‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"א‪ ,‬שאלון ‪ – 35004‬פתרונות מלאים‬ ‫‪1‬‬ ‫על צלע הריבוע ‪ ABCD‬בנו משולש חד‪-‬זווית ‪. ABE‬‬ ‫דרך הקדקוד ‪ D‬העבירו ישר המקביל ל‪AE -‬‬ ‫וחותך את ‪ AB‬בנקודה ‪ F‬ואת ‪ BE‬בנקודה ‪G‬‬ ‫כמתואר בציור‪.‬‬ ‫נתון‪ 14 :‬ס"מ ‪ 13 , AE ‬ס"מ ‪. BE ‬‬ ‫האורך של צלע הריבוע הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את זוויות המשולש ‪. FGB‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את האורך של ‪. FB‬‬ ‫ נשתמש במשפט הקוסינוסים‬.‫א‬ , AB  ‫ ס"מ‬12 ‫ לכן‬,‫ ס"מ‬12 ‫האורך של צלע הריבוע הוא‬ ABE (AE) 2  (BE) 2  (AB) 2  2BE  AB  cos EBA 142  132  122  2 13 12  cos EBA 196  313  312cos EBA 117 312 EBA  67.98 cos EBA  ‫נשתמש במשפט הסינוסים‬ ABE AE EB  sin EBA sin EAB 14 13  sin 67.98 sin EAB 13sin 67.98 sin EAB  14 EAB  59.41  0  EAB  90 GFB  EAB  59.41 ‫ ולכן‬FG AE ‫נתון כי‬ )‫(זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים‬ 180 FGB ‫ ע"פ סכום זוויות במשולש‬,‫ומכאן‬ FGB  180  (59.41  67.98)  52.61 :‫נקבל‬ . 59.41 , 67.98 , 52.61 :‫תשובה‬ )‫(זוויות קדקודיות שוות זו לזו‬ AFD  GFB  59.41 .‫ב‬ AFD AD AF 12 tan 59.41  AF AF  7.094 FB  12  7.094  4.906 tan AFD  FB  4.906 FB  ‫ ס"מ‬4.906 :‫תשובה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נתונה הפונקציה )‪ f ( x)  sin(ax‬בתחום‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ a . 0  x ‬הוא פרמטר‪. 0  a  9 ,‬‬ ‫א‪ .‬ישר‪ ,‬המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ , x ‬מקביל לציר ה‪. x -‬‬ ‫מצא את הערך של ‪. a‬‬ ‫הצב ‪ a  3‬וענה על הסעיפים ב‪-‬ה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של נקודת המינימום המוחלט ואת השיעורים של נקודת‬ ‫המקסימום המוחלט של הפונקציה בתחום הנתון‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪ x -‬בתחום הנתון‪.‬‬ ‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬ ‫ה‪ .‬מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ועל ידי ציר ה‪ x -‬בתחום הנתון‪.‬‬ 40553 ‫ מועד חורף שאלון‬11 ‫בגרות עא ינואר‬ .‫תשובה‬ . 0  a  9 ,‫ הוא פרמטר‬a . 0  x  , x -‫ מקביל לציר ה‬, x  2 ‫ בתחום‬f ( x)  sin(ax) ‫ נתונה הפונקציה‬.‫א‬ 3  6 ‫ המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‬,‫ישר‬  f '( )  0 :‫לכן‬ 6 f '( x)  a cos(ax)  0  a cos(a  ) / : a  0 6   cos(a  )  0  cos 6 2 a  6   2  k / : a 1   k / 6 6 2 a  3  6k a  3  k  0, 0  a  9 a  3 :‫תשובה‬ .0  x  2 ‫ בתחום‬f ( x)  sin 3x :‫ ונקבל‬a  3 ‫ נציב‬.‫ב‬ 3 .‫נמצא נקודות קצה ולאחר מכן נקודות קיצון‬ f (0)  sin(3  0)  0  (0, 0) f( 2 2 2 )  sin(3  )  0  ( , 0) 3 3 3 f '( x)  3cos 3 x cos 3 x  0  cos 3x  x   2 6  2 k  k 3      f ( )  sin(3  )  sin    1  ( , 1) 6 6 6 2    3  f ( )  sin(3  )  sin     1  ( ,  1) 2 2 2 2  ‫נמצא את סוג הקיצון‪ ,‬בעזרת ערכי הפונקציה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫'‪y‬‬ ‫‪Max‬‬ ‫‪Min‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Max‬‬ ‫‪Min‬‬ ‫מסקנה‬ ‫‪‬‬ ‫תשובה‪ ( ,  1) :‬מינימום מוחלט‪ ( , 1) ,‬מקסימום מוחלט (על פי ערכי הפונקציה בקצוות ובנקודות הקיצון)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ג‪ .‬נמצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪ x -‬בתחום הנתון‪.‬‬ ‫‪sin 3 x  0  sin 0‬‬ ‫‪3 x  0  k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫תשובה‪, (0, 0), ( , 0), ( , 0) :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ד‪ .‬סרטוט הפונקציה‬ ‫‪k‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪ .‬נחשב את שני השטחים המתאימים‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (0  sin 3x)dx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪S 2   (sin 3 x  0)dx‬‬ ‫‪S1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos 3 x‬‬ ‫]‬ ‫‪3 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪cos 3 x 3‬‬ ‫‪S1 ‬‬ ‫]‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫) ‪cos(3 ‬‬ ‫(‪3 )‬‬ ‫) ‪3‬‬ ‫( ‪S1 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪S1   (‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪cos(3 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫וגודל השטח הוא ‪  1‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תשובה‪. 1 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪. f ( x) ‬‬ ‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות לפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬ ‫ד‪ .‬מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬ ‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫תשובה‪.‬‬ ‫‪( x  2)2‬‬ ‫א‪ .‬נתונה פונקציה ‪ 1‬‬ ‫‪( x  1) 2‬‬ ‫תחום ההגדרה הוא ‪ , x  1‬כי ‪ x  1‬מאפס את מכנה הפונקציה‪.‬‬ ‫‪. f ( x) ‬‬ ‫תשובה‪. x  1 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪ cos(3 ‬‬ ‫) )‪3 )  (  cos(3  0‬‬ ‫( ‪S2 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪S 2   (‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪S1 ‬‬ ‫‪( x  2)2‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪ 1‬‬ ‫‪( x  1) 2‬‬ ‫‪S2  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪S2 ‬‬ ‫ב‪ x  1 .‬האסימפטוטה האנכית‪ ,‬כי ‪ x  1‬מאפס את המכנה ולא את המונה‪.‬‬ ‫אם רוצים אפשר גם להוסיף שמכיוון שהמכנה והמונה חיוביים עבור ‪ x  1‬לכן האסימפטוטה לשני הצדדים של‬ ‫הישר ‪ x  1‬היא הקרן העולה של ישר זה‪.‬‬ ‫לחישוב האסימפטוטה האופקית נציע דרך נוחה אפשרית‪ ,‬אבל כל טעון סביר מתקבל כאן‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f ( x)  ‬‬ ‫נחלק את המונה והמכנה ב‪ x 2 -‬ונקבל ‪ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫כאשר ‪ x‬שואף לאינסוף או למינוס אינסוף המנות‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫שואפות ל‪ ,5-‬המונה והמכנה של השבר שואפים ל‪,1-‬‬ ‫השבר עצמו שואף ל‪ ,1-‬ו‪ f ( x) -‬שואף ל‪ .5-‬לכן ‪ y  0‬אסימפטוטה אופקית‪.‬‬ ‫תשובה ‪ x  1‬אסימפטוטה אנכית‪ y  0 ,‬אסימפטוטה אופקית‬ ‫‪(0  2) 2‬‬ ‫‪ f (0) ‬שיעורי נקודת החיתוך‪. (0,3) :‬‬ ‫ג‪ .‬בנקודת החיתוך עם ציר ה‪ y -‬מתקיים ‪ x  0‬ולכן ‪ 1  3‬‬ ‫‪(0  1) 2‬‬ ‫‪( x  2) 2‬‬ ‫בנקודת החיתוך עם ציר ה‪ x -‬מתקיים ‪ y  0‬ולכן ‪ 1‬‬ ‫‪( x  1) 2‬‬ ‫‪( x  2) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( x  1) 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪( x  2) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( x  1) 2‬‬ ‫‪( x  2) 2  ( x  1) 2‬‬ ‫‪x2  4x  4  x2  2x  1‬‬ ‫‪6 x  3‬‬ ‫)‪x  0.5  (0.5, 0‬‬ ‫תשובה‪. (0.5, 0) , (0,3) :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ד‪ .‬נמצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודות הקיצון של הפונקציה ואת סוגן‪.‬‬ ‫‪( x  2) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( x  1) 2‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫‪2( x  2)( x  1) 2  2( x  1)( x  2) 2‬‬ ‫‪f '( x) ‬‬ ‫‪( x  1) 4‬‬ ‫)‪2( x  2)( x  1)( x  1  ( x  2‬‬ ‫‪f '( x) ‬‬ ‫‪( x  1) 4‬‬ ‫)‪2( x  2)( x  1)( x  1  x  2‬‬ ‫‪f '( x) ‬‬ ‫‪( x  1) 4‬‬ ‫)‪6( x  2)( x  1‬‬ ‫‪( x  1) 4‬‬ ‫‪f '( x) ‬‬ ‫‪(2  2)2‬‬ ‫‪ x  2‬הפתרון היחיד בתחום ההגדרה‪ , x  1 ,‬ובהתאם ‪ 1  1‬‬ ‫‪(2  1) 2‬‬ ‫‪: f (2) ‬‬ ‫מנוסחת )‪ f '( x‬ברור כי משמאל ל‪ f '( x)  0 x  2 -‬ומימין ל‪( x  2 -‬כל עוד ‪, f '( x)  0 ) x  1‬‬ ‫ולכן ב‪ x  2 -‬יש מינימום‪.‬‬ ‫תשובה‪ (2,  1) :‬מינימום‪.‬‬ ‫ה‪ .‬הסקיצה המתאימה‬ ‫‪4‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪. f ( x)  x  5‬‬ ‫העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪( x  14‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪ S1‬הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‪ ,‬על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי הישר ‪( x  14‬השטח המנוקד בציור)‪.‬‬ ‫‪ S2‬הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‪ ,‬על ידי המשיק ועל ידי ציר ה‪( x -‬השטח המקווקו בציור)‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f ( x‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה‪. x -‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את היחס‬ ‫‪S2‬‬ ‫א‪ .‬נתונה הפונקציה ‪. f ( x)  x  5‬‬ ‫הביטוי שבתוך השורש אינו יכול להיות שלילי‪ ,‬בהתאם ‪x  5  0  x  5‬‬ ‫תשובה‪x  5 :‬‬ ‫ב‪ .‬נמצא את משוואת המשיק‪.‬‬ ‫‪ f (14)  14  5  3‬ובהתאם שיעורי נקודת ההשקה )‪. A(14, 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 14  5 6‬‬ ‫‪ f '(14) ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 x 5‬‬ ‫‪f '( x) ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y  3  ( x  14)  6 y  18  x  14‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y  x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫נמצא את שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה‪ , x -‬בה מתקיים ‪. y  0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x  4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪ B(-4, 0‬‬ ‫תשובה‪(-4, 0) :‬‬ ‫ג‪ .‬על פי תחום ההגדרה שיעורי נקודת החיתוך של הפונקציה‬ ‫ה‪ x -‬הם )‪D(5, 0‬‬ ‫עם ציר‬ ‫נחשב את שני השטחים המתאימים‪:‬‬ ‫‪5  x )dx‬‬ ‫‪14‬‬ ‫(‪‬‬ ‫‪S1 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫)‪ ( x  5‬‬ ‫‪S1 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪( x  5)1.5 14‬‬ ‫]‬ ‫‪1.5 5‬‬ ‫‪(14  5)1.5 (5  5)1.5‬‬ ‫‪S1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪S1  18  0‬‬ ‫‪S1 ‬‬ ‫‪S1  18‬‬ ‫‪S1 18‬‬ ‫והיחס המבוקש‪  2 :‬‬ ‫‪S1 9‬‬ ‫‪S2  S ABC  S1‬‬ ‫‪AC  BC 18  3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 27‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S2  27  18‬‬ ‫‪SABC ‬‬ ‫‪S2  9‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫תשובה‪ 2 :‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫הגרפים ‪ I‬ו‪ II -‬שבציור הם של הפונקציות‪:‬‬ ‫‪g ( x)  a ln 2 x , f ( x)  a ln x‬‬ ‫‪.x0‬‬ ‫‪ a‬הוא פרמטר ‪. a  0 ,‬‬ ‫א‪ .‬איזה גרף הוא של הפונקציה )‪, f ( x‬‬ ‫ואיזה גרף הוא של הפונקציה )‪? g ( x‬‬ ‫נמק‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נקודה ‪ A‬נמצאת על גרף ‪, II‬‬ ‫ונקודה ‪ B‬נמצאת על גרף ‪ , I‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪, y -‬‬ ‫ונמצא בין נקודת החיתוך של הגרפים (ראה ציור)‪.‬‬ ‫(‪ )1‬מצא את האורך המקסימלי של הקטע ‪( AB‬מובע באמצעות ‪.) a‬‬ ‫(‪ )2‬נתון כי האורך המקסימלי של הקטע ‪ AB‬מתקבל בנקודה שבה‬ ‫‪1‬‬ ‫ערך הפונקציה )‪ g ( x‬הוא‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מצא את הערך של ‪. a‬‬ ‫תשובה‪.‬‬ ‫א‪ .‬דרך אחת‪:‬‬ ‫‪ ln x‬היא פונקציה שערכיה תחילה שליליים (עבור ‪ ) x  1‬ואחר כך חיוביים (עבור ‪ ,) x  1‬ומכיוון ש‪ a  0 -‬גם‬ ‫ערכי )‪ f ( x‬תחילה שליליים ואחר כך חיוביים‪.‬‬ ‫לעומת זאת מכיוון ש‪ a  0 -‬אז ערכי )‪ g ( x‬כולם אי‪-‬שליליים‪ .‬לכן הגרף ‪ II‬המכיל גם נקודות מתחת לציר ה‪x -‬‬ ‫הוא הגרף של )‪ , f ( x‬ואילו גרף ‪ I‬שבו כל נקודות על ציר ה‪ x -‬או מעליו הוא הגרף של )‪. g ( x‬‬ ‫דרך שניה‪:‬‬ ‫נזהה את הפונקציות‪ , g ( x)  a ln x , f ( x)  a ln x ,‬בהתאם לכך שאחת עולה והשנייה יורדת ועולה‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ f '( x) ‬וכיוון ש‪ a  0 , x  0 :‬הרי שהפונקציה עולה לכל ‪. x  0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫תשובה‪ :‬הגרף ‪ I‬הוא של הפונקציה )‪ , f ( x‬והגרף ‪ II‬הוא של הפונקציה )‪. g ( x‬‬ ‫ב‪ )1( .‬הפונקציה שיש להביא למקסימום היא אורך הקטע ‪. AB‬‬ ‫נסמן את הנקודה ‪ A‬עם השיעורים ) ‪ A(t , a ln t‬ונביע באמצעות ‪ t‬את אורך הקטע ‪. AB‬‬ ‫מכיוון ו‪ AB -‬מקביל לציר ה‪ , y -‬הרי ששיעורי ה‪ x -‬שווים ובהתאם ) ‪B(t , a ln 2 t‬‬ ‫ומכאן ש‪AB  a n t  a n2 t -‬‬ ‫‪a 2a ln t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪(AB) '(t ) ‬‬ ‫‪a  2a ln t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪(AB) '(t ) ‬‬ ‫‪/:a  0‬‬ ‫‪0  a  2a ln t‬‬ ‫‪0  1  2 ln t‬‬ ‫‪ln t  0.5‬‬ ‫‪t e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫עבור ערך זה של ‪ t‬קיים ‪ . AB  a ln t  a ln t  a   a     a‬נראה שזהו הערך המקסימלי בשלוש‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫דרכים‪.‬‬ ‫דרך ראשונה‪ .‬קיים ‪ AB(1)  a ln1  a ln 2 1  a  0  a  02  0‬וגם ‪AB(e)  a ln e  a ln 2 e  a 1  a 12  0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ו‪a  0 -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ . AB( e ) ‬מכיוון ש‪ 0  t  e  e -‬היא הנקודה החשודה היחידה לכן היא נקודת מקסימום‪.‬‬ ‫‪a  2a ln t‬‬ ‫דרך שניה‪ .‬בביטוי‬ ‫‪t‬‬ ‫לנגזרת של ) ‪ AB(t‬המכנה חיובי‪ .‬מכיוון ש‪ ln t -‬פונקציה עולה של ‪ t‬המונה‬ ‫‪ a  2a ln t‬הוא פונקציה יורדת של ‪ .t‬לכן המונה‪ ,‬והנגזרת ) ‪ , AB '(t‬חיוביים עד הנקודה ‪ , t  e‬בה המונה‬ ‫מתאפס‪ ,‬ושליליים מימין לנקודה זאת‪ .‬לכן ‪ t  e‬היא נקודת מקסימום‪.‬‬ ‫‪a  2a ln t‬‬ ‫דרך שלישית‪ .‬מכיוון שבביטוי‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫בנגזרת המונה‪ .‬נגזרת המונה היא‬ ‫‪t‬‬ ‫ל‪ AB '(t ) -‬המכנה חיובי‪ ,‬די להתבונן‪ ,‬במקום ב‪, AB ''(t ) -‬‬ ‫‪ ‬והיא שלילית בכל תחום ההגדרה‪ .‬לכן ‪ t  e‬היא נקודת מקסימום‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫(‪ .)2‬לפי האמור לעיל ‪ , g ( e )  a ln 2 ( e )  a    a‬וכעת נתון‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ולכן ‪. a  1‬‬ ‫‪ , g ( e ) ‬לכן‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪ a‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪,‬‬