‫סיכום נקודות בלוגיקה‬ ‫תזכורות ממתמטיקה בדידה‬ ‫מיו ࣆ – קשר )ܣ ‪ (ߤ݊.‬שמשמעותו ה‪ n-‬הטבעי הראשון שמקיים את ‪.A‬‬ ‫איוטה ࣃ – קשר )ܣ ‪.‬ݔߡ( שמשמעותו ה‪ x-‬היחיד המקיים את ‪.A‬‬ ‫࡮‪) ࡭ઢ‬ההפרש הסימטרי( – כל האיברים שנמצאים בדיוק באחת מהקבוצות ‪ A‬ו‪.B-‬‬ ‫ניתן להתייחס לפונקציה כיחס המקיים תנאי החד‪-‬ערכיות‪.∀ܽ∀ܾଵ ∀ܾଶ . < ܽ, ܾଵ >∈ ݂ ∧< ܽ, ܾଶ >∈ ݂ → ܾଵ = ܾଶ :‬‬ ‫פונקציה חלקית מ‪ A-‬ל‪ B-‬היא יחס מ‪ A-‬ל‪ B-‬המקיים את תנאי החד‪-‬ערכיות הנ"ל‪.‬‬ ‫‪ R‬יחס סדר על ‪ .A‬ההגדרות יחסית ל‪.A-‬‬ ‫פונקציה מ‪ A-‬ל‪ B-‬היא פונקציה חלקית ‪ f‬מ‪ A-‬ל‪ B-‬המקיימת‪:‬‬ ‫רפלקסיבי ܴܽܽ ‪.‬ܣ ∈ ܽ∀‬ ‫ି‬ ‫݂ ∈> ܾ ‪. < ܽ,‬ܤ ∈ ܾ∃ܣ ∈ ܽ∀‪.‬‬ ‫אי רפלקסיבי )ܴܽܽ( ‪.‬ܣ ∈ ܽ∀‬ ‫אם ‪ R‬הוא יחס‪ ,‬אז היחס ההפוך ‪ ܴ ିଵ‬מוגדר ע"י‬ ‫}ܴ ∈> ܾ ‪.ܴ ିଵ = {< ܾ, ܽ > | < ܽ,‬‬ ‫ܵ ∘ ܴ הרכבה של יחסים המוגדרת‬ ‫}ܴ ∈> ܿ ‪. < ܽ, ܾ >∈ ܵ ∧< ܾ,‬ܤ ∈ ܾ∃|ܥݔܣ ∈> ܿ ‪.ܴ ∘ ܵ = {< ܽ,‬‬ ‫יחס ‪ R‬על קבוצה ‪ A‬נקרא רפלקסיבי אם ݔܴݔ ‪.‬ܣ ∈ ݔ∀‪.‬‬ ‫יחס ‪ R‬נקרא אי רפלקסיבי אם )ݔܴݔ( ି‪.‬ݔ∀‪.‬‬ ‫אם מתקיים )ݔܴݔ( ି‪.‬ܣ ∈ ݔ∀‪ ,‬היחס נקרא אי רפלקסיבי על ‪.A‬‬ ‫יחס ‪ R‬נקרא טרנסיטיבי אם ݖܴݔ → ݖܴݕ ∧ ݕܴݔ ‪.‬ݖ∀ݕ∀ݔ∀‪.‬‬ ‫יחס ‪ R‬נקרא סימטרי אם ݔܴݕ → ݕܴݔ ‪.‬ݕ∀ݔ∀‪,‬‬ ‫אנטי סימטרי חזק אם )ݔܴݕ( ି→ ݕܴݔ ‪.‬ݕ∀ݔ∀‬ ‫ואנטי סימטרי )חלש( אם ݕ = ݔ → ݔܴݕ ∧ ݕܴݔ ‪.‬ݕ∀ݔ∀‪.‬‬ ‫יחס ‪ R‬יקרא יחס סדר חלקי על ‪ A‬אם הוא רפלקסיבי‪ ,‬אנטי סימטרי וטרנזיטיבי‪.‬‬ ‫יחס סדר חלקי יקרא מלא על ‪ A‬אם מתקיים גם כי ݔܴݕ ∨ ݕܴݔ ‪.‬ܣ ∈ ݕ∀ܣ ∈ ݔ∀‪.‬‬ ‫סימטרי‬ ‫∀‬ ‫אנטי סימטרי‬ ‫∀‬ ‫אנטי סימטרי חזק‬ ‫∀‬ ‫טרנסיטיבי‬ ‫∀‬ ‫יחס סדר חלקי‬ ‫‪ R‬רפלקסיבי‪ ,‬אנטי סימטרי וטרנזיטיבי‬ ‫יחס סדר מלא‬ ‫‪ R‬יחס סדר חלקי ובנוסף מתקיים‬ ‫∀‬ ‫יחס סדר חלקי חזק‬ ‫‪ R‬אי רפלקסיבי וטרנסיטיבי‬ ‫יחס סדר מלא חזק‬ ‫יחס ‪ R‬יקרא יחס סדר חלקי חזק על ‪ A‬אם הוא טרנסיטיבי ואי רפלקסיבי על ‪.A‬‬ ‫‪ R‬יחס סדר חלקי חזק ובנוסף מתקיים‬ ‫יחס כזה יקרא מלא על ‪ A‬אם מתקיים ݕ = ݔ ∨ ݔܴݕ ∨ ݕܴݔ ‪.‬ܣ ∈ ݕ∀ܣ ∈ ݔ∀‪.‬‬ ‫∀‬ ‫יחס שקילות‬ ‫יחס ‪ R‬יקרא שקילות על ‪ A‬אם הוא רפלקסיבי על ‪ ,A‬סימטרי וטרנזיטיבי‪.‬‬ ‫‪ R‬רפלקסיבי‪ ,‬סימטרי וטרנסיטיבי‬ ‫אם ‪ R‬הוא יחס שקילות‪ ,‬מחלקת השקילות של ‪ x‬לפי ‪ R‬היא }ݕܴݔ|ܣ ∈ ݕ{ = ‪ሿோ‬ݔ‪.ሾ‬‬ ‫מחלקת שקילות &|ܣ ∈ ݕ{ = ‪ሿோ‬ݔ‪.ሾ‬‬ ‫אם ‪ R‬יחס שקילות על ‪ ,A‬קבוצת המנה של ‪ R‬על ‪ A‬היא }ܣ ∈ ݔ| ‪ሿோ‬ݔ‪/ܴ = {ሾ‬ܣ‪.‬‬ ‫קבוצת מנה ∈ | ‪./ = {)*+‬‬ ‫לוגיקה‬ ‫יחס נביעה ⊢ היא יחס בין קבוצות של נוסחאות לנוסחאות המקיים "רפלקסיביות" )ܣ ⊢ ܶ → ܶ ∈ ܣ(‪,‬‬ ‫מונוטוניות )אם ܣ ⊢ ܶ וגם ܵ ⊆ ܶ אז ܣ ⊢ ܵ( ו"טרנסיטיביות" )אם ߮ ⊢ ܶ ו‪ ܶ, ߮ ⊢ ߰-‬אז ߰ ⊢ ܶ(‪.‬‬ ‫תחשיב הפסוקים הקלאסי )‪(CPL‬‬ ‫מוגדר מעל הא"ב‪ :‬פסוקים אטומיים )…‪ ,(p1,p2,p3‬קשרים → ‪ −,∨,∧,‬וסוגריים‪ .‬הקטגוריה הסינטקטית היא נוסחה )או‬ ‫פסוק( כאשר‬ ‫‪ .1‬כל פסוק אטומי הוא נוסחה‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם ߰ ‪ ߮,‬נוסחאות אז )߰ → ߮( ‪ – ߮, (߮ ∧ ߰), (߮ ∨ ߰),‬נוסחאות‪.‬‬ ‫טענות על נוסחאות ב‪) CPL-‬להוכחה שמשהו אינו נוסחה(‪ :‬מספר הסוגרים הימיניים והשמאליים שווה‪ ,‬בין כל ‪ 2‬פסוקים‬ ‫אטומים מופיע קשר‪ ,‬קשר "וגם" אינו יכול להופיע בצמוד לסוגר‪ ,‬מספר הסוגיים השמאליים שווה למספר הקשרים‬ ‫הבינאריים‪ ,‬מילה ב‪ CPL-‬אינה מתחילה בסוגר ימיני‪.‬‬ ‫הגדרה סמנטית לנביעה– ב‪ CPL-‬ה"מבנה" נקרא "השמה" )פונקציה ‪ v‬מקבוצת הנוסחאות אל }‪ {t,f‬המקיימת‪:‬‬ ‫}→ ‪(߰)൯, ⋄= {∨,∧,‬ݒ ‪(߮),‬ݒ‪(߮ ⋄ ߰) =⋄∗ ൫‬ݒ ‪(߮)൯,‬ݒ‪(−߮) = −∗ ൫‬ݒ כאשר ∗ ܺ היא פונקצית האמת המתאימה ל‪.(X-‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫נוסחה תקרא טאוטולוגיה )סימון ‪(⊢;<= 0‬אם כל השמה היא מודל שלה‪.‬‬ ‫למה‪) ∅ ⊢?@A B ↔⊢DEF G :‬כי כל השמה היא מודל של הקבוצה הריקה(‪.‬‬ ‫תורה ספיקה אם יש לה מודל‪ .‬בהתאם‪ ,‬תורה אי ספיקה היא תורה שאין לה מודל‪ .‬פסוק ללא מודל נקרא סתירה‪.‬‬ ‫פסוקים ‪ A, B‬שקולים לוגית אם לכל השמה ‪ v‬מתקיים ‪ v[A]=t‬אמ"ם ‪.v[B]=t‬‬ ‫נשים לב שטאוטולוגיה נובעת מכל תורה ושכל נוסחה נובעת מנוסחה שהיא סתירה‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬פסוקים ‪ A, B‬שקולים לוגית אמ"ם ‪.⊢;<= $ → % ∧ $ → %‬‬ ‫טענה‪ :‬יהי ‪ A‬פסוק ו‪ v, v'-‬השמות כלשהן‪ .‬אם לכל *)‪ H ∈ I‬מתקיים ]‪ v'[p]=v[p‬אז ]‪) v[A]=v'[A‬אינדוקציה מבנית(‪.‬‬ ‫קבוצת הנוסחאות האטומיות של ‪ 0‬מוגדרת כך‪:‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫‪.I)H* = {H‬‬ ‫*‪.I)−0* = I)0‬‬ ‫*‪ I)$0 ⋄ 1%* = I)0*⋃I)1‬עבור → ‪.⋄= {∨,∧,‬‬ ‫קבוצת תת הנוסחאות של ‪ A‬מוגדרת כך‪:‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫‪.!)H* = {H‬‬ ‫{ ∪ *)! = *‪.!)−‬‬ ‫‪ !)$ ⋄ %* = !)*⋃!)* ∪ {$ ⋄ %‬עבור → ‪.⋄= {∨,∧,‬‬ ‫‪M‬‬ ‫הצבה‪ :‬אם ‪ 0,A‬נוסחאות ו‪ p-‬פסוק אטומי‪ ,‬אז ‪ 0 LNO‬הינו הפסוק המתקבל מ‪ 0-‬ע"י הצבת ‪ A‬במקום ‪ p‬ומוגדר כך‪:‬‬ ‫•‬ ‫‪Q‬‬ ‫אם ‪ 0 = H‬אז ‪.φ LR O = A‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪.φ LR O‬‬ ‫•‬ ‫אם ‪ 0 = T‬כאשר ‪ T ≠ H‬אז ‪= q‬‬ ‫•‬ ‫אם ‪ 0 = −1‬אז ‪.φ LR O = −ψ LR O‬‬ ‫•‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫אם ‪ 0 = $ψ ⋄ ψ %‬אז ‪ φ L O = $ψ L O ⋄ ψ L O%‬עבור → ‪.⋄= {∨,∧,‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪M X‬‬ ‫הערה‪ 0 LN , Y , … O :‬מציין הצבה סימולטנית‪.‬‬ ‫משפט ההצבה‪ :‬יהיו ‪ 0‬נוסחה‪ v ,‬השמה‪ T , … , T[ ,‬נוסחאות אטומיות שונות זו מזו ו‪ A1,…,An-‬נוסחאות )לא בהכרח‬ ‫שונות(‪ .‬תהי '‪ v‬השמה כך שאם ‪ p=qi‬אז )‪ .v'(p)=v(Ai‬אחרת‪ v'(p)=v(p) ,‬אזי ‪.4 \ $0% = 4$0{ /H , … , [ /H[ %‬‬ ‫טענה‪ :‬אם '‪ v, v‬השמות כך ש‪ v'(p)=v(p)-‬לכל *‪ H ∈ I)0‬אז )‪) v'(0)=v(0‬הוכחה באינדוקציה מבנית(‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬אם =<;⊢ ‪ .‬ו‪ ]-‬הצבה אז ‪.]$.% ⊢ ]$%‬‬ ‫משפט ההחלפה‪ :‬נניח ‪ v‬השמה‪ A ,‬נוסחה ו‪ p-‬פסוק אטומי‪ ,‬נגדיר השמה '‪ v‬כך שאם ‪ q=p‬אז ]‪ ,v'[q]=v[A‬אחרת‬ ‫]‪ q) v'[q]=v[q‬פסוק אטומי(‪ .‬אז לכל פסוק ‪ B‬מתקיים ]}‪.v'[B]=v[B{A/p‬‬ ‫רדוקציות לשאלת נביעה‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫‪ . ⊢;<= 0‬אמ"ם ‪ . ∪ {−0‬אינה ספיקה‪.‬‬ ‫לתורות סופיות – ‪ {1 , 1 , … , 1[ ⊢;<= 0‬אמ"ם הפסוק ‪ $1 ∧ 1 ∧ … ∧ 1[ % → 0‬הוא טאוטולוגיה‪.‬‬ ‫משפט הקומפקטיות‬ ‫‪ T .1‬ספיקה אמ"ם כל קבוצה סופית חלקית שלה היא ספיקה‪.‬‬ ‫‪ . ⊢;<= 0 .2‬אמ"ם יש ‪ Γ ⊆ .‬סופית כך ש‪.Γ ⊢;<= 0-‬‬ ‫הגדרה סינטקטית לנביעה– ‪ . ⊢_<; 0‬אם ל‪ φ-‬יש הוכחה מ‪.T-‬‬ ‫הוכחה של פסוק ‪ φ‬מתורה ‪ T‬ב‪ HPC-‬היא סדרה סופית של פסוקים כך שהפסוק האחרון בסדרה הוא ‪ .φ‬כל איבר‬ ‫בסדרה הוא אקסיומה של ‪ ,HPC‬איבר של ‪ T‬או פסוק שמתקבל משני פסוקים קודמים בסדרה בעזרת היסק ‪.MP‬‬ ‫טענה‪ . ⊢_<; 0 :‬אמ"ם יש ‪ Γ ⊆ .‬סופית כך ש‪.Γ ⊢_<; 0-‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫משפט הנאותות והשלמות ‪ .⊢`ab =⊢ca` -‬הוכחת נאותות ) ‪ (⊢ca` →⊢`ab‬מוכיחים באמצעות אינדוקציה על אורך‬ ‫ההוכחה‪ .‬הוכחת שלמות ) `‪ (⊢`ab →⊢ca‬היא ארוכה ומציקה‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬אם לכל פסוק ‪ A‬ב‪ T1-‬מתקיים ;<_⊢ ‪ .‬אז לכל פסוק ‪ ,B‬אם ;<_⊢ ‪ .‬אז ;<_⊢ ‪..‬‬ ‫משפט הדדוקציה הסמנטי ‪ . ∪ { ⊢;<= -‬אמ"ם → =<;⊢ ‪..‬‬ ‫משפט הדדוקציה הסינטקטי ‪ . ∪ { ⊢_<; -‬אמ"ם → ;<_⊢ ‪) .‬אינדוקציה על ההוכחה(‪ .‬המשפט נכון עבור‬ ‫כל מערכת נוסח הילברט בה קיימות האקסיומות ‪ I1‬ו‪ I2-‬ו‪ MP-‬הוא כלל ההיסק היחיד עבור שפה עם קשר הגרירה‪.‬‬ ‫בנק דוגמאות‬ ‫‪" .1‬אם ו‪ → -‬ספיקות אז ‪ B‬ספיקה" – דוגמה נגדית‪ A=p :‬ו‪. = $T ∧ −T%-‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬