1 סיכומים למבחן באנליזה נומרית
1 סיכומים למבחן באנליזה נומרית 1 אריאל סטולרמן סיכומים למבחן באנליזה נומרית 1 סמסטר ב' ) 2010פרופ' דוד לוין( :Floating point הצגת מספרים ב 64-ביטים : … • • … :מייצגים את ה ,mantissa-כאשר 1 :מייצגים את הE exponent- :מייצג את הסימן S ייצוג המספר1!" · $1 % · 2' % · 2' % ( % · 2' ) · 2*' : • זה אומר שייצוג עשרוני של מספר הוא בערך עד )כולל( הספרה ה 15-מימין לנקודה. סימוני Oגדול ו o-קטן: עבור פונקציות +,נאמר: • • + ! - ./ !0כאשר ∞ : 1קיים כך שלכל |+ !| 5 · | !| : 3עבור קבוע Cכלשהו )שאיפת ! +כש 1 ∞-חסומה מנקודה מסויימת ע"י שאיפת ! (. + ! - / !0כאשר ∞ : 1לכל 6 7 0קיים כך שלכל ,|+ !| 6 · | !| : 3או לחילופין9 >?@ 0 : נניח כי ,+ ! - . 1!, ! - ./+ !0 ,CB - C % ./ !0 ,AB - A % ./+ !0אז: • • AB % CB - A % C % ./+ !0 AB · CB - A · C % ./+ !0 שגיאה: • • ~ !; : =< ;! ;1 .9 ~ שגיאה אבסולוטית :עבור ערך וקירוב השגיאה האבסולוטית היאEF - G G - H : שגיאה יחסיתL - 9 9 : ;M ; ~ - IJK - Lככל שקרובה ל ,1-כך הקירוב פחות טוב .ככל שקרובה ל ,0-כך הוא יותר טוב. ;'; ; משפט הקירוב של ) Weierstrassלא צריך ללמוד הוכחה(: • תהא ! +פונקציה רציפה ברווח סופי סגור ) .$, לכל 6 7 0קיים !) - 6תלוי (6ופולינום ממעלה B ! :כך שלכל ) N $,מתקיים.|+ ! B !| 6 : כלומר כל 6 OPQמגדיר פולינום המקרב אותנו עד כדי 6ל.+- • פולינומי ברנשטיין: מרחב הפולינומים הוא מרחב וקטורי של פונקציות .פולינומי ברנשטיין מוגדרים מעל )RSB ! - /BS0 S 1 !B'S , 0 T :$0,1 הם מהווים בסיס לפולינומים ממעלה .nתכונות: • • • • • N $0,1) ,RSB ! 3 0 ) ∑BSV RSB ! W 1לפי הבינום( ∑BSV RSB ! W S B RSB ! - X1 Y · % · - % . X Y B !;' ; B B B ! ∑BSV X Y RSBS B S B ∑BSV בהוכחת משפט Weierstrassמשתמשים בבניה - B ! - ∑BSV + X Y · RSB ! :דוגמים את הפונקציה במרווחים של . S B B 2 סיכומים למבחן באנליזה נומרית 1 אריאל סטולרמן אם +רציפה ב $0,1)-אז קיים Mכך ש: תכונת רציפות של פונקציה: |+ !| Zלכל ). N $0,1 • לכל 6 7 0קיים Hכך ש |+ ! + !| 6-אם . , N $0,1) ,| | H • אז קיים פולינום יחיד ממעלה nשהוא המקרב הטוב ביותר ל +-בנורמת המקסימום.[+ B [ - max;N$E,) |+ ! B !| , • משפט ) Chebyshevקירוב טוב ביותר(: • • תהא ! +פונקציה רציפה ברווח סופי סגור ) .$, Bהוא המקרב הטוב ביותר ל +-בנורמת המקסימום אם יש % 2נקודות _ ( Bכך ש: |+ ` ! B ` !| - 1!` · 6 · [+ B [, 6 - /+ a ! B !0 אינטרפולציה ע"י פולינום: תהי +: $, ) 1 cונתונים ערכי +בנקודות ) , … , Bשונות זו מזו(: בעית האינטרפולציה: שמקיים את תנאי האינטרפולציה. ` ! - + ` !, - 0, … , : ` !eB`V .d+רוצים למצוא פולינום ) N ΠBמרחב הפולינום ממעלה ( 3 <<< הוכחת יחידות פולינום אינטרפולציה: נניח כי , g N ΠBשני פולינומים שמקיימים את תנאי האינטרפולציה ,ונגדיר פולינום הפרש .P - g :ברור כי P N ΠBולכל - 0, … ,מתקיים .P ` ! - ` ! g ` ! - 0כיוון שזהו פולינום ממעלה לכל היותר nוהוא מתאפס ב % 1-נקודות אזי ) P W 0לפי טענת העזר להלן(. טענת עזר :אם P N ΠBו P ` ! - 0-לכל ) - 0, … ,נקודות שונות( אז .P W 0 הוכחה :כיוון ש P ! - 0-אז ניתן להוציא גורם משותף ! ע"י פיתוח טיילור סופי סביב : הפיתוח לעיל סופי כי W 0 !_B ! P hh a ( ! % 2 P ! - P ! % P h ! ! % V h P ! - ! · Pijו .P N ΠB'-ניתן להמשיך כך Pכי rפולינום ממעלה לכל היותר .nמכאן ש(- jkj jl ! % I ;!m להוציא את כל הגורמים עד ש P ! - ! ! · … · B' ! · PB !-ו .PB N Π-כיוון ש) PB B ! - 0-זה החלק ב P !-שמאפס את הפולינום עבור (Bאז בהכרח PB W 0ולכן n .P W 0 נשתמש בבסיס המונומים d1, , , … , B eלמרחב .ΠBמחפשים ! - % % % ( % Bכך ש ` ! - + ` !-לכל . - 0, … , <<< הוכחת קיום +יחידות )על הדרך( פולינום אינטרפולציה: ! ! v 1 w · x - x t ! B ניצור מערכת משוואות: B ∏`,V מתקיים` ! : הוא יחידn . ` + + ·s t v-s B + - |EB}JIqaB}J B B v t BB … … u … B 1 ! ! - % % % ( % B B - + p >???@ s1 …o qErI`; t t B ! B ! - % B % B % ( % B B - + B 1 B | det w! - |wוכיוון שכל שונים זה מזה אז |w| 0ומכאן שקיים פתרון למערכת המשוואות ופתרון זה אינטרפולצית :Lagrange בסיס :Lagrange עבור בעית אנטרפולציה נתונה עם נקודות , … , Bנגדיר בסיס לN ΠB , 0 T :ΠB - ;'; ;' ; OS ! - ∏B`V `S 1, - Tp .OS / 0 - H,S - כל פולינום כזה הוא ממעלה לכל היותר nכי יש לכל היותר nגורמים במכפלה )מדלגים על .(kמתקיים: 0, T הקבוצה dOS eBSVהיא בסיס :גודלה % 1ולכן מספיק להראות שאיבריה בת"ל .נניח Q O ! % ( % QB OB ! - 0ונציב .לכל - 0, … , מתקיים ,Q · O / 0 % ( % Q · O / 0 % ( - 0 :כלומר .Q - 0מכאן שהקבוצה בת"ל ,ולכן זהו אכן בסיס. V V 3 סיכומים למבחן באנליזה נומרית 1 אריאל סטולרמן פתרון אינטרפולציה עם פולינומי :Lagrange פתרון האינטרפולציה B ! - ∑BSV + S ! · OS ! : כיוון שלכל - 0, … ,מתקיים / 0 - ∑BSV + S ! · OS ! - ∑BSV + S ! · H,S - +/ 0 : אינטרפולציית :Newton ' - d1, !, ! !, … , ∏Bכל הוספת נקודה נוספת לא משנה את כל איברי הבסיס ,בניגוד נשתמש בבסיס `V ` !e : לאינטרפולציית .Lagrange בהינתן פתרון עבור נקודות S N ΠS : , … , Sהמקיים S ` ! - + ` !, - 0, … , Tנמצא פתרון עבור נקודה נוספת _:S ! ` , S_ ! - S ! % w · ∏S`Vכאשר wקבוע אותו מחלצים מתוך ! ` _. S_ S_ ! - S S_ ! % w · ∏S`V S פתרון אינטרפולציה בבסיס ניוטון: פתרון האינטרפולציה 0 : '∏S V / • +$ , , … , S ) - הפרשים מחולקים: • ! +$ ) - + ) ;:$; ,…,; )':$; ,; ,…, ;' ; · ) ∑BSV +$ , , … , S B ! -כאשר ) +$ , , … , Sהוא הפרש מחולק מסדר .k הערה :הסדר הפנימי בתוך ההפרש המחולק לא משנה. <<< הוכחת נכונות אינטרפולצית :Newton • • נניח ! ' Sפולינום הפותר את בעית האינטרפולציה עבור נקודות '. , … , S נניח ! ' gSפולינום הפותר את בעית האינטרפולציה עבור נקודות . , … , S נבנה ! Sפולינום הפותר את הבעיה עבור כל הנקודות · S' ! : , … , S • • • ! - S ! - 0 % 1 · S' ! - +מהגדרת ' S ! S S ! - 1 · gS' S ! % 0 - + Sמהגדרת 'gS ! ` · + ` ! - 1 · + ` ! - + ;' ;_ ;' ; ;' ; ! ` '· S! ; V: ;' ; ;' ; ;' ; ;' ; · gS' ` ! % ! ; V: · gS' ! % ;' ; ;' ; ;'; ;' ; S ` ! - נשים לב שמקדם החזקה הגבוהה הפולינום הוא ההפרש המחולק האחרון ) +$ , … , S' ) :+$ , … , S הערה :הוכחה זו היא הוכחה באינדוקציה כאשר ההנחה ל T 1-נותנת שני פולינומים שונים. . S ! mמתקיים: ' ;' ; +$ , … , S ) % ;' ; n <<< משפט: • • אם ) +: $,בעלת kנגזרות רציפות ו , … , S N $, ) ,` - אז יש ) N $,כך ש- ! ! : !S +$ , … , S ) - נגדיר ! S ! m + ! Sכאשר ! Sפתרון אינטרפולציה בנקודות . , … , Sב T % 1-הנקודות הללו מתקיים ,S ` ! - 0ומכאן של- הוכחה: ! Shיש kאפסים לפחות בקטע ) ) $,לפי משפט שבין כל שני אפסים של +יש ל + h -אפס( .ל Shh !-יהיו לפחות T 1אפסים ב $, )-וכך הלאה עד של SS! !-יהיה לפחות אפס אחד בקטע ) .$, קיים ) N $,כך ש .SS! ! - 0 -כיוון ש! SS! !- !S SS! ! - +אז ! SS! ! - 0 מקדמי ( Sו QS - +$ , … , S )-כיוון שזה מקדם החזקה הגבוהה ביותר ב. S !- ! ! : מכאן: !S ! +$ , … , S ) · T! - 0 +$ , … , S ) - השגיאה באינטרפולציה: נוסחת השגיאה: !S n + השגיאה בנקודה לפולינום אינטרפולציה Bבנקודות , … , Bהיא ` ! : ∏B`V !S .+נשים לב כי ! Q` ) SS! - QS · Tהם · ) + ! B ! - +$ , … , B , 4 סיכומים למבחן באנליזה נומרית 1 אריאל סטולרמן לפי בניית Bמתקיים ! ` + ` ! - Bלכל , - 0, … ,כלומר .B ` ! - 0יהי , d , … , B eנבנה פולינום אינטרפולציה _ Bב- <<< הוכחה לנוסחת השגיאה: - B_ ! - B ! % +$ , … , B , ) · ∏B`V ` ! : , … , B ,לפי בניית .Newtonמהבניה מתקיים B_ ! - + ! :ולכן: ! ` - B ! - + ! B ! - B_ ! B ! - +$ , … , B , ) · ∏B`Vכנדרש n מסקנה מנוסחת השגיאה והמשפט הקודם: אם +בעלת % 1נגזרות רציפות· ∏B`V ` ! : בד"כ לא ניקח את ! !_B ! ! : !!_B + ! B ! -כאשר ברווח המכיל את . , … , S , +אלא חסם עליון לנגזרת ה % 1-בקטע .נוסחת השגיאה מתאימה גם ל -מחוץ לרווח האינטרפולציה. .1אינטרפולציה בנקודות שוות מרחק ב:$, )- מקרים מיוחדים של בחירת נקודות אינטרפולציה: עבור , - 0, … , ,` - % 'E - -נקודות במרווחים קבועים באורך hהחסם העליון לשגיאה: .2אינטרפולציה בנקודות :Chebyshev 1 _· B !4 % 1 · !G !_B |+ ! B !| max G+ );N$E, נקודות האינטרפולציה יהיו שורשי פולינום .Chebyshevפולינום Chebyshevממעלה :n • • נוסחה ישירהB ! - cos · PQQ ! : ! - cos 0! - 1 נוסחת נסיגהp : ) o ! - cos PQQ ! -נובעת מהזהות הטריגונומטרית(cos$ T % 1!Θ) - 2 cos Θ cos TΘ cos$ T 1!Θ) : ! 'S_ ! - 2 · S ! S בקטע ) $1,1הפולינום חסום ע"י ) 1חסם ל .(cos-בגלל תחום ההגדרה של ,arcosכדי להשתמש בפולינום זה צריך העתקה ):$, ) 1 $1,1 • • לקירוב ) !, N $,נגדירY , N $1,1) : בהינתן קירוב Bל ,+-נעתיק חזרה לY :$, )- תכונות ! :B • • 'E 'E % ) + ! m Xהזזה וכיווץ לקטע ).($1,1 _E _E 'E . ! B X נקודות האקסטרמום של ! Bהם - cos X B Y , - 0, … , : ערכי הפולינום בנקודות האסטרמום הם 1לסירוגיןGB / 0G - 1 : _max | B % B' % B' % ( % B | 3 max |2'B_ · B !| - 2'B <<< משפט: );N$', כלומר שורשי פולינום Chebyshevמביאים למינימום את ! ` הוכחה: הביטוי ! · B 2מקבל ערכי אקסטרמום _'B ∏B`V עבור N $1,1)/ );N$', 2לסירוגין בקטע ) $1,1ב % 1-נקודות .נניח שקיים % ( % B _'B 'B gB ! - % B המקיים .max;N$',) |gB !| 2'B_ :כיוון ש gB !-חסום בין _ 2'Bהוא חותך את ! 2'B_ · Bבין כל שתי נקודות אקסטרמום סמוכות, _'B ) PB ! - 2שני רכיבי ה B -מאפסים אחד את השני(. · j ! g ij jjkj ikl Bjl כלומר לפחות ב -נקודות .בנקודות אלו ההפרש מתאפסB ! N ΠB' : (_ ;V (_ ;V כיוון ש PB -הוא פולינום ממעלה 1לכל היותר ומתאפס ב -נקודות אזי n .PB W 0 שגיאת האינטרפולציה בנקודות :Chebyshev שגיאת האינטרפולציה ב % 1-שורשי ! _) Bפולינום ממעלה :(n 2'B !! % 1 !G !_B ! ` ∏B`V max G+ )N$', !! % 1 !G !_B |+ ! B !| max G+ )N$', חסם זה נובע מבחירת ` להיות % 1שורשי ! _ Bכדי להביא למינימום את |! ` max;N$',) |∏B`V 5 סיכומים למבחן באנליזה נומרית 1 אריאל סטולרמן פתרון משוואות לא לינאריות: משוואה לא לינארית :רוצים למצוא עבור +כלשהי שורש ,כלומר המקיים .+ ! - 0 שגיאה :עבור סדרת קירובים לשורש dB e :נוסחת השגיאה היא. B - B : סדר התכנסות :שיטה תהיה מסדר pאם מתקיים|B_ | Q · |B | : שיטת החציה: עבור שתי נקודות ,המקיימות ) + ! · + ! 0סימנים הפוכים( ,בודקים את Y + Xוממשיכים לחצי בו מכפלת ערכי הפונקציה עדיין שלילית. _E סדר התכנסות |B_ | |B| :כיוון שבכל צעד מקטינים את הקטע פי שניים מהקודם .מכאן ש. - 1 : שיטת המיתר: בהינתן שתי נקודות ' ,B , Bמוצאים את _ Bבאופן הבא :מוצאים את הישר העובר ב) B , B'-אינטרפולציה לינארית( ,ולוקחים את _ Bלהיות חיתוכו עם ציר ה .-הנוסחה: סדר התכנסות: √_ שיטת :Newton ! '+ B ! ' B + B ! + B' ! B - 'B_ - B בהינתן Bמחשבים פיתוח טיילור מסדר ראשון סביבה – זו משוואת המשיק B_ .תהיה נקודת החיתוך שלו עם ציר ה .-הנוסחה: ! + B ! + h B סדר התכנסות - 2 : B_ - B אנליזה של התכנסות לנקודת שבת של הפונקציה ¢של שיטה איטרטיבית מהצורה ! :£¤_¥ - ¢ £¤ תהי המקיימת עבור ) :¦ - $, <<< משפט נקודת השבת: .1 .2 .3 ¦ § !¦ ) N 5$, גזירה ב $, )-ו!| T 1- |h לכל ) . N $, אז האיטרציות ! B_ - Bמתכנסות לכל תנאי התחלה ) N $,לנקודת שבת יחידה ב.$, )- קיום :תהי ) ,: $, ) 1 $,אז ! ! 3 ,ומכאן עבור ! ! mמתקיים. ! 3 0, ! 0 : הוכחה: כיוון ש h-סכום שתי פונ' רציפות ,היא רציפה ב ,$, )-ולכן קיימת ) N $,כך ש , ! - 0-ומכאן ש - ! - -קיימת נקודת שבת. יחידות :נניח כי גם ) ! -נקודת שבת נוספת( ,אזh ¨! ! : - משפט ערך הביניים לנגזרת ! ! - ) | | - |h ¨! !| T · | | ©ª« | | - 0 -כי ( - T, T 1 - 0 S הוכחת התכנסות :תהי נקודת השבת היחידה ב .$, )-נבדוק התכנסות: h ¨! B ! - h ¨! · B מציאת תחום התכנסות :מוצאים את התחום בו: • • |h !| 1 ) $, ) § $, - משפט ערך הביניים לנגזרת ! ! B - ! ; <; V ! - B_ - B_ - Bהשגיאה באיטרציה ה % 1- |B_ | T · |B |, 0 T 1 |B | >??@ 0 n =B1 6 סיכומים למבחן באנליזה נומרית 1 אם גזירה ברציפות בקטע פתוח סביב נקודת שבת שלה ו !| 1- <<< טענת קיום סביבת התכנסות: תנאי התחלה ¦ . N הוכחה: בגלל ש ¬-רציפה קיימת סביבה של כך ש!| T 1- |h אריאל סטולרמן |h אז קיימת סביבה ¦ - $ 6, % 6) :כך ש B_ - B !-מתכנס לכל לכל )) N $ 6, % 6הסביבה( .עבור ברווח בין ל) -תלוי מי גדול יותר(: ) ! - ! ! - ! ! | ! | T · | |, N $ 6, % 6 לכן ברווח זה מתקיימים תנאי המשפט )כולל הכלה של תמונת ברווח( ,ולכן מכל ב I-יש התכנסותn . <<< הוכחת סדר התכנסות ¯ ® -לשיטת :Newton טענה :אם שורש של +ו + h ! 0-אז איטרצית ניוטון מקיימת !| 1 : טענה :אם h ! - 0אז סדר שיטת ניוטון הוא |B_ | Q · |B | :2 הוכחה :נניח כי ¬¬ רציפה בסביבת ונפתח את ! Bבטור סביב : |h h ע"ב ויש סביבה של בה איטרצית ניוטון מתכנסת. ! ! hh ! hh B_ - B_ - B ! ! - ! % h ! · B ! % ! ! B ! BB 2 2 2 ijjjjjjjjjjjjjkjjjjjjjjjjjjjl V hh ¬¬ חסומה בסביבה ) $ 6, % 6ולכן מתקיים | n |B_ | Q · |B °E±KaI אינטרפולציה לפונקציה ונגזרותיה – אינטרפולצית :Hermite נתונות נקודות d` eS`Vעם ערכים ! ` ! ) - 0, … , ` 1 ,+סה"כ ` ערכים לכל `(. משפט אינטרפולציה לפונקציה ונגזרותיה )לא צריך ללמוד הוכחה(: קיים פולינום יחיד Bממעלה - ∑S`V ` 1המקיים ! ` ! ` ! - + ! B עבור : - 0, … , ` 1 ,1 T ! ` B ! - ∑BV +² , … , ³ · ∏`Vכאשר … - - - ( - q ' , - q - q _ - ( - q _q ' , ' השגיאה+ ! B ! - +$ , … , B , ) · ∏BV/ 0 : לכל נקודה מצמידים מספר ים בהתאם לריבוי שלה – כלומר בהתאם ל ` -שלה :לכל ` ה-ים יהיו ' .q , … , q הפרשים מחולקים במקרה הכללי: כאשר מתאפשרות נקודות עם ריבוי ,ואם נניח כי _` `: מערכת משוואות לינאריות: !S ! ·+ - - ( - S µ T! , p ) +$ , … , S¶+$ , … , S ) +$ , … , S' ) , אחרת µ S ´ נורמות של מטריצות ווקטורים: תכונות נורמות: • • [[ - 0 ¸ - 0 ,[[ 3 0 [[ · | [A[ - |Aעבור סקלר .A אשמ"ש[ % ¹[ [[ % [¹[ : נורמות וקטוריים :יהי וקטור ממימד n • • • • | `|[[ - ∑B`V º ! | `|[[ - ∑B`V נורמת מקסימום )אינסוף([[= - max»`»B |` | : 7 סיכומים למבחן באנליזה נומרית 1 נורמות מטריצות: עבור :w N ZB¼B c!, N cB • • [[ · [[w[ [w [;½[ [;[ אריאל סטולרמן [;[ [w[ - maxולכל N cBמתקיים: אשמ"ש[w % R[ [w[ % [R[ : כל נורמה pשל וקטורים משרה נורמה pשל מטריצות. ¿ - [w[ - max»`»B ¾∑B`VG` Gנורמה 1של מטריצה היא מקסימום סכום ע"מ בעמודות. <<< הגדרת נורמת מקסימום למטריצות: עבור w - /` 0`,Vמתקיים - [w[= - max»`»B ¾∑BVG` G¿ :נורמת מקסימום של מטריצה היא מקסימום סכום ע"מ בשורות. B נסמן · הוכחה: ` ∑BV . w!` -נחסום מלמעלה: ∑·ÀÁÂÃÆÃG;Æ G ÆÇGEÆ G Ä- | ;| ÀÁÂÃà Å! | w!` | ∑BVG` G · G G max»»B G G · ∑BVG` G Ä max[;[ max »`»B max»`»B ∑BVG` G , כדי להוכיח שוויון מספיק להראות שוויון עבור וקטור יחיד כך ש. [;[ È - max»`»B ¾∑BVG` G¿ : [;½[ È !Å - | !;½ | ÀÁ [w[= - max[;[ Ãà | ;|ÀÁÂÃà לא תלוי ב' ¿max[;[ ¾max»`»B ∑BVG` G קיימת ב A-שורה Éכך ש .∑BVGÊ G 3 ∑BVG` G , Ë :נגדיר את כך ש) m /Ê 0-וקטור של .([[= - 1 - 0, 1 - ∑BVGÊ G מכאן שעבור ה -שבחרנו מתקיים[w[= 3 ∑BVGÊ G 3 max»`»B ∑BVG` G : Ì VF`<B/EÍÆ 0 - · [w[= - max»`»B G∑BV ` G 3 Ì∑BV Ê [½;[È [;[È [;[ÈV הראנו את אותו חסם משני הצדדים ולכן מתקייםn [w[= - max»`»B ∑BVG` G : [w[= - הערכת שגיאה: נניח נתון פתרון מקורב למערכת ,w -והשגיאה היא . -ניתן להציב כדי לבדוק קירוב.P m w : • P - w - w w - w ! - wומכאן[P[ [w[ · [[ : • - w' Pומכאן[[ [w' [ · [P[ : • - wומכאן[[ [w[ · [[ : • מהשניים הנ"ל נובע [[ [w' [ · [P[ : [[I [½[ ' - wומכאן[[ [w' [ · [[ : מהשניים הנ"ל נובע [[ [w' [ · [[ : לסיכום· [[ [;[ [w[ · [w' [ · [[ : [[I [[J [[I לאבד בדיוק פתרון משוואה לינארית. [ ½[·[½[ [[ [½[ - QÎ w! m [w[ · [w' [ ,ה condition number-חסם למספר הספרות שעלולים שיטות איטרטיביות לפתרון מערכת משוואות לינאריות מהצורה :Ï£ - בהינתן מערכת w -נעביר לצורה % Q !B - R !_B כאשר האינדקס העליון הוא אינדקס האיטרציה ,וזה נראה כמו משהו עם נקודת שבת. בצורה מטריציונית ,R - ¦ Ðw, Q - Ð :נרצה למצוא Gהפיכה )סינגולרית( כזו כך ש - ¦ Ðw! % Ð : 8 סיכומים למבחן באנליזה נומרית 1 אריאל סטולרמן שיטת :Jacobi כאשר האלכסון שונה מאפס ,מבודדים אותו: E % !B ``E EÆ בצורה מטריציונית: w - 1 : ∑BV ` - ` `` ` - ∑BV ` % ` ` B_! - ∑BV ` ` נסמן Dאת מטריצת האלכסון של L ,Aמטריצת האיברים שתחת האלכסון ו U-מטריצת האיברים מעל האלכסון.w - Ñ % Ò % Ó : כאן ' Ò - Ñ % Ó! % - Ò ' Ñ Ó! % Ò' - Ð - Ò <<< משפט: אם [R[ 1אז התהליך האיטרטיבי % Q הוכחה: !B - R !_B מתכנסת לפתרון יחיד של - R % Qמכל וקטור התחלתי כדי להראות קיום ויחידות ל - R % Q-מספיק להראות של - R-יש רק פתרון טרוויאלי .נניח ש - R -אז: ! )נכון לכל נורמה(. [[ - [R[ [R[ · [[ [[ [[ [[ - 0 הוא וקטור ה 0-ומכאן שיש פתרון טרוויאלי בלבד למשוואה ההומוגנית ולכן יש פתרון יחיד למשוואה הלא הומוגנית n . - R % Q השגיאה: ביטוי לשגיאה: 0 0 אם - s v t 0 ! !_B - אז - ! !_B והוא מתכנס ל 0-כש 1 ∞-מכל תנאי התחלה ואז השגיאה היחסית באיטרציה ה:n- [R[B [ [RB ! כיוון שמקיים: [; [Ô !B - R !_B והרי .[R[ 1 [;[ חזרה לשיטת :Jacobi <<< טענת תנאי התכנסות לשיטת :Jacobi שיטת Jacobiמתכנסת אם Aבעלת אלכסון דומיננטי ,כלומר ע"מ איברי האלכסון גדולים מסכום שאר ע"מ של איברי השורה: הוכחה: נסתכל על שורה במטריצה 1, 1 :R - /` 0 ∑BVG` G - ∑BV 9 9 - ∑BV |E GEÆ G אלכסון | ` EÆ E ∑BVG` G ` .|`` | 7 ` [R[= - max»`»B ¾∑BVG` G¿ 1השיטה מתכנסת ובפרט יש פתרון יחיד n דומיננטי טענת התכנסות נוספת לשיטת ) Jacobiמהתרגול( Õ R! 1 :כאשר שיטת :Gauss-Seidel שיטת :Gauss-Seidel E % !B E EÆ ` ∑Ú !_B שיטה זו מתכנסת מהר יותר משיטת Jacobiאם: E EÆ |Ô! |Ù `∑ ` B_! - .Õ R! - maxÖN*`<JB×EKØJF • Aבעלת אלכסון דומיננטי. • Aטרידיאגונלית )רק באלכסון הראשי ,באלכסון שתחתיו ובאלכסון שמעליו איברים שונים מ.(0- • ל A-איברים חיוביים באלכסון ואי חיוביים מחוצה לו. בצורה מטריציונית :כאן '! - Ñ % Ò!' Ó % Ñ % Ò!' Q - Ð - Ñ % Ò משפט המעגל של ) Gershgorinלאיתור ע"ע(: לכל ע"ע Ùשל מטריצה Aקיים אינדקס עבורו - |`` Ù| ∑BVG` G :כלומר Ùיושב בתוך מעגל שמרכזו איבר מהאלכסון של Aורדיוסו הוא סכום הע"מ של שאר איברי השורה. ` <<< שיטת החזקה למציאת ע"ע :השיטה :ע"ע מקסימלי של [w[ - Ûwr w 9 סיכומים למבחן באנליזה נומרית 1 אריאל סטולרמן נניח ל A-נתונים מערכת של ע"ע ` Ùוו"ע ` Üמתאימים כך שמתקיים . |Ù | 7 |Ù | 3 ( 3 |Ù |:עבור כל ע"ע וו"ע מתקיים.wÜ` - Ù` Ü` : הוכחה: יהי ` - ∑B`V ` Üוקטור כלשהו: - Ù n Þ רכיב של ½Ý ß Ö E × !Æ ÞÝ Ý q1= E × !Æרכיב של ½ ß Ý Þ @??> Ü` >??@ Ü =q1 ÖÝ ÖÝ · ` ∑B`V wq ÖÝ ∑B`V ` Ùq `` Ü `∑B`V ` wq Ü - wq )רכיב jהוא זה בעל ע"ע מקסימלי(. שיטת מטריצה :(?) Q % Q0 % Q - ( - Q % RQ % R Q % ( % R Q - àB R! · Q B נחפש ! àBאחר כך ש- àB R!Q- !_B !'B % Q - R/R יהיה קירוב טוב יותר לפתרון .נגדיר שארית: !B - R !_B 0 - Q àB R!Q RàB R!Q! - / R ¦!àB R! % ¦0Q - áB_ R!Q áB_ ! - 1!àB ! % 1 שחזור ! àBמתוך ! _:áB '!; â '; ) àB ! -נשים לב ש(áB_ 1! - 1- - R % Q !_B R !_B - Q / נניח ל B-מערכת ע"ע שלמה ,RÜ` - Ù` Ü` :נפתח את - áB_ R!Q - áB_ R! ∑B`V ` Ü` - ∑B`V ` áB_ Ù` !Ü` Q - ∑B`V ` Ü` :c מכאן שכדי לקבל שארית קטנה צריך ש áB_-תקבל ערכים קטנים על הע"ע של ) Bהספקטרום של .(B נניח ש Ù` N $, )-עבור הע"ע של ,Bו - 1 $, )-אזæ : - B_ ) áB_ 1! - 1פולינום .(Chebyshev äå åä '; !_B !_B P P áB_ ! - B_ ãהוא הפולינום בעל נורמת המקסימום ב $, )-ומקיים קירוב נגזרות של פונקציה: שיטה ראשונה: נתונה הפונקציה fבנקודות , … , Sורוצים לקרב את ! .+ h • • מוצאים את ! Sפולינום האינטרפולציה ב , … , S -וידוע מנוסחת השגיאה+ ! - S ! % +$ , … , S , ) · ∏S`V ` ! : נסמן ! ` ,çS ! m ∏S`Vומגזירת שני האגפים מקבלים קירוב לנגזרת: מציאת קירוב לנגזרת שניה: שיטה שניה: ! ; + S_! ; ! h · çS ! % ! · çS !!T % 2 !!T % 1 !_S + + h ! - Sh ! % è !, è ! - ) + hh ! - Shh ! % çS ! · +$ , … , S , , , ) % 2çSh !+$ , … , S , , ) % çShh !+$ , … , S , נמצא קירוב לנגזרת ע"י שימוש ב:+ !, + % !, + % 2!- + % ! - + ! % + h ! % + hh ! % + ! ¨ ! / · 4 מחברים משוואות ומקבלים p ¹OP o ëé hh ìé h ! + % 2! - + ! % 2+ ! % + ! % + !¨ !/ · 1 ! כאשר לפי משפט ערך הביניים החלפנו את ! ¨ ! ! é 3+ ! % 4+ % ! + % 2! 1 + 2 3 ¨ ! + ! קירוב לנגזרת שניה ע"י שימוש ב:+ !, + !, + % !- +ב!- שוב מחברים משוואות ומקבלים p ! ¨ ! ¨ !ë !ë ! + + . + éî ë éî ë ! % ! % ! ! é + h ! - + ! - + ! + h ! % + hh ! + ¹OP o é hh é h + % ! - + ! % + ! % + ! % + é é 10 סיכומים למבחן באנליזה נומרית 1 ! כאשר מתקבל שוב לפי משפט ערך הביניים. !ë ! + ! 2+ ! % + % + 12 אריאל סטולרמן + hh ! - אינטגרציה נומרית ופולינומים אורתוגונליים: בעית אינטגרציה נומרית :למצוא קירוב ¦ +! m ïE + !Îעל סמך ערכי +ב.d+ ` !eB`V : , … , S - אם נשתמש בפולינום , S ! - ∑S`V + ` !O` ! :Lagrangeמתקיים ïE + !Î ∑S`V + ` ! ïE O` !Î :ועבור :ð` m ïE O` !Î ! ` ïE + !Î ∑S`V ð` · +כאשר ` ðמשקלות לא תלויות בערכי הפונקציה אלא רק בפיזור הנקודות . , … , S S jjl ביטוי לשגיאהa ! Î! : ∏ · ) è +! - ïE +$ , … , S , ij jjkj `V !; Vñ מקרים בהם ניתן לפשט את ביטוי השגיאה: .1אם ! òó £לא משנה סימן בïE çS !Î , N $, ) :$, )- ! ! : !!_S è +! - פשוט מוציאים את ההפרש המחולק מחוץ לאינטגרל .נובע ממשפט ערך הביניים לאינטגרלים :אם ) , ! 3 0, N 5$,אז: .ïE ! !Î - ! ïE !Îומתקיים +$ , … , S , ) N 5$, ) :אם ) .+ N 5 S_ $, הערה :במקרה זה אם + N ΠSאז .è +! - 0 .2אם è +! - ïE +$ , … , S , S_ , ) çS_ !Î :ï òó £!ô£ - õ הערה :במקרה זה אם _ + N ΠSאז .è +! - 0 בניית נוסחת אינטגרציה מורכבת המבוססת על שיטת נקודת האמצע: שיטת נקודת האמצע: שיטת נקודת האמצע לאינטגרלים ! : עבור חלוקת קטע ל- שיטת הטרפז: 'E !'E ÷ שיטת :Simpson ! : öö ë -מתקיים+ hh ! : ! $+ ! % + !) + hh עבור T - 2והנקודות , - השגיאה בשיטת ! :Simpson שיטת טרפז מתוקנת: _E !ë Y% 'E ë 'E 'E Y + '÷∑ ïE + !Î - `V + X % X % Y Y % : î! ! 'E ú ïE + !Î - Y : - ,X _E ïE + !Î - !+ X X è +! - ú Y % + !ù עבור T - 3שימוש ב - - - + !, - - + !-ערכי +ו +¬-ב:, - ø+ ! % 4+ X _E 'E ïE + !Î h h '÷∑ + ! % + ! % 2 ïE + !Î - ijjjjjjjjkjjjjjjjjl הנוסחה`V + !! % $+ ! + !) % è +! : é é טרפז מתוקן השגיאה ! : ! !: î û נוסחת Simpsonמורכבת: è +! - נוסחת סימפסון המורכבתY % 2+ % 2! % ( % + !ù % è +! : é ïE + !Î - ø+ ! % 4+ X % Y % 2+ % ! % 4+ X % é é 11 סיכומים למבחן באנליזה נומרית 1 השגיאה בנוסחת סימפסון המורכבת: 'E!éî ìì '÷∑ · `V 1 - åä ý V÷V : î! !é ·ú אריאל סטולרמן ` ! - !ë ü '÷∑ è +! - `V · + é הערה :עבור פונקציות מחזוריות השיטה הטובה ביותר היא לקחת מרווחים שווים ולהשתמש בשיטת הטרפז. מכפלה פנימית עם משקל ! :ð מכפלה פנימית מעל ) $,עם משקל ! (ð ! 7 0, N $, )) ðעבור פונקציות ) +, 7þ - ïE ð !+ ! !Î :+, N 5$, מתקיים[+[þ - Û +, + 7þ 7 0 ¸ + 0 : פולינומים אורתוגונליים ביחס ל:·,·7- = dàB eמערכת פולינומים אורתוגונליים ביחס ל ·,·7þ -המקיימת q , B 7þ - q · Hq,Bונניח כי יודעים את המומנטום של :ð תהי BV , - ïE ð !Îנגדיר את הפולינום: <<< טענה: לכל 0 1מתקיים , B , 7þ - 0כלומר המערכת הוכחה: -0 !Î וזה בגלל שהשורה הראשונה שווה לשורה הn % 1- קירוב אינטגרלים מהצורה :ï £! £!ô£ =dàB e BV ïE _B ð B t … … t … … … u … B B B_ N ΠB t 'B t _B 1 B - t 'B t B היא מערכת אורתוגונלית. !Î ïE ð t … u … t Ì ð !Î - 'B B 1 B , 7þ - ïE Ì t 'B 'B ∏ · ) è - ïE +$ , … , B' , jjl נקרב את ! +בעזרת פולינום אינטרפולציה ! ' gBמעל ' , … , Bונקבל שגיאה` ! ð !Î : ij jjkj `V נרצה לבחור נקודות אינטגרציה ' , … , Bכך שהשגיאה תהיה 0עבור '.+ N ΠB !; ·V <<< טענה: אם + N ΠSאז +$ , … , B' , ) N ΠS'B 'B ∏ · ) ! gB' ! - +$ , … , B' , n + jjl הוכחה` ! + T 3 : +$ , … , B' , ) N ΠS'B : ij jjkj `V <<< טענה: N N אם נבחר את ' , … , Bלהיות שורשי àBמתוך מערכת הפולינומים האורתוגונלים ביחס ל ·,·7þ -אז è - 0לכל '.+ N ΠB הוכחה: ברור כי עבור ' + N ΠBמתקיים .è - 0אם T 7 1אז + N ΠSונקבל :+$ , … , B' , ) N ΠS'B ' ∏Bאורתוגונלי ל +$ , … , B' , )-ולכן n è - 0 1 T 2 1 0 T 1ולכן ! `V ` ! - Q · àB אם ) Bהפולינום האורתוגונלי מהמערכת (d B eאורתוגונלי ל- <<< טענה: הוכחה: 'B 1, … ,אז כל שורשיו הפשוטים הם בקטע ! . , נניח כי מספר השורשים של Bבקטע קטן מ ,n-ונסמן את שורשיו , … , q :כאשר .בנקודות אלו Bמשנה סימן. gq ! - ∏qואז ! B ! · gqלא משנה סימן ב , !-ולכן ïE B !gq !ð !Î 0כי , gמשנים סימן יחד בכל נגדיר`V ` ! : הנקודות ` -סתירה לכך ש B -אורתוגונלי לכל הפולינומים ממעלה B 7משנה סימן nפעמים ב , !-ולכן יש לו nשורשים פשוטים בקטעn . 12 סיכומים למבחן באנליזה נומרית 1 אריאל סטולרמן <<< פיתוח נוסחת השגיאה באינטגרציה של גאוס: עבור ïE ð !+ !Îכאשר מבצעים אינטרפולציה על +לפי שורשי הפולינום האורתוגונלי ) Bמעל ' ,( , … , Bנוסחת השגיאה היא: · é ! ! : !!B הוכחה: èכאשר .B - ïE / B !0 ð !Î ) ïE +$ , … , B' , נפתח את נוסחת השגיאה· çB' !ð !Î : • • ' .çB' ! - ∏Bנשים לב שמתקיים: כאשר ! ` `V ! +$ , … , B' , ) - +$ , … , B ) % +$ , … , B , ) B ! çB' ! - Q · Bולכן !ð !Î - 0 'ïE çB ומכאן .è - ïE +$ , … , B , )çB' ! B !ð !Î :נמשיך בתהליך עד הוספת nנקודות ,B , … , B' :ונבחר את הנקודות האלו לקיים è - ïE +$ , … , B' , ) çוכיוון שרכיב זה לא משנה סימן בקטע: ijkjl B_ - , 0 1ונקבלB' ! ð !Î : לא משנה סימן בקטע ! · /Q · B !0 ð !Î !!2 E כאשר ABהוא המקדם המוביל של Bמתקיים: -ולכן !B é · + 'è - +$ , … , B' , ) çB !ð !Î - ! ! : !!B è -כנדרשn . E ספליינים – :Splines נתונות נקודות - ( Bוערכים מתאימים ` .+נמצא ) !, Î ! - $,כך ש: בעית אינטרפולציה עם תנודות מינימליות: • !Y Î ` ! - +` , - 0, … , עבור : - ¥ • !q ¦ ! m ïE Xמינימלי – ¦ .פונקציונאל )פונקציה המוגדרת על פונקציות(. נחפש uשמקיימת: (1 יש לה שתי נגזרות רציפות בכל קטע ) _` $` , (2 ` ` ! - +לכל - 0, … , נותנת ערך מינימלי ל¦ ! - ïE /h !0 Î- • ! ¦ ¦ % ! 3 ` % ! ` ! - + (3 עבור בעלת שתי נגזרות רציפות בכל ) _` $` ,המקיימת ` ! - 0לכל - 0, … ,ו u-כמוגדרת לעיל מתקיים: • הגדרה - ! - ¦ % ! 3 ¦ !, Ë N c :ל !-מינימום ב . - 0-מתקיים מהגדרה! % h !0 Î : ïE /h . ! - אפיון h :uאורתוגונלית ל ¬-לכל המקיימת ` ! - 0וחלקה מספיק ,כלומר מתקיים ïE h !h !Î - 0 :לכל כמוגדר קודם. מאפיון uנובע כי בכל רווח ! ` `' ,עבור - 1, … ,מתקיים. ! W 0 : <<< טענה: hh נניח כי hh ! 0ב , N `' , ` !-אז יש סביבה ! ` 6, % 6! `' ,בה ! hhלא משנה סימן. הוכחה: נבחר 0המוגדרת מעל ! 6, % 6ומקבלת אותו סימן כמו hhונקבל - ∑` ï; hh ! !Î 7 0סתירה. uhh W 0בכל ! ` `' ,ולכן uלינארית למקוטעין n ; 13 סיכומים למבחן באנליזה נומרית 1 עבור ¯ : - נחפש uשמקיימת: (1 (2 (3 ) ` N 5$`' , !ë אריאל סטולרמן לכל 4 - - 1, … ,נגזרות רציפות. ` ` ! - +לכל - 0, … , נותנת ערך מינימלי ל¦ ! - ïE /hh !0 Î- גם כאן נעשה וריאציה על uשפותרת את הבעיה ע"י הוספת עבור חלקה מספיק ! - ïE /hh ! % hh !0 Î 3 0!, Ë N c : לכל המקיימת את התנאים מתקייםïE hh !hh !Î - 0 : _ _ '` !h האפיון של !ù :u ;| ! !Î hhh '` % hh `' !h `' ! hh ; ;0 - ïE hh !hh !Î - ( - ∑B`V øï !ë <<< טענה: מאפיון uנובע שW 0- הוכחה: !ë ; כאשר ' הוא גבול משמאל ו _ -הוא גבול מימין – וזה כיוון שלא ידוע ש -גזירה בקצוות. על כל ! ` ¬¬ , `' ,רציפה על כל ו. ! - ! - 0- hh hh נבחר כך ש ` ! - 0-ו ` ! - 0-לכל - 0, … ,וכמו קודם 0רק באותו רווח שבו ! תחילה נוכיח כי ! - 0 !ë h לכל ! ` : N `' ,אם לא כך ,אז קיים ברווח כך ש ! 0- !ë !ë לא משנה סימן. ולכן קיימת סביבה ! 6, % 6בה משנה סימן ,ונבחר בעלת אותו סימן בסביבה זו ו 0-מחוץ לה .כמו קודם נקבל סתירה לכך שסכום האינטגרלים שווה ל.0- !ë לא _ _ '` !h כעת נשארנו עם!) : '` .0 - ∑B`V$hh `' !h `' ! hhנבחר את כך ` ! - 0 , N 5 $, ) :לכל - 0, … ,ו, ` ! - 1- _ _ h h ! .h / 0 - 0 Ëכך מהסכום לעיל ישאר! - 0 : hh `' ! iklולכן ¬¬ רציפה ב.` - '` `'! hh '` ijkjl V V h עבור h ! - 1 : - 0ולכן hh _ ! - 0ומכאן . ! - 0 :באופן דומה . ! - 0מכאן שכל התנאים שרצינו מתקיימיםn . hh hh הפתרון ל - 2-הוא splineממעלה - 3פולינום ממעלה 3 3על כל ) ` $`' ,עבור - 1, … ,כשבחיבורים נגזרת שניה רציפה ).(cubic spline המקרה הכללי – פונקצית splineממעלה :k תהי N Sפונקצית splineממעלה kעם צמתים . , … , Bהיא פולינום למקוטעין ממעלה Tמעל כל ) ` ,$`' ,כלומר: ) ; ,|$; ,; ) N ΠS |$;,עם חיבורים רציפים מסדר T 1בצמתים`' ! : ! `_ ! - ! .1 1, 0 T 1 , במקרה של (cubic spline) - 2הדרישה hh ! - hh ! - 0נובעת ממזעור ! ¦ ,ואלה הם תנאי שפה טבעיים. מקדמים חופשיים: לכל קטע מ n-הקטעים פולינום ממעלה ,T 3לו יש T % 1פרמטרים בכל צומת ' 1) , … , Bצמתים פנימיים( יש kתנאים של רציפות הנגזרות. pפרמטרים T % 1! - T % סה"כ :מקדמים חופשיים % T תנאים 1!T - T T S , 3 0p !S_ m הגדרה :פונקצית החזקה הקטועה: 0, 0 :dim S ! - % T הבסיס בקטע הראשון הוא Se d1, , … ,ו% (- S Î jjl ij jkj j _! "N % ∑SV Q . ! - ' - d1, , … , S e d ` !S_ eBמספר האיברים בבסיס הוא , T % 1! % 1! - T % :כנדרש. בסיס ל S -יהיה`V : :B-splines Sהוא מרחב הספליינים ממעלה kעל צמתים , … , Bועל כל ) ` N S $`' ,הוא פולינום ממעלה T 3ו N 5 B' $ , )- S , 3 0p ', d1, , , … , S e d ` !S_eB בסיס החזקות הקטועות ל`V :S - אחרת 0, !S_ -ומימד המרחב הוא . % T ספליין טבעי ממעלה 3פותר את בעיית האינטרפולציה ב , … , B -ומינימיזציה של ï; VE /hh !0 Îכאשר . N ,hh ! - hh ! - 0 ; V 14 סיכומים למבחן באנליזה נומרית 1 אריאל סטולרמן :B-Splines בסיס B-Splinesל:ó - הגדרה) R` S! ! m · !S_²`'q , `'q _ , … , `_q ³/`_q `'q 0 :האיבר הראשון הוא הפרש מחולק של הפונ' _.( · !S • • אם - , - % 1 :T - 2 אם - - :T - 2 1 כאשר _. · !S_ ¹! - ¹ !S :¥ – ó - ¥ !;' ; !;' ; ' ijjj;jkj jjjl ;' ;!V !;' ; !;' ; ' ijjj;jkj ';j jjl ;!V R` ! ! - · !_ $`' , ` , `_ ) `_ `' ! - · !S_ $` , `_ ) · !S_ $`' , ` ) - מוסיפים צמתים פיקטיביים להגדרת בסיס שלם של ' , B_ :ומקבלים את הבסיס: B _B B ! ! ` Rבו יש % T - % 1איברים. `V ' <<< טענה: א( ל R` S! -תומך סופי /`'q , `_q 0 ב( ג( R` S! 7 0בקטע /`'q , `_q 0 ' B_q ∑`V'q R S! ! - 1 ` _ הוכחה: _ Sפעמים _ Sפעמים S _ .R` S! ! - · !Sתכונות ! `: _! · `'q _ , … , `_q א( ' `'q , … , `_q ijjjjjjjjkjjjjjjjjl ijjjjjjjjkjjjjjjjjl .1 .2 !; !; ` ! - 0אם 7 `_q ` ! - 1אם _ - `'qבתחום זה ` הוא הפרש מחולק מסדר kשל _ · !Sולכן שווה ל ,1-כי זו הנגזרת ה T! - T-מחולק ב.T!- סה"כ ` , `_ W 0 :עבור 7 `_qו ` , `' W 1-עבור `'qולכן ההפרש ביניהן שונה מ 0-רק ברווח .²`'q , `_q ³ 'q ! - 0אם 7 ג( p B_q ' ! - 1אם B –1 - );N$E, ! B_q ' ! 'q - טלסקופי ' B_q ∑`V'q R S! ! - ∑/` ! `' !0 ` _ ב( נניח ש R` S! -מתאפס בנקודה בקטע ,/`'q , `_q 0אז יש שני אפסים לנגזרת הראשונה, שלושה לשניה וכן הלאה עד kאפסים לנגזרת ה.T 1- ספליין ממעלה ) 1הנגזרת ה T 1-של ! (R` Sהוא אפס זהותי אם יש לו Tאפסים פנימיים. n `_q `'q : – ó - ! ! ' % 3 – Rאיברי בסיס ,לכולם תומך החותך את ) .$0,הצגת פולינום _, … , RB עבור נקודות במרווחים שווים ` -הבסיס ל -הוא ! _. ! - ∑B כללית ! : N ``V' g` R פתרון בעית אינטרפולציה ב £õ , … , £¤ -בעזרת :B-Splines נמצא ! המקיים ! ` ` ! - +לכל - 0, … ,ומקיים תנאי שפה . hh 0! - hh ! - 0הנעלמים הם: _dg` eB '`V 15 סיכומים למבחן באנליזה נומרית 1 ! _ ! - ∑B עבור! - + ! : V' g R אריאל סטולרמן אם | | 7 1אז R ! ! - 0 על אלכסון המטריצה) R ! ! - R! 2!! :מופיע בדף הנוסחאות( ומכאןR` ! ! - R! 2!! - R! 2! - : חישוב התרומה למערכת המשוואות מהתנאי : hh 0! - 0 0& g t ' `+ …%% g s v-s v t _% g …% t t u$ יהי Nעם צמתים - ( B -ונניח ¬¬ +רציפה ו + ` ! - ` !-לכל . - 0, … , אינטגרציה בחלקים t t 0 t t hh é - hhh $+ h h )Î ) % 2 hh + h h !|E % + hh hh ! Î % 2 hh ! + h h !|E % ïE + hh hh !Î ומכאן ש/-אי שלילי ïE + hh ! ïE hh ! - hh + h h !|E % ïE /+ hh !0 Î ïE / hh !0 Î - ïE + hh hh ! Î % 2 ïE hh · + hh hh !Î אינטגרציה בחלקים + 0 é é #é "0 " " "t !t ! ! - ·R é µ ! hh R 2! - p g' · é % g · X é Y % g · é - 0 é ¶ µR ! hh 2! - ´ אופטימליות של Splineממעלה :3 - … 0 & E ; % i+jk !j ;| l % V כי ! ; : ; !VF $ hhh $+ )Î * !ë כי על כל קטע זה פולינום ממעלה ; 'B ( ' - 2 ; # !`V ; " '2 ∑B ;`V ï " ! - מסקנה :מבין כל הפונקציות עם נגזרת שניה רציפה שמקיימות תנאי אינטרפולציה ב ,dx, e-,V -ה spline-הטבעי אופטימלי מבחינת מינימום ל- ! ,ïE hhוגם ה spline-שמתלכד עם ערכי הנגזרת בקצוות הוא אופטימלי. מערכת משוואות עם יותר משוואות מנעלמים: הבעיה :למצוא כך ש ,[w [ 1 -כאשר .Ë N cB : [[ - Û∑B`V ` - √ r ) wr w - wr ¸ wr ijוקטור השגיאות מאונך לעמודות .(A w jl הפתרון שמביא למינימום את [ [wהוא אותו הפותר את ! - 0 jkj <<< טענה: וקטור השגיאות הוכחה: ולכן לכל n [w¹ [ 3 [w [ :¹ ! - w¹ ! w¹ ! - w¹ w % w ! w¹ w % wr r [ [w¹ [w¹ [ w ! w¹ w!r w ij jjkj jjl % [w [ % 2 ijjjjjkjjjjjl . jkj ½!;'V ± !';½ ij jl Ç מתי קיים פתרון ל :wr w - wr -צריך ש wr w-תהיה רגולרית )הפיכה( .תנאי מספיק והכרחי – הדרגה של Aשווה למספר העמודות שלה. + 16 סיכומים למבחן באנליזה נומרית 1 אריאל סטולרמן – Splinesקירוב ריבועים מינימלי – :Least-Squares נניח נתונים ) .Z 0 ,¾+/ 0¿V , N $0, / ! _B ∑/ מחפשים splineממעלה ! 3 ` ! - ∑`V' Q` Rכך שV X/ 0 +/ 0Y 1 : ! _B _ - ∑Bבמטריצה :Aבשורה jבעמודה iנמצא R` ! / 0 Q` Rjkj ניצור מערכת של Mמשוואות עבור % 3נעלמים ' 0 +/ 0 :dQ` e`V jl `V' ij ` / F/rÆ 0
© Copyright 2025