יחידות) 5 גיאומטריה ( – עבודת קיץ
עבודת קיץ – גיאומטריה ) 5יחידות( בעיות עם משולשים ומרובעים )כולל פרופורציה ודמיון( .1 D המשולשים ABCו ADE -הם משולשים שווי -צלעות .הקטעים BEוCD - נחתכים ב נקודה . F א .הוכח. BE CD : ב .הוכח. ACD ABE : ג .חשב את הזווית . BFC E F A C תשובה: .2 B ג. 60 . A הנקודה Dנמצאת על הצלע BCשל משולש שווה -שוקיים . (AB AC) ABC Gהיא נקודה על המשך הצלע . AB הקטע FEמקביל ל. BC - נתוןGF AG : BF AC D C .הוכח. AE BC : B F E G .3 במשולש שווה -שוקיים (AC AB) ABC חסום מלבן ) GFEDראה ציור(. נקודה , Lהנמצאת על צלע המלבן , GF היא מפגש התיכונים במשולש . ABC דרך הנקודה Lהעבירו אנך לצלע , BC החותך את BCבנקודה . K א .הוכ ח. KAB KLF EFB : ב .נתון 18 :ס"מ 15 , BC ס"מ . AB חשב את אורכי הקטעים KFו. EF - תשובה: .4 A D G E L B F C K ב 3 .ס"מ 4.8 ,ס"מ. המרובע ABCDהוא מקבילית )ראה ציור( . א .הוכחBF AD : FA AE ב ( 1 ) .הוכח AD : AE E . SADF SAEF B F A ) ( 2היעזר בסעיף א' ובתת סעיף ב' ) ,( 1 והוכח. SADF SBEF : .5 C במשולש ישר -זווית (ACB 90 ) ACB CDחוצה -זווית ) ACBראה ציור(. א ( 1 ) .הוכ ח. DB AC BC AB BC DB : ) ( 2נתון 21 :מ"מ 28 , BC מ"מ . AC חשב את האורך של הקטע . DB ב .מקדקוד Cמורידים אנך לי תר . AB האנך חותך את היתר כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי C B בנקודה . Nהוכח כי CN BC . AC AB ג .חשב את האורך של הקטע . DN 1 D D A תשובה: .6 א 15 ( 2 ) .מ"מ .ג 2.4 .מ"מ. C נתון ריבוע . ABCD D דרך הקדקוד Bהעבירו ישר . TR ARו CT -מאונכים לישר זה )ראה ציור(. א .הוכח כי . AR CT TR T ב .הבע את שטח המרובע ACTRבאמצעות . TR תשובה: .7 A R ב. 1 (TR) 2 . 2 הוכח :אורך התיכון במשולש קטן מהממוצע של אורכי שתי הצלעות שלידו .הדרכה: .8 B הארך את התיכון כ אורכו. בטר פז (AB DC) ABCDמתקיים . DC 2AB הנקודה Eנמצאת על השוק BCכך ש. BC 3BE - הנקודה Fנמצאת על הא לכסון AC כך ש . FE DC -האלכסון ACוהקטע DE נחתכים בנקודה . M א .חשב את היחסיםFE ( 2 ) . FE ( 1 ) : . DC AB ב .הוכח. MC 3FM : ג .חשב את היחס AM . MC תשובה :א . 1 ( 2 ) . 2 ( 1 ) .גAM 1 . 3 3 MC .9 A B E F M D C . G המרובעים ABCDו BFGD -הם מקביליות. C נתון C ) CG CF :על הקטע .( GF א .הוכח :המרובע ECGDהוא מקבילית. D F E ב .הוכח :אם המקבילית ABCDהי א מעוין, אז המ רובע ECGDה ו א מלבן. . 10 . 11 B בטרפז (BC AD) ABCDהנקודות MוN - הם אמצעי הבסיסים ,הקטעים CNוDM - נחתכים בנקודה , Qהקטעים AMוBN - נחתכים בנקודה ) Pראה ציור(. א .הוכח. PQ AD : ב .נתון גם. AD 2a , BC a : הבע באמצעות aאת אורך הקטע . PQ תשובה: A M C Q B P D A N ב. 2 a . 3 B התיכונים AEו CD -במשולש ABCנפגשים בנקודה . Mנקודה Kהיא אמצע הקטע . AM Fהיא נקודה על הצלע AC כך ש) KF DC -ראה ציור(. הוכח :המרובע KDMF E K C הוא מקבילית. כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי M D 2 F A . 12 E במשולש , ABCהגובה לצלע ACהוא . BD נקודה Eנמצאת על המשך הגובה , BD כך ש AB -חוצה את הזווית ) EACראה ציור(. נתון. BCA 2 BAC : B א .הוכח. BC ED BD EA : ב .היעזר בנתונים ובסעיף א', C והוכח. BC ED AD BE : . 13 A D בטרפז (AB DC) ABCDהנקודות EוF - A B הן אמצעי האלכסונים ACו , BD -בהתאמה. E המשך הקטע AFחו תך את DCבנקודה . G א .הוכח. FE DC : ב .הוכח. SADG SABD : . 14 C A B הנקודה Oהיא אמצע הצלע DCשל מלבן . ABCD תשובה: D G EFמקביל ל DC -וחותך את BDואת BO בנקודות Gו) H -ראה ציור(. א .הוכח. GH HF : FC . ב .נתון גם . EG GH :מצא את היחס BF . 15 F H F ב. 1 . 2 O C במשולש CD , ABCהוא הגובה לצלע . AB G E D A מנקודה Eשעל הצלע BCהעבירו אנכים EFו EG -לצלעות ABו . AC -הנקודה H נמצאת על הקטע , DCכך שהמרובע CEHG הוא טרפז שווה -שוקיים ). (GH CE א .הוכח. CG DF : ב .הוכח. AB AC : . 16 המרובע ABCDהוא טרפז ישר -זווית ) (BCD 90 , AB CDשאלכסוניו נחתכים בנקודה . M G C א .הוכחAB BP : DC PC ב .הוכח. ABP DCP : H E B A B M P MPמקביל לבסיסים . D F . . 17 D C משולש ABCהוא משולש ישר -זווית ) BE .( ABC 90הוא תיכון לצלע , AC A ו CD -הוא תיכון לצלע . AB התיכונים BEו CD -נחתכים בנקודה . F א .חשב את היחס בין היקף המשולש BFC להיקף המשולש . EFD ב .נתון גם כי הנקודה Mהיא אמצע הקטע , FC והנקודה Nהיא אמצע הקטע . FB הוכח כי המרובע DEMNהוא מקבילית. כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 3 E D F C B תשובה: . 18 במשולש שווה -שוקיים (AB AC) ABC חסום מלבן , EFGHכך שהאלכסון HF מאונך לשוק AD . ACהוא תיכון לבסיס . BCנתון. AD BC : א .הו כחGC 1 : . FG 2 ב .הוכח. HGF FGC : ג .נתון 10 :ס"מ . HG מצא את . GC תשובה: . 19 א. 2 . F E D G C B H ג 2.5 .ס"מ. במקבילית ABCDנקודה Eנמצאת על הצלע , BCכך שBE a - CE b המשך הקטע AEחותך את המשך הצלע DC G בנקודה . Gנתון כי שטח המשולש CEG הוא . Sהבע באמצעות b , aו: S - א .את שטח המשולש . ABE E C ב .חשב את שטח המשולש . ADG ג .את שטח המקבילית . ABCD (a b) 2 S a 2S תשובה :א . 2 .ב. 2 b b . 20 A 2a(a b)S ג. b2 . . B A D . במשולש ABCחסום מלבן . KLMN A הגובה AEלצלע BCחותך את צלע המלבן KLבנקודה . D נתון 6 :ס"מ . AE h , KL 2KN , BC D L K הבע באמצעות : h א .את אורך הקטע . AD SAKD ב .את יחס השטחים: SKBN תשובה :אh 2 . h 3 . 21 . בh 2 . 9 C . M B N E . מנקודה Kשעל הצלע BCבמשולש , ABC העלו אנך AD . KEהוא הגובה לצלע . BC E A נתון 14 :ס"מ 36 , BD ס"מ , DC ושטח המשולש EKCהוא חצי משטח המשולש . ABCמצא את אורך הקטע . CK תשובה: . 22 C K B D 30ס"מ. במשולש שווה -שוקיים , (AB AC) ABC A חסום מלבן BD . DEFGחוצה את הזווית ABCומחלק את השוק AC כך ש . AD : DC 2 :1 -נתון. BC 2a : בטא באמצעות : a ) ( 1את אורכי הקטעים ADו. DC - ) ( 2את שטח המלבן . DEFG תשובה4 15 a 2 ( 2 ) . 1 1 a , 2 2 a ( 1 ) : 3 3 9 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 4 D C . E G F B בעיות עם מעגל )כולל פרופורציה ודמיון( .1 C , B , Aו D -הן נקודות על מעגל, A כמתואר בציור E .היא נקודה על , AD כך ש . AE DC -נתון. AB BC : E א .הוכח. ABE CBD : B C ב .המשך הקטע BEחותך את המעגל בנקודה . Mהוכח. AM DC : .2 D ABהוא קוטר במעגל שמרכזו . M הישר CDמשיק למעגל בנקודה . T נתון. AC CD , BD CD : M B A C א .הוכחAC BD : 2 ב .הוכח. MC MD : . TM T D .3 C , B , Aו D -ה ן נקודות על מעגל . המיתרים ABו CD -נחתכים בנקודה F )ראה ציור( .נתון. DAC DBC : א .הוכח כי DCהוא קוטר. ב .נתון גם . ACD BCD : הוכח. AB CD : ג .נקודה Gנמצאת על ACכך ש. GF AG - הוכח . GF GC : .4 שני מעגלים ,שיש להם אותו רדיוס , R A G C D F B A B משיקים זה לזה בנקודה . M מעבירים מיתר MBבמעגל שמרכזו , O 2 ומיתר MAבמעגל שמרכזו O1 M O2 כך ש) AMB 90 -ראה ציור(. O1 א ( 1 ) .נמק מדוע . O1MO 2 180 ) ( 2הוכח כי . AO1 BO 2 ב .במשולש AMBהעבירו תיכון לצלע . AB הבע באמצעות Rאת אורך התיכון .נמק. תשובה: .5 ב. R . המשולש ABCחסום במעגל. E הזוויות Aו B -הן חדות. A D CDהוא קוטר במעגל. נתון. CE AB : הוכח. ACE BCD : כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי B 5 C .6 ה משולש ABCחסום במעגל .מקדקוד A חגו מעגל נוסף ,שבו Aהוא מרכז המעגל, A והנקודות Bו C -נמצאות על ה מעגל. K ישר העובר דרך Bחותך את המעגל החוסם T בנקודה , Tואת המעגל האחר בנקודה . K א .הוכח. BTC 2BKC : B C ב .הוכח. TC TK : A .7 B בתוך מרובע ABCDחסום מעגל שמרכזו בנקודה . O O הוכח. SAOB SDOC SAOD SBOC : C .8 במעגל שמרכזו , Oהמשכי הקוטר AB והמיתר DCנפגשים בנקודה . E הוכח. DE AE : .9 מלבן ABCDחסום במעגל. D O A B E C D הנקודה Eנמצאת על הקשת AB כך ש) DE DC -ראה ציור(. א .הוכח. EB BC : ב .הוכח. EDB DBA : C D B A E . 10 CDהוא קוטר המעגל שמרכזו . O CBמשיק למעגל בנקודה C ו AD -משיק למעגל בנקודה . D המעגל משיק לקטע ABבנקודה . E א .הוכח . AD BC ב .הוכח. AOB 90 : ג .הוכח. AB AD BC : . 11 D O C B A E שני מ עגלים לא שווים חותכים את זה בנקודות Aו. B - המשיק לאחד המעגלים בנקודה A C חותך את המעגל האחר בנקודה . C G המשיק למעגל האחר בנקודה A B חותך את המעגל האחר בנקודה . D א .הוכח. ABC ABD : D ב .ישר העובר דרך הנקודה Aחותך את אחד המעגלים בנקודה Fואת המעגל האחר – בנקודה . E הישרים ECו FD -נפגשים בנקודה . G הוכח :המשולש EFGהוא שווה -שוקיים. כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 6 E A F A . 12 המשולש ABCחוסם מעגל שמרכזו . M המעגל העובר דרך הנקודות B , Cו, M - חותך את הצלע ABבנקודה . D נתון. A : א .הו כח. BMC 90 : 2 ב .הוכח. AD AC : D M . 13 B C K המעגלים Dו E -משיקים זה לזה בנקודה . A הקטע BKמשיק למעגל . D C B הקטע CKמשיק למעגל . E הקטע AKמשיק לשני המעגלים. E D א .הוכח. BK CK : A ב .הוכ ח :הנקודה Aנמצאת על הקטע . DE . 14 C ABהוא קוטר במעגל שמרכזו . O E המשיק למעגל בנקודה Cחותך את המשך הקוטר ABבנקודה . D Eנ קודה על המיתר ACכך שDE - חוצה את הזווית . ADC הוכח. DEC 45 : A D B O A . 15 ABהוא קוטר במעגל . O ACו CD -הם מיתרים שווים במעגל. P נתון P :אמצע המיתר , AC O Qאמצע המיתר . CD Q D א .הוכח. APO DQB : C B ב .הוכח. OQ BQ : . 16 שני מעגלים שווים שמרכזיהם MוN - ו רדיוסם 8ס"מ ,משיקים זה לזה בנקודה . Aהישר BCהוא משיק משותף לשני המ עגלים .מעגל שלישי משיק לשני המעגלים הנתונים B C N M A ולמשיק המשותף להם. חשב את רדיוס המעגל השלישי. תשובה: . 17 2ס"מ. נתון מעגל שמרכזו Oורדיוסו . R B מנקודה Aיוצא ישר המשיק למעגל בנקודה , B ויוצא ישר החותך את המעגל בנקודות Dו. C - CDהוא קוטר במעגל .נתון. AB 4 R : A 3 א .הבע את ADבאמצעות . Rנמק. ב .מנקודה Aיוצא ישר נוסף המשיק למעגל בנקודה . Fהוכח כי . BF AO תשובה :א2R . 3 . כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 7 D O C . 18 E במע גל שמרכזו Oחסום מרובע . ABCD DCהוא קוטר .המשכי הצלעות DAוCB - נפגשים בנקודה ) Eראה ציור(. נתון. BOC , OB DE : א .הבע באמצעות את . ABO ב .נתון כי שטח המשולש OBCשווה לשטח המשולש . BEAהוכח כי . OBC BEA תשובה: . 19 A B O C D . 90 א2 . A ADהוא גובה לבסיס BCבמשולש שווה -שוקיים E . (AB AC) ABCהיא נקודה על ADכך שהמרובע AEBFהוא דלתון ). (AF BF , AE BE F G א .הוכח :הנקודה Eהיא מרכז המעגל E החוסם את המשולש . ABC ב .הוכח :הנקודה Gהיא מרכז המעגל D C החוסם את המשולש . ABD B A . 20 הנקודה Dהיא מרכז המעגל החסום במשולש ABCוהנקודה Eהיא מרכז המעגל החו סם את המשולש . ABC E הוכח. AEC 4 ABD : . 21 B C המשולש ABCהוא שווה -צלעות .הנקודות DוE - נמצאות על הצלעות BCו AC -כך ש. DC AE - א .הוכח. ACD BAE : ב .חשב את הזווית . DFE ג .הוכח שהמרובע CDFEבר -חסימה במעגל. ד .הוכח. DFC DEC : A E F D C תשובה: D B ב. 120 . . 22 המשולש שווה -השוקיים (AB AC) ABC חסום במעגל P .ו Q -הן אמצעי השוקיים ABו , AC -בהתאמה .המשכי הקטע PQ חותכים את המעגל בנקודות Tו. S - א .הוכח. TB SC : ב .הוכח. TP QS : . 23 הנקודה Oהיא מרכז המעגל ה חסום במשולש . ABCהמעגל משיק לצלע BC בנקודה Dולצלע ABבנקודה . F המשיכו את ODעד Kואת OFעד P כך ש OD DK -ו. OF FP - א .הוכח כי . FD BO ב .הוכח כי . BO PK כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 8 A S Q C P T B P A F O C D K B . 24 א. הוכח את המשפט: C קטע המרכזים של שני P מעגלים נחתכים – חוצה את המיתר המשותף לשני המעגלים ומאונך לו. A ב .בציור מתוארים מעגלים Pו Q -הנחתכים B בנקודות Aו . B -דרך Aמעבירים ישר החותך Q את המעגלים Pו Q -בנקודות Cו , D -בהתאמה. נתון . DC PQ :הוכח BC :וBD - הם קטרים במעגלים Pו. Q - D D . 25 א. הוכח את המשפט: זווית חיצונית למעגל שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית. ב .המשיק למעגל בנקודה Bחותך את המשך המיתר A ACבנקודה . Dהנקודה Eהיא אמצע הקשת . AC E ACו BE -נחתכים בנקודה . F הוכח. DB DF : . 26 B F C הנקודות A , B , C , D , E A B נמצאות על מעגל )ראה ציור( . C נתון, CD AB : M D הקשתות CAו AB -שוות, AEהוא קוטר במעגל, החותך את המיתר CDבנקודה . M א .הוכח כי . EMD MDE E ב .הוכח כי המרובע ABMCהוא מעוין. . 27 ABCהוא משולש שווה -צלעות החסום במעגל. Dהיא נקודה על הקשת , BCו E -היא נקודה על הקשת ACכך ש DC -מקביל ל. BE - BEחותך את ADבנקודה Fואת ACבנקודה . G א .הוכח. ADC 60 : ב .הוכח :המשולש BFDהוא שווה -צלעות. A E G F C B ג .הוכח שלא קיים מעגל העובר דרך קדקודי D המרובע . BGCD . 28 C המשולש ABCחס ום במעגל שמרכזו . O ABהוא קוטר במעגל. 2 BE נתון : . OD DF , BC D B א .הוכח. ACB ODF : O ב .נתון 6 :ס"מ 8 , BC ס"מ , AC E 13ס"מ . AD הוכח. ACB ODF : F כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 9 A . 29 Q CBהוא קוטר של מעגל CQ .משיק למ עגל בנקודה AQ , Cמשיק למעגל בנקודה D ו BP -משיק למעגל בנקודה . B נתון 10 :ס"מ 40 , AP ס"מ . AQ D P A חשב את רדיוס המעגל. תשובה: . 30 C B 12ס"מ. A שני מעגלים משיקים זה לזה מבפנים בנקודה . A ABו AC -הם מיתרים במעגל הגדול החותכים את המעגל הקטן בנקודות Dו. E - D E א .הוכח. DE BC : ב .נתון 6 , BC 2.5DE :ס"מ . BD חשב את אורך הקטע . AD תשובה: B C ב 4 .ס"מ. . 31 CDמשיק למעגל בנקודה , PוAB - הוא מיתר במעגל זה BD .ו AC -הם אנכים למשיק PE .הוא אנך מנקודת ההשקה Pלמיתר . AB א .הוכח. ACP PEB : ב .הוכח. BDP PEA : ג .הוכח. AC BD PE 2 : . 32 נתון משולש חד -זוויות CE . ABCהוא גובה A E B D P C B F לצלע , BAו BD -הוא גובה לצלע . AC א ( 1 ) .הוכח :המשולש DBCחסום במעגל E החוסם את המשולש . EBC A ) ( 2הוכח. DBC DEC : ב BF .ו CG -מאונכים להמשכי הקטע , ED D כמתואר בציור. ) ( 1הוכח . DCB FEB : G C ) ( 2הוכח. EBC GDC : . 33 A המשולש ABCחסום במעגל. נתון 20 , BM MC , MQ BC :ס"מ , AB 25ס"מ 36 , AC ס"מ . BC Q C א .חשב את אורך הקטע . PQ ב .נתון 96 :סמ"ר . SBPM חשב את . SCPM תשובה: . 34 א 2 .ס"מ. B P M ב 120 .סמ"ר. בציור שלפניך נתון 40 :ס"מ , AC A 20ס"מ 15 , PC ס"מ , BP 14ס"מ 16 , BQ ס"מ . AQ הוכח כי הנקודה Mהיא מרכז M Q המעגל החסום במשולש . ABC C כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 10 P B P . 35 B PAהוא משיק למעגל וPC - חותך את המעגל בנקודות Bו. C - 2 הוכח: . 36 PC AC PB AB A . C המשולש ABCחסום במעגל E .היא נקודה A על צלע . ACדרך הנקודה Eהעבירו מקביל לישר המשיק למעגל בנקודה . C D א .הוכח. DEC ABC : E ב .נתון 2 :ס"מ 6 , BD ס"מ , AE 2EC , DC שטח המשולש ABCהוא . S C הבע באמצעות Sאת שטח המשולש . DEC תשובה: . 37 B . 1S 4 הוכח :הרדיוסים של מעגלים החוסמים משולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו הצלעות המתאימות. . 38 המשולש ABOהוא שווה שוקיים ). (AB AO הנקודה Oהיא מרכז המעגל. א .הוכחBOD BAO : O ב .נתון 12 :ס"מ 10 , OD ס"מ . AD A חשב את היחס בין שטח המשולש BOD לש טח המשולש . AOD תשובה: . 39 D B ב. 4 : 5 . ABהוא מיתר במעגל שמרכזו . Oהנקודות CוD - נמצאות על הקשת CD DB ABכך ש - . AC OCו OD -חותכים את ABבנקודות EוF - B D F בהתאמה )ראה ציור(. C E A O א .הוכח כי AEO BFO ב ( 1 ) .נמק מדוע ( 2 ) . AO AEהוכח כי AE 1 . FE FO FE G . 40 C ABהוא קוטר במעגל CP .מאונך לקוטר . AB א .הוכח. AC 2 AP AD : ב .נתון 18 :ס"מ 32 , AP ס"מ , AD 40ס"מ . CD A B הוכח שהמשולש DACהוא ישר -זווית. P ג .חשב את רדיוס המעגל. D תשובה: ג 20 .ס"מ. כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 11 . 41 C , B , Aו D -הן נקודות על מעגל AC .וBD - נחתכים בנקודה G . Fהיא נקודה על BD כך ש . AG AB -המשך AGחותך את DCבנקודה . Eנתון. BF GF : C א .הוכח. AEC DFC : ב .נתון. AE m , DF c , EC a : הבע את שטח המשולש DFCבאמצעות c , aו. m - תשובה :בac2 . 2m . 42 D E G F A B . במשולש ABCחסום חצי מעגל שמרכזו . O A – Fנקודת השקה .הקוטר PQשל חצי המעגל מקביל לצלע AD . BCהוא הגובה לצלע . BC נתון 20 :ס"מ 15 , BC ס"מ . AD א .הוכחAG PQ : AD BC . 43 Q . D F C ב .חשב את רדיוס חצי המעגל. תשובה: O G P B ב 6 .ס"מ. במשולש ישר זווית (ACB 90 ) ACBחסום חצי מעגל שמרכזו . O קוטר המעגל מונח על היתר של המשולש. C א .הוכח כי הקטע , COהמחבר את מרכז המעגל עם נקודת המוצא Cשל שני משיקים למעגל ) CAו , (CB -חוצה את הזווית שבין שני המשיקים. ב .נתון 6 :ס"מ 8 , AO ס"מ . BO AC ) ( 1היעזר בסעיף א' וחשב את היחס . BC ) ( 2חשב את אורכי הניצבים ACו. BC - B תשובה: A O ב 8.4 ( 2 ) . 3 ( 1 ) .ס"מ 11.2 ,ס"מ. 4 A . 44 המשולש ABCחסום במעגל AP .הוא קוטר במעגל BE .הוא גובה לצלע ACוCD - הוא גובה לצלע BE . ABו CD -נחתכים בנקודה Hשעל הקוטר . AP א .הוכח שהמרובע BHCPהוא מ עוין . ב .הוכחAD AE : . DB EC . 45 D E H C B P נתון מעגל שמרכזו Oורדיוסו . R B PAהוא משיק למעגל בנקודה . A ABהוא מיתר במעגל C .היא אמצע המיתר . ABנתון. PB AB : א .הוכח. 2 (AC) 2 OC BP : 2 2 ב .הוכח. 2 (OC) OC BP 2R : כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 12 O C A P . 46 B הנקודות A , B , C , Eנמצאות על מעגל )ראה ציור( BE .חוצה את הזווית ABCוחותך את המיתר ACבנקודה . D א .הוכח כי ABE DAE ו. ABE DBC - C ב .נתון. AB BC : E הוכח כי BEהוא קוטר במעגל. ג .נתון 25 :ס"מ R וBD 16 - .מצא את שטח המשולש . ABC DE 9 D תשובה: . 47 A ג 768 .סמ"ר. הנקודות C , B , Aמונחות על מעגל כך ש. AB AC - DC הקשת BDשווה לקשת ) DC .( DB A הנקודות Eו F -מונחות על המית ר , AD כך ש. CF AD , BE AD - א .הוכחAB BE : AC CF . 48 O . E C SABE ב .הוכח 1 : SACF . SABD ב .הוכח 1 : SACD . F B D ABCDהוא טרפז שווה -שוקיים החוסם מעגל. A B אורכי הבסיסים של הטרפז הם aו. b - שוקי הטרפז משיקות למעגל בנקודות Pו. Q - Q א .הוכח. PQ DC : ב .הוכח1 1 1 : PQ 2a 2b P . D C . 49 משולש ABCחסום במעגל .המיתר AM חותך את הצלע BCבנקודה . D א .הוכח. ADC BDM : ב .הוכח. ADB CDM : ג .נתון. AB BM AC CM : הוכח. BD DC : כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 13 A C D M B טריגונומטריה במישור ) 5יחידות( התרגילים כוללים שימוש בפונקציות סינוס ,קוסינוס וטנגנס במשולש הערה : ישר -זווית ,ושימוש במשפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים. .1 A במשול ש ישר -זווית ABCנתון 6 :ס"מ , AB BD . BAC , ABC 90הוא גובה ליתר. D BEהוא חוצה -זווית של . DBC E הבע את אורך הקטע ECבאמצעות . תשובה: .2 ) . 6sin (tan tan 2 במלבן ABCDנתון 8.4 :ס"מ , AB C B C D 10ס"מ . AM AK , AC M חשב את אורך הקטע . MK תשובה: .3 2.828ס"מ. A K B נתון משולש ששטחו 35סמ"ר .אורכי שתיים מצלעותיו הם 10ס"מ ו 8 -ס"מ .חשב את אורך הצלע השלישית של המשולש. רשום את שתי האפשרויות. תשובה: .4 9.303ס"מ או 15.54ס"מ. היקפו של משולש ABCהוא 40ס"מ .הצלע BCגדולה ב 6 -ס"מ מהצלע . ABנתון . ABC 60 :חשב את אורכי צלעותיו של המשולש. תשובה: .5 16ס"מ 10 ,ס"מ 14 ,ס"מ. במשולש ישר -זווית (C 90 ) ABCהעבירו מקביל ליתר ,החותך את הניצבים בנקודות Dו. E - E נתון. DAE , ABE , DE m : הבע באמצעות mו - את אורכי הקטעים ABו. BE - תשובהm cos sin 2 , m cos 2 : sin 2 sin 2 .6 C A B . ABCDהוא טרפז ישר -זווית ) DC , AB CD נתון. AC CD , ACD : א .הבע באמצעות את היחס בין שטח המשולש ACDלשטח המשולש . ABC ב .חשב את היחס הנ"ל כאשר . 60 תשובה :א1 . cos D .ב. 2 . כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 14 B .( BC C A D .7 במשולש שווה -שוקיים (AB AC) ABCשווה אורך A הבסיס ל , a -והזווית שלידו ל. ( 45 ) - BHהוא גובה לשוק ACו CK -תיכון לשוק . AB הבע באמצעות aו: - K H א .את אורך הקטע . AH ב .את שטח המשולש . AKH a sin cos 2 תשובה :א. sin 2 .8 .9 C במשולש שווה -שוקיים (AB AC) ABC זווית הראש היא . 2דרך הנקודה , D הנמצאת על הגובה לבסיס במר חק m מהקדקוד Aהעבירו ישר היוצר זווית עם הישר . BCישר זה חותך את שוקי המשולש בנקודות Eו . F -הבע את שטח המשולש AEFבאמצעות , mו. - . A m F D E C G B . במשולש שווה -שוקיים (AB AC) ABC בנו על השוק ACמשולש שווה -שוקיים AFC כך ש. AF CF BC a - נסמן. AFC , ABC : א ( 1 ) .הבע את האורך של השוק AC באמצעות aו. - 1 . cos 1 ) ( 2הוכח כי 8cos 2 ב .נתון כי משולש AFCהוא ישר -זווית. מצא את הזוויות במשולש . ABC a sin a תשובה :א( 1 ) . sin 2 2cos . 10 a 2 sin 2 cos 2 ב. 4sin 2 . a sin tan(2 90 ) m2 sin 2 cos 2 תשובה: )2cos( ) cos( B . A F C B ב. 41.41 , 69.295 , 69.295 . המשולש ABCהוא שווה -שוקיים ). (AB AC A BDהוא הגובה לשוק ו BE -הוא חוצה זווית של . ABCנתון, ( 30 ) BAC 2 : 10ס"מ . AB AC E א .הבע באמצעות את שטח המשולש . BDE D ב .הצב 30בביטוי שקיבלת בסעיף א'. הסבר את התוצאה שקיבלת. תשובה: א . 50sin 2 2 tan(45 1 1 ) .ב. 0 . 2 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 15 C B . 11 המשולש ABCהוא שווה -שוקיים ) AD . (AB ACהוא גובה לבסיס BCו CE -הוא גובה לשוק . ABשני הגבהים נחתכים בנקודה . O נתון. ( 45 ) ABC : א .הבע את היחס AO DO ב .הצב 60ביחס של סעיף א' ,והסבר את התוצאה המתקבלת. ג .הצב 45ביחס של סעיף א' ,והסבר את התוצאה המתקבלת. באמצעות . תשובה :א . tan 2 1 .בAO 2 . DO גAO 0 . ,כלומר O . AO 0ו A -מתל כדות. DO ,נקודה Dהיא נקודת מפגש התיכונים. A . 12 ADהוא התיכון לצלע BCבמשולש . ABC נתון 12 :ס"מ , BAD 42 , AC . DAC 36חשב את א ורך התיכון . AD הדרכה: C B D הארך את התיכון ADכאורכו כך שתיווצר מקבילית . ABEC תשובה: . 13 E 8.771ס"מ. בטרפז E (AB DC) ABCDהיא נקודת D C החיתוך של האלכסונים. נתון, AEB , BE k , DC BC : E ) CBD ראה ציור(. הבע באמצעות , kו - את אורך בסיסי הטרפז DCוAB - k sin k sin , תשובה: )sin ( )sin( . 14 A B . ADהוא חוצה -הזווית של BACבמשולש . ABC נתון. C , B : SABD sin א .הוכחBD sin : . .ב .הוכח: SADC sin DC sin ג .הוכח :אם , SABD SADCאז . AD BC . 15 A C Dהיא נקודה על הצלע CBבמשולש . ABC D B A נתון, DAB 20 , CAD : 7ס"מ 5 , AC ס"מ . AB א .הבע באמצעות את היחס שבין שטח המשולש ADC לשטח המשולש . ADB ב .מצא את כאשר שטחי המשולשים שווים. ג .בעבור איזה ערך של יחס השטחים הנ"ל הוא הגדול ביותר? B תשובה :א7 sin . 5sin 20 .ב . 14.14 .ג. 90 . כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 16 D C . 16 ADהוא התיכון לצלע BCבמשולש . ABC A נתון 7 :ס"מ 8 , AC ס"מ , BC . AB ADחשב את הזווית C ואת אורך הצלע . AB תשובה: 4.123 , 31ס"מ. C B D בעיות המשלבות גיאומטריה וטריגונומטריה השאלות הבאות משלבות ידע מגיאומטריה וטריגונומטריה. .1 A במשולש BD , ABCו CE -הם גבהים לצלעות ACו . AB -נתון. BD CE : א .הוכח :המשולש ABCהוא שווה -שוקיים. ב .נתון 8 :ס"מ 5 , CE ס"מ . DC D E F חשב את הזווית . BAC תשובה: .2 הנקודות Dו E -הן אמצעי הצלעות BCוAB - של משולש AD . ABCו CE -נחתכים בנקודה . Gהמשך הק טע BGחותך את הצלע ACבנקודה . F א .הוכח. AF CF : ב .נתון 6 :ס"מ , ABF 30 , AC . BAC 70חשב את אורך הצלע . AB תשובה: .3 C ב. 64.01 . B A E F G C B D ב. 45.58 . A בציור שלפניך נתון, DE BF , DF BC : 8ס"מ 9 , AD ס"מ , BF 6ס"מ 13 , DE ס"מ . BC E א .חשב את אורך הקטע . DF F D ב .חשב את הזווית . DBF תשובה: .4 א 8 2 .ס"מ .ב. 72.3 . 3 B C המשולש ABCהוא ישר -זווית ) . (C 90 A האנך האמצעי ליתר ABחותך את היתר בנקודה , Dאת הניצב ACבנקודה E ואת המשך הניצב BCבנקודה . K א .הוכח. AED KBD : ב .נתון. KE 3a , DE a : חשב את הזווית . B תשובה: ב. 63.43 . כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 17 D E B C K .5 ADהוא חוצה -זווית Aבמשולש ABC )ראה ציור( .נת ון, BAC 50 : 4ס"מ 5 , BD ס"מ . DC א .מצא את היחס בין הצלע ACלצלע . AB ב .מצא את אורך ה צלע . AB תשובה: .6 C B D א . 5 : 4 .ב 9.207 .ס"מ. AMהוא התיכון לבסיס במשולש שווה -שוקיים ABC ) E . (AB ACנקודה על המשך הצלע . AC המשך התיכון AMחותך את הקטע BE בנקודה . Dהקטע DKמקביל ל. BC - א .ה וכחAB CK : . AE EK ב .נתון 8 :ס"מ 2 , AB ס"מ . CK E חשב את אורך הקטע . EK ג .נתון גם . ABE 82 :חשב את הזווית . BAC תשובה: .7 A A M C B K D ב 3 1 .ס"מ .ג. 61.55 . 3 D במרובע ABCDנתון. AB BC , AD DC : A נקודה Eהיא אמצע האלכסון . AC א .הוכח. BE DE : ב .נתון . BCD 74 :חשב את הזווית . BED E ג .נסמן . BCE :הבע באמצעות את ה יחס בין שטח המשולש ADEלשטח המשולש . ABE )sin(148 2 תשובה :ב . 148 .ג. sin 2 .8 B C . המרובע ABCDהוא מקבילית. D C הקטעים AEו CF -הם חוצי זוויות המקבילית – DABו , DCB -בהתאמה. E F א .הוכח :המרובע AECFהוא מקבילית. CF ב .נתון . AB 2BC :הוכח :המשך הקטע A B חוצה את צלע המקבילית . AB ג .נתון גם . BD 0.8DC :חשב את הזווית החדה של המקבילית . ABCD תשובה: .9 ג . 52.41 . על ABועל , ACצלעות המשולש ABC בנו ריבועים כמתואר .הנקודה Kנמצאת על המשך הצלע , ABומתקיים. AB AK : א .הוכח. DAG KAC ( 1 ) : ) . SABC SDAG ( 2 ב .נתון . ACB 45 :הוכח. SABC SBCF : כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 18 G K D A F E C B . 10 C ABCהוא משולש ישר -זווית ) .( AC BC KLMNהוא ריבוע החסום במשולש. L נתון 4 :ס"מ 9 , AN ס"מ . MB K א .חשב את צלע הריבוע. ב .חשב את הזווית . CKL תשובה: . 11 א 6 .ס"מ. B M A N ב. 56.31 . המרובע ABCDהוא דלתון ). (BC DC , AB AD A DEחוצה את הזווית ADC ו BF -חוצה את הזווית . ABC D B א .הוכח :המרובע BDFE F E הוא טרפז שווה -שוקיים. ב .נתון. DBF , DE m : הבע באמצעות mו -את שטח הטרפז . BDFE תשובה: . 12 בm 2 sin 2 . 2 C . BE , ADו CF -הם הגבהים של משולש A שווה -שוקיים . (AB AC) ABC א .הוכח. DE DF : ב .נתון. ( 45 ) ACB : F E הבע באמצעות את הזווית . FDE ג .נתון גם. BC 2a : הבע באמצעות aו -את שטח המשולש . DEF תשובה: ב. 4 180 . ) a 2 sin(4 180 ג. 2 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 19 . C D B חשבון דיפרנציאלי – פולינומים ) 5יחידות( .1 2 לגרף הפונקציה y x 2x 3מעבירים משיק y בנקודה ) . A(2;3המשיק חותך את ציר הy - בנקודה . Bמנקודה Aמורידים אנך AC לציר ה . x -חשב את שטח הטרפז ABOC ) - Oראשית הצירים(. תשובה: .2 B A . 10 x C O 2 הישר y 2x 4משיק לגרף הפונקציה . f (x) x 8x c מצא את ערכו של . c תשובה: .3 . 13 4 לגרף הפונקציה y x 16x 2aמעבירים משיק בנקודה שבה . y 4 שיפוע המשיק הוא . 16מצא את הפרמטר . a תשובה: .4 . 10 3 הנקודות Aו B -נמצאות על גרף הפונקציה , y x 7x 1 כך ששיעור ה x -בנקודה Aגדול ב 4 -משיעור ה x -בנקודה . B ידוע כי המשיקים לפונקציה בנקודות Aו B -מקבילים זה לזה. מצא את שיעורי הנקודות Aו. B - תשובה: .5 ). B( 2;7) , A(2; 5 2 נתונה פונקציה y x 5x 11ונתונה נקודה ) (0; 5הנמצאת מחוץ לגרף הפונקציה .דרך הנקודה הנתונה מעבירים משיקים לפונקציה הנתונה. מצא את נקודות ההשקה ואת משוואות המשיקים. תשוב ה : .6 )( 4; 47) , y 3x 5 (4; 7 . y 13x 5 2 גרף הפונקציה (a 0) y 2x ax 8משיק לציר ה. x - מצא את aואת שיעור י נקודת ההשקה. תשובה: . (2;0) , a 8 חקור את הפונקציות הבאות על פי הסעיפים הבאים ומצא: א .תחום הגדרה .ב .נקודות מינימום ומקסימום. ד .נקודות חיתוך עם הצירים. ג .תחומי עלייה וירידה. ה .שרטט את גרף הפונק ציה. .7 ) y x(12 x 2 .9 נתונה הפונקציה . f (x) x 15x 63x 49 .8 2 y x 4 18x 2 32 3 א .חקור את הפונקציה ומצא :תחום הגדרה ,נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה ,נקודת חיתוך עם ציר ה. y - ב .הראה שאחת מנקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה x -היא ). (1;0 ג .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד .כמה נקודות משותפות יש ל גרף הפונקציה ול ציר ה? x - כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 20 . 10 חקור את הפונקצי ה y 3x 4 8x 3 6x 2ומצא: א .תחום הגדרה. ב .נקודות מינימום ומקסימום .ג .תחומי עלייה וירידה. ד .נקודות חיתוך עם הצירים. . 11 נתונה הפונקציה 2 ה .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 4 . y x 4x א .חקור את הפונקציה ומצא :תחום הגדרה ,נקודות קיצון ,נקודות חיתוך עם הצירים. ב .מצא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה. ג .מצא לאילו ערכים של , kהפונקציה חותכת את הישר : y k ) ( 1ב 4 -נקודות ( 2 ) .ב 3 -נקודות ( 3 ) .ב 2 -נקודות. . 12 x3 לפונקציה x 2 mx 10 3 א .מצא את . m ) ( 4באף נקודה. f (x) יש נקודת קיצון ב. x 1 - ב .מצא את נקודות המקסימום והמינימום של הפונקצי ה, ושרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ג .מצא כמה פתרונות יש למשוואה . f (x) 13 0 . 13 2 גרף הפונקציה y x (a 7)x 4a 12חותך את ציר ה x -בשתי נקודות ) . (a 1שיפוע המשיק לגרף בנקודת החיתוך הי מנית מבין השתיים שווה ל . 9 -מצא את . a . 14 3 נתונה הפונקציה . a 0 , y x 3ax א .מצא :תחום הגדרה ,נקודות קיצון ,תחומי עלייה וירידה ,נקודות חיתוך עם הצירים )במידת הצורך ,הבע תשובותיך באמצעות .( a ב .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ג .לאילו ערכים של kחותך הישר y kאת גרף הפונקציה )הבע באמצעות :( a ) ( 1בנקודה אחת. ) ( 2בשתי נקודות. ) ( 3בשלוש נקודות. תשובות: .7 y א .כל . x ב (2;16) .מקסימום (2; 16) ,מינימום. ג .עלייה, 2 x 2 : ירידה x 2 :או . x 2 x ד. ( 3.464.0) , (3.464; 0) , (0;0) . .8 א .כל . x ב (3; 49) .מינימום (0;32) ,מקסימום, y ) ( 3; 49מינימום. ג .עלייה x 3 :או . 3 x 0 ירידה 0 x 3 :או . x 3 ד. ( 2;0) , ( 2;0) , ( 4;0) , (4;0) , (0;32) . כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 21 x .9 y א .תחום הגדרה :כל . x נקודות קיצון (3; 32) :מינימום, ) (7;0מקסימום. x עלייה ; 3 x 7 :ירידה x 7 :או . x 3 נקודת חיתוך. (0;49) : ד .בשתי נקודות. y . 10א .כל . x ב (0;0) .מינימום. ג .עלייה , x 0 :ירידה. x 0 : ד. (0;0) . x . 11א .תחום הגדרה :כל . xנקודות קיצון ( 2 ; 4) :מינימום (0;0) ,מקסימום, ) ( 2 ; 4מינימום .נקודות חיתוך. ( 2;0) , (0;0) , (2;0) : ב .חיוביות x 2 :או , x 2שליליו ת . x 0 , 2 x 2 : ג k 0 ( 3 ) . k 0 ( 2 ) . 4 k 0 ( 1 ) .או . k 4 ( 4 ) . k 4 y . 12 א. 3 . . 13 . 10 . 14 א .תחום הגדרה :כל . xנקודות קיצון ( a ;2a a ) :מ קסימום, ב (1;11 2 ) .מקסימום ( 3;1) ,מינימום. 3 ג .פתרון אחד. x ) ( a ; 2a aמינימום. y תחומי עלייה, a x a : תחומי ירידה x a :או . x a נקודות חיתוך. ( 3a ;0) , ( 3a ;0) , (0;0) : ג k 2a a ( 1 ) .או . k 2a a x ) k 2a a ( 2 או . 2a a k 2a a ( 3 ) . k 2a a . 15 2 3 הפונקציה y x 15x 48x 3מוגדרת בקט ע ]. [0,11 א .מצא את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה. ב .הסבר מדוע גרף הפונקציה חותך את ציר ה x -בשלוש נקודות שונות. תשובה: א. 67 , 41 . כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 22 . 16 ל גרף הפונקציה y (3x 2)5מעבירים שני משיקים ששיפועיהם . 15 מצא את משווא ו ת המשיקים. תשובה: . 17 . y 15x 6 , y 15x 14 מצא עבור הפונקציה : y (x 2 6x)3 א .נקודות מינימום ומקסימום. ב .תחומי עלייה וירידה. ג .נקודות חיתוך עם הצירים. ד .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. y . 17 א (3; 729) .מינימום. ב .עלייה , x 3 :ירידה. x 3 : ג .א. (6;0) , (0;0) . . 18 x לגרף הפונקציה y (x 2)3 (6 x) 4מעבירים משיק בנקודה . x 4 א .חשב את שיפוע המשיק .ב .מצא את משוואת המשיק. תשובה: . 19 א. 64 . ב. y 64x 384 . נתונה הפונקציה . a 0 , f (x) 10 2 x 3 2a 2 x a 2 3 א .הבע באמצעות aאת נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. y - ב ( 1 ) .הבע באמצעות aאת השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. ) ( 2באיזה רביע נמצאת נקודת המקסימום של הפונקציה? נמק. ג .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה ,כאשר למשוואה f (x) 0יש: ) ( 1פתרון אחד. ) ( 3שלושה פתרונות. ) ( 2שני פתרונות. ד .היעזר בסעיפים הקודמים ומצא עבור אילו ערכי aלמשוואה f (x) 0 יש ( 1 ) :שני פתרונות. . 20 ) ( 3שלושה פתרונות. ) ( 2פתרון אחד. לפונקציה ) f (xיש רק נקודת קיצון אחת והיא נקודת מקסימום ב. x 2 - א .מהו הסימן של פונקציית הנגזרת ) f '(xעבור ? x 2 ב .איזה מן הגרפים הבאים ) ( 4 , 3 , 2 , 1יכול לתאר את גרף הנגזרת ) f '(xשל הפונקציה ) ? f (xנמק את בחירתך. x x )f '(x )f '(x )f '(x 2 2 x x גרף 4 . 21 )f '(x גרף 3 2 גרף 2 גרף 1 )f (x לפניך גרף הפונקציה )f (x בתחום . 1 x 8נתון. f '(1) 4 : א .שרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת ) f '(xבתחום . 1 x 8 ב .נתון . f '(0) f (0) :מצא את משוואת המשיק לפונקציה ) f (xבנקודה . x 0 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 23 2 x . 22 בציור מתואר גרף הנגזרת ) f '(xשל פונקציה ). f (x )f '(x א .מצא את תחומי העלייה והירידה 2 2 x של הפונקציה ). f (x ב .מצא את שיעורי ה x -ש ל נקודות הקיצון של הפונקציה ) f (xוקבע את סוג הקיצון. ג .נתון גם . f (0) 0 :שרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). f (x . 23 בציור מתואר גרף הנגזרת ) f '(xשל פונקצי ה ). f (x )f '(x א .מצא את תחומי העלייה והירידה של ). f (x ב .נתון. f (0) 0 : 2 שרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). f (x . 24 2 0 x ) f (xהיא פונקציה שתחום ההגדרה שלה הוא . 3 x 3 לפניך גרף פונקציית הנגזרת ) f '(xבתחום . 0 x 3 א .נתון כי ) f '(xהיא פונקציה זוגית בתחום . 3 x 3 העתק את השרטוט למחברתך ,והשלם את הגרף של ) f '(xלכל התחום . 3 x 3 ב .מהם ערכי xעבורם יש לפונקציה נקודות קיצון פנימיות? ציין היכן יש מינימום והיכן יש מקסימום .נמק. ג .נתון f (x) 0 :לכל xבתחום . f ( 2) 1 , 3 x 3 שרטט סקיצה של גרף הפונקציה ) f (xבכל התחום . 3 x 3 . 25 א .נתונה הפונקציה . f (x) x 3 3x 2 8x 24 ) ( 1הוכח שהפונקציה ) f (xיורדת לכל ערך של . x ) ( 2חשב את ). f ( 3 ) ( 3על -פי הסעיפים ) ( 1ו ,( 2 ) -מצא עבור אילו ערכי xהפונקציה )f (x שלילית ,ועבור אילו ערכי xהיא חיובית. x4 ב .נתונה הפונקציה x 3 4x 2 24x 7 4 . g(x) ) ( 1מצא בעזרת סעיף א' את נקודת הקיצון של הפונקציה ), g(x וקבע אם היא מינימום או מקסימום. ) ( 2הסבר מדוע אין לפונקציה ) g(xנקודות קיצון נוספות. ג .מצא עבור אילו ערכים של kלמשוואה : g(x) k ) ( 1יש פתרון יחיד ( 2 ) .יש ש ני פתרונות ( 3 ) .אין אף פתרון. תשובות: a3 2 a3 0.25a;a 2 מקסימום. 0.25a;a 2 מינימום, . 19א . (0;a ) .ב( 1 ) . 3 3 ) ( 2ברביע השני. ג( 1 ) . y )(2 y )(3 x x x ד. a 3 ( 1 ) . ). 0 a 3 (2 ). a 3 (3 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 24 y . 20א .חיובי. ב .גרף . 1 . 21א. )f '(x ב. y 2x 2 . x . 22א .עלייה x 2 :או , x 2 )f (x ג. ירידה. 2 x 2 : x ב x 2 .מקסימום x 2 ,מינימום. )f (x . 23א .עלייה x 2 :או . x 2 ב. ירידה. 2 x 2 : x )f '(x . 24א . 2 ג. 2 2 2 x x ב x 2 .מינימום x 2 ,מקסימום . . 25א ( 3 ) . f (3) 0 ( 2 ) .חיובית , x 3 :שלילית. x 3 : ב ( 3;35.75) ( 1 ) .מקסימום. ג. k 35.75 ( 2 ) . k 35.75 ( 1 ) . )f (x ) . k 35.75 ( 3 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 25 עבודת קיץ – פונקציות רציונליות ) 5יחידות( .1 הישר x 1הוא אסימפטוטה לפונקציה ax 16 x 2 3x b . y בנקודה x 2 לפונקציה יש נקודת קיצון. א .מצא את aואת . b ב .מצא :תחום הגדרה ,נקודות חיתוך עם הצירים ,אסימפטוטות מקבילות לצירים ,נקודות קיצון ,תחומי עליה וירידה. ג .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד .דרך כל אחת משתי נקודות הקיצון של הפונקציה מעבירים משיק וישר המאונך למשיק .ארבעת הישרים ה נ"ל יוצרים מרובע. חשב את שטח המרובע. .2 שיפוע המשיק לגרף הפונקציה ax 2 bx 1 y 2בנקודה ) (5;5 1הוא . 40 3 9 x 6x 8 א .מצא את aואת . b ב .מצא ( 1 ) :תחום הגדרה ( 2 ) .נקודות קיצון ( 3 ) .תחומי עלייה וירידה. ) ( 4נקודות חיתוך עם הצירים ( 5 ) .אסימפטוטות מקבילות לצירים. ג .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד ( 1 ) .מצא את תחומי החיוביות של הפונקציה. ) ( 2מצא לאילו ערכי xשיפועי המשיקים לגרף הפונקציה הם חיוביים. .3 הישר y 2הוא אסימפטוטה של הפונקציה 4x 15 (x 4) 2 א .מצא את הערך של . a . f (x) a ב .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. ד .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. ה .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ו .הפונקציה ) g(xהמקיימת . g(x) 2f (x) cנקודת המינימום של הפונקציה ) g(xהיא ) . (3.5;3מצא את ערך הפרמטר . c .4 2 נתונה פונקציה ax 2 x . f (x) אחת האסימפטוטות של הפונקציה היא ישר המקביל לציר ה) y -ולא מתלכד איתו( .ישר זה חו תך את הישר y x 3בנקודה ששיעור ה y -שלה הוא . 4 א .מצא את הערך של הפרמטר . a ב .מצא :תחום הגדרה ,נקודות קיצון ,תחומי עלייה וירידה, נקודות חיתוך עם הצי רים ,אסימפטוטות מקבילות לצירים. ג .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד .מצא לאלו ערכים של tיש למשוואה : f (x) t ) ( 1שני פתרונות. .5 ) ( 2אף פתרון. 32x נתונה הפונקציה (x 2 3) 2 ) ( 3פתרון אחד. . f (x) א .הוכח שהפונקציה מוגדרת לכל ערך של . x ב .מצא את הנקודות על גרף הפונקציה שבהן , f '(x) 0וקבע אם הן מסוג מינימום או מקסימום. ג .הוכח שפונקציה ) f (xהיא פונקציה אי -זוגית. כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 26 חקור את הפונקציות הבאות ומצא :א .תחום הגדרה, ג .תחומי עלייה וירידה, ב .נקודות קיצון, ד .נקודות חיתוך עם הצירים, ה .אסימפטוטות מקבילות לצירים ,ו .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. .6 2 y x 24x 5 x 1 .8 נתונה הפונקציה .9 2 y x 2 7x 10 3x 15x .7 x 2 y ). (b 1 x 2x b 2 א .הבע באמצעות bאת נקודות הקיצון של הפונקציה. ב .מצא את bאם ערך הפונקציה בנקודת המקסימום שלה הוא . 1 8 (x a) 2 נתונה הפונקציה x2 5 א .הבע באמצעות ( 1 ) : aתחום הגדרה ( 2 ) .נקודות חיתוך עם הצירים. . (a 0) y ) ( 3אסימפטוטות מקבילות לצי רים ( 4 ) .נקודות קיצון. ) ( 5תחומי עלייה וירידה. ב .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. . 10 נתונה הפונקציה ax 2 4 x 2 b2 א .בטא בעזרת aו b -את האסימפטוטות של הפונקציה ). f (x . (b 0 , a 0) f (x) 2 ב .בטא בעזרת aו b -את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ג .עבור אילו ערכים של bמתקיים? f (0) 0 : ד .נתון . f (0) 0 :תאר סקיצה של גרף הפונקציה. . 11 נתונה הפונקציה x 2 3 x . f (x) א .מצא ( 1 ) :תחום הגדרה ( 2 ) .נקודות קיצון ( 3 ) .תחומי עלייה וירידה . ) ( 4נקודות חיתוך עם הצירים ( 5 ) .אסימפטוטות מקבילות לצ ירים. ב .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ג .מצא עבור פונקציית הנגזרת ): f '(x ) ( 1תחום הגדרה. ) ( 2נקודות חיתוך עם ציר ה. x - ) ( 3תחומי חיוביות ושליליות ( 4 ) .אסימפטוטות מקבילות לצירים. ) ( 5שרטט סק יצה של גרף הנגזרת ). f '(x הנח שלגרף הנגזרת ) f '(xאין נקודות קיצון. . 12 נתונה הפונקציה x 2 8x x2 8 . f (x) א .מצא ( 1 ) :תחום הגדרה ( 2 ) .נקודות קיצון ( 3 ) .תחומי עלייה וירידה, ) ( 4נקודות חיתוך עם הצירים ( 5 ) ,אסימפטוטות מקבילות לצירים. ב .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ג .הפונקציה ) f (xהיא נגזרת של פונקציה אחרת ), g(x כלומר ) . g '(x) f (xבהנחה שתחום ההגדרה של הפונקציה )g(x זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה ): f (x ) ( 1מצא את שיעורי ה x -של הנקודות שבהן לפונקציה )g(x יש נקודות קיצון וקבע את סוג הקיצון. ) ( 2מצא את תחומ י העלייה והירידה של הפונקציה ). g(x ) ( 3הסבר מדוע לפונקציה ) g(xאין אסימפטוטה אופקית. כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 27 . 13 ax b הנקודה ) (4; 9היא נקודת קיצון של הפונקציה x 2 9x 18 א .מצא את aואת . b . f (x) ב .מצא :תחום הגדרה ,נקודות חיתוך עם הצירים ,אסימפטוטות מקבילות לצירים ,נקודות קיצון ,תחומי עליה וירידה. ג .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד .הפונקציה ) g(xמקיימת . g(x) f (x) 11שרטט בתחום 3 x 6 את הגרף של ) f (xואת הגרף של ) g(xבאותה מערכת הצירים. ה .הפונקציה ) h(xמקיימת. h(x) f (x) k : מצא את הערכים של kעבורם גרף הפונקציה ) h(xמשיק לציר ה. x - . 14 א .נתונה פונקציה ) . f (xידוע כי x 0היא נקודת מקסימום )מקומי( של הפונקציה ) . f (xכמו כן. f ''(x 0 ) 0 , הפונקציה ) g(xמקיימת ). g(x) f (x הוכח x 0 :הי א נקודת מינימום )מקומי( של הפונקציה ). g(x ב .נתונה הפונקציה x 2 4x 6 x 2 4x 5 . f (x) מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. ג .נגדיר ) . g(x) f (xמצא את נקודת הקיצון של הפונקציה )g(x וקבע את סוגה )היעזר בסעיפים קודמים(. . 15 (x a) 2 נתונה הפונקציה x2 5 . a 0 , f (x) א .חקור את הפונקציה ומצא ) במידת הצורך הבע באמצעות :( a ) ( 1תחום הגדרה . ) ( 2נקודות חיתוך עם הצירים . ) ( 3נקודות קיצו ן ( 4 ) .תחומי עליה וירידה . ) ( 5אסימפטוטות מקבילות לצירים. ב .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ג .הנקודות Aו B -נמצאת על גרף הפונקציה ) f (xבתחום שמימין לנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה . x -נסמן. x B x 2 , x A x1 : הוכח. 1 f (x1 ) f (x 2 ) 1 : תשובות: .1 א . b 4 , a 2 .ב .תחום הגדרה. x 1 , x 4 : y נקודות חיתוך. (8;0) , (0; 4) : אסימפטוטות. y 0 , x 4 , x 1 : נקודות קיצון (2; 2) :מקסימום, ) (14; 0.08מינימום. x עלייה x 14 :או 1 x 2או . x 1 ירידה 4 x 14 :או . 2 x 4 .2 ד. 23.04 . א. b 2 , a 1 . ב. x 4 , x 2 ( 1 ) . y ) (1;0) ( 2מינימום (2.5; 3) ,מקסימום. ) ( 3עלייה 2 x 2.5 :או . 1 x 2 ירידה x 4 :א ו 2.5 x 4או . x 1 1 8 ) . y 1 , x 4 , x 2 ( 5 ) . (1;0) , (0; ) ( 4 ד x 4 ( 1 ) .או 1 x 2או . x 1 ) 2 x 2.5 ( 2או . 1 x 2 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 28 x y .3 א. 2 . ב. x 4 . ג (3.5; 2) .מינימום. ד. (2.29; 0) , (3.71; 0) , (0;1 1 ) . 16 ו. 7 . x .4 א . 1 .ב .תחום הגדרה. x 1 , x 0 : y נקודות קיצון ( 1 ; 8) :מקסימום. 2 עלייה 0 x 1 :או ; x 0ירידהx 1 : 2 או . 1 x 1נקודות חיתוך :אין. 2 x אסימפטוטות. y 0 , x 1 , x 0 : ד t 0 ( 1 ) .או . t 8 ( 3 ) . 8 t 0 ( 2 ) . t 8 . 5ב (1;2) .מקסימום ( 1; 2) ,מינימום. y .6 א. x 1 , x 1 . ב .אין. ג .עלייה x 1 :או 1 x 1או ; x 1 ירידה :אין. ד. (0; 5) , (5; 0) . x ה. y 1 , x 1 . .7 y א. x 5 , x 0 . ב .אין. ג .עלייה x 5 :או 0 x 5או ; x 0 ירידה :אין. x ד. (2; 0) . 1 ה. y , x 0 . 3 .8 א (b; 1 ) .מקסימום1 ) , 2b 2 2b 2 .9 א ( 1 ) .כל . x 2 ; ( bמינימום .ב. 3 . y )a ) (2 5 ). y 1 (3 ;. (a;0) , (0 ) (a;0) ( 4מינימום, 5 a2 5 5 ; מקסימום. a . x 5 ) ( 5עלייה x a :או a .5 ירידהa x a : כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 29 x y . 10 א. y a 2 , x b , x b . ב .עלייה b x 0 :או . x b ירידה x b :או . 0 x b 0 b או . 2 b 0 ג2 . . 11 א 3 ( 1 ) . x y .x ) (0; 0) ( 2מינימום (6; 12) ,מקסימום. ) ( 3עלייה 3 x 6 :או ; 0 x 3 x ירידה x 6 :או . x 0 ) . x 3 ( 5 ) . (0; 0) ( 4 ג. x 3 ( 1 ) . y ) . (6;0) , (0;0) ( 2 ) ( 3חיוביות 0 x 3 :או ; 3 x 6 שליליות x 6 :או . x 0 x ) . y 1 , x 3 ( 4 . 12 א ( 1 ) .כל (4; 2) ( 2 ) . xמקסימום (2; 1) ,מינימום. y ) ( 3עלייה; 2 x 4 : ירידה x 4 :או . x 2 ) . y 1 ( 5 ) . (8;0) , (0;0) ( 4 מקסימוםx . ג x 0 ( 1 ) .מינימוםx 8 , ) ( 2עלייה x 0 :או ; x 8 ירידה. 8 x 0 : . 13 א. b 18 , a 9 . y ב .תחום הגדרה. x 6 , x 3 : נקודות חיתוך. (2;0) , (0; 1) : אסימפטוטות. y 0 , x 6 , x 3 : x נקודות קיצון (4; 9) :מקסימום, )(0; 1 מינימום .עלייה 3 x 4 :או . 0 x 3 ירידה x 6 :או 4 x 6או . x 0 ד. y ה 1 .או . 9 x כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 30 . 14ב (2;2) .מקסימום. . 15 ג (2; 2) .מינימום. y א ( 1 ) .כל . x 2 )a ) (2 5 ) (a;0) ( 3מינימום, 5 a2 5 ; מקסימום. 5 a ;. (a;0) , (0 ; x 5 ) ( 4עלייה x a :או a .5 ירידהa x a : ). y 1 (5 כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 31 x עבודת קיץ – בעיות קיצון ) 5יחידות( .1 מבין כל זוגות המספרים החיוביים שסכומם , 10מצא את זוג המספרים שמכפלת ריבוע ו של האחד בחזקה השלישית של השני היא מקסימלית. מצא גם את המכפלה המקסימלית. תשובה: . 3456 , 6 , 4 .2 ה ס כום של שני מספרים הוא . a 2 1 הוכח כי סכום ריבועיהם המינימלי הוא . a 2 .3 xו y -הם שני מספרים חיוביים שסכומם . 1 א .הוכח. xy 1 : 4 .4 בx y 12 . 2 2 סכומם של שלושה מס פרים אי -שליליים הוא . 30 נתון כי שניים מהמספרים שווים זה לזה. מצא את שלושת המספרים שמכפלתם :א .מקסימלית. תשובה: .5 א. 10 , 10 , 10 . ב .מינימלית. ב 30 , 0 , 0 .או . 0 , 15 , 15 חותכים חוט שאורכו 80ס"מ לשני חלקים .מכל אחד מהחלקים מכינים ריבוע .מה צריך להיות אורך כל אחד מהחלקים ,כדי שסכום השטחים של שני הריבועים יהיה מינימלי? תשובה: .6 40ס"מ 40 ,ס"מ. בתוך מלבן שאורכו 8ס"מ ורוחבו 6ס"מ חסומים ריבוע ומשולש אפורים. מה צריך להיות אורך צלע הריבוע 6 כדי שהשטח האפור יהיה מינימלי? תשובה: .7 2 1ס"מ. 3 נתון מלבן ABCDשממדיו 32 :ס"מ AB 8 P B ו 24 -ס"מ . AD על צלעות המלבן מקצים Q קטעים. CS AQ x , AP CR 2x : מצא את שטחה המקסימלי של המקבילית . PQRS תשובה: .8 A S C D R 400סמ"ר . במשולש שוווה -שוקיים ABCאורך הבסיס BC הוא 4ס"מ והגובה לבסיס הוא 2ס"מ. הגובה חותך את הבסיס בנקודה . K K A ל. - נקודה Pנמצאת על הגובה לבסיס בין מה צריך להיות אורכו של הקטע , PKכדי שהסכום (PA) 2 (PB) 2 (PC) 2של ריבועי מרחקי הנקודה Pמקדקודי המשולש יהיה מינימלי? כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 32 A P C K B תשובה: .9 2ס"מ. 3 במשולש שווה -שוקיים שבסיסו 10ס"מ A ושוקו 13ס"מ חסום מלבן שאחת מצלעותיו נמצאת על בסיס המשולש ושניים מקדקודיו נמצאים על השוקיים. E מה צרי ך להיות אורך הצלע DEשל המלבן, D כדי ששטחו של המלבן יהיה מקסימלי ? תשובה: . 10 C 5ס"מ . F נקודה Aנמצאת על גרף הפ ונקציה y x 2 81 ברביע הראשון .הקטע ACמקביל לציר ה. x - מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה , A כדי ששטח הטרפז ישר -הזווית ABOC B G H y A C יהיה מקסימלי. O B x תשובה: . 11 y נקודה Aנמצאת על הפונקציה y x 2 3x 9 ב רביע הראשון .נקודה Bנמצאת על הפונקציה y x 2 3x 2ברביע הראשון .הקטע ABמקביל לציר ה . y -הנקודות Cו D -נמצאת על ציר הy - כך ש ABCD -מלבן .מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי שהיקף המלבן יהיה מינימלי. תשובה: . 12 ). (3;72 C B x ). (1.25;6.8125 בין גרף הפונקציה , y x 2 6xהישר y x וציר ה x -חסום ברביע הרביעי מלבן ABCD שצלעו ABמתלכדת עם ציר ה) x -ראה ציור( . מה צריכים להיות שיעורי הנקודה , B y B A x C כפי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? תשובה: A D D ). (5.545; 2.524 y . 13 בין גרף הפרבולה y x 2 16x 28 לבין ציר ה x -חסום טרפז )ראה ציור(. נסמן ב S -את שטח הטרפז. הוכח. S 256 : . 14 א .ל אילו ערכים של xהמשיקים לגרף הפונקציה y x 3 9x 2 24x יוצרים זווית חדה עם הכיוון החיובי של ציר ה. x - x ב .מצא את הזווית החדה הגדולה ביותר שהמשיק לגרף הפונקציה יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה. x - תשובה: א. 2 x 4 . ב. 71.57 . כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 33
© Copyright 2024