1. No category

‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫פרק ראשון‪ :‬הסתברות‬
‫‪ 1.1‬חוקיות מקרה והסתברות‬
‫הבה נניח שעל שולחננו נמצאת סביבון‪-‬חץ )=‪ ( roulette‬כבציורים הבאים‪:‬‬
‫אדום‬
‫אדום‬
‫לבן‬
‫ירוק‬
‫מבט אלכסוני‬
‫לבן‬
‫צהוב‬
‫צהוב‬
‫מבט מלמעלה‬
‫ירוק‬
‫סביבון‪-‬החץ בנוי מעיגול דיקט המחולק לארבע גזרות‪ .‬שטח הגזרה הראשונה ‪ 1/12‬של שטח‬
‫העיגול והיא צבועה לבן‪ ,‬שטח הגזרה השנייה ‪ 5/12‬של שטח העיגול וצבעה אדום‪ ,‬השלישית‬
‫צבעה צהוב ושטחה ‪ 1/6‬של שטח העיגול והרביעית ירוקה ושטחה ‪ 1/3‬של שטח העיגול‪.‬‬
‫‪1/12 + 5/12 + 1/6 + 1/3 = 1‬‬
‫במרכז העיגול נעוץ מסמר‪ ,‬שחודו כלפי מעלה‪ .‬על חוד המסמר רוכב חץ‪ .‬במרכז החץ שקערורית‪,‬‬
‫שתפקידה למנוע את נפילת החץ ומכה באצבע יכולה לסובב את החץ‪.‬‬
‫בדיונינו על סביבון החץ נניח שאין בו גבשושיות או מגנטים או גורמים נסתרים אחרים‬
‫המשפיעים על מקום עצירתו של החץ; נניח שהמכה המסובבת את החץ חזקה די הצורך לגרום‬
‫לו להסתובב כמה סיבובים לפני שהוא עוצר‪ ,‬ונתעלם מהאפשרות הנדירה שהחץ יצביע על קו‬
‫הפרדה באופן שאפילו זכוכית מגדלת לא תאפשר לאבחן סטיה ימינה או שמאלה מקו ההפרדה‪.‬‬
‫כאשר מסובבים את החץ‪ ,‬כל אחת מארבע התוצאות ‪" -‬לבן"‪" ,‬צהוב"‪" ,‬אדום" ו"ירוק" ‪ -‬היא‬
‫אפשרית‪ ,‬עם זאת אין לומר שהן אפשריות באותה מידה‪ .‬יש תוצאות שהן "יותר אפשריות"‬
‫מתוצאות אחרות‪ .‬אם יציעו לך‪ ,‬למשל‪ ,‬פרס אם תנחש נכונה היכן ייעצר החץ בניסוי הבא‪ ,‬ברור‬
‫שתעדיף לנחש "אדום"‪ .‬ייתכן‪ ,‬אומנם‪ ,‬שלבסוף יתקבל "לבן"; אך הסבירות שיתקבל "אדום"‬
‫גדולה פי‪-‬חמישה מהסבירות שיתקבל "לבן"‪ ,‬שהרי הגזרה האדומה ניתנת לפירוק לחמש גזרות‪,‬‬
‫שכל אחת מהן שווה ללבנה‪ ,‬ולגזרות שוות יש סבירות שווה‪.‬‬
‫המספרים המודדים את הסבירויות של התוצאות השונות נקראים "הסתברויות"‪ ,‬והם נקבעים‬
‫באופן שהסתברויותיהן של כל התוצאות האפשריות מסתכמות במספר ‪. 1‬‬
‫אם ‪ x‬הוא ההסתברות של "לבן"‪ ,‬אז בהתאם לאמור לעיל‪ ,‬תהיה ההסתברות של "אדום" שווה‬
‫ל‪ ;5x-‬ובאופן דומה תהיה ההסתברות של "צהוב" שווה ל‪ 2x -‬וההסתברות של "ירוק" היא ‪;4x‬‬
‫ומכיוון שארבע התוצאות המוזכרות הן כל התוצאות האפשריות‪ ,‬יהיה‬
‫‪ x+5x+2x+4x=1‬לכן ‪ 12x=1‬לכן ‪. x = 1/12‬‬
‫הסתברות "לבן" היא אפוא ‪ ,1/12‬הסתברות "אדום" היא ‪ ,5/12‬הסתברות "צהוב" היא‬
‫‪ 2/12= 1/6‬והסתברות "ירוק" היא ‪. 4/12 = 1/3‬‬
‫הקשר שבין גודליהן של הגזרות ובין ההסתברויות של התוצאות של סיבוב סביבון החץ משתקף‬
‫גם במציאות החיצונית‪ .‬נסיונות רבים מאוד בסביבון‪-‬חץ כמו שלנו ובסביבוני‪-‬חץ דומים לו‬
‫הראו‪ ,‬שאם נסובב את סביבון‪-‬החץ מספר רב של פעמים )למשל‪ ,‬אלף הפעלות של הסביבון(‪,‬‬
‫‪7‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫תתקבל בדרך‪-‬כלל התמונה הבאה‪" :‬לבן" יתקבל מספר פעמים השווה בקירוב ל‪ 1/12 -‬של‬
‫מספר הנסיונות הכללי‪" ,‬אדום" בכ‪ 5/12 -‬של המקרים‪ ,‬בערך ‪ 1/6‬של התוצאות תהיינה "צהוב"‬
‫והשאר‪ ,‬שהם כ‪ 1/3 -‬של התוצאות‪ ,‬יהיו "ירוק"‪ .‬סטיות גדולות ממתכונת תוצאות זו‬
‫מתקבלות רק לעיתים נדירות ביותר‪.‬‬
‫נסכם‬
‫המקריות של התוצאות מתוארת תיאור מספרי על‪-‬ידי ההסתברויות של התוצאות השונות‪.‬‬
‫ממבנה סביבון החץ שלנו עולה‪ ,‬שההסתברויות הן כבטבלה הבאה‪:‬‬
‫התוצאה‬
‫הסתברותה‬
‫לבן‬
‫‪1/12‬‬
‫צהוב‬
‫‪1/6‬‬
‫אדום‬
‫‪5/12‬‬
‫ירוק‬
‫‪1/3‬‬
‫אם מנסים את הסביבון מספר רב של פעמים‪ ,‬מתקבלת לרוב התאמה די טובה בין מספרי‬
‫התוצאות השונות ובין ההסתברויות שלהן‪.‬‬
‫תחזית מזג‪-‬האוויר וסביבון‪-‬חץ‬
‫כותב שורות אלה מקווה‪ ,‬שבעתיד הלא‪-‬רחוק לא נשמע יותר תחזית מזג‪-‬אוויר המנוסחת‬
‫במילים "בהרי ירושלים ייתכן הלילה שלג"‪ ,‬ובמקום זאת נשמע נוסח מפורט יותר‪ ,‬כגון‬
‫"ההסתברות שיירד הלילה שלג בהרי ירושלים היא ‪ ."1/3‬פירושו של דבר יהיה‪ ,‬שלפי הנתונים‬
‫שבידי החזאי‪ ,‬דומה האפשרות שיירד שלג לאפשרות שבסיבוב סביבון‪-‬החץ שלנו יתקבל "ירוק"‪.‬‬
‫ידיעת ההסתברויות יכולה לעזור לאנשים בתכנון מעשיהם‪ .‬בדוגמת השלג‪ ,‬אם ההסתברות‬
‫לשלג היא ‪ ,1/3‬אז מן הראוי להביא לירושלים מפלסות גם אם הן עסוקות כעת בעבודות‪-‬עפר‬
‫רחוק מן העיר‪ ,‬אך אם ההסברות היא ‪ 1/10‬בלבד‪ ,‬מן הראוי להכין רק את המפלסות הנמצאות‬
‫בקרבת מקום )אלה תשמשנה בשלב הראשון לפינוי הכבישים החיוניים ביותר( ולא להביא את‬
‫המפלסות המרוחקות‪ ,‬אלא אם יתברר שיש צורך בהן‪.‬‬
‫תחרות השחמט‬
‫בדוגמה זאת נטפל במקרה שבו חישוב ההסתברויות מתוחכם קצת יותר מאשר אצל סביבונים‪.‬‬
‫נפתח בסיפור רקע‪:‬‬
‫לשלב הגמר של תחרות שחמט ארצית לבתי‪-‬ספר תיכוניים הגיעו שני שחקנים‪ ,‬דוד ויצחק‪ .‬לפי‬
‫כללי התחרות‪ ,‬עליהם לשחק זה עם זה סדרת משחקים‪ ,‬והראשון שיגיע לחמישה נצחונות יוכרז‬
‫אלוף‪ .‬משחקים המסתיימים בתיקו אינם נספרים‪ .‬היו לדוד ארבעה נצחונות וליצחק שלושה‪,‬‬
‫ובגלל עייפות השחקנים‪ ,‬נדחה המשך התחרות ליום המחרת‪.‬‬
‫במשחק נכחו קבוצת חברים של דוד וקבוצת חברים של יצחק‪ .‬כל אחת היתה גאה ביותר בנציגה‬
‫ורצתה שיזכה באליפות‪ ,‬ובדרך‪-‬הטבע התפתחה ביניהם שיחה על ההסתברות של כל שחקן‬
‫לזכות באליפות‪.‬‬
‫כולם הסכימו שיצחק ודוד הם שחקנים שקולים‪ ,‬ופירושו של דבר הוא‪ ,‬שהסתברויות הניצחון‬
‫שלהם במשחק בודד שוות זו לזו )‪ 1/2‬ו‪ .(1/2 -‬כמו‪-‬כן הסכימו כולם‪ ,‬שבמצב העניינים הנוכחי‪,‬‬
‫סביר יותר שדוד יזכה באליפות‪ .‬חילוקי‪-‬הדעות נגעו רק במשמעות ההסתברותית המדויקת של‬
‫המצב הנוכחי‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫אמרו חבריו של יצחק‪ :‬דוד ניצח ‪ 4‬פעמים ויצחק ניצח ‪ 3‬פעמים‪ ,‬ולכן יחס הסתברויות האליפות‬
‫הוא ‪ ,3:4‬לכן ההסתברות שדוד יהיה האלוף היא ‪ 4/7‬וההסתברות שיצחק יזכה באליפות היא‬
‫‪. 3/7‬‬
‫חבריו של דוד אמרו‪ :‬לדוד חסר רק ניצחון אחד וליצחק חסרים שני נצחונות‪ ,‬לכן יחס‬
‫ההסתברויות הוא ‪ ,1:2‬לכן הסתברות האליפות של דוד היא ‪ 2/3‬ושל יצחק רק ‪.1/3‬‬
‫בשלב זה הגיעה למקום דרורה‪ ,‬וכשהציגו לפניה את הבעיה‪ ,‬ענתה‪:‬‬
‫בהתאם לכללי התחרות‪ ,‬תיתכנה מחר שלוש תוצאות‪:‬‬
‫א‪ .‬במשחק הראשון ינצח דוד )ואז לא יתקיים משחק נוסף‪ ,‬כי דוד הגיע ל‪ 5 -‬נצחונות והוא‬
‫האלוף( ‪.‬‬
‫ב‪ .‬במשחק הראשון ינצח יצחק ובשני ינצח דוד )וגם אז יהיה דוד האלוף( ‪.‬‬
‫ג‪ .‬יצחק ינצח בשני המשחקים )ויהיה האלוף( ‪.‬‬
‫מכיוון שיצחק ודוד הם שחקנים שקולים )זו הההנחה שעל‪-‬פיה ביקשתם שאחשב את‬
‫ההסתברויות(‪ ,‬הרי שההסתברות שבמשחק הראשון ינצח דוד שווה להסתברות שבמשחק זה‬
‫ינצח יצחק‪ .‬לכן ההסתברות של תוצאה א היא ‪ 1/2‬וגם ההסתברות של "המאורע" }ב‪,‬ג{‪ ,‬הכולל‬
‫את שתי התוצאות האחרות‪ ,‬היא ‪. 1/2‬‬
‫לשתי התוצאות ב ו‪-‬ג הסתברויות שוות‪ ,‬כי הן נבדלות זו מזו רק במשחק השני‪ ,‬וגם במשחק זה‬
‫השחקנים שקולים‪ .‬לכן הסתברות ב וגם הסתברות ג הן ‪. 1/4‬‬
‫את המסקנות שהעלתה עד כה סיכמה דרורה בטבלה‪:‬‬
‫ב‬
‫א‬
‫ג‬
‫התוצאה‬
‫¼‬
‫¼‬
‫הסתברותה ½‬
‫ומכאן עברה לתשובה לשאלתם של החברים‪:‬‬
‫קבוצת התוצאות }א‪,‬ב{ היא המאורע "דוד אלוף" והסתברותה ‪ ,1/2 + 1/4 = 3/4‬ואילו המאורע‬
‫"יצחק אלוף" מכיל את התוצאה ג בלבד והסתברותו ‪ 1/4‬בלבד‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בעיה דומה לבעייתנו שימשה במאה ה‪ 17-‬נושא להתכתבות בין המתמטיקאים ‪Fermat‬‬
‫)קרי‪ :‬פרמָ ה( ו‪ .Laplace -‬קבלת השיקולים "של דרורה" היתה צעד חשוב בהתפתחותה של תורת‬
‫ההסתברות‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬סביבון‪-‬חץ מחולק לארבע גזרות‪ ,‬שצבעיהן וגודליהן כבטבלה הבאה‪:‬‬
‫צבע‬
‫זוית )במעלות(‬
‫הסתברות‬
‫אדום‬
‫‪45‬‬
‫כתום‬
‫‪90‬‬
‫כחול‬
‫‪45‬‬
‫ירוק‬
‫‪180‬‬
‫א‪ .‬כתוב בטבלה את ההסתברות לקבלת כל צבע )בסיבוב אחד(‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם מסובבים את הסביבון פעם אחת‪ ,‬מהי ההסתברות לקבלת "צבע חם" )כלומר‪ ,‬אדום או‬
‫כתום(‪.‬‬
‫‪ .2‬חזאי מזג‪-‬האוויר מודיע‪ :‬מחר ייתכן גשם‪ ,‬ייתכנו עננים ללא גשם וייתכן שהשמים יהיו‬
‫בהירים; וההסתברויות הן ‪ 0.6 ,0.1‬ו‪ ,0.3-‬בהתאמה‪ .‬אדם שאינו יודע מאומה על הסתברות‬
‫‪9‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫אמר‪ :‬אינני מבין מה מחדש לנו החזאי‪ .‬הרי ברור שבכל יום חורפי ייתכן גשם‪ ,‬ייתכנו עננים ללא‬
‫גשם וייתכן שלא יהיו עננים‪.‬‬
‫שרטט סביבון‪-‬חץ‪ ,‬שבעזרתו יהיה אפשר להסביר לאותו אדם את פשר דבריו של החזאי‪) .‬גזרות‬
‫בגודל מתאים‪ .‬בגזרה אחת כתוב "גשם"‪ ,‬באחת כתוב "עננים ללא גשם" ובאחת כתוב "בהיר‪"(.‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬מהן הזוויות המרכזיות של הגזרות בסביבון‪-‬חץ בעל שלוש גזרות‪ ,‬אם ההסתברות של גזרה‬
‫א היא ‪ 1/4‬וההסתברות של גזרה ב שווה להסתברות של גזרה ג‪.‬‬
‫ב‪ .‬בסביבון זה‪ ,‬מה ההסתברות שהחץ יעצור בגזרה ב?‬
‫‪ .4‬להמשך התחרות שנדונה לעיל בא דוד כשהוא מצונן‪ ,‬וההסתברות שינצח את יצחק במצב זה‬
‫במשחק בודד היא ‪) 1/3‬וההסתברות שיצחק ינצח היא‪ ,‬לכן‪.( 2/3 ,‬‬
‫מהן הסתברויות האליפות של דוד ושל יצחק במצב זה?‬
‫‪ .5‬כנ"ל‪ ,‬אך יצחק הוא זה שהצטנן‪.‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫‪ .6‬בכד ‪ 3‬כדורים לבנים ו‪ 4-‬שחורים‪ ,‬וכולם שווים בגודלם ובמשקלם‪ .‬מוציאים כדור אחד מן‬
‫הכד בעיניים עצומות‪ .‬נמק את הטענה שההסתברות שהכדור המוצא יהיה לבן היא ‪.3/7‬‬
‫‪ .7‬סביבון‪-‬חץ מחולק לשלוש גזרות שוות‪ ,‬המסומנות א‪ ,‬ב ו‪-‬ג‪ .‬סובבו את החץ ‪ 15‬פעמים‪ .‬ב‪6-‬‬
‫מהן התקבל א‪ ,‬ב‪ 5-‬התקבל ב‪ ,‬ב‪ 4-‬פעמים התקבל ג‪.‬‬
‫לקראת הסיבוב ה‪ ,16-‬אמר אחד השחקנים‪" :‬עכשיו יתקבל כנראה ג‪ .‬מספרי התוצאות השונות‬
‫צריכים לשקף את ההסתברויות‪ ,‬ומכיוון שעד כה התקבל ג פחות מ‪-‬א ומ‪-‬ב‪ ,‬יש לצפות שבעתיד‬
‫יתקבל ג פעמים רבות יותר‪".‬‬
‫אמר שחקן שני‪" :‬לסביבון אין זיכרון וממילא אין לו התחייבויות‪ .‬מכיוון שהוא חלק ואחיד‬
‫והגזרות שוות‪ ,‬יש לכל תוצאה הסתברות ‪ 1/3‬גם בסיבוב הבא"‪.‬‬
‫השחקן השלישי אמר‪" :‬מכיוון שעד כה התקבל ג פחות מ‪-‬א ופחות מ‪-‬ב‪ ,‬אני משער שיש בסביבון‬
‫משהו נסתר מעינינו‪ ,‬המקטין את ההסתברות של ג‪ .‬לכן אני חושב שההסתברות שבפעם הבאה‬
‫יתקבל ג קטנה מ‪." 1/3-‬‬
‫מה דעתך?‬
‫‪ 1.2‬המושגים היסודיים של תורת ההסתברות‬
‫ניסוי הסתברותי ומרחב התוצאות‬
‫תורת ההסתברות עוסקת בניסויים שבהם אנו מכירים את כל התוצאות האפשריות‪ ,‬אך טבע‬
‫הניסוי אינו מאפשר לדעת איזו מן התוצאות האפשריות תתרחש בפועל‪.‬‬
‫קבוצת התוצאות של ניסוי הסתברותי מסוים נקראת "מרחב התוצאות" ומסומנת ‪Ω‬‬
‫)קרי ‪ :‬אומגה ‪(.Omega‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ (1‬סיבוב החץ שנידון בסעיף הקודם הוא ניסוי הסתברותי‪.‬‬
‫בניסוי זה ‪ Ω‬היא הקבוצה }אדום‪ ,‬צהוב‪ ,‬ירוק‪ ,‬לבן{ ‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫‪ (2‬בהטלת קוביית‪-‬משחק מתקבל תמיד אחד המספרים השלמים שבין ‪ 1‬ל‪ . 6 -‬לכן בניסוי‬
‫הסתברותי זה }‪.Ω = {1,2,3,4,5,6‬‬
‫‪ (3‬גם על המשחקים שעל יצחק ודוד לשחק על מנת לסיים את תחרות השחמט שלהם אפשר‬
‫להסתכל כעל ניסוי הסתברותי‪ .‬התוצאות האפשריות הן‪:‬‬
‫א = "דוד מנצח במשחק הראשון ואין משחק שני"‬
‫ב = "יצחק מנצח במשחק הראשון ודוד במשחק השני"‬
‫ג = "יצחק מנצח בשני המשחקים"‪.‬‬
‫בניסוי הסתברותי זה } א‪ ,‬ב‪ ,‬ג {= ‪. Ω‬‬
‫‪ (4‬הניסוי הוא זה‪ :‬לוקחים קופסת גפרורים )יבשים( מן הסוג הרגיל בארץ‪ ,‬ומסלקים ממנה את‬
‫הגפרורים הנראים חריגים בעין בלתי‪-‬מזוינת )כגון אותם גפרורים דקיקים הנוצרים כאשר‬
‫מכונת החיתוך מגיעה לקצה בול העץ( אחר‪-‬כך בוחרים בעצימת עיניים חמישה גפרורים‬
‫ומוצאים את משקלם הכולל‪ .‬בניסוי זה ‪ Ω‬היא קבוצת המשקלים האפשריים שבין ‪ 0.4‬ו‪0.6 -‬‬
‫גרם )גפרור בודד שוקל כעשירית הגרם(‪.‬‬
‫התוצאות הקרובות ביותר ל‪ 0.4 -‬ול‪ 0.6 -‬הן‪ ,‬ככל הנראה‪ ,‬בלתי‪-‬אפשריות‪ .‬העדפנו לכלול גם‬
‫אותן ב‪ ,Ω-‬ולא להסתפק‪ ,‬למשל‪ ,‬בתחום שבין ‪ 0.41‬ו‪ ,0.59-‬בגלל הפשטות‪ ,‬ומשום שאיננו‬
‫יודעים את הגבול המדויק שבין התוצאות האפשריות ובין התוצאות שאינן אפשריות‪.‬‬
‫שאלה‪ :‬כמה תוצאות נכללות ב‪ Ω -‬של דוגמה ‪? 4‬‬
‫תשובה‪ :‬הדבר תלוי במידת הדיוק של המאזניים השוקלים את הגפרורים‪.‬‬
‫אם‪ ,‬למשל‪ ,‬מדייקים מאזניים אלה עד אלפית הגרם‪ ,‬לא יבחין הניסוי שלנו בין המקרה שבו‬
‫משקלם האמיתי של הגפרורים הוא ‪ 0.51733‬ובין המקרה שבו משקלם ‪ 0.51712‬ובין המקרה‬
‫שבו המשקל הוא ‪ .0.51685‬בכל שלושת המקרים האלה תראה השקילה את התוצאה ‪.0.517‬‬
‫‪Ω‬היא אפוא הקבוצה הכוללת רק את המשקלים ‪ 0.403 , 0.402 , 0.400 , 0.401‬וכו'‪ ,‬עד‬
‫‪ 0.600‬ומספר איבריה הוא ‪. 201‬‬
‫אפשר‪ ,‬אומנם‪ ,‬לדבר על מאזניים תיאורטיים‪ ,‬השוקלים גפרורים תיאורטיים בדיוק מוחלט‬
‫ומאפשרים מספר אינסופי של תוצאות‪ .‬אכן‪ ,‬חלקים נכבדים למדי של תורת ההסתברות עוסקים‬
‫במקרה שבו ‪ Ω‬היא קבוצה אינסופית‪ .‬בספר הנוכחי נימנע‪ ,‬בדרך‪-‬כלל‪ ,‬מהתייחסות‬
‫למרחבי‪-‬תוצאות אינסופיים‪ .‬הביטוי "מרחב תוצאות" סתם פירושו‪ ,‬בספר זה‪" ,‬מרחב תוצאות‬
‫סופי"‪.‬‬
‫מאורעות והתרחשותם‬
‫הגדרה‪ :‬קבוצה של תוצאות מתוך ‪ Ω‬נקראת מאורע‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬אם ‪ A‬הוא מאורע‪ ,‬אז הביטויים "המאורע ‪ A‬התרחש" ‪" ,‬המאורע ‪ A‬קרה" ו‪" -‬קרה ‪"A‬‬
‫פירושם‪ :‬בניסוי ההסתברותי התקבלה תוצאה הכלולה ב‪. A -‬‬
‫תורת ההסתברות עוסקת במאורעות )ולא רק בתוצאות בודדות( משתי סיבות‪.‬‬
‫סיבה א‪ :‬לפעמים קל יותר למצוא את ההסתברות להתרחשותו של מאורע מאשר למצוא את‬
‫ההסתברויות של כל אחת מהתוצאות הנכללות במאורע זה‪ .‬לדוגמה‪ :‬בסיפור תחרות השחמט‬
‫‪11‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫מצאנו תחילה שהסתברות הקבוצה }ב‪,‬ג{ היא ‪ ,1/2‬ורק בעזרת זאת מצאנו שההסתברות של ב‬
‫היא ‪ 1/4‬וההסתברות של ג היא ‪. 1/4‬‬
‫סיבה ב‪ :‬הסתברותה של קבוצת תוצאות חשובה לפעמים יותר מהסתברות כל תוצאה הנכללת‬
‫בה‪ .‬לדוגמה‪ :‬בסיפור תחרות השחמט היה חשוב לחבריו של דוד לדעת שהסתברות המאורע‬
‫}א‪,‬ב{ היא ‪ ,3/4‬שהרי אם יתרחש מאורע זה‪ ,‬יזכה דוד באליפות‪ .‬לעובדה שהמספר ‪3/4‬‬
‫התקבל כסכום‬
‫‪ 1/4 + 1/2‬היתה‪ ,‬בעיניהם‪ ,‬חשיבות משנית בלבד‪.‬‬
‫לפעמים מתארים מאורע על‪-‬ידי כתיבת כל התוצאות הכלולות בו בסוגריים מסולסלות‪,‬‬
‫ולפעמים על‪-‬ידי כתיבת תכונה המאפיינת אותן‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ (1‬בסיפור תחרות השחמט יתואר המאורע } ב ‪ ,‬ג { במילים "יצחק מנצח במשחק הראשון"‬
‫והמאורע } א ‪ ,‬ב { הוא המאורע "דוד זוכה באליפות"‪.‬‬
‫‪ (2‬בהטלת קובייה ‪ ,‬המאורע "לא ‪ "3‬הוא המאורע }‪. {1,2,4,5,6‬‬
‫לסימון מאורעות משתמשים באותיות הגדולות של תחילת האלף‪-‬בית הלטיני ‪ C ,B ,A‬וכו'‪.‬‬
‫הסתברות‬
‫ההסתברות של מאורע )או של תוצאה( הוא מספר המעריך באיזו מידה צפויה התרחשות של‬
‫המאורע )או התוצאה(‪.‬‬
‫לדוגמה‪ :‬הסתברותו של מאורע היא המספר ‪ 1/3‬אם הוא צפוי בדיוק באותה מידה שבה ניתן‬
‫לצפות שבסיבוב הרולטה שלנו תתקבל התוצאה "ירוק" )נזכיר לקורא שברולטה שלנו שליש של‬
‫שטח העיגול ירוק‪(.‬‬
‫ודאות מלאה מתוארת על‪-‬ידי ההסתברות ‪ .1‬הסתברות ‪ 1/2‬מבטאת סבירות שווה להתרחשותו‬
‫ולאי‪-‬התרחשותו של המאורע‪ .‬למאורע בלתי‪-‬אפשרי הסתברות ‪. 0‬‬
‫הסתברותו של מאורע ‪ A‬מסומנת )‪) P(A‬קרי‪ P :‬של ‪ . A‬האות ‪ P‬באה מן המלה ‪,Probability‬‬
‫שמשמעה הסתברות( ‪.‬‬
‫לדוגמה‪ :‬בניסוי ההסתברותי של סיבוב החץ בסביבון שלנו‪ ,‬יהי ‪ A‬המאורע "לא אדום"‪ ,‬כלומר‬
‫}לבן‪ ,‬צהוב‪ ,‬ירוק{‪ .‬הגזרה המתאימה למאורע זה היא ‪ 7/12‬של הרולטה; לכן הסתברותו היא‬
‫‪ ;7/12‬לכן נכתוב ‪. P(A)= 7/12‬‬
‫במקום האות המסמנת את המאורע‪ ,‬אפשר לכתוב כאן גם את התכונה המאפיינת את המאורע‬
‫או את רשימת התוצאות הנכללות במאורע‪ .‬האמור לעיל ייכתב אפוא גם בצורה‬
‫‪) =7/12‬לא אדום(‪ P‬וגם בצורה ‪}) = 7/12‬לבן‪,‬צהוב‪,‬ירוק{(‪. P‬‬
‫אם מאורע מכיל תוצאה יחידה‪ ,‬הסתברותו שווה להסתברות התוצאה הזאת‪.‬‬
‫‪) = 1/3‬ירוק(‪}) = P‬ירוק{(‪P‬‬
‫לדוגמה‪:‬‬
‫אם מאורע מכיל מספר תוצאות‪ ,‬הסתברותו היא סכום הסתברויותיהן‪.‬‬
‫לדוגמה‪:‬‬
‫= )ירוק(‪) + P‬צהוב(‪) + P‬לבן(‪}) = P‬לבן‪,‬צהוב‪,‬ירוק{(‪P‬‬
‫‪= 1/12 + 2/12 + 4/12 = 7/12‬‬
‫‪12‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬תלמיד‪ ,‬שהתלבט בשאלה כיצד לבלות את הערב‪ ,‬החליט לערוך ניסוי הסתברותי של הטלת‬
‫מטבע ולפעול בדרך הבאה‪ :‬אם יראה המטבע "מספר" ‪ -‬יצפה בטלוויזיה; אם יראה המטבע‬
‫"ציור" ‪ -‬ילך לקולנוע; אם יעמוד המטבע על צידו ‪ -‬יישב להכין את שיעורי‪-‬הבית‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו מרחב התוצאות ‪ Ω‬בניסוי ההסתברותי הנידון )מנקודת‪-‬המבט המיוחדת של אותו‬
‫תלמיד(‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי‪ ,‬לדעתך‪ ,‬הסתברותה של כל אחת מהתוצאות‪.‬‬
‫‪ .2‬בניסוי הסתברותי מסוים }‪.Ω = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9‬‬
‫לפניך רשימה של מאורעות‪:‬‬
‫‪ =A‬מתקבל מספר אי‪-‬זוגי הנמצא בין ‪ 2‬ו‪8-‬‬
‫‪ =B‬מתקבל מספר שהשורש שלו הוא מספר שלם‬
‫‪ = C‬מתקבל מספר ראשוני גדול מ‪2 -‬‬
‫‪{4,5,6,7} = D‬‬
‫‪{2,3,5,7,8} = E‬‬
‫א‪ .‬כתוב את המאורעות ‪ B , A‬ו‪ C -‬בכתיב‪-‬קבוצות )כמו שכתובים כאן המאורעות ‪ D‬ו‪.(E -‬‬
‫ב‪ .‬כתוב שמות של מאורעות ) ‪ B , A‬וכדומה ( במקומות המתאימים‪.‬‬
‫)לפעמים יש יותר מתשובה אחת‪ ,‬ואז מספיק לכתוב תשובה אחת‪(.‬‬
‫‪ ___ ( I‬ו ___ הם אותו מאורע‪.‬‬
‫‪ ___ ( II‬ו ___ הם מאורעות שונים‪ ,‬אך יש להם מספר שווה של איברים )תוצאות( ‪.‬‬
‫‪ (III‬ל‪ ____ -‬ול‪ ____ -‬אין שום איבר משותף )הם מאורעות זרים(‪.‬‬
‫‪ (IV‬למאורע ____ ולמאורע ____ יש בדיוק שני איברים משותפים‪.‬‬
‫‪ ( V‬המאורע ____ מכיל את כל התוצאות שבמאורע ____ וגם תוצאות נוספות‪.‬‬
‫‪ .3‬בניסוי ההסתברותי של הטלת קובייה )תקינה(‪ ,‬כל שש התוצאות האפשריות צפויות במידה‬
‫שווה‪ .‬לכן‪,‬‬
‫א‪ .‬ההסתברות של כל תוצאה היא ____‬
‫ב‪. P({1,2,3,4}) = ________ .‬‬
‫ג‪) =_________ .‬מספר זוגי(‪. P‬‬
‫ד‪. P({1,2,3,4,5,6}) = ________ .‬‬
‫ה ‪) = ________ .‬מספר גדול מ‪. P(100 -‬‬
‫ו‪ .‬אילו מן התשובות לשאלות א‪-‬ה נשארות נכונות גם אם הקובייה מזויפת? )לאחת מפינותיה‬
‫הוזרקה טיפת כספית‪ ,‬וכתוצאה מזה‪ ,‬יש תוצאות שהסתברותן גדולה משל התוצאות האחרות‪(.‬‬
‫‪ .4‬משה‪ ,‬דינה‪ ,‬מרים‪ ,‬שלמה ואברהם נבחרו פה‪-‬אחד לוועד הכיתה‪ .‬הם החליטו שיושב‪-‬ראש‬
‫הוועד ייבחר בהגרלה‪ ,‬שתיעשה כך‪ :‬בשלב הראשון יטילו מטבע תקין והתוצאה תקבע אם היו"ר‬
‫יהיה בן או בת‪ .‬אם יתקבל בן‪ ,‬יגרילו בין הבנים בעזרת סביבון‪-‬חץ שבו שלוש גזרות שוות‪ .‬אם‬
‫תתקבל בת יגרילו בין הבנות על‪-‬ידי מטבע נוסף‪.‬‬
‫_______ = ) בת(‪ ) = _______ P‬בן(‪P‬‬
‫כתוב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫_______ = ) דינה(‪) = _______ P‬משה(‪P‬‬
‫________ = ) שם היו"ר מתחיל ב‪ -‬מ (‪P‬‬
‫‪ .5‬מרחב התוצאות בניסוי הסתברותי מסוים הוא }א‪,‬ב‪,‬ג‪,‬ד‪,‬ה‪,‬ו‪,‬ז‪,‬ח{=‪, Ω‬‬
‫‪ A‬הוא המאורע }א‪,‬ב‪,‬ג‪,‬ד{ ‪ P(A)=0.6 , ,‬ולכל התוצאות שב‪ A-‬הסתברויות שוות‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫‪ B‬הוא המאורע }ה‪,‬ו‪,‬ז‪,‬ח{ ‪ P(B)=0.4 , ,‬ולכל התוצאות שב‪ B-‬הסתברויות שוות‪.‬‬
‫_____ = )} א‪,‬ג‪,‬ו‪,‬ז{(‪P‬‬
‫_____ = )}ז‪,‬ה‪,‬ב{(‪P‬‬
‫_____ = )}א‪,‬ח‪,‬ו‪,‬ז‪,‬ה{(‪P‬‬
‫‪ .6‬שמוניון משוכלל הוא גוף המוגבל על‪-‬ידי שמונה פאות שכל אחת מהן היא‬
‫משולש שווה צלעות )אפשר לבנותו משתי פירמידות שבסיסן ריבוע ופאותיהן‬
‫הצדדיות הן משולשים שוי צלעות(‪ .‬מהמבנה הסימטרי שלו נובע שכאשר מטילים‬
‫אותו על שולחן יש לפיאותיו הסתברויות שוות להיות הפאה העליונה המקבילה‬
‫לפני השולחן‪.‬‬
‫על פיאותיו של שמוניון משוכלל כתובים המספרים הטבעיים ‪ 7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1‬ו‪.8-‬‬
‫בהטלת השמוניון‪,‬‬
‫_____ =)זוגי(‪)= _____ , P‬מתחלק ב‪)= _____ , P(3-‬ראשוני(‪P‬‬
‫_____ =)גדול מ‪)= _____ , P(5-‬מחלק את ‪P(15‬‬
‫‪ 1.3‬ניסויים הסתברותיים אחידים‬
‫הגדרה‪ :‬ניסוי הסתברותי שלכל התוצאות שלו הסתברות שווה נקרא "ניסוי הסתברותי עם‬
‫מרחב תוצאות אחיד"‪ ,‬ובקצרה‪" ,‬ניסוי הסתברותי אחיד"‪) .‬לפעמים משתמשים גם בביטוי‬
‫"ניסוי הסתברותי אלמנטרי"‪(.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬סיבוב סביבון‪-‬החץ שבראש סעיף ‪ 1.1‬הוא ניסוי הסתברותי שאינו אחיד‪ ,‬שהרי לארבע‬
‫התוצאות שלו הסתברויות שונות‪ .‬לעומת‪-‬זאת‪ ,‬הטלת קובייה תקינה היא ניסוי הסתברותי‬
‫אחיד‪ ,‬שהרי קובייה תקינה אינה אלא קובייה שלכל שש התוצאות האפשריות של הטלתה יש‬
‫אותה הסתברות‪.‬‬
‫מכאן ואילך‪ ,‬בכל מקום שבו נדבר על קובייה או על מטבע‪ ,‬נתכוון לקובייה תקינה ולמטבע‬
‫תקין‪ ,‬אלא אם נציין במפורש שאין הם תקינים או שאיננו יודעים אם הם תקינים אם לאו‪.‬‬
‫משפט‪ :‬בניסוי הסתברותי אחיד‪ ,‬אם ‪ A‬הוא מאורע הכולל ‪ m‬תוצאות ואם מספר התוצאות‬
‫הכללי )= מספר התוצאות שב‪ (Ω -‬הוא ‪ ,n‬אז ‪ P(A) = m/n‬ובפרט ‪ -‬לתוצאה יחידה‬
‫ההסתברות ‪. 1/n‬‬
‫הוכחה‪ :‬על פי ההגדרה‪ ,‬לכל התוצאות בניסוי זה הסתברות שווה‪ .‬נסמן אותה ב‪ .x-‬ב‪ Ω -‬יש ‪n‬‬
‫תוצאות‪ ,‬לכן‬
‫‪P(Ω) = x + x + … + x = nx‬‬
‫‪ n‬מחוברים‬
‫מצד שני‪ ,‬ביצוע הניסוי ייתן תמיד תוצאה מתוך ‪ ,Ω‬לכן ‪ Ω‬הוא מאורע ודאי‪,‬‬
‫‪.P(Ω) = 1‬‬
‫לכן‬
‫משני שוויונות אלה יוצא ש‪ ,nx = 1 -‬לכן ‪. x = 1/n‬‬
‫ב ‪ A -‬יש אפוא ‪ m‬תוצאות‪ ,‬שהסתברות כל אחת מהן היא ‪ ,1/x‬לכן‬
‫‪P(A) = 1/n + 1/n + … + 1/n =m/n‬‬
‫‪ m‬מחוברים‬
‫‪14‬‬
‫■‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫הערה‪ :‬יש להבדיל בין משפטנו ובין העובדה הבאה‪ :‬אם ‪ A‬הוא מאורע בניסוי הסתברותי‪ ,‬ואם‬
‫בוחרים מספר ‪ n‬גדול כלשהו‪ ,‬מבצעים את הניסוי ההסתברותי הנידון ‪ n‬פעמים‪ ,‬ומסמנים ב‪m -‬‬
‫את מספר הפעמים שבהם קרה המאורע ‪ ,A‬אז בדרך‪-‬כלל יהיה ‪ m/n‬קרוב להסתברות )‪. P(A‬‬
‫ההבדלים‪:‬‬
‫א‪ .‬המשפט מדבר גם על ‪ n‬קטן )למשל ‪ 6 -‬התוצאות האפשריות בהטלת קובייה( ואילו העובדה‬
‫הנסיונית מדברת רק על ‪ n‬גדול )למשל ‪ 1000 -‬ניסויים בהטלת קובייה(‪.‬‬
‫ב‪ .‬המשפט נותן את ההסתברות המדויקת ואילו העובדה הנסיונית מצביעה רק על אומדנים‬
‫מקורבים של ההסתברות‪) .‬מהמשפט נקבל‪ ,‬שבהטלת קובייה תקינה‪ ,‬ההסתברות של המאורע‬
‫"‪ 3‬או ‪ " 4‬היא ‪ ,2/6 = 1/3‬ואילו בניסוי נקבל רק קירוב כגון ‪ ,338/1000‬ולפעמים אפילו רק‬
‫קירוב כגון ‪(.357/1000‬‬
‫ג‪ .‬המשפט מדבר רק על ניסוי הסתברותי אחיד‪ ,‬בעוד שהעובדה הנסיונית מתקבלת גם בניסויים‬
‫בעלי מרחב תוצאות לא אחיד‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :1‬מספרי הילדים במשפחות שביישוב מסוים מובאים בטבלה הבאה‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫מספר הילדים‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6 13 15 3‬‬
‫‪2‬‬
‫בכמה משפחות‬
‫א‪ .‬בחרו באקראי כרטיס אחד מכרטסת הילדים שבמרפאה‪ .‬מהי ההסתברות שזה כרטיס של‬
‫בכור )או בכורה(?‬
‫ב‪ .‬פגשו ילד ברחוב באותו יישוב‪ .‬האם ההסתברות שהוא בכור גדולה‪ ,‬להערכתך‪ ,‬שווה או קטנה‬
‫מזו שבשאלה א? נמק את הערכתך!‬
‫ג‪ .‬ילד נבחר באקראי )מהכרטסת(‪ .‬מהי ההסתברות שהוא ממשפחה בת ‪ 5‬או ‪ 6‬ילדים?‬
‫ד‪ .‬משפחה נבחרה באקראי‪ .‬מהי ההסתברות שיש לה ‪ 5‬או ‪ 6‬ילדים?‬
‫הטלת שתי מטבעות‬
‫חוסר‪-‬הבחנה בין ניסוי הסתברותי אחיד וניסוי שאינו אחיד היה אחת ממחלות‪-‬הילדות של‬
‫תורת ההסתברות בשלבי התפתחותה הראשונים‪ .‬נדגים זאת בניסויים הסתברותיים דומים‬
‫ונפתח בניסוי שלא גרם לטעויות‪.‬‬
‫הניסוי‪ :‬מטילים שני מטבעות זו אחר זו‪.‬‬
‫התוצאות האפשריות‪:‬‬
‫א‪ .‬המטבע הראשון נופל על "ציור" וגם השני על "ציור"‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראשון על "ציור" והשני על "מספר"‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראשון על "מספר" וגם השני על "מספר"‪.‬‬
‫ד‪ .‬הראשון על "מספר" והשני על "ציור"‪.‬‬
‫אם נפל המטבע הראשון על "ציור"‪ ,‬אין הדבר מגדיל את ההסתברות שהשני יפול על "ציור"‬
‫ואינו מקטין הסתברות זאת‪ .‬לכן התוצאות "ציור‪-‬ציור" ו"ציור‪-‬מספר" סבירות במידה‬
‫שווה‪ .‬גם התוצאות "ציור‪-‬מספר" ו‪"-‬מספר‪-‬מספר" שוות‪-‬הסתברות‪ ,‬שהרי אפילו אם ידע‬
‫המטבע הראשון שהשני עתיד ליפול על "מספר"‪ ,‬לא היה הדבר מניע אותו להעדיף את אחת‬
‫מצורות הנפילה על‪-‬פני חברתה‪ .‬לבסוף‪" ,‬מספר‪-‬מספר" שוות‪-‬הסתברות לתוצאה הרביעית‪,‬‬
‫‪15‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫"מספר‪-‬ציור"‪ ,‬מסיבה דומה‪ .‬מרחב התוצאות הוא אפוא מרחב אחיד‪ .‬לפי משפטנו‪ ,‬יש לכל‬
‫אחת מארבע התוצאות הסתברות ‪. 1/4‬‬
‫הניסוי השני‪:‬‬
‫שמו שני מטבעות זהים בקופסה‪ ,‬טלטלו אותה‪ ,‬ואחר‪-‬כך הפכו אותה והניחו למטבעות ליפול על‬
‫השולחן‪ .‬בניסוי זה אין אפשרות להבחין בין "ציור‪-‬מספר" ובין "מספר‪-‬ציור"‪ ,‬לכן יש רק שלוש‬
‫תוצאות‪:‬‬
‫‪ .1‬פעמיים "ציור"‪.‬‬
‫‪ .2‬פעמיים "מספר"‪.‬‬
‫‪ .3‬פעם "ציור" ופעם "מספר"‪.‬‬
‫ההנחה המוטעית שגם מרחב זה הוא אחיד הוליכה אנשים למסקנה‪ ,‬שלכל תוצאה בניסוי זה‬
‫הסתברות ‪ .1/3‬מסקנה זאת מוזרה ביותר לאור העובדה‪ ,‬שכל ההבדל בין ניסוי זה ובין הניסוי‬
‫הקודם הוא רק ביכולתו של המסתכל להבחין בין המטבעות‪ .‬תוצאה ‪ 1‬שבניסוי השני מקבילה‬
‫לתוצאה א בניסוי הראשון‪ ,‬תוצאה ‪ 2‬מקבילה לתוצאה ג ותוצאה ‪ 3‬שבניסוי השני מקבילה‬
‫למאורע }ב‪,‬ד{ שבניסוי הראשון‪.‬‬
‫לאור זה‪ ,‬ההסתברויות בניסוי השני הן ‪ , 1/4 , 1/4‬ו‪. 1/2 -‬‬
‫אכן‪ ,‬בחזרות רבות על הניסוי השני התקבלה התוצאה ‪ 3‬בכמחצית מן המקרים‪ ,‬וכל אחת‬
‫מהתוצאות ‪ 1‬ו‪ 2 -‬התקבלה בכרבע מן המקרים‪.‬‬
‫מהאמור כאן עולים מוסר‪-‬השכל וגם מסקנה חישובית‪.‬‬
‫מוסר ההשכל‪ :‬אין להניח שניסוי הסתברותי הוא אחיד ללא שיקול שיבטיח זאת‪.‬‬
‫המסקנה החישובית נוגעת בניסויים הסתברותיים דומים לנסיון ההטלה של שני מטבעות‪ ,‬כגון‬
‫הטלת שלושה מטבעות או הטלת שתי קוביות‪ .‬גם כאשר המטבעות או הקוביות זהים בצורתם‬
‫עדיף להניח שאנו יכולים להבחין בין מטבע ראשון‪ ,‬מטבע שני ומטבע שלישי או בין קובייה‬
‫ראשונה וקובייה שנייה‪ .‬הנחה כזאת לא תשנה את ההסתברויות של המאורעות המעניינים‬
‫אותנו‪ ,‬אבל תהפוך את הניסוי לאחיד‪ ,‬ובזאת תקל על חישוב ההסתברויות‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ (2‬הטבלה הבאה מתייחסת לניסוי של הטלת שלושה מטבעות‪ .‬השלם אותה‪.‬‬
‫המאורע‬
‫התוצאות הנכללות בו‬
‫אין "ציור"‬
‫"ציור" אחד בלבד‬
‫הסתברותו‬
‫‪1/8‬‬
‫מספר‪-‬ציור‪-‬מספר‬
‫ציור‪-‬מספר‪-‬מספר‬
‫מספר‪-‬מספר‪-‬ציור‬
‫פעמיים "ציור"‬
‫שלוש פעמים "ציור"‬
‫יותר "ציור" מאשר‬
‫"מספר"‬
‫שוויון בין "ציור"‬
‫ו"מספר"‬
‫שלושת המטבעות‬
‫מראים אותו דבר‬
‫במטבע הראשון יצא‬
‫"ציור"‬
‫)זהירות !(ׂ‬
‫‪16‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הסתברות וסטטיסטיקה ל‪ 3-‬יח"ל‬
‫‪ (3‬בהטלת שתי קוביות )שניתן להבחין ביניהן ולכן‪ ,‬למשל‪ ,‬שונה התוצאה ‪ 6-5‬מהתוצאה‬
‫‪(5-6‬‬
‫א‪ .‬הסבר מדוע מספר כל התוצאות האפשריות הוא ‪. 36‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את כל התוצאות שבמאורע "מתקבלות בסה"כ ‪ 7‬נקודות"‪.‬‬
‫ג‪ .‬השלם את הטבלה‪:‬‬
‫מספר נקודות‬
‫ההסתברות לקבלתו‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫=‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪6‬‬
‫‪36‬‬
‫בדוק אם סכום ההסתברויות הוא אומנם ‪.1‬‬
‫‪ .4‬בכד אחד ‪ 7‬כדורים לבנים ו‪ 3-‬שחורים‪ .‬גם בכד אחר ‪ 7‬כדורים לבנים‪ ,‬אך מספר הכדורים‬
‫השחורים שם הוא ‪ .6‬עומדים להוציא כדור מאחד הכדים )בלי להסתכל פנימה(‪ .‬האם נכון‬
‫לומר‪ ,‬שאם יוציאו כדור מהכד השני‪ ,‬גדולה ההסתברות שהוא יהיה שחור כפליים מההסתברות‬
‫לכדור שחור כאשר מוציאים כדור מהכד הראשון? נמק!‬
‫‪ .5‬על פיאותיה של קובייה תקינה אחת כתובים המספרים ‪ 0, 1, 2, 3, 4, 5‬ועל הפיאות של‬
‫קובייה תקינה אחרת כתובים ‪. 0, 6, 12, 18, 24, 30‬‬
‫הניסוי‪ :‬מטילים את שתי הקוביות ומחברים את שני המספרים שהתקבלו‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו מרחב התוצאות ‪?Ω‬‬
‫ב‪ .‬הסבר מדוע הניסוי הוא ניסוי הסתברותי אחיד!‬
‫הנחיה‪ :‬בכמה אופנים אפשר לקבל בניסוי זה את התוצאה ‪? 27‬‬
‫*‪ .6‬הצע דרך לכתוב מספרים על פיאותיהן של שתי קוביות תקינות באופן שהטלתן וחיבור‬
‫התוצאות יתנו את המספרים ‪ 12 ... ,3 ,2 1‬בהסתברויות שוות‪.‬‬
‫‪ .7‬הנסיון בסביבון‪-‬החץ שבראש הספר אינו ניסיון הסתברותי אחיד‪ .‬כיצד ניתן לשנות את‬
‫סביבון החץ באופן שהנסיון יהיה אחיד‪ ,‬והתוצאות של הניסוי הישן תהיינה מאורעות של‬
‫הניסוי החדש עם הסתברויות כמקודם ?‬
‫‪ .8‬מטילים שני מטבעות של ‪ 5‬אגורות ומטבע אחד של ‪ 10‬אגורות ומחברים את המספרים‬
‫שהתקבלו‪ .‬מהי ההסתברות לקבל ‪ ?0‬לקבל ‪ ?5‬לקבל ‪ ?10‬לקבל ‪ ?15‬לקבל ‪?20‬‬
‫‪17‬‬