‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫פרק ‪ - 4‬עקרון שובך היונים‬ ‫תיאוריה ושימושים‬ ‫משפט‪ :‬אם מכניסים ‪ n+1‬יונים ל‪ n -‬שובכים‪ ,‬אז קיים שובך שבו יש לפחות ‪2‬‬ ‫יונים‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬על דרך השלילה ‪ -‬נניח בשלילה כי בכל שובך יש לכל היותר יונה‬ ‫אחת‪ .‬לכן‪ ,‬מספר היונים הכולל הוא לכל היותר ‪ ,n‬בסתירה לנתון ש"קיימות"‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n+1‬יונים‪.‬‬ ‫שימושים פשוטים‪:‬‬ ‫‪ )6‬בכל שלשה של אנשים תמיד ניתן למצוא זוג בני אותו מין (גברים או נשים)‪.‬‬ ‫‪ )2‬בקבוצה בת ‪ 31‬אנשים יהיו שניים שנולדו באותו חודש (לועזי) בשנה (שכן יש‬ ‫‪ 32‬חודשים לועזיים בשנה)‪.‬‬ ‫‪ )3‬בקבוצה בת ‪ 133‬אנשים יהיו שניים שנולדו באותו יום בשנה (שכן יש ‪133‬‬ ‫ימים בשנה)‪.‬‬ ‫‪ )4‬ישנם שני תושבים בראשל"צ אשר להם אותו מספר שערות על הראש (שכן‬ ‫ידוע כי לאדם יש לכל היותר ‪ 3300000‬שערות על הראש וכי בראשל"צ‪ ,‬נכון‬ ‫לשנת ‪ ,2002‬ישנם כ‪ 2000000 -‬תושבים)‪.‬‬ ‫‪ )5‬במגירה נמצאים ‪ 3‬זוגות גרביים בצבעים שונים‪ .‬אם נוציא ממנה ‪ 7‬גרביים‬ ‫בודדים‪ ,‬אזי לבטח יהיו בידינו זוג גרביים תואמים (באותו הצבע)‪( .‬במקרה זה‪,‬‬ ‫צבעי הגרביים ‪ 3 -‬במספר ‪ -‬מהווים את השובכים והגרביים המוצאים מן‬ ‫המגירה ‪ 7 -‬במספר – את היונים‪).‬‬ ‫‪ )1‬במגירה גרביים לבנים ואדומים ביחס של ‪, x  y  x : y‬‬ ‫‪ .  x, y ‬אדם שעיניו‬ ‫מכוסות מוציא גרביים מן המגירה‪ .‬עליו להוציא ‪ 1‬גרביים כדי לקבל בוודאות‬ ‫זוג גרביים באותו הצבע‪.‬‬ ‫שימושים נוספים‪:‬‬ ‫א‪ .‬טענה‪ :‬בין כל שלושה מספרים שלמים יש שניים שסכומם הוא מספר זוגי‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬כל מספר שלם הוא מספר זוגי או מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬אך לא שניהם‪.‬‬ ‫בין כל שלושה מספרים שלמים יש לפחות שני מספרים זוגיים או לפחות שני‬ ‫מספרים אי‪-‬זוגיים‪ .‬בהתבסס על התכונה הידועה שסכום שני מספרים‬ ‫זוגיים‪/‬אי‪-‬זוגיים הוא מספר זוגי‪ ,‬הרי שקיימים בין שלושת המספרים הנ"ל‬ ‫□‬ ‫שניים שסכומם הוא מספר זוגי‪.‬‬ ‫‪601‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫ב‪ .‬טענה‪ :‬תהי ‪ . A  0,1, 2,...,9‬בכל תת‪-‬קבוצה של ‪ A‬שבה ‪ 3‬מספרים‪ ,‬יש שני‬ ‫מספרים שסכומם ‪.2‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נחלק את הקבוצה ‪ A‬ל‪ 3 -‬זוגות (תת‪-‬קבוצות)‪ ,‬כך שסכום שני‬ ‫האיברים בכל זוג הוא ‪ . 0,9 ,1,8 ,2, 7 ,3, 6 , 4,5 :2‬זוגות (תת‪-‬קבוצות)‬ ‫אלו מהווים את השובכים וכל אחד מששת המספרים שנבחר מתוך ‪ A‬יהווה‬ ‫יונה אחת‪ .‬נכניס כל אחד מששת המספרים (היונים) שנבחרו לתוך התת‪-‬‬ ‫קבוצה (השובך) המתאימה לו‪ .‬כך‪ ,‬למשל‪ ,‬המספר ‪ 1‬יוכנס לתת‪-‬‬ ‫הקבוצה‪ . 3, 6 :‬ישנן ‪ 3‬יונים ורק ‪ 3‬שובכים‪ ,‬ולכן בהכרח יהיה שובך אחד בו‬ ‫תמצאנה ‪ 2‬יונים‪ .‬כלומר‪ ,‬יהיו שם שני מספרים שסכומם ‪ ,2‬כנדרש‪.‬‬ ‫□‬ ‫ג‪ .‬טענה‪ :‬כל מספר רציונלי ניתן להצגה עשרונית כשבר מחזורי אינסופי‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 0.333... : 0.3 ,  0.25000... : 0.250 ,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 0.142857142857... : 0.142857 ,‬‬ ‫‪ 0.272727... : 0.27‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪11‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ q ‬כלשהו‪ ,‬ובה"כ נניח כי ‪ q‬הוא שבר מצומצם‪ ,‬כלומר‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ . q  , m  , n  , g.c.d  m , n  1‬נתעלם לעת עתה‪ ,‬לצורך הפשטות‪,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מהסימן של ‪ .m‬כדי לקבל את ההצגה העשרונית של ‪ ,q‬נחלק את ‪ m‬ב‪.n -‬‬ ‫שאריות החלוקה המתקבלות הן איברי הקבוצה‪ . 0,1, 2,3,..., n  1 :‬מאחר‬ ‫וקבוצה זו היא קבוצה סופית‪ ,‬הרי שלאחר ‪ n‬חלוקות לכל היותר‪ ,‬תתקבל‬ ‫שארית אשר כבר התקבלה בשלב קודם‪ .‬משלב זה ואילך (ממקום זה ואילך‬ ‫בשבר העשרוני) השאריות חוזרות על עצמן באופן מחזורי (הספרות חוזרות‬ ‫□‬ ‫על עצמן מחזורית)‪.‬‬ ‫הרחבת עקרון שובך היונים‪ :‬אם מכניסים ‪ kn+1‬יונים לתוך ‪ n‬שובכים‪ ,‬אז קיים‬ ‫שובך שבו יש לפחות ‪ k+1‬יונים‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬על דרך השלילה ‪ -‬נניח בשלילה שבכל שובך יש לכל היותר ‪ k‬יונים‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫מכאן‪ ,‬בכל השובכים יחד יש לכל היותר ‪ kn‬יונים – בסתירה לנתון‪.‬‬ ‫מסקנה מיידית‪ :‬אם מכניסים ‪ m‬יונים לתוך ‪ n‬שובכים‪ ,‬אז קיים שובך שבו יש‬ ‫‪m‬‬ ‫לפחות ‪  ‬יונים‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הוכחה‪ :‬על דרך השלילה ‪ -‬נניח בשלילה כי המסקנה אינה נכונה‪ ,‬ונניח כי‬ ‫‪m‬‬ ‫בשובך ה‪ i -‬יש ‪ C i‬יונים‪ .‬לכן‪ . 1  i  n : C i    :‬אולם‪ C i ,‬הוא מספר שלם‪,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪m m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ . Ci    Ci Ci ‬מכאן‪ - m   Ci     n  m :‬סתירה! ‪‬‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪i 1 n‬‬ ‫מסקנה מיידית – עקרון דיריכלה‪ :‬אם לשתי קבוצות סופיות עוצמה שונה‪,‬‬ ‫הרי שלא קיימת פונקציית שקילות ביניהן‪.‬‬ ‫‪601‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫עקרון שובך היונים – הגירסא הגיאומטרית‪ :‬נסמן ב‪ A -‬את המידה של‬ ‫קבוצה ‪( A‬אורך‪ ,‬שטח‪ ,‬נפח וכדומה)‪ .‬אם ‪ A1 , A 2 ,..., A n‬הן קבוצות בעלות מידה‬ ‫‪n‬‬ ‫המוכלות ממש בקבוצה ‪ ,B‬וסכום מידותיהן מקיים‪ ,  A i  B :‬אז קיימות‬ ‫‪i 1‬‬ ‫לפחות ‪ 2‬קבוצות מתוך‪ A1 , A 2 ,..., A n :‬שאינן זרות‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫(בניסוח מתמטי‪) A1 , A2 ,..., A n  B   Ai  B  i  j : Ai  A j   :‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫פתרונות לדוגמא של תרגילים בעקרון שובך היונים‬ ‫‪ .6‬צלף קולע ‪ 3‬חיצים לעבר מטרה שצורתה משולש שווה‪-‬צלעות‪ ,‬שאורך צלעו‬ ‫‪ 2‬מטרים‪ .‬הוכיחו כי אם כל החיצים פוגעים במטרה‪ ,‬אז יש בהכרח שני‬ ‫חיצים בה הנמצאים במרחק של מטר אחד לכל היותר זה מזה‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬נחלק את המשולש ל‪ 0 -‬משולשים קטנים שווי‪-‬צלעות‪ ,‬שאורך צלעם‬ ‫מטר‪ .‬קל לראות שהמרחק בין כל ‪ 2‬נקודות בכל אחד מהמשולשים הקטנים‬ ‫הוא לכל היותר מטר אחד‪ .‬עפ"י עקרון שובך היונים‪ ,‬לפחות ‪ 2‬חיצים נמצאים‬ ‫□‬ ‫במשולש קטן אחד (או על שפתו)‪ ,‬ומכאן מתקבלת התוצאה המבוקשת‪.‬‬ ‫‪ .2‬הוכיחו כי אם ‪ 3‬אנשים נפגשים באקראי במסיבה‪ ,‬הרי שישנם ‪ 1‬מביניהם‬ ‫המכירים זה את זה או שישנם ‪ 1‬מביניהם שאינם מכירים זה את זה‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬נכנה את האנשים בשמות‪ :‬א'‪ ,‬ב'‪ ,‬ג'‪ ,‬ד'‪ ,‬ה'‪ ,‬ו'‪ .‬נבחר אקראית אחד‬ ‫מהם‪ ,‬ובה"כ נניח כי זה א'‪ .‬נחלק את ‪ 3‬האנשים הנותרים לשתי קבוצות‪ :‬כאלה‬ ‫המכירים את א'‪ ,‬וכאלה שאינם מכירים את א'‪ .‬לפי עקרון שובך היונים‪ ,‬הרי‬ ‫שבאחת מהקבוצות הללו יש לפחות ‪ 1‬אנשים‪ .‬נניח‪ ,‬תחילה‪ ,‬כי קבוצה זו היא‬ ‫קבוצת המכרים של א'‪ .‬אם יש בקבוצה זו שני אנשים המכירים זה את זה‪ ,‬הרי‬ ‫שיחד עם א' קיבלנו קבוצה של ‪ 1‬אנשים שכל אחד בה מכיר את האחר‪ .‬אחרת‬ ‫– קיבלנו קבוצה של ‪ 1‬אנשים שאינם מכירים זה את זה‪.‬‬ ‫באופן דומה מטפלים גם במקרה השני‪ ,‬בו קבוצת הלא‪-‬מכירים את א' מונה‬ ‫לפחות ‪ 1‬אנשים‪ .‬אם יש שניים מביניהם שאינם מכירים זה את זה‪ ,‬אז יחד עם א'‬ ‫קיבלנו קבוצה של ‪ 1‬אנשים שאינם מכירים זה את זה‪ .‬אחרת – שלושתם מכירים‬ ‫□‬ ‫זה את זה‪ ,‬וקיבלנו קבוצה של ‪ 1‬אנשים שמכירים זה את זה‪.‬‬ ‫‪601‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫‪ .3‬בהינתן לוח שחמט תיקני‪ ,‬אשר הוסרו ממנו שתי המשבצות הקיצוניות באחד‬ ‫מהאלכסונים הראשיים שלו‪ ,‬הוכיחו כי לא ניתן לכסותו באמצעות אבני‬ ‫דומינו תקניות (המורכבות משני ריבועים התואמים למשבצות הלוח)‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬שתי המשבצות שהוסרו הן מאותו הצבע (שחור או לבן)‪ ,‬לכן מספר‬ ‫המשבצות הלבנות גדול ב‪ 2 -‬ממספר המשבצות השחורות בלוח‪ ,‬או להיפך‪ .‬כל‬ ‫אבן דומינו תקנית מכסה בדיוק שתי משבצות בלוח שצבען שונה‪ .‬כל סידור של‬ ‫אבני דומינו אלה על‪-‬גבי לוח שחמט תיקני (מלא) יוצר‪ ,‬למעשה‪ ,‬פונקציית‬ ‫שקילות בין קבוצת המשבצות הלבנות בו לקבוצת המשבצות השחורות בו‪ .‬אם‬ ‫לשתי הקבוצות עוצמה שונה‪ ,‬הרי שעפ"י עקרון דיריכלה‪ ,‬לא תיתכן פונקציית‬ ‫□‬ ‫שקילות ביניהן‪.‬‬ ‫תרגילים (תרגילי כיתה)‬ ‫‪ .6‬נתונים ‪ 21‬מספרים דו‪-‬ספרתיים שונים‪ .‬הוכיחו כי ניתן לבחור מתוכם ‪2‬‬ ‫מספרים‪ ,‬כך שההפרש ביניהם הוא מספר דו‪-‬ספרתי ששתי ספרותיו‬ ‫זהות‪.‬‬ ‫‪ .2‬קודקודיו של מחומש הם נקודות סריג במישור (נקודות במישור אשר‬ ‫הקואורדינטות שלהן הן מספרים שלמים)‪ .‬הוכיחו כי קיימים לפחות ‪2‬‬ ‫קודקודים של המחומש שנקודת האמצע שלהם היא עצמה נקודת סריג‬ ‫במישור‪.‬‬ ‫‪ n .3‬אנשים נפגשו במסיבה וחלקם לחצו ידיים זה לזה‪ .‬הוכיחו כי קיימים ‪2‬‬ ‫אנשים שלחצו את אותו מספר ידיים‪.‬‬ ‫‪ .4‬הוכיחו כי קיימת כפולה של ‪ 1229‬שיצוגה העשרוני כולל רק ספרות‬ ‫בינאריות‪.‬‬ ‫‪ .5‬נתונות ‪ 6‬נקודות במישור‪ ,‬אשר אף ‪ 1‬מהן אינן על ישר אחד‪ .‬מחברים כל ‪1‬‬ ‫נקודות בקטע ישר וצובעים אותו באחד משני הצבעים‪ :‬כחול או אדום‪.‬‬ ‫הוכיחו כי בכל צביעה כזו נוצר לפחות משולש אחד שכל צלעותיו צבועות‬ ‫באותו הצבע‪.‬‬ ‫‪ 12 .1‬נקודות מפוזרות בריבוע ששטחו ‪ 1‬מ"ר‪ .‬הוכיחו כי ‪ 3‬מתוכן נמצאות בתוך‬ ‫‪1‬‬ ‫מ'‪.‬‬ ‫עיגול שרדיוסו‬ ‫‪7‬‬ ‫‪601‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬ ‫תרגיל בית מס' ‪ – 12‬עקרון שובך היונים‬ ‫‪ .6‬הוכיחו כי בקרב כל ‪ n  1‬מספרים טבעיים קיימים שניים שהפרשם מתחלק‬ ‫ב‪.n -‬‬ ‫‪ .2‬נתונה הקבוצה‪ . A  1,2,3,...,2n :‬הוכיחו כי בכל בחירה של ‪ n  1‬מספרים‬ ‫מ‪ ,A -‬ישנם שניים הזרים זה לזה (כלומר – המחלק המשותף הגדול ביותר‬ ‫שלהם הוא ‪.)3‬‬ ‫‪ .3‬נתונה הקבוצה‪ . A  1,2,3,...,2n :‬הוכיחו כי בכל בחירה של ‪ n  1‬מספרים‬ ‫מ‪ ,A -‬ישנם שניים כך שהאחד מחלק את השני (ללא שארית)‪.‬‬ ‫(הדרכה ‪ -‬השתמשו בטענת העזר הבאה‪ :‬כל מספר טבעי ‪ n‬ניתן להצגה‬ ‫באופן יחיד כמכפלה של מספר אי‪-‬זוגי במספר שהוא חזקה שלמה של ‪,2‬‬ ‫כלומר‪). n  i, j   0 : n  2i  2j  1 :‬‬ ‫‪ .4‬נתון כי סכום של ‪ 2‬מספרים טבעיים הוא ‪ .20‬הוכיחו כי קיימים ביניהם ‪1‬‬ ‫מספרים שסכומם הוא לפחות ‪.10‬‬ ‫‪ .5‬מסדרים את המספרים‪ 1,2,3,…,10 :‬על‪-‬גבי מעגל בסדר כלשהו‪ .‬הוכיחו כי‬ ‫קיימים על‪-‬גבי המעגל ‪ 1‬מקומות סמוכים שסכום מספריהם גדול או שווה ל‪-‬‬ ‫‪.37‬‬ ‫‪ .1‬במישור נתונות ‪ 37‬נקודות‪ ,‬אשר אף ‪ 1‬מהן אינן על ישר אחד‪ .‬מחברים כל ‪2‬‬ ‫נקודות בקטע וצובעים את כל הקטעים באחד משלושת הצבעים‪ :‬ירוק‪ ,‬כחול‬ ‫או לבן‪ .‬הוכיחו כי באיור (בגרף השלם) שהתקבל יש משולש שכל צלעותיו‬ ‫צבועות באותו הצבע‪.‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחו כי בכל בחירה של ‪ 5‬נקודות מתוך ריבוע במימדים‪ , 1cm  1cm :‬קיימות ‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נקודות אשר המרחק ביניהן אינו עולה על‬ ‫‪2 cm‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחו כי בעיגול שרדיוסו ‪ 2‬לא ניתן לסמן ‪ 303‬נקודות כך שהמרחק בין כל‬ ‫שתיים מהן גדול מ‪.2 -‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחו כי‪. k  m, n  : m  n  2m  2n  2009k :‬‬ ‫‪ .60‬הוכיחו כי קיימת חזקה טבעית של ‪ 3‬המסתיימת בספרות ‪( 001‬בבסיס ‪.)10‬‬ ‫(במילים אחרות‪ ,‬הוכיחו כי קיים ‪ n ‬כך שהייצוג העשרוני של ‪ 3n‬מסתיים‬ ‫בספרות‪).001 :‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪660‬‬