מבחן לדוגמא + פתרונות סופיים

‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫שאלון ‪ - 804‬מבחן ‪22‬‬
‫פרק ראשון ‪ -‬אלגברה והסתברות )‪ 40‬נק'(‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 1-3‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬
‫‪ .1‬בשעה ‪ 9:00‬יצא מטבריה אופנוע לכיוון אילת‪ .‬ב‪ 10:30-‬יצאה מטבריה משאית לכיוון אילת‪ .‬מהירות‬
‫המשאית גבוהה ב‪ 20%-‬ממהירות האופנוע‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב באיזו שעה יפגשו שני הרכבים‪.‬‬
‫ב‪ .‬הרכבים נפגשו במרחק ‪ 450‬ק"מ מטבריה‪ .‬חשב את מהירות המשאית‪.‬‬
‫‪ .2‬במשולש ‪ ∆ABC‬הנקודה ‪ D‬נמצאת על הצלע ‪ AC‬כך שהישר ‪ BD‬הוא גובה‬
‫במשולש‪ .‬הנקודה )‪ M (2, 9‬נמצאת על ‪ .BD‬הצלע ‪ AC‬מונחת על הישר‬
‫שמשוואתו‪ . y = 2 x :‬ציר ה‪ y-‬חוצה את הקטע ‪.BM‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.D‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הקודקוד ‪.B‬‬
‫ג‪ .‬שיעור ה‪ y-‬של הנקודה ‪ C‬גדול ב‪ 1-‬יח' משיעור ה‪ x-‬שלה‪ .‬הנקודה ‪A‬‬
‫נמצאת על המשכו של ‪ .CD‬אורך ‪ AD‬הוא ‪ 5‬יח' אורך‪.‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪. ∆ABC‬‬
‫‪ .3‬בתנועת נוער פעילים מדריכים וחניכים‪ .‬חלקם מעוניינים לצאת לטיול למרות הגשם‪ ,‬וחלקם מתנגדים‬
‫לכך‪ .‬ההסתברות לבחור מבין כל הפעילים בתנועת הנוער ארבעה פעילים המעוניינים לצאת לטיול היא‬
‫‪ .0.0081‬ההסתברות לבחור מבין כל הפעילים בתנועת הנוער שלושה פעילים שהם חניכים היא ‪.0.343‬‬
‫ידוע שאין תלות בין האירוע "להיות מדריך" לבין האירוע "לתמוך ביציאה לטיול"‪.‬‬
‫א‪ .‬אימאן היא מדריכה בתנועת הנוער‪ .‬חשב את ההסתברות שאימאן מעוניינת לצאת לטיול‪.‬‬
‫ב‪ .‬כינסו באולם את כל הפעילים בתנועה‪ ,‬מלבד המדריכים שאינם מעוניינים לצאת לטיול‪.‬‬
‫חשב את ההסתברות לבחור מבין המכונסים באולם‪ ,‬חניך שאינו מעוניין לצאת לטיול‪.‬‬
‫ג‪ .‬באולם נכחו ‪ 158‬פעילים‪ .‬חשב כמה מדריכים סך הכל יש בתנועת הנוער )כולל אלו שאינם‬
‫באולם(‪.‬‬
‫פרק שני ‪ -‬גיאומטריה וטריגונומטריה במישור )‪ 20‬נק'(‬
‫ענה על אחת מהשאלות מהשאלות ‪) 4-5‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬
‫‪.4‬‬
‫הישרים ‪ AC‬ו‪ DC-‬משיקים למעגל שמרכזו ‪ O‬בנקודות ‪ B‬ו‪ D-‬בהתאמה‪.‬‬
‫נתון‪ . BO CD :‬שטח המרובע ‪ OBCD‬הוא ‪ 441‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ :‬שטח המשולש ‪ ∆AOB‬הוא ‪ 294‬סמ"ר‪.‬‬
‫חשב את אורכי הקטעים ‪ AB‬ו‪.OE-‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היקף המעגל החוסם את המשולש ‪. ∆DEO‬‬
‫)המעגל אינו מופיע בשרטוט(‬
‫‪.5‬‬
‫בריבוע ‪ ABCD‬האלכסונים נחתכים בנקודה ‪ .O‬המשולש ‪ ∆CEO‬הוא‬
‫משולש שווה צלעות ששטחו ‪ 23‬סמ"ר‪ ,‬שצלעו חותכת את הצלע ‪ CD‬בנקודה ‪.F‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך ‪.CF‬‬
‫ב‪ .‬הנקודה ‪ M‬היא אמצע ‪ .AO‬חשב את אורך הקטע ‪.ME‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪1‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫פרק שלישי ‪ -‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪ ,‬פונקציות שורש‬
‫ופונקציות רציונליות )‪ 40‬נק'(‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 6-8‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬
‫‪ .6‬בשרטוט מופיעים הגרפים של הפונקציה )‪ f (x‬ושל‬
‫הנגזרת )‪ f ' ( x‬בתחום‪. − 2.5 ≤ x ≤ 4 :‬‬
‫א‪ .‬קבע איזה מהגרפים ‪ -‬גרף ‪ 1‬או ‪ - 2‬הוא גרף‬
‫הנגזרת ) ‪ . f ' ( x‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא כמה פתרונות בתחום הנתון יש למשוואה‪:‬‬
‫)‪. f ( x) = f ' ( x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה‬
‫) ‪ f (x‬בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪.y-‬‬
‫ד‪ .‬הישר ‪ y = 2‬משיק לגרף הפונקציה ) ‪ f (x‬בקצה‬
‫התחום הימני‪ .‬הישר ‪ y = −1.5‬משיק לגרף הפונקציה ) ‪ f (x‬בנקודה אחת ברביע הרביעי בתחום‬
‫הנתון‪ .‬חשב את השטח הכלוא ברביע הראשון בין גרף ‪ 2‬לבין ציר ה‪.x-‬‬
‫‪ .7‬בו זמנית יוצאים קטנוע ומשאית מהנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬בהתאמה‪ ,‬האחד לקראת השניה‪ .‬המרחק בין‬
‫הנקודות ‪ 100‬ק"מ‪ .‬מכפלת המהירויות של שני הרכבים היא ‪ 3,600‬קמ"ש ריבועיים‪ .‬נסמן באמצעות ‪x‬‬
‫את מהירות הקטנוע‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את מהירות המשאית‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את משך הזמן שחלף מרגע יציאתם לדרך ועד שנפגשו‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ערכו של ‪ x‬עבורו הזמן שהבעת בסעיף א' יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪ .8‬בציור מתוארים הגרפים של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪. (a > 0) g (x ) = − a‬‬
‫‪ f ( x ) = a‬ו‪:‬‬
‫‪x−a‬‬
‫‪x+9‬‬
‫א‪ .‬התאם לכל פונקציה את הגרף המתאים לה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון ששיעורי הנקודה ‪ A‬אשר נמצאת על גרף הפונקציה ‪ 1‬הם‬
‫)‪ . A(4,3‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪. a‬‬
‫ג‪ .‬גרף הפונקציה ‪ 2‬חותך את ציר ה‪ y-‬בנקודה ‪ .B‬חשב את השטח‬
‫הכלוא בין הגרפים של הפונקציות ‪ 1‬ו‪ ,2-‬לבין הישר ‪ x = 10‬והישר‬
‫‪.AB‬‬
‫בהצלחה!‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫‪ (2‬א‪ . D (4, 8) .‬ב‪ . B (−2,11) .‬ג‪ 30 .‬יח"ר‪.‬‬
‫‪ (1‬א‪ .18:00 .‬ב‪ 60 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ (4‬א‪ 21 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 9 .‬ס"מ=‪ 28 ,OE‬ס"מ=‪ .AB‬ג‪ 71.78 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ (3‬א‪ .0.3 .‬ב‪ .0.62 .‬ג‪ 60 .‬מדריכים‪.‬‬
‫‪ (5‬א‪ 6.53 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 9.64 .‬ס"מ‪ (6 .‬א‪ .‬גרף ‪ .2‬ב‪ .‬שלושה‪ .‬ג‪ . y = −0.5 x + 2 .‬ד‪ 3.5 .‬יח"ר‪.‬‬
‫‪3,600‬‬
‫‪ ( 7‬א‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.‬‬
‫‪100 x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x + 3,600‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (8‬א‪ .‬גרף ‪ , f ( x ) :1‬גרף ‪. g (x ) :2‬‬
‫‪ .‬ג‪ 60 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫ב‪ . a = 3 .‬ג‪ 22.02 .‬יח"ר‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪2‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫שאלון ‪ - 804‬מבחן ‪23‬‬
‫פרק ראשון ‪ -‬אלגברה והסתברות )‪ 40‬נק'(‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 1-3‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬
‫‪ .1‬סוחר רהיטים רוכש מדי בוקר כורסא מנגר‪ ,‬ומוכר אותה בחנותו‪ .‬ביום א' רכש מהנגר כורסא ב‪,₪ m-‬‬
‫ומכר אותה בחנותו במחיר שגבוה ב‪ 70%-‬מהמחיר בו רכש אותה‪ .‬ביום ב' מכר הנגר את הכורסא לסוחר‬
‫במחיר הגבוה ב‪ 20%-‬ממחירה ביום א'‪ .‬הסוחר רכש את הכורסא ומכר אותה במחיר הגבוה ב‪10%-‬‬
‫מהמחיר שדרש עבורה בחנות ביום א'‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬את מחיר הכורסא בחנות ביום ב'‪.‬‬
‫ב‪ .‬קבע באיזה מהימים היה הרווח של הסוחר ממכירת הכורסא בחנות‪ ,‬גבוה יותר‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬הרווח הכולל של המוכר ממכירת הכורסאות ביומיים הללו היה ‪ .₪ 137‬מצא את ערכו של ‪.m‬‬
‫‪ .2‬במעוין ‪ ABCD‬נתון הקודקוד )‪ . D (3,3‬הקודקוד ‪ A‬נמצא על ציר ה‪.x-‬‬
‫האלכסון ‪ AC‬מונח על הישר שמשוואתו‪. y = x − 2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את‪:‬‬
‫‪ (1‬שיעורי הקודקודים ‪ B‬ו‪.C-‬‬
‫‪ (2‬שטח המעוין‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ E‬כך שהמרובע ‪ ADBE‬יהיה מקבילית‪.‬‬
‫‪ .3‬סוכנות דוגמנים עורכת מיצגי חורף ומיצגי קיץ‪ .‬כל דוגמן בסוכנות מופיע רק במיצג אחד‪ .‬ממחקר‬
‫שעשתה מחלקת כוח האדם בסוכנות‪ ,‬עלה כי ‪ 30%‬מהדוגמנים בסוכנות הם בלונדינים והיתר בעלי שיער‬
‫כהה‪ .‬מבין כלל הדוגמנים בסוכנות‪ ,‬ההסתברות לבחור דוגמן כהה שיער שהשתתף במיצג חורף‪ ,‬נמוכה‬
‫ב‪ 0.1-‬מההסתברות לבחור דוגמן בלונדיני שהשתתף במיצג קיץ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את ההסתברות לבחור מבין כלל המיצגים בסוכנות‪ ,‬מיצג קיץ‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי אין תלות בין האירועים "להיות בלונדיני" ו‪" :‬להשתתף במיצג קיץ"‪ .‬מצא מבין כלל‬
‫הדוגמנים בסוכנות את שיעור הדוגמנים בעלי שיער כהה שהופיעו במיצג קיץ‪.‬‬
‫ג‪ .‬לטקס חלוקת פרסים הוזמנו הדוגמנים הבלונדינים שהופיעו במיצגי חורף והדוגמנים בעלי‬
‫השיער הכהה‪ .‬חשב את ההסתברות לבחור מבין המוזמנים דוגמן כהה שיער שהופיע במיצג‬
‫חורף‪.‬‬
‫פרק שני ‪ -‬גיאומטריה וטריגונומטריה במישור )‪ 20‬נק'(‬
‫ענה על אחת מהשאלות מהשאלות ‪) 4-5‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬
‫‪.4‬‬
‫במשולש ‪ ∆ABC‬הישר ‪ FG‬הוא קטע אמצעים והישר ‪DE‬‬
‫מקביל לצלע ‪ .BC‬הישר ‪ BE‬חוצה את הזוית ‪. p ABC‬‬
‫‪AB AD‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫=‬
‫‪BC BD‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . AB = FG :‬נסמן‪. CF = a :‬‬
‫‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬את אורך ‪.AE‬‬
‫ג‪ .‬דרך הנקודות ‪ A‬ו‪ M-‬מעבירים ישר החותך את הצלע ‪BC‬‬
‫בנקודה ‪ .N‬הוכח‪. p BMN = 90 0 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪3‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫‪ .5‬במשולש ‪ ∆ACD‬נתון‪:‬‬
‫‪ 3‬ס"מ=‪ 4 ,AB‬ס"מ=‪ 2 ,AE‬ס"מ=‪ 7 ,DE‬ס"מ=‪. CD = 2.4 BE ,BC‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪.BE‬‬
‫ב‪ .‬הנקודה ‪ F‬נמצאת על ‪ CD‬כך ש‪.CF=2DF :‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪. ∆DEF‬‬
‫פרק שלישי ‪ -‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪ ,‬פונקציות שורש‬
‫ופונקציות רציונליות )‪ 40‬נק'(‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 6-8‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪. f ( x) = x + 16 − x − 2 :‬‬
‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬
‫‪ .1‬תחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬מצא עבור אילו ערכי ‪ ,b‬יש למשוואה ‪ f ( x) = b‬פתרון אחד‪.‬‬
‫‪ .7‬בחלקה חקלאית בצורת המשולש ‪ ∆ABC‬ישר הזווית ) ‪, (p B = 90 0‬‬
‫מעוניינים לחסום גינת ירק מלבנית ‪) BDEF‬כמתואר בשרטוט(‪.‬‬
‫נתון‪ 30 :‬מ' = ‪ 20 ,DE‬מ' = ‪.BD‬‬
‫בנוסף‪ ,‬החקלאי מעוניין לגדר את הצלעות ‪ AB‬ו‪.BC-‬‬
‫את הצלע ‪ AB‬הוא מגדר באמצעות גדר זולה שעלותה ‪ ₪ 3‬למטר‪.‬‬
‫את הצלע ‪ BC‬הוא מגדר באמצעות גדר יקרה שעלותה ‪ ₪ 4.5‬למטר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך ‪ ,AD‬שעבורו עלות הגידור הכוללת היא מינימלית‪.‬‬
‫ב‪ .‬כאשר עלות הגידור הכוללת היא מינימלית‪ ,‬חשב את שטח החלקה ‪ ∆ABC‬כולה‪.‬‬
‫‪4 − x3‬‬
‫‪ .8‬נתון גרף הפונקציה ‪:‬‬
‫‪p ⋅ x2‬‬
‫הישר ‪ y = 3‬משיק לנקודת הקיצון היחידה של הגרף‪.‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.p‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא ברביע השני בין גרף הפונקציה לבין ציר ה‪x-‬‬
‫והישרים ‪ x = −1‬ו‪. x = −2 :‬‬
‫בהצלחה!‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫‪ (1‬א‪ .1.87m .‬ב‪ .‬ביום א'‪ .‬ג‪. m = 100 .‬‬
‫‪ (2‬א‪ 8 (2 . C (6,4) , B (5,1) (1 .‬יח"ר‪ .‬ב‪. E ( 4, −2) .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ (3‬א‪ .80% .‬ב‪ .0.56 .‬ג‪ (4 .0.184 .‬ב‪ (5 . AE = a .‬א‪ 3.8 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 3 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ (6‬א‪. (9,0) , (0,2) (3 . max (0,2) (2 . 0 ≤ x (1 .‬‬
‫‪ (4‬עולה‪ :‬אף ‪ .x‬יורדת‪ . 0 < x :‬ב‪ .‬השרטוט משמאל‪.‬‬
‫‪ (7‬א‪ 30 .‬מ' = ‪ .AD‬ב‪ 1,250 .‬מ"ר‪.‬‬
‫‪ (8‬א‪ . p = 1 .‬ב‪ 3.5 .‬יח"ר‪.‬‬
‫ג‪. b ≤ 2 .‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪4‬‬