‫מס' מחברת‪:‬‬ ‫ת‪.‬ז‪:.‬‬ ‫מבחן באלגוריתמים‬ ‫סמסטר א' תשע"ג‪ ,‬מועד א'‬ ‫תאריך‪ 31 :‬בינואר ‪2013‬‬ ‫מרצה‪ :‬פרופ' מיכה שריר‬ ‫מתרגלים‪ :‬רני הוד‪ ,‬שי ורדי‬ ‫משך הבחינה‪ 3 :‬שעות‪.‬‬ ‫חומר עזר מותר‪ :‬דף ‪ A4‬אחד‪ ,‬כתוב משני הצדדים‪.‬‬ ‫במבחן ‪ 5‬שאלות‪ .‬יש לענות על כולן‪.‬‬ ‫• תשובות נכונות ומלאות על ‪ 4‬מהשאלות יזכו אותך ב־‪ 90‬נקודות‪ ,‬ותשובות נכונות ומלאות על‬ ‫כל השאלות ב־‪ 100‬נקודות‪.‬‬ ‫• על התשובה לכל שאלה להופיע במסגרת המתאימה‪ .‬יש להשתדל לקצר בהסברים ולא לחרוג‬ ‫מן המסגרות שהוקצו להם‪.‬‬ ‫• מחברת הבחינה משמשת כטיוטא בלבד ולא תיבדק‪ ,‬אך יש להגישה עם המבחן‪.‬‬ ‫• ודאו היטב את תשובתכם לפני כתיבתה בטופס המבחן‪ .‬בסוף הטופס מצורף זוג מסגרות נוסף‪,‬‬ ‫לשימוש במקרי "חירום"‪.‬‬ ‫• התשובה לכל שאלה העוסקת באלגוריתם צריכה להיות יעילה ככל האפשר‪ ,‬ומלווה בהסבר‬ ‫מתאים‪.‬‬ ‫• בכל השאלות המתייחסות לגרפים‪ ,‬אם לא מצוין אחרת‪ ,‬הכוונה לגרף פשוט )בלי לולאות ובלי‬ ‫קשתות מקבילות(‪ .‬בנוסף‪ ,‬אם לא מצוין אחרת‪ ,‬כל גרף מיוצג ע"י רשימת שכנויות‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫עמוד ‪ 1‬מתוך ‪9‬‬ ‫מס' מחברת‪:‬‬ ‫ת‪.‬ז‪:.‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫נתון גרף לא מכוון )‪ .G = (V, E‬תארו אלגוריתם יעיל לחישוב קבוצת הצמתים ‪ U ⊆ V‬שנמצאים‬ ‫על איזשהו מעגל פשוט ב‪.G-‬‬ ‫)במילים אחרות‪ ,‬לכל ‪ u ∈ U‬יש מעגל פשוט כלשהו שעובר דרכו‪(.‬‬ ‫יעילות‪:‬‬ ‫אלגוריתם והסבר‪:‬‬ ‫עמוד ‪ 2‬מתוך ‪9‬‬ ‫מס' מחברת‪:‬‬ ‫ת‪.‬ז‪:.‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫נתון גרף מכוון )‪ G = (V, E‬על קבוצת הצמתים } ‪ V = {v1 , v2 , . . . , vn‬עם פונקציית משקל‬ ‫‪ w : E → R‬וידוע שאין ב‪ G-‬מעגלים שליליים ביחס ל‪ .w-‬תארו אלגוריתם יעיל שמחשב‪ ,‬לכל‬ ‫‪ ,1 ≤ i < j ≤ n‬את משקל המסלול הקל ביותר ‪ vi vj‬מבין המסלולים שלא עוברים באף אחד‬ ‫מבין הצמתים } ‪.{vj+1 , vj+2 , . . . , vn‬‬ ‫)כמובן שאם לזוג ‪ i, j‬מסוים קבוצת המסלולים הנ"ל ריקה‪ ,‬לא צריך לחשב מסלול זה‪(.‬‬ ‫יעילות‪:‬‬ ‫אלגוריתם והסבר‪:‬‬ ‫עמוד ‪ 3‬מתוך ‪9‬‬ ‫מס' מחברת‪:‬‬ ‫ת‪.‬ז‪:.‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫ע"י מטריצה ‪A ∈ Rm×n‬‬ ‫נתונה‬ ‫מערכת משוואות לינארית‪ n‬עם ‪ m‬משוואות ו‪ n-‬נעלמים המוגדרת ‬ ‫‪m‬‬ ‫¯‬ ‫¯‬ ‫ווקטור ‪ .b ∈ R‬נאמר שוקטור ‪ x¯ ∈ R‬הוא פתרון ‪-‬מקורב של המערכת ‪ A, b‬אם מתקיים‬ ‫! ‬ ‫‬ ‫‪ m‬‬ ‫‬ ‫ = ‪x − ¯b i i=1‬‬ ‫¯‪x − ¯b∞ = max A‬‬ ‫¯‪. A‬‬ ‫הראו כיצד ניתן להשתמש בתכנות לינארי כדי לחשב פתרון מקורב טוב ביותר )דהיינו‪- ,‬מקורב‬ ‫עבור מינימלי(‪.‬‬ ‫¯‬ ‫)במילים אחרות‪ ,‬אנו רוצים שהסטייה המקסימלית של רכיבי ‪ A¯x‬מאיברי ‪ b‬המתאימים תהיה קטנה‬ ‫ככל האפשר‪(.‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫עמוד ‪ 4‬מתוך ‪9‬‬ ‫מס' מחברת‪:‬‬ ‫ת‪.‬ז‪:.‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫נתונה רשת זרימה )‪ G = (V, E‬עם קיבולים ‪ ,c : E → R+‬מקור ‪ s‬ובור ‪ .t‬תארו אלגוריתם יעיל‬ ‫שמחשב‪ ,‬בהנתן זוג קשתות ‪ ,e1 , e2 ∈ E‬האם קיים חתך מינימלי ברשת שמכיל בדיוק אחת משתי‬ ‫הקשתות ‪.e1 , e2‬‬ ‫יעילות‪:‬‬ ‫אלגוריתם והסבר‪:‬‬ ‫עמוד ‪ 5‬מתוך ‪9‬‬ ‫מס' מחברת‪:‬‬ ‫ת‪.‬ז‪:.‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫לקראת הבחירות בדמוקרטיה קטנה במערב התיכון‪ ,‬מתכנסים המועמדים של שתי הרשימות "אחדות־‬ ‫משכננו" ו"התעסוקה" לצילום משותף‪ .‬כל רשימה מורכבת מ‪ n-‬מועמדים‪ ,‬נסמנם ‪a1 , a2 , . . . , an‬‬ ‫ו‪ b1 , b2 , . . . , bn -‬בהתאמה ) ‪ a1‬הבכיר ביותר ו‪ an -‬הזוטר ביותר; כך גם ברשימה השנייה(‪ .‬בתמונה‬ ‫יעמדו ‪ 2n‬המועמדים בשורה אחת‪ ,‬ויש לקבוע את הסדר שלהם בכפוף להנחיות הבאות‪:‬‬ ‫• על־פי התקנון של מפלגת "אחדות־משכננו"‪ ,‬אסור לפרסם תמונה בה מועמד עומד מימין‬ ‫למועמד בכיר ממנו )כלומר‪ a1 ,‬צריך לעמוד הכי מימין ו‪ an -‬הכי משמאל מבין ‪;(a1 , . . . , an‬‬ ‫• על־פי התקנון של מפלגת "התעסוקה"‪ ,‬אסור לפרסם תמונה בה מועמד עומד משמאל למועמד‬ ‫בכיר ממנו )כלומר‪ b1 ,‬צריכה לעמוד הכי משמאל ו‪ bn -‬הכי מימין מבין ‪;(b1 , . . . , bn‬‬ ‫• לכל זוג סדור של מועמדים ‪) x, y‬לאו דווקא ממפלגות שונות( נתון סקר דעת קהל‪ ,‬הקובע‬ ‫שאם ‪ x‬עומד בתמונה מייד לשמאלו של ‪ y‬אז )‪ L (x, y‬אנשים יעשו לה ‪ like‬בפייסבוק‪ .‬במילים‬ ‫אחרות‪ ,‬עבור סדר ‪ c1 , c2 , . . . , c2n‬של המועמדים יתקבלו בסה"כ‬ ‫) ‪L (c1 , c2 ) + L (c2 , c3 ) + · · · + L (c2n−1 , c2n‬‬ ‫לייקים‪ .‬הטבלה ‪ L‬נתונה מראש‪.‬‬ ‫תארו אלגוריתם יעיל שמחשב את סדר המועמדים כך שהתמונה תקבל מספר מירבי של לייקים‪.‬‬ ‫משמעות לערכי האלכסון; יתרה מזאת‪,‬‬ ‫הערה‪ :‬בהסתכלות על ‪ L‬כמטריצה ‪ ,2n × 2n‬שימו לב שאין‬ ‫‬ ‫‪Laa Lab‬‬ ‫אם נפרק את ‪ L‬לארבעה בלוקים בגודל ‪ n × n‬כ"א‬ ‫‪Lba Lbb‬‬ ‫מעל האלכסון של ‪) Laa‬ובהתאמה‪ ,‬מתחת לאלכסון של ‪ (Lbb‬בגלל תקנוני המפלגות‪.‬‬ ‫= ‪ L‬אז אין משמעות לערכים‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫דוגמא‪ :‬עבור ‪ n = 2‬והקלט ‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫?‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫?‬ ‫?‬ ‫?‬ ‫?‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫?‬ ‫‪‬‬ ‫‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ L = ‬יש ‪ 6 = 42‬אופציות‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a2 , a1 , b1 , b2 → 6 + 2 + 7‬‬ ‫‪a2 , b1 , a1 , b2 → 1 + 4 + 8‬‬ ‫‪b1 , a2 , a1 , b2 → 3 + 6 + 8‬‬ ‫‪a2 , b1 , b2 , a1 → 1 + 7 + 0‬‬ ‫‪b1 , a2 , b2 , a1 → 3 + 9 + 0‬‬ ‫‪b1 , b2 , a2 , a1 → 7 + 5 + 6‬‬ ‫והאופטימלית מביניהן היא האחרונה )עם ‪ 18‬לייקים(‪.‬‬ ‫עמוד ‪ 6‬מתוך ‪9‬‬ ‫מס' מחברת‪:‬‬ ‫ת‪.‬ז‪:.‬‬ ‫שאלה ‪) 5‬המשך(‬ ‫יעילות‪:‬‬ ‫אלגוריתם והסבר‪:‬‬ ‫עמוד ‪ 7‬מתוך ‪9‬‬ ‫ת‪.‬ז‪:.‬‬ ‫מסגרת "חירום" לשאלה מספר‬ ‫מס' מחברת‪:‬‬ ‫‪ ,‬סעיף‬ ‫‪:‬‬ ‫עמוד ‪ 8‬מתוך ‪9‬‬ ‫ת‪.‬ז‪:.‬‬ ‫מסגרת "חירום" לשאלה מספר‬ ‫מס' מחברת‪:‬‬ ‫‪ ,‬סעיף‬ ‫‪:‬‬ ‫עמוד ‪ 9‬מתוך ‪9‬‬