחה‪.‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫נשים לב כי‬ ‫‪ ,z ∈ h−1‬ולכן =‪Jh−1 (z) 6‬‬ ‫))‪ Dh1 (z) = (Dh1 (z‬לכל ) ‪1 (Ω1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .z ∈ h−1‬מכאן לפי כלל השרשרת וכפליות הדטרמיננטה‪:‬‬ ‫‪ 0‬לכל ) ‪1 (Ω1‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪Jh2 (z) = Jg◦(h1 )−1 (z) = Jg (h1 (z)) · Jh−1 (z) 6= 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫• ‪ h2‬מסיבוכיות≥ ‪ :k − 1‬יהי ) ‪ ,z = (z1 , ..., zp ) ∈ h1 (Ω1‬צריך להראות‬ ‫) ‪.h2 (z) = (?, ..., ?, zk , zk+1 , ..., zp‬‬ ‫‪ .y =: (y1 , ..., yp ) = h−1‬תחת סימון זה מתקיים מהגדרות‬ ‫נסמן )‪1 (z‬‬ ‫ההעתקות‪:‬‬ ‫˜‬ ‫‪(z1 ,...,zk−1 ,zk ,zk+1 ,...,zp )=h1 (y)=h(y)=(y‬‬ ‫) ‪1 ,...,yk−1 ,gk (y),yk+1 ,...,yp‬‬ ‫⇓‬ ‫))‪h2 (z)=g◦h−1 (z)=g(y)=(g1 (y),...,gk−1 (y),gk (y),gk+1 (y),...,gp (y‬‬ ‫‪41‬כפי שראינו ביתר פירוט בהוכחת למה ‪.3‬‬ ‫‪59‬‬ ‫נשים לב כי )‪ zk = gk (y‬קבוע מראש‪ ,‬וכן נשים לב שמההנחה על ‪ g‬נובע‬ ‫כי ‪ gi (y) = yi‬לכל ‪ .k + 1 ≤ i ≤ p‬לכן דרגות החופש של ‪ h2‬קיימות‬ ‫לכל היותר בקואורדינטות ‪ .1, ..., k − 1‬‬ ‫ˆ‪ .‬נקבע גם ‪,k‬‬ ‫ˆ( ‪y =: g −1‬‬ ‫ˆ‪x) ,‬‬ ‫למה ‪ :5‬תהי ‪ g : Ω → Rp‬העתקה טובה ותהי )‪x ∈ g (Ω‬‬ ‫‪ ,1 ≤ k ≤ p‬כלשהו‪.‬‬ ‫ˆ‪ ,‬כך שניתן לפרק את ‪ g‬להרכבת‬ ‫אזי קיימת סביבה פתוחה ‪ Ω1 ⊂ Ω‬המכילה את ‪y‬‬ ‫העתקות טובות ‪ g|Ω1 = g k ◦ g k−1 ◦ ... ◦ g 1‬מהצורה‪:‬‬ ‫‪g 1 : Ω1 → Rp‬‬ ‫‪g 2 : g 1 (Ω1 ) → Rp‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‬ ‫) ‪g k : g k−1 g k−2 ... g 1 (Ω1‬‬ ‫‪→ Rp‬‬ ‫כך שההעתקות ‪ g 1 , ..., g k−1‬מסיבוכיות≥ ‪ 1‬וההעתקה ‪ g k‬מסיבוכיות≥ ‪.p − k + 1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח באינדוקציה על ‪ .k‬נניח שהטענה נכונה ל‪ l-‬ונסיק ל‪.l + 1-‬‬ ‫מהנחת האינדוקציה יש ‪ Ωl ⊂ Ω‬והעתקות טובות ‪ g 1 , ..., g l‬מתאימות כך שמתקיים‬ ‫‪ ,g = g l ◦ ... ◦ g 1‬כך ש‪ g 1 , ..., g l−1 -‬מסיבוכיות≥ ‪ 1‬ו‪ g l -‬מסיבוכיות≥ ‪.p − l + 1‬‬ ‫נתבונן בהעתקה ‪ .g l : g l−1 ◦ ... ◦ g 1 (Ωl ) → Rp‬מהפעלת למה ‪ 4‬נובע שיש סביבה‬ ‫ˆ‪ ,‬והעתקות טובות ‪ h1 : Ω0 → Rp‬מסיבוכיות≥ ‪ 1‬וכן‬ ‫פתוחה ‪ Ω0 ⊂ Ω‬המכילה את ‪x‬‬ ‫‪l 0‬‬ ‫‪ h2 : h1 (Ω0 ) → Rp‬מסיבוכיות≥ ‪ ,p − l‬כך שמתקיים ‪.g |Ω = h2 ◦ h1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ ,Ωl+1 = g l−1 ◦ ... ◦ g 1‬ונצמצם את ההעתקות ‪ g 1 , ..., g l−1‬לסביבות‬ ‫נסמן ) ‪(Ωl‬‬ ‫) ‪ Ωl+1 , g 1 (Ωl+1 ) , ..., g l−2 ◦ ... ◦ g 1 (Ωl+1‬בהתאמה‪.‬‬ ‫כעת על סביבות אלו נגדיר ‪ f 1 = g1 , ..., f l−1 = gl−1 , f l = h1 , f l+1 = h2‬ונקבל‬ ‫כי ‪ ,g|Ωl+1 = f l+1 ◦ f l ◦ f l−1 ◦ ... ◦ f 1‬כאשר ‪ f 1 , ..., f l‬מסיבוכיות≥ ‪ 1‬ו‪f l+1 -‬‬ ‫מסיבוכיות≥ ‪ .p − l‬‬ ‫מסקנה‪ :‬כעת ניתן להשלים בקלות את הוכחת נוסחת שינוי המשתנה ל‪ f : A → R-‬עם‬ ‫תומך המקיים )‪.Supp (f ) ⊂ U ⊂ int (A‬‬ ‫מלמה ‪ 5‬נובע )עבור ‪ (k = p‬שקיים פירוק של ‪ g‬להרכבה ‪ ,g|Ωp = g p ◦ ... ◦ g 1‬כאשר‬ ‫‪ g 1 , ..., g p‬מסיבוכיות≥ ‪) 1‬גם ‪ ,g p‬כי ‪.(p − p + 1 = 1‬‬ ‫מלמה ‪ 2‬נוסחת שינוי המשתנה נכונה לכל ‪ ,g i‬ומלמה ‪ 3‬נובע באינדוקציה שהנוסחה‬ ‫נכונה גם ל‪ g-‬כהרכבה שלהן‪ .‬‬ ‫הערה‪ :‬לא הוכחנו את נוסחת שינוי המשתנה הכללית‪ ,‬אלא להעתקות עם תומך מוכל בפנים‪.‬‬ ‫לצורך ההוכחה המלאה נראה שמכיוון שלכל העתקה יש תומך חסום מקומית‪ ,‬הטענה‬ ‫הקודמת מהווה למעשה הוכחה כללית‪ .‬כדי להגדיר טוב את ההבדל בין תכונה‬ ‫מקומית לתכונה גלובלית נחרוג בחלק הבא מהנושא שלנו‪ ,‬ונחזור לאחר מכן להשלים‬ ‫את ההוכחה‪.‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪13.1‬‬ ‫פיצול יחידה )והשלמת הוכחת נוסחת שינוי משתנה(‬ ‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב מטרי ותהי ‪ Y = {Yα }α∈A‬משפחה כלשהי של תתי קבוצות ב‪.X-‬‬ ‫אומרים ש‪ Y-‬היא סופית מקומית‪ ,‬אם לכל ‪ x ∈ X‬קיימת סביבה ‪ U‬המכילה אותו‪,‬‬ ‫כך שמתקיים ∞ < |}∅ =‪.|{α ∈ A|Yα ∩ U 6‬‬ ‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ M ⊂ Rp‬משטח רגולרי‪ ,‬תהי ‪ X ⊂ M‬סגורה בתוך ‪ ,Rp‬ויהי ‪U = {Uα }α∈A‬‬ ‫כיסוי פתוח של ‪ ,X‬כאשר ‪ Uα ⊂ M‬לכל ‪.α ∈ A‬‬ ‫פיצול יחידה ל‪ (X, M )-‬הכפוף ל‪ U-‬הוא אוסף העתקות ‪ ,{fα : M → R≥0 }α∈A‬כך‬ ‫שמתקיים‪:‬‬ ‫‪ fα .1‬העתקה חלקה לכל ‪α ∈ A‬‬ ‫‪ Supp (fα ) ⊂ Uα .2‬לכל ‪α ∈ A‬‬ ‫‪ {Supp (fα )}α∈A .3‬היא סופית מקומית‬ ‫‪X‬‬ ‫‪42‬‬ ‫לכל ‪.x ∈ X‬‬ ‫‪fα (x) = 1 .4‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫משפט‪ :‬לכל זוג ) ‪ (X, M‬כנ"ל ולכל כיסוי פתוח של ‪ X‬קיים פיצול יחידה הכפוף לכיסוי‪.‬‬ ‫למה ‪ :1‬קיימת העתקה חלקה ‪ f : R → R‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪x≤1‬‬ ‫‪1<x<2‬‬ ‫‪2≤x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x) = 1‬‬ ‫‪0 < f (x) < 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x) = 0‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נגדיר ‪ g : R → R≥0‬על־ידי‪:‬‬ ‫קל לראות ש‪ g-‬חלקה‪.‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪x≤0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0<x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪e x‬‬ ‫כעת נגדיר‬ ‫(‬ ‫= )‪g (x‬‬ ‫)‪g(2−x‬‬ ‫)‪g(2−x)+g(x−1‬‬ ‫= )‪.f (x‬‬ ‫‪ f‬מוגדרת היטב כי ‪ g‬אינה שלילית אף פעם‪ .‬לכן כדי שיתקיים ‪g (2 − x) +‬‬ ‫‪ g (x − 1) = 0‬צריך להתקיים ששני המחוברים אפס‪ ,‬וקל לראות שזה אף פעם‬ ‫לא קורה‪.‬‬ ‫‪ f‬הרכבה של חלקות ולכן חלקה‪ ,‬וכמו כן מתקיים‪:‬‬ ‫‪f (x) = 1‬‬ ‫⇒=‬ ‫‪0 < f (x) < 1‬‬ ‫⇒=‬ ‫‪f (x) = 0‬‬ ‫⇒=‬ ‫‪g (x − 1) = 0‬‬ ‫⇒=‬ ‫)‪=⇒ 0 < g (2 − x) < g (2 − x) + g (x − 1‬‬ ‫‪g (2 − x) = 0‬‬ ‫⇒=‬ ‫‪x≤1‬‬ ‫‪1<x<2‬‬ ‫‪2≤x‬‬ ‫‬ ‫‪42‬סכום זה מוגדר היטב‪ ,‬כי מתנאי ‪ 3‬נובע שלכל ‪ x ∈ Rp‬מספר הנסכמים )‪ fα (x‬שאינם ‪ 0‬הוא סופי‪.‬‬ ‫‪43‬גם ב‪ x = 0-‬קל לוודא לפי הגדרת הנגזרת‪.‬‬ ‫‪61‬‬ ‫למה ‪ :2‬לכל ‪ y ∈ Rp‬ולכל ‪ 0 < r ∈ R‬קיימת העתקה חלקה ‪ ,hy,r : Rp → R‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪x ∈ Br (y‬‬ ‫‪ hy,r (x) = 1‬‬ ‫)‪0 ≤ hr,y (x) ≤ 1 x ∈ B2r (y) \Br (y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪hy,r (x) = 0‬‬ ‫)‪x ∈ Rp \B2r (y‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נגדיר‬ ‫‬ ‫‪kx−yk‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‬ ‫‪ ,hy,r (x) = f‬כאשר ‪ f‬היא זו שהגדרנו בלמה ‪ .1‬‬ ‫למה ‪ :3‬לכל כיסוי פתוח ‪ {Uα }α∈A‬של ‪ Rp‬קיים אוסף אינדקסים בן מניה ‪ ,I‬כך שלכל‬ ‫‪ i ∈ I‬קיימים ‪ ,αi ∈ A ,0 < ri ∈ R ,xi ∈ Rp‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪B3ri (xi ) ⊂ Uαi .1‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪R ⊂ i∈I Bri (xi ) .2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ .3‬המשפחה ‪ {B3ri (xi )}i∈I‬היא סופית מקומית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬לכל ‪ k‬טבעי נגדיר )‪ .(B0 (0) = ∅) Vk = Bk+1 (0) \Bk−1 (0‬קל לראות שהאוסף‬ ‫‪ {Vk }k∈N‬הוא כיסוי פתוח של ‪ .Rp‬כמו כן לכל ‪ k‬הקבוצה ‪ V k‬סגורה וחסומה‪ ,‬ולכן‬ ‫קומפקטית‪.‬‬ ‫נתון הכיסוי ‪ ,{Uα }α∈A‬ולכן לכל ‪ x ∈ Rp‬קיימת ‪ αx ∈ A‬כך ש‪.x ∈ Uαx -‬‬ ‫אבל זהו כיסוי פתוח‪ ,‬ולכן ניתן להניח שלכל ‪ x‬קיים ‪ 0 < rx ≤ 31‬כך שמתקיים‬ ‫‪.x ∈ B3rx (x) ⊂ Uαx‬‬ ‫נשים לב שלכל ‪ ,k‬האוסף ‪ {Brx (x)}x∈V k‬מהווה כיסוי פתוח של הקבוצה הקומפקטית‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ mk‬‬ ‫‪ Brxk xkj‬כיסוי פתוח ל‪.V k -‬‬ ‫‪ .V k‬לכן קיים אוסף סופי ‪ ,xk1 , ..., xkmk‬כך ש‪-‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪j‬‬ ‫נגדיר את ‪ I‬להיות איחוד האינדקסים המתאימים הללו‪ ,‬לכל ‪ k‬טבעי‪ .‬זהו איחוד בן‬ ‫מניה של קבוצות סופיות‪ ,‬ולכן הוא קבוצה בת מניה‪.‬‬ ‫[‬ ‫‪S‬‬ ‫⊂ ‪) Rp‬סעיף ‪ 2‬בלמה(‪.‬‬ ‫נזכור כי ‪ ,Rp ⊂ k∈N Vk‬ולכן ) ‪Brxi (xi‬‬ ‫‪i∈I‬‬ ‫עוד נשים לב כי מבחירת כל ‪ rxi‬נובע ‪) B3rxi (xi ) ⊂ Uαxi‬סעיף ‪ 1‬בלמה(‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫כעת נראה כי המשפחה ‪ {B3ri (xi )}i∈I‬שקיבלנו אכן סופית מקומית‪ .‬יהי ‪,x ∈ R‬‬ ‫אזי יש ‪ k‬טבעי כך ש‪ .x ∈ Vk -‬נשים לב שעבור סביבה זו‪ ,‬אם ל‪ l-‬כלשהו מתקיים‬ ‫∅ =‪ Vk ∩ B3rl,j (xl,j ) 6‬אז בהכרח }‪ l ∈ {k − 2, ..., k + 2‬מבחירת ‪ .rx ≤ 31‬כלומר‬ ‫קיימת ‪ Vk‬שנחתכת רק עם מספר סופי של כדורים כנ"ל‪ .‬‬ ‫למה ‪ :4‬קיים פיצול יחידה במקרה הפרטי ‪.X = M = Rp‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ {Uα }α∈A‬כיסוי פתוח של ‪ .Rp‬נבחר את האוסף ‪ {Bri (xi )}i∈I‬כפי שמצאנו‬ ‫בלמה ‪.3‬‬ ‫תהי ‪ τ : I → A‬העתקה המקיימת )‪) B3ri (xi ) ⊂ Uτ (i‬שימוש באקסיומת הבחירה(‪.‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪hxi ,ri (x‬‬ ‫לכל ‪ α ∈ A‬נגדיר העתקה‬ ‫)‪i∈τ −1 (α‬‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪hxi ,ri (x‬‬ ‫= )‪ ,fα (x‬כאשר ‪ hx,r‬היא זו שהגדרנו‬ ‫‪i∈I‬‬ ‫בלמה ‪ .2‬קל לראות כי ‪ fα‬חלקה כהרכבה של העתקות חלקות‪ ,‬נראה שזה אכן פיצול‬ ‫יחידה הכפוף לכיסוי‪.‬‬ ‫• ‪ fα‬מוגדרת היטב‪ :‬נתון כי ) ‪ .Supp (hxi ,ri ) ⊂ B3ri (xi‬מהיות ‪{B3ri (xi )}i∈I‬‬ ‫סופית מקומית‪ ,‬נובע לפי הגדרת סופיות מקומית שלכל ‪ x ∈ Rp‬קיימת סביבה‬ ‫‪ ,V‬כך שמתקיים ∅ =‪ V ∩ Supp (hxi ,ri ) 6‬לכל היותר לקבוצה סופית של‬ ‫אינדקסים‪ .‬נסמן אם כך קבוצה סופית זו ב‪.IV -‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪hxi ,ri (y‬‬ ‫)‪hxi ,ri (y‬‬ ‫‪i∈τ −1 (α)∩IV‬‬ ‫לכן לכל ‪ y ∈ V‬מתקיים‬ ‫)‪hxi ,ri (y‬‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪i∈τ −1 (α‬‬ ‫=‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪hxi ,ri (y‬‬ ‫‪i∈IV‬‬ ‫המכנה אינו אפס כי ) ‪Bri (xi‬‬ ‫‪ 1‬כפי שראינו בלמה ‪.2‬‬ ‫‪i∈I‬‬ ‫‪S‬‬ ‫= )‪.fα (y‬‬ ‫‪i∈I‬‬ ‫⊂ ‪ Rp‬כפי שראינו בלמה ‪ ,3‬ו‪hxi ,ri |Bri (xi ) =-‬‬ ‫• ‪ {Supp (fα )}α∈A‬סופית מקומית‪ :‬מהגדרת ‪ ,fα‬אם ∅ =‪ V ∩ Supp (fα ) 6‬אז‬ ‫קיים )‪ i ∈ IV ∩ τ −1 (α‬כך שמתקיים ∅ =‪ .Supp (hxi ,ri ) ∩ V 6‬לכן בהכרח‬ ‫∅ =‪ ,IV ∩ τ −1 (α) 6‬כלומר ) ‪ ,α ∈ τ (IV‬וזו קבוצה סופית לפי הגדרת ‪.IV‬‬ ‫• נראה כי ‪ :Supp (fα ) ⊂ Uα‬תחילה נחשב‪:‬‬ ‫[‬ ‫⊂ ) ‪Supp (hxi ,ri‬‬ ‫) ‪B3ri (xi‬‬ ‫[‬ ‫⊂ ) ‪Supp (fα‬‬ ‫)‪i∈τ −1 (α‬‬ ‫)‪i∈τ −1 (α‬‬ ‫ומהגדרת ההעתקה ‪ τ‬נובע )‪.B3ri (xi ) ⊂ Uτ (i‬‬ ‫‪P‬‬ ‫• נראה כי ‪ : α∈A fα (x) = 1‬נחשב‪:‬‬ ‫)‪hxi ,ri (x‬‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪hxi ,ri (x‬‬ ‫)‪α∈A i∈τ −1 (α‬‬ ‫‪i∈I‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫)‪hxi ,ri (x‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪=X‬‬ ‫)‪hxi ,ri (x‬‬ ‫‪i∈I‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪fα (x‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫‪i∈I‬‬ ‫כאשר השוויון הראשון מהגדרת ‪ ,fα‬והשני מכך ש‪τ −1 (α)-‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫= ‪ .I‬‬ ‫הוכחת משפט פיצול יחידה‪ :‬יהי ‪ {Uα }α∈A‬כיסוי פתוח לקבוצה סגורה ‪ X ⊂ Rp‬המוכלת‬ ‫ב‪ ,M -‬כך ש‪.Uα ⊂ M -‬‬ ‫נבחר ‪ Vα ⊂ Rp‬פתוחות כך שיתקיים ‪ ,Vα ∩ M = Uα‬ונגדיר ‪) V0 = Rp \X‬פתוחה(‪.‬‬ ‫∈ ‪.(0‬‬ ‫נעדכן את קבוצת האינדקסים }‪) A0 = A ∪ {0‬נניח ‪/ A‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪f˜α : Rp → R≥0‬‬ ‫מלמה ‪ 4‬נובע שלכיסוי הפתוח ‪ {Vα }α∈A0‬של ‪ Rp‬קיים פיצול יחידה‬ ‫‪α∈A0‬‬ ‫הכפוף לכיסוי זה‪.‬‬ ‫נגדיר ‪ fα =: f˜α |M‬לכל ‪ .α ∈ A‬קל לראות כי זו העתקה חלקה כצמצום של העתקה‬ ‫חלקה‪ .‬קל גם לראות שהתכונות של פיצול יחידה נשמרות‪ ,‬וגם התכונה האחרונה‬ ‫‪0‬‬ ‫‪63‬‬ ‫מתקיימת‪:‬‬ ‫‪f˜α (x) = 1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪fα |X‬‬ ‫‪α∈A0‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫כאשר השוויון הראשון נובע מכך ש‪ f0 |X = 0-‬כי ‪ .V0 = Rp \X‬‬ ‫משפט )נוסחת שינוי משתנה במקרה הכללי(‪ :‬תהי ‪ g : Ω ⊂ Rp → Rp‬העתקה טובה‪ ,‬ותהי‬ ‫)‪ A ⊂ g (Ω‬קבוצה קומפקטית ובעלת תכולה‪.‬‬ ‫תהי גם ‪ f : A → R‬העתקה רציפה‪ ,‬ונניח כי )‪ ,Supp (f ) ⊂ int (A‬אזי מתקיימת‬ ‫נוסחת שינוי המשתנה‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪(f ◦ g) (y) |Jg (y)| dy‬‬ ‫= ‪f (x) dx‬‬ ‫)‪g −1 (A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ x‬יש סביבה )‪,Uxˆ ⊂ int (A‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מהטענה הפרטית שהוכחנו לעיל נובע שלכל )‪ˆ ∈ int (A‬‬ ‫כך שאם ˆ‪ Supp (f ) ⊂ Ux‬אז נוסחת שינוי המשתנה מתקיימת‪.‬‬ ‫האוסף )‪ {Uxˆ }xˆ∈int(A‬מהווה כיסוי פתוח של ) ‪ .Supp (f‬נשים לב ש‪Supp (f ) ⊂ A-‬‬ ‫קבוצה סגורה בתוך קבוצה קומפקטית ולכן קומפקטית בעצמה‪ .‬לכן קיים תת כיסוי‬ ‫‪l‬‬ ‫סופי מהצורה ‪.{Uxˆi }i=1‬‬ ‫נפעיל את משפט פיצול היחידה על )‪) M = g (Ω‬זו קבוצה פתוחה(‪X = Supp (f ) ,‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫ועל הכיסוי ‪ .{Uxˆi }i=1‬כלומר קיים אוסף העתקות ‪ {ηi : g (Ω) → R≥0 }i=1‬הכפוף‬ ‫לכיסוי זה‪ .‬נחשב‪:‬‬ ‫= ‪ηi (x) f (x) dx‬‬ ‫ˆ ‪l‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪A‬‬ ‫= ‪ηi (x)f (x) dx‬‬ ‫‪ˆ X‬‬ ‫‪l‬‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪f (x) dx‬‬ ‫‪A i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫}‬ ‫‪{z‬‬ ‫‪A‬‬ ‫|‬ ‫‪=1‬‬ ‫ˆ ‪l‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪(ηi ◦ g) (y) · (f ◦ g) (y) |Jg (y)| dy‬‬ ‫)‪g −1 (A‬‬ ‫= ‪(ηi ◦ g) (y) (f ◦ g) (y) |Jg (y)| dy‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪i=1‬‬ ‫ˆ‬ ‫=‬ ‫‪g −1 (A) i=1‬‬ ‫}‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪(f ◦ g) (y) |Jg (y)| dy‬‬ ‫=‬ ‫)‪g −1 (A‬‬ ‫כאשר השוויון השלישי נובע מהטענה הפרטית שהראינו לעיל‪ ,‬תוך שימוש בעובדה‬ ‫‪ .Supp (ηi · f ) ⊂ Uxˆi‬‬ ‫‪64‬‬ ‫חלק‬ ‫‪IV‬‬ ‫חשבון אינטגרלי של העתקות בין משטחים‬ ‫רגולריים‬ ‫‪14‬‬ ‫נפח‬ ‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מממד ‪ p‬מעל ‪ ,R‬ונניח כי ‪ h, i : V × V → R‬מכפלה פנימית‪.‬‬ ‫‪( p‬‬ ‫)‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪.P (v1 , ..., vp‬‬ ‫המקבילית שקודקודיה הם ‪ v1 , ..., vp‬היא הקבוצה ]‪ti vi |ti ∈ [0, 1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫נרצה להגדיר את הנפח של המקבילית‪.‬‬ ‫נקבע ל‪ V -‬בסיס אורתונורמלי } ‪ .{e1 , ..., ep‬נניח כי מטריצת הייצוג של קודקודי‬ ‫לבסיס זה היא )‪ A = (aij ) ∈ M atp×p (R‬המתקבלת על־ידי‬ ‫המקבילית ביחס ‪Pp‬‬ ‫העמודות ‪ ,vi = j=1 aij ej‬לכל ‪.1 ≤ i ≤ p‬‬ ‫נגדיר ונסמן את הנפח של המקבילית להיות |)‪.V ol (P (v1 , ..., vp )) =: |det (A‬‬ ‫טענה ‪ :1‬נפח מקבילית אינו תלוי בבחירת הבסיס האורתונורמלי שביחס אליו הוא מחושב‪.‬‬ ‫‪ P (v‬מקבילית כלשהי‪ ,‬ויהי ‪ e1 , ..., ep‬בסיס אורתונורמלי שביחס‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ) ‪P1p, ..., vp‬‬ ‫= ‪ .vi‬בהתאם להגדרה |)‪ V ol (P (v1 , ..., vp )) = |det (A‬ל‪-‬‬ ‫אליו ‪j=1 aij ej‬‬ ‫) ‪.A = (aij‬‬ ‫נגדיר מטריצה )‪ G = (gij ) ∈ M atp×p (R‬על־ידי ‪.gij = hvi , vj i‬‬ ‫‪p‬‬ ‫נראה כי )‪ V ol (P (v1 , ..., vp )) = det (G‬וזה יספיק‪ ,‬כי ‪ G‬אינה תלויה בבחירת‬ ‫הבסיס האורתונורמלי‪ .‬נחשב לפי תכונות המכפלה הפנימית‪:‬‬ ‫‪* p‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪gij = hvi , vj i‬‬ ‫‪aik ek ,‬‬ ‫= ‪ajl el‬‬ ‫= ‪aik ajl hek , el i‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪k,l=1‬‬ ‫‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪aik ajk = AAt‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫ונסיק‪:‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫= ‪aik ajl δkl‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪k,l=1‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪2‬‬ ‫))‪det (G) = det (AAt ) = det (A) det (At ) = (det (A‬‬ ‫⇓‬ ‫)‪det (G‬‬ ‫‪p‬‬ ‫= |)‪V ol (P (v1 , ..., vp )) = |det (A‬‬ ‫‬ ‫‪ G44‬מוגדרת חיובית ולכן אין בעיה להוציא שורש ממשי‪.‬‬ ‫‪65‬‬ ‫)‪ .B = (bij ) ∈ M atp×p (R‬נגדיר‬ ‫טענה ‪ :2‬תהי ) ‪ P (v1 , ..., vp‬מקבילית כלשהי‪ ,‬ותהי גם ‪Pp‬‬ ‫מקבילית חדשה ) ‪ P (w1 , ..., wp‬על־ידי ‪ .wi = j=1 bij vj‬אזי מתקיים‪:‬‬ ‫)‪V ol (P (w1 , ..., wp )) = V ol (P (v1 , ..., vp )) · det (B‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נקבע בסיס אורתונורמלי } ‪ {e1 , ..., ep‬ונסמן ‪aij ej‬‬ ‫!‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫תחת סימן זה מתקיים ‪bki aij ej‬‬ ‫= ‪bki vi‬‬ ‫‪Pp‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪.vi‬‬ ‫= ‪.wk‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫כעת נניח כי ‪ A0‬המטריצה המתאימה ל‪ ,P (w1 , ..., wp )-‬מכאן שמתקיים‪:‬‬ ‫)‪V ol (P (w1 , ..., wp )) =: det (A0 ) = det (AB) = det (A) · det (B‬‬ ‫אבל )‪ .V ol (P (v1 , ..., vp )) = det (A‬‬ ‫‪15‬‬ ‫אינטגרל של העתקה רציפה בין משטחים רגולריים‬ ‫תזכורת‪ M ⊂ Rp :‬משטח רגולרי ‪k‬־ממדי ו‪ Ξ : U ⊂ Rk → M -‬מערכת קואורדינטות‪.‬‬ ‫נשים לב כי ‪ Ξ : U → M‬היא העתקה בין משטחים רגולריים )קבוצה פתוחה היא‬ ‫בפרט משטח רגולרי מממד המרחב(‪ ,‬ולכן הנגזרת שלה היא העתקה לינארית מהצורה‬ ‫‪ ,DΞ (u) : Rk → TΞ(u) M‬כאשר ‪ TΞ(u) M‬הוא המרחב המשיק לנקודה ‪,Ξ (u) ∈ M‬‬ ‫ו‪ Rk -‬המרחב המשיק לנקודה ‪) u ∈ U‬כי ‪ U‬פתוחה(‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫נסמן את המטריצה המתאימה ‪ ,DΞ (u) =  D1 Ξ (u) . . . Dk Ξ (u) ‬ומתקיים‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫כי העמודות שלה הן וקטורי בסיס לתמונה של ההעתקה‪ ,‬כלומר למרחב ‪.TΞ(u) M‬‬ ‫הגדרה‪ :‬בהינתן ‪ u ∈ U‬נסמן את המרחב המשיק ל‪ Ξ (u) ∈ M -‬על־ידי ‪,V = TΞ(u) M‬‬ ‫ונגדיר עליו מכפלה פנימית ‪ h, i : V ×V → R‬כצמצום המכפלה הפנימית הסטנדרטית‬ ‫המוגדרת ‪.Rp × Rp → R‬‬ ‫‪Ξ‬‬ ‫‪.gij‬‬ ‫נגדיר מטריצה )‪ g Ξ (u) ∈ M atk×k (R‬על־ידי ‪(u) = hDi Ξ (u) , Dj Ξ (u)i‬‬ ‫‪p‬‬ ‫טענה‪.|JΞ (u)| = det g Ξ (u) :‬‬ ‫‪ .Ξ (u) = (Ξ1 (u) , ..., Ξp P‬נגדיר מקבילית על־ידי = )‪Di Ξ (u‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נסמן ‪(u)) ∈ Rp‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ , j=1 Di Ξj (u) ej‬ונסיק שמתקיים‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫|)‪det (g Ξ ) = V ol (P (D1 Ξ (u) , ..., Dp Ξ (u))) = |det (Di Ξj (u))| = |JΞ (u‬‬ ‫כאשר השוויון הראשון נובע מטענה ‪ ,1‬השוויון השני נובע מהגדרת נפח מקבילית‪,‬‬ ‫והשוויון הרביעי מהגדרת יעקוביאן‪ .‬‬ ‫מסקנה‪ :‬תהי ‪ M ⊂ Rp‬קבוצה פתוחה )ובפרט משטח רגולרי מממד המרחב( ותהי ‪Ξ :‬‬ ‫‪ U → M‬מערכת קואורדינטות‪ .‬תהי גם ‪ A ⊂ M‬קבוצה קומפקטית ובעלת תכולה‬ ‫ו‪ f : A → R-‬רציפה המקיימת )‪.Supp (f ) ⊂ int (A‬‬ ‫‪66‬‬ ‫נשים לב שמערכת קואורדינטות היא העתקה טובה‪ ,‬ולכן לפי נוסחת שינוי משתנה‬ ‫ומהטענה האחרונה נובע שמתקיים‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪q‬‬ ‫= ‪f (x) dx‬‬ ‫= ‪f ◦Ξ (u) |JΞ (u)| du‬‬ ‫‪f ◦Ξ (u) det (g Ξ (u))du‬‬ ‫)‪Ξ−1 (A‬‬ ‫)‪Ξ−1 (A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ M ⊂ Rp‬משטח רגולרי ‪k‬־ממדי‪ ,‬ותהי ‪ f : M → R‬העתקה רציפה‪ ,‬כך‬ ‫ש‪ Supp (f )-‬קומפקטית וגם ) ‪ Supp (f ) ⊂ Ξ (U‬למערכת קואורדינטות ⊂ ‪Ξ : U‬‬ ‫‪ Rk → M‬כלשהי‪.‬‬ ‫נגדיר ונסמן את האינטגרל של ‪ f‬על ‪ M‬להיות‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪f ◦ Ξ (u) det (g Ξ (u))du‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪f dV ol =:‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪M‬‬ ‫כאשר ‪ Ξ−1 (Supp (f )) ⊂ U 0 ⊂ U‬ל‪ U 0 -‬קומפקטית‪.‬‬ ‫למה‪ :‬ההגדרה אינה תלויה בבחירת מערכת הקואורדינטות‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ Σ : V ⊂ Rk → M‬מערכת קואורדינטות נוספת‪ ,‬המקיימת גם היא‬ ‫) ‪ .Supp (f ) ⊂ Σ (V‬נניח ללא הגבלת הכלליות כי ) ‪) Σ (V ) ⊂ Ξ (U‬כי אם לא‪,‬‬ ‫אפשר לבחור את התחום של ‪ Σ‬להיות )) ‪.(Σ−1 (Ξ (U‬‬ ‫נגדיר העתקה ‪ h : V → U‬על־ידי ‪ .h = Ξ−1 ◦ Σ‬הראינו בעבר ש‪ h-‬העתקה טובה‪.‬‬ ‫‪45‬‬ ‫כעת נובע מנוסחת שינוי משתנה‪:‬‬ ‫= ‪det (g Ξ (u))du‬‬ ‫‪p‬‬ ‫)‪f ◦ Ξ (u‬‬ ‫‬ ‫= ‪det (g Ξ (u)) ◦ h (v) |Jh (v)| dv‬‬ ‫= ‪det (g Ξ (h (v))) |Jh (v)| dv‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪det (g Ξ (h (v))) |Jh (v)| dv‬‬ ‫‪p‬‬ ‫´‬ ‫‪U0‬‬ ‫· )‪(f ◦ Ξ‬‬ ‫´‬ ‫‬ ‫) ‪h−1 (U 0‬‬ ‫· ))‪((f ◦ Ξ) ◦ h (v‬‬ ‫‪p‬‬ ‫· ))‪(f ◦ Σ (v‬‬ ‫=‬ ‫´‬ ‫) ‪h−1 (U 0‬‬ ‫´‬ ‫) ‪h−1 (U 0‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫נשים לב שמהגדרת ‪ h‬נובע ‪ .Σ = Ξ ◦ h‬לכן מכלל השרשרת · ))‪DΣ (v) = DΞ (h (v‬‬ ‫)‪ .Dh (v‬בפרט מתקיים לעמודה ה‪ ,1 ≤ i ≤ k ,i-‬כי‪:‬‬ ‫‪Pp‬‬ ‫)‪Di Σ (v) = j=1 Dj Ξ (h (v)) Di hj (v‬‬ ‫נסמן בהתאם לטענה ‪ 2‬עבור ‪:1 ≤ i, j ≤ k‬‬ ‫)‪wi = Di Σ (v‬‬ ‫))‪vj = Dj Ξ (h (v‬‬ ‫) ‪bij = Di hj (v) , B = (bij‬‬ ‫‪45‬כשהראינו שגזירות של העתקות בין משטחים רגולריים אינה תלויה בבחירת מערכת הקואורדינטות‪.‬‬ ‫‪67‬‬ ‫נשים לב כי |)‪ ,det (B) = |Jh (v‬ולכן מהגדרת הנפח ומטענות ‪ 1,2‬נובע‪:‬‬ ‫)‪V ol (P (w1 , ..., wk )) = V ol (P (v1 , ..., vk )) det (B‬‬ ‫⇓‬ ‫‪p‬‬ ‫|)‪det (g Ξ ) |Jh (v‬‬ ‫= ))‪det (g Σ (v‬‬ ‫‪p‬‬ ‫נצרף את השוויון האחרון לשוויון שחישבנו בתחילת ההוכחה‪ ,‬ונקבל‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪Ξ‬‬ ‫‪(f ◦ Σ (v)) det (g Σ (v))dv‬‬ ‫= ‪f ◦ Ξ (u) det (g (u))du‬‬ ‫) ‪h−1 (U 0‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪U0‬‬ ‫הנחנו ) ‪ ,Σ (V ) ⊂ Ξ (U‬ולכן יש ‪ V 0 ⊂ V‬המכילה את )‪ Supp (f ◦ Σ‬ושתקיים‬ ‫) ‪ .V 0 ⊂ Σ−1 ◦ Ξ (U 0 ) = h−1 (U 0‬‬ ‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ M ⊂ Rp‬משטח רגולרי ‪k‬־ממדי‪ ,‬ותהי ‪ f : M → R‬העתקה רציפה ומתקיים‬ ‫) ‪ Supp (f‬קבוצה קומפקטית‪.‬‬ ‫נטפל במקרה שאין מערכת קואורדינטות ‪ Ξ : U → M‬המקיימת ) ‪.Supp (f ) ⊂ Ξ (U‬‬ ‫‪N‬‬ ‫מהיות ) ‪ Supp (f‬קומפקטית‪ ,‬נובע שקיים לה אוסף פתוחות סופי ‪ ,{Ui }i=1‬עם‬ ‫‪N‬‬ ‫מערכות קואורדינטות מקומיות מתאימות ‪ ,Ξi : Ui → M‬כך ש‪ {Ξi (Ui )}i=1 -‬כיסוי‬ ‫פתוח של ) ‪.Supp (f‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ניקח עבור הזוג )) ‪ (M, Supp (f‬פיצול יחידה ‪ {ηi : M → R}i=1‬הכפוף לכיסוי הנ"ל‪.‬‬ ‫‪PN‬‬ ‫בפרט מהגדרת פיצול יחידה ) ‪ Supp (ηi ) ⊂ Ξi (Ui‬וכן ‪i=1 ηi (p) |Supp(f ) = 1‬‬ ‫לכל ‪.p ∈ M‬‬ ‫נגדיר ונסמן את האינטגרל של ‪ f‬על ‪ M‬להיות‪:‬‬ ‫‪ηi (p) · f (p) dV ol‬‬ ‫ˆ ‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪M‬‬ ‫נשים לב שכל ‪ηi (p) · f (p) dV ol‬‬ ‫´‬ ‫‪M‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪f dV ol =:‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫מוגדר היטב‪ ,‬כי ) ‪.Supp (ηi · f ) ⊂ Ξi (Ui‬‬ ‫למה‪ :‬ההגדרה אינה תלויה בבחירת פיצול היחידה‪.‬‬ ‫‪K‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ניקח פיצול יחידה נוסף‪ .‬כלומר יהי אוסף פתוחות סופי ‪ {Vj }j=1‬עם מערכות‬ ‫‪K‬‬ ‫קואורדינטות מתאימות ‪ ,Σj : Vj → M‬כך ש‪ {Σj (Vj )}j=1 -‬כיסוי פתוח של‬ ‫‪K‬‬ ‫) ‪ .Supp (f‬ויהי ‪ {χj : M → R}j=1‬פיצול יחידה של הזוג )) ‪ ,(M, Supp (f‬הכפוף‬ ‫‪PK‬‬ ‫לכיסוי הנ"ל‪ .‬בפרט מתקיים מהגדרת פיצול יחידה כי ‪j=1 χj (p) |Supp(f ) = 1‬‬ ‫‪68‬‬ ‫לכל ‪ .p ∈ M‬נחשב ונראה שהאינטגרלים שווים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ ‪N‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪ηi · f dV ol‬‬ ‫= ‪χj (p) ηi · f dV ol‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪M‬‬ ‫= ‪χj · ηi · f dV ol‬‬ ‫ˆ ‪K‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪χj · f dV ol‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪N X‬‬ ‫ˆ ‪K‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫=‬ ‫‪i=1 j=1‬‬ ‫!‬ ‫= ‪χj · f dV ol‬‬ ‫‪ηi‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫ˆ ‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ˆ ‪K‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪M‬‬ ‫=‬ ‫‪j=1‬‬ ‫כאשר השוויון הראשון והאחרון הם פשוט כפל ב‪ ,1-‬והשוויון השני והמקביל לו מהסוף‬ ‫נובעים מלינאריות האינטגרל‪ .‬‬ ‫‪16‬‬ ‫משטחים עם שפה‬ ‫הגדרה‪ :‬יהיו ‪ N ⊂ M ⊂ Rp‬משטחים רגולריים )לאו דווקא מאותו ממד(‪ .‬שדה וקטורי על‬ ‫‪ M‬עם תחום הגדרה ‪ ,N‬הוא העתקה חלקה ‪ ,ξ : N → Rp‬כך שלכל ‪ p ∈ N‬מתקיים‬ ‫‪.ξ (p) ∈ Tp M‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪ ,N = M = Rp‬או אף אם ‪ M = Rp‬ו‪ N ⊂ Rp -‬משטח רגולרי‪ ,‬אז כל‬ ‫העתקה חלקה ‪ ξ : N → Rp‬היא שדה וקטורי‪.‬‬ ‫‪ .2‬ניקח ‪ ,N = M = S 1 ⊂ R2‬ונגדיר ‪ ξ : S 1 → R2‬על־ידי = ) ‪ξ (x1 , x2‬‬ ‫) ‪.(−x2 , x1‬‬ ‫נשים לב שהעתקה זו נותנת את הווקטור המשיק למעגל בנקודה ) ‪ ,(x1 , x2‬ולכן‬ ‫היא שדה וקטורי‪.‬‬ ‫‪ .3‬ניקח ‪ ,M = S 2 ⊂ R3 , N = S 1 ⊂ R2‬ונגדיר ‪ ξ : S 1 ,→ S 2 → R3‬על־ידי‬ ‫)‪.ξ (x1 , x2 , 0) = (0, 0, 1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫סימון‪ :‬נסמן את חצי המרחב ‪ Rk‬ה"עליון" להיות ‪.Rk≥0 =: (x1 , ..., xk ) ∈ Rk |xk ≥ 0‬‬ ‫הגדרות‪:‬‬ ‫• תהי ‪ U ⊂ Rk≥0‬קבוצה פתוחה יחסית ל‪ .Rk≥0 -‬נאמר שהעתקה ‪f : U → R‬‬ ‫‪ U‬פתוחה והעתקה חלקה ‪˜ → R‬‬ ‫היא "חלקה"‪ 46 ,‬אם קיימת ‪˜ ⊂ Rk‬‬ ‫‪ f˜ : U‬כך‬ ‫ש‪˜ ∩ Rk = U -‬‬ ‫‪ U‬וכן ‪.f˜|U = f‬‬ ‫‪≥0‬‬ ‫• קבוצה ‪ M ⊂ Rp‬נקראת משטח עם שפה ‪k‬־ממדי‪ ,‬אם לכל ‪ p ∈ M‬קיימת‬ ‫העתקה ‪ Ξ : U ⊂ Rk≥0 → V ∩ M‬ל‪ p ∈ V -‬ול‪ U -‬פתוחה ב‪ ,Rk≥0 -‬כך‬ ‫שמתקיים‪:‬‬ ‫‪ Ξ‬חלקה )במובן שהגדרנו(‪ Ξ ,‬הומאומורפיזם על תמונתה‪DΞ (q) : Rk → Rp ,‬‬ ‫חח"ע לכל ‪.q ∈ U‬‬ ‫‪46‬לא הגדרנו עד עתה חלקות על קבוצות שאינן פתוחות במרחב ‪ Rk‬כולו‪.‬‬ ‫‪69‬‬ ‫דוגמאות‪ :‬כל משטח רגולרי הוא משטח עם שפה‪ .‬קטע ‪ [a, b] ∈ R‬הוא משטח‬ ‫עם שפה שאינו משטח רגולרי‪ B r (0) ⊂ Rk .‬ל‪ 0 < r-‬הוא משטח עם‬ ‫שפה‪.‬‬ ‫• יהי ‪ M ⊂ Rk‬משטח עם שפה‪ .‬אז השפה של ‪ M‬היא הקבוצה‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫)‪∂M =: p ∈ M |∃Ξ:U ⊂Rk≥0 →M , p = Ξ (u1 , ..., uk−1 , 0‬‬ ‫)ל‪ Ξ-‬מערכת קואורדינטות(‪ .‬בהתאם‪ ,‬הפנים של ‪ M‬הוא ‪.int (M ) =: M \∂M‬‬ ‫הערה‪ :‬השפה של משטח עם שפה ‪k‬־ממדי‪ ,‬היא משטח רגולרי מממד ‪.k − 1‬‬ ‫הסיבה לכך היא שמערכת קואורדינטות של משטח עם שפה ‪k‬־ממדי ניתנת‬ ‫לצמצום ל‪ k − 1-‬הקואורדינטות הראשונות שלה‪ ,‬ושם מהגדרתה היא‬ ‫מערכת קואורדינטות במובן הרגיל של משטח רגולרי‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫דוגמה‪ M = x ∈ R3 |x21 + x22 + x23 = 1, x3 ≥ 0 :‬הוא משטח עם שפה‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬יהי ‪ M ⊂ Rp‬משטח עם שפה ‪k‬־ממדי ותהי ‪ f : M → R‬העתקה חלקה‪ .‬נניח עוד‬ ‫כי ‪ y ∈ R‬ערך רגולרי של ‪ ,f‬אזי }‪ {p ∈ M |f (p) ≥ y‬היא משטח עם שפה‪.‬‬ ‫בפרט גם השפה של המשטח עם שפה הנ"ל‪ ,‬דהיינו )‪ ,f −1 (y‬היא משטח רגולרי בעל‬ ‫ממד אחד נמוך יותר‪.‬‬ ‫ההוכחה דומה להוכחה של המשפט המקביל למשטחים רגולריים‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫חלקה ו‪-‬‬ ‫‪ ,M = Rp .1‬ונגדיר ‪ f : M → R‬על־ידי ‪ .x 7→ − kxk‬זו‬ ‫העתקה ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ y = −1‬הוא ערך רגולרי‪ .‬לכן ‪Q =: p ∈ R |f (p) ≥ −1 = B1 (0) ⊂ Rp‬‬ ‫הוא משטח עם שפה‪ .‬כמו כן ‪ ∂Q = S 1‬משטח רגולרי כידוע‪.‬‬ ‫‪ ,M = S 2 .2‬ונגדיר ‪ f : M → R‬על־ידי ‪ .(x1 , x2 , x3 ) 7→ x3‬זו העתקה חלקה‬ ‫ו‪ y = 0-‬הוא ערך רגולרי‪ .‬לכן }‪ Q =: {p ∈ M |f (p) ≥ 0‬הוא משטח עם שפה‪.‬‬ ‫נשים לב שזו חצי ההמיספרה העליונה‪ .‬גם כאן מתקבל ‪.∂Q = S 1‬‬ ‫‪17‬‬ ‫דיברגנץ‬ ‫הגדרות‪ :‬יהי ‪ Q‬משטח עם שפה ותהי ‪ ξ : Q → Rp‬שדה וקטורי על ‪ ,Q‬כך שמוגדרת הנגזרת‬ ‫‪.Dξx : Tx Q → Rp‬‬ ‫נסמן ב‪ πx : Rp → Tx Q-‬את ההטלה האורתוגונלית‪.‬‬ ‫• הנגזרת הקו־וריאנטית של ‪ ξ‬ב‪ ,x ∈ Rp -‬מוגדרת להיות ההעתקה‪:‬‬ ‫‪∇ξx =: πx ◦ Dξx : Tx Q → Rp → Tx Q‬‬ ‫• הדיברגנץ של ‪ ξ‬ב‪ x-‬מוגדר להיות ההעתקה ) ‪ ,divξ (x) =: T r (5ξx‬כאשר ‪T r‬‬ ‫היא העקבה‪.‬‬ ‫‪70‬‬ ‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ Q ⊂ Rp‬משטח )רגולרי או עם שפה(‪ ,‬ותהי ‪ Ξ : U → Q‬מערכת קואורדינטות‪.‬‬ ‫נגדיר העתקה מתאימה ‪ ∂i : Ξ (U ) → Rp‬על־ידי )‪ ∂i (Ξ (u)) = Di Ξ (u‬לכל‬ ‫‪47‬‬ ‫‪.u ∈ U‬‬ ‫הערה‪ :‬נשים לב כי ‪ ∂i‬היא שדה וקטורי על ‪ Q‬עם תחום ) ‪ .Ξ (U‬שכן ‪ Ξ‬חלקה ולכן כל‬ ‫נגזרת חלקית שלה חלקה‪ ,‬וכמו כן הראינו ‪ Di Ξ (u) ∈ TΞ(u) Q‬לכל ‪.u ∈ U‬‬ ‫סימונים‪ :‬יהי ‪ Q‬משטח )רגולרי או עם שפה( ותהי ‪ Ξ : U → Q‬מערכת קואורדינטות‬ ‫‪48‬‬ ‫מתאימה ל‪ .x ∈ U -‬יהי גם ‪ w ∈ Tx Q‬ותהי ‪ ξ : Q → Rp‬שדה וקטורי על ‪.Q‬‬ ‫‪.∇w ξx =: ∇ξx (w) =: πx ◦ Dw ξ =: πx ◦ Dξx (w) .1‬‬ ‫מהגדרת שדה וקטורי‪.‬‬ ‫‪49‬‬ ‫איבר זה הוא ב‪Tx Q-‬‬ ‫)‪Ξ(u‬‬ ‫‪ .2‬הגדרנו לעיל את המטריצה ‪ g Ξ‬על־ידי ‪= hDi Ξ (u) , Dj Ξ (u)i‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪. gΞ‬‬ ‫זו מוגדרת חיובית ולכן הפיכה‪ .‬לפיכך נוכל לסמן ‪=: gΞ‬‬ ‫מנוסחת קרמר נובע ש‪ gΞ -‬מתקבלת מ‪ g Ξ -‬באמצעות נוסחה פולינומיאלית‪ ,‬ולכן‬ ‫מחלקות ‪ g Ξ‬נובע שגם ‪ gΞ‬חלקה‪.‬‬ ‫‪ .gij‬מטריצה‬ ‫‪k‬‬ ‫הגדרה‪ :‬ראינו שהאוסף ‪ {Di Ξ (u)}i=1‬הוא בסיס למרחב המשיק ‪.TΞ(u) Q‬‬ ‫נשים לב כי ‪ ,∇∂i (Ξ(u)) ∂j (Ξ (u)) ∈ TΞ(u) Q‬ולכן הוא צירוף לינארי של הבסיס הנ"ל‪.‬‬ ‫נסמן ב‪ Γlij (u)-‬את המקדם ה‪ l-‬בצירוף הלינארי של ))‪ ∇∂i Ξ(u) ∂j (Ξ (u‬לפי הבסיס‬ ‫‪k‬‬ ‫‪.{Di Ξ (u)}i=1‬‬ ‫נשים לב שכל ‪ Γlij‬הוא העתקה מהצורה ‪.Γlij : U → R‬‬ ‫למה‪ :‬מתקיימת הנוסחה‪:‬‬ ‫)‪hDi Dj Ξ (u) , Dm Ξ (u)i · gΞml (u‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪Γlij (u‬‬ ‫‪m=1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נחשב מצד אחד לכל ‪:1 ≤ m ≤ k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫)‪Γlij (u) Dl Ξ (u) , Dm Ξ (u‬‬ ‫‪* k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫= )‪∇∂iΞ ∂j (Ξ (u)) , Dm Ξ (u‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪Ξ‬‬ ‫‪Γlij (u) glm‬‬ ‫)‪(u‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪Γlij (u) hDl Ξ (u) , Dm Ξ (u)i‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪l=1‬‬ ‫ומצד שני‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ ‪E‬‬ ‫‬ ‫= )‪∇∂iΞ (u) ∂j (Ξ (u)) , Dm Ξ (u) = πΞ(u) ◦ D∂i (Ξ(u)) ∂j (Ξ (u)) , Dm Ξ (u‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪= πΞ(u) ◦ Di (Dj Ξ) (u) , Dm Ξ (u) = hDi Dj Ξ (u) , Dm Ξ (u)i‬‬ ‫‪47‬נזכור כי ‪ Di‬היא הנגזרת החלקית ה‪.i-‬‬ ‫‪48‬באופן כללי })‪ ,TΞ(u) Q =: Span {Di Ξ (u‬ולכן זה מוגדר היטב גם על משטח עם שפה ‪.Q‬‬ ‫‪49‬כלומר כל אלו סימונים שונים לאותו הדבר‪.‬‬ ‫‪71‬‬ ‫כאשר השוויון השני בחישוב האחרון נובע מכך שככלל עבור ‪f : Ξ (u) ⊂ Q → Rp‬‬ ‫חלקה כלשהי‪ ,‬עבור ‪ w = Di Ξ (u) ∈ Tx Q‬מתקיים ‪ .Dw f = Di f ◦ Ξ‬לכן בפרט‬ ‫עבור ‪ ,∂j‬עבור ))‪ w = Di Ξ (u) = ∂i (Ξ (u‬מתקיים )‪.Dw ∂j (Ξ (u)) = Dj Ξ (u‬‬ ‫השוויון השלישי בחישוב האחרון נובע מכך ש‪ π-‬הטלה אורתוגונלית‪ ,‬אבל כבר‬ ‫‪.Dm Ξ (u) ∈ TΞ(u) Q‬‬ ‫כעת נוכל להסיק שלכל ‪ ,1 ≤ i, j, m < k‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪Ξ‬‬ ‫‪Γlij glm‬‬ ‫)‪(u‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪hDi Dj Ξ (u) , Dm Ξ (u)i‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫⇓‬ ‫‪Ξ‬‬ ‫‪Γlij glm‬‬ ‫)‪(u‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪hDi Dj Ξ (u) , Dm Ξ (u)i‬‬ ‫‪m=1 l=1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪m=1‬‬ ‫⇓‬ ‫‪hDi Dj Ξ (u) , Dm Ξ (u)i gΞlm = Γlij‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪m=1‬‬ ‫‪P‬‬ ‫כאשר המעבר האחרון נובע מכפל שני הצדדים בהופכי ‪. l,m gΞlm‬‬ ‫סימון‪ :‬יהי ‪ Q‬משטח )רגולרי או עם שפה( ותהי ‪ Ξ : U → Q‬מערכת קואורדינטות‪ .‬תהי גם‬ ‫‪ ξ : Q → Rp‬שדה וקטורי‪.‬‬ ‫נשים לב כי ‪ ξ (Ξ (u)) ∈ TΞ(u) Q‬לכל ‪ ,u ∈ U‬לכן ניתן לבטא אותו כצירוף לינארי‬ ‫‪k‬‬ ‫של הבסיס ‪.{Di Ξ (u)}i=1‬‬ ‫נגדיר את ההעתקות ‪ ,1 ≤ i ≤ k ,ξ i : U → R‬על־ידי המקדמים בצירוף לינארי‬ ‫המגדיר את ‪ ξ‬לפי הבסיס הנ"ל‪ .‬כלומר‪:‬‬ ‫)‪ξ i (u) Di Ξ (u‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪ξ ◦ Ξ (u‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫מסקנה‪ :‬מלינאריות הנגזרת ומכלל לייבניץ נובעת הנוסחה‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Di ξ k (u) Dk Ξ (u) +‬‬ ‫)‪ξ j (u) Γkij (u) Dk Ξ (u‬‬ ‫‪j,k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪∇Di Ξ(u) ξ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫מסקנה‪ :‬מהנוסחה האחרונה‪ ,‬ניקח רק את הקואורדינטות ‪ k = i‬ונקבל את הדיברגנץ‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ X‬‬ ‫= )‪divξ ◦ Ξ (u) = T r ∇ξ|Ξ(u‬‬ ‫‪Di ξ i (u) +‬‬ ‫)‪ξ j (u) Γiij (u‬‬ ‫‪i,j‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪50‬באופן כללי‪ ,‬עקבה היא סכום האיברים במטריצת הייצוג לפי בסיס מסוים‪ .‬במקרה זה בחרנו את הבסיס‬ ‫})‪ {Dk Ξ (u‬ולכן הסכום הוא על המקדמים של וקטורי הבסיס‪.‬‬ ‫‪72‬‬ det (B (u)) 6= ‫ העתקה גזירה המקיימת‬B : U ⊂ Rn → M atn×n (R) ∼ = Rn ‫ תהי‬:‫תזכורת‬ 51 Di det ◦B −1 . det ◦B = T r ◦ B · Di B ‫ אז מתקיימת הנוסחה‬.u ∈ U ‫ לכל‬0 p X Di det g Ξ (u) i :‫למה‬ Γij (u) = p det g Ξ (u) i 2 :g ij = g ji -‫ נשתמש בכך שהנגזרות החלקיות מתחלפות וכן בכך ש‬:‫הוכחה‬ X X X Γiij (u) =: hDij Ξ (u) , Dl Ξ (u)i gΞli (u) = hDji Ξ (u) , Dl Ξ (u)i gΞli (u) = i i,l = i,l X1 i,l 2 [hDji Ξ (u) , Dl Ξ (u)i + hDi Ξ (u) , Djl Ξ (u)i] gΞli (u) :‫נשתמש בכלל לייבניץ ונקבל‬ X i Γiij (u) = 1 X 1 1X Ξ Dj [hDi Ξ (u) , Dl Ξ (u)i] gΞil (u) =: Dj gil (u) ·gΞil (u) = ·T r gΞ Dj g Ξ 2 2 2 i,l i,l :‫” ונקבל‬g Ξ = B”, ”gΞ = B −1 ” ‫ נתייחס‬,‫בהתאם לנוסחה שהזכרנו‬ p X 1 Dj det g Ξ Dj det g Ξ 1 Ξ i = p Γij (u) = · T r gΞ Dj g = · 2 2 det g Ξ det g Ξ i .‫כאשר השוויון האחרון נובע מכלל השרשרת‬ :‫טענה‬ 1 div (ξ ◦ Ξ) (u) = p det g Ξ (u) div (ξ ◦ Ξ) (u) = X q n X j Ξ Dj ξ det g (u) · j=1 :‫ מהמסקנה שהראינו לעיל נובע‬:‫הוכחה‬ X Di ξ i (u) + ξ j (u) Γiij (u) i i,j :‫כעת נפעיל את הלמה האחרונה ונקבל‬ p X X Di det g Ξ (u) j j div (ξ ◦ Ξ) (u) = Dj ξ (u) + ξ (u) p det g Ξ (u) j i,j .‫ולפי כלל לייבניץ הביטוי האחרון הוא הביטוי המבוקש‬ ‫ העתקה‬det ‫ ובפרט‬,‫ מוגדרות היטב‬det : M atn×n (R) → R ,T r : M atn×n (R) → R ‫ההעתקות‬51 .‫פולינומיאלית ולכן חלקה‬ 73 ‫‪18‬‬ ‫משפט הדיברגנציה‬ ‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ Q‬משטח עם שפה‪ .‬תהי ‪ .p ∈ ∂Q‬וקטור היחידה הניצב החיצוני ל‪ ∂Q-‬ב‪,p-‬‬ ‫הוא הווקטור היחיד ‪ νp‬המקיים את שלושת התנאים הבאים‪:‬‬ ‫⊥‬ ‫‪52‬‬ ‫‪" .1‬ניצב"‪νp ∈ (Tp N ) :‬‬ ‫‪" .2‬יחידה"‪hνp , νp i = 1 :‬‬ ‫‬ ‫‪" .3‬חיצוני"‪νp ∈ DΞp Rk<0 :‬‬ ‫המתקבל ממערכת קואורדינטות‬ ‫וביתר פירוט‪ :‬יהי })‪ {Di Ξ (u‬בסיס ל‪P ,TΞ(p) Q-‬‬ ‫‪ Ξ : U → Q‬על סביבת ‪ .p‬נפרוש )‪ ,νp = i ai Di Ξ (u‬אזי ‪.an < 0‬‬ ‫הגדרה‪ :‬בסימונים הנ"ל‪ ,‬השדה הווקטורי ניצב היחידה החיצוני של ‪ ,∂Q ⊂ Q‬הוא ההעתקה‬ ‫‪ ν : ∂Q → Rp‬המוגדרת על־ידי ‪.p 7→ νp‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫סימון‪ :‬תהי ‪ Ξ : U ⊂ Rn → Q‬מערכת קואורדינטות‪ .‬נסמן }‪ˆ = U ∩ Rn−1 × {0‬‬ ‫‪.U‬‬ ‫‪≥0‬‬ ‫‪ Ξˆ :U‬על־ידי ˆ |‪ˆ = Ξ‬‬ ‫מתקבלת מערכת קואורדינטות טבעית ‪ˆ → ∂Q‬‬ ‫‪.Ξ‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪P ni‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫ˆ( ‪gΞ Di Ξ‬‬ ‫ˆ( ל‪ˆ -‬‬ ‫‪ˆ (u) = − ip‬‬ ‫למה‪ :‬מתקיימת הנוסחה‬ ‫ˆ‪.‬‬ ‫‪u∈U‬‬ ‫‪ ,ν ◦ Ξ‬כאשר ‪u, 0) ∈ U‬‬ ‫ˆ( ‪gΞnn‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫רציפה‪ .‬לכן אם ‪ ξ : ∂Q → Rp‬שדה וקטורי‬ ‫מסקנה‪ :‬ההעתקה ‪ ν‬היא חלקה ובפרט ´‬ ‫‪53‬‬ ‫על ‪ ,∂Q‬אז האינטגרל ‪ N hξ, νi dvol‬מוגדר היטב‪.‬‬ ‫ששלוש תכונותיו מתקיימות עבור הביטוי‬ ‫הוכחה‪ :‬מיחידות ניצב היחידה החיצוני‪ ,‬די להראות‪P ni‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫ˆ( ‪g Di Ξ‬‬ ‫‪.F =: − ipΞ nn‬‬ ‫שבלמה‪ .‬לצורך הפשטות נסמן‬ ‫ˆ( ‪gΞ‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫ˆ( ‪ .Dj Ξ‬נחשב לפי תכונות המכפלה הפנימית‪:‬‬ ‫‪ .1‬יהי ‪u, 0) ∈ TΞ(u) Q‬‬ ‫‪P ni‬‬ ‫‪P ni‬‬ ‫‪Ξ‬‬ ‫‪u, 0) gij‬‬ ‫ˆ( ‪g‬‬ ‫ˆ( ‪u, 0) hDi Ξ‬‬ ‫ˆ( ‪u, 0) , Dj Ξ‬‬ ‫‪u, 0)i‬‬ ‫‪δjn‬‬ ‫ˆ( ‪i g‬‬ ‫‪p nn‬‬ ‫‪=− p‬‬ ‫‪= − p nn‬‬ ‫ˆ( ‪hF, Dj Ξ‬‬ ‫‪u, 0)i = − i‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫ˆ( ‪gΞ‬‬ ‫ˆ( ‪gΞnn‬‬ ‫ˆ( ‪gΞ‬‬ ‫ˆ( ˆ‬ ‫ˆ( ‪,Dj Ξ‬‬ ‫‪u, 0) = Dj Ξ‬‬ ‫ˆ(‪u) ∈ TΞ‬‬ ‫נשים לב שלכל ‪ 1 ≤ j ≤ n − 1‬מתקיים ‪ˆ u) ∂Q‬‬ ‫ולכן ‪ δjn = 0‬תמיד‪ .‬כלומר‬ ‫‪ .2‬נחשב‪:‬‬ ‫ˆ( ‪g nj‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫ˆ( ‪hF, −Dj Ξ‬‬ ‫‪u, 0)i p Ξnn‬‬ ‫ˆ( ‪gΞ‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫⊥‬ ‫) ‪.F ∈ (Tp N‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪j‬‬ ‫ˆ( ‪gΞnj Dj Ξ‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫‪p nn‬‬ ‫ˆ( ‪gΞ‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪j‬‬ ‫*‬ ‫‪F, −‬‬ ‫= ‪hF, Fi‬‬ ‫נציב את השוויון שמצאנו בסעיף ‪ ,1‬נשתמש בכך ש‪ δjn = 0-‬ל‪,1 ≤ j ≤ n − 1-‬‬ ‫ונסיק‪:‬‬ ‫ˆ( ‪gΞnj‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫‪δjn‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪nn‬‬ ‫‪nn‬‬ ‫ˆ( ‪gΞ‬‬ ‫ˆ( ‪u, 0) gΞ‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪p‬‬ ‫= ‪hF, Fi‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪52‬אם ‪ V ⊂ W‬מרחבים וקטוריים‪ ,‬המשלים הניצב ‪ V ⊥ ⊂ W‬הוא תת מרחב שווקטוריו ניצבים לווקטורי ‪.V‬‬ ‫בהקשר זה‪ Tp N ⊂ Tp M ,‬מרחבים וקטוריים‪ ,‬ומתייחסים ל‪ (Tp N )⊥ -‬כאל המשלים הניצב יחסית ל‪.Tp M -‬‬ ‫‪53‬כלומר‪ ,‬זה האינטגרל של ההעתקה ‪ hξ, νi : N → R‬המוגדרת על־ידי ‪.p 7→ hξ (p) , νp i‬‬ ‫‪74‬‬ ‫ˆ( ‪g nn‬‬ ‫)‪u,0‬‬ ‫)‪u,0‬‬ ‫ˆ( ‪gΞ‬‬ ‫‪ ,− √Ξnn‬ומכך ש‪g Ξ -‬‬ ‫‪ .3‬התנאי השלישי מתקיים כי המקדם ה‪n-‬־י הוא‬ ‫מטריצה מוגדרת חיובית נובע שביטוי זה שלילי‪ .‬‬ ‫משפט הדיברגנציה )למקרה פרטי(‪ :‬יהי ‪ Q ⊂ Rp‬משטח )רגולרי או עם שפה(‪ ,‬תהי → ‪ξ : Q‬‬ ‫‪ Rp‬שדה וקטורי ותהי ‪ Ξ : U → Q‬מערכת קואורדינטות‪.‬‬ ‫נניח כי ) ‪ ,Supp (ξ) ⊂ Ξ (U‬אזי מתקיים‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪div (ξ) dV ol‬‬ ‫‪hξ, νi dV ol‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪∂Q‬‬ ‫כאשר ‪ ν : ∂Q → Rp‬היא ההעתקה ‪ p 7→ νp‬שהגדרנו כווקטור היחידה הניצב‬ ‫החיצוני‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מהגדרת האינטגרל על משטח במקרה בו התומך מקיים את התנאי הנ"ל‪ ,‬נובע כי‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫‪div‬‬ ‫)‪(ξ‬‬ ‫‪dV‬‬ ‫‪ol‬‬ ‫‪=:‬‬ ‫‪divξ‬‬ ‫◦‬ ‫‪Ξ‬‬ ‫)‪(u‬‬ ‫‪det g Ξ du‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪U‬‬ ‫עבור ‪ U 0 ⊂ U‬קומפקטית ומקיימת ‪.Ξ−1 (Supp (ξ)) ⊂ U 0‬‬ ‫מנוסחה בטענה קודמת נובע לפיכך‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‬ ‫‪q‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪Ξ‬‬ ‫·‬ ‫)‪Dj ξ (u) det g (u‬‬ ‫= ‪det g Ξ (u)du‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‬ ‫= ‪det g Ξ (u) du‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪det g Ξ (u‬‬ ‫ˆ‪X‬‬ ‫‬ ‫)‪Di ξ i (u‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪q‬‬ ‫‪Di ξ i (u) det g Ξ (u) dui‬‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪div (ξ) dV ol‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪dui‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫=‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪dun‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪p‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪du1 ...‬‬ ‫ˆ‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪i‬‬ ‫‪not included‬‬ ‫לוקחים את תחום האינטגרציה‬ ‫ממשפט פוביני‪ ,‬כאשר ∞ ´‬ ‫כאשר השוויון האחרון נובע∞ ´‬ ‫עבור כל ‪ i 6= n‬להיות ‪ −∞ dui‬ועבור ‪ n‬להיות ‪. 0 dun‬‬ ‫מההנחה ) ‪ Supp (ξ) ⊂ Ξ (U 0‬נובע לפי המשפט היסודי של החדו"א שלכל ‪i 6= n‬‬ ‫האינטגרל מתאפס‪ ,‬ונסיק ‪ -‬שוב לפי המשפט היסודי של החדו"א ‪ -‬שמתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫∞ ˆ‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫)‪u, 0) det g Ξ (u‬‬ ‫ˆ( ‪Dn ξ n (u) det g Ξ (u) dun = −ξ n‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נסיק מכל זאת שמתקיים‪:‬‬ ‫ˆ( ‪det g Ξ‬‬ ‫ˆ‪u, 0)d‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪q‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ( ‪ξ n‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪div (ξ) dV ol = −‬‬ ‫‪ˆ0‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫מצד שני‪ ,‬מהגדרת האינטגרל על משטחים נובע שהביטוי השני בשוויון שבלמה הוא‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪ˆ D‬‬ ‫‪Eq‬‬ ‫ˆ( ˆ‬ ‫‪hξ, νi dV ol =:‬‬ ‫‪ν◦Ξ‬‬ ‫‪u) , ξ ◦ Ξ‬‬ ‫ˆ‪det g Ξˆ (u)d‬‬ ‫‪u‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪U‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪∂Q‬‬ ‫נשים לב שהאינטרגרנד מקיים‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E P‬‬ ‫‬ ‫ˆ( ‪ξ n‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫ˆ( ˆ‬ ‫‪ν◦Ξ‬‬ ‫ˆ( ‪u) , ξ ◦ Ξ = F, i ξ i Di Ξ‬‬ ‫ˆ( ‪u, 0) = hF, ξ n Dn Ξ‬‬ ‫‪u, 0)i = − p nn‬‬ ‫ˆ( ‪gΞ‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫כאשר השוויון הראשון והשני נובעים מהלמה הקודמת ומכך ש‪ δjn = 0-‬לכל ≤ ‪1‬‬ ‫‪ ,j ≤ n − 1‬והשוויון האחרון מהנוסחה המופיעה בסעיף ‪ 1‬בהוכחת אותה הלמה‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ( ‪det g Ξ‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫ˆ( ‪ξ‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫‪gΞ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ˆ( ‪= ξ‬‬ ‫‪u, 0) q‬‬ ‫‪. p nn‬‬ ‫‪ gΞnn = det‬ולכן‬ ‫מנוסחת קרמר נובע ‪det g Ξ‬‬ ‫ˆ( ‪gΞ‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫ˆ( ˆ‪det g Ξ‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫נסיק בסך הכל‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫ˆ( ˆ‪det g Ξ‬‬ ‫ˆ‪u)d‬‬ ‫=‪u‬‬ ‫ˆ( ‪ξ n‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫‪p nn‬‬ ‫ˆ( ‪gΞ‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪hξ, νi dV ol = −‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪U‬‬ ‫‪∂Q‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪ˆ p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫ˆ( ‪det g Ξ‬‬ ‫‪u, 0) n‬‬ ‫‪q‬‬ ‫ˆ( ‪ξ‬‬ ‫ˆ( ˆ‪u, 0) det g Ξ‬‬ ‫ˆ‪u)d‬‬ ‫‪u=−‬‬ ‫ˆ( ‪ξ n‬‬ ‫ˆ( ‪u, 0) det g Ξ‬‬ ‫ˆ‪u, 0)d‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪U‬‬ ‫‪U‬‬ ‫)‪u, 0‬‬ ‫ˆ( ˆ‪det g Ξ‬‬ ‫‬ ‫משפט הדיברגנציה )הכללי(‪ :‬יהי ‪ Q ⊂ Rp‬משטח עם שפה ותהי ‪ ξ : Q → Rp‬שדה וקטורי‬ ‫עם תומך קומפקטי‪ .‬אזי מתקיים‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪div (ξ) dV ol‬‬ ‫‪hξ, νi dV ol‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪∂Q‬‬ ‫שקיים עבורו כיסוי סופי על־ידי תמונות של מערכות‬ ‫)‪ Supp (ξ‬נובע ‬ ‫הוכחה‪ :‬מקומפקטיות ‪n‬‬ ‫קואורדינטות ‪. Ξi : U i → Q i=1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫לכן‬ ‫יהי ‪Q → R}i=1‬‬ ‫‪ {ηi :P‬פיצול יחידה ל‪ (Q, Supp (ξ))-‬הכפוף לכיסוי הנ"ל‪Pn .‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪η‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫·‬ ‫‪ξ‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪ξ‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫נובע‬ ‫מכאן‬ ‫‪.x‬‬ ‫∈‬ ‫‪Supp‬‬ ‫)‪(ξ‬‬ ‫לכל‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1 ηi (x) = 1‬‬ ‫לכל ‪.x ∈ Q‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫ראינו לעיל את הנוסחה )‪ ,divξ = i=1 div (ηi ξ‬ולכן מתקיים‪:‬‬ ‫´‬ ‫´ ‪Pn‬‬ ‫´ ‪Pn‬‬ ‫= ‪div (ξ) dV ol = i=1 Q div (ηi ξ) dV ol = i=1 ∂Q hν, ηi i dV ol‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪hν, ξi dV ol‬‬ ‫´‬ ‫‪∂Q‬‬ ‫= ‪ηi ξi dV ol‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪hν,‬‬ ‫´‬ ‫‪∂Q‬‬ ‫=‬ ‫כאשר המעבר בין השורה הראשונה לשנייה נובע ממשפט הדיברגנציה בגרסתו הקודמת‪,‬‬ ‫שכן ‪ .Supp (ηi ξ) ⊂ Ξi U i‬‬ ‫דוגמה‪ :‬נתבונן ב‪ Rp \ {0}-‬כמשטח עם שפה‪ ,‬ותהי ‪ ξ : Rp \ {0} → Rp‬שדה וקטורי המוגדר‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ x 7→ kxk‬ל‪ q 6= 0-‬שלם‪.‬‬ ‫על־ידי ‪q‬‬ ‫ניקח מערכת קואורדינטות טריוויאלית }‪ ,Id = Ξ : Rp → Rp \ {0‬ונקבל כי = ‪Di Ξ‬‬ ‫‪) ei‬כלומר וקטור היחידה הסטנדרטי ה‪.(i-‬‬ ‫‪76‬‬ ‫ על־ידי וקטורי הבסיס המתקבלים‬,‫ שתמונתו במרחב המשיק‬,‫נפרוש את השדה הווקטורי‬ :‫מנגזרת מערכת הקואורדינטות‬ p p p X X X xi x ξ i (x) Di Ξ (x) = ξ i (x) ei x = q = ξ (x) = q kxk kxk i=1 i=1 i=1 :‫ נחשב‬.1 ≤ i ≤ p-‫ ל‬ξ i (x) = xi kxkq ‫כלומר‬ p Ξ gij = hDi Ξ, Dj Ξi = hei , ej i = δij =⇒ g Ξ = Ip×p =⇒ det g Ξ = 1 p Pn div (ξ ◦ Ξ) (u) = √ 1 Ξ · j=1 Dj ξ j det g Ξ (u) ‫לכן נסיק מהנוסחה הכללית‬ det g (u) Pp :‫ נחשב איבר איבר לפי כלל לייבניץ לנגזרות‬.div (ξ) = i=1 Di ξ i ‫שמתקיים כאן‬ −q−1 xi 1 1 1 Di ξ i = Di kxk = kxk −q kxk · Di kxk q = q + xi kxkq + xi Di kxkq :‫חישוב עזר‬ qP p j=1 Di kxk = Di 2xi x2j = √P p 2 j=1 x2j = √Pxpi j=1 x2j = xi kxk ⇓ Di ξ i = −q−1 + xi −q kxk · 1 kxkq xi kxk = 1 kxkq −q· x2i kxkq+2 = :‫לכן נובע שהדיברגנץ הוא‬ div (ξ) = p X Di ξ i = i=1 p X i=1 " 1 x2i q −q· q+2 kxk kxk # = p X p q p−q − x2i = q q q+2 kxk kxk kxk i=1 ‫ לפיכך ניקח למשל את המשטח עם שפה‬.div (ξ) = 0 ‫ נובע כי‬p = q ‫ עבור‬:‫הערה‬ 55 .∂Q = SR (0) ∪ Sr (0) ‫ ונשים לב כי‬54 ,0 < r < R-‫ ל‬Q = B R (0) \Br (0) x 7→ −x kxk ‫ וכי הוא‬,SR (0) ‫ עבור‬x 7→ x kxk ‫קל לראות גאומטרית שניצב היחידה הוא‬ :‫ לכן נובע ממשפט הדיברגנץ‬.Sr (0) ‫עבור‬ ´ ´ ´ 0 = Q 0dV ol = Q div (ξ) dV ol = ∂Q hν, ξi dV ol = ´ = D SR (0) x x kxk , kxkq E dV ol − ´ D Sr (0) x x kxk , kxkq E dV ol ⇓ ´ SR (0) D x x kxk , kxkq E dV ol = ´ D Sr (0) x x kxk , kxkq E dV ol .‫ סביב הראשית‬R-‫ ו‬r ‫כלומר הכדורים ברדיוס‬54 .‫ סביב הראשית‬R-‫ ו‬r ‫כלומר הספרות ברדיוס‬55 77 ‫‪1‬‬ ‫אבל נשים לב כי‬ ‫‪kxkp−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= Rp−1‬‬ ‫מתקיים‬ ‫‪kxkp−1‬‬ ‫=‬ ‫‪kxk‬‬ ‫‪kxkp‬‬ ‫=‬ ‫‪E‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪kxk , kxkq‬‬ ‫‪D‬‬ ‫)הנחנו ‪ .(p = q‬עבור )‪x ∈ SR (0‬‬ ‫ועבור )‪ x ∈ Sr (0‬מתקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r p−1‬‬ ‫= ‪ . kxk1p−1‬לכן מהשוויון‬ ‫האחרון נובע‪:‬‬ ‫‪dV ol‬‬ ‫´‬ ‫)‪Sr (0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r p−1‬‬ ‫= ‪dV ol‬‬ ‫´‬ ‫)‪SR (0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Rp−1‬‬ ‫בפרט‪ ,‬עבור ‪ r = 1‬נקבל נוסחה שקושרת בין תכולת הספרה ב‪ Rp -‬ברדיוס ‪ R‬לבין‬ ‫ספרת היחידה‪.V ol (SR (0)) = Rp−1 · V ol (S1 (0)) :‬‬ ‫‪18.1‬‬ ‫מסקנות‪ :‬נוסחאות גרין וגאוס‬ ‫נוסחת גרין‪ :‬יהי ‪ D ⊂ R2‬משטח עם שפה המקיים כי ‪ ∂D‬מסילה סגורה‪ .‬תהי ‪ξ =:‬‬ ‫‪ (ξ1 , ξ2 ) : R2 → R2‬שדה וקטורי ותהי ‪ ν : ∂Q → Rp‬הנורמל החיצוני‪ .‬אזי מתקיים‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪∂ξ2‬‬ ‫‪∂ξ1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪dxdy‬‬ ‫= ‪hξ, νi dV ol‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪∂D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫נשים לב שמכיוון שאנו ב‪ R2 -‬מתקיים‪:‬‬ ‫!‬ ‫‪∂ξ1‬‬ ‫‪∂ξ1‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫= ‪∇ξx = πx ◦ Dξx = Dξx‬‬ ‫‪∂ξ2‬‬ ‫‪∂ξ2‬‬ ‫)‪∂x (x‬‬ ‫)‪∂y (x‬‬ ‫‪∂ξ2‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫מכאן שהדיברגנץ הוא‬ ‫קובע את הנוסחה הנדרשת‪.‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪∂ξ1‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫= )‪ ,div (ξ) = T r (∇ξ‬ולכן משפט הדיברגנציה‬ ‫נוסחת גאוס‪ :‬יהי ‪ V ⊂ R3‬משטח עם שפה‪ .‬תהי ‪ ξ =: (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) : R3 → R3‬שדה‬ ‫וקטורי‪ .‬אזי מתקיים‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪∂ξ1‬‬ ‫‪∂ξ2‬‬ ‫‪∂ξ3‬‬ ‫= ‪hξ, νi dV ol‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪dxdydz‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪∂V‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪∂ξ2‬‬ ‫‪∂ξ3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ,div (ξ) = T r (∇ξ) = T r (Dξ) = ∂ξ‬ומשפט‬ ‫גם כאן מתקיים ‪∂x + ∂y + ∂z‬‬ ‫הדיברגנציה קובע את הנוסחה הנדרשת‪.‬‬ ‫‪78‬‬