‫‪-1-‬‬ ‫חדו"א ‪ 2‬שיעור ‪3‬‬ ‫הגדרה וקטור גיאומטרי במישור ‪ R 2‬או במרחב ‪ R 3‬הוא קטע מכוון אותו ניתן להציג‬ ‫בצורה אלגברית על ידי זוג או שלשה של ערכים ממשיים‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪a  2,5  2iˆ  5 ˆj  R 2‬‬ ‫כאשר ‪ iˆ  1,0, ˆj  0,1‬הם וקטורי היחידה היוצרים בסיס אורתונורמאלי למישור ‪R 2‬‬ ‫‪b  9,3,5  9iˆ  3 ˆj  5kˆ  R3‬‬ ‫‪0  0,0,0  0iˆ  0 ˆj  0kˆ  R3‬‬ ‫כאשר ‪ iˆ  1,0,0, ˆj  0,1,0, kˆ  0,0,1‬הם וקטורי היחידה היוצרים בסיס אורתונורמאלי‬ ‫למרחב ‪R 3‬‬ ‫הגדרת וקטור עפ"י נקודות מוצאו וסופו ‪Aax , ay , az , Bbx , by , bz ‬‬ ‫‪ ax , by  a y , bz  az ‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫נתונות נקודות ‪ A3,1,8, B4,2,3‬אזי וקטורים‬ ‫______‬ ‫‪BA  4  3,2  1,3  8  1,3,  11‬‬ ‫‪AB  b‬‬ ‫______‬ ‫‪x‬‬ ‫______‬ ‫‪AB  3  4,1  2, 8  3   1,3,11‬‬ ‫פעולות על ובין וקטורים‬ ‫‪ .1‬הכפלה בסקלר‪ ,‬חיבור‪ ,‬צירוף ליניארי ותלות ליניארי‬ ‫ההגדרות וחוקים זהים למה שהוגדר באלגברה ליניארית‬ ‫הגדרה‬ ‫א) שני וקטורים במישור ‪ R‬או במרחב ‪ R‬תלויים ליניארית נקראים קוליניאריים‬ ‫(מקבילים או מתלכדים עם אתו ישר )‬ ‫ב) שלושה וקטורים במרחב ‪ R 3‬תלויים ליניארית נקראים קופלנריים‬ ‫(מקבילים או מתלכדים עם אתו מישור)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .2‬מכפלה סקלרית‬ ‫הגדרה‬ ‫מכפלתם הסקלרית ‪ a  b‬של שני וקטורים במישור ‪ R 2‬או במרחב ‪ R 3‬היא הסקלר‬ ‫השווה לאורך וקטור ראשון כפול אורך וקטור שני כפול קוסינוס הזוית בין הווקטרוים‬ ‫‪a  b  a  b  cosa , b ‬‬ ‫משפט‬ ‫‪a  b  a x bx  a y by‬‬ ‫כאשר ‪a  ax , ay , b  bx , by ‬‬ ‫‪a  b  a x bx  a y by  a z bz‬‬ ‫כאשר ‪a  ax , ay , az , b  bx , by , bz ‬‬ ‫‪-2-‬‬ ‫‪a x bx  a y by  a z bz‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪‬‬ ‫מסקנה ‪1‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪a x2  a y2  a z2  bx2  by2  bz2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪cos a , b ‬‬ ‫מסקנה ‪ 2‬היטלו של וקטור ‪ a‬על וקטור ‪ b‬שווה ל‪b -‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪projb a  a cos a , b‬‬ ‫תרגיל חשב את ‪ , a  b‬מצא את הזוית ‪ ‬בין שני הוקטורים ואת ‪ projb a‬כאשר‬ ‫א) ‪ a  1,2,2, b  3,0,4‬ב) ‪a  4,2,3, b  3,0,4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תשובה א) ‪a  b  5,    arccos  , projb a   3,0,4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫ב) ‪, projb a  0,0,0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a  b  0,  ‬‬ ‫משפט הזוית ‪ ‬בין שני וקטורים‬ ‫‪ ‬חדה אם ורק אם מכפלתם הסקלרית חיובית‬ ‫‪ ‬קהה אם ורק אם מכפלתם הסקלרית שלילית‬ ‫‪ ‬ישרה אם ורק אם מכפלתם הסקלרית שווה לאפס‬ ‫‪ .3‬מכפלה וקטורית‬ ‫הגדרה‬ ‫‪3‬‬ ‫מכפלתם הוקטורית ‪ a  b‬של שני וקטורים במרחב ‪ R‬מהווה וקטור המאונך לשניהם‪,‬‬ ‫אורכו שווה ל‪a  b  a  b  sin a , b  -‬‬ ‫וכוונו מוגדר על ידי "כלל הבורג " או כלל "יד ימין"("למה מה")‬ ‫משפט‬ ‫‪kˆ ‬‬ ‫‪a z   a y bz  a z by , a z bx  a x bz , a x by  a y bx ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪bz ‬‬ ‫‪‬‬ ‫כאשר ‪a  ax , ay , az , b  bx , by , bz ‬‬ ‫‪ˆj‬‬ ‫‪ay‬‬ ‫‪by‬‬ ‫ˆ‪ k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a  b  det  a x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫תכונות של מכפלה וקטורית‬ ‫לכל ‪ 2‬וקטורים ‪1) b  a  a  b‬‬ ‫לכל ‪ 2‬וקטורים קוליניאריים ‪2) a  b  0‬‬ ‫בפרט ‪a  a  0‬‬ ‫לכל ‪ 2‬וקטורים וסקלר ‪3) t a  b  ta  b  a  tb‬‬ ‫‪     ‬‬ ‫לכל ‪ 3‬וקטורים ‪4) a  b  c  a  c  b  c‬‬ ‫שטח מקבילית שצלעותיה הצמודות הן ‪ 2‬וקטורים ‪5) a  b ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שטח ממשולש ששני צלעותיו הן וקטורים ‪a b ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫‪-3-‬‬ ‫‪ .4‬מכפלה מעורבת‬ ‫הגדרה‬ ‫‪3‬‬ ‫מכפלתם המעורבת של שלושה וקטורים במרחב ‪ R‬היא סקלר ‪a  b  c‬‬ ‫משפט‬ ‫‪az ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪bz ‬‬ ‫‪c z ‬‬ ‫‪ ax‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a  b  c  det  bx‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪ay‬‬ ‫‪by‬‬ ‫‪cy‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫כאשר ‪a  ax , ay , az , b  bx , by , bz , c  cx , cy , cz ‬‬ ‫תכונות של מכפלה מעורבת‬ ‫לכל ‪ 3‬וקטורים‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1) a  b  c  c  a   b  b  c  a   b  a  c  a  c   b   c  b  a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫שטח מקבילון שצלעותיו הצמודות הן ‪ 3‬וקטורים ‪2) a  b  c ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שטח פירמידה שצלעותיה הצמודות הן ‪ 3‬וקטורים ‪a  b  c ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 3‬וקטורים קופלנריים אם ורק אם ‪4) a  b  c  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫בפרט ‪a  b  a  0‬‬ ‫‪ .5‬מישור במרחב‬ ‫הגדרה מישר במרחב הוא אוסף הנקודות ‪ x, y, z ‬המוגדר על ידי משוואה ליניארית‬ ‫לא טריוויאלית ולא מנוונת ‪ ax  by  cz  d‬כאשר ‪a 2  b 2  c 2  0‬‬ ‫משפט‬ ‫וקטור ‪ n  a, b, c ‬מאונך לכל וקטור החל במישור ‪ax  by  cz  d‬‬ ‫הוכחה ‪ -‬כל וקטור ‪ u‬שחל במישור ‪ ax  by  cz  d‬מחבר בין ‪ 2‬נקודות במישור‬ ‫‪ x1, y1, z1 ‬ו‪ x2 , y2 , z2  -‬ולכן ‪ . u  x2  x1 , y2  y1 , z1  z2 ‬הנקודות חייבות לקיים‬ ‫‪ ax1  by1  cz1  d‬ו‪ ax2  by2  cz 2  d -‬ולכן אם נחסר בין המשוואות נקבל‬ ‫‪ax2  x1   b y2  y1   cz1  z2   0‬‬ ‫כלומר ‪ n u  0‬לכן שני הווקטורים מאונכים זה לזה‬ ‫מסקנה משוואת המישור המאונך לווקטור ‪ n  a, b, c ‬ועובר דרך נקודה ‪Px0 , y0 , z0 ‬‬ ‫‪ax  x0   b y  y0   cz  z0   0‬‬ ‫הגדרה כל ווקטור ‪ n  0‬המאונך למישור נקרא אנך למישור‬ ‫תרגיל‬ ‫מצא את משוואת המישור עפ "י אנך ‪ n  4,5,2‬ונקודה ‪ P2, 0,  6‬שחלה במישור‬ ‫תשובה ‪ 4x  2  5 y  0  2z  6  0‬או ‪4 x  5 y  2 z  4‬‬ ‫‪-4-‬‬ ‫בעיות נפוצות הקשורות למישור‬ ‫‪ .1‬מציאת משוואת מישור עפ"י ‪ 3‬נקודות שרירותיות שאינן חלות בישר משותף‬ ‫‪Ax1, y1, z1 , Bx2 , y2 , z2 , C x3 , y3 , z3 ‬‬ ‫נסמן נקודה כללית במ ישור על יד ‪ r  x, y, z ‬אזי ניתן להגדיר אנך למישור על ידי‬ ‫______‬ ‫______‬ ‫‪( n  AB  AC‬שני הוקטורים אינן קוליניאריים )‬ ‫ואת משוואת המישור על ידי מכפלה מעורבת‬ ‫‪z2  z1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z3  z1   0‬‬ ‫‪z  z1 ‬‬ ‫‪y2  y1‬‬ ‫‪y3  y1‬‬ ‫‪y  y1‬‬ ‫‪ x2  x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ______ ______ ‬‬ ‫‪n  Ar   AB  AC   x  x1 , y  y1 , z  z1   det  x3  x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫תרגיל‬ ‫מצא את משוואת המישור עפ "י ‪ 3‬נקודה ‪ A1, 0, 1, B1,1, 1, C2,1, 3‬שחלו בו‬ ‫‪ .2‬זווית בין שני מישורים (הקטנה משתים)‬ ‫זווית ‪ ‬בין שני מישורים שווה לזווית בין שני האנכים ‪ n1, n2‬למישורים או משלימה את‬ ‫‪n1  n2‬‬ ‫הזווית ל‪ .  -‬כלומר‬ ‫‪n1  n2‬‬ ‫‪ cos   ‬ומכוון שזווית ‪ ‬לא יכולה להיות קהה נקבל‬ ‫‪n1  n2‬‬ ‫‪n1  n2‬‬ ‫‪cos  ‬‬ ‫הערות ‪ cos   0‬אם ורק אם הישרים מאונכים‬ ‫‪ cos   1‬אם ורק אם הישרים מקבילים‬ ‫תרגיל מצא זווית ‪ ‬בין שני מישורים ובדוק האם המישורים מקבילים או מאונכים‬ ‫א) ‪ x  y  z  7‬ו‪5x  3 y  2 z  1 -‬‬ ‫ב ) ‪ x  y  z  7‬ו‪3 x  3 y  3 z  0 -‬‬ ‫ג ) ‪ x  y  z  7‬ו‪x  2 y  3 z  4 -‬‬ ‫תשובה א) מאונכים ב) מקבילים‬ ‫‪-5-‬‬ ‫‪ .6‬ישר במרחב‬ ‫הצגתו הפרמטרית של הישר העובר דרך נקודה ‪ Px0 , y0 , z0 ‬ומקביל לווקטור‬ ‫‪( v  a, b, c ‬או מכיל אותו ) ‪ -‬פרישה ליניארית מוזזת‬ ‫____‬ ‫‪r  OP tv‬‬ ‫‪x, y, z   x0 , y0 , z0   t a, b, c ‬‬ ‫‪ x  x0  at‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y  y0  bt‬‬ ‫‪ z  z  ct‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫הצגתו הקנונית של הישר העובר דרך נקודה ‪ Px0 , y0 , z0 ‬ומקביל לווקטור ‪v  a, b, c ‬‬ ‫(או מכיל אותו ) כאשר‬ ‫‪a  0, b  0, c  0‬‬ ‫‪x  x0 y  y0 z  z0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫תרגיל – מצאו את הצגתו הפרמטרית ואת הצגתו הקנונית של הישר‬ ‫א) העובר דרך נקודה ‪ P3,2,5‬ומקביל לווקטור ‪v  1,1,3‬‬ ‫ב) העובר דרך נקודה ‪ P0,1,3‬ומקביל לווקטור ‪v  2,0,3‬‬ ‫בעיות נפוצות הקשורות למישור וישר‬ ‫‪ .1‬מציאת מרחק בין נקודה ‪ Px0 , y0 , z0 ‬למישור ‪ax  by  cz  d‬‬ ‫נגדיר ישר העובר דרך ‪ Px0 , y0 , z0 ‬ומאונך למישור ‪ ax  by  cz  d‬בצורה פרמטרית‬ ‫____‬ ‫‪r  OP tv‬‬ ‫‪x, y, z   x0 , y0 , z0   t a, b, c ‬‬ ‫נמצא את נקודת החיתוך בין הישר למישור‬ ‫‪ax  by  cz  d‬‬ ‫‪ax0  ta   b y0  tb   cz0  tc   d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t a 2  b 2  c 2  d  ax0  by0  cz 0‬‬ ‫המרחק המבוקש שווה ל‪-‬‬ ‫‪d  ax0  by0  cz 0‬‬ ‫‪a 2  b2  c2‬‬ ‫‪d  ax0  by0  cz 0‬‬ ‫‪a2  b2  c2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫____‬ ‫‪r  OP  tv  t a 2  b 2  c 2 ‬‬ ‫ניתן לרשום גם‬ ‫‪ax0  by0  cz 0  d‬‬ ‫‪a 2  b2  c2‬‬ ‫תרגיל מצא מרחק בין נקודה ‪ P4,2,1‬למישור ‪2 x  y  2 z  5‬‬ ‫‪-6-‬‬ ‫‪ .2‬מציאת הצגתו הפרמטרית של ישר החיתוך של שני מישורים‬ ‫‪ a1 x  b1 y  c1 z  d1 a1 b1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪- Px0 , y0 , z0 ‬פתרון פרטי שרירותי המשותף לשתי המשוואות‬ ‫‪v  a1 , b1 , c1  a2 , b2 , c2 ‬‬ ‫תרגיל מצאת את הצגתו הפרמטרית של ישר החיתוך של שני מישורים‬ ‫‪ 2 x  y  2 z  5‬ו‪x  y  3z  2 -‬‬ ‫‪ .3‬מציאת מרחק בין נקודה ‪ P1 x1 , y1 , z1 ‬לישר העובר דרך ‪ Px0 , y0 , z0 ‬וכוונו‬ ‫‪v  a, b, c ‬‬ ‫שטח המקבילית שצלעותיה הצמודות הן ‪ PP1‬ו‪ v -‬הנו ‪PP1  v‬‬ ‫המרחק המבוקש שווה לגובה המקבילית (שטח חלקי אורך הבסיס )‬ ‫‪PP1  v‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪ x  1  3t‬‬ ‫‪‬‬ ‫תרגיל מצא מרחק בין נקודה ‪ P0,2,1‬לישר ‪ y  4  t‬‬ ‫‪ z  2t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .4‬מצבים הדדיים בין שני ישרים‬ ‫‪x, y, z   x01, y01, z01   t a1, b1, c1 ‬‬ ‫ו‪x, y, z   x02 , y02 , z02   sa2 , b2 , c2  -‬‬ ‫פותרים מערכת של ‪ 3‬משוואות בשני משתנים‬ ‫‪x01, y01, z01   t a1, b1, c1   x02 , y02, z02   sa2 , b2 , c2 ‬‬ ‫‪ )1‬למערכת יש פתרון יחיד – הישרים נחתכים‬ ‫‪ )2‬למערכת יש אינסוף פתרונות – הישרים מתלכדים‬ ‫‪( )3‬רוב הסיכויים) למערכת אין פתרון‬ ‫‪3‬א) ‪ a1 , b1 , c1  a2 , b2 , c2   0, 0, 0‬הישרים מקבילים‬ ‫‪3‬ב) (רוב הסיכויים) ‪ a1 , b1 , c1  a2 , b2 , c2   0, 0, 0‬הישרים מצטלבים –‬ ‫במקרה הזה לא קיים מישור המכיל את ‪ 2‬הישרים וקיימים ‪ 2‬מישורים מקבילים‬ ‫יחידים כך שכל אחד מכיל כל אחת מהישרים‬ ‫‪-7-‬‬ ‫תרגיל בדוק האם הישרים הבאים מתלכדים‪ ,‬מקבילים‪ ,‬נחתכים או מצטלבים‬ ‫‪ x  1  6s‬‬ ‫‪ x  4  3t‬‬ ‫‪ x  1  2s‬‬ ‫‪ x  4  3t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫א) ‪  y  1  t‬ו‪  y  4  3s -‬ב) ‪  y  1  t‬ו‪ y  4  2 s -‬‬ ‫‪ z  1  2 s  z  t‬‬ ‫‪ z  1  2 s  z  t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  8  6s‬‬ ‫‪ x  4  3t‬‬ ‫‪ x  1  2s‬‬ ‫‪ x  4  3t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ג) ‪  y  1  t‬ו‪  y  4  3s -‬ד) ‪  y  1  t‬ו‪ y  2  2 s -‬‬ ‫‪ z  2 s‬‬ ‫‪ z t‬‬ ‫‪ z  1  2 s  z  2  t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫תשובה א) נחתכים ב) מקבילים ג) מצטלבים ד) מתלכדים‬ ‫‪ .5‬זווית בין שני ישרים (הקטנה משתים)‬ ‫זווית ‪ ‬בין שני ישרים שווה לזווית בין שני וקטורי כיווניהם ‪ v1 , v2‬או משלימה את‬ ‫‪v1  v2‬‬ ‫הזווית ל‪ .  -‬כלומר‬ ‫‪v1  v2‬‬ ‫‪ cos   ‬ומכוון שזווית ‪ ‬לא יכולה להיות קהה נקבל‬ ‫‪v1  v2‬‬ ‫‪v1  v2‬‬ ‫‪cos  ‬‬ ‫הערות ‪ cos   0‬אם ורק אם הישרים מאונכים‬ ‫‪ cos   1‬אם ורק אם הישרים מקבילים‬ ‫תרגיל מצא זווית בין ‪ 2‬ישרים‬ ‫‪ x  1  6s‬‬ ‫‪ x  4  3t‬‬ ‫‪ x  1  2s‬‬ ‫‪ x  4  3t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫א) ‪  y  1  t‬ו‪  y  4  7 s -‬ב) ‪  y  1  t‬ו‪ y  4  2 s -‬‬ ‫‪ z  1  2 s  z  t‬‬ ‫‪ z  1  s‬‬ ‫‪ z t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫תשובה א)‬ ‫‪2‬‬ ‫ב) ‪0‬‬ ‫‪ .6‬זווית בין ישר למישור (הקטנה ביותר)‬ ‫זווית ‪ ‬בין ישר לישר המאונך למישור ניתן לחשב על ידי‬ ‫והזווית המבוקשת תהיה ‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪v n‬‬ ‫‪v n‬‬ ‫‪cos  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫הערות ‪ cos   0‬אם ורק אם הישר מקביל למישור‬ ‫‪ cos   1‬אם ורק אם הישר מאונך למישור‬ ‫‪ x  4  t‬‬ ‫‪‬‬ ‫תרגיל מצא זווית בין ישר ‪  y  1  t‬למישור ‪x  y  z  2‬‬ ‫‪ z  t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תשובה ‪ arccos  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬‬