46 . -M . האלכסונים נפגשים ב במלבן . - העלו אנך ל מנקודה .( ראה ציור ) בנקודה

‫שאלון ‪ – 004‬מתמטיקה לבגרות‬
‫‪ .46‬שאלה זו הופיעה בבגרות קיץ תשס"ו ‪) 2006 -‬מועד א'(‬
‫במלבן ‪ ABCD‬האלכסונים נפגשים ב‪.M-‬‬
‫מנקודה ‪ M‬העלו אנך ל‪.AC -‬‬
‫האנך חותך את ‪ DC‬בנקודה ‪) P‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. )BMC = 2α , AB = a :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ α -‬את ‪.AC‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ α -‬את היקף המשולש ‪.DPM‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ .47‬שאלה זו הופיעה בבגרות קיץ תשס"ו ‪) 2006 -‬מועד ב'(‬
‫‪ABCD‬‬
‫על הצלע ‪ AB‬במלבן‬
‫בנו טרפז ‪) ABEF‬ראו ציור(‪.‬‬
‫‪)FEB = 138°‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪ 14‬ס"מ = ‪FE‬‬
‫‪ 18‬ס"מ=‪BE‬‬
‫‪ 22‬ס"מ=‪DC‬‬
‫‪ 30‬ס"מ=‪AC‬‬
‫חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬האורך של ‪. FB‬‬
‫ב‪ .‬גודל הזווית ‪. FBC‬‬
‫ג‪ .‬האורך של ‪. FC‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .48‬שאלה זו הופיעה בבגרות קיץ תשס"ז ‪) 2007 -‬מועד א'(‬
‫במשולש ישר זווית ‪()C = 90°) ABC‬‬
‫‪ AD‬הוא תיכון לניצב ‪) BC‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. BC = 2a , )ABC = 73° :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪74‬‬
‫חשב את גודל הזווית ‪.ADC‬‬
‫‪ E‬היא נקודה על המשך התיכון ‪AD‬‬
‫כך ש‪ 10 -‬ס"מ =‪ CE‬ו‪ 8-‬ס"מ = ‪.DE‬‬
‫חשב את אורך הניצב ‪.BC‬‬
‫בתשובותיך השאר שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫ טריגונומטריה במישור‬4.4
‫תשובות‬
30° ,150° , 210° , 330°
x 2 = 360°k ± 60°
.1
, x1 = 180° k + 360°k
.2
10° , 50° ,130° ,170°
.3
x 2 = 180° k ± 30°
, x1 = 180°k ± 45° .4
x 2 = 45° + 180°k
, x1 = 180° k
.5
x 2 = 150° + 360°k
, x1 = 30° + 360°k
.6
x 2 = 150° + 360°k
, x1 = 30° + 360°k
.7
90° + 360°k , −41.81° + 360°k , 221.81° + 360°k
.8
90° + 360°k ‫ וגם‬30° + 360°k ‫ וגם‬150° + 360°k
.9
270° + 360°k ‫ וגם‬−90° + 360°k .10
±60° + 360°k , ±70.53° + 360°k .11
30° + 120°k .12
x = 60°k .13
30° + 360°k ‫ או‬150° + 360°k .14
± 180 ° + 720 ° k
‫או‬
± 120 ° + 720 ° k .15
60°k .16
81
‫‪ 4.5‬טריגונומטריה במרחב‬
‫‪ .25‬שאלה זו הופיעה בבגרות קיץ תשנ"ד ‪1994 -‬‬
‫לפירמידה ישרה בסיס בצורת משושה משוכלל )ראו ציור(‪.‬‬
‫גובה הפירמידה שווה לצלע המשושה‪.‬‬
‫מצאו‪:‬‬
‫א‪ .‬את הזווית בין הפאה הצדדית לבסיס הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬את הזווית בין המקצוע הצדדי לבסיס הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬את זווית הראש של הפאה הצדדית‪.‬‬
‫‪ .26‬שאלה זו הופיעה בבגרות קיץ תשס"ה ‪2005 -‬‬
‫בסיס של פירמידה ישרה ‪ SABCD‬הוא מלבן ‪) ABCD‬ראו ציור(‪.‬‬
‫נתון‪ 10 :‬ס"מ = ‪ 6 ,AB‬ס"מ = ‪. ) SCB = 70° ,BC‬‬
‫א‪ .‬חשבו את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את הזווית שבין הפאה לבסיס הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשבו את הזווית שבין המקצוע הצדדי לבסיס הפירמידה‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .27‬שאלה זו הופיעה בבגרות חורף תשס"ו ‪2006 -‬‬
‫נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע )ראו ציור(‪.‬‬
‫נתון‪ :‬שטח הבסיס ‪ 16‬סמ"ר‪,‬‬
‫שטח פאה צדדית ‪ 26‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את הזווית שבין גובה הפירמידה ובין פאה צדדית‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪109‬‬
‫‪ 4.6‬חשבון דיפרנציאלי‬
‫‪ .15‬א‪b = −3 .‬‬
‫‪ .20‬א‪2.5 , 4 .‬‬
‫ב‪ (1) .‬הפונקציה מוגדרת לכל ‪.x‬‬
‫)‪ (2‬תחום עלייה‪x < 0 , x > 2 :‬‬
‫תחום ירידה‪0 < x < 2 :‬‬
‫‪ .16‬א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x2 + x − 2‬‬
‫‪x2 − x − 2‬‬
‫‪x = −1 , x = 2 , y = 1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪, x = 4 , x = 0 .‬‬
‫יורדת‪ 4 < x :‬או‬
‫‪2 <x<4‬‬
‫‪ .21‬א‪a = 4 .‬‬
‫ב‪x ≠ 4 (1) .‬‬
‫ב‪x ≠ ±2 (1) .‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪min(−4,‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪(3.87, 0 ) , (−3.87, 0) , (0, −3.75) (2‬‬
‫)‪, max (−1, 0) (2‬‬
‫)‪x = 4 (3‬‬
‫)‪, ⎜⎛ 0, − 1⎟⎞ (3‬‬
‫)‪min (3, −6) , max (5, −10) (4‬‬
‫)‪y = 1 , x = −2 , x = 2 (4‬‬
‫⎠‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ .18‬א‪m = 3 .‬‬
‫)‪(−1, 0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .22‬א‪.‬‬
‫ב‪y = 0 , x = 3 .‬‬
‫)‪x ≠ − 1 (1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(0, 4 ) , ⎜⎝⎛ 2 , 0⎟⎠⎞ (2‬‬
‫)‪x = −1 ,y = 0 (3‬‬
‫⎞‪1‬‬
‫⎛‬
‫)‪min ⎜⎝ 2, −1 3⎟⎠ (4‬‬
‫)‪max(2, − 1‬‬
‫‪ .19‬א‪k = 9 .‬‬
‫⎝‬
‫)‪(5‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪y=0‬‬
‫ה‪ .‬עולה‪ 0 < x < 2 :‬או ‪x < 0‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪ .17‬א‪A = 15 .‬‬
‫‪x ≠ 0 ,4‬‬
‫‪1‬‬
‫⎠⎞⎟ ‪max ⎛⎜⎝ 2,− 4‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪x ≠ −5 (1) .‬‬
‫)‪9 ⎞ , (−3,0 ) , (3, 0) (2‬‬
‫⎛‬
‫⎠⎟‪⎜⎝ 0, − 5‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪x = −5 (3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫)‪max (−9,−18) , min (−1, −2) (4‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪k<−‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪129‬‬
‫שאלון ‪ – 004‬מתמטיקה לבגרות‬
‫‪ .5‬א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ 0 ≤ x < 1‬או‬
‫) ‪(0, 0‬‬
‫)‪max (0, 0) , min (4, 4‬‬
‫תחום עלייה‪x > 4 :‬‬
‫‪x >1‬‬
‫‪ .8‬א‪b = 6 .‬‬
‫ב‪(1) .‬‬
‫)‪(6, 0) , (0, 0 ) (2‬‬
‫)‪min (6, 0) , max (3, 3) , min (0,0 ) (3‬‬
‫)‪ (4‬עלייה‪ , 0 < x < 3 :‬ירידה‪3 < x < 6 :‬‬
‫תחומי ירידה‪ 0 ≤ x < 1 :‬או ‪1 < x < 4‬‬
‫ה‪x = 1 .‬‬
‫‪0 ≤x≤6‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(3, 3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .9‬א‪x > 4 (1) .‬‬
‫‪ .6‬א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪−1 ≤ x ≤ 1‬‬
‫)‪ (2‬אין נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫⎞‪⎛− 2 1‬‬
‫⎟⎟ ‪, −‬‬
‫⎜⎜ ‪min (1, 0) , min‬‬
‫⎠‪2‬‬
‫‪⎝ 2‬‬
‫⎞‪⎛ 2 1‬‬
‫⎟⎟ ‪,‬‬
‫⎜⎜ ‪max (−1, 0) , max‬‬
‫⎠‪⎝ 2 2‬‬
‫ג‪(1, 0) , (0, 0 ) , (−1, 0) .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫)‪x = 4 (3‬‬
‫)‪min(8,4) (4‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .7‬א‪x ≤ 5 .‬‬
‫ב‪, min(0,0 ) .‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪136‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪min (5, 0) , max 4,16 2‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪(0,0‬‬
‫‪ 4.6‬חשבון דיפרנציאלי‬
‫תשובות‬
‫‪ .1‬א‪.‬‬
‫∞ < ‪−∞ < x‬‬
‫ב‪, min (0, 0) .‬‬
‫‪ .4‬א‪.‬‬
‫⎞‪⎛ 4‬‬
‫⎟ ‪max ⎜ 2 , 2‬‬
‫⎠ ‪⎝ e‬‬
‫ג‪ .‬תחומי ירידה‪ x < 0 :‬או‬
‫∞ < ‪−∞ < x‬‬
‫ב‪(0 ,0 ) .‬‬
‫‪x>2‬‬
‫תחום עלייה‪0 < x < 2 :‬‬
‫ג‪, min (0 , 0) .‬‬
‫ד‪ .‬תחום עלייה‪0 < x < 2 :‬‬
‫תחומי ירידה‪ x > 2 :‬או ‪x < 0‬‬
‫ד‪ .‬לא‬
‫ה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪(0 ,0 ) .‬‬
‫‪ .5‬א‪ .‬עבור כל ‪x‬‬
‫ב‪, min (0 , 0) .‬‬
‫⎛‬
‫⎞‪4‬‬
‫⎟ ‪max ⎜ −2 , 2‬‬
‫⎠ ‪e‬‬
‫⎝‬
‫ג‪ .‬תחום ירידה‪−2 < x < 0 :‬‬
‫תחומי עלייה‪ x < −2 :‬או ‪x > 0‬‬
‫ד‪.‬‬
‫⎞ ‪⎛ 16‬‬
‫⎟ ‪max ⎜ 2 , 2‬‬
‫⎠ ‪⎝ e‬‬
‫ב‪, x 2 = 0 , x1 = −1.225 .‬‬
‫‪x 3 = 1.225‬‬
‫ג‪ .‬מקסימום‪, x = 1.225 :‬‬
‫מינימום‪ , x = −1.225 :‬פיתול‪x = 0 :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .6‬א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫∞ < ‪−∞ < x‬‬
‫)‬
‫‪−1‬‬
‫(‬
‫‪max 1,e‬‬
‫‪x >1‬‬
‫‪.3‬‬
‫א‪(i) .‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫)‪(2.5 , 0) , (0 , −5‬‬
‫)‪min (2 , −54.60‬‬
‫ג‪ .‬תחום ירידה‪:‬‬
‫תחום עלייה‪x < 1 :‬‬
‫ד‪(0 ,0 ) .‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪y = 0 (iii‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .7‬א‪.‬‬
‫ג‪ .‬מכיוון שהישר מקביל לציר ה‪,x -‬‬
‫הוא יחתוך את הפונקציה רק‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪a‬‬
‫ב‪ .‬תחום עלייה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫< ‪−1 < x‬‬
‫‪2‬‬
‫תחומי ירידה‪ x < −1 :‬או‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫>‪x‬‬
‫בנקודה אחת )ראו סקיצה(‪.‬‬
‫‪143‬‬
‫‪ 4.6‬חשבון דיפרנציאלי‬
‫‪ .14‬א‪x ≠ 0 .‬‬
‫‪ .9‬א‪, 0 < x < 1 .‬‬
‫ב‪min ( e, 2e ) .‬‬
‫‪x >1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x> e‬‬
‫‪x > 1 , −1< x < 0‬‬
‫ג‪ .‬תחום עלייה‪:‬‬
‫תחומי ירידה‪1 < x < e , 0 < x < 1 :‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה‪:‬‬
‫תחומי ירידה‪0 < x < 1 , x < −1 :‬‬
‫‪ .10‬א‪x > 0 (1) .‬‬
‫)‪ (2‬נקודת חיתוך עם ציר ה‪e , 0 :x -‬‬
‫)‬
‫)‪min(−1,1) , min(1,1‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪m=2‬‬
‫‪ .15‬א‪.‬‬
‫ב‪ .‬תחום הגדרה‪x > 0 :‬‬
‫אין נקודות חיתוך עם ציר ה‪.y -‬‬
‫תחום עלייה‪:‬‬
‫)‪max (e , e) (3‬‬
‫תחום ירידה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫>‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫<‪0<x‬‬
‫)‪ (4‬תחום עלייה‪0 < x < e :‬‬
‫תחום ירידה‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x>e‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x =1‬‬
‫‪ .16‬א‪.‬‬
‫ב‪y = 2.405x − 2.405 .‬‬
‫)‪(e, e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, x1 = 1‬‬
‫‪ .17‬א‪.‬‬
‫ב‪ .‬ערך מינימלי‪y = −1 :‬‬
‫ערך מקסימלי‪y = 0 :‬‬
‫)‪(e 2,0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .11‬בנקודה‪:‬‬
‫‪⎛1‬‬
‫⎞‬
‫⎟‪⎜ , −1‬‬
‫‪⎝e‬‬
‫⎠‬
‫‪ .18‬א‪a = 3 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪, x > 0 .‬‬
‫‪ .12‬א‪ .‬כל ‪x‬‬
‫ב‪, (2 ,0 ) .‬‬
‫)‪(−4 , 0‬‬
‫ג‪ .‬תחום עלייה‪:‬‬
‫תחום ירידה‪x < −1 :‬‬
‫‪ .13‬א‪x > 0 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ .19‬א‪x > 0 .‬‬
‫ב‪e ,0 .‬‬
‫)‬
‫‪ .20‬א‪.‬‬
‫)‪min (e, −1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪(e , 0) , (1, 0‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫≠‪x‬‬
‫ג‪ .‬מינימום‬
‫‪x > −1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x2 = e‬‬
‫‪a +1‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x>0‬‬
‫=‪m‬‬
‫ג‪ .‬נקודת מינימום‬
‫‪y‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪y min‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫<‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪153‬‬
‫שאלון ‪ – 004‬מתמטיקה לבגרות‬
‫⎞ ‪⎛ 5π‬‬
‫‪ .9‬א‪, ⎜⎝ 6 ,0⎟⎠ , (0, −4) .‬‬
‫‪π‬‬
‫ב‪, x = 2 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ .10‬א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪2‬‬
‫⎠⎞⎟‪, max ⎜⎝⎛ π2 , 5‬‬
‫⎞ ‪⎛π‬‬
‫⎠⎟‪⎜⎝ 6 , 0‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪⎛ 3π‬‬
‫⎞‬
‫⎠⎟‪min ⎜⎝ 2 , −9‬‬
‫∞ < ‪−∞ < x‬‬
‫) ‪) , max ( 60°, 2 3‬‬
‫(‬
‫) ‪) , min ( 240°, −2 3‬‬
‫(‬
‫‪max 360°, 3‬‬
‫‪min 0°, 3‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה‪240° < x ≤ 360° :‬‬
‫או ‪0° ≤ x < 60°‬‬
‫תחום ירידה‪:‬‬
‫ד‪.‬‬
‫)‬
‫‪3‬‬
‫‪60° < x < 240°‬‬
‫‪(150°,0 ) , (330°, 0) , ( 0°,‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.11‬‬
‫א‪(0 ,1) .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪⎛π‬‬
‫⎞‬
‫⎠⎟‪max(π, 0.571) , max ⎜⎝ 6 ,1.12‬‬
‫‪⎛ 5π‬‬
‫⎞‬
‫⎟‪min (0,1) , min ⎜ ,0.44‬‬
‫⎠‬
‫‪⎝ 6‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪π‬‬
‫‪5π‬‬
‫תחומי עלייה‪ 0 ≤ x < :‬או ‪< x ≤ π‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪π‬‬
‫‪5π‬‬
‫<‪< x‬‬
‫תחום ירידה‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫ד‪ .‬לא‪ .‬הסיבה לכך‪:‬‬
‫‪ 0 < y‬עבור כל ‪ x‬בתחום הנ"ל‬
‫ה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪164‬‬
‫ – מתמטיקה לבגרות‬004 ‫שאלון‬
‫ לא‬.‫ א‬.16
⎛2
⎞
⎛π
⎞
max ⎜⎝ 3 π, −2⎟⎠ , max ⎜⎝ 6 , −1⎟⎠
⎛π
⎞
min (0,−2) , min ⎜⎝ 2 , −3⎟⎠
.‫ב‬
‫ א לא‬.17
⎛π ⎞
⎛ 5π ⎞
max ⎜⎝ 6 , 4⎟⎠ , max ⎜ , 4⎟ .‫ב‬
⎝ 6 ⎠
⎛π ⎞
min(0,3) min (π, 3) , min ⎜⎝ 2 , 2⎟⎠
‫ לא‬.‫ א‬.18
‫ הוכחה‬.‫ב‬
a = 2 .‫ א‬.19
π
⎛
‫ מוחלט‬min (0,0 ) ,‫ מוחלט‬max ⎜⎝ 6 ,1.911⎟⎠⎞ .‫ב‬
a = 2 .‫ א‬.20
⎛5π
⎞
min (0,2) , min ⎜ 6 ,0.885⎟ .‫ב‬
⎝
⎠
⎛π
⎞
max (π, π − 2) , max ⎜⎝ 6 , 2.255⎟⎠
b = 1 .‫ א‬.21
⎛ 2π
⎞
min (0,0 ) , min ⎜⎝ 3 ,1.22⎟⎠ .‫ב‬
⎛π
⎞
max (π, π) , max ⎜⎝ 3 ,1.91⎟⎠
b = 4 .‫ א‬.22
‫ אין‬.‫ב‬
⎛ π
⎞
⎛π ⎞
min ⎜⎝ − 3 , 3.5⎟⎠ , min ⎜⎝ 2 ,3⎟⎠ .‫ג‬
⎛2
⎞
max ⎜⎝ 3 π,3.5⎟⎠ , max (0, 5)
a = 4 .‫ א‬.23
⎛ 3π
⎞
(0,1) ⎜⎝ 2 , −5⎟⎠ - ‫ מינימום מוחלט‬.‫ב‬
⎛π ⎞
(2π,1) ⎜⎝ 2 ,3⎟⎠ - ‫מקסימום מוחלט‬
166
‫‪ 4.7‬בעיות קיצון‬
‫‪ .20‬שאלה לתרגול נוסף‬
‫מסגרתו של חלון מלבני ‪ ,ABCD‬ששטחו ‪ 16‬מ"ר‪,‬‬
‫עשויה ברזל שמחירו ‪ 40‬ש"ח למטר‪ .‬בתוך המסגרת‬
‫בנו ‪ 4‬מוטות של אלומיניום )הקווים המקווקווים(‪,‬‬
‫שמקבילים לצלע המלבן ‪ ,BC‬ו ֿ ‪ 4‬מוטות מקבילות לצלע ‪.AB‬‬
‫מחירו של מוט אלומיניום הוא ‪ 15‬ש"ח למטר‪.‬‬
‫מהו ערכו של אורך הקטע ‪ AB‬כדי שמחיר המסגרת‬
‫יהיה מינימלי?‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .21‬שאלה לתרגול נוסף‬
‫‪2‬‬
‫‪y = 36 − x‬‬
‫טרפז ‪ ABCD‬חסום בין גרף הפרבולה‬
‫לציר ה‪) x -‬ראו ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬מהם שיעורי הנקודה ‪ A ) A‬ברביע ראשון(‪,‬‬
‫כדי ששטח הטרפז ‪ ABCD‬יהיה מקסימלי?‬
‫ב‪ .‬חשבו את השטח המקסימלי של הטרפז‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C x‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .22‬שאלה לתרגול נוסף‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y = 48 − 6x‬‬
‫בין הגרפים של הפרבולה ‪ y = 2x‬והישר‬
‫וציר ה‪ y -‬חסמו מלבן‪.‬‬
‫מצאו את שטחו של המלבן בעל השטח המקסימלי‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪175‬‬
‫ בעיות קיצון‬4.7
‫תשובות‬
2R max = ‫ ס"מ‬84.01
h
=1
2R
.‫ב‬
AB = 16 .16
36 − 4x
FC =
.‫ א‬.17
x
x = 6.36
⎛ 1⎞
A ⎜⎝1, 4 3⎟⎠
.‫ב‬
,B (1, 2) .‫ א‬.18
‫ הוכחה‬.‫ב‬
AD = '‫ מ‬3 .19
AB =
2
3
⎛ a a⎞
P ⎜⎝ 4 , 2⎟⎠
x =1
.‫ א‬.15
‫ סמ"ר‬26.5 .4
A (1, 2)
1
xP =
2
200
t=
.‫א‬
x
x min = ‫ קמ"ש‬40
.‫ א‬.21
256 .‫ב‬
S max = 56 .22
S max = 96 .23
P max = 24.5 .24
.6
.7
.‫ב‬
A (1, 8)
.8
A (3, 3)
.9
x min =
b
2
.‫ א‬.11
‫שוקיים‬-‫ שווה‬.‫ב‬
xC = −
9
x0
x0 = 3
.‫ א‬.12
.‫ב‬
x C = 1 .13
2
⎛
⎞
x
B⎜⎜ 7 − 20 ,x 0 2 ⎟⎟ , A x 0 , x 0 2 .‫ א‬.14
⎝
⎠
(
)
x0 = 2
177
.5
'‫ מ‬3.767 .10
h max = 8 .25
S , S .26
.2
‫ ס"מ‬5 :‫ אורך כל ניצב‬.3
'‫ מ‬4 .20
A (2, 32)
.1
.‫ב‬
‫‪ 4.8‬חשבון אינטגרלי‬
‫תשובות‬
‫‪.1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪S = 18‬‬
‫‪.3‬‬
‫הוכחה‬
‫‪.4‬‬
‫‪S=4‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y = x +1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S=3‬‬
‫‪.5‬‬
‫הוכחה‬
‫‪.6‬‬
‫א‪A(9,3) .‬‬
‫ב‪ .‬הוכחה‬
‫‪.7‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪3‬‬
‫‪S = 17‬‬
‫‪S = 18‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .10‬א‪ .‬משיק‪y = + 3 :‬‬
‫‪3‬‬
‫אנך‪:‬‬
‫‪y = −3x + 33‬‬
‫ב‪ .‬הוכחה‬
‫‪.11‬‬
‫‪a=2‬‬
‫‪215‬‬