גרסת 29.4.2015 פולינומים ושלמים Pn פולינום ) p(xבמשתנה xמעל שדה Fזה ביטוי ai = an xn + . . . + a1 x1 + a0 x0 היכן ש־ ,an , . . . , a0 ∈ Fו־ .an 6= 0מעלת הפולינום היא .nובנוסף פולינום האפס 0שאין לו מעלה. את הפולינום an xn + . . . + a1 x1 + a0 x0אפשר לכתוב גם כ־ 0xn+k + 0xn+k−1 + . . . + 0xn+1 + an xn + . . . + a1 x1 + a0 x0ואפשר גם להשמיט 1xk Pכותבים גם .xkאת פולינום האפס אפשר מחוברים שהמקדם שלהם הוא .0במקום n לכתוב כ־ . i=0 0xi = 0xn + . . . + 0x0 פולינום כנ"ל שעבורו an = 1נקרא פולינום מתוקן. כפונקציה .לכל פולינום ) p(xמתאימה גם פונקציה שערכה עבור a ∈ F הפולינוםPn הוא , i=0 ai tiואנו מסמנים את הערך הזה ב־) .p(tלפולינום האפס מתאימה הפונקציה הקבועה .0לפולינום )p(xשאינו 0נראה ש־ p(t) 6= 0פרט לכל היותר למספר t־ים שהוא כמעלת ) .p(xבשדה סופי גם פולינום שאינו 0יכול לתת את פונקצית ה־ 0כמו x2 + x ב־ .Z2 Pn Pn חיבור פולינומים .אם שני פולינומים מוצגים כ־ ,q(x) = i=0 bi xi ,p(x) = i=0 ai xi להציגם כך ע"י הוספת מחוברים עם המקדם ,0סכומם מוגדר כ־p(x) + iותמיד אפשר Pn = ) .q(xברור שאם נגדיל את nע"י הוספת מחוברים עם המקדם i=0 (ai + bi ) x קומוטטיבי הוא החיבור כי להוכיח קל הסכום. את ישנה לא זה המחוברים 0לשני Pn i הוא (−a ) x והפולינום שלו הנייטרלי האיבר הוא האפס פולינום ואסוציאטיבי. i i=0 Pn מעלת סכום פולינומים הנגדי ל־ . i=0 an xnלכל סקלר tקיים )= p(t) + q(t )Pn.(p + q)(t ,an 6= 0 ,p(x) P המעלות ,כי אם = i=0 ai xi מעלות שונות היא הגדולה מבין שתי Pm בעלי Pm n q(x) = i=0 bi xiו־ n > mאז ) p(x) + q(x) = i=m+1 (ai + 0) xi + i=0 (ai + bi אז המחובר עם החזקה המקסימלית הוא (an + 0) xnוהמקדם שלו הוא .an + 0 = an 6= 0 מעלת הסכום של שני פולינומים בעלי אותה מעלה היא לכל היותר המעלה הזאת ,אבל היא יכולה גם להיות קטנה יותר והסכום יכול גם להיות פולינום האפס. יחידות הפולינום עבור פונקציה בשדה אינסופי .אם ) p(x) 6= q(xאז p(x) − q(x) 6= 0 ואז לכל ,d ∈ Fפרט למספר סופי p(t) − q(t) 6= 0 ,ו־) p(t) 6= q(tולכן בשדה אינסופי ) p(xו־) q(xנותנים פונקציות שונות .לעומת זאת ,ב־ Z2הפולינומים השונים xו־ x2נותנים אותה הפונקציה. Pm Pn כפל פולינומים .אם p(x) = i=0 ai xiו־ q(x) = i=0 bi xiאז לכל סקלר cקיים Pn+m P k .p(t)q(t) = k=0לכן אנו מגדירים i+j=k ai bj t Pn+m P k .p(x)q(x) = k=0ם אחד הכופלים הוא פולינום האפס אז המכפלה i+j=k ai bj x i=0 מוגדרת כאותו פולינום .לכל סקלר tקיים ) .(pq)(t) = p(t)q(tמעלת המכפלה היא סכום מעלות שני הפולינומים .הכפל הוא קומוטטיבי ואסוציאטיבי ,והוא דיסטריבוטיבי ביחס הסקלר , aכלומר ax0אז n = 0 ) p(xהוא לחיבור. Pאם Pm P m k k aq(x) = k=0והתוצאה היא פולינום כמו )q(x ו־ k=0 abx = i=0,j=k abj x שכל מקדמיו נכפלו ב־ .aבמיוחד הפולינום 1הוא האיבר הנייטרלי ביחס לכפל. חוג .הגדרת החוג היא כמו הגדרת השדה פרט לכך שבחוג איננו דורשים את חילופיות הכפל ואת קיום ההופכי לכל איבר שונה מ־) 0בחלק מן הספרות גם לא דורשים קיום איבר נייטרלי לכפל( .חוג חילופי הוא חוג המקיים את חוק החילוף לכפל .דוגמאות לחוג חילופי: כל שדה ,חוג המספרים השלמים ,חוג הפולינומים מעל שדה כלשהו ,חוג השאריות Znלכל 1 .n ≥ 1את האיבר הנייטרלי לכפל )והשונה מ־ (0מסמנים ב־ 1איבר aבחוג נקרא הפיך אם קיים בחוג איבר bכך ש־ .ab = 1 דוגמאות :בחוג השלמים האיברים ההפיכים הם 1ו־ ,−1בחוג הפולינומים כל הפולינומים ממעלה ,0כלומר כל הסקלרים פרט ל־ ,0בחוג Znכל המספרים 1 ≤ k < nהזרים ל־.n איבר aמחלק איבר bבחוג אם קיים איבר cכך ש .b = acברור כי איבר aהפיך מחלק כל איבר בחוג .איבר a 6= 0בחוג נקרא פריק אם אינו הפיך והוא מכפלה של שני איברים לא הפיכים .איבר a 6= 0בחוג נקרא אי פריק אם אינו הפיך ואינו פריק .האיברים האי פריקים בחוג השלמים הם הראשוניים והנגדיים שלהם .בחוג הפולינומים כל פולינום ממעלה 1הוא אי פריק .בחוג Z4רק 2הוא אי פריק ,בחוג Z6אין איברים אי פריקים ובחוג Z8 האיברים האי פריקים הם 2ו־.6 ל־ a, bבחוג חילופי נסמן b ∼ aאם bהיא כפולה של aבאיבר הפיך .יחס זה הוא יחס שקילות .אם b ∼ aאז נאמר ש־ aו־ bחברים .בשלמים aו־ bחברים אםם ||b| = |a ובפולינומים ) p(xו־ ) q(xחברים אםם ) q(xהוא כפולה של ) p(xבסקלר שאנו .0 צמצום .בחוגים המספרים השלמים והפולינומים אין מחלקי אפס ,כלומר אם ab = 0אז a = 0או .b = 0בחוגים שאין בהן מחלקי אפס אפשר לצמצם בכל איבר שונה מאפס ,כי אם c 6= 0ו־ ac = bcאז (a − b)c = 0ומכיוון ש־ a − b = 0 c 6= 0ולכן .a = b חילוק מספרים עם שארית .לכל d 6= 0ו־ nקיימים qו־ rכך ש־ |0 ≤ r < |d ו־ .n = qd + r חילוק פולינומים עם שארית .לפולינומים p(x), s(x) 6= 0קיימים פולינומים ))q(xהמנה( ו־)) r(xהשארית( כך שמעלת ) r(xקטנה ממעלת ) s(xאו r(x) = 0 ו־ ) .p(x) = s(x)q(x) + r(xהוכחה באינדוקציה על מעלת ) .s(xהאלגוריתם לחישוב )q(x ו־) r(xדומה מאוד לאלגוריתם החילוק הארוך של מספרים טבעיים בהצגה עשרונית. מסקנה :הסקלר aהוא שורש של הפולינום ) p(xאםם ) (x − aמחלק את ) ,p(xכי אם ) p(x) = (x−a)q(xאז ,p(a) = (a−a)q(a) = 0ובכוון ההפוך ,מכיוון שחילוק עם שארית נותן ,p(x) = (x − a)q(x) + rהיכן ש־ rסקלר ,לכן p(a) = (a − a)q(a) + r = rואם a שורש של ) p(xאז r = p(a) = 0ו־ ).p(x) = (x − a)q(x הפולינומים האי פריקים מעל לשדות השונים. בחוג הפולינומים מעל למרוכבים יש שורש aלכל פולינום ) p(xממעלה ≤ 1ולכן הוא מתחלק ב־) ,(x − aואם מעלת ) p(xהיא ≤ 2אז ) p(xהוא פריק .כך הפולינומים האי פריקים מעל לשדה המספרים המרוכבים הם בדיוק הפולינומים ממעלה .1 בחוג הפולינומים מעל לממשיים הפולינומים האי פריקים הם בדיוק הפולינומים ממעלה 1 והפולינומים הריבועיים בעלי דיסקרימיננטה שלילית. הוכחה .ברור שכל פולינום ממעלה 1הוא אי פריק .פולינום ריבועי ) p(xעם דיסקרימיננטה שלילית אינו פריק ,כי אילו היה פריק היה מתפרק למכפלת שני פולינומים ממעלה 1שלהם יש שורשים ואלו היו גם שורשי ) .p(xבכיוון ההפוך ,אם ) p(xהוא פולינום אי פריק ממעלה ≤ 2אז יש לו שורש מרוכב aשאינו ממשי ו־) p(x) = (x − a)q(xעבור ) q(xמתאים. הצבת הצמוד aשל aל־ xנותנת ) ,p(a) = (a − a)q(aומכיון ש־ a − a 6= 0לכן q(a) = 0 ו־ aהוא שורש של ) .q(xלכן x − aמחלק את ) q(xו־) (x − a)(x − aמחלק את ).p(x (x − a)(x − a) = x2 − (a + a)x + aaהוא פולינום ממשי ואם מעלת ) p(xהיא ≤ 3אז ) p(xהוא פריק. בחוג הפולינומים מעל לשדה המספרים הרציונליים יש פולינומים אי פריקים מכל מעלה, למשל xn − pכאשר pראשוני .ראה .en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein's_criterion מחלק משותף והמחלק המשותף המקסימלי )ממ"מ( .יהיו a1 , . . . , akאיברים שונים מאפס בחוג חילופי d .נקרא מחלק משותף שלהם אם הוא מחלק כל אחד מהם d .נקרא מחלק משותף מקסימלי שלהם אם הוא מחלק משותף שלהם ,וכל מחלק משותף cשלהם מחלק את .dבחוגים חילופיים ללא מחלקי אפס הממ"מ של קבוצת איברים הוא יחיד עד 2 כדי כפל באיבר הפיך. ממ"מ. יש 0 את מכילה שאינה שלמים מספרים משפט .לכל קבוצת Pk הוכחה .בהינתן a1 , . . . , akיהי bהמספר החיובי המזערי כך ש־ .b = i=1 ci aiברור שכל מחלק משותף של a1 , . . . , akמחלק את .bלכל 1 ≤ j ≤ kקיימים qו־|0 ≤ r < b כך ש־ aj = qb + rואם bאינו מחלק את ajאז r > 0 ו־ ,0 < r = aj − qb = −qc1 a1 − . . . + (1 − qcj ) aj + . . . − qck akבניגוד להנחת מזעריות .b משפט :לכל קבוצת פולינומים שאינה מכילה את פולינום האפס יש ממ"מ. הוכחה :בהינתן ) p1 (x), . . . , pk (xיהי s(x) 6= 0פולינום בעל המעלה הקטנה ביותר מבין Pk הפולינומים בעלי הצורה ) . i=1 gi (x)pi (xברור שכל מחלק משותף של )p1 (x), . . . , pk (x מחלק את ) .s(xלכל 1 ≤ j ≤ kקיימים פולינומים ) q(xו־) r(xכך ש־) r(xהוא פולינום האפס או פולינום ממעלה קטנה ממעלת ) s(xו־ ) .pj (x) = q(x)s(x) + r(xאם r(x) = 0 אז ) s(xמחלק את ) .pj (xאחרת קיים )0 6= r(x) = pj (x) − q(x)s(x )= −q(x)g1 (x)p1 (x) − . . . + (1 − gj (x)pj (x)) pj (x) − . . . − q(x)gk (x)pk (x בסתירה למזעריות המעלה של ).s(x חישוב הממ"מ של מספרים ופולינומים .הממ"מ של שני מספרים חיוביים או פולינומים מחושב בעזרת האלגוריתם של אוקלידס ,שהוא חישוב ברקורסיה על הגדול שבין המספרים, או בעל המעלה הגדולה מבין שני הפולינומים .צעד הרקרסיה בנוי על חילוק עם שארית. אם a > bאו שמעלת aגדולה או שווה למעלת bאז עושים חילוק עם שארית .a = bq + r המחלקים המשותפים של bו־ rהם בדיוק אלו של aו־ bלכן הממ"מ של aו־ bהוא הממ"מ של bו־ rוכך ירדנו במספר או במעלת הפולינום .את הממ"מ של יותר משני מספרים או פולינומים אמו מחשבים ברקורסיה על מספר המשתתפים ,כי הממ"מ של a1 , . . . , anהוא הממ"מ של a, . . . , an−1ו־ .an ראשוניות האיברים האי פריקים .משפט :בחוג חילופי בו יש ממ"מ לכל שני איברים כל איבר אי פריק cהוא ראשוני במובן שאם cמחלק מכפלה abאז הוא מחלק לפחות את אחד הכופלים. הוכחה :מכיוון ש־cהוא אי פריק כל מחלק שלו הוא חבר שלו או הפיך .לכן אם cאינו מחלק את aאז ממ"מ של cו־aהוא 1ולכן קיימים dו־ eבחוג כך ש־ .1 = da + ecלכן .b = dab + ecbמכיוון ש־ cמחלק את abהוא מחלק את אגף ימין של שוויון זה ,ולכן הוא מחלק את .b Qn ממשפט זה נובע ,באינדוקציה על ,nשאם cמחלק את המכפלה i=1 aiאז הוא מחלק לפחות את אחד הכופלים. הפריקות היחידה לגורמים אי פריקים. משפט :בחוג המספרים השלמים כל מספר בעל ערך מוחלט גדול מ־ 1הוא מכפלה של אחד או יותר מספרים ראשוניים .ההוכחה היא באינדוקציה על הערך המוחלט של המספר. משפט :בחוג הפולינומים על פולינום ממעלה 1ומעלה הוא מכפלה של אחד או יותר פולינומים אי פריקים .ההוכחה היא באינדוקציה על מעלת הפולינום. הוא מכפלה של איברים אי פריקים משפט :בכל חוג בו יש ממ"מ לכל שני אם איבר Qan איבריםQ m אז מכפלה זאת היא יחידה במובן שאם a = i=1 ai = i=1 biו־ a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm הם אי פריקים אז n = mוקיים סידור c1 , . . . , cnשל b1 , . . . , bnכך שלכל 1 ≤ i ≤ n ci ∼ ai באינדוקציה על הקטן מבין nו־ ,mנניח לה"כ שזה nאם n = 1אז מכיוון הוכחהQm : ש־ a1 = i=1 biו־ a1אי פריק לכן m = 1ו־ .a1 = b1אם an n > 1מחלק את 3 Qm , i=1 biולכן ,לפי מה שהוכחנו ,קיים 1 ≤ j ≤ mכך ש־ anמחלק את .bjמכיוון ש־ bj אי פריק אז bj = danהיכן ש־ dהפיך .יהיו b1 , . . . , bm e1 , . . . , em−1ללא ‘ bjואז Qm−1 Qn−1 Qn−1 . i=1 ei · bj = i=1 ai · an = i=1 ai · d−1 bjצמצום bjמשני אגפי שיוויון זה נותן Q Q Q m−1 n−1 n−2 . i=1 ei = i=1 ai ·d−1 = i=1 ai ·an−1 d−1מכיוון שגם an−1 d−1אי פריק אז ,לפי הנחת האינדוקציה m − 1 = n − 1 ,ולכן .m = nבנוסף ,לפי הנחת האינדוקציה קיים סידור g1 , . . . , gm−1של ,e1, , . . . , , em−1שהם b1 , . . . , bmללא ‘ ,bjכך שלכל 1 ≤ i ≤ m − 2 gi ∼ aiו־ .gm−1 ∼ an−1 d−1 ∼ an−1לכן g1 , . . . , gm−1 , bjהוא סידור של b1 . . . . , bm כך שלכל gi ∼ ai 1 ≤ i ≤ m − 1ו־ ,bj ∼ anכנדרש. שורשי הפולינום בהצגתו .משפט .יהיו c1 , . . . , cmשורשים שונים זה מזה של פולינום מתוקן ) ,p(xאז קיימים שלמים חיוביים k1 , . . . , kmיחידים ופולינום ) q(xשאינו מתחלק k k באף ) (x − ciיחיד כך ש־ ) .p(x) = (x − c1 ) 1 · · · (x − cm ) m q(xעבור 1 ≤ i ≤ m kiנקרא הריבוי של השורש ciשל ) .p(xבמיוחד ,מספר השורשים של פולינום הוא לכל היותר כמעלת הפולינום. הוכחה :יהי ) p(x) = r1 (x) · · · rl (xפרוק לגורמים אי פריקים מתוקנים של ) .p(xמכיוון שהגורמים הם מתוקנים פרוק זה הוא יחיד ,עד כדי הסדר .מכיוון שלכל שורש cשל )p(x x − cהוא מחלק אי פריק של ) p(xלכן לכל (x − ci ) 1 ≤ i ≤ mהוא אחד ה־ rj־ם .יהי k k ki ≥ 1מספר ה־ rj־ים שהם ) (x − ciלכן ) ,p(x) = (x − c1 ) 1 · · · (x − cm ) m q(xהיכן ש־) q(xהוא המכפלה של אותם ה־ rj־ים השונים מכל אחד מ־ ) .(x − c1 ) , . . . , (x − cm k k יחידות ההצגה ) p(x) = (x − c1 ) 1 · · · (x − cm ) m q(xנובעת מיחידות הפרוק של )p(x לפולינומים מתוקנים אי פריקים. 4
© Copyright 2024