null

‫‪-1-‬‬
‫חדו"א ‪ 2‬שיעור ‪3‬‬
‫הגדרה וקטור גיאומטרי במישור ‪ R 2‬או במרחב ‪ R 3‬הוא קטע מכוון אותו ניתן להציג‬
‫בצורה אלגברית על ידי זוג או שלשה של ערכים ממשיים‬
‫דוגמאות‬
‫‪a  2,5  2iˆ  5 ˆj  R 2‬‬
‫כאשר ‪ iˆ  1,0, ˆj  0,1‬הם וקטורי היחידה היוצרים בסיס אורתונורמאלי למישור ‪R 2‬‬
‫‪b  9,3,5  9iˆ  3 ˆj  5kˆ  R3‬‬
‫‪0  0,0,0  0iˆ  0 ˆj  0kˆ  R3‬‬
‫כאשר ‪ iˆ  1,0,0, ˆj  0,1,0, kˆ  0,0,1‬הם וקטורי היחידה היוצרים בסיס אורתונורמאלי‬
‫למרחב ‪R 3‬‬
‫הגדרת וקטור עפ"י נקודות מוצאו וסופו ‪Aax , ay , az , Bbx , by , bz ‬‬
‫‪ ax , by  a y , bz  az ‬‬
‫דוגמאות‬
‫נתונות נקודות ‪ A3,1,8, B4,2,3‬אזי וקטורים‬
‫______‬
‫‪BA  4  3,2  1,3  8  1,3,  11‬‬
‫‪AB  b‬‬
‫______‬
‫‪x‬‬
‫______‬
‫‪AB  3  4,1  2, 8  3   1,3,11‬‬
‫פעולות על ובין וקטורים‬
‫‪ .1‬הכפלה בסקלר‪ ,‬חיבור‪ ,‬צירוף ליניארי ותלות ליניארי‬
‫ההגדרות וחוקים זהים למה שהוגדר באלגברה ליניארית‬
‫הגדרה‬
‫א) שני וקטורים במישור ‪ R‬או במרחב ‪ R‬תלויים ליניארית נקראים קוליניאריים‬
‫(מקבילים או מתלכדים עם אתו ישר )‬
‫ב) שלושה וקטורים במרחב ‪ R 3‬תלויים ליניארית נקראים קופלנריים‬
‫(מקבילים או מתלכדים עם אתו מישור)‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬מכפלה סקלרית‬
‫הגדרה‬
‫מכפלתם הסקלרית ‪ a  b‬של שני וקטורים במישור ‪ R 2‬או במרחב ‪ R 3‬היא הסקלר‬
‫השווה לאורך וקטור ראשון כפול אורך וקטור שני כפול קוסינוס הזוית בין הווקטרוים‬
‫‪a  b  a  b  cosa , b ‬‬
‫משפט‬
‫‪a  b  a x bx  a y by‬‬
‫כאשר ‪a  ax , ay , b  bx , by ‬‬
‫‪a  b  a x bx  a y by  a z bz‬‬
‫כאשר ‪a  ax , ay , az , b  bx , by , bz ‬‬
‫‪-2-‬‬
‫‪a x bx  a y by  a z bz‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪‬‬
‫מסקנה ‪1‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪a x2  a y2  a z2  bx2  by2  bz2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪cos a , b ‬‬
‫מסקנה ‪ 2‬היטלו של וקטור ‪ a‬על וקטור ‪ b‬שווה ל‪b -‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪projb a  a cos a , b‬‬
‫תרגיל חשב את ‪ , a  b‬מצא את הזוית ‪ ‬בין שני הוקטורים ואת ‪ projb a‬כאשר‬
‫א) ‪ a  1,2,2, b  3,0,4‬ב) ‪a  4,2,3, b  3,0,4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫תשובה א) ‪a  b  5,    arccos  , projb a   3,0,4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 3‬‬
‫ב) ‪, projb a  0,0,0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a  b  0,  ‬‬
‫משפט הזוית ‪ ‬בין שני וקטורים‬
‫‪ ‬חדה אם ורק אם מכפלתם הסקלרית חיובית‬
‫‪ ‬קהה אם ורק אם מכפלתם הסקלרית שלילית‬
‫‪ ‬ישרה אם ורק אם מכפלתם הסקלרית שווה לאפס‬
‫‪ .3‬מכפלה וקטורית‬
‫הגדרה‬
‫‪3‬‬
‫מכפלתם הוקטורית ‪ a  b‬של שני וקטורים במרחב ‪ R‬מהווה וקטור המאונך לשניהם‪,‬‬
‫אורכו שווה ל‪a  b  a  b  sin a , b  -‬‬
‫וכוונו מוגדר על ידי "כלל הבורג " או כלל "יד ימין"("למה מה")‬
‫משפט‬
‫‪kˆ ‬‬
‫‪a z   a y bz  a z by , a z bx  a x bz , a x by  a y bx ‬‬
‫‪‬‬
‫‪bz ‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ‪a  ax , ay , az , b  bx , by , bz ‬‬
‫‪ˆj‬‬
‫‪ay‬‬
‫‪by‬‬
‫ˆ‪ k‬‬
‫‪‬‬
‫‪a  b  det  a x‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ x‬‬
‫תכונות של מכפלה וקטורית‬
‫לכל ‪ 2‬וקטורים ‪1) b  a  a  b‬‬
‫לכל ‪ 2‬וקטורים קוליניאריים ‪2) a  b  0‬‬
‫בפרט ‪a  a  0‬‬
‫לכל ‪ 2‬וקטורים וסקלר ‪3) t a  b  ta  b  a  tb‬‬
‫‪     ‬‬
‫לכל ‪ 3‬וקטורים ‪4) a  b  c  a  c  b  c‬‬
‫שטח מקבילית שצלעותיה הצמודות הן ‪ 2‬וקטורים ‪5) a  b ‬‬
‫‪1‬‬
‫שטח ממשולש ששני צלעותיו הן וקטורים ‪a b ‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪6‬‬
‫‪-3-‬‬
‫‪ .4‬מכפלה מעורבת‬
‫הגדרה‬
‫‪3‬‬
‫מכפלתם המעורבת של שלושה וקטורים במרחב ‪ R‬היא סקלר ‪a  b  c‬‬
‫משפט‬
‫‪az ‬‬
‫‪‬‬
‫‪bz ‬‬
‫‪c z ‬‬
‫‪ ax‬‬
‫‪‬‬
‫‪a  b  c  det  bx‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪ay‬‬
‫‪by‬‬
‫‪cy‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ‪a  ax , ay , az , b  bx , by , bz , c  cx , cy , cz ‬‬
‫תכונות של מכפלה מעורבת‬
‫לכל ‪ 3‬וקטורים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1) a  b  c  c  a   b  b  c  a   b  a  c  a  c   b   c  b  a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שטח מקבילון שצלעותיו הצמודות הן ‪ 3‬וקטורים ‪2) a  b  c ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫שטח פירמידה שצלעותיה הצמודות הן ‪ 3‬וקטורים ‪a  b  c ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 3‬וקטורים קופלנריים אם ורק אם ‪4) a  b  c  0‬‬
‫‪‬‬
‫)‪3‬‬
‫‪‬‬
‫בפרט ‪a  b  a  0‬‬
‫‪ .5‬מישור במרחב‬
‫הגדרה מישר במרחב הוא אוסף הנקודות ‪ x, y, z ‬המוגדר על ידי משוואה ליניארית‬
‫לא טריוויאלית ולא מנוונת ‪ ax  by  cz  d‬כאשר ‪a 2  b 2  c 2  0‬‬
‫משפט‬
‫וקטור ‪ n  a, b, c ‬מאונך לכל וקטור החל במישור ‪ax  by  cz  d‬‬
‫הוכחה ‪ -‬כל וקטור ‪ u‬שחל במישור ‪ ax  by  cz  d‬מחבר בין ‪ 2‬נקודות במישור‬
‫‪ x1, y1, z1 ‬ו‪ x2 , y2 , z2  -‬ולכן ‪ . u  x2  x1 , y2  y1 , z1  z2 ‬הנקודות חייבות לקיים‬
‫‪ ax1  by1  cz1  d‬ו‪ ax2  by2  cz 2  d -‬ולכן אם נחסר בין המשוואות נקבל‬
‫‪ax2  x1   b y2  y1   cz1  z2   0‬‬
‫כלומר ‪ n u  0‬לכן שני הווקטורים מאונכים זה לזה‬
‫מסקנה משוואת המישור המאונך לווקטור ‪ n  a, b, c ‬ועובר דרך נקודה ‪Px0 , y0 , z0 ‬‬
‫‪ax  x0   b y  y0   cz  z0   0‬‬
‫הגדרה כל ווקטור ‪ n  0‬המאונך למישור נקרא אנך למישור‬
‫תרגיל‬
‫מצא את משוואת המישור עפ "י אנך ‪ n  4,5,2‬ונקודה ‪ P2, 0,  6‬שחלה במישור‬
‫תשובה ‪ 4x  2  5 y  0  2z  6  0‬או ‪4 x  5 y  2 z  4‬‬
‫‪-4-‬‬
‫בעיות נפוצות הקשורות למישור‬
‫‪ .1‬מציאת משוואת מישור עפ"י ‪ 3‬נקודות שרירותיות שאינן חלות בישר משותף‬
‫‪Ax1, y1, z1 , Bx2 , y2 , z2 , C x3 , y3 , z3 ‬‬
‫נסמן נקודה כללית במ ישור על יד ‪ r  x, y, z ‬אזי ניתן להגדיר אנך למישור על ידי‬
‫______‬
‫______‬
‫‪( n  AB  AC‬שני הוקטורים אינן קוליניאריים )‬
‫ואת משוואת המישור על ידי מכפלה מעורבת‬
‫‪z2  z1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪z3  z1   0‬‬
‫‪z  z1 ‬‬
‫‪y2  y1‬‬
‫‪y3  y1‬‬
‫‪y  y1‬‬
‫‪ x2  x1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ______ ______ ‬‬
‫‪n  Ar   AB  AC   x  x1 , y  y1 , z  z1   det  x3  x1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫תרגיל‬
‫מצא את משוואת המישור עפ "י ‪ 3‬נקודה ‪ A1, 0, 1, B1,1, 1, C2,1, 3‬שחלו בו‬
‫‪ .2‬זווית בין שני מישורים (הקטנה משתים)‬
‫זווית ‪ ‬בין שני מישורים שווה לזווית בין שני האנכים ‪ n1, n2‬למישורים או משלימה את‬
‫‪n1  n2‬‬
‫הזווית ל‪ .  -‬כלומר‬
‫‪n1  n2‬‬
‫‪ cos   ‬ומכוון שזווית ‪ ‬לא יכולה להיות קהה נקבל‬
‫‪n1  n2‬‬
‫‪n1  n2‬‬
‫‪cos  ‬‬
‫הערות ‪ cos   0‬אם ורק אם הישרים מאונכים‬
‫‪ cos   1‬אם ורק אם הישרים מקבילים‬
‫תרגיל מצא זווית ‪ ‬בין שני מישורים ובדוק האם המישורים מקבילים או מאונכים‬
‫א) ‪ x  y  z  7‬ו‪5x  3 y  2 z  1 -‬‬
‫ב ) ‪ x  y  z  7‬ו‪3 x  3 y  3 z  0 -‬‬
‫ג ) ‪ x  y  z  7‬ו‪x  2 y  3 z  4 -‬‬
‫תשובה א) מאונכים ב) מקבילים‬
‫‪-5-‬‬
‫‪ .6‬ישר במרחב‬
‫הצגתו הפרמטרית של הישר העובר דרך נקודה ‪ Px0 , y0 , z0 ‬ומקביל לווקטור‬
‫‪( v  a, b, c ‬או מכיל אותו ) ‪ -‬פרישה ליניארית מוזזת‬
‫____‬
‫‪r  OP tv‬‬
‫‪x, y, z   x0 , y0 , z0   t a, b, c ‬‬
‫‪ x  x0  at‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y  y0  bt‬‬
‫‪ z  z  ct‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫הצגתו הקנונית של הישר העובר דרך נקודה ‪ Px0 , y0 , z0 ‬ומקביל לווקטור ‪v  a, b, c ‬‬
‫(או מכיל אותו ) כאשר‬
‫‪a  0, b  0, c  0‬‬
‫‪x  x0 y  y0 z  z0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫תרגיל – מצאו את הצגתו הפרמטרית ואת הצגתו הקנונית של הישר‬
‫א) העובר דרך נקודה ‪ P3,2,5‬ומקביל לווקטור ‪v  1,1,3‬‬
‫ב) העובר דרך נקודה ‪ P0,1,3‬ומקביל לווקטור ‪v  2,0,3‬‬
‫בעיות נפוצות הקשורות למישור וישר‬
‫‪ .1‬מציאת מרחק בין נקודה ‪ Px0 , y0 , z0 ‬למישור ‪ax  by  cz  d‬‬
‫נגדיר ישר העובר דרך ‪ Px0 , y0 , z0 ‬ומאונך למישור ‪ ax  by  cz  d‬בצורה פרמטרית‬
‫____‬
‫‪r  OP tv‬‬
‫‪x, y, z   x0 , y0 , z0   t a, b, c ‬‬
‫נמצא את נקודת החיתוך בין הישר למישור‬
‫‪ax  by  cz  d‬‬
‫‪ax0  ta   b y0  tb   cz0  tc   d‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t a 2  b 2  c 2  d  ax0  by0  cz 0‬‬
‫המרחק המבוקש שווה ל‪-‬‬
‫‪d  ax0  by0  cz 0‬‬
‫‪a 2  b2  c2‬‬
‫‪d  ax0  by0  cz 0‬‬
‫‪a2  b2  c2‬‬
‫‪t‬‬
‫____‬
‫‪r  OP  tv  t a 2  b 2  c 2 ‬‬
‫ניתן לרשום גם‬
‫‪ax0  by0  cz 0  d‬‬
‫‪a 2  b2  c2‬‬
‫תרגיל מצא מרחק בין נקודה ‪ P4,2,1‬למישור ‪2 x  y  2 z  5‬‬
‫‪-6-‬‬
‫‪ .2‬מציאת הצגתו הפרמטרית של ישר החיתוך של שני מישורים‬
‫‪ a1 x  b1 y  c1 z  d1 a1 b1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪- Px0 , y0 , z0 ‬פתרון פרטי שרירותי המשותף לשתי המשוואות‬
‫‪v  a1 , b1 , c1  a2 , b2 , c2 ‬‬
‫תרגיל מצאת את הצגתו הפרמטרית של ישר החיתוך של שני מישורים‬
‫‪ 2 x  y  2 z  5‬ו‪x  y  3z  2 -‬‬
‫‪ .3‬מציאת מרחק בין נקודה ‪ P1 x1 , y1 , z1 ‬לישר העובר דרך ‪ Px0 , y0 , z0 ‬וכוונו‬
‫‪v  a, b, c ‬‬
‫שטח המקבילית שצלעותיה הצמודות הן ‪ PP1‬ו‪ v -‬הנו ‪PP1  v‬‬
‫המרחק המבוקש שווה לגובה המקבילית (שטח חלקי אורך הבסיס )‬
‫‪PP1  v‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ x  1  3t‬‬
‫‪‬‬
‫תרגיל מצא מרחק בין נקודה ‪ P0,2,1‬לישר ‪ y  4  t‬‬
‫‪ z  2t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .4‬מצבים הדדיים בין שני ישרים‬
‫‪x, y, z   x01, y01, z01   t a1, b1, c1 ‬‬
‫ו‪x, y, z   x02 , y02 , z02   sa2 , b2 , c2  -‬‬
‫פותרים מערכת של ‪ 3‬משוואות בשני משתנים‬
‫‪x01, y01, z01   t a1, b1, c1   x02 , y02, z02   sa2 , b2 , c2 ‬‬
‫‪ )1‬למערכת יש פתרון יחיד – הישרים נחתכים‬
‫‪ )2‬למערכת יש אינסוף פתרונות – הישרים מתלכדים‬
‫‪( )3‬רוב הסיכויים) למערכת אין פתרון‬
‫‪3‬א) ‪ a1 , b1 , c1  a2 , b2 , c2   0, 0, 0‬הישרים מקבילים‬
‫‪3‬ב) (רוב הסיכויים) ‪ a1 , b1 , c1  a2 , b2 , c2   0, 0, 0‬הישרים מצטלבים –‬
‫במקרה הזה לא קיים מישור המכיל את ‪ 2‬הישרים וקיימים ‪ 2‬מישורים מקבילים‬
‫יחידים כך שכל אחד מכיל כל אחת מהישרים‬
‫‪-7-‬‬
‫תרגיל בדוק האם הישרים הבאים מתלכדים‪ ,‬מקבילים‪ ,‬נחתכים או מצטלבים‬
‫‪ x  1  6s‬‬
‫‪ x  4  3t‬‬
‫‪ x  1  2s‬‬
‫‪ x  4  3t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫א) ‪  y  1  t‬ו‪  y  4  3s -‬ב) ‪  y  1  t‬ו‪ y  4  2 s -‬‬
‫‪ z  1  2 s  z  t‬‬
‫‪ z  1  2 s  z  t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  8  6s‬‬
‫‪ x  4  3t‬‬
‫‪ x  1  2s‬‬
‫‪ x  4  3t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ג) ‪  y  1  t‬ו‪  y  4  3s -‬ד) ‪  y  1  t‬ו‪ y  2  2 s -‬‬
‫‪ z  2 s‬‬
‫‪ z t‬‬
‫‪ z  1  2 s  z  2  t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תשובה א) נחתכים ב) מקבילים ג) מצטלבים ד) מתלכדים‬
‫‪ .5‬זווית בין שני ישרים (הקטנה משתים)‬
‫זווית ‪ ‬בין שני ישרים שווה לזווית בין שני וקטורי כיווניהם ‪ v1 , v2‬או משלימה את‬
‫‪v1  v2‬‬
‫הזווית ל‪ .  -‬כלומר‬
‫‪v1  v2‬‬
‫‪ cos   ‬ומכוון שזווית ‪ ‬לא יכולה להיות קהה נקבל‬
‫‪v1  v2‬‬
‫‪v1  v2‬‬
‫‪cos  ‬‬
‫הערות ‪ cos   0‬אם ורק אם הישרים מאונכים‬
‫‪ cos   1‬אם ורק אם הישרים מקבילים‬
‫תרגיל מצא זווית בין ‪ 2‬ישרים‬
‫‪ x  1  6s‬‬
‫‪ x  4  3t‬‬
‫‪ x  1  2s‬‬
‫‪ x  4  3t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫א) ‪  y  1  t‬ו‪  y  4  7 s -‬ב) ‪  y  1  t‬ו‪ y  4  2 s -‬‬
‫‪ z  1  2 s  z  t‬‬
‫‪ z  1  s‬‬
‫‪ z t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תשובה א)‬
‫‪2‬‬
‫ב) ‪0‬‬
‫‪ .6‬זווית בין ישר למישור (הקטנה ביותר)‬
‫זווית ‪ ‬בין ישר לישר המאונך למישור ניתן לחשב על ידי‬
‫והזווית המבוקשת תהיה ‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v n‬‬
‫‪v n‬‬
‫‪cos  ‬‬
‫‪‬‬
‫הערות ‪ cos   0‬אם ורק אם הישר מקביל למישור‬
‫‪ cos   1‬אם ורק אם הישר מאונך למישור‬
‫‪ x  4  t‬‬
‫‪‬‬
‫תרגיל מצא זווית בין ישר ‪  y  1  t‬למישור ‪x  y  z  2‬‬
‫‪ z  t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫תשובה ‪ arccos  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3‬‬