‫עתיד ‪ -‬תיכון למדעים ‪ -‬לוד‬ ‫עבודת קייץ‬ ‫‪-‬‬ ‫תשע"ד‬ ‫קיץ ‪9002‬‬ ‫עבודת‬ ‫העולים לכיתה י'‬ ‫לתלמידים‬ ‫ משוואות‬, ‫אלגברה – ביטויים אלגבריים‬ :‫ הוכח את הזהויות‬.1 ac  bx  ax  bc xc  ay  2bx  2ax  by 2 x  y .‫א‬ ab2  ac 2 b 2  2bc  c 2 3a  (b  c )   b 2  2bc  c 2 3c  3b (b 2  c 2 ) .‫ב‬ 3 4 5 2  (2a 2  7ab  3b 2 )    a 2  2ab  b 2 a 2  2ab  b 2 a 2  b 2 (a  b) 2 (a  b) 2 .‫ג‬ : ‫ פשט את הביטויים‬.2 2 2 2 16x y 2x y 2  ( )  3 3a a  a4   b 2 x .‫ב‬  ( a 5  b 3 ) 3  ( a 3 ) 2    .‫ד‬ 6 4 ( a  b )  3  y 4   x  y 3   3 2 3x  15 x 2  7 x  10 x 2 :   x2  2x x2  4 3x  6 4 3  (2 3  32 ) 2  6 4  9 2  (32 ) 3  212 0.3  1015 4 11 . ‫ב‬ 30  1013 . ‫ד‬ 85 2100 .‫ג‬ : ‫ חשב ללא מחשבון‬. 3 : ‫ > או = לקבלת טענה נכונה ונמק‬, < : ‫את הסמן‬ 16 6 .‫א‬ - ‫ רשום ב‬. 4 32 3 . ‫א‬ 3 60 . ‫ג‬ : ‫ פרק לגורמים‬. 5 4 x  28  a 2 x  7a 2  . ‫ב‬ a 4 16  . ‫א‬ : ‫ פתור את המשוואות‬. 6 2x  3 x  1 13  7 x   2 .‫ב‬ 3 x  6 x  3 3 x  15x  18 5  x 2 x 2  x  18 4  x   .‫א‬ x2 4  x2 x2 x 4  2 x 2  24  0 . ‫ד‬ 5 x2 8x  6  2  .‫ג‬ 2 x  6 x  3x 18  2 x 2 ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .‬נתונה המשוואה‪ a :‬‬ ‫‪x  2x  1 2x  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x2  x  2‬‬ ‫א ‪ .‬הסבירו מדוע המשוואה ‪ a‬‬ ‫)‪2( x 2  2 x  1‬‬ ‫שקולה למשוואה הנתונה‪.‬‬ ‫‪ x2  x  2‬‬ ‫ב ‪.‬הסבירו מדוע ‪ x = 1‬לא יכול להיות פתרון של המשוואה ‪ a‬‬ ‫)‪2( x 2  2 x  1‬‬ ‫ג ‪ .‬פתרו את המשוואה עבור ‪. a = 0‬‬ ‫ד ‪ .‬הסבירו מדוע ‪ a‬לא יכול להיות ‪. –1‬‬ ‫‪ . 8‬פתור את המערכות המשוואות הבאות ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  5 y  2  3‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 12  8  2‬‬ ‫‪ x  5 y  2‬‬ ‫‪( x  3) 2  (3 y  2 x ) 2  6 y  7‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  3y  8  0‬‬ ‫‪ x 2  y 2  0‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ x  2 xy  y 2  36‬‬ ‫‪ xy  450‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪25‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫()‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪420‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . 9‬פתור משוואות ומערכות משוואות עם פרמטר ( ‪ - x‬נעלם ‪ - a ,‬פרמטר )‬ ‫וחקור את המקרים החריגים ‪:‬‬ ‫א ‪a 2 x  4  a  16 x .‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ב ‪6ax  a 2  5 x  10a  a 2 x  25 .‬‬ ‫‪3 x  1 a  ax‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪xa xa‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪a  x a  x a  x2‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪5 y  2ax  4a 2  15a‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7 x  4 y  2a‬‬ ‫‪a 2 x  25 y  2a  15‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  y  1‬‬ ‫‪ . 11‬פתור משוואות ומערכות משוואות עם פרמטר( ‪ - x‬נעלם ‪ - m , a ,‬פרמטרים )‬ ‫א ‪x 2  (2m  4) x  3  4m  m 2  0 .‬‬ ‫ב ‪a  1, a  1x 2  (2a  3) x  2  0 .‬‬ ‫‪ . 11‬במשוואות הבאות תחום ההצבה הוא ‪x  8‬‬ ‫לאילו מהמשוואות הבאות אין פתרון? נמקו‪.‬‬ ‫‪x 3  8x 2‬‬ ‫‪ 0 .I‬‬ ‫‪x 8‬‬ ‫‪x 3  8x 2‬‬ ‫‪ 1 .IV‬‬ ‫‪8 x‬‬ ‫‪x 3  8x 2‬‬ ‫‪ 1 .II‬‬ ‫‪x 8‬‬ ‫‪x 3  8x 2‬‬ ‫‪ 0 .III‬‬ ‫‪8 x‬‬ ‫‪( x  8) 2‬‬ ‫‪ 0 .V‬‬ ‫‪x 8‬‬ ‫‪2 x 2  20x‬‬ ‫‪x 2  20x  100‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . 12‬נתון הביטוי‪:‬‬ ‫‪x 3  8 x 2  20x‬‬ ‫‪2 x 2  200‬‬ ‫א‪ .‬פשטו את הביטוי ורשמו את תחום ההצבה‬ ‫ב‪ .‬חשבו את ערך הביטוי עבור ‪x = 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ג‪ .‬חשבו את ערך הביטוי עבור ‪x ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ד ‪ .‬עבור איזה ערך של ‪ x‬ערך הביטוי הוא ‪? -2‬‬ ‫ה‪ .‬האם ניתן למצוא את ערך הביטוי עבור ‪ ? x = –10‬נמקו‪.‬‬ ‫‪ . 13‬פתור את אי ‪ -‬השוויונים הבאים ‪:‬‬ ‫א ) ‪ x 2  10x  25  0‬‬ ‫ד ) ‪ x 2  10x  25  0‬‬ ‫ג ) ‪ x 2  10x  25  0‬‬ ‫ב ) ‪ x 2  10x  25  0‬‬ ‫‪( x  2) 2  x  10‬‬ ‫‪x( x  1) ‬‬ ‫ה)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . 14‬על מגרש מלבני שהיקפו ‪ 60‬מ' בנו מבנה מגורים מלבני‪.‬‬ ‫הצלע הארוכה של המבנה היא ‪ 80%‬מהצלע הארוכה של המגרש‪ ,‬הצלע הקצרה של המבנה‬ ‫היא ‪ 50%‬מהצלע הקצרה של המגרש‪ .‬שטחו של המבנה ‪ 80‬מ"ר‪.‬‬ ‫מבנה מגורים‬ ‫א‪ .‬מהן מידות המגרש? ציינו יחידות מידה מתאימות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מה היקפו של מבנה המגורים?‬ ‫ג‪ .‬על חלק המגרש שנותר אחרי בניית המבנה שתלו דשא‪ .‬מה שטח הדשא?‬ ‫‪ . 15‬אוטובוס יצא מעיר ‪ A‬לעיר ‪ B‬בשעה ‪ 11:11‬בבוקר ונסע את כל הדרך במהירות ‪ 91‬קמ"ש‪.‬‬ ‫באותה שעה רוכב אופניים יצא מעיר ‪ B‬לעיר ‪ A‬ונסע את כל הדרך במהירות ‪ 61‬קמ"ש‪.‬‬ ‫הם נסעו באותו כביש‪ ,‬נפגשו בשעה ‪ 12:11‬והמשיכו בדרכם‪.‬‬ ‫א ‪ .‬באיזו שעה הגיע האוטובוס לעיר ‪? B‬‬ ‫ב ‪ .‬באיזו שעה הגיע רוכב האופניים לעיר ‪? A‬‬ ‫ג ‪ .‬מיד אחרי הגעתו לעיר ‪ B‬האוטובוס הסתובב ונסע חזרה לעיר ‪. A‬‬ ‫האם הספיק האוטובוס להשיג את רוכב האופניים בדרכו לעיר ‪ A‬לפני שהרוכב הגיע לשם?‬ ‫‪ . 16‬ממקום מסוים יוצאים בו – זמנית שני הולכי רגל ‪ ,‬אחד צפונה והשני – מזרחה ‪.‬‬ ‫כעבור ‪ 5‬שעות עובר הראשון ‪ 5‬ק''מ יותר מהשני ‪ ,‬והמרחק ביניהם מגיע ל – ‪ 25‬ק''מ ‪.‬‬ ‫מהירויותיהם של הולכי הרגל הנ''ל לא השתנו בשעת ההליכה ‪.‬‬ ‫מהי מהירותו לשעה של כל אחד מהולכי הרגל ?‬ ‫‪ . 17‬מחירו המקורי של מוצר בתחילת העונה היה ‪ 211‬ש''ח ‪.‬‬ ‫באמצע העונה הוזילו את המחיר המקורי ב – ‪ x‬אחוזים ‪.‬‬ ‫בסוף העונה הוזילו את המחיר של אמצע העונה ב – ( ‪ ) x + 5‬אחוזים ‪.‬‬ ‫א ‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את מחיר המוצר בסוף העונה ‪.‬‬ ‫ב ‪ .‬חשב את ‪ , x‬אם נתון שבסוף העונה היה מחיר המוצר ‪ 115‬ש''ח ‪.‬‬ ‫‪ . 18‬סכום של שני מספרים חיוביים הוא ‪ . 16‬סמן את המספר הקטן ב – ‪x‬‬ ‫א ‪ .‬כתוב פונקציה המתארת את סכום ריבועי המספרים ‪.‬‬ ‫ב ‪ .‬שרטט גרף של פונקציה ‪.‬‬ ‫ג ‪ .‬מהם המספרים עבורם סכום הריבועים מינימלי ? נמק !‬ ‫ד ‪ .‬מהם המספרים עבורם סכום הריבועים הוא ‪? 146‬‬ ‫‪ . 19‬בתוך מלבן שצלעותיו ‪ 7‬ס''מ ו – ‪ 9‬ס''מ‬ ‫חסומים ריבוע (מימין ) ומלבן מקווקוים ‪.‬‬ ‫סמן צלע של ריבוע ב – ‪. x‬‬ ‫א ‪ .‬כתוב פונקציה המתארת את השטח המקווקו‬ ‫( סכום שטחי הריבוע והמלבן מקווקוים ) ‪.‬‬ ‫ב ‪ .‬חשב מה צריך להיות האורך ‪ x‬של צלע הריבוע‬ ‫כדי ששטח המקווקו יהיה מינימאלי ‪.‬‬ ‫ג ‪ .‬מצא את השטח המקווקו המינימאלי ‪.‬‬ ‫ד ‪ .‬ידוע כי שטח המקווקו הוא ‪ 39‬סמ''ר ‪ .‬מצא את ‪. x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪36‬‬ ‫ד ‪a 44 .‬‬ ‫‪ . 9‬א ‪x 11 y 18 .‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫תשובות ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ג ‪( x  7)(2  a )(2  a ) .‬‬ ‫ב ‪( x  1)(5 x  1) .‬‬ ‫‪ . 5‬א ‪(a  2)(a  2)(a 2  4) .‬‬ ‫ב ‪x  1 .‬‬ ‫‪ . 6‬א ‪ .‬למשוואה אינסוף פתרונות ‪x  2‬‬ ‫ד‪x  6 .‬‬ ‫‪ . 7‬ג ‪x   1,2 .‬‬ ‫ג ‪x  4 .‬‬ ‫‪ . 8‬א ‪ (4,4), (8,16 / 3) .‬ב ‪ (1,4) .‬ג ‪(3,3), (3,3) .‬‬ ‫ד ‪(15,30), (62.5,7.2) .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, x‬‬ ‫‪ . 2‬א ‪ .‬כאשר ‪ , a  4‬למשוואה פתרון יחיד והוא‬ ‫‪4a‬‬ ‫כאשר ‪ a  4‬למשוואה אין פתרון ( ‪ , ) x ‬כאשר ‪ a  4‬למשוואה אינסוף פתרונות ( ‪. ) x  R‬‬ ‫‪a5‬‬ ‫ב ‪ .‬כאשר ‪ , a  1,5‬למשוואה פתרון יחיד והוא‬ ‫‪a 1‬‬ ‫כאשר ‪ a  1‬למשוואה אין פתרון ( ‪ , ) x ‬כאשר ‪ a  5‬למשוואה אינסוף פתרונות ( ‪. ) x  R‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ג ‪ .‬כאשר ‪ a  0, ‬למשוואה פתרון יחיד והוא ‪x ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כאשר ‪ a  ‬למשוואה אין פתרון ( ‪ , ) x ‬כאשר ‪ a  0‬למשוואה אינסוף פתרונות ( ‪. ) x  R‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2a  1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ד ‪ .‬כאשר ‪ , a  1‬למשוואה פתרון יחיד והוא‬ ‫‪3‬‬ ‫כאשר ‪ a  1‬למשוואה אינסוף פתרונות ( ‪. ) x  R‬‬ ‫‪, x‬‬ ‫‪35‬‬ ‫ה ‪ .‬כאשר‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7 x  2a‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪ x , y ‬מספר ממשי כלשהו )‬ ‫‪ a  ‬למערכת אינסוף פתרונות מהצורה (‬ ‫כאשר‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ 2 a  3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ו ‪ .‬כאשר ‪ , a  5‬למערכת פתרון יחיד ‪‬‬ ‫‪ a  5 a  5‬‬ ‫כאשר ‪ a  5‬למערכת אינסוף פתרונות מהצורה ( ‪ x , y  1  x‬מספר ממשי כלשהו )‬ ‫כאשר ‪ , a  5‬למערכת אין פתרון‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  ‬‬ ‫ב ‪, 2 .‬‬ ‫‪ . 00‬א ‪x  m  3, m  1 .‬‬ ‫‪ a 1 ‬‬ ‫‪ , a  ‬למערכת פתרון יחיד ) ‪, ( 2a ,3a‬‬ ‫‪ . 00‬למשוואה ‪IV‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ . 09‬א ‪.‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x   10,0,2‬‬ ‫ב‪1.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ד ‪x 1 .‬‬ ‫ה ‪ .‬לא ‪ ,‬כי ‪ - 11‬לא שייך לתחום הצבה של הביטוי ‪.‬‬ ‫‪ , x ‬ב ) ‪ , x  5‬ג ) ‪ , x  5‬ד ) ‪ , x  R‬ה ) ‪ x  3‬או ‪. x  2‬‬ ‫‪ . 03‬א )‬ ‫ג ‪ 121 .‬מ''ר ‪ . 05‬א ‪ 13:21 .‬ב ‪15:11 .‬‬ ‫ב ‪ 42 .‬מ'‬ ‫‪ . 01‬א ‪ 11 .‬מ' ‪ 21 ,‬מ'‬ ‫‪ 4 . 06‬קמ''ש ‪ 3 ,‬קמ''ש ‪.‬‬ ‫‪2 x 2  390x  19000‬‬ ‫ב ‪ . 08 25% .‬א ‪f ( x)  2 x 2  32x  256 .‬‬ ‫‪ . 07‬א ‪.‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ג ‪ . 8 , 8 .‬ד ‪. 5 , 11 .‬‬ ‫‪ . 08‬א ‪f ( x)  2 x 2  16x  63 .‬‬ ‫ג ‪ .‬לא ‪.‬‬ ‫ב ‪ 4 .‬ס''מ ג ‪ 31 .‬סמ''ר‬ ‫ד ‪ 2 .‬ס''מ או ‪ 6‬ס''מ ‪.‬‬ ‫‪ . 02‬א ‪f ( x)  2 x 2  16x  63 .‬‬ ‫ב ‪ 4 .‬ס''מ ג ‪ 31 .‬סמ''ר‬ ‫ד ‪ 2 .‬ס''מ או ‪ 6‬ס''מ ‪.‬‬ ‫הסתברות‬ ‫‪ . 1‬בקופסה יש ‪ 21‬פתקים שעליהם המספרים ‪.21 – 1‬‬ ‫א‪ .‬מה ההסתברות להוציא באקראי מהקופסה פתק ועליו מספר זוגי?‬ ‫ב‪ .‬מה ההסתברות להוציא באקראי מהקופסה פתק ועליו מספר שמתחלק ב‪?5-‬‬ ‫ג‪ .‬מוציאים מהקופסה שני פתקים זה אחר זה (ללא החזרה)‪.‬‬ ‫מה ההסתברות שעל פתק אחד יהיה מספר זוגי ועל הפתק האחר יהיה מספר אי זוגי?‬ ‫ד‪ .‬מוציאים מהקופסה שני פתקים זזה אחר זה (ללא החזרה)‪.‬‬ ‫ידוע שעל הפתק הראשון היה מספר חד ספרתי‪.‬‬ ‫מה ההסתברות שעל הפתק השני יהיה גם כן מספר חד ספרתי?‬ ‫ה‪ .‬מוציאים מהקופסה שני פתקים זה אחר זה (ללא החזרה)‪.‬‬ ‫ידוע שעל הפתק השני יש מספר חד ספרתי‪.‬‬ ‫מה ההסתברות שעל הפתק הראשון היה גם כן מספר חד ספרתי?‬ ‫‪ . 2‬בכד יש ‪ 3‬כדורים לבנים ו – ‪ 4‬כדורים שחורים ‪ .‬מוציאים באקראי כדור אחד ‪ ,‬ומשאירים‬ ‫אותו בחוץ ‪ .‬מערבבים ומוציאים באקראי כדור שני ‪.‬‬ ‫א ‪ .‬מהי ההסתברות ששני הכדורים שמוציאים יהיו שחורים ?‬ ‫ב ‪ .‬מהי ההסתברות ששני הכדורים שמוציאים יהיו מאותו צבע ?‬ ‫ג ‪ .‬מהי ההסתברות שהכדור הראשון יהיה לבן והכדור השני יהיה שחור ?‬ ‫‪ . 3‬תרופה למחלה מסוימת מצליחה לרפא ‪ 81%‬מהחולים ‪ 3 .‬חולים לוקחים את התרופה ‪.‬‬ ‫חשב את ההסתברויות האלה ‪:‬‬ ‫א ‪ .‬בדיוק ‪ 3‬חולים יחלימו בעזרת התרופה ‪.‬‬ ‫ב ‪ .‬לפחות חולה אחד יחלים בעזרת התרופה ‪.‬‬ ‫ג ‪ .‬לכל היותר חולה אחד יחלים בעזרת התרופה ‪.‬‬ ‫ד ‪ .‬לכל היותר שניים יחלימו בעזרת התרופה ‪.‬‬ ‫‪ . 4‬כל הסטודנטים שלמדו בפקולטה מסוימת ניגשו למבחן במתמטיקה באחד משני מועדים‪75% .‬‬ ‫ניגשו במועד א' והשאר ניגשו למועד ב'‪ 81% .‬מהסטודנטים שניגשו למועד א' הצליחו במבחן‪,‬‬ ‫ו‪ 61%-‬מהסטודנטים שניגשו למועד ב' הצליחו במבחן‪.‬‬ ‫בסה"כ בשני המועדים הצליחו ‪ 451‬סטודנטים‪.‬‬ ‫א ‪ .‬כמה סטודנטים למדו בפקולטה?‬ ‫ב ‪ .‬מה אחוז הסטודנטים בפקולטה שהצליחו במבחן?‬ ‫ג ‪ .‬כמה סטודנטים צריכים להצליח במועד ג'‪ ,‬על מנת שאחוז הסטודנטים המצליחים‬ ‫במבחן יהיה ‪( 85‬כלומר‪ 85% ,‬הצלחה)?‬ ‫‪ . 5‬ההסתברות לפגוש אדם שאוהב לאכול פלאפל ברחוב במדינת ישראל היא ‪.0.7‬‬ ‫א‪ .‬מה ההסתברות לפגוש ברחוב אדם אחד שאוהב לאכול פלאפל ואדם שני שאינו אוהב‬ ‫לאכול פלאפל?‬ ‫ב‪ .‬מה ההסתברות לפגוש ברחוב שני אנשים שאוהבים לאכול פלאפל אם ידוע שהאדם‬ ‫הראשון שפגשו בו אוהב לאכול פלאפל?‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ . 6‬בכד יש ‪ 31‬כדורים כחולים וצהובים‪ .‬ההסתברות להוציא באקראי כדור כחול מהכד היא‬ ‫‪5‬‬ ‫א‪ .‬כמה כדורים כחולים בכד?‬ ‫ב‪ . .‬מה ההסתברות להוציא באקראי כדור צהוב‪ ,‬להחזיר לכד ולהוציא שוב באקראי‬ ‫כדור צהוב?‬ ‫ג‪ .‬מה ההסתברות להוציא באקראי כדור כחול‪ ,‬לא להחזיר לכד ולהוציא באקראי‬ ‫כדור צהוב?‬ ‫‪ . 7‬במכונת משחק התוצאה היא מספר זוגי או מספר אי זוגי ‪.‬‬ ‫ההסתברות ‪ ,‬שתוצאה מסוימת תחזור על עצמה גם במשחק העוקב ( הבא בתור )‬ ‫היא ‪ . P‬כמו כן ידוע ‪ ,‬שאם במשחק הראשון יצאה תוצאה זוגית ‪ ,‬אז ההסתברות‬ ‫‪5‬‬ ‫שגם במשחק השלישי תצא תוצאה זוגית שווה ל ‪-‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪.‬‬ ‫חשב את ‪ ( P‬מצא את שני הפתרונות האפשריים ) ‪.‬‬ ‫‪ . 8‬זורקים שתי קוביות משחק רגילות‪ .‬מחברים את הסכום המתקבל על שתי הקוביות‪.‬‬ ‫לאיזו מהתוצאות הבאות הסתברות גבוהה יותר להתקבל? נמקו‪.‬‬ ‫(‪.8)3‬‬ ‫(‪7 )2‬‬ ‫(‪6 )1‬‬ ‫תשובות ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪ . 0‬א ‪ 1.5 .‬ב ‪ 1.2 .‬ג ‪.‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪ . 3‬א ‪ , 1.512 .‬ב ‪ , 1.992 .‬ג ‪ , 1.114 .‬ד ‪1.488 .‬‬ ‫‪ . 5‬א ‪1.21 .‬‬ ‫ב ‪1.7 .‬‬ ‫‪ 1.25 . 7‬או ‪1.75‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪ .9‬א‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ . 1‬א ‪ , 611 .‬ב ‪ , 75% .‬ג ‪61 .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ . 6‬א ‪ , 24 .‬ב ‪.‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪24‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪145‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ . 8‬לתוצאה ‪ ( 7‬ההסתברות היא‬ ‫‪36‬‬ ‫)‬ ‫‪.‬‬ ‫פונקציות‪.‬‬ ‫‪ .1‬אילו מהגרפים הבאים הם גרפים של פונקציות ?‬ ‫א)‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ה)‬ ‫‪x‬‬ ‫ב)‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ג)‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ו)‬ ‫ד)‬ ‫ז)‬ ‫‪y‬‬ ‫ח)‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 x  19‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . 2‬נתונה הפונקציה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5x  5 x  1 1  x‬‬ ‫א ‪ .‬מצא את נקודת האפס של הפונקציה (כלומר פתור ‪)f(x) = 0‬‬ ‫ב ‪ .‬מצא את נקודת החיתוך עם ציר ה ‪. y -‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫‪ . 3‬לפניך שרטוט הגרפים של הפונקציות‬ ‫‪f(x) = x+2‬‬ ‫דרך נקודה ‪ E‬מעבירים ישר מקביל לציר ‪x‬‬ ‫שחותך את גרף הפונקציה )‪ g(x‬בנקודה ‪. L‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שעורי הנקודות ‪L,K,E,C,B,N‬‬ ‫ב‪ .‬רשום את התחום שבו ‪f (x) > g(x) > 0‬‬ ‫ג‪ .‬רשום את התחום שבו ‪g(x) > f(x) > 0‬‬ ‫ד‪ .‬מצא את אורך הקטעים ‪KE ,CB‬‬ ‫ה‪ .‬מצא את שטחי המשולשים ‪ NKE‬ו‪NCB -‬‬ ‫‪f :  R  1,1  R‬‬ ‫‪g ( x )  23 x  4‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ו‪ .‬מצא את שטח המרובע ‪CKEB‬‬ ‫‪ . 4‬הישרים שבציור הם גרפים של הפונקציות ‪2 y  4 x  12 , 3 y  27  3 x :‬‬ ‫‪y‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שיפועו של כל אחד מהישרים וקבע איזו פונקציה עולה ואיזו יורדת‪.‬‬ ‫ב‪ .‬זהה איזה גרף שייך לאיזו פונקציה‬ ‫ג‪ .‬דרך הנקודה )‪ D(3,0‬העבירו ישר המקביל לציר ‪ .y‬מצא את‬ ‫‪L‬‬ ‫שעורי הנקודות ‪K,L,N,E,C,B,A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ד‪ .‬מצא את אורכי הקטעים‪. CK , LN , AB :‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ה‪ .‬מצא את שטחי המשולשים‪. NEL , AEB :‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪K‬‬ ‫ו‪ .‬מצא את משוואת הישר ‪. AN‬‬ ‫ז‪ .‬מצא את משוואת הישר העובר דרך נקודה ‪C‬‬ ‫‪y  3x  0‬‬ ‫ומקביל לישר‬ ‫ח‪ .‬הוכח כי ‪ AKNB‬הוא טרפז ומצא את שטחו‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ . 5‬שרטטו במערכת הצירים את הגרפים של הפונקציות הבאות‪:‬‬ ‫‪x2  4‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫‪x 2  4x  4‬‬ ‫‪, g(x) = x – 2 ,‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪m( x ) ‬‬ ‫הסבירו את ההבדל בין שלושת הפונקציות ‪.‬‬ ‫‪ . 6‬נתונה הפונקציה ‪. y  2( x  1) 2  18‬‬ ‫( א ) תאר במילים את הפעולות שהתבצעו על הפונקציה ‪ y  x 2‬לקבלת הגרף‬ ‫של הפונקציה הנתונה ‪.‬‬ ‫( ב ) רשום את שיעורי קדקוד הפרבולה ‪.‬‬ ‫( ג ) רשום את משוואת ציר הפרבולה ‪.‬‬ ‫( ד ) מצא את נקודות האפס של הפונקציה ‪.‬‬ ‫( ה ) מצא את נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה ‪. y -‬‬ ‫( ו ) שרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪.‬‬ ‫( ז ) עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה עולה ?‬ ‫( ח ) רשום תחום בו הפונקציה יורדת ‪.‬‬ ‫( ט ) רשום תחום בו הפונקציה חיובית ותחום בו הפונקציה שלילית ‪.‬‬ ‫( י ) רשום תחום בו הפונקציה חיובית ויורדת ‪.‬‬ ‫( יא ) רשום פונקציה ריבועית שהגרף שלה הוא שיקוף של גרף הפונקציה‬ ‫הנתונה בנקודת הקדקוד ‪.‬‬ ‫( יב ) מזיזים את הפרבולה ( הנתונה ) ימינה בשתי יחידות ‪.‬‬ ‫רשום את משוואת הפונקציה שהתקבלה ‪.‬‬ ‫( יג ) בכמה יחידות עלינו לעלות או להוריד את הפרבולה ( הנתונה ) כדי שתהיה לה‬ ‫נקודת אפס אחת ?רשום את משוואת הפרבולה שהתקבלה ‪.‬‬ ‫( יד ) רשום פונקציה קווית קבועה שיש לה נקודת חיתוך אחת עם הפרבולה הנתונה ‪.‬‬ ‫‪ . 7‬בפונקציה ריבועית )‪ t(x‬נתון‪t(0) = t(–5) = 2 :‬‬ ‫א‪ .‬מה שיעור ה‪ x -‬של קדקוד הפרבולה?‬ ‫ב‪ .‬איזו מבין הפונקציות הבאות מתאימה לנתונים הנ"ל?‬ ‫‪t(x) = x2 – 5x + 2 .I‬‬ ‫‪t(x) = 2x2 + 10x + 2 .II‬‬ ‫‪t(x) = x2 + 5x + 1 .III‬‬ ‫‪t(x) = –2x2 – 10x – 2 .IV‬‬ ‫‪ . 8‬נתונות הפונקציות‪ f(x) = (x – 3)2 – 5 :‬ו‪g(x) = 2x2 – 3x -‬‬ ‫א‪ .‬האם לגרף פונקציה ‪ m(x) = (x – 3)2 + 5‬יש נקודות חיתוך עם גרף הפונקציה )‪ ? f(x‬נמקו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬האם לגרף הפונקציה ‪ t(x) = 2x2 + 3x‬יש נקודות חיתוך עם גרף הפונקציה )‪ ? g(x‬נמקו‪.‬‬ ‫ג‪ .‬האם לגרף הפונקציה ‪ p(x) = –(x – 3)2 – 5‬יש נקודות חיתוך עם גרף הפונקציה )‪ ? f(x‬נמקו‪.‬‬ ‫‪ . 9‬א‪ .‬השלימו מספרים כך שתתקבל פונקציה ריבועית שבה שיעור ה‪ x -‬של קדקוד הפרבולה יהיה ‪:x = 3‬‬ ‫)___ – ‪f(x) = (x + ___)(x‬‬ ‫ב‪ .‬חשבו את שיעור ה‪ y -‬של נקודת הקדקוד בהתאם למספרים שהשלמתם‪.‬‬ ‫‪ . 11‬נתונות שלוש פרבולות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y  0.5x  2  4 .I‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y  3x  2  1 .III‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y  2x  4 .II‬‬ ‫א‪ .‬מהי נקודת החיתוך של כל אחת מהפרבולות עם ציר ה ‪? y -‬‬ ‫ב‪ .‬כמה נקודות חיתוך לכל אחת מהפרבולות עם ציר ה– ‪ ( ? x‬אין צורך לחשב )‬ ‫ג‪ .‬נתון שלישר ‪ y  k‬ולפרבולה ‪ I‬יש נקודה משותפת אחת בלבד‪.‬‬ ‫כמה נקודות משותפות יש לישר זה עם הפרבולה ‪ ? II‬מהו ערך של ‪? k‬‬ ‫‪ . 11‬בציור שלפניך מסורטטים הפרבולה ‪y   x 2  2 x  8‬‬ ‫‪y‬‬ ‫והקטע ‪ AB‬המקביל לציר ה ‪ . x -‬סמן נקודה ‪ – M‬קדקוד הפרבולה ‪.‬‬ ‫א ‪ .‬חשב את שטח הטרפז ‪. ABKC‬‬ ‫ב ‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. ABK‬‬ ‫ג ‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. CMK‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ד ‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית ?‬ ‫ה ‪ .‬פתור את אי השוויון ‪ x 2  2 x  8  0‬‬ ‫ו ‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה יורדת ?‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ז ‪ .‬רשום פונקציה קווית קבועה שאין לה נקודות חיתוך עם הפרבולה הנתונה ‪.‬‬ ‫ח ‪ .‬רשום פונקציה קווית קבועה שיש לה נקודת חיתוך אחת עם הפרבולה הנתונה ‪.‬‬ ‫‪ . 12‬בציור משורטטים הגרפים של הפונקציות ‪:‬‬ ‫‪ f ( x)  x 2  4 x  3‬ו ‪. g ( x)   x  2 -‬‬ ‫א ‪ .‬נקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה ) ‪. f ( x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף הפונקציה ) ‪. g (x‬‬ ‫‪P‬‬ ‫נתון כי הקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה ‪ y -‬ואורכו ‪. 3‬‬ ‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו – ‪. B‬‬ ‫ב ‪ .‬נקודה ‪ C‬נמצאת על גרף הפונקציה ) ‪. f ( x‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫והנקודה ‪ D‬נמצאת על גרף הפונקציה ) ‪. g (x‬‬ ‫נתון כי הקטע ‪ CD‬מקביל לציר ה ‪ x -‬ואורכו ‪. 3‬‬ ‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ C‬ו – ‪. D‬‬ ‫ג ‪ .‬דרך הנקודה )‪ ) t  0 ( Q (t ,0‬מעבירים ישר המקביל לציר ה ‪ y -‬החותך את הפרבולה‬ ‫בנקודה ‪ – F . P‬נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה ‪ ( x -‬ראה ציור ) ‪.‬‬ ‫בטא את שטח המשולש ‪ PQF‬באמצעות ‪. t‬‬ ‫תשובות ‪:‬‬ ‫‪ . 9‬א ‪ , x  3 .‬ב ‪. (0,10.2) .‬‬ ‫‪.0‬ג‪,‬ה‪,‬ו‪,‬ח‬ ‫‪ . 3‬ב ‪ , x  6 .‬ג ‪ , 0  x  6 .‬ה ‪ , S NCB  16, S NKE  6 .‬ו ‪. S CKEB  10 .‬‬ ‫‪ . 1‬ה ‪ S NEL  6, S AEB  24 .‬ו ‪ , y  x  3 .‬ז ‪ , y  3 x  9 .‬ח ‪. S AKNB  45 .‬‬ ‫‪ . 6‬ב ‪ ) - 1 , 18 ( .‬ג ‪ x  1 .‬ד ‪ ) - 4 , 1 ( , ) 2 . 1 ( .‬ה ‪ ) 1 , 16 ( .‬ז ‪ x  1 .‬ח ‪x  1 .‬‬ ‫יא ‪y  2( x  1) 2  18 .‬‬ ‫יב ‪y  2( x  1) 2  18 .‬‬ ‫י ‪1  x  2 .‬‬ ‫יג ‪ .‬להוריד ב ‪ 12‬יחידות ‪ y  2( x  1) ,‬יד ‪y  18 .‬‬ ‫‪ . 7‬א ‪ - 2.5 .‬ב ‪ .‬פונקציה ‪. II‬‬ ‫‪ . 8‬א ‪ .‬אין נקודות חיתוך ‪ ,‬ב ‪ .‬נקודת חיתוך אחת ‪ ,‬ג‪ .‬נקודת חיתוך אחת ‪.‬‬ ‫‪ . 2‬א ‪ ( x  1)( x  7) .‬ב ‪. y k  16 .‬‬ ‫‪ . 00‬א ‪) 1 , 13 ( – III , ) 1 , - 32 ( - II , ) 1 , - 2 ( – I .‬‬ ‫ב ‪ – I .‬שתי נק' חיתוך‪ - II ,‬נק' חיתוך אחת ‪ – III ,‬אין נק' חיתוך‬ ‫ג ‪ , k  4 .‬שתי נקודות חיתוך ‪.‬‬ ‫ג ‪27 .‬‬ ‫‪ . 00‬א ‪ 32 .‬ב ‪8 .‬‬ ‫ד ‪x  4, x  2 .‬‬ ‫ו ‪x  1 .‬‬ ‫ה‪4 x  2 .‬‬ ‫ח ‪ .‬לדוגמא ‪y  12 :‬‬ ‫ז‪y 9 .‬‬ ‫ב ‪C (1,0), D( 2,0) , C ( 2,1), D(1,1) .‬‬ ‫‪ . 09‬א ‪A( 2,1), B ( 2,4) , A(1,0), B (1,3) .‬‬ ‫ג ‪0.5(t 3  7t 2  15t  9) .‬‬ ‫‪2‬‬