תורת הקבוצות — תרגיל בית 6

‫תורת הקבוצות — תרגיל בית ‪6‬‬
‫חיים שרגא רוזנר‬
‫י"א באייר תשע"ד‬
‫תקציר‬
‫אקסיומת הבחירה וטענות שקולות‪.‬‬
‫אקסיומת הבחירה‬
‫‪1‬‬
‫הגדרה תהי ‪ F‬קבוצה של קבוצות לא ריקות‪ .‬פונקציה ‪F‬‬
‫בחירה ב־‪ F‬אם לכל ‪ A ∈ F‬מתקיים ‪.f (A) ∈ A‬‬
‫‪S‬‬
‫→ ‪ f : F‬תיקרא פונקצית‬
‫תרגיל ‪ 1‬נסחו‪ ,‬במפורש‪ ,‬פונקציית בחירה על הקבוצות הבאות‪,P (N) \ {0} ,P (3) \ {0} :‬‬
‫}‪ .P (Q) \ {0‬שימו לב שהתרגיל הופך לבלתי אפשרי כשעוברים ל־}‪.P (R) \ {0‬‬
‫אקסיומה תהי ‪ F‬קבוצה של קבוצות לא ריקות‪ .‬אזי קיימת פונקציית בחירה על ‪.F‬‬
‫לפי אקסיומה זו‪ ,‬קיימת פונקציית בחירה על }‪ .P (R) \ {0‬בתרגילים להלן אנו נסמן באיזה‬
‫תרגיל מותר להשתמש ב־‪ AC‬ובאיזה לא‪.‬‬
‫תרגיל ‪) 2‬ללא ‪ .(AC‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה‪ ,‬ותהי )‪ S ⊆ P (A‬אוסף תת־קבוצות סופיות לא‬
‫ריקות של ‪ .(B ∈ S ⇒ B ⊆ A, 0 < |B| < ℵ0 ) A‬הראו כי קיימת פונקציית בחירה‬
‫על ‪.S‬‬
‫משפט )הלמה של צורן; ‪ .(AC‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה חלקית‪ .‬שרשרת ב־‪ A‬היא תת־קבוצה‬
‫‪ C‬של ‪ A‬שבה כל שני איברים ניתנים להשוואה‪ ,‬דהיינו הסדר הנורש מ־‪ A‬הוא מלא‬
‫ב־‪ .C‬נניח כי לכל שרשרת ‪ C‬יש חסם מלעיל ב־‪) A‬איבר ‪ d ∈ A‬כך שלכל ‪c ∈ C‬‬
‫מתקיים ‪ .(c ≤ d‬אזי ל־‪ A‬יש איבר מקסימלי )איבר ‪ x ∈ A‬כך שלכל ‪.(x ≮ y ,y ∈ A‬‬
‫תרגיל ‪ .(AC) 3‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה חלקית שלכל שרשרת בה יש חסם מלעיל‪ .‬הראו כי‬
‫‪1‬‬
‫מעל כל איבר ‪ a ∈ A‬יש איבר מקסימלי ‪.x‬‬
‫תרגיל ‪ .(AC) 4‬תהי ‪ A‬קבוצה אינסופית‪ .‬אזי קיימת לה תת־קבוצה ממש ‪ B ( A‬שקולת‬
‫עוצמה ל־‪) A‬קיימות פונקציות חח"ע מכל אחת מהן לאחרת(‪.‬‬
‫תרגיל ‪) 5‬עקרון הבחירות התלויות; ‪ .(AC‬תהי ‪ A‬קבוצה לא ריקה‪ ,‬ויהי ‪ R‬יחס עליה‪ .‬נניח‬
‫כי לכל ‪ x ∈ A‬קיים ‪ y ∈ A‬כך ש־‪ .xRy‬הראו כי קיימת סדרה }‪{xn ∈ A : n ∈ ω‬‬
‫כך שלכל ‪ n ∈ ω‬מתקיים ‪.xn Rxn+1‬‬
‫‪1‬‬
‫לתשומת לבכם‪ ,‬מכיוון ש־‪ A‬סדורה חלקית יכול להיות שאיבר מקסימלי ‪ x‬לא יתייחס לאיבר מסוים ‪.a‬‬
‫‪1‬‬
‫תרגיל ‪) 6‬ללא ‪ .(AC‬נניח כי עקרון הבחירות התלויות נכון‪ .‬הוכיחו את אקסיומת הבחירה‬
‫הבת־מניה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה בת־מניה של קבוצות לא ריקות‪ ,‬אזי קיימת פונקציית‬
‫בחירה על ‪.A‬‬
‫בתרגילים ‪ 5‬ו־‪ 6‬הצגנו את הגרירה‪ :‬אקסיומת הבחירה ← עקרון הבחירות התלויות ←‬
‫אקסיומת הבחירה הבת־מניה‪ .‬ניתן להראות כי לא ניתן להפוך אף אחד מן החצים בגרירה‬
‫הזו‪ .‬ניתן גם להראות כי בעזרת עקרון הבחירות התלויות לא ניתן להוכיח כי קיימת תת־‬
‫קבוצה לא מדידה ב־‪ ,R‬למרות שאקסיומת הבחירה מוכיחה את קיום קבוצת ויטלי‪.‬‬
‫‪2‬‬