מבוא - Anat Etzion
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
מבוא
טענה :נכונה בעולם.
טיעון :מבנה שמכיל הנחות ומסקנות נאמר שטיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות אז גם
המסקנות נכונות.
דוגמא למבנה תקף :אם Aהוא Bוכל Bהוא ,Cאז Aהוא .C
דוגמא למבנה לא תקף :אין Aללא Bול C-יש ,Bאז Cהוא .A
מונחי יסוד בתורת הקבוצות:
קבוצה :אוסף של אלמנטים הנקראים איברי הקבוצה .אין חשיבות לסדר ואין משמעות לחזרות.
שייכות :נאמר ש x -הוא איבר של קבוצה Aאם xהוא אחד האלמנטים ב . A -סימון. x A :
הערה :אם bלא איבר ב A -מסמנים. b A :
הקבוצה הריקה :הקבוצה בלי איברים ,הקבוצה עם 0איברים .סימון. {}, :
הערה { } :אינה קבוצה ריקה ,זו קבוצה שמכילה איבר אחד.
שוויון בין קבוצות :נאמר ש A -ו B -קבוצות שוות אם ל A -ול B -יש את אותם איברים.
סימון A B :לכל איבר x A , xאם"ם . x B
גודל של קבוצה :נאמר ש A -קבוצה סופית אם מספר האיברים בה הוא
.n
סימון - | A | :הגודל של . A
תת-קבוצה A :נקראת תת-קבוצה של Bאם כל איבר ב A -הוא איבר ב. B -
סימון A A B :מוכלת ב B , B -מכילה את A , Aחלקית ל. B -
A Bאם קיים x Aכך ש. x B -
הכלה ממש :נאמר ש A -מוכלת ממש ב B -אם A Bו . A B -סימוןB :
. A B, A
הערה :לא לבלבל עם . A B
תכונות של הכלה:
.1לכל קבוצה Aמתקיים( A :ניתן לטעון שכל אברי הקבוצה הריקה שייכים ל.) A -
.4לכל קבוצה . A A , A
.2אם A Bו B C -אז . A C
.2
A B A Bוגם . B A
פעולות על קבוצות:
איחוד קבוצות :האיחוד של הקבוצות Aו B -הוא הקבוצה המסומנת A B :ומוגדרת ע"י:
} . A B { x | x A or x B
תכונות האיחוד:
.1אם A Bאז . A B B
.4
.A B B A
.2
( A B C A B C האסוציאטיביות של האיחוד).
.2
.5
.A A A
.A A
.6
.A A B
1
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
חיתוך קבוצות :קבוצת החיתוך של Aו B -מסומנת A B :ומוגדרת ע"י:
} . A B { x | x A and x B
הערה :אם ל A -ול B -אין איברים משותפים ( ) A B נאמר ש A -ו B -זרות.
תכונות החיתוך:
.1אם A Bאז . A B A
.4
.A B B A
.2
( A B C A B C האסוציאטיביות של החיתוך).
.2
.5
.A A A
.A
.6
. A B A, A B B
הפרש קבוצות :ההפרש בין Aו B -מוגדר ע"י , A \ B { x | x A and x B } :כלומר כל איברי
Aשאינם איברים ב. B -
סימון. A \ B , A B :
הפרש סימטרי , A B A \ B B \ A :כל אברי Aשאינם ב B -וכל אברי Bשאינם ב. A -
תכונות ההפרש הסימטרי:
.1
.A B A BA B
.4
.A B B A
.2
. A B C A B C
.2
.A A
.5
.A A
קבוצת החזקה :בהינתן קבוצה , Aקבוצת החזקה של Aמסומנת P A :ומוגדרת ע"י:
} , P A { S | S Aכלומר קבוצת כל תתי-הקבוצות של . A
טענה :לכל A , B
-
מתקיים. P A P B P A B :
-
לא מתקיים. P A P B P A B :
2
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
בנייה פורמאלית של תורת הקבוצות
.1הקבוצה הריקה :קיימת קבוצה ריקה .סימון . :הקבוצה הריקה היא יחידה.
.4קבוצות של שני איברים :לכל שתי קבוצות Aו B -קיימת קבוצה Cש A -ו B -הם האיברים
היחידים שלה } C ( C { A , Bזוג לא סדור).
.2איחודים :לכל שתי קבוצות Aו B -קיימת קבוצה Cעבורה x C :אם"ם x Aאו . x B
סימון. C A B :
.2עיקרון ההפרדה/החלוקה :בהינתן שקיימת קבוצה , Aניתן להגדיר תכונה של איברי Aוקיימת
קבוצה B Aשמכילה בדיוק את כל אברי Aשמקיימים את התכונה.
.5כלל החזקה :לכל קבוצה Aקיימת הקבוצה. P A :
זוג סדור :זוג איברים עם סדר ביניהם .סימון. a , b , a , b :
ההבדל בין זוג סדור לשני איברים בקבוצה:
בקבוצה אין סדר ואין חזרות.= a , a זוג= { a , a } ,קבוצה של איבר אחד.
-
} . a , b b , a , { a , b } {b , a
הערה :באותו אופן ניתן להגדיר שלשה סדורה. a , b , c :
מכפלה קרטזית :בהינתן שתי קבוצות Aו , B -המכפלה הקרטזית של Aב B -מסומנתA B :
ומוגדרת ע"י A B { a , b | a A , b B } :כלומר :אוסף כל הזוגות הסדורים שהאיבר הראשון
הוא מ A -והשני הוא מ. B -
עבור קבוצות סופיות:
| . | A B | | A | | B-
. A B C A B C
2
מכפלה של קבוצה עם עצמה. A {0,1} A A A 0, 0 , 0,1 , 1, 0 , 1,1 :
תכונות של מכפלה קרטזית:
.1
. A A
.4
A A B או ( B או שניהם).
.2
A Bאזי לכל קבוצה . A C B C , C
.2
. A B C A C B C
.5
. A B C A C B C
. A \ B C A C \ B C .6
3
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
רלציות
הגדרות:
רלציה בינארית :רלציה בין Aל B -היא תת-קבוצה כלשהי של . A B
רלציה טרינארית :רלציה בין A , Bו C -היא תת-קבוצה כלשהי של . A B C
רלציה אונארית :תת-קבוצה כלשהי של . A
הערה :מספר הרלציות בין Aל B -שקול לשאלה כמה תתי-קבוצות יש ל. 2 | A B | 2 | A|| B| : A B -
תחום וטווח של רלציה :תהי R A Bרלציה בינארית בין Aל. B -
( D om ain R x A | y B , x , y R כל אברי Aשמהם יוצאות קשתות בגרף).
( R a n g e R y B | x A , x , y R כל אברי Bשאליהם נכנסת לפחות קשת אחת).
רלציה הופכית :בהינתן רלציה , R A Bמגדירים רלציה הופכית ל R -המסומנת, R 1 :
1
R B Aבאופן הבא. aR b bR 1 a :
בגרף :הופכים את כיווני הקשתות.
במטריצה :אם Mמייצגת את Rאז
t
Mמייצגת את
1
.R
רלציה משלימה :בהינתן . R A B \ R , R A B
c
במטריצה :הופכים 0ל 1-ו 1ל.0-
הרכבת רלציות :בהינתן R A Bו , S B C -מגדירים R S A C :באופן הבא:
R S a , c | b B , a , b R and b , c S כלומר ,אוסף כל הזוגות שעבורם יש
מסלול מ A -ל. C -
הערה :ייתכן שההרכבה תהיה ריקה למרות שהרלציות לא ריקות.
תכונות של הרכבת רלציות:
-
אסוציאטיביות. R1 R 2 R 3 R1 R 2 R 3 :
הופכי של הרכבה:
1
R1
1
R2
1
. R1 R 2
הערה :אם מוגדרת , R Sלא בהכרח מוגדרת . S R
רלציות מעל קבוצה :רלציה בינארית מעל Aהיא תת-קבוצה כלשהי של . A A
חזקות של רלציה :כאשר מדברים על Rשמוגדרת מעל Aמסמנים את R Rב. R -
2
רלציות בעלות תכונות מיוחדות:
מתייחס לרלציה Rמעל קבוצה , A
רפלקסיביות:
-
רלציה רפלקסיבית :לכל . x , x R , x A
בגרף :לכל הצמתים יש לולאות עצמיות.
במטריצה :אלכסון של -1ים.
-
רלציה לא רפלקסיבית :קיים x Aו. x , x R -
4
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
-
רלציה אי-רפלקסיבית :לכל . x , x R , x A
סימטריות:
-
רלציה סימטרית :לכל . x , y R y , x R , x , y A
-
רלציה לא סימטרית :קיים x , y R , x , y Aוגם . y , x R
-
רלציה אסימטרית :לכל . x , y R y , x R , x , y A
-
רלציה אנטי סימטרית :לכל , x , y Aאם x , y Rוגם y , x Rאז. x y :
טרנזיטיביות:
-
רלציה טרנזיטיבית :לכל , x , y , z Aאם x , y Rו y , z R -אז. x , z R :
בגרף :אם יש מסלול באורך 4מ x -ל z -אז יש גם קשת מ x -ל. z -
הרכבת רלציות:
R1 A B , R 2 B C , R 1 R 2 A C
הגדרהR1 R 2 a , c | b B : a , b R1 b , c R 2 :
2
R R R
סגור ( S :)closureהוא הסגור של Rלפי אם:
.1
.R S
.4
Sמקיים את .
.2אם R Tוגם Tמקיים אז . S T
הסגור הטרנזיטיבי:
k
. R*
R
k
הסגור הרפלקסיבי. R I A , I A a , a | a A :
הסגור הסימטרי x , y | y , x R :
1
1
RR , R
הערה :אין סגור אנטי-סימטרי.
יחסי שקילות:
יחס שקילות :נאמר שיחס Eמעל קבוצה Aהוא יחס שקילות אם Eרפלקסיבי ,סימטרי
וטרנזיטיבי.
מחלקת שקילות :יהי Eיחס שקילות מעל קבוצה . Aמחלקת השקילות של איבר x Aמסומנת
ע"י [ x ] :ומוגדרת באופן הבא. [ x ] { y | x , y E } :
חלוקה :תהי Aקבוצה .חלוקה של Aהיא קבוצה של תתי-קבוצות לא ריקות של , Aזרות זו לזו
שאיחודן הוא כל . A
קבוצת מנה :יהי Eיחס שקילות מעל . Aקבוצת המנה A / Eמהווה חלוקה של . Aכלומר ,יחס
השקילות משרה חלוקה של התחום לקבוצות זרות שהן מחלקות השקילות.
בגרף :עבור כל מחלקת שקילות -קליק (גרף מלא).
במטריצה :מטריצת בלוקים שיש בהם -1ים על האלכסון.
5
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
למות להוכחת המשפט :יהי Eיחס שקילות מעל A
.1לכל איבר x Aמתקיים. [ x ] x [ x ] :
.4לכל . [ x ] [ y ] x , y E : x , y A
.2לכל . [ x ] [ y ] [ x ] [ y ] : x , y A
.2
.
[ x] A
x A
6
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
פונקציות
פונקציה :רלציה fבין Aל B -היא פונקציה אם לכל x Aקיים y Bיחיד כך ש. x , y f -
קיום. a A , b B : a , b f :
יחידות. a A , b1 , b 2 B : a , b1 f a n d a , b 2 f b1 b 2 :
בגרף :מכל צומת ב A -יוצאת קשת אחת בדיוק לצומת ב. B -
סימון:
f A B f : A B
f f a b
a, b
פונקציה חח"ע :פונקציה fהמקיימת. a1 , b f a 2 , b f a1 a 2 :
פונקציה על :פונקציה fהמקיימת. b B , a A : a , b f :
פונקציה הפיכה :פונקציה שהיא חח"ע ועל.
f A B f :A B
k
פונקציות kמקומיות:
Ak B
k
Ak B f : A1 A2
f A1 A2
סגירות תחת פונקציות:
סגירות תחת פונקציה :תהי Aקבוצה f : A A ,פונקציה .נאמר ש A0 A -סגורה תחת f
אם לכל x A0מתקיים. f x A0 :
סגירות תחת קבוצת פונקציות :תהי , f m
k
F f 1 , f 2 ,קבוצת פונקציות כאשר. f i : A A :
i
( f iפונקציה שהיא k iמקומית) ,ותהי Aקבוצה .נאמר ש A0 A -סגורה תחת Fאם לכל
1 i mמתקיים A0סגורה תחת . f iכלומר לכל , a k i A0
a1 ,מתקיים, a k i A0 :
. f i a1 ,
טענה :תהי Fמשפחת פונקציות מעל Aותהיינה A1 , A2 Aתתי-קבוצות סגורות תחת , Fאז
A1 A2סגורה תחת . F
הרחבת הטענה :תהי Fמשפחת פונקציות מעל Aותהי Bקבוצת תתי-קבוצות של Aשכל
האיברים שלה סגורים תחת , Fאז B
סגורה תחת . F
הרכבת פונקציות:
הגדרהg x g f x :
f
f :A B
g : B C
הערה :סדר ההפעלה הוא משמאל לימין ,הפונקציה הכי שמאלית מופעלת ראשונה.
משפטים על הרכבה:
אם f , gפונקציות אז גם f gהיא פונקציה.
אם f , gחח"ע אז גם g
fהיא חח"ע.
אם f , gעל אז גם g
אם f , gהפיכות אז אז גם g
אם g
fהיא על.
fהפיכה.
fעל וגם gחח"ע אזי fעל.
7
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
הגדרת קבוצות באינדוקציה
הגדרה :בהינתן קבוצת אטומים (קבוצת בסיס) Bוקבוצת פעולות יצירה (פונקציות) , Fמסמנים ב-
X B , Fאת הקבוצה המוגדרת באינדוקציה ע"י Bו X B , F . F -היא הקבוצה היחידה המקיימת:
.1
. B X B ,F
.4
X B , Fסגורה תחת : Fלכל , y k X B , F
, y1 ,אם zמתקבל מהם ע"י אחת הפעולות בF -
אז גם . z X B , F
.2ב X B , F -קיימים רק איברים הכרחיים לקיום דרישות 1ו.4-
מסקנה מהבנייה :כל קבוצה Xשמקיימת את דרישות 1ו 4-מכילה את . X B , F
משפט ההוכחה באינדוקציה :על-מנת להוכיח שקבוצה , X B , F Yמספיק להוכיח:
.1
.B Y
.4
Yסגורה תחת . F
סדרת יצירה :סדרת יצירה עבור aמתוך X B , Fהיא סדרה סופית , a n
)1
a1 ,המקיימת:
. an a
)4לכל a i B , 1 i nאו ש a i -מתקבל ע"י הפעלת אחת הפעולות מ F -על איברים הנמצאים
בסדרה.
הערה :סדרת יצירה היא לא יחידה ולא בהכרח סופית.
טענה :תהי Bקבוצת גרעין ו F -קבוצת פעולות .אזי לכל איבר a X B , F , aל a -קיימת
סדרת יצירה מתוך . X B , F
הוכחה שאיבר לא בקבוצה :על-מנת להוכיח ש a X B , Fנמצא תכונה Tהמקיימת:
(א) aלא מקיים . T
(ב) כל אברי X B , Fמקיימים ( Tכל אברי הבסיס מקיימים Tוקבוצת הפעולות משמרת את .) T
8
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
עוצמות של קבוצות
עוצמה :בקבוצות סופיות ,סימנו גודל קבוצה ב | A | -וזו העוצמה של . A
משפט :תהיינה Aו B -קבוצות סופיות | A | | B | .קיימת f : A Bחח"ע ועל.
קבוצות שוות עוצמה :נאמר שקבוצות Aו B -הן שוות עוצמה אם קיימת f : A Bשהיא חח"ע
ועל .סימון. A B :
טענה :יחס B
Aהוא יחס שקילותB .
. R A , B | A
הערה :מחלקות השקילות נקראות המספרים הקרדינליים.
קבוצה אינסופית:
n כך
הגדרה :1-קבוצה Aתיקרא סופית אם המספר הקרדינלי שלה סופי .כלומר ,קיים
שקיימת התאמה חח"ע בין } {1, , nל . A -הקבוצה Aאינסופית אם אינה עונה להגדרה סופית.
טענה :הקבוצה
היא אינסופית.
מסקנה :קבוצה Aהיא אינסופית אם קיימת A
f :חח"ע (לא בהכרח על).
הגדרה :2-קבוצה Aהיא אינסופית אם קיימת f : A Aחח"ע ולא על. f A A ,
טענה :הגדרה 1-והגדרה 4-הן שקולות.
טענה:
היא קבוצה אינסופית לפי הגדרהf n 2 n .4-
.f :
מסקנות:
א .עבור קבוצות סופיות Aו B -כך ש , | A | | B | -כל פונקציה חח"ע היא גם על וכל פונקציה
שהיא על היא גם חח"ע.
ב .עבור קבוצות אינסופיות A , Bכך ש - | A | | B | -בהכרח קיימת g : A Bחח"ע ולא על,
וקיימת פונקציה על שהיא לא חח"ע.
ג .אף קבוצה היא לא אינסופית וגם סופית.
תכונות של קבוצות סופיות:
)1אם Aו B -סופיות ,אז A B , A B , A B , A B :הן קבוצות סופיות.
)4כל איחוד סופי של קבוצות סופיות הוא סופי.
)2כל מכפלה סופית של קבוצות סופיות היא סופית.
תכונות של קבוצות אינסופיות:
תהי Aקבוצה אינסופית ,אזי:
)1כל קבוצה Bכך ש A B -היא אינסופית.
)4לכל קבוצה Bעבורה קיימת f : A Bחח"ע B ,אינסופית.
)2לכל קבוצה , Bאם קיימת g : B Aעל ,אז Bאינסופית.
)2
P A היא אינסופית.
)5לכל קבוצה , Bהקבוצה A Bהיא אינסופית.
)6לכל קבוצה Bלא ריקה A B ,היא אינסופית.
*
הגדרה :יהי אלפבית (קבוצה) .נסמן ב -את קבוצת המילים הסופיות מעל .
טענה :אם אז:
*
*
אינסופית (כי קיימת פונקציה
f :חח"ע).
9
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
קבוצות בנות מנייה:
סימון| 0 :
|.
בת מנייה :נאמר שקבוצה Aהיא בת-מנייה אם קיימת
f : A חח"ע.
הגדרה שקולה :קבוצה Aהיא בת-מנייה אם Aסופית או מעוצמה . 0
בת-מנייה אינסופית :נאמר שקבוצה היא בת-מנייה אינסופית אם היא בת-מנייה ולא סופית.
איך מראים על קבוצה אינסופית שהיא בת-מנייה:
f : A חח"ע.
מוצאים
.1הצגת התאמה מפורשת.
.4הצגת סדר ספירה -מציגים סדר ספירה של איברי הקבוצה Aבו מופיעים כל איברי הקבוצה וכל
איבר מופיע כשלפניו מספר סופי של איברים.
הערה :גם אם מציגים סדר ספירה עם חזרות ניתן לקבל ממנו סדר ספירה ללא חזרות.
איחוד קבוצות בנות מנייה:
k
משפט :תהיינה , Ak
היא בת-מנייה אינסופית.
A1 ,קבוצות בנות-מנייה אינסופיות ,אזיAn :
n 1
(כלומר ,כל איחוד סופי של קבוצות בנות-מנייה הוא בן מנייה).
משפט| 0 :
|.
מסקנה| 0 :
|.
משפט :תהי Bקבוצה מעוצמה 0שאבריה הם קבוצות מעוצמה . 0
}, | Ai | 0
Ai 0 . B { A0 , A1 ,
B
.
i0
(כלומר ,איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה הוא בן-מנייה).
משפט :אם Aו B -הן קבוצות בנות-מנייה אינסופיות אז A Bהיא קבוצה בת-מנייה אינסופית.
משפט :תהי Aקבוצה בת-מנייה לא ריקה .אז * Aהיא בת-מנייה אינסופית.
קבוצות שאינן בנות-מנייה:
השוואה בין קבוצות :נגדיר A B -ונאמר ש B -לפחות בעוצמה של Aאם קיימת פונקציה
f : A Bחח"ע .נגדיר A B :אם Aוגם . A B
משפט קנטור :לכל קבוצה P A , A
.A
הערה :למעשה זה אומר שישנן אינסוף עוצמות.
טכניקת לכסון :הליכה על האלכסון במטריצה והפיכתו.
ההוכחה באופן כללי :עבור קבוצה Aכלשהי ,תהי f : A P A פונקציה .נבנה קבוצה
B f Aבאופן הבא . a f a a B f :נראה ש B f -לא מתקבלת ע"י , fכלומר :נראה שלא
קיים x Aכך ש. B f f x -
מסקנה :
P היא לא בת-מנייה.
השערת הרצף :לא קיימת קבוצה A
משפט קנטור-ברנשטיין :אם B
כך ש -
AוA -
P
.
A
BאזB :
.A
אם קיימת f : A Bחח"ע וגם קיימת g : B Aחח"ע אז קיימת h : A Bחח"ע ועל.
11
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
משפטים נוספים:
אם A BאזB :
כלל הסנדוויץ' :אם C
A
}{0,1
A
B
AוגםC :
AאזC :
B
A
P A לכל קבוצה . A
11
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
תחשיב הפסוקים-הקדמה
סינטקס :איזה אותיות מרכיבות מילה .איזה מילים מרכיבות משפט.
סמנטיקה :המשמעות לסימנים.
סינטקס -הגדרה פורמאלית:
. pi | i
אותיות השפה :הסימנים , , , , T , F , (, )וגם
ביטוי/מילה :כל סדרה סופית של סימנים בשפה.
נגדיר באינדוקציה את קבוצת המילים החוקיות בשפה:
בסיס( B { p i | i } {T , F } :פסוקים אטומיים).
סגור . F F , F , F , F :עבור סדרות : ,
F ,
F
F ,
F ,
קבוצת הפסוקים היא X B , Fעבור Bו F -אלו .סימון נוסף. W F F :
משמעות תחשיב הפסוקים:
לכאורה ,על-מנת לבדוק נכונות של פסוק ,יש צורך לבדוק הצבה של כל הטענות כהנחות בפסוק.
מה שיעניין אותנו לבדוק הוא רק האם הטענות נכונות או לא .לשם כך מגדירים קבוצת ערכי אמת-
}. {0,1
עץ יצירה:
הגדרה :עץ שבכל צומת שלו מופיע פסוק.
אם הצומת הוא עלה בעץ ,מופיע פסוק אטומי.
אם הצומת מסומן בקשר דו-מקומי } { , ,
אז לצומת שני בנים.
אחרת ,הצומת מסומן ב ויש לו בן אחד.
הגדרת קבוצת עצי יצירה:
בסיס :עצים עם צומת אחד . p i , T , F
סגור :אם T1 , T2עצים אזי:
T2
T1
} { , , או
T1
חישוב ערך אמת במעלה עץ היצירה:
.1הצבת ערכים לעלים -ערכים לאטומים :נגדיר השמה . z : { p i | i } {0,1} :תפקיד
ההשמה :לבדוק הצבה אפשרית של טענות לאטומים .עבור - Tקבוע ,1עבור - Fקבוע .0
.4שלב טיפוס בעץ :נסמן ב z p i -את הערך שההשמה zנותנת ל. p i -
עבור פסוק נסמן ב z -את הערך ש -כאשר האטומים מקבלים ערכים לפי . z
נניח ש -הוא הצומת הראשון שעדיין לא חושב אז , :או .
את הפעולות מקבלים מטבלאות האמת.
12
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
טבלאות אמת:
טבלאות שאומרות עבור כל קשר -לכל ערך של ארכי אמת לפסוקים , , מה יהיה הערך של:
או .
T T
T T
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
TT
0
0
0
TT
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
באופן פורמאלי :נרצה לחשב את z עבור השמה נתונה . z
אם פסוק אטומי. z z , z T 1, z F 0 , p i :
אחרת:
אם אז. z T T z :
אחרת :ו. z T T z , z -
תכונות WFFמהתרגול:
.1הוא אטום או ש -מתחיל ב )-וגמר ב.( -
.4מספרים הסוגריים הפותחים שווה למספר הסוגריים הסוגרים.
.2לכל רישא ממש לא ריקה של , נסמן אותה , מתקיים( # ( # ( :גדול ממש).
.2בין כל )
( ב -מופיע לפחות קשר אחד.
.5בין כל זוג אטומים יש קשר.
13
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
משפט סינטקטי -משפט הקריאה היחידה( :מבטיח שלכל פסוק יש עץ יצירה יחיד)
.i
לכל פסוק , אם קיימים 1 , 1וקשר דו-מקומי aכך ש 1 a 1 -וכן קיימים 2 , 2
וקשר דו-מקומי bכך ש 2 b 2 -אזי. 1 2 , a b , 1 2 :
.ii
לכל פסוק , אם קיים פסוק כך ש -אז :לא קיימים , וקשר דו-מקומי aכך
ש a -וכן לכל , אם אז. :
משפט הגדרת ערך האמת :תהי zהשמה .לכל פסוק קיים ערך יחיד z המחושב ע"פ
טבלאות האמת בהינתן שערכי האטומים נקבעים לפי . z
סדר קדימויות :מגדירים סדר קדימויות לקשרים:
, .4
.2
.1
ניתן להשמיט סוגריים אם זה לא משנה את המשמעות .נשאיר סוגריים אם רוצים להפעיל לפי סדר
קדימויות אחר או אם רוצים לקבוע סדר בין קשרים באותה חשיבות.
שלמות מערכת ההבעה של תחשיב הפסוקים:
מימוש טבלת אמת :נאמר שפסוק מממש טבלת אמת , Tאם Tהיא טבלת האמת של .
שלמות מערכת קשרים :מערכת קשרים היא שלמה אם לכל טבלת אמת קיים פסוק בקשרים
שמממש אותה.
טענה :מערכת הקשרים של תחשיב הפסוקים היא שלמה.
רעיון ההוכחה :בהינתן טבלת אמת , Tנבנה פסוק Tשמממש את . T
אם Tקבוע 0אז T F :
אחרת ,עבור כל שורה בטבלה שהיא ,1נבנה פסוק : iרשימת כל האטומים שקיבלו 1בשורה הi -
ושלילת כל האטומים שקיבלו 0בשורה ה , i -חיבור ב .
בניית : Tמחברים ב -את כל ה- -ים.
מונחי יסוד סמנטים:
טאוטולוגיה :פסוק נקרא טאטולוגיה אם לכל השמה . z 1 , z
דוגמאות:
p0
p1 p1 p 0
p0 p0
p 0 , p1 , p 0 , p 2
p0 p0
p 0 , p1 p 0 , p1
, p1 , p 2
0
p
כיצד מראים שפסוק הוא טאוטולוגיה:
.iטבלת אמת :לכאורה צריך לבדוק את כל ההשמות בעולם ועבור כל אחת מהן ,לוודא שערך
האמת הוא .1-למעשה ,לצורך חישוב ערך האמת משנים רק ערכי האמת שההשמה נותנת
לאטומים המופיעים בפסוק .מספיק שנבנה טבלה המכילה את כל ההשמות האפשריות לאטומים
שמופיעים בפסוק ,ונבדוק שכל השורות הן .1
.ii
הוכחה מילולית :מחפשים מה צריכה השמה z
לקיים כדי ש 0
z ומראים שלא יתיכן z
כזו.
נביעה לוגית :נאמר שפסוק נובע לוגית מפסוק ( או גורר לוגית את ) אם לכל השמה , z
אם z 1אז . z 1סימון. | :
טענה :טאוטולוגיה אם"ם .) | | ( |
14
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
סתירה :נאמר שפסוק הוא סתירה אם לכל השמה . z 0 , z
טאוטולוגיה סתירה.
סתירה טאוטולוגיה.
לא טאוטולוגיה סתירה.
פסוק ספיק :פסוק נקרא ספיק אם קיימת השמה . z 1 , zסימון :
איך מראים מהו סוגו של פסוק?
סתירה
.1טבלת אמת.
להראות כן
.4הוכחה מילולית
מראים השמה מספקת
להראות לא
ספיק
מראים השמה מספקת
.1טבלת אמת
.4הוכחה מילולית
.z
טאוטולוגיה
.1טבלת אמת
.4הוכחה מילולית
קיימת השמה לא
מספקת
הגדרות:
מספקת קבוצת פסוקים xאם לכל 1 x
. z סימוןx :
-
נאמר שהשמה z
-
נאמר שפסוק נובע לוגית מקבוצת פסוקים xאם לכל השמה zשמספקת את xמתקיים:
. z סימון. x :
קבוצת פסוקים xהיא ספיקה אם קיימת השמה zשמספקת את . x
-
פסוקים ו -שקולים לוגית אם לכל השמה . z z , zסימון . :שקול
-
להגדרה | :
טענה :
משפט :תהי }
.z
.
{ 1 , 2 ,קבוצת פסוקים ותהי - K i קבוצת ההשמות שמספקת את . i
אז קבוצת ההשמות שמספקת את היאk i :
i
איך מוכיחים שמערכת קשרים היא שלמה?
.iהוכחה ישירה.
.iiמתבססים על מערכת ישנה הידועה כשלמה ומראים כיצד לבטא כל קשר במערכת הישנה
באמצעות הקשרים במערכת החדשה.
דוגמא :נוכיח ש { , } -שלמה .ראינו ש { , , } -היא מערכת שלמה .כך נבטא במערכת
החדשה. :
איך מוכיחים שמערכת קשרים היא לא שלמה?
מוכיחים תכונה סמנטית על-גבי המערכת החדשה ומראים טבלת אמת שלא מקיימת את התכונה.
הוכחת נביעה לוגית:
דוגמא :לכל קבוצת פסוקים xופסוקים , , אם
הוכחה:
נניח ש -
} x {ו -
} x { ונראה :
zאז
תהי zהשמה .נראה שאם x
.1אם
zאז{ } x :
.4אחרת
.z
.x
. zקיימות שתי אפשרויות:
zומאחר ו -
zאז{ } x :
} x {ו -
} x { אז :
.x
} x {אז
zומאחר ו -
.z
} x { אז
} . x { ,
15
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
נביעות לוגיות נוספות:
לכל , , , אם
אם
} { , ו -
} { , אז
} { , אז :
.
( מקרה פרטי שבו .)
} x ( x { , היא קבוצת פסוקים).
תהיינה 1 , 2קבוצות פסוקים .אם 1 2אז לכל פסוק , אם
1אז
.2
הצבות:
הגדרה :נתונה פונקצית הצבה . s : { p i | i } W FFנגדיר באינדוקציה על מבנה הפסוק את
- su b , s הפסוק המתקבל מ -ע"י החלפת כל אטום בערך שפונקצית ההצבה sמתאימה לו.
בסיס sub , s s p i , p i :וגם . su b T , S T , su b F , s F
סגור { , , } , 1 , 2 :
sub 1 2 , s sub 1 , s sub 2 , s
sub 1 , s sub 1 , s
טענה :יהי פסוק שבו מופיעים האטומים, p n } :
{ p 0 ,ותהיינה s1 , s 2פונקציות הצבה עבורן לכל
. s1 p i s 2 p i 0 i nאז. sub , s1 sub , s 2 :
טענה :תהי sפונקצית הצבה ותהי zפונקצית השמה .נגדיר פונקצית הצבה חדשה . z לכל i
. z p i z s p i אזי לכל פסוק . z sub , s z :
(כלומר :אפשר לבצע את ההחלפה ע"י su bלפני ההצבה ע"י .) z
טענה :תהי טאוטולוגיה ,אזי לכל פונקצית הצבה sמתקיים su b , s :גם טאוטולוגיה.
צורות נורמאליות:
:Negation Normal Form – NNF
בסיס} :
} { p i | i
{ pi | i
סגור{ F , F } :
(אפשר לשים רק בבסיס ואז אפשר לשים , באיזה סדר שרוצים).
:Conjunctive Normal Form -CNF
.1מגדירים קבוצה .Disj
בסיס} :
} { p i | i
{ pi | i
סגור{ F } :
.4מגדירים CNF
סגור{ F } :
בסיסDisj :
(כמו NNFרק עם הגבלה נוספת -אפשר לשים רק אחרי .)
:Disjunctive Normal Form -DNF
.1מגדירים קבוצה .Conj
בסיס} :
} { p i | i
{ pi | i
סגור{ F } :
.4מגדירים DNF
סגור{ F } :
בסיסConj :
(כמו CNFרק הפוך ,קודם מותר לשים ורק אחריו ניתן לשים .)
משפט ה :DNF-לכל פסוק קיים פסוק שקול מצורת .DNF
הערה :בהינתן פסוק , נבנה לו טבלת אמת ואז נממש אותו בפסוק .DNF
16
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
מערכת הוכחה פורמאלית
איך בונים מערכת הוכחה?
.1קבוצת אקסיומות (שקל לבדוק אם משהו הוא אקסיומה).
.4כללי היסק -כללים שבאמצעותם מסיקים שורות חדשות בהוכחה.
.2קבוצת המשפטים הפורמאליים (כללי היסק ,אקסיומות).X
הוכחה פורמאלית היא סדרת יצירה במבנה זה.
יכיח :נאמר ש -יכיח אם יש לו סדרת הוכחה .סימון :
מערכת הוכחה לתחשיב הפסוקים:
קבוצת האקסיומות :פסוק הוא אקסיומה אם קיימים פסוקים , , כך ש -מאחת התבניות
הבאות:
A1.
כלל ההיסק:
,
A2.
F F
A3.
( M Pאם יש , ניתן להסיק ממנו את .)
קבוצת המשפטים הפורמאליים ,}MP{( :אקסיומות)X
סדרת הוכחה עבור פסוק היא סדרה סופית , n
1 ,עבורה מתקיים:
. n .1
.4לכל i , 1 i nהיא אקסיומה או iהתקבל ע"י MPמפסוקים קודמים בסדרה.
הוכחה מתוך הנחות:
בהינתן קבוצת הנחות (פסוקים) , Yקבוצת המסקנות של Yהיא:
. D ed Y X Y axiom ot ,{ M P } אם D ed Y אז מסמנים :
.Y
תכונות של הוכחה מתוך הנחות:
הנחת המבוקש :אם Xאז :
סופיות ההוכחה :אם
.X
Xאז קיימת Y Xסופית כך ש :
מונוטוניות :אם X Yאז לכל פסוק אם
מסקנה :אם
אז לכל קבוצה , X
Xאז
.Y
.Y
.X
מונוטוניות מחוזקת :אם לכל Xמתקיים Y |-- אז לכל פסוק , אם
Xאז
טענה :4-תהי sפונקצית הצבה ,תהי קבוצת פסוקים .אזי לכל פסוק כך ש -
sub , s
sub , s
מתקיים:
sub , s sub , s | יכיחות נשמרת תחת הצבות.
משפט הדדוקציה :לכל קבוצת הנחות Xופסוקים , ,
דוגמא לשימוש :אם רוצים להוכיח :
משפט הדיכוטומיה :אם
.Y
} {וגם
מספיק להוכיח :
X
} . X {
} . {
} { Fאז :
.
17
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
עקביות של קבוצת הנחות:
.X
הגדרה :קבוצת הנחות Xתיקרא עקבית אם F
הסופיות של העקביות :לכל קבוצת הנחות X , Xקבוצה עקבית אם"ם כל תת-קבוצה סופית של
Xהיא עקבית.
האם קיימת קבוצה עקבית?
שקול לשאלה -האם קבוצת האקסיומות עקבית (או האם הקבוצה הריקה היא עקבית).
משפט הנאותות הצר :כל פסוק יכיח הוא טאוטולוגיה (אם אז )
קשר ראשון בין סינטקס לסמנטיקה.
משפט הנאותות הרחב :לכל קבוצת הנחות Xולכל פסוק , אם X אז . X
הערה :עבור X מקבלים את משפט הנאותות הצר.
מסקנה :קיימת קבוצה עקבית.) ( .
משפט שקול לנאותות :לכל קבוצה , Xאם Xספיקה אז Xעקבית.
הגדרה :קבוצה Xתיקרא עקבית מקסימאלית אם Xעקבית ולכל פסוק ,
( X Fקבוצה שיש לה "דעה" על כל .)
Xאו
משפט :לכל קבוצה עקבית , Xקיימת קבוצה עקבית מקסימאלית Yומתקיים. X Y :
הרעיון :נוכל להוסיף ל X -פסוקים כך שתהיה לה דעה על כל דבר .בתהליך ההוספה נקפיד שלא
לפגוע בעקביות.
טענה :תהי Yקבוצה עקבית מקסימאלית .אז לכל זוג פסוקים , מתקיים:
Y Y או . Y F
טענה :תהי Yקבוצה עקבית .אם לכל , מתקיים :
Yהיא קבוצה עקבית מקסימאלית.
משפט :לא עקבית אם"ם קיים כך ש -
משפט :עקבית אם"ם קיים כך ש -
וגם F
Y
Yאו F
Yאז
.
ספיקות של קבוצה עקבית מקסימאלית:
טענה :אם Yקבוצה עקבית מקסימאלית ,אז Yקבוצה ספיקה.
משפט :תהי Xקבוצה .אם Xעקבית אז Xספיקה.
משפט השלמות לתחשיב הפסוקים :אם X אז . X
משפט X :קבוצה עקבית מקסימאלית קיימת השמה יחידה שמספקת את . X
משפט הקומפקטיות X :קבוצה ספיקה כל תת-קבוצה של Xהיא ספיקה.
18
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
בעיות צביעה של גרפים
הגדרה G V , E :לא בהכרח סופי .נאמר ש G -ניתן לצביעה חוקית בשני צבעים אם ניתן לצבוע
את כל צמתי הגרף בשני צבעים (כל צומת בצבע אחד) כך שלא תהיה קשת ששני קצותיה צבועים
באותו הצבע (קשת מונוכרומטית).
משפט G :ניתן לצביעה חוקית בשני צבעים אם"ם כל תת-גרף סופי של Gניתן לצביעה חוקית
בשני צבעים.
תרגום הבעיה לפסוקים :בהיתן גרף , Gנחפש קבוצת פסוקים X Gעבורה יתקיים-4 G :צביע
X Gספיקה .כל צומת יהיה אטום וערך האמת יהיה הצבע.
. X G i , j | i , j E , i , j p i p jכאשר z i , j 1 :אם"ם p iו p j -צבועים בערכי
אמת שונים.
טענה G :הוא -4צביע אם"ם X Gספיקה.
שיטה כללית:
Xמקיים אם"ם כל תת-קבוצה סופית של Xמקיימת .
.1תרגום של הבעיה לפסוקים X A .ספיקה A מקיים .
.4שימוש במשפט הקומפקטיות בזהירות.
19
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
גדירות
הגדרה :נאמר שקבוצת פסוקים מגדירה את אוסף ההשמות שמספקות אותה.
סימון :
M o d . A ss z | zנקראת קבוצת המודלים של .
משפט :אם 1 2אז. A ss 2 A ss 1 :
הגדרה :בהינתן קבוצת השמות , Kאם קיימת קבוצת פסוקים שמגדירה אותה אז Kגדירה.
האם קיימות קבוצות לא גדירות?
0
0
2השמות ולכן
0
כן ,משיקולי ספירה :ישנם 0פסוקים ו 2 -קבוצת פסוקים .אבל ישנן
קבוצת של השמות .ולכן בהכרח קיימות קבוצות של השמות שאינן גדירות.
קבוצות גדירות , :קבוצת כל ההשמות { z } ,לכל השמה , zקבוצת כל ההשמות הנותנות TלJ-
אטומים לכל היותר.
2
2
קבוצות לא גדירות - K fin :קבוצת כל ההשמות שנותנות Tלמספר סופי של אטומים.
- K infקבוצת כל ההשמות שנותנות Tלמספר אינסופי של אטומים.
} - Ass \ { z Fקבוצת כל ההשמות שנותנות Tלאטום אחד לפחות.
הערה :תמיד קבוצת כל ההשמות פחות השמה אחת -לא גדיר.
סכימה כללית להוכחת אי-גדירות:
.1מניחים בשלילה ש K -גדירה.
.4תהי קבוצה שמגדירה את . K M od , K
.2מצרפים ל -קבוצת פסוקים ומראים:
2.1לא ספיקה( .מחפשים .) M o d M o d
2.4כן ספיקה( .שימוש בקומפקטיות :כל ת"ק סופית של ניתן לספק ע"י השמה
מ . K -יש למצוא z Dמתאימה כאשר.) D :
.2מכך מסיקים שלא תיתכן כזו.
סכימה כללית להוכחת גדירות של קבוצת השמות:K-
.1מגדירים .
.4מראים
.zK z
.2מראים z K
.z
משפט :שלושת התנאים הבאים שקולים:
c
K .1גדירה ו K c -גדירה ( .) K A ll A ss \ K
K .4גדירה ע"י קבוצה סופית.
K .2גדירה ע"י קבוצה המכילה פסוק יחיד.
21
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
תחשיב היחסים
הגדרות:
רעיון מרכזי :שני רכיבים -עצמים+תכונות .לתכונות קוראים יחסים- :קיים - ,לכל.
קיימים שני סוגים של סימנים:
.1סימנים לוגיים :משותפים לכל השפות של תחשיב הפסוקים -משתנים ,קשרים מתחשיב הפסוקים,
, , , סוגריים ,פסיק.
.4פרמטרים של השפה:
סימני קבועים אישיים של המילון -מסומנים ב- , C -אינדקס מספרי.
סימני יחס- , R n , -אינדקס מספרי- n ,מספר מקומות.
סימני פונקציה- - Fn , -אינדקס מספרי - n ,מספר מקומות.
מילון :אוסף סימני יחס ,סימוני פונקציה וסימוני קבועים כאשר לכל סימן יחס ולכל סימן פונקציה ידוע
מספר הארגומנטים.
הגדרת אוסף המילים בשפה:
שלב :1-נגדיר את העצמים שעליהם טוענים טענות .הגדרת שמות העצם באינדוקציה:
בסיס :סימני הפונקציות מהמילון ,משתנים
צעד :סימני הפונקציות מהמילון .אם , t n
, tn
. vi | i
t1 ,הם שמות עצם במילון F ,סימן פונקציה - nמקומי אז
F t1 ,שם-עצם .מספר הפעולות הוא כמספר סימני הפונקציה במילון.
דוגמא לשמות עצם. c 0 , v 0 , v 8 , F1 v 5 , F v 3 , c1 :
שלב :2-הגדרת אוסף הנוסחאות :הגדרה באינדוקציה:
R t1 ,כאשר Rסימן יחס - nמקומי במילון ו, t n -
בסיס :כל סדרה מהצורה , t n
t1 ,שמות-עצם
במילון .כל נוסחא מהצורה t1 t 2 עבור t1 , t 2שמות עצם במילון.
הנוסחאות מהבסיס נקראות :נוסחאות אטומיות.
נוסחא אטומית :בהינתן , t n
t1 ,שמות עצם ,שימוש ב, t n -
R t1 ,ייתן נוסחא אטומית.
אבחנה בין שם-עצם לנוסחא אטומית -על שם-עצם לא ניתן לשאול האם הוא נכון/לא נכון.
דוגמאות לנוסחאות אטומיות. R c 0 , c1 , c 2 , c 0 v1 , c 2 F1 v 3 :
צעד:
.1קשרים מתחשיב הפסוקים. , , , :
.4כמתים :נוסחא ו vi -משתנה - v1 , vi ,נוסחאות( .חייבים לשים לידם משתנה).
הערה :לכמתים יש קדימות.
סמנטיקה בתחשיב היחסים:
נרצה פירוש עבור הסימנים בעולם והעולם שמעליו שואלים.
הגדרה :בהינתן מילון ,
M
, Fb
M
M
, R l , F0 ,
, Fb
M
M
, ck , R0 ,
, R l , F0 ,
, ck , R0 ,
c 0 ,מבנה עבור :
M D M , c 0M ,כאשר:
- D Mהעולם.
21
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
- R iMהפירוש של סימן היחס R iבמבנה R i . Mסימן יחס lמקומי:
M
D
. R iM D M
l tim es
- Fi Mהפירוש של סימן הפונקציה Fiבמבנה Fi . Mסימן פונקציה - bמקומי:
M
D
M
. Fi M : D M
D
b tim es
- c iMהפירוש של סימן הקבוע ciבמבנה . c iM D M . M
דוגמא:
, ,
, F2
,
, F1
,
, R2
c 0 , c1 , R1
, 0,1, even , , ,
, is em pty ?, , ,
,,
M1
M2 P
השמה :פונקציה שנותנת למשתנים את ערכם:
M
D
. z : vi | i
סימון - z v i :הערך שההשמה zנותנת ל. vi -
השמה מורחבת :השמה שנותנת ערכים לכל שמות העצם (ולא רק למשתנים):
D Mשמות עצם z :הגדרה באינדוקציה על מבנה שמות העצם:
בסיס. t , v i , z t z v i :
צעד :
, tm
M
. t c, z t c
t F t1 ,כאשר , t m
מהמילון .אז, z t m :
t1 ,שמות עצם מעל המילון ו F -הוא סימן פונקציה nמקומי
M
. z t F z t1 ,
סימון , z1 i z 2 :המשמעות :לכל j iמתקיים. z1 v j z 2 v j :
משתנים חופשיים ומשתנים קשורים:
הגדרה פורמאלית של משתנים חופשיים וקשורים:
נגדיר באינדוקציה על מבנה נוסחא , מתי משתנה viחופשי בנוסחא :
בסיס :נוסחא אטומית ,אם viמופיע ב -אז viחופשי ב. -
צעד :קשרים vi :חופשי ב -
עבור , , אם viחופשי ב -או חופשי ב. -
viחופשי ב -אם viחופשי ב. -
כמתים vi :חופשי ב / v j -אם viחופשי ב -ו. i j -
הערה :משתנה לא חופשי ב -הוא משתנה קשור ב. -
לחישוב ערך האמת נחוץ למעשה רק הערך שההשמה נותנת למשתנים החופשיים בנוסחא.
מסקנות:
-
עבור נוסחא והשמות z1 , z 2שמזדהות על המשתנים החופשיים ב -מתקיים :ערך האמת
של לפי z1זהה לערך האמת של לפי . z 2
אם בנוסחא אין משתנים חופשיים ,ערך האמת של הנוסחא אינו תלוי בהשמה.פסוק :נוסחא ללא משתנים חופשיים .ערך האמת ייקבע באופן מוחלט ע"י המבנה.
הדבר ביחיד שנותן משמעות לקבועים זה מבנה.
הדבר היחיד שנותן משמעות למשתנים זה השמה.
22
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
הגדרת ערך האמת :יהי מילון ותהי נוסחא מעל .
נגדיר באינדוקציה על מבנה הנוסחא מתי מבנה Mוהשמה zמספקים את :
. R t1 ,
בסיס :נוסחא אטומית, t n ,
z
M
M
, z tn R
. z t1 ,
צעד :קשרים -לפי טבלאות האמת כמו בתחשיב הפסוקים.
כמתים -נניח שיודעים לכל מבנה M והשמה z האם
/ v i
z
M ורוצים לדעת האם
. Mנרצה כלי שיאפשר לעבור על כל הערכים האפשריים ,לשים אותם ב vi -ולבדוק
z
השמה מתוקנת :יהי Mמבנה z ,השמה ו . d D M -מגדירים השמה חדשה z v i d באופן
הבא:
z v j j i
. z vi d v j
ji
d
v i
לכל , d D M
קיים
M
v i , d D
Mאם"ם :
z
Mאם"ם :
z
z vi d
z vi d
.M
.M
אמיתות לוגיות:
אמת לוגית :נוסחא היא אמת לוגית אם לכל מבנה Mולכל השמה zב , M -
z
.M
סימון. :
דוגמא . 1 v1 R v1 , v 2 v1 R v1 , v 2 :למעשה זו הצבה של v1 R v1 , v 2 בתוך p1
בטאוטולוגיה הפסוקית . p1 p1 :מאחר והמשמעות של טבלאות האמת זהה לתחשיב
הפסוקים ,הנוסחא המתקבלת היא אמת לוגית.
משפט :כל הצבה של נוסחאות במקום האטומים בטאוטולוגיה פסוקית תיתן אמת לוגית.
סתירה :נוסחא מעל מילון היא סתירה אם לכל מבנה Mעבור ולכל השמה zב, M -
z
.M
נוסחא ספיקה :נוסחא מעל מילון היא ספיקה אם קיים מבנה Mעבור וקיימת השמה z
ב M -כך ש -
z
.M
סימונים :
Mאם לכל השמה zב M -מתקיים :
Mאם קיימת השמה zב M -כך ש :
.M
z
z
.M
מבנה והשמה מספקים :נאמר שמבנה Mוהשמה zמספקים קבוצת נוסחאות .
נביעה לוגית :נאמר שנוסחא נובעת לוגית מנוסחא ונסמן :
השמה zב , M -אם
z
Mאז
גרירה לוגית :קבוצת נוסחאות
, zאם
z
Mאז :
z
z
, אם לכל מבנה Mולכל
.M
גוררת לוגית נוסחא
אם לכל מבנה Mולכל השמה
.M
טענות נוספות מתחשיב הפסוקים:
.
-
-
סתירה אמת לוגית.
שקילות לוגית :נאמר שנוסחא שקולה לוגית לנוסחא ונסמן :אם לכל מבנה Mולכל
השמה , z
z
M
z
.M
23
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
גדירות בתחשיב היחסים:
גדירות של יחסים:
הגדרה :בהינתן מילון , -מבנה M -ויחס - nמקומי , R -נאמר שהיחס Rגדיר (ע"י הנוסחה )
אם קיימת נוסחה בעלת nמשתנים חופשיים , v n
, z vn R
z v1 , z v 2 ,
v1 , v 2 ,המקיימת :
Mלכל השמה . z
z
הערה R :לא בהכרח במילון ולכן גם Rלא מופיע בנוסחה .
דוגמא, P , F , , c :
, /, 0
,
. M רוצים להגדיר את:
( Q כלומר
להגדיר יחס של כל המספרים הרציונאליים).
הנוסחה המגדירה את היחס v1 v 2 P v1 P v 2 F v1 , v 2 v 3 v 2 c :
הנוסחה אומרת :קיימים לפחות v1ולפחות v 2שבהינתן v 3רציונאלי ,מקיימים את התנאים :שניהם
שלמים ,חלוקה שלהם אחד בשני שווה ל. v 2 0 , v 3 -
משפט הקומפקטיות :קבוצת פסוקים ספיקה אם"ם כל ת"ק סופית של היא ספיקה.
גדירות של מבנים:
מודלים של נוסחה :
מודלים של פסוק :
z
. M od M , z | M
M o d M | M
מודלים של קבוצת פסוקים :
. M od M | Mקבוצת פסוקים מגדירה את קבוצת
המודלים שלה.
הגדרה :בהינתן קבוצת מבנים ( Kעבור מילון ) נאמר שהיא גדירה אם קיימת קבוצת פסוקים
מעל שמגדירה את . K
הנחה :אין מבנים ריקים.
דוגמא :1-מילון ריק . 1 v1 v 2 v1 v 2 ,מהי קבוצת המודלים?
פיתרון , M od 1 M | 2 | D M | :כלומר :כל מודל שיש לו לפחות שני איברים בתחום.
דוגמא :2-מילון ריק . K 2 M | | D M | 1 ,האם K 2גדירה?
פיתרון :כן ,ע"י. 2 v1 v 2 v1 v 2 :
דוגמא . 3 v1 v 2 R v1 , v2 R v2 , v1 , R , :3-מהי קבוצת המודלים?
פיתרון. M od 3 M | R M sym eric :
דוגמא :4-מילון ריק D M { ,הוא אינסופי } . K inf האם K infגדירה?
פיתרון :לכל מספר nנבנה פסוק nשאומר שישנם לפחות nאיברים בתחום:
v n vi v j
i j
. n v1אזי in f n | n 2 :מגדירה את . K inf
תחום שאינו חסום :תהי קבוצת פסוקים .נאמר שגודל התחום במבנים של אינו חסום אם לכל
מספר טבעי
n קיים מבנה Mשמספק את ומקיים. | D M | n :
הערה" :לא חסום" שונה מ"אינסופי".
דוגמא :הטבעיים זו קבוצה לא חסומה אבל אין מספר טבעי אינסופי.
24
©ענת עציון
לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב ( – )422432חורף תשע"א
משפט :תהי קבוצת פסוקים בתחשיב היחסים .אם גודל התחום במבנים של לא חסום ,אז ל-
קיים מבנה שמספק אותה בעל תחום אינסופי.
דוגמא :1-מילון ריק D M { ,הוא סופי } . K fin האם K finגדירה?
פיתרון :נניח בשלילה ש K fin -גדירה ע"י קבוצת פסוקים . גודל התחום במבנים עבור אינו
חסום ולכן לפי המשפט ,קיים מבנה Mהמספק את כך ש D M -אינסופי M K fin .בסתירה
לכך ש -מגדירה את . K fin
דוגמא R M { . R , :2-הוא יחס שקילות | . K eq { Mהאם K eqגדירה?
פיתרון, sym v1 v 2 R v1 , v 2 R v 2 , v1 , ref v1 R v1 , v 2 :
. eq ref , sym , tz . tz v1 v 2 v 3 R v1 , v 2 R v 2 , v3 R v1 , v3
דוגמא R M { :3-יחס שקילות וכל מחלקת שקילות היא אינסופית | . K eq inf { M
פיתרון. eq inf eq { n | n 2} :
דוגמא R M { :4-יחס שקילות וכל מחלקת שקילות היא סופית | . K eq fin { M
פיתרון :הקבוצה אינה גדירה.
25
©ענת עציון
© Copyright 2024