‫הפקולטה למדעי הטבע‬ ‫המחלקה לפיזיקה‬ ‫קורס ‪ :‬פיזיקה ‪1‬‬ ‫ווקטורים‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (1‬מתי שני ווקטורים ‪ a‬ו‪ b -‬קשורים זה לזה דרך הביטוי ‪ a  kb‬כאשר ‪ k‬הוא קבוע?‬ ‫מה קורה אם ‪? k < 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (2‬האם יכול להיווצר מצב כאשר שינוי של ערך מוחלט של ווקטור | ‪  | a‬שווה לערך מוחלט‬ ‫‪‬‬ ‫של שינוי הווקטור | ‪ ? | a‬באיזה מקרה?‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (3‬נתונים שני ווקטורים ) ‪ a  ( a x , a y , a z‬ו‪ . b  (b x , b y , b z ) -‬רשמו ביטוי ל‪ cos -‬כאשר‬ ‫‪ ‬היא הזווית בין הווקטורים‪.‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪a x bx  a y b y  a z b z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a y2  a z2 bx2  b y2  bz2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪cos  ‬‬ ‫‪(4‬מצאו את הזווית בין הווקטורים )‪ (1,3,5‬ו‪.(6,4,2) -‬‬ ‫תשובה‪.   50.8  :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (5‬נתונים שלושה ווקטורים ‪ b , a‬ו‪ . c -‬הווקטורים ‪ a‬ו‪ c -‬מאונכים זה לזה‪ .‬הווקטור ‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫נטוי בזווית ‪ ‬למישור שבו נמצאים הווקטורים ‪ a‬ו‪ . c -‬בטאו ע"י הערכים המוחלטים של‬ ‫‪  ‬‬ ‫שלושת הווקטורים והזווית ‪ ‬את המכפלה ) ‪. a  (b  c‬‬ ‫תשובה‪. abc sin  :‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪a  2 xˆ  3 yˆ  z‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪b  xˆ  yˆ  5z‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪c  xˆ  4 y‬‬ ‫‪ (6‬נתונים הוקטורים‬ ‫חשב את המכפלות‪:‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫א( ‪a  b , a  b‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב( ‪ a   xˆ  c ‬ו‪ a  b   xˆ -‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫ג( ‪a   b  c ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ד(מהו הנפח של המנסרה שבסיסיה מקביליות שמוגדרת ע"י ‪a b c‬‬ ‫הפקולטה למדעי הטבע‬ ‫המחלקה לפיזיקה‬ ‫קורס ‪ :‬פיזיקה ‪1‬‬ ‫תשובות‪(2 :‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫א( ˆ‪a  b  14 xˆ  11 yˆ  5z‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪a  b  6‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪ a  b   xˆ  5 yˆ  11z‬‬ ‫ב(‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪a   xˆ  b   8 xˆ  2 yˆ  10 z‬‬ ‫ג( ‪30‬‬ ‫ד( ‪30‬‬ ‫‪ (7‬התרשים מכיל כל הנתונים המגדירים את הווקטורים ‪ B , A‬ו‪) . C -‬גודל וכיון(‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫חשב את הרכיבים )קרטזיים( של הווקטור ‪. A‬‬ ‫ב‪ .‬למה אסור לכתוב ביטוי כמו‪Ax  Ay :‬‬ ‫‪?A‬‬ ‫חשב את הרכיבים של הווקטור ‪ D‬מוגדר על ידי הנוסחה‪D  A  B  C :‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪.‬שרטט אותו‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫חשב‬ ‫את‬ ‫הרכיבים‬ ‫‪ 7 A  5B  C / 3‬‬ ‫של‬ ‫הווקטור ‪E‬‬ ‫מוגדר‬ ‫על‬ ‫ידי‬ ‫הנוסחה‪:‬‬ ‫‪ . E‬שרטט אותו‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ (8‬התרשים מכיל כל הנתונים המגדירים את הווקטורים ‪ B , A‬ו‪) . C -‬גודל וכיון(‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫חשב את הרכיבים של הווקטור ‪ D‬מוגדר על ידי הנוסחות‪:‬‬ ‫‪ A BC‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪D  A BC‬‬ ‫‪ . D‬שרטט אותו‪) .‬שני פתרונות(‪.‬‬ ‫חשב את הרכיבים של הווקטור ‪ E‬מוגדר על ידי הנוסחות‪:‬‬ ‫‪ E || (2 A  3B)  C / 2‬ו‪E  2 A  3B  C / 2 -‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ .‬שרטט אותו‪.‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫הפקולטה למדעי הטבע‬ ‫המחלקה לפיזיקה‬ ‫קורס ‪ :‬פיזיקה ‪1‬‬ ‫‪ (9‬התרשים מכיל כל הנתונים המגדירים את הווקטורים ‪ B , A‬ו‪) . C -‬גודל וכיון(‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪300‬‬ ‫א‪ .‬חשב את הרכיבים של הוקטור ‪. A‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את הרכיבים של הוקטור‬ ‫אותו‪.‬‬ ‫‪ r‬מוגדר על ידי הנוסחה‪. D  A  B  C :‬שרטט‬ ‫ג‪ .‬חשב את הרכיבים של הוקטור ‪ E‬מוגדר על ידי הנוסחה‪. E  2 A  3B  C / 2 :‬‬ ‫שרטט אותו‪.‬‬ ‫‪ (10‬התרשים מכיל כל הנתונים המגדירים את הווקטורים ‪ B , A‬ו‪) . C -‬גודל וכיון(‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1200‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫א‪ .‬חשב את הרכיבים של הוקטור ‪ D‬מוגדר על ידי הנוסחה‪:‬‬ ‫אותו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את הרכיבים של הווקטור ‪E‬‬ ‫‪ 2 A  3B  C / 2‬‬ ‫‪D  A BC‬‬ ‫‪.‬שרטט‬ ‫מוגדר על ידי הנוסחאות‪ 5 :‬‬ ‫‪. E‬שרטט אותו‪.‬‬ ‫ג‪ .‬חשב את הרכיבים של הווקטור ‪ E‬מוגדר על ידי הנוסחאות‪ 5 :‬‬ ‫‪ . E || 2 A  3B  C / 2‬שרטט אותו‪.‬‬ ‫‪,E‬‬ ‫‪,E‬‬ ‫הפקולטה למדעי הטבע‬ ‫המחלקה לפיזיקה‬ ‫קורס ‪ :‬פיזיקה ‪1‬‬ ‫‪(11‬‬ ‫א‪ .‬הוכח שגודל הווקטור השקול ‪ C  A  B‬נתון על ידי הביטוי‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . C  A  B  2 AB cos ‬איך מגדירים את הזווית ‪ ‬כדי שהביטוי יהיה נכון?‬ ‫)בעזרת שני וקטורים יכולים לבנות ארבע זוויות!!(‬ ‫ב‪ .‬הוכח שגודל הווקטור המוגדר‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. D  A  B  2 AB cos ‬‬ ‫ג‪ .‬מהי הזווית ‪ ‬אם ידוע שגודל הווקטור‬ ‫בין כיוון הווקטור ‪ D‬וכיוון הווקטור ‪A‬‬ ‫‪D  A B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫נתון‬ ‫על‬ ‫ידי‬ ‫הביטוי‪:‬‬ ‫הוא מינימלי? במקרה הזה‪ ,‬מהו היחס‬ ‫)אותו כיוון או כיוונים מנוגדים(?‬ ‫‪ (12‬מהו הווקטור השקול )גודל וכיון( עבור השרטוטים מטה‪ .‬נתון‬ ‫)‪ (a‬ו‪ (b)-‬גודל הווקטורים שווה ל‪. 7cm -‬‬ ‫)‪ (c‬גודל הווקטורים הארורים שווה ל‪. 7cm -‬‬ ‫הפקולטה למדעי הטבע‬ ‫המחלקה לפיזיקה‬ ‫קורס ‪ :‬פיזיקה ‪1‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪ (13‬נתונים הוקטורים ‪ a , b , c , d , e‬באופן גרפי‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫א(בטא את הוקטורים הנ"ל לפי רכיבים‪. v  v x xˆ  v y yˆ :‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫ב(חשב באופן גרפי ואנליטי )לפי רכיבים( את ‪a  b  c  d  e‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ג(אותו הדבר לגבי ‪a  2b  3c  4d  e‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫ד(חשב את הנורמות )"גודל"( של ‪a , b , c , d , e‬‬ ‫‪     ‬‬ ‫ה(חשב את המכפלות סקלריות ‪a  c ;; b  d a  e‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ו( חשב את הזוויות בין הוקטורים ‪a c ;; b d a e‬‬ ‫‪     ‬‬ ‫ז( חשב את המכפלות וקטוריות ‪a  c ; b  d ; a  e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ח( מהו השטח המקבילית שמוגדרת ע"י הוקטורים ‪e‬ו ‪? a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ט( מהו השטח המקבילית שמוגדר ע"י הוקטורים ‪d‬ו ‪? b ‬‬ ‫תשובות שאלה ‪:13‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪a  5 xˆ  4 y‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪b  4 x‬‬ ‫א(‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪c  6 xˆ  3 y‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪d  3 xˆ  3 y‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪e  5 xˆ  2 y‬‬ ‫‪ 41‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ד(‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪ 29‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫ב( ˆ‪ a  b  c  d  e  7 x‬ג( ˆ‪a  2b  3c  4d  e  12 xˆ  y‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪a  c  18‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ה( ‪b  d  12‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪a  e  17‬‬ ‫ו(‬ ‫‪ ‬‬ ‫ˆ‪a  c  39 z‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ז( ˆ‪b  d  12 z‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ˆ‪a  e  30 z‬‬ ‫ח(‪30‬‬ ‫ט(‪12‬‬