‫אלגברה לינארית ‪ -‬הגדרות ומשפטים‬ ‫פרק ‪ – 10‬מכפלה פנימית‪ ,‬אורתוגונליות‪ ,‬תהליך גרהם‪-‬שמידט‬ ‫הגדרה ‪ – 10.1‬מכפלה פנימית‬ ‫יהי 𝑉 מרחב וקטורי‪ .‬מכפלה פנימית (סקלרית) היא פונקציה המסומנת 𝑦 ∙ 𝑥 או )𝑦 ‪ (𝑥,‬והיא‬ ‫מתאימה לכל שני וקטורים ב‪ 𝑉 -‬סקלר‪ ,‬ומקיימת את התכונות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .1‬סימטריות‪ 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑦 ∙ 𝑥 :‬לכל‬ ‫‪ .2‬לינאריות בכפל‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑥, 𝑦 ∈ ℝ‬‬ ‫𝑦 ∙ 𝑥 𝑎 = 𝑦 ∙ 𝑥𝑎‬ ‫לכל‬ ‫𝑛‬ ‫‪ .3‬לינאריות בחיבור‪𝑥 + 𝑦 ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑧 + 𝑦 ∙ 𝑧 :‬‬ ‫‪ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ‬וסקלר ‪𝑎 ∈ ℝ‬‬ ‫לכל‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ‬‬ ‫‪ .4‬חיוביות‪ 𝑥 ∙ 𝑥 > 0 :‬לכל ‪ 𝑥 ∙ 𝑥 = 0 .𝑥 ≠ 0‬אם ורק אם ‪𝑥 = 0‬‬ ‫טענה ‪10.2‬‬ ‫יהי 𝑉 מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית‪ .‬אזי‬ ‫𝑦 ∙ 𝑥 𝑎 = 𝑦 ∙ 𝑎 ∙ 𝑥 לכל‬ ‫𝑛‬ ‫‪ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ‬וסקלר ‪𝑎 ∈ ℝ‬‬ ‫טענה ‪10.3‬‬ ‫יהי 𝑉 מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית‪ .‬אזי 𝑧 ∙ 𝑥 ‪ 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 +‬לכל‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ‬‬ ‫הגדרה ‪ – 10.4‬אורתוגונליות‬ ‫שני וקטורים 𝑥 ו‪ 𝑦 -‬במרחב וקטורי עם מכפלה פנימית נקראים אורתוגונלים אם ‪𝑥 ∙ 𝑦 = 0‬‬ ‫הגדרה ‪ – 10.5‬קבוצה אורתוגונלית‬ ‫יהי מרחב וקטורי 𝑉 עם מכפלה פנימית‪ .‬תהי‬ ‫𝑘𝑥 ‪ 𝑆 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬קבוצה של 𝑘 וקטורים שונים‬ ‫מ‪ .0 -‬נאמר ש‪ 𝑆 -‬היא קבוצה אורתוגונלית אם ‪ 𝑥𝑖 ∙ 𝑥𝑗 = 0‬לכל 𝑗 ≠ 𝑖‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫טענה ‪10.6‬‬ ‫קבוצה אורתוגונלית היא קבוצה בלתי תלויה לינארית‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ – 10.7‬נורמה של וקטור‬ ‫יהי 𝑉 מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית‪ .‬נגדיר נורמה של וקטור 𝑥 ע"י‪. 𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑥 :‬‬ ‫תכונות של נורמה‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫𝑥 ∙ 𝑎 = 𝑥𝑎‬ ‫‪ .2‬אי‪-‬שיוויון המשולש‬ ‫𝑦 ‪𝑥+𝑦 ≤ 𝑥 +‬‬ ‫הגדרה ‪ – 10.8‬וקטור יחידה‬ ‫וקטור 𝑥 נקרא וקטור יחידה אם ‪ . 𝑥 = 1‬וקטור יחידה מסומן 𝑥‪.‬‬ ‫ניתן להפוך כל וקטור שונה מאפס לוקטור חידה ע"י חלוקה בנורמה שלו‪ .‬תהליך זה נקרא‬ ‫נירמול‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ – 10.9‬קבוצה אורתונורמלית‬ ‫יהי מרחב וקטורי 𝑉 עם מכפלה פנימית‪ .‬תהי‬ ‫𝑘𝑥 ‪ 𝑆 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬קבוצה של 𝑘 וקטורים שונים‬ ‫מ‪ .0 -‬נאמר ש‪ 𝑆 -‬היא קבוצה אורתונורמלית אם‪:‬‬ ‫‪ 𝑥𝑖 ∙ 𝑥𝑗 = 0 .1‬לכל 𝑗 ≠ 𝑖‬ ‫‪ 𝑥𝑖 ∙ 𝑥𝑖 = 1 .2‬לכל 𝑖‬ ‫טענה ‪10.10‬‬ ‫יהי‬ ‫𝑛𝑥 ‪ 𝐵 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬בסיס אורתונורמלי למרחב וקטורי עם מכפלה פנימית‪ .‬אזי לכל 𝑥‬ ‫כאשר‪ 𝑥 = 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 :‬נקבל‪:‬‬ ‫‪𝑎1 = 𝑥 ∙ 𝑥1‬‬ ‫‪𝑎2 = 𝑥 ∙ 𝑥2‬‬ ‫⋮‬ ‫𝑛𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑛𝑎‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫הגדרה ‪ – 10.11‬תהליך גרהם שמידט‬ ‫עבור בסיס‬ ‫‪ B = v1 , v2 , . . , vn‬כלשהו של ‪ V‬נקבל בסיס אורתוגונלי ע"י תהליך גרהם שמידט‪:‬‬ ‫∗‪v1 = v1‬‬ ‫∗ ∗‪v2 , v1‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪v1∗ , v1∗ 1‬‬ ‫‪v2∗ = v2 −‬‬ ‫∗ ∗‪v3 , v1‬‬ ‫∗ ∗‪v3 , v2‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪v1∗ , v1∗ 1‬‬ ‫‪v2∗ , v2∗ 2‬‬ ‫‪v3∗ = v3 −‬‬ ‫∗‪vk‬‬ ‫בשלב זה קיבלנו‬ ‫את הוקטורים‪:‬‬ ‫∗‪vn+1 , vk‬‬ ‫∗‪vk∗ , vk‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= vn+1 −‬‬ ‫∗‬ ‫‪vn+1‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫∗‪ B ∗ = v1∗ , v2∗ , . . , vn‬בסיס אורתוגונלי‪ .‬כדי לקבל בסיס אורתונורמלי ננרמל‬ ‫‪v ∗n‬‬ ‫‪v ∗n ,v ∗n‬‬ ‫= ∗‪vn‬‬ ‫וקיבלנו בסיס אורתונורמלי‪:‬‬ ‫∗‪B ∗ = v1∗ , v2∗ , . . , vn‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪[email protected]‬‬