מבוא - Anat Etzion

‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫מבוא‬
‫טענה‪ :‬נכונה בעולם‪.‬‬
‫טיעון‪ :‬מבנה שמכיל הנחות ומסקנות נאמר שטיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות אז גם‬
‫המסקנות נכונות‪.‬‬
‫דוגמא למבנה תקף‪ :‬אם ‪ A‬הוא ‪ B‬וכל ‪ B‬הוא ‪ ,C‬אז ‪ A‬הוא ‪.C‬‬
‫דוגמא למבנה לא תקף‪ :‬אין ‪ A‬ללא ‪ B‬ול‪ C-‬יש ‪ ,B‬אז ‪ C‬הוא ‪.A‬‬
‫מונחי יסוד בתורת הקבוצות‪:‬‬
‫קבוצה‪ :‬אוסף של אלמנטים הנקראים איברי הקבוצה‪ .‬אין חשיבות לסדר ואין משמעות לחזרות‪.‬‬
‫שייכות‪ :‬נאמר ש‪ x -‬הוא איבר של קבוצה ‪ A‬אם ‪ x‬הוא אחד האלמנטים ב‪ . A -‬סימון‪. x  A :‬‬
‫הערה‪ :‬אם ‪ b‬לא איבר ב‪ A -‬מסמנים‪. b  A :‬‬
‫הקבוצה הריקה‪ :‬הקבוצה בלי איברים‪ ,‬הקבוצה עם ‪ 0‬איברים‪ .‬סימון‪. {},  :‬‬
‫הערה‪ { } :‬אינה קבוצה ריקה‪ ,‬זו קבוצה שמכילה איבר אחד‪.‬‬
‫שוויון בין קבוצות‪ :‬נאמר ש‪ A -‬ו‪ B -‬קבוצות שוות אם ל‪ A -‬ול‪ B -‬יש את אותם איברים‪.‬‬
‫סימון‪  A  B :‬לכל איבר ‪ x  A , x‬אם"ם ‪. x  B‬‬
‫גודל של קבוצה‪ :‬נאמר ש‪ A -‬קבוצה סופית אם מספר האיברים בה הוא‬
‫‪.n ‬‬
‫סימון‪ - | A | :‬הגודל של ‪. A‬‬
‫תת‪-‬קבוצה‪ A :‬נקראת תת‪-‬קבוצה של ‪ B‬אם כל איבר ב‪ A -‬הוא איבר ב‪. B -‬‬
‫סימון‪ A  A  B :‬מוכלת ב‪ B , B -‬מכילה את ‪ A , A‬חלקית ל‪. B -‬‬
‫‪ A  B‬אם קיים ‪ x  A‬כך ש‪. x  B -‬‬
‫הכלה ממש‪ :‬נאמר ש‪ A -‬מוכלת ממש ב‪ B -‬אם ‪ A  B‬ו‪ . A  B -‬סימון‪B :‬‬
‫‪. A  B, A‬‬
‫הערה‪ :‬לא לבלבל עם ‪. A  B‬‬
‫תכונות של הכלה‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל קבוצה ‪ A‬מתקיים‪(   A :‬ניתן לטעון שכל אברי הקבוצה הריקה שייכים ל‪.) A -‬‬
‫‪ .4‬לכל קבוצה ‪. A  A , A‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ A  B‬ו‪ B  C -‬אז ‪. A  C‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ A  B  A  B‬וגם ‪. B  A‬‬
‫פעולות על קבוצות‪:‬‬
‫איחוד קבוצות‪ :‬האיחוד של הקבוצות ‪ A‬ו‪ B -‬הוא הקבוצה המסומנת‪ A  B :‬ומוגדרת ע"י‪:‬‬
‫} ‪. A  B  { x | x  A or x  B‬‬
‫תכונות האיחוד‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ A  B‬אז ‪. A  B  B‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.A B  B A‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪(  A  B   C  A   B  C ‬האסוציאטיביות של האיחוד)‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.A A  A‬‬
‫‪.A  A‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.A  A B‬‬
‫‪1‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫חיתוך קבוצות‪ :‬קבוצת החיתוך של ‪ A‬ו‪ B -‬מסומנת‪ A  B :‬ומוגדרת ע"י‪:‬‬
‫} ‪. A  B  { x | x  A and x  B‬‬
‫הערה‪ :‬אם ל‪ A -‬ול‪ B -‬אין איברים משותפים ( ‪ ) A  B  ‬נאמר ש‪ A -‬ו‪ B -‬זרות‪.‬‬
‫תכונות החיתוך‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ A  B‬אז ‪. A  B  A‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.A B  B A‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪(  A  B   C  A   B  C ‬האסוציאטיביות של החיתוך)‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.A A  A‬‬
‫‪.A  ‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪. A  B  A, A  B  B‬‬
‫הפרש קבוצות‪ :‬ההפרש בין ‪ A‬ו‪ B -‬מוגדר ע"י‪ , A \ B  { x | x  A and x  B } :‬כלומר כל איברי‬
‫‪ A‬שאינם איברים ב‪. B -‬‬
‫סימון‪. A \ B , A  B :‬‬
‫הפרש סימטרי‪ , A  B   A \ B    B \ A  :‬כל אברי ‪ A‬שאינם ב‪ B -‬וכל אברי ‪ B‬שאינם ב‪. A -‬‬
‫תכונות ההפרש הסימטרי‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.A B  A BA B‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.A B  B A‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪. A  B   C  A   B  C ‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.A A  ‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.A  A‬‬
‫קבוצת החזקה‪ :‬בהינתן קבוצה ‪ , A‬קבוצת החזקה של ‪ A‬מסומנת‪ P  A  :‬ומוגדרת ע"י‪:‬‬
‫}‪ , P  A   { S | S  A‬כלומר קבוצת כל תתי‪-‬הקבוצות של ‪. A‬‬
‫טענה‪ :‬לכל ‪A , B‬‬
‫‪-‬‬
‫מתקיים‪. P  A   P  B   P  A  B  :‬‬
‫‪-‬‬
‫לא מתקיים‪. P  A   P  B   P  A  B  :‬‬
‫‪2‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫בנייה פורמאלית של תורת הקבוצות‬
‫‪ .1‬הקבוצה הריקה‪ :‬קיימת קבוצה ריקה‪ .‬סימון‪ .  :‬הקבוצה הריקה היא יחידה‪.‬‬
‫‪ .4‬קבוצות של שני איברים‪ :‬לכל שתי קבוצות ‪ A‬ו‪ B -‬קיימת קבוצה ‪ C‬ש‪ A -‬ו‪ B -‬הם האיברים‬
‫היחידים שלה } ‪ C ( C  { A , B‬זוג לא סדור)‪.‬‬
‫‪ .2‬איחודים‪ :‬לכל שתי קבוצות ‪ A‬ו‪ B -‬קיימת קבוצה ‪ C‬עבורה‪ x  C :‬אם"ם ‪ x  A‬או ‪. x  B‬‬
‫סימון‪. C  A  B :‬‬
‫‪ .2‬עיקרון ההפרדה‪/‬החלוקה‪ :‬בהינתן שקיימת קבוצה ‪ , A‬ניתן להגדיר תכונה של איברי ‪ A‬וקיימת‬
‫קבוצה ‪ B  A‬שמכילה בדיוק את כל אברי ‪ A‬שמקיימים את התכונה‪.‬‬
‫‪ .5‬כלל החזקה‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬קיימת הקבוצה‪. P  A  :‬‬
‫זוג סדור‪ :‬זוג איברים עם סדר ביניהם‪ .‬סימון‪.  a , b  ,  a , b  :‬‬
‫ההבדל בין זוג סדור לשני איברים בקבוצה‪:‬‬
‫ בקבוצה אין סדר ואין חזרות‪.‬‬‫‪=  a , a ‬זוג‪= { a , a } ,‬קבוצה של איבר אחד‪.‬‬
‫‬‫‪-‬‬
‫} ‪.  a , b   b , a  , { a , b }  {b , a‬‬
‫הערה‪ :‬באותו אופן ניתן להגדיר שלשה סדורה‪.  a , b , c  :‬‬
‫מכפלה קרטזית‪ :‬בהינתן שתי קבוצות ‪ A‬ו‪ , B -‬המכפלה הקרטזית של ‪ A‬ב‪ B -‬מסומנת‪A  B :‬‬
‫ומוגדרת ע"י‪ A  B  { a , b  | a  A , b  B } :‬כלומר‪ :‬אוסף כל הזוגות הסדורים שהאיבר הראשון‬
‫הוא מ‪ A -‬והשני הוא מ‪. B -‬‬
‫עבור קבוצות סופיות‪:‬‬
‫ | ‪. | A  B | | A |  | B‬‬‫‪-‬‬
‫‪. A  B   C  A   B  C ‬‬
‫‪2‬‬
‫מכפלה של קבוצה עם עצמה‪. A  {0,1} A  A  A    0, 0  ,  0,1  , 1, 0  , 1,1  :‬‬
‫תכונות של מכפלה קרטזית‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.  A      A‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ A    A  B  ‬או ‪( B  ‬או שניהם)‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ A  B‬אזי לכל קבוצה ‪. A  C  B  C , C‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪. A  B   C   A  C    B  C ‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪. A  B   C   A  C    B  C ‬‬
‫‪.  A \ B   C   A  C  \  B  C  .6‬‬
‫‪3‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫רלציות‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫רלציה בינארית‪ :‬רלציה בין ‪ A‬ל‪ B -‬היא תת‪-‬קבוצה כלשהי של ‪. A  B‬‬
‫רלציה טרינארית‪ :‬רלציה בין ‪ A , B‬ו‪ C -‬היא תת‪-‬קבוצה כלשהי של ‪. A  B  C‬‬
‫רלציה אונארית‪ :‬תת‪-‬קבוצה כלשהי של ‪. A‬‬
‫הערה‪ :‬מספר הרלציות בין ‪ A‬ל‪ B -‬שקול לשאלה כמה תתי‪-‬קבוצות יש ל‪. 2 | A B |  2 | A|| B| : A  B -‬‬
‫תחום וטווח של רלציה‪ :‬תהי ‪ R  A  B‬רלציה בינארית בין ‪ A‬ל‪. B -‬‬
‫‪( D om ain  R    x  A |  y  B ,  x , y   R ‬כל אברי ‪ A‬שמהם יוצאות קשתות בגרף)‪.‬‬
‫‪( R a n g e  R    y  B |  x  A ,  x , y   R ‬כל אברי ‪ B‬שאליהם נכנסת לפחות קשת אחת)‪.‬‬
‫רלציה הופכית‪ :‬בהינתן רלציה ‪ , R  A  B‬מגדירים רלציה הופכית ל‪ R -‬המסומנת‪, R  1 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ R  B  A‬באופן הבא‪. aR b  bR  1 a :‬‬
‫בגרף‪ :‬הופכים את כיווני הקשתות‪.‬‬
‫במטריצה‪ :‬אם ‪ M‬מייצגת את ‪ R‬אז‬
‫‪t‬‬
‫‪ M‬מייצגת את‬
‫‪1‬‬
‫‪.R‬‬
‫רלציה משלימה‪ :‬בהינתן ‪. R  A  B \ R , R  A  B‬‬
‫‪c‬‬
‫במטריצה‪ :‬הופכים ‪ 0‬ל‪ 1-‬ו‪ 1‬ל‪.0-‬‬
‫הרכבת רלציות‪ :‬בהינתן ‪ R  A  B‬ו‪ , S  B  C -‬מגדירים‪ R S  A  C :‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪ R S    a , c  |  b  B ,  a , b   R and  b , c   S ‬כלומר‪ ,‬אוסף כל הזוגות שעבורם יש‬
‫מסלול מ‪ A -‬ל‪. C -‬‬
‫הערה‪ :‬ייתכן שההרכבה תהיה ריקה למרות שהרלציות לא ריקות‪.‬‬
‫תכונות של הרכבת רלציות‪:‬‬
‫‬‫‪-‬‬
‫אסוציאטיביות‪.  R1 R 2  R 3  R1  R 2 R 3  :‬‬
‫הופכי של הרכבה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ R2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.  R1 R 2 ‬‬
‫הערה‪ :‬אם מוגדרת ‪ , R S‬לא בהכרח מוגדרת ‪. S R‬‬
‫רלציות מעל קבוצה‪ :‬רלציה בינארית מעל ‪ A‬היא תת‪-‬קבוצה כלשהי של ‪. A  A‬‬
‫חזקות של רלציה‪ :‬כאשר מדברים על ‪ R‬שמוגדרת מעל ‪ A‬מסמנים את ‪ R R‬ב‪. R -‬‬
‫‪2‬‬
‫רלציות בעלות תכונות מיוחדות‪:‬‬
‫מתייחס לרלציה ‪ R‬מעל קבוצה ‪, A‬‬
‫רפלקסיביות‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫רלציה רפלקסיבית‪ :‬לכל ‪.  x , x   R , x  A‬‬
‫בגרף‪ :‬לכל הצמתים יש לולאות עצמיות‪.‬‬
‫במטריצה‪ :‬אלכסון של ‪-1‬ים‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫רלציה לא רפלקסיבית‪ :‬קיים ‪ x  A‬ו‪.  x , x   R -‬‬
‫‪4‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫‪-‬‬
‫רלציה אי‪-‬רפלקסיבית‪ :‬לכל ‪.  x , x   R , x  A‬‬
‫סימטריות‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫רלציה סימטרית‪ :‬לכל ‪.  x , y   R   y , x   R ,  x , y   A‬‬
‫‪-‬‬
‫רלציה לא סימטרית‪ :‬קיים ‪  x , y   R ,  x , y   A‬וגם ‪.  y , x   R‬‬
‫‪-‬‬
‫רלציה אסימטרית‪ :‬לכל ‪.  x , y   R   y , x   R , x , y  A‬‬
‫‪-‬‬
‫רלציה אנטי סימטרית‪ :‬לכל ‪ , x , y  A‬אם ‪  x , y   R‬וגם ‪  y , x   R‬אז‪. x  y :‬‬
‫טרנזיטיביות‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫רלציה טרנזיטיבית‪ :‬לכל ‪ , x , y , z  A‬אם ‪  x , y   R‬ו‪  y , z   R -‬אז‪.  x , z   R :‬‬
‫בגרף‪ :‬אם יש מסלול באורך ‪ 4‬מ‪ x -‬ל‪ z -‬אז יש גם קשת מ‪ x -‬ל‪. z -‬‬
‫הרכבת רלציות‪:‬‬
‫‪R1  A  B , R 2  B  C , R 1 R 2  A  C‬‬
‫הגדרה‪R1 R 2    a , c  |  b  B :  a , b   R1   b , c   R 2  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R R  R‬‬
‫סגור (‪ S :)closure‬הוא הסגור של ‪ R‬לפי ‪ ‬אם‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.R  S‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ S‬מקיים את ‪. ‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ R  T‬וגם ‪ T‬מקיים ‪ ‬אז ‪. S  T‬‬
‫הסגור הטרנזיטיבי‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫‪. R* ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪k‬‬
‫הסגור הרפלקסיבי‪. R  I A , I A    a , a  | a  A  :‬‬
‫הסגור הסימטרי‪   x , y  |  y , x   R  :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪RR , R‬‬
‫הערה‪ :‬אין סגור אנטי‪-‬סימטרי‪.‬‬
‫יחסי שקילות‪:‬‬
‫יחס שקילות‪ :‬נאמר שיחס ‪ E‬מעל קבוצה ‪ A‬הוא יחס שקילות אם ‪ E‬רפלקסיבי‪ ,‬סימטרי‬
‫וטרנזיטיבי‪.‬‬
‫מחלקת שקילות‪ :‬יהי ‪ E‬יחס שקילות מעל קבוצה ‪ . A‬מחלקת השקילות של איבר ‪ x  A‬מסומנת‬
‫ע"י‪ [ x ] :‬ומוגדרת באופן הבא‪. [ x ]  { y |  x , y   E } :‬‬
‫חלוקה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה‪ .‬חלוקה של ‪ A‬היא קבוצה של תתי‪-‬קבוצות לא ריקות של ‪ , A‬זרות זו לזו‬
‫שאיחודן הוא כל ‪. A‬‬
‫קבוצת מנה‪ :‬יהי ‪ E‬יחס שקילות מעל ‪ . A‬קבוצת המנה ‪ A / E‬מהווה חלוקה של ‪ . A‬כלומר‪ ,‬יחס‬
‫השקילות משרה חלוקה של התחום לקבוצות זרות שהן מחלקות השקילות‪.‬‬
‫בגרף‪ :‬עבור כל מחלקת שקילות‪ -‬קליק (גרף מלא)‪.‬‬
‫במטריצה‪ :‬מטריצת בלוקים שיש בהם ‪-1‬ים על האלכסון‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫למות להוכחת המשפט‪ :‬יהי ‪ E‬יחס שקילות מעל ‪A‬‬
‫‪ .1‬לכל איבר ‪ x  A‬מתקיים‪. [ x ]    x  [ x ] :‬‬
‫‪ .4‬לכל ‪. [ x ]  [ y ]   x , y   E : x , y  A‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪. [ x ]  [ y ]    [ x ]  [ y ] : x , y  A‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪[ x]  A‬‬
‫‪x A‬‬
‫‪6‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫פונקציות‬
‫פונקציה‪ :‬רלציה ‪ f‬בין ‪ A‬ל‪ B -‬היא פונקציה אם לכל ‪ x  A‬קיים ‪ y  B‬יחיד כך ש‪.  x , y   f -‬‬
‫קיום‪.  a  A ,  b  B :  a , b   f :‬‬
‫יחידות‪.  a  A ,  b1 , b 2  B :  a , b1   f a n d  a , b 2   f  b1  b 2 :‬‬
‫בגרף‪ :‬מכל צומת ב‪ A -‬יוצאת קשת אחת בדיוק לצומת ב‪. B -‬‬
‫סימון‪:‬‬
‫‪f  A B  f : A  B‬‬
‫‪f  f a  b‬‬
‫‪ a, b  ‬‬
‫פונקציה חח"ע‪ :‬פונקציה ‪ f‬המקיימת‪.  a1 , b   f   a 2 , b   f  a1  a 2 :‬‬
‫פונקציה על‪ :‬פונקציה ‪ f‬המקיימת‪.  b  B ,  a  A :  a , b   f :‬‬
‫פונקציה הפיכה‪ :‬פונקציה שהיא חח"ע ועל‪.‬‬
‫‪f  A B  f :A  B‬‬
‫‪k‬‬
‫פונקציות ‪ k‬מקומיות‪:‬‬
‫‪ Ak  B‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ Ak  B  f : A1  A2 ‬‬
‫‪f  A1  A2 ‬‬
‫סגירות תחת פונקציות‪:‬‬
‫סגירות תחת פונקציה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה‪ f : A  A ,‬פונקציה‪ .‬נאמר ש‪ A0  A -‬סגורה תחת ‪f‬‬
‫אם לכל ‪ x  A0‬מתקיים‪. f  x   A0 :‬‬
‫סגירות תחת קבוצת פונקציות‪ :‬תהי ‪, f m ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ F   f 1 , f 2 ,‬קבוצת פונקציות כאשר‪. f i : A  A :‬‬
‫‪i‬‬
‫( ‪ f i‬פונקציה שהיא ‪ k i‬מקומית)‪ ,‬ותהי ‪ A‬קבוצה‪ .‬נאמר ש‪ A0  A -‬סגורה תחת ‪ F‬אם לכל‬
‫‪ 1  i  m‬מתקיים ‪ A0‬סגורה תחת ‪ . f i‬כלומר לכל ‪, a k i  A0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a1 ,‬מתקיים‪, a k i  A0 :‬‬
‫‪. f i  a1 ,‬‬
‫טענה‪ :‬תהי ‪ F‬משפחת פונקציות מעל ‪ A‬ותהיינה ‪ A1 , A2  A‬תתי‪-‬קבוצות סגורות תחת ‪ , F‬אז‬
‫‪ A1  A2‬סגורה תחת ‪. F‬‬
‫הרחבת הטענה‪ :‬תהי ‪ F‬משפחת פונקציות מעל ‪ A‬ותהי ‪ B‬קבוצת תתי‪-‬קבוצות של ‪ A‬שכל‬
‫האיברים שלה סגורים תחת ‪ , F‬אז ‪B‬‬
‫סגורה תחת ‪. F‬‬
‫הרכבת פונקציות‪:‬‬
‫הגדרה‪g  x   g  f  x   :‬‬
‫‪f‬‬
‫‪f :A B‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪g : B  C‬‬
‫הערה‪ :‬סדר ההפעלה הוא משמאל לימין‪ ,‬הפונקציה הכי שמאלית מופעלת ראשונה‪.‬‬
‫משפטים על הרכבה‪:‬‬
‫‪ ‬אם ‪ f , g‬פונקציות אז גם ‪ f g‬היא פונקציה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ f , g‬חח"ע אז גם ‪g‬‬
‫‪ f‬היא חח"ע‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ f , g‬על אז גם ‪g‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ f , g‬הפיכות אז אז גם ‪g‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪g‬‬
‫‪ f‬היא על‪.‬‬
‫‪ f‬הפיכה‪.‬‬
‫‪ f‬על וגם ‪ g‬חח"ע אזי ‪ f‬על‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫הגדרת קבוצות באינדוקציה‬
‫הגדרה‪ :‬בהינתן קבוצת אטומים (קבוצת בסיס) ‪ B‬וקבוצת פעולות יצירה (פונקציות) ‪ , F‬מסמנים ב‪-‬‬
‫‪ X B , F‬את הקבוצה המוגדרת באינדוקציה ע"י ‪ B‬ו‪ X B , F . F -‬היא הקבוצה היחידה המקיימת‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪. B  X B ,F‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ X B , F‬סגורה תחת ‪ : F‬לכל ‪, y k  X B , F‬‬
‫‪ , y1 ,‬אם ‪ z‬מתקבל מהם ע"י אחת הפעולות ב‪F -‬‬
‫אז גם ‪. z  X B , F‬‬
‫‪ .2‬ב‪ X B , F -‬קיימים רק איברים הכרחיים לקיום דרישות ‪ 1‬ו‪.4-‬‬
‫מסקנה מהבנייה‪ :‬כל קבוצה ‪ X‬שמקיימת את דרישות ‪ 1‬ו‪ 4-‬מכילה את ‪. X B , F‬‬
‫משפט ההוכחה באינדוקציה‪ :‬על‪-‬מנת להוכיח שקבוצה ‪ , X B , F  Y‬מספיק להוכיח‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.B  Y‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ Y‬סגורה תחת ‪. F‬‬
‫סדרת יצירה‪ :‬סדרת יצירה עבור ‪ a‬מתוך ‪ X B , F‬היא סדרה סופית ‪, a n‬‬
‫‪)1‬‬
‫‪ a1 ,‬המקיימת‪:‬‬
‫‪. an  a‬‬
‫‪ )4‬לכל ‪ a i  B , 1  i  n‬או ש‪ a i -‬מתקבל ע"י הפעלת אחת הפעולות מ‪ F -‬על איברים הנמצאים‬
‫בסדרה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬סדרת יצירה היא לא יחידה ולא בהכרח סופית‪.‬‬
‫טענה‪ :‬תהי ‪ B‬קבוצת גרעין ו‪ F -‬קבוצת פעולות‪ .‬אזי לכל איבר ‪  a  X B , F , a‬ל‪ a -‬קיימת‬
‫סדרת יצירה מתוך ‪. X B , F‬‬
‫הוכחה שאיבר לא בקבוצה‪ :‬על‪-‬מנת להוכיח ש ‪ a  X B , F‬נמצא תכונה ‪ T‬המקיימת‪:‬‬
‫(א) ‪ a‬לא מקיים ‪. T‬‬
‫(ב) כל אברי ‪ X B , F‬מקיימים ‪( T‬כל אברי הבסיס מקיימים ‪ T‬וקבוצת הפעולות משמרת את ‪.) T‬‬
‫‪8‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫עוצמות של קבוצות‬
‫עוצמה‪ :‬בקבוצות סופיות‪ ,‬סימנו גודל קבוצה ב‪ | A | -‬וזו העוצמה של ‪. A‬‬
‫משפט‪ :‬תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות סופיות‪  | A | | B | .‬קיימת ‪ f : A  B‬חח"ע ועל‪.‬‬
‫קבוצות שוות עוצמה‪ :‬נאמר שקבוצות ‪ A‬ו‪ B -‬הן שוות עוצמה אם קיימת ‪ f : A  B‬שהיא חח"ע‬
‫ועל‪ .‬סימון‪. A B :‬‬
‫טענה‪ :‬יחס ‪B‬‬
‫‪ A‬הוא יחס שקילות‪B  .‬‬
‫‪. R   A , B  | A‬‬
‫הערה‪ :‬מחלקות השקילות נקראות המספרים הקרדינליים‪.‬‬
‫קבוצה אינסופית‪:‬‬
‫‪ n ‬כך‬
‫הגדרה‪ :1-‬קבוצה ‪ A‬תיקרא סופית אם המספר הקרדינלי שלה סופי‪ .‬כלומר‪ ,‬קיים‬
‫שקיימת התאמה חח"ע בין } ‪ {1, , n‬ל‪ . A -‬הקבוצה ‪ A‬אינסופית אם אינה עונה להגדרה סופית‪.‬‬
‫טענה‪ :‬הקבוצה‬
‫היא אינסופית‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬קבוצה ‪ A‬היא אינסופית אם קיימת ‪ A‬‬
‫‪ f :‬חח"ע (לא בהכרח על)‪.‬‬
‫הגדרה‪ :2-‬קבוצה ‪ A‬היא אינסופית אם קיימת ‪ f : A  A‬חח"ע ולא על‪. f  A   A ,‬‬
‫טענה‪ :‬הגדרה‪ 1-‬והגדרה‪ 4-‬הן שקולות‪.‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫היא קבוצה אינסופית לפי הגדרה‪f  n   2 n .4-‬‬
‫‪‬‬
‫‪.f :‬‬
‫מסקנות‪:‬‬
‫א‪ .‬עבור קבוצות סופיות ‪ A‬ו‪ B -‬כך ש‪ , | A | | B | -‬כל פונקציה חח"ע היא גם על וכל פונקציה‬
‫שהיא על היא גם חח"ע‪.‬‬
‫ב‪ .‬עבור קבוצות אינסופיות ‪ A , B‬כך ש‪ - | A | | B | -‬בהכרח קיימת ‪ g : A  B‬חח"ע ולא על‪,‬‬
‫וקיימת פונקציה על שהיא לא חח"ע‪.‬‬
‫ג‪ .‬אף קבוצה היא לא אינסופית וגם סופית‪.‬‬
‫תכונות של קבוצות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬אם ‪ A‬ו‪ B -‬סופיות‪ ,‬אז‪ A  B , A  B , A  B , A B :‬הן קבוצות סופיות‪.‬‬
‫‪ )4‬כל איחוד סופי של קבוצות סופיות הוא סופי‪.‬‬
‫‪ )2‬כל מכפלה סופית של קבוצות סופיות היא סופית‪.‬‬
‫תכונות של קבוצות אינסופיות‪:‬‬
‫תהי ‪ A‬קבוצה אינסופית‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫‪ )1‬כל קבוצה ‪ B‬כך ש‪ A  B -‬היא אינסופית‪.‬‬
‫‪ )4‬לכל קבוצה ‪ B‬עבורה קיימת ‪ f : A  B‬חח"ע‪ B ,‬אינסופית‪.‬‬
‫‪ )2‬לכל קבוצה ‪ , B‬אם קיימת ‪ g : B  A‬על‪ ,‬אז ‪ B‬אינסופית‪.‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪ P  A ‬היא אינסופית‪.‬‬
‫‪ )5‬לכל קבוצה ‪ , B‬הקבוצה ‪ A  B‬היא אינסופית‪.‬‬
‫‪ )6‬לכל קבוצה ‪ B‬לא ריקה‪ A  B ,‬היא אינסופית‪.‬‬
‫*‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪   ‬אלפבית (קבוצה)‪ .‬נסמן ב‪  -‬את קבוצת המילים הסופיות מעל ‪. ‬‬
‫טענה‪ :‬אם ‪   ‬אז‪:‬‬
‫*‬
‫*‬
‫‪ ‬אינסופית (כי קיימת פונקציה ‪ ‬‬
‫‪ f :‬חח"ע)‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫קבוצות בנות מנייה‪:‬‬
‫סימון‪|  0 :‬‬
‫|‪.‬‬
‫בת מנייה‪ :‬נאמר שקבוצה ‪ A‬היא בת‪-‬מנייה אם קיימת‬
‫‪ f : A ‬חח"ע‪.‬‬
‫הגדרה שקולה‪ :‬קבוצה ‪ A‬היא בת‪-‬מנייה אם ‪ A‬סופית או מעוצמה ‪.  0‬‬
‫בת‪-‬מנייה אינסופית‪ :‬נאמר שקבוצה היא בת‪-‬מנייה אינסופית אם היא בת‪-‬מנייה ולא סופית‪.‬‬
‫איך מראים על קבוצה אינסופית שהיא בת‪-‬מנייה‪:‬‬
‫‪ f : A ‬חח"ע‪.‬‬
‫מוצאים‬
‫‪ .1‬הצגת התאמה מפורשת‪.‬‬
‫‪ .4‬הצגת סדר ספירה‪ -‬מציגים סדר ספירה של איברי הקבוצה ‪ A‬בו מופיעים כל איברי הקבוצה וכל‬
‫איבר מופיע כשלפניו מספר סופי של איברים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬גם אם מציגים סדר ספירה עם חזרות ניתן לקבל ממנו סדר ספירה ללא חזרות‪.‬‬
‫איחוד קבוצות בנות מנייה‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫משפט‪ :‬תהיינה ‪, Ak‬‬
‫היא בת‪-‬מנייה אינסופית‪.‬‬
‫‪ A1 ,‬קבוצות בנות‪-‬מנייה אינסופיות‪ ,‬אזי‪An :‬‬
‫‪n 1‬‬
‫(כלומר‪ ,‬כל איחוד סופי של קבוצות בנות‪-‬מנייה הוא בן מנייה)‪.‬‬
‫משפט‪|  0 :‬‬
‫‪‬‬
‫|‪.‬‬
‫מסקנה‪|  0 :‬‬
‫|‪.‬‬
‫משפט‪ :‬תהי ‪ B‬קבוצה מעוצמה ‪  0‬שאבריה הם קבוצות מעוצמה ‪.  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪}, | Ai |  0‬‬
‫‪Ai   0 . B  { A0 , A1 ,‬‬
‫‪B ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪i0‬‬
‫(כלומר‪ ,‬איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה הוא בן‪-‬מנייה)‪.‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ A‬ו‪ B -‬הן קבוצות בנות‪-‬מנייה אינסופיות אז ‪ A  B‬היא קבוצה בת‪-‬מנייה אינסופית‪.‬‬
‫משפט‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה בת‪-‬מנייה לא ריקה‪ .‬אז * ‪ A‬היא בת‪-‬מנייה אינסופית‪.‬‬
‫קבוצות שאינן בנות‪-‬מנייה‪:‬‬
‫השוואה בין קבוצות‪ :‬נגדיר‪ A B -‬ונאמר ש‪ B -‬לפחות בעוצמה של ‪ A‬אם קיימת פונקציה‬
‫‪ f : A  B‬חח"ע‪ .‬נגדיר‪ A B :‬אם ‪ A‬וגם ‪. A B‬‬
‫משפט קנטור‪ :‬לכל קבוצה ‪P  A  , A‬‬
‫‪.A‬‬
‫הערה‪ :‬למעשה זה אומר שישנן אינסוף עוצמות‪.‬‬
‫טכניקת לכסון‪ :‬הליכה על האלכסון במטריצה והפיכתו‪.‬‬
‫ההוכחה באופן כללי‪ :‬עבור קבוצה ‪ A‬כלשהי‪ ,‬תהי ‪ f : A  P  A ‬פונקציה‪ .‬נבנה קבוצה‬
‫‪ B f  A‬באופן הבא‪ . a  f  a   a  B f :‬נראה ש‪ B f -‬לא מתקבלת ע"י ‪ , f‬כלומר‪ :‬נראה שלא‬
‫קיים ‪ x  A‬כך ש‪. B f  f  x  -‬‬
‫מסקנה‪ :‬‬
‫‪ P ‬היא לא בת‪-‬מנייה‪.‬‬
‫השערת הרצף‪ :‬לא קיימת קבוצה ‪A‬‬
‫משפט קנטור‪-‬ברנשטיין‪ :‬אם ‪B‬‬
‫כך ש‪ -‬‬
‫‪ A‬ו‪A -‬‬
‫‪P‬‬
‫‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ B‬אז‪B :‬‬
‫‪.A‬‬
‫אם קיימת ‪ f : A  B‬חח"ע וגם קיימת ‪ g : B  A‬חח"ע אז קיימת ‪ h : A  B‬חח"ע ועל‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫משפטים נוספים‪:‬‬
‫‪ ‬אם ‪ A  B‬אז‪B :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כלל הסנדוויץ'‪ :‬אם ‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫}‪{0,1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ A‬וגם‪C :‬‬
‫‪ A‬אז‪C :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ P  A ‬לכל קבוצה ‪. A‬‬
‫‪11‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫תחשיב הפסוקים‪-‬הקדמה‬
‫סינטקס‪ :‬איזה אותיות מרכיבות מילה‪ .‬איזה מילים מרכיבות משפט‪.‬‬
‫סמנטיקה‪ :‬המשמעות לסימנים‪.‬‬
‫סינטקס‪ -‬הגדרה פורמאלית‪:‬‬
‫‪. pi | i ‬‬
‫אותיות השפה‪ :‬הסימנים ‪   ,  ,  ,  , T , F , (, )‬וגם ‪‬‬
‫ביטוי‪/‬מילה‪ :‬כל סדרה סופית של סימנים בשפה‪.‬‬
‫נגדיר באינדוקציה את קבוצת המילים החוקיות בשפה‪:‬‬
‫בסיס‪( B  { p i | i  }  {T , F } :‬פסוקים אטומיים)‪.‬‬
‫סגור‪ . F   F , F , F , F  :‬עבור סדרות ‪:  , ‬‬
‫‪‬‬
‫‪F   ,       ‬‬
‫‪‬‬
‫‪F       ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪F   ,       ‬‬
‫‪F   ,       ‬‬
‫קבוצת הפסוקים היא ‪ X B , F‬עבור ‪ B‬ו‪ F -‬אלו‪ .‬סימון נוסף‪. W F F :‬‬
‫משמעות תחשיב הפסוקים‪:‬‬
‫לכאורה‪ ,‬על‪-‬מנת לבדוק נכונות של פסוק‪ ,‬יש צורך לבדוק הצבה של כל הטענות כהנחות בפסוק‪.‬‬
‫מה שיעניין אותנו לבדוק הוא רק האם הטענות נכונות או לא‪ .‬לשם כך מגדירים קבוצת ערכי אמת‪-‬‬
‫}‪. {0,1‬‬
‫עץ יצירה‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬עץ שבכל צומת שלו מופיע פסוק‪.‬‬
‫‪ ‬אם הצומת הוא עלה בעץ‪ ,‬מופיע פסוק אטומי‪.‬‬
‫‪ ‬אם הצומת מסומן בקשר דו‪-‬מקומי } ‪ {  ,  , ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬אז לצומת שני בנים‪.‬‬
‫אחרת‪ ,‬הצומת מסומן ב ‪ ‬ויש לו בן אחד‪.‬‬
‫הגדרת קבוצת עצי יצירה‪:‬‬
‫בסיס‪ :‬עצים עם צומת אחד ‪. p i , T , F‬‬
‫‪‬‬
‫סגור‪ :‬אם ‪ T1 , T2‬עצים אזי‪:‬‬
‫‪T2‬‬
‫‪T1‬‬
‫} ‪  {  ,  , ‬או‬
‫‪T1‬‬
‫חישוב ערך אמת במעלה עץ היצירה‪:‬‬
‫‪ .1‬הצבת ערכים לעלים‪ -‬ערכים לאטומים‪ :‬נגדיר השמה‪ . z : { p i | i  }  {0,1} :‬תפקיד‬
‫ההשמה‪ :‬לבדוק הצבה אפשרית של טענות לאטומים‪ .‬עבור ‪ - T‬קבוע ‪ ,1‬עבור ‪ - F‬קבוע ‪.0‬‬
‫‪ .4‬שלב טיפוס בעץ‪ :‬נסמן ב‪ z  p i  -‬את הערך שההשמה ‪ z‬נותנת ל‪. p i -‬‬
‫עבור פסוק ‪ ‬נסמן ב‪ z    -‬את הערך ש‪  -‬כאשר האטומים מקבלים ערכים לפי ‪. z‬‬
‫נניח ש‪  -‬הוא הצומת הראשון שעדיין לא חושב אז‪ ,       :‬או ‪.      ‬‬
‫את הפעולות מקבלים מטבלאות האמת‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫טבלאות אמת‪:‬‬
‫טבלאות שאומרות עבור כל קשר‪ -‬לכל ערך של ארכי אמת לפסוקים ‪ ,  , ‬מה יהיה הערך של‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬או ‪.    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪T T‬‬
‫‪‬‬
‫‪T T‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪TT‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪TT‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫באופן פורמאלי‪ :‬נרצה לחשב את ‪ z   ‬עבור השמה נתונה ‪. z‬‬
‫אם ‪ ‬פסוק אטומי‪. z     z    , z  T   1, z  F   0 ,   p i :‬‬
‫אחרת‪:‬‬
‫אם ‪      ‬אז‪. z     T T   z     :‬‬
‫אחרת‪       :‬ו‪. z     T T  z    , z     -‬‬
‫תכונות ‪ WFF‬מהתרגול‪:‬‬
‫‪  .1‬הוא אטום או ש‪  -‬מתחיל ב‪ )-‬וגמר ב‪.( -‬‬
‫‪ .4‬מספרים הסוגריים הפותחים שווה למספר הסוגריים הסוגרים‪.‬‬
‫‪ .2‬לכל רישא ממש לא ריקה של ‪ , ‬נסמן אותה ‪ , ‬מתקיים‪( # (     # (    :‬גדול ממש)‪.‬‬
‫‪ .2‬בין כל )‬
‫( ב‪  -‬מופיע לפחות קשר אחד‪.‬‬
‫‪ .5‬בין כל זוג אטומים יש קשר‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫משפט סינטקטי‪ -‬משפט הקריאה היחידה‪( :‬מבטיח שלכל פסוק יש עץ יצירה יחיד)‬
‫‪.i‬‬
‫לכל פסוק ‪ , ‬אם קיימים ‪  1 ,  1‬וקשר דו‪-‬מקומי ‪ a‬כך ש‪     1 a  1  -‬וכן קיימים ‪ 2 ,  2‬‬
‫וקשר דו‪-‬מקומי ‪ b‬כך ש‪     2 b  2  -‬אזי‪.  1   2 , a  b ,  1   2 :‬‬
‫‪.ii‬‬
‫לכל פסוק ‪ , ‬אם קיים פסוק ‪ ‬כך ש‪       -‬אז‪ :‬לא קיימים ‪  , ‬וקשר דו‪-‬מקומי ‪ a‬כך‬
‫ש‪     a   -‬וכן לכל ‪ ,  ‬אם ‪       ‬אז‪.     :‬‬
‫משפט הגדרת ערך האמת‪ :‬תהי ‪ z‬השמה‪ .‬לכל פסוק ‪ ‬קיים ערך יחיד ‪ z   ‬המחושב ע"פ‬
‫טבלאות האמת בהינתן שערכי האטומים נקבעים לפי ‪. z‬‬
‫סדר קדימויות‪ :‬מגדירים סדר קדימויות לקשרים‪:‬‬
‫‪ ,  .4‬‬
‫‪ .2‬‬
‫‪ .1‬‬
‫ניתן להשמיט סוגריים אם זה לא משנה את המשמעות‪ .‬נשאיר סוגריים אם רוצים להפעיל לפי סדר‬
‫קדימויות אחר או אם רוצים לקבוע סדר בין קשרים באותה חשיבות‪.‬‬
‫שלמות מערכת ההבעה של תחשיב הפסוקים‪:‬‬
‫מימוש טבלת אמת‪ :‬נאמר שפסוק ‪ ‬מממש טבלת אמת ‪ , T‬אם ‪ T‬היא טבלת האמת של ‪. ‬‬
‫שלמות מערכת קשרים‪ :‬מערכת קשרים היא שלמה אם לכל טבלת אמת קיים פסוק בקשרים‬
‫שמממש אותה‪.‬‬
‫טענה‪ :‬מערכת הקשרים של תחשיב הפסוקים היא שלמה‪.‬‬
‫רעיון ההוכחה‪ :‬בהינתן טבלת אמת ‪ , T‬נבנה פסוק ‪  T‬שמממש את ‪. T‬‬
‫אם ‪ T‬קבוע ‪ 0‬אז‪ T  F :‬‬
‫אחרת‪ ,‬עבור כל שורה בטבלה שהיא ‪ ,1‬נבנה פסוק ‪ :  i‬רשימת כל האטומים שקיבלו ‪ 1‬בשורה ה‪i -‬‬
‫ושלילת כל האטומים שקיבלו ‪ 0‬בשורה ה‪ , i -‬חיבור ב ‪. ‬‬
‫בניית ‪ :  T‬מחברים ב‪  -‬את כל ה‪-  -‬ים‪.‬‬
‫מונחי יסוד סמנטים‪:‬‬
‫טאוטולוגיה‪ :‬פסוק ‪ ‬נקרא טאטולוגיה אם לכל השמה ‪. z     1 , z‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ p0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ p1     p1   p 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  p0   p0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ p 0  ,  p1   ,   p 0  ,  p 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ p0   p0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  p 0  ,  p1    p 0  ,   p1‬‬
‫‪ ,   p1  ,  p 2   ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪p‬‬
‫כיצד מראים שפסוק הוא טאוטולוגיה‪:‬‬
‫‪ .i‬טבלת אמת‪ :‬לכאורה צריך לבדוק את כל ההשמות בעולם ועבור כל אחת מהן‪ ,‬לוודא שערך‬
‫האמת הוא‪ .1-‬למעשה‪ ,‬לצורך חישוב ערך האמת משנים רק ערכי האמת שההשמה נותנת‬
‫לאטומים המופיעים בפסוק‪ .‬מספיק שנבנה טבלה המכילה את כל ההשמות האפשריות לאטומים‬
‫שמופיעים בפסוק‪ ,‬ונבדוק שכל השורות הן ‪.1‬‬
‫‪.ii‬‬
‫הוכחה מילולית‪ :‬מחפשים מה צריכה השמה ‪z‬‬
‫לקיים כדי ש ‪  0‬‬
‫‪ z  ‬ומראים שלא יתיכן ‪z‬‬
‫כזו‪.‬‬
‫נביעה לוגית‪ :‬נאמר שפסוק ‪ ‬נובע לוגית מפסוק ‪( ‬או ‪ ‬גורר לוגית את ‪ ) ‬אם לכל השמה ‪, z‬‬
‫אם ‪ z     1‬אז ‪ . z     1‬סימון‪.  |  :‬‬
‫טענה‪    :‬טאוטולוגיה אם"ם ‪.)  |   |    (  | ‬‬
‫‪14‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫סתירה‪ :‬נאמר שפסוק ‪ ‬הוא סתירה אם לכל השמה ‪. z     0 , z‬‬
‫‪ ‬טאוטולוגיה ‪   ‬סתירה‪.‬‬
‫‪ ‬סתירה ‪   ‬טאוטולוגיה‪.‬‬
‫‪ ‬לא טאוטולוגיה ‪  ‬סתירה‪.‬‬
‫פסוק ספיק‪ :‬פסוק ‪ ‬נקרא ספיק אם קיימת השמה ‪ . z     1 , z‬סימון‪ :‬‬
‫איך מראים מהו סוגו של פסוק?‬
‫סתירה‬
‫‪ .1‬טבלת אמת‪.‬‬
‫להראות כן‬
‫‪ .4‬הוכחה מילולית‬
‫מראים השמה מספקת‬
‫להראות לא‬
‫ספיק‬
‫מראים השמה מספקת‬
‫‪ .1‬טבלת אמת‬
‫‪ .4‬הוכחה מילולית‬
‫‪.z‬‬
‫טאוטולוגיה‬
‫‪ .1‬טבלת אמת‬
‫‪ .4‬הוכחה מילולית‬
‫קיימת השמה לא‬
‫מספקת‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫מספקת קבוצת פסוקים ‪ x‬אם לכל ‪  1   x‬‬
‫‪ . z  ‬סימון‪x :‬‬
‫‪-‬‬
‫נאמר שהשמה ‪z‬‬
‫‪-‬‬
‫נאמר שפסוק ‪ ‬נובע לוגית מקבוצת פסוקים ‪ x‬אם לכל השמה ‪ z‬שמספקת את ‪ x‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ . z ‬סימון‪. x  :‬‬
‫קבוצת פסוקים ‪ x‬היא ספיקה אם קיימת השמה ‪ z‬שמספקת את ‪. x‬‬
‫‪-‬‬
‫פסוקים ‪ ‬ו‪  -‬שקולים לוגית אם לכל השמה ‪ . z     z    , z‬סימון‪ .    :‬שקול‬
‫‪-‬‬
‫להגדרה‪   |  :‬‬
‫טענה‪  :‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‪ :‬תהי }‬
‫‪ ‬‬
‫‪.z‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪   { 1 ,  2 ,‬קבוצת פסוקים ותהי ‪ - K   i ‬קבוצת ההשמות שמספקת את ‪.  i‬‬
‫אז קבוצת ההשמות שמספקת את ‪ ‬היא‪k   i  :‬‬
‫‪i‬‬
‫איך מוכיחים שמערכת קשרים היא שלמה?‬
‫‪ .i‬הוכחה ישירה‪.‬‬
‫‪ .ii‬מתבססים על מערכת ישנה הידועה כשלמה ומראים כיצד לבטא כל קשר במערכת הישנה‬
‫באמצעות הקשרים במערכת החדשה‪.‬‬
‫דוגמא‪ :‬נוכיח ש‪ {  ,  } -‬שלמה‪ .‬ראינו ש‪ {  ,  ,  } -‬היא מערכת שלמה‪ .‬כך נבטא ‪ ‬במערכת‬
‫החדשה‪.               :‬‬
‫איך מוכיחים שמערכת קשרים היא לא שלמה?‬
‫מוכיחים תכונה סמנטית על‪-‬גבי המערכת החדשה ומראים טבלת אמת שלא מקיימת את התכונה‪.‬‬
‫הוכחת נביעה לוגית‪:‬‬
‫דוגמא‪ :‬לכל קבוצת פסוקים ‪ x‬ופסוקים ‪ ,  , ‬אם ‪‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נניח ש‪ -‬‬
‫} ‪ x  {‬ו‪ -‬‬
‫} ‪ x  {  ‬ונראה‪ :‬‬
‫‪ z‬אז ‪‬‬
‫תהי ‪ z‬השמה‪ .‬נראה שאם ‪x‬‬
‫‪ .1‬אם ‪‬‬
‫‪ z‬אז‪{ }  x :‬‬
‫‪ .4‬אחרת ‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .z‬‬
‫‪.x‬‬
‫‪ . z‬קיימות שתי אפשרויות‪:‬‬
‫‪ z‬ומאחר ו‪ -‬‬
‫‪ z‬אז‪{   }  x :‬‬
‫} ‪ x  {‬ו‪ -‬‬
‫} ‪ x  {  ‬אז‪ :‬‬
‫‪.x‬‬
‫} ‪ x  {‬אז ‪‬‬
‫‪ z‬ומאחר ו‪ -‬‬
‫‪.z‬‬
‫} ‪ x  {  ‬אז‬
‫} ‪. x  { ,   ‬‬
‫‪15‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫נביעות לוגיות נוספות‪:‬‬
‫‪ ‬לכל ‪ ,  ,  , ‬אם ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪‬‬
‫‪‬‬
‫} ‪ { ,  ‬ו‪  -‬‬
‫} ‪ { ,  ‬אז ‪‬‬
‫} ‪ { ,  ‬אז‪ :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪( ‬מקרה פרטי שבו ‪.)   ‬‬
‫} ‪ x ( x  { ,   ‬היא קבוצת פסוקים)‪.‬‬
‫תהיינה ‪  1 ,  2‬קבוצות פסוקים‪ .‬אם ‪  1   2‬אז לכל פסוק ‪ , ‬אם ‪‬‬
‫‪  1‬אז ‪‬‬
‫‪.2‬‬
‫הצבות‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬נתונה פונקצית הצבה ‪ . s : { p i | i  }  W FF‬נגדיר באינדוקציה על מבנה הפסוק את‬
‫‪ - su b   , s ‬הפסוק המתקבל מ‪  -‬ע"י החלפת כל אטום בערך שפונקצית ההצבה ‪ s‬מתאימה לו‪.‬‬
‫בסיס‪ sub   , s   s  p i  ,   p i :‬וגם ‪. su b  T , S   T , su b  F , s   F‬‬
‫סגור‪ {  ,  ,  } ,  1 ,  2 :‬‬
‫‪sub    1  2  , s    sub   1 , s  sub   2 , s  ‬‬
‫‪sub    1 , s    sub   1 , s ‬‬
‫טענה‪ :‬יהי ‪ ‬פסוק שבו מופיעים האטומים‪, p n } :‬‬
‫‪ { p 0 ,‬ותהיינה ‪ s1 , s 2‬פונקציות הצבה עבורן לכל‬
‫‪ . s1  p i   s 2  p i  0  i  n‬אז‪. sub   , s1   sub   , s 2  :‬‬
‫טענה‪ :‬תהי ‪ s‬פונקצית הצבה ותהי ‪ z‬פונקצית השמה‪ .‬נגדיר פונקצית הצבה חדשה ‪ . z ‬לכל ‪i‬‬
‫‪ . z   p i   z  s  p i  ‬אזי לכל פסוק ‪. z  sub   , s    z     : ‬‬
‫(כלומר‪ :‬אפשר לבצע את ההחלפה ע"י ‪ su b‬לפני ההצבה ע"י ‪.) z‬‬
‫טענה‪ :‬תהי ‪ ‬טאוטולוגיה‪ ,‬אזי לכל פונקצית הצבה ‪ s‬מתקיים‪ su b   , s  :‬גם טאוטולוגיה‪.‬‬
‫צורות נורמאליות‪:‬‬
‫‪:Negation Normal Form – NNF‬‬
‫בסיס‪} :‬‬
‫‪}  { p i | i ‬‬
‫‪{ pi | i ‬‬
‫סגור‪{ F , F } :‬‬
‫(אפשר לשים ‪ ‬רק בבסיס ואז אפשר לשים ‪  , ‬באיזה סדר שרוצים)‪.‬‬
‫‪:Conjunctive Normal Form -CNF‬‬
‫‪ .1‬מגדירים קבוצה ‪.Disj‬‬
‫בסיס‪} :‬‬
‫‪}  { p i | i ‬‬
‫‪{ pi | i ‬‬
‫סגור‪{ F } :‬‬
‫‪ .4‬מגדירים ‪CNF‬‬
‫סגור‪{ F } :‬‬
‫בסיס‪Disj :‬‬
‫(כמו ‪ NNF‬רק עם הגבלה נוספת‪ -‬אפשר לשים ‪ ‬רק אחרי ‪.) ‬‬
‫‪:Disjunctive Normal Form -DNF‬‬
‫‪ .1‬מגדירים קבוצה ‪.Conj‬‬
‫בסיס‪} :‬‬
‫‪}  { p i | i ‬‬
‫‪{ pi | i ‬‬
‫סגור‪{ F } :‬‬
‫‪ .4‬מגדירים ‪DNF‬‬
‫סגור‪{ F } :‬‬
‫בסיס‪Conj :‬‬
‫(כמו ‪ CNF‬רק הפוך‪ ,‬קודם מותר לשים ‪ ‬ורק אחריו ניתן לשים ‪.) ‬‬
‫משפט ה‪ :DNF-‬לכל פסוק ‪ ‬קיים פסוק שקול ‪  ‬מצורת ‪.DNF‬‬
‫הערה‪ :‬בהינתן פסוק ‪ , ‬נבנה לו טבלת אמת ואז נממש אותו בפסוק ‪.DNF‬‬
‫‪16‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫מערכת הוכחה פורמאלית‬
‫איך בונים מערכת הוכחה?‬
‫‪ .1‬קבוצת אקסיומות (שקל לבדוק אם משהו הוא אקסיומה)‪.‬‬
‫‪ .4‬כללי היסק‪ -‬כללים שבאמצעותם מסיקים שורות חדשות בהוכחה‪.‬‬
‫‪ .2‬קבוצת המשפטים הפורמאליים (כללי היסק‪ ,‬אקסיומות)‪.X‬‬
‫הוכחה פורמאלית היא סדרת יצירה במבנה זה‪.‬‬
‫יכיח‪ :‬נאמר ש‪  -‬יכיח אם יש לו סדרת הוכחה‪ .‬סימון‪ :‬‬
‫מערכת הוכחה לתחשיב הפסוקים‪:‬‬
‫קבוצת האקסיומות‪ :‬פסוק ‪ ‬הוא אקסיומה אם קיימים פסוקים ‪  ,  , ‬כך ש‪  -‬מאחת התבניות‬
‫הבאות‪:‬‬
‫‪A1.         ‬‬
‫כלל ההיסק‪:‬‬
‫‪ ,  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪                     ‬‬
‫‪A2.‬‬
‫‪    F   F    ‬‬
‫‪A3.‬‬
‫‪( M P‬אם יש ‪  ,   ‬ניתן להסיק ממנו את ‪.) ‬‬
‫קבוצת המשפטים הפורמאליים‪ ,}MP{( :‬אקסיומות)‪X‬‬
‫סדרת הוכחה עבור פסוק ‪ ‬היא סדרה סופית ‪,  n‬‬
‫‪  1 ,‬עבורה מתקיים‪:‬‬
‫‪.  n   .1‬‬
‫‪ .4‬לכל ‪  i , 1  i  n‬היא אקסיומה או ‪  i‬התקבל ע"י ‪ MP‬מפסוקים קודמים בסדרה‪.‬‬
‫הוכחה מתוך הנחות‪:‬‬
‫בהינתן קבוצת הנחות (פסוקים) ‪ , Y‬קבוצת המסקנות של ‪ Y‬היא‪:‬‬
‫‪ . D ed  Y   X  Y  axiom ot ,{ M P } ‬אם ‪   D ed  Y ‬אז מסמנים‪ :‬‬
‫‪.Y‬‬
‫תכונות של הוכחה מתוך הנחות‪:‬‬
‫הנחת המבוקש‪ :‬אם ‪   X‬אז‪ :‬‬
‫סופיות ההוכחה‪ :‬אם ‪‬‬
‫‪.X‬‬
‫‪ X‬אז קיימת ‪ Y  X‬סופית כך ש‪ :‬‬
‫מונוטוניות‪ :‬אם ‪ X  Y‬אז לכל פסוק ‪ ‬אם ‪‬‬
‫מסקנה‪ :‬אם ‪‬‬
‫אז לכל קבוצה ‪ , X‬‬
‫‪ X‬אז ‪‬‬
‫‪.Y‬‬
‫‪.Y‬‬
‫‪.X‬‬
‫מונוטוניות מחוזקת‪ :‬אם לכל ‪   X‬מתקיים ‪ Y |-- ‬אז לכל פסוק ‪ , ‬אם ‪‬‬
‫‪ X‬אז ‪‬‬
‫טענה‪ :4-‬תהי ‪ s‬פונקצית הצבה‪ ,‬תהי ‪ ‬קבוצת פסוקים‪ .‬אזי לכל פסוק ‪ ‬כך ש‪ -‬‬
‫‪sub   , s ‬‬
‫‪sub   , s ‬‬
‫‪ ‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ sub   , s    sub   , s  |    ‬יכיחות נשמרת תחת הצבות‪.‬‬
‫משפט הדדוקציה‪ :‬לכל קבוצת הנחות ‪ X‬ופסוקים ‪   ,  , ‬‬
‫דוגמא לשימוש‪ :‬אם רוצים להוכיח‪   :‬‬
‫משפט הדיכוטומיה‪ :‬אם ‪‬‬
‫‪.Y‬‬
‫} ‪   {‬וגם ‪‬‬
‫מספיק להוכיח‪ :‬‬
‫‪  X‬‬
‫} ‪. X  {‬‬
‫} ‪. {‬‬
‫} ‪   {  F‬אז‪ :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫עקביות של קבוצת הנחות‪:‬‬
‫‪.X‬‬
‫הגדרה‪ :‬קבוצת הנחות ‪ X‬תיקרא עקבית אם ‪F‬‬
‫הסופיות של העקביות‪ :‬לכל קבוצת הנחות ‪ X , X‬קבוצה עקבית אם"ם כל תת‪-‬קבוצה סופית של‬
‫‪ X‬היא עקבית‪.‬‬
‫האם קיימת קבוצה עקבית?‬
‫שקול לשאלה‪ -‬האם קבוצת האקסיומות עקבית (או האם הקבוצה הריקה היא עקבית)‪.‬‬
‫משפט הנאותות הצר‪ :‬כל פסוק יכיח הוא טאוטולוגיה (אם ‪ ‬אז ‪) ‬‬
‫קשר ראשון בין סינטקס לסמנטיקה‪.‬‬
‫משפט הנאותות הרחב‪ :‬לכל קבוצת הנחות ‪ X‬ולכל פסוק ‪ , ‬אם ‪ X ‬אז ‪. X ‬‬
‫הערה‪ :‬עבור ‪ X  ‬מקבלים את משפט הנאותות הצר‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬קיימת קבוצה עקבית‪.)  ( .‬‬
‫משפט שקול לנאותות‪ :‬לכל קבוצה ‪ , X‬אם ‪ X‬ספיקה אז ‪ X‬עקבית‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬קבוצה ‪ X‬תיקרא עקבית מקסימאלית אם ‪ X‬עקבית ולכל פסוק ‪ , ‬‬
‫‪( X   F‬קבוצה שיש לה "דעה" על כל ‪.) ‬‬
‫‪ X‬או‬
‫משפט‪ :‬לכל קבוצה עקבית ‪ , X‬קיימת קבוצה עקבית מקסימאלית ‪ Y‬ומתקיים‪. X  Y :‬‬
‫הרעיון‪ :‬נוכל להוסיף ל‪ X -‬פסוקים כך שתהיה לה דעה על כל דבר‪ .‬בתהליך ההוספה נקפיד שלא‬
‫לפגוע בעקביות‪.‬‬
‫טענה‪ :‬תהי ‪ Y‬קבוצה עקבית מקסימאלית‪ .‬אז לכל זוג פסוקים ‪  , ‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ Y   Y   ‬או ‪. Y   F‬‬
‫טענה‪ :‬תהי ‪ Y‬קבוצה עקבית‪ .‬אם לכל ‪  , ‬מתקיים‪   :‬‬
‫‪ Y‬היא קבוצה עקבית מקסימאלית‪.‬‬
‫משפט‪  :‬לא עקבית אם"ם קיים ‪ ‬כך ש‪ -‬‬
‫משפט‪  :‬עקבית אם"ם קיים ‪ ‬כך ש‪ -‬‬
‫‪ ‬וגם ‪  F‬‬
‫‪ Y‬‬
‫‪ Y‬או ‪  F‬‬
‫‪ Y‬אז‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫ספיקות של קבוצה עקבית מקסימאלית‪:‬‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ Y‬קבוצה עקבית מקסימאלית‪ ,‬אז ‪ Y‬קבוצה ספיקה‪.‬‬
‫משפט‪ :‬תהי ‪ X‬קבוצה‪ .‬אם ‪ X‬עקבית אז ‪ X‬ספיקה‪.‬‬
‫משפט השלמות לתחשיב הפסוקים‪ :‬אם ‪ X ‬אז ‪. X ‬‬
‫משפט‪ X :‬קבוצה עקבית מקסימאלית ‪ ‬קיימת השמה יחידה שמספקת את ‪. X‬‬
‫משפט הקומפקטיות‪ X :‬קבוצה ספיקה ‪ ‬כל תת‪-‬קבוצה של ‪ X‬היא ספיקה‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫בעיות צביעה של גרפים‬
‫הגדרה‪ G   V , E  :‬לא בהכרח סופי‪ .‬נאמר ש‪ G -‬ניתן לצביעה חוקית בשני צבעים אם ניתן לצבוע‬
‫את כל צמתי הגרף בשני צבעים (כל צומת בצבע אחד) כך שלא תהיה קשת ששני קצותיה צבועים‬
‫באותו הצבע (קשת מונוכרומטית)‪.‬‬
‫משפט‪ G :‬ניתן לצביעה חוקית בשני צבעים אם"ם כל תת‪-‬גרף סופי של ‪ G‬ניתן לצביעה חוקית‬
‫בשני צבעים‪.‬‬
‫תרגום הבעיה לפסוקים‪ :‬בהיתן גרף ‪ , G‬נחפש קבוצת פסוקים ‪ X G‬עבורה יתקיים‪-4 G :‬צביע ‪‬‬
‫‪ X G‬ספיקה‪ .‬כל צומת יהיה אטום וערך האמת יהיה הצבע‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . X G    i , j  |  i , j   E ,   i , j   p i  p j‬כאשר‪ z   i , j   1 :‬אם"ם ‪ p i‬ו‪ p j -‬צבועים בערכי‬
‫אמת שונים‪.‬‬
‫טענה‪ G :‬הוא ‪-4‬צביע אם"ם ‪ X G‬ספיקה‪.‬‬
‫שיטה כללית‪:‬‬
‫‪ X‬מקיים ‪ ‬אם"ם כל תת‪-‬קבוצה סופית של ‪ X‬מקיימת ‪. ‬‬
‫‪ .1‬תרגום של הבעיה לפסוקים‪ X A .‬ספיקה ‪ A ‬מקיים ‪. ‬‬
‫‪ .4‬שימוש במשפט הקומפקטיות בזהירות‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫גדירות‬
‫הגדרה‪ :‬נאמר שקבוצת פסוקים ‪ ‬מגדירה את אוסף ההשמות שמספקות אותה‪.‬‬
‫סימון‪  :‬‬
‫‪ M o d    . A ss      z | z‬נקראת קבוצת המודלים של ‪. ‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪  1   2‬אז‪. A ss   2   A ss   1  :‬‬
‫הגדרה‪ :‬בהינתן קבוצת השמות ‪ , K‬אם קיימת קבוצת פסוקים ‪ ‬שמגדירה אותה אז ‪ K‬גדירה‪.‬‬
‫האם קיימות קבוצות לא גדירות?‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 2‬השמות ולכן‬
‫‪0‬‬
‫כן‪ ,‬משיקולי ספירה‪ :‬ישנם ‪  0‬פסוקים ו‪ 2 -‬קבוצת פסוקים‪ .‬אבל ישנן‬
‫קבוצת של השמות‪ .‬ולכן בהכרח קיימות קבוצות של השמות שאינן גדירות‪.‬‬
‫קבוצות גדירות‪ ,  :‬קבוצת כל ההשמות‪ { z } ,‬לכל השמה ‪ , z‬קבוצת כל ההשמות הנותנות ‪ T‬ל‪J-‬‬
‫אטומים לכל היותר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫קבוצות לא גדירות‪ - K fin :‬קבוצת כל ההשמות שנותנות ‪ T‬למספר סופי של אטומים‪.‬‬
‫‪ - K inf‬קבוצת כל ההשמות שנותנות ‪ T‬למספר אינסופי של אטומים‪.‬‬
‫} ‪ - Ass \ { z F‬קבוצת כל ההשמות שנותנות ‪ T‬לאטום אחד לפחות‪.‬‬
‫הערה‪ :‬תמיד קבוצת כל ההשמות פחות השמה אחת‪ -‬לא גדיר‪.‬‬
‫סכימה כללית להוכחת אי‪-‬גדירות‪:‬‬
‫‪ .1‬מניחים בשלילה ש‪ K -‬גדירה‪.‬‬
‫‪ .4‬תהי ‪ ‬קבוצה שמגדירה את ‪. K  M od    , K‬‬
‫‪ .2‬מצרפים ל‪  -‬קבוצת פסוקים ‪  ‬ומראים‪:‬‬
‫‪     2.1‬לא ספיקה‪( .‬מחפשים ‪.) M o d     M o d      ‬‬
‫‪     2.4‬כן ספיקה‪( .‬שימוש בקומפקטיות‪ :‬כל ת"ק סופית של ‪  ‬ניתן לספק ע"י השמה‬
‫מ‪ . K -‬יש למצוא ‪ z D‬מתאימה כאשר‪.) D      :‬‬
‫‪ .2‬מכך מסיקים שלא תיתכן ‪ ‬כזו‪.‬‬
‫סכימה כללית להוכחת גדירות של קבוצת השמות‪:K-‬‬
‫‪ .1‬מגדירים ‪. ‬‬
‫‪ .4‬מראים ‪‬‬
‫‪.zK  z‬‬
‫‪ .2‬מראים ‪  z  K‬‬
‫‪.z‬‬
‫משפט‪ :‬שלושת התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ K .1‬גדירה ו‪ K c -‬גדירה ( ‪.) K   A ll A ss  \ K‬‬
‫‪ K .4‬גדירה ע"י קבוצה סופית‪.‬‬
‫‪ K .2‬גדירה ע"י קבוצה המכילה פסוק יחיד‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫תחשיב היחסים‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫רעיון מרכזי‪ :‬שני רכיבים‪ -‬עצמים‪+‬תכונות‪ .‬לתכונות קוראים יחסים‪-  :‬קיים‪ -  ,‬לכל‪.‬‬
‫קיימים שני סוגים של סימנים‪:‬‬
‫‪ .1‬סימנים לוגיים‪ :‬משותפים לכל השפות של תחשיב הפסוקים‪ -‬משתנים‪ ,‬קשרים מתחשיב הפסוקים‪,‬‬
‫‪ , ,  , ‬סוגריים‪ ,‬פסיק‪.‬‬
‫‪ .4‬פרמטרים של השפה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫סימני קבועים אישיים של המילון‪ -‬מסומנים ב‪-  , C  -‬אינדקס מספרי‪.‬‬
‫‪‬‬
‫סימני יחס‪-  , R n , -‬אינדקס מספרי‪- n ,‬מספר מקומות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫סימני פונקציה‪-  - Fn , -‬אינדקס מספרי‪ - n ,‬מספר מקומות‪.‬‬
‫מילון‪ :‬אוסף סימני יחס‪ ,‬סימוני פונקציה וסימוני קבועים כאשר לכל סימן יחס ולכל סימן פונקציה ידוע‬
‫מספר הארגומנטים‪.‬‬
‫הגדרת אוסף המילים בשפה‪:‬‬
‫שלב‪ :1-‬נגדיר את העצמים שעליהם טוענים טענות‪ .‬הגדרת שמות העצם באינדוקציה‪:‬‬
‫בסיס‪ :‬סימני הפונקציות מהמילון‪ ,‬משתנים ‪‬‬
‫צעד‪ :‬סימני הפונקציות מהמילון‪ .‬אם ‪, t n‬‬
‫‪, tn ‬‬
‫‪.  vi | i ‬‬
‫‪ t1 ,‬הם שמות עצם במילון‪ F ,‬סימן פונקציה ‪- n‬מקומי אז‬
‫‪ F  t1 ,‬שם‪-‬עצם‪ .‬מספר הפעולות הוא כמספר סימני הפונקציה במילון‪.‬‬
‫דוגמא לשמות עצם‪. c 0 , v 0 , v 8 , F1  v 5  , F  v 3 , c1  :‬‬
‫שלב‪ :2-‬הגדרת אוסף הנוסחאות‪ :‬הגדרה באינדוקציה‪:‬‬
‫‪ R  t1 ,‬כאשר ‪ R‬סימן יחס ‪- n‬מקומי במילון ו‪, t n -‬‬
‫בסיס‪ :‬כל סדרה מהצורה ‪, t n ‬‬
‫‪ t1 ,‬שמות‪-‬עצם‬
‫במילון‪ .‬כל נוסחא מהצורה ‪  t1  t 2 ‬עבור ‪ t1 , t 2‬שמות עצם במילון‪.‬‬
‫הנוסחאות מהבסיס נקראות‪ :‬נוסחאות אטומיות‪.‬‬
‫נוסחא אטומית‪ :‬בהינתן ‪, t n‬‬
‫‪ t1 ,‬שמות עצם‪ ,‬שימוש ב‪, t n  -‬‬
‫‪ R  t1 ,‬ייתן נוסחא אטומית‪.‬‬
‫אבחנה בין שם‪-‬עצם לנוסחא אטומית‪ -‬על שם‪-‬עצם לא ניתן לשאול האם הוא נכון‪/‬לא נכון‪.‬‬
‫דוגמאות לנוסחאות אטומיות‪. R  c 0 , c1 , c 2  ,  c 0  v1  ,  c 2  F1  v 3   :‬‬
‫צעד‪:‬‬
‫‪ .1‬קשרים מתחשיב הפסוקים‪.  ,  ,  ,  :‬‬
‫‪ .4‬כמתים‪  :‬נוסחא ו‪ vi -‬משתנה‪ -  v1 ,  vi ,‬נוסחאות‪( .‬חייבים לשים לידם משתנה)‪.‬‬
‫הערה‪ :‬לכמתים יש קדימות‪.‬‬
‫סמנטיקה בתחשיב היחסים‪:‬‬
‫נרצה פירוש עבור הסימנים בעולם והעולם שמעליו שואלים‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬בהינתן מילון ‪, ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪, Fb‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪, R l , F0 ,‬‬
‫‪, Fb‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪, ck , R0 ,‬‬
‫‪, R l , F0 ,‬‬
‫‪, ck , R0 ,‬‬
‫‪   c 0 ,‬מבנה עבור ‪: ‬‬
‫‪ M  D M , c 0M ,‬כאשר‪:‬‬
‫‪ - D M‬העולם‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫‪ - R iM‬הפירוש של סימן היחס ‪ R i‬במבנה ‪ R i . M‬סימן יחס ‪ l‬מקומי‪:‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. R iM  D M ‬‬
‫‪l tim es‬‬
‫‪ - Fi M‬הפירוש של סימן הפונקציה ‪ Fi‬במבנה ‪ Fi . M‬סימן פונקציה ‪- b‬מקומי‪:‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪. Fi M : D M ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪b tim es‬‬
‫‪ - c iM‬הפירוש של סימן הקבוע ‪ ci‬במבנה ‪. c iM  D M . M‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪, ,‬‬
‫‪ , F2 ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ , F1 ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ , R2 ‬‬
‫‪  c 0 , c1 , R1 ‬‬
‫‪, 0,1, even ,  ,  ,  ‬‬
‫‪, is em pty ?,  ,  ,  ‬‬
‫‪,,‬‬
‫‪M1 ‬‬
‫‪M2  P‬‬
‫השמה‪ :‬פונקציה שנותנת למשתנים את ערכם‪:‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪‬‬
‫‪. z :  vi | i ‬‬
‫סימון‪ - z  v i  :‬הערך שההשמה ‪ z‬נותנת ל‪. vi -‬‬
‫השמה מורחבת‪ :‬השמה שנותנת ערכים לכל שמות העצם (ולא רק למשתנים)‪:‬‬
‫‪  D M‬שמות עצם ‪ z :‬הגדרה באינדוקציה על מבנה שמות העצם‪:‬‬
‫בסיס‪. t ,  v i , z  t   z  v i  :‬‬
‫צעד‪ :‬‬
‫‪, tm‬‬
‫‪M‬‬
‫‪. t  c, z t   c‬‬
‫‪ t  F  t1 ,‬כאשר ‪, t m‬‬
‫מהמילון‪ .‬אז‪, z  t m   :‬‬
‫‪ t1 ,‬שמות עצם מעל המילון ו‪ F -‬הוא סימן פונקציה ‪ n‬מקומי‬
‫‪M‬‬
‫‪. z  t   F  z  t1  ,‬‬
‫סימון‪ , z1  i z 2 :‬המשמעות‪ :‬לכל ‪ j  i‬מתקיים‪. z1  v j   z 2  v j  :‬‬
‫משתנים חופשיים ומשתנים קשורים‪:‬‬
‫הגדרה פורמאלית של משתנים חופשיים וקשורים‪:‬‬
‫נגדיר באינדוקציה על מבנה נוסחא ‪ , ‬מתי משתנה ‪ vi‬חופשי בנוסחא ‪: ‬‬
‫בסיס‪  :‬נוסחא אטומית‪ ,‬אם ‪ vi‬מופיע ב‪  -‬אז ‪ vi‬חופשי ב‪.  -‬‬
‫צעד‪ :‬קשרים‪ vi :‬חופשי ב‪  -‬‬
‫‪  ‬עבור ‪    ,  ,  ‬אם ‪ vi‬חופשי ב‪  -‬או חופשי ב‪.  -‬‬
‫‪ vi‬חופשי ב‪     -‬אם ‪ vi‬חופשי ב‪.  -‬‬
‫כמתים‪ vi :‬חופשי ב‪  /  v j -‬אם ‪ vi‬חופשי ב‪  -‬ו‪. i  j -‬‬
‫הערה‪ :‬משתנה לא חופשי ב‪  -‬הוא משתנה קשור ב‪.  -‬‬
‫לחישוב ערך האמת נחוץ למעשה רק הערך שההשמה נותנת למשתנים החופשיים בנוסחא‪.‬‬
‫מסקנות‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫עבור נוסחא ‪ ‬והשמות ‪ z1 , z 2‬שמזדהות על המשתנים החופשיים ב‪  -‬מתקיים‪ :‬ערך האמת‬
‫של ‪ ‬לפי ‪ z1‬זהה לערך האמת של ‪ ‬לפי ‪. z 2‬‬
‫ אם בנוסחא אין משתנים חופשיים‪ ,‬ערך האמת של הנוסחא אינו תלוי בהשמה‪.‬‬‫פסוק‪ :‬נוסחא ללא משתנים חופשיים‪ .‬ערך האמת ייקבע באופן מוחלט ע"י המבנה‪.‬‬
‫‪ ‬הדבר ביחיד שנותן משמעות לקבועים זה מבנה‪.‬‬
‫‪ ‬הדבר היחיד שנותן משמעות למשתנים זה השמה‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫הגדרת ערך האמת‪ :‬יהי ‪ ‬מילון ותהי ‪ ‬נוסחא מעל ‪. ‬‬
‫נגדיר באינדוקציה על מבנה הנוסחא ‪ ‬מתי מבנה ‪ M‬והשמה ‪ z‬מספקים את ‪: ‬‬
‫‪ .   R  t1 ,‬‬
‫בסיס‪  :‬נוסחא אטומית‪, t n  ,‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪, z  tn    R‬‬
‫‪.  z  t1  ,‬‬
‫צעד‪ :‬קשרים‪ -‬לפי טבלאות האמת כמו בתחשיב הפסוקים‪.‬‬
‫כמתים‪ -‬נניח שיודעים לכל מבנה ‪ M ‬והשמה ‪ z ‬האם ‪‬‬
‫‪ /  v i‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ M ‬ורוצים לדעת האם‬
‫‪ . M‬נרצה כלי שיאפשר לעבור על כל הערכים האפשריים‪ ,‬לשים אותם ב‪ vi -‬ולבדוק ‪‬‬
‫‪z‬‬
‫השמה מתוקנת‪ :‬יהי ‪ M‬מבנה‪ z ,‬השמה ו‪ . d  D M -‬מגדירים השמה חדשה ‪ z  v i  d ‬באופן‬
‫הבא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ z v j  j  i‬‬
‫‪. z  vi  d   v j   ‬‬
‫‪ji‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ v i‬‬
‫לכל ‪, d  D M‬‬
‫קיים‬
‫‪M‬‬
‫‪ v i , d  D‬‬
‫‪ M‬אם"ם‪ :‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ M‬אם"ם‪ :‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z  vi  d ‬‬
‫‪z  vi  d ‬‬
‫‪.M‬‬
‫‪.M‬‬
‫אמיתות לוגיות‪:‬‬
‫אמת לוגית‪ :‬נוסחא ‪ ‬היא אמת לוגית אם לכל מבנה ‪ M‬ולכל השמה ‪ z‬ב‪ , M -‬‬
‫‪z‬‬
‫‪.M‬‬
‫סימון‪.  :‬‬
‫דוגמא‪ .  1   v1 R  v1 , v 2     v1 R  v1 , v 2  :‬למעשה זו הצבה של ‪  v1 R  v1 , v 2 ‬בתוך ‪p1‬‬
‫בטאוטולוגיה הפסוקית‪ .  p1   p1  :‬מאחר והמשמעות של טבלאות האמת זהה לתחשיב‬
‫הפסוקים‪ ,‬הנוסחא המתקבלת היא אמת לוגית‪.‬‬
‫משפט‪ :‬כל הצבה של נוסחאות במקום האטומים בטאוטולוגיה פסוקית תיתן אמת לוגית‪.‬‬
‫סתירה‪ :‬נוסחא ‪ ‬מעל מילון ‪ ‬היא סתירה אם לכל מבנה ‪ M‬עבור ‪ ‬ולכל השמה ‪ z‬ב‪, M -‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪.M‬‬
‫נוסחא ספיקה‪ :‬נוסחא ‪ ‬מעל מילון ‪ ‬היא ספיקה אם קיים מבנה ‪ M‬עבור ‪ ‬וקיימת השמה ‪z‬‬
‫ב‪ M -‬כך ש‪ -‬‬
‫‪z‬‬
‫‪.M‬‬
‫סימונים‪ :‬‬
‫‪ M‬אם לכל השמה ‪ z‬ב‪ M -‬מתקיים‪ :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ M‬אם קיימת השמה ‪ z‬ב‪ M -‬כך ש‪ :‬‬
‫‪.M‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪.M‬‬
‫מבנה והשמה מספקים‪ :‬נאמר שמבנה ‪ M‬והשמה ‪ z‬מספקים קבוצת נוסחאות ‪. ‬‬
‫נביעה לוגית‪ :‬נאמר שנוסחא ‪ ‬נובעת לוגית מנוסחא ‪ ‬ונסמן‪ :‬‬
‫השמה ‪ z‬ב‪ , M -‬אם ‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ M‬אז ‪‬‬
‫גרירה לוגית‪ :‬קבוצת נוסחאות ‪‬‬
‫‪ , z‬אם ‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ M‬אז‪ :‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ , ‬אם לכל מבנה ‪ M‬ולכל‬
‫‪.M‬‬
‫גוררת לוגית נוסחא ‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬אם לכל מבנה ‪ M‬ולכל השמה‬
‫‪.M‬‬
‫טענות נוספות מתחשיב הפסוקים‪:‬‬
‫‪.     ‬‬
‫‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪-‬‬
‫‪ ‬סתירה ‪   ‬אמת לוגית‪.‬‬
‫שקילות לוגית‪ :‬נאמר שנוסחא ‪ ‬שקולה לוגית לנוסחא ‪ ‬ונסמן‪    :‬אם לכל מבנה ‪ M‬ולכל‬
‫השמה ‪ , z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪  M‬‬
‫‪z‬‬
‫‪.M‬‬
‫‪23‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫גדירות בתחשיב היחסים‪:‬‬
‫גדירות של יחסים‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬בהינתן מילון‪ ,  -‬מבנה‪ M -‬ויחס ‪- n‬מקומי‪ , R -‬נאמר שהיחס ‪ R‬גדיר (ע"י הנוסחה ‪) ‬‬
‫אם קיימת נוסחה ‪ ‬בעלת ‪ n‬משתנים חופשיים ‪, v n‬‬
‫‪, z  vn    R‬‬
‫‪   z  v1  , z  v 2  ,‬‬
‫‪ v1 , v 2 ,‬המקיימת ‪:‬‬
‫‪ M‬לכל השמה ‪. z‬‬
‫‪z‬‬
‫הערה‪ R :‬לא בהכרח במילון ולכן גם ‪ R‬לא מופיע בנוסחה ‪. ‬‬
‫דוגמא‪,   P   , F  ,  , c :‬‬
‫‪, /, 0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ . M ‬רוצים להגדיר את‪:‬‬
‫‪( Q   ‬כלומר‬
‫להגדיר יחס של כל המספרים הרציונאליים)‪.‬‬
‫הנוסחה המגדירה את היחס‪   v1  v 2  P  v1   P  v 2    F  v1 , v 2   v 3      v 2  c    :‬‬
‫הנוסחה אומרת‪ :‬קיימים לפחות ‪ v1‬ולפחות ‪ v 2‬שבהינתן ‪ v 3‬רציונאלי‪ ,‬מקיימים את התנאים‪ :‬שניהם‬
‫שלמים‪ ,‬חלוקה שלהם אחד בשני שווה ל‪. v 2  0 , v 3 -‬‬
‫משפט הקומפקטיות‪ :‬קבוצת פסוקים ‪ ‬ספיקה אם"ם כל ת"ק סופית של ‪ ‬היא ספיקה‪.‬‬
‫גדירות של מבנים‪:‬‬
‫מודלים של נוסחה‪  :‬‬
‫מודלים של פסוק‪  :‬‬
‫‪z‬‬
‫‪. M od       M , z  | M‬‬
‫‪M o d     M | M‬‬
‫מודלים של קבוצת פסוקים‪  :‬‬
‫‪ . M od      M | M‬קבוצת פסוקים מגדירה את קבוצת‬
‫המודלים שלה‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬בהינתן קבוצת מבנים ‪( K‬עבור מילון ‪ ) ‬נאמר שהיא גדירה אם קיימת קבוצת פסוקים ‪‬‬
‫מעל ‪ ‬שמגדירה את ‪. K‬‬
‫הנחה‪ :‬אין מבנים ריקים‪.‬‬
‫דוגמא‪ :1-‬מילון ריק‪ .  1    v1  v 2   v1  v 2  ,‬מהי קבוצת המודלים?‬
‫פיתרון‪ , M od   1    M | 2  | D M | :‬כלומר‪ :‬כל מודל שיש לו לפחות שני איברים בתחום‪.‬‬
‫דוגמא‪ :2-‬מילון ריק‪ . K 2   M | | D M | 1 ,‬האם ‪ K 2‬גדירה?‬
‫פיתרון‪ :‬כן‪ ,‬ע"י‪.  2    v1 v 2  v1  v 2  :‬‬
‫דוגמא‪ .  3    v1 v 2  R  v1 , v2   R  v2 , v1   ,   R  ,  :3-‬מהי קבוצת המודלים?‬
‫פיתרון‪. M od   3    M | R M sym eric  :‬‬
‫דוגמא‪ :4-‬מילון ריק‪ D M { ,‬הוא אינסופי } ‪ . K inf ‬האם ‪ K inf‬גדירה?‬
‫פיתרון‪ :‬לכל מספר ‪ n‬נבנה פסוק ‪  n‬שאומר שישנם לפחות ‪ n‬איברים בתחום‪:‬‬
‫‪ v n    vi  v j ‬‬
‫‪i j‬‬
‫‪ .  n   v1‬אזי‪  in f   n | n  2  :‬מגדירה את ‪. K inf‬‬
‫תחום שאינו חסום‪ :‬תהי ‪ ‬קבוצת פסוקים‪ .‬נאמר שגודל התחום במבנים של ‪ ‬אינו חסום אם לכל‬
‫מספר טבעי‬
‫‪ n ‬קיים מבנה ‪ M‬שמספק את ‪ ‬ומקיים‪. | D M | n :‬‬
‫הערה‪" :‬לא חסום" שונה מ"אינסופי"‪.‬‬
‫דוגמא‪ :‬הטבעיים זו קבוצה לא חסומה אבל אין מספר טבעי אינסופי‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫©ענת עציון‬
‫לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב (‪ – )422432‬חורף תשע"א‬
‫משפט‪ :‬תהי ‪ ‬קבוצת פסוקים בתחשיב היחסים‪ .‬אם גודל התחום במבנים של ‪ ‬לא חסום‪ ,‬אז ל‪-‬‬
‫‪ ‬קיים מבנה שמספק אותה בעל תחום אינסופי‪.‬‬
‫דוגמא‪ :1-‬מילון ריק‪ D M { ,‬הוא סופי } ‪ . K fin ‬האם ‪ K fin‬גדירה?‬
‫פיתרון‪ :‬נניח בשלילה ש‪ K fin -‬גדירה ע"י קבוצת פסוקים ‪ . ‬גודל התחום במבנים עבור ‪ ‬אינו‬
‫חסום ולכן לפי המשפט‪ ,‬קיים מבנה ‪ M‬המספק את ‪ ‬כך ש‪ D M -‬אינסופי‪ M  K fin .‬בסתירה‬
‫לכך ש‪  -‬מגדירה את ‪. K fin‬‬
‫דוגמא‪ R M { .   R  ,  :2-‬הוא יחס שקילות | ‪ . K eq  { M‬האם ‪ K eq‬גדירה?‬
‫פיתרון‪,  sym   v1 v 2  R  v1 , v 2   R  v 2 , v1   ,  ref   v1 R  v1 , v 2  :‬‬
‫‪.  eq   ref ,  sym ,  tz  .  tz   v1 v 2  v 3  R  v1 , v 2   R  v 2 , v3   R  v1 , v3  ‬‬
‫דוגמא‪ R M { :3-‬יחס שקילות וכל מחלקת שקילות היא אינסופית | ‪. K eq  inf  { M‬‬
‫פיתרון‪.  eq  inf   eq  {  n | n  2} :‬‬
‫דוגמא‪ R M { :4-‬יחס שקילות וכל מחלקת שקילות היא סופית | ‪. K eq  fin  { M‬‬
‫פיתרון‪ :‬הקבוצה אינה גדירה‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫©ענת עציון‬