‫אוניברסיטת בן־גוריון בנגב – המחלקה למתמטיקה‬ ‫חדו״א להנדסת מכונות ‪ – (201–1–9711) 1‬סמסטר א׳ תשע״ד‬ ‫תרגיל ‪1‬‬ ‫‪ .1‬כתבו את הביטוים הבאים כצירוף של ‪.sin x, cos x‬‬ ‫)‪sin(2x + π‬‬ ‫)ד(‬ ‫) ‪2 sin(x + π2‬‬ ‫)ג( ) ‪cos(x + π2‬‬ ‫)ב( )‪sin(2π − x‬‬ ‫)א( )‪cos(x + π‬‬ ‫‪ .2‬הוכיחו באינדוקציה את הטענות הבאות‪:‬‬ ‫)א( יהי )∞‪ (1 + nx) ≤ (1 + x)n .x ∈ (−1, +‬לכל ‪ ,n > 1‬ושיוויון מתקיים רק עבור ‪.x = 0‬‬ ‫)ב( ‪ 2n ≥ n3‬לכל ‪.n ≥ 10‬‬ ‫)ג(‬ ‫)ד(‬ ‫‪(n+1)n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪n+1 n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫< !‪ n‬לכל ‪.n > 1‬‬ ‫< !‪ n‬לכל ‪ .n > 1‬רמז‪> 2 :‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‬ ‫‪= 1+‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪n+2‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‬ ‫√‬ ‫‪) .3‬א( ‪ F‬הוכיחו כי ‪. 3 6∈ Q‬‬ ‫√ √‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫)ב( ‪ F‬הוכיחו כי ‪ . 2 + 3 6∈ Q‬רמז‪ .( 2 + 3)( 2 − 3) = −1 :‬אבל עבור ‪ 2‬מספרים‬ ‫√ בהכרח מתקיים‪ :‬שניהם רציונאליים או שניהם אי רציונאליים‪ .‬אבל‬ ‫‪ a, b ∈ R‬המקיימים ‪ab = −1‬‬ ‫אם שניהם רציונאליים אז ‪ a + b = 2 2‬גם מספר רציונלי‪.‬‬ ‫‪ .4‬פתרו את אי השיוויונים הבאים‪:‬‬ ‫)ה( |‪|x| > |x + 1‬‬ ‫)ג( ‪|x + 2| < 0.3‬‬ ‫)א( ‪|x2 − 1| ≤ 1‬‬ ‫)ו( ‪|x + 2| + |x − 2| ≤ 10‬‬ ‫)ד( ‪|x − 5| > 10‬‬ ‫)ב( ‪|5 − x1 | ≤ 1‬‬ ‫‪ .5‬קבעו מהו תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‪:‬‬ ‫)א( ‪4 − x2‬‬ ‫)ה( )‪f (x) = log2 (1 + x‬‬ ‫‪p‬‬ ‫√‬ ‫)ו( )‪f (x) = sin( x‬‬ ‫‪p‬‬ ‫)ז( )‪f (x) = 4 log2 (tan x‬‬ ‫√‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)ב( )‪f (x) = (−x‬‬ ‫)ג( ) ‪f (x) = sin( x1‬‬ ‫√‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪f (x) = sin(x+π‬‬ ‫)ד( ‪+ x + 1‬‬ ‫‪ .6‬לגבי כל אחת מהפונקציות הבאות‪ ,‬קבעו אם הפונקציה הינה זוגית‪ /‬אי זוגית‪ /‬לא זוגית‪ /‬לא אי זוגיות‪:‬‬ ‫)ו( )‪tan(x‬‬ ‫)ז( )‪tan(x + 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)א(‬ ‫‪−1‬‬ ‫)ג( ‪f (x) = x4 − 5x + 1‬‬ ‫)ד( )‪sin(2x‬‬ ‫)ה( ) ‪sin(2x + π2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫)ב( ‪f (x) = x4 − 3x2 + 1‬‬ ‫‪) .7‬א( נניח כי ‪ f : R → R‬פונקציה זוגית ו־ ‪ g : R → R‬פונקציות אי־זוגית‪ .‬מה תוכלו לאמר על‬ ‫הפונקציות הבאות‪.g(x)2 ,f (x)g(x) ,f (g(x)) :‬‬ ‫)ב( הוכיחו כי לכל פונקציה ‪ f : R → R‬הפונקציה‬ ‫)‪f (x)+f (−x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫היא פונקציה זוגית‪.‬‬ ‫‪ .8‬חשבו את התמונה של הפונקציות הבאות‪:‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫)ב(‬ ‫‪1 + x2‬‬ ‫= )‪g(x‬‬ ‫)א( ‪2 + x − x2‬‬ ‫√‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪ .9‬הגדירו את המושגים הבאים‪:‬‬ ‫)ה( הפונקציה ההופכית‬ ‫)א(‬ ‫)ב(‬ ‫)ג(‬ ‫)ד(‬ ‫)ו( פונקציה זוגית‬ ‫)ז( פונקציה אי־זוגית‬ ‫תמונה של פונקציה‬ ‫תחום ההגדרה הטבעי‬ ‫פונקציה חד חד־ערכית‬ ‫פונקציה על‬ ‫‪ .10‬הסבירו את ההבדל בין המושג ״טווח של פונקציה״ ו״תמונה של פונקציה״‪ .‬תנו דוגמא‪.‬‬ ‫‪ .11‬תנו דוגמא לפונקציה ]‪ f : [0, 1] → [0, 1‬שהיא חד חד ערכית אבל לא מונוטונית‪.‬‬ ‫‪2‬‬