‫תורת הקבוצות — תרגיל בית ‪6‬‬ ‫חיים שרגא רוזנר‬ ‫י"א באייר תשע"ד‬ ‫תקציר‬ ‫אקסיומת הבחירה וטענות שקולות‪.‬‬ ‫אקסיומת הבחירה‬ ‫‪1‬‬ ‫הגדרה תהי ‪ F‬קבוצה של קבוצות לא ריקות‪ .‬פונקציה ‪F‬‬ ‫בחירה ב־‪ F‬אם לכל ‪ A ∈ F‬מתקיים ‪.f (A) ∈ A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫→ ‪ f : F‬תיקרא פונקצית‬ ‫תרגיל ‪ 1‬נסחו‪ ,‬במפורש‪ ,‬פונקציית בחירה על הקבוצות הבאות‪,P (N) \ {0} ,P (3) \ {0} :‬‬ ‫}‪ .P (Q) \ {0‬שימו לב שהתרגיל הופך לבלתי אפשרי כשעוברים ל־}‪.P (R) \ {0‬‬ ‫אקסיומה תהי ‪ F‬קבוצה של קבוצות לא ריקות‪ .‬אזי קיימת פונקציית בחירה על ‪.F‬‬ ‫לפי אקסיומה זו‪ ,‬קיימת פונקציית בחירה על }‪ .P (R) \ {0‬בתרגילים להלן אנו נסמן באיזה‬ ‫תרגיל מותר להשתמש ב־‪ AC‬ובאיזה לא‪.‬‬ ‫תרגיל ‪) 2‬ללא ‪ .(AC‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה‪ ,‬ותהי )‪ S ⊆ P (A‬אוסף תת־קבוצות סופיות לא‬ ‫ריקות של ‪ .(B ∈ S ⇒ B ⊆ A, 0 < |B| < ℵ0 ) A‬הראו כי קיימת פונקציית בחירה‬ ‫על ‪.S‬‬ ‫משפט )הלמה של צורן; ‪ .(AC‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה חלקית‪ .‬שרשרת ב־‪ A‬היא תת־קבוצה‬ ‫‪ C‬של ‪ A‬שבה כל שני איברים ניתנים להשוואה‪ ,‬דהיינו הסדר הנורש מ־‪ A‬הוא מלא‬ ‫ב־‪ .C‬נניח כי לכל שרשרת ‪ C‬יש חסם מלעיל ב־‪) A‬איבר ‪ d ∈ A‬כך שלכל ‪c ∈ C‬‬ ‫מתקיים ‪ .(c ≤ d‬אזי ל־‪ A‬יש איבר מקסימלי )איבר ‪ x ∈ A‬כך שלכל ‪.(x ≮ y ,y ∈ A‬‬ ‫תרגיל ‪ .(AC) 3‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה חלקית שלכל שרשרת בה יש חסם מלעיל‪ .‬הראו כי‬ ‫‪1‬‬ ‫מעל כל איבר ‪ a ∈ A‬יש איבר מקסימלי ‪.x‬‬ ‫תרגיל ‪ .(AC) 4‬תהי ‪ A‬קבוצה אינסופית‪ .‬אזי קיימת לה תת־קבוצה ממש ‪ B ( A‬שקולת‬ ‫עוצמה ל־‪) A‬קיימות פונקציות חח"ע מכל אחת מהן לאחרת(‪.‬‬ ‫תרגיל ‪) 5‬עקרון הבחירות התלויות; ‪ .(AC‬תהי ‪ A‬קבוצה לא ריקה‪ ,‬ויהי ‪ R‬יחס עליה‪ .‬נניח‬ ‫כי לכל ‪ x ∈ A‬קיים ‪ y ∈ A‬כך ש־‪ .xRy‬הראו כי קיימת סדרה }‪{xn ∈ A : n ∈ ω‬‬ ‫כך שלכל ‪ n ∈ ω‬מתקיים ‪.xn Rxn+1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לתשומת לבכם‪ ,‬מכיוון ש־‪ A‬סדורה חלקית יכול להיות שאיבר מקסימלי ‪ x‬לא יתייחס לאיבר מסוים ‪.a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תרגיל ‪) 6‬ללא ‪ .(AC‬נניח כי עקרון הבחירות התלויות נכון‪ .‬הוכיחו את אקסיומת הבחירה‬ ‫הבת־מניה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה בת־מניה של קבוצות לא ריקות‪ ,‬אזי קיימת פונקציית‬ ‫בחירה על ‪.A‬‬ ‫בתרגילים ‪ 5‬ו־‪ 6‬הצגנו את הגרירה‪ :‬אקסיומת הבחירה ← עקרון הבחירות התלויות ←‬ ‫אקסיומת הבחירה הבת־מניה‪ .‬ניתן להראות כי לא ניתן להפוך אף אחד מן החצים בגרירה‬ ‫הזו‪ .‬ניתן גם להראות כי בעזרת עקרון הבחירות התלויות לא ניתן להוכיח כי קיימת תת־‬ ‫קבוצה לא מדידה ב־‪ ,R‬למרות שאקסיומת הבחירה מוכיחה את קיום קבוצת ויטלי‪.‬‬ ‫‪2‬‬