הפרדוקסים של זֵנוֹן
הפרדוקסים של זֵנוֹן מבוא הפרדוקסים של זֵנוֹן הם פרדוקסים שחיבר הפילוסוף היווני זֵנוֹן מאלאה שחי במאה החמישית לפני הספירה. פרדוקסים אלה עוסקים בתנועה ,בזמן ובמרחב ,ובעיקר בבעיית האין-סופיות שלהם .בכל אחד מהפרדוקסים האלה מנִידֶס 'לפיה אל לנו לסמוך על פרְ ֵ מוצגת "הוכחה" הסותרת את המציאות הגלויה לעין ,אך מתאימה לגישתו של ַּ החושים המטעים אותנו .שלושה מהפרדוקסים המוכרים נציג כאן. פרדוקס אכילֶס והצב בתחרות ריצה בין האצן האגדי ,אכילס ,לבין צב רץ אכילס במהירות של עשרה מטרים בשנייה ,מהר יותר מהצב פי עשרה .לכן החליט אכילס להתחשב בצב ולתת לו יתרון של 100מטרים בתחילת התחרות .כלומר הצב מתחיל את התחרות כשאכילס מתחיל אותה 100מטרים מאחוריו .מניסיון החושים ברור שאכילס יעבור את הצב בתוך זמן קצר ,לעומת זאת טוען זנון ,כי בתנאים אלה אכילס לעולם לא ישיג את הצב. וכך מסביר נון את טענתו .לאחר שאכילס יעבור את 100המטרים ויגיע אל נקודת ההתחלה של הצב ,הצב יתקדם עוד עשרה מטרים .לכן הוא עדיין יקדים את אכילס .כאשר אכילס ימשיך ויעבור את עשרת המטרים הנוספים ,הצב כבר יעבור עוד מטר ,ושוב יקדים אותו .וכך הלאה ,כאשר אכילס מגיע לנקודה בה היה הצב קודם לכן ,הצב כבר מתקדם לנקודה רחוקה יותר .לכן אכילס ילך ויתקרב אל הצב ,אך לעולם לא יוכל להשיג אותו. כאמור ,פרדוקס זה עומד בסתירה לידוע לנו .אכילס ישיג את הצב בתוך זמן קצר .יתר על כן ,אם נפתור משוואה אלגברית פשוטה ,נראה כי לאחר _ 11 19שניות ישיג אכילס את הצב. פרדוקס הדיכוטומיה אדם שרוצה לנוע ממקום למקום ,כלומר לעבור מנקודת יציאה לנקודת יעד ,לעולם לא יוכל להגיע למטרתו ,כי לפני שיגיע לנקודת היעד ,הוא חייב להגיע לאמצע הדרך שבין נקודת היציאה לבין נקודת היעד .נוסף על כך ,לפני שיגיע מנקודת היציאה לאמצע הדרך ,הוא חייב להגיע לאמצע הדרך שבין נקודת יציאה לבין אמצע הדרך, וכך הלאה .בהתאם לכך ,האדם לעולם לא יוכל לזוז ממקומו ,כי כדי להגיע לנקודה הראשונה במסעו הוא חייב לעבור אין-סוף נקודות. פרדוקס החץ הנע חץ נורה אל מטרה .ברגע כלשהו במעופו הוא נמצא במקום כלשהו ,כלומר הוא נמצא במנוחה .תיאור זה נכון לגבי כל אחד מהרגעים של מעוף החץ .לפיכך החץ נמצא במנוחה במהלך כל מעופו ,כלומר לחץ למעשה אין בכלל תנועה. זנון ובני תקופתו לא הציגו פתרונות לפרדוקסים של זנון ,אך הם העסיקו את הפילוסופים של ימי הביניים .פתרון מסוים לפרדוקסים אלה נמצא בביסוס התאורטי של המושג אין-סוף ,החל מהמאה ה .17 -אמנם בפרדוקסים מתוארת המציאות במונחים טבעיים ומשכנעים ,אך פתרונותיהם המתמטיים המודרניים מנוסחים במונחים מורכבים ולא אינטואיטיביים. 1 כל הזכויות שמורות ללמדא יוזמות בע"מ © הפרדוקסים של זֵנוֹן האם אפשר לחבר אין-סוף מספרים? 1 .1חשבו את סכומי השברים שלהלן ,וייצגו את הסכומים על ציר המספרים. 1 _ 1 _ ) א_______________________________________________ = 2 + 4 1 _ 1 _ 1 _ ) ב_______________________________________________ = 2 + 4 + 8 1 1 _ 1 _ 1 __ _ 2 + 4 + 8 + 16 ) ג_______________________________________________ = 1 __ 1 1 _ 1 _ 1 __ _ 2 + 4 + 8 + 16 + 32 ) ד_______________________________________________= 1 _ 1 2 0 2 .2נתון מספר טבעי .n מסמנים ב Sn -את 1 __ . 12_ + 14_ + 18_ + ... + 2 הביטוי = n ) אמהם הערכים של הביטויים S4 ,S3ו?S5 - ) בנסו לנחש את הערכים של ,S6של S7ושל S8בלי לחבר שברים. ) גמצאו את השוויון המתקיים מבין השוויונות שכאן .נמקו את בחירתכם. 1 __ S n = 2 n 2n – 1 ____ 2n Sn = 2n – 1 _____ 2n Sn = ) דעל-פי תשובתכם בסעיף הקודם חשבו את הערכים של ,S10של S20ושל .S30השתמשו במחשבון ,וכתבו את המספרים בכתיב מדעי. 3 .3א) האם הביטוי Snיכול להיות גדול מ 1 -בערך כלשהו של ?nנמקו את תשובתכם. ) בחשבו את ערכו של הביטוי – .1 – Snהסבירו מדוע ערכו של הביטוי מתקרב ל 0 -ככל ש n -גדֵל. 1 __ , 12_ + 14_ + 18_ + ... + 2אילו היה אפשר "להמשיך עד אין-סוף"? כלומר האם אפשר 4 .4לסיכום ,כיצד הייתם מגדירים את הסכום n לקבוע ערך ל"סכום אין-סופי" זה? 2 כל הזכויות שמורות ללמדא יוזמות בע"מ © הפרדוקסים של זֵנוֹן האם אפשר לחבר אין-סוף מספרים? 5 .5דרך אגב... ייתכן שחלק מכם חושבים שהסכום הנ"ל שווה ל( 0.999999... -אין-סוף ספרות שוות ל .)9 -ואולי חלק מכם סוברים שהסכום הוא בדיוק .1האם שני מספרים אלה שווים או שונים? בעזרת הסעיפים שלהלן תוכלו לענות לשאלה זו. ) אנתונים שני מספרים שונים .האם אפשר למצוא מספר שלישי ,הנמצא ביניהם ושונה משניהם? דוגמה :נתונים המספרים .0.1 ≠ 0.2המספר 0.17נמצא ביניהם.0.1 < 0.17 < 0.2 . כעת מצאו מספר... •בין 0.777777...ל( 0.8 -יש אין-סוף ספרות במספר הראשון). •בין 0.888888...ל( 0.9 -יש אין-סוף ספרות במספר הראשון). •בין 0.999999...ל( 1 -יש אין-סוף ספרות במספר הראשון). ) בלפי תשובתכם בסעיף הקודם ,האם המספרים 0.999999...ו 1 -שונים או שווים? ) גדרך אחרת להגיע לאותה מסקנה היא כך: •מסמנים ב x -את המספר .0.999999...מהו ערך המספר ?10x •הסבירו מדוע .10x = x + 9 •פתרו את המשוואה .10x = x + 9מה מסקנתכם? 3 כל הזכויות שמורות ללמדא יוזמות בע"מ © הפרדוקסים של זֵנוֹן בעיות ופתרונות מתמטיים אפשריים פרדוקס אכילֶס והצב זוכרים את פרדוקס אכילס והצב? הבה נפתור אותו. נזכיר את הנתונים: אכילס רץ במהירות של עשרה מטרים בשנייה. מהירותו של אכילס גדולה ממהירות הצב פי עשרה. לצב יש יתרון של 100מטרים. 1 .1כדי לפשט את השאלה נניח כמה הנחות: •לצב יש יתרון של 0.5מ' בלבד; •מהירותו של אכילס היא 1מ'/שנייה; •מהירותו של הצב היא 0.5מ'/שנייה; לפניכם מיוצגים אכילס והצב בתחילת התחרות. 1 1 _ 2 0 בכל סעיף יצגו על ציר המספרים את אכילס ואת הצב. ) אאחרי 0.5שניות. 1 1 _ 2 0 ) באחרי 0.75שניות. 1 1 _ 2 0 ) גאחרי 0.875שניות. 1 1 _ 2 2 .2אחרי כמה זמן לאחר תחילת התחרות ישיג אכילס את הצב? ___________________________ 4 כל הזכויות שמורות ללמדא יוזמות בע"מ © 0 הפרדוקסים של זֵנוֹן האם אפשר לחבר אין-סוף מספרים? 3 .3הסבירו במילים שלכם מדוע הטענה שאפשר לחלק את התחרות לאין-סוף שלבים ,כפי שעשה זנון ,אינה סותרת את הטענה שאכילס אכן ישיג את הצב .היעזרו במסקנות השיעור הקודם. 4 .4כעת נפעל בנתונים המקוריים .כלומר אכילס רץ במהירות של עשרה מטרים בשנייה ,מהר יותר מן הצב פי עשרה .לכן הוא החליט להתחשב בצב ולתת לו יתרון של 100מטרים בתחילת התחרות. ) אכתבו משוואה מתאימה לתיאור .הוכיחו באמצעות המשוואה ובאמצעות ניתוח "קלסי" ,שאכילס ישיג את הצב לאחר _ 11 19שניות. ) בהראו על-ידי הניתוח של זנון שאכילס ישיג את הצב לאחר 11.111111...שניות. רמז :יצגו בטבלה את אכילס ואת הצב לאחר 10שניות 11 ,שניות 11.1 ,שניות. זמן אכילס הצב ) גמה אפשר לומר על המספרים _ 11 19ו?11.111111... - ) דהוכיחו את השערתכם. 5 כל הזכויות שמורות ללמדא יוזמות בע"מ ©
© Copyright 2024