שאלות בסגנון בחינות הבגרות, ואיסטרטגיות פתירה
תרגילי הסתברות "לבגרות" מבוא בדפים שלהלן שאלות בהסתברות מן הסוג העשוי להופיע בבחינות הבגרות במתמטיקה בשאלון ) 005ל 4-ול- 5יח"ל( ,ופתרונות לשאלות אלה. גם אם פתרת בעיה בכוחות עצמך כדאי לקרוא גם את הפתרון המוצע כאן ולהשוותו לפתרון שלך .ובכלל, מחשבה נוספת על הפתרון הבאה אחרי הפתירה ,עוזרת להפוך אותו לנכס מחשבתי המסיע לפתירת בעיות נוספות. גוף הפתרון יופיע להלן באות רגילה ואילו הדיונים על הפתרון ,כולל השיקולים שלפני הפתירה ואחריה ,יופיעו באות אחרת. בעיה :1 ההסתברות להצלחה בנסיון א היא , 0.7הסתברות ההצלחה בנסיון ב היא 0.6ואילו לנסיון ג הסתברות הצלחה . 0.5 א .מה ההסתברות להצלחה אחת לפחות אם מבצעים את כל שלושת הנסיונות? ב .מה ההסתברות להצלחה כאשר נסיון ב מבוצע רק אם נסיון א נכשל ונסיון ג מבוצע רק אם נסיון ב נכשל? ג .מבצעים את שלושת הנסיונות .מה ההסתברות לכך שבדיוק שנים מהם יצליחו? הערה :סוג הנסיונות אינו חשוב לעניננו .השאלה יכולה לדבר על שלושה לוחמים היורים טילים על טנק אויב או על גנן-חובב המנסה להרכיב עץ מזן אחד על עץ מזן אחר בשלוש שיטות שונות. פתרון ל-א. המאורע "יש הצלחה" מתפרק להרבה אפשרויות" ,הצלחה בנסיון א בלבד"" ,הצלחה בנסיונות א ו-ב אך לא בנסיון ג" ועוד .במקרה כזה כדאי לבדוק אם לא קל יותר לחשב את ההסתברות של המאורע המשלים ולהשתמש במשפט ) . P(A)=1-P(Aואמנם, = )כשלון ב-ג().Pכשלון ב-ב().Pכשלון ב-א() = 1-Pאין הצלחה()=1-Pיש הצלחה(P . . =1 - 0.3 0.4 0.5 = 1-0.06 = 0.94 פתרון ל-ב. הדרך בה פתרנו את א מתאימה גם ל-ב .הפתרון הוא אותו פתרון. דבר זה אינו מפתיע .ההבדל שבין א ו-ב הוא רק בשאלה אם מתכננים להמשיך בנסיונות אחרי שהושגה הצלחה אחת .זה אינו משנה את ההסתברות לכך שהצלחה אחת אמנם תושג. פתרון אחר ל-ב = )כשלונות ב-א וב-ב והצלחה ב-ג() + Pכשלון ב-א והצלחה ב-ב() + Pהצלחה ב-א()= Pיש הצלחה(P = 0.7 + 0.3 . 0.6 + 0.3 . 0.4 . 0.5 = 0.7 + 0.18 + 0.06 = 0.94 עיון יראה שגם דרך פתירה זאת טובה גם בשביל א אבל הדרך הקודמת צריכה פחות חישובים. פתרון ל-ג =)בדיוק שתי הצלחות(P =)כשלון הצלחה הצלחה() + Pהצלחה כשלון הצלחה()+Pהצלחה ב-א הצלחה-ב וכשלון ב-ג(=P = 0.7 . 0.6 . 0.5 + 0.7 . 0.4 . 0.5 + 0.3 . 0.6 . 0.5 = 0.21 + 0.14 + 0.09 = 0.44 את ג אפשר לפתור גם על-ידי בנית דיאגרמת-עץ וחיבור ההסתברויות של המסלולים הכוללים בדיוק שתי הצלחות .בדיאגרמה המצורפת נכתבו ההסתברויות של כל המסלולים .אם היינו - 71 - מחשבים רק את ההסתברויות של המסלולים הכוללים בדיוק שתי הצלחות היה מהלך החישוב זהה לזה שפירטנו. 0.7 התוצאה ב-א 0.3 הצלחה 0.6 כשלון 0.4 0.4 0.6 התוצאה ב-ב כשלון הצלחה הצלחה 0.5 0.5 0.5 0.5 0.50.5 0.5 0.5 (P התוצאה ב-ג הצלחה כשלון הצלחה כשלון הצלחהכשלון הצלחה כשלון 0.06 0.06 0.09 0.09 0.14 0.14 0.21 0.21 כשלון כיצד היינו יכולים לפתור את א בעזרת הדיאגרמה? )יש שתי דרכים .קצרה וארוכה(. הערה :דיאגרמה מלאה בשביל ב תֵ ראה כך: 0.7 התוצאה ב-א התוצאה ב-ב התוצאה ב-ג הצלחה 0.7 0.3 כשלון 0.6 הצלחה 0.18 0.4 כשלון 0.5 0.5 הצלחה כשלון 0.06 0.06 .2כאשר אדם מתכנן שוד הוא מכין לעצמו שקרים מתאימים ולכן ההסתברות שהוא יורשע היא ,1/5 ואילו לאדם שאינו אשם אין כל מושג על הטיעונים המפלילים שבידי המשטרה ,לכן קשה לו להתגונן ,לכן ההסתברות שהוא יורשע היא .2/5 אדם עומד לדין באשמת שוד .איננו יודעים אם הוא שדד או לא ,אך מסיבות שונות אנו מעריכים שההסתברות שהוא אשם היא . 3 / 4 האיש הורשע .מהי כעת ההסתברות שהוא באמת אשם? הערה :שאלה בנוסח כזה לא תופיע בבחינות הבגרות משום שיש בה רכיב מבלבל .נדון בו אחרי הפתרון. פתרון בבעיה מופיע נתון על הסתברות מותנית אחת) ,שדד | יורשע( , Pומבוקשת ההסתברות המותנית ההפוכה )יורשע | שדד( . Pבמקרה כזה משתמשים במשפט בייס ,המקבל בשביל בעיתנו את הנוסח )יורשע | שדד() . Pיורשע() = Pשדד | יורשע() . Pשדד(P נתון ש)=3/4 -שדד( Pו)=1/5 -שדד | יורשע( Pואילו )יורשע | שדד( Pמבוקש ויסומן . x נותר אפוא למצוא את )יורשע( . Pמומלץ למצוא אותו בעזרת דיאגרמת עץ )המלצה זאת טובה להרבה מקרים בהם אנו צריכים את הכופל של הנעלם שאצל שימוש בנוסחת בייס(. - 72 - 3/4 שדד 1/5 4/5 ובסך הכל ) = 2/20 + 3/20 = 5/20 = 1/ 4יורשע(P יורשע 3/20 ומכאן המשוואה 3⋅1 = 1 x 4 5 4 יזוכה 1/4 לא שדד 3/5 2/5 יורשע 2/20 יזוכה ופתרונה = x = 3ההסתברות ששדד אם הורשע בדין . 5 שאלה למחשבה :מה בנתוני הבעיה הביא למסקנה המוזרה שהרשעה בדין מקטינה את ההסתברות שהאיש אמנם שדד? הערה :מחברי הבחינות אינם מעוניינים בהכשלת הנבחנים ולכן הם נמנעים משאלות שהתשובות הנכונות להן עושות רושם שהן שגויות .אם קיבלת במבחן תשובה מוזרה – חזור ובדוק את פתרונך. .3נתון ש- (5043) =99884400 חשב את )( 5044 פתרון א: ) ( )( בנוסחת-הנסיגה nr = r n− 1 ⋅ n − r + 1השתמשנו בעיקר כדי להגיע לנוסחה המפורשת r !n = . nrרק הנוסחה המפורשת נכללת בתוכנית החובה .והיא תופיע ,מן הסתם ,בדפי !) r !⋅ (n − r הנוסחאות המצורפים לשאלון .אך אם אתה זוכר את נוסחת הנסיגה תוכל להשתמש בה באופן ישיר כך: 50 = 50 ⋅ 50 - 44 + 1 = 99884400 × 7 = 15890700 44 43 44 44 פתרון ב: 50 50לפי הנוסחה המפורשת ולחפש קשר אם לא אז הדבר הטבעי הוא לכתוב את 43ואת 44 ביניהם. !50 = 50 !50 = 50 ואילו !43 43!⋅ 7 !44 44!⋅ 6 נחפש קשר בין המקומות שהביטויים שונים זה מזה ונמצא ש 44!=43!.44 -ו . 7!=6!.7 -ומכאן 50 = 50! = 50! ⋅ 7 = 50 ⋅ 7 = 99884400 ⋅ 7 = 15890700 הפתרון 44 44!⋅ 6! 43!⋅ 44 ⋅ 7! 43 44 44 פתרון ג )דומה לפתרון ב(: נתון 50 ⋅ 45 ⋅ ... ⋅ 8 = 99884400 :ומבוקש . 50 ⋅ 49 ⋅ ... ⋅ 7מכאן כמקודם. 1⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 44 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 43 )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( .4שני חלקי השאלה הנוכחית עוסקים בהטלת 10מטבעות תקינות. 63 1 א .הראה בלי עזרת מחשבון או טבלה-מוכנה שההסתברות לקבלת "ציור" בדיוק 5פעמים ,היא ⋅ . 64 4 ב .מה נובע מהעובדה שההסתברות הנ"ל קטנה במקצת מ 1/4 -על ההסתברות לקבלת "ציור" יותר מ5- פעמים? - 73 - פתרון ל-א: 10 )( לפי נוסחת ברנולי, 63 28 10−1−1−1 = )( 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅10 ⋅ 1 (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5) ⋅ (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5) 2 = 10! ⋅ 1 5!⋅ 5! 2 10 = 10 ) () ( 1 P10,1/ 2 ( x = 5) = 10 5 ⋅ 2 )( = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅10 ⋅ 1 (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5) ⋅ (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5) 2 )שים לב למשמעות הצמצומית של הקטנת המעריך ב( 1- פתרון ל-ב: האם אתה מנחש שההסתברות ליותר מ" 5-ציור" שוה להסתברות לפחות מ" 5-ציור"? ניחוש יכול לשמש שתי מטרות .הוא יכול להצביע על דבר שכדאי לנסות להוכיח אותו ,והוא יכול לתת נקודות במבחן גם אם לא הצלחת להוכיח אותו .ותחילה ניגש להוכחה. בהטלת מטבע אחד ההסתברות ל"ציור" שוה להסתברות ל"מספר" ,לכן בהטלת 10מטבעות ההסתברות ל6- "ציור" )למשל( שווה להסתברות ל" 6-מספר" ,כלומר ,ל" 4-ציור" .באופן דומה נקבל שההסתברות ל7- "ציור" שוה להסתברות ל" 3-ציור" ,וכן הלאה. מכיוון שההסתברות ל" 5-ציור" קטנה מ ¼ -הרי ש ¾> )פחות מ)+ P(5-יותר מP( 5- לכן ) >3/8יותר מ. P(5- :ומה אם לא היינו מצליחים להראות ש) -פחות מ)= P(5-יותר מ ? P( 5-גם במקרה זה כדאי לכתוב את שאר הפתרון וזאת בגלל השיקולים הבאים )שאינם שיקולים מתמטיים אלא שיקולי- בחינה( .ראשית ,יתכן שהבוחן יחשוב שהשוויון הנ"ל ברור מאליו ויתן לך את מלוא הנקודות. שנית ,גם תשובה חלקית מזכה בנקודות .שלישית ,אין לך מה להפסיד כי העדר תשובה אינו גרוע מתשובה שגויה )זה נכון רק במבחן ,ורק אם אינך יכול לבחור בשאלה אחרת( ,ורביעית, מתקבל על הדעת שהשוויון נכון כי אלמלא כן היתה השאלה קשה מדי בשביל בחינת בגרות. .5לניסוי מסוים שתי תוצאות אפשריות ,הצלחה וכשלון .הסתברויותיהן שונות מ , 0-ואם חוזרים על הנסיון מספר פעמים אז הסתברות ההצלחה בכל חזרה אינה תלויה בתוצאות החזרות הקודמות. חישבו ומצאו שבסידרה בת 5חזרות על ניסוי זה ,ההסתברות ל 3-הצלחות שווה להסתברות ל 4-הצלחות .מה הסתברות ההצלחה בנסיון יחיד? פתרון: נסמן את הסתברות ההצלחה בנסיון יחיד ב p-ואת הסתברות הכשלון ב. q- לרוב נח יותר לסמן כך ולזכור ש p+q=1-מאשר לסמן את הסתברות הכשלון ב. 1-p - מנוסחת ברנולי נקבל שב 5-חזרות ,ההסתברות ל 3-הצלחות היא 10p3q2וההסתברות ל 4-הצלחות היא . 5p4qלכן 10p3q2=5p4qלכן 2q=pלכן p=2/3ו. q=1/ 3 - האם התוצאה סבירה? אילו ,למשל ,היה p=q=1/ 2אז היתה ההסתברות ל 4-הצלחות קטנה מההסתברות ל 3-הצלחות. כדי שיהיה שויון צריכה הסתברות ההצלחה להיות גדולה מהסתברות הכשלון. ניצול ההצלחה :פתור את בעייתנו בשינוי של נתון אחד .למשל ,הנח שההסתברות ל 3-הצלחות גדולה כפלים מההסתברות ל 4-הצלחות ,או הנח שמדובר בסידרה בת 6ניסויים. .6מה יוולד? אשה עומדת ללדת ,והיא עברה בדיקות ויודעת אם היא עומדת ללדת בן או בת .הוריה מצפים לידיעה. - 74 - אומר הסבא-לעתיד :בלידה רגילה ,ההסתברות לבן היא . 0.51זה כל מה שאנחנו יודעים. אומרת הסבתא-לעתיד :אני עומדת לטלפן אליה .אם זה בן אז ההסתברות שתספר לי על כך היא 0.2ואילו אם זו בת אז ההסתברות שתספר היא . 0.7גם אם לא תספר מאומה נדע יותר ממה שאנחנו יודעים עכשיו. א .מהי ההסתברות שהאשה תספר להוריה מה היא עומדת ללדת? ב .האשה לא סיפרה לאמה את התוצאה .מהי כעת ההסתברות שתלד בן? פתרון: ) =0.102 + 0.343 = 0.445תספר(P )לא תספר | בן() Pלא תספר() = Pבן | לא תספר() Pבן(P 0.51 0.8 = 0.555 X 0.408 =x = 0.7351 0.555 0.51 0.49 בן בת 0.7 0.8 0.3 0.2 תספר לא תספר לא תספר תספר 0.147 0.343 0.408 0.102 .7בעית שלושת הדלתות במשחק-טלביזיה שלוש דלתות .מאחרי אחת מהן יש פרס .מנהל המשחק יודע היכן הפרס .השחקן מתבקש לבחור בדלת ,ואם ימצא שם הפרס הוא זוכה בו .אחרי הבחירה אך לפני פתיחת הדלת שבחר השחקן פותח המנהל דלת אחת שאין מאחריה פרס ושאינה זו שבחר השחקן )יש לפחות דלת אחת כזאת( ,מראה לשחקן שאין שם פרס ,ומציע לשחקן אפשרות )לא חובה( לשנות את בחירתו הראשונה .השחקן בחר בדלת ג ומנהל המשחק פתח את דלת א והראה שאין שם כלום .האם כדאי לשחקן לשנות את בחירתו מ-ג ל-ב ,ומה תהיה הסתברות הזכיה אם יעשה זאת? דיון איכותי: אחרי שהשחקן בחר ג אך לפני שהמנהל פתח את א היו הסתברויות שוות לכך שהפרס נמצא ב- ב או ב-ג. )=1הפרס ב-ב | המנהל יפתח את א(P באותו מצב, )=0.5הפרס ב-ג | המנהל יפתח את א(P ואילו לכן העובדה שהמנהל פתח את א משנה את ההסתברויות של מקום הפרס לטובת ב. פתירה בעזרת בייס: נעמוד במצב שאחרי שהשחקן בחר ג אך לפני שהמנהל פתח את א ,ונסמן = Aהמנהל יפתח דלת א = Bהפרס ב-ב והמבוקש הוא ) P(B|Aשנסמנו .x )P(B|A) ·P(A) = P(A|B) ·P(B x · 1/2 = 1 · 1/3 ⇒ x = 2/3 .8מחשב בחר באקראי מספר שלם שבין 1ו) 1000 -באקראי = בהסתברויות שוות לכל התוצאות האפשריות(. מספר זה סומן .rניבדק ונמצא ש r-אינו מתחלק ב . 4-מה ההסתברות ש r-זוגי? פתירה בעזרת טבלת שכיחויות זוגי לא זוגי ס "ה מתחלק ב4- 250 0 250 לא מתחלק ב4- 250 500 750 ס"ה 500 500 1000 - 75 - הידיעה ש r-אינו מתחלק ב 4-השאירה 750אפשרויות שכולן שוות הסתברות ומתוכן 250זוגיים לכן ההסתברות המבוקשת היא . 250/750=1/3 בשביל שני הפתרונות הבאים נסמן ב A-את " rלא מתחלק ב "4-ונסמן ב B-את " rזוגי". פתירה בעזרת עקרון ההסתברות המותנית P ( B ∩ A) 1/ 4 1 = = = )P ( B | A )P ( A 3/ 4 3 פתרון בעזרת בייס )P( B | A) P ( A) = P( A | B) P ( B לכן . x=1/3 כלומר, x⋅ 3 = 1 ⋅1 4 2 2 )צריך ,כמובן ,לנסח תשובה במלים(. .9בכל חזרה על ניסוי מסויים הסתברות ההצלחה היא . 0.2כמה חזרות יש לבצע אם רוצים שההסתברות לקבל לפחות שתי הצלחות תהיה גדולה-או-שוה ל? 0.95 - פתרון: לכאורה רוצים אנו לפתור את אי-השוויון n) ≥ 0.95הצלחות( 3) + .. + Pהצלחות( 2) + Pהצלחות(P כאשר nהוא מספר הניסויים המבוקש ,אך nעדין אינו ידוע לכן מספר המחוברים אינו ידוע לכן ) ≤ 0.05הצלחה אחת( 0) + Pהצלחות(P כדאי לעבור למשלים ,כלומר ,לאי השוויון ההסתברות להצלחה אחת או פחות: n n − 1 n n − n 0.8 + n ⋅ 0.2 ⋅ 0.8 = 0.8 + n ⋅ 0.2 ⋅ 0.8 1 ≤ 0.05 0 1 0.8n-1(0.8+0.2n) ≤0.05 כלומר: קשה לראות דרך אלגברית לפתרון אי-השויון הזה ,אך מכיוון שהגדלת nמקטינה את ההסתברות שמספר ההצלחות לא יעבור את אחד ,לכן אפשר לחפש את הפתרון על-ידי שורת נסיונות. )0.8n-1(0.8+0.2n n 5 0.4096 .1.8 = 0.73728 10 0.13421. 2.8 = 0.3758.. 20 0.011441. 4.8 =0.069175.. …22 0.0092233. 5.2=0.04796 כלומר n=22 ,כבר טוב .ובדיקה נוספת תראה ש n=21 -עדיין לא מספיק. תשובה :מספר החזרות הדרוש הוא 22או יותר. )( )( .10בכד 5כדורים לבנים ו 2-כדורים שחורים .מוציאים ממנו בזה אחר זה שני כדורים )בלי להחזירם לכד( א .מה ההסתברות שהראשון יהיה שחור והשני לבן? ב .מה ההסתברות שהראשון יהיה לבן והשני שחור? פתרון: . . ) = 2/7 5/6 = 10/42 = 5/21ראשון שחור | שני לבן() Pראשון שחור() = Pראשון שחור ושני לבן(P ) = 5/7 . 2/6 = 10/42 = 5/21ראשון לבן | שני שחור() . Pראשון לבן() = Pראשון לבן ושני שחור(P שאלה לביקורת על סבירות התשובה :האם סביר ששתי התשובות תהיינה שוות? התשובה היא כן! לכל אחד מהשניים שנבחרו היתה הסתברות שוה להבחר לפני חברו. - 76 - .11בכד א 5כדורים לבנים ו 2-שחורים ובכד ב 3לבנים ו 4-שחורים. א .אם מוציאים מכד א שני כדורים )בלי להחזירם( ,מה ההסתברות לכך שהראשון יהיה שחור והשני לבן? ב .כנ"ל לכד ב. ג .בחרו באקראי כד אחד בלי לדעת איזה הוא ,והוציאו ממנו שני כדורים .הראשון היה שחור והשני לבן. מה ההסתברות שהכד שנבחר היה כד א? פתרון: אצל כד א, ) = 2/7 . 5/6 = 10/42 = 5/21ראשון שחור | שני לבן() . Pראשון שחור() = Pראשון שחור ושני לבן(P אצל כד ב, ) = 4/7 . 3/6 = 12/42 = 6/21ראשון שחור | שני לבן() . Pראשון שחור() = Pראשון שחור ושני לבן(P חלק ג הופך כעת לשאלת-בייס רגילה. נכתוב את תוצאת א ב) =5/21 -א | ש-ל( Pואת תוצאת ב ב)=6/21 -ב | ש-ל(. P עוד נתון ש) = 1/2 -א( Pומבוקש )ש-ל | א( Pשנסמנו .x נמצא את )ש-ל( Pע"י עץ: 1/2 1/2 ) = 11/42ש-ל(P . . וכעת )ש-ל | א() Pש-ל() = Pא | ש-ל() Pא(P ב א 1/2 . 5/21 = 11/42 . x 5/21 6/21 ההסתברות שהכד הוא א לאור התוצאה = x=5/11 ש-ל 5/42 תוצאה אחרת ש-ל תוצאה אחרת 6/42 האם התוצאה סבירה? כן! סביר שהתוצאה ש-ל תקטין את ההסתברות שהכד הוא א אך לא בהרבה. .12לאיבריה של אוכלוסיה מסוימת יש ,בין השאר ,שתי תכונות אפשריות ,שאחת חשובה ותסומן Aואחת נבדקת בקלות והיא תסומן .B ) דוגמא אחת :האוכלוסיה היא אוכלוסית בני אדם באזור מסוים .תכונה Aהיא "ערמומיות" ) מי שאינו ערמומי יחשב בעל התכונה ( Aותכונה Bהיא שיער ג'ינג'י )שחור או צהוב הוא ( B דוגמה אחרת :האוכלוסיה היא של גרגרי אפונה-ריחנית A .הוא התכונה להצמיח פרחים אדומים )ו- A - להצמיח פרחים בצבע אחר( B ,היא התכונה קליפה חלקה )ו - B -קליפה מקומטת( (. א .בחרו ִמדגם בן 1000איברים מתוך האוכלוסיה ,בדקו את התכונות והתקבלו התוצאות שחלקן מפורטות בטבלה הבאה .השלם את הטבלה! ב .בהנחה שהמדגם הוא מדגם מייצג )כלומר ,הפרופורציות של A A ס" ה הקבוצות שבמדגם שוות לאלה שבאוכלוסיה השלמה( 400 B 200 מצא את ) P(Aאת ) P(A|Bואת ) P(A|Bבשביל בחירה B אקראית מהאוכלוסיה.. 300ס"ה 1000 פתרון: ס" ה 400 600 1000 A 200 500 700 A 200 B B 100 300ס"ה P(A) = 300/1000 = 0.3 P(A|B) = 200/400 = 0.5 …P(A|B) = 100/600 = 0.1666 שים לב לכך ש P(A) -נמצא בין ) P(A|Bו. P(A|B) - - 77 - התוכל להסביר מדוע זה היה צפוי מראש ,לא רק בשביל המספרים שבבעיתנו? .13נתון ש . P(A|B) = P(A|B) -הוכח שהם שוים ל. P(A) - )לא נראה לי ששאלה כזאת תופיע בזמן הקרוב בבחינות הבגרות(. פתרון :הדרך הישירה היא לכתוב את ההגדרות ולראות מה אפשר לקבל מהן .ובכן, )P(A ∩ B) P(A ∩ B .מכאן נובע )בדרך אלגברית שלא נפרט כאן( ששני האגפים על-פי הנתון, = )P(B )P(B )P(A )P(A ∩ B)+P(A ∩ B וזה שווה ל- שוים ל- 1 )P(B)+P(B פתרון אחר: נחפש שוויון שבו מעורבים ) P(A|Bו . P(A|B) -שוויון כזה הוא "נוסחת ההסתברות השלמה" : . ) P( A) = P( A ∩ B) + P ( A ∩ B ) = P ( B) ⋅ P( A | B) + P( B ) ⋅ P( A | B נחליף את ) P(A|Bב P(A|B) -ונקבל )= P( B ) ⋅ P ( A | B ) + P( B ) ⋅ P ( A | B) = ( P ( B) + P ( B )) ⋅ P( A | B) =1⋅ P( A | B .14התפלגות התכונות Aו B -באוכלוסיה בת 600איברים מתוארת ,תיאור חלקי ,בטבלה הבאה. א .אילו שני תאים ניתן להשלים ללא כל נתון נוסף? ב .השלם את הטבלה באופן שבבחירה אקראית של איבר מן האוכלוסיה ,המאורע ) Aביתר פירוט ,המאורע "נבחר איבר בעל התכונה ( "Aלא יהיה תלוי במאורע .B ס"ה A A 240 B B 360ס"ה 600 פתרון: א .את התא האמצעי בעמודת ) Aע"י (120ואת התא האמצעי בשורת הס"ה התחתונה )ע"י .(240 ב .לפי הנתון בטבלה ,מספרם הכולל של בעלי התכונה Aהוא ,360לכן .P(A) = 360/600 ) P(A|Bצריך להיות שוה גם הוא למספר זה .אבל P(A|B)=240/xכאשר xהוא המספר הכולל של בעלי התכונה . Bלכן 360 = 240לכן x = 600לכן . x = 600 ⋅ 240 = 400נכתוב זאת בטבלה ונשלים: 360 240 360 600 x ס"ה 400 200 600 A 160 80 240 A 240 B B 120 360ס"ה עיון בתוצאה :שים לב לכך ששלושת השורות שבטבלה פרופורציוניות זו לזו ,וגם שלושת העמודים פרופורציוניים זה לזה .זה יקרה בכל מקרה שבו אין Aו B-תלויים זה בזה. - 78 - .15 מי מן השאלות הבאות יכולה להחשב נוסח אחר של דוגמת הסימפטום והמחלה שבספר? א. 5%מתושבי המדינה הם מתנחלים 7% ,מתושבי המדינה לובשים באביב חולצות פלנל משובצות ,ואילו אצל המתנחלים 75%לובשים חולצות כאלה .פגשת אדם לבוש חולצת פלנל משובצת .מה ההסתברות שהוא מתנחל? ב. נתוני החולצות והמתנחלים הם כמו ב-א .שיחת טלפון בבוקר אביבי בינך ובין משה מתנהלת כך: משה" :מה נשמע אצלך? המון זמן לא טלפנת אלי" אתה " :מה זה לא טלפנתי? הטלפון שלך מנותק!" משה" :אה – כן -שכחתי לספר לך .לפני חמש שנים עברתי להתנחלות בצפון השומרון .מקום עצום!" מה ההסתברות שמשה לובש חולצת פלנל משובצת? פתרון: א הוא נוסח אחר כזה ,עם התנחלות בהקבלה למחלה וחולצת פלנל משובצת בהקבלה לסימפטום. ) ו) -מתנחל|משובץ( Pמקביל ל) -חולה|סימפטום(.( .P ההקבלה תקפה מבחינה מתמטית ללא קשר עם השאלה האם התנחלות היא מחלה או גילוי של בריאות. ב אינו כזה .בשאלה ב אין צורך בנתון על אחוז המתנחלים בכלל תושבי המדינה. ) = 0.75משה מתנחל | משה לובש פלנל משובץ(P כדאי לדעת שבדרך כלל אין שאלות בבחינות הבגרות כוללות נתונים מספריים מיותרים ,כי כותבי הבחינה אינם מעוניינים בכשלונות ,לכן תמיד כדאי לבדוק אם השתמשת בכל הנתונים. אם יש נתון שלא השתמשת בו נסה לחשוב איך הוא נוגע לעניין) .אבל נתונים כמו זה ששם החבר הוא משה ,מופיעים חופשי-חופשי(. ) .16שאלה מסובכת מדי לבחינות הבגרות( נתונות שתי השערות מתחרות שיסומנו Hו H -ונתון ניסוי שבו יכולה להתקבל התוצאה , Aוהקשר שבין הניסוי וההשערות הוא כזה שההסתברות לקבלת Aאם Hנכונה גדולה מההסתברות לקבלת Aאם Hנכונה. הראה שקבלת התוצאה Aמגדילה את ההסתברות ש H-היא ההשערה הנכונה. פתרון: שאלה המדברת על הסתברותה של השערה לאור תוצאת ניסוי "מבקשת" שימוש בנוסחת בייס. צריך להוכיח ש , P(H|A) > P(H) -כאשר ) P(Hהיא ההסתברות המיוחסת להשערה Hלפני הניסוי. לפי בייס P(A).P(H|A) = P(H).P(A|H) ,לכן צריך להוכיח ש. P(A)<P(A|H) - עיון בשאלה יראה שהטענה האחרונה היא מסקנה סבירה מהנתונים .אם אינך רואה כיצד אפשר להוכיח אותה מהנתונים כתוב "וזה נתון בבעיה" וקווה שהבודק יקבל זאת )לפחות יתן חלק מהנקודות(. והרי הוכחה: . . . =)P(A) = P(A ∩ H)+P(A ∩H ) = P(H) P(A|H)+P( H ) P(A| H )< P(H) P(A|H)+P( H ).P(A|H )=( P(H) +P( H )).P(A|H) = P(A|H .17פתור את בעית תחרות השחמט שבראש הספר בשביל מצב שבו לדוד ארבעה נצחונות וליצחק רק שנים. הנחיה :אפשר להשתמש בדיאגרמת עץ. - 79 - פתרון: הנחיות כאלה ניתנות בבחינות הבגרות כאשר יש גם מסלול אחר המוביל לפתרון ,או נראה כמוביל לפתרון ,אבל הוא פחות נוח. ענין נוסף :לפעמים כדאי לפתור )כטיוטא( בעיה דומה לבעיה שלפניך אך קלה ממנה ,בתקוה שפתרונה יסייע לבעיה שלפניך. נפתור אפוא תחילה את בעיית-תחרות-השחמט הישנה בעזרת דיאגרמת-עץ. 1/2 המנצח במשחק ראשון 1/2 דוד 1/2 המנצח במשחק שני יצחק 1/2 1/2 יצחק 1/4 דוד 1/4 שנים ממצבי הסיום הם אלה שבהם דוד מוכרז אלוף וההסתברות 1+1=3 שלהם היא 2 4 4 וההסתברות שיצחק יהיה אלוף היא 1 4 מכאן כבר רואים איך להמשיך אל בעייתנו: מהדיאגרמה שמשמאל עולה שיצחק מוכרז אלוף רק במקרה המתואר בענף השמאלי הקיצוני ,והסתברותו היא . 1 8 1/2 המנצח במשחק ראשון 1/2 דוד 1/2 המנצח במשחק שני המנצח במשחק שלישי יצחק 1/2 דוד 1/4 1/2 יצחק 1/2 דוד 1/8 1/2 יצחק 1/8 פתרון אחר: המשתמש בפתרון הבעיה הישנה אם דוד ינצח במשחק הראשון – הוא יהיה האלוף ,אם יצחק ינצח במשחק זה אז יהיה המצב 4 – 3ואת ההסתברויות במצב זה כבר חישבנו בעבר .לאור זה: =)יצחק מנצח במשחק הראשון|יצחק אלוף(). Pיצחק מנצח במשחק הראשון() = Pיצחק אלוף(P =1⋅1=1 2 4 8 ניצול ההצלחה הצעד המוצע כעת אינו מוצע בשביל המבחן עצמו אלא בשביל ההכנה למבחן. אם פתרת בעיה בדרך מסויימת כדאי שתשאל את עצמך איזו בעיה נוספת אפשר לפתור בדרך זאת .במקרה שלנו עולה בדרך הטבע השאלה מה ההסתברות שדוד יהיה האלוף אם המצב הוא 3 – 2לטובת דוד. והרי פתרון המשלב את שתי הדרכים שבהם פתרנו את הבעיה הראשונה: 1/2 דוד מנצח 1/8 7/8 דוד אלוף יצחק אלוף 1/16 - 80 - 1/2 יצחק מנצח 1/2 1/2 לוף א דוד יצחק אלוף 1/4 אם דוד ינצח במשחק הראשון יהיה יחס הנצחונות 4 – 2ואז ,כפי שכבר ראינו, ההסתברות שיצחק יהיה האלוף היא . 1/8 אם יצחק ינצח יהיה יחס הנצחונות 3 – 3 ואז לכל אחד הסתברות .1/2 בס"ה יש ליצחק ההסתברות 1/4 + 1/16 = 5/16לזכות באליפות. .18חישבו ומצאו שבסידרה בת 27ניסויים לא תלויים עם הסתברות הצלחה 0.3בכל אחד ,ההסתברות שמספר ההצלחות יהיה 10הצלחות היא . 0.115886 מה ההסתברות לכך שבסידרת ניסויים כנ"ל יהיה מספר ההצלחות ? 11 )אין להשתמש במקשים הנותנין באופן ישיר עצרות או מקדמים בינומיים או הסתברויות ,אך מותר להשתמש במחשבון לפעולות חיבור ,חיסור ,כפל ,חילוק ,חזקות ושורשים(. פתרון: נרשום לפנינו ביטוי מספרי בשביל מה שנתון וביטוי בשביל מה שמבוקש ונראה כיצד אפשר לעבור מן האחד אל חברו. 11 16 10 17 27 27 נתון ש 10 0.3 0.7 = 0.115886 -ומבוקש 11 0.3 0.7 וביתר פירוט ,נתון ש27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅19 ⋅18 0.3100.717 = 0.115886 - 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅10 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21⋅ 20 ⋅19 ⋅18 ⋅17 0.3110.716 ומבוקש 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅10 ⋅11 הביטוי המבוקש מתקבל מן הנתון על-ידי כפל ב , 17-חילוק ב , 11 -כפל ב 0.3 -וחילוק ב . 0.7 -לכן המספר . המבוקש הוא 0.115886 ⋅ 17 ⋅ 0.3 = 0.076756 11 ⋅ 0.7 הצעה א )גם כשאתה במבחן( אם בידך מחשבון סטטיסטי בדוק את התוצאה. הצעה ב )רק בזמן הלימוד אך לא בזמן מבחן( חשב מכאן את ההסתברות ל 13 -הצלחות )שני צעדים קדימה( .תרגיל כזה עוזר להפוך את הפתרון לרכוש מחשבתי יציב שלך. ) ( ) ( .19משמאל טבלת ההסתברויות שבסידרת 12ניסויים לא תלויים עם הסתברות הצלחה 1/3בכל אחד יהיה מספר ההצלחות xקטן או שווה ל , r -בשביל כל rמ0 - ועד . 12 א .הסבר מניין שהערך בשביל r=12הוא הערך המדויק ואילו הערך בשביל r=11 הוא ערך מעוגל. ב .בשביל סידרת ניסויים כזאת ,מהו )? P(x=5 מהו )? P(x>6 מהו )? P(2≤x≤8 ג .בסידרת 12ניסויים לא תלויים עם הסתברות הצלחה 2/3בכל אחד מהי ההסתברות ל 4 -הצלחות? r )P(x≤r 0 0.008 1 0.054 2 0.181 3 0.393 4 0.632 5 0.822 6 0.934 7 0.981 8 0.996 9 0.999 10 1.000 11 1.000 12 1.000 פתרון א .בשביל 12נסיונות P(x≤12)=1 ,כי מספר ההצלחות יהיה בהכרח קטן או שוה ל. 12- ומצד שני ,מכיוון שיתכן שיהיו 12הצלחות הרי שההסתברות לכך איננה ) 0היא אמנם מספר קטן( לכן ההסתברות ל 11-הצלחות או פחות איננה 1אלא )קצת( פחות מזה. P(x=5) = P(x≤5)-P(x≤4) = 0.822-0.632 = 0.190 ב. P(x>6) = 1-P(x≤6) = 1-0.934 = 0.066 P(2≤x≤8) = P(x≤8) – P(x≤1) = 0.996 - 0.054 = 0.942 ג .צריך למצוא קשר בין סידרת ניסויים עם הסתברות הצלחה 1/3ובין סידרת ניסויים עם הסתברות הצלחה . 2/3אם אצל הסידרה מהסוג השני נקרא להצלחה בשם כשלון ולכשלון בשם הצלחה אז הסידרה מהסוג השני תהפוך לסידרה מהסוג הראשון ,כלומר ,עם הסתברות הצלחה 1/3בכל ניסוי, ושאלתנו תהפוך לשאלה מהי ההסתברות ל 4 -כשלונות ,כלומר ,ל 8-הצלחות. התשובה תהיה . 0.996-0.981 = 0.015 - 81 - .20סביבון-חץ אחד )רוליטה( מחולק לארבע גזרות שוות שמספרי הנקודות שבהן הם מ 1-עד . 4חברו מחולק לשמונה גזרות שוות שמספרי הנקודות שבהן הם מ 1-עד . 8 מסובבים את שניהם. א .מה ההסתברות לקבל בדיוק 7נקודות? ב .מה ההסתברות לקבל מספר נקודות זוגי? ג .לאיזה מספר נקודות יש הסתברות גדולה ביותר? ד .מהי ההסתברות לכך שהמכפלה של המספרים תהיה גדולה מ? 10- פתרון: א .לכל תוצאה בסביבון-החץ האחד הסתברות ,1/4ולכל תוצאה בסביבון השני הסתברות . 1/8מכיוון שאין תלות ,ההסתברות לכל זוג תוצאות היא . 1/32 הסכום 7יכול להתקבל בצורות הבאות 3-4 , 2-5 , 1-6 :ו 4-3 -לכן הסתברותו . 4/32 = 1/8 ב .בכל אחד משני הסביבונים הסתברות 1/2למספר זוגי וגם הסתברות 1/2למספר אי-זוגי. התוצאה "סכום זוגי" מורכבת מ" -זוגי – זוגי" ו" -אי זוגי – אי זוגי" לכן הסתברותה 1⋅1 + 1⋅1 = 1 2 2 2 2 2 ג .נלך לבדוק בכמה צורות שונות יכול להתקבל כל מספר. שום מספר אינו יכול להתקבל ביותר מארבעה אופנים כי לסביבון הראשון ארבע תוצאות אפשריות בלבד. המספרים היכולים להתקבל בארבעה אופנים הם אלה היכולים להתקבל כסכום של כל מספר מ 1-עד 4 ומספר נוסף מתאים מ 1-עד ,8והם 8 ,7 ,6 ,5ו . 9-לכולם הסתברות שוה והיא המקסימלית. ד .מספר התוצאות "הטובות" מספיק קטן ,כך שצריך רק למצוא דרך שיטתית לספור אותן. למספר 1שבסביבון 4-אין בן זוג בסביבון 8-הנותן מכפלה גדולה מ.10- למספר 2מתאימים בני הזוג 7 , 6ו.8- למספר 3מתאימים ,7 ,6 ,5 ,4ו. 8- למספר 4מתאימים 7 ,6 ,5 ,4 ,3ו. 8- ס"ה 14זוגות טובים מתוך 32זוגות שווי הסתברות .לכן ההסתברות המבוקשת היא . 14/32 = 7/16 .21על השולחן עשר קופסאות גפרורים .באחת גפרור אחד ,בשתים שני גפרורים ,בשלוש שלושה גפרורים ובארבע ארבעה גפרורים .בוחרים באקראי שתי קופסאות .מה ההסתברות שיהיו בהן שבעה גפרורים? מבוא לפתרון עצה כללית :בבעיות כגון זו נוח להניח ששתי הקופסאות נבחרות בזו אחר זו וניתן להבדיל ביניהן ,ולא בבת אחת באופן שאינו מבדיל בין ראשונה לשניה .בדרך זו יש לכל זוג אותה הסתברות )כמו אצל הטלת שתי מטבעות( פתרון א .הקופסא הראשונה נבחרת מתוך 10לכן יש 10אפשרויות .עם כל קופסא ראשונה יכולה הקופסה השניה להבחר ב 9-אפשרויות .יש אפוא 90זוגות-קופסאות )שניה ,ראשונה( אפשריות. זוג מהצורה ) (4,3יכול להבחר ב 12-אפשרויות כי בשביל כל קופסת 4-שנבחרה ראשונה יש 3קופסות3- אפשריות .מסיבה דומה יכול זוג ) (3,4להבחר ב 12-אפשרויות .רק זוגות כאלה נותנים סכום 7לכן ההסתברות לסכום 7היא . 24/90 = 4/15=0.2666666 פתרון ב. = )ראשון 4ושני ) + P(3ראשון 3ושני ) = P(4הסכום P(7 = )ראשון | 4שני ) . P(3ראשון ) + P(4ראשון | 3שני ) . P(4ראשון = P(3 - 82 - = 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3 = 2 ⋅ 12 = 4 10 9 10 9 90 15 צורה אחרת לכתיבת פתרון ב: )עץ עם פירוט מינימלי( 12/90+12/90 = 4/315 )לפתרון כזה יש להוסיף הסבר( 3/10 4/10 אחר 3 4 3/9 4/9 אחר 3אחר 4 12/90 12/90 .22 בערימה גרעינים כהים ובהירים ,חלקים ומחוספסים ,שמספריהם כבטבלה שלהלן .בוחרים באקראי גרעין אחד )באקראי = לכולם אותה בסתברות(. בהיר כהה א .האם "כהה" תלוי ב"חלק"? 111 75 חלק ב .מה ההסתברות של "כהה" ∪ "חלק" 74 מחוספס 50 פתרון :בשאלות כגון זו כדאי להוסיף לטבלה עמודות-ס"ה. ס "ה בהיר כהה 186 111 75 חלק 124 74 50 מחוספס 310 185 125 ס"ה א. נזכור את ההגדרה A :אינו תלוי ב B-אם ) . P(A|B)=P(Aלאור זה נחשב: ) = 125/310כהה(P ) =75/186חלק | כהה(P 125 . . .זה שקול לשאלה האם 75 310 ≠ 125 186והתשובה שלילית. לכן השאלה היא האם ≠ 75 310 186 ב") = 75 + 50 + 111 = 236 .כהה" ∪ "חלק"(P 310 310 הערה :בשאלון "חשיבה סטטיסטית בחיי יום-יום" היתה שאלה א יכולה להיות מנוסחת בצורה "האם יש קשר סטטיסטי בין "כהה" ובין "חלק" ,והגישה המוצעת שם היא לבדוק האם )מחוספס | כהה( Pשוה ל) -חלק | כהה(. P - 83 - דוגמאות שבחוזר מפמ"ר ס"ד 1 דוגמאות אלה נועדו רק לשנת תשס"ד ,שבה עדין לא כלל המבחן את כל החומר שבתוכנית הלימודים. ד1 בחורשת עצים יש עצי אורן ,עצי אלון ועצי ברוש .מחלה פגעה ב 40% -מהעצים .המחלה פגעה בשליש מעצי האורן,חצי מעצי האלון ורבע מעצי הברוש .ידוע כי רבע מהעצים הפגועים הם עצי אורן . א .מה אחוז עצי האורן בחורשה? ב .מה אחוז עצי הברוש בחורשה? פתרון אוסף הנתונים נראה כמו משחק אחוזים "מלא את הטבלה" .ננסה אפוא לזרום עם צורת החשיבה של מחברי השאלה . נסמן נעלמים y ,xו z -ונמלא נתונים )באחוזים( בטבלה ס"ה 40 ברוש z/4 אלון y/2 אורן x/3 = 40/4 100 z y x חולה בריא ס"ה בשביל משבצת האורנים החולים קיבלנו שני נתונים ומהם נובע ,x=10כלומר ,האורנים הם 10%של עצי החורשה. y/2 + z/4 = 30 לאור זה נקבל מהשורה הראשונה את המשוואה y + z = 70 ומהשורה התחתונה נפתור ונקבל ש ,z=20 -כלומר ,הברושים הם 20%של עצי החורשה. מסקנה :השאלון בהסתברות יכול להכיל שאלות שאין להן קשר עם הסתברות. הערה :אפשר לנסח את הפתרון גם במינוח הסתברותי: )=0.4חולה(P )=1/4ברוש | חולה(P )=1/2אלון | חולה(P )=1/3אורן | חולה(P )=1/4חולה | אורן(P מבוקשים )אורן( Pו) -ברוש(P לפי בייס) ,אורן( 1/4 . 0.4 = 1/3 . Pלכן )=0.3אורן( Pכלומר ,בחורשה 30%אורנים. אבל מציאת )ברוש( Pבדרך זאת נראה לי מלאכותי מדי ואיני מצרף אותה כאן. ד.2 בין המועמדים למשלחת תלמידים לחו"ל מטעם משרד החוץ 40% ,הם דוברי אנגלית 5 8 .מבין דוברי האנגלית הם חברי תנועת נוער .מחצית מחברי תנועת הנוער ,שבין המועמדים למשלחת ,הם דוברי אנגלית. א .מה ההסתברות שמועמד כלשהו הוא חבר תנועת נוער ? ב .כדי להתקבל למשלחת ,דרוש שהמועמד יהיה בעל לפחות אחד משני הכישורים הנ"ל. מהי ההסתברות לכך ? פתרון: שוב "מלא את הטבלה" באחוזים. - 84 - ס"ה 40 לא תנועה תנועה 5/8 40 =1/2 . x . x אנגלית לא אנגלית ס "ה 100 ומכאן x/2=25לכן x=50 נציב בטבלה ואחר כך נשלים אותה: תנועה לא תנועה ס"ה אנגלית 25 15 40 לא אנגלית 25 35 60 ס "ה 50 50 100 ומכאן שהממלאים לפחות אחד משני הכישורים הם (25+15+25)% כלומר ,בבחירה אקראית מתוך המועמדים ההסתברות לקבל מי שממלא לפחות אחת מן הדרישות היא . 0.65 הערה :גם הפעם ניתן להשתמש בכלי-חשיבה הסתברותיים ולפתור כך: )=0.4אנגלית( )=5/8 Pאנגלית | תנועה( )=1/2 Pתנועה |אנגלית( Pלכן לפי בייס )=1/2תנועה(.P אבל ההמשך יהיה בעזרת טבלה. ד3 בכיתה 20תלמידים מתוכם 6בנות .בוחרים שלושה תלמידים באופן אקראי מבין תלמידי הכתה .התלמיד שנבחר ראשון יסייע לשרת ,התלמיד שנבחר שני יסייע לשומר , והתלמיד שנבחר שלישי יסייע למזכירה. א .מה ההסתברות שבדיוק אחד מהתלמידים שנבחרו הוא בן? ב .חוזרים על הבחירה במשך 5ימים .מה ההסתברות שרק באחד מהימים נבחר בדיוק בן אחד . פתרון האם נשתמש בדיאגרמת עץ או בנוסחת ברנולי? חלק ב הוא של 5שלבים לכן עץ יהיה מסורבל מדי ולא מתאים לבחינת בגרות ואילו עץ בשביל חלק א לא יהיה ארוך מדי .מצד שני ,שלושת הבחירות הנעשות ביום אחד אינן בלתי-תלויות כי בחירה ראשונה משנה את הרכב הקבוצה שמתוכה תיבחר הבחירה השניה ,לכן נוסחת ברנולי אינה מתאימה לחלק א .אבל אחרי שנמצא תשובה לחלק א הנוסחא תתאים לחלק ב. א .נבנה עץ )לא נמשיך ענפים עם שני בנים(: המאורע "בדיוק בן אחד" מכיל בן-בת-בת, 6/20 14/20 בת-בן-בת ו -בת-בת-בן. בת בן מהדיאגרמה רואים שהסתברות כל אחת 14/19 6/19 5/19 מהתוצאות האלה היא בן בת בן 5 ⋅ 6 ⋅14 = 0.06140 בת 18 ⋅19 ⋅ 20 5/18 5/18 14/18 לכן ההסתברות לבן אחד בדיוק היא 0.1842 בת בן בת ג .נסמן את ההסתברות לבן אחד בדיוק ב- p=0.1842ובהתאם q=1-p=0.8158ואז ההסתברות המבוקשת היא = 0.4079 (15) p q 1 4 - 85 - ד.4 ידוע כי בניסוי כלשהו ,ההסתברות למאורע Aהיא P(A) = 0.8וההסתברות למאורע Bהיא . P(B) = 0.5 א .יש להוכיח כי 0.3 ≤ P(A∩B) ≤0.5 : ב .יש להוכיח כי 0.8 ≤ P(A∪B) ≤ 1 : פתרון :נענה תחילה לשאלות הקלות: כל האיברים של A∩Bנמצאים ב B-לכן סכום ההסתברויות שלהם אינו יכול לעבור את סכום ההסתברויות של כל איברי , Bשהוא . 0.5 כל האיברים של Aנמצאים ב A∪B-לכן סכום ההסתברויות שלהם אינו יכול לעבור את סכום ההסתברויות של כל איברי ,A∪Bשהוא . . 0.8 כעת נעבור לשאלת .A∩Bהקבוצה A∩Bמתקבלת מ A-על ידי סילוק האיברים שאינם ב ,B -לכן ) P(A∩Bמתקבל מ P(A) -על-ידי חיסור ההסתברויות של האיברים שאינם ב .B-סכום ההסתברויות של אלה אינו יותר מ ,0.5 -לכן נותרים ב A∩B -איברים שסכום הסתברויותיהם לכל הפחות . 0.8-0.5 ד5 בגלגל רולטה 3גזרות .על אחת הגזרות כתוב המספר ',' 1על השנייה ' ' 2ועל השלישית המספר ' . ' 3מסובבים את מחוג גלגל הרולטה .ההסתברות שהמחוג ייעצר על גזרה כלשהי שווה לשטח היחסי של הגזרה משטח הגלגל. א .איזה חלק תהווה כל גזרה אם ידוע כי לכל גזרה הסתברות שווה שהמחוג ייעצר בה ? ב .איזה חלק של הגלגל תהווה כל גזרה אם ידוע כי ההסתברות שהמחוג ייעצר על גזרה שעליה מספר זוגי גדולה פי 2מההסתברות שהמחוג ייעצר על גזרה שעליה מספר אי זוגי ? ג .מדוע לא ניתן לחלק את גלגל הרולטה כך שההסתברות שהמחוג ייעצר על גזרה שעליה המספר n ) (n = 1,2,3תהיה ). 1/(3n תשובה: א .שליש ,שליש ושליש. ב .אם הכוונה היא ש P(2)-גדול פי שנים הן מ P(1) -והן מ) P(3) -זו כנראה כוונת מנסחי השאלה( אז החלקים הם רבע ,חצי ורבע. ג .כי 1 + 1 + 1 = 6 + 3 + 2 < 1 3 ⋅1 3 ⋅ 2 3 ⋅ 3 18 ד) 6הוצעה בשביל חשיבה סטטיסטית בחיי יומיום( .על מנת להתקבל ללהקה צבאית יש להביא המלצה מביה"ס . לבחינות ניגשו 500בוגרי י"ב . 200מתוכם הביאו המלצות טובות . 50%מבין אלו שהביאו המלצות טובות התקבלו ללהקה צבאית . בסך הכל התקבלו 350מהפונים . - Gקבוצת הנבחנים שהביאו המלצות טובות . נגדיר : - Hקבוצת הנבחנים שהתקבלו ללהקה צבאית א .יש להציג את הנתונים בעזרת פרופורציות מתאימות . ב .ענת התקבלה ללהקה צבאית .מה ההסתברות שענת קיבלה המלצות טובות מביה"ס ? הועלתה הטענה כי הסיכוי להתקבל ללהקה צבאית גדול יותר כאשר אין המלצות טובות מביה"ס .על אלו חישובים מתבססת טענה זו? פתרון - 86 - על יד האותיות שהוגדרו מומלץ לכתוב בטבלה גם את פירושן נתון: ) Gהומלצו( ה " ס G ) Hהתקבלו( 100 200 H ס"ה 350 500 נשלים: ) Gהומלצו( ה " ס G ) Hהתקבלו( 100 100 200 150 50 300 H ס"ה 350 150 500 וכדי לקבל טבלת פרופורציות נחלק את כל המספרים ב500- ) = P(G|H) = 100/200=0.5התקבלה | הומלצה(P נשוה את ) P(H|Gעם ) P(H|G) =100/350 .P(H| Gואילו P(H| G =100/150 ד) 7הוצעה בשביל "חשיבה סטטיסטית " ...וכאן הוספתי לה חלק ד המכיל רכיב של חשיבה ביקורתית( מחברי הספר "חשיבה הסתברותית בחיי היומיום " מאמינים כי בעזרת הוראת הנושא אפשר לשפר את איכות החשיבה ואת יכולת הניתוח של מידע .כדי לבדוק זאת הם העבירו מבחן שבודק את יכולתם של תלמידים לנתח ולהעריך מידע .במבחן השתתפה קבוצה גדולה של תלמידים ,מחציתם למדו קודם לכן את הקורס "חשיבה הסתברותית בחיי היומיום" ומחציתם לא למדו את הקורס .מניתוח תוצאות המבחן התברר כי מבין אלו שלמדו את הקורס %70 ,עברו בהצלחה את המבחן .ומבין אלה שעברו בהצלחה את המבחן %87.5 , למדו את הקורס. נגדיר – A :קבוצת התלמידים שלמדו בקורס "חשיבה הסתברותית בחיי היומיום " . - Bקבוצת התלמידים שעברו בהצלחה את המבחן . א .יש להציג את הנתונים בעזרת פרופורציות מתאימות . ב .נבחר באופן מקרי אחד מהתלמידים שהשתתפו במבחן והתברר כי הוא נכשל בו .מהי ההסתברות שהוא למד את קורס " חשיבה ביקורתית" ? הסבירו כל שלב בחישוב . ג .אם קיים קשר סטטיסטי בין הצלחה במבחן לבין השתתפות בקורס ? יש לנמק בעזרת חישובים מתאימים. ד .מי ,להערכתך ,כתב את שאלון המבחן ,מחברי "חשיבה הסתברותית" או מומחי-חשיבה שאינם מתמקדים בניתוח מידע סטטיסטי דווקא? פתרון א .נתחיל במילוי הטבלה לפי הנתונים בשאלה ,ומכיוון שבשאלה נתבקשנו לכתוב פרופורציות )ולא אחוזים( נתאר את קבוצת כל הנבחנים ב) 1-במקום .( 100% אלה שגם למדו בקורס וגם הצליחו במבחן הם 0.7של לומדי הקורס והם 0.875של מצליחי המבחן .נסמן את חלק-המצליחים-מתוך-הנבחנים ב x-ותתקבל הטבלה: ) Aלמדו בקורס( ס"ה A . . ) B 0.7 1/2 = 0.875 xהצליחו במבחן( x 1-x B ס"ה 1/2 1/2 1 נפתור ונקבל .x=0.4נציב בטבלה ונשלים: ) Aלמדו בקורס( ס"ה A ) Bהצליחו במבחן( 0.35 0.05 0.4 0.15 0.45 0.6 B ס"ה 1/2 1/2 1 - 87 - ב .השאלה היא מהו )נכשל במבחן|למד קורס( Pהיינו ,איזה חלק של הנכשלים הם אלה מתוכם שלמדו בקורס. ולפי הטבלה זהו 0.15/0.6 = 1/4 ג .תמיד כדאי להסתכל בדף הנוסחאות המצורף לשאלון .הוא אומר "מה יש לכותב המבחן בראש" .בשבילנו כתוב שם שיש לבדוק אם )למדו | הצליחו( Pו) -לא למדו | הצליחו( Pשוים. לפי הטבלה רואים שהראשון גדול מהשני. ד 70% .של לומדי הקורס הצליחו במבחן ואילו מאלה שלא למדו בקורס הצליחו רק . 10%זה לא יכול לקרות במבחן כללי על ניתוח והערכת מידע אלא רק במבחן על שיטות שנלמדו בקורס מסויים ,וגם זה רק אם המבחן נוסח בעזרת המונחים המיוחדים של הקורס ולא במונחים המוכרים לכל אדם תרבותי ונבון. נוסח השאלה נוגד אפוא את המטרה לטפח חשיבה ביקורתית כי הוא כולל נסיון להטמעת נתוני-שוא. - 88 -
© Copyright 2024