תרגיל 1

‫הפקולטה למדעי הטבע‬
‫המחלקה לפיזיקה‬
‫קורס ‪ :‬פיזיקה ‪1‬‬
‫ווקטורים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (1‬מתי שני ווקטורים ‪ a‬ו‪ b -‬קשורים זה לזה דרך הביטוי ‪ a  kb‬כאשר ‪ k‬הוא קבוע?‬
‫מה קורה אם ‪? k < 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (2‬האם יכול להיווצר מצב כאשר שינוי של ערך מוחלט של ווקטור | ‪  | a‬שווה לערך מוחלט‬
‫‪‬‬
‫של שינוי הווקטור | ‪ ? | a‬באיזה מקרה?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (3‬נתונים שני ווקטורים ) ‪ a  ( a x , a y , a z‬ו‪ . b  (b x , b y , b z ) -‬רשמו ביטוי ל‪ cos -‬כאשר‬
‫‪ ‬היא הזווית בין הווקטורים‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪a x bx  a y b y  a z b z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a y2  a z2 bx2  b y2  bz2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪cos  ‬‬
‫‪(4‬מצאו את הזווית בין הווקטורים )‪ (1,3,5‬ו‪.(6,4,2) -‬‬
‫תשובה‪.   50.8  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (5‬נתונים שלושה ווקטורים ‪ b , a‬ו‪ . c -‬הווקטורים ‪ a‬ו‪ c -‬מאונכים זה לזה‪ .‬הווקטור ‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נטוי בזווית ‪ ‬למישור שבו נמצאים הווקטורים ‪ a‬ו‪ . c -‬בטאו ע"י הערכים המוחלטים של‬
‫‪  ‬‬
‫שלושת הווקטורים והזווית ‪ ‬את המכפלה ) ‪. a  (b  c‬‬
‫תשובה‪. abc sin  :‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪a  2 xˆ  3 yˆ  z‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪b  xˆ  yˆ  5z‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪c  xˆ  4 y‬‬
‫‪ (6‬נתונים הוקטורים‬
‫חשב את המכפלות‪:‬‬
‫‪   ‬‬
‫א( ‪a  b , a  b‬‬
‫‪‬‬
‫ב( ‪ a   xˆ  c ‬ו‪ a  b   xˆ -‬‬
‫‪  ‬‬
‫ג( ‪a   b  c ‬‬
‫‪‬‬
‫ד(מהו הנפח של המנסרה שבסיסיה מקביליות שמוגדרת ע"י ‪a b c‬‬
‫הפקולטה למדעי הטבע‬
‫המחלקה לפיזיקה‬
‫קורס ‪ :‬פיזיקה ‪1‬‬
‫תשובות‪(2 :‬‬
‫‪ ‬‬
‫א( ˆ‪a  b  14 xˆ  11 yˆ  5z‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪a  b  6‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪ a  b   xˆ  5 yˆ  11z‬‬
‫ב(‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪a   xˆ  b   8 xˆ  2 yˆ  10 z‬‬
‫ג( ‪30‬‬
‫ד( ‪30‬‬
‫‪ (7‬התרשים מכיל כל הנתונים המגדירים את הווקטורים ‪ B , A‬ו‪) . C -‬גודל וכיון(‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשב את הרכיבים )קרטזיים( של הווקטור ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬למה אסור לכתוב ביטוי כמו‪Ax  Ay :‬‬
‫‪?A‬‬
‫חשב את הרכיבים של הווקטור ‪ D‬מוגדר על ידי הנוסחה‪D  A  B  C :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪.‬שרטט אותו‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫חשב‬
‫את‬
‫הרכיבים‬
‫‪ 7 A  5B  C / 3‬‬
‫של‬
‫הווקטור ‪E‬‬
‫מוגדר‬
‫על‬
‫ידי‬
‫הנוסחה‪:‬‬
‫‪ . E‬שרטט אותו‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪300‬‬
‫‪600‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ (8‬התרשים מכיל כל הנתונים המגדירים את הווקטורים ‪ B , A‬ו‪) . C -‬גודל וכיון(‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשב את הרכיבים של הווקטור ‪ D‬מוגדר על ידי הנוסחות‪:‬‬
‫‪ A BC‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪D  A BC‬‬
‫‪ . D‬שרטט אותו‪) .‬שני פתרונות(‪.‬‬
‫חשב את הרכיבים של הווקטור ‪ E‬מוגדר על ידי הנוסחות‪:‬‬
‫‪ E || (2 A  3B)  C / 2‬ו‪E  2 A  3B  C / 2 -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪300‬‬
‫‪600‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .‬שרטט אותו‪.‬‬
‫ו‪-‬‬
‫הפקולטה למדעי הטבע‬
‫המחלקה לפיזיקה‬
‫קורס ‪ :‬פיזיקה ‪1‬‬
‫‪ (9‬התרשים מכיל כל הנתונים המגדירים את הווקטורים ‪ B , A‬ו‪) . C -‬גודל וכיון(‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪600‬‬
‫‪300‬‬
‫א‪ .‬חשב את הרכיבים של הוקטור ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הרכיבים של הוקטור‬
‫אותו‪.‬‬
‫‪ r‬מוגדר על ידי הנוסחה‪. D  A  B  C :‬שרטט‬
‫ג‪ .‬חשב את הרכיבים של הוקטור ‪ E‬מוגדר על ידי הנוסחה‪. E  2 A  3B  C / 2 :‬‬
‫שרטט אותו‪.‬‬
‫‪ (10‬התרשים מכיל כל הנתונים המגדירים את הווקטורים ‪ B , A‬ו‪) . C -‬גודל וכיון(‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1200‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪300‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬חשב את הרכיבים של הוקטור ‪ D‬מוגדר על ידי הנוסחה‪:‬‬
‫אותו‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הרכיבים של הווקטור ‪E‬‬
‫‪ 2 A  3B  C / 2‬‬
‫‪D  A BC‬‬
‫‪.‬שרטט‬
‫מוגדר על ידי הנוסחאות‪ 5 :‬‬
‫‪. E‬שרטט אותו‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הרכיבים של הווקטור ‪ E‬מוגדר על ידי הנוסחאות‪ 5 :‬‬
‫‪ . E || 2 A  3B  C / 2‬שרטט אותו‪.‬‬
‫‪,E‬‬
‫‪,E‬‬
‫הפקולטה למדעי הטבע‬
‫המחלקה לפיזיקה‬
‫קורס ‪ :‬פיזיקה ‪1‬‬
‫‪(11‬‬
‫א‪ .‬הוכח שגודל הווקטור השקול ‪ C  A  B‬נתון על ידי הביטוי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . C  A  B  2 AB cos ‬איך מגדירים את הזווית ‪ ‬כדי שהביטוי יהיה נכון?‬
‫)בעזרת שני וקטורים יכולים לבנות ארבע זוויות!!(‬
‫ב‪ .‬הוכח שגודל הווקטור המוגדר‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. D  A  B  2 AB cos ‬‬
‫ג‪ .‬מהי הזווית ‪ ‬אם ידוע שגודל הווקטור‬
‫בין כיוון הווקטור ‪ D‬וכיוון הווקטור ‪A‬‬
‫‪D  A B‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון‬
‫על‬
‫ידי‬
‫הביטוי‪:‬‬
‫הוא מינימלי? במקרה הזה‪ ,‬מהו היחס‬
‫)אותו כיוון או כיוונים מנוגדים(?‬
‫‪ (12‬מהו הווקטור השקול )גודל וכיון( עבור השרטוטים מטה‪ .‬נתון‬
‫)‪ (a‬ו‪ (b)-‬גודל הווקטורים שווה ל‪. 7cm -‬‬
‫)‪ (c‬גודל הווקטורים הארורים שווה ל‪. 7cm -‬‬
‫הפקולטה למדעי הטבע‬
‫המחלקה לפיזיקה‬
‫קורס ‪ :‬פיזיקה ‪1‬‬
‫‪    ‬‬
‫‪ (13‬נתונים הוקטורים ‪ a , b , c , d , e‬באופן גרפי‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫א(בטא את הוקטורים הנ"ל לפי רכיבים‪. v  v x xˆ  v y yˆ :‬‬
‫‪    ‬‬
‫ב(חשב באופן גרפי ואנליטי )לפי רכיבים( את ‪a  b  c  d  e‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫ג(אותו הדבר לגבי ‪a  2b  3c  4d  e‬‬
‫‪    ‬‬
‫ד(חשב את הנורמות )"גודל"( של ‪a , b , c , d , e‬‬
‫‪     ‬‬
‫ה(חשב את המכפלות סקלריות ‪a  c ;; b  d a  e‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ו( חשב את הזוויות בין הוקטורים ‪a c ;; b d a e‬‬
‫‪     ‬‬
‫ז( חשב את המכפלות וקטוריות ‪a  c ; b  d ; a  e‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ח( מהו השטח המקבילית שמוגדרת ע"י הוקטורים ‪e‬ו ‪? a ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ט( מהו השטח המקבילית שמוגדר ע"י הוקטורים ‪d‬ו ‪? b ‬‬
‫תשובות שאלה ‪:13‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪a  5 xˆ  4 y‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪b  4 x‬‬
‫א(‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪c  6 xˆ  3 y‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪d  3 xˆ  3 y‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪e  5 xˆ  2 y‬‬
‫‪ 41‬‬
‫‪4‬‬
‫ד(‬
‫‪3 5‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪ 29‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪    ‬‬
‫ב( ˆ‪ a  b  c  d  e  7 x‬ג( ˆ‪a  2b  3c  4d  e  12 xˆ  y‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪a  c  18‬‬
‫‪ ‬‬
‫ה( ‪b  d  12‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪a  e  17‬‬
‫ו(‬
‫‪ ‬‬
‫ˆ‪a  c  39 z‬‬
‫‪ ‬‬
‫ז( ˆ‪b  d  12 z‬‬
‫‪ ‬‬
‫ˆ‪a  e  30 z‬‬
‫ח(‪30‬‬
‫ט(‪12‬‬