‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫א‪ .‬הרחבת המושג "זווית"‬ ‫מגלים‬ ‫מגלים‬ ‫לפניכם צורות א' ו‪ -‬ב'‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫א תארו את הצורות‪ .‬הוסיפו אותיות במידת הצורך‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ב מהם ההבדלים בין הצורות?‬ ‫צורה ב'‬ ‫צורה א'‬ ‫זכרו!‬ ‫שתי קרניים שיש להן התחלה משותפת‪ ,‬יוצרות זווית‪.‬‬ ‫שוק‬ ‫הקרניים הן שוקי הזווית‪.‬‬ ‫הנקודה המשותפת של הקרניים היא קדקוד הזווית‪.‬‬ ‫קדקוד‬ ‫שוק‬ ‫הערה‪ :‬קדקוד ושתי קרניים היוצאות ממנו‪,‬‬ ‫יוצרים שתי זוויות‪.‬‬ ‫אם לא צוין אחרת‪ ,‬מתייחסים לזווית‬ ‫המסומנת בקשתות או בסימן אחר‪.‬‬ ‫לומדים‬ ‫עד כה הגדרנו זווית בין קרניים‪ .‬באופן דומה מרחיבים את מושג הזווית לזווית בין קטעים‪:‬‬ ‫כאשר לקטעים יש קצה משותף‪ ,‬נוצרת זווית בין קטעים‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫● ●הקרניים ‪ AC‬ו‪ AB -‬יוצרות זווית ‪.CAB‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הקטעים ‪ AB‬ו‪ AC -‬הם חלקי הקרניים האלה‪.‬‬ ‫לפיכך הזווית ‪ CAB‬היא גם זווית בין הקטעים ‪ AB‬ו‪.AC -‬‬ ‫● ●צלעות במשולש יוצרות זוויות‪.‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪285‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫כאשר שני קטעים נחתכים‪ ,‬נוצרות זוויות בין קטעים‪.‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪E‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫הקטעים ‪ DE‬ו‪ GH -‬יוצרים ארבע זוויות‪:‬‬ ‫; ‪. GOE‬‬ ‫‪DOG ; HOD ; EOH‬‬ ‫הערה‪ :‬נוצרו גם הזוויות השטוחות ‪ GOH‬ו‪.DOE -‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪D‬‬ ‫שני ישרים נחתכים יוצרים ביניהם ארבע זוויות שונות מזווית שטוחה‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫בסרטוט שכאן הזוויות הן ‪O4 , O3 , O2 , O1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫משימות‬ ‫‪ 1‬התבוננו באיורים שלפניכם‪ .‬אם יש שתי קרניים שיש להן התחלה משותפת‪,‬‬ ‫האיור הוא של זווית‪ .‬בכל מקרה אחר האיור אינו איור של זווית‪.‬‬ ‫מיינו את האיורים לזוויות וללא‪-‬זוויות‪ .‬נמקו את קביעותיכם‪.‬‬ ‫קל‬ ‫‪286‬‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫ג‬ ‫ד‬ ‫ה‬ ‫ו‬ ‫ז‬ ‫ח‬ ‫ט‬ ‫י‬ ‫יא‬ ‫יב‬ ‫יג‬ ‫יד‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫בסעיף א' האיור‬ ‫הוא של משולש‪,‬‬ ‫ולא של זווית‪.‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫סימון‪:‬‬ ‫למדנו לסמן זוויות על‪-‬ידי אותיות או מספרים‪ .‬אפשר לסמן זווית גם על‪-‬ידי אותיות יווניות‪.‬‬ ‫דוגמאות ‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ A‬או ‪ BAC‬או ‪CAB‬‬ ‫‪ A‬האות האמצעית‪ ,‬במקרה שלנו ‪,A -‬‬ ‫מייצגת את קדקוד הזווית‪,‬‬ ‫ושתי האותיות האחרות מסמנות‬ ‫נקודות על שוקי הזווית‪.‬‬ ‫‪A1‬‬ ‫‪ַ - α‬א ְל ָפא‬ ‫יתא‬ ‫‪ֵּ - β‬ב ָ‬ ‫‪ּ - γ‬גָ ָמא‬ ‫‪ֶּ - δ‬ד ְל ָתא‬ ‫‪α‬‬ ‫א ‪ ABC‬‬ ‫ג ‪ ACB‬‬ ‫ד ‪BCA‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ו‪A2 -‬‬ ‫שימו לב! כאשר מסמנים זווית באות יוונית‪,‬‬ ‫נהוג לא לרשום את הסימן לפני האות‪.‬‬ ‫דוגמה‪ α :‬ו‪ β -‬הן זוויות במשולש‪.‬‬ ‫‪ 2‬מהי הזווית המסורטטת?‬ ‫ב ‪ CAB‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 3‬סרטטו שלוש זוויות‪ .‬סמנו אותן באותיות‪ ,‬וכתבו את שמותיהן‪.‬‬ ‫קל‬ ‫‪S‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪ 4‬כתבו ארבעה שמות שונים לזווית שלפניכם‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 5‬א האם קרן וקטע יכולים להיות חלק של אותו ישר? נמקו את קביעתכם על‪-‬ידי דוגמאות‪.‬‬ ‫ב האם קטע יכול להיות חלק מקרן?‬ ‫ג סרטטו קטע שהוא חלק מקרן‪.‬‬ ‫‪ 6‬א סרטטו שתי זוויות שיש להן קדקוד משותף‪ .‬האם תמיד לזוויות שסרטטתם יש שוק משותפת?‬ ‫ב סרטטו שתי זוויות שיש להן שוק משותפת‪ .‬האם תמיד לזוויות שסרטטתם יש קדקוד משותף?‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪287‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫זכרו!‬ ‫‪B‬‬ ‫זווית ששוקיה יוצרות ישר היא זווית שטוחה‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫שימו לב!‬ ‫שני קטעים בעלי קצה משותף יוצרים שתי זוויות‪,‬‬ ‫אחת קטנה מזווית שטוחה‪ ,‬ואחת גדולה מזווית שטוחה‪.‬‬ ‫דוגמה‪ :‬הזווית ‪ A1‬קטנה מזווית שטוחה‪.‬‬ ‫הזווית ‪ A2‬גדולה מזווית שטוחה‪.‬‬ ‫‬ ‫‪A1‬‬ ‫‪A2‬‬ ‫‪ 7‬בכל סעיף מצאו ארבע זוויות שונות‪ ,‬וכתבו את שמה של כל זווית‪.‬‬ ‫‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ג‬ ‫‪B‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ 8‬סרטטו מרובע ‪ .ABCD‬הדגישו בצבע את שוקי הזווית ‪ ABC‬של המרובע‪.‬‬ ‫קל‬ ‫‪ 9‬א סרטטו קטעים כמו באיור‪.‬‬ ‫כמה קטעים סרטטתם?‬ ‫ב סמנו בקשתות את הזוויות‬ ‫בין הקטעים שיש להם קצה משותף (זוויות קטנות מזווית שטוחה וזוויות גדולות מזווית שטוחה)‪.‬‬ ‫‪ 10‬א סרטטו משולש‪ .‬כמה קטעים במשולש שסרטטתם?‬ ‫ב סמנו את הזוויות בין כל שני קטעים שסרטטתם‪ .‬כמה זוויות סימנתם?‬ ‫‪288‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 11‬א סמנו על דף חלק שלוש נקודות שלא נמצאות על ישר אחד‪ .‬תנו שם לכל נקודה‪.‬‬ ‫ב סרטטו ישרים העוברים דרך כל שתי נקודות‪ .‬תנו שם לכל ישר‪.‬‬ ‫ג כמה ישרים סרטטתם?‬ ‫ד כמה זוויות נוצרו בסרטוט שלכם?‬ ‫‪ 12‬התבוננו בשעון מחוגים כאשר השעה היא רבע לשלוש‪.‬‬ ‫האם מחוגי השעון יוצרים זווית שטוחה?‬ ‫‪ 13‬התבוננו בשעון מחוגים כאשר השעה היא ‪ .12:30‬האם מחוגי השעון יוצרים זווית שטוחה? נמקו את‬ ‫תשובתכם‪.‬‬ ‫‪ 14‬כמה זוויות שונות מזווית שטוחה יש בסרטוט?‬ ‫ד ‪17‬‬ ‫ג ‪ 22‬‬ ‫ב ‪20‬‬ ‫א ‪10‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪ 15‬בסרטוט שלפניכם מצאו שלוש זוויות שונות‬ ‫המתאימות לתיאורים א' ‪ -‬ד' שלפניכם‪.‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫א קדקוד הזווית הוא ‪.O‬‬ ‫ב קדקוד הזווית הוא ‪.B‬‬ ‫ג אחת השוקיים של הזווית היא ‪.IO‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ד אחת השוקיים של הזווית היא ‪.IT‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪ 16‬סרטטו קו שבור שאינו חותך את עצמו‪ ,‬המורכב מחמישה קטעים‪ .‬סמנו את קצות הקטעים באותיות‬ ‫כרצונכם‪ .‬סמנו את הזוויות שנוצרו בין הקטעים שיש להם קצה משותף‪ .‬כתבו את שמותיהן של הזוויות‪.‬‬ ‫האם הזוויות שסימנתם שונות מזווית שטוחה או שוות לה?‬ ‫פיצוחים‬ ‫‪ 17‬א סרטטו ישרים כך שייווצרו ביניהם לפחות שש זוויות שונות מזווית שטוחה‪.‬‬ ‫ב סרטטו ישרים כך שייווצרו ביניהם בדיוק עשרים ואחת זוויות קטנות מזווית שטוחה‪.‬‬ ‫תרגילים נוספים בעמוד ‪.326‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪289‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫ב‪ .‬מדידת זוויות והשוואה בין זוויות‬ ‫ב‪ .1.‬מדידת זוויות‬ ‫מגלים‬ ‫מגלים‬ ‫‪ 1‬מה "מודדים" כשמודדים זווית?‬ ‫האם במדידת זוויות משתמשים באותן יחידות כמו במדידת קטעים?‬ ‫‪ 2‬האם בשעה ‪ 12:00‬המחוגים בשעון מחוגים יוצרים זווית? אם כן‪ ,‬מה מידתה?‬ ‫‪ 3‬האם לדעתכם‪ ,‬קיימת זווית שמידתה פחות ממעלה אחת? מדוע?‬ ‫לומדים‬ ‫כמו כל מדידה‪ ,‬גם מדידת זוויות מבוססת על השוואה בין הזווית הנמדדת לבין זווית היחידה‪.‬‬ ‫מעלה היא אחת מיחידות המידה המוסכמות למדידת זוויות‪.‬‬ ‫הזווית הבסיסית היא זווית שטוחה‪.‬‬ ‫אם נחלק זווית שטוחה ל‪ 180 -‬חלקים שווים‪ ,‬נקבל ‪ 180‬זוויות של מעלה אחת‪.‬‬ ‫מעלה היא זווית השווה ל‪1    -‬‬ ‫___  של זווית שטוחה‪.‬‬ ‫‪180‬‬ ‫דקה ושנייה הן יחידות קטנות ממעלה‪ .‬במעלה ‪ 60‬דקות‪ ,‬ובדקה ‪ 60‬שניות‪.‬‬ ‫(ראו בעמוד ההיסטוריה את הסיבות לכך‪).‬‬ ‫סימון‪:‬‬ ‫"‪.37º 55'15‬‬ ‫כותבים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫קוראים‪" :‬שלושים ושבע מעלות‪ ,‬חמישים וחמש דקות וחמש עשרה שניות"‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫מידתה של זווית שטוחה היא‬ ‫מידתה של זווית ישרה‬ ‫היא ‪( 90º‬תשעים מעלות)‪.‬‬ ‫זווית של ‪15º‬‬ ‫זווית של ‪170º‬‬ ‫‪( 180º‬מאה ּושמונים מעלות)‪.‬‬ ‫כאשר שוקי הזווית מתלכדות‪,‬‬ ‫מידת הזווית היא ‪.0º‬‬ ‫בשעה ‪ 12:00‬שני המחוגים של שעון מחוגים "מתלכדים"‪,‬‬ ‫ומידתה של הזווית ביניהם היא אפס מעלות‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪290‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫משימות‬ ‫קל‬ ‫קל‬ ‫‪ . CDA = 62º 18‬כמה פעמים נכנסת מעלה בזווית ‪? CDA‬‬ ‫‪ 19‬לפניכם סרטוטים של זוויות ומידותיהן של הזוויות‪ .‬כתבו שוויונות מתאימים‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪ 20‬ידוע כי ‪DAN= 45º‬‬ ‫ו‪HOP -‬‬ ‫‪ABC = 45º‬‬ ‫‪45º‬‬ ‫‪135º‬‬ ‫‪90º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫= ‪ . DAN‬מהי המידה של הזווית ‪?HOP‬‬ ‫‪ 21‬מצאו שעה שבה הזווית בין המחוגים היא שטוחה‪ ,‬ושעה שבה זווית זו היא ישרה‪.‬‬ ‫‪ 22‬האם ברבע ל‪ 12-‬מידת הזווית בין המחוגים היא ‪ ?90°‬נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪ 23‬מדדו את הזוויות שלפניכם‪ ,‬וכתבו את תוצאות המדידה‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪ 24‬מדדו את הזוויות הקטנות מ‪ 180°-‬בין הקטעים‬ ‫‪ AB‬ו‪ BC ;BC -‬ו‪ CD ;CD -‬ו‪.DE -‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪291‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 25‬מידות הזוויות המסורטטות א' ‪ -‬ד' הן ‪ 150° , 20° , 70°‬ו‪.90° -‬‬ ‫בלי למדוד את הזוויות התאימו לכל זווית את מידתה‪.‬‬ ‫ב‬ ‫א‬ ‫ד‬ ‫ג‬ ‫‪ 26‬בין הזוויות שבסרטוט יש זווית אחת שמידתה ‪ .70º‬מצאו את הזווית ללא מדידה‪.‬‬ ‫הסבירו לגבי כל זווית שפסלתם‪ ,‬מדוע מידתה אינה יכולה להיות ‪.70º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ 27‬בדקו את יכולת האומדן שלכם‪.‬‬ ‫אמדו את מידות הקטעים ואת מידות הזוויות‪ ,‬ובדקו את האומדן על‪-‬ידי מדידה‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪F‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪ 28‬חפשו במילון את המשמעויות השונות‬ ‫של המילה "מעלה"‪.‬‬ ‫המדרגות בבית המקדש נקראו "מעלות"‪.‬‬ ‫‪ 29‬סרטטו זוויות לפי המידות הנתונות‪.‬‬ ‫א ‪ ABC = 100º‬‬ ‫ב ‪ MNK = 25º‬‬ ‫ג ‪DEF = 90º‬‬ ‫‪ 30‬סרטטו זווית ‪ ABC‬שמידתה ‪ .55º‬סמנו נקודה ‪ O‬על השוק ‪ .BA‬סרטטו זווית ‪ BOD‬שמידתה ‪.115º‬‬ ‫‪292‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 31‬בכל סעיף העתיקו את הקרן למחברת (היעזרו ברקע המשבצות)‪ ,‬ובנו זווית לפי המידה הנתונה‪ ,‬כך‬ ‫שאחת מהשוקיים תהיה הקרן הנתונה‪ .‬כמה זוויות כאלה אפשר לבנות?‬ ‫א ‪90º‬‬ ‫ג ‪60º‬‬ ‫ב ‪2 70º‬‬ ‫‪ 32‬האם על‪-‬ידי שתי קרניים שיש להן התחלה משותפת‪ ,‬יכולות להיווצר שתי זוויות שמידותיהן‪...‬‬ ‫א ‪ 30º‬ו‪?150º -‬‬ ‫ב ‪ 140º‬ו‪?220º -‬‬ ‫ג ‪ 180º‬ו‪?180º -‬‬ ‫ד ‪ 360º‬ו‪?0º -‬‬ ‫ה ‪ 175º‬ו‪?175º -‬‬ ‫ו ‪ 60º‬ו‪?30º -‬‬ ‫ז ‪ 90º‬ו‪?90º -‬‬ ‫ח ‪ 359º‬ו‪?1º -‬‬ ‫הסבירו את תשובותיכם‪.‬‬ ‫‪ 33‬א סרטטו זווית שמידתה גדולה מזווית של ‪ 75º‬ב‪.15º -‬‬ ‫ב סרטטו זווית שמידתה קטנה ממידת זווית ישרה ב‪.45º -‬‬ ‫פיצוחים‬ ‫‪ 34‬א בנו זווית ישרה בעזרת קיפולי נייר‪ .‬זווית ישרה זו תשמש כזווית יחידה‪ .‬נסמן אותה באות ‪.d‬‬ ‫בנו עוד זווית ישרה‪ ,‬ובעזרת קיפול בנו זווית השווה לחצי מזווית ישרה‪.‬‬ ‫מדדו את הזוויות שבסרטוט בעזרת הזוויות שבניתם‪ .‬כתבו במחברת את תוצאות המדידה‪.‬‬ ‫לדוגמה‪. FPC = 2 · d ,‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ב בנו זווית שטוחה בעזרת קיפול נייר‪ .‬זווית שטוחה זו תשמש כזווית יחידה‪.‬‬ ‫נסמן אותה באות ‪ .p‬מדדו את הזוויות שלעיל בעזרת זווית היחידה ‪. p‬‬ ‫כתבו את תוצאות המדידה‪.‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪293‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫ב‪ .2.‬השוואה בין זוויות הקטנות מזווית שטוחה‬ ‫מגלים‬ ‫מגלים‬ ‫לפניכם שתי זוויות‪ .‬מצאו דרך לקבוע מהי הזווית הקטנה יותר‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫זכרו!‬ ‫בכל התייחסות לזווית‬ ‫מתכוונים לזווית המסומנת‪ ,‬‬ ‫אלא אם כן צוין אחרת‪.‬‬ ‫לומדים‬ ‫שתי זוויות יכולות להיות שוות או לא‪-‬שוות זו לזו‪.‬‬ ‫גם בלי לדעת את מידת הזוויות אפשר להשוות בין זוויות בכמה דרכים‪.‬‬ ‫שימו לב!‬ ‫● ●השוואה ישירה ‪ -‬מניחים את הזוויות זו על‪-‬גבי זו‪,‬‬ ‫שתי השוקיים הנותרות‬ ‫נמצאות באותו צד‪.‬‬ ‫כך שאחת השוקיים והקדקוד מתלכדים‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫זווית ‪4‬‬ ‫זווית ‪3‬‬ ‫זווית ‪3‬‬ ‫הזווית ‪ 3‬בתוך הזווית ‪ 4‬לכן הזווית ‪ 3‬קטנה מזווית ‪.4‬‬ ‫● ●העתקה ‪ -‬מעתיקים את אחת הזוויות על דף שקוף ומניחים את ההעתק על הזווית השנייה‪,‬‬ ‫כך שיתלכדו הקדקוד ואחת השוקיים‪ ,‬ושתי השוקיים הנותרות יהיו באותו צד‪ .‬אם גם שתי‬ ‫השוקיים הנותרות מתלכדות‪ ,‬הזוויות שוות זו לזו‪ .‬אם השוקיים הנותרות אינן מתלכדות‪,‬‬ ‫הזוויות אינן שוות‪( .‬הזווית הקטנה נמצאת בתוך הזווית הגדולה‪).‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫זווית ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫זווית ‪2‬‬ ‫מעתיקים את זווית ‪ 1‬לשקף‪.‬‬ ‫ מניחים את ההעתק על זווית ‪ ,2‬ומשווים‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הזוויות ‪ 1‬ו‪ 2 -‬שוות‪.‬‬ ‫‪294‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫● ●מדידה ‪ -‬מודדים את הזוויות בעזרת מד‪-‬זווית‪ ,‬ומשווים בין המידות‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫זווית א‬ ‫זווית א‪65º :‬‬ ‫זווית ב‬ ‫זווית ב‪85º :‬‬ ‫זווית א קטנה מזווית ב‪.‬‬ ‫משימות‬ ‫‪ 35‬מרים טוענת כי הזווית ‪ ABC‬גדולה מהזווית ‪( MNK‬ראו סרטוט)‪.‬‬ ‫האם היא צודקת‪ ,‬לדעתכם? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪N‬‬ ‫אם לדעתכם‪ ,‬מרים אינה צודקת‪,‬‬ ‫הסבירו את מקור הטעות שלה‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪C‬‬ ‫זכרו!‬ ‫סימון שוויון של זוויות‪:‬‬ ‫‪; C1 = C2‬‬ ‫‪; A = C3‬‬ ‫‪. A≠ B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 36‬בכל סעיף מצאו איזו זווית גדולה יותר‪ .‬כיצד בדקתם?‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪1‬‬ ‫ב‬ ‫א‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪295‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 37‬איזו זווית מתקבלת מהעתקת הזווית ‪:LOP‬‬ ‫‪2 , 1‬‬ ‫‪P‬‬ ‫או ‪? 3‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 38‬מצאו זוויות שוות זו לזו מבין הזוויות המסורטטות‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ 39‬העתיקו את אחת הזוויות שלפניכם לדף‬ ‫שקוף‪ ,‬והוכיחו כי הזוויות אינן שוות‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ 40‬מצאו זוויות שוות בסרטוט שלפניכם‪.‬‬ ‫נמקו את ממצאיכם‪.‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪296‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫א מצאו בסרטוט שלפניכם שני זוגות של זוויות שוות‪.‬‬ ‫‪ 41‬‬ ‫כתבו שוויונות מתאימים‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪COA‬‬ ‫= ‪DOB‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ב מצאו בסרטוט שני זוגות של זוויות שאינן שוות‪.‬‬ ‫כתבו אי‪-‬שוויונות מתאימים בעזרת הסימנים < או > ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 42‬סרטטו זווית שטוחה ‪ .AOB‬סרטטו קרן ‪ OC‬שתחלק את הזווית השטוחה לשתי זוויות שוות‪.‬‬ ‫מה סוג הזוויות השוות שהתקבלו? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪ 43‬א סרטטו שתי זוויות שטוחות‪ ,‬והשוו ביניהן‪.‬‬ ‫ב הסבירו מדוע כל שתי זוויות שטוחות שוות זו לזו‪.‬‬ ‫‪ 44‬סרטטו שתי זוויות שאינן שוות זו לזו‪ .‬הוכיחו כי סרטטתם נכון‪.‬‬ ‫‪ 45‬‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫ג‬ ‫ד‬ ‫סרטטו זווית ‪.ABC‬‬ ‫סרטטו קרן ‪ BK‬בין שוקי הזווית‪.‬‬ ‫כתבו את השמות של שתי הזוויות הנוספות שהתקבלו‪.‬‬ ‫השוו בין הזווית ‪ ABC‬לבין כל אחת מהזוויות שהתקבלו‪ .‬כתבו את האי‪-‬שוויונות המתאימים‪.‬‬ ‫‪ 46‬ברק טוען‪" :‬מבין שתי זוויות‪ ,‬הזווית הגדולה היא זאת שיש לה קרניים ארוכות יותר‪".‬‬ ‫הסבירו את הטעות של ברק‪ .‬היעזרו בסרטוטים לפי הצורך‪.‬‬ ‫‪ 47‬העתיקו את הזוויות למחברת‪.‬‬ ‫‪ 48‬השתמשו בנייר שקוף כדי להשוות בין הזוויות ‪ 1‬עד ‪.8‬‬ ‫מהן הזוויות השוות?‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪297‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 49‬מצאו שתי זוויות גדולות מזווית ישרה ושתי זוויות קטנות מזווית ישרה‪.‬‬ ‫כתבו את הזוויות שמצאתם‪ .‬תוכלו לערוך טבלה כמו זו שכאן‪.‬‬ ‫זווית גדולה מזווית ישרה‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫זווית קטנה מזווית ישרה‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ב‪ .3.‬מיון זוויות‬ ‫מגלים‬ ‫מגלים‬ ‫זכרו!‬ ‫יש להתייחס רק לזוויות‬ ‫קטנות מזווית שטוחה או‬ ‫שוות לה‪.‬‬ ‫לפניכם שמונֶ ה זוויות‪.‬‬ ‫מיינו את הזוויות לארבעה סוגים שונים‪ .‬תנו שם לכל סוג‪.‬‬ ‫תארו כל סוג של זוויות במילים שלכם‪.‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪G‬‬ ‫לומדים‬ ‫מיון זוויות מבוסס על השוואה בין זוויות לבין זווית ישרה או זווית שטוחה‪.‬‬ ‫זווית קטנה מזווית ישרה נקראת זווית חדה‪.‬‬ ‫המידה של זווית חדה היא יותר מ‪ 0° -‬ופחות מ‪.90° -‬‬ ‫זווית גדולה מזווית ישרה וקטנה מזווית שטוחה נקראת זווית קהה‪.‬‬ ‫המידה של זווית קהה היא יותר מ‪ 90° -‬ופחות מ‪.180° -‬‬ ‫‪298‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪AOB‬‬ ‫‪A‬‬ ‫בשעה ‪ 12:05‬נוצרת זווית חדה‬ ‫היא זווית חדה‪.‬‬ ‫בין המחוגים של שעון מחוגים‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪DKM‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫היא זווית קהה‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫בשעה ‪ 12:25‬נוצרת זווית קהה בין‬ ‫‪12‬‬ ‫המחוגים של שעון מחוגים‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫משימות‬ ‫קל‬ ‫‪ 50‬לפניכם סרטוטים של זוויות‪.‬‬ ‫א אילו מן הזוויות חדות? הסבירו כיצד זיהיתם זוויות אלו‪.‬‬ ‫ב אילו מן הזוויות קהות? הסבירו כיצד זיהיתם זוויות אלו‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪299‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 51‬בכל סעיף מצאו שתי זוויות חדות‪ ,‬שתי זוויות ישרות ושתי זוויות קהות‪ .‬בדקו את תשובתכם בעזרת‬ ‫משולש סרטוט‪.‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪G‬‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫‪P‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪ 52‬נתונה זווית של ‪ 70‬מעלות‪ .‬האם זוהי זווית שטוחה‪ ,‬קהה‪ ,‬ישרה או חדה? נמקו את קביעתכם‪.‬‬ ‫קל‬ ‫‪ 53‬נתונה זווית של ‪ 170‬מעלות‪ .‬האם זוהי זווית שטוחה‪ ,‬קהה‪ ,‬ישרה או חדה? נמקו את קביעתכם‪.‬‬ ‫קל‬ ‫‪ 54‬סרטטו זווית חדה וזווית קהה‪ ,‬ותנו שם לכל זווית‪.‬‬ ‫‪ 55‬בכל סעיף כתבו שתי דוגמאות מתאימות‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫א שעה שבה מחוגי השעון יוצרים זווית חדה‪.‬‬ ‫ב שעה שבה מחוגי השעון יוצרים זווית קהה‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ג שעה שבה מחוגי השעון יוצרים זווית ישרה‪.‬‬ ‫‪ 56‬מהי הזווית שעובר מחוג השעות במשך שעה? במשך שעתיים ? במשך שש שעות? במשך חצי שעה?‬ ‫‪ 57‬מהי הזווית שעובר מחוג הדקות במשך שעה? במשך חצי שעה? במשך חמש דקות? במשך רבע שעה?‬ ‫‪ 58‬מהי מידת הזווית‪ ,‬אם ידוע שהזווית היא‪...‬‬ ‫א שליש מזווית ישרה?‬ ‫ב שני שלישים מזווית שטוחה?‬ ‫ג גדולה מזווית ישרה פי שניים וחצי?‬ ‫‪ 59‬בכל סעיף כתבו מהו סוג הזווית שמידתה נתונה‪.‬‬ ‫א ''‪1 35º 15' 25‬‬ ‫ב ‪2 2.5º‬‬ ‫ג '‪90º 22‬‬ ‫ד ‪180º‬‬ ‫‪ 60‬מיינו את הזוויות לזוויות חדות‪ ,‬קהות‪ ,‬שטוחות וישרות לפי מידתן‪.‬‬ ‫קל‬ ‫‪.45º ,60º ,30º ,135º ,150º ,1º ,89º ,179º ,91º ,90º ,180º ,36º ,120º‬‬ ‫פיצוחים‬ ‫‪ 61‬מצאו דוגמה של שעה שהזווית בין המחוגים בה היא ‪.60º‬‬ ‫מהי הזווית בין מחוגי השעון בשעה ‪ ?1230‬מהי הזווית בין מחוגי השעון בשעה ‪?10‬‬ ‫מהי הזווית בין מחוגי השעון בשעה ‪ ?915‬מהי הזווית בין מחוגי השעון בשעה ‪?215‬‬ ‫‪40‬‬ ‫תרגילים נוספים בעמודים ‪.327 - 326‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫ג‪ .‬סכום והפרש של זוויות‬ ‫ג‪ .1.‬הגדרות‬ ‫מגלים‬ ‫מגלים‬ ‫‪A‬‬ ‫בסרטוט שלפניכם לקרניים ‪ BC ,BA‬ו‪BD -‬‬ ‫יש התחלה משותפת שהיא הנקודה ‪.B‬‬ ‫א איפה נמצאת הקרן ‪?BC‬‬ ‫ב האם לזוויות ‪ ABC‬ו‪ CBD -‬יש שוק משותפת?‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ג האם לזוויות ‪ ABC‬ו‪ ABD -‬יש שוק משותפת?‬ ‫‪D‬‬ ‫לומדים‬ ‫אם לשתי זוויות יש קדקוד משותף ושוק משותפת‪ ,‬השוק המשותפת יכולה להיות‪...‬‬ ‫בצד של אחת מהשוקיים האחרות‪.‬‬ ‫ת;‬ ‫בין השוקיים האחרו ‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫לזוויות ‪ BAC‬ו‪ CAD -‬יש קדקוד משותף ‪,A‬‬ ‫לזוויות ‪ NOL‬ו‪ ROL -‬יש קדקוד משותף ‪,O‬‬ ‫שוק משותפת ‪ AC‬ושוקיים אחרות ‪ AB‬ו‪.AD -‬‬ ‫שוק משותפת ‪ OL‬ושוקיים אחרות ‪ ON‬ו‪.OR -‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫השוקיים הלא‪-‬משותפות יוצרות את‬ ‫השוקיים הלא‪-‬משותפות יוצרות את‬ ‫הזווית ‪ .BAD‬הזווית ‪ BAD‬היא‬ ‫הזווית ‪ .NOR‬הזווית ‪ NOR‬היא‬ ‫סכום הזוויות ‪ BAC‬ו‪.CAD -‬‬ ‫הפרש הזוויות ‪ NOL‬ו‪.ROL -‬‬ ‫במקרה כזה אפשר לכתוב כך‪:‬‬ ‫‪BAD‬‬ ‫‬ ‫וגם כך‪BAD :‬‬ ‫< ‪BAC‬‬ ‫< ‪. CAD‬‬ ‫‪B‬‬ ‫סימון‪:‬‬ ‫כותבים‬ ‫‪ABC + CBD‬‬ ‫‪CBD‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪A‬‬ ‫– ‪ABD‬‬ ‫– ‪ABD‬‬ ‫= ‪ABD‬‬ ‫= ‪ABC‬‬ ‫= ‪CBD‬‬ ‫אומרים‬ ‫הזווית ‪ ABD‬היא סכום הזוויות ‪ ABC‬ו‪.CBD -‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫הזווית ‪ ABC‬היא הפרש הזוויות ‪ ABD‬ו‪.CBD -‬‬ ‫הזווית ‪ CBD‬היא הפרש הזוויות ‪ ABD‬ו‪.ABC -‬‬ ‫‪301‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫משימות‬ ‫‪ 62‬סרטטו שתי זוויות‪ ,‬כך שסכומן יהיה זווית שטוחה‪.‬‬ ‫קל‬ ‫‪ 63‬סרטטו שתי זוויות‪ ,‬כך שסכומן יהיה זווית ישרה‪.‬‬ ‫קל‬ ‫‪ 64‬סרטטו שלוש זוויות‪ ,‬כך שסכומן יהיה זווית שטוחה‪.‬‬ ‫‪ 65‬יוסי בנה שתי זוויות בעלות קדקוד משותף ושוק משותפת‪ .‬השוק המשותפת נמצאת בין השוקיים‬ ‫האחרות‪ .‬המידה של הזווית הראשונה היא ‪ . mº‬המידה של הזווית השנייה היא ‪. kº‬‬ ‫מהי מידת הזווית שהיא סכום הזוויות?‬ ‫‪ 66‬הנקודות ‪ O ,A‬ו‪ B -‬נמצאות על ישר אחד‪.‬‬ ‫האם המידות הרשומות יכולות להיות נכונות?‬ ‫נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫קל‬ ‫‪129º‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪30º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 67‬התבוננו בסרטוט‪ .‬ציינו באילו סעיפים השוויונות מתקיימים‪.‬‬ ‫א ‪AOB‬‬ ‫= ‪BOD‬‬ ‫‪ DOA +‬‬ ‫ב ‪BOD‬‬ ‫= ‪DOA‬‬ ‫‪AOB +‬‬ ‫ג ‪BOD‬‬ ‫= ‪DOA‬‬ ‫‪ COB +‬‬ ‫ד ‪BOD‬‬ ‫= ‪COD‬‬ ‫‪COB +‬‬ ‫ה ‪BOA‬‬ ‫= ‪DOA‬‬ ‫‪ DOB −‬‬ ‫ו ‪COD‬‬ ‫= ‪COB‬‬ ‫‪DOB −‬‬ ‫ז ‪BOD‬‬ ‫= ‪AOD‬‬ ‫‪COA +‬‬ ‫ח ‪BOD‬‬ ‫= ‪AOD‬‬ ‫‪BOA +‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ BOC +‬‬ ‫‪BOC +‬‬ ‫‪ 68‬התבוננו בסרטוט שלפניכם‪.‬‬ ‫א בטאו את ‪ BAL‬כסכום של שתי זוויות וכסכום של שלוש זוויות‪.‬‬ ‫ב מצאו שתי זוויות שהפרשן הוא הזווית ‪.LAM‬‬ ‫ג מצאו עוד שתי זוויות שהפרשן הוא הזווית ‪.LAM‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪ 69‬לפניכם שלוש זוויות‪, POS :‬‬ ‫‪, AOS‬‬ ‫‬ ‫‪. AOP‬‬ ‫‬ ‫בטאו כל אחת מהזוויות על‪-‬ידי סכום‬ ‫או על‪-‬ידי הפרש של שתי זוויות אחרות‪.‬‬ ‫‪302‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪U‬‬ ‫‪ OURI 70‬הוא מלבן‪ OR .‬הוא אלכסון של המלבן‪.‬‬ ‫מהו הסכום של הזוויות ‪ 1‬ו‪?2 -‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪ RITA 71‬הוא מלבן‪ AI .‬הוא אלכסון של המלבן‪.‬‬ ‫כתבו ביטוים אלגבריים המתארים את הזווית ‪1‬‬ ‫בעזרת ‪. x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ 72‬הזווית ‪ AOB‬שלפניכם מחולקת לארבע זוויות שוות‬ ‫על‪-‬ידי הקרניים ‪ OK ,OC‬ו‪.OM -‬‬ ‫‪K‬‬ ‫א בטאו את ‪ AOB‬כסכום של‬ ‫שתי זוויות בשתי דרכים שונים‪.‬‬ ‫ב בטאו את ‪AOB‬‬ ‫כסכום של שלוש זוויות‪.‬‬ ‫ג בטאו את ‪AOB‬‬ ‫כסכום של ארבע זוויות‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫; ‪. COD = 120º‬‬ ‫‪ 73‬א סרטטו בסרטוט אחד את הזוויות ‪COA = 60º‬‬ ‫ב האם לשתי הזוויות יש קדקוד משותף? אם לא‪ ,‬בדקו שוב את הסרטוט שלכם‪.‬‬ ‫ג מהי מידת הזווית ‪?AOD‬‬ ‫ד האם יש אפשרות נוספת לסרטוט הזוויות בסעיף א'?‬ ‫אם כן‪ ,‬סרטטו את הזוויות‪ִ ,‬‬ ‫ומצאו מהי מידת הזווית ‪ AOD‬באפשרות זו‪ .‬אם לא‪ ,‬הסבירו מדוע‪.‬‬ ‫‪ 74‬בסרטוט שלפניכם ‪. AOD = COB‬‬ ‫הראו ש‪. DOC = AOB -‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 75‬סרטטו שתי זוויות שונות‪ ,‬כך שההפרש ביניהן יהיה זווית ישרה‪.‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪303‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 76‬מדדו את הזוויות ‪ A2 ,A1‬ו‪ .A3 -‬כתבו את תוצאות המדידה‪.‬‬ ‫בלי מדידה נוספת כתבו את מידותיהן‬ ‫של הזוויות ‪ EAB , DAB‬ו‪. DAC -‬‬ ‫בדקו את תשובתכם על‪-‬ידי מדידה‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 77‬מצאו את מידת הזווית ‪AOB‬‬ ‫א‬ ‫‪D‬‬ ‫בכל סעיף‪.‬‬ ‫ב‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪60º 40º‬‬ ‫‪100º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ג‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪15º 30º‬‬ ‫‪15º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ד‬ ‫‪O‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪AOD = 90º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪K‬‬ ‫זכרו!‬ ‫כאשר באותו‬ ‫סרטוט‪ ,‬סימון‬ ‫של שתי זוויות‬ ‫או יותר זהה‪,‬‬ ‫הזוויות שוות‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ 78‬נמקו מדוע הקרניים ‪ OB‬ו‪ OK -‬מאונכות זו לזו‪,‬‬ ‫אם ידוע כי ‪ AOC‬היא זווית שטוחה‪.‬‬ ‫(היעזרו בנתונים ובסימון שבסרטוט‪).‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪60º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪304‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 79‬א מהו‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬סכום הזוויות ‪,BOC ,AOB‬‬ ‫‪ DOE ,COD‬ו‪ EOA -‬שבסרטוט?‬ ‫‪A‬‬ ‫ב מהו‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬סכום הזוויות מסביב לנקודה?‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 80‬האם אפשר לומר שסכום הזוויות‬ ‫‪ COA‬ו‪ OAD -‬הוא זווית שטוחה?‬ ‫‪A‬‬ ‫‪130º‬‬ ‫‪50º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 81‬סרטטו שלוש זוויות כך‪:‬‬ ‫‪ABC = 70°‬‬ ‫‪, BCK = 30°‬‬ ‫‪. CKN = 80°‬‬ ‫האם שלוש הזוויות יוצרות זווית שטוחה?‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ 82‬בכל סעיף קבעו אם ההיגד הוא נכון או לא‪-‬נכון‪.‬‬ ‫א סכום הזוויות במלבן הוא ‪.360°‬‬ ‫ב סכום הזוויות במלבן הוא זווית של ‪.360°‬‬ ‫פיצוחים‬ ‫‪ 83‬סרטטו שלוש זוויות‪ ,‬כך שלכל זוג זוויות תהיה שוק משותפת‪ ,‬ואף אחת מהזוויות לא תהיה‬ ‫חלק מזווית אחרת‪.‬‬ ‫‪ . BOC = 100° 84‬הקרן ‪ OA‬מחלקת את הזווית ‪ BOC‬לשתי זוויות‪.‬‬ ‫ידוע כי מידת הזווית ‪ AOC‬גדולה ממידת הזווית ‪ AOB‬ב‪ .26º -‬מצאו את מידת הזווית ‪.AOC‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪305‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫ג‪ .2.‬חוצה זווית‬ ‫מגלים‬ ‫מגלים‬ ‫‪ 1‬מצאו דרך לחלק זווית לשתי זוויות שוות‪ .‬הסבירו את הדרך‪.‬‬ ‫‪ 2‬לשתי זוויות שוות יש שוק משותפת העוברת בין שתי השוקיים הנותרות‪.‬‬ ‫מה תוכלו להגיד על הזווית שהיא סכום שתי הזוויות האלה?‬ ‫לומדים‬ ‫חוצה‪-‬זווית הוא קרן היוצאת מקדקוד הזווית ומחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫בסרטוט שלפניכם הקרן ‪ BL‬יוצאת מהקדקוד ‪ B‬של ‪. ABC‬‬ ‫ו‪CBL -‬‬ ‫‪L‬‬ ‫= ‪ . ABL‬לכן הקרן ‪ BL‬היא חוצה‪-‬זווית של הזווית ‪.ABC‬‬ ‫אפשר לבנות את חוצה‪-‬הזווית בעזרת קיפול כך‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫קו הקיפול‬ ‫בקיפול השוקיים מתלכדות;‬ ‫חוצה הזווית הוא חלק של קו הקיפול‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫הקרן ‪ Ol‬היא חוצה‪-‬זווית של הזווית ‪.HOW‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪O‬‬ ‫משימות‬ ‫‪ 85‬בדקו אם בסרטוט שלפניכם הקרן ‪ KM‬היא חוצה‪-‬זווית של הזווית ‪.AKC‬‬ ‫הסבירו כיצד בדקתם‪.‬‬ ‫קל‬ ‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪ 86‬חילקו זווית לארבע זוויות שוות‪.‬‬ ‫מידת כל זווית שהתקבלה מהחלוקה היא ‪.30°‬‬ ‫מה הייתה המידה של הזווית המחולקת? האם חלק מהקרניים הן חוצה‪-‬זווית‬ ‫של הזווית המקורית או של זוויות אחרות שנוצרו מחלוקה זו? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 87‬רינה חילקה זווית לארבע זוויות שוות‪ .‬מידת כל זווית שהתקבלה כתוצאה מהחלוקה‪ ,‬היא ‪.aº‬‬ ‫מה הייתה המידה של הזווית המחולקת?‬ ‫‪ 88‬מידת הזווית ‪ AOB‬היא ‪ .64°‬הנקודה ‪ D‬נמצאת על חוצה הזווית של הזווית ‪.AOB‬‬ ‫מה היא מידת הזווית ‪?AOD‬‬ ‫‪306‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 89‬סרטטו זווית על דף חלק‪ ,‬וגזרו אותה‪ .‬בנו את חוצה‪-‬הזווית של הזווית הגזורה על‪-‬ידי קיפול‪.‬‬ ‫‪ 90‬סרטטו זווית שמידתה ‪ .140º‬סרטטו את חוצה‪-‬הזווית שלה‪.‬‬ ‫‪ 91‬בכל סרטוט הסבירו אם הקרן ‪ Cd‬היא חוצה‪-‬זווית של הזווית ‪.AKB‬‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 92‬הקרן ‪ Am‬יוצאת מקדקוד ‪ A‬של זווית‪.‬‬ ‫האם הקרן ‪ Am‬היא בהכרח חוצה‪-‬הזווית של הזווית? הסבירו מדוע‪ .‬היעזרו בסרטוט לפי הצורך‪.‬‬ ‫‪, ABC = 68º , ABD = 84º 93‬‬ ‫‪ - BK‬חוצה‪-‬זווית של הזווית ‪, ABC‬‬ ‫‪ - BM‬חוצה‪-‬זווית של הזווית ‪. ABD‬‬ ‫מהי מידת הזווית ‪?KBM‬‬ ‫א ‪84º‬‬ ‫ב ‪6 8º‬‬ ‫ג ‪16º‬‬ ‫ד ‪76º‬‬ ‫ה ‪152º‬‬ ‫ו ‪.90º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 94‬נתון‪ . BOD = 70º :‬הקרן ‪ - ON‬חוצה‪-‬זווית של ‪. BOD‬‬ ‫בצעו סרטוט בהתאם לנתונים‪ ,‬וענו על השאלה ללא מדידה נוספת‪.‬‬ ‫מה מידתן של הזוויות ‪ BON‬ו‪ ?DON -‬בדקו את תשובתכם על‪-‬ידי מדידה‪.‬‬ ‫‪ 95‬מידת הזווית ‪ MOK‬היא ‪. x °‬‬ ‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על חוצה זווית של הזווית ‪.MOK‬‬ ‫מה היא מידת הזווית ‪?MOA‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪x°‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ 96‬יצחק חילק זווית שמידתה ‪ yº‬לשתי זווית שוות‪ .‬הוא חילק כל זווית שהתקבלה לשתי זוויות שוות‪.‬‬ ‫כתבו ביטוי אלגברי המתאים למידה של הזוויות שהתקבלו בסוף התהליך‪.‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪307‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 97‬בסרטוט שלפניכם הקרן ‪ AM‬היא חוצה‪-‬זווית של ‪ , BAC‬הקרן ‪ AP‬היא חוצה‪-‬זווית של ‪, MAB‬‬ ‫והקרן ‪ AL‬היא חוצה‪-‬זווית של ‪. MAC‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪M‬‬ ‫א כתבו שוויון של כל הזוויות השוות זו לזו‪.‬‬ ‫ב האם הזווית ‪ BAP‬שווה לזווית ‪ ?LAC‬מדוע?‬ ‫‪L‬‬ ‫ג פי כמה גדולה הזווית ‪ BAC‬מהזווית ‪?MAL‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ד פי כמה קטנה הזווית ‪ CAL‬מהזווית ‪?MAC‬‬ ‫ה האם ‪MAC‬‬ ‫= ‪ ? PAL‬מדוע?‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 98‬ענו על השאלות‪ ,‬ונמקו את תשובותיכם‪.‬‬ ‫א חוצה‪-‬זווית מחלק זווית לשתי זוויות ישרות‪ .‬מהו סוג הזווית המחולקת?‬ ‫ב האם יש זווית הקטנה מזווית שטוחה‪ ,‬שחוצה‪-‬זווית מחלק אותה לשתי זוויות קהות?‬ ‫ג חוצה‪-‬זווית מחלק זווית לשתי זוויות חדות‪ .‬מאילו סוגים יכולה להיות הזווית המחולקת?‬ ‫ד חוצה‪-‬זווית מחלק זווית נתונה לשתי זוויות קהות‪ .‬סרטטו דוגמה לזווית זו‪.‬‬ ‫מה יכולות להיות המידות של הזווית הנתונה?‬ ‫‪ 99‬סרטטו במחברת שלוש זוויות שמידותיהן ‪ 158º ,100º‬ו‪ ,46º -‬ובנו את חוצי הזווית של כל אחת‬ ‫מהזוויות האלה‪( .‬היעזרו במד‪-‬זווית‪).‬‬ ‫‪ 100‬גזרו את הריבוע ‪ ABCD‬שבנספח‪ ,‬וקפלו אותו לאורך האלכסון ‪.AC‬‬ ‫מהי מידת הזווית ‪ ?CAB‬מהי מידת הזווית ‪ ?CAD‬מהי מידת הזווית ‪?ACB‬‬ ‫מהי מידת הזווית ‪?ACD‬‬ ‫פתחו את הקיפול הראשון וקפלו את הריבוע לאורך האלכסון ‪.DB‬‬ ‫מהי מידת הזווית ‪ ?CBD‬מהי מידת הזווית ‪ ?ABD‬מהי מידת הזווית ‪?ADB‬‬ ‫מהי מידת הזווית ‪?BDC‬‬ ‫האם אלכסוני הריבוע חוצים את זוויות הריבוע?‬ ‫‪ 101‬גזרו את המלבן ‪ KOLI‬שבנספח‪ ,‬וקפלו אותו לאורך האלכסון ‪.KL‬‬ ‫האם הזוויות ‪ OKL‬ו‪ LKI -‬שוות? האם הזוויות ‪ OLK‬ו‪ KLI -‬שוות?‬ ‫האם האלכסון ‪ KL‬חוצה את הזוויות ‪ OKI‬ו‪?OLI -‬‬ ‫האם אלכסוני המלבן שאינו ריבוע חוצים את זוויות המלבן?‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪I‬‬ ‫פיצוחים‬ ‫‪ 102‬לשתי זוויות יש שוק משותפת‪.‬‬ ‫הזווית בין חוצי‪-‬הזווית של הזוויות האלה היא זווית ישרה‪.‬‬ ‫מהו סכום שתי הזוויות הנתונות?‬ ‫‪308‬‬ ‫תרגילים נוספים‬ ‫בעמודים ‪.328 -327‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫ד‪ .‬זוויות וישרים‬ ‫ד‪ .1.‬זוויות צמודות‬ ‫מגלים‬ ‫מגלים‬ ‫‪ 1‬סרטטו שתי זוויות שתהיה להן שוק אחת משותפת‪ ,‬ושתי השוקיים האחרות ייצרו ישר‪.‬‬ ‫מה תוכלו לומר על הזווית שהיא סכום הזוויות שסרטטתם?‬ ‫‪ 2‬סרטטו שתי זוויות שהסכום שלהן יהיה זווית שטוחה‪ .‬תארו את הזוויות שסרטטתם‪.‬‬ ‫האם יש להן שוק משותפת? מהו סכום הזוויות האלה במעלות? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫לומדים‬ ‫‪K‬‬ ‫שתי זוויות נקראות זוויות צמודות‪ ,‬אם יש להן שוק אחת משותפת‪,‬‬ ‫ושתי השוקיים האחרות יוצרות ישר‪.‬‬ ‫אפשר לומר כך‪ :‬זוויות צמודות משלימות זו את זו לזווית שטוחה;‬ ‫‬ ‫כלומר זוויות צמודות משלימות זו את זו ל‪.1800 -‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪A‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫בסרטוט שלפניכם הזוויות ‪ ABC‬ו‪ ABD -‬הן זוויות צמודות‪,‬‬ ‫כי השוק ‪ BA‬היא השוק המשותפת‪ ,‬והשוקיים ‪ BD‬ו‪ BC -‬יוצרות ישר‪.‬‬ ‫הקרניים ‪ BC‬ו‪ BD -‬הן שוקיים של זווית שטוחה‪.‬‬ ‫‪DBC = 180º‬‬ ‫= ‪ABC‬‬ ‫‪ABD +‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫משימות‬ ‫קל‬ ‫‪ 103‬מידתה של אחת הזוויות הצמודות היא ‪ .55º‬מהי מידת הזווית האחרת?‬ ‫‪ 104‬מידתה של אחת הזוויות הצמודות היא ‪ .152º‬מה מידתה של הזווית האחרת?‬ ‫‪ 105‬מהי מידתה של זווית הצמודה לזווית שמידתה ‪?175º‬‬ ‫קל‬ ‫קל‬ ‫קל‬ ‫‪ 106‬שתי זוויות צמודות שוות זו לזו‪ .‬מה המידה של כל אחת מהן?‬ ‫‪A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ 107‬הוכיחו שזווית הצמודה לזווית ישרה‪ ,‬גם היא ישרה‪.‬‬ ‫‪ 108‬לפניכם סרטוט של מלבן ואלכסוניו‪ .‬מהן הזוויות הצמודות בסרטוט?‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪P‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪309‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 109‬בכל סרטוט הזווית שמידתה נתונה‪ ,‬והזווית ‪ α‬הן זוויות צמודות‪ .‬חשבו את מידתה של זווית ‪.α‬‬ ‫קל‬ ‫א‬ ‫ג‬ ‫ב‬ ‫‪a 125 º‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪90 º‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪45 º‬‬ ‫‪ 110‬קבעו בלי מדידה‪ ,‬איזו מבין הזוויות ‪ a‬ו‪ β -‬גדולה יותר‪ .‬נמקו‪.‬‬ ‫קל‬ ‫‪30º‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪40º‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 111‬בכל סעיף מסורטטות שתי זוויות המסומנות בקשתות‪ .‬הסבירו מדוע זוויות אלו אינן זוויות צמודות‪.‬‬ ‫א‬ ‫‪E‬‬ ‫ב‬ ‫ג‬ ‫‪U‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪ 112‬בכל סעיף בדקו אם הזוויות ‪ a‬ו‪ b -‬המסורטטות הן זוויות צמודות‪ .‬הסבירו את תשובתכם‪.‬‬ ‫א‬ ‫ג‬ ‫ב‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 113‬בכל סעיף מסורטטות שתי זוויות המסומנות בקשתות‪ .‬הסבירו מדוע זוויות אלו אינן זוויות צמודות‪.‬‬ ‫א‬ ‫ג‬ ‫‪A‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ב‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪I‬‬ ‫ד‬ ‫‪H‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪310‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 114‬מדוע שתי זוויות שסכומן ‪ ,160 º‬אינן יכולות להיות זוויות צמודות?‬ ‫‪ 115‬האם זוויות צמודות יכולות להיות בו‪-‬זמנית‪...‬‬ ‫א זוויות חדות?‬ ‫ג זוויות ישרות?‬ ‫ב זוויות קהות?‬ ‫נמקו את תשובתכם בכל סעיף‪.‬‬ ‫‪ 116‬לזוויות ‪ α‬ו‪ 1 -‬יש שוק אחת משותפת‪ ,‬ושתי השוקיים האחרות יוצרות ישר‪.‬‬ ‫הזוויות ‪ 2‬ו‪ β -‬הן זוויות צמודות‪.α = β .‬‬ ‫מה תוכלו להסיק מהנתונים על הזוויות ‪ 2‬ו‪?1 -‬‬ ‫‬ ‫ב ‪1 > 2‬‬ ‫א ‪ 1 < 2‬‬ ‫ד ‪1 ≠ 2‬‬ ‫ג ‪ 1 = 2‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 117‬הוכיחו שאם שתי זוויות שוות במידתן‪,‬‬ ‫גם הזוויות הצמודות להן שוות במידתן‪.‬‬ ‫‪ 118‬הסבירו מדוע חוצי‪-‬הזווית של שתי זוויות צמודות מאונכים זה לזה‪.‬‬ ‫נסו לנמק תכונה זו גם על‪-‬ידי קיפול‪( .‬במידת הצורך עיינו במשימות ‪ 78‬ו‪).102 -‬‬ ‫‪ 119‬סרטטו זווית חדה‪ .‬סרטטו זווית הצמודה לזווית שסרטטתם‪.‬‬ ‫מה תוכלו לומר על סוג הזווית הצמודה שסרטטתם? האם יש אפשרויות נוספות לסרטוט?‬ ‫כמה זוויות צמודות לזווית חדה אפשר לסרטט? הסבירו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪ 120‬סרטטו זווית ‪ ABC‬הקטנה מזווית שטוחה‪ .‬סרטטו שתי זוויות ‪ ABD‬ו‪ CBE -‬הצמודות לזווית ‪.ABC‬‬ ‫האם נכון כי ‪ ? ABD = CBE‬נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪ 121‬אחת משתי זוויות צמודות קטנה מהזווית האחרת ב‪ .70º -‬מצאו את מידות הזוויות‪.‬‬ ‫‪ 122‬אחת משתי זוויות צמודות גדולה מהזווית האחרת ב‪ .40º -‬מצאו את מידות הזוויות‪.‬‬ ‫‪ 123‬אחת משתי זוויות צמודות קטנה מהזווית האחרת פי חמישה‪ .‬מה מידות הזוויות?‬ ‫א ‪ 60º‬ו‪1 2º -‬‬ ‫ב ‪ 25º‬ו‪1 25º -‬‬ ‫ג ‪ 80º‬ו‪1 00º -‬‬ ‫ד ‪ 30º‬ו‪1 50º -‬‬ ‫ה ‪ 80º‬ו‪85º -‬‬ ‫פיצוחים‬ ‫‪ 124‬הוכיחו שאם זווית ‪ α‬גדולה מזווית ‪ ,β‬הזווית הצמודה ל‪ α -‬קטנה מהזווית הצמודה ל‪.β -‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪311‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫ד‪ .2.‬זוויות קדקודיות‬ ‫מגלים‬ ‫מגלים‬ ‫‪L‬‬ ‫‪ 1‬בסרטוט שלפניכם שני הישרים חותכים זה את זה בנקודה ‪.K‬‬ ‫מדדו את כל הזוויות הקטנות מזווית שטוחה‪ .‬מה מצאתם?‬ ‫כתבו את מסקנתכם‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪ 2‬א סרטטו שני ישרים נחתכים שאינם מאונכים זה לזה‪ .‬סמנו באות ‪ O‬את הנקודה המשותפת‬ ‫של הישרים‪ .‬האם בין הזוויות שנוצרו בין הישרים יש זוויות שוות? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫ב האם בסרטוט יש זוויות צמודות? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫לומדים‬ ‫שוקיים של זווית שטוחה נקראות שוקיים נגדיות‪.‬‬ ‫קדקוד‬ ‫מהקדקוד יוצאות שתי קרנים בכיוונים נגדיים‪.‬‬ ‫כאשר שוקיה של זווית אחת הן נגדיות לשוקיים‬ ‫‪b‬‬ ‫השוק‬ ‫של הזווית האחרת בהתאמה‪ ,‬הזוויות נקראות זוויות קדקודיות‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫נקודת היציאה של השוקיים‬ ‫ה‬ ‫(קדקוד הזוויות)‬ ‫שוק‬ ‫הנג‬ ‫דית‬ ‫הנגדית‬ ‫השוק‬ ‫שוק‬ ‫שוק‬ ‫ה‬ ‫נגדית‬ ‫‪O‬‬ ‫שוק‬ ‫‪a‬‬ ‫● ●הישרים ‪ a‬ו‪ b -‬חותכים זה את זה בנקודה ‪.O‬‬ ‫הזוויות ‪ α‬ו‪ β -‬הן זוויות קדקודיות‪,‬‬ ‫‪a‬‬ ‫כי השוקיים של זווית אחת הן‬ ‫‪β O α‬‬ ‫נגדיות לשוקיים של‬ ‫הזווית האחרת בהתאמה‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫● ●‪ γ‬ו‪ δ -‬הן זוויות קדקודיות‪.‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫משימות‬ ‫‪ 125‬בסרטוט שלפניכם ‪MON‬‬ ‫קל‬ ‫ו‪KOF -‬‬ ‫הן זוויות קדקודיות‪.‬‬ ‫‪K‬‬ ‫א האם בסרטוט יש עוד זוג של זוויות קדקודיות?‬ ‫הסבירו מדוע הן קדקודיות‪.‬‬ ‫ב הסבירו מדוע ‪KOF‬‬ ‫‪312‬‬ ‫ו‪MOK -‬‬ ‫הן זוויות צמודות‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫קל‬ ‫‪ 126‬בכל סעיף מסומנות זוויות ‪ α‬ו‪ .β -‬אילו מהזוויות קדקודיות? מדדו את הזוויות במידת הצורך‪.‬‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫‪α‬‬ ‫ג‬ ‫‪α‬‬ ‫‪β‬‬ ‫ד‬ ‫‪α‬‬ ‫‪β‬‬ ‫ו‬ ‫ה‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪β‬‬ ‫ז‬ ‫‪α‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪ 127‬האם לזוויות קדקודיות יש שוק משותפת? מה משותף לזוויות קדקודיות?‬ ‫‪ 128‬סרטטו שתי זוויות קדקודיות‪ .‬מדדו אותן בעזרת מד‪-‬זווית‪ .‬כתבו את תוצאת המדידה‪.‬‬ ‫‪ 129‬סרטטו שני ישרים נחתכים‪ ,‬וסמנו בהם את שני הזוגות של הזוויות הקדקודיות שנוצרו‪.‬‬ ‫‪ 130‬בכל סעיף מצאו זוויות קדקודיות‪ .‬כתבו את שמותיהן‪.‬‬ ‫ב‬ ‫א‬ ‫‪N‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪K‬‬ ‫ג‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 131‬סרטטו שני ישרים נחתכים‪.‬‬ ‫א הוסיפו סימון לפי הצורך‪ ,‬וכתבו את כל הזוגות של הזוויות הקדקודיות ושל הזוויות הצמודות שנוצרו‪.‬‬ ‫ב כמה זוגות של זוויות קדקודיות נוצרו?‬ ‫ג כמה זוגות של זוויות צמודות נוצרו?‬ ‫‪ 132‬סרטטו זווית שמידתה ‪ .135º‬סרטטו זווית קדקודית לזווית זו‪.‬‬ ‫‪ 133‬מהן הזוויות הצמודות‪,‬‬ ‫ומהן הזוויות הקדקודיות‬ ‫בסרטוט שלפניכם?‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪313‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 134‬מרים סרטטה שתי זוויות צמודות‪ .‬האם בסרטוט שלה יש גם זוויות קדקודיות? הסבירו את תשובתכם‪.‬‬ ‫ו‪2 -‬‬ ‫‪ 135‬בכל סרטוט הסבירו מדוע ‪1‬‬ ‫אינן זוויות קדקודיות‪.‬‬ ‫ב‬ ‫א‬ ‫ד‬ ‫ג‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לומדים‬ ‫זוויות קדקודיות שוות זו לזו‪ ,‬כי הן צמודות לאותה זווית‪.‬‬ ‫לכן מסמנים אותן בסימון זהה‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪K‬‬ ‫הזוויות ‪ O1‬ו‪ O3 -‬הן זוויות קדקודיות‪.‬‬ ‫‪O1 + MOK = 180°‬‬ ‫‪O3 + MOK = 180°‬‬ ‫לפי תכונות השוויון (כלל המעבר‬ ‫וחיסור גדלים שווים משני האגפים)‪O3 ,‬‬ ‫‪a M‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪b‬‬ ‫= ‪. O1‬‬ ‫משימות‬ ‫‪ 136‬א לפי הנתונים שבסרטוט‪ ,‬מהי מידת הזווית ‪?DOF‬‬ ‫קל‬ ‫‪a‬‬ ‫ב מהי המידה של הזווית ‪?KOF‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪120º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ 137‬מידתה של אחת משתי זוויות קדקודיות היא ‪.40º‬‬ ‫מהי המידה של הזווית האחרת? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 138‬מידתה של אחת משתי זוויות קדקודיות היא ‪.45º‬‬ ‫א מה מידתה של הזווית הקדקודית לה?‬ ‫ב מה מידתה של זווית הצמודה לזווית הנתונה?‬ ‫‪ 139‬מדוע ‪DOF‬‬ ‫= ‪MOK‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪O‬‬ ‫?‬ ‫‪b‬‬ ‫‪314‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ - O 140‬נקודה משותפת לישרים ‪ a‬ו‪.b -‬‬ ‫‪. MOD = 30º‬‬ ‫מצאו את המידות של הזוויות ‪.3 ,2 ,1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 141‬א הסכום של שתי זוויות קדקודיות שבין שני ישרים נחתכים הוא ‪.180º‬‬ ‫מה תוכלו לומר על שני הישרים הנחתכים?‬ ‫ב סכום של שלוש מהזוויות שהתקבלו בין שני ישרים נחתכים‪ ,‬שווה ל‪ .270º -‬מהן מידות הזוויות?‬ ‫‪ 142‬הוכיחו ששני ישרים נחתכים יוצרים ארבע זוויות קטנות מזווית שטוחה (קטנות מ‪.)180º -‬‬ ‫‪ 143‬הסכום של שתיים מהזוויות שהתקבלו בין שני ישרים נחתכים‪ ,‬שווה ל‪.160º -‬‬ ‫מה תוכלו לומר על הזוויות האלה?‬ ‫‪ 144‬בסרטוט שלפניכם הישר ‪ d‬נחתך על‪-‬ידי שני ישרים אחרים‪.‬‬ ‫הזוויות ‪ α‬ו‪ β -‬שוות זו לזו‪ .‬מהן הזוויות הנוספות ששוות זו לזו?‬ ‫מצאו את מרב הזוויות המתאימות כתשובה לשאלה‪.‬‬ ‫‪α 1‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6 5‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ 145‬מצאו בכל סרטוט את המידות של הזוויות ‪ β ,a‬ו‪ ,γ -‬שנוצרו בחיתוך של שני ישרים‪.‬‬ ‫ב‬ ‫א‬ ‫‪50º‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫ג‬ ‫‪12º‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪115º a‬‬ ‫‪γ β‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪ 146‬בכל סעיף כתבו אם ההיגד נכון או לא‪-‬נכון‪ ,‬ונמקו את קביעתכם‪.‬‬ ‫א אם כל אחת משתי זוויות שווה ל‪ ,130º -‬הזוויות הצמודות להן שוות זו לזו‪.‬‬ ‫ב זווית הצמודה לזווית ישרה היא זווית קהה‪.‬‬ ‫ג זווית הצמודה לזווית שמידתה ‪ ,60º‬גדולה מזווית הצמודה לזווית שמידתה ‪.130º‬‬ ‫ד אפשר לסרטט זוג של זוויות קדקודיות שהן לא‪-‬צמודות לאותה זווית‪.‬‬ ‫ה כל שתי זוויות הקטנות מזווית שטוחה‪ ,‬שנוצרות בחיתוך של שני ישרים‪ ,‬הן זוויות צמודות או זוויות‬ ‫קדקודיות‪.‬‬ ‫ו אם ההפרש בין מידות של שתי זוויות שווה ל‪ ,10º -‬הזוויות קדקודיות‪.‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪315‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫ד‪ .3.‬זוויות מתאימות‪ ,‬זוויות מתחלפות‬ ‫מגלים‬ ‫מגלים‬ ‫סרטוט ‪1‬‬ ‫‪ 1‬לפניכם שני סרטוטים של האות ‪.F‬‬ ‫סרטוט ‪2‬‬ ‫באיזה סרטוט מופיעים קווים מקבילים?‬ ‫באיזה סרטוט מופיעות זוויות שוות? (בדקו את תשובתכם באמצעות מד‪-‬זווית‪).‬‬ ‫‪ 2‬סרטטו בעזרת סרגל את האות ‪ W‬גדולה (בגובה חמישה סנטימטרים בערך)‪ ,‬כך שיופיעו שני זוגות‬ ‫של קווים מקבילים‪ .‬האם יש זוויות שוות בסרטוט שלכם? סמנו אותן‪.‬‬ ‫לומדים‬ ‫עד כה חקרנו את סוגי הזוויות בין שני ישרים‪ .‬עתה נחקור את הזוויות בין שני ישרים וישר חותך‪.‬‬ ‫אם נתונים שני ישרים ‪ s‬ו‪ ,t -‬כל ישר החותך את ‪ t‬ואת ‪s‬‬ ‫ייצור עם ‪ s‬ועם ‪ t‬שמונֶ ה זוויות (ראו סרטוט)‪.‬‬ ‫כדי להבחין בין הזוויות נגדיר‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪3‬‬ ‫זוויות מתאימות וזוויות מתחלפות‪.‬‬ ‫ זוויות מתאימות הן זוויות הנמצאות באותו צד‬ ‫של הישר החותך (שמאל‪/‬ימין)‬ ‫ובאותו צד ביחס לישרים ‪ s‬ו‪( t -‬מעל‪/‬מתחת)‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫● ●בסרטוט שכאן הזוויות ‪ 1‬ו‪ 5 -‬הן זוויות מתאימות‪,‬‬ ‫משום ששתיהן משמאל לישר החותך;‬ ‫‪1‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪3‬‬ ‫וגם משום שהזווית ‪ 1‬נמצאת מעל לישר ‪,s‬‬ ‫והזווית ‪ 5‬נמצאת מעל לישר ‪.t‬‬ ‫● ●כמו‪-‬כן הזוויות ‪ 3‬ו‪ 7 -‬הן זוויות מתאימות‪,‬‬ ‫משום ששתיהן מימין לישר החותך‪,‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫וגם משום שהזווית ‪ 3‬נמצאת מתחת לישר ‪,s‬‬ ‫והזווית ‪ 7‬נמצאת מתחת לישר ‪.t‬‬ ‫‪316‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫ זוויות מתחלפות הן זוויות שאינן נמצאות באותו צד של הישר החותך (אחת ימנית ואחת‬ ‫שמאלית)‪ ,‬והן אינן נמצאות באותו צד ביחס לישרים ‪ s‬ו‪( t -‬אחת מעל לישר ואחת מתחתיו)‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫● ●בסרטוט שכאן הזוויות ‪ 1‬ו‪ 7 -‬הן זוויות מתחלפות‪:‬‬ ‫הזווית ‪ 1‬נמצאת משמאל לישר החותך‪,‬‬ ‫הזווית ‪ 7‬נמצאת מימין לישר החותך‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪s‬‬ ‫הזווית ‪ 1‬נמצאת מעל לישר ‪,s‬‬ ‫‪3‬‬ ‫והזווית ‪ 7‬נמצאת מתחת לישר ‪.t‬‬ ‫● ●כמו‪-‬כן הזוויות ‪ 3‬ו‪ 5 -‬הן זוויות מתחלפות‪:‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫הזווית ‪ 3‬נמצאת מימין לישר החותך‪,‬‬ ‫הזווית ‪ 5‬נמצאת משמאל לישר החותך‪,‬‬ ‫הזווית ‪ 3‬נמצאת מתחת לישר ‪,s‬‬ ‫והזווית ‪ 5‬נמצאת מעל לישר ‪.t‬‬ ‫משימות‬ ‫קל‬ ‫‪ 147‬א מצאו את ארבעת הזוגות של הזוויות המתחלפות שבסרטוט‪.‬‬ ‫ב מצאו את כל הזוגות של הזוויות המתאימות שבסרטוט‪.‬‬ ‫‪5 8‬‬ ‫‪6 7‬‬ ‫‪ 148‬בכל סעיף קבעו אם הזוויות הנתונות הן‬ ‫מתחלפות‪ ,‬קדקודיות‪ ,‬מתאימות או צמודות‪.‬‬ ‫א ‪4‬‬ ‫ו‪ 8 -‬‬ ‫ב ‪3‬‬ ‫ו‪2 -‬‬ ‫ג ‪2‬‬ ‫ו‪ 6 -‬‬ ‫ד ‪2‬‬ ‫ו‪7 -‬‬ ‫ה ‪5‬‬ ‫ו‪ 6 -‬‬ ‫ו ‪2‬‬ ‫ו‪4 -‬‬ ‫ז ‪7‬‬ ‫ו‪ 5 -‬‬ ‫ח ‪5‬‬ ‫ו‪8 -‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪7 8‬‬ ‫‪ 149‬חוו דעתכם על המשפט‪" :‬שתי זוויות מתאימות אינן יכולות להיות ישרות‪".‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪317‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 150‬התבוננו בסרטוט‪ ,‬וענו על השאלות‪.‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫א האם הזוויות ‪ 1‬ו‪ 8 -‬שבסרטוט הן זוויות מתחלפות‬ ‫או זוויות מתאימות?‬ ‫ב האם הזוויות ‪ 1‬ו‪ 2 -‬שבסרטוט הן זוויות קדקודיות‬ ‫או זוויות צמודות?‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪7 8‬‬ ‫ג האם הזוויות ‪ 6‬ו‪ 8 -‬שבסרטוט הן זוויות קדקודיות או זוויות צמודות?‬ ‫נתון‪. 1 = 8 :‬‬ ‫ד הסבירו מדוע ‪5‬‬ ‫=‪. 4‬‬ ‫ה האם הזוויות ‪ 4‬ו‪ 5 -‬שבסרטוט הן זוויות מתחלפות או זוויות מתאימות?‬ ‫ו הסבירו מדוע ‪6‬‬ ‫=‪. 2‬‬ ‫ז האם הזוויות ‪ 2‬ו‪ 6 -‬שבסרטוט הן זוויות מתחלפות או זוויות מתאימות?‬ ‫ח הסבירו מדוע ‪3‬‬ ‫=‪. 7‬‬ ‫ט האם הזוויות ‪ 3‬ו‪ 7 -‬שבסרטוט הן זוויות מתחלפות או זוויות מתאימות?‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪ 151‬הישרים ‪ d1‬ו‪ d2 -‬מקבילים‪.‬‬ ‫מדדו את שמונֶ ה הזוויות שבסרטוט באמצעות מד‪-‬זווית‪.‬‬ ‫מהם זוגות הזוויות השוות?‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪7 8‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫לומדים‬ ‫במשימות הקודמות ראינו בעזרת מדידה שאם זוויות מתחלפות הן שוות‪ ,‬גם הזוויות המתאימות‬ ‫הן שוות‪ .‬כמו‪-‬כן אם שני ישרים מקבילים‪ ,‬כל ישר החותך אותם יוצר זוויות מתחלפות שוות וזוויות‬ ‫מתאימות שוות‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫אם הישרים ‪ s‬ו‪ t -‬מקבילים‪ ,‬הזוויות המתחלפות המסומנות הן שוות‪ ,‬והזוויות המתאימות‬ ‫המסומנות הן שוות‪.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ראו דוגמה לנימוק נוסף בפרק ההעמקה בעמוד ‪.335‬‬ ‫‪318‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 152‬נתון‪.d1 || d2 :‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫א מצאו את כל הזוויות השוות לזווית ‪. 1‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫ב מצאו את כל הזוויות השוות לזווית ‪. 2‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪7 8‬‬ ‫ג מבין הזוגות הרשומים כאן‪,‬‬ ‫הסכום של איזה זוג אינו ‪?180º‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫ו‪ 7 -‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫ו‪ 3 -‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫ו‪ 6 -‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫ו‪6 -‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪ 153‬נתון ש‪.d1 || d2 -‬‬ ‫א מהן הזוויות המתחלפות בסרטוט שלפניכם?‬ ‫‪d2‬‬ ‫ו‪ 6 -‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ב כתבו זוגות של זוויות שוות‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ YAFE 154‬הוא מלבן ‪ YF.‬הוא אלכסון של המלבן‪ .‬מידת זווית ‪ 1‬היא ‪.30º‬‬ ‫א מהו גודל הזווית ‪?2‬‬ ‫ב מהו גודל הזווית ‪ ?3‬ציינו מהם הקווים המקבילים ומהו החותך‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ STOP 155‬הוא מלבן‪ OS .‬הוא אלכסון של המלבן‪ .‬מידת זווית ‪ 1‬היא ‪.x º‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪3‬‬ ‫א כתבו ביטוי אלגברי המתאר את הזווית ‪.2‬‬ ‫ב כתבו ביטוי אלגברי המתאר את הזווית ‪.3‬‬ ‫ציינו מהם הקווים המקבילים ומהו החותך?‬ ‫‪2‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ ABCD 156‬הוא ריבוע‪ .‬הקטע ‪ MP‬מקביל ל‪.AB -‬‬ ‫הסבירו מדוע ‪ MP‬מאונך ל‪ BC -‬ול‪.AD -‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪319‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 157‬לפניכם סרטוט של מלבן ואלכסוניו‪.‬‬ ‫מהן הזוויות המתחלפות בסרטוט?‬ ‫ציינו מהם הישרים המקבילים ומהו החותך‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪ 158‬נתון‪:‬‬ ‫‪; d1 || d2‬‬ ‫‪. 1 = 130º‬‬ ‫חשבו את כל הזוויות האחרות שבסרטוט‪.‬‬ ‫נמקו את תשובותיכם‪.‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪7 8‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪ 159‬נתון‪:‬‬ ‫‪; d1 || d2‬‬ ‫‪. 1 = 50º‬‬ ‫קבעו את ערך הזוויות‪3 , 2 :‬‬ ‫נמקו את תשובותיכם‪.‬‬ ‫ו‪. 4 -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪82°‬‬ ‫‪ 160‬לפי הנתונים שבסרטוט‪,‬‬ ‫האם ייתכן שהישרים ‪ d1‬ו‪ d2 -‬מקבילים?‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪97°‬‬ ‫‪ 161‬לפי הנתונים שבסרטוט‪,‬‬ ‫האם ייתכן שהישרים ‪ d1‬ו‪ d2 -‬מקבילים?‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪126°‬‬ ‫‪55°‬‬ ‫‪ BC 162‬הוא חוצה‪-‬הזווית ‪. ABD‬‬ ‫הישרים ‪ AB‬ו‪ CD -‬מקבילים‪.‬‬ ‫‪. BDC = 50°‬‬ ‫חשבו את ‪. ABC‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪50°‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪320‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ NR 163‬הוא חוצה‪-‬הזווית ‪. ANO‬‬ ‫הישרים ‪ NO‬ו‪ RA -‬מקבילים‪.‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪. BNA = 48°‬‬ ‫חשבו את ‪. ARN‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪48°‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ PR 164‬הוא הגובה לצלע ‪ SQ‬במשולש ‪.PSQ‬‬ ‫הישרים ‪ TS‬ו‪ SQ -‬מאונכים זה לזה‪.‬‬ ‫‪. RPS = 65°‬‬ ‫חשבו את ‪. PST‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ 165‬שני ישרים ‪ d1‬ו‪ d2 -‬מקבילים‪ .‬ישר ‪ d3‬החותך את שניהם‪ ,‬יוצר אתם שמונֶ ה זוויות‪.‬‬ ‫האם ייתכן ששמונֶ ה הזוויות יהיו שוות? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ 166‬הישרים ‪ MO‬ו‪ IT -‬מקבילים‪.‬‬ ‫האם הזוויות ‪ MOS‬ו‪STI -‬‬ ‫נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫שוות?‬ ‫‪I‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 167‬א המשולשים ישרי‪-‬הזווית ‪BEN‬‬ ‫ו‪ BON -‬חופפים‪.BO = BE .‬‬ ‫מהן הזוויות השוות?‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫ב‪ BO .‬ו‪ ES-‬מקבילים‪.‬‬ ‫‪. SEB = 48°‬‬ ‫חשבו את ‪. OBN‬‬ ‫‪ 168‬הישרים ‪ a‬ו‪ b -‬מקבילים‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מהו סכום הזוויות ‪ ? x + y‬נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪321‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 169‬הישרים ‪ a‬ו‪ b -‬מקבילים‪.‬‬ ‫הביטויים האלגבריים ‪ x‬ו‪3 · x – 240 -‬‬ ‫המופיעים בסרטוט‪ ,‬מתארים מידות של זוויות‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3 · x – 240‬‬ ‫‪b‬‬ ‫א מצאו את ‪. x‬‬ ‫ב מה מידות הזוויות המסומנות בסרטוט?‬ ‫‪ 170‬הישרים ‪ a‬ו‪ b -‬מקבילים‪.‬‬ ‫הביטויים האלגבריים ‪ 2 · x + 20‬ו‪8 · x + 60 -‬‬ ‫מתארים מידות של זוויות‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2 · x + 20‬‬ ‫‪8 · x + 60‬‬ ‫‪b‬‬ ‫א מצאו את ‪. x‬‬ ‫ב מה מידות הזוויות המסומנות בסרטוט?‬ ‫פיצוחים‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 171‬הישרים ‪ a‬ו‪ b -‬מקבילים‪.‬‬ ‫הביטויים האלגבריים ‪ 2 · x‬ו‪x + 50 -‬‬ ‫‪2·x‬‬ ‫המופיעים בסרטוט‪ ,‬מייצגים מידות של זוויות‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫א מצאו את ‪.x‬‬ ‫ב מה מידתה של כל זווית בסרטוט?‬ ‫‪x + 50‬‬ ‫‪ 172‬הישרים ‪ a‬ו‪ b -‬מקבילים‪.‬‬ ‫הביטויים האלגבריים ‪ x‬ו‪3 · x -‬‬ ‫המופיעים בסרטוט‪ ,‬מייצגים מידות של זוויות‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫א מהו ערך הסכום ‪? x + 3 · x‬‬ ‫ב מצאו את ‪. x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪3·x‬‬ ‫ג מה מידתה של כל זווית המסומנת בסרטוט?‬ ‫תרגילים נוספים בעמודים ‪.330 - 329‬‬ ‫‪322‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מיומנויות‬ ‫מדידת זוויות בעזרת מד‪-‬זווית‬ ‫מד‪-‬זווית הוא אחד המכשירים למדידת זוויות‪.‬‬ ‫קיימים סוגים שונים של מדי‪-‬זווית‪ ,‬וכולם בנויים לפי אותם עקרונות‪.‬‬ ‫כמו בסרגל‪ ,‬גם במד‪-‬זווית מסומנות שנתות‪ ,‬אך הן מסודרות בצורת חצי מעגל‪.‬‬ ‫חצי המעגל מחולק ל‪ 180 -‬חלקים שווים המסומנים על‪-‬ידי השנתות‪.‬‬ ‫אם נדמיין שתי קרניים היוצאות ממרכז מד‪-‬זווית ועוברות דרך‬ ‫שתי שנתות סמוכות‪ ,‬הן ייצרו זווית של מעלה אחת‪.‬‬ ‫כדי למדוד זווית בעזרת מד‪-‬זווית יש להניח אותו כך‪:‬‬ ‫מרכז‬ ‫מד‪ -‬הזווית‬ ‫א מרכז מד‪-‬הזווית יתלכד עם קדקוד הזווית;‬ ‫ב אחת משוקי הזווית תעבור דרך ֶשנֶ ת ‪;0º‬‬ ‫ג השוק האחרת תחתוך את חצי המעגל של מד‪-‬הזווית‬ ‫ותצביע על מספר המעלות‪ ,‬שהוא מידת הזווית‪.‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬מידת הזווית שבסרטוט היא ‪.50º‬‬ ‫בעזרת מד‪-‬זווית אפשר גם לבנות (לסרטט* ) זוויות שמידתן נתונה‪.‬‬ ‫לפניכם שלבי בנייה‪.‬‬ ‫ב מניחים מד‪-‬זווית על הקרן‪ ,‬כך שקדקוד‬ ‫הקרן מתלכד עם מרכז מד‪-‬הזווית‪.‬‬ ‫א מסרטטים קרן‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪O‬‬ ‫השנֶ ת של מד‪-‬הזווית‬ ‫ג מסמנים נקודה על ֶ‬ ‫על‪-‬פי המידה‬ ‫‪K‬‬ ‫הנתונה‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪O‬‬ ‫* לעתים משתמשים במילה "לבנות" כמילה נרדפת ל"לסרטט"‪.‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪M‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ד מסרטטים את השוק השנייה‪.‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪M‬‬ ‫נתקבלה‬ ‫הזווית ‪.KOM‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪323‬‬ ‫מוכנים להמשיך?‬ ‫‪ 1‬לפניכם סרטוטים של זוויות‪ .‬הזוויות מסומנות בקשתות‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫מהן הטענות הנכונות?‬ ‫א זווית ‪ A‬חדה‪.‬‬ ‫ב זווית ‪ B‬גדולה מ‪.90º -‬‬ ‫ג זווית ‪ O‬קטנה מ‪.180º -‬‬ ‫ד ‪. B < 360º‬‬ ‫ה ‪. A = 360º‬‬ ‫ו ‪. O = 180º‬‬ ‫ז ‪. B < 45º‬‬ ‫ח ‪A‬‬ ‫ט זווית ‪ O‬קהה‪.‬‬ ‫י אפשר לסרטט מצולע שאחת הזוויות בו תהיה הזווית ‪.B‬‬ ‫גדולה מזווית ישרה פי שניים‪.‬‬ ‫‪ 2‬הנקודות ‪ B ,A‬ו‪ C -‬נמצאות על הישר ‪DAB = 30º .a‬‬ ‫ללא מדידה‪ ,‬מהי מידת הזווית ‪? CAE‬‬ ‫א ‪1 80º‬‬ ‫ב ‪90º‬‬ ‫ד ‪1 50º‬‬ ‫ה ‪.60º‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ג ‪4 5º‬‬ ‫נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 3‬הישרים ‪ a‬ו‪ b -‬חותכים זה את זה בנקודה ‪.O‬‬ ‫התבוננו בסרטוט‪ ,‬ובחרו את הטענה הנכונה‪.‬‬ ‫א הזוויות ‪ O1‬ו‪ O2 -‬הן זוויות צמודות‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב הזוויות ‪ O1‬ו‪ O2 -‬הן זוויות קדקודיות‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ג הישרים ‪ a‬ו‪ b -‬מאונכים זה לזה‪.‬‬ ‫ד הזוויות ‪ O1‬ו‪ O2 -‬אינן צמודות ואינן קדקודיות‪.‬‬ ‫‪324‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מוכנים להמשיך?‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 4‬הישרים ‪ a‬ו‪ b -‬חותכים זה את זה‪.α = 43º .‬‬ ‫מהן המידות של הזוויות ‪ 2 ,1‬ו‪?3 -‬‬ ‫א ‪3 = 146º‬‬ ‫‪2 = 34º ,‬‬ ‫ב ‪2 = 43º , 3 = 137º‬‬ ‫‪1 = 146º ,‬‬ ‫‪ 1 = 143º ,‬‬ ‫ג ‪3 = 137º‬‬ ‫‪1 = 137º , 2 = 43º ,‬‬ ‫‪3 = 43º‬‬ ‫‪1 = 43º ,‬‬ ‫ד‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2 = 43º ,‬‬ ‫‪ 5‬בחיתוך של שני ישרים נוצרו ארבע זוויות‪ .‬אחת הזוויות שהתקבלה גדולה מהזווית האחרת ב‪.30º -‬‬ ‫מהן מידות הזוויות?‬ ‫א ‪.90º ,90º ,60º ,60º‬‬ ‫‬ ‫ב ‪.105º ,105º ,75º ,75º‬‬ ‫ג ‪ .75º ,75º ,75º ,75º‬‬ ‫ד ‪.105º ,105º ,105º ,105º‬‬ ‫‪ 6‬בחיתוך של שני ישרים ‪ a‬ו‪ c -‬נוצרה זווית ישרה‪ .‬מהן הטענות הנכונות?‬ ‫א כל ארבע הזוויות שנוצרו בחיתוך הישרים הן זוויות ישרות‪.‬‬ ‫ב רק זווית אחת מתוך הארבע שנוצרו בחיתוך הישרים ‪ a‬ו‪ ,c -‬היא זווית ישרה‪.‬‬ ‫ג ‪.c ⊥ a‬‬ ‫ד הישרים ‪ a‬ו‪ c -‬ניצבים זה לזה‪.‬‬ ‫ה הישרים ‪ a‬ו‪ c -‬אינם ניצבים‪.‬‬ ‫ו הישר ‪ c‬הוא אנך לישר ‪.a‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪325‬‬ ‫תרגילים נוספים‬ ‫זוויות‬ ‫‪ 173‬א סרטטו שתי זוויות שטוחות בעלות אותו קדקוד‪ .‬כמה ישרים שונים יש בסרטוט שלכם?‬ ‫ב האם אפשר לסרטט שתי זוויות שטוחות‪ ,‬כך שבסרטוט ייראה ישר אחד בלבד?‬ ‫‪ 174‬כתבו את השמות של כל הקרניים שאפשר לסמן‬ ‫על‪-‬ידי שני קדקודים של המלבן ‪RIKA‬‬ ‫(לדוגמה‪ ,‬הקרן ‪.)RI‬‬ ‫שימו לב‪ ,‬הקרן ‪ RI‬שונה מהקרן ‪.IR‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ 175‬בסרטוט שלפניכם מסומנות זוויות‪.‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪B‬‬ ‫א לפי הסימון‪ ,‬מהן הזוויות השוות לזווית ‪?SBV‬‬ ‫ב לפי הסימון‪ ,‬מהן הזוויות השוות לזווית ‪?BAD‬‬ ‫‪V‬‬ ‫ג ציון טוען שהזווית ‪ BAT‬אינה שווה לזווית ‪,SBV‬‬ ‫כי השוקיים שלה ארוכות יותר‪ .‬האם ציון צודק?‬ ‫‪T‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪E‬‬ ‫א‬ ‫‪ 176‬‬ ‫‬ ‫ב‬ ‫ג‬ ‫ד‬ ‫‪H‬‬ ‫סרטטו שלושה ישרים שונים‪ ,‬כך שלכל שניים מהם תהיה נקודה משותפת‪.‬‬ ‫סמנו את נקודות החיתוך שהתקבלו‪.‬‬ ‫כמה נקודות התקבלו?‬ ‫האם יש אפשרויות נוספות? הראו אותן‪.‬‬ ‫אם בסעיף הקודם קבעתם שיש אפשרות אחת בלבד‪ ,‬כמה זוויות נוצרו בסרטוט?‬ ‫אם קבעתם שיש כמה אפשרויות‪ ,‬כמה זוויות נוצרו בכל אחד מהמקרים האפשריים?‬ ‫מדידות זוויות‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 177‬הסבירו כיצד אפשר למדוד את הזווית ‪ ACB‬שבסרטוט בעזרת מד‪-‬זווית‪.‬‬ ‫‪ 178‬בכל אחד מהסרטוטים שלפניכם מצאו על‪-‬ידי מד‪-‬זווית‬ ‫את מרב הזוויות השוות‪ .‬כתבו את השוויונות המתאימים‪.‬‬ ‫א‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪326‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ב‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ג‬ ‫‪M‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫תרגילים נוספים‬ ‫השוואה בין זוויות‬ ‫‪ 179‬סרטטו על דף חלק זווית ישרה‪ .‬חלקו את הזווית לארבע זוויות שוות על‪-‬ידי קיפול בלבד‪.‬‬ ‫‪ 180‬התבוננו בשעון מחוגים‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫א כתבו שני זמנים‪ ,‬שהזוויות בין המחוגים בהם הן שוות‪.‬‬ ‫ב כתבו שני זמנים‪ ,‬שהזוויות בין המחוגים בהם אינן שוות‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ג מתי הזווית בין המחוגים גדולה יותר‪ :‬בשעה ‪ 515‬או בשעה ‪?8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ד מתי הזווית בין המחוגים גדולה יותר‪ :‬בשעה ‪ 2100‬או בשעה ‪?1500‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 181‬במעגל שלפניכם הנקודות ‪ A ,O ,C‬נמצאות על אותו ישר‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫א כתבו שמות של שש זוויות שתוכלו למצוא בסרטוט‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ב מהי הזווית הגדולה ביותר בין כל הזוויות שמצאתם?‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 182‬התבוננו סביבכם‪ .‬מצאו דוגמאות לזוויות חדות‪ ,‬לזוויות קהות‪,‬‬ ‫לזוויות ישרות ולזוויות שטוחות‪ .‬תארו את הדוגמאות במילים‪,‬‬ ‫או ציירו אותן במחברת‪ .‬מאיזה סוג של זווית יש יותר? מדוע‪ ,‬לדעתכם?‬ ‫סכום והפרש של זוויות‬ ‫‪ 183‬התבוננו בסרטוט שלפניכם‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫א ִמצאו שלוש זוויות שונות‪ִ ,‬וכתבו את שמותיהן‪.‬‬ ‫ב האם ‪ACD‬‬ ‫‪BCD +‬‬ ‫= ‪? BCA‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 184‬בנו בעזרת קיפול שתי זוויות שוות‪,‬‬ ‫כך שהזווית שהיא סכום הזוויות האלה תהיה זווית ישרה‪.‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪ 185‬לפניכם סרטוט‪.‬‬ ‫א בטאו את ‪AOT‬‬ ‫‪O‬‬ ‫כסכום של שתי זוויות וכסכום של שלוש זוויות‪.‬‬ ‫ב מצאו שתי זוויות שהפרשן הוא הזווית ‪.AOV‬‬ ‫ג מצאו עוד שתי זוויות שהפרשן הוא הזווית ‪.AOV‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪327‬‬ ‫תרגילים נוספים‬ ‫‪186‬‬ ‫בכל סעיף חשבו את מידת הזווית ‪ AOB‬לפי הנתונים שבסרטוט‪.‬‬ ‫בסעיפים ב'‪ ,‬ג' ו‪ -‬ד' מדובר בזווית ‪ ,AOB‬הקטנה מזווית שטוחה‪.‬‬ ‫א‬ ‫‪C‬‬ ‫‪124º‬‬ ‫‪56º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ב‬ ‫‪113º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪43º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ג ‪AOC = 176º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪28º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ד ‪AOC = 204º‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪102º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ . BOC = 88º 187‬הקרן ‪ OA‬מחלקת את הזווית ‪ BOC‬לשתי זוויות‪.‬‬ ‫ידוע כי מידת הזווית ‪ AOC‬קטנה ממידת הזווית ‪ AOB‬ב‪.8º -‬‬ ‫מצאו את מידת הזווית ‪.AOB‬‬ ‫‪C‬‬ ‫חוצה‪-‬זווית‬ ‫‪ 188‬חוצה‪-‬זווית מחלק זווית נתונה לשתי זוויות‪.‬‬ ‫א מהו הקשר בין זוויות אלה?‬ ‫ב מהו הקשר בין כל אחת מזוויות אלה לבין הזווית הנתונה?‬ ‫הדגימו את תשובותיכם על‪-‬ידי סרטוטים לפי הצורך‪.‬‬ ‫‪ 189‬קחו דף ‪.A4‬‬ ‫בחרו את אחת הזוויות שאפשר למצוא בדף‪,‬‬ ‫ובנו את חוצה‪-‬הזווית שלה על‪-‬ידי קיפול‪ .‬בדקו את בנייתכם בעזרת מד‪-‬זווית‪.‬‬ ‫האם חוצה‪-‬הזווית חילק את הזווית שבחרתם לשתי זוויות שמידתן ‪?45º‬‬ ‫‪ 190‬חוצה‪-‬זווית מחלק את הזווית ‪ A‬לשתי זוויות‪ A1 :‬ו‪. A2 -‬‬ ‫את הזווית ‪ A1‬מחלקים לשתי זוויות שוות ‪ A3‬ו‪. A4 -‬‬ ‫גם את הזווית ‪ A 2‬מחלקים לשתי זוויות שוות ‪ A 5‬ו‪. A6 -‬‬ ‫הזוויות ‪ A5 , A4 , A3‬ו‪ A6 -‬הן זוויות ישרות‪ .‬מהי מידת הזווית ‪ ?A‬הראו את החלוקה בסרטוט‪.‬‬ ‫‪328‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫תרגילים נוספים‬ ‫זוויות וישרים‬ ‫‪ 191‬האם זוויות צמודות יכולות להיות שתיהן שטוחות? מדוע‪ ,‬לדעתכם?‬ ‫‪ 192‬סרטטו זווית ישרה‪ .‬סרטטו זווית הצמודה לזווית שסרטטתם‪.‬‬ ‫מה אפשר לומר על הזווית הצמודה שסרטטתם? האם יש אפשרויות נוספות לסרטוט?‬ ‫כמה זוויות צמודות לזווית ישרה אפשר לסרטט? הסבירו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪ 193‬אילו היגדים נכונים? נמקו את תשובתכם בכל סעיף שפסלתם‪.‬‬ ‫א שתי זוויות שיש להן שוק משותפת‪ ,‬הן זוויות צמודות‪.‬‬ ‫ב שתי זוויות שיש להן שוק משותפת‪ ,‬כששתי השוקיים האחרות יוצרות ישר‪ ,‬הן זוויות צמודות‪.‬‬ ‫ג שתי זוויות שמידותיהן ‪ 37º‬ו‪ ,143º -‬יכולות להיות זוויות צמודות‪.‬‬ ‫ד שתי זוויות שמידותיהן ‪ 37º‬ו‪ 143º -‬הן תמיד זוויות צמודות‪.‬‬ ‫ה כאשר שוק של אחת משתי זוויות היא בכיוון הנגדי לשוק של הזווית השנייה‪ ,‬הזוויות קדקודיות‪.‬‬ ‫ו שתי זוויות קהות יכולות להיות זוויות צמודות‪.‬‬ ‫ז שתי זוויות ישרות יכולות להיות זוויות צמודות‪.‬‬ ‫ח שתי זוויות חדות יכולות להיות זוויות צמודות‪.‬‬ ‫ט שתי זוויות שטוחות יכולות להיות זוויות צמודות‪.‬‬ ‫י סכום זוויות צמודות שווה ל‪.180º -‬‬ ‫יא אחת מזוויות צמודות היא תמיד חדה‪.‬‬ ‫יב מידת הזווית הנוצרת בין חוצי‪-‬זווית של זוויות צמודות‪ ,‬היא ‪.90º‬‬ ‫‪ 194‬נתונה זווית ‪ .AOB‬האם הזווית הצמודה לה יכולה להיות זווית ‪?BAO‬‬ ‫נמקו את תשובתכם על‪-‬ידי סרטוט מתאים‪.‬‬ ‫‪ 195‬נתון‪ BDC = BCD :‬ו‪.AB || CD -‬‬ ‫מה תוכלו לומר על הזוויות ‪ ABC‬ו‪? BDC -‬‬ ‫נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪ 196‬נתון‪; d1 || d2 :‬‬ ‫‪.a = 70°‬‬ ‫‬ ‫כתבו את מידותיהן של הזוויות ‪ d ,c ,b‬ו‪.e -‬‬ ‫נמקו את תשובותיכם‪.‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪329‬‬ ‫תרגילים נוספים‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ CI 197‬הוא הגובה לצלע ‪ NH‬במשולש ‪.CHN‬‬ ‫הישרים ‪ AN‬ו‪ NI -‬מאונכים‪.‬‬ ‫‪. CNI = 65°‬‬ ‫חשבו את ‪. NCI‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ 198‬סמנו את מרב הזוויות המתאימות השוות בסרטוט שבנספח‪.‬‬ ‫‪330‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫ממשיכים בתרגול‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 199‬לפניכם מגן‪-‬דוד‪ .‬כמה זוויות קטנות מזווית שטוחה אתם רואים בו?‬ ‫האם הזוויות ‪ ABC‬ו‪ DBE -‬הן זוויות שוות או לא‪-‬שוות?‬ ‫הסבירו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ 200‬ארבע קרניים יוצאות מנקודה אחת (ראו סרטוט)‪.‬‬ ‫בין הקרניים נוצרו ארבע זוויות‪. 4 , 3 , 2 , 1 :‬‬ ‫ידוע כי ‪ 1‬היא שליש של זווית ישרה‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫__‬ ‫‪11‬‬ ‫__‬ ‫‪ 2‬היא    ‪ 9‬של זווית ישרה‪ 3 ,‬היא ‪ 1 3‬של זווית ישרה‪.‬‬ ‫מהי מידתה של ‪? 4‬‬ ‫ו‪ABD -‬‬ ‫‪ 201‬בכל סרטוט ‪ABC‬‬ ‫‪4·α‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪?4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הן זוויות צמודות‪ .‬חשבו את ‪.α‬‬ ‫‪A‬‬ ‫א‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ב‬ ‫‪α + 60º‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 202‬‬ ‫א ההפרש בין המידות של זוויות צמודות הוא ‪ .50º‬מהן מידות הזוויות?‬ ‫ב אחת משתי זוויות צמודות גדולה מהזווית האחרת פי שניים‪ .‬מהן מידות הזוויות?‬ ‫ג אחת משתי זוויות צמודות קטנה מהזווית האחרת פי שניים‪ .‬מהן מידות הזוויות?‬ ‫ד אחת משתי זוויות צמודות קטנה מהזווית האחרת פי חמישה‪ .‬מהן מידות הזוויות?‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ 203‬‬ ‫א השוו בין מידות הזוויות על‪-‬ידי מד‪-‬זווית‪.‬‬ ‫‪LDM , LCM , LBM , LAM‬‬ ‫ב השוו בין מידות הזוויות‪.‬‬ ‫‪LTM , LSM , LKM‬‬ ‫ג מהו סכום הזוויות ‪LBM‬‬ ‫ו‪LTM -‬‬ ‫?‬ ‫‪K‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪331‬‬ ‫ממשיכים בתרגול‬ ‫‪ 204‬סרטטו מעגל‪ .‬סמנו את הקצוות של קוטר אחד באותיות ‪ A‬ו‪.B -‬‬ ‫סמנו על המעגל חמש נקודות ‪ E , K , L , P‬ו‪.S -‬‬ ‫מדדו את הזוויות ‪ . AEB , ASB , APB , ALB , AKB‬השוו בין המידות שמצאתם‪.‬‬ ‫‪ 205‬כתבו לפחות ארבעה שוויונות המבטאים קשרים בין הזוויות שבסרטוט‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪ONR‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪I‬‬ ‫· ‪ONI = 2‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 206‬בסרטוט שלפניכם הנקודות ‪ B ,A‬ו‪ C -‬נמצאות על אותו ישר‪.‬‬ ‫‪ , DBC = 90º‬הקרן ‪ BP‬היא חוצה‪-‬זווית של הזווית ‪,DBA‬‬ ‫והקרן ‪ BK‬היא חוצה‪-‬זווית של הזווית ‪.DBC‬‬ ‫חשבו את מידת הזווית ‪.PBK‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 207‬המידה של אחת מארבע זוויות שנוצרו מחיתוך של שני ישרים‪ ,‬היא ‪. x º‬‬ ‫בטאו בעזרת ‪ x‬את המידות של שלוש הזוויות האחרות‪.‬‬ ‫‪ 208‬בכל סעיף כתבו את כל הזוגות של הזוויות הקדקודיות ואת כל הזוגות של הזוויות הצמודות‪.‬‬ ‫כמה זוגות מכל סוג מצאתם?‬ ‫ב‬ ‫א‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8 6‬‬ ‫‪5 7‬‬ ‫‪4 1‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12 11‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 209‬ציירו מעגל המייצג את הפנים של שעון מחוגים‪.‬‬ ‫סרטטו את השנתות המייצגות כל חמש דקות‪.‬‬ ‫מהי הזווית הנוצרת בין שני מחוגים כאשר הם מצביעים על שתי שנתות סמוכות?‬ ‫‪332‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫מה למדנו?‬ ‫‪ ‬שתי קרניים שיש להן התחלה משותפת‪ ,‬יוצרות זווית‪.‬‬ ‫הקרניים הן שוקי הזווית‪.‬‬ ‫‬ ‫הנקודה המשותפת של הקרניים היא קדקוד הזווית‪.‬‬ ‫‬ ‫‪P‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ ‬כל זווית שהיא חלק מזווית שטוחה‪ ,‬קטנה מזווית שטוחה‪.‬‬ ‫‬ ‫דוגמה‪AOC :‬‬ ‫קטנה מ‪ , AOB -‬וגם ‪BOC‬‬ ‫קטנה מ‪. AOB -‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ ‬קטעים שאינם נשענים על אותו ישר‪ ,‬והם בעלי קדקוד משותף‪ ,‬יוצרים זווית‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ ‬ישרים או קטעים נחתכים יוצרים ארבע זוויות קטנות מזווית שטוחה‪.‬‬ ‫‪ ‬אם קצה של קטע מתלכד עם התחלה של קרן‪ ,‬והקטע לא נשען על הקרן‪ ,‬הקטע והקרן יוצרים זווית‪.‬‬ ‫‪ ‬קיימות דרכים שונות להשוואה בין זוויות‪.‬‬ ‫אחת הדרכים להשוות בין זוויות היא על‪-‬ידי הנחתן זו על‪-‬גבי זו‪.‬‬ ‫‬ ‫אם אפשר להניח את הזוויות (הקטנות מזווית שטוחה או השוות לה) זו על‪-‬גבי זו‪,‬‬ ‫‬ ‫כך שהן יתלכדו בשתי שוקיים ובקדקוד‪ ,‬הזוויות שוות זו לזו‪.‬‬ ‫‬ ‫דוגמה‪ :‬זווית ‪ O2‬קטנה מזווית ‪.O1‬‬ ‫אם הנחה כזו אינה אפשרית‪ ,‬הזוויות אינן שוות זו לזו‪.‬‬ ‫‬ ‫להשוואה בין זוויות אפשר להיעזר בהעתקת זווית אחת לדף שקוף‪.‬‬ ‫‬ ‫‪ ‬סכום (או הפרש) של זוויות הוא זווית‪.‬‬ ‫בסרטוט שכאן‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪CBD‬‬ ‫‪ABC +‬‬ ‫= ‪; ABD‬‬ ‫‬ ‫‪CBD‬‬ ‫– ‪ABD‬‬ ‫= ‪; ABC‬‬ ‫‬ ‫‪ABC‬‬ ‫– ‪ABD‬‬ ‫= ‪. CBD‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ ‬חוצה‪-‬זווית הוא קרן שיוצאת מקדקוד של זווית‬ ‫ומחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות‪.‬‬ ‫‬ ‫‪ ‬מודדים זוויות בעזרת מד‪-‬זווית‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫דוגמה‪ :‬הקרן ‪ BL‬היא חוצה‪-‬‬ ‫זווית של הזווית ‪.ABC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫‪333‬‬ ‫מה למדנו?‬ ‫‪1‬‬ ‫___  של זווית שטוחה‪.‬‬ ‫‪ ‬אחת היחידות למדידת זוויות היא מעלה‪ .‬מעלה אחת היא זווית השווה ל‪    -‬‬ ‫‪180‬‬ ‫דקה ושנייה הן יחידות למדידת זוויות הקטנות ממעלה‪.‬‬ ‫‬ ‫‪ ‬אפשר למיין את הזוויות לסוגים האלה‪ :‬זוויות שמידתן ‪ ,0º‬זוויות חדות‪ ,‬זוויות ישרות‪ ,‬זוויות קהות‪,‬‬ ‫זוויות שטוחות וזוויות גדולות מזווית שטוחה‪.‬‬ ‫‬ ‫סוג‬ ‫הזווית‬ ‫אפס מעלות‬ ‫חדה‬ ‫ישרה‬ ‫קהה‬ ‫שטוחה‬ ‫גדולה‬ ‫מזווית שטוחה‬ ‫מידת‬ ‫הזווית‬ ‫‪0º‬‬ ‫יותר מ‪0º -‬‬ ‫ופחות מ‪90º -‬‬ ‫‪90º‬‬ ‫יותר מ‪90º -‬‬ ‫ופחות מ‪180º -‬‬ ‫‪180º‬‬ ‫יותר מ‪180º -‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ ‬שתי זוויות נקראות זוויות צמודות‪ ,‬אם יש להן שוק אחת משותפת‪,‬‬ ‫ושתי השוקיים הנותרות יוצרות ישר‪.‬‬ ‫‬ ‫דוגמה‪ABC :‬‬ ‫‬ ‫ו‪ABD -‬‬ ‫הן זוויות צמודות‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ ‬תכונות של זוויות צמודות‪:‬‬ ‫● ●הסכום של זוויות צמודות הוא ‪;180º‬‬ ‫● ●אם שתי זוויות שוות במידתן‪ ,‬גם הזוויות הצמודות להן שוות במידתן;‬ ‫● ●זווית הצמודה לזווית ישרה‪ ,‬גם היא ישרה‪.‬‬ ‫‪ ‬כאשר שוקיה של זווית אחת הן נגדיות לשוקיים של‬ ‫‬ ‫דוגמה‪1 :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הזווית האחרת בהתאמה‪ ,‬הזוויות נקראות זוויות קדקודיות‪.‬‬ ‫ו‪2 -‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הן זוויות קדקודיות‪.‬‬ ‫‪ ‬תכונות של זוויות קדקודיות‪:‬‬ ‫● ●זוויות קדקודיות שוות זו לזו;‬ ‫● ●זוויות קדקודיות צמודות לאותה זווית‪.‬‬ ‫‪ ‬בחיתוך של שני ישרים נוצרים ארבעה זוגות של זוויות צמודות ושני זוגות של זוויות קדקודיות‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪ ‬כאשר ישר חותך שני ישרים‪ ,‬נוצרות שמונֶ ה זוויות‪.‬‬ ‫‪ ‬הזוגות ‪ 1‬ו‪ 2 ,8-‬ו‪ 3 ,7-‬ו‪ 4 ,6-‬ו‪ 5-‬הם זוגות של זוויות מתחלפות‪.‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪7 8‬‬ ‫‪ ‬הזוגות ‪ 1‬ו‪ 2 ,5-‬ו‪ 3 ,6-‬ו‪ 4 ,7-‬ו‪ 8-‬הם זוגות של זוויות מתאימות‪.‬‬ ‫‪ ‬כאשר ישר חותך שני ישרים מקבילים‪,‬‬ ‫כל שתי זוויות מתחלפות שוות‪,‬‬ ‫‬ ‫וכל שתי זוויות מתאימות שוות‪.‬‬ ‫‬ ‫‪334‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪7 8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫העמקה‬ ‫אם שני ישרים מקבילים‪ ,‬כל ישר החותך אותם‪,‬‬ ‫יוצר זוויות מתחלפות שוות וזוויות מתאימות שוות‪.‬‬ ‫נימוק‪:‬‬ ‫הישרים ‪ d‬ו‪ d1 -‬מקבילים‪ .‬הישר ‪ m‬חותך אותם בנקודות ‪ A‬ו‪.B -‬‬ ‫הנקודה ‪ O‬היא אמצע ‪ .AB‬בסיבוב של ‪ 180°‬סביב הנקודה ‪O‬‬ ‫הנקודה ‪ A‬של הישר ‪ d‬עוברת לנקודה ‪ B‬של הישר ‪,d1‬‬ ‫והנקודה ‪ B‬עוברת לנקודה ‪;A‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫הנקודה ‪ T‬של הישר ‪ d‬עוברת לנקודה ‪ S‬של הישר ‪,d1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪V‬‬ ‫והנקודה ‪ S‬עוברת לנקודה ‪.T‬‬ ‫לכן הישר ‪ d‬עובר לישר ‪.d1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪A2‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪8 7B‬‬ ‫‪U‬‬ ‫הנקודה ‪ U‬עוברת לנקודה ‪ ,V‬והנקודה ‪ V‬עוברת לנקודה ‪,U‬‬ ‫לכן הזווית ‪ UAB‬עוברת לזווית ‪ ,VBA‬והן שוות‪. 4 = 6 .‬‬ ‫הזוויות האלה הן הזוויות המתחלפות‪.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫משוויון זה נובע שוויון בין זוויות מתחלפות אחרות‪.‬‬ ‫דוגמה‪2 :‬‬ ‫ו‪8-‬‬ ‫קדקודיות לזוויות שוות‪ ,‬לכן הן שוות‪.‬‬ ‫נובע גם שוויון בין זוויות מתאימות אחרות‪.‬‬ ‫דוגמה‪1 :‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬ ‫ו‪5-‬‬ ‫צמודות לזוויות שוות‪ ,‬לכן הן שוות‪.‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬ ‫‪335‬‬ ‫היסטוריה‬ ‫ׂס ‪)-120 – -190( Hipparchus -‬‬ ‫יּפ ְרכו‬ ‫ִה ַ‬ ‫ִמנ ִַין הגיעה המעלה?‬ ‫‪200‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-300 -200 -100‬‬ ‫אנו ַמכירים את אופן מדידת הזוויות‪ ,‬הנהוגה בימינו‪,‬‬ ‫יּפְרכֹוס‬ ‫הודות למתמטיקאי והאסטרונום היווני ִה ַ‬ ‫(‪ )Hipparchus‬שחי בערך ב‪ 120 - 190 -‬לפני‬ ‫הספירה‪.‬‬ ‫יּפְרכֹוס תיאר את התנועות של הירח ושל השמש‬ ‫ִה ַ‬ ‫בהתבסס על גילויים‪ ,‬על תצפיות ועל מדידות של‬ ‫הּכ ְלִדיים (מדענים) מּבבל‪.‬‬ ‫ַ‬ ‫בבבל תיאר המעגל גם את השנה וגם את תנועות‬ ‫הכוכבים בשמים‪ .‬הבבלים חילקו את המעגל ל‪360 -‬‬ ‫חלקים שווים‪ .‬אחד ההסברים לחלוקה זו הוא שכתיבת‬ ‫המספרים בבבל לא הייתה מבוססת על המספר ‪10‬‬ ‫ כמו במבנה העשרוני ‪ -‬אלא הייתה מבוססת על‬‫המספר ‪ ,60‬על הכפולות ועל המחלקים שלו‪.‬‬ ‫רֹולב‬ ‫אצ ְט ָ‬ ‫ְַ‬ ‫‪ 360‬הוא כפולה של ‪.( 360 = 6 × 60 ) 60‬‬ ‫מספר זה קרוב מאוד למספר ימי השנה‪ ,‬לכן כל עונה (רבע מהשנה) תוארה על‪-‬ידי רבע מהמעגל‪.‬‬ ‫חלוקה זו של המעגל הייתה הבסיס למדידת זוויות‪ ,‬הנהוגה בימינו‪.‬‬ ‫רֹולב שהוא מכשיר מכני המשמש לקביעת זוויות של גרמי השמים ביחס לאופק‪.‬‬ ‫אצ ְט ָ‬ ‫יּפְרכֹוס את המצאת ה ַ ְ‬ ‫לה ַ‬ ‫מייחסים ִ‬ ‫קס ַטנְ ט‪.‬‬ ‫הס ְ ְ‬ ‫הוא היה מכלי הניווט העיקריים עד למאה ה‪ ,18 -‬אז נתפס מקומו על‪-‬ידי ֶ‬ ‫הסקסטנט הוא מכשיר מכנו‪-‬אופטי המשמש למדידת זוויות לצורכי ניווט‪.‬‬ ‫מכל עזרי הניווט הסקסטנט הוא שמייצג את יכולתו של האדם לנווט בלב ים‪ ,‬ללא קשר אל חוף מוכר‪.‬‬ ‫הסקסטנט הוא מכשיר חיוני ביותר במציאת מיקום על‪-‬ידי ניווט אסטרונומי‪.‬‬ ‫עד היום למרות אמצעי ניווט משוכללים‪ ,‬כגון ‪ ,GPS‬נמצא הסקסטנט בכל כלי שיט ומטוס כמכשיר גיבוי ואף‬ ‫יותר מזה‪.‬‬ ‫‪336‬‬ ‫‪ .6‬זוויות‬