‫מתכונת מס' ‪1‬‬ ‫ענה על שלוש מהשאלות ‪ ,7-1‬מהן מותר לענות לכל היותר על שאלה אחת מהשאלות ‪.7-6‬‬ ‫)לכל שאלה ‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 33‬נקודות(‬ ‫הנדסת המישור‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪ AC‬הוא מיתר למעגל ו‪AB -‬‬ ‫הוא משיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬ ‫נתון‪ ,‬כי‪. AC = BC :‬‬ ‫‪ BC‬חותך את המעגל בנקודה ‪. D‬‬ ‫הוכח‪ ,‬כי‪. AD = AB :‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫מעבירים משיק ‪ AB‬מנקודה ‪ , A‬למעגל ‪, O‬‬ ‫שרדיוסו ‪ 13‬ס"מ‪ .‬כמו כן מעבירים חותך ‪AC‬‬ ‫למעגל זה‪ .‬אורך המשיק ‪ , AB‬וכן גם מרחק‬ ‫החותך ‪ AC‬מהמרכז ‪ , O‬הם כל אחד ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬ ‫מהו אורך החותך ‪? AC‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪ AD‬הוא חוצה הזווית ‪ A‬במשולש ‪. ABC‬‬ ‫נתון‪. SB = β , SA = α , AD = k :‬‬ ‫הבע באמצעות הנתונים‪:‬‬ ‫א‪ .‬את הצלע ‪. AB‬‬ ‫ב‪ .‬את הצלע ‪. BC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫חשיבה הסתברותית בחיי יום‪-‬יום‬ ‫נתונה פירמידה ישרה ‪ , SABCD‬שבסיסה‬ ‫‪.7‬‬ ‫מלבן שאורכו ‪ 10‬ס"מ = ‪ AB‬ורוחבו‬ ‫במדינה מסויימת ל‪ 55% -‬מהמשפחות יש כלב וחתול‪.‬‬ ‫ל‪ 5% -‬מהמשפחות יש כלב ואין חתול‪ ,‬ל‪ 15% -‬מהמשפחות יש חתול ואין כלב‪.‬‬ ‫‪ 8‬ס"מ = ‪) BC‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נגדיר‪:‬‬ ‫גובה הפירמידה ‪ SO‬הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪ - A‬קבוצת המשפחות שיש להן כלב‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשב את הזווית בין הפאה ‪ SBC‬לבין הבסיס‪.‬‬ ‫‪ - B‬קבוצת המשפחות שיש להן חתול‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את הזווית בין הפאה ‪ SAB‬לבין הבסיס‪.‬‬ ‫א‪ .‬בנה טבלה דו מימדית מתאימה והשלם אותה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מהו אחוז המשפחות שיש להן כלב?‬ ‫ג‪ .‬מהו אחוז המשפחות שיש להן חתול?‬ ‫אלגברה‬ ‫‪.5‬‬ ‫מצא לאילו ערכים של ‪ m‬אין למשוואה‬ ‫ד‪ .‬חשב את‪:‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫)‪. P(A∩ B‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫)‪. P ( A ∪ B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⋅ x 2 + 3x + 2m − 7 = 0‬‬ ‫‪m−3‬‬ ‫בהצלחה !!‬ ‫שורשים ממשיים‪.‬‬ ‫שים לב‪ :‬מותר לענות לכל היותר על אחת מהשאלות ‪.7-6‬‬ ‫הסתברות‬ ‫‪.6‬‬ ‫בבחירות שנערכו היו שתי מפלגות – מפלגת העם ומפלגת העצמאות‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הצביעו למפלגת העצמאות והשאר למפלגת העם‪ .‬מבין הצעירים שהצביעו‪,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הצביעו‬ ‫למפלגת העם‪ .‬מספר המצביעים המבוגרים גדול פי ‪ 4‬ממספר המצביעים הצעירים‪.‬‬ ‫בוחרים באקראי מצביע‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשב את ההסתברות שהוא מצביע צעיר והוא מצביע למפלגת העם?‬ ‫ב‪ .‬אם ידוע שהוא הצביע למפלגת העם‪ ,‬מה ההסתברות שהוא צעיר?‬ ‫ג‪ .‬אם ידוע שהוא מבוגר‪ ,‬מה ההסתברות שהוא הצביע למפלגת העצמאות?‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫מתכונת מס' ‪2‬‬ ‫ענה על שלוש מהשאלות ‪ ,7-1‬מהן מותר לענות לכל היותר על שאלה אחת מהשאלות ‪.7-6‬‬ ‫)לכל שאלה ‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 33‬נקודות(‬ ‫הנדסת המישור‬ ‫‪.1‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ 18‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k sin  β + ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪sin β‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫המרובע ‪ ABCO‬הוא מקבילית ששניים‬ ‫מקדקודיה על היקף המעגל והשלישי במרכז‬ ‫המעגל ‪) O‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫א‪. 67.38o .‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪. −1 < m ≤ 3‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k sin  β +  sin α‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) ‪sin β sin (α + β‬‬ ‫הנקודה ‪ D‬נמצאת על המשך הצלע ‪. BC‬‬ ‫הקטעים ‪ AD‬ו‪ OB -‬נחתכים בנקודה ‪. E‬‬ ‫הוכח‪. ED = EB :‬‬ ‫ב‪. 71.57o .‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫במשולש ‪ ABC‬ששטחו ‪ 32‬סמ"ר‪,‬‬ ‫נתון‪ ,‬כי‪ 8 :‬ס"מ = ‪ 12 , BC‬ס"מ = ‪, AC‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫ב‪.60% .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ג‪.70% .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ד‪.0.25 (1) .‬‬ ‫‪ AD‬תיכון לצלע ‪ CE . BC‬חוצה את הזווית‬ ‫‪ SACB‬וחותך את התיכון‪ ,‬היוצא‬ ‫)‪.0.75 .(2‬‬ ‫מהקדקוד ‪ A‬בנקודה ‪. M‬‬ ‫חשב את שטח המשולש ‪. ∆ACM‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫‪.3‬‬ ‫במעוין ‪ ABCD‬אורך הצלע הוא ‪b‬‬ ‫והזווית החדה ‪ . α -‬הנקודות ‪ K‬ו‪ L -‬הן‬ ‫אמצעי הצלעות ‪ BC‬ו ‪ DC -‬בהתאמה‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪ ,‬כי‪. S ∆AKL = b 2 sin α :‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את זוויות המשולש ‪ AKL‬אם ‪. α = 48.7o‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫חשיבה הסתברותית בחיי יום‪-‬יום‬ ‫הבסיס של תיבה ' ‪ ABCDA ' B ' C ' D‬הוא ריבוע‪,‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫שאורך צלעו ‪ . a‬גובה התיבה הוא ‪. 2a‬‬ ‫בבחירות לרשות ועד עובדים במפעל מסויים‪ ,‬מתחרים שני מועמדים יוסי וחיים‪.‬‬ ‫‪ 40%‬מהגברים בעד יוסי‪ 36% .‬מכלל העובדים הם בעד יוסי‪.‬‬ ‫דרך אלכסון הבסיס ‪ BD‬ודרך הקדקוד ' ‪C‬‬ ‫מספר הגברים במפעל גדול פי ‪ 1.5‬ממספר הנשים‪.‬‬ ‫העבירו מישור )ראה ציור(‪.‬‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫חשב את הזווית בין מישור המשולש ' ‪BDC‬‬ ‫‪ – A‬קבוצת העובדים שבעד יוסי‪.‬‬ ‫‪ – B‬קבוצת הגברים‪.‬‬ ‫לבין בסיס התיבה ‪. ABCD‬‬ ‫א‪ .‬בנה טבלה דו מימדית מתאימה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מהי פרופורציית הגברים מבין העובדים שהם בעד יוסי‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מהי פרופורציית הנשים שהן בעד יוסי?‬ ‫אלגברה‬ ‫‪.5‬‬ ‫א‪ .‬מצא לאילו ערכי ‪ m‬יש למשוואה‬ ‫‪mx ( x + 1) + 3 ( x + 2 ) = 2 x 2 − m‬‬ ‫שני שורים ממשיים שונים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא לאילו ערכי ‪ k‬הישר ‪y = ( k − 3) x − k 2 + 4k − 3‬‬ ‫)‪( k ≠ 3‬‬ ‫חותך את‬ ‫בהצלחה !!‬ ‫ציר ה‪ x -‬בתחום ‪. −1 < x < 2‬‬ ‫)הערה‪ :‬אין קשר בין סעיף א' לסעיף ב'(‪.‬‬ ‫שים לב‪ :‬מותר לענות לכל היותר על אחת מהשאלות ‪.7-6‬‬ ‫הסתברות‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪ A‬ו‪ B -‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪.‬‬ ‫נתונים‪. P ( B / A) = 0.3 , P ( A / B ) = 0.4 , P ( B ) = 0.45 :‬‬ ‫חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬ ‫א‪. P ( A ) .‬‬ ‫ב‪. P ( A ∩ B ) .‬‬ ‫‪‬‬ ‫ג‪. P ( A ∪ B ) .‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫מתכונת מס' ‪3‬‬ ‫ענה על שלוש מהשאלות ‪ ,7-1‬מהן מותר לענות לכל היותר על שאלה אחת מהשאלות ‪.7-6‬‬ ‫)לכל שאלה ‪-‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ 12‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫א‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪. 70.53o‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫א‪. m ≠ 2 , − 6 < m < 3 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 33‬נקודות(‬ ‫הנדסת המישור‬ ‫‪.1‬‬ ‫ב‪. 72.73o , 53.63o , 53.63o .‬‬ ‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬ ‫‪AF 1‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪FB 3‬‬ ‫‪ 4 ,‬סמ"ר = ‪. S ∆AEF‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. ∆AEF ~ ∆BCF :‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. BCF‬‬ ‫ג‪ .‬חשב את שטח המקבילית ‪. ABCD‬‬ ‫ב‪. 0 < k < 3 .‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫א‪. 0.6 .‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ב‪. 0.18 .‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫ג‪. 0.87 .‬‬ ‫המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪.‬‬ ‫‪ AF‬משיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נתון‪. AF P DE :‬‬ ‫ג‪. 0.12 .‬‬ ‫הוכח‪ ,‬כי‪. SDMC = SB :‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫‪.3‬‬ ‫משולש שווה שוקיים ‪ ABC‬חסום במעגל‪.‬‬ ‫‪ D‬היא נקודה על המעגל‪.‬‬ ‫נתון‪ 10 , SBAC = 36o :‬ס"מ = ‪ 6 , BD‬ס"מ = ‪. AD‬‬ ‫א‪ .‬חשב את אורך השוק ‪. AB‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את הזווית ‪. SDBC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫חשיבה הסתברותית בחיי יום‪-‬יום‬ ‫‪ SABC‬היא פירמידה משולשת משוכללת וישרה‪,‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫שבסיסה משולש שווה צלעות‪ .‬אורך מקצוע הבסיס‬ ‫בשנה האחרונה‪ ,‬בעיירה מסויימת‪ 18% ,‬מהנהגים היו מעורבים בתאונה‪.‬‬ ‫‪ 20%‬מהנהגים בעיירה הם נהגים צעירים )עד גיל ‪ 30% .(22‬מבין הנהגים הצעירים היו‬ ‫הוא ‪ , a‬ואורך המקצוע הצדדי הוא ‪. b‬‬ ‫מעורבים בתאונה בשנה האחרונה‪.‬‬ ‫א‪ .‬הבע את אורך הגובה של הפירמידה‬ ‫מה ההסתברות‪ ,‬שבבדיקה שגרתית שמבצעת המשטרה‪ ,‬יתברר כי הנהג הראשון מעל‬ ‫באמצעות ‪ a‬ו‪. b -‬‬ ‫גיל ‪ 22‬שייעצר היה מעורב בתאונה בשנה האחרונה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הבע את נפח הפירמידה באמצעות ‪ a‬ו‪. b -‬‬ ‫אלגברה‬ ‫‪.5‬‬ ‫בהצלחה !!‬ ‫מצא לאילו ערכים של ‪ m‬נמצא הגרף של הפונקציה‪y = ( m2 − 9 ) ⋅ x 2 + 2 ( m + 3) x − 5 :‬‬ ‫מתחת לציר ה ‪. x -‬‬ ‫שים לב‪ :‬מותר לענות לכל היותר על אחת מהשאלות ‪.7-6‬‬ ‫הסתברות‬ ‫‪.6‬‬ ‫תלמידים בכיתה מסויימת מתחלקים לשלוש קטגוריות‪:‬‬ ‫קטגוריה ‪ - A‬תלמידים היודעים את כל החומר )ולכן יקבלו ‪ 100‬בבחינה(‪.‬‬ ‫קטגוריה ‪ - B‬תלמידים שאינם יודעים את כל החומר ואינם מוכנים לרמות‪.‬‬ ‫קטגוריה ‪ - C‬תלמידים שאינם יודעים את כל החומר ומוכנים לרמות‪.‬‬ ‫תלמיד הנבחר באופן מקרי משתייך לקטגוריה ‪ A‬בהסתברות ‪ 0.05‬ולקטגוריה ‪B‬‬ ‫בהסתברות ‪ .0.8‬עבור תלמיד בקטגוריה ‪ B‬ההסתברות לקבל בבחינה ‪ 100‬היא ‪.0.1‬‬ ‫עבור תלמיד בקטגוריה ‪ C‬ההסתברות לא לקבל ‪ 100‬בבחינה היא ‪.0.1‬‬ ‫רמי קיבל ‪ 100‬בבחינה‪ .‬מה ההסתברות שהוא רימה?‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12‬‬ ‫מתכונת מס' ‪4‬‬ ‫ענה על שלוש מהשאלות ‪ ,7-1‬מהן מותר לענות לכל היותר על שאלה אחת מהשאלות ‪.7-6‬‬ ‫)לכל שאלה ‪-‬‬ ‫ב‪ 36 .‬סמ"ר‪.‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫א‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫א‪ 9.946 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫ג‪ 96 .‬סמ"ר‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 33‬נקודות(‬ ‫הנדסת המישור‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪3b2 − a 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ב‪. ≈ 37o .‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪⋅ a ⋅ 3b 2 − a2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ) ‪. ( AB = AC‬‬ ‫‪ BD‬חוצה את זווית ‪. DE P BC , SABC‬‬ ‫נתון‪. DC = b , BC = a :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. EB = ED :‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪. −3 ≤ m < 2‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪:‬‬ ‫‪a −b‬‬ ‫= ‪. AB‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪. 0.509‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫ג‪ .‬הוכח‪:‬‬ ‫‪a −b‬‬ ‫= ‪. AD‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪. 15%‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫מהנקודה ‪ B‬יוצאים משיק ‪ BA‬וחותך ‪BCE‬‬ ‫למעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫נתון‪ 12 :‬ס"מ = ‪ 6 , BA‬ס"מ = ‪, DC = CB‬‬ ‫‪ 3‬ס"מ = ‪. OD‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. ∆ABC ~ ∆ABE :‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את ‪. DE‬‬ ‫ג‪ .‬הוכח‪. ∆DFC ~ ∆EDG :‬‬ ‫ד‪ .‬חשב את רדיוס המעגל‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪14‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫‪.3‬‬ ‫שים לב‪ :‬מותר לענות לכל היותר על אחת מהשאלות ‪.7-6‬‬ ‫במשולש שווה שוקיים ‪, ( AB = AC ) ABC‬‬ ‫הסתברות‬ ‫אורך הבסיס הוא ‪ b‬וזווית הבסיס היא ‪. β‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫א‪ .‬הבע בעזרת ‪ b‬ו‪ β -‬את אורך שוק המשולש‪.‬‬ ‫להגיע לקרבת המטרה‪ .‬אם אכן מגיע הטיל לקרבת המטרה‪ ,‬הסתברות הפגיעה במטרה‬ ‫ב‪ .‬הבע בעזרת ‪ b‬את אורך התיכון ‪BD‬‬ ‫‪3‬‬ ‫אם נתון כי‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫להשמדת מטרה משוגרים באופן בלתי תלוי שני טילים‪ .‬לכל טיל הסתברות של ‪0.6‬‬ ‫עצמה היא ‪ .0.3‬אם המטרה נפגעת‪ ,‬הסיכוי שהיא תושמד היא ‪.0.9‬‬ ‫מה ההסתברות שהמטרה תושמד?‬ ‫= ‪. cos2 β‬‬ ‫חשיבה הסתברותית בחיי יום‪-‬יום‬ ‫‪.4‬‬ ‫בפירמידה ישרה ‪ , SABCDE‬שבסיסה הוא‬ ‫‪.7‬‬ ‫בפקולטה למתמטיקה התקיימו שתי בחינות כניסה‪ 64% .‬מהסטודנטים עברו את‬ ‫מחומש משוכלל‪ ,‬גובהה שווה לאורך הצלע של המחומש‪.‬‬ ‫הבחינה הראשונה‪ 70% ,‬מהסטודנטים עברו את הבחינה השנייה ו‪ 55% -‬עברו את‬ ‫א‪ .‬מצא את הזווית בין פיאה צדדית לבין בסיס הפירמידה‪.‬‬ ‫שתי הבחינות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את הזווית בין מקצוע צדדי לבין בסיס הפירמידה‪.‬‬ ‫נגדיר‪:‬‬ ‫‪ − A‬קבוצת הסטודנטים שעברו את הבחינה הראשונה‪.‬‬ ‫‪ − B‬קבוצת הסטודנטים שעברו את הבחינה השנייה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את זווית הראש של פיאה צדדית‪.‬‬ ‫א‪ .‬בנה טבלה דו מימדית מתאימה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מהו אחוז הסטודנטים שעברו בדיוק אחת מהבחינות?‬ ‫ג‪ .‬מהי פרופורציית הסטודנטים שעברו את הבחינה הראשונה בלבד מבין‬ ‫אלגברה‬ ‫‪.5‬‬ ‫ה סטודנטים שעברו בדיוק אחת מהבחינות?‬ ‫מצא לאילו ערכי ‪ m‬קטנים ערכי הפונקציה‬ ‫‪y = ( 4m − 1) x2 + ( 3m + 1) x − 3m − 3‬‬ ‫ד‪ .‬נתון שנבחנו ‪ 400‬סטודנטים‪ .‬כמה סטודנטים עברו לפחות אחת מהבחינות?‬ ‫מערכי הפונקציה ‪ y = ( 3m − 2 ) x2 + ( 2m + 1) x − 2m‬לכל ‪. x‬‬ ‫בהצלחה !!‬ ‫‪‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16‬‬ ‫מתכונת מס' ‪5‬‬ ‫ענה על שלוש מהשאלות ‪ ,7-1‬מהן מותר לענות לכל היותר על שאלה אחת מהשאלות ‪.7-6‬‬ ‫)לכל שאלה ‪-‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫א‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫א‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫ב‪ 12 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 33‬נקודות(‬ ‫הנדסת המישור‬ ‫ד‪ 9 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2cos β‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪⋅ b .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫א‪. 55.46o .‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪. −2 < m < − 1.2‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪. 0.297‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫ב‪. 0.24 .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז‪. ( AB P CD ) ,‬‬ ‫המעגל החוסם את המשולש ‪ ABC‬חותך את‬ ‫‪.‬‬ ‫הבסיס הקטן ‪ CD‬בנקודה ‪ E‬ומשיק לשוק‬ ‫ב‪. 49.61o .‬‬ ‫ג‪. 44.77o .‬‬ ‫הטרפז ‪ AD‬בנקודה ‪. A‬‬ ‫נתון‪ 8 :‬ס"מ = ‪ 12 , BC‬ס"מ = ‪ 16 , AC‬ס"מ = ‪. AB‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪ ,‬כי‪ ∆ABC ~ ∆ADC :‬וחשב את ‪. DC‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪ ,‬כי‪ ∆ADE ~ ∆ABC :‬וחשב את ‪. EC‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ג‪ .‬נתון‪ 10 :‬סמ"ר = ‪) S ∆AEC‬השטח המודגש(‪ .‬חשב את שטח הטרפז ‪. ABCD‬‬ ‫ד‪. 316 .‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫נתונה מקבילית ‪ ABCD‬שחוצי זוויותיה‬ ‫יוצרים מרובע ‪) SPQR‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הוכח‪ ∆ABE :‬שווה שוקיים‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ SPQR‬מלבן‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ SQDE‬מקבילית‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫חשב את ‪ SQ‬אם נתון שצלעות המקבילית הן‬ ‫‪. AB = a , BC = b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪18‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫‪.3‬‬ ‫שים לב‪ :‬מותר לענות לכל היותר על אחת מהשאלות ‪.7-6‬‬ ‫מרכזו של מעגל העובר דרך הקדקודים‬ ‫הסתברות‬ ‫‪ A‬ו‪ C -‬של משולש ‪ ABC‬מונח על הצלע‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪ BC‬של המשולש‪ .‬רדיוס המעגל שווה ל‪. R -‬‬ ‫נערך מחקר על הקשר בין רמת ההשכלה והמוצא‪.‬‬ ‫להלן הנתונים לגבי ‪ 200‬נחקרים‪:‬‬ ‫נתון‪. SACB = γ , SBAC = α :‬‬ ‫הבע את שטח המשולש ‪ ABC‬באמצעות ‪, R‬‬ ‫‪ α‬ו‪ γ -‬בלבד‪.‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪ SABC‬היא פירמידה ישרה שבסיסה‬ ‫מוצא‪/‬השכלה‬ ‫יסודית‬ ‫תיכונית‬ ‫גבוהה‬ ‫סה"כ‬ ‫ילידי הארץ‬ ‫‪30‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪120‬‬ ‫ילידי חו"ל‬ ‫‪10‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪80‬‬ ‫סה"כ‬ ‫‪40‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪200‬‬ ‫משולש שווה צלעות שאורך צלעו שווה ‪a‬‬ ‫ואורך המקצוע הצדדי הוא ‪. 2a‬‬ ‫‪11‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪ ,‬כי גובה הפירמידה ‪⋅ a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫נסמן‪ − A :‬ילידי חו"ל‪.‬‬ ‫‪ − B‬השכלה גבוהה‪.‬‬ ‫= ‪.h‬‬ ‫נבחר אדם באקראי‪:‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪ ,‬כי נפח הפירמידה שווה ל‪⋅ 11 -‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= ‪.V‬‬ ‫א‪ .‬מה ההסתברות שהנבחר הוא גם יליד חו"ל וגם בעל השכלה גבוהה?‬ ‫ב‪ .‬אם ידוע כי הנבחר הוא יליד חו"ל‪ ,‬מה ההסתברות שהוא בעל השכלה גבוהה?‬ ‫ג‪.‬‬ ‫האם ‪ A‬ו‪ B -‬מאורעות בלתי תלויים? נמק‪.‬‬ ‫אלגברה‬ ‫‪.5‬‬ ‫באיזה תחום מספרי חייבים להימצא ערכי ‪ m‬כדי שערכי הפונקציה‬ ‫‪ y = ( m − 4 ) ⋅ x2 + 10 x + m‬יהיו קטנים מ‪ 4 -‬עבור כל ערך של ‪? x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪20‬‬ ‫חשיבה הסתברותית בחיי יום‪-‬יום‬ ‫‪.7‬‬ ‫בבחירות לראשות עיר היו שני מועמדים‪ :‬פיטר ו‪ -‬ג'ון‪.‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪ 70%‬מהבוחרים היו גברים ו ‪ 30% -‬היו נשים‪5 .‬‬ ‫‪ 14‬מהגברים הצביעו לפיטר‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכחה‪ 9 ,‬ס"מ = ‪ . DC‬ב‪ .‬הוכחה‪ 5 ,‬ס"מ = ‪. EC‬‬ ‫ג‪ 50 .‬סמ"ר = ‪. S ABCD‬‬ ‫‪ 59‬מהמצביעים לפיטר היו גברים‪.‬‬ ‫א‪ .‬איזה מועמד נבחר לראשות העיר? נמק‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫ב‪ .‬איזה אחוז מבין הנשים הצביעו לפיטר?‬ ‫‪.3‬‬ ‫ג‪ .‬בוחרים באקראי אחד המצביעים )גבר או אישה(‪ .‬ידוע שהוא הצביע לג'ון‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫‪R 2 sinα cos γ sin 2γ‬‬ ‫) ‪sin (α + γ‬‬ ‫ג‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫ד‪. b − a .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מה ההסתברות שזאת אישה?‬ ‫בהצלחה !!‬ ‫‪.4‬‬ ‫א‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪. m < −1‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫א‪ .‬ג'ון זכה ברוב ‪. 55%‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪ A .‬ו‪ B -‬תלויים זה בזה‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪. 66 % .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪22‬‬ ‫מתכונת מס' ‪6‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫ענה על שלוש מהשאלות ‪ ,7-1‬מהן מותר לענות לכל היותר על שאלה אחת מהשאלות ‪.7-6‬‬ ‫)לכל שאלה ‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪ 33‬נקודות(‬ ‫‪ . AB = a‬האלכסונים יוצרים ביניהם את הזווית‬ ‫‪ ; SAOB = α‬הזווית בין האלכסון והשוק היא‬ ‫הנדסת המישור‬ ‫‪.1‬‬ ‫בטרפז שווה שוקיים ‪ ABCD‬הבסיס הגדול הוא‬ ‫‪) SDAC = β‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫‪ AB‬הוא משיק משותף לשני המעגלים בנקודה ‪. A‬‬ ‫דרך ‪ B‬עוברים שני ישרים ‪ BM‬ו‪BQ -‬‬ ‫א‪ .‬הבע את שטח הטרפז באמצעות ‪ α , a‬ו‪. β -‬‬ ‫החותכים את המעגלים בנקודות ‪P , M , N‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את שטח הטרפז‪ ,‬כאשר האלכסונים מאונכים זה לזה ו ‪. β = 45o -‬‬ ‫ו‪) Q -‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מה המשמעות הגיאומטרית של התוצאה שקיבלת בסעיף ב'?‬ ‫נתון‪ MP :‬משיק למעגל השמאלי בנקודה ‪P‬‬ ‫ו‪ QN -‬משיק למעגל הימני בנקודה ‪. N‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪ MP‬ו‪ QN -‬נחתכים בנקודה ‪. O‬‬ ‫מלבן שאלכסונו ‪ . k‬אחת הזוויות בין אלכסון‬ ‫נתון גם‪ 6 :‬ס" מ = ‪ 9 , AB‬ס"מ = ‪ 5 , BM‬ס"מ = ‪. BP‬‬ ‫חשב‪:‬‬ ‫‪S ∆MNO‬‬ ‫‪S∆QPO‬‬ ‫' ‪ ABCDA ' B ' C ' D‬היא תיבה שבסיסה‬ ‫הבסיס ‪ k‬ובין אחת הצלעות של הבסיס היא‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ . α‬הזווית בין המישור ‪ AB ' C‬ובין בסיס התיבה‬ ‫היא ‪. β‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫במשולש ‪ ABC‬הגובה לצלע ‪ BC‬הוא ‪. AM‬‬ ‫הבע את נפח התיבה בעזרת ‪ β , α‬ו‪. k -‬‬ ‫הנקודות ‪ Q , P‬ו‪ R -‬הן האמצעים של הצלעות‬ ‫‪ BC , AB‬ו‪ M ) AC -‬נמצאת בין ‪ B‬ו ‪.( Q -‬‬ ‫אלגברה‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪ PMQR‬טרפז שווה שוקיים‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח כי שטח הטרפז ‪ PMQR‬שווה למחצית‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪. y = 3x 2 − ( 3m − 5) x + m − 2‬‬ ‫א‪ .‬מצא לאילו ערכי ‪ m‬הפונקציה חותכת את ציר ה‪ x -‬בשתי נקודות שונות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח שאחת מנקודות החיתוך היא קבועה )מהי?( ומצא לאילו ערכי ‪ m‬נקודת‬ ‫שטח המשולש ‪. AMC‬‬ ‫החיתוך השנייה נמצאת מימין לנקודת החיתוך הקבועה‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪24‬‬ ‫שים לב‪ :‬מותר לענות לכל היותר על אחת מהשאלות ‪.7-6‬‬ ‫בהצלחה !!‬ ‫הסתברות‬ ‫‪.6‬‬ ‫נתון כי בשנה א' של הפקולטה למדעי החברה‪:‬‬ ‫‪ 20%‬מהסטודנטים לומדים בחוג לסוציולוגיה‪,‬‬ ‫‪ 30%‬מהסטודנטים לומדים בחוג לכלכלה‪,‬‬ ‫‪ 58%‬מהסטודנטים אינם לומדים סוציולוגיה או כלכלה‪.‬‬ ‫אם נבחר באקראי סטודנט מהפקולטה למדעי החברה‪:‬‬ ‫א‪ .‬מה ההסתברות שהסטודנט לומד סוציולוגיה וכלכלה?‬ ‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהסטודנט לומד סוציולוגיה אך לא לומד כלכלה?‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪625‬‬ ‫‪121‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫א‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2 cos2  − β  ⋅ sin α‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫) ‪2sin 2 (α − β‬‬ ‫ג‪ .‬אם ידוע כי הסטודנט לומד כלכלה‪ ,‬מה ההסתברות שהוא לומד סוציולוגיה?‬ ‫חשיבה הסתברותית בחיי יום‪-‬יום‬ ‫‪.7‬‬ ‫חברת ביטוח המעוניינת להעלות את מוסר העבודה של עובדיה החליטה לתת בונוס‬ ‫על אי היעדרות‪ .‬בחברה פי שלושה נשים מגברים‪.‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪ 40%‬מכלל העובדים מקבלים בונוס‪.‬‬ ‫‪ 28%‬מכלל הנשים מקבלות בונוס‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫א‪.0.08 .‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫א‪ .‬מהי פרופורציית הגברים בחברה?‬ ‫ב‪ .‬מהי פרופורציית הנשים מבין העובדים שאינם מקבלים בונוס?‬ ‫ב‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫ב‪. a 2 .‬‬ ‫ג‪ .‬ריבוע‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. k 3 sin 2 2α tan β‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫נגדיר‪ − A :‬קבוצת המקבלים בונוס‪.‬‬ ‫‪ − B‬קבוצת הגברים‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫≠‪.m‬‬ ‫‪1 1 ‬‬ ‫ב‪,  , 0  .‬‬ ‫‪3 3 ‬‬ ‫ב‪.0.12 .‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.m > 2‬‬ ‫ג‪.0.2666 .‬‬ ‫ג‪ .‬לגבר‪.‬‬ ‫ג‪ .‬האם לגבר העובד בחברה יש סיכוי גדול לקבל בונוס מאשר לאישה‬ ‫העובדת בחברה? נמק‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪26‬‬