‫ּ‬ ‫ברכאן‬ ‫דר' רפי‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ – 1‬פתרונות נבחרים‬ ‫קומבינטוריקה‬ ‫פתרונות נבחרים לתרגיל בית מס' ‪12‬‬ ‫שאלה ‪:2‬‬ ‫א‪ , 1 Byte = 8bits .‬לכל ‪ 2 bit‬אפשריות )‪ 0‬או ‪ .(1‬עפ"י עקרון המכפלה‪ ,‬מספר ה‪ Bytes -‬השונים הוא‪:‬‬ ‫‪. 2 ⋅ 2 ⋅...8times ⋅2 = 2 = 256‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪. 1XXXX101 → x = 0,1 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 = 16‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫עפ"י עקרון המשלים – סה"כ )מתחילים ב‪ ; 2 :(1 -‬לא רצוי )מתחילים ב‪ 1 -‬ומסתיימים ב‪:(101 -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ; 2‬רצוי‪2 − 2 = 128 − 16 = 112 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫שאלה ‪:3‬‬ ‫א‪ .‬עפ"י עקרון המכפלה‪4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4 :‬‬ ‫ב‪ .‬עפ"י עקרון המכפלה‪4 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 4 ⋅ 53 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫שאלה ‪:4‬‬ ‫א‪99999 − 10000 + 1 = 90000 = 9 ⋅104 .‬‬ ‫ב‪ .‬מספר המספרים הללו הפותחים בספרה ‪ 3‬הוא‪ . 1 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 = 9 :‬מספר המספרים הללו שאינם‬ ‫‪4‬‬ ‫פותחים בספרה ‪ ,3‬אך מכילים את הספרה ‪ 3‬בדיוק פעם אחת‪ ,‬הוא‪. 4 ⋅ ( 8 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ) = 32 ⋅ 9 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫עפ"י עקרון הסכום‪ ,‬התוצאה המבוקשת היא‪. 9 + 32 ⋅ 9 = 41⋅ 9 :‬‬ ‫מספר מתחלק ב‪ 5 -‬אם"ם הוא מסתיים בספרה ‪ 0‬או בספרה ‪ .5‬לכן‪ ,‬מספר המספרים הללו‬ ‫‪3‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הפותחים בספרה ‪ 3‬הוא‪ . 1 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 2 = 2 ⋅ 9 :‬מספר המספרים הללו שאינם פותחים בספרה ‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הוא‪ . 3 ⋅ ( 8 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 2 ) = 48 ⋅ 9 :‬עפ"י עקרון הסכום‪ ,‬התוצאה המבוקשת היא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. 2⋅9‬‬ ‫‪+ 48 ⋅ 92 = 66 ⋅ 92‬‬ ‫ד‪ .‬נסמן ב‪ ⎣⎢ x ⎦⎥ -‬את הערך השלם )התחתון של ‪ , x‬לכל ‪ x‬ממשי‪ .‬עפ"י עקרון המשלים – סה"כ‬ ‫‪3‬‬ ‫⎥ ‪⎢ 9 ⋅105‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)חמש‪ -‬ספרתיים(‪ ; 9 ⋅10 :‬לא רצוי )מתחלקים ב‪ 7 -‬ללא שארית(‪⎥ = 12857 :‬‬ ‫⎦ ‪⎣ 7‬‬ ‫⎢ ; רצוי‬ ‫)אינם מתחלקים ב‪ 7 -‬ללא שארית(‪9 ⋅104 − 12857 = 77143 :‬‬ ‫שאלה ‪:5‬‬ ‫א‪ 0 .‬יכול להופיע בכל ספרות המספר‪ ,‬למעט בספרתו הראשונה משמאל‪ ,‬סה"כ‪5 ⋅ 9 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫מספרים ‪-6‬ספרתיים מקיימים את תנאי השאלה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬עפ"י עקרון המשלים – סה"כ )‪-6‬ספרתיים(‪ ; 9 ⋅10 :‬לא רצוי )אינם מכילים ‪ 0‬כלל(‪; 9 :‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫רצוי )מכילים ‪ 0‬פעם אחת לפחות(‪9 ⋅105 − 96 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ג‪ .‬עפ"י עקרון המשלים – סה"כ )‪-6‬ספרתיים(‪ ; 9 ⋅10 :‬לא רצוי )אינם מכילים ‪ 4‬כלל(‪; 8 ⋅ 9 :‬‬ ‫רצוי )מכילים ‪ 4‬פעם אחת לפחות(‪9 ⋅105 − 8 ⋅ 95 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ד‪ 4 .‬יכולה להופיע כספרה בכל מקום במספר‪ 4 :‬כספרה ראשונה משמאל ‪ 4 . 9 -‬אפשרויות;‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 4‬כספרה שאינה ראשונה משמאל ‪ 5 ⋅ ( 8 ⋅ 9 ) = 40 ⋅ 9 -‬אפשרויות‪ .‬עפ"י עקרון הסכום‪,‬‬ ‫נקבל שסך כל המספרים הללו )המבוקשים בשאלה( הוא‪. 9 + 40 ⋅ 9 = 49 ⋅ 9 :‬‬ ‫ה‪ .‬הספרה הימנית ביותר חייבת להיות ‪ ,2‬שכן המספר חייב להיות זוגי‪ .‬לכן‪ ,‬שאר ‪ 5‬הספרות‬ ‫‪4‬‬ ‫תקבענה את שונות המספר ‪35 -‬‬ ‫מספרים כאלה בנמצא‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ּ‬ ‫ברכאן‬ ‫דר' רפי‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ – 1‬פתרונות נבחרים‬ ‫שאלה ‪:6‬‬ ‫נעזר במסקנה ‪ 2‬מעמוד ‪ . A ∪ B = A + B − A ∪ B :78‬נסמן‪ – U :‬קבוצת כל המספרים‪:‬‬ ‫‪ – A ,1-100‬קבוצת המספרים‪ 1-100 :‬המתחלקים ב‪ - B ,5 -‬קבוצת המספרים‪ 1-100 :‬המתחלקים‬ ‫ב‪ .7 -‬אנו מעוניינים לחשב את‪:‬‬ ‫⎞ ⎥ ‪⎛ ⎢ 100 ⎥ ⎢ 100 ⎥ ⎢ 100‬‬ ‫⎢ ⎜ ‪A ∩ B = A ∪ B = U − A ∪ B = U − ( A + B − A ∩ B ) = 100 −‬‬ ‫⎢‪⎥+‬‬ ‫⎢‪⎥−‬‬ ‫= ⎟⎥‬ ‫⎠ ⎦ ‪⎝ ⎣ 5 ⎦ ⎣ 7 ⎦ ⎣ 35‬‬ ‫‪= 100 − 20 − 14 + 2 = 68‬‬ ‫שאלה ‪:7‬‬ ‫נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪⋅ 32 ⋅ 52 ⋅ 7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪( 2 ⋅ 5) ⋅ 7! = ( 2 ⋅ 5) ⋅1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ . 100800 = 20 ⋅ 5040‬לכן‪ ,‬כל מחלק‬ ‫טבעי של מספר זה הוא מהצורה‪:‬‬ ‫‪⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 , a, b,c,d ∈ ] , 0 ≤ a ≤ 6 , 0 ≤ b ≤ 2 , 0 ≤ c ≤ 2 , 0 ≤ d ≤ 1‬‬ ‫עפ"י עקרון המכפלה‪ ,‬מספר המחלקים הללו הוא‪. 7 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 = 126 :‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫שאלה ‪:8‬‬ ‫א‪ .‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬ ‫‪ : m > n (1‬יש ‪ 0‬פונקציות חח"ע כאלה‪ ,‬עפ"י עקרון שובך היונים‪.‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪ : m ≤ n (2‬יש‪:‬‬ ‫!) ‪( n − m‬‬ ‫= )‪ n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅... ⋅ ( n − m + 1‬פונקציות חח"ע כאלה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נבהיר תחילה כי ‪f : {0,1}m → {0,1}n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪) m‬שמספר איבריה‪ ( 2 :‬לקבוצת כל הסדרות הבינאריות באורך ‪) n‬שמספר איבריה‪.( 2 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מספר הפונקציות הכלליות הוא מספר איברי הטווח ‪ 2‬בחזקת מספר איברי התחום‬ ‫היא פונקציה מקבוצת כל הסדרות הבינאריות באורך‬ ‫) (‬ ‫) ‪(2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ ,‬כלומר ‪-‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫) (‬ ‫‪n‬‬ ‫‪. 2‬‬ ‫‪2‬‬