לחזרה נוספים נים מבח
מבחנים נוספים לחזרה חלק זה כולל 10מבחנים נוספים לחזרה בהתאם למבנה של שאלון . 035806מבחנים אלו ממוספרים . 21-30 בשאלון 806שלושה פרקים. בכל פרק שלוש שאלות ויש לענות על שתיים מהן. משך הבחינה :שלוש שעות וחצי. המבנה של שאלון : 035806 פרק ראשון – בעיות מילוליות ,סדרות ,הסתברות. פרק שנ י – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ,של פונקציות עם שורשים ריבועיים ושל פונקציות טריגונומטריות. הערה :בפרק השני יכולה להופיע שאלה הכוללת שילוב של גיאומטריה וטריגונומטריה .באופ ן כללי ,בכל שלוש השאלות שבפרק זה התלמיד יכול להשתמש בידע מגיאומטריה וטריגונומטריה. כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 1 מבחן 21 פרק ראשון – אלגברה והסתברות ענה על שתיים מבין השאלות . 3-1 .1 מש אית יצאה מעיר א' לכיוון עיר ב' במהירות מסוימת .באותו זמן יצא אוטובוס מעיר ב' לכיוון עיר א' במהירות הג ב ו ה ה ב 30 -קמ"ש ממהירות המשאית .אחרי שעתיים של נסיעה טרם נפגשו השניים והמרחק ביניהם היה 150ק"מ .המשאית הגיעה לעיר ב' 4 1שעות לאחר הפגישה עם 2 האוטובוס .מצא את מהירות המשאית ואת המרחק בין עיר א' לעיר ב'. .2 סדרה מוגדרת לכל nטבעי על ידי הכללa n 2n 4 Tn : כאשר . Tn 3n (3n 2) (3n 4) ... 5n א .הצג סדרה זו על -ידי תבנית לפי מקום )כלומר ,מצא נוסחה לa n - כפונקציה של nבלבד(. ב .חשב את ההפרש ) . (a 2 a 4 a 6 ... a100 ) (a1 a 3 a 5 ... a 99 .3 בכל אח ת משתי הקופסאות Aו B -יש חרוזים כחולים ולבנים. בכל קופסה יש 6חרוזי ם .בקופסה Aיש 4חרוזים כחולים ו 2 -חרוזים לבנים .מוציאים באקראי חרוז אחד מכל קופסה ומחזירים אותו לקופסה שהוא הוצא ממנה. חוזרים על התהליך 3פעמים. נתון כי ההסתברות להוציא לפחות חרוז א חד לבן מקופסה A שווה להסתברות להוציא לפחות חרוז אחד כחול מקופסה . B א ( 1 ) .מצא את ההסתברות להוציא לפחות חרוז אחד לבן מקופסה . A ) ( 2מצא כמה חרוזים לבנים יש בקופסה . B ב .אסף בוחר באקר אי קופסה ומוציא ממנה שני חרוזים זה אחר זה עם החזרה .לאחר שאסף מחזיר את החרוזים לקופסה שהוצאו ממנה, רונן מוציא באקראי חרוז אחד מכל קופסה. מצא את ההסתברות: ) ( 1שאסף יוציא שני חרוזים שצבעיהם שונים. ) ( 2שרונן יוציא שני חרוזים שצבעיהם שונים. פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על שתיים מבין השאלות . 6-4 .4 A גבהי המשולש ABCנפגשים בנקודה . H נתון, BK KA , CL LA : F . CN NH , BM MH L E א .הוכח :המרובע KLNMהוא מלבן. ב .הוכח :את המשושה KFLENM ניתן לחסום במעגל. כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 2 C K H N D M B .5 במשולש שווה -שוקיים אורך הבסיס הוא 2mואורך השוק הוא . a 2 רדיוס המעגל החסום במשולש הוא . rהוכחr a m : m2 a m .6 . משולש ABCחסום במעגל שרדיוסו . R A נקודה Dנמצאת על המשך הצלע BC כך ש. DAB ACB : נתון. ABD , ADB : א .הבע באמצעות , Rו - את שטח המשולש . ABD ב .נתון גם , AB AD :שטח המשולש ABDהוא R 2 . 4 חשב את אם נתון כי . 60 C D B פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ,של פונקציות שורש ושל פונקציות טריגונומטריות. ענה על שתיים מבין השאלות . 9-7 .7 נתונה הפונקציה ) f (x) 2x 2 tan(x 1בתחום . 0.25 x 2.25 א .מצא ( 1 ) :נקודות קיצון. ) ( 2תחומי עלייה וירידה. ב .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ג .חשב את ) f (1ורשום את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה ) f (xבתחום . 0 x 2 .8 לפניך הגרפים של ה פונקציות (m 0) f (x) mx y ו. g(x) 36 4x - בין שני הגרפים וציר ה x -חסום מלבן ABCD A D שצלעותיו מקבילות לצירים. ידוע כי שטח המלבן ABCD הוא מקסימלי כאשר . x A 2 x C B מצא את השטח המקסימלי של המלבן. .9 x , y 1 לפניך הגרפים של הפונקציות 1 x 1 x השטח המוגבל בין שני הגרפים לבין ציר הy - מסתובב ס ביב ציר ה. x - חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר. כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 3 y .y x תשובות למבחן : 21 60 . 1קמ"ש 450 ,ק"מ. . 2א . 4n 2 6n 4 .ב. 20500 . .3א 4 ( 2 ) . 19 ( 1 ) .חרוזים לבנים. 27 2R 2 sin 3 ( )sin . 6א. sin . ב. 4 ( 1 ) . 9 ). 5 (2 9 ב. 75 . . 7א 0.25;0.5096 ( 1 ) .מקסימום, 0.2146; מינימום 1.7854; 2 1 ,מקסימום, 2 1 2.25; 0.5096 מינימום. ) ( 2עלייה; 0.2146 x 1.7854 : x ירידה1.7854 x 2.25 : או . 0.25 x 0.2146 ג . f (1) 0 .חיוביות ; 1 x 2 :שליליות. 0 x 1 : . 12 . 8 . 2 .9 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 4 y מבחן 22 פרק ראשון – אלגברה והסתברות ענה על שתיים מבין השאלות . 3-1 .1 מעיר א' לעיר ב' אפשר להגיע בד רך סלולה שאורכה 35ק"מ או במסלול עפר שאורכו 20ק"מ .מהירות הרכיבה באופניים בדרך הסלולה גבוהה ביותר מ 4 -קמ"ש ממהירות הרכיבה באופניים בדרך העפר. זמן הרכיבה בדרך הסלולה ארוך בחצי שעה מזמן ה רכיבה בדרך העפר. א .באיזה תחום מספרי נמצא זמן הרכיבה על אופניים בדרך העפר? ב .רוכב עבר את הדרך מעיר א' לעיר ב' בדרך סלולה וחזר מיד מעיר ב' לעיר א' בדרך העפר .מהו התחום המספרי שבו נמצא הזמן מהרגע שיצא מעיר א' ועד שחזר אליה? .2 את איברי הס דרה החשבונית 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 ,... חילקו לקבוצות בצורה הבאה. (2) ; (5 , 8) ; (11 , 14 , 17) ; ... : בקבוצה ראשונה יש איבר אחד ,בקבוצה השנייה יש שני איברים וכו'. בכל קבוצה יש איבר אחד יותר מאשר בקבוצה הקודמת לה. א .מצא נוסחה לאיבר האחרון בקבוצה ה - n -ית. ב .נתון כי האיבר האחרון בקבוצה ה - n -ית הוא . 134 ) ( 1מצא לכמה קבוצות חילקו את הסדרה החשבונית. ) ( 2עבור הערך של , nשמצאת בסעיף ב' ) ,( 1מצא כמה איברים יש בסך הכול ב n -הקבוצות. .3 בעיר מסוימת חלק מהתושבים ,צעירים ומבוגרים ,תומכים בבניית קניונים והשאר מתנגדים לבנייתם .אם בוחרים באקראי תושב מהעיר, ההסתברות שהוא מתנגד לבנייה היא 35% . 0.6מ בין התומכים בבנייה הם צעירים .ההסתברות לבחור באקראי מתנגד לבנייה שהוא גם צעיר קטנה פי 2מההסתברות לבחור באקראי תומך בבנייה שהוא גם מבוגר. א .בוחרים באקראי תושב מהעיר. מהי ההסתברות שהוא מבוגר ו/או תומך בבנייה? ב .נתון כי 8מהצעירים גולשים באינטרנט ו 25 -מאלו שגולשים 37 9 באינטרנט הם מבוגרים .איזה חלק מהתושבים לא גולשים באינטרנט? ג .ידוע כי מבין תושבי העיר התומכים בבניית קניונים 80% ,גולשים באינטרנט .בוחרים בא קראי תושב שאינו גולש באינטרנט. מהי ההסתברות שהוא מתנגד לבניית קניונים? כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 5 פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על שתיים מבין השאלות . 6-4 .4 המשולש ABCהוא שווה -צלעות .הנקודות DוE - נמצאות על הצלעות BCו AC -כך ש. DC AE - א .הוכח. ACD BAE : ב .חשב את הזווית . DFE ג .הוכח שהמרובע CDFEבר -חסימה במעגל . ד .הוכח. DFC DEC : .5 א .הוכח את המשפט: A E F D C B במשולש ישר -זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר. ב BP .ו CQ -הם גבהים במשולש . ABC A הנקודה Mהיא אמצע הצלע . BC P נתון. AC b , ABC , BAC : הוכח :שטח המשולש MPQ הוא b 2 sin 2 sin 2 . 8sin 2 .6 C Q M מעגל חוסם משולש ישר -זווית שבו חסום מעגל נוסף. מצא את זוויות המשולש אם היחס בין רדיוס המעגל החוסם לרדיוס המעגל החסום הוא . 13 4 פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ,של פונקציות שורש ושל פונקציות טריגונומטריות. ענה על שתיים מבי ן השאלות . 9-7 .7 הנגזרת של הפונקציה ) f (xהיא . f '(x) sin 2x sin x א .חקור את הפונקציה הנגזרת ) f '(xומצא עבורה בתחום : 0 x 2 ) ( 1תחום הגדרה ( 2 ) .נקודות קיצון. ) ( 3תחומי עלייה וירידה. ) ( 4נקודות חיתוך עם הצירים. ב .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה הנגזרת ). f '(x ג .מצא עבור הפונקציה ) f (xבתחום : 0 x 2 ) ( 1את שיעורי ה x -של נקודות הקיצון וקבע את סוג הקי צון. ) ( 2את שיעור י ה x -של נקודות הפיתול. ד .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה ) f (xבתחום , 0 x 2 אם ידוע כי . f (0) f ( ) f (2) 0 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 6 B Pו Q -הן נקודות על אחת משוקיה .8 M של זווית ישרה . Aנתון. AQ b , AP a : Mהיא נקודה על השוק השנייה של הזווית. מה צריך להיות אורך הקטע , MAכדי שזווית הראייה שבה רואים את הקטע PQמנקודה M Q תהיה הגדולה ביותר? לגרף הפונקציה f (x) x 2 272 x .9 P A y מעבירים משיק בנקודת הפיתול שעל הגרף ברביע הראשון. א .מצא את משוואת המשיק. x ב .חשב את השטח המוגבל על יד י גרף הפונקציה, המשיק שאת משוואתו מצאת בסעיף א' והישר . x 2 תשובות למבחן : 22 . 1א .בין שעה ורבע לשעתיים .ב .בין 3ל 4.5 -שעות. 2 . 2א. 1.5n 1.5n 1 . ב 9 ( 1 ) .קבוצות. ) 45 ( 2איברים. . 3א . 0.87 .ב . 13 .ג. 9 . 13 50 .4 ב. 120 . .6 . 67.38 , 22.62 . 7א. 0 x 2 ( 1 ) . 0.9553;0.7698 ) (0;0) ( 2מינימום, y ב. מקסימום, x ) (2.186; 0.7698מינימום, ;0 מקסימום (4.097; 0.7698) ,מינימום, 5.328;0.7698 מקסימום, 2;0 מינימום. ) ( 3עלייה 0 x 0.9553 :או 2.186 x או ; 4.097 x 5.328 ירידה 0.9553 x 2.186 :או x 4.097או . 5.328 x 2 ) . (2;0) , ( 32 ;0) , ( ;0) , ( ;0) , (0;0) ( 4 2 ג x 0 ( 1 ) .מינימום x ,מקסימום , 2 מינימום x 2 ,מקסימום. x 1 12 ) , x , x 2.186 , x 0.9553 ( 2 x 4.097 ab . 8 . x 5.328 , . . 9א . y 8x 18 .ב. 1 . 6 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 7 ד. y x מבחן 23 פרק ראשון – אלגברה והסתברות ענה על שתיים מבין השאלות . 3-1 .1 ב 8 : 00 -יצא רוכב אופניים מעיר א' לעיר ב' וב 9 : 00 -יצא רוכב אופניים מעיר ב' לעיר א' .הם נפגשו בדרך והמשיכו ליעדיהם. הרוכב הראשון הגיע לעיר ב ' 4שעות לאחר הפגישה ,ואילו הרוכב השני הגיע לעיר א' 3שעות לאחר הפגישה. באיזו שעה הגיע כל רוכב ליעדו? .2 נתונה הסדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה. a n 1 a n 2n 20 , a1 c : א .ה וכח שסדרת ההפרשים שבין כל שני איברים סמוכים בסדרה היא סדרה חשבונית. ב .הבע את a nבעזרת nו c -בלבד. ג .מצא עבור אילו ערכים של cכל איברי הסדרה הם חיו ביים. .3 בחנות ספרים ערכו הגרלת ספרים .כל משתתף בהגרלה מקבל כרטיס שיש בו 16משבצות ,שצבען נחשף על ידי גירוד. בכל כרטיס יש אותו מספר משבצות אדומות ,ושאר המשבצות צבען אחר .כל משתתף מגרד משבצת אחת ולאחריה עוד אחת. אם בכל אחד משני הגירודים נחשפת משבצת אדומה ,המשתתף זוכה בספר .ההסתברות שהמשתתף יזכה בספר היא . 1 20 א .כמה מבין 16המשבצות בכרטיס הן אדומות? ב .בהגרלה השתתפו 11א נשים. ) ( 1מהי ההסתברות שלכל היותר 2משתתפים יזכו בספר? ) ( 2מהי ההסתברות שבדיוק 2משתתפים זכו בספר ,אם ידוע כי לכל היותר 2משתתפים זכו בספר ? פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על שתיים מבין השאלות . 6-4 .4 המרובע ABCDהוא טרפז ). (AB CD בנקודה . Pנתון. DC a , AB b , QR AB : א .הוכחab : ab ב .נתון. SABCD k : הבע באמצעות b , aו k -את P R המשכי השוקיים של הטרפז נחתכים Q B A . PQ PR כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי . SABRQ 8 C D .5 המרובע ABCDהוא טרפז ישר -זווית ). (BCD 90 , AB CD PQמקביל לבסיסים ועובר דרך B נקודת החיתוך של האלכסונים. א .הוכח. ABP DCP : .6 AQ AP ב .הוכ ח: DQ DP . AQ AB ג .הוכח: DQ CD . A P Q M D C המרובע ABCDחסום במעגל. C הצלעות הנגדיות ADו BC -של המרובע נמצאות על ישרים המאונכים זה לזה. נתון. DBC , ABD , BC a : )a cos( )a sin( . BD , AC א .הוכח: )cos( 2 )cos( 2 D B A M ב .נתון . DAB 45 :הוכח. AC BD : פרק שלישי – חשבון דיפר נציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ,של פונקציות שורש ושל פונקציות טריגונומטריות. ענה על שתיים מבין השאלות . 9-7 .7 נתונה הפונקציה x 2 x 12 x 2 ax b . f (x) הישר x 3הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה. א .מצא את aואת . b ב .מצא ( 1 ) :תחום הגדרה ( 2 ) .נקודות קיצון ( 3 ) .תחומי עלייה וירידה. ) ( 4נקודות חיתוך עם הצירים ( 5 ) .אסימפטוטות מקבילות לצירים. ג .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד .מצא את נקודות החיתוך בין ג רף הפונקציה ) f (xלבין הישר . y x 8 .8 בציור מתוארת גיזרת מעגל שמרכזו . O A הזווית המרכזית המתאימה לגיזרה היא . COB 60על הקשת של הגיזרה B C בוחרים נקודה Aכלשהי ומורידים אנכים ) ACו ( AB -לשני הרדיוסים. מצא מה צריכה להיות הזווית , AOB x כדי ששטח המרובע ABOCיהיה מקסימלי. .9 3 2 נתונה הפונקציה y ax 2ax 8x b x2 O y ). (a 0 שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 2הוא . 2כמו כן ,ידוע כי הפולינום y ax 3 2ax 2 8x bמתחלק ב x 2 -ללא שארית. א .חשב את aואת b ב .חשב את השטח המוגבל על -ידי גרף הפונקציה, המשיק ,ציר ה) y -השטח המקווקו(. כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 9 x תשובות למבחן : 23 . 1הראשון ב , 16 : 00 -השני ב. 15 : 00 - . 2ב . a n n 2 21n c 20 .ג. c 90 . )kb 2 (3a b .3א 4 .משבצות .ב . 4 . 0.088 ( 2 ) . 0.98476 ( 1 ) .ב. (a b)(a b) 2 א. b 9 , a 6 . .7 ב. x 3 ( 1 ) . ג. y ) ( 2אין. ) ( 3עלייה :אין ; ירידה x 3 :או . x 3 ) . (4;0) , (0; 1 1 ) ( 4 3 ). y 1 , x 3 (5 ד. (2; 6) , (10;2) . . 30 . 8 . 9א . b 16 , a 12 .ב. 1 1 . 3 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 10 . x מבחן 24 פרק ראשון – אלגברה והסתברות ענה על שתיים מבין השאלות . 3-1 .1 שלושה פועלים יכולים לסיים יחד עבודה מסוימת בייצור כיסאות ב תוך 6שעות ו 15 -דקות .הפועל הראשון יכול לבצע את העבודה לבדו בזמן הקצר ב 80 -שעות מהזמן ש בו הפועל השלישי יכול לבצע אותה לבדו. הפועל השני יכול לבצע את העבודה לבדו ב 50% -מהזמן שבו יכול הפועל הראשון לסיים את העבודה לבדו. א .בכ מה שעות יכול כל פועל לסיים את העבודה לבדו? ב .נתון כי הפועל הראשון מייצר 15כיסאות בשעה. תוך כמה שעות מייצרים שלושת הפועלים יחד 144כיסאות? .2 א .הוכח שאם בסדרה חשבונית יש מספר אי -זוגי של איברים ,אז האיבר האמצעי שווה למחצית סכום האיברים הראשון והאחרון. ב .הוכח שאם בסדרה חשבונית יש מספר אי -זוגי של איברים ,אז סכום כל איברי הסדרה שווה למכפלת מספר איברי הסדרה באיבר האמצעי. Sm m 2 ג .ידוע כי בסדרה חשבונית מתקיים: Sn n 2 ) – Skסכום kהאיברים הראשונים בסדרה החשבונית(. עבור כל mו n -טבעיים. הוכח ,בהסתמך על המשפט שהתבקשת להוכיח בסעיף ב' )או בדרך a m 2m 1 אחרת( ,כי an 2n 1 .3 ) – a kהאיבר ה k -בסדרה(. בכד יש nכדורים 3 .כדורים הם אדומים ,כדור אחד הוא שחור ,וכל שאר הכדורים הם צהובים .אם מוציאים באקראי מהכד כדור אדום, זוכים ב 100 -שקלים .אם מוציאים באקראי מהכד כדור צהוב זוכים ב 50 -שקלים .אם מוציאים באקראי מהכד כדור שחור ,לא זוכים כלל. א .כאשר מוציאים באקראי כדור אחד מהכד ,מחזירים אותו לכד ושוב מוציאים באקראי כדור אחד ,ההסתברות לזכות בדיוק ב 50 -שקלים היא . 0.12חשב את . n ב .מחזירים את כל הכדורים לכד ומוסיפים לכד kכדורים אדומים. כעת חוזרים על הפעולה הבאה 4פעמים :מוציאים באקראי כדור מהכד .אם הוא שחור או צהוב ,מחזירים אותו לכד ואם הוא אדום משאירים אותו בחוץ .ידוע כי ההסתברות שלפחות אחד הכדורים שנבחר הוא אדום היא . 15מצא את . k 16 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 11 פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על שתיים מבין השאלות . 6-4 .4 שני מעגלים משיקים זה לזה בנקודה . B נקודה Aנמצאת מחוץ לשני המעגלים. A ACDו AEF -הם חותכים למעגלים. C א .הוכח. AE AF AC AD : E ב .הוכח :המרובע DCEFבר חסימה במעגל. ג .הוכח: .5 D 2 2 SDCEF AD AE SAEC AE 2 F B משולש ABCהוא משולש ישר -זווית ) . (ABC 90 A BEהוא תיכון לצלע , ACו CD -הוא תיכון לצלע . AB התיכונים BEו CD -נחתכים בנקודה . F E D א .חשב את היחס בין היקף המשולש BFC להיקף המשולש . EFD ב .נתון גם כי הנקודה Mהיא אמצע הקטע , FC C B והנקודה Nהיא אמצע הקטע . FB הוכח כי שטח המרובע DEMNשווה ל מחצית שטח המשולש . BFC ג .הוכח. SDEMN 1 AB BC : 3 F .6 אחת הזוויות במשולש ABCהיא בת . 60חוצה זווית זו מחלק את המשולש לשני משולשים חלקיים .אורכי הרדיוסים של המעגלים החוסמים את המשולשים החלקיים הם 3ס"מ ו 5 -ס"מ. מצא את גודלן של שתי הזוויות האחרות במשולש. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ,של פונקציות שורש ושל פונקציות טריגונומטריות. ענה על שתיים מבין השאלות . 9-7 .7 נ תונה הפונקציה 2a 3 x א .עבור , a 0מצא )הבע באמצעות aבמידת הצורך(: 2 . f (x) x ) ( 1את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. ) ( 2את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. ) ( 3את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. ) ( 4את תחומי הקעירות של הפונקציה כלפי מעלה וכלפי מטה . ב .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור . a 0 ג .שרטט סקיצה של ג רף הפונקציה עבור . a 0 הסבר את שיקוליך בשרטוט הגרף. כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 12 .8 נתונים שני מעגלים O1ו , O 2 -שאורכי רדיוסיהם, P בהתאמה ,הם 6ס"מ ו 2 -ס"מ .אורך קטע המרכזים O1O 2הוא . kהנקודה A נעה על קטע המרכזים .מנקודה A מעבירים משיק APלמעגל O1ומשיק AQ למע גל . O 2 O2 O1 A Q הוכח שסכום האורכים של שני המשיקים ) (AP AQהוא מקסימלי, כאשר P , Aו Q -נמצאות על ישר אחד. .9 נתונה הפונקציה , f (x) sin x cos 2 xבתחו ם . 0 x א .מצא בתחום הנתון את נקודות הקיצון של הפונקציה. ב .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ב .מנקודות המקסימום של הפונקציה בתחום הנתון מורידים אנכים לציר ה . x -השטח המוגבל בתחום הנתון בין גרף הפונקציה, ש ני האנכים וציר ה , x -מסתובב סביב ציר ה. x - חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר. תשובות למבחן : 24 . 1א 20 .שעות 10 ,שעות 100 ,שעות .ב 3 .שעות . 3א . 10 .ב. 4 . . 5א. 2 . . 36.59 , 83.41 . 6 . 7א. 1.26a;0 ( 2 ) . x 0 ( 1 ) . ) a;3a (3 2 מינימום. ) x 0 : ( 4או . 1.26a x 0 : . x 1.26a y ב: a 0 . ג: a 0 . x x . 9א (0;0) .מינימום, y ב. ) (0.4636;0.535מקסימום, 2 ;0 מינימום, x ) (2.678;0.535מקסימום ( ;0) ,מינימום. ג. 0.7193 . כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי y 13 מבחן 25 פרק ראשון – אלגברה והסתברות ענה על שתיים מבין השאלות . 3-1 .1 שני פועלים התבקשו להרכיב אותו מספר של כיסאות .הפועל הראשון סיים את עבודתו בתוך 9שעות .הפועל השני החל את עבודתו זמן מה לאחר הפועל הראשון וסיים אותה שעה לפניו .ידוע כי 4שעות לאחר שהפועל השני החל בעבודתו ,מספר הכיסאות הכולל שהרכיב הפועל הראשון היה שווה למספר הכיסאות הכולל שהרכיב הפועל השני. מצא כמה שעות לאחר שהפועל הראשון החל בעבודתו החל הפועל השני בעבודתו. .2 א .בסדרה החשבונית 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 ,...ישנם 200איברים. כמה איברים בסדרה מתחלקים ב 3 -ללא שארית? ב .הו כח :אם a , b , cמהווים סדרה הנדסית ,אזי שורשי המשוואה ax 2 2bx c 0שווים זה לזה. שים לב! אין קשר בין שני הסעיפים. .3 בשכבה י' בבית ספר מ סוים יש שלוש כיתות :י , 1 /י , 2 /י. 3 / בכל כיתה יש 20בנים ו 12 -בנות. א .מוציאים באקראי 3תלמידים מכיתה י 1 /בזה אחר זה. תלמיד שהוצא מהכיתה אינו חוזר לכיתה. מהי ההסתברו ת להוציא 3בנים? ב .אחרי ששלושת התלמידים שהוצאו חזרו לכיתה שלהם, מוציאים באקראי תלמיד אחד מכיתה י , 1 /תלמיד אחד מכיתה י2 / ותלמיד אחד מכיתה י. 3 / ) ( 1מהי ההסתברות להוציא לפחות 2בנים? ) ( 2ידוע שהוציאו לפחות 2בנים. מהי ההסתברות שלא כל השלושה שהוצאו היו בנים? פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על שתיים מבין השאלות . 6-4 .4 PAמשיק בנקודה Aלמעגל שמרכזו . O נקודה Qהיא אמצע המיתר . AB O נתון R . PB AB :רדיוס המעגל. א .הוכח. OQ BP 2 AQ 2 : A B Q ב .נסמן ב R -את רדיוס המעגל. 2 הוכח. 2R OQ(2OQ BP) : P כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 14 A .5 BCהוא קוטר במעגל שמרכזו . N Aהיא נקודה על מעגל זה .נתון כי ND הוא אנך ל , AB -ו DE -מקביל לקוטר . BC א .הוכח כי . NE AC ב .רדיוס המעגל הוא 16ס"מ. נקודה Gהיא אמצע . BN מצא את האורך של הקטע . DGנמק. .6 Pהיא נקודה בתוך משולש שווה -צלעות , ABCשאורך צלעו . 1 D E C N B נתון. PBC , CP m , BP t , AP k : א .הוכחk 2 m 2 : 2t . sin(30 ) ב .הבע את שטח המשולש PBCבאמצעות kו , m -אם נתון ש. 15 - פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ,של פונקציות שורש ושל פונקציות טריגונומטריות. ענה על שתיים מבין השאלות . 9-7 .7 הנגזרת של הפונקציה ) f (xהיא 4x x 2 10 2x א .מצא עבור פונקצי י ת הנגזרת ): f '(x . f '(x) ) ( 1תחום הגדרה. ) ( 2נקודות חיתוך עם הצירים. ) ( 3נקודות קיצון. ) ( 4תחומי עלייה וירידה. ) ( 5אסימפטוטות מקבילות לצי רים. ב .שרטט סקיצה של גרף הנגזרת ). f '(x ג .תחום ההגדרה של הפונקציה ) f (xהוא . x 5 ) ( 1מצא את שיעור ה x -של נקודות הקיצון של ) f (xוקבע את סוג הקיצון. ) ( 2מצא את שיעור ה x -של נקודת הפיתול של ). f (x ) ( 3שרטט סקיצה של גרף הפונקציה ) f (xאם נתון . f (0) f (5) 0 .8 נתון מלבן . KLMNעל הצלע MNבוחרים נקודה כלשהי . O מעבירים דרכה ישר LOשהמשכו חותך את המשך הצלע KNבנקודה . P הוכח :סכום השטחים של המשו לש MOLו PON -הוא מינימלי, כאשר ON 2 1 OM . כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 15 .9 נתונה הפונקציה . f (x) x 2 x ) ( 2נקודות קיצון. א .מצא ( 1 ) :נקודות חיתוך עם הצירים. ב .שרטט סקיצה של גרף הפונק ציה ). f (x ג .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). f (x ד .מהן נקודות החיתוך בין גרף הפונקציה ) f (xוהישר ? y 2 ה .חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ) f (xועל ידי הישר .y2 תשובות למבחן : 25 . 1שעתיים . 2 .א . 66 . .3א. 57 . 248 ב. 9 ( 2 ) . 175 ( 1 ) . 14 256 . 7א. x 5 ( 1 ) . . 5ב 8 .ס"מ. ) . (4;0) , (0;0) ( 2 . 6בk 2 m 2 . 4 . y ב. ) (2.367;1.684) ( 3מקסימום. x ) ( 4עלייה ; x 2.367 :ירידה. 2.367 x 5 : ). x 5 (5 y ג x 0 ( 1 ) .מינימום x 4 ,מקסימום, )(3 x 5מינימום. ) . 2.367 ( 2 x . 9א. ( 1;0) , (0;0) ( 1 ) . y ב. y ג. ) ( 1 ; 1 ) ( 2מינימום. 2 4 ד. ( 2;2) , (1; 2) . x ה. 4 1 . 6 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 16 x מבחן 26 פרק ראשון – אלגברה והסתברות ענה על שתיים מבין השאלות . 3-1 .1 בשעה 7 : 00בבוקר יצא הולך רגל ממחנה צבאי בסביבת עכו לכיוון חיפה .באותה שעה יצא מחיפה הולך רגל למחנה הנ " ל .השניים הלכו לאורך אותו כביש ,ומהירותו של כל אחד מהם לא השתנתה בזמן ההליכה .בשעת הפגישה התברר כי הולך הרגל שיצא מחיפה עבר 2 ק " מ יותר מהמרחק שעבר זה שיצא מהמחנה 40 .דקות לאחר הפגישה הגיע הולך הרגל מחיפה למחנה ,ואילו הולך הרגל שיצא מהמחנה הגיע לחיפה שעה וחצי לאחר הפגישה . א .מהו המרחק מהמחנה הנ " ל לחיפה ? ב .מהי מהירותו של כל אחד מהולכי הרגל ? .2 בסדרה הנדסית סכום ) (n 1האיברים הראשונים שווה ל. 372 - אם נחסר מסכום nהאיברים הראשונים של הסדרה את האיבר הראשון, נקבל , 186ואם נח סר מסכום nהאיברים הראשונים של הסדרה את שני האיברים הראשונים ,נקבל . 90 א .מצא את האיבר הראשון ואת מנת הסדרה. ב .חשב את מכפלת האיברים . a1 a 2 а 3 ... a n .3 במפעל גדול מצי עים לעובדים מלגה ללימודים מתקדמים במדעי המחשב. כדי להתקבל ללימודים על העובדים להצליח בבחינות כניסה ,הכוללות בחינה באנגלית ובחינה במתמטיקה. כל עובדי המפעל ניגשו לבחינה ,והתוצאות הראו כי 8מהעובדים לא 15 עברו אף אחת מהבחינות ו 1400 -עובדים עברו לפחות אחת מהבחינות. כמו כן 80% ,מהעובדים שלא עברו את הבחינה באנגלית ,לא עברו את הבחינה במתמטיקה ,ו 3 -מבין העובדים שעברו את הבחינה באנגלית, 4 לא עברו את הבחינה במתמטיקה. א .בוחרים באקראי אחד מעובדי המפעל. מהי ההסתברות שהוא עבר רק אחת מן הבחינות? ב .בוחרים באקראי בזה אחר זה )בלי החזרה( 2עובדים מבין אלה שהצליחו בבחינה במתמטיקה ובאותו אופן בוחרים שני עובדים שלא הצליחו בבחינה במתמטיקה. מהי ההסתברות שארבעת העובדים הנ"ל הצליחו בבחינה באנגלית? פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על שתיים מבין השאלות . 6-4 .4 המרובע ABCDהוא טרפז ישר -זווית ). (BCD 90 , AB CD PQמקביל לבסיסים ועובר דרך נקודת החיתוך של האלכסונים. B א .הוכח. ABP DCP : AQ AP ב .הוכח: DQ DP . AQ AB ג .הוכח: DQ CD . כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי A P C 17 M Q D .5 בתוך גיזרה OABשרדיוסה , (OA OB R) R B וזוויתה המרכזית , חוסמים ריבוע כך ששניים מקדקודיו נמצאים על הרדיוס , OA קדקוד אחד על הרדיוס OBוקדקוד אחד על הקשת . AB א .הבע באמצעות Rו -את צלע הריבוע. O A ב .נתון כי רדיוס המעגל הוא 10ס"מ ושטח הריבוע הוא 15.5סמ"ר .חשב את . .6 במלבן ABCDהאלכסון ACיוצר זווית עם הצלע . CD Pהיא נקודה על האלכסון , ACכך ש. PDC - sin cos א .הוכח שהיחס בין שטח המשולש DPCלשטח המלבן הוא )2sin( ב .בדוק מה הקשר בין ל -אם היחס הנ"ל שווה ל, 1 - 4 . והסבר את המשמעות הגיאומטרית. 1 ג .בדוק מהי אם הי חס הנ"ל שווה ל , -והסבר את המשמעות 2 ההנדסית. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ,של פונקציות שורש ושל פונקציות טריגונומטריות. ענה על שתיים מבין השאלות . 9-7 .7 נתונה הפונקציה )x(x a)(x b . a b 0 , f (x) א .מצא )במידת הצורך הבע באמצעות aו:( b - ) ( 1את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ) ( 2את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב .נתון . b 2 :השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לבין ציר ה x -מסתובב סביב ציר ה . x -נפח גוף הסיבוב שנוצר הוא . 4 מצא את הערך של . a .8 נתונה הפונקציה f (x) x 3 12cos xבתחום . 0 x 3 2 בשרטוט משמאל מתואר גרף הנגזרת )f '(x בתחום . 0 x 32 הגרף של ) f '(xחותך את ציר ה x -בנקודה אחת ששיעור ה x -שלה ,בקירוב ,היא . 1.935 x א .מצא את שיעורי נקודת הפיתול של פונקציית הנגזרת ) f '(xבתחום הנתון. ב .דרך נקודת הפיתול של ) f '(xמורידים אנך לציר ה. x - חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת ) , f '(xציר הx - והאנך הנ"ל. כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 18 y נתונה הפונקציה x 3 x2 .9 . f (x) א .חקור את הפונקציה ומצא: ) ( 1תחום הגדרה. ) ( 2נקודות קיצון. ) ( 3תחו מי עלייה וירידה. ) ( 4נקודות חיתוך עם הצירים. ) ( 5אסימפטוטות מקבילות לצירים. ב .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 3 ג .כמה פתרונות יש למשוואה ? x 5x 10 0 היעזר בסעיפים קודמים. ד .הפונקציה ) g(xמקיימת ). g(x) f (x 2 שרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). g(x תשובות למבחן : 26 ב 4 .קמ " ש 6 ,קמ " ש . . 1א 10 .ק " מ . . 2א . q 0.5 , a1 192 .ב. 1528823808 . . 3א . 23 .ב. 0.015 . 60 R tan . 5א. .7 2 2 tan 2 tan 1 . ב. 36.84 . א x a ( 2 ) . (a;0) , (b;0) , (0;0) ( 1 ) .או . 0 x bב. 4 . . 8א . 7 ; 46.3 .ב. 35.87 . 6 y . 9א. x 2 ( 1 ) . ) (3;27) ( 2מינימום. ) ( 3עלי יה; x 3 : ירידה 2 x 3 :או . x 2 ) . (0;0) ( 4 ג .פתרון אחד. ). x 2 (5 y ד. x כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 19 x מבחן 27 פרק ראשון – אלגברה והסתברות ענה על ש תיים מבין השאלות . 3-1 .1 שני פועלים מתכננים לחפור תעלה .אם פועל אחד יסיים 15מהחפירה והפועל השני יבצע את שאר החפירה ,תסתיים העבודה בתוך 28ימים. ידוע כי הפועל הראשון יכול לבצע את החפירה לבדו בתוך mימים. א .הבע באמצעות mאת מספר הימים שבהם הפועל השני יכ ול לבצע את החפירה לבדו. ב .ידוע כי אם שני הפועלים מתחילים יחד לחפור את התעלה ,אז כעבור 12ימים הם עדיין לא מסיימים אותה. מצא את התחום המספרי שבו נמצא . m .2 סדרה מוגדרת על -ידי כלל הנסיגה. a n 1 2 7n a n , a1 6 : א .הוכח שלכל nטבעי מתקיים. a n 2 a n 7 : ב .מצא נוסחה לסכום 2n 1האיברים הר אשונים בסדרה. ג .נתון שבסדרה יש מספר אי -זוגי של איברים וסכום כל איברי הסדרה הוא . 526מצא כמה איברים בסדרה. .3 בעיר מסוימת חלק מהנבחנים במבחן תיאוריה של נהיגה למדו בקורס הכנה למבחן זה. כל מי שנכשל במבחן ניגש למבחנים חוזרים ,עד שהוא מצליח. ידוע כי אם נבחן למד בקורס הכנה ,הסיכוי שיצליח במבחן הוא . 75% סיכוי זה נשאר קבוע גם במבחנים החוזרים )אפילו אם עוברים שוב קורס הכנה(. א .מצא מהו הסיכוי של מי שלמד בקורס הכנה להצליח במבחן רק בפעם השלישית. 20%מתלמידי התיכון בעיר לומדים בקורס הכנה )השאר אינם לומדים(. ידוע כי כל עוד תלמיד לא למד בקורס הכנה ,הסיכוי שיצליח במבחן התיאוריה הוא . 1 2 ב .תלמיד תיכון בעיר הצליח במבחן התיאוריה. מהי ההסתברות שהתלמיד למד בקורס הכנה? ג .בבית ספר מסוים בעיר כל התלמידים לא למדו בקורס הכנה. ההנהלה החליטה שכל תלמיד שנכשל במבחן יחויב ללמוד בקורס, לפני שייגש למבחן חוזר. מצא מהו הסיכוי של תלמיד בבית ספר זה להצליח במבחן רק בפעם השלישית . כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 20 פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על שתיים מבין השאלות . 6-4 .4 המרובע ABCDהוא טרפז ). (AB CD P המשכי השוקיים נפגשים בנקודה . P Qהיא נקודת הח יתוך של האלכסונים. M B A PQחותך את הבסיס ABבנקודה M ואת הבסיס DCבנקודה . N Q . הוכחDN NC , AM BM : C N הדרכה :העבר דרך נקודה Qקטע EF המקביל לבסיסים ,והוכח כי PQהוא תיכון במשולש . PEF .5 D A במשולש שווה -שוקיים , (AB AC) ABCשווה אורך הבסיס ל , a -והזווית שלידו ל. ( 45 ) - BHהוא גובה לשוק , ACו CK -הוא תיכון לשוק . AB H א .הבע באמ צעות aו -את שטח המשולש . AKH ב .נתון . SAKH 1 SABC :הוכח. KH BC : 4 C .6 K B ABCהוא משולש שאורכי צלעותיו הם . (c b) BC a , AB c , AC b Pהיא נקודה על המשך הצלע ) ACבכיוון של ,( Aכך ש. PB PC - הבע את אורך הקטע PCבאמצעות b , aו. c - פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ,של פונקציות שורש ושל פונקציות טריגונומטריות. ענה על שתיים מבין השאלות . 9-7 .7 נתונה הפונקציה f (x) 2cos 2 x 3 sin 2xבתחום . 0 x 2 א .מצא ( 1 ) :תחום הגדרה. ) ( 2נקודות קיצון. ) ( 4נקודות חיתוך עם הצירים. ) ( 3תחומי עלייה וירידה. ) ( 5נקודות פיתול. ב .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הנתון. .8 נתונות שתי פונקציות. g(x) 2x , f (x) 2x(x 2 1)3 : א .הוכח שהפונקציות ) f (xו g(x) -הן פונקציות אי -זוגיות. ב .חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי הפונקציות. .9 נתון משולש ישר -זווית . (C 90 ) ABCקדקודיו הם בנקודות: ) C(x;0) , A( 4;0ו B -הנמצאת על הפרבולה 2 . 2y 4x x א .בטא את שטח המשולש ) , S(xכפונקציה של xעבור . 0 x 4 ב .חשב את הערך המקסימלי של השטח הנ"ל. ג .מצא פונקציה ) , f (xכך ש f '(x) S(x) -ו. f (1) 4 - כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 21 ת שובות למבחן : 27 . 1א140 m . 4 ב. 20 m 84 . . . 2ב . 7n 2 9n 6 .ג 17 .איברים. .3א. 3 . 64 a 2 sin 2 cos 2 a 2 cos 2 sin 2 ב . 3 .ג . 5 . 3 .א. 32 11 4sin 2 16cos 2 a 2b .6 a b 2 c2 2 .7 . . א. 0 x 2 ( 1 ) . 2 ) (0;2) ( 2מינימום ( ;3) ,מקסימום ( ; 1) ,מינימום, 6 3 5 ) ( 7 ;3מקסימום ( ; 1) ,מינימום (2;2) ,מקסימום. 3 6 ) ( 3עלייה 0 x :או 2 x 7 6 3 6 5 ; או x 2 3 ירידה x 2 :או . 7 x 5 x 6 3 6 3 11 3 5 (. ) ;0) , ( ;0) , ( ;0) , ( ;0) , (0;2) ( 4 2 6 2 6 ) . 23 ;1 , 17 ;1 , 11 ;1 , 5 ;1 ( 5 12 12 12 12 . 8ב. 4 . 32 3 3 .ג. f (x) 1 x 2x 2 1 . . 9א . S(x) 1 x 4x .ב. 16 16 4 9 2 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 22 4 y מבחן 28 פרק ראשון – אלגברה והסתברות ענה על שתיים מבין השאלו ת . 3-1 .1 שני פועלים מסיימים עבודה מסוימת בתוך 24ימים כאשר הם עובדים יחד .אם הפועל הראשון מבצע לבדו 1מהעבודה ואז הפועל השני מבצע 3 לבדו את העבודה הנותרת ,העבודה מסתיימת בתוך mימים. א .הבע באמצעות mאת הזמן שבו מסיים הפועל הראשון את העבודה לבדו. ב .מצא לאיזה ערך של mהפועל הראשון מסיים את העבודה לבדו ב 36 -ימים יותר מהזמן שבו הפועל השני מסי ים את העבודה לבדו. .2 א .נתונה הסדרה החשבונית 30 , 28 , 26 , ...שבה 137איברים. מהו סכום האיברים החיוביים בסדרה ,המתחלקים ב? 6 - ב .נתונה סד רה הנדסית. a1 , a 2 , a 3 , ... , a n : האיבר השלישי בסדרה גדול ב 2 -מהאיבר השני ,והאיבר הרביעי גדול פי 2מהאיבר השלישי. נתונה סדרה הנדסית נוספת. b1 , b 2 , b3 , ... , b n : a1 a 2 a 3 a , , משתי הסדרות בונים סדרה חדשה, ... , n : b1 b 2 b3 bn . מנת הסדרה החדשה היא , 3וסכום 10האיברים הראשונים בסדרה החדשה הוא . 7381 מצא את הערך של , nשעבורו . b n 4 8 27 הערה :אין קשר בין שני הסעיפים. .3 במשחק מזל ניתן לזכות ב 100 -שקלים ,ב 200 -שקלים או לא לזכות כלל. ההסתברות לזכות ב 100 -שקלים היא 0.6וההסתברות לזכות ב200 - שקלים היא . P א .אדם משחק פעמיים במשחק הנ"ל .ידוע כי בהינתן שהוא זכה סך הכול לפחות ב 300 -שקלים ,אז ההסתברות שהוא זכה בדיוק ב 300 -שקלים היא . 12מצא את . P 13 ב .אדם משחק nפעמים במשחק הנ"ל .הבע באמצעות nאת ההסתברות שלפחות פעמיים הוא יזכה בלפחות 100שקלים. פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במיש ור ענה על שתיים .4 מבין השאלות . 6-4 המרובע ABCDהוא מקבילית. , G , F , Eו H -הן נקודות על צלעות המקבילית .נתון. BE DG , AH CF : E B ) ( 1חשב את יחס השטחים . SKLMN : SAGCE ) ( 2חשב את יחס השטחים . SKLMN : SABCD כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 23 K L א .הוכח :המרובע KLMNהוא מקבילית. ב .נתון. DG : CG 3 : 4 , BF 2CF : A H F N M C G D .5 A PAו PB -הם שני משיקים למעגל. D Cהיא נקודה על המעגל. נתון, CF BP , CD AP : P . CE AB C א .הוכח. ADC BEC : F ב .הוכח. CE 2 CD CF : DC AC BC CF E B 2 ג .הוכח: .6 . במשולש ABCנתון. 60 , ABC , BAC , AC b , BC a : א .הבע את tan באמצעות aו. b - ב .הוכח כי אם , 45אז a 1 3 b 2 .1 ג .הבע באמצעות bאת אורך חוצה -זווית כאשר a 4 b 3 . פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ,של פונקציות שורש ושל פונקציות טריגונומטריות. ענה על שתיים מבין השאלות . 9-7 .7 נתונה הפונקציה ax 6 . f (x) 4x 2 bx 1 שתיים מהאסימפטוטות של הפונקציה נפ גשות בנקודה ). (1;8 א .מצא את aואת . bכמה פתרונות לבעיה? הצב את הערך של bואת הערך החיובי של aוענה על הסעיפים הבאים: ב .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ). f (x ג .האם לגרף הפונקציה ) f (xיש נקודות חיתוך עם הצירים? ד .מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה ). f (x ה .מצא את האסימפטוטות של הפונקציה ) f (xהמקבילות לצירים. ו .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). f (x ז .מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ) , f (xעל ידי ציר הx - ועל ידי הישרים x 1ו. x 2 - .8 א .הוכח את הזהות sin 3 cos3 4cos 2 sin cos ב .נתונה הפונקציה sin 3x cos3x sin x cos x f (x) בתחום . 0 x 2 מצא בתחום הנתון ( 1 ) :תחום הגדרה. ) ( 3תחומי עלייה וירידה. . ) ( 2נקודות קיצון. ) ( 4אסימפטוטות אנכיות. ) ( 5נקודות פיתול ( 6 ) .תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה . ג .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). f (x כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 24 .9 4x 12 נתונה הפונקציה x 2 6x 10 . f (x) א .מצא ( 1 ) :תחום הגדרה. ) ( 2נקודות קיצון. ) ( 3תחומי עלייה וירידה. ) ( 4נקודות חיתוך עם הצירים. ) ( 5אסימפטוטות מקבילות לצירים. ב .בשרטוט שמשמאל מתואר y גרף הנגזרת ) . f '(xעל ציר הx - מסו מנים נתונים .היעזר בנתונים ומצא את תחומי הקעירות כלפי 2 3 x מעלה ותחומי הקעירות כלפי מטה של הפונקציה ). f (x ג .דרך נקודת המקסימום של פונקציית הנגזרת ) f '(xמעבירים אנך לציר ה . x -חשב את השטח המוגבל בין הגרף של ) , f '(xהאנך וציר ה) x -השטח המקווקו(. תשובות למבחן : 28 . 1א3m 24 9m 2 432m 576 . 2 .ב. m 48 . . 2א . 4920 .ב. 4 . . 3א. 0.1 . n n 1 ). 1 0.3 0.7n(0.3 ב. . 4ב. 1 ( 2 ) . 7 ( 1 ) . 3 12 . 6א3b . 2a b .ג. 0.4723b . . 7א .שני פתרונות b 3 , a 16 :או . b 3 , a 16 ב x 1 .או . x 0.25 y ג .לא. ד .ירידה x 1 :או ; x 0.25עלייה :אף . x x ה. x 0.25 , x 1 , y 8 , y 8 . ז. 8.532 . . 8ב ( 2 ) . x 3 , x , x , 0 x 2 ( 1 ) .אין. 2 2 ) ( 3עלייה x :או ; 3 x 2 2 2 3 .x ירידה 0 x :או 2 2 ) ( 4אין. ) , 54 ;0 , 34 ;0 , 4 ;0 ( 5 . 7 ;0 4 y x ) x 3 : ( 6או ; 5 x 7 4 4 4 4 0 x : או 3 x 5או . 7 x 2 4 4 4 4 .9 א ( 1 ) .כל . x ) (2; 2) ( 2מינימום (4; 2) ,מקסימום. ) ( 3עלייה ; 2 x 4 :ירידה x 4 :או . x 2 ) . (3; 0) , (0; 1.2) ( 4 ). y 0 (5 ב x 4.732 : .או 3 x 4.732 : ; 1.268 x 3או . x 1.268 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 25 ג. 2 . מבחן 29 פרק ראשון – אלגברה והסתברות ענה על שתיים מבין השאלות . 3-1 .1 אחד הנוסעים באוטובוס הבחין ברגע מסוים במכר שלו ,שהלך בכיוון נגדי לתנועת האוטובוס 8 .שניות לאחר מכן עצר האוטובוס .הנוסע ירד והלך בעקבות מכרו כדי להשיגו .מהירותו הייתה גבוהה פי שניים ממהירות מכרו ונמוכה פי חמישה ממהירות האוטובוס. כעבור כמה שניות )מאז שהבחין הנוסע במכרו( הדביק הנוסע את מכרו? .2 האיבר ה - n -י של סדרה נתון ע"י – t , k ) a n k t n 1קבועים ; .( t 1 נסמן. Sn a1 a 2 ... a n ; Tn S1 S2 ... Sn : א .מצא את . Snהבע את תשובת ך באמצעות t , kו. n - ב .הוכח.( 1 t ) Tn t Sn k n : ג .בדוק אם השוויון בסעיף ב' י י שאר בתוקפו כאשר . t 1 .3 יוסי נוסע מביתו לעבודה .מסלול נסיעתו עובר בשני כבישים: תחילה בכביש Aואחריו בכביש . B ההסתברות שיהיה פקק תנועה בכביש Aהיא . 0.6 ההסתברות שיהיה פקק תנועה בכביש Bהיא . 4 5 כאשר יש פקק תנועה בכביש , Bההסתברות שגם בכביש Aיש פקק תנועה היא . 3 4 א .קבע עבור כל אחד מההיגדים ) (iii) (iשלפניך אם הוא נכון או לא נכון .נמק כל קביעה. ) (iאם כביש Aפקוק ,אז גם כביש Bפקוק. ) (iiאם כביש Bאינו פקוק ,ההסתברות שכביש Aאינו פקוק היא . 1 2 ) (iiiההסתברות שכביש Bאינו פקוק אם כביש Aאינו פקוק, שווה להסתברות שכביש Aאינו פקוק אם כביש Bאינו פקוק. ב .יוסי נוסע לעבודה בימים א ,ב ,ג ,ד ,ה .מהי ההסתברות שיוסי ייקלע לפקק תנועה בימים א ,ב ,ג ,ולא ייקלע לפקק תנועה בימים ד ו -ה? פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על שתיים מבין השאלות . 6-4 A .4 משולש ABCחסום במעגל. המיתר AMחותך את הצלע BC בנקודה . D נתון. AB BM AC CM : הוכח. BD DC : כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 26 C D M B .5 B נתונים שני מעגלים המשיקים זה לזה מבחוץ D בנקודה AB . Aהוא המשיק המשותף לשני המעגלים BC .משיק למעגל אחד בנקודה , C F ו BD -משיק למעגל האחר בנקודה . D CDחותך מעגל אחד בנקודה , E E A ואת המעגל האחר בנקודה . F C הוכח :א. BC BD . ב. CAE FAD . ג .אם שני המעגלים בעלי רדיוסים שווים ,אז . CE FD A .6 משולש שווה -שוקיים (AB AC) ABCחסום M במעגל Mבעל רדיוס . Rזווית הראש של המשולש היא . 2המשיק למעגל בנקודה B חותך את המשך הצלע ACבנקודה . D א .הבע את שטח המשולש BCDבאמצעות Rו. - ב .באיזה תחום חייב ת להימצא הזווית C B כדי שיהיה פתרון לבעיה? D פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ,של פונקציות שורש ושל פונקציות טריגונומטריות. ענה על שתיים מבין השאלות . 9-7 .7 גרף הפונקציה , y x k sin xהמתואר בציור, y עובר דרך ראשית הצירים .לגרף העבירו משיק בנקודה שבה . x 2 השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק וציר ה x -הוא . 1 2 א .מצא את הערך של . k ב .השטח שבסעיף א' מסתובב סביב ציר ה. x - היעזר באינטגרל x sin xdx sin x x cos x c x וחשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר. .8 גרף הפונקציה f (x) x 3 2x 2 7x 4נפגש עם ציר ה x -בנקודה ). (1;0 א .מצא את נקודת החיתוך הנוספת של הגרף עם ציר ה. x - ב .חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ו על ידי ציר ה. x - .9 y לפניך גרף הפונקציה . a 0 , f (x) ax 2 (a 3)x השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לציר הx - מסתובב סביב ציר ה x -כך שנוצר גוף סיבוב. לאיזה ערך של , aנפח גוף הסיבוב המתקבל הוא מינימלי? כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 27 x תשובות ל מבחן : 29 96 . 1שניות. . 2אt n 1 . t 1 . Sn k . 3א (i ) .ה הי גד נכון. . 6א2R 2 sin 3 2 cos . cos3 . 7א. 1 . ) (iiה הי גד לא נכון. . ב. 0 30 . ב. 1.586 . . 8א . ( 4;0) .ב. 52 1 . 12 . a 4.5 . 9 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 28 ) (iiiה הי גד לא נכון. מבחן 30 פרק ראשון – אלגברה והסתברות ענה על שתיים מבין השאלות . 3-1 .1 בשעה 9 : 00בבוקר יצאה מכונית מעיר Aלעיר , Bהמרוחקת ממנה 100ק"מ .באותה שעה יצא רוכב אופניים מעיר Bלעיר . Aהם נפגשו כעבור שעה אחת והמשיכו ליעדיהם .המכונית הגיעה לעיר , Bהתעכבה שם למשך 15דקות ויצאה חזרה לעיר . Aבדרכה השיגה את הרוכב במרחק 40ק"מ מעיר . Bמצא את מהירויות המכונית והרוכב. .2 נתונות שתי סדרות הנדסיותa1 , a 2 , ... , a n : b1 , b 2 , ... , b n הסדרות מקיימות. b 4 a11 , b1 a 2 : א .הראה כי ל כל nטבעי מתקיים. b n a 3n 1 : ב .נתון כי מנת הסדרה a1 , a 2 , a 3 , ...היא . 2 כמו כן ,מתקיים. a1 a 2 a 3 ... a 3n k : הבע באמצעות kאת הסכום . b1 b 2 b3 ... b n .3 בכד יש 16כדורים – 10מתוכם לבנ ים ו השאר ש חורים. 3מתו ך הכדורים הלבנים הם כבדים והשאר קלים .כמו כן, 4מתוך הכדורים השחורים הם כבדים והשאר קלים. א .בוחרים באקראי 2כדורים )ללא החזרה(. ) ( 1מהי ההסתברות ששניהם לבנים? ) ( 2מהי ההסתברות ששניהם כבדים? ב .בוחרים באקראי 2כדורים לבנים. מהי ההסתברות שלפחות אחד מהם קל? פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על שתיים מבין השאלות . 6-4 .4 במשולש שווה -שוקיים , (AB AC) ABC חסום מלבן BD . DEFGחוצה את הזווית ABCומחלק את השוק AC כך ש . AD : DC 2 :1 -נתון. BC 2a : בטא באמצעות : a א .את שטח המלבן . DEFG ב .את מרחק הקדקוד Bממרכז המעגל החסום במשולש . ABC כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 29 A D C E G F B .5 המשולש ABCהוא שווה -שוקיים ). (AB AC ADהוא תיכון לבסיס .דרך נקודה - Mנקודת A המפגש של התיכונים במשולש ,העבירו ישר החותך את השוקיים ABו AC -בנקודות PוQ - בהתאמה .נתון. AMQ , BAC 2 , BC 2a : 2a cot sin sin 2 . PQ א .הוכח: )3sin( )sin( ב .נתון . AP AQ :הוכח. PQ 4 a : 3 Q M P C B D A B .6 בתוך ריבוע ABCDנתונה הנקודה , N N כך ש 2 -ס"מ 4 , AN BN ס"מ . CN חשב את אורך צלע הריבוע. D C פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ,של פונקציות שורש ושל פונקציות טריגונומטריות. ענה על שתיים מבין השאל ות . 9-7 .7 נתונה הפונקציה . f (x) x x 2 5 א .מצא ( 1 ) :תחום הגדרה. ) ( 3נקודות קיצון. ) ( 2נקודות חיתוך עם הצירים. ) ( 4תחומי עלייה וירידה. ב ( 1 ) .הסבר מדוע הישר y 0הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה עבור . x 0 ) ( 2הסבר מדוע עבור x 0אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית. ג .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. .8 יש לחסום חצי מעגל בעל רדיוס rבמשולש ישר -זווית, B כך שחצי המעגל יגע ביתר ,קוטרו יימצא על אחד הניצ בים, ואחד מקצותיו של הקוטר יתלכד עם הקדקוד של הזווית הישרה במשולש )ראה ציור(. מה צריך להיות גודל הזוויות החדות r במשולש ישר -הזווית הנ"ל ,כדי ששטח A המשולש יהיה מינימלי? .9 M C תחום ההגדרה של הפונקציה ) f (xהוא . 24 x 24 נגזרת הפונקציה היא 3 48x 3x 24 x 2 א .מצא עבור הפונקציה ): f (x . f '(x) ) ( 1תחומי עלייה וירידה. ) ( 2תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה . ב .שרטט סקיצה של גרף הנגזרת ). f '(x ג .נתון . f (0) f ( 24) 0 :כמו כן ,הפונקציה ) f (xהיא פונקציה זוגית. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )f (x כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 30 תשובות למבחן : 30 80 . 1קמ"ש 20 ,קמ"ש. . 2ב. 72 k . . 3א . 7 (2) . 3 (1) .ב. 14 . 15 40 8 . 4א . 4 15 a 2 .ב2 10 a . 5 9 3.91 . 6ס"מ. . 7א ( 1 ) .כל . x y ג. ) . (0; 5) ( 2 x ) ( 3אין. ) ( 4עלייה :כל ; xירידה :אין. . B 60 , A 30 . 8 . 9א ( 1 ) .עלייה 24 x 4 :או ; 0 x 4ירידה 4 x 0 :או 24 ) 24 : ; 2.55 x 2.55 : ( 2 ב. 2.55 x או . 24 x 2.55 ג. y x x כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 31 y .4x
© Copyright 2024