"ח סיכומים לקורס לוגיקה למדמ

‫‪1‬‬
‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫סיכומים לקורס לוגיקה למדמ"ח‬
‫סמסטר ב' תשס"ט (פרופ' ארנון אברון)‬
‫רכיבי מערכות לוגיות‪:‬‬
‫‪ .1‬שפה פורמלית‪ :‬מייצרת מחרוזות סימנים ‪ ,‬תחביר מדויק ‪ .‬מרכיבי השפה ‪:‬‬
‫א‪ .‬א"ב‪ :‬בד"כ סופי ולכל היותר בן מניה ‪ .‬יסומן באות ‪.L‬‬
‫ב‪.‬‬
‫קטגוריות סינטקטיות ‪ :‬אחת מהן היא הקטגוריה של הנוסחאות בשפה ‪ ,‬תסומן 𝑜 (אומיקרון)‪ .‬קטגוריות נוספות ‪ :‬ש"ע‪ ,‬קשרים‪ ,‬כמתים‬
‫וכד'‪ .‬לכל קטגוריה מתאימה קבוצה חלקית של ‪ ,L‬שתכיל את המחרוזות השייכות לקטגוריה זו ‪.‬‬
‫‪ .2‬יחס נביעה (‪ :)consequence relation‬יסומן ├; יחס בין קבוצות של נוסחאות לנוסחאות המקיים‪:‬‬
‫א‪" .‬רפלקסיביות"‪ :‬בהינתן קבוצת הנחות ‪ ,T‬מתקיים לכל 𝑇 ∈ 𝐴‪.𝑇├𝐴 :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מונוטוניות ‪ :‬אם 𝑆 ⊆ 𝑇 ו‪ 𝑇├𝐴-‬אז 𝐴├𝑆‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫"טרנזיטיביות"‪ :‬אם 𝐴├𝑇 ו‪ 𝑇⋃{𝐴}├𝐵-‬אז 𝐵├𝑇‪.‬‬
‫הקישור בין הלוגיקה הפורמלית ובין שימושים בה נעשה ע "י תהליך ה הצרנה‪.‬‬
‫חלק ראשון‪ :‬תחשיב הפסוקים הקלאסי ‪:CPL -‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫השפה (𝑐𝑝𝔏)‪:‬‬
‫א"ב‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪‬‬
‫רשימה בת מניה של פסוקים אטומים ‪ /‬משתנים אטומים ‪.𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 , …:‬‬
‫‪‬‬
‫קשרים‪.→, ⋀, ⋁, ¬ :‬‬
‫‪‬‬
‫"("‪ – ")" ,‬סוגריים‪.‬‬
‫נוסחאות‪ :‬נקראות בתחשיב זה גם פסוקים ‪ ,‬קטגוריה סינטקטית יחידה ‪ .‬הגדרה רקורסיבית ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫כל פסוק אטומי הוא נוסחה (פסוק)‪ .‬יסומנו ע"י המשתנים 𝑟 ‪ - 𝑝, 𝑞,‬משתנים ב‪-‬מטה‪-‬שפה עבור משתני השפה … ‪.𝑝1 , 𝑝2 ,‬‬
‫‪‬‬
‫אם 𝜓 ‪ 𝜑,‬נוסחאות אז גם 𝜓 → 𝜑 ‪ ¬𝜑, 𝜑⋀𝜓, 𝜑⋁𝜓,‬נוסחאות‪ .‬יסומנו ע"י המשתנים 𝜓 ‪ 𝜑,‬או 𝐶 ‪ - 𝐴, 𝐵,‬משתנים ב‪-‬מטה‪-‬שפה‪.‬‬
‫קדימויות‪ ,¬ :‬לאחריו ⋁ ‪ ,⋀,‬לאחריהם →‪ .‬כמו כן 𝐶 → 𝐵 → 𝐴 הוא קיצור ל‪.𝐴 → (𝐵 → 𝐶) -‬‬
‫סוגי אינדוקציות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫אינדוקציה על אורך הנוסחה ‪ .‬שלב המעבר ‪ :‬מסתכלים על נוסחה באורך ‪ 𝑛 + 1‬המכילה נוסחאות עליהן חלה הנחת האינדוקציה שאורכן ≥ 𝑛‪.‬‬
‫משתמשים באינדוקציה זו כאשר נתון משהו יכיח ‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫אינדוקציה מבנית – על מבנה הנוסחה ‪ .‬בסיס על פסוקים אטומים ‪ ,‬מעבר ע "י הנחה על נוסחאות 𝜓 ‪ 𝜑,‬והוכחה ל‪.)∗∈ {⋀, ⋁, →}( ¬𝜑, 𝜑 ∗ 𝜓 -‬‬
‫יש לציין (למרות שטרוויאלי ) ש‪ 𝜑-‬קצרה מ‪ ¬𝜑-‬וש‪ 𝜑, 𝜓-‬קצרות מ‪.𝜑 ∗ 𝜓-‬‬
‫לכל נוסחה יש סדרת בניה ‪ ,‬החל מפסוקים אטומים ‪ .‬כל אינדוקציה מבנית ניתנת למעבר לאינדוקציה רגילה‪ ,‬כאשר ‪ n‬הוא אורך סדרת הבני ה‪ .‬למשל‬
‫הנוסחה ) ‪ ¬𝑝1 → (𝑝2 ⋁𝑝3‬מורכבת מסדרת הבניה ‪( 𝑝1 , ¬𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 , 𝑝2 ⋁𝑝3 , ¬𝑝1 → (𝑝2 ⋁𝑝3 ) :‬שאורכה כאן ‪ .)6‬ניתן להתייחס גם לעץ בניה ‪,‬‬
‫ולהתייחס ל‪ n-‬כגובה העץ למשל‪.‬‬
‫הגדרת יחס הנביעה של תחשיב הפסוקים הקלאסי בצורה סמנטית ‪:├𝑪𝑷𝑳 -‬‬
‫הגדרה סמנטית ליחס הנביעה מתבססת על‬
‫מודל‪ .‬מודל הוא מבנה ‪ M‬כלשהו שהוא אוסף של דברים כלשהם‬
‫(יוגדר בהמשך )‪ .‬יחס ה סיפוק ⊨‬
‫מתקיים בין נוסחאות למבנים ‪ .‬נאמר ש‪ 𝑀 ⊨ 𝜑 -‬אם ‪ M‬הוא מודל של 𝜑‪ ,‬כלומר ‪ M‬מספק את 𝜑‪ .‬מודל של קבוצת פסוקים ‪ T‬מוגדר כמבנה שהוא‬
‫מודל של כל 𝑇 ∈ 𝜑‪.𝑀 ⊨ 𝑇 ⇔ ∀𝜑 ∈ 𝑇. 𝑀 ⊨ 𝜑 :‬‬
‫יחס הנביעה ├‪ :‬נאמר כי 𝜑├𝑇 אם כל מודל של ‪ T‬הוא גם מודל של 𝜑‪.∀𝑀. 𝑀 ⊨ 𝑇 ⇒ 𝑀 ⊨ 𝜑 :‬‬
‫בתחשיב הפסוקים הקלאסי ‪ ,‬המבנים הם פשוט פונקציות מקבוצת הפסוקים האטומים אל הקבוצה }𝑓 ‪ .{𝑡,‬פונקציות אלו נראות השמות‪ ,‬נסמנן ‪.v‬‬
‫היחס 𝐿𝑃𝐶⊨‪:‬‬
‫‪‬‬
‫לפסוקים אטומים ‪.𝑣 ⊨𝐶𝑃𝐿 𝑝 ⇔ 𝑣(𝑝) = 𝑡 :‬‬
‫‪‬‬
‫𝐵 → 𝐴 ⊨ 𝑣 אמ"מ 𝑣 לא מספק את ‪ A‬או 𝐵 ⊨ 𝑣‪.‬‬
‫‪‬‬
‫𝐵⋁𝐴 ⊨ 𝑣 אמ"מ 𝐴 ⊨ 𝑣 או 𝐵 ⊨ 𝑣‪.‬‬
‫‪‬‬
‫𝐴¬ ⊨ 𝑣 אמ"מ 𝑣 לא מספק את ‪.A‬‬
‫‪‬‬
‫𝐵⋀𝐴 ⊨ 𝑣 אמ"מ 𝐴 ⊨ 𝑣 וגם 𝐵 ⊨ 𝑣‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫דרך נוספת להגדיר זאת היא ע "י הגדרת פונקציות }𝑓 ‪→ {𝑡, 𝑓} ,𝑔¬ : 𝑡, 𝑓 → {𝑡,‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑓 ‪ 𝑔→ , 𝑔⋁ , 𝑔⋀ : 𝑡,‬המתארות טבלאות אמת של הקשרים‬
‫השונים‪ ,‬ואז נאמר למשל ‪ 𝑣 .𝑣(¬𝐴) = 𝑔¬ (𝑣(𝐴)) :‬היא מודל של 𝜑 אמ"מ 𝑡 = 𝜑 𝑣‪.‬‬
‫היחס 𝐿𝑃𝐶├‪:‬‬
‫𝜑 𝐿𝑃𝐶├𝑇 אם כל מודל של ‪ T‬הוא גם מודל של 𝜑‪ ,‬כלומר אם כל השמה הנותנת ערך אמת ‪ t‬לכל הפסוקים של ‪ ,T‬נותנת ערך אמת ‪ t‬גם ל‪.𝜑-‬‬
‫דרך ישירה לבדוק קיום יחס זה הוא לבדוק את טבלאות האמת של ‪ T‬ושל 𝜑‪ ,‬ולבדוק האם אכן לכל שורה בטבלת האמת ‪ ,‬המגדירה השמה ‪ ,‬אם כל‬
‫פסוקי ‪ T‬מקבלים ‪ t‬גם 𝜑 מקבלת ‪ .t‬מספיקה שורה אחת שלא תקיים זאת כדי להכריע שהיחס לא מתקיים ‪.‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫𝐴 𝐿𝑃𝐶├𝑇 ⇔ 𝐴¬ ⋃𝑇 אינה ספיקה ‪.‬‬
‫ביסוס השימוש בטבלאות אמת ‪:‬‬
‫יצויין כי מספיק לבדוק טבלת אמת מעל הפסוקים האטומים המופיעים ב‪ ,𝑇⋃{𝜑} -‬ולא כל ‪ ℵ0‬הפסוקים האטומים (הנותנים ‪ ℵ‬השמות)‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫אם ‪ 𝑣, 𝑣′‬השמות כך שלכל פסוק אטומי ‪ p‬המופיע בנוסחה 𝜑 מתקיים )𝑝(‪ ,𝑣 𝑝 = 𝑣′‬אז )𝜑( ‪ .𝑣 𝜑 = 𝑣 ′‬הוכחה ניתנה באינדוקציה מבנית ‪.‬‬
‫קבוצת הנוסחאות האטומיות ‪:‬‬
‫קבוצת הנוסחאות האטומיות (פסוקים אטומים ) בנוסחה 𝜑‪ ,‬תסומן )𝜑(𝑡𝐴‪ ,‬מוגדרת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫עבור ‪ p‬פסוק אטומי ‪. 𝐴𝑡 𝑝 = {𝑝}:‬‬
‫‪‬‬
‫)𝜑(𝑡𝐴 = 𝜑¬ 𝑡𝐴‪.‬‬
‫‪‬‬
‫)𝜓(𝑡𝐴⋃ 𝜑 𝑡𝐴 = 𝜓 ∗ 𝜑 𝑡𝐴 כאשר }⋁ ‪.∗∈ {→, ⋀,‬‬
‫קבוצת תת הנוסחאות ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫עבור ‪ p‬פסוק אטומי‪. 𝑆𝑓 𝑝 = {𝑝}:‬‬
‫‪‬‬
‫}𝜑¬{⋃ 𝜑 𝑓𝑆 = 𝜑¬ 𝑓𝑆‪.‬‬
‫‪‬‬
‫}𝜓 ∗ 𝜑{⋃)𝜓(𝑓𝑆⋃ 𝜑 𝑓𝑆 = 𝜓 ∗ 𝜑 𝑓𝑆‪.‬‬
‫כריעות בעיות עם תורה סופית ‪:‬‬
‫עבור תורה ‪ T‬סופית‪ ,‬קיים אלג' המכריע האם ‪ T‬ספיקה (האם קיימת השמה ‪ v‬כך ש‪ )𝑣 ⊨ 𝑇-‬והאם 𝜑 𝐿𝑃𝐶├𝑇‪ .‬רדוקציה מהבעיה הראשונה לשניה ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ידוע שמתקיים 𝜑 𝐿𝑃𝐶├𝑇 אמ"מ }𝜑¬{⋃𝑇 אינה ספיק ה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫𝜑 𝐿𝑃𝐶├ 𝑛𝜓 ‪ 𝜓1 , … ,‬אמ"מ 𝜑 → 𝑛𝜓⋀ … ⋀ ‪ 𝜓1‬הוא טאוטולוגיה (כלומר מסופק ע "י כל השמה)‪.‬‬
‫משפט הדדוקציה ב‪:CPL -‬‬
‫𝐵 𝐿𝑃𝐶├ 𝐴 ⋃𝑇 ⇔ 𝐵 → 𝐴 𝐿𝑃𝐶├𝑇‪.‬‬
‫משפט הקומפקטיות ב‪:CPL -‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ T‬ספיקה אמ"מ כל 𝑇 ⊆ 𝛤 סופית ספיקה ‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫𝜑 𝐿𝑃𝐶├𝑇 אמ"מ קיימת 𝑇 ⊆ 𝛤 סופית כך ש‪.𝛤├𝐶𝑃𝐿 𝜑 -‬‬
‫הגדרת יחס הנביעה של תחשיב הפסוקים הקלאסי בצורה סינטקטית – ‪( HPC‬מע' נוסח הילברט לתחשיב הפסוקים )‪:‬‬
‫יש לשים לב שאלו תבניות לאקסיומות ‪ .‬כדי לייצר אקסיומה יש להציב‬
‫אקסיומות‪:‬‬
‫פסוקים כלשהם במקום 𝐶 ‪ 𝐴, 𝐵,‬בתבניות א לו‪ ,‬ולקבל אינסטנציה‪.‬‬
‫הוכחה של פסוק 𝜑 מתוך תורה ‪ T‬ב‪:HPC-‬‬
‫סדרה סופית של פסוקים כך ש ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫הפסוק האחרון בסדרה הוא 𝜑‪.‬‬
‫‪‬‬
‫כל איבר בסדרה הוא אקסיומה של‬
‫‪ ,HPC‬איבר של ‪ T‬או‬
‫מתקבל ע"י שני פסוקים קודמים כלשהם ע "י כלל ‪.MP‬‬
‫יחס הנביעה 𝐶𝑃𝐻├‪:‬‬
‫כלל היסק‪:‬‬
‫נאמר כי 𝜑 𝐶𝑃𝐻├𝑇 אם ל‪ 𝜑-‬הוכחה מ‪ T-‬ב‪.HPC-‬‬
‫משפט הקומפקטיות ב‪:HPC-‬‬
‫𝜑 𝐶𝑃𝐻├𝑇 אמ"מ קיימת 𝑇 ⊆ 𝛤 סופית כך ש‪ .𝛤├𝐻𝑃𝐶 𝜑 -‬ההוכחה טרוויאלית ‪.‬‬
‫)𝐴 → 𝐵( → 𝐴 ‪𝐼1 .‬‬
‫))𝐶 → 𝐴( → )𝐵 → 𝐴(( → ))𝐶 → 𝐵( → 𝐴( ‪𝐼2.‬‬
‫)𝐴¬ → )𝐵¬ → 𝐴(( → )𝐵 → 𝐴( ‪𝑁1.‬‬
‫𝐴 → 𝐴¬¬ ‪𝑁2.‬‬
‫𝐴 → )𝐵⋀𝐴( ‪𝐶1.‬‬
‫𝐵 → )𝐵⋀𝐴( ‪𝐶2.‬‬
‫))𝐵⋀𝐴( → 𝐵( → 𝐴 ‪𝐶3.‬‬
‫)𝐵⋁𝐴( → 𝐴 ‪𝐷1.‬‬
‫)𝐵⋁𝐴( → 𝐵 ‪𝐷2.‬‬
‫))𝐶 → )𝐵⋁𝐴(( → )𝐶 → 𝐵(( → )𝐶 → 𝐴( ‪𝐷3.‬‬
‫𝐵→𝐴 𝐴‬
‫𝐵‬
‫‪𝑀𝑃.‬‬
‫‪3‬‬
‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫משפט הנאותות והשלמו ת של ‪├𝐻𝑃𝐶 = ├𝐶𝑃𝐿 :HPC‬‬
‫‪.1‬‬
‫נאותות‪ .𝑇├𝐻𝑃𝐶 𝜑 ⇒ 𝑇├𝐶𝑃𝐿 𝜑 :‬כלומר‪ :‬אם 𝜑 יכיחה מ‪ T-‬ב‪ ,HPC-‬אז כל השמה של ‪ T‬היא גם השמה של 𝜑‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫שלמות‪ .𝑇├𝐶𝑃𝐿 𝜑 ⇒ 𝑇├𝐻𝑃𝐶 𝜑 :‬כלומר‪ :‬אם כל השמה של ‪ T‬היא גם השמה של 𝜑‪ ,‬אז 𝜑 יכיחה מ‪ T-‬ב‪.HPC-‬‬
‫הגדרת הצבה‪:‬‬
‫תהי 𝜑 נוסחה כלשהי‪ p ,‬פסוק אטומי ו‪ A -‬נוסחה‪ .‬אז‪:‬‬
‫‪𝐴,‬‬
‫𝑝=𝜑‬
‫‪𝜑,‬‬
‫𝑝 ≠ 𝑞 ‪𝜑 = 𝑞,‬‬
‫= 𝑝‪𝜑 𝐴/‬‬
‫‪¬𝜓 𝐴/𝑝 ,‬‬
‫𝜓¬ = 𝜑‬
‫⋁ ‪𝜓1 𝐴/𝑝 ∗ 𝜓2 𝐴/𝑝 , 𝜑 = 𝜓1 ∗ 𝜓2 ,∗∈ →, ⋀,‬‬
‫באותו אופן תוגדר הצבה סימולטנית } 𝑛𝑝‪.𝜑{𝐴1 /𝑝1 , … , 𝐴𝑛 /‬‬
‫משפט ההצבה ‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫עבור נוסחאות ‪:‬‬
‫תהי 𝜑 נוסחה‪ 𝑞1 , … , 𝑞𝑛 ,‬פסוקים אטומים שונים זה מזה‪ 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 ,‬נוסחאות (לא בהכרח שונות )‪ ,‬תהי ‪ 𝑣′‬ההשמה המוגדרת באופן הבא ‪:‬‬
‫𝑖𝑞 = 𝑝 ‪𝑣 𝐴𝑖 ,‬‬
‫𝑤‪𝑣 𝑝 , 𝑜/‬‬
‫= 𝑝 ‪𝑣′‬‬
‫מתקיים‪.𝑣 ′ 𝜑 = 𝑣(𝜑 𝐴1 /𝑞1 , … , 𝐴𝑛 /𝑞𝑛 ) :‬‬
‫‪.2‬‬
‫עבור ש"ע‪:‬‬
‫יהיו 𝑛𝑥 ‪ 𝑥1 , … ,‬משתנים שונים‪ 𝑠1 , … , 𝑠𝑛 ,‬ש"ע‪ v ,‬השמה ו‪ t-‬ש"ע‪ .‬אז‪:‬‬
‫] 𝑛𝑥‪𝑡 = 𝑣[𝑡 𝑠1 /𝑥1 , … , 𝑠𝑛 /‬‬
‫𝑛𝑠 𝑣 ≔ 𝑛𝑥 ‪𝑣 𝑥1 ≔ 𝑣 𝑠1 , … ,‬‬
‫משפט ההחלפה ‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫עבור נוסחאות ‪ :‬יהיו ‪ 𝑠1 , 𝑠2‬ש"ע חופשיים להצבה במקום 𝑥 ב‪ 𝜑-‬ו‪ .𝑣 𝑠1 = 𝑣[𝑠2 ]-‬אז‪.𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑 𝑠1 /𝑥 ⇔ 𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑{𝑠2 /𝑥} :‬‬
‫עבור ש"ע‪ :‬עבור 𝑡 ‪ 𝑠1 , 𝑠2 ,‬ש"ע‪ v ,‬השמה‪ ,‬אם ] ‪ 𝑣 𝑠1 = 𝑣[𝑠2‬אז ] 𝑥‪= 𝑣[𝑡 𝑠2 /‬‬
‫𝑥‪.𝑣 𝑡 𝑠1 /‬‬
‫הגדרה אינדוקטיבית ל‪:𝑇├𝐻𝑃𝐶 𝐴 -‬‬
‫א‪ .‬אם 𝑇 ∈ 𝐴 אז 𝐴 𝐶𝑃𝐻├𝑇‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫אם 𝐴 אינסטנציה של אקסיומה ב‪ ,HPC -‬אז 𝐴 𝐶𝑃𝐻├𝑇‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫אם 𝐵 𝐶𝑃𝐻├𝑇 ו‪ 𝐵├𝐻𝑃𝐶 𝐴-‬אז 𝐴 𝐶𝑃𝐻├𝑇‪.‬‬
‫משפט הדדוקציה של ‪:HPC‬‬
‫𝐵 𝐶𝑃𝐻├ 𝐴 ⋃𝑇 ⇔ 𝐵 → 𝐴 𝐶𝑃𝐻├𝑇‪ .‬לזכור שההוכחה שלו מתבססת רק על 𝑃𝑀 ‪ , 𝐼1 , 𝐼2 ,‬במקרה של תרגיל בו מקבלים מערכת שונה מ‪.HPC -‬‬
‫הכללה‪ :‬משפט הדדוקציה יהיה נכון לכל מערכת נוסח הילברט עבור שפת תחשיב הפסוקים הקלאסי ‪ ,‬אם ‪ MP‬הוא כלל ההיסק היחיד ואם כל‬
‫האינסטנציות ש ל ‪ 𝐼1, 𝐼2‬יכיחות במערכת ‪.‬‬
‫מערכת ‪:HPI‬‬
‫לוגיקה פסוקית אינטואיציוניסטית המתקבלת ממערכת ‪ HPC‬ע"י החלפת 𝐴 → 𝐴¬¬ ‪ 𝑁2.‬בכלל‪ .𝑁2′ . ¬𝐴 → (𝐴 → 𝐵) :‬משפט הדדוקציה נכון ב‪-‬‬
‫‪ HPI‬למרות שלא כל טאוטולוגיה ב‪ HPC -‬יכיחה ב‪ .HPI-‬למשל‪. 𝐴 → 𝐵 → 𝐴 → 𝐴 :‬‬
‫הקבלה של ‪ CPL‬ו‪:HPC-‬‬
‫𝑳𝑷𝑪├‬
‫𝑪𝑷𝑯├‬
‫טאוטולוגיה‬
‫נביעה לוגית‬
‫סיפוק‬
‫משפט של ‪( HPC‬ניתן להוכחה ללא הנחות )‬
‫יכיחות‬
‫קונסיסטנטיות‬
‫משפט הדדוקציה‬
‫קומפקטיות‪ :‬אם יש יכיחות אז יש סדרת‬
‫קומפקטיות‪ :‬אם יש נביעה אז יש נביעה‬
‫הוכחה באורך סופי‬
‫מתת קבוצה סופית‬
‫קונסיסטנטיות ב‪:HPC -‬‬
‫תורה ‪ T‬היא קונסיסטנטית ב‪ HPC -‬אם לא קיימת נוסחה ‪ A‬כך ש‪ 𝑇├𝐻𝑃𝐶 𝐴-‬וגם 𝐴¬ 𝐶𝑃𝐻├𝑇‪.‬‬
‫טענה‪ :‬תורה ‪ T‬היא קונסיסטנטית אמ "מ קיים פסוק ‪ A‬כך ש‪( 𝑇├𝐻𝑃𝐶 𝐴-‬כלומר ‪ T‬אינה תורה טרוויאלית )‪.‬‬
‫משפט השלמות נוסח ב '‪:‬‬
‫תורה ‪ T‬היא ספיקה (ב‪ )CPL-‬אמ"מ היא קונסיסטנטית ב‪.HPC -‬‬
‫‪4‬‬
‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫משפט הקומפקטיות ב‪:CPL -‬‬
‫‪‬‬
‫נוסח א'‪ :‬אם 𝐴 𝐿𝑃𝐶├𝑇 אז קיימת קבוצה חלקית סופית 𝑇 ⊆ 𝛤 כך ש‪.𝛤├𝐶𝑃𝐿 𝐴-‬‬
‫‪‬‬
‫נוסח ב'‪ :‬תורה ‪ T‬היא ספיקה אמ "מ כל 𝑇 ⊆ ‪ Γ‬סופית שלה היא ספיקה ‪.‬‬
‫מערכת דדוקציה טבעית – ‪:NDC‬‬
‫אקסיומה‪ ,𝛤 ⇒ 𝐴 :‬כאשר 𝛤 ∈ 𝐴‪.‬‬
‫כללי סילוק (קשרים למעלה)‬
‫𝐵⋀𝐴 ⇒ 𝛤‬
‫𝐵⋀𝐴 ⇒ 𝛤‬
‫𝐸⋀‬
‫‪,‬‬
‫𝐴⇒𝛤‬
‫𝐵⇒𝛤‬
‫𝐵 → 𝐴 ⇒ ‪𝛤1 ⇒ 𝐴 𝛤2‬‬
‫𝐸→‬
‫𝐵 ⇒ ‪𝛤1 ⋃𝛤2‬‬
‫𝐶 ⇒ ‪𝛤1 ⇒ 𝐴⋁𝐵 𝐴 ⋃𝛤2 ⇒ 𝐶 𝐵 ⋃𝛤3‬‬
‫𝐶 ⇒ ‪𝛤1 ⋃𝛤2 ⋃𝛤3‬‬
‫𝐴¬¬ ⇒ 𝛤‬
‫𝐸¬‬
‫𝐴⇒𝛤‬
‫כללי הכנסה (קשרים למטה)‬
‫𝐵 ⇒ ‪𝛤1 ⇒ 𝐴 𝛤2‬‬
‫𝐼⋀‬
‫𝐵⋀𝐴 ⇒ ‪𝛤1 ⋃𝛤2‬‬
‫𝐵 ⇒ 𝐴 ⋃𝛤‬
‫𝐼→‬
‫𝐵→𝐴⇒𝛤‬
‫𝐴⇒𝛤‬
‫𝐵⇒𝛤‬
‫𝐼⋁‬
‫‪,‬‬
‫𝐵⋁𝐴 ⇒ 𝛤‬
‫𝐵⋁𝐴 ⇒ 𝛤‬
‫𝐵¬ ⇒ ‪𝐴 ⋃𝛤1 ⇒ 𝐵 𝐴 ⋃𝛤2‬‬
‫𝐼¬‬
‫𝐴¬ ⇒ ‪𝛤1 ⋃𝛤2‬‬
‫𝐸⋁‬
‫כללי שלילה נוספים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫𝐴⋁𝐴¬ ⇒ 𝛤 (לא תקף בלוגיקה אינטואיציוניסטית )‬
‫‪‬‬
‫𝐴¬⇒ ‪𝛤1 ⇒𝐴 𝛤2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫𝐵⇒ ‪𝛤1 ⋃𝛤2‬‬
‫𝐵¬⇒ ‪𝛤1 ⇒¬𝐴 𝛤2‬‬
‫𝐵⋁𝐴 ¬⇒ ‪𝛤1 ⋃𝛤2‬‬
‫𝐵⋁𝐴⇒ ‪𝛤1 ⇒¬𝐴 𝛤2‬‬
‫𝐵⇒ ‪𝛤1 ⋃𝛤2‬‬
‫מערכת ‪:NDI‬‬
‫מתקבלת ממערכת ‪ NDC‬ע"י החלפת הכלל‬
‫𝐴¬¬⇒𝛤‬
‫𝐴⇒𝛤‬
‫בכלל‬
‫𝐴¬⇒ ‪𝛤1 ⇒𝐴 𝛤2‬‬
‫𝐵⇒ ‪𝛤1 ⋃𝛤2‬‬
‫‪.‬‬
‫סקוונט‪:‬‬
‫𝐴 ⇒ 𝛤 הוא סקוונט ‪ ,‬כאשר ‪ A‬נוסחה ו‪ 𝛤 -‬קבוצה סופית של נוסחאות ‪.‬‬
‫יחס הנביעה 𝐶𝐷𝑁├‪:‬‬
‫נאמר ש‪ 𝑇├𝑁𝐷𝐶 𝐴-‬אם קיימת 𝑇 ⊆ 𝛤 סופית כך שהסקוונט 𝐴 ⇒ 𝛤 יכיח ב‪ ,NDC-‬או בקיצור 𝐴 ⇒ 𝛤 𝐶𝐷𝑁├‪ .‬נשים לב לרמות השפה השונות ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫מטה‪-‬שפה‪… ├ … :‬‬
‫‪‬‬
‫שפת סקוונטים‪⇒ :‬‬
‫‪‬‬
‫שפת תחשיב הפסוקים‪⋀, ⋁, → :‬‬
‫יכיחות ב‪ NDC-‬מראים ע"י בניית הוכחה המתחילה תמיד באקסיומות והנחות ‪.‬‬
‫𝐶𝐷𝑁├ ‪ ├𝑁𝐷𝐼 ,‬הם יחסי נביעה‪ ,‬כלומר מקיימים רפלקסיביות ‪ ,‬מונוטוניות וטרנזיטיביות כמוגדר קודם‪.‬‬
‫משפט התקפות והשלמות ב‪├𝐶𝑃𝐿 = ├𝑁𝐷𝐶 :NDC-‬‬
‫‪.1‬‬
‫תקפות‪ :‬אם 𝐴 𝐶𝐷𝑁├𝑇 אז 𝐴 𝐿𝑃𝐶├𝑇‪ .‬כלומר‪ :‬אם ל‪ A-‬הוכחה מ‪ T-‬ב‪ NDC-‬אז השמה המספקת את ‪ T‬מספקת גם את ‪.A‬‬
‫‪.2‬‬
‫שלמות‪ :‬אם 𝐴 𝐿𝑃𝐶├𝑇 אז 𝐴 𝐶𝐷𝑁├𝑇‪ .‬כלומר‪ :‬אם כל השמה המספקת את ‪ T‬מספקת גם את ‪ ,A‬אז ל‪ A-‬הוכחה ב‪ NDC-‬מ‪.T-‬‬
‫מתקיים‪├𝑯𝑷𝑰 = ├𝑵𝑫𝑰 ,├𝑪𝑷𝑳 = ├𝑵𝑫𝑪 = ├𝑯𝑷𝑪 :‬‬
‫כדי להראות ש‪ 𝑇├𝐻𝑃𝐶 𝐴-‬גורר 𝐴 𝐶𝐷𝑁├𝑇‪ :‬מניחים 𝐴 𝐶𝑃𝐻├𝑇 ולכן 𝐴 𝐶𝑃𝐻├𝛤 (𝑇 ⊆ 𝛤 סופית)‪ .‬מראים 𝐴 ⇒ 𝛤 𝐶𝐷𝑁├ באינדוקציה על הוכחה ב‪,HPC -‬‬
‫תוך שימוש בכללים של ‪:NDC‬‬
‫‪ 𝛤 ⇒ 𝐴 :𝐴 ∈ 𝛤 ‬אקסיומה של ‪.NDC‬‬
‫‪ A ‬אקסיומה של ‪ :HPC‬מראים לכל אקסיומה של ‪ HPC‬הוכחה ב‪.)├𝑁𝐷𝐶 ⇒ 𝐴( NDC-‬‬
‫‪ ‬נניח ש‪ A -‬מוסק ע "י ‪ MP‬מ‪ 𝐵, 𝐵 → 𝐴-‬ב‪ ,HPC-‬כלומר 𝐵 𝐶𝑃𝐻├𝛤 ו‪ ,𝛤├𝐻𝑃𝐶 𝐵 → 𝐴-‬ועליהן מוחלת הנחת האינדוקציה ‪ .‬מ‪├𝑁𝐷𝐶 𝛤 ⇒ :(→ 𝐸)-‬‬
‫𝐴‪.‬‬
‫באותו אופן לכיוון השני ‪ :‬מניחים 𝐴 𝐶𝐷𝑁├𝑇‪ ,‬ולכן 𝐴 𝐶𝐷𝑁├𝛤 (𝑇 ⊆ 𝛤 סופית)‪ ,‬ומראים הוכחה ב‪ HPC -‬באינדקוציה על מבנה הוכחה ב‪A( NDC -‬‬
‫אקסיומה של ‪ NDC‬המקרה המהיר ‪ ,‬ועבור כל כלל ב‪ NDC-‬מהצורה‬
‫𝐴⇒𝛤‬
‫𝐵⇒𝛤‬
‫להראות 𝐴 𝐶𝑃𝐻├𝛤 גורר 𝐵 𝐶𝑃𝐻├𝛤)‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫שקילויות לוגיות ‪:‬‬
‫‪ A‬ו‪ B-‬יהיו שקולות לוגית‪ ,‬יסומן 𝐵 ≡ 𝐴‪ ,‬אם לכל השמה 𝑣 מתקיים )𝐵(𝑣 = 𝐴 𝑣‪ .‬שקילויות חשובות ‪ :‬מצורף בסוף ‪.‬‬
‫למה‪ ├𝐶𝑃𝐿 𝐴 ↔ 𝐵 :‬אמ"מ 𝐵 ≡ 𝐴‪.‬‬
‫משפט הצבת אקוויוולנטים‪:‬‬
‫אם 𝐵 ≡ 𝐴 אז לכל נוסחה 𝜑 ופסוק אטומי ‪ p‬מתקיים‪ .𝜑 𝐴/𝑝 ≡ 𝜑{𝐵/𝑝} :‬ולכן‪:‬‬
‫אם 𝐵 ↔ 𝐴 𝐿𝑃𝐶├𝑇 אז }𝑝‪( 𝑇├𝐶𝑃𝐿 𝜑 𝐴/𝑝 ↔ 𝜑{𝐵/‬חיזוק‪.)𝐴 ↔ 𝐵├𝐶𝑃𝐿 𝜑 𝐴/𝑝 ↔ 𝜑{𝐵/𝑝} :‬‬
‫צורת ‪ :Negation Normal Form – NNF‬פסוק 𝜑 נמצא ב‪ NNF-‬אם כל הופעה (אם בכלל) של קשר שלילה ב‪ 𝜑 -‬היא רק לפני פסוקים אטומיים ‪.‬‬
‫צורת ‪ :Disjunctive Normal Form – DNF‬צורה דיסיונקטיבית נורמלית – )⋁ … ⋁(⋀)⋁ … ⋁(‪...‬‬
‫צורת ‪ :Connuctive Normal Form – CNF‬צורה קוניוקטיבית נורמלית – )⋀ … ⋀(⋁)⋀ … ⋀(‪...‬‬
‫ליטרל‪ :‬פסוק אטומי או שלילתו (… 𝑞¬ ‪.)𝑝,‬‬
‫מתקיים‪.𝐷𝑁𝐹, 𝐶𝑁𝐹 ⊆ 𝑁𝑁𝐹 :‬‬
‫דרך נוחה להגיע לצורת ‪ CNF‬של נוסחה 𝜑‪ :‬להגיע לנוסחת ‪ DNF‬של 𝜑¬ (קל יותר )‪ ,‬ואז להכניס את ה‪ ¬ -‬פנימה ולהפוך את הנוסחה לצורת ‪.CNF‬‬
‫דרך נוספת אפשרית היא לכתוב את טבלת האמת של 𝜑 עם כל הפסוקים האטומיים ‪ ,‬ולמצוא כמו במבנה מחשבים ‪ )DNF( POS‬או ‪.)CNF( SOP‬‬
‫הגדרת }𝑓 ‪→ {𝑡,‬‬
‫𝑛‬
‫→‬
‫𝑝‬
‫𝑓 ‪:𝑔𝜑 : 𝑡,‬‬
‫עבור 𝜑 נוסחה‪ 𝑝1 , … , 𝑝𝑛 ,‬נוסחאות אטומיות (משתנים עבור נוסחאות אטומיות ) הכוללות את כל הנוסחאות האטומיות המופיעות ב‪ ,𝜑 -‬הפונקציה‬
‫}𝑓 ‪→ {𝑡,‬‬
‫𝑛‬
‫→‬
‫→‬
‫𝑝‬
‫𝑝‬
‫𝑓 ‪ 𝑔𝜑 : 𝑡,‬מוגדרת‪ ,𝑔𝜑 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 = 𝑣(𝜑) :‬כאשר ) 𝑛𝑝(𝑣 = 𝑛𝑥 ‪ .𝑥1 = 𝑣 𝑝1 , … ,‬בעצם פונקציה זו מחזירה את השמת 𝑛𝑥 ‪𝑥1 , … ,‬‬
‫→‪ .‬הוקטור מכתיב את סדר ההופעה בטבלת האמת‬
‫(המקבלים ערך ‪ t‬או ‪ )f‬כערכים ל‪ 𝑣 𝑝1 , … , 𝑣(𝑝𝑛 ) -‬בהתאמה‪ ,‬כאשר > 𝑛𝑝 ‪𝑝 =< 𝑝1 , … ,‬‬
‫‪,‬‬
‫ולפיכך את פרמוטצית תוצאות הפונקציה ‪.‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫לכל }𝑓 ‪→ {𝑡,‬‬
‫𝑛‬
‫→‬
‫𝑝‬
‫𝑓 ‪ 𝑓: 𝑡,‬קיימת נוסחה 𝜑 ופסוקים אטומיים 𝑛𝑝 ‪ 𝑝1 , … ,‬כך ש‪.𝑓 = 𝑔𝜑 -‬‬
‫לוגיקה רב ערכית‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫השמות מחזירות יותר משני ערכים אופציונלים ‪ .‬למשל‪ ,‬בלוגיקה התלת ערכית של קליני ‪ ,‬ישנם הערכים }‪ ,{0, , 1‬כאשר לקשרים מוגדרות פונ '‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿𝐾├𝑇 אם כל השמה חוקית הנותנת ל‪( 𝑇 -‬כל פסוק בה ) ערך‬
‫אמת חדשות בהתאם לערכים אלו ‪ .‬לפי הלוגיקה הרב ערכית של קליני ‪ ,‬נגדיר‪𝜑 :‬‬
‫‪,1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫𝐿𝐾├‪.‬‬
‫מהקבוצה }‪ ,{1‬עושה זאת גם ל‪ .A-‬באותה מידה ניתן להגדיר‬
‫לוגיקה רב ערכית ‪:M‬‬
‫השלישיה > 𝑂 ‪ < 𝑉, 𝐷,‬כאשר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ V‬קבוצת ערכי אמת כך ש‪. 𝑉 ≥ 2 , 0,1 ⊆ 𝑉 -‬‬
‫‪‬‬
‫‪ D‬קבוצה חלקית ממש ולא ריקה של ערכי אמת "מצויינים" כך ש‪.1 ∈ 𝐷, 0 ∉ 𝐷 -‬‬
‫‪‬‬
‫‪ O‬קבוצה של טבלאות אמת לכל אחד מהקשרים בשפה ‪.‬‬
‫מודל‪ :‬השמה ‪ v‬מהווה מודל לפסוק ‪ A‬אם 𝐷 ∈ 𝐴 𝑣‪.‬‬
‫נביעה‪ 𝑇├𝑀 𝜑 :‬אם כל ‪-M‬מודל של ‪ T‬הוא ‪-M‬מודל של 𝜑‪.‬‬
‫הלוגיקה התלת ערכית של גדל ( 𝑙𝑒𝑑‪:)𝐺ö‬‬
‫𝑎¬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫𝑏 ≤ 𝑎 ‪1,‬‬
‫𝑏 > 𝑎 ‪𝑏,‬‬
‫=𝑏→𝑎‬
‫‪‬‬
‫𝑏 ‪𝑎⋁𝑏 = 𝑚𝑎𝑥 𝑎,‬‬
‫‪‬‬
‫⁡𝑛𝑖𝑚 = 𝑏⋀𝑎‬
‫}𝑏 ‪{𝑎,‬‬
‫הלוגיקה הרב‪ -‬ערכית של גדל מוגדרת באותו אופן כמו התלת ערכית ‪ .‬זו לוגיקה מסוג ‪ ,Fuzzy Logic‬בניגוד לקלאסית ‪ .‬כל משפט של ‪ ,HPI‬בפרט כל‬
‫האקסיומות של ‪ HPI‬הן טאוטולוגיות בלוגיקה התלת‪ -‬ערכית של גדל‪ .‬אקסיומה )‪ (𝑁2‬מ‪ HPC-‬אינה טאוטולוגיה בלוגיקה זו ‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬
‫חלק שני‪ :‬תחשיב הפרדיקטים ‪ /‬לוגיקה קלאסית מסדר ראשון ‪:FOL -‬‬
‫שינויים עיקריים מתחשיב הפסוקים הקלאסי ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫פירוט נוסף לגבי מבנה נוסחאות אטומיות ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫שימוש בכמתים‪.∀, ∃ :‬‬
‫שפות מסדר ראשון ‪:‬‬
‫המשותף לכל השפות מסדר ראשון ‪:‬‬
‫א‪ .‬משתנים‪ .𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … :‬במטה שפה יסומנו ‪.𝑥, 𝑦, 𝑧 :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫קשרים‪.→, ⋀, ⋁, ¬ :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫כמתים‪.∀, ∃ :‬‬
‫ד‪.‬‬
‫סוגריים ופסיק‪."," ,")" ,"(" :‬‬
‫סיגנטורה‪ :‬לכל שפה מסדר ראשון ‪ L‬יש סיגנטורה 𝐿𝜎 המגדירה אותה‪ ,‬היכולה לכלול‪:‬‬
‫א‪ .‬קבועים‪.𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐2 , … :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫סימני פונקציה עם ‪ arity‬כלשהו (חד‪-‬מקומי‪ ,‬דו‪-‬מקומי‪ .)...‬סימון‪ k - 𝑓𝑘𝑛 :‬אינדקס הפונקציה ‪ n ,‬ה‪.arity-‬‬
‫סימני יחס עם ‪ arity‬כלשהו‪ .‬לפחות סימן יחס אחד !‪ .‬סימון‪:‬‬
‫𝑛𝑘𝑃‪.‬‬
‫אם 𝐿𝜎 סיגנטורה‪ ,‬אז ‪ L‬היא השפה המושרית על ידה‪.‬‬
‫בשפות מסדר ראשון יש שתי קטגוריות לשוניות עיקריות‪:‬‬
‫א‪ .‬שמות עצם‪( 𝜄 :‬איוטה)‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נוסחאות (לא פסוקים!)‪( 𝑜 :‬אומיקרון )‪.‬‬
‫קבוצת שמות העצם של ‪ L‬בהינתן 𝐿𝜎‪:‬‬
‫א‪ .‬כל קבוע ב‪ 𝜎 -‬הוא ש"ע ב‪.𝐿(𝜎)-‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫כל משתנה הוא ש"ע ב‪.𝐿(𝜎)-‬‬
‫𝑛‬
‫אם 𝜄 → 𝜄 ‪ 𝑓:‬סימן פונקציה ‪-n‬מקומית של 𝜎‪ 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ,‬ש"ע‪ ,‬אז ) 𝑛𝑡 ‪ 𝑓(𝑡1 , … ,‬גם ש"ע ב‪.𝐿(𝜎)-‬‬
‫קבוצת הנוסחאות של )𝜎(𝐿 בהינתן 𝜎‪:‬‬
‫𝑛‬
‫א‪ .‬נוסחאות אטומיות ‪ :‬אם 𝑜 → 𝜄 ‪ 𝑃:‬סימן יחס ב‪ 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ,𝜎 -‬ש"ע ב‪ ,𝐿(𝜎)-‬אז ) 𝑛𝑡 ‪ 𝑃(𝑡1 , … ,‬נוסחה של )𝜎(𝐿‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫אם 𝜓 ‪ 𝜑,‬נוסחאות אז גם 𝜓⋁𝜑 ‪ ¬𝜑, 𝜑 → 𝜓, 𝜑⋀𝜓,‬נוסחאות ב‪.𝐿(𝜎) -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫אם 𝜑 נוסחה ו‪ 𝑥 -‬משתנה אז 𝜑𝑥∀ ו‪ ∃𝑥𝜑-‬נוסחאות ב‪.𝐿(𝜎) -‬‬
‫קבוצת המשתנים החופשיים ‪:‬‬
‫]𝐸[𝑣𝐹 היא קבוצת המשתנים החופשיים ב‪:E -‬‬
‫‪‬‬
‫לקבוע ‪( c‬סימון לקבוע במטה‪ -‬שפה)‪.𝐹𝑣 𝑐 = ∅ :‬‬
‫‪‬‬
‫למשתנה 𝑥‪.𝐹𝑣 𝑥 = 𝑥 :‬‬
‫‪‬‬
‫לסימן פונקציה ‪ 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ,f‬ש"ע‪= ⋃𝑛𝑖=1 𝐹𝑣[𝑡𝑖 ] :‬‬
‫𝑛𝑡 ‪.𝐹𝑣 𝑓 𝑡1 , … ,‬‬
‫‪‬‬
‫לסימן יחס 𝑃 וש"ע כמוגדר לעיל‪= ⋃𝑛𝑖=1 𝐹𝑣[𝑡𝑖 ] :‬‬
‫𝑛𝑡 ‪.𝐹𝑣 𝑃 𝑡1 , … ,‬‬
‫‪‬‬
‫}⋁ ‪.𝐹𝑣 ¬𝜑 = 𝐹𝑣 𝜑 , 𝐹𝑣 𝜑 ∗ 𝜓 = 𝐹𝑣 𝜑 ⋃𝐹𝑣 𝜓 ,∗∈ {→, ⋀,‬‬
‫‪‬‬
‫}𝑥{\ 𝜑 𝑣𝐹 = 𝜑𝑥∃ 𝑣𝐹 = 𝜑𝑥∀ 𝑣𝐹 (כי 𝑥 אינו חופשי בנוסחאות אלו )‪.‬‬
‫מבנה ‪ M‬עבור 𝜎 ()𝜎(𝐿)‪:‬‬
‫מבנה > 𝐼 ‪ 𝑀 =< 𝐷,‬מוגדר‪:‬‬
‫א‪ :D .‬תחום המבנה‪ ,‬קבוצה לא ריקה ‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ I‬פונקציית פירוש שתחומה 𝜎‪ ,‬ומקיימת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫𝐷 ∈ 𝑐 𝐼 לכל קבוע ‪ c‬של 𝜎‪.‬‬
‫‪‬‬
‫𝐷 → 𝑛𝐷 ∈ 𝑓 𝐼 לכל סימן פונקציה ‪-n f‬מקומי של 𝜎‪ .‬סימון‪.𝑓 𝐼 :‬‬
‫‪‬‬
‫𝑛‬
‫𝐼‬
‫𝐷 ⊆ 𝑃 𝐼 לכל סימן יחס ‪-n P‬מקומי של 𝜎‪ .‬סימון‪.𝑃 :‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫‪7‬‬
‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫הסימונים ] …[𝐼 הם סימונים במטה‪ -‬שפה (כמו גם 𝐼𝑃 ‪.)𝑓 𝐼 ,‬‬
‫השמה ‪:v‬‬
‫יהי > 𝐼 ‪ 𝑀 =< 𝐷,‬מבנה כלשהו לשפה ‪ L‬מסדר ראשון‪ .‬השמה ב‪ L-‬היא פונ' 𝐷 → … ‪( 𝑣: 𝑣0 , 𝑣1 ,‬מקבוצת המשתנים אל התחום של ‪.)M‬‬
‫יחס הנכונות 𝑡⊨‪:‬‬
‫יחס בין נוסחאות בשפה ‪ L‬וזוגות סדורים > 𝑣 ‪ < 𝑀,‬של מבנה לשפה ‪ L‬והשמה במבנה זה ‪ ,‬מוגדר באופן הבא ‪:‬‬
‫א‪ 𝑀, 𝑣 ⊨ 𝑃(𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ) .‬אמ"מ ]𝑃[𝐼 ∈> 𝑛𝑡 𝑣 ‪ ,< 𝑣 𝑡1 , … ,‬כאשר ]𝑡[𝑣 מוגדר באופן הבא ‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ t‬קבוע אז ]𝑡[𝐼 = 𝑡 𝑣‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ t‬משתנה אז ]𝑡[𝑣 כבר מוגדר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אם ) 𝑘𝑠 ‪ 𝑡 = 𝑓(𝑠1 , … ,‬כאשר ‪ f‬סימן פונקציה ‪-k‬מקומי ו‪ 𝑠1 , … , 𝑠𝑘 -‬ש"ע‪ ,‬אז‬
‫𝑘𝑠 𝑣 ‪𝑣 𝑡 = 𝐼 𝑓 𝑣 𝑠1 , … ,‬‬
‫הגדרת עזר‪ 𝑣′ :‬היא 𝑥‪-‬וריאנט של 𝑣 אם ]𝑦[𝑣 = 𝑦 ‪ 𝑣 ′‬לכל 𝑥 ≠ 𝑦 (אולי גם ל‪ .)𝑦 = 𝑥-‬מתקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫𝜑¬ ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אמ"מ 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪.𝑀,‬‬
‫‪‬‬
‫𝜓⋀𝜑 ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אמ"מ 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬וגם 𝜓 ⊨ 𝑣 ‪.𝑀,‬‬
‫‪‬‬
‫𝜓⋁𝜑 ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אמ"מ 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬או 𝜓 ⊨ 𝑣 ‪.𝑀,‬‬
‫‪‬‬
‫𝜓 → 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אמ"מ 𝜑¬ ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬או 𝜓 ⊨ 𝑣 ‪.𝑀,‬‬
‫‪‬‬
‫𝜑𝑥∀ ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אמ"מ לכל ‪ 𝑣′‬שהיא 𝑥‪-‬וריאנט של 𝑣 מתקיים 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪.𝑀,‬‬
‫‪‬‬
‫𝜑𝑥∃ ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אמ"מ קיימת ‪ 𝑣′‬שהיא 𝑥‪-‬וריאנט של 𝑣 כך ש‪.𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑-‬‬
‫מופע חופשי‪/‬קשור של משתנה בנו סחה‪:‬‬
‫כל משתנה בנוסחה יכול להיות בעל מופעים קשורים ו בעל מופעים חופשיים ‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫שמות עצם‪ :‬כל הופעה של משתנה בש "ע הוא חופשי במסגרת אותו ש "ע‪ .‬אם ∅ = 𝑡 𝑣𝐹 אז ‪ t‬הוא ש"ע סגור‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫נוסחאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫כל משתנה המופיע בנוסחה אטומית הוא חופשי בכל מופע שלו בנוסחה ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫כל מופע חופשי‪/‬קשור של משתנה ב‪ 𝜑 -‬או ב‪ 𝜓-‬הוא גם מופע חופשי‪/‬קשור של אותו משתנה ב‪ ¬𝜑, 𝜑 ∗ 𝜓 -‬ולהיפך‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מופע חופשי של משתנה 𝑥 בנוסחה 𝜑𝑦∃‪ ∀/‬הוא מופע חופשי שלו ב‪ 𝜑 -‬אלא אם 𝑥 = 𝑦‪ ,‬ואז הוא מופע קשור ‪.‬‬
‫פסוק‪:‬‬
‫נוסחה ללא משתנים חופשיים ‪ ,‬כלומר 𝜑 פסוק אם ∅ = 𝜑 𝑣𝐹‪.‬‬
‫למה‪:‬‬
‫אם ]𝑥[ ‪ 𝑣1 𝑥 = 𝑣2‬לכל ]𝜑[𝑣𝐹 ∈ 𝑥‪ ,‬אז 𝜑 ⊨ ‪ 𝑀, 𝑣1‬אמ"מ 𝜑 ⊨ ‪.𝑀, 𝑣2‬‬
‫למת עזר‪ :‬אם ]𝑥[ ‪ 𝑣1 𝑥 = 𝑣2‬לכל ]𝑡[𝑣𝐹 ∈ 𝑥 כאשר ‪ t‬ש"ע‪ ,‬אז ]𝑡[ ‪.𝑣1 𝑡 = 𝑣2‬‬
‫תקפות‪:‬‬
‫𝑣‬
‫נוסחה 𝜑 נקראת תקפה במבנה ‪ ,M‬יסומן 𝜑 ⊨ 𝑀 או פשוט 𝜑 ⊨ 𝑀‪ ,‬אם לכל השמה ‪ v‬במבנה ‪ M‬מתקיים‪.𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑 :‬‬
‫תקפות לוגית‪:‬‬
‫נוסחה 𝜑 תקפה לוגית אם לכל מבנה ‪ M‬ולכל השמה ‪ v‬באותו מבנה מתקיים 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪.𝑀,‬‬
‫מודל‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫> 𝑣 ‪ < 𝑀,‬הוא ‪-t‬מודל של 𝜑 אם 𝜑 𝑡⊨ 𝑣 ‪ ,𝑀,‬כלומר 𝜑 נכונה ב‪.< 𝑀, 𝑣 >-‬‬
‫𝑣‬
‫‪ M‬הוא ‪-v‬מודל של 𝜑 אם 𝜑 ⊨ 𝑀‪ ,‬כלומר 𝜑 תקפה ב‪.M-‬‬
‫הערה חשובה‪:‬‬
‫אמנם עבור > 𝑣 ‪ < 𝑀,‬מתקיים 𝜑¬ ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אמ"מ 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪ ,𝑀,‬וגם 𝜓⋁𝜑 ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אמ"מ 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬וגם 𝜓 ⊨ 𝑣 ‪ ,𝑀,‬אך אין זה נכון עבור ‪-v‬מודל‪.‬‬
‫למשל עבור )𝑦 = 𝑥( ≔ 𝜑‪ .‬מתקיים )𝑦 = 𝑥( ⊨ ‪( ℕ‬קיימת השמה הנותנת ל‪-‬‬
‫𝑦 ‪ 𝑥,‬ערכים שונים ) וגם )𝑦 = 𝑥(¬ ⊨ ‪ .ℕ‬או למשל ‪:‬‬
‫מתקיים )𝑦 = 𝑥(⋁ 𝑦 = 𝑥 ¬ ⊨ ‪ ,ℕ‬אך לא מתקיים ש‪ ℕ ⊨ ¬(𝑥 = 𝑦)-‬או )𝑦 = 𝑥( ⊨ ‪ .ℕ‬זאת כיוון שנדרשים לסיפוק עם כל השמה 𝑣 ב‪.M-‬‬
‫מתי זה נכון ‪ :‬כאשר 𝜑 פסוק (ואז 𝑣⊨⇔ 𝑡⊨)‪.‬‬
‫יחס ה‪-t-‬נביעה ‪:├𝑡𝐹𝑂𝐿 -‬‬
‫נוסחה 𝜑 ‪-t‬נובעת מתורה ‪ T‬בלוגיקה מסדר ראשון ‪ ,‬נסמן 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑡├𝑇‪ ,‬אם כל ‪-t‬מודל של ‪ T‬הוא גם ‪-t‬מודל של 𝜑‪ .‬כלומר אם 𝑇 ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אז 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪.𝑀,‬‬
‫‪8‬‬
‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫יחס ה‪-v-‬נביעה ‪:├𝑣𝐹𝑂𝐿 -‬‬
‫נוסחה 𝜑 ‪-v‬נובעת מתורה ‪ T‬בלוגיקה מסדר ראשון ‪ ,‬נסמן 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇‪ ,‬אם כל ‪-v‬מודל של ‪ T‬הוא גם ‪-v‬מודל של 𝜑‪ .‬כלומר אם 𝑇 ⊨ 𝑀 אז 𝜑 ⊨ 𝑀‪.‬‬
‫עובדות חשובות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫אם 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑡├𝑇 אז‬
‫‪.2‬‬
‫מתי זה כן נכון הפוך ‪ :‬כאשר ‪ T‬מורכבת מפסוקים בלבד‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫כלל ההכללה נכון עבור ‪-v‬נביעה‪ ,‬כלומר‪ ,𝜑├𝑣𝐹𝑂𝐿 ∀𝑥𝜑 :‬אך לא עבור ‪-t‬נביעה‪ .‬הכיוון השני כן מתקיים גם ל‪-t-‬נביעה‪:‬‬
‫𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇‪.‬‬
‫ההיפך אינו נכון !‬
‫𝑡‪.∀𝑥𝜑├𝑣,‬‬
‫𝜑 𝐿𝑂𝐹‬
‫לכן מבחינת‬
‫‪-v‬נביעה אין הבדל בין 𝜑 ו‪.∀𝑥𝜑-‬‬
‫סגור של נוסחה‪:‬‬
‫סגור של נוסחה 𝜑‪ ,‬מסומן 𝜑∀‪ ,‬הוא פסוק (לא יחיד ) מהצורה 𝜑 𝑛𝑥∀ … ‪ ∀𝑥1‬כאשר } 𝑛𝑥 ‪ .𝐹𝑣 𝜑 ⊆ {𝑥1 , … ,‬ישנה שקילות בין כל הסגורים של כל‬
‫נוסחה 𝜑 הן מבחינת ‪-t‬נביעה והן מבחינת ‪-v‬נביעה (לפי העובדה האחרונה )‪ .‬כמו כן עבור ‪-v‬נביעה‪ 𝜑├𝑣𝐹𝑂𝐿 ∀𝜑 :‬וגם 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝜑∀‪.‬‬
‫אם ‪ T‬תורה‪ ,‬נסמן 𝑇∀ את תורת הסגורים של כל נוסחה ב‪.T -‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫אם ‪ T‬תורה ו‪ 𝜑 -‬נוסחה אז 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇 אמ"מ 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇∀ (כיוון של‪ T-‬ול‪ ∀𝑇 -‬אותם ‪-v‬מודלים) אמ"מ 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑡├𝑇∀ (כיוון ש‪ ∀𝑇 -‬תורה של פסוקים )‪.‬‬
‫ניתן להפוך נוסחה לפסוק ע "י הצבת קבועים חדשים } 𝑖𝑑{ במקום המשתנים המופיעי ם ב‪ 𝑇, 𝜑 -‬ולקבל‪ :‬אם } 𝑖𝑥‪ 𝑇 𝑑𝑖 /𝑥𝑖 ├𝑡𝐹𝑂𝐿 𝜑{𝑑𝑖 /‬אז 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑡├𝑇‪.‬‬
‫משפט הדדוקציה עבור ‪:FOL‬‬
‫‪‬‬
‫עבור ‪-t‬נביעה‪ 𝑇⋃ 𝐴 ├𝑡𝐹𝑂𝐿 𝐵 :‬אמ"מ 𝐵 → 𝐴 𝐿𝑂𝐹𝑡├𝑇‪.‬‬
‫‪‬‬
‫עבור ‪-v‬נביעה לא מתקיים משפט הדדוקציה ‪ ,‬אלא אם ‪ A‬פסוק‪ .‬למשל‪ ,𝑝 𝑥 ├𝑣𝐹𝑂𝐿 ∀𝑥𝑝(𝑥) :‬אבל )𝑥(𝑝𝑥∀ → 𝑥 𝑝 𝐿𝑂𝐹𝑣├‪.‬‬
‫סימון‪:𝜑{𝑡/𝑥} :‬‬
‫סימון זה מייצג את הנוסחה המתקבלת מהחלפת המופעים החופשיים של 𝑥 ב‪ 𝜑-‬בש"ע ‪.t‬‬
‫ש"ע ‪ t‬חופשי להצבה‪ :‬במקום 𝑥 ב‪ 𝜑-‬אם שום משתנה חופשי של ‪ t‬אינו הופך להיות קשור בעקבות ההצבה ‪.‬‬
‫𝑥 ≠ 𝑦‪𝑣 𝑦 ,‬‬
‫אם 𝑣 השמה אז 𝑡 𝑣 ≔ 𝑥 𝑣 = 𝑤 היא השמה חדשה שבה ‪:‬‬
‫𝑥=𝑦‪𝑣 𝑡 ,‬‬
‫= 𝑦 𝑤‪.‬‬
‫משפט ההחלפה‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫עבור ש"ע‪ :‬יהיו 𝑡 ‪ 𝑠1 , 𝑠2 ,‬ש"ע ו‪ 𝑥-‬משתנה‪ .‬אם ] ‪ 𝑣 𝑠1 = 𝑣[𝑠2‬אז ] 𝑥 ‪= 𝑣[𝑡 𝑠2 /‬‬
‫עבור נוסחאות‬
‫‪:‬‬
‫יהיו‬
‫‪𝑠1 , 𝑠2‬‬
‫ש " ע‪,‬‬
‫‪A‬‬
‫נוסחה ו‪-‬‬
‫𝑥‬
‫משתנה‪.‬‬
‫𝑥 ‪ .𝑣 𝑡 𝑠1 /‬הוכחה באינדוקציה על מבנה ש"ע ‪.t‬‬
‫לכל השמה המקיימת‬
‫] ‪𝑣 𝑠1 = 𝑣[𝑠2‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫𝑥‪ .𝑀, 𝑣 ⊨ 𝐴 𝑠1 /𝑥 ⇔ 𝑀, 𝑣 ⊨ 𝐴 𝑠2 /‬הוכחה באינדוקציה על מבנה נוסחה ‪.A‬‬
‫משפט ההצבה ‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫עבור ש"ע‪ :‬אם 𝑡 ≔ 𝑥 𝑣 = 𝑤 ו‪ s-‬ש"ע‪ ,‬אז ] 𝑥‪.𝑤 𝑠 = 𝑣[𝑠 𝑡/‬‬
‫‪.2‬‬
‫עבור נוסחאות ‪ :‬אם 𝑡 𝑣 ≔ 𝑥 𝑣 = 𝑤 ו‪ 𝜑-‬נוסחה‪ ,‬אז 𝜑 ⊨ 𝑤 ‪ 𝑀,‬אמ"מ }𝑥‪ ,𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑{𝑡/‬ובלבד ש‪ t-‬חופשי להצבה במקום 𝑥 ב‪.𝜑-‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫}𝑥‪𝜑├𝑣𝐹𝑂𝐿 𝜑{𝑡/‬‬
‫ובלבד ש‪ t-‬חופשי להצבה במקום 𝑥 ב‪.𝜑-‬‬
‫סיכום תכונות נביעה – ‪ t‬מול ‪:v‬‬
‫‪t‬‬
‫מתקיים‬
‫תכונה‬
‫𝜑 ⊨⇔ 𝜑¬ ⊨‬
‫𝜓 ⊨ 𝑟𝑜 𝜑 ⊨⇔ 𝜓⋁𝜑 ⊨‬
‫𝐵 → 𝐴├𝑇‬
‫‪v‬‬
‫לא מתקיים‪ .‬דוגמא‪ℕ ⊨ 𝑥 = 1 , ℕ ⊨ (𝑥 ≠ 1) :‬‬
‫סגור של נוסחה ‪:∀𝜑 -‬‬
‫‪∀𝜑├𝜑 .1‬‬
‫‪𝜑├∀𝜑 .2‬‬
‫גרירת נביעה אחת מהשניה‬
‫מתקיים‪𝑇├𝑡𝐹𝑂𝐿 𝜑 ⇒ 𝑇├𝑣𝐹𝑂𝐿 𝜑 :‬‬
‫כלל ההכללה‪∀𝑥𝜑├𝜑 :‬‬
‫כיוון שני‪𝜑├∀𝑥𝜑 :‬‬
‫משפט הדדוקציה‪:‬‬
‫מתקיים‬
‫לא מתקיים‪ :‬אותו דוגמא של הסגור‬
‫מתקיים‬
‫לא מתקיים‪ :‬למעט כאשר ‪ A‬פסוק‪.‬‬
‫כלל ההצבה‪𝜑├𝜑{𝑡/𝑥} :‬‬
‫גרירת ספיקות מאחד לשני‬
‫לא מתקיים‪ .‬למשל‪𝑥 ≠ 𝑡 ├𝑡𝐹𝑂𝐿 (𝑡 ≠ 𝑡) :‬‬
‫לא מתקיים‪ :‬למעט כאשר ‪ T‬מורכבת מפסוקים‬
‫מתקיים‬
‫מתקיים‪ :‬אם ‪-v T‬ספיקה אז ‪-t T‬ספיקה‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫מתקיים‪.‬‬
‫לא מתקיים‪ .‬למשל‪𝑥 = 1 ├𝑡𝐹𝑂𝐿 ∀𝑥(𝑥 = 1) :‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫מתקיים‬
‫מתקיים‬
‫לא מתקיים ‪ ,𝑇├𝑣𝐹𝑂𝐿 𝜑 ⇒ 𝑇├𝑡𝐹𝑂𝐿 𝜑 :‬למעט כאשר ‪T‬‬
‫מורכבת מ פסוקים בלבד‪.‬‬
‫מתקיים‬
‫מתקיים‬
‫‪9‬‬
‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫טענה‪:‬‬
‫תהי 𝜑 טאוטולוגיה‪ .‬תורה ‪ T‬ספיקה אמ"מ 𝜑¬ ├𝑇 (נכון גם לגבי ‪ v‬וגם לגבי ‪.)t‬‬
‫מערכת נוסח הילברט עבור ‪:HFOL – FOL‬‬
‫אקסיומות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫כל האיסטנציות של אקסיומות ‪.HPC‬‬
‫‪.2‬‬
‫}𝑥‪ 𝐴 𝑡/𝑥 → ∃𝑥𝐴 ,∀𝑥𝐴 → 𝐴{𝑡/‬בתנאי ש‪ t-‬חופשי להצבה במקום 𝑥 ב‪.A-‬‬
‫‪.3‬‬
‫)𝐵𝑥∀ → 𝐴( → 𝐵 → 𝐴 𝑥∀‪,‬‬
‫)𝐴 → 𝐵𝑥∃( → 𝐴 → 𝐵 𝑥∀‪ ,‬בתנאי ש‪ 𝑥 -‬אינו חופשי ב‪.A-‬‬
‫כללים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫𝐵→𝐴 𝐴‬
‫𝐵‬
‫𝐴‬
‫𝐴𝑥∀‬
‫𝑃𝑀‬
‫𝑁𝐸𝐺‬
‫מערכת דדוקציה טבעית עבור ‪:NDFOL – FOL‬‬
‫בנוסף על כללי ‪:NDC‬‬
‫𝐴𝑥∀ ⇒ 𝛤‬
‫𝑥‪𝛤 ⇒ 𝐴 𝑡/‬‬
‫𝐶 ⇒ 𝑥‪𝛤 ⇒ ∃𝑥𝐴 𝛤, 𝐴 𝑦/‬‬
‫𝐶⇒𝛤‬
‫* בתנאי ש‪ t-‬חופשי להצבה במקום 𝑥 ב‪.A-‬‬
‫∗‬
‫𝐸∀‬
‫∗∗‬
‫𝐸∃‬
‫𝑥‪𝛤 ⇒ 𝐴 𝑦/‬‬
‫𝐴𝑥∀ ⇒ 𝛤‬
‫𝑥‪𝛤 ⇒ 𝐴 𝑡/‬‬
‫𝐴𝑥∃ ⇒ 𝛤‬
‫∗∗‬
‫∗‬
‫𝐼∀‬
‫𝐼∃‬
‫** בתנאי ש‪ y-‬חופשי להצבה במקום 𝑥 ב‪ A-‬ואינו חופשי להצבה בשום נוסחה ב‪.𝛤⋃{∃𝑥𝐴, 𝐶} -‬‬
‫משפטי הנאותות והשלמות של ‪:NDFOL ,HFOL‬‬
‫‪‬‬
‫𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑡├𝑇 ⇔ 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝐷𝑁├𝑇‬
‫‪‬‬
‫𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇‬
‫⇔ 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝐻├𝑇‬
‫משפט הדדוקציה של ‪:HFOL‬‬
‫אם ‪ A‬פסוק אז‪.𝑇⋃ 𝐴 ├𝐻𝐹𝑂𝐿 𝐵 ⇔ 𝑇├𝐻𝐹𝑂𝐿 𝐴 → 𝐵 :‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫𝜑 𝐿𝑂𝐹𝐻├𝑇 ⇒ 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝐷𝑁├𝑇‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ T‬מורכבת מפסוקים בלבד אז גם 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝐷𝑁├𝑇 ⇒ 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝐻├𝑇‪.‬‬
‫מרחבי הרברנד‪:‬‬
‫מרחב הרברנד‪:𝐻(𝐿) :‬‬
‫מרחב הרברנד של שפה ‪( L‬עם קבוע) הוא קבוצת שמות העצם הסגורים (שאין בהם משתנים) של ‪ .L‬למשל בתורת המספרים ‪… :‬‬
‫‪.0, 𝑆 0 , 𝑆 𝑆 0‬‬
‫אם נסתכל למשל על סימן הפונקציה ‪ ,+‬מתקיים 𝐴𝑃𝐿 𝐻 ∈ ‪ ,+ 𝑆0, 𝑆𝑆0‬ומתקיים ‪ - + 𝑆0, 𝑆𝑆0 ≠ 𝑆𝑆𝑆0‬כל אחד מאלו ש "ס בפני עצמו‪.‬‬
‫מבנה הרברנד עבור השפה ‪:L‬‬
‫מבנה מהצורה > 𝐼 ‪ < 𝐷,‬בו‪:‬‬
‫א‪.𝐷 = 𝐻(𝐿) .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ c‬קבוע בשפה אז 𝑐 = 𝑐 𝐼‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ f‬סימן פונקציה ‪-n‬מקומי של השפה אז ) 𝑛𝑥 ‪ .𝐼 𝑓 = 𝜆𝑥1 ∈ 𝐷, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝐷. 𝑓(𝑥1 , … ,‬אם 𝑛𝑡 ‪ 𝑡1 , … ,‬ש"ס השייכים ל‪ ,𝐻(𝐿) -‬אז‬
‫)𝐿(𝐻 ∈ 𝑛𝑡 ‪.𝐼 𝑓 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 = 𝑓 𝑡1 , … ,‬‬
‫‪ :DCA‬הנחת התחום הסגור – רק מה שיש לו שם בשפה קיים ‪.‬‬
‫‪ :UNA‬הנחת השם היחיד – לכל איבר שם אחד בלבד ‪ ,‬אין שני איברים בעלי אותו שם ‪.‬‬
‫ההבדל בין שני מרחבי (אולי הכוונה למבנים ) הרברנד שונים לאותה שפה הוא הפירוש שהם נותנים לסימני היחס ‪.‬‬
‫בסיס הרברנד )𝑀(𝐵𝐻‪:‬‬
‫בסיס הרברנד של מבנה הרברנד ‪ M‬עבור השפה ‪ L‬הוא קבוצת כל הפסוקים האטומיים הנכונים ‪ /‬תקפים (לא משנה עבור פסוקים ) ב‪ .M-‬יסומן ב‪-‬‬
‫)𝑀(𝐵𝐻‪ .‬פסוקים אטומיים יהיו מהצורה ) 𝑛𝑠 ‪ 𝑃(𝑠1 , … ,‬כאשר ‪ P‬סימן יחס ‪-n‬מקומי ו‪ 𝑠1 , … , 𝑠𝑛 -‬הם ש"ס‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫טענות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫מהגדרה זו נובע שאם ‪ t‬ש"ס אז 𝑡 = 𝑡 𝐼‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫אם > 𝐼 ‪ 𝑀 =< 𝐻 𝐿 ,‬מבנה הרברנד עבור ‪ P ,L‬סימן יחס ‪-n‬מקומי של ‪.𝐼 𝑃 = {< 𝑠1 , … , 𝑠𝑛 >∈ 𝐻 𝐿 𝑛 | 𝑝 𝑠1 , … , 𝑠𝑛 ∈ 𝐻𝐵 𝑀 } :L‬‬
‫‪.3‬‬
‫נניח ‪ M‬מבנה הרברנד עבור השפה ‪ ,L‬נתייחס לפסוקים האטומים של ‪ L‬כאילו הם של שפת תחשיב הפסוקים ‪ .‬נגדיר השמה במובן של תחשיב‬
‫𝑛𝑠 ‪𝑡, 𝑀 ⊨ 𝑝 𝑠1 , … ,‬‬
‫הפסוקים 𝑀𝑣 באופן הבא ‪:‬‬
‫‪𝑓,‬‬
‫𝑤‪𝑜/‬‬
‫=‬
‫𝑛𝑠 ‪ .𝑣𝑀 𝑝 𝑠1 , … ,‬נניח ש‪ 𝜑 -‬צירוף בוליאני של פסוקים אטומים של ‪( L‬כלומר פסוק‬
‫ללא כמתים)‪ .‬אז‪.𝑣𝑀 𝜑 = 𝑡 ⇔ 𝑀 ⊨ 𝜑 :‬‬
‫‪.4‬‬
‫נניח ‪ v‬השמה למבנה הרברנד ‪ M‬עבור השפה ‪ 𝑥 ,L‬משתנה‪ ,‬אז‪ .𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑 ⇔ 𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑{𝑣 𝑥 /𝑥} :‬נשים לב ‪ :‬במבנה רגיל ]𝑥[𝑣 אינו ש "ע של‬
‫השפה‪ ,‬ולא יכול להיכתב שם ‪ ,‬אך במבנה הרברנד זה נכון ‪.‬‬
‫מסקנה מיידית‪ :‬נניח } 𝑛𝑥 ‪ 𝐹𝑣 𝜑 = {𝑥1 , … ,‬ו‪ 𝑡𝑖 ( 𝑣 𝑥𝑖 = 𝑡𝑖 -‬ש"ס)‪ ,‬אז‪.𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑 ⇔ 𝑀 ⊨ 𝜑{𝑡1 /𝑥1 , … , 𝑡𝑛 /𝑥𝑛 } :‬‬
‫‪.5‬‬
‫נניח ‪ M‬מרחב הרברנד עבור השפה ‪:L‬‬
‫א‪ .‬אם 𝜑𝑥∀ פסוק אז לכל ש"ס ‪ t‬מתקיים‪.𝑀 ⊨ ∀𝑥𝜑 ⇔ 𝑀 ⊨ 𝜑{𝑡/𝑥} :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫אם 𝜑𝑥∃ פסוק אז קיים ‪ t‬ש"ס כלשהו המקיים‪.𝑀 ⊨ ∃𝑥𝜑 ⇔ 𝑀 ⊨ 𝜑{𝑡/𝑥} :‬‬
‫הערה‪ :‬להוכחת משפט השלמות של ‪ )├𝑣𝐹𝑂𝐿 ⇒ ├𝐻𝐹𝑂𝐿 ( HFOL‬באמצעות מרחבי הרברנד יש צורך שתורה ‪ T‬תקיים את תכונת הנק ין‪ ,‬והנחה ש‪-‬‬
‫𝜑⋃𝑇 פסוקים‪.‬‬
‫תכונת הנקין ‪:‬‬
‫לתורה ‪ T‬יש תכונת הנקין אם כאשר יש פסוק 𝜑𝑥∃ כך ש‪ ,𝑇├𝐻𝐹𝑂𝐿 ∃𝑥𝜑-‬אז יש ש"ס ‪ t‬כך ש‪.𝑇├𝐻𝐹𝑂𝐿 𝜑{𝑡/𝑥}-‬‬
‫מסקנות ממשפט השלמות ‪:‬‬
‫‪ .1‬משפט הקומפקטיות עבור 𝑳𝑶𝑭├‪:‬‬
‫נוסח א'‪ :‬אם 𝜑 𝐿𝑂𝐹├𝑇 כאשר }𝜑{⋃𝑇 פסוקים אז יש קבוצה חלקית סופית 𝑇 ⊆ 𝛤 כך ש‪.𝛤├𝐹𝑂𝐿 𝜑-‬‬
‫נוסח ב'‪ :‬תורה ‪ T‬של פסוקים היא ספיקה אמ "מ כל קבוצה חלקית סופית שלה 𝑇 ⊆ 𝛤 היא ספיקה‪.‬‬
‫יישום ‪:1‬‬
‫עבור שפת תורת המספרים 𝐴𝑃𝐿 מתקיים המשפט הבא ‪:‬‬
‫לא קיימת תורה ‪ T‬בשפה מסדר ראשון כמו 𝐴𝑃𝐿 ש‪ ℕ-‬הוא המודל היחיד שלה (עד כדי איזומורפיזם ; כלומר אין מערכת אקסיומות קטגורית מסדר‬
‫ראשון עבור ‪ .ℕ‬כאן ‪ ℕ‬מייצג את מודל המספרים הטבעיים )‪.‬‬
‫∗‬
‫ההוכחה מתבססת על הרעיון הבא ‪ :‬יוצרים מתורה ‪ T‬תורה חדשה 𝑇 מעל שפה חדשה שההבדל היחיד מ‪ 𝐿𝑃𝐴 -‬הוא שיש לה קבוע חדש ‪ .c‬נגדיר את‬
‫} … ‪ .𝑇 ∗ = 𝑇⋃{𝑐 ≠ 0, 𝑐 ≠ 𝑆0, 𝑐 ≠ 𝑆𝑆0‬מראים ל‪ 𝑇 ∗ -‬מודל ע "י משפט הקומפקטיות בכך שמראים שלכל ∗ 𝑇 ⊆ 𝛤 סופית יש מודל ‪ :‬כזה המתנהג‬
‫כמו מודל ל‪ 𝑇 ∗ -‬רק שהפירוש שנותן ל‪ c -‬הוא ‪ 𝐼 𝑐 = 𝑚𝑎𝑥 𝑘1 , … , 𝑘𝑙 + 1‬כאשר 𝑙𝑘 הוא המספר המקסימלי עבורו מכילה 𝛤 את ‪.𝑐 ≠ 𝑆 … 𝑆 0‬‬
‫𝑠𝑒𝑚𝑖𝑡 𝑙 𝑘‬
‫לפי משפט הקומפקטיות ‪ ,‬שוב‪ ,‬נובע ש‪ 𝑇 ∗ -‬ספיקה‪ ,‬והרי יש במודל שלה ]𝑐[𝐼 שהוא עצם חדש השונה מכל ‪ ,ℕ‬ולכן מודל זה לא איזומורפי ל‪ .ℕ -‬ברור‬
‫שמודל זה ל‪ 𝑇 ∗ -‬הוא גם מודל ל‪ ,T-‬ולכן ‪ ℕ‬אינו המודל היחיד שלה עד כדי איזומורפיזם ‪.‬‬
‫‪ .2‬משפט סקולם‪ -‬לוונהיים‪:‬‬
‫אם ל‪ T-‬יש מודל‪ ,‬אז יש לה מודל בן‪ -‬מניה‪.‬‬
‫‪ .3‬מסקנה שלישית‪:‬‬
‫הבעיה האם פסוק 𝜑 בשפה מסדר ראשון הוא אמת לוגית היא חצי כריעה ‪.‬‬
‫𝜑 𝐿𝑂𝐹├𝑇 אמ"מ }𝜑¬{⋃𝑇 אינה ספיקה‪ 𝑇, 𝜑 ,‬פסוקים‪.‬‬
‫בהינתן 𝛤 קבוצה סופית של פסוקים‪ ,‬נסתכל על הבעיה האם היא ספיקה ‪ :‬הבסיס יהיה כאשר 𝛤 לא מכילה כמתים ‪ ,‬ואז אנו ברמה של תחשיב‬
‫הפסוקים וספיקות במובן ‪ FOL‬שקולה לספיקות במובן תחשיב הפסוקים ‪ .‬הקשר בין ספיקות בשני המובנים ‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫אם ‪ M‬מבנה עבור השפה נגדיר את‬
‫𝐴 ⊨ 𝑀 ‪𝑡,‬‬
‫𝑀𝑣‪ ,‬השמה במובן תחשיב הפסוקים ‪ ,‬באופן הב א‪:‬‬
‫𝑤‪𝑓, 𝑜/‬‬
‫= )𝐴( 𝑀𝑣‪ ,‬כאשר ‪ A‬פסוק אטומי ‪𝑣𝑀 .‬‬
‫מוגדרת באופן טבעי לכל פסוק חסר כמתים ‪.‬‬
‫למה‪ :‬אם 𝜑 פסוק חסר כמתים אז 𝜑 ⊨ 𝑀 אמ"מ 𝑡 = 𝜑 𝑀𝑣 (𝜑 ⊨ 𝑀𝑣 במובן תחשיב הפסוקים )‪ .‬הוכחה באינדוקציה על מבנה 𝜑‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫אם ‪ v‬השמה מקבוצת הפסוקים האטומים של שפה מסדר ראשון‬
‫‪ L‬אל }𝑓 ‪ {𝑡,‬אז היא מגדירה מבנה הרברנד‬
‫‪ M‬כך ש‪ 𝑀 ⊨ 𝜑 -‬אמ"מ‬
‫𝑡 = 𝜑 𝑀𝑣 לכל פסוק חסר כמתים 𝜑‪ M .‬הוא מבנה הרברנד לשפה שבסיס הרברנד שלו הוא קבוצת הפסוקים האטומים ש‪ v -‬נותנת להם ‪.t‬‬
‫‪11‬‬
‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫פסוק אוניברסלי ‪:‬‬
‫פסוק מהצורה 𝜓‬
‫מטריצה‬
‫𝑛𝑥∀ … ‪ ∀𝑥1‬כאשר 𝜓 נוסחה ללא כמתים ‪.‬‬
‫רישא‬
‫משפט סקולם‪:‬‬
‫בהינתן פסוק 𝜑 יש אלגוריתם הבונה פסוק אוניברסלי ‪ 𝜑′‬כך ש‪ 𝜑-‬ספיק ⇔ ‪ 𝜑′‬ספיק‪.‬‬
‫אינסטנציה ‪:‬‬
‫נניח 𝜓 נוסחה ו‪ .𝐹𝑣 𝜓 ⊆ {𝑥1 , … , 𝑥𝑛 } -‬אינסטנציה סגורה של 𝜓 היא פסוק מהצורה } 𝑛𝑥‪ ,𝜓{𝑡1 /𝑥1 , … , 𝑡𝑛 /‬כלומר פסוק המתקבל מהצבת ש "ס‬
‫במקום המשתנים החופשיים של 𝜓‪.‬‬
‫משפט הרברנד‪:‬‬
‫תורה ‪( T‬יכולה להיות סופית ) המורכבת מפסוקים אוניברסליים היא ספיקה במובן ‪ FOL‬אמ"מ קבוצת האינסטנציות הסגורות של מטריצות אברי ‪T‬‬
‫היא ספיקה במובן של תחשיב הפסוקים ‪.‬‬
‫שלבים בבדיקה האם 𝜑 𝐿𝑂𝐹├𝛤‪:‬‬
‫בודקים האם }𝜑{⋃𝛤 ספיקה‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫מעבירים כל פסוק ב‪ 𝛤⋃{𝜑} -‬לצורה פרנקסית נורמלית ‪.∀/∃𝑥1 … ∀/∃𝑥𝑛 𝜓 :‬‬
‫‪.2‬‬
‫עושים סקולומיזציה על הפסוקים שהתקבלו בשלב ‪ ,2‬וכך הופכים כל פסוק לפסוק אוניברסלי ‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫כעת ניתן להסתכל על קבוצת האינסטנציות הסגורות של מטריצות הפסוקים‬
‫האוניברסליים‪ ,‬ואם נמצא סתירה מיידית נוכל לקבוע ש‪-‬‬
‫}𝜑{⋃𝛤 אינה ספיקה‪ ,‬ולפיכך 𝜑 𝐿𝑂𝐹├𝛤‪.‬‬
‫תהליך סקולומיזציה להפיכת פסוק לאוניברסלי ‪:‬‬
‫תחילה עוברים לצורת ‪:PNF‬‬
‫‪‬‬
‫מחליפים שמות משתנים קשורים כך שיהיו ייחודיים לפסוק ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מוציאים כמתים החוצה בעזרת שקילויות (מצורף בסוף )‪.‬‬
‫לאחר מכן מבצעים את האלג ' הבא (משפט סקולם)‪:‬‬
‫‪‬‬
‫) … ‪ ,∀𝑥1 … ∀𝑥𝑛 ∃𝑦∀ … 𝜑 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝑦, … → ∀𝑥1 … ∀𝑥𝑛 ∀ … 𝜑(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 /𝑦,‬כאשר ‪ f‬סימן פונ' חדש‪.‬‬
‫‪‬‬
‫}𝑦 ‪ ,∃𝑦𝜑 𝑦 → 𝜑{𝑐/‬כאשר ‪ c‬קבוע חדש בשפה‪.‬‬
‫משפט החלפת אקוויוולנטים ‪:‬‬
‫‪ ,𝐴 ↔ 𝐴′ ├𝑣𝐹𝑂𝐿 𝜑 ↔ 𝜑′‬כאשר ‪ 𝜑′‬מתקבלת מ‪ 𝜑 -‬ע"י החלפת מופעים של 𝐴 ב‪ .𝐴′-‬הוכחה באינדוקציה על מבנה 𝜑‪.‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫אם ‪↔ 𝐴′‬‬
‫𝐴 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇‬
‫אז ‪↔ 𝜑′‬‬
‫𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇‪,‬‬
‫כאשר ‪ 𝜑′‬מוגדרת כמו קודם ‪.‬‬
‫אזהרה‪ :‬אין זה נכון תמיד לגבי ‪-t‬נביעה‪ .‬למשל‪𝑥 = 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑐) :‬‬
‫𝑥∀ 𝐿𝑂𝐹𝑡├‬
‫𝑐 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑥 ‪ -‬למשל עבור מבנה עם יותר מאיבר אחד ‪,‬‬
‫כאשר 𝑐 = 𝑥 𝐼‪.‬‬
‫הערות על שקילויות ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫)𝑥(𝑞𝑥∃⋀ 𝑥 𝑝𝑥∃ לא שקול ל‪ .∃𝑥𝑝 𝑥 ⋀𝑞(𝑥)-‬אלא‪.∃𝑥𝑝 𝑥 ⋀ ∃𝑥𝑞 𝑥 ≡ ∃𝑥∃𝑦(𝑝 𝑥 ⋀𝑞 𝑦 ) :‬‬
‫‪‬‬
‫לשים לב‪:‬‬
‫‪o‬‬
‫)𝐵 → 𝐴(𝑥∃ ≡ )𝐵𝑥∃( → 𝐴‬
‫‪o‬‬
‫)𝐵 → 𝐴(𝑥∀ ≡ 𝐵 → )𝐴𝑥∃(‬
‫משפט‪:‬‬
‫התורה }𝜑𝑦∃ 𝑛𝑥∀ … ‪ 𝑇⋃{∀𝑥1‬ספיקה אמ "מ התורה הבאה ספיקה ‪ ,𝑇⋃{∀𝑥1 … ∀𝑥𝑛 𝜑 𝑓 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 /𝑦 } :‬כאשר ‪ f‬סימן פונקציה חדש בשפה ‪.‬‬
‫כאשר ‪ 𝑛 = 0‬אז ) …(𝑓 הוא קבוע חדש בשפה ‪ f .‬היא פונקצית סקולם ‪.‬‬
‫כך ניתן לעבור מתורה (סופית) ‪ T‬לתורת פסוקים אוניברסליים ‪ .𝑇′‬לשים לב‪:‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪‬‬
‫'‪ T‬מעל השפה ‪ L‬בתוספת סימני הפונקצי ות וקבועים חדשים מתהליכי הסקולומיזציה ‪ ,‬ומבנה לשפה זו > 𝐼 ‪.𝑀 =< 𝐷,‬‬
‫‪‬‬
‫‪ T‬מעל השפה ‪ ,L‬ומבנה לשפה זה יהיה > 𝐼 ‪ ,𝑀 =< 𝐷,‬כאשר ‪ I‬הוא צמצום ‪ 𝐼′‬לסיגנטורה של ‪.L‬‬
‫‪′‬‬
‫אם 𝜑 נוסחה בשפה ‪ L‬ו‪ v-‬השמה ב‪ D-‬אז‪ 𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑 :‬אמ"מ 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪.𝑀 ,‬‬
‫התורה )𝑇(𝑘𝑆‪:‬‬
‫התורה )𝑇(𝑘𝑆 של תורה ‪ T‬סופית היא תורת הפסוקים האוניברסליים שהתקבלו מסקולומיזציה של פסוקי ‪.T‬‬
‫‪12‬‬
‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫הערה חשובה‪ :‬התורה )𝑇(𝑘𝑆 והתורה ‪ T‬אינן שקולות‪ ,‬לרוב אינן מעל אותה שפה בכלל (בתורה )𝑇(𝑘𝑆 יתכנו סימנים חדשים בשפה )‪.‬‬
‫הקשר שמתקיים‪ 𝑆𝑘(𝑇) :‬ספיקה אמ"מ ‪ T‬ספיקה‪.‬‬
‫כמו כן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫)𝑇(𝑘𝑆 היא הרחבה משמרת של ‪ ,T‬כלומר אם 𝜑 פסוק בשפה המקורית ‪ ,‬אז 𝜑├)𝑇(𝑘𝑆 ⇔ 𝜑├𝑇‪ .‬אבל‪ ,‬יש נוסחאות יכיחות ב‪𝑆𝑘(𝑇) -‬‬
‫שאינן יכיחות ב‪.T -‬‬
‫‪‬‬
‫כל מודל ‪ M‬של ‪ T‬ניתן להרחבה ע "י מתן פירוש לסימנים החדשים בשפה של )𝑇(𝑘𝑆 למודל 𝑘𝑆𝑀 של )𝑇(𝑘𝑆‪.‬‬
‫לוגיקות מסדר ראשון עם שוויון ‪:‬‬
‫" = " שפירושו יחס הזה ות‪ .‬את סימון השוויון במטה שפה נחליף כעת לסימן‬
‫שפות מסדר ראשון בהן יש יחס דו מקומי‬
‫" ≅ "‪ .‬נסמן לוגיקה זו‬
‫=𝐿𝑂𝐹‪ ,‬ומבנה עבור שפה עם שוויון הוא > 𝐼 ‪ 𝑀 =< 𝐷,‬כאשר }𝐷 ∈ 𝑥| > 𝑥 ‪ .𝐼 = ≅ {< 𝑥,‬זהו מבנה נורמלי לשפה עם שוויון‪.‬‬
‫‪-t‬מודל‪ :‬של נוסחה 𝜑 בשפה ‪ L‬עם שוויון הוא הזוג > 𝑣 ‪ < 𝑀,‬בו ‪ M‬מבנה נורמלי ו‪.𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑 -‬‬
‫‪-v‬מודל‪ :‬של נוסחה 𝜑 בשפה ‪ L‬עם שוויון הוא מבנה נורמלי ‪ M‬כך ש‪.𝑀 ⊨ 𝜑-‬‬
‫הגדרות ברורות ל‪ ├𝑣𝐹𝑂𝐿= -‬ול‪.├𝑡𝐹𝑂𝐿= -‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫נניח > 𝐼 ‪ 𝑀 =< 𝐷,‬מודל של אקסיומת השוויון )𝐿(𝑞𝐸 (‪ M‬הוא מבנה עבור השפה ‪ L‬עם סימן ה‪ ,)"=" -‬אז קיים מבנה נורמלי > 𝐼 ‪𝑀 =< 𝐷 ,‬‬
‫על‬
‫ופונקציה ‪ 𝐹: 𝐷 → 𝐷′‬כך שלכל השמה ‪ v‬ב‪ D-‬ולכל נוסחה 𝜑 של ‪ .𝑀′ , 𝐹 ∘ 𝑣 ⊨ 𝜑 ⇔ 𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑 :L‬בפרט‪ ,‬אם 𝜑 פסוק‪.𝑀 ′ ⊨ 𝜑 ⇔ 𝑀 ⊨ 𝜑 :‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫𝜑 =𝐿𝑂𝐹𝑡├𝑇‬
‫‪.2‬‬
‫𝜑 =𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇 אמ"מ 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇⋃ 𝐿 𝑞𝐸‪.‬‬
‫אמ"מ‬
‫𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑡├𝑇⋃‬
‫𝐿 𝑞𝐸‪.‬‬
‫מסקנות נוספות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫𝜑 =𝐿𝑂𝐹├ אמ"מ 𝜑 𝐿𝑂𝐹├ 𝐿 𝑞𝐸 (כאשר ‪ L‬השפה המינימלית של 𝜑‪ ,‬שהיא סופית )‪ .‬כיוון שהראינו שהבעיה השמאלית חצי כריעה ‪ ,‬אז גם הבעיה‬
‫𝜑 =𝐿𝑂𝐹├ חצי כריעה‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫משפט הקומפקטיות ‪ :‬נכון ל‪ 𝑇├𝐹𝑂𝐿= 𝜑 :𝐹𝑂𝐿= -‬אמ"מ קיימת 𝑇 ⊆ 𝛤 סופית כך ש‪.𝛤├𝐹𝑂𝐿= 𝜑 -‬‬
‫טענה שקולה לפי הרדוקציה ‪ 𝑇⋃𝐸𝑞 𝐿 ├𝐹𝑂𝐿 𝜑 :‬אמ"מ קיימת 𝑇 ⊆ 𝛤 סופית כך ש‪ ,𝛤⋃𝐸𝑞 𝐿 ├𝐹𝑂𝐿 𝜑 -‬וזה לפי משפט' הקומפקטיות הרגיל ‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫משפט סקולם‪ -‬לוונהיים‪ :‬נכון גם עבור =𝐿𝑂𝐹‪ :‬אם ל‪ T-‬מודל נורמלי‪ ,‬אז יש לה מודל נורמלי בן מניה ‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫משפט הרברנד ‪ :‬נניח רוצים לבדוק האם 𝜑 =𝐿𝑂𝐹├𝑇 ספיקה‪ ,‬ונניח ‪ T‬סופית (}𝜑{⋃𝑇 פסוקים בלבד )‪ .‬זה מתקיים אמ "מ 𝜑 𝐿𝑂𝐹├ 𝐿 𝑞𝐸⋃𝑇‬
‫כאשר )𝐿(𝑞𝐸 סופית (כי ‪ T‬סופית)‪ .‬כעת בודקים בתהליך הרגיל של מעבר לצורת ‪ PNF‬ולאחר מכן סקולומיזציה ‪ ,‬כאשר )𝐿(𝑞𝐸 לאורך תהליך‬
‫זה נשארת אותו דבר כיוון שהיא כבר בצורה אוניברסלית‬
‫‪ .‬אין צורך להוסיף בסוף התהליך ל‪-‬‬
‫) ‪ 𝐿′( 𝐸𝑞(𝐿′‬השפה החדשה שהתקבלה‬
‫מסקולומיזציה ) התייחסות לסימנים החדשים ‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫מערכת =𝑳𝑶𝑭𝑯‪ :‬מתקבלת כאשר מוסיפים ל‪ HFOL -‬של שפה מסדר ראשון ‪ L‬את קבוצת האקסיומות )𝐿(𝑞𝐸‪ .‬מתקיים משפט השלמות ‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫מערכת =𝑳𝑶𝑭𝑫𝑵‪ :‬מתקבלת כאשר מוסיפים ל‪ NDFOL -‬את 𝑡 = 𝑡 ⇒ 𝛤 בתור אקסיומה לכל ש "ע 𝑡‪ ,‬וכן את הכלל הבא ‪:‬‬
‫כלל הפרמודולציה‪:‬‬
‫𝑥‪𝛤⇒𝑡=𝑠 𝛤⇒𝜑 𝑡/‬‬
‫𝑥‪𝛤⇒𝜑 𝑠/‬‬
‫‪ ,‬כאשר ‪ s,t‬חופשיים להצבה במקום 𝑥 ב‪.𝜑-‬‬
‫הרחבה ע"י הגדרות בשפות מסדר ראשון ‪:‬‬
‫הכנסת סימני יחס ‪:‬‬
‫עבור 𝜑 נוסחה בשפה ‪ T ,L‬תורה ב‪ L -‬ו‪ 𝐹𝑣 𝜑 = {𝑥1 , … , 𝑥𝑛 }-‬מגדירים שפה חדשה ‪ 𝐿′‬המתקבלת מ‪ L -‬ע"י שמוסיפים לה סימן יחס חדש 𝜑𝑃 ומ‪T-‬‬
‫יוצרים את }𝜑 ↔ 𝑛𝑥 ‪ .𝑇 ′ = 𝑇⋃{∀𝑥1 … ∀𝑥𝑛 𝑃𝜑 𝑥1 , … ,‬מתקיים‪ :‬אם ‪ A‬נוסחה ב‪ L-‬אז 𝐴 ⊨ ‪ ,𝑇 ⊨ 𝐴 ⇔ 𝑇 ′‬כלומר '‪ T‬הרחבה משמרת של ‪.T‬‬
‫הכנסת סימני פונקציה ‪:‬‬
‫נניח כמו קודם רק ש‪ L -‬שפה עם שוויון ‪ ,‬ונניח 𝜑𝑦 !∃ 𝑛𝑥∀ … ‪( 𝑇├∀𝑥1‬שקול ל‪ .)∀𝑥1 … ∀𝑥𝑛 ∃𝑦∀𝑧(𝜑 𝑧/𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑦 ) -‬אפשר להוסיף סימן‬
‫פונקציה חדש 𝜑𝑓 ולקבל מ‪ T-‬תורה‬
‫𝑦‪ .𝑇 ′ = 𝑇⋃ ∀𝑥1 … ∀𝑥𝑛 𝜑 𝑓 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 /‬גם כאן '‪ T‬הרחבה משמרת של ‪.T‬‬
‫כאשר עובדים בשפה רב סוגית‪:‬‬
‫למשל אלגברה לינארית בה יש סקאלרים ווקטורים ‪ ,‬מתרגמים את כל הסימנים לשפה חד סוגית שמכילה את כל סימני השפה הדו‪ -‬סוגית‪ ,‬ובנוסף‬
‫יש בה סימני יחס חד מקומיים 𝑣 ‪.𝑠,‬‬
‫תהי 𝑟𝑇 פונ' תרגום‪ .‬התרגום‪:‬‬
‫‪‬‬
‫לכל שני משתנים שונים של השפה הדו סוגית יותאם תרגום ‪.𝑇𝑟[𝑥 𝑠 ], 𝑇𝑟[𝑥 𝑣 ] :‬‬
‫‪13‬‬
‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬
‫‪‬‬
‫לכל קבוע ‪.𝑇𝑟[𝑐] = 𝑐 :c‬‬
‫‪‬‬
‫לפונקציות‪= 𝑓(𝑇𝑟 𝑡1 , … , 𝑇𝑟 𝑡𝑛 ) :‬‬
‫‪‬‬
‫סימני יחס‪:‬‬
‫𝑛𝑡 ‪𝑇𝑟 𝑓 𝑡1 , … ,‬‬
‫‪‬‬
‫) 𝑛𝑡 𝑟𝑇 ‪= 𝑃(𝑇𝑟 𝑡1 , … ,‬‬
‫‪‬‬
‫]𝐵[𝑟𝑇⋀ 𝐴 𝑟𝑇 = 𝐵⋀𝐴 𝑟𝑇‪ ,‬באופן דומה לשאר הקשרים ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫) 𝜑 𝑟𝑇 → 𝑥 𝑠(𝑥∀ = 𝜑 𝑠 𝑥∀ 𝑟𝑇‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫𝑛𝑡 ‪.𝑇𝑟 𝑃 𝑡1 , … ,‬‬
‫𝑣‬
‫) 𝜑 𝑟𝑇⋀ 𝑦 𝑣(𝑦∃ = 𝜑 𝑦∃ 𝑟𝑇‬
‫משפט‪:‬‬
‫𝜑├𝑇 בלוגיקה הרב סוגית אמ "מ ]𝜑[𝑟𝑇├]𝑇[𝑟𝑇⋃ ‪ , 𝑆𝑖𝑔𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒 𝐴𝑥.‬כאשר אקס' הסיגנטורה לדוגמא ‪.∀𝑥∀𝑦(𝑠 𝑥 ⋀𝑠 𝑦 → 𝑠 𝑥+𝑠 𝑦 ) :‬‬