וקטורים גיאומטריים
ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 נושא :5וקטורים נושא זה מורכב משני תתי-נושאים: א .וקטורים גיאומטריים :נושא זה מכיל את כל ההגדרות והפעולות בווקטורים ,ישרים בעלי גודל וכיוון. ב .וקטורים אלגבריים :נושא זה מכיל את אותן ההגדרות והפעולות ,כאשר הווקטורים ממוקמים במערכת הצירים. וקטורים גיאומטריים וקטור הוא ישר בעל כיוון ואורך .שני וקטורים במרחב, בעלי אותו כיוון ואורך ,זהים זה לזה גם אם מוצאם בנקודות שונות .כך שניתן להעתיק וקטורים במרחב תוך שמירת הכיוון שלהם .את הווקטורים מסמנים באותיות v , uו w -עם קו תחתון. וקטור בעל אורך זהה וכיוון נגדי לווקטור uנקרא וקטור נגדי והוא מסומן כך. − u : u v w w לחילופין נוכל לסמן וקטור באמצעות שתי הנקודות בקצוותיו. נקפיד על כיוון הווקטור ,בהתאם לנקודה בה הוא מתחיל ולנקודה בה הוא מסתיים .כשנציג וקטור באופן זה ,יופיע חץ בכיוון הווקטור מעל שתי האותיות .הווקטור הנגדי לווקטור ABהוא הווקטור . BA −u v C חיבור וקטורים וקטור המתחיל בנקודת מוצא של וקטור אחד ומסתיים בסופו של וקטור שני מייצג חיבור שני וקטורים .נתבונן בשרטוט: בכדי להביע את הווקטור העליון" ,נצעד לאורך המסלול" .תחילה ,נצעד לאורך הווקטור , uולאחר מכן לאורך הווקטור , vכך שקיבלנו את הווקטור . u + v B CA AB A u+v u v v כלל ההעתקה מאפשר לנו לחבר גם וקטורים שאינם מסודרים "ראש לעקב" .נתבונן בשרטוט ונחבר את הווקטור vעם הווקטור . u בכדי לחברם ,נעתיק את הווקטור vכך שיתחיל בסופו של הווקטור ) uמסומן במקווקו( .כעת נחזור על השלבים מהדוגמא הקודמת ,ונקבל כי וקטור ה"חיבור" הוא. u + v : u+v u חיסור וקטורים חיסור וקטורים הוא למעשה חיבור של הווקטור הנגדי .נתבונן בשרטוט: בכדי להביע את וקטור "החיסור" ,נצעד לאורך הווקטור uבכיוונו הנגדי ,כך שלמעשה צעדנו לאורך הווקטור . − uלאחר מכן ,נצעד לאורך הווקטור vבכיוונו המקורי .נקבל את "וקטור החיסור" − u + v :ולאחר סידור. v − u : v−u u חיבור וקטורים במרחב כל הכללים שמנינו מתקיימים גם במרחב .נתבונן בתיבה שבשרטוט: הווקטור , AB = uאך גם לווקטורים A' B' , DCו D'C ' -יש את אותו הכיוון והגודל ומכאן שהם גם שווים ל. u - 'C באופן דומה AA' = BB' = CC ' = DD' = v :וכן. AD = BC = A' D' = B' C ' = w : C v 'D 'A 'B בכדי להביע את הווקטור ' , BDנצעד במסלול '. BD' = BA + AD + DD מכיוון ש AD = w , BA = −u :ו , DD' = v -נקבל כי , BD' = −u + w + v :ולאחר D v w B u A סידור. BD' = v + w − u : שימו לב :אין זה משנה באיזה מסלול נבחר .כל המסלולים המתחילים באותה הנקודה ומסתיימים באותה הנקודה יביאו אותנו להצגה זהה .לכן ,נשתדל לבחור במסלול הקצר והנוח. © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 70 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ארכימדס -פתרונות למידה כפל וקטור בסקלר וקטור שאורכו גדול פי שניים מהווקטור vומקביל לו הוא למעשה סכום הווקטורים v + vולבסוף . 2vהמספר הממשי המקדם את הווקטור נקרא סקלר. הסקלר קובע את אורכו של הווקטור ויכול להפוך את כיוונו .כך לדוגמא ,וקטור 2v v 1 − v 2 v 1 שאורכו גדול פי שלושה מהווקטור vשווה , 3vווקטור שאורכו מחצית מן הווקטור vוכיוונו הפוך שווה . − v 2 לסיכום :כאשר כופלים את הווקטור vבסקלאר , tמתקבל הווקטור : t ⋅ v • כאשר , t > 1הווקטור t ⋅ vהוא באותו הכיוון כמו הווקטור vוארוך ממנו פי ) tפי ,2-פי.(5- • כאשר , 0 < t < 1הווקטור t ⋅ vהוא באותו הכיוון כמו הווקטור vוקצר ממנו פי ) tפי ,0.5-פי.(0.4- • כאשר t < 0הווקטור t ⋅ vהוא בכיוון מנוגד לווקטור vוארוך ממנו פי ) tפי ,0.5-פי.(5- באופן זה ,ניתן להגיע לכל נקודה על הישר עליו מונח הווקטור . v 'D 'C כללים אלו מתקיימים גם במרחב .כך לדוגמא ,אם נרצה להביע את הווקטור , AO ) Oאמצע הקטע ' ,(BDנבחר במסלול . AO = AB + BOאנו יודעים כי , AB = u 'B 'A O D C v אך בכדי להביע את הווקטור BOניעזר בכך שהוא שווה למחצית מהווקטור '. BD 1 ' AO = AB + BO → AO = u + BD כלומר: A u B 2 את הווקטור ' BDנביע באמצעות המסלול BD' = BA + AD + DD' :ומכאן . BD' = v + w − u :לסיכום: 1 1 1 1 1 1 1 1 AO = AB + BD' → AO = u + (v + w − u ) → AO = u + v + w − u → AO = u + v + w 2 2 2 2 2 2 2 2 B w וקטורים הפורשים מישור כל שני וקטורים שאינם על ישר אחד פורשים מישור יחיד .כל וקטור במישור הוא קומבינציה לינארית של הווקטורים הפורשים אותו. למעשה ,מכאן נובע שנקודה כלשהי במרחב תימצא על מישור ABCאם ניתן להגיע אליה באמצעות קומבינציה לינארית של uו . v -כך לדוגמא: הנקודה Fנמצאת על המישור ABCאם ניתן להגיע אליה כך: . AF = s ⋅ u + t ⋅ v שימו לב :ניתן להגיע לכל נקודה על המישור על ידי הכפלת שני הווקטורים הפורשים את המישור בסקלרים מתאימים. s ⋅u A F t ⋅v C וקטור המקביל למישור וקטור מקביל למישור כאשר הוא ניתן להצגה באמצעות שני הווקטורים הפורשים את המישור בלבד ,והוא יוצא מנקודה שאינה נמצאת על המישור. 1 1 u + v + t − w 1 1 דוגמא :נתון הווקטור . u + v + t − wמצא עבור איזה ערך של ,tהווקטור מקביל 2 3 2 3 v למישור הנפרש על ידי שני הווקטורים uו. v - 1 1 u תשובה :הווקטור u + v + t − wמקביל למישור זה ,כאשר הוא ניתן להצגה 2 3 באמצעות שני הווקטורים uו v -בלבד ,כלומר ללא הווקטור . wמכאן שהסקלר המקדם של הווקטור wמוכרח 1 1 להיות .0לסיכום t − = 0 :ולאחר העברת אגפים. t = : 3 3 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 71 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 המכפלה הסקלרית מכפלת שני וקטורים נקראת מכפלה סקלרית ,ונחשב אותה לפי הנוסחה. u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cosα : כאשר uהוא האורך של הווקטור v , uהוא האורך של הווקטור , vו α -היא הזווית שבין שני הווקטורים שמוצאם באותה הנקודה. v u שימו לב :ניתן לתאר זווית בין כל שני וקטורים ,גם אם מוצאם אינו באותה α נקודה ,וזאת על ידי העתקת הווקטורים ,כך שייצאו מאותה נקודה. או כדי להשתמש בנוסחה ,הווקטורים צריכים לצאת מאותה נקודה ,ורק אז נקבל את הזווית המבוקשת. להיכנס לאותה נקודה חשוב :הביטוי u ⋅ vאינו מספר ,ולכן אסור לצמצם אותו או לפרק אותו כמכפלה .עם זאת ,האגף הימני של המשוואה u ⋅ v ⋅ cos α :מכיל מספרים ממשיים ,ומותר לבצע עליו את כל הפעולות החשבוניות .לכן ,בתרגילי וקטורים גיאומטריים ,נשאף להביע את כל הביטויים u ⋅ w , u ⋅ vו v ⋅ w -המופיעים בתרגיל ,באמצעות המכפלה הסקלרית .פעולה זו תחליף את הביטויים הבלתי ניתנים לצמצום u ⋅ w , u ⋅ v ,ו , v ⋅ w -בביטויים מספריים המותרים בכל הפעולות המתמטיות. אם נבצע מכפלה סקלרית של וקטור בעצמו נקבל: ומכאן שאורכו של וקטור הוא: חשוב :כמו שאמרנו ,הביטוי 2 2 u 2 u ⋅ u = u ⋅ u ⋅ cos 0° → u ⋅ u = u → u = u ⋅ u = uולאחר העלאה בריבוע: u ⋅u = u 2 2 .u = u אינו מספר ,ולכן אסור לצמצם את החזקה עם השורש. אם נבצע מכפלה סקלרית של שני וקטורים המאונכים זה לזה נקבל: ומכאן שמכפלת שני וקטורים המאונכים זה לזה שווה ל.0- u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos 90° → u ⋅ v = 0 כאשר הזווית שבין הווקטורים חדה , 0° < α < 90° ,קוסינוס הזווית הוא מספר חיובי ,ומכאן שהמכפלה הסקלרית של שני וקטורים ,שהזווית ביניהם היא חדה ,היא חיובית. כאשר הזווית שבין הווקטורים קהה , 90° < α < 180° ,קוסינוס הזווית הוא מספר שלילי ,ומכאן שהמכפלה הסקלרית של שני וקטורים ,שהזווית ביניהם היא קהה ,היא שלילית. u⋅v על ידי העברת אגפים במכפלה הסקלרית הבסיסית ,נקבל את המשוואה: u ⋅v = . cosαבאופן זה המשוואה מאפשרת לנו למצוא את הזווית שבין שני וקטורים שאורכיהם נתונים. 2v + w דוגמא :נתון w = 3 , v = 2 :ו . α = 120° -מצא את אורך הווקטור . 2v + w v 120° (2v + w)2 w = 4v + 4v ⋅ w + w תשובה :לפי הנוסחה לאורך וקטור נקבל כי: כעת עלינו להביע בנפרד כל אחד מהביטויים בתוך השורש שאינם ניתנים לצמצום: 2 2 2 2 אנו יודעים כי v = v :ולכן . v = 4באותו האופן נקבל כי . w = 9כעת נמצא את ערך המכפלה : v ⋅ w 2 2 = 2v + w 1 v ⋅ w = v ⋅ w ⋅ cos 120° → v ⋅ w = 2 ⋅ 3 ⋅ − → v ⋅ w = −3 2 לבסוף נציב : 2 2 4v + 4v ⋅ w + w = 4 ⋅ 4 − 4 ⋅ 3 + 9 = 13 → 2v + w = 13 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 72 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 בעיות קיצון בווקטורים גיאומטריים קיימים שני סוגים של בעיות קיצון בווקטורים גיאומטריים: בעיות העוסקות באורך קטע: נתבקש למצוא מתי אורכו של קטע הוא מקסימלי/מינימלי .בתרגילים מסוג זה נביע את אורכו של הווקטור באמצעות הנוסחה . u = u ⋅ uנגזור ,נשווה ל 0-ונקבל את ערך הקיצון. בעיות העוסקות בגודל זווית: נתבקש למצוא מתי גודלה של זווית הוא מקסימלי/מינימלי .בתרגילים u⋅v מסוג זה נביע את קוסינוס הזווית באמצעות הנוסחה u⋅v = . cosα כמו שניתן לראות בשרטוט המעגל הטריגונומטרי ,עבור זוויות ברביעים הראשון והשני: ככל שהזווית גדולה יותר ,קוסינוס הזווית קטן יותר. ככל שהזווית קטנה יותר ,הקוסינוס שלה גדול יותר. למעשה ,יש יחס הפוך בין גודל הזווית לערך הקוסינוס שלה. לכן כאשר נתבקש למצוא זווית מקסימלית ,נמצא במקום זאת מתי קוסינוס הזווית הוא מינימלי .כשנתבקש למצוא זווית מינימלית ,נמצא במקום זאת מתי קוסינוס הזווית הוא מקסימלי. יחידות ההצגה במישור בשאלות בהן עלינו למצוא באיזה יחס מחלקת נקודה את הווקטור הנתון ,ניעזר בתכונת יחידות ההצגה. לפי תכונה זו ,כל וקטור במרחב ניתן להצגה אחת ויחידה .כלומר ,לא משנה באיזה מסלול נבחר בכדי להציג וקטור, תמיד נקבל את אותה הצגה. בשאלות מסוג זה נפעל לפי שלבים קבועים: .1נסמן את שני חלקי הקטע ,שעליו נשאלנו באיזה יחס הנקודה מחלקת אותו ,באמצעות הפרמטר , tכך שאחד הקטעים יסומן ב t -והקטע השני יסומן ב. 1 − t - .2נסמן קטע אחר שאותו מחלקת הנקודה באמצעות פרמטר אחר , sכך שאחד הקטעים יסומן ב , s -והקטע השני יסומן ב. 1 − s - .3נביע וקטור נוח כלשהו באמצעות שני מסלולים שונים .מסלול אחד בו מופיע הפרמטר , tומסלול נוסף בו מופיע הפרמטר . s .4נסדר את התצוגות שקיבלנו כך שהפרמטרים מקדמים את הווקטורים uו. v - .5מכיוון ששתי התצוגות שקיבלנו זהות ,נוכל להשוות את המקדמים של uבשתי התצוגות ,ובנפרד את המקדמים של vבשתי התצוגות. .6נפתור את מערכת המשוואות ,ונמצא את ערכם של tו. s - A דוגמא: במשולש ABCנתון EB = 3 AE :ו . AD = CD -מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה Kאת הקטע . BD פתרון: 1 E נסמן CA = u :ו . CB = v -נסמן את היחס אותו אנו מחפשים: CK s BK t = = .נסמן גם: KE 1 − s BD 1 − t כעת נביע את הווקטור CKבאמצעות שני מסלולים שונים. האחד באמצעות , tוהשני באמצעות : s 3 1 u 1− s D 1− t K t . B 1 s C v © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 73 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 הצגה באמצעות :tהמסלול לאורכו נצעד הוא: נסדר את ההצגה לפי הווקטורים uו: v - ארכימדס -פתרונות למידה → CK = CB + BK → CK = CB + t ⋅ BD 1 t CK = v + t ⋅ u − v → CK = u + (1 − t )v 2 2 ( ) 1 CK = s ⋅ CE → CK = s ⋅ CA + AE → CK = s ⋅ u + (v − u ) הצגה באמצעות :s 4 1 3 3s s CK = s ⋅ u + v → CK = ⋅ u + ⋅ v נסדר את ההצגה לפי הווקטורים uו: v - 4 4 4 4 t 3s = → 2t = 3s 2 4 s 1 − t = → 4 − 4t = s 4 שתי התצוגות שוות ולכן נשווה את הסקלרים המקדמים של uו: v - נציב את IIב I-ונקבל: 6 4 =, s 7 7 ) (I ) (II = 2t = 3s → 2t = 3(4 − 4t ) → 14t = 12 → t 1 1 6 כלומר ,הנקודה Kמחלקת את הקטע BDביחס של , :ולסיכום ,ביחס: 6 7 7 3 באופן דומה ,נקבל כי הנקודה Kמחלקת את הקטע CEביחס. : 4 . יחידות ההצגה במרחב -וקטור המסתיים על מישור בשאלות בהן עלינו למצוא באיזה יחס מחלקת נקודה את הווקטור הנתון במרחב ניעזר ביחידות ההצגה .גם כאן עלינו למצוא שני מסלולים שונים בכדי להציג את אותו הווקטור ואז להשוות ביניהם. המסלול הראשון יכלול תמיד את , tהפרמטר המסמל את היחס עליו נשאלנו בשאלה .נצטרך למצוא הצגה נוספת כדי להשוות בין שתי התצוגות. במקרים רבים בשאלות מסוג זה ניעזר בתכונה של וקטור המסתיים על מישור .נתבונן במישור המונח על שלושת הווקטורים v , uו w -שמוצאם באותה הנקודה .O אם הווקטור OPיוצא גם הוא מהנקודה Oומסתיים על המישור שמגדירים קצוות הווקטורים v , uו) w -המסומן במקווקו( ,ניתן להביע אותו כקומבינציה לינארית P v )צירוף( של הווקטורים עליהם מונח המישור OP = a ⋅ u + b ⋅ v + c ⋅ w :כך שבהכרח מתקיים . a + b + c = 1 :נשווה בין שתי התצוגות )האחת באמצעות הפרמטר ,t והשנייה באמצעות הפרמטרים b , aו ( c -וניעזר במשוואה הנוספת a + b + c = 1 בכדי לפתור את מערכת המשוואות. דוגמא :בתיבה המשורטטת נתון AD = v , AB = u :ו. AA' = w - הנקודה Oנמצאת על המישור . A' DFנתון. AF = FB : מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה Oאת הקטע ' . AC פתרון :נסמן את היחס אותו אנו מחפשים ב ,t-נציג את הווקטור w 'C O 'D 'A 'B AOבשתי התצוגות ונשווה ביניהן .נסמן: AO = t ⋅ AC ' → AO = t (u + v + w) → AO = t u + t v + t w u D C ניתן לראות כי הווקטור AOמסתיים על המישור המוגדר על ידי 1 קצוות הווקטורים AD = v , AA' = w :ו . AF = u -לכן ניתן B 2 1 להביע את הווקטור AOכך , AO = a ⋅ u + b ⋅ v + c ⋅ w :כאשר. a + b + c = 1 : 2 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 O v F u w A עמוד 74 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 שתי התצוגות של הווקטור AOשוות ,ולכן נשווה בין הסקלרים המקדמים שלהן: c=t ) (III נציב את II ,Iו III-במשוואה a + b + c = 1 :ונקבל: b=t 1 4 ) (II 1 = t → a = 2t 2 ⋅a ) (I = a + b + c = 1 → 2t + t + t = 1 → 4t = 1 → t 1 1 3 לסיכום ,הנקודה Oמחלקת את הקטע ' ACביחס , : :כלומר: 3 4 4 . © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 75 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 תרגילים -וקטורים גיאומטריים * תרגילים נוספים בנושא זה מופיעים בבחינות המתכונת שבספר וניתן לאתרם במפתח הנושאים שבתחילתו .התרגילים שבבחינות המתכונת ברובם אינטגרטיביים ומורכבים יותר. .1בקובייה נתון . AB = w , AD = v , AA' = u :אלכסוני הפאה DD'C'C נחתכים בנקודה .Mהנקודה Nנמצאת על המקצוע ' AAכך שמתקיים. AN = t ⋅ AA' : א .הבע באמצעות w , v , uו t -את NMו. DM - ב .מצא עבור איזה ערך של tתתקבל p NMD = 90 0והסבר היכן בשרטוט תמצא הנקודה Nבמקרה זה. ג .נתון . t = 0 . 5 :חשב את גודל הזוית . p NMD .2בקובייה המופיעה בשרטוט נתון :הנקודה Pהיא אמצע המקצוע '. BB נסמן . AB = w , AD = v , AA' = u :הנקודות Mו N-נמצאות בהתאמה uuuuur uuuur על הישרים ABו C' D' -כך שמתקיים. MB = t ⋅ AB , NC ' = t ⋅ D ' C ' : א .הבע באמצעות w , v , uו t -את NPו. MP - 2 ב .נתון: 3 = . tחשב את גודל הזוית . p NPM ג .מצא עבור איזה ערך של tמתקיים. p NPM = 90 0 : .3במנסרה ישרה ומשולשת הנקודות Mו P-הן אמצעי הקטעים ' AAו AB -בהתאמה. uuur נתון. u = v , AA ' = u , AB = v , AC = w , p BAC = 60 0 , p ABC = 90 0 : הנקודה Nנמצאת על המקצוע ACכך שמתקיים. AN = t ⋅ AC : א .הבע באמצעות w , v , uו t -את MPו. NP - ב .מצא עבור איזה ערך של tתתקבל: . p NPM = 90 0 (1 . p NPM = 30 0 (2 ג .הוכח :לא יתכן tחיובי עבורו . p NPM = 45 0 .4במנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר זווית ) ( p ABC = 90 0נתון: . w = 2 3 , u = 2 , v = 3 , AA' = u, AB = v, AC = w הנקודה Mנמצאת על המקצוע ' A'Cכך שמתקיים: ' . A' M = t ⋅ A' Cהזוית שבין הווקטורים AM :ו AB -שווה לזווית שבין הווקטורים AM :ו. AA' - מצא את ערכו של הפרמטר .t uuuur 1 1 2 2 1 ' . AAג (2 . 71.56 0 .א . MP = t ⋅ w + 1 u , NP = t ⋅ w − v − u .ב . 79 .67 0 .ג. t = ±0.5 . 2 2 2 1 1 (3א . NP = 1 v − t ⋅ w , MP = v − u .ב (2 . t = 0.5 (1 .אף . t = (4 .t 3 2 2 2 1 2 1 2 פתרונות (1 :א . DM = u + w , MN = v + w + u ( − t ) .ב . t = 1 .הנקודה Nתתלכד עם הנקודה © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 76 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 .5במנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר זווית ) ( p ABC = 90 0נתון: . p ACB = 30 0 , u = 4 , v = 3 , AA' = v, AB = u, AC = w הנקודה Pנמצאת על המקצוע BCכך שמתקיים: . BP = t ⋅ BCהזוית שבין הווקטורים A' P :ו A'C ' -שווה לזווית שבין הווקטורים A' P :ו. A' B - א .מצא את ערכו של הפרמטר .t ב .עבור tשמצאתם ,חשב את נפח הפירמידה .A’ABP .6בטטראדר נתון, p DAC = p DAB = 45 0 , AB = v, AD = w, AC = u : E , p BAC = 60 0אמצע . w = 2 , u = 3 v ,DF הנקודה Fנמצאת על המקצוע BCכך שמתקיים. BF = t ⋅ BC : א .הבע באמצעות w , v , uו t -את הווקטור . AE ב .נתון שהווקטור AEיוצר זוויות שוות עם הווקטורים ACו. AB - מצא את ערכו של הפרמטר .t .7בפירמידה שבסיסה משולש שווה צלעות ∆ABCנתון, AB = w, AD = v, AC = u : . p DAC = 36 .87 0 , p DAB = 66 .422 0הנקודה Pנמצאת על המקצוע BCאו על המשכו ,כך שמתקיים. BP = t ⋅ BC : א .הבע באמצעות w , v , uו t -את הווקטור . AP ב .נתון שהווקטור APיוצר זוויות שוות עם הווקטורים: ACו . AD -מצא את ערכו של הפרמטר .t ג .עבור tשמצאת ,הסבר היכן נמצאת בשרטוט הנקודה .P .8בקוביה שנפחה 8יח' נפח נתון. AB = v, AA' = u, AD = w : נתון N :אמצע .BEהנקודות Mו E-נמצאות בהתאמה על הישרים A' Cו DD ' -כך שמתקיים. (0 ≤ t ≤ 1) DE = t ⋅ DD' , A' M = t ⋅ A' C : א .מצא את ערך tעבורו אורך : MN .1מינימלי. .2מקסימלי. ב .קבע האם ערכי tשמצאת בסעיף א' היו גדלים ,קטנים או לא משתנים ,אם הנתון המקורי היה שנפח הקוביה הוא 64יח' נפח .נמק. 1 t 1 1− t ⋅u + פתרונות (5 :א . t = .ב 4 3 .יח' נפח (6 .א ⋅ v + ⋅ w . 2 2 2 2 = . AEב. t = 0.25 . (7א . AP = t ⋅ u + (1 − t ) ⋅ w .ב . t = −1 .ג .על המשכו של BCמעבר לנקודה Bכך שאורך הקטע BP 10 שווה לאורך הקטע (8 .BCא(1 . 17 = . t = 0 (2 . tב .לא משתנים. © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 77 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ארכימדס -פתרונות למידה .9במנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר זוית ) ( p ABC = 90 0נתון: . p BAC = 30 0 , u = 2 , v = 3 , AA' = u, AB = v, AC = w הנקודה Mנמצאת על המקצוע ' A'Cכך שמתקיים: ' . A' M = t ⋅ A' Cהזוית שבין הווקטורים AM :וAB - שווה לזווית שבין הווקטורים AM :ו. AA' - א .מצא את ערכו של הפרמטר .t ב .נתון :קיצרו את אורך מקצועות הצד של המנסרה פי .( k > 0 ) k הווקטור x = 3u + 2v − 2w :מאונך לווקטור AMהחדש .חשב את נפח המנסרה החדשה. .10בפירמידה SABCשבסיסה המשולש שווה הצלעות ∆ABCנתון: . v = w , AC = v, AB = u, AS = wהווקטור ASמאונך למישור .ABC הנקודות Mו N-נמצאות בהתאמה על המקצועות CSו BS-כך שמתקיים. CM = t ⋅ CS , SN = t ⋅ SB : א .הבע באמצעות w , u, vו t-את הווקטורים CN :ו. BM - ב .הוכח :הזוית p BOCקהה עבור כל .t )הדרכה :אין צורך למצוא את הווקטורים COו.( BO - .11במנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר זווית ,( p ABC = 90 0 ) ∆ABCהנקודות Eו K-נמצאות בהתאמה על המקצועות ' AAו AB -כך שמתקיים. BK = t ⋅ BA , AE = t ⋅ AA' : נתון. p KEC ' = 90 0 , p BAC = 30 0 , CA = v, AA' = w, CB = u : 2 א .הוכח= t : 2 u ⋅.3 w ב .נתון . 2 ⋅ KB = AK :נפח המנסרה 12 3יח' נפח. חשב את אורך הווקטור . BC פתרונות: 2 (9א. 3 = . tב3 . יח' נפח (10 .א. BM = (1 − t ) ⋅ v − u + t ⋅ w , CN = (1 − t ) ⋅ w − v + t ⋅ u . (11ב 2 .יח'. © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 78 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ארכימדס -פתרונות למידה וקטורים גיאומטריים -יחידות ההצגה * תרגילים נוספים בנושא זה מופיעים בבחינות המתכונת שבספר וניתן לאתרם במפתח הנושאים שבתחילתו .התרגילים שבבחינות המתכונת ברובם אינטגרטיביים ומורכבים יותר. .12במשולש ∆ABCנסמן. AC = v, BC = u : נתון. 3 ⋅ EC = AE , 2 ⋅ DC = BD : א .מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה Oאת הווקטור: . BE .1 . AD .2 ב .חשב את היחס בין שטחי המשולשים ∆AEOו. ∆BDO - .13במשולש ∆ABCהנקודה Dהיא אמצע .ABנתון. BE = 2CE : נסמן. BA = v, AC = u : א .מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה Oאת הווקטור . CD ב .חשב את היחס בין שטח המרובע BDOEלבין שטח המשולש . ∆ACO .14בריבוע ABCDהנקודות Eו F-הן אמצעי הצלעות DCו BC-בהתאמה. נתון. DA = v, AB = u : א .חשב את היחס בין אורכי הקטעים: AO .1ו.OE- DO .2ו.OF- ב .הוכח :את המרובע CFOEניתן לחסום במעגל. .15במלבן ABCDהנקודה Eהיא אמצע הצלע .DC נתון . BF = 2 ⋅ FC :נסמן. CB = v, AB = u : א .הוכח AO :הוא תיכון במשולש . ∆ABE ב .נתון . p BED = 3 p ABE :שטח המשולש ∆BOF הוא 6יח"ר .חשב את שטח המלבן .ABCD פתרונות (12 :א .9:2 (2 .8:3 (1 .ב (13 .27:16 .א .1:1 .ב (14 .5:3 .א (15 .3:2 (2 .4:1 (1 .ב( 72יח"ר. © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 79 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ארכימדס -פתרונות למידה וקטורים גיאומטריים -וקטור המסתיים על מישור /ישר * תרגילים נוספים בנושא זה מופיעים בבחינות המתכונת שבספר וניתן לאתרם במפתח הנושאים שבתחילתו .התרגילים שבבחינות המתכונת ברובם אינטגרטיביים ומורכבים יותר. .16בתיבה שבשרטוט נתון . u = 3, v = 3, w = 4 . AA' = v, AB = u, AD = w :הווקטור AXמסתיים על הווקטור ' BCכך שהנקודה Xמרוחקת במידה שווה מהנקודות ' Aו .D -נסמן. BX = t ⋅ BC ' : א( הבע באמצעות v , u ,tו w -את הווקטורים: A' Xו. DX - ב( מצא את ערכו של הפרמטר tוהבע באמצעות v , uו w -את הווקטור . AX ג( חשב את נפח הפירמידה .ABCDX .17בתיבה המופיעה בשרטוט נסמן . AA' = u, AB = w, AD = v :הנקודה Xנמצאת על הווקטור '. BD הווקטור AXיוצר זוויות שוות עם הווקטורים ACו. AD' - נתון. u = 3, v = 1, w = 8 : א( מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה Xאת האלכסון '. BD ב( הבע באמצעות v , uו w -את הווקטור . AX ג( חשב את היחס בין נפחי הפירמידות ABCDXו. A' B' C ' D' X - .18בתיבה המופיעה בשרטוט נתון. AA' = u, AB = w, DA = v : האלכסון B ' Dחותך את המישור ' ACDבנקודה .E א .מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה Eאת . B ' D ב .נתון . w = 24 :הפאה ' AA ' D Dריבועית. נפח הפירמידה ' ADCDהוא 36יח' נפח. חשב את הזוית שבין הווקטורים DEו. BE - 1 2 1 2 1 פתרונות (16 :א( ) . DX = u + t v + w(t − 1) , A' X = u + t w + v(t − 1ב( 2 8 5 8 ג( 6יח' נפח (17 .א( .5:8ב( . AX = u + w + vג( (18 .5:8א .1:2 .ב. 169.10 . 13 13 13 = . AX = u + w + v , t © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 80 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 הווקטור האלגברי z ניתן למקם וקטורים במרחב על מערכת צירים תלת מימדית. את מערכת הצירים נשרטט תמיד כך: )B(1,0,4 הנקודות במרחב מסומנות באופן. ( x, y , z ) : נתבונן במספר נקודות לדוגמא :ראשית הצירים מסומנת ) . O(0,0,0 הנקודה Aששיעור ה y-שלה הוא ,2נמצאת על ציר ה y-ולכן שיעורי ה x-וה z-שלה שווים ל.0- הנקודה Bנמצאת על המישור xzולכן שיעור ה y-שלה הוא .0 באופן דומה נוכל לסמן כל נקודה במרחב. A(0,2,0) y )O(0,0,0 הנוסחאות הבאות ,אותן אנו מכירים מההנדסה האנליטית, מתקיימות גם כאן ,אך בתוספת המימד השלישי ):(z x z1 + z 2 y1 + y 2 x1 + x 2 אמצע קטע: = y Mו- = , xM 2 2 2 l ⋅ y1 + k ⋅ y 2 l ⋅ x1 + k ⋅ x 2 l ⋅ z1 + k ⋅ z 2 = . zP = y Pו- = , xP חלוקת קטע ביחס נתון: l+k l+k l+k = . zM המרחק בין שתי נקודות הוא: (x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 + (z1 − z 2 )2 =d ההצגה האלגברית של וקטור מתקבלת על ידי חיסור שיעורי עקב הווקטור משיעורי ראש הווקטור: ) . u = ( x1 − x2 , y1 − y 2 , z1 − z 2יש להקפיד על הכיוון )ראש פחות עקב( ,אחרת נקבל את הווקטור הנגדי לווקטור שחיפשנו .כך לדוגמא :הווקטור ABמהשרטוט הוא AB = (1 − 0 ,0 − 2 ,4 − 0) :ולבסוף. AB = (1,−2,4) : הווקטור OBהוא OB = (1 − 0 , 0 − 0 , 4 − 0) :ולבסוף . OB = (1, 0 , 4) :נשים לב שההצגה של וקטור שמוצאו בראשית הצירים זהה לשיעורי נקודת הראש שלו .עם זאת ,המשמעויות של וקטור ונקודה הן שונות למרות שההצגה האלגברית נראית דומה. חיבור וקטורים אלגבריים הוא חיבור השיעורים שלהם .כך למשל: )AB + OB = (1,−2,4) + (1,0,4 ) = (1 + 1,−2 + 0,4 + 4) → AB + OB = (2,−2,8 ) t ⋅ AB = t ⋅ (1,−2,4 ) = (t ,−2t ,4t כפל וקטור בסקלר :נכפיל כל אחד משיעורי הווקטור בסקלר .כך למשל: מיקום נקודה ביחס לקטע :נגדיר . AP = t ⋅ AB :נבדוק את מיקום הנקודה Pביחס לקטע .AB t כאשר , t > 1הנקודה Pנמצאת מחוץ לקטע ABמהצד של .B A B P t כאשר 0 < t < 1הנקודה Pנמצאת בתוך הקטע .AB כאשר t < 0הנקודה Pנמצאת מחוץ לקטע ABמהצד של .A B B P A t A P באופן זה ניתן לתאר באמצעות סקלר מתאים ) ( tכל נקודה על הישר שעליו מונח הווקטור . AB © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 81 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 אורך וקטור הגדרנו כי הווקטור ABשעקבו בנקודה ארכימדס -פתרונות למידה ) A( x1 , y1 , z1וראשו בנקודה ) B( x 2 , y 2 , z 2ניתן להצגה אלגברית זו: ) . AB = (x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1נוסחת המרחק בין שתי נקודות היא(x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2 : מכאן ,שהנוסחה לאורך וקטור ) u = ( X , Y , ZהיאX 2 + Y 2 + Z 2 : = .d = .u מכפלה סקלרית של וקטורים אלגבריים u ⋅v נשתמש באותה הנוסחה כמו בווקטורים גיאומטריים: u⋅v = cos α נחשב לדוגמא את המכפלה הסקלרית של שני הווקטורים ) u = (1, 2 , 3ו: v = (2 , 0 , − 1) - u ⋅ v = (1,2,3) ⋅ (2,0,−1) = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ (− 1) = −1 נוכל למצוא גם את הזווית שבין שני הווקטורים: u ⋅v −1 −1 = cos α = → cos α = → cos α → α = 96.86° 2 u⋅v 70 )12 + 2 2 + 3 2 ⋅ 2 2 + 0 2 + (− 1 חשוב :הזווית בין שני וקטורים היא תמיד הזווית שביניהם כשהם פונים לאותו הכיוון :כשהם יוצאים מאותה .נקפיד לשים לב שכיווניהם של הווקטורים נכונים ,ונקבל את התשובה או נכנסים לאותה נקודה נקודה המתאימה בין אם הזווית חדה ובין אם היא קהה. כמו במקרה של וקטורים גיאומטריים ,מכפלת שני וקטורים אלגבריים המאונכים זה לזה ,שווה ל.0- דוגמא :מצא לאיזה ערך של tהווקטורים ) v = (2 , 0 , 3ו u = (3 , 4 , t ) -מאונכים זה לזה. פתרון :בכדי שהווקטורים uו v -יהיו מאונכים זה לזה ,נדרוש כי המכפלה שלהם תהיה שווה ל:0- u ⋅ v = 0 → (3 , 4 , t ) ⋅ (2 , 0 , 3) = 0 → 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 0 + 3t = 0 → 3t = −6 → t = −2 הצגה פרמטרית של ישר כפי שראינו ,באמצעות כפל וקטור בסקלר ניתן להגיע לכל נקודה על הישר עליו מונח הווקטור . AB :עם זאת ,מכיוון שניתן להעתיק וקטורים במרחב ,בכדי להתייחס לישר ספציפי במרחב אנו זקוקים לנקודה אמיתית הנמצאת עליו .למעשה, הדבר דומה לאדם העומד בראשית הצירים Oומבקש הוראות הגעה לנקודה .Cההוראות הן :תגיע לנקודה Aותמשיך ללכת tצעדים בכיוון . AB כלומר :בכדי להציג ישר במרחב בהצגה פרמטרית ,אנו זקוקים לנקודה על הישר ולווקטור כיוון. C ) B(6,8,2 )A(2,2,4 )O(0,0,0 לסיכום :בכדי למצוא הצגה פרמטרית של ישר ,נצטרך שתי נקודות על הישר .וקטור הכיוון מתקבל על ידי חיסור שיעורי העקב מן הראש ,ואחת מהנקודות משמשת בתור נקודת היחס. ההצגה הפרמטרית של הישר lעליו מונח הווקטור ABהיא: ) l : x = A + t ⋅ AB → x = (2,2,4 ) + t ⋅ (6 − 2,8 − 2,2 − 4 ) → x = (2,2,4 ) + t ⋅ (4,6,−2 123 1 424 3 כיוון נקודה נשים לב :ניתן וכדאי לצמצם את וקטור הכיוון ) (4,6,−2מכיוון שתפקידו לתת לנו כיוון בלבד .אורכו של וקטור הכיוון אינו רלבנטי בהצגת ישר ,מכיוון שעל ידי הכפלה ב t-מתאים ,נוכל להגיע לכל נקודה על הישר .לאחר צמצום, וקטור הכיוון הוא , (2,3,−1) :ואז משוואת הישר lתהיה. l : x = (2,2,4) + t ⋅ (2,3,−1) : עם זאת ,אסור לצמצם את הנקודה ) , (2,2,4מכיוון שהנקודה מייצגת מיקום ממשי במרחב והיא הקובעת את הישר הספציפי בו אנו מעוניינים .אם נצמצם את הנקודה ,נקבל ישר אחר )המקביל לישר שחיפשנו(. © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 82 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 כעת נגדיר גם ,נקודה כללית על הישר .שיעורי הנקודה הכללית על הישר שמצאנו ,תתקבל על ידי חיבור ערכי ה,x- ה y-וה z-של הנקודה והכיוון .במקרה של הווקטור ,ABהנקודה הכללית Pהיא. P(2 + 2t , 2 + 3t , 4 − t ) : על ידי הצבת ערך tמתאים ,נוכל להביע כל נקודה על הישר .למשל ,עבור ,t=6נקבל את הנקודה: )P(2 + 2 ⋅ 6 , 2 + 3 ⋅ 6 , 4 − 6) → P(14,20,−2 z ההצגה הפרמטרית של שלושת הצירים בכדי למצוא את ההצגה הפרמטרית של ישר אנו זקוקים לשתי נקודות על הישר. נמצא לדוגמא את ההצגה הפרמטרית של ציר ה .x-הנקודה Oנמצאת על ציר ה.x- נבחר נקודה נוספת כלשהי הנמצאת על ציר ה. (1,0,0) :x- מכאן שההצגה הפרמטרית של ציר ה x-היאx = (0,0,0) + t (1 − 0,0 − 0,0 − 0) : ולבסוף. x = t (1,0,0) : בהתאם ,ההצגות הפרמטריות של הצירים הן: ציר ה , x = t (1,0,0) :x-ציר ה y = s(0,1,0 ) :y-וציר ה. z = r (0,0,1) :z- )(0,0,1 )(0,1,0 y )O(0,0,0 )(1,0,0 x המצב ההדדי בין שני ישרים במרחב יתכנו ארבעה מצבים הדדיים בין ישרים במרחב: מתלכדים :שני הישרים הם למעשה אותו הישר. מקבילים :לשני הישרים יש את אותו הכיוון )נקרא גם תלות( אבל אין להם נקודה משותפת ולכן אינם נפגשים. נחתכים :לשני הישרים כיוונים שונים אך הם נחתכים בנקודה אחת. מצטלבים :לשני הישרים כיוונים שונים ,והם אינם נפגשים לעולם )בדומה למפלס העליון והתחתון במחלף תנועה(. ניתן לגלות מהו המצב ההדדי בין שני ישרים על ידי בדיקה קצרה של שני שלבים :כיוון משותף ונקודת חיתוך. מצב הדדי בין ישרים יש אותו כיוון יש נקודת חיתוך )אינסוף פתרונות( מתלכדים אין נקודת חיתוך )אף פתרון( מקבילים אין אותו כיוון יש נקודת חיתוך )פתרון יחיד( נחתכים אין נקודת חיתוך )אף פתרון( מצטלבים נבדוק לדוגמא את המצב ההדדי בין שני הישרים l1 : x = (0,2,1) + t ⋅ (2,3,−1) :ו. l 2 : x = (1,0,3) + s ⋅ (8,12,−4) - בדיקת כיוון משותף כדי לבדוק האם לשני וקטורים יש את אותו הכיוון )כלומר האם מתקיימת תלות ביניהם( נבדוק האם קיים k שעבורו הכיוון של הווקטור האחד שווה לכיוון של הווקטור השני. וקטור הכיוון של הישר l1הוא ) , (2,3,−1ואילו של הישר l 2הוא ) . (8,12,−4נבדוק מה היחס בין שיעורי הכיוונים: 8 12 − 4 = .ניתן לראות כי היחס הוא קבוע , k = 4 :ולכן לשני הישרים יש את אותו הכיוון. = =4 2 3 −1 כאשר היחס בין שלושת המחלקים אינו שווה ,נוכל לקבוע כי לישרים כיוונים שונים. בדיקת נקודת חיתוך כדי לבדוק האם לשני הישרים יש נקודה משותפת נשווה את הנקודות הכלליות שלהם ונבדוק האם יש פתרון למערכת המשוואות )כלומר האם קיימת נקודת חיתוך( .הנקודה הכללית על הישר l1היא(2 + 2t ,2 + 3t ,1 − t ) : © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 83 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ארכימדס -פתרונות למידה והנקודה הכללית על הישר ) l 2לאחר צמצום הכיוון( היא . (1 + 2s,3s,3 − s ) :נשווה בין השיעורים של שתי הנקודות ונקבל שלוש משוואות בשני נעלמים: (I ) 2t = 1 + 2s (II ) 2 + 3t = 3s (III ) 1 − t = 3 − s נשים לב :נמצא את tו s-באמצעות פתרון המשוואות Iו .II-לאחר מכן נציב ב III -ונבדוק האם היא מתקיימת .רק במקרה בו tו s-מקיימים את כל שלוש המשוואות נוכל לקבוע כי לישרים יש נקודת חיתוך. נתחיל מפתרון שתי המשוואות Iו .II-ניתן לראות כי מתקבל פסוק שקר ,ולכן אין טעם להמשיך לבדוק את המשוואה השלישית ,כי לשני הישרים אין נקודת חיתוך. לסיכום :לשני הישרים l1ו l 2 -כיוון משותף אך אין להם נקודת חיתוך ,ולכן הם מקבילים. המרחק בין נקודה לישר בהצגה פרמטרית /מציאת אנך לישר בהצגה פרמטרית דוגמא :חשב את המרחק בין הנקודה ) A(1,0,1לבין הישר ). l : x = (0,1,2) + t ⋅ (1,−1,0 פתרון :כשהישר נתון בהצגה פרמטרית לא נוכל לחשב את המרחק ישירות .במקום זאת נוריד אנך מהנקודה Aאל הנקודה Bהנמצאת על הישר .נמצא את הנקודה ,Bנחשב את המרחק בין הנקודות Aו ,B-וזהו המרחק שבין הנקודה Aלישר . l l )B(t , 1 − t , 2 )A(1,0,1 נסמן את הנקודה Bכנקודה כללית על הישר , B(t , 1 − t , 2) : lונביע את כיוונו של הווקטור ABבאמצעות .t ABמאונך לישר , lולכן נכפיל את הכיוון של הווקטור ABבכיוון של הישר lונשווה ל:0- הכיוון של ABהוא . AB(t − 1,1 − t ,1) :הכיוון של הישר lהוא . (1,−1,0 ) :נכפיל את הכיוונים ונשווה ל:0- (t − 1,1 − t ,1) ⋅ (1,−1,0) = 0 → t − 1 − 1 + t + 1⋅ 0 = 2t = 2 → t = 1 נציב t = 1בשיעורי הנקודה הכללית Bונמצא כי . B(1, 0 , 2 ) :לבסוף נמצא את המרחק שבין הנקודות Aו:B- =1 (1 − 1)2 + (0 − 0)2 + (2 − 1)2 = . d ABומכאן שהמרחק בין הנקודה Aלישר lהוא 1יח'. המרחק בין ישרים מקבילים בהצגה פרמטרית דוגמא: מצא את המרחק בין שני הישרים המקבילים l 1 : x = (0,1,2) + t ⋅ (1,−1,0) :ו. l 2 : x = (2,0,4) + s ⋅ (1,−1,0) - פתרון: נחשב את המרחק בין שני ישרים מקבילים באופן דומה מאוד לחישוב המרחק בין נקודה לישר. המרחק בין שני ישרים מקבילים הוא קבוע ולכן נוכל לבחור כל נקודה על אחד הישרים ממנה נוריד אנך לישר השני ונחשב את אורכו. נבחר את הנקודה ) (2,0,4הנתונה על הישר l 2וממנה נוריד אנך לישר . l1כעת נחזור על השלבים שביצענו כאשר חיפשנו מרחק בין נקודה לישר ונמצא את המרחק שבין שני הישרים המקבילים. l1 )B(t , 1 − t , 2 l2 )A(2,0,4 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 84 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 הצגה פרמטרית של מישור דרך שלוש נקודות שאינן נמצאות על ישר אחד עובר מישור אחד בלבד .את המישור נציג באופן דומה להצגה פרמטרית של ישר בהבדל אחד :נזדקק לנקודה מנחה ,ולשני וקטורי כיוון. לסיכום :בכדי להציג מישור בהצגה פרמטרית ,אנו זקוקים לנקודה ולשני כיוונים שאינם תלויים זה בזה. דוגמא: מצא הצגה פרמטרית למישור העובר בנקודות B(2,1,3) , A(1,0,1) :ו. C (4,1,0 ) - פתרון :תחילה נוודא כי הנקודות אינן על ישר אחד .נמצא את הווקטור ABואת )B(2,1,3 )C (4,1,0 הווקטור ACונראה כי אין ביניהם תלות .כעת ,נשתמש בנקודה Aכנקודה המנחה )בחירה שרירותית( ,ובווקטורים ABו AC -כווקטורי כיוון: )AB = (2 − 1,1 − 0, 3 − 1) → AB = (1,1,2 )A(1,0,1 )AC = (4 − 1,1 − 0, 0 − 1) → AC = (3,1,−1 . π = (1,0,1) + t (1 מכאן שההצגה הפרמטרית של המישור ABCהיא1,1,2 ) + s (3,1,−1) : 23 123 123 כיוון כיוון נקודה ניתן להגיע לכל נקודה על המישור ABCבאמצעות שימוש ב t-ו s-מתאימים. המצב ההדדי בין ישר למישור הנתון בהצגה פרמטרית נשווה בהתאמה את שיעורי y ,xו z-של הנקודה הכללית על הישר והנקודה הכללית על המישור .נקבל שלוש משוואות בשלושה נעלמים .נבדוק מה קיבלנו: פתרון יחיד :הישר והמישור נחתכים .נציב את הפתרון בנקודה הכללית ונמצא את נקודת החיתוך. אינסוף פתרונות :הישר והמישור מתלכדים .כלומר הישר מוכל בתוך המישור. אף פתרון :הישר והמישור מקבילים ואין להם נקודת חיתוך משותפת. דוגמא: מצא את המצב ההדדי בין המישור ) π 1 = (1,2,3) + t (0,4,0) + s(6,1,0לבין הישר ): l 1 : x = (1,6,3) + m(2,0,1 פתרון: הנקודה הכללית על המישור π 1היא (1 + 6s, 2 + 4t + s, 3) :והנקודה הכללית על הישר l 1היא. (1 + 2m, 6, 3 + m) : נשווה את שיעורי שתי הנקודות ונקבל שלוש משוואות בשלושה נעלמים: m = 3 s → (I ) 1 + 2m = 1 + 6 s (II ) 6 = 2 + 4t + s → s = 4 − 4t (III ) 3 + m = 3 → m = 0 ממשוואות IIIו I-נובע כי m = 0 :ו . s = 0 -נציב s = 0במשוואה IIונקבל . t = 1 :זהו מצב של פתרון יחיד ולכן הישר l 1חותך את המישור . π 1נציב m = 0בנקודה הכללית על הישר l 1ונקבל כי נקודת החיתוך היא. (1, 6, 3) : © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 85 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ארכימדס -פתרונות למידה מעבר מהצגה פרמטרית להצגה אלגברית של מישור -המשוואה הכללית של המישור ההצגה האלגברית של מישור נוחה יותר לחישובי זוויות ומרחקים. משוואת המישור בהצגה אלגברית היא. Ax + By + Cz + D = 0 : חשוב :משמעות המקדמים B ,Aו C-במשוואת המישור הוא הכיוון של הנורמל )=האנך למישור( .ניעזר בתכונה זו בכדי לעבור מהצגה פרמטרית להצגה אלגברית של מישור. ) ( A, B, C Ax + By + Cz + D = 0 בכדי למצוא הצגה אלגברית של מישור נזדקק לנקודה מנחה אמיתית על המישור ,ולשני וקטורי כיוון העוברים בתוך המישור או מקבילים לו .כאשר נתונות שלוש נקודות על המישור ,נחלץ מהן שני וקטורי כיוון כמו שמוצאים הצגה פרמטרית של מישור. כפי שאמרנו ,וקטור המקדמים של משוואת המישור Ax + By + Cz + D = 0הוא הווקטור ) , ( A, B, Cשהוא כיוון הווקטור האנך למישור .האנך למישור מאונך לכל הישרים העוברים במישור ,ולכן הוא בהכרח מאונך לשני וקטורי הכיוון העוברים במישור .נכפיל את הווקטור ) ( A, B, Cבכל אחד משני וקטורי הכיוון של המישור ונשווה ל .0-נקבל מערכת של שתי משוואות בשלושה נעלמים .משמעות הדבר היא ,שנוכל להציב כל מספר שנרצה )מלבד (0באחד מהפרמטרים ,ולקבל את שני הפרמטרים האחרים בהתאם .לבסוף נציב במשוואת המישור נקודה ממשית הנמצאת על המישור ונמצא את הפרמטר .D דוגמא :מצא את משוואת המישור העובר דרך הנקודות: ) G (0,1,3) , D(1,0,1ו. E (4,1,0 ) - )G(0,1,3 תשובה :נחלץ שני וקטורי כיוון DE = (3,1,−1) :ו. DG = (− 1,1,2) - נכפיל את האנך למישור ) ( A, B, Cבכל אחד מהכיוונים ונשווה ל:0- (I ) ( A, B, C )(3,1,−1) = 0 → 3 A + B − C = 0 )D(1,0,1 (II ) ( A, B, C )(− 1,1,2) = 0 → − A + B + 2C = 0 נחסר את IIמ I-ונקבל(I − II ) 4 A − 3C = 0 → 4 A = 3C : כעת נציב מספר נוח לפי בחירתנו באחד המשתנים .נציב C = 4ונקבל4 A = 3 ⋅ 4 → A = 3 : 3 A + B − C = 0 → 3 ⋅ 3 + B − 4 = 0 → B = −5 נציב C = 4ו A = 3 -ב I-ונקבל: מכאן שהאנך למישור הוא הווקטור ) (3,−5,4ומשוואת המישור היא. 3 x − 5 y + 4 z + D = 0 : נציב את אחת הנקודות על המישור , G (0,1,3) ,במשוואה 3 x − 5 y + 4 z + D = 0ונמצא את :D 3 ⋅ 0 − 5 ⋅ 1 + 4 ⋅ 3 + D = 0 → D = −7 מכאן שההצגה האלגברית של המישור היא. 3 x − 5 y + 4 z − 7 = 0 : )E (4,1,0 המצב ההדדי בין ישר למישור הנתון בהצגה אלגברית נציב את הנקודה הכללית על הישר בתוך משוואת המישור .נבדוק מה קיבלנו: פתרון יחיד :הישר והמישור נחתכים .נציב את הפתרון בנקודה הכללית ונמצא את נקודת החיתוך. אינסוף פתרונות :הישר והמישור מתלכדים .כלומר הישר מוכל בתוך המישור. אף פתרון :הישר והמישור מקבילים ואין להם נקודת חיתוך משותפת. דוגמא :מצא את המצב ההדדי בין המישור 3 x − 5 y + 4 z − 7 = 0לבין הישר ): l 1 : x = (5,3,1) + m(3,1,−1 פתרון :הנקודה הכללית על הישר l 1היא . (5 + 3m, 3 + m,1 − m ) :נציב אותה במשוואת המישור ונקבל: 3(5 + 3m ) − 5(3 + m ) + 4(1 − m ) − 7 = 0 → 4 = 0 זהו פסוק שקר ,ומכאן שאין לישר ולמישור נקודה משותפת .כלומר ,הישר והמישור מקבילים זה לזה. © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 86 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 מעבר מהצגה אלגברית של מישור להצגה פרמטרית של מישור הדרך לעבור מהצגה אלגברית להצגה פרמטרית של מישור היא פשוטה ביותר .נמצא שלוש נקודות על המישור, ולאחר מכן נמצא את ההצגה הפרמטרית של המישור בדרך הרגילה. דוגמא :מצא את ההצגה הפרמטרית של המישור . 3 x − 5 y + 4 z − 7 = 0 תשובה :תחילה נמצא שלוש נקודות על המישור .ההצבה הנוחה ביותר היא ,0ויש בידינו שתי דרגות חופש: 7 7 נציב x = 0ו y = 0 -במשוואת המישור ונקבל 3 ⋅ 0 − 5 ⋅ 0 + 4 z − 7 = 0 → z = :ומכאן הנקודה. A 0,0, : 4 4 7 7 נציב x = 0ו z = 0 -במשוואת המישור ונקבל 3 ⋅ 0 − 5 y + 4 ⋅ 0 − 7 = 0 → y = :ומכאן הנקודה. B 0, ,0 : 5 5 7 7 נציב y = 0ו z = 0 -במשוואת המישור ונקבל 3 x − 5 ⋅ 0 + 4 ⋅ 0 − 7 = 0 → x = :ומכאן הנקודה. C ,0,0 : 3 3 מכאן נמצא את ההצגה הפרמטרית של המישור בדרך הרגילה שהצגנו קודם. המצב ההדדי בין שני מישורים יתכנו שלושה מצבים הדדיים בין שני מישורים במרחב: המישורים מקבילים אין נקודות חיתוך המישורים מתלכדים והם למעשה אותו המישור המישורים נחתכים המישורים נחתכים לאורך ישר החיתוך )מקווקו בציור( נוח לבצע בדיקה זו כשהמישורים נתונים בהצגה אלגברית ,ולכן במידה וקיבלנו הצגה פרמטרית של מישור ,תחילה נעביר אותו להצגה אלגברית. נתבונן בווקטורי המקדמים ) ( A, B, Cשל כל אחד משני המישורים ונבדוק האם קיימת תלות בין שני האנכים: • אם אין תלות בין שני האנכים ,כלומר כיווני האנכים הם שונים ,המישורים אינם מקבילים ולכן הם בהכרח נחתכים לאורך קו ישר הנקרא ישר החיתוך. • אם קיימת תלות בין שני האנכים ,נבדוק אם אותו היחס מתקיים גם בין המספר החופשי , D ,של שני המישורים: oבמידה ומתקיים אותו היחס ,שני המישורים מתלכדים. oבמידה ומתקיים יחס אחר ,שני המישורים מקבילים. דוגמא :מצא את המצב ההדדי בין המישורים π 1 : 3x + y − z + 8 = 0ו. π 2 : x − 3 y + z = 0 - פתרון :וקטור המקדמים של המישור π 1הוא . (3,1,−1) :ווקטור המקדמים של המישור π 2הוא(1,−3,1) : 1 −3 1 ≠ .ניתן לראות כי לא מתקיים אותו היחס ,ולכן המישורים ≠ נבדוק האם קיימת תלות בין שני האנכים: 3 1 −1 נחתכים .שני מישורים שאינם מקבילים נחתכים תמיד לאורך ישר הנקרא ישר החיתוך )כמו שניתן לראות במקווקו בשרטוט המתאים למעלה(. ניתן למצוא את ההצגה הפרמטרית של ישר החיתוך של שני המישורים: נפתור את מערכת המשוואות של שני המישורים ונקבל: ) (I 3x + y − z + 8 = 0 ) (II x − 3y + z = 0 (I + II ) 4 x − 2 y + 8 = 0 המשוואה 4x − 2y + 8 = 0היא משוואה המייצגת את ישר החיתוך ובאמצעותה נמצא שתי נקודות על ישר החיתוך: נציב בישר החיתוך x = 0ונקבל . y = 4 :נציב באחת המשוואות Iאו IIונקבל כי . z = 12 :כלומר. (0,4,12) : נציב בישר החיתוך y = 0ונקבל . x = −2 :נציב באחת המשוואות Iאו IIונקבל כי . z = 2 :כלומר. (− 2,0,2) : כעת נמצא את ההצגה פרמטרית של ישר החיתוך באמצעות שתי נקודות בשיטה הרגילה שהסברנו קודם: )l : x = (− 2,0,2) + t (0 + 2,4 − 0,12 − 2) → x = (− 2,0,2) + t (2,4,10) → x = (− 2,0,2) + t (1,2,5 חשוב :לאותו ישר חיתוך ייתכנו אינסוף תצוגות שונות ,בהתאם לערכי xו y-שהצבנו. © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 87 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ארכימדס -פתרונות למידה המרחק בין נקודה למישור והמרחק בין ישר למישור ) (x1 , y1 , z1 נישאל על המרחק שבין ישר למישור רק כאשר השניים מקבילים זה לזה .למעשה ,במקרה בו הם אינם מקבילים ,המרחק ישתנה בכל נקודה d שנבחר .כאשר ישר ומישור מקבילים זה לזה ,המרחק ביניהם זהה עבור כל נקודה שנבחר .לכן נבחר נקודה אקראית כלשהי על הישר ונחשב את המרחק שלה מהמישור. Ax + By + Cz + D = 0 לסיכום :אין הבדל בין חישוב מרחק נקודה או ישר ממישור נתון. את המרחק נחשב באמצעות הנוסחה לחישוב מרחק הנקודה Ax1 + By1 + Cz1 + D = .d ) ( x1 , y1 , z1מהמישור : Ax + By + Cz + D = 0 A2 + B 2 + C 2 כאשר המרחק ידוע ואנו מחפשים בעזרת הנוסחה את משוואת המישור ,נקבל שני פתרונות בגלל הערך המוחלט. האחד עבור מישור שנמצא מעל הנקודה הנתונה ,והאחר עבור מישור מתחתיה. דוגמא :מצא את מרחק הישר ) l 1 : x = (1,2,3) + t (0,1,3המקביל למישור . π : 3 x + 4 y + 12 z + 5 = 0 פתרון :נחשב את המרחק בין הנקודה ) (1,2,3הנמצאת על הישר l 1לבין המישור : 3 x + 4 y + 12 z + 5 = 0 52 →d =4 13 = →d 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 + 12 ⋅ 3 + 5 3 2 + 4 2 + 12 2 =d המרחק בין שני מישורים מקבילים כמו שראינו ,המשוואות של שני מישורים מקבילים זהות בווקטור המקדמים ) , ( A, B, Cושונות במספר החופשי . D D1 − D2 = .d את המרחק שבין שני המישורים נחשב באמצעות הנוסחה: A2 + B 2 + C 2 כאשר המרחק ידוע ואנו מחפשים בעזרת הנוסחה את משוואת אחד המישורים ,נקבל שני פתרונות בגלל הערך המוחלט .האחד עבור מישור שנמצא מעל המישור הנתון ,והאחר עבור מישור מתחתיו. דוגמא :מצא את משוואת המישור שמרחקו 4יח' מהמישור . π 1 : 3x + 4 y + 12 z + 5 = 0 פתרון :נמצא את ערך Dשל שני המישורים שמרחקם מהמישור π 1 : 3x + 4 y + 12 z + 5 = 0הוא 4יח': D−5 D−5 =d →=4 = 4 → D − 5 = 52 13 3 2 + 4 2 + 12 2 . D2 − 5 = −52 → D2 = −47 D1 − 5 = 52 → D1 = 57או בגלל הערך המוחלט נקבל שתי אפשרויות: מכאן ששני המישורים הם π 2 : 3x + 4 y + 12 z + 57 = 0 :או . π 3 : 3 x + 4 y + 12 z − 47 = 0 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 88 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 המרחק בין שני ישרים מצטלבים הישרים המצטלבים בשרטוט הם l1ו . l 2 -למעשה הם נראים כמו שני מפלסים במחלף תנועה. חישוב המרחק בין שני ישרים מצטלבים מתבצע באופן שונה מחישוב המרחק בין ישרים מקבילים :לא נוכל להוריד אנך בין הישרים בכל נקודה שנבחר .למעשה יש נקודה אחת בלבד על כל אחד מהישרים ממנה נוכל להעביר אנך לשני הישרים המצטלבים .בנקודה זו שני הישרים המצטלבים "עוברים האחד מעל השני" .לא נחפש נקודה זו ,אלא במקום זאת נמצא את משוואת המישור העובר דרך הישר l 2והמקביל לישר . l1כעת נוכל לבחור כל נקודה על הישר , l1ולמצוא את המרחק בינה לבין המישור שמצאנו. זהו המרחק שבין שני הישרים המצטלבים. ארכימדס -פתרונות למידה )l1 : x = (2,3,8) + t ⋅ (3,4,5 )(2,3,6 )l2 : x = (2,−1,0) + s ⋅ (1,−12,−5 תחילה נמצא את ההצגה הפרמטרית של המישור העובר דרך הישר l 2ומקביל לישר : l1הנקודה המנחה ואחד הכיוונים של המישור מגיע מהישר . l 2 : x = (2,−1,0) + s ⋅ (1,−12,−5) : l 2נוסיף לו את הכיוון של הישר : l1 ) t ⋅ (3,4,5ונקבל כי ההצגה הפרמטרית של המישור היא . π : (2,−1,0) + t (3,4,5) + s ⋅ (1,−12,−5) : נמצא את משוואת המישור: (I ) ( A, B, C ) ⋅ (3,4,5) = 0 → 3 A + 4 B + 5C = 0 (II ) ( A, B, C ) ⋅ (1,−12,−5) = 0 → A − 12 B − 5C = 0 (I − II ) 4 A − 8B = 0 → A = 2 B נחבר את Iואת IIונקבל: נניח B = 1ונקבל . A = 2נציב ב I-ונקבל כי . C = −2נציב את הנקודה ) (2,−1,0במשוואת המישור ונמצא את :D 2 x + y − 2 z + D = 0 → 2 ⋅ 2 − 1 − 2 ⋅ 0 + D = 0 → D = −3 מכאן שמשוואת המישור העובר דרך הישר l 2ומקביל לישר l1היא. π = 2 x + y − 2 z − 3 = 0 : לבסוף נחשב את המרחק בין הנקודה ) (2,3,8הנמצאת על הישר l1לבין המישור : π = 2 x + y − 2 z − 1 = 0 2⋅ 2 + 3 − 2⋅8 − 3 − 12 12 =d = →d = →d →d =4 2 3 9 )2 2 + 12 + (− 2 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 89 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ארכימדס -פתרונות למידה זווית בין שני ישרים l1 α נשים לב: • • l2 בכדי לחשב זווית בין ישרים אנו זקוקים רק לכיוונים של שני הישרים .כלומר ,הזווית שבין שני ישרים היא הזווית שבין שני וקטורי הכיוון שלהם .את הכיוונים מותר וכדאי לצמצם לפני חישוב המכפלה הסקלרית, מכיוון שזווית אינה משתנה בעקבות קיצור הווקטורים היוצרים אותה. בחישוב זווית בין שני ישרים נרצה למצוא את הזווית החדה ביניהם )למעט מקרים בהם התבקשנו מפורשות למצוא את הזווית הקהה( .לכן ,בניגוד לחישוב זווית בין שני וקטורים ,בחישוב הזווית בין שני ישרים מופיע במונה ערך מוחלט המוודא שהזווית תצא חדה. הנוסחה לחישוב הזווית בין הישרים l1 : x = ( x1 , y1 , z1 ) + t ⋅ (a1 , b1 , c1 ) :וl 2 : x = ( x 2 , y 2 , z 2 ) + s ⋅ (a 2 , b2 , c 2 ) - ) (a1 , b1 , c1 ) ⋅ (a 2 , b2 , c 2 = . cos α היא: 2 2 2 2 2 2 a1 + b1 + c1 ⋅ a 2 + b2 + c 2 דוגמא :מצא את הזווית בין הישרים l1 : x = (1,0,2) + t (1, 2 , 3) :ו. l 2 : x = (0,1,1) + s(2 , 0 , − 1) - פתרון :נמצא את הזווית החדה בין וקטורי הכיוון של שני הישרים (1, 2 , 3) :ו (2 , 0 , − 1) -על ידי הצבה בנוסחה: )(1,2,3) ⋅ (2,0,−1 2+0−3 1 = cos α = → cos α = → cos α → α = 83.13° 2 2 2 2 2 2 14 ⋅ 5 70 )1 + 2 + 3 ⋅ 2 + 0 + (− 1 שימו לב שהנקודות ) (0,1,1ו (1,0,2) -מההצגות הפרמטריות של הישרים ,כלל לא השתתפו בחישוב. הזווית בין שני מישורים כפי שניתן לראות בשרטוט ,הזווית החדה שבין שני מישורים שווה לזווית החדה שבין שני האנכים שלהם .לכן ,במקום לחשב את הזווית החדה שבין שני מישורים ,נחשב את הזווית החדה בין שני וקטורי האנכים שלהם באותה הדרך בה אנו מחשבים זווית בין כל שני ישרים: ) ( A1 , B1 , C1 ) ⋅ ( A2 , B2 , C 2 = cos α 2 2 2 2 2 2 A1 + B1 + C1 ⋅ A2 + B2 + C 2 α α דוגמא :מצא את הזווית בין המישורים π 1 : 2 x + y − z + 5 = 0 :ו. π 2 : 3x − y + 21 = 0 - פתרון :וקטורי המקדמים של שני המישורים הם (2,1,−1) :ו . (3,−1,0) -נציב בנוסחה ונמצא את הזווית ביניהם: )(2,1,−1) ⋅ (3,−1,0 6 −1− 0 5 = cos α = → cos α = → cos α → α = 49.79° 2 2 6 ⋅ 10 60 2 2 + 12 + (− 1) ⋅ 3 2 + (− 1) + 0 2 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 90 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ארכימדס -פתרונות למידה הזווית בין ישר למישור כמו בטריגונומטריה במרחב ,הזווית שבין ישר למישור היא הזווית שבין הישר לבין ההיטל שלו על המישור. את כיוון הישר אנחנו יודעים ,כי הוא לרוב נתון בשאלה. קשה למצוא את וקטור ההיטל ,ועם זאת ,קל למצוא את האנך למישור )ווקטור המקדמים( .לכן ניעזר במשולש ישר הזווית שנוצר ונחשב את הזווית שבין הישר למישור באמצעות סינוס הזווית. ) ( A, B, C l1 α π1 לסיכום :הזווית שבין הישר ) l1 : x = ( x1 , y1 , z1 ) + t ⋅ (a1 , b1 , c1למישור π 1 : Ax + By + Cz + D = 0שווה ) (a1 , b1 , c1 ) ⋅ ( A, B, C = . sin α לסינוס הזווית שבין הישר והאנך למישור: 2 2 2 a1 + b1 + c1 ⋅ A 2 + B 2 + C 2 דוגמא :מצא את הזווית בין הישר ) l1 : x = (1,7,3) + t ⋅ (1,0,3לבין המישור . π 1 : 2 x + y − z + 5 = 0 פתרון :ווקטור הכיוון של הישר l1הוא ) (1,0,3ווקטור המקדמים של המישור הוא . (2,1,−1) :נחשב את סינוס הזווית בין שני הווקטורים ,ונמצא את הזווית בין הישר למישור: )(1,0,3) ⋅ (2,1,−1 2+0−3 1 = sin α = → sin α = → sin α → α = 7.41° 2 10 ⋅ 6 60 )12 + 0 2 + 3 2 ⋅ 2 2 + 12 + (− 1 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 91 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ארכימדס -פתרונות למידה תרגילים -וקטורים אלגבריים * תרגילים נוספים בנושא זה מופיעים בבחינות המתכונת שבספר וניתן לאתרם במפתח הנושאים שבתחילתו .התרגילים שבבחינות המתכונת ברובם אינטגרטיביים ומורכבים יותר. מצבים הדדיים )בין ישרים ,בין ישר למישור ,ובין מישורים( .1נתונים הישרים. l 2 : x = (4,6,−3) + s ⋅ (m + 3, m,3m) , l 1 : x = (−1,0,−1) + t ⋅ (5m, m + 2,12) : א .נתון ששני הישרים הנתונים מקבילים זה לזה .מצא את ערכו של הפרמטר .m ב .מצא את משוואת המישור π 1העובר דרך שני הישרים. ג .נתון הישר ) . l 3 : x = (3, 0 , − 1) + r ⋅ (n, n ,2מצא עבור אילו ערכי ,nהישר : l 3 (1מוכל במישור . π 1 (2חותך את המישור . π 1 .2נתונים שני הישרים. l 2 : x = (1,7,6) + s ⋅ (1, m, m + 1) , l 1 : x = (−1,3,0) + t ⋅ (m, m 2 , m + 4) : א .מצא עבור אילו ערכי mחיוביים ,הישרים l1ו: l 2 - .1מקבילים. .2מתלכדים. .3נחתכים או מצטלבים. ב .נתון . m = 2 :מצא את הנקודה Aבה נחתכים הישר l 1והישר ). l 3 : x = (2,9,9) + p ⋅ (1,0,4 ג .מצא את משוואת המישור העובר דרך הנקודה Aודרך ציר ה.y- .3שתי צלעות של המקבילית מונחות על הישריםl 1 : x = (3,8,12) + t ⋅ (2,3,4) : )l 2 : x = (3,7,3) + s ⋅ (4,5,−1 הנקודות ) (1, 5, 8ו (7,12, 2) -הן שניים מקודקודי המקבילית .מצא את: א .שיעורי שני הקודקודים האחרים של המקבילית. ב .משוואות אלכסוני המקבילית. ג .המשוואה האלגברית של המישור שעליו מונחת המקבילית. .4נתונים המישור π 1 : x + y + z − 6 = 0 :והישרים, l 1 : x = (3,6,1) + t (1,2,1) : ). l 2 : x = (0,6,1) + m(4,2,1 א .מצא את הנקודה Aבה נחתכים הישרים. ב .מצא את הנקודות Bו C-בהן המישור π 1חותך בהתאמה את הישרים l 1ו. l 2 - ג .במשולש ∆ABCהנקודה Dהיא אמצע .ABמצא את משוואת התיכון .CD .5נתונות שתי הנקודות ) A(1,9m,3ו .B(m²,4m,10) :נתון המישור . π 1 : x + y + z = 10 א .נתון :הישר ABמקביל למישור . π 1מצא את ערכו של הפרמטר .m ב .מצא את המצב ההדדי בין כל אחד משני הישרים ABהמקבילים האפשריים שמצאת ,לבין המישור . π 2 : 5x − 2 y − 5z + 1 = 0 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 92 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ארכימדס -פתרונות למידה π 1 : mx − (m + 1) y + (m + 2) z = 2 .6נתונים המישורים: π 2 : (m + 1) x − (m + 3) y + (m + 5) z = 4 א .מצא לאילו ערכי mהמישורים π 1ו (1 : π 2 -מתלכדים (2 .מקבילים (3 .נחתכים. ב .נתון ששני המישורים מתלכדים .מצא לאילו ערכי nהישר )l 1 : x = (3,6 ,1) + t ⋅ (n 2 ,3n ,−9 מקביל למישור π 1או מוכל בו. .7נתונים המישוריםπ 1 : (m 2 − 6) x − (m − 2) y + (m − 1) z − 3m = 1 : π 2 : (m + 6) x − 3 y + 6 z = 36 א .מצא לאילו ערכי mהמישורים π 1ו (1 : π 2 -מתלכדים (2 .מקבילים (3 .נחתכים. ב .נתון שהמישורים π 1ו π 2 -מקבילים .הנקודות ) A (0,−2b, aו B-נמצאות על המישורים π 1 ו π 2 -בהתאמה .הנקודה ) C (0.5,−b, bנמצאת על הישר ABבין הנקודות Aו B-כך שמתקיים: . BC = 3ACמצא את ערכי הפרמטרים aו.b- .8נתונים המישוריםπ 1 : ( m 2 + 2 ) x + ( m − 1) y − 2 z + m = 0 : π 2 : mx − y + (m + 1) z − 2m 2 = 0 א .מצא עבור אילו ערכי ,mתהיה הנקודה ) A (1,−12 , −2משותפת לשני המישורים. ב .עבור ערך mשמצאת בסעיף א' ,מצא את המצב ההדדי בין המישורים π 1ו. π 2 - ג .המישור π 3מקביל למישור π 2ועובר דרך הנקודה ) . B (5, 4, 2המישור π 3חותך את הצירים בנקודות D ,Cו .E-ראשית הצירים בנקודה .Oחשב את נפח הפירמידה .CDEO פתרונות (1 :א . m = 2 .ב . 2 x − 2 y − z + 1 = 0 .ג (1 .אף (2 .nכל (2 .nא (1 .אף . m = 2 (2 .m . m ≠ 2 (3ב . A(2,9,9) .ג (3 . 9 x − 2 z = 0 .א (9,15, 6) .ו . ( − 1, 2, 4) :ב, l3 : x = (1,5,8) + t (6, 7, −6) . 4 40 6 ) . l4 : x = (−1, 2, 4) + s (10,13, 2ג (4 . 23 x − 18 y + 2 z + 51 = 0 .א .A(4,8,2) .ב, ) ,B(2,4,0) . 7 7 7 . C (− , ג (5 . CD : x = (3,6,1) + t (25,2,1) .א m = 2 .או . m = 3ב .עבור m = 2הישר מקביל למישור ,עבור m = 3הישר חותך את המישור (6 .א (2 . m = 1 (1 .לאף . m ≠ 1 (3 .mב. n ≠ −3, 9 . (7א (1 .אף . m ≠ 3 (3 . m = 3 (2 .mב (8 . b = 3, a = 2 .א . m = 2 .ב .נחתכים .ג 48 .יח' נפח. © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 93 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ארכימדס -פתרונות למידה תרגילים הכוללים את נוסחאות המרחקים והזויות )בין נקודות ,ישרים ומישורים( * תרגילים נוספים בנושא זה מופיעים בבחינות המתכונת שבספר וניתן לאתרם במפתח הנושאים שבתחילתו .התרגילים שבבחינות המתכונת ברובם אינטגרטיביים ומורכבים יותר. .1נתונים שני הישרים ). l 2 : x = (2 ,1,4) + s ⋅ (4, 3,1) , l 1 : x = (9, 0, 5) + t ⋅ (4, 3,1 א .מצא את המצב ההדדי בין הישרים l1ו. l 2 - ב .חשב את המרחק בין הישרים l1ו. l 2 - ג .המישור π 1עובר דרך הישרים l1ו . l 2 -חשב את המרחק בין ראשית הצירים לבין המישור . π 1 .2נתונים שני הישרים ). l 2 : x = (m ,1,0) + s(2n − 1,0 , n − 3) , l 1 : x = (5, − 1, − 4) + k ⋅ (n, 0, − 2n א .נתון :הישרים l1ו l 2 -מקבילים זה לזה .מצא את ערכו של הפרמטר .n ב .נתון :הישרים l1ו l 2 -משיקים למעגל ששטחו . πמצא את ערכו של הפרמטר .m ג .המישור π 1עובר דרך ראשית הצירים ודרך הישר . l1מצא את המרחק שבין הישר l 2לבין המישור . π 1 .3נתונים שני הישרים . l 2 : x = (m,−2,−3) + k ⋅ (2,0,0) , l 1 : x = (1,2,3) + t (−1,0,1) :מצא: א .נתון :שני הישרים הנתונים מצטלבים .מצא את ערכו של הפרמטר .m ב .חשב את המרחק בין הישרים l1ו. l 2 - .4נתונים שני הישרים המצטלבים: )l 1 : x = (0,2,0) + t (2,−2,0 )(0 < m) l 2 : x = (−m, 4m, m + 6) + s(0, − 2 ,2 א .נתון שהמרחק בין הישרים l1ו l 2 -הוא . 4 3מצא את ערכו של הפרמטר .m ב .חשב את הזוית בין הישרים. ג .הישר l 2מאונך למישור . π 1הזוית החדה שבין הישר )l 3 : x = ( p, p,0) + r ⋅ ( p − 1, p,0 לבין המישור π 1היא . 45 0מצא את ערכו של הפרמטר .p .5ישר החיתוך של המישורים x + y − z − 6 = 0 :ו 2x − 3z − 4 = 0 :הוא . l 1 המישור π 1 : 2 x − y + z + 1 = 0משיק בנקודה Aלכדור שמרכזו בנקודה ). O (1, 4, 5 א .מצא את המצב ההדדי בין הישר l 1לבין הישר .AO ב .חשב את הזווית שבין הישר l 1לבין (1 :הישר .AO (2המישור . π 1 ג .חשב את קוטר הכדור. .6הישר l 1עובר דרך הנקודה ) A( 2,− 4,7ומאונך למישור . (0 < m) π1 : my + z + 12 = 0בנוסף נתונה משוואת הישר ) . l 2 : x = (4,4,2) + s(m,0,1הזווית בין הישרים l1ו l 2 -היא . 60 0 א .מצא את ערכו של הפרמטר .m ב .חשב את הזוית שבין המישור π 1לבין הישר . l 2 ג .מבין כל הנקודות הנמצאות על המישור , π 1מצא את הנקודה Bשהיא הנקודה הקרובה ביותר לנקודה .A ד .הישר l 2חותך את המישור π 1בנקודה .Cחשב את אורך הקטע .BC © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 94 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 ארכימדס -פתרונות למידה .7כדור שרדיוסו 4יח' אורך ומרכזו בנקודה ) O (1, − 2,6משיק בנקודה A למישור. (0 < m ) π 1 : x + my − mz + 3 = 0 : א .המישור , π 2אשר חותך את הקרן השלילית של ציר ה ,x-מקביל למישור π 1ומשיק לאותו כדור .מצא את משוואת המישור . π 2 ב .מצא את שיעורי הנקודה .A ג .המישור π 3אשר עובר דרך ציר ה ,y-מאונך למישור . π 1מצא את משוואת המישור . π 3 π 1 : mx + (m + 1) y + z + 1 = 0 .8נתונים המישורים: π 2 : x + my + (m + 1) z − 1 = 0 א .הזוית בין המישורים היא . 60 0מצא את משוואות המישורים בהינתן ש m-אינו שלילי. ב .מצא את ההצגה הפרמטרית של ישר החיתוך של המישורים π 1ו. π 2 - ג .מצא את המרחק בין הנקודה ) A (9, 8, − 1לבין ישר החיתוך שמצאת בסעיף ב'. .9הנקודות ) A ( 2b, a , − 4ו B ( −2, − 1, 2) -הן שני קצוות של הישר l1שכיוונו ) (2, 1, − 2והוא עובר דרך הנקודה Oשהיא ראשית הצירים .דרך הנקודות Aו B-עוברים בהתאמה המישורים π 1וπ 2 - המאונכים לישר . l1 א .מצא את משוואות המישורים π 1ו. π 2 - ב .המישור π 3מקביל למישור , π 1כך שמרחקו מהמישור π 2גדול פי שניים ממרחקו מהמישור . π 1 מצא את משוואת המישור . π 3 ג .מצא על ציר ה z-את הנקודות שמרחקן מהמישור π 1שוות למרחקן מראשית הצירים. .10נתונים שני הישריםl 1 : x = t ⋅ (0, m, 2m − 2) : ). l 2 : x = s ⋅ (2m − 2, m, 0 הזוית שבין ציר ה y-לבין הישר l 2שווה לזוית שבין ציר ה z-לבין הישר . l1 א .מצא את הזוית החדה שבין הישרים l1ו. l 2 - ב .המישור π 1עובר דרך l1ו . l 2 -המישור π 2מקביל למישור XZועובר דרך הנקודה ) . A (6, − 1, 2חשב את הזוית החדה שבין המישורים π 1ו. π 2 - ג .המרחק בין הנקודה ) B ( p + 7, p, 2 pלבין המישור , π 1גדול פי 3 מצא את ערכו של הפרמטר .p ממרחקה מהמישור . π 2 .11הישר l 1 : x = (1, 2, 4) + t ⋅ (n, n − 4, 2 − n) :יוצר זויות שוות עם ציר ה y-ועם ציר ה.z- א .מצא את ערכו של הפרמטר .n ב .הישר l1מאונך למישור . π 1המישור π 1חותך את הקרן החיובית של ציר ה ,z-ומרחקו מראשית הצירים הוא . 2 11מצא את משוואת המישור . π 1 ג .חשב את הזוית החדה שבין המישור π 1לבין המישור .XY © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 95 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 .12הנקודות ) O1 (−4, − 5, 0ו O2 -הן מרכזיהם של שני מעגלים שהם שני בסיסיו של גליל .מישור הבסיס שעליו נמצאת הנקודה O2הוא: . π 1 : x + 2 y − 11 = 0הנקודה ) A (1, 0, − 2נמצאת על מעטפת הגליל. א .חשב את שטח הבסיס של הגליל. ב .חשב את שטח המשולש . ∆ AO1O2 ג .הנקודה Aנמצאת על הישר l1המקביל לישר . O1O2מבין כל הישרים המקבילים לישר O1O2שדרכם עוברת מעטפת הגליל, הישר l 2הוא הישר שמרחקו מהישר l1הוא הגדול ביותר .מצא את נקודת החיתוך בין הישר l 2לבין בסיס הגליל שמרכזו בנקודה . O1 .13נתונים הישרים ) l 1 : x = (0,2,4) + t ⋅ (m, m,−1ו.( 0 < m ) l 2 : x = (2,4,−1) + s ⋅ (−3,2m, m 2 ) - א .מצא את משוואת המישור π1המכיל את הישר l 1ומאונך לישר . l 2 ב .המישור π 2עובר דרך הנקודה ) M (18a,3a,2aומקביל למישור . π1המישור π 2חותך את הצירים בנקודות B ,Aו .C-הבע באמצעות aאת שטח המשולש . ∆ABC ג .נתונה הנקודה ) . N (a,− a,−3aנפח הפירמידה ABCNהוא 48יח' נפח. מצא את ערכו של הפרמטר החיובי .a .14נתונים שני מישורים π 1 : x − y + 2 z − 5 = 0 :ו. π 2 : 2 x + y − z − 1 = 0 : א .הנקודה ) A (m,2m, nנמצאת על שני המישורים .מצא את ערכם של הפרמטרים mו.n- ב .חשב את הזוית החדה בין שני המישורים π 1ו. π 2 - ג .כדור שמרכזו בנקודה ) O (k , 4, − kמשיק לשני המישורים π 1ו. π 2 - מצא את אורך רדיוסו של הכדור. .15נתון גליל המונח על המישור . π 3הנקודות O1ו O2 -הן מרכזי שני מעגלים שהם שני בסיסי הגליל ,אשר מוכלים בהתאמה במישורים: π 1 : 2 x − y + 2 z − 29 = 0 π 2 : m 2 − 2 ⋅ x + (m − 3) ⋅ y + mz + 25 = 0 א .מצא את ערכו של הפרמטר .m ב .נתון . O1 (7, − 5, 5) :הנקודה Aהיא אמצע הקטע . O1O2מבין כל הנקודות על המישור , π 3 הנקודה ) M (−2, 2, 4היא הנקודה הקרובה ביותר לנקודה .Aחשב את נפח הגליל. ג .מצא את משוואת המישור . π 3 ) ( .16הנקודות B ,Aו D-נמצאות על הצירים כמתואר בשרטוט. הנקודה Oהיא ראשית הצירים .נתון. BO = DO = 2 AO = 6 p : הנקודה Eנמצאת על BDבין Bל D-כך שמתקיים. DE = 2BE : הנקודה Fנמצאת על ABבין Aל B-כך שמתקיים. BF = 2 AF : א .מצא את משוואת המישור .EFO ב .הבע באמצעות pאת משוואת המישור המקביל למישור ,EFOהעובר דרך הנקודה .A ג .המישור שמצאת בסעיף ב' מרוחק במידה שווה מהמישור שמצאת בסעיף א' ,ומהנקודה ) . ( p,1, pמצא את ערכו של הפרמטר .p © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 96 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 .17בשרטוט מופיעה תיבה הצמודה לראשית הצירים .נתון. B' (4,4,12) : הנקודה Eהיא אמצע .BCהנקודה Fהיא אמצע '. A'O א .מצא את המצב ההדדי בין הישרים BFו. O' E : ב .חשב את המרחק בין הישרים BFו . O' E :בתשובתך השאר עד שתי ספרות מימין לנקודה העשרונית. ג .הנקודה Mנמצאת על הישר BFבין הנקודות Bו.F- חשב את שטח המשולש . ∆EO' M .18בשרטוט מופיעה תיבה הצמודה לראשית הצירים. המישור π 1 : 2 x + 2 y + 3z − 24 = 0עובר דרך הנקודות C ,Aו . D' -הנקודה Eנמצאת על המקצוע BCכך שמתקיים. CE = 2BE : א .מצא את המצב ההדדי בין הישרים D' Eו. AC' : ב .חשב את המרחק בין הישרים D' Eו. AC' : ג .חשב את הזוית החדה שבין הישר D' Eוהמישור . π 1 פתרונות: (1א .מקבילים .ב 5 .יח' אורך .ג 3.49 .יח' אורך (2 .א . n = 1 .ב . m = 3 .ג 1.874 .יח' אורך. (3א .כל .mב 4 .יח' אורך (4 .א . m = 2 .ב . 60 0 .ג. p = 1 . (5א .מצטלבים .ב . 79 .10 (2 . 10.89 0 (1 .ג 3.38 .יח' אורך (6 .א . m = 1 .ב . 30 0 .ג. B ( 2,− 11 .5,− 0.5) . 1 3 1 2 3 3 ד 27.14 .יח' אורך (7 .א . x + 2 y − 2 z + 27 = 0 .ב . (2 , ,3 ) .ג. 2 x + z = 0 . (8א . π 2 : x + z − 1 = 0 , π 1 : y + z + 1 = 0 .ב . x = (2, 0, − 1) + t ⋅ (1, 1, − 1) .ג 6.16 = 38 .יח'. (9א . π 2 : 2 x + y − 2 z + 9 = 0 , π 1 : 2x + y − 2z − 18 = 0 .ב 2 x + y − 2 z − 9 = 0 .או . 2 x + y − 2 z − 45 = 0ג (10 . (0, 0,− 3.6) , (0, 0,18) .א . 60 0 .ב . 54.730 .ג. p = − 2, 4 . (11א . n = 3 .ב . π 1 : 3x − y − z + 22 = 0 .ג (12 . 72.45 0 .א 9π = 28.27 .יח"ר .ב 16.77 .יח"ר. ג (13 . (−6, − 4, 2) .א . π 1 : x − 2 y − 3z + 16 = 0 .ב 11.22a 2 .יח"ר .ג. a = 2 . (14א . n = 3 , m = 1 .ב . 80.405 0 .ג .אורך הרדיוס 6או 2 6יח' אורך. (15א . m = 2 .ב 2,827.43 = 900π .יח' נפח .ג. π 3 : 3x − 4 y − 5z + 34 = 0 . 1 (16א . x − y + 2 z = 0 .ב . x − y + 2 z − 3 p = 0 .ג. p = ± . 3 (17א .מקבילים .ב 1.97 .יח' אורך .ג 12.64 .יח"ר. (18א .מצטלבים .ב 1.242 .יח' אורך .ג. 13.6 0 . © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807 עמוד 97
© Copyright 2024