1 סיכומים למבחן באנליזה נומרית

‫‪1‬‬
‫סיכומים למבחן באנליזה נומרית ‪1‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫סיכומים למבחן באנליזה נומרית ‪1‬‬
‫סמסטר ב' ‪) 2010‬פרופ' דוד לוין(‬
‫‪:Floating point‬‬
‫הצגת מספרים ב‪ 64-‬ביטים‪ :‬‬
‫… ‬
‫•‬
‫•‬
‫… ‬
‫‬
‫ ‪ :‬מייצגים את ה‪ ,mantissa-‬כאשר ‪ 1‬‬
‫ ‪ :‬מייצגים את ה‪E exponent-‬‬
‫‪ :‬מייצג את הסימן ‪S‬‬
‫‬
‫‬
‫ייצוג המספר‪1!" · $1 % · 2' % · 2' % ( % · 2' ) · 2*' :‬‬
‫•‬
‫זה אומר שייצוג עשרוני של מספר הוא בערך עד )כולל( הספרה ה‪ 15-‬מימין לנקודה‪.‬‬
‫סימוני ‪ O‬גדול ו‪ o-‬קטן‪:‬‬
‫עבור פונקציות ‪ +,‬נאמר‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫‪ + ! - ./ !0‬כאשר ∞ ‪ : 1‬קיים כך שלכל ‪ |+ !| 5 · | !| : 3‬עבור קבוע ‪ C‬כלשהו )שאיפת ! ‪ +‬כש‪ 1 ∞-‬חסומה‬
‫מנקודה מסויימת ע"י שאיפת ! (‪.‬‬
‫‪ + ! - / !0‬כאשר ∞ ‪ : 1‬לכל ‪ 6 7 0‬קיים כך שלכל ‪ ,|+ !| 6 · | !| : 3‬או לחילופין‪9 >?@ 0 :‬‬
‫נניח כי ‪ ,+ ! - . 1!, ! - ./+ !0 ,CB - C % ./ !0 ,AB - A % ./+ !0‬אז‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫‪AB % CB - A % C % ./+ !0‬‬
‫‪AB · CB - A · C % ./+ !0‬‬
‫שגיאה‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫~‬
‫!; ‪:‬‬
‫=‪< ;! ;1‬‬
‫‪.9‬‬
‫~‬
‫שגיאה אבסולוטית‪ :‬עבור ערך וקירוב השגיאה האבסולוטית היא‪EF - G G - H :‬‬
‫שגיאה יחסית‪L - 9 9 :‬‬
‫;‪M‬‬
‫;‬
‫~‬
‫‪ - IJK - L‬ככל שקרובה ל‪ ,1-‬כך הקירוב פחות טוב‪ .‬ככל שקרובה ל‪ ,0-‬כך הוא יותר טוב‪.‬‬
‫;';‬
‫;‬
‫משפט הקירוב של ‪) Weierstrass‬לא צריך ללמוד הוכחה(‪:‬‬
‫•‬
‫תהא ! ‪ +‬פונקציה רציפה ברווח סופי סגור ) ‪.$,‬‬
‫לכל ‪ 6 7 0‬קיים !‪) - 6‬תלוי ‪ (6‬ופולינום ממעלה ‪ B ! :‬כך שלכל ) ‪ N $,‬מתקיים‪.|+ ! B !| 6 :‬‬
‫כלומר כל ‪ 6 OPQ‬מגדיר פולינום המקרב אותנו עד כדי ‪ 6‬ל‪.+-‬‬
‫•‬
‫פולינומי ברנשטיין‪:‬‬
‫מרחב הפולינומים הוא מרחב וקטורי של פונקציות‪ .‬פולינומי ברנשטיין מוגדרים מעל )‪RSB ! - /BS0 S 1 !B'S , 0 T :$0,1‬‬
‫הם מהווים בסיס לפולינומים ממעלה ‪ .n‬תכונות‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪ N $0,1) ,RSB ! 3 0‬‬
‫‪) ∑BSV RSB ! W 1‬לפי הבינום(‬
‫ ‪∑BSV RSB ! W‬‬
‫‪S‬‬
‫‪B‬‬
‫‪RSB ! - X1 Y · % · - % . X Y‬‬
‫‬
‫‪B‬‬
‫!;' ;‬
‫‪B‬‬
‫‬
‫‬
‫‪B‬‬
‫‬
‫‪B‬‬
‫ ! ‪∑BSV X Y RSB‬‬‫‪S‬‬
‫‪B‬‬
‫‪S‬‬
‫‪B‬‬
‫‪∑BSV‬‬
‫בהוכחת משפט ‪ Weierstrass‬משתמשים בבניה‪ - B ! - ∑BSV + X Y · RSB ! :‬דוגמים את הפונקציה במרווחים של ‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪B‬‬
‫‬
‫‪B‬‬
‫‪2‬‬
‫סיכומים למבחן באנליזה נומרית ‪1‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫אם ‪ +‬רציפה ב‪ $0,1)-‬אז קיים ‪ M‬כך ש‪:‬‬
‫תכונת רציפות של פונקציה‪:‬‬
‫‪ |+ !| Z‬לכל )‪. N $0,1‬‬
‫•‬
‫לכל ‪ 6 7 0‬קיים ‪ H‬כך ש‪ |+ ! + !| 6-‬אם ‪. , N $0,1) ,| | H‬‬
‫•‬
‫אז קיים פולינום יחיד ממעלה ‪ n‬שהוא המקרב הטוב ביותר ל‪ +-‬בנורמת המקסימום‪.[+ B [ - max;N$E,) |+ ! B !| ,‬‬
‫•‬
‫משפט ‪) Chebyshev‬קירוב טוב ביותר(‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫תהא ! ‪ +‬פונקציה רציפה ברווח סופי סגור ) ‪.$,‬‬
‫‪ B‬הוא המקרב הטוב ביותר ל‪ +-‬בנורמת המקסימום אם יש ‪ % 2‬נקודות _‪ ( B‬כך ש‪:‬‬
‫‪|+ ` ! B ` !| - 1!` · 6 · [+ B [,‬‬
‫‪6 - /+ a ! B !0‬‬
‫אינטרפולציה ע"י פולינום‪:‬‬
‫תהי ‪ +: $, ) 1 c‬ונתונים ערכי ‪ +‬בנקודות ‪) , … , B‬שונות זו מזו(‪:‬‬
‫בעית האינטרפולציה‪:‬‬
‫שמקיים את תנאי האינטרפולציה‪.
` ! - + ` !, - 0, … , :‬‬
‫‪` !eB`V‬‬
‫‪ .d+‬רוצים למצוא פולינום ‪) N ΠB‬מרחב הפולינום ממעלה ‪( 3‬‬
‫<<< הוכחת יחידות פולינום אינטרפולציה‪:‬‬
‫נניח כי ‪ , g N ΠB‬שני פולינומים שמקיימים את תנאי האינטרפולציה‪ ,‬ונגדיר פולינום הפרש‪ .P - g :‬ברור כי ‪ P N ΠB‬ולכל ‪ - 0, … ,‬מתקיים‬
‫‪ .P ` ! - ` ! g ` ! - 0‬כיוון שזהו פולינום ממעלה לכל היותר ‪ n‬והוא מתאפס ב‪ % 1-‬נקודות אזי ‪) P W 0‬לפי טענת העזר להלן(‪.‬‬
‫טענת עזר‪ :‬אם ‪ P N ΠB‬ו‪ P ` ! - 0-‬לכל ‪) - 0, … ,‬נקודות שונות( אז ‪.P W 0‬‬
‫הוכחה‪ :‬כיוון ש‪ P ! - 0-‬אז ניתן להוציא גורם משותף ! ע"י פיתוח טיילור סופי סביב ‪:‬‬
‫הפיתוח לעיל סופי כי ‪W 0‬‬
‫!_‪B‬‬
‫! ‪P hh a‬‬
‫( ‪ ! %‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P ! - P ! % P h ! ! %‬‬
‫‪V‬‬
‫‪h‬‬
‫‪ P ! - ! · Pij‬ו‪ .P N ΠB'-‬ניתן להמשיך כך‬
‫‬
‫‪ P‬כי ‪ r‬פולינום ממעלה לכל היותר ‪ .n‬מכאן ש‪(-‬‬
‫‪jkj‬‬
‫‪jl‬‬
‫‪! %‬‬
‫‪I ;!m‬‬
‫להוציא את כל הגורמים עד ש‪ P ! - ! ! · … · B' ! · PB !-‬ו‪ .PB N Π-‬כיוון ש‪) PB B ! - 0-‬זה החלק ב‪ P !-‬שמאפס את‬
‫הפולינום עבור ‪ (B‬אז בהכרח ‪ PB W 0‬ולכן ‪n .P W 0‬‬
‫נשתמש בבסיס המונומים ‪ d1, , , … , B e‬למרחב ‪ .ΠB‬מחפשים ‪ ! - % % % ( % B‬כך ש‪ ` ! - + ` !-‬לכל ‪. - 0, … ,‬‬
‫<<< הוכחת קיום ‪ +‬יחידות )על הדרך( פולינום אינטרפולציה‪:‬‬
‫! ‬
‫! ‬
‫‪v 1 w · x - x‬‬
‫‪t‬‬
‫! ‪B‬‬
‫ניצור מערכת משוואות‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪∏`,V‬‬
‫מתקיים‪`  ! :‬‬
‫הוא יחיד‪n .‬‬
‫€`‬
‫‬
‫‪+‬‬
‫‬
‫‪+‬‬
‫‪·s t v-s‬‬
‫‪B‬‬
‫‪+‬‬
‫‪-‬‬
‫‪|EB}JIqaB}J‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪v‬‬
‫‪t‬‬
‫‪BB‬‬
‫…‬
‫…‬
‫‪u‬‬
‫…‬
‫‪B‬‬
‫‬
‫ ‪1‬‬
‫! ‪
! - % % % ( % B B - +‬‬
‫ ‪p >???@ s1‬‬
‫…‪o‬‬
‫‪qErI`; t‬‬
‫‪t‬‬
‫‬
‫‪B‬‬
‫! ‪
B ! - % B % B % ( % B B - + B‬‬
‫‪1 B‬‬
‫|‪ det w! - |w‬וכיוון שכל  שונים זה מזה אז ‪ |w|  0‬ומכאן שקיים פתרון למערכת המשוואות ופתרון זה‬
‫אינטרפולצית ‪:Lagrange‬‬
‫בסיס ‪:Lagrange‬‬
‫עבור בעית אנטרפולציה נתונה עם נקודות ‪ , … , B‬נגדיר בסיס ל‪N ΠB , 0 T :ΠB -‬‬
‫‚;';‬
‫‚;' ƒ;‬
‫‪OS ! - ∏B`V‬‬
‫‪`„S‬‬
‫‪1, † - Tp‬‬
‫… ‪.OS / 0 - H,S -‬‬
‫כל פולינום כזה הוא ממעלה לכל היותר ‪ n‬כי יש לכל היותר ‪ n‬גורמים במכפלה )מדלגים על ‪ .(k‬מתקיים‪:‬‬
‫‪0, †  T‬‬
‫הקבוצה ‪ dOS eBSV‬היא בסיס‪ :‬גודלה ‪ % 1‬ולכן מספיק להראות שאיבריה בת"ל‪ .‬נניח ‪ Q O ! % ( % QB OB ! - 0‬ונציב ‪ .‬לכל ‪† - 0, … ,‬‬
‫מתקיים‪ ,Q · O / 0 % ( % Q · O / 0 % ( - 0 :‬כלומר ‪ .Q - 0‬מכאן שהקבוצה בת"ל‪ ,‬ולכן זהו אכן בסיס‪.‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪3‬‬
‫סיכומים למבחן באנליזה נומרית ‪1‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫פתרון אינטרפולציה עם פולינומי ‪:Lagrange‬‬
‫פתרון האינטרפולציה‪
B ! - ∑BSV + S ! · OS ! :‬‬
‫כיוון שלכל ‪ † - 0, … ,‬מתקיים‪
/ 0 - ∑BSV + S ! · OS  ! - ∑BSV + S ! · H,S - +/ 0 :‬‬
‫אינטרפולציית ‪:Newton‬‬
‫'‪ - d1, !, ! !, … , ∏B‬כל הוספת נקודה נוספת לא משנה את כל איברי הבסיס‪ ,‬בניגוד‬
‫נשתמש בבסיס ‪`V ` !e :‬‬
‫לאינטרפולציית ‪.Lagrange‬‬
‫בהינתן פתרון עבור נקודות ‪ S N ΠS : , … , S‬המקיים ‪ S ` ! - + ` !, - 0, … , T‬נמצא פתרון עבור נקודה נוספת _‪:S‬‬
‫! ` ‪ ,
S_ ! - S ! % w · ∏S`V‬כאשר ‪ w‬קבוע אותו מחלצים מתוך ! ` _‪.
S_ S_ ! - S S_ ! % w · ∏S`V S‬‬
‫פתרון אינטרפולציה בבסיס ניוטון‪:‬‬
‫פתרון האינטרפולציה‪  0 :‬‬
‫'‪∏S‬‬
‫‪V /‬‬
‫•‬
‫‪+$ , , … , S ) -‬‬
‫הפרשים מחולקים‪:‬‬
‫•‬
‫! ‪+$ ) - +‬‬
‫) ‡ƒ;‪:$; ,…,;ƒ )':$; ,; ,…,‬‬
‫;' ƒ;‬
‫·‬
‫) ‪∑BSV +$ , , … , S‬‬
‫‪ B ! -‬כאשר ) ‪ +$ , , … , S‬הוא הפרש מחולק מסדר ‪.k‬‬
‫הערה‪ :‬הסדר הפנימי בתוך ההפרש המחולק לא משנה‪.‬‬
‫<<< הוכחת נכונות אינטרפולצית ‪:Newton‬‬
‫•‬
‫•‬
‫נניח ! '‪ S‬פולינום הפותר את בעית האינטרפולציה עבור נקודות '‪. , … , S‬‬
‫נניח ! '‪ gS‬פולינום הפותר את בעית האינטרפולציה עבור נקודות ‪. , … , S‬‬
‫נבנה ! ‪ S‬פולינום הפותר את הבעיה עבור כל הנקודות ‪· S' ! : , … , S‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫! ‪ - S ! - 0 % 1 · S' ! - +‬מהגדרת '‪
S‬‬
‫! ‪ S S ! - 1 · gS' S ! % 0 - + S‬מהגדרת '‪gS‬‬
‫! ` ‪· + ` ! - 1 · + ` ! - +‬‬
‫‚;' ƒ;_ ;' ‚;‬
‫;' ƒ;‬
‫ ! ` '‪· S‬‬‫! ‚; ‪V:‬‬
‫‚;' ƒ;‬
‫;' ƒ;‬
‫;' ƒ;‬
‫;' ƒ;‬
‫‪· gS' ` ! %‬‬
‫! ‚; ‪V:‬‬
‫‪· gS' ! %‬‬
‫;' ‚;‬
‫;' ƒ;‬
‫;';‬
‫;' ƒ;‬
‫‪
S ` ! -‬‬
‫נשים לב שמקדם החזקה הגבוהה הפולינום הוא ההפרש המחולק האחרון ) ‪+$ , … , S' ) :+$ , … , S‬‬
‫הערה‪ :‬הוכחה זו היא הוכחה באינדוקציה כאשר ההנחה ל‪ T 1-‬נותנת שני פולינומים שונים‪.‬‬
‫‪ .
S ! m‬מתקיים‪:‬‬
‫'‬
‫;' ƒ;‬
‫‪+$ , … , S ) %‬‬
‫‬
‫;' ƒ;‬
‫‪n‬‬
‫<<< משפט‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫אם ) ‪ +: $,‬בעלת ‪ k‬נגזרות רציפות ו‪ , … , S N $, ) ,`   -‬‬
‫אז יש ) ‪ ˆ N $,‬כך ש‪-‬‬
‫!‰ !ƒ ‪:‬‬
‫!‪S‬‬
‫‪+$ , … , S ) -‬‬
‫נגדיר ! ‪ S ! m + ! S‬כאשר ! ‪ S‬פתרון אינטרפולציה בנקודות ‪ . , … , S‬ב‪ T % 1-‬הנקודות הללו מתקיים ‪ ,S ` ! - 0‬ומכאן של‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫! ‪ Sh‬יש ‪ k‬אפסים לפחות בקטע ) ‪) $,‬לפי משפט שבין כל שני אפסים של ‪ +‬יש ל‪ + h -‬אפס(‪ .‬ל‪ Shh !-‬יהיו לפחות ‪ T 1‬אפסים ב‪ $, )-‬וכך הלאה‬
‫עד של‪ SS! !-‬יהיה לפחות אפס אחד בקטע ) ‪.$,‬‬
‫‹ קיים ) ‪ ˆ N $,‬כך ש‪ .SS! ˆ! - 0 -‬כיוון ש‪! SS! !-‬‬
‫!‪S‬‬
‫‪ SS! ! - +‬אז ‪ˆ! SS! ˆ! - 0‬‬
‫מקדמי ‪ (
S‬ו‪ QS - +$ , … , S )-‬כיוון שזה מקדם החזקה הגבוהה ביותר ב‪.
S !-‬‬
‫!‰ !ƒ ‪:‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫!‪S‬‬
‫‪ˆ! +$ , … , S ) · T! - 0 Œ +$ , … , S ) -‬‬
‫השגיאה באינטרפולציה‪:‬‬
‫נוסחת השגיאה‪:‬‬
‫!‪S‬‬
‫‪n +‬‬
‫השגיאה בנקודה לפולינום אינטרפולציה ‪ B‬בנקודות ‪ , … , B‬היא‪ ` ! :‬‬
‫‪∏B`V‬‬
‫!‪S‬‬
‫‪ .+‬נשים לב כי !‪ Q` ) SS! - QS · T‬הם‬
‫· ) ‪+ ! B ! - +$ , … , B ,‬‬
‫‪4‬‬
‫סיכומים למבחן באנליזה נומרית ‪1‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫לפי בניית ‪ B‬מתקיים ! ` ‪ + ` ! - B‬לכל ‪ , - 0, … ,‬כלומר ‪ .B ` ! - 0‬יהי ‪ ,  d , … , B e‬נבנה פולינום אינטרפולציה _‪ B‬ב‪-‬‬
‫<<< הוכחה לנוסחת השגיאה‪:‬‬
‫ ‪ - B_ Ž! - B Ž! % +$ , … , B , ) · ∏B`V Ž ` ! : , … , B ,‬לפי בניית ‪ .Newton‬מהבניה מתקיים‪ B_ ! - + ! :‬ולכן‪:‬‬
‫! ` ‪ - B ! - + ! B ! - B_ ! B ! - +$ , … , B , ) · ∏B`V‬כנדרש ‪n‬‬
‫מסקנה מנוסחת השגיאה והמשפט הקודם‪:‬‬
‫אם ‪ +‬בעלת ‪ % 1‬נגזרות רציפות‪· ∏B`V ` ! :‬‬
‫בד"כ לא ניקח את !ˆ‬
‫!_‪B‬‬
‫!‰ ! ‪:‬‬
‫!!_‪B‬‬
‫‪ + ! B ! -‬כאשר ˆ ברווח המכיל את ‪. , … , S ,‬‬
‫‪ +‬אלא חסם עליון לנגזרת ה‪ % 1-‬בקטע‪ .‬נוסחת השגיאה מתאימה גם ל‪ -‬מחוץ לרווח האינטרפולציה‪.‬‬
‫‪ .1‬אינטרפולציה בנקודות שוות מרחק ב‪:$‘, ’)-‬‬
‫מקרים מיוחדים של בחירת נקודות אינטרפולציה‪:‬‬
‫עבור “ ‪, - 0, … , ,` - %‬‬
‫‪'E‬‬
‫‬
‫‪ - “ -‬נקודות במרווחים קבועים באורך ‪ h‬החסם העליון לשגיאה‪:‬‬
‫‪ .2‬אינטרפולציה בנקודות ‪:Chebyshev‬‬
‫‪1‬‬
‫_‪· “B‬‬
‫!‪4 % 1‬‬
‫· ‪!G‬‬
‫!_‪B‬‬
‫‪|+ ! B !| max G+‬‬
‫)‪;N$E,‬‬
‫נקודות האינטרפולציה יהיו שורשי פולינום ‪ .Chebyshev‬פולינום ‪ Chebyshev‬ממעלה ‪:n‬‬
‫•‬
‫•‬
‫נוסחה ישירה‪•B ! - cos · PQQ ! :‬‬
‫‪• ! - cos 0! - 1‬‬
‫נוסחת נסיגה‪p :‬‬
‫ ‪) o• ! - cos PQQ ! -‬נובעת מהזהות הטריגונומטרית‪(cos$ T % 1!Θ) - 2 cos Θ cos TΘ cos$ T 1!Θ) :‬‬
‫! '‪•S_ ! - 2 · •S ! •S‬‬
‫בקטע )‪ $1,1‬הפולינום חסום ע"י ‪) 1‬חסם ל‪ .(cos-‬בגלל תחום ההגדרה של ‪ ,arcos‬כדי להשתמש בפולינום זה צריך העתקה )‪:$, ) 1 $1,1‬‬
‫•‬
‫•‬
‫לקירוב ) ‪ !, N $,‬נגדיר‪Y , N $1,1) :‬‬
‫בהינתן קירוב ‪ B‬ל‪ ,+-‬נעתיק חזרה ל‪Y :$, )-‬‬
‫תכונות ! ‪:•B‬‬
‫•‬
‫•‬
‫‪'E‬‬
‫‬
‫‬
‫'‪E‬‬
‫‪%‬‬
‫‬
‫‪) + ! m X‬הזזה וכיווץ לקטע )‪.($1,1‬‬
‫_‪E‬‬
‫‬
‫_‪E‬‬
‫'‪E‬‬
‫‪. ! š B X‬‬
‫נקודות האקסטרמום של ! ‪ •B‬הם‪ - cos X B Y , † - 0, … , :‬‬
‫›‬
‫ערכי הפולינום בנקודות האסטרמום הם ‪ œ1‬לסירוגין‪G•B / 0G - 1 :‬‬
‫_‪max | B % B' % B' % ( % B | 3 max |2'B_ · •B !| - 2'B‬‬
‫<<< משפט‪:‬‬
‫)‪;N$',‬‬
‫כלומר שורשי פולינום ‪ Chebyshev‬מביאים למינימום את ! ` ‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫הביטוי ! ‪· •B‬‬
‫‪ 2‬מקבל ערכי אקסטרמום‬
‫_‪'B‬‬
‫‪∏B`V‬‬
‫עבור ‪ N $1,1)/‬‬
‫)‪;N$',‬‬
‫‪ œ2‬לסירוגין בקטע )‪ $1,1‬ב‪ % 1-‬נקודות‪ .‬נניח שקיים ‪% ( % B‬‬
‫_‪'B‬‬
‫'‪B‬‬
‫ ‪gB ! - %‬‬
‫‪B‬‬
‫המקיים‪ .max;N$',) |gB !| 2'B_ :‬כיוון ש‪ gB !-‬חסום בין _‪ œ2'B‬הוא חותך את ! ‪ 2'B_ · •B‬בין כל שתי נקודות אקסטרמום סמוכות‪,‬‬
‫_‪'B‬‬
‫‪) PB ! - 2‬שני רכיבי ה‪ B -‬מאפסים אחד את השני(‪.‬‬
‫‪· •j‬‬
‫‪! g‬‬
‫‪ij‬‬
‫‪jjkj‬‬
‫‪ikl‬‬
‫‪Bjl‬‬
‫כלומר לפחות ב‪ -‬נקודות‪ .‬בנקודות אלו ההפרש מתאפס‪B ! N ΠB' :‬‬
‫(_  ;‪V‬‬
‫(_  ;‪V‬‬
‫‹ כיוון ש‪ PB -‬הוא פולינום ממעלה ‪ 1‬לכל היותר ומתאפס ב‪ -‬נקודות אזי ‪n .PB W 0‬‬
‫שגיאת האינטרפולציה בנקודות ‪:Chebyshev‬‬
‫שגיאת האינטרפולציה ב‪ % 1-‬שורשי ! _‪) •B‬פולינום ממעלה ‪:(n‬‬
‫‪2'B‬‬
‫!!‪ % 1‬‬
‫‪ž!G‬‬
‫!_‪B‬‬
‫! ` ‪∏B`V‬‬
‫‪ max G+‬‬
‫)‪N$',‬‬
‫!!‪ % 1‬‬
‫‪ž!G‬‬
‫!_‪B‬‬
‫‪|+ ! B !| max G+‬‬
‫)‪N$',‬‬
‫חסם זה נובע מבחירת ` להיות ‪ % 1‬שורשי ! _‪ •B‬כדי להביא למינימום את |! ` ‪max;N$',) |∏B`V‬‬
‫‪5‬‬
‫סיכומים למבחן באנליזה נומרית ‪1‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫פתרון משוואות לא לינאריות‪:‬‬
‫משוואה לא לינארית‪ :‬רוצים למצוא עבור ‪ +‬כלשהי שורש ‪ ,‬כלומר המקיים ‪.+ ! - 0‬‬
‫שגיאה‪ :‬עבור סדרת קירובים לשורש Ÿ‪ dB e :‬נוסחת השגיאה היא‪. B - B :‬‬
‫סדר התכנסות‪ :‬שיטה תהיה מסדר ‪ p‬אם מתקיים‪|B_ | Q · |B | :‬‬
‫שיטת החציה‪:‬‬
‫עבור שתי נקודות ‪ ,‬המקיימות ‪) + ! · + ! 0‬סימנים הפוכים(‪ ,‬בודקים את ‪Y‬‬
‫‪ + X‬וממשיכים לחצי בו מכפלת ערכי הפונקציה עדיין שלילית‪.‬‬
‫_‪E‬‬
‫‬
‫סדר התכנסות‪ |B_ | |B| :‬כיוון שבכל צעד מקטינים את הקטע פי שניים מהקודם‪ .‬מכאן ש‪.
- 1 :‬‬
‫‬
‫‬
‫שיטת המיתר‪:‬‬
‫בהינתן שתי נקודות '‪ ,B , B‬מוצאים את _‪ B‬באופן הבא‪ :‬מוצאים את הישר העובר ב‪) B , B'-‬אינטרפולציה לינארית(‪ ,‬ולוקחים את _‪ B‬להיות‬
‫חיתוכו עם ציר ה‪ .-‬הנוסחה‪:‬‬
‫סדר התכנסות‪:‬‬
‫√_‬
‫שיטת ‪:Newton‬‬
‫‬
‫! '‪+ B‬‬
‫! '‪ B‬‬
‫‪+ B ! + B' ! B‬‬
‫‪
-‬‬
‫ '‪B_ - B‬‬
‫בהינתן ‪ B‬מחשבים פיתוח טיילור מסדר ראשון סביבה – זו משוואת המשיק‪ B_ .‬תהיה נקודת החיתוך שלו עם ציר ה‪ .-‬הנוסחה‪:‬‬
‫! ‪+ B‬‬
‫! ‪+ h B‬‬
‫סדר התכנסות‪
- 2 :‬‬
‫ ‪B_ - B‬‬
‫אנליזה של התכנסות לנקודת שבת של הפונקציה ‪ ¢‬של שיטה איטרטיבית מהצורה ! ‪:£¤_¥ - ¢ £¤‬‬
‫תהי המקיימת עבור ) ‪:¦ - $,‬‬
‫<<< משפט נקודת השבת‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫¦ § !¦ ‬
‫) ‪ N 5$,‬‬
‫ גזירה ב‪ $, )-‬ו‪!| T 1-‬‬
‫‪|h‬‬
‫לכל ) ‪. N $,‬‬
‫אז האיטרציות ! ‪ B_ - B‬מתכנסות לכל תנאי התחלה ) ‪ N $,‬לנקודת שבת יחידה ב‪.$, )-‬‬
‫קיום‪ :‬תהי ) ‪ ,: $, ) 1 $,‬אז ! ‪ ! 3 ,‬ומכאן עבור ! ‪ “ ! m‬מתקיים‪.“ ! 3 0, “ ! 0 :‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫כיוון ש‪ h-‬סכום שתי פונ' רציפות‪ ,‬היא רציפה ב‪ ,$, )-‬ולכן קיימת ) ‪ ˆ N $,‬כך ש‪ ,“ ˆ! - 0-‬ומכאן ש‪ - ˆ! - ˆ -‬קיימת נקודת שבת‪.‬‬
‫יחידות‪ :‬נניח כי גם ž ‪) ž! -‬נקודת שבת נוספת(‪ ,‬אז‪h ¨! ž ˆ! :‬‬
‫‪-‬‬
‫משפט ערך‬
‫הביניים לנגזרת‬
‫!ˆ !ž ‪ž ˆ -‬‬
‫‹ ˆ ‪) |ž ˆ| - |h ¨! ž ˆ!| T · |ž ˆ| ©ª« |ž ˆ| - 0 Œ ž -‬כי ‪( - T, T 1 Œ - 0‬‬
‫€‪S‬‬
‫הוכחת התכנסות‪ :‬תהי Ÿ נקודת השבת היחידה ב‪ .$, )-‬נבדוק התכנסות‪:‬‬
‫‪h ¨! B Ÿ ! - h ¨! · B‬‬
‫מציאת תחום התכנסות‪ :‬מוצאים את התחום בו‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫‪|h !| 1‬‬
‫) ‪$, ) § $,‬‬
‫‪-‬‬
‫משפט ערך‬
‫הביניים לנגזרת‬
‫! Ÿ ! ‪ B‬‬
‫‪-‬‬
‫! Ÿ; <‪;Ÿ V‬‬
‫Ÿ ! ‪ - B_ - B_ Ÿ - B‬השגיאה באיטרציה ה‪ % 1-‬‬
‫‪Œ |B_ | T · |B |, 0 T 1 Œ |B | >??@ 0 n‬‬
‫=‪B1‬‬
‫‪6‬‬
‫סיכומים למבחן באנליזה נומרית ‪1‬‬
‫אם גזירה ברציפות בקטע פתוח סביב נקודת שבת Ÿ שלה ו‪Ÿ !| 1-‬‬
‫<<< טענת קיום סביבת התכנסות‪:‬‬
‫תנאי התחלה ¦ ‪. N‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫בגלל ש‪ ¬-‬רציפה קיימת סביבה של Ÿ כך ש‪!| T 1-‬‬
‫‪|h‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪|h‬‬
‫אז קיימת סביבה‪ ¦ - $Ÿ 6, Ÿ % 6) :‬כך ש‪ B_ - B !-‬מתכנס לכל‬
‫לכל )‪) N $Ÿ 6, Ÿ % 6‬הסביבה(‪ .‬עבור ž ברווח בין ל‪) Ÿ -‬תלוי מי גדול יותר(‪:‬‬
‫)‪ ! Ÿ - ! Ÿ ! - ž! Ÿ ! Œ | ! Ÿ | T · | Ÿ |, N $Ÿ 6, Ÿ % 6‬‬
‫לכן ברווח זה מתקיימים תנאי המשפט )כולל הכלה של תמונת ברווח(‪ ,‬ולכן מכל ב‪ I-‬יש התכנסות‪n .‬‬
‫<<< הוכחת סדר התכנסות ¯ ‪ ® -‬לשיטת ‪:Newton‬‬
‫טענה‪ :‬אם Ÿ שורש של ‪ +‬ו‪ + h Ÿ !  0-‬אז איטרצית ניוטון מקיימת‪Ÿ !| 1 :‬‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ h Ÿ ! - 0‬אז סדר שיטת ניוטון הוא ‪|B_ | Q · |B | :2‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח כי ¬¬ רציפה בסביבת Ÿ ונפתח את ! ‪ B‬בטור סביב Ÿ‪:‬‬
‫‪|h‬‬
‫‪h‬‬
‫ע"ב‬
‫ויש סביבה של Ÿ בה איטרצית ניוטון מתכנסת‪.‬‬
‫!ž ‬
‫!ž ‪hh‬‬
‫ !ž ‪hh‬‬
‫‪B_ - B_ Ÿ - B ! Ÿ ! - Ÿ ! % h Ÿ ! · B Ÿ ! %‬‬
‫ ! Ÿ ! Ÿ ‪B‬‬‫ ! Ÿ ‪B‬‬‫‪B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ijjjjjjjjjjjjjkjjjjjjjjjjjjjl‬‬
‫‪V‬‬
‫‪hh‬‬
‫¬¬ חסומה בסביבה )‪ $Ÿ 6, Ÿ % 6‬ולכן מתקיים | ‪n |B_ | Q · |B‬‬
‫‪°E±KaI‬‬
‫אינטרפולציה לפונקציה ונגזרותיה – אינטרפולצית ‪:Hermite‬‬
‫נתונות נקודות ‪ d` eS`V‬עם ערכים ! `‬
‫!‬
‫‪) † - 0, … , ` 1 ,+‬סה"כ ` ערכים לכל `(‪.‬‬
‫משפט אינטרפולציה לפונקציה ונגזרותיה )לא צריך ללמוד הוכחה(‪:‬‬
‫קיים פולינום יחיד ‪ B‬ממעלה ‪ - ∑S`V ` 1‬המקיים ! `‬
‫!‬
‫‪` ! - +‬‬
‫!‬
‫‪
B‬‬
‫עבור ‪:† - 0, … , ` 1 ,1 T‬‬
‫! ` ‪ B ! - ∑BV +² , … ,  ³ · ∏`V‬כאשר … ‪ - - - ( - q ' , - q - q _ - ( - q _q ' ,‬‬
‫'‬
‫השגיאה‪+ ! B ! - +$ , … , B , ) · ∏BV/  0 :‬‬
‫לכל נקודה מצמידים מספר ים בהתאם לריבוי שלה – כלומר בהתאם ל‪ ` -‬שלה‪ :‬לכל ` ה‪-‬ים יהיו ' ‚‪.q‚‡ , … , q‬‬
‫הפרשים מחולקים במקרה הכללי‪:‬‬
‫כאשר מתאפשרות נקודות עם ריבוי‪ ,‬ואם נניח כי _` `‪:‬‬
‫מערכת משוואות לינאריות‪:‬‬
‫!‪S‬‬
‫! ‬
‫‪·+‬‬
‫‪ - - ( - S‬‬
‫‪µ T! ,‬‬
‫‪p‬‬
‫ ) ‪+$ , … , S‬‬‫‪¶+$ , … , S ) +$ , … , S' ) ,‬‬
‫אחרת‬
‫‪µ‬‬
‫ ‪S‬‬
‫´‬
‫נורמות של מטריצות ווקטורים‪:‬‬
‫תכונות נורמות‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫‪[[ - 0 ¸ - 0 ,[[ 3 0‬‬
‫[[ · |‪ [A[ - |A‬עבור סקלר ‪.A‬‬
‫אשמ"ש‪[ % ¹[ [[ % [¹[ :‬‬
‫נורמות וקטוריים‪ :‬יהי וקטור ממימד ‪n‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫| `|‪[[ - ∑B`V‬‬
‫‬
‫‪ º‬‬
‫! | `|‪[[ - ∑B`V‬‬
‫נורמת מקסימום )אינסוף(‪[[= - max»`»B |` | :‬‬
‫‪7‬‬
‫סיכומים למבחן באנליזה נומרית ‪1‬‬
‫נורמות מטריצות‪:‬‬
‫עבור ‪:w N ZB¼B c!, N cB‬‬
‫•‬
‫•‬
‫[[ · [‪[w[ [w‬‬
‫[;½[‬
‫[;[‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫„[;[‪ [w[ - max‬ולכל ‪ N cB‬מתקיים‪:‬‬
‫אשמ"ש‪[w % R[ [w[ % [R[ :‬‬
‫כל נורמה ‪ p‬של וקטורים משרה נורמה ‪ p‬של מטריצות‪.‬‬
‫¿‪ - [w[ - max»`»B ¾∑B`VG` G‬נורמה ‪ 1‬של מטריצה היא מקסימום סכום ע"מ בעמודות‪.‬‬
‫<<< הגדרת נורמת מקסימום למטריצות‪:‬‬
‫עבור ‪ w - /` 0`,V‬מתקיים‪ - [w[= - max»`»B ¾∑BVG` G¿ :‬נורמת מקסימום של מטריצה היא מקסימום סכום ע"מ בשורות‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫נסמן  ·‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫` ‪∑BV‬‬
‫‪ . w!` -‬נחסום מלמעלה‪:‬‬
‫∑·‪ÀÁÂÃÆÏG;Æ G‬‬
‫‪ÆÇGE‚Æ G‬‬
‫‪Ä-‬‬
‫| ‚;| ‪ÀÁÂÂÃ‬‬
‫‪Å! | w!` | ∑BVG` G · G G max»»B G G · ∑BVG` G‬‬
‫‪Ä max[;[„ … max‬‬
‫‪»`»B‬‬
‫‪max»`»B ∑BVG` G ,‬‬
‫כדי להוכיח שוויון מספיק להראות שוויון עבור וקטור יחיד כך ש‪. [;[ È - max»`»B ¾∑BVG` G¿ :‬‬
‫[;½[‬
‫‪È‬‬
‫!‪Å‬‬
‫‪-‬‬
‫| ‚!;½ | ‪ÀÁÂ‬‬
‫‪[w[= - max[;[„ … ÂÃ‬‬
‫| ‚;|‪ÀÁÂÂÃ‬‬
‫לא תלוי ב'‪Â‬‬
‫¿‪max[;[„ ¾max»`»B ∑BVG` G‬‬
‫קיימת ב‪ A-‬שורה Ÿ‪ É‬כך ש‪ .∑BVGʟ G 3 ∑BVG` G , Ë :‬נגדיר את כך ש‪)  m /ʟ 0-‬וקטור של ‪.([[= - 1 - 0, œ1‬‬
‫Œ ‪- ∑BVGʟ G‬‬
‫מכאן שעבור ה‪ -‬שבחרנו מתקיים‪[w[= 3 ∑BVGʟ G 3 max»`»B ∑BVG` G :‬‬
‫‪ Ì‬‬
‫‪VF`<B/EÍŸÆ 0‬‬
‫‪-‬‬
‫· Ÿ‪[w[= - max»`»B G∑BV `  G 3 Ì∑BV Ê‬‬
‫‪[½;[È‬‬
‫‪[;[È [;[ÈV‬‬
‫‹ הראנו את אותו חסם משני הצדדים ולכן מתקיים‪n [w[= - max»`»B ∑BVG` G :‬‬
‫‪[w[= -‬‬
‫הערכת שגיאה‪:‬‬
‫נניח נתון פתרון מקורב Ÿ למערכת ‪ ,w -‬והשגיאה היא Ÿ ‪ . -‬ניתן להציב כדי לבדוק קירוב‪.P m wŸ :‬‬
‫•‬
‫‪ P - wŸ - w wŸ - w Ÿ ! - w‬ומכאן‪[P[ [w[ · [[ :‬‬
‫•‬
‫‪ - w' P‬ומכאן‪[[ [w' [ · [P[ :‬‬
‫•‬
‫‪ - w‬ומכאן‪[[ [w[ · [[ :‬‬
‫•‬
‫‹ מהשניים הנ"ל נובע‪ [[ [w' [ · [P[ :‬‬
‫[‪[I‬‬
‫[½[‬
‫ '‪ - w‬ומכאן‪[[ [w' [ · [[ :‬‬
‫‹ מהשניים הנ"ל נובע‪ [[ [w' [ · [[ :‬‬
‫לסיכום‪· [[ [;[ [w[ · [w' [ · [[ :‬‬
‫[‪[I‬‬
‫[‪[J‬‬
‫[‪[I‬‬
‫לאבד בדיוק פתרון משוואה לינארית‪.‬‬
‫‬
‫[ ‡½[·[½[‬
‫[[‬
‫[½[‬
‫‪ - QÎ w! m [w[ · [w' [ ,‬ה‪ condition number-‬חסם למספר הספרות שעלולים‬
‫שיטות איטרטיביות לפתרון מערכת משוואות לינאריות מהצורה ’ ‪:Ï£ -‬‬
‫בהינתן מערכת ‪ w -‬נעביר לצורה ‪% Q‬‬
‫!‪B‬‬
‫‪- R‬‬
‫!_‪B‬‬
‫ כאשר האינדקס העליון הוא אינדקס האיטרציה‪ ,‬וזה נראה כמו משהו עם נקודת שבת‪.‬‬
‫בצורה מטריציונית‪ ,R - ¦ Ðw, Q - Ð :‬נרצה למצוא ‪ G‬הפיכה )סינגולרית( כזו כך ש‪ - ¦ Ðw! % Ð :‬‬
‫‪8‬‬
‫סיכומים למבחן באנליזה נומרית ‪1‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫שיטת ‪:Jacobi‬‬
‫כאשר האלכסון שונה מאפס‪ ,‬מבודדים אותו‪:‬‬
‫‚‬
‫‚‚‪E‬‬
‫‪%‬‬
‫!‪B‬‬
‫‬
‫ ``‪E‬‬
‫‪E‚Æ‬‬
‫בצורה מטריציונית‪:‬‬
‫‪w - Œ 1 : ∑BV `  - ` Œ `` ` - ∑BV `  % ` Œ ` B_! - ∑BV‬‬
‫`„‬
‫`„‬
‫נסמן ‪ D‬את מטריצת האלכסון של ‪ L ,A‬מטריצת האיברים שתחת האלכסון ו‪ U-‬מטריצת האיברים מעל האלכסון‪.w - Ñ % Ò % Ó :‬‬
‫כאן ' ‪Ò - Ñ % Ó! % Œ - Ò ' Ñ Ó! % Ò' - Ð - Ò‬‬
‫<<< משפט‪:‬‬
‫אם ‪ [R[ 1‬אז התהליך האיטרטיבי ‪% Q‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫!‪B‬‬
‫‪- R‬‬
‫!_‪B‬‬
‫ מתכנסת לפתרון יחיד של ‪ - R % Q‬מכל וקטור התחלתי‬
‫כדי להראות קיום ויחידות ל‪ - R % Q-‬מספיק להראות של‪ - R-‬יש רק פתרון טרוויאלי‪ .‬נניח ש‪ - R -‬אז‪:‬‬
‫!‬
‫ )נכון לכל נורמה(‪.‬‬
‫‪[[ - [R[ [R[ · [[ Œ [[ [[ Œ [[ - 0‬‬
‫€‬
‫‹ הוא וקטור ה‪ 0-‬ומכאן שיש פתרון טרוויאלי בלבד למשוואה ההומוגנית ולכן יש פתרון יחיד למשוואה הלא הומוגנית ‪n . - R % Q‬‬
‫השגיאה‪:‬‬
‫ביטוי לשגיאה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫אם ‪- s v‬‬
‫‪t‬‬
‫‪0‬‬
‫!‬
‫!_‪B‬‬
‫‪-‬‬
‫ אז ‪-‬‬
‫!‬
‫!_‪B‬‬
‫ והוא מתכנס ל‪ 0-‬כש‪ 1 ∞-‬מכל תנאי התחלה‬
‫ ואז השגיאה היחסית באיטרציה ה‪:n-‬‬
‫‪[R[B‬‬
‫‬
‫[ ‪[RB‬‬
‫‬
‫!‬
‫ כיוון שמקיים‪:‬‬
‫[;  ‪[Ô‬‬
‫!‪B‬‬
‫‪- R‬‬
‫!_‪B‬‬
‫ והרי ‪.[R[ 1‬‬
‫[;[‬
‫חזרה לשיטת ‪:Jacobi‬‬
‫<<< טענת תנאי התכנסות לשיטת ‪:Jacobi‬‬
‫שיטת ‪ Jacobi‬מתכנסת אם ‪ A‬בעלת אלכסון דומיננטי‪ ,‬כלומר ע"מ איברי האלכסון גדולים מסכום שאר ע"מ של איברי השורה‪:‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נסתכל על שורה במטריצה ‪1, 1 :R - /` 0‬‬
‫‬
‫‪‹ ∑BVG` G - ∑BV 9 9 - ∑BV |E‬‬
‫‪GE‚Æ G‬‬
‫אלכסון | ‚‚‬
‫`„‬
‫‪E‚Æ‬‬
‫‚‚‪E‬‬
‫‪∑BVG` G‬‬
‫`„‬
‫‪.|`` | 7‬‬
‫`„‬
‫‪ ‹ [R[= - max»`»B ¾∑BVG` G¿ 1‬השיטה מתכנסת ובפרט יש פתרון יחיד ‪n‬‬
‫דומיננטי‬
‫טענת התכנסות נוספת לשיטת ‪) Jacobi‬מהתרגול(‪ Õ R! 1 :‬כאשר‬
‫שיטת ‪:Gauss-Seidel‬‬
‫שיטת ‪:Gauss-Seidel‬‬
‫‚‬
‫‚‚‪E‬‬
‫‪%‬‬
‫!‪B‬‬
‫‬
‫ ‚‚‪E‬‬
‫‪E‚Æ‬‬
‫`‪ ∑Ú‬‬
‫!_‪B‬‬
‫שיטה זו מתכנסת מהר יותר משיטת ‪ Jacobi‬אם‪:‬‬
‫‬
‫ ‚‚‪E‬‬
‫‪E‚Æ‬‬
‫|‪Ô! |Ù‬‬
‫`€∑ ‪` B_! -‬‬
‫‪.Õ R! - maxÖN*`<JB×EKØJF‬‬
‫•‬
‫‪ A‬בעלת אלכסון דומיננטי‪.‬‬
‫•‬
‫‪ A‬טרידיאגונלית )רק באלכסון הראשי‪ ,‬באלכסון שתחתיו ובאלכסון שמעליו איברים שונים מ‪.(0-‬‬
‫•‬
‫ל‪ A-‬איברים חיוביים באלכסון ואי חיוביים מחוצה לו‪.‬‬
‫בצורה מטריציונית‪ :‬כאן '!‪ - Ñ % Ò!' Ó % Ñ % Ò!' Q - Ð - Ñ % Ò‬‬
‫משפט המעגל של ‪) Gershgorin‬לאיתור ע"ע(‪:‬‬
‫לכל ע"ע ‪ Ù‬של מטריצה ‪ A‬קיים אינדקס עבורו‪ - |`` Ù| ∑BVG` G :‬כלומר ‪ Ù‬יושב בתוך מעגל שמרכזו איבר מהאלכסון של ‪ A‬ורדיוסו הוא סכום‬
‫הע"מ של שאר איברי השורה‪.‬‬
‫`„‬
‫<<< שיטת החזקה למציאת ע"ע‪ :‬השיטה‪ :‬ע"ע מקסימלי של ‪[w[ - Ûwr w‬‬
‫‪9‬‬
‫סיכומים למבחן באנליזה נומרית ‪1‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫נניח ל‪ A-‬נתונים מערכת של ע"ע `‪ Ù‬וו"ע `‪ Ü‬מתאימים כך שמתקיים‪ . |Ù | 7 |Ù | 3 ( 3 |Ù |:‬עבור כל ע"ע וו"ע מתקיים‪.wÜ` - Ù` Ü` :‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫יהי `‪ Ž - ∑B`V ` Ü‬וקטור כלשהו‪:‬‬
‫‪- Ù n‬‬
‫‪Þ‬‬
‫רכיב  של ‪½Ý ß‬‬
‫‪Ö E × !Æ‬‬
‫‪ÞÝ‬‬
‫‬
‫‪ Ý‬‬
‫‪ q1= E × !Æ‬רכיב  של ‪½ ß‬‬
‫‪Ý‬‬
‫‪Þ‬‬
‫@??>‬
‫Œ ‪Ü` >??@ Ü‬‬
‫=‪q1‬‬
‫‪ÖÝ‬‬
‫‚‬
‫‪ÖÝ‬‬
‫‬
‫·‬
‫` ‪∑B`V‬‬
‫Ž ‪w‬‬‫‪q‬‬
‫‬
‫‪ÖÝ‬‬
‫‬
‫Œ‬
‫‪∑B`V ` Ùq‬‬
‫`‪` Ü‬‬
‫`‪∑B`V ` wq Ü‬‬
‫‪-‬‬
‫Ž ‪w‬‬‫‪q‬‬
‫)רכיב ‪ j‬הוא זה בעל ע"ע מקסימלי(‪.‬‬
‫שיטת מטריצה ‪:(?) Q‬‬
‫‪% Q0 % Q - ( - Q % RQ % R Q % ( % R Q - àB R! · Q‬‬
‫‪B‬‬
‫נחפש ! ‪ àB‬אחר כך ש‪- àB R!Q-‬‬
‫!_‪B‬‬
‫‬
‫!'‪B‬‬
‫‪% Q - R/R‬‬
‫ יהיה קירוב טוב יותר לפתרון ‪ .‬נגדיר שארית‪:‬‬
‫!‪B‬‬
‫‪- R‬‬
‫!_‪B‬‬
‫‪0 - Q àB R!Q RàB R!Q! - / R ¦!àB R! % ¦0Q - áB_ R!Q áB_ ! - 1!àB ! % 1‬‬
‫שחזור ! ‪ àB‬מתוך ! _‪:áB‬‬
‫'!; ‪â‬‬
‫';‬
‫‪) àB ! -‬נשים לב ש‪(áB_ 1! - 1-‬‬
‫ Œ ‪ - R % Q‬‬
‫!_‪B‬‬
‫‪ R‬‬
‫!_‪B‬‬
‫‪- Q /‬‬
‫נניח ל‪ B-‬מערכת ע"ע שלמה‪ ,RÜ` - Ù` Ü` :‬נפתח את ‪- áB_ R!Q - áB_ R! ∑B`V ` Ü` - ∑B`V ` áB_ Ù` !Ü` ‹ Q - ∑B`V ` Ü` :c‬‬
‫מכאן שכדי לקבל שארית קטנה צריך ש‪ áB_-‬תקבל ערכים קטנים על הע"ע של ‪) B‬הספקטרום של ‪.(B‬‬
‫נניח ש‪ Ù` N $, )-‬עבור הע"ע של ‪ ,B‬ו‪ - 1  $, )-‬אז‪æ :‬‬
‫‪ - •B_ ) áB_ 1! - 1‬פולינום ‪.(Chebyshev‬‬
‫‪äå‬‬
‫‬
‫‪å‡ä‬‬
‫‬
‫';‬
‫!_‪B‬‬
‫!_‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ áB_ ! - •B_ ã‬הוא הפולינום בעל נורמת המקסימום ב‪ $, )-‬ומקיים‬
‫קירוב נגזרות של פונקציה‪:‬‬
‫שיטה ראשונה‪:‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ f‬בנקודות ‪ , … , S‬ורוצים לקרב את ! ‪.+ h‬‬
‫•‬
‫•‬
‫מוצאים את ! ‪ S‬פולינום האינטרפולציה ב‪ , … , S -‬וידוע מנוסחת השגיאה‪+ ! - S ! % +$ , … , S , ) · ∏S`V ` ! :‬‬
‫נסמן ! ` ‪ ,çS ! m ∏S`V‬ומגזירת שני האגפים מקבלים קירוב לנגזרת‪:‬‬
‫מציאת קירוב לנגזרת שניה‪:‬‬
‫שיטה שניה‪:‬‬
‫! ;ˆ‬
‫‪+ S_! ž; ! h‬‬
‫‪· çS ! %‬‬
‫! ‪· çS‬‬
‫!!‪T % 2‬‬
‫!!‪T % 1‬‬
‫!_‪S‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ h ! - Sh ! % è !, è ! -‬‬
‫) ‪+ hh ! - Shh ! % çS ! · +$ , … , S , , , ) % 2çSh !+$ , … , S , , ) % çShh !+$ , … , S ,‬‬
‫נמצא קירוב לנגזרת ע"י שימוש ב‪:+ !, + % “!, + % 2“!-‬‬
‫‪+ % “! - + ! % “+ h ! % + hh ! % + ! ¨ ! / · 4‬‬
‫‬
‫‬
‫Œ מחברים משוואות ומקבלים Œ ‪p‬‬
‫‪•¹OP o‬‬
‫‪ëé hh‬‬
‫‪ìé‬‬
‫‪h‬‬
‫!‬
‫‪+ % 2“! - + ! % 2“+ ! %‬‬
‫‪+ ! %‬‬
‫‪+‬‬
‫!‪¨ !/ · 1‬‬
‫“!ž‬
‫כאשר לפי משפט ערך הביניים החלפנו את ! ¨‬
‫!‬
‫!‬
‫‪é‬‬
‫‬
‫‪3+ ! % 4+ % “! + % 2“! 1‬‬
‫‪ +‬‬
‫“‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪¨ ! +‬‬
‫‬
‫‬
‫!‬
‫קירוב לנגזרת שניה ע"י שימוש ב‪:+ “!, + !, + % “!-‬‬
‫‪ +‬ב‪ž!-‬‬
‫Œ שוב מחברים משוואות ומקבלים Œ ‪p‬‬
‫‬
‫‬
‫! ¨‬
‫! ¨‬
‫!‪ë‬‬
‫!‪ë‬‬
‫!‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪. +‬‬
‫‪éî‬‬
‫‪ë‬‬
‫‪éî‬‬
‫‪ë‬‬
‫‬
‫‬
‫‪! %‬‬
‫‪! %‬‬
‫!‬
‫!‬
‫‪é‬‬
‫‬
‫‪+ h ! -‬‬
‫‪+ “! - + ! “+ h ! % + hh ! +‬‬
‫‬
‫‬
‫‪•¹OP o‬‬
‫‪é hh‬‬
‫‪é‬‬
‫‪h‬‬
‫‪+ % “! - + ! % “+ ! % + ! % +‬‬
‫‪é‬‬
‫‪é‬‬
‫‬
‫‬
‫‪10‬‬
‫סיכומים למבחן באנליזה נומרית ‪1‬‬
‫!ž‬
‫כאשר ž מתקבל שוב לפי משפט ערך הביניים‪.‬‬
‫!‪ë‬‬
‫“ !“ ‪+ “! 2+ ! % + %‬‬
‫‬
‫‪+‬‬
‫‪12‬‬
‫“‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪+ hh ! -‬‬
‫אינטגרציה נומרית ופולינומים אורתוגונליים‪:‬‬
‫בעית אינטגרציה נומרית‪ :‬למצוא קירוב ‪ ¦ +! m ïE + !Î‬על סמך ערכי ‪ +‬ב‪.d+ ` !eB`V : , … , S -‬‬
‫‬
‫אם נשתמש בפולינום ‪ ,
S ! - ∑S`V + ` !O` ! :Lagrange‬מתקיים‪ ïE + !Î š ∑S`V + ` ! ïE O` !Î :‬ועבור ‪:ð` m ïE O` !Î‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫! ` ‪ ïE + !Î š ∑S`V ð` · +‬כאשר `‪ ð‬משקלות לא תלויות בערכי הפונקציה אלא רק בפיזור הנקודות ‪. , … , S‬‬
‫‬
‫‪S‬‬
‫‪ jjl‬‬
‫ביטוי לשגיאה‪a ! Î! :‬‬
‫∏ · ) ‪è +! - ïE +$ , … , S ,‬‬
‫‪ij‬‬
‫‪jjkj‬‬
‫‪`V‬‬
‫‬
‫!; ƒ‪Vñ‬‬
‫מקרים בהם ניתן לפשט את ביטוי השגיאה‪:‬‬
‫‪ .1‬אם !‪ òó £‬לא משנה סימן ב‪ïE çS !Î , ˆ N $, ) :$‘, ’)-‬‬
‫‬
‫!‰ !ƒ ‪:‬‬
‫!!_‪S‬‬
‫‪è +! -‬‬
‫פשוט מוציאים את ההפרש המחולק מחוץ לאינטגרל‪ .‬נובע ממשפט ערך הביניים לאינטגרלים‪ :‬אם ) ‪ ,“ ! 3 0, N 5$,‬אז‪:‬‬
‫‪ .ïE !“ !Î - ž! ïE “ !Î‬ומתקיים‪ +$ , … , S , ) N 5$, ) :‬אם ) ‪.+ N 5 S_ $,‬‬
‫‬
‫‬
‫הערה‪ :‬במקרה זה אם ‪ + N ΠS‬אז ‪.è +! - 0‬‬
‫‪ .2‬אם ‪è +! - ïE +$ , … , S , S_ , ) çS_ !Î :ï‘ òó £!ô£ - õ‬‬
‫‬
‫’‬
‫הערה‪ :‬במקרה זה אם _‪ + N ΠS‬אז ‪.è +! - 0‬‬
‫בניית נוסחת אינטגרציה מורכבת המבוססת על שיטת נקודת האמצע‪:‬‬
‫שיטת נקודת האמצע‪:‬‬
‫שיטת נקודת האמצע לאינטגרלים‪ ! :‬‬
‫עבור חלוקת קטע ל‪-‬‬
‫שיטת הטרפז‪:‬‬
‫‪'E‬‬
‫!‪'E‬‬
‫‬
‫÷‬
‫שיטת ‪:Simpson‬‬
‫! ‪: öö‬‬
‫‪ë‬‬
‫‪ “ -‬מתקיים‪+ hh ž!“ :‬‬
‫!ž ‪$+ ! % + !) + hh‬‬
‫עבור ‪ T - 2‬והנקודות ‪, -‬‬
‫השגיאה בשיטת ‪ž! :Simpson‬‬
‫שיטת טרפז מתוקנת‪:‬‬
‫_‪E‬‬
‫‬
‫!‪ë‬‬
‫‪Y%‬‬
‫‪'E‬‬
‫‪ë‬‬
‫‪'E‬‬
‫‬
‫ ‪'E‬‬
‫‪Y +‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫'÷∑ “ ‪ïE + !Î -‬‬
‫‪`V + X % X % Y “ Y %‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪: î! ! 'E‬‬
‫‬
‫‪ú‬‬
‫‬
‫‪ïE + !Î -‬‬
‫ ‪Y : - ,‬‬‫‪X‬‬
‫_‪E‬‬
‫‪ïE + !Î - !+ X‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫ ‪è +! -‬‬
‫‪ú‬‬
‫ ‪Y % + !ù‬‬
‫עבור ‪ T - 3‬שימוש ב‪ - - - + !, - - + !-‬ערכי ‪ +‬ו‪ +¬-‬ב‪:, -‬‬
‫‪ø+ ! % 4+ X‬‬
‫_‪E‬‬
‫‬
‫‪'E‬‬
‫‬
‫ ‪ïE + !Î‬‬‫‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫'÷∑ ‪+ ! % + ! % 2‬‬
‫‪ïE + !Î - ijjjjjjjjkjjjjjjjjl‬‬
‫הנוסחה‪`V + “!! % $+ ! + !) % è +! :‬‬
‫‪é‬‬
‫‪é‬‬
‫‬
‫טרפז מתוקן‬
‫השגיאה‪“ ! :‬‬
‫! !‪: î‬‬
‫‪û‬‬
‫נוסחת ‪ Simpson‬מורכבת‪:‬‬
‫‪è +! -‬‬
‫נוסחת סימפסון המורכבת‪Y % 2+ % 2“! % ( % + !ù % è +! :‬‬
‫‪é‬‬
‫‬
‫‪ïE + !Î - ø+ ! % 4+ X % Y % 2+ % “! % 4+ X %‬‬
‫‪é‬‬
‫‪é‬‬
‫‬
‫‪11‬‬
‫סיכומים למבחן באנליזה נומרית ‪1‬‬
‫השגיאה בנוסחת סימפסון המורכבת‪:‬‬
‫‪'E!éî‬‬
‫‪ìì‬‬
‫'÷∑ ·‬
‫ ‪`V 1 -‬‬
‫‪å‡ä‬‬
‫‪ý‬‬
‫‪V÷V‬‬
‫‪: î! !é‬‬
‫·‪ú‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫ ‪ˆ` ! -‬‬
‫!‪ë‬‬
‫‬
‫‪ü‬‬
‫'÷∑ ‪è +! -‬‬
‫‪`V · +‬‬
‫‪é‬‬
‫‬
‫הערה‪ :‬עבור פונקציות מחזוריות השיטה הטובה ביותר היא לקחת מרווחים שווים ולהשתמש בשיטת הטרפז‪.‬‬
‫מכפלה פנימית עם משקל ! ‪:ð‬‬
‫מכפלה פנימית מעל ) ‪ $,‬עם משקל ! ‪ (ð ! 7 0, N $, )) ð‬עבור פונקציות ) ‪ +, 7þ - ïE ð !+ ! !Î :+, N 5$,‬‬
‫‬
‫מתקיים‪[+[þ - Û +, + 7þ 7 0 ¸ +  0 :‬‬
‫פולינומים אורתוגונליים ביחס ל‪:·,·7-‬‬
‫=‪ dàB e‬מערכת פולינומים אורתוגונליים ביחס ל‪ ·,·7þ -‬המקיימת ‪ q , B 7þ - “q · Hq,B‬ונניח כי יודעים את המומנטום של ‪:ð‬‬
‫תהי ‪BV‬‬
‫‪ , - ïE  ð !Î‬נגדיר את הפולינום‪:‬‬
‫‬
‫<<< טענה‪:‬‬
‫לכל ‪ 0 † 1‬מתקיים ‪ , B , 7þ - 0‬כלומר המערכת‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‬
‫‪-0‬‬
‫‪!Î‬‬
‫וזה בגלל שהשורה הראשונה שווה לשורה ה‪n † % 1-‬‬
‫קירוב אינטגרלים מהצורה ‪:ï‘ £! £!ô£‬‬
‫’‬
‫=‪dàB e‬‬
‫‪BV‬‬
‫‬
‫‪ïE _B ð‬‬
‫‪B‬‬
‫‪t‬‬
‫…‬
‫…‬
‫‪t‬‬
‫…‬
‫…‬
‫…‬
‫‪u‬‬
‫…‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‬
‫‪B_ N ΠB‬‬
‫‪t‬‬
‫'‪B‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪t‬‬
‫_‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪
B -‬‬
‫‬
‫‪t‬‬
‫'‪B‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪t‬‬
‫‪B‬‬
‫היא מערכת אורתוגונלית‪.‬‬
‫‪!Î‬‬
‫‬
‫‪ïE  ð‬‬
‫‬
‫‪t‬‬
‫…‬
‫‪u‬‬
‫…‬
‫‬
‫ ‪t Ì  ð !Î -‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪ B ,  7þ - ïE Ì t‬‬
‫'‪B‬‬
‫'‪B‬‬
‫∏ · ) ‪è - ïE +$ , … , B' ,‬‬
‫‪ jjl‬‬
‫נקרב את ! ‪ +‬בעזרת פולינום אינטרפולציה ! '‪ gB‬מעל '‪ , … , B‬ונקבל שגיאה‪` ! ð !Î :‬‬
‫‪ij‬‬
‫‪jjkj‬‬
‫‪`V‬‬
‫נרצה לבחור נקודות אינטגרציה '‪ , … , B‬כך שהשגיאה תהיה ‪ 0‬עבור '‪.+ N ΠB‬‬
‫‬
‫!; ·‪V‬‬
‫<<< טענה‪:‬‬
‫אם ‪ + N ΠS‬אז ‪+$ , … , B' , ) N ΠS'B‬‬
‫'‪B‬‬
‫∏ · ) ‪! gB' ! - +$ , … , B' ,‬‬
‫‪n +‬‬
‫‪ jjl‬‬
‫הוכחה‪` ! Œ + T 3 : +$ , … , B' , ) N ΠS'B :‬‬
‫‪ij‬‬
‫‪jjkj‬‬
‫‪`V‬‬
‫<<< טענה‪:‬‬
‫ƒ‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫אם נבחר את '‪ , … , B‬להיות שורשי ‪ àB‬מתוך מערכת הפולינומים האורתוגונלים ביחס ל‪ ·,·7þ -‬אז ‪ è - 0‬לכל '‪.+ N ΠB‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫ברור כי עבור '‪ + N ΠB‬מתקיים ‪ .è - 0‬אם ‪ T 7 1‬אז ‪ + N ΠS‬ונקבל ‪:+$ , … , B' , ) N ΠS'B‬‬
‫'‪ ∏B‬אורתוגונלי ל‪ +$ , … , B' , )-‬ולכן ‪n è - 0‬‬
‫‪ 1 T 2 1 Œ 0 T 1‬ולכן ! ‪`V ` ! - Q · àB‬‬
‫אם ‪) B‬הפולינום האורתוגונלי מהמערכת ‪ (d
B e‬אורתוגונלי ל‪-‬‬
‫<<< טענה‪:‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫'‪B‬‬
‫ ‪ 1, … ,‬אז כל שורשיו הפשוטים הם בקטע ! ‪. ,‬‬
‫נניח כי מספר השורשים של ‪ B‬בקטע קטן מ‪ ,n-‬ונסמן את שורשיו‪ , … , q :‬כאשר ‪ .‬בנקודות אלו ‪ B‬משנה סימן‪.‬‬
‫‪ gq ! - ∏q‬ואז ! ‪ B ! · gq‬לא משנה סימן ב‪ , !-‬ולכן ‪ ïE B !gq !ð !Î  0‬כי ‪ , g‬משנים סימן יחד בכל‬
‫נגדיר‪`V ` ! :‬‬
‫‬
‫הנקודות ` ‪ -‬סתירה לכך ש‪ B -‬אורתוגונלי לכל הפולינומים ממעלה ‪ B ‹ 7‬משנה סימן ‪ n‬פעמים ב‪ , !-‬ולכן יש לו ‪ n‬שורשים פשוטים בקטע‪n .‬‬
‫‪12‬‬
‫סיכומים למבחן באנליזה נומרית ‪1‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫<<< פיתוח נוסחת השגיאה באינטגרציה של גאוס‪:‬‬
‫עבור ‪ ïE ð !+ !Î‬כאשר מבצעים אינטרפולציה על ‪ +‬לפי שורשי הפולינום האורתוגונלי ‪) B‬מעל '‪ ,( , … , B‬נוסחת השגיאה היא‪:‬‬
‫ ·‬
‫‬
‫‪é‬‬
‫! ! ‪:‬‬
‫!!‪B‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‬
‫ ‪ è‬כאשר ‪.“B - ïE /
B !0 ð !Î‬‬‫‬
‫‬
‫‬
‫) ‪ïE +$ , … , B' ,‬‬
‫נפתח את נוסחת השגיאה‪· çB' !ð !Î :‬‬
‫•‬
‫•‬
‫'‪ .çB' ! - ∏B‬נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫כאשר ! ` ‪`V‬‬
‫! ‪+$ , … , B' , ) - +$ , … , B ) % +$ , … , B , ) B‬‬
‫! ‪ çB' ! - Q · B‬ולכן ‪!ð !Î - 0‬‬
‫‬
‫'‪ïE çB‬‬
‫ומכאן‪ .è - ïE +$ , … , B , )çB' ! B !ð !Î :‬נמשיך בתהליך עד הוספת ‪ n‬נקודות‪ ,B , … , B' :‬ונבחר את הנקודות האלו לקיים‬
‫‬
‫‬
‫‪ è - ïE +$ , … , B' , ) ç‬וכיוון שרכיב זה לא משנה סימן בקטע‪:‬‬
‫‪ijkjl‬‬
‫‪ B_ -  , 0 † 1‬ונקבל‪B' ! ð !Î :‬‬
‫לא משנה‬
‫סימן בקטע‬
‫‬
‫‬
‫!ž‬
‫‬
‫‪· /Q · B !0 ð !Î‬‬
‫!!‪2‬‬
‫‪E‬‬
‫כאשר ‪ AB‬הוא המקדם המוביל של ‪ B‬מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ -‬ולכן‬
‫!‪B‬‬
‫‪é‬‬
‫‬
‫‬
‫·‬
‫‪+‬‬
‫‬
‫‬
‫'‪è - +$ , … , B' , ˆ) çB‬‬
‫‪!ð !Î -‬‬
‫! ! ‪:‬‬
‫!!‪B‬‬
‫‪ è -‬כנדרש‪n .‬‬
‫‪E‬‬
‫ספליינים – ‪:Splines‬‬
‫נתונות נקודות ‪ - ( B‬וערכים מתאימים `‪ .+‬נמצא ) ‪ !, Î ! - $,‬כך ש‪:‬‬
‫בעית אינטרפולציה עם תנודות מינימליות‪:‬‬
‫•‬
‫‬
‫‪!Y Î‬‬
‫‬
‫ ‪ ` ! - +` , - 0, … ,‬‬
‫עבור ‪: - ¥‬‬
‫•‬
‫!‪q‬‬
‫‪ ¦ ! m ïE X‬מינימלי‪ – ¦ .‬פונקציונאל )פונקציה המוגדרת על פונקציות(‪.‬‬
‫נחפש ‪ u‬שמקיימת‪:‬‬
‫‪(1‬‬
‫יש לה שתי נגזרות רציפות בכל קטע ) _` ‪$` ,‬‬
‫‪(2‬‬
‫`‪ ` ! - +‬לכל ‪ - 0, … ,‬‬
‫נותנת ערך מינימלי ל‪¦ ! - ïE /h !0 Î-‬‬
‫•‬
‫! ¦ ‪¦ % ! 3‬‬
‫`‪ % ! ` ! - +‬‬
‫‪(3‬‬
‫‬
‫‬
‫עבור בעלת שתי נגזרות רציפות בכל ) _` ‪ $` ,‬המקיימת ‪ ` ! - 0‬לכל ‪ - 0, … ,‬ו‪ u-‬כמוגדרת לעיל מתקיים‪:‬‬
‫•‬
‫הגדרה‪ - ! - ¦ % ! 3 ¦ !, Ë N c :‬ל‪ !-‬מינימום ב‪ . - 0-‬מתקיים מהגדרה‪! % h !0 Î :‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ïE /h‬‬
‫‪. ! -‬‬
‫אפיון ‪ h :u‬אורתוגונלית ל‪ ¬-‬לכל המקיימת ‪ ` ! - 0‬וחלקה מספיק‪ ,‬כלומר מתקיים‪ ïE h !h !Î - 0 :‬לכל כמוגדר קודם‪.‬‬
‫‬
‫מאפיון ‪ u‬נובע כי בכל רווח ! ` ‪ `' ,‬עבור ‪ - 1, … ,‬מתקיים‪. ! W 0 :‬‬
‫<<< טענה‪:‬‬
‫‪hh‬‬
‫נניח כי ‪ hh !  0‬ב‪ , N `' , ` !-‬אז יש סביבה ! ` ‪ Ÿ 6, Ÿ % 6! `' ,‬בה ! ‪ hh‬לא משנה סימן‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נבחר ‪  0‬המוגדרת מעל !‪ Ÿ 6, Ÿ % 6‬ומקבלת אותו סימן כמו ‪ hh‬ונקבל ‪ - ∑` ï; ‚ hh ! !Î 7 0‬סתירה‪.‬‬
‫‹ ‪ uhh W 0‬בכל ! ` ‪ `' ,‬ולכן ‪ u‬לינארית למקוטעין ‪n‬‬
‫;‬
‫‡‚‬
‫‪13‬‬
‫סיכומים למבחן באנליזה נומרית ‪1‬‬
‫עבור ¯ ‪: -‬‬
‫נחפש ‪ u‬שמקיימת‪:‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(3‬‬
‫) ` ‪N 5$`' ,‬‬
‫!‪ë‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫ לכל ‪ 4 - - 1, … ,‬נגזרות רציפות‪.‬‬
‫`‪ ` ! - +‬לכל ‪ - 0, … ,‬‬
‫נותנת ערך מינימלי ל‪¦ ! - ïE /hh !0 Î-‬‬
‫‬
‫‬
‫גם כאן נעשה וריאציה על ‪ u‬שפותרת את הבעיה ע"י הוספת עבור חלקה מספיק‪ ! - ïE /hh ! % hh !0 Î 3 0!, Ë N c :‬‬
‫‬
‫לכל המקיימת את התנאים מתקיים‪ïE hh !hh !Î - 0 :‬‬
‫‬
‫_‬
‫_‬
‫‚‬
‫'` ‪!h‬‬
‫האפיון של ‪!ù :u‬‬
‫‡‚;| ‪! !Î hhh‬‬
‫'` ‪% hh `' !h `' ! hh‬‬
‫;‬
‫ ‚ ;‪0 - ïE hh !hh !Î - ( - ∑B`V øï‬‬
‫!‪ë‬‬
‫<<< טענה‪:‬‬
‫מאפיון ‪ u‬נובע ש‪W 0-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫!‪ë‬‬
‫‬
‫;‬
‫‡‚‬
‫כאשר ' הוא גבול משמאל ו‪ _ -‬הוא גבול מימין – וזה כיוון שלא ידוע ש‪ -‬גזירה בקצוות‪.‬‬
‫ על כל ! ` ‪ ¬¬ , `' ,‬רציפה על כל ו‪. ! - ! - 0-‬‬
‫‪hh‬‬
‫‪hh‬‬
‫נבחר כך ש‪ ` ! - 0-‬ו‪ ` ! - 0-‬לכל ‪ - 0, … ,‬וכמו קודם ‪  0‬רק באותו רווח שבו !‬
‫תחילה נוכיח כי ‪! - 0‬‬
‫!‪ë‬‬
‫‬
‫‪h‬‬
‫ לכל ! ` ‪ : N `' ,‬אם לא כך‪ ,‬אז קיים Ÿ ברווח כך ש‪Ÿ !  0-‬‬
‫!‪ë‬‬
‫!‪ë‬‬
‫ לא משנה סימן‪.‬‬
‫ ולכן קיימת סביבה !‪ Ÿ 6, Ÿ % 6‬בה‬
‫משנה סימן‪ ,‬ונבחר בעלת אותו סימן בסביבה זו ו‪ 0-‬מחוץ לה‪ .‬כמו קודם נקבל סתירה לכך שסכום האינטגרלים שווה ל‪.0-‬‬
‫!‪ë‬‬
‫ לא‬
‫_‬
‫_‬
‫'` ‪!h‬‬
‫כעת נשארנו עם‪!) :‬‬
‫'` ‪ .0 - ∑B`V$hh `' !h `' ! hh‬נבחר את כך‪ ` ! - 0 , N 5 $, ) :‬לכל ‪ - 0, … ,‬ו‪, ` ! - 1-‬‬
‫_‬
‫_‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫!‬
‫  †‪ .h / 0 - 0 Ë‬כך מהסכום לעיל ישאר‪! - 0 :‬‬
‫‪ hh `' ! ikl‬ולכן ¬¬ רציפה ב‪.` -‬‬
‫'` ‪`'! hh‬‬
‫'`‬
‫‪ijkjl‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪h‬‬
‫עבור ‪ h ! - 1 : - 0‬ולכן ‪ hh _ ! - 0‬ומכאן‪ . ! - 0 :‬באופן דומה ‪ . ! - 0‬מכאן שכל התנאים שרצינו מתקיימים‪n .‬‬
‫‪hh‬‬
‫‪hh‬‬
‫הפתרון ל‪ - 2-‬הוא ‪ spline‬ממעלה ‪ - 3‬פולינום ממעלה ‪ 3 3‬על כל ) ` ‪ $`' ,‬עבור ‪ - 1, … ,‬כשבחיבורים נגזרת שניה רציפה )‪.(cubic spline‬‬
‫המקרה הכללי – פונקצית ‪ spline‬ממעלה ‪:k‬‬
‫תהי ‪ N S‬פונקצית ‪ spline‬ממעלה ‪ k‬עם צמתים ‪ . , … , B‬היא פולינום למקוטעין ממעלה ‪ T‬מעל כל ) ` ‪ ,$`' ,‬כלומר‪:‬‬
‫) ‚;‪ ,|$;‚‡ ,;‚ ) N ΠS |$;‚‡,‬עם חיבורים רציפים מסדר ‪ T 1‬בצמתים‪`' ! :‬‬
‫!‬
‫ ‪`_ ! -‬‬
‫!‬
‫‪.1 1, 0 † T 1 ,‬‬
‫במקרה של ‪ (cubic spline) - 2‬הדרישה ‪ hh ! - hh ! - 0‬נובעת ממזעור ! ¦‪ ,‬ואלה הם תנאי שפה טבעיים‪.‬‬
‫מקדמים חופשיים‪:‬‬
‫לכל קטע מ‪ n-‬הקטעים פולינום ממעלה ‪ ,T 3‬לו יש ‪ T % 1‬פרמטרים בכל צומת '‪ 1) , … , B‬צמתים פנימיים( יש ‪ k‬תנאים של רציפות הנגזרות‪.‬‬
‫‪ p‬פרמטרים ‪ T % 1! - T %‬‬
‫…‬
‫סה"כ‪ :‬מקדמים חופשיים ‪Œ % T‬‬
‫תנאים ‪ 1!T - T T‬‬
‫‪ S , 3 0p‬‬
‫… ‪!S_ m‬‬
‫הגדרה‪ :‬פונקצית החזקה הקטועה‪:‬‬
‫‪0, 0‬‬
‫‪:dim S ! - % T‬‬
‫הבסיס בקטע הראשון הוא‬
‫‪Se‬‬
‫ ‪ d1, , … ,‬ו‪% (-‬‬
‫‪S‬‬
‫‪Î‬‬
‫‬
‫‪ jjl‬‬
‫‪ij‬‬
‫‪jkj‬‬
‫‪j‬‬
‫_! ‬
‫ƒ"‪N‬‬
‫‪%‬‬
‫ ‪∑SV Q‬‬
‫‪.
! -‬‬
‫'‪ - d1, , … , S e d ` !S_ eB‬מספר האיברים בבסיס הוא‪ , T % 1! % 1! - T % :‬כנדרש‪.‬‬
‫בסיס ל‪ S -‬יהיה‪`V :‬‬
‫‪:B-splines‬‬
‫‪ S‬הוא מרחב הספליינים ממעלה ‪ k‬על צמתים ‪ , … , B‬ועל כל ) ` ‪ N S $`' ,‬הוא פולינום ממעלה ‪ T 3‬ו‪ N 5 B' $ , )-‬‬
‫‪ S , 3 0p‬‬
‫'‪, d1, , , … , S e d ` !S_eB‬‬
‫בסיס החזקות הקטועות ל‪`V :S -‬‬
‫אחרת ‪0,‬‬
‫… ‪ !S_ -‬ומימד המרחב הוא ‪. % T‬‬
‫ספליין טבעי ממעלה ‪ 3‬פותר את בעיית האינטרפולציה ב‪ , … , B -‬ומינימיזציה של ‪ ï; VE /hh !0 Î‬כאשר ‪. N ,hh ! - hh ! - 0‬‬
‫‬
‫‪; V‬‬
‫‬
‫‪14‬‬
‫סיכומים למבחן באנליזה נומרית ‪1‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪:B-Splines‬‬
‫בסיס ‪ B-Splines‬ל‪:ó -‬‬
‫הגדרה‪) R` S! ! m · !S_²`'q , `'q _ , … , `_q ³/`_q `'q 0 :‬האיבר הראשון הוא הפרש מחולק של הפונ' _‪.( · !S‬‬
‫•‬
‫•‬
‫אם ‪ - , - % 1 :T - 2‬‬
‫אם ‪ - - :T - 2 1‬‬
‫כאשר _‪. · !S_ ¹! - ¹ !S‬‬
‫‪:¥ – ó - ¥‬‬
‫ƒ‬
‫ƒ!;' ‚;‬
‫!;' ‡‚; ' ‬
‫‪ijjj;jkj‬‬
‫‪jjjl‬‬
‫‡‚;' ‚‬
‫‪‚‡ ;!V‬‬
‫‬
‫ƒ‬
‫ƒ!;' ‚;‬
‫!;' ‚; ' ‬
‫‪ijjj;jkj‬‬
‫‪‚ ';j‬‬
‫‪‚ jjl‬‬
‫‪‚ ;!V‬‬
‫‪R` ! ! - · !_ $`' , ` , `_ ) `_ `' ! - · !S_ $` , `_ ) · !S_ $`' , ` ) -‬‬
‫מוסיפים צמתים פיקטיביים להגדרת בסיס שלם של ‪ ' , B_ :‬ומקבלים את הבסיס‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫_‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫! ! `‪ R‬בו יש ‪ % T - % 1‬איברים‪.‬‬
‫‪`V‬‬
‫‬
‫'‬
‫<<< טענה‪:‬‬
‫א( ל‪ R` S! -‬תומך סופי ‪/`'q , `_q 0‬‬
‫ב(‬
‫ג(‬
‫‪ R` S! 7 0‬בקטע ‪/`'q , `_q 0‬‬
‫' ‪B_q‬‬
‫‪∑`V'q‬‬
‫‪R S! ! - 1‬‬
‫` _ ‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫_‪ S‬פעמים‬
‫_‪ S‬פעמים‬
‫ ‪S‬‬
‫‬
‫ _‪ .R` S! ! - · !S‬תכונות ! `‪:‬‬
‫ _! · ‪`'q _ , … , `_q‬‬
‫א( ' ‪`'q , … , `_q‬‬
‫‪ijjjjjjjjkjjjjjjjjl ijjjjjjjjkjjjjjjjjl‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫!; ‚‬
‫!; ‡‚‬
‫‪ ` ! - 0‬אם ‪ 7 `_q‬‬
‫‪ ` ! - 1‬אם _ ‪ - `'q‬בתחום זה ` הוא הפרש מחולק מסדר ‪ k‬של _‪ · !S‬ולכן שווה ל‪ ,1-‬כי זו הנגזרת ה‪ T! - T-‬מחולק ב‪.T!-‬‬
‫סה"כ‪ ` , `_ W 0 :‬עבור ‪ 7 `_q‬ו‪ ` , `' W 1-‬עבור ‪ `'q‬ולכן ההפרש ביניהן שונה מ‪ 0-‬רק ברווח ‪.²`'q , `_q ³‬‬
‫‪ 'q ! - 0‬אם ‪ 7‬‬
‫ג( ‪p‬‬
‫‪ B_q ' ! - 1‬אם ‪ B‬‬
‫–‪1‬‬
‫‪-‬‬
‫)‪;N$E,‬‬
‫! ‪B_q ' ! 'q‬‬
‫‪-‬‬
‫טלסקופי‬
‫' ‪B_q‬‬
‫‪∑`V'q‬‬
‫‪R S! ! - ∑/` ! `' !0‬‬
‫` _ ‬
‫ב( נניח ש‪ R` S! -‬מתאפס בנקודה בקטע ‪ ,/`'q , `_q 0‬אז יש שני אפסים לנגזרת הראשונה‪,‬‬
‫שלושה לשניה וכן הלאה עד ‪ k‬אפסים לנגזרת ה‪.T 1-‬‬
‫ספליין ממעלה ‪) 1‬הנגזרת ה‪ T 1-‬של !‪ (R` S‬הוא אפס זהותי אם יש לו ‪ T‬אפסים פנימיים‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪`_q‬‬
‫‪`'q‬‬
‫‪: – ó -‬‬
‫!‬
‫!‬
‫'‪ % 3 – R‬איברי בסיס‪ ,‬לכולם תומך החותך את )“ ‪ .$0,‬הצגת פולינום‬
‫_‪, … , RB‬‬
‫עבור נקודות במרווחים שווים “ ‪ ` -‬הבסיס ל‪ -‬הוא ‬
‫!‬
‫_‪. ! - ∑B‬‬
‫כללית ‪! : N‬‬
‫`‪`V' g` R‬‬
‫פתרון בעית אינטרפולציה ב‪ £õ , … , £¤ -‬בעזרת ‪:B-Splines‬‬
‫נמצא ! המקיים ! ` ‪ ` ! - +‬לכל ‪ - 0, … ,‬ומקיים תנאי שפה ‪ . hh 0! - hh “! - 0‬הנעלמים הם‪:‬‬
‫_‪dg` eB‬‬
‫'‪`V‬‬
‫‪15‬‬
‫סיכומים למבחן באנליזה נומרית ‪1‬‬
‫!‬
‫_‪ “! - ∑B‬‬
‫עבור‪“! - + “! :‬‬
‫‪V' g R‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫אם ‪ | †| 7 1‬אז ‪R ! “! - 0‬‬
‫על אלכסון המטריצה‪) R ! ! - R! † 2!“! :‬מופיע בדף הנוסחאות( ומכאן‪R` ! “! - R! “ 2!“! - R! 2“! - :‬‬
‫‬
‫‬
‫חישוב התרומה למערכת המשוואות מהתנאי ‪: hh 0! - 0‬‬
‫‪0& g‬‬
‫‪t‬‬
‫'‬
‫`‪+‬‬
‫‪…%% g‬‬
‫‪s‬‬
‫‪v-s v‬‬
‫‪t‬‬
‫_‪% g‬‬
‫‪…% t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪u$‬‬
‫יהי ‪ N‬עם צמתים ‪ - ( B -‬ונניח ¬¬‪ +‬רציפה ו‪ + ` ! - ` !-‬לכל ‪. - 0, … ,‬‬
‫אינטגרציה בחלקים‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪t‬‬
‫‬
‫‬
‫‪t‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‬
‫‪hh‬‬
‫‪é‬‬
‫‪-‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪ hhh $+ h h )Î ) % 2 hh + h h !|E % + hh hh ! Î‬‬
‫‪% 2 hh ! + h h !|E % ïE + hh hh !Î‬‬
‫‬
‫ומכאן ש‪/-‬אי שלילי ‪ïE + hh ! ïE hh ! - hh + h h !|E %‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪ïE /+ hh !0 Î ïE / hh !0 Î - ïE + hh hh ! Î % 2 ïE hh · + hh hh !Î‬‬
‫אינטגרציה בחלקים‬
‫‪+‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪é‬‬
‫‬
‫‪é‬‬
‫‬
‫‪#é‬‬
‫‪"0‬‬
‫"‬
‫"‬
‫‪"t‬‬
‫‪!t‬‬
‫!‬
‫ ‪“! -‬‬
‫‪·R‬‬
‫‪é‬‬
‫‪µ ! hh‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪R‬‬
‫‪2“! - p Œ g' · é % g · X é Y % g · é - 0‬‬
‫‪é‬‬
‫¶‬
‫ ‪µR ! hh 2“! -‬‬
‫‬
‫ ´‬
‫אופטימליות של ‪ Spline‬ממעלה ‪:3‬‬
‫‪-‬‬
‫…‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫&‬
‫‪E‬‬
‫‪;‚ %‬‬
‫‪ i+jk‬‬
‫!‪j‬‬
‫‡‚;| ‪l‬‬
‫‪%‬‬
‫‪V‬‬
‫כי ! ‚; ‪: ;‚ !VF‬‬
‫‪$‬‬
‫‪hhh‬‬
‫ ‪$+ )Î‬‬
‫*‬
‫!‪ë‬‬
‫כי על כל קטע זה‬
‫פולינום ממעלה ‬
‫‚;‬
‫'‪B‬‬
‫‬
‫
( ' ‪- 2‬‬
‫‡‚;‬
‫‪#‬‬
‫!‪`V‬‬
‫‚; "‬
‫'‪2 ∑B‬‬
‫‡‚;‪`V ï‬‬
‫"‬
‫!‬
‫‪-‬‬
‫מסקנה‪ :‬מבין כל הפונקציות עם נגזרת שניה רציפה שמקיימות תנאי אינטרפולציה ב‪ ,dx, e-,V -‬ה‪ spline-‬הטבעי אופטימלי מבחינת מינימום ל‪-‬‬
‫! ‪ ,ïE hh‬וגם ה‪ spline-‬שמתלכד עם ערכי הנגזרת בקצוות הוא אופטימלי‪.‬‬
‫‬
‫מערכת משוואות עם יותר משוואות מנעלמים‪:‬‬
‫הבעיה‪ :‬למצוא כך ש‪ ,[w [ 1 -‬כאשר ‪.Ë N cB : [[ - Û∑B`V ` - √ r‬‬
‫‪) wr w - wr ¸ wr ij‬וקטור השגיאות מאונך לעמודות ‪.(A‬‬
‫‪w‬‬
‫‪jl‬‬
‫הפתרון שמביא למינימום את [ ‪ [w‬הוא אותו הפותר את ‪! - 0‬‬
‫‪jkj‬‬
‫<<< טענה‪:‬‬
‫וקטור השגיאות‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫ולכן לכל ‪n [w¹ [ 3 [w [ :¹‬‬
‫ ! ‪- w¹ ! w¹ ! - w¹ w % w ! w¹ w % w‬‬‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫[‬
‫ ‪[w¹‬‬
‫‪[w¹‬‬
‫[‪ w‬‬
‫! ‪w¹ w!r w‬‬
‫‪ij‬‬
‫‪jjkj‬‬
‫‪jjl % [w [ % 2 ijjjjjkjjjjjl‬‬
‫‪. jkj‬‬
‫½!;'‪V ±‬‬
‫!';½‬
‫‪ij‬‬
‫‪jl‬‬
‫‪Ç‬‬
‫מתי קיים פתרון ל‪ :wr w - wr -‬צריך ש‪ wr w-‬תהיה רגולרית )הפיכה(‪ .‬תנאי מספיק והכרחי – הדרגה של ‪ A‬שווה למספר העמודות שלה‪.‬‬
‫‪+‬‬
‫‪16‬‬
‫סיכומים למבחן באנליזה נומרית ‪1‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪ – Splines‬קירוב ריבועים מינימלי – ‪:Least-Squares‬‬
‫נניח נתונים )“ ‪.Z 0 ,¾+/ 0¿V , N $0,‬‬
‫‪/‬‬
‫‬
‫!‬
‫_‪B‬‬
‫‪∑/‬‬
‫מחפשים ‪ spline‬ממעלה ‪! 3‬‬
‫`‪ ! - ∑`V' Q` R‬כך ש‪V X/ 0 +/ 0Y 1 :‬‬
‫!‬
‫_‪B‬‬
‫_‪ - ∑B‬במטריצה ‪ :A‬בשורה ‪ j‬בעמודה ‪ i‬נמצא ‪R` ! / 0‬‬
‫‪Q` Rjkj‬‬
‫ניצור מערכת של ‪ M‬משוואות עבור ‪ % 3‬נעלמים '‪ 0 š +/ 0 :dQ` e`V‬‬
‫‪jl‬‬
‫‪`V' ij‬‬
‫‪` /‬‬
‫‪F/rÆ 0‬‬