1. No category

‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫‪ 1.4‬מאורעות המוגדרים על‪-‬ידי פעולות‪-‬בקבוצות‬
‫הקדמה‬
‫הסעיף הנוכחי מנוסח כאילו כאן פוגש הקורא לראשונה במושגים הראשונים של תורת‬
‫הקבוצות‪ :‬איחוד‪ ,‬חיתוך וכדומה‪ .‬הדבר קשור בטלטולים הקיצוניים‪ ,‬הלוך ושוב‪ ,‬העוברים על‬
‫לימוד המושגים האלה בביה"ס היסודי ובחטיבת הביניים בכל העולם משנת ‪ 1960‬ואילך‪.‬‬
‫בתורת ההסתברות יש במושגים אלה תועלת‪ .‬אם המושגים מוכרים לך היטב‪ ,‬כולל מושג‬
‫המשלים‪ ,‬קרא את הסעיף במהירות והפנה את עיקר תשומת לבך למשפטים ההסתברותיים‬
‫הקשורים בהם‪.‬‬
‫בסעיף הנוכחי תופענה מספר דוגמות הקשורות במשחק "שש בש" )‪ .(Backgammon‬להבנת‬
‫הדוגמות אין צורך בהכרת כל חוקי המשחק‪ .‬מספיק לדעת שהמהלכים האפשריים בכל שלב‬
‫נקבעים על‪-‬ידי תוצאת הזריקה של זוג קוביות‪ .‬כבסעיף הקודם נניח שניתן להבחין בין שתי‬
‫הקוביות‪ ,‬למשל‪ ,‬נניח שהראשונה אדומה והשניה ירוקה‪ ,‬ולכן כל התוצאות הן שוות‪-‬הסתברות‪.‬‬
‫איחוד מאורעות‬
‫בעיה א‪ :‬כדי להחזיר ללוח אבן שהופלה‪ ,‬דרוש לשחקן שלפחות אחת משתי הקוביות תיתן ‪ 4‬או‬
‫‪ .6‬מהי הסתברותו של המאורע הדרוש לשחקן?‬
‫פתרון‪ :‬נסמן ב‪ A -‬את המאורע "יש ‪ "4‬וב‪ B -‬את המאורע "יש ‪ ."6‬המאורע ‪ A‬כולל ‪ 11‬תוצאות‪,‬‬
‫ואלה הן‪ .6-4 , 4-6 , 5-4 , 4-5 , 4-4 , 4-3, 3-4 , 2-4 , 4-2 , 1-4 , 4-1 :‬בדרך דומה נמצא‪,‬‬
‫שגם ‪ B‬כולל ‪ 11‬תוצאות‪ .‬המאורע הדרוש לשחקן שלנו מכיל את כל התוצאות שב‪ A-‬ואת כל‬
‫התוצאות שב‪ , B -‬אך מספר התוצאות שבו אינו ‪ 22‬אלא רק ‪ . 20‬הסיבה‪ :‬התוצאות ‪ 4-6‬ו‪-‬‬
‫‪ 6-4‬נמצאות הן ב‪ A-‬והן ב‪ ,B-‬ובבואנו לספור את כל התוצאות הטובות עבור השחקן שלנו‪ ,‬אין‬
‫לספור שתי תוצאות אלה פעמיים‪ ,‬אלא פעם אחת בלבד‪ .‬ההסתברות המבוקשת היא אפוא‬
‫‪ ,20/36‬כלומר ‪.5/9‬‬
‫בעיה ב‪ :‬כדי להפיל אבן של היריב דרוש לשחקן שסכום הנקודות בשתי הקוביות יהיה ‪ 7‬או ‪.10‬‬
‫מהי הסתברותו של המאורע הנדרש?‬
‫פתרון‪ :‬נסמן ב‪ A-‬את המאורע "הסכום הוא ‪ "7‬וב‪ B -‬את המאורע "הסכום הוא ‪ ."10‬בתרגיל‬
‫בסעיף הקודם מצאת‪ ,‬מן הסתם‪ ,‬כי ‪ A‬כולל ‪ 6‬תוצאות ו‪ B -‬כולל ‪ 3‬תוצאות‪ .‬כל התוצאות אשר‬
‫ב‪ B -‬שונות מכל התוצאות אשר ב‪ ,A-‬לכן במאורע הנדרש יש ‪ 6+3 = 9‬תוצאות‪ ,‬והסתברותו‬
‫‪. 9/36 = 1/4‬‬
‫הדמיון והשוני שבין בעיה א ובעיה ב מתבטאים בהגדרות הבאות ובמשפט שאחריהן‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬המאורע הכולל את כל התוצאות שב‪ A-‬ואת כל התוצאות שב‪ ,B-‬ורק תוצאות אלה‪,‬‬
‫מסומן ‪) A∪B‬קרי‪ A :‬איחוד ‪.(B‬‬
‫הגדרה‪ :‬אם אין שום תוצאה הנכללת גם במאורע ‪ A‬וגם במאורע ‪ ,B‬אז ‪ A‬ו‪ B -‬נקראים‬
‫מאורעות זרים זה לזה‪.‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ A‬ו‪ B -‬זרים זה לזה‪ ,‬אז )‪. P(A∪B) = P(A) + P(B‬‬
‫‪18‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫הוכחה‪ P(A∪B) :‬הוא סכום ההסתברויות של כל התוצאות אשר ב‪ .A∪B -‬אם נחבר תחילה‬
‫את ההסתברויות של התוצאות אשר ב‪ A -‬בלבד‪ ,‬נקבל את )‪ .P(A‬התוצאות הנותרות הן בדיוק‬
‫כל התוצאות שב‪ ,B-‬שהרי שום תוצאה מתוך ‪ B‬אינה ב‪ .A-‬לכן סכום ההסתברויות של‬
‫התוצאות הנותרות הוא בדיוק )‪P(B‬‬
‫הערה‪ :‬שים‪-‬לב שבהוכחה זאת לא הנחנו שכל התוצאות הנידונות הן שוות‪-‬הסתברות דווקא‪.‬‬
‫משפטנו נכון אפוא גם לניסוי הסתברותי אחיד וגם לניסוי הסתברותי שאינו אחיד‪ .‬מה שחשוב‬
‫הוא‪ ,‬שהמאורעות הנידונים יהיו זרים זה לזה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :1‬הוכח שאם ‪ A , B‬ו‪ C-‬הם שלושה מאורעות שכל שניים מהם זרים זה לזה‪,‬‬
‫אז )‪. P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C‬‬
‫הדרכה‪ A∪B∪C :‬אינו אלא ‪ . (A∪B)∪C‬הסבר מדוע ‪ A∪B‬ו‪ C-‬זרים זה לזה‪ ,‬ואחר כך‬
‫השתמש פעמיים במשפט האחרון‪.‬‬
‫המאורע המשלים‬
‫בעיה ג‪ :‬כדי להתחמק מחסימה דרוש לשחקן שלפחות אחת משתי הקוביות תיתן ‪ 3‬או ‪ 4‬או ‪ 5‬או‬
‫‪ . 6‬מהי הסתברותו של המאורע הדרוש?‬
‫התרה‪ :‬נסמן את המאורע הדרוש ב‪ .A-‬במקום לערוך רשימה של כל התוצאות הנכללות ב‪,A-‬‬
‫נרשום את התוצאות שאינן ב‪ . A -‬תוצאות אלה הן ‪ 2-1 , 1-2 , 1-1‬ו‪ .2-2 -‬בכל תוצאה אחרת‬
‫מופיע המספר ‪ 3‬או ‪ 4‬או ‪ 5‬או ‪ . 6‬מחוץ ל‪ A -‬יש אפוא ארבע תוצאות בלבד; לכן ב‪ A-‬יש ‪32‬‬
‫תוצאות; מכאן ש‪.P(A) = 32/36 = 8/9 -‬‬
‫דרך ההתרה של בעיה זאת מובילה אל הגדרה‪ ,‬ובעקבות ההגדרה גם אל משפט חשוב‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬קבוצת איברי ‪ Ω‬אשר אינם ב‪ A-‬נקראת "המאורע המשלים את ‪ "A‬ומסומנת ‪A‬‬
‫)קרי‪ A:‬גג‪ ,‬לפעמים כותבים ‪ Ac‬במקום ‪ .‬האות ‪ c‬המופיעה בסימן זה מייצגת את המלה‬
‫‪ ,Complement‬שמשמעה משלים( ‪.‬‬
‫משפט‪ ) P(A)=1-P(A) :‬ולכן גם )‪( P(A)=1-P(A‬‬
‫הוכחה‪ :‬על‪-‬פי הגדרת המשלים‪ A ,‬ו‪ A -‬זרות זו לזו‪ ,‬ולכן )‪P(A ∪ A)=P(A)+P(A‬‬
‫‪P(A ∪ A) = P(Ω) = 1‬‬
‫מהגדרת המשלים נובע גם ש‪-‬‬
‫‪P(A) + P(A) =1‬‬
‫לכן‬
‫ומזה נובעת טענתו של המשפט‬
‫תרגיל ‪ :2‬בסעיף ‪ 1.2‬בתרגיל על הגרלת יו"ר לוועד הכיתה‪ ,‬מרחב התוצאות היה‬
‫}משה‪ ,‬דינה‪ ,‬מרים‪ ,‬שלמה‪ ,‬אברהם{ = ‪Ω‬‬
‫‪19‬‬
‫‪.‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫נזכר שם מאורע שתיארנו אותו במילים "יו"ר ששמו מתחיל ב‪-‬מ" וכאן נסמנו ‪ .M‬באותו תרגיל‬
‫היה ‪. P(M)= 5/12‬‬
‫א‪M = {.......................................................} .‬‬
‫ב‪ .‬תאר את ‪ M‬במילים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את )‪. P(M‬‬
‫תרגיל ‪ :3‬רולטה מחולקת לשמונה גזרות שצבעיהן הם כחול‪ ,‬כתום‪ ,‬סגול‪ ,‬לבן‪ ,‬אדום‪ ,‬תכלת‪,‬‬
‫שחור וירוק‪.‬‬
‫‪ }) = 0.2‬כחול‪ ,‬סגול‪ ,‬תכלת{(‪ P‬ו‪}) = 0.5 -‬אדום‪ ,‬כתום{(‪.P‬‬
‫מצא את )}שחור‪ ,‬לבן‪ ,‬ירוק(‪ . P‬הסבר בפתרונך מתי אתה משתמש במשפט על האיחוד ומתי‬
‫במשפט על המשלים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :4‬כדי להזיז אבן מסוימת חמישה צעדים‪ ,‬זקוק שחקן שש‪-‬בש למאורע ‪ ,A∪B∪C‬כאשר‬
‫‪ 5" = A‬בקובייה הראשונה"‬
‫‪ 5" = B‬בקובייה השנייה"‬
‫‪" = C‬סכום התוצאות בשתי הקוביות הוא ‪"5‬‬
‫א( האם ‪ A‬ו‪ B-‬זרים? נמק!‬
‫ב( האם ‪ A‬ו‪ C-‬זרים? האם ‪ B‬ו‪ C-‬זרים? האם ‪ A∪B‬ו‪ C -‬זרים? נמק!‬
‫ג( מצא את )‪ P(B) , P(A‬ו‪. P(A∪B) -‬‬
‫ד( מצא את )‪. P(A∪B∪C‬‬
‫‪ A∪B∪C‬הוא ‪) .(A∪B)∪C‬את )‪ P(C‬מצאנו בתרגיל בסעיף קודם(‪.‬‬
‫חיתוך והמאורע הריק‬
‫נפתח בשאלה‪ :‬האם ייתכן שבאותו ניסוי הסתברותי של הטלת קובייה אחת יקרה גם המאורע‬
‫"מספר גדול מ‪ A = "3-‬וגם המאורע "מספר זוגי" = ‪? B‬‬
‫התשובה היא כן‪.‬‬
‫הסבר‪ :‬אם תתקבל בניסוי זה התוצאה ‪ 4‬או התוצאה ‪ ,6‬הרי שיקרה גם המאורע ‪ A‬וגם המאורע‬
‫‪ ,B‬שהרי לפי ההגדרה‪ ,‬אנו אומרים שמאורע קורה‪ ,‬או מתרחש‪ ,‬כאשר מתקבלת בניסוי אחת מן‬
‫התוצאות הנכללות במאורע‪.‬‬
‫המאורע }‪ {4,6‬המכיל את שתי התוצאות האלה מסומן ‪ A∩B‬ונקרא‪ A‬חיתוך ‪ ,B‬או המשותף‬
‫של ‪ A‬ו‪ .B -‬ובכלל ‪-‬‬
‫הגדרה‪ A∩B :‬הוא המאורע הכולל את כל התוצאות המשותפות ל‪ A -‬ול‪ ,B -‬ורק אותן‪.‬‬
‫שים‪-‬לב להבדל מילולי קטן‪ ,‬הגורר הבדל גדול במשמעויות‪ :‬אם ‪ A‬ו‪ B -‬הם כבשאלה דלעיל‪ ,‬אז‬
‫המאורע הכולל גם את המספרים הגדולים מ‪ -3‬וגם את המספרים הזוגיים הוא ‪ ,A∪B‬בעוד‬
‫שהמאורע הכולל את המספרים שהם גם גדולים מ‪ -3‬וגם זוגיים הוא ‪.A∩B‬‬
‫תרגיל ‪ :5‬נתון ש‪Ω = {1,2,3,4,5,6} -‬‬
‫א‪ .‬השלם‬
‫= }‪{1,2} ∪ {2,3,5‬‬
‫‪20‬‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫ב‪ .‬השלם‬
‫ג‪ .‬השלם‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫= }‪{1,2} ∩ {2,3,5‬‬
‫= }‪{2,3,5‬‬
‫תרגיל ‪ :6‬משמאל ששה ציורים שמספריהם ‪1‬‬
‫עד ‪ .6‬בכל אחד מהם יש מלבן המייצג את‬
‫מרחב התוצאות ‪ ,Ω‬ובתוכו אליפסה ומעגל‪,‬‬
‫שאחד מהם מייצג את המאורע ‪ A‬והשני את‬
‫‪ .B‬בכל אחד מהציורים יש תחום המקווקו‬
‫בקווים אלכסוניים‪.‬‬
‫כתוב את המספר המתאים לכל אחד‬
‫מהמאורעות הכתובים להלן‪.‬‬
‫‪A ∩ B .......‬‬
‫‪A ∪ B .......‬‬
‫‪A ∩ B .......‬‬
‫‪A ∪ B .......‬‬
‫‪A ∩ B .......‬‬
‫‪A ∩ B .......‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪B‬‬
‫‪5‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪6‬‬
‫נקדיש מספר מילים למאורע מיוחד‪ ,‬הנקרא "המאורע הריק"‪ ,‬והוא המאורע שאינו מכיל שום‬
‫תוצאה‪ .‬מסמנים אותו ∅ ) כמו שמסמנים את הקבוצה הריקה גם בשאר ענפי המתמטיקה(‪.‬‬
‫מעמדו של ∅ בין המאורעות דומה למעמדו של ‪ 0‬בין המספרים‪ .‬דבר זה מתבטא‪ ,‬בין השאר‪,‬‬
‫במשפט הבא‪:‬‬
‫משפט‪P(∅)= 0 :‬‬
‫הוכחה‪ :‬הסתברותו של מאורע היא סכום ההסתברויות של התוצאות הכלולות בו‪ .‬ומכיוון‬
‫שהמאורע הריק אינו כולל שום תוצאה‪ ,‬סכום זה הוא ‪0‬‬
‫המאורע הריק הוא‪ ,‬כמובן‪ ,‬מאורע שאינו יכול לקרות; שהרי מאורע קורה כאשר מתקבלת‬
‫בניסוי תוצאה הנכללת בו‪ ,‬ובמאורע הריק אין כלולה שום תוצאה‪.‬‬
‫את המשפט על הסתברות האיחוד של שני מאורעות זרים אפשר לכתוב בצורה הבאה‪:‬‬
‫אם ∅ = ‪ A∩B‬אז )‪P(A∪B) = P(A)+P(B‬‬
‫כי שני מאורעות זרים הם בדיוק שני מאורעות שהחיתוך שלהם )קבוצת התוצאות המשותפות(‬
‫הוא המאורע הריק ∅ ‪.‬‬
‫משפט חדש‪ ,‬המדבר גם על מאורעות שאינם זרים זה לזה‪ ,‬הוא המשפט הבא‪:‬‬
‫)‪P(A∪B) + P(A∩B) = P(A) + P(B‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫משפט זה "חי בשלום" עם המשפט הקודם‪ ,‬שהרי אם ‪ A‬ו ‪ B‬זרים‪ ,‬אז ‪. P(A∩B) = P(∅) = 0‬‬
‫הוכחתו‪:‬‬
‫בחישוב )‪ P(A)+P(B‬אנו מסכמים בנפרד את הסתברויותיהן של ההסתברויות של התוצאות‬
‫הכלולות ב‪ A -‬ואת הסתברויותיהן של התוצאות הכלולות ב‪ ,B -‬ואחר‪-‬כך מחברים את‬
‫‪21‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫הסכומים‪ .‬באופן זה‪ ,‬ההסתברויות של איברי ‪ A∩B‬נמנות‬
‫פעמיים‪ ,‬וכדי לקבל את ההסתברות של ‪ A∪B‬יש לחסרן פעם‬
‫אחת‪ .‬כלומר‪,‬‬
‫)‪. P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B‬‬
‫והרי דוגמה לשימוש במשפט‪.‬‬
‫בעיה‪ :‬שחקן שש‪-‬בש רואה שהוא ישיג יתרון גדול אם יקבל בשתי הקוביות אותו מספר או אם‬
‫סכום המספרים יהיה ‪ .8‬מהי הסתברותו של המאורע המבוקש?‬
‫פתרון‪:‬כידוע‪ ,‬ההסתברות שהסכום יהיה ‪ 8‬היא ‪. 5/36‬‬
‫ההסתברות שבשתי הקוביות יתקבל אותו מספר היא ‪,6/36‬‬
‫חיתוכם של שני המאורעות האלה כולל רק את התוצאה ‪ 4-4‬לכן הסתברותו היא ‪,1/36‬‬
‫לכן ההסתברות המבוקשת היא ‪. 5/36 + 6/36 - 1/36 = 10/36 = 5/18‬‬
‫תרגיל ‪ :7‬בהטלת שתי קוביות‪,‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות שלפחות אחת תיתן ‪?3‬‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שלפחות אחת תיתן ‪ 3‬ו‪/‬או הסכום יהיה ‪?8‬‬
‫תרגיל ‪ :8‬בניסוי הסתברותי עם מרחב תוצאות }‪ Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10‬נתון ש‪-‬‬
‫‪" ) = 0.6‬גדול מ‪ P("4-‬ו‪") = 0.5 -‬קטן מ‪ . P("8-‬מצא את )}‪. P({5,6,7‬‬
‫הנחייה‪ :‬העזר בזה ש‪. P(Ω)=1 -‬‬
‫* תרגיל ‪ :9‬בניסוי הסתברותי מסוים ‪ P(A) = 0.6‬ו‪P(B) = 0.7 -‬‬
‫ב‪ .‬מה אפשר להסיק מזה על )‪? P(A∩B‬‬
‫א‪ .‬מה אפשר להסיק מזה על )‪? P(A∪B‬‬
‫תרגיל ‪ :10‬האם נכון ש‪? P(A ∩ B) = P(A) − P(A ∩ B) -‬‬
‫תרגיל ‪ :11‬בהטלת שלושה מטבעות‪ ,‬מהי ההסתברות שלא יתקבל אף "ציור" אחד ומהי‬
‫ההסתברות שיתקבל לפחות "ציור" אחד )המאורע המשלים(?‬
‫תרגיל ‪ : 12‬הגרלה בוחרת ילד אחד מתוך קבוצת ילדים‪ .‬תאר במילים את המשלימים של‬
‫המאורעות הבאים‪:‬‬
‫א‪" .‬נבחר ג'ינג'י גבוה"‪.‬‬
‫ב‪" .‬הילד שנבחר אוהב כדורגל או כדורסל"‪.‬‬
‫ג‪" .‬הילד שנבחר מצייר יפה אבל אינו אוהב גבינה"‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫‪ 1.5‬דרכים לקבלת הסתברויות‬
‫בסעיף זה‪ ,‬שעיקרו סיפור‪-‬מעשה ורב‪-‬שיח‪ ,‬נחזור על חלק מהרעיונות שבסעיפים הקודמים‬
‫ונדגים בו שלוש דרכים לקבלת הסתברויות‪:‬‬
‫‪ (1‬אומדן מקורב על‪-‬ידי סדרה של ניסויים רבים‬
‫‪ (2‬שיקולי סימטריה‬
‫‪ (3‬שימוש במשפטי הסעיף הקודם‪.‬‬
‫נקדים ונציין שהדרך השלישית לבדה לעולם אינה מספיקה; שהרי המשפטים הנידונים מדברים‬
‫על קשרים שבין הסתברויותיהם של מאורעות שונים‪ ,‬לכן רק אחרי שאנו יודעים או משערים את‬
‫הסתברויותיהם של חלק מהמאורעות‪ ,‬נוכל להיעזר במשפטים לקבלת הסתברויותיהם של‬
‫מאורעות נוספים‪.‬‬
‫הניסוי ההסתברותי שבו נדון כאן הוא הקפצת קופסה של גפרורים‪ .‬אם מניחים קופסה כזאת על‬
‫שפת השולחן‪ ,‬כאשר פינה אחת בולטת מעבר לשפת השולחן‪ ,‬ואם מכים בציפורן האצבע‬
‫בתחתית החלק הבולט‪ ,‬תקפוץ הקופסה ותיפול באחת מארבע הצורות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬הקופסה תשכב כאשר הצד הכתוב כלפי מעלה‪ .‬תוצאה זאת תסומן להלן באות "כ"‪.‬‬
‫ב‪ .‬הקופסה תשכב כשצידה החלק כלפי מעלה‪ .‬תוצאה זאת תסומן כאן באות "ח"‪.‬‬
‫ג‪ .‬הקופסה תנוח בשכיבת צד על דופן שעליה מדליקים את הגפרורים‪ .‬נסמן תוצאה זאת ב‪" -‬צ"‪.‬‬
‫ד‪ .‬הקופסה עומדת זקופה‪ .‬תוצאה זאת תסומן באות "ע"‪.‬‬
‫כ‬
‫ח‬
‫צ‬
‫ע‬
‫משה‪ ,‬רינה‪ ,‬שאול ומרים משוחחים על הסתברויותיהן של התוצאות האלה‪.‬‬
‫משה מספר שהוא התבונן בשישה ילדים ששיחקו בהקפצת קופסת גפרורים‪ .‬כל אחד הקפיץ את‬
‫קופסתו ‪ 100‬פעמים‪ ,‬ולכן נערך הניסוי ‪ 600‬פעם‪ .‬בכל פעם שקופסה נעמדה זקופה‪ ,‬נשמעה‬
‫קריאת שמחה‪ ,‬ובסך‪-‬הכל קרה הדבר ‪ 15‬פעמים‪ .‬מזה מסיק משה‪ ,‬כי‬
‫‪) = 15/600 =0.025‬ע(‪. P‬‬
‫שואל שאול‪ :‬איך אתה מסיק מסקנה כזאת? האם לא היה יכול לקרות שהילדים יקבלו "ע" ‪13‬‬
‫או ‪ 14‬או ‪ 16‬או ‪ 17‬פעמים? יתר‪-‬על‪-‬כן‪ ,‬אילו הקפיצו הילדים את הקופסה פעם אחת נוספת‪,‬‬
‫היית חייב לשנות את מסקנתך‪ ,‬שהרי אילו היה מתקבל "ע" בהקפצה זאת‪ ,‬היית צריך לומר‪ ,‬כי‬
‫‪) = 16/601 =0.0266223...‬ע(‪P‬‬
‫ואילו היתה מתקבלת תוצאה אחרת‪ ,‬היה עליך להחליט‪ ,‬באותה דרך‪ ,‬כי‬
‫‪ ) = 15/601 = 0.0249584...‬ע(‪.P‬‬
‫עונה משה‪ :‬אני מתקן את דברי בשתי נקודות‪ ,‬אך אינני נסוג מעיקרי הדברים‪ .‬אני משער ש‪)-‬ע(‪P‬‬
‫שווה בקירוב ל‪) 0.025 -‬לא קביעה‪ ,‬אלא השערה‪ ,‬לא שוויון מלא‪ ,‬אלא קירוב(‪ .‬לא מתקבל על‬
‫דעתי שההסתברות רחוקה ממספר זה‪ .‬חוץ מזה‪ ,‬השערתי זאת היא ההשערה הטובה ביותר‬
‫העולה מהנתונים שבידינו‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫מספרת רינה‪ :‬אני התבוננתי בילדים שהקפיצו קופסת גפרורים ‪ 400‬פעם‪ ,‬ומניתי ‪ 188‬מקרים‬
‫שבהם קיבלו "כ" ו‪ 172 -‬פעמים בהם קיבלו "ח"‪.‬‬
‫ושוב שואל שאול‪ :‬האם לאור זה את משערת ש‪) = 188/400 = 0.47 -‬כ(‪P‬‬
‫ו‪ ) = 172/400 = 0.43 -‬ח(‪? P‬‬
‫עונה רינה‪ :‬לא בדיוק‪ .‬בגלל הסימטריות של הקופסה אני מניחה כי )כ(‪) = P‬ח(‪ P‬וההבדל בין‬
‫מספר הפעמים שהתקבל "ח" ומספר הפעמים שהתקבל "כ" הוא מקרי בלבד‪ .‬לכן אני מעדיפה‬
‫לשער ששתי ההסתברויות שוות‪ ,‬בקירוב‪ ,‬לממוצע שהוא ‪. 0.45‬‬
‫אומרת מרים‪ :‬את מסקנתה של רינה אפשר לקבל גם בדרך אחרת‪ .‬בשלב הראשון נתייחס‬
‫למאורע }כ‪,‬ח{‪ .‬מספר הפעמים שקרה מאורע זה הוא ‪ ,188+172 = 360‬לכן אומדן ההסתברות‬
‫של מאורע זה הוא ‪ }) = 360/400 = 0.9‬כ‪,‬ח{(‪ , P‬ומכיוון ששתי התוצאות המרכיבות מאורע‬
‫זה הן שוות‪-‬הסתברות‪ ,‬הסתברות כל אחת מהן היא ‪. 0.45‬‬
‫אומרת רינה‪ :‬יפה! ואם אנו מדברים על מאורעות‪ ,‬אז יש מסקנה נוספת‪ ,‬הנוגעת במשלים של‬
‫המאורע שלנו‬
‫}כ‪,‬ח{ = }צ‪,‬ע{‬
‫לכן‬
‫‪}) = 1-0.9 = 0.1‬כ‪,‬ח{(‪}) = 1-P‬צ‪,‬ע{(‪P‬‬
‫מוסיף משה‪ :‬פירושו של דבר הוא‪ ,‬ש‪) -‬ע(‪) = 0.1-P‬צ(‪ P‬ומקודם מצאתי ש‪ ) = 0.025 -‬ע(‪P‬‬
‫‪) = 0.1 - 0.025 = 0.075‬צ(‪P‬‬
‫לכן‬
‫מסכם שאול‪ :‬בסך‪-‬הכל מתקבלת הטבלה‬
‫התוצאה‬
‫הסתברותה‬
‫כ‬
‫‪0.45‬‬
‫צ‬
‫‪0.075‬‬
‫ח‬
‫‪0.45‬‬
‫ע‬
‫‪0.025‬‬
‫מעניין לדעת בכמה היו משתנים אומדני ההסתברות אילו היינו חוזרים על הנסיונות‪ ,‬ובפרט ‪-‬‬
‫אילו היינו עורכים מספר גדול הרבה יותר של נסיונות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ : 1‬בקוביית משחק מקובל לסמן את הנקודות באופן שסכום מספרי הנקודות שעל שתי‬
‫פיאות נגדיות הוא ‪) 7‬כלומר‪ 6 :‬מול ‪ 5 ,1‬מול ‪ 2‬ו‪ 4 -‬מול ‪ .(3‬בקוביית‪-‬משחק אחת עוגלו‬
‫והוחלקו ארבע הפינות שסביב הפיאה בת ‪ 6‬הנקודות ‪.‬‬
‫לפני‪:‬‬
‫אחרי‪:‬‬
‫א‪ .‬כיצד ישפיע הדבר‪ ,‬להערכתך‪ ,‬על הסתברויותיהן של התוצאות השונות? על איזו מהן אתה‬
‫בטוח שהיא תגדל? על איזו אתה בטוח שהיא תקטן? על איזו מהן יש לך השערה רופפת בלבד?‬
‫ב‪ .‬אחרי השינוי הנ"ל‪ ,‬הוטלה הקובייה ‪ 300‬פעם‪ .‬ב‪ 66 -‬פעמים התקבלה התוצאה ‪ 6‬וב‪30 -‬‬
‫פעמים התקבל ‪ .1‬מה הם האומדנים שנותנות התוצאות של סדרת הניסויים הזאת בשביל‬
‫ההסתברויות של כל אחת משש התוצאות האפשריות?‬
‫‪24‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫‪ 1.6‬ניסוי בשלבים‬
‫ניסוי הנערך בשני שלבים יופיע בבעיה הבאה‪:‬‬
‫בית‪-‬ספר שתלמידיו באים ממושבים ומקיבוצים התבקש לשלוח נציג למשלחת נוער לחו"ל‪.‬‬
‫המועמדים המתאימים )מבחינת ידיעת אנגלית וכדומה( היו בן‪-‬מושב אחד‪ ,‬ארבע בנות‪-‬מושב‪,‬‬
‫שלושה בני‪-‬קיבוץ ושבע בנות‪-‬קיבוץ‪ .‬מסיבות שונות הוחלט שהנציג ייקבע בהגרלה בת שני‬
‫שלבים‪ .‬בשלב הראשון יגרילו בין "מושב" ובין "קיבוץ" בהטלת מטבע‪ ,‬ובשלב השני יגרילו בין‬
‫חמשת בני‪-‬המושב או בין עשרת בני‪-‬הקיבוץ בעזרת פתקים‪.‬‬
‫שאלתנו‪ :‬מהי ההסתברות שהנציג יהיה בן‪-‬מושב? בן‪-‬קיבוץ? בת‪-‬מושב? בת‪-‬קיבוץ? בן? בת?‬
‫הבה נבנה סביבון‪-‬חץ העונה לשאלתנו‪ .‬נעשה זאת בשני שלבים המקבילים לשני שלבי ההגרלה‪.‬‬
‫בשלב הראשון נחלק את הסביבון לשני חצאים‪,‬‬
‫כי ‪)= 0.5‬מושב(‪) = P‬קיבוץ(‪.P‬‬
‫מושב‬
‫קיבוץ‬
‫השלב השני יתחלק לשני חלקים מקבילים‪ .‬חלקו הראשון יעסוק‬
‫במחצית השייכת ל"מושב" וחלקו השני יטפל באפשרות "קיבוץ"‪.‬‬
‫בן‬
‫מושב‬
‫ההסתברות של "בן מושב" היא חמישית של הסתברות "מושב"‬
‫וההסתברות של "בת מושב" היא ארבע חמישיות של הסתברות "מושב"‬
‫‪,‬כי אם בשלב הראשול יוגרל "מושב" אז בהגרלה השניה יהיה פתק אחד‬
‫עם שמו של בן המושב וארבעה פתקים עם שמותיהן של בנות המושב‪ .‬לכן‬
‫יש להקצות ל‪"-‬בן מושב" ‪ 1/5‬של המחצית השייכת ל‪"-‬מושב" ואילו ל‪-‬‬
‫"בת מושב" יש להקצות ‪ 4/5‬של מחצית זאת‪.‬‬
‫בת‬
‫מושב‬
‫ובמקביל‪ ,‬ל‪"-‬בן קיבוץ" יש להקצות ‪ 3/10‬של המחצית השייכת ל‪-‬‬
‫"קיבוץ" ול‪"-‬בת קיבוץ" יש להקצות ‪ 7/10‬של מחצית זאת‪.‬‬
‫בן בן‬
‫מושב קיבוץ‬
‫בת‬
‫בת‬
‫מושב קיבוץ‬
‫מכל זה עולה ש‪-‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪) = ⋅ = = 0.1‬בן מושב(‪P‬‬
‫‪5 2 10‬‬
‫‪3 1 3‬‬
‫‪) = ⋅ = = 0.15‬בן קיבוץ(‪P‬‬
‫‪10 2 20‬‬
‫‪4 1 2‬‬
‫‪) = ⋅ = = 0.4‬בת מושב(‪P‬‬
‫‪5 2 5‬‬
‫‪7 1 7‬‬
‫‪) = ⋅ = = 0.35‬בת קיבוץ(‪P‬‬
‫‪10 2 20‬‬
‫ומכאן‬
‫‪) = 0.1+0.15 = 0.25‬בן קיבוץ(‪) + P‬בן מושב(‪) = P‬בן(‪P‬‬
‫‪ ) = 0.4+0.35= 0.75‬בת קיבוץ(‪) + P‬בת מושב = )‬
‫(‪P‬בת(‪. P‬‬
‫דיאגרמת עץ מתארת את שלבי ההתחלקות של סביבון‬
‫החץ‪ ,‬ובדרך כלל אין צורך לשרטט את סביבון החץ עצמו‬
‫אלא רק את דיאגרמת העץ המתאימה‪.‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪25‬‬
‫‪0.5‬‬
‫קיבוץ‬
‫מושב‬
‫‪0.2‬‬
‫בן‬
‫הציור שמשמאל הוא דיאגרמת עץ בשביל הבעיה שפתרנו‬
‫לעיל‪.‬‬
‫קיבוץ‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.8‬‬
‫בת‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.7‬‬
‫בן‬
‫בת‬
‫‪0.15‬‬
‫‪0.35‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫שים לב לכך שההסתברות הכתובה מתחת לכל אחת מהתוצאות הסופיות היא מכפלת המספרים‬
‫הכתובים על ה"ענפים" המובילים אליה‪.‬‬
‫לביקורת מוצע לחבר את הסתברויותיהן של התוצאות הסופיות ולראות האמנם שווה הסכום ל‪-‬‬
‫‪.1‬‬
‫והרי שתי בעיות ופתרונותיהן בעזרת דיאגרמת עץ‪.‬‬
‫בעיה‪ :‬תלמיד מסוים אינו יושב להכין את שיעורי‪-‬הבית במתמטיקה אלא אם אין תוכנית‬
‫מעניינת בטלוויזיה‪ ,‬ואינו מנסה לפתור בעיה אלא אם הצליח לפתור את הבעיה שלפניה‪.‬‬
‫ההסתברות לתוכנית מעניינת בטלוויזיה היא ‪ ,0.4‬ואם התלמיד ניגש לבעיה‪ ,‬אז ההסתברות‬
‫שיפתור אותה היא ‪ . 0.3‬מהי ההסתברות שיפתור את הבעיה השנייה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫החישוב העיקרי על‪-‬פי המבוקש בבעיה הוא‪:‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.6 ⋅ 0.3 ⋅ 0.3 = 0.054‬‬
‫שעורי בית‬
‫וההסתברות שהתלמיד יפתור את הבעיה השניה‬
‫טלביזיה‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.7‬‬
‫‪0.4‬‬
‫היא ‪. 0.054‬‬
‫פתר בעיה ראשונה‬
‫‪0.7‬‬
‫‪0.3‬‬
‫פתר בעיה שניה‬
‫‪0.054‬‬
‫לא פתר‬
‫‪0.126‬‬
‫לא פתר‬
‫‪0.42‬‬
‫)למען ההדגמה חישבנו גם את ההסתברויות של‬
‫התוצאות הסופיות האחרות‪ .‬סכום כל ההסתברויות‬
‫של התוצאות הסופיות הוא‬
‫‪( 0.4+0.42+0.126+0.054 = 1‬‬
‫בעיה‪ :‬במגירה שבחדר חשוך יש שתי גרביים כחולות ושלוש ירוקות‪ .‬מוציאים מן המגירה שתי‬
‫גרביים‪ .‬מהי ההסתברות שגם הגרב הראשונה וגם הגרב השניה תהינה כחולות‪ ,‬מהי ההסתברות‬
‫ששתיהן תהינה ירוקות ומהי ההסתברות ששתיהן תהיינה באותו צבע?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫אחת‬
‫גרב‬
‫שהוצאת‬
‫לכך‬
‫לב‬
‫)שים‬
‫‪3/5‬‬
‫‪2/5‬‬
‫משנה את יחס הגרביים שבמגרה(‬
‫ראשונה כחולה‬
‫‪3/4‬‬
‫‪1/4‬‬
‫שניה כחולה‬
‫‪1/10‬‬
‫ראשונה ירוקה‬
‫‪1/2‬‬
‫‪1/2‬‬
‫שניה ירוקה שניה כחולה‬
‫‪3/10‬‬
‫‪3/10‬‬
‫שניה ירוקה‬
‫‪3/10‬‬
‫ההסתברות לזוג גרביים כחולות היא אפוא ‪ ,0.1‬ההסתברות לזוג גרביים ירוקות היא ‪0.3‬‬
‫וההסתברות לזוג גרביים באותו צבע היא ‪. 0.4‬‬
‫הערה כללית על סדר השלבים‬
‫יש ניסויים דו‪-‬שלביים )או תלת שלביים או בעלי מספר שלבים אחר( שבהם מטבע הדברים צריך‬
‫הניסוי השני לבוא אחרי הניסוי הראשון‪ ,‬ויש ניסויים שבהם יכולים שני השלבים להתבצע בו‪-‬‬
‫זמנית‪ .‬בעיית הנציג למשלחת הנוער ובעית שיעורי הבית הן מהסוג הראשון‪ ,‬ואילו בעית‬
‫הגרביים היא מהסוג השני‪ .‬בבעית הגרביים דובר על הוצאת שתי גרביים ולא על הוצאת גרב‬
‫אחת ואחריה הוצאת גרב נוספת‪ ,‬אך לצורך בנית עץ ההסתברויות הבדלנו בין הגרביים‬
‫והתייחסנו אליהן כאילו הוצאו בזו אחר זו‪ .‬כך עשינו בעבר אצל הטלת שתי מטבעות‪ .‬גם שם‬
‫הנחנו שניתן להבחין בין מטבע לחברתה‪.‬‬
‫מכיוון שהזכרנו את עניין הטלת שתי מטבעות נציין שגם אצל נושא זה אפשר להשתמש בעץ‪-‬‬
‫הסתברויות‪ .‬עוד נציין שבעץ‪-‬הסתברויות בשביל הטלת שתי קוביות יצאו ששה ענפים מכל‬
‫נקודת התפצלות‪.‬‬
‫‪26‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫תרגיל ‪ :1‬שחקן כדורסל ניגש לזרוק שתי זריקות‪-‬עונשין‪ .‬ההסתברות שיקלע לסל בזריקה‬
‫הראשונה היא ‪ .0.75‬אם קלע בזריקה הראשונה‪ ,‬הוא חדל להתרגש‪ ,‬וההסתברות שיקלע‬
‫בזריקה השנייה היא ‪ .0.9‬לעומת‪-‬זאת‪ ,‬אם החטיא בזריקה הראשונה‪ ,‬אז יורדת הסתברות‬
‫הקליעה בזריקה השנייה ל‪.0.6 -‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות שיקלע שני סלים?‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שיחטיא בשתי הזריקות?‬
‫ג‪ .‬מהי ההסתברות שיקלע סל יחיד?‬
‫תרגיל ‪ :2‬כמו תרגיל ‪ 1‬אבל השחקן קר‪-‬רוח והסתברות הקליעה שלו בכל זריקה היא ‪.0.8‬‬
‫)הערה‪ :‬בניגוד לדעה המקובלת שכיח המצב המתואר בתרגיל ‪ 2‬יותר מהמצב המתואר בתרגיל‬
‫‪(.1‬‬
‫תרגיל ‪ :3‬כדי להקטין את התמותה הטבעית )= בקרבות אקדחים( בין אציליו‪ ,‬הגביל המלך את‬
‫מנהג הדו‪-‬קרב המקודש לירייה אחת מכל צד‪ ,‬וגם זאת רק בהסכמת שני הצדדים‪ .‬אציל א‪,‬‬
‫שהסתברות הקליעה שלו היא ‪ ,0.8‬הזמין לדו‪-‬קרב את אציל ב‪ ,‬שהסתברות הקליעה שלו היא‬
‫רק ‪ .0.4‬זה הסכים בתנאי שהוא יהיה היורה הראשון‪ .‬מהי ההסתברות שאציל ב ייהרג?‬
‫תרגיל ‪ :4‬בכד א יש ‪ 2‬כדורים לבנים ו‪ 3-‬כדורים שחורים‪ ,‬בכד ב ‪ 4‬לבנים ו‪ 4-‬שחורים ובכד ג יש‬
‫‪ 7‬לבנים ו‪ 3-‬שחורים‪.‬‬
‫מגרילים כד אחד בדרך הבאה‪ :‬מטילים קוביה‪ ,‬ואם התקבל ‪ 1‬או ‪ 2‬בוחרים בכד א‪ ,‬אם התקבל‬
‫‪ 3‬או ‪ 4‬בוחרים בכד ב ואם התקבל ‪ 5‬או ‪ 6‬בוחרים בכד ג‪.‬‬
‫אחר‪-‬כך מוציאים כדור מן הכד שנבחר )בלי להסתכל פנימה(‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שיבחר כדור לבן?‬
‫הנחייה‪ :‬בשלב הראשון מתפצל העץ לשלושה ענפים )כלומר‪ ,‬סביבון החץ מחולק לשלושה‬
‫חלקים(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :5‬כמו תרגיל ‪ 4‬אבל אם בהטלת הקוביה התקבל ‪ 1‬בוחרים בכד א‪ ,‬אם התקבל ‪ 2‬או ‪3‬‬
‫בוחרים בכד ב ואם התקבל ‪ 4‬או ‪ 5‬או ‪ 6‬בוחרים בכד ג‪.‬‬
‫א‪ .‬הערך )ללא חישוב( אם שינוי זה מגדיל או מקטין את ההסתברות לכדור לבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :6‬מסובבים סביבון‪-‬חנוכה תקין ארבע פעמים‪ .‬מהי ההסתברות שבפעם הראשונה יתקבל‬
‫"נ"‪ ,‬בפעם השנייה "ג"‪ ,‬בפעם השלישית "ה" ובפעם הרביעית "פ" ?מהי ההסתברות שבכל ארבע‬
‫הפעמים יתקבל "נ"? )אין צורך לצייר את כל ענפי העץ‪(.‬‬
‫תרגיל ‪") 7‬בעיית‪-‬גרביים" מורחבת(‪:‬‬
‫במגירה ‪ 10‬גרביים‪ 2 .‬מהן כחולות‪ 4 ,‬ירוקות ו‪ 4-‬אדומות‪.‬‬
‫א‪ .‬מוציאים שתי גרביים‪ .‬מה ההסתברות ששתיהן באותו צבע?‬
‫ב‪ .‬מוציאים שלוש גרביים‪ .‬מה ההסתברות שלפחות שתיים מהן הן באותו צבע?‬
‫)חשב רק את המכפלות הדרושות למציאת ההסתברויות המבוקשות‪(.‬‬
‫תרגיל ‪ :8‬שלושה חיילים המצויידים בטילים נגד טנקים‪ ,‬רואים טנק אויב מתקרב‪ .‬החיילים‬
‫מסתתרים בשלוש נקודות נפרדות‪ .‬תוכנית הפעולה שלהם‪ ,‬שנקבעה מראש‪ ,‬היא כך‪:‬‬
‫תחילה יירה החייל הראשון‪ ,‬שהסתברות הפגיעה שלו היא ‪ ,0.8‬ומייד ירד אל מאחורי מחסה‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫אם לא יפגע אז יירה החייל השני )שעדין לא התגלה( וירד אף הוא אל מאחורי מחסה‪ .‬הסתברות‬
‫הפגיעה שלו היא ‪ .0.7‬אם גם הוא יחטיא אז יירה החייל השלישי‪ ,‬שהסתברות הפגיעה שלו היא‬
‫‪.0.6‬‬
‫שאלתנו‪ :‬מהי ההסתברות לכך שהטנק ייפגע?‬
‫הנחייות‪ :‬בציור המצורף סומנו בקו כל‬
‫המאורעות שאינם מיועדים לפיצול‪ .‬כתוב את‬
‫ההסתברויות המתאימות על הענפים‬
‫המתאימים‪ ,‬חשב את ההסתברות שאף אחד‬
‫מהטילים לא יפגע בטנק‪ ,‬ואחר‪-‬כך השתמש‬
‫במשפט על הסתברותו של מאורע משלים‪.‬‬
‫טיל ראשון‬
‫טיל שני‬
‫טיל שלישי‬
‫לא פוגע‬
‫לא פוגע‬
‫לא פוגע‬
‫פוגע‬
‫פוגע‬
‫פוגע‬
‫תרגיל ‪:9‬לעריכת הגרלה עומדים לרשות ראובן ושמעון שני כדים ומאה כדורים‪ ,‬שחמישים מהם‬
‫שחורים וחמישים לבנים‪ .‬ההגרלה תתבצע כך‪ :‬ראובן יחלק את הכדורים בין הכדים ושמעון‬
‫יבחר כד ויוציא ממנו כדור אחד‪ .‬אם יהיה הכדור לבן ‪ -‬יזכה ראובן‪.‬‬
‫כיצד כדאי לראובן לחלק את הכדורים בין הכדים‪ ,‬אם ‪-‬‬
‫א‪ .‬שמעון רואה אילו כדורים מוכנסים לכל כד והוא יוכל לבחור בכד הרצוי לו‪.‬‬
‫*ב‪ .‬שמעון אינו רואה אילו כדורים מוכנסים לכל כד ובחירת הכד תהיה אקראית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :10‬חבר בעיה בשביל הדיאגרמה הבאה‪.‬‬
‫הוסף לדיאגרמה את המלים החסרות באופן שתתאמנה לבעיה שחיברת וכתוב תשובה לבעיה‪.‬‬
‫‪2/3‬‬
‫‪2/3‬‬
‫‪4/9‬‬
‫‪1/3‬‬
‫‪2/3 1/3‬‬
‫‪2/9‬‬
‫‪2/9‬‬
‫‪28‬‬
‫‪1/3‬‬
‫‪1/9‬‬