‫שאלון ‪ – 004‬מתמטיקה לבגרות‬ ‫‪ .46‬שאלה זו הופיעה בבגרות קיץ תשס"ו ‪) 2006 -‬מועד א'(‬ ‫במלבן ‪ ABCD‬האלכסונים נפגשים ב‪.M-‬‬ ‫מנקודה ‪ M‬העלו אנך ל‪.AC -‬‬ ‫האנך חותך את ‪ DC‬בנקודה ‪) P‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. )BMC = 2α , AB = a :‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ α -‬את ‪.AC‬‬ ‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ α -‬את היקף המשולש ‪.DPM‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ .47‬שאלה זו הופיעה בבגרות קיץ תשס"ו ‪) 2006 -‬מועד ב'(‬ ‫‪ABCD‬‬ ‫על הצלע ‪ AB‬במלבן‬ ‫בנו טרפז ‪) ABEF‬ראו ציור(‪.‬‬ ‫‪)FEB = 138°‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪ 14‬ס"מ = ‪FE‬‬ ‫‪ 18‬ס"מ=‪BE‬‬ ‫‪ 22‬ס"מ=‪DC‬‬ ‫‪ 30‬ס"מ=‪AC‬‬ ‫חשב את‪:‬‬ ‫א‪ .‬האורך של ‪. FB‬‬ ‫ב‪ .‬גודל הזווית ‪. FBC‬‬ ‫ג‪ .‬האורך של ‪. FC‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ .48‬שאלה זו הופיעה בבגרות קיץ תשס"ז ‪) 2007 -‬מועד א'(‬ ‫במשולש ישר זווית ‪()C = 90°) ABC‬‬ ‫‪ AD‬הוא תיכון לניצב ‪) BC‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. BC = 2a , )ABC = 73° :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪74‬‬ ‫חשב את גודל הזווית ‪.ADC‬‬ ‫‪ E‬היא נקודה על המשך התיכון ‪AD‬‬ ‫כך ש‪ 10 -‬ס"מ =‪ CE‬ו‪ 8-‬ס"מ = ‪.DE‬‬ ‫חשב את אורך הניצב ‪.BC‬‬ ‫בתשובותיך השאר שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ טריגונומטריה במישור‬4.4 ‫תשובות‬ 30° ,150° , 210° , 330° x 2 = 360°k ± 60° .1 , x1 = 180° k + 360°k .2 10° , 50° ,130° ,170° .3 x 2 = 180° k ± 30° , x1 = 180°k ± 45° .4 x 2 = 45° + 180°k , x1 = 180° k .5 x 2 = 150° + 360°k , x1 = 30° + 360°k .6 x 2 = 150° + 360°k , x1 = 30° + 360°k .7 90° + 360°k , −41.81° + 360°k , 221.81° + 360°k .8 90° + 360°k ‫ וגם‬30° + 360°k ‫ וגם‬150° + 360°k .9 270° + 360°k ‫ וגם‬−90° + 360°k .10 ±60° + 360°k , ±70.53° + 360°k .11 30° + 120°k .12 x = 60°k .13 30° + 360°k ‫ או‬150° + 360°k .14 ± 180 ° + 720 ° k ‫או‬ ± 120 ° + 720 ° k .15 60°k .16 81 ‫‪ 4.5‬טריגונומטריה במרחב‬ ‫‪ .25‬שאלה זו הופיעה בבגרות קיץ תשנ"ד ‪1994 -‬‬ ‫לפירמידה ישרה בסיס בצורת משושה משוכלל )ראו ציור(‪.‬‬ ‫גובה הפירמידה שווה לצלע המשושה‪.‬‬ ‫מצאו‪:‬‬ ‫א‪ .‬את הזווית בין הפאה הצדדית לבסיס הפירמידה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬את הזווית בין המקצוע הצדדי לבסיס הפירמידה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬את זווית הראש של הפאה הצדדית‪.‬‬ ‫‪ .26‬שאלה זו הופיעה בבגרות קיץ תשס"ה ‪2005 -‬‬ ‫בסיס של פירמידה ישרה ‪ SABCD‬הוא מלבן ‪) ABCD‬ראו ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪ 10 :‬ס"מ = ‪ 6 ,AB‬ס"מ = ‪. ) SCB = 70° ,BC‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את נפח הפירמידה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשבו את הזווית שבין הפאה לבסיס הפירמידה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬חשבו את הזווית שבין המקצוע הצדדי לבסיס הפירמידה‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ .27‬שאלה זו הופיעה בבגרות חורף תשס"ו ‪2006 -‬‬ ‫נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע )ראו ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪ :‬שטח הבסיס ‪ 16‬סמ"ר‪,‬‬ ‫שטח פאה צדדית ‪ 26‬סמ"ר‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את נפח הפירמידה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשבו את הזווית שבין גובה הפירמידה ובין פאה צדדית‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪109‬‬ ‫‪ 4.6‬חשבון דיפרנציאלי‬ ‫‪ .15‬א‪b = −3 .‬‬ ‫‪ .20‬א‪2.5 , 4 .‬‬ ‫ב‪ (1) .‬הפונקציה מוגדרת לכל ‪.x‬‬ ‫)‪ (2‬תחום עלייה‪x < 0 , x > 2 :‬‬ ‫תחום ירידה‪0 < x < 2 :‬‬ ‫‪ .16‬א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪x2 + x − 2‬‬ ‫‪x2 − x − 2‬‬ ‫‪x = −1 , x = 2 , y = 1‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪, x = 4 , x = 0 .‬‬ ‫יורדת‪ 4 < x :‬או‬ ‫‪2 <x<4‬‬ ‫‪ .21‬א‪a = 4 .‬‬ ‫ב‪x ≠ 4 (1) .‬‬ ‫ב‪x ≠ ±2 (1) .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪min(−4,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(3.87, 0 ) , (−3.87, 0) , (0, −3.75) (2‬‬ ‫)‪, max (−1, 0) (2‬‬ ‫)‪x = 4 (3‬‬ ‫)‪, ⎜⎛ 0, − 1⎟⎞ (3‬‬ ‫)‪min (3, −6) , max (5, −10) (4‬‬ ‫)‪y = 1 , x = −2 , x = 2 (4‬‬ ‫⎠‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪ .18‬א‪m = 3 .‬‬ ‫)‪(−1, 0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .22‬א‪.‬‬ ‫ב‪y = 0 , x = 3 .‬‬ ‫)‪x ≠ − 1 (1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(0, 4 ) , ⎜⎝⎛ 2 , 0⎟⎠⎞ (2‬‬ ‫)‪x = −1 ,y = 0 (3‬‬ ‫⎞‪1‬‬ ‫⎛‬ ‫)‪min ⎜⎝ 2, −1 3⎟⎠ (4‬‬ ‫)‪max(2, − 1‬‬ ‫‪ .19‬א‪k = 9 .‬‬ ‫⎝‬ ‫)‪(5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫ה‪ .‬עולה‪ 0 < x < 2 :‬או ‪x < 0‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪ .17‬א‪A = 15 .‬‬ ‫‪x ≠ 0 ,4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎠⎞⎟ ‪max ⎛⎜⎝ 2,− 4‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ב‪x ≠ −5 (1) .‬‬ ‫)‪9 ⎞ , (−3,0 ) , (3, 0) (2‬‬ ‫⎛‬ ‫⎠⎟‪⎜⎝ 0, − 5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪x = −5 (3‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫)‪max (−9,−18) , min (−1, −2) (4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪k<−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪129‬‬ ‫שאלון ‪ – 004‬מתמטיקה לבגרות‬ ‫‪ .5‬א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪ 0 ≤ x < 1‬או‬ ‫) ‪(0, 0‬‬ ‫)‪max (0, 0) , min (4, 4‬‬ ‫תחום עלייה‪x > 4 :‬‬ ‫‪x >1‬‬ ‫‪ .8‬א‪b = 6 .‬‬ ‫ב‪(1) .‬‬ ‫)‪(6, 0) , (0, 0 ) (2‬‬ ‫)‪min (6, 0) , max (3, 3) , min (0,0 ) (3‬‬ ‫)‪ (4‬עלייה‪ , 0 < x < 3 :‬ירידה‪3 < x < 6 :‬‬ ‫תחומי ירידה‪ 0 ≤ x < 1 :‬או ‪1 < x < 4‬‬ ‫ה‪x = 1 .‬‬ ‫‪0 ≤x≤6‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(3, 3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .9‬א‪x > 4 (1) .‬‬ ‫‪ .6‬א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪−1 ≤ x ≤ 1‬‬ ‫)‪ (2‬אין נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫⎞‪⎛− 2 1‬‬ ‫⎟⎟ ‪, −‬‬ ‫⎜⎜ ‪min (1, 0) , min‬‬ ‫⎠‪2‬‬ ‫‪⎝ 2‬‬ ‫⎞‪⎛ 2 1‬‬ ‫⎟⎟ ‪,‬‬ ‫⎜⎜ ‪max (−1, 0) , max‬‬ ‫⎠‪⎝ 2 2‬‬ ‫ג‪(1, 0) , (0, 0 ) , (−1, 0) .‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫)‪x = 4 (3‬‬ ‫)‪min(8,4) (4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .7‬א‪x ≤ 5 .‬‬ ‫ב‪, min(0,0 ) .‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪136‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪min (5, 0) , max 4,16 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(0,0‬‬ ‫‪ 4.6‬חשבון דיפרנציאלי‬ ‫תשובות‬ ‫‪ .1‬א‪.‬‬ ‫∞ < ‪−∞ < x‬‬ ‫ב‪, min (0, 0) .‬‬ ‫‪ .4‬א‪.‬‬ ‫⎞‪⎛ 4‬‬ ‫⎟ ‪max ⎜ 2 , 2‬‬ ‫⎠ ‪⎝ e‬‬ ‫ג‪ .‬תחומי ירידה‪ x < 0 :‬או‬ ‫∞ < ‪−∞ < x‬‬ ‫ב‪(0 ,0 ) .‬‬ ‫‪x>2‬‬ ‫תחום עלייה‪0 < x < 2 :‬‬ ‫ג‪, min (0 , 0) .‬‬ ‫ד‪ .‬תחום עלייה‪0 < x < 2 :‬‬ ‫תחומי ירידה‪ x > 2 :‬או ‪x < 0‬‬ ‫ד‪ .‬לא‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫א‪(0 ,0 ) .‬‬ ‫‪ .5‬א‪ .‬עבור כל ‪x‬‬ ‫ב‪, min (0 , 0) .‬‬ ‫⎛‬ ‫⎞‪4‬‬ ‫⎟ ‪max ⎜ −2 , 2‬‬ ‫⎠ ‪e‬‬ ‫⎝‬ ‫ג‪ .‬תחום ירידה‪−2 < x < 0 :‬‬ ‫תחומי עלייה‪ x < −2 :‬או ‪x > 0‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 16‬‬ ‫⎟ ‪max ⎜ 2 , 2‬‬ ‫⎠ ‪⎝ e‬‬ ‫ב‪, x 2 = 0 , x1 = −1.225 .‬‬ ‫‪x 3 = 1.225‬‬ ‫ג‪ .‬מקסימום‪, x = 1.225 :‬‬ ‫מינימום‪ , x = −1.225 :‬פיתול‪x = 0 :‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ .6‬א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞ < ‪−∞ < x‬‬ ‫)‬ ‫‪−1‬‬ ‫(‬ ‫‪max 1,e‬‬ ‫‪x >1‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫א‪(i) .‬‬ ‫)‪(ii‬‬ ‫)‪(2.5 , 0) , (0 , −5‬‬ ‫)‪min (2 , −54.60‬‬ ‫ג‪ .‬תחום ירידה‪:‬‬ ‫תחום עלייה‪x < 1 :‬‬ ‫ד‪(0 ,0 ) .‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪y = 0 (iii‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .7‬א‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מכיוון שהישר מקביל לציר ה‪,x -‬‬ ‫הוא יחתוך את הפונקציה רק‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫ב‪ .‬תחום עלייה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫< ‪−1 < x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫תחומי ירידה‪ x < −1 :‬או‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫>‪x‬‬ ‫בנקודה אחת )ראו סקיצה(‪.‬‬ ‫‪143‬‬ ‫‪ 4.6‬חשבון דיפרנציאלי‬ ‫‪ .14‬א‪x ≠ 0 .‬‬ ‫‪ .9‬א‪, 0 < x < 1 .‬‬ ‫ב‪min ( e, 2e ) .‬‬ ‫‪x >1‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪x> e‬‬ ‫‪x > 1 , −1< x < 0‬‬ ‫ג‪ .‬תחום עלייה‪:‬‬ ‫תחומי ירידה‪1 < x < e , 0 < x < 1 :‬‬ ‫ג‪ .‬תחומי עלייה‪:‬‬ ‫תחומי ירידה‪0 < x < 1 , x < −1 :‬‬ ‫‪ .10‬א‪x > 0 (1) .‬‬ ‫)‪ (2‬נקודת חיתוך עם ציר ה‪e , 0 :x -‬‬ ‫)‬ ‫)‪min(−1,1) , min(1,1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪m=2‬‬ ‫‪ .15‬א‪.‬‬ ‫ב‪ .‬תחום הגדרה‪x > 0 :‬‬ ‫אין נקודות חיתוך עם ציר ה‪.y -‬‬ ‫תחום עלייה‪:‬‬ ‫)‪max (e , e) (3‬‬ ‫תחום ירידה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪1‬‬ ‫>‪x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫<‪0<x‬‬ ‫)‪ (4‬תחום עלייה‪0 < x < e :‬‬ ‫תחום ירידה‪:‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪x>e‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪ .16‬א‪.‬‬ ‫ב‪y = 2.405x − 2.405 .‬‬ ‫)‪(e, e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪, x1 = 1‬‬ ‫‪ .17‬א‪.‬‬ ‫ב‪ .‬ערך מינימלי‪y = −1 :‬‬ ‫ערך מקסימלי‪y = 0 :‬‬ ‫)‪(e 2,0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .11‬בנקודה‪:‬‬ ‫‪⎛1‬‬ ‫⎞‬ ‫⎟‪⎜ , −1‬‬ ‫‪⎝e‬‬ ‫⎠‬ ‫‪ .18‬א‪a = 3 .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ב‪, x > 0 .‬‬ ‫‪ .12‬א‪ .‬כל ‪x‬‬ ‫ב‪, (2 ,0 ) .‬‬ ‫)‪(−4 , 0‬‬ ‫ג‪ .‬תחום עלייה‪:‬‬ ‫תחום ירידה‪x < −1 :‬‬ ‫‪ .13‬א‪x > 0 .‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪ .19‬א‪x > 0 .‬‬ ‫ב‪e ,0 .‬‬ ‫)‬ ‫‪ .20‬א‪.‬‬ ‫)‪min (e, −1‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫)‪(e , 0) , (1, 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫≠‪x‬‬ ‫ג‪ .‬מינימום‬ ‫‪x > −1‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪x2 = e‬‬ ‫‪a +1‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x>0‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫ג‪ .‬נקודת מינימום‬ ‫‪y‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪y min‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‪k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪153‬‬ ‫שאלון ‪ – 004‬מתמטיקה לבגרות‬ ‫⎞ ‪⎛ 5π‬‬ ‫‪ .9‬א‪, ⎜⎝ 6 ,0⎟⎠ , (0, −4) .‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ב‪, x = 2 .‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪ .10‬א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠⎞⎟‪, max ⎜⎝⎛ π2 , 5‬‬ ‫⎞ ‪⎛π‬‬ ‫⎠⎟‪⎜⎝ 6 , 0‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪⎛ 3π‬‬ ‫⎞‬ ‫⎠⎟‪min ⎜⎝ 2 , −9‬‬ ‫∞ < ‪−∞ < x‬‬ ‫) ‪) , max ( 60°, 2 3‬‬ ‫(‬ ‫) ‪) , min ( 240°, −2 3‬‬ ‫(‬ ‫‪max 360°, 3‬‬ ‫‪min 0°, 3‬‬ ‫ג‪ .‬תחומי עלייה‪240° < x ≤ 360° :‬‬ ‫או ‪0° ≤ x < 60°‬‬ ‫תחום ירידה‪:‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪60° < x < 240°‬‬ ‫‪(150°,0 ) , (330°, 0) , ( 0°,‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.11‬‬ ‫א‪(0 ,1) .‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪⎛π‬‬ ‫⎞‬ ‫⎠⎟‪max(π, 0.571) , max ⎜⎝ 6 ,1.12‬‬ ‫‪⎛ 5π‬‬ ‫⎞‬ ‫⎟‪min (0,1) , min ⎜ ,0.44‬‬ ‫⎠‬ ‫‪⎝ 6‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫תחומי עלייה‪ 0 ≤ x < :‬או ‪< x ≤ π‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫<‪< x‬‬ ‫תחום ירידה‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ד‪ .‬לא‪ .‬הסיבה לכך‪:‬‬ ‫‪ 0 < y‬עבור כל ‪ x‬בתחום הנ"ל‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪164‬‬ ‫ – מתמטיקה לבגרות‬004 ‫שאלון‬ ‫ לא‬.‫ א‬.16 ⎛2 ⎞ ⎛π ⎞ max ⎜⎝ 3 π, −2⎟⎠ , max ⎜⎝ 6 , −1⎟⎠ ⎛π ⎞ min (0,−2) , min ⎜⎝ 2 , −3⎟⎠ .‫ב‬ ‫ א לא‬.17 ⎛π ⎞ ⎛ 5π ⎞ max ⎜⎝ 6 , 4⎟⎠ , max ⎜ , 4⎟ .‫ב‬ ⎝ 6 ⎠ ⎛π ⎞ min(0,3) min (π, 3) , min ⎜⎝ 2 , 2⎟⎠ ‫ לא‬.‫ א‬.18 ‫ הוכחה‬.‫ב‬ a = 2 .‫ א‬.19 π ⎛ ‫ מוחלט‬min (0,0 ) ,‫ מוחלט‬max ⎜⎝ 6 ,1.911⎟⎠⎞ .‫ב‬ a = 2 .‫ א‬.20 ⎛5π ⎞ min (0,2) , min ⎜ 6 ,0.885⎟ .‫ב‬ ⎝ ⎠ ⎛π ⎞ max (π, π − 2) , max ⎜⎝ 6 , 2.255⎟⎠ b = 1 .‫ א‬.21 ⎛ 2π ⎞ min (0,0 ) , min ⎜⎝ 3 ,1.22⎟⎠ .‫ב‬ ⎛π ⎞ max (π, π) , max ⎜⎝ 3 ,1.91⎟⎠ b = 4 .‫ א‬.22 ‫ אין‬.‫ב‬ ⎛ π ⎞ ⎛π ⎞ min ⎜⎝ − 3 , 3.5⎟⎠ , min ⎜⎝ 2 ,3⎟⎠ .‫ג‬ ⎛2 ⎞ max ⎜⎝ 3 π,3.5⎟⎠ , max (0, 5) a = 4 .‫ א‬.23 ⎛ 3π ⎞ (0,1) ⎜⎝ 2 , −5⎟⎠ - ‫ מינימום מוחלט‬.‫ב‬ ⎛π ⎞ (2π,1) ⎜⎝ 2 ,3⎟⎠ - ‫מקסימום מוחלט‬ 166 ‫‪ 4.7‬בעיות קיצון‬ ‫‪ .20‬שאלה לתרגול נוסף‬ ‫מסגרתו של חלון מלבני ‪ ,ABCD‬ששטחו ‪ 16‬מ"ר‪,‬‬ ‫עשויה ברזל שמחירו ‪ 40‬ש"ח למטר‪ .‬בתוך המסגרת‬ ‫בנו ‪ 4‬מוטות של אלומיניום )הקווים המקווקווים(‪,‬‬ ‫שמקבילים לצלע המלבן ‪ ,BC‬ו ֿ ‪ 4‬מוטות מקבילות לצלע ‪.AB‬‬ ‫מחירו של מוט אלומיניום הוא ‪ 15‬ש"ח למטר‪.‬‬ ‫מהו ערכו של אורך הקטע ‪ AB‬כדי שמחיר המסגרת‬ ‫יהיה מינימלי?‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ .21‬שאלה לתרגול נוסף‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = 36 − x‬‬ ‫טרפז ‪ ABCD‬חסום בין גרף הפרבולה‬ ‫לציר ה‪) x -‬ראו ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהם שיעורי הנקודה ‪ A ) A‬ברביע ראשון(‪,‬‬ ‫כדי ששטח הטרפז ‪ ABCD‬יהיה מקסימלי?‬ ‫ב‪ .‬חשבו את השטח המקסימלי של הטרפז‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C x‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ .22‬שאלה לתרגול נוסף‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y = 48 − 6x‬‬ ‫בין הגרפים של הפרבולה ‪ y = 2x‬והישר‬ ‫וציר ה‪ y -‬חסמו מלבן‪.‬‬ ‫מצאו את שטחו של המלבן בעל השטח המקסימלי‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪175‬‬ ‫ בעיות קיצון‬4.7 ‫תשובות‬ 2R max = ‫ ס"מ‬84.01 h =1 2R .‫ב‬ AB = 16 .16 36 − 4x FC = .‫ א‬.17 x x = 6.36 ⎛ 1⎞ A ⎜⎝1, 4 3⎟⎠ .‫ב‬ ,B (1, 2) .‫ א‬.18 ‫ הוכחה‬.‫ב‬ AD = '‫ מ‬3 .19 AB = 2 3 ⎛ a a⎞ P ⎜⎝ 4 , 2⎟⎠ x =1 .‫ א‬.15 ‫ סמ"ר‬26.5 .4 A (1, 2) 1 xP = 2 200 t= .‫א‬ x x min = ‫ קמ"ש‬40 .‫ א‬.21 256 .‫ב‬ S max = 56 .22 S max = 96 .23 P max = 24.5 .24 .6 .7 .‫ב‬ A (1, 8) .8 A (3, 3) .9 x min = b 2 .‫ א‬.11 ‫שוקיים‬-‫ שווה‬.‫ב‬ xC = − 9 x0 x0 = 3 .‫ א‬.12 .‫ב‬ x C = 1 .13 2 ⎛ ⎞ x B⎜⎜ 7 − 20 ,x 0 2 ⎟⎟ , A x 0 , x 0 2 .‫ א‬.14 ⎝ ⎠ ( ) x0 = 2 177 .5 '‫ מ‬3.767 .10 h max = 8 .25 S , S .26 .2 ‫ ס"מ‬5 :‫ אורך כל ניצב‬.3 '‫ מ‬4 .20 A (2, 32) .1 .‫ב‬ ‫‪ 4.8‬חשבון אינטגרלי‬ ‫תשובות‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪S = 18‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪S=4‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y = x +1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪S=3‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪.6‬‬ ‫א‪A(9,3) .‬‬ ‫ב‪ .‬הוכחה‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪S = 17‬‬ ‫‪S = 18‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .10‬א‪ .‬משיק‪y = + 3 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫אנך‪:‬‬ ‫‪y = −3x + 33‬‬ ‫ב‪ .‬הוכחה‬ ‫‪.11‬‬ ‫‪a=2‬‬ ‫‪215‬‬