‫‪1‬‬ ‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬ ‫אריאל סטולרמן‬ ‫סיכומים לקורס לוגיקה למדמ"ח‬ ‫סמסטר ב' תשס"ט (פרופ' ארנון אברון)‬ ‫רכיבי מערכות לוגיות‪:‬‬ ‫‪ .1‬שפה פורמלית‪ :‬מייצרת מחרוזות סימנים ‪ ,‬תחביר מדויק ‪ .‬מרכיבי השפה ‪:‬‬ ‫א‪ .‬א"ב‪ :‬בד"כ סופי ולכל היותר בן מניה ‪ .‬יסומן באות ‪.L‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫קטגוריות סינטקטיות ‪ :‬אחת מהן היא הקטגוריה של הנוסחאות בשפה ‪ ,‬תסומן 𝑜 (אומיקרון)‪ .‬קטגוריות נוספות ‪ :‬ש"ע‪ ,‬קשרים‪ ,‬כמתים‬ ‫וכד'‪ .‬לכל קטגוריה מתאימה קבוצה חלקית של ‪ ,L‬שתכיל את המחרוזות השייכות לקטגוריה זו ‪.‬‬ ‫‪ .2‬יחס נביעה (‪ :)consequence relation‬יסומן ├; יחס בין קבוצות של נוסחאות לנוסחאות המקיים‪:‬‬ ‫א‪" .‬רפלקסיביות"‪ :‬בהינתן קבוצת הנחות ‪ ,T‬מתקיים לכל 𝑇 ∈ 𝐴‪.𝑇├𝐴 :‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מונוטוניות ‪ :‬אם 𝑆 ⊆ 𝑇 ו‪ 𝑇├𝐴-‬אז 𝐴├𝑆‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫"טרנזיטיביות"‪ :‬אם 𝐴├𝑇 ו‪ 𝑇⋃{𝐴}├𝐵-‬אז 𝐵├𝑇‪.‬‬ ‫הקישור בין הלוגיקה הפורמלית ובין שימושים בה נעשה ע "י תהליך ה הצרנה‪.‬‬ ‫חלק ראשון‪ :‬תחשיב הפסוקים הקלאסי ‪:CPL -‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫השפה (𝑐𝑝𝔏)‪:‬‬ ‫א"ב‪:‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪‬‬ ‫רשימה בת מניה של פסוקים אטומים ‪ /‬משתנים אטומים ‪.𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 , …:‬‬ ‫‪‬‬ ‫קשרים‪.→, ⋀, ⋁, ¬ :‬‬ ‫‪‬‬ ‫"("‪ – ")" ,‬סוגריים‪.‬‬ ‫נוסחאות‪ :‬נקראות בתחשיב זה גם פסוקים ‪ ,‬קטגוריה סינטקטית יחידה ‪ .‬הגדרה רקורסיבית ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫כל פסוק אטומי הוא נוסחה (פסוק)‪ .‬יסומנו ע"י המשתנים 𝑟 ‪ - 𝑝, 𝑞,‬משתנים ב‪-‬מטה‪-‬שפה עבור משתני השפה … ‪.𝑝1 , 𝑝2 ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם 𝜓 ‪ 𝜑,‬נוסחאות אז גם 𝜓 → 𝜑 ‪ ¬𝜑, 𝜑⋀𝜓, 𝜑⋁𝜓,‬נוסחאות‪ .‬יסומנו ע"י המשתנים 𝜓 ‪ 𝜑,‬או 𝐶 ‪ - 𝐴, 𝐵,‬משתנים ב‪-‬מטה‪-‬שפה‪.‬‬ ‫קדימויות‪ ,¬ :‬לאחריו ⋁ ‪ ,⋀,‬לאחריהם →‪ .‬כמו כן 𝐶 → 𝐵 → 𝐴 הוא קיצור ל‪.𝐴 → (𝐵 → 𝐶) -‬‬ ‫סוגי אינדוקציות‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫אינדוקציה על אורך הנוסחה ‪ .‬שלב המעבר ‪ :‬מסתכלים על נוסחה באורך ‪ 𝑛 + 1‬המכילה נוסחאות עליהן חלה הנחת האינדוקציה שאורכן ≥ 𝑛‪.‬‬ ‫משתמשים באינדוקציה זו כאשר נתון משהו יכיח ‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫אינדוקציה מבנית – על מבנה הנוסחה ‪ .‬בסיס על פסוקים אטומים ‪ ,‬מעבר ע "י הנחה על נוסחאות 𝜓 ‪ 𝜑,‬והוכחה ל‪.)∗∈ {⋀, ⋁, →}( ¬𝜑, 𝜑 ∗ 𝜓 -‬‬ ‫יש לציין (למרות שטרוויאלי ) ש‪ 𝜑-‬קצרה מ‪ ¬𝜑-‬וש‪ 𝜑, 𝜓-‬קצרות מ‪.𝜑 ∗ 𝜓-‬‬ ‫לכל נוסחה יש סדרת בניה ‪ ,‬החל מפסוקים אטומים ‪ .‬כל אינדוקציה מבנית ניתנת למעבר לאינדוקציה רגילה‪ ,‬כאשר ‪ n‬הוא אורך סדרת הבני ה‪ .‬למשל‬ ‫הנוסחה ) ‪ ¬𝑝1 → (𝑝2 ⋁𝑝3‬מורכבת מסדרת הבניה ‪( 𝑝1 , ¬𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 , 𝑝2 ⋁𝑝3 , ¬𝑝1 → (𝑝2 ⋁𝑝3 ) :‬שאורכה כאן ‪ .)6‬ניתן להתייחס גם לעץ בניה ‪,‬‬ ‫ולהתייחס ל‪ n-‬כגובה העץ למשל‪.‬‬ ‫הגדרת יחס הנביעה של תחשיב הפסוקים הקלאסי בצורה סמנטית ‪:├𝑪𝑷𝑳 -‬‬ ‫הגדרה סמנטית ליחס הנביעה מתבססת על‬ ‫מודל‪ .‬מודל הוא מבנה ‪ M‬כלשהו שהוא אוסף של דברים כלשהם‬ ‫(יוגדר בהמשך )‪ .‬יחס ה סיפוק ⊨‬ ‫מתקיים בין נוסחאות למבנים ‪ .‬נאמר ש‪ 𝑀 ⊨ 𝜑 -‬אם ‪ M‬הוא מודל של 𝜑‪ ,‬כלומר ‪ M‬מספק את 𝜑‪ .‬מודל של קבוצת פסוקים ‪ T‬מוגדר כמבנה שהוא‬ ‫מודל של כל 𝑇 ∈ 𝜑‪.𝑀 ⊨ 𝑇 ⇔ ∀𝜑 ∈ 𝑇. 𝑀 ⊨ 𝜑 :‬‬ ‫יחס הנביעה ├‪ :‬נאמר כי 𝜑├𝑇 אם כל מודל של ‪ T‬הוא גם מודל של 𝜑‪.∀𝑀. 𝑀 ⊨ 𝑇 ⇒ 𝑀 ⊨ 𝜑 :‬‬ ‫בתחשיב הפסוקים הקלאסי ‪ ,‬המבנים הם פשוט פונקציות מקבוצת הפסוקים האטומים אל הקבוצה }𝑓 ‪ .{𝑡,‬פונקציות אלו נראות השמות‪ ,‬נסמנן ‪.v‬‬ ‫היחס 𝐿𝑃𝐶⊨‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫לפסוקים אטומים ‪.𝑣 ⊨𝐶𝑃𝐿 𝑝 ⇔ 𝑣(𝑝) = 𝑡 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝐵 → 𝐴 ⊨ 𝑣 אמ"מ 𝑣 לא מספק את ‪ A‬או 𝐵 ⊨ 𝑣‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝐵⋁𝐴 ⊨ 𝑣 אמ"מ 𝐴 ⊨ 𝑣 או 𝐵 ⊨ 𝑣‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝐴¬ ⊨ 𝑣 אמ"מ 𝑣 לא מספק את ‪.A‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝐵⋀𝐴 ⊨ 𝑣 אמ"מ 𝐴 ⊨ 𝑣 וגם 𝐵 ⊨ 𝑣‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬ ‫אריאל סטולרמן‬ ‫דרך נוספת להגדיר זאת היא ע "י הגדרת פונקציות }𝑓 ‪→ {𝑡, 𝑓} ,𝑔¬ : 𝑡, 𝑓 → {𝑡,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑓 ‪ 𝑔→ , 𝑔⋁ , 𝑔⋀ : 𝑡,‬המתארות טבלאות אמת של הקשרים‬ ‫השונים‪ ,‬ואז נאמר למשל ‪ 𝑣 .𝑣(¬𝐴) = 𝑔¬ (𝑣(𝐴)) :‬היא מודל של 𝜑 אמ"מ 𝑡 = 𝜑 𝑣‪.‬‬ ‫היחס 𝐿𝑃𝐶├‪:‬‬ ‫𝜑 𝐿𝑃𝐶├𝑇 אם כל מודל של ‪ T‬הוא גם מודל של 𝜑‪ ,‬כלומר אם כל השמה הנותנת ערך אמת ‪ t‬לכל הפסוקים של ‪ ,T‬נותנת ערך אמת ‪ t‬גם ל‪.𝜑-‬‬ ‫דרך ישירה לבדוק קיום יחס זה הוא לבדוק את טבלאות האמת של ‪ T‬ושל 𝜑‪ ,‬ולבדוק האם אכן לכל שורה בטבלת האמת ‪ ,‬המגדירה השמה ‪ ,‬אם כל‬ ‫פסוקי ‪ T‬מקבלים ‪ t‬גם 𝜑 מקבלת ‪ .t‬מספיקה שורה אחת שלא תקיים זאת כדי להכריע שהיחס לא מתקיים ‪.‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫𝐴 𝐿𝑃𝐶├𝑇 ⇔ 𝐴¬ ⋃𝑇 אינה ספיקה ‪.‬‬ ‫ביסוס השימוש בטבלאות אמת ‪:‬‬ ‫יצויין כי מספיק לבדוק טבלת אמת מעל הפסוקים האטומים המופיעים ב‪ ,𝑇⋃{𝜑} -‬ולא כל ‪ ℵ0‬הפסוקים האטומים (הנותנים ‪ ℵ‬השמות)‪ .‬כלומר‪:‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫אם ‪ 𝑣, 𝑣′‬השמות כך שלכל פסוק אטומי ‪ p‬המופיע בנוסחה 𝜑 מתקיים )𝑝(‪ ,𝑣 𝑝 = 𝑣′‬אז )𝜑( ‪ .𝑣 𝜑 = 𝑣 ′‬הוכחה ניתנה באינדוקציה מבנית ‪.‬‬ ‫קבוצת הנוסחאות האטומיות ‪:‬‬ ‫קבוצת הנוסחאות האטומיות (פסוקים אטומים ) בנוסחה 𝜑‪ ,‬תסומן )𝜑(𝑡𝐴‪ ,‬מוגדרת‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫עבור ‪ p‬פסוק אטומי ‪. 𝐴𝑡 𝑝 = {𝑝}:‬‬ ‫‪‬‬ ‫)𝜑(𝑡𝐴 = 𝜑¬ 𝑡𝐴‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫)𝜓(𝑡𝐴⋃ 𝜑 𝑡𝐴 = 𝜓 ∗ 𝜑 𝑡𝐴 כאשר }⋁ ‪.∗∈ {→, ⋀,‬‬ ‫קבוצת תת הנוסחאות ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫עבור ‪ p‬פסוק אטומי‪. 𝑆𝑓 𝑝 = {𝑝}:‬‬ ‫‪‬‬ ‫}𝜑¬{⋃ 𝜑 𝑓𝑆 = 𝜑¬ 𝑓𝑆‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫}𝜓 ∗ 𝜑{⋃)𝜓(𝑓𝑆⋃ 𝜑 𝑓𝑆 = 𝜓 ∗ 𝜑 𝑓𝑆‪.‬‬ ‫כריעות בעיות עם תורה סופית ‪:‬‬ ‫עבור תורה ‪ T‬סופית‪ ,‬קיים אלג' המכריע האם ‪ T‬ספיקה (האם קיימת השמה ‪ v‬כך ש‪ )𝑣 ⊨ 𝑇-‬והאם 𝜑 𝐿𝑃𝐶├𝑇‪ .‬רדוקציה מהבעיה הראשונה לשניה ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫ידוע שמתקיים 𝜑 𝐿𝑃𝐶├𝑇 אמ"מ }𝜑¬{⋃𝑇 אינה ספיק ה‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝜑 𝐿𝑃𝐶├ 𝑛𝜓 ‪ 𝜓1 , … ,‬אמ"מ 𝜑 → 𝑛𝜓⋀ … ⋀ ‪ 𝜓1‬הוא טאוטולוגיה (כלומר מסופק ע "י כל השמה)‪.‬‬ ‫משפט הדדוקציה ב‪:CPL -‬‬ ‫𝐵 𝐿𝑃𝐶├ 𝐴 ⋃𝑇 ⇔ 𝐵 → 𝐴 𝐿𝑃𝐶├𝑇‪.‬‬ ‫משפט הקומפקטיות ב‪:CPL -‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪ T‬ספיקה אמ"מ כל 𝑇 ⊆ 𝛤 סופית ספיקה ‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫𝜑 𝐿𝑃𝐶├𝑇 אמ"מ קיימת 𝑇 ⊆ 𝛤 סופית כך ש‪.𝛤├𝐶𝑃𝐿 𝜑 -‬‬ ‫הגדרת יחס הנביעה של תחשיב הפסוקים הקלאסי בצורה סינטקטית – ‪( HPC‬מע' נוסח הילברט לתחשיב הפסוקים )‪:‬‬ ‫יש לשים לב שאלו תבניות לאקסיומות ‪ .‬כדי לייצר אקסיומה יש להציב‬ ‫אקסיומות‪:‬‬ ‫פסוקים כלשהם במקום 𝐶 ‪ 𝐴, 𝐵,‬בתבניות א לו‪ ,‬ולקבל אינסטנציה‪.‬‬ ‫הוכחה של פסוק 𝜑 מתוך תורה ‪ T‬ב‪:HPC-‬‬ ‫סדרה סופית של פסוקים כך ש ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫הפסוק האחרון בסדרה הוא 𝜑‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫כל איבר בסדרה הוא אקסיומה של‬ ‫‪ ,HPC‬איבר של ‪ T‬או‬ ‫מתקבל ע"י שני פסוקים קודמים כלשהם ע "י כלל ‪.MP‬‬ ‫יחס הנביעה 𝐶𝑃𝐻├‪:‬‬ ‫כלל היסק‪:‬‬ ‫נאמר כי 𝜑 𝐶𝑃𝐻├𝑇 אם ל‪ 𝜑-‬הוכחה מ‪ T-‬ב‪.HPC-‬‬ ‫משפט הקומפקטיות ב‪:HPC-‬‬ ‫𝜑 𝐶𝑃𝐻├𝑇 אמ"מ קיימת 𝑇 ⊆ 𝛤 סופית כך ש‪ .𝛤├𝐻𝑃𝐶 𝜑 -‬ההוכחה טרוויאלית ‪.‬‬ ‫)𝐴 → 𝐵( → 𝐴 ‪𝐼1 .‬‬ ‫))𝐶 → 𝐴( → )𝐵 → 𝐴(( → ))𝐶 → 𝐵( → 𝐴( ‪𝐼2.‬‬ ‫)𝐴¬ → )𝐵¬ → 𝐴(( → )𝐵 → 𝐴( ‪𝑁1.‬‬ ‫𝐴 → 𝐴¬¬ ‪𝑁2.‬‬ ‫𝐴 → )𝐵⋀𝐴( ‪𝐶1.‬‬ ‫𝐵 → )𝐵⋀𝐴( ‪𝐶2.‬‬ ‫))𝐵⋀𝐴( → 𝐵( → 𝐴 ‪𝐶3.‬‬ ‫)𝐵⋁𝐴( → 𝐴 ‪𝐷1.‬‬ ‫)𝐵⋁𝐴( → 𝐵 ‪𝐷2.‬‬ ‫))𝐶 → )𝐵⋁𝐴(( → )𝐶 → 𝐵(( → )𝐶 → 𝐴( ‪𝐷3.‬‬ ‫𝐵→𝐴 𝐴‬ ‫𝐵‬ ‫‪𝑀𝑃.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬ ‫אריאל סטולרמן‬ ‫משפט הנאותות והשלמו ת של ‪├𝐻𝑃𝐶 = ├𝐶𝑃𝐿 :HPC‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫נאותות‪ .𝑇├𝐻𝑃𝐶 𝜑 ⇒ 𝑇├𝐶𝑃𝐿 𝜑 :‬כלומר‪ :‬אם 𝜑 יכיחה מ‪ T-‬ב‪ ,HPC-‬אז כל השמה של ‪ T‬היא גם השמה של 𝜑‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫שלמות‪ .𝑇├𝐶𝑃𝐿 𝜑 ⇒ 𝑇├𝐻𝑃𝐶 𝜑 :‬כלומר‪ :‬אם כל השמה של ‪ T‬היא גם השמה של 𝜑‪ ,‬אז 𝜑 יכיחה מ‪ T-‬ב‪.HPC-‬‬ ‫הגדרת הצבה‪:‬‬ ‫תהי 𝜑 נוסחה כלשהי‪ p ,‬פסוק אטומי ו‪ A -‬נוסחה‪ .‬אז‪:‬‬ ‫‪𝐴,‬‬ ‫𝑝=𝜑‬ ‫‪𝜑,‬‬ ‫𝑝 ≠ 𝑞 ‪𝜑 = 𝑞,‬‬ ‫= 𝑝‪𝜑 𝐴/‬‬ ‫‪¬𝜓 𝐴/𝑝 ,‬‬ ‫𝜓¬ = 𝜑‬ ‫⋁ ‪𝜓1 𝐴/𝑝 ∗ 𝜓2 𝐴/𝑝 , 𝜑 = 𝜓1 ∗ 𝜓2 ,∗∈ →, ⋀,‬‬ ‫באותו אופן תוגדר הצבה סימולטנית } 𝑛𝑝‪.𝜑{𝐴1 /𝑝1 , … , 𝐴𝑛 /‬‬ ‫משפט ההצבה ‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫עבור נוסחאות ‪:‬‬ ‫תהי 𝜑 נוסחה‪ 𝑞1 , … , 𝑞𝑛 ,‬פסוקים אטומים שונים זה מזה‪ 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 ,‬נוסחאות (לא בהכרח שונות )‪ ,‬תהי ‪ 𝑣′‬ההשמה המוגדרת באופן הבא ‪:‬‬ ‫𝑖𝑞 = 𝑝 ‪𝑣 𝐴𝑖 ,‬‬ ‫𝑤‪𝑣 𝑝 , 𝑜/‬‬ ‫= 𝑝 ‪𝑣′‬‬ ‫מתקיים‪.𝑣 ′ 𝜑 = 𝑣(𝜑 𝐴1 /𝑞1 , … , 𝐴𝑛 /𝑞𝑛 ) :‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫עבור ש"ע‪:‬‬ ‫יהיו 𝑛𝑥 ‪ 𝑥1 , … ,‬משתנים שונים‪ 𝑠1 , … , 𝑠𝑛 ,‬ש"ע‪ v ,‬השמה ו‪ t-‬ש"ע‪ .‬אז‪:‬‬ ‫] 𝑛𝑥‪𝑡 = 𝑣[𝑡 𝑠1 /𝑥1 , … , 𝑠𝑛 /‬‬ ‫𝑛𝑠 𝑣 ≔ 𝑛𝑥 ‪𝑣 𝑥1 ≔ 𝑣 𝑠1 , … ,‬‬ ‫משפט ההחלפה ‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫עבור נוסחאות ‪ :‬יהיו ‪ 𝑠1 , 𝑠2‬ש"ע חופשיים להצבה במקום 𝑥 ב‪ 𝜑-‬ו‪ .𝑣 𝑠1 = 𝑣[𝑠2 ]-‬אז‪.𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑 𝑠1 /𝑥 ⇔ 𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑{𝑠2 /𝑥} :‬‬ ‫עבור ש"ע‪ :‬עבור 𝑡 ‪ 𝑠1 , 𝑠2 ,‬ש"ע‪ v ,‬השמה‪ ,‬אם ] ‪ 𝑣 𝑠1 = 𝑣[𝑠2‬אז ] 𝑥‪= 𝑣[𝑡 𝑠2 /‬‬ ‫𝑥‪.𝑣 𝑡 𝑠1 /‬‬ ‫הגדרה אינדוקטיבית ל‪:𝑇├𝐻𝑃𝐶 𝐴 -‬‬ ‫א‪ .‬אם 𝑇 ∈ 𝐴 אז 𝐴 𝐶𝑃𝐻├𝑇‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫אם 𝐴 אינסטנציה של אקסיומה ב‪ ,HPC -‬אז 𝐴 𝐶𝑃𝐻├𝑇‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫אם 𝐵 𝐶𝑃𝐻├𝑇 ו‪ 𝐵├𝐻𝑃𝐶 𝐴-‬אז 𝐴 𝐶𝑃𝐻├𝑇‪.‬‬ ‫משפט הדדוקציה של ‪:HPC‬‬ ‫𝐵 𝐶𝑃𝐻├ 𝐴 ⋃𝑇 ⇔ 𝐵 → 𝐴 𝐶𝑃𝐻├𝑇‪ .‬לזכור שההוכחה שלו מתבססת רק על 𝑃𝑀 ‪ , 𝐼1 , 𝐼2 ,‬במקרה של תרגיל בו מקבלים מערכת שונה מ‪.HPC -‬‬ ‫הכללה‪ :‬משפט הדדוקציה יהיה נכון לכל מערכת נוסח הילברט עבור שפת תחשיב הפסוקים הקלאסי ‪ ,‬אם ‪ MP‬הוא כלל ההיסק היחיד ואם כל‬ ‫האינסטנציות ש ל ‪ 𝐼1, 𝐼2‬יכיחות במערכת ‪.‬‬ ‫מערכת ‪:HPI‬‬ ‫לוגיקה פסוקית אינטואיציוניסטית המתקבלת ממערכת ‪ HPC‬ע"י החלפת 𝐴 → 𝐴¬¬ ‪ 𝑁2.‬בכלל‪ .𝑁2′ . ¬𝐴 → (𝐴 → 𝐵) :‬משפט הדדוקציה נכון ב‪-‬‬ ‫‪ HPI‬למרות שלא כל טאוטולוגיה ב‪ HPC -‬יכיחה ב‪ .HPI-‬למשל‪. 𝐴 → 𝐵 → 𝐴 → 𝐴 :‬‬ ‫הקבלה של ‪ CPL‬ו‪:HPC-‬‬ ‫𝑳𝑷𝑪├‬ ‫𝑪𝑷𝑯├‬ ‫טאוטולוגיה‬ ‫נביעה לוגית‬ ‫סיפוק‬ ‫משפט של ‪( HPC‬ניתן להוכחה ללא הנחות )‬ ‫יכיחות‬ ‫קונסיסטנטיות‬ ‫משפט הדדוקציה‬ ‫קומפקטיות‪ :‬אם יש יכיחות אז יש סדרת‬ ‫קומפקטיות‪ :‬אם יש נביעה אז יש נביעה‬ ‫הוכחה באורך סופי‬ ‫מתת קבוצה סופית‬ ‫קונסיסטנטיות ב‪:HPC -‬‬ ‫תורה ‪ T‬היא קונסיסטנטית ב‪ HPC -‬אם לא קיימת נוסחה ‪ A‬כך ש‪ 𝑇├𝐻𝑃𝐶 𝐴-‬וגם 𝐴¬ 𝐶𝑃𝐻├𝑇‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬תורה ‪ T‬היא קונסיסטנטית אמ "מ קיים פסוק ‪ A‬כך ש‪( 𝑇├𝐻𝑃𝐶 𝐴-‬כלומר ‪ T‬אינה תורה טרוויאלית )‪.‬‬ ‫משפט השלמות נוסח ב '‪:‬‬ ‫תורה ‪ T‬היא ספיקה (ב‪ )CPL-‬אמ"מ היא קונסיסטנטית ב‪.HPC -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬ ‫אריאל סטולרמן‬ ‫משפט הקומפקטיות ב‪:CPL -‬‬ ‫‪‬‬ ‫נוסח א'‪ :‬אם 𝐴 𝐿𝑃𝐶├𝑇 אז קיימת קבוצה חלקית סופית 𝑇 ⊆ 𝛤 כך ש‪.𝛤├𝐶𝑃𝐿 𝐴-‬‬ ‫‪‬‬ ‫נוסח ב'‪ :‬תורה ‪ T‬היא ספיקה אמ "מ כל 𝑇 ⊆ ‪ Γ‬סופית שלה היא ספיקה ‪.‬‬ ‫מערכת דדוקציה טבעית – ‪:NDC‬‬ ‫אקסיומה‪ ,𝛤 ⇒ 𝐴 :‬כאשר 𝛤 ∈ 𝐴‪.‬‬ ‫כללי סילוק (קשרים למעלה)‬ ‫𝐵⋀𝐴 ⇒ 𝛤‬ ‫𝐵⋀𝐴 ⇒ 𝛤‬ ‫𝐸⋀‬ ‫‪,‬‬ ‫𝐴⇒𝛤‬ ‫𝐵⇒𝛤‬ ‫𝐵 → 𝐴 ⇒ ‪𝛤1 ⇒ 𝐴 𝛤2‬‬ ‫𝐸→‬ ‫𝐵 ⇒ ‪𝛤1 ⋃𝛤2‬‬ ‫𝐶 ⇒ ‪𝛤1 ⇒ 𝐴⋁𝐵 𝐴 ⋃𝛤2 ⇒ 𝐶 𝐵 ⋃𝛤3‬‬ ‫𝐶 ⇒ ‪𝛤1 ⋃𝛤2 ⋃𝛤3‬‬ ‫𝐴¬¬ ⇒ 𝛤‬ ‫𝐸¬‬ ‫𝐴⇒𝛤‬ ‫כללי הכנסה (קשרים למטה)‬ ‫𝐵 ⇒ ‪𝛤1 ⇒ 𝐴 𝛤2‬‬ ‫𝐼⋀‬ ‫𝐵⋀𝐴 ⇒ ‪𝛤1 ⋃𝛤2‬‬ ‫𝐵 ⇒ 𝐴 ⋃𝛤‬ ‫𝐼→‬ ‫𝐵→𝐴⇒𝛤‬ ‫𝐴⇒𝛤‬ ‫𝐵⇒𝛤‬ ‫𝐼⋁‬ ‫‪,‬‬ ‫𝐵⋁𝐴 ⇒ 𝛤‬ ‫𝐵⋁𝐴 ⇒ 𝛤‬ ‫𝐵¬ ⇒ ‪𝐴 ⋃𝛤1 ⇒ 𝐵 𝐴 ⋃𝛤2‬‬ ‫𝐼¬‬ ‫𝐴¬ ⇒ ‪𝛤1 ⋃𝛤2‬‬ ‫𝐸⋁‬ ‫כללי שלילה נוספים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝐴⋁𝐴¬ ⇒ 𝛤 (לא תקף בלוגיקה אינטואיציוניסטית )‬ ‫‪‬‬ ‫𝐴¬⇒ ‪𝛤1 ⇒𝐴 𝛤2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝐵⇒ ‪𝛤1 ⋃𝛤2‬‬ ‫𝐵¬⇒ ‪𝛤1 ⇒¬𝐴 𝛤2‬‬ ‫𝐵⋁𝐴 ¬⇒ ‪𝛤1 ⋃𝛤2‬‬ ‫𝐵⋁𝐴⇒ ‪𝛤1 ⇒¬𝐴 𝛤2‬‬ ‫𝐵⇒ ‪𝛤1 ⋃𝛤2‬‬ ‫מערכת ‪:NDI‬‬ ‫מתקבלת ממערכת ‪ NDC‬ע"י החלפת הכלל‬ ‫𝐴¬¬⇒𝛤‬ ‫𝐴⇒𝛤‬ ‫בכלל‬ ‫𝐴¬⇒ ‪𝛤1 ⇒𝐴 𝛤2‬‬ ‫𝐵⇒ ‪𝛤1 ⋃𝛤2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫סקוונט‪:‬‬ ‫𝐴 ⇒ 𝛤 הוא סקוונט ‪ ,‬כאשר ‪ A‬נוסחה ו‪ 𝛤 -‬קבוצה סופית של נוסחאות ‪.‬‬ ‫יחס הנביעה 𝐶𝐷𝑁├‪:‬‬ ‫נאמר ש‪ 𝑇├𝑁𝐷𝐶 𝐴-‬אם קיימת 𝑇 ⊆ 𝛤 סופית כך שהסקוונט 𝐴 ⇒ 𝛤 יכיח ב‪ ,NDC-‬או בקיצור 𝐴 ⇒ 𝛤 𝐶𝐷𝑁├‪ .‬נשים לב לרמות השפה השונות ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫מטה‪-‬שפה‪… ├ … :‬‬ ‫‪‬‬ ‫שפת סקוונטים‪⇒ :‬‬ ‫‪‬‬ ‫שפת תחשיב הפסוקים‪⋀, ⋁, → :‬‬ ‫יכיחות ב‪ NDC-‬מראים ע"י בניית הוכחה המתחילה תמיד באקסיומות והנחות ‪.‬‬ ‫𝐶𝐷𝑁├ ‪ ├𝑁𝐷𝐼 ,‬הם יחסי נביעה‪ ,‬כלומר מקיימים רפלקסיביות ‪ ,‬מונוטוניות וטרנזיטיביות כמוגדר קודם‪.‬‬ ‫משפט התקפות והשלמות ב‪├𝐶𝑃𝐿 = ├𝑁𝐷𝐶 :NDC-‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫תקפות‪ :‬אם 𝐴 𝐶𝐷𝑁├𝑇 אז 𝐴 𝐿𝑃𝐶├𝑇‪ .‬כלומר‪ :‬אם ל‪ A-‬הוכחה מ‪ T-‬ב‪ NDC-‬אז השמה המספקת את ‪ T‬מספקת גם את ‪.A‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫שלמות‪ :‬אם 𝐴 𝐿𝑃𝐶├𝑇 אז 𝐴 𝐶𝐷𝑁├𝑇‪ .‬כלומר‪ :‬אם כל השמה המספקת את ‪ T‬מספקת גם את ‪ ,A‬אז ל‪ A-‬הוכחה ב‪ NDC-‬מ‪.T-‬‬ ‫מתקיים‪├𝑯𝑷𝑰 = ├𝑵𝑫𝑰 ,├𝑪𝑷𝑳 = ├𝑵𝑫𝑪 = ├𝑯𝑷𝑪 :‬‬ ‫כדי להראות ש‪ 𝑇├𝐻𝑃𝐶 𝐴-‬גורר 𝐴 𝐶𝐷𝑁├𝑇‪ :‬מניחים 𝐴 𝐶𝑃𝐻├𝑇 ולכן 𝐴 𝐶𝑃𝐻├𝛤 (𝑇 ⊆ 𝛤 סופית)‪ .‬מראים 𝐴 ⇒ 𝛤 𝐶𝐷𝑁├ באינדוקציה על הוכחה ב‪,HPC -‬‬ ‫תוך שימוש בכללים של ‪:NDC‬‬ ‫‪ 𝛤 ⇒ 𝐴 :𝐴 ∈ 𝛤 ‬אקסיומה של ‪.NDC‬‬ ‫‪ A ‬אקסיומה של ‪ :HPC‬מראים לכל אקסיומה של ‪ HPC‬הוכחה ב‪.)├𝑁𝐷𝐶 ⇒ 𝐴( NDC-‬‬ ‫‪ ‬נניח ש‪ A -‬מוסק ע "י ‪ MP‬מ‪ 𝐵, 𝐵 → 𝐴-‬ב‪ ,HPC-‬כלומר 𝐵 𝐶𝑃𝐻├𝛤 ו‪ ,𝛤├𝐻𝑃𝐶 𝐵 → 𝐴-‬ועליהן מוחלת הנחת האינדוקציה ‪ .‬מ‪├𝑁𝐷𝐶 𝛤 ⇒ :(→ 𝐸)-‬‬ ‫𝐴‪.‬‬ ‫באותו אופן לכיוון השני ‪ :‬מניחים 𝐴 𝐶𝐷𝑁├𝑇‪ ,‬ולכן 𝐴 𝐶𝐷𝑁├𝛤 (𝑇 ⊆ 𝛤 סופית)‪ ,‬ומראים הוכחה ב‪ HPC -‬באינדקוציה על מבנה הוכחה ב‪A( NDC -‬‬ ‫אקסיומה של ‪ NDC‬המקרה המהיר ‪ ,‬ועבור כל כלל ב‪ NDC-‬מהצורה‬ ‫𝐴⇒𝛤‬ ‫𝐵⇒𝛤‬ ‫להראות 𝐴 𝐶𝑃𝐻├𝛤 גורר 𝐵 𝐶𝑃𝐻├𝛤)‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬ ‫אריאל סטולרמן‬ ‫שקילויות לוגיות ‪:‬‬ ‫‪ A‬ו‪ B-‬יהיו שקולות לוגית‪ ,‬יסומן 𝐵 ≡ 𝐴‪ ,‬אם לכל השמה 𝑣 מתקיים )𝐵(𝑣 = 𝐴 𝑣‪ .‬שקילויות חשובות ‪ :‬מצורף בסוף ‪.‬‬ ‫למה‪ ├𝐶𝑃𝐿 𝐴 ↔ 𝐵 :‬אמ"מ 𝐵 ≡ 𝐴‪.‬‬ ‫משפט הצבת אקוויוולנטים‪:‬‬ ‫אם 𝐵 ≡ 𝐴 אז לכל נוסחה 𝜑 ופסוק אטומי ‪ p‬מתקיים‪ .𝜑 𝐴/𝑝 ≡ 𝜑{𝐵/𝑝} :‬ולכן‪:‬‬ ‫אם 𝐵 ↔ 𝐴 𝐿𝑃𝐶├𝑇 אז }𝑝‪( 𝑇├𝐶𝑃𝐿 𝜑 𝐴/𝑝 ↔ 𝜑{𝐵/‬חיזוק‪.)𝐴 ↔ 𝐵├𝐶𝑃𝐿 𝜑 𝐴/𝑝 ↔ 𝜑{𝐵/𝑝} :‬‬ ‫צורת ‪ :Negation Normal Form – NNF‬פסוק 𝜑 נמצא ב‪ NNF-‬אם כל הופעה (אם בכלל) של קשר שלילה ב‪ 𝜑 -‬היא רק לפני פסוקים אטומיים ‪.‬‬ ‫צורת ‪ :Disjunctive Normal Form – DNF‬צורה דיסיונקטיבית נורמלית – )⋁ … ⋁(⋀)⋁ … ⋁(‪...‬‬ ‫צורת ‪ :Connuctive Normal Form – CNF‬צורה קוניוקטיבית נורמלית – )⋀ … ⋀(⋁)⋀ … ⋀(‪...‬‬ ‫ליטרל‪ :‬פסוק אטומי או שלילתו (… 𝑞¬ ‪.)𝑝,‬‬ ‫מתקיים‪.𝐷𝑁𝐹, 𝐶𝑁𝐹 ⊆ 𝑁𝑁𝐹 :‬‬ ‫דרך נוחה להגיע לצורת ‪ CNF‬של נוסחה 𝜑‪ :‬להגיע לנוסחת ‪ DNF‬של 𝜑¬ (קל יותר )‪ ,‬ואז להכניס את ה‪ ¬ -‬פנימה ולהפוך את הנוסחה לצורת ‪.CNF‬‬ ‫דרך נוספת אפשרית היא לכתוב את טבלת האמת של 𝜑 עם כל הפסוקים האטומיים ‪ ,‬ולמצוא כמו במבנה מחשבים ‪ )DNF( POS‬או ‪.)CNF( SOP‬‬ ‫הגדרת }𝑓 ‪→ {𝑡,‬‬ ‫𝑛‬ ‫→‬ ‫𝑝‬ ‫𝑓 ‪:𝑔𝜑 : 𝑡,‬‬ ‫עבור 𝜑 נוסחה‪ 𝑝1 , … , 𝑝𝑛 ,‬נוסחאות אטומיות (משתנים עבור נוסחאות אטומיות ) הכוללות את כל הנוסחאות האטומיות המופיעות ב‪ ,𝜑 -‬הפונקציה‬ ‫}𝑓 ‪→ {𝑡,‬‬ ‫𝑛‬ ‫→‬ ‫→‬ ‫𝑝‬ ‫𝑝‬ ‫𝑓 ‪ 𝑔𝜑 : 𝑡,‬מוגדרת‪ ,𝑔𝜑 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 = 𝑣(𝜑) :‬כאשר ) 𝑛𝑝(𝑣 = 𝑛𝑥 ‪ .𝑥1 = 𝑣 𝑝1 , … ,‬בעצם פונקציה זו מחזירה את השמת 𝑛𝑥 ‪𝑥1 , … ,‬‬ ‫→‪ .‬הוקטור מכתיב את סדר ההופעה בטבלת האמת‬ ‫(המקבלים ערך ‪ t‬או ‪ )f‬כערכים ל‪ 𝑣 𝑝1 , … , 𝑣(𝑝𝑛 ) -‬בהתאמה‪ ,‬כאשר > 𝑛𝑝 ‪𝑝 =< 𝑝1 , … ,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ולפיכך את פרמוטצית תוצאות הפונקציה ‪.‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫לכל }𝑓 ‪→ {𝑡,‬‬ ‫𝑛‬ ‫→‬ ‫𝑝‬ ‫𝑓 ‪ 𝑓: 𝑡,‬קיימת נוסחה 𝜑 ופסוקים אטומיים 𝑛𝑝 ‪ 𝑝1 , … ,‬כך ש‪.𝑓 = 𝑔𝜑 -‬‬ ‫לוגיקה רב ערכית‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫השמות מחזירות יותר משני ערכים אופציונלים ‪ .‬למשל‪ ,‬בלוגיקה התלת ערכית של קליני ‪ ,‬ישנם הערכים }‪ ,{0, , 1‬כאשר לקשרים מוגדרות פונ '‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝐿𝐾├𝑇 אם כל השמה חוקית הנותנת ל‪( 𝑇 -‬כל פסוק בה ) ערך‬ ‫אמת חדשות בהתאם לערכים אלו ‪ .‬לפי הלוגיקה הרב ערכית של קליני ‪ ,‬נגדיר‪𝜑 :‬‬ ‫‪,1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝐿𝐾├‪.‬‬ ‫מהקבוצה }‪ ,{1‬עושה זאת גם ל‪ .A-‬באותה מידה ניתן להגדיר‬ ‫לוגיקה רב ערכית ‪:M‬‬ ‫השלישיה > 𝑂 ‪ < 𝑉, 𝐷,‬כאשר‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ V‬קבוצת ערכי אמת כך ש‪. 𝑉 ≥ 2 , 0,1 ⊆ 𝑉 -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ D‬קבוצה חלקית ממש ולא ריקה של ערכי אמת "מצויינים" כך ש‪.1 ∈ 𝐷, 0 ∉ 𝐷 -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ O‬קבוצה של טבלאות אמת לכל אחד מהקשרים בשפה ‪.‬‬ ‫מודל‪ :‬השמה ‪ v‬מהווה מודל לפסוק ‪ A‬אם 𝐷 ∈ 𝐴 𝑣‪.‬‬ ‫נביעה‪ 𝑇├𝑀 𝜑 :‬אם כל ‪-M‬מודל של ‪ T‬הוא ‪-M‬מודל של 𝜑‪.‬‬ ‫הלוגיקה התלת ערכית של גדל ( 𝑙𝑒𝑑‪:)𝐺ö‬‬ ‫𝑎¬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝑏 ≤ 𝑎 ‪1,‬‬ ‫𝑏 > 𝑎 ‪𝑏,‬‬ ‫=𝑏→𝑎‬ ‫‪‬‬ ‫𝑏 ‪𝑎⋁𝑏 = 𝑚𝑎𝑥 𝑎,‬‬ ‫‪‬‬ ‫⁡𝑛𝑖𝑚 = 𝑏⋀𝑎‬ ‫}𝑏 ‪{𝑎,‬‬ ‫הלוגיקה הרב‪ -‬ערכית של גדל מוגדרת באותו אופן כמו התלת ערכית ‪ .‬זו לוגיקה מסוג ‪ ,Fuzzy Logic‬בניגוד לקלאסית ‪ .‬כל משפט של ‪ ,HPI‬בפרט כל‬ ‫האקסיומות של ‪ HPI‬הן טאוטולוגיות בלוגיקה התלת‪ -‬ערכית של גדל‪ .‬אקסיומה )‪ (𝑁2‬מ‪ HPC-‬אינה טאוטולוגיה בלוגיקה זו ‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬ ‫חלק שני‪ :‬תחשיב הפרדיקטים ‪ /‬לוגיקה קלאסית מסדר ראשון ‪:FOL -‬‬ ‫שינויים עיקריים מתחשיב הפסוקים הקלאסי ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫פירוט נוסף לגבי מבנה נוסחאות אטומיות ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫שימוש בכמתים‪.∀, ∃ :‬‬ ‫שפות מסדר ראשון ‪:‬‬ ‫המשותף לכל השפות מסדר ראשון ‪:‬‬ ‫א‪ .‬משתנים‪ .𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … :‬במטה שפה יסומנו ‪.𝑥, 𝑦, 𝑧 :‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫קשרים‪.→, ⋀, ⋁, ¬ :‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫כמתים‪.∀, ∃ :‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫סוגריים ופסיק‪."," ,")" ,"(" :‬‬ ‫סיגנטורה‪ :‬לכל שפה מסדר ראשון ‪ L‬יש סיגנטורה 𝐿𝜎 המגדירה אותה‪ ,‬היכולה לכלול‪:‬‬ ‫א‪ .‬קבועים‪.𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐2 , … :‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫סימני פונקציה עם ‪ arity‬כלשהו (חד‪-‬מקומי‪ ,‬דו‪-‬מקומי‪ .)...‬סימון‪ k - 𝑓𝑘𝑛 :‬אינדקס הפונקציה ‪ n ,‬ה‪.arity-‬‬ ‫סימני יחס עם ‪ arity‬כלשהו‪ .‬לפחות סימן יחס אחד !‪ .‬סימון‪:‬‬ ‫𝑛𝑘𝑃‪.‬‬ ‫אם 𝐿𝜎 סיגנטורה‪ ,‬אז ‪ L‬היא השפה המושרית על ידה‪.‬‬ ‫בשפות מסדר ראשון יש שתי קטגוריות לשוניות עיקריות‪:‬‬ ‫א‪ .‬שמות עצם‪( 𝜄 :‬איוטה)‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נוסחאות (לא פסוקים!)‪( 𝑜 :‬אומיקרון )‪.‬‬ ‫קבוצת שמות העצם של ‪ L‬בהינתן 𝐿𝜎‪:‬‬ ‫א‪ .‬כל קבוע ב‪ 𝜎 -‬הוא ש"ע ב‪.𝐿(𝜎)-‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫כל משתנה הוא ש"ע ב‪.𝐿(𝜎)-‬‬ ‫𝑛‬ ‫אם 𝜄 → 𝜄 ‪ 𝑓:‬סימן פונקציה ‪-n‬מקומית של 𝜎‪ 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ,‬ש"ע‪ ,‬אז ) 𝑛𝑡 ‪ 𝑓(𝑡1 , … ,‬גם ש"ע ב‪.𝐿(𝜎)-‬‬ ‫קבוצת הנוסחאות של )𝜎(𝐿 בהינתן 𝜎‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫א‪ .‬נוסחאות אטומיות ‪ :‬אם 𝑜 → 𝜄 ‪ 𝑃:‬סימן יחס ב‪ 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ,𝜎 -‬ש"ע ב‪ ,𝐿(𝜎)-‬אז ) 𝑛𝑡 ‪ 𝑃(𝑡1 , … ,‬נוסחה של )𝜎(𝐿‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫אם 𝜓 ‪ 𝜑,‬נוסחאות אז גם 𝜓⋁𝜑 ‪ ¬𝜑, 𝜑 → 𝜓, 𝜑⋀𝜓,‬נוסחאות ב‪.𝐿(𝜎) -‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫אם 𝜑 נוסחה ו‪ 𝑥 -‬משתנה אז 𝜑𝑥∀ ו‪ ∃𝑥𝜑-‬נוסחאות ב‪.𝐿(𝜎) -‬‬ ‫קבוצת המשתנים החופשיים ‪:‬‬ ‫]𝐸[𝑣𝐹 היא קבוצת המשתנים החופשיים ב‪:E -‬‬ ‫‪‬‬ ‫לקבוע ‪( c‬סימון לקבוע במטה‪ -‬שפה)‪.𝐹𝑣 𝑐 = ∅ :‬‬ ‫‪‬‬ ‫למשתנה 𝑥‪.𝐹𝑣 𝑥 = 𝑥 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫לסימן פונקציה ‪ 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ,f‬ש"ע‪= ⋃𝑛𝑖=1 𝐹𝑣[𝑡𝑖 ] :‬‬ ‫𝑛𝑡 ‪.𝐹𝑣 𝑓 𝑡1 , … ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫לסימן יחס 𝑃 וש"ע כמוגדר לעיל‪= ⋃𝑛𝑖=1 𝐹𝑣[𝑡𝑖 ] :‬‬ ‫𝑛𝑡 ‪.𝐹𝑣 𝑃 𝑡1 , … ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫}⋁ ‪.𝐹𝑣 ¬𝜑 = 𝐹𝑣 𝜑 , 𝐹𝑣 𝜑 ∗ 𝜓 = 𝐹𝑣 𝜑 ⋃𝐹𝑣 𝜓 ,∗∈ {→, ⋀,‬‬ ‫‪‬‬ ‫}𝑥{\ 𝜑 𝑣𝐹 = 𝜑𝑥∃ 𝑣𝐹 = 𝜑𝑥∀ 𝑣𝐹 (כי 𝑥 אינו חופשי בנוסחאות אלו )‪.‬‬ ‫מבנה ‪ M‬עבור 𝜎 ()𝜎(𝐿)‪:‬‬ ‫מבנה > 𝐼 ‪ 𝑀 =< 𝐷,‬מוגדר‪:‬‬ ‫א‪ :D .‬תחום המבנה‪ ,‬קבוצה לא ריקה ‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪ I‬פונקציית פירוש שתחומה 𝜎‪ ,‬ומקיימת‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝐷 ∈ 𝑐 𝐼 לכל קבוע ‪ c‬של 𝜎‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝐷 → 𝑛𝐷 ∈ 𝑓 𝐼 לכל סימן פונקציה ‪-n f‬מקומי של 𝜎‪ .‬סימון‪.𝑓 𝐼 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝐼‬ ‫𝐷 ⊆ 𝑃 𝐼 לכל סימן יחס ‪-n P‬מקומי של 𝜎‪ .‬סימון‪.𝑃 :‬‬ ‫אריאל סטולרמן‬ ‫‪7‬‬ ‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬ ‫אריאל סטולרמן‬ ‫הסימונים ] …[𝐼 הם סימונים במטה‪ -‬שפה (כמו גם 𝐼𝑃 ‪.)𝑓 𝐼 ,‬‬ ‫השמה ‪:v‬‬ ‫יהי > 𝐼 ‪ 𝑀 =< 𝐷,‬מבנה כלשהו לשפה ‪ L‬מסדר ראשון‪ .‬השמה ב‪ L-‬היא פונ' 𝐷 → … ‪( 𝑣: 𝑣0 , 𝑣1 ,‬מקבוצת המשתנים אל התחום של ‪.)M‬‬ ‫יחס הנכונות 𝑡⊨‪:‬‬ ‫יחס בין נוסחאות בשפה ‪ L‬וזוגות סדורים > 𝑣 ‪ < 𝑀,‬של מבנה לשפה ‪ L‬והשמה במבנה זה ‪ ,‬מוגדר באופן הבא ‪:‬‬ ‫א‪ 𝑀, 𝑣 ⊨ 𝑃(𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ) .‬אמ"מ ]𝑃[𝐼 ∈> 𝑛𝑡 𝑣 ‪ ,< 𝑣 𝑡1 , … ,‬כאשר ]𝑡[𝑣 מוגדר באופן הבא ‪:‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם ‪ t‬קבוע אז ]𝑡[𝐼 = 𝑡 𝑣‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם ‪ t‬משתנה אז ]𝑡[𝑣 כבר מוגדר‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם ) 𝑘𝑠 ‪ 𝑡 = 𝑓(𝑠1 , … ,‬כאשר ‪ f‬סימן פונקציה ‪-k‬מקומי ו‪ 𝑠1 , … , 𝑠𝑘 -‬ש"ע‪ ,‬אז‬ ‫𝑘𝑠 𝑣 ‪𝑣 𝑡 = 𝐼 𝑓 𝑣 𝑠1 , … ,‬‬ ‫הגדרת עזר‪ 𝑣′ :‬היא 𝑥‪-‬וריאנט של 𝑣 אם ]𝑦[𝑣 = 𝑦 ‪ 𝑣 ′‬לכל 𝑥 ≠ 𝑦 (אולי גם ל‪ .)𝑦 = 𝑥-‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝜑¬ ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אמ"מ 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪.𝑀,‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝜓⋀𝜑 ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אמ"מ 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬וגם 𝜓 ⊨ 𝑣 ‪.𝑀,‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝜓⋁𝜑 ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אמ"מ 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬או 𝜓 ⊨ 𝑣 ‪.𝑀,‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝜓 → 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אמ"מ 𝜑¬ ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬או 𝜓 ⊨ 𝑣 ‪.𝑀,‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝜑𝑥∀ ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אמ"מ לכל ‪ 𝑣′‬שהיא 𝑥‪-‬וריאנט של 𝑣 מתקיים 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪.𝑀,‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝜑𝑥∃ ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אמ"מ קיימת ‪ 𝑣′‬שהיא 𝑥‪-‬וריאנט של 𝑣 כך ש‪.𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑-‬‬ ‫מופע חופשי‪/‬קשור של משתנה בנו סחה‪:‬‬ ‫כל משתנה בנוסחה יכול להיות בעל מופעים קשורים ו בעל מופעים חופשיים ‪.‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫שמות עצם‪ :‬כל הופעה של משתנה בש "ע הוא חופשי במסגרת אותו ש "ע‪ .‬אם ∅ = 𝑡 𝑣𝐹 אז ‪ t‬הוא ש"ע סגור‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫נוסחאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫כל משתנה המופיע בנוסחה אטומית הוא חופשי בכל מופע שלו בנוסחה ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫כל מופע חופשי‪/‬קשור של משתנה ב‪ 𝜑 -‬או ב‪ 𝜓-‬הוא גם מופע חופשי‪/‬קשור של אותו משתנה ב‪ ¬𝜑, 𝜑 ∗ 𝜓 -‬ולהיפך‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫מופע חופשי של משתנה 𝑥 בנוסחה 𝜑𝑦∃‪ ∀/‬הוא מופע חופשי שלו ב‪ 𝜑 -‬אלא אם 𝑥 = 𝑦‪ ,‬ואז הוא מופע קשור ‪.‬‬ ‫פסוק‪:‬‬ ‫נוסחה ללא משתנים חופשיים ‪ ,‬כלומר 𝜑 פסוק אם ∅ = 𝜑 𝑣𝐹‪.‬‬ ‫למה‪:‬‬ ‫אם ]𝑥[ ‪ 𝑣1 𝑥 = 𝑣2‬לכל ]𝜑[𝑣𝐹 ∈ 𝑥‪ ,‬אז 𝜑 ⊨ ‪ 𝑀, 𝑣1‬אמ"מ 𝜑 ⊨ ‪.𝑀, 𝑣2‬‬ ‫למת עזר‪ :‬אם ]𝑥[ ‪ 𝑣1 𝑥 = 𝑣2‬לכל ]𝑡[𝑣𝐹 ∈ 𝑥 כאשר ‪ t‬ש"ע‪ ,‬אז ]𝑡[ ‪.𝑣1 𝑡 = 𝑣2‬‬ ‫תקפות‪:‬‬ ‫𝑣‬ ‫נוסחה 𝜑 נקראת תקפה במבנה ‪ ,M‬יסומן 𝜑 ⊨ 𝑀 או פשוט 𝜑 ⊨ 𝑀‪ ,‬אם לכל השמה ‪ v‬במבנה ‪ M‬מתקיים‪.𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑 :‬‬ ‫תקפות לוגית‪:‬‬ ‫נוסחה 𝜑 תקפה לוגית אם לכל מבנה ‪ M‬ולכל השמה ‪ v‬באותו מבנה מתקיים 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪.𝑀,‬‬ ‫מודל‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫> 𝑣 ‪ < 𝑀,‬הוא ‪-t‬מודל של 𝜑 אם 𝜑 𝑡⊨ 𝑣 ‪ ,𝑀,‬כלומר 𝜑 נכונה ב‪.< 𝑀, 𝑣 >-‬‬ ‫𝑣‬ ‫‪ M‬הוא ‪-v‬מודל של 𝜑 אם 𝜑 ⊨ 𝑀‪ ,‬כלומר 𝜑 תקפה ב‪.M-‬‬ ‫הערה חשובה‪:‬‬ ‫אמנם עבור > 𝑣 ‪ < 𝑀,‬מתקיים 𝜑¬ ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אמ"מ 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪ ,𝑀,‬וגם 𝜓⋁𝜑 ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אמ"מ 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬וגם 𝜓 ⊨ 𝑣 ‪ ,𝑀,‬אך אין זה נכון עבור ‪-v‬מודל‪.‬‬ ‫למשל עבור )𝑦 = 𝑥( ≔ 𝜑‪ .‬מתקיים )𝑦 = 𝑥( ⊨ ‪( ℕ‬קיימת השמה הנותנת ל‪-‬‬ ‫𝑦 ‪ 𝑥,‬ערכים שונים ) וגם )𝑦 = 𝑥(¬ ⊨ ‪ .ℕ‬או למשל ‪:‬‬ ‫מתקיים )𝑦 = 𝑥(⋁ 𝑦 = 𝑥 ¬ ⊨ ‪ ,ℕ‬אך לא מתקיים ש‪ ℕ ⊨ ¬(𝑥 = 𝑦)-‬או )𝑦 = 𝑥( ⊨ ‪ .ℕ‬זאת כיוון שנדרשים לסיפוק עם כל השמה 𝑣 ב‪.M-‬‬ ‫מתי זה נכון ‪ :‬כאשר 𝜑 פסוק (ואז 𝑣⊨⇔ 𝑡⊨)‪.‬‬ ‫יחס ה‪-t-‬נביעה ‪:├𝑡𝐹𝑂𝐿 -‬‬ ‫נוסחה 𝜑 ‪-t‬נובעת מתורה ‪ T‬בלוגיקה מסדר ראשון ‪ ,‬נסמן 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑡├𝑇‪ ,‬אם כל ‪-t‬מודל של ‪ T‬הוא גם ‪-t‬מודל של 𝜑‪ .‬כלומר אם 𝑇 ⊨ 𝑣 ‪ 𝑀,‬אז 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪.𝑀,‬‬ ‫‪8‬‬ ‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬ ‫אריאל סטולרמן‬ ‫יחס ה‪-v-‬נביעה ‪:├𝑣𝐹𝑂𝐿 -‬‬ ‫נוסחה 𝜑 ‪-v‬נובעת מתורה ‪ T‬בלוגיקה מסדר ראשון ‪ ,‬נסמן 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇‪ ,‬אם כל ‪-v‬מודל של ‪ T‬הוא גם ‪-v‬מודל של 𝜑‪ .‬כלומר אם 𝑇 ⊨ 𝑀 אז 𝜑 ⊨ 𝑀‪.‬‬ ‫עובדות חשובות‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫אם 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑡├𝑇 אז‬ ‫‪.2‬‬ ‫מתי זה כן נכון הפוך ‪ :‬כאשר ‪ T‬מורכבת מפסוקים בלבד‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫כלל ההכללה נכון עבור ‪-v‬נביעה‪ ,‬כלומר‪ ,𝜑├𝑣𝐹𝑂𝐿 ∀𝑥𝜑 :‬אך לא עבור ‪-t‬נביעה‪ .‬הכיוון השני כן מתקיים גם ל‪-t-‬נביעה‪:‬‬ ‫𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇‪.‬‬ ‫ההיפך אינו נכון !‬ ‫𝑡‪.∀𝑥𝜑├𝑣,‬‬ ‫𝜑 𝐿𝑂𝐹‬ ‫לכן מבחינת‬ ‫‪-v‬נביעה אין הבדל בין 𝜑 ו‪.∀𝑥𝜑-‬‬ ‫סגור של נוסחה‪:‬‬ ‫סגור של נוסחה 𝜑‪ ,‬מסומן 𝜑∀‪ ,‬הוא פסוק (לא יחיד ) מהצורה 𝜑 𝑛𝑥∀ … ‪ ∀𝑥1‬כאשר } 𝑛𝑥 ‪ .𝐹𝑣 𝜑 ⊆ {𝑥1 , … ,‬ישנה שקילות בין כל הסגורים של כל‬ ‫נוסחה 𝜑 הן מבחינת ‪-t‬נביעה והן מבחינת ‪-v‬נביעה (לפי העובדה האחרונה )‪ .‬כמו כן עבור ‪-v‬נביעה‪ 𝜑├𝑣𝐹𝑂𝐿 ∀𝜑 :‬וגם 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝜑∀‪.‬‬ ‫אם ‪ T‬תורה‪ ,‬נסמן 𝑇∀ את תורת הסגורים של כל נוסחה ב‪.T -‬‬ ‫מסקנה‪:‬‬ ‫אם ‪ T‬תורה ו‪ 𝜑 -‬נוסחה אז 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇 אמ"מ 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇∀ (כיוון של‪ T-‬ול‪ ∀𝑇 -‬אותם ‪-v‬מודלים) אמ"מ 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑡├𝑇∀ (כיוון ש‪ ∀𝑇 -‬תורה של פסוקים )‪.‬‬ ‫ניתן להפוך נוסחה לפסוק ע "י הצבת קבועים חדשים } 𝑖𝑑{ במקום המשתנים המופיעי ם ב‪ 𝑇, 𝜑 -‬ולקבל‪ :‬אם } 𝑖𝑥‪ 𝑇 𝑑𝑖 /𝑥𝑖 ├𝑡𝐹𝑂𝐿 𝜑{𝑑𝑖 /‬אז 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑡├𝑇‪.‬‬ ‫משפט הדדוקציה עבור ‪:FOL‬‬ ‫‪‬‬ ‫עבור ‪-t‬נביעה‪ 𝑇⋃ 𝐴 ├𝑡𝐹𝑂𝐿 𝐵 :‬אמ"מ 𝐵 → 𝐴 𝐿𝑂𝐹𝑡├𝑇‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫עבור ‪-v‬נביעה לא מתקיים משפט הדדוקציה ‪ ,‬אלא אם ‪ A‬פסוק‪ .‬למשל‪ ,𝑝 𝑥 ├𝑣𝐹𝑂𝐿 ∀𝑥𝑝(𝑥) :‬אבל )𝑥(𝑝𝑥∀ → 𝑥 𝑝 𝐿𝑂𝐹𝑣├‪.‬‬ ‫סימון‪:𝜑{𝑡/𝑥} :‬‬ ‫סימון זה מייצג את הנוסחה המתקבלת מהחלפת המופעים החופשיים של 𝑥 ב‪ 𝜑-‬בש"ע ‪.t‬‬ ‫ש"ע ‪ t‬חופשי להצבה‪ :‬במקום 𝑥 ב‪ 𝜑-‬אם שום משתנה חופשי של ‪ t‬אינו הופך להיות קשור בעקבות ההצבה ‪.‬‬ ‫𝑥 ≠ 𝑦‪𝑣 𝑦 ,‬‬ ‫אם 𝑣 השמה אז 𝑡 𝑣 ≔ 𝑥 𝑣 = 𝑤 היא השמה חדשה שבה ‪:‬‬ ‫𝑥=𝑦‪𝑣 𝑡 ,‬‬ ‫= 𝑦 𝑤‪.‬‬ ‫משפט ההחלפה‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫עבור ש"ע‪ :‬יהיו 𝑡 ‪ 𝑠1 , 𝑠2 ,‬ש"ע ו‪ 𝑥-‬משתנה‪ .‬אם ] ‪ 𝑣 𝑠1 = 𝑣[𝑠2‬אז ] 𝑥 ‪= 𝑣[𝑡 𝑠2 /‬‬ ‫עבור נוסחאות‬ ‫‪:‬‬ ‫יהיו‬ ‫‪𝑠1 , 𝑠2‬‬ ‫ש " ע‪,‬‬ ‫‪A‬‬ ‫נוסחה ו‪-‬‬ ‫𝑥‬ ‫משתנה‪.‬‬ ‫𝑥 ‪ .𝑣 𝑡 𝑠1 /‬הוכחה באינדוקציה על מבנה ש"ע ‪.t‬‬ ‫לכל השמה המקיימת‬ ‫] ‪𝑣 𝑠1 = 𝑣[𝑠2‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫𝑥‪ .𝑀, 𝑣 ⊨ 𝐴 𝑠1 /𝑥 ⇔ 𝑀, 𝑣 ⊨ 𝐴 𝑠2 /‬הוכחה באינדוקציה על מבנה נוסחה ‪.A‬‬ ‫משפט ההצבה ‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫עבור ש"ע‪ :‬אם 𝑡 ≔ 𝑥 𝑣 = 𝑤 ו‪ s-‬ש"ע‪ ,‬אז ] 𝑥‪.𝑤 𝑠 = 𝑣[𝑠 𝑡/‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫עבור נוסחאות ‪ :‬אם 𝑡 𝑣 ≔ 𝑥 𝑣 = 𝑤 ו‪ 𝜑-‬נוסחה‪ ,‬אז 𝜑 ⊨ 𝑤 ‪ 𝑀,‬אמ"מ }𝑥‪ ,𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑{𝑡/‬ובלבד ש‪ t-‬חופשי להצבה במקום 𝑥 ב‪.𝜑-‬‬ ‫מסקנה‪:‬‬ ‫}𝑥‪𝜑├𝑣𝐹𝑂𝐿 𝜑{𝑡/‬‬ ‫ובלבד ש‪ t-‬חופשי להצבה במקום 𝑥 ב‪.𝜑-‬‬ ‫סיכום תכונות נביעה – ‪ t‬מול ‪:v‬‬ ‫‪t‬‬ ‫מתקיים‬ ‫תכונה‬ ‫𝜑 ⊨⇔ 𝜑¬ ⊨‬ ‫𝜓 ⊨ 𝑟𝑜 𝜑 ⊨⇔ 𝜓⋁𝜑 ⊨‬ ‫𝐵 → 𝐴├𝑇‬ ‫‪v‬‬ ‫לא מתקיים‪ .‬דוגמא‪ℕ ⊨ 𝑥 = 1 , ℕ ⊨ (𝑥 ≠ 1) :‬‬ ‫סגור של נוסחה ‪:∀𝜑 -‬‬ ‫‪∀𝜑├𝜑 .1‬‬ ‫‪𝜑├∀𝜑 .2‬‬ ‫גרירת נביעה אחת מהשניה‬ ‫מתקיים‪𝑇├𝑡𝐹𝑂𝐿 𝜑 ⇒ 𝑇├𝑣𝐹𝑂𝐿 𝜑 :‬‬ ‫כלל ההכללה‪∀𝑥𝜑├𝜑 :‬‬ ‫כיוון שני‪𝜑├∀𝑥𝜑 :‬‬ ‫משפט הדדוקציה‪:‬‬ ‫מתקיים‬ ‫לא מתקיים‪ :‬אותו דוגמא של הסגור‬ ‫מתקיים‬ ‫לא מתקיים‪ :‬למעט כאשר ‪ A‬פסוק‪.‬‬ ‫כלל ההצבה‪𝜑├𝜑{𝑡/𝑥} :‬‬ ‫גרירת ספיקות מאחד לשני‬ ‫לא מתקיים‪ .‬למשל‪𝑥 ≠ 𝑡 ├𝑡𝐹𝑂𝐿 (𝑡 ≠ 𝑡) :‬‬ ‫לא מתקיים‪ :‬למעט כאשר ‪ T‬מורכבת מפסוקים‬ ‫מתקיים‬ ‫מתקיים‪ :‬אם ‪-v T‬ספיקה אז ‪-t T‬ספיקה‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫מתקיים‪.‬‬ ‫לא מתקיים‪ .‬למשל‪𝑥 = 1 ├𝑡𝐹𝑂𝐿 ∀𝑥(𝑥 = 1) :‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫מתקיים‬ ‫מתקיים‬ ‫לא מתקיים ‪ ,𝑇├𝑣𝐹𝑂𝐿 𝜑 ⇒ 𝑇├𝑡𝐹𝑂𝐿 𝜑 :‬למעט כאשר ‪T‬‬ ‫מורכבת מ פסוקים בלבד‪.‬‬ ‫מתקיים‬ ‫מתקיים‬ ‫‪9‬‬ ‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬ ‫אריאל סטולרמן‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫תהי 𝜑 טאוטולוגיה‪ .‬תורה ‪ T‬ספיקה אמ"מ 𝜑¬ ├𝑇 (נכון גם לגבי ‪ v‬וגם לגבי ‪.)t‬‬ ‫מערכת נוסח הילברט עבור ‪:HFOL – FOL‬‬ ‫אקסיומות‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫כל האיסטנציות של אקסיומות ‪.HPC‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫}𝑥‪ 𝐴 𝑡/𝑥 → ∃𝑥𝐴 ,∀𝑥𝐴 → 𝐴{𝑡/‬בתנאי ש‪ t-‬חופשי להצבה במקום 𝑥 ב‪.A-‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫)𝐵𝑥∀ → 𝐴( → 𝐵 → 𝐴 𝑥∀‪,‬‬ ‫)𝐴 → 𝐵𝑥∃( → 𝐴 → 𝐵 𝑥∀‪ ,‬בתנאי ש‪ 𝑥 -‬אינו חופשי ב‪.A-‬‬ ‫כללים‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫𝐵→𝐴 𝐴‬ ‫𝐵‬ ‫𝐴‬ ‫𝐴𝑥∀‬ ‫𝑃𝑀‬ ‫𝑁𝐸𝐺‬ ‫מערכת דדוקציה טבעית עבור ‪:NDFOL – FOL‬‬ ‫בנוסף על כללי ‪:NDC‬‬ ‫𝐴𝑥∀ ⇒ 𝛤‬ ‫𝑥‪𝛤 ⇒ 𝐴 𝑡/‬‬ ‫𝐶 ⇒ 𝑥‪𝛤 ⇒ ∃𝑥𝐴 𝛤, 𝐴 𝑦/‬‬ ‫𝐶⇒𝛤‬ ‫* בתנאי ש‪ t-‬חופשי להצבה במקום 𝑥 ב‪.A-‬‬ ‫∗‬ ‫𝐸∀‬ ‫∗∗‬ ‫𝐸∃‬ ‫𝑥‪𝛤 ⇒ 𝐴 𝑦/‬‬ ‫𝐴𝑥∀ ⇒ 𝛤‬ ‫𝑥‪𝛤 ⇒ 𝐴 𝑡/‬‬ ‫𝐴𝑥∃ ⇒ 𝛤‬ ‫∗∗‬ ‫∗‬ ‫𝐼∀‬ ‫𝐼∃‬ ‫** בתנאי ש‪ y-‬חופשי להצבה במקום 𝑥 ב‪ A-‬ואינו חופשי להצבה בשום נוסחה ב‪.𝛤⋃{∃𝑥𝐴, 𝐶} -‬‬ ‫משפטי הנאותות והשלמות של ‪:NDFOL ,HFOL‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑡├𝑇 ⇔ 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝐷𝑁├𝑇‬ ‫‪‬‬ ‫𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇‬ ‫⇔ 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝐻├𝑇‬ ‫משפט הדדוקציה של ‪:HFOL‬‬ ‫אם ‪ A‬פסוק אז‪.𝑇⋃ 𝐴 ├𝐻𝐹𝑂𝐿 𝐵 ⇔ 𝑇├𝐻𝐹𝑂𝐿 𝐴 → 𝐵 :‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝜑 𝐿𝑂𝐹𝐻├𝑇 ⇒ 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝐷𝑁├𝑇‬ ‫‪‬‬ ‫אם ‪ T‬מורכבת מפסוקים בלבד אז גם 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝐷𝑁├𝑇 ⇒ 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝐻├𝑇‪.‬‬ ‫מרחבי הרברנד‪:‬‬ ‫מרחב הרברנד‪:𝐻(𝐿) :‬‬ ‫מרחב הרברנד של שפה ‪( L‬עם קבוע) הוא קבוצת שמות העצם הסגורים (שאין בהם משתנים) של ‪ .L‬למשל בתורת המספרים ‪… :‬‬ ‫‪.0, 𝑆 0 , 𝑆 𝑆 0‬‬ ‫אם נסתכל למשל על סימן הפונקציה ‪ ,+‬מתקיים 𝐴𝑃𝐿 𝐻 ∈ ‪ ,+ 𝑆0, 𝑆𝑆0‬ומתקיים ‪ - + 𝑆0, 𝑆𝑆0 ≠ 𝑆𝑆𝑆0‬כל אחד מאלו ש "ס בפני עצמו‪.‬‬ ‫מבנה הרברנד עבור השפה ‪:L‬‬ ‫מבנה מהצורה > 𝐼 ‪ < 𝐷,‬בו‪:‬‬ ‫א‪.𝐷 = 𝐻(𝐿) .‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם ‪ c‬קבוע בשפה אז 𝑐 = 𝑐 𝐼‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם ‪ f‬סימן פונקציה ‪-n‬מקומי של השפה אז ) 𝑛𝑥 ‪ .𝐼 𝑓 = 𝜆𝑥1 ∈ 𝐷, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝐷. 𝑓(𝑥1 , … ,‬אם 𝑛𝑡 ‪ 𝑡1 , … ,‬ש"ס השייכים ל‪ ,𝐻(𝐿) -‬אז‬ ‫)𝐿(𝐻 ∈ 𝑛𝑡 ‪.𝐼 𝑓 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 = 𝑓 𝑡1 , … ,‬‬ ‫‪ :DCA‬הנחת התחום הסגור – רק מה שיש לו שם בשפה קיים ‪.‬‬ ‫‪ :UNA‬הנחת השם היחיד – לכל איבר שם אחד בלבד ‪ ,‬אין שני איברים בעלי אותו שם ‪.‬‬ ‫ההבדל בין שני מרחבי (אולי הכוונה למבנים ) הרברנד שונים לאותה שפה הוא הפירוש שהם נותנים לסימני היחס ‪.‬‬ ‫בסיס הרברנד )𝑀(𝐵𝐻‪:‬‬ ‫בסיס הרברנד של מבנה הרברנד ‪ M‬עבור השפה ‪ L‬הוא קבוצת כל הפסוקים האטומיים הנכונים ‪ /‬תקפים (לא משנה עבור פסוקים ) ב‪ .M-‬יסומן ב‪-‬‬ ‫)𝑀(𝐵𝐻‪ .‬פסוקים אטומיים יהיו מהצורה ) 𝑛𝑠 ‪ 𝑃(𝑠1 , … ,‬כאשר ‪ P‬סימן יחס ‪-n‬מקומי ו‪ 𝑠1 , … , 𝑠𝑛 -‬הם ש"ס‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬ ‫אריאל סטולרמן‬ ‫טענות‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫מהגדרה זו נובע שאם ‪ t‬ש"ס אז 𝑡 = 𝑡 𝐼‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫אם > 𝐼 ‪ 𝑀 =< 𝐻 𝐿 ,‬מבנה הרברנד עבור ‪ P ,L‬סימן יחס ‪-n‬מקומי של ‪.𝐼 𝑃 = {< 𝑠1 , … , 𝑠𝑛 >∈ 𝐻 𝐿 𝑛 | 𝑝 𝑠1 , … , 𝑠𝑛 ∈ 𝐻𝐵 𝑀 } :L‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫נניח ‪ M‬מבנה הרברנד עבור השפה ‪ ,L‬נתייחס לפסוקים האטומים של ‪ L‬כאילו הם של שפת תחשיב הפסוקים ‪ .‬נגדיר השמה במובן של תחשיב‬ ‫𝑛𝑠 ‪𝑡, 𝑀 ⊨ 𝑝 𝑠1 , … ,‬‬ ‫הפסוקים 𝑀𝑣 באופן הבא ‪:‬‬ ‫‪𝑓,‬‬ ‫𝑤‪𝑜/‬‬ ‫=‬ ‫𝑛𝑠 ‪ .𝑣𝑀 𝑝 𝑠1 , … ,‬נניח ש‪ 𝜑 -‬צירוף בוליאני של פסוקים אטומים של ‪( L‬כלומר פסוק‬ ‫ללא כמתים)‪ .‬אז‪.𝑣𝑀 𝜑 = 𝑡 ⇔ 𝑀 ⊨ 𝜑 :‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫נניח ‪ v‬השמה למבנה הרברנד ‪ M‬עבור השפה ‪ 𝑥 ,L‬משתנה‪ ,‬אז‪ .𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑 ⇔ 𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑{𝑣 𝑥 /𝑥} :‬נשים לב ‪ :‬במבנה רגיל ]𝑥[𝑣 אינו ש "ע של‬ ‫השפה‪ ,‬ולא יכול להיכתב שם ‪ ,‬אך במבנה הרברנד זה נכון ‪.‬‬ ‫מסקנה מיידית‪ :‬נניח } 𝑛𝑥 ‪ 𝐹𝑣 𝜑 = {𝑥1 , … ,‬ו‪ 𝑡𝑖 ( 𝑣 𝑥𝑖 = 𝑡𝑖 -‬ש"ס)‪ ,‬אז‪.𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑 ⇔ 𝑀 ⊨ 𝜑{𝑡1 /𝑥1 , … , 𝑡𝑛 /𝑥𝑛 } :‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫נניח ‪ M‬מרחב הרברנד עבור השפה ‪:L‬‬ ‫א‪ .‬אם 𝜑𝑥∀ פסוק אז לכל ש"ס ‪ t‬מתקיים‪.𝑀 ⊨ ∀𝑥𝜑 ⇔ 𝑀 ⊨ 𝜑{𝑡/𝑥} :‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫אם 𝜑𝑥∃ פסוק אז קיים ‪ t‬ש"ס כלשהו המקיים‪.𝑀 ⊨ ∃𝑥𝜑 ⇔ 𝑀 ⊨ 𝜑{𝑡/𝑥} :‬‬ ‫הערה‪ :‬להוכחת משפט השלמות של ‪ )├𝑣𝐹𝑂𝐿 ⇒ ├𝐻𝐹𝑂𝐿 ( HFOL‬באמצעות מרחבי הרברנד יש צורך שתורה ‪ T‬תקיים את תכונת הנק ין‪ ,‬והנחה ש‪-‬‬ ‫𝜑⋃𝑇 פסוקים‪.‬‬ ‫תכונת הנקין ‪:‬‬ ‫לתורה ‪ T‬יש תכונת הנקין אם כאשר יש פסוק 𝜑𝑥∃ כך ש‪ ,𝑇├𝐻𝐹𝑂𝐿 ∃𝑥𝜑-‬אז יש ש"ס ‪ t‬כך ש‪.𝑇├𝐻𝐹𝑂𝐿 𝜑{𝑡/𝑥}-‬‬ ‫מסקנות ממשפט השלמות ‪:‬‬ ‫‪ .1‬משפט הקומפקטיות עבור 𝑳𝑶𝑭├‪:‬‬ ‫נוסח א'‪ :‬אם 𝜑 𝐿𝑂𝐹├𝑇 כאשר }𝜑{⋃𝑇 פסוקים אז יש קבוצה חלקית סופית 𝑇 ⊆ 𝛤 כך ש‪.𝛤├𝐹𝑂𝐿 𝜑-‬‬ ‫נוסח ב'‪ :‬תורה ‪ T‬של פסוקים היא ספיקה אמ "מ כל קבוצה חלקית סופית שלה 𝑇 ⊆ 𝛤 היא ספיקה‪.‬‬ ‫יישום ‪:1‬‬ ‫עבור שפת תורת המספרים 𝐴𝑃𝐿 מתקיים המשפט הבא ‪:‬‬ ‫לא קיימת תורה ‪ T‬בשפה מסדר ראשון כמו 𝐴𝑃𝐿 ש‪ ℕ-‬הוא המודל היחיד שלה (עד כדי איזומורפיזם ; כלומר אין מערכת אקסיומות קטגורית מסדר‬ ‫ראשון עבור ‪ .ℕ‬כאן ‪ ℕ‬מייצג את מודל המספרים הטבעיים )‪.‬‬ ‫∗‬ ‫ההוכחה מתבססת על הרעיון הבא ‪ :‬יוצרים מתורה ‪ T‬תורה חדשה 𝑇 מעל שפה חדשה שההבדל היחיד מ‪ 𝐿𝑃𝐴 -‬הוא שיש לה קבוע חדש ‪ .c‬נגדיר את‬ ‫} … ‪ .𝑇 ∗ = 𝑇⋃{𝑐 ≠ 0, 𝑐 ≠ 𝑆0, 𝑐 ≠ 𝑆𝑆0‬מראים ל‪ 𝑇 ∗ -‬מודל ע "י משפט הקומפקטיות בכך שמראים שלכל ∗ 𝑇 ⊆ 𝛤 סופית יש מודל ‪ :‬כזה המתנהג‬ ‫כמו מודל ל‪ 𝑇 ∗ -‬רק שהפירוש שנותן ל‪ c -‬הוא ‪ 𝐼 𝑐 = 𝑚𝑎𝑥 𝑘1 , … , 𝑘𝑙 + 1‬כאשר 𝑙𝑘 הוא המספר המקסימלי עבורו מכילה 𝛤 את ‪.𝑐 ≠ 𝑆 … 𝑆 0‬‬ ‫𝑠𝑒𝑚𝑖𝑡 𝑙 𝑘‬ ‫לפי משפט הקומפקטיות ‪ ,‬שוב‪ ,‬נובע ש‪ 𝑇 ∗ -‬ספיקה‪ ,‬והרי יש במודל שלה ]𝑐[𝐼 שהוא עצם חדש השונה מכל ‪ ,ℕ‬ולכן מודל זה לא איזומורפי ל‪ .ℕ -‬ברור‬ ‫שמודל זה ל‪ 𝑇 ∗ -‬הוא גם מודל ל‪ ,T-‬ולכן ‪ ℕ‬אינו המודל היחיד שלה עד כדי איזומורפיזם ‪.‬‬ ‫‪ .2‬משפט סקולם‪ -‬לוונהיים‪:‬‬ ‫אם ל‪ T-‬יש מודל‪ ,‬אז יש לה מודל בן‪ -‬מניה‪.‬‬ ‫‪ .3‬מסקנה שלישית‪:‬‬ ‫הבעיה האם פסוק 𝜑 בשפה מסדר ראשון הוא אמת לוגית היא חצי כריעה ‪.‬‬ ‫𝜑 𝐿𝑂𝐹├𝑇 אמ"מ }𝜑¬{⋃𝑇 אינה ספיקה‪ 𝑇, 𝜑 ,‬פסוקים‪.‬‬ ‫בהינתן 𝛤 קבוצה סופית של פסוקים‪ ,‬נסתכל על הבעיה האם היא ספיקה ‪ :‬הבסיס יהיה כאשר 𝛤 לא מכילה כמתים ‪ ,‬ואז אנו ברמה של תחשיב‬ ‫הפסוקים וספיקות במובן ‪ FOL‬שקולה לספיקות במובן תחשיב הפסוקים ‪ .‬הקשר בין ספיקות בשני המובנים ‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫אם ‪ M‬מבנה עבור השפה נגדיר את‬ ‫𝐴 ⊨ 𝑀 ‪𝑡,‬‬ ‫𝑀𝑣‪ ,‬השמה במובן תחשיב הפסוקים ‪ ,‬באופן הב א‪:‬‬ ‫𝑤‪𝑓, 𝑜/‬‬ ‫= )𝐴( 𝑀𝑣‪ ,‬כאשר ‪ A‬פסוק אטומי ‪𝑣𝑀 .‬‬ ‫מוגדרת באופן טבעי לכל פסוק חסר כמתים ‪.‬‬ ‫למה‪ :‬אם 𝜑 פסוק חסר כמתים אז 𝜑 ⊨ 𝑀 אמ"מ 𝑡 = 𝜑 𝑀𝑣 (𝜑 ⊨ 𝑀𝑣 במובן תחשיב הפסוקים )‪ .‬הוכחה באינדוקציה על מבנה 𝜑‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫אם ‪ v‬השמה מקבוצת הפסוקים האטומים של שפה מסדר ראשון‬ ‫‪ L‬אל }𝑓 ‪ {𝑡,‬אז היא מגדירה מבנה הרברנד‬ ‫‪ M‬כך ש‪ 𝑀 ⊨ 𝜑 -‬אמ"מ‬ ‫𝑡 = 𝜑 𝑀𝑣 לכל פסוק חסר כמתים 𝜑‪ M .‬הוא מבנה הרברנד לשפה שבסיס הרברנד שלו הוא קבוצת הפסוקים האטומים ש‪ v -‬נותנת להם ‪.t‬‬ ‫‪11‬‬ ‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬ ‫אריאל סטולרמן‬ ‫פסוק אוניברסלי ‪:‬‬ ‫פסוק מהצורה 𝜓‬ ‫מטריצה‬ ‫𝑛𝑥∀ … ‪ ∀𝑥1‬כאשר 𝜓 נוסחה ללא כמתים ‪.‬‬ ‫רישא‬ ‫משפט סקולם‪:‬‬ ‫בהינתן פסוק 𝜑 יש אלגוריתם הבונה פסוק אוניברסלי ‪ 𝜑′‬כך ש‪ 𝜑-‬ספיק ⇔ ‪ 𝜑′‬ספיק‪.‬‬ ‫אינסטנציה ‪:‬‬ ‫נניח 𝜓 נוסחה ו‪ .𝐹𝑣 𝜓 ⊆ {𝑥1 , … , 𝑥𝑛 } -‬אינסטנציה סגורה של 𝜓 היא פסוק מהצורה } 𝑛𝑥‪ ,𝜓{𝑡1 /𝑥1 , … , 𝑡𝑛 /‬כלומר פסוק המתקבל מהצבת ש "ס‬ ‫במקום המשתנים החופשיים של 𝜓‪.‬‬ ‫משפט הרברנד‪:‬‬ ‫תורה ‪( T‬יכולה להיות סופית ) המורכבת מפסוקים אוניברסליים היא ספיקה במובן ‪ FOL‬אמ"מ קבוצת האינסטנציות הסגורות של מטריצות אברי ‪T‬‬ ‫היא ספיקה במובן של תחשיב הפסוקים ‪.‬‬ ‫שלבים בבדיקה האם 𝜑 𝐿𝑂𝐹├𝛤‪:‬‬ ‫בודקים האם }𝜑{⋃𝛤 ספיקה‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫מעבירים כל פסוק ב‪ 𝛤⋃{𝜑} -‬לצורה פרנקסית נורמלית ‪.∀/∃𝑥1 … ∀/∃𝑥𝑛 𝜓 :‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫עושים סקולומיזציה על הפסוקים שהתקבלו בשלב ‪ ,2‬וכך הופכים כל פסוק לפסוק אוניברסלי ‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫כעת ניתן להסתכל על קבוצת האינסטנציות הסגורות של מטריצות הפסוקים‬ ‫האוניברסליים‪ ,‬ואם נמצא סתירה מיידית נוכל לקבוע ש‪-‬‬ ‫}𝜑{⋃𝛤 אינה ספיקה‪ ,‬ולפיכך 𝜑 𝐿𝑂𝐹├𝛤‪.‬‬ ‫תהליך סקולומיזציה להפיכת פסוק לאוניברסלי ‪:‬‬ ‫תחילה עוברים לצורת ‪:PNF‬‬ ‫‪‬‬ ‫מחליפים שמות משתנים קשורים כך שיהיו ייחודיים לפסוק ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫מוציאים כמתים החוצה בעזרת שקילויות (מצורף בסוף )‪.‬‬ ‫לאחר מכן מבצעים את האלג ' הבא (משפט סקולם)‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫) … ‪ ,∀𝑥1 … ∀𝑥𝑛 ∃𝑦∀ … 𝜑 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝑦, … → ∀𝑥1 … ∀𝑥𝑛 ∀ … 𝜑(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 /𝑦,‬כאשר ‪ f‬סימן פונ' חדש‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫}𝑦 ‪ ,∃𝑦𝜑 𝑦 → 𝜑{𝑐/‬כאשר ‪ c‬קבוע חדש בשפה‪.‬‬ ‫משפט החלפת אקוויוולנטים ‪:‬‬ ‫‪ ,𝐴 ↔ 𝐴′ ├𝑣𝐹𝑂𝐿 𝜑 ↔ 𝜑′‬כאשר ‪ 𝜑′‬מתקבלת מ‪ 𝜑 -‬ע"י החלפת מופעים של 𝐴 ב‪ .𝐴′-‬הוכחה באינדוקציה על מבנה 𝜑‪.‬‬ ‫מסקנה‪:‬‬ ‫אם ‪↔ 𝐴′‬‬ ‫𝐴 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇‬ ‫אז ‪↔ 𝜑′‬‬ ‫𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇‪,‬‬ ‫כאשר ‪ 𝜑′‬מוגדרת כמו קודם ‪.‬‬ ‫אזהרה‪ :‬אין זה נכון תמיד לגבי ‪-t‬נביעה‪ .‬למשל‪𝑥 = 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑐) :‬‬ ‫𝑥∀ 𝐿𝑂𝐹𝑡├‬ ‫𝑐 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑥 ‪ -‬למשל עבור מבנה עם יותר מאיבר אחד ‪,‬‬ ‫כאשר 𝑐 = 𝑥 𝐼‪.‬‬ ‫הערות על שקילויות ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫)𝑥(𝑞𝑥∃⋀ 𝑥 𝑝𝑥∃ לא שקול ל‪ .∃𝑥𝑝 𝑥 ⋀𝑞(𝑥)-‬אלא‪.∃𝑥𝑝 𝑥 ⋀ ∃𝑥𝑞 𝑥 ≡ ∃𝑥∃𝑦(𝑝 𝑥 ⋀𝑞 𝑦 ) :‬‬ ‫‪‬‬ ‫לשים לב‪:‬‬ ‫‪o‬‬ ‫)𝐵 → 𝐴(𝑥∃ ≡ )𝐵𝑥∃( → 𝐴‬ ‫‪o‬‬ ‫)𝐵 → 𝐴(𝑥∀ ≡ 𝐵 → )𝐴𝑥∃(‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫התורה }𝜑𝑦∃ 𝑛𝑥∀ … ‪ 𝑇⋃{∀𝑥1‬ספיקה אמ "מ התורה הבאה ספיקה ‪ ,𝑇⋃{∀𝑥1 … ∀𝑥𝑛 𝜑 𝑓 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 /𝑦 } :‬כאשר ‪ f‬סימן פונקציה חדש בשפה ‪.‬‬ ‫כאשר ‪ 𝑛 = 0‬אז ) …(𝑓 הוא קבוע חדש בשפה ‪ f .‬היא פונקצית סקולם ‪.‬‬ ‫כך ניתן לעבור מתורה (סופית) ‪ T‬לתורת פסוקים אוניברסליים ‪ .𝑇′‬לשים לב‪:‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪‬‬ ‫'‪ T‬מעל השפה ‪ L‬בתוספת סימני הפונקצי ות וקבועים חדשים מתהליכי הסקולומיזציה ‪ ,‬ומבנה לשפה זו > 𝐼 ‪.𝑀 =< 𝐷,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ T‬מעל השפה ‪ ,L‬ומבנה לשפה זה יהיה > 𝐼 ‪ ,𝑀 =< 𝐷,‬כאשר ‪ I‬הוא צמצום ‪ 𝐼′‬לסיגנטורה של ‪.L‬‬ ‫‪′‬‬ ‫אם 𝜑 נוסחה בשפה ‪ L‬ו‪ v-‬השמה ב‪ D-‬אז‪ 𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑 :‬אמ"מ 𝜑 ⊨ 𝑣 ‪.𝑀 ,‬‬ ‫התורה )𝑇(𝑘𝑆‪:‬‬ ‫התורה )𝑇(𝑘𝑆 של תורה ‪ T‬סופית היא תורת הפסוקים האוניברסליים שהתקבלו מסקולומיזציה של פסוקי ‪.T‬‬ ‫‪12‬‬ ‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬ ‫אריאל סטולרמן‬ ‫הערה חשובה‪ :‬התורה )𝑇(𝑘𝑆 והתורה ‪ T‬אינן שקולות‪ ,‬לרוב אינן מעל אותה שפה בכלל (בתורה )𝑇(𝑘𝑆 יתכנו סימנים חדשים בשפה )‪.‬‬ ‫הקשר שמתקיים‪ 𝑆𝑘(𝑇) :‬ספיקה אמ"מ ‪ T‬ספיקה‪.‬‬ ‫כמו כן‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫)𝑇(𝑘𝑆 היא הרחבה משמרת של ‪ ,T‬כלומר אם 𝜑 פסוק בשפה המקורית ‪ ,‬אז 𝜑├)𝑇(𝑘𝑆 ⇔ 𝜑├𝑇‪ .‬אבל‪ ,‬יש נוסחאות יכיחות ב‪𝑆𝑘(𝑇) -‬‬ ‫שאינן יכיחות ב‪.T -‬‬ ‫‪‬‬ ‫כל מודל ‪ M‬של ‪ T‬ניתן להרחבה ע "י מתן פירוש לסימנים החדשים בשפה של )𝑇(𝑘𝑆 למודל 𝑘𝑆𝑀 של )𝑇(𝑘𝑆‪.‬‬ ‫לוגיקות מסדר ראשון עם שוויון ‪:‬‬ ‫" = " שפירושו יחס הזה ות‪ .‬את סימון השוויון במטה שפה נחליף כעת לסימן‬ ‫שפות מסדר ראשון בהן יש יחס דו מקומי‬ ‫" ≅ "‪ .‬נסמן לוגיקה זו‬ ‫=𝐿𝑂𝐹‪ ,‬ומבנה עבור שפה עם שוויון הוא > 𝐼 ‪ 𝑀 =< 𝐷,‬כאשר }𝐷 ∈ 𝑥| > 𝑥 ‪ .𝐼 = ≅ {< 𝑥,‬זהו מבנה נורמלי לשפה עם שוויון‪.‬‬ ‫‪-t‬מודל‪ :‬של נוסחה 𝜑 בשפה ‪ L‬עם שוויון הוא הזוג > 𝑣 ‪ < 𝑀,‬בו ‪ M‬מבנה נורמלי ו‪.𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑 -‬‬ ‫‪-v‬מודל‪ :‬של נוסחה 𝜑 בשפה ‪ L‬עם שוויון הוא מבנה נורמלי ‪ M‬כך ש‪.𝑀 ⊨ 𝜑-‬‬ ‫הגדרות ברורות ל‪ ├𝑣𝐹𝑂𝐿= -‬ול‪.├𝑡𝐹𝑂𝐿= -‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫נניח > 𝐼 ‪ 𝑀 =< 𝐷,‬מודל של אקסיומת השוויון )𝐿(𝑞𝐸 (‪ M‬הוא מבנה עבור השפה ‪ L‬עם סימן ה‪ ,)"=" -‬אז קיים מבנה נורמלי > 𝐼 ‪𝑀 =< 𝐷 ,‬‬ ‫על‬ ‫ופונקציה ‪ 𝐹: 𝐷 → 𝐷′‬כך שלכל השמה ‪ v‬ב‪ D-‬ולכל נוסחה 𝜑 של ‪ .𝑀′ , 𝐹 ∘ 𝑣 ⊨ 𝜑 ⇔ 𝑀, 𝑣 ⊨ 𝜑 :L‬בפרט‪ ,‬אם 𝜑 פסוק‪.𝑀 ′ ⊨ 𝜑 ⇔ 𝑀 ⊨ 𝜑 :‬‬ ‫מסקנה‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫𝜑 =𝐿𝑂𝐹𝑡├𝑇‬ ‫‪.2‬‬ ‫𝜑 =𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇 אמ"מ 𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑣├𝑇⋃ 𝐿 𝑞𝐸‪.‬‬ ‫אמ"מ‬ ‫𝜑 𝐿𝑂𝐹𝑡├𝑇⋃‬ ‫𝐿 𝑞𝐸‪.‬‬ ‫מסקנות נוספות‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫𝜑 =𝐿𝑂𝐹├ אמ"מ 𝜑 𝐿𝑂𝐹├ 𝐿 𝑞𝐸 (כאשר ‪ L‬השפה המינימלית של 𝜑‪ ,‬שהיא סופית )‪ .‬כיוון שהראינו שהבעיה השמאלית חצי כריעה ‪ ,‬אז גם הבעיה‬ ‫𝜑 =𝐿𝑂𝐹├ חצי כריעה‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫משפט הקומפקטיות ‪ :‬נכון ל‪ 𝑇├𝐹𝑂𝐿= 𝜑 :𝐹𝑂𝐿= -‬אמ"מ קיימת 𝑇 ⊆ 𝛤 סופית כך ש‪.𝛤├𝐹𝑂𝐿= 𝜑 -‬‬ ‫טענה שקולה לפי הרדוקציה ‪ 𝑇⋃𝐸𝑞 𝐿 ├𝐹𝑂𝐿 𝜑 :‬אמ"מ קיימת 𝑇 ⊆ 𝛤 סופית כך ש‪ ,𝛤⋃𝐸𝑞 𝐿 ├𝐹𝑂𝐿 𝜑 -‬וזה לפי משפט' הקומפקטיות הרגיל ‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫משפט סקולם‪ -‬לוונהיים‪ :‬נכון גם עבור =𝐿𝑂𝐹‪ :‬אם ל‪ T-‬מודל נורמלי‪ ,‬אז יש לה מודל נורמלי בן מניה ‪.‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫משפט הרברנד ‪ :‬נניח רוצים לבדוק האם 𝜑 =𝐿𝑂𝐹├𝑇 ספיקה‪ ,‬ונניח ‪ T‬סופית (}𝜑{⋃𝑇 פסוקים בלבד )‪ .‬זה מתקיים אמ "מ 𝜑 𝐿𝑂𝐹├ 𝐿 𝑞𝐸⋃𝑇‬ ‫כאשר )𝐿(𝑞𝐸 סופית (כי ‪ T‬סופית)‪ .‬כעת בודקים בתהליך הרגיל של מעבר לצורת ‪ PNF‬ולאחר מכן סקולומיזציה ‪ ,‬כאשר )𝐿(𝑞𝐸 לאורך תהליך‬ ‫זה נשארת אותו דבר כיוון שהיא כבר בצורה אוניברסלית‬ ‫‪ .‬אין צורך להוסיף בסוף התהליך ל‪-‬‬ ‫) ‪ 𝐿′( 𝐸𝑞(𝐿′‬השפה החדשה שהתקבלה‬ ‫מסקולומיזציה ) התייחסות לסימנים החדשים ‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫מערכת =𝑳𝑶𝑭𝑯‪ :‬מתקבלת כאשר מוסיפים ל‪ HFOL -‬של שפה מסדר ראשון ‪ L‬את קבוצת האקסיומות )𝐿(𝑞𝐸‪ .‬מתקיים משפט השלמות ‪.‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫מערכת =𝑳𝑶𝑭𝑫𝑵‪ :‬מתקבלת כאשר מוסיפים ל‪ NDFOL -‬את 𝑡 = 𝑡 ⇒ 𝛤 בתור אקסיומה לכל ש "ע 𝑡‪ ,‬וכן את הכלל הבא ‪:‬‬ ‫כלל הפרמודולציה‪:‬‬ ‫𝑥‪𝛤⇒𝑡=𝑠 𝛤⇒𝜑 𝑡/‬‬ ‫𝑥‪𝛤⇒𝜑 𝑠/‬‬ ‫‪ ,‬כאשר ‪ s,t‬חופשיים להצבה במקום 𝑥 ב‪.𝜑-‬‬ ‫הרחבה ע"י הגדרות בשפות מסדר ראשון ‪:‬‬ ‫הכנסת סימני יחס ‪:‬‬ ‫עבור 𝜑 נוסחה בשפה ‪ T ,L‬תורה ב‪ L -‬ו‪ 𝐹𝑣 𝜑 = {𝑥1 , … , 𝑥𝑛 }-‬מגדירים שפה חדשה ‪ 𝐿′‬המתקבלת מ‪ L -‬ע"י שמוסיפים לה סימן יחס חדש 𝜑𝑃 ומ‪T-‬‬ ‫יוצרים את }𝜑 ↔ 𝑛𝑥 ‪ .𝑇 ′ = 𝑇⋃{∀𝑥1 … ∀𝑥𝑛 𝑃𝜑 𝑥1 , … ,‬מתקיים‪ :‬אם ‪ A‬נוסחה ב‪ L-‬אז 𝐴 ⊨ ‪ ,𝑇 ⊨ 𝐴 ⇔ 𝑇 ′‬כלומר '‪ T‬הרחבה משמרת של ‪.T‬‬ ‫הכנסת סימני פונקציה ‪:‬‬ ‫נניח כמו קודם רק ש‪ L -‬שפה עם שוויון ‪ ,‬ונניח 𝜑𝑦 !∃ 𝑛𝑥∀ … ‪( 𝑇├∀𝑥1‬שקול ל‪ .)∀𝑥1 … ∀𝑥𝑛 ∃𝑦∀𝑧(𝜑 𝑧/𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑦 ) -‬אפשר להוסיף סימן‬ ‫פונקציה חדש 𝜑𝑓 ולקבל מ‪ T-‬תורה‬ ‫𝑦‪ .𝑇 ′ = 𝑇⋃ ∀𝑥1 … ∀𝑥𝑛 𝜑 𝑓 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 /‬גם כאן '‪ T‬הרחבה משמרת של ‪.T‬‬ ‫כאשר עובדים בשפה רב סוגית‪:‬‬ ‫למשל אלגברה לינארית בה יש סקאלרים ווקטורים ‪ ,‬מתרגמים את כל הסימנים לשפה חד סוגית שמכילה את כל סימני השפה הדו‪ -‬סוגית‪ ,‬ובנוסף‬ ‫יש בה סימני יחס חד מקומיים 𝑣 ‪.𝑠,‬‬ ‫תהי 𝑟𝑇 פונ' תרגום‪ .‬התרגום‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫לכל שני משתנים שונים של השפה הדו סוגית יותאם תרגום ‪.𝑇𝑟[𝑥 𝑠 ], 𝑇𝑟[𝑥 𝑣 ] :‬‬ ‫‪13‬‬ ‫לוגיקה למדמ"ח‪ ,‬סמסטר ב' ‪2009‬‬ ‫‪‬‬ ‫לכל קבוע ‪.𝑇𝑟[𝑐] = 𝑐 :c‬‬ ‫‪‬‬ ‫לפונקציות‪= 𝑓(𝑇𝑟 𝑡1 , … , 𝑇𝑟 𝑡𝑛 ) :‬‬ ‫‪‬‬ ‫סימני יחס‪:‬‬ ‫𝑛𝑡 ‪𝑇𝑟 𝑓 𝑡1 , … ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫) 𝑛𝑡 𝑟𝑇 ‪= 𝑃(𝑇𝑟 𝑡1 , … ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫]𝐵[𝑟𝑇⋀ 𝐴 𝑟𝑇 = 𝐵⋀𝐴 𝑟𝑇‪ ,‬באופן דומה לשאר הקשרים ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫) 𝜑 𝑟𝑇 → 𝑥 𝑠(𝑥∀ = 𝜑 𝑠 𝑥∀ 𝑟𝑇‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫אריאל סטולרמן‬ ‫𝑛𝑡 ‪.𝑇𝑟 𝑃 𝑡1 , … ,‬‬ ‫𝑣‬ ‫) 𝜑 𝑟𝑇⋀ 𝑦 𝑣(𝑦∃ = 𝜑 𝑦∃ 𝑟𝑇‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫𝜑├𝑇 בלוגיקה הרב סוגית אמ "מ ]𝜑[𝑟𝑇├]𝑇[𝑟𝑇⋃ ‪ , 𝑆𝑖𝑔𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒 𝐴𝑥.‬כאשר אקס' הסיגנטורה לדוגמא ‪.∀𝑥∀𝑦(𝑠 𝑥 ⋀𝑠 𝑦 → 𝑠 𝑥+𝑠 𝑦 ) :‬‬