‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫א‪ .‬המשולש‬ ‫א‪ .1.‬מיון משולשים‬ ‫מגלים‬ ‫מגלים‬ ‫א תנו שם נוסף למשולש ‪.BKM‬‬ ‫ב האם אפשר לתת למשולש ‪ BKM‬שמות אחרים? כמה שמות?‬ ‫ג איזו צלע נמצאת מול הקדקוד ‪ ?B‬איך קבעתם זאת?‬ ‫איזה קדקוד נמצא מול הצלע ‪ ?BK‬איך קבעתם זאת?‬ ‫לומדים‬ ‫כידוע‪ ,‬משולש נוצר משלוש נקודות שאינן נמצאות על אותו ישר‪ ,‬ומקטעים המחברים אותן‪.‬‬ ‫כדי לציין שמדובר בצורה שהיא משולש‪ ,‬מקובל להשתמש בסימן ‪.Δ‬‬ ‫‪B‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫במשולש ‪ABC‬‬ ‫הקדקודים הם ‪ B ,A‬ו‪;C -‬‬ ‫הצלעות הן ‪ AB, BC‬ו‪;AC -‬‬ ‫הזוויות הן ‪. CAB , BCA , ABC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫כותבים כך‪ , ΔABC :‬וקוראים‪" :‬משולש ‪."ABC‬‬ ‫כמו במלבן גם למשולש נותנים שם לפי שמות קדקודיו בכיוון השעון או בכיוון ההפוך‪.‬‬ ‫אפשר להתחיל את שם המשולש בכל קדקוד‪.‬‬ ‫שם המשולש שבסרטוט יכול להיות ‪.ABC, BCA, CAB, ACB, CBA, BAC‬‬ ‫סימון מיוחד למשולש‪:‬‬ ‫בניגוד למצולעים אחרים‪ ,‬רק במשולש כל צלע נמצאת מול קדקוד אחד‬ ‫בלבד‪ .‬לכן אפשר לסמן את הצלעות באותיות קטנות כך‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫את הצלע ‪ BC‬מסמנים באות ‪( a‬מול הקדקוד ‪;)A‬‬ ‫את הצלע ‪ AC‬מסמנים באות ‪( b‬מול הקדקוד ‪;)B‬‬ ‫את הצלע ‪ AB‬מסמנים באות ‪( c‬מול הקדקוד ‪.)C‬‬ ‫‪606‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫קדקוד השייך לשתי צלעות של משולש‪ ,‬נמצא מול הצלע השלישית‪.‬‬ ‫הקדקוד ‪ A‬שייך לצלעות ‪ AB‬ו‪.AC -‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הצלע ‪ BC‬נמצאת מול הקדקוד ‪ .A‬הקדקוד ‪ A‬נמצא מול הצלע ‪.BC‬‬ ‫‪ C‬נמצאת מול הצלע ‪ ,AB‬והצלע ‪ AB‬נמצאת מול ‪. C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫משימות‬ ‫קל‬ ‫‪ 1‬לפניכם סוגי משולשים‬ ‫ותכונה של כל אחד מהם‪.‬‬ ‫במשולש שונה‪-‬צלעות כל הצלעות שונות באורכן‪.‬‬ ‫במשולש שווה‪-‬שוקיים שתי צלעות שוות באורכן‪.‬‬ ‫א על איזה מאפיין מבוססות‬ ‫התכונות הקשורות בצלעות?‬ ‫במשולש שווה‪-‬צלעות כל הצלעות שוות באורכן‪.‬‬ ‫במשולש חד‪-‬זוויות כל הזוויות חדות‪.‬‬ ‫ב על איזה מאפיין מבוססות‬ ‫התכונות הקשורות בזוויות?‬ ‫במשולש ישר‪-‬זווית יש זווית אחת ישרה‪.‬‬ ‫במשולש קהה‪-‬זווית יש זווית אחת קהה‪.‬‬ ‫ג סרטטו משולש ישר‪-‬זווית‬ ‫ושווה‪-‬שוקיים‪.‬‬ ‫קל‬ ‫‪ 2‬בכל סעיף קבעו מהו סוג המשולש‪ ,‬לפי הסימון‪.‬‬ ‫ד‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫ג‬ ‫ה‬ ‫קל‬ ‫קל‬ ‫‪ 3‬סרטטו משולש ‪ .MPR‬כתבו את שמות הקדקודים‪ ,‬הצלעות והזוויות של המשולש שסרטטתם‪.‬‬ ‫‪ 4‬התבוננו במשולש ‪.PIC‬‬ ‫‪I‬‬ ‫א איזו צלע נמצאת מול הקדקוד ‪?C‬‬ ‫ב איזה קדקוד נמצא מול הצלע ‪?PI‬‬ ‫ג איזו צלע נמצאת מול הזווית ‪?C‬‬ ‫ד האם הצלע ‪ PC‬נמצאת מול הקדקוד ‪?P‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫‪C‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪607‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪ 5‬בכל סעיף קבעו מהו סוג המשולש‪,‬‬ ‫ונמקו את קביעתכם‪.‬‬ ‫היעזרו במדידות לפי הצורך‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬הוא משולש שונה‪-‬צלעות וחד‪-‬זוויות‪,‬‬ ‫כי כל צלעותיו שונות באורכן‪ ,‬וכל זוויותיו חדות‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ב‬ ‫א‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ג‬ ‫‪P‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪H‬‬ ‫ד‬ ‫‪R‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ה‬ ‫‪O‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪ 6‬בכל סעיף נתונות מידות הזוויות של משולש‪.‬‬ ‫קבעו את סוג המשולש (משולש חד‪-‬זוויות‪ ,‬משולש קהה‪-‬זווית‪ ,‬משולש ישר‪-‬זווית)‪.‬‬ ‫קל‬ ‫א ‪30º, 40º, 110º‬‬ ‫ב ‪80º, 80º, 20º‬‬ ‫ג ‪15º, 90º, 75º‬‬ ‫ד ‪170º, 4º, 6º‬‬ ‫‪ 7‬בכל סעיף נתונים אורכי הצלעות של משולש‪.‬‬ ‫קבעו את סוג המשולש (משולש שונה‪-‬צלעות‪ ,‬משולש שווה‪-‬שוקיים‪ ,‬משולש שווה‪-‬צלעות)‪.‬‬ ‫קל‬ ‫א ‪ 3‬מ"מ‪ 5 ,‬מ"מ‪ 4 ,‬מ"מ‬ ‫ב ‪ 2.1‬ס"מ‪ 3.5 ,‬ס"מ‪ 2.1 ,‬ס"מ‬ ‫ג ‪ 15‬מ'‪ 15.1 ,‬מ'‪ 15.2 ,‬מ'‬ ‫ד ‪ 8‬דצ"מ‪ 80 ,‬ס"מ‪ 0.8 ,‬מ'‬ ‫‪ 8‬בכל סעיף סרטטו סקיצה מתאימה‪ ,‬וקבעו אם הטענה נכונה‪.‬‬ ‫א הצלע ‪ DN‬במשולש ‪ BND‬נמצאת מול הקדקוד ‪.D‬‬ ‫‬ ‫ב הקדקוד ‪ K‬במשולש ‪ OHK‬נמצא מול הצלע ‪.OH‬‬ ‫ג הצלע ‪ AM‬במשולש ‪ AMV‬נמצאת מול הקדקוד ‪.V‬‬ ‫‪ 9‬לפניכם משולשים חופפים‪.‬‬ ‫בכל סעיף כתבו שוויונות מתאימים‪.‬‬ ‫א מהן הצלעות השוות באורכן?‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ב מהן הזוויות שמידותיהן שוות?‬ ‫‪ 10‬כתבו את השמות של כל המשולשים שבסרטוט‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫א כמה משולשים מצאתם?‬ ‫ב באילו משולשים הנקודה ‪ B‬היא קדקוד?‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪608‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 11‬בצעו את המדידות הנחוצות‪ ,‬וענו על השאלות‪.‬‬ ‫א מהו שם המשולש שווה‪-‬הצלעות?‬ ‫ב מהו שם המשולש שווה‪-‬השוקיים‪,‬‬ ‫שאינו שווה‪-‬צלעות?‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ג מהו שם המשולש ישר‪-‬הזווית?‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 12‬מה מסורטט בסרטוט‪:‬‬ ‫משולש ‪ ABC‬או מרובע ‪?DCBA‬‬ ‫הסבירו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 13‬התבוננו בסרטוט שלפניכם‪.‬‬ ‫א מצאו את כל המשולשים בסרטוט‪ ,‬וכתבו את שמותיהם‪.‬‬ ‫כמה משולשים מצאתם?‬ ‫ב בחרו קטע אחד‪ ,‬וכתבו את שמו‪.‬‬ ‫באילו משולשים הקטע שבחרתם משמש צלע?‬ ‫כתבו את שמות המשולשים הללו‪.‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ג בחרו אחת מהנקודות ‪ D, C, B, A‬או ‪ .K‬נקודה זו היא קדקוד של משולשים מסוימים‪.‬‬ ‫כתבו את שמות המשולשים הללו‪ .‬כתבו שם של זווית שהנקודה הנבחרת היא קדקוד שלה‪.‬‬ ‫כתבו את שם המשולש שהזווית נמצאת בו‪.‬‬ ‫ד כתבו את השמות של כל הצלעות שמונחות מול הקדקוד שבחרתם בסעיף ג'‪.‬‬ ‫לאילו משולשים שייכות הצלעות?‬ ‫‪ 14‬שלוש חברות‪ ,‬היושבות סביב שולחן‪ ,‬רוצות לקבוע על‪-‬ידי סדר האותיות הלועזיות‪ ,‬מי הראשונה‬ ‫במשחק‪ ,‬מי השנייה‪ ,‬ומי השלישית‪ .‬לשם כך הן מגרילות אות מ‪ 26 -‬האותיות הלועזיות‪.‬‬ ‫בהכר ַח את הסדר?‬ ‫ֵ‬ ‫א האם ההגרלה תקבע‬ ‫ב הבנות רוצות לשבת לפי הסדר‪ .‬האם הן צריכות להחליף מקום?‬ ‫פיצוחים‬ ‫‪ 15‬כמה משולשים בציור שלפניכם?‬ ‫אם לא מצאתם יותר מ‪ 24 -‬משולשים‪ ,‬חפשו עוד!‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫‪609‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 16‬נתון‪:‬‬ ‫‪ 5‬ס"מ = ‪;AM‬‬ ‫‪ NGOM‬הוא מלבן;‬ ‫‪ 5‬ס"מ = ‪.OG‬‬ ‫איזה סוג משולש הוא ‪ ?MAN‬נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ 5‬ס"מ‬ ‫‪G‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ס‬ ‫"מ‬ ‫‪O‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ 3‬מ'‬ ‫‪ 17‬נתון‪:‬‬ ‫‪ 3‬מ' = ‪;NO‬‬ ‫‪ MOLE‬הוא מקבילית;‬ ‫‪ 3‬מ' = ‪.LE‬‬ ‫איזה סוג משולש הוא ‪ ?NOM‬נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מ'‬ ‫‪L‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ 18‬נתון‪:‬‬ ‫‪ 4‬מ"מ = ‪;AC‬‬ ‫‪ 6‬מ"מ = ‪;DC‬‬ ‫הקטעים ‪ AD‬ו‪ BC -‬מאונכים;‬ ‫שטח המשולש ‪ BCD‬הוא ‪ 12‬ממ"ר‪.‬‬ ‫איזה סוג משולש הוא ‪?ABC‬‬ ‫‪ 19‬נתון‪:‬‬ ‫הישרים ‪ a‬ו‪ b -‬מקבילים‪.‬‬ ‫א איזה סוג משולש הוא ‪?SOT‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫ב איזה סוג משולש הוא ‪?QRS‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪610‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ 20‬לפניכם סרטוט של שושנת הרוחות‪.‬‬ ‫‪ ABCD‬הוא ריבוע‪ .‬על כל צלע בונים משולש שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫א כתבו את השמות של כל המשולשים שבסרטוט‪.‬‬ ‫ב כמה משולשים מכל סוג מצאתם?‬ ‫‪P‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪W‬‬ ‫ג בכמה משולשים הנקודה ‪ C‬היא קדקוד?‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫א‪ .2.‬בניית משולשים‬ ‫‪S‬‬ ‫מגלים‬ ‫מגלים‬ ‫א נסו לבנות משולש שאורכי שתיים מצלעותיו הם ‪ 4‬ס"מ ו‪ 5 -‬ס"מ‪,‬‬ ‫והזווית ביניהן שווה לזווית הנתונה (השתמשו במד‪-‬זווית ובסרגל)‪.‬‬ ‫כיצד יש לפעול?‬ ‫ב האם כל התלמידים בכיתה קיבלו משולשים חופפים?‬ ‫לומדים‬ ‫בעזרת סרגל ומד‪-‬זווית אפשר לבנות משולש שאורכי שתיים מצלעותיו ומידת הזווית שביניהן‬ ‫נתונים‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫נבנה משולש שאורכי צלעותיו הם ‪ 2‬ס"מ ו‪ 3 -‬ס"מ‪ ,‬ומידת הזווית שביניהן היא ‪.60°‬‬ ‫שלב א'‪:‬‬ ‫מסרטטים קטע ‪ AB‬באורך ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫שלב ב'‪:‬‬ ‫שלב ג'‪:‬‬ ‫שלב ד'‪:‬‬ ‫מסרטטים זווית של ‪,60°‬‬ ‫מהנקודה ‪ A‬מקצים‬ ‫מחברים את הנקודות ‪ B‬ו‪,C -‬‬ ‫כך שהנקודה ‪ A‬היא קדקוד הזווית‪,‬‬ ‫על השוק השנייה‬ ‫ומקבלים משולש ‪.ABC‬‬ ‫והקטע ‪ AB‬הוא שוק של הזווית‪.‬‬ ‫של הזווית קטע ‪AC‬‬ ‫שאורכו ‪ 2‬ס"מ‪.‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬מתאים‬ ‫מסרטטים את השוק השנייה‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫לתנאים המבוקשים‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 2‬ס"מ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 2‬ס"מ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪611‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫משימות‬ ‫‪ 21‬בכל סעיף נתונים אורכים של שתי צלעות במשולש ומידתה של הזווית ביניהן‪.‬‬ ‫בנו את המשולש לפי הנתונים‪.‬‬ ‫קל‬ ‫א אורכי הצלעות ‪ 4‬ס"מ ו‪ 3 -‬ס"מ‪ ,‬מידת הזווית שביניהן ‪.50°‬‬ ‫ב אורכי הצלעות ‪ 6‬ס"מ ו‪ 1 -‬ס"מ‪ ,‬מידת הזווית שביניהן ‪.90°‬‬ ‫ג אורכי הצלעות ‪ 2‬ס"מ ו‪ 5 -‬ס"מ‪ ,‬מידת הזווית שביניהן ‪.70°‬‬ ‫ד אורכי הצלעות ‪ 5‬ס"מ ו‪ 3 -‬ס"מ‪ ,‬מידת הזווית שביניהן ‪.65°‬‬ ‫‪ 22‬בכל סעיף נתונים אורכים של שתי צלעות במשולש ומידתה של הזווית ביניהן‪ .‬בנו את המשולש לפי‬ ‫הנתונים‪ .‬קבעו אם המשולש שסרטטתם הוא חד‪-‬זוויות‪ ,‬ישר‪-‬זווית או קהה‪-‬זווית‪.‬‬ ‫היעזרו במד‪-‬זווית לפי הצורך‪.‬‬ ‫א אורכי הצלעות ‪ 2‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ‪ ,‬מידת הזווית שביניהן ‪.100°‬‬ ‫ב אורכי הצלעות ‪ 3‬ס"מ ו‪ 3 -‬ס"מ‪ ,‬מידת הזווית שביניהן ‪.40°‬‬ ‫ג אורכי הצלעות ‪ 2‬ס"מ ו‪ 6 -‬ס"מ‪ ,‬מידת הזווית שביניהן ‪.15°‬‬ ‫ד אורכי הצלעות ‪ 2.5‬ס"מ ו‪ 2 -‬ס"מ‪ ,‬מידת הזווית שביניהן ‪.37°‬‬ ‫‪ 23‬סרטטו משולש ישר‪-‬זווית שאורכי הניצבים שלו הם ‪ 4‬ס"מ ו‪ 3 -‬ס"מ‪ .‬הסבירו את הדרך לביצוע המשימה‪.‬‬ ‫‪ 24‬בכל סעיף נתונים אורכים של שתי צלעות במשולש ומידתה של הזווית ביניהן‪ .‬בנו את המשולש לפי‬ ‫הנתונים‪ .‬קבעו אם המשולש שסרטטתם הוא שונה‪-‬צלעות‪ ,‬שווה‪-‬שוקיים או שווה‪-‬צלעות‪.‬‬ ‫היעזרו בסרגל לפי הצורך‪.‬‬ ‫א אורכי הצלעות ‪ 7‬ס"מ ו‪ 3 -‬ס"מ‪ ,‬מידת הזווית שביניהן ‪.90°‬‬ ‫ב אורכי הצלעות ‪ 4‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ‪ ,‬מידת הזווית שביניהן ‪.60°‬‬ ‫ג אורכי הצלעות ‪ 2‬ס"מ ו‪ 2 -‬ס"מ‪ ,‬מידת הזווית שביניהן ‪.50°‬‬ ‫ד אורכי הצלעות ‪ 2.5‬ס"מ ו‪ 3 -‬ס"מ‪ ,‬מידת הזווית שביניהן ‪.53°‬‬ ‫לומדים‬ ‫בעזרת סרגל ומד‪-‬זווית אפשר לבנות משולש שנתונים בו אורך צלע אחת ומידות שתי זוויות‪.‬‬ ‫לפרטים על בנייה מסוג זה ראו בפרק "מיומנויות"‪ ,‬עמ' ‪.640‬‬ ‫משימות‬ ‫‪ 25‬בכל סעיף בנו משולש לפי הנתונים‪.‬‬ ‫קל‬ ‫א אורך הצלע ‪ 4‬ס"מ‪ ,‬מידות הזוויות שלידה ‪ 40°‬ו‪.30° -‬‬ ‫ב אורך הצלע ‪ 3‬ס"מ‪ ,‬מידות הזוויות שלידה ‪ 60°‬ו‪.75° -‬‬ ‫ג אורך הצלע ‪ 2‬ס"מ‪ ,‬מידות הזוויות שלידה ‪ 120°‬ו‪.25° -‬‬ ‫ד אורך הצלע ‪ 5‬ס"מ‪ ,‬מידות הזוויות שלידה ‪ 90°‬ו‪.50° -‬‬ ‫‪612‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 26‬בכל סעיף נתונים אורך של צלע במשולש ומידותיהן של שתי הזוויות שלידה‪.‬‬ ‫בנו את המשולש לפי הנתונים‪ .‬קבעו אם המשולש שסרטטתםהוא חד‪-‬זוויות‪ ,‬ישר‪-‬זווית או קהה‪-‬‬ ‫זווית‪ .‬היעזרו במד‪-‬זווית לפי הצורך‪.‬‬ ‫א אורך הצלע ‪ 5‬ס"מ‪ ,‬מידות הזוויות שלידה ‪ 60°‬ו‪.40° -‬‬ ‫ב אורך הצלע ‪ 4‬ס"מ‪ ,‬מידות הזוויות שלידה ‪ 25°‬ו‪.70° -‬‬ ‫ג אורך הצלע ‪ 3‬ס"מ‪ ,‬מידות הזוויות שלידה ‪ 110°‬ו‪.30° -‬‬ ‫ד אורך הצלע ‪ 4‬ס"מ‪ ,‬מידות הזוויות שלידה ‪ 50°‬ו‪.30° -‬‬ ‫‪ 27‬בכל סעיף נתונים אורך של צלע במשולש ומידותיהן של שתי הזוויות שלידה‪ .‬בנו את המשולש לפי‬ ‫הנתונים‪ .‬קבעו אם המשולש שסרטטתם הוא שונה‪-‬צלעות‪ ,‬שווה‪-‬שוקיים או שווה‪-‬צלעות‪.‬‬ ‫היעזרו בסרגל לפי הצורך‪.‬‬ ‫א אורך הצלע ‪ 4‬ס"מ‪ ,‬מידות הזוויות שלידה ‪ 30°‬ו‪.30° -‬‬ ‫ב אורך הצלע ‪ 3‬ס"מ‪ ,‬מידות הזוויות שלידה ‪ 60°‬ו‪.60° -‬‬ ‫ג אורך הצלע ‪ 3‬ס"מ‪ ,‬מידות הזוויות שלידה ‪ 80°‬ו‪.40° -‬‬ ‫ד אורך הצלע ‪ 5‬ס"מ‪ ,‬מידות הזוויות שלידה ‪ 120°‬ו‪.30° -‬‬ ‫לומדים‬ ‫בעזרת סרגל ומחוגה אפשר לבנות משולש שאורכי צלעותיו נתונים‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫נבנה משולש שאורכי צלעותיו הם ‪ 2‬ס"מ‪ 3 ,‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ‪.‬‬ ‫שלב א'‪:‬‬ ‫מסרטטים קטע ‪ AB‬באורך ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫שלב ב'‪:‬‬ ‫שלב ג'‪:‬‬ ‫פותחים את המחוגה ברדיוס של ‪3‬‬ ‫ס"מ‪ ,‬ומסרטטים קשת מהנקודה ‪.A‬‬ ‫פותחים את המחוגה ברדיוס של ‪ 2‬ס"מ‪,‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫‪A‬‬ ‫ומסרטטים קשת מהנקודה ‪.B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪613‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪C‬‬ ‫שלב ד'‪:‬‬ ‫לקשתות שתי נקודות חיתוך‪ C :‬ו‪.D -‬‬ ‫כל אחת מהן יכולה להיות הקדקוד השלישי של המשולש‪.‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬מתאים לתנאים המבוקשים‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫גם המשולש ‪ ADB‬מתאים לתנאים המבוקשים‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫משימות‬ ‫‪ 28‬בכל סעיף נתונים אורכיהן של שלוש הצלעות במשולש‪ .‬בנו את המשולש לפי הנתונים‪.‬‬ ‫קל‬ ‫א אורכי הצלעות הם ‪ 5 ,4‬ו‪ 6 -‬ס"מ‪.‬‬ ‫ב אורכי הצלעות הם ‪ 4 ,2‬ו‪ 5 -‬ס"מ‪.‬‬ ‫ג אורכי הצלעות הם ‪ 6 ,1‬ו‪ 6.5 -‬ס"מ‪.‬‬ ‫ד אורכי הצלעות הם ‪ 35 ,30‬ו‪ 45 -‬מ"מ‪.‬‬ ‫‪ 29‬בכל סעיף נתונים אורכיהן של שלוש הצלעות במשולש‪ .‬בנו את המשולש לפי הנתונים‪ .‬קבעו אם‬ ‫המשולש שסרטטתם הוא חד‪-‬זוויות‪ ,‬ישר‪-‬זווית או קהה‪-‬זווית‪ .‬היעזרו במד‪-‬זווית לפי הצורך‪.‬‬ ‫א אורכי הצלעות הם ‪ 4 ,3‬ו‪ 5 -‬ס"מ‪.‬‬ ‫ב אורכי הצלעות הם ‪ 3 ,2‬ו‪ 4 -‬ס"מ‪.‬‬ ‫ג אורכי הצלעות הם ‪ 4 ,4‬ו‪ 4 -‬ס"מ‪.‬‬ ‫ד אורכי הצלעות הם ‪ 5 ,5‬ו‪ 7 -‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪ 30‬בכל סעיף בנו משולש לפי הנתונים‪.‬‬ ‫א אורכי שתיים מהצלעות הם ‪ 3‬ס"מ ו‪ 2 -‬ס"מ‪ ,‬והיקף המשולש הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬ ‫ב אורכי שתיים מהצלעות הם ‪ 4‬ס"מ ו‪ 6 -‬ס"מ‪ ,‬והיקף המשולש הוא ‪ 18‬ס"מ‪.‬‬ ‫ג אורכי שתיים מהצלעות הם ‪ 35‬מ"מ ו‪ 45 -‬מ"מ‪ ,‬והיקף המשולש הוא ‪ 100‬מ"מ‪.‬‬ ‫ד אורכי שתיים מהצלעות הם ‪ 5‬ס"מ ו‪ 5 -‬ס"מ‪ ,‬והיקף המשולש הוא ‪ 14.5‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪ 31‬א מהי הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות?‬ ‫ב לפניכם משולש ‪ .ABC‬קבעו ללא מדידות מה גדול יותר‪:‬‬ ‫הסכום של שני הקטעים ‪ AB‬ו‪ BC -‬או הקטע ‪?AC‬‬ ‫הסבירו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪614‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫לומדים‬ ‫אורך כל צלע במשולש קטן מסכום האורכים של שתי הצלעות האחרות‪ ,‬כי הדרך‬ ‫הקצרה ביותר בין שתי נקודות היא הקטע המחבר ביניהן (ראו משימה ‪.) 31‬‬ ‫‪b‬‬ ‫במשולש ‪ ABC‬מתקיימים האי‪-‬שוויונות האלה‪:‬‬ ‫‪a + c > b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫;‬ ‫‪a + b > c‬‬ ‫אם אורך הקטע הגדול ביותר של המשולש הוא ‪( a‬כמו בסרטוט שלפניכם)‪,‬‬ ‫‪a‬‬ ‫האי‪-‬שוויונות ‪ a + b > c‬ו‪ a + c > b -‬מובנים מאליהם‪,‬‬ ‫‪B‬‬ ‫אך את האי‪-‬שוויון השלישי ‪ b + c > a‬צריך לבדוק‪.‬‬ ‫לפיכך אם בין שלושה קטעים מתקיים התנאי "אורך הקטע הגדול קטן מסכום הקטעים האחרים"‪,‬‬ ‫אפשר לבנות מקטעים אלה משולש‪.‬‬ ‫;‬ ‫‪. b + c > a‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫● ●אין משולש שאורכי צלעותיו הם ‪ 10‬ס"מ‪ 3 ,‬ס"מ ו‪ 6 -‬ס"מ‪ ,‬כי ‪.3 + 6 < 10‬‬ ‫● ●קיים משולש שאורכי צלעותיו הם ‪ 10‬ס"מ‪ 5 ,‬ס"מ ו‪ 6 -‬ס"מ כי ‪.5 + 6 > 10‬‬ ‫משימות‬ ‫קל‬ ‫‪ 32‬בכל סעיף בנו משולש לפי אורכי הצלעות הנתונים‪ ,‬אם הדבר אפשרי‪ .‬אם אי‪-‬אפשר לבנות משולש‬ ‫לפי הנתונים‪ ,‬הסבירו מדוע‪.‬‬ ‫ב ‪ 6‬ס"מ‪ 8 ,‬ס"מ‪ 7 ,‬ס"מ‬ ‫א ‪ 6‬ס"מ‪ 9 ,‬ס"מ‪ 9 ,‬ס"מ‬ ‫ד ‪ 6‬ס"מ‪ 2 ,‬ס"מ‪ 2 ,‬ס"מ‬ ‫ג ‪ 6‬ס"מ‪ 3 ,‬ס"מ‪ 2 ,‬ס"מ‬ ‫א כתבו שלושה אורכים (וגם יחידת אורך) של צלעות שאפשר לבנות מהן משולש‪.‬‬ ‫‪ 33‬‬ ‫ב כתבו שלושה אורכים (וגם יחידת אורך) של צלעות שאי‪-‬אפשר לבנות מהן משולש‪.‬‬ ‫‪ 34‬נתון חוט שאורכו ‪ 15‬ס"מ‪ .‬יש לגזור את החוט לשלושה חלקים כך ש‪...‬‬ ‫א אפשר יהיה ליצור מהחלקים משולש;‬ ‫ב אי‪-‬אפשר יהיה ליצור מהחלקים משולש‪.‬‬ ‫הסבירו כיצד אפשר לפעול בכל סעיף‪.‬‬ ‫‪ 35‬א האם אפשר לבנות משולש שאורכי שתיים מצלעותיו הם ‪ 5‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ‪,‬‬ ‫והיקף המשולש שווה ל‪ 16 -‬ס"מ? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫ב האם אפשר לבנות משולש שאורכי שתיים מצלעותיו הם ‪ 6‬ס"מ ו‪ 7 -‬ס"מ‪,‬‬ ‫והיקף המשולש שווה ל‪ 30 -‬ס"מ? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪ 36‬יהודה מנסה לבנות משולש שאורכי הצלעות שלו הם ‪ 1‬ס"מ‪ 3 ,‬ס"מ ו‪ 5 -‬ס"מ‪ ,‬אך הוא אינו מצליח‪.‬‬ ‫א האם אפשר לבנות את המשולש? מדוע?‬ ‫ב שנו את הצלע הקטנה ביותר‪ ,‬כך שהבנייה תהיה אפשרית‪.‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫‪615‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 37‬השתמשו באי‪-‬שוויונות ‪ a + c > b , a + b > c‬ו‪ b + c > a -‬כדי לנמק את הטענות שלפניכם‪.‬‬ ‫א בכל משולש אורך הצלע הגדולה‬ ‫‬ ‫קטן מסכום הצלעות האחרות‪.‬‬ ‫ב בכל משולש אורכה של כל צלע‬ ‫גדול מההפרש בין הצלעות האחרות‪.‬‬ ‫זכרו!‬ ‫לשני אגפיו של אי‪-‬שוויון אפשר להוסיף אותו מספר‪,‬‬ ‫ואפשר לחסר אותו מספר‪ ,‬בלי לשנות את כיוון הסימן ‪.‬‬ ‫דוגמה‪8 > 5 :‬‬ ‫לכן ‪ 8 + 10 > 5 + 10‬ו‪8 − 2 > 5 − 2 -‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ 38‬התבוננו בסרטוט שלפניכם‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫א מהו המרחק בין הנקודה ‪ E‬לישר ‪? a‬‬ ‫זכרו!‬ ‫‪E‬‬ ‫מרחק בין נקודה‬ ‫לישר הוא אורכו של‬ ‫הקטע הניצב לישר‬ ‫מאותה נקודה‪.‬‬ ‫ב מהו המרחק בין הנקודה ‪ K‬לישר ‪? d‬‬ ‫ג מהו המרחק בין הנקודה ‪ B‬לישר ‪? a‬‬ ‫ד מהו המרחק בין הנקודה ‪ B‬לישר ‪? d‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪ 39‬התבוננו בסרטוט שלפניכם‪,‬‬ ‫וקבעו מהם הביטויים הנכונים‪.‬‬ ‫נמקו את קביעותיכם‪.‬‬ ‫א ‪EL > EK‬‬ ‫ב ‪EL < EK‬‬ ‫ג ‪LK < EK‬‬ ‫ד ‪LK > EK‬‬ ‫ה ‪BK < BL‬‬ ‫ו ‪BK > BL‬‬ ‫ז ‪BE > BL‬‬ ‫ח ‪BE < BL‬‬ ‫זכרו!‬ ‫‪d‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪E‬‬ ‫מרחק בין נקודה‬ ‫לישר הוא הדרך‬ ‫הקצרה ביותר‬ ‫מהנקודה לישר‪.‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪K‬‬ ‫לומדים‬ ‫במשולש ישר–זווית היתר גדול מכל אחד מהניצבים‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫הערה‪ :‬כאשר כותבים את השם של משולש ישר–זווית‪,‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫במשולש ‪ :DAN‬קדקוד הזווית הישרה הוא הנקודה ‪.A‬‬ ‫‬ ‫‪N‬‬ ‫ניצב‬ ‫ניצב‬ ‫נהוג לכתוב את הקדקוד של הזווית הישרה באמצע‪.‬‬ ‫י‬ ‫תר‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ DN > DA‬ו‪.DN > AN -‬‬ ‫משימות‬ ‫‪ 40‬לפניכם שמות של משולשים ישרי–זווית‪ .‬בכל סעיף קבעו‪...‬‬ ‫קל‬ ‫● ●מהו הקדקוד של הזווית הישרה;‬ ‫● ●מהם הקצוות של היתר‪.‬‬ ‫‪K‬‬ ‫א ‪ OS‬‬ ‫‪616‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ב ‪ AF‬‬ ‫ג ‪ROK‬‬ ‫ד ‪PIL‬‬ ‫ה ‪KOF‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 41‬נתון משולש ישר‪-‬זווית ‪ .KOR‬גובה המשולש הוא ‪.OH‬‬ ‫מהם הביטויים הנכונים?‬ ‫ב ‪OH < OK‬‬ ‫א ‪OH > OK‬‬ ‫ג ‪OR > OH‬‬ ‫‪H‬‬ ‫ד ‪OR < OH‬‬ ‫‪ 42‬בית הספר "עשר בריבוע" נמצא בנקודה ‪.C‬‬ ‫משרד התחבורה מתכוון לסמן על הכביש מקום‬ ‫לתחנת אוטובוסים שתהיה קרובה ביותר לבית הספר‪.‬‬ ‫איזו נקודה עשויה להתאים למקום התחנה?‬ ‫הסבירו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הכביש‬ ‫‪ 43‬אורכי הניצבים של משולש ישר‪-‬זווית הם ‪ 3‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ‪ .‬מהו אורך היתר? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫א ‪ 7‬ס"מ‬ ‫ב ‪ 5‬ס"מ‬ ‫ג ‪ 8‬ס"מ‬ ‫ד ‪ 2‬ס"מ‬ ‫‪ 44‬האם היתר יכול להיות אחת מהצלעות השוות של משולש ישר‪-‬זווית ושווה‪-‬שוקיים?‬ ‫נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪ 45‬בנו משולש ישר‪-‬זווית ושווה‪-‬שוקיים שאורך כל ניצב בו הוא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 46‬המשולש ‪ ABC‬הוא ישר‪-‬זווית‪ .‬הנקודה ‪ M‬היא אמצע היתר‪.‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫___‬ ‫הסבירו מדוע     ‪ ,BM =   2‬על‪-‬ידי השלמת המשולש למלבן‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 47‬הקטע ‪ AB‬הוא קוטר של מעגל ‪ ,C‬ואורכו ‪ 8‬ס"מ‪ .‬סרטטו את המעגל‪.‬‬ ‫בחרו נקודות ‪ R ,D‬ו‪ P -‬על המעגל ‪.C‬‬ ‫בצעו את המדידות הנחוצות‪ ,‬וקבעו מהו הסוג של כל אחד מהמשולשים ‪ ARB ,ADB‬ו‪.APB -‬‬ ‫פיצוחים‬ ‫‪ 48‬בכל סעיף העתיקו והשלימו את המשפט ביחידת האורך המתאימה‪ :‬ס"מ‪ ,‬מ"מ או מ'‪.‬‬ ‫השתמשו בתכונה שלמדתם בשיעור!‬ ‫שימו לב‪ :‬באחד הסעיפים יש שתי תשובות נכונות אפשריות‪.‬‬ ‫א אריאל סרטט משולש שאורכי צלעותיו הם ‪ 6‬ס"מ‪ 7 ,‬ס"מ ו‪. ... 8 -‬‬ ‫ב אבי סרטט משולש שאורכי צלעותיו הם ‪ 4‬ס"מ‪ 4.5 ,‬ס"מ ו‪. ... 9 -‬‬ ‫ג שמעון סרטט משולש שאורכי צלעותיו הם ‪ 15‬ס"מ‪ 20 ,‬ס"מ ו‪. ... 0.25 -‬‬ ‫ד יהודה סרטט משולש שאורכי צלעותיו הם ‪ 0.1‬מ'‪ 98 ,‬מ"מ ו‪. ... 5 -‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫תרגילים נוספים‬ ‫בעמוד ‪.641‬‬ ‫‪617‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫ב‪ .‬זוויות במשולש ובמרובע‬ ‫ב‪ .1.‬סכום זוויות במשולש‬ ‫מגלים‬ ‫מגלים‬ ‫א סרטטו משולש כרצונכם‪.‬‬ ‫א'‬ ‫ב את המשולש שסרטטתם גזרו לשלושה חלקים‪,‬‬ ‫כך שבכל חלק תהיה אחת הזוויות של המשולש (ראו סרטוט א')‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ג על‪-‬ידי החלקים שגזרתם הרכיבו זווית שהיא‬ ‫סכום הזוויות ‪ 2 ,1‬ו‪ 3 -‬של המשולש (ראו סרטוט ב')‪.‬‬ ‫איזה סוג של זווית קיבלתם‪ :‬חדה‪ ,‬קהה או שטוחה?‬ ‫האם כולם בכיתה הגיעו לאותה מסקנה?‬ ‫ב'‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לומדים‬ ‫בכל משולש סכום הזוויות הפנימיות הוא ‪.180º‬‬ ‫נימוק‪:‬‬ ‫ו‪. C2 -‬‬ ‫במשולש ‪ ABC‬הזוויות הן ‪B , A‬‬ ‫הישר ‪ d‬המקביל לצלע ‪ ,BA‬עובר בנקודה ‪.C‬‬ ‫הצלע ‪ AC‬יוצרת עם המקבילים ‪d‬‬ ‫ו‪ AB -‬את הזוויות המתחלפות ‪ A‬ו‪. C1 -‬‬ ‫הזוויות האלה שוות‪. C1 = A .‬‬ ‫הצלע ‪ BC‬יוצרת עם המקבילים ‪ d‬ו‪AB -‬‬ ‫את הזוויות המתחלפות ‪ B‬ו‪. C3 -‬‬ ‫הזוויות האלה שוות‪. C3 = B .‬‬ ‫הזוויות ‪ C2 , C1‬ו‪ C3 -‬נמצאות באותו צד של‬ ‫הישר ‪ , d‬ויש להן קדקוד משותף ‪ C‬לכן סכומן‬ ‫שווה לזווית שטוחה‪C3 + C2 + C1 = 180º .‬‬ ‫‪C3 = B , C1 = A‬‬ ‫לפיכך ‪, B + C2 + A = 180º‬‬ ‫כלומר סכום הזוויות במשולש הוא ‪.180º‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ראו הסבר נוסף ב"העמקה" בעמוד ‪.648‬‬ ‫‪618‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫משימות‬ ‫קל‬ ‫קל‬ ‫קל‬ ‫קל‬ ‫קל‬ ‫‪ 49‬בכל סעיף מצאו את מידת הזווית ‪ A‬במשולש ‪ SAF‬לפי הנתונים‪.‬‬ ‫ב ‪F = 40º , S = 70º‬‬ ‫א ‪ F = 40º , S = 80º‬‬ ‫‪ 50‬בכל סעיף מצאו את מידת הזווית ‪ B‬במשולש ‪ ABC‬לפי הנתונים‪.‬‬ ‫ב ‪C = 140º , A = 34º‬‬ ‫א ‪ C = 55º , A = 67º‬‬ ‫‪ 51‬בכל סעיף קבעו אם מידות הזוויות במשולש יכולות להיות המידות הנתונות‪.‬‬ ‫א ‪2 5º ,100º ,80º‬‬ ‫ב ‪2º ,148º ,30º‬‬ ‫ג ‪?49 ,61º ,70º‬‬ ‫‪ 52‬בכל סעיף מצאו את מידת הזווית ‪ A‬במשולש ‪ PAT‬לפי הנתונים‪.‬‬ ‫ב ‪T = 25º , P = 65º‬‬ ‫א ‪ T = 48º , P = 60º‬‬ ‫‪ 53‬בכל סעיף חשבו את מידת הזווית השלישית במשולש לפי שתי המידות של הזוויות הנתונות‪.‬‬ ‫א ‪ 105º‬ו‪2 7º -‬‬ ‫ב ‪ 54º‬ו‪68º -‬‬ ‫ג ‪ 60º‬ו‪60º -‬‬ ‫‪ 54‬ידוע כי במשולש שווה‪-‬שוקיים שתיים מהזוויות שוות זו לזו‪.‬‬ ‫נמקו מדוע הזוויות השוות במשולש שווה‪-‬שוקיים הן תמיד זוויות חדות‪.‬‬ ‫‪ 55‬על‪-‬סמך העובדה שבמשולש שווה‪-‬שוקיים שתיים מהזוויות שוות זו לזו‪,‬‬ ‫חשבו בכל סעיף את מידות הזוויות במשולש שווה‪-‬שוקיים שאחת מזוויותיו נתונה‪.‬‬ ‫א ‪6 0º‬‬ ‫ב ‪120º‬‬ ‫ג ‪40º‬‬ ‫שימו לב‪ ,‬באחד הסעיפים יש שתי תשובות נכונות אפשריות‪.‬‬ ‫‪ 56‬האם במשולש קהה‪-‬זווית סכום הזוויות שווה ל‪ ?180º -‬נמקו את תשובתכם בעזרת סרטוט‪.‬‬ ‫‪ 57‬האם במשולש ישר‪-‬זווית יכולות להיות שתי זוויות שוות? אם כן‪ ,‬הדגימו משולש כזה‪.‬‬ ‫‪ 58‬במשולש ישר‪-‬זווית אחת הזוויות היא זווית ישרה‪ .‬מהו הסכום של שתי הזוויות האחרות?‬ ‫האם הדבר נכון בכל משולש ישר‪-‬זווית? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪ 59‬במשולש ישר‪-‬זווית יש זווית אחת ישרה ושתי זוויות חדות‪ .‬נמקו את המשפט‪.‬‬ ‫‪ 60‬שתי זוויות של משולש הן שוות‪ ,‬ומידתה של הזווית השלישית היא ‪.120º‬‬ ‫מהן המידות של שתי הזוויות האחרות?‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫‪619‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 61‬תנו דוגמאות למידות הזוויות במשולש‪ ,‬כך שהמשולש יהיה‪...‬‬ ‫א משולש חד‪-‬זוויות;‬ ‫ג משולש קהה‪-‬זווית‪.‬‬ ‫ב משולש ישר‪-‬זווית;‬ ‫‪ 62‬בכל סעיף מצאו את מידת הזווית ‪B‬‬ ‫במשולש ‪ ABC‬לפי הנתונים‪( .‬ראו דוגמה‪).‬‬ ‫א ‪ C = 100º , A = x‬‬ ‫ב ‪C = 50º , A = x‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪C = 30º , A = x‬‬ ‫?=‪B‬‬ ‫‪A + B + C = 180º‬‬ ‫‪B = 180º – A – C‬‬ ‫‪B = 180º – x – 30º‬‬ ‫‪B = 180º – 30º – x‬‬ ‫‪B = 150º – x‬‬ ‫‪ 63‬בכל סעיף מצאו את מידת הזווית ‪B‬‬ ‫במשולש ‪ ABC‬לפי הנתונים‪( .‬ראו דוגמה‪).‬‬ ‫א ‪ C = 2 · α , A = α‬‬ ‫ב ‪C = α − 60º , A = α + 60º‬‬ ‫‪ 64‬בכל סעיף חשבו את מידות הזוויות במשולש לפי הנתונים הרשומים בסרטוט‪.‬‬ ‫ב ‬ ‫א‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪3·α‬‬ ‫‪2·α‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪α‬‬ ‫ג‬ ‫‪2 · x + 3 · x + 4 · x = 180º‬‬ ‫‪9 · x = 180º‬‬ ‫‪4·x‬‬ ‫‪3·x‬‬ ‫‪x = 180º : 9‬‬ ‫‪2·x‬‬ ‫‪x = 20º‬‬ ‫מידות הזוויות של המשולש‪:‬‬ ‫‪4 · x = 80º ,3 · x = 60º ,2 · x = 40º‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α − 10º‬‬ ‫‪8·α‬‬ ‫‪α + 10º‬‬ ‫‪ 65‬חשבו את מידות הזוויות במשולש ‪ ABC‬לפי הנתונים האלה‪. C = x º , B = 2 · x º , A = x º :‬‬ ‫‪ 66‬חשבו את מידות הזוויות במשולש ‪ JAK‬לפי הנתונים האלה‪:‬‬ ‫‪. K = x + 10º , A = x + 20º , J = x + 30º‬‬ ‫‪ 67‬חשבו את מידות הזוויות במשולש ‪ ABC‬לפי הנתונים האלה‪:‬‬ ‫‪. C = 5 · x − 16º , B = 2 · x + 20º , A = x º‬‬ ‫‪ 68‬חשבו את מידות הזוויות במשולש ‪ POK‬לפי הנתונים האלה‪:‬‬ ‫‪. K = 3 · x − 10º , O = 2 · x + 70º , P = x + 30º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 69‬לפניכם משולשים ‪ ABC‬ו‪.PRS -‬‬ ‫נתון‪. C = 40º , A = R , B = S :‬‬ ‫מהי מידת הזווית ‪?P‬‬ ‫‪620‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 70‬נמקו את המשפט‪:‬‬ ‫אם שתי זוויות של משולש שוות לשתי זוויות של משולש אחר‪,‬‬ ‫הזווית השלישית במשולש הראשון שווה לזווית השלישית של האחר‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 71‬המרובע שלפניכם בנוי משני משולשים ‪ ABD‬ו‪.BDC -‬‬ ‫מהו סכום זוויות המרובע?‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 72‬אפשר להסביר מדוע סכום הזוויות במשולש הוא‬ ‫‪ ,180º‬על‪-‬ידי הסבר דומה לזה שקראתם בשיעור‪.‬‬ ‫הסבר זה מבוסס על הסרטוט שלפניכם‪,‬‬ ‫בו הישרים ‪ BC‬ו‪ d -‬מקבילים‪.‬‬ ‫כיצד‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬אפשר להראות שסכום הזוויות‬ ‫של המשולש ‪ ABC‬הוא ‪?180º‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫לומדים‬ ‫זווית חיצונית למשולש היא זווית הצמודה לזווית פנימית‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫הזווית ‪ A1‬צמודה לזווית ‪ ,α‬לכן ‪.A1 = 180° − α‬‬ ‫לכן היא זווית חיצונית למשולש ‪.ABC‬‬ ‫גם הזווית ‪ A2‬צמודה לזווית ‪ ,α‬לכן גם ‪.A2 = 180° − α‬‬ ‫לכן היא זווית חיצונית למשולש‪.‬‬ ‫הזווית ‪ B1‬צמודה לזווית ‪ ,β‬לכן היא‬ ‫‪A2 A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪α 1‬‬ ‫‪γ C1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪B1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫זווית חיצונית למשולש ושווה ל‪.(180° − β) -‬‬ ‫הזווית ‪ C1‬צמודה לזווית ‪ ,γ‬לכן היא זווית חיצונית למשולש ושווה ל‪.(180° − γ) -‬‬ ‫‪( α + β + γ = 180°‬סכום הזוויות במשולש) לכן ‪.β + γ = 180° − α‬‬ ‫גם )‪ A1 = (180º − α‬לכן ‪.A1 = β + γ‬‬ ‫באופן דומה ‪ B1 = (180° − β) = α + γ‬ו‪.C1 = (180° − γ) = α + β -‬‬ ‫המסקנה‪ :‬זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה‪.‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫‪621‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫משימות‬ ‫‪ 73‬מהן הזוויות החיצוניות במשולש שלפניכם?‬ ‫קל‬ ‫‪ 74‬מצאו‪ ,‬לפי הנתונים שבסרטוט‪,‬‬ ‫את מידות הזוויות ‪ 1‬עד ‪. 6‬‬ ‫‪6 7‬‬ ‫‪5 8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9 10‬‬ ‫‪12 11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 40°‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 75‬מצאו‪ ,‬לפי הנתונים שבסרטוט‪ ,‬את מידת הזווית ‪.1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ ABC 76‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬ ‫הישר ‪ m‬מקביל לצלע ‪ AB‬ועובר דרך הנקודה ‪.C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫א בטאו את מידת הזווית ‪ 1‬באמצעות ‪ .α‬נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫ב בטאו את מידת הזווית ‪ 2‬באמצעות ‪ .α‬נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪C 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ג מהו הקשר בין הישר ‪ m‬לזווית החיצונית ‪?BCE‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ב ‪ BC‬ו‪ AK -‬מקבילים‪ .‬בטאו את המידות‬ ‫של הזוויות ‪ CAK‬ו‪ KAE -‬באמצעות‬ ‫הזוויות הפנימיות במשולש‪ .‬נמקו את קביעותיכם‪.‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 77‬התבוננו בסרטוט שלפניכם‪.‬‬ ‫א מצאו זווית חיצונית למשולש ‪.ABC‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ג בטאו את מידת הזווית ‪ CAE‬באמצעות הזוויות הפנימיות‪.‬‬ ‫‪622‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 78‬בסרטוט שלפניכם נתון ש‪ BAC = 108º -‬ו‪.β = 36° -‬‬ ‫הנקודה ‪ D‬נמצאת על ‪ BC‬כך שהמשולש ‪BDA‬‬ ‫שווה‪-‬שוקיים‪.(BD = DA) .‬‬ ‫חשבו את מידות הזוויות ‪ ,2 ,1‬ו‪.3 -‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 79‬נתון‪. MI || EG :‬‬ ‫הנקודות ‪ R ,I ,G‬ו‪ T -‬נמצאות על אותו ישר‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫מהי מידת הזווית ‪?ROI‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪T‬‬ ‫א ‪30º‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ב ‪60º‬‬ ‫‪50º‬‬ ‫‪30º‬‬ ‫‪I‬‬ ‫ג ‪80º‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ד ‪100º‬‬ ‫ה ‪70º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 80‬לפי הנתונים שבסרטוט הסבירו מדוע ‪ AS‬הוא חוצה‪-‬זווית של הזווית ‪.A‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ PS 81‬הוא חוצה‪-‬זווית של הזווית ‪ ,P‬ו‪ OR -‬הוא חוצה‪-‬זווית של הזווית ‪.O‬‬ ‫נתון‪. OPR = 50º , SOP = 80º :‬‬ ‫חשבו את מידותיהן של הזוויות במשולש ‪.HOP‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ 82‬בסרטוט שלפניכם ‪ AK‬חוצה‪-‬זווית במשולש ‪.BAC‬‬ ‫התייחסו לנתונים שבסרטוט‪ ,‬וענו על השאלות‪.‬‬ ‫א מה מידת הזווית ‪?BAK‬‬ ‫ג מה מידת הזווית ‪?C‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫‪A‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪112º‬‬ ‫ב מה מידת הזווית ‪?A‬‬ ‫‪45º‬‬ ‫‪65º 100º‬‬ ‫‪100º‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪623‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫את המשימות ‪ 88 - 83‬יש לפתור בשתי דרכים שונות‪.‬‬ ‫‪ 83‬בכל סעיף הישרים ‪ a‬ו‪ b -‬מקבילים‪ .‬מצאו את מידת הזווית המסומנת ב‪. x -‬‬ ‫ב‬ ‫א‬ ‫‪a‬‬ ‫‪50º‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪20º‬‬ ‫‪40º‬‬ ‫‪ 84‬בכל סעיף הישרים ‪ a‬ו‪ b -‬מקבילים‪ .‬מצאו את מידת הזווית המסומנת ב‪. x -‬‬ ‫ב‬ ‫א‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪35º‬‬ ‫‪100º‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪30º‬‬ ‫‪ 85‬הישרים ‪ a‬ו‪ b -‬מקבילים‪ .‬האם הם‬ ‫מאונכים לישר ‪ ?c‬נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪ 86‬הישרים ‪ a‬ו‪ b -‬מקבילים‪.‬‬ ‫שתי הזוויות המסומנות בסרטוט שוות‪.‬‬ ‫מה מידתן? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪50º‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪40º‬‬ ‫‪120º‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ 87‬א במשולש שווה‪-‬הצלעות שלפניכם כל הזוויות שוות‪.‬‬ ‫מה גודל כל זווית במשולש?‬ ‫‪x‬‬ ‫ב שני הישרים המסורטטים בסרטוט מקבילים‪.‬‬ ‫מהי מידת הזווית המסומנת ב‪? x -‬‬ ‫‪20º‬‬ ‫פיצוחים‬ ‫‪ BD 88‬הוא חוצה‪-‬זווית‪.‬‬ ‫‪ AE‬הוא חוצה‪-‬זווית‪.‬‬ ‫מצאו את מידות הזוויות‬ ‫‪ AKB ,BDA‬ו‪,BEK -‬‬ ‫אם ידוע כי ‪ BAC = 46º‬וכי ‪. ABC = 102º‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪624‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫ב‪ .2.‬זוויות במרובע‬ ‫מגלים‬ ‫מגלים‬ ‫‪K‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫לפניכם שני מרובעים‪.‬‬ ‫א הציעו דרך לחישוב סכום הזוויות‬ ‫הפנימיות של כל מרובע‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ב מהו סכום הזוויות בכל מרובע?‬ ‫‪C‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ 2‬במרובע ‪ ABCD‬הועבר אלכסון ‪.BD‬‬ ‫הראו כי סכום הזוויות של המרובע הוא ‪.360º‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 3‬סרטטו משולש‪.‬‬ ‫הקדקודים של המשולש הם שלושה מתוך ארבעה קדקודים של מרובע‪.‬‬ ‫א השלימו את המשולש למרובע זה‪.‬‬ ‫ב בכמה דרכים אפשר לבצע את ההשלמה?‬ ‫ג הוכיחו שסכום הזוויות במרובע הוא ‪.360º‬‬ ‫לומדים‬ ‫סכום הזוויות הפנימיות במרובע הוא ‪.360º‬‬ ‫נימוק‪:‬‬ ‫אפשר לחלק כל מרובע לשני משולשים על‪-‬ידי אלכסונו‪ .‬סכום הזוויות של שני המשולשים שווה‬ ‫לסכום זוויות המרובע‪ ,‬כלומר סכום הזוויות במרובע הוא ‪.2 · 180º = 360º‬‬ ‫בסרטוט שכאן סכום זוויות המרובע הוא‬ ‫‪2 6‬‬ ‫‪. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6‬‬ ‫‪( 1 + 2 + 3 = 180º‬סכום זוויות במשולש)‬ ‫‪( 4 + 5 + 6 = 180º‬סכום זוויות במשולש)‬ ‫לכן ‪2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 360º‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫‪. 1 +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪625‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫משימות‬ ‫‪ 89‬בכל סעיף קבעו אם מידות הזוויות במרובע יכולות להיות המידות הנתונות‪.‬‬ ‫קל‬ ‫א ‪6 0º, 60º, 120º, 120º‬‬ ‫ג ‪30º, 60º, 90º, 180º‬‬ ‫ב ‪35º, 45º, 55º, 160º‬‬ ‫‪ 90‬א מדדו את ארבע הזוויות של המרובע שלפניכם‪.‬‬ ‫ב האם המידות שמדדתם תואמות את מה שלמדתם בשיעור? הראו זאת‪.‬‬ ‫‪ 91‬בכל סעיף חשבו את מידת הזווית החסרה במרובע‪.‬‬ ‫קל‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫?‬ ‫‪30º‬‬ ‫‪160º‬‬ ‫‪95º‬‬ ‫?‬ ‫‪60º‬‬ ‫‪45º‬‬ ‫‪45º‬‬ ‫‪ 92‬בכל סעיף חשבו את מידת הזווית החסרה במרובע‪.‬‬ ‫קל‬ ‫א‬ ‫‪100º‬‬ ‫?‬ ‫ב‬ ‫‪90º‬‬ ‫‪120º‬‬ ‫‪50º‬‬ ‫‪80º‬‬ ‫‪60º‬‬ ‫?‬ ‫‪ 93‬סרטטו מרובע שמידות שלוש מזוויותיו הן ‪ 100º, 90º‬ו‪ .80º -‬היעזרו במד‪-‬זווית‪.‬‬ ‫מה מידתה של הזווית הרביעית של המרובע? בדקו את תשובתכם על‪-‬ידי מדידה‪.‬‬ ‫חקירה‬ ‫‪ 94‬האם במרובע כל הזוויות יכולות להיות חדות? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪ 95‬האם במרובע כל הזוויות יכולות להיות ישרות? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪ 96‬האם במרובע כל הזוויות יכולות להיות קהות? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪ 97‬כל הזוויות של מרובע שוות במידתן‪ .‬מה שמו של המרובע?‬ ‫‪ 98‬האם במרובע יכולות להיות שלוש זוויות קהות? אם כן‪ ,‬סרטטו מרובע כזה‪ .‬אם לא‪ ,‬הסבירו מדוע לא‪.‬‬ ‫‪626‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 100‬מצאו את מידות הזוויות החסרות‪.‬‬ ‫‪ 99‬חשבו את מידות הזוויות החסרות‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪? 70º‬‬ ‫‪30º‬‬ ‫?‬ ‫‪B‬‬ ‫‪80º‬‬ ‫‪? 110º‬‬ ‫‪100º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 101‬חשבו את מידות הזוויות החסרות‬ ‫במרובע שלפניכם‪.‬‬ ‫‪195º‬‬ ‫‪ 102‬חשבו את מידות הזוויות ‪ B, K‬ו‪ O -‬של המרובע ‪ ,OKBM‬כאשר ‪O = K = B‬‬ ‫‪T‬‬ ‫א מצאו את הערך של ‪. x‬‬ ‫‪ 103‬‬ ‫ב חשבו את מידות הזוויות של המרובע‪.‬‬ ‫‪x·3‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪x·4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x·2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ו‪. M = 156º -‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x· 2‬‬ ‫א מצאו את הערך של ‪. x‬‬ ‫‪ 104‬‬ ‫‪110 + x‬‬ ‫ב חשבו את מידות הזוויות של המרובע‪.‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪160º‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ 105‬המידות של שלוש מהזוויות הפנימיות של מרובע הן ‪ x º , y º‬ו‪.z º-‬‬ ‫כתבו ביטוי אלגברי למידת הזווית הרביעית של המרובע‪.‬‬ ‫‪ 106‬כתבו ביטוי אלגברי למידת הזווית הרביעית במרובע שהמידות של שלוש הזוויות בו‬ ‫הן ‪ α + 120º , 140º − α‬ו‪.α -‬‬ ‫תרגילים נוספים בעמודים ‪.642 - 641‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫‪627‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫ג‪ .‬מנסרה‬ ‫ג‪ .1.‬מבוא‬ ‫מגלים‬ ‫מגלים‬ ‫לפניכם איור של חטיף שוקולד‪.‬‬ ‫האם אתם יודעים מהי צורת החטיף?‬ ‫לומדים‬ ‫מנסרה משולשת ישרה היא גוף בעל חמש פאות‪.‬‬ ‫שתיים מפאות המנסרה הן משולשים חופפים‪ ,‬אלה בסיסי המנסרה‪ ,‬ושלוש הפאות האחרות הן‬ ‫מלבנים‪ .‬המלבנים הם פאות צדדיות של המנסרה‪ ,‬והם מעטפת המנסרה‪.‬‬ ‫צלעות המנסרה נקראות מקצועות‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫מקצוע‬ ‫בסיס‬ ‫בסיס‬ ‫מקצוע‬ ‫הערה‪ :‬ישנן מנסרות שאינן משולשות‪ ,‬כלומר בסיסיהן הם מצולעים שאינם משולשים‬ ‫הנוכחי נתייחס אך ורק למנסרות המשולשות‪.‬‬ ‫ְ‬ ‫(למשל‪ :‬מרובעים‪ ,‬מחומשים‪ ,‬משושים)‪ .‬אך בפרק‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫לפניכם מנסרות שאינן מנסרות משולשות‪.‬‬ ‫משימות‬ ‫‪ 107‬לפניכם שישה גופים‪ .‬מיינו אותם למנסרות משולשות ולגופים שאינם מנסרות משולשות‪.‬‬ ‫קל‬ ‫א‬ ‫‪628‬‬ ‫ב‬ ‫ג‬ ‫ד‬ ‫ה‬ ‫ו‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫קל‬ ‫‪ 108‬סרטטו מנסרה משולשת כדי להסביר את תשובותיכם לשאלות שלהלן‪.‬‬ ‫א כמה פאות יש במנסרה משולשת?‬ ‫ב כמה מקצועות יש במנסרה משולשת?‬ ‫ג כמה קדקודים יש במנסרה משולשת?‬ ‫‪ 109‬האם הסרטוט שלפניכם הוא סרטוט של מנסרה משולשת?‬ ‫אֹוילר (‪ )Leonhard Euler‬גילה נוסחה המקשרת בין מספר הפאות‪ ,‬מספר‬ ‫ֶ‬ ‫‪ 110‬המתמטיקאי לאונרד‬ ‫הקדקודים ומספר המקצועות של פאון כלשהו‪( .‬פאון‪ :‬גוף תלת‪-‬ממדי הבנוי ממצולעים בלבד‪).‬‬ ‫נוסחת אוילר (יש לקרוא את הנוסחה משמאל לימין‪:).‬‬ ‫‪ = 2‬מספר מקצועות – מספר קדקודים ‪ +‬מספר פאות ‪.‬‬ ‫א בדקו אם נוסחת אוילר מתקיימת במנסרה משולשת‪.‬‬ ‫ב בדקו אם נוסחת אוילר מתקיימת בתיבה‪.‬‬ ‫‪ 111‬כתבו דוגמאות של חפצים בצורת מנסרה משולשת‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 112‬כל אחת מהדמויות ‪ B ,A‬ו‪ C -‬רואה את המנסרה שבסרטוט מנקודת מבט אחרת‪.‬‬ ‫כתבו איזו מהצורות א'‪ ,‬ב'‪ ,‬ג' ו‪ -‬ד' רואה לפניה כל דמות‪.‬‬ ‫ב‬ ‫א‬ ‫ג‬ ‫‪B‬‬ ‫ד‬ ‫‪A‬‬ ‫פיצוחים‬ ‫‪ 3‬מ"מ‬ ‫ב‬ ‫‪ 1.7‬ס"מ‬ ‫"מ‬ ‫‪2‬ס‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪ 1.5‬ס"מ‬ ‫ג‬ ‫ס"מ‬ ‫‪4‬‬ ‫"מ‬ ‫‪1‬ס‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 1.7‬ס"מ‬ ‫"מ‬ ‫ס‬ ‫‪ 6‬ס"מ‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫‪ 2‬מ"מ‬ ‫‪ 5.1‬ס"מ‬ ‫‪ 1.8‬ס"מ‬ ‫א‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1.8‬ס"מ‬ ‫‪ 113‬לפניכם מנסרות ירוקות א'‪ ,‬ב' ו‪ -‬ג'‪ .‬כל מנסרה צריכה להיכנס לאחד‬ ‫מהחורים השחורים ‪ 2 ,1‬ו‪ .3 -‬התאימו את המנסרות לחורים‪.‬‬ ‫שימו לב‪ ,‬אסור להכניס שתי מנסרות לאותו חור‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2.1‬ס"מ‬ ‫‪629‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫ג‪ .2.‬פריסת מנסרה ‪ -‬שטח פנים של מנסרה‬ ‫מגלים‬ ‫מגלים‬ ‫לפניכם פריסות של גופים‪.‬‬ ‫איזו פריסה היא פריסה של מנסרה משולשת‪ ,‬לדעתכם?‬ ‫א‬ ‫ג‬ ‫ב‬ ‫לומדים‬ ‫אם גוזרים מנסרה‪ ,‬ופורסים אותה לצורה מישורית ‪ -‬מקבלים פריסה של המנסרה‪.‬‬ ‫פריסת מנסרה משולשת מורכבת משני משולשים (הבסיסים) ומשלושה מלבנים (המעטפת)‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫לפניכם פריסה של מנסרה ה"עומדת" על אחד ממלבני המעטפת‪ .‬בסיסה הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬ ‫המעטפת בנויה משני מלבנים שרוחב כל אחד מהם הוא אורך השוק של המשולש‪ ,‬וממלבן שלישי‬ ‫שרוחבו הוא אורך בסיס המשולש‪ .‬אורך כל מלבן הוא הגובה של המנסרה‪.‬‬ ‫מ‬ ‫ע‬ ‫ט‬ ‫פ‬ ‫ת‬ ‫‪630‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫משימות‬ ‫‪ 114‬בצעו את המדידות הנחוצות‪ ,‬וקבעו אילו צורות הן פריסות של מנסרות משולשות‪ .‬נמקו את קביעותיכם‪.‬‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫ג‬ ‫ד‬ ‫ה‬ ‫ו‬ ‫‪ 115‬סרטטו פריסה של מנסרה שגובהה ‪ 3‬ס"מ‪ ,‬ובסיסה משולש שאורכי צלעותיו הם ‪ 2‬ס"מ‪ 3 ,‬ס"מ‬ ‫ו‪ 4-‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪ 116‬סרטטו פריסה של מנסרה שגובהה ‪ 2‬ס"מ‪ ,‬ובסיסה משולש ישר‪-‬זווית שאורכי ניצביו הם‬ ‫‪ 3‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪ 117‬לפניכם חלק מפריסת מנסרה משולשת‪.‬‬ ‫בצעו את המדידות הנחוצות‪ ,‬והשלימו אותה בשני הבסיסים‪.‬‬ ‫איזו תכונה יש לבסיסים?‬ ‫‪ 118‬לפניכם חלק מפריסת מנסרה משולשת‪.‬‬ ‫בצעו את המדידות הנחוצות‪ ,‬והשלימו את הפריסה בנספח‪.‬‬ ‫‪ 119‬לפניכם פריסת מנסרה משולשת‪.‬‬ ‫בצעו את המדידות הנחוצות‪ ,‬וכתבו את‬ ‫מידות הבסיס ואת הגובה של המנסרה‪.‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫‪631‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫לומדים‬ ‫כדי לחשב את שטח המעטפת של מנסרה ישרה יש לחשב את סכום שטחי המלבנים‬ ‫העוטפים את הבסיסים‪.‬‬ ‫מידה משותפת לכל המלבנים היא גובה המנסרה‪ .‬אורך הצלע השנייה הוא אורך אחת מצלעות‬ ‫הבסיס‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫במנסרה שלפניכם שטח המעטפת הוא סכום שטחי שלושת המלבנים‪.‬‬ ‫‪ 4‬ס"מ‬ ‫‪ 3‬ס"מ ‪C1‬‬ ‫ידועות המידות של המלבנים הצמודים לניצבי המשולש‪:‬‬ ‫‪A1‬‬ ‫‪B1‬‬ ‫‪ 4( AA1C1C‬ס''מ ו‪ 5 -‬ס"מ)‪,‬‬ ‫‪ 3( BB1C1C‬ס''מ ו‪ 5 -‬ס"מ)‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 5( AA1B1B‬ס''מ ו‪ 5 -‬ס"מ)‪.‬‬ ‫‪ 5‬ס"מ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 5‬ס"מ‬ ‫לכן שטח המעטפה הוא ‪ ,5 · 5 + 5 · 4 + 5 · 3‬כלומר ‪ 60‬סמ"ר‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬אפשר לחשב את שטח המעטפת כך‪ :‬גובה × היקף הבסיס = שטח מעטפת ‪.‬‬ ‫סכום השטחים של כל הפאות של מנסרה נקרא שטח הפנים של המנסרה‪.‬‬ ‫שטח הפנים של מנסרה הוא הסכום של שטח המעטפת ושטחי הבסיסים‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫בסרטוט לעיל שטח המעטפת הוא ‪ 60‬סמ"ר‪.‬‬ ‫‪ 3‬ס"מ‬ ‫כל אחד מהבסיסים הוא משולש ישר‪-‬זווית שאורכי ניצביו הם ‪ 3‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ‪.‬‬ ‫  ‪4 ·  3‬‬ ‫____ ‪.‬‬ ‫לכן שטח כל בסיס הוא ‪ 6‬סמ"ר = ‬ ‫‪2‬‬ ‫לפיכך שטח פני המנסרה הוא ‪ 72‬סמ"ר = ‪.6 · 2 + 60‬‬ ‫‪ 4‬ס"מ‬ ‫הערה‪ :‬באופן כללי‪ ,‬אפשר לחשב את שטח הפנים של מנסרה כך‪:‬‬ ‫(שטח בסיס × ‪( + )2‬גובה × היקף הבסיס) = שטח פנים ‪.‬‬ ‫‪632‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫משימות‬ ‫‪ 120‬בכל סעיף חשבו‪...‬‬ ‫‪ 1‬את שטח המעטפת של המנסרה הנתונה;‬ ‫‪ 2‬את השטח של כל בסיס;‬ ‫‪ 3‬את שטח הפנים של המנסרה‪.‬‬ ‫‪ 4‬ס"מ‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫‪ 10‬ס"מ‬ ‫‪20‬‬ ‫"מ‬ ‫ס‬ ‫‪ 5‬ס"מ‬ ‫ס"מ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪13‬‬ ‫"מ‬ ‫ס‬ ‫‪ 12‬ס"מ‬ ‫"מ‬ ‫ס‬ ‫‪ 121‬א בכל סעיף חשבו את שטח הפנים של המנסרה‪.‬‬ ‫ס"מ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ 30‬ס"מ‬ ‫‪ 33‬ס"מ‬ ‫ס‬ ‫"מ‬ ‫‪1‬‬ ‫ס‬ ‫"מ‬ ‫‪ 56‬ס"מ‬ ‫‪90‬‬ ‫ס"מ‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪ 17‬ס"מ‬ ‫ב מגדילים את מידות המנסרות פי שניים‪ .‬האם שטח הפנים של כל מנסרה יגדל‪...‬‬ ‫‪ 2‬פי ‪?4‬‬ ‫‪ 1‬פי ‪?2‬‬ ‫‪ 3‬פי ערך אחר? (פרטו לפי הצורך‪).‬‬ ‫‪ 122‬בכל סעיף חשבו את שטח הפנים של המנסרה הנתונה‪.‬‬ ‫‪50‬‬ ‫"מ‬ ‫מ‬ ‫‪ 5‬ס"מ‬ ‫‪20‬‬ ‫מ"מ‬ ‫א‬ ‫‪ 5‬ס"מ‬ ‫"מ‬ ‫‪1‬ס‬ ‫‪0‬‬ ‫ב‬ ‫ס"מ‬ ‫‪6‬‬ ‫מ"מ‬ ‫‪12‬‬ ‫מ"מ‬ ‫‪21‬‬ ‫"מ‬ ‫‪4‬ס‬ ‫‪ 13‬מ"מ‬ ‫‪ 123‬הבסיס של מנסרה משולשת הוא משולש שווה צלעות שאורך כל צלע ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬ ‫גובה המנסרה ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬ ‫א מהו שטח המעטפת של המנסרה?‬ ‫ב מגדילים את מידות המנסרה פי שלושה‪ .‬האם שטח המעטפת של המנסרה יגדל‪...‬‬ ‫‪ 1‬פי ‪?3‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫‪ 2‬פי ‪?9‬‬ ‫‪ 3‬פי ערך אחר? (פרטו לפי הצורך‪).‬‬ ‫‪633‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪ 2.4‬מ'‬ ‫‪ 5‬מ'‬ ‫מ'‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מ'‬ ‫‪ 124‬לאוהל צורה של מנסרה משולשת (כמו בסרטוט)‪.‬‬ ‫כל פאות (דופנות) האוהל‪ ,‬חוץ מהפאה התחתונה‪ ,‬עשויות מבד‪.‬‬ ‫מהו השטח הכולל של הבד של האוהל?‬ ‫‪ 2‬מ'‬ ‫‪ 125‬בכל סעיף כתבו על‪-‬ידי ביטוי אלגברי את שטח הפנים של המנסרה הנתונה‪.‬‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫מ'‬ ‫‪9‬‬ ‫"מ‬ ‫ס‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 3‬ס"מ‬ ‫‪ 12‬מ'‬ ‫מ'‬ ‫‪15‬‬ ‫‪x‬‬ ‫"מ‬ ‫ס‬ ‫‪ 7‬ס"מ‬ ‫‪ 9‬מ'‬ ‫‪ 126‬בכל סעיף כתבו על‪-‬ידי ביטוי אלגברי את שטח הפנים של המנסרה הנתונה‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫"מ‬ ‫ס‬ ‫‪x‬‬ ‫"מ‬ ‫מ‬ ‫"מ‬ ‫מ‬ ‫‪ x‬ס"מ‬ ‫‪ 5‬ס"מ‬ ‫‪25‬‬ ‫"מ‬ ‫‪2‬מ‬ ‫‪4‬‬ ‫מ"מ‬ ‫‪52‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ס"מ‬ ‫‪3‬‬ ‫ס‬ ‫"מ‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 5‬מ"מ‬ ‫‪ 127‬שטח המעטפת של מנסרה הוא ‪ 42‬סמ"ר‪ .‬גובה המנסרה הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬ ‫מהו ההיקף של כל בסיס?‬ ‫פיצוחים‬ ‫‪ 128‬שטח הפנים של מנסרה משולשת הוא ‪ 168‬סמ"ר‪.‬‬ ‫למנסרה בסיס בצורת משולש ישר‪-‬זווית‪.‬‬ ‫אורכי הצלעות של הבסיס הם ‪ 6‬ס"מ‪ 8 ,‬ס"מ ו‪ 10 -‬ס"מ‪.‬‬ ‫מהו גובה המנסרה?‬ ‫‪ 129‬שטח הפנים של מנסרה משולשת הוא ‪ 360‬סמ"ר‪.‬‬ ‫למנסרה בסיס בצורת משולש ישר‪-‬זווית‪.‬‬ ‫אורכי הניצבים של הבסיס הם ‪ 5‬ס"מ ו‪ 12 -‬ס"מ‪.‬‬ ‫גובה המנסרה הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬ ‫מהו אורך היתר של הבסיס?‬ ‫‪634‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫ג‪ .3.‬נפח מנסרה‬ ‫מגלים‬ ‫מגלים‬ ‫הגוף שלפניכם מורכב משכבות של קוביות זהות ושל "חצאי קוביות"‪.‬‬ ‫אורך הצלע של כל קובייה הוא ‪ 1‬ס"מ‪ .‬הבסיס של כל "חצי קובייה" הוא משולש ישר‪-‬זווית ושווה‪-‬שוקיים‪.‬‬ ‫(אורך כל ניצב הוא ‪ 1‬ס"מ‪).‬‬ ‫איך‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬אפשר לחשב את נפח הגוף?‬ ‫לומדים‬ ‫כדי לחשב נפח של מנסרה נדמיין שהיא מורכבת משכבות של קוביות יחידה‪.‬‬ ‫נפח המנסרה שווה למספר קוביות היחידה‪ .‬לכן נפח המנסרה הוא מכפלת שטח הבסיס שלה‬ ‫בגובהה‪.‬‬ ‫‪ 3‬ס"מ‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪ 4‬ס"מ‬ ‫‪A1‬‬ ‫‪B1‬‬ ‫במנסרה משולשת הבסיס יכול להיות משולש ישר‪-‬זווית‬ ‫או שווה‪-‬שוקיים או שווה‪-‬צלעות או מכל סוג אחר‪.‬‬ ‫נחשב נפח של מנסרה משולשת ישרת‪-‬זווית (ראו סרטוט)‪.‬‬ ‫  ‪4 ·  3‬‬ ‫א תחילה נחשב את שטח הבסיס‪ :‬שטח המשולש = ‪ 6‬סמ"ר = ‬ ‫____ ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 5‬ס"מ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ב כעת נכפול את שטח המשולש (‪ 6‬סמ"ר) בגובה המנסרה (‪ 5‬ס"מ)‪.‬‬ ‫לפיכך נפח המנסרה הוא ‪ 30‬סמ"ק‪.‬‬ ‫משימות‬ ‫ב‬ ‫א‬ ‫‪ 2‬ס"מ‬ ‫‪12‬‬ ‫"מ‬ ‫מ‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫‪ 5‬מ"מ‬ ‫‪ 4‬ס"מ‬ ‫‪7‬‬ ‫ס‬ ‫"מ‬ ‫קל‬ ‫‪ 130‬בכל סעיף חשבו את נפח המנסרה הנתונה‪.‬‬ ‫‪ 6‬מ"מ‬ ‫‪635‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪ 131‬א בכל סעיף חשבו את נפח המנסרה הנתונה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬ס"מ‬ ‫‪ 11‬מ"מ‬ ‫‪7‬‬ ‫"מ‬ ‫מ‬ ‫‪ 3‬ס"מ‬ ‫‪4‬‬ ‫"מ‬ ‫ס‬ ‫‪ 9‬מ"מ‬ ‫ב מגדילים את מידות המנסרות פי שניים‪ .‬האם הנפח של כל מנסרה יגדל‪...‬‬ ‫‪ 1‬פי ‪?2‬‬ ‫‪ 3‬פי ‪?8‬‬ ‫‪ 2‬פי ‪?4‬‬ ‫‪ 4‬פי ערך אחר? (פרטו לפי הצורך‪).‬‬ ‫‪ 132‬בכל סעיף חשבו את נפח המנסרה הנתונה‪.‬‬ ‫א‬ ‫‪8‬‬ ‫ב‬ ‫מ'‬ ‫‪ 2‬ס"מ‬ ‫‪ 4‬מ'‬ ‫‪6‬‬ ‫ס‬ ‫"מ‬ ‫‪ 3‬מ'‬ ‫‪ 4‬ס"מ‬ ‫‪ 133‬א בכל סעיף חשבו את הנפח של המנסרה הנתונה‪.‬‬ ‫"מ‬ ‫ס‬ ‫‪ 9‬ס"מ‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫"מ‬ ‫ס‬ ‫‪ 5‬מ'‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 1‬מ'‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 7‬מ'‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 8‬מ'‬ ‫‪ 14‬ס"מ‬ ‫ב מגדילים את כל המידות של המנסרות פי שלושה‪ .‬האם נפח כל מנסרה יגדל‪...‬‬ ‫‪ 1‬פי ‪?3‬‬ ‫‪ 2‬פי ‪?9‬‬ ‫‪ 3‬פי ‪?27‬‬ ‫‪ 4‬פי ערך אחר? (פרטו לפי הצורך‪).‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ 134‬בתרגיל זה נראה הסבר נוסף לשיטת החישוב של נפח המנסרה‪.‬‬ ‫א לפניכם תיבה ומנסרה משולשת שבסיסיה משולשים ישרי‪-‬זווית‪.‬‬ ‫התוכלו לומר פי כמה גדול נפח התיבה מנפח המנסרה‪ ,‬בלי לבצע חישובים?‬ ‫רמז‪ :‬כמה מנסרות אפשר להכניס לתוך התיבה?‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ב על‪-‬פי המידות הנתונות‪ ,‬מהו נפח התיבה? מהו נפח המנסרה?‬ ‫‪636‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ 135‬לפניכם תיבה ומנסרה משולשת שבסיסיה אינם משולשים ישרי‪-‬זווית‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫א בלי לבצע חישובים‪ ,‬הסבירו מדוע נפח התיבה‬ ‫גדול מנפח המנסרה פי שניים‪.‬‬ ‫רמז‪ :‬אפשר "לחתוך" את המנסרה‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ב על‪-‬פי המידות הנתונות‪ ,‬מהו נפח המנסרה?‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 136‬בכל סעיף חשבו את נפח המנסרה הנתונה‪ .‬שימו לב ליחידות האורך!‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫‪9‬‬ ‫"מ‬ ‫מ‬ ‫‪ 1‬מ'‬ ‫ס‬ ‫"מ‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪ 3‬ס"מ‬ ‫"מ‬ ‫ס‬ ‫‪ 2‬ס"מ‬ ‫‪ 137‬בחדר השינה של אהרון מעצור לדלת העשוי גומי‪.‬‬ ‫למעצור צורה של מנסרה משולשת‪.‬‬ ‫אורך המעצור הוא ‪ 5‬ס"מ‪ .‬גובהו ורוחבו ‪ 2‬ס"מ‪.‬‬ ‫כמה מעצורים מסוג זה אפשר לבנות מ‪ 1-‬מ"ק של גומי?‬ ‫(מומלץ לסרטט סרטוט מתאים‪).‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 2‬ס"מ‬ ‫‪ 25‬ס"מ‬ ‫‪ 5‬ס"מ‬ ‫‪ 138‬בכל סעיף כתבו את נפח המנסרה הנתונה על‪-‬ידי ביטוי אלגברי‪.‬‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫‪x‬‬ ‫ס"מ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 4‬מ'‬ ‫ס‬ ‫"מ‬ ‫מ'‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 7‬מ'‬ ‫‪ 4‬ס"מ‬ ‫‪ 139‬בכל סעיף כתבו את נפח המנסרה הנתונה על‪-‬ידי ביטוי אלגברי‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 7‬מ'‬ ‫‪2‬‬ ‫·‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מ'‬ ‫מ"מ‬ ‫‪7‬‬ ‫מ‬ ‫"מ‬ ‫א‬ ‫מ"מ‬ ‫ב‬ ‫‪ 4‬מ'‬ ‫‪637‬‬ ‫מגלים ולומדים‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫ס"מ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 9‬ס"מ‬ ‫‪ 7‬ס"מ‬ ‫‪x‬‬ ‫ס"מ‬ ‫‪6‬מ‬ ‫"מ‬ ‫‪ 140‬בכל סעיף כתבו את נפח המנסרה הנתונה על‪-‬ידי ביטוי אלגברי‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫מ‬ ‫"מ‬ ‫‪ 141‬בכל סעיף כתבו את נפח המנסרה הנתונה על‪-‬ידי ביטוי אלגברי‪.‬‬ ‫א‬ ‫‪·x‬‬ ‫ב‬ ‫‪2‬‬ ‫מ'‬ ‫‪x‬‬ ‫"מ‬ ‫ס‬ ‫‪ 7‬ס"מ‬ ‫‪ 5‬מ'‬ ‫‪ x‬מ'‬ ‫‪ x‬ס"מ‬ ‫‪ 142‬נפח מנסרה הוא ‪ 120‬סמ"ק‪ .‬גובה המנסרה הוא ‪ 15‬סמ"ר‪.‬‬ ‫מהו שטח הבסיס של המנסרה?‬ ‫פיצוחים‬ ‫‪ 143‬נפח של מנסרה שבסיסה משולש ישר‪-‬זווית‪ ,‬הוא ‪ 60‬סמ"ק‪.‬‬ ‫אורכי הניצבים של הבסיס הם ‪ 2‬ס"מ ו‪ 5 -‬ס"מ‪.‬‬ ‫מהו גובה המנסרה?‬ ‫‪ 144‬נפח של מנסרה משולשת הוא ‪ 150‬ממ"ק‪.‬‬ ‫גובה המנסרה הוא ‪ 5‬מ"מ‪ ,‬ואורך אחד הגבהים של בסיס המשולש הוא ‪ 4‬מ"מ‪.‬‬ ‫האם אפשר לחשב את האורך של אחת הצלעות של בסיס המנסרה? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫תרגילים נוספים בעמוד ‪.642‬‬ ‫‪638‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫מיומנויות‬ ‫בעזרת סרגל ומד‪-‬זווית אפשר לבנות משולש כשנתונים אורך אחת מצלעותיו ומידות הזוויות שלידה‪.‬‬ ‫דוגמה‪ :‬נבנה משולש שאורך צלעו הוא ‪ 4‬ס"מ‪ ,‬ומידות הזוויות שליד צלע זו הן ‪ 30°‬ו‪.100° -‬‬ ‫שלב א'‪:‬‬ ‫מסרטטים קטע ‪ AB‬באורך ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫שלב ב'‪:‬‬ ‫מסרטטים זווית של ‪ ,30°‬כך שהנקודה ‪ A‬היא קדקוד הזווית‪ ,‬והקטע ‪ AB‬הוא אחת משוקי הזווית‪.‬‬ ‫מסרטטים את השוק השנייה ‪.Aa‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪100 9 0 8 0 7 0‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪180 170‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪10 0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫שלב ג'‪:‬‬ ‫מסרטטים זווית של ‪ ,100°‬כך שהנקודה ‪ B‬היא קדקוד הזווית‪ ,‬והקטע ‪ AB‬הוא אחת משוקי הזווית‪.‬‬ ‫מסרטטים את השוק השנייה ‪.Bb‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪0 10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪170 18‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪8 0 9 0 100 11‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪A‬‬ ‫שתי הקרניים ‪ Aa‬ו‪ Bb -‬נחתכות בנקודה ‪ .C‬מתקבל משולש ‪ ,ABC‬שמתאים לתנאים המבוקשים‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪100° B‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫‪30°‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪639‬‬ ‫מוכנים להמשיך?‬ ‫‪ 1‬בצעו את המדידות הנחוצות‪ ,‬וקבעו אם המשולש הירוק הוא‪...‬‬ ‫ג חד‪-‬זוויות‪.‬‬ ‫ב קהה‪-‬זווית;‬ ‫א ישר‪-‬זווית;‬ ‫‪ 2‬בצעו את המדידות הנחוצות‪ ,‬וקבעו אם המשולש הכחול הוא‪...‬‬ ‫ב שווה‪-‬שוקיים; ג שווה‪-‬צלעות‪.‬‬ ‫א שונה‪-‬צלעות;‬ ‫‪ 3‬בנו משולש שאורך אחת מצלעותיו הוא ‪ 5‬ס"מ‪,‬‬ ‫ומידות הזוויות שליד צלע זו הן ‪ 45°‬ו‪.60° -‬‬ ‫‪ 4‬האם אפשר לבנות משולש שאורכי צלעותיו הם ‪ 4‬ס"מ‪ 5 ,‬ס"מ ו‪ 10 -‬ס"מ?‬ ‫ג אי‪-‬אפשר לדעת‬ ‫ב לא‬ ‫א כן‬ ‫‪ 5‬המידות של שתיים מהזוויות במשולש הן ‪ 80°‬ו‪ .70° -‬מה מידת הזווית השלישית?‬ ‫ג ‪30°‬‬ ‫ב ‪40°‬‬ ‫א ‪50°‬‬ ‫‪ 6‬מידות שתיים מהזוויות של משולש הן ‪ 120°‬ו‪ . x° -‬מה מידת הזווית השלישית?‬ ‫ג ‪60° – x°‬‬ ‫ב ‪6 0° + x°‬‬ ‫א ‪1 20° – x°‬‬ ‫‪ 7‬מידות שלוש מהזוויות של מרובע הן ‪ 80° ,130°‬ו‪ .70° -‬מה מידת הזווית הרביעית?‬ ‫ג ‪70°‬‬ ‫ב ‪80°‬‬ ‫א ‪90°‬‬ ‫‪ 8‬מה יש במנסרה משולשת?‬ ‫א שלוש פאות משולשות‬ ‫ב שתי פאות שהן מלבנים‬ ‫ג שתי פאות משולשות‬ ‫‪ 9‬מהו שטח הפנים של המנסרה המסורטטת?‬ ‫ג ‪ 60‬סמ"ר‬ ‫ב ‪ 48‬סמ"ר‬ ‫א ‪ 24‬סמ"ר‬ ‫‪4‬‬ ‫"מ‬ ‫ס‬ ‫ג ‪ 60‬סמ"ק‬ ‫‪ 3‬ס"מ‬ ‫‪ 10‬מה נפח המנסרה המסורטטת?‬ ‫ב ‪ 48‬סמ"ק‬ ‫א ‪ 24‬סמ"ק‬ ‫‪5‬‬ ‫"מ‬ ‫ס‬ ‫‪ 4‬ס"מ‬ ‫‪ 11‬סרטטו את פריסתה של המנסרה המסורטטת‪.‬‬ ‫‪640‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫תרגילים נוספים‬ ‫מיון משולשים‬ ‫‪ 145‬סרטטו‪...‬‬ ‫ב משולש ישר‪-‬זווית;‬ ‫א משולש קהה‪-‬זווית;‬ ‫ג משולש חד‪-‬זוויות‪.‬‬ ‫‪ 146‬סרטטו‪...‬‬ ‫ב משולש שווה‪-‬שוקיים;‬ ‫א משולש שונה‪-‬צלעות;‬ ‫ג משולש שווה‪-‬צלעות‪.‬‬ ‫‪ 147‬מדוע במשולש אין אלכסונים?‬ ‫בניית משולשים‬ ‫‪ 148‬אורכי שתי צלעות של משולש הם ‪ 15‬ס"מ ו‪ 2.5 -‬ס"מ‪ .‬כתבו שתי אפשרויות לאורך הצלע השלישית‪.‬‬ ‫‪ 149‬בטבלה שלפניכם כתובים אורכי קטעים‪.‬‬ ‫לכל אחד מהסעיפים א' ‪ -‬ז' שבטבלה התאימו את ההיגד הנכון ‪ ,4 - 1‬ונמקו את קביעתכם‪.‬‬ ‫‬ ‫‪ .1‬המשולש ‪ ABC‬קיים‪.‬‬ ‫‪ .3‬הנקודות ‪ B ,A‬ו‪ C -‬נמצאות על אותו ישר‪.‬‬ ‫‬ ‫‪ .2‬לא קיימות נקודות המתאימות לנתונים‪.‬‬ ‫‪ .4‬אי‪-‬אפשר לדעת אם קיים משולש ‪ ,ABC‬כי חסר נתון‪.‬‬ ‫צלע ‪AB‬‬ ‫צלע ‪BC‬‬ ‫צלע ‪AC‬‬ ‫א‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ב‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ג‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪4.8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ד‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪4.8‬‬ ‫‪7.3‬‬ ‫ה‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪4.8‬‬ ‫‪2.6‬‬ ‫ו‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ז‬ ‫‪9‬‬ ‫‪BC > AB + AC‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ההיגד הנכון‬ ‫‪ 150‬היקף של משולש הוא ‪ 20‬ס"מ‪ ,‬ואורך כל צלע הוא מספר שלם של סנטימטרים‪.‬‬ ‫מצאו מידות אפשריות לצלעות המשולש‪.‬‬ ‫זוויות במשולש‬ ‫‪ 151‬במשולש ישר‪-‬זווית מידתה של אחת הזוויות היא ‪ .53º‬מהן המידות של שתי הזוויות האחרות?‬ ‫‪ 152‬כתבו מידות אפשריות של הזוויות במשולש‪...‬‬ ‫א חד‪-‬זוויות;‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫ב ישר‪-‬זווית;‬ ‫ג קהה‪-‬זווית‪.‬‬ ‫‪641‬‬ ‫תרגילים נוספים‬ ‫זוויות במרובע‬ ‫‪ 153‬א האם במרובע יכולה להיות זווית הגדולה מ‪ ?180° -‬אם כן‪ ,‬כתבו ערכים אפשריים למידות הזוויות‪,‬‬ ‫וסרטטו מרובע מתאים‪.‬‬ ‫ב האם במרובע יכולה להיות זווית הגדולה מ‪ 180° -‬וגם זווית קהה? אם כן‪ ,‬כתבו ערכים אפשריים‬ ‫למידות הזוויות‪ ,‬וסרטטו מרובע מתאים‪.‬‬ ‫‪ 154‬חשבו את כל הזוויות של המעוין שלפניכם‪.‬‬ ‫‪30°‬‬ ‫זכרו!‬ ‫מעוין מורכב משני משולשים‬ ‫שווי‪-‬שוקיים חופפים‪.‬‬ ‫מנסרה ‪ -‬הכרת הגוף‬ ‫‪ 155‬בלי לקרוא שוב את קטע השיעור‪ ,‬כתבו במילים שלכם הגדרה של מנסרה משולשת‪.‬‬ ‫‪ 156‬נסו לתאר דרך לצייר מנסרה משולשת בפרספקטיבה‪.‬‬ ‫פריסה ‪ -‬שטח פנים של מנסרה‬ ‫‪ 157‬לפניכם פריסת מנסרה‪.‬‬ ‫איזו משתי המנסרות המסורטטות‬ ‫מתאימה לפריסה זו?‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫‪ 158‬נתונה מנסרה שבסיסיה משולשים ישרי‪-‬זווית שאורכי צלעותיהם ‪ 3‬ס"מ‪ 4 ,‬ס"מ ו‪ 5 -‬ס"מ‪,‬‬ ‫וגובהה ‪ x‬ס"מ‪.‬‬ ‫א כתבו ביטוי אלגברי לשטח הפנים של המנסרה‪.‬‬ ‫ב אם שטח הפנים של המנסרה הוא ‪ 42‬סמ"ר‪ ,‬מהו ‪? x‬‬ ‫נפח המנסרה‬ ‫‪ 159‬סרטטו דוגמה של מנסרה שנפחה ‪ 12‬סמ"ק‪.‬‬ ‫‪ 160‬האם שתי מנסרות בעלות אותו נפח תמיד חופפות? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪642‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫ממשיכים בתרגול‬ ‫‪ 161‬א סרטטו שני משולשים שיש להם אותו שטח‪ ,‬אבל היקפיהם שונים‪.‬‬ ‫ב סרטטו את הפריסות של שתי מנסרות שיש להן אותו נפח‪ ,‬אבל שטחי הפנים שלהם שונים‪.‬‬ ‫‪ 162‬בכל סעיף קבעו אם הטענה נכונה או לא‪-‬נכונה‪ ,‬ונמקו את קביעתכם‪.‬‬ ‫א אם במשולש יש שתי זוויות חדות‪ ,‬המשולש הוא חד‪-‬זוויות‪.‬‬ ‫ב אם במשולש יש זווית אחת ישרה‪ ,‬המשולש הוא ישר‪-‬זווית‪.‬‬ ‫ג אם במשולש יש זווית אחת קהה‪ ,‬המשולש הוא קהה‪-‬זווית‪.‬‬ ‫ד במשולש ישר‪-‬זווית כל הזוויות קטנות מזווית ישרה‪.‬‬ ‫ה במשולש שווה‪-‬שוקיים יש שתי צלעות שוות‪.‬‬ ‫ו במשולש שווה‪-‬צלעות יש שתי צלעות שוות‪.‬‬ ‫ז אם שלוש צלעות במשולש שוות באורכן‪ ,‬המשולש הוא שווה‪-‬צלעות‪.‬‬ ‫ח כל משולש שווה‪-‬שוקיים הוא גם משולש שווה‪-‬צלעות‪.‬‬ ‫ט כל משולש שווה‪-‬צלעות הוא גם משולש שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬ ‫י שתיים מצלעותיו של משולש שונה‪-‬צלעות שוות באורכן‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ 163‬במשולש ישר‪-‬זווית ‪ TOM‬הנקודה ‪ K‬היא אמצע היתר‪.‬‬ ‫הסבירו מדוע הקטעים ‪ TK ,OK‬ו‪ KM -‬שווי‪-‬אורך‪.‬‬ ‫(רמז‪ :‬השלימו את הסרטוט למלבן‪).‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ 164‬היתר של משולש ישר‪-‬זווית משמש כקוטר של מעגל‪.‬‬ ‫האם לדעתכם‪ ,‬קדקודי המשולש יהיו תמיד על המעגל? (היעזרו במשימה ‪). 163‬‬ ‫‪ 165‬בכל סעיף כתבו ביטוי מתאים לחישוב הזווית ‪ C‬במשולש ‪.ABC‬‬ ‫‬ ‫א ‪A = 65º‬‬ ‫‬ ‫ג ‪A = 2α + 60º‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫ו‪ B = α -‬‬ ‫ו‪ B = 2α − 60º -‬‬ ‫ב ‪A = β‬‬ ‫ד ‪A = 90º‬‬ ‫ו‪B = α -‬‬ ‫ו‪B = β -‬‬ ‫‪643‬‬ ‫ממשיכים בתרגול‬ ‫חקירה‬ ‫‪ 166‬סרטטו משולש ‪.ABC‬‬ ‫‪B‬‬ ‫א סמנו נקודה ‪ D‬על ‪ ,CA‬וסרטטו את הקטע ‪.BD‬‬ ‫כמה משולשים חדשים נוצרו? כמה משולשים יש בסרטוט שלכם?‬ ‫ב סמנו נקודה ‪ E‬על ‪ ,CD‬וסרטטו את הקטע ‪.BE‬‬ ‫כמה משולשים חדשים נוצרו? כמה משולשים יש בסרטוט שלכם?‬ ‫ג סמנו נקודה ‪ K‬על ‪ ,CE‬וסרטטו את הקטע ‪.BK‬‬ ‫כמה משולשים חדשים נוצרו? כמה משולשים יש בסרטוט שלכם?‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ד ממשיכים לפי אותו תהליך‪ .‬נסו למצוא קשר בין מספר הנקודות הנבחרות לבין מספר‬ ‫המשולשים בכל שלב‪.‬‬ ‫‪ 167‬חשבו את היקפו ואת שטחו של המצולע המורכב ממלבן וממשולשים ישרי‪-‬זווית לפי המידות‬ ‫הרשומות‪( .‬הסרטוט מוקטן‪).‬‬ ‫‪ 3‬ס"מ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 4‬ס"מ‬ ‫‪ 4‬ס"מ‬ ‫‪4‬‬ ‫ס"מ‬ ‫‪3‬‬ ‫ס‬ ‫‪ 5‬ס"מ‬ ‫‪5‬‬ ‫ס"מ‬ ‫ס"מ‬ ‫"מ‬ ‫‪3‬‬ ‫ס"מ‬ ‫‪4‬‬ ‫ס"מ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 168‬בסרטוט שלפניכם מסתתרים משולשים ישרי‪-‬זווית שונים‪.‬‬ ‫נתון כי ‪ ABCD‬ו‪ MNKP -‬הם ריבועים‪.‬‬ ‫א מצאו את מרב המשולשים ישרי‪-‬הזווית‪,‬‬ ‫וכתבו את שמותיהם‪.‬‬ ‫ב כמה משולשים כאלה מצאתם?‬ ‫‪G‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪644‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫ממשיכים בתרגול‬ ‫‪ 170‬נתון משולש ‪.DAF‬‬ ‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע הקטע ‪;AK‬‬ ‫הנקודה ‪ A‬היא אמצע הקטע ‪;FI‬‬ ‫הנקודה ‪ F‬היא אמצע הקטע ‪.DT‬‬ ‫הוכיחו ששטח המשולש ‪ KIT‬גדול‬ ‫משטח המשולש ‪ DAF‬פי שבעה‪.‬‬ ‫רמזים‪ :‬האם המשולשים‬ ‫‪ DIA ,KID‬ו‪ DAF -‬שווי‪-‬שטח?‬ ‫השתמשו בקווי העזר המקווקווים‪.‬‬ ‫‪ 7‬ס"מ‬ ‫‪ 169‬לפניכם דוגמה של מרצפת‪ .‬המרצפת מורכבת‬ ‫משלושה משולשים‪ .‬שניים מהמשולשים חופפים‪,‬‬ ‫וכל שלושת המשולשים יוצרים מלבן‪.‬‬ ‫חשבו את השטח של כל אחד מהמשולשים‬ ‫המרכיבים את המרצפת‪.‬‬ ‫‪ 15‬ס"מ‬ ‫‪I‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪ 171‬ציירו משולש ‪ DAF‬ונקודה ‪ I‬כלשהי בתוך המשולש‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫א מקמו נקודה ‪ ,M‬כך שתהיה סימטרית‬ ‫‬ ‫ל‪ I -‬ביחס ל‪ DF -‬כמו בדוגמה שבסרטוט‪.‬‬ ‫מהו הקטע המתאים ל‪ DI -‬בסימטריה זו?‬ ‫ב מקמו נקודה ‪ ,K‬כך שתהיה סימטרית ל‪ I -‬ביחס ל‪.DA -‬‬ ‫מהו הקטע המתאים ל‪ DK -‬בסימטריה זו?‬ ‫‪I‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ג הנקודות ‪ I ,M‬ו‪ K -‬נמצאות על אותו מעגל‪.‬‬ ‫מהו מרכז המעגל?‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫‪645‬‬ ‫מה למדנו?‬ ‫‪ ‬משולש הוא מצולע בעל שלוש צלעות‪.‬‬ ‫‪ ‬אפשר למיין את כל המשולשים לפי צלעות‪ :‬שונה‪-‬צלעות‪ ,‬שווה‪-‬שוקיים ושווה‪-‬צלעות;‬ ‫ולפי זוויות‪ :‬חד‪-‬זוויות‪ ,‬ישר‪-‬זווית וקהה‪-‬זווית‪.‬‬ ‫‬ ‫‪ ‬אורך כל צלע במשולש קטן מסכום האורכים של שתי הצלעות האחרות‪.‬‬ ‫והצלע שמול הזווית הישרה היא יתר‪.‬‬ ‫‬ ‫‪ ‬היתר גדול מכל אחד מהניצבים‪.‬‬ ‫ניצב‬ ‫‪ ‬במשולש ישר‪-‬זווית הצלעות שנוצרת ביניהן זווית ישרה‪ ,‬הן ניצבים‪,‬‬ ‫י‬ ‫תר‬ ‫ניצב‬ ‫‪ ‬סכום הזוויות במשולש הוא ‪.180°‬‬ ‫במשולש ישר‪-‬זווית יש זווית אחת ישרה ושתי זוויות חדות‪ .‬סכום הזוויות החדות במשולש ישר‪-‬זווית הוא ‪.90°‬‬ ‫‬ ‫‪ ‬סכום הזוויות הפנימיות במרובע הוא ‪.360°‬‬ ‫‪ ‬זווית חיצונית למשולש היא זווית הצמודה לזווית פנימית‪.‬‬ ‫זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה‪.‬‬ ‫‬ ‫‪ ‬מנסרה משולשת ישרה היא גוף ששתיים מפאותיו הן משולשים חופפים ושלוש פאות הן מלבנים‪.‬‬ ‫‬ ‫המשולשים נקראים בסיסי המנסרה‪.‬‬ ‫‬ ‫המלבנים נקראים פאות צדדיות של המנסרה או מעטפת המנסרה‪.‬‬ ‫‪ ‬אם גוזרים מנסרה ופורסים אותה לצורה מישורית ‪ -‬מקבלים פריסה של המנסרה‪.‬‬ ‫פריסת מנסרה משולשת מורכבת משני משולשים (הבסיסים) ומשלושה מלבנים (המעטפת)‪.‬‬ ‫‬ ‫‪ ‬סכום השטחים של כל הפאות של מנסרה נקרא שטח הפנים של המנסרה‪.‬‬ ‫שטח הפנים של מנסרה הוא סכום של שטח המעטפת ושטחי הבסיסים‪.‬‬ ‫‬ ‫‪ ‬כדי לחשב נפח מנסרה משולשת ישרה כופלים את שטח הבסיס בגובה המנסרה‪.‬‬ ‫‪646‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫העמקה‬ ‫‪ .1‬נימוק אחר לתכונת סכום זוויות במשולש‪:‬‬ ‫ הקשר בין מלבן לבין משולש ישר‪-‬זווית‬ ‫לומדים‬ ‫סכום הזוויות במשולש ישר‪-‬זווית הוא ‪.180º‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אפשר להרכיב מלבן משני משולשים ישרי‪-‬זווית חופפים‪.‬‬ ‫סכום הזוויות של מלבן הוא ‪,360º‬‬ ‫‪3‬‬ ‫כי במלבן ארבע זוויות שמידת כל אחת היא ‪.90º‬‬ ‫לפיכך סכום הזוויות של כל משולש הוא‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫חצי מסכום הזוויות של מלבן‪.‬‬ ‫כלומר סכום הזוויות של משולש ישר‪-‬זווית הוא ‪.180º‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫משימה‬ ‫‪ 1‬במלבן שלפניכם הועבר אלכסון‪ .‬נתון‪. 1 = 30º :‬‬ ‫מה מידות הזוויות ‪ 5, 4, 3, 2‬ו‪?6 -‬‬ ‫הסבירו כיצד מצאתם את המידות‪.‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪647‬‬ ‫העמקה‬ ‫‪ .2‬סכום הזוויות במצולע קמור‬ ‫מגלים‬ ‫מגלים‬ ‫‪ 1‬סרטטו מחומש קמור‪ ,‬כלומר מצולע בעל חמש צלעות‪ ,‬שכל זוויותיו קטנות מ‪.180° -‬‬ ‫סמנו קדקוד אחד‪ ,‬וסרטטו את כל האלכסונים היוצאים ממנו‪.‬‬ ‫א כמה אלכסונים סרטטתם?‬ ‫‬ ‫ב לכמה משולשים‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬חילקו האלכסונים את המחומש?‬ ‫‪ 2‬כמה אלכסונים‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬יוצאים מקדקוד אחד של משושה קמור? לכמה משולשים יתחלק‬ ‫המשושה על‪-‬ידי כל האלכסונים היוצאים מאותו קדקוד?‬ ‫בדקו את השערתכם בעזרת סרטוט‪.‬‬ ‫‪ 3‬לפניכם מצולעים קמורים‪ .‬בכל מצולע מסורטטים כל האלכסונים היוצאים מקדקוד אחד‪.‬‬ ‫א מצאו קשר בין מספר קדקודי המצולע לבין מספר האלכסונים היוצאים מקדקוד אחד‪.‬‬ ‫הסבירו את הקשר‪.‬‬ ‫ב מצאו קשר בין מספר האלכסונים היוצאים מקדקוד אחד‪ ,‬לבין מספר המשולשים שהמצולע‬ ‫יתחלק אליהם על‪-‬ידי אלכסונים אלה‪.‬‬ ‫ג מצאו קשר בין מספר הקדקודים לבין מספר המשולשים שהמצולע מתחלק אליהם על‪-‬ידי‬ ‫האלכסונים היוצאים מקדקוד אחד‪.‬‬ ‫תּוׁשע‪.‬‬ ‫ד לפי הקשרים שמצאתם בסעיפים א' ‪ -‬ג'‪ ,‬שערו כמה אלכסונים יוצאים מקדקוד אחד של ְמ ָ‬ ‫תּוׁשע על‪-‬ידי כל האלכסונים היוצאים מאותו קדקוד?‬ ‫לכמה משולשים יתחלק ְמ ָ‬ ‫ה המשיכו בהשערתכם לגבי ְמ ָ‬ ‫‬ ‫עּוׂשר ולגבי מצולע בעל ‪ 20‬צלעות‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ו כתבו ביטוי שייצג את הקשרים שלעיל במצולע בעל ‪ n‬צלעות‪.‬‬ ‫‪ 4‬א מהו סכום הזוויות במחומש קמור? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫ב מהו סכום הזוויות במשושה קמור? נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫ג כתבו ביטוי שייצג את סכום הזוויות במצולע קמור בעל ‪ n‬צלעות‪.‬‬ ‫‪648‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫העמקה‬ ‫לומדים‬ ‫אפשר לחשב את סכום הזוויות הפנימיות של כל מצולע קמור בעל ‪ n‬צלעות‪.‬‬ ‫להלן אחת הדרכים לביצוע החישוב‪.‬‬ ‫החישוב מבוסס על העובדה שסכום הזוויות במשולש הוא קבוע ושווה ל‪.180° -‬‬ ‫בוחרים קדקוד במצולע‪ .‬מקדקוד זה מעבירים את כל האלכסונים‪.‬‬ ‫אלכסון מחבר קדקודים שאינם סמוכים‪ ,‬לכן מספר האלכסונים יהיה קטן ב‪3 -‬‬ ‫דוגמה כאשר ‪.n = 7‬‬ ‫‪n–3=4‬‬ ‫‪n–2=5‬‬ ‫ממספר קדקודי המצולע (הקדקוד הנבחר ושני הקדקודים הסמוכים לו)‪.‬‬ ‫כלומר מספר האלכסונים הוא (‪ .)n – 3‬אלכסונים אלה מחלקים את המצולע‬ ‫ל‪ (n – 2) -‬משולשים‪ .‬סכום הזוויות של כל משולש הוא ‪ .180°‬סכום זוויות‬ ‫המצולע שווה לסכום הזוויות של כל המשולשים שהתקבלו כתוצאה‬ ‫מהחלוקה שתוארה לעיל‪ .‬לפיכך הביטוי לחישוב סכום הזוויות הפנימיות‬ ‫במצולע קמור בעל ‪ n‬צלעות הוא )‪. 180° · (n – 2‬‬ ‫משימות‬ ‫‪ 2‬בכל סעיף חשבו את סכום הזוויות של המצולע הקמור על‪-‬פי הנתונים‪.‬‬ ‫‬ ‫א ‪ 7‬צלעות‬ ‫ב ‪ 8‬צלעות‬ ‫ד ‪ 6‬זוויות‬ ‫ג ‪ 10‬קדקודים‬ ‫‪ 3‬מצאו את מספר הצלעות במצולע קמור כאשר נתון סכום זוויותיו‪.‬‬ ‫‬ ‫א ‪9 00°‬‬ ‫ב ‪1 ,980°‬‬ ‫ד ‪1,080°‬‬ ‫ג ‪3 60°‬‬ ‫‪ 4‬מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות‪ ,‬וזוויותיו שוות‪.‬‬ ‫בכל סעיף חשבו את מידתה של כל זווית‪.‬‬ ‫‬ ‫ב מחומש משוכלל‬ ‫א מרובע משוכלל‬ ‫‬ ‫ד מצולע משוכלל בעל ‪ 20‬צלעות‬ ‫ג משושה משוכלל‬ ‫‬ ‫‪ 5‬לפי החישוב שנעשה בתרגיל ‪ , 4‬המשיכו את המשפט‪" :‬ככל שלמצולע משוכלל יש יותר‬ ‫צלעות‪ ,‬הזוויות שלו‪"...‬‬ ‫‬ ‫‪ 6‬מהו מספר הצלעות במצולע משוכלל‪ ,‬שמידת כל זווית בו היא‪...‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬ ‫א ‪?60°‬‬ ‫ב ‪?108°‬‬ ‫‪649‬‬ ‫היסטוריה‬ ‫מּודה‬ ‫משולש ַּב ְר ָ‬ ‫אם תעבירו במפה קו בין איי ברמודה‪ ,‬החוף המזרחי של פלורידה ופורטו ריקו‪ ,‬תתקבל‬ ‫צורת משולש‪ .‬אין זה משולש רגיל‪ ,‬אלא משולש מפורסם שזכה לכינוי ״משולש ברמודה״‪.‬‬ ‫ברמודה‬ ‫פרסומו בא לו משום שאירעו באזור זה מספר תאונות‪ ,‬שעד היום אי‪-‬אפשר להסבירן‪,‬‬ ‫האוקיינוס‬ ‫האטלנטי‬ ‫ולא נמצאו שרידים של כלי התחבורה שעברו במקום‪.‬‬ ‫מיאמי‬ ‫המפורסמת בתאונות היא היעלמותם של חמישה מפציצים אמריקניים בטיסת אימון‬ ‫פורטו ריקו‬ ‫שגרתית בדצמבר ‪ ,1945‬שנודעה כ״טיסה ‪19‬״‪.‬‬ ‫הים הקריבי‬ ‫היו ניסיונות שונים להסביר את התעלומות הללו‪ .‬למשל‪ ,‬טענו ששדה מגנטי מושך מתכות‬ ‫לים‪ .‬אחרים טענו שגורמים על‪-‬טבעיים‪ ,‬כגון חייזרים השוכנים באזור‪ ,‬בלעו את השרידים‪.‬‬ ‫משמר החופים האמריקני מבטל את הטענות‪ ,‬בציינו שמספר התאונות סביר בהתחשב בנפח התחבורה הימית‬ ‫והאווירית באזור‪.‬‬ ‫משולש פסקל‬ ‫פסקל היה מדען‪ ,‬מתמטיקאי ופילוסוף צרפתי שחי בין השנים ‪.1662 – 1623‬‬ ‫בצעירותו התפרסם כילד פלא בתחום המתמטיקה‪.‬‬ ‫מחקרים רבים נזקפים לזכותו‪ ,‬וביניהם בניית משולש המספרים המפורסם הקרוי‬ ‫עד היום על שמו‪.‬‬ ‫משולש פסקל הוא מבנה משולש של מספרים אשר מקורו בסין‬ ‫העתיקה‪ 1 .‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫במהלך מאות השנים גילו מתמטיקאים בתוך משולש זה תבניות מספריות‬ ‫‪ 1 1 ‬‬ ‫הקשורות לתופעות באריתמטיקה‪ ,‬באלגברה‪ ,‬בהסתברות ובגאומטריה‪.‬‬ ‫כל מספר בתוך המשולש הוא סכום של שני המספרים שמעליו‪.‬‬ ‫שימו לב לאלכסון השלישי‪ :‬לאורכו נמצאים‬ ‫המספרים המשולשים‪...15, 10, 6 ,3 ,1 :‬‬ ‫הסדרה שלפניכם היא סדרת המספרים המשולשים‪.‬‬ ‫מספר נקרא "מספר משולש"‪ ,‬אם הוא מספר הנקודות‬ ‫‪ 1 2 1 ‬‬ ‫‪ 1 3 3 1 ‬‬ ‫‪ 1 4 6 4 1 ‬‬ ‫‪ 1 5 10 10 5 1 ‬‬ ‫‪ 1 6 15 20 15 6 1 ‬‬ ‫של אחד הציורים שבסדרה‪.‬‬ ‫‪ 1 7 21 35 35 21 7 1 ‬‬ ‫מספרי העיגולים בשורות הם מספרים טבעיים עוקבים‪.‬‬ ‫‪1 8 28 56 70 56 28 8 1‬‬ ‫‪1+2+3+4+5‬‬ ‫‪650‬‬ ‫‪1+2+3+4‬‬ ‫‪1+2+3‬‬ ‫‪1+2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .12‬משולשים‬