לחזרה נוספים נים מבח

‫מבחנים נוספים לחזרה‬
‫חלק זה כולל ‪ 10‬מבחנים נוספים לחזרה בהתאם למבנה‬
‫של שאלון ‪ . 035806‬מבחנים אלו ממוספרים ‪. 21-30‬‬
‫בשאלון ‪ 806‬שלושה פרקים‪.‬‬
‫בכל פרק שלוש שאלות ויש לענות על שתיים מהן‪.‬‬
‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות וחצי‪.‬‬
‫המבנה של שאלון ‪: 035806‬‬
‫פרק ראשון – בעיות מילוליות‪ ,‬סדרות‪ ,‬הסתברות‪.‬‬
‫פרק שנ י – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות‪ ,‬של פונקציות עם שורשים ריבועיים‬
‫ושל פונקציות טריגונומטריות‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בפרק השני יכולה להופיע שאלה הכוללת שילוב של גיאומטריה‬
‫וטריגונומטריה‪ .‬באופ ן כללי‪ ,‬בכל שלוש השאלות שבפרק זה התלמיד‬
‫יכול להשתמש בידע מגיאומטריה וטריגונומטריה‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪1‬‬
‫מבחן ‪21‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫מש אית יצאה מעיר א' לכיוון עיר ב' במהירות מסוימת‪ .‬באותו זמן יצא‬
‫אוטובוס מעיר ב' לכיוון עיר א' במהירות הג ב ו ה ה ב‪ 30 -‬קמ"ש ממהירות‬
‫המשאית‪ .‬אחרי שעתיים של נסיעה טרם נפגשו השניים והמרחק ביניהם‬
‫היה ‪ 150‬ק"מ‪ .‬המשאית הגיעה לעיר ב' ‪ 4 1‬שעות לאחר הפגישה עם‬
‫‪2‬‬
‫האוטובוס‪ .‬מצא את מהירות המשאית ואת המרחק בין עיר א' לעיר ב'‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי על ידי הכלל‪a n  2n  4  Tn :‬‬
‫כאשר ‪. Tn  3n  (3n  2)  (3n  4)  ...  5n‬‬
‫א‪ .‬הצג סדרה זו על‪ -‬ידי תבנית לפי מקום )כלומר‪ ,‬מצא נוסחה ל‪a n -‬‬
‫כפונקציה של ‪ n‬בלבד(‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההפרש ) ‪. (a 2  a 4  a 6  ... a100 )  (a1  a 3  a 5  ... a 99‬‬
‫‪.3‬‬
‫בכל אח ת משתי הקופסאות ‪ A‬ו‪ B -‬יש חרוזים כחולים ולבנים‪.‬‬
‫בכל קופסה יש ‪ 6‬חרוזי ם‪ .‬בקופסה ‪ A‬יש ‪ 4‬חרוזים כחולים‬
‫ו‪ 2 -‬חרוזים לבנים‪ .‬מוציאים באקראי חרוז אחד מכל קופסה‬
‫ומחזירים אותו לקופסה שהוא הוצא ממנה‪.‬‬
‫חוזרים על התהליך ‪ 3‬פעמים‪.‬‬
‫נתון כי ההסתברות להוציא לפחות חרוז א חד לבן מקופסה ‪A‬‬
‫שווה להסתברות להוציא לפחות חרוז אחד כחול מקופסה ‪. B‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את ההסתברות להוציא לפחות חרוז אחד לבן מקופסה ‪. A‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא כמה חרוזים לבנים יש בקופסה ‪. B‬‬
‫ב‪ .‬אסף בוחר באקר אי קופסה ומוציא ממנה שני חרוזים זה אחר זה עם‬
‫החזרה‪ .‬לאחר שאסף מחזיר את החרוזים לקופסה שהוצאו ממנה‪,‬‬
‫רונן מוציא באקראי חרוז אחד מכל קופסה‪.‬‬
‫מצא את ההסתברות‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬שאסף יוציא שני חרוזים שצבעיהם שונים‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬שרונן יוציא שני חרוזים שצבעיהם שונים‪.‬‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 6-4‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪A‬‬
‫גבהי המשולש ‪ ABC‬נפגשים בנקודה ‪. H‬‬
‫נתון‪, BK  KA , CL  LA :‬‬
‫‪F‬‬
‫‪. CN  NH , BM  MH‬‬
‫‪L‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ KLNM‬הוא מלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬את המשושה ‪KFLENM‬‬
‫ניתן לחסום במעגל‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪K‬‬
‫‪H‬‬
‫‪N‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.5‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים אורך הבסיס הוא ‪ 2m‬ואורך השוק הוא ‪. a‬‬
‫‪2‬‬
‫רדיוס המעגל החסום במשולש הוא ‪ . r‬הוכח‪r  a  m :‬‬
‫‪m2 a  m‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫‪A‬‬
‫נקודה ‪ D‬נמצאת על המשך הצלע ‪BC‬‬
‫כך ש‪. DAB  ACB :‬‬
‫נתון‪. ABD   , ADB   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪  , R‬ו‪ -‬‬
‫את שטח המשולש ‪. ABD‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪ , AB  AD :‬שטח המשולש ‪ ABD‬הוא ‪R 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫חשב את ‪ ‬אם נתון כי ‪.   60‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬
‫טריגונומטריות‪.‬‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 9-7‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה )‪ f (x)  2x  2  tan(x  1‬בתחום ‪. 0.25  x  2.25‬‬
‫א‪ .‬מצא‪ ( 1 ) :‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את )‪ f (1‬ורשום את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה‬
‫)‪ f (x‬בתחום ‪. 0  x  2‬‬
‫‪.8‬‬
‫לפניך הגרפים של ה פונקציות ‪(m  0) f (x)  mx‬‬
‫‪y‬‬
‫ו‪. g(x)  36  4x -‬‬
‫בין שני הגרפים וציר ה‪ x -‬חסום מלבן ‪ABCD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫שצלעותיו מקבילות לצירים‪.‬‬
‫ידוע כי שטח המלבן ‪ABCD‬‬
‫הוא מקסימלי כאשר ‪. x A  2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫מצא את השטח המקסימלי של המלבן‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪x , y  1‬‬
‫לפניך הגרפים של הפונקציות‬
‫‪1 x‬‬
‫‪1 x‬‬
‫השטח המוגבל בין שני הגרפים לבין ציר ה‪y -‬‬
‫מסתובב ס ביב ציר ה‪. x -‬‬
‫חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.y‬‬
‫‪x‬‬
‫תשובות למבחן ‪: 21‬‬
‫‪ 60 . 1‬קמ"ש‪ 450 ,‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ . 2‬א‪ . 4n 2  6n  4 .‬ב‪. 20500 .‬‬
‫‪ .3‬א‪ 4 ( 2 ) . 19 ( 1 ) .‬חרוזים לבנים‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫‪2R 2 sin 3 (  )sin ‬‬
‫‪ . 6‬א‪.‬‬
‫‪sin ‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪. 4 ( 1 ) .‬‬
‫‪9‬‬
‫)‪. 5 (2‬‬
‫‪9‬‬
‫ב‪. 75 .‬‬
‫‪ . 7‬א‪  0.25;0.5096  ( 1 ) .‬מקסימום‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.2146;  ‬מינימום ‪ 1.7854; 2  1 ,‬מקסימום‪,‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2.25; 0.5096 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מינימום‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬עלייה‪; 0.2146  x  1.7854 :‬‬
‫‪x‬‬
‫ירידה‪1.7854  x  2.25 :‬‬
‫או ‪. 0.25  x  0.2146‬‬
‫ג‪ . f (1)  0 .‬חיוביות‪ ; 1  x  2 :‬שליליות‪. 0  x  1 :‬‬
‫‪. 12 . 8‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2 .9‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫מבחן ‪22‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫מעיר א' לעיר ב' אפשר להגיע בד רך סלולה שאורכה ‪ 35‬ק"מ או במסלול‬
‫עפר שאורכו ‪ 20‬ק"מ‪ .‬מהירות הרכיבה באופניים בדרך הסלולה גבוהה‬
‫ביותר מ‪ 4 -‬קמ"ש ממהירות הרכיבה באופניים בדרך העפר‪.‬‬
‫זמן הרכיבה בדרך הסלולה ארוך בחצי שעה מזמן ה רכיבה בדרך העפר‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזה תחום מספרי נמצא זמן הרכיבה על אופניים בדרך העפר?‬
‫ב‪ .‬רוכב עבר את הדרך מעיר א' לעיר ב' בדרך סלולה וחזר מיד מעיר‬
‫ב' לעיר א' בדרך העפר‪ .‬מהו התחום המספרי שבו נמצא הזמן מהרגע‬
‫שיצא מעיר א' ועד שחזר אליה?‬
‫‪.2‬‬
‫את איברי הס דרה החשבונית ‪2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 ,...‬‬
‫חילקו לקבוצות בצורה הבאה‪. (2) ; (5 , 8) ; (11 , 14 , 17) ; ... :‬‬
‫בקבוצה ראשונה יש איבר אחד‪ ,‬בקבוצה השנייה יש שני איברים וכו'‪.‬‬
‫בכל קבוצה יש איבר אחד יותר מאשר בקבוצה הקודמת לה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא נוסחה לאיבר האחרון בקבוצה ה‪ - n -‬ית‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי האיבר האחרון בקבוצה ה‪ - n -‬ית הוא ‪. 134‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא לכמה קבוצות חילקו את הסדרה החשבונית‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬עבור הערך של ‪ , n‬שמצאת בסעיף ב' ) ‪ ,( 1‬מצא כמה איברים יש‬
‫בסך הכול ב‪ n -‬הקבוצות‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫בעיר מסוימת חלק מהתושבים‪ ,‬צעירים ומבוגרים‪ ,‬תומכים בבניית‬
‫קניונים והשאר מתנגדים לבנייתם‪ .‬אם בוחרים באקראי תושב מהעיר‪,‬‬
‫ההסתברות שהוא מתנגד לבנייה היא ‪ 35% . 0.6‬מ בין התומכים בבנייה הם‬
‫צעירים‪ .‬ההסתברות לבחור באקראי מתנגד לבנייה שהוא גם צעיר קטנה‬
‫פי ‪ 2‬מההסתברות לבחור באקראי תומך בבנייה שהוא גם מבוגר‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי תושב מהעיר‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהוא מבוגר ו‪/‬או תומך בבנייה?‬
‫ב‪ .‬נתון כי ‪ 8‬מהצעירים גולשים באינטרנט ו‪ 25 -‬מאלו שגולשים‬
‫‪37‬‬
‫‪9‬‬
‫באינטרנט הם מבוגרים‪ .‬איזה חלק מהתושבים לא גולשים באינטרנט?‬
‫ג‪ .‬ידוע כי מבין תושבי העיר התומכים בבניית קניונים‪ 80% ,‬גולשים‬
‫באינטרנט‪ .‬בוחרים בא קראי תושב שאינו גולש באינטרנט‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהוא מתנגד לבניית קניונים?‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪5‬‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 6-4‬‬
‫‪.4‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא שווה‪ -‬צלעות‪ .‬הנקודות ‪ D‬ו‪E -‬‬
‫נמצאות על הצלעות ‪ BC‬ו‪ AC -‬כך ש‪. DC  AE -‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ACD  BAE :‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית ‪. DFE‬‬
‫ג‪ .‬הוכח שהמרובע ‪ CDFE‬בר‪ -‬חסימה במעגל ‪.‬‬
‫ד‪ .‬הוכח‪. DFC  DEC :‬‬
‫‪.5‬‬
‫א‪ .‬הוכח את המשפט‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫במשולש ישר‪ -‬זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר‪.‬‬
‫ב‪ BP .‬ו‪ CQ -‬הם גבהים במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫הנקודה ‪ M‬היא אמצע הצלע ‪. BC‬‬
‫‪P‬‬
‫נתון‪. AC  b , ABC   , BAC   :‬‬
‫הוכח‪ :‬שטח המשולש ‪MPQ‬‬
‫הוא ‪b 2 sin 2  sin 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪8sin 2 ‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪M‬‬
‫מעגל חוסם משולש ישר‪ -‬זווית שבו חסום מעגל נוסף‪.‬‬
‫מצא את זוויות המשולש אם היחס בין רדיוס המעגל החוסם לרדיוס‬
‫המעגל החסום הוא ‪. 13‬‬
‫‪4‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬
‫טריגונומטריות‪.‬‬
‫ענה על שתיים מבי ן השאלות ‪. 9-7‬‬
‫‪.7‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה )‪ f (x‬היא ‪. f '(x)  sin 2x sin x‬‬
‫א‪ .‬חקור את הפונקציה הנגזרת )‪ f '(x‬ומצא עבורה בתחום ‪: 0  x  2‬‬
‫) ‪ ( 1‬תחום הגדרה‪ ( 2 ) .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה הנגזרת )‪. f '(x‬‬
‫ג‪ .‬מצא עבור הפונקציה )‪ f (x‬בתחום ‪: 0  x  2‬‬
‫) ‪ ( 1‬את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון וקבע את סוג הקי צון‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬את שיעור י ה‪ x -‬של נקודות הפיתול‪.‬‬
‫ד‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ f (x‬בתחום ‪, 0  x  2‬‬
‫אם ידוע כי ‪. f (0)  f ( )  f (2)  0‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪6‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ P‬ו‪ Q -‬הן נקודות על אחת משוקיה‬
‫‪.8‬‬
‫‪M‬‬
‫של זווית ישרה ‪ . A‬נתון‪. AQ  b , AP  a :‬‬
‫‪ M‬היא נקודה על השוק השנייה של הזווית‪.‬‬
‫מה צריך להיות אורך הקטע ‪ , MA‬כדי שזווית‬
‫הראייה שבה רואים את הקטע ‪ PQ‬מנקודה ‪M‬‬
‫‪Q‬‬
‫תהיה הגדולה ביותר?‬
‫לגרף הפונקציה ‪f (x)  x 2  272‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪y‬‬
‫מעבירים משיק בנקודת הפיתול‬
‫שעל הגרף ברביע הראשון‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל על יד י גרף הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק שאת משוואתו מצאת בסעיף א' והישר ‪. x  2‬‬
‫תשובות למבחן ‪: 22‬‬
‫‪ . 1‬א‪ .‬בין שעה ורבע לשעתיים‪ .‬ב‪ .‬בין ‪ 3‬ל‪ 4.5 -‬שעות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . 2‬א‪. 1.5n  1.5n  1 .‬‬
‫ב‪ 9 ( 1 ) .‬קבוצות‪.‬‬
‫) ‪ 45 ( 2‬איברים‪.‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 0.87 .‬ב‪ . 13 .‬ג‪. 9 .‬‬
‫‪13‬‬
‫‪50‬‬
‫‪.4‬‬
‫ב‪. 120 .‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪. 67.38 , 22.62‬‬
‫‪ . 7‬א‪. 0  x  2 ( 1 ) .‬‬
‫‪ 0.9553;0.7698 ‬‬
‫) ‪ (0;0) ( 2‬מינימום‪,‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מקסימום‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪ (2.186; 0.7698‬מינימום‪,‬‬
‫‪ ;0 ‬‬
‫מקסימום‪ (4.097; 0.7698) ,‬מינימום‪,‬‬
‫‪  5.328;0.7698 ‬מקסימום‪,‬‬
‫‪ 2;0 ‬‬
‫מינימום‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬עלייה‪ 0  x  0.9553 :‬או ‪ 2.186  x  ‬או ‪; 4.097  x  5.328‬‬
‫ירידה‪ 0.9553  x  2.186 :‬או ‪   x  4.097‬או ‪. 5.328  x  2‬‬
‫) ‪. (2;0) , ( 32 ;0) , ( ;0) , (  ;0) , (0;0) ( 4‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ x  0 ( 1 ) .‬מינימום‪ x   ,‬מקסימום ‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫מינימום‪ x  2 ,‬מקסימום‪.‬‬
‫‪x  1 12 ‬‬
‫) ‪, x   , x  2.186 , x  0.9553 ( 2‬‬
‫‪x  4.097‬‬
‫‪ab . 8‬‬
‫‪. x  5.328 ,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ . 9‬א‪ . y  8x  18 .‬ב‪. 1 .‬‬
‫‪6‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪7‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫מבחן ‪23‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫ב‪ 8 : 00 -‬יצא רוכב אופניים מעיר א' לעיר ב' וב‪ 9 : 00 -‬יצא רוכב אופניים‬
‫מעיר ב' לעיר א'‪ .‬הם נפגשו בדרך והמשיכו ליעדיהם‪.‬‬
‫הרוכב הראשון הגיע לעיר ב ' ‪ 4‬שעות לאחר הפגישה‪ ,‬ואילו הרוכב השני‬
‫הגיע לעיר א' ‪ 3‬שעות לאחר הפגישה‪.‬‬
‫באיזו שעה הגיע כל רוכב ליעדו?‬
‫‪.2‬‬
‫נתונה הסדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה‪. a n 1  a n  2n  20 , a1  c :‬‬
‫א‪ .‬ה וכח שסדרת ההפרשים שבין כל שני איברים סמוכים בסדרה‬
‫היא סדרה חשבונית‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע את ‪ a n‬בעזרת ‪ n‬ו‪ c -‬בלבד‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא עבור אילו ערכים של ‪ c‬כל איברי הסדרה הם חיו ביים‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫בחנות ספרים ערכו הגרלת ספרים‪ .‬כל משתתף בהגרלה מקבל כרטיס‬
‫שיש בו ‪ 16‬משבצות‪ ,‬שצבען נחשף על ידי גירוד‪.‬‬
‫בכל כרטיס יש אותו מספר משבצות אדומות‪ ,‬ושאר המשבצות צבען‬
‫אחר‪ .‬כל משתתף מגרד משבצת אחת ולאחריה עוד אחת‪.‬‬
‫אם בכל אחד משני הגירודים נחשפת משבצת אדומה‪ ,‬המשתתף זוכה‬
‫בספר‪ .‬ההסתברות שהמשתתף יזכה בספר היא ‪. 1‬‬
‫‪20‬‬
‫א‪ .‬כמה מבין ‪ 16‬המשבצות בכרטיס הן אדומות?‬
‫ב‪ .‬בהגרלה השתתפו ‪ 11‬א נשים‪.‬‬
‫) ‪ ( 1‬מהי ההסתברות שלכל היותר ‪ 2‬משתתפים יזכו בספר?‬
‫) ‪ ( 2‬מהי ההסתברות שבדיוק ‪ 2‬משתתפים זכו בספר‪ ,‬אם ידוע כי‬
‫לכל היותר ‪ 2‬משתתפים זכו בספר ?‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 6-4‬‬
‫‪.4‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪. (AB  CD‬‬
‫בנקודה ‪ . P‬נתון‪. DC  a , AB  b , QR  AB :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ab :‬‬
‫‪ab‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. SABCD  k :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ b , a‬ו‪ k -‬את‬
‫‪P‬‬
‫‪R‬‬
‫המשכי השוקיים של הטרפז נחתכים‬
‫‪Q‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. PQ  PR ‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪. SABRQ‬‬
‫‪8‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז ישר‪ -‬זווית )‪. (BCD  90 , AB  CD‬‬
‫‪ PQ‬מקביל לבסיסים ועובר דרך‬
‫‪B‬‬
‫נקודת החיתוך של האלכסונים‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ABP  DCP :‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪AQ AP‬‬
‫ב‪ .‬הוכ ח‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪DQ DP‬‬
‫‪.‬‬
‫‪AQ AB‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪DQ CD‬‬
‫‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫הצלעות הנגדיות ‪ AD‬ו‪ BC -‬של המרובע‬
‫נמצאות על ישרים המאונכים זה לזה‪.‬‬
‫נתון‪. DBC   , ABD   , BC  a :‬‬
‫)‪a cos(  ‬‬
‫)‪a sin(  ‬‬
‫‪. BD ‬‬
‫‪, AC ‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫)‪cos(  2‬‬
‫)‪cos(  2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . DAB  45 :‬הוכח‪. AC  BD :‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר נציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬
‫טריגונומטריות‪.‬‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 9-7‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪x 2  x  12‬‬
‫‪x 2  ax  b‬‬
‫‪ . f (x) ‬הישר ‪ x  3‬הוא אסימפטוטה אנכית‬
‫של הפונקציה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ואת ‪. b‬‬
‫ב ‪ .‬מצא‪ ( 1 ) :‬תחום הגדרה‪ ( 2 ) .‬נקודות קיצון‪ ( 3 ) .‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬נקודות חיתוך עם הצירים‪ ( 5 ) .‬אסימפטוטות מקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג ‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד ‪ .‬מצא את נקודות החיתוך בין ג רף הפונקציה )‪ f (x‬לבין הישר ‪. y  x  8‬‬
‫‪.8‬‬
‫בציור מתוארת גיזרת מעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪A‬‬
‫הזווית המרכזית המתאימה לגיזרה‬
‫היא ‪ . COB  60‬על הקשת של הגיזרה‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫בוחרים נקודה ‪ A‬כלשהי ומורידים‬
‫אנכים ) ‪ AC‬ו‪ ( AB -‬לשני הרדיוסים‪.‬‬
‫מצא מה צריכה להיות הזווית ‪, AOB‬‬
‫‪x‬‬
‫כדי ששטח המרובע ‪ ABOC‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪y  ax  2ax  8x  b‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪O‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪. (a  0‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה‬
‫שבה ‪ x  2‬הוא ‪ . 2‬כמו כן‪ ,‬ידוע כי הפולינום‬
‫‪ y  ax 3  2ax 2  8x  b‬מתחלק ב‪ x  2 -‬ללא שארית‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את ‪ a‬ואת ‪b‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל על‪ -‬ידי גרף הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק‪ ,‬ציר ה‪) y -‬השטח המקווקו(‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪9‬‬
‫‪x‬‬
‫תשובות למבחן ‪: 23‬‬
‫‪ . 1‬הראשון ב‪ , 16 : 00 -‬השני ב‪. 15 : 00 -‬‬
‫‪ . 2‬ב‪ . a n  n 2  21n  c  20 .‬ג‪. c  90 .‬‬
‫)‪kb 2 (3a  b‬‬
‫‪ .3‬א‪ 4 .‬משבצות‪ .‬ב‪ . 4 . 0.088 ( 2 ) . 0.98476 ( 1 ) .‬ב‪.‬‬
‫‪(a  b)(a  b) 2‬‬
‫א‪. b  9 , a  6 .‬‬
‫‪.7‬‬
‫ב‪. x  3 ( 1 ) .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫) ‪ ( 2‬אין‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬עלייה‪ :‬אין ; ירידה‪ x  3 :‬או ‪. x  3‬‬
‫) ‪. (4;0) , (0; 1 1 ) ( 4‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪. y  1 , x  3 (5‬‬
‫ד‪. (2; 6) , (10;2) .‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 30 . 8‬‬
‫‪ . 9‬א‪ . b  16 , a   12 .‬ב‪. 1 1 .‬‬
‫‪3‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪10‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫מבחן ‪24‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫שלושה פועלים יכולים לסיים יחד עבודה מסוימת בייצור כיסאות ב תוך‬
‫‪ 6‬שעות ו‪ 15 -‬דקות‪ .‬הפועל הראשון יכול לבצע את העבודה לבדו בזמן‬
‫הקצר ב‪ 80 -‬שעות מהזמן ש בו הפועל השלישי יכול לבצע אותה לבדו‪.‬‬
‫הפועל השני יכול לבצע את העבודה לבדו ב‪ 50% -‬מהזמן שבו יכול הפועל‬
‫הראשון לסיים את העבודה לבדו‪.‬‬
‫א‪ .‬בכ מה שעות יכול כל פועל לסיים את העבודה לבדו?‬
‫ב‪ .‬נתון כי הפועל הראשון מייצר ‪ 15‬כיסאות בשעה‪.‬‬
‫תוך כמה שעות מייצרים שלושת הפועלים יחד ‪ 144‬כיסאות?‬
‫‪.2‬‬
‫א‪ .‬הוכח שאם בסדרה חשבונית יש מספר אי‪ -‬זוגי של איברים‪ ,‬אז האיבר‬
‫האמצעי שווה למחצית סכום האיברים הראשון והאחרון‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח שאם בסדרה חשבונית יש מספר אי‪ -‬זוגי של איברים‪ ,‬אז סכום‬
‫כל איברי הסדרה שווה למכפלת מספר איברי הסדרה באיבר האמצעי‪.‬‬
‫‪Sm m 2‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬ידוע כי בסדרה חשבונית מתקיים‪:‬‬
‫‪Sn n 2‬‬
‫) ‪ – Sk‬סכום ‪ k‬האיברים הראשונים בסדרה החשבונית(‪.‬‬
‫עבור כל ‪ m‬ו‪ n -‬טבעיים‪.‬‬
‫הוכח‪ ,‬בהסתמך על המשפט שהתבקשת להוכיח בסעיף ב' )או בדרך‬
‫‪a m 2m  1‬‬
‫‪‬‬
‫אחרת(‪ ,‬כי‬
‫‪an‬‬
‫‪2n  1‬‬
‫‪.3‬‬
‫) ‪ – a k‬האיבר ה‪ k -‬בסדרה(‪.‬‬
‫בכד יש ‪ n‬כדורים‪ 3 .‬כדורים הם אדומים‪ ,‬כדור אחד הוא שחור‪ ,‬וכל‬
‫שאר הכדורים הם צהובים‪ .‬אם מוציאים באקראי מהכד כדור אדום‪,‬‬
‫זוכים ב‪ 100 -‬שקלים‪ .‬אם מוציאים באקראי מהכד כדור צהוב זוכים‬
‫ב‪ 50 -‬שקלים‪ .‬אם מוציאים באקראי מהכד כדור שחור‪ ,‬לא זוכים כלל‪.‬‬
‫א ‪ .‬כאשר מוציאים באקראי כדור אחד מהכד‪ ,‬מחזירים אותו לכד ושוב‬
‫מוציאים באקראי כדור אחד‪ ,‬ההסתברות לזכות בדיוק ב‪ 50 -‬שקלים‬
‫היא ‪ . 0.12‬חשב את ‪. n‬‬
‫ב‪ .‬מחזירים את כל הכדורים לכד ומוסיפים לכד ‪ k‬כדורים אדומים‪.‬‬
‫כעת חוזרים על הפעולה הבאה ‪ 4‬פעמים‪ :‬מוציאים באקראי כדור‬
‫מהכד‪ .‬אם הוא שחור או צהוב‪ ,‬מחזירים אותו לכד ואם הוא אדום‬
‫משאירים אותו בחוץ‪ .‬ידוע כי ההסתברות שלפחות אחד הכדורים‬
‫שנבחר הוא אדום היא ‪ . 15‬מצא את ‪. k‬‬
‫‪16‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪11‬‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 6-4‬‬
‫‪.4‬‬
‫שני מעגלים משיקים זה לזה בנקודה ‪. B‬‬
‫נקודה ‪ A‬נמצאת מחוץ לשני המעגלים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ ACD‬ו‪ AEF -‬הם חותכים למעגלים‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AE  AF  AC  AD :‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ DCEF‬בר חסימה‬
‫במעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SDCEF AD  AE‬‬
‫‪‬‬
‫‪SAEC‬‬
‫‪AE 2‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫משולש ‪ ABC‬הוא משולש ישר‪ -‬זווית ) ‪. (ABC  90‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ BE‬הוא תיכון לצלע ‪ , AC‬ו‪ CD -‬הוא תיכון לצלע ‪. AB‬‬
‫התיכונים ‪ BE‬ו‪ CD -‬נחתכים בנקודה ‪. F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫א‪ .‬חשב את היחס בין היקף המשולש ‪BFC‬‬
‫להיקף המשולש ‪. EFD‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי הנקודה ‪ M‬היא אמצע הקטע ‪, FC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫והנקודה ‪ N‬היא אמצע הקטע ‪. FB‬‬
‫הוכח כי שטח המרובע ‪ DEMN‬שווה ל מחצית שטח המשולש ‪. BFC‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪. SDEMN  1 AB  BC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪F‬‬
‫‪.6‬‬
‫אחת הזוויות במשולש ‪ ABC‬היא בת ‪ . 60‬חוצה זווית זו מחלק‬
‫את המשולש לשני משולשים חלקיים‪ .‬אורכי הרדיוסים של המעגלים‬
‫החוסמים את המשולשים החלקיים הם ‪ 3‬ס"מ ו‪ 5 -‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא את גודלן של שתי הזוויות האחרות במשולש‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬
‫טריגונומטריות‪.‬‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 9-7‬‬
‫‪.7‬‬
‫נ תונה הפונקציה ‪2a 3‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬עבור ‪ , a  0‬מצא )הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך(‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. f (x)  x ‬‬
‫) ‪ ( 1‬את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬את תחומי הקעירות של הפונקציה כלפי מעלה ‪ ‬וכלפי מטה ‪. ‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור ‪. a  0‬‬
‫ג‪ .‬שרטט סקיצה של ג רף הפונקציה עבור ‪. a  0‬‬
‫הסבר את שיקוליך בשרטוט הגרף‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪12‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתונים שני מעגלים ‪ O1‬ו‪ , O 2 -‬שאורכי רדיוסיהם‪,‬‬
‫‪P‬‬
‫בהתאמה‪ ,‬הם ‪ 6‬ס"מ ו‪ 2 -‬ס"מ‪ .‬אורך קטע‬
‫המרכזים ‪ O1O 2‬הוא ‪ . k‬הנקודה ‪A‬‬
‫נעה על קטע המרכזים‪ .‬מנקודה ‪A‬‬
‫מעבירים משיק ‪ AP‬למעגל ‪ O1‬ומשיק ‪AQ‬‬
‫למע גל ‪. O 2‬‬
‫‪O2‬‬
‫‪O1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Q‬‬
‫הוכח שסכום האורכים של שני המשיקים )‪ (AP  AQ‬הוא מקסימלי‪,‬‬
‫כאשר ‪ P , A‬ו‪ Q -‬נמצאות על ישר אחד‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ , f (x)  sin x  cos 2 x‬בתחו ם ‪. 0  x  ‬‬
‫א‪ .‬מצא בתחום הנתון את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מנקודות המקסימום של הפונקציה בתחום הנתון מורידים אנכים‬
‫לציר ה‪ . x -‬השטח המוגבל בתחום הנתון בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫ש ני האנכים וציר ה‪ , x -‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫תשובות למבחן ‪: 24‬‬
‫‪ . 1‬א‪ 20 .‬שעות‪ 10 ,‬שעות‪ 100 ,‬שעות‪ .‬ב‪ 3 .‬שעות‬
‫‪ . 3‬א‪ . 10 .‬ב‪. 4 .‬‬
‫‪ . 5‬א‪. 2 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 36.59 , 83.41 . 6‬‬
‫‪ . 7‬א‪.  1.26a;0  ( 2 ) . x  0 ( 1 ) .‬‬
‫)‪ a;3a  (3‬‬
‫‪2‬‬
‫מינימום‪.‬‬
‫) ‪ x  0 :  ( 4‬או ‪. 1.26a  x  0 :  . x  1.26a‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪: a  0 .‬‬
‫ג‪: a  0 .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . 9‬א‪ (0;0) .‬מינימום‪,‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪ (0.4636;0.535‬מקסימום‪,‬‬
‫‪ 2 ;0 ‬‬
‫מינימום‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪ (2.678;0.535‬מקסימום‪ ( ;0) ,‬מינימום‪.‬‬
‫ג‪. 0.7193 .‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪y‬‬
‫‪13‬‬
‫מבחן ‪25‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫שני פועלים התבקשו להרכיב אותו מספר של כיסאות‪ .‬הפועל הראשון‬
‫סיים את עבודתו בתוך ‪ 9‬שעות‪ .‬הפועל השני החל את עבודתו זמן מה‬
‫לאחר הפועל הראשון וסיים אותה שעה לפניו‪ .‬ידוע כי ‪ 4‬שעות לאחר‬
‫שהפועל השני החל בעבודתו‪ ,‬מספר הכיסאות הכולל שהרכיב הפועל‬
‫הראשון היה שווה למספר הכיסאות הכולל שהרכיב הפועל השני‪.‬‬
‫מצא כמה שעות לאחר שהפועל הראשון החל בעבודתו החל הפועל‬
‫השני בעבודתו‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫א‪ .‬בסדרה החשבונית ‪ 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 ,...‬ישנם ‪ 200‬איברים‪.‬‬
‫כמה איברים בסדרה מתחלקים ב‪ 3 -‬ללא שארית?‬
‫ב‪ .‬הו כח‪ :‬אם ‪ a , b , c‬מהווים סדרה הנדסית‪ ,‬אזי שורשי המשוואה‬
‫‪ ax 2  2bx  c  0‬שווים זה לזה‪.‬‬
‫שים לב! אין קשר בין שני הסעיפים‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫בשכבה י' בבית ספר מ סוים יש שלוש כיתות‪ :‬י‪ , 1 /‬י‪ , 2 /‬י‪. 3 /‬‬
‫בכל כיתה יש ‪ 20‬בנים ו‪ 12 -‬בנות‪.‬‬
‫א‪ .‬מוציאים באקראי ‪ 3‬תלמידים מכיתה י‪ 1 /‬בזה אחר זה‪.‬‬
‫תלמיד שהוצא מהכיתה אינו חוזר לכיתה‪.‬‬
‫מהי ההסתברו ת להוציא ‪ 3‬בנים?‬
‫ב‪ .‬אחרי ששלושת התלמידים שהוצאו חזרו לכיתה שלהם‪,‬‬
‫מוציאים באקראי תלמיד אחד מכיתה י‪ , 1 /‬תלמיד אחד מכיתה י‪2 /‬‬
‫ותלמיד אחד מכיתה י‪. 3 /‬‬
‫) ‪ ( 1‬מהי ההסתברות להוציא לפחות ‪ 2‬בנים?‬
‫) ‪ ( 2‬ידוע שהוציאו לפחות ‪ 2‬בנים‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שלא כל השלושה שהוצאו היו בנים?‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 6-4‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ PA‬משיק בנקודה ‪ A‬למעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫נקודה ‪ Q‬היא אמצע המיתר ‪. AB‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון‪ R . PB  AB :‬רדיוס המעגל‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. OQ  BP  2  AQ 2 :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Q‬‬
‫ב‪ .‬נסמן ב‪ R -‬את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכח‪. 2R  OQ(2OQ  BP) :‬‬
‫‪P‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪14‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪ BC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. N‬‬
‫‪ A‬היא נקודה על מעגל זה‪ .‬נתון כי ‪ND‬‬
‫הוא אנך ל‪ , AB -‬ו‪ DE -‬מקביל לקוטר ‪. BC‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. NE  AC‬‬
‫ב‪ .‬רדיוס המעגל הוא ‪ 16‬ס"מ‪.‬‬
‫נקודה ‪ G‬היא אמצע ‪. BN‬‬
‫מצא את האורך של הקטע ‪ . DG‬נמק‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪ P‬היא נקודה בתוך משולש שווה‪ -‬צלעות ‪ , ABC‬שאורך צלעו ‪. 1‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪N‬‬
‫‪B‬‬
‫נתון‪. PBC   , CP  m , BP  t , AP  k :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪k 2  m 2 :‬‬
‫‪2t‬‬
‫‪. sin(30  ) ‬‬
‫ב‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ PBC‬באמצעות ‪ k‬ו‪ , m -‬אם נתון ש‪.   15 -‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬
‫טריגונומטריות‪.‬‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 9-7‬‬
‫‪.7‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה )‪ f (x‬היא ‪4x  x 2‬‬
‫‪10  2x‬‬
‫א‪ .‬מצא עבור פונקצי י ת הנגזרת )‪: f '(x‬‬
‫‪. f '(x) ‬‬
‫) ‪ ( 1‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫) ‪ ( 5‬אסימפטוטות מקבילות לצי רים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הנגזרת )‪. f '(x‬‬
‫ג‪ .‬תחום ההגדרה של הפונקציה )‪ f (x‬הוא ‪. x  5‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודות הקיצון של )‪ f (x‬וקבע את סוג‬
‫הקיצון‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת הפיתול של )‪. f (x‬‬
‫) ‪ ( 3‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ f (x‬אם נתון ‪. f (0)  f (5)  0‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתון מלבן ‪ . KLMN‬על הצלע ‪ MN‬בוחרים נקודה כלשהי ‪. O‬‬
‫מעבירים דרכה ישר ‪ LO‬שהמשכו חותך את המשך הצלע ‪ KN‬בנקודה ‪. P‬‬
‫הוכח‪ :‬סכום השטחים של המשו לש ‪ MOL‬ו‪ PON -‬הוא מינימלי‪,‬‬
‫כאשר ‪ON  2  1‬‬
‫‪OM‬‬
‫‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪15‬‬
‫‪.9‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪. f (x)  x 2  x‬‬
‫) ‪ ( 2‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא‪ ( 1 ) :‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונק ציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ד‪ .‬מהן נקודות החיתוך בין גרף הפונקציה )‪ f (x‬והישר ‪? y  2‬‬
‫ה‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ f (x‬ועל ידי הישר‬
‫‪.y2‬‬
‫תשובות למבחן ‪: 25‬‬
‫‪ . 1‬שעתיים‪ . 2 .‬א ‪. 66 .‬‬
‫‪ .3‬א‪. 57 .‬‬
‫‪248‬‬
‫ב‪. 9 ( 2 ) . 175 ( 1 ) .‬‬
‫‪14‬‬
‫‪256‬‬
‫‪ . 7‬א‪. x  5 ( 1 ) .‬‬
‫‪ . 5‬ב‪ 8 .‬ס"מ‪.‬‬
‫) ‪. (4;0) , (0;0) ( 2‬‬
‫‪ . 6‬ב‪k 2  m 2 .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪.‬‬
‫) ‪ (2.367;1.684) ( 3‬מקסימום‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪ ( 4‬עלייה‪ ; x  2.367 :‬ירידה‪. 2.367  x  5 :‬‬
‫)‪. x  5 (5‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪ x  0 ( 1 ) .‬מינימום‪ x  4 ,‬מקסימום‪,‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪ x  5‬מינימום‪.‬‬
‫) ‪. 2.367 ( 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . 9‬א‪. ( 1;0) , (0;0) ( 1 ) .‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪.‬‬
‫) ‪ (  1 ;  1 ) ( 2‬מינימום‪.‬‬
‫‪2 4‬‬
‫ד‪. ( 2;2) , (1; 2) .‬‬
‫‪x‬‬
‫ה‪. 4 1 .‬‬
‫‪6‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪16‬‬
‫‪x‬‬
‫מבחן ‪26‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫בשעה ‪ 7 : 00‬בבוקר יצא הולך רגל ממחנה צבאי בסביבת עכו לכיוון‬
‫חיפה ‪ .‬באותה שעה יצא מחיפה הולך רגל למחנה הנ " ל ‪ .‬השניים הלכו‬
‫לאורך אותו כביש ‪ ,‬ומהירותו של כל אחד מהם לא השתנתה בזמן‬
‫ההליכה ‪ .‬בשעת הפגישה התברר כי הולך הרגל שיצא מחיפה עבר ‪2‬‬
‫ק " מ יותר מהמרחק שעבר זה שיצא מהמחנה ‪ 40 .‬דקות לאחר הפגישה‬
‫הגיע הולך הרגל מחיפה למחנה ‪ ,‬ואילו הולך הרגל שיצא מהמחנה הגיע‬
‫לחיפה שעה וחצי לאחר הפגישה ‪.‬‬
‫א ‪ .‬מהו המרחק מהמחנה הנ " ל לחיפה ?‬
‫ב ‪ .‬מהי מהירותו של כל אחד מהולכי הרגל ?‬
‫‪.2‬‬
‫בסדרה הנדסית סכום )‪ (n  1‬האיברים הראשונים שווה ל‪. 372 -‬‬
‫אם נחסר מסכום ‪ n‬האיברים הראשונים של הסדרה את האיבר הראשון‪,‬‬
‫נקבל ‪ , 186‬ואם נח סר מסכום ‪ n‬האיברים הראשונים של הסדרה את שני‬
‫האיברים הראשונים‪ ,‬נקבל ‪. 90‬‬
‫א‪ .‬מצא את האיבר הראשון ואת מנת הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את מכפלת האיברים ‪. a1  a 2  а 3 ... a n‬‬
‫‪.3‬‬
‫במפעל גדול מצי עים לעובדים מלגה ללימודים מתקדמים במדעי המחשב‪.‬‬
‫כדי להתקבל ללימודים על העובדים להצליח בבחינות כניסה‪ ,‬הכוללות‬
‫בחינה באנגלית ובחינה במתמטיקה‪.‬‬
‫כל עובדי המפעל ניגשו לבחינה‪ ,‬והתוצאות הראו כי ‪ 8‬מהעובדים לא‬
‫‪15‬‬
‫עברו אף אחת מהבחינות ו‪ 1400 -‬עובדים עברו לפחות אחת מהבחינות‪.‬‬
‫כמו כן‪ 80% ,‬מהעובדים שלא עברו את הבחינה באנגלית‪ ,‬לא עברו‬
‫את הבחינה במתמטיקה‪ ,‬ו‪ 3 -‬מבין העובדים שעברו את הבחינה באנגלית‪,‬‬
‫‪4‬‬
‫לא עברו את הבחינה במתמטיקה‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי אחד מעובדי המפעל‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהוא עבר רק אחת מן הבחינות?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי בזה אחר זה )בלי החזרה( ‪ 2‬עובדים מבין אלה‬
‫שהצליחו בבחינה במתמטיקה ובאותו אופן בוחרים שני עובדים‬
‫שלא הצליחו בבחינה במתמטיקה‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שארבעת העובדים הנ"ל הצליחו בבחינה באנגלית?‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 6-4‬‬
‫‪.4‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז ישר‪ -‬זווית )‪. (BCD  90 , AB  CD‬‬
‫‪ PQ‬מקביל לבסיסים ועובר דרך‬
‫נקודת החיתוך של האלכסונים‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ABP  DCP :‬‬
‫‪AQ AP‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪DQ DP‬‬
‫‪.‬‬
‫‪AQ AB‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫‪DQ CD‬‬
‫‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪C‬‬
‫‪17‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.5‬‬
‫בתוך גיזרה ‪ OAB‬שרדיוסה ‪, (OA  OB  R) R‬‬
‫‪B‬‬
‫וזוויתה המרכזית ‪ , ‬חוסמים ריבוע כך‬
‫ששניים מקדקודיו נמצאים על הרדיוס ‪, OA‬‬
‫קדקוד אחד על הרדיוס ‪ OB‬וקדקוד אחד‬
‫על הקשת ‪. AB‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬ו‪  -‬את צלע הריבוע‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי רדיוס המעגל הוא ‪ 10‬ס"מ‬
‫ושטח הריבוע הוא ‪ 15.5‬סמ"ר‪ .‬חשב את ‪. ‬‬
‫‪.6‬‬
‫במלבן ‪ ABCD‬האלכסון ‪ AC‬יוצר זווית ‪ ‬עם הצלע ‪. CD‬‬
‫‪ P‬היא נקודה על האלכסון ‪ , AC‬כך ש‪. PDC   -‬‬
‫‪sin  cos ‬‬
‫א‪ .‬הוכח שהיחס בין שטח המשולש ‪ DPC‬לשטח המלבן הוא‬
‫)‪2sin(  ‬‬
‫ב‪ .‬בדוק מה הקשר בין ‪ ‬ל‪  -‬אם היחס הנ"ל שווה ל‪, 1 -‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫והסבר את המשמעות הגיאומטרית‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪ .‬בדוק מהי ‪ ‬אם הי חס הנ"ל שווה ל‪ , -‬והסבר את המשמעות‬
‫‪2‬‬
‫ההנדסית‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬
‫טריגונומטריות‪.‬‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 9-7‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה )‪x(x  a)(x  b‬‬
‫‪. a  b  0 , f (x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא )במידת הצורך הבע באמצעות ‪ a‬ו‪:( b -‬‬
‫) ‪ ( 1‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . b  2 :‬השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לבין ציר ה‪ x -‬מסתובב‬
‫סביב ציר ה‪ . x -‬נפח גוף הסיבוב שנוצר הוא ‪. 4‬‬
‫מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ f (x)   x 3  12cos x‬בתחום ‪. 0  x  3‬‬
‫‪2‬‬
‫בשרטוט משמאל מתואר גרף הנגזרת )‪f '(x‬‬
‫בתחום ‪. 0  x  32‬‬
‫הגרף של )‪ f '(x‬חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה אחת‬
‫ששיעור ה‪ x -‬שלה‪ ,‬בקירוב‪ ,‬היא ‪. 1.935‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי נקודת הפיתול של פונקציית‬
‫הנגזרת )‪ f '(x‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬דרך נקודת הפיתול של )‪ f '(x‬מורידים אנך לציר ה‪. x -‬‬
‫חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת )‪ , f '(x‬ציר ה‪x -‬‬
‫והאנך הנ"ל‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪18‬‬
‫‪y‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪x 3‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫א‪ .‬חקור את הפונקציה ומצא‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬תחו מי עלייה וירידה‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 5‬אסימפטוטות מקבילות לצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪ .‬כמה פתרונות יש למשוואה ‪? x  5x  10  0‬‬
‫היעזר בסעיפים קודמים‪.‬‬
‫ד‪ .‬הפונקציה )‪ g(x‬מקיימת )‪. g(x)  f (x  2‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫תשובות למבחן ‪: 26‬‬
‫ב ‪ 4 .‬קמ " ש ‪ 6 ,‬קמ " ש ‪.‬‬
‫‪ . 1‬א ‪ 10 .‬ק " מ ‪.‬‬
‫‪ . 2‬א‪ . q  0.5 , a1  192 .‬ב‪. 1528823808 .‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 23 .‬ב‪. 0.015 .‬‬
‫‪60‬‬
‫‪R tan ‬‬
‫‪ . 5‬א‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 tan   2 tan   1‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪. 36.84 .‬‬
‫א‪ x  a ( 2 ) . (a;0) , (b;0) , (0;0) ( 1 ) .‬או ‪ . 0  x  b‬ב‪. 4 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . 8‬א‪ . 7  ; 46.3 .‬ב‪. 35.87 .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ . 9‬א‪. x  2 ( 1 ) .‬‬
‫) ‪ (3;27) ( 2‬מינימום‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬עלי יה‪; x  3 :‬‬
‫ירידה‪ 2  x  3 :‬או ‪. x  2‬‬
‫) ‪. (0;0) ( 4‬‬
‫ג‪ .‬פתרון אחד‪.‬‬
‫)‪. x  2 (5‬‬
‫‪y‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪19‬‬
‫‪x‬‬
‫מבחן ‪27‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ענה על ש תיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫שני פועלים מתכננים לחפור תעלה‪ .‬אם פועל אחד יסיים ‪ 15‬מהחפירה‬
‫והפועל השני יבצע את שאר החפירה‪ ,‬תסתיים העבודה בתוך ‪ 28‬ימים‪.‬‬
‫ידוע כי הפועל הראשון יכול לבצע את החפירה לבדו בתוך ‪ m‬ימים‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬את מספר הימים שבהם הפועל השני יכ ול לבצע‬
‫את החפירה לבדו‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי אם שני הפועלים מתחילים יחד לחפור את התעלה‪ ,‬אז כעבור‬
‫‪ 12‬ימים הם עדיין לא מסיימים אותה‪.‬‬
‫מצא את התחום המספרי שבו נמצא ‪. m‬‬
‫‪.2‬‬
‫סדרה מוגדרת על‪ -‬ידי כלל הנסיגה‪. a n 1  2  7n  a n , a1  6 :‬‬
‫א‪ .‬הוכח שלכל ‪ n‬טבעי מתקיים‪. a n  2  a n  7 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא נוסחה לסכום ‪ 2n  1‬האיברים הר אשונים בסדרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון שבסדרה יש מספר אי‪ -‬זוגי של איברים וסכום כל איברי‬
‫הסדרה הוא ‪ . 526‬מצא כמה איברים בסדרה‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫בעיר מסוימת חלק מהנבחנים במבחן תיאוריה של נהיגה למדו בקורס‬
‫הכנה למבחן זה‪.‬‬
‫כל מי שנכשל במבחן ניגש למבחנים חוזרים‪ ,‬עד שהוא מצליח‪.‬‬
‫ידוע כי אם נבחן למד בקורס הכנה‪ ,‬הסיכוי שיצליח במבחן הוא ‪. 75%‬‬
‫סיכוי זה נשאר קבוע גם במבחנים החוזרים )אפילו אם עוברים שוב‬
‫קורס הכנה(‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מהו הסיכוי של מי שלמד בקורס הכנה להצליח במבחן רק‬
‫בפעם השלישית‪.‬‬
‫‪ 20%‬מתלמידי התיכון בעיר לומדים בקורס הכנה )השאר אינם לומדים(‪.‬‬
‫ידוע כי כל עוד תלמיד לא למד בקורס הכנה‪ ,‬הסיכוי שיצליח במבחן‬
‫התיאוריה הוא ‪. 1‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬תלמיד תיכון בעיר הצליח במבחן התיאוריה‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהתלמיד למד בקורס הכנה?‬
‫ג‪ .‬בבית ספר מסוים בעיר כל התלמידים לא למדו בקורס הכנה‪.‬‬
‫ההנהלה החליטה שכל תלמיד שנכשל במבחן יחויב ללמוד בקורס‪,‬‬
‫לפני שייגש למבחן חוזר‪.‬‬
‫מצא מהו הסיכוי של תלמיד בבית ספר זה להצליח במבחן רק בפעם‬
‫השלישית ‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪20‬‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 6-4‬‬
‫‪.4‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪. (AB  CD‬‬
‫‪P‬‬
‫המשכי השוקיים נפגשים בנקודה ‪. P‬‬
‫‪ Q‬היא נקודת הח יתוך של האלכסונים‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ PQ‬חותך את הבסיס ‪ AB‬בנקודה ‪M‬‬
‫ואת הבסיס ‪ DC‬בנקודה ‪. N‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪.‬‬
‫הוכח‪DN  NC , AM  BM :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪N‬‬
‫הדרכה‪ :‬העבר דרך נקודה ‪ Q‬קטע ‪EF‬‬
‫המקביל לבסיסים‪ ,‬והוכח כי ‪ PQ‬הוא תיכון במשולש ‪. PEF‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ , (AB  AC) ABC‬שווה אורך‬
‫הבסיס ל‪ , a -‬והזווית שלידו ל‪. (  45 )  -‬‬
‫‪ BH‬הוא גובה לשוק ‪ , AC‬ו‪ CK -‬הוא תיכון לשוק ‪. AB‬‬
‫‪H‬‬
‫א‪ .‬הבע באמ צעות ‪ a‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪. AKH‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . SAKH  1 SABC :‬הוכח‪. KH  BC :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ ABC‬הוא משולש שאורכי צלעותיו הם ‪. (c  b) BC  a , AB  c , AC  b‬‬
‫‪ P‬היא נקודה על המשך הצלע ‪) AC‬בכיוון של ‪ ,( A‬כך ש‪. PB  PC -‬‬
‫הבע את אורך הקטע ‪ PC‬באמצעות ‪ b , a‬ו‪. c -‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬
‫טריגונומטריות‪.‬‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 9-7‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ f (x)  2cos 2 x  3 sin 2x‬בתחום ‪. 0  x  2‬‬
‫א‪ .‬מצא‪ ( 1 ) :‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫) ‪ ( 5‬נקודות פיתול‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתונות שתי פונקציות‪. g(x)  2x , f (x)  2x(x 2  1)3 :‬‬
‫א‪ .‬הוכח שהפונקציות )‪ f (x‬ו‪ g(x) -‬הן פונקציות אי‪ -‬זוגיות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי הפונקציות‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫נתון משולש ישר‪ -‬זווית ‪ . (C  90 ) ABC‬קדקודיו הם בנקודות‪:‬‬
‫)‪ C(x;0) , A( 4;0‬ו‪ B -‬הנמצאת על הפרבולה‬
‫‪2‬‬
‫‪. 2y  4x  x‬‬
‫א‪ .‬בטא את שטח המשולש )‪ , S(x‬כפונקציה של ‪ x‬עבור ‪. 0  x  4‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הערך המקסימלי של השטח הנ"ל‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא פונקציה )‪ , f (x‬כך ש‪ f '(x)  S(x) -‬ו‪. f (1)  4 -‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪21‬‬
‫ת שובות למבחן ‪: 27‬‬
‫‪ . 1‬א‪140  m .‬‬
‫‪4‬‬
‫ב‪. 20  m  84 .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ . 2‬ב‪ . 7n 2  9n  6 .‬ג‪ 17 .‬איברים‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪. 3 .‬‬
‫‪64‬‬
‫‪a 2 sin 2  cos 2 a 2 cos 2 sin 2‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ . 3 .‬ג‪ . 5 . 3 .‬א‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫‪11‬‬
‫‪4sin 2‬‬
‫‪16cos 2 ‬‬
‫‪a 2b‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪a  b 2  c2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪. 0  x  2 ( 1 ) .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ (0;2) ( 2‬מינימום‪ ( ;3) ,‬מקסימום‪ ( ; 1) ,‬מינימום‪,‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ ( 7  ;3‬מקסימום‪ ( ; 1) ,‬מינימום‪ (2;2) ,‬מקסימום‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫) ‪ ( 3‬עלייה‪ 0  x   :‬או ‪2  x  7 ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫;‬
‫או ‪ x  2‬‬
‫‪3‬‬
‫ירידה‪   x  2 :‬או ‪. 7   x  5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪11‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫(‪.‬‬
‫) ‪;0) , ( ;0) , ( ;0) , ( ;0) , (0;2) ( 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫) ‪. 23 ;1 , 17  ;1 , 11 ;1 , 5 ;1 ( 5‬‬
‫‪ 12   12   12   12 ‬‬
‫‪ . 8‬ב‪. 4 .‬‬
‫‪32‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .‬ג‪. f (x)   1 x  2x  2 1 .‬‬
‫‪ . 9‬א‪ . S(x)   1 x  4x .‬ב‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪4‬‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪22‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫מבחן ‪28‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלו ת ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫שני פועלים מסיימים עבודה מסוימת בתוך ‪ 24‬ימים כאשר הם עובדים‬
‫יחד‪ .‬אם הפועל הראשון מבצע לבדו ‪ 1‬מהעבודה ואז הפועל השני מבצע‬
‫‪3‬‬
‫לבדו את העבודה הנותרת‪ ,‬העבודה מסתיימת בתוך ‪ m‬ימים‪.‬‬
‫א ‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬את הזמן שבו מסיים הפועל הראשון את‬
‫העבודה לבדו‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא לאיזה ערך של ‪ m‬הפועל הראשון מסיים את העבודה לבדו‬
‫ב‪ 36 -‬ימים יותר מהזמן שבו הפועל השני מסי ים את העבודה לבדו‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫א‪ .‬נתונה הסדרה החשבונית ‪ 30 , 28 , 26 , ...‬שבה ‪ 137‬איברים‪.‬‬
‫מהו סכום האיברים החיוביים בסדרה‪ ,‬המתחלקים ב‪? 6 -‬‬
‫ב‪ .‬נתונה סד רה הנדסית‪. a1 , a 2 , a 3 , ... , a n :‬‬
‫האיבר השלישי בסדרה גדול ב‪ 2 -‬מהאיבר השני‪ ,‬והאיבר הרביעי‬
‫גדול פי ‪ 2‬מהאיבר השלישי‪.‬‬
‫נתונה סדרה הנדסית נוספת‪. b1 , b 2 , b3 , ... , b n :‬‬
‫‪a1 a 2 a 3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫משתי הסדרות בונים סדרה חדשה‪, ... , n :‬‬
‫‪b1 b 2 b3‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪.‬‬
‫מנת הסדרה החדשה היא ‪ , 3‬וסכום ‪ 10‬האיברים הראשונים בסדרה‬
‫החדשה הוא ‪. 7381‬‬
‫מצא את הערך של ‪ , n‬שעבורו ‪. b n  4  8‬‬
‫‪27‬‬
‫הערה‪ :‬אין קשר בין שני הסעיפים‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫במשחק מזל ניתן לזכות ב‪ 100 -‬שקלים‪ ,‬ב‪ 200 -‬שקלים או לא לזכות כלל‪.‬‬
‫ההסתברות לזכות ב‪ 100 -‬שקלים היא ‪ 0.6‬וההסתברות לזכות ב‪200 -‬‬
‫שקלים היא ‪. P‬‬
‫א‪ .‬אדם משחק פעמיים במשחק הנ"ל‪ .‬ידוע כי בהינתן שהוא זכה סך הכול‬
‫לפחות ב‪ 300 -‬שקלים‪ ,‬אז ההסתברות שהוא זכה בדיוק ב‪ 300 -‬שקלים‬
‫היא ‪ . 12‬מצא את ‪. P‬‬
‫‪13‬‬
‫ב‪ .‬אדם משחק ‪ n‬פעמים במשחק הנ"ל‪ .‬הבע באמצעות ‪ n‬את ההסתברות‬
‫שלפחות פעמיים הוא יזכה בלפחות ‪ 100‬שקלים‪.‬‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במיש ור‬
‫ענה על שתיים‬
‫‪.4‬‬
‫מבין‬
‫השאלות ‪. 6-4‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ , G , F , E‬ו‪ H -‬הן נקודות על צלעות‬
‫המקבילית‪ .‬נתון‪. BE  DG , AH  CF :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫) ‪ ( 1‬חשב את יחס השטחים ‪. SKLMN : SAGCE‬‬
‫) ‪ ( 2‬חשב את יחס השטחים ‪. SKLMN : SABCD‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪23‬‬
‫‪K‬‬
‫‪L‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ KLMN‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. DG : CG  3 : 4 , BF  2CF :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪H‬‬
‫‪F‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ PA‬ו‪ PB -‬הם שני משיקים למעגל‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ C‬היא נקודה על המעגל‪.‬‬
‫נתון‪, CF  BP , CD  AP :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪. CE  AB‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ADC  BEC :‬‬
‫‪F‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. CE 2  CD  CF :‬‬
‫‪ DC‬‬
‫‪ AC‬‬
‫‪BC ‬‬
‫‪CF‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪.     60 , ABC   , BAC   , AC  b , BC  a :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ tan ‬באמצעות ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי אם ‪ ,   45‬אז ‪a  1  3‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.1‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ b‬את אורך חוצה‪ -‬זווית ‪ ‬כאשר ‪a  4‬‬
‫‪b 3‬‬
‫‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬
‫טריגונומטריות‪.‬‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 9-7‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪ax  6‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫‪4x 2  bx  1‬‬
‫שתיים מהאסימפטוטות של הפונקציה נפ גשות בנקודה )‪. (1;8‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ואת ‪ . b‬כמה פתרונות לבעיה?‬
‫הצב את הערך של ‪ b‬ואת הערך החיובי של ‪ a‬וענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫ב‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬האם לגרף הפונקציה )‪ f (x‬יש נקודות חיתוך עם הצירים?‬
‫ד‪ .‬מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ה‪ .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f (x‬המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ו ‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ז‪ .‬מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , f (x‬על ידי ציר ה‪x -‬‬
‫ועל ידי הישרים ‪ x  1‬ו‪. x  2 -‬‬
‫‪.8‬‬
‫א‪ .‬הוכח את הזהות ‪sin 3  cos3  4cos 2‬‬
‫‪sin ‬‬
‫‪cos ‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה ‪sin 3x  cos3x‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪ f (x) ‬בתחום ‪. 0  x  2‬‬
‫מצא בתחום הנתון‪ ( 1 ) :‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬אסימפטוטות אנכיות‪.‬‬
‫) ‪ ( 5‬נקודות פיתול‪ ( 6 ) .‬תחומי קעירות כלפי מעלה ‪ ‬וכלפי מטה ‪. ‬‬
‫ג‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪24‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪4x  12‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪x 2  6x  10‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא‪ ( 1 ) :‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 5‬אסימפטוטות מקבילות לצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬בשרטוט שמשמאל מתואר‬
‫‪y‬‬
‫גרף הנגזרת )‪ . f '(x‬על ציר ה‪x -‬‬
‫מסו מנים נתונים‪ .‬היעזר בנתונים‬
‫ומצא את תחומי הקעירות כלפי‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫מעלה ‪ ‬ותחומי הקעירות‬
‫כלפי מטה ‪ ‬של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬דרך נקודת המקסימום של פונקציית‬
‫הנגזרת )‪ f '(x‬מעבירים אנך לציר ה‪ . x -‬חשב את השטח המוגבל בין‬
‫הגרף של )‪ , f '(x‬האנך וציר ה‪) x -‬השטח המקווקו(‪.‬‬
‫תשובות למבחן ‪: 28‬‬
‫‪ . 1‬א‪3m  24  9m 2  432m  576 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬ב‪. m  48 .‬‬
‫‪ . 2‬א‪ . 4920 .‬ב‪. 4 .‬‬
‫‪ . 3‬א‪. 0.1 .‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n 1‬‬
‫)‪. 1  0.3  0.7n(0.3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ . 4‬ב‪. 1 ( 2 ) . 7 ( 1 ) .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ . 6‬א‪3b .‬‬
‫‪2a  b‬‬
‫‪ .‬ג‪. 0.4723b .‬‬
‫‪ . 7‬א‪ .‬שני פתרונות‪ b  3 , a  16 :‬או ‪. b  3 , a  16‬‬
‫ב‪ x  1 .‬או ‪. x  0.25‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪ .‬לא‪.‬‬
‫ד‪ .‬ירידה‪ x  1 :‬או ‪ ; x  0.25‬עלייה‪ :‬אף ‪. x‬‬
‫‪x‬‬
‫ה‪. x  0.25 , x  1 , y  8 , y  8 .‬‬
‫ז‪. 8.532 .‬‬
‫‪ . 8‬ב‪ ( 2 ) . x  3 , x   , x   , 0  x  2 ( 1 ) .‬אין‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ ( 3‬עלייה‪   x   :‬או ‪; 3  x  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪.x‬‬
‫ירידה‪ 0  x   :‬או‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ ( 4‬אין‪.‬‬
‫)‪ ,  54 ;0 ,  34 ;0 ,  4 ;0 ( 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 7  ;0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪   x  3 :  ( 6‬או ‪; 5  x  7 ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 0  x   : ‬או ‪ 3  x  5‬או ‪. 7   x  2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.9‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬כל ‪. x‬‬
‫) ‪ (2; 2) ( 2‬מינימום‪ (4; 2) ,‬מקסימום‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬עלייה‪ ; 2  x  4 :‬ירידה‪ x  4 :‬או ‪. x  2‬‬
‫) ‪. (3; 0) , (0; 1.2) ( 4‬‬
‫)‪. y  0 (5‬‬
‫ב‪ x  4.732 :  .‬או ‪ 3  x  4.732 :  ; 1.268  x  3‬או ‪. x  1.268‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪25‬‬
‫ג‪. 2 .‬‬
‫מבחן ‪29‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫אחד הנוסעים באוטובוס הבחין ברגע מסוים במכר שלו‪ ,‬שהלך בכיוון‬
‫נגדי לתנועת האוטובוס‪ 8 .‬שניות לאחר מכן עצר האוטובוס‪ .‬הנוסע‬
‫ירד והלך בעקבות מכרו כדי להשיגו‪ .‬מהירותו הייתה גבוהה פי שניים‬
‫ממהירות מכרו ונמוכה פי חמישה ממהירות האוטובוס‪.‬‬
‫כעבור כמה שניות )מאז שהבחין הנוסע במכרו( הדביק הנוסע את מכרו?‬
‫‪.2‬‬
‫האיבר ה‪ - n -‬י של סדרה נתון ע"י ‪ – t , k ) a n  k  t n 1‬קבועים ; ‪.( t  1‬‬
‫נסמן‪. Sn  a1  a 2  ...  a n ; Tn  S1  S2  ... Sn :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ . Sn‬הבע את תשובת ך באמצעות ‪ t , k‬ו‪. n -‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪.( 1  t ) Tn  t  Sn  k  n :‬‬
‫ג‪ .‬בדוק אם השוויון בסעיף ב' י י שאר בתוקפו כאשר ‪. t  1‬‬
‫‪.3‬‬
‫יוסי נוסע מביתו לעבודה‪ .‬מסלול נסיעתו עובר בשני כבישים‪:‬‬
‫תחילה בכביש ‪ A‬ואחריו בכביש ‪. B‬‬
‫ההסתברות שיהיה פקק תנועה בכביש ‪ A‬היא ‪. 0.6‬‬
‫ההסתברות שיהיה פקק תנועה בכביש ‪ B‬היא ‪. 4‬‬
‫‪5‬‬
‫כאשר יש פקק תנועה בכביש ‪ , B‬ההסתברות שגם בכביש ‪ A‬יש פקק‬
‫תנועה היא ‪. 3‬‬
‫‪4‬‬
‫א‪ .‬קבע עבור כל אחד מההיגדים ) ‪ (iii)  (i‬שלפניך אם הוא נכון או‬
‫לא נכון‪ .‬נמק כל קביעה‪.‬‬
‫) ‪ (i‬אם כביש ‪ A‬פקוק‪ ,‬אז גם כביש ‪ B‬פקוק‪.‬‬
‫)‪ (ii‬אם כביש ‪ B‬אינו פקוק‪ ,‬ההסתברות שכביש ‪ A‬אינו פקוק היא ‪. 1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ (iii‬ההסתברות שכביש ‪ B‬אינו פקוק אם כביש ‪ A‬אינו פקוק‪,‬‬
‫שווה להסתברות שכביש ‪ A‬אינו פקוק אם כביש ‪ B‬אינו פקוק‪.‬‬
‫ב‪ .‬יוסי נוסע לעבודה בימים א‪ ,‬ב ‪,‬ג‪ ,‬ד‪ ,‬ה‪ .‬מהי ההסתברות שיוסי ייקלע‬
‫לפקק תנועה בימים א‪ ,‬ב‪ ,‬ג‪ ,‬ולא ייקלע לפקק תנועה בימים ד ו‪ -‬ה?‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 6-4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.4‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪.‬‬
‫המיתר ‪ AM‬חותך את הצלע ‪BC‬‬
‫בנקודה ‪. D‬‬
‫נתון‪. AB  BM  AC  CM :‬‬
‫הוכח‪. BD  DC :‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪26‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪B‬‬
‫נתונים שני מעגלים המשיקים זה לזה מבחוץ‬
‫‪D‬‬
‫בנקודה ‪ AB . A‬הוא המשיק המשותף לשני‬
‫המעגלים‪ BC .‬משיק למעגל אחד בנקודה ‪, C‬‬
‫‪F‬‬
‫ו‪ BD -‬משיק למעגל האחר בנקודה ‪. D‬‬
‫‪ CD‬חותך מעגל אחד בנקודה ‪, E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫ואת המעגל האחר בנקודה ‪. F‬‬
‫‪C‬‬
‫הוכח‪ :‬א‪. BC  BD .‬‬
‫ב‪. CAE  FAD .‬‬
‫ג‪ .‬אם שני המעגלים בעלי רדיוסים שווים‪ ,‬אז ‪. CE  FD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.6‬‬
‫משולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ (AB  AC) ABC‬חסום‬
‫‪M‬‬
‫במעגל ‪ M‬בעל רדיוס ‪ . R‬זווית הראש של‬
‫המשולש היא ‪ . 2‬המשיק למעגל בנקודה ‪B‬‬
‫חותך את המשך הצלע ‪ AC‬בנקודה ‪. D‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ BCD‬באמצעות ‪ R‬ו‪.  -‬‬
‫ב‪ .‬באיזה תחום חייב ת להימצא הזווית ‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫כדי שיהיה פתרון לבעיה?‬
‫‪D‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬
‫טריגונומטריות‪.‬‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 9-7‬‬
‫‪.7‬‬
‫גרף הפונקציה ‪ , y  x  k sin x‬המתואר בציור‪,‬‬
‫‪y‬‬
‫עובר דרך ראשית הצירים‪ .‬לגרף העבירו‬
‫משיק בנקודה שבה ‪. x  ‬‬
‫‪2‬‬
‫השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק וציר ה‪ x -‬הוא ‪. 1‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬השטח שבסעיף א' מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫היעזר באינטגרל‬
‫‪ x sin xdx  sin x  x cos x  c‬‬
‫‪x‬‬
‫וחשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫גרף הפונקציה ‪ f (x)   x 3  2x 2  7x  4‬נפגש עם ציר ה‪ x -‬בנקודה )‪. (1;0‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך הנוספת של הגרף עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ו על ידי ציר ה‪. x -‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪y‬‬
‫לפניך גרף הפונקציה ‪. a  0 , f (x)  ax 2  (a  3)x‬‬
‫השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לציר ה‪x -‬‬
‫מסתובב סביב ציר ה‪ x -‬כך שנוצר גוף סיבוב‪.‬‬
‫לאיזה ערך של ‪ , a‬נפח גוף הסיבוב המתקבל‬
‫הוא מינימלי?‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪27‬‬
‫‪x‬‬
‫תשובות ל מבחן ‪: 29‬‬
‫‪ 96 . 1‬שניות‪.‬‬
‫‪ . 2‬א‪t n  1 .‬‬
‫‪t 1‬‬
‫‪. Sn  k ‬‬
‫‪ . 3‬א‪ (i ) .‬ה הי גד נכון‪.‬‬
‫‪ . 6‬א‪2R 2 sin 3 2 cos  .‬‬
‫‪cos3‬‬
‫‪ . 7‬א‪. 1 .‬‬
‫)‪ (ii‬ה הי גד לא נכון‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪. 0    30 .‬‬
‫ב‪. 1.586 .‬‬
‫‪ . 8‬א‪ . ( 4;0) .‬ב‪. 52 1 .‬‬
‫‪12‬‬
‫‪. a  4.5 . 9‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪28‬‬
‫)‪ (iii‬ה הי גד לא נכון‪.‬‬
‫מבחן ‪30‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫בשעה ‪ 9 : 00‬בבוקר יצאה מכונית מעיר ‪ A‬לעיר ‪ , B‬המרוחקת ממנה‬
‫‪ 100‬ק"מ‪ .‬באותה שעה יצא רוכב אופניים מעיר ‪ B‬לעיר ‪ . A‬הם נפגשו‬
‫כעבור שעה אחת והמשיכו ליעדיהם‪ .‬המכונית הגיעה לעיר ‪ , B‬התעכבה‬
‫שם למשך ‪ 15‬דקות ויצאה חזרה לעיר ‪ . A‬בדרכה השיגה את הרוכב‬
‫במרחק ‪ 40‬ק"מ מעיר ‪ . B‬מצא את מהירויות המכונית והרוכב‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתונות שתי סדרות הנדסיות‪a1 , a 2 , ... , a n :‬‬
‫‪b1 , b 2 , ... , b n‬‬
‫הסדרות מקיימות‪. b 4  a11 , b1  a 2 :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי ל כל ‪ n‬טבעי מתקיים‪. b n  a 3n 1 :‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי מנת הסדרה ‪ a1 , a 2 , a 3 , ...‬היא ‪. 2‬‬
‫כמו כן‪ ,‬מתקיים‪. a1  a 2  a 3  ...  a 3n  k :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ k‬את הסכום ‪. b1  b 2  b3  ...  b n‬‬
‫‪.3‬‬
‫בכד יש ‪ 16‬כדורים – ‪ 10‬מתוכם לבנ ים ו השאר ש חורים‪.‬‬
‫‪ 3‬מתו ך הכדורים הלבנים הם כבדים והשאר קלים‪ .‬כמו כן‪,‬‬
‫‪ 4‬מתוך הכדורים השחורים הם כבדים והשאר קלים‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 2‬כדורים )ללא החזרה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 1‬מהי ההסתברות ששניהם לבנים?‬
‫) ‪ ( 2‬מהי ההסתברות ששניהם כבדים?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 2‬כדורים לבנים‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שלפחות אחד מהם קל?‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 6-4‬‬
‫‪.4‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪, (AB  AC) ABC‬‬
‫חסום מלבן ‪ BD . DEFG‬חוצה את‬
‫הזווית ‪ ABC‬ומחלק את השוק ‪AC‬‬
‫כך ש‪ . AD : DC  2 :1 -‬נתון‪. BC  2a :‬‬
‫בטא באמצעות ‪: a‬‬
‫א‪ .‬את שטח המלבן ‪. DEFG‬‬
‫ב‪ .‬את מרחק הקדקוד ‪ B‬ממרכז המעגל‬
‫החסום במשולש ‪. ABC‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪29‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.5‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא שווה‪ -‬שוקיים )‪. (AB  AC‬‬
‫‪ AD‬הוא תיכון לבסיס‪ .‬דרך נקודה ‪ - M‬נקודת‬
‫‪A‬‬
‫המפגש של התיכונים במשולש‪ ,‬העבירו ישר‬
‫החותך את השוקיים ‪ AB‬ו‪ AC -‬בנקודות ‪ P‬ו‪Q -‬‬
‫בהתאמה‪ .‬נתון‪. AMQ   , BAC  2 , BC  2a :‬‬
‫‪2a cot  sin  sin 2‬‬
‫‪. PQ ‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫)‪3sin(  )sin(  ‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . AP  AQ :‬הוכח‪. PQ  4 a :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪M‬‬
‫‪P‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.6‬‬
‫בתוך ריבוע ‪ ABCD‬נתונה הנקודה ‪, N‬‬
‫‪N‬‬
‫כך ש‪ 2 -‬ס"מ ‪ 4 , AN  BN ‬ס"מ ‪. CN ‬‬
‫חשב את אורך צלע הריבוע‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬
‫טריגונומטריות‪.‬‬
‫ענה על שתיים מבין השאל ות ‪. 9-7‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪. f (x)  x  x 2  5‬‬
‫א‪ .‬מצא‪ ( 1 ) :‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬הסבר מדוע הישר ‪ y  0‬הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה‬
‫עבור ‪. x  0‬‬
‫) ‪ ( 2‬הסבר מדוע עבור ‪ x  0‬אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית‪.‬‬
‫ג‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫יש לחסום חצי מעגל בעל רדיוס ‪ r‬במשולש ישר‪ -‬זווית‪,‬‬
‫‪B‬‬
‫כך שחצי המעגל יגע ביתר‪ ,‬קוטרו יימצא על אחד הניצ בים‪,‬‬
‫ואחד מקצותיו של הקוטר יתלכד עם הקדקוד של הזווית‬
‫הישרה במשולש )ראה ציור(‪.‬‬
‫מה צריך להיות גודל הזוויות החדות‬
‫‪r‬‬
‫במשולש ישר‪ -‬הזווית הנ"ל‪ ,‬כדי ששטח‬
‫‪A‬‬
‫המשולש יהיה מינימלי?‬
‫‪.9‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫תחום ההגדרה של הפונקציה )‪ f (x‬הוא ‪.  24  x  24‬‬
‫נגזרת הפונקציה היא‬
‫‪3‬‬
‫‪48x  3x‬‬
‫‪24  x 2‬‬
‫א‪ .‬מצא עבור הפונקציה )‪: f (x‬‬
‫‪. f '(x) ‬‬
‫) ‪ ( 1‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬תחומי קעירות כלפי מעלה ‪ ‬וכלפי מטה ‪. ‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הנגזרת )‪. f '(x‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ . f (0)  f ( 24)  0 :‬כמו כן‪ ,‬הפונקציה )‪ f (x‬היא פונקציה זוגית‪.‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪f (x‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪30‬‬
‫תשובות למבחן ‪: 30‬‬
‫‪ 80 . 1‬קמ"ש‪ 20 ,‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ . 2‬ב‪. 72 k .‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 7 (2) . 3 (1) .‬ב‪. 14 .‬‬
‫‪15‬‬
‫‪40‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ . 4‬א‪ . 4 15 a 2 .‬ב‪2 10  a .‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ 3.91 . 6‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ . 7‬א‪ ( 1 ) .‬כל ‪. x‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪.‬‬
‫) ‪. (0;  5) ( 2‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪ ( 3‬אין‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬עלייה‪ :‬כל ‪ ; x‬ירידה‪ :‬אין‪.‬‬
‫‪. B  60 , A  30 . 8‬‬
‫‪ . 9‬א‪ ( 1 ) .‬עלייה‪  24  x  4 :‬או ‪ ; 0  x  4‬ירידה‪ 4  x  0 :‬או ‪24‬‬
‫) ‪24 :  ; 2.55  x  2.55 :  ( 2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ 2.55  x ‬או ‪.  24  x  2.55‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪31‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.4x‬‬