(אורך קטע) המרחק בין שתי נקודות
המרחק בין שתי נקודות )אורך קטע( בסעיף זה נלמד לחשב את המרחק בין שתי נקודות על פי שיעוריהן. הנוסחה למציאת המרחק dבין שתי הנקודות ) (x1;y1ו(x 2 ;y 2 ) - היא: d (x 2 x1 )2 (y 2 y1 )2 נוכיח את הנוסחה .נסמן במערכת צירים y את הנקודות ) A(x1; y1ו B(x 2 ; y 2 ) -כך ש) y1 y 2 , x1 x 2 -ראה ציור(. ) B(x 2 ; y 2 דרך נקודה Aנעביר ישר המקביל לציר ה x -ודרך נקודה Bנעביר ישר ) C(x 2 ; y1 ) A(x1; y1 x המקביל לציר ה. y - שני הישרים נפגשים בנקודה ) . C(x 2 ; y1 הקטע ACמקביל לציר ה , x -לכן . AC x 2 x1 הקטע BCמקביל לציר ה , y -לכן . BC y 2 y1 המשולש ABCהוא ישר -זווית ) ) , (AC BCלכן מתקיים משפט פיתגורס לפיו . (AB)2 (AC)2 (BC)2נציב ונקבלAB2 (x 2 x1 ) 2 (y 2 y1 ) 2 : AB (x 2 x1 ) 2 (y 2 y1 ) 2 הער ות : א .הנוסחה נכונה גם כאשר x1 x 2או . y1 y 2 ב .אפשר היה להוכיח את הנוסחה מבלי לדעת האם x 2גדול ,קטן או שווה ל x1 -וגם מבלי לדעת האם y 2גדול ,קטן או שווה ל. y1 - במקרה כזה אורכי הניצבים היו x 2 x1 ו. y 2 y1 - ג .הנוסחה נכונה גם כאשר הקטע הנתון מקביל לאחד הצירים. עם זאת ,במקרה כזה ניתן לחשב את המרחק בין שתי הנקודות גם ללא הנוסחה. אם לשתי הנקודות יש אותו שיעור , xאז המרחק ביניהן הוא ההפרש בין שיעור ה y -הגדול יותר לשיעור ה y -הקטן יותר. אם לא ידוע לאיזו נקודה שיעור yגדול יותר ,ניעזר בערך מוחלט. אם לשתי הנקודות יש אותו שיעור , yאז המרחק ביניהן הוא ההפר ש בין שיעור ה x -הגדול יותר לשיעור ה x -הקטן יותר. אם לא ידוע לאיזו נקודה שיעור xגדול יותר ,ניעזר בערך מוחלט. כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 19 דוגמה: y חשב את המרחק בין הנקודות ) (5; 4ו. (2;3) - פתרון: )(5; 4 נציב את שיעורי הנקודות בנוסחה .נקבל: )(2;3 d (5 2) 2 (4 3) 2 32 12 10 3.16 x לסיכום ,המרחק בין שתי הנקודות הוא . 3.16 תרגילים .1 בתרגילים הבאים נתונות שתי נקודות .מצא את המרחק ביניהן. א. (11;14) , (6; 2) . .2 ב . ( 7; 4) , ( 9; 3) . קדקודי משולש הם. C(14; 1) , B(9; 4) , A(8; 3) : הראה שהמשולש ABCהוא שווה -שוקיים. מהו קדקוד זווית הראש? .3 y במשולש ABCנתון. A(4; 2) : הצלע ABמקבילה לציר הx - והצלע BCמונחת על הישר . y x 5 הקדקוד Cנמצא על ציר ה. x - א .חשב את היקף המשולש . ABC ב .חשב את שטח המשולש . ABC .4 B A C x נתונות הנקודות ) B( 2; 9) , A(3;1ו. C(6;7) - הוכח ששלוש הנקודות נמצאות על ישר אחד. פתור בשתי דרכים: ) ( 1בעזרת חישוב המרחק בין כל שתי נקודות. ) ( 2בעזרת חישובי שיפועים. .5 האנך מהנקודה ) A(1;8לישר y 2x חותך את הישר בנקודה . B מצא את המרחק של הנקוד ה A מהישר הנתון )המרחק ABשבציור(. y A B x כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 20 .6 קדקודיו של משולש ABCהם )B(6;0) , A(4; 4 ו BD . C(10;1) -ה ו א הגובה לצלע . AC א .מצא את שיעורי הנקודה . D ב .חשב את שטח המשולש . ABC .7 המשוואה של אחת מצלעות משולש היא . y 4 A D C B המשוואות של שניים מגובהי המשולש הן y 53 x 10ו. y x 2 - א .מצא את שיעורי הקדקודים של המשולש. ב .חשב את שטח המשולש. .8 קדקודיו של משולש הם ) B(3;1) , A(6;5ו. C(14; 1) - א .הוכח שהמשולש הוא י שר -זווית וחשב את שטחו. ב .היעזר בטריגונומטריה וחשב את זוויותיו החדות של המשולש. .9 קדקודי המשולש ABCהם ) B(10;3) , A(2;1ו. C(4;7) - א .חשב את גודל הזווית . Bהיעזר במשפט הקוסינוסים. ב .חשב את שטח המשולש . ABC היעזר בנוסחה לחישוב שטח על פי שתי צלעות וסינוס הזווית שביניהן. . 10 קדקודיו של מרובע הם ) C(7;14) , B(2;9) , A(3;2ו. D(8;7) - א .הוכח שהמרובע הוא מעוין וחשב את שטחו. ב .חשב את גובהו של המעוין. . 11 במקבילית ABCDמשוואת הצלע ABהיא y 12 x 2 ומשוואת הצלע ADהיא . y 4x 5 אחד מקדקודי המקבילית נמצא בנקודה ). (9;10 א .מצא את משוואות הצלעות BCו. DC - ב .חשב את שטח המקבילית. . 12 ישר שמשוואתו y 2x 5חותך את ציר ה y -בנקודה . A ישר שמשוואתו y 2x 5חותך את ציר ה y -בנקודה . C מנקודה Aמורידים אנך לישר y 2x 5החותך אותו בנקודה . B מנקודה Cמורידים אנך לישר y 2x 5חותך אותו בנקודה . D א .חשב את שטח המרובע . ABCD ב .חשב את הזווית )החדה( שבין אלכסוני המרובע . ABCD כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 21 תשוב ות: . 1א . 13 .ב. 5 . ב 7 .יח"ר20 . 5 . . 2קדקוד זווית הראש הוא . 3 . Bא. 19.05 . . 6 .א . (7.2; 2.4) .ב . 7 . 9 .א. (10;4) , (5;9) , (2;4) . ב 20 .יח"ר . 8 .א . 25 .ב . 9 . 26.57 , 63.43 .א . 47.73 .ב . 10 . 22 .א. 40 . ב . 11 . 4 2 .א . y 12 x 5.5 , y 4x 26 .ב 21 .יח"ר . 12 .א . 40 .ב. 36.87 . המרחק בין שתי נקודות – מציאת נעלמים דוגמה: מצא נקודה על הישר y 2x 1שמרחקה מהנקודה ) A(8;13הוא . 10 רשום את שתי האפשרויות המתקבלות. פתרון: נסמן נקודה כלשהי Bהנמצאת על הישר . y 2x 1 y ומרחקה מהנקודה ) A(8;13הוא . 10 נסמן ב x1 -את שיעור ה x -בנקודה . B )A(8;13 נקודה Bנמצאת על הישר , y 2x 1לכן שיעור הy - שלה הוא 2x1 1ומכאן ). B(x1 ;2x1 1 נתון שהמרחק בין הנקודה Aלנקודה Bהוא . 10 )B(t;2t 1 x בשלב הראשון נביע את המרחק ABבאמצעות . x1 נקבל . AB (x1 8) 2 (2x1 1 13) 2 :לאחר פתיחת סוגריים וכינוס איברים דומים נקבל. AB 5x12 64x1 208 : כעת נשווה את המרחק ל. 10 - נקבל . 5x12 64x1 208 10 :כדי לפתור את המשוואה ,נעלה בריבוע את שני האגפים .נקבל 5x1 64x1 208 100 :ומכאן . 5x1 64x1 108 0 2 2 הפתרונות של המשוואה הם x1 10.8 :או . x1 2 )הערה :לפני ההעלאה בריבוע שני האגפים חיוביים ,לכן אין צורך בבדיקת הפתרונות כפי שמבצעים בדרך כלל במשוואות עם שורשים(. עבור x1 10.8נקבל . B(10.8;22.6) :עבור x1 2נקבל. B(2;5) : לסיכום ,קיימות שתי נקודות על הישר y 2x 1שמרחקן מהנקודה ) A(8;13הוא . 10הנקודות הן ) (10.8;22.6ו. (2;5) - . 13 מצא נקודה על ציר ה y -שמרחקה מהנקודה ) (8;19הוא . 10 רשום את ש ני הפתרונות האפשריים . כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 22 . 14 נתונה הנקודה ). A(10;12 על הישר y x 4קיימות שתי נקודות שמרחקן מהנקודה Aהוא . 10 מצא את שיעורי הנקודות האלה. . 15 נתון ה ישר y x 1ונתונות שתי נקודות . B(9; 4) , A(5; 2) : מצא נקודה על הישר הנמצאת במרחק שווה משתי הנקודות. . 16 נתונות הנקודות ) A(4;10ו. B(1; 4) - מצא נקודה על ציר ה x -שמרחקה מהנקודה Aגדול פי 2ממרחקה מהנקודה ) Bשתי אפשרויות(. . 17 מצא נקודה על חלקו ה שלילי של ציר ה y -הנמצאת במרחק שווה מהנקודה ) B(4; 2ומציר ה. x - . 18 על הישר , 4x 3y 14מצא נקודה הנמצאת במרחק שווה משני הצירים. הבחן בין שני מקרים. . 19 על ישר , y x 2מצא נקודה שסכום מ רחקיה מציר ה y -ומראשית הצירים הוא . 16 . 20 על ציר ה x -מצא נקודה ,שסכום מרחקיה מהנקודות ) (9;8ו(1;0) - הוא . 24 . 21 מצא באיזה תחום צריך להיות bכדי שהנקודה ) (0;bתהיה קרובה יותר לנקודה ) (3;7מאשר לנקודה ). ( 4;14 . 22 נתונות שתי נקודות A( 3;6) :ו. B(2;k) - מצא לאילו ערכים של kהמרחק בין הנקודות Aו: B - א .שווה ל. 13 - תשובות: ב .קטן מ. 13 - ג .גדול מ. 13 - (0; 25) . 13או ). (6;5) . 15 . (16; 20) , (2; 6) . 14 . (0;13 (4;0) . 16או ) (2;2) . 18 . (0; 5) . 17 . ( 4;0או ). (14; 14 (15;0) . 20 . ( 7.166; 5.166) , (6;8) . 19או ). ( 6;0 . 22א k 18 .או . k 6ב. 6 k 18 . כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 23 . b 11 . 21 ג k 18 .או . k 6 המרחק בין שתי נקודות – צורות גיאומטריות . 23 במשולש שווה -שוקיים (AB AC) ABCנתון. B(5; 5) , A(3; 6) : הצלע ACמונחת על הישר . y 2xמצא את שיעורי הנקודה . C . 24 במשולש שווה -שוקיים (AB AC) ABCנתון. C( 1;14) , B(3;16) : א .מצא את שיעורי הקדקוד , Aאם נתון שהוא נמצא על הישר . y 9 ב .מצא את משוואת הגו בה לשוק . AC . 25 במשולש שווה -שוקיים ABCנתון. C(0;2) , B( 4; 2) , AB AC 58 : מצא את שיעורי הקדקוד . A . 26 ABCהוא משולש ישר -זווית ושווה -שוקיים ) . (C 90 נתון. B(4;1) , C(8; 3) : מצא את שיעורי הנקודה ) Aשני פתרונות(. . 27 ABCDהוא מלבן שש ניים מקדקודיו הם ) A(3; 2ו. D(4;2) - אורך הצלע ABהוא . 2 17 מצא את שיעורי הקדקודים Bו . C -רשום את שתי האפשרויות. . 28 ABCDהוא מלבן הנמצא כולו ברביע הראשון .הצלע ABמונחת על הישר , 3x 4y 19שיעורי הקדקוד Aהם ) , A(1;4אורך הצלע AB הוא 5ואורך הצלע BCהוא . 15מצא את שיעורי הקדקודים האחרים. . 29 בריבוע ABCDהצלע ADמונחת על הישר . y 2xנתון. B(11; 2) : מצא את שיעורי הקדקוד . Dרשום את שני הפתרונות האפשריים. . 30 הקדקודים של הבסיס הקטן בטרפז ABCDהם ) A(3;1ו. B(7;4) - אחד מקדקודי הבס יס הגדול ,שאורכו , 10הוא ). D(1; 3 מצא את שיעורי הקדקוד . C . 31 ABCDהוא טרפז שווה -שוקיים ). (AD BC , AB CD נתונים הקדקודים ) B(7; 5) , A(5; 4ו. C(10; 4) - מצא את שיעורי הקדקוד . D כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 24 . 32 במשולש שווה -שוקיים , ABCהבסיס BCמונח על הישר . x 3y 10 קדקוד המשולש ה וא ) , A(6;8ואורך שוק המשולש הוא . 5 2 מצא את שיעורי הנקודות Bו. C - . 33 קדקוד זווית הראש במשולש שווה -שוקיים ABCהוא ). A(4;3 הבסיס של משולש זה שאורכו , 2 2נמצא על הישר . x y 5 0 מצא את שיעורי הקדק ודים האחרים במשולש שווה -השוקיים. . 34 הנקודה ) C(2;1היא קדקוד הזווית הישרה במשולש ישר -זווית ו שווה -שוקיים .מ שוואת היתר במשולש זה היא . 2x 3y 6 מצא את שיעורי הקדקודים האחרים של המשולש. . 35 המשולש ABCהוא ישר -זווית. C 90 , נתון C(2;1) , B(0;2) :ושטח המשולש הוא . 5 מצא את שיעורי הקדקוד . Aהבחן בין שני מקרים. . 36 במשולש ABCהצלע ABמונחת על הישר , y 2xוהצלע AC מונחת על הישר . y 4x 12הגובה היורד מ A -לצלע BCמונח על הישר . y x 2אורך הצלע BCהוא . 32מצא את שיעורי הקדקודים של המשולש )מצא את שני הפתרונות האפשריים(. . 37 במשולש , ABCנתון , A(9;11) :נקודת המפגש של הגבהים היא ), P(9;7 שיפוע הגובה לצלע ACהוא , 1ואור ך הצלע BCהוא . 12 מצא את שיעורי הנקודות Bו. C - תשובות: (4; 8) . 23או ). (2; 4 . 24א . (4; 9) .ב. y x 13 . (7;5) . 25או ) (6; 7) . 26 . (3; 5או ). (10; 1 B(5;0) . 27ו C(4;4) -או ) B(11; 4ו. D(10;16) , C(14;13) , B(5;1) . 28 . C(12;0) - (7;14) . 29או ). (7;1) , (1;3) . 32 . (4;1) . 31 . (9;3) . 30 . ( 1; 2 21 ; 12 , 51 ; 8 (4;5) . 35 . 13או ). (0; 3 . 34 . (7;2) , (5;0) . 33 13 13 13 C(4; 4) , B(0;0) , A(2;4) . 36או ). C(0;12) , B(4;8) , A(2;4 C(17;3) , B(5;3) . 37או ). C(5;15) , B(17;15 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 25 האמצע של קטע בסעיף זה נלמד את הקשר בין שיעורי שתי נקודות המהוות קצות קטע לבין שיעורי נקודת אמצע הקטע. כאשר נתון קטע שקצותיו הן הנקודות ) A(x1 ; y1ו , B(x 2 ; y 2 ) -ונקודה M היא אמצע הקטע , ABמתקיים: x M x1 x 2 yM y1 y2 2 ) A(x1; y1 2 M שיעור הx - שיעור הy - של נקודת האמצע ) B(x 2 ; y 2 של נקודת האמצע y נוכיח את הנוסחה. נסמן שתי נקודות ) , A(x1; y1 ) B(x 2 ; y 2כמתואר בציור. ) A(x1; y1 נסמן ב M(x; y) -את אמצע הקטע . AB דרך נקודה Aנעביר ישר המקביל לציר ה y -ודרך נקודה B E ) C(x1; y 2 M B(x 2 ; y 2 ) D x נעביר ישר המקביל לציר ה. x - ישרים אלה נפגשים בנקודה ) . C(x1; y 2דרך ) M(x; yנעביר ישר המקביל לציר ה y -וחותך את הקטע BCבנקודה ) . D(x; y 2 x1 x 2 תחילה נוכיח ש- 2 במשולש ABCהקטע MDמקביל לצלע ACוחוצה את הצלע , AB .x לכן הוא קטע אמצעים במשולש ,כלומר . BD DC מאחר והקטע BCמקביל לציר ה x -מתקיים. DC x1 x , BD x x 2 : x1 x 2 ידוע , BD DCלכן , x x 2 x1 xכלומר 2x x1 x 2ומכאן 2 y y2 . y 1דרך Mנעביר ישר המקביל לציר הx - נעבור להוכיח ש- 2 וחותך את הקטע ACבנקודה ) ME . E(x1; yה ו א קטע אמצעים y y2 .y 1 במשולש , ABCלכן , AE ECכלומר y1 y y y 2ומכאן 2 y y2 x x2 לסיכום, .y 1 ,x 1 2 2 .x כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 26 y דוגמה: קצות הקטע ABהם בנקודות ) A(1;6ו. B(3; 2) - )A(1;6 הנקודה Mהיא אמצע הקטע . AB M מצא את שיעורי הנקודה . M )B(3; 2 פתרון: ניעזר בנוסחאות לאמצע של קטע . נקבל: xA xB 1 3 2 2 2 xM yA yB 6 2 4 2 2 yM x הנקודה המבוקשת היא ). M(2; 4 דוגמה: הנקודה ) C(4; 1היא אמצע הקטע . ABנתון. A(2;5) : מצא את שיעורי הנקודה . B פתרון: y הנקודה Cהיא אמצע הקטע ABולכן: )A(2;5 2 xB x xB , x C Aלכן )(1 2 2 4 ומכאן . 6 x B 5 yB y yB , y C Aלכן )(2 2 2 1 ומכאן . 7 y B C(4; 1) x B הנקודה המבוקשת היא ). B(6; 7 דוגמה: y הנקודה Aנמצאת על הישר . y x 7 הנקודה Bנמצאת על הישר . y 2x 18 הנקודה ) C( 2;1נמצאת על הקטע , AB כך ש. AC BC - מצא את שיעורי הנקודות Aו. B - B x C A פתרון: על פי הנתון , AC BCכלומר הנקודה Cהיא אמצע הקטע . AB הנקודה Aנמצאת על הישר , y x 7לכן נוכל לסמן ). A(t; t 7 הנקודה Bנמצאת על הישר , y 2x 18לכן נוכל לסמן ). B(m;2m 18 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 27 על פי נוסחת אמצע קטע מתקיים הקשר הבא בין שיעורי ה: x - . x x A x Bנציב ונקבלt m : C 2 2 , 2 כלומר . t m 4 yA yB כמו כן ,מתקיים הקשר ה ב א בין שיעורי ה: y - 2 נציב ונקבלt 7 2m 18 : , 1 כלומר . t 2m 9 2 . yC קיבלנו מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים tו. m - פתרון המערכת הוא . m 5 , t 1 נקבל ששיעורי הנקודות המבוקשות הם ) A(1; 6ו. B( 5;8) - תרגילים .1 מצא את נקודת האמצע של הקטעים שקצותיהם נתונים להלן: א. (12; 7) , (0;3) . .2 ב. ( 6; 8) , ( 5; 8) . הנקודה Pהיא אמצע הקטע . ABבכל אחד מהסעיפים הבאים נתונים שיעורי הנקודות Aו . P -מצא את שיעורי הנקודה : B א. P(8;3) , A(5;1) . .3 ב. P( 5 1 ;3 1 ) , A(3; 7) . 2 4 הנקודות ) A(3; 4ו B(11;16) -הן קצות הקטע . AB את הקטע ABחילקו ל 4 -קטעים שווים. נקודות החלוקה הן Q , Pו) R -ראה ציור(. B Q R P A מצא את שיעורי הנקודות Q , Pו. R - .4 הנקודות ) (4;8ו (6;5) -מחלקות קטע לשלושה קטעים שווים. מ צא את שיעורי הנקודות של קצות קטע זה. .5 נקודה Aנמצאת על ציר ה . y -נקודה Bנמצאת על ציר ה. x - הנקודה ) C(3;5היא אמצע הקטע . AB מצא את שיעורי הנקודות Aו. B - .6 y בציור מתוארים הישרים x 9ו. y x - דרך הנקודה ) C(7; 4מעבירים ישר נו סף החותך A את הישרים הנתונים בנקודות Bו A -בהתאמה , B כך שנקודה Cהיא אמצע הקטע . AB מצא את שיעורי הנקודות Aו. B - כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 28 x C .7 נתון קטע ABשבו ) A(6;5ו B -נמצאת על ציר ה. y - מצא את שיעורי הנקודה , Bאם נתון שהישר 2y 5x 3 חוצה את הקטע . AB .8 קדקודי משולש הם. C(19; 8) , B(1; 2) , A(7;14) : א .מצא את משווא ו ת שלושת התיכוני ם של המשולש. ב .הראה ששלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת ו מצא את ש יעורי נקודת ה מפגש . .9 במשולש ABCמשוואת הצלע ABהיא . y 3x 5נתון. B(4; 7) : משוואת התיכון CDלצלע ABהיא . y x 15 א .מצא את שיעורי הקדקוד . A ב .הוכח. SADC SBDC : . 10 מצא את משוואת האנך האמצעי לקטע שקצותיו ) (5;2ו. (11;4) - . 11 קדקודי משולש הם. C(14; 3) , B(2; 3) , A(8; 9) : א .מצא את נקודת המפגש של האנכים האמצעיים לצלעות המשולש. ב .הסבר מדוע הנקודה שמצאת בסעיף א' נמצאת במרחקים שווים מהנקודות B , Aו. C - y A . 12 במשולש DE , ABCהוא אנך אמצעי לצלע . BC משוואת התיכון ADהיא . y 5 x 4 3 3 משוואת DEהיא . y 1 x 4 3 3 9 1 משוואת הצלע ABהיא . y x 2 2 מצא את שיעורי הקדקוד . C . 13 במשולש - O ) OABראשית הצירים( ,משוואת הגובה לצלע OB B E D x C היא , 7x 10y 1 0ומשוואת התיכון לצלע זו היא . 3x 2y 5 0 מצא את שיעורי הקדקוד . B . 14 קדקודי משולש ABCהם. C(12; 2) , B(4;0) , A(6;4) : מצא את המשוואות של שלושת קטעי האמצעים במשולש. כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 29 . 15 במשולש ABCנתון ) . A(8;7המשוואה של קטע האמצעים ,המחבר את אמצעי הצלעות ABו , AC -היא . y 1 x 1.5המשוואה של קטע 2 האמצעים ,המחבר את אמצעי הצלעות ACו , BC -היא . y x 2 מצא את שיעורי הקדקודים Cו. B - . 16 נקודות האמצע של צלעות משולש הן ) (8;9) , (7; 2ו. (4;1) - מצא את משוואות צלעותיו של המשולש. . 17 במקבילית ABCDנתון . B(9; 3) , A(5;1) :נקודת המפגש של אלכסוני המקבילית היא ) . M(8; 5מצא את שיעורי הקדקודים Cו. D - . 18 נתונים שלושה מקדקודי מקבילית . C(9; 20) , B(21; 4) , A(5; 2) : ABCD מצא את שיעורי הקדקוד הרביעי . D . 19 במקבילי ת ABCDמשוואת הצלע ABהיא 7y x 26ומשוואת הצלע ADהיא . y x 2נקודת מפגש האלכסונים במקבילית היא ). ( 3; 2 א .מצא א ת אורך האלכסון . AC ב .מצא את המשוואות של הצלעות BCו. CD - . 20 הנקודה Aנמצאת על הישר . y 2xהנקודה Bנמצאת על הישר . y x 2הנקודה ) C(2;1היא אמצע הקטע . AB מצא את שיעורי הנקודות Aו. B - A . 21 במשולש ABCמשוואות ה צלעות ABוAC - הן y 3x 9ו , y 2x 2 -בהתאמה. ADהוא תיכון לצלע . BCנתון. D(3;2) : מצא את השיעורים של קדקודי המשולש. C B D . 22 במשולש ABCשיעורי קדקוד Bהם ) . (7;2משוואת התיכון לצלע BC היא . y 1 x 3משוואת הצלע ACהיא . y 2x 2 3 מצא את שיעורי הקדקודים Aו C -של המשולש. . 23 נתונים הישרים 2x y 8 0ו x 3y 10 0 -והנקודה ). P(0;1 דרך Pעובר ישר , החותך את הישרים הנתונים בנקודות AוB - בהתאמה ,כך ש P -היא אמצע הקטע . ABמצא את משוואת הישר כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 30 . . 24 בדלתון (BC CD , AB AD) ABCDנתונים הקדקודים: ) . C(4;1) , B(2; 5) , A(7;10מצא את שיעורי הנקודה . D . 25 במשולש שווה -שוקיים (AB AC) ABCנתון. C(6; 9) , B(2; 3) : ADהוא הגובה לצלע . BC א .מצא את משוואת הגובה . AD ב .הקדקוד Aנמצא על הישר . x 3y 4חשב את שטח המשולש . ABC . 26 במשולש שווה -שוקיים , ABCמונח הבסיס BCעל הי שר x 3y 11 0 והשוק - ABעל הישר . 3x y 23 0נתון. A(5;8) : מצא את שיעורי הקדקוד . C . 27 ABCהוא משולש ישר -זווית ושווה -שוקיים ). (AB AC נתון . C( 3; 2) , B(5; 6) :מצא את שיעורי הנקודה . A . 28 א .נתון משולש DE . ABCהוא קטע אמצעי ם במשולש )ראה ציור(. Fהוא נקודה כלשהי על הצלע . BC A הוכח :הקטע DEחוצה את הקטע . AF ב .במשולש ABCנתון. A(2;2) : E משוואת הצלע BCהיא . 2x 3y 6 0 D מצא את משוואת קטע האמצעים המחבר את אמצעי הצלעות ABו. AC - C F B הדרכה :מצא נקודה כלשהי על הצלע BCוהיעזר בסעיף א'. . 29 במשולש ABCנתון ) . A(3;14המשוואה של קטע האמצעים ,המחבר את אמצעי הצלעות ABו , AC -היא . y x 4 מצא את משוואת הצלע . BC . 30 במרובע ABCDאמצעי הצלעות BC , ABו CD -הם הנקודות ), (4;5 ) (11;0ו , (7; 4) -בהתאמה .אמצע האלכסון ACהוא בנקודה ). (5;2 מצא את קדקודי המרובע. . 31 במעוין , ABCDשניים מהקדקודים הם ) A(3;1ו. B(7;4) - משוואת אחד מאלכסוני המעוין היא . y 2x 5 א .מצא את משוואת האלכסון השני של המעוין. ב .מצא את שיעורי הקדקודים Cו. D - ג .חשב את שטח המעוין. כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 31 . 32 ) A(3;7ו C(3;1) -הם שני קדקודים נגדיים של מעוין . ABCD א .מצא את משוואת האלכסון . BD ב .היקף המעוין הוא . 8 5מצא את שיעורי הקדקודים Bו. D - . 33 שני קדקודים נגדיים של ריבוע נמצאים בנקודות ) A(4; 1ו. C(6; 3) - א .חשב את שטח הריבוע. . 34 ב .מצא את שיעורי הקדקודים האחרים. שיעורי קדקוד אחד של משולש הם ) , (5;5ואורכי שתי הצלעות שלידו הם 13 ו41 - .אמצע הצלע שמולו הוא ). (6;1 מצא את שני הקדקודים האחרים של המשולש. . 35 y נתונים שני ישרים. (I) y 2x 10 , (II) y x 4 : I הישרים נפגשים בנקודה . Lדרך הנקודה Lעובר ישר החותך את ציר ה y -בנקודה ) Pראה ציור(, II ומשוואתו היא , (1 k)x 2y 5 4k 0 kהוא פרמטר .דרך הנקודה Pעובר ישר נוסף החותך את הישר Iבנקודה Aואת הישר II בנקודה , Bכך ש P -היא אמצע הקטע . AB א .מצא את ערך הפרמטר . k L P x ב .מצא את גודל הזווית שבין הישר העובר דרך הנקודות AוB - ובין הכיוון החיובי של ציר ה. x - תשובות . 1 :א . (6;5) .ב . 2 . (5 1 ; 8) .א . (11;5) .ב, P(5; 7) . 3 . (8;13 1 ) . 2 2 ). B(9;3) , A(5;5) . 6 . B(6;0) , A(0;10) . 5 . (2;11) , (8; 2) . 4 . R(9;13) , Q(7;10 . 8 . (0;13) . 7א . y 3 x 1 1 , y 3x 35 , y 8 .ב . 9 . (9; 8) .א. (6;13) . 4 4 . 11 . y 3x 27 . 10א18 . 13 . C(3; 1) . 12 . (7; 2) . ;2 . B 1 29 41 41 . B(2;1) , C(6;3) . 15 . y 2x 17 , y x 7 , y 1 x 3 1 . 14 4 4 ). D(7; 7) , C(11; 9 . 17 . y 11x 43 , y x 17 , y 2x 16 . 16 . 19 . D( 7;18) . 18א . 116 .ב. B(4;2) , A(0;0) . 20 . y 17 x 87 , y x 8 . . y 1 x 1 . 23 . C(5;8) , A(3;4) . 22 . C(5; 8) , B(1;12) , A( 1.4;4.8) . 21 4 . 25 . (8; 3) . 24א . y 2 x 8 2 .ב ( 1;8) . 27 . (8; 1) . 26 . 26 .או ). (3;0 3 3 . 28ב . D(2; 5) , C(12; 3) , B(10;3) , A( 2;7) . 30 . y x 3 . 29 . 2x 3y 2 0 . . 31א . y 1 x 7 1 .ב . D(3;6) , C(7;9) .ג . 32 . 20 .א . y x 4 .ב, (1;3) . 2 2 ) . 33 . (1;5א . 10 .ב. (3; 2) , (7; 0) . (3;2) . 34 ו (9;0) -או 8 173 ;3 175 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי ו14 ; 1 5 - . 35 . 3 17א . k 2.5 .ב. 26.57 . 17 32 חלוקת קטע ביחס נתון בסעיף הקודם למדנו כיצד לחשב שיעורי נקודת אמצע של קטע. כעת נראה כיצד ניתן לחשב שיעורי נקודה המחלקת קטע ביחס כלשהו. כאשר נתון קטע שקצו תיו הן הנקודות ) A(x1; y1ו, B(x 2 ; y 2 ) - ונקודה Pנמצאת על הקטע ) ABראה ציור משמאל( ומחלקת באותו )חלוקה פנימית( k x 2 x1 כך שAP k - xP ,אז מתקיים: PB k k y 2 y1 k ) A(x1; y1 k P yP ) B(x 2 ; y 2 נוכיח את הנוסח אות . נסמן שתי נקודות A(x1; y1 ) :ו, B(x 2 ; y 2 ) - y כמתואר בציור. כמו כן ,נסמן נקודה )P(x; y הנמצאת על הקטע ABומחלקת אותו ) k A(x ; y 1 1 E )חלוקה פנימית( ביחס של , k : כלומר AP k PB . C דרך נקודה Aנעביר ישר המקביל P D ) B(x 2 ; y 2 x לציר ה y -ודרך נקודה Bנעביר ישר המקביל לציר ה. x - שני הישרים נפגשים בנקודה ) . C(x1; y 2 דרך נקודה ) P(x; yנעביר ישר PDהמקביל לציר ה y -וחותך את הקטע BCבנקודה ) . D(x; y 2כמו כן ,נעביר ישר PEהמקביל לציר ה x -וחותך את הקטע ACבנקודה ). E(x1; y במשולש ABCמתקיים. PE BC : y y k על -פי משפט תלס נקבלAP AE : . 1 ,כלומר PB EC y y2 נכפול את שני האגפים במכנה המשותף. נקבל , ky ky 2 y1 y :כלומר (k )y y1 ky 2ומכאן באופן דומה ,במשולש ABCמתקיים . PD AC על -פי משפט תלס נקבלBP BD : AP CD ,כלומר נכפול את שני האגפים במכנה המשותף. כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 33 x x2 x1 x k . y ky 2 .y 1 k נקבל , x1 x kx kx 2 :כלו מר x1 kx 2 (k )xומכאן x1 kx 2 k .x x1 kx 2 y1 ky 2 ; לסיכום ,שיעורי הנקודה Pהם : k k . שים לב! את x1כופלים ב - למרות ש x1 -הוא קצה הקטע AP שמתאים ל k -ביחס הנתון .כמו כן ,את x 2כופלים ב k -למרות שx 2 - הוא קצה הקטע BPשמ תאים ל - ביחס הנתון. דוגמה: נתון קטע ABשקצותיו בנקודות ) A(2;17ו. B(10;1) - מצא נקודה , Cהנמצאת על הקטע ABכך ש מתקיים. AC : BC 2 : 3 : פתרון: 2 x B 3 x A 2 10 3 (2) 14 xC נציב בנוסחה ונקבל 2.8 : 23 5 5 2 y B 3 y A 2 1 3 17 53 10.6 23 23 5 yC לסיכום ,נקבל ). C(2.8;10.6 דוגמה: נתון קטע שקצותיו בנקודות ) A(2; 6ו. B - הנקודה ) C(14;18נמצאת על הקטע ABכך ש. AC 4BC - מצא את שיעורי הנקודה . B פתרון: על פי הנתון , AC 4BCלכן AC 4 . BC 1 1 x A 4 x B על פי הנוסחה מתקיים הקשר הבא בין שיעורי ה: x - 1 4 1 2 4 x B 14 ומכאן . x B 17 נציב . x A 2 , x C 14נקבל: 5 1 yA 4 yB . yC ע ל פי הנוסחה מתקיים הקשר הבא בין שיעורי ה: y - 1 4 1 (6) 4 y B 18 ומכאן . y B 24 נציב . y A 6 , y C 18 :נקבל 1 4 . xC לסיכום ,נקבל ). B(17;24 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 34 דוגמה: נתון קטע ABשקצותיו בנקודות ) A(3;8ו. B(9;26) - הנקודה ) C(1;11נמצאת על הקטע . AB ב איזה יחס מחלקת הנקודה Cאת הקטע ? AB פתרון: נסמן את היחס המבוקש ב k -כלומר AC k . BC k ולא את הערך של kו. - נשים לב כי המטרה היא לחשב את היחס k xB xA על פי הנוסחה מתקיים הקשר הבא בין שעורי ה: x - k )k 9 (3 . 1 נציב את שיעור ה x -של הנקודות B , Aו . C -נקבל: k . xC נכפול את שני האגפים במכנה המשותף. k נקבל , k 9k 3 :כלומר 10k 2ומכאן . 15 יחס החלוקה ה ו א , 1: 5כלומר הנקודה Cמחלקת את הקטע AB כך שAC 1 - . BC 5 הערה: k yB yA אפשר לחשב את היחס המבוקש גם על פי הנוסחה . yC k נציב את שיעורי ה y -של הנקודות B , Aו . C -נקבלk 26 8 : . 11 k נכפול את שני האגפים במכנה המשותף. k נקבל , 11k 11 26k 8 :כלומר , 15k 3ומכאן . 15 ניתן לראות ש קיבלנו אותו יחס חלוקה. תרגילים .1 נתו נות שתי נקודות . B(2;16) , A(14;7) : AP 1 . מצא נקודה Pהנמצאת על הקטע ABכך שמתקיים BP 2 .2 נתונות שתי נקודות. B( 12;21) , A(8; 4) : מצא נקודה Pהנמצאת על הקטע ABכך שהיחס בין APלBP - יהיה . 2 : 3 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 35 .3 על קטע , ABשקצותיו ) A(7; 4ו , B(13;26) -מצא 4נקודות המחלקות את הקטע ל 5 -קטעים שווים. .4 הנקודה Pמחלקת את הקטע ABכך שמתקיים . AP : PB 2 : 5 נתון . P( 4;15) , A(2;5) :מצא את שיעורי הנקודה . B .5 הנקודה Pמחלקת את הקטע ABכך שמתקיים . AP 3BP נתון . P(6;8) , B(2;5) :מצא את שיעורי הנקודה . A .6 קצהו האחד של קטע הוא הנקודה ). ( 7;3 הנקודה ) P(5;9מחלקת את הקטע ביחס של . 2 : 3 מצא את הקצה השני הקטע )הבחן בין שני מקרים(. .7 הנקודה ) P(8;11נמצאת על הקטע , ABשקצותיו בנקודות )A(4;19 ו . B(29; 3) -מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה את הקטע. .8 הנקודה ) P(1;bנמצאת על הקטע , ABשקצותיו הם ) A( 5;17ו. B(11; 7) - א .מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה Pאת הקטע . AB ב .מצא את . b תשובות: . ( 19;40) . 4 . (9;20) , (5;14) , (1;8) , ( 3;2) . 3 . (0;6) . 2 . (10;10) . 1 (23;18) . 6 . (18;17) . 5או ) . 8 . AP : BP 4 : 7 . 7 . (13;13א . AP : BP 3 : 5 .ב. 8 . בעיות עם נקודת מפגש התיכונים במשולש נקודת המפגש של התיכונים במשולש מחלקת כל תיכון לשני קטעים, כך שהקטע הקרוב לקדקוד גדול פי 2מהקטע הקרוב לצלע ,כלומר יחס החלוקה הוא . 1: 2 נקודת מפגש התיכונים במשולש נקראת מרכז הכובד במשולש ושיעוריה הם ממוצע השיעורים של שלושת קדקודי המשולש, כלומר אם נקודה Mהיא מפגש התיכונים במשולש ABCמתקיים: y A y B yC x xB xC , xm A 3 3 בחלק מהתרגילים נוסחאות אלה שימושיות מאוד. כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 36 ym דוגמה: במשולש ABCמשוואת הצלע ABהיא y 2x 4 A ומשוואת הצלע BCהיא . y 1 x 1 3 נקודת מפגש התיכונים במשולש היא ). M(11;8 E M F מצא את השיעורים של קדקודי המשולש. C פתרון: D B הנקודה Bהיא נקודת החיתוך בין הישרים ABו, BC - y 2x 4 1 y 3 x 1 לכן שיעוריה הם פתרון המערכת פתרון המערכת הוא ) , (3;2לכן שיעורי הנקודה Bהם ). (3;2 נסמן ב E -את אמצע הצלע , ACכלומר BEתיכון ל. AC - נציג שתי דרכים למציאת שיעורי הקדקודים Aו. C - דרך א' – נקודת מפגש התיכונים במשולש מחלקת כל תיכון ביחס , 1: 2 לכן EM 1 .ניעזר בנוסחה לחלוקת קטע ביחס נתון. BM 2 1 x B 2 XE xM על פי הנוסחה מתקיים: 1 2 1 3 2x E נציב ונקבל: 11 ומכאן . x E 15 3 1 yB 2 yE על פי הנוסחה מתקיים: . yM 1 2 1 2 2 yE נציב ונקבל: 8 ומכאן . y E 11 1 2 נקבל. E(15;11) : BEתיכון ל , AC -לכן הנקודה ) E(15;11הוא אמצע הקטע . AC הנקודה Aנמצאת על הישר . y 2x 4נסמן. A(t;2t 4) : הנקודה Cנמצאת על הישר . y 1 x 1נסמן. B(m; 1 m 1) : 3 3 נציב בנוסחת אמצע קטע. נקבל , x x A x C :כלומר t m E 2 2 1 2t 4 m 1 y yC 3 11 ומכאן . 2t 1 m 25 , y E Aכלומר כמו כן, 3 2 2 , 15 כלומר . t m 30 t m 30 קיבלנו את המערכת: 1 2t 3 m 25 פתרון המערכת הוא . m 21 , t 9 נקבל ששיעורי הקדקודים Aו C -הם ) A(9;14ו. C(21;8) - כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 37 דרך ב' – ניעזר בנוסחה למפגש התיכונים במשולש. x A x B xC על פי הנוסחה מתקיים: 3 נציב ונקבלt 3 m : , 11 כלומר . t m 30 3 y A y B yC . yM על פי הנוסחה מתקיים: 3 2 2t 4 13 m 1 , 8 כלומר . 2t 1 m 25 נציב ונקבל: 3 3 . xM קיבלנו מערכת של שתי משוואות עם הנעלמים tו , m -המערכת זהה לזו שהתקבלה בדרך א' .פתרון המערכת הוא . m 21 , t 9 גם בדרך זו נקבל ) A(9;14ו. C(21;8) - .9 קדקודיו של משולש הם ) (10;3) , (8; 2ו. (6;14) - מצא את שיעורי נקודת מפגש התיכונים של המשולש. . 10 שני קדקוד יו של משולש הם ) ( 3;4ו , (8; 7) -ונקודת המפגש של התיכונים במשולש היא ) . (3;2מצא את שיעורי הקדקוד השלישי של המשולש. . 11 אחד מקדקודי משולש הוא בנקודה ) . ( 7; 4אמצע אחת הצלעו ת הוא בנקודה ) ( 4;1.5ונקודת מפגש התיכונים היא הנקודה ). (1;1 מצא את שני הקדקודים האחרים של המשולש. . 12 קדקודי משולש נמצאים בנקודות ) . (x1; y1 ) , (x 2 ; y 2 ) , (x 3 ; y3 x1 x 2 x 3 y1 y 2 y3 ; הוכח :נקודת מפגש התיכונים של המשולש היא 3 3 . . 13 שני קדקודים של משולש הם ). B(2;1) , A(5;7 נקודת החיתוך של התיכונים במשולש היא ). M(3;6 מצא את המשוואות של צלעות המשולש. . 14 Mהיא נקודת מפגש התיכונים במשולש . ABC Q , Pו R -הן נקודות האמצע של הצלעות במשולש . ABC א .הוכח כי Mהיא גם נקודת מפגש התיכונים במשולש . PQR ב .נקודות האמצע של צלעות המשולש ABCהן )Q(5;9) , P(7; 2 ו . R(4;1) -מצא את נקודת המפגש של התיכונים במשולש . ABC כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 38 . 15 במשולש , ABCשיעורי הקדקוד Aהם ) , A(2; 5ומשוואות התיכונים היוצאים מהקדקודים Bו C -הם 4x 5y 0ו , x 3y 0 -בהתאמה. מצא את שיעורי הקדקודים Bו. C - . 16 המשוואות של שניים מהתיכונים במשולש הן y x 2ו. y 6 2x - אחד מקדקודי המשולש הוא בנקודה ). (6;4 מצא את שני הקדקודים האחרים של המשולש. . 17 שתיים מצלעותיו של משולש מונחות על הישרים y x 4ו. y 2x 1 - נקודת מפגש התיכונים במשו לש זה היא בראשית הצירים. מצא את קדקודי המשולש ואת משוואת צלעו השלישית. . 18 הקווים התיכונים במשולש נפגשים בנקודה ). M(0;2 משוואות הישרים שעליהם נמצאות שתיים מצלעותיו של המשולש הן . 4x y 9 0 , 5x 4y 15 0 מצא את משוואת הישר שעליו נמצאת הצלע השלישית של המשולש. . 19 במשולש שווה -שוקיים ,משוואת התיכון לאחת השוקיים היא . y 4.5x 5.5משוואת חוצה -זווית הראש היא , y 3x 32 וקדקוד זווית הראש הוא בנקודה ). (15;13 מצא את משוואות הצלעות של המשולש. חלוקת קטע ביחס נתון – בעיות נוספות . 20 בדלתון ABCDקדקוד Aנמצא על ציר ה y -וקדקוד Bבנקודה ). (2;1 משוואת האלכסון הראשי ACהיא . y 2x 15 האלכסונים נחתכים בנקודה . Pנתון. PC 1 AP : 3 מצא את השיעורים של שאר קדקודי הדלתון. . 21 במשולש ABCנתון ). b 0 , a 0 , C(0;0) , B(0;b) , A(a;0 y B הנקודה Pמחלקת את BCכך ש. CP : BP 1: 2 - הנקודה Qמחלקת את ACכך ש. CQ : AQ 1: 2 - Mהיא נקודת החיתוך של APו. BQ - מצא ב איזה יחס מחלק הנקודה M את הקטע . AP M x כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 39 P A Q C . 22 y במשולש ABCנתון. C(6;13) , B(16;5) , A(2;3) : C מעבירים ישר המקביל לצלע BCוחותך את הצלעות האחרות )ולא את המשכיהן( בנקודות Dו) E -ראה ציור(. E B האורך של DEהוא . 10.25 D מצא את משוואת הישר . DE היעזר בפרופורציה או דמיון משולשים . . 23 A x בטרפז ABCDאורך הבסיס הגדול DCהוא פי 4מאורך הבסיס הקטן . AB אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה . E א .באיזה יחס מחלקת הנקודה Eאת הקטע ? BD ב .נתון . D(2;3) , B(10;15) , A(4;13) :מצא את שיעורי הנקודה . C . 24 בטרפ ז ABCDשבו AB CDנתון. D( 1;2) , C( 6;7) , A(5;10) : מצא את שיעורי הקדקוד , Bאם נתון שהמשכי השוקיים של הטרפז נפגשים בנקודה ). (14;22 y C . 25 קדקודיו של משולש ABCהם : ). C( 6;15) , B( 18; 3) , A(6;9 A מצא את האורך של חוצה -זווית . A הדרכה :היעזר במשפט חוצה -זוו ית. x B . 26 במשולש AD , ABCהוא התיכון לצלע BCו AE -הוא חוצה -זווית . A נתון. E(8;26) , D(15;27) , B( 6;24) : מצא את שיעורי הקדקוד , Aאם נתון שהוא על ציר ה. y - תשובות: , y x 12 , y 2x 3 . 13 . ( 1;7) , (11;0) . 11 . (4;9) . 10 . (8;5) . 9 , ( 3;7) . 17 . (0;6) , ( 2;0) . 16 . C(3;1) , B( 5;4) . 15 . 2;2 2 . 14 . x 2ב3 . ), y 1 x 32 . 19 . x 5y 3 0 . 18 . 9x 5y 4 0 , (9; 17) , ( 6;10 3 . D(10;5) , C(8; 1) , A(0;15) . 20 . y 1.75x 13.25 , y 8x 107 . 23 . 8x 10y 79 0 . 22 . AM : MP 3 :1 . 21א. BE : DE 1: 4 . (0;42) . 26 . 16 . 25 . (2;13) . 24או ). (0;2 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 40 ב. (26;11) .
© Copyright 2024