ˇ
STEVILSKI
SISTEMI S KOMPLEKSNIMI OSNOVAMI
ˇ C
ˇ
JANKO BRACI
Predstavljeni so ˇstevilski sistemi, ki imajo za osnovo Gaussovo celo ˇstevilo b =
−n ± i, n ∈ N, in mnoˇzico ˇstevk D = {0, 1, ..., n2 }.
NUMBER SYSTEMS WITH COMPLEX BASES
Number systems which have for base Gaussian integer b = −n ± i, n ∈ N, and
set of digits is D = {0, 1, ..., n2 }, are presented.
1. Obiˇcajno za osnovo ˇstevilskega sistema vzamemo naravno ˇstevilo b ≥ 2,
mnoˇzico ˇstevk pa predstavlja D = {0, 1, ..., b − 1} — mnoˇzica vseh nenegativnih ostankov pri deljenju z b. V takem ˇstevilskemP
sistemu lahko vsako
j
nenegativno celo ˇstevilo w enoliˇcno zapiˇsemo kot w = M
j=0 aj b , kjer je M
nenegativno celo ˇstevilo, ˇstevila aj pa so ˇstevke iz D. Ne moremo pa v tem
sistemu zapisati na opisani naˇcin negativnih celih ˇstevil.
Vzemimo za bazo ˇstevilskega sistema negativno celo ˇstevilo b < −1,
mnoˇzico ˇstevk D pa naj sestavljajo ˇstevila 0, 1, ..., |b| − 1.
1.1. Trditev. V ˇstevilskem sistemu, ki ima za bazo negativno celo ˇstevilo
b < −1 in mnoˇzico ˇstevk D = {0, 1, ..., |b| − 1}, lahko vsako celo ˇstevilo w
zapiˇsemo kot
M
X
w=
aj bj , aj ∈ D, j = 0, 1, ..., M.
(1.1)
j=0
ˇ je −|b| ≤ w < 0, potem
Dokaz. Naj bo w ∈ Z poljubno celo ˇstevilo. Ce
0
je |b| + w ∈ D. Iz w = (|b| + w).b + 1.b sledi, da za cela ˇstevila iz mnoˇzice
{−|b|, ..., −1} trditev velja. Oˇcitno trditev velja tudi za ˇstevila iz mnoˇzice
{0, ..., |b| − 1}. Tako smo ugotovili, da lahko vsako celo ˇstevilo w iz mnoˇzice
{−|b|, −|b| + 1, ..., |b| − 1} zapiˇsemo kot
w = a0 + a1 b, a0 , a1 ∈ D.
(1.2)
Vzemimo zdaj, da je |w| ≥ |b|.
Po izreku o deljenju obstajata takˇsni celi ˇstevili w1 in a0 ∈ D, da je
w = w1 b + a0 .
(1.3)
Od tod zaradi |w| ≥ |b| > a0 in |b| ≥ 2 sledi neenakost
|w1 | ≤
|w| + a0
2|w|
<
≤ |w|.
|b|
|b|
ˇ je −|b| + 1 ≤ |w1 | ≤ |b| − 1, potem lahko — podobno kot prej — ˇstevilo
Ce
w1 zapiˇsemo kot
w1 = a1 + a2 b, a1 , a2 ∈ D.
Ta enakost in (1.3) nam dasta
w = (a1 + a2 b)b + a0 = a0 + a1 b + a2 b2 .
1
2
V primeru, ko je |w1 | ≥ |b|, postopek ponovimo: ˇstevilo w1 zapiˇsemo v obliki
w1 = w2 b + a1 , kjer je w2 celo ˇstevilo, za katero velja |w2 | < |w1 |, ˇstevilo a1
pa je ˇstevka iz D.
Ker za dobljeno zaporedje ˇstevil w, w1 , w2 , ... velja |w| > |w1 | > |w2 | >
..., ima pravkar opisani postopek svoj konec. Obstaja takˇsen indeks k, da je
|wk | < |b|. Tedaj iz (1.2) sledi, da je
wk = ak + ak+1 b, ak , ak+1 ∈ D.
Ta enakost skupaj s prejˇsnjimi nam da
w = a0 + a1 b + ... + ak+1 bk+1 .
Algoritem, ki smo ga uporabili v dokazu trditve 1.1., je dobro poznan
Evklidov algoritem. Njegova uspeˇsna uporaba v dokazu sloni na dveh dejstvih: mnoˇzica Z je kolobar1, v katerem Evklidov algoritem velja in dejstvu,
da smo za mnoˇzico ˇstevk D vzeli vse nenegativne ostanke, ki jih dobimo pri
deljenju s ˇstevilom b in ki ne presegajo ˇstevila |b|−1 — za D smo vzeli enega
od popolnih sistemov ostankov po modulu b.
2. Gaussova cela ˇstevila so tista kompleksna ˇstevila, katerih realna in
imaginarna komponenta sta realni celi ˇstevili. Mnoˇzico vseh Gaussovih celih
ˇstevil bomo oznaˇcili z Z[i], torej
Z[i] = {n + i m : n, m ∈ Z}.
Za operaciji seˇstevanja in mnoˇzenja v C je Z[i] kolobar.
V nadaljevanju bomo dokazali posploˇsitev trditve 1.1. na kolobar Z[i],
najprej pa se nekoliko pobliˇze seznanimo z Gaussovimi celimi ˇstevili.
Vsakemu kompleksnemu ˇstevilu α = a + i b lahko priredimo normo —
ˇ je α
nenegativno ˇstevilo N (α) = a2 + b2 . Ce
¯ = a − i b konjugirana vrednost
ˇstevila α, potem lahko normo ˇstevila α zapiˇsemo tudi kot N (α) = αα
¯.
Hitro se lahko prepriˇcamo, da za poljubni kompleksni ˇstevili α in β velja
N (αβ) = N (α)N (β).
Naslednjo trditev bi lahko imenovali izrek o deljenju v kolobarju Z[i].
Dokaz najdemo v [4].
ˇ sta w in z 6= 0 poljubni ˇstevili iz kolobarja Z[i], potem
2.1. Trditev. Ce
obstajata ˇstevili q in r v Z[i], za kateri velja
w = qz + r
(2.1)
in je N (r) < N (z).
ˇ
Stevili
q in r v trditvi 2.1. nista enoliˇcno doloˇceni. Za primer lahko
vzamemo w = 2 + i in z = 1 + i.
2.2. Definicija. Naj bo b 6= 0 Gaussovo celo ˇstevilo. Mnoˇzica R ⊂ Z[i]
je popoln sistem ostankov pri deljenju z b, ˇce lahko pri vsakem Gaussovem
celem ˇstevilu w najdemo takˇsni ˇstevili q in r v Z[i], da velja w = qb + r in
je r ∈ R.
1Definicijo kolobarja lahko bralec najde v [4].
3
ˇ za osnovo ˇstevilskega sistema vzamemo ˇstevilo b ∈ Z[i], N (b) ≥ 2,
Ce
potem je smiselno, da za mnoˇzico ˇstevk vzamemo popoln sistem ostankov
pri deljenju z b, saj sicer nekaterih Gaussovih celih ˇstevil ne bi mogli izraziti
v obliki (1.1). V nadaljevanju bomo torej za mnoˇzico ˇstevk D ˇstevilskega
sistema, katerega osnova je ˇstevilo b ∈ Z[i], N (b) ≥ 2, privzeli, da je popoln
sistem ostankov pri deljenju z b.
V sploˇsnem Gaussovo celo ˇstevilo b nima popolnega sistema ostankov
sestavljenega iz samih nenegativnih celih ˇstevil.
Dokaˇzimo zdaj trditev, ki pove, kdaj popoln sistem ostankov pri deljenju
z b ∈ Z[i] sestavljajo ˇstevila 0, 1, ..., N (b) − 1. To trditev je znal dokazati
ˇze Gauss.
ˇ je b = n + i m, N (b) ≥ 2, takˇsno Gaussovo celo ˇstevilo,
2.3. Trditev. Ce
da sta si ˇstevili n in m tuji, potem je mnoˇzica {0, 1, ..., n2 + m2 − 1} popoln
sistem ostankov pri deljenju z b.
Dokaz. Ker je N (b) ≥ 2 in sta si n ter m tuji ˇstevili, mora veljati n 6= 0
in m 6= 0.
Naj bo w = a + i b poljubno ˇstevilo iz Z[i]. Trditev 2.1. nam zagotavlja,
da obstajata takˇsni Gaussovi celi ˇstevili q in r, za kateri velja w = q b + r
in je N (r) < N (b). Pokazati ˇzelimo, da lahko q in r izberemo tako, da je
0 ≤ r ≤ N (b) − 1. Iˇsˇcemo torej takˇsna cela ˇstevila x, y in z, za katera velja
a + i b = (x + i y)(n + i m) + z
(2.2)
in
0 ≤ z ≤ n2 + m2 − 1.
Enaˇcbo (2.2) lahko zapiˇsemo kot sistem dveh enaˇcb
a = nx − my + z
(2.3)
b = mx + ny
z neznankami x, y in z. Ko izloˇcimo neznanko y, dobimo linearno diofantsko
enaˇcbo
(n2 + m2 )x + n z = a n + b m,
(2.4)
z neznankama x in z.
Ker sta si ˇstevili m in n tuji, sta si tuji tudi ˇstevili n2 + m2 in n. Zato
ima enaˇcba (2.4) druˇzino reˇsitev dano s formulo
x = x0 + nt
z = z0 − (n2 + m2 )t, t ∈ Z,
kjer je (x0 , z0 ) ena od reˇsitev te enaˇcbe (glej na primer [2]). Z ustrezno
izbiro parametra t lahko najdemo reˇsitev (x, z), ki ustreza pogoju 0 ≤ z ≤
n2 + m2 − 1. Izberimo ta par in postavimo r = z. Iz sistema (2.3) dobimo ˇse
ˇstevilo y, tako da je q = x + i y. Ni se teˇzko prepriˇcati, da tak y obstaja. Pogoj, da sta m in n tuji ˇstevili, v trditvi 2.3. ni odveˇc. Poglejmo naslednji
primer.
4
Naj bo b = 2 + 2i in w = 2 + i. Vzemimo, da obstajata takˇsno Gaussovo
celo ˇstevilo q = x + iy in r ∈ Z, da velja
2 + i = (2 + 2i)(x + iy) + r.
Potem velja enakost 1 = 2x + 2y, ki ji ne more zadoˇsˇcati noben par celih
ˇstevil x in y.
V ˇstevilskem sistemu z osnovo b ∈ Z[i] bi radi izrazili vsa Gaussova cela
ˇstevila. Toda, ˇce je b = n + i m, potem je imaginarna komponenta vsake
potence bk , k = 1, 2, ... deljiva z m, o ˇcemer se ni teˇzko prepriˇcati. Ker smo
privzeli, da so v D ˇstevila 0, 1, ..., n2 + m2 − 1, ima vsako ˇstevilo oblike
P
M
j
j=0 aj b imaginarno komponento deljivo z m. Se pravi, da Gaussovo celo
ˇstevilo b, katerega imaginarna komponenta po absolutni vrednosti presega
1, ne more biti osnova ˇstevilskega sistema s ˇstevkami 0, 1, ..., N (b) − 1, v
katerem so izrazljiva vsa ˇstevila iz Z[i]. Oˇcitno je tako tudi v primeru, ko je
m = 0. Preostaneta nam torej le moˇznosti b = n + i in b = n − i. Vendar
tudi pri takˇsnih Gaussovih ˇstevilih ne dobimo vedno ˇstevilskega sistema z
ˇzeljenimi lastnostmi.
2.4. Izrek. V ˇstevilskem sistemu z osnovo b in z mnoˇzico ˇstevk D =
{0, 1, ..., N (b) − 1} je mogoˇce izraziti vsa ˇstevila w iz Z[i] kot
w=
M
X
aj bj , aj ∈ D,
(2.5)
j=0
natanko tedaj, ko je b = n + i ali b = n − i in je n negativno celo ˇstevilo.
Pri tem so ˇstevke aj v (2.5) enoliˇcno doloˇcene z w.
ˇ je mogoˇce vsa Gaussova cela ˇstevila izraziti v sistemu z osDokaz. Ce
novo b = n + i m in z mnoˇzico ˇstevk D = {0, 1, ..., N (b) − 1}, potem D
seveda mora biti popoln sistem ostankov pri deljenju s ˇstevilom b. Prav tako
smo ˇze ugotovili, da mora imeti imaginarna komponenta ˇstevila b absolutno
vrednost enako 1. Odslej bomo torej smatrali, da je m ∈ {−1, 1}.
Najprej dokaˇzimo enoliˇcnost. Predpostavimo, da obstaja ˇstevilo w ∈ Z[i],
ki ga lahko zapiˇsemo na dva razliˇcna naˇcina v obliki (2.5):
w = r0 + r1 b + ... + rk bk = s0 + s1 b + ... + sk bk , ri , si ∈ D.
(2.6)
Tu smo privzeli, da je najviˇsja potenca ˇstevila b, ki v obeh zapisih nastopa,
bk , vendar ni izkljuˇcena moˇznost, da so koeficienti pri najviˇsjih potencah v
katerem od zapisov enaki 0.
Iz (2.6) sledi
0 = (r0 − s0 ) + (r1 − s1 )b + ... + (rk − sk )bk ,
(2.7)
kar pomeni, da imata ˇstevili r0 in s0 pri deljenju z b isti ostanek iz D. Ker pa
ˇ (2.7) delimo z b, dobimo
sta ti dve ˇstevili obe v D, mora veljati r0 = s0 . Ce
0 = (r1 − s1 ) + ... + (rk − sk )bk−1 .
Podobno kot prej vidimo, da je r1 = s1 . Na koncu postopka torej dobimo
r0 = s0 , r1 = s1 , ..., rk = sk ,
kar smo hoteli pokazati.
5
Vzemimo, da je n > 0. Pokazali bomo, da se v tem primeru ˇstevilo w =
(1 − n) + i m = 1 − ¯b ne da izraziti v obliki (2.5).
Pa vzemimo, da velja nasprotno, torej
w = a0 + a1 b + ... + ak bk , aj ∈ D za vsak j.
(2.8)
Naj bo
r = w(1 − b) = (1 − n2 ) + m2 = n2 + m2 − 2n + 1.
Ker je n ≥ 1, je r ∈ D. Upoˇstevajmo (2.8), pa imamo
r = a0 + (a1 − a0 )b + ... + (ak − ak−1 )bk − ak bk+1 .
Ker je zapis en sam, od tod sledi
a0 = r, a1 − a0 = 0, ... , ak − ak−1 = 0, ak = 0,
torej je tudi r = 0. Toda potem je n = 1 in m = 0, kar ni res. Se pravi, da
mora veljati n < 0.
Dokaˇzimo ˇse zadostnost pogoja. Naj bo najprej ˇstevilo b = −n+i, n ∈ N,
osnova ˇstevilskega sistema. Kot smo videli v trditvi 2.3., je v tem primeru
mnoˇzica D = {0, 1, ..., n2 } popoln sistem ostankov pri deljenju z b.
Pokaˇzimo, da lahko poljubno Gaussovo ˇstevilo w zapiˇsemo kot
w = d0 + d1 b + d2 b2 + d3 b3 ,
(2.9)
kjer so d0 , d1 , d2 in d3 nenegativna cela ˇstevila.
ˇ sta c
Oˇcitno obstajata takˇsni celi ˇstevili c in d, da je w = c + d b. Ce
in d nenegativni, smo s tem naˇsli zapis (2.9), ˇce pa je ˇstevilo x ∈ {c, d}
negativno, ga zapiˇsemo v obliki
x = |x| i2 = |x|(b + n)2 = |x|n2 + 2|x|nb + |x|b2
in postavimo to v w = c + d b ter tako dobimo zapis (2.9).
Vzemimo w iz (2.9) in oznaˇcimo D = {d0 , d1 , d2 , d3 } ter
t(w, D) = d0 + d1 + d2 + d3 .
Oˇcitno je t(w, D) nenegativno celo ˇstevilo, ki je enako 0 natanko tedaj, ko
je w = 0.
Ker je d0 ≥ 0, lahko najdemo takˇsno nenegativno celo ˇstevilo t in takˇsno
ˇstevilo r0 ∈ {0, 1, ..., n2 }, da je
d0 = r0 + t N (b) = r0 + t (n2 + 1).
Ker velja
n2 + 1 = b3 + (2n − 1)b2 + (n − 1)2 b,
imamo
d0 = r0 + t (n2 + 1) = r0 + t(n − 1)2 b + t(2n − 1)b2 + t b3 .
(2.10)
Postavimo zdaj desno stran iz (2.10) namesto d0 v (2.9):
w = r0 + (d1 + t(n − 1)2 )b + (d2 + t(2n − 1))b2 + (d3 + t)b3
(2.11)
= d∗0 + d∗1 b + d∗2 b2 + d∗3 b3 ,
kjer smo z d∗0 , ..., d∗3 po vrsti oznaˇcili ˇstevila r0 , d1 + t(n − 1)2 , d2 + t(2n − 1),
d3 + t.
6
Ker je
−t(n2 + 1) + t(n − 1)2 + t(2n − 1) + t = 0,
za D∗ = {d∗0 , d∗1 , d∗2 , d∗3 } velja
t(w, D∗ ) = t(w, D),
za
w1 = d∗1 + d∗2 b + d∗3 b2
pa je
Naj bo
D1∗
=
{d∗1 ,
d∗2 ,
d∗3 ,
w = r0 + w1 b, r0 ∈ D.
0}. Potem je
(2.12)
t(w1 , D1∗ ) ≤ t(w, D∗ ) = t(w, D).
ˇ je r0 6= 0, imamo neenakost t(w1 , D∗ ) < t(w, D), ko pa je r0 = 0, je
Ce
1
t(w1 , D1∗ ) = t(w, D).
Piˇsimo zdaj kar t(w, D) = t(w), t(w1 , D1∗ ) = t(w1 ), ... Ponavljajmo postopek,
s katerim smo dobili enakosti (2.11) in (2.12), pa imamo
w
=
w1 b + r0
w1
=
w2 b + r1
.....
wj−1
=
wj b + rj−1 ,
pri ˇcemer velja: ri ∈ D, t(w) ≥ t(w1 ) ≥ ... ter t(wi ) > t(wi+1 ), ˇce je ri 6= 0.
ˇ je wj = 0, se ta proces konˇca na j–tem koraku. Takrat dobimo
Ce
w = r0 + r1 b + ... + rj−1 bj−1 , ri ∈ D.
Pa vzemimo, da se ta proces ne ustavi. Potem je wj 6= 0 za vsak j, pri
dovolj velikem indeksu i pa velja
t(wi ) = t(wi+1 ) = ... (6= 0).
Torej je
wi = wi+1 b, ..., wi+k−1 = wi+k b, ...
To pomeni, da pri vsakem k ∈ N ˇstevilo bk deli ˇstevilo wi . Toda to velja le,
ˇce je wi = 0, kar pa ni res.
S tem je obstoj predstavitve ˇstevila w v obliki (2.5) dokazan za primer
b = −n + i.
Naj bo zdaj b = −n − i, n ∈ N. Vzemimo poljuben w ∈ Z[i], uporabimo
dosedanji del dokaza za Gaussovo celo ˇstevilo w
¯ in osnovo ¯b = −n + i, pa
imamo
w
¯ = r0 + r1¯b + ... + rk¯bk , ri ∈ D.
Od tod dobimo iskani zapis
w = r0 + r1 b + ... + rk bk
za ˇstevilo w.
3. V prejˇsnjem razdelku smo pokazali, da lahko v ˇstevilskem sistemu,
katerega osnova je ˇstevilo b ∈ {−n + i, −n − i : n ∈ N}, ˇstevke pa so iz
7
mnoˇzice D = {0, 1, ..., n2 }, enoliˇcno izrazimo vsako Gaussovo celo ˇstevilo w
v obliki (1.1).
Zdaj bomo pokazali, da lahko vsako kompleksno ˇstevilo α izrazimo v
takˇsnem ˇstevilskem sistemu kot (neskonˇcno konvergentno) vsoto
α=
l
X
aj bj ,
j=−∞
v kateri je l ∈ Z, ˇstevila aj pa so ˇstevke iz D.
3.1. Izrek. V ˇstevilskem sistemu z osnovo b ∈ {−n + i, −n − i : n ∈
N} in z mnoˇzico ˇstevk D = {0, 1, ..., n2 } lahko vsako kompleksno ˇstevilo α
izrazimo v obliki konvergentne vrste
α = al bl + ... + a0 + a−1 b−1 + a−2 b−2 + ... ,
(3.1)
kjer so aj iz D za vse indekse j.
Dokaz. Naj bo α = x + i y, x, y ∈ R, poljubno kompleksno ˇstevilo. Pri
vsakem k = 0, 1, 2, ... naj bo
bk = Uk + i Vk , Uk , Vk ∈ R.
Piˇsemo lahko
αbk
(x + i y)(Uk + i Vk )
xUk − yVk + i(xVk + yUk )
α= k =
=
.
k
b
b
bk
Naj bosta Ck in Dk takˇsni celi ˇstevili in uk ter vk takˇsni realni ˇstevili, za
kateri velja |uk | < 1 in |vk | < 1, da je
xUk − yVk = Ck + uk
in
xVk + yUk = Dk + vk .
Potem je torej
α=
uk + i vk
Ck + i Dk
+
.
k
b
bk
(3.2)
Oznaˇcimo
Ck + i Dk
uk + i vk
in δk =
.
bk
bk
Ker je |b| ≥ 2 in |uk + i vk | ≤ 2, velja limk→∞ δk = 0. Se pravi, da zaradi
(3.2) velja limk→∞ zk = α.
Gaussovo celo ˇstevilo Ck + i Dk lahko po izreku 2.4. zapiˇsemo kot
zk =
Ck + i Dk = a∗t bt + ... + a∗0 ,
(3.3)
kjer so a∗j , j = 0, 1, ..., t ˇstevila iz D in je t = t(k) nenegativno celo ˇstevilo,
ki je odvisno od k.
Pokaˇzimo, da ima zaporedje celih ˇstevil {t(k) − k}∞
k=0 zgornjo mejo.
ˇ
Ce pri vseh ˇstevilih k = 0, 1, ... velja k ≥ t(k), potem je oˇcitno 0 zgornja
meja zaporedja {t(k) − k}∞
ce le za konˇcno mnogo
k=0 . Podoben sklep velja, ˇ
ˇstevil k velja k < t(k). Vzemimo torej, da za neskonˇcno mnogo ˇstevil k velja
k < t(k).
Dk
, iz (3.3) sledi
Glede na to, da je zk = Ck +i
bk
zk = a∗t bt−k + ... + a∗0 b−k .
8
Predpostavimo, da je k ˇstevilo, pri katerem velja k < t(k). Piˇsimo
a∗t bt−k + ... + a∗k = zk − a∗k−1 b−1 − ... − a∗0 b−k .
Iz te enakosti sledi ocena
|a∗t bt−k + ... + a∗k | ≤ |zk | + a∗k−1 |b|−1 + ... + a∗0 |b|−k
≤ |α| + |δ| + n2 (|b|−1 + |b|−2 + ...)
≤ |α| + |δ| +
n2
|b|−1 ,
kjer je δ = max{|δj | : j = 0, 1, ...}. Torej je
|a∗t bt−k + ... + a∗k | ≤ c,
(3.4)
kjer je c = c(α) pozitivna konstanta, odvisna od α. Znotraj kroga {w ∈
C : |w| ≤ c} je le konˇcno mnogo Gaussovih celih ˇstevil in ker je zapis
vsakega od njih v obliki (2.5) en sam, ˇstevilo t − k v (3.4) ne more biti
poljubno veliko. Se pravi, da ima zaporedje {t(k) − k}∞
k=0 res zgornjo mejo.
Oznaˇcimo s K natanˇcno zgornjo mejo tega zaporedja. Ker so v zaporedju
le cela ˇstevila, je tudi K celo ˇstevilo.
Vsako od ˇstevil zk , k = 0, 1, ... zapiˇsimo kot
(k)
(k)
(k)
zk = aK bK + ... + a0 + a−1 b−1 + ... ,
(3.5)
(k)
kjer so ˇstevila aj , j ≤ K, iz D. Seveda se lahko zgodi, da je pri nekaterih
ˇstevilih zk nekaj prvih ˇstevk v zapisu (3.5) enakih 0.
Zapis (3.5) velja pri vsakem k = 0, 1, 2, ... . Ker pa je D konˇcna mnoˇzica,
(k)
mora za vsaj eno ˇstevko iz D, recimo za rK , veljati, da je aK = rK pri
neskonˇcno mnogo k–jih. Oznaˇcimo s SK mnoˇzico vseh tistih k–jev, pri
(k)
katerih velja aK = rK .
V zapisu (3.5) se tudi pri bK−1 pojavi vsaj ena ˇstevka neskonˇcnokrat. Ker
je SK neskonˇcna mnoˇzica, obstaja v D ˇstevka, recimo rK−1 , za katero velja
(k)
aK−1 = rK−1 pri neskonˇcno k–jih iz SK . S SK−1 oznaˇcimo mnoˇzico vseh
(k)
tistih k–jev iz SK , pri katerih velja aK−1 = rK−1 .
Predpostavimo, da ˇze imamo mnoˇzice SK , SK−1 , ..., Sl+1 . Za njih velja
SK ⊃ SK−1 ⊃ ... ⊃ Sl+1
in vsaka vsebuje neskonˇcno mnogo k–jev. Podobno kot prej vidimo, da v D
obstaja takˇsna ˇstevka rl , za katero pri neskonˇcno mnogo ˇstevilih k ∈ Sl+1
(k)
velja al = rl . Spet oznaˇcimo s Sl mnoˇzico vseh teh ˇstevil k. Tudi ta mnoˇzica
je neskonˇcna in zanjo velja Sl ⊂ Sl+1 .
Imamo torej neskonˇcno zaporedje neskonˇcnih mnoˇzic Sl , za katere velja
SK ⊃ SK−1 ⊃ ... ⊃ S0 ⊃ S−1 ⊃ ... .
Prav tako imamo zaporedje ˇstevk rK , rK−1 , ..., r0 , r−1 , ..., za katero velja,
(k)
da je pri vsakem ˇstevilu k ∈ Sj ˇstevka aj enaka ˇstevilu rj , j = K, K −
1, ..., 0, −1, ... .
Naj bo
β = rK bK + ... + r0 + r−1 b−1 + ... .
(3.6)
9
Izberimo zaporedje k1 < k2 < ... tako, da bo pri vsakem ˇstevilu j = 1, 2, ...
ˇstevilo kj iz SK−j+1 . To lahko storimo, saj so Si neskonˇcne mnoˇzice.
Ker je kj ∈ SK−j+1 ⊂ SK−j+2 ⊂ ... ⊂ SK , velja
(k)
zkj = rK bK + ... + rK−j+1 bK−j+1 + aK−j bK−j + ...,
glede na to, kako smo definirali mnoˇzice Si . Se pravi, da velja
lim zkj = β.
j→∞
Ker je limk→∞ zk = α, imamo α = β. Od tod sledi, da je (3.6) iskani zapis
ˇstevila α.
Zapis (3.1) kompleksnega ˇstevila α skrajˇsano predstavimo v obliki
α = (al ...a0 .a−1 a−2 ...)b .
(3.7)
Tako kot pri ˇstevilskih sistemih z osnovo b ∈ N, tudi tu ˇstevilu
(al ...a0 )b =
l
X
aj bj
j=0
reˇcemo celi del ˇstevila α, ˇstevilo
(0.a−1 a−2 ...)b =
−∞
X
aj bj
j=−1
pa je neceli del ˇstevila α.
Zapis (3.7) ni enoliˇcen. Kot primer poglejmo ˇstevilski sistem z osnovo
b = −1 + i in z mnoˇzico ˇstevk D = {0, 1}. V tem ˇstevilskem sistemu lahko
izrazimo na dva naˇcina:
ˇstevilo −1+2i
5
−1+2i
5
−1+2i
5
= (0.01)−1+i
in
= (11.10)−1+i ,
(3.8)
kjer ˇcrta nad ˇstevkami pomeni, da se zaporedje teh ˇstevk periodiˇcno ponavlja.
O veljavnosti (3.8) se bo bralec sam prepriˇcal, kakor tudi o pravilnosti
naslednjih enakosti
1 + 3i
= (0.010)−1+i = (11.001)−1+i = (1110.100)−1+i .
5
Literatura
[1] William J. Gilbert: Fractal Geometry Derived from Complex Bases,
Math. Intelligencer, 4 (1982), 78-86
[2] Josip Grasselli: Osnove teorije ˇstevil, DZS, Ljubljana 1975
[3] I. K´
atai and J. Szab´
o: Canonical number systems for complex integers,
Acta Sci. Math. (Szeged) 37 (1975), 255-260
[4] Ivan Vidav: Algebra, DMFA, Ljubljana 1980