פיזיקה 2 -מאגר שאלות ופתרונות 01

‫פיסיקה ‪ - 2‬מאגר שאלות ופתרונות מלאים‬
‫חוק קולון – צפיפות אחידה‬
‫מטען ‪ q‬ממוקם במרכז קשת חצי מעגלית בעלת רדיוס ‪ . R‬חצי קשת עליון טעון במטען ‪, Q‬‬
‫‪r‬‬
‫וחצי קשת תחתון טעון במטען ‪) - Q‬ראו שרטוט(‪ .‬מצאו את הכוח ‪ F‬הפועל על המטען ‪. q‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪R‬‬
‫‪q‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪-Q‬‬
‫‪+Q‬‬
‫‪dθ‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪X‬‬
‫‪q‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dF‬‬
‫‪−Q‬‬
‫‪2Q‬‬
‫צפיפות מטען בקשת החיובית‪:‬‬
‫‪πR‬‬
‫נחשב את הכוח שמפעילה הקשת החיובית על המטען‪:‬‬
‫= ‪ , λ 1‬צפיפות מטען בקשת השלילית‪:‬‬
‫‪2Q‬‬
‫‪πR‬‬
‫‪. λ2 = −‬‬
‫‪2Q‬‬
‫‪dθ‬‬
‫‪π‬‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫= ‪Q 1 = λ 1 Rdθ‬‬
‫(‬
‫‪r‬‬
‫‪kqdQ 1‬‬
‫‪ˆi + sin θ ⋅ ˆj = 2kqQ cos θ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj dθ‬‬
‫= ‪d F1‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪θ‬‬
‫⋅‬
‫‪R2‬‬
‫‪πR 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ˆ ‪2kqQ‬‬
‫‪2kqQ‬‬
‫∫ = ‪F1 = ∫ dF1‬‬
‫= ‪cos θ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj dθ‬‬
‫‪i−j‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πR‬‬
‫‪πR 2‬‬
‫‪3π‬‬
‫) (‬
‫(‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫ובאותו אופן נחשב את הכוח שמפעילה הקשת השלילית על המטען‪:‬‬
‫‪2Q‬‬
‫‪dθ‬‬
‫‪π‬‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫= ‪Q 2 = λ 2 Rdθ‬‬
‫(‬
‫‪r‬‬
‫‪kqdQ 2‬‬
‫‪2kqQ‬‬
‫= ‪dF2‬‬
‫‪cosθ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj = −‬‬
‫‪cosθ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj dθ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪πR 2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2kqQ‬‬
‫ˆ ˆ ‪2kqQ‬‬
‫‪F2 = ∫ dF2 = ∫ −‬‬
‫= ‪cosθ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj dθ‬‬
‫‪−i− j‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πR‬‬
‫‪πR 2‬‬
‫‪0‬‬
‫נסכום את שני הכוחות שקיבלנו ונקבל את הכוח הפועל על המטען‪:‬‬
‫‪r r r‬‬
‫ˆ ‪4kqQ‬‬
‫‪F = F1 + F2 = −‬‬
‫‪j‬‬
‫‪πR 2‬‬
‫חוק קולון – צפיפות אחידה‬
‫נתונים שני מוטות זהים דקים בעלי אורך ‪ L‬המונחים לאורך ציר ה ‪ X -‬במרחק ‪ L‬אחד מהשני‪,‬‬
‫כמתואר בשרטוט‪ .‬כל אחד מהמוטות טעון באופן אחיד במטען כולל ‪ . Q‬מהו הכוח הפועל על המוט‬
‫הימני?‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3L‬‬
‫‪2L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪0‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נבצע את התהליך ע"י אינטגרל כפול‪ ,‬כלומר‪ ,‬נחלק את שני המוטות לקטעים דיפרנציאליים נכתוב את‬
‫הכוח בין שני הקטעים ואז נסכום ע"י אינטגרל כפול על הכוחות בין כל הקטעים כל שני המוטות‪:‬‬
‫‪k ⋅ dq ⋅ dQ‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪Qdx 1‬‬
‫‪Qdx 2‬‬
‫= ‪dq‬‬
‫= ‪dQ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪r = x 2 − x1‬‬
‫= ‪dF‬‬
‫‪kQ 2 dx 1dx 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪∫2Ldx 2  (x 2 − x 1 )‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3L‬‬
‫‪kQ 2‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪L‬‬
‫) ‪L2 (x 2 − x 1‬‬
‫‪kQ 2 dx 1‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪L2 (x 2 − x 1‬‬
‫= ‪dF‬‬
‫‪L‬‬
‫‪3L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2L‬‬
‫∫ ‪F = ∫ dx 2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1  kQ 2‬‬
‫‪3L‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪−‬‬
‫= ‪∫2L 2  (x 2 − L ) x 2  = L2 [ln(x 2 − L ) − ln(x 2 )]2L‬‬
‫‪kQ 2‬‬
‫‪kQ 2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫[‬
‫‪ln‬‬
‫(‬
‫‪3L‬‬
‫‬‫‪L‬‬
‫)‬
‫‪ln‬‬
‫(‬
‫‪3L‬‬
‫)‬
‫‪ln‬‬
‫(‬
‫‪2L‬‬
‫‬‫‪L‬‬
‫)‬
‫‪ln‬‬
‫(‬
‫‪2L‬‬
‫)‬
‫]‬
‫])‪[ln(2L ) − ln(3L ) − ln(L ) + ln(2L‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪kQ 2  4 ‬‬
‫‪= 2 ln ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3L‬‬
‫‪kQ 2‬‬
‫‪L2‬‬
‫=‬
‫חוק קולון – צפיפות אחידה‬
‫חשבו את הכוח החשמלי שפועל על מטען ‪ q‬הממוקם בנקודה ‪, P‬‬
‫הנמצאת במרחק ‪ h‬אנכית מעל קצהו השמאלי של תיל סופי בעל אורך ‪, L‬‬
‫עפ"י השרטוט הנתון‪ .‬התיל טעון אחיד במטען כולל ‪. Q‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dF‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫‪X‬‬
‫‪x=L‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪dx‬‬
‫נחלק את התיל לאלמנטים ונחשב את השדה הדיפרנציאלי שיוצר האלמנט‪ ,‬את השדה החשמלי נקבל ע"י‬
‫אינטגרל על כל השדות שיוצרים האלמנטים‪.‬‬
‫המשתנה שלפיו אבצע את האינטגרציה יהיה הזוית שבין השדה הדיפרנציאלי לאנך‪ .‬המשמעות היא‬
‫שבבניית האינטגרל עליי לבטא את כל המשתנים באמצעות הזוית‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪r Kqdq‬‬
‫ˆ‪dF = 2 r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫=‪⇒ r‬‬
‫= ‪cosθ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪cosθ‬‬
‫‪x‬‬
‫= ‪sinθ‬‬
‫‪⇒ x = rsinθ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪x‬‬
‫‪hdθ‬‬
‫= ‪⇒ dx‬‬
‫= ‪tanθ‬‬
‫‪h‬‬
‫‪cos 2 θ‬‬
‫‪Q hdθ‬‬
‫⋅ = ‪dq = λdx‬‬
‫‪L cos 2 θ‬‬
‫‪rˆ = −sinθ ˆi + cosθ ˆj‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪r‬‬
‫‪ cosθ  Q hdθ‬‬
‫‪ˆi + cosθ ˆj = KqQ − sinθ i + cosθ j dθ‬‬
‫⋅‬
‫‪−‬‬
‫‪dF = Kq‬‬
‫‪sinθ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪hL‬‬
‫‪ h  L cos θ‬‬
‫כעת עליי לקבוע מהם גבולות האינטגרציה המתאימים לבעיה ולמשתנה שבחרתי )הזוית(‪.‬‬
‫גבול תחתון הוא הזוית של השדה שיוצרת הנקודה השמאלית ביותר של התיל‪ ,‬כלומר הגבול התחתון של‬
‫האינטגרל‪. θ 1 = 0 :‬‬
‫הגבול העליון הוא השדה שיוצרת הנקודה הימנית ביותר של תיל‪ ,‬לצורך החישוב נסתכל על המשולש‬
‫ישר הזוית שנוצר‪ ,‬הניצב האופקי שווה ‪ , L‬הניצב האנכי שווה ‪ , h‬ולפיכך הגבול העליון של האינטגרל‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫‪L‬‬
‫= ‪cosθ 2‬‬
‫= ‪, sin θ 2‬‬
‫‪h 2 + L2‬‬
‫‪h 2 + L2‬‬
r
F=
(
θ2
:‫נבצע את האינטגרל‬
)
KqQ − sinθ ˆi + cosθ ˆj dθ
=
hL
θ1
∫
θ
(
)
[
]
KqQ 2
ˆi + cosθ ˆj dθ = Kq 0 cosθ ˆi + sinθ ˆj θ 2 =
sinθ
=
−
θ1
hL θ∫1
hL
[
]
KqQ
(cosθ 2 - cosθ1 ) ˆi + (sinθ 2 - sinθ1 ) ˆj =
hL
 
 
KqQ 
h
L
=
- cos0  ˆi + 
- sin0  ˆj =
 2
2
2
hL  h + L2
  h +L
 
 
 ˆ
KqQ 
h
L
 j
=
- 1 ˆi + 
 2
hL  h + L2   h 2 + L2  
=
‫חוק קולון ‪ -‬צפיפות משתנה‬
‫תיל לא מוליך מכופף לקשת חצי מעגלית בעלת רדיוס ‪ . R‬התפלגות המטען על התיל היא‪:‬‬
‫‪ . λ = C ⋅ θ 2‬כאשר ערכו של הקבוע ‪ C‬אינו ידוע‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו ‪ C‬אם נתון כי סך כל המטען על התיל הוא ‪? Q‬‬
‫ב‪ .‬כעת נתון כי התפלגות המטען היא‪ , λ = C ⋅ sinθ :‬כאשר ‪ C‬הוא הקבוע שאת ערכו‬
‫מצאתם בסעיף א'‪ .‬מהו הכוח הפועל על מטען נקודתי ‪ q‬הנמצא במרכז המעגל?‬
‫‪R‬‬
‫‪q‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫השרטוט הנתון בשאלה‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪q‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪Q = ∫ dq‬‬
‫‪dq = λdl = C ⋅ θ 2 Rdθ‬‬
‫‪3Q‬‬
‫‪π3R‬‬
‫‪CR π 3‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪⇒ C‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪Q = ∫ C ⋅ θ 2 Rdθ = CR ∫ θ 2 dθ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪F = ∫ dF‬‬
‫‪r Kqdq‬‬
‫= ‪dF‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪dq = λdl = C ⋅ sinθ ⋅ Rdθ‬‬
‫‪rˆ = -sinθ ˆi + cosθ ˆj‬‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫‪2π‬‬
‫‪r 2π KqC ⋅ sinθ ⋅ Rdθ‬‬
‫= ‪ˆi + cosθ ˆj = KqC sinθ - sinθ ˆi + cosθ ˆj dθ‬‬
‫∫ =‪F‬‬
‫‬‫‪sinθ‬‬
‫‪R ∫π‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2π‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪‬‬
‫‪KqC   1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪∫π - sin θ ˆi + sinθ cosθ ˆj dθ = R −  − 2 cosθ sinθ + 2 θ  ˆi + sin θ ˆj π‬‬
‫‪KqC  π ˆ 3KQq‬‬
‫= ‪i‬‬
‫‪R  2  2π 2 R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪KqC‬‬
‫‪R‬‬
‫שדה חשמלי – צפיפות אחידה‪ 2.6) :‬מחוברת הקורס(‬
‫על מוט מבודד באורך ‪ L‬מפוזר מטען חשמלי ‪ -Q‬בצפיפות אחידה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את צפיפות המטען האורכית‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השדה החשמלי בנקודה ‪ P‬הנמצאת במרחק ‪ a‬מקצה מוט כמופיע באיור‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי במרחקים גדולים‪ , a >> L ,‬תשובתך לסעיף ב' תצטמצם לשדה של מטען נקודתי‪.‬‬
‫‪-Q‬‬
‫‪P‬‬
‫‪a‬‬
‫‪L‬‬
‫פתרון‪ :‬חסר שרטוט מתאים!!!‬
‫א‪ .‬צפיפות המטען האורכית במוט‪:‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪L‬‬
‫‪λ=−‬‬
‫ב‪ .‬נקבע ציר ‪ x‬אופקי שכיוונו שמאלה‪ ,‬וראשיתו בנקודה ‪ .P‬נחלק את המוט לאלמנטים דיפרנציאליים‬
‫)נקודתיים(‪ ,‬ונחשב את השדה החשמלי שיוצר כל אלמנט בנקודה ‪:P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪L‬‬
‫‪dq = λ ⋅ dL = −‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪L‬‬
‫‪λ=−‬‬
‫‪r=x‬‬
‫ˆ‪rˆ = −i‬‬
‫‪r kdq‬‬
‫ˆ ‪kQdx‬‬
‫= ˆ‪dF = 2 r‬‬
‫‪⋅i‬‬
‫‪r‬‬
‫‪Lx 2‬‬
‫נסכום על כל הכוחות )ע"י אינטגרל(‪:‬‬
‫‪L+a‬‬
‫=‬
‫‪dx kQ ˆ  1 ‬‬
‫=‬
‫‪⋅ i ⋅ − ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ xa‬‬
‫‪L+ a‬‬
‫∫‬
‫‪a‬‬
‫ˆ ‪kQ‬‬
‫‪ kQ ˆ ‬‬
‫‪⋅i‬‬
‫= ‪ − 2 ⋅ i dx‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ Lx‬‬
‫‪‬‬
‫‪L+a‬‬
‫∫‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪F = ∫ dF‬‬
‫‪kQ ˆ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  kQ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ˆ ) ‪kQ − a + (L + a‬‬
‫‪⋅ i ⋅ −‬‬
‫=‪+ ‬‬
‫= ˆ‪+  ⋅ i‬‬
‫⋅‬
‫= ‪⋅i‬‬
‫‪−‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L  L+a a‬‬
‫‪L‬‬
‫) ‪a(L + a‬‬
‫‪ L + a a‬‬
‫‪kQ‬‬
‫=‬
‫ˆ‪⋅ i‬‬
‫) ‪a (L + a‬‬
‫=‬
‫ג‪ .‬עבור מרחקים גדולים מהמוט‪ ,‬כלומר‪ , a >> L ,‬מתקיים בקירוב‪:‬‬
‫‪L+a ≈a‬‬
‫כך שניתן לקרב את בכוח לביטוי הבא‪:‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪kQ‬‬
‫ˆ‪⋅ iˆ ≈ 2 ⋅ i‬‬
‫) ‪a (L + a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫=‪F‬‬
‫שדה חשמלי – צפיפות אחידה‬
‫חשבו את השדה החשמלי בנקודה ‪ P‬הנמצאת במרחק ‪ h‬אנכית מעל קצהו השמאלי של תיל סופי בעל‬
‫אורך ‪ , L‬עפ"י השרטוט הנתון‪ .‬התיל טעון אחיד במטען כולל ‪. q 0‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dE‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫‪X‬‬
‫‪x=L‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪dx‬‬
‫נחלק את התיל לאלמנטים ונחשב את השדה הדיפרנציאלי שיוצר האלמנט‪ ,‬את השדה החשמלי נקבל ע"י‬
‫אינטגרל על כל השדות שיוצרים האלמנטים‪.‬‬
‫המשתנה שלפיו אבצע את האינטגרציה יהיה הזוית שבין השדה הדיפרנציאלי לאנך‪ .‬המשמעות היא‬
‫שבבניית האינטגרל עליי לבטא את כל המשתנים באמצעות הזוית‪:‬‬
‫‪r Kdq‬‬
‫ˆ‪dE = 2 r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫=‪⇒ r‬‬
‫‪⇒ x = rsinθ‬‬
‫= ‪cosθ‬‬
‫= ‪sinθ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪cosθ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪x‬‬
‫‪hdθ‬‬
‫= ‪tanθ‬‬
‫= ‪⇒ dx‬‬
‫‪h‬‬
‫‪cos 2 θ‬‬
‫‪q‬‬
‫‪hdθ‬‬
‫⋅ ‪dq = λdx = 0‬‬
‫‪rˆ = −sinθ ˆi + cosθ ˆj‬‬
‫‪L cos 2 θ‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪r‬‬
‫‪ cosθ  q 0 hdθ‬‬
‫‪ˆi + cosθ ˆj = Kq 0 − sinθ i + cosθ j dθ‬‬
‫‪dE = K ‬‬
‫⋅‬
‫‪−‬‬
‫‪sinθ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪hL‬‬
‫‪ h  L cos θ‬‬
‫כעת עלינו לקבוע מהם גבולות האינטגרציה המתאימים לבעיה ולמשתנה שבחרתי )הזווית(‪.‬‬
‫גבול תחתון הוא הזוית של השדה שיוצרת הנקודה השמאלית ביותר של התיל‪ ,‬כלומר הגבול התחתון של‬
‫האינטגרל הוא‪. θ 1 = 0 :‬‬
‫הגבול העליון הוא השדה שיוצרת הנקודה הימנית ביותר של תיל‪ ,‬לצורך החישוב נסתכל על המשולש‬
‫ישר הזוית שנוצר‪ ,‬הניצב האופקי שווה ‪ , L‬הניצב האנכי שווה ‪ , h‬ולפיכך הגבול העליון של האינטגרל‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫= ‪tanθ 2‬‬
‫‪⇒ θ 2 = arctan ‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫נבצע את האינטגרל‪:‬‬
‫‪θ2‬‬
‫‪θ2‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪r‬‬
‫‪θ2‬‬
‫‪Kq 0 − sinθ i + cosθ j dθ Kq 0‬‬
‫‪Kq 0‬‬
‫=‬
‫= ‪− sinθ ˆi + cosθ ˆj dθ‬‬
‫= ‪cosθ ˆi + sinθ ˆj θ1‬‬
‫∫=‪E‬‬
‫∫‬
‫‪hL‬‬
‫‪hL θ1‬‬
‫‪hL‬‬
‫‪θ1‬‬
‫)‬
‫]‬
‫(‬
‫[‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫]‬
‫(‬
‫[‬
‫‪Kq 0‬‬
‫‪(cosθ 2 - cosθ1 ) ˆi + (sinθ 2 - sinθ1 ) ˆj‬‬
‫‪hL‬‬
‫וכעת ניתן להציב את הגבולות שקיבלנו‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫שדה חשמלי – צפיפות קבועה‬
‫מצאו את השדה החשמלי במרחב‪ ,‬שיוצר תיל אינסופי טעון אחיד בצפיפות מטען אורכית ‪) λ‬נא לא‬
‫לחשב ע"י חוק גאוס(‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫השרטוט המתאים לבעיה‪:‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dE‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪X‬‬
‫‪r‬‬
‫'‪r‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫שדה חשמלי שיוצר אלמנט אורך מהתיל הוא‪:‬‬
‫‪r kdQ‬‬
‫'ˆ‪dE = 2 r‬‬
‫'‪r‬‬
‫המטען שמכיל אלמנט אורך הוא‪:‬‬
‫‪dQ = λdx‬‬
‫נמצא את הקשר בין ‪ dx‬ל ‪: dθ‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪x = r ⋅ tan θ ⇒ dx‬‬
‫‪dθ‬‬
‫‪cos 2 θ‬‬
‫ולפיכך‪:‬‬
‫‪λr‬‬
‫= ‪dQ‬‬
‫‪dθ‬‬
‫‪cos 2 θ‬‬
‫נביע גם את המרחק בין הנקודה ‪ P‬לנקודה על התייל באמצעות הזווית ‪: θ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪cosθ‬‬
‫= '‪⇒ r‬‬
‫'‪r‬‬
‫‪cosθ‬‬
‫נביע את וקטור הכיוון ע"י הזווית‪:‬‬
‫‪rˆ' = cosθ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj‬‬
‫וכעת נוכל לחשב את השדה החשמלי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r kdQ‬‬
‫‪k λr ⋅ dθ cos θ‬‬
‫‪kλ‬‬
‫= 'ˆ‪dE = 2 r‬‬
‫= ‪⋅ 2 ⋅ cosθ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj‬‬
‫‪⋅ cosθ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj dθ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫'‪r‬‬
‫‪cos θ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r π kλ‬‬
‫ˆ ‪2k λ‬‬
‫∫ = ‪E = ∫ dE‬‬
‫= ‪⋅ cosθ ⋅ ˆi + sin θ ⋅ ˆj dθ‬‬
‫‪⋅j‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪0‬‬
‫אינטגרל על רכיב אופקי מתאפס כצפוי‪ ,‬כך שהשדה והא בכיוון ניצב בלבד‪.‬‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫שדה חשמלי – צפיפות קבועה‬
‫מכופפים תיל אינסופי הטעון בצפיפות מטען אורכית ‪ λ‬לצורה המתוארת באיור‪ .‬הצורה מורכבת משני‬
‫מקטעים ישרים )"חצי אינסופיים"( המקבילים זה לזה‪ ,‬ומחצי מעגל בעל רדיוס ‪ .R‬מצאו‪ ,‬ע"י שימוש‬
‫באינטגרלים‪ ,‬את השדה במרכז המעגל )נקודה ‪.(P‬‬
‫חצי מעגל!‬
‫‪•P‬‬
‫‪R‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪Rdθ‬‬
‫‪θ‬‬
‫•‬
‫‪θ‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪R‬‬
‫‪x‬‬
‫נחשב את השדה שיוצרת הקשת החצי מעגלית בנקודה ‪:P‬‬
‫‪dQ = λRdθ‬‬
‫‪r kdQ‬‬
‫‪dE = 2 sin θ ⋅ iˆ − cos θ ⋅ ˆj‬‬
‫‪R‬‬
‫‪r π kλR‬‬
‫‪π‬‬
‫ˆ ‪2kλ‬‬
‫‪kλ‬‬
‫= ‪E1 = ∫ 2 sin θ ⋅ iˆ − cosθ ⋅ ˆj dθ‬‬
‫= ‪− cosθ ⋅ iˆ − sin θ ⋅ ˆj 0‬‬
‫‪i‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪0 R‬‬
‫כעת נחשב את השדה שיוצרים שני התיילים הישרים‪:‬‬
‫‪dQ = λdx‬‬
‫נמצא את הקשר בין ‪ dx‬ל ‪: dθ‬‬
‫‪R‬‬
‫= ‪x = R tan θ ⇒ dx‬‬
‫‪dθ‬‬
‫‪cos 2 θ‬‬
‫ולפיכך‪:‬‬
‫‪λR‬‬
‫= ‪dQ‬‬
‫‪dθ‬‬
‫‪cos 2 θ‬‬
‫נביע גם את המרחק בין הנקודה ‪ P‬לנקודה על התייל באמצעות הזווית ‪: θ‬‬
‫‪R‬‬
‫= ‪R2 + x2‬‬
‫‪cos θ‬‬
‫וכעת נוכל לחשב את השדה החשמלי‪:‬‬
‫]‬
‫[‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
kdQ
kλdx
− sin θ ⋅ iˆ + cos θ ⋅ ˆj = 2
− sin θ ⋅ iˆ + cos θ ⋅ ˆj =
2
2
R +x
R + x2
cos 2 θ Rdθ
kλ
= kλ
⋅
− sin θ ⋅ iˆ + cos θ ⋅ ˆj =
− sin θ ⋅ iˆ + cos θ ⋅ ˆj
2
2
R
R
cos θ
π
r
π
kλ
kλ
2kλ ˆ
E2 =
− sin θ ⋅ iˆ + cos θ ⋅ ˆj dθ =
cos θ ⋅ iˆ + sin θ ⋅ ˆj 0 = −
i
∫
R 0
R
R
:P ‫סכום שני השדות שקיבלנו ייתן את השדה בנקודה‬
r r
r
E = E1 + E 2 = 0
:‫דרך נוספת לחישוב השדה שיוצרים התיילים הישרים‬
dQ = λdx
(
r
dE =
)
(
)
(
r
dE down =
(
kλdx
R2 + x2
r
r
r
d E 2 = d E1 + d E 2
r
dE up =
(
)
∞
r
E 2 = − kλ ∫
0
)
(R
(
)
]


x
R
−
⋅ ˆj 
iˆ +


R2 + x2
R2 + x2 



x
R
ˆj 
−
iˆ −


R2 + x2
R2 + x2 

2kλxdx ˆ
=−
i
3
2
2
2
R +x
(
2 xdx
2
)
[
)
kλdx
R2 + x2
(
+x
2
)
3
)
iˆ
2
:‫נבצע החלפת משתנים‬
n=R +x
2
2
dn = 2 xdx
x = 0 → n = R2
x=∞→n=∞
:‫ופותרים את האינטגרל‬
∞
r
 1 
dn
2kλ ˆ
 1 2
E 2 = −kλ ∫ 3 iˆ = − kλ − 1  iˆ = − kλ  − + iˆ = −
i
R
2
 ∞ R
R2 n
 n 2  R 2
∞
‫שדה חשמלי‬
‫מוט מבודד דק שאורכו ‪ L‬נושא בחציו העליון מטען בצפיפות אחידה ‪ + λ‬ובחציו התחתון מטען בצפיפות‬
‫‪z‬‬
‫‪.− λ‬‬
‫א‪ .‬השתמש בשיקולי סימטריה על מנת למצוא את כיוונו של‬
‫השדה החשמלי בנקודה ‪.P‬‬
‫‪+‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השדה החשמלי בנקודה ‪.P‬‬
‫‪+‬‬
‫ג‪ .‬קח את הגבול בו ‪ y >> L‬ומצא את השדה במרחק גדול מהמוט‪.‬‬
‫‪+‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪y +a ≈ y+‬‬
‫ניתן להשתמש בקירוב‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒ ‪y >> a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‬‫‬‫‬‫‬‫‬‫‪-‬‬
‫‪P‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬ציירו שני אלמנטים במרחק שווים ותראו שהרכיבים בציר ‪ y‬מתבטלים‪ .‬כך שמשיקולי סימטריה ניתן‬
‫להניח בכיוון השדה יהיה הכיוון השלילי של ציר ‪. z‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dz‬‬
‫‪r‬‬
‫‪y‬‬
‫‪P‬‬
‫‪z‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dE‬‬
‫=‪z‬‬
‫‪z=0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z=−‬‬
‫נחלק את המוט לאלמנטים ונחשב את השדה הדיפרנציאלי שיוצר אלמנט‪ ,‬ואת השדה החשמלי נקבל ע"י‬
‫אינטגרל על כל השדות שיוצרים האלמנטים‪ .‬המשתנה שלפיו נבצע את האינטגרציה יהיה הזוית שבין‬
‫השדה הדיפרנציאלי לאנך‪ .‬המשמעות היא שבבניית האינטגרל עליי לבטא את כל המשתנים באמצעות‬
‫הזוית‪:‬‬
‫‪r kdq‬‬
‫ˆ‪dE = 2 r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ydθ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫= ‪cosθ‬‬
‫=‪⇒ r‬‬
‫= ‪tanθ‬‬
‫= ‪⇒ dz‬‬
‫‪r‬‬
‫‪cosθ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪cos 2 θ‬‬
‫‪dq = λdz‬‬
‫ˆ‪rˆ = cosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ k‬‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫‪ydθ‬‬
‫‪kλ dθ‬‬
‫= ˆ‪cosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ k‬‬
‫ˆ‪cosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪cos θ‬‬
‫נגדיר את הזווית הקיצונית ביותר )לצורכי גבולות איטגרציה(‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪4‬‬
‫נבצע את האינטגרל )שימו לב לגבולות(‪:‬‬
‫‪2 y2 +‬‬
‫= ‪sin θ 0‬‬
‫⋅‬
‫‪kλ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ cosθ ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪y2 +‬‬
‫‪4‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪dE‬‬
‫= ‪cosθ 0‬‬
‫‪+ λ‬‬
‫‪-λ‬‬
0
r θ 0 kλ dθ
k (- λ )dθ
E=∫
cosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ kˆ + ∫
cosθ ⋅ ˆj − sinθ ⋅ kˆ =
y
y
0
−θ 0
(
[
)
]
(
[
)
]
θ0
0
kλ
kλ
sinθ ⋅ ˆj + cosθ ⋅ kˆ 0 −
sinθ ⋅ ˆj + cosθ ⋅ kˆ −θ 0 =
y
y
θ
kλ
(sinθ 0 − 0) ⋅ ˆj + (cosθ 0 − 1) ⋅ kˆ 00 − kλ (0 + sinθ 0 ) ⋅ ˆj + (1 − cosθ 0 ) ⋅ kˆ
y
y
[
]
[
]
0
−θ 0
=

L2 
2



2kλ
y
−
y
+



4 
2kλ
2kλ 
y
 ˆ

ˆ
(cosθ 0 − 1) ⋅ k =
−
1
⋅
k
=
⋅ kˆ


2
2
y
y
L
 y2 + L

y y2 +


4
4


:‫ נבצע את הקירוב ונמצא את השדה‬.‫ג‬
y >> L ⇒
y2 + a 2 ≈ y +
a2
y
2
⇒
y2 +
L
L2
≈ y+
4
4y
 
L2 

L2 
2kλ  y -  y + 
2kλ y - y − 
r
4y 
4y  ˆ
2k λ L2 ˆ



ˆ
E≈
⋅k =
⋅
k
=
⋅k
y2
4y 3
y y2
E=
k λ L2
:‫השדה הוא‬
4y 3
‫שדה חשמלי‪ -‬צפיפות אחידה‪ 2.15) :‬מחוברת הקורס(‬
‫מדיסקה שרדיוסה ‪ 2 R‬הטעונה בצפיפות מטען שטחית‬
‫‪z‬‬
‫אחידה ‪ +σ‬הוצאה דיסקה שרדיוסה ‪ R‬כך שנוצרה‬
‫) ‪A(0,0,z‬‬
‫דיסקה עם חור במרכזה )ראה איור(‪ .‬הדיסקה מונחת‬
‫במישור ‪ . x − y‬חשב את השדה החשמלי בנקודה ‪. A‬‬
‫‪+ +‬‬
‫‪+ + +‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪++‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪++‬‬
‫‪++‬‬
‫‪++‬‬
‫‪++‬‬
‫‪R‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ + + +‬‬
‫‪+‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫שדה חשמלי של טבעת דקה על ציר הסימטריה‪:‬‬
‫ˆ‪⋅ k‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪kQz‬‬
‫‪+ z2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(R‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪E Ring‬‬
‫ע"י ביטוי זה‪ ,‬נחשב שדה חשמלי של טבעת בעל עובי דיפרנציאלי ‪ dr‬בעלת רדיוס ‪ r‬כלשהו‪ ,‬ואז נסכום‬
‫ע"י אינטגרל לפי הרדיוסים‪:‬‬
‫ˆ‪⋅ k‬‬
‫)‬
‫‪dq = σ ⋅ dS = σ ⋅ 2π rdr‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ‪k ⋅ σ ⋅ 2π rdr ⋅ z‬‬
‫‪k ⋅ dq ⋅ z‬‬
‫‪rdr‬‬
‫= ‪dE‬‬
‫= ˆ‪⋅ k‬‬
‫⋅ ‪⋅ k = 2π k σ z‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r2 + z2‬‬
‫‪r2 + z2‬‬
‫‪r2 + z2‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 2π k σ z ⋅ kˆ ⋅ −‬‬
‫= ‪‬‬
‫‪r2 + z2 R‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫(‬
‫‪2R‬‬
‫‪32‬‬
‫‪rdr‬‬
‫‪+ z2‬‬
‫ˆ ‪‬‬
‫‪⋅k‬‬
‫‪‬‬
‫‪R2 + z2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(r‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪2R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ‬
‫∫ ⋅ ‪E = ∫ d E = 2π k σ z ⋅ k‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 2π k σ z ⋅  −‬‬
‫‪+‬‬
‫‪4R 2 + z 2‬‬
‫‪‬‬
‫שדה חשמלי )‪ 2.17‬מחוברת הקורס(‬
‫א‪ .‬חשבו את השדה החשמלי בגובה ‪ z‬מעל למרכזה של דסקה מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הטעונה במטען‬
‫‪ q‬בצפיפות לא אחידה ‪ . σ (r ) = α ⋅ r 2‬הביעו את תשובתכם באמצעות ‪. q‬‬
‫יש צורך להשתמש באינטגרל הבא‪:‬‬
‫‪x 2 + 2a 2‬‬
‫=‬
‫‪x2 + a2‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪x2 + a2‬‬
‫‪= x +a +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪x 3 dx‬‬
‫‪+ a2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ (x‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫תחילה נחשב את המטען הכולל על הדסקה‪:‬‬
‫‪dq = σ ⋅ dS = α ⋅ r 2 ⋅ 2π rdr = 2πα ⋅ r 3 dr‬‬
‫‪πα ⋅ R 4‬‬
‫= ‪q = ∫ dq = 2πα ∫ r dr‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2q‬‬
‫‪πR4‬‬
‫=‪α‬‬
‫שדה חשמלי של טבעת דקה על ציר הסימטריה‪:‬‬
‫ˆ‪⋅ k‬‬
‫)‬
‫‪kQz‬‬
‫‪2 32‬‬
‫‪+z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(R‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪E Ring‬‬
‫ע"י ביטוי זה‪ ,‬נחשב שדה חשמלי של טבעת בעל עובי דיפרנציאלי ‪ dr‬בעלת רדיוס ‪ r‬כלשהו‪ ,‬ואז נסכום‬
‫ע"י אינטגרל לפי הרדיוסים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪dq = σ ⋅ dS = α ⋅ r ⋅ 2π rdr = 2πα ⋅ r dr‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ‪k ⋅ dq ⋅ z ˆ k ⋅ 2πα ⋅ r 3 dr ⋅ z‬‬
‫‪r 3dr‬‬
‫= ‪dE‬‬
‫= ‪⋅k‬‬
‫⋅ ‪⋅ k = 2πα ⋅ kz‬‬
‫ˆ‪⋅ k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 32‬‬
‫‪r +z‬‬
‫‪r +z‬‬
‫‪r +z‬‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫‪R‬‬
‫‪ r 2 + 2z 2 ‬‬
‫‪= 2πα ⋅ kz ⋅ kˆ ⋅ ‬‬
‫= ‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ r + z 0‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫(‬
‫‪r 3dr‬‬
‫‪+ z2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(r‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫∫ ⋅ ˆ‪E = ∫ dE = 2πα ⋅ kz ⋅ k‬‬
‫‪0‬‬
‫ˆ ‪ R2 + 2z 2 2z 2 ‬‬
‫‪= 2πα ⋅ kz ⋅ ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ ⋅k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z2 ‬‬
‫‪ R +z‬‬
‫ניתן לפשט את הביטוי שקיבלנו באופן הבא‪:‬‬
‫‪ R 2 + 2z 2‬‬
‫‪ R 2 + 2z 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2q‬‬
‫ˆ ‪2z 2 ‬‬
‫‪2πα ⋅ kz ⋅ ‬‬
‫‪−‬‬
‫⋅ ‪⋅ k = 2π‬‬
‫⋅‬
‫‪kz‬‬
‫⋅‬
‫= ˆ‪− 2 z 2  ⋅ k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πR‬‬
‫‪z2 ‬‬
‫‪ R +z‬‬
‫‪ R +z‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫ˆ ‪+ z2 + z2 ‬‬
‫= ‪⋅k‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( )( R‬‬
‫)‬
‫⋅ ‪+ z2 − 2 z2‬‬
‫‪R2 + z 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪) ⋅ kˆ = 4kqz ⋅  (R‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫() (‬
‫‪4kqz  R 2 + 2 z 2 − 2 z 2 ⋅ R 2 + z 2‬‬
‫‪⋅‬‬
‫‪R 4 ‬‬
‫‪R2 + z2‬‬
‫ˆ‪)  ⋅ k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪+ z2 − z2‬‬
‫‪R2 + z 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(R‬‬
‫=‬
‫‪4kqz ‬‬
‫‪= 4 ⋅‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שדה חשמלי )‪ 2.18‬מחוברת הקורס(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫לשם כך נשתמש בביטוי של שדה של טבעת‪:‬‬
‫‪ˆi‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪kQx‬‬
‫‪+ R2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(x‬‬
‫‪r‬‬
‫=‪E‬‬
‫נחלק את הגליל לטבעות בעל עובי דיפרנציאלי )מבט מהצד(‪:‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪d‬‬
‫‪x=0‬‬
‫המטען הדיפרנציאלי של טבעת‪:‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪2 π Rh‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Qdx‬‬
‫= ‪⋅ 2 π Rdx‬‬
‫‪2 π Rh‬‬
‫‪h‬‬
‫=‪σ‬‬
‫= ‪dq = σ dS‬‬
‫עבור טבעת דיפרנציאלית ועפ"י מערכת הצירים שבחרתי‪ ,‬השדה הדיפרנציאלי המתאים‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ‪k ⋅ dq ⋅ x‬‬
‫‪kQxdx‬‬
‫‪ˆi‬‬
‫‪dE = −‬‬
‫‪i=−‬‬
‫‪32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 32‬‬
‫‪x +R‬‬
‫‪2 π Rh x 2 + R 2‬‬
‫שימו לב שהציר חיובי ימינה והגדרתי את האפס בנקודה‪ .‬כך שהמשתנה ‪ x‬הוא שלילי‪ .‬כדי "לתקן"‬
‫ולהחזיר את השדה להיות חיובי הוספתי מינוס לפני הביטוי‪.‬‬
‫נחשב את השדה הכולל ע"י אינטגרל )שימו לגבולות(‪:‬‬
‫)‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫=‬
‫‪12 ‬‬
‫‪ d + h‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪ ⋅ ˆi‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪+R ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ˆi = kQ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h  x + R 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(d + h )2‬‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫‪d‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪xdx‬‬
‫‪ˆi = − kQ‬‬
‫∫‬
‫‪2‬‬
‫‪h d +h x + R 2‬‬
‫(‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ˆi = kQ ‬‬
‫⋅‬
‫‪−‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h  d2 + R 2‬‬
‫‪+ R 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫]‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫) ‪[(d + h‬‬
‫(‬
‫‪kQxdx‬‬
‫‪d‬‬
‫‪∫ h (x‬‬
‫‪r‬‬
‫‪E=−‬‬
‫‪+ R2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪kQ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪h  d2 + R 2‬‬
‫‪‬‬
‫]‬
‫‪12‬‬
‫‪d +h‬‬
‫[‬
‫שדה חשמלי‬
‫נתון גליל מלא בעל רדיוס ‪ R‬וגובה ‪ h‬הנושא מטען כללי ‪ + Q‬בצפיפות אחידה‪.‬‬
‫חשבו את השדה החשמלי הנוצר בנקודה הנמצאת על ציר הסימטריה של הגליל‬
‫במרחק ‪ d‬מאחד מבסיסיו‪.‬‬
‫‪d‬‬
‫הדרכה‪ :‬השתמשו בביטוי שקיבלנו עבור שדה חשמלי שיוצרת דיסקה אחידה בנקודה‬
‫הנמצאת על ציר הסימטריה‪ ,‬והפכו את הביטוי לשדה חשמלי דיפרנציאלי )מה שיהפוך‬
‫לדיפרנציאל הוא המטען(‪ .‬חלקו את הגליל לדיסקות בעלות עובי דק וחשבו את השדה‬
‫שיוצרת כל דיסקה כזאת‪ ,‬שימו לב שכעת מדובר בגוף עם צפיפות מטען נפחית כך‬
‫שאת המטען שלו מחשבים ע"י צפיפות המטען כפול הנפח הדיפרנציאלי שלו‪ .‬בנו את‬
‫הביטוי לשדה החשמלי ואז סכמו ע"י אינטגרל שירוץ מהבסיס לאפה העליונה‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫לשם כך נשתמש בביטוי של שדה של דסקה )מבט מהצד(‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪⋅ ˆi‬‬
‫‪12 ‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪x‬‬
‫‪E = kQ ⋅ 1 −‬‬
‫‪x2 + R2‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫נחלק את הגליל לטבעות בעל עובי דיפרנציאלי‪:‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪d‬‬
‫‪x=0‬‬
‫המטען הדיפרנציאלי של טבעת‪:‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪2 π Rh‬‬
‫=‪ρ‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Qdx‬‬
‫= ‪⋅π R 2 dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪πR h‬‬
‫עבור טבעת דיפרנציאלית ועפ"י מערכת הצירים שבחרתי‪ ,‬השדה הדיפרנציאלי המתאים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ˆi = − kQdx ⋅ 1 −‬‬
‫‪dE = − k ⋅ dq ⋅ 1 −‬‬
‫⋅‬
‫‪‬‬
‫‪ ⋅ ˆi‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 12‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x +R‬‬
‫‪x +R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שימו לב שהציר חיובי ימינה והגדרתי את האפס בנקודה‪ .‬כך שהמשתנה ‪ x‬הוא שלילי‪ .‬כדי "לתקן"‬
‫הפכתי את הוספתי מינוס לפני הביטוי‪.‬‬
‫נחשב את השדה הכולל ע"י אינטגרל )שימו לגבולות(‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪kQdx ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪kQ ‬‬
‫‪x‬‬
‫ˆ‬
‫∫ =‪E‬‬
‫‪⋅ − 1 +‬‬
‫⋅‬
‫‪i‬‬
‫=‬
‫‪−1+‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ dx ⋅ ˆi‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫∫‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h d + h ‬‬
‫‪x +R‬‬
‫‪x +R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d+h‬‬
‫‪d‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪kQ ‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪− x + x 2 + R 2 d + h ⋅ ˆi‬‬
‫‪− d + d 2 + R 2 + (d + h ) − (d + h ) + R 2  ⋅ ˆi‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h ‬‬
‫‪kQ ‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪h + d 2 + R 2 − (d + h ) + R 2  ⋅ ˆi‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪h ‬‬
‫= ‪dq = ρ dV‬‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫]‬
‫[‬
‫שדה חשמלי‬
‫דיסקה בעלת רדיוס ‪ R‬טעונה בצפיפות מטען אחידה ‪ σ‬ליחידת שטח‪ .‬מוט בעל אורך ‪ b‬טעון בצפיפות‬
‫מטען אורכית קבועה ‪ . λ‬המוט ניצב לדיסקה ונמצא על ציר הסימטריה שלה‪ ,‬מרכזו נמצא במרחק ‪z‬‬
‫‪b‬‬
‫מהדיסקה‪ ,‬כך ש > ‪ . z‬חשבו את הכוח הפועל בין הגופים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ידוע לנו שדה חשמלי שיוצרת דיסקה טעונה אחיד על ציר הסימטריה )חישבנו בעבר(‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪σ ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪1 −‬‬
‫‪‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ε 0 ‬‬
‫‪R 2 + z2 ‬‬
‫נחלק את המוט לאלמנטים‪ ,‬נחשב את הכוח הדיפרנציאלי שמרגיש כל אלמנט‪ ,‬ונבצע אינטגרל על כל‬
‫המוט לקבלת הכוח‪:‬‬
‫‪dq = λdz‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫=‬
‫]‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪z−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z+‬‬
‫[‬
‫‪‬‬
‫‪σλ‬‬
‫= ‪dz‬‬
‫‪z − R 2 + z2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪σλdz ‬‬
‫‪1 −‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2ε 0 ‬‬
‫‪R + z2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪dF = Edq‬‬
‫‪z+‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪∫b 1 − R 2 + z 2‬‬
‫‪z− ‬‬
‫‪σλ‬‬
‫= ‪F = ∫ dF‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b ‬‬
‫= ‪z + − R 2 +  z +  −  z −  + R 2 +  z −  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪σλ‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪σλ ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪b + R 2 +  z −  − R 2 +  z +  ‬‬
‫‪2ε 0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שטף חשמלי‬
‫קוביה בעלת צלע ‪ , a = 0.1m‬בנויה מחומר לא מוליך וטעונה אחיד בצפיפות מטען ‪. ρ = 1000 C m‬‬
‫‪r‬‬
‫הקובייה נמצאת באזור בו שורר שדה חשמלי אחיד ]‪ . E = 100ˆi [N C‬מהו השטף הכולל דרך דפנות‬
‫‪3‬‬
‫הקובייה?‬
‫‪r‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪X‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫השדה החיצוני לא תורם כלום לשטף הכולל דרך דפנות הקוביה‪ ,‬מה שנכנס יוצא‪ .‬בהתאם לחוק גאוס‬
‫השטף דרך דפנות הקוביה נובע מהמטען הכלוא בלבד‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∫ E ⋅ dS = 4πk ∫ dq = 4πk ∫ ρdV = 4πk (1000 ⋅10 ) = 4πk‬‬
‫‪−3‬‬
‫שטף חשמלי‬
‫‪r‬‬
‫נתון שדה חשמלי ‪ , E = C 0 ⋅ y ˆj‬כאשר ‪ C 0‬הוא קבוע‪.‬‬
‫חשבו את השטף דרך קובייה בעלת אורך צלע ‪ , L‬הממוקמת במרחק ‪ L‬ממישור ‪. X Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪X‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫השדה הוא בכיוון ציר ‪ Y‬כך שהוא ניצב לנורמל של ארבע פאות ומקביל לנורמל של שתיים )הפאה‬
‫הימנית והפאה השמאלית(‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ‬
‫‪E = C0 ⋅ y j‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r r‬‬
‫= ‪Φ E = E ⋅ S Left + E ⋅ S Right = C 0 ⋅ L ˆj ⋅ − L2 ⋅ ˆj + C 0 ⋅ 2L ˆj ⋅ L2 ⋅ ˆj‬‬
‫) ()‬
‫)‬
‫( )‬
‫‪2 −1‬‬
‫(‬
‫()‬
‫(‬
‫‪− C 0 ⋅ L2 L + C 0 ⋅ L2 2L = C 0 ⋅ L2 L‬‬
‫חוק גאוס – צפיפות קבועה‬
‫מצאו את השדה החשמלי במרחב עבור כדור מלא טעון צפיפות מטען אחידה ‪ , ρ‬ורדיוס ‪. R‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫מחוץ לכדור ניתן להתייחס אל המטען כאילו הוא מרוכז במרכז הכדור ולפיכך השדה החשמלי יהיה כמו‬
‫של מטען נקודתי‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4πkR ρ‬‬
‫‪ˆr‬‬
‫= ) ‪E(r > R‬‬
‫‪3r 2‬‬
‫בתוך הכדור ניקח בחשבון רק את המטען הנמצא בתוך הרדיוס בו אנו בודקים את השדה החשמלי‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4πkr 3 ρ‬‬
‫‪4πkρr‬‬
‫‪4πkρ r‬‬
‫= ) ‪E(r < R‬‬
‫= ˆ‪r‬‬
‫= ˆ‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3r‬‬
‫חוק גאוס – צפיפות קבועה‬
‫בכדור בעל רדיוס ‪ ,R‬הטעון במטען חיובי‪ ,‬בצפיפות אחידה יש חלל כדורי בעל רדיוס ‪ . b‬מרכז החלל‬
‫נמצא במרחק ‪ a‬ממרכז הכדור הגדול‪ .‬מצאו את הגודל והכיוון של השדה החשמלי בתוך החלל‪ .‬הראה‬
‫שהשדה החשמלי בתוך החלל קבוע בגודלו וכיוונו‪.‬‬
‫‪•a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫הדרכה‪ :‬הגדר את מיקום הנקודה לצורך חישוב תרומת הכדור הגדול לשדה על ידי חיבור ‪ a‬עם ‪, r‬‬
‫המצביע ממרכז החור אל הנקודה בה בודקים את השדה החשמלי‪ .‬כדי ליצור חור בהתפלגות המטען‬
‫דמיינו שהכדור ‪ R‬שלם )ללא חור( ושבנוסף אליו יש כדור בעל רדיוס ‪ b‬הטעון ב ‪. - ρ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫•‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫•‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r +a‬‬
‫נתייחס למקרה ככדור שלם ומלא )רדיוס ‪ ( R‬בעל צפיפות מטען ‪ , ρ‬וכדור קטן )רדיוס ‪ ( b‬בעל צפיפות‬
‫מטען ‪ . − ρ‬מחשב את השדה שגורם כל אחד מהכדורים "הדמיוניים"‪ ,‬וסכום של שני השדות ייתן לנו את‬
‫השדה אותו אנו מחפשים‪.‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬שדה חשמלי בתוך כדור מלא וטעון בעל צפיפות מטען אחידה ‪ ρ‬ניתן ע"י‪:‬‬
‫‪r 4πkρ r‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪r‬‬
‫‪3‬‬
‫וכעת ניתן לחשב‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4πkρ r r‬‬
‫‪4πkρ r‬‬
‫‪4πkρ r‬‬
‫= ‪ER‬‬
‫) ‪(a + r‬‬
‫‪Eb = −‬‬
‫= ‪r ⇒ ER + Eb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫חוק גאוס צפיפות אחידה )שאלה ‪ 2.34‬מהחוברת(‬
‫כדור מלא שרדיוסו ‪ R‬נושא מטען חשמלי בצפיפות מטען אחידה‪. ρ ,‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ρ r‬‬
‫= ‪ , E‬כאשר ‪ r‬הוא הוקטור ממרכז‬
‫א‪ .‬הראו כי השדה החשמלי בתוך הכדור נתון בביטוי ‪r‬‬
‫‪3ε 0‬‬
‫הכדור לנקודה כלשהי בתוך הכדור‪.‬‬
‫ב‪ .‬קודחים חלל כדורי שרדיוסו ‪ a‬בתוך הכדור‪ .‬הראו כי השדה החשמלי בכל נקודות החלל הכדורי‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ρ r‬‬
‫= ‪ , E‬כאשר ‪ a‬הוא הוקטור המחבר את מרכז הכדור למרכז‬
‫הוא אחיד ונתון בביטוי ‪a‬‬
‫‪3ε 0‬‬
‫החלל‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬ניצור מעטפת גאוס כדורית בתוך הכדור בעלת מרכז משותף עם הכדור )כך שרדיוסה ‪ r‬קטן מרדיוס‬
‫הכדור ‪ .( R‬ע"י חוק גאוס נמצא את השדה החשמלי בתוך הכדור‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫ ⋅ dS = E ⋅ 4π r‬‬
‫‪q in ρV‬‬
‫‪ρ 4π r 3‬‬
‫=‬
‫⋅ =‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r r q in‬‬
‫‪ρ 4π r 3‬‬
‫‪2‬‬
‫⋅‬
‫=‬
‫⇒‬
‫⋅‬
‫=‬
‫⋅‬
‫‪E‬‬
‫‪4‬‬
‫‪r‬‬
‫‪E‬‬
‫‪d‬‬
‫‪S‬‬
‫‪π‬‬
‫∫‬
‫‪3‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ρ r‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪⋅r‬‬
‫‪3ε 0‬‬
‫ב‪ .‬נשתמש בסופרפוזיציה של כדור מלא עם "חור" )צפיפות שלילית(‪.‬‬
‫נתייחס למקרה ככדור שלם ומלא )רדיוס ‪ ( R‬בעל צפיפות מטען ‪, ρ‬‬
‫וכדור קטן )רדיוס ‪ ( b‬בעל צפיפות מטען ‪ . − ρ‬נחשב את השדה שגורם‬
‫כל אחד מהכדורים "הדמיוניים"‪ ,‬וסכום של שני השדות ייתן לנו את‬
‫השדה אותו אנו מחפשים‪ .‬באופן כללי‪ ,‬שדה חשמלי בתוך כדור מלא‬
‫•‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫•‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫וטעון בעל צפיפות מטען אחידה ‪ ρ‬ניתן ע"י‪:‬‬
‫‪r 4πkρ r‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪r‬‬
‫‪3‬‬
‫וכעת ניתן לחשב‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4πkρ r‬‬
‫‪4πkρ r‬‬
‫‪Eb = −‬‬
‫= ‪r ⇒ ER + Eb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4πkρ r r‬‬
‫= ‪ER‬‬
‫) ‪(a + r‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r +a‬‬
‫חוק גאוס )צפיפות קבועה(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נתייחס למקרה ככדור שלם ומלא )רדיוס ‪ ( R‬בעל צפיפות מטען ‪ , ρ‬וכדור קטן )רדיוס ‪ ( b‬בעל צפיפות‬
‫מטען ‪ . − ρ‬מחשב את השדה שגורם כל אחד מהכדורים "הדמיוניים"‪ ,‬וסכום של שני השדות ייתן לנו את‬
‫השדה אותו אנו מחפשים‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫נסמן את השדה שיוצר כדור מלא‪ ,‬בעל רדיוס ‪ , R‬ב ‪. E 1 -‬‬
‫‪r‬‬
‫את השדה שיוצר כדור מלא )עם צפיפות שלילית( בעל רדיוס ‪ , R‬ב ‪. E 2 -‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬שדה חשמלי בתוך כדור מלא וטעון בעל צפיפות מטען אחידה ‪ ρ‬ניתן ע"י‪:‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪3Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫=‪ρ‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4πR (1 − 0.25) πR 3‬‬
‫‪4πR‬‬
‫) ‪4π(0.5R‬‬
‫‪−‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4πkρ r 4πk Q r 4kQ r‬‬
‫= ‪E in1‬‬
‫=‪r‬‬
‫⋅‬
‫=‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 πR 3‬‬
‫‪3R 3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4πkρ r‬‬
‫‪4πk Q r‬‬
‫‪4kQ r‬‬
‫‪E in2 = −‬‬
‫‪r=−‬‬
‫⋅‬
‫‪r=− 3 r‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 πR‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪k 4πR 3 ρ r k 4πR 3 ρ Q r 4kQ r‬‬
‫‪E out1 = 3‬‬
‫‪r= 3‬‬
‫⋅‬
‫‪r= 3 r‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪πR 3‬‬
‫‪3r‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪k 4π(0.5R ) ρ r‬‬
‫‪k πR ρ Q r‬‬
‫‪kQ r‬‬
‫‪E out2 = − 3‬‬
‫‪r =− 3‬‬
‫⋅‬
‫‪r =− 3 r‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪πR‬‬
‫‪3r‬‬
‫א‪ .‬חישוב השדה בנקודה ‪: O‬‬
‫לא מתאים לתשובה המופיעה בתרגיל!‬
‫‪r‬‬
‫‪E1 = 0‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ‪4kQ  R  2kQ‬‬
‫= ‪E 2 = − 3  − ⋅ ˆj ‬‬
‫‪⋅j‬‬
‫‪3R  2  3R 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ‪2kQ‬‬
‫= ‪E O = E1 + E 2‬‬
‫‪⋅j‬‬
‫‪3R 2‬‬
:A ‫ חישוב השדה בנקודה‬.‫ב‬
(
)
r
4kQ
4kQ
E1 =
− R ⋅ ˆj = − 2 ⋅ ˆj
3
3R
3R
r
2kQ  3R ˆ  16kQ  3R ˆ  8kQ ˆ
kQ r
E2 = − 3 r = −
⋅ −
⋅ j =
⋅ j =
⋅j
3 
3 
2
2
2
3r
81R
27R




3R


3

 2 
r
r
r
4kQ
8kQ ˆ kQ  4 8  ˆ 68kQ ˆ
E A = E1 + E 2 = − 2 ⋅ ˆj +
⋅ j = 2 − + ⋅ j =
⋅j
3R
27R 2
R  3 27 
27R 2
!‫לא מתאים לתשובה המופיעה בתרגיל‬
.‫ג‬
‫חוק גאוס – צפיפות קבועה‬
‫מצאו את השדה החשמלי במרחב עבור לוח עבה אינסופי בעל עובי ‪ , d 0‬עם צפיפות מטען אחידה ‪. ρ‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪d0‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫מבט מהצד‪:‬‬
‫‪Z‬‬
‫מישור ‪XY‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪d0‬‬
‫משיקולים של סימטריה )זהים לאלה של לוח מישורי ללא עובי( מסיקים שכיוון השדה החשמלי ניצב‬
‫ללוח בכיוון החוצה מהלוח‪ .‬ניצור מעטפת גאוס קובייתית כך ששטח הפאה העליונה ושטח הפאה‬
‫התחתונה הוא ‪ . A‬מרחק הפאה העליונה ומרחק הפאה התחתונה ממישור ‪ XY‬שווה‪ .‬נכתוב את חוק‬
‫גאוס ונחשב בנפרד כל אחד מצידי המשוואה‪:‬‬
‫‪r r q in‬‬
‫‪∫ E ⋅ dS = ε 0‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫ ⋅ dS = 2EA‬‬
‫‪q in ρV ρd 0 A‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪r‬‬
‫שימו לב שבחישוב האינטגרל‪ ,‬רק דרך הפאות העליונה והתחתונה יש שטף מכיוון שבפאות האלה‪E ,‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫מקביל ל ‪ S‬ואילו בשאר הפאות ‪ E‬ניצב ל ‪. S‬‬
‫נשווה בין הצדדים‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫ˆ ‪d 0  ρd 0‬‬
‫‪E z > 2  = 2ε k‬‬
‫‪ρd 0 A‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪2EA‬‬
‫‪⇒ ‬‬
‫‪ε0‬‬
‫ˆ‪E z < d 0  = − ρd 0 k‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫כעת ניצור מעטפת גאוס קובייתית כך שהגובה שלה קטן מעובי הלוח‪ ,‬ושוב מרחק הפאות העליונה‬
‫והתחתונה ממישור יהיה שווה ל ‪: z‬‬
‫‪Z‬‬
‫מישור ‪XY‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪d0‬‬
‫נחשב את השדה מתוך חוק גאוס‪:‬‬
‫‪r r q in‬‬
‫‪∫ E ⋅ dS = ε 0‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫ ⋅ dS = 2EA‬‬
‫‪q in ρV ρ 2zA‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪  d0‬‬
‫ˆ ‪ ρz‬‬
‫‪E  2 > z > 0  = ε k‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪E 0 > z > − d 0  = − ρz k‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ε0‬‬
‫⇒‬
‫‪ρ 2zA‬‬
‫‪ε0‬‬
‫= ‪2EA‬‬
‫חוק גאוס צפיפות קבועה )‪ 2.42‬מחוברת הקורס(‬
‫מישור אינסופי טעון בצפיפות משטחית אחידה ‪ . σ‬שכבה מישורית אינסופית של מטען‬
‫בעל רוחב ‪ d 0‬וצפיפות אחידה‪ , ρ ,‬צמודה למישור‪ .‬כל המטענים קבועים למקומותיהם‪.‬‬
‫חשבו את השדה החשמלי בכל אזורי המרחב‪ .‬קחו את ראשית הצירים במרכז השכבה‬
‫המישורית‪.‬‬
‫‪d‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נחשב לחוד את השדה החשמלי שיצור המישור ואת השדה החשמלי שיוצרת השכבה‪ .‬אחר כך נוכל לחבר‬
‫)סופרפוזיציה( את השדות בכל אחד מהאזורים‪.‬‬
‫שדה חשמלי שיוצר מישור אינסופי בעל צפיפות משטחית אחידה ‪) σ‬מתקבל ע"י חוק גאוס‪ ,‬בד"כ מתבצע‬
‫בהרצאה(‪:‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫=‪E‬‬
‫כיוון השדה‪ ,‬עבור צפיפות חיובית הוא בניצב למישור‪ ,‬כלפי חוץ‪.‬‬
‫שדה חשמלי שיוצרת השכבה העבה בעלת צפיפות אחידה ‪ , ρ‬מחושב בנספח המצורף בהמשך ע"י חוק‬
‫גאוס‪ .‬החישוב הוא עבור ציר ‪ z‬מאונך לשכבה כך שראשיתו במרכז השכבה‪.‬‬
‫השדה מבחוץ‪:‬‬
‫ˆ ‪d 0  ρd 0‬‬
‫‪k‬‬
‫=‪‬‬
‫‪2  2ε 0‬‬
‫‪d0 ‬‬
‫‪ρd‬‬
‫ˆ‪ = − 0 k‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪ ‬‬
‫> ‪E  z‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫< ‪E z‬‬
‫‪ ‬‬
‫השדה מבפנים‪:‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪ d0‬‬
‫‪>z>− 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫ˆ ‪ρz‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ε0‬‬
‫=‪E‬‬
‫לאחר סופרפוזיציה‪ ,‬מקבלים את השדה במרחב שיוצרים המישור והשכבה ביחד )זו התשובה לשאלה(‪:‬‬
‫‪ σ‬‬
‫‪ρd ‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪‬‬
‫‪E =  −‬‬
‫‪− 0  ⋅ kˆ ,‬‬
‫‪z < − 0 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2ε 0 2ε 0 ‬‬
‫‪ d0‬‬
‫‪‬‬
‫‪< z < 0‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ σ‬‬
‫ˆ ‪ρz ‬‬
‫‪ ⋅ k ,‬‬
‫‪E = ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ 2ε 0 ε 0 ‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 > z > 0 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ σ‬‬
‫ˆ ‪ρz ‬‬
‫‪ ⋅ k ,‬‬
‫‪E = ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ 2ε 0 ε 0 ‬‬
‫‪ d0‬‬
‫‪‬‬
‫‪< z‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ σ‬‬
‫‪ρd ‬‬
‫‪E = ‬‬
‫‪+ 0  ⋅ kˆ ,‬‬
‫‪ 2ε 0 2ε 0 ‬‬
‫נספח לחישוב שדה של שכבה מישורית טעונה אחיד‪:‬‬
‫נבחר את הראשית במרכז השכבה‪ .‬מבט מהצד‪:‬‬
‫‪z‬‬
‫מישור ‪xy‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪d0‬‬
‫משיקולים של סימטריה )זהים לאלה של לוח מישורי ללא עובי( מסיקים שכיוון השדה החשמלי ניצב‬
‫ללוח בכיוון החוצה מהלוח‪ .‬ניצור מעטפת גאוס קובייתית כך ששטח הפאה העליונה ושטח הפאה‬
‫התחתונה הוא ‪ . A‬מרחק הפאה העליונה ומרחק הפאה התחתונה ממישור ‪ XY‬שווה‪ .‬נכתוב את חוק‬
‫גאוס ונחשב בנפרד כל אחד מצידי המשוואה‪:‬‬
‫‪r r q in‬‬
‫‪∫ E ⋅ dS = ε 0‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫ ⋅ dS = 2EA‬‬
‫‪q in ρV ρd 0 A‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪r‬‬
‫שימו לב שבחישוב האינטגרל‪ ,‬רק דרך הפאות העליונה והתחתונה יש שטף מכיוון שבפאות האלה‪E ,‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫מקביל ל ‪ S‬ואילו בשאר הפאות ‪ E‬ניצב ל ‪. S‬‬
‫נשווה בין הצדדים‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫ˆ ‪d 0  ρd 0‬‬
‫‪k‬‬
‫=‪‬‬
‫> ‪E  z‬‬
‫‪2  2ε 0‬‬
‫‪ρd 0 A‬‬
‫‪ ‬‬
‫= ‪2EA‬‬
‫‪⇒ ‬‬
‫‪ε0‬‬
‫ˆ‪E z < d 0  = − ρd 0 k‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫כעת ניצור מעטפת גאוס קובייתית כך שהגובה שלה קטן מעובי הלוח‪ ,‬ושוב מרחק הפאות העליונה‬
‫והתחתונה ממישור יהיה שווה ל ‪: z‬‬
‫‪z‬‬
‫מישור ‪xy‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪d0‬‬
‫‪r r q‬‬
‫נחשב את השדה מתוך חוק גאוס ) ‪:( ∫ E ⋅ dS = in‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪q in‬‬
‫‪ρV ρ 2zA‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪ d0‬‬
‫‪>z>− 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫ˆ ‪ρz‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ε0‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫ ⋅ dS = 2EA ,‬‬
‫⇒‬
‫‪ρ 2zA‬‬
‫‪ε0‬‬
‫= ‪2EA‬‬
‫חוק גאוס – צפיפות קבועה‬
‫בעזרת חוק גאוס קבעו מהו השדה החשמלי במרחב הנוצר ע"י גליל אינסופי‪ ,‬שרדיוסו ‪ , R 1‬הטעון‬
‫בצפיפות מטען אחידה ‪ , ρ‬ועטוף ע"י גליל שני חלול‪ ,‬שרדיוסו הפנימי ‪ R 2‬והחיצוני ‪ , R 3‬וצפיפות מטען‬
‫‪ . - ρ‬חתך הרוחב של שני הגלילים נראה הציור‪.‬‬
‫‪−ρ‬‬
‫‪R3‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪ρ R‬‬
‫‪1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫יש ‪ 4‬אזורים שבהם נמצא את השדה‪ ,‬עבור כל אחד מהם ניצור מעטפת גאוס מתאימה‪.‬‬
‫ניצור מעטפת גאוס גלילית עם רדיוס ‪ r > R 3‬ואורך ‪: L‬‬
‫‪q in‬‬
‫‪ε0‬‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪∫ E ⋅ dS‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫ ⋅ dS = E2πrL‬‬
‫‪q in ρV − ρπ R 32 − R 22 L ρπR 12 L ρπ R 12 − R 32 + R 22 L‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫(‬
‫‪ρ R 12 − R 32 + R 22‬‬
‫‪2ε 0 r‬‬
‫= ) ‪⇒ E(r > R 3‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪ρπ R 12 − R 32 + R 22 L‬‬
‫‪ε0‬‬
‫= ‪E2πrL‬‬
‫ניצור מעטפת גאוס גלילית עם רדיוס ‪ R 2 < r < R 3‬ואורך ‪: L‬‬
‫‪q in‬‬
‫‪ε0‬‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪∫ E ⋅ dS‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫ ⋅ dS = E2πrL‬‬
‫‪q in ρV − ρπ r 2 − R 22 L ρπR 12 L ρπ R 12 − r 2 + R 22 L‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫(‬
‫‪ρ R 12 − r 2 + R 22‬‬
‫= ) ‪⇒ E(R 2 < r < R 3‬‬
‫‪2ε 0 r‬‬
‫ניצור מעטפת גאוס גלילית עם רדיוס ‪ R 1 < r < R 2‬ואורך ‪: L‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ρπ R 12 − r 2 + R 22 L‬‬
‫= ‪E2πrL‬‬
‫‪ε0‬‬
r
r
∫ E ⋅ dS =
q in
ε0
r r
E
∫ ⋅ dS = E2πrL
q in ρV ρπR 12 L ρπR 12 L
=
=
=
ε0
ε0
3ε 0
3ε 0
E2πrL =
ρπR 12 L
3ε 0
ρR 12
6ε 0 r
: L ‫ ואורך‬r < R 1 ‫ניצור מעטפת גאוס גלילית עם רדיוס‬
⇒ E(R 1 < r < R 2 ) =
r r q in
E
∫ ⋅ dS = ε 0
r r
∫ E ⋅ dS = E2πrL
q in ρV ρπr 2 L ρπr 2 L
=
=
=
ε0
ε0
ε0
ε0
E2πrL =
ρπr 2 L
ε0
⇒ E(R 1 < r < R 2 ) =
ρr
2ε 0
‫חוק גאוס )צפיפות קבועה( ‪ +‬סופרפוזיציה‬
‫המערכת בשרטוט מכילה כדור מלא טעון אחיד )מטען ‪ , Q‬רדיוס ‪ ,( R‬ומוט טעון אחיד )מטען ‪ , q‬אורך‬
‫‪ .( R‬המרחק בין קצה השמאלי של המוט למרכז הכדור הוא ‪. 3R‬‬
‫א‪ .‬מצאו את השדה החשמלי בנקודה ‪ ,A‬הנמצאת במרחק ‪ R‬מימין לקצה הימני של המוט‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את השדה החשמלי בנקודה ‪ ,C‬הנמצאת במרחק ‪ 2R‬ממרכז המוט )על הציר האנכי(‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫שדה חשמלי של כדור מלא )חישוב זה רלוונטי לשני הסעיפים(‪:‬‬
‫‪r r q in‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫ ⋅ dS = ε 0‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ E ⋅ dS = E ⋅ 4πr‬‬
‫‪Qr‬‬
‫‪kQr‬‬
‫ˆ‪= 3 r‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4πε 0 R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪q in ρV 3Q ⋅ 4π r 3‬‬
‫‪Qr 3‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪4π R 3 ⋅ 3ε 0 ε 0 R 3‬‬
‫⇒‬
‫) ‪(r < R‬‬
‫‪q in Q‬‬
‫=‬
‫‪ε0 ε0‬‬
‫⇒‬
‫) ‪(r > R‬‬
‫‪Qr 3‬‬
‫‪ε0R 3‬‬
‫= ‪⇒ E ⋅ 4π r 2‬‬
‫) ‪(r < R‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ε0‬‬
‫= ‪⇒ E ⋅ 4π r 2‬‬
‫) ‪(r > R‬‬
‫‪r‬‬
‫= ) ‪⇒ E(r < R‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪kQ‬‬
‫ˆ‪= 2 r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π ε 0 r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ) ‪⇒ E(r > R‬‬
‫א‪ .‬שדה חשמלי שיוצר מוט בנקודה נמצאת על המשכו‪ ,‬עפ"י חישוב שהתבצע בכיתה ) ‪ h‬הוא המרחק של‬
‫הנקודה מקצה המוט‪ L ,‬הוא אורך המוט(‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪kQ‬‬
‫=‪E‬‬
‫ˆ‪⋅ x‬‬
‫) ‪h (h + L‬‬
‫השדה החשמלי שיוצר המוט בנקודה ‪:A‬‬
‫‪r‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪kQ‬‬
‫=‪E‬‬
‫= ˆ‪⋅ x‬‬
‫= ˆ‪⋅ x‬‬
‫ˆ‪⋅ x‬‬
‫) ‪h (h + L‬‬
‫) ‪R (R + R‬‬
‫‪2R 2‬‬
‫השדה החשמלי שיוצר הכדור המלא בנקודה ‪:A‬‬
‫‪r kQ‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪kQ‬‬
‫= ˆ‪E = 2 ⋅ x‬‬
‫= ˆ‪⋅ x‬‬
‫ˆ‪⋅ x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪25R 2‬‬
‫) ‪(5R‬‬
‫השדה כולל בנקודה ‪ A‬מתקבל מהחיבור הוקטורי של שני השדות‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪kQ  1 1 ‬‬
‫‪kQ  27 ‬‬
‫= ‪EA‬‬
‫‪⋅ xˆ +‬‬
‫ˆ‪⋅ xˆ = 2 ⋅  +  ⋅ xˆ = 2 ⋅   ⋅ x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪25R‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪R  2 25 ‬‬
‫‪R  50 ‬‬
:(‫ שדה חשמלי שיוצר מוט לא אינסופי )בנקודה לא סימטרית‬.‫ב‬
y
x
x1
x2
y
x
r
θ
r
dE
θ
:‫נגדיר שדה דיפרנציאלי‬
r kdq
dE = 2 rˆ
r
:‫עפ"י השרטוט‬
y
cosθ
rˆ = −sin θ ⋅ xˆ − cosθ ⋅ yˆ
cosθ =
y
r
⇒ r=
:‫נגדיר את המטען הדיפרנציאלי ע"י הזווית‬
x
= tan θ ⇒
y
dq = λ ⋅ dL =
dx
dθ
=
y tan θ
⇒ dx =
y ⋅ dθ
cos 2 θ
Q
Q ⋅ y ⋅ dθ
dx =
L
L ⋅ cos 2 θ
:‫נציב בשדה הדיפרנציאלי‬
2
r kdq
kQ ⋅ y ⋅ dθ cos θ
kQ
dE = 2 rˆ =
⋅ 2 ⋅ (− sin θ ⋅ xˆ − cosθ ⋅ yˆ ) =
⋅ (− sin θ ⋅ xˆ − cosθ ⋅ yˆ )dθ
2
r
L ⋅ cos θ
y
Ly
:‫חישוב השדה ע"י אינטגרל‬
θ2
r
r kQ
kQ
θ
E = ∫ dE =
⋅ ∫ (− sin θ ⋅ xˆ − cosθ ⋅ yˆ )dθ =
⋅ [cosθ ⋅ xˆ − sin θ ⋅ yˆ]θ12 =
Ly θ1
Ly
=
kQ
⋅ [(cosθ 2 − cosθ1 ) ⋅ xˆ − (sin θ 2 − sin θ1 ) ⋅ yˆ]
Ly
:‫את הסינוס והקוסינוס של הזויות ניתן לחשב ע"י מיקומי קצוות המוט יחסית למערכת הצירים שנבחרה‬
x1
y
sin θ1 =
cosθ1 =
x 12 + y 2
x 12 + y 2
sin θ 2 =
x2
x 22 + y 2
cosθ 2 =
y
x 22 + y 2
R
1
=−
sin θ1 = −
17
2 0.25R 2 + 4R 2
R
1
sin θ 2 =
=
17
2 0.25R 2 + 4R 2
:‫ מתקיים‬,(‫ )על האנך המרכזי של המוט‬C ‫עבור נקודה‬
2R
4
=
cosθ1 =
17
0.25R 2 + 4R 2
2R
4
cosθ 2 =
=
17
0.25R 2 + 4R 2
:‫ הוא‬C ‫כך שהשדה החשמלי שיוצר המוט בנקודה‬
r kQ
E=
⋅ [(cosθ 2 − cosθ1 ) ⋅ xˆ − (sin θ 2 − sin θ1 ) ⋅ yˆ] =
Ly
=
kQ  4
4 
 1
1  
⋅ 
−
+
 ⋅ xˆ − 
 ⋅ yˆ  =
R ⋅ 2R  17
17 
17  
 17
=−
2 kQ
1 kQ
⋅ 2 ⋅ yˆ = −
⋅ 2 ⋅ yˆ
17 2R
17 R
:C ‫השדה שיוצר הכדור המלא בנקודה‬
r 7
r = R ⋅ xˆ − 2R ⋅ yˆ
2
2
65
 7R 
 49
 2
2
r= 
⋅R =
 + (2R ) =  + 4  ⋅ R =
4
 2 
 4

r kQ
kQ r
kQ
7

E = 2 rˆ = 3 r =
⋅ R ⋅ xˆ − 2R ⋅ yˆ  =
3 
r
r

 65   2


R
⋅
 2



=
65
⋅R
2
kQ 8
⋅
R 2 2 653
7

 ⋅ xˆ − 2 ⋅ yˆ  =
2


kQ  28
16


ˆ
ˆ
x
y
⋅
−
⋅

3
2
R 2  2 653
65

:‫נחבר את השדה שיוצר המוט עם השדה שיוצר הכדור המלא‬
r
 kQ  28
 1

 1 kQ   kQ  28
16
16
EC =  −
⋅ 2 ⋅ yˆ  +  2 
⋅ xˆ −
⋅ yˆ  = 2 ⋅ 
⋅ xˆ − 
+
⋅ yˆ 
2
2
 17 R
  R  2 653
653  R  2 653
653 
 17
‫חוק גאוס צפיפות משתנה‪ 2.33):‬מחוברת הקורס(‬
‫קליפה כדורית עבה שרדיוסיה הפנימי והחיצוני הם ‪ a‬ו ‪ b‬נושאת מטען בצפיפות נפחית לא אחידה‪,‬‬
‫‪A‬‬
‫‪r‬‬
‫= ) ‪ , ρ (r‬כאשר ‪ A‬הינו קבוע מספרי‪ .‬במרכזו של החלל הכדורי ) ‪ ( r = 0‬מצוי מטען נקודתי ‪. + q‬‬
‫מה צריך להיות הקבוע המספרי ‪ A‬על מנת שהשדה בתחום ‪ a‬יהיה קבוע‪ ,‬כלומר בלתי תלוי במרחק‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נחשב את השדה החשמלי ברדיוס מסוים בתוך הכדור ונדרוש שיהיה קבוע‪:‬‬
‫‪r r q in‬‬
‫‪E‬‬
‫= ‪∫ ⋅ dS‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫ ⋅ dS = E ⋅ 4π r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r 2 ‬‬
‫‪A‬‬
‫= ‪q in = q + ∫ ρ (r )dV = q + ∫ ⋅ 4π r 2 dr = q + 4πA ⋅ ∫ rdr = q + 4πA ⋅  ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ 2 a‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ r 2 a2 ‬‬
‫‪ = q + 2πAr 2 + 2πAa 2‬‬
‫‪= q + 4πA ⋅  −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r r q in‬‬
‫‪⇒ E ⋅ 4π r 2 = q + 2πAr 2 + 2πAa 2‬‬
‫= ‪∫ E ⋅ dS‬‬
‫‪ε0‬‬
‫כדי שנוכל לצמצם את ‪ r 2‬בשני הצדדים של מהשואה וכך השה לא יהיה תלוי ב ‪ , r‬צריך שהקבועים‬
‫בצד ימין של המשוואה יצטמצמו‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2π a 2‬‬
‫=‪A‬‬
‫⇒ ‪q + 2πAa 2 = 0‬‬
‫חוק גאוס )צפיפות קבועה(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬השדה החשמלי במוליך עצמו הוא אפס )מכיוון שזה מה שקורה במוליך(‪ .‬אם ניצור מעטפת גאוס‬
‫גלילית בתוך המוליך הצינורי נקבל שסך כל המטען בתוך המעטפת חייב להיות שווה אפס‪ ,‬ע"י הדרישה‬
‫הזאת נמצא את צפיפות המטען ברדיוס הפנימי של הצינור‪:‬‬
‫‪λ ⋅ L + λ a ⋅ L = 0 ⇒ λ a = −λ‬‬
‫ברדיוס החיצוני צפיפות המטען היא‪:‬‬
‫‪λ a + λ b = 2λ ⇒ λ b = 2λ - λ a = 2λ + λ = 3λ‬‬
‫ב‪ .‬השדה החשמלי במרחב נחשב ע"י חוק גאוס‪ .‬צידו השמאלי של החוק זהה לכל האזורים‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪∫ E ⋅ dS = E ⋅ 2π rL‬‬
‫כאשר ‪ r‬הוא רדיוס מעטפת גאוס הגלילית‪ ,‬ו ‪ L‬הוא אורך המעטפת‪.‬‬
‫הצד הימני של החוק תלוי במטען הכלוא במעטפת‪:‬‬
‫‪q in‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪3λ ⋅ L‬‬
‫‪3λ‬‬
‫=‪⇒ E‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪2 π rε 0‬‬
‫= ‪E ⋅ 2 π rL‬‬
‫= ‪⇒ q in = λ ⋅ L − λ ⋅ L + 3λ ⋅ L = 3λ ⋅ L ⇒ E ⋅ 2 π rL‬‬
‫) ‪(r > b‬‬
‫‪⇒ q in = λ ⋅ L − λ ⋅ L = 0 ⇒ E ⋅ 2 π rL = 0 ⇒ E = 0‬‬
‫) ‪(a < r < b‬‬
‫= ‪⇒ q in = λ ⋅ L ⇒ E ⋅ 2 π rL‬‬
‫) ‪(0 < r < a‬‬
‫‪λ⋅L‬‬
‫‪λ‬‬
‫=‪⇒ E‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪2 π rε 0‬‬
‫חוק גאוס – צפיפות משתנה‬
‫כדור מלא בעל רדיוס ‪ ,R‬טעון בצפיפות מטען משתנה‪ ,‬התלויה ב‪ ,r-‬הוא המרחק ממרכז הכדור‪ .‬מטענו‬
‫הכולל של הכדור הוא ‪ .Q‬מה צריכה להיות צפיפות המטען הנפחית של הכדור‪ , ρ (r ) ,‬כדי שהשדה‬
‫החשמלי בתוך הכדור יהיה קבוע בגודלו? נתונים‪. ε 0 ,Q ,R :‬‬
‫הדרכה‪ :‬רשמו את חוק גאוס למקרה של השדה בתוך הכדור ודרשו שהשדה יהיה קבוע )ללא תלות ב‪.(r-‬‬
‫תקבלו תנאי על האינטרגל של ) ‪ , ρ (r‬ממנו ניתן למצוא את ) ‪) ρ (r‬עד כדי קבוע(‪ .‬הערה‪ :‬על מנת‬
‫למצוא את התלות המפורשת ) ‪ , ρ (r‬צריך למצוא את הקבוע‪ .‬מציאתו ‪ -‬מתוך התנאי על המטען הכולל‬
‫)אינטגרל נפחי על הצפיפות נותן ‪.(Q‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫כדי למצוא את הצפיפות המתאימה‪ ,‬תחילה נדרוש שהשדה החשמלי יהיה קבוע‪.‬‬
‫שדה חשמלי בתוך כדור מלא תלוי רק בכמות המטען‪ , Q ,‬הנמצא ברדיוס הקטן מהרדיוס בו בודקים את‬
‫השדה‪:‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪E= 2‬‬
‫‪r‬‬
‫כאשר ‪ R‬זהו המרחק ממרכז הכדור של הנקודה בה בודקים את השדה‪.‬‬
‫עבור המטען ‪ q‬מתקיים‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪q = ∫ 4πr 2 ρ (r )dr‬‬
‫‪0‬‬
‫לפיכך הדרישה שלנו היא‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪k‬‬
‫‪4π r 2 ρ (r )dr = Const‬‬
‫∫ ‪2‬‬
‫‪r 0‬‬
‫=‪E‬‬
‫כלומר ש ‪ E‬לא יהיה פונקציה של ‪. r‬‬
‫כעת יש לנו דרישה חדשה‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪q = ∫ 4πr 2 ρ (r )dr = C1r 2‬‬
‫‪0‬‬
‫כאשר ‪ C1‬הוא קבוע‪.‬‬
‫מכיוון שרוצים שהתלות ב ‪ R‬בביטוי עבור השדה החשמלי ‪ E‬תצטמצם‪.‬‬
‫וכדי שדרישה זו תתקיים‪ ρ (r ) ,‬צריך לקיים‪:‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪r‬‬
‫= ) ‪ρ (r‬‬
‫כאשר ‪ C 2‬הוא קבוע‪.‬‬
‫נבצע בדיקה‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪C‬‬
‫‪4πkC 2  r 2 ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫= ‪E = 2 ∫ 4πr 2 ρ (r )dr = 2 ∫ 4πr 2 2 dr‬‬
‫‪  = 2πkC 2 = Const‬‬
‫‪r 0‬‬
‫‪r 0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪R2  2 0‬‬
‫ניתן למצוא את הקבוע ‪ C 2‬מתוך דרישה על המטען‪:‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪2πkR 2‬‬
‫‪R‬‬
‫= ‪⇒ C2‬‬
‫‪r2 ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Q = ∫ 4πr ρ (r )dr = ∫ 4πr 2 dr = 4πC 2   = 2πkR 2 C 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ 2 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫פוטנציאל – צפיפות קבועה‪:‬‬
‫נתונות שתי קליפות כדוריות עם מרכז משותף‪ ,‬עם רדיוסים ‪ R 1‬ו ‪ , R 2‬בעלות מטענים ‪ − 3Q‬ו ‪. 5Q‬‬
‫במרכז נמצא מטען של ‪ . 3Q‬עפ"י האיור הבא‪:‬‬
‫‪5Q‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪- 3Q‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪3Q‬‬
‫א‪ .‬מצאו השדה החשמלי במרחב‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את הפוטנציאל במרחב‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬ניתן לחשב את השדה החשמלי בכל מקום במרחב ע"י סופרפוזיציה של השדות החשמליים שיוצרים‬
‫כל אחד מהגופים במרחב‪ .‬להזכירכם‪ ,‬שדה של קליפה מחוץ ניתן להתייחס כאל שדה של מטען נקודתי‪,‬‬
‫ובתוך הקליפה הוא אפס‪:‬‬
‫‪k (5Q − 3Q + 3Q ) 5kQ‬‬
‫= ) ‪E 1 (r > R 2‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪r‬‬
‫) ‪k (− 3Q + 3Q‬‬
‫= ) ‪E 2 (R 1 < r < R 2‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪k (3Q ) 3kQ‬‬
‫= ) ‪E 3 (r < R 1‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪r‬‬
‫ב‪ .‬את הפוטנציאל נחשב ע"י אינטגרל האינסוף )שם אנט מגדירים הפוטנציאל להיות שווה אפס עבור‬
‫הסימטריה הכדורית( עד לנקודה בה מחשבים את הפוטנציאל‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪5kQ‬‬
‫‪5kQ‬‬
‫‪ 5kQ ‬‬
‫‪V1 (r > R 2 ) = − ∫ E 1dr = − ∫ 2 dr = − −‬‬
‫=‬
‫‪‬‬
‫∞‪r ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫∞‬
‫‪∞ r‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5kQ‬‬
‫‪5kQ‬‬
‫‪ 5kQ ‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫∞‪r ‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪‬‬
‫‪∞ r‬‬
‫∫ ‪V2 (R 1 < r < R 2 ) = − ∫ E 1dr − ∫ E 2 dr = −‬‬
‫‪r‬‬
‫‪R2‬‬
‫∞‬
‫‪R2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪5kQ‬‬
‫‪3kQ‬‬
‫= ‪V3 (r < R 1 ) = − ∫ E 1dr − ∫ E 2 dr − ∫ E 3 dr = − ∫ 2 dr − 0 − ∫ 2 dr‬‬
‫∞‬
‫‪R2‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪∞ r‬‬
‫‪R1 r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5kQ 3kQ 3kQ‬‬
‫‪ 5kQ ‬‬
‫‪ 3kQ ‬‬
‫‪− −‬‬
‫‪− −‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r ∞ ‬‬
‫‪r  R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪‬‬
‫פוטנציאל – צפיפות קבועה‬
‫נתונים שני כדורים מלאים בעלי רדיוסים ‪ R 1‬ו ‪ . R 2‬לשני הכדורים צפיפות מטען נפחית אחידה ‪. ρ‬‬
‫מרכזי הכדורים נמצאים במרחק ‪. 3R‬‬
‫א‪ .‬מצאו את השדה החשמלי לאורך הציר המחבר את מרכזי שני הכדורים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את הפוטנציאל לאורך הציר המחבר את מרכזי שני הכדורים‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫השרטוט המתאים לשאלה כאשר ‪ 3R‬הוא המרחק בין מרכזי הכדורים‪:‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪x=0‬‬
‫קיימים מספר תחומים‪:‬‬
‫עבור ‪: x < -R 1‬‬
‫‪kρ 4πR 13 kρ 4πR 32‬‬
‫‪+‬‬
‫) ‪3(- x‬‬
‫) ‪3(3R - x‬‬
‫=‪V‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ kρ 4πR 13‬‬
‫ˆ ‪kρ 4πR 32 ‬‬
‫ˆ ‪d  kρ 4πR 13 kρ 4πR 32 ‬‬
‫‪E=− ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ i = −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫) ‪dx  3(- x‬‬
‫‪3(3R - x ) ‬‬
‫‪3(3R - x ) ‬‬
‫‪ 3x‬‬
‫עבור ‪: - R 1 < x < 0‬‬
‫‪kρ 4πR 32‬‬
‫) ‪kρ 4π(- x‬‬
‫‪kρ 4πx 2 kρ 4πR 32‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫) ‪3(- x‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪3(3R - x‬‬
‫) ‪3(3R - x‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪V‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ kρ8πx‬‬
‫ˆ ‪kρ 4πR 32 ‬‬
‫ˆ ‪d  kρ 4πx 2 kρ 4πR 32 ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪E=− ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪i‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪dx  3‬‬
‫‪3(3R - x ) ‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪3‬‬
‫‪3R‬‬
‫‬‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫עבור ‪: 0 < x < R 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪kρ 4πR‬‬
‫‪kρ 4πR‬‬
‫‪kρ 4πx‬‬
‫‪kρ 4πx‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪3(3R - x‬‬
‫) ‪3(3R - x‬‬
‫=‪V‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ kρ8πx‬‬
‫ˆ ‪kρ 4πR 32 ‬‬
‫ˆ ‪d  kρ 4πx 2 kρ 4πR 32 ‬‬
‫‪E=− ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪dx  3‬‬
‫‪3(3R - x ) ‬‬
‫‪3(3R - x ) ‬‬
‫‪ 3‬‬
‫הביטויים של שני התחומים האחרונים יצאו זהים!!!‬
‫עבור ) ‪: R 1 < x < (3R − R 2‬‬
kρ 4πR 13 kρ 4πR 32
V=
+
3x
3(3R - x )
r
 kρ 4πR 13
kρ 4πR 32  ˆ
d  kρ 4πR 13 kρ 4πR 32  ˆ
E=− 
i
i=
−
=
−
−
+


2
2 
dx  3x
3(3R - x ) 
3x
(
)
3
3R
x


 kρ 4πR 13
kρ 4πR 32  ˆ
i
−

2
2 
3x
3
3R
x
(
)


V=
kρ 4πR
kρ 4πR
kρ 4π(x - 3R )
kρ 4π(x - 3R )
+
=
+
3x
3(x - 3R )
3x
3
3
3
1
3
1
: (3R − R 2 ) < x < 3R ‫עבור‬
2
2
r
 kρ 4πR 13 kρ8π(x - 3R )  ˆ
d  kρ 4πR 13 kρ 4π(x - 3R )  ˆ
E=− 
+
i
=
−
+

−
i =
dx  3x
3
3
3x 2



 kρ 4πR 13 kρ8π(x - 3R ) ˆ
−

i
2
3
 3x

V=
kρ 4πR
kρ 4πR
kρ 4π(x - 3R )
kρ 4π(x - 3R )
+
=
+
3x
3
3x
3(x - 3R )
3
3
1
3
1
: 3R < x < (3R + R 2 ) ‫עבור‬
2
2
r
 kρ 4πR 13 kρ8π(x - 3R )  ˆ
d  kρ 4πR 13 kρ 4π(x - 3R )  ˆ
E=− 
+
+
 i = − −
i =
dx  3x
3
3
3x 2



3
 kρ 4πR 1 kρ8π(x - 3R ) ˆ
−

i
2
3
 3x

!!!‫הביטויים של שני התחומים האחרונים יצאו זהים‬
: x > (3R + R 2 ) ‫עבור‬
V=
3
1
3
2
kρ 4πR
kρ 4πR
+
3x
3(x - 3R )
r
 kρ 4πR 13
kρ 4πR 32  ˆ
d  kρ 4πR 13 kρ 4πR 32  ˆ
E=− 
i=
+
−
 i = − −
2 
dx  3x
3(x - 3R ) 
3x 2
3(x - 3R ) 

 kρ 4πR 13
kρ 4πR 32  ˆ
+
i

2
2 
3(x - 3R ) 
 3x
‫פוטנציאל – צפיפות קבועה‬
‫א‪ .‬חשבו פוטנציאל של לוח אינסופי טעון אחיד בעל צפיפות מטען של ‪. σ‬‬
‫ב‪ .‬חשבו פוטנציאל של לוח אינסופי טעון אחיד בעל צפיפות מטען של ‪. − σ‬‬
‫ג‪ .‬בחרו ציר ‪ X‬בניצב ללוח ואת הכיול ‪ V = 0‬על הלוח‪ .‬שרטטו גרף המתאר את ) ‪ V(x‬עבור שני‬
‫הסעיפים הראשונים‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬שדה חשמלי של לוח אינסופי טעון אחיד בצפיפות מטען ‪: σ‬‬
‫‪E = 2πkσ‬‬
‫וכיוון השדה הוא בניצב ללוח‪ ,‬לתוך הלוח או מחוץ ללוח‪ ,‬עבור צפיפות מטען שלילית או חיובית‬
‫בהתאמה‪.‬‬
‫ב‪ .‬פוטנציאל של לוח אינסופי טעון אחיד ‪) σ‬הלוח ניצב לציר ‪:( X‬‬
‫‪x‬‬
‫‪V = − ∫ Edx = −2πkσ x‬‬
‫‪0‬‬
‫פוטנציאל של לוח אינסופי טעון אחיד ‪: − σ‬‬
‫‪V = 2πkσ x‬‬
‫ג‪ .‬הפוטנציאל ‪ V‬כפונקציה של המרחק מהלוח ‪ x‬עבור לוח בעל צפיפות מטען ‪: σ +‬‬
‫‪V‬‬
‫‪X‬‬
‫הפוטנציאל ‪ V‬כפונקציה של המרחק מהלוח ‪ x‬עבור לוח בעל צפיפות מטען ‪: - σ‬‬
‫‪V‬‬
‫‪X‬‬
‫פוטנציאל – צפיפות קבועה‬
‫א‪ .‬חשבו פוטנציאל במרחב של שני לוחות אינסופיים מקבילים‪ ,‬שהמרחק ביניהם הוא ‪ , d‬הטעונים אחיד‪,‬‬
‫בצפיפויות ‪ σ‬ו ‪ . - σ‬בחרו ציר ‪ X‬בניצב ללוחות ואת הכיול ‪ ϕ = 0‬על הלוח החיובי‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטטו גרף המתאר את ) ‪ ϕ (x‬עבור הפוטנציאל שחישבתם בסעיף הראשון‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬ישנם שלושה אזורים שונים )הגדרתי ‪ x = 0‬על הלוח החיובי וכיוון הציר חיובי הוא מלוח החיובי‬
‫לשלילי(‪:‬‬
‫‪E 1 (x < 0 ) = 0‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪ε0‬‬
‫= ) ‪E 2 (0 < x < d‬‬
‫‪E 3 (x > d ) = 0‬‬
‫הפוטנציאל בכל אחד מהאזורים‪:‬‬
‫‪ϕ (x < 0) = − ∫ E1dx = 0‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪σ⋅x‬‬
‫‪dx = −‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪x‬‬
‫∫ ‪ϕ (0 < x < d ) = − ∫ E 2 dx = −‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪σ⋅d‬‬
‫‪dx = −‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪d‬‬
‫∫ ‪ϕ (0 < x < d ) = − ∫ E 2 dx − ∫ E 3dx = −‬‬
‫ב‪ .‬שרטוט הגרף‪:‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪d‬‬
‫‪σ⋅d‬‬
‫‪ε0‬‬
‫פוטנציאל – צפיפות קבועה‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נחשב את צפיפות המטען על המקל‪ ,‬כאשר הצפיפות אחידה החישוב מבצע ע"י סה"כ המטען חלקי‬
‫סה"כ האורך‪. λ = − q L :‬‬
‫ב‪ .‬נגדיר את ראשית הצירים בנקודה השמאלית של המקל ואת כיוון הציר ימינה‪ .‬נחלק את המקל‬
‫לאלמנטים דיפרנציאליים‪ ,‬נחשב את השדה החשמלי שיוצר כל אלמנט בנקודה ‪ ,P‬ונסכום ע"י אינטגרל‬
‫כדי לקבל את השדה החשמלי‪:‬‬
‫‪r kdq‬‬
‫ˆ‪dE = 2 r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪kλ dx‬‬
‫‪ˆi‬‬
‫‪rˆ = ˆi‬‬
‫‪r = L+a−x‬‬
‫= ‪dq = λdx ⇒ dE‬‬
‫‪(L + a − x )2‬‬
‫‪L‬‬
‫ˆ ‪‬‬
‫‪1‬‬
‫ˆ‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ˆi = kλ ‬‬
‫= ‪ (L + a − x )  i = kλ  a − L + a  i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪kλ dx‬‬
‫‪(L + a − x )2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r L‬‬
‫∫ = ‪E = ∫ dE‬‬
‫‪0‬‬
‫ˆ ‪kq  L + a − a ‬‬
‫ˆ ‪kq‬‬
‫‪i=−‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪L  a (L + a ) ‬‬
‫) ‪a (L + a‬‬
‫ג‪ .‬נרשום את השדה כפונקציה של המרחק מהקצה הימני‪ ,‬לצורך העניין נגדיר את הראשית מחדש‪ ,‬בקצה‬
‫הימני של המוט‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪kq  1‬‬
‫ˆ‪1 ‬‬
‫‪E (x ) = −  −‬‬
‫‪i‬‬
‫‪L x L+x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪kq  1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪V = −∫ E ⋅ dr = −∫ −‬‬
‫= ∞‪[ln(x ) − ln(L + x )]a‬‬
‫‪ −‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪L x L+x‬‬
‫‪L‬‬
‫∞‬
‫‪−‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪[ln(a ) − ln(L + a ) − ln(∞ ) + ln(L + ∞ )] = kq ln a ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L L+a‬‬
‫הערה‪ :‬כאשר מציבים את גבולות אינסוף‪ ,‬מקבלים ) ∞(‪ ln‬ו ) ∞ ‪ , ln(L +‬בביטוי השני ניתן להזניח את‬
‫‪ , L‬ואז שני הביטויים מצטמצמים‪.‬‬
‫ד‪ .‬עבור שני הביטיים שקיבלנו נראה מה קורה עבור ‪: a >> L‬‬
‫‪kq  L  kq‬‬
‫‪kq  L ‬‬
‫⇒ ‪V = − ln + 1‬‬
‫=‪ ‬‬
‫‪L a‬‬
‫‪L a a‬‬
‫‪‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪⇒ E≈ 2‬‬
‫) ‪a (L + a‬‬
‫‪a‬‬
‫=‪E‬‬
‫פוטנציאל – צפיפות קבועה )‪ 3.12‬מחוברת הקורס(‬
‫תיל שאורכו ‪ 2l + π R‬העשוי חומר מבודד‪ ,‬כופף לצורה המורכבת משני קטעים ישרים שאורכם ‪ , l‬כל‬
‫אחד‪ ,‬המחוברים ביניהם ע"י קשת חצי מעגלית שרדיוסה ‪ R‬ומרכזה בנקודה ‪ . O‬התיל נושא מטען‬
‫חשמלי כללי ‪ + Q‬המפוזר בצורה לא אחידה על פני מקטעי התיל השונים‪ .‬המקטע הישר השמאלי נושא‬
‫מטען חשמלי חיובי המפוזר עליו בצורה אחידה בצפיפות ‪ + λ‬ואליו הקטע הישר הימני נושא מטען‬
‫חשמלי שלילי המפוזר עליו בצורה אחידה ‪ . − λ‬הקשת המעגלית נושאת מטען בצפיפות אחידה ‪. + λ‬‬
‫א‪ .‬הביעו את ‪ λ‬באמצעות ‪) Q , l , R‬לא בהכרח כולם(‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את השדה החשמלי השקול בנקודה ‪) O‬גודל וכיוון(‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשבו את הפוטנציאל החשמלי בנקודה ‪. O‬‬
‫‪+λ‬‬
‫‪−λ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪+λ‬‬
‫‪O‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נסכום את כל המטען על כל חלקי התיל ונשווהל ‪ . Q‬נוכל לבודד מהמשוואה שנקבל את ‪: λ‬‬
‫‪Q = q1 + q 2 + q 3 = λ ⋅ l + λ ⋅ π R − λ ⋅ l = λ ⋅ π R‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪πR‬‬
‫=‪λ‬‬
‫ב‪ .‬נחשב את השדה החשמלי שיוצר כל קטע בתיל ולבסוף נחבר את השדות וקטורית‪ .‬נגדיר ציר ‪x‬‬
‫חיובי ימינה וציר ‪ y‬חיובי כלפי מעלה‪ .‬ראשית הצירים בנקודה ‪. O‬‬
‫נחשב את השדה שיוצר המוט השמאלי )צפיפות חיובית(‪:‬‬
‫‪−R‬‬
‫‪−R‬‬
‫ˆ ‪k λ dx‬‬
‫ˆ ‪1 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪⋅ i = k λ − ‬‬
‫‪⋅ iˆ = k λ ⋅  −‬‬
‫‪+‬‬
‫= ‪⋅i‬‬
‫∫‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  −l − R‬‬
‫‪ −R −l−R‬‬
‫‪−l− R x‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪E1 = ∫ dE1‬‬
‫ˆ ‪l + R − R ‬‬
‫ˆ ‪k λ⋅ l‬‬
‫ˆ ‪k λ⋅ l‬‬
‫ˆ ‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= k λ⋅  −‬‬
‫= ‪⋅i‬‬
‫= ‪⋅i‬‬
‫‪⋅i‬‬
‫‪ ⋅ i = k λ⋅ ‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪R(l + R‬‬
‫) ‪R(l + R‬‬
‫‪R l+ R‬‬
‫‪ R(l + R ) ‬‬
‫המוט השלילי יוצר את אותו שדה וגם באותו כיוון‪:‬‬
‫ˆ ‪k λ⋅ l‬‬
‫‪⋅i‬‬
‫) ‪R(l + R‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪E3‬‬
‫נחשב את השדה שיוצר החלק הקשתי של התיל‪ .‬משיקולי סימטריה ניתן להבין שלאחר סכימה על כל‬
‫חלקי התיל הקשתי יישאר רק רכיב אנכי‪ ,‬כלומר בציר ‪: y‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪k λ Rd θ‬‬
‫= ‪ˆ − sinθ ⋅ ˆj = − k λ sinθ dθ ⋅ ˆj‬‬
‫∫ = ‪E 2 = ∫ dE 2‬‬
‫⋅‬
‫‪−‬‬
‫‪cos‬‬
‫⋅‬
‫‪i‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪R ∫0‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪0‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪kλ‬‬
‫‪kλ‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪⋅ [− cosθ ]0 ⋅ ˆj‬‬
‫‪[cos(π ) − cos(0)] ⋅ ˆj = k λ [− 1 − 1] ⋅ ˆj = − 2k λ ⋅ ˆj‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪=−‬‬
‫נסכום את כל השדות‪:‬‬
‫ˆ ‪k λ ⋅ l ˆ 2k λ‬‬
‫ˆ ‪k λ⋅ l‬‬
‫‪⋅i −‬‬
‫‪⋅ j+‬‬
‫= ‪⋅i‬‬
‫) ‪R(l + R‬‬
‫‪R‬‬
‫) ‪R(l + R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪E O = E1 + E 2 + E 3‬‬
‫‪2 k λ ⋅ l ˆ 2 k λ ˆ 2k λ  l‬‬
‫‪‬‬
‫‪⋅i −‬‬
‫=‪⋅j‬‬
‫‪⋅ iˆ − ⋅ ˆj ‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪R(l + R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R l+ R‬‬
‫‪‬‬
‫=‬
‫ג‪ .‬הפוטנציאל שיוצר המוט השמאלי יהיה חיובי )צפיפות חיובית( הפוטנציאל שיוצר המוט הימני יהיה‬
‫שווה לפוטנציאל שיוצר המוט השמאלי‪ ,‬אך הפוך בסימן )צפיפות שלילית(‪ ,‬כך כשנחבר הם יאפסו אחד‬
‫את השני‪ ,‬כלומר‪ ,‬אין צורך לחשב אותם‪ .‬נשאר לחשב את הפוטנציאל שיוצר החלק הקשתי של התיל‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪k λ Rdθ‬‬
‫‪= −k λ ∫ dθ = −π k λ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪0‬‬
‫‪π‬‬
‫∫ = ‪V = ∫ dV2‬‬
‫‪0‬‬
‫פוטנציאל – צפיפות קבועה‬
‫בכדור בעל רדיוס ‪ ,R‬הטעון במטען חיובי‪ ,‬בצפיפות אחידה ‪ ρ‬יש חלל כדורי בעל רדיוס ‪ .b‬הוקטור‬
‫‪r‬‬
‫ממרכז הכדור למרכז החלל מסומן ב ‪ . a‬מצאו את הפרש הפוטנציאלים בין הנקודה בחלל‪ ,‬הקרובה ביותר‬
‫למרכז הכדור )נקודה ‪ (A‬לבין הנקודה בחלל‪ ,‬הרחוקה ביותר ממרכז הכדור )נקודה ‪.(B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫את השדה החשמלי בתוך החלל חישבנו בעבר וקיבלנו שהשדה החשמלי קבוע‪:‬‬
‫‪r 4πkρ r 4πkaρ‬‬
‫=‪E‬‬
‫=‪a‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫נחשב את הפרש הפוטנציאלים‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪4πkaρ‬‬
‫‪4πkaρ‬‬
‫∫ ‪VA − VB = − ∫ E ⋅ d l = −‬‬
‫= ‪dr‬‬
‫‪(rB − rA ) = 4πkaρ [a + b − (a − b )] = 8πkabρ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪rB‬‬
‫‪rA‬‬
‫‪A‬‬
‫פוטנציאל – צפיפות אחידה‬
‫מדיסקה שרדיוסה ‪ 2 R‬הטעונה בצפיפות מטען שטחית‬
‫אחידה ‪ +σ‬הוצאה דיסקה שרדיוסה ‪ R‬כך שנוצרה‬
‫דיסקה עם חור במרכזה )ראה איור(‪ .‬הדיסקה מונחת‬
‫במישור ‪. x − y‬‬
‫א‪ .‬חשב את הפוטנציאל החשמלי בנקודה‬
‫) ‪ A(0, 0, z‬הנמצאת על ציר הסימטריה של‬
‫הדיסקה ובגובה ‪ z‬מעל מישורה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השדה החשמלי בנקודה ‪. A‬‬
‫כדור קטן שמסתו ‪ m‬ומטענו ‪ − q‬מוחזק במנוחה‬
‫בנקודה ‪. A‬‬
‫‪z‬‬
‫‪+ +‬‬
‫‪+ + +‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪++‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪++‬‬
‫‪++‬‬
‫‪++‬‬
‫‪++‬‬
‫‪R‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ + + +‬‬
‫‪+‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הכוח שהדסקה מפעילה על הכדור‬
‫כפונקציה של המרחק ממרכז הדיסקה‪.‬‬
‫ד‪ .‬אם הכדור משוחרר ממנוחה מנקודה‬
‫)‪ B(0, 0, 5 R‬באיזו מהירות הוא יחלוף דרך‬
‫מרכז הדיסקה ?‬
‫ה‪ .‬מהו סוג התנועה שיבצע הכדור ? )תנועה במהירות קבועה‪ ,‬תנועה בתאוצה קבועה‪ ,‬תנועה‬
‫בתאוצה משתנה(‬
‫‪x‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬חישוב הפוטנציאל החשמלי‪:‬‬
‫‪kdq‬‬
‫‪r ' = r 2 + z 2 dq = σ 2π rdr‬‬
‫'‪r‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪kσ ⋅ 2π rdr‬‬
‫‪2kσπ rdr‬‬
‫‪rdr‬‬
‫= ‪dV‬‬
‫∫ = ‪⇒ V = ∫ dV‬‬
‫∫ ‪= 2kσπ‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r +z‬‬
‫‪r +z‬‬
‫‪r + z2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫= ‪dV‬‬
‫)‬
‫‪+ z2 − R2 + z2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( 4R‬‬
‫‪= 2kσπ‬‬
‫]‬
‫‪2R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪+ z2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[r‬‬
‫‪= 2kσπ‬‬
‫ב‪ .‬חישוב השדה החשמלי‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ‪∂V ˆ ∂V ˆ ∂V‬‬
‫‪E=−‬‬
‫‪i−‬‬
‫‪j−‬‬
‫‪k‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂z‬‬
‫ˆ‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪R2 + z2 ‬‬
‫‪z‬‬
‫])‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪+ z 2 − R 2 + z 2 kˆ = −2kσπ ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 4R + z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[ ( 4R‬‬
‫‪r‬‬
‫∂‬
‫‪E=−‬‬
‫‪2kσπ‬‬
‫‪∂z‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ˆ‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪F = − qE = q ⋅ 2kσπ ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R + z2‬‬
‫‪ 4R + z‬‬
.‫ד‬
[
)]
(
q V (z = 0) − V z = 5 R =
[(
mv
2
2
⇒ v2 =
[
(
2q
V (z = 0) − V z = 5 R
m
)]
)]
)(
2q
⋅ 2kσπ 4 R 2 − R 2 − 4 R 2 + 5 R 2 − R 2 + 5 R 2 =
m
4qkσπ
(2 R − R ) − 3R − 6 R = 4qkσπ − 2 + 6 R
=
m
m
v2 =
[
v=
)]
(
(
(
)
)
4qkσπ − 2 + 6 R
m
. z - ‫ מכיוון שהכוח תלוי ב‬,‫ הכדור יבצע תנועה בתאוצה משתנה‬.‫ה‬
‫‪Z‬‬
‫פוטנציאל – צפיפות אחידה‬
‫נתון משטח מישורי אינסופי בעל צפיפות מטען אחידה ‪, σ‬‬
‫במשטח יש חור מעגלי בעל רדיוס ‪ . a‬מצאו את השדה‬
‫החשמלי לאורך ציר ‪ ,Z‬את הפוטנציאל החשמלי על ציר ‪Z‬‬
‫והראו שהשדה שקיבלתם נגזר מהפוטנציאל!‬
‫‪a‬‬
‫∞‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נתייחס למקרה כלוח שלם אינסופי בעל צפיפות מטען אחידה ‪ , σ‬ודיסקה עם רדיוס ‪ , a‬בעלת צפיפות‬
‫∞‬
‫מטען אחידה ‪ . − σ‬סכום של השדות שגורמים הגופים ייתן את השדה המבוקש‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ‪E plane = 2πkσ ⋅ k‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪k‬‬
‫‪E disc = −2πkσ1 −‬‬
‫‪‬‬
‫‪a 2 + z2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ‪2πkσσ‬‬
‫= ‪E = E plane + E disc‬‬
‫‪k‬‬
‫‪a 2 + z2‬‬
‫כעת נחשב את הפוטנציאל‪ ,‬באופן דומה‪:‬‬
‫)‬
‫‪Vplane = −2πkσz‬‬
‫(‬
‫‪Vdisc = −2πkσ a 2 + z 2 − z‬‬
‫‪V = Vplane + Vdisc = −2πkσ a 2 + z 2‬‬
‫התשובה הזאת טובה עבור ‪ z > 0‬בלבד!‬
‫עבור ‪ , z < 0‬כדי לקבל את השדה נצטרך פשוט להפוך את הסימן‪ ,‬והפוטנציאל נשאר אותו דבר‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ‪2πkσz‬‬
‫‪E=−‬‬
‫‪k‬‬
‫‪a 2 + z2‬‬
‫‪V = −2πkσ a 2 + z 2‬‬
‫פוטנציאל – צפיפות אחידה )‪ 3.13‬מחוברת הקורס(‬
‫יריעה אינסופית טעונה במטען חיובי בצפיפות אחידה ‪. σ‬‬
‫א‪ .‬חשב את העבודה המבוצעת ע"י השדה החשמלי של היריעה כאשר מטען נקודתי ‪ q 0‬נע מפני‬
‫היריעה עד למרחק ‪ z‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫ב‪ .‬השתמש בתוצאות של הסעיף הקודם והראה כי הפוטנציאל החשמלי של יריעה אינסופית שווה‬
‫‪σz‬‬
‫ל‪:‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪ . V =V 0−‬כאשר ‪ V 0‬הוא הפוטנציאל החשמלי על פני היריעה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬השדה החשמלי בנוצר ע"י היריעה במרחב )בחרתי ציר ‪ z‬ניצב למישור היריעה(‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ‪σ‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫נחשב את הכוח שמפעיל השדה על המטען‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r qσ‬‬
‫= ‪F = qE‬‬
‫ˆ‪k‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫נחשב את עבודת השדה‪:‬‬
‫‪r r z qσ‬‬
‫‪qσ z‬‬
‫∫ = ‪W = ∫ F ⋅ dr‬‬
‫= ‪dz‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪0‬‬
‫ב‪ .‬נחשב את הפוטנציאל במרחק ‪ z‬מהיריעה‪:‬‬
‫) ‪W = − q∆V = −q (V − V0‬‬
‫‪qσ z‬‬
‫) ‪= −q (V − V0‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪σz‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪V = V0 −‬‬
‫פוטנציאל )אינטגרל מסלול וגרדיאנט(‬
‫‪r‬‬
‫נתון שדה חשמלי )השדה משמר!( ˆ‪E = 2y ˆi + (2x + 3z)ˆj + 3y k‬‬
‫‪(E x , EY , E z ) =  − ∂ϕ ,− ∂ϕ ,− ∂ϕ ‬‬
‫א‪ .‬נסו לנחש את הפוטנציאל ) ‪ ϕ ( x, y, z‬לפי הקשרים‪∂z  :‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪‬‬
‫‪ϕ (0,0,0) = 0‬‬
‫צריכים למצוא פונקציה אחת של ‪ y ,x‬ו‪ z-‬שהנגזרת שלה בכיוון ‪ x‬תיתן את רכיב השדה בכיוון ‪x‬‬
‫)עם סימן הפוך(‪ ,‬וכך גם בהתייחס ל‪ y-‬ול‪.z-‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את ) ‪ ϕ ( x, y, z‬ע"י ‪ − ∫ E ⋅ d l‬כאשר ‪) ϕ (0,0,0) = 0‬כלומר נקודת הייחוס היא ראשית‬
‫‪r‬‬
‫‪r0‬‬
‫הצירים(‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬תחילה בדרך של ניחוש‪:‬‬
‫) ‪ϕ = − ∫ E x dx = − ∫ 2ydx = −2xy + f (y, z‬‬
‫) ‪ϕ = − ∫ E y dy = − ∫ (2x + 3z )dy = −2xy − 3yz + g(x, z‬‬
‫) ‪ϕ = − ∫ E z dy = − ∫ 3ydz = −3yz + h (x, y‬‬
‫⇓‬
‫‪ϕ (x, y, z ) = −2xy − 3yz‬‬
‫כדאי‪ ,‬כמובן לבצע גרדיאנט על הפוטנציאל שמנחשים כדי לראות שמתקבל השדה החשמלי הנכון‪.‬‬
‫‪r r‬‬
‫ב‪ .‬כעת נחשב דרך ‪: ϕ (x, y, z ) = − ∫ E ⋅ d l‬‬
‫)‪( x, y,zr‬‬
‫) ‪( x, y,0‬‬
‫) ‪( x, y,z‬‬
‫) ‪( x,0,0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪E‬‬
‫‪d‬‬
‫‪l‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫(‬
‫‪0,2x,0‬‬
‫)‬
‫⋅‬
‫(‬
‫‪dx,0,0‬‬
‫)‬
‫‪−‬‬
‫(‬
‫‪2y,2x,3y‬‬
‫)‬
‫⋅‬
‫(‬
‫‪0,‬‬
‫‪dy,0‬‬
‫)‬
‫‪−‬‬
‫∫‬
‫∫‬
‫∫‬
‫) ‪∫ (2y,2x + 3z,3y) ⋅ (0,0, dz‬‬
‫)‬
‫)‬
‫) ‪y,0‬‬
‫‪1(0,0,0‬‬
‫‪44‬‬
‫‪424443 1(x,0,0‬‬
‫‪44‬‬
‫‪4424444‬‬
‫‪3 1( x,4‬‬
‫‪4444244444‬‬
‫‪3‬‬
‫‪− 3yz‬‬
‫‪− 2xy‬‬
‫‪ϕ (x, y, z ) = −‬‬
‫) ‪(0,0,0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ϕ (x, y, z ) = −2xy − 3yz‬‬
‫פוטנציאל )גרדיאנט‪ ,‬רוטור(‬
‫נתון הפוטנציאל החשמלי‪:‬‬
‫‪ϕ (x, y, z ) = 4 x 2 yz − y 2 z 3‬‬
‫א‪ .‬מצאו את השדה החשמלי במרחב‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראו שהשדה משמר‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬שדה חשמלי מקבלים ע"י מינוס גרדיאנט על הפוטנציאל‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪E = −∇ ⋅ ϕ‬‬
‫∂‬
‫∂‬
‫∂‬
‫‪=−‬‬
‫‪4 x 2 yz − y 2 z 3 ⋅ iˆ −‬‬
‫‪4 x 2 yz − y 2 z 3 ⋅ ˆj −‬‬
‫= ˆ‪4 x 2 yz − y 2 z 3 ⋅ k‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂z‬‬
‫ˆ‪= −(8 xyz ) ⋅ iˆ − 4 x 2 z − 2 yz 3 ⋅ ˆj − 4 x 2 y − 3 y 2 z 2 ⋅ k‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫ב‪ .‬השדה משמר אם ע"י הרוטור על השדה החשמלי מתאפס‪ ,‬זה חייב להתאפס מכיוון שכל שדה שנגזר‬
‫מפוטנציאל הוא שדה משמר‪:‬‬
‫ˆ‪k‬‬
‫∂‬
‫=‬
‫‪∂z‬‬
‫‪4x 2 y − 3 y 2 z 2‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪y − 3 y 2 z 2  ⋅ ˆj +‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫( )‬
‫‪) ⋅ iˆ +  ∂∂z (8 xyz ) − ∂∂x (4 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ˆj‬‬
‫∂‬
‫‪∂y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4 x z − 2 yz 3‬‬
‫(‬
‫ˆ‪i‬‬
‫∂‬
‫‪∂x‬‬
‫) ‪(8 xyz‬‬
‫‪r r‬‬
‫= ‪∇× E‬‬
‫∂‪‬‬
‫∂‬
‫‪=‬‬
‫‪4x 2 y − 3 y 2 z 2 −‬‬
‫‪4 x 2 z − 2 yz 3‬‬
‫‪∂z‬‬
‫‪∂ y‬‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫∂‪‬‬
‫‪‬‬
‫∂‬
‫‪4 x 2 z − 2 yz 3 −‬‬
‫= ˆ‪(8 xyz ) ⋅ k‬‬
‫‪‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= 4 x − 6 yz − 4 x − 6 yz ⋅ iˆ + [(8 xy ) − (8 xy )] ⋅ ˆj + [(8 xz ) − (8 xz )] ⋅ kˆ = 0‬‬
‫)‬
‫])‬
‫( )‬
‫(‬
‫([‬
‫פוטנציאל )מוליכים(‪:‬‬
‫כדור מוליך שרדיוסו ‪ R‬מוקף על ידי קליפה כדורית מוליכה עבה )קונצנטרית לכדור( שרדיוסה הפנימי‬
‫‪ 2R‬ורדיוסה החיצוני ‪ . 3R‬טוענים את הכדור במטען ‪ + Q‬ואת הקליפה העבה טוענים במטען ‪− 2Q‬‬
‫א‪ .‬חשב את השדה החשמלי בכל המרחב?‬
‫ב‪ .‬חשב את צפיפות המטען על השפה הפנימית והחיצונית של הקליפה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ב‪ .‬המטען בכדור הפנימי יסתדר כך שהשדה החשמלי בתוכו יתאפס‪ ,‬כלומר כל המטען יסתדר בצורה‬
‫אחידה על שטח הפנים של הכדור‪ ,‬ניתן לחשב את הצפיפות ברדיוס ‪: R‬‬
‫‪Q1‬‬
‫‪Q‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪4π R‬‬
‫‪4π R 2‬‬
‫= ‪σ1‬‬
‫גם המטענים על הקליפה העבה יסתדרו כך שבמוליך עצמו השדה יתאפס‪ ,‬כלומר‪ ,‬שבחלק הפנימי יסתדר‬
‫מטען השווה למטען שבכדור הפנימי והפוכה בסימן‪ .‬ברדיוס החיצוני של הקליפה יסתדר כל שאר המטען‪:‬‬
‫‪Q2‬‬
‫‪− Q1‬‬
‫‪−Q‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪4π R2 4π (2 R‬‬
‫‪16π R 2‬‬
‫= ‪σ2‬‬
‫‪Q2 + Q3 = −2Q ⇒ Q3 = −2Q − Q2 = −2Q − (− Q ) = −Q‬‬
‫‪Q3‬‬
‫‪−Q‬‬
‫‪−Q‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π R3‬‬
‫‪36π R 2‬‬
‫) ‪4π (3R‬‬
‫= ‪σ3‬‬
‫א‪ .‬עפ"י המטענים ניתן לחשב את השדה בכל המרחב‪:‬‬
‫) ‪(0 ≤ r ≤ R1‬‬
‫) ‪(R1 < r ≤ R2‬‬
‫) ‪(R2 < r ≤ R3‬‬
‫) ‪(R3 < r‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ kQ‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫‪r  r2 r‬‬
‫‪E=‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ kQ‬‬
‫ˆ‪− 2 r‬‬
‫‪ r‬‬
‫פוטנציאל )מוליכים(‪:‬‬
‫נתון כדור חלול העשוי חומר מוליך ומטענו ‪ . 2Q‬רדיוס הכדור הוא ‪ R 2‬ורדיוס החלל הוא ‪ . R1‬במרכז‬
‫החלל נמצא מטען של ‪ . 3Q‬עפ"י האיור הבא‪:‬‬
‫‪R2‬‬
‫חומר מוליך‬
‫‪R1‬‬
‫‪3Q‬‬
‫‪2Q‬‬
‫א‪ .‬מצאו את צפיפויות המטען ברדיוס ‪ R1‬וברדיוס ‪. R 2‬‬
‫ב‪ .‬מהו השדה החשמלי במרחב?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫המטענים יסתדרו כך שהשדה החשמלי במוליך יהיה אפס )במילים אחרות כך שהפוטנציאלים על הקליפה‬
‫הפנימית ועל הקליפה החיצונית יהיו שווים(‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪3Q + Q1‬‬
‫‪rˆ = 0 ⇒ Q1 = −3Q‬‬
‫= ) ‪E (R1 < r < R2‬‬
‫‪r2‬‬
‫והמטען על הקליפה החיצונית יהיה‪:‬‬
‫‪Q1 + Q2 = 2Q ⇒ Q2 = 5Q‬‬
‫ולפיכך צפיפויות המטען על הקליפות הן‪:‬‬
‫‪5Q‬‬
‫= ‪σ2‬‬
‫‪4πR 22‬‬
‫‪3Q‬‬
‫‪4πR12‬‬
‫‪σ1 = −‬‬
‫ב‪ .‬השדה החשמלי במרחב‪:‬‬
‫‪ 3Q‬‬
‫) ‪ r 2 rˆ , (0 < r < R1‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪E = 0‬‬
‫) ‪, (R1 < r < R2‬‬
‫‪ 5Q‬‬
‫) ‪ 2 rˆ , (R2 < r‬‬
‫‪r‬‬
‫פוטנציאל )מוליכים(‪:‬‬
‫במרכזה של קליפה כדורית מוליכה שרדיוסה הפנימי ‪ a‬ורדיוסה החיצוני ‪ , b‬נמצא מטען נקודתי המטען‬
‫חיובי ‪ . Q‬המטען הכולל שעל הקליפה הוא ‪ , − 4Q‬והיא מבודדת מהסביבה‪.‬‬
‫א‪ .‬פתח ביטויים לגודל השדה החשמלי כפונקציה של המרחק‪ , r ,‬מן המרכז ‪ ,‬לגבי כל המרחב‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי צפיפות המטען השטחי על המשטח הפנימי של הקליפה המוליכה?‬
‫ג‪ .‬מהי צפיפות המטען השטחי על המשטח החיצוני של הקליפה?‬
‫ד‪ .‬שרטט תרשים המראה את קווי ‪ -‬השדה החשמלי ‪ ,‬ואת מיקום כל המטענים‪.‬‬
‫ה‪ .‬שרטט גרף של השדה החשמלי כפונקציה של ‪. r‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ב‪ .‬המטען מסתדר על שפת המוליך )הפנימית והחיצונית ( כך שהשדה החשמלי במוליך שווה לאפס‪ .‬על‬
‫הרדיוס הפנימי יסתדר מטען שווה למטען הנקודתי הנמצא במרכז‪:‬‬
‫‪−Q‬‬
‫‪4π a 2‬‬
‫= ‪q a = −Q ⇒ σ a‬‬
‫ג‪ .‬מתוך כך‪ ,‬נוכל גם לחשב את המטען שיסתדר ברדיוס החיצוני‪:‬‬
‫‪− 3Q‬‬
‫‪4π b 2‬‬
‫= ‪q a + q b = −4Q ⇒ q b = −4Q − q a = −4Q − (− Q ) = −3Q ⇒ σ b‬‬
‫א‪ .‬חישוב השדה החשמלי‪:‬‬
‫‪ kQ‬‬
‫) ‪(0 < r < a‬‬
‫ˆ‪ r 2 r‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪E = 0‬‬
‫) ‪(a < r < b‬‬
‫‪ 3kQ‬‬
‫ˆ‪− 2 r‬‬
‫) ‪(b < r‬‬
‫‪ r‬‬
‫פוטנציאל )מוליכים(‪:‬‬
‫שני כדורים מוליכים טעונים מרוחקים מאוד זה מזה‪ .‬הכדורים בעלי רדיוסים ‪ R1‬ו‪ R2 -‬ובמצב ההתחלתי‬
‫המטענים על הכדורים הינם ‪ Q1‬ו‪ Q2 -‬בהתאמה‪ .‬מחברים את הכדורים בחוט מוליך דק ונותנים למערכת‬
‫"להירגע"‪ .‬כמה מטען יעבור בחוט ומאיזה כדור?‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪Q1‬‬
‫‪Q2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫המטענים החדשים על כדורים הם ‪ q1‬ו ‪. q 2‬‬
‫נכתוב שתי משוואות הנובעות משתי דרישות‪ ,‬שימור מטען ושוויון פוטנציאלים‪:‬‬
‫‪q 1 + q 2 = Q1 + Q 2‬‬
‫‪kq 1 kq 2‬‬
‫=‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫וכעת יש שתי משוואות עם שני נעלמים אותן נפתור‪:‬‬
‫‪q 1 + q 2 = Q1 + Q 2‬‬
‫‪R 2 q1‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪ R ‬‬
‫‪⇒ q 1 1 + 2  = Q1 + Q 2‬‬
‫‪ R1 ‬‬
‫= ‪⇒ q2‬‬
‫‪kq 1 kq 2‬‬
‫=‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R 2 q1‬‬
‫‪= Q1 + Q 2‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪(Q1 + Q 2 )R 1‬‬
‫‪R1 + R 2‬‬
‫‪(Q1 + Q 2 )R 2‬‬
‫‪R1 + R 2‬‬
‫‪q1 +‬‬
‫= ‪q1‬‬
‫= ‪q2‬‬
‫המטען שיעבור בחוט הוא‪:‬‬
‫‪∆q 2 = q 2 - Q 2‬‬
‫אם ‪ ∆q 2‬חיובי‪ ,‬מטען יעבור מכדור ‪ 1‬לכדור ‪.2‬‬
‫אם ‪ ∆q 2‬שלילי‪ ,‬מטען יעבור מכדור ‪ 2‬לכדור ‪.1‬‬
‫פוטנציאל ‪ -‬מוליכים‬
‫למוליך גלילי ארוך בצורת צינור‪ ,‬אורך ‪ L‬ורדיוסים פנימי וחיצוני ‪ R1‬ו‪ , R2 -‬כמוראה באיור‪ .‬נתון כי‬
‫‪ L >> R2‬כך שניתן להזניח את שפיית השדה )כלומר‪ ,‬ניתן להשתמש בקירוב של גליל אינסופי(‪ .‬טוענים‬
‫את הגליל הפנימי במטען חשמלי כולל ‪ . +Q‬נתונים‪. L, R1 , R2 ,Q,V0 :‬‬
‫א‪ .‬מהו השדה החשמלי )גודל וכיוון( בכל המרחב?‬
‫ב‪ .‬כיצד יתפלג המטען החשמלי? דהיינו כמה מטען חשמלי יימצא על הדפנות‬
‫שרדיוסן ‪ R1‬ו‪ R2 -‬ובתוך התווך המוליך המשתרע מ‪. R1 < r < R2 -‬‬
‫‪R2‬‬
‫נמק‪/‬י את תשובותיך‪ .‬מהי‪ ,‬אם כן‪ ,‬צפיפות המטען המשטחית ‪ σ R1 , σ R2‬על‬
‫דפנות המוליך?‬
‫ג‪ .‬חשב‪/‬י את הפוטנציאל החשמלי בנקודה על ציר הגליל אם ידוע כי ערכו‬
‫של הפוטנציאל במרחק ‪ r = 2 R2‬ממרכז המערכת הוא ‪. V ( 2 R2 ) =V0‬‬
‫ד‪ .‬מה תהיה צפיפות המטען בכל המטחית בגליל את בתוכו יש תיל ישר‬
‫אינסופי בצפיפות אורכית ‪) λ = Q / L‬רמז – השדה בתוך המוליך הוא‬
‫אפס‪ ,‬מה זה אומר על המטען הכלוא בתוך גליל דימיוני המקיף את התיל והמעטפת הפנימית?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬המטען יסתדר רק ברדיוס החיצוני של הגליל ‪ , R 2‬כך שהשדה החשמלי המוליך עצמו מתאפס‪ ,‬וזה‬
‫גורר שגם השדה החשמלי הפנימי מתאפס‪:‬‬
‫‪E(r < R 2 ) = 0‬‬
‫את השדה החשמלי עבור ‪ r > R 2‬נמצא ע"י חוק גאוס‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪∫ E ⋅ d s = 2πrlE‬‬
‫‪q in 2πrlσ‬‬
‫=‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪R 2σ‬‬
‫‪ε0r‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪2πLε 0 r‬‬
‫=‪⇒ E‬‬
‫‪2πR 2 lσ‬‬
‫‪ε0‬‬
‫= ) ‪⇒ E(r > R 2‬‬
‫כיוון השדה רדיאלי )קורדינטות גליליות(‪.‬‬
‫ב‪ .‬התשובה נמצאת בסעיף א'‪ ,‬כל המטען יהיה על הרדיוס החיצוני‪ ,‬ובהתאם צפיפות המטען‪.‬‬
‫ג‪ .‬נחשב את הפוטנציאל בנקודה על ציר הגליל‪:‬‬
‫= ‪2πrlE‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪2πR 2 L‬‬
‫=‪σ‬‬
‫‪R1‬‬
‫איור ‪2‬‬
E1 (r > R 2 ) =
Q
2πLε 0 r
E 2 (r < R 2 ) = 0 ⇒ V(0 ) = V(R 2 )
V(2R 2 ) = V0
R2
V(R 2 ) − V(2R 2 ) = − ∫ E1dr
2R 2
V(R 2 ) − V0 = −
−
Q
2πLε 0
R2
Q
dr =
2πLε 0 r
2R 2
∫
R2
dr
Q
=−
[ln(r )]R2R2 2 = − Q [ln(R 2 ) − ln(2R 2 )]
r
2πLε 0
2πLε 0
2R 2
∫
Q
[ln(R 2 ) − ln(2R 2 )]
2πLε 0
, - Q ‫ כלומר‬,‫ של הגליל יהיה הפוך מהמטען הכולל על התיל הפנימי‬, R 1 ,‫ המטען על הרדיוס הפנימי‬.‫ד‬
:‫לפיכך צפיפויות המטען הן‬
Q
σ1 = −
2πR 1L
V(R 2 ) = V0 −
q(R 2 ) = 2Q ⇒ σ 2 =
2Q
2πR 2 L
‫חוק גאוס ‪ -‬מוליכים‬
‫‪2‬‬
‫נתונים שני לוחות ריבועיים מוליכים ומקבילים ששטח כל אחד מהם ‪ . 2 m‬המרחק בין הלוחות ‪. 1 cm‬‬
‫טוענים את לוח מספר ‪ 1‬במטען ‪ , + 10 µ C‬ואת לוח מספר ‪ 2‬במטען ‪. + 6 µ C‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מהו השדה החשמלי בכל אחת מהנקודות ‪? a, b, c, d, e‬‬
‫ב‪ .‬במצב שיווי משקל‪ ,‬מהו המטען על כל שפה ?‬
‫‪1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪e‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫פתרון‪) :‬נתייחס ללוחות כאינסופיים(‬
‫‪σ‬‬
‫א‪ .‬שדה חשמלי שיוצר לוח אינסופי‪:‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫=‪E‬‬
‫נמצא את הצפיפות של כל לוח ואת השדה חשמלי שיוצר כל לוח‪:‬‬
‫‪q 2 6 ⋅ 10 −6‬‬
‫=‬
‫‪= 3 ⋅ 10 −6 C m 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫= ‪, σ2‬‬
‫‪q1 10 ⋅ 10 −6‬‬
‫=‬
‫‪= 5 ⋅ 10 −6 C m 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫= ‪σ1‬‬
‫‪σ1‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫= ‪E1‬‬
‫‪σ2‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫= ‪E2‬‬
‫‪,‬‬
‫נחשב שדה בכל אחד מהאזורים )ימני‪ ,‬אמצעי ושמאלי( עבור מערכת צירים אופקית שכיוונה החיובי‬
‫ימינה‪:‬‬
‫‪σ1 σ 2‬‬
‫‪σ +σ2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=− 1‬‬
‫‪2ε 0 2ε 0‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪σ −σ2‬‬
‫‪E Middle = E1 − E 2 = 1 − 2 = 1‬‬
‫‪2ε 0 2ε 0‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪σ +σ2‬‬
‫‪E Right = E1 + E 2 = 1 + 2 = 1‬‬
‫‪2ε 0 2ε 0‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪E Left = − E1 − E 2 = −‬‬
‫השדה בכל נקודה )בתוך המוליך השדה החשמלי מתאפס(‪:‬‬
‫‪Eb = 0‬‬
‫‪σ1 + σ 2‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫= ‪E e = E Right‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫) ‪(σ 1 + σ 2‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪σ1 − σ 2‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪E a = E Left = −‬‬
‫= ‪E c = E d = E Middle‬‬
‫ב‪ .‬כדי לחשב את המטען בצד השמאלי של הלוח השמאלי‪ ,‬ניצור מעטפת גאוס גלילית בפאה אחת מצאת‬
‫באזור השמאלי ופאה שנייה נמצאת בתוך מוליך "‪) "1‬שם השדה מתאפס(‪ ,‬נוכל לחשב את הצפיפות ע"י‬
‫חוק גאוס‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫) ‪(σ 1 + σ 2‬‬
‫‪E‬‬
‫'‪∫ ⋅ dS = E Left ⋅ A' = 2ε 0 ⋅ A‬‬
‫‪= 4 ⋅ 10 −6 C m 2‬‬
‫) ‪(σ 1 + σ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪⇒ σ Left ,1‬‬
‫'‪(σ 1 + σ 2 ) ⋅ A' σ ⋅ A‬‬
‫=‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪⋅ 2 = 8 µC‬‬
‫‪−6‬‬
‫'‪σ ⋅ A‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪q in‬‬
‫⇒‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪r‬‬
‫‪q in‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∫ E ⋅ dS = ε‬‬
‫‪q Left ,1 = σ Left ,1 ⋅ A = 4 ⋅ 10‬‬
‫את הצד הימני של הלוח השמאלי נמצא ע"י חיסור פשוט )מטען מצטבר רק על שפת הלוח(‪:‬‬
‫‪⇒ q Right ,1 = q1 − q Left ,1 = 10µ − 8µ = 2 µC‬‬
‫‪q Left ,1 + q Right ,1 = q1‬‬
‫כדי לחשב את השדה החשמלי על הצד השמאלי של הלוח הימני‪ ,‬ניצור מעטפת גאוס גלילית שפאה‬
‫שמאלית שלה בתוך האזור האמצעי ופאה ימנית בתוך המוליך )שם השדה מתאפס(‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫'‪(σ 1 − σ 2 ) ⋅ A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫ ⋅ dS = − E Middle ⋅ A' = − 2ε 0‬‬
‫‪= −1 ⋅ 10 − 6 C m 2‬‬
‫) ‪(σ 1 − σ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⇒ σ Left , 2 = −‬‬
‫'‪(σ 1 − σ 2 ) ⋅ A' σ ⋅ A‬‬
‫=‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫'‪σ ⋅ A‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪⇒ −‬‬
‫‪qin‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r‬‬
‫=‬
‫‪qin‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∫ E ⋅ dS = ε‬‬
‫‪q Left , 2 = σ Left , 2 ⋅ A = −1 ⋅ 10 − 6 ⋅ 2 = −2 µC‬‬
‫את הצד הימני של הלוח השמאלי נמצא ע"י חיסור פשוט )מטען מצטבר רק על שפת הלוח(‪:‬‬
‫‪⇒ q Right , 2 = q 2 − q Left , 2 = 6µ − (− 2µ ) = 8 µC‬‬
‫‪q Left , 2 + q Right , 2 = q 2‬‬
‫דרך אחרת‪ ,‬אפשר גם לדרוש שכמות המטען משני הצדדים של אזור שמתאפס תהיה שווה‪ ,‬כך נקבל ‪4‬‬
‫משוואות עם ארבעה משתנים‪:‬‬
‫‪q L ,1 + q R ,1 = q1‬‬
‫‪q L, 2 + q R, 2 = q 2‬‬
‫‪q L ,1 = q R ,1 + q L , 2 + q R , 2‬‬
‫‪q R , 2 = q R ,1 + q L ,1 + q L , 2‬‬
‫הפתרון ייתן תשובות זהות למה שכבר קיבלנו בדרך הראשונה‪.‬‬
‫פוטנציאל ואנרגיה‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬הפוטנציאל החשמלי בנקודה ‪ P‬קל לחישוב‪ ,‬היות וכל הנקודות נמצאות באותו מרחק מהטבעת‪ .‬המרחק‬
‫הוא‪:‬‬
‫‪r = R2 + z2‬‬
‫נחשב את הפוטנציאל בנקודה ‪:P‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪R 2 + z2‬‬
‫‪kQ‬‬
‫=‬
‫‪r‬‬
‫=‪V‬‬
‫ב‪ .‬את השדה החשמלי ניתן לחשב ע"י גזירה של הפוטנציאל‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ ‪∂V‬‬
‫ˆ ‪∂  kQ ‬‬
‫‪kQz‬‬
‫‪kQz‬‬
‫‪E=−‬‬
‫‪k=−‬‬
‫‪k = − −‬‬
‫= ˆ‪k‬‬
‫ˆ‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂Z‬‬
‫‪∂Z  R + z ‬‬
‫‪R +z‬‬
‫‪ R + z‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫ג‪ .‬נפתור משיקולים של אנרגיה‪ .‬האנרגיה הפוטנציאלית של החלקיק באינסוף היא אפס‪ ,‬כך שתהיה לו רק‬
‫קינטית‪ .‬בנקודת התחלה אין לו מהירות‪ ,‬כך שאין קינטית יש רק פוטנציאלית‪ .‬כדי לחשב את האנרגיה‬
‫הפוטנציאלית של החלקיק בנקודת ההתחלה‪ ,‬נצטרך לחשב את הפוטנציאל בנקודה זו‪:‬‬
‫‪kdq‬‬
‫= ‪dV‬‬
‫‪R 2 + z2‬‬
‫‪dq = σ2πRdz‬‬
‫=‬
‫])‬
‫‪H‬‬
‫‪0‬‬
‫([‬
‫‪= 2πkσR ln R 2 + z 2 + z‬‬
‫‪dz‬‬
‫‪R 2 + z2‬‬
‫]‬
‫‪H‬‬
‫∫ ‪= 2πkσR‬‬
‫‪0‬‬
‫)‬
‫‪kσ2πRdz‬‬
‫‪R 2 + z2‬‬
‫([‬
‫‪H‬‬
‫∫=‪V‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪2πkσR ln R 2 + H 2 + H − ln (R‬‬
:(‫נמצא את המהירות באינסוף )כיוון המהירות יהיה שלילי‬
[(
)
]
V = 2πkσR ln R 2 + H 2 + H − ln (R )
U 0 = qV
mv 2
U∞ =
2
U∞ = U0
⇒
mv 2
= qV ⇒
2
v=
2qV
=
m
[(
)
]
4qπkσR ln R 2 + H 2 + H − ln (R )
m
‫פוטנציאל – צפיפות אחידה )שאלה ‪ 3.23‬מחוברת הקורס(‬
‫התייחסו לגליל מלא בעל רדיוס ‪ R‬וגובה ‪ h‬הנושא מטען כללי ‪ + Q‬בצפיפות אחידה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את הפוטנציאל החשמלי על ציר הסימטריה‪ ,‬במרחק ‪ x‬מאחד מבסיסיו‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את השדה החשמלי על ציר הסימטריה במרחק ‪ x‬מאחד מבסיסיו‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫התייחסו לגליל מלא בעל רדיוס ‪ , R‬וגובה ‪ , h‬הנושא נטען כללי ‪ + Q‬בצפיפות אחידה‪ .‬השתמשו בביטוי‬
‫לפוטנציאל של דסקה על ציר הסימטריה )שכבר חושב בעבר(‪ ,‬וחשבו‪:‬‬
‫א‪ .‬את הפוטנציאל החשמלי במרחק ‪ x‬מאחד מבסיסיו‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את השדה החשמלי מתוך הפוטנציאל‪.‬‬
‫)‬
‫(‬
‫⋅ ‪)dz = z‬‬
‫‪z 2 + R 2 R 2 ⋅ ln z + z 2 + R 2‬‬
‫‪+‬‬
‫לשימושכם‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫(∫‬
‫‪z +R‬‬
‫‪2‬‬
‫פתרון‪ :‬צריך שרטוט גם לפתרון!!!!‬
‫א‪ .‬נשתמש בפוטנציאל חשמלי של דסקה‪ .‬נבצע אינטגרל על דסקות כדי לחשב את הפוטנציאל‬
‫החשמלי שיוצר הגליל‪ .‬הגדרתי את הראשית בנקודה בה אנו מחשבים את הפוטנציאל‪:‬‬
‫)‬
‫‪+ z2 − z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(R‬‬
‫‪kdQ‬‬
‫‪R2‬‬
‫= ‪dϕ‬‬
‫⇒‬
‫)‬
‫‪+ z2 − z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(R‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Qdz‬‬
‫= ‪⋅ π R 2 dz‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪πR h‬‬
‫= ‪, dV = π R 2 dz ⇒ dq = ρ dV‬‬
‫)‬
‫‪Qdz‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪(R‬‬
‫⋅) ‪+ z − z‬‬
‫=‬
‫‪h‬‬
‫∫ ‪R h‬‬
‫‪R ⋅ ln (z + z + R ) z ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪− ‬‬
‫‪h+ x‬‬
‫= ‪+ z 2 − z dz‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪h+ x‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(R‬‬
‫‪k‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪h+ x‬‬
‫∫‬
‫‪x‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪R2‬‬
‫=‪ϕ‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪π R2h‬‬
‫=‪ρ‬‬
‫= ‪ϕ = ∫ dϕ‬‬
‫‪kQ  z ⋅ z 2 + R 2‬‬
‫‪= 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R h ‬‬
‫‪−‬‬
‫=‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪kQ (h + x ) (h + x ) + R + R ln h + x + (h + x ) + R  − (h + x‬‬
‫=‬
‫‪2R 2 h ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x x + R − R ln x + x + R + x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ − h 2 + 2hx ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ h + x + (h + x )2 + R 2‬‬
‫‪kQ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(h + x ) (h + x ) + R − x x + R + R ln‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2R h ‬‬
‫‪x + x2 + R2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫(‬
:(‫ חישוב השדה מתוך הפוטנציאל )גזירה מייגעת‬.‫ב‬
E=
dϕ
=
dx
(h + x ) (h + x )2 + R 2 − x x 2 + R 2 +


kQ d 
2
=
2 

=
⋅
2 R 2h dx + R 2 ln h + x + (h + x ) + R  − h 2 + 2hx 




x + x2 + R2





(h + x )2 − x 2 + R 2 − x 2 + 2h + R 2 ⋅  x + x 2 + R 2
 (h + x )2 + R 2 +
 h + x + (h + x )2 + R 2

x2 + R2
(h + x )2 + R 2


kQ
=
⋅ 
(h + x )  ⋅ x + x 2 + R 2 − 1 + x  ⋅  h + x + (h + x )2 + R 2 
2 R 2 h  1 +



2
2
2  
2 

 
+
x
R
+
+
(
h
x
)
R



⋅ 
2

x + x2 + R 2
)
(
)
(

 ⋅


=




 (h + x )2 + R 2 + (h + x )2   x 2 + R 2 + x 2 



1
−
⋅


 + 2h + R 2 ⋅ 
 h + x + (h + x )2 + R 2 


(h + x )2 + R 2   x 2 + R 2 




kQ 
=
⋅   (h + x )2 + R 2 + (h + x ) 
2
2
=


2
2R h  
 ⋅ x + x 2 + R 2 −  x + R + x  ⋅  h + x + (h + x )2 + R 2  



 
x 2 + R 2  
(h + x )2 + R 2


⋅ 



x + x2 + R2
)
(
(
=
2
kQ  2(h + x ) + R 2
⋅
2
2 R h  (h + x )2 + R 2

=
2

kQ  2(h + x ) + 2 R 2   2 x 2 + 2 R 2 

=


⋅
−
+
2
h
2 R 2h  (h + x )2 + R 2   x 2 + R 2 





=
2
kQ  (h + x ) + R 2
⋅
2
R h  (h + x )2 + R 2

=
kQ 
2
⋅ (h + x ) + R 2 − x 2 + R 2 + h

R 2h 
  2 x2 + R 2
−
  x 2 + R 2

  x2 + R2
−
  x 2 + R 2



 + 2h + R 2 ⋅ 




)
1
(h + x )2 + R 2
−

 =
x 2 + R 2 
1
 
 + h =
 
 
!!!‫ לא צריך לחפש טעויות‬,‫ יצא נכון במכה ראשונה‬,‫יופי לי‬
‫פוטנציאל – צפיפות משתנה‪ 3.9) :‬מחוברת הקורס(‬
‫‪r‬‬
‫כדור שרדיוסו ‪ R‬טעון בצפיפות מטען לא אחידה ‪ , ρ (r ) = ρ 0  ‬כאשר ‪ ρ 0‬קבוע‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫א‪ .‬הביעו את מטענו הכללי של הכדור באמצעות‪. ρ 0 , R :‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את השדה החשמלי בכל המרחב‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב‪.‬‬
‫ד‪ .‬כדור קטן שמסתו ‪ m‬ומטענו ‪ − q‬משוחרר ממנוחה במרחק ‪ 4 R‬ממרכז הכדור‪ .‬מה תהיה‬
‫מהירותו של הכדור בהגיעו למרחק של ‪ 2 R‬ממרכז הכדור ?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬חישוב המטען הכולל על הכדור‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪4π ρ 0 R 3‬‬
‫‪4π ρ 0  r 4 ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪Q = ∫ ρ ⋅ dV = ∫ ρ 0   ⋅ 4π r dr‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dr‬‬
‫=‬
‫‪  = π ρ0 R‬‬
‫∫‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R‬‬
‫ב‪ .‬נשתמש בחוק גאוס עם מעטפת גאוס כדורית‪ .‬עבור סימטריה כדורית מתקיים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∫ E ⋅ dS = E ⋅ 4π r‬‬
‫עבור האזור החיצוני‪:‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪r2‬‬
‫=‬
‫‪Q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π ε 0 r‬‬
‫=‪E‬‬
‫=‬
‫⇒‬
‫‪q in‬‬
‫‪(r > R ) :‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ε0‬‬
‫= ‪E ⋅ 4π r 2‬‬
‫עבור האזור הפנימי‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4π ρ 0 r 3‬‬
‫‪4π ρ 0  r 4 ‬‬
‫‪π ρ0r 4‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫= ‪r dr‬‬
‫=‬
‫= ‪ρ 0   ⋅ 4π r dr‬‬
‫‪ε 0 ∫0  R ‬‬
‫‪ε 0 R ∫0‬‬
‫‪ε 0 R  4  0‬‬
‫‪ε0R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ρ0r 2 π ρ0 R 3r 2‬‬
‫‪Qr 2‬‬
‫‪kQr 2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪ε0R‬‬
‫‪4π ε 0 R 4‬‬
‫‪4π ε 0 R 4‬‬
‫‪R4‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q in‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪(0 < r < R ) :‬‬
‫‪π ρ0r 4‬‬
‫‪ε0R‬‬
‫⇒‬
‫= ‪E ⋅ 4π r 2‬‬
‫ג‪ .‬את הפוטנציאל מחשבים ע"י אינטגרל על השדה החשמלי‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪kQ‬‬
‫= ‪dr‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∞ r‬‬
‫∫‪V = −‬‬
‫‪r‬‬
‫‪(r > R ) :‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3‬‬
‫= ‪(0 < r < R ) : V = − ∫ kQ2 dr − ∫ kQr4 dr = kQ − kQ4  r ‬‬
‫‪R R  3 R‬‬
‫‪∞ r‬‬
‫‪∞ R‬‬
‫‪R‬‬
‫]‬
‫[‬
‫‪kQ kQ 3‬‬
‫‪kQ kQr 3 kQ 4kQ kQr 3‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫= ‪r −R‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪R 3R 4‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪3R 4‬‬
‫‪3R 4‬‬
‫ד‪ .‬נקרא לנקודת השחרור ‪ A‬ולנקודה הסופית נקרא ‪ .B‬מתקיים שימור אנרגיה‪:‬‬
‫‪UB = UA‬‬
‫‪mv B2‬‬
‫‪− qV B = − qV A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mv B2‬‬
‫) ‪= q (VB − V A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪kQ kQ kQ‬‬
‫= ‪VB − V A‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪2R 4R 4R‬‬
‫‪mv B2 kQq‬‬
‫‪kQq‬‬
‫=‬
‫= ‪⇒ vB‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4R‬‬
‫‪2mR‬‬
‫פוטנציאל – צפיפות משתנה‪ 3.14) :‬מחוברת הקורס(‬
‫מטען ‪ Q‬מפוזר על פני טבעת שטוחה בעלת רדיוס פנימי ‪ a‬ורדיוס חיצוני ‪ . b‬צפיפות המטען נתונה ע"י‬
‫‪ , σ = k r 3‬כאשר ‪ r‬הוא מרחק ממרכז הטבעת לנקודה כלשהי עליה‪ .‬הראו כי הפוטנציאל במרכז‬
‫‪Q a+b‬‬
‫‪‬‬
‫הטבעת שווה ל‪ :‬‬
‫‪8π ε 0  ab ‬‬
‫= ‪V‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נחלק את הטבעת הנתונה לטבעות דקות בעלות עובי דיפרנציאלי ‪ . dr‬שטח כל טבעת דקה‪:‬‬
‫‪dS = 2π rdr‬‬
‫המטען של כל טבעת דקה‪:‬‬
‫‪k0‬‬
‫‪2π k 0 dr‬‬
‫= ‪⋅ 2π rdr‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r2‬‬
‫= ‪dq = σ ⋅ dS‬‬
‫נסכום על כל המטן של כל הטבעות ונשווה ל‪ , Q -‬כך נוכל להביע את הקבוע ‪ k 0‬ע"י הפרמטרים של‬
‫השאלה‪:‬‬
‫‪2π k 0 dr‬‬
‫‪ 1‬‬
‫) ‪ 1 1  2π k 0 (b − a‬‬
‫∫ = ‪Q = ∫ dq‬‬
‫= ‪= 2π k 0 ⋅ −  = 2π k 0 ⋅  − + ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ r a‬‬
‫‪ b a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪abQ‬‬
‫= ‪k0‬‬
‫) ‪2π (b − a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫כל טבעת יוצרת במרכזה את הפוטנציאל הבא‪:‬‬
‫‪kdq k 2π k 0 dr 2π kk 0 dr‬‬
‫⋅ =‬
‫=‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪r3‬‬
‫= ‪dV‬‬
‫נסכום את הפוטנציאלים של כל הטבעות הדקות‪:‬‬
‫‪2π kk 0 dr‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫∫ = ‪V = ∫ dV‬‬
‫= ‪= 2π kk 0 ⋅ − 2  = π kk 0 ⋅  − 2 + 2 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪ 2r  a‬‬
‫‪ b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫) ‪π kk 0 (b − a )(b + a‬‬
‫‪a 2b 2‬‬
‫=‬
‫) ‪π kk 0 (b 2 − a 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a b‬‬
‫=‬
‫נציב את הביטוי שקיבלנו לקבוע ‪: k 0‬‬
‫‪abQ‬‬
‫) ‪kQ(b + a ) Q(b + a‬‬
‫=‬
‫=‬
‫) ‪2π (b − a‬‬
‫‪2ab‬‬
‫‪8π ε 0 ab‬‬
‫⋅‬
‫) ‪π k (b − a )(b + a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a b‬‬
‫= ‪V‬‬
‫פוטנציאל ואנרגיה‬
‫נתון כדור בעל רדיוס ‪ R‬שמלא במטען בצפיפות אחידה ‪.ρ‬‬
‫א‪ .‬מה השדה החשמלי בכל המרחב )בתוך הכדור ומחוצה לו(? )‪ 6‬נק'(‬
‫ב‪ .‬מה הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב? )‪ 6‬נק'(‬
‫עבור הסעיפים הבאים נתון ‪ R=2m‬ו ‪.ρ = 5.31×10-8 C/m3‬‬
‫ג‪ .‬קודחים חור קטן דרך מרכז הכדור‪ .‬מול החור‪ ,‬במרחק ‪ r = 2R=4m‬ממרכז הכדור משחררים‬
‫ממנוחה חלקיק נקודתי קטן בעל מטען‬
‫‪) q = - 4 × 10 -6 C‬מטען שלילי( ומסה × ‪m = 2‬‬
‫‪ .10-3 kg‬החלקיק יכול לעבור דרך החור‪ .‬מה תהיה מהירות החלקיק כשיגיע לפני הכדור וייכנס‬
‫לחור? )‪ 6‬נק'(‬
‫ד‪ .‬היכן יגיע החלקיק למהירותו המקסימלית‪ ,‬ומה תהיה מהירות זו? )‪ 7‬נק'(‬
‫פוטנציאל – צפיפות משתנה‬
‫ בצפיפות אורכית‬+ q ‫ נושא מטען חשמלי כללי‬R ‫תיל מבודד בצורת חצי מעגל שרדיוסו‬
.‫ מוגדרת באיור שלהלן‬θ ‫ הוא קבוע מספרי והזווית‬R λ0 . λ = λ 0 sin θ
. R -‫ ו‬q ‫ באמצעות‬λ0 ‫ הביעו את הקבוע‬.‫א‬
? ‫ שיוצב במרכז חצי המעגל‬+Q ‫ מהו כוח שיפעל על מטען‬.‫ב‬
?(‫ מהו הפוטנציאל במרכז התיל? מהו הפוטנציאל רחוק מאוד מהתיל )במרחק אינסופי מהראשית‬.‫ג‬
:‫פתרון‬
.‫א‬
dq = λdl = λ 0 sin (θ )Rdθ
π
π
q = ∫ dq = ∫ λ 0 sin (θ )Rdθ = λ 0 R ∫ sin (θ )dθ = λ 0 R [- cos(θ )]0 = − λ 0 R [cos(π ) − cos(0 )] =
π
0
0
− λ 0 R [− 1 - 1] = 2λ 0 R
y
q
λ0 =
2R
.‫ב‬
r kQdq
dF = 2 rˆ
r
r = R, ˆr = cosθ ˆi + sinθ ˆj, dq = λ 0 sinθ Rdθ
r kQλ 0 sinθ Rdθ
dF =
cosθ ˆi + sinθ ˆj
R2
r
r 2π kQλ 0 sinθ Rdθ
kQλ 0
F = ∫ dF = ∫
cosθ ˆi + sinθ ˆj =
2
R
R
π
(
θ
x
)
(
)
∫ (sinθ cosθ ˆi + sin θ ˆj)dθ =
2π
2
π
2π
kQλ 0  2 ˆ  1
kQλ 0 
1 
π   kQλ 0 π ˆ kQqπ ˆ
sin θ i +  − sinθ cosθ + θ ˆj =
j=
j
 π − ˆj =


R 
2  π
R 
2 
2R
4R 2
 2
r kQqπ
ˆj
F=
4R 2
:‫ הפוטנציאל במרכז התיל‬.‫ג‬
kQdq
dV =
r
r = R, dq = λ 0 sinθ Rdθ
kQλ 0 sinθ Rdθ
R
π
π
kQλ 0 sinθ Rdθ
π
V = ∫ dV = ∫
= kQλ 0 ∫ sinθ dθ = kQλ 0 [− cosθ ]0 =
R
0
0
dV =
kQq
R
.‫ מהמרכז‬R ‫ והוא כולו נמצא במרחק‬q ‫כל המטען הוא‬-‫ היות וסך‬,‫התשובה צפויה‬
.‫ אפס‬:‫הפוטנציאל באינסוף‬
− kQλ 0 [cos(π ) − cos(0 )] = −kQλ 0 [- 1 − 1] = 2kQλ 0 =
‫פוטנציאל ואנרגיה – צפיפות משתנה‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬המטען על הכדור‪:‬‬
‫‪4πQ 0 r 3‬‬
‫= ‪dq = 4πr ρ(r )dr‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪R4‬‬
‫‪R‬‬
‫‪4πQ 0 r 3 4πQ 0 R 3‬‬
‫‪4πQ 0  R 4 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ = πQ 0‬‬
‫∫ = ‪Q = ∫ dq‬‬
‫=‬
‫‪r‬‬
‫‪dr‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫∫ ‪4‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬השדה החשמלי עבור ‪: r > R‬‬
‫‪kQ πkQ‬‬
‫‪E= 2 = 2 0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫השדה החשמלי עבור ‪: 0 < r < R‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4πQ 0 r 3 dr πQ 0 r 4‬‬
‫∫=‪q‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R4‬‬
‫‪0‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪πkQ 0 r 2‬‬
‫‪R4‬‬
‫=‪E‬‬
‫ג‪ .‬פותרים משיקולים של אנרגיה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪mv‬‬
‫‪πkQ 0‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪U∞ = 0‬‬
‫‪2πkQ 0 q‬‬
‫‪mR 2‬‬
‫= ‪v0‬‬
‫‪mv 02 πkQ 0 q‬‬
‫=‬
‫⇒ =‬
‫‪2‬‬
‫‪R2‬‬
‫פוטנציאל ומוליכים )‪ 3.8‬מחוברת הקורס( חסר שרטוט בשאלה!!!‬
‫⇒‬
‫= ‪U0‬‬
‫∞‪U0 = U‬‬
‫מערכת מורכבת משלשוה מוליכים קונצנטריים‪ :‬קליפה כדורית פנימית דקה ברדיוס ‪ , R‬קליפה עבה‬
‫בעלת רדיוס פנימי ‪ 2 R‬וחיצוני ‪ 3R‬וקליפה חיצונית דקה בעלת רדיוס ‪ . 4 R‬הקליפה הדקה החיצונית‬
‫הטעונה במטען ‪ , Q0‬ואילו הקליפה המרכזית טעונה במטען ‪. − Q0‬‬
‫א‪ .‬מהי התפלגות המטענים על שפות הקליפה העבה המרכזית ?‬
‫ב‪ .‬מהו השדה החשמלי כפונקציה של המרחק ‪ r‬ממרכז המערכת בכל המרחב ?‬
‫כעת מחברים את הקליפה הפנימית והחיצונית ע"י תיל מוליך שעובר דרך חור קטן בקליפה העבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהי התפלגות המטענים על הקליפות המרכיבות את המערכת ?‬
‫ד‪ .‬מהו השדה החשמלי כפונקציה של המרחק ‪ r‬ממרכז המערכת בכל המרחב ?‬
‫ה‪ .‬כמה מטען עבר בין הקליפה החיצונית והפנימית ?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬המטענים בקליפה העבה יסתדרו כך שהשדה החשמלי בקליפה הזו מתאפס‪ ,‬כלומר‪ ,‬הרדיוס הפנימי‪,‬‬
‫‪ , 2 R‬לא יהיה מטען‪ ,‬וברדיוס החיצוני ‪ 3R‬יהיה ‪ . − Q0‬לפיכך המטענים הם‪, q 2 = 0 , q1 = 0 :‬‬
‫‪. q 4 = Q 0 , q 3 = −Q 0‬‬
‫ב‪ .‬קליפה כדורית יוצרת בתוכה שדה חשמלי אפס‪ ,‬ואילו מחוצה לה נתין להתייחס אליה כמטען נקודתי‪.‬‬
‫בסה"כ ישנם חמישה אזורים שונים‪ .‬נחבר‪ ,‬לכל אזור בנפרד‪ ,‬את השדות החשמליים שיוצרות הקליפות‪:‬‬
‫) ‪(r < R‬‬
‫) ‪(R < r < 2 R‬‬
‫) ‪(2 R < r < 3R‬‬
‫) ‪(3R < r < 4 R‬‬
‫) ‪(r > 4 R‬‬
‫‪E1 = 0‬‬
‫‪E2 = 0‬‬
‫‪E3 = 0‬‬
‫‪kQ0‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪E4 = −‬‬
‫‪E5 = 0‬‬
‫ג‪ .‬כאשר מחברים את הקליפה הפנימית לחיצונית‪ ,‬מטען יכול לעבור בין הקליפות‪ .‬המטען יעבור כך‬
‫שהפוטנציאל של שתי הקליפות יהיה שווה‪ .‬ניתן לרשון שתי משוואות‪ ,‬אחת לשימור מטען ואחת לשוויון‬
‫הפוטנציאלים‪:‬‬
‫‪q1 + q 4 = Q0‬‬
‫‪V1 = V4‬‬
‫נמצא את השדה במרחב )לאחר שהמטענים עברו( וממנו נוכל למצוא את הפוטנציאל על כל אחת‬
‫מהקליפות‪:‬‬
(r < R )
E1 = 0
kq1
r2
E3 = 0
(R < r < 2 R )
E2 =
(2 R < r < 3R )
k (q1 − Q0 )
(3R < r < 4 R )
r2
(r > 4 R )
E5 = 0
E4 =
⇓
r
V4 = − ∫ E 5 dr = 0
∞
R
k (q1 − Q0 )
kq
V1 = − ∫ E5 dr − ∫ E 4 dr − ∫ E 3 dr − ∫ E 2 dr = − ∫
dr − ∫ 21 dr =
2
r
4R
3R
∞
2R
4R
2R r
4R
3R
2R
R
3R
k
 k (q − Q0 ) 
 kq1 
= 1
+
=
[7q1 − Q0 ]



r

 4 R  r  2 R 12 R
3R
R
⇓
V1 = V4
q1 =
⇒
k
[7q1 − Q0 ] = 0 ⇒ 7q1 − Q0 = 0
12 R
Q0
7
q 4 = Q0 − q1 =
6Q0
7
:(‫וניתן לחשב את המטענים בקליפה העבה )מסתדרים כך שהשדה הוא אפס במוליך‬
Q0
7
6Q0
q4 = −
7
q3 = −
:‫ השדה החשמלי‬.‫ד‬
(r < R )
E1 = 0
kQ0
7r 2
E3 = 0
E2 =
E4 = −
E5 = 0
6kQ0
7r 2
(R < r < 2 R )
(2 R < r < 3R )
(3R < r < 4 R )
(r > 4 R )
Q0
:‫ כמות המטען שעברה מקליפה החיצונית לפנימית היא‬.‫ה‬
7
d2
V1 − V3 = 0 ⇒ − ∫ E 2 dx −
0
d1 + d 2
∫ E dx = 0
1
⇒ − E 2 d 2 − E 1d 1 = 0 ⇒
d2
 q
 q
q 
q 
Q
Q
E 2 d 2 + E1d 1 = 0 ⇒  − 1 −
+ 3 d 2 +  − 1 +
+ 3 d 1 = 0 ⇒
 ε0A ε0A ε 0A 
 ε0A ε0A ε0A 
− q 1d 2 − Qd 2 + q 3 d 2 − q1d 1 + Qd 1 + q 3 d1 = 0
− q 1 (d1 + d 2 ) + q 3 (d 1 + d 2 ) + Q(d1 − d 2 ) = 0
− q 1 (d1 + d 2 ) + q 3 (d 1 + d 2 ) + Q(d1 − d 2 ) = 0

q1 + Q + q 3 = 0 ⇒ q 3 = −Q − q 1
q1 = q 3 +
(d1 − d 2 )Q
(d1 + d 2 )
(d1 − d 2 )Q
(d1 + d 2 )

 (d 1 − d 2 )  Q
− 1
q1 = 

 (d1 + d 2 )  2

q = −  (d1 − d 2 ) + 1 Q


 3
 (d1 + d 2 )  2

⇒ q1 = −Q − q 1 +
 (d − d 2 ) 
2q 1 =  1
− 1 Q ⇒
 (d 1 + d 2 ) 
:‫כך שנשאר לפתור שתי משוואות עם שני משתנים‬
⇒
.‫נשאר להציב את המטענים שמצאנו בביטויים עבור השדות‬
‫פוטנציאל‪ ,‬הארקה ואנרגיה‬
‫נתון כדור מוליך ‪ ,A‬שרדיוסו ‪ ,R‬הטעון במטען ‪ .Q‬הכדור נמצא בתוך קליפה מוליכה ‪ ,B‬שרדיוסה‬
‫הפנימי ‪ 2R‬ורדיוסה החיצוני ‪ ,3R‬הטעונה במטען ‪ .-2Q‬שני הכדורים הללו נמצאים בתוך קליפה כדורית‬
‫מוליכה דקה ‪ ,C‬בעלת רדיוס ‪ 4R‬המוארקת לאדמה‪ .‬שלושת הכדורים בעלי מרכז משותף‪ .‬נתונים‪.R ,Q :‬‬
‫א‪ .‬מהו המטען על השפה החיצונית של הקליפה הכדורית ‪?B‬‬
‫ב‪ .‬מהו המטען על השפה הפנימית של הקליפה הכדורית ‪?B‬‬
‫ג‪ .‬מהו המטען על הקליפה הכדורית ‪?C‬‬
‫ד‪ .‬אלקטרון שמסתו ‪ m‬ומטענו ‪ - e‬משוחרר ממנוחה ליד השפה הפנימית של הקליפה ‪ .B‬באיזו‬
‫מהירות יפגע האלקטרון בכדור ‪) A‬בהנחה שצפיפות המטען על המוליכים לא משתנה בעקבות‬
‫תנועת האלקטרון(?‬
‫‪4R‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫שימו לב לסדר הסעיפים!‬
‫ב‪ .‬המטען על השפה הפנימית של ‪ B‬יהיה כזה שיאפס את השדה החשמלי בתוך המוליך ‪ ,B‬לפיכך המטען‬
‫על הקליפה הפנימית של ‪ B‬הוא‪. q 2R = −Q :‬‬
‫א‪ .‬המטען על השפה החיצונית של ‪ B‬יהיה כזה שישלים את המטען על מוליך ‪ B‬ל ‪ , − 2Q‬לפיכך המטען‬
‫על השפה החיצונית של ‪ B‬הוא‪. q 3R = −Q :‬‬
‫ג‪ .‬המטען על הקליפה החיצונית ‪ C‬יהיה כזה שיאפס את השדה החשמלי בחוץ‪ ,‬לפיכך המטען על קליפה ‪C‬‬
‫הוא‪. q 4R = Q :‬‬
‫ד‪ .‬נפתור משיקולי אנרגיה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mv‬‬
‫) ‪= q (V2R − VR‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫‪mv‬‬
‫‪+ qVR = qV2R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2R‬‬
‫⇒‬
‫‪U R = U 2R‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪1‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪ kQ ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪dr =   = kQ ‬‬
‫‪− =−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪ r R‬‬
‫‪ 2R R ‬‬
‫‪R r‬‬
‫∫ ‪V2R − VR = −‬‬
‫‪kQe‬‬
‫‪mR‬‬
‫=‪⇒ v‬‬
‫‪mv 2 kQe‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2R‬‬