– ג ע" תש `א מבחן מועד מבוא לקשר כימי
מבוא לקשר כימי – מבחן מועד א' תשע"ג
משך הבחינה :שלוש שעות.
מרצה :פרופ' רועי בר
ענו על שאלה 1ועל אחת משתי השאלות 2או ( 3כל שאלה 05נק') .תוכלו להשתמש בדפי הנוסחאות המחולקים לכם.
שימו לב :שאלון המבחן פרוס על שני עמודים.
.1
(חובה 05 ,נק') נכון או לא נכון .נמק (אין קשר בין הסעיפים):
א.
( 7נק') באפקט הפוטואלקטרי ,האנרגיה הקינטית של אלקטרון הנפלט מהמתכת היא פונקציה לינארית של תדר האור
הפוגע .שיפוע הפונקציה הלינארית הזו תלוי בסוג המתכת.
ב.
( 7נק') לפי מודל ניוטון ,אור מתקדם במים (מקדם שבירה )1.1מהר יותר מאשר באויר (מקדם שבירה .)1
ג.
( 7נק') פונקציית הגל של שני אלקטרונים ,שהם פרמיונים ,תמיד אנטי-סימטרית מבחינה מרחבית אבל יכולה להיות גם
סימטרית וגם אנטי סימטרית מבחינת הספין.
ד.
( 8נק') באטום דמוי מימן ,שבו לגרעין יש מטען חיובי
בפרופורציה ל
ה.
,מספר המצבים העצמיים (הקשורים) של אלקטרון גדל
.
( 7נק') במצבים עצמיים קשורים עיקרון אי הודאות של הייזנברג
באשר
יכול להרשם כך:
האנרגיה הקינטית.
ו.
( 7נק') למערכת מסויימת המילטוניאן ̂ .מכינים אותה במצב
ומיד מתחילים בסדרת מדידות של גודל .בכל המדידות
מקבלים את אותה תוצאת מדידה .כשחוזרים על הניסוי צופים באותה תופעה .דבר זה ייתכן רק אם:
מצב עצמי של
האופרטור ̂ .
ז.
( 7נק') להמילטוניאן ̂ מצב יסוד
⟩
|̂ |
.אנרגיית מצב היסוד של ̂ גדולה מאנרגיית מצב היסוד של ̂
̂
̂ אם
⟨ ( .רמז :בדוק בעזרת משפט הוריאציה).
פתרון:
.2
א.
לא נכון .השיפוע הינו קבוע פלאנק ,קבוע אוניברסלי
ב.
נכון.
ג.
לא נכון.
ד.
לא נכון (יש אינסוף מצבים קשורים)
ה.
נכון .אי הודאות בתנע בריבוע חלקי פעמיים המסה שווה לאנרגיה הקינטית של המצב העצמי.
ו.
נכון
ז.
נכון:
| |
⟩
⟩
⟨
| |
⟩
⟨
| |
⟨
(בחירה-חובה 05 ,נק') אנרגיית מצב היסוד האלקטרוני של אטום חנקן היא
אופנהיימר עבור מצב היסוד של מולקולת ה-
⟩
|
|
⟨
ומסת הגרעין היא
.עקום בורן
נתון בקרוב בנוסחה הבאה:
]
)
)
(
([
) (
א.
( 15נק') הסבירו בקצרה למה נועד קרוב בורן אופנהיימר ,על מה הוא מתבסס ומה מייצג עקום בורן-אופנהיימר ) ( .
ב.
( .ציירו סכמטית את העקום וציינו על האיור
( 15נק') הסבירו את משמעות הפרמטרים השונים בעקום הנתון (
את הגדלים
ג.
,
,
.
( 15נק') היעזרו בקרוב ההרמוני ומצאו ביטוי לאנרגיית מצב היסוד של המולקולה ולתדירות הויברציה .מה הקשר בין
תדירות הויברציה לחוזק הקשר הכימי?
ד.
( 15נק') בספקטרום היוניזציה של חנקן מתקבלים שלושה פיקים הנתונים בטבלה .הקונפיגורציה האלקטרונית של
במצב היסוד היא:
ציירו את הרמות האנרגיה האורביטליות של
,
האורביטליות הגבוהות
(כולל אכלוס אלקטרונים בכל רמה) ,וקבעו מהן שלושת האנרגיות
במולקולה ,תוך שימוש בעקרון ,Koopmansלפיו פוטנציאל היוניזציה של המולקולה
שווה לאנרגיה של האורביטלה ממנה מוציאים את האלקטרון ,כלומר:
ה.
הינה
( 15נק') תדירות הויברציה של
.ראו טבלה למטה.
, 2130מה ניתן לומר על אופי שלושת האורביטלים (קושר ,לא קושר,
אנטי קושר) מהם יוצא האלקטרון? רמז :השתמשו במסקנה מסעיף ג' לגבי הקשר בין תדר הויברציה וחוזק הקשר הכימי,
וכן ,שהוצאת אלקטרון מאורביטלה מולקולרית קושרת מחלישה את הקשר והצאתו מאורביטלה מולקולרית אנטי-קושרת
מחזקת אותו.
פוטנציאל היוניזציה ]
תדירות הויברציה
[
]
[
יוניזציה למצב היסוד
של הקטיון
10.6
2125
יוניזציה למצב מעורר
אלקטרונית 2של הקטיון
11.1
2055
יוניזציה למצב מעורר
אלקטרונית 1של הקטיון
16.7
1105
פתרון:
1.0
0.0
0.5
V x 2eN v0
0.5
1.0
8
4
6
0
2
a x x0
רואים כי
הפוטנציאל מתואר באיור לעיל .כאשר
) ( ובאמת
) ( כלומר,
הערך של עקום בורן אופנהיימר ) ( שואף לאנרגיה של שני אטומי חנקן .זה הגיוני כי כאשר שני הגרעינים
רחוקים מצב היסוד האלקטרוני הוא של שני אטומי חנקן במצה היסוד מבודדים (אין דחייה בין הגרעינים כשהם
מרוחקים) ,כלומר
.
המינימום של העקום מתקבל כאשר
הערך המינימלי של העקום הוא:
) ( .מכאן,
( כלומר ב
)
)
.
) ( ( או ,במילים אחרות :האנרגיה המינימלית היא
היא עומק הבור או אנרגיית הקשר או האנתלפיה (ללא תיקון של אנרגיית
האפס הויברציונית) .בקרוב ההרמוני התדר הויברציוני הינו:
)
√
(
היא האנרגיה המצומצמת .רואים מהביטוי שככל שהקשר יציב יותר (
√
√
,באשר
גבוה יותר) כך הויברציה
גבוהה יותר.
מהטבלה ועיקרון קופמנס רואים כי האנרגיה של
היא
של
היא
היא
ושל
.מכך שתדירות הויברציה של הקטיון קטנה מעט מזו של חנקן הנייטרלי וזו של המצב הקטיוני
המעורר הראשון קטנה בהרבה .מכך אנו למדים שהאורביטלה
קושרת וגם האורביטלה
(עוד יותר) ,כי
הוצאת אלקטרון מאחת משתי האורביטלות הללו מחלישה את הקשר הכימי .מאידך רואים שהקטיון במצב
המעורר השלישי הינו בעל תדר ויברציה גבוהה יותר .משמעות הדבר שהקשר הכימי חזק יותר בקטיון זה.
רואים שהוצאת אלקטרון מ
מחזקת את הקשר ,לכן האורביטלה
אנטי קושרת.
.1
(בחירה-חובה 05 ,נק') חלקיק בעל מסה
מצוי בקופסא חד-מימדית
1.0
מכינים את
0.8
על ציר ,כמתואר באיור .אורך הקופסא .בזמן
)
0.4
(
) (
{
0.2
אחרת
.
א.
( 10נק') קבעו את מקדם הנרמול
ב.
( 10נק') מודדים את האנרגיה .אילו ערכים יכולים התקבל?
1.0
0.6
0.8
0.2
0.4
0.0
0.0
xL
רשמו ביטוי להסתברות למדידת כל ערך .אילו ערכי אנרגיה ניתן לקבל ,ועבור אילו ערכים מתאפס הסיכוי?
ג.
( 15נק') רשמו ביטוי לפונקציית הגל בזמן
ד.
( 15נק') הראו שערך התצפית של האנרגיה שווה לאחד מהערכים העצמיים של ההמילטוניאן .איזהו?
ה.
נוסחאות עזר:
)
(
)
הביטוי
הערה :כאשר
)
,כלומר ל) -
)
(
(
)
(
( .
(
∫
)
,
(
)
( שווה ל .
)
פתרון:
נרמול פונקציית הגל:
)
כלומר √
(
∫
(
)
⟩ | ⟨
∫
.
הפונ' העצמיות והערכים העצמיים של ההמילטוניאן בחלקיק בקופסא הם:
)
(
,ו-
) (
√
.
באשר ) (
כעת נחשב את החפיפה בין מצב המערכת ובין כל אחד מהמצבים העצמיים של ההמילטוניאן ) (
)
(
)
)
(
√
∫
(
)
)
(
) ( )
(
)
(
(
∫ √
⟩ |
:
⟨
∫
מהאקסיומות של מכניקה קוונטית הפריסה של המצב הנתון לפי פונקציות עצמיות של ההמילטוניאן היא:
)
(
)
(
(
)
∑ √
) (
∑
) (
ובזמן :
)
(
)
)
(
(
∑ √
לפי נוסחת ערך התצפית ,ערך התצפית של האנרגיה הוא
) (
|
|
∑
∑
⟩ ̂ ⟨ ,נציב את ה-
)
(
ונקבל:
(
∑
x N
החלקיק במצב המתואר באיור משמאל והנתון בנוסחה:
0.6
)
)
(
(∑
ערך התצפית של האנרגיה במצב הנתון שווה לערך העצמי ה 11 -של ההמילטוניאן.
בהצלחה!
⟩̂ ⟨
© Copyright 2024